I.
II.
Objetivos
Verificar experimentalmente las leyes del movimiento oscilatorio armónico simple utilizando el sistema masa-resorte.
Verificar las leyes del movimiento oscilatorio amortiguado sujeto a la fricción de aire.
Fundamento teórico 1. Movimiento oscilatorio armónico simple Es un movimiento periódico en torno a un punto de equilibrio estable, llamado posición de equilibrio (el móvil se encuentra en esta posición cuando el resorte no está estirado ni comprimido), x=0. Este movimiento oscila entre x = -A y x = A; debido a la ausencia de fricción y a que la fuerza ejercida por el resorte es conservativa, este movimiento continuará para siempre.
En la figura, cuando el móvil se desplaza a una posición x, el resorte ejerce sobre el bloque una fuerza que es proporcional a la posición y dada por la ley de Hooke.
F = -kx Donde:
F: es la fuerza restauradora, porque siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio, por lo tanto opuesta desplazamiento desde el origen.
k: constante de rigidez del resorte.
Aplicando la segunda ley de Newton:
∑
-kx = ma Se sabe:
a = d 2 x /dt 2 (la segunda derivada de la posición).
=
(frecuencia angular del MAS).
Reemplazando estos datos en la ecuación anterior:
d2x /dt2 +
2
x = 0 (Ecuación diferencial)
Resolviendo la ecuación se encuentra la posición, la velocidad y la aceleración del móvil:
(Derivada de la posición)
a=Donde:
2
x = -A
2
(Derivada de la velocidad)
A: es la amplitud. : el desfasaje.
El periodo de oscilación es:
T=
=2
2. Movimiento oscilatorio amortiguado El movimiento oscilatorio amortiguado, no es un sistema ideal, debido a que existe una fuerza de oposición (fuerza no conservativa), la cual es proporcional a la velocidad:
F = -λv Donde:
(coeficiente de amortiguación). = (frecuencia angular ideal).
Β=
La ecuación del movimiento se expresa como:
d2x /dt2 + 2βdx /dt + Cuando β <
0 es:
2 0
x =0
x = Aℯ - t
Donde: : La frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas, :
= √( III.
Materiales
Sensor de fuerza. Cinta métrica. Interface 3B Net Lab. Resorte helicoidal (3 y 5.25 N/m). Soporte Universal. Nuez Universal. Disco de papel de 12 cm de diámetro. Juego de pesas.
2 2 0 - )
β β
IV.
Procedimiento 1. Instalar el sistema masa resorte utilizando el sensor de fuerza y el resorte helicoidal de 3N/m, de acuerdo a la figura 3, utilice una masa de 40g. 2. Encender el computador, conceder el sensor a la interface y esta a su vez, a uno de los puertos USB del computador. 3. Ejecutar el Software 3B Netlab, verificar que la conexión entre el computador y la interface este correctamente establecida, selecciones una escala de medida de 2 ms con una cantidad de valores de 1000. 4. Mover la masa 2.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, suelte y pulse iniciar en el programam3B Netlab para iniciar la toma de datos.
Dependencia de las oscilaciones con la amplitud 5. Tomando una masa de 40g, mover la pesa 2.0 cm por debajo debajo o sobre su posición de equilibrio, soltar e iniciar la medición en el programa 3B Netlab. Realizar el gráfico de datos y el ajuste de curvas correspondientes. Guardar sus resultados en un archivo. 6. Mover la pesa 3.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, soltar e iniciar la medición en el programa 3B Netlab. Realizar el gráfico de datos y el ajuste de curvas correspondientes. Guardar sus resultados en un archivo.
Dependencia de las oscilaciones con la masa 7. Cambiar la masa por 60g mueva la pesa 2.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, soltar e iniciar la medición en el programa 3B Netlab. Realizar el gráfico de datos y el ajuste de curvas correspondientes. Guardar sus resultados en un archivo. 8. Cambie la masa por 80g mueva la pesa 2.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, soltar e iniciar la medición en el programa 3B Netlab. Realizar el gráfico de datos y el ajuste de curvas correspondientes. Guardar sus resultados en un archivo.
Dependencia de las oscilaciones con la constante del resorte 9. Cambiar de resorte de 3N/m por la de 5.25 N/m N/m y considerando una masa de 40g, mueva la pesa 2.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, soltar e iniciar la medición en el programa 3B Netlab. Realizar el gráfico de datos y el ajuste de curvas correspondientes. Guardar sus resultados en un archivo.
Oscilaciones amortiguadas 10. Con el resorte de 3N/m, adicionar un disco de papel de 12 cm de diámetro a la masa de 40g de acuerdo a la figura 5, cambie el intervalo de medición a 20 ms, mover la pesa 8.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, soltar e iniciar la medición en el programa 3B Netlab. Realizar el gráfico de datos y el ajuste de curvas correspondientes. Guardar sus resultados en un archivo.
V.
Datos experimentales
1. a.
De acuerdo a los gráficos gráficos obtenidos en los pasos 4 al 9 del procedimiento ¿los ¿los movimientos estudiados son armónicos simples? ¿Por qu é?
Los movimientos observados según las graficas son oscilatorios y periódicos, además sus graficas se pueden representar mediante funciones armónicas como el seno por lo tanto se trata de un MAS. b. Con los datos datos obtenidos en los ajustes de fuerza en función del tiempo, realizados en los pasos 5 y 6 complete la siguiente tabla,
PASO 5 (k = 3N/m)
PASO 6 (k = 3N/m)
Masa (g)
40
40
F(t) (N)
0.149sen(7.5559t + 8.9782) + 0.0205
-0.107sen(7.5164t -0.107sen(7.5164t + 6.7838)-5.88x10 6.7838)-5.88x10
X(t) = F(t)/k
-0.0497sen(7.5559t + 8.9782) - 0.00683
0.036sen(7.5164t + 6.7838) + 1.96x10
Amplitud (m)
0.0497
0.036
(rad/s)
7.5559
7.5164
Periodo(s)
0.832
0.836
Velocidad V(t)
-0.376cos(7.5559t+8.9782)
0.271sen(7.5164t + 6.7838)
Aceleración a(t)
2.837sen(7.5559t + 8.9782)
-2.034cos(7.5164t + 6.7838)
De la tabla 1
-3
-3
c.
¿Depende el periodo del MAS de la amplitud? ¿Concuerdan sus resultados con la teoría del MAS? Justifique. El periodo no depende de la amplitud, experimentalmente se ha comprobado que para valores diferentes de amplitud el período no varía. Por otro lado por teoría se sabe que la amplitud depende únicamente de las condiciones iniciales del MAS como son la posición, la velocidad y frecuencia angular; tanto la posición y velocidad son evaluados en un tiempo determinado.
d. Determinar el error porcentual de los valores experimentales de la frecuencia de oscilación. Explique.
Paso 5 T experimental: experimental:
= 7.5559 (rad/s)
T
=
T teórico:
= 0.832 s
m = 40g = 0.04kg k = 3 N/m
T = 2 Frecuencia de oscilaciones:
=2
= 0.726 s
Frecuencia experimental: 1.202 Frecuencia teórico = 1.377
% error=│
– │ x 100% = 12.71%
Paso 6 T experimental: experimental:
= 7.5164 (rad/s)
T teórico: m = 40g = 0.04kg k = 3 N/m
T
=
= 0.836 s
T = 2
Frecuencia de oscilaciones:
=2
= 0.726 s
Frecuencia experimental: 1.196 Frecuencia teórico = 1.377
% error=│ e.
– │ x 100% = 13.145%
¿Qué indican las fases iniciales de x(t), para cada MAS?
Señalan las posiciones iníciales de los cuerpos del sistema respecto a la posición de equilibrio, por ejemplo: De la ecuación del MAS:
x(t)= -0.0497sen(7.5559t+8.9782)+0.00673 Para t=0, el cuerpo se encuentra a -7.414x 10 -3 metros sobre la posición de equilibrio
2. a.
Con los datos datos obtenidos en los ajustes de fuerza en función del tiempo, realizados en los pasos 5,7 y 8 complete la siguiente tabla.
PASO 5 (k = 3N/m)
PASO 7 (k = 3N/m)
PASO 8 (k = 3N/m)
Masa (g)
40
60
80
F(t) (N)
0.14 0.149s 9sen en(7 (7.5 .555 559t 9t + 8.97 8.9782 82)) + 0.0 0.020 205 5
-0.1 -0.112 12se sen( n(6. 6.59 598t 8t - 5.20 5.2009 09)) + 0.0 0.020 202 2
0.128sen(5.7823t - 1.8002) + 9.2667
X(t) = F(t)/k
-0.049 -0.0497se 7sen(7 n(7.55 .5559t 59t + 8.978 8.9782) 2) - 0.0068 0.00683 3
0.037s 0.037sen( en(6.5 6.598t 98t - 5.200 5.2009) 9) - 0.0067 0.00673 3
-0.043sen(5.7823t - 1.8002) - 3.0889
Amplitud (m)
0.0497
0.037
0.043
(rad/s)
7.5559
6.598
5.7823
Periodo(s)
0.832
0.95
1.087
Velocidad V(t)
-0.376cos(7.5559t+8.9782)
0.2441sen(6.598t - 5.2009)
-0.249sen(6.598t - 5.2009)
Aceleración a(t)
2.837sen(7.5559t + 8.9782)
-1.61sen(6.598t - 5.2009)
1.438cos(6.598t - 5.2009)
b. ¿Depende el periodo de MAS de la masa del sistema?¿Concuerdan sus resultados con la teoría del MAS? Justifique.
El periodo de MAS sí depende de la masa, debido a que si la masa aumenta el periodo aumenta.
Se sabe:
=
y
=
: frecuencia angular.
T: Periodo. k: constante de rigidez del resorte. m: masa. Igualando ecuaciones:
T =2
=
Paso 5 T experimental: experimental:
= 7.5559 (rad/s)
T
=
T teórico:
= 0.832 s
m = 40g = 0.04kg k = 3 N/m
T = 2
=2
Paso 7 T experimental:
= 6.598 (rad/s)
T teórico: m = 60g = 0.06kg k = 3 N/m
T
=
= 0.95 s
= 0.726 s
T = 2
=2
= 0.889 s
Paso 8 T experimental: experimental:
= 5.7823 (rad/s)
T
=
= 1.087 s
T teórico: m = 80g = 0.08kg k = 3 N/m
T = 2
=2
= 1.026 s
El periodo de MAS sí depende de la masa, ya que la masa es directamente proporcional al periodo y esto se comprueba en el experimento que hemos realizado ya que la constante de elasticidad no varía en los tres experimento realizados, mientras que la masa varía en cada una de los experimentos.
c. Determinar el error porcentual de los valores experimentales del periodo de oscilación. Explique.
% error=│ Paso 5:
–
│ x 100%
T experimental = 0.832 s T teórico = 0.726 s
% error=│
– │ x 100% = 14.6%
Paso 7: T experimental = 0.95 s T teórico = 0.89 s
% error=│
– │ x 100% = 6.74%
Paso 8: T experimental = 1.087 s T teórico = 1.026 s
% error=│
–
│ x 100%
= 5.95%
En el error porcentual podemos encontrar un porcentaje de error debido a que no se ha tomado en consideración la fuerza del aire y se ha idealizado el experimento. 3. a.
Con los datos datos obtenidos en los ajustes de fuerza en función del tiempo, realizados en los pasos 5 y 9 complete la siguiente tabla,
PASO 5 (k = 3N/m)
PASO 9 (k = 5.25N/m)
Masa (g)
40
40
F(t) (N)
0.149sen(7.5559t 0.149sen(7.5559t + 8.9782) + 0.0205
0.1368sen(9.5572t 0.1368sen(9.5572t + 12.593) + 4.988 x 10
X(t) = F(t)/k
-0.0497sen(7.5559t -0.0497sen(7.5559t + 8.9782) - 0.00683
0.0261sen(9.5572t 0.0261sen(9.5572t + 12.593) - 0.95 x 10
Amplitud (m)
0.0497
0.1368
7.5559
9.5572
Periodo(s)
0.832
6.574
Velocidad V(t)
-0.376cos(7.5559t+8.9782)
0.249cos(9.5572t + 12.593)
Aceleración a(t)
2.837sen(7.5559t + 8.9782)
-2.380sen(9.5572t + 12.593)
(rad/s)
-3
-3
b. ¿Depende el periodo periodo de MAS de la constante constante del resorte? resorte? ¿Concuerdan ¿Concuerdan sus sus resultados con la teoría del MAS?, justifique.
Observamos que experimentalmente al hacer variar la constante de resorte varia la frecuencia angular con lo cual también varía el periodo; ya que el periodo depende de la frecuencia angular.
T
=
Y de acuerdo a la teoría del MAS la frecuencia angular varia con respecto a la constante de resorte bajo la siguiente relación.
=
Igualando ambas fórmulas:
T =2 Paso 5 T experimental: experimental:
= 7.5559 (rad/s)
T
=
T teórico:
= 0.832 s
m = 40g = 0.04kg k = 3 N/m
T = 2
=2
Paso 9 T experimental: experimental:
= 9.5572 (rad/s)
T teórico: m = 40g = 0.04kg k = 5.25 N/m
T
=
= 0.657 s
= 0.726 s
T = 2
=2
= 0.548 s
4. a.
Con los datos datos obtenidos en los ajustes de la fuerza en en función del del tiempo, realizados en los pasos 5 y 10 complete la siguiente tabla,
PASO 5 (k = 3N/m)
PASO 10 (k = 3N/m)
Masa (g)
40
40
F(t) (N)
0.149sen(7.5559t + 8.9782) + 0.0205
Amplitud (m)
0.0497
0.076
(rad/s)
7.5559
7.1042
Periodo(s)
0.832
0.8844
0.228 X e
-0.0574t
sen(7.1042t-2.334)
b. ¿Calcular del coeficiente de amortiguamiento β? Justifique. c.
VI.
Determine el tiempo en la cual la amplitud amplitud de la fuerza total aplicada disminuye en 50% y 80% de su amplitud original.
Cuestionario
1. Deducir detalladamente la ecuación de oscilación del péndulo simple. Un péndulo simple consiste en un cuerpo de masa m suspendida de una cuerda de longitud l, y masa despreciable. El extremo superior de la cuerda esta fijo en el punto O. Este péndulo oscilara si soltamos en la posición B y recorrerá una amplitud descrita en la figura hasta la posición B`, repitiendo el proceso pero ahora en sentido contrario (Fig. 1)
Figura 1
Las fuerzas que actúan sobre la masa son la ejercida por la cuerda T y la fuerza de gravedad. La componente tangencial de la fuerza gravitacional mg· sen(θ ) actúa
siempre hacía θ= 0, opuesta al desplazamiento, de este modo la ecuación del movimiento en la dirección tangencial Ft es:
Ft - mgsen( ) Para ángulos pequeños, se tiene que:
: Pequeño F =
sen
-mg , F Res Res = - kx , que es la fuerza restauradora.
Ft = m at Reemplazando por sus equivalencias, tenemos:
-mgθ = mlё Resolviendo la igualdad, se tiene .ё + (g/l) θ= 0 y que w2 =g/l Esto equivale a: (t)
=m sen(wt + )(*)
;
m
A ; w
g l
m k
Donde: :
Desfasaje ( ) Y * es la ecuación de oscilación del péndulo simple.
Es decir, la frecuencia y el periodo de un péndulo simple dependen únicamente de la longitud de la cuerda y del valor de g.
2. Deducir detalladamente la ecuación del oscilador armónico amortiguado. En muchos casos reales, fuerzas no conservativas hacen que disminuya la energía mecánica en el movimiento armónico simple. Esto se puede deducir con los parámetros utilizados en el M.A.S. Podemos llamar fuerza retardadora a la fuerza que se opone al movimiento oscilatorio y se representa así:
Fretardadora= bv; Donde: b :es el coeficiente de amortiguamiento. v la velocidad con que decae la oscilación.
Se sabe también que – que –ky es la fuerza restauradora . Notemos que usamos ’y’ para denotar la dirección y sentido de nuestro experimento (el resorte se movió en la dirección del eje Y). Ahora, aplicando la segunda ley de Newton:
ma = -ky+ -bv; (1)
Empleando la aceleración y la velocidad en términos de la posición:
mÿ = -ky –bý (2)
Resolviendo la igualdad:
mÿ + ky+ bý = 0 → ÿ
ý
(3)
La expresión (3) ya puede ser considerado como ecuación de movimiento armónico amortiguado, pero la idea es llegar a su descripción general.
Si empleamos los términos:
β
Reemplazamos en (3)
ÿ
ý
(4)
La solución de la ecuación es de la forma tenemos:
(5)
; reemplazando en (4)
Simplificando la expresión:
(5)
Las raíces de esta ecuación son:
√ √ y
La solución general de la ecuación (4) es:
√ √
(6)
Para el caso del M.A.A, el interés se centra en
√
, entonces la expresión
Es una cantidad imaginaria; reemplazando en (6) tenemos:
Haciendo
Se obtiene:
(7)
Esta expresión se puede escribir usando las relaciones de Euler como:
Donde:
VII.
(8)
w 1 es la frecuencia del oscilador. t el tiempo. δ el desfasaje.
Conclusiones Movimiento armónico simple Con el estudio del M.A.S (movimiento armónico simple) en su etapa experimental, se ha podido experimentar los aspectos teóricos relacionados a este tema.
Los movimientos observados según las graficas son oscilatorias y periódicas, además sus gráficas se pueden representar mediante funciones armónicas como el seno y el coseno, demostrándose mediante el uso del software utilizado en la práctica. Un caso en particular de M.A.S es el movimiento del péndulo matemático o péndulo simple. El movimiento oscilatorio es independiente de la masa del cuerpo; solo intervienen en el periodo angular la longitud de la cuerda que la sostiene y la aceleración de la gravedad. Asimismo, mediante el software se pudo constatar los parámetros utilizados en el M.A.S estudiados en clase.
Movimiento oscilatorio amortiguado. En condiciones ideales, seria común ver el M.A.S en cualquier evento en que se produzcan las condiciones iniciales para este movimiento, pero en la realidad esto no es así. En la práctica, se demostró que el aire al igual que cualquier otro fluido, ejerce una fuerza contraria al movimiento y esta se puede cuantificar y graficar las características del M.A.A (movimiento armónico amortiguado). Aunque la resolución de la ecuación que denote este movimiento es compleja, se puede inferir a partir de lo estudiado en clase este tipo de movimiento. El M.A.A se puede utilizar para representar comportamientos reales de algunos fenómenos físicos, tales como el estudio de ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
Observaciones y sugerencias Dentro de la misma practica, se observa que es un poco difícil sostener un movimiento estrictamente vertical del resorte, debido la tendencia del mismo a realizar un movimiento traslacional, para lo cual es necesario tener paciencia y concentración al realizar este ensayo. Un movimiento de traslación del péndulo conlleva a la aparición de señales difusas en el software y dificulta el análisis y la representación del movimiento armónico. Se sugiere también el uso de cartillas de información para el buen uso del software utilizado en el laboratorio, al igual que todos los softwares que se utilizaran a lo largo del curso. Esto con la intención de agilizar el tiempo de la práctica y la optimización de los ensayos y pruebas.
Dependencia de las oscilaciones con la amplitud: resorte de 3N/m, masa de 40g, deformación 2 cm.
Dependencia de las oscilaciones con la amplitud: resorte de 3N/m, masa de 40g, deformación 3 cm.
Dependencia de las oscilaciones con la masa: resorte de 3N/m, masa 60g, deformación 2 cm .
Dependencia de las oscilaciones con la masa: resorte 3N/m, masa 80g, deformación 2 cm.
Dependencia de las oscilaciones con la constante del resorte: resorte 5.25 N/m, masa 40g, deformación 2cm.
Oscilaciones amortiguadas: resorte 3 N/m, disco de papel 12 cm de diámetro, masa 40g, deformación 8 cm.
