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OBJETIVO: Estudiar el comportamiento de las vigas, tanto solidas como laminadas, sometidas a flexión y observar el efecto de la resistencia por esfuerzo secante. Material: Cuatro vigas rectangulares de madera de 2,8 x 2,8 x 65 cm en las siguientes condiciones: a) Una viga solida. b) Una viga compuesta de cuatro laminas de 0,7 cm. c) Una viga igual a la anterior pero con puntillas en el tercio central de su longitud. d) Una viga igual a la (b) pero con puntillas en los tercios extremos de su longitud. Equipo: Mesa con soportes. Regla o calibrador. Deformimetro. Pesas y contrapesas. PROCEDIMIENTO: Tomarle las dimensiones a las vigas y a las laminas, después de conocer las dimensiones de las vigas apoyar estas en sus extremos, tomar lectura con el deformimetro en el centro de la luz y luego cargar en los tercios de la luz colocando masas de 400, 900 y 1400 gr tomando lecturas con el deformimetro para cada caso. MARCO TEÓRICO: •
Viga Solida Rectangular:
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Realizar la deducción por doble integración. •
Viga similar de la misma altura total (h) y compuesta por (n) laminas horizontales libres de deslizar una sobre otra.
•
Si se clavan entre si las tablas con puntillas en el tercio central.
Puntillas
Van a encontrar que ∆a<∆c<∆b
Donde:
Suponiendo que la porción clavada actúa ahora como un sólido y las porciones extremas están ahora libremente laminadas.
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•
Si se colocan las puntillas en los tercios extremos:
Van a encontrar que ∆d≈∆a, esto tiene relación con el diagrama de cortante.
Relación entre los esfuerzos cortantes horizontal y vertical. Realizar la deducción de:
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DATOS Y CALCULOS REALIZADOS DIMENCION REALES PROMEDIO h=0.028 m f=0.028 m a=0.2 m b=0.2 m
DATOS:
P(Kg)
Puntillas Viga sin Puntillas Viga en los puntillas en el maciza (∆) extremos (∆) centro (∆) (∆)
0 0 0 0.5 14 61 30 1 34 122 66 1.5 52 276 100 1 36 174 76 0.5 19 152 43 2 50 11 0 Tabla 1: Datos tomados en el laboratorio 0
0 129 235 340 268 175 23
La tabla 1 se encuentra en unidades de micras, para hacer los cálculos se cambian los datos a metros, los resultados se pueden apreciar en la tabla 2.
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P(Kg)
Viga maciza Viga sin puntillas Puntillas en los Puntillas en el centro (∆)(m) (∆)(m) extremos (∆)(m) (∆)(m)
0 0 0 0.5 0.000014 0.000061 1 0.000034 0.000122 1.5 0.000052 0.000276 1 0.000036 0.000174 0.5 0.000019 0.000152 Tabla 2: Datos tomados en el laboratorio
0 0.00003 0.000066 0.0001 0.000076 0.000043
0 0.000129 0.000235 0.00034 0.000268 0.000175
Observaciones generales: Como se ve en la imagen 1 no se pudo colocar dos cargas puntuales en la viga lo que se hizo como solución fue amarar una varilla y colocarla apoyada en los puntos que aparece la guía. Se hace esta observación ya que al no poder colocar las cargas puntuales puede que la barrilla haya quedado recostada a algún costado y que las cargas no sean las misma.
Imagen 1: Laboratorio de flexión Para hallar el módulo de elasticidad (E) se hace toma en cuenta la viga maciza nada y utilizamos la siguiente fórmula:
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Carga (Kg) E 0.5 3951106682 1 3253852561 1.5 3191278474 1 3073082975 0.5 2911341765 0 0 Tabla 3: Calculo del módulo de elasticidad.
E PROMEDIO= 2730110410 Kg/m² Un Pa tiene 10200 kg/m^2 después lo dividimos en 10^9 para dar el resultado en GPa como se puede observar en el anexo 1. E PROMEDIO= 0.000267658 GPa. Luego se obtiene las deflexiones teóricas (tabla 4)
P(Kg)
Viga maciza Viga sin puntillas Puntillas en los Puntillas en el centro (∆)(m) (∆)(m) extremos (∆)(m) (∆)(m)
0 0 0.5 2.02613E-05 1 4.05225E-05 1.5 6.07838E-05 1 4.05225E-05 0.5 2.02613E-05 0 0 Tabla 4: Deflexiones teóricas.
0 0.000182351 0.000364703 0.000547054 0.000364703 0.000182351 0
0 2.02613E-05 4.05225E-05 6.07838E-05 4.05225E-05 2.02613E-05 0
0 0.001061929 0.002123857 0.003185786 0.002123857 0.001061929 0
c) Esfuerzo cortante máximo:
Para hallar el esfuerzo cortante máximo utilizamos la distribución de esfuerzos cortantes en una viga rectangular. El momento estatico Q se obtiene multiplicando el área por la distancia desde su propio Centroide hasta el eje neutro:
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Sustituyendo Q en la fórmula de cortante obtenemos:
El valor máximo del esfuerzo cortante se tiene en el eje neutro donde el momento estático Q tiene su valor máximo. Al sustituir y1=0 en la ecuación anterior, obtenemos:
Para hallar la fuerza cortante máxima utilizamos diagramas de cortante en donde el V máx es de 1.5 como se ve en la imagen 2.
Cortante máximo (kg/m^2) Cortante máximo (kg/cm^2) Cortante máximo (Pa) Cortante máximo (Kpa)
7.52954E-12 7.52954E-16 7.3819E-16 7.3819E-19
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Imagen 2: Diagrama de cortante.
d) Cálculo de la fuerza secante para cada puntilla:
Carga (Kg)
Fuerza (Kg)
Fuerza para cada puntilla
0
0
0
0.5
5.357142857
0.765306122
1
10.71428571
1.530612245
1.5
16.07142857
2.295918367
1
10.71428571
1.530612245
0.5
5.357142857
0.765306122
0 0 Tabla 5: Fuerza secante de cada puntilla.
0
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e) Realizar en una misma grafica los gráficos de Carga Vs flecha y comparar con la línea teórica, usando un módulo de elasticidad E calculado con la viga sólida.
DEFORMACIÓN VS CARGA 0.0004 0.00035 ) 0.0003 m ( N0.00025 Ó I A C 0.0002 M R O0.00015 F E D 0.0001
0.00005 0 0
0.5
1
1.5
1
0.5
0
CARGA (Kg) VIGA SIN PUNTILLAS
VIGA MACIZA
puntillas en los extremos
PUNTILLAS EN EL CENTRO
Grafico 1: Deformación vs Carga. Se realizó en grafico anterior para analizar que la elasticidad del material y según los datos obtenidos en el laboratorio, aunque el material es muy elástico no lo es totalmente como se puede ver en el grafico 1 ya que después de retirar la carga el material no volvió a su estado original. Para viga maciza el grafico 1 es un poco impreciso para no dejar dudas al lector se realizo el grafico 2 en donde se puede ver claramente que el material no es totalmente elástico.
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VIGA MACIZA 0.00006 ) s 0.00005 o r t e 0.00004 m ( n ó i 0.00003 c a m r 0.00002 o f e 0.00001 D
0 0
0.5
1
1.5
1
0.5
0
Carga (kilogramos)
Grafico 2: Deformación vs Carga de una viga maciza. En el grafico 3 de carga vs flecha se puede observar que las pendientes de las rectas ( la pendiente de la recta en grafico carga vs flecha representa el módulo de elasticidad del material) varían su valor respecto al módulo de elasticidad obtenido teóricamente, como este es un método grafico para la realización de los cálculos, no es un método 100% preciso por consiguiente los valores que presenta el grafico no los reales. Además que la realización del grafico se le indico a Excel tomar una línea de tendencia lo que causo que el error fuera tan variado respecto al teorico.
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Carga vs Flecha 1.6 P = 28278d + 0.0431 P = 14862d + 0.0218
1.4 1.2
P = 4428.7d - 0.0295
P= -2E+07d2 + 10146x - 0.0158
1 ) g K ( A G R A C
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.00005
0.0001
0.00015
-0.2
0.0002
0.00025
0.0003
0.00035
0.0004
DEFORMACIÓN (m) VIGA MACIZA
VIGA SIN PUNTILLAS
PUNTILLAS A LOS EXTREMOS
PUNTILLAS EN EL CENTRO
Linear (VIGA MACIZA)
Poly. (VIGA SIN PUNTILLAS)
Linear (PUNTILLAS A LOS EXTREMOS)
Linear (PUNTILLAS EN EL CENTRO)
Grafico 3: Carga vs Flecha.
CONCLUSIONES Con el experimento se comprobó que la madera no es totalmente elástica. Se realizo el laboratorio con éxito y se puso en practica los conceptos vistos en clase. La resistencia de una viga maciza es mucho mayor que la de varias vigas separadas. Para que varias vigas laminares puestas una encima de la otra tenga mayor resistencia se tiene que hacer que las vigas se comporten como una sola uniéndolas o pegándolas unas con otras. Para la viga laminar es mucho mejor si se le aplican las puntillas en los extremos de la misma ya que va a tener mucha mayor resistencia sin embargo la resistencia va a ser menor que la de una viga maciza de las mismas dimensiones.
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Hacer el experimento con una persona a cargo que tenga conocimientos avanzados sobre el tema. Colocar la viga bien apoyada para que no se caiga a la hora de colocar las cargas. Si no hay la posibilidad de colocar cargas puntuales , se puede usar el método expuesto en este informe.
REFERENCIAS: rdenas, Gere, J., Goodno, B. and Le o n J. (2009). Mec a nica de materiales. 1st ed. ́ Ca ́ ́ Australia: Thomson Learning.
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