UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú , DECANA DE AMÉRICA) FACULTAD DE CIENCIAS BIOLÓGICAS
E.A.P DE GENÉTICA
Y BIOTECNOLOGÍA
INFORME Nª 3 ANÁLISIS GRÁFICO Grupo 2: viernes 10 a.m. – 12 p.m.
Curso
: Laboratorio de Física General
Profesor
: Raúl Contreras Contreras
Fecha de entrega : 22 de Mayo del 201 !ntegrantes
:
Integ!nte"# L"#e$ %alas& María 'le(andra
C$%&g'# 110010)
*era Cho++ueccota& Lucero %a,ira
15100120
*aldi-iano .oyco& %tefanny Fiorella
1100111
'lfaro /uillas& hi,y illa,s illa,s
15100098
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN(((((((((((((((.(((.()
OB*ETIVOS(((((((((((((((((((......(3 MATERIALES(((((((((((((((((.((...(3 FUNDAMENTO TEÓRICO(((((((((((.(((..(+ PROCEDIMIENTO((((((((((((((((.(..(,, CONCLUSIONES((((((((((((((((........(,SUGERENCIAS Y RECOMENDACIONES((((((........,BIBLIOGRAFÍA(((((((((((((((...((....(,+ CUESTIONARIO(((((((((((((((((......(,
INTRODUCCIÓN La representación gráfica de los resultados es una parte fundamental de un eperimento o un análisis cuantitativo de un pro!lema. "a!itualmente se dice #ue una imagen vale más #ue mil pala!ras$ esto tam!i%n es válido cuando se anali&an los datos de un eperimento$ mu' frecuentemente las tendencias ' relación entre las varia!les del pro!lema se visuali&an me(or en un gráfico #ue en una ta!la de n)meros. *n gráfico ordena por s+ solo los datos ' sugiere regularidades ' relaciones su!'acentes entre las varia!les$ permite sacar conclusiones$ etc.
1
*n gráfico se constru'e so!re la !ase de una correcta elección de las escalas ' de las varia!les #ue van a representarse. ,n particular una dependencia lineal entre dos varia!les es mu' fácil de detectar a simple vista en un gráfico. - menudo$ varia!les #ue no tiene una relación lineal entre ellas$ por e(emplo relaciones potenciales o eponenciales$ se pueden representar gráficamente de modo #ue resulten lineali&adas/$ esto es #ue la representación de dicas varia!les muestra una tendencia visual pare&ca una recta. ,sto a menudo simplifica el análisis ' la etracción de parámetros relevantes.
OB*ETIVOS onocer las !ases para una !uena representación gráfica *tili&ar adecuadamente el papel milimetrado$ logar+tmico ' semilogar+tmico 3escu!rir el comportamiento de un sistema f+sico a partir de la evaluación de los datos o!tenidos en un eperimento "acer uso de las t%cnicas gráfico$ inclu'endo las t%cnicas de lineali&ación ' a(uste por m%todos de cuadrados m+nimos para un comportamiento lineal de los datos 4!tener nuevos datos por interpolacion ' etrapolacion
MATERIALES P!/e0 1&0&1et!%'
2
,s papel impreso con finas l+neas entrecru&adas$ separadas seg)n una distancia determinada normalmente 1 mm en la escala regular6. ,stas l+neas se usan como gu+as de di!u(o$ especialmente para graficar funciones matemáticas o datos eperimentales ' diagramas v%ase gráfica de una función6. 7e emplean en geometr+a anal+tica ' la ensean&a de matemáticas e ingenier+a.
P!/e0 0'g!2t1&' 343 ,s un papel con tres escalas una va de 110$ 10100 ' 1001000
P!/e0 "e1&0'g!2t1&' ,s la com!inación del papel milimetrado ' el papel logar+tmico
FUNDAMENTO TEÓRICO uando estudiamos un sistema f+sico cual#uiera$ !uscamos o!tener cam!ios o respuestas del sistema ante pertur!aciones #ue podemos aplicar en forma controlada. ,l análisis de los resultados eperimentales nos permitirá esta!lecer la relación entre las varia!les$ para ello$ será mu' )til o!tener una !uena representación gráfica de los datos o!tenidos.
TABLA DE DATOS ;ara encontrar la relación entre dos cantidades f+sicas$ de!emos reali&ar mediciones eperimentales siguiendo procedimientos '
GRÁFICAS =
Luego de las mediciones reali&adas$ iniciamos la evaluación de los datos. La ta!la de datos contiene toda la información necesaria para esta!lecer el tipo de relación funcional le'6 entre las cantidades f+sicas involucradas en las mediciones. on sólo o!servar la ta!la de datos será mu' dif+cil determinar la tendencia entre ellas$ por ello es necesario graficar los datos para visuali&ar con ma'or facilidad la relación eistente entre ellas. -s+ mismo$ una gráfica nos permitirá descri!ir en forma sencilla las variaciones o cam!ios de una cantidad con respecto a la otra$ ' por otro lado$ o!tenida la gráfica podemos o!tener nuevos datos más allá del intervalo eperimental o!servado etrapolación6 o nuevos datos dentro del intervalo o!servado pero no medido interpolación6.
ELECCIÓN DE VARIABLES ;ara construir una gráfica tra&amos en el plano dos rectas perpendiculares entre s+$ una ori&ontal ' otra vertical$ ' denotamos con 4 su punto de intersección. La recta ori&ontal es denominada e(e de las a!scisas ' la recta vertical e(e de las ordenadas. -ntes de construir una gráfica revisemos los siguientes conceptos: 5!6 V!&!70e" : 7on las cantidades f+sicas #ue intervienen en el eperimento ' cu'o comportamiento se desea conocer. Las varia!les pueden ser: dependientes e independientes.
V!&!70e In%e/en%&ente ,s la varia!le #ue podemos controlar$ es decir$ podemos variar en un proceso eperimental$ por lo #ue puede tomar cual#uier valor ar!itrariamente seleccionado por el eperimentador. 7e llama tam!i%n varia!le de entrada.
V!&!70e De/en%&ente ,s a#uella varia!le cu'o valor depende del valor #ue toma la varia!le independiente$ es la respuesta del sistema f+sico a un cam!io en la varia!le independiente. 7e llama tam!i%n como varia!le de salida. ,(emplo: -l estudiar el movimiento$ deseamos construir la gráfica de la posición en función del tiempo$ en este caso$ se considera al tiempo como varia!le independiente. 576 C'n"t!nte" #
5
7on las varia!les #ue toma un valor fi(o durante el proceso eperimental.
FUNCIÓN *na cantidad ' es función de otra cantidad $ si su valor es determinado por el valor de la varia!le . ,sta función se epresa en la forma:
y = f(x) REGLAS PARA TRA8AR GRÁFICAS Regla 1: 3ecidir cuál varia!le es independiente ' cual es dependiente. Los valores #ue toma la varia!le independiente se de!en representar en el e(e ori&ontal ' los de la varia!le dependiente en el e(e vertical. >unto a cada e(e de!e aparecer en forma clara el nom!re de la varia!le representada so!re %l$ con sus unidades correspondientes. ,l origen de los e(es no tiene #ue coincidir necesariamente con el 0$06.
Regla : ,scoger las escalas de tal forma #ue se puedan representar todos los datos ' la gráfica ocupe la ma'or parte de la página. omo escala de!emos escoger un n)mero fácilmente divisi!le$ por e(emplo$ no es conveniente una escala representada por los n)meros $5 o ?@ la lectura del gráfico se ve dificultada si tomamos cuadrados para representar = unidades. Ao es necesario utili&ar la misma escala en am!os e(es.
Reg0! 3 : Localice cada dato en el papel ' seale con el lápi& use s+m!olos6$ una ve& #ue está seguro de no a!er cometido error en la locali&ación$ remar#ue con tinta cada punto. 7i tiene otro (uego de datos para las mismas varia!les utilice otro s+m!olo o color.
Reg0! - : on un lápi& mu' agudo trace la l+nea #ue me(or se a(uste a los puntos de los datos. Ao trate de for&ar a la curva para #ue pase por todos los puntos$ algunos de ellos de!ido a las incertidum!res eperimentales #uedarán fuera de la l+nea.
Reg0! + # -gregue el B+tulo a la gráfica$ un t+tulo adecuado de!e resumir de lo #ue trata la gráfica
FUNCIONES LINEALES9 POTENCIALES Y E:PONENCIALES F;n&'ne" 0&ne!0e" *na función es lineal cuando #ueda representada en la forma:
C
' D ! E m:
3onde m es la pendiente de la recta ' se determina por:
m=
y ❑f − y ❑o x ❑f − x ❑o
= Δ y
Δ x
La función lineal #ue se o!serva en el gráfico representa al con(unto de datos puntos marcados con /$ algunos de %stos caen en la recta ' otros se distri!u'en a am!os lados de la misma.
F;n&'ne" P'ten&!0e" uando la gráfica en el papel milim%trico de ' D f6$ no resulta lineal podemos sospecar de una relación potencial$ es decir$ #ue las varia!les están afectadas de alg)n eponente diferente de la unidad. ,sta función potencial viene representada por la siguiente ecuación: F
3onde ' n son constantes #ue de!erán ser determinada $ el eponente n puede ser un n)mero entero o fraccionario. *na forma de determinar el valor del eponente es por el m%todo de lineali&ación de la función$ esto es $ construimos gráficas de ' en función de x ❑n $ entonces la gráfica #ue resulte una l+nea recta indica #ue la función es del tipo potencial ' se a!rá determinado el valor del eponente$ ' si no logramos o!tener una l+nea recta$ de!emos graficar en otro tipo de papel.
?
Funci"n Potencial
Funci"n Potencial Lineali$ada
F;n&'ne" E4/'nen&!0e" Las funciones eponenciales son de la forma: − μ . x
y = ke ❑
3onde k y μ son constantes #ue de!erán ser determinadas
Funci"n
3#onencial
k yμ Las constantes se pueden determinar lineali&ando la función eponencial$ para ello es necesario epresarlo en su forma lineal tomando logaritmos log ( y )= log ( k )−( μ . log e ) x
renom!rando las varia!les$ tenemos: Y = K −mX
;or otro lado$ se puede graficar directamente los datos en el papel semilogar+tmico$ con los valores de ' en la escala logar+tmica ' los valores de en la escala lineal@ si el resultado es una l+nea recta$ entonces se confirma #ue la relación entre las varia!les es del tipo de una función eponencial. Auevamente$ en este caso$ el papel tomó el logaritmo por nosotros.
8
Funci"n Potencial lineali$ada en un #a#el logarít,ico
A*USTE DE UNA RECTA# MÉTODO DE LOS CUADRADOS MÍNIMOS La ecuación general de una relación entre las varia!les$ es
<=14>7 La pendiente m '$ el corte con el e(e H !$ son magnitudes determinados despu%s del a(uste ,l m%todo de los m+nimos cuadrados se !asa en #ue la desviación total de los datos eperimentales con relación a los puntos a(ustados de!e ser m+nimo. 2
d ❑i =( y ❑i− y ❑ I )❑
donde y ❑i=m x ❑i+ b
es el valor estimado mediante la recta a(ustada para y ❑i $ entonces la desviación total de los puntos eperimentales frente a los teóricos será : 2
y ❑i−( m x ❑i+ b )❑
¿ ¿ ❑ ( y ❑i− y ❑ I )❑ =∑ ¿ 2
i
s=
❑
∑¿ i
Iesolviendo las dos ecuaciones lineales o!tenemos los valores de m ' !. ,n el caso #ue la recta pasa por el origen$ en las ecuaciones acemos !D0 ' o!tenemos directamente la pendiente$ m de la recta.
9
PROCEDIMIENTO ,.? ,n la ta!la se muestran datos eperimentales de pulsaciones cada 10 segundos de un adulto promedio en estado !asal.
P;0"'" !te&!0e" en e"t!%' 7!"!0 x ❑i
❑
❑ ∑ ❑
5t&e1/' en "6
y ❑i
5/;0"' "6
x ❑i ❑
x ❑i . y ❑i
2
10
1
100
10
20
25
=00
500
0
9
900
11?0
=0
5
1C00
2120
50
C=
2500
200
C0
?9
C00
=?=0
?0
91
=900
C?0
)@
3
,-
,@)3
7eg)n los resultados o!tenidos $ se constru'e la gráfica correspondiente a la ta!la anterior en papel milimetrado$ n)mero de pulsos en función del tiempo.
10
!"serva#i$nes% 7e evidencia #ue la recta tra&ada en algunos puntos no llega a tocarlos $ solo a pasar mu' cerca de estos. Luego utili&ando el m%todo de m+nimos cuadrados se constru'e la gráfica correspondiente en papel milimetrado
E#&a#i'n de la re#a% *tili&ando el m%todo de cuadrados m+nimos definimos a:
∑ x ❑ y ❑ −∑ x ❑ ∑ y ❑
N
i
i
i
i
m=
i
i
i
❑
❑
❑
❑
❑
∑ x ❑ ❑ ∑ y ❑ −∑ x ❑ y ❑ ∑ x ❑ 2
i
b=
i
i
i
i
i
i
i
i
❑
Para % m=
(7 × 18230 )−(280 × 369 ) (7 × 14000)−(280 )❑2 m =1.24
Para "% b=
( 14000 × 369 )−( 18230 × 280) ( 7 × 14000 )−( 280 )❑2 b = 3.14
,ntonces la ecuación de la recta es: y =1.24 x + 3.14
).? La ta!la muestra la rapide& de propagación de un pulso el%ctrico a lo largo de una fi!ra nerviosa en función de su diámetrod6
Ra*ide+ de *r$*aga#i'n de &n *&ls$ el#ri#$ en &na fi"ra nervi$sa Jm
15.8
18.8
25.1
0.2
?.C
=5.?
50.1
C.1
?0.8
?9.=
d
2.0
.2
5.0
?.9
11.2
15.8
20.0
28.2
9.8
50.1
11
μ m ¿
7e constru'e la gráfica de la rapide& de la propagación de un pulso el%ctrico en función del diámetro de la fi!ra nerviosa epresada en la ta!la anterior en papel milimetrado. !"serva#i$nes% 7e evidencia #ue el gráfico es una función potencial 7e constru'e la gráfica correspondiente de la ta!la en papel logar+tmico
E#&a#i'n de la re#a% Bomando 2 puntos :
2$15.86 ' 5$25.16 m=
y ❑f − y ❑o
x ❑f − x ❑o m=3.1
=
9.3 3
7e define a la ecuación como: V =( v ❑o− md ❑o )+ md V = 9.6 + 3.1 d
3.? La Ba!la muestra la tasa de recuento de una sustancia radioactiva en el tiempo
-asa de seidesinegra#i'n de &na s&san#ia radi$a#iva tdias6 uentas
0
1
2
=
5
C
?
8
9
10
=55
=02
5C
15
2?8
2=C
218
19
1?1
151
1
7e constru'e la gráfica de la tasa de semidesintegración de una sustancia radiactiva en función del tiempo epresas en la ta!la anterior en papel milimetrado !"serva#i$nes% 7e evidencia #ue el gráfico es una función eponencial 7e constru'e la gráfica de la ta!la en papel semilogar+tmico
CONCLUSIONES 12
;odemos concluir #ue al u!icar los puntos o!tenidos en la ta!la de datos en una gráfica $ estos no son eactamente de una forma directamente proporcional $ sino #ue eiste una variación de los puntos con respecto a una recta. 7i #ueremos u!icar una recta #ue a(uste me(or estos puntos en la gráfica de!emos usar a(uste por m+nimos cuadrados/. La u!icación de los puntos ' la determinación de una recta o curva depende del tipo del papel en el #ue se está graficando.
SUGERENCIAS Y RECOMENDACIONES 7e recomienda aplicar las mediciones de forma mu' eaustiva ' plausi!le #ue permita tener mediciones más eactas. 3istri!uir el tra!a(o en e#uipo para reali&ar las gráficas de una forma más eficiente. ;ara gráficas en o(a milimetrada #ue no son rectas se recomienda usar la o(a logar+tmica
BIBLIOGRAFÍA
1
●
K.. 7ears$ M.. Nemans'$ ".3. Houng ' I.-. Kreedman:
K+sica *niversitaria/$ 12O ,dición.Jo l.'2. 7erPa'$ I.$ Qeicner$ I.$ R >ePett$ >. . 20016. K+sica: para iencias e Sngenier+a Gloria >arne$ *nidad 3idáctica S: álculo 4peracional: fracciones $ potencias ' logaritmos. Funci"n Potencial y 3#onencial
CUESTIONARIO 1. *tili&ando la gráfica o!tenida en la ta!la de los pulsos arteriales . "allar: ;ara t D ?5 s $ el n)mero de pulsos arteriales es :
Mediante la ecuación :
1=
y =1.24 x + 3.14
Benemos : y =1.24 ( 75 )+ 3.14 y =¿
96.14 ≃ 96 pulsos arteriales
;ara t D 120 s$ el n)mero de pulsos arteriales es:
Mediante la ecuación : y =1.24 x + 3.14
Benemos : y =1.24 ( 120 )+ 3.14 y =¿ 151.94 152 pulsos arteriales ≃
2. *tili&ando la gráfica o!tenida en la ta!la de propagación de un pulso el%ctrico en una fi!ra nerviosa. "allar : ;ara d D C$0 μ m $ la rapide& del impulso el%ctrico es : Mediante la ecuación o!tenida :
V =( v ❑o− md ❑o )+ md V = 9.6 + 3.1 d
Benemos: V = 9.6 + 3.1 ( 6 ) V =¿ 28,2 m/ s
;ara d D 5=
μ m $ la rapide& del impulso el%ctrico es :
Mediante la ecuación o!tenida :
V =( v ❑o− md ❑o )+ md V = 9.6 + 3.1 d
15
Benemos: V = 9.6 + 3.1 ( 54 ) V =¿
177 m / s
"alle la ecuación emp+rica de las varia!les presentes en la ta!la.-(ustar por el m%todo de m+nimos cuadrados los siguientes datos :
1
=
C
8
11
12
15
'
1
?
12
1?
25
=
C
=5
Mediante la ecuación :
N %e 1e%&%!
: i❑
Y i❑
5 : i❑ . Y i❑ 6
: i❑
❑2
,
1
1
1
1
)
?
21
9
3
=
12
C=
1C
-
C
1?
102
C
+
8
25
200
C=
11
=
?=
121
1C
12
C
=2
1==
@
15
=5
C?5
225
❑ ∑ ❑
C0
1??
18C9
C1C
Ieempla&ando:
m=
8 ( 1869 )−60 ( 177 ) 2
8 (616 )−(60 )❑
m=
4332 1328
m=3,26
b=
( )−1869 ( 60 ) 8 ( 616 )−( 60 )❑
616 177
2
b=
−3108 1328
b =−2,34 H la ecuación : D $2C 2$=
1?
