Laboratorio 4: Torsión Yolanda del Pilar Benítez ; Eduardo Andrés Calvo ; Miguel Ángel Díaz ; Isabella Mercado ; Juan Pablo Triana 13 de febrero de 2019 Mecánica de sólidos 2015968 – 3. 1.
Resumen
En la realización de la presente práctica de laboratorio y su respectivo análisis de datos, se observa cómo influye la torsión aplicada a barras de distintos materiales y geometrías. Se realiza un análisis de estas características, observando en la práctica cómo influyen estos factores sobre el comportamiento de los materiales y su geometría en su sección transversal. Por medio de este análisis y con los datos obtenidos se puede conocer el módulo de elasticidad a la cortante, propiedad propia de los materiales.
2.
Objetivos 2.1. ●
2.2. ●
●
●
●
Objetivo General Evaluar el comportamiento comport amiento mecánico de dos materiales diferentes sometidos a momentos torsores mediante la medición del giro relativo.
Objetivos específicos Obtener gráficas de Momento torsor vs Giro relativo a partir de los datos obtenidos en el ensayo para cada una de las barras. Calcular los módulos de elasticidad a cortante de los materiales ensayados a partir de una regresión lineal de los gráficos Momento torsor vs Giro relativo obtenidos. Descifrar Descifra r el material de las barras ensayadas a través de los módulos de elasticidad a cortante calculados y compararlos con valores estandarizados para los diferentes metales que existen. Identificar una una expresión expresión que permita calcular la constante torsional torsional (J) de la barra de sección rectangular.
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3.
Introducción
La mecánica de sólidos es una rama de la mecánica que estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos deformables sometidos a diferentes tipos de cargas. En términos generales, el objetivo principal de esta disciplina es desarrollar métodos que permiten determinar los esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos 1 experimentados por los elementos que conforman a una estructura frente a las diferentes cargas a las cuales está sometida. Se entiende que los esfuerzos, las deformaciones unitarias y los desplazamientos de un elemento definen su comportamiento mecánico, información indispensable para el diseño seguro de cualquier tipo de estructuras. El conocimiento adquirido con esta disciplina es la base de muchas áreas de la ingeniería civil, de aquí la importancia de esta materia en el proceso de formación profesional de dicha carrera. El comportamiento mecánico de un elemento depende de, entre otros aspectos, el material del cual está compuesto, la geometría de su sección transversal, su condición de borde (apoyos) y el tipo de carga impuesta sobre él. Con respecto al primero, la única forma para determinar cómo se comporta un material sometido a cargas es mediante experimentos en el laboratorio, los cuales permiten realizar mediciones de forma controlada, precisa y exacta. En este informe se presentan los resultados obtenidos en la cuarta práctica de laboratorio de la clase de mecánica de sólidos, que consistió en ensayos de torsión de tres barras, dos de sección cilíndrica y una de sección rectangular, cuyos materiales son desconocidos y fueron identificados a partir de los módulos de elasticidad al cortante obtenidos con el procesamiento de los datos de la misma práctica. La práctica tuvo fines exclusivamente académicos y su objetivo principal fue ilustrar una metodología para evaluar el comportamiento mecánico de los materiales de las barras sometidas a torsión. Este ensayo puede ser aplicado en la industria para determinar constantes elásticas y propiedades de los materiales, así como también se puede aplicar para medir la resistencia de soldaduras, uniones, adhesivos, etc.
4.
Marco Teórico Torsión: Desplazamiento de forma circular de una determinada sección transversal en un elemento cuando se aplica sobre este un momento torsor o par de fuerzas que produce un momento torsor alrededor del eje. La torsión se puede medir observando el giro relativo en grados o radianes que produce en un objeto un par determinado. Por ejemplo, se fija un objeto cilíndrico de longitud determinada por un extremo, y se aplica un par de fuerzas al otro extremo; la cantidad de vueltas que dé un extremo con respecto al otro es una medida de torsión.
Deformación elástica: Cambio temporal de geometría producido por una fuerza mecánica dentro del límite elástico (proporcional) del material sometido a cargas. En este rango de esfuerzos, las dimensiones originales del elemento se recuperan al eliminar las cargas aplicadas. La fuerza, al estar por debajo del límite proporcional, hace que los átomos del enrejado cristalino se desplacen sólo en valores tales que, al disminuir aquella, vuelvan a su posición original. 1
Gere, James y Barry J. Goodno. Mecánica de materiales. Séptima Ed. Capítulo 1. P. 5. ISBN-13: 978-607-481315-9 ISBN-10: 607-481-315-9
2
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Deformación plástica: Cambio permanente de forma o dimensión debido a una fuerza mecánica mayor que el límite elástico (proporcional) del material sometido a cargas. La fuerza que excede el límite proporcional, hace que los átomos del enrejado cristalino se desplacen de tal modo que no pueden volver a su posición original. ●
Torsión Uniforme en barras prismáticas (sección circular) Una pieza prismática de sección regular está sometida a torsión uniforme cuando en sus extremos se ejercen dos momentos torsores iguales y opuestos. El caso más común se presenta debido a la simetría de la sección transversal, es posible decir que el momento torsor será constante a lo largo de la barra y produce el mismo alabeo en todas las secciones, o sea, que al sufrir deformación por torsión sus secciones planas giran como elementos rígidos alrededor del eje de la barra, lo que conlleva a que permanezcan planas.
Imagen No. 1. Deformación por alabeo de barra de sección circular maciza. Tomado de: http://ocw.bib.upct.es/pluginfile.php/5490/mod_resource/content/1/T15-torsion-uniforme_v1.pdf
Durante la torsión ocurrirá una rotación alrededor del eje longitudinal, de un extremo de la barra respecto al otro, produciendo un ángulo de torsión =
en donde
=
32
donde: es el módulo de elasticidad al cortante propio del material. es el momento de inercia polar de la sección transversal de dicha barra con diámetro .
es la rigidez torsional (unitaria) de una barra circular, y representa el momento
requerido para producir un ángulo de rotación unitario de un extremo respecto al otro. ●
Torsión Uniforme en barras prismáticas (sección rectangular) En este caso, el momento torsor es constante a lo largo de la barra y produce el mismo alabeo en todas sus secciones. Dichas secciones transversales, planas y normales al eje de la barra, pierden su condición plana durante la deformación producida por el alabeo y sufren distorsión en su propio plano, como se ve en la figura a continuación.
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Imagen No. 2. Deformación por alabeo de barra de sección rectangular/cuadrada maciza. Tomado de: http://ocw.bib.upct.es/pluginfile.php/5490/mod_resource/content/1/T15-torsion-uniforme_v1.pdf
El ángulo de torsión de este tipo de barras se encuentra mediante la expresión =
donde: es el módulo de elasticidad al cortante del material. es la constante torsional de la sección transversal, equivalente a
= ∗ ∗ ,
teniendo en cuenta que es un coeficiente que depende de la razón entre el lado mayor b y el lado menor e. A continuación se presenta de forma explícita los valores de
en relación al valor de
.
Imagen No. 3. Valores de en sección rectangular/cuadrada maciza. Tomado de: http://ocw.uniovi.es/pluginfile.php/3209/mod_resource/content/1/Teoria/Capitulo_X.pdf, con modificaciones del autor.
5.
Equipos y materiales 5.1.
Equipos
Para el desarrollo de los ensayos realizados se empleó un torsiómetro conformado por los siguientes elementos: ●
Máquina de soporte para las barras: Esta máquina tiene en un extremo un orificio sobre el cual se apoya un lado de la barra y se da la condición de empotramiento con la ayuda de un tornillo prisionero. En el otro extremo, se afija la barra a un volante de mayor rigidez al cual está rodeado de un zuncho metálico que tiene en su extremo un gancho portapesas sobre el cual se añaden o quitan las cargas.
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Imagen No. 4. Fotografía del torsiómetro empleado en los ensayos. Tomado de: Elaboración propia ●
Volante con lectura del ángulo de giro con precisión de hasta décima de grado: Este volante tiene en su extremo radial un lector de desplazamiento angular con precisión de hasta décima de grado. El material del cual está hecho este volante es más rígido que el de las barras que se someten a torsión, pues así se asegura que todo el momento flector causado por las cargas sea transmitido a las barras.
Imagen No. 5. Fotografía del volante con su respectivo de medición en grados empleado en los ensayos. Tomado de: Elaboración propia
Zuncho metálico: Consiste en una lámina de metal que se asegura al exterior del volante, para así transmitir toda la carga que se le añade en uno de sus extremos. Es importante aclarar que la deformación de esta lámina causada por las pesas no afecta la medición, puesto que la carga se mantiene constante a lo largo de la lámina y se transmite en su totalidad al volante, generando un momento torsor.
Porta pesas: Es un accesorio ubicado en un extremo del zuncho metálico, el cual
permite añadir las pesas. Lupa: Es una herramienta que resulta útil para tomar las lecturas con precisión de décima de grado, del desplazamiento angular dadas por el volante.
9 masas de 50 gr y 9 masas de 100 gr: Estas cargas se apoyan sobre el zuncho metálico añadiendo en cada ciclo una carga de 50 g más una de 100g, lo cual indica que en cada ciclo de carga se añaden 150 g de fuerza que causarán un determinado momento torsor.
Imagen No. 6. Fotografía de las masas empleadas en los ensayos. Tomado de: Elaboración propia.
El principio de funcionamiento del torsiómetro consiste en aplicar un momento torsor que resulta del par de fuerza que sería impuesto por el volante a la barra. Ese par de
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fuerza es proporcionado por el conjunto masas-porta masas que está sujetado a un extremo del zuncho metálico, el cual en su otro extremo está sujetado al volante de manera tangencial al mismo. De esta manera, el momento torsor aplicado a la barra es el resultado de multiplicar la carga (masas) por el brazo que en este caso sería el diámetro del volante que es de 155,67 . El giro es medido por un compás integrado en el volante, el cual determina el ángulo en grados proporcionado por la carga impuesta por las masas.
5.2.
Materiales
En los ensayos de laboratorio llevados a cabo se emplearon tres barras metálicas de características geométricas diferentes como se resume a continuación ●
Barra metálica de sección rectangular de un material desconocido llamado A:
Barra Material
1
Sección
A
Lado 1 - base (mm)
Lado 2 - altura (mm)
6,41
6,29
6,43
6,30
6,39
6,34
6,41
6,31
Cuadrada
Promedio (mm)
Tabla No. 1. Características geométricas, dimensiones y material de la barra 1. Tomado de: Elaboración propia. ●
Barras metálicas de sección circular de un material desconocido llamado A y barra metálica de sección circular de un material desconocido llamado B:
Barra Material
Sección Diámetro (mm) 4,69
2
A
Circular
4,75 4,73
Promedio (mm)
4,72
Tabla No. 2. Características geométricas, dimensiones y material de la barra 2. Tomado de: Elaboración propia.
Barra Material
Sección
Diámetro (mm) 4,88
3
B
Circular
4,85 4,82
Promedio (mm)
4,85
Tabla No. 3. Características geométricas, dimensiones y material de la barra 3. Tomado de: Elaboración propia.
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Las barras 1 y 2 están hechas del mismo material (A), sin embargo, sus secciones son diferentes, la barra 1 tiene una sección transversal cuadrada, mientras que la barra 2 cuenta con una sección transversal circular. Por otro lado, la barra 3 está fabricada en un material distinto (B), y cuenta con una sección transversal circular.
6.
Desarrollo de la práctica
Para empezar la práctica, se procedió a montar la primera barra, empotrándola en un extremo mientras en el otro extremo se instaló el zuncho con el respectivo portapesas. Una vez el equipo en posición, se midió el ángulo inicial sin carga y luego se dio inició a la aplicación de la carga con masas ubicadas en el portapesas. En cada incremento de la carga se hacía la lectura correspondiente al ángulo de giro y la información se fue consignando en una tabla de manera manual. Para la barra 1 se realizó un ciclo de carga, el cual consistió en 9 incrementos de 150 gr hasta llegar a una carga máxima de 1350 gr.
Barra 1 Cuadrada Material A Carga ( )
Ángulo (°)
Ángulo (rad)
Giro Relativo (°)
Giro Relativo (rad)
0
0
50
0,873
0
0
1
150
50,3
0,878
0,3
0,005
2
300
50,8
0,887
0,8
0,014
3
450
51,1
0,892
1,1
0,019
4
600
51,4
0,897
1,4
0,024
5
750
51,7
0,902
1,7
0,030
6
900
52,1
0,909
2,1
0,037
7
1050
52,4
0,915
2,4
0,042
8
1200
52,8
0,922
2,8
0,049
9
1350
53,2
0,929
3,2
0,056
Tabla No. 4. Tablas de datos del ensayo en la barra de sección cuadrada 1. Esta tabla se presenta el cálculo del ángulo de giro relativo en grados. Tomado de: Elaboración propia.
Para la barra 2 se realizó un ciclo de carga, el cual consistió en 9 incrementos de 100 gr hasta llegar a una carga máxima de 900 gr.
Barra 2 Circular Material A Carga ( )
Ángulo (°)
Ángulo (rad)
Giro Relativo (°)
Giro Relativo (rad)
0
0
20
0,349
0
0
1
100
21
0,367
1
0,017
7
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2
200
22,1
0,386
2,1
0,037
3
300
23,1
0,403
3,1
0,054
4
400
24,2
0,422
4,2
0,073
5
500
25,3
0,442
5,3
0,093
6
600
26,4
0,461
6,4
0,112
7
700
27,5
0,480
7,5
0,131
8
800
28,7
0,501
8,7
0,152
9
900
29,8
0,520
9,8
0,171
Tabla No. 5. Tablas de datos del ensayo en la barra de sección circular 2. Esta tabla se presenta el cálculo del ángulo de giro relativo en grados. Tomado de: Elaboración propia.
Para la barra 3 se realizó un ciclo de carga, el cual consistió en 9 incrementos de 50 gr hasta llegar a una carga máxima de 450 gr.
Barra 3 Circular Material B Carga ( )
Ángulo (°)
Ángulo (rad)
Giro Relativo (°)
Giro Relativo (rad)
0
0
50
0,873
0
0
1
50
51,2
0,894
1,2
0,021
2
100
52,5
0,916
2,5
0,044
3
150
53,6
0,935
3,6
0,063
4
200
54,9
0,958
4,9
0,086
5
250
56,1
0,979
6,1
0,106
6
300
57,3
1,000
7,3
0,127
7
350
58,4
1,019
8,4
0,147
8
400
59,8
1,044
9,8
0,171
9
450
60,9
1,063
10,9
0,190
Tabla No. 6. Tablas de datos del ensayo en la barra de sección circular 3. Esta tabla se presenta el cálculo del ángulo de giro relativo en grados. Tomado de: Elaboración propia.
7.
Resultados
A partir de los datos tomados anteriormente, se procede a hacer cálculos en cada una de las barras con el fin de determinar la rigidez de las mismas y con ella encontrar el módulo de elasticidad al cortante del material A y B.
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Número de incrementos
Carga (gf)
Carga (N)
Torque (Nm)
0
0
0,000
0,000
1
150
1,472
0,115
2
300
2,943
0,229
3
450
4,415
0,344
4
600
5,886
0,458
5
750
7,358
0,573
6
900
8,829
0,687
7
1050
10,301
0,802
8
1200
11,772
0,916
9
1350
13,244
1,031
Tabla No. 7. Torque aplicado a la barra 1. Tomado de: Elaboración propia.
Número de incrementos
Carga (gf)
Carga (N)
Torque (Nm)
0
0
0,00
0,000
1
100
0,98
0,076
2
200
1,96
0,153
3
300
2,94
0,229
4
400
3,92
0,305
5
500
4,91
0,382
6
600
5,89
0,458
7
700
6,87
0,534
8
800
7,85
0,611
9
900
8,83
0,687
Tabla No. 8. Torque aplicado a la barra 2. Tomado de: Elaboración propia.
Número de incrementos
Carga (gf)
Carga (N)
Torque (Nm)
0
0
0,000
0,000
1
50
0,491
0,038
2
100
0,981
0,076
3
150
1,472
0,115
4
200
1,962
0,153
5
250
2,453
0,191
6
300
2,943
0,229
7
350
3,434
0,267
8
400
3,924
0,305
9
450
4,415
0,344
Tabla No. 9. Torque aplicado a la barra 3. Tomado de: Elaboración propia.
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Teniendo en cuenta los datos hallados, se procede a hallar el módulo de elasticidad a cortante de las barras empleadas en el laboratorio:
Barras
Constante torsional J (mm^4)
Rigidez k (Nm)
Módulo de elasticidad a cortante G (GPa)
1
225,995
18,757
82,99742
2
48,727
4,0065
82,22355
3
54,321
1,8033
33,19710
Tabla No. 10. Módulo de elasticidad a contante para las tres barras. Tomado de: Elaboración propia.
A continuación, se presentan los gráficos que relacionan la torsión y el giro relativo de cada una de las barras: Torsión vs Giro relativo en Barra 1 1.200 y = 18,757x - 0,0018 R² = 0,9978
1.000 ) 0.800 m . N ( 0.600 n ó i 0.400 s r o T 0.200
0.000 -0.200
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Giro relativo Φ (Rad) Gráfico No. 1. Torsión Vs. Giro relativo en la barra 1. Tomado de: Elaboración propia.
Torsión vs Giro relativo en Barra 2 0.800 0.700 y = 4,0065x + 0,0073 R² = 0,9996
) 0.600 m . 0.500 N ( n0.400 ó i s 0.300 r o T
0.200 0.100 0.000 0
0.05
0.1
0.15
Giro relativo Φ (Rad) Gráfico No. 2. Torsión Vs. Giro relativo en la barra 2. Tomado de: Elaboración propia.
10
0.2
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Torsión vs Giro relativo en Barra 3 0.400 y = 1,8033x - 0,0004 R² = 0,9998
) 0.300 m . N 0.200 ( n ó i 0.100 s r o T 0.000
-0.100
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Giro relativo Φ (Rad) Gráfico No. 3. Torsión Vs. Giro relativo en la barra 3. Tomado de: Elaboración propia.
8. ●
●
●
●
●
Análisis de resultados En las gráficas el valor de la pendiente representa la rigidez de la barra, quienes tienen un valor mayor en la barra 1 y van descendiendo para la barra 2 y finalmente para la barra 3. El valor de r2 obtenido de la regresión realizada a las tres gráficas es muy cercano a 1, lo que indica que presentan una dispersión bastante baja, es decir, que no se encontró valores que no siguieran el comportamiento lineal de la gráfica. A través de la tabla que indica los valores de rigidez (k) y de módulo de elasticidad (G), se puede observar que (G) es directamente proporcional a (k), e inversamente proporcional a la constante de torsión (J); por lo tanto, a mayor rigidez y menor constante de torsión, mayor será el valor del módulo de elasticidad. Dicho lo anterior, el material A fue quien presentó un mayor módulo de elasticidad a cortante, y tanto para la sección circular como para la rectangular se obtuvo el mismo valor de (G); esto es debido a que dicho valor de (G) no depende de la geometría de las barras, sino del tipo de material del que está constituido. A pesar de que la barra 1 y la 2 del material A presentan el mismo módulo de elasticidad a cortante, no se puede decir lo mismo para el valor de la rigidez, ya que la barra 1 tuvo un valor de 18,75 Nm mientras que la barra 2 tuvo un valor de 4 Nm, y la razón de obtener el mismo módulo de elasticidad con diferente rigidez es debido a la constante de torsión J, quien sí depende completamente de la geometría de la barra. Es decir, el valor de la rigidez sí depende de la geometría de la barra y para mantener el mismo valor de (G), la constante de torsión debe ser mayor para la barra 1 y menor para la barra 2. Se podría pensar que, por el hecho de presentar el mismo material, los giros relativos deben ser valores muy parecidos, sin embargo, hubo mayores ángulos de giro para la barra circular 2 que para la rectangular 1. Para una carga de 300 en la barra 2 hubo un ángulo de giro de 3,1 grados, mientras que para un carga de 300 en la barra 1, hubo un ángulo de 0,8 grados, indicando que este último ángulo representa solo el 25,8% de los que giró la barra 1. En virtud de lo señalado, la geometría de la barra es importante para definir qué tanto giro tendrá, alegando que
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se presentan menores giros en una barra rectangular que en una circular que estén hechas del mismo material. ●
9. ●
●
●
10.
La barra circular del material B presentó el menor módulo de elasticidad, lo que quiere decir que esta barra puede sufrir mayores ángulos de torsión y deformaciones debido a que el tipo de material permite una mayor transmisión de la torsión. Si se mira los datos de giro tomados en el laboratorio, se puede observar y dar un juicio a priori que la rigidez de la barra 3 es menor al de la barra 1, por el simple hecho de que la barra 3 presentó los mayores valores de giro relativo.
Conclusiones Las barras rectangulares poseen mayor resistencia (rigidez) al giro dado un par de torsión comparadas con las circulares. No se presentó grandes errores sistemáticos en el experimento debido al elevado acercamiento al valor de uno en las regresiones lineales de las gráficas, lo que además ratifica la proporcionalidad entre el valor del momento de torsión y el ángulo de giro. A partir de los valores obtenidos en la Tabla No 10 es posible concluir que las barras 1 y 2 (material A) están compuestas de acero inoxidable, mientras que la barra 3 (material B) puede estar compuesta por una aleación de hierro, de latón o titanio. Lo anterior se puede corroborar en el listado de materiales que se encuentra en los anexos.
Bibliografía 1.
Gere, James y Barry J. Goodno. Mecánica de materiales. Séptima Ed. Capítulo 1. P. 5. ISBN-13: 978-607-481-315-9 ISBN-10: 607-481-315-9
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11.
Anexos
Material
Elastic Modulus [GPa] Shear Modulus [GPa] min
máx
min
máx
Aluminum
69
69
24
24
Aluminum Bronze
110
110
44
44
Beryllium Copper
303.8
303.8
145.3
145.3
Brass (60/40)
125
125
36
41
Brass (Yellow)
100
110
35
35
Brass (Red)
120
120
39
39
Bronze
96
120
44.85
44.85
Cast Iron (grey)
130
130
69
169
Gold (24K) Pure
78.5
78.5
27
27
Iron
210
210
32
69
Iron (Cast)
83
170
75
75
Iron (Wrought)
211
211
82
82
Lead
16.1
16.1
13.248
13.248
Magnesium
45
45
16.491
16.491
Platinum
146.9
146.9
276
276
Silver
72
76
27.8
27.8
Steel (Carbon)
210
210
77
77
Stainless Steel (304)
190
210
86
86
Stainless Steel (316)
190
210
74
82
Tin
41.4
44.8
18
18
Titanium
120.2
120.2
39
44
Tungsten
411
411
162.15
162.15
Zinc
82.737
82.737
42.09
42.09
Anexo No. 1. Tabla de módulos de rigidez para de algunos materiales. Tomado de: https://structx.com/Material_Properties_003b.html
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