Elaborado por: Alvick Mallqui Alor 20084006J PROFESOR: ING. RONALD CUEVA PACHECO
I.
ENUNCIADO DEL PROBLEMA .................................................................... ........................................ 3 I.1.
MODELADO DEL CUERPO REAL .......................................................... ........................................ 4
I.2.
GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento) ....................................................... 7
I.3.
VECTOR CARGA ............................................................................................... ............................. 7
I.4.
MATRICES DE RIGIDEZ ............................................................... .................................................. 8
I.5.
ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO .......................................................... 9
I.6.
ESFUERZOS........................................................... ................................................................. ....... 9
I.7.
RESULTADOS .......................... .............................................................. ........................................ 9
II.
DIAGRAMA DE FLUJO ................................................................ ................................................. 10
III.
CODIGO MATLAB .................................................................................................................... ..... 11
IV.
CONCLUSIONES ......................................................................... ................................................. 14
I.
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Una armadura tridimensional, compuesta p o r barras tubulares de sección circular, se encuentra sometida a cargas concentradas tal como lo muestra la figura. Determinar: o
El esfuerzo en cada barra de la armadura.
o
El desplazamiento de los nodos de la armadura.
Datos:
E
= 3.1x105 N/mm2
P
=40000 N
El diámetro y el espesor de todas las barras tubulares de la armadura son: D = 100 mm t
=10 mm
Además,
I.1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Para este problema modelaremos a cada barra que compone la armadura como un elemento finito, puesto que estas son de sección uniforme a lo largo de su longitud y a que permiten cuantificar en forma directa el desplazamiento de cada nodo, el esfuerzo en cada barra y la deformación de estas.
entonces:
nodos 1 2 3 4 5 6
GDL 123 456 789 10 11 12 13 14 15 16 17 18
nodos 7 8 9 10 11
GDL 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Calculo del Área de los elementos finitos:
Dado que todas las barras son de sección circular y poseen el mismo diámetro, entonces el área de cada elemento finito será:
Orientación de los elementos finitos en el plano x -y-z:
Para este propósito definimos 3 ángulos directores
:
Cuadro de conectividad
Elemento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Nodos
(1) 1 2 3 4 4 4 5 5 6 3
(2) 2 3 4 2 1 5 1 6 3 7
4 5 6 7 8 9 10 7 8 9 10 8 3 5 5 3 3 5 1
8 9 10 8 9 10 7 11 11 11 11 10 8 8 10 10 5 1 4
GDL
(1) 1 1 1 4 4 7 10 13 16 7 10 13 16 19 22 25 28 19 22 25 28 22 7 13 13 7 7 13 1
(2) 2 2 2 5 5 8 11 14 17 8 11 14 17 20 23 26 29 20 23 26 29 23 8 14 14 8 8 14 2
(3) 3 3 3 6 6 9 12 15 18 9 12 15 18 21 24 27 30 21 24 27 30 24 9 15 15 9 9 15 3
Le
(4) 4 7 16 10 13 10 13 16 7 19 22 25 28 22 25 28 19 31 31 31 31 28 22 22 28 28 13 1 10
(5) 5 8 17 11 14 11 14 17 8 20 23 26 29 23 26 29 20 32 32 32 32 29 23 23 29 29 14 2 11
(6) 6 9 18 12 15 12 15 18 9 21 24 27 30 24 27 30 21 33 33 33 33 30 24 24 30 30 15 3 12
β
θ
φ
(mm) 90 0 0.6 90 1.0307764 75.93756 90 1.0307764 104.036243 90 1.0307764 75.93756 90 1.0307764 104.036243 90 0 0.6 0 90 0.5 90 0 0.6 0 90 0.5 90 90 4 90 90 4 90 90 4 90 90 4 90 0 0.6 0 90 0.5 90 0 0.6 0 90 0.5 106.227 1.0735455 103.46629 73.77 1.0735455 103.46629 73.77 1.0735455 76.53371 106.227 1.0735455 76.53371 39.81 0.781025 129.80557 90 97.13 4.0447497 82.875 90 4.0311289 90 82.875 4.0447497 90 4.0311289 97.12501 0.781024 129.80557 140.19443 102.995 120.203 1.19268 77.9004 120.203 1.9268
90 14.036 14.036 14.036 14.036 90 90 90 90 0 0 0 0 90 90 90 90 21.33 21.33 21.33 21.33 90 7.125 7.125 7.125 7.125 90 33.02387 33.02387
I.2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento)
El empotramiento de la armadura en los nodos (1) y (2) imposibilita el movimiento de esta, por lo que nuestro vector de desplazamiento global seria el siguiente:
La siguiente tabla resume los GDL de cada elemento finito y su orientación:
nodos 1 2
GDL 123 456
x Q1 Q4
y Q2 Q5
z Q3 Q6
3 4 5
789 10 11 12 13 14 15
Q7 Q10 Q13
Q8 Q11 Q14
Q9 Q12 Q15
6 7
16 17 18 19 20 21
Q16 Q19
Q17 Q20
Q18 Q21
8 9 10 11
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Q22 Q25 Q28 Q31
Q23 Q26 Q29 Q32
Q24 Q27 Q30 Q33
I.3. VECTOR CARGA
Partiendo de la premisa de que es posible reemplazar el peso de cada barra, que actúa en el centro de gravedad del cuerpo al que pertenece, por dos fuerzas de igual magnitud, que actúan en los extremos de dicha barra, sin que esta sustitución afecte el equilibrio del cuerpo, o sea, que la suma de fuerzas sea igual a cero, y además, que la suma de momentos tomados desde cualquier punto de referencia inercial de movimiento, también sea cero.
Reacciones y tensiones:
nodos 1 2 9 10
GDL 123 456 25 26 27 28 29 30
x F1 F4 F25 F28
y F2=0 F5=0 F26=0 F29=0
z F3 F6 F27 F30
Diagrama de cuerpo libre:
I.4. MATRICES DE RIGIDEZ
Con ayuda del cuadro de conectividad podemos sumar l o s términos que interactúan entre sí, en la armadura. Utilizando el Matlab se puede obtener en forma directa la siguiente matriz de rigidez. No mostramos la matriz de rigidez por ser demasiado grande para este formato.
I.5. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO
I.6. ESFUERZOS
I.7. RESULTADOS
II.
DIAGRAMA DE FLUJO
III. CODIGO MATLAB %modulo de young: E=3.1*100000 ;%MPa %peso especifico: w=8000; w=w*9.81; %area: A=pi*(100^2-80^2)/4 ;A=A*10^-6 %m2 %vector longitud L en m L=[0.6 1.030776406 1.030776406 1.030776406 1.030776406 0.6 0.5 0.6 0.5 4 4 4 4 0.6 0.5 0.6 0.5 1.073545528 1.073545528 1.073545528 1.073545528 0.781024968 4.044749683 4.031128874 4.044749683 4.031128874 0.781024968
1.192686044 1.192686044]; %matriz angulos directores: ang=[90 0 90 75.93756 90 14.0362 43 104.036243 90 14.036243 75.93756 90 14.0362 43 104.036243 90 14.036243 90 0 90 0 90 90 90 0 90 0 90 90 90 90 0 90 90 0 90 90 0 90 90 0 90 0 90 0 90 90 90 0 90 0 90 90 103.46629 106.227254 21.33266 103.46629 73.772746 21.33266 76.53371 73.772746 21.33266 76.53371 106.227254 21.33266 129.80557 39.805571 90 90 97.12501 7.12501 82.875 90 7.12501 90 82.875 7.12501 97.12501 90 7.12501 129.80557 140.19443 90 102.995 120.20306 77.9004 120.20306 a=[1 2 4 5 6 16 17 16 17 28 29 28 29 13 14
33.0238 7 33.02387]; n=29;
3 4 5 6; 1 2 3 7 8 9;1 2 3 16 17 18;4 5 6 10 11 12; 13 14 15;7 8 9 10 11 12;10 11 12 13 14 15;13 14 15 16 17 18 7 8 9;7 8 9 19 20 21;10 11 12 22 23 24;13 14 15 25 26 18 28 29 30;19 20 21 22 23 24;22 23 24 25 26 27;25 26 27 30 19 20 21;19 20 21 31 32 33;22 23 24 31 32 33;25 26 27 30 31 32 33;22 23 24 28 29 30;7 8 9 22 23 24;13 14 15 22 15 28 29 30;7 8 9 28 29 30;7 8 9 13 14 15;13 14 15
1 2 3 10 11 12]; %Calculo de la matriz de rigidez K: K=zeros(n+4); %donde n+4=GDL for i=1:n l=cos(ang(i,1)); m=cos(ang(i,2)); p=cos(ang(i,3)); c=[l^2 l*m l*p -l^2 -m*l l*m m^2 m*p -l*m -m^2 l*p m*p p^2 -l*p -m*p -l^2 -l*m -l*p l^2 l*m -l*m -m^2 -m*p l*m m^2 -l*p -m*p -p^2 l*p m*p k=E*A*L(i)^-1; c=k*c; z=zeros(n+4);
-l*p -m*p -p^2 l*p m*p p^2];
z(a(i,1):a(i,3),a(i,1):a(i,3))=c(1:3,1:3); z(a(i,1):a(i,3),a(i,4):a(i,6))=c(1:3,4:6);
18; 27; 28 29 30; 31 32 33; 23 24; 1 2 3;
z(a(i,4):a(i,6),a(i,1):a(i,3))=c(4:6,1:3); z(a(i,4):a(i,6),a(i,4):a(i,6))=c(4:6,4:6); K=K+z; end K %10^6 N/m %Resolucion del problema: %calculo de las pesos: W=L*w*A; f=zeros(1,33);ff=zeros(1,33); for i=1:29 ff(a(i,3))=W(i)/2; ff(a(i,6))=W(i)/2; f=f+ff;% en x'-z' end g=zeros(1,33); % en N %conversion a x-z: for i=1:29 g(a(i,1))=f(a(i,3))*sin(pi/6); g(a(i,3))=f(a(i,3))*cos(pi/6); end %calculo de las tensiones(T): G=0; for i=1:29 G=G+W(i); end T=3*G*cos(pi/3)/(2*sin(pi/12)*(5+0.25*tan(pi/12)^-1)); %matriz reducida (sin apoyos fijos): M=zeros(27);M=K(7:33,7:33);M %en 10^6 N/m %vector carga reducido (sin reacciones): F=zeros(1,33);F(31)=3095.26953;F(33)=-70893.32763; F(25)=-T*sin(pi/12);F(27)=T*cos(pi/12); F(28)=-T*sin(pi/12);F(30)=T*cos(pi/12);F=F+g; f1=F(7:33); %en N %vector desplazamiento reducido(sin apoyos fijos): Q1=inv(M)*f1'; %Entonces, el vector Q es: Q=[0 0 0 0 0 0 Q1']';%10^-6 m %Encontrando las reacciones: F=K*Q; %N %Resultados: %Reacciones: R=F(1:6) %N %Esfuerzos: h=0;S=[]; for i=1:n l=cos(ang(i,1));m=cos(ang(i,2));p=cos(ang(i,3)); d=[-l -m -p l m p]; s= d*[Q(a(i,1)) Q(a(i,2)) Q(a(i,3)) Q(a(i,4)) Q(a(i,5)) Q(a(i,6))]'; s=s*E/L(i); s=s*10^-6;S=[S end S=S' % MPa
s];
IV. CONCLUSIONES
Los resultados obtenidos, tanto esfuerzos como reacciones y desplazamientos, para la pluma (armadura en el espacio) muestran que esta, está sometida principalmente a un proceso de compresión. Los desplazamientos encontrados para los nodos de la armadura en cuestión son, en algunas direcciones, demasiado grandes ya que están en el orden de los centímetros. La explicación lógica para este fenómeno es la existencia de un ángulo de rotación, respecto a su posición inicial, qu e presenta la pluma debido a la forma en como está cargada. Resulta evidente, dado que las dimensiones de la pluma son del orden de los metros, que cualquier ángulo de rotación, por pequeño que sea, generará un desplazamiento grande mientras más alejado este el nodo del centro de rotación. Es ta explicación se demuestra de manera fo rma l al plotear las posiciones de los nodos desplazados y compararlas con las posiciones iniciales. También están los desplazamientos pequeños, del orden de los milímetros, que son efecto únicamente de las deformaciones por tensión o compresión de las barras que componen la pluma. Los esfuerzos encontrados para las barras de pluma son bastante grandes, lo que obedece al elevado valor de las cargas, pero principalmente a la reducida área que presentan dichas barras. El elemento 1 no presenta esfuerzo de tracción y este hecho es coherente con la forma en como esta sujetado este objeto. , y al hecho de que las reacciones encontradas se anulan en la dirección del eje de este elemento. El mayor desplazamiento nodal en la armadura, está en el nodo (11) que es a su vez el punto más alejado de los apoyos fijos y el que a mayor carga se encuentra sometido.
