LABORATORIO No.2 TAPÓN CÓNICO
Alejandro García Ramírez Luis Alejandro Tamayo Uribe Napoleón Ruiz Rave
Mecánica de Fluidos
Profesora Jennifer Montaño Muñoz
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLIN FACULTAD DE MINAS ABRIL 2013
1. Objetivos Poner en práctica los conceptos vistos en clase a través de un experimento de tapón cónico. Identificar y analizar el efecto de las fuerzas hidrostáticas en un sistema en equilibrio. Analizar un modelo idealizado y compararlo con una serie de datos obtenidos experimentalmente. Utilizar herramientas estadísticas para analizar fenómenos físicos y determinar sus márgenes de incertidumbre. 2. Marco teórico La estática de fluidos trata de los problemas relacionados con los fluidos en reposo. En la estática de fluidos no se tiene en cuenta el movimiento relativo entre capas adyacentes del fluido y, por lo tanto, no se tienen esfuerzos cortantes (tangenciales) en este que traten de deformarlo. El único esfuerzo que se trata en la estática de fluidos es el esfuerzo normal, el cual es la presión, la variación de esta solo se debe al peso del fluido. La descripción completa de fuerza hidrostática resultante que actúa sobre una superficie sumergida demanda determinar la magnitud, la dirección y la línea de acción de la fuerza. Los principales principios que utilizamos son el de pascal y Arquímedes donde pascal dice que la presión ejercida por un fluido incompresible y en equilibrio dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del fluido y Arquímedes dice que un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja. Primero se debe calcular la fuerza hidrostática resultante FR que actúa sobre la superficie del tapón que para esto debo hallar sus componentes (FH y FV) cada una por separado. Para esto se considera un diagrama de cuerpo libre del tapón.
Figura 1. Diagrama de cuerpo libre.
Muestre que aplicando el equilibrio estático al tapón cónico se obtiene una relación para la Hc de la siguiente forma: (
)
* (
)
(
)
+
Asumiendo que la temperatura es constante y por tanto la densidad del fluido no cambia: Fuerzas hacia abajo, se tiene el peso del tapón y el peso del fluido encima del tapón: (
) ( )
Fuerzas hacia arriba, se tiene la boyancia, la tensión y la fuerza de fricción entre el cono y el orificio: , donde:
(
)
Como se tiene poleas ideales (no existe fricción), la tensión T es el peso de la tara más los pesos metálicos. T=w (
*
)
+
Sustituyendo: [
(
)]
(
*
)
+
Igualando y despejando Hc obtenemos:
*
(
)+
*
*
(
(
)+
)
* (
(
)+
)
Finalmente se obtiene: (
)
(
)
+
( )
En el diagrama de cuerpo libre es posible ver que la fuerza f corresponde a la fuerza de fricción que ejerce el orificio sobre el tapón cónico.
Montaje Un tapón cónico de diámetro D, peso W y altura L se coloca de manera invertida en el fondo de un depósito tapando un orificio de diámetro d. De la base del tapón se coloca un cable que se hace pasar por un sistema de poleas de tal manera que al otro extremo se sostenga un plato (tara) con diversos contrapesos. El recipiente se llena con agua hasta una altura Hc, medida desde el fondo del depósito, hasta que rompa el equilibrio estático y permita la salida del fluido (agua). El tapón, en el instante antes de su liberación, produce la acción de las siguientes fuerzas: peso W del tapón, la tensión en el cable (asumida igual al peso de la tara y los contrapesos colocados sobre ella), el empuje hidrostático sobre las caras del tapón, y una fuerza actuando entre las superficies de contacto entre el tapón y el orificio en el fondo del depósito (fuerza de fricción). Para varios contrapesos colocados en la tara, medir la altura Hc a la cual se rompe el equilibrio estático sobre el tapón.
Figura 2. Montaje del experimento.
3. Datos preliminares Tabla 1. Datos del nivel del agua y peso correspondiente
Hc [m] 0,495 0,465 0,432 0,368 0,306 0,265 0,236 0,198 0,128
w [N] 8,3130 7,3350 6,3570 5,3790 4,4010 3,4230 2,4450 1,4670 0,4890
Tabla 2. Condiciones del ensayo
Altura tapón L [m] Diámetro tapón D [m] Diámetro orificio d [m] Densidad agua Gravedad Peso tara Peso Tapón
0,369 0,102 0,055
ρ [Kg/m3] 2
g [m/s ] Wtara [Kgf] Wtapón [Kgf]
998,2 9,78 0,0975 0,3259
4. Cálculos y resultados Usando los pares de valores (Hc, w), halle f Teniendo en cuenta la expresión (1) se considera una regresión lineal simple de la forma
( ) Donde
* (
)
(
)
+
( )
Sean x = w; y = Hc. Se realizan los cálculos estadisticos para determinar los parametros de regresión α y β con su respectiva incertidumbre en base a las siguientes expresiones: Expresiones para estimar el valor de los parametros de regresión ∑ ∑
(
∑
(
∑ ) )
(
)
Expresiones para determinar la incertidumbre de las observaciones ∑
(
∑
)
(
)
∑
(
)
*
(
)
+
Tabla 3. Cálculos estadisticos para estimar los parametros de la regresión Hc [m] 0,495 0,465 0,432 0,368 0,308 0,265 0,236 0,198 0,128 μy [m] 0,322
w [N] 9,267 8,289 7,311 6,333 5,355 4,377 3,399 2,421 1,443 μx [N] 5,355
xi² [N²] 85,879 68,700 53,444 40,101 28,671 19,154 11,550 5,869 2,081 Σxi² [N²] 315,430
xiyi [Nm] 4,597 3,854 3,168 2,330 1,659 1,160 0,802 0,489 0,185 Σxiyi [Nm] 18,205
Con los valores obtenidos de la tabla 3 y las expresiones para estimar α y β se obtiene: β = 0,0471 [m/N] α = 0,0695 *m+
Tabla 4. Cálculos para determinar la incertidumbre de las observaciones
(yi - μy)² 0,0300 0,0205 0,0122 0,0021 0,0002 0,0032 0,0073 0,0153 0,0375 Sy² 0,0161 rxy² S²
(xi - μx)² 15,3037 8,6084 3,8259 0,9565 0,0000 0,9565 3,8259 8,6084 15,3037 Sx² 7,1736
Syx0² 0,00156 0,00109 0,00076 0,00056 0,00050 0,00056 0,00076 0,00109 0,00156 Sxy² 0,0902
0,783 0,0045
Con los resultados obtenidos en la tabla 4 y dada la expresión:
Con para confianza para la regresión.
(
)
, se calculan las bandas de
Tabla 5. Intervalo de confianza para cada una de las observaciones
α + βxi + t(α/2,n-2)*Syx0 [m] 0,5993 0,5381 0,4791 0,4239 0,3744 0,3317 0,2948 0,2617 0,2307
α + βxi - t(α/2,n-2)*Syx0 [m] 0,4126 0,3817 0,3485 0,3116 0,2689 0,2195 0,1642 0,1053 0,0441
0,700 y = 0,0471x + 0,0692 0,600
Hc [m]
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000 0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
w [N]
Figura 3. Regresión lineal w contra Hc con bandas de confianza al 95%
10,000
Expresiones para calcular la incertidumbre de los parámetros de regresión ∑
(
∑ √
)
(
)
√
√
De estas expresiones se obtiene la tabla 6 Tabla 6. Cálculos para estimar la incertidumbre de los parámetros de regresión
Sxx Sd Δβ *m/N+ Δα *m+
8,198 0,0126
0,0104 0,0568
Así: β = 0,05 [m]
0,01 [m]
α = 0,07 [m]
0,06 [m]
Despejando f de la expresión (3), obtenemos: [ (
)
] ( )
Usando α = 0,0695 se tiene ft = -3,4798 Ahora despejando f de la ecuacion original (1) y reemplazando los datos Hc y w de la tabla 3 se obtiene: *
(
)
(
)+
( )
Tabla 7. Cálculo de la friccion a partir de la expresion (5) y error según ft
fe (N)
%error
fe (N)
%error
-2,870 -2,588 -2,376 -2,882 -3,342 -3,315
17,51% 25,62% 31,73% 17,18% 3,96% 4,74%
-3,010
13,51%
-2,913
16,29% 2,26% Promedio 14,76%
-3,559 Promedio -2,984
La fuerza de fricción es negativa porque es en dirección contraria a la supuesta en la demostración de la expresión (1). Utilizando la ecuación (2) obtenemos un Hct correspondiente a cada w, este se compara con los Hc observados en el experimento: Tabla 8. Diferencia entre Hct y Hc para cada valor de w con su correspondiente error.
Hct 0,51 0,46 0,41 0,37 0,32 0,28 0,23 0,18 0,14
(Hc - α - βw) 0,011 0,005 0,018 0,000 0,015 0,010 0,007 0,015 0,009 promedio 0,010
% error 2,1% 1,2% 4,5% 0,1% 4,8% 3,8% 2,9% 8,1% 6,7% promedio 3,8%
5. Conclusiones
En la expresión (1) se define Hc como la altura a la cual el sistema pierde el equilibrio estático, pero las mediciones tomadas en el laboratorio no corresponden del todo a estas, ya que el contacto del tapón con el orificio se ha perdido por completo.
Se considera importante tener en cuenta el material del tapón, por ejemplo si es de un material elástico y al introducirlo en el orificio se pueden generar fuerzas por expansión del material que no se están teniendo en cuenta en el modelo.
Si se altera la densidad del fluido en un factor λ, el peso del fluido sobre el cono aumentaría en ese mismo factor, igualmente el empuje hidrostático aumentaría el factor λ. Sin embargo: Dada la expresión. (
)
(
)
(
)
Si reemplazamos ρ por λρ se tiene:
(
)
De esta expresión se puede concluir que para una densidad λρ se altera la altura de equilibrio, de modo que si la densidad aumenta la altura disminuye.
Al demostrar la expresión (1) se asume que no hay fuga del fluido por el orificio, sin embargo al realizar el experimento se da esta situación perdiéndose parte del empuje y alterándose las fuerzas horizontales, generando un par que es visible cuando el equilibrio falla empezando a rotar el tapón debido a la fuerza centrífuga. Además el contacto del tapón con el orificio se ve afectado y por ende la fricción entre ellos también.
BIBLIOGRAFIA
Mecánica de fluidos – IRVING H. SHAMES tercera edición 1995 Fundamentos de mecánica de fluidos- BRUCE MUNSON, DONALD YOUNG, THEODORE OKIISHI primera edición Jiménez Mejía José Fernando, Tratamiento de datos experimentales, Universidad Nacional de Colombia 2009. Sotelo A., G., Hidráulica general. Volumen I, Editorial LIMUSA S.A. Sexta edición, México, 1982. Carvajal Luis Fernando, Una Guía para el curso de Mecánica de Fluidos, Universidad Nacional de Colombia, 2012.
