REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA FALCON SEDE CORO
PROCESO DE LA RENOVACIÓN
Santa Ana ,5 Mayo del 2016
LA TEORÍA DE LA RENOVACIÓN Es la rama de la teoría de la probabilidad que generaliza los procesos de Poisson para tiempos de retención arbitrarios. Un proceso de renovación es un proceso de conteo para el cual el tiempo entre los eventos sucesivos es independiente y está idénticamente distribuido. La variable aleatoria Xn representa el tiempo que ocurre el evento (n – 1) y el enésimo evento. Este es el tiempo entre llegadas. Cada vez que ocurre el evento decimos que ha ocurrido “renovación”. Si tenemos el tiempo entre cada renovación, podemos calcular el tiempo total Sn. Donde S1=X1 (el tiempo antes de que ocurra el primer evento o renovación), S2= X1 + X2 (el tiempo antes de que ocurra la primera renovación más el tiempo desde la primera y la segunda renovación). Tiempos de llegada Si n ≥ 1, Sn está dado por: Sn cumple con la condición: 0 < E[Sn] < ∞. Tiempo promedio El tiempo promedio (µ) entre eventos sucesivos es igual al valor esperado de los tiempos entre llegadas totales. Si n ≥ 1:
Tanto el promedio como el tiempo entre llegadas son valores positivos. Teoremas de límite Cuando la probabilidad es 1, N(t) tiende a infinito cuando t tiende a infinito. Por lo tanto, si la probabilidad es 1: , a medida que t → ∞.
, es la tasa de renovación Ejemplo # 01
Suponer que tenemos una cantidad infinita de bombillas con tiempo de vida independiente e idénticamente distribuido. Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva. Bajo estas condiciones {N(t), t ≥ 0}, es un proceso de renovación donde N(T) representa el número de bombillas que han fallado para el tiempo t. Ejemplo # 02 Suponer que tenemos una cantidad de 3 bombillas con tiempo de vida independiente e idénticamente distribuido. Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva. Bombillas | Duración (t) | #1 | 5 horas | #2 | 2 horas | #3 | 7 horas | Cada vez que ocurre el evento decimos que ha ocurrido “renovación”. Si tenemos el tiempo entre cada renovación, podemos calcular el tiempo total Sn. Donde S1=X1 (el tiempo antes de que ocurra el primer evento o renovación), S2= X1 + X2 (el tiempo antes de que ocurra la primera renovación más el tiempo desde la primera y la segunda renovación). Si n ≥ 1, Sn está dado por: Sn cumple con la condición: 0 < E[Sn] < ∞. TEOREMA DE TEORÍA DE RENOVACIÓN Si µ tiende a infinito, La tasa de renovación promedio esperada , también converge hacia
, t → ∞. Establece que el número medio de renovaciones por unidad de tiempo se aproxima al inverso del tiempo medio entre dos renovaciones, cuando el proceso es largo tiempo observado. La razón de renovación esperada verifica
M (t ) →y t •
Teorema 1
•
Para un proceso de renovación con variables Aleatoria de renovación , ,
con probabilidad 1.
•
Lema 1
•
Sea {N(t); t > 0} un proceso de renovación de conteo con variables aleatorias de renovación internas {X n; n Entonces (donde no se ), con probabilidad 1 y
•
Teorema 2
•
Sea {Xn; n
.
es una secuencia
de una variable aleatoria con
con a probabilidad 1. Sea f una función con valores reales de variables reales el cual contiene probabilidad 1
. Entonces
•
Teorema 3
• •
Teorema del limite central de N(t) Asumir que los intervalos de renovación
un de proceso de conteo de
renovación {N(t); t > 0} tiene desviación estándar finita • •
Entonces Teorema 4
con
donde
CARACTERÍSTICAS DEL PROCESO DE RENOVACIÓN 1) Una de las características más importantes de un proceso de renovación es la que damos a continuación Dado un proceso de renovación, llamamos función de renovación a , el número esperado de renovaciones en el intervalo . (Medhi, 1994, 250). 2) La siguiente proposición proporciona interesantes resultados concernientes a la función de renovación. En primer lugar se da una expresión que relaciona con la función y a continuación se prueba que el número medio de renovaciones en un intervalo acotado es finito. 3) la función de la distribución acumulada de S1 y FS representa la función de densidad. 4) Si µ tiende a infinito, la tasa de renovación promedio esperada, también converge hacia, t -> ∞. 5) Otra de las funciones que es natural desear conocer en un proceso de renovaciones el número promedio de renovaciones efectuadas hasta un tiempo t cualquiera. A tal función se le llama función de renovación, y se le denota por Δ(t), es decir, Δ(t) = E(Nt). En general no es fácil encontrar una forma explicita para esta función. Sin embargo, se cuenta con la siguiente ecuación integral general. 6) Para el proceso de Poisson, el promedio de renovaciones o saltos al tiempo t es Δ(t) = Δt. Puede comprobarse directamente que esta función satisface con F(t) = 1 – e -Λt. 7) A una ecuación integral del tipo anterior se le llama ecuación de renovación, pues algunas funciones de interés en la teoría de la renovación la cumplen.
Generalización de los Procesos de Renovación. Es una generalización del Proceso de Poisson. Esencialmente, el proceso de Poisson es un proceso de Markov del continuo-tiempo en los números enteros positivos (que empiezan generalmente cero) que tiene la independiente distribuyó idénticamente llevar a cabo épocas en cada número entero i (exponencial distribuido) antes de avanzar (con la probabilidad 1) al número entero siguiente: i + 1. En el mismo alcohol informal, podemos definir un proceso de la renovación para ser la misma cosa, salvo que los tiempos que sostienen adquieren una distribución más general. (Nota sin embargo que IID la característica de los tiempos que sostienen se conserva). Procesos De Ramificación En Tiempo Continuo En teoría de las probabilidades, a continuo-tiempo Proceso de Markov es a proceso estocástico { X(t): t ≥ 0} que satisface Característica de Markov y los valores de las tomas de un sistema llamaron espacio del estado. La característica de Markov indica eso en cualquier vez s > t > 0, el condicional distribución de la probabilidad del proceso en el tiempo s dado la historia entera del proceso hasta y de incluir tiempo t, depende solamente del estado del proceso en el tiempo t. En efecto, el estado del proceso en el tiempo s es condicional independiente de la historia del proceso antes tiempo t, dado el estado del proceso en tiempo t. Fenómenos de Espera. Las líneas de espera son fenómenos muy comunes y que se observan en diversas actividades: la gente que va a un banco a cambiar un cheque, los clientes que van a pagar la mercancía que han comprado, las órdenes que llegan para ser procesadas a través de deferentes procesos, los conductores que llegan a una estación de servicio para tanguear sus autos, etc. Para que exista una cola sólo se requiere que las llegadas y/o los servicios ocurran a intervalos irregulares. El proceso básico que se asume al formular un modelo de colas es el siguiente: Las unidades que requieren servicio llegan al sistema. Estas unidades entran al sistema y se unen a la "cola". En ciertos puntos en el tiempo, un elemento de la cola es seleccionado para recibir servicio, mediante alguna regla conocida como "la disciplina de la cola". Luego el “mecanismo de servicio" del sistema realiza a la unidad escogida el servicio requerido. Distribución del Tiempo de Espera Considere una cola o línea de espera de “clientes” que solicitan algún tipo de servicio de un “servidor”. Suponga que el sistema es observado en los tiempos
discretos n = 0, 1, . . ., y que la fila funciona del siguiente modo: Cuando hay algún cliente esperando servicio al inicio de un periodo, el cliente al frente de la fila es atendido terminando el servicio al final del periodo. Naturalmente si no existiera ningún cliente en la fila al inicio de algún periodo, entonces ningún cliente es atendido. Para cada entero n ≥ 1 defina ξn como el número de nuevos clientes que se incorporan a la fila durante el periodo n. Bajo ciertas condiciones es natural suponer que estas variables aleatorias son independientes, idénticamente distribuidas y con valores enteros no negativos. Proceso Transitorio Se dice que el proceso markoviano tiene probabilidades de transición estacionarias o que es homogéneo en el tiempo si P(x, t0;E,t) depende solo de la diferencia t – t0. Probabilidades de transición. Para una cadena de Markov a tiempo continuo las probabilidades de transición son los números pij (t) = P(Xt = j |X0 = i), para cualesquiera estados i y j, y para cualquier tiempo t ≥ 0. Cuando el espacio de estados es finito, los elementos de cada renglón de esta matriz suman uno, pero para espacios de estados infinito esta suma puede ser estrictamente menor a uno, es decir, en general, Pj pij (t) ≤ 1. Esta es una diferencia inesperada respecto del modelo a tiempo discreto. Intentar encontrar Pij(t) para cada par de estados i y j, y para cada t ≥ 0, es un problema demasiado general, y solo en algunos casos es posible encontrar explícitamente tales probabilidades. El siguiente resultado nos permitiría obtener algunas conclusiones generales acerca de Pij(t). Distribución para procesos de Renovación Debemos recordad que el numero de renovaciones en un tiempo t es mayor o igual a n si y solo si la enésima renovación ocurre en o antes del tiempo t, para así obtener la distribución de un proceso de renovación. Límite para Proceso de Renovación • Definición GeneralUn Proceso de Renovación es el proceso de conteo para el cual los tiempos entre los eventos exitosos son independientes e idénticamente distribuidos, con distribución arbitraria. PROCESO TRANSITORIO: Generalizando, matriz (cadena) contiene P estados transitorios y q estados absorbentes, la matriz reordenada, presentara las siguientes característica: 1) I: Matriz unidad de dimensión q.
2) O: Matriz nula de dimensión qxp. 3) Q: Matriz pxq que contiene las probabilidades de paso de estados transitorios a absorbentes. 4) P: Matriz pxp que contiene la probabilidad de paso de estados transitorios a transitorios. 5) Se denomina matriz fundamental de la cadena o proceso de Markov al resultado de la operación: F= (I-P)-1; es decir, la matriz inversa de la obtenida al restar de una matriz unidad de dimensiones n x n, la matriz P de probabilidades de paso de estado transitorio a transitorio. 6) En la mayoría de las aplicaciones, las probabilidades de transición se muestran como una matriz de probabilidad de transición P de orden s x s. 7) Es un arreglo donde se condensan las probabilidades de pasar de un estado a otro
8) Se dice que dos estados i y j se comunican si j es alcanzable desde i, e i es alcanzable desde j. (Los estados 1 y 2 se comunican: podemos pasar de 1 a 2 y de 2 a 1) CONCLUSIÓN Luego de haber estudiado y analizado la teoría de renovación se puede comprender que es de gran utilidad en la vida diaria, ya que se pueden predecir posibles sucesos futuros en el tiempo. Como por ejemplo, la cantidad de bombillas que se pueden utilizar de acuerdo a la duración que tenga cada una de ellas, y cada vez que se cambia una de ellas hay una perfecta renovación. Además de ello, la renovación se conoce entre el tiempo t1 y t2, donde t ≥ 0; Y cada vez que ocurre una renovación se toma en encuentra la diferencia entre t1 y t2.
