LA TEORÍA DE LA DISONANCIA Y LA AFINACIÓN EN LA OBRA DE EL CLAVE BIEN TEMPERADO DE J. S. BACH
SERGIO MARTÍNEZ RUIZ Revista de Musicología, Vol. XXVII, nº 2 (2004), pp.895-931 Sociedad Española de Musicología (SEDEM) Febrero de 2004
ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. ................................................................................................................................4 ...................4 2. OBJETIVOS ...................................................................................................................... .........................................................................................................................................5 ...................5 3. TEORÍA DE LA DISONANCIA..........................................................................................................5 3.1 Definición y causas de la consonancia y la disonancia.................................................................5 3.2 Relación entre escalas y espectros.................................................................................................7 3.3 Teorías y experimentos acerca de la consonancia sensorial.........................................................8 3.4 Partitura de disonancia y disonancia total....................................................................................9
4. MODELADO DE UNA PARTITURA Y CÁLCULO DE LA DISONANCIA CON EL PROGRAMA ..........................................................................................................................................10 SPECMUSIC ............................................................................................................................................10 4.1 Modelado de las partituras ..........................................................................................................10 4.2 El programa SpecMusic...............................................................................................................11
5. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA DISONANCIA AL ESTUDIO DE LA AFINACIÓN EN LA OBRA DE “EL CLAVE BIEN TEMPERADO” DE J. S. BACH...........................................................12 5.1 Antecedentes de la cuestión .........................................................................................................12 5.2 Procedimiento ..............................................................................................................................15 ..............................................................................................................................15 5.3 Evaluación de los resultados .......................................................................................................16 5.4 Limitaciones de este procedimiento.............................................................................................17 5.5 Ejemplos ilustrativos de limitaciones debidas a la estética barroca...........................................18 5.6 Posibles vías vías de solución .............................................................................................................19
6. CONCLUSIONES ............................................................................................................. ..............................................................................................................................20 .................20 7. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................... ................................................................................................................................20 .................20 8. APÉNDICES.......................................................................................................................................23 8.1 Definiciones matemáticas previas ...............................................................................................23 8.2 Cálculo de la curva de disonancia...............................................................................................24 8.3 Cálculo de la partitura de disonancia y de la disonancia total...................................................25
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LA TEORÍA DE LA DISONANCIA Y LA AFINACIÓN EN LA OBRA DE EL CLAVE BIEN TEMPERADO DE J. S. BACH Resumen: Partiendo de las teorías de la disonancia desarrolladas por autores como Helmholtz, Partch, Plomp, Levelt y Sethares, y haciendo uso de un software apropiado, se ha realizado un estudio de la afinación para la obra de El clave bien temperado de J. S. Bach, cuestión que ha sido discutida desde puntos de vista diferentes por diversos musicólogos. Los resultados de este trabajo afirman que el temperamento de Kirnberger II constituye una afinación bastante adecuada ya que con ella se consigue minimizar la disonancia de forma global para toda la obra estudiada. Palabras clave: Acústica musical. Temperamento. Teoría de la disonancia. Consonancia sensorial. Bach, Johann Sebastian, El clave bien temperado.
THE THEORY OF DISSONANCE AND TUNING IN THE WELLTEMPERED CLAVIER BY J. S. BACH Abstract: Based on the theories of dissonance developed by authors such as Helmholtz, Partch, Plomp, Levelt and Sethares, and by using the proper software, an analysis has been done on tuning in The Well-tempered Clavier by J. S. Sebastian Bach, a matter that has been widely debated among a number of musicologists. The results of this study have demonstrated that the Kirnberger II well-temperament tuning is quite adequate as it serves to minimize dissonance throughout the entire musical corpus under study. Keywords: Musical acoustics. Temperament. Theory of dissonance. Sensorial consonance. Johann Sebastian Bach, The Well-tempered Clavier . Este trabajo constituye parte de mi Proyecto Final de Carrera para la obtención del título de Ingeniero Superior de Telecomunicaciones. El título del proyecto es Desarrollo de un software para el estudio de aplicaciones del análisis espectral en la musicología histórica y la etnomusicología y fue presentado el día 17 de julio de 2003 en la Escola Tècnica Superior d’Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona (ETSETB) de la Universitat Politènica de Catalunya (UPC).
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LA TEORÍA DE LA DISONANCIA Y LA AFINACIÓN EN LA OBRA DE EL CLAVE BIEN TEMPERADO DE J. S. BACH 1. INTRODUCCIÓN Mucho se ha hablado sobre la afinación del clavicémbalo en la obra de El clave bien temperado (BWV 846-893) de J. S. Bach ( !Arnstadt, 1685; †Leipzig, 1750). Su título ya induce a que tal cuestión constituye uno de los problemas planteados por el autor en su composición. Bien es sabido por el lector que esta conocida obra consiste en una serie de preludios y fugas escritas en cada una de las 24 tonalidades mayores y menores de nuestro sistema musical basado en el ciclo de quintas. Entre la primera y segunda partes de la obra hacen un total de 48 preludios y fugas. Tal característica está en relación con el título y la finalidad que persigue y que consiste en demostrar la posibilidad de empleo de todas las tonalidades con la entonces novedosa afinación temperada, eso sin dejar de lado la evidente finalidad pedagógica de esta obra ni otras tantas que pueden plantearse. De entre todos los temperamentos existentes, los que facilitan esa tarea son los llamados “buenos temperamentos” 1 e, indudablemente, el título de la obra de Bach hace referencia a uno de ellos. Lo que en ningún momento ha quedado claro es cuál de ellos es el que realmente Bach tuvo presente a la hora de la composición de la obra. No obstante, todos los estudiosos coinciden en que no se trataba del temperamento igual, como podía pensarse en un principio. Precisamente, las terceras de este temperamento son excesivamente disonantes y, además de eso, las tonalidades no tienen su “carácter” ni sonoridad propias determinadas por las diferencias en la constitución de sus intervalos. Seguramente, Bach conoció el temperamento igual y no lo consideró el más apropiado. Por otro lado, William A. Sethares, como aplicación de su teoría de la disonancia2, realiza un estudio sobre la afinación de las sonatas de D. Scarlatti en referencia a los temperamentos más adecuados para su interpretación. Esta teoría constituye una generalización y continuación de otras anteriores de Hermann L. F. Helmholtz (1821-1894) 3, Harry Partch4, R. Plomp y W. J. M. Levelt 5. El desarrollo matemático de estas teorías ha sido implementado informáticamente por mí mismo en un programa denominado SpecMusic. Esta herramienta software puede dar una solución al problema planteado en relación con la afinación de la obra de Bach. Tal solución, basada en la teoría de la disonancia, constituye un punto de vista diferente a todos los planteados hasta ahora y similar al propuesto por Sethares para las sonatas de Scarlatti. 1
El término wohltemperirt , o “buen temperamento” hace referencia a la posibilidad de modulación a todas las tonalidades. Esto se consigue cerrando el círculo de quintas mediante la eliminación de la “quinta del lobo” por lo que estos temperamentos se clasifican como circulares. La distribución de la comma pitagórica entre todas las quintas se realiza de forma irregular entre las doce quintas del círculo, de allí la clasificación de irregulares. El perfil general que presentan es que las quintas cromáticas son justas mientras que las diatónicas están reducidas para permitir buenas terceras. Estos temperamentos se desarrollan principalmente en Alemania e Italia y se presentan como alternativas al temperamento igual, aunque con la diferencia de mantener la variedad de intervalos entre las diferentes tonalidades. 2 SETHARES, William A. Tuning, Timbre, Spectrum, Scale. London: Springer-Verlag London Limited, 1998, 345 p. Existen trabajos anteriores del autor citados en la bibliografía expuesta al final de este trabajo. Además, existe una página Web del autor: http://eceserv0.ece.wisc.edu/~sethares/index.html. 3 HELMHOLTZ, Hermann L. F. von. On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music . Reproducción de la segunda edición inglesa de 1885 por A. J. Ellis. New York: Dover Publications, Inc., 1954, 576 p. 4 PARTCH, Harry. Genesis of a music: An account of a creative work, its roots and its fulfillments. New York: Da Capo Press, 1974, 517 p. Existen también diversas páginas Web de Internet dedicadas a este autor así como una fundación que lleva su nombre ( Harry Partch Foundation). Otra referencia impresa sobre su obra es GILMORI, Bob. Harry Partch: a biography. Yale: Yale University Press, 1998. 5 PLOMP, R. y LEVELT, W. J. M. “Tonal consonance and critical bandwhith”. En: Journal of Acoustical Society of America , 38 (1965), pp. 548-560. Los autores presentaron un trabajo preliminar en PLOMP, R. y LEVELT, W. J. M. “Musical consonance and Critical Bandwidth”. En: Fourth International Congress on Acoustics. Copenhagen, 1962.
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2. OBJETIVOS Como ya se ha comentado, resulta incierto el temperamento utilizado por Bach en su obra de El clave bien temperado. Referencias anteriores 6 apuntan hacia los temperamentos de Kirnberger II y de Werckmeister III. Con este estudio se pretende utilizar nuevas herramientas basadas en las teorías desarrolladas más recientemente sobre la disonancia sensorial. En concreto las teorías de Sethares y sus antecedentes más directos (Helmholtz, Partch, Plomp y Levelt) citados en el apartado anterior. Estas teorías han sido implementadas por mí mismo en una herramienta software denominada SpecMusic7 . Utilizando estas teorías y herramientas, se pretende dar una nueva solución al problema desde un punto de vista diferente a los que se han tratado hasta ahora, basándose en las teorías de la consonancia sensorial. Si más no, se considerará que, en el momento de composición de sus obras, Bach pretendía disminuir el efecto global de la disonancia. Tras una breve exposición de las teorías de la disonancia desarrolladas por los autores citados más una breve explicación de los recursos software disponibles para la tarea, abordaré el tema en cuestión en el apartado 5 de este trabajo. 3. TEORÍA DE LA DISONANCIA 3.1 Definición y causas de la consonancia y la disonancia El concepto de consonancia y disonancia, el cual podemos generalizar con el término de sonancia 8, ha variado a lo largo de la historia dependiendo de factores como la afinación o el contexto musical sobre el cual se ha aplicado. Por lo tanto la clasificación de un intervalo (armónico o melódico) en términos de sonancia depende de la definición que se considere. J. Tenney 9 expone los diferentes conceptos del término y los resume en cinco definiciones identificadas como CDC-n ( n = 1, ..., 5 )10. Cada una de ellas hace referencia respectivamente a los siguientes términos: consonancia melódica (CDC-1), consonancia polifónica (CDC-2), consonancia contrapuntística 11 (CDC-3), consonancia funcional (CDC-4) y consonancia sensorial (CDC-5). En este trabajo nos centraremos únicamente en la última de las anteriores definiciones, es decir, la consonancia sensorial. Tal definición, que es la más reciente, considera los intervalos y acordes en sí mismos, independientemente del contexto en el que se encuentran. De una forma más objetiva, hace referencia a la sensación que tales intervalos producen en nuestro cerebro y se basa en sus causas físicas y fisiológicas (el funcionamiento de la membrana basilar del oído interno, el timbre, la intensidad y la relación de frecuencias entre las notas que componen el intervalo). La interferencia entre dos tonos de frecuencia similar provoca una variación periódica en la amplitud de la onda resultante. Los máximos de amplitud se traducen en unos reforzamientos también periódicos que reciben el nombre de batidos o pulsaciones y que son originados por coincidencia de la fase de vibración de los dos tonos 6
Véase el apartado 5.1 de este trabajo. Véase el apartado 4.2 de este trabajo. 8 Término utilizado en SÁNCHEZ GONZÁLEZ, Francisco Javier: “Number as music-builder: sonance”. En: http://usuarios.lycos.es/javiersango/index.htm. 9 TENNEY, James. A History of ‘Consonance’ and ‘Disonance’ . New York: Excelsior Music, 1988. 10 Abreviación de Consonance and Dissonance Concept . Estas cinco definiciones están expuestas de forma resumida en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., cap. 4, pp. 73-76; y en FERNÁNDEZ DE LA GÁNDARA, Gonzalo. “Curso de acústica para músicos”. En: FERNÁNDEZ DE LA GÁNDARA, Gonzalo y LORENTE, Miguel. Acústica musical . Madrid: Ediciones del ICCMU, 1998, 257 p. 11 He tomado este adjetivo como la traducción del término Contrapuntal Dissonance usado por el autor. 7
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originales. Estos reforzamientos del sonido se perciben de forma diferente según su frecuencia de producción. La membrana basilar es la responsable de la sensación de frecuencia que una onda periódica produce en nuestro cerebro. Dependiendo de su frecuencia de vibración, la onda sonora afecta a un punto determinado de esta membrana. Entonces, si una onda está compuesta por una superposición de diversos tonos puros, son varios los puntos que responden ante la perturbación. En resumen, puede decirse que la membrana basilar funciona como un analizador de espectros. En consecuencia, cuando interfieren en el oído dos tonos de frecuencia similar, sus respuestas se superponen en la membrana basilar y se dice que están en la misma banda crítica. Experimentando con sonidos puros se ha comprobado que el conjunto de frecuencias audibles puede agruparse más o menos en 24 bandas críticas. Cada una de ellas abarca aproximadamente una longitud de 1,3 mm sobre la membrana basilar, lo que equivale a unas 1300 neuronas o células conectadas al nervio auditivo. Para una cierta frecuencia comprendida dentro del margen audible y que se tome como frecuencia central, su anchura de banda crítica 12 depende de su misma magnitud. La anchura de banda crítica es prácticamente constante para frecuencias menores de 500 Hz (aproximadamente, por debajo del Do 4) y, por encima de ese margen, aumenta de forma casi proporcional. El gráfico de la Figura 1 13 muestra claramente esa relación. La consecuencia que las bandas críticas tienen sobre la audición de dos sonidos puros simultáneos depende de la magnitud de la diferencia entre sus frecuencias: 1) Por debajo de los 10 Hz, los batidos producidos por la interferencia se perciben como reforzamientos del sonido. Dentro de este margen, estos batidos se perciben lentos y de una forma apacible. Evidentemente, desaparecen si las dos frecuencias se igualan. 2) A partir de los 15 Hz, los batidos son demasiado rápidos y se perciben mezclados de una forma más molesta. En este caso, los dos sonidos excitan la misma banda crítica y sus neuronas tienen que reaccionar a la vez produciendo cierta confusión en el cerebro. Tal confusión se percibe como una “aspereza” 14 en el sonido. 3) Al aumentar más, la sensación de aspereza va desapareciendo y los dos sonidos empiezan a percibirse como dos frecuencias separadas. 4) A partir de un cierto valor, la aspereza desaparece por completo y los dos sonidos se perciben por separado. Es a partir de este punto cuando puede considerarse que los dos sonidos excitan bandas críticas diferentes asumiendo la diferencia de frecuencias correspondiente como el ancho de banda crítica para la frecuencia fija. H. L. F. von Helmholtz 15 concluyó que el máximo grado de dureza se producía cuando la diferencia de frecuencia entre los dos sonidos es de 32 Hz. Posteriormente, 12
El término ”anchura de banda crítica” ha sido propuesto en FLETCHER, H. Review of modern physics, 12 (1940), pp. 47-65. Por otro lado, esta magnitud ha sido medida de diversas maneras en gatos y humanos en PLOMP, R. Aspects of Tone Sensation. London: Academic Press, 1976; ZWICKER, E. [et al.]. “Critical bandwith on loudness summation”. En: Journal of Acoustical Society of America, 29 (1957), p. 548; ZWICKER, E. y FASTL, H. Psychoacoustics. London: Springer-Verlag, 1990; y WIER, C. G. [et al.]: “Frequency discrimination as a function of frequency and sensation level”. En: Journal of Acoustical Society of America, 61 (1977), pp. 178-184. 13 Las figuras se encuentran al final del artículo. 14 Traducción del término inglés roughness (también podría traducirse como rugosidad) usado en FERNÁNDEZ DE LA GÁNDARA, G. y LORENTE, M. Acústica Musical . En el mismo trabajo también se identifica el mismo término como “dureza acústica” haciendo referencia a BÉKÉSY, G. von. “Ueber akustische Rauhigkeit” (La dureza acústica). En: Zeitschrift für tecnische Physik , 16 (1935), pp. 276-282. Tal magnitud se define como “la propiedad característica del oído humano por la cual ciertos sonidos se perciben molestos y ásperos”. Por otro lado, en PILES ESTELLÉS, Jaime. Intervalos y gamas. Valencia: Piles, Editorial de Música, 1982, 131 p. se identifica el mismo fenómeno mediante los términos “trémolo” y “temblor”. El temblor se identifica simplemente como un trémolo más rápido. 15 HELMHOLTZ, H. L. F. von. On the sensations of tone..., op. cit .
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los experimentos realizados por R. Plomp y W. J. M. Levelt 16 han relacionado el concepto de dureza con la anchura de banda crítica, observando que, en casi todos los márgenes de frecuencia, el punto de máxima aspereza se produce alrededor de ! de la anchura de banda crítica. Este criterio coincide con el de Helmholtz para frecuencias cercanas a 500 Hz. El gráfico de la Figura 2 muestra el proceso descrito para dos tonos puros y se identifica con el nombre de curva de disonancia 17. Puede observarse claramente que el resultado no coincide con la clasificación clásica asumida de forma teórica por los músicos. No obstante, si se generaliza este resultado para tonos más complejos formados por varios parciales se llegará a un resultado más cercano a la realidad. Para ello se asume que la dureza o disonancia total es igual a la suma de la disonancia de todos los pares de parciales que interactúan entre sí. Esta suposición ya fue afirmada por el mismo Helmholtz. En este caso se obtienen unas curvas de disonancia más complejas en las que se puede observar la existencia de picos y valles. Los picos representan máximos de aspereza o disonancia y los valles, ausencia de batidos o consonancia. Como ejemplo, en el gráfico de la Figura 3, se representa la curva de disonancia para un espectro armónico de 6 picos con amplitudes uniformes y normalizadas a 1: donde f 0 es la frecuencia fundamental18.
3.2 Relación entre escalas y espectros Se ha definido la curva de disonancia como una función que pretende valorar, en dependencia del espectro, la disonancia sensorial del intervalo expresado en términos de su relación numérica19. Además, se ha visto que esta curva puede contener diversos máximos y mínimos. Los mínimos corresponden a intervalos para los cuales existe un máximo de consonancia y un mínimo de disonancia en relación con el resto de intervalos posibles. Por lo tanto, resulta obvio pensar que tales intervalos serán buenos candidatos para formar una escala musical apta para trabajar con el espectro con el cual se ha calculado la curva. Si se identifican tales puntos de la curva con los intervalos de una escala se puede decir que “un espectro y una escala están relacionados si la curva de disonancia para aquél espectro tiene mínimos en los intervalos de la escala” 20. Igualmente, puede aplicarse el camino inverso que consiste en crear un instrumento, o sea, sintetizar un sonido a partir de un modelo espectral definido mediante un conjunto de tonos parciales relacionados con una escala determinada 21. En la curva del ejemplo del apartado anterior 22 pueden observarse unos mínimos en los siguientes intervalos: 6/5 (tercera menor), 5/4 (tercera mayor), 3/2 (quinta justa), 5/3 (sexta mayor); más otros dos “amplios” 23 que caen aproximadamente en los 16
PLOMP, R. y LEVELT, W. J. M. “Tonal consonance...”, op. cit . Traducción del término dissonance curve empleado en SETHARES, W. A. Tuning ... 18 Véase el apéndice 8.1 para la explicación para la explicación del modelo matemático de los espectros utilizado en este trabajo. Véase igualmente el apéndice 8.2 donde se describe de forma exacta el procedimiento matemático para calcular las curvas de disonancia a partir de un modelo de rayas espectrales. 19 Véase el apartado 8.1 del apéndice para aclarar la definición del concepto de relación numérica. 20 SETHARES, William A. “Local consonance and the relationship between timbre and scale”. En: Journal of Acoustics Society of America, 94 (1993), n. 3, pp. 1218-1228. Un estudio más detallado se encuentra en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., cap. 5, pp. 89-122. 21 Véase la referencia de la nota anterior. Un estudio más detallado se encuentra en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., cap. 10, pp. 211-233. 22 Véase la figura 3. 23 En una curva de disonancia pueden producirse dos tipos de mínimos: los que son causados por la coincidencia de parciales y los que son causados por una separación suficiente entre ellos. Los primeros tienen un aspecto más abrupto y su valor coincide con los cocientes de las frecuencias de los dos parciales que coinciden. Los segundos tienen un aspecto más curvilíneo y se identifican como mínimos amplios. El término “amplio” corresponde a una traducción del inglés broad y que el mismo Sethares utiliza entre 17
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intervalos de segunda mayor y séptima menor. Se observa claramente como estos mínimos coinciden con los intervalos consonantes 24 calculados según la justa entonación25. Otra observación importante es que el grado de consonancia de los intervalos obtenidos está más o menos en relación con el grado de consonancia que se les atribuye tradicionalmente, por ejemplo, se ve claramente que el intervalo más consonante es la octava seguido de la quinta justa. Igualmente, la segunda mayor y la séptima menor aparecen como mínimos de la curva pero con un valor de dureza bastante más elevado. De la misma manera, ocurrirá que una obra musical afinada mediante las consonancias habituales sonará disonante si se reproduce con un instrumento de espectro no armónico ya que los intervalos correspondientes a los mínimos de su curva de disonancia no coincidirán con los intervalos consonantes de la justa entonación.
3.3 Teorías y experimentos acerca de la consonancia sensorial Las principales teorías que justifican estas afirmaciones han sido desarrolladas por Hermann L. F. von Helmholtz 26, Harry Parch27, R. Plomp, W. J. M. Levelt 28 y W. A. Sethares29. Helmholtz introduce por primera vez el concepto de consonancia sensorial como un efecto fisiológico basado en el fenómeno de los batidos o pulsaciones provocadas por la interferencia de los diversos tonos parciales de una mezcla de sonidos. A la vez, amplía el concepto de consonancia para aplicarlo al conjunto infinito de todos los intervalos posibles, teniendo en cuenta que todos los antecedentes anteriores hacían referencia únicamente a los intervalos usados en la práctica. El experimento fue realizado con dos violines, uno sonando a frecuencia fija y el otro aumentándola progresivamente hasta completar el ámbito de una octava. Representando gráficamente la sensación de consonancia para todos los intervalos llega a la conclusión de que los intervalos consonantes coinciden con relaciones de frecuencia expresadas mediante fracciones simples. Además, debe tenerse en cuenta que Helmholtz trabajó con espectros armónicos y que las fracciones simples corresponden a la coincidencia entre los primeros armónicos, demostrándose de esta manera la conexión con la teoría expuesta en el aparatado anterior. Partch, al igual que Helmholtz, trabajó con espectros armónicos pero, en este caso, el experimento lo realizó utilizando una especie de armonio fabricado por él mismo y que llamó chromelodeon. Las conclusiones teóricas son similares a las de Helmholtz. La novedad de su investigación reside en la creación de una nueva escala musical compuesta por 43 notas y ampliando el número de intervalos consonantes hasta considerar fracciones con 7, 11 y 13. Llevó a la práctica su teoría y compuso música comillas. Puede verse una explicación más detallada de todas las propiedades de las curvas de disonancia en SETHARES, W. A. “Local consonance...”, op. cit., así como en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., ap. F, pp. 303-307. 24 La sexta menor podría obtenerse igualmente añadiendo un pico en 8f 0. Para una descripción más detallada del problema véase MARTÍNEZ RUIZ, Sergio: Desarrollo de un software para el estudio de aplicaciones del análisis espectral en la musicología histórica y la etnomusicología . Proyecto Final de Carrera para la obtención del título de Ingeniero de Telecomunicaciones. Barcelona: Universitat Politècnica de Catalunya (UPC), julio 2003, 275 p. Debemos tener en cuenta que la relación numérica de la sexta menor en la justa entonación es 8/5 y que el número 8 requiere la existencia del anterior pico espectral. No es casualidad que este intervalo ya fuese problemático para la clasificación de consonancias realizada en ZARLINO, Gioseffo. Institutione harmonique . Venecia (s. n.), 1558, cap. 14. En tal tratado, Zarlino incluye todas las consonancias (perfectas e imperfectas según nuestra clasificación actual) dentro del senario, el conjunto determinado por los seis primeros números naturales y que se corresponde con un sustitutivo de la tetractys pitagórica. Debe recurrir a la distinción aristotélica de “potencia” y “acto” para dar cabida al intervalo de sexta menor dentro del conjunto de las consonancias. Véase GOLDÁRAZ GAINZA, J. Javier. Afinación y temperamento en la música occidental . Madrid: Alianza, 1992, 143 p. Alianza Música, 58, p. 34. 25 Por lo tanto, de forma general, puede decirse que la justa entonación está relacionada con el espectro armónico. 26 HELMHOLTZ, H. L. F. von. On the sensations of tone..., op. cit . 27 PARTCH, H. Genesis of a music..., op. cit . 28 PLOMP, R. y LEVELT, W. J. M. “Tonal consonance…”, op. cit . 29 SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit.
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adecuada a ella utilizando instrumentos ideados por él mismo. Su visión estética hacía referencia a una música justa “que no atormentara el oído” y, de la misma manera, no era partidario de aproximaciones tales como las que se producen en cualquier tipo de temperamento. Plomp y Levelt trabajaron igualmente con espectros armónicos y su experimento consistió en la obtención empírica de la curva de disonancia para dos tonos puros. Los resultados se obtuvieron evaluando la sensación de aspereza producida por diversos pares de tonos puros generados mediante un dispositivo electrónico. La principal aportación fue el hecho de trabajar con gente no educada musicalmente evitando así la identificación de ciertos intervalos que pudieran variar la verdadera percepción de sonancia. Igualmente, la teoría se generalizó posteriormente para tonos complejos. Como se ha visto, los tres experimentos hacen referencia a espectros armónicos y los tres concluyen en confirmar la explicación dada por H. Helmholtz. Según esta teoría, la falta de disonancia entre dos sonidos complejos simultáneos cuya relación de frecuencias está dada por fracciones simples se debe a la ausencia de batidos entre los armónicos próximos. La aportación posterior de Sethares al estudio de la consonancia ha sido, en primer lugar, su desarrollo matemático basado en la parametrización de las curvas de Plomp y Levelt 30. En segundo lugar, la extensión del concepto a cualquier tipo de espectro compuesto por un conjunto de parciales, ya sean o no armónicos. Igualmente, tal desarrollo matemático será aplicado a diferentes estudios relacionados con la afinación cualquier tipo de escala musical y a la búsqueda de una afinación variable que esté relacionada con el timbre del instrumento. En este artículo se trabajarán únicamente los conceptos de partitura de disonancia, disonancia total y su aplicación en la predicción de temperamentos.
3.4 Partitura de disonancia y disonancia total 31 La partitura de disonancia, definida por Sethares, consiste en una medida de la disonancia sensorial aplicada a una partitura concreta. Igualmente, constituye un método de análisis de la obra musical y un método de evaluación para cualquier tipo de escala dentro de un contexto práctico. El procedimiento consiste en evaluar cada uno de los intervalos de la partitura en términos de su disonancia, es decir, calcular su disonancia sensorial a partir de los presupuestos ya definidos y de las expresiones matemáticas desarrolladas por Sethares. Este procedimiento podrá aplicarse convenientemente a un fichero MIDI o WAVE utilizando un programa de cálculo adecuado 32. A partir de estos cálculos también puede definirse la disonancia total como un parámetro que dé una idea global de la disonancia en toda la partitura dependiendo de la afinación que se le haya aplicado y del espectro del instrumento para el cual se haya pensado. En realidad, tal medida consiste en una media de todos los valores de la disonancia correspondiente a todos los intervalos que han aparecido en la partitura ponderada por la duración temporal que se les ha otorgado. Así, pues, tendrán mucho más peso los intervalos que aparezcan con valores largos que los que aparezcan con valores cortos33. Dada la dependencia de la disonancia total con la afinación y, teniendo en cuenta un determinado contexto histórico, la medida de la disonancia total puede proporcionar 30
Este desarrollo se expone íntegramente en el apartado 8.2. Traducciones de los términos dissonance score y total dissonance usados en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit. 32 Por ejemplo, el programa SpecMusic. 33 Una descripción matemática más detallada para la disonancia total se expone en el apartado 8.3. Por otro lado, en el apartado siguiente se describe más concretamente el procedimiento utilizado para este cálculo en el caso de un fichero MIDI. 31
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razones para rechazar afinaciones que produzcan una disonancia elevada y reconsiderar otras que la reduzcan, todo ello dentro de una determinada obra musical. Aunque tales afirmaciones deben realizarse con cierta perspicacia, es decir, no pueden hacerse mecánicamente, el método sí puede constituir una buena pista. Llevando más lejos este procedimiento, puede aplicarse un algoritmo de optimización para encontrar una afinación óptima adecuada para una determinada obra musical 34. No obstante, deben considerarse algunas limitaciones de este procedimiento. Si se tiene en cuenta que la música no consta exclusivamente de consonancias y que las disonancias pueden jugar un papel muy importante, éstas influirán negativamente en el proceso descrito para la predicción de una afinación adecuada a una determinada obra musical. Para subsanar este problema debería analizarse previamente la partitura y eliminar las disonancias, es decir, quedarse únicamente con la estructura armónica. Por ahora, en el apartado 5 de este trabajo, se estudiarán las aplicaciones que esta medida puede proporcionar y, en cualquier caso, se intentarán buscar los elementos que puedan desviar el resultado de la solución exacta.
4. MODELADO DE UNA PARTITURA Y CÁLCULO DE LA DISONANCIA CON EL PROGRAMA SPECMUSIC 4.1 Modelado de las partituras Para el cálculo de la disonancia sensorial de una partitura ha sido necesario modelar ésta de forma adecuada para los cálculos. Debe considerarse, en primer lugar, que tal modelo constituye una visión de la obra totalmente vertical o armónica, teniendo en cuenta la definición de consonancia que se está aplicando 35. Si se toma una pieza escrita en textura contrapuntística (como, por ejemplo, la obra que se analizará en el apartado 5), cada vez que en una de las diferentes voces se produce un movimiento melódico, aún cuando el resto de voces se mantienen, se genera un nuevo “acorde” formado por las notas mantenidas del instante anterior y la nueva nota resultante del movimiento melódico de la otra voz. De esta manera, la partitura queda modelada como una secuencia de “acordes” o conjuntos de frecuencias tomados en diferentes instantes por lo cual deberá asociarse a cada uno de ellos un parámetro temporal que haga referencia a su duración y que podrá expresarse en términos relativos a la duración de alguna de las figuras musicales (ya sea la figura de mínima duración de la partitura o bien alguna otra que se tome como unidad de duración y que corresponda a un valor breve en relación al ritmo general de la partitura). Por otro lado, el número notas para cada acorde variará en función del número de voces presentes en cada instante, especialmente en una obra de textura contrapuntística. Debe tenerse en cuenta que un unísono corresponde a un “acorde” de una nota y una pausa, a un acorde de cero notas. En tales casos, la disonancia del acorde corresponde respectivamente a la disonancia intrínseca 36 de la nota y a la ausencia total de disonancia.
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Véase SETHARES, William, A. “Adaptative tunings for musical scales”. En: Journal of Acoustical Society of America, 96 (1994), n. 1, pp. 10-18. Una descripción más detallada puede encontrarse en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., cap. 7, pp. 147164. 35 Véase el apartado 3.1. 36 Véase el apartado 8.2 para la explicación de este término.
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4.2 El programa SpecMusic Para los cálculos realizados en este artículo utilizaremos el programa SpecMusic37 . Se trata de una herramienta software creada por mí mismo y que se ha implementado en lenguaje C++ utilizando las MFC 38 y algunas funciones de la API 39 de Windows. Para ello se ha utilizado la herramienta Visual C++ versión 6. A modo de resumen, el programa puede trabajar con seis tipos de documentos, los cuales se describen brevemente a continuación: 1) Escalas: fichero que guarda la información de la afinación de una escala de cualquier número de notas. Estos ficheros tienen extensión “scl”. El programa presenta la escala como un conjunto de intervalos o frecuencias que definen la afinación. 2) Espectros: fichero que guarda un modelo de rayas espectrales aplicado a cualquier timbre que pueda modelarse mediante un conjunto de tonos parciales, ya sean o no armónicos. Estos ficheros tienen extensión “spt”. El programa presenta el espectro mediante una tabla de dos columnas que representan respectivamente las frecuencias y amplitudes de cada no de los picos espectrales. 3) Partitura: fichero que guarda los datos pertenecientes a una partitura concreta según el modelo que se ha descrito en el apartado anterior y que permite aplicarle los cálculos necesarios en relación con la disonancia sensorial. Estos ficheros tienen extensión “prt”. El programa presenta los datos de la partitura en forma de una tabla de intervalos o frecuencias junto con su duración temporal. 4) Fichero MIDI: fichero de música en formato MIDI estándar 40 y con extensión “mid”. El programa presenta este documento en forma de eventos descritos brevemente en forma de texto. 5) Fichero WAVE: fichero de audio en formato WAVE estándar 41 y con extensión “wav”. El programa lo presenta como un conjunto de números que representan el conjunto de muestras de amplitud de una onda de sonido muestreada. Además, el programa presenta los parámetros en los que se ha basado el muestreo, o sea, frecuencia de muestreo, número de bits por muestra y número de canales. 6) Textos: fichero ASCII normal que puede contener cualquier tipo de texto. El programa permite la representación gráfica de los espectros, las partituras y las ondas en formato WAVE. Además, permite el cálculo numérico y la representación gráfica de la curva de disonancia para los espectros así como la partitura de disonancia para las partituras. En este último caso será necesario tomar como parámetro un espectro y una escala editadas con el mismo programa. Igualmente, el programa permite la conversión de ficheros MIDI en ficheros de partitura y viceversa, así como la obtención de una onda WAVE o una escala a partir de un espectro editado con el mismo programa. La escala resultante corresponderá a la escala relacionada con el espectro en cuestión. Otro parámetro importante es la 37
Una versión de este programa puede obtenerse en la siguiente dirección de Internet: http://rt001cmw.eresmas.net. Para una explicación de su funcionamiento, implementación y aplicaciones puede consultarse MART ÍNEZ RUIZ, Sergio. Desarrollo de un software..., op. cit. 38 Microsoft Fundation Classes. 39 Application Programming Interfaces. 40
Para más información acerca del formato de los ficheros MIDI véase, por ejemplo, la siguiente referencia de Internet: http://www.borg.com/~jglatt/tech/midispec.htm. 41 Para más información acerca del formato de los ficheros WAVE véase, por ejemplo, http://www.borg.com/~jglatt/tech/miditech.htm.
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disonancia total y se presenta junto con la descripción numérica y gráfica de la partitura de disonancia. Todas estas funcionalidades permitirán, en el apartado siguiente, realizar los cálculos necesarios para el objetivo propuesto.
5. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA DISONANCIA AL ESTUDIO DE LA AFINACIÓN EN LA OBRA DE “EL CLAVE BIEN TEMPERADO” DE J. S. BACH 5.1 Antecedentes de la cuestión Según uno de sus hijos 42, el método de afinación usado por Bach era algo incierto pero, aún así, todos los antecedentes contemporáneos al autor, al igual que otros estudios posteriores, sugieren que el tema de la afinación era importante para él y que lo tuvo muy en cuenta a la hora de componer sus obras. De entre los teóricos contemporáneos que crearon algún tipo de afinación temperada de la escala 43 se encuentran Andreas Werckmeister 44, Johann Phillip Kirnberger 45 y Friedrich Wilhelm Marpurg46. Otros teóricos más recientes, como Herbert Antón Kellner 47 o John Barnes48, también han estudiado el tema y han sugerido otros temperamentos similares a los anteriores y que, en principio, se ajustan mejor a la composición de El clave bien temperado. Si bien los temperamentos conocidos de la época o los propuestos posteriormente no tienen porqué coincidir exactamente con el temperamento usado por Bach (podía ser uno propuesto por él mismo), sí pueden constituir una vía de acercamiento o, simplemente, una de las posibles soluciones al problema. De los escritos de Werckmeister se puede deducir que sus temperamentos eran ya usados por los compositores e intérpretes contemporáneos al final del siglo XVII. De entre sus diversos temperamentos, el más usado, el más fácil de afinar y el que se adapta mejor a mucha música de teclado de principios del siglo XVIII, es el que habitualmente se denomina Werckmeister III. Además de eso, Werckmeister también hace referencia al arte de “cómo se puede bien temperar la afinación de un clave para que con ella puedan practicarse todas las tonalidades (“modi ficti”), en un conjunto armónico agradable y biensonante” 49, afirmación que se adapta perfectamente a los propósitos de Bach para la obra en cuestión. Barnes50, en su estudio, teniendo en cuenta las afirmaciones anteriores, parte de la suposición de que el temperamento de Werckmeister III se acerca a la realidad de la cuestión y lo aplica a la misma obra que estamos tratando. Prueba los resultados con alguno de los otros temperamentos contemporáneos al autor, observa que el anterior es el que mejor se adapta y, finalmente, propone otro muy similar que solventa alguna de las desviaciones observadas.
42
BACH, C. P. E. y AGRÍCOLA, J. F. “Obituary of J. S. Bach by C. P. E. Bach and J. F. Agricola”. En: Lorenz Mizlers
Musikalische Bibliothek , 4 (1754), n. 1, p. 173. 43
Véase GOLDÁRAZ GAINZA, J. Javier. Afinación..., op. cit . para aclaraciones referentes a las diversas afinaciones y temperamentos usados a lo largo de la historia de la música occidental. 44 WERCKMEISTER, Andreas. Musikalische Temperatur, oder deutlicher und warer Mathematischer Unterricht, Wie man durch Anweisung des Monochord Ein Clavier, Sonderlich die Orgel-Wercke, Positive, regale, Spinetten und dergleichen wol Temperirt Stimmen Könne. Frankfurt y Leipzig (s. n.), 1691. 45 KIRNBERGER, Johann Phillip. Die Kunst des reinen Satzes in der Musik . Berlín y Könisberg (s. n.), 1779. 46 MARPURG, Friedrich Wilhelm. Versuch über die musicalische Temperatur . Berlín (s. n.), 1776. 47 KELLNER, Herbert Antón. “Eine Rekonstruktion der wohltemperierten Stimmung von Johann Sebastian Bach”. En: Das Musikinstrument , 1 (1977), pp. 34-35. 48 BARNES, John. “Bach’s keyboard temperament: Internal evidence from the «Well-Tempered Clavier»”. En: Early Music, 7
(1979), pp. 236-249. 49 WERCKMEISTER, A. Musikalische Temperatur..., op. cit. 50 BARNES, J. “Bach’s keyboard temperament…”, op. cit.
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El método seguido en este estudio parte de la siguiente tabla en la que se expresa la desviación de distancia existente en los intervalos de quinta y tercera mayor que se dan sobre cada una de las notas de la escala cromática con respecto de la justa entonación para el temperamento de Werckmeister III 51:
Werckmeister III Mi b Si b Fa Do Sol Re La Mi Si Fa # Do # Sol # Quintas 0 0 0 6 6 6 0 0 6 0 0 0 Terceras mayores 16 10 4 4 10 10 16 16 16 22 22 22 En esta tabla se observan algunas terceras más buenas que otras. Ello induce a que las terceras más disonantes, es decir, las más desviadas, deberían ser usadas con menor frecuencia y en condiciones especiales que no evidencien sus cualidades. Barnes realiza el estudio para los 24 preludios compuestos en las tonalidades mayores (de las dos partes de la obra) evaluando todas las terceras mayores que aparecen en ellos. Tal evaluación consiste en asignar un parámetro de importancia 52 dentro de una escala que va de A a E; A indica que el contexto presta a algún error de afinación muy obvio; B, un error bastante obvio; C, un error fácilmente perceptible; D, un error apenas perceptible y E, un error imperceptible. Estos parámetros parten de la suposición de que los intervalos están perfectamente afinados según el temperamento considerado. Para determinar el valor del parámetro, Barnes ha tenido en cuenta los siguientes factores, algo subjetivos pero muy acertados: 1) La persistencia temporal, es decir, una duración considerable evidencia más las características y la categoría del intervalo dentro de su escala de valores. 2) El registro al que pertenece el intervalo según el cual la disonancia puede variar. 3) El resto de notas que se producen simultáneamente con la tercera y que pueden causar más o menos disonancia en función del intervalo y del registro. 4) El ataque simultaneo o precedente de las notas con las cuales se produce disonancia. Hay que tener en cuenta que el efecto de decaimiento de la onda producida por un determinado instrumento provoca que una nota tocada previamente no tenga el mismo peso sobre el cálculo de la disonancia que si la misma nota se toca simultáneamente. Todos estos factores, a su vez, dependen de otros parámetros relativos a cuestiones como el tempo, el fraseo, la repetición o no de las notas pedales o el decaimiento de la onda producida por el instrumento. Las medidas realizadas según estos parámetros quedan resumidas en la siguiente tabla donde se enumeran las terceras de cada categoría que aparecen a lo largo de los preludios estudiados:
51
Las cifras de esta tabla y las del resto de tablas de este trabajo están expresadas en cents. Véase el apéndice 8.1 para la definición de esta unidad de medida. 52 Traducción del término inglés prominence usado en BARNES, J. “Bach’s keyboard temperament...”, op. cit.
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Mi b A 0 B 3 C 14 D 32 E 26 Método I 75 MÉTODO II 72
Si b 0 5 22 35 54 116 99
Fa 2 6 20 44 30 102 124
Do 9 4 11 29 25 78 139
Sol 2 1 15 18 15 51 68
Re 0 2 10 20 22 54 48
La 0 3 12 37 28 80 73
Mi 0 1 12 18 23 64 46
Si 1 2 6 13 16 38 41
Fa # 0 1 7 14 17 39 32
Do # 0 1 8 21 21 51 41
Sol # 0 4 18 22 20 64 74
De una tabla previa que Barnes expone en su estudio y de la cual se ha extraído la precedente, se puede deducir que, en general, las terceras mayores son más numerosas en las tonalidades con pocas alteraciones y, aún dentro de cada tonalidad, son más numerosas las que corresponden a una categoría más alta y las que están menos desviadas de las justas según el temperamento de Werckmeister III. En cualquier caso, queda en evidencia la falsedad del argumento que defiende que el temperamento igual es el que Bach tuvo presente en la composición de El clave bien temperado. Dos procedimientos posteriores, identificados en la tabla anterior como Método I y II, pueden ayudar a determinar una relación más estrecha entre estos resultados y la estructura del temperamento en cuestión. El primer método consiste en sumar todas las apariciones de los intervalos de tercera de las cinco categorías y para cada tonalidad obteniéndose los resultados de la penúltima fila de la tabla. El segundo método realiza una suma ponderada aplicando pesos diferentes para cada categoría de tercera, es decir, aplicando más peso a las terceras de categoría baja y menos a las de categoría alta 53. Se obtienen los resultados que se muestra en la última fila de la tabla. Si se comparan los resultados de las sumas anteriores con la tabla que expresa las desviaciones de las terceras calculadas para el temperamento de Werckmeister III, se puede observar una correlación muy elevada, especialmente para el caso del segundo método. Tal correlación queda demostrada de forma más clara en los gráficos representados en la Figura 4. El primer gráfico representa la tabla numérica de los resultados de la suma del segundo método y el segundo, la tabla numérica de las desviaciones de las terceras calculada para el temperamento de Werckmeister III. Observando estas dos gráficas puede deducirse que Bach usó más libremente las terceras mejor afinadas y evitó el uso de aquéllas otras más desviadas respecto de la justa entonación 54. No obstante, se observa una pequeña desviación para las terceras formadas sobre las notas Do # y Fa #. Igualmente, las terceras sobre Sol y Re son menos usadas de lo que era de esperar. Varios factores pueden influir en este resultado: 1) La dependencia que el compositor tiene con otros múltiples factores durante el proceso creativo. 2) La muestra de obras trabajadas es algo reducida para los objetivos estadísticos propuestos. 3) El temperamento usado por Bach podría diferir significativamente del temperamento de Werckmeister III. Aún así, se puede decir que el resultado es notablemente satisfactorio. 53
Los pesos aplicados son: 8 veces para la categoría A, 4 para B, 2 para C, 1 para D y ninguna (0) para E. Las terceras que están menos desviadas del temperamento igual aparecen con mayor frecuencia y peso.
54
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Barnes realiza la misma comparación para los temperamentos de Kirnberger y Kellner 55. Para el caso del temperamento de Kirnberger, los resultados obtenidos contradicen la afirmación realizada por Herbert Kelletat 56 quien sugirió que uno de los temperamentos publicados por Kirnberger era realmente de Bach (y, por lo tanto, la posible solución al problema planteado). La gráfica obtenida muestra una desviación bastante superior a la obtenida para el caso del temperamento de Werckmeister III. Algo similar ocurre para el caso del temperamento de Kellner, quien dedujo su temperamento a partir de un estudio de la espiritualidad del mundo del Barroco y apoyó su teoría mediante un estudio numerológico 57. Finalmente, Barnes propone un nuevo temperamento basado en una ligera modificación del temperamento de Werckmeister III. Tal propuesta solventa las desviaciones observadas para las terceras formadas sobre las notas Sol, Re, Do # y Fa #. Para este temperamento, identificado como temperamento de Barnes, las desviaciones de sus intervalos de quinta y tercera mayor con respecto a la justa entonación son:
Barnes Mi b Si b Fa Do Sol Re La Mi Si Fa # Do # Sol # Quintas 0 0 4 4 4 4 4 0 4 0 0 0 Terceras mayores 14 10 6 6 10 10 14 18 18 22 22 18 Barnes concluye de forma muy evidente que la obra de El clave bien temperado fue escrita para un temperamento similar al de Werckmeister III. Igualmente, una pequeña modificación demuestra la gran concordancia existente entre el temperamento y la partitura. No obstante, para tener en cuenta esta opinión, debe considerarse que Barnes ha trabajado únicamente los intervalos de tercera mayor en los preludios de tonalidades mayores. Por lo tanto, las tonalidades menores, los intervalos de tercera menor y las fugas, no se han tenido en cuenta para el resultado.
5.2 Procedimiento Una vez planteado el problema y estudiados sus antecedentes, se propone otro estudio realizado desde un punto de vista diferente, si más no, relacionado en algunos aspectos con el estudio de Barnes. En este caso se parte de unos principios más objetivos basados en la teoría de la disonancia sensorial desarrollada por Sethares e implementada informáticamente por mí. No se pretende desmentir los resultados de Barnes ni ofrecer la solución definitiva al problema; únicamente se trata de ofrecer una solución alternativa o, en todo caso, un punto de vista diferente para la cuestión planteada. A continuación se enumeran los pasos necesarios para la predicción del temperamento y para los cuales se requiere el uso del programa SpecMusic (descrito brevemente en el apartado 4.2): 1) Proponer un modelo espectral válido para el clavicémbalo y que después será utilizado para el cálculo de la disonancia total. Sethares, en su estudio aplicado a las sonatas de D. Scarlatti 58, asume el siguiente espectro para el instrumento: 55
KELLNER, H. A. “Eine Rekonstruktion…”, op. cit. KELLETAT, Herbert. Zur musikalischen Temperatur, insbesondere bei Johann Sebastian Bach. Hassel, 1960. 57 Bien es sabido que el simbolismo (o la numerología) era un método frecuente en la estética barroca y especialmente usado por Bach quien acostumbraba a firmar sus obras mediante un sello o signo numérico basado en las letras de su apellido. Tal procedimiento ha permitido a los musicólogos asegurar la autoría de muchas de sus obras. 58 SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit. 56
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donde f 0 es la frecuencia fundamental. 2) Utilizando el programa, para cada preludio y fuga en formato MIDI 59: a) Convertir el fichero MIDI en un fichero de partitura. b) Obtener la partitura de disonancia para cada preludio y fuga y para cada afinación que se quiera considerar. Tomar como parámetro el espectro propuesto en el paso anterior y anotar el valor obtenido para la disonancia total. 3) Realizar una tabla con todas las TD obtenidas en el apartado anterior. Aquella afinación que proporcione un valor más reducido para la disonancia de todas las piezas estudiadas será la más apropiada para la obra y, por tanto, la más firme candidata a la solución del problema propuesto. En este estudio se tomará la muestra formada por los 12 preludios y fugas correspondientes a las tonalidades mayores de la primera parte (se considerará cada preludio y fuga conjuntamente). Con relación al estudio de Barnes, se obtendrá más información debido a la inclusión de las fugas aunque, por otro lado, se perderá la información proporcionada por las piezas de la segunda parte. No obstante, la información relativa a las fugas puede ser más representativa que la de los preludios de la segunda parte. Con relación a la afinación, se considerarán únicamente los “buenos temperamentos”60, incluyendo igualmente las propuestas posteriores de Kellner y Barnes.
5.3 Evaluación de los resultados He aquí la tabla de las disonancias obtenidas para cada preludio y fuga tomando diversos temperamentos: BWV 846 848 850 852 854 856 858 860 862 864 866 868 Media Desviación estándar Tonalidad (mayor) Do Do # Re Mi b Mi Fa Fa # Sol La b La Si b Si Temperamento igual 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 -0,01 0,00 0,00 0,01 0,00 0,006685579 -3,09 -0,26 4,11 -3,35 -1,38 -11,43 1,82 2,75 -3,19 -0,73 -10,20 2,40 -1,88 4,855065693 Werckmeister I Werckmeister II 2,66 -0,13 -4,56 -4,63 -3,85 -13,82 1,93 8,34 -3,38 -3,59 -12,05 2,80 -2,52 6,247667686 Werckmeister III -3,09 -0,26 4,11 -3,35 -1,38 -11,43 1,82 2,75 -3,19 -0,73 -10,20 2,40 -1,88 4,855065693 -5,53 22,63 -1,86 14,52 3,36 -6,10 32,63 -11,68 25,16 -6,59 1,09 20,89 7,38 14,97779589 Werckmeister IV Werckmeister V -7,72 22,63 3,06 1,75 2,35 0,26 14,76 -8,44 12,06 -0,27 -2,50 7,75 3,81 9,128810661 Kirnberger II -27,51 -0,83 -2,21 -3,72 4,29 -5,90 1,94 -26,88 -3,53 -6,33 -7,96 -0,04 -6,56 10,25022424 -9,32 -0,42 3,91 -3,51 3,01 -10,45 1,39 -3,17 -3,08 0,85 -9,94 -0,38 -2,59 4,985386144 Kirnberger III Neidhardt I -4,41 -1,73 1,15 0,14 3,37 -5,06 -0,28 -2,07 0,23 -0,16 -5,34 1,13 -1,09 2,710744475 Marpurg I -3,54 9,50 -4,60 -5,21 0,15 1,66 -3,88 -6,26 -2,03 0,01 -1,96 -6,10 -1,86 4,389927521 -5,58 -0,29 -3,22 -2,30 2,43 -6,07 1,96 -5,00 -2,71 -3,98 -7,14 2,97 -2,41 3,460292837 Tartini-Vallotti Barca -4,37 -1,19 -2,22 -0,58 2,52 -4,72 1,36 -3,73 -1,91 -2,97 -5,19 2,78 -1,69 2,750733786 Kellner -6,56 -0,30 0,93 -2,75 1,80 -8,07 1,77 -2,14 -2,98 -1,75 -8,23 2,27 -2,17 3,766846101 -2,79 -0,42 1,53 -4,49 1,67 -5,73 1,42 -0,31 -4,05 -0,45 -6,64 1,54 -1,56 3,045992897 Barnes
En la tabla anterior, se observa la existencia de un valor mínimo (en media) para el caso del temperamento Kirnberger II. Incluso, aunque con bastante diferencia, el siguiente valor corresponde al temperamento de Kirnberger III. Aunque los valores de las desviaciones estándar para estos dos temperamentos son algo elevados (lo cual va en 59
Los ficheros MIDI pueden obtenerse en la siguiente dirección de Internet: http://www.bachcentral.com/. Véase la nota 1.
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contra de un concepto de circularidad), los resultados particulares de cada preludio y fuga muestran pocos valores positivos para la TD y éstos son relativamente reducidos. En concreto, los preludios y fugas para los que se obtienen valores positivos de la TD son los siguientes: Mi mayor (BWV 854) y Fa # mayor (BWV 858) para el caso del temperamento Kirnberger II; Re mayor (BWV 850), Mi mayor (BWV 854), Fa # mayor (BWV 858) y La mayor (BWV 864) para el caso e Kirnberger III. Para el caso de los temperamentos de Werckmeister, teniendo en cuenta que constituían unos de los temperamentos más probables, se obtienen unos resultados bastante malos para los casos IV y V. Para los casos de Werckmeister I, II y III, los resultados son mejores pero, aún así, sus TD son mayores que para los temperamentos de Kirnberger. Eso sí, las desviaciones estándar para estos tres últimos temperamentos son relativamente bajas y sólo cuatro preludios y fugas de cada caso tienen valores positivos para la TD. Únicamente destaca por su valor elevado de la TD, el caso correspondiente al preludio y fuga en Sol mayor (BWV 860). Otro valor bastante bueno se produce para el caso del temperamento TartiniVallotti, con una media y desviación estándar reducidas. Las soluciones de Kellner y Barnes son bastante buenas pero el valor correspondiente de la TD es mayor que para los temperamentos Kirnberger II y III. Incluso, el temperamento de Barnes proporciona un valor más alto que para el caso de Werckmeister III, lo cual contradice la conclusión de su propio estudio. Teniendo en cuenta el valor mínimo de disonancia obtenido para el caso del temperamento de Kirnberger II, y sin considerar relevantes los valores obtenidos para las desviaciones estándar, se propone el temperamento de Kirnberger II como el más adecuado para la obra de El clave bien temperado de J. S. Bach y como solución al problema planteado. Tal resultado contradice la opinión de Barnes en dos sentidos ya que no sólo se ha obtenido un resultado diferente sino que constituye una solución negada por él. No obstante, ha de tenerse en cuenta que el presente estudio ha considerado los preludios conjuntamente con las fugas y que también ha considerado todos los tipos de intervalos (Barnes consideró únicamente los de tercera mayor). Aún así, este resultado coincide con la anterior opinión de Kelletat. Eso sí, ciertas limitaciones de este procedimiento podrían haber desviado el resultado de su solución real. Tales limitaciones se exponen en el apartado siguiente.
5.4 Limitaciones de este procedimiento Como ocurre en todo procedimiento, existen ciertas limitaciones que podrían haber desviado el resultado anterior de su solución verdadera. Muchas de ellas están igualmente presentes en el estudio de Barnes pero, aún así, pueden añadirse otras que también podrían afectar a sus propios resultados. Igualmente, algunas de las que ya han sido consideradas por Barnes no se han tenido en cuenta para el presente estudio pero, en cualquier caso, todas estas limitaciones permitirán, más tarde, definir otros métodos de estudio más completos y fiables. Las limitaciones consideradas se enumeran a continuación: 1) La dependencia que el compositor tiene con otros múltiples factores que ha de tener en cuenta en el proceso creativo. 2) La muestra trabajada es algo pequeña para los objetivos estadísticos propuestos y el número de cálculos realizados puede no ser suficientemente representativo. 3) El temperamento usado realmente por Bach podría diferir más o menos de cualquiera de los temperamentos históricos conocidos.
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4) Ciertos recursos utilizados con finalidad expresiva, en aplicación de teoría de los afectos típica de la estética barroca, pueden aumentar el valor de la disonancia: a) Utilización intencionada de intervalos disonantes con finalidad expresiva, ya sean intervalos falsos que atraviesen la “quinta del lobo” 61, u otros intervalos aumentados o disminuidos (especialmente cuartas y quintas). b) Otros recursos expresivos que pueden provocar disonancias como ciertos pasajes rápidos u otros fragmentos escritos en registros graves. Muchos de ellos pueden constituir figuras retóricas. 5) Disonancias debidas a la escritura contrapuntística: a) Utilización de notas extrañas que provoquen disonancia, ya sigan o no las normas establecidas por J. J. Fux 62. No obstante, tales notas constituyen parte de la ornamentación y no deberían ser consideradas con la misma importancia. b) Intervalos cuya medida de disonancia se modifique debido a que sus dos notas constitutivas se ejecuten en instantes diferentes, efecto que viene causado por el decaimiento de la onda (la cual es muy evidente en el clave). 6) Limitaciones debidas al espectro utilizado: a) El espectro utilizado no deja de constituir un modelo matemático con su consiguiente desviación de la realidad. b) Se ha tomado un modelo único para todas las notas del teclado cuando bien es sabido que el timbre varía con la frecuencia y, por tanto, difiere según el registro utilizado 63. Efectos que sí contempla el presente estudio: 1) La relativa duración de un intervalo que pueda hacerlo más o menos evidente ante su contribución al efecto de disonancia. 2) Diferencia de octavas entre las respectivas notas que forman el intervalo o conjunto de intervalos.
5.5 Ejemplos ilustrativos de limitaciones debidas a la estética barroca A continuación se enumeran algunos ejemplos de obras en las que se encuentran algunos de los recursos expresivos típicos de la estética barroca a los que se hacía referencia en el apartado anterior: 1) Los “tientos de falsas”, típicos en la música barroca hispánica para tecla constituyen un caso en el cual se pretende destacar el efecto disonante provocado por determinados intervalos. Se trabajan especialmente los intervalos de cuarta y quinta disminuida que en los temperamentos habituales de la época podían resultar extremadamente disonantes. 2) En los compases 31 a 34 de la Fantasía y fuga en sol menor (BWV 542) de J. S. Bach, existe un pasaje cromático que, interpretado en cualquier tipo de temperamento de la época, se producen diferencias en la afinación de los diversos intervalos de tercera y quinta. Algunos de ellos pueden resultar extremadamente disonantes mientras que otros pueden quedar perfectamente 61
Eso no parece ser un problema para el estudio concreto propuesto cuya expresividad puede estar más delimitada si bien los intervalos que atraviesan la “quinta del lobo” son menos disonantes debidos al propio objetivo de los temperamentos circulares. 62 FUX, Johann Joseph. Gradus ad Parnassum . Viena (s. n.), 1725. 63 Ello sin contemplar las diferencias que pueden darse en el espectro al cambiar la articulación y la dinámica aunque ésta última no sea propia del clave.
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afinados según la justa entonación. En una grabación existente 64 puede apreciarse claramente ese efecto aunque en ningún sitio se especifica la afinación utilizada en el órgano. Se supone que tal efecto resulta provocado conscientemente por el autor. 3) En la “Toccata Cromaticha per le Levatione” de la Missa della Domenica de Girolamo Frescobaldi, se encuentran diversos fragmentos cromáticos donde se observa un efecto similar al anterior y que también se aprecia perfectamente en una grabación existente 65. 4) En el recitativo del Evangelista del Coro I “Und siehe da, der Vorhang im Tempel zerriss in zwei Stück”, hacia el final de la segunda parte de la Pasión según San Mateo de J. S. Bach, se encuentra un pasaje del continuo que contiene trémolos y escalas rápidas con fusas. Tal pasaje corresponde indudablemente a diversas figuras retóricas ( tiratas y tremolos) que pretenden ilustrar el significado del texto. Tanto las escalas rápidas como los trémolos producen una disonancia provocada conscientemente y con un objetivo expresivo. Debe añadirse que los trémolos se realizan en un registro grave que acentúa su efecto disonante 66.
5.6 Posibles vías de solución Teniendo en cuenta las observaciones realizadas en el apartado 5.4, pueden proponerse las siguientes vías de solución de cara a continuar el estudio del problema en trabajos posteriores: 1) De entrada, puede ampliarse el estudio de la disonancia a la totalidad de la obra e, incluso, aplicarlo a otras obras diferentes. 2) Las disonancias provocadas por ciertas figuras retóricas con finalidad expresiva deberían eliminarse del cálculo de la disonancia total tras un previo análisis musicológico de la obra. Tal análisis es realmente complejo para poder ser realizado automáticamente pero ello no dejaría de ser una posible vía de investigación futura muy interesante. 3) Las disonancias debidas a causas diferentes de las anteriores (ornamentación y notas extrañas propias de la escritura contrapuntística) también requerirían un análisis previo para ser posteriormente eliminadas o consideradas de forma diferente (con menos peso de cara al cálculo de la disonancia total). Tal análisis podría ser realizado automáticamente de una forma más fácil que el anterior debido a que se trata de fenómenos musicales más definidos. 4) Para solucionar el problema de las notas mantenidas en relación con el efecto de decaimiento de las ondas debería simularse la variación del espectro correspondiente, lo que llevaría a complicar el cálculo de la disonancia total. 5) Para solucionar las limitaciones debidas al espectro utilizado, por un lado, bastaría con modelar el espectro en función de la frecuencia de la nota fundamental y, por otro lado, mejorando el modelo espectral en sí. En este sentido, podría llegarse a desarrollar de nuevo la teoría de la disonancia 64
BACH, Johann Sebastián. Obras famosas para órgano . Ávila: Pilz España, S. A., 1988 (Otto Winter, órgano “Silbermann”). CD 1, track 11. El CD está editado conjuntamente con este otro: BACH, Johann Sebastián. Variaciones Goldberg . Ávila: Pilz España, S. A., 1989 (Christiane Jaccottet, clavicémbalo). 65 FRESCOBALDI, Girolamo. Fiori Musicali, 1635. Milan: Audivis-Astrée, 1989 (Rinaldo Alessandrini, órgano Gian Giacomo Antegnati, 1554, S. Mauricio al Monastero Maggiore). 2 CD, CD 1, track 21. 66 No obstante, debe tenerse en cuenta que la medida realizada para la disonancia puede omitir este efecto al considerar cada fusa independientemente de las otras. Una medida basada en una percepción auditiva más real (considerando, por ejemplo, un periodo de tiempo determinado que sea independiente de la figuración), podría acentuar más el efecto disonante buscado por Bach en este pasaje.
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basándose en un espectro continuo la cual cosa llevaría a sustituir el cálculo de sumatorios por integrales. A parte de todo esto, al igual que han hecho Kellner y Barnes y basándose en los principios que se han expuesto, podría proponerse un temperamento diferente a todos los existentes y que se ajustara lo máximo posible a la obra estudiada. Eso lo podríamos conseguir aplicando el algoritmo de gradiente descendiente propuesto por Sethares para esta finalidad67. En cualquier caso, tal solución no dejaría de ser un temperamento propuesto en el siglo XXI y que no tiene porqué coincidir con ninguno otro de la época68. No obstante, todo ello será motivo de estudio en un trabajo posterior.
6. CONCLUSIONES En este trabajo se ha estudiado la afinación de la obra de El clave bien temperado de J. S. Bach. Precisamente, una de las finalidades de esta obra consiste en demostrar el empleo de todas las tonalidades y, de entrada, eso hace pensar en uno de los llamados “buenos temperamentos”. Estudios anteriores concluyen de esta misma manera. En concreto, un estudio de Kelletat69 demuestra que el temperamento más adecuado es el de Kirnberger II mientras que un estudio posterior de Barnes 70 opta por el de Werckmeister III u otro muy similar. En este trabajo se ha vuelto a considerar la cuestión desde un punto de vista totalmente diferente y para el cual ha sido necesario el uso de las tecnologías actuales. Con base a los principios de la teoría de la disonancia sensorial desarrollada por autores como Helmholtz, Partch, Plomp, Levelt y Sethares, se han tomado los desarrollos matemáticos de éste último, además de unas herramientas software creadas por mí mismo, y se ha llegado a la conclusión de que el temperamento más adecuado para la obra en cuestión es el de Kirnberger II, tal como se puede deducir de los resultados obtenidos en el apartado 5.3. Estas afirmaciones contradicen los resultados dados por Barnes en su artículo pero, en cambio, coinciden con la opinión anterior de Kelletat. Téngase en cuenta, también, que en el presente estudio se han considerado conjuntamente los preludios y las fugas, y que también se han considerado todos los tipos de intervalos. Barnes, en cambio, sólo estudió los intervalos de tercera mayor de los preludios de tonalidades mayores. Por otro lado, también debe considerarse que existen ciertas limitaciones del procedimiento utilizado y a las cuales se ha hecho referencia en el apartado 5.4. 7. BIBLIOGRAFÍA Referencias impresas:
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Véase el apartado 3.4. De hecho, en este estudio, lo único que he hecho es decidir qué temperamento se ajusta más de entre todos los conocidos de la época. 69 KELLETAT, H. Zur musikalischen..., op. cit. 70 BARNES, J. “Bach’s keyboard temperament…”, op. cit. 68
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BACH, Johann Sebastián. Obras famosas para órgano . Ávila: Pilz España, S. A., 1988 (Otto Winter, órgano “Silbermann”). CD 1, track 11. El CD está editado conjuntamente 22
con este otro: BACH, Johann Sebastián. Variaciones Goldberg . Ávila: Pilz España, S. A., 1989 (Christiane Jaccottet, clavicémbalo). FRESCOBALDI, Girolamo. Fiori Musicali, 1635. Milan: Audivis-Astrée, 1989 (Rinaldo Alessandrini, órgano Gian Giacomo Antegnati, 1554, S. Mauricio al Monastero Maggiore). 2 CD, CD 1, track 21.
8. APÉNDICES 8.1 Definiciones matemáticas previas Definición del modelo espectral utilizado en este trabajo:
Si consideramos un espectro compuesto por una serie de tonos parciales, armónicos o no, su modelo matemático corresponde a un tren de deltas que, a su vez, resulta ser la transformada de Fourier de una onda compuesta por la suma de varias componentes sinusoidales:
Si identificamos este modelo como un conjunto de rayas espectrales podemos representarlo de la siguiente forma donde N es el número de rayas espectrales que componen el espectro, f i las frecuencias de cada tono parcial y Ai, sus respectivas amplitudes. Si las frecuencias son múltiplos enteros de otra frecuencia f 0 fundamental (que no tiene porqué existir), el espectro es armónico, es decir, si . Relación numérica de un intervalo:
Se define la relación numérica de un intervalo r como el cociente de las frecuencias f 2 y f 1 correspondientes a las dos notas que lo constituyen, es decir: Entonces, si r>1, el intervalo es ascendente; en caso contrario, si r<1, el intervalo es descendente; consecuentemente, el unísono corresponde al caso particular en que r=1. Definición de cent:
En este trabajo se ha utilizado el cent como unidad de medida de intervalos. Esta magnitud, utilizada por primera vez por A. J. Ellis 71, equivale a la centésima parte de un semitono temperado. Entonces, partiendo de la definición de distancia:
donde r es la relación numérica del intervalo y a la de otro intervalo usado como magnitud de medida, tomaremos de donde resulta
71
En la edición inglesa de HELMHOLTZ, H. L. F. On the sensations of tone..., op. cit.
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8.2 Cálculo de la curva de disonancia 72 Las curvas de R. Plomp y W. J. M. Levelt se pueden parametrizar mediante un modelo de la forma: donde x representa la diferencia de frecuencia entre dos sinusoides, y b1 y b2 representan las constantes según las cuales la función aumenta y disminuye. A partir de la minimización del error cuadrático medio entre los datos empíricos y los de la curva d(x) se obtienen los valores siguientes: b1 = 3.5 y b2 = 5.75. La función de disonancia d(x), por otro lado, debe ser escalada de tal manera que las curvas con diferentes amplitudes y frecuencias base puedan representarse convenientemente. Después de esta transformación, la disonancia entre sinusoides de frecuencias f 1 y f 2 (para f 1 < f 2) y amplitudes a1 y a2 es: donde
y La variable x* representa el punto de máxima disonancia obtenido a través de la función derivada. Tomando los valores escogidos para las constantes b1 y b2, se obtiene x* = 0.24. El parámetro s permite interpolar las curvas de diferentes frecuencias arrastrándolas a través del eje de frecuencia y comprimiéndolas de tal manera que el máximo de disonancia ocurra en la frecuencia adecuada. Aplicando de nuevo un algoritmo de minimización del error cuadrático medio pueden determinarse los valores s1=0.021 y s2=19. El parámetro a12, por otro lado, permite que las componentes de menor amplitud contribuyan en menor medida que las de mayor amplitud. Si se considera un sonido complejo F con n tonos parciales de frecuencias f 1
obteniéndose así la expresión de la disonancia intrínseca o inherente para sonido F . Si dos notas con un timbre F son tocadas simultáneamente a un intervalo de relación numérica ", el sonido resultante tiene una disonancia equivalente a la de otro sonido con frecuencias f i y ! f i y amplitudes ai, para i=1,2,…,n. Entonces, considerando el sonido F anterior y otro sonido ! F que contiene un espectro con frecuencias ! f 1 , ! f 2 , …, ! f n (con las mismas amplitudes), la disonancia de F a un intervalo ! viene dada por la siguiente expresión:
donde interés ! 73.
es la curva de disonancia generada por F sobre todos los intervalos de
72
Este desarrollo matemático se encuentra en SETHARES, W. A. “Local consonance...”, op. cit., y también en SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., ap. E, pp. 299-302.
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Para el caso de un intervalo con espectros diferentes para cada nota, la disonancia puede calcularse así:
donde F y G son los espectros y ai y bi sus respectivas amplitudes.
8.3 Cálculo de la partitura de disonancia y de la disonancia total 74 Teniendo en cuenta la expresión obtenida en el apartado anterior para la disonancia sensorial D F de un intervalo con fundamentales f i y f j, La disonancia total TD de un pasaje musical de m notas se define como la suma de las disonancias debidas a los intervalos formados por cada par de notas combinadas entre sí. Además, las disonancias son ponderadas por el tiempo en que ese par de notas suenan simultáneamente. Matemáticamente tenemos:
donde m es el número de notas de la escala 75, t (i, j) es el tiempo total para el cual las notas i y j suenan simultáneamente, y el término corresponde a la disonancia del intervalo entre ellas. Este término se calcula a través de la expresión obtenida en el apartado anterior y especifica la dependencia de la disonancia total con la afinación. Por otro lado, debe tenerse en cuenta el efecto de disminución de la amplitud, especialmente para los instrumentos de teclado. En estos instrumentos, la amplitud de una nota sostenida disminuye considerablemente pero, a la vez, se incrementa significativamente cada vez que suena una nueva nota ya que ésta refuerza a la anterior por efecto de la resonancia. Entonces, en pasajes suficientemente rápidos, tal distribución rectangular constituye una buena aproximación. Puede demostrarse que la suma anterior es equivalente a la suma de las disonancias de cada uno de los acordes de la partitura (tomados según el modelo explicado en el apartado 4.1) y tomando como valores temporales la duración de cada uno de ellos. Otra observación importante está en la diferencia existente entre los valores de la disonancia total para diferentes afinaciones ya que ésta resulta ser extremadamente pequeña (menos del 1% entre las afinaciones musicales usuales 76). Es por eso que buscaremos expresiones más adecuadas para el cálculo de la disonancia total. Podemos considerar las siguientes soluciones: 1) Expresar el resultado en partes por mil de la diferencia entre la medida obtenida para la afinación considerada y la medida obtenida aplicando el temperamento igual77: La diferencia de una parte por mil en contextos musicales típicos es claramente audible para un oído musicalmente entrenado. 73
En SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., ap. E, pp. 299-302, se encuentra la realización de un programa en MATLAB y BASIC para calcular y dibujar la curva de disonancia. Mi realización del algoritmo en el programa SpecMusic se ha implementado en lenguaje C++. 74 Véase SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., cap. 9, pp. 189-210. 75 El sumatorio corresponde a todas las posibles combinaciones entre cada una de las m notas. 76 Por esta razón, una precisión numérica de 9 decimales o mejor es aconsejable para el cálculo de la disonancia total. 77 Ésta es la solución propuesta por Sethares. Por otro lado, hay que tener en cuenta que el número de notas del temperamento igual debe ser el mismo que el de la escala en la cual se base la composición de la obra musical. Tal número es 12 para la mayoría de ejemplos musicales de la música occidental pero puede ser diferente en otros tipos de música.
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2) Aplicar logaritmos y sustituir la resta anterior por una división (igualmente en partes por mil) 78:
Esta medida proporciona una mayor diferenciación entre los diferentes resultados por lo que permite extraer conclusiones de una forma más clara. En las ecuaciones anteriores, TD expresa la disonancia total calculada mediante la fórmula dada; TD’ representa la expresión modificada; y TD0 se refiere a la disonancia total calculada aplicando el temperamento igual. Entonces, TD0 constituye un valor de referencia en relación al cual se expresará el cálculo de la disonancia para el resto de afinaciones. En consecuencia, para el caso del temperamento igual se obtendrá un valor nulo para la disonancia. En el presente artículo se ha tomado la segunda expresión para el cálculo de la disonancia total.
78
Ésta es la solución propuesta por mí.
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FIGURAS
Figura 1: Representación gráfica de la anchura de banda crítica 79.
Figura 2: Representación gráfica de la disonancia sensorial de dos ondas sinusoidales 80.
79
Datos extraídos de FERNÁNDEZ DE LA GÁNDARA, Gonzalo. “Curso de acústica...”, op. cit., fig. 6-9, p. 69. A su vez, la figura está extraída de PIERCE, J. R. Los sonidos de la música. Traducción española de la primera edición inglesa. Barcelona: Prensa Científica, 1985, p. 78. PILES ESTELLÉS, Jaime. Intervalos y gamas. Valencia: Piles, Editorial de Música, 1982, 131 p. 80 Datos extraídos de SETHARES, W. A. Tuning..., op. cit., fig. 2.18, p. 44.
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Figura 3: Curva de disonancia para un espectro de 6 picos obtenida a través del programa SpecMusic. El eje vertical representa la medida de disonancia sensorial según las expresiones expuestas en el apéndice 8.2 y el eje horizontal representa la relación de frecuencia entre las dos notas de un intervalo comprendido entre el unísono (1.0) y la octava (2.0).
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Figura 4: Comparación entre las desviaciones de los intervalos de tercera mayor correspondientes al temperamento de Werckmeister III y los resultados del segundo método de análisis de J. Barnes 81.
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Datos extraídos de BARNES, J. “Bach’s keyboard temperament”, op. cit., fig. 1, p. 243.
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