LA Matematica Colori Guida Biennio Risorse Piu

GUIDA PER L’INSEGNANTE Leonardo Sasso Claudio Zanone

LA matematica a colori

RISORSE PIÙ

Per il primo biennio

• Percorsi didattici multimediali guidati • Esplorazioni in GeoGebra • Guida pratica per B.E.S. • Attività laboratoriali

Ambiente educativo Digitale

LIBRO MISTO

E-BOOK

CONTENUTI ZONA INTEGRATIVI MATEMATICA

IN CLASSE

LA matematica a colori

per il primo biennio

Guida per l’insegnante RISORSE PIÙ

internet: deascuola.it e-mail: [email protected]

Redattore responsabile: Redazione: Progetto grafico: Copertina: Realizzazione: Disegni:

Monica Martinelli Paola Sardella - Centro Servizi Archeometria Carla Devoto Simona Corniola, Simona Speranza M.T.M. Leprechaun

Art Director:

Nadia Maestri

Risorse in GeoGebra: create con GeoGebra (www.geogebra.org) Microsoft Excel è un marchio depositato di Microsoft Corporation Si ringraziano le dott.sse Roberta Donini e Federica Brembati (Studio Abilmente) per la stesura della sezione «Strategie, esempi e consigli pratici per una didattica inclusiva»; la prof.ssa Sylviane Beltrame per la stesura delle attività laboratoriali e Christian Rubiella per le vignette.

Proprietà letteraria riservata © 2015 De Agostini Scuola SpA – Novara 1a edizione: gennaio 2015 Printed in Italy

Foto di copertina: © Shutterstock Le fotografie di questo volume sono state fornite da: © Shutterstock

L’Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono, ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Per agevolare gli insegnanti, l’Editore autorizza la riproduzione mediante fotocopie delle pagine del presente volume utili allo svolgimento dell’attività didattica.

Il software è protetto dalle leggi italiane e internazionali. In base ad esse è quindi vietato decompilare, disassemblare, ricostruire il progetto originario, copiare, manipolare in qualsiasi modo i contenuti di questo software. Analogamente le leggi italiane e internazionali sul diritto d’autore proteggono il contenuto di questo software sia esso testo, suoni e immagini (fisse o in movimento). Ne è quindi espressamente vietata la diffusione, anche parziale, con qualsiasi mezzo. Ogni utilizzo dei contenuti di questo software diverso da quello per uso personale deve essere espressamente autorizzato per iscritto dall’Editore, che non potrà in nessun caso essere ritenuto responsabile per eventuali malfunzionamenti e/o danni di qualunque natura. Eventuali segnalazioni di errori, refusi, richieste di chiarimento/funzionamento dei supporti multimediali o spiegazioni sulle scelte operate dagli autori e dalla Casa Editrice possono essere inviate all’indirizzo di posta elettronica [email protected].

INDICE Percorsi didattici multimediali guidati

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Introduzione Insiemi numerici Il calcolo con le lettere Il linguaggio della matematica e le funzioni Problemi lineari Problemi non lineari Complementi di algebra Geometria euclidea di base Luoghi geometrici, circonferenza, cerchio e poligoni Area e teoremi di Pitagora e di Euclide Trasformazioni nel piano Trigonometria e geometria nello spazio Dati e previsioni

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Esplorazioni in geogebra

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Introduzione Introduzione alla geometria euclidea Congruenza Congruenza dei triangoli Disuguaglianze nei triangoli Rette perpendicolari e parallele Proprieta` degli angoli nei poligoni Piccolo teorema di Talete Luoghi geometrici Circonferenza e poligoni inscritti e circoscritti Circonferenza inscritta e circoscritta a un triangolo Vettori Isometrie Teorema di Talete Proprieta` dei triangoli simili e teoremi di Euclide Omotetia Area

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Strategie, esempi e consigli pratici per una didattica inclusiva

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` laboratoriali Attivita

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Introduzione Algoritmo babilonese Antico gioco russo Curve per trisecare Dalla Terra alla Luna... con un foglio di carta

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Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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Indice

Di corsa al concerto Il foglio A4 e i suoi progenitori Il sistema articolato Luci e ombre Moltiplicazione egizia... sommare per moltiplicare! Pascal gioca a dadi Quanti saremo nel 2050? Simmetria obliqua Strade e sapone Taglio della torta o... rette nel piano Vale sempre?! Vasetti di marmellata

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Percorsi didattici multimediali guidati Introduzione I percorsi didattici multimediali guidati indicano come utilizzare i materiali digitali che si possono trovare a corredo del libro cartaceo presenti nell’ebook. Considerato che sono presenti videolezioni, figure animate, figure dinamiche, approfondimenti ecc., questi percorsi costituiscono una serie di «indici ragionati», approfonditi e commentati, che permettono di avere la struttura del programma da svolgere in classe, costruita lezione per lezione, senza nulla togliere alla liberta` del docente. I percorsi sono stati costruiti accorpando i contenuti in macroargomenti, percio` e` possibile che alcuni di essi si sviluppino su due anni, anche in modo diverso per ogni corso di studio. Inoltre, possono non esaurire tutto il programma da svolgere, oppure, a seconda dell’indirizzo di studio, affrontare piu` argomenti rispetto a quelli richiesti. Per questi motivi essi non sono vincolanti: ciascun docente puo` adattarli alle proprie esigenze, utilizzarne soltanto una parte, concentrandosi maggiormente sulla multimedialita` per quanto riguarda alcuni argomenti, oppure trattarne in modo piu` «tradizionale» altri. I macroargomenti previsti sono i seguenti dodici: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

insiemi numerici; il calcolo con le lettere; il linguaggio della matematica e le funzioni; problemi lineari; problemi non lineari; complementi di algebra; geometria euclidea di base; luoghi geometrici, circonferenza, cerchio e poligoni; area e teoremi di Pitagora e di Euclide; trasformazioni nel piano; trigonometria e geometria nello spazio; dati e previsioni.

Ciascuno di essi e` suddiviso in un certo numero di lezioni, per le quali e` indicato un tempo massimo di svolgimento (600 , 1200 , 1800 ), cosı` come il luogo in cui svolgerle (in classe anche con l’ausilio della LIM, in laboratorio di informatica), nonche´ il riferimento alla pagina del volume in cui reperire i vari materiali, a seconda dell’edizione del testo adottata. Da osservare che le tempistiche sono indicative, anche perche´ la trattazione di una lezione varia molto a seconda della classe che si ha di fronte, nonche´ del corso di studi in cui la stessa viene proposta. I tempi di svolgimento, inoltre, non tengono conto di tutti i momenti di approfondimento, correzione degli esercizi assegnati, interrogazione o verifica formativa. Per quanto riguarda i momenti di verifica scritta sommativa, gli approfondimenti storici o interdisciplinari, nei percorsi viene data solo indicazione dei materiali che si possono reperire.


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Percorsi didattici multimediali guidati

Ogni lezione di percorsi didattici proposti e` costruita secondo il seguente schema di massima: introduzione dell’argomento, quasi sempre con segnalazione di un problema o di un’attivita` di laboratorio da cui partire; richiami alla teoria; svolgimento degli esercizi preliminari; risoluzione degli esercizi svolti e guidati; visione delle videolezioni; svolgimento di eventuali attivita` di laboratorio o di approfondimento; svolgimento di esercizi di consolidamento; assegnazione di lavori per casa. Nei percorsi, a seconda del tipo di lezione, possono essere indicati i seguenti materiali: figura animata, cioe` un breve filmato senza audio, in cui viene rappresentata una figura geometrica o una sua proprieta` in modo dinamico; figura dinamica, cioe` una costruzione gia` pronta in ambiente GeoGebra, per la verifica di una proprieta` di qualche figura geometrica, funzione ecc.; particolari tipi di esercizi, quali, per esempio, quelli del tipo «A mente», per il calcolo rapido, «Interpretazione di grafici», «Focus sui concetti», oppure del tipo «Matematica e Fisica», «Matematica ed Economia» ecc., questi ultimi specifici per i corsi di studio. Alla fine di ogni unita` possono essere presenti ulteriori materiali: esercizi interattivi; esercizi di riepilogo; esercizi tratti dalle gare di matematica; esercizi in inglese; attivita` di approfondimento; prova di autoverifica; verifica finale. Al termine di ogni percorso e` infine suggerito dove reperire le prove Invalsi e le prove di competenza relative agli argomenti trattati. Per quanto riguarda i percorsi relativi alla geometria, e` stato dato particolare rilievo all’utilizzo del software dinamico GeoGebra. Oltre alle costruzioni e alle figure dinamiche gia` presenti nel testo, si suggerisce infatti di effettuare, con tale strumento, altre costruzioni, quali, per esempio, quelle tradizionali con riga e compasso. Per dare inoltre alla geometria un carattere di «scoperta», quasi empirica, sono state aggiunte, alla presente integrazione alle guide, in una sezione apposita, anche sedici Esplorazioni, sempre da svolgersi con GeoGebra, che dovrebbero essere affrontate come introduzione ai vari argomenti.

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Introduzione

In alcuni percorsi si fa infine riferimento ad attivita` di laboratorio che non sono presenti nel testo ne´ nell’ebook, ma che sono anch’esse raccolte nella presente integrazione. Si tratta, anche in questo caso, di sedici Attivita` laboratoriali, che non richiedono necessariamente solo l’uso del laboratorio di informatica, ma anche di altri materiali e costituiscono un interessante collegamento tra la matematica e la realta`. I vari materiali citati nei percorsi sono reperibili: nei volumi cartacei, seguendo il riferimento al numero di pagina indicato; nell’ebook (laboratori di matematica, approfondimenti, videolezioni, figure dinamiche in GeoGebra, figure animate, esercizi interattivi); nella presente guida (attivita` laboratoriali); nella guida per il docente abbinata al corso (prove di verifica).


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Percorsi didattici multimediali guidati 1

Insiemi numerici

Lezione 1 In classe

Insieme N e operazioni in N

ed. blu alg. 1

60’

insieme N: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . operazioni in N: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Calcolo rapido, e assegnazione di lavori per casa . . . .

ed. ed. ed. blu azzurra verde vol. 1 vol. 1 alg. 1

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Lezione 2 Laboratorio

Potenze ed espressioni in N

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presentazione dell’attivita` «Dalla Terra alla Luna... con un foglio di carta». .

ed. ed. ed. ed. blu azzurra verde verde vol. 1 vol. 1 alg. 1 vol. 1 attivita` laboratoriale

introduciamo il problem solving, modellizzando un problema che richiede l’uso delle potenze

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO proprieta` delle potenze con la stessa base . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE proprieta` delle potenze con la stessa base . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO proprieta` distributiva delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO proprieta` delle potenze con basi diverse . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con proprieta` distributiva e proprieta` delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con proprieta` delle potenze . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO tradurre in espressione una frase . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento dell’attivita` proposta «Dalla Terra alla Luna... con un foglio di carta» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Interpretazione di grafici, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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attivita` laboratoriale

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Insiemi numerici


Multipli e divisori

120’

presentazione del problema «Tre autobus al capolinea»

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introduciamo il problem solving, modellizzando un problema che richiede il m.c.m.

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) l’algoritmo di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO divisori, algoritmo di Euclide e numeri primi VIDEOLEZIONE scomposizione in fattori primi . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE scomposizione in fattori primi . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con proprieta` delle potenze . . . VIDEOLEZIONE espressione con proprieta` delle potenze . . . VIDEOLEZIONE espressione con proprieta` delle potenze . . . VIDEOLEZIONE espressione con proprieta` delle potenze (riepilogo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente e Focus sui concetti, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lezione 4 LIM

Insieme Z

60’

presentazione del problema «Saldo sul conto corrente» . . . . . . . . . . . . . . .

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la domanda che ci poniamo e` se il sig. Rossi avra` abbastanza denaro sul conto o se andra` a debito verso la banca: come possiamo rappresentare questa situazione numericamente?

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) in che senso Z e` un ampliamento di N? . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


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Lezione 5 LIM

Operazioni in Z

ed. blu alg. 1

120’

addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione: presentazione delle operazioni e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE addizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE sottrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE moltiplicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE divisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa potenze ed espressioni in Z: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO calcolo di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE calcolo di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE calcolo di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO proprieta` delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con addizioni e sottrazioni . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con moltipicazioni, divisioni ed elevamenti a potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «Saldo sul conto corrente» . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


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Lezione 6 LIM

Problemi in N e Z

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60’


l’argomento e` gia` stato introdotto: in questa lezione si puo` concludere il discorso proponendo ancora varie tipologie di problemi

schema per la risoluzione di un problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema sulle operazioni in N e Z . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema su M.C.D. e m.c.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema su M.C.D. e m.c.m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Matematica ed economia, e assegnazione di lavori per casa

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Insiemi numerici ed. blu alg. 1

Riepilogo e approfondimento


ed. verde vol. 1

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per le attivita` di consolidamento, riepilogo e approfondimento, sono ancora disponibili altri materiali

MATEMATICA NELLA STORIA

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ESERCIZI INTERATTIVI

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alla conquista dei numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica tra cui la Videolezione . . . . . . VIDEOLEZIONE esercizio dalle gare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese tra cui la Videolezione . . . . . VIDEOLEZIONE esercizio in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prova di autoverifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Lezione 7 In classe

Frazioni

60’

presentazione del problema «Suddividere una somma» . . . . . . . . . . . . . . .

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ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

e` necessario ampliare ulteriormente gli insiemi numerici presentati in precedenza

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO proprieta` invariantiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO riduzione ai minimi termini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO ordinamento di frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

Lezione 8 LIM

Calcolo con le frazioni

120’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari tra cui le Videolezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE test degli esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO addizione e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE addizioni e sottrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO moltiplicazione e divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE brevi espressioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . .


ed. blu alg. 1


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90 89

89

87

87

87

11


Lezione 9 In classe

Frazioni e numeri decimali

ed. blu alg. 1

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO riconoscere il tipo di numero decimale generato da una frazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO traformazione di numeri decimali in frazioni . . . . . . . . risoluzione del problema iniziale VIDEOLEZIONE espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Inventa tu ed Esplorazione, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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Lezione 10 In classe

Rapporti, proporzioni e percentuali

ed. blu alg. 1

60’

presentazione del primo problema «Litri di benzina»


99

99

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97

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96

96

95

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ed. verde vol. 1

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ed. gialla vol. 1

si possono modellizzare problemi con l’utilizzo delle proporzioni

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi, con particolare attenzione ai problemi con le percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema iniziale ESERCIZIO GUIDATO problema con percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Matematica ed economia e agli esercizi del tipo Argomentare e giustificare, e assegnazione di lavori per casa. . . .

Lezione 11 LIM

Insieme Q

ed. blu alg. 1

60’

insieme Q: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa operazioni nell’insieme Q: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO brevi espressioni con addizione e sottrazione . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO brevi espressioni con moltiplicazione e divisione . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione a termini frazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione a termini frazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Interpretazione di grafici, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12


73

73

71

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71

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69

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102

100

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100

100

97

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75

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73

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104

104

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102

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98

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104

101

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102

102

98

105

105

102

103

103

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99

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107

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105

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108

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106

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109

107

107

104

104

102

102

102

98

101


Insiemi numerici

Lezione 12 LIM

Potenze in Q

120’

potenze in Q: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO calcolo di potenze con esponente negativo . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO proprieta` delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con potenze a esponente negativo . . . . . VIDEOLEZIONE espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Interpretazione di grafici, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . notazione scientifica e ordine di grandezza: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO notazione scientifica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO ordine di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

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Lezione 13 LIM

Introduzione ai numeri reali

60’

questa lezione potrebbe essere svolta al primo anno come introduzione, per far capire agli alunni che e` possibile ampliare l’insieme Q e poi ripresa al secondo anno per introdurre il calcolo con i radicali

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi, con l’utilizzo delle Figure animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO riconoscere numeri irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


80

80

78

78

78

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119

115

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117

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ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

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dalle frazioni egizie ai numeri decimali . . . . . . . .......................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo i problemi di Matematica ed economia, i Problemi nella storia e gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) gli errori e la loro propagazione nei calcoli . . . . ESERCIZI INTERATTIVI



83

83

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81

81

81

78

120

120

116

118

118

116

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121

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122

120

120

123

123

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122

119

115

124

124

119

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122

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69

69

67

67

67

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125

125

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123

123

120

116

G 42

G 42

G 50

G 48

G 48

G 48

G 44

13


Lezione 14 LIM

Numeri reali

ed. blu alg. 2

60’


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

4

4

ed. gialla vol. 2

questa lezione parte dal presupposto che, al secondo anno, sia gia` stata richiamata la lezione precedente, di cui questa risulta la prosecuzione e l’approfondimento

APPROFONDIMENTO (PDF) ordine e operazioni in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO ordinamento di numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

4

4

4

4

approfondimento 1/6 approfondimento 5/6 approfondimento 6/6


Radici

ed. blu alg. 2

120’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO approssimazione di una radice quadrata . . . algoritmo babilonese: svolgimento dell’attivita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . spirale delle radici quadrate: costruzione geometrica delle radici quadrate, mediante le Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO costruzione geometrica di radici quadrate . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . .


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4

4

4

4

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100

27

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26

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125

4

4

4

4

4

4

100

attivita` laboratoriale 5

5

5

5

5

5

101

28

28

30

27

27

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27

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29

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26

26

125

ed. verde vol. 2

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Lezione 16 LIM

Radicali

ed. blu alg. 2

120’

condizioni di esistenza e segno: presentazione dell’argomento . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO condizioni di esistenza di radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO condizioni di esistenza di espressioni con radicali . . . . ESERCIZIO SVOLTO condizioni di esistenza di espressioni con radicali . . . . ESERCIZIO SVOLTO segno di particolari espressioni irrazionali . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa riduzione allo stesso indice e semplificazione: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO riduzione di radicali allo stesso indice . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO ordinamento di radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO semplificazione di radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE calcolo di radici quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO semplificazione di radicali letterali . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

14


7

7

7

7

7

7

103

30

30

32

29

29

29

128

30

30

32

29

29

29

128

31

31

30

30

30

31

31

30

30

32

30

30

30

29

29

29

128

9

9

9

9

9

9

105

32

32

33

31

31

31

129

32

32

34

31

31

31

130

33

33

34

32

32

32

130

33

33

35

32

32

32

131

34

34

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33

33

33

131

34

34

35

33

33

33

131

33

33

34

32

32

32

130


Insiemi numerici


Prodotto, quoziente, elevamento a potenza ed estrazione di radice di radicali

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO prodotto e quoziente di radicali con lo stesso indice . . ESERCIZIO GUIDATO prodotto e quoziente di radicali con indici diversi . . . . ESERCIZIO GUIDATO condizioni di esistenza di prodotti e quozienti . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Caccia all’errore, e assegnazione di lavori per casa . . .

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12

12

12

12

12

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108

35

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36

34

34

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132

36

36

37

35

35

35

133

37

37

38

36

36

36

134

38

38

37

37

37

36

36

35

35

35

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37

Lezione 18 LIM

Trasporto sotto e fuori dal segno di radice

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO trasporto sotto il segno di radice . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO trasporto sotto il segno di radice . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO trasporto fuori dal segno di radice . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE trasporto fuori dal segno di radice . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO trasporto fuori dal segno di radice . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu alg. 2


13

13

13

13

13

13

109

39

39

39

38

38

38

135

39

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39

38

38

38

135

40

40

40

39

39

39

136

41

41

40

40

40

40

136

41

41

41

40

40

40

137

42

42

41

41

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39

39

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38

38

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40

Lezione 19 LIM

Espressioni irrazionali

120’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO brevi espressioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO prodotti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione con prodotti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO confronto di numeri irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema sul perimetro di un quadrilatero . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO scomposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO scomposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO radicali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO scomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Caccia all’errore, e assegnazione di lavori per casa . . . . . .


ed. blu alg. 2


15

15

15

15

15

15

111

42

42

41

41

41

41

137

43

43

42

42

42

42

138

44

44

43

43

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138

15



Razionalizzazione, equazioni e disequazioni a coefficienti irrazionali

ed. blu alg. 2

60’

casi di razionalizzazione: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO razionalizzazione di denominatori . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa equazioni binomie: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi; e` possibile l’utilizzo delle Figure animate e delle Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . equazioni e disequazioni lineari a coefficienti irrazionali: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazioni binomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

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ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


Radicali e valore assoluto

ed. blu alg. 2

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO semplificazione di radicali numerici . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO semplificazione di radicali letterali . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO trasporto fuori dal segno di radice . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


19

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ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


Potenze con esponente razionale

ed. blu alg. 2

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO trasformazione di potenze in radicali . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO trasformazione di radicali in potenze . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Caccia all’errore, e assegnazione di lavori per casa . . . . . .

16


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Insiemi numerici Riepilogo e approfondimento

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2



.......................................... con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione con prodotti notevoli . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo i Problemi nella storia e gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO


Competenze e prove Invalsi

utilizzare le tecniche del calcolo aritmetico rappresentandole anche in forma grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . interpretare grafici e dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Verso le prove Invalsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prova di competenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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G 123 G 123 G 129 G 121 G 121 G 134

G 92

ed. blu alg. 1


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17


Il calcolo con le lettere

Lezione 1 60’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

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presentazione del problema «Come varia l’area di un rettangolo» . . . . . . .

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206

193

LIM

Introduzione al calcolo letterale

in questo caso il problema evidenzia la necessita` di trovare un modo per generalizzare il calcolo, senza dovere per forza «andare per tentativi» con l’utilizzo dei numeri

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO calcolo del valore numerico di un’espressione . . . . . . . VIDEOLEZIONE calcolo del valore numerico di un’espressione . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO trasformare in espressione letterale una frase . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO trasformare in espressione letterale una frase . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO trasformare in espressione letterale una frase . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO da una sequenza a un’espressione algebrica . . . . . . . . impostazione dell’espressione che conduce alla risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Matematica ed economia, agli esercizi di Giustificare, argomentare e dimostrare, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . .

Lezione 2 LIM

Monomi e loro somma algebrica

60’

monomi: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO grado di un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Inventa tu, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . addizione e sottrazione di monomi: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO somma e differenza di monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO riduzione dei termini simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE riduzione dei termini simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

18



Lezione 3 120’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO moltiplicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con moltiplicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con moltiplicazioni e potenze . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione con moltiplicazioni e potenze . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO divisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con divisioni e potenze . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «Come varia l’area di un rettangolo» . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Caccia all’errore, e assegnazione di lavori per casa . . .

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LIM

Moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza di monomi

Lezione 4 LIM

M.C.D e m.c.m. di monomi

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO M.C.D. e m.c.m. di monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione all’esercizio del tipo Esplorazione, e assegnazione di lavori per casa . . . . . .

Lezione 5 In classe

Calcolo letterale e monomi per risolvere problemi

60’

l’argomento e` gia` stato introdotto: in questa lezione si puo` concludere il discorso proponendo ancora varie tipologie di problemi . . . . . . . . . . . . .

PROBLEMA SVOLTO

rapporto tra aree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO triangolo isoscele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO quadrato e cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


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Percorsi didattici multimediali guidati ed. blu alg. 1


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Riepilogo e approfondimento per le attivita` di consolidamento, riepilogo e approfondimento, sono ancora disponibili altri materiali

verso il calcolo simbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO ....................................... ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE esercizio dalle gare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE esercizio dalle gare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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60’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

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ed. gialla vol. 1

presentazione del problema «Area della superficie interna di una scatola» .

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120’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO somma e differenza di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO moltiplicazione di un monomio per un polinomio . . . VIDEOLEZIONE espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO divisione di un polinomio per un monomio . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO moltiplicazione tra polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Caccia all’errore, e assegnazione di lavori per casa . . .

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274

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233

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295

253

253

253

251

Lezione 6 LIM

Polinomi

la modellizzazione del problema conduce a una somma algebrica di monomi non simili

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari tra cui la Videolezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE vero o falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO grado di un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO valore numerico di un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

Lezione 7 LIM

20

Operazioni con i polinomi

253 295

295

254

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297

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255

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291

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249

249

247

231



Lezione 8 LIM

Prodotti notevoli (prima parte)

60’

prodotto somma per differenza e quadrato di binomio: presentazione delle regole, svolgimento degli Esempi e visualizzazione geometrica dei prodotti notevoli con Visualizziamo i concetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO somma per differenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE somma per differenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO calcolo numerico rapido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO confronto rapido di numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO quadrato di binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO calcolo rapido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE calcolo rapido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO calcolo numerico rapido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO applicazione combinata dei due prodotti notevoli . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . .

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

277

277

236

236

236

234

219

298

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237

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256

256

254

238

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299

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257

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300

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301

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259

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302

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242

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302

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260

258

242

302

302

262

260

260

258

243

299

299

258

257

257

255

238

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

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280

238

238

238

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304

304

263

262

262

259

244

305

305

264

263

263

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306

265

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264

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307

266

265

265

263

247

282

282

241

241

241

239

224

271

271

229

230

230

228

213

304

304

263

262

262

263

244

Lezione 9 LIM

Prodotti notevoli (seconda parte)

60’

quadrato di trinomio e cubo di binomi: presentazione delle regole, svolgimento degli Esempi e visualizzazione geometrica dei prodotti notevoli con Visualizziamo i concetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO quadrato di trinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO cubo di binomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO calcolo rapido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . triangolo di Tartaglia: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «Area della superficie interna di una scatola» . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


21


Lezione 10 120’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

presentazione e risoluzione del problema «Aree». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

284

284

242

242

242

240

224

285

285

244

244

244

242

225

286

286

244

242 242 attivita` laboratoriale

242

226

309

309

268

267

267

264

249

309

309

268

267

267

264

249

310

310

269

268

268

265

250

312

312

271

270

270

267

308

308

267

266

266

263

248

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

314

314

273

271

271

268

253

315

315

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272

272

269

254

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318

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275

275

272

257

319

319

278

275

275

272

257

320

320

279

276

276

273

258

G 58

G 58

G 62

G 60

G 60

G 60

G 54

ed. blu alg. 1

ed. ed. ed. blu azzurra verde vol. 1 alg. 1

ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

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321

277

277

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333

333

288

288

286

269

333

333

288

288

286

269

334

334

289

289

287

270

Laboratorio

Polinomi per risolvere problemi e per dimostrare

conviene cominciare con la risoluzione di problemi

una proprieta` dei numeri naturali. . . . . . . . . congetturare e dimostrare proprieta` dei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vale sempre?!: svolgimento dell’attivita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO problema geometrico sull’area di un rettangolo . . . . . VIDEOLEZIONE problema geometrico sull’area di un quadrato. . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE proprieta` dei numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Matematica ed economia e agli esercizi del tipo Congetturare e dimostrare, e assegnazione di lavori per casa . . . PROBLEMA SVOLTO

MATEMATICA IN LABORATORIO



........................................... con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente e ai problemi di Matematica ed economia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO



Divisibilita` tra polinomi e divisione di un polinomio per un monomio

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO divisioni di un polinomio per un monomio . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

22



Lezione 12 LIM

Divisione tra polinomi

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO il teorema su quoziente e resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO divisione di due polinomi con resto . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO divisione di due polinomi con resto e coefficienti frazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

322

322

278

278

275

260

335

335

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288

271

335

335

290

290

288

271

336

336

291

291

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272

336

336

291

291

289

272

336

336

291

291

289

337

337

292

292

290

335

335

290

290

288

271

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

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326

281

281

279

263

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337

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273

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338

293

293

291

273

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338

293

293

291

339

339

294

294

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339

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294

292

338

338

293

293

291

274

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

329

329

285

285

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266

340

340

295

295

293

274

340

340

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295

293

275

341

341

296

296

294

275

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341

296

296

294

275

341

341

296

296

294

341

341

296

296

294

Lezione 13 LIM Laboratorio

Regola di Ruffini

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO la regola di Ruffini con il foglio di calcolo . . . ESERCIZIO SVOLTO divisione tra polinomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE divisione tra polinomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE estensione della regola di Ruffini . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO estensione della regola di Ruffini . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

266

Lezione 14 LIM

Teorema del resto e teorema di Ruffini

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO determinare il resto di una divisione. . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO divisibilita` tra polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO divisibilita` tra polinomi con parametri . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE divisibilita` tra polinomi con parametri . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


275

23

Percorsi didattici multimediali guidati ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

342

342

297

297

295

276

342

342

297

297

295

276

344

344

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344

344

297

329

329

284

284

282

345

345

299

299

298

278

G 62

G 62

G 64

G 64

G 62

G 56

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

346

346

280

300

300

299

279

363

363

293

314

314

312

286

ESERCIZIO SVOLTO

raccoglimento totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

363

293

314

314

312

286

ESERCIZIO GUIDATO


VIDEOLEZIONE


363

363

ESERCIZIO SVOLTO

raccoglimento totale con coefficienti frazionari . . . . . .

364

364

VIDEOLEZIONE

raccoglimento totale con coefficienti frazionari . . . . . .

315

315

ESERCIZIO SVOLTO

scomposizioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

364

364

294

315

315

313

287

ESERCIZIO SVOLTO

raccoglimento parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

365

365

295

316

316

314

287

ESERCIZIO GUIDATO


365

365

295

316

316

314

VIDEOLEZIONE


365

365

295

316

316

ESERCIZIO GUIDATO

scomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

366

366

295

317

317

VIDEOLEZIONE

scomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

366

366

296

317

317

VIDEOLEZIONE

scomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317

317

ESERCIZIO GUIDATO

scomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

366

366

296

317

317

315

scomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

367

367

297

318

318

316

svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Caccia all’errore e ai Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

363

294

314

314

313



........................................... con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) divisioni di polinomi a coefficienti letterali . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO


Lezione 15 LIM

VIDEOLEZIONE

24

Introduzione alla scomposizione di polinomi e raccoglimenti totali e parziali

60’

294 294

312 314

314

315

315

315

287



Lezione 16 ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

differenza di quadrati, quadrato di un binomio e cubo di un binomio: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

349

349

283

304

304

303

281

368

368

297

319

319

316

288

ESERCIZIO SVOLTO

differenza di quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

368

368

298

319

319

317

289

VIDEOLEZIONE

differenze di quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

368

368

298

319

319

317

ESERCIZIO SVOLTO

differenza di quadrati di binomi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

369

369

298

320

320

317

VIDEOLEZIONE

differenza di quadrati di binomi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

369

369

299

320

320

318

ESERCIZIO SVOLTO

quadrato di binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

369

369

299

320

320

318

VIDEOLEZIONE

quadrati di binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

369

369

299

320

320

318

ESERCIZIO SVOLTO

quadrato della somma tra un monomio e un binomio.

370

370

321

321

VIDEOLEZIONE

quadrato della somma tra un monomio e un binomio. differenza di quadrati di cui uno e` un trinomio . . . . . .

321

321

ESERCIZIO SVOLTO

371

371

300

322

322

VIDEOLEZIONE

differenza di quadrati di cui uno e` un trinomio . . . . . .

371

371

300

322

322

ESERCIZIO SVOLTO

cubo di binomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

372

372

301

323

323

320

VIDEOLEZIONE

cubo di binomio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

372

372

301

323

323

320

svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

368

368

298

319

319

317

289

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

352

352

286

304

304

303

284

372

372

301

323

323

320

292

324

324

324

324

324

324

325

325

LIM

Scomposizione mediante prodotti notevoli (prima parte)

60’

290

319 291

Lezione 17 LIM

Scomposizione mediante prodotti notevoli (seconda parte: completamento e riepilogo)

60’

quadrato di un trinomio, somma e differenza di cubi: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO quadrato di trinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE quadrato di trinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO somma e differenza di cubi. . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE somma e differenza di cubi. . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO differenza di cubi di cui uno e` un binomio . . . . ESERCIZIO GUIDATO/SVOLTO esercizio di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE esercizio di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . .


373

373

302

321

374

374

374

374

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373

301

324

324

321

293

292

25



Scomposizione di polinomi particolari

60’

scomposizione di particolari trinomi di secondo grado: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO trinomio di secondo grado con il primo coefficiente pari a 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE trinomi di secondo grado con il primo coefficiente pari a 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO trinomio di secondo grado con il primo coefficiente diverso da 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE trinomi di secondo grado con il primo coefficiente diverso da 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO trinomio di secondo grado con i coefficienti letterali . . ESERCIZIO SVOLTO trinomio riconducibile al secondo grado mediante sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE trinomio riconducibile al secondo grado mediante sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa scomposizione mediante il teorema di Ruffini: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO scomposizione di un polinomio di terzo grado . . . . . . VIDEOLEZIONE scomposizione di un polinomio di terzo grado . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

353

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ed. gialla

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ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

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291

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382

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333

333

329

381

381

308

332

332

329

Lezione 19 LIM

Sintesi sulla scomposizione di polinomi, M.C.D e m.c.m di polinomi

60’

linee guida per la scomposizione e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO scomposizione di polinomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO scomposizione di polinomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.C.D. e m.c.m. di polinomi: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE M.C.D. e m.c.m. di polinomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Inventa tu, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . .

26

ed. gialla


Il calcolo con le lettere Riepilogo e approfondimento

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

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296

G 64

G 64

G 64

G 66

G 66

G 64

G 58

ed. blu

ed. blu

ed. ed. azzurra verde vol. 1

ed. verde

ed. rossa

ed. gialla vol. 1

per le attivita` di consolidamento, riepilogo e approfondimento, sono ancora disponibili altri materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


........................................... con particolare attenzione agli esercizi del tipo Calcolo rapido, Congetturare e dimostrare e ai problemi di Matematica ed economia . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) scomposizione di binomi somma o differenza di potenze con lo stesso esponente . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO



utilizzare le tecniche del calcolo aritmetico rappresentandole anche in forma grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


315

297

317

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304

Lezione 20 60’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 2

presentazione e risoluzione del problema «Organizzazione di una gita» . . .

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405

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355

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402

402

191

351

351

347

48

LIM

Introduzione alle frazioni algebriche

il modello che conduce alla soluzione di questo problema da` luogo a un rapporto di polinomi

definizione di frazione algebrica: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE dalle parole alle frazioni algebriche e viceversa . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE dalle parole alle frazioni algebriche e viceversa . . . . . . . . . dominio, frazioni equivalenti e segno dei termini: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO condizioni di esistenza di una frazione algebrica . . . . . VIDEOLEZIONE condizioni di esistenza di una frazione algebrica . . . . . ESERCIZIO SVOLTO riduzione allo stesso denominatore . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Inventa tu, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . .


38 49

27


Lezione 21 LIM

Semplificazione di frazioni algebriche

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO semplificazione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . .

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

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ed. blu alg. 1


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ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

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416

205

365

365

361

58


Addizione e sottrazione di frazioni algebriche

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO addizioni e sottrazioni di frazioni algebriche con lo stesso denominatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO addizioni e sottrazioni di frazioni algebriche con denominatori diversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO addizioni e sottrazioni di frazioni algebriche con denominatori diversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE sottrazione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

57


Moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza di frazioni algebriche

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO moltiplicazione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione con addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni ESERCIZIO GUIDATO potenze di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO divisione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO espressione a termini frazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

28


Il calcolo con le lettere Riepilogo e approfondimento

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 2

422

422

210

371

371

366

64

423

423

211

372

372

367

65



........................................... con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE espressione di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO



utilizzare le tecniche del calcolo aritmetico rappresentandole anche in forma grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare, con particolare attenzione all’esercizio di tipo Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



66 426

426

213

375

375

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427

427

213

375

375

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214

376

376

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G 68

G 68

G 138

G 70

G 70

G 66

G 86

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 2

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259

377

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431

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261

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261

380

380

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93

433

433

262

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381

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94

436

436

264

384

384

378

96

29


Il linguaggio della matematica e le funzioni

Lezione 1 LIM

Insiemi e sottoinsiemi

60’

insiemi e loro rappresentazioni: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO rappresentazione per elencazione . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO rappresentazione mediante proprieta` caratteristica . . . ESERCIZIO SVOLTO rappresentazione mediante diagrammi di Venn . . . . . VIDEOLEZIONE insiemi uguali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa sottoinsiemi: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO riconoscere sottoinsiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE completamento di un insieme, dato un suo sottoinsieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO insieme delle parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

126

126

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124

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153

153

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151

146

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149

146

139

128

128

123

126

126

123

119

154

154

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152

152

149

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154

154

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152

152

149

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155

155

150

153

153

150

143

156

156

151

154

154

151

144

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155

150

153

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ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

130

130

125

128

128

125

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156

156

151

154

154

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144

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155

155

152

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159

156

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161

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159

156

162

162

157

160

160

157

157

157

152

155

155

152

145

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

136

136

131

134

134

131

125

163

163

158

161

161

158

149

163

163

158

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161

158

150

163

163

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158

150

Lezione 2 LIM

Operazioni con gli insiemi

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO unione, intersezione e differenza di insiemi . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE unione, intersezione e differenza di insiemi . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dalla rappresentazione alla scrittura dell’operazione . . VIDEOLEZIONE partizioni di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dalla descrizione simbolica a quella a parole . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO verifica delle proprieta` tramite i diagrammi di Venn . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

149

Lezione 3 LIM

Prodotto cartesiano

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE verifica della proprieta` distributiva del prodotto cartesiano rispetto all’intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

30



Lezione 4 120’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

presentazione del problema «Un’indagine sulla conoscenza delle lingue» .

138

138

133

136

136

133

127

risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO risoluzione di un problema con i diagrammi di Venn . .

138

138

133

136

136

133

127

165

165

160

163

163

160

presentazione del problema «Colonna sonora» . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

140

135

138

138

135

129

140

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162

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ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

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136

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154

167

167

162

165

165

162

152

LIM

Insiemi come modello per risolvere problemi

possiamo modellizzare un problema utilizzando gli insiemi e le loro operazioni

altri problemi hanno come modello il prodotto cartesiano

risoluzione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO risoluzione di un problema con il prodotto cartesiano svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


Proposizioni, enunciati aperti e connettivi logici

120’

presentazione dell’attivita` Matematica in laboratorio «Numeri primi e connettivo o» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mettiamo in evidenza la necessita` di realizzare connettivi logici

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . svolgimento dell’attivita` presentata (attivita` guidata), con la guida del docente e svolgimento autonomo da parte degli alunni delle ulteriori attivita` (attivita` proposte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO inversa di una proposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


31


Lezione 6 In classe

Quantificatori e negazione

60’

presentazione del problema «Negazione della proposizione»

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

147

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ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

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172

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158

176

176

171

174

174

171

159

portiamo gli alunni a ragionare sul significato della negazione e sulla necessita` di introdurre i quantificatori

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO scrivere in simboli una proposizione . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO scrivere in linguaggio corrente una proposizione . . . . ESERCIZIO SVOLTO negazione di una proposizione con quantificatori . . . . risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa



dalla teoria «ingenua» degli insiemi alla teoria «assiomatica» . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI INTERATTIVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO con particolare attenzione agli esercizi del tipo Giustificare e argomentare e ai problemi di Matematica ed economia . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Esplorazione . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH

esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

177

171

174

174

171

159

VIDEOLEZIONE

esercizio dalle gare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

177

171

174

174

171

159

VIDEOLEZIONE

esercizio in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

177

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174

171

159

VIDEOLEZIONE

esercizio in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

177

171

174

174

171

159

le operazioni e gli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

138

133

136

136

133

127

complementi di logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

148

143

146

146

143

136

APPROFONDIMENTO (PDF) APPROFONDIMENTO (PDF)


32

178

178

172

175

175

172

160

G 46

G 46

G 54

G 52

G 52

G 52

G 46



Lezione 7 LIM

Introduzione alle relazioni

120’

concetto di relazione: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO prime considerazioni su una relazione data . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE prime considerazioni su una relazione data . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa rappresentazioni di una relazione: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE associazione della relazione al suo grafo . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO rappresentazione di una relazione fra due insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE rappresentazione per elencazione e diagramma cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO rappresentazione mediante un grafo . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) problemi sui grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U19)

1/38

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1/38

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179

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193

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17/38 17/38 17/38 17/38

193

193

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2/38

194

194

18/38 18/38 18/38 18/38

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195

196

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21/38 21/38 21/38 21/38

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197

22/38 22/38 22/38 22/38

195

195

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ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

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(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)

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5/38

5/38

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ed. gialla

17/38 17/38 17/38 17/38 2/38

2/38

2/38

19/38 19/38 19/38 19/38

Lezione 8 LIM

Proprieta` delle relazioni

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO proprieta` di una relazione definita tramite un enunciato aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO proprieta` di una relazione definita tramite un enunciato aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE proprieta` di una relazione definita tramite un enunciato aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE proprieta` di una relazione definita tramite un enunciato aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO proprieta` di una relazione rappresentata per elencazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO proprieta` di una relazione rappresentata tramite un grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO proprieta` di una relazione rappresentata tramite un diagramma cartesiano o una tabella a doppia entrata svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


183

183

5/38

198

198

23/38 23/38 23/38 23/38

198

198

23/38 23/38 23/38 23/38

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199

24/38 24/38 24/38 24/38

199

199

199

199

199

199

24/38 24/38 24/38 24/38

200

200

25/38 25/38 25/38 25/38

201

201

26/38 26/38 26/38 26/38

198

198

23/38 23/38 23/38 23/38

ed. gialla

33


Lezione 9 LIM

Relazioni di equivalenza

ed. blu alg. 1

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO riconoscere una relazione di equivalenza . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE riconoscere una relazione di equivalenza . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE riconoscere una relazione di equivalenza . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE riconoscere una relazione di equivalenza . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE classi di equivalenza e insieme quoziente . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U19)

9/38

9/38

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187

187

9/38

203

203

28/38 28/38 28/38 28/38

203

203

28/38 28/38 28/38 28/38

203

203

203

203

203

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204

204

203

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ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

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(PDF U16)

(PDF U19)

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ed. gialla

28/38 28/38 28/38 28/38

Lezione 10 LIM

Relazioni d’ordine

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO riconoscere e classificare una relazione d’ordine . . . . . VIDEOLEZIONE riconoscere e classificare una relazione d’ordine . . . . . ESERCIZIO GUIDATO riconoscere e classificare una relazione d’ordine . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


190

190

14/38 14/38 14/38 14/38

205

205

30/38 30/38 30/38 30/38

206

206

31/38 31/38 31/38 31/38

206

206

206

206

31/38 31/38 31/38 31/38

206

206

31/38 31/38 31/38 31/38

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)


(PDF U19)


209

209

ESERCIZI DI RIEPILOGO

210

210

34/38 34/38 34/38 34/38

212

212

36/38 36/38 36/38 36/38

189

189

13/38 13/38 13/38 13/38

213

213

37/38 37/38 37/38 37/38

G 50

G 50

........................................... ......................................... ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo i Problemi nella storia e gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) la definizione di numero naturale . . . . . . . . . . .


34

(PDF U19)

ed. gialla

ed. gialla





ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

572

572

403

509

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495

381

572

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403

509

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495

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598

598

422

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423

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423

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599

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423

528

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512

398

120’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . .

576

576

513

498

384

Laboratorio

Introduzione alle funzioni

60’

presentazione e risoluzione del problema «Area variabile»: puo` risultare piu` chiara con l’aiuto delle Figure animate e delle Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nei problemi con una o piu` variabili alcune grandezze in gioco sono «funzioni» di tali variabili

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dominio di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE dominio di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO immagini e controimmagini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


Il grafico di una funzione

presentazione dell’attivita` «Taglio della torta o... rette nel piano»

406

512


a partire da una situazione geometrica, costruiamo per punti una funzione di dominio N e tracciamo il grafico con il foglio di calcolo

svolgimento dell’attivita` proposta «Taglio della torta o... rette nel piano» e analisi del grafico ottenuto ESERCIZIO GUIDATO grafici di funzioni (possono essere realizzati con il foglio di calcolo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO riconoscere grafici di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO individuare dominio e immagine dal grafico . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO individuare dominio e immagine dal grafico . . . . . . . .

601

601

425

530

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400

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402

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603

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516

402

513

399

presentazione dell’attivita` «Di corsa al concerto»


modellizzazione di un problema di ottimizzazione che da` luogo a una funzione piu` complessa; utile comunque per vedere il grafico di una funzione qualsiasi

svolgimento dell’attivita` proposta «Di corsa al concerto» e analisi del grafico ottenuto svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione all’Esercizio interattivo di interpretazione di grafici, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


600

600

424

530

530

35



Funzioni di proporzionalita` diretta e inversa

60’

presentazione e risoluzione del problema «Relazione tra lato e perimetro di un quadrato» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione e risoluzione del problema «Relazione tra base e altezza di un rettangolo con area fissata» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ed. blu alg. 1


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582

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609

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ed. blu alg. 1


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434

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ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

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612

541

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587

587

612

612

541

542

in questo caso la modellizzazione del problema da` luogo a una funzione di proporzionalita` diretta o di proporzionalita` inversa

presentazione dell’argomento con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi interattivi con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra. . . . PROBLEMA SVOLTO sulla Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMA SVOLTO raggi ultravioletti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema di proporzionalita` diretta . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema di proporzionalita` inversa . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Interpretazione di grafici e ai problemi di Matematica ed economia, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . .


Funzioni lineari

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi, con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE funzioni lineari con parametri da determinare . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Matematica ed economia, e assegnazione di lavori per casa .


Funzioni di proporzionalita` al quadrato e al cubo

60’

presentazione e risoluzione del problema «Relazione tra area e raggio di un cerchio» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione e risoluzione del problema «Relazione tra volume e raggio di una sfera» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . in questo caso la modellizzazione del problema da` luogo a una funzione di proporzionalita` al quadrato o al cubo

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi, con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra e delle Figure animate . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMA SVOLTO area di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

36



Lezione 16 120’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

interpretazione grafica di un’equazione . . . interpretazione grafica di un’equazione: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi, con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari sulle equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizio interattivo con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa MATEMATICA IN LABORATORIO interpretazione grafica di una disequazione interpretazione grafica di una disequazione: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi, con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari sulle disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

588

588

414

521

522

506

392

588

588

414

521

522

506

392

613

613

436

542

543

525

411

614

614

436

543

544

525

411

614

614

437

542

543

525

411

590

590

416

523

524

508

394

590

590

416

523

524

508

394

616

616

438

544

545

526

413

616

616

438

545

546

527

413

ed. blu alg. 1

ed. ed. ed. blu azzurra verde vol. 1 vol. 1

ed. verde

ed. rossa

ed. gialla

592

592

418

617

617

439

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

` MATEMATICA NELLA REALTA

595

595


619

619

441

546

547

528

415

620

620

442

547

548

529

416

623

623

445

624

624

Laboratorio

Funzioni, equazioni e disequazioni

interpretiamo graficamente equazioni e disequazioni con GeoGebra



Funzione inversa e funzione composta

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


la crittografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO con particolare attenzione agli esercizi del tipo Interpretazione di grafici. . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) funzione inversa e funzione composta . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) le funzioni di proporzionalita` al quadrato e al cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



532

418 525

526 389

625

625

446

550

551

533

418

G 84

G 84

G 76

G 86

G 86

G 80

G 66

37

Percorsi didattici multimediali guidati Competenze e prove Invalsi

utilizzare le tecniche del calcolo aritmetico, rappresentandole anche sotto forma grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . interpretare grafici e dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


38

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

626

626

447

551

552

534

419

627

627

448

552

553

535

420

628

628

449

553

554

536

421

629

629

554

555

537

631

631

451

555

557

539

423

634

634

454

558

560

542

426


Problemi lineari

Problemi lineari

4

Lezione 1 60’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

presentazione del problema «I discepoli di Pitagora» . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione del problema «Monete» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione del problema «Triangolo rettangolo» . . . . . . . . . . . . . . . . . .

438

438

324

386

386

380

306

450

450

336

398

398

392

317

452

452

399

399

438

438

324

386

386

380

306

456

456

341

403

403

397

322

456

456

341

403

403

397

322

457

457

342

404

404

398

323

457

457

342

404

404

398

323

440

440

326

388

388

382

308

458

458

343

405

405

399

324

460

460

344

407

407

400

325

459

459

343

406

406

399

324

120’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione di primo grado con coefficienti frazionari . . VIDEOLEZIONE equazione di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE equazione di primo grado con coefficienti frazionari . . ESERCIZIO SVOLTO equazioni indeterminate e impossibili . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE equazione con parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa equazioni e legge di annullamento del prodotto: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione con scomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «I discepoli di Pitagora» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «Monete» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «Triangolo rettangolo» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

444

444

330

392

392

386

312

461

461

345

408

408

401

326

461

461

345

408

408

401

326

461

461

346

408

408

402

327

462

462

347

409

409

403

328

441

441

347

409

409

403

328

464

464

348

411

411

404

330

464

464

349

411

411

405

330

467

467

351

414

414

407

461

461

345

408

408

401

447

447

333

395

395

389

468

468

352

415

415

408

438

438

324

386

386

380

306

450

450

336

398

398

392

317

452

452

399

399

467

467

414

414

In classe

Introduzione alle equazioni lineari

esiste un modo per creare un modello adatto a risolvere problemi di varia natura, che conduce a un’equazione di primo grado

introduzione alle equazioni: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari sulle soluzioni di un’equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO soluzioni di un’equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO riconoscere un’identita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa principi di equivalenza, grado di un’equazione: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari sui principi di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO grado e forma normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Caccia all’errore, e assegnazione di lavori per casa . . . . . .

Lezione 2 LIM

Equazioni lineari intere numeriche


351

326

407

39


Lezione 3 LIM

Problemi che hanno come modello equazioni lineari

120’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

469

469

353

416

416

409

333

449

449

335

397

397

391

316

449

449

335

397

397

451

451

337

452

452

338

400

471

471

355

418

471

471

355

476

476

477

477

478

478

470

470

l’argomento e` gia` stato introdotto presentando le equazioni di vario tipo: in questa lezione si puo` concludere il discorso proponendo varie tipologie di problemi

Esercizi preliminari, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Focus sui concetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO sconto sul televisore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO tre numeri naturali consecutivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO area di un rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO due auto in autostrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema dalla realta` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO geometria sugli angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO teorema di Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO teorema di Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Matematica ed economia, alle Figure dinamiche con GeoGebra e agli esercizi del tipo Inventa tu nella sezione Dalla risposta al problema, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . .

391

316

393

318

400

394

319

418

411

334

418

418

411

336

417

423

423

360

424

424

353

417

417

410

333

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

447

447

395

395

389

315

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1


454

454

339

401

401

395

320


480

480

362

426

426

418

342

481

481

363

427

427

419

343

485

485

366

430

430

422

345

486

486

366

430

430

422

345

341


Matematica in laboratorio

60’

presentazione dell’attivita` Matematica in laboratorio «Interpretazione grafica di un’equazione» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

333

possiamo utilizzare gli strumenti informatici per risolvere problemi

svolgimento dell’attivita` presentata (attivita` guidata), con la guida del docente e svolgimento autonomo da parte degli alunni delle ulteriori attivita` (attivita` proposte)


lo sviluppo dell’algebra e delle equazioni . . . . . .......................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO con particolare attenzione agli esercizi del tipo Focus sui concetti e Problemi nella storia . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


40

487

487

367

431

431

423

346

G 72

G 72

G 68

G 74

G 74

G 68

G 62


Problemi lineari

Lezione 5 60’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 2

presentazione del problema «Frazioni equivalenti» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione del problema «La somma di due numeri» . . . . . . . . . . . . . .

488

488

215

432

432

424

69

495

495

220

439

439

429

74

488

488

215

432

432

424

69

500

500

225

433

78

500

500

225

442

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433

78

501

501

226

443

444

434

79

488

488

215

432

432

424

69

495

495

220

439

439

429

74

501

501

226

443

444

434

79

120’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 2

presentazione del problema «Contratto di lavoro» . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

490

490

217

434

434

426

71

490

490

217

434

434

426

71

503

503

228

445

446

436

81

492

492

219

436

436

428

73

504

504

228

86

86

436

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504

504

228

86

86

436

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504

229

86

86

437

82

505

505

229

447

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437

506

506

491

491

218

435

435

427

72

504

504

229

447

447

437

82

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla

492

492

436

503

503

507

507

508

508

510

510

494

494

508

508

In classe

Equazioni frazionarie

esistono problemi che conducono a equazioni frazionarie

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari, con particolare attenzione all’esercizio del tipo A mente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «Frazioni equivalenti» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «La somma di due numeri» . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


Equazioni letterali

esistono problemi che conducono a equazioni letterali

presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO interpretazione grafica di un’equazione letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione letterale con due parametri . . . . risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

Lezione 7 LIM

Equazioni letterali con parametri al denominatore ed equazioni letterali frazionarie

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione letterale con parametro al denominatore . . VIDEOLEZIONE equazione letterale con parametro al denominatore . . ESERCIZIO GUIDATO equazione letterale frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . applicazione alla risoluzione di formule: presentazione dell’Esempio . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


436 228 230

445

446

448

449

436

449

450

451

452

438

219

438

438

428

230

449

450

438

41




ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 2

514

514

233

456

441

85

497

497

222

514

514

233

455

456

441

85

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 2


517

517

236

458

459

444

87


517

517

237

458

459

445

88

522

522

239

522

522

239

462

463

LIM

Problemi che hanno come modello equazioni frazionarie o letterali

60’


Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO gara di corsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Matematica e fisica, e assegnazione di lavori per casa . . . .


455

85


.......................................... ......................................... ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


447 447

89

523

523

240

463

464

448

90

G 76

G 76

G 140

G 78

G 78

G 72

G 88

60’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

presentazione del problema «Una vecchia foto» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

541

541

380

482

482

466

359

524

524

368

464

465

449

347

544

544

384

484

485

468

362

545

545

385

485

486

469

363

544

544

384

484

485

468

362

529

529

373

469

470

454

352

546

546

386

486

487

470

364

546

546

387

486

487

470

365

Lezione 9 In classe

Introduzione alle disequazioni di primo grado

esiste un modo per creare un modello adatto a risolvere problemi di varia natura che conduce a una disequazione di primo grado

disuguaglianze numeriche, disequazioni: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari sulle disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO soluzioni di una disequazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa principi di equivalenza: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari sui principi di equivalenza, con particolare attenzione agli esercizi di tipo Caccia all’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi di tipo Caccia all’errore, e assegnazione di lavori per casa . . .

42


Problemi lineari

Lezione 10 120’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Caccia all’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO interpretazione grafica di una disequazione ESERCIZIO GUIDATO disequazione di primo grado . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO disequazione di primo grado . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE disequazione di primo grado . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO disequazioni impossibili o sempre verificate ESERCIZIO SVOLTO disequazioni di grado superiore al primo risolvibili con il ragionamento . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «Una vecchia foto» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . .

531

531

375

471

472

456

354

547

547

387

487

488

471

365

533

533

377

473

474

458

356

548

548

387

488

489

472

549

549

388

473

365

550

550

389

489

490

474

367

551

551

390

490

491

475

368

551

551

390

490

491

475

368

541

541

380

482

482

466

359

548

548

386

488

489

472

366

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla

533

533

241

473

474

458

555

555

249

493

494

478

555

555

249

493

494

478

556

556

250

494

495

479

557

557

251

495

496

480

558

558

252

496

497

481

558

558

252

496

497

481

559

559

253

497

498

482

558

558

250

493

494

478

Laboratorio

Disequazioni intere numeriche di primo grado

Lezione 11 LIM

Disequazioni frazionarie e risolvibili mediante scomposizione in fattori

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO disequazione frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO disequazione frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE disequazione frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO disequazione scomposta in fattori . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO disequazione scomponibile in fattori . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO disequazione frazionaria riconducibile a disequazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Inventa tu, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . .


43


Lezione 12 60’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

presentazione del problema «Geometria» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione del problema «Taglie di vestiti» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

542

542

483

LIM

Sistemi di disequazioni

382

482

ed. rossa vol. 1

381

ed. gialla vol. 1

360

esiste un modo per creare un modello adatto a risolvere problemi di varia natura che conduce a un sistema di disequazioni

presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO sistema con due disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE sistema con tre disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «Geometria» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «Taglie di vestiti» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi di tipo Inventa tu, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . .

538

538

377

478

479

463

357

560

560

392

498

499

483

370

560

560

393

498

499

483

371

561

561

499

500

484

542

542

482

483

382 381 393

360

561

561

499

500

483

371

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

563

563

394

501

502

486

373

563

563

395

501

502

486

374

564

564

396

502

503

487

565

565

397

503

504

563

563

395

501

501

486

374

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

566

566

398

504

505

489

376

567

567

399

505

506

490

377

570

570

401

507

508

493

379

570

570

401

507

508

493

379

Lezione 13 LIM

Problemi che hanno come modello disequazioni

60’

l’argomento e` gia` stato introdotto presentando le disequazioni di vario tipo: in questa lezione si puo` concludere il discorso proponendo varie tipologie di problemi

Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema dalla realta` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione alle Figure dinamiche con GeoGebra, ai problemi di Matematica ed economia, agli esercizi del tipo Inventa tu, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


373 374 375



.......................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


44

571

571

402

508

509

494

380

G 80

G 80

G 72

G 82

G 82

G 76

G 64


Problemi lineari Competenze e prove Invalsi

utilizzare le tecniche del calcolo algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . interpretare grafici e dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare, con particolare attenzione all’esercizio del tipo Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

626

626

447

551

552

534

419

627

627

448

552

553

535

420

628

628

449

553

554

536

421

629

629

554

555

537

631

631

451

555

557

539

423

634

634

454

558

560

542

426

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


Introduzione ai sistemi lineari

60’

presentazione del problema «In un cinema» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione del problema «Un test» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

67

60

65

65

65

156

67

67

60

65

65

65

156

157

esiste un modo per creare un modello adatto a risolvere problemi di varia natura che conduce a un sistema di equazioni

sistemi, soluzioni, sistemi determinati, indeterminati e impossibili, sistemi interi e frazionari, grado: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO soluzione di un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO soluzione di un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE grado e soluzioni di un sistema . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO intersezione tra due rette . . . . . . . . . . . . . . . Interpretazione grafica di un sistema lineare: Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO INTERATTIVO interpretazione di grafici di un sistema: Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO interpretazione grafica di un sistema . . . . . . . . . . . risoluzione dei problemi iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


68

68

61

66

66

66

100

100

83

90

90

90

100

100

83

90

90

90

178

100

100

84

91

91

91

179

102

102

85

92

92

92

70

70

63

68

68

68

159

70

70

64

69

69

69

160

102

102

85

92

92

92

179

103

103

86

93

93

93

180

100

100

83

90

90

90

178

45


Lezione 15 LIM

Metodi di risoluzione dei sistemi lineari

ed. blu alg. 2

120’

metodo di sostituzione: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Caccia all’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO metodo di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE metodo di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa metodo del confronto: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO metodo del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa metodo di addizione e sottrazione: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Caccia all’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO metodo di addizione e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO metodo di addizione e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE metodo di addizione e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

72

72

65

70

70

70

161

104

104

87

94

94

94

181

104

104

87

94

94

94

181

105

105

88

95

95

95

182

105

105

88

95

95

95

182

75

75

68

73

73

73

164

105

105

88

95

95

95

183

106

106

89

96

96

96

183

106

106

89

96

96

96

184

75

75

68

73

73

73

164

107

107

90

97

97

97

184

107

107

90

97

97

97

185

108

108

91

98

98

98

186

108

108

91

98

98

98

186

107

107

90

97

97

97

185

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

Lezione 16 LIM

Metodo di Cramer e criterio dei rapporti

60’

teorema di Cramer: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO metodo di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE metodo di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa criterio dei rapporti: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO criterio dei rapporti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE sistema con parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente e Metodi a confronto, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

79

79

72

77

77

77

168

109

109

92

99

99

99

187

109

109

92

99

99

99

187

110

110

93

100

100

100

188

109

109

92

99

99

99

187

80

80

72

78

78

78

168

110

110

93

100

100

100

188

111

111

94

101

101

101

110

110

93

100

100

100

188


Problemi lineari

Lezione 17 LIM

Sistemi letterali, frazionari e a tre incognite

60’ 120’

sistemi letterali: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO sistema letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO sistema letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente e Metodi a confronto, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sistemi frazionari: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO sistema frazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa sistemi a tre incognite: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO sistema a tre incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

82

82

80

80

80

112

112

102

102

102

112

112

102

102

102

113

113

103

103

103

113

113

103

103

103

ed. gialla vol. 2

84

84

82

82

82

117

117

107

107

107

117

117

107

107

107

85

85

76

83

83

83

172

118

118

97

108

108

108

191

119

119

97

109

109

109

192

119

119

98

109

109

109

192

ed. blu alg. 2

ed. ed. ed. blu azzurra verde vol. 2

ed. verde

ed. rossa

ed. gialla


calcolo con le matrici e sue applicazioni ai sistemi lineari

60’

matrici e operazioni, determinanti, matrici invertibili e metodo di Cramer: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO sistema con parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


88

88

120

120

123

123

121

121

47


Lezione 19 LIM

Problemi che hanno come modello sistemi lineari

120’

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

123

123

98

110

110

110

193

96

96

79

86

86

86

97

97

l’argomento e` gia` stato introdotto presentando i sistemi: in questa lezione si puo` concludere il discorso proponendo varie tipologie di problemi

Esercizi preliminari, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Inventa tu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMA SVOLTO voli e fusi orari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMA SVOLTO geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMA SVOLTO investimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema dalla realta` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema con percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema con teorema di Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema di algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO problema di algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione alle Figure dinamiche con GeoGebra e i problemi di Matematica ed economia, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


98

98

80

87

87

87

175

124

124

99

111

111

111

194

125

125

101

112

112

112

195

127

127

103

114

114

115

197

130

130

117

117

131

131

200

132

132

124

124

ed. blu alg. 2

106

118

118

118

119

119

118

111

111

111

194


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

100



Gabriel Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . con particolare attenzione agli esercizi del tipo Inventa tu e ai Problemi nella storia . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

82

75

80

80

80

171

133

133

107

120

120

120

201

134

134

108

121

121

121

202

138

138

111

204

139

139

140

140



48

112

124

124

124

124

124

124

125

125

125

G 127 G 127 G 131 G 125 G 125 G 138

205 G 94


Problemi lineari

Lezione 20 LIM

Piano cartesiano

120’

piano cartesiano, distanza tra due punti, punto medio di un segmento: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi. . . . ESERCIZIO SVOLTO punto con coordinate parametriche . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO perimetro e area di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO punto che soddisfa condizioni date . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO simmetrico di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE triangolo isoscele/mediane di un triangolo . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE punti con coordinate parametriche . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . .

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

141

141

113

126

126

126

206

170

170

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154

154

150

172

172

138

151

173

173

174

174

174

174

175

175

170

170

154

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150

226

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

145

145

117

130

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210

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155

230

177

177

144

161

161

157

232

176

176

142

160

160

155

231

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

150

150

122

135

135

135

215

178

178

145

162

162

158

233

179

179

145

163

163

158

233

179

179

146

163

163

159

234

180

180

146

164

164

159

235

180

180

147

164

164

160

140

156

156

157

157

158

158

153

227 229 230

137

Lezione 21 LIM

Funzione lineare

60’

grafico della funzione lineare: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi con l’aiuto delle Figure animate e Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO INTERATTIVO interpretazione di grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Interpretazione di grafici, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Equazione generale della retta

60’

presentazione dei vari casi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO/SVOLTO rette passanti per l’origine o parallele agli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO forma implicita ed esplicita . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO appartenenza di punti a una retta . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO esercizio con parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE punto che appartiene a una retta . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


179

179

146

163

163

160

235

159

234

49



Rette parallele e perpendicolari

120’

condizione di parallelismo: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra relativamente al fascio improprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa condizione di perpendicolarita`: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO rette parallele e perpendicolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE rette perpendicolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa come determinare l’equazione di una retta: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra relativamente al fascio proprio . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO allineamento di punti . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO retta passante per un punto e parallela a una retta data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO retta passante per un punto e perpendicolare a una retta data . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO trapezio rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO allineamento di punti . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO retta passante per due punti . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE fascio proprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE esercizio con parametri . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

153

153

125

138

138

138

218

181

181

148

165

165

161

236

181

181

148

165

165

161

236

156

156

128

141

141

141

220

183

183

150

167

167

163

237

184

184

151

168

168

164

183

183

150

167

167

163

238

157

157

129

142

142

142

221

185

185

152

169

169

165

238

159

159

131

144

144

185

185

152

169

169

165

239

186

186

152

170

170

166

239

187

187

154

171

171

167

241

188

188

154

172

172

167

188

188

155

172

172

168

189

189

156

173

173

169

190

190

185

185

152

169

169

165

239

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

161

161

133

146

146

146

223

191

191

157

175

175

170

244

192

192

158

176

176

171

245

192

192

158

176

176

171

192

192

158

176

176

171

244

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa

ed. gialla

162

162

147

147

195

195

179

179

193

193

177

177

238

241


Distanza punto retta

60’

presentazione della formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO distanza punto retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO area di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO distanza tra rette parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


Figure geometriche riconducibili alla retta

60’

l’argomento puo` essere introdotto con l’utilizzo di GeoGebra

costruzione, con GeoGebra, di varie figure tra quelle proposte sul testo . . . ESERCIZIO SVOLTO triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

50


Problemi lineari



ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


166

166

134

151

151

147

223

PROBLEMA SVOLTO

166

166

134

151

151

147

224

167

167 174

247

Laboratorio

Problemi che hanno modelli lineari

120’

presentiamo altri tipi di problemi che si possono modellizzare utilizzando equazioni, sistemi e disequazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

noleggio di un furgone . . . . . . . . . . . . . . . . problema di scelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMA SVOLTO su un traghetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema di scelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione alle Figure dinamiche con GeoGebra e ai problemi di Matematica ed economia, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


196

196

159

180

180

172

245

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

168

168

135

152

152

148

224

200

200

162

183

183

176

248

201

201

163

184

184

177

249

205

205

166

188

188

206

206

167

189

189

180

251

207

207

167

189

189

180

251

208

208

168

190

190

181

252


APPROFONDIMENTO (PDF)

problemi di programmazione lineare . . . . . . . . ESERCIZI INTERATTIVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti tra cui la Videolezione . . . . . . . VIDEOLEZIONE il metodo sintetico e il metodo analitico . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



utilizzare le tecniche del calcolo algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . interpretare grafici e dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



G 131 G 131 G 235 G 129 G 129 G 141

G 96

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

209

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169

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171

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213

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195

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196

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218

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200

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260

51


Problemi non lineari

Lezione 1 60’

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

presentazione del problema «Pavimentazione di una stanza» . . . . . . . . . . . presentazione del problema «La scala» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220

220

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202

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220

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253

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235

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226

285

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

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222

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276

256

256

238

238

230

289

LIM

Introduzione al problema della non linearita`

esistono equazioni non lineari, utili alla risoluzione di problemi

equazioni pure, spurie e monomie: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazioni pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione riconducibile a pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione spuria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE equazione spuria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE equazione pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «Pavimentazione di una stanza», per quanto riguarda le equazioni incomplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

Lezione 2 LIM

Equazioni di secondo grado

60’

stabilito che esistono equazioni di secondo grado, si presenta il caso generale

formula risolutiva: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazioni complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . formula risolutiva ridotta: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione completa non in forma normale . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE equazione con denominatori irrazionali . . . . . . . . . . . . . risoluzione della parte restante del problema «Pavimentazione di una stanza» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «La scala» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

52



Lezione 3 60’

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

presentazione del problema «Dipingere una casa» . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241

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223

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ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla

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266

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248

240

In classe

Equazioni di secondo grado frazionarie

esistono equazioni non lineari frazionarie, utili alla risoluzione di problemi

presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio, con particolare attenzione alle condizioni di accettabilita` delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente e Giustificare e argomentare, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lezione 4 LIM

Equazioni di secondo grado letterali

60’

presentazione del problema del «Punto su un lato di un trapezio» utile in questo caso l’utilizzo delle Figure dinamiche, per l’esplorazione del problema con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esistono equazioni non lineari letterali, utili alla risoluzione di problemi

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi, con particolare attenzione alle condizioni di esistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari, con particolare attenzione all’esercizio del tipo Caccia all’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione letterale intera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione letterale intera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione letterale con parametri al denominatore . . ESERCIZIO SVOLTO equazione letterale frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi di risoluzione delle formule rispetto a una variabile, utili per la fisica, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


53


Lezione 5 In classe

Relazioni tra le soluzioni e i coefficienti di un’equazione di secondo grado

60’

regole su somma e prodotto: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . regola di Cartesio: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO applicazione della regole su somma e prodotto . . . . . ESERCIZIO GUIDATO applicazione delle regole su somma e prodotto . . . . . ESERCIZIO GUIDATO applicazione delle regole su somma e prodotto . . . . . ESERCIZIO GUIDATO applicazione della regola di Cartesio . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

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233

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266

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261

261

253

298

Lezione 6 In classe

Scomposizione di un trinomio di secondo grado

60’

metodi e formula di scomposizione: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO scomposizione di trinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO semplificazione di una frazione algebrica . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO scrivere un’equazione, note le soluzioni . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Metodi a confronto, e assegnazione di lavori per casa . . .

Lezione 7 LIM

Condizioni sulle soluzioni di un’equazione parametrica

60’

porre condizioni sulle soluzioni di un’equazione parametrica e` qualcosa di diverso dal risolvere un’equazione letterale

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO condizioni sul discriminante e sul valore di una soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO condizioni sulla somma e il prodotto delle soluzioni . . ESERCIZIO SVOLTO condizioni sul segno delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO altre condizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO altre condizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE esercizio di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

54

303

302





ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

VIDEOLEZIONE

286

286

268

268

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305

ESERCIZIO GUIDATO

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288

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275

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310

286

286

268

268

260

306

LIM

Problemi che hanno come modello equazioni di secondo grado

120’


problema dalla realta` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . problema dalla realta` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO lunghezze, perimetri, aree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE lunghezze, perimetri, aree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE teorema di Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO teorema di Pitagora con l’utilizzo delle Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO teorema di Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO teoremi di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO geometria analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Matematica e fisica, di Matematica ed economia e alle Figure dinamiche con GeoGebra, e assegnazione di lavori per casa


55




ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

243

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246

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300

282

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301

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299

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281

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313

ÇMassimizzare un ricavoÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

247

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ÇMassimizzare unÕareaÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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248

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303

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ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

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249

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223

282

Laboratorio

Parabola e interpretazione grafica delle equazioni di secondo grado

120’

le equazioni di secondo grado si possono risolvere graficamente ricorrendo alle funzioni gia` studiate (proporzionalita` quadratica) o a funzioni nuove (funzione di secondo grado generica)

funzione quadratica: ripasso dellÕargomento e svolgimento degli Esempi ricorrendo anche alle Figure animate e alle Figure dinamiche . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO grafico di proporzionalita` quadratica . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO grafico di funzione quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Interpretazione di grafici, tra cui lÕEsercizio interattivo, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione grafica di un’equazione di secondo grado: presentazione dellÕargomento anche ricorrendo alle Figure dinamiche . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE parabola con parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO determinare lÕequazione di una parabola . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO determinare lÕequazione di una parabola . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

presentazione e risoluzione dei problemi di ottimizzazione:

esistono altri tipi di problemi, ancora riconducibili alle equazioni di secondo grado

svolgimento di problemi sulla parabola e di ottimizzazione, con particolare attenzione agli esercizi di Matematica e fisica, di Matematica ed economia e alle Figure dinamiche con GeoGebra, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



120’

presentazione dellÕattivita` Matematica in laboratorio ÇPrezzo di vendita di un giornaleÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231

possiamo utilizzare gli strumenti informatici per risolvere problemi . . . . . .

svolgimento dellÕattivita` presentata (attivita` guidata), con la guida del docente e svolgimento autonomo da parte degli alunni delle ulteriori attivita` (attivita` proposte)

56


Problemi non lineari Riepilogo e approfondimento

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

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313

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294

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228

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210

202

270

314

314

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295

285

322


MATEMATICA NELLA STORIA ESERCIZI INTERATTIVI ESERCIZI DI RIEPILOGO ESERCIZI PER L’ECCELLENZA SOLVE MATH IN ENGLISH APPROFONDIMENTO (PDF)

storia delle equazioni di secondo grado. . . . . . . ..................................... con particolare attenzione agli esercizi de tipo Collegamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica tra cui i Problemi nella storia. . esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i numeri complessi e le equazioni di secondo grado in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


G 135 G 135

G 133 G 133 G 145 G 100

Lezione 11 60’

ed. blu alg. 2


presentazione del problema «Il lato dell’ottagono regolare» . . . . . . . . . . . .

320

320

315

315

329

329

329

LIM

Equazioni di grado superiore al secondo

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

380

380

368

398

398

386

329

398

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331

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400

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332

334

334

320

320

329

329

398

398

386

ed. gialla

esistono equazioni di grado superiore al secondo, utili alla risoluzione di nuovi problemi

equazioni monomie, binomie e trinomie: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi, ricorrendo anche alle Figure animate (grafici di funzioni di tipo potenza) e alle Figure dinamiche (interpretazione grafica di un’equazione binomia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazioni binomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazioni riconducibili a binomie . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazioni trinomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO prevedere il numero di soluzioni di un’equazione trinomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE equazione trinomia frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


57


Lezione 12 LIM

Ulteriori considerazioni sulle equazioni di grado superiore al secondo

60’

equazioni risolvibili mediante scomposizione in fattori: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO/SVOLTO equazione con raccoglimento parziale . . . . . . . VIDEOLEZIONE equazione con scomposizione . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione con metodo di Ruffini . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Metodi a confronto, e assegnazione di lavori per casa . . . sguardo d’insieme sulle equazioni polinomiali (interpretazioni grafiche): presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione di sesto grado e molteplicita` delle soluzioni ESERCIZIO SVOLTO interpretazione di un grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Inventa tu e all’Esercizio interattivo, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

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321

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385

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ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

326

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345

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346

346

421

421

410

ed. gialla

ed. gialla



il problema delle equazioni di grado superiore al secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI INTERATTIVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente, Collegamenti e ai problemi di Matematica ed economia . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare matematiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


58

G 139 G 139

G 137 G 137 G 151



Lezione 13 120’

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

presentazione del problema «Torneo sportivo» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

359

359

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341

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

354

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390

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411

411

399

377

377

322

322

311

LIM

Disequazioni di grado superiore al primo

esistono disequazioni di grado superiore al primo, utili alla risoluzione di nuovi problemi

segno del trinomio di secondo grado: presentazione dell’argomento; l’interpretazione grafica puo` essere introdotta con l’uso delle Figure dinamiche con GeoGebra e delle Figure animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione di una disequazione di secondo grado: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO risoluzione grafica di disequazioni di secondo grado . . ESERCIZIO GUIDATO discriminante positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO discriminante nullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO discriminante negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE disequazione di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

Lezione 14 LIM

Disequazioni di grado superiore al secondo e disequazioni frazionarie

60’

disequazione di grado superiore al secondo: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO disequazione scomposta in fattori . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO disequazioni scomposte in fattori . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO disequazione scomponibile in fattori . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE disequazione di terzo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . disequazioni frazionarie che conducono a disequazioni di grado superiore al primo: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO disequazione frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO disequazione frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE disequazione frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Caccia all’errore, A mente e Inventa tu, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


350

59


Lezione 15 60’

ed. blu alg. 2


presentazione del problema «Rettangolo inscritto in un semicerchio» . . . .

360

360

357

357

381

381

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383

360

360

380

380

ed. blu alg. 2

ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO SVOLTO

LIM

Sistemi di disequazioni di grado superiore al primo

ed. verde

ed. rossa

ed. gialla


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

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383

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327

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355

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

389

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333

333

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337

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363

395

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337

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326

363

395

395

396

396

338

338

327

364

esistono sistemi di disequazioni di grado superiore al primo, utili alla risoluzione di nuovi problemi

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO sistema di due disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE sistema di tre disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema iniziale, con l’aiuto delle Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . .

Lezione 16 LIM

Problemi che hanno come modello disequazioni di grado superiore al primo

120’

l’argomento e` gia` stato introdotto presentando le disequazioni di vario tipo: in questa lezione si puo` concludere il discorso proponendo ancora varie tipologie di problemi

condizioni di esistenza di radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . dominio di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione al problema di Matematica e fisica, ai problemi di Matematica ed economia e alle Figure dinamiche con GeoGebra, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



.......................................... con particolare attenzione agli esercizi del tipo Interpretazione di grafici e Collegamenti. . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) esercizi sulle disequazioni di secondo grado letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO


60

G 143 G 143

G 141 G 141 G 147 G 102



Lezione 17 60’

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

presentazione del problema di intersezione tra una retta e una parabola . .

397

397

339

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353

353

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355

355

343

416

416

351

351

339

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ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla

401

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401

60’

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

presentazione del problema «Pavimentare una stanza» . . . . . . . . . . . . . . .

412

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336

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412

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425

425

Laboratorio

Sistemi di secondo grado

esistono sistemi di grado superiore al primo, utili alla risoluzione di nuovi problemi

risoluzione di un sistema di secondo grado: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . interpretazione grafica di un sistema: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi, ricorrendo anche alle Figure dinamiche . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO intersezione (approssimata) tra una retta e una parabola) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO sistema di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO interpretazione grafica di sistemi . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE interpretazione grafica di un sistema . . . . . . risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


Sistemi di grado superiore al secondo

60’

presentazione dell’argomento, interpretazione grafica e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO addizione e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO scomposizione in fattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO interpretazione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO interpretazione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

Lezione 19 LIM

Sistemi simmetrici

esistono problemi che danno origine a sistemi con proprieta` particolari

presentazione dell’argomento, interpretazione grafica e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO sistema simmetrico di terzo grado . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE sistema simmetrico di terzo o quarto grado . . . . . . . . risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


393

393

381

414

414

403

414

414

336

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402

61


Lezione 20 LIM

Sistemi frazionari e letterali

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi, utilizzando anche le Figure dinamiche con GeoGebra per l’interpretazione grafica . . VIDEOLEZIONE sistema frazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO sistema letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO sistema letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione alle Figure dinamiche con GeoGebra, e assegnazione di lavori per casa . .

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

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ed. gialla

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60’

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

presentazione del problema «Geometria» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

ESERCIZIO GUIDATO

432

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360

VIDEOLEZIONE/ESERCIZIO SVOLTO

433

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362

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432

360

360

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380

Lezione 21 LIM

Sistemi non lineari con piu` di due incognite

possiamo risolvere problemi con piu` di due incognite

presentazione dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO sistema di secondo grado con tre incognite . . . . . . . . risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

Lezione 22 LIM

Problemi che hanno come modello sistemi non lineari

120’

l’argomento e` gia` stato introdotto presentando i sistemi di vario tipo: in questa lezione si puo` concludere il discorso proponendo ancora varie tipologie di problemi

problema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . problema dalla realta` . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO geometria analitica . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Matematica ed economia, e assegnazione di lavori per casa .

62

360

348

380

349

381

350

381 382





120’

presentazione dell’attivita` Matematica in laboratorio «Due carrelli in gara» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

414

414

349

337

372

349

possiamo utilizzare gli strumenti informatici per risolvere problemi

svolgimento dell’attivita` presentata (attivita` guidata), con la guida del docente e svolgimento autonomo da parte degli alunni delle ulteriori attivita` (attivita` proposte)

presentazione dell’attivita` «Il foglio A4 e i suoi progenitori» . . . . . . . . . . . .


possiamo utilizzare gli strumenti informatici per risolvere problemi inerenti la vita quotidiana

svolgimento dell’attivita` proposta «Il foglio A4 e i suoi progenitori» . . . . . .


ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

437

437

365

365

352

383

438

438

366

366

353

383

442

442

368

368

355

385

443

443

368

368

355

385

399

399

341

341

330

444

444

369

369

356



.......................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) introduzione alle coniche . . . . . . . . . . . . . . . . .



utilizzare le tecniche del calcolo algebrico, rappresentandole anche in forma grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . interpretare grafici e dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



G 147 G 147

364

G 145 G 145 G 149 G 104

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

445

445

370

370

357

387

449

449

372

372

359

389

450

450

373

373

360

390

451

451

374

374

361

452

452

375

375

362

391

456

456

378

378

366

394

63


Complementi di algebra

Lezione 1 120’

ed. blu alg. 2


presentazione del problema «Problema nel piano cartesiano» . . . . . . . . . . presentazione del problema «Profondita` di un pozzo» . . . . . . . . . . . . . . . .

458

458

468

468

458

458

475

475

475

475

475

LIM

Equazioni irrazionali (prima parte)

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

422

422

411

437

437

426

475

437

437

426

460

460

423

423

412

476

476

437

437

426

476

476

438

438

427

477

477

438

438

427

439

439

428

478

478

441

441

430

479

479

442

442

431

479

479

442

442

431

480

480

443

443

432

480

480

444

444

433

481

481

445

445

434

482

482

445

445

434

482

482

445

445

434

468

468

476

476

439

439

427

ed. gialla

la modellizzazione di alcuni problemi conduce a equazioni irrazionali

introduzione alle equazioni irrazionali: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO elevamento a potenza dei due membri di un’equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici: presentazione dei vari casi e metodi e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione con un solo radicale quadratico e verifica delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE equazione con un solo radicale quadratico e verifica delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione con due radicali quadratici e verifica delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione con tre radicali quadratici e verifica delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO condizioni di accettabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazioni a soluzione rapida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione con un solo radicale quadratico e condizioni di accettabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione con due radicali quadratici e condizioni di accettabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione con tre radicali quadratici e condizioni di accettabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione irrazionale frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione irrazionale frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE equazione irrazionale frazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema «Problema nel piano cartesiano» risoluzione del problema «Profondita` di un pozzo» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

64



Lezione 2 LIM

Equazioni irrazionali (seconda parte)

60’

equazioni irrazionali contenenti radicali cubici: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione impossibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione con un solo radicale cubico . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione con un radicale doppio . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa interpretazione grafica delle equazioni irrazionali: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO interpretazione grafica di un’equazione irrazionale . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Interpretazione di grafici, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

465

465

425

425

414

483

483

483

483

440

440

429

440

440

429

483

483

440

440

429

466

466

429

429

418

485

485

447

447

436

484

484

446

446

435

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

469

469

430

430

419

469

469

486

486

486

486

486

486

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

489

489

452

452

441

490

490

453

453

442

493

493

456

456

444

494

494

456

456

444

490

490

491

491

454

454

443

471

471

429

429

418

495

495

457

457

445

ed. gialla


Problemi che hanno come modello equazioni irrazionali

60’ 120’

ed. gialla

l’argomento e` gia` stato introdotto presentando le equazioni irrazionali: in questa lezione si puo` concludere il discorso proponendo varie tipologie di problemi

percorso a due velocita` . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMA SVOLTO geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema di geometria . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Matematica e fisica e alle Figure dinamiche con GeoGebra, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO


ed. gialla



........................................... con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente. . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica e Problemi nella storia . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE equazione con radicale doppio . . . . . VIDEOLEZIONE sistema irrazionale . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (CARTACEO/PDF) disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO



G 153 G 153

G 151 G 151 G 153

65


Lezione 4 60’ 120’

ed. blu alg. 2


presentazione del problema «Distanze nel piano cartesiano» . . . . . . . . . . .

506

506

496

496

511

511

498

498

512

512

512

512

513

513

513

513

514

514

515

515

515

515

506

506

512

512

LIM

Equazioni con valori assoluti

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

430

430

419

448

448

437

431

431

420

448

448

437

448

448

437

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

502

502

433

433

422

516

516

516

516

450

450

439

517

517

451

451

440

517

517

518

518

518

518

517

517

505

505

434

434

423

519

519

520

520

449

449

438

ed. gialla

la modellizzazione di alcuni problemi conduce a equazioni contenenti espressioni in valore assoluto

introduzione ai valori assoluti: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa equazioni con valori assoluti: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi; la presentazione puo` avvalersi dell’interpretazione grafica tramite le Figure dinamiche con Geogebra . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazioni in cui un’espressione in valore assoluto e` uguagliata a un numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazione in cui un’espressione in valore assoluto e` contenuta in un altro valore assoluto . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazioni in cui un’espressione in valore assoluto e` uguagliata a un’altra espressione contenente l’incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO equazioni con due valori assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione con due valori assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO equazione con due valori assoluti e un’ulteriore espressione contenente l’incognita . . . . . . . . . . . . . . . risoluzione del problema iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

Lezione 5 LIM

Interpretazione grafica delle equazioni con valori assoluti

60’ 120’

grafici di funzioni con valori assoluti: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO grafico di una funzione con un valore assoluto . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO grafico di una funzione con un valore assoluto . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO grafico di una funzione con due valori assoluti . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO grafico di una funzione con un valore assoluto, da tracciare con le trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO grafico di una funzione con un valore assoluto, da tracciare con le trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa interpretazione grafica di equazioni con valori assoluti: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari, con particolare attenzione all’Esercizio interattivo . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

66

ed. gialla




Problemi che hanno come modello equazioni irrazionali

60’

ed. blu alg. 2


520

520

520

520

ed. blu alg. 2

ed. verde

ed. rossa

ed. gialla


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla

522

522

452

452

441

523

523

453

453

442

525

525

456

456

444

525

525

456

456

444

524

524

455

455

443

507

507

433

433

422

526

526

457

457

445

l’argomento e` gia` stato introdotto presentando le equazioni irrazionali: in questa lezione si puo` concludere il discorso proponendo varie tipologie di problemi

ESERCIZIO GUIDATO problema di geometria analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa



........................................... con particolare attenzione agli esercizi del tipo A mente. . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE sistema con valore assoluto . . . . . . . APPROFONDIMENTO (CARTACEO/PDF) disequazioni con valore assoluto . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO



utilizzare le tecniche del calcolo aritmetico rappresentandole anche in forma grafica, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Rapido . . . . risolvere problemi, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Problemi nella Storia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



G 157 G 157

G 155 G 155 G 153

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

527

527

458

458

446

528

528

460

460

448

529

529

461

461

449

530

530

462

462

450

532

532

464

464

452

ed. gialla

67


Geometria euclidea di base


Introduzione alla geometria euclidea

ed. blu geom.

120’

ed. ed. ed. blu azzurra verde vol. 1 vol. 1 geom.

ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

2

636

18

652

17 5

puo` essere utile, mentre si introducono le nozioni fondamentali della geometria, in laboratorio, costruire le prime figure geometriche e verificare le loro proprieta` con GeoGebra; in tal modo anche alcuni esercizi proposti dal testo potranno essere svolti con lo strumento informatico

introduzione alla geometria: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO riscrivere l’enunciato di un teorema sotto forma di implicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa concetti primitivi e primi assiomi: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESERCIZIO 1: disegnare uno o piu` punti, una retta passante per due punti, un punto non appartenente a una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO riflessione critica sugli assiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa parti della retta e poligonali: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESERCIZIO 2: disegnare una semiretta, un segmento, due segmenti consecutivi, adiacenti, una poligonale aperta, chiusa, intrecciata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE vero o falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

456

2

562

544

428

651

470

16

574

556

440

639

459

5

563

545

429

esplorazione 1 - Introduzione alla geometria euclidea

19

653

19

653

471

17

574

556

440

7

641

460

6

565

547

431

esplorazione 1 - Introduzione alla geometria euclidea

21

655

473

19

576

558

442

20

654

472

18

575

557

441


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

643

567

549

433


Semipiani, angoli e poligoni

ed. blu geom.

60’

presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESERCIZIO 3: disegnare figure concave e convesse, angoli e poligoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE vero o falso? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Esplorazione, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . .

68

9

463

9

esplorazione 1 - Introduzione alla geometria euclidea 24

658

474

20

577

559

443

23

657

473

19

576

558

442


Geometria euclidea di base ed. blu geom.



ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

14

648

467

13

571

553

437

27

661

476

22

579

561

445

27

661

477

23

580

562

446

29

663

480

26

581

563

447

30

664

27

582



da Euclide... ai CAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI INTERATTIVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti ed Esplorazione . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


481

G 197 G 197

G 80

G 194 G 194

564

448

G 84

G 71


Congruenza

120’

congruenza: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESERCIZI 1, 2 e 3: disegnare figure congruenti e verificarne la congruenza con un movimento rigido; disegnare poligoni regolari e circonferenze; utilizzare il compasso . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA trasporto di un segmento (Costruzione) . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA svolgimento di esercizi sul trasporto di un segmento . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa congruenza e segmenti: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESERCIZIO 4: determinare il punto medio di un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa congruenza e angoli: presentazione dell’argomento con l’utilizzo delle Figure animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESERCIZIO 5: disegnare angoli e confrontarli; costruire la bisettrice di un angolo . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESPERIMENTO: verifica del teorema sugli angoli opposti al vertice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): bisettrici di angoli consecutivi . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): bisettrici di angoli opposti al vertice . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


ed. blu geom.


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

31

665

583

565

449

44

678

482

28

esplorazione 2 - Congruenza

34

668

45

679

45

679

494

40

595

577

461

34

668

484

30

585

567

451

45

679

495

41

596

578

462

esplorazione 2 - Congruenza

46

680

495

41

596

578

462

47

681

496

42

597

579

463

47

681

496

42

597

579

463

36

670

486

32

587

569

453

47

681

496

42

597

579

463

esplorazione 2 - Congruenza esplorazione 2 - Congruenza

49

683

498

44

599

581

465

50

684

498

44

599

581

465

48

682

497

43

598

580

464

69



Misura

ed. blu geom.

60’

misura di segmenti: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema con la misura di segmenti . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE segmenti adiacenti e loro misura . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): punto medio di un segmento . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa misura di angoli: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema con angoli opposti al vertice . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema con angoli supplementari . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): bisettrici di angoli opposti al vertice . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

39

673

489

35

590

572

456

50

684

499

45

600

582

466

499

45

600

582

466

499

45

600

582

466

51

685

51

685

51

685

499

45

600

582

466

42

676

491

37

592

574

458

52

686

499

45

600

582

466

52

686

500

46

601

583

467

53

687

500

46

601

583

467

53

687

53

687

499

45

600

582

466


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

54

688

501

47

602

584

468

55

689

502

48

603

585

469

56

690

503

49

604

585

469

37

671

487

33

588

570

454

57

691

50

605

ed. blu geom.



........................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO ........................................ ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) una nuova definizione di angolo . . . . . . . . . . .


70

G 201 G 201

504 G 84

G 198 G 198

586

470

G 88

G 73




Primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli

120’

triangoli: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESERCIZI 1, 2 e 3: disegnare mediane, bisettrici e altezze di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa GEOGEBRA ESPERIMENTO 1 e 2: verifica dei primi due criteri di congruenza dei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO costruire, congetturare e dimostrare (GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del primo criterio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del primo criterio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del secondo criterio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del secondo criterio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): esercizio riassuntivo sull’uso dei primi due criteri . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione per assurdo . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu geom.


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

58

692

606

587

471

79

713

505

51

esplorazione 3 - Congruenza dei triangoli 79

713

519

65

619

598

482

esplorazione 3 - Congruenza dei triangoli

59

693

507

53

608

589

473

80

714

520

66

620

599

483

64

698

511

57

611

592

476

82

716

521

67

621

600

484

82

716

522

68

622

601

485

83

717

523

69

623

602

486

602

486

622

601

485


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

65

699

512

58

612

593

477

86

720

525

71

625

604

488

86

720

525

71

625

604

488

605

489

604

488

84

718

85

719

82

716

522

68

Lezione 6 In classe

Proprieta` dei triangoli isosceli

60’

presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): le mediane relative ai lati di un triangolo isoscele sono congruenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): uso dell’inverso del teorema sul triangolo isoscele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): se in un triangolo la bisettrice di un angolo e` anche mediana, il triangolo e` isoscele . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . .


ed. blu geom.

87

721

86

720

526

72

626

71



Terzo criterio di congruenza dei triangoli

ed. blu geom.

60’


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

e` possibile presentare l’argomento anche attraverso un’attivita` in GeoGebra e alternare le costruzioni svolte a mano con quelle svolte con GeoGebra

GEOGEBRA

ESPERIMENTO 3: verifica del terzo criterio di congruenza dei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . terzo criterio di congruenza: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): utilizzo del terzo criterio . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): esercizio riassuntivo sull’utilizzo dei criteri VIDEOLEZIONE dimostrazione: esercizio riassuntivo sull’utilizzo dei criteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . .

esplorazione 3 - Congruenza dei triangoli

67

701

509

55

609

590

474

88

722

520

66

620

599

483

88

722 524

70

624

525

71

625

603

487

523

69

623

603

487

ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

88

722


Disuguaglianze nei triangoli

ed. blu geom.

120’



esplorazione 4 - Disuguaglianze nei triangoli

GEOGEBRA

ESPERIMENTO 1: verifica del primo teorema dell’angolo esterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . primo teorema dell’angolo esterno e suoi corollari: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESPERIMENTO 2: verifica del teorema sulle relazioni tra lati e angoli opposti di un triangolo e del teorema inverso . . . . . teorema sulle relazioni tra lati e angoli opposti di un triangolo e del teorema inverso: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA verifica del teorema sulle disuguaglianze triangolari, mediante le Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . teorema sulle disuguaglianze triangolari: presentazione dell’argomento Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMA SVOLTO le fasi di Venere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema sull’esistenza di triangoli con lati di misura intera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): esercizio sull’utilizzo delle disuguaglianze triangolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

72

69

703

514

60

614

594

478

esplorazione 4 - Disuguaglianze nei triangoli

71

705

515

61

615

595

479

73

707

516

62

616

596

480

72

706

516

62

616

595

479

90

724

527

73

627

605

489

74

708

517

63

617

91

725

527

73

627

606

490

91

725

606

490

91

725

527

73

627

606

490




Costruzioni con riga e compasso

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

75

709

513 (PDF)

59 (PDF)

613 (PDF)

594 (PDF)

478 (PDF)

92

726

513 (PDF)

59 (PDF)

613 (PDF)

594 (PDF)

478 (PDF)


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

95

729

528

74

628

607

491

96

730

529

75

629

608

492

96

730

529

75

629

608

492

96

730

97

731

530

76

630

608

492

98

732

65

699

99

733

531

77

631

609

493

G 92

G 75

e` possibile presentare l’argomento anche con GeoGebra e alternare le costruzioni svolte a mano con quelle svolte con GeoGebra

GEOGEBRA

costruzioni con riga e compasso: trasporto dell’angolo, punto medio di un segmento e bisettrice di un angolo (Costruzioni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ed. blu geom.



........................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO ........................................ VIDEOLEZIONE dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) e` proprio necessaria la «dimostrazione»? . . . . .


G 207 G 207

G 88

G 204 G 204


Rette perpendicolari

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

100

734

532

78

632

610

494

102

736

533

79

633

611

495

118

752

e` possibile alternare le costruzioni svolte a mano con quelle svolte con GeoGebra

teorema di esistenza e unicita` della perpendicolare: presentazione dell’argomento, tramite la costruzione preliminare mediante le Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . asse di un segmento, proiezioni ortogonali e distanze: presentazione dell’argomento, tramite le Figure animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESERCIZI 1 e 2: disegnare rette perpendicolari e l’asse di un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): le bisettrici di due angoli adiacenti sono perpendicolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): asse di un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


esplorazione 5 - Rette perpendicolari e parallele

120

754

120

754

119

753

548

91

645

622

506

73



Rette parallele

ed. blu geom.

60’


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

103

737

634

612

496

121

755


definizione, assioma della parallela e sue conseguenze: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESERCIZIO 3: disegnare rette parallele . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA costruzione della parallela a una retta data passante per un punto (Costruzione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): la retta passante per i punti medi dei lati di un triangolo isoscele e` parallela alla base . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti e Logica, e assegnazione di lavori per casa

534

80

esplorazione 5 - Rette perpendicolari e parallele 103

737

121

755

122

756

549

92

646

622

507

ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1


Criteri di parallelismo

ed. blu geom.

120’



GEOGEBRA ESPERIMENTI 1 e 2: verifica dei criteri di parallelismo . . . . . . criteri di parallelismo: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA costruzione della parallela a una retta data passante per un punto (Costruzione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): con i criteri di congruenza e di parallelismo dimostrare che due rette sono parallele . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): con i criteri di congruenza e di parallelismo dimostrare che due rette sono parallele . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): con i criteri di parallelismo dimostrare che un triangolo e` isoscele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

74

esplorazione 5 - Rette perpendicolari e parallele 105

739

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Proprieta` degli angoli nei poligoni

120’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1


GEOGEBRA

ESPERIMENTO 1 e 2: verifica del teorema dell’angolo esterno e delle proprieta` degli angoli di un poligono . . . . . . . teorema dell’angolo esterno e somma degli angoli interni ed esterni di un poligono: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio, mediante le Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema: determinare l’ampiezza di un angolo . . . . . VIDEOLEZIONE problema: determinare il numero di lati di un poligono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): utilizzo del teorema dell’angolo esterno . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): utilizzo del teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): utilizzo del teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): utilizzo del secondo criterio di congruenza generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa congruenza e triangoli rettangoli: presentazione dell’argomento . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): utilizzo dei criteri di congruenza per i triangoli rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): utilizzo dei criteri di congruenza per i triangoli rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del teorema della mediana relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


esplorazione 6 - Proprieta` degli angoli nei poligoni

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654

75

Percorsi didattici multimediali guidati ed. blu geom.



ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1


sistema articolato: svolgimento dell’attivita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA NELLA STORIA Eratostene misura la circonferenza della Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI INTERATTIVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO con particolare attenzione agli esercizi del tipo Giustificare e argomentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (cartaceo/PDF) le geometrie non euclidee . . . . . . . .



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G 96

G 77

G 211 G 211

G 92

G 208 G 208


Trapezi

ed. blu geom.

60’


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

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122

671

647

531


presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): le diagonali e le basi di un trapezio isoscele formano due triangoli isosceli . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): un trapezio con le diagonali congruenti e` isoscele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

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Parallelogrammi

120’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

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ed. verde vol. 1

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presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): proprieta` dei parallelogrammi . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): proprieta` dei parallelogrammi . . . . . VIDEOLEZIONE proprieta` dei parallelogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo delle condizioni sufficienti affinche´ un quadrilatero sia un parallelogramma . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): esercizio riassuntivo sui parallelogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


Rettangoli, rombi e quadrati

120’

ed. blu geom.


presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO il teorema di Varignon (GeoGebra) costruire rombi (GeoGebra) . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con Geogebra): le bisettrici degli angoli di un parallelogramma formano un rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): dimostrare che un quadrilatero e` un rombo . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): dimostrare che un quadrilatero e` un rombo . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): il punto di intersezione delle diagonali di un rombo e` equidistante dai lati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): condizione sufficiente per un rombo . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . .


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Piccolo teorema di Talete

ed. blu geom.

60’


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1


esplorazione 7 - Piccolo teorema di Talete

GEOGEBRA

ESPERIMENTO: verifica del piccolo teorema di Talete presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA suddividere, con riga e compasso, un segmento in tre parti congruenti (Costruzione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo del piccolo teorema di Talete ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo del piccolo teorema di Talete VIDEOLEZIONE utilizzo del piccolo teorema di Talete . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): teorema dei punti medi . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . .

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ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

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ed. blu geom.


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le tassellazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI INTERATTIVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO ........................................ ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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ed. blu geom.

confrontare e analizzare figure geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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G 215 G 215



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ed. verde vol. 1

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Luoghi geometrici, circonferenza, cerchio e poligoni 8

Luoghi geometrici, circonferenza, cerchio e poligoni


Luoghi geometrici

60’

definizione di luogo geometrico: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESPERIMENTI 1, 2, 3 e 4: verifica delle proprieta` di luogo geometrico per l’asse di un segmento e la bisettrice di un angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . asse di un segmento e bisettrice di un angolo come luoghi geometrici: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA costruzione: determinare un punto equidistante da due semirette date e dagli estremi di un segmento dato . . . . . . . GEOGEBRA costruzione: determinare un punto equidistante da due semirette date e dagli estremi di un segmento dato . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

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esplorazione 8 - Luoghi geometrici

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ed. ed. ed. blu azzurra verde vol. 2 geom.

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

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Circonferenza e cerchio

60’

definizione di circonferenza e cerchio: presentazione dell’argomento . . . GEOGEBRA ESPERIMENTI 1, 2 e 3: quante circonferenze passano per un punto? E per due punti? Verifica del teorema sulla circonferenza passante per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . circonferenza passante per tre punti: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA costruzione: circonferenza per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA costruzione: circonferenza per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


ed. blu geom.

272

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esplorazione 9 - Circonferenza e poligoni inscritti e circoscritti 292

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79



Corde e loro proprieta`

ed. blu geom.

60’


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

539

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398


definizione di corda e diametro: presentazione dell’argomento . . . . . . . . GEOGEBRA ESPERIMENTI 4 e 5: verifica delle proprieta` delle corde . . . .

275

146

proprieta` delle corde: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo delle proprieta` delle corde . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo delle proprieta` delle corde . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo delle proprieta` delle corde . . VIDEOLEZIONE dimostrazione: utilizzo delle proprieta` delle corde . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

275

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ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

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399

esplorazione 9 - Circonferenza e poligoni inscritti e circoscritti


Parti della circonferenza e del cerchio

ed. blu geom.

60’


presentazione dell’argomento e costruzione delle figure definite . . . . . . . . GEOGEBRA ESERCIZIO 1 e ESPERIMENTO 6: disegnare le parti della circonferenza e del cerchio definite; verificare le loro proprieta` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . corrispondenza tra corde, archi e angoli al centro: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

80

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147


279

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561

297

561




Retta e circonferenza

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

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459

401


presentazione dell’argomento con l’utilizzo delle Figure dinamiche in GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESPERIMENTO 7: verifica del teorema delle tangenti . . . . . . tangenti a una circonferenza per un punto: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): tangenti condotte da un punto esterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): tangenti condotte dagli estremi di una corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): la tangente nel punto medio di un arco e` parallela alla corda sottesa . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo del teorema delle tangenti . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del teorema delle tangenti . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

280

149


546

150

472

460

402

297

561

163

485

472

414

415

299

563

164

486

473

416

299

563

164

486

474

416

299

563

300

564

298

562

474

163

485

473

415

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


Posizione reciproca di due circonferenze

60’

ed. blu geom.



GEOGEBRA

ESPERIMENTO 8: costruzione di due circonferenze e verifica delle loro posizioni reciproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): circonferenze tangenti esternamente ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): circonferenze secanti . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): circonferenze concentriche . . . . . . . VIDEOLEZIONE dimostrazione: circonferenze secanti . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa



547

151

473

461

403

301

565

165

487

474

416

302

566

166

488 475

417

475

417

302

566

166

488

475

417

301

565

166

488

476

418

81



Angoli alla circonferenza

ed. blu geom.

120’


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

548

474

462

404


definizione di angolo al centro e angolo alla circonferenza: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESERCIZIO 2: costruzione di angoli alla circonferenza . . . . . . teorema su angoli alla circonferenza e al centro: presentazione dell’argomento con le Figure dinamiche in GeoGebra e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA costruzione delle rette tangenti a una circonferenza da un punto esterno (Costruzione) . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema: angoli di un triangolo inscritto in una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): corde che si intersecano . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): corda come bisettrice di un angolo . VIDEOLEZIONE dimostrazione: corde parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): corda come bisettrice di un angolo . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): circonferenze tangenti internamente ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): circonferenze tangenti esternamente svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

284

286

550

154

476

464

406

288

552

155

477

465

407

303

567

167

489

476

418

303

567

168

490

477

419

305

569

169

491

478

420

478

420

305

569

306

570

306

570

307

571

303

567

ed. blu geom.


152


170

492

479

421

167

489

477

419

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2




angoli di visuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO ........................................ VIDEOLEZIONE dimostrazione: corde . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (cartaceo) il luogo dei punti che vedono un segmento secondo un dato angolo . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI INTERATTIVI


82

156

478

466

408

308

572

172

494

480

422

309

573

173

495

481

423

309

573

173

495

482

424

311

575

174

496

482

424

312

576

174

496

288

552

313

577

175

497

483

425

G 229 G 229

G 216 G 216 G 155 G 109




Poligoni inscritti e circoscritti

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO costruzione (puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . GEOGEBRA costruzioni (centro delle circonferenze inscritte e circoscritte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

314

578

176

498

484

426

327

591

183

505

488

430

327

591

183

505

488

430

328

592

184

506

489

431

328

592

184

506

489

431


ed. verde vol. 2

ed. rossa

ed. gialla

316

580

181

503

316

580

180

502

317

581

316

580

180

502

329

593

188

510

329

593

329

593

329

593

189

511


Triangoli inscritti e circoscritti

60’

ed. blu geom.

e` possibile presentare l’argomento anche attraverso un’attivita` Matematica in laboratorio e alternare le costruzioni svolte a mano con quelle svolte con GeoGebra

MATEMATICA IN LABORATORIO circonferenza circoscritta a un triangolo . . . circonferenza circoscritta a un triangolo: presentazione dell’argomento con le Figure Animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO circonferenza inscritta in un triangolo . . . . . circonferenza inscritta in un triangolo: presentazione dell’argomento con le Figure Animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA costruzioni (centro delle circonferenze inscritte e circoscritte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): se in un triangolo incentro e circocentro coincidono allora il triangolo e` equilatero . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


83



Quadrilateri inscritti e circoscritti

ed. blu geom.

60’


ed. verde vol. 2

317

581

178

500

318

582

318

582

180

502

318

582

330

594

186

508

332

596

188

510

333

597

334

598

330

594

186

508

ed. rossa

ed. gialla

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


quadrilateri inscritti: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO inscrivibilita` di un quadrilatero . . . . . . . . . . quadrilateri circoscritti: presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO circoscrivibilita` di un quadrilatero . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): inscrivibilita` di un quadrilatero . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): inscrivibilita` di un quadrilatero . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): proprieta` di un quadrilatero inscritto . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


Poligoni regolari inscritti e circoscritti

ed. blu geom.

120’


ed. verde vol. 2


GEOGEBRA

ESPERIMENTO 9: disegnare poligoni regolari e verificarne l’inscrivibilita` e la circoscrivibilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): un pentagono equilatero inscritto in una circonferenza e` regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): un pentagono equiangolo inscritto in una circonferenza e` regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vasetti di marmellata: svolgimento dell’attivita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

84


583

334

598

336

600

336

600

177

499

185

507

484

426


599

185

507




Punti notevoli di un triangolo

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


GEOGEBRA

ESPERIMENTO 10: disegnare altezze e mediane di un triangolo e verificare che si intersecano in un punto . . . . . . . presentazione dell’argomento, con le Figure animate e le Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA costruzioni: punti notevoli di triangoli . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): un triangolo in cui baricentro e circocentro coincidono e` equilatero . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


585

337

601

337

601

338

602

337

601

ed. blu geom.


544

181

503

486

428

188

510

489

431

562

188

510

490

432

562

189

511

490

432

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2




il problema della ciclotomia . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI INTERATTIVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


324

588

339

603

190

512

491

433

340

604

191

513

492

434

342

606

192

514

492

434

343

607

193

515

493

435

G 233 G 233

G 220 G 220 G 159 G 111


Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

496

760

207

529

507

449

506

770

221

543

520

462

507

771

508

772

222

544

521

463

509

773

506

770

221

543

521

463


presentazione dell’argomento anche con le Figure dinamiche con GeoGebra e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO area di un segmento circolare a due basi . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO area di una figura a contorno curvilineo . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO area di una figura compresa tra quattro circonferenze svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


85



Raggio delle circonferenze circoscritta e inscritta in un triangolo

ed. blu geom.

60’


ed. verde

ed. rossa

ed. gialla


GEOGEBRA

ESPERIMENTI 1 e 2: dedurre le formule da una verifica con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO raggio della circonferenza inscritta . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

esplorazione 10 - Circonferenza inscritta e circoscritta a un triangolo 499

763

510

774

510

774


Complementi sui poligoni inscritti e circoscritti

ed. blu geom.

60’

presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. verde

ed. rossa

ed. gialla


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

768

211

533

511

453

223

545

523

465

501

765

511

775

ed. blu geom.




la storia di dai Babilonesi ai giorni nostri . . . . ESERCIZI INTERATTIVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO ........................................ ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo i Problemi nella storia e gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA NELLA STORIA


776

224

546

524

466

513

777

224

548

525

467

515

779

226

548

525

467

516

780

227

549

526

468

ed. blu geom.

confrontare e analizzare figure geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare, con particolare attenzione all’esercizio del tipo Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

512

G 245 G 245



504

G 224 G 224 G 161 G 114


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

344

608

194

516

494

436

345

609

195

517

495

437

345

609

195

517

495

437

346

610

196

518

496

438

348

612

198

520

498

440


Area e teoremi di Pitagora e di Euclide 9

Area e teoremi di Pitagora e di Euclide


Equivalenza ed equiscomponibilita`

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


GEOGEBRA

esplorazione 16 - Area

ESERCIZIO 1: introduzione ai concetti di equivalenza e di equiscomponibilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

350

614

266

200

522

500

442

362

626

275

213

535

513

455

362

626

275

213

535

513

455


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

352

616

268

202

524

502

444

363

627

276

214

536

514

456

356

620

268

202

524

502

444

356

620

364

628

277

215

537

515

457

365

629

277

215

537

515

457

365

629 278

215

537

517

459


Teoremi di equivalenza

120’

ed. blu geom.


equivalenza tra parallelogramma e rettangolo, tra triangolo e rettangolo, tra trapezio e triangolo, tra poligono circoscritto a una circonferenza e triangolo: presentazione dell’argomento, con le Figure dinamiche con GeoGebra, e svolgimento degli Esempi. . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO costruire, congetturare e dimostrare costruire un triangolo equivalente a un quadrilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . equivalenza tra un poligono e un altro con un lato in meno: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): la mediana di un triangolo lo divide in due triangoli equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): proprieta` della mediana di un triangolo . VIDEOLEZIONE dimostrazione: proprieta` dei parallelogrammi . . . . . . . VIDEOLEZIONE dimostrazione: equivalenza di quadrilateri . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): equivalenza di triangoli . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): equivalenza di un trapezio con il doppio di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo GeoGebra): proprieta` del parallelogramma . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


366

630

278

216

538

515

457

366

630

278

216

538

516

458

516

458

364

628

276

214

536

514

456

87



Aree dei poligoni

ed. blu geom.

120’


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


GEOGEBRA ESERCIZIO 2: introduzione al concetto di area . . . . . . . . . . . presentazione dell’argomento e svolgimento dell’Esempio . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema sul trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere ESERCIZIO GUIDATO problema sul quadrato (la costruzione puo eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): proprieta` del parallelogramma . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): proprieta` del trapezio . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): proprieta` del triangolo equilatero . . ESERCIZIO GUIDATO problema sul trapezio rettangolo (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema sul rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere ESERCIZIO GUIDATO problema sul quadrato (la costruzione puo eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione alle Figure dinamiche con GeoGebra, e assegnazione di lavori per casa . . . . .

esplorazione 16 - Area 357

621

271

205

527

505

447

367

631

279

217

539

517

459

368

632

369

633

371

635

371

635

372

636 280

218

540

518

460

282

219

541 462

367

ed. blu geom.


631

279

217

539

517

459


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2



373

637

284

223

545

523

465


374

638

285

224

546

524

466

375

639 287

225

547

525

467

........................................... ......................................... VIDEOLEZIONE equivalenza di triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE equivalenza di trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo i Problemi nella storia e gli Esercizi dalle gare di matematica . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (cartaceo) le aree delle figure a contorno curvilineo . .


88

377

641

287

226

548

525

467

379

643

288

226

548

525

467

359

623

380

644

289

227

549

526

G 237 G 237 G 146 G 224 G 224 G 161 G 114




Teorema di Pitagora

120’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

381

645

290

228

550

527

469

399

663

297

235

557

533

475

382

646

291

229

551

400

664

297

236

558

534

476

400

664

237

559

401

665

402

666

299

237

559

399

663

298

235

557

533

475


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

384

648

292

230

552

529

471

402

666

299

238

560

534

476

300

238

560

535

477

301

239

561

535

477


presentazione dell’argomento, con le Figure dinamiche con GeoGebra, e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO triangoli rettangoli e algoritmi . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema sul parallleogramma (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): proprieta` del parallelogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE dimostrazione: proprieta` dei quadrilateri con le diagonali perpendicolari . . . . . . . . . . GEOGEBRA costruzioni: rappresentazione di radici quadrate sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti e all’esercizio del tipo Teoremi nella storia, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Applicazioni del teorema di Pitagora

60’

ed. blu geom.


presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere ESERCIZIO GUIDATO problema su un trapezio (la costruzione puo eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere ESERCIZIO GUIDATO risoluzione di un triangolo (la costruzione puo eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere ESERCIZIO GUIDATO risoluzione di un triangolo (la costruzione puo eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO problema (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): rapporto tra area del triangolo equilatero circoscritto a una circonferenza e area del quadrato in essa inscritto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


404

668

478

405

669

403

667

300

238

560

535

477

89



Teoremi di Euclide

ed. blu geom.

120’


ed. verde

ed. rossa

ed. gialla


presentazione dell’argomento, utilizzando le Figure dinamiche con GeoGebra, e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA quadratura di un rettangolo (Costruzione) . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere ESERCIZIO GUIDATO problema sul rombo (la costruzione puo eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` ESERCIZIO GUIDATO problema sul trapezio isoscele (la costruzione puo essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del primo teorema di Euclide GEOGEBRA costruzioni: rappresentazione di numeri irrazionali . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . .

90

387

650

390

654

405

669

406

670

407

671

407

671

409

673

406

670




Problemi geometrici risolvibili per via algebrica

180’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

530

472

531

473

537

479

537

479


293

PROBLEMA SVOLTO

triangolo rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMA SVOLTO due torri e una fontana (Figure dinamiche con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMA SVOLTO punto su un lato di un triangolo equilatero (Figure dinamiche con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . PROBLEMA SVOLTO tre semicerchi (Figure dinamiche con GeoGebra) . . . PROBLEMA SVOLTO trapezio inscritto in una semicirconferenza (Figure dinamiche con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . ` essere ESERCIZIO GUIDATO area di un triangolo (la costruzione puo eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO perimetro di un trapezio rettangolo (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE rettangolo e rombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO punto su un lato di un quadrato (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo isoscele (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO mediana di un triangolo ottusangolo (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE perimetro di un trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO quadrato inscritto in un triangolo equilatero (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . ESERCIZIO GUIDATO utilizzo del primo teorema di Euclide (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . ESERCIZIO GUIDATO utilizzo dei teoremi di Euclide (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE trapezio isoscele circoscritto a una circonferenza . . . . ESERCIZIO GUIDATO utilizzo del teorema di Pitagora (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO utilizzo del teorema di Pitagora (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE perimetro di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione alle Figure dinamiche con GeoGebra, e assegnazione di lavori per casa . . . . .


391

655

294

232

554

392

656

394

658

233

555

395

659

410

674

302

241

563

411

675

303

242

564

411

675

243

565

412

676

243

565

413

677

413

677

414

678

244

566

415

679

416

680

417

681 242

564

539

481

242

564

537

479

303

305 305 306 410

674

303

91




ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2



397

661


419

683

307

246

568

540

482

420

684

308

247

569

541

483

422

686

309

248

570

542

484

424

688

309

248

570

383

647

290

228

550

425

689

310

249

571

543

485

quanto dista l’orizzonte? . . . . . . . . . . . ........................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (cartaceo/PDF) le varie dimostrazioni del teorema di Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


G 241 G 241 G 150 G 228 G 228 G 165 G 116

ed. blu geom.


confrontare e analizzare figure geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


92


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

426

690

311

250

572

544

486

427

691

312

251

573

545

487

428

692

312

252

574

546

488

429

693

314

253

575

547

489

432

696

318

256

578

550

492


Trasformazioni nel piano 10

Trasformazioni nel piano


Introduzione ai vettori e operazioni tra di essi

60’

ed. blu geom.

ed. ed. ed. blu azzurra verde geom. vol. 1

ed. rossa

ed. gialla

ed. rossa

ed. gialla

(PDF U22)


esplorazione 11 - Vettori

GEOGEBRA

ESERCIZI 1 e 2: disegnare un vettore; introduzione ai vettori e alla loro somma mediante il concetto di spostamento . . . . vettori, addizione e sottrazione tra vettori: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi con le Figure animate e le Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione con l’uso dei vettori (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione con l’uso dei vettori (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. verde

188

1/22

198

11/22

199

12/22

199

12/22

198

11/22


Moltiplicazione di un vettore per un numero reale e sue applicazioni

60’

ed. blu geom.


ed. verde

(PDF U22)


presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi con le Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO congetturare e dimostrare con l’ausilio dei vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione con l’uso dei vettori (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione con l’uso dei vettori a partire da un parallelogramma (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione con l’uso dei vettori a partire da un triangolo (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


191

4/22

200

13/22

194

7/22

202

15/22

202

15/22

202

15/22

200

13/22

93



Vettori nel piano cartesiano

ed. blu geom.

60’

ed. verde

ed. rossa

ed. gialla

ed. verde

ed. rossa

ed. gialla

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U22)


presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO problema (la costruzione puo GeoGebra): stabilire proprieta` attraverso i vettori . . . . ` essere eseguita con ESERCIZIO GUIDATO problema (la costruzione puo GeoGebra): stabilire proprieta` attraverso i vettori . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

194

7/22

203

16/22

203

16/22

205

18/22

204

17/22

ed. blu geom.


ed. ed. ed. blu azzurra verde geom. vol. 1 (PDF U22)




......................................... tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

206

19/22

207

20/22

208

21/22

ESERCIZI PER L’ECCELLENZA


G 219 G 219


Trasformazioni geometriche e isometrie

ed. blu geom.

120’


(PDF U17)

e` possibile alternare le costruzioni svolte a mano con quelle svolte con GeoGebra presentazione dell’attivita` «Luci e ombre» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


l’attivita` richiede lo svolgimento a casa di alcune parti e una successiva fase di discussione e sperimentazione in classe: in questa sede si suppone che gli alunni abbiano gia` svolto la parte assegnata per casa . . . . . . . . . . . . . .

svolgimento dell’attivita` proposta «Luci e ombre» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trasformazioni e isometrie: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

94


813

372

314

636

592

2/53

238

843

389

331

653

609

17/53




Simmetrie assiali

120’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2 (PDF U17)

e` possibile alternare le costruzioni svolte a mano con quelle svolte con GeoGebra presentazione dell’attivita` «Simmetria obliqua» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


l’attivita` e` un’utile introduzione alle simmetrie, in quanto la simmetria assiale puo` essere considerata un caso particolare di quelle oblique; conviene tralasciare in questa sede la parte relativa alla trasformazione nel piano cartesiano, in quanto gli alunni non possiedono ancora le conoscenze necessarie ad affrontarla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

svolgimento dell’attivita` proposta «Simmetria obliqua» . . . . . . . . . . . . . . . presentazione del problema «Un uomo a cavallo» . . . . . . . . . . . . . . . . .


822

377

319

641

597

7/53

214

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374

316

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594

3/53

240

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390

332

654

610

18/53

241

846

390

332

654

610

18/53

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

possiamo risolvere un problema pratico con l’uso delle trasformazioni: in questo caso le proprieta` della simmetria assiale che verranno introdotte ci porteranno alla soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . simmetrie assiali: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi con l’utilizzo delle Figure animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


Simmetrie centrali

60’

ed. blu geom.


(PDF U17)


GEOGEBRA ESERCIZI 1 e 2: introduzione alla simmetria centrale . . . . . . . . simmetrie centrali: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO utilizzare le simmetrie centrali . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


esplorazione 12 - Isometrie 219

823

378

320

642

598

8/53

243

848

392

334

656

612

20/53

222

826

379

321

643

599

9/53

244

849

392

335

656

612

20/53

95



Traslazioni

ed. blu geom.

60’


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2



GEOGEBRA ESERCIZI 3 e 4: introduzione alla traslazione . . . . . . . . . . . . . traslazioni: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi con l’utilizzo delle Figure animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO utilizzare le traslazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


826

380

322

644

600

10/53

245

850

394

336

658

614

22/53

223

828

381

323

645

601

11/53

246

851

394

336

658

614

22/53

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


Rotazioni

ed. blu geom.

60’


(PDF U17)


GEOGEBRA ESERCIZI 5 e 6: introduzione alla rotazione . . . . . . . . . . . . . . rotazioni: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi con l’utilizzo delle Figure animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

96


828

382

324

646

602

12/53

246

851

395

337

659

615

23/53

248

853

396

338

660

616

24/53




Dimostrazioni mediante isometrie

60’

ed. blu geom.


ed. verde

ed. rossa

ed. gialla

ed. verde

ed. rossa

ed. gialla


presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): congruenza di triangoli mediante la simmetria assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): quadrilatero con diagonali perpendicolari mediante la simmetria assiale . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): appartenenza di un punto alla bisettrice di un triangolo isoscele mediante la simmetria assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): criterio di parallellismo mediante la simmetria centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): congruenza di triangoli mediante la traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): triangolo isoscele mediante la rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

225

830

248

853

248

853

249

854

250

854

250

854

251

856

248

853


Composizione di trasformazioni e classificazione delle isometrie

60’

ed. blu geom.



presentazione dell’argomento (tramite le Figure dinamiche con GeoGebra e le Figure animate) e svolgimento degli Esempi . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO problema (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): individuare la trasformazione, date la figura di partenza e la sua trasformata . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


226

831

251

856

253

858

252

857

97



Isometrie nel piano cartesiano

ed. blu geom.

60’


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

(PDF U17)


GEOGEBRA ESERCIZIO 7: isometrie nel piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


836

383

325

647

603

13/53

254

859

397

339

661

617

24/53

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

ed. blu geom.



(PDF U17)



257

862

400

342

664

620


258

863

401

343

665

621

260

865

235

840

........................................... ......................................... ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (cartaceo) i gruppi di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) dimostrazioni mediante isometrie . . . . . . . .


262

ed. blu geom.


98

867

27/53 28/53

402

344

666

622

383

325

647

603

13/53

403

345

667

623

29/53

G 223 G 223 G 156 G 232 G 232 G 171 G 126



ed. gialla vol. 2

ed. blu

ed. ed. azzurra verde vol. 2 geom.

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

264

422

307

629

586

528

264

423

308

630

587

529

265

423

309

631

266

424

310

632

588

530

268

426

312

634

590

532




Teorema di Talete

120’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

698

580

552

494


segmenti e proporzioni: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA ESPERIMENTO: verifica del teorema di Talete . . . . . . . . . . . . teorema di Talete e alcune conseguenze: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema sul triangolo rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema sul triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del teorema di Talete per dimostrare una proporzione tra segmenti . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo del teorema di Talete per dimostrare una proporzione tra segmenti . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo del teorema di Talete per dimostrare una proporzione tra segmenti . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del teorema di Talete per dimostrare il parallelismo di due rette . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo del teorema di Talete per dimostrare il parallelismo di due rette . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del teorema della bisettrice per dimostrare una proporzione . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo del teorema della bisettrice per dimostrare il parallelismo di due rette . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


434

320

258

esplorazione 13 - Teorema di Talete 435

699

321

259

581

553

495

466

730

328

266

588

558

500

467

731

467

731

468

732

329

267

589

468

732

329

267

289

469

733

330

268

590

469

733

331

269

591

470

734

470

734

332

270

592

471

735

332

270

592

467

731

330

268

590

559

501

99



Criteri di similitudine per i triangoli

ed. blu geom.

120’


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

439

703

336

274

596

563

505

439

703

336

274

596

563

505

471

735

348

287

609

574

516

444

708

342

281

603

571

513

472

736

575

517

473

737

474

738

472

736

e` possibile alternare le costruzioni svolte a mano con quelle svolte con GeoGebra presentazione e risoluzione del problema «Rettangoli simili» . . . . . . . . . . . il problema introduce al concetto di forma cioe`, affinche´ si conservi la forma, devono rimanere invariati gli angoli e le distanze devono essere proporzionali

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO studio di un luogo geometrico . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema su due triangoli simili . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del primo criterio per dimostrare una proporzione . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): utilizzo del primo criterio per dimostrare la similitudine di due triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . .

350

349

289

611

289

611

288

610

575

517

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


Relazioni fra coppie di triangoli simili e teoremi di Euclide

ed. blu geom.

60’



ESERCIZIO, ESPERIMENTI 1 e 2: verifica delle proprieta` dei triangoli simili e dei teoremi di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema su un trapezio isoscele . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema sul rombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA costruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOGEBRA costruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` essere eseguita ESERCIZIO GUIDATO dimostrazione (la costruzione puo con GeoGebra): utilizzo dei teoremi di Euclide . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): equivalenza di due rettangoli . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Collegamenti, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . .

esplorazione 14 - Proprieta` dei triangoli simili e teoremi di Euclide

GEOGEBRA

100

445

476

709

339

277

599

566

508

351

290

612

575

517

291

613

353

292

614

353

292

614

293

615

291

613

740

576

518

577

519

576

518

353 475

739

352




Similitudine e poligoni

120’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

447

711

341

279

601

568

510

476

740

354

293

615

577

519

477

741

450

714

342

281

603

477

741

354

294

616

578

520

ed. verde vol. 2

ed. rossa

ed. gialla


presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): similitudine di rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO una successione di rombi simili . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


Similitudine e circonferenza

60’

ed. blu geom.



GEOGEBRA

verifica del teorema delle corde (Figure dinamiche) . . . . . . . presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

451

715

450

714

280

602

478

742

295

617

478

742

295

617


Similitudine e sezione aurea

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

453

717

584

555

497

456

720

480

744


presentazione dell’argomento (la costruzione della sezione aurea puo` essere effettuata con le Figure dinamiche con GeoGebra) . . . . . . . . . . . . ` il numero d’oro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA NELLA REALTA svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


324

262

101



Problemi di applicazione della similitudine

ed. blu geom.

120’


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


PROBLEMA SVOLTO

piramide di Cheope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

458

722

342

281

603

569

511

PROBLEMA SVOLTO

corda parallela a un lato di un triangolo . . . . . . . . . . .

460

724

343

282

604

570

512

PROBLEMA SVOLTO

semicerchio inscritto in un triangolo . . . . . . . . . . . . . .

461

725

PROBLEMA SVOLTO

trapezio inscritto in una semicirconferenza . . . . . . . . .

283

605

ESERCIZIO SVOLTO

la similitudine nei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

296

618

578

520

ESERCIZIO GUIDATO


355

579

521

ESERCIZIO GUIDATO

la similitudine in un rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

356

579

521

ESERCIZIO GUIDATO

la similitudine in un trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIDEOLEZIONE


ESERCIZIO GUIDATO


483

747

VIDEOLEZIONE

la similitudine in un quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

483

747

GEOGEBRA

problema con Figure dinamiche . . . . . . . . . . . . . . . .

484

748

VIDEOLEZIONE

la similitudine in un quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

485

749

GEOGEBRA

problema con Figure dinamiche . . . . . . . . . . . . . . . .

485

749

ESERCIZIO GUIDATO

teorema delle corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

487

751

ESERCIZIO GUIDATO

problema sui teoremi di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . .

ESERCIZIO GUIDATO


VIDEOLEZIONE


VIDEOLEZIONE


481

482

356

297

619

579

521

298

620

580

522

357

298

620

580

522

358

299

621

580

522

581

523

622

301

623

297

619

579

521


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

462

726

345

285

607

571

513

488

752

333 360

271 302

593 624

560 582

502 524

489

753

334 361

271 303

593 625

561 583

503 525

492

756

363

305

627

584

526

494

758

363

305

627

436

700 325

263

585

335 364

273 306

595 628

562 585

504 527

ed. blu geom.


746

355

300 482

svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

745

746

356



alcuni passi di Platone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


........................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO con particolare attenzione agli esercizi del tipo Giustificare e argomentare . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo i Teoremi nella storia e gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . SOLVE MATH IN ENGLISH esercizi in inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) estensione della dimostrazione del teorema di Talete al caso in cui i segmenti considerati sono incommensurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) il numero d’oro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

495


102

759

G 243 G 243 G 152 G 230 G 230 G 167 G 119 G 154 G 169 G 121




Omotetia

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2



GEOGEBRA ESERCIZI 1 e 2: introduzione all’omotetia . . . . . . . . . . . . . . . presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi mediante le Figure animate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO utilizzare le omotetie . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): punto medio di due segmenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO dimostrazione (la costruzione puo` essere eseguita con GeoGebra): congruenze di due segmenti in un trapezio . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

esplorazione 15 - Omotetia 517

781

404

346

668

624

30/53

525

789

411

353

675

631

520

784

406

348

670

626

32/53

528

792

414

356

678

634

40/53

528

792

414

356

678

634

41/53

526

790

412

354

676

632

38/53

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


Omotetie nel piano cartesiano

60’

ed. blu geom.


(PDF U18)


presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO esistenza di un’omotetia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

521

785

407

349

671

627

33/53

530

794

416

358

680

636

42/53

529

793

415

357

379

635

41/53

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


Dalle omotetie alle similitudini

60’

ed. blu geom.


(PDF U18)


presentazione dell’argomento, mediante le Figure animate . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO individuare una similitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


522

786

408

350

672

628

34/53

531

795

417

359

681

637

44/53

530

794

416

358

680

636

43/53

103




ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2




532

796

418

360

682

638


532

796

418

360

682

638

45/53

534

798

420

362

684

640

46/53

535

799

421

363

685

641

47/53

........................................... ......................................... ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo i Teoremi nella storia e gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . .


G 247 G 247 G 160 G 238 G 238 G 175 G 128

ed. blu geom.



ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2


confrontare e analizzare figure geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


104

563

800

365

364

686

642

48/53

564

801

366

365

687

643

49/53

566

803

367

365

687

643

49/53

567

804

368

366

688

644

50/53

570

808

370

368

690

646


Trigonometria e geometria nello spazio


11

Lezione 1 LIM

Angoli e loro misure

60’

presentazione dell’argomento, con l’utilizzo delle Figure animate, e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U18)

(PDF U18)

(PDF U18)

(PDF U19)

2/87

2/86

536

1/30

370

2/86

554

20/30

388

21/86 21/87 21/86

Lezione 2 LIM

Funzioni goniometriche

120’

presentazione dell’argomento, con l’utilizzo delle Figure dinamiche con GeoGebra, e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO calcolo del coseno e della tangente, noto il seno . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U18)

(PDF U18)

(PDF U18)

(PDF U19)

6/87

6/86

540

5/30

374

6/86

555

21/30

389

22/86 22/87 22/86

556

22/30

555

21/30

23/86 23/87 23/86 389

22/86 22/87 22/86

Lezione 3 LIM

Grafici delle funzioni goniometriche

60’

presentazione dell’argomento con l’utilizzo delle Figure dinamiche con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . .

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U18)

(PDF U18)

(PDF U18)

(PDF U19)

547

12/30

381

13/86 13/87 13/86

557

23/30

391

24/86 24/87 24/86

Lezione 4 LIM

Teoremi sui triangoli rettangoli

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO risoluzione di triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO perimetro di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U18)

(PDF U18)

(PDF U18)

(PDF U19)

550

15/30

384

16/86 16/87 16/86

558

24/30

391

25/86 25/87 25/86

558

24/30

392

560

26/30

559

25/30

25/86 25/87 25/86 27/86 27/87 27/86

392

26/86 26/87 26/86

105




ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U18)

(PDF U18)

(PDF U18)

(PDF U19)

394


........................................... ......................................... APPROFONDIMENTO (PDF) i teoremi sui triangoli qualunque applicazioni al calcolo vettoriale . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO


561

27/30

552

18/30

562

29/30

G 251 G 251

ed. blu geom.


ed. blu

394

28/86 28/87 28/86 19/86 19/87 19/86

396

30/86 30/87 30/86

G 242 G 242

ed. ed. azzurra verde geom.

ed. verde

G 132

ed. rossa



Verso le prove Invalsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

563 564 566 567

Lezione 5 LIM

Introduzione alla geometria nello spazio

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U20)

presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1/51 1/51 Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32/51 32/51 ESERCIZIO GUIDATO vedere nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32/51 32/51 svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa 33/51 33/51

397

31/86 31/87 31/86

429

62/86 63/87 62/86

429

62/86 63/87 62/86

429

63/86 64/87 63/86

Lezione 6 LIM

Perpendicolarita` nello spazio

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U20)

presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4/51 4/51 Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33/51 33/51 ESERCIZIO GUIDATO distanza fra punti nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34/51 34/51 svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa 34/51 34/51

106

400

34/86 34/87 34/86

430

63/86 64/87 63/86

430

64/86 65/87 64/86

431

64/86 65/87 64/86



Lezione 7 LIM

Parallelismo nello spazio

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U20)

presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9/51 9/51 Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34/51 34/51 ESERCIZIO SVOLTO vedere nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35/51 35/51 svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa 36/51 36/51

405

39/86 39/87 39/86

431

64/86 65/87 64/86

432

65/86 66/87 65/86

432

66/86 67/87 66/86

Lezione 8 LIM

Proiezioni, distanze e angoli

60’

presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO ampiezza di un angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U20)

12/51 12/51

408

42/86 42/87 42/86

36/51 36/51

432

66/86 67/87 66/86

36/51 36/51

433

66/86 67/87 66/86

36/51 36/51

433

66/86 67/87 66/86

Lezione 9 LIM

Prismi, parallelepipedi e piramidi

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U20)

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . 13/51 13/51 Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37/51 37/51 svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa 37/51 37/51

410

43/86 43/87 43/86

433

67/86 68/87 67/86

434

67/86 68/87 67/86


Solidi di rotazione

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U20)

presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19/51 19/51 Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38/51 38/51 svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa 38/51 38/51

415

49/86 49/87 49/86

434

68/86 69/87 68/86

435

68/86 69/87 68/86

Lezione 11 LIM

Aree di superfici e volumi

60’

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U20)

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . 21/51 21/51 Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39/51 39/51 svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa 41/51 41/51


417

51/86 51/87 51/86

435

69/86 70/87 69/86

437

71/86 72/87 71/86

107

Percorsi didattici multimediali guidati Riepilogo e approfondimento

ed. blu geom.


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2


(PDF U16)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U20)


i poliedri regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (cartaceo/PDF) poliedri e poliedri regolari . . . . . . . . . .

29/51 29/51


442

76/86 77/87 76/86

48/51 48/51

444

78/86 79/87 78/86

27/51 27/51

423

57/86 57/87 57/86

446

80/86 81/87 80/86

50/51 50/51


ed. blu geom.

G 244 G 244

confrontare e analizzare figure geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

59/86 59/87 59/86

46/51 46/51



426 442

ed. blu

ed. ed. azzurra verde geom.

G 134

ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

ed. gialla vol. 2

(PDF U19)

(PDF U19)

(PDF U20)

563

447

81/86 82/87 81/86

564

448

82/86 83/87 82/86

567

450

84/86 85/87 84/86

570


Dati e previsioni 12

Dati e previsioni



ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

643

885

609

567

701

675

559

636

878

602

560

694

668

552

659

901

625

581

715

689

572

659

901

625

581

715

689

572

658

900

624

580

714

688

571

638

880

604

562

696

670

554

659

901

625

581

715

689

572

660

902

626

582

716

690

573

662

904

628

660

902

626

582

716

690

573

120’

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO algoritmi per il calcolo della media e della mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO la mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO la moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE problema sulla media . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO problema sulla media . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema sulla media . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Interpretazione di grafici, e assegnazione di lavori per casa

643

885

609

567

701

675

559

667

909

633

588

722

696

578

650

892

616

574

708

682

566

667

909

633

588

722

696

579

668

910

634

589

723

697

579

668

910

634

589

723

697

580

669

911

635

590

724

698

580

670

912

636

591

725

699

581

670

912

636

591

725

699

581

668

910

634

589

723

697

579

Laboratorio

Introduzione alla statistica

120’

presentazione dell’attivita` Matematica in laboratorio «Rappresentazione di dati» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . interessante partire da un’attivita` guidata in laboratorio per introdurre il linguaggio statistico

introduzione alla stastistica: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO cattive interpretazioni dei dati (morti in Italia) . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO cattive interpretazioni dei dati (matrimoni in Italia) . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa distribuzioni di frequenze e rappresentazioni grafiche: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento dell’attivita` presentata (attivita` guidata), con la guida del docente e svolgimento autonomo da parte degli alunni delle ulteriori attivita` (attivita` proposte) Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE distribuzione di frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO frequenze cumulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


Indici di posizione


109




ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1

650

892

616

574

708

682

566

673

915

639

594

728

702

584

650

892

616

574

708

682

566

673

915

639

594

728

702

584

674

916

640

595

729

703

585

673

915

639

594

728

702

584

ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

ed. gialla vol. 1


656

898

622

578

712

686

569


677

919

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731

705

586

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587

681

923

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600

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561

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669

553

640

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606

564

698

672

556

654

896

620

574

711

682

Laboratorio

Variabilita`

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO calcolo di valori di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO varianza e deviazione standard di un gruppo di numeri . . . . . . . . . . . . . . . . VIDEOLEZIONE media e deviazione standard . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


la nascita e gli sviluppi della statistica ........................................... ESERCIZI DI RIEPILOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) le fasi di un’indagine statistica . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) rapporti statistici . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (CARTACEO/PDF) la media armonica e la media geometrica . . . . . . . . . . .



risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . interpretare grafici e dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


110

682

924

648

601

735

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G 88

G 88

G 100

G 90

G 90

G 102

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ed. blu alg. 1


ed. verde vol. 1

ed. rossa vol. 1

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738

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593

689

931

655

608

742

716

597


Dati e previsioni


Introduzione al calcolo delle probabilita`

120’

introduzione al calcolo delle probabilita`: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO 5 lanci successivi di una moneta . . . . . . . . . . . . . . . . .

ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

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713

666

presentazione dell’attivita` «Antico gioco russo»


il gioco permette di intuire il concetto di probabilita` a partire dalla frequenza di un evento, per poi valutarla in maniera teorica con la definizione classica

svolgimento dell’attivita` «Antico gioco russo»: l’attivita` puo` essere condotta in laboratorio con l’utilizzo del foglio elettronico valutazione della probabilita` secondo la definizione classica: presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO probabilita` di estrarre un numero di due cifre che sia un quadrato perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO problema con equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO SVOLTO utilizzo del principio fondamentale del calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO utilizzo del principio fondamentale del calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO utilizzo del principio fondamentale del calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione agli esercizi del tipo Interpretazione di grafici, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

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840

458

496

722

675

Lezione 5 In classe

Primi teoremi sulla probabilita`

60’

presentazione dell’argomento e svolgimento degli Esempi . . . . . . . . . . . . Esercizi preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO probabilita` dell’evento contrario . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO probabilita` dell’evento contrario . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO probabilita` dell’evento unione e intersezione . . . . . . . ESERCIZIO GUIDATO probabilita` dell’evento unione e intersezione . . . . . . . svolgimento di esercizi di consolidamento, con particolare attenzione ai problemi di Matematica in azienda e agli esercizi del tipo Giustificare e argomentare, e assegnazione di lavori per casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


559

111



Oltre la definizione classica di probabilita`

120’

ed. blu alg. 2


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ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

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ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

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472

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736

688

svolgimento di una serie di attivita` di laboratorio anche in questo caso le attivita` permettono di considerare il concetto di probabilita` come limite della frequenza di un evento e di introdurre l’allievo alla legge dei grandi numeri

definizione frequentista, soggettivista e assiomatica: presentazione dell’argomento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATEMATICA IN LABORATORIO simulazione di un esperimento aleatorio . . . MATEMATICA IN LABORATORIO il problema del Granduca di Toscana . . . . . Pascal gioca a dadi: svolgimento dell’attivita` svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa


Lezione 7 In classe

Calcolo della probabilita` in altri casi

60’

probabilita` come rapporto di aree . . . . . valutazione della probabilita` in casi non riconducibili alla definizione classica . . . svolgimento di esercizi di consolidamento e assegnazione di lavori per casa ESERCIZIO GUIDATO

APPROFONDIMENTO (cartaceo)



la nascita e gli sviluppi del calcolo delle probabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI INTERATTIVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ESERCIZI DI RIEPILOGO con particolare attenzione ai Problemi nella Storia e agli esercizi del tipo Collegamenti . . . ESERCIZI PER L’ECCELLENZA tra essi troviamo gli Esercizi dalle gare di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) probabilita` condizionata e indipendenza . . . . . APPROFONDIMENTO (PDF) il concetto di modello in probabilita` e nella matematica moderna . . . . . . . . . . . . . .


112

568

G 161 G 161 G 164 G 159 G 159 G 179 G 124


Dati e previsioni Competenze e prove Invalsi

risolvere problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . interpretare grafici e dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esporre, ragionare e dimostrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



ed. blu alg. 2


ed. verde vol. 2

ed. rossa vol. 2

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113

Esplorazioni in GeoGebra Introduzione In questa sezione sono presenti sedici Esplorazioni in GeoGebra mirate a dare alla geometria un carattere di «scoperta» quasi empirica per introdurre i vari argomenti. Il fine delle Esplorazioni in GeoGebra e` di sperimentare le proprieta` delle figure geometriche e condurre gli alunni a formulare congetture, che porteranno poi all’enunciato e alla dimostrazione, dove previsto, delle proprieta` stesse. Queste esplorazioni contengono esercizi guidati, che, in taluni casi, costituiscono anche una breve guida all’utilizzo del software e altre attivita`, denominate «Esperimenti», aventi lo scopo di favorire la riflessione e la formulazione di ipotesi. Si consiglia di seguire il percorso suggerito, poiche´ alcune esplorazioni contengono elementi propedeutici alle successive. Le Esplorazioni sono le seguenti: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Introduzione alla geometria euclidea Congruenza Congruenza dei triangoli Disuguaglianze nei triangoli Rette perpendicolari e parallele Proprieta` degli angoli nei poligoni Piccolo teorema di Talete Luoghi geometrici Circonferenza e poligoni inscritti e circoscritti Circonferenza inscritta e circoscritta a un triangolo Vettori Isometrie Teorema di Talete Proprieta` dei triangoli simili e teoremi di Euclide Omotetia Area


115

ESPLORAZIONE 1

Introduzione alla geometria euclidea Esercizio 1

Disegnare punti e rette

1. Con lo strumento «Punto» , disegna un punto A e un punto B. 2. Con lo strumento «Retta» , disegna una retta passante per i punti A e B e chiamala a. 3. Disegna un punto non appartenente ad a. Quali postulati hai utilizzato per le tue costruzioni? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esercizio 2

Disegnare semirette, segmenti e poligonali

1. Disegna due punti A e B. 2. Con lo strumento «Semiretta» , disegna la semiretta di origine A passante per B e la semiretta di origine B passante per A. 3. Con lo strumento «Segmento» , disegna il segmento AB. 4. Disegna un segmento BC, consecutivo di AB. 5. Disegna un segmento DA, adiacente ad AB. 6. Con gli strumenti che hai imparato a usare, disegna una poligonale aperta, una chiusa e una intrecciata.

Esercizio 3 Disegnare poligoni concavi e convessi; disegnare ed evidenziare angoli 1. Con lo strumento «Poligono» , disegna un poligono convesso e uno concavo. Come puoi mostrare che i due poligoni che hai disegnato godono delle proprieta` richieste? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

2. Con gli strumenti che hai imparato a usare, disegna due semirette con l’origine in comune ed evidenzia, con lo strumento «Angolo» , l’angolo concavo e quello convesso da esse formati. Come puoi mostrare che i due angoli che hai disegnato godono delle proprieta` richieste? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

116


ESPLORAZIONE 2

Congruenza Esercizio 1

Verificare la congruenza di due figure

1. Disegna due poligoni che supponi essere congruenti. 2. Verificane la congruenza trasportando, con lo strumento «Muovi» uno dei due sull’altro: coincidono?

,

Motiva la tua risposta. .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esercizio 2

Disegnare poligoni regolari e circonferenze

1. Con lo strumento «Poligono regolare» , disegna alcuni poligoni regolari. 2. Con lo strumento «Circonferenza - dati il centro e un punto» , disegna una circonferenza. 3. Con lo strumento «Compasso» , disegna alcune circonferenze.

Esercizio 3

Trasporto di un segmento

1. Disegna un segmento AB e una retta a che non abbiano punti in comune e individua sulla retta un punto P, con lo strumento «Punto su oggetto» . 2. Con il compasso, regolato con apertura pari ad AB, individua ora su a un segmento PQ lungo come AB (in tal caso e` utile, per individuare il punto Q, utilizzare lo strumento «Intersezione» ). Quanti segmenti trovi? ....................................................................................................................

Esercizio 4

Punto medio di un segmento

Disegna un segmento AB e, con lo strumento «Punto medio o centro» va il suo punto medio.

Esercizio 5

, tro-

Confronto di angoli e bisettrice di un angolo

1. Con gli strumenti che hai imparato a usare disegna due angoli congruenti e due angoli diversi e confrontali. 2. Disegna un angolo e, con lo strumento «Bisettrice» , la sua bisettrice.

Esperimento

Teorema sugli angoli opposti al vertice

1. Disegna una retta passante per due punti A e B. 2. Disegna ora una retta passante per B e per un altro punto C. 3. Evidenzia l’angolo ABC e il suo opposto al vertice, in modo che siano visibili le loro misure. 4. Fai variare C con lo strumento «Muovi» . Come risultano i due angoli opposti al vertice al variare del punto C? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Quale congettura puoi fare relativamente agli angoli opposti al vertice? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................


117

ESPLORAZIONE 3

Congruenza dei triangoli Esercizio 1

Disegnare le mediane di un triangolo

1. Con lo strumento «Poligono» , disegna un triangolo ABC e individua il punto medio di ciascun lato. 2. Disegna i tre segmenti che hanno come estremi un vertice del triangolo e il punto medio del lato opposto: si tratta delle mediane. 3. Muovi i vertici del triangolo di partenza e osserva le mediane. Puoi fare una congettura su queste ultime? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esercizio 2

Disegnare le bisettrici di un triangolo

1. Con lo strumento «Poligono» , disegna un triangolo ABC e le rette bisettrici dei suoi angoli. 2. Individua i punti di intersezione delle rette precedenti con i lati del triangolo. 3. Nascondi le rette precedenti. 4. Disegna i tre segmenti che hanno come estremi un vertice del triangolo e il punto di intersezione sul lato opposto individuato prima: si tratta delle bisettrici. 5. Muovi i vertici del triangolo di partenza e osserva le bisettrici. Puoi fare una congettura su queste ultime? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esercizio 3

Disegnare le altezze di un triangolo

1. Disegna un triangolo acutangolo ABC. 2. Con lo strumento «Retta perpendicolare» , disegna, per ogni lato, la retta ad esso perpendicolare passante per il vertice opposto. 3. Individua i punti di intersezione delle rette precedenti con i lati del triangolo. 4. Nascondi le rette precedenti. 5. Disegna i tre segmenti che hanno come estremi un vertice del triangolo e il punto di intersezione sul lato opposto individuato prima: si tratta delle altezze. 6. Muovi i vertici del triangolo di partenza e osserva il comportamento delle altezze. Puoi fare una congettura su queste ultime? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Perche´ in alcuni casi i segmenti che hai disegnato spariscono? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

118


Esplorazioni in GeoGebra

7. Visualizza nuovamente le rette che hai disegnato in precedenza e muovi ora i vertici del triangolo. Che cosa puoi dire ora riguardo a queste rette? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Esperimento 1

Il primo criterio di congruenza dei triangoli

1. Disegna una triangolo ABC e un punto A0 , esterno al triangolo. 2. A partire dal punto A0 , disegna il segmento A0 B0 congruente ad AB e il segmento A0 C0 congruente ad AC, facendo in modo che tutti i segmenti siano bB e C0 A b0 B0 siano conorientati allo stesso modo, cosicche´ pure gli angoli CA gruenti (puoi verificarlo con lo strumento «Angolo» ). 3. Con lo strumento «Poligono» , disegna il triangolo A0 B0 C0 . 4. Nascondi i segmenti A0 B0 e A0 C0 , disegnati al punto 2. 5. Con lo strumento «Muovi» , prova a trascinare il triangolo A0 B0 C0 sul triangolo ABC. Riesci a sovrapporli esattamente? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Quale congettura puoi fare relativamente ai due triangoli? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Dopo aver ripetuto l’esperimento con un’altra coppia di triangoli, puoi trarre una conclusione riguardo alle condizioni necessarie per la loro congruenza? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esperimento 2

Il secondo criterio di congruenza dei triangoli

1. Disegna un triangolo ABC e un punto A0 , esterno al triangolo. 2. Con lo strumento «Retta parallela» , disegna la retta parallela al lato AB passante per A0 e individua su di essa un punto B0 , in modo che il segmento A0 B0 sia congruente al segmento AB. bB, in modo da visua3. Con lo strumento «Angolo» , evidenzia l’angolo CA lizzare la sua misura. 4. Con lo strumento «Angolo di data misura» , disegna un angolo conb gruente a CAB avente un lato coincidente con A0 B0 , la stessa orientazione bB e come vertice il punto A0 . di CA 5. Disegna la retta su cui giace il secondo lato di quest’ultimo angolo individuato. bB, in modo da visua6. Con lo strumento «Angolo» , evidenzia l’angolo CA lizzare la sua misura. 7. Con lo strumento «Angolo di data misura» , disegna un angolo congruente a CBbA avente un lato coincidente con A0 B0 e come vertice il punto B0 . 8. Disegna la retta su cui giace il secondo lato di quest’ultimo angolo individuato. Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

119


9. Individua il punto di intersezione tra le due rette disegnate al punto 5 e al punto 8 e chiamalo C0 . 10. Nascondi tutte le rette precedentemente disegnate. 11. Con lo strumento «Poligono» , disegna il triangolo A0 B0 C0 . 12. Con lo strumento «Muovi» , prova a trascinare il triangolo A0 B0 C0 sul triangolo ABC. Riesci a sovrapporli esattamente? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Quale congettura puoi fare, relativamente ai due triangoli? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................


Esperimento 3

Il terzo criterio di congruenza dei triangoli

1. Disegna un triangolo ABC e un punto A0 , esterno al triangolo. 2. Con lo strumento «Retta parallela» , disegna la retta parallela al lato AB 0 passante per A e individua su di essa un punto B0 , in modo che il segmento A0 B0 sia congruente al segmento AB. 3. Con lo strumento «Compasso» , traccia la circonferenza centrata in A0 e avente raggio congruente ad AC. 4. Con lo strumento «Compasso» , traccia la circonferenza centrata in B0 e avente raggio congruente a BC. 5. Individua i punti di intersezione delle due circonferenze e chiama C0 quello che, con A0 e B0 , forma un triangolo orientato allo stesso modo di ABC. Come risultano i lati dei due triangoli cosı` costruiti? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

6. Con lo strumento «Poligono» , disegna il triangolo A0 B0 C0 . 7. Nascondi tutti gli elementi della costruzione e lascia visualizzati solo i due triangoli. 8. Con lo strumento «Muovi» , prova a trascinare il triangolo A0 B0 C0 sul triangolo ABC. Riesci a sovrapporli esattamente? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Quale congettura puoi fare, relativamente ai due triangoli? ....................................................................................................................................................................................


120


ESPLORAZIONE 4

Disuguaglianze nei triangoli Esperimento 1

Il primo teorema dell’angolo esterno

1. Disegna un triangolo ABC e la retta AB su cui giace il suo lato. 2. Individua sul prolungamento del lato AB, dalla parte di B, un punto P ed evidenzia l’angolo esterno CBbP, in modo da visualizzarne la misura. bB del triangolo, in modo da visualizbB e AC 3. Evidenzia gli angoli interni CA zarne la misura. 4. Muovi i vertici del triangolo e osserva come variano le misure dei tre angoli evidenziati. Che cosa puoi dire in merito alla misura di ciascuno dei due angoli interni, se confrontata con quella dell’angolo esterno? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

5. Evidenzia anche il terzo angolo interno ABbC, in modo da visualizzarne la misura. Muovendo i vertici del triangolo, puoi effettuare la stessa considerazione di prima anche per questo angolo, se confrontato con l’angolo esterno? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Perche´? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Quale congettura puoi quindi fare riguardo alle misure degli angoli interni, se confrontate con quelle di un angolo esterno? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esperimento 2 Il teorema sulle relazioni tra lati e angoli opposti di un triangolo e il suo teorema inverso 1. Disegna un triangolo scaleno ABC, in modo che siano visualizzate le misure dei suoi lati. 2. Evidenzia gli angoli interni del triangolo, in modo che siano visualizzate le loro misure. 3. Osserva le misure dei lati e degli angoli e scrivi le due serie in ordine crescente. A quale lato e` opposto l’angolo maggiore? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

A quale lato e` opposto l’angolo minore? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Puoi fare una congettura relativamente alle misure degli angoli e dei lati di un triangolo? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

4. Muovi i vertici del triangolo e stabilisci se la tua congettura ha senso. Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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ESPLORAZIONE 5

Rette perpendicolari e parallele Esercizio 1

Disegnare rette perpendicolari

1. Disegna una retta passante per due punti A e B e chiamala a. 2. Con lo strumento «Retta perpendicolare» , disegna una retta passante per A e perpendicolare ad a e chiamala b. 3. Disegna un punto P non appartenente ne´ ad a ne´ a b. 4. Disegna una retta perpendicolare ad a passante per P e una retta perpendicolare a b passante per P.

Esercizio 2

Disegnare l’asse di un segmento

1. Disegna un segmento AB. 2. Con lo strumento «Asse di un segmento» mento AB.

Esercizio 3

, disegna l’asse del seg-

Disegnare rette parallele

1. Disegna una retta passante per due punti A e B e chiamala a. 2. Disegna un punto P non appartenente ad a. 3. Con lo strumento «Retta parallela» , disegna una retta passante per P e parallela ad a e chiamala b. Quale postulato hai utilizzato per la tua costruzione? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esperimento 1

Il criterio di parallelismo

1. Disegna due punti, A e B (con A a «sinistra» di B), e la retta passante per essi e chiamala a. 2. Disegna due punti, C e D (con C a «sinistra» di D), e la retta passante per essi e chiamala b. 3. Disegna, su a un punto P, compreso tra A e B e su b un punto Q, compreso tra C e D e traccia la retta PQ. b P, in modo che siano visibili le loro misure. 4. Evidenzia gli angoli APbQ e DQ Come si chiama una coppia di angoli di questo tipo? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

5. Disegna la retta parallela ad a passante per Q e chiamala c. 6. Muovi il punto C ruotando la retta b e osserva come varia la misura delbP. l’angolo DQ Che cosa puoi dire della misura di tale angolo quando la retta b e` prossima a sovrapporsi alla retta c? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Puoi fare una congettura sulle condizioni sufficienti affinche´ le rette a e b siano parallele? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

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Esperimento 2

Il criterio di parallelismo inverso

1. Disegna due punti, A e B (con A a «sinistra» di B), e la retta passante per essi e chiamala a. 2. Disegna un punto C, non appartenente ad a. 3. Disegna la retta parallela ad a passante per C e chiamala b. 4. Sulla retta a, disegna un punto P, compreso tra A e B. 5. Sulla retta b, disegna un punto Q, a «destra» di C. bP, in modo che siano visibili le loro misure. 6. Evidenzia gli angoli BPbQ e CQ Come si chiama una coppia di angoli di questo tipo? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

7. Muovi il punto P e osserva come variano le misure dei due angoli evidenziati. Puoi fare una congettura sulle condizioni necessarie affinche´ le rette a e b siano parallele? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

ESPLORAZIONE 6

` degli angoli nei poligoni Proprieta Esperimento 1

Il teorema dell’angolo esterno

1. Disegna un triangolo ABC e la retta AB su cui giace il suo lato. 2. Individua sul prolungamento del lato AB, dalla parte di B, un punto P ed evidenzia l’angolo esterno CBbP, in modo da visualizzarne la misura, chiamandolo . bB del triangolo, in modo da visualizbB e AC 3. Evidenzia gli angoli interni CA zarne la misura, chiamandoli, rispettivamente, e . 4. Visualizza il foglio di calcolo (menu «Visualizza» ! «Vista Foglio di calcolo»). 5. Scrivi nella prima riga le seguenti intestazioni di colonna: «alfa» (cella A1), «beta» (cella B1), «gamma» (cella C1) e «beta + gamma» (cella D1). 6. Seleziona la cella A2, fai clic sul pulsante per visualizzare la barra di inserimento di questa Vista (e` il riquadro bianco a destra del segno di spunta verde) e inserisci « » (puoi inserire il nome della variabile facendo clic sul pulsante quadrato a destra della barra, recante proprio la lettera ). ÇMostra la barra di inserimentoÈ

barra di inserimento

7. Seleziona la cella B2 e inserisci nella barra: « » (puoi inserire il nome della variabile cliccando sul pulsante quadrato a destra della barra, recante la lettera ). Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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8. Seleziona la cella C2 e inserisci nella barra: « » (puoi inserire il nome della variabile cliccando sul pulsante quadrato a destra della barra, recante la lettera ). 9. Seleziona la cella D2 e inserisci la seguente formula nella barra: « þ » (puoi inserire il nome delle variabili cliccando sul pulsante quadrato a destra della barra, recante la lettera ). 10. Confronta i valori che risultano nelle celle A2 e D2. Come sono? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

11. Muovi i vertici del triangolo e osserva come variano le misure degli angoli. La proprieta` precedente rimane vera? .................................................................................... Che cosa puoi dire in merito alle misure dei due angoli interni, rispetto a quella dell’angolo esterno? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

` sulla somma degli angoli interni Esperimento 2 La proprieta di un poligono convesso 1. Disegna un poligono convesso con quattro lati ed evidenzia tutti i suoi angoli interni, in modo tale che siano visibili le loro misure. 2. Visualizza il foglio di calcolo (menu «Visualizza» ! «Vista Foglio di calcolo»). 3. Scrivi nella prima riga le intestazioni di colonna corrispondenti ai nomi degli angoli del poligono e aggiungi un’ulteriore colonna intitolata «somma». 4. Inserisci in ogni colonna, nelle celle della seconda riga, le formule con i nomi delle variabili corrispondenti agli angoli e, nell’ultima colonna, una formula che permetta di calcolarne la somma (poiche´ gli angoli sono solo quattro puoi scrivere direttamente i nomi delle variabili intervallati da un segno «þ»). Quale risultato trovi? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

5. Muovi i vertici del poligono e osserva come cambia la somma. Quale congettura puoi fare in merito alla somma degli angoli interni di un quadrilatero? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

6. Ripeti l’esperimento con un pentagono e poi con un esagono. Quale congettura puoi fare in merito alla somma degli angoli interni di un poligono? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

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ESPLORAZIONE 7

Piccolo teorema di Talete Esperimento

Il piccolo teorema di Talete

1. Disegna cinque o sei rette, tutte parallele fra loro. 2. Disegna due trasversali, che intersecheranno tutte le rette precedenti, e individua i punti di intersezione di ciascuna delle trasversali con ciascuna retta del fascio. 3. Disegna tutti i segmenti che hanno per estremi i punti di intersezione consecutivi della prima trasversale con le rette del fascio, in modo che risultino evidenziate sulla figura le loro misure. 4. Disegna tutti i segmenti che hanno per estremi i punti di intersezione consecutivi della seconda trasversale con le rette del fascio, in modo che risultino evidenziate sulla figura le loro misure. 5. Muovi opportunamente le rette del fascio con lo strumento «Rette parallele» in modo che, sulla prima trasversale, ci siano due o piu` segmenti congruenti. Come risultano i corrispondenti segmenti sulla seconda trasversale? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Quale congettura puoi fare in merito ai due insiemi di segmenti sulla prima e sulla seconda trasversale? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

ESPLORAZIONE 8

Luoghi geometrici Esperimento 1 geometrico

L’asse di un segmento come luogo

1. Disegna un segmento AB e il suo asse a. 2. Considera su a un punto P. 3. Disegna i segmenti PA e PB, in modo che le loro misure siano visualizzate. Che cosa puoi osservare in merito ai due segmenti appena disegnati? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

4. Muovi il punto P e osserva come cambiano le misure dei due segmenti. Puoi fare una congettura relativa ai punti dell’asse? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esperimento 2 geometrico

L’asse di un segmento come luogo

1. Disegna un segmento AB. 2. Disegna una circonferenza di centro A e raggio maggiore della meta` del segmento AB. Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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3. Disegna una circonferenza di centro B e raggio uguale a quello della precedente. 4. Individua i punti di intersezione di tali circonferenze. Considerato uno dei punti trovati, che cosa puoi dire in merito alla sua distanza dagli estremi del segmento? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

5. Ripeti per altre due volte i passaggi dal 2 al 4 con circonferenze di raggio diverso da quello disegnato precedentemente. 6. Disegna l’asse del segmento AB. Puoi fare una congettura sui punti di intersezione prima trovati? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................


La bisettrice di un angolo come luogo

1. Disegna un angolo, a partire da un punto O, suo vertice, e da due semirette di origine O. 2. Con lo strumento «Bisettrice» , disegna la sua bisettrice e chiamala b. 3. Considera, su b, un punto P e disegna, da P, le perpendicolari ai lati dell’angolo. 4. Individua i punti di intersezione, H e K, delle perpendicolari con i lati stessi dell’angolo. 5. Nascondi le perpendicolari e disegna i segmenti PH e PK, in modo che siano visualizzate le loro misure. Come si chiamano tali segmenti? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Come risultano fra loro? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Puoi fare una congettura sui punti della bisettrice? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................


La bisettrice di un angolo come luogo

1. Disegna un angolo, a partire da un punto O, suo vertice, e da due semirette di origine O. 2. Considera un punto P interno all’angolo e disegna, da P, le perpendicolari ai lati dell’angolo. 3. Individua i punti di intersezione, H e K, delle perpendicolari con i lati stessi dell’angolo. 4. Nascondi le perpendicolari e disegna i segmenti PH e PK, in modo che siano visualizzate le loro misure.

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5. Muovi il punto P per cercare di fare in modo che i due segmenti precedenti siano congruenti (o quasi). 6. Ripeti i passaggi dal 2 al 5 per un secondo punto Q e un terzo punto R. 7. Traccia la bisettrice dell’angolo di partenza. Puoi fare una congettura relativa ai punti individuati alla fine di questa procedura? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

ESPLORAZIONE 9

Circonferenza e poligoni inscritti e circoscritti Esperimento 1

Quante circonferenze passano per un punto?

1. Disegna un punto P. 2. Con lo strumento «Circonferenza - dati il centro e un punto» , disegna una circonferenza che passi per P. E` possibile disegnare una seconda circonferenza passante per P? ....................... In caso affermativo fallo. Quante circonferenze puoi disegnare, in modo che tutte passino per P? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Sapresti fare una costruzione che ti permetta di dimostrare quanto hai appena affermato?

Esperimento 2

Quante circonferenze passano per due punti?

1. Disegna due punti, A e B. Come puoi disegnare una circonferenza che passi per A e B? Ricorda che i due punti devono essere equidistanti dal centro, per cui e` sufficiente che il centro appartenga .............................. del segmento AB. 2. Disegna, dunque, una circonferenza che passi per A e B. Ne puoi disegnare altre? .................................................................................................................. Quante?

......................................................................................................................................................

Fai una congettura riguardo il numero di circonferenze passanti per due punti. .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esperimento 3

Quante circonferenze passano per tre punti?

1. Disegna tre punti non allineati, A, B e C. Come puoi disegnare una circonferenza che passi per i tre punti, senza, ovviamente, usare l’apposito strumento? Ricorda che i tre punti devono essere equidistanti dal centro, per cui e` sufficiente che il centro appartenga contemporaneamente ................................... del segmento AB e a quello del segmento AC. Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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2. Disegna, dunque, una circonferenza che passi per i tre punti. Ne puoi disegnare altre? .................................................................................................................. Fai una congettura riguardo il numero di circonferenze passanti per tre punti non allineati. ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

3. Disegna ora tre punti allineati (puoi disegnare una retta e prendere su di essa tre punti, poi nascondere la retta). E` possibile disegnare una circonferenza che passi per i tre punti dati? .......................................................................................... Motiva la risposta. ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Esperimento 4

Le corde di una circonferenza

1. Con uno strumento a tuo piacere disegna una circonferenza di centro O e individua, su di essa, due punti A e B. 2. Individua un punto C sulla circonferenza, in modo che esso non appartenC ga all’arco AB . 3. Individua ora un punto D, in modo che la corda CD sia congruente alla corda AB. Come puoi fare? (Per esempio, con lo strumento «Compasso» , .................. ........................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... )

4. Costruisci le distanze delle due corde dal centro, in modo tale che siano visibili le loro misure. Come puoi fare? (Traccia la perpendicolare a ogni corda passante per il centro, ......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... )

Come risultano? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

5. Muovi il punto A e osserva come variano le misure delle corde e quelle delle loro distanze da centro. Quale congettura puoi fare in merito a corde congruenti e alle loro distanze dal centro? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esperimento 5

Le corde di una circonferenza

1. Con uno strumento a tuo piacere disegna una circonferenza di centro O e individua, su di essa, due punti A e B. 2. Individua un punto C sulla circonferenza, in modo che esso non appartenC. ga all’arco AB

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3. Individua ora un punto D, in modo che la corda CD sia minore della corda AB. 4. Costruisci le distanze delle due corde dal centro, in modo che siano visibili le loro misure. Come risultano? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Quale congettura puoi fare in merito a corde non congruenti e alle loro distanze dal centro? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esercizio 1 Disegnare le parti della circonferenza e del cerchio 1. Con uno strumento a tuo piacere disegna una circonferenza di centro O e individua, su di essa, due punti A e B. 2. Con lo strumento «Arco di circonferenza» , disegna l’arco di estremi A e B. Quanti archi puoi disegnare, con estremi A e B? ............................................................ Scegline uno. 3. Disegna la corda sottesa all’arco scelto. 4. Con lo strumento «Settore circolare» , disegna il settore circolare corrispondente all’arco scelto.

Esperimento 6 e del cerchio

` delle parti della circonferenza Le proprieta

1. Riprendi tutta la costruzione dell’Esercizio 1. 2. Individua un punto C sulla circonferenza, in modo che esso non appartenC. ga all’arco AB 3. Individua ora un punto D, in modo che la corda CD sia congruente alla corda AB. C e il settore circolare ad esso corrispondente, in modo 4. Disegna l’arco CD che risultino evidenziate la misura della lunghezza del primo e l’area del secondo. C C Che cosa puoi affermare relativamente agli archi AB e CD ? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

E relativamente ai settori circolari a essi corrispondenti? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

bB e CO bD, in modo che siano visualizzate le loro mi5. Evidenzia gli angoli AO sure. Che cosa noti? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................


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Se invece di partire da due corde congruenti fossi partito da due archi congruenti quali risultati avresti ottenuto? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Fai una congettura relativamente al legame tra archi, corde, angoli al centro e settori circolari a essi corrispondenti. .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esperimento 7

Le rette tangenti a una circonferenza

1. Con uno strumento a tuo piacere disegna una circonferenza di centro O. 2. Disegna un punto A, interno alla circonferenza. 3. Con lo strumento «Tangenti» , prova a disegnare le rette tangenti alla circonferenza passanti per A. Che cosa noti? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

4. Disegna un punto B, sulla circonferenza. 5. Con lo strumento «Tangenti» , prova a disegnare le rette tangenti alla circonferenza passanti per B. Che cosa noti? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

6. Disegna un punto C, esterno alla circonferenza. 7. Con lo strumento «Tangenti» , prova a disegnare le rette tangenti alla circonferenza passanti per C. Che cosa noti? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Quale congettura puoi fare in merito al numero di rette tangenti a una circonferenza passanti per un certo punto? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

8. Con riferimento alle tangenti dal punto C, determina e indica con H e K i punti di tangenza; congiungi il centro con C, H e K. 9. Disegna i segmenti CH e CK in modo che siano visibili le loro misure. Che cosa puoi dire in merito? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

bH, CO bK, OC bH, OC bK, in modo che le loro misure 10. Evidenzia gli angoli CO siano visibili. Che cosa puoi dire in merito? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

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11. Muovi il punto C e verifica se le proprieta` che hai appena enunciato valgono sempre. ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Esperimento 8

Le posizioni reciproche di due circonferenze

1. Disegna una circonferenza di centro O e raggio fissato e una retta qualsiasi, passante per O. 2. Considera un punto C sulla retta appena disegnata e disegna una circonferenza di centro C e raggio fissato, ma minore del raggio della precedente circonferenza. 3. Muovi C sulla retta e osserva le posizioni reciproche delle due circonferenze. Puo` accadere che non abbiano punti di intersezione? ............................................... In quali casi? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Puo` accadere che abbiano un solo punto di intersezione?

......................................

In quali casi? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Puo` accadere che abbiano due punti di intersezione? ................................................. In quali casi? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Puo` accadere che abbiano piu` di due punti di intersezione?

..................................

Puoi fare una congettura su che cosa accadrebbe se due circonferenze avessero piu` di due punti di intersezione? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esercizio 2

Disegnare angoli alla circonferenza

1. Con uno strumento a tuo piacere disegna una circonferenza di centro O e individua, su di essa, un punto A. 2. Disegna un angolo alla circonferenza di vertice A, che abbia entrambi i lati secanti la circonferenza. Come puoi fare? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

3. Disegna un angolo alla circonferenza di vertice A, che abbia un lato secante e l’altro tangente alla circonferenza. Come puoi fare? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................


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Esperimento 9

I poligoni regolari

1. Con lo strumento «Poligono regolare» , disegna un pentagono regolare. 2. Disegna gli assi di tutti i lati del poligono. Che cosa puoi osservare? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Esiste un punto equidistante da tutti i vertici del pentagono? .............................. 3. Individua il punto di intersezione O di due assi e traccia la circonferenza di centro O passante per un qualsiasi vertice del poligono. Il poligono e` inscrivibile in una circonferenza? .............................................................. 4. Individua il punto di intersezione H tra un lato qualunque e il suo asse e traccia la circonferenza di centro O passante per H. Puoi fare una congettura su come risulta tale circonferenza rispetto ai lati del poligono? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Il poligono e` circoscrivibile a una circonferenza?

..........................................................

5. Ripeti i passaggi precedenti utilizzando un esagono e un ottagono regolare. Puoi fare una congettura riguardo all’inscrivibilita` e alla circoscrivibilita` di un poligono regolare? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esperimento 10

I punti notevoli di un triangolo

1. Disegna un triangolo ABC. 2. Disegna le mediane del triangolo. 3. Muovi i vertici del triangolo di partenza e osserva il comportamento delle mediane. Puoi affermare che si incontrano in un punto? ............................................................... Questo punto e` sempre interno al triangolo?

...................................................................

4. Disegna ora le rette su cui giacciono le tre altezze del triangolo. Puoi affermare che si incontrano in un punto? ............................................................... Questo punto e` sempre interno al triangolo?

...................................................................

ESPLORAZIONE 10

Circonferenza inscritta e circoscritta a un triangolo Esperimento 1 a un triangolo

Il raggio della circonferenza circoscritta

1. Disegna un triangolo ABC e traccia l’altezza relativa al lato AB (chiamala h), in modo che sia visualizzata la sua misura. 2. Disegna la circonferenza circoscritta al triangolo e disegna il suo raggio (chiamalo r), in modo che sia visualizzata la sua misura.

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3. Visualizza il foglio di calcolo (menu «Visualizza» ! «Vista Foglio di calcolo»). 4. Scrivi nella prima riga le seguenti intestazioni di colonna: «lato c» (AB), «lato b» (AC), «lato a» (BC), «altezza», «area», «calcolo raggio» e «misura raggio». 5. Nella seconda riga scrivi, sotto alle celle corrispondenti, quanto segue: «c» (cella A2), per inserire la misura del lato AB; «b» (cella B2), per inserire la misura del lato AC; «a» (cella C2), per inserire la misura del lato BC; «h» (cella D2), per inserire la misura dell’altezza; la formula (cella E2): «¼(c*h)/2», per calcolare l’area; la formula (cella F2): «¼a*b*c/(4*E2)»; «r» (cella G2), per inserire la misura del raggio. 6. Osserva i risultati delle due ultime celle a destra. Che cosa puoi dire? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

7. Muovi i vertici del triangolo e osserva il contenuto delle due stesse celle. Puoi scrivere una formula che ti permetta di calcolare il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo, noti i lati? (Ricorda la formula di Erone per il calcolo dell’area.) .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esperimento 2 Il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo 1. Riprendi la costruzione precedente e disegna la circonferenza inscritta nel triangolo. 2. Disegna il suo raggio (chiamalo R), in modo che sia visualizzata la sua misura. 3. Sul foglio di calcolo riprendi le colonne relative alle misure dei lati, dell’altezza e dell’area e cancella le altre. 4. Aggiungi nella prima riga le seguenti intestazioni di colonna: «semiperimetro», «calcolo raggio» e «misura raggio». 5. Nella seconda riga aggiungi, sotto alle celle corrispondenti, quanto segue: la formula (cella F2): «¼(a þ b þ c)/2», per calcolare il semiperimetro; la formula (cella G2): «¼E2/F2»; «R» (cella H2), per inserire la misura del raggio. 6. Osserva i risultati delle due ultime celle a destra. Che cosa puoi dire? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

7. Muovi i vertici del triangolo e osserva il contenuto delle due stesse celle. Puoi scrivere una formula che ti permetta di calcolare il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo, noti i lati? (Ricorda la formula di Erone per il calcolo dell’area.) .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................


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ESPLORAZIONE 11

Vettori Esercizio 1

Disegnare un vettore

1. Disegna due punti A e B; immagina di essere sul piano e di doverti spostare da A a B. Stiamo cercando di definire un ente geometrico che rappresenti al meglio il tuo spostamento. 2. Con lo strumento «Vettore» , fai clic prima su A e poi su B. L’oggetto disegnato rappresenta bene il tuo spostamento? .................................... Che cosa rappresenta la retta su cui esso giace? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Che cosa rappresenta la freccia all’estremita`? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Che cosa rappresenta la sua lunghezza? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

3. Ripeti l’esercizio cliccando prima su B e poi su A. Che cos’e` cambiato e che cos’e` rimasto invariato rispetto a prima? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Esercizio 2

La somma di vettori

1. Disegna tre punti A, B e C non allineati; immagina di essere sul piano e di doverti spostare da A a B e, in seguito, da B a C. ! ! 2. Disegna i vettori AB e BC : essi esprimono bene i due spostamenti singoli che devi effettuare. Che cosa potrebbe ben rappresentare lo spostamento totale da te effettuato, da A a C? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

! ! 3. Disegna il vettore AC . Esso viene definito come la somma del vettore AB e ! del vettore BC . In base alle considerazioni fatte, puoi provare a scrivere una regola per la somma dei vettori? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

4. Disegna il parallelogramma ABCD. ! Che cosa rappresenta, per tale parallelogramma, il vettore somma AC ? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

In base alle ultime considerazioni fatte, puoi provare a scrivere in un altro modo la regola per la somma dei vettori? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

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Come potresti scrivere la regola per la somma dei vettori nel caso in cui i 3 punti A, B e C fossero allineati? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

ESPLORAZIONE 12

Isometrie Esercizio 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

La simmetria centrale

Disegna un punto O, che chiamerai «centro». Disegna un punto A, distinto da O. Disegna la retta AO. Con lo strumento «Circonferenza – dati il centro e un punto» , disegna la circonferenza centrata in O e passante per A. Individua l’ulteriore punto di intersezione tra la retta e la circonferenza e chiamalo A0 . Disegna un punto B e ripeti i passaggi da 3 a 5, giungendo al punto B0 . Disegna un punto C e ripeti i passaggi da 3 a 5, giungendo al punto C0 . Nascondi le circonferenze e disegna, con lo strumento «Poligono» , i triangoli ABC e A0 B0 C0 .

Come risultano questi due triangoli? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Uno dei due triangoli si ottiene dall’altro mediante una trasformazione che si chiama simmetria di centro O.

Esercizio 2

La simmetria centrale

1. Disegna un punto O, che sara` il centro. 2. Disegna un triangolo ABC. 3. Con lo strumento «Simmetria centrale» poi sul centro.

, fai clic prima sul triangolo e

Con uno strumento e una sola operazione, hai ottenuto lo stesso risultato dell’esercizio precedente.

Esercizio 3

La traslazione

1. Disegna un triangolo ABC e una qualsiasi retta passante per A, chiamata a. 2. Individua su a un punto A0 , distinto da A. 3. Traccia la parallela ad a passante per B e riporta su di essa il segmento BB0 , congruente ad AA0 (con lo strumento «Compasso» ...) e orientato allo stesso modo. 4. Traccia la parallela ad a passante per C e riporta su di essa il segmento CC0 , congruente ad AA0 . 5. Nascondi le circonferenze e disegna, con lo strumento «Poligono» , il 0 0 0 triangolo A B C . Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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Come risultano i due triangoli? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Uno dei due triangoli si ottiene dall’altro mediante una trasformazione che si chiama traslazione; per il momento non hai parametri per definire la traslazione, se non la direzione della prima retta che hai disegnato.

Esercizio 4

La traslazione

! 1. Disegna un triangolo ABC e un qualsiasi vettore PQ . 2. Con lo strumento «Traslazione» , fai clic prima sul triangolo e poi sul vettore. Hai ottenuto lo stesso risultato di prima in modo molto piu` veloce, ma, soprattutto, hai imparato che a ogni traslazione e` associato un vettore. In che cosa consiste quindi la traslazione di una figura geometrica? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esercizio 5

La rotazione

1. 2. 3. 4.

Disegna un punto O, che chiamerai «centro». Disegna un triangolo ABC. Disegna la circonferenza di centro O passante per A. Con lo strumento «Angolo di data misura» , fai clic su A e poi su O e inserisci un angolo di 40 in senso antiorario nella finestra di dialogo che si apre; troverai cosı` il punto A0 . 5. Ripeti i passaggi 4 e 5 per i punti B e C, trovando cosı` i punti B0 e C0 . 6. Con lo strumento «Poligono» , disegna il triangolo A0 B0 C0 . Come risultano questi due triangoli? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Uno dei due triangoli si ottiene dall’altro mediante una trasformazione che si chiama rotazione antioraria di 40 di centro O.

Esercizio 6

La rotazione

1. Disegna un punto O, che sara` il centro, e un triangolo ABC. 2. Con lo strumento «Rotazione» , fai clic prima sul triangolo, poi sul centro e inserisci un angolo di 40 in senso antiorario nella finestra di dialogo che si apre. Hai ottenuto lo stesso risultato di prima in modo molto piu` veloce.

Esercizio 7

Le isometrie nel piano cartesiano

1. Assicurati che siano visualizzati la griglia e gli assi cartesiani. 2. Disegna un triangolo ABC, prestando attenzione alle coordinate dei suoi vertici.

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3. Disegna la retta di equazione x ¼ 3 (e` sufficiente scrivere l’equazione nella barra di inserimento in basso).

Barra di inserimento

4. Disegna la retta di equazione y ¼ 5. Disegna il punto Kð3;

5.

2Þ.

! 6. Disegna il punto Pð 1; 3Þ e il vettore OP (O e` l’origine degli assi) e chiamalo v. Con gli strumenti che hai imparato a usare, applica al triangolo le isometrie elencate sotto e osserva i valori delle coordinate dei triangoli trasformati. Annota qui sotto i valori trovati. Coordinate dei vertici del triangolo di partenza: ....................................................................

a. Simmetria assiale di asse avente equazione x ¼ 3:

.........................................................

b. Simmetria assiale di asse avente equazione y ¼ 5:

.....................................................

c. Simmetria centrale di centro Kð3; 2Þ: ............................................................................... d. Traslazione di vettore ! v ð 1; 3Þ: .............................................................................................. Con l’aiuto del tuo insegnante, prova a formulare delle ipotesi su come si trasformano le coordinate dei punti nei vari casi.

ESPLORAZIONE 13

Teorema di Talete Esperimento

Il teorema di Talete

Disegna due rette, non parallele, che chiamerai le «trasversali». 1. Individua un punto su una di esse, chiamalo A e disegna una qualsiasi retta passante per A, che non sia parallela a nessuna delle trasversali. 2. Individua l’intersezione della retta appena disegnata con la seconda trasversale e chiamala A0 . 3. Ripeti i passaggi 1 e 2 per altri cinque punti B, C, ..., trovando i loro corrispondenti punti B0 , C0 , ..., intersezioni delle parallele alla retta appena disegnata passanti per B, C, ... con la seconda trasversale. 4. Disegna tutti i segmenti consecutivi che hanno per estremi i punti di intersezione delle trasversali con le rette del fascio, in modo che risultino evidenziate sulla figura le loro misure (chiama a, b, c... i segmenti sulla prima trasversale e a0 , b0 , c0 ... i loro corrispondenti sulla seconda). Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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5. Visualizza il foglio di calcolo e inserisci quanto segue: nella prima riga, andando da sinistra verso destra nelle celle, le misure dei segmenti sulla prima trasversale: «a», «b» ecc.; nella seconda riga, andando da sinistra verso destra nelle celle, le misure dei segmenti sulla seconda trasversale: «a0 », «b0 » ecc; nella terza riga, andando da sinistra verso destra nelle celle, le formule del tipo: «a=a0 », «b=b00 » ecc., per calcolare i rapporti tra segmenti corrispondenti. Come risultano i rapporti tra segmenti corrispondenti? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

6. Muovi i punti sulla prima trasversale e osserva come variano i rapporti. Quale congettura puoi fare in merito ai due insiemi di segmenti sulla prima e sulla seconda trasversale? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

ESPLORAZIONE 14

` dei triangoli simili e teoremi di Euclide Proprieta Esercizio

Disegnare triangoli simili

1. Disegna un triangolo ABC. 2. Presta attenzione alle misure dei lati (il programma chiama a la misura di BC, b quella di AC e c quella di AB). bC, in modo che sia visibile la sua misura (chiamala ). 3. Evidenzia l’angolo BA 4. Disegna un segmento A0 B0 e chiama c0 la sua misura. 5. Con lo strumento «Angolo di data misura» , disegna un angolo congruente ad , che abbia come lato A0 B0 e come vertice A0 . 6. Disegna l’altro lato dell’angolo appena individuato (retta per due punti). 7. Visualizza il foglio di calcolo e inserisci quanto segue: nella cella A1 «c», per visualizzare la misura del lato AB; nella cella A2 «b», per visualizzare la misura del lato AC; nella cella B1 «c0 », per visualizzare la misura del segmento A0 B0 ; nella cella C1 «c0 =c», per visualizzare il rapporto di similitudine; nella cella B2 «¼C1*A2», per calcolare la misura del lato A0 C0 . 8. Sul secondo lato dell’ultimo angolo individuato, riporta, a partire dal punto A0 , un segmento di misura pari al risultato della cella B2 e chiama il secondo estremo C0 . 9. Con lo strumento «Poligono» , disegna il triangolo A0 B0 C0 . Perche´ risulta simile al triangolo ABC? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Esperimento 1

` dei triangoli simili Le proprieta

1. Riprendi la costruzione dell’esercizio precedente, per avere due triangoli simili.

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2. Traccia le altezze relative a due lati corrispondenti nei due triangoli e chiama le loro misure h e h0 . 3. Visualizza il foglio di calcolo e inserisci quanto segue: nelle prime tre celle della colonna A, rispettivamente, a0 , a e il loro rapporto; nelle prime tre celle della colonna B, rispettivamente, b0 , b e il loro rapporto; nelle prime tre celle della colonna C, rispettivamente, c0 , c e il loro rapporto; nelle prime tre celle della colonna D, rispettivamente, h0 , h e il loro rapporto; nelle prime tre celle della colonna E, rispettivamente, il perimetro di ABC, il perimetro di A0 B0 C0 e il loro rapporto; nelle prime tre celle della colonna F, rispettivamente, l’area di ABC, l’area di A0 B0 C0 e il loro rapporto. Come risultano i rapporti? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Quale congettura puoi formulare in merito ai rapporti tra le altezze e ai rapporti tra i perimetri? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Quale congettura puoi formulare in merito ai rapporti tra le aree? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Esperimento 2

I teoremi di Euclide

1. Disegna un triangolo rettangolo (per gli scopi dell’esperimento conviene disegnarlo inscritto in una semicirconferenza, indicando con AB l’ipotenusa e con C il vertice dell’angolo retto); in tal modo risultano nominate con a, b e c, rispettivamente le misure dei lati BC, AC e AB. 2. Traccia l’altezza CH relativa all’ipotenusa e indica con h la sua misura. 3. Disegna i segmenti proiezione dei cateti sull’ipotenusa e indica con p1 e p2 rispettivamente le misure delle proiezioni di AC e BC. 4. Visualizza il foglio di calcolo e inserisci quanto segue: nella prima riga a, b, c, h, p1 e p2; nella cella A3 «p2=a»; nella cella A4 «a=c»; nella cella B3 «p1=b»; nella cella B4 «b=c». Che cosa si puo` dire riguardo alla relazione che sussiste tra il rapporto delle proiezioni con i cateti corrispondenti e il rapporto tra gli stessi cateti e l’ipotenusa? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................


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5. Inserisci ancora, nel foglio di calcolo, quanto segue: nella cella A6 «h=p1»; nella cella A7 «p2=h». Che cosa si puo` dire riguardo ai rapporti tra l’altezza relativa all’ipotenusa e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

6. Muovi il punto C e verifica se le proprieta` precedenti valgono ancora. Quali congetture puoi fare in merito ai triangoli rettangoli? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

ESPLORAZIONE 15

Omotetia Esercizio 1

L’omotetia

1. Disegna un punto O, che chiamerai «centro». 2. Disegna un triangolo ABC. 3. Disegna la retta AO e individua su di essa un punto A0 , dalla parte opposta di A rispetto a O e un punto A00 , dalla stessa parte di A rispetto a O. 4. Visualizza il foglio di calcolo. 5. Disegna i segmenti AO, A0 O e A00 O e indica rispettivamente con f , f 0 e f 00 le loro misure. 6. Inserisci tali misure nella prima riga del foglio di calcolo. 7. Calcola, nella cella A3, il rapporto f 0 =f e, nella cella A4, il rapporto f 00 =f . 8. Disegna la retta BO e il segmento BO, indica con g la sua misura e inseriscila nella cella A6. 9. Calcola, nella cella B6, la misura del segmento B0 O, con la formula «¼A3*A6» e, nella cella C6, la misura del segmento B00 O, con la formula «¼A4*A6». 10. Riporta, sulla retta BO, i punti B0 e B00 , rispettivamente dalla parte opposta e dalla stessa parte di O rispetto a B. 11. Ripeti i passaggi 8, 9 e 10 a partire dalla retta CO, per trovare i punti C0 e C00 . 12. Con lo strumento «Poligono» , disegna i triangoli A0 B0 C0 e A00 B00 C00 . 13. Nascondi tutte le figure relative alla costruzione e lascia visibili solo i tre triangoli, il punto O, le rette AO, BO e CO. Come risultano i tre triangoli? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

Il triangolo A0 B0 C0 si ottiene da ABC mediante una trasformazione che si chiama omotetia di centro O e rapporto negativo. Il triangolo A00 B00 C00 si ottiene da ABC mediante una trasformazione che si chiama omotetia di centro O e rapporto positivo. Come vedi, l’omotetia ingrandisce o rimpicciolisce le figure e puo` o meno ribaltarle.

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Esercizio 2

L’omotetia

1. Disegna un punto O, che sara` il centro. 2. Disegna un triangolo ABC. 3. Con lo strumento «Omotetia» , fai clic prima sul triangolo ABC e poi sul centro; immetti un valore negativo nella finestra di dialogo in cui ti si richiede il rapporto. 4. Con lo strumento «Omotetia» , fai clic prima sul triangolo ABC e poi sul centro; immetti un valore positivo nella finestra di dialogo in cui ti si richiede il rapporto. Con uno strumento e una sola operazione, hai ottenuto gli stessi risultati dell’esercizio precedente. Dunque come un’omotetia di rapporto positivo trasforma una figura? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

E un’omotetia di rapporto negativo? .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

ESPLORAZIONE 16

Area Esercizio 1 Introduzione ai concetti di equivalenza ` e di equiscomponibilita

A

B

C

Figura 1

1. Con lo strumento «Poligono» , disegna i poligoni riportati in fig. 1. 2. Il programma li chiama in modo automatico «poli1», «poli2» e «poli3» e indica, vicino al nome di ognuno, un numero. Nel nostro caso, tale numero e` lo stesso per tutti e tre i poligoni? ...................... Quanto vale? ........................................................................................................................................... Questo numero rappresenta il concetto di estensione dei tre poligoni, e, nel nostro caso, indica il numero di quadretti che, per ognuno dei tre, risultano colorati di rosa (prova infatti a contare i quadretti). Il fatto che il numero di quadretti sia lo stesso per i tre poligoni si esprime dicendo che essi sono «equivalenti».


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A

B

C

Figura 2

3. Osserva ora la fig. 2, dove sono riportati gli stessi poligoni di prima. Cosa si puo` evidenziare in merito ai poligoni A e C? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Essi non sono solo equivalenti, ma si possono anche scomporre in un uguale numero di «parti» tra loro ............................................................................................. In tal caso i due poligoni si dicono «equiscomponibili». Il poligono B e` equiscomponibile con gli altri due? ..................................................... Perche´? ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................

Esercizio 2

Introduzione al concetto di area

Come possiamo misurare quanto e` estesa una figura? Facendo riferimento all’esercizio precedente, prova a «inventarti» un modo per risolvere tale problema. .................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................

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Strategie, esempi e consigli pratici per una didattica inclusiva a cura di Roberta Donini e Federica Brembati*

Quando i numeri non tornano: studenti con difficolta` di apprendimento in matematica Per conoscere il testo completo, Fantozzi fu costretto a trangugiare otto porzioni di quella miscela esplosiva, e finalmente conobbe le sue istruzioni. (tratto da Fantozzi - Il ritorno, 1996)

E se gli ingredienti della miscela esplosiva fossero le difficolta` scolastiche e l’insegnamento della matematica alle scuole superiori? Probabilmente sarebbe vero: provando otto o piu` volte la propria competenza in matematica si potrebbe trarne duraturo giovamento. I nostri ragazzi, pero`, che si sentono poco abili in matematica e, probabilmente, ancor meno appassionati alla stessa, accetterebbero di provare le nostre proposte otto o piu` volte, di essere «assaggiatori» attivi e di credere nella possibilita` di migliorare e di cambiare il proprio rapporto con una disciplina tanto temuta? Ancora oltre, la domanda vera, forse, e`: quali strumenti, metodologie e modalita` mettiamo in atto affinche´ i nostri ragazzi possano fruire di «otto tentativi» che siano funzionali a rispondere alle loro difficolta` e potenzialita`, e a favorire la comprensione di un argomento? Stiamo vivendo un momento nel quale si parla, giustamente, sempre piu` di disturbi dell’apprendimento, dell’attenzione, di difficolta` scolastiche di diverso tipo ed entita`. Gli insegnanti sono chiamati a stendere un Piano Didattico Personalizzato (PDP) che metta lo studente nelle condizioni di poter affrontare lo studio senza essere penalizzato dalle proprie specifiche difficolta`. Il rischio diventa, pero`, che nel pensare al nostro ragazzo si pensi di fatto solo al suo disturbo e che, nel chiedersi quale proposta didattica proporgli, ci si focalizzi su cosa e come dispensare e compensare, piuttosto che su cosa richiedere che apprenda. E` come se la difficolta`, allora, togliesse energia alla sfida educativa, che permette a ogni ragazzo di mettersi alla prova, e colorasse di patologico anche cio` che di fatto rientra nella realta` scolastica che tutti abbiamo vissuto, fatta di argomenti facilmente affrontabili e di ostacoli da superare, di sforzi, soddisfazioni e delusioni. Lo studente, in equilibrio precario fra le proprie risorse e difficolta`, e la matematica sono, infatti, a memoria d’uomo, due universi spesso paralleli, che come tali, «matematicamente» parlando, hanno ottime probabilita` di non incontrarsi; l’insegnante ha la possibilita` di rendere possibile l’incontro, fornendo le coordinate necessarie. * Roberta Donini e Federica Brembati sono psicologhe e psicoterapeute, specialiste in psicopatologia dell’apprendimento. Lavorano da anni insieme nel campo dei disturbi dell’apprendimento e delle difficolta` scolastiche. La loro sinergia ha trovato concretizzazione nella costituzione del centro Abilmente di Cassano d’Adda.


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Il luogo di questo appuntamento (a volte «al buio», tanto la materia e` oscura per molti studenti) non si trova su una via semplice da percorrere. Non solo, infatti, la matematica e` di per se´ una disciplina che mette particolarmente in difficolta` i ragazzi, ma la scuola secondaria di secondo grado presenta ulteriori criticita`: eredita studenti che hanno gia` ben radicato un rapporto piu` o meno felice con la matematica, l’hanno studiata con strumenti e semplificazioni che possono far sı` che arrivino a settembre a scuola senza avere acquisito delle conoscenze ritenute basilari e senza portare con se´ un bagaglio di proprie strategie di fronteggiamento; deve riuscire, in breve tempo, a farsi un quadro chiaro sulla scelta scolastica fatta dai propri studenti e sull’eventuale opportunita` di ri-orientamento. Ci occupiamo di diagnosi e riabilitazione dei disturbi specifici dell’apprendimento e delle difficolta` scolastiche; riteniamo fondamentale percio` il rapporto di collaborazione tra la scuola, la famiglia e il ragazzo, al fine di individuare, in stretta interazione, ognuno con il proprio ruolo, un percorso che sia veramente personalizzato e «cucito su misura». Prerequisito fondamentale per poter aiutare i nostri ragazzi e` infatti il riconoscimento e il rispetto delle differenze individuali. L’aumentata attenzione nei confronti delle difficolta` di apprendimento non deve portare all’omologazione delle stesse e alla distribuzione generalizzata e indifferenziata di un prontuario di strumenti compensativi. Ogni ragazzo ha esigenze diverse; fortunatamente, pero`, la personalizzazione e` il regno dei docenti che, con le competenze disciplinari e metodologiche loro peculiari, hanno la possibilita` di osservare quotidianamente il proprio studente, rendersi conto dei momenti di impasse, sperimentare l’efficacia di strategie, aggiornare il piano didattico e fare in modo di facilitarlo nella giusta misura. Incominciamo con il rispondere a possibili domande che sottendono l’insidia della indifferenziazione: questo ci permettera` di disambiguare alcuni luoghi comuni e fornire qualche precisazione fondamentale.

Domande e risposte Le domande che seguono sono paradigmatiche e, come tali, un po’ «esasperate» nella loro formulazione. Desiderano porre la riflessione sul fatto che molteplici sono le difficolta` che un ragazzo puo` incontrare nello studio della matematica e che esse devono essere affrontate con altrettanto molteplici strumenti.

1. L’insegnante di matematica e` chiamato a inserire nel PDP indicazioni specifiche relative alla sua materia solo per gli alunni discalculici? No, perche´ non solo gli alunni discalculici hanno difficolta` in matematica. La discalculia e` un disturbo legato al calcolo e alla conoscenza numerica. Lo studente incontra difficolta`, che possono essere di diversa entita`, in numerosi ambiti: nel calcolo orale, negli algoritmi e nelle procedure esecutive delle operazioni, nella lettura e nella scrittura dei numeri, nel conteggio. Puo` invece essere competente nel problem solving e nella logica, nel disegno geometrico, nella memorizzazione di definizioni e nelle altre abilita` e componenti cognitive che lo studio della matematica attiva. L’equazione «difficol144



ta` in matematica = discalculia» ridurrebbe la matematica, materia complessa che implica molteplici abilita` cognitive, a un insieme afinalistico di calcoli. Chi dunque, oltre al discalculico, potrebbe incontrare problemi? Il dislessico, che puo` essere poco abile nella lettura del testo di un problema e nella memorizzazione delle definizioni; lo studente con difficolta` visuo-spaziali, nell’affrontare geometria e ogni rappresentazione grafica; il disgrafico, che fatica a incolonnare, a rileggere i numeri, a scrivere correttamente e a rileggere i diversi simboli matematici; chi ha una fragilita` cognitiva nel ragionamento; il disattento che perde la procedura risolutiva ecc.

2. Un alunno che ha diagnosi di DSA ha sicuramente capacita` cognitive adeguate se non superiori? No, perche´, nonostante idee naı¨f associno dislessia, e disturbo specifico in genere, addirittura alla genialita`, i profili cognitivi dei ragazzi con DSA sono in realta` molto diversi fra loro. La diagnosi di disturbo specifico, infatti, si riferisce a soggetti che hanno un livello cognitivo non patologico, cioe` non ascrivibile a un quadro di insufficienza mentale; il livello dei ragazzi e` molto eterogeneo e puo` comportare difficolta` piu` o meno significative, cosı` come modalita` differenti di approcciarsi all’apprendimento. 3. Esiste un elenco prefissato di strumenti compensativi e misure dispensative che sia funzionale a ogni alunno? No, in quanto ogni studente ha bisogno di strategie che si riferiscano al suo profilo di difficolta` e punti di forza. Anche a parita` di diagnosi, cio` che e` stato sperimentato con successo con un alunno non necessariamente ne aiuta un altro. Si tratta di un punto cruciale, perche´ non c’e` niente di piu` demoralizzante per un ragazzo che avere un professore disponibile che gli fornisca un facilitatore, il quale non solo non lo aiuti, ma gli renda piu` complesso il compito. Il ragazzo potrebbe sentirsi veramente senza possibilita` di miglioramento.

4. Leggere un esercizio a un alunno dislessico e` sempre sufficiente ad arginare le sue difficolta`? No. Si potrebbe pensare che, a fronte di una difficolta` nella lettura in quanto decodifica del testo, possa essere sufficiente proporre allo studente l’ascolto del testo. Di fatto, innanzitutto un ragazzo dislessico puo` presentare altre difficolta`; secondariamente, la comprensione su ascolto della matematica e` estremamente complessa, dunque va esercitata e non data per scontata. La lettura da parte dell’insegnante o di un lettore puo` essere, quindi, uno strumento utile, ma non necessariamente esaustivo. 5. E` necessario fornire fotocopie ingrandite di una verifica per facilitarne la lettura e la comprensione? No. A meno che non ci siano chiare indicazioni di problemi visivi, il foglio piu` grande non e` consigliabile per due motivi: il primo di ordine emotivo, perche´ un «sano adolescente» puo` sentirsi mortificato di fronte a un foglio di dimensioni maggiori, una sorta di «lenzuolo», considerato piu` adatto a uno studente di eta` inferiore; Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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il secondo di ordine oggettivo, poiche´ molti ragazzi con DSA faticano nel procedere da sinistra a destra sul foglio in modo efficace, rapido e corretto, cosı` che la lettura di una riga piu` lunga e dilatata puo` essere addirittura piu` faticosa di una piu` compatta.

6. Accordare piu` tempo per lo svolgimento di una verifica e` sempre consigliabile? No. Questa strategia deve essere sempre valutata attentamente e condivisa con lo studente. Infatti, fruire positivamente di tempo aggiuntivo implica da parte dello studente competenza metacognitiva, sensibilita` al compito e consapevolezza delle proprie capacita`. Significa, in altre parole, avere buona autostima nei confronti della materia ed essere consapevoli di riuscire a svolgere il compito se si ha a disposizione del tempo supplementare, ma anche avere buone capacita` attentive, non risentire dello sforzo prolungato e accettare che i compagni svolgano nel contempo altro. Si tratta cioe` di una strategia molto avanzata, con forti implicazioni emotive.

7. Si devono fornire sempre schemi e mappe concettuali per permettere la comprensione dell’argomento? No, perche´, in primis, la presentazione di alcuni argomenti non e` facilitata da schemi e mappe. La semplicita` deve essere garantita a tutti gli studenti, a maggior ragione se hanno difficolta`. Cio` implica anche l’importanza di consentire agli studenti strategie flessibili, modalita` diverse e personalizzate di organizzare schematizzazioni a seconda delle caratteristiche del compito stesso. Inoltre, ragazzi con problemi legati agli aspetti visuo-spaziali, al recupero veloce di parole-chiave e alla memorizzazione di definizioni possono, al contrario, trovarsi in difficolta` anziche´ essere aiutati dalla presenza di mappe. 8. Una riduzione del programma e` sempre necessaria? No. Innanzitutto, per uno studente inquadrato come BES o certificato DSA viene predisposto un PDP (Piano Didattico Personalizzato), che indica modalita` differenti di presentare il programma, non un programma differenziato da quello della classe. Quest’ultimo caso puo` essere previsto, invece, nel PEI (Piano Educativo Individualizzato) rivolto ai ragazzi certificati dalla legge 104/92, che fruiscono dell’insegnante di sostegno. Secondariamente, solo alcuni studenti, non tutti, necessitano di una riduzione del programma: obiettivi minimi, per esempio, per chi ha una fragilita` cognitiva; riduzione quantitativa, per chi e` lento o fatica significativamente nella lettura; una suddivisione in piu` parti, per chi manifesta una difficolta` attentiva; o ancora, riduzione nella complessita` di numeri per i discalculici o dei termini da memorizzare per chi fatica nel recupero lessicale. Infine, soprattutto nella scuola secondaria di secondo grado, molti ragazzi hanno ben compensato le difficolta`, elaborato efficaci strategie e possono affrontare serenamente il programma di matematica senza alcuna riduzione o variazione.

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Le domande hanno suggerito temi e ambiti di riflessione, ai quali cercheremo di dare corpo e ordine, rispondendo ai seguenti tre quesiti: Chi sono i ragazzi inquadrabili come BES e, all’interno dei BES, come DSA? Quali difficolta` specifiche possono incontrare in matematica? Quali aspetti metodologici possono essere considerati e quali strategie messe in atto?

Chi sono gli studenti inquadrabili come BES e DSA? Coloro che si occupano di apprendimento, insegnanti e specialisti, si trovano a confrontarsi quotidianamente con termini quali BES, DSA, ADHD, PEI, PDP, 170, 104/92 ecc. Chi si nasconde dietro queste sigle e numeri? Ci sono persone, bambine e bambini, ragazzi e ragazze, che nel loro percorso scolastico hanno incontrato e incontrano ostacoli di diverso tipo, che hanno faticato a superare. Ognuno di loro, al di la` dell’etichetta, porta con se´ una propria storia personale, fatta di difficolta` e di strategie che sono state messe in atto per affrontarle. Per orientare in questo complesso panorama, cercheremo di delineare brevemente le caratteristiche cliniche delle difficolta` di apprendimento con le quali gli insegnanti si confrontano quotidianamente, leggendo una diagnosi, predisponendo un piano personalizzato, osservando i propri alunni e valutando l’opportunita` di approfondimenti. Con la sigla BES (Bisogni Educativi Speciali) ci si riferisce a una macrocategoria, che comprende gli alunni con disabilita`, con DSA (Disturbo Specifico dell’Apprendimento), con difficolta` di diverso tipo, comprese quelle socioambientali, rilevate da diagnosi clinica o individuate dalla scuola. In sintesi: «Il bisogno educativo speciale e` qualsiasi difficolta` evolutiva, in ambito educativo/apprenditivo, che consiste in un funzionamento problematico anche per il soggetto, in termini di ostacolo o stigma sociale, indipendentemente dall’eziologia, e che necessita di un’educazione speciale individualizzata»1 . Le difficolta` possono essere permanenti o temporanee, globali o specifiche, di entita` piu` o meno grave. All’interno dei BES sono tutelati dalla legge 104/92 del 1992 gli studenti con certificazione di disabilita` e dalla legge 170 del 2010 gli studenti con DSA, per i quali la scuola e` chiamata alla stesura di un PDP, che indichi le strategie, le misure dispensative e gli strumenti compensativi che devono accompagnarli nel loro percorso formativo. Prendiamo in considerazione proprio i disturbi specifici dell’apprendimento e le difficolta` visuo-spaziali, attentive e cognitive, esplicitando le ricadute nell’area della matematica ed esemplificando i possibili profili attraverso il racconto di casi clinici2 .

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D. Ianes, S. Cramerotti (a cura di), Alunni con BES, Indicazioni operative per promuovere l’inclusione scolastica sulla base del DM 27/12/2012 e della CM n.8 6/3/2013, 2013, Erickson. 2 Nelle storie raccontate, ovviamente, i nomi e i riferimenti che potrebbero permettere l’identificazione sono stati modificati. Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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Disturbi Specifici dell’Apprendimento La sigla DSA (Disturbo Specifico dell’Apprendimento) si riferisce a un gruppo eterogeneo di disturbi, che si manifestano con significative difficolta` in un dominio di abilita` specifico, relativo all’acquisizione della lettura (dislessia), della scrittura (disturbo della compitazione, distinto in disortografia per la competenza ortografica, disgrafia per il tratto grafico) o del calcolo (discalculia). Le difficolta` non devono derivare da situazioni di svantaggio socio-culturale o da un livello di istruzione ricevuto inadeguato. Il disturbo puo` presentarsi isolato o in compresenza con gli altri disturbi: molti ragazzi dislessici sono anche disortografici o discalculici, e cosı` via. Quando e` presente un disturbo sia nella lettura-scrittura sia nel calcolo, viene posta la diagnosi disturbo misto delle capacita` scolastiche. Inoltre, un ragazzo puo` avere DSA e anche difficolta` visuo-spaziali, attentive o una fragilita` cognitiva. I ragazzi con diagnosi di DSA non presentano un quadro di insufficienza mentale, ma un livello cognitivo non patologico (indicativamente, la fascia di norma del quoziente intellettivo va da 85 a 115; sotto il punteggio di 70, invece, il livello cognitivo si configura ascrivibile a un quadro di insufficienza mentale ). Ne deriva, anche intuitivamente, che i profili cognitivi dei soggetti con DSA sono molto diversi fra loro e diverse le competenze e le esigenze. Possiamo, quindi, pensare a strategie identiche per un ragazzo discalculico con capacita` superiori alla norma e per uno con difficolta` cognitive? Possiamo illuderci che fornendo la calcolatrice a quest’ultimo come unico strumento sia tranquillamente in grado di risolvere un problema di fisica o una disequazione? Queste differenze richiamano l’importanza che l’insegnante legga la relazione diagnostica del proprio studente redatta dallo specialista e i diversi risultati nelle prove somministrate, per rendersi conto delle competenze nelle diverse aree. Nelle seguenti tabelle sono presentate le caratteristiche di ogni disturbo, le difficolta` in matematica e gli strumenti che potrebbero essere utili.

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Dislessia DISLESSIA CARATTERISTICA PRINCIPALE

Difficolta` a effettuare una lettura fluente e/o corretta

POSSIBILI DIFFICOLTA` IN MATEMATICA

Essendo la lettura una competenza trasversale, le difficolta` di decodifica del testo possono incidere negativamente sulla comprensione delle consegne e degli esercizi. I ragazzi spesso mettono in atto strategie per compensare la dislessia, che comportano una lettura a salto del testo, con omissione delle parole complesse, delle preposizioni, degli avverbi e degli articoli. Ovviamente, in matematica questa modalita` porta a evidenti errori di comprensione. Sono da considerare attentamente, inoltre, le seguenti possibili ricadute: difficolta` di recupero lessicale e memorizzazione di definizioni, termini e formule; lentezza esecutiva e nel calcolo automatico; errori di lettura e trascrizione dei numeri.

STRUMENTI E STRATEGIE CHE POSSONO ESSERE UTILI

Selezione del lessico e delle definizioni da memorizzare Eventuale riduzione quantitativa delle verifiche Recupero orale delle verifiche Eventuale lettura del testo Privilegiare le interrogazioni programmate Utilizzo della calcolatrice e del formulario Utilizzo di semplici schemi durante le interrogazioni


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Strategie, esempi e consigli pratici per una didattica inclusiva La storia di Giulio Giulio e` un ragazzo con buone capacita` cognitive, dislessico e disortografico, con significative difficolta` nel recupero del lessico. E` estremamente lento nella lettura e presenta scarso senso di autoefficacia nello studio e nell’approccio ai compiti in genere. Al termine della scuola secondaria di primo grado, decide di iscriversi al liceo scientifico, dati l’interesse, la propensione e le buone competenze in matematica e fisica. L’ingresso a scuola e`, pero`, assolutamente in salita. I professori dichiarano di non aver mai avuto un dislessico in classe e pongono seri dubbi sul fatto che ce la possa fare. Giulio non e` discalculico, ma e` lento e discontinuo in matematica. La dislessia incide ancora fortemente: di fronte a testi lunghi tende a saltare pezzi, fatica a memorizzare le definizioni e non sempre riesce a terminare le verifiche nei tempi stabiliti. I risultati sono pertanto altalenanti, gli errori commessi spesso banali e i primi tentativi di aiuto da parte dei professori non sembrano essere accettati da Giulio, che si assenta il giorno delle interrogazioni programmate appositamente per lui e non si attiene alle indicazioni di facilitazione fornite durante le verifiche. Questi atteggiamenti vengono percepiti come manipolatori e oppositivi. Giulio si sente accusato di sfruttare la diagnosi per avere sconti e benefici. Prima di sventolare bandiera bianca e pensare a un ri-orientamento, che sarebbe vissuto da Giulio come conferma della sua inadeguatezza, la scuola cerca di capire perche´ due strategie, in teoria efficaci per Giulio, lo trovino, invece, resistente. Si scopre allora che non e` la strategia, ma la modalita` con la quale viene messa in atto a non ottenere i risultati sperati. La facilitazione data nelle verifiche consisteva nella riduzione della stessa; indipendentemente dal profilo individuale, tutti gli alunni segnalati come DSA o BES avevano la possibilita` di svolgere solo la prima parte della verifica, che era progressivamente piu` difficile: la prima parte era molto mnemonica e strumentale, la seconda implicava un ragionamento piu` complesso. Giulio non ha alcun problema nel ragionamento matematico, ma fa molta fatica a memorizzare le definizioni, quindi svolgeva la parte facoltativa e non quella obbligatoria. Paradossalmente, pero`, la parte facoltativa non entrava a far parte della valutazione se la prima parte della verifica non era sufficiente! Per quanto concerne le interrogazioni programmate, invece, il problema era emotivorelazionale: Giulio era estremamente in ansia, perche´ i compagni erano ostili e ritenevano ingiusto che potesse fruire di una calendarizzazione delle interrogazioni. Il PDP viene aggiornato, prevedendo: la possibilita` per Giulio di scegliere le parti di verifica da svolgere e il recupero orale delle parti non svolte; la costruzione di un formulario personalizzato con definizioni e formule particolarmente difficili; l’interrogazione periodica sulle definizioni e formule delle quali si riteneva, invece, fondamentale la memorizzazione; l’utilizzo della calcolatrice; un colloquio con la classe, alla quale spiegare cosa sia la dislessia. Durante il biennio Giulio fa molta fatica a dimostrare di poter appartenere alla classe; dalla terza il percorso e`, invece, in discesa. Giulio si e` diplomato a giugno riportando la votazione di 85/100 e si e` iscritto alla facolta` di ingegneria.

Per i ragazzi come Giulio e` estremamente importante considerare il potenziale, al di la` dei risultati ottenuti. L’analisi qualitativa delle verifiche, delle interrogazioni e degli interventi in classe dimostrava, infatti, che Giulio aveva compreso concettualmente gli argomenti, aveva una buona capacita` di trasferire le sue conoscenze a compiti nuovi, poneva quesiti contestualizzati e, non raramente, giungeva intuitivamente a soluzioni di problemi complessi. Queste competenze nei processi alti facevano propendere per la possibilita` di frequentare un liceo scientifico, mentre i suoi risultati e il suo atteggiamento no! A questo punto, quindi, e` stato fondamentale valutare criticamente gli 150



aiuti messi in atto, partendo dal presupposto che, a fronte di una legittima esigenza, quale la riduzione delle verifiche data la lentezza di Giulio, la modalita` di effettuazione non e` standardizzata, ma estremamente legata alle esigenze del singolo studente. Giulio accettava la sfida dell’argomento difficile ed era importante che potesse dimostrarlo durante un compito. Ci sono, invece, ragazzi che, pur con capacita` adeguate, si bloccano totalmente di fronte a una prima difficolta`: per loro, allora, la modalita` di riduzione attuata inizialmente per Giulio di verifica graduata per difficolta` puo` essere funzionale.

Disturbo della compitazione e discaliculia DISTURBO DELLA COMPITAZIONE CARATTERISTICA PRINCIPALE

Difficolta` nello scrivere in modo ortograficamente corretto o nella grafia (il segno grafico puo` essere di difficile interpretazione, poco fluido, tracciato con pressione inadeguata, con tratti distintivi non identificabili)



Consentire l’utilizzo del carattere preferito Fornire fotocopie qualora sia necessario studiare su propri appunti Consentire l’uso del computer nelle verifiche Fornire gia` disegnate le figure degli esercizi Non penalizzare gli errori ortografici e grafici Recuperare oralmente le verifiche

Lentezza esecutiva Errori di copiatura o lettura dei numeri Difficolta` nel rileggere la propria grafia Errori nel disegno e nella riproduzione di figure geometriche Utilizzare i propri disegni per la comprensione di concetti geometrici

DISCALCULIA CARATTERISTICA PRINCIPALE

Difficolta` nell’apprendimento del sistema dei numeri e del calcolo


Acquisizione delle procedure e degli algoritmi del calcolo Lettura, scrittura e ripetizione di numeri Comprensione della numerosita`, quantificazione e seriazione Incolonnamento Calcolo automatico


Utilizzo della calcolatrice e dei formulari Esemplificazione guidata delle procedure di calcolo Proporre esercizi con numeri bassi Promuovere monitoraggio passo a passo degli esercizi Recupero orale delle verifiche


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Strategie, esempi e consigli pratici per una didattica inclusiva La storia di Daniela Daniela frequenta il secondo anno del liceo artistico, e` discalculica, presenta un quadro cognitivo superiore alla norma, ottime competenze verbali e visuo-spaziali: cade solo nella capacita` di usare i numeri e di svolgere un ragionamento su base numerica, perche´, pur utilizzando procedure e ragionamento corretti, commette sistematicamente errori di calcolo e abbandona il compito. La grafia e` poco fluida, lenta e non sempre decifrabile. Sarebbe, in apparenza, la classica e rara situazione nella quale un adeguato uso della calcolatrice potrebbe essere sufficiente. Daniela ha infatti considerevoli risorse da mettere in campo in matematica, ma ha deciso di non giocare piu` la partita. Negli anni precedenti alla scuola secondaria di secondo grado e` sempre sopravvissuta utilizzando le ottime capacita` verbali ed espositive e di rappresentazione grafica dei problemi; durante la scuola secondaria di primo grado veniva interrogata oralmente per recuperare le verifiche insufficienti e dimostrava di conoscere perfettamente la teoria e di saperla applicare in esercizi che, alla lavagna, erano piu` brevi e prevedevano calcoli con numeri piccoli. Al liceo, la lunghezza delle verifiche e l’interminabile sequenza di insufficienze l’hanno posta in uno stato di impotenza e di rinuncia. Daniela sfrutta l’ottima oratoria per assumere atteggiamenti di leader negativa e di provocatrice. E` necessaria una ridefinizione del PDP, ma e` altrettanto importante non tornare all’esclusiva modalita` orale precedente, perche´ Daniela non potrebbe sperimentare il miglioramento e non si avvicinerebbe in modo autonomo a un esercizio di matematica. Il docente concorda con lei la possibilita` di usare il computer durante le verifiche e i compiti a casa, l’utilizzo della calcolatrice e del formulario, una riduzione quantitativa della verifica e, ribaltando l’ordine al quale era abituata, un’interrogazione orale prima della verifica sui diversi tipi di esercizi oggetto della prova, cosı` che possa affrontarla con maggiore senso di competenza. Daniela migliora progressivamente (passando dal 3 al 5); sulla scia di tali risultati positivi le si propone a fine anno l’opportunita` (non la punizione) di trascorrere le vacanze in compagnia di un «kit di recupero» di matematica. Questo perche´ non e` necessariamente negativo avere una sospensione del giudizio, anche se si ha una diagnosi di DSA. Nel caso di Daniela la sospensione ha lo scopo di spingerla a porsi in maniera propositiva di fronte a un compito scritto, senza l’ansia del ritmo frenetico dello studio che accompagna l’anno scolastico, nonche´ di evitarle il senso di scarsa autoefficacia che l’ha gia` molto penalizzata in precedenza. Daniela supera l’esame a settembre con relativa tranquillita`. Non e` diventata amante della matematica, ma ha imparato a prepararsi in modo efficace e a «sopravvivere» alle verifiche.

Il caso di Daniela fa riflettere sulla necessita` di non dare nulla per scontato: le basterebbe la calcolatrice, perche´ lei sa perfettamente quali conti farle fare, invece vive la matematica in modo drammatico; c’erano strategie che precedentemente funzionavano (l’interrogazione alla lavagna), ma si valuta di ridefinirle, perche´ ogni strategia ha i suoi tempi; a fronte di un miglioramento, si concorda una sospensione di giudizio. Il tutto a testimoniare che la personalizzazione non puo` seguire prontuari.

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Altre difficolta` di apprendimento Difficolta` visuo-spaziali Le difficolta` visuo-spaziali sono state negli anni un po’ le «orfanelle» fra le difficolta` scolastiche, superate dall’attenzione agli aspetti verbali, essendo il linguaggio fondamentale e trasversale per l’apprendimento. In realta`, pero`, anche le abilita` visuo-spaziali lo sono e le difficolta` in questo campo hanno profonde implicazioni nella serenita` del percorso scolastico dei nostri ragazzi. Sicuramente, ne hanno molte nell’area matematica. Gli studenti con importanti difficolta` visuo-spaziali presentano cadute specifiche in compiti di natura non verbale e prestazioni adeguate in compiti verbali. Sono frequentemente goffi nelle pratiche quotidiane e nelle prassi motorie (come il ritagliare, il ricalcare) e socialmente maldestri; faticano negli ambiti che comportano manipolazione, recupero, rappresentazione di informazioni visuo-spaziali, come la matematica, la geometria, il disegno tecnico, le scienze. Pur avendo uno sviluppo linguistico generalmente adeguato, la comprensione verbale puo` essere deficitaria quando il testo richiede una rappresentazione spaziale del contenuto o l’interpretazione di tabelle e grafici. Sono presenti difficolta` nella memoria di lavoro visuo-spaziale, nell’organizzazione ed elaborazione di immagini mentali a contenuto spaziale, che rendono complessi compiti come l’orientamento, il movimento nello spazio, l’utilizzo di coordinate visive, la comunicazione non verbale, l’elaborazione delle proprieta` degli oggetti. DIFFICOLTA` VISUO-SPAZIALI CARATTERISTICA PRINCIPALE

Difficolta` nelle abilita` non verbali



Presentazione di testi chiaramente organizzati dal punto di vista spaziale Fornire i disegni di figure, del piano cartesiano oggetto di esercizio, senza chiederne la rappresentazione grafica da parte del ragazzo Utilizzare il codice verbale accanto a quello spaziale, perche´ uno veicoli la comprensione dell’altro Riduzione della richiesta di produzione di figure Individuazione di elementi spaziali semplici da richiamare in memoria Evitare organizzazione di schemi e mappe spazialmente elaborati e scegliere una strutturazione in sequenza lineare Fornire spazio adeguato per la scrittura Interrogazione sugli indicatori spaziali semplici presenti nel libro Recupero orale delle verifiche

Lettura di grafici e tabelle Studio del piano cartesiano Erronea stima delle relazioni spaziali Riconoscimento e rappresentazione degli elementi e delle figure geometriche Limitata memoria visuo-spaziale Incolonnamento di numeri e organizzazione delle espressioni nello spazio Comprensione di problemi che implicano una rappresentazione visuo-spaziale


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Strategie, esempi e consigli pratici per una didattica inclusiva La storia di Eleonora Eleonora frequenta la seconda classe in un istituto tecnico grafico con indirizzo informatico, scelto come alternativa a un desiderato liceo delle scienze umane, ritenuto troppo impegnativo. Ha grandi difficolta` in matematica, sia nel problem solving sia nel calcolo, e nelle materie di indirizzo, legate all’informatica e al disegno. Ha, di contro, risultati buoni nelle materie comuni, in particolare storia. La valutazione cognitiva di Eleonora mette in luce una discrepanza significativa fra l’ambito del ragionamento verbale superiore alla norma e quello di ragionamento visuospaziale deficitario. Eleonora ha difficolta` nell’analisi visiva, nell’identificazione degli elementi di una figura o degli indicatori di un testo, nella percezione, nella rappresentazione spaziale e nella creazione di immagini mentali funzionale al ricordo e alla categorizzazione, nella memoria visuo-spaziale; fatica a svolgere compiti che richiedano risorse attentive e di controllo. Commette errori banali; e` estremamente difficoltoso per lei costruire schemi e mappe, interpretarli e ricordarli, cosı` come leggere tabelle o grafici e rappresentare figure geometriche. Il calcolo non risulta, invece, problematico. Eleonora si e` sempre affidata a una capacita` di memorizzare le parole molto efficace, ma, invece di metterla al servizio della comprensione, si e` dimenticata di avere buone competenze di ragionamento verbale. Studia molto, ma a livello mnemonico e passivo, senza costruire paletti utili al ripasso. Se commette errori nella comprensione di un testo, ha difficolta` a recuperare le informazioni necessarie per correggerli: non percepisce adeguatamente gli indicatori spaziali che la possono guidare nella ricerca. Come studia storia, cosı` studia matematica. Conosce la teoria a memoria, ma non riesce ad assimilare i concetti, a rappresentarli e a distinguere le parti salienti da quelle meno rilevanti. Esegue i compiti di matematica recitando ad alta voce delle procedure, del tipo «Adesso calcolo il delta», ma alla domanda «Che cos’e` il delta?» risponde «Il delta». Siamo ancora prima dell’aver capito: siamo al non porsi il problema di cercare di capire. Inoltre, Eleonora ha difficolta` nella pragmatica sociale, nel cogliere quegli indicatori non verbali (dall’espressione del volto alla postura), che forniscono molte informazioni nel contesto comunicativo. E`, pertanto, molto permalosa e timorosa di essere in presa in giro e non accetta nessun aiuto, per non far capire ai compagni di essere in difficolta`. Rifiuta anche le interrogazioni programmate, in teoria utili, in quanto Eleonora studia veramente molto, ma con una modalita` molto rigida, e avrebbe bisogno di concentrarsi su una materia per volta al fine di sperimentare nuove strategie di elaborazione e recupero delle informazioni. I docenti spesso sono chiamati a scegliere fra cio` che e` utile e cio` che e` accettato dallo studente. E` necessario rispettare i desideri dei nostri ragazzi e concordare con loro i possibili aiuti: anche se siamo fermamente convinti dell’importanza di una compensazione, faremmo dei danni se l’approvassimo contro il parere del diretto interessato. Ovviamente, dobbiamo gradualmente convincerlo dell’importanza dell’aiuto proposto. Nel caso di Eleonora, i docenti raggiungono una prima mediazione, concordando che si faccia interrogare volontaria, cosı` da crearsi un calendario di materie da studiare. Per matematica, si concorda una sorta di ripasso ciclico degli argomenti fondamentali per poter proseguire nella comprensione: Eleonora ha importanti lacune che deve colmare. Il professore indica, quindi, per ogni interrogazione, quali concetti deve necessariamente ripassare. Ogni concetto deve essere studiato agganciando la teoria a un esempio che possa guidare Eleonora durante l’esecuzione dell’esercizio. Si struttura inoltre un formulario con figure semplici, nelle quali e` chiaramente precisato l’elemento da considerare sia attraverso il colore, sia attraverso la spiegazione verbale, cosı` che il doppio codice favorisca la memorizzazione. Eleonora acquista sicurezza e serenita`, ma resta molto problematico l’indirizzo di scuola che ha scelto, in quanto compiti grafici, algoritmi e icone del computer sono esattamente l’oggetto delle sue difficolta`. E` stato fondamentale per lei acquisire maggiore fiducia nelle sue competenze matematiche; sono emerse non solo le sue abilita` di calcolo, ma anche una propensione verso esercizi sistematici e molto strutturati. Eleonora ha fatto un percorso di orientamento e ha cambiato scuola, iscrivendosi all’istituto tecnico economico. Il cambiamento avviene sulla base di un miglioramento, non di un fallimento.

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Questo aspetto e` meritevole di considerazione: quando si postula la necessita` di un ri-orientamento, e` molto importante che la scuola frequentata in quel momento veicoli il passaggio, identificando campi di competenza che lo studente possa portare con se´ nella nuova situazione.

Difficolta` attentive La capacita` di focalizzare la propria attenzione, indirizzarla, mantenerla in modo adeguato e prolungato, inibendo stimoli non funzionali al compito e`, indubbiamente, un requisito fondamentale per apprendere. Molti ragazzi presentano difficolta` attentive, che sfociano in una diagnosi di ADHD (disturbo da deficit di attenzione, dall’inglese Attention-Deficit Hyperactivity Disorder), quando l’entita` del disturbo e` patologica. In ogni caso, i professori devono confrontarsi ogni giorno con la distraibilita` dei propri studenti. Elenchiamo di seguito le principali difficolta` attentive che gli adolescenti possono manifestare nel corso del lavoro scolastico. Selezionare gli indicatori rilevanti per un compito e focalizzarsi su essi: dimenticano la richiesta, non portano a termine i compiti, sono lenti e possono apparire anche apatici ed estremamente discontinui. Organizzarsi pianificando tempo e attivita`: benche´ non piu` bambini, perdono o non portano il materiale, scrivono in maniera non adeguata i compiti sul diario; non sanno quantificare il tempo necessario per un esercizio e stabilire una priorita` di esecuzione. Mantenere la concentrazione e inibire stimoli irrilevanti: impegnati in una verifica, non riescono a mantenere un’adeguata attenzione prolungata e si fanno distrarre da stimoli non pertinenti. Possono stare ore su un compito e poi risolverlo in cinque minuti; perdere il punto nel quale erano arrivati e ricominciare da capo; ripetere lo stesso errore appena commesso. Gestire la noia e ritardare la gratificazione: faticano a sopportare routine, esercizi ripetitivi, tendono a uno svolgimento superficiale degli esercizi, a saltarne parti senza accorgersene. Attuare strategie di monitoraggio e autoregolazione: sono precipitosi, non controllano il proprio elaborato, non monitorano il proprio piano d’esecuzione, si focalizzano su dettagli, perdendo il tutto o viceversa.


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DIFFICOLTA` ATTENTIVE

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CARATTERISTICA PRINCIPALE

Difficolta` nel mantenere l’attenzione e/o nel controllare l’impulsivita`



Suddivisione delle prove in piu` parti Attivita` di richiamo e di organizzazione prima di una verifica Interrogazione sistematica sull’autocorrezione Invitare al monitoraggio e incoraggiare una seconda risposta qualora la prima fosse sbagliata Fornire esercizi incompleti da terminare, cosı` da favorire il richiamo delle informazioni e della pianificazione Selezionare gli indicatori significativi per l’interpretazione di un disegno e di un grafico e chiederne l’esplicitazione o l’identificazione prima di svolgere un esercizio Interrogare sull’organizzazione del libro di testo e di eventuali schemi di ripasso

Selezione degli aspetti rilevanti di un esercizio Problem solving Pianificazione Considerazione di una sola parte dell’esercizio Lettura parziale della consegna Perseverazione nell’errore Discontinuita` prestazionale Errori di «distrazione» relativi alla trascrizione e al calcolo o a inversione (per esempio, numeratore con denominatore in una frazione)


Strategie, esempi e consigli pratici per una didattica inclusiva La storia di Bruno Bruno termina il secondo anno del liceo scientifico collezionando tre debiti (matematica, fisica e latino) ed e` sospeso fra il manifestare completa indifferenza e nascondere una forte ansia da prestazione. Non sa spiegarsi che cosa sia successo. Era sempre stato bravo in matematica, tanto che aveva riportato la migliore votazione nelle prove Invalsi all’esame di stato di due anni prima. Bruno e` completamente impotente di fronte ai risultati. Questo «imprevisto» porta alla richiesta di una valutazione, dalla quale emergono: adeguato livello intellettivo, disgrafia in comorbidita` con importanti difficolta` attentive, lievi difficolta` nell’automatizzazione del calcolo. Bruno e` estremamente impulsivo: «spara» la risposta facendosi guidare da indicatori superficiali che poi non mette in discussione. Gli errori commessi sono spesso banali e se gli viene richiesto di autocorreggersi non ha paletti di riferimento e preferisce abbandonare il compito. Fatica a focalizzare l’attenzione, a inibire la prima risposta e a considerare piu` variabili contemporaneamente. Ha difficolta` di memoria del lavoro e la sua prestazione e` molto discontinua, con errori indipendenti dalla difficolta`. In matematica e fisica fatica a trascrivere i numeri, sia per difficolta` grafiche sia per disattenzione; persevera nell’errore; nello svolgimento di calcoli riporta erroneamente numeri o parte di essi nei passaggi successivi; mantiene in memoria informazioni irrilevanti appesantendo il suo «magazzino»; se comincia a interpretare in maniera non corretta un problema, non ridefinisce un piano alternativo; non attua strategie di monitoraggio anche a fronte di risultati marcatamente errati. Eppure, ha adeguate capacita` di astrazione, comprende i concetti e, non di rado, risolve problemi difficili. Funziona a «macchia di leopardo», ma non cosı` bene da non rischiare il fallimento in una scuola che ha giustamente richieste alte. E` necessario spingere Bruno a imparare a studiare esplicitando i passi, categorizzando gli esercizi, organizzando in anticipo le proprie conoscenze e monitorando passo dopo passo il suo operato. A scuola viene, pertanto, predisposto un PDP, con le seguenti strategie: permettere a Bruno di scegliere il carattere da adottare nella scrittura; fornire fotocopie degli appunti, soprattutto quando vengono dettate informazioni non contenute nei libri di testo; non penalizzare gli errori ortografici e grafici; dargli la possibilita` di recuperare con interrogazioni orali le verifiche scritte che non hanno raggiunto risultati soddisfacenti; essere flessibili nel concedergli o no interrogazioni programmate (Bruno ha bisogno di costante studio e ripasso, perche´ se dovesse affrontare solo interrogazioni programmate, studierebbe all’ultimo momento); permettergli di utilizzare la calcolatrice e dei formulari, concordando con lui; invitare Bruno a effettuare un controllo accurato prima di consegnare l’elaborato; incoraggiare una seconda risposta qualora tenda a rispondere frettolosamente o in maniera superficiale e globale; durante le interrogazioni, sollecitare sempre l’autocorrezione delle risposte errate e l’ampliamento delle risposte sintetiche o superficiali; promuovere processi metacognitivi per sollecitare in Bruno l’autocontrollo e la valutazione dei propri processi di apprendimento. Dopo un percorso riabilitativo nell’estate, Bruno ha superato gli esami a settembre e ha affrontato la terza, sostenuto da sistematiche di ripetizioni, benche´ le ritenesse inutili (da buon disattento, e` convinto che «basta impegnarsi un po’ e si puo` fare da soli»). Le ripetizioni sono state prescritte fin dall’inizio dell’anno, perche´ non arrivassero dopo una probabile caduta e fossero interpretate come fallimento. Bruno ha superato la terza con la sospensione di giudizio solo in fisica.


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Non solo nel caso di Bruno, ma per tutti i ragazzi, e` molto importante che nel PDP le strategie non siano presentate con un linguaggio fisso e immodificabile. Per esempio, scrivere «privilegiare le interrogazioni programmate», piuttosto che «utilizzare come modalita` di verifica l’interrogazione programmata» permette di dirimere fin dall’inizio possibili conflitti e chiarire che, qualora fosse funzionale allo studente, potrebbero essere occasionalmente possibili anche interrogazioni non calenderizzate.

Funzionamento Intellettivo Limite Il Funzionamento Intellettivo Limite (FIL) riguarda situazioni nelle quali la prestazione cognitiva si colloca in una zona al confine fra insufficienza mentale e normalita`. Si tratta di ragazzi il cui quoziente intellettivo si colloca in una fascia di punteggio che va, semplificando, da 71 a 84 (85 e` il limite inferiore della norma, compresa tra 85 e 115); essi presentano significative difficolta` di comprensione e ragionamento, oltre a compromissioni di diversa gravita` nei vari ambiti di apprendimento. La problematica e` il risultato di cause fra loro diverse: cause biologiche, genetiche e non, e cause ambientali, quali svantaggio socioculturale e inibizione intellettiva. Pur avendo difficolta` scolastiche rilevanti, questi studenti non sono generalmente supportati dall’insegnante di sostegno previsto dalla legge 104/92 e devono affrontare il regolare programma scolastico, declinato per obiettivi minimi, con un rischio fortissimo di non farcela e di sviluppare un atteggiamento di rinuncia e di impotenza. Per questi ragazzi e` necessario un grande sforzo di personalizzazione, a volte veramente difficile da programmare, soprattutto nell’area logico-matematica, nella quale il gap fra richieste e competenze e` difficilmente colmabile. FUNZIONAMENTO INTELLETTIVO LIMITE

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CARATTERISTICA PRINCIPALE

Profilo intellettivo in una fascia limite fra normalita` e insufficienza mentale


Problem solving Comprensione linguistica del testo, delle consegne e delle definizioni Acquisizione di nuovi concetti Categorizzazione Generalizzazione delle conoscenze Pianificazione


Programmazione per obiettivi minimi Semplificazione del linguaggio utilizzato Creazione di schede di ripasso corredate di definizioni o formule e un esercizio di esempio Strutturazione di esercizi guidati Incentivo all’applicazione pratica di un concetto Esplicitazione dettagliata dei passi da seguire


Strategie, esempi e consigli pratici per una didattica inclusiva La storia di Angelo Angelo frequenta il primo anno dell’istituto tecnico industriale e ha gia` diagnosi di discalculia. I genitori lamentano scarsa attenzione e aiuto da parte della scuola, in particolare del professore di matematica, benche´ gli consenta l’utilizzo della calcolatrice e del formulario e riduca quantitativamente i compiti e le verifiche: queste sono ancora troppo difficili per Angelo, perche´ studia tanto, ma «a causa della discalculia» dimentica. I genitori chiedono addirittura che Angelo possa avere in ogni verifica un formulario con l’esempio svolto di ogni esercizio. Dall’aggiornamento della valutazione, emerge uno scenario molto differente: Angelo ha un funzionamento intellettivo limite, un quoziente intellettivo, cioe`, inferiore alla norma (78), e cio` comporta significative difficolta` nella comprensione e nella concettualizzazione. Fa fatica nel calcolo automatico, ma, soprattutto, ha grandi difficolta` nel ragionamento sia verbale sia spaziale. Il recupero delle informazioni e` adeguato, come gli aspetti attentivi. Angelo, quindi, non dimentica perche´ e` discalculico, dimentica perche´ non ha capito ed e` sufficiente proporre la domanda in un modo nuovo perche´ crolli. Quando in una verifica puo` rispondere a domande nozionistiche, riesce a raggiungere la quasi sufficienza, bilanciando il crollo nelle domande di ragionamento. In matematica, considerare Angelo solo come discalculico e dargli in mano strumenti per compensare le difficolta` con le operazioni non e` sufficiente. E` questo un caso nel quale il professore di matematica ha un ruolo centrale nel definire il percorso formativo del suo studente. Molto importante e` discutere fin dall’inizio con i genitori e con il ragazzo la presenza di difficolta` cognitive e strutturare un percorso per obiettivi minimi, al fine di valutare il potenziale di miglioramento di Angelo e ipotizzare un ri-orientamento. Si pone, infatti, il problema di permettere ad Angelo di esplorare i propri interessi e giocare un ruolo attivo nel proprio percorso di apprendimento. Si concorda l’esigenza di orientare Angelo verso una scuola piu` adatta alle sue potenzialita`. In matematica, ci si concentra su quelle conoscenze trasversali necessarie anche in un altro tipo di scuola, selezionando gli argomenti e costruendo con Angelo una sorta di bigino di conoscenze fondamentali. Angelo comincia a frequentare un corso professionale di meccanica, scoprendo interesse e buona attitudine sul campo.

La storia di Angelo permette di riflettere su quanto sia importante osservare sistematicamente le difficolta` e pensare per i nostri ragazzi a un «progetto vero»: il disturbo specifico, come tale, non deve diventare ipergiustificazione e mascheramento di altri problemi. Talvolta piu` difficili da accettare. Chi ne esce sconfitto e` il ragazzo stesso, che non ha la possibilita` di trovare la strada che corrisponde al suo profilo e ai suoi interessi.


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Dalla conoscenza dell’alunno all’intervento sulle sue difficolta` Dalla presentazione di alcuni profili di alunni con difficolta` scolastiche emerge chiaramente quanto il lavoro dell’insegnante sia estremamente complesso: come conciliare le esigenze di ognuno all’interno di una classe, nel rispetto di un programma da svolgere e garantendo a tutti l’offerta formativa maggiormente adeguata? Il percorso che porta alla personalizzazione e` una sorta di problem solving nel quale si intrecciano aspetti fra loro strettamente interrelati: 1. la fase iniziale di conoscenza dei propri studenti e delle loro storie; 2. le scelte metodologiche per rendere le proposte didattiche occasione di apprendimento e di fronteggiamento delle difficolta`; 3. la verifica e la valutazione.

La scuola incontra uno studente e la sua storia Chi e` il ragazzo con difficolta` scolastiche che gli insegnanti incontrano alla scuola secondaria di secondo grado? Puo` arrivare con una certificazione o con una diagnosi datata oppure recente e un profilo aggiornato; puo` avere svolto percorsi riabilitativi che hanno compensato adeguatamente o solo in parte le sue difficolta`; puo` aver convissuto con problemi scolastici senza averne mai approfondito le caratteristiche; puo` sperimentare per la prima volta una fatica che non aveva mai percepito. L’insegnante ha un ruolo fondamentale nell’osservazione sistematica delle difficolta` di un ragazzo non diagnosticato; quando il ragazzo ha gia` una diagnosi, rappresenta comunque il punto di riferimento dell’integrazione con la famiglia e gli specialisti. Egli e` inoltre il progettista e «traduttore» nella pratica scolastica quotidiana di un PDP flessibile. La fase iniziale di osservazione, di presa visione di un’eventuale diagnosi, di colloquio con i familiari e gli specialisti, e` estremamente importante e deve porre delle basi condivise che coniughino due aspetti fondamentali: da una parte, la flessibilita` del PDP e degli strumenti compensativi, dall’altra gli obiettivi che ci si prefigge che lo studente raggiunga. Lo scopo principale e` creare un contesto di apprendimento ottimale per lo studente, nel quale valutare attentamente quando e come proporre strumenti, per quanto tempo e per quali esercizi. Diversamente, lo strumento compensativo e la misura dispensativa non sono al servizio dell’apprendimento, ma dell’evitarlo; la difficolta` diventa non un problema da tenere sotto controllo, ma ipergiustificazione. Piu` il PDP e` «cucito su misura», minore e` questo rischio. Il ragazzo e i genitori giungono a scuola con determinate aspettative. Il colloquio iniziale e` la sede nella quale porsi in ascolto del loro vissuto, delle modalita` con le quali la difficolta` e` stata affrontata precedentemente, degli strumenti ritenuti necessari. A volte ci sono momenti di conflitto fra insegnanti e genitori che, spesso, nascono proprio da una mancata condivisione del «perche´» vengono operate determinate scelte e del «perche´» alcune misure non vengono applicate o sono proposte solo in alcuni momenti. 160



Proponiamo un «perche´» guidato da una parola magica: opportunita`. Per esempio, il docente chiede allo studente di svolgere un esercizio senza calcolatrice, perche´ lo ritiene in grado di farlo e il ragazzo riesce effettivamente a portarlo a termine: che cosa sarebbe successo se, a priori, gli avesse fornito la calcolatrice? Gli avrebbe tolto l’opportunita` di percepire il proprio miglioramento, di acquisire autostima e maggiore senso di autoefficacia. Nella scuola secondaria di secondo grado, il concetto di opportunita` implica anche valutare attentamente se l’indirizzo di studi scelto puo` corrispondere alle capacita` e ai reali interessi del ragazzo. L’opportunita` si verifica con un dialogo costante, sulla base di una lettura condivisa della relazione diagnostica, magari alla presenza, in una situazione ideale, dello specialista che ha effettuato la valutazione, cosı` da tradurre nella pratica i dati, a volte un po’ oscuri, dei risultati dei test. Capita, invece, che la relazione venga protocollata in segreteria e il docente possegga come unica informazione un’«etichetta» diagnostica. Si perde cosı` la possibilita` di avere indicazioni sul bilancio tra risorse e difficolta`, in quanto nella diagnosi viene riportata una fotografia del ragazzo relativa al suo livello cognitivo, alle abilita` di letto-scrittura, calcolo, problem solving, competenze verbali, visuo-spaziali, attentive, modalita` di approccio allo studio e aspetti emotivi. L’unione virtuosa fra le indicazioni della relazione, i colloqui con lo studente e i familiari, l’osservazione a scuola, dovrebbe permettere di raccogliere gli elementi per la stesura del PDP. La seguente scheda sintetica puo` essere utile per sintetizzare le informazioni conoscitive.


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Studente: ......................................................................................................................................................... Classe: ........................... A/S: ...................................................... Diagnosi: .......................................................................................................................................................... Difficolta` nell’area matematica desunte dalla relazione diagnostica ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

Informazioni relative alla precedente esperienza scolastica Approccio alla materia ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

Difficolta` incontrate ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

Punti di forza ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

Strumenti e misure utilizzati ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

Eventuali aspetti di riduzione del programma ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

Utilita` percepita degli aiuti proposti ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

Modalita` di presentazione della verifica ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

Risultati ottenuti ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

Nodi problematici ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

Modalita` di studio e svolgimento compiti ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

Aspettative rispetto alla nuova esperienza scolastica ............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................

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Strumenti e misure compensative: le scelte metodologiche Gli elementi conoscitivi si traducono in indicazioni operative per consentire allo studente un percorso formativo rispettoso delle sue difficolta`. Le strategie inserite in un PDP possono essere divise, a titolo esemplificativo, in tre categorie: 1. riduzioni, semplificazioni e dispense; 2. strumenti alternativi o aggiuntivi; 3. accorgimenti metodologici riguardo ai materiali e alla lezione. La premessa dalla quale non si puo` prescindere e` il concordare qualsiasi strumento con i ragazzi, ascoltare le loro esigenze e considerazioni, rispettare le eventuali resistenze, cercando di promuovere l’accettazione delle misure veramente utili. Alcuni studenti, infatti, hanno il forte timore di essere presi in giro o di essere considerati dei privilegiati, mentre altri ancora hanno difficolta` a capire il supporto che possono ottenere da uno strumento.

Riduzioni, semplificazioni e dispense Riduzione delle formule e delle definizioni da memorizzare e semplificazione del linguaggio Identificare quali formule e definizioni sia necessario memorizzare e saperle richiamare automaticamente e` fondamentale, innanzitutto, per non chiedere a studenti con fragilita` cognitiva o difficolta` di recupero lessicale e di memoria uno sforzo non vantaggioso e non «economicamente» spendibile. Definire esattamente la richiesta consente, inoltre, di superare il dilemma «tutto o niente» che si crea nei ragazzi: «Visto che per me e` pressoche´ impossibile imparare a memoria tutto, rinuncio completamente». Se non chiaramente indirizzati, gli studenti si affidano a un formulario anche per domande semplici, ne vivono passivamente l’utilizzo, senza cercare una rievocazione attiva e sono poco sensibili al contesto e alla richiesta, pertanto non categorizzano espressioni simili, non le collegano a esercizi esemplificativi, non identificano priorita`. In sintesi, se non chiaramente indirizzati, non si mettono nelle condizioni di memorizzare. Riduzione qualitativa della richiesta Per i ragazzi con fragilita` cognitiva diventa quasi imprescindibile ipotizzare una riduzione del programma agli obiettivi minimi. Il grande problema in una disciplina come matematica e` non valicare il sottile confine fra una programmazione per obiettivi minimi e una differenziata, in quanto gli argomenti sono strettamente interconnessi, le conoscenze precedenti permettono di svolgere gli esercizi successivi e le difficolta` degli studenti compromettono conoscenze basilari. Le conoscenze minime senza le quali non e` possibile procedere vanno chiaramente identificate. A volte, e` questo il punto che porta a indicare chiaramente una proposta di ri-orientamento. Riduzione quantitativa della richiesta Le difficolta` scolastiche si accompagnano spesso alla lentezza esecutiva. Quando, per esempio, il processo di lettura non e` adeguatamente automatizzato, i ragazzi mostrano segni di fatica, necessitano di un tempo molto magPetrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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giore, sono sensibili alla lunghezza dell’esercizio, tendono a commettere errori o a tralasciare la parte finale di un testo. Quando non ci sono difficolta` di comprensione e le capacita` cognitive sono adeguate, una riduzione quantitativa puo` permettere allo studente di focalizzare l’attenzione in modo proficuo e sedimentare quanto appreso; ma si tratta di una riduzione effettivamente solo quantitativa (per esempio: cinque esercizi che presentino le stesse variabili dei dieci assegnati alla classe; numeri piu` bassi, ma stessa difficolta` concettuale), non una riduzione della proposta di ragionamento o la presentazione di una sorta di riassunto. Quando, infatti, a fronte di due pagine di teoria, per esempio, proponiamo al ragazzo un riassunto di mezza pagina, corriamo il rischio di mettere in atto le due seguenti modalita` che non favoriscono un apprendimento efficace. 1. Forniamo una sintesi preconfezionata e, come tale, non facile da memorizzare, perche´ non e` frutto di una riflessione personale. 2. Riduciamo la complessita` morfosintattica del testo e non esponiamo lo studente a un linguaggio completo. I ragazzi che hanno difficolta` di lettura tendono, gia` da soli, a saltare delle parti di frase per mantenere una velocita` adeguata e sono spesso poco attenti alle preposizioni, ai quantificatori, agli avverbi, agli incisi, che sono, invece, importanti per la comprensione del testo di un problema. Riduzione dei compiti a casa Data la lentezza o la difficolta` di focalizzazione e mantenimento dell’attenzione, di scrittura e di disegno di figure, i compiti si configurano spesso come un incubo. La riduzione, anche in questo caso non qualitativa, che vada a considerare le peculiarita` del ragazzo, consente, invece, un processo di autonomia. Il disgrafico potrebbe svolgere i compiti con l’ausilio di un computer, chi ha difficolta` visuo-spaziali utilizzare disegni gia` fatti, il dislessico/disortografico/disgrafico rispondere solo oralmente a domande di teoria e il disattento avere una scansione in piu` parti. Dispensa dallo studiare su propri appunti o dal copiare gli esercizi Se desideriamo che un ragazzo disgrafico possa veramente studiare sugli appunti presi in classe, deve poter avere a disposizione copie predisposte a computer o appunti presi da compagni particolarmente ordinati. Il che non significa rinunciare completamente alla scrittura, ma, per esempio, imparare a scrivere solo gli elementi maggiormente significativi, a segnare indicatori utili al ripasso o alla verifica. Dispensa dallo svolgere gli esercizi con figure da disegnare Nella figura a lato e` riportato il cubo disegnato a 14 anni da una ragazza con capacita` cognitive assolutamente adeguate, ma importanti difficolta` visuo-spaziali. Non serve aggiungere altro. Potrebbe essere utile fornire il disegno gia` predisposto sul quale riflettere per svolgere un problema?

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Strumenti alternativi o aggiuntivi La calcolatrice Non poteva mancare lo strumento d’eccellenza richiamato immediatamente quando si pensa alla matematica. Nella scuola secondaria di secondo grado la calcolatrice e`, generalmente, consentita a tutta la classe e lo studente non si pone il problema di essere «diverso». Si tratta di uno strumento di uso cosı` comune da sottavalutarne alcune possibili difficolta`: innanzitutto, non ha poteri straordinari, non risolve i problemi da sola e svolge i calcoli che noi le chiediamo; cio` significa anche che il discalculico, il dislessico, il disattento possono leggere i numeri sbagliati, dimenticare a che punto sono arrivati nella scrittura dei numeri, saltare parti di operazioni. L’uso della calcolatrice necessita quindi di momenti di monitoraggio e verifica accurati, se non si vuole ripetere il calcolo cento volte o riportarlo sbagliato. Il formulario «Il formulario: chi era costui?». Considerato un novello Carneade, e` invece utile se adeguatamente sfruttato. Gli insegnanti lamentano che i propri studenti non utilizzano il formulario, addirittura lo dimenticano a casa o non ne hanno la minima cura. Perche´ questo avviene? Generalmente, noi tendiamo a dimenticare una cosa che non reputiamo utile o che non vogliamo usare. I ragazzi possono avere, a questo riguardo, resistenze emotive, perche´ il formulario e` ben visibile. Molto spesso non ne capiscono pienamente l’utilita` o non riescono a consultarlo agilmente. I problemi di fondo sono due: il formulario raramente e` costruito personalmente e attivamente dallo studente; quando ne viene fornito uno gia` predisposto, solo raramente sono anche pensate attivita` specifiche per impararne la struttura e il funzionamento. Il formulario dovrebbe essere personalizzato e costruito con lo studente nel rispetto delle specifiche difficolta`; lo studente, per esempio, dovrebbe visionare diversi modelli e individuare quello che e` per lui di piu` facile consultazione. Inoltre, deve essere uno strumento flessibile, in divenire, che progredisce parallelamente al programma in classe; deve essere agile e presentare esemplificazioni. Infine, da non dimenticare, presuppone l’esercitarsi per diventarne abili fruitori. Schemi e mappe Le riflessioni fatte riguardo al formulario sono applicabili anche agli schemi e alle mappe. Prima di fornirli e` fondamentale porsi le due seguenti domande. 1. Perche´ e` utile uno schema per questo compito? 2. Quale tipo di schema rispetta le caratteristiche, lo stile cognitivo, le difficolta` del mio studente? Ragazzi con difficolta` visuo-spaziale, per esempio, potrebbero fare molta fatica a orientarsi in schemi e mappe, se non linearmente e sequenzialmente organizzati. Ragazzi con difficolta` di recupero lessicale potrebbero identificare come compito faticoso e supplementare una mappa strutturata sulla base di parole-chiave. Infine, il consiglio e` quello di interrogare sullo schema o la mappa per verificare che lo studente ne abbia compreso l’utilita` e i contenuti. Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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Computer, tablet, smartphone L’utilizzo di attrezzature tecnologiche e` sempre piu` frequente nella scuola; molte aule sono attrezzate con la LIM. Fanno parte del DNA dei nostri ragazzi, che ci superano in abilita`. Nonostante cio`, o proprio per questo, bisogna dare a questi strumenti il ruolo che hanno, cioe` di strumenti fra tanti altri, compreso il quaderno, che non sostituiscono il processo di apprendimento. Un ragazzo con scarsa propensione alla matematica, al quale avevamo consigliato un istituto professionale, si e` iscritto al liceo scientifico delle scienze applicate, perche´ «Tanto lı` fanno matematica con il tablet!» Fatto questo preambolo, che non va mai dato per scontato nonostante l’estrema banalita`, si puo` dire che l’utilizzo di tecnologie informatiche puo` consentire diversi aiuti: per esempio, fotografare con il tablet uno schema fatto alla lavagna, svolgere la verifica al computer ecc. E` importante verificare che lo studente sia veloce ed efficace nell’utilizzo e che lo strumento non sia un distrattore; pensiamo, per esempio, a uno studente con diagnosi di ADHD che prende appunti con il computer: si corre il rischio che sia completamente assorbito dalle icone dello schermo e che non riesca a prestare attenzione alle lezioni.

Accorgimenti metodologici riguardo ai materiali e alla lezione Quando pensiamo agli adattamenti da inserire in un PDP tendiamo automaticamente a prefigurarci riduzioni, dispense, schemi e strumenti. Aspetti legittimi quanto utilissimi, che sono, pero`, «altro» rispetto alla lezione e ai materiali che abbiamo gia` a disposizione. Ci sono, invece, molteplici possibilita` di rendere l’apprendimento piu` sereno per i nostri ragazzi, sfruttando aspetti prettamente metodologici di impostazione, organizzazione e presentazione delle lezioni. E` questo il regno di competenza dei docenti, non sempre valorizzato come meriterebbe. Ma e` anche il regno dell’appartenenza: io studente insieme agli altri. Forniamo alcuni spunti di riflessione, che la fantasia di ogni docente sapra` arricchire e ridefinire. Organizzazione anticipata e monitoraggio della lezione E` molto difficile cambiare le abitudini (buone o cattive che siano) consolidate nel prestare attenzione alle lezioni e nello svolgere un esercizio. Molti studenti faticano a essere strategici, a dirsi che cosa si aspettano da una lezione e quali conoscenze possono acquisire. L’atteggiamento passivo non permette un ricordo efficace. Il risultato e` che quando a casa si trovano a studiare non hanno i paletti e gli indicatori che permetterebbero loro un approccio efficace. Molte strategie utili dunque si giocano pre- e post- la lezione, perche´ permettono attivazione e organizzazione e favoriscono il ricordo. Per esempio, per i ragazzi disattenti e` utile comunicare prima della lezione quali saranno i punti su cui verranno interrogati alla fine della stessa; o cominciare lo svolgimento di un esercizio e chiedere di ripetere quanto detto e di continuare; o ancora terminare la lezione con una breve prova a coppie nella quale si richiede lo svolgimento di esercizi svolti precedentemente. Per i ragazzi con fragilita` cognitiva far precedere la lezione da una breve spiegazione anticipata e` utile, perche´ puo` farli sentire piu` competenti in una materia vissuta come una lingua sconosciuta. Lo stesso vale per il richiamo delle formule e delle definizioni che verranno utilizzate. Qualora fosse richiesta la lettura veloce di pagine, 166



ai dislessici puo` giovare aver del tempo per leggere prima il testo. Per favorire la consapevolezza delle proprie competenze, al termine di una lezione i ragazzi dovrebbero individuare i punti sufficientemente chiari e quelli piu` oscuri, indicare gli esercizi che reputano facili, formulare domande sugli argomenti che non hanno capito, annotare strategie imparate. Se svolte sistematicamente, attivita` di questo tipo promuovono un atteggiamento esplorativo e favoriscono la comprensione. Lavoro di gruppo cooperativo Le attivita` di gruppo, anche semplicemente di coppia, permettono un’attenzione personalizzata alle esigenze di ognuno e l’ottimizzazione del tempo. E` molto difficile durante una lezione frontale permettere a ogni studente di svolgere l’esercizio; l’alternativa e` seguire un compagno che lavora alla lavagna, ma comporta un atteggiamento passivo e il compagno stesso si trova in una situazione di forte mediazione da parte dell’insegnante. Invece, prevedere per esempio un’esercitazione a coppie, nella quale a turno un compagno risolva e l’altro verifichi la correttezza, costringe i ragazzi a spiegare cio` che stanno facendo e a diventare piu` consapevoli. Difficilmente, in una situazione di classe o individuale si ha l’occasione di esplicitare il proprio piano di esecuzione: farlo favorisce il ricordo e permette di rendersi conto dei propri punti deboli. In questo modo gli studenti con difficolta` hanno la possibilita` di esercitarsi, di rivedere e ripetere gli argomenti, di agire con maggiore autonomia, senza richiedere il costante aiuto del docente. Anche gli studenti non in difficolta` fruiscono positivamente del lavoro di gruppo, in quanto riescono a gestire meglio il tempo, diventano piu` sensibili al compito e sviluppano abilita` metacognitive, imparando a generalizzare e trasferire a nuove situazioni quanto appreso. Gli esercizi possono essere strutturati a differenti livelli di difficolta`, permettendo a chi e` competente di cimentarsi in esercizi complessi, che come tali sono motivanti per chi ama la matematica. Il libro di testo E` importante valorizzare e far conoscere il libro di testo agli studenti: se si conosce la struttura di un libro, il ripasso e il recupero delle informazioni e` molto veloce, autonomo ed efficace. Saper maneggiare con sicurezza il libro di testo permette di ridurre gli strumenti aggiuntivi e di seguire la via piu` semplice: per esempio, che cosa c’e` di meglio se in classe i compagni studiano un teorema a pagina 40 e anche lo studente con difficolta` puo` studiarlo alla stessa pagina? Ovviamente, il libro deve essere chiaro nell’esposizione e nella grafica. Facciamo alcuni esempi tratti da un volume per il biennio di LA Matematica a colori 3. L’aspetto grafico La chiarezza della pagina proposta e` a volte il discrimine fra essere competenti e non esserlo. Alcuni testi o schede sono di difficile lettura e questo e` un grandissimo ostacolo per i ragazzi in difficolta`. Per consentire una didattica inclusiva, le diverse parti devono essere chiaramente identificabili, gli esercizi ben separati, le informazioni principali facil-

3 L. Sasso, LA matematica a colori, EDIZIONE AZZURRA per il primo biennio, volume 1, De Agostini Scuola SpA, 2014.


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mente individuabili, i colori ben distinguibili l’uno dall’altro. Per esempio, negli esercizi proposti in questa pagina campione, i colori sono estremamente chiarificatori e distinti: il numero degli esercizio in rosso, l’esercizio in nero e la soluzione in blu; la prima riga delle tabelle e` colorata e rende piu` semplice orientarsi.

Per quanto riguarda la teoria, le parti sono ben distinte; l’ampio colonnino laterale consente di annotare le informazioni principali e gli indicatori per un ripasso veloce; sono gia` appuntate a lato le conoscenze fondamentali (di fatto e` gia` strutturato quanto andrebbe inserito in un formulario).

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Chiarezza delle definizioni Per favorire la comprensione e la memorizzazione delle definizioni, le stesse devono essere scritte in un modo semplice e chiaro e presentate con esempi sia verbali sia iconografici, cosı` da permettere a chi ha difficolta` visuo-spaziali di utilizzare la forma verbale come veicolo per la rappresentazione grafica e viceversa a chi ha difficolta` linguistiche. Si consideri la presentazione del concetto di concavo e convesso riportata in questa pagina.

La definizione e` presentata tre volte. La prima con un linguaggio semplice da memorizzare. Il passaggio dalla lettura della definizione alla sua comprensione e alla capacita` di rappresentare graficamente il concetto non e` immediato. Vengono, pertanto, presentate due figure semplici, ben spaziate, con colori ben definiti e segmento AB velocemente identificabile. Sotto ogni figura e` riproposta la definizione, che in questo caso favorisce la chiara comprensione della differenza fra le due tipologie di figure e permette allo studente di passare dal verbale all’immagine mentale e viceversa. Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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Esplicitazione delle regole e del piano di esecuzione negli esercizi svolti Molti ragazzi perdono i passi esecutivi o non agganciano la regola studiata alla sua applicazione in un esercizio. Il richiamo sistematico e chiaramente scritto in un esempio svolto favorisce la memorizzazione del legame fra regola e compito e il richiamo successivo in esercizi nuovi. Analizziamo l’esempio svolto di trasformazione in frazione di un numero periodico.

Innanzitutto sono scelti numeri bassi, con massimo due cifre fra periodo e antiperiodo; e` presentato il confronto fra un numero nel quale sono presenti sia il periodo sia l’antiperiodo e un numero con solo il periodo. La discriminazione fra i due numeri e` facile, essendo numeri semplici. C’e` il richiamo al fatto che verra` applicata la regola precedentemente enunciata (per favorire il passaggio dalla regola all’esempio). Durante lo svolgimento, la scoperta della regola e` estremamente facilitata dal confronto immediato fra i numeri scelti, che hanno sempre due cifre scritte al denominatore. Esplicitazione del ragionamento che porta alla risoluzione Quando aiutiamo un ragazzo con difficolta` a comprendere un problema, non dobbiamo dare per scontato che passi impliciti e ragionamenti di base siano chiaramente acquisiti. Bisogna strutturare esercizi che esplicitino i «trucchi» e i ragionamenti progressivi sottesi alla logica del problema. Quando i ragazzi con difficolta` vedono frazioni e percentuali, anche se il problema parla di aspetti quotidiani (il costo di un televisore) faticano a creare l’aggancio con la situazione pratica.

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Problema svolto Consideriamo questo problema svolto.

Nel problema si utilizza un linguaggio semplice, che non da` per scontati i passi che portano alla soluzione. La descrizione dei dati e` sintetica e di facile recupero all’interno del testo. C’e` una fase di pianificazione (l’impostazione dell’algoritmo) chiaramente espressa prima di procedere allo svolgimento. I ragazzi tendono, invece, a non prendersi del tempo fra la lettura di un problema e la sua esecuzione: la fase decisionale e` spesso sconosciuta. E` gia` ipotizzato il risultato che ci si aspetta di ottenere (deve essere superiore a 308 euro, perche´ il televisore e` stato acquistato scontato). Chi conosce gli studenti sa che a volte giungono a risultati impossibili e assurdi, perche´ non formulano ipotesi, non rappresentano la situazione del problema e non monitorano. L’equazione e` scritta con i simboli matematici e tradotta sotto in modo verbale, cosı` come si legge: aspetto importante per costringere i ragazzi ad ascoltarsi mentre leggono un’equazione e a non viverla come un insieme di geroglifici non identificati. La scrittura, inoltre, consente di richiamare il senso di Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

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ogni parte dell’equazione (dalla rappresentazione dell’incognita al segno di uguaglianza). Ogni passo e` spiegato anche nello svolgimento, dove l’attenzione deve concentrarsi sulla procedura di risoluzione (per esempio, la semplificazione della frazione). La risposta e` prima di tutto richiamo della riflessione iniziale circa il costo del televisore. Ci sono tutti gli elementi per permettere anche a un ragazzo con fragilita` cognitiva di riuscire in autonomia a svolgere problemi simili, creandosi un iter di passi da seguire.

La verifica Il momento della verifica deve essere un momento «vero» per tutti gli alunni, anche per quelli in difficolta`. Cio` significa che lo studente deve realmente mettersi in discussione ed e` chiamato ad applicare quanto appreso. Non c’e` niente di piu` umiliante di un muto accordo sul «6 politico» e di una verifica «finta», nella quale basti per esempio copiare dal formulario. Sicuramente, date anche le forti implicazioni in termini di valutazione, lo studente con difficolta` non deve essere penalizzato, ma messo nelle condizioni di valorizzare le proprie risorse. Nel predisporre una verifica confluiscono tutte le strategie delle quali abbiamo parlato precedentemente, dalla riduzione allo strumento compensativo, dall’approccio metodologico alla chiarezza del materiale presentato. Ne riassumiamo alcune piu` specifiche nelle seguenti indicazioni.

Riduzione della verifica La verifica puo` essere ridotta qualitativamente quando si e` previsto per lo studente con difficolta` che il programma, pur nel rispetto degli obiettivi minimi, non sia presentato nella sua totalita`. Oppure puo` essere ridotta quantitativamente affinche´ lo studente non sia penalizzato dalla propria lentezza elaborativa. Non esiste un solo modo di ridurre quantitativamente: si puo` predisporre per esempio una verifica progressivamente piu` complessa concettualmente, per la quale lo svolgimento di una prima parte permetta il raggiungimento della sufficienza per gli studenti con fragilita` cognitiva o per quelli con un senso di autoefficacia molto basso, che, di fronte al primo ostacolo, entrano in uno stato di impotenza e si bloccano completamente. La riduzione puo` riguardare, inoltre, il tipo di cifre presentate (piu` basse, con minore numero di decimali ecc.); o ancora, si puo` far scegliere al ragazzo quali parti completare. Se, pero`, l’insegnante ha consegnato al suo studente con difficolta` un testo che contiene 8 esercizi anziche´ i 10 dei compagni, ma questi esercizi presentano tutti gli aspetti qualitativi di quelli assegnati alla classe, il voto in caso di risoluzione esatta deve essere 10, non 8, altrimenti l’aiuto mortificherebbe anziche´ agevolare la media aritmetica dei voti. Possibilita` di recupero con interrogazioni orali Per molti ragazzi lo scritto rappresenta un ostacolo difficile da superare e l’interrogazione orale (o lo svolgimento degli esercizi alla lavagna) permette di dimostrare meglio cio` che realmente si sa. Questa pero` non e` una regola fissa ed e` indispensabile rispettare le preferenze dei nostri ragazzi: non aiuteremmo con un’interrogazione orale, per esempio, 172



uno studente estremamente timido, con difficolta` di recupero lessicale, che «va in tilt» davanti ai compagni per paura del loro giudizio. Dobbiamo sempre stare attenti a distribuire aiuti, non condanne! Quando, invece, l’interrogazione e` in sintonia con il ragazzo, di solito il consiglio e` di inserire nel PDP una dicitura del tipo: «Possibilita` di recuperare oralmente le verifiche scritte nelle quali non si e` ottenuto un risultato soddisfacente; il recupero deve prevedere argomenti circoscritti e affrontati secondo un calendario concordato». Il termine utilizzato e` «soddisfacente», non «sufficiente», perche´ dobbiamo mettere i ragazzi nelle condizioni di esprimere al massimo le proprie potenzialita`: per esempio, ci sono studenti giudiziosi che studiano tantissimo e giungono alla sufficienza, ma il rapporto sforzi/risultati e` troppo sbilanciato e il voto non rende loro giustizia; altri, invece, molto globali e intuitivi e con buone capacita` cognitive, che si accontentano di un 6 e non esplorano le proprie reali possibilita` a fronte di un impegno maggiore. Nella frase proposta, inoltre, e` chiaramente espressa la necessita` che il recupero precisi i tempi e circoscriva gli argomenti. Diversamente, i ragazzi sarebbero appesantiti da una mole indefinita di pagine da ripassare, con il rischio di tralasciare parti nuove di programma.

Autocorrezione delle verifiche Questa e` una delle strategie che permettono un cambiamento duraturo. La verifica dovrebbe essere commentata a scuola e portata a casa (in copia), con la richiesta di correggere autonomamente gli errori. A breve, poi, dovrebbe essere prevista un’interrogazione nella quale il ragazzo dimostri di aver messo in discussione la propria prestazione. Come puo`, altrimenti, rendersi conto del perche´ ha sbagliato e del come fare per migliorare? Utilizzo di calcolatrice, formulari e altri strumenti Lo studente, a meno di particolari situazioni, puo` fruire degli strumenti che utilizza nella quotidianita` scolastica anche in fase di verifica. Suddivisione delle verifiche in piu` parti Per molti studenti, soprattutto per chi ha una difficolta` attentiva, e` utile suddividere la verifica in piu` parti, cosı` da permettere la focalizzazione su ogni esercizio. Il disattento tende a saltare parti, a tenere in memoria parti irrilevanti, a perseverare nell’errore. La suddivisione consente di riportarlo sul compito, di sollecitare l’autoregolazione e il monitoraggio e di aiutarlo a essere maggiormente fluido e organizzato. In ultimo, ma non per importanza, concludiamo con una nota fondamentale: la dispensa per i nostri ragazzi dal pensare che l’apprendimento della matematica sia un percorso senza speranza di miglioramento. Dispensa da inserire in ogni PDP.


173

` laboratoriali Attivita Introduzione Questa raccolta di attivita` laboratoriali di matematica vuole essere di supporto a una didattica della matematica in sintonia con le indicazioni ministeriali sull’apprendimento nell’area scientifica: «Tutte le discipline dell’area hanno come elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo fisico sia come momento in cui l’alunno e` attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati e a confrontarli con le ipotesi formulate, negozia e costruisce significati interindividuali, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive. In tutte le discipline dell’area, inclusa la matematica, avra` cura di ricorrere ad attivita` pratiche e sperimentali e a osservazioni sul campo, con un carattere non episodico e inserendole in percorsi di conoscenza.» Le attivita` proposte sono caratterizzate da una forte componente di ricerca (dalla congettura alla risoluzione del problema) e dalla possibilita` di esplorazione con le nuove tecnologie (calcolatrice, foglio di calcolo, software di geometria dinamica GeoGebra) o con materiale povero (cartoncino, spaghi ecc.). Le schede sono facilmente fruibili dai docenti interessati sia per la loro forma (scheda per lo studente e indicazioni per il docente), sia per la traduzione in concrete e fattive proposte didattiche di alcuni contenuti disciplinari del biennio della scuola secondaria di secondo grado. Tenendo presente che gli obiettivi del laboratorio di matematica sono:

costruire i significati degli oggetti matematici; mostrare la matematica come una sfida intellettuale; aumentare la motivazione allo studio; invitare all’uso consapevole di modelli matematici; favorire l’apprendimento socializzato;

si consiglia di applicare i seguenti accorgimenti nell’uso delle schede di laboratorio. 1. Comunicazione del problema oggetto della ricerca Il docente introduce il problema, possibilmente proiettando su schermo la scheda di laboratorio preparata dal docente, illustrando il contesto e dichiarando in modo esplicito gli obiettivi e le fasi della ricerca. Successivamente distribuisce una copia cartacea della scheda a ogni studente. 2. Inquadramento dei contenuti E` importante fare percepire agli studenti che il momento del laboratorio, pur presentandosi in modo accattivante e piacevole, e` a tutti gli effetti un’attivita` che contribuisce pienamente al processo di apprendimento. A questo scopo, sara` utile inquadrare i contenuti dell’attivita` nella mappa dell’unita` didattica in corso oppure come introduzione a un nuovo argomento. Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

175


3. Indicazione degli strumenti E` consigliabile indicare preventivamente gli strumenti (quale software, quali materiali: specchio, carta e penna ecc.) utili alla ricerca ed eventualmente introdurre o approfondire un software proprio in occasione dell’attivita` da svolgere. 4. Formazione dei gruppi Il docente forma i gruppi di lavoro, preferibilmente composti da tre studenti (numero ideale per favorire la discussione non lasciando qualcuno da parte) di livelli eterogenei. Se la ricerca si concludera` con una relazione scritta o multimediale, puo` essere utile assegnare subito a un membro del gruppo anche il compito di osservatore del processo di ricerca. Sara` compito del docente intervenire per stimolare e indirizzare eventuali gruppi in difficolta`. Le attivita` laboratoriali sono le seguenti: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

176

Algoritmo babilonese Antico gioco russo Curve per trisecare Dalla Terra alla Luna... con un foglio di carta Di corsa al concerto Il foglio A4 e i suoi progenitori Il sistema articolato Luci e ombre Moltiplicazione egizia... sommare per moltiplicare! Pascal gioca a dadi Quanti saremo nel 2050? Simmetria obliqua Strade e sapone Taglio della torta o... rette nel piano Vale sempre?! Vasetti di marmellata


` laboratoriale 1 Attivita

Algoritmo babilonese E` un algoritmo usato dai Babilonesi (fig. 1) per trovare approssimativamenpffiffiffi te a, noto a. 8 < u0 ¼ 1 pffiffiffi a e` il limite della successione 1 a : unþ1 ¼ un þ 2 un

Figura 1

1. Costruisci un foglio Excel che ti permette, una volta impostato u0 ¼ 1 e scelto a numero positivo, di determinare in successione u1 , u2 , u3 , ... (Ricordati di usare le celle in riferimento assoluto o relativo.) 2. Verifica l’algoritmo babilonese con numeri di cui conosci bene la radice quadrata utilizzando Excel.


177


Algoritmo babilonese

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: seconda o terza Strumenti: foglio di calcolo (Excel) Prerequisiti Definizione di radice quadrata Obiettivo dell’attivita` Introduzione al concetto di successione e di convergenza Uso di Excel per verificare un teorema

Dopo avere fissato in partenza u0 ¼ 1 nella cella B2 e 81 come scelta di a, si traduce, nella cella B3, la formula unþ1 ¼

1 2

un þ

a un

con ¼(B2þ$D$2/B2)/2;

trascinando la formula fino alla cella B9 si ottiene gia` il risultato della radice di 81 cioe` 9.

178



Antico gioco russo In un antico gioco russo (fig. 1), attraverso i risultati casuali ottenuti dall’allacciamento di cordicelle, i giovani cercavano una previsione sul tipo di legame (amore o amicizia) che si sarebbe instaurato in una coppia. Ecco il gioco, in fig. 2, che sperimenterai con i tuoi compagni di classe (anche se le coppie non saranno composte da un maschio e una femmina).

Figura 1

Si forniscono a ogni coppia 3 spaghi di circa 30 cm, che un componente della coppia terra` in un pugno chiuso, in modo che escano le estremita` ai due lati del pugno.

La seconda persona deve fare due nodi sul pugno, unendo gli estremi di spago di sinistra con quelli di destra, ma lasciando due estremi non annodati.

Figura 2

Quando si apre il pugno, a seconda di come si e` scelto di annodare le cordicelle, gli spaghi appaiono secondo una delle tre seguenti tipologie: 0 anelli, solo 1 spago lungo; 1 anello þ 1 spago; 2 anelli þ 1 spago. Nell’originale gioco russo al risultato ottenuto si dava la seguente interpretazione: 0 anelli ) resteranno sempre amici e basta; 1 anello soltanto ) uno vorrebbe un rapporto d’amore ma l’altro no; 2 anelli ) si sposeranno.


179


1. Prova una volta il gioco con il tuo compagno di banco e annota i risultati. Insieme al tuo professore raccogli in una prima tabella i risultati di tutta la classe, rilevando la frequenza dei tre eventi: «non si e` formato alcun anello», «si e` formato un solo anello» e «si sono formati due anelli». Trovane poi la frequenza relativa (n. di realizzazioni di un evento / n. totale di esecuzioni del gioco) e traducila in percentuale. Compila la tabella. evento

0 anelli

1 anello

2 anelli

numero percentuale

Disegna (a mano o con un foglio di calcolo tipo Excel) l’istogramma che rappresenta la frequenza relativa di ogni evento. 2. Ripeti altre 9 volte il gioco: il professore aggiungera` questi risultati a quelli precedenti, aumentando il numero di rilevazioni. Compila la tabella. evento

0 anelli

1 anello

2 anelli

numero percentuale

Disegna di nuovo l’istogramma delle frequenze relative. Che cosa osservi sulle frequenze di ogni evento? Puoi fare una congettura sul comportamento in generale di queste frequenze? 3. Prova a prevedere questi risultati tramite un ragionamento basato sui calcoli: con il tuo compagno di banco (oppure come compito a casa), cerca di individuare teoricamente tutti i modi di annodare i due spaghi e di contare, fra tutti i casi possibili, quanti formano 0 anelli, 1 anello, 2 anelli (la ricerca puo` essere fatta con diagramma ad albero, tabella o altro; si lascia la totale liberta` sul metodo). Per facilitare la comprensione dei vari metodi che saranno proposti da te o dai tuoi compagni, chiama gli estremi degli spaghi A-A0 , B-B’, C-C0 . Nel calcolo delle probabilita` si usa la seguente formula. Probabilita` di ottenere n anelli: PðnÞ ¼

n: casi che danno n anelli n: tutti i casi possibili

Compila quindi la tabella delle probabilita`. evento

0 anelli

1 anello

2 anelli

PðnÞ percentuale

Disegna l’istogramma delle probabilita` e confrontalo con l’istogramma dei dati statistici. Piu` grande sara` il numero di esperimenti che replicherai, piu` ti avvicinerai al risultato teorico trovato con il calcolo delle probabilita`. E` quello che dice la «legge empirica del caso». In una serie di prove ripetute nelle medesime condizioni, al crescere del numero n delle prove, la frequenza relativa di un evento tende a coincidere con la sua probabilita`. 180


Antico gioco russo

Antico gioco russo

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: seconda Strumenti: eventualmente Excel (per gli istogrammi) Prerequisiti Percentuali Diagrammi ad albero o tabelle Obiettivo dell’attivita`

Capire la differenza fra dati statistici e previsione probabilistica Concetto di frequenza assoluta e relativa Costruzione di istogrammi Approccio alla legge empirica del caso

3 Prima dell’esperimento, preparare un sufficiente numero di spaghi, di circa 30 cm ciascuno. 3 Nella fase di osservazione dei risultati, precisare che produce «un anello» sia l’annodamento di un unico spago con se stesso sia di due annodati insieme. 1. Fare una prima raccolta dati (per esempio 1 esecuzione per ogni coppia di studenti).

Raccogliere alla lavagna i risultati, illustrare i concetti di «frequenza relativa», di «frequenza assoluta» e di istogramma. Chiedere agli studenti di trasformare le frequenze assolute in percentuale. 0 anelli n. di realizzazioni dell’evento

1 anello

3

8

totale n. realizzazioni

4 15

frequenze relative in %

2 anelli

20%

53%

27%

Se gli studenti non ne sono ancora a conoscenza, illustrare la costruzione di istogrammi con Excel, producendo quello relativo alla prima raccolta dati (fig. 3).

Frequenza relativa dei tre eventi con 15 esecuzioni y frequenza relativa (%) 60

53

50 40 30 20

27 20

10 0

0

1 2 numero anelli

x Figura 3


181


2. Fare una seconda raccolta dati (per esempio portando a 10 le esecuzioni per ogni coppia di studenti, quindi 150 esecuzioni in tutto). 0 anelli

1 anello

43

80

n. di realizzazioni dell’evento totale n. realizzazioni

27 150

frequenze relative in %

2 anelli

29%

53%

18%

Fare costruire il secondo istogramma agli studenti (fig. 4). Si nota che la tendenza ad avere una frequenza maggiore per 1 anello si conferma, lasciando prevedere che il risultato non e` dunque casuale.

Frequenza relativa dei tre eventi con 150 esecuzioni y frequenza relativa (%) 60

53

50 40 30

29 18

20 10 0

0

1 2 numero anelli

x

Figura 4

3. Formulare una previsione tramite il calcolo delle probabilita`.

Da questa considerazione nasce la curiosita` di provare ad analizzare «a tavolino» le varie situazioni che si possono presentare nell’annodare due spaghi su tre. E` utile fornire agli studenti una notazione comune (A-A0 , B-B0 , C-C0 ) per la rappresentazione degli spaghi al fine di facilitare la comunicazione e la comprensione delle varie soluzioni individuate dagli studenti. Il compito puo` essere svolto in gruppo oppure lasciato come riflessione da sviluppare con maggior tempo a casa.

Illustrare con alcuni semplici esempi (giochi di carte, dadi) la seguente formula. Probabilita` di ottenere n anelli: PðnÞ ¼

182

n: casi che danno n anelli n: tutti i casi possibili


Antico gioco russo

Utilizzare il metodo con tabella. La tabella rappresenta le possibilita` di annodare A e B, lasciando libero l’estremo C. 1 estremo annodato con

2 estremo 2 estremo 2 estremo 2 estremo 2 estremo 2 estremo

A

!

A0

A0

B0

C0

C0

B0

B

!

B0

C0

A0

B0

A0

C0

C0

B0

C0

A0

B0

A0

C

tipologia ottenuta

Probabilita` di ottenere l’evento «n anelli»: PðnÞ ¼

n: casi favorevoli alla tipologia «n anelli» n: casi possibili

Quindi:

P(0 anelli) ¼

2 1 ¼ 6 3

P(1 anello) ¼

3 1 ¼ 6 2

P(2 anelli) ¼

1 6

Utilizzare il metodo con diagramma ad albero. AA0 , BB0 e CC0 sono i 3 spaghi. Unendo un estremo (tra A, B, C) di due diversi spaghi ad altri due estremi (tra A0 , B0 , C0 ), si ottengono i seguenti risultati. A AA'

Anelli:

AB'

AC'

BB'

BC'

BC'

BA'

BA'

BB'

2

1

0

1

0

1


183


Quindi su 6 possibilita`, si ottengono i seguenti risultati (fig. 5). 0 anelli: 2 volte

Pð0 anelliÞ ¼

1 anello: 3 volte

Pð1 anelloÞ ¼

2 anelli: 1 volta

Pð2 anelliÞ ¼

2 6

¼ 33%

3 6

¼ 50%

1 6

¼ 17%

Probabilità dei tre eventi y 60

frequenza relativa (%) 50

50 40 30

33 17

20 10 0 Figura 5

0

1 2 numero anelli

x

Approfondimento sulla legge empirica del caso. «La legge empirica del caso merita un’ulteriore riflessione. Infatti l’espressione tende, contenuta al suo interno, deve essere intesa nel senso che, all’aumentare di n, aumenta la probabilita` che la differenza fra probabilita` a priori e frequenza sia nulla, ma non significa affatto che, per esempio, dopo 20 teste successive sia maggiore del 50% la probabilita` che esca croce! La probabilita` di ogni singolo evento resta sempre la stessa e quindi ‘‘il caso non ha memoria’’. Questo fatto non e` accettato cosı` facilmente dagli studenti, come d’altra parte neppure dagli adulti, se e` vero che le puntate sui ‘‘numeri in ritardo’’ al gioco del lotto o alla roulette sono sempre molto forti e da molti giustificate proprio citando impropriamente la legge empirica del caso.» (commento di Aurelia Orlandoni)

184



Curve per trisecare La trisezione dell’angolo e` uno dei problemi lasciati irrisolti dai matematici greci dell’antichita`. Si tratta di costruire, solo con l’uso di riga e compasso, un angolo uguale a un terzo di un angolo dato. Ma a parte alcuni casi particolari (90 , 45 ), come quello mostrato in fig. 1, questo problema e` irrisolvibile con riga e compasso; con altri metodi e` invece possibile venirne a capo, per esempio facendo ricorso a curve speciali che permettono di trisecare un angolo.

Figura 1 Caso particolare risolvibile: trisezione dell’angolo di 90 .

In questa attivita` costruirai: l’iperbole di Pappo (Alessandria, IV sec d.C.); la trisettrice di MacLaurin (Scozia, 1698-1746, fig. 2). Anche tu riuscirai a trisecare un angolo!

Figura 2 Ritratto scherzoso dello scozzese Colin MacLaurin. Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

185


Analizziamo in primo luogo l’iperbole di Pappo. Dato un segmento AB, si puo` tracciare il luogo geometrico dei punti P tali b (al variare dell’angolo A b, che il triangolo APB abbia l’angolo Bb doppio di A quindi di M sull’asse, P varia lungo una curva, per la precisione un’iperbole), come mostrato in fig. 3.

M P A

P

M

B

M

A

B

A

B

Figura 3

bB si procede come segue. Quindi per trisecare un angolo AO Prima si sceglie, sui lati dell’angolo, A e B tali che OA ¼ OB, poi si traccia l’iperbole determinata dal segmento AB come da procedura illustrata sopra. Si ottiene quindi la fig 4.

A

B

O

Figura 4

La circonferenza di centro O e raggio OA interseca l’iperbole in un punto C: bB (fig. 5). bB che e` pari a 1 di AO esso determina un angolo CO 3

C

A

Figura 5

186

B

O


Curve per trisecare

1. Costruisci con GeoGebra la figura di Pappo. bB. bB e` 1 di AO 2. Dimostra che CO 3 (Potrai usare le proprieta` degli angoli alla circonferenza e il fatto che C, oltre a essere sulla circonferenza, appartiene anche all’iperbole, cioe` al luogo dei punti P tali che...) Esaminiamo ora la trisettrice di MacLaurin. Dato un punto M sull’asse del segmento OB, la circonferenza di centro B passante per M incontra la semiretta OM in un punto P (fig. 6); al variare di M sull’asse, il punto P varia lungo una curva detta «trisettrice di MacLaurin».

P M M O

B O

B

Figura 6

Quindi, per realizzare la trisezione di un angolo yBbx basta disegnarlo con vertice in B, trovare l’intersezione P di By con la curva trisettrice e tracciare OP. bB sara` pari a 1 di y Bbx (fig. 7). L’angolo P O 3 y P M O

3a

a B

x

Figura 7

3. Costruisci con GeoGebra la trisettrice di MacLaurin. bB ha ampiezza a, allora P Bbx e` il triplo. 4. Dimostra che se M O (Usa i triangoli isosceli e il teorema dell’angolo esterno.)


187


Curve per trisecare

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: seconda Strumenti: GeoGebra Prerequisiti Simmetria assiale (per la costruzione delle figure) Angoli alla circonferenza Obiettivo dell’attivita` Costruzione e comprensione del concetto di luogo geometrico Uso del teorema degli angoli alla circonferenza e del teorema dell’angolo esterno Attenzione all’uso di tutti i dati in una dimostrazione Concetti soggiacenti (eventualmente sviluppabili) Iperbole

3 Sottolineare la ricerca dei matematici, attraverso i secoli, per risolvere il problema della trisezione dell’angolo e il fatto che le soluzioni individuate da Pappo e MacLaurin sono fondate sull’uso di un luogo geometrico. 3 E` essenziale che gli studenti costruiscano le figure per comprendere bene le proprieta` che consentono poi una facile dimostrazione della trisezione dell’angolo. Prima di usare la funzione «luogo geometrico», si consiglia di visualizzare il luogo con «traccia» per rendere piu` comprensibile il concetto di luogo geometrico di un punto al variare di un altro. 3 Nelle due costruzioni, la determinazione della semiretta AM (e OM) avviene in funzione del punto M tracciato sull’asse del segmento: questo al fine di consentire una facile costruzione del luogo geometrico al variare di M.

188


Curve per trisecare

2. Dimostrazione della trisezione di Pappo (fig. 8). La dimostrazione si basa sulla proprieta` del punto C di essere intersezione della circonferenza e del luogo:

2a

C

A

B

a

bB ¼ a ) CBbA ¼ 2a (C appartiene al luogo); CA bB ¼ 2a (angolo al centro corrispondente a CA bB ¼ a ) CO bB); CA bA ¼ 4a (angolo al centro corrispondente a CBbA). bB ¼ 2a ) CO CA bB e` Quindi CO

4a

1 bB. di AO 3

2a

O Figura 8

4. Dimostrazione della trisezione di MacLaurin (fig. 9).

y

Il triangolo OMB e` isoscele perche´ M e` sull’asse di AB.

P

Il triangolo MBP e` isoscele perche´ P e` sul luogo quindi sulla circonferenza di raggio BM. b B ¼ 2a perche´ angolo esterno del triangolo OMB. PM Quindi nel triangolo MBP, b e` supplementare di 4a.

M O

a

2a 2a a

b

3a B

x

Pertanto, per formare un angolo piatto in B, deve risultare P Bbx ¼ 3a. bB e` 1 di PBbx. Quindi M O 3


Figura 9

189


Dalla Terra alla Luna... con un foglio di carta La distanza dalla Terra alla Luna e` di 384 400 km. Per semplificare i conti arrotondiamola a 400 000 km. Si dispone di un foglio di carta di spessore 1 mm e si immagina di poterlo piegare in due a volonta` (cioe` si puo` 10 continuare a piegare in due quante volte si desidera). Dopo quante operazioni di piegatura lo spessore ottenuto permettera` di raggiungere la Luna (fig. 1)? 1. Se dovessi esprimere intuitivamente una risposta fra le seguenti, quale sceglieresti? meno di 50 fra 100 e 1000

fra 50 e 100 piu` di 1000

2. Prova a elaborare il problema con l’aiuto del foglio di calcolo elettronico (o di una calcolatrice). Quale risposta ottieni? 3. In assenza di foglio elettronico o di calcolatrice, sapresti dare (e giustificare) una risposta, senza fare troppi calcoli e sfruttando le proprieta` delle potenze? (Suggerimento: scomponi in fattori primi la distanza Terra-Luna e prova ad approssimarla con potenze di 2.)

Figura 1

190


Dalla Terra alla Luna... con un foglio di carta


PER IL DOCENTE

Classe consigliata: prima Strumenti: calcolatrice o foglio di calcolo (Excel) Prerequisiti Conversione delle unita` di misure Definizione di potenza Disuguaglianza Obiettivo dell’attivita` Proprieta` delle potenze Uso della disuguaglianza per inquadrare un risultato Concetti soggiacenti (eventualmente sviluppabili) Funzione da N in N

3 Gli studenti affrontano il problema in vari modi: qualcuno pensa al foglio che raddoppia il suo spessore a ogni piegatura, altri invece immaginano un dispiegamento del foglio che ne dimezza ogni volta lo spessore. Sono in generale questi ultimi ad accettare piu` facilmente che il numero di operazioni sia molto piu` basso di quello che si pensa in un primo momento. 3 L’uso di Excel permette di intuire il concetto di funzione da N in N: a ogni n corrisponde una e una sola misura dello spessore di carta. L’attivita` fornisce dunque un esempio che potra` essere ricordato al momento della sistematizzazione del concetto di funzione. 3 Potrebbe essere necessario guidare gli studenti nel terzo quesito indicando loro la possibilita` di inquadrare il numero 5 fra potenze di 2 (2 e 8).


191


2. Cercare la risposta con Excel. Ragionando con un procedimento alla rovescia (dimezzando la distanza Terra-Luna invece di duplicare lo spessore di carta) si puo` ottenere il seguente risultato con Excel. 4 000 000 000 000 risultati dei successivi dimezzamenti della distanza T- L 2 000 000 000 000 1 000 000 000 000 500 000 000 000 250 000 000 000 125 000 000 000 62 500 000 000 31 250 000 000 15 625 000 000 7 812 500 000 3 906 250 000 1 953 125 000 976 562 500 488 281 250 244 140 625 122 070 313 61 035 156 30 517 578 15 258 789 7 629 395 3 814 697 1 907 349 953 674 476 837 238 419 119 209 59 605 29 802 14 901 7451 3725 1863 931 466 233 116 58 29 15 7 4 2 1 0

192

operazione n. ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43



3. Sviluppare la dimostrazione. Prendiamo il decimo di mm come unita` di misura; ogni piegatura produce una moltiplicazione per 2 dello spessore precedente, quindi: 1a piegatura ) spessore ¼ 1 2 (in decimi di mm) 2a piegatura ) spessore ¼ 1 2 2 ¼ 22 3a piegatura ) spessore ¼ 1 2 2 2 ¼ 23 .....................................................................................

n-esima piegatura ) spessore ¼ 2n Si tratta quindi di individuare n tale che 2n sia uguale alla distanza TerraLuna. 400 000 km ¼ 400 000 000 000 mm ¼ 4 000 000 000 000 decimi di mm 4 000 000 000 000 ¼ 4 1012 ¼ 22 212 512 ¼ 214 512 Dato che questa distanza non si scrive come una potenza di 2, scriviamo una approssimazione di 214 512 con potenze di 2: 412 < 512 < 812 Cioe`: 224 < 512 < 236 Quindi: 214 224 < 214 512 < 214 236 In conclusione: 238 < 214 512 < 250 Possiamo dedurre che il numero n cercato e` compreso fra 38 e 50. Quindi si puo` rispondere che per raggiungere la Luna e` sufficiente effettuare meno di 50 piegature del foglio.


193


Di corsa al concerto Elvis abita nell’isola Blu, che dista 6 km dalla costa, e vuole andare al concerto del suo gruppo preferito che si tiene questa sera alla Casa della Musica, situata sul continente (fig. 1). Ha il tempo contato e la sua vecchia barca a motore va soltanto a 8 km/h, mentre egli, che e` abbastanza bravo nella corsa a piedi, riesce a tenere una media di 10 km/h. Fa quindi i suoi calcoli per ideare un percorso misto (via mare þ corsa a piedi lungo la costa) che gli permettera` di arrivare al concerto nel tempo piu` breve possibile. Prova a individuare anche tu quale sara` il suo punto di attracco sulla costa per iniziare la sua corsa a piedi. Ecco la mappa del luogo:

Casa della Musica

la distanza dallÕisola alla costa e` BH ¼ 6 km;

15 km

la distanza da H alla Casa della Musica e` HC ¼ 15 km.

x

H

A

6 km

C punto d’attracco

B

isola Blu

Figura 1

In questa attivita` determina anche tu il punto di attracco piu` favorevole. 1. Chiama x la distanza HA ed esprimi in funzione di x le due distanze: BA ¼

.............................................................................................................................................................

AC ¼ ............................................................................................................................................................. 2. Ora scrivi il tempo impiegato per coprire tutto il percorso, in funzione di x. distanza Ricorda che: velocita` media ¼ tempo

tempo y ¼ tempo in barca þ tempo a piedi ¼

.........................................................................................................................................

3. Disegna con GeoGebra il grafico della funzione y ¼ f ðxÞ e trova graficamente la risposta al problema, cioe` la distanza x che corrisponde al tempo minimo. Per precisare la tua lettura, seleziona un punto sulla curva e muovilo con il puntatore per capire quale ascissa x rende minimo il tempo y. (Arrotonda il risultato a un numero intero.) 4. Determina il tempo preciso (in ore e minuti) impiegato da Elvis per percorrere la strada piu` veloce. (Usa il valore di x determinato al punto 3 e la funzione f(x).)

194


Di corsa al concerto

Di corsa al concerto

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: seconda o terza Strumenti: GeoGebra Prerequisiti Teorema di Pitagora Velocita` media Unita` di misura: ore e minuti Obiettivo dell’attivita` Modellizzazione di un problema con una funzione non polinomiale Interpretazione del grafico per individuare un minimo Concetti soggiacenti (eventualmente sviluppabili) Ritrovare il risultato con l’uso della derivata

3 Il problema vuole invitare a una modelizzazione che non si traduce nella solita equazione di primo o secondo grado (o sistema), in questo caso e` il concetto di funzione e l’interpretazione del suo grafico che porta a una soluzione. 3 In mancanza dello strumento della derivata per individuare un minimo, il problema avra` una risoluzione grafica.


195


1. BA ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 36 þ x2 e AC ¼ 15

x.

2. La distanza BA e` percorsa in barca alla velocita` di 8 km/h, la distanza AC a piedi alla velocita` di 10 km/h. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi BA AC 36 þ x2 15 x þ ¼ þ Quindi il tempo totale del percorso risulta: 8 10 10 8 3. Inserimento in GeoGebra (fig. 2): f ðxÞ ¼ sqrt (36 + x^2) / 8 + (15 - x) / 10 Tracciando il punto A mobile sulla curva e muovendolo col puntatore, si individua graficamente un minimo per 7 < x < 9, quindi arrotondando, risulta che il valore di y e` minimo per x ¼ 8 e` il valore che annullerebbe la pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5x 4 x2 þ 36 0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi derivata f ðxÞ ¼ . 40 x2 þ 36 – Oggetti liberi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 36þx 2 15 x f ðxÞ ¼ þ 10 8

y 6

– Oggetti dipendenti A ¼ (8, 1.95)

4

2

–20 –10

0

A

10

20

30

40

50

x

Figura 2

Il docente potra` eventualmente chiedere agli studenti di precisare le limitazioni per x (compreso fra 0 e 15) e di dedurre la parte del grafico che rappresenta effettivamente il problema reale. 4. Per x ¼ 8, f ð8Þ ¼

39 ¼ 1,95 ¼ 1 ora e 57 minuti. 20

Si puo` chiedere alla classe se la soluzione del problema dipenda dalla distanza HC (15 km). Per indagare in modo sperimentale quale risposta dare, gli studenti possono variare la costante 15 nell’espressione della funzione f ðxÞ e notare che il minimo non cambia... quindi il punto di attracco piu` favorevole rimane lo stesso. Se la classe e` a conoscenza del concetto di derivata, si ritrova la risposta 15 nel fatto che 15 interviene solo nel termine costante della funzione. 10

196



Il foglio A4 e i suoi progenitori Quali sono le misure di un foglio di carta A4? In Europa le dimensioni dei fogli da disegno (A3) o di quelli da lettera (A4) sono standardizzate secondo la convenzione ISO21 e non sono state scelte a caso. In effetti un foglio A3 tagliato a meta` (trasversalmente) genera un foglio A4 che conserva le proporzioni di quello di partenza, cioe` il rapporto tra l’altezza e la base rimane sempre lo stesso. Questo processo inizia all’origine con il formato A0 che genera A1, che a sua volta genera A2 ecc. (fig. 1).

h

A0

b

A1

h 2

h 2

A2

b 2

b 2

A3

h 4

h 4

A4 b 4

b Figura 1

Tanto maggiore e` il numero che indica il formato (dopo la A), tanto piu` piccolo e` il foglio! Si potrebbe continuare all’infinito ottenendo fogli sempre piu` piccoli. Il foglio A0 (fig. 2) che genera tutti gli altri piu` piccoli, oltre a mantenere le proporzioni dei lati quando lo si taglia in due, ha una caratteristica molto semplice ed elegante: la sua area misura 1 m2 .

Figura 2


197


1. Misura con un righello un foglio A4 e fornisci le sue misure in cm, approssimando al meglio al mm. Altezza ¼

Base ¼

.........................................................

.........................................................

2. Ora ricalcola le sue misure ragionando a partire dal foglio d’origine A0 (puoi scrivere un sistema per determinare b e h del foglio A0) e calcolando via via le misure dei formati A0, A1, A2, A3, A4. Scrivi per ogni formato le dimensioni precise usando i numeri irrazionali, poi scrivine un’approssimazione al mm usando la calcolatrice o il foglio elettronico. Al termine, verifica che in ogni foglio il rapporto fra le dimensioni rimanga invariato. A0 irraz.

A1

appros.

irraz.

A2

appros.

irraz.

A3

appros.

irraz.

appros.

A4 irraz.

appros.

altezza base

Rapporto

altezza ¼ ........................................ base

3. Proponiamo ora un quesito geometrico.

Prendi un foglio della famiglia A0, A1, A2... e piegalo (fig. 3) in modo da portare la base di lunghezza b lungo l’altro bordo. Chiamiamo d la lunghezza della piega cosı` formata (fig. 4).

Se ripieghi il foglio in modo da portare il bordo di lunghezza h lungo questa piega (fig. 5) vedrai che coincidono!

Dimostralo utilizzando le conoscenze che hai appena acquisito! b

b

h d

h d

b Figura 3

198

Figura 4

Figura 5


Il foglio A4 e i suoi progenitori

Il foglio A4 e i suoi progenitori

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: seconda Strumenti: foglio di calcolo (Excel) o calcolatrice Prerequisiti Radice di indice 4 e semplici calcoli sui radicali Sistemi di secondo grado in x, y Teorema di Pitagora Obiettivo dell’attivita` Studio di figure simili presenti nella vita reale Uso della radice quarta per risolvere un problema Manipolazione di numeri irrazionali e loro approssimazioni Concetti soggiacenti (eventualmente sviluppabili) Successione di tipo ðan , bn Þ

2.

A0

h

b

A1

h 2

b

8 bh ¼ 1 > > < h b Scrivendo le proprieta` del formato A0 si ottiene il sistema: ¼ > h b > : 2 pffiffiffi Il sistema ammette per soluzione positiva: h ¼ 4 2

p ffiffiffi 4 1 8 ffiffiffi ¼ b¼ p 4 2 2

Quindi si puo` compilare la tabella. A0

A1

irraz.

appros.

altezza

ffiffiffi p 4 2

1,189

base

p ffiffiffi 4 8 2

0,841

irraz. p ffiffiffi 4 8 2 p ffiffiffi 4 2 2

A2

appros. 0,841 0,595



A3

appros. 0,595 0,420


A4

appros. 0,420 0,297


appros. 0,297 0,210

199


Le approssimazioni al mm possono essere calcolate con una calcolatrice oppure con un foglio di calcolo come esposto qui sotto. A

B

C

D

E

F

G

A0

A1

A2

A3

A4

¼RADQ(B2)

¼C3

¼D3

¼E3

¼F3

¼1/C2

¼C2/2

¼D2/2

¼E2/2

¼F2/2

C

D

E

F

G

A0

A1

A2

A3

A4

1,189

0,841

0,595

0,420

0,297

0,841

0,595

0,420

0,297

0,210

1 2

h

3

b

A

¼RADQ(2)

B

1 2

h

3

b

1,414

Le dimensioni del foglio A4 sono quindi 21 cm 29,7 cm. Il rapporto

pffiffiffi altezza e` sempre 2 ’ 1,41. base

Si osserva che il foglio elettronico mette in evidenza la successione a due termini: 8 ffiffiffi p 8 4 > < h0 ¼ 2 < hnþ1 ¼ bn e 1 > : bnþ1 ¼ hn : b0 ¼ h0 2 3. Risposta al quesito geometrico. b

b

h d

h d

b

d e` la diagonale di un quadrato di lato b quindi, per il teorema di Pitagora, pffiffiffi d ¼ b 2. pffiffiffi pffiffiffi h ¼ 2, quindi h ¼ b 2. Dai risultati precedenti sui fogli di tipo An, b Segue che h ¼ d.

200



Il sistema articolato ABC e` un triangolo isoscele. Un sistema articolato (tipo un metro a stecche di legno in fig. 1) composto da 5 aste PT-TQ-QS-SR-RB di uguale lunghezza si muove mantenendo sempre i vertici P, Q, R sul lato BC e T, S, B sul lato AB. Si cerca la condizione perche´ l’ultima asta PT coincida con la base AC del triangolo isoscele. Dipende dalla lunghezza delle aste? Dai lati del triangolo ABC? Dall’ampiezza dell’angolo ABbC? Figura 1

1. Prova a riprodurre il sistema con delle cannucce di plastica, esplora e avanza una congettura. 2. Prova a riprodurre il sistema articolato con GeoGebra in modo che, esplorando, possa variare: la dimensione di AC, spostando il punto A; la lunghezza delle aste, spostando il punto L; l’angolo ABbC, spostando la semiretta BC. A quali condizioni l’ultima asta PT coincide con la base AC (fig. 2)? Sposta la semiretta per modificare l’angolo P

Sposta L per modificare la lunghezza C

Q

O

L R 15,9°

T A

S

B Figura 2

3. Quale congettura ti suggerisce l’esplorazione con GeoGebra? (Suggerimento: manipola la figura fino a ottenere in un primo tempo PT parallelo ad AC, poi...) 4. In conclusione: per ottenere PT e AC coincidenti, che cosa puoi variare e che cosa devi mantenere costante? 5. Dimostra la tua congettura utilizzando le proprieta` geometriche della fig. 2.


201


Il sistema articolato

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: prima o seconda Strumenti: GeoGebra Prerequisiti Triangolo isoscele Teorema dell’angolo esterno Equazioni di primo grado Obiettivo dell’attivita` Uso del compasso per tracciare segmenti congruenti Applicazione di definizioni e teoremi della geometria in un caso concreto Uso delle equazioni per risolvere problemi

Con GeoGebra tracciare (fig. 3): 1. un segmento OL che determinera` la misura delle stecche; 2. due semirette di vertice B e, con una circonferenza di centro B, un triangolo isoscele ABC; 3. un primo segmento EB con compasso di raggio OL, poi sempre con lo stesso compasso i segmenti ES, SQ, QT, TP. X

P 4x

L

O

Q C

4x 2x

2x 3x T

3x A

x S

E x B Figura 3

L’esplorazione fara` capire che conviene far variare l’angolo ABbC fino a quando PT risultera` parallelo alla base AC del triangolo isoscele. Successivamente si muove L fino a far coincidere PT con AC. Alla domanda «che cosa rimane costante?», si intuisce che l’angolo ABbC deve rimanere costante e la sua misura sara` di circa 20 . La dimostrazione si puo` impostare sul teorema dell’angolo esterno e con un’equazione di incognita x pari all’ampiezza dell’angolo ABC. Perche´ PTB sia isoscele dovra` risultare di ampiezza 4x e quindi l’equazione risolutiva sara`: 4x þ 4x þ x ¼ 180 , pertanto x ¼ 20 .

202



Luci e ombre Questa attivita` laboratoriale e` un’introduzione alle trasformazioni geometriche ed e` concepita come propedeutica all’attivita` Simmetria obliqua. Questa unita` didattica e` in particolare rivolta agli studenti del primo anno del liceo scientifico. Prerequisiti: il concetto di «movimento rigido», presentato in modo intuitivo con qualche esempio (ricalcare una figura) e controesempio (deformare una figura su un foglio di gomma), viene assunto come concetto primitivo; la definizione di figure congruenti, cioe` figure che si sovrappongono con un movimento rigido; i criteri di congruenza dei triangoli (teoremi); le rette perpendicolari; la definizione di funzione, le funzioni biettive. In base a questi prerequisiti la definizione di isometria sara`: una trasformazione geometrica che a ogni coppia di punti A e B associa due punti A0 e B0 in modo che il segmento A0 B0 sia congruente ad AB. STRUTTURA del laboratorio:

1. Conversazione clinica (sul concetto di trasformazione geometrica)

Conversazione introduttiva in classe

2. Esperienza (varianti e invarianti nelle trasformazioni geometriche)

1 fase: consegna del lavoro per casa 2 fase: a casa, esperimento e disegno 3 fase: lavoro in gruppo

3. Raccolta e analisi dei risultati

1 fase: sistemazione elenco degli invarianti e dei varianti 2 fase: osservazioni e deduzioni


203


1. La conversazione clinica (20 minuti, tutta la classe) DOMANDE DELL’INSEGNANTE

Che cosa significa per voi il termine «trasformazione geometrica»? Che cosa si trasforma? Conoscete degli esempi concreti tratti dalla vita quotidiana o esaminati nei vostri studi precedenti? (Insistere sugli esempi della vita quotidiana, per esempio fare notare la sagoma di una finestra proiettata dal sole nella stanza e chiedere perche´ si riconosce la finestra... questo esempio permette di trattare piu` agevolmente l’esperienza da fare successivamente a casa.) Perche´ si usa il termine «trasformare» invece che, per esempio, «sostituire»? (Nella sostituzione si puo` anche non avere piu` traccia della figura iniziale, mentre nella trasformazione c’e` sempre qualche elemento che la ricorda... gli invarianti!) ESEMPI DEGLI STUDENTI

Alcune figure riflesse in un specchio deformante. Le ombre di persone e oggetti. Una fotografia. Il riflesso di una finestra illuminata dal sole, sul pavimento. I triangoli simili studiati alla scuola secondaria di primo grado.

PRIME CONSIDERAZIONI

Una trasformazione altera alcune proprieta` della figura di partenza, ma... ne mantiene altre che permettono di riconoscerla. Si puo` elencare che cosa rimane invariato nella trasformazione della figura e che cosa cambia.

204


Luci e ombre

2. L’esperienza 1a FASE: consegna del lavoro a casa

(15 minuti, tutta la classe) 1. Spiegazioni su come si prepara una mascherina di cartone (23 28 cm) all’interno della quale si ritagliano alcune figure geometriche (fig. 1Þ: Appoggiando la maschera sagomata di cartone sul vetro di una finestra in una giornata di sole, osservare e ricopiare la proiezione delle figure su un foglio bianco appoggiato su un piano circa perpendicolare al vetro. Stessa operazione con le proiezioni ottenute ponendo una torcia elettrica dietro (e in alto) la maschera.

Figura 1

2. Riproduzione su un foglio a quadretti di un omino che gioca a calcio (fig. 2). (Se possibile preparare preventivamente la figura su un foglio a quadretti e darne fotocopia agli studenti... oppure realizzare la figura con GeoGebra.) r

P

P'

Figura 2

Chiedere di riprodurre (a casa) la figura, punto per punto, prima con una simmetria obliqua di asse r, poi con una simmetria ortogonale di asse r (con r perpendicolare alle righe del foglio).


205

` laboratoriali Attivita 2a FASE: a casa, esperimento e disegno

(40 minuti, individuale, a casa) 1. Osservare le proiezioni delle figure della mascherina: – con i raggi del sole (raggi luminosi paralleli), in fig. 3;

Figura 3

– con la torcia elettrica (sorgente puntiforme dei raggi luminosi), in fig. 4.

Figura 4

Tracciare, su un foglio bianco, le figure proiettate (seguendone i bordi con un pennarello). 2. Trasformare la figura dell’omino con simmetria obliqua di asse r (fig. 5) e con simmetria ortogonale (fig. 6).

Figura 5

Figura 6

Si ottengono due figure trasformate molto diverse l’una dall’altra. 3a FASE: lavoro di gruppo

(50 minuti, gruppi di 3 studenti, in classe) A gruppi di 3, in classe, gli studenti confrontano gli esperimenti fatti a casa e osservano le figure trasformate con: proiezione con luce puntiforme; proiezione con raggi solari; simmetria obliqua; simmetria ortogonale. Per ogni trasformazione concordano, dopo una discussione all’interno del gruppo, un elenco delle proprieta`: INVARIANTI

206

VARIANTI


Luci e ombre

3. La raccolta e l’analisi dei risultati (50 minuti, tutta la classe) 1a FASE: sistemazione elenco degli invarianti e dei varianti

(30 minuti, tutta la classe) L’insegnante ricostruisce alla lavagna, con la collaborazione di tutti, sulla base di quanto emerso nella discussione di gruppo, un quadro riassuntivo dei risultati dei lavori di gruppo. PROIEZIONE CON LUCE PUNTIFORME (DA UN PIANO P IN UN PIANO P 0 ) invarianti retta ! retta (allineamento dei punti)

varianti posizione lunghezza segmenti ampiezza angoli parallelismo forma cerchio (! ellisse) area

PROIEZIONE CON RAGGI SOLARI (DA UN PIANO P IN UN PIANO P 0 ) invarianti

varianti

retta ! retta (allineamento dei punti)

posizione

parallelismo

lunghezza segmenti

rapporto tra segmenti paralleli

ampiezza angoli forma cerchio (! ellisse) area

SIMMETRIA OBLIQUA DI DIREZIONE d (DA UN PIANO P IN SE´ ) invarianti

varianti


posizione

parallelismo

lunghezza segmenti

rapporto tra segmenti paralleli

ampiezza angoli

lunghezza segmenti di direzione d

forma cerchio (! ellisse)

direzione d

ordine circolare dei punti (orario o antiorario)

area SIMMETRIA ORTOGONALE (DA UN PIANO P IN SE´ ) invarianti

varianti


posizione

parallelismo


lunghezza segmenti ampiezza angoli forma cerchio area Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

207

` laboratoriali Attivita 2a FASE: osservazioni e deduzioni

(20 minuti, tutta la classe) Una trasformazione trasforma: una figura in una figura (esperienza con la maschera di cartone); un punto in un punto (trasformazione punto per punto dell’omino). Dunque una trasformazione e` una funzione del piano. Una trasformazione puo` essere una funzione: da un piano in un altro (proiezioni dal piano della maschera al piano del foglio); da un piano in se´ (simmetrie dal piano del foglio in se´). Questa semplice constatazione elimina la difficolta` generalmente incontrata dagli studenti quando si parla di trasformazione dal piano in se´. La conservazione della distanza e` legata: alla conservazione dell’ampiezza degli angoli; alla conservazione della forma della figura. Il raggruppamento costante «lunghezza dei segmenti – ampiezza degli angoli – forma del cerchio» nei varianti o negli invarianti fa intuire che la conservazione dell’ampiezza degli angoli e della forma del cerchio e` strettamente collegata alla conservazione della distanza. Si dimostra alla lavagna questa intuizione.

208



Moltiplicazione egizia... sommare per moltiplicare!

Figura 1 Un particolare del papiro Rhind (1650 a.C.) uno dei principali documenti della matematica egizia.

In una conferenza il professore G.T. Bagni ha presentato queste diapositive per spiegare il metodo utilizzato dagli Egizi per moltiplicare due numeri naturali (fig. 1). Ha sottolineato come questo metodo consentiva di moltiplicare due naturali qualsiasi sfruttando solo il raddoppio e l’addizione! Moltiplicazione e notazione numerica presso gli Egizi n Eseguiamo 13 18 (utilizzando la notazione numerica originale egizia):

n n I numeri sono scritti in notazione additiva iniziando dalle unita` ðjÞ; poi le decine ð\Þ e le centinaia ð Þ.

Una moltiplicazione effettuata... «sommando»: il metodo del raddoppio n Eseguiamo 13 18 (utilizzando la notazione numerica moderna):

n

(8 + 4 +1)

1 2 4 8

18 36 72 144

13

234

(basta così: 8 × 2 = 16 > 13) (144 + 72 + 18)

n Gli Egizi moltiplicavano numeri anche molto grandi utilizzando sempre l’addizione.


209


1. Leggi con attenzione l’esempio fornito ð13 18Þ cercando di capire il metodo utilizzato: che cosa si scrive nella colonna di sinistra e in quella di destra? Come si ottiene il risultato cercato? Riproponi questo metodo su un altro esempio a tua scelta. 2. Scrivi la moltiplicazione 13 18 con una espressione in riga che traduca il metodo egizio. 3. Quali sono le proprieta` (dei naturali o delle operazioni) che sono utilizzate in questo metodo? 4. Confronta i vantaggi e gli inconvenienti che presentano il metodo egizio e il metodo «moderno» di moltiplicazione in colonna.

210




PER IL DOCENTE

Classe consigliata: prima Strumenti: eventualmente foglio di calcolo (Excel) Prerequisiti Potenze di 2 Distributivita` Obiettivo dell’attivita` Comprensione di un testo matematico Riconoscimento di un algoritmo Proprieta` delle operazioni ( e þ) Concetti soggiacenti (eventualmente sviluppabili) Base 2

2. Analizzare il metodo egizio per eseguire 13 18. Dopo avere preparato la seguente tabella, si segnano le potenze di 2 che sommate danno 13, poi si sommano nella colonna di destra i prodotti corrispondenti. Questi ultimi sommati danno il risultato cercato. potenze di 2 non superiori a 13

prodotto di 18 per la potenza 2n (basta raddoppiare il precedente)

)1

18 (

2

somma:

36

)4

72 (

)8

144 (

13

somma:

234

Esaminare poi il contenuto matematico. 13 18 ¼ ð1 þ 4 þ 8Þ 18 ¼ (ogni naturale si scrive come la somma di potenze di 2) ¼ 18 þ 72 þ 144 ¼ ¼ 234

(distributivita` della moltiplicazione sull’addizione)

Considerare infine quanto segue. «Ogni naturale si scrive come la somma di potenze di 2» significa che ogni numero puo` essere scritto in base 2. 13 ¼ 1 20 þ 0 21 þ 1 22 þ 1 23 ¼ ð1101Þ2


211


Pascal gioca a dadi La teoria della probabilita` nasce, all’inizio del XVII secolo, dagli studi riguardanti la soluzione di alcuni problemi sorti nei vari giochi d’azzardo, quali per esempio il gioco dei dadi. I nobili, infatti, facendo di queste attivita` uno dei propri passatempi preferiti, affidavano ai vari studiosi del tempo il compito di risolvere i loro quesiti. Nel 1654, Pascal (fig. 1) risolse il seguente problema che gli era stato posto dal Cavaliere De Me´re´, suo amico:

Figura 1

«Mi sembra che il lancio di 3 dadi dia piu` frequentemente la somma 11 che 12. Eppure questi due risultati si ottengono ognuno a partire da 6 combinazioni!». 1. Su un foglio di calcolo simula 500 lanci di 3 dadi (usa la funzione «casuale.tra») e calcola la somma dei punti ottenuti sui 3 dadi, poi le frequenze assolute e relative (su 500 lanci) dei vari risultati ottenuti. Puoi preparare la seguente tabella con 500 righe per i lanci. 1 dado

2 dado

3 dado

somma 3 dadi

risultati possibili (fra 3 e 18)

frequenza

frequenza relativa

..................

..................

..................

..................

..........................

..........................

..........................

2. Cliccando ripetutamente sul tasto F9 (per rinnovare automaticamente la simulazione), prova altre simulazioni (per esempio 30). Riporta in questa tabella quante volte, su 30, ottieni una frequenza maggiore per 11 o per 12, cioe` che esca piu` frequentemente la somma 11 o la somma 12. L’osservazione di De Me´re´ ti sembra fondata? n. di simulazioni con frequenza maggiore per 11

212

n. di simulazioni con frequenza maggiore per 12


Pascal gioca a dadi

3. Dopo avere sperimentato con il foglio di calcolo quello che aveva osservato De Me´re´, proviamo a capirne il motivo con il ragionamento. Scrivi nelle tabelle sottostanti le 6 terne che danno somma 11 e quelle che danno somma 12 e le loro possibili permutazioni. terne che danno somma 11

permutazioni

terne

permutazioni

terne

terne che danno somma 12

4. Calcola la probabilita` di ottenere somma 11 e quella di ottenere somma 12 usando la formula: pðeventoÞ ¼

n: terne favorevole all0 evento n: tutte le terne possibili

pðsomma 11Þ ¼ .................................................................. pðsomma 12Þ ¼ .................................................................. 5. Come puoi notare, la differenza fra i due risultati e` esigua e ci sono volute tante simulazioni perche´ i dati statistici diano una risposta che si avvicini alla previsione probabilistica. Ritrovi in questa attivita` la legge empirica del caso: «In una serie di prove ripetute nelle medesime condizioni, al crescere del numero n delle prove, la frequenza relativa di un evento tende a coincidere con la sua probabilita`».


213


Pascal gioca a dadi

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: prima o seconda Strumenti: foglio di calcolo (Excel) Prerequisiti Concetto di terna Combinazioni e permutazioni di 3 elementi Obiettivo dell’attivita`

Capire la differenza fra dati statistici e previsione probabilistica Concetto di frequenza assoluta e relativa Costruzione di istogrammi Approccio alla legge empirica del caso

1. Per la simulazione del lancio dei 3 dadi usare le funzioni: CASUALE.TRA(1;6) per simulare il lancio di ogni dado; SOMMA per sommare i punti dei 3 dadi; CONTA.SE per trovare le frequenze delle varie somme possibili da 3 a 18. La somma delle frequenze deve dare il numero totale dei lanci (per esempio 500). Successivamente la frequenza relativa di un evento sara` quindi uguale al rapporto fra la sua frequenza e il numero totale di lanci. premere F9 piu` volte per ripetere la simulazione

214

1 dado

2 dado

3 dado

somma

6

6

4

16

3

7

1,40%

5

2

5

12

4

10

2,00%

5

3

5

13

5

15

3,00%

6

1

3

10

6

25

5,00%

4

2

3

9

7

47

9,40%

2

3

2

7

8

38

7,60%

2

4

4

10

9

49

9,80%

2

2

3

7

10

56

11,20%

3

2

3

8

11

65

13,00%

2

2

4

8

12

54

10,80%

6

5

4

15

13

52

10,40%

6

2

5

13

14

31

6,20%

5

5

4

14

15

21

4,20%

4

2

5

11

16

21

4,20%

6

6

2

14

17

9

1,80%

2

3

6

11

18

0

0,00%

4

1

2

7

500

100,00%

3

2

2

7

.....

.....

.....

.....

risultati possibili

frequenza

frequenza relativa


Pascal gioca a dadi

2. Con pochi lanci non appare subito la preponderanza della somma 11, ma al ripetersi delle simulazioni (questo avviene automaticamente ogni volta che viene premuto il tasto F9) dovrebbe stabilizzarsi il leggero vantaggio dell’11 sul 12. 3. Le varie combinazioni dei 3 elementi che danno somma 11 (poi 12) possono essere introdotte dal docente e anche le relative permutazioni. Per esempio: 146 – 164 – 416 – 614 – 461 – 641. frequenza relativa

combinazioni per ottenere somma 11 n. di permutazioni per ottenere somma 12 n. di permutazioni

146

155

236

245

335

344

6

3

6

6

3

3

156

246

255

336

345

444

6

6

3

3

6

1


27

terne su un totale di 216 terne

12,5%

25

terne su un totale di 216 terne

11,6%

215


Quanti saremo nel 2050? Secondo il rapporto delle Nazioni Unite, nel 2013, la popolazione mondiale (fig. 1) ha raggiunto i 7,2 miliardi e dovrebbe raggiungere gli 8,1 miliardi nel 2025, i 9,6 miliardi nel 2050 e i 10,9 miliardi nel 2100.

Figura 1

Alla fine di febbraio 2005 le Nazioni Unite hanno pubblicato il nuovo «Rapporto 2004» relativo alle previsioni demografiche per il futuro. A oggi riteniamo che l’evoluzione numerica della nostra specie sulla Terra abbia registrato i seguenti andamenti: alla nascita di Cristo dovevano esserci dai 170 ai 330 milioni di esseri umani; intorno al 1650 tra i 500 e i 600 milioni; i demografi concordano che nel 1804 e` stato raggiunto il primo miliardo; nel 1900, all’inizio del secolo scorso, eravamo 1,6 miliardi; nel 1927 (123 anni dopo il 1804) e` stato raggiunto il secondo miliardo; nel 1960 (dopo 33 anni) e` stato raggiunto il terzo miliardo; nel 1974 (dopo 14 anni) e` stato raggiunto il quarto miliardo; nel 1987 (dopo 13 anni) e` stato raggiunto il quinto miliardo; nel 1999 (dopo 12 anni) e` stato raggiunto il sesto miliardo. Nel 2007 la popolazione mondiale ha raggiunto i 6,7 miliardi di abitanti. Consideriamo le variazioni del tasso di crescita. Dalla prima comparsa dell’uomo sulla Terra sino a quasi trecento anni fa, la popolazione mondiale e` cresciuta a un tasso annuale non molto superiore allo zero (0,002% cioe` 2 per 100 000). Naturalmente questo tasso non e` stato stabile, ma ha subito le influenze di catastrofi, malattie ecc. e non e` stato uguale nelle diverse aree del mondo. Dal 1750 (anno con cui si indica solitamente l’inizio della Rivoluzione industriale) il tasso di crescita della popolazione mondiale e` accelerato di 150 volte, dal 0,002% al 0,3% all’anno. 216


Quanti saremo nel 2050?

Dal 1950 il tasso e` di nuovo aumentato giungendo a circa l’1% annuo. Il tasso ha continuato a crescere sino agli anni Settanta del secolo scorso, quando ha raggiunto il valore massimo del 2% annuo. Attualmente il tasso di crescita della popolazione mondiale si e` stabilizzato sul valore di 1,15% annuo. Valutiamo ora il parere di un esperto. Quale sara` il futuro della popolazione mondiale? «Le nostre ricerche prevedono un picco nel 2070, poi esiste un 85% di probabilita` che la popolazione smettera` di crescere. Saremo 9 miliardi nel 2070, ma 8,4 miliardi nel 2100. Un miliardo in meno rispetto a una stima Onu che parte dal presupposto che i tassi di fertilita` si stabilizzeranno a 2 figli per donna; ma la maggior parte dei Paesi che hanno popolazioni in calo sono scesi al di sotto di tale livello raggiungendo un tasso di fertilita` compreso tra l’1,5 e l’1,8 figli per donna», spiega Wolfgang Lutz, gia` segretario dell’International Union for the Scientific Study of Population, che ha di recente realizzato uno studio pubblicato su Nature intitolato «Come sara` distribuita la popolazione?». «Vi sara` una ridistribuzione rispetto ai giorni nostri. La popolazione dell’Europa passera` dall’attuale 12% circa al 6% entro il 2100, quella dell’Africa salira` dall’attuale 13% circa al 22%». 1. Metti un po’ d’ordine nei dati: riscrivi in Excel l’andamento dei numeri della popolazione mondiale a seconda degli anni e realizza un grafico. 2. Dal 1960 al 1999 si puo` considerare un tasso medio di crescita della popolazione di 1,8%. Verifica questa affermazione con un ricalcolo della popolazione del 1999, a partire da quella del 1960: come calcoli la popolazione di un anno a partire da quello precedente? Quanto ottieni alla fine per il 1999? Il risultato si avvicina ai sei miliardi dichiarati per il 1999? 3. Sai trovare una formula che ti fornisca direttamente la popolazione dell’n-esimo anno dopo il 1960? n ! formula con n 4. Attualmente il tasso di crescita della popolazione mondiale si e` stabilito sul valore di 1,15%; se questo tasso si mantenesse costante negli anni futuri, quale sarebbe la popolazione mondiale nel 2050? Pensi che la previsione demografica dopo il 2007 si possa fare utilizzando lo stesso tipo di formula e di grafico?


217


Quanti saremo nel 2050?

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: prima o seconda Strumenti: foglio di calcolo (Excel) Prerequisiti Conversioni delle unita` di misura Percentuali Obiettivo dell’attivita`

Comprensione del testo Costruzione e interpretazione di grafici Formula ricorsiva Legge esponenziale

Concetti soggiacenti (eventualmente sviluppabili) Funzione da N in Q

3 Iniziare con una esposizione commentata del testo della scheda (eventualmente proiettare con il videoproiettore) interagendo con la classe intera. 3 Introdurre la costruzione di grafici con Excel. 3 Assegnare il lavoro di gruppo. 1. Andamento dei numeri della popolazione mondiale a seconda degli anni realizzato con un grafico in Excel (fig. 2). anno

miliardi di abitanti

0

0,25

1650

0,55

1804

1

1900

1,6

1927

2

1960

3

1974

4

1987

5

1999

6

2007

6,7

2013

7,2

Variazione della popolazione mondiale fino al 2013 numero di abitanti (miliardi)

8 7 6 5 4 3 2 1 0

500

1000

data

1500

2000

Figura 2

2. Considerando un tasso medio di crescita della popolazione di 1,8% dal 1960 al 1999, gli studenti dovrebbero lavorare sulle celle di Excel con una formula del tipo: cella ¼ cella precedente 1,018 che si puo` tradurre con la notazione Pn ¼ Pn

1

1,018

(popolazione all’anno n in funzione della popolazione all’anno n 1)

ottenendo un risultato per l’anno 1999 molto vicino ai 6 miliardi. 218


Quanti saremo nel 2050? Calcolo della popolazione con tasso medio di crescita dell’1,8% dal 1960 al 1999.

anno

miliardi di abitanti 1960

3

1961

3,054

1962

3,108972

1963

3,164933

1964

3,221902

1965

3,279897

1966

3,338935

1967

3,399036

1968

3,460218

1969

3,522502

1970

3,585907

1971

3,650453

1972

3,716162

1973

3,783053

1974

3,851147

1975

3,920468

1976

3,991037

1977

4,062875

1978

4,136007

1979

4,210455

1980

4,286243

1981

4,363396

1982

4,441937

1983

4,521892

1984

4,603286

1985

4,686145

1986

4,770495

1987

4,856364

1988

4,943779

1989

5,032767

1990

5,123357

1991

5,215577

1992

5,309458

1993

5,405028

1994

5,502318

1995

5,60136

1996

5,702184

1997

5,804824

1998

5,909311

1999

6,015678


219


3. Formula che fornisce direttamente la popolazione dell’n-esimo anno dopo il 1960. n ! formula con n 1960 ! 3 1961 ! 3 1,018 1962 ! 3 1,018 1,018 n-esimo anno dopo il 1960: n ! 3 1,018n Si puo` in questa occasione sottolineare che si tratta di una funzione da N in Q. 4. Stima della popolazione nel 2050. Utilizzando un procedimento analogo a quello del punto 2 (oppure 3) si otterrebbe, con un tasso medio del 1,15%, una popolazione di 10,95 miliardi nel 2050... che non corrisponde alla previsione ONU. La previsione ONU che stima in 9,1 miliardi la popolazione del 2050 e 9,4 miliardi quella del 2100 produce un flesso nel grafico (fig. 3): la crescita non e` piu` esponenziale. anno

miliardi di abitanti

Variazione prevista della popolazione mondiale

0

0,25

1650

0,55

1804

1

12

1900

1,6

10

1927

2

1960

3

1974

4

1987

5

1999

6

2007

6,7

2050

9,6

2100

10,9

numero di abitanti (miliardi)

8 6 4 2 0

500

1000

data

1500

2000

Figura 3

220



Simmetria obliqua Trasformiamo una figura (fig. 1) disegnata con GeoGebra utilizzando una trasformazione geometrica particolare, chiamata simmetria obliqua (definita da un asse a e una direzione d), di cui studieremo alcune proprieta`. Ecco la definizione della simmetria obliqua di asse a e direzione d. P ! P 0 tale che: il segmento PP 0 e` parallelo alla direzione d; l’asse a interseca il segmento PP 0 nel suo punto medio.

a

d O P

S

P'

N L

P

I Q J

H

G

K

E

F

Figura 1

1. Con GeoGebra, traccia la direzione d e l’asse a, poi riproduci la figura casetta þ albero. 2. Trasforma un punto P in P 0 con una simmetria obliqua, come da definizione, poi dal menu «Strumenti» scegli «Crea nuovo strumento» per memorizzare tale costruzione che chiamerai simobliqua. 3. Con la trasformazione simobliqua, trasforma tutti i punti significativi della figura casetta þ albero. Trasforma anche un piccolo parallelogramma con i lati paralleli alla direzione d e all’asse a. Ottieni un figura deformata dove osserverai degli invarianti e dei varianti rispetto alla figura iniziale. Scrivi i risultati delle tue osservazioni in questa tabella, precisando se le varie caratteristiche della figura sono degli invarianti oppure no (usa gli strumenti di GeoGebra per calcolare la lunghezza dei segmenti, l’ampiezza degli angoli, l’area delle figure).


221

` laboratoriali Attivita DALLA FIGURA INIZIALE ALLA FIGURA TRASFORMATA

invariante

variante

allineamento dei punti una retta si trasforma in retta? parallelismo due rette parallele rimangono sempre parallele? area delle figure l’area di una figura rimane uguale? lunghezza dei segmenti la lunghezza di un segmento rimane sempre uguale? ampiezza degli angoli l’ampiezza degli angoli rimane sempre uguale? forma cerchio un cerchio si trasforma in cerchio? ordine circolare dei punti l’ordine orario dei punti di una figura rimane orario?

4. Muovi la retta d fino a renderla perpendicolare all’asse a. La simmetria obliqua diventa la simmetria che conoscevi gia` (la figura sembra riflessa allo specchio). Come risponderesti alle domande della tabella precedente? Ora la simmetria conserva le lunghezze di tutti i segmenti: e` una isometria, la figura ottenuta e` sovrapponibile a quella iniziale (sono congruenti).

Simmetria obliqua

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: prima o seconda Strumenti: GeoGebra Prerequisiti Parallelismo Lunghezza, area Obiettivo dell’attivita` Capire la nozione di invarianti di una trasformazione geometrica non isometrica (ma che conserva l’area), per acquisire con maggiore consapevolezza il concetto di isometria Concetti soggiacenti (eventualmente sviluppabili) Le varie isometrie con GeoGebra, che cosa individua ogni isometria (asse, vettore, centro e angolo)

222


Simmetria obliqua

La figura si deforma, cambiano le misure dei segmenti e gli angoli, ma si mantiene il parallelismo dei segmenti e l’area di una figura rimane la stessa (fig. 2)! a

d O S

P

E1

P'

Area di p1 = 9.95

Area di p = 9.95 1.78 1.78 P

D1

N L

1.24

2.52

1.78

1.78

I Q

2.67

2.46

H

1.27 F1

Area di UVW = 1.34

G

2.32

B1

C1

W

Area di IHG = 1.34 J

2.8

1.78

U

Area di EFGH = 5.38

V

Area di TMVU = 5.38

A1

3.69

K E

F

T

M

Z

Figura 2

I 5 «rami» dell’albero (raggi del cerchio) hanno diverse utilita`, permettono una osservazione sulle lunghezze: hanno la stessa lunghezza inizialmente, ma non nella figura trasformata e i 5 punti sono utili per ottenere con GeoGebra una conica per 5 punti. Con la funzione area GeoGebra si scopre che tutte le aree si conservano (muro, tetto, chioma dell’albero). Si osservano quindi i varianti e gli invarianti nella simmetria obliqua. SIMMETRIA OBLIQUA DI DIREZIONE d invarianti

varianti


lunghezza segmenti

parallelismo

ampiezza angoli

lunghezza segmenti di direzione d

forma cerchio (! ellisse)

area



223


Con l’asse e la direzione perpendicolari fra di loro (fig. 3), la simmetria obliqua diventa simmetria (ortogonale), che conserva la lunghezza e di conseguenza gli angoli (questa ultima osservazione puo` essere dimostrata insieme agli studenti). E` un esempio di isometria. d a

O P 1.78

N L

1.78

S

1.78 P'

P

1.78 J

2.67

1.78

I Q

H

G D1

2.32

U

W

C1

1.78

K E

F

1.78

T

E1

B1 1.78

1.78 V

1.78 A1

2.67

M

F1

Z

Figura 3

Dopo questa osservazione si puo` utilizzare dal menu di GeoGebra la simmetria per trasformare una figura qualsiasi e notare che GeoGebra chiede come elemento definente della simmetria soltanto l’asse (la direzione e` automaticamente perpendicolare).

224



Strade e sapone Ecco un problema che sembra semplice, ma che puo` mettere in difficolta` anche un potentissimo computer: come si fa a collegare fra loro piu` citta` con una rete stradale (fig. 1) che sia la piu` breve possibile? Noi studieremo il caso particolare di 4 citta` disposte, per semplificare il problema, ai quattro vertici di un quadrato di lato 1 unita`. L’unica regola e` che deve risultare possibile, a partire da una citta`, raggiungere le altre tre. Figura 1

1. Si potrebbe pensare a questa prima semplice costruzione (fig. 2). Questa rete stradale, di lunghezza 3 unita`, pero` non e` assolutamente la piu` breve possibile per collegare le 4 citta`. Figura 2

2. Meglio questa soluzione che utilizza le diagonali del quadrato (fig. 3). In questo caso, qual e` la lunghezza della rete stradale?

Figura 3

A

B

D

C

A

B

D

C

3. A questo punto ci si chiede se l’introduzione di piu` «incroci» stradali potrebbe migliorare la situazione... ma come? Una risposta viene data da un procedimento che usa l’acqua e il sapone (fig. 4)!

Figura 4

Prendiamo due placche di plexiglas parallele mantenute alla stessa distanza da 4 pioli piazzati ai 4 vertici di un quadrato (fig. 5). Ogni volta che si immerge questo sistema nell’acqua saponosa, fra i pioli si forma una pellicola (come per una bolla di sapone) la cui superficie e` la piu` piccola possibile. Capiamo che questo ci offre un’idea per risolvere il nostro problema relativo alla rete stradale!

Figura 5

A

Questa costruzione che presenta due incroci con ognuna delle 3 strade a 120 fornisce in effetti il percorso piu` breve (fig. 6).

120°

D Non lo dimostriamo... ma calcola la sua lunghezza e verifica che e` piu` corta rispetto ai due precedenti tentativi. Figura 6 Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

B 120° C

225


Strade e sapone

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: seconda Prerequisiti Radice quadrata e semplici calcoli sui radicali Teorema di Pitagora Triangoli 30 - 60 - 90 Obiettivo dell’attivita` Calcoli con i radicali Ordine fra numeri irrazionali

A

B

D

C

pffiffiffi 2. Lunghezza della rete stradale ¼ 2 diagonali ¼ 2 2 3. Lunghezza della rete stradale ¼ 4AF þ FE dove: 1 AF ¼ ipotenusa di un triangolo 30 - 60 - 90 ¼ pffiffiffi 3 1 FE ¼ 1 2IF ¼ 1 pffiffiffi 3 Ne segue che: 4 rete stradale 4AF þ FE ¼ pffiffiffi þ 1 3 1þ

pffiffiffi 1 3 pffiffiffi ¼ 1 þ pffiffiffi ¼ 1 þ 3 3 3

pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3 < 2 2 ) 2 þ 6 < 4 ) 8 þ 2 12 < 16 ) 3 < 2 ) 3 < 4 vero! A

1 2 I

D

226

B 1 3 1 2 3

F

E

α = 120°

1–1 3

C



Taglio della torta o... rette nel piano Vorresti tagliare una torta e contare quante parti (non necessariamente uguali) ottieni in base al numero di tagli (fig. 1). Geometricamente equivale a tagliare un piano con n rette.

Figura 1

1. Traccia 1, 2, 3, 4 rette nel piano e conta quante parti di piano ottieni in base al numero di rette tracciate. Come devi disegnare le rette perche´ il numero di parti ottenute sia massimo? 2. Continua ad aumentare il numero di rette e costruisci una tabella per contare il numero di parti di piano in funzione del numero di rette. Osservi una legge che permetterebbe di continuare a riempire la tabella senza fare tutti i disegni? Formula una congettura. 3. Prova a trovare una giustificazione, anche grafica, a questa congettura. 4. Prova a esprimere PðnÞ in funzione di n, incominciando da P(0), P(1), P(2), ... (Suggerimento: ti puo` essere utile ricordare la formula di Gauss per la somma dei primi n numeri naturali.) 5. Traccia con Excel il grafico della funzione PðnÞ. Quale curva riconosci? Perche´?


227


Taglio della torta o... rette nel piano

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: prima o seconda Strumenti: GeoGebra Prerequisiti Formula di Gauss per la somma dei primi n numeri naturali Obiettivo dell’attivita` Sapere osservare e generalizzare, definizione ricorsiva Funzione da N in N, grafico di una funzione Eventualmente riconoscere una parabola come grafico di un polinomio di secondo grado

1. Ogni retta deve intersecare tutte le altre, senza mai passare per un punto d’intersezione gia` esistente (fig. 2). 3 1

2

1

1

2 4

Figura 2

3

6

8 3

5

2

1 11

7

4

9 10

6

2. Formulare la seguente generalizzazione: PðnÞ ¼ Pðn

4

numero di parti di piano PðnÞ

0

1

1

2

2

4

3

7

5

+ =

7

1Þ þ n

numero di rette n

4

2

5

11 16

3. Avanzare una possibile interpretazione grafica. Disponendo, per esempio, 5 rette in ordine di pendenza, si osserva che la sesta retta introduce 6 nuove parti di piano che si aggiungono alle precedenti (fig. 3). 6

6a retta 1

2

3

4

5

Figura 3

228


Taglio della torta o... rette nel piano

4. Pð0Þ ¼ 1 Pð1Þ ¼ 1 þ 1 Pð2Þ ¼ 1 þ 1 þ 2 Pð3Þ ¼ 1 þ 1 þ 2 þ 3 Pð4Þ ¼ 1 þ 1 þ 2 þ 3 þ 4 PðnÞ ¼ 1 þ 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ :::::::::: þ n Ne segue che: PðnÞ ¼ 1 þ

n ðn þ 1Þ 2

5. La curva prodotta da Excel e` un arco di parabola (fig. 4), in quanto la funzione PðnÞ e` un polinomio di secondo grado (attenzione: fare notare agli studenti che e` riprodotta la curva PðxÞ da R in R).

Figura 4


229


Vale sempre?! Il ragionamento induttivo e` un ragionamento che costruisce una situazione dinamica: si osserva che una proprieta` vale fino a un certo naturale e ci si chiede se vale per ogni naturale n (fig. 1).

Figura 1

La dimostrazione rigorosa si basa sul «principio di induzione». Il principio d’induzione afferma che, per dimostrare che una proprieta` P vale per ogni n 2 N, e` sufficiente dimostrare che: «P vale per 0» e «se P vale per n allora vale anche per n þ 1». In questa attivita` svilupperai dei ragionamenti induttivi, senza usare il principio di induzione, ma basandoti su dei disegni che «mostrano» in modo molto convincente che una certa proprieta` vale per ogni naturale. 1. Un esempio molto famoso e` quello della somma dei primi n numeri 1 þ 2 þ ::: n. Secondo un aneddoto, il giovane Gauss da studente diede subito la risposta, per 1 þ 2 þ ::: þ 100, osservando che le somme del primo e dell’ultimo termine, del secondo e del penultimo e cosı` via, sono uguali. 1

2

3

4

..............................................................................

100

100

99

98

97

..............................................................................

1

101

101

101

101

..............................................................................

101

Deducendo pertanto che: 1 þ 2 þ 3 þ ::: þ 100 ¼ 230

100 101 2


Vale sempre?!

Spiega perche´, calcolando nei due modi possibili le palline colorate (fig. 2), si puo` dedurre che: 1 þ 2 þ 3 þ ::: þ n ¼

nðn þ 1Þ 2

e verifica con Excel, su piu` valori di n, che la formula e` vera. Figura 2

2. Un’altra curiosita` numerica riguarda la somma dei cubi dei primi n naturali.

Verifica le seguenti uguaglianze: 13 þ 23 ¼ ð1 þ 2Þ2 13 þ 23 þ 33 ¼ ð1 þ 2 þ 3Þ2 13 þ 23 þ 33 þ 43 ¼ ð1 þ 2 þ 3 þ 4Þ2 e continua con un foglio di calcolo...

Scrivi la generalizzazione per la somma dei cubi dei primi n numeri naturali.

Osserva questo disegno (fig. 3) e spiega perche´ e` una dimostrazione visiva della formula.

Figura 3


231


Vale sempre?!

PER IL DOCENTE

Classe consigliata: prima Strumenti: foglio di calcolo Prerequisiti Primi elementi di calcolo letterale Obiettivo dell’attivita` Formule: generalizzazione di una proprieta` osservata su alcuni esempi «Dimostrazione visiva» di una formula algebrica Approccio al ragionamento induttivo Concetti soggiacenti (eventualmente sviluppabili) Principio d’induzione

1. Considerare la somma dei primi n numeri 1 þ 2 þ ::: þ n.

n

somma da 1 a n

nðn þ 1Þ=2

1

1

1

2

3

3

A

B

1

n

somma da 1 a n

3

2

1

¼ A2

¼ A2 A3=2

6

6

3

2

¼ B2 þ A3

¼ A3 A4=2

4

10

10

4

3

¼ B3 þ A4

¼ A4 A5=2

5

15

15

5

4

¼ B4 þ A5

¼ A5 A6=2

6

21

21

6

5

¼ B5 þ A6

¼ A6 A7=2

7

28

28

7

6

¼ B6 þ A7

¼ A7 A8=2

8

36

36

8

7

¼ B7 þ A8

¼ A8 A9=2

9

45

45

9

8

¼ B8 þ A9

¼ A9 A10=2

10

55

55

10

9

¼ B9 þ A10

¼ A10 A11=2

11

66

66

11

10

¼ B10 þ A11

¼ A11 A12=2

12

11

¼ B11 þ A12

¼ A12 A13=2

13

12

12

232

Graficamente e` possibile fare il calcolo in due modi: sommando le righe oppure come meta` delle palline totali che compongono il rettangolo. Con Excel si realizza la seguente verifica. C nðn þ 1Þ=2


Vale sempre?!

2. Con Excel realizzare la seguente verifica. n

somma da 1 a n

1

1

1

1

1

2

3

9

8

9

3

6

36

27

36

4

10

100

64

100

5

15

225

125

225

6

21

441

216

441

7

28

784

343

784

8

36

1296

512

1296

9

45

2025

729

2025

10

55

3025

1000

3025

11

66

4356

1331

4356

quadrato della somma da 1 a n

cubo di n

somma dei cubi dei naturali da 1 a n

A

B

C

D

E

1

n

somma da 1 a n

quadrato della somma da 1 a n

cubo di n

somma dei cubi dei naturali da 1 a n

2

1

¼ A2

¼ B2^2

¼ A2^3

¼ D2

3

2

¼ B2 þ A3

¼ B3^2

¼ A3^3

¼ E2 þ D3

4

3

¼ B3 þ A4

¼ B4^2

¼ A4^3

¼ E3 þ D4

5

4

¼ B4 þ A5

¼ B5^2

¼ A5^3

¼ E4 þ D5

6

5

¼ B5 þ A6

¼ B6^2

¼ A6^3

¼ E5 þ D6

7

6

¼ B6 þ A7

¼ B7^2

¼ A7^3

¼ E6 þ D7

8

7

¼ B7 þ A8

¼ B8^2

¼ A8^3

¼ E7 þ D8

9

8

¼ B8 þ A9

¼ B9^2

¼ A9^3

¼ E8 þ D9

10

9

¼ B9 þ A10

¼ B10^2

¼ A10^3

¼ E9 þ D10

11

10

¼ B10 þ A11

¼ B11^2

¼ A11^3

¼ E10 þ D11

12

11

¼ B11 þ A12

¼ B12^2

¼ A12^3

¼ E11 þ D12

Un’altra curiosita` numerica riguarda la somma dei cubi dei primi n naturali. Il quadratino piu` piccolo ha come lato 1. Il quadrato totale ha come lato: 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 Dunque la sua area e`: ð1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6Þ2 Si puo` calcolare pero` in un altro modo l’area del quadrato totale (fig. 3), cioe` come somma di ogni fascia a «L» disegnata a colori alternati. L’espressione dell’area di ognuna in funzione del quadratino unita` risulta: 1 1 ¼ 1 (area del quadratino bianco) 23 ¼ 2 ð2 2Þ (con due aree che si compensano) 33 ¼ 3 ð3 3Þ 43 ¼ 4 ð4 4Þ (con due aree che si compensano) 53 ¼ 5 ð5 5Þ 63 ¼ 6 ð6 6Þ (con due aree che si compensano) Petrini - La matematica a colori F De Agostini Scuola SpA, 2015

233


Vasetti di marmellata Su questi tre vasetti (fig. 1) le etichette indicano lo stesso peso di marmellata: 340 g. Hanno pero` forme diverse che si possono schematizzare in un cilindro, un prisma a base esagonale, un prisma a base ottagonale. La scelta della forma, da parte delle aziende produttrici, non si basa soltanto su criteri estetici... in effetti una forma consente il minore impiego di vetro, un’altra permette la minore occupazione di volume in una cassetta di cartone (importante per lo stoccaggio o il trasporto). Utilizzando le tue conoscenze sui poligoni regolari, potrai scoprire vantaggi e svantaggi di queste varie forme. Per semplificare il problema, potremo trascurare il raccordo e la bocca dei vasetti, dato che risultano tutti uguali.

Figura 1

1. A parita` di capienza quale forma e` piu` economica per quanto riguarda il vetro impiegato? 2. Dovendo stoccare la marmellata in scatole di cartone contenenti 3 4 vasetti, quale forma risultera` piu` conveniente se si vuole limitare al massimo il volume occupato dalle scatole? La compilazione di questa tabella in Excel dovrebbe portarti alle risposte corrette (sono gia` indicati in cm i valori approssimati dei raggi e delle altezze dei vasetti; per raggio si intende quello della circonferenza in cui il poligono e` inscritto): C ¼ vasetto a base circolare; E ¼ vasetto a base esagonale; O ¼ vasetto a base ottagonale. raggio C

altezza C

3,9

6,7

raggio E

altezza E

3,9

8,1

raggio O

altezza O

3,5

9,2

area base C

volume C

superficie laterale C

superficie totale C

volume scatola C

lato E

area base E

volume E

superficie laterale E

superficie totale E

volume scatola E

lato O

area base O

volume O

superficie laterale O

superficie totale O

volume scatola O

3. Visualizza con un istogramma la capienza, la superficie di vetro e il volume della scatola di stoccaggio in funzione di ogni tipo di vasetto. Suggerimento: per visualizzare sullo stesso grafico le 3 quantita`, rappresenta il volume . 10 234


Vasetti di marmellata


PER IL DOCENTE

Classe consigliata: seconda Strumenti: calcolatrice o Excel Prerequisiti Poligoni iscritti Obiettivo dell’attivita` Calcolare lati e superficie dell’esagono e dell’ottagono regolari a partire dal raggio Concetti soggiacenti (eventualmente sviluppabili) Calcoli con i radicali (si possono evitare facendo tutti i calcoli con Excel – funzione RADQ)

3 Se si dispone di poco tempo e l’obiettivo e` quello di fare trovare agli studenti il lato e l’apotema di un poligono regolare noto il raggio, allora e` utile preparare il percorso in modo guidato, offrendo la tabella predisposta. Altrimenti si puo` chiedere agli studenti di misurare realmente i vasetti di vetro e di progettare da soli un modo razionale di raccolta dei dati utili per potere rispondere ai quesiti della scheda. 3 In ogni caso, e` preferibile semplificare il problema concordando tutti insieme un valore approssimato per il raggio e l’altezza di ogni vasetto (tolta la «bocca» del vasetto). I valori gia` inseriti nella tabella sono tali che risulti, a meno di 1 cm3 , la stessa capienza per tutti i vasetti di vetro: 320 cm3 sono circa corrispondenti a 340 g di marmellata. 3 Lasciare comunque libero il momento della ricerca sul modo di sistemare 3 4 vasetti sul fondo della scatola. 3 Se si vuole sviluppare le competenze di calcolo con i radicali, si puo` chiedere che ogni formula sia scritta a mano e semplificata prima di essere trascritta nella cella Excel.


235


Le configurazioni ottenute per lo stoccaggio sono le seguenti (fig. 2). ð6rÞ ð8rÞ

ð4r þ latoÞ ð9 apotemiÞ Attenzione: lato ¼ raggio

ð6 apotemiÞ ð8 apotemiÞ

Figura 2

Sviluppare i calcoli su foglio Excel (raggio e altezza dei vasetti sono espressi in cm). raggio C

altezza C

area base C

volume C

superficie laterale C

superficie totale C

volume scatola C

3,9

6,7

47,8

320,0

164,1

211,9

4891,5

raggio E

altezza E

lato E

area base E

volume E

superficie laterale E

superficie totale E

volume scatola E

3,9

8,1

3,9

39,5

320,1

189,5

229,1

4801,3

raggio O

altezza O

lato O

area base O

volume O

superficie laterale O

superficie totale O

volume scatola O

3,5

9,2

2,7

34,6

318,8

197,2

231,8

4617,4

L’apotema dell’ottagono e` utile per rispondere alla domanda del punto 2:

apotema O ¼ 3,2 si puo` calcolare come

236

2 area triangolo lato dell0 ottagono



Osservare le formule (allo stato grezzo, senza semplificazioni, come potrebbero scriverle in modo immediato gli studenti).

Si ottengono quindi i seguenti risultati (il volume della scatola Vs e` diviso per 10 per una migliore visualizzazione dell’istogramma in fig. 3). capienza

Vs 10

superficie vetro

vasetto circolare

320

212

489

vasetto esagonale

320

229

48’

vasetto ottagonale

319

232

462

600 500 400 vasetto circolare

300

vasetto esagonale 200

vasetto ottagonale

100 0

capienza

superficie vetro

Vs 10

Figura 3

Il vasetto circolare e` il piu` economico dal punto di vista del vetro impiegato. Il vasetto ottagonale e` il piu` comodo dal punto di vista dello stoccaggio in scatola.


237

APPUNTI

238


APPUNTI


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APPUNTI

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