CASO: GRANJA Una granja familiar tiene 640 acres de tierra. Sus miembros pueden producir un total de 4,000 personas-hora de mano de obra durante los meses de invierno y primavera, y 4,500 personas - hora durante el verano y el otoño. Si no se necesitan algunas de estas personas-hora, los miembros más jóvenes de la familia las usarán para trabajar en granjas vecinas por $ 5 por hora durante el invierno y $ 5.50 por hora durante el verano. La granja cría dos tipos de animales (vacas lecheras y gallinas para huevo) y cultiva tres tipos de siembra (soya, maíz y trigo). (Las tres son cosechas para venta, pero el maíz también sirve de alimento para las vacas y el trigo para las gallinas.) El campo se cosecha al final del verano y durante el otoño. En los meses de invierno, se toma la decisión sobre la mezcla de las cosechas y los animales para el año siguiente. Actualmente la familia acaba de tener una cosecha particularmente exitosa que les ha proporcionado un fondo de inversión de $ 20,000 dólares que pueden usar para comprar más animales (disponen de otro fondo para los gastos de operación, incluyendo la siguiente siembra.) La familia tiene por ahora 30 vacas valuadas en $ 35,000 dólares y 2,000 gallinas con valor de $ 5,000 dólares. Quieren conservar estos animales y tal vez comprar más. Cada vaca les costaría $ 1,500 dólares y cada gallina, $ 3. A la vuelta de un año, el valor de las vacas disminuirá alrededor de 10% y el valor de las gallinas como un 25% debido a la edad. Cada vaca requiere 2 acres de tierra para pastar y 10 personas-hora de trabajo al mes, mientras que produce un ingreso anual neto de $ 850 dólares parar la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son las siguientes: el numero de acres no es significativo, 0.05 personas-hora al mes y un ingreso anual neto de $ 4.25. La granja puede contener un máximo de 5,000 gallinas y los establos limitan el mínimo número de vacas a un máximo de 42. Para cada acre de cada tipo de siembra, la siguiente tabla da el número de personas-hora de trabajo que se requieren durante la primera y segunda mitad del año, al igual que una estimación del valor neto de la cosecha (ya sea en ingreso o en ahorro en la compra de alimento para los animales).
Personas-hora, invierno y primavera Personas-hora, verano y otoño Valor neto, $ ( dólares)
Soya 1.0
Maíz 0.9
Trigo 0.6
1.4
1.2
0.7
70
60
40
Para proporcionar la mayor parte del alimento para los animales, la familia quiere plantar al menos 1 acre de maíz por cada vaca que tengan el próximo año y al menos 0.05 acres de trigo por cada gallina. La familia quiere determinar cuántos acres debe plantar de cada tipo de grano y cuántas vacas y gallinas debe tener el próximo año para maximizar el ingreso monetario al final del año ( la suma del ingreso neto por el producto de los
animales durante el año más el valor neto de las cosechas durante el año más el valor neto de los animales al final del año, menos gastos de vida de $ 40,000 durante el año). a.- Formule un modelo de programación lineal para este problema. b.- Resuelva el modelo. Las estimaciones anteriores del valor neto por acre plantado de cada tipo de grano suponen buenas condiciones del clima. Las condiciones adversas dañarían las cosechas y reducirían mucho el valor resultante. Los escenarios que más teme la familia son sequía, inundación, heladas tempranas, sequía y heladas tempranas (ambas) e inundación y heladas tempranas (ambas). A continuación se muestran los valores netos estimados para un año bajo estas condiciones.
Escenario Sequía Inundación Helada Temprana Sequía y helada temprana Inundación y helada temprana
Valor neto por Acre Plantado , Soya Maíz -10 -15 15 20 50 40 -15 -20 10 10
$ ( dólares) Trigo 0 10 30 -10 5
c.- Encuentre una solución óptima para cada escenario haciendo los ajustes necesarios al modelo de programación de programación lineal formulado en la parte a. La familia ha investigado las condiciones del clima en años anteriores, lo más atrás que le permitieron los registros disponibles y obtuvieron los siguientes datos:
Escenario Buen clima Sequía Inundación Heladas tempranas Sequía y heladas tempranas Inundación y heladas tempranas
Frecuencia % 40 20 10 15 10 5
Con estos datos, la familia ha decidido usar el siguiente enfoque para tomar sus decisiones sobre siembra y cría. En lugar d3e tomar una posición optimista que supone que prevalecerán las buenas condiciones del clima (como se hizo en la parte a y b), se usará el valor neto promedio para cada cosecha bajo todos los escenarios de clima. Además, e eliminará cualquier solución que reduzca el valor monetario de la familia en más de $ 10,000 dólares bajo cualquiera de los escenarios. e. Modifique el modelo inicial para que se ajuste al nuevo enfoque. f. Resuelva el nuevo modelo g. Use los precios duales obtenidos en la parte anterior ( f ) para analizar si valdría la pena que la familia obtuviera un préstamo bancario a una tasa del 10% para
comprar una cantidad mayor de animales que la que puede comprar con los $ 20,000 dólares del fondo de inversión. Use la información del análisis de sensibilidad obtenido en la parte f. para identificar el margen de error permisible al estimar cada coeficiente en la función objetivo sin que cambie la solución óptima. ¿Cuáles de los coeficientes necesitan estimarse con más cuidado?
