La f´ ormula ormula de Wallis Juan Carlos Ponce Campuzano
[email protected] 5 de mayo de 2013 John Wallis (1616–1703) descubri´ o que 22 42 · · · (2n)2 l´ım 2 2 2 = π. n 3 5 · · · (2n − 1)2 (2n + 1) →∞
Lo anterior se puede probar de la siguiente manera. Sea 22 42 · · · (2n)2 f (n) = 2 2 . 3 5 · · · (2n − 1)2 (2n + 1) Sea k un entero positivo mayor que 1. Definamos π
I (k ) =
2
senk xdx.
0
Usando integraci´on on por partes se puede probar que π
I (k ) =
2
0
k−1 sen xdx = k k
Ahora, como sabemos que sen2n+1 x obtener lo siguiente π
2
0
≤
sen2n x
sen
xdx ≤
2
2
senk
−
2
xdx.
0
≤
π
2n+1
π
sen2n
−
1
x, podemos integrar para
π
2n
sen xdx ≤
0
2
0
es decir,
1
sen2n
1
−
xdx;
I (2 (2n + 1) ≤ I (2 (2n) ≤ I (2 (2n − 1).
(1)
Pero π
I (2 (2n + 1) =
2
2n+1
sen
0
2n xdx = 2n + 1
2n 2n − 2 = 2n + 1 2n − 1 =
π
2
sen2n
−
2
sen2n
−
3
xdx
0
π
2n 2n − 3 2n − 4 2n + 1 2n − 1 2n − 3
2
sen2n
=
(2n) = I (2
0
π
2
sen xdx
0
.
2n − 1 sen xdx = 2n
π
2
2n
sen2n
−
2
xdx
0
π
2n − 1 2n − 3 = 2n 2n − 2 =
xdx
2
2n + 1
2
5
2
sen2n
4
−
xdx
0
2n − 1 2n − 3 2n − 5 2n 2n − 2 2n − 4
π
2
sen2n
−
6
xdx
0
π
(2n − 1)(2n − 3)(2n − 5) · · · 5 · 3 dx = 2n(2n − 2)(2n − 4) · · · 4 · 2 0 (2n − 1)(2n − 3)(2n − 5) · · · 5 · 3 π · = 2n(2n − 2)(2n − 4) · · · 4 · 2 2 1 π · = 2n(2n 2)(2n 4) 4 2 2
2
−
−
···
·
(2n−1)(2n−3)(2n−5)···5·3
=
1
π
−
0
(2n)(2n − 2)(2n − 4) · · · 4 · 2 = (2n − 1)(2n − 1)(2n − 3) · · · 5 · 3 (2n)(2n − 2)(2n − 4) · · · 4 · 2 = (2n − 1)(2n − 1)(2n − 3) · · · 5 · 3 f (n)
xdx
0
π
1
1 ((2n + 1)f (n))
1 2
2
·
π
2
.
Por ultimo u ´ ltimo π
2
I (2 (2n − 1) =
sen2n
−
0
2n − 2 1 xdx = 2n − 1
2n − 2 2n − 4 2n − 1 2n − 3
=
2
sen2n
π
2
−
3
xdx
0
sen2n
−
5
xdx
0
π
2n − 2 2n − 4 2n − 6 2n − 1 2n − 3 2n − 5
=
π
2
sen2n
−
7
xdx
0
(2n − 2)(2n − 4) . . . 4 · 2 (2n − 1)(2n − 3) . . . 5 · 3
=
1
(f (n)(2n + 1)) . = 2n 2
Sustituyendo en (1) obtenemos
f (n)
1
1
2
≤
2n + 1
multiplicamos por (f (n))
1 2
·
2
1
(f (n)(2n + 1)) , 2n 2
≤
1
multiplic multiplicamos amos por (2n + 1) (f (n))
((2n + 1)f (n))
π
2
1 2
≤
1 (f (n))
1
·
2
π
2
1
(f (n)) (2n + 1) , 2n 2
≤
1 2
f (n) ≤
π
2
≤
f (n)(2n + 1)
2n
,
por ultimo u ´ ltimo multiplicamos por 2 para obtener
2f (n) ≤ π
≤
2f (n)(2n + 1) . 2n
Tomando oma ndo el l´ımite, ımi te, obtenem obte nemos os 3
l´ım 2f (n) ≤ l´ım π
n→∞
n→∞
≤
l´ım
n→∞
2f (n)(2n + 1) . 2n
Y como 2f (n)(2n + 1) l´ım = n 2n →∞
=
l´ım 2f (n) l´ım
n→∞
n→∞
l´ım 2f (n) l´ım
n→∞
n→∞
(2n + 1) 2n 1 1+ 2n
1 = l´ım 2f (n) l´ım 1 + l´ım n n n 2n = l´ım 2f (n), →∞
→∞
→∞
n→∞
tenemos l´ım 2f (n) ≤ π
n→∞
≤
l´ım 2f (n).
n→∞
De esta forma podemos concluir que 22 42 · · · (2n)2 l´ım 2 2 2 = π. n 3 5 · · · (2n − 1)2 (2n + 1) →∞
Referencias [1] Anglin, Anglin, W. S. (2000). (2000). Mathematics: A concise history and philosophy. United States. Springer.
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