“Tugas Tambahan Matematika Diskrit” Nama
: Kuraisin Rimosan
Kelas
:A
Nim
: 2014 4202 049
Soal Halaman 277 (Soal Genap ) 2. Perusahaan pakaian membuat satu set pakaian yang dapat dikombinasikan, yang terdiri dari dua blus, dua pasang celana panjang, satu kemeja dan satu blazer. Berapa kombinasi pakaian yang dapat dibuat dari set pakaian tersebut ? Jika pada set pakaian ditambahkan sebuah sweater, berapakah kombinasinya sekarang ? ( catatan : blazer harus dipakai diatas blus atau kemeja, atau tidak dipakai sama sekali. Tetapi sweater bisa langsung dipakai tanpa blus atau kemeja.) Penyelesaian : Diketahui : 2 pasang celana = sebanyak 4 celana, 2 blus, 1 kemeja, dan 1 blazer Ditanyakan :
Berapa kombinasi pakaian yang dapat dibuat dari set pakaian
tersebut ? Jika pada set pakaian ditambahkan sebuah sweater, berapakah kombinasinya sekarang ?
Misalkan : B1 = blus 1, B2 = blus 2, A = kemeja, B = blazer
Berapa kombinasi pakaian yang dapat dibuat dari set pakaian tersebut ? Kombinasi pakaian yang dapat dibuat dari blus, blazer, celana panjang, dan kemeja
B1 + B B2 + B A+B
X4
2 (celana
)
pasang =12 kombinasi panjang
Jika pada set pakaian ditambahkan sebuah sweater, berapakah kombinasinya sekarang ? Kombinasi pakaian yang dapat dibuat blus, blazer, celana panjang, kemeja, dan sweater B1 + B B2 + B A+B Sweater
X4
2 (celana
)
pasang =16 kombinasi panjang
4. Enam orang melamar pekerjaan untuk 3 pekerjaan yang sama, yang masingmasing
akan
ditempatkan
di
Jakarta,
bogor,
dan
bandung.
Berapakah
kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi tersebut ? Penyelesaian : Diketahui : n = 6 ( jumlah pelamar ) Ditanyakan : Berapakah kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi tersebut ? 6! =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 P ( 6; 1, 1, 1, ) = 1 ! 1 ! 1! Cara Sehingga, kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi tersebut adalah 720 cara. 6. Dalam berapa banyak cara huruf-huruf a, b, c, d, e, f dapat disusun jika huruf b harus di sebelah kiri dan bersebelahan dengan huruf e ? Penyelesaian : Diketahui : n = 6 ( Jumlah Huruf-huruf ) n = menjadi 5 huruf ( dikarenakan b dan e harus bersebelahan sehingga b dan e kita hitung 1 )
Banyak cara yang akan disusun dari 5 huruf adalah P( 5,5 ) P(5,5) = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120 Banyak cara untuk menyusun huruf b adalah 1! = 1 Banyak cara untuk menyusun huruf e adalah 1! = 1 sehingga, banyaknya cara untuk menyusun huruf-huruf adalah 120 x 1 x 1 = 120 cara
8. Didalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya laki-laki (a) Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia 10 orang ? (b) Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya laki-laki harus sama dengan banyaknya perempuan. (c) Ulangi pertanyaan (a) jika panitia itu harus terdiri dari enam laki-laki dan empat perempuan atau empat laki-laki dan enam perempuan ? Penyelesaian : a. Banyak cara dapat di bentuk sebuah panitia 10 orang adalah 100! 100 ! = C(100, 10) = ( 100−10 ) ! 10! 90! 10 ! ¿
100 x 99 x 98 x 97 x 96 x 95 x 94 x 93 x 92 x 91 x 90 ! cara 90! (10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1)
b. Jika banyak laki-laki samadengan perempuan, maka Dapat dikatakan 5 laki-lakidan 5 perempuan, dapat dibentuk 60! 40 ! x C(60, 5) x C(40, 5) = ( 60−5 ) ! 5 ! ( 40−5 ) ! 5 ! =
60 ! 40 ! x 55 ! 5 ! 35! 5 !
= 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 ! 40 x 39 x 38 x 37 x 36 x 35 ! x 55 !(5 x 4 x 3 x 2 x 1) 35 ! (5 x 4 x 3 x 2 x 1) =
60 x 59 x 58 x 57 x 56 40 x 39 x 38 x 37 x 36 x 120 120
= 5.461.512 x 658.008cara c. Jika panitia terdiri dari 6 laki – laki dan 4 perempuan, maka
C(60, 6) x C(40, 4)
60 ! 40 ! x ( 60−6 ) ! 6 ! ( 40−4 ) ! 4 !
= =
60 ! 40 ! x 54 ! 6 ! 36 ! 4 !
= 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 x 54 ! 40 x 39 x 38 x 37 x 36 ! x 36 ! 4 ! 54 !(6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1)
10. Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = { 1, 2, …., 10 } yang mempunyai anggota paling sedikit enam ? Penyelesaian : Diketahui: n = 10 Ditanya : jumlah himpunan bagian yang mempunyai anggota paling sedikit 6? Jumlah himpunan yang mempunyai anggota paling sedikit 6; C (10,6) + C (10,7) + C (10,8) + C (10,9) + C (10,10) 10! 10! 10 ! 10! 10 ! + + + + =210+120+ 45+10+1=386 = 6!4 ! 7!3! 8 ! 2! 9!1! 10! 0!
(
)(
)(
)(
)(
)
Sehingga, ada 386 himpunan bagian yang mempunyai anggota paling sedikit 6
12. Berapa banyak permutasi bilangan yang dibentuk dari { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } ? Penyelesaian : Diketahui Ditanyakan
: n = 8 ( Banyaknya Bilangan ) : Berapa banyak permutasi bilangan yang dibentuk dari { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } ?
Sehingga, P (8,8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 Cara 14. Berapa banyak bilangan bulat positif empat angka antara 1000 dan 9999 ( termasuk 1000 dan 9999 ) yang habis dibagi 5 dan 7 ?
Penyelesaian : Diketahui :
A = kejadian bilangan bulat yang habis dibagi 5 B = kejadian bilangan bulat yang habis dibagi 7 A ∩ B = KPK dari pembagi 5 dan 7 adalah 35 A ∪ B = kejadian bilangan bulat yang dipilih habis dibagi 5 dan 7. Bilangan positif antara 1000 dan 9999 adalah 9000 9000 ⌋ 5
= 1800
|A|
=
⌊
|B|
=
⌊
9000 ⌋ 7
=1285
=
⌊
9000 ⌋ 35
= 257
| A ∩ B| Sehingga, P(A
∪
B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B) ¿
P(A
∪
1800 1285 257 + − 9000 9000 9000
= 0,2 + 0,143 – 0,028 B) = 0,315
16. Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang wanita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya ? Penyelesaian : Diketahui : wanita = 7 orang, pria = 4 orang Ditanyakan : Berapa banyak perwakilan 4-orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya?
[C (7, 2) x C (4,2)] + [C (7,3) x C( 4,1)] + C (7,4) 7! 4! 7! 4! 7! x + x + 2 ! 5! 2 ! 2! 3! 4! 1!3! 4!3!
[
][
]
( 21 x 6 ) + ( 35 x 4 ) +35 126 + 140 +35 301
Jadi, ada 301 perwakilan 4-orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya.
18. Sebuah klub mobil antik beranggotakan 6 orang pria dan 5 orang wanita mereka akan membentuk panitia yang terdiri dari lima orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapat dibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit satu pria dan satu wanita. Penyelesaian : Akan dibentuk panitia yang terdiri dari 5 orang ( yang terdiri dari paling sedikit satu pria dan satu wanita ). Panitia terdiri dari 4 wanita dan 1 pria , maka yang dapat dibentuk adalah 5! 6! 5x 4! 6 x5! x = x =¿ × C ( 5,4 ) x C ( 6,1 ) = ( 5−4 ) ! 4 ! ( 6−1 ) ! 1 ! 1 ! 4 ! 5 ! 1! 5 6 = 30
Panitia terdiri dari 4 pria dan 1 wanita, maka yang dapat dibentuk
adalah C ( 6,4 ) x C ( 5,1 ) =
6! 5! 6 x5 x 4! 5 x 4! x = x =¿ 2! 4 ! 4 ! 1! ( 6−4 ) ! 4 ! ( 5−1 ) ! 1 !
15
×
5=
75
20.Berapa banyak solusi bilangan bulat tak negatif dari ketidaksamaan x 1 + x2 + x3 ≤10 ? Penyelesaian : Diketahui : n = 3 , dan r = 10 Ditanyakan : Berapa banyak solusi bilangan bulat tak negatif dari ketidaksamaan ≤10 x1 + x2 + x3 ?
C(n + r – 1, r) = C (3 + 10 – 1, 10) = C ( 12,10 ) 12! 12! 12 x 11 x 10 ! = = =¿ = ( 12−10 ) ! 10 ! 2 ! 10 ! 2 x 1 x 10 !
6
×
11 = 66 Solusi
Sehingga, banyaknya solusi bilangan bulat tak negatif dari ketidaksamaan x 1 + x2 + x3 ≤10 adalah 66 solusi
22.Dari sejumlah besar koin 25an, 50an, 100an, dan 500an, dalam berapa banyak cara lima koin diambil ? Penyelesaian : Diketahui : n = 4 dan r = 5 Ditanyakan : berapa banyak cara lima koin diambil ? C( n + r – 1, r ) = C ( 4 + 5 – 1, 5 ) = C ( 8,5 ) =
8! 8! 8x 7 x6 x5! = = =¿ 56 Cara ( 8−5 ) ! 5 ! 3 ! 5! 3 x 2 x 1 x 5 !
Sehingga, banyaknya cara lima koin yang diambil adalah 56 cara 24.Palindrom adalah barisan karakter ( huruf atau angka ) yang bila dibaca dari depan atau dari belakang adalah sama. Contoh : KATAK, MALAM, 21477412, 36963. Untuk soal ini kita hanya meninjau palindrom 9 angka yang dapat dibentuk dari angka 0, 1, ….., 9 dengan ketentuan tidak boleh ada pengulangan angka pada setengah bagian { misalnya, 366191663 tidak dibenarkan karena 6 dipakai 2 kali) ? Penyelesaian : Diketahui : angka 0 – 9 = 10 angka, sehingga n = 10 Ditanyakan : Berapa banyak bilangan 9 angka yang akan disusun, sehingga r = 9 C(n + r – 1, r)
= C(10 + 9 – 1, 9) = C(18, 9)
=
18 ! 18! = ( 18−9 ) ! 9 ! 9 !9 !
=
18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 ! ( 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) 9 !
=
17.643 .225 .600 =48.620 cara 362.880
26.Dari sejumlah besar CD (Compact disc) di dalam kotak yang berisi programprogram aplikasi A, B, C, D, dan E, berapa banyak cara 10 CD dapat diambil ? Penyelesaian : Diketahui: n = 5 , dan r = 10; jadi, jumlah cara memilih buku yaitu : C
(
5
+
10
–
1,
10)
=
C
(14,
10)
=
14 ! 14 ! 14 x 13 x 12 x 11 x 10 ! = = =1001 10! x 4 x 3 x 2 x 1 10 ! ( 14−10 ) ! 10 ! 4 !
28.Sebuah pesan kawat dibentuk dari rangkain lima garis putus-putus (dash) dan tiga buah titik (dot). Berapa banyak pesan yang dapat dibentuk ? Penyelesaian : Diketahui : garis putus – putus = 5 ; Titik = 3 ; jadi n = 8 Ditanyakan :Berapa banyak pesan yang dapat dibentuk? Penyelesaian: 8! 8 x7 x 6 x5! = =56 C (8; 5, 3) = 5 ! 3 ! 5 ! x 3 x 2 x 1 Sehingga, banyak pesan yang dapat di bentuk yaitu 56 pesan
30.Sebuah kardus berisi banyak bola berwarna merah, biru, dan ungu. Akan diambil 10 buah bola saja. (a) Berapa banyak cara mengambil bola jika bola merah paling sedikit 5.
(b) Berapa banyak cara mengambil bola jika bola merah paling banyak 5. Penyelesaian : Diketahui : Banyak warna bola = 3 ( Merah, Biru, Ungu ) dan Diambil 10 bola Ditanyakan : (a)
Berapa banyak cara mengambil bola jika bola merah paling sedikit 5. Ambil terlebih dahulu bola merah, misalkan kita mengambil 5 bola berwarna merah, kemudian ambil 5 bola sisanya. Jumlah cara seluruhnya adalah C ( 3 + 5 – 1, 5 ) = C ( 7, 5 ) =
7! 7 x6 x5! = =21 5 !2! 5! x2 x1
Ambil terlebih dahulu bola merah, misalkan kita mengambil 6 bola berwarna merah, kemudian ambil 4 bila sisanya. Jumlah cara seluruhnya adalah C (3 + 4 – 1, 4) = C (6, 5) =
6! 6 x5! = =6 5!1! 5! x1
Ambil terlebih dahulu bola merah, misalkan kita mengambil 7 bola berwarna merah, kemudian ambil 3 bola sisanya. Jumlah cara seluruhnya adalah C (3 + 3 – 1, 3) = C (5, 5) =
5! =1 0!5 !
Sehingga, banyaknya cara mengambil bola jika bola merah paling (b)
sedikit 5 yaitu: C ( 7, 5 ) xC (6, 5) x C (5, 5) = 21 x 6 x 1 = 126 Berapa banyak cara mengambil bola jika bola merah paling banyak 5 Ambil terlebih dahulu bola merah, misalkan kita mengambil 5 bola berwarna merah, kemudian ambil 5 bola sisanya. Jumlah cara seluruhnya adalah C ( 3 + 5 – 1, 5 ) = C ( 7, 5 ) =
7! 7 x6 x5! = =21 5 !2! 5! x2 x1
Ambil terlebih dahulu bola merah, misalkan kita mengambil 4 bola berwarna merah, kemudian ambil 6 bola sisanya. Jumlah cara seluruhnya adalah
C ( 3 + 6 – 1, 6) = C ( 8, 6) =
8! 8 x7 x 6! = =28 6 ! 2 ! 6! x 2 x 1
Ambil terlebih dahulu bola merah, misalkan kita mengambil 3 bola berwarna merah, kemudian ambil 7 bola sisanya. Jumlah cara seluruhnya adalah C ( 3 + 7 – 1, 7) = C ( 9, 7) =
9! 9 x 8x 7! = =36 7!2! 7!2!
Ambil terlebih dahulu bola merah, misalkan kita mengambil 2 bola berwarna merah, kemudian ambil 8 bola sisanya. Jumlah cara seluruhnya adalah C ( 3 + 8 – 1, 8) = C ( 10, 8) =
10 ! 10 x 9 x 8! = =45 2 ! 8 ! 8! x 2 x 1
Sehingga, banyaknya cara mengambil bola jika bola merah paling banyak 5 yaitu: C ( 7, 5 ) x C ( 8, 6) x C ( 9, 7) x C ( 10, 8) = 21 x 28 x 36 x 45 = 952.560
32. Jabarkan bentuk perpangkatan ( 3x – 2y) 4. Penyelesaian : Misalkan : a = 3x dan b = -2y (a + b)4 = C(4,0) a4 + C(4,1) a3b+ C(4,2) a2b2+ C(4,3) a b3 +C(4,4) b4 = a4 + 4 a3b+ 6 a2 b2 + 4 a b3 +1 b4 = (3x)4 + 4(3x)3(-2y) + 6(3x)2 (-2y)2 + 4(3x)(-2y)3+ (-2y)4 = 81x4 – 216x3y – 108x2y2 + 24xy3 + 16y4 n k Σ (−1 ) C ( n , k ) =0. 34.Buktikan bahwa k =0 Penyelesaian : Misalkan; ambil x = 1 dan y = -1 sehingga; n
(x + y)
n
=
∑ C ( n , k ) x n−k y k k=0
n
(1 + (-1))n
=
∑ C ( n , k ) 1n−k (−1)k k=0 n
0
=
∑ (−1)k C ( n , k ) k=0
( Terbukti )
36.Tunjukkan bahwa sembarang 6 kelas kuliah pasti terdapat dua kelas yang dijadwalkan pada hari yang sama, dengan asumsi tidak ada kuliah pada Hari Sabtu ( akhir pekan ). Penyelesaian : Diketahui: ada 6 kelas, yang mana 2 kelas dijadwalkan pada hari yang sama , n=3 Hari sabtu libur jadi hanya ada 5 hari, sehingga n = 5 5! 5! 5 x 4 x 3 x 2! = = =60 Sehingga, P(5, 3) = ( 5−3 ) ! 2! 2! 38.Sebuah kotak bola bowling berisi 10 bola berwarna merah dan 10 buah berwarna biru biru. Seorang pemain memilih bola secara acak tanpa melihat ke dalam kotak. (a) Berapa banyak bola yang harus diambil untuk memastikan paling sedikit tiga bola berwarna sama ? (b) Berapa banyak bola yang harus diambil untuk memastikan paling sedikit tiga bola berwarna biru ? Penyelesaian : 40.Berapa peluang dari 5 buah kartu remi yang dibagi tidak mengandung ratu satu buah pun ? Penyelesaian : Diketahui : kartu remi poker terdiri dari 52 buah kartu, dengan kartu sebanyak 4. Ditanyakan : Berapa peluang dari 5 buah kartu remi yang dibagi tidak mengandung ratu satu buah pun ?
Ambil 5 kartu dari 52 buah kartu remi poker 52 ! 52! 52 x 51 x 50 x 49 x 48 x 47 ! = = =¿ C( 52, 5 ) = ( 52−5 ) ! 47 ! 47 !
311.875.200
Ambil 5 kartu yang tidak mengandung kartu ratu 52 – 4 = 48 buah kartu 48! 48! 48 x 47 x 46 x 45 x 44 x 43! = = =¿ C( 48,5 ) = ( 48−5 ) ! 43! 205.476.480 43! Sehingga, peluang dari 5 kartu tersebut tidak mengandung 1 kartu ratu pun =
C ( 48, 5 ) 205.476 .480 = =¿ C ( 52,5 ) 311.875 .200
0,658
42.Sebuah dadu dan sebuah koin uang logam dilempar bersamaan. Berapa peluang angka yang muncul adalah 3 dan muka koin yang muncul adalah gambar ? Penyelesaian : Diketahui : A = Kejadian mucul mata dadu 3 n(A) = 1 dan n(S) = 6 B = kejadian muncul gambar pada koin n(B) = 1 dan n(S) = 2 Ditanyakan : Peluang angka yang muncul adalah 3 dan muka koin yang muncul adalah gambar? P ( A ∩ B ) = P (A) x P (B) =
1 1 1 x = 6 2 12
Sehingga, Peluang angka yang muncul adalah 3 dan muka koin yang muncul adalah gambar adalah
1 12
44.Ada sepuluh pasang sepatu di dalam lemari. Jika depalan sepatu diambil secara acak, berapa peluang tidak ada sepasang sepatu yang terambil ? Penyelesaian :
Diketahui: 10 pasang sepatu n (s) = 10 dan Diambil 8 pasang sepatu Ditanyakan : berapakah peluang tidak ada sepasang sepatu yang terambil ? 2! C(2,1) 1!1! 2 P ( A )= = = 20! 125.970 C(20,8) 8 ! 12 !
Sehingga, peluang tidak ada sepasang
2 125.970
