Krigin Puntual y Bloques

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

KRIGING PUNTUAL Y KRIGING EN BLOQUES CURSO

:

Geoestadística.

DOCENTE

:

Ing. Wilder Chuquiruna

INTEGRANTES : 

CASTILLO MORENO, Keylor.



MOSQUEIRA VILLAR, Paola



MUJICA CABRERA, Juan



PERALTA RODAS, Pool.



TERAN TOLEDO, Fernando.

20 DE JULIO DE 2016


FACULTAD DE INGENIERÍA Escuela Académico Profesional de Ingeniería de Minas

ÍNDICE 1

INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 3

2

OBJETIVOS ............................................................................................................................ 4 2.1

OBJETIVOS GENERALES : ..................................................................................................................... 4

2.2

OBJETIVOS ESPECÍFICOS : .................................................................................................................... 4

3

MARCO TEÓRICO. ................................................................................................................... 5 3.1

DEFINICIÓN KRIGING . ......................................................................................................................... 5

3.2

CLASIFICACIÓN DE LOS DIFERENTES TIPOS DE KRIGING . ............................................................................ 5

3.2.1

Según la forma del estimador. ..................... ................................. ....................... ...................... ...................... ...................... ...................... ................... ........ 5

3.2.2

Según el soporte de la medición de los datos. ...................... ................................. ...................... ...................... ...................... ................... ........ 6

3.2.3

Kriging paramétrico y no paramétrico. .............. ......................... ...................... ...................... ...................... ....................... ....................... ............... .... 6

3.3

OBJETIVO DEL KRIGING . ...................................................................................................................... 7

4

KRIGING PUNTUAL. ................................................................................................................ 7

5

EJERCICIO RESUELTO. ........................................................................................................... 9

6

KRIGING EN BLOQUES. ......................................................................................................... 13 6.1

MODELO DE CAPA. ............................................................................................................................ 17

6.2

ECUACIONES DE KRIGING DE BLOQUES. ........................................................................................... 18

6.3

EFECTO DE LA DISTANCIA . ................................................................................................................. 19

6.4

EFECTO PANTALLA Y ANISOTROPÍA . .............................................................................................. 20

6.5

EFECTO DE DECLUSTERIZACIÓN Y DISTANCIA. ...................................................................................... 20

6.6

CAMBIO EN EFECTO PEPITA. .......................................................................................................... 21

6.7

PROPIEDADES DEL KRIGING. .............................................................................................................. 21

6.8

DATOS A UTILIZAR EN LA ESTIMACIÓN ESTIMACIÓN. ............................................................................................ 23

6.9

VALIDACIÓN DEL KRIGING. ............................................................................................................ 23

7

EJERCICIO RESUELTO. .......................................................................................................... 24

8

CONCLUSIONES ................................................................................................................... 37

9

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................ 38

2



ÍNDICE 1

INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 3

2

OBJETIVOS ............................................................................................................................ 4 2.1

OBJETIVOS GENERALES : ..................................................................................................................... 4

2.2

OBJETIVOS ESPECÍFICOS : .................................................................................................................... 4

3

MARCO TEÓRICO. ................................................................................................................... 5 3.1

DEFINICIÓN KRIGING . ......................................................................................................................... 5

3.2

CLASIFICACIÓN DE LOS DIFERENTES TIPOS DE KRIGING . ............................................................................ 5

3.2.1

Según la forma del estimador. ..................... ................................. ....................... ...................... ...................... ...................... ...................... ................... ........ 5

3.2.2

Según el soporte de la medición de los datos. ...................... ................................. ...................... ...................... ...................... ................... ........ 6

3.2.3

Kriging paramétrico y no paramétrico. .............. ......................... ...................... ...................... ...................... ....................... ....................... ............... .... 6

3.3

OBJETIVO DEL KRIGING . ...................................................................................................................... 7

4

KRIGING PUNTUAL. ................................................................................................................ 7

5

EJERCICIO RESUELTO. ........................................................................................................... 9

6

KRIGING EN BLOQUES. ......................................................................................................... 13 6.1

MODELO DE CAPA. ............................................................................................................................ 17

6.2

ECUACIONES DE KRIGING DE BLOQUES. ........................................................................................... 18

6.3

EFECTO DE LA DISTANCIA . ................................................................................................................. 19

6.4

EFECTO PANTALLA Y ANISOTROPÍA . .............................................................................................. 20

6.5

EFECTO DE DECLUSTERIZACIÓN Y DISTANCIA. ...................................................................................... 20

6.6

CAMBIO EN EFECTO PEPITA. .......................................................................................................... 21

6.7

PROPIEDADES DEL KRIGING. .............................................................................................................. 21

6.8

DATOS A UTILIZAR EN LA ESTIMACIÓN ESTIMACIÓN. ............................................................................................ 23

6.9

VALIDACIÓN DEL KRIGING. ............................................................................................................ 23

7

EJERCICIO RESUELTO. .......................................................................................................... 24

8

CONCLUSIONES ................................................................................................................... 37

9

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................ 38

2



1 Introducción La geoestadística ofrece un método de estimación de reservas, usando el variograma, llamado krigeado, se utiliza en la evaluación de yacimientos para estimar el valor valor de una variable regionalizada, en un punto o en un bloque, bloque , a partir del uso de factores de ponderación. Se considera al método de kriging del tipo MELI (Mejor Estimador Lineal Insesgado) o ELIO (Estimador Lineal Insesgado Óptimo): es lineal porque sus estimaciones son combinaciones lineales ponderadas de los datos existentes; y es insesgado porque procura que la media de los errores sea nula; es el mejor porque los errores de estimación tienen una variancia mínima.

3



2 Objetivos 2.1 Objetivos Generales: 

Definir e interpretar el Kriging puntual y en bloques.

2.2 Objetivos Específicos: 

Definir la clasificación de los diferentes tipos de kriging.



Desarrollar un ejercicio de Kriging puntual.



Desarrollar un ejercicio de kriging en bloques.

4



3 Marco Teórico. 3.1 Definición Kriging. El krigeaje o krigeado es un método geoestadístico de estimación de puntos. Utiliza un modelo de variograma para la obtención de los ponderadores que se darán a cada punto de referencias usados en la estimación. Esta técnica de interpolación se basa en la premisa de que la variación espacial continúa con el mismo patrón. Fue desarrollada inicialmente por Danie G. Krige a partir del análisis de regresión entre muestras y bloques de mena, las cuales fijaron la base de la geoestadística lineal.

3.2 Clasificación de los diferentes tipos de Kriging. 

El método se caracteriza por ser el mejor estimador lineal, insesgado de la variable.



Mejor: porque los factores de ponderación se determinan de tal forma, que la varianza de estimación es mínima .



Lineal: porque es una combinación lineal de la información.



Insesgado: por que en promedio el error es nulo.

3.2.1 Según la forma del estimador. 

Lineales: -

Simple.

-

Ordinario.

-

Universal.

-

Residual

5


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No lineales: -

Disyuntivo

-

Indicador

-

Probabilístico

3.2.2 Según el soporte de la medición de los datos. 

Puntual.



En bloques.

3.2.3 



Kriging paramétrico y no paramétrico. Paramétrico: -

Multigaussiano.

-

Disyuntivo.

-

Lognormal.

No paramétrico: -

Simple

-

Ordinario

-

Universal

-

Residual

-

Indicador

-

Probabilístico. 6



3.3 Objetivo del Kriging. El objetivo del Kriging es interpolar la ley a partir de muestras que lo rodean, asignando pesos a cada muestra que reduzca al mínimo la varianza de estimación, se interpreta la ley con la máxima precisión posible. La precisión de la estimación depende de varios factores: 

Del número de muestras y de la calidad de la data en cada punto.



De la posición de las muestras con respecto al punto a estimar.



De la distancia entre muestras y con el punto a estimar.



De la continuidad espacial de los valores de las muestras.

Para poder llegar a la definición de Kriging, es necesario dejar claro la definición de la varianza de estimación. A continuación se presenta la deducción de las varianza de estimación simulando las ocurrencias de una función aleatoria con resultados de análisis químicos al interior de un bloque.

Imagen N° 1. Kriging

4 Kriging puntual. El krigeage puntual o krigeage ordinario; a diferencia del kriageage simple que asume que las medias locales son relativamente constantes y de valor muy semejante a la media de la población que es conocida, la media de la población es utilizada para cada

7



estimación local, en conjunto con los puntos vecinos establecidos como necesarios para la estimación. En el Kriageage puntual las medias locales no son necesariamente próximas de la media de la población, usándose apenas los puntos vecinos para la estimación. Es el método más ampliamente utilizado en los problemas ambientales. Es un interpolador exacto en el sentido de que las ecuaciones calculadas las utiliza para interpretar los valores y habrá una coincidencia exacta entre los valores interpolados y los puntos de datos originales. El mayor interés que presenta el krigeage puntual es que permite obtener una serie de valores estimados a los cuales, posteriormente, se les puede ajustar una serie de líneas de isocontenidos, por ejemplo para las leyes o potencias del nivel mineralizado. En algunas ocasiones, en vez de estimar la ley media de un bloque V, interesa estimar la ley en un punto x0 (problema de interpolación). Corresponde al caso particular en que el volumen V tiende a cero. Se obtiene el sistema siguiente:

8



Imagen N° 2. Krigeado del punto x0. Se puede generar una grilla de valores interpolados al hacer variar x0. Esta técnica tiene aplicación en la cartografía automática y en la simulación de leyes.

5 Ejercicio resuelto. El cuadrillado representa sondajes en los puntos X1, X2, X3, X4, con leyes de 3,2%; 2,5%; 4,0% y 1,5% respectivamente. Se desea conocer la ley en el punto X0, sabiendo que el variograma asociado corresponde a un modelo esférico con las siguientes características: Co = 2, C = 20 y a = 200 m.

Imagen N° 3. Ejercicio Kriging puntual

9



Solución El problema se resuelve de la siguiente manera: a) Modelo esférico se define como.

Nos indica lo siguiente: 

(C) = 20



(C0) = 2



(a) = 200m

b) Definir los elementos de las matrices.  Se trata de resolver el sistema de ecuaciones :

[ λ]  []− ∗ [2]

10


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Cálculo de los elementos de la matriz [M2]



Cálculo de los elementos de [K ] Se tiene que:

De la misma manera que en a) calculemos los términos siguientes:

11





Sacar la inversa de [K]

[]−=

-0.058

0.032

0.007

0.019

0.149

0.032

-0.050

0.014

0.004

0.239

0.007

0.014

-0.033

0.012

0.308

0.019

0.004

0.012

-0.036

0.305

0.305

14.489

0.149

c)

0.239

0.308

Calcular los valores de λi.

[ λ]  []− ∗ [2] λ1

-0.058

0.032

0.007

0.019

0.149

9.34

λ2

0.032

-0.050

0.014

0.004

0.239

17.02

0.007

0.014

-0.033

0.012

0.308

λ4

0.019

0.004

0.012

-0.036

0.305

12.17

μ

0.149

0.239

0.308

0.305

-14.489

1

λ3

=

x

20.28

12



Al resolver se obtiene: λ1

=

0.518

λ2

=

0.022

λ3

=

0.089

λ4

=

0.371

μ

=

0.915

Se verifica que:

d) Calcular la ley.

La ley en Xo será: 0,518*3.2 + 0,022*2.5 + 0,089*4.0 + 0,37*1.5 = 2,6%

6 Kriging en bloques. El método más usado en la modelación de recursos consiste en la discretización d el espacio 3D en bloques o celdas tridimensionales. Cada celda contiene los atributos (litología, tipo de mineralización etc.) y las mediciones (leyes, propiedades físico mecánicas) del dominio geológico en que se encuentra. Los atributos de los bloques se determinan sobre la base de la intersección con el modelo geológico o su posición respecto a una superficie triangulada y las leyes a través de la estimación con técnicas de interpolación espacial.

13



Imagen N° 4. Modelo de bloques.

Peso de las muestras (%)

Ley estimada del bloque

W

1.6%

3.1%

2.8%

1

44.8

34.7

20.5

2.37

2

55.2

33.2

11.6

1.34

3

64.0

29.9

6.1

2.12

Coordenadas de las muestras. 1.6 = (10 ; 40) 2.8 = (90 ; 0) 3.1 = (-40 ; -35) El primer modelo de bloque fue utilizado a comienzos de los años 60 por la Kennecott Koper Corporation en un depósito de pórfido cuprífero. Se empleó para describir la distribución espacial de las leyes y no la geometría de los dominios geológicos. Cada bloque debe contener toda la información disponible en las fases de desarrollo de un proyecto: litología-mineralogía, contenidos de metales, calidad es en el caso del carbón y rocas industriales, contenidos de contaminantes, parámetros geomecánicos, datos hidrogeológicos, etc. 14



Para definir el modelo de bloque es necesario establecer los siguientes parámetros: 

Posición del modelo: se especifica a partir de las coordenadas del centroide del bloque llave (key block).



Extensión del modelo en las distintas direcciones X, Y, Z (debe ser lo suficientemente grande para enmarcar la región de interés)



Dimensiones de las celdas o bloques por la X, Y y Z.



Orientación del modelo definido (ángulo de inclinación y el azimut)



Conjunto de variables a almacenar en el modelo con sus correspondientes formatos: ley de los distintos metales, peso volumétrico, litología, tipo tecnológico de mena etc.

Con el objetivo de alcanzar una mayor resolución del modelo de bloque en los límites de los cuerpos minerales se utilizan bloques (sub bloques) con dimensiones menores que los originales. El modelo de bloques puede ser rotado y orientado de manera que se ajuste a la estructura geológica y respete los elementos de yacencia del yacimiento estudiado.

15



Imagen N° 5. Parámetros que definen el modelo de bloque: Posición del bloque llave (Xmorg, Ymorg, Zmorg), dimensiones del bloque (dx, dy, dz), extensión del modelo (X (nx), Y (ny), Z (nz).

Un aspecto de primordial importancia en el modelo de bloque lo constituye la selección de las dimensiones del bloque. Lo ideal en este caso es que el tamaño del mismo coincida con la unidad de selección minera que será empleada durante la explotación del yacimiento, sin embargo en muchas ocasiones esto no es posible pues no se cuenta con la densidad suficiente de información. Cabe destacar también que al disminuir el tamaño del bloque se aumenta el error de estimación, es decir, su ley se determina con un alto grado de incertidumbre. Ahora bien, al aumentar el tamaño del bloque las leyes son emparejadas artificialmente. Según la teoría geoestadística por lo menos un tramo del pozo debe quedar dentro de cada bloque, y que estos tramos estén uno del otro a una distancia menor que el alcance del variograma, o sea, dentro de la distancia que se estima que una muestra tiene influencia sobre la otra. Este enfoque teórico en muchos casos no es práctico desde el punto de vista técnico (demasiados sub-bloques para poder respetar los límites del modelo geológico y lograr una 16



buena precisión en el cálculo del volumen, distintas redes de exploración etc.) y generalmente se prefiere examinar el yacimiento en unidades de selección más pequeñas. Por esta razón se asume la siguiente regla ampliamente manejada en la literatura: el tamaño del bloque puede ser tan grande como el espaciamiento medio de la red y no debe ser menor a ¼ o 1/3 del espaciamiento de esta (Houlding, 1994; Duke et. al., 1991). La determinación de las dimensiones óptimas del bloque depende principalmente de: 

Variabilidad de las leyes.



Continuidad geológica de la mineralización.



Tamaño de las muestras y espaciamientos entre ellas.



Capacidades de los equipos mineros.



Taludes de diseño de la explotación.

6.1 Modelo de capa. Aunque el modelo de bloques es el más empleado en la práctica este es más apropiado para depósitos de forma isométrica. Para yacimientos relativamente planos como pueden ser los yacimientos estratiformes y tabulares, es preferible estimar las reservas en 2D, para lo cual se proyecta el cuerpo en un plano, se contornea y delimitan los dominios geológicos, se superpone una matriz de bloque 2d y finalmente se estima en cada bloque las variables de interés empleando el método de inverso de la distancia o kriging. Un procedimiento similar a este es el método de isolinea, con la diferencia de que en este caso se emplea un método más sofisticado para la interpolación espacial de las variables de interés. Otra variante para este tipo de yacimiento es continuar trabajando en 3D y emplear un modelo de capa o de lámina, el cual es muy similar al modelo de bloque pero la Z de los bloques es variable y depende de la altura ente el piso y el techo del cuerpo.

17



Se emplea en yacimientos donde su extensión horizontal es mucho mayor que su dimensión transversal (espesor) y donde la variación de la ley en esa dimensión es despreciable o no se puede determinar (Filones, vetas, yacimientos lateríticos y aluviales). Al igual que en el caso anterior hay que definir la posición del modelo, su extensión, dimensiónes de las celdas (X,Y) y las variables a almacenar. La altura de la celda se define por la diferencia de las cotas (Z) de las superficies trianguladas que definen el la unidad geológica.

6.2 Ecuaciones de kriging de bloques. El valor promedio dentro del bloque es estimado por:



( )   ʎ() =

Del sistema de ecuaciones para el kriging ordinario se tiene:

Consecuentemente el vector del lado derecho de la igualdad en el sistema de arriba debe modificarse para incluir las covarianzas respecto al bloque. La covarianza de un punto al bloque corresponde a la covarianza promedio entre el punto muestreado i y todos los puntos dentro del bloque (en la práctica un enmallado regular de puntos dentro del bloque es usado como se muestra en la figura de la página anterior). El sistema de ecuaciones del kriging en bloques está dado por:

18



donde el vector de covarianzas al lado derecho de la igualdad en el sistema anterior es contiene las covarianzas entre las variables Z(x1) , Z (x2 ),…., Z(xn) y el bloque A donde se quiere hacer la estimación.

La varianza del error de predicción del kriging en bloques está dada por:

Igual a la covarianza entre pares de puntos dentro del bloque. Isaaks y Srivastava (1989) muestran a través de ejemplos que el kriging en bloques coincide con el promedio de predicciones hechas por kriging ordinario sobre cada uno de los puntos del enmallado dentro del bloque. Así mismo indican que en la práctica es suficiente con un enmallado cuadrado (6x6) para obtener estimaciones estables en los bloques.

6.3 Efecto de la Distancia. 

Caso base y efecto del aumento en la distancia sobre los ponderadores.

 (h)



0,2  0,8  Sph(100)

19


FACULTAD DE INGENIERÍA Escuela Académico Profesional de Ingeniería de Minas Caso base 2

Efecto de distancia 2

= 0,1888

 K

 K

0,25

50

= 0,2162

0,265

0,25

0,25

50

0,303

0,303

0,25 0,129

50

50

Imagen N° 6. Efecto de la distancia

6.4 Efecto Pantalla y Anisotropía. Efecto pantalla y de la anisotropía (Anis. Geom. 4 x 1) sobre los ponderadores  ( h)



0,2  0,8  Sph(100) Efecto de la anisotropía

Efecto pantalla 2



K =

2 K =



0,1668

0,074

0,247

50

0,2248

0,233

0,233

50

0,426

0,426

0,174 0,080

0,074

0,033 50

50

Imagen N° 7.

Efecto de pantalla y anisotropia

6.5 Efecto de Declusterización y Distancia. Efecto de declusterización y distancia sobre los ponderadores.  ( h)



0,2  0,8  Sph(100)

20


FACULTAD DE INGENIERÍA Escuela Académico Profesional de Ingeniería de Minas Efecto de declusterización 2



K =

Efecto de decl. + distancia 2 K =

0,1668



0,3437

0,215

50

0,2107

0,111 0,106 0,111

0,242

50

0,016 0,013 0,016

0,2674

0,215 0,3437

50

50

100

150

Imagen N° 8. Efecto de Declusterización y Distancia.

6.6 Cambio en efecto pepita. Efecto sobre los ponderadores de un cambio en el efecto pepita. Caso base 2

 K =

Cambio en el efecto pepita 2

0,0827

 K =

0,1206

0,208

0,1044

50

50 0,042

0,1456

50 (h)

50

= 0,2 + 0,8 Sph(100)

(h)

= 0,7 + 0,3 Sph(100)

Imagen N° 9. Cambio en efecto pepita

6.7 Propiedades del Kriging. 

Interpolación exacta: la estimación en un sitio con dato es igual al valor del dato y la varianza de kriging en este sitio vale 0



Aditividad: la estimación de la ley de un bloque es igual al promedio de las estimaciones de leyes puntuales en este bloque 21



Suavizamiento: la dispersión de los valores estimados es menor que la dispersión de los valores verdaderos, sobre todo en las zonas donde hay pocos datos. En consecuencia, se tiende a subestimar las zonas de altas leyes y sobreestimar las zonas de bajas leyes. El kriging es inapropiado para evaluación de procesos donde los valores extremos son importantes ( → simulaciones)



Insesgo y precisión: por construcción



Sesgo condicional: el error promedio puede no tener esperanza nula cuando se considera sólo los sitios donde la ley estimada es alta (o baja). En general, el sesgo condicional es pequeño si se usa suficientes datos (>15)

Imagen N° 10. Sesgo condicional.

Al tener sesgo condicional, se incurre en una mala apreciación del negocio. La ley media del material mandado a planta (material cuya estimación supera una ley de corte) es inferior a la ley media estimada de este material, mientras que la ley media del material mandado a botadero es superior a la ley media estimada de este material.

22



Imagen N° 11. Suavisamiento

6.8 Datos a utilizar en la estimación. 

Vecindad única: se usa todos los datos



Vecindad móvil: se usa sólo los datos cercanos al sitio (bloque) a estimar -

En general, se toma una vecindad en forma de elipse (2D) o elipsoide (3D), orientado según la anisotropía observada en el variograma

-

Se suele dividir la vecindad en sectores angulares (cuadrantes en 2D ú octantes en 3D) y buscar datos en cada sector

-

Los radios del elipse (elipsoide) no necesariamente corresponden a los alcances del variograma, sino que se definen de manera de poder encontrar suficientes datos para hacer la estimación.

6.9 Validación del kriging. Para validar los parámetros del kriging (modelo de variograma, vecindad elegida), se puede usar los siguientes métodos: 

Validación cruzada: se estima sucesivamente cada dato considerando solamente los datos restantes 23



Jack-knife: se divide la muestra inicial en dos partes (por ejemplo, cuando hay dos campañas de sondajes), y se estima una parte a partir de la otra

Luego, se hace un estudio estadístico de los errores cometidos para saber si el kriging fue “satisfactorio” (buena precisión, poco sesgo condicional…)

Criterios de validación: 

Medias de los errores y de los errores estandarizados: deben ser cercanas a cero



estimador sin sesgo 

Varianza de los errores: debe ser la más baja posible  estimador preciso



Varianza de los errores estandarizados: debe ser cercana a 1

el variograma



cuantifica adecuadamente la incertidumbre 

Nube de dispersión entre valores reales y estimados: la regresión debe acercarse a la diagonal  insesgo condicional

7 Ejercicio resuelto. 1. Mediante el método del Kriging Ordinario, se tienen las ecuaciones que debemos resolver:

Entonces, dividimos en 4 volúmenes;

24



Resolvemos para V:

Los términos 4v y 1/V son iguales por lo tanto se eliminan;

Utilizando el esquema esférico de Matheron, para la función H y las coordenadas (0.6; 0.6), se obtiene aproximadamente el valor 0,630. Luego:

25



26



Entonces calculamos la ley según la ecuación III) ;

La varianza, según la ecuación IV) ;

27



2. Considere una regionalización de dos dimensiones que se caracteriza por una función

() que, como una primera aproximación, se supone que es intrínseca con un semivariograma isotrópico estacionario: (ℎ)  (|ℎ|).Por ejemplo, Z (u, v) puede aleatoria de punto

ser el grosor vertical de una veta sedimentaria.

̅ de tamaño  de la    configuración no simétrica de los cuatro datos de apoyo  cada uno, situados en , (muestra central) y 3 ,, (muestras periféricas) mostradas en la siguiente figura. El valor medio Zv se calcula sobre un panel cuadrado

28



(|ℎ|) los dos datos    reciben el mismo peso, y por lo tanto se pueden agrupar para formar el conjunto   { ∪ } de apoyo 2. Por otra parte, los datos S1 y S3 deben ser tratados por separado. Por razones de simetría y un semivariograma isotrópico

El estimador lineal considerado de este modo contiene tres pesos, es decir,

3

̂   ( ) =

Con

()  12 [()+()] El sistema de kriging se escribe como:

Y

Valor medio sobre el soporte de datos,





(Las dimensiones del soporte son neglectable con respecto a la longitud ),

29



Donde H (L, l) denota una función auxiliar, que da la media del semi-variograma extremo del vector

(ℎ) si un

ℎ se fija en una esquina de un rectangular de tamaño Lxl y el otro

extremo se mueve uniformemente por el área de la rectangular. Esta función se puede dar analíticamente para variogramas simples, los valores más complicados pueden ser leídos desde diagramas gráficos.

(,) es una función auxiliar similar H; que representa la media de (ℎ) si los dos extremos de ℎ se mueven uniformemente a través del área del rectangular de tamaño (ℎ)ℎ   . Donde

Para proceder más lejos, un modelo lineal con efecto de pepita se considera:

(0)  () se caracteriza en la regularización sobre el soporte de datos  por una constante de pepita   ⁄. La constante de pepita en la regularización de apoyo  es despreciable con respecto a la de apoyo  : El efecto pepita

30



Para el modelo estándar simple y lineal:

Las funciones auxiliares H y F pueden calcularse analíticamente. Tenemos:

Nuestros casos especiales son:

Los valores de la media variogramas ahora son:



Donde ɛ denota el “tamaño” de , este término es ínfimamente pequeño.

31



Se consideran tres casos:

  1,  0   0.5,  0.959   0,  1.918

i. ii. iii.

El efecto pepita puro con  El efecto pepita parcial con  La ausencia del efecto pepita, con

Los valores anteriores de los parámetros

 , y  se han elegido con el fin de

garantizar, en tres casos, una variación de dispersión constante de datos de soporte

 en el panel V:

Para estos casos especiales realizamos los siguientes cálculos. i.

Efecto pepita puro:

32



El sistema Krige sigue:

Después de la eliminación de

(0) nos queda

Lo que da

La varianza del krigeado es:

Podemos ver que en este caso de efecto de pepita puro, los pesos

 son

proporcionales al tamaño del soporte. La ubicación no es importante. ii.

Efecto pepita parcial:

33



El sistema Krige sigue como:

Eliminamos la constante

Se destaca que

  .29. iii.

(0)y el resultado del sistema nos da

 obtiene el peso más grande y que  es mayor que 23 . La varianza es

Sin efecto pepita:

La eliminación de

(0) da un sistema Krige 34



1.918

 +



1.918 3

+

µ

1.918



+

1.918

+ 2.712 3 +

1.918



+

2.712

 +

+



+



= 0.7338 µ

=

2.001

µ

=

2.001

3

=

1

Con la solución:

Podemos ver que el centro de la muestra, incluso se pone un peso más alto. En la siguiente tabla de resumen también vemos los resultados de otros métodos de estimación. Uno se llama POLY (polígono de influencia), que utiliza pesos positivos sólo para las muestras que se encuentran en la región a ser estimado. Por lo tanto

  1 y  

3  0. Los métodos del inverso a la distancia e inverso a la distancia al cuadrado métodos (ID e ID2) dan el mismo peso a los tres datos periféricos 3   /2. El valor central  obtiene un mayor peso por ID2 (  .727) que por ID (  .484) . La distancia media desde  al panel ha sido tomado como una cuarta parte de la diagonal, es decir, √ 2⁄4. En el caso estacionario, estos métodos estándar aseguran la insesgamiento de la estimación, ya que satisfacen la única condición insesgada sí mismos, proporcionan la estimación de varianzas

.

∑   1, pero no lo hacen, por

35



Para este propósito, es necesario caracterizar en alguna forma la variabilidad espacial del fenómeno en estudio. El método geoestadístico es utilizar la función estructural

(ℎ) con

la que se puede calcular la varianza de estimación de cualquier estimador lineal insesgado. Efecto pepita Puro

Kriging

Polígono

ID

ID2

.484 .727 .344 .182 .172 .091 .323 .553

Parcial

.484 .727 .344 .182 .172 .091 .296 .339

Ausente

.484 .727 .344 .182 .172 .091 .27

.225

36



8 Conclusiones 

El krigeage puntual a diferencia del kriageage simple que asume que las medias locales son relativamente constantes y de valor muy semejante a la media de la población que es conocida.



El método más usado en la modelación de recursos consiste en la discretización del espacio 3D en bloques, cada celda contiene los atributos (litología, tipo de mineralización etc.) y las mediciones (leyes, propiedades físico mecánicas) del dominio geológico en que se encuentra.



Se desarrollaron dos ejercicios de Kriging puntual y kriging de bloques.

37

Krigin Puntual y Bloques

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