Konsep Formula Gradien Aritmatik Rudini Mulya Daulay Program Program Studi Teknik Industri, Fakultas Teknik – Universitas Mercu Buana email:
[email protected]
Gradien Aritmatik
Pada deret gradien panjangnya periode adalah N, tetapi aliran kas dalam periode 1 adalah 0. Beberapa faktor yang mempengaruhi gradien antara lain nilai sekarang, annuitas, atau nilai masa akan datang. P = G (P/G, i, N) atau G = P (G/P, i, N) (3.9) A = G (A/G, i, N) atau atau G = A (G/A, i, N) (3.10) (3.10) F = G (F/G, i, N) atau G = F (G/F, i, N) (3.11) Beberapa masalah arus kas melibatkan peneriman-peneriman atau pengeluaranpengeluaran yang diproyeksikan agar meningkat atau be rkurang. Jumlah secara konstan, G, pada setiap periode. Situasi itu dapat dimodelkan dengan suatu kemiringan/gradient yang seragam se ragam (uniformgradient/arithmetic gradient) Secara umum untuk periode n tahun : P = G(1 + i) -2 + 2 G(1 + i) -3 + 3G(1 + i)-4 + … + (n -1) G (1 +i)-n
‘13
Ekonomi Teknik
Teknik Industri
Rudini Mulya Daulay
Universitas Mercu Buan a 2010
(1)
Persamaan ( 1 ) dikalikan dengan ( 1+i ) sehingga diperoleh : ( 1+i )P = G(1 + i) -2 + 2 G(1 + i)-3 + 3G(1 + i)-4 + … + (n -1) G (1 +i)-n
(2)
Persamaan ( 1 ) dikurangi persamaan ( 2 ) menghasilkan : P=
G i
(1 i ) n 1 n n 1 i n i (1 i )
Dengan demikian, diperoleh persamaan untuk mencari P :
1 i in 1 n
P = G.
i
2
(1 i) n
Mencari P jika G diketahui
Rumus dan table yang disajikan dihitung berdasarkan kondisi P yang berada dalam satu periode sebelum nikai arus kas nol. Diagram arus kas : 3G 2G G 1
2
3
4
P=? (1 i) n in 1
Rumus :
P = G.
Atau :
P = G.( P/G,i,n )
i
2
(1 i ) n
Mencari A jika G diketahui
Rumus dan table yang disajikan dihitung berdasarkan kondisi A yang berada mulai dari arus kas nol sampai dengan penerimaan atau pengeluaran yang diproyeksikan agar meningkat atau berkurang berakhir secara konsisten.
‘13
Ekonomi Teknik
Teknik Industri
Rudini Mulya Daulay
Universitas Mercu Buan a 2010
Diagram arus kas : 3G 2G G 0 1
2
A = ?
Rumus :
3
4
A=? A=? A=?
A=
G i
(1 i) n 1 i (1 i ) n n n ( 1 ) (1 i) n (1 i) n 1 i i
1 i n i.n 1 A = G. n i1 i i Atau :
A = G.( A/G,i,n )
Contoh 1: Annuitas – 2
Setiap bulan anda menyimpan $50 dalam rekening tabungan dengan pembayaran 1.5% bunga digandakan bulanan. Berapa banyak yang akan anda peroleh dalam waktu dua tahun? Dapat diselesaikan dengan 2 cara. Cara pertama: F = 50 (F/A, 0.015, 24) = 50 (28.634) = $ 1431.70 Cara kedua: Ieff = (1 + 0.015)12 – 1 = 19.56% F1 = 50 (F/A, 0.015, 12) 12 ) = $ 652.06 F2 = 652.06 (F/A, 0.1956, 2) = $ 1,431.66
‘13
Ekonomi Teknik
Teknik Industri
Rudini Mulya Daulay
Universitas Mercu Buan a 2010
Contoh 2 : Gradien aritmatik
Perhatikan deret aliran kas pada tabel berikut:
Apakah nilai C dapat membuat me mbuat deret simpanan akuivalen dengan deret penarikan kembali jika i = 12% setiap periode? periode? Arus kas pada masalah tersebut: tersebut:
Kedua arus kas dievaluasi pada waktu (periode) 4, keduanya dibuat sama, merupakan penyelesaian untuk nilai C. C (P/G, 0.12, 6) = 1,000(F/P, 0.12, 4) + 800(F/A, 0.12, 4) – 200(P/G, 0.12, 4) (F/P, 0.12, 4)
C = $ 458.90
‘13
Ekonomi Teknik
Teknik Industri
Rudini Mulya Daulay
Universitas Mercu Buan a 2010
Contoh 3: gradien aritmatik
Masalah pada bab sebelumnya (Contoh 2 ):
Berapa nilai C yang membuat rangkaian deposit di atas ekivalen dengan rangkaian pengeluaran jika i=12% per periode? Arus kas di atas dapat dapat dianalisis dianalisis dengan dengan berbagai berbagai metode…. metode….
Metode 1:
Memisahkan diagram arus kas menjadi 4 dan mengevaluasinya pada t = 4:
‘13
Ekonomi Teknik
Teknik Industri
Rudini Mulya Daulay
Universitas Mercu Buan a 2010
Untuk menyeimbangkan antara penerimaan dengan pembayaran, tentukan F4 (nilai semua arus kas pada t=4) sama dengan nol. F4
= C(P/G, 0.12,6) – 1,000(F/P,0.12,4) – 800(F/A,0.12,4) +
200(P/G,0.12,4)(F/P,0.12,4) = 0 C(P/G,0.12,6) = 1000(F/P,0.12,4) + 800(F/A,0.12,4) 800 (F/A,0.12,4) – 200(P/G,0.12,4) (F/P,0.12,4) C = $458.90 Metode 2:
Tentukan ekivalensi dari semua arus kas pada tahun 0 menggunakan nilai sekarang. PW = C(P/G,0.12,6) (P/F,0.12,4) – 1,000 – 800(P/A,0.12,4) + 200(P/G,0.12,4) = 0 C(P/G,0.12,6) (P/F,0.12,4) = 1,000 + 800(P/A,0.12,4) - 200(P/G,0.12,4) C (8.930) (0.6355) = 1000 + 800 (3.037) – 200 (4.127) C= 2,604.2/5.675 = $ 458.89
Metode 3:
Memisahkan arus kas menjadi 3 dan mengevaluasi arus kas pada t=4.
Untuk menyeimbangkan penerimaan dan pembayaran, tentukan F4 (nilai semua arus kas pada t=4) sama dengan nol. F4= C(P/G,0.12,6) – 1,000(F/A,0.12,5) + 200(F/G,0.12,5) = 0 C(P/G,0.12,6) = 1,000(F/A,0.12,5) 1,000 (F/A,0.12,5) + 200(F/P,0.12,5)*(P/G,0.12,5) C (8.930) = 1,000 (6.353) – 200 (1.762)*(6.397) C = 4,098.697 / 8.930 = $458.98 ‘13
Ekonomi Teknik
Teknik Industri
Rudini Mulya Daulay
Universitas Mercu Buan a 2010
Contoh 4:
Seseorang mengharapkan hasil investasi untuk 5 tahun ke depan dengan rincian pada tahun pertama sebesar Rp 600,- yang akan meningkat sebesar Rp 200,- pada setiap tahun berikutnya. Jika tingkat suku bunga 15% per tahun, berapakah yang harus diinvestasikan orang tersebut saat ini ? Penyelesaian : 1.200 800
1.400
800
1.000
A = 600
600
600 1
200 400
2
3
4
5 =
1
P=?
2 3
4
5 +
P1
1
2
3
4
5
P2
P = P1 + P2 P = 600 ( P/A,15%,5 ) + 200 ( P/G,15%,5 ) P = 600 ( 3,35216 ) + 200 ( 5,77514 ) P = 3.166,32 Contoh 6 :
Sebuah tambang minyak diperkirakan akan memproduksi minyak selama 20 tahun. Produksi minyak pada tahun pertama diperkirakan sebesar 300.000 barrel, dan setiap tahunnya akan menurun sebesar 15.000 barrel dibandingkan tahun sebelumnya. Minyak diperkirakan bernilai $20 setiap barrel untuk 13 tahun pertama, dan bernilai $25 setiap barrel untuk tahun – tahun berikutnya. Menggunakan tingkat suku bunga 12% setiap tahun, berapa nilai saat ini yang ekuivalen dengan nilai yang akan diperoleh dari produksi minyak pada tambang tersebut ? Penyelesaian :
…
1
2
3
4
5
19
20
P
‘13
Ekonomi Teknik
Teknik Industri
Rudini Mulya Daulay
Universitas Mercu Buan a 2010
Nilai sekarang dari produksi minyak selama 13 tahun pertama : P1 = [300.000(P/A,12%,13)-15.000(P/G,12%,13)]$20 P1 = [300.000(6,42355)-15.000(28,70237)]$20 P1 = $29.930.589. Nilai sekarang dari produksi minyak selama 7 tahun terakhir : P2 = [105.000(P/A,12%,7) – 15.000(P/G,12%,7)](P/F,12%,13)$25 P2 = [105.000(4,56376) – 15.000(11,64427)](0,22917)$25 P2 = $1.744.732,80 Sehingga total nilai sekarang sebesar : PT = P1 + P2 PT = 29.930.589 + 1.744.732,80 PT = $ 31.675.321,80 Contoh 7 :
Seorang pegawai memiliki pengjhasilan pertama sebesar Rp 50.000.000,- per tahun yang akan meningkat sebesar Rp 5.000.000,- setiap tahun. Pegawai tersebut memiliki rencana untuk pension setelah bekerja selama 30 tahun. Untuk mempersiapkan masa pension, pegawai tersebut menyisihkan 10% dari penghasilan tahunan untuk didepositokan dengan tingkat pengembalian sebesar 12% per tahun. Berapakah nilai investasi yang akan diperoleh pegawai tersebut saat memasuki masa pension ?
Penyelesaian :
6.5jt 5.5 jt
6 jt
5 jt 1
2
3
4
F = 5.000.000(F/A,12%,30) + 500.000(P/G,12%,30) (F/P,12%,30) F = 5.000.000(241,33268) + 500.000(58,78205) (29,95992) F = 2.087.216.158,-
‘13
Ekonomi Teknik
Teknik Industri
Rudini Mulya Daulay
Universitas Mercu Buan a 2010
Contoh 8 :
1.200 800 1.000 600 1
i = 15% 2
3
4
5 A=?
6
7
8
9
A=? A=? A=? A=?
Penyelesaian : X 1.200 800 1.000 600 1
i = 15% 2
3
4
Y
5 A=?
6
7
8
9
A=? A=? A=? A=? X
=
Y
600 ( P/A,15%,4 ) + 200 ( P/G,15%,4 )
=
A ( P/A,15%,5 ) ( P/F,15%,4 )
=
A ( 3,35216 ) ( 0,57175 )
=
1.288,89
600 ( 2,85498 ) + 200 ( 3,78644 ) A
‘13
Ekonomi Teknik
Teknik Industri
Rudini Mulya Daulay
Universitas Mercu Buan a 2010
