1
KL2202 Mekanika Gelombang Air Buku yang digunakan: Dean, R.G, Dalrymple. 1991. “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”. Scientists”. World Scientific Gelombang Air di Alam
Tinggi dan perioda bervariasi (acak)
Elevasi muka air Muka air rata-rata
x sumbu jarak
Elevasi muka air Variabel bebas fisis: ruang dan waktu
t waktu Gelombang air pada kelas mekanika gelombang air ini bersifat monokromatik, artinya:
Tinggi gelombang
Periode gelombang
Tetap sepanjang proses, merambat pada kedalaman perairan yang tetap pada arah yang tetap juga Wave front = muka gelombang Garis yang menghubungkan titik-titik pada permukaan air yang memiliki fasa gelombang sama
Tinggi gelombang
Arah rambat gelombang Wave ray: Garis imajiner tegak lurus wavefront wavefront
2
Karakter gelombang air dinyatakan dinyatakan dengan persamaan matematika. “State-of-the-art” iptek sejauh ini
banyak berhasil memahami fenomena gelombang air dengan pendekatan fisika dan matematika. → Perilaku gelombang dapat dimodelkan secara m atematika dan numerik. Perlu tata sumbu matematika untuk memfasilitasi pendekatan matematika ini → dengan sketsa definisi Karakter gelombang:
Tinggi
Elevasi muka air (EMA)
Perioda
Tekanan
Panjang
Lintasan partikel
Kecepatan rambat
Energi
Kecepatan partikel air
Daya, dll.
Variabel bebas = variabel bebas fisika. Pada umumnya waktu dan ruang.
= vektor kecepatan partikel air
, , = vektor satuan arah x, z u = skalar komponen kecepatan arah x w = skalar komponen kecepatan arah z Parameter utama gelombang air: 1. H 2. T Saling terkait melalui 3. h persamaan dispersi 4. L
Variabel tak bebas
2
Karakter gelombang air dinyatakan dinyatakan dengan persamaan matematika. “State-of-the-art” iptek sejauh ini
banyak berhasil memahami fenomena gelombang air dengan pendekatan fisika dan matematika. → Perilaku gelombang dapat dimodelkan secara m atematika dan numerik. Perlu tata sumbu matematika untuk memfasilitasi pendekatan matematika ini → dengan sketsa definisi Karakter gelombang:
Tinggi
Elevasi muka air (EMA)
Perioda
Tekanan
Panjang
Lintasan partikel
Kecepatan rambat
Energi
Kecepatan partikel air
Daya, dll.
Variabel bebas = variabel bebas fisika. Pada umumnya waktu dan ruang.
= vektor kecepatan partikel air
, , = vektor satuan arah x, z u = skalar komponen kecepatan arah x w = skalar komponen kecepatan arah z Parameter utama gelombang air: 1. H 2. T Saling terkait melalui 3. h persamaan dispersi 4. L
Variabel tak bebas
3
Parameter lain bukan utama: η = elevasi muka air
c = kecepatan rambat gelombang =
, , u w
Dihitung jika parameter utama diketahui diketahui
Persamaan Dispersi
ω=
= kecepatan sudut
k=
= bilangan gelombang (wave number )
g tanh
2
= percepatan gravitasi = 9,81 m/s = fungsi hiberbolik
Dalam praktek: h dan T diketahui. diketahui. L dihitung dengan persamaan dispersi.
Persamaan
Fungsi hiperbolik:
tidak bisa dipecahkan begitu saja.
4
Tinjau karakter fungsi tanh:
tanh a ≈ a (untuk
Untuk argumen (a) kecil
)
Untuk argumen (a) besar tanh a ≈ 1 (untuk )
Sifat tanh ini digunakan dalam mekanika gelombang air untuk mem ilah kedalaman perairan. 1. Perairan dangkal
∙ →
→
Berlaku:
=
2. Perairan dalam →
→
Berlaku:
→ Panjang gelombang perairan dalam
5
3. Perairan transisi
[Tidak dapat disederhanakan]
Persamaan
Cara I : Analitis
Contoh: Diketahui : h = 10m, T = 7s. Dengan cara coba-coba didapatkan L = 59 ,8m. Cara II : Cara Tabel Tabel SPM (Shore Protection Manual) tahun 1984 → referensi klasik teknik kelautan. Sebagian besar diperbaharui menjadi Coastal Engineering Manual (CEM) tetapi ada sejumlah fitur yang hanya di SPM.
Prosedur : 1. Hitung L0.
2. Hitung
.
3. Baca tabel SPM. Karakter Gelombang Air 1. Elevasi muka air (EMA) (η)
=
Fungsi cosinus dipakai karena pendekatan iptek. 2. Kecepatan rambat gelombang air
Kecepatan rambat gelombang air tidak sama dengan kecepatan partikel air
Sifat Teknik (Engineering Properties ) Gelombang Air 1. Elevasi Muka Air (EMA)
.
6
Keterangan: = elevasi muka air. η η(x,t) = elevasi muka air di titik x pada waktu t. x = posisi. t = waktu. L = panjang gelombang. T = periode gelombang.
2. Potensial Kecepatan (φ) Parameter skalar φ(x,z,t) = potensial kecepatan.
x,z t
= vektor partikel air = ruang = waktu
u, w
= skalar
u
=
w
=
= komponen kecepatan partikel arah x = komponen kecepatan partikel arah z
Parameter φ akan dibahas lebih rinci saat penurunan teori gelombang.
(4.1) Dean, Dalrymple, 1991 (4.2)
7
Selanjutnya,
(4.3a) (4.3b)
(4.5)
Lebih lanjut,
Percepatan :
(4.4)
(4.6)
Contoh
Diketahui: H=4m h=9m T = 10 s Hitung u dan w pada t = 0 di bawah posisi puncak, lembah, dan η = 0.
∙ = 156,13 m
= 0,0576
Dari tabel SPM diperoleh: = 0,0711
= 0,6403
. Maka, L = 88,32 m
8
z (m)
u (m/s) di puncak cos kx = 1
w (m/s) di puncak sin kx = 0
2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2,423204 2,316471 2,221467 2,137711 2,064779 2,002301 1,949961 1,907494 1,874685 1,851368 1,837425
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
u (m/s) di lembah cos kx = 1
-2,06478 -2,0023 -1,94996 -1,90749 -1,87469 -1,85137 -1,83743
w (m/s) di lembah sin kx = 0
u (m/s) di η=0 cos kx = 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
3. Lintasan Partikel Air
Partikel A hendak ditinjau geraknya
Saat air tenang, partikel menetap di koordinat (x1,z1). Saat gelombang datang, partikel bergerak dengan kecepatan: Posisi partikel berubah setiap saat
Sumber: Dean, Dalrymple (1991) figure 4.2
w (m/s) di η = 0 sin kx = ±1 sin kx = 1 sin kx = -1
1,256637 1,101481 0,951901 0,807142 0,666469 0,52917 0,394551 0,261929 0,130634
-1,25664 -1,10148 -0,9519 -0,80714 -0,66647 -0,52917 -0,39455 -0,26193 -0,13063
9
Posisi partikel :
Dalam arah x:
(4.9)
Dalam arah z:
(4.10)
Sehingga didapat:
(4.13) Dean, Dalrymple, 1991
Persamaan tersebut merupakan persamaan elips dengan sumbu A dan B. A dan B dihitung per lokasi (x 1, z1)
Perairan dangkal (shallow water )
(4.14 dan 4.15)
Perairan dalam (deep water )
(4.16 dan 4.17)
Contoh
[Perairan Dalam] H=4m T = 10 s h = 100 m
∙
= 156,13 m
Periksa:
z1 0 -20 -40 -60 -80 -100
= 0,64 > 0,5 → perairan dalam
A=B 2,0000 0,8951 0,4006 0,1793 0,0802 0,0359
*) Pada perairan dalam, pengaruh terjadi hingga L.
10
[Perairan Dangkal] H=4m T = 10 s h=7m L0 = 156,13 m
= 0,045
Dari tabel SPM diperoleh:
. Maka, L = 79,5 m
=
=3,77m
=
=2
4. Tekanan Akibat Gelombang Air Telah diperkenalkan sebelumnya, besaran φ(x,z,t) m erupakan potensial kecepatan. Pada saat membahas kecepatan partikel air
∙
Tekanan hidrodinamika akibat gelombang air juga diturunkan dari φ.
(4.21) (4.22)
11
ρ
g η
= kerapatan massa air = percepatan gravitasi = elevasi muka air gelombang
Diagram tekanan gelombang
Contoh H=4m
T=7s h=8m Hitung dan plot diagram tekanan dalam air di bawah puncak gelombang. L0 = 76,504 m
= 0,1046
Dari tabel SPM diperoleh: k = 0,114
. Maka, L = 55,05 m
z (m)
cosh k(h+z)
K p(z)
ρg Kp(z) [kPa]
2 0 -2 -4 -6 -8
1,723 1,446 1,243 1,106 1,026 1,000
1,192 1,000 0,860 0,765 0,710 0,692
23,975 20,111 17,296 15,384 14,276 13,912
12
Salah satu kegunaan rumus tekanan gelombang adalah untuk pengukuran EMA. Dalam kegiatan profesi teknik kelautan, perlu pengukuran di lapangan:
Kedalaman perairan, h.
EMA (η) akibat gelombang di lokasi tertentu (x tertentu = x0) merupakan seri waktu η(x,t).
Yang dimaksud dengan mengukurgelombang dalam teknik kelautan adalah me ngukur η(x0,t).
Nilai η direkam secara diskrit pada setiap Δt = interval waktu. Δt tipikal untuk pengukuran gelombang adalah 0,5 s. Setiap 0,5 detik dicatat 1 titik data → sampling rate = 2 Hz.
∙
Salah satu jenis instrumen pengukur EMA dibuat berdasarkan prinsip tekanan. (4.23) Yang diukur a;at adalah tekanan akibat hidrostatis h 1 dan hidrodinamis η. Karena h 1 diketahui, komponen hidrodinamika bisa dihitung.
13
∙ ∙
Diperoleh:
Nilai η dapat dihitung berdasarkan tekanan dinamis yang diukur.
5. Standing Wave Jika gelombang air menumbuk dinding vertikal yang kedap air, terjadi pemantulan sempurna. Secara analitis, fenomena ini didekati sebagai berikut:
Gelombang datang (incident wave) → φi → berwujud
Gelombang pantul (reflection wave) → φr → berwujud
L sama
k sama
T sama datang).
.
karena terjadi pada h yang sama
ω sama
karena “irama” gelombang ditentukan oleh pemicunya (gelombang
Pemantulan sempurna → Hi = Hr = H
Sederhananya, Teori Gelombang Linear adalah gelombang dalam wujud matematikanya dapat dijumlah secara aljabar. φi = potensial kecepatan gelombang datang (incident ) φr = potensial kecepatan gelombang pantul ( reflection) φ = φi + φr = interaksi antara gelombang datang dan pantul
Untuk lebih memudahkan analisis, ingat:
(4.20)
Dari φ = φi + φr diperoleh η = η i + ηr
Pemantulan sempurna : Hi = Hr η = ηi + ηr = Hi cos kx . cos ωt
14
Perhatikan hal berikut: 1. Di depan dinding vertikal tercipta gelombang dengan tinggi 2x gelombang datang. 2. Standing wave tidak merambat. Titik node tidak berubah elevasinya. Di titik selain node EMA bergerak vertikal, simpangan terbesarnya di antinode. 3. Semua rumus gelombang merambat ( progreesive wave) berlaku, namun hati-hati di tinggi gelombang. Hs = 2 x Hi
6. Energi Gelombang Energi total = energi potensial + energi kinetik Energi Potensial
Tinjau kolom air dx (lebar dalam arah tegak lurus bidang gambar = 1 satuan). Elemen energi potensial kolom terhadap dasar perairan:
∙ ∙
Energi potensial (PE) suatu kolom pada suatu saat. Kolom beda lokasi dan waktu menghasilkan PE berbeda. Energi potensial gelombang didefinisikan sebagai energi potensial kolom rata-rata yang dihitung per satu panjang gelombang (L).
→ dibagi dengan L menghasilkan rata-rata
(4.64)
15
Selanjutnya, perhatikan yang disebabkan oleh gelombang saja.
(4.66)
Energi Kinetik Tinjau kolom air yang sama
Elemen energi kinetik:
∙
d(KE) adalah elemen energi kinetik. KE gelombang didefinisikan sebagai rata-rata KE kolom air, dihitung sepanjang satu panjang gelombang (L).
(4.74)
Energi Gelombang
(4.76)
! energi gelombang per satuan luas permukaan air
Flux energi gelombang = daya gelombang = Definisi:
∙ ∙
(4.77)
16
Keterangan: pD = tekanan dinamis (4.23) u = komponen kecepatan arah sumbu x (4.3a dan 4.3b)
∙∙
(4.81) → daya gelombang per satuan lebar dalam arah
E = energi gelombang C = cepat rambat
arah rambat gelombang
(4.82b)
Ilustrasi
Gelombang datang di suatu pantai dengan H 0 = 2 m, T = 7 s. PLTO hendak dibangun di kedalaman h = 8 m. Anggap gelombang datang selalu tegak lurus garis pantai (mengabaikan masalah refraksi). Efisiensi PLTO mengkonversi energi gelombang menjadi energi listrik sebesar 50%. Hitung: 1. E di perairan dalam. 2. E di kedalaman 8 m. 3. Daya gelombang di lokasi PLTO. 4. Daya listrik jika PLTO dibuat sepanjang 1 km. Jawab: 1) H = H0 = 2 m E=
3
2
2
2
= (1025 kg/m )(9,81 m/s )(2 m) = 5027,625 J/m
17
2)
∙ =
= 76,5 m
= 0,105
Dari tabel SPM diperoleh: Diperkenalkan:
. Maka, L = 55,06 m
= perbandingan tinggi gelombang di suatu kedalaman terhadap tinggi gelombang di perairan dalam. = KS = koefisien shoaling (TANPA REFRAKSI)
∙
(4.116)
(4.90)
= 0,114
kh = 0,913
sinh 2kh = 3,024 → n = 0,802 tanh kh = 0,723 → KS = 1,313
H = KS H0 = 2,63
∙∙ E=
3)
2
= 8671,48 J/m
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
W/m → watt per satuan lebar
4)
1 km
W
Mahasiswa teknik kelautan ITB harus punya wawasan bermutu tentang energi dan laut RI. 1. Bangsa modern membutuhkan energi besar. 2. Energi RI saat ini dipasok oleh sumber fosil yang akan habis di masa depan. 3. Laut merupakan sumber energi yang terbarukan. 4. Indonesia memiliki laut yang sangat luas. 5. Bagaimana cara memanfaatkan energi laut Indonesia untuk kesejahteraan bangsa?
18
Transformasi Gelombang
Ingat parameter utama gelombang: 1. T = perioda → tidak berubah sepanjang perambatannya. 2. h = kedalaman perairan → kondisi fisik laut di tempat gelombang merambat. 3. L = panjang gelombang → terdefinisi untuk T dan h tertentu. 4. H = tinggi gelombang → pokok kejadian transformasi gelombang. Parameter yang berpengaruh paling besar untuk perencanaan, operasi, dan pemeliharaan bangunan laut. Produk dari kajian transformasi gelombang adalah distribusi tinggi dan arah gelombang dalam kawasan perairan yang ditinjau.
19
Di kelas : dipelajari prinsip perhitungannya menggunakan kasus dengan kondisi sederhana. Praktek profesi : perhitungan transformasi gelombnag dengan software
RCPWAVE
REF/DIF
SMS → CGWAVE
MIKE-21
Pemahaman: T (periode) tidak berubah sepanjang perambatan gelombang.
20
8. Refraksi Ingat rumus panjang gelombang
[konstan]
[konstan]
Makin kecil h, makin kecil c.
21
Hukum Snell dari fisika optik
Dari rumus ini dapat dihitung sudut α di tiap kedalaman. Perubahan Tinggi Gelombang Akibat Refraksi
Dalam bentuk rumus
→ daya di antara 2 lintasan gelombang b = lebar antara 2 lintasan gelombang yang ditinjau
Terus jabarkan:
Akan diperoleh rumus untuk perubahan tinggi gelombang H.
Kr = koefisien refraksi
(4.117)
22
Ks = koefisien shoaling
∙
Untuk garis pantai dengan garis kedalaman sejajar berlaku:
Cara menggunakan grafik Kr dan Ks.
9. Difraksi Gelombang terdifraksi merupakan gelombnag di daerah bayang-bayang suatu penghalang. Dalam praktik profesi, difraksi dihitung menggunakan perangkat lunak. Untuk di kelas diberikan 2 kasus sederhana.
23
Difraksi di belakang penghalang gelombang semi-infinite
Difraksi melalui celah (celah relatif sempit)
Koefisien shoaling dapat diperoleh dari tabel C-1 SPM. kh
tanh kh
sinh kh
cosh kh
Koefisien shoaling untuk kasus gelombang garis pantai
Tidak ada refraksi
Kr = 1
= Kr KS = KS
1. Difraksi di belakang penghalang gelombang semi-infinite
Grafik : nilai yang tercantum adalah nilai
.
24
Hd = tinggi gelombang terdifraksi H = tinggi gelombang datang Contoh
Diketahui denah pelabuhan seperti tergambar. Geometri pelabuhan: h = 10 m b = 400 m a = 100 m c = 150 m Gelombang datang: H=2m T=7s α = 30° Hitung / taksir: HA dan HB.
∙ Jawab:
=
= 76,5 m
= 0,1370
Dari tabel SPM diperoleh:
. Maka, L = 59,88 m
Titik A
Titik B
=0,18
25
Tool grafik yang digunakan di kelas merupakan tool “kuno” yang tidak dapat dipakai dalam praktek profesi. Kasus terlalusederhana dan hanya untuk keperluan pembelajaran. Pada prakteknya menggunakan software: RCPWAVE, GGWAVE, REF/DIF, MIKE-21. Dalam praktek tidak dijumpai breakwater semi-infinite pada grafik.
26
Contoh
Diketahui: Geometri pelabuhan: h = 10 m k = 600 m l = 400 m m = 250 m n = 150 m Gelombang datang: H=2m T=7s α = 15° Taksir tinggi gelombang di titik A. Karena tool yang tersedia adalah grafik untuk penghalang gelombang semi-infinite, maka digunakan pendekatan sebagai berikut.
Kasus 1: Hd1 = tinggi gelombang terdifraksi di titik A akibat peristiwa pada kasus 1.
Kasus 2: Hd2 = tinggi gelombang terdifraksi di titik A akibat peristiwa pada kasus 2.
27
Cara perhitungan dan penggunaan grafik mirip dengan soal difraksi semi-infinite. Tinggi felombang terdifraksi di titik A sebesar-besarnya adalah
Mengapa digunakan istilah sebesar-besarnya? Difraksi kasus 1 dengan kasus 2 bisa saling menguatkan atau saling melemahkan.
2. Difraksi melalui celah ( gap) pemecah gelombang Dalam prakteknya, celah bisa berupa pintu masuk pelabuhan, misal Pelabuhan Tanjung Priok.
Gelombang Pecah Gelombang harus pecah mendekati pantai sebagai mekanisme penghancuran energi gelombang melalui gesekan:
partikel air dengan partikel air (turbulensi)
air dengan dasar laut ( friction/gesekan)
28
Jenis gelombang pecah (sumber gambar: Dean, Dalrymple (2010) halaman 114) :
Spilling (pantai landai)
Plunging (pantai agak curam)
Surging (pantai curam)
Indikator jenis gelombang pecah:
Keterangan: β = sudut lereng pantai
29
H = tinggi gelombag L = panjang gelombang Indeks 0 → perairan dalam
Nilai Jenis Pecah Koefisien Pantul
0,1 Spilling 10 - 3
1,0 Plunging 0,1
3,0 Surging 0,8
5,0 Tidak pecah / pemantulan
[Sketsa set-up dan run up]
Terjadi sejumlah fenomena di dekat pantai: 1. Gelombang pecah, saat rasio mencapai
0,8.
2. Selanjutnya di kawasan surf zone, tinggi gelombang mengikuti kedalaman perairan 3. Akibat aksi gelombang, muka air rata-rata (MSL) di dekat pantai naik ( set-up).
.
*) Gambar dibuat terdistorsi. Skala vertikal tidak sama dengan skala horizontal. Set-down (MSL turun) di breaker line
(10.32)
= koefisien gelombang pecah Set-up (MSL naik) di garis pantai
0,8
(10.36)
4. Run-up/run-down adalah naik turunnya lidah air pada lereng pantai atau bangunan pantai akibat aksi gelombang. Yang menjadi perhatian praktisi teknik kelautan adalah run-up maksimum. Diperlukan untuk perhitungan puncak bangunan pantai dan untuk keperluan kriteria keselamatan.
30
∙
Rmax ditaksir dari persamaan empiris.
(9.3) Reeve, dkk. (2004). Coastal Engineering. Spoon Press.
= sudut lereng pantai/bangunan g = percepatan gravitasi T = periode gelombang Hi = tinggi gelombang datang pada lereng K = koefisien kekasaran (tabel 9.7 buku Reeve) Untuk beton, nilai K sebesar 2,3. α
Gaya Akibat Gelombang Filosofi perancangan bangunan:
Bangunan harus kuat menanggung beban: sendiri, operasional, dan lingkungan.
Untuk beban lingkungan alam yang sudah mapan ( established ) diketahui, beban dinyatakan sebagai gaya.
31
Untuk bangunan teratur → dihitung gaya akibat gelombang.
Untuk bangunan tidak teratur → pendekatan berbeda karena sukar menyatakan besar dan gaya akibat gelombang.
Gaya pada dinding vertikal
32
Struktur dinding vertikal dalam teknik kelautan dijumpai pada: 1. Dermaga jenis quary wall .
2. Dermaga dan breakwater Caisson.
Sudah dibahas:
Gaya lingkungan merupakan kekuatan alam yang harus diperhitungkan dalam desain bangunan. Di lingkungan laut, gelombang merupakan fenomena keseharian, bisa kecil, namun bisa sangat besar. Iptek kelautan baru dapat mengkuantifikasi gaya gelombang pada kondisi tertentu. o Gaya pada dinding vertikal. o Gaya pada silinder kecil. Tidak berarti untuk kondisi lain gaya gelombang tidak diperhitungkan. Dilakukan pendekatan lain jika pengetahuan analitis tidak memberikan jawaban.
Misalnya untuk desain breakwater dicari hubungan antara kondisi gelombang (diwakili oleh tinggi gelombang H) langsung dengan berat batu/unit pelindung breakwater, tanpa perlu menghitung besar gaya pada breakwater.
33
W = fungsi dari H → diperol eh dari laboratorium.
Untuk gaya pada dinding vertikal digunakan pendekatan.
Untuk kasus gaya gelombang pada silinder, ada dua kelompok kasus dalam teknik kelautan. A. Silinder vertikal
Kaki struktur bangunan lepas pantai pada umumnya.
Pilar dermaga jenis deck-on-pile. B. Silinder horizontal
Pipa pembawa minyak bumi/gas alam/air/kabel listrik/kabel komunikasi.
Kini dibahas gaya pada silinder vertikal. Peristiwa fisik:
34
Pendekatan teoritis
Dicari persamaan tekanan pada per mukaan silinder → diberikan oleh ilmu hidrodinamika.
Koordinat cartesian x, y, z Koordinat silinder r, θ, z ℓ = suatu jarak dari silinder ke lokasi di mana medan gelombang tidak terpengaruh oleh keberadaan silinder
∙ Tekanan = ΔP (di r=a, sudut θ)
Suku ① yang Mengandung U
(8.7)
35
Elemen gaya
Digambar distribusi dFD sebagai fungsi θ pada grafik datar dF D terhadap θ (fig. 8.2)
Diagram tekanan pada permukaan silinder secara teoritis.
Apa yang diperoleh: Resultan = 0. Artinya, secara teoritis tidak ada gaya yang dirasakan silinder. Kenyataan? Ada gaya pada silinder. Teori hidrodinamika yang dicoba adopsi hanya berlaku untuk aliran laminar dengan kecepatan U yang sangat rendah. Ini tidak terjadi pada aliran air pada umumnya (turbulen karena ν rendah alias encer). Dalam aliran turbulen terjadi vortex ( flow separation) → mengubah distribusi tekanan
36
Persamaan teoritis dimodifikasi menjadi:
∙
A ρ U CD
(8.12)
= luas proyeksi bidang kontak = kerapatan massa air laut = kecepatan partikel air akibat gelombang = drag coefficient
Drag coefficient → gesekan, tingkat hambatan
CD 1 (jika silinder mulus)
Lebih tidak menghambat
Menghambat
Menghambat
CD > 1
(8.11)
37
∙
Suku ② yang Mengandung
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
(8.14) (8.15)
V
= volume silinder yang dibahas
= percepatan partikel air = koefisien massa tambahan (added mass coefficient )
(8.13)
38
Jadilah persamaan Morison
∙∙
(8.32)
*) Ditulis U|U| agar ada arahnya. (+) dan (-) mengikuti tanda U. Contoh
∙
Hitung gaya gelombang yang bekerja pada silinder pada gambar di atas. =
= 76,5 m
= 0,1176
Dari tabel SPM diperoleh: k = 0,109 kh = 0,98 2 A=1mx1m=1m
. Maka, L = 57,69 m
3
x 1 m = 0,7854 m
; maksimum saat cos (kx-ωt) = 1 sebagai fungsi z.
CD = 1 CM = 1 + KM
; maksimum saat sin (kx-ωt) = 1 sebagai fungsi z.
39
KM = 1 untuk penampang lingkaran (fig. 8.6 DD 1991) CM = 2 cosh kh = cosh 0,98 = 1,52 sinh kh = sinh 0,98 = 1,145
∙ ∙∙ ∙ ∙
∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙∙∙ ∙ ∙ N
N
z (m) 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
cosh k(h+z) 1,655 1,521 1,405 1,305 1,222 1,152 1,097 1,054 1,024
dFD maks. (N) 1941,928 1639,772 1398,945 1207,956 1057,693 940,986 852,267 787,304 742,996
dFI maks. (N) 2811,639 2583,656 2386,400 2217,525 2075,022 1957,197 1862,649 1790,252 1739,147
-8,25
1,003
1070,284*
1704,303*
*) Luas dan volume dikali 1,5 karena tinggi elemen z sebesar 1,5 m.
40
∙ ∙
Untuk contoh soal tadi, FI lebih besar dari FD. Apakah selalu F I lebih besar dari FD? Dijawab di buku DD butir 8.3.5.
∙∙
Nanti akan diperoleh fig. 8.13 DD 1991.
41
Sumber : fig. 8.13. Dean, Dalrymple. 1991
Bisa dihitung:
Gaya drag max. (inersia = 0).
Gaya inersia max. (drag = 0).
Kombinasi gaya drag dan inersia untuk suatu waktu t sembarang. Kapan gaya total yang dialami silinder mencapai maksimum?
Butir 8.3.6 DD 1991.
Hitung saja dan dapatkan saat tepatnya.
∙ ∙
Pembahasan gaya total terbesar dari butir 8.3.6 DD 1991 Persamaan Morison : Ditulis dalam simbol lain:
∙ ∙ Secara matematis, FT maksimum terjadi saat:
; saat FT,max sebut t = tmax
1. 2.
(8.70)
(8.69)
42
Penurunan Teori gelombang Air Linear Buku teks Dean, Dalrymple 1991 Bab 3 Pengertian umum: Masalah gelombang air didekati secara matematika sebagai BVP ( Boundary Value Problem). Suatu BVP dalam matematika terdiri dari (masing-masing bisa lebih dari satu persamaan): 1. Persamaan pengatur (governing equation). 2. Syarat batas (boundary condition). 3. Kondisi awal (initial condition) → fakultatif Bentuk matematika BVP adalah PDP (persamaan diferensial parsial) → variabel independen lebih dari satu:
Waktu t.
Ruang x,y,z.
Jika variabel independen hanya satu → PDB (persamaan diferensial biasa).
Untuk mekanika gelombang air Persamaan pengatur = persamaan Laplace
____ (1)
(3.2)
2 dimensi (x,z) sesuai sketsa definisi.
Ini merupakan persamaan kekekalan massa → 1 dari 4 hukum dasar fisika.
Yang dicari adalah φ(x,z,t) = potensial kecepatan.
Dari pemahaman tentang matematika, φ diperoleh dari persamaan (1) melalui integrasi.
Setiap integrasi menghasilkan konstanta integrasi → dipecahkan melalui BC dan IC.
Mekanika gelombang air butuh BC; mekanika gelombang air tidak butuh IC.
43
Syarat batas ada 5 BC1 : Syarat gerak periodik dalam waktu
Dalam bentuk kalimat: Gelombang air berulang setiap interval waktu T (periode gelombang(
Besaran yang dibahas: φ(x,z,t) = potensial kecepatan.
Dalam bentuk matematika: φ(x,z,t) = φ(x,z,t+T).
Untuk memenuhi BC dipilih bentuk sinusoidal. Mengingatkan: bentuk konvensional fungsi sinusoidal adalah
∙ =
A,B,D = konstanta Bentuk komplek fungsi sinusoidal: =
BC2 : Syarat gerak periodik dalam r uang
Dalam bentuk narasi: Gelombang air berulang pada setiap jarak horisontal L (panjang gelombang)
Dalam bentuk matematika: φ(x,z,t) = φ(x+L,z,t).
BC3 : Syarat batas kinematis (SBK) di dasar perairan
Dalam pengertian fisik: Partikel air tidak dapat menembus dasar perairan yang horisontal dan kedap air.
w = 0 di z = -h di z = -h
BC4 : Syarat batas kinematis di permukaan bebas
Narasi: Partikel air yang berkedudukan di permukaan, akan terus bertahan pada permukaan (tidak memercik ke udara, tidak menyusup ke dalam domain). Menyatakan narasi di atas dalam bentuk matematika memerlukan pencermatan (DD 1991 butir 3.2.2). Hasilnya:
di z = η
Bentuk di atas tidak linear: i. Unknown (yang tidak diketahui) (η,w,u) diberikan persamaannya di tempat yang tidak diketahui (z = η).
44
ii.
Ada perkalian unknown u dan unknown
→ dilinearkan menjadi :
di z = 0 atau di z = 0
BC5 : Syarat batas dinamik (SBD) di permukaan bebas
Untuk BC ini digunakan Persamaan Bernoulli. Bentuk persamaan Bernoulli:
Pengertian fisik BC ini : Di permukaan, tekanan = 1 atm (mutlak) dan 0 (relatif) Dalam bentuk persamaan Bernoulli:
di z = η
BC5 setelah dilinearisasi:
di z = 0 atau
di z = 0
Tiga komponen BVP TGL (Teori Gelombang Linear): 1. Sketsa definisi → gambar 2. Persamaan pengatur → 1 persamaan 3. 5 boundary conditions Arti “menyelesaikan” adalah mendapat pernyataan matematika eksplisit untuk besaran gelombang air yang dicari → φ(x,z,t)
Solusi akhirnya berbentuk:
Langkah Penyelesaian BVP Teori Gelombang Linear Langkah 1 Dipilih bentuk matematika solusi sebagai berikut:
∙ ∙
Langkah 2 Pilih fungsi waktu sebagai sinusoidal
Fungsi φ menjadi
.
45
Ini memenuhi BC1. BC1 sudah terpakai.
BC1 Substitutsi φ ke persamaan pengatur
Persamaan sebelumnya hanya benar jika suku 1 dan 2 di ruas kiri adalah konstanta yang sama besar dengan tanda berlawanan.
Langkah 3
Tinjau persamaan
(nanti
)
Solusi atas ODE ini adalah:
; C1 dan C2 merupakan konstanta.
Terapkan SBK di dasar perairan.
BC3
di z = -h
∙ ∙ ∙ ∙ Langkah 4
Tinjau persamaan Solusi ODE: φ menjadi:
Ambil bentuk (kx-ωt) karena diinginkan gelombang merambat ke arah sumbu x positif.
46
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Terapkan SBD di permukaan bebas.
BC5
∙
dipilih 0 agar persamaan rata-ratanya 0.
Jika C(t) tidak 0, rata-rata tidak bisa sama dengan 0.
BC2
∙ Maka diperoleh:
∙ ∙ ∙∙ Langkah 5 Susun φ
Bentuk ini masih kompleks. Suku i tidak punya arti fisik karena Ambil suku riil sebagai solusi.
tidak fisik.
