HỌC HUẾ HUẾ ĐẠI ĐẠI HỌ TRUNG TÂM ĐÀO TẠ TẠO TỪ TỪ XA XA TS. NGUYỄ NGUYỄN HOÀNG
GIÁO TRÌNH
KHÔNG GIAN MÊTRIC (CƠ (CƠ S SỞ GIẢ Ở GI ẢI TÍCH)
Huế Huế - 2007
1
MỤC LỤ LỤC LỜI NÓI ĐẦU ................................ ................................................. .................................. ................................. ................................. ......................... ........33 A. KIẾ N THỨ C BỔ SUNG.......................................................................................5 § 1 TẬP HỢP SỐ THỰ C.......................................................................................5 C.......................................................................................5 §2. LỰ C LƯỢ NG CỦA CÁC TẬP HỢP............................................................10 B. KHÔNG GIAN MÊTRIC..................................... MÊTRIC...................................................... ................................... .............................. ............16 16 §1. KHÁI NI ỆM MÊTRIC. .................................. ................................................... ................................... .............................. ............16 16 BÀI TẬP.................................... P..................................................... .................................. ................................... ................................... ....................... ......21 21 §2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG..............................................................................23 BÀI TẬP.................................... P..................................................... .................................. ................................... ................................... ....................... ......30 30 §3. ÁNH XẠ LIÊN TỤC ................................. .................................................. .................................. .................................. ................... 32 BÀI TẬP.................................... P..................................................... .................................. ................................... ................................... ....................... ......37 37 $4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ ...............................................................38 BÀI TẬP.................................... P..................................................... .................................. ................................... ................................... ....................... ......50 50 §5 KHÔNG GIAN COMPACT .................................. ................................................... .................................. ........................ .......52 52 BÀI TẬP.................................... P..................................................... .................................. ................................... ................................... ....................... ......67 67 §6. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG ................................. ................................................... ................................... ................... 69 BÀI TẬP.................................... P..................................................... .................................. ................................... ................................... ....................... ......71 71 C. LỜI GIẢI VÀ HƯỚ NG DẪ N................ N ................................. .................................. .................................. ........................... ..........72 72 PHẦ N A ................................. .................................................. ................................... ................................... .................................. .......................... .........72 72 PHẦ N B ................................. .................................................. ................................... ................................... .................................. .......................... .........73 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................87
2
ĐẦU LỜ I NÓI ĐẦU Giáo trình này đượ c viết dựa trên bài gi ảng cho sinh viên khoa Toán tr ườ ng ng ĐHSP Huế trong những năm vừa qua. Học phần này có mục đích trang bị những kiến th ức căn bản về giải tích hi ện đại mà bất cứ sinh viên Toán nào c ũng phải nắm đượ c. c. Khác v ớ i giải tích cổ điển, trong đó ngườ i ta làm vi ệc chủ yếu trên k tậ p IR IR các bộ k s ố thực, ở đ ở đây các khái ni ệm c ơ bản c ủa giải thích như lân cận, giớ i h ạn liên tục… đượ c xét trong không gian t ổng quát hơ n mà phần t ử của nó có thể là các đối tượ ng ng tuỳ ý miễn sao có thể xác định đượ c khoảng cách gi ữa hai phần tử đó. Ngoài m ột cách bản chất và sâu s ắc những kiến thức về giải thích cổ điển đã học trong nh ững năm tr ướ c, cũng như chuẩn bị để học tốt các học ướ c, phần tiế p theo như lý thuyết độ đo, tích phân, gi ải tích hàm… Các khá nhi ều sách viết về không gian mêtric, tuy nhiên ng ườ i ta thườ ng ng chỉ trình bày nh ững kiến th ức đủ dùng cho mục đích của cu ốn sách đó nên ch ưa có một giáo trình t ươ ng ng đối hoàn ch ỉnh riêng cho ph ần lý thuyết này. Ở đây, bạn đọc sẽ thấy nhiều bài tậ p đượ c đưa vào v ớ i tư cách rèn luy ện tư duy và đồng thờ i cũng có thể xem như bài bổ sung lý thuy ết. Phần l ớ n các bài t ậ p đều có lờ i gi ản tóm tắt ho ặc chi ti ết. Điều này có l ẽ sẽ mang lại l ợ i ích thi ết th ực r ất h ạn ch ế và cũng có ít sách gi ải bài tậ p để giúp cho sinh viên trong lúc h ọc tậ p. Để học tốt học phần này, về nguyên tắc sinh viên ch ỉ cần nắm đượ c nh ững kiến thức sơ cấ p về lý thuyết tậ p hợ p và ánh xạ, phép qui n ạ p và các suy lu ận logic toán h ọc. Cần phải biết diễn tả một mệnh đề bằng nhiều mệnh đề tươ ng ng ng vớ i nó cũng như hiểu và v ận dụng cách ch ứng minh hay xây d ựng các đối đươ ng tượ ng ng bằng qui n ạ p hữu hạn. Tuy nhiên để có thể hiểu sâu sắc và nhất là làm đượ c các bài t ậ p. Ở đây, ngôn ng ữ hình học đượ c dùng để diễn t ả các khái ni ệm không gian mêtric, nh ưng đôi lúc có nh ững v ấn đề vượ t ra khỏi tr ực giác và suy luận chủ quan thông th ườ ng. ng. Do đó vớ i từng khái ni ệm, ngườ i học nhất thiết phải hiểu thấu đượ c định ngh ĩ a, a, tự mình tìm đượ c những ví d ụ minh họa cho các định ngh ĩ a đó. Như Dieudonne đã nói:... tr ực quan hình h ọc, cùng vớ i sự đề phòng thích đáng là m ột ngườ i hướ ng ng dẫn r ất đáng tin t ưở ng ng trong hoàn c ảnh tổng quát… Cuốn sách đượ c chia làm hai ph ần. Phần kiến thức bổ sung nêu l ại một cách có hệ thống các tính ch ất của tậ p số thực IR. Sinh viên t ăng cườ ng ng chú ý đến khái niệm infimum và suptemum c ủa một t ậ p s ố thực và cần s ử dụng một cách thành
3
thạo, biên soạn. Về khái niệm lực lượ ng ng tậ p hợ p, cần nắm đư ng hợ p nào đượ ợ c trong tr ườ ườ ng thì một tậ p là đếm đượ c, c, Phần thứ hai là ph ần chính c ủa chươ ng ng trình. Có nhi ều con đườ ng ng để trình bày các khái ni ệm. Ở đây chúng tôi ch ọn cách ti ế p cận vớ i ngôn ng ữ thườ ng ng dùng, một mặt để ngườ i học dễ nhớ , mặt khác ph ần nào giải thích lý do đưa ra tên gọi như vậy. Tuy nhiên, nh ất thiết ph ải đượ c hi ểu theo đúng định ngh ĩ a. a. Các khái niệm quan tr ọng phải k ể đến là h ội tụ, mở , đóng, liên t ục, đầy đủ, compact… Đặc tr ưng phần này là n ặng về suy luận hơ n tính toán, h ơ n nữa nhiều thuật ngữ chồng chất lên nhau làm ng ườ i mớ i học thấy lúng túng. Vì th ế sinh viên nên tìm thêm ví d ụ và hình ảnh tr ực quan để dễ nhớ . Sau khi n ắm đượ c lý thuyết, các b ạn t ự mình giải các bài t ậ p c ẩn th ận tr ướ ướ c khi xem l ờ i gi ải. Các bài tậ p khó hơ n có đánh dấu * dành cho sinh viên khá, và ph ải có thờ i gian nghiền ngẫm nhiều hơ n. n. Tác giả xin cám ơ n các bạn trong t ổ Giải tích khoa Toán tr ườ ng ĐHSP Huế ườ ng đã động viên góp ý khi vi ết cuốn sách này. Mong đượ c nhận đượ c những phê bình của các đồng nghiệ p gần xa. Tác giả
4
A. KIẾ KIẾN THỨ THỨ C BỔ BỔ SUNG § 1 TẬ TẬP HỢ HỢ P SỐ SỐ THỰ THỰ C Chúng ta đã ti ế p xúc nhi ều vớ i tậ p h ợ p số thực từ chươ ng ng trình toán ở bậc phổ thông. Có nhi ều cách xây d ựng tậ p hợ p số thực, chẳng hạn dùng nhát c ắt Dedekind, các dãy c ơ bản…. của t ậ p h ợ p s ố hữu t ỉ Q. Ở đây v ớ i m ục đích là h ệ thống lại những kiến thức cần thiết cho giải tích, chúng tôi s ẽ chọn một s ố mệnh đề cơ bản làm tiền đề để định ngh ĩ a t ậ p h ợ p s ố thực. Các tính ch ất còn lại đượ c suy từ các tiên đề này. 1.1. Định ngh ĩ a: a: Định ngh ĩ Tậ p hợ p số thực, ký hiệu IR là một tậ p cùng vớ i các phép toán c ọng + và nhân . xác định trên đó, thoả mãn các tiên đề sau: I. (IR, +) là m ột nhóm cọng Abel, t ức là vớ i mọi x, y, z thuộc IR ta có: x + y = y + x x + (y + z) = (x + y) + z ∃ 0 ∈ IR ∀ x ∈ IR ( ∃ ) ( ∀ ): x + 0 = 0 + x= x ∀ x ∈ IR ∃ (-x)∈ IR ( ∀ )( ∃ ): x + (-x) = 0
II. (IR *,.) là một nhóm phân Abel, trong đó IR IR * = IR \{0}, ngh ĩ a là v ớ i m ọi x, IR *, ta có: y, z thuộc IR xy = yx x( yz) = (xy) z (( ∃ 1 Є IR *) : x1= 1x = x (∀x ∈ IR *)(∃ x-1∈ IR *): xx -1 = x-1x = 1 (Ở đây để cho gọn, ta viết xy thay cho x.y) III. Phép nhân có tính ch ất phân ph ối đối vớ i phép cọng: Vớ i mọi x,y thu ộc IR ta có: x(y + z) = xy+ xz
Như thế IR cùng vớ i các phép toán c ọng và nhân l ậ p thành một tr ườ ng ườ ng IV. IR là một tr ườ ng đượ c sắ p thứ tự, ngh ĩ a là trong IR có xác định một quan ườ ng hệ thứ tự ‘≤’ thoả:
5
1. x ≤ y và y ≤ z kéo theo x ≤ z 2. x ≤ y và y ≤ z tươ ng ng đươ ng ng x = y 3.Vớ i hai ph ần tử tuỳ ý x,y Є IR thì thì hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x 4. x ≤ y kéo theo x + z ≤ y + z vớ i mọi z ∈ IR 5. 0 ≤ x và 0 ≤ y kéo theo 0 ≤ xy Nếu x ≤ y và x ≠ y thì ta vi ết x < y hay y > x . V. Ta gọi một nhát c ắt trong IR là m ột cặ p (A,B) các t ậ p con của IR sao cho A, B khác tr ống, A ∩ B = Ø, IR = A ∪ B và vớ i mọi a ∈ A, b ∈ B thì a < b . ng đượ c sắ p liên tục, ngh ĩ a là: V ớ i mỗi Tiên đề Dedekink. IR là một tr ườ ườ ng nhát cắt (A,B) của t ậ p IR IR đề đều x ảy ra: hoặc có một ph ần t ử lớ n nh ất trong A ho ặc có m ột ph ần t ử nhỏ nhất trong B và không th ể vừa có ph ần t ử lớ n nh ất trong A, vừa có phần tử nhỏ nhất trong B. Phần tử lớ n nhất trong A (ho ặc phần tử nhỏ nhất trong B) gọi là biên c ủa nhát cắt (A,B). Tậ p hợ p số thực cũng gọi là đườ ng ng thẳng thực.
1.2. Các tính chấ ch ất cơ cơ b bản: 1.2.1 Supremum và infimum : Cho M là một t ậ p con khác tr ống c ủa IR. Số x ∈ IR đượ c g ọi là một c ận trên của M nếu vớ i mọi y ∈ M thì y ≤ x, số x ∈ IR gọi là cận dướ i của M nếu x ≤ y vớ i mọi y ∈ M . Tất nhiên n ếu x là cận trên (t ươ ng ng ứng, cận dướ i) i) thì v ớ i mọi x1 > x ( t.ư… x1 < x) cũng là cận trên (t. ư cận dướ i) i) của tậ p M. Cận trên bé nh ất (nếu có) của tậ p M đượ c gọi là supremum c ủa tậ p M , ký hiệu sup M . Như vậy, α = sup M khi và ch ỉ khi i)∀ x ∈ M : x ≤ α ≤ α ’ ’ ii) (∀ α ∈ α ∈ α < α) (∃ x ∈ M) : α < x (Điều kiện ii) nói r ằng vì α là cận trên bé nh ất nên nếu α’ β ) (∃ x ∈ M) : x < β
Nguyên lý supremum: Mọi tậ p con khác tr ống của IR có c ận trên thì ph ải có supremum. Cũng vậy, mọi tậ p con khác tr ống của IR có c ận dướ i thì ph ải có infimum. Chứ ng ng minh: Giả sử M ≠ Ø và c là m ột c ận trên của M . Ta hãy xét các t ậ p hợ p sau: 6
A ={ x Є IR: ( ∃ ∃ a ∈ M) M) x x ≤ a}; B ={ y Є IR : ( ∀ ∀a Є M) a < y}. Khi đó A ≠ Ø vì M ⊂ A; B ≠ Ø vì vớ i c’ > c thì c’ Є B. V ớ i m ọi z Є IR thì R thì hoặc z Є A hoặc z Є B nên IR = A ∪ B. Nếu z Є A∩B thì có a ∈ M sao cho z ≤ a < z hay z < z, vô lý nên A ∩B = Ø. Hơ n nữa, nếu x ∈ A , y ∈ B ta có x ≤ a < y vớ i a, (A,B) là một nhát cắt c ủa IR. Gọi a nào đó thuộc M nên x < y. Theo định ngh ĩ a, m là biên của (A,B). Khi đó ta s ẽ có m = sup A. Th ực v ậy, chẳng h ạn m ∈ A thì theo định ngh ĩ a sẽ có a ∈ M để m ≤ a vì M ⊂ A nên m = a. Còn nếu m Є B thì ∀a ∈ M : a < m. Nếu m’ < m thì m’∉ B tức là m’ ∈ A, hơ n nữa m’ không ph ải là phần tử lớ n nhất trong A nên có m”∈ A, a ∈ M để m’ < m’’ ≤ a < m. Phần còn lại của định lý ch ứng minh tươ ng ng tự. Chú ý: Giả sử M là một tậ p con khác r ỗng c ủa IR nhưng không có c ận trên nào cả. Khi đó ta quy ướ c sup M = + ∞. Tươ ng ng tự, nếu M không có c ận dướ i,i, ta quy ướ c inf M = - ∞. 1.2.2 Ta g ọi các số a ∈ IR , a > 0 là số dươ ng, ng, a < 0 là số âm và đặt ⎪ x⎪ nếu x ≥ 0; ⎪ x⎪= - x nếu x < 0 và gọi ⎪ x⎪là giá tr ị tuyệt đối của số thực x. Số a ∈ IR gọi là giớ i hạn của dãy s ố (xn)n ⊂ IR và ký hi ệu lim xn = a nếu: n →∞
(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ≥ n0): ⎟ x – a⎟ < ε Dãy (xn )n gọi là đơ n điệu tăng (t.ư giảm) nếu xn ≤ xn+1 (t.ư xn ≥ xn+1) vớ i mọi bị chặn trên (t.ư dướ i) i) n ếu t ậ p { xn} có cận trên (t.ư., d ướ i) i) h ội t ụ nếu ( xn) n ∈ N b có giớ i hạn. Nguyên lý Weierstrass: Mọi dãy đơ n điệu t ăng (t.ư.,giảm) và bị chặn trên (t.ư., dướ i) i) đều hội tụ. Chứng minh: Gi ả sử ( x xn)n là một dãy đơ n điệu tăng và b ị chặn trên. Theo nguyên lý supremum, t ậ p { xn} có một supremum α. Vớ i ε > 0 cho tr ướ c, theo điều ướ c, kiện ii) có s ố nguyên n0 sao cho α – ε < x n0. Mặt khác, theo tính đơ n điệu t ăng của dãy ( xn), ta có α – ε < xn0 ≤ xn < α + ε vớ i m ọi n ≥ n0. Khi đó:⎟ xn – α⎥ < ε vớ i mọi n ≥ n0. Như vậy dãy ( xn) hội tụ về α. Tr ườ ng hợ p ( x ườ ng xn) là dãy đơ n điệu giảm, bị chặn dướ i cũng đượ c chứng minh tươ ng ng tự. 1.2.3. Các ph ần tử của tậ p IR IR: 0, 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 ... và -1, -2, -3… g ọi là các số nguyên, ký hi ệu tậ p các số nguyên là Z. Tậ p Z không có c ận trên và cận dướ i.i. Thật vậy, nếu Z có cận trên α thì dãy đơ n điệu tăng 1, 2, 3… ph ải có giớ i hạn α; lúc đó α – 1 < p vớ i một p nào đó của Z và thành ra α < p + 1 trái vớ i α là a
cận trên. Ký hi ệu Q = { ab-1 = b , a, b Є Z, b ≠ 0} và gọi nó là t ậ p hợ p các số hữu tỉ, còn N là tậ p số nguyên d ươ ng ng (số tự nhiên) ta có bao hàm th ức sau:
7
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR Nguyên lý Archimède: Cho hai số thực a, b bất k ỳ vớ i a > 0. Khi đó t ồn t ại n Є N sao cho b < na. Thực vậy, do N không bị chặn trên (tức là không có c ận trên) nên v ớ i số thực
b
b
sẽ có n ∈ N để a < n hay b < na a 1.2.4. Các t ậ p
(a, b) = { x ∈ IR: a < x < b } và [a,b] = {x ∈ IR: a ≤ x ≤ b} lần lượ t gọi là kho ảng (hay kho ảng mở ) và đoạn (hay kho ảng đóng). Một dãy đoạn {[an , bn]} gọi là thắt lại nếu [an+1 ,bn+1] ⊂ [an ,bn] và lim ( b n − a n ) = 0 n →∞
Nguyên lý Cantor: Mỗi dãy đoạn thắt lại có một phần tử duy nhất chung cho tất cả các đoạn ấy. Chứ ng ng minh: Giả sử ([an , bn])n là dãy đoạn thắt lại. Ta có: a1 ≤ a2 …≤ an+1 ≤ …≤ bn+1 ≤ bn ≤ … ≤ b1 vớ i m ọi n Є N. Theo nguyên lý Weierstrass, dãy (an )n tăng, bị chặn trên (bở i b1 chẳng hạn) nên hội tụ về số ξ = sup {an}. Như thế an ≤ ξ vớ i mọi n. Nếu ξ ∉ [ano , bno] vớ i m ột n0 nào đó thì ắt hẳn bno < ξ. Đặt ε = ξ - bno. Khi đó vớ i n đủ lớ n thì ξ - a n < ξ - bno tức là bno < an! vô lý. V ậy ξ Є [an ,bn] vớ i mọi n. Mặt khác, n ếu có ξ’ Є[an,bn] vớ i mọi n thì⎥ ξ-ξ’⎥ ≤ bn – an. Do đó 0 ≤⎥ ξ-ξ’⎥ ≤ lim (bn − an ) = 0 n →∞
’
hay⎥ ξ-ξ ⎥ = 0 ngh ĩ a là ξ = ξ’ 1.2.5. Dãy ( xn) đượ c gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên v ừa bị chặn dướ i.i. Điều này t ươ ng ng đươ ng ng vớ i: i: (∃ a ∈ IR)( ∀ ∀ n ∈ N):⎟ xn⎟ ≤ a Nguyên lý Bolzano –Weierstrass: Mọi dãy số thực bị chặn (xn )n đều có một dãy con h ội tụ. Chứ ng ng minh: Theo gi ả thiết, t ồn t ại s ố a sao cho v ớ i m ọi n Є N ta có – a ≤ xn ≤ a. Trong hai giai đoạn [-a,0] và [0,a] phải có một đoạn chứa vô số các phần tử xn (nếu không, hoá ra (xn )n chỉ có hữu hạn các số hạng). Ta gọi đoạn này là a1+ b1 . Trong hai đoạn [ a1 ,c1] và 2 [c1 ,b1] cũng có một đoạn chứa vô số các xn, ký hiệu đoạn này là [ a2 ,b2] và lại a +b chia đôi đoạn này bở i điểm giữa c2 = 2 2 v.v... Ti ế p tục quá trình đó ta thu
[a1 ,b1].Chia hai đoạn này bằng điểm gi ữa c1=
2
8
đượ c một dãy đoạn thắt lại [ak , bk ] (vì hiển nhiên [ak+1 , bk+1] ⊂ [ak , bk ] và bk – ak =
a k
→0
2 chung
khi k → ∞). Theo nguyên lý Cantor, dãy đoạn này có duy nh ất phần tử
ξЄ
∞
I [ak , bk ] .
k =1
Vì mỗi đoạn [ ak , bk ] chứa vô số các phần t ử xn nên ta
hãy lấy phần tử xn1 ∈ [a1 , b1] r ồi xn2 ∈ [a2 , b2] vớ i n2 > n1, xn3 ∈ [a3 , b3], n3 > n2… khi đó ( x xnk )k là dãy con c ủa dãy ( xn)n và⎟xnk – ξ⎪ ≤ bk - ak → 0 (k → ∞), ngh ĩ a là dãy ( xnk ) hội tụ về ξ. 1.2.6 Dãy số thực ( x xn)n đượ c gọi là dãy c ơ bản (hay dãy Cauchy) n ếu: (∀ ε > 0)(∃ n0 )( ∀ ∀ n ≥ n0 )( ∀ ∀ m ≥ n0 ) : ⎪ xn –xm⎪ < ε Nguyên lý Cauchy: Mọi dãy số thực cơ bản thì phải hội tụ: Chứ ng ng minh: Tr ướ ướ c h ết ta chứng minh r ằng n ếu (xn)n cơ bản thì nó ph ải bị chặn. V ớ i ε = 1, t ồn t ại n0 để vớ i m ọi n ≥ n0 ta có ⎪ xn –xno⎪ < 1 hay xno - 1≤ xn ≤ xno + 1. Đặt a = max { ⎪x1⎪,… ,⎪xno⎪, ⎪xno⎪+1}, khi ấy vớ i mọi n thì -a ≤ xn ≤ a. Do đó theo nguyên lý Bolzano- Weierstrass, dãy ( xn)n có một dãy con xnk h ội tụ về ξ. Bây giờ vớ i ε > 0 cho tr ướ ướ c sẽ có n0 sao cho v ớ i m, n ≥ n0 thì⎪xn – xm⎪< ε/2 do (xn)n cơ bản. M ặt khác xnk → ξ nên cũng tồn tại số m0 để nếu n ≥ m0 thì | xnk – ξ | < /2. ε/2. Đặt n0’ = max(n0 , m0) khi đó nếu n > n0’ thì
⎪ xn – ξ ⎪ ≤ ⎪xn – xnk ⎪ +⎪ xnk – ξ ⎪ < ε/2 + ε/2 = ε. Vậy dãy (x n)n cũng hội tụ về ξ và điều này k ết thúc vi ệc chứng minh. 1.2.7. Tính trù mậ m ật củ của tậ tập Q trong I trong IR R: Định Định lý: Vớ i mỗi cặ p số thực (a;b), a < b bao giờ cũng tồn tại một số hữu tỉ r sao cho a < r < b. Chứ ng ng minh: Do tậ p IR có tính ch ất Archimède nên có s ố nguyên n để n > 1 hay b - a > 1/n. T ươ ng ng t ự, có số nguyên p để p ≥ nb. Gọi q là số nguyên bé b-a q-1 q-1 nhất thoả mãn q ≥ n, do đó q-1 < nb hay n < b. Lúc này a < n vì n ếu a ≥ q-1 q-1 q q-1 s d n n ẽ ẫ đế b-a ≤ b < = 1/n trái vớ i b-a > 1/n tr ở ở lên. Vậy ta n n n n q-1 tìm đượ c số hữu tỉ r = n ∈ (a,b)
Sự kiện phát biểu b ở i định lý trên đượ c g ọi là tậ p s ố hữu t ỉ Q trù mật trong tậ p số thực IR. Cũng từ định lý này, ta suy ra trong kho ảng (a,b) có chứa vô s ố số hữu tỉ. 9
§2. LỰ C LƯỢ LƯỢ NG NG CỦ CỦA CÁC TẬ TẬP HỢ HỢ P Cho một tậ p hợ p A, có các ph ần tử là những đối tượ ng ng nào đó. Ta chưa quan tâm đến bản chất các đối tượ ng ng này. Tr ướ ng” ướ c hết hãy th ử để ý đến “số lượ ng” các phần tử của tậ p hợ p A. Có thể xảy ra một trong hai kh ả năng: - Nếu đếm hết đượ c các phần tử của tậ p hợ p A thì A đượ c gọi là t ậ p hữu hạn và số nguyên cuối cùng đếm tớ i chính là s ố lượ ng ng các phần tử của tậ p hợ p A. - N ếu vi ệc đếm các phần t ử của t ậ p h ợ p A không th ể nào k ết thúc đượ c thì tậ p hợ p A đượ c gọi là t ậ p hợ p vô hạn. - Bây gi ờ chúng ta mu ốn so sánh “s ố lượ ng” ng” các ph ần tử của hai tậ p A, B. Nếu trong hai t ậ p này có ít nh ất một tậ p hữu hạn thì vi ệc so sánh tr ở ở nên dễ dàng nhờ việc đếm các phần tử. Tr ườ ng hợ p cả A lẫn B đề vô hạn thì cách đếm không ườ ng thể thực hi ện nên ch ưa so sánh đượ c. c. Ta xét ví d ụ sau. Ký hiệu B là t ậ p h ợ p các số tự nhiên chẵn: B = {2,4,6,… , 2n,…} Hiển nhiên B là t ậ p con thực sự của tậ p số tự nhiên N = {1, 2,3,…}. Tuy nhiên chúng ta không th ể quả quyết r ằng “số lượ ng” ng” các ph ần tử của N nhiều gấ p đôi “số lượ ng” ng” các ph ần tử của B. Mặt khác, thực chất của việc đếm là thực hiện một đơ n ánh từ tậ p ta đếm vào tậ p s ố tự nhiên N và mu ốn bi ết hai tậ p h ợ p có cùng s ố lượ ng ng hay không, ta chỉ cần xem có th ể thiết lậ p một song ánh gi ữa hai t ậ p này ( tức là có thể cho tươ ng ng ứng m ỗi ph ần t ử của t ậ p này vớ i m ột và chỉ một ph ần t ử của t ậ p kia) hay không. Bằng phươ ng ng pháp này, vi ệc so sánh “s ố lượ ng” ng” phần tử của tậ p h ữu hạn hay vô h ạn vẫn còn hiệu lực. 2.1. Tậ Tập hợ hợ p tươ tươ ng ng đươ ng: ng: ng đươ ng ng vớ i nhau n ếu 2.1.1. Định ngh ĩ a: a: Ta nói hai t ậ p hợ p A, B là t ươ ng Định ngh ĩ tồn tại một song ánh t ừ A lên B. 2.1.2. Ví dụ dụ: 1. Hai tậ p h ợ p h ữu h ạn có cùng m ột s ố lượ ng ng các ph ần t ử thì tươ ng ng đươ ng ng vớ i nhau. 2. Ở ví dụ trong phần mở đầ ng đươ ng ng ở đầu, hai tậ p B = { 2,4,...,2n,…} và N tươ ng vớ i nhau vì ta có m ột song ánh t ừ N lên B xác định bở i n → 2n, n ∈ N. Nhận xét: Tậ p B có đượ c t ừ N sau khi bỏ đi t ất c ả các số nguyên l ẻ nhưng B vẫn tươ ng ng đươ ng ng vớ i N. Điều này không th ể xảy ra đối vớ i các t ậ p hữu hạn.
10
