KATIHAL FİZİĞİ DERSİ KONULARA GÖRE ÖZET BİLGİLER Yazan: Me hm e t TAŞKAN HTML Derleme: Ze k i Ç IPLAK
KRİSTALDE KIRINIM 1) KATILARIN SINIFLANDIRILMASI: Modern katıhal fiziği, göze katı olarak görünen bütün maddeleri incelemek yerine, yapılarında gözlenen simetri, daha kolay incelenebilme ortamı oluşturduğu için özellikle kristal özelliğe sahip olan maddeleri konu olarak alır. Kristal yapı gösteren katıları sınıflandırmanın en kolay ve basit yolu onları metaller ve metal olmayanlar diye ikiye ayırıvermektir. Metaller yüksek elektriksel iletkenliğe sahiptirler ve serbest elektronları vardır. Buna karşılık metal olmayan katılar (ametaller) yalıtkan özellik gösterirler ve sadece yörünge elektronları bulunur. Metalik olmayan kristal özellikli katılarda, katının oluşması sırasında atomların değerlilik elektronlarını özelliklerine göre üç grupta sınıflandırılabilirler. Bunlar; iyonik kristaller, kovalent kristaller ve moleküler kristallerdir. İyonik kristale iyi bir örnek NaCl kristalidir ve bu tür kristallerde katyonun değerlilik elektronları tümü ile anyona geçer, böylece katı zıt yüklü iyonların çekimi ile bağlanmış olur. İyonik kristaller, düşük elektrik ve ısı iletimine sahiptirler, erime noktaları yüksektir, kırılgan ve renksizdirler. Kovalent kristallerde değerlilik elektronları atomlar arasında paylaştırılmıştır. Bunlar, yarı-iletken özelliğe sahip ve serttirler. Moleküler kristallerin değerlik elektronları ne anyondan katyona geçer, ne de atomlar arasında paylaşılır, serbest atom veya moleküldeki durumlarını değiştirmezler. Bu tür kristaller, düşük elektrik ve ısı iletimi gösterirler, yumuşak ve alçak erime noktasına sahiptirler.
2) BİRİM ÖRGÜ HÜCRESİ: Kristal yapı belirli bir düzen içerisinde bir araya gelen atomların bu düzenlerini üç boyutta periyodik olarak devam ettirmeleri sonucu oluşur. Atomların ortaya çıkardığı düzeni bir nokta ile gösterecek olursak, üç boyutta oluşan kristal, noktalardan yapılmış bir kafes gibi düşünülebilir. İşte bu kafese örgü denir. Örgüde alınan bir noktadan çıkan üç boyutta a, b, c vektörlerinin kristal içerisinde belirlediği hacme birim örgü hücresi denir.
3) ÖRGÜ ÇEŞİTLERİ: Kristal içersinde alınan her hangi bir nokta RUVW =ua+vb+wc ötelemesi ile
belirlenebilir. Burada a, b, c kristalin referans eksenlerini oluşturan vektörler u, v, w ise tamsayıdırlar. Bu vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açılar belirli bir kristalin özelliklerini ortaya koyarlar. Buna göre bir birinden farklı 14 değişik şekil ortaya çıkar. Bu 14 değişik örgü çeşidine Bravais örgüleri denir.
Bu yedi ayrı eksen sisteminde dağılmış olan 14 uzay örgüsünde her bir eksen sisteminde bir basit örgü
vardır. Bu örgüler Hermann-Mauguin uluslar arası gösterimiyle şöyledir;
4) MİLLER İNDİSLERİ: Kristallerde, kolaylık için, doğrultuları ve düzlemleri göstermek üzere bazı özel gösterimler kullanılır. Başlangıçtan herhangi bir uvw noktasına uzanan doğrultu [uvw] olarak gösterilebilir. Bu gösterimde, doğrultuyu belirlemeye yettiği için en küçük tamsayıları kullanmak adet olmuştur. Örneğin; [2,2,0] doğrultusunu belirleyen çizgi [1,1,0] dan geçer ve 2,2,0 yerine 1,1,0 tamsayıları kullanılır. Eksi indisler ise sayının üzerine çizgi çekerek belirlenir. Kristaldeki simetri dolayısı ile kristal içerisindeki pek çok doğrultu birbirine özdeştir. Bu özdeş doğrultuların takımı da ile gösterilir. Örneğin kübik bir birim hücrenin kenarları <100> şeklinde gösterilebilir. Her hangi bir başlangıç noktası vermeden, kristal içerisinde yüzeyleri veya düzlemleri belirleyen gösterim şekline Miller indisleri denmektedir. Bu indisler, düzlemlerin üç kristal ekseni ile kesişme noktaları belirlenerek bulunur ve kesişme noktalarının yeri, birim hücrenin ele alınan eksen için belirli olan uzunluğu indisle çarpılarak ortaya çıkar.
5) KRİSTAL YAPI KUSURLARI: bir kristal içerisinde atomlar veya atom grupları tümü ile düzgün bir sıralanım içinde bulunmazlar. Kristallerdeki yapı bozukluklarının; kristalin sıcaklığı, dış basıncı, saflığı... vb nedenleri vardır. Kristallerdeki yapı bozuklukları; noktasal, çizgisel ve hacimsel olmak üzere üç şekilde sınıflandırılır. a) Noktasal: Atomların bulunması gereken yerde bulunmayışı veya fazladan bulunmasıdır. Kristalde bu
oran; n/N=S.e-Ef / kT olarak verilir. Burada; N:atom sayısı, n:atom başına boşluk sayısı, S: entropi, Ef: boşluk oluşumu için gerekli enerjidir. b) Dislokasyon (çizgisel): Bunlar örgü içerisinde oldukça uzun atomik boyutlarda ortaya çıkarlar. Oluşum özellikleri Burgers vektörü ile belirlenir. Burgers vektörü dislokasyon çizgisine dik ise kenar tipi, paralel ise vida tipi dislokasyon mevcuttur. Dislokasyonların ortaya çıktığı bölgeler yüksek enerji bölgeleridir. Dislokasyon enerjisi; E=μb2 şeklindedir. Burada; E:dislokasyon enerjisi, μ:kristalin kesme parçası, b:Burgers vektörüdür.
c) Hacimsel: Kristallerde görülen hacimsel yapı kusurlarının en çok görülenleri ikizlenmeler (twining) ve kayma türü (slip) bozukluklardır. Kayma türünde kristalin iki bölümü kayma düzleminde birbirlerine göre atomik uzaklıklar düzeyinde kayar. İkizlenmelerde ise, kristalin bir miktar hacmi diğerine göre belirli bir açı altında döner.
6) BRAGG KANUNU: Kristallerde kırınım olayı Bragg kanunu ile fiziksel bir model oluşturur. Bir birine paralel olan atomik düzlemlere tek dalga boylu X-ışınları gönderildiğinde ışınlar yansımaya uğrar. Gelen ışınla yansıyan ışın arasındaki yol farkı; nλ=2d sinθ şeklinde olur. Bu ilişkiye Bragg Kanunu denir. Burada; n:tamsayı , λ:dalga boyu, d:kristal düzlemleri arasındaki uzaklık, θ:gelen ışınla düzlem arasındaki açıdır. 7) BRİLLOUİN BÖLGELERİ: Kristal örgüde kırınım şartını sağlayan noktaların üzerinde bulunun ve yarıçapı karşıt örgü uzayında S 0/k=S/λ olan küreye Ewald küresi denir. Bu kürede Bragg kanunu (kà
+Gà ) 2=k2 şeklindedir. Burada; k:dalga vektörü, G:karşıt örgü vektörüdür. Öncelikle, yansımayı ortaya çıkaran en küçük k vektörlerinin büyüklüleri belirlenir. Başlangıç noktasından başlayıp bu çizgiler üzerinde biten bütün k vektörleri Bragg yansımasını verir. İşte bu çizgiler arasında kalan bölgelere de Brillouin bölgeleri denir. Brillouin bölgesi içerisinde hiçbir k vektörü Bragg yansıması vermez, yansıma bölge sınırında olur. 8) MOLEKÜLER BAĞLANMA: Bir kristali oluşturan atomların bağlanma biçimlerini belirleyen onların dış yörüngelerindeki elektronlarıdır. Basitçe bir asal gaz kristalinde atomları bir arada tutan Van der Waals etkileşmesi incelenerek kristallerde moleküler bağlanma hakkında bilgi edinilir. Bunun için sabit bir noktada duran bir (+) yük ile bu yükün etrafında, x doğrultusunda, denge konumu etrafında titreşen (–) yükten oluşan iki eşlenik elektriksel salınıcı düşünülüp çözümleme yapılır. Bu durumda toplam enerji;
şeklinde olur. Burada x atomların denge konumundan ayrılma miktarı, P momentum, R atomlar (moleküler) arası uzaklık, a dipol polarma sabitidir. Bu bağıntıdan kuantum mekaniği kullanılarak enerji;
bulunur. Bu seriye açıldığında bağlanma enerjisi
e = hn (1 - a 2 / 2R6 + . . .) şeklinde
bulunur. Burada
e :bağlanma enerjisi, a :polarma sabiti, R:moleküller arası uzaklıktır. Buradaki ikinci terim Van der Waals bağlanmayı belirtmektedir. 9) KOVALENT BAĞLANMA: Atomların karşılıklı bir birlerinin elektronlarını ortak kullanmalarıyla oluşan bağa kovalent bağ denir. Bu bağ; H2+ iyonu ele alınarak incelenebilir. Bunun incelemesi tamamen kuantum mekanikseldir. İyonun toplam hamiltoniyeni yazılarak (çekirdeğin itme enerjisi ihmal edilir) çözümleme yapıldığında, bağ enerjisi;
şeklinde bulunur. Burada rA ve rB elektronun iki çekirdekten olan uzaklığı, dalga fonksiyonlarıdır.
y ’ler hidrojen atomunun
ÖRGÜ DİNAMİĞİ 1) TEK ATOMLU ENİNE ÖRGÜ TİTREŞİMİ: Birim hücresinde bir tek atom olan bir kristalde n. atomun 2 -iwt enine hareket denklemi M.(d /dt2) Un = S C(Un+m-Un) şeklindedir. Burada Un=U.e alınarak 2 imka çözüm yapılırsa -w M=-S C(e -1) bulunur. Buradan da w'yı k'ya bağlayan dispersiyon bağıntısı
olarak bulunur. Burada K:dalga vektörü, C:kuvvet sabiti, M:atomun kütlesi, m ise tamsayıdır. Katılar için w; 10 12 ile 10 14 Hz arasındadır.
2) İKİ ATOMLU ÖRGÜ TİTREŞİMİ: Birim hücresinde iki atom bulunan bir kristalde 2n. ve 2n+1. atomun enine hareket denkemleri M1(d2/dt2)U2n=C(U2n+1-2Un+U2n-1)
ve
M2(d2/dt2)U2n+1 = C(U2n+2-2U2n+1+U2n)
U2n=U1.e-i (wt+2nKa) ve U2n+1 = U2.e-i[wt+(2n+1)Ka] sonucunda dispersiyon bağıntısı;
şeklinde bulunur. Burada; a aynı cins atomlar arasındaki uzaklık, k dalga vektörü, m'ler birim hücredeki atomların kütleleridir. Bu dağınım bağıntısında w’nın bir kökü optik,diğer kökü de akustik dalgaları temsil eder. 3) ÖRGÜ ISI SIĞASI: Isı sığası, sabit bir hacmin toplam enerjisinin sıcaklıkla değişimidir. Bir kristal için ısı sığası Cv =T S (dS/dT) v =(dE/dT) v şeklindedir. Burada S:entropi, T:sıcaklık, E ise enerjidir. 4) PLANK DAĞILIMI: Bir salınıcının ortalama uyarılmış kuantum sayısı dir. Kristal örgüde T sıcaklığında parçacıkların planck dağılımı şeklindedir.
Burada n:ısısal denge durumunda ortalama fonon sayısıdır. 5) ISI SIĞASI DEBYE MODELİ: Debye, Einstein modelindeki kip frekans kavramını değiştirerek, ısı sığası ile ilgili yeni bir model ortaya koymuştur. Buna göre kip frekansı K fonon dalga vektörüne bağlı olup, tüm kipler için bir maksimum açısal frekans ortaya çıkarır. Bu durumda kristalin örgü enerjisi
şeklinde olur. Burada g(w):durum yoğunluğu, T sıcaklık (Kelvin), E ise örgü enerjisidir. Kristal için örgü 2 2 ısı sığası ise, g(w)=(3w /2p v03) durumunda,
şeklindedir. Burada
ve q D :Debye sıcaklığıdır. Debye yaklaşımı alçak sıcaklıklar için oldukça iyi sonuçlar vermektedir. Bu model alçak sıcaklıklarda bütün dielektrik katıların ısı sığalarının T3 ile, amorf katıların ise T ile orantılı olarak değişir. Debye sıcaklığı ile de kristaldeki fonon durumları, ısısal ve elektriksel iletim hakkında bilgi edinilebilmektedir. Debye sıcaklığının üzerinde fononların dalga boyları küçük, altında ise büyüktür. 6) ISISAL İLETKENLİK: Katılarda ısısal iletim fononların çarpışmaları sonucu olur. Çarpışan fononlar
diğer fononlar, örgü bozuklukları ya da elektronlar tarafından saçılmaya uğrarlar. Kristallerde ısı iletimi, sitemde oluşan ısısal dengesizliğin bir yerden başka bir yere aktarılmasıdır. Bu dengesizlik bir dağılım gradyenti ortaya çıkarır. Bu durumda ısı akımı yoğunluğu Q=-K(dT/dx) şeklindedir. Burada K; ısısal iletim katsayısıdır. Gazlarda ısı iletimi genellikle gaz moleküllerinin çarpışmaları sonucu oluşur. Gazlar için ısısal iletkenlik ise ; K=(Nkl v)/2 şeklindedir. Burada N:molekül sayısı,
l :ortalama serbest yol, v:hızdır. Katılar için T >> q D koşulunda ısı sığası (ısı iletim katsayısı ) ise
K=(sabit)kq D / T şeklindedir.
7) ISISAL GENLEŞME: Bir boyutta örgü potansiyeli harmonik olmayan terimlere U(x)=Ax2-Bx3-Cx4... şeklinde bağlıdır. Burada A, B, C potansiyel genlikleridir. Yüksek sıcaklıklarda ortalama genleşme Boltzmann dağılımı yardımıyla klasik olarak
şeklinde bulunur. Bu kuantum olarak alçak sıcaklıklarda
şeklindedir. Genleşme katsayısı
ifadesinden bulunur.
METALLERDE ELEKTRONLAR 1) METALLERDE ELEKTRİKSEL İLETKENLİK: Metallerde elektriksel iletkenlik elektron yoğunluğuna, ortalama serbest yola ve elektron bağıl hızına
şeklinde bağlıdır. Burada Vm:elektrik alanının elektron hızına katkısı (klasik),
l : Ortalama serbest yol, n:
elektron yoğunluğudur. 2) ISISAL İLETKENLİK(DRUDE MODELİ): Metallerde serbest elektron gazı ilk defa Drude tarafından geliştirilmiştir. Bu modelde, elektron gazını oluşturan her bir atomun, bir gaz hacminde n elektronun olmasını sağlayacak şekilde, bir veya daha fazla elektronu verdiği, ve her bir elektronun üç serbestlik derecesine sahip olduğu üzerine kurulmuştur. Drude modelinde ısısal iletkenlik için Ke=(2t mS 2 Ck)/3 şeklindedir. Burada
t m:ortalama
serbest zaman, S: ortalama elektron hızı, Ck: elektron gazının ısı sığasıdır. Sabit hacimde ısı sığası ise Ck=(3/2)nk şeklindedir. Isısal iletkenliğin elektriksel iletkenliğe oranınna Lorentz sayısı denmektedir. 3) ELEKTRİKSEL İLETKENLİKTE LORENTZ MODELİ: Lorentz modeli metallerin elektriksel ve ısısal iletkenliği ile ilgilidir. Bu model temelde Drude modelini kabul eder, fakat elektron hızları için klasik Maxwell-Boltzman hız dağılımını göz önüne alır. Elektron gazındaki ötelemeler için de Boltzman taşıma denklemini kullanır. Elektriksel iletkenlik için Lorentz modeli sıcaklığa da bağlı olup,
2
şeklindedir (klasik). Lorentz modeli ile Drude modeli elektriksel iletkenliği arasında (3 p /8) kadar fark vardır. Bu modelde ısı sığası deneylerle gözlenenden oldukça büyük çıkmaktadır. Çünkü o dönemde
bilinmediğinden elektronun spin etkisi göz önüne alınmamıştır. Sonuç olarak klasik modeller elektriksel ve ısısal iletkenliği açıklamada yetersiz kalmaktadır. Bunlar kuantum mekaniği ile açıklanır. 4) FERMİ–DİRAC DAĞILIMI: Metallerde fononlar Bose-Einstein istatistiğine, elektronlar ise FermiDirac istatistiğine uyarlar. Bir kip için uyarılabilecek fonon sayısında kısıtlama yokken, elektron sayısında vardır (Pauli dışarlama ilkesi). Fermiyonlar (buçuklu spinli parçacıklar) için dağılım fonksiyonu
şeklindedir. Bu bağıntı termodinamik denge halinde, T sıcaklığında E enerjili bir durumun doldurulma olasılığını belirtir. Burada; k: Boltzmann sabiti, m: kimyasal potansiyeldir. 5) FERMİ ENERJİSİ: N tane serbest elektronu bulunan bir sistemin taban durumunda doldurulmuş yörüngeleri k uzayında bir küre içerisinde gösterilebilmektedir. İşte bu kürenin yüzeyindeki enerjiye Fermi enerjisi denir. k uzayında fermi küresinin fermi enerjisi
şeklindedir. Burada kF , k uzayında fermi küresinin yarıçapı, m ise elektronun kütlesidir. Fermi küresinin yarıçapı ise
şeklindedir. Burada; N: elektron sayısı, V=L
3 küpün hacmidir. Durum yoğunluğu D(E)=dE/dN den bulunur.
6) SERBEST ELEKTRON GAZININ ISI SIĞASI: Serbest elektron gazının ısı sığası fermi sıcaklığına Cel =
şeklinde bağlıdır. Burada T sıcaklık, N elektron sayısı, TF ise fermi sıcaklığıdır. Metaller için toplam ısı 3
sığası Debye ve Fermi sıcaklıklarının çok altındaki sıcaklıklarda C=Cel+Cörgü=AT+BT şeklindedir. 7) METALLERİN ELEKTRİKSEL ÖZDİRENCİ: Metallerin elektriksel direnci hem fonon direnci hem de örgü kusuru direncine bağlıdır. Buna göre direnç
r =r fonon + r örgü-kusuru iki bileşenden oluşur. Burada
şeklindedir. Fermi gazının ısısal iletkenliği
şeklindedir. Elektriksel iletkenlik ile ısısal iletkenlik arasındaki ilişki Wiedemann-Franz kanunu
ile verilir. 8) HALL OLAYI: Bir iletkenin elektrik ve manyetik alan içerisinde elektriksel davranışı ile ilgilidir. Bir iletkende elektrik alandan dolayı bir doğrultuda toparlanacak şekilde sürüklenen elektronlar, iletkenin iki ucu arasında Hall alanı denilen bir alan oluşturur. İletken enine Ex elektrik alanı, boyuna Bz manyetik alanı içine konursa elektronların y yönünde sürüklenme hızı Vy =0 olur. Bu durumda Ey =-eBt Ex/mc (cgs) olur. Bu durumda x doğrultusundaki akım yoğluğu
olur. Burada n taşıyıcı yoğunluğu, e elektronun yükü, çarpışma (durulma) zamanı, taşıyıcı kütlesidir. Hall direnci ise RH=-1/(nec) (cgs) şeklindedir.
KATILARIN BANT TEORİSİ 1) BLOCH FONKSİYONLARI: 1928'de dış yörüngeden ayrılmış bir elektronun kristal içerisindeki potansiyelinin uzaya bağımlılığı F.Bloch tarafından verilmiştir. Periyodik kristal yapısı için Schrödinger denkleminin k(r) çözümünün gerekliliğine Bloch teoremi, bu fonksiyonlara da Bloch fonksiyonları denir. i.k.r Bloch fonksiyonu; Y k(r)=Uk(r).e şeklinde olup, Schrödinger denkleminde dalga fonksiyonunun periyodik potansiyel için periyodik olduğunu öngörür. 2) KRONİG – PENNEY MODELİ: Bu model; bir boyutlu kare kuyuda, elektronun hareketini inceler.
Schrödinger denkleminde, U=0 için Y=Ae
ile, U=U0 için
iKx
+Be
Y =CeQx +De-Qx
-iKx
şeklinde
ve
sınır şartlarına uygun, kuyudaki elektronun Y n dalga fonksiyonlarını belirlenir.
3) PERİYODİK POTANSİYELDE ELEKTRONUN DALGA DENKLEMİ: Örgü sabiti a olan çizgisel bir örgü içinde hareket eden elektronun örgü potansiyeli
ve dalga fonksiyonu
şeklindedir. Burada G: herhangi bir karşıt örgü vektörü, k: elektron dalga vektörüdür. Periyodik örgü için dalga denklemi özel formda
şeklindedir. Bu durumda katsayılar determinantı
olmalıdır. Burada
U: örgü potansiyel enerjisidir. 4) YARI İLETKENLERDE BOŞLUKLAR: Yarı iletkende değerlilik bandından iletim bandına uyarılan
elektronlar değerlilik bandında boşluklar bırakır. Bu boşluklar (holler) elektrik ve manyetik alan içerisinde (+e) yüküne sahipmiş gibi davranır. Kristalde boşluğun hareket denklemi, elektrik ve manyetik alana
şeklinde bağlıdır.
(cgs)
5) ETKİN KÜTLE: Katılarda etkin kütle
elektrik alan ve dalga vektörüne (sayısına) bağlıdır. Bu bağıntıda E; enerji, m*; etkin kütledir. Etkin kütle katıların bant yapısını belirlemede kullanılabilmektedir. Yarı iletkenlerin etkin kütlesi siklotron rezonans deneyleri ile belirlenebilmektedir. Bu durumda enerji
şeklindedir. Buradaki m’ler etkin kütlenin bileşenleridir. 6) YARI İLETKENLERİN İLETİM BANDINDA ELEKTRON,DEĞERLİLİK BANDINDA BOŞLUK SAYISI: Yarı iletkenlerde özden taşıyıcı yoğunluğu, iletim bandındaki elektron yoğunluğu veya değerlilik bandındaki boşluk yoğunluğudur. İletim bandında bir elektronun enerjisi şeklindedir. Burada Eg:band aralığı enerjisi, k dalga sayısı (dalga vektörü), m* elektronun etkin kütlesidir. Yarı iletkende elektron sayısı;
ve boşluk sayısı da şeklindedir. Burada; m potansiyel enerji, T ise sıcaklıktır. 7) YARI İLETKENLERDE ELEKTRİKSEL İLETKENLİK: Yarı iletkenlerde elektriksel iletkenlik şeklinde iki bileşenden oluşur. Elektronların hareketliliği boşlukların hareketliliği şeklindedir. Yarı iletkenin verici iyonizasyon enerjisi Bohr yaklaşımı ile
şeklindedir.Yarıiletkende alçak sıcaklık limitinde alıcıların olmadığı bir durumda iyanize olmuş elektron sayısı dir. Nd:vericilerin sayısı ise dir. Boşluk sayısı fazla ise yarı iletken P tipi, elektron sayısı fazla ise n tipidir.
8) SCHOTTKY ENGELİ: Değme durumuna gelen bir metal ile bir yarı iletkenin bantlarındaki elektron dağılımını inceler. Elektronlar için Poisson denklemi
şeklindedir. Burada N: verici sayısı , Φ: elektriksel potansiyel, ε: dielektrik sabitidir. Bu durumda Schottky engelinin kalınlığı
şeklinde olur.
(cgs)
9) BRİLLOUİN BÖLGELERİ VE FERMİ YÜZEYİ: Şekilde bir kare örgünün Brillouin bölgesi ve Fermi yüzeyi görülüyor.
Metallerde değerlilik elektronlarının örgü ile zayıf etkileşmeleri sonucu Fermi yüzeyleri Bozulmuş küre şeklindedir.Elektronun Fermi yüzeyi üzerinde yörüngesi üç tiptir,bunlar: 1)elektron, 2)boşluk, 3)açık yörüngelerdir. Açık yörüngelerin en büyük etkisi manyeto direnç üzerinedir. Basit bir kübik örgünün sıkı bağ yaklaşımında band enerjisi
şeklindedir.
10) DE HASS-VAN ALPEN OLAYI: Bu manyetik alana konan bir metalin ;manyetik alan şiddetiyle Fermi yüzeyinde elektronların yörünge alanları arasındaki ilişkiyi belirler.
ve Burada B manyetik alan, S ise k uzayında B’ye dik yörünge alanıdır. Metallerde manyetik bozulma
koşulunda oluşur.
DİELEKTRİK ÖZELLİKLER 1)
DİELEKTRİKLERİN
SINIFLANDIRILMASI:
Bir
katının
dielektrik
sabiti;
ε=1+4p P/E (cgs)
şeklindedir. Burada P polarizasyon E ise elektrik alandır. P/E=c alınganlık olarak tanımlanır. Katıların dielektriklik derecesini belirleyen en önemli faktör P dir. Bileşke momenti sıfır olup sabit polarizasyon gösteren kristallere elektret denir. Kristaller çeşitli yöntemlerle elektret yapılabilir. Elektretin ısısal etki ile polarizasyonu değiştirilirse payroelektrik kristal elde edilmiş olur.Kristalin polarizasyonunun mekanik etki ile değiştirilmesine de piozoelektriklik denir. Zayıf elektriksel alanda polarizasyon doğrultusunu kolayca değiştiren kristallere ferroelektrik kristaller denir.
2) PLASMA OPTİĞİ: Serbest elektron gazının elektrik alan içerisindeki hareket denklemi
m. dir. Birim hacim için dipol moment P(w)=-nex kullanılarak dielektrik fonksiyonu
ε (w) = 1-(4pne2/mw2)
olarak bulunur. Plasma frekansı dir. İyon tabanının frekansın çok yüksek değerlerinde dielektrik sabiti ise elektron gazının dielektrik fonksiyonu
dir. Elektromanyetik dalgalar ε artı olunca yayılırlar,eksi olunca yansırlar.
3) PLASMADA ENİNE OPTİK KİPLER: İzotropik bir ortamda elektromanyetik dalga denklemi
(cgs) şeklinde olup
buradan dispersiyon bağıntısı
olarak bulunur. K’nın küçük değerleri için enine plasma dalgalarını tanımlayan dispersiyon bağıntısı
w2 = şeklindedir.
4) BOYUNA PLASMA SALINIMLARI: Dielektrik fonksiyonunun sıfırları boyuna kip frekanslarını belirler. Bir plasmada boyuna kutuplanma dalgasının dipol momenti
K=0 yakınında ε(w L )=0 dır. Dispersiyon bağıntısı
şeklindedir. Bu durumda Fermi gazının boyuna salınımlarının dağınım bağıntısı
şeklindedir.
5) PLASMON: Bir metal içinde iletim elektronu gazının topluca boyuna uyarılmasına plasma salınımları, plasma salınımının kuantumuna da plasmon denir. İnce bir metal filmine gönderilen elektron plasmon enerjisinin tam katlarına eşit olacak şekilde enerji kaybına uğrar. 6) POLARİTONLAR: Kristalde fonon –fonon alanının kuantumuna polariton denir. Birim hacımda etkin yükü q, indirgenmiş kütlesi m olan N tane iyondan oluşmuş plasmanın polariton dağınım bağıntısı
dan bulunur. Burada wE enine optik fonon frekansıolup K dan bağımsızdır. Boyuna ve enine salınımlar arasında bir bağıntı vardır. Bu bağıntıya LTS bağıntısı denir ve şeklindedir. 7) POLARON: Kristalde elektron-fonon etkileşmesinde elektron ile elektronun zorlanma alanının (fonon) bileşimine polaron denir. Bu durumda elektronun kütlesinde artma görülür. Kristalde polaron bağlanma katsayısı
Polarizasyonun etkin kütlesi ise
bağıntısıyla bulunur.a polaron bağlanma katsayısı iyonik kristallerde büyük,kovalent kristallerde küçüktür.
8) ÇİZGİSEL METALLERİN PEİERLS KARARSIZLIĞI: Mutlak sıfır civarında cizgisel bir metal iletim bandı yörüngelerini dolduran elektron gazının G=2kF dalga vektöründe,durgun örgü bozulması için karasızdır. Deformasyon durumunda fermi yüzeyinde bir enerji aralığı oluşarak elektronların enerjileri bu aralığın altına düşer. Bu durum Peierls kararsızlığıdır. Deformasyonda R denge bozulması denklemiyle bulunur. Ortalama elastik enerji şeklindedir. Deformasyon enerjisi (minumum);
olup,bu denklemden R denge bozulması belirlenebilir.
SÜPERİLETKENLİK 1) SÜPERİLETKENLİK: Süper iletkenlik durumu, metalde iletim elektronlarının düzenli bir sıralanma gösterdikleri durum olarak tanımlanabilmektedir. Bu düzenli sıralanma elektronların gevşek tarzda bir araya gelerek çiftler oluşturmaları şeklindedir. elektronlar geçiş sıcaklığının altında düzgün bir sıralanma gösterirler, bunun üstünde ise bu sıralanma yok olur. Bu düzgün sıralanmanın yapısı ve oluş nedeni 1957 yılında Bardeen, Cooper ve Schrieffer tarafından açıklanmıştır ve BCS teorisi olarak fizik literatürüne girmiştir. 2) MANYETİK ALANIN SÜPERİLETKENLİĞE ETKİSİ VE MEİSSNER OLAYI: Süperiletkenliğin ortaya çıktığı kritik sıcaklığa karşılık gelen manyetik alan şiddeti Hc=H0 [1-(T/Tc) 2] şeklindedir. Burada H0 süperiletkenliğin tümüyle ortadan kalktığı alan şiddeti, T ise herhangi bir sıcaklıktır. Bir ince süperiletken telin manyetik alınganlığı
cs=-1/4p
(cgs) şeklindedir. Bu durumda dB/dt=0 olup ideal bir iletkende
manyetik manyetik akının değişmediğini gösterir. Yani soğutma sırasında geçiş sıcaklığında, metaldeki akı değişmemektedir. İşte Meissner oleyı bu sonucun karşıtını ortaya koymakta ve tam bir diamanyetikliğin süperiletkenlik halinin temel özelliği olduğunu söylemektedir (1933). 3) SÜPERİLETKENLİĞİN TERMODİNAMİĞİ: Normal ve süperiletken fazlar arasındaki entropi farkı
şeklindedir. Bu durumda normal durum ve süper iletkenlik durumu arasındaki ısı sığası farkı şeklindedir. T=Tc durumundaki ısı sığası farkı Rutger bağıntısı olarak bilinir. Mutlak sıfırda süperiletken durumunun dengeleme enerjisi (perdeleme enerjisi)
kadardır.
4) LONDON DENKLEMİ: Bir süperiletkende akım yoğunluğu A vektör potansiyeline ve elektronların sızma derinliğine
şeklindedir. Burada manyetik alan
dır. Bu denklem London denklemidir. Bu denklem Maxwell denklemleriyle birleştirildiğinde
elde edilir. Bunun düzlem sınırında B(0) için bir boyutlu çözümü
dir.Burada
şeklinde London sızma derinliğidir. Burada m kütle, q yük, c ışık hızı, n elektron yoğunluğudur. Sızma derinliği mutlak sıfırda Sn için 3,4.10 -6 cm, Cd için 11.10 -6 cm, Nb için 3,9.10 -6 cm dir.
5) BCS TEORİSİ: Bu teori süperiletkenliğin kuantum teorisidir. Bu teorinin başarıları özetle şöyledir. a) Elektronlar arasındaki çekici bir etkileşme, taban ve uyarılmış durumlar arasında bir enerji aralığının ortaya çıkmasına yo açar. Kritik alan, ısısal özellikler ve elektromanyetik özelliklerin pek çoğu enerji aralığının sonucudur. Bazı özel durumlarda, süperiletkenlik enerji aralığı olmadan da ortaya çıkabilir. b) Elektron-örgü-elektron etkileşmesi, gözlenen büyüklükte bir enerji aralığını ortaya koyabilir. c) Sızma ve uyum uzunlukları teorinin sonuçları olarak ortaya çıkar. Uyum uzunluğu sızma uzunluğu ile birlikte süper iletkenliği karakterize eder. Uyum uzunluğu
şeklindedir. d) Bir elementin ya da alaşımın geçiş sıcaklığını veren kriter, yörüngelerin Fermi düzeyindeki D(Ef) elektron yoğunluğunu ve elektriksel dirençten bulunabilen U elektron-örgü titreşimini içine alır.
için , BCS Teorisi olması gerektiğini varsaymaktadır. Burada q Debye sıcaklığı, U çekici etkileşmedir. e) Süper iletken bir halkadan geçen manyetik akı kuantumlaşmıştır ve etkin yük birimi e yerine 2e dir. BCS teorisinde taban durumu elektron çiftlerini öngörür, böylece, çiftlerin 2e yükleri cinsinden akı kuantumlaşması teorinin doğal bir sonucudur. Buradaki elektron çiftlerine Cooper Çiftleri denir.
6) SÜPERİLETKENDE AKI KUANTUMLANMASI: Bir süper iletken halkadan geçen toplam manyetik akı şeklinde bulunur. Buradaki s sayısı akı kuantum sayısıdır. Bir elektron çifti için s=1 de akı değeri yaklaşık -7 2 2,0678.10 gauss.cm bulunur. Halkadan geçen toplam akı şeklindedir. Dış akının kuantumlaşma şartı yoktur.
7) SÜPERİLETKEN TİPLERİ: Genel olarak iki tip süper iletken vardır. her iki tip süper iletkende de Meisner olayının oluşumu farklıdır. İyi bir I.tip süperiletken, bir manyetik alanı süper iletkenlik aniden yok olana kadar dışarıda tutar, ancak bundan sonra alanı tümü ile içeri alır. İyi bir II.tip süperiletken ise, bir Hc1 alan değerine kadar alanı tümü ile dışarıda tutar. Hc1 in üzerinde, alanın bir kısmı dışarıdadır
ancak, iletken elektriksel olarak süperiletken özellik gösterir. Daha da yüksek bir Hc2 alanında, akı tümü ile girer ve süper iletkenlik yok olur. Uyum uzunluğu sızma derinliğinden uzunsa iletken I.tip süperiletkendir. Saf metallerin çoğu bu tipe girerler. Ancak, ortalama serbest yol kısa ise, uyum uzunluğu kısadır, sızma derinliği ise uzundur, bu taktirde süper iletken II.tip süper iletken olur. Hc1 , Hc2 ve Hc arasında yaklaşık olarak (Hc1 .Hc2 )1/2=Hc bağıntısı vardır. 8) TEK PARÇACIK SIZMASI (TÜNEL OLAYI): İki metal arasında çok ince bir yalıtkan tabaka varsa metalin birinden diğerine elektronların geçiş olasılığı vardır. Bu durum tünel olayıdır. Uygun şartlar altında, süper iletken elektron çiftleri de tünel olayını gerçekleştirebilmektedirler. Tünel olayında elektrik ve manyetik alan olmada da elektron sızması gerçekleşebilmektedir. Bu olay doğru akım Josephson olayı dır. Süper iletkene doğru akım voltajı uygulanırsa eklem boyunca bir doğru akım oluşur ve bu olaya da alternatif akım josephson olayı denir.
DİELEKTRİKLER VE FERROELEKTRİKLER 1) DİELEKTRİKLER VE FERROELEKTRİKLER: Bir dielektrik materyalin toplam dipol momenti
dir. Bir su molekülünün dipol moment türünden elektrik alanı cgs’de
şeklindedir. Su için p=1,9.10 -18 esb.cm dir. Elektrik alanın etkisiyle dielektrikler kutuplanabilmektedirler. Basit dipollerin yükleri, dielektriğin içinde birbirlerini dengelerler, yalnız dış yüzeydeki yükler bunlara uymazlar. Paralel ve düz plakalar arasındaki (kondansatör) dielektrik kutuplanmaya karşı koyar. Bu şeklindedir. Burada g kutuplanmayı giderici faktördür. Bunun değeri düz plakalar için 4p, küre için 4p/3 dür.Elipsoid şekilli bir dielektrik içinde kutuplanma elektrik alana bağlı olarak P= c E dir. Dielektrik sabiti ε olan kübik bir ortamın böşluğa göre dielektrik sabiti şeklindedir. Dielektrik sabitini Lorentz bölgesel alanının geçerli olduğu bölgelerde, elektriksel kutuplanabilirliğe bağlayan
şeklinde Clausius-Mossotti bağıntısıdır. Bu bağıntı ε=n2 kırılma indisinin karesi alındığında bağıntı optik bölge için yazılmış olur. Elektronik kutuplanabilirlik frekansa da bağlıdır. Bu bağımlılık
şeklindedir. burada fij, i ve j atomik durumları arasındaki elektriksel dipol geçişlerinin salınıcı gücü olarak tanımlanır.
2) FERROELEKTRİK KRİSTALLER: Bir kristalde kendiliğinden ortaya çıkan elektriksel kutuplanmaya ferroelektriklik denir. Bu kristaller elektriksel alan yokken de bir dipol momentine sahiptirler. Bir ferroelektrik kristalin Clausius-massotti bağıntısı
şeklindedir.Burada a i , i tipi bir iyonun elektronik ve iyonik kutuplanabilirlikleri toplamı, Ni ise birim hacım başına i iyonlarının sayısıdır. Bir atom çiftinde a=a 3 /2 ise sistem ferroelektrik özellik gösterir.
3) LANDAU FAZ DÖNÜŞÜMÜ TEORİSİ: Ferroelektrik ve paraelektrik durumlar arasında olduğu gibi normal ve süper iletken durumlar arasındaki geçişlerde ikinci dereceden faz geçişleridir. Bir boyutta
Landau serbest enerji yoğunluğu şeklindedir. Burada g’ler sıcaklığa bağlı enerji genlikleri, P ise kutuplanmalardır. F’nin minumum değeri Helmholtz serbest enerjisi olarak bilinir. T
dir ve bu durumda faz dönüşümü de II.derecedendir. Fakat g4 negatif olduğunda dönüşüm I.derece olur. Geçiş sıcaklığı üzerinde iyi bir yaklaşıkla Landau serbest enerjisi dir. Bu durumda dielektrik sabiti cgs’de
olarak bulunur. Bu denklemde; I.dereceden dönüşüm varsa T0
4) ANTİFERROELEKTRİKLER: Bazı dielektriklerde, ferroelektrik geçişlerin hemen hemen bütün özelliklerini taşıyan faz dönüşümleri vardır. Bunlarda dielektrik sabitleri bir maksimumdan geçer, ısı sığasında bir düzensizlik vardır, örgünün büyüklüğünde ve simetrisinde değişimler gözlenir. Buna en iyi örnek Kurşun-Zirkonat (PbZrO 3) dır. Bu kristalin alt örgülerinin kutuplanma eksenleri, paralel olmayacak şekilde yönelmişler ve bileşke kutuplanmayı sıfır yapmışlardır. Dielektriğin bu durumuna antiferroelektriklik denir ve geçiş sıcaklığı da Curie sıcaklığı olarak bilinir. Toplam 32 kristal sınıfından 22 sinde antiferroelektriklik gözlenir.
5) PİEZOELEKTRİKLİK: Ferroelektrik durumundaki bütün kristaller aynı zamanda piezoelektriktirler. Bu kristallerde dıştan uygulanan bir Z zoru elektriksel kutuplanmayı değiştirir. İşte bu duruma piezoelektriklik denir. Bir boyutta piezoelektrik denklemler cgs’de ve
şeklindedir. Burada P kutuplanma, Z zor, d dielektrik zorlanma sabiti, E elektriksel alan, c dielektrik alınganlık, e elestik zorlanma, s elastik uyum sabitidir. Bu kristale iyi bir örnek kuartz kristalidir.
MANYETİK ÖZELLİKLER 1) MANYETİK ÖZELLİKLER: Cisimler manyetik alan içerisine konunca bir m’ manyetik momentine sahip olur. Bu durumda birim hacim başına manyetik moment olan mıknatıslanma olur. Burada m0 elemanter manyetik momenttir. Serbest bir atomun manyetik momenti üç ana kısımdan oluşur; elektronların sahip oldukları spin, çekirdek etrafındaki yörünge açısal momentumları ve uygulanan manyetik alanın etkisi ile ortaya çıkan yörünge momenti değişimi. Maddenin manyetik alınganlığı c=M/B (cgs) şeklindedir.
2) DİAMANYETİZMA: Bir cismin uygulanan bir manyetik alanın içerisinde iken, elektriksel yüklerin cismin içini manyetik alandan kısmen yalıtma eğilimidir. Bu durum Lenz kanununa benzer. Atomların ve iyonların diyamanyetikliklerinin incelenmesinde Lormor teoreminden faydalanılır. Bu teorem çekirdek etrafındaki elektronların yörünge açısal frekanslarını w=eB/2mc (cgs) olarak öngörür. Bu durumda oluşan ilmek akımı
(cgs) şeklindedir. Küresel simetrik yük dağılımı için birim hacımda manyetik alınganlık
(cgs) olarak bulunur.Bu klasik Ladgevin denklemidir. Burada m ilmeğin manyetik momenti, N birim hacimde atom sayısıdır. Elekrton gazının diyamanyetikliğini 1930 lu yıllarda Landau gösterdi. Bu durumda periyodik hareket kuantumlanmış ve bunun sonucunda da elektron gazının enerjisi değişmiştir. Böylece elektron gazı sıcaklıktan bağımsız diyamanyetiklik gösterir ve bu diyamanyetikliğin değeri
dir. 3) PARAMANYETİZMA: Manyetik alınganlıkları artı olan cisimler paramanyetiktirler. Paramanyetik maddenin ortalama manyetik momenti, elemanter magnetin teta açısı altında yönelme olasılığını da içeren Boltzmann fonksiyonuda hesaba katılarak,
oradan da m = m0 Cothq-1/ß olarak bulunur. Burada dir. ß<<1 olduğunda ortalama olur.Maddenin bir gram molekülü için paramanyetik alınganlık olur. Bu Curie kanunudur. Paramanyetizmin sıcaklığa bağlılığı Langevin tarafından geliştirilmiştir.
4) PARAMANYETİZMİN KUANTUM TEORİSİ:Serbest uzayda bir atomun ya da iyonun manyetik momenti;
şeklindedir. Burada g jiromanyetik oran ya da spektroskopik yarılma faktörü, şeklinde Bohr magnetonu, J toplam açısal momentumdur. Manyetik alandaki bir sistemin enerji düzeyleri şeklindedir. mj=±1/2 ve g=2 için dir. İki düzeye sahip bir sistemde (N=N1 +N2 ) birim hacimdeki N atom için bileşke mıknatıslanma ,
x=mB/kT olmak üzere; büyüklüğündedir.Bir manyetik alanda, J açısal momentum kuantum sayılı bir atomun 2j+1 tane eşit aralıklı enerji düzeyi vardır. Bu durumda mıknatıslanma Brillouin fonksiyonu cinsinden
şeklindedir. Burada dir. x<<1 için manyetik alınganlık M/B=C/T şeklinde Curie kanununa yaklaşır. Metallerde iletim
elektronlarının paramanyetik alınganlığını belirleyen mıknatıslanma, serbest elektron gazı için FermiDirac dağılımı kullanılarak
şeklinde bulunur. Burada elektronların uzaysal hareketlerinin manyetik alandan etkilenmediği varsayılmıştır. 5) FERROMANYETİKLİK: Bir ferromagnet, manyetik alanın bulunmaması halinde bile var olan, kendiliğinden oluşmuş bir manyetik momente sahiptir. Bu özellik elektron çiftlerine sahip olmayan atomlarda görülür. Çifrlenmemiş elektronların spinleri bu durumu belirler. Ferromagnetler zayıf alanlarda bile doymaya ulaşabilen büyük mıknatıslanmalar gösterir. Doyma mıknatıslanması sıcaklığa bağlıdır ve Curie sıcaklığında sona erer. m/mB magneton sayısının büyüklüğü, katıların elektronik enerji bantlarının spektrumu ile de açıklanabilmektedir. 6) CURİE SICAKLIĞI: Üzerindeki sıcaklıklarda kendiliğinden, mıknatıslanmanın yok olduğu sıcaklıktır (Tc). Bu sıcaklık düzenli paramanyetik fazı, düzensiz paramanyetik fazdan ayırır. Paramanyetik bir faza bir Ba alanı uygulandığında, sınırlı mıknatıslanmadan dolayı bir BE alanı meydana gelir. Bu durumda mıknatıslanma
olur. Burada cp paramanyetik alınganlıktır. Pierre Weiss yaklaşımına göre dir. Burada l ortalama alan sabitidir. T=Cl Curie kanunu ile birleştirildiğinde, ortalama alan sabiti
şeklindedir. Burada S spin kuantum sayısıdır. Kristalde i ve j atomları arasında enerji etkileşmesi
şeklinde J değişim integraline ve S spinlerine bağlıdır. Bu eşitlik Heisenberg modeli olarak tanımlanır. J integrali ile l arasında , iyi bir yaklaşıklıkla,
bağıntısı yazılabilir. Burada z bir atomun en yakın komşuları sayısıdır. 7) MAGNONLAR: Kuantumlanmış spin dalgasına magnon denir. Basit bir ferromagnetin taban durumunda, bütün spinleri paraleldir. Her biri S büyüklüğünde olan bir çizgi veya halka üzerindeki, en yakın komşusuna Heisenberg bağıntısı ile bağlı N tane spin için, Heisenberg bağıntısı;
şeklindedir. Bu durumda sistemin taban durumunda değişim enerjisi
bulunur. İlk uyarılmış durumun enerjisi de dir. Spin dalgaları bir örgüde birbirine göre dönmüş durumdaki spinlerin salınımlarıdır. Buna karşılık örgü titreşimleri (fononlar) , örgüdeki atomların birbirlerine göre konumlarındaki salınımlarıdır. P. Spin için hareket denklemi
dir. Bu denklemin kartezyen koordinatlarda çizgisel çözümünden elde edilen katsayılar determinantı
dır. Bu bağıntı magnonların dağınım bağıntısıdır. Burada k dalga sayısı, a ise örgü sabitidir. Bir magnonun
enerji kuantumu da dır. Burada n k kuantum sayısı, w k açısal frekanstır.
8) MAGNONLARIN ISISAL UYARILMASI: Isısal denge halinde, magnon kuantum sayısı n k’nın ortalama dağılımı
Planck dağılımı ile verilir. T sıcaklığında uyarılmış toplam magnon sayısı ise;
şeklindedir.
yaklaşımında toplam sayı,
olmak üzere;
3
dır. Bu durumda birim hacım için N atom sayısı Q/a olmak üzere mıknatıslanma değişimi DM=M(0). şeklinde Bloch kanununa götürür.
KAYNAK: 1) Katıhal Fiziğine Giriş, Prof.Dr. Tahsin Nuri Durlu, Ankara üniversitesi yayınları-1992, 2.Baskı. 2) Atom ve Molekül Fiziği, Prof.Dr. Erol Aygün - Doç.Dr. D.Mehmet Zengin, Ankara Üniversitesi yayınları-1992
