Jurnal Difusi

Suryasatriya Trihandaru, dkk/ Pemodelan Dan Pengukuran Difusi Larutan Gula Dengan Lintasan Cahaya Laser

27

Pemodelan dan Pengukuran Difusi Larutan Gula dengan Lintasan Cahaya Laser Suryasatriya Trihandaru, Ayuk Widyayanti, Septriana Rachmawati, Buce S. Toenlioe Program Studi Fisika dan Pendidikan Fisika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 55-60 Salatiga Indonesia [email protected]

Abstrak – Difusi larutan gula dalam air tenang sangat lambat karena ukuran molekulnya yang besar. Untuk mengukurnya dengan ketelitian tinggi diperlukan pemodelan matematika yang melingkupi proses difusi, yaitu persamaan diferensial parsial tentang dinamika konsentrasi gula dalam ruang satu dimensi, dan pemodelan lintasan cahaya melalui larutan tersebut, dengan memperhatikan indeks bias yang bervariasi menurut konsentrasi larutan gula secara linear. Model ini kemudian diselesaikan secara numerik dengan teknik beda berhingga implisit untuk persamaan diferensial parsialnya, serta metoda rekursif Snellius untuk lintasan cahayanya. Percobaan aktual juga dilakukan untuk menunjukkan bahwa model matematika yang dibangun sesuai dengan hasil percobaan. Kata kunci: difusi, persamaan diferensial parsial, metoda beda berhingga, hukum Snellius Abstract – Sugar solution has very low diffusivity in still water due to its large molecular size. In order to have high accuracy of measurement of the constant of diffusion, modelling mathematics is needed, that includes the diffusion process, i.e. a partial differential equation about the dynamics of sugar concentration in one dimensional space, and model of the path of light through the liquid by considering the linear dependence of refraction indexs on the sugar concentration. The model is computed using the finite difference method, i.e. for having the solution of the partial differensial equation, and Snellius recursive method for computing the path of light. Actual experiment has been set up to show the validity of the model. Key words: diffusion, parsial differensial equation, finite difference method, Snellius law

I. PENDAHULUAN Difusi adalah pergerakan molekul suatu zat secara random yang menghasilkan pergerakan molekul efektif dari konsentrasi tinggi ke konsentrasi rendah. Contohcontohnya adalah difusi zat warna dalam air tenang, difusi glukosa dan teknik tomografi [1], difusi zat melalui membran [2], difusi oksigen dalam membran polimer [3]. Bahkan difusi tidak hanya terjadi pada skala mikro tetapi juga skala makro, seperti difusi gas dalam galaksi [4],[5]. Model dasar yang digunakan dalam penelitian tentang difusi biasanya adalah hukum Fick [6], namun bentuknya akan bervariasi sesuai dengan asumsi-asumsi peneliti [7]. Difusi larutan gula sangat penting dalam dunia biologi, contohnya adalah fenomena transport gula dalam tanaman [8]. Dalam penelitian tersebut, Jensen dan kawan-kawan mengukur efek difusi dengan metoda pengukuran konsentrasi dengan pembiasan laser. Profil konsentrasi gula mengalami evolusi seperti pada Gambar 1. Dalam penelitian tersebut diberikan cara pengukuran konsentrasi melalui pembiasan laser. Namun karena ruang yang dipakai berupa pipa, yaitu untuk mensimulasikan tanaman, maka pengukuran pembiasan menjadi sangat terbatas.

Gambar 1.

Profil konsentrasi gula menurut simulasi Jensen [8], dengan difusivitas rendah.

Pada penelitian ini, pengukuran difusivitas larutan gula menggunakan ruang yang lebih besar, yaitu akuarium dengan ukuran 30×15×8 cm3. Pembiasan cahaya laser akan menghasilkan lintasan melengkung. Dengan menganalisa lengkungan ini, nilai difusivitas akan terukur lebih akurat. II. LANDASAN TEORI Larutan gula dengan konsentrasi tinggi sebesar C0 (gr/ml) ditempatkan dalam sebuah wadah persegi, seperti pada Gambar 2. Ketinggian larutan gula ini dari dasar wadah adalah h. Kemudian, dengan sangat hatihati, air dituangkan ke atas larutan gula pekat ini sampai ketinggian L. Jadi, pada waktu t=0, konsentrasi gula C(y,t) dianggap mempunyai profil

⎧C , C ( y,0) = ⎨ 0 ⎩ 0,

Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, Purworejo 14 April 2012 ISSN : 0853-0823

0< y
(1)

28


Molekul-molekul gula akan terdifusi menurut hukum Fick sebagai berikut

∂C ∂ C =D 2 , ∂t ∂y 2

0< y
(2)

Evolusi konsentrasi gula pada Persamaan (2) dilengkapi dengan syarat-syarat batas

∂C = 0, ∂y

y = 0, t > 0

dxi =

dy tan(θ i )

(6)

Persamaan (6) dipakai untuk menghitung lintasan cahaya secara diskrit dalam bentuk pasangan koordinat lintasan (xi, yi).

(3)

dan

Gambar 3.

Gambar 2.

Model percobaan pengukuran konstanta difusi larutan gula dengan laser.

∂C = 0, ∂y

y = L, t > 0

(4)

Pada pemodelan ini telah diasumsikan bahwa difusi gula akan terjadi secara seragam sepanjang koordinat-x, sehingga profil konsentrasi gula hanya merupakan fungsi y saja. Pada saat t=0, laser yang ditembakkan ke dalam larutan gula dengan kemiringan θ terhadap garis horisontal (sudut θ diukur di dalam air) pada ketinggian hL di x=0, akan mempunyai lintasan lurus di dalam air, dengan asumsi bahwa konsentrasi gula pada bagian ini masih nol. Namun dengan bertambahnya waktu, indeks bias air akan berubah oleh karena adanya difusi gula. Diasumsikan bahwa indeks bias dalam ketebalan larutan dy yang cukup kecil adalah konstan, sehingga diperoleh lapisan-lapisan dengan indeks bias berbeda, sesuai dengan konsentrasi gula. Lintasan cahaya dapat dihitung secara rekursif dengan hukum Snellius sebagai berikut, lihat Gambar 3,

π

Persamaan dinamika konsentrasi gula, yaitu Persamaan (1), (2), (3) dan (4) diselesaikan dengan metoda beda berhingga [10], yaitu untuk memperoleh solusi diskrit dengan notasi

Ci j ≡ C ( yi , t j ) ≡ C ((i − 1)dy, jdt )

∂C Ci j +1 − Ci j ≈ dt ∂t ∂ 2 C Ci j +1 − 2Ci j +1 − Ci −j +11 ≈ ∂y 2 dy 2

(9)

Secara lengkap, skema numerik untuk dinamika konsentrasi gula adalah

α i Ci −j +11 + β i Ci j +1 + γ i Ci +j +11 = Ci j , i = 1,..., N (10) dengan

⎧ Ddt , ⎪− α i = ⎨ dy 2 ⎪⎩ − 1,

i = 2,3,..., N − 1

Syarat awal diasumsikan berbentuk


(11)

i=N

Ddt ⎧ ⎪1 + 2 2 , i = 2,3,..., N − 1 βi = ⎨ dy ⎪⎩ 1, i = 1, N ⎧ Ddt , i = 2,3,..., N − 1 ⎪− γ i = ⎨ dy 2 ⎪⎩ − 1, i =1

(5)

Oleh karena ketebalan lapisan dipilih konstan sebesar dy maka proyeksi lintasan cahaya pada bidang horisontal mempunyai besar

(8)

sedangkan turunan kedua terhadap ruang didiskritisasi secara sentral

π

= ni −1 sin( − θ i −1 ) 2 =L

(7)

Turunan terhadap waktu didiskritisasi secara maju

ni +1 sin( − θ i +1 ) = ni sin( − θ i ) 2 2

π

Larutan gula dianggap lapisan-lapisan yang mempunyai indeks bias berbeda, yaitu semakin besar untuk kedalaman semakin dalam.

(12)

(13)


⎧C , C =⎨ 0 ⎩ 0, 0 i

{i : xi ≤ h} {i : xi > h}

(14)

D=5,998×10-6 (m2/h) atau 6,942×10-11 (m2/s). Pada Gambar 4 diperlihatkan profil konsentrasi gula dan lintasan cahaya laser yang melaluinya.

Indeks bias larutan gula diasumsikan tergantung secara linear dengan konsentrasi gula (walaupun sebenarnya relatif tidak linear menurut Subedi [9]), yaitu

Profil Konsentrasi gula Konsentrasi gula (gr/gr)

Cj ni ≡ n(Ci ) = na + (n0 − na ) i C0 j

(15)

dengan na adalah indeks biar air dan n0 adalah indeks bias larutan gula dengan konsentrasi C0.

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil ukur parameter-parameter ditunjukkan pada Tabel 1.

yang

konstan

Tabel 1. Daftar parameter numerik dan fisika terukur

Simbol L h hL θ P na n0 C0 tmax N dy dt

Keterangan Tinggi air (m) Tinggi larutan gula pekat (m) Tinggi bintik laser (m) Sudut elevasi laser (rad) Lebar akuarium (m) Indeks bias air Indeks bias larutan gula pekat Konsentrasi gula pekat (gr/gr) Waktu total (hari) Jumlah diskritisasi ruang Interval dy = L /( N − 1) (m) Interval waktu (hari)

Besar 0,058 0,011 0,043 0,300 1,33 1,46 0,667 6,9167 2000 2,9015×10-5 0,00346

Dengan parameter pada Tabel 1 diperoleh nilai terbaik untuk difusivitas gula, yaitu sebesar

0.6

0.4

0.2

0

0

0.01

0.02

0.03 y (m)

0.04

0.05

Lintasan cahaya 0.05 y (m)

III. METODE PENELITIAN Mula-mula dilarutkan 250 gram gula pasir ke dalam 125 mililiter (atau 125 gram) air, sehingga konsentrasi gula pekat yang diperoleh adalah C0=0,667%. Larutan gula pekat dimasukkan ke dalam akuarium dan diukur ketinggiannya, yaitu h=1,1 cm. Pada suhu kamar, yaitu 27°C, air dituangkan secara perlahan ke atas larutan gula pekat, sedemikian rupa permukaan larutan gula pekat tidak banyak berubah. Tinggi air dari dasar akuarium terukur adalah L=5,8 cm. Pada tahap ini, pencatat waktu diaktifkan. Sinar laser ditembakkan dengan kemiringan tertentu pada dinding akuarium. Terukur ketinggian bintik laser di kaca adalah 0,43 cm dari dasar akuarium. Lintasan laser di ambil gambarnya pada selang waktu tertentu. Pada percobaan ini hanya digunakan dua gambar untuk dianalisa, yaitu keadaan awal pada t=0 dan keadaan akhir, yaitu setelah 7 hari terdifusi. Waktu akhir ini dinotasikan sebagai tmax. Gambar yang diperoleh pada tmax digunakan untuk mencari besar difusivitas larutan gula D, yaitu dengan cara mencocokkan kelengkungan hasil komputasi dan foto percobaan, dengan asumsi bahwa semua parameter selain D dianggap akurat.

29

0

0

0.05

0.1

0.15 x (m)

0.2

0.25

0.3

Gambar 4. Profil konsentrasi gula (atas) dan lintasan cahaya (bawah). Garis tebal adalah hasil simulasi sedang tanda “o” adalah titik-titik data hasil ukur.

Dengan nilai difusivitas yang sangat rendah dapat disimpulkan bahwa transport gula lebih dominan melalui fenomena lain, seperti konveksi atau melalui perbedaan tekanan osmosis. V. KESIMPULAN Melalui pemodelan difusivitas larutan gula dan lintasan cahaya laser serta teknik solusi numeriknya, besar difusivitas larutan gula di air tenang dapat diketahui dengan akurat, yaitu sebesar atau 6,942×10-11 (m2/s). Teknik ini dapat digunakan untuk mengukur difusitas zat lainnya, asal efeknya mempengaruhi lintasan cahaya laser. UCAPAN TERIMA KASIH Terimakasih untuk Universitas Kristen Satya Wacana, Program Studi Fisika dan Pendidikan Fisika yang telah memfasilitasi penelitian ini. PUSTAKA [1]

[2]

[3]

Jitendra Solanki, Pratima Sen, Joseph Thomas Andrews, Kamal Kishore Thareja. Cyclic Correlation of Diffuse Reflected Signal with Glucose Concentration and scatterer size. J. Modern Physics, 3(1), 64-68 (2012) Kazuhiko Seki, Sanoop Ramachandran, Shigeyuki Komura. Diffusion coefficient of an inclusion in a liquid membrane supported by a solvent of arbitrary thickness. Physical Review E 2011 Vijay A. Sethuraman, Saahir Khan, Jesse S. Jur, Andrew T. Haug, John W. Weidner.Measuring Oxygen, Carbon


30

[4] [5] [6] [7]

[8]


Monoxide and Hydrogen Sulfide Diffusion Coefficient and Solubility in Nafion Membranes. Electrochimica Acta, 54(27), 6850-6860, 2009 Hidalgo-G´amez A.M., Peimbert A.. Diffuse Ionized Gas inside the dwarf irregular galaxy NGC 6822. Astron.J.133:1874-1882,2007. Lorenzo Zaninetti. Models of diffusion of galactic Cosmic Rays from Super-bubbles. Int.J.Mod.Phys. A22:995-1026,2007 F. Sattin. Fick's law and Fokker-Planck Equation in inhomogeneous environments. Physics Letters A 372 (2008) 3941-3945 P.S. Burada, G. Schmid, D. Reguera, J.M. Rubi, P. Hanggi. Biased diffusion in confined media: Test of the Fick-Jacobs approximation and validity criteria. Phys. Rev. E. 75, 051111 (2007) K.H. Jensen, E. Rio, R. Hansen, C. Clanet, T. Bohr. Osmotically driven pipe flows and their relation to sugar transport in plants. Submitted to Journal of Fluid Mechanics on May 28, 2008. Website: http://arxiv.org/pdf/0810.4021.pdf. Diakses 1 Januari 2012

[9]

[10]

Subedi, D.P., Adhikari, D.R., Joshi, U.M., Poudel, H. N., Niraula, B. Kathmandu University Journal Of Science, Engineering And Technology. Vol.II, No.1, FEBRUARY, 2006. Joe D. Hoffmann. Numerical Methods for Engineers and Scientist. 2nd ed. Marcel Dekker, Inc. 2001.

TANYA JAWAB Anonim ? Diffuse selama ini pakai apa? ? Bagaimana hubungannya dengan temperature? Suryasatriya Trihandaru,UKSW √ Diffuse selama ini menggunakan lintasan laser juga, tapi dalam penelitian ini digunakan pencocokan antara foto dari lintasan laser √ Dalam penelitian ini masih mempertahankan suhu dalam kamar saja, belum mengubah variable lain


Jurnal Difusi

Recommend Documents