PREGUNTAS CUADRADAS
El cuadrado que ves en la imagen ha sido divido en 4 cuadrantes de igual tamaño,
a los que llamamos, A, B, C y D de acuerdo con lo ilustrado en la figura. A continuación se te van a plantear 4 desafíos para que los l os resuelvas.
Primer Desafío:
Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante A, de modo que resulten 2 piezas de igual tamaño.
Bien!!
Primer Desafío:
Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante A, de modo que resulten 2 piezas de igual tamaño.
Bien!!
Reconoce que ha sido demasiado fácil y lo has resuelto en menos de 5 segundos, ¿cierto? ¿Vamos con el segundo desafío?
Segundo desafío:
Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante B, de modo que resulten 3 piezas de igual tamaño.
¿Qué te ha parecido ahora...? Muy fácil, no? Te estás preguntando si todo va a continuar así de sencillo... ¿Mejor lo compruebas en el siguiente desafío?
Tercer desafío:
Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante C, de modo que resulten 4 piezas de igual tamaño. Este ha sido un poco más difícil, verdad? Si aún no sabes la solución, fíjate bien que la tienes delante de tí...
Recuerda, tienes que dividir mentalmente el área blanca del cuadrante C, de modo que resulten 4 piezas de igual tamaño. Aún no lo has visto? Vamos a girar la figura inicial
y sombreamos el cuadrante D. Así nos queda la siguiente figura, identica al cuadrante C
Borramos un par de lineas que nos sobran...
Luego la solución es
Vamos a por el último desafío?
Cuarto desafío:
Mentalmente, divide el área blanca del cuadrante D, de modo que resulten 5 piezas de igual tamaño.
Has pasado ya de página? Eso quiere decir que ya tienes la solución? No me engañes y piensa un poco más antes de continuar...
Si ya has encontrado la solución al cuarto desafío sabrás entonces que... La solución es
Si al final no lo resolviste no te preocupes lo sencillo que es.
...Casi nadie consigue resolverlo a pesar de
Este juego es una forma de probar que el cerebro puede ser condicionado a determinado tipo de respuestas.
Preguntas cuadradas - ¿Cuántos desafíos resolviste? 1 2 3 Todos!!
athemata En el siglo VI A.C. un famoso matemático llamado Pitágoras fundó una de las escuelas de filosofía y matemáticas más importante de la época. En esta escuela existían dos tipos de miembros, los novicios y los iniciados. Los primeros sólo podían escuchar y callar y eran llamados exotéricos o acústicos; mientras que los segundos, llamados esotéricos o matemáticos, podían hablar y expresar lo que pensaban acerca de las cuestiones científicas y filosóficas de las que se ocupaba la escuela. Es probable que se deba a los pitagóricos el nombre de " matemáticas" que proviene de la palabra griega "mathemata" y que significa aquello que puede aprenderse.
Los pitagóricos estudiaron aritmética,
geometría, astronomía y música pero sus resultados más importantes son sobre las propiedades de los números pues pensaban que cualquier relación en la naturaleza era una relación que podía expresarse numéricamente.
Muchas de las matemáticas que hoy estudiamos en la primaria y en la secundaria se le deben a los pitagóricos. En particular el concepto de divisor de un número y de las relaciones que hay entre los números y sus divisores.
Un poco de matemática Pitagór ica
Los divisores de un número son aquellos números que lo dividen de manera exacta. Por ejemplo:
Divisores de 10 son: Divisores de 24 son:
1, 2, 5, 10
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Llamamos divisores propios de un número a todos sus divisores excepto él mismo. Por ejemplo: Divisores propios de
16 son: 1, 2, 4, 8 (no incluimos al 16)
Divisores propios de
9 son: 1, 3 (no incluimos a 9)
Los pitagóricos clasificaron los números en:
N ú m e r o s .. p e r f e c t o s
Son aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo:
6 es un número perfecto pues los divisores propios de 6 son: 1, 2, 3 y 1+2+3 = 6
N ú m e r o s .. e x c e s i v o s
Son aquellos números que son mayores a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo:
8 es un número excesivo pues los divisores propios de 8 son: 1, 2, 4 y 1+2+4 = 7 8>7 N ú m e r o s .. d e f e c t u o s o s
Son aquellos números que son menores que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo:
12 es un número defectuoso pues los divisores propios de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6
1+2+3+4+6 = 16 12 < 16
N ú m e r o s .. p r i m o s
Son aquellos números cuyos únicos divisores son el 1 y él mismo. Por ejemplo:
7 es un número primo pues sus únicos divisores son 1 y 7 11 es un número primo pues sus únicos divisores son 1 y 11 N ú m e r o s .. a m i g a b l e s
Dos números se llaman amigables si la suma de los divisores propios del primero da como resultado el segundo y al revés, si la suma de los divisores propios del segundo da como resultado el primero. Por ejemplo:
220 y 284 son números amigables pues: Los divisores propios de
220 son:
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 y 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 Los divisores propios de
= 284
284 son:
1, 2, 4, 71, 142 y 1+2+4+71+142
= 220
La pareja de números amigables más pequeños es justamente 220 y 284, probablemente
los pitagóricos conocían otras; sin embargo, no fue sino hasta el siglo XVIII en que un matemático suizo llamado Leonhard Euler estudió estos números y encontró una lista de 60 parejas de números amigables.
ctividad números amigables
Aquí hay varias parejas de números, analiza cuales son amigables y cuales no. 1,184 2,620 6,232 17,296
y y y y
1,210 2,924 6,368 18,416
ctividad: Teano
Un bonito e interesante problema de la época de Pitágoras es el siguiente:
Se sabe que en la escuela pitagórica estudiaban
hombres y mujeres por igual, esto no era frecuente en las academias o sociedades de estudio griegas de ese tiempo, pues las mujeres estaban por lo general, marginadas de las actividades científicas. Uno de los miembros más importantes de la escuela era Teano una matemática y astrónoma que había sido primero discípula de Pitágoras y más tarde maestra de la escuela. Pitágoras y Teano se casaron cuando él ya era muy mayor y parece ser que fue ella quien dirigió la sociedad pitagórica cuando Pitágoras ya no pudo hacerlo.
Cuenta una leyenda que un discípulo joven de Pitágoras
quien había ingresado recientemente a la escuela vio a Teano un día y quedo enamorado de ella inmediatamente.
Se acercó a Pitágoras para preguntarle la edad de la mujer que lo había cautivado.
Pitágoras respondió: -Teano es perfecta y su edad es un número perfecto.El joven estudiante confundido preguntó: -Maestro, ¿no podría usted darme más información?-
Tienes razón -contestó Pitágoras- te hacen falta más datos. Teano
La edad de Teano, además de ser un número perfecto, es el número de sus extremidades multiplicado por el número de sus admiradores que cabe señalar, es un número primo.
El joven confundido se alejó. Nunca nadie supo si logró resolver o no el problema, lo que sí se supo es que nunca fue correspondido por Teano pues ella estaba profundamente enamorada de Pitágoras.
Te invitamos a que, aunque tú no estés enamorado de Teano, intentes resolver el problema. Recuerda: Un número primo es aquel cuyos únicos divisores son 1 y él mismo. Un número se llama perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios. Divisores propios son todos los divisores del número excepto el mismo número
Soluciones ctividad números amigables
1,184
y
1,210
2,620
y
2,924
6,232
y
6,368
17,296
y
18,416
son amigables son amigables son amigables son amigables
Solución al problema la edad de Teano Sabemos que el número de admiradores de Teano es un número primo, que Teano es perfecta (por lo tanto tiene 4 extremidades) y que su edad es un número perfecto, entonces:
Llamemos a al número de sus admiradores (a es primo) p a la edad de Teano (p es perfecto) entonces:
4a = p Los divisores propios de a son: 1, 2, 4, a, 2a Entonces: 1 + 2+ 4+ a + 2a = p pero como p = 4a, entonces tenemos que: 1 + 2+ 4+ a + 2a = 4a 7 + 3a = 4a entonces a = 7 y p = 28 por lo que:
Teano tiene 7 admiradores y 28 años.
d i v i n a....n ú m e r o s A partir de segundo de secundaria, cuando los estudiantes están
aprendiendo a resolver ecuaciones de primer grado, es muy útil plantear juegos como los que proponemos a continuación, pues además de que los alumnos se divierten, se dan cuenta de la importancia del lenguaje algebraico.
Una posible manera de jugar es hacer primero los trucos y pedir a los
estudiantes que averigüen lo que está sucediendo, después de que se discuta cómo es que se llega a la solución puede plantearse el problema algebraicamente. ¿Le has pedido alguna vez a alguien que piense un número y que haga varias operaciones con él para que tú después le adivines el
número en que pensó?
Empecemos con un ejemplo: 1) piensa un número 2) súmale 5 3) multiplica el resultado por 2 4) a lo que quedó réstale 4 5) el resultado divídelo entre 2 6) a lo que quedó réstale el número que pensaste
El resultado es 3 El resultado siempre es 3, no importa con que número se haya empezado.
¿Cómo funciona el truco?
Hagamos una tabla con varios ejemplos: 4 9 18 14 7
Piensa un número Súmale 5 Multiplica por 2 Resta 4 Divide entre 2 Resta el número que pensaste
7-4
El resultado es 3
3
7 12 24 20 10
12 17 34 30 15
35 40 80 76 38
10 - 7 15 - 12 38 -35 3
3
3
En efecto, en los cuatro casos el resultado es 3, pero esto no es una
prueba de que el truco siempre funcione y de que para cualquier número que se elija el resultado final será 3.
Tenemos que imaginar una forma para lograr demostrar que no
importa con que número empecemos, el resultado siempre será 3, y para eso tenemos que pensar en una forma de realmente empezar con cualquier número.
Proponemos que en lugar de empezar con un número concreto,
usemos un cuadrito para representar eso que llamamos "cualquier número", es decir para representar a todos los números. Para representar los número que sí conocemos usaremos circulitos.
1) piensa un número 2) súmale 5 ... 3) multiplica el resultado por 2
.....
4) a lo que quedó réstale 4 ..... 5) el resultado divídelo entre 2 ..... 6) a lo que quedó réstale el número que pensaste
El resultado siempre es 3 Aunque parezca mentira, lo que acabamos de escribir, sí es una demostración, pues no importa que número sea el cuadrito , el resultado siempre es 3.
Sin embargo, los cuadritos y los circulitos no son lo más cómodo
para escribir matemáticas, es mucho más útil usar el lenguaje matemático, en este caso el lenguaje algebraico .
La misma prueba usando este lenguaje quedaría: 1) piensa un número x 2) súmale x + 5 3) multiplica el resultado por 2 2(x + 5) = 2x + 10 4) a lo que quedó réstale 4 2x + 6 5) el resultado divídelo entre 2 (2x + 6) / 2 = x + 3 6) a lo que quedó réstale el número que pensaste x + 3 - x = 3
El resultado siempre es 3 Te proponemos, a continuación, una serie de trucos de este mismo estilo.
· Pide a tus alumnos que primero los hagan para algunos números. · Escriban entre todos una demostración de cada truco usando cuadritos y circulitos · Escriban entre todos una demostración usando lenguaje algebraico.
Truco A 1) Piensa un número 2) Súmale 3 3) Multiplica por 2 el resultado 4) A lo que quedó súmale 4 5) El resultado divídelo entre 2 6) A lo que quedó réstale el número que pensaste El resultado siempre es 5
Truco B 1) Piensa un número 2) Multiplícalo por 2 3) A lo que quedó súmale 9 4) Al resultado súmale el número que pensaste 5) El resultado divídelo entre 3 6) A lo que quedó súmale 4 7) Al resultado, réstale el número que pensaste El resultado siempre es 7 Truco C 1) Piensa un número 2) Súmale 1 3) A lo que quedó súmale el número que pensaste 4) Al resultado súmale 7 5) Lo que quedó divídelo entre 2 6) Al resultado réstale el número que pensaste El resultado siempre es 4 Truco D 1) Piensa un número 2) Multiplícalo por 3 3) A lo que quedó súmale 14 4) Al resultado súmale el número que pensaste 5) A lo que quedó réstale 2 6) El resultado divídelo entre 4 7) A lo que quedó réstale 3 El resultado es el número que pensaste
d i v i n o....l o ....q u e.... p i e n s a s Truco 1 1) Piensa un número, voy a adivinarlo 2) Multiplícalo por 5 3) A lo que quedó, súmale 12 4) Lo que quedó multiplícalo por 10 5) A lo que quedó súmale 5 6) Lo que quedó multiplícalo por 2 ¿Qué número te quedó?
Voy a adivinar el número que pensaste Para encontrar el número pensado hay que hacer lo siguiente:
Al número que resultó de las operaciones anteriores hay que: a) restarle 250 b) dividirlo entre 100
El resultado será el número pensado Traduciendo a lenguaje algebraico:
Llamémosle x al número pensado, al número que no conocemos. 1) x 2) 5x 3) 5x + 12 4) 10(5x + 12) = 50x + 120 5) 50x + 120 + 5 = 50x + 125 6) 2(50x + 125) = 100x + 250
Si y es el número que resulta de las operaciones anteriores, entonces: y = 100x + 250 entonces y-250 y por eso para encontrar el número pensado, al número que quedó al final hay que restarle 250 y después dividirlo entre 100.
Truco 2 1) Piensa un número 2) Multiplícalo por 10 3) A lo que quedó, súmale 7 4) Lo que quedó multiplícalo por 10 5) A lo que quedó, súmale 5 6) Lo que quedó multiplícalo por 2 ¿Qué número te quedó?
Voy a adivinar el número que pensaste Para encontrar el número pensado hay que hacer lo siguiente:
Al número que resultó de las operaciones anteriores hay que:
a) restarle 150 b) dividirlo entre 200
El resultado será el número pensado Traduciendo a lenguaje algebraico:
Llamémosle x al número pensado, al número que no conocemos. 1) x 2) 10x 3) 10x + 7 4) 10(10x + 7) =100x + 70 5) 100x + 70 + 5 = 100x + 75 6) 2(100x + 75) = 200x + 150
Si y es el número que resulta de las operaciones anteriores, entonces: y = 200x + 150 entonces y-150 y por eso para encontrar el número pensado, al número que quedó al final hay que restarle 150 y después dividirlo entre 200.
Intenta hacer tus propios trucos
agia con álgebra
¿Te gusta hacer trucos de magia? ¿Has probado a hacerlos con un poco de álgebra?
En lugar de sombrero de mago necesitarás una hoja de papel y en lugar de varita mágica un
lápiz. ¿Listo?
Vamos a hacer la prueba con uno a ver qué tal funciona: 1) Piensa un número 2) Al número que pensaste súmale el número que sigue. 3) Al resultado del paso anterior súmale 9. 4) Divide el resultado entre 2 5) A lo que quedó réstale el número que pensaste. ¡El número que quedó es 5!
¿Impresionado? Veamos en dónde quedó el álgebra: · Nosotros no sabemos cuál es el número que pensaste. Es una incógnita así que le llamaremos x. · Ahora hay que sumarle el número que sigue, o sea, x+1. Así la suma que se hace es x + (x+1) = 2x + 1. · Ahora hay que sumar nueve, así que tenemos que hacer 2x + 1 + 9 que es igual a 2x + 10. · Hay que dividir el resultado entre 2.
Vamos pues: (2x + 10) / 2 = x + 5 · Y, finalmente, hay que restar el número que habías pensado. Es decir hay que resolver: x + 5 - x . Pero curiosamente el resultado de esta operación da 5. Así que el número que te quedó es 5. ¿Te sorprende?
Aquí encontrarás más trucos algebraicos, puedes ponerlos a tus
amigos, a tu familia... Pero lo más importante es que descubras por qué funcionan, es decir que practiques un poco el álgebra.
Truco 1 · En una caja o en un frasquito guarda 20 cositas iguales, pueden ser canicas, clips, cerillos, frijoles, en fin, lo que se te ocurra. · Pídele a alguien que piense un número entre el 1 y el 9. · Saca de la caja el número de cositas que tu amigo pensó. · Cuenta cuantas cositas quedaron dentro de la caja. Tiene que haber quedado un número de dos dígitos. · Suma esos dos dígitos y saca de la caja el número de cositas que obtuviste de sumar los dos dígitos. · Saca de la caja dos cositas más.
R epite este truco 3 veces más ¿Qué está pasando? Intenta explicarlo.
Truco 2 · Piensa un número · Multiplícalo por 5 · Suma 8 al resultado · A lo que quedó, réstale 3 · Divide entre 5 el resultado del paso anterior · A lo que quedó resta el número que pensaste en un principio
El número que quedó es el 1 Explica que es lo que pasó.
Truco 3 Esta vez el truco lo vas a hacer tú. En los renglones vacíos, escribe las instrucciones adecuadas para que se cumpla el truco. · Piensa un número · Multiplícalo por 7 · Este renglón te toca a ti · Este renglón te toca a ti
· Este renglón te toca a ti · A lo que te quedó resta el número que pensaste al principio.
Te quedó el número 1.
Truco 4 · Escribe el número del mes en que naciste. Por ejemplo, si es junio el 6, si es noviembre el 11, etc. · Multiplica ese número por 2 · A lo que quedó, súmale 5 · A lo que quedó, multiplícalo por 50 · A lo que quedó súmale tu edad actual (no la que vas a cumplir este año, la que tienes en este momento, hoy).
Al número que quedó hay que restarle 250, en el resultado de la resta, las decenas y las unidaddes representarán la edad de la persona, las centenas y los millares, el mes de nacimiento. Intenta explicar que sucede. ¿Te gustaron los trucos? PARA DIAPOSITIVAS
Los educadores son artistas. La educación es una obra de arte. Octavi Fullat Genís
MENTALES Problemas para resolver mentalmente, sin lápiz ni papel y en un tiempo prefijado, generalmente unos pocos segundos. 1. PERROS, GATOS Y LOROS. ¿Cuántos animales tengo en casa, sabiendo que todos son perros menos dos, todos son gatos menos dos, y que todos son loros menos dos? 2. MENUDA RAZA DE GIGANTES. En el Libro del Delirium Tremens se habla de una raza de gigantes muy especial. Da la casualidad que la altura media de estos gigantes es diez metros más que la mitad de su altura. Sin pensarlo dos veces, ¿cuánto miden? 3. EL PESO DE UN LADRILLO. Si un ladrillo se equilibra con tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo, ¿cuánto pesa un ladrillo?
4. LA CUADRILLA. Una cuadrilla de segadores está compuesta por sus tres cuartas partes más tres cuartos de hombre. ¿Cuántos hombres componen la cuadrilla? 5. ACABÓ LA GUERRA. De 138 soldados vueltos del frente, casi el 43% perdió un ojo y el 50% de los restantes perdió ambos ojos. ¿Cuántos ojos quedaron? 6. PROPINAS AL ACOMODADOR. En un cine hay 1.300 espectadores. El 13% de ellos le ha dado 5 ptas. de propina al acomodador. Del 87% restante, la mitad le ha dado 10 ptas. y la otra mitad, nada. ¿Cuánto dinero recibe el acomodador? 7. ¿CUANTOS NUEVES? En una calle hay 100 edificios. Se llama a un fabricante de números para que ponga números a todas las casas del uno al cien; éste tendrá que encargar los números para hacer el trabajo. ¿Cuántos nueves necesitará? 8. ¿CUANTO BENEFICIO? Un comerciante compró un artículo por 7 ptas., lo vendió por 8, lo volvió a comprar por 9 y lo vendió finalmente por 10. ¿Cuánto beneficio sacó? 9. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. ¿Cuánto valen 10 agujas de coser a 1000 ptas. el millar? 10. PILOTO DE FORMULA 1. Un piloto de Fórmula 1 completó una vuelta del circuito del Jarama en un minuto veintitrés segundos. A este ritmo, ¿cuánto habrá de tardar en completar 60 vueltas? 11. LOS TANTOS POR CIENTO. ¿Qué es más, el 25% de 75 o el 75% de 25? 12. EL PRECIO DE LA BOTELLA. Una botella de vino cuesta 10 dólares. El vino cuesta nueve dólares más que la botella. ¿Cuánto cuesta la botella? 13. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. Una botella cuesta 30 ptas. más que su tapón. Los dos juntos cuestan 50 ptas. ¿Cuánto cuesta cada uno? 14. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. Una botella y su tapón pesan 1 Kg. y 10 gramos. La botella pesa 1 Kg. más que el tapón. ¿Cuánto pesa la botella? ¿Y el tapón? 15. EL MISMO DINERO. Arturo y Benito tienen la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene que dar Arturo a Benito para que Benito tenga 10 ptas. más que Arturo? 16. ENTRE PASTORES. Un pastor le dijo a otro: «Si te regalo una de mis ovejas, tú tendrás el doble de las que yo tengo. Pero si tú me das una de las tuyas, tendríamos las mismas». ¿Cuántas ovejas tenía cada uno? 17. ANTONIO, PEDRO Y LOS LIMONES. Antonio y Pedro se encuentran teniendo cada uno de ellos una carga de limones. Antonio: Si me das tres limones,
tendremos cada uno la misma carga. Pedro: Si tú me das seis limones, tendré el doble de los que te quedan. ¿Cuántos limones llevaba cada uno? 18. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. Un viajante recorrió en coche 5000 Km., permutando regularmente las ruedas (incluida la de repuesto) para que todas sufrieran igual desgaste. Al terminar el viaje, ¿durante cuántos kilómetros ha sido utilizada cada rueda? 19. ESCRIBIENDO A MAQUINA. Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 en el mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para pulsar 360 caracteres en total? 20. ¿CUANTA TIERRA? Cierto pequeño granjero no tenía dinero para pagar sus impuestos. Como consecuencia, el recaudador real de impuestos le quitó un décimo de sus tierras. Al granjero le quedaron 10 Ha. ¿Cuánta tierra tenía al principio? 21. DOMINÓ. Del juego del dominó se separan las fichas que tienen un 6. Quieres colocar sobre la mesa las 21 fichas que quedan siguiendo las reglas del juego, es decir el 2-3 puede ir empalmado con el 3-5, éste con el 5-4, etc,... ¿podrás hacerlo? 22. LA AMEBA. Una ameba se divide en dos (y así se reproduce) exactamente cada minuto. Dos amebas en un tubo de ensayo pueden llenarlo por completo en dos horas. ¿Cuánto tiempo le llevará a una sola ameba llenar otro tubo de ensayo de la misma capacidad? 23. MANOS Y DEDOS. En una mano hay 5 dedos, en 2 manos hay 10 dedos, ¿Cuántos dedos hay en 10 manos? 24. ¿QUÉ HORA SERÁ? ¿Qué hora será, si quedan del día la tercera parte de las horas que han pasado? 25. DOCENAS DE HUEVOS. Hallar la diferencia entre media docena de docenas de huevos y seis docenas de huevos. 26. EL PRECIO DEL OBJETO. Por un objeto se pagan 9 duros más la mitad de lo que vale. ¿Cuánto vale el objeto? 27. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. Si un pastor tiene 15 ovejas y se le mueren todas menos nueve, ¿cuántas le quedan? En muchos problemas es muy importante comprender exactamente lo que se pide hallar, antes de intentar calcularlo. Si una primera interpretación de un problema conduce a contradicciones, o bien la pregunta carece de solución, o bien el problema no se ha comprendido correctamente. 28. OTRO LADRILLO. Si un ladrillo pesa 2 kg. y medio ladrillo. ¿Cuánto pesa un ladrillo y medio? 29. LA ALTURA DEL ÁRBOL. ¿Qué altura tiene un árbol, que es 2 metros más corto que un poste de altura triple que la del árbol?
30. ENTRE PASTORES. Un pastor le dijo a otro: si te regalo una de mis ovejas, tú tendrás el doble de las que yo tengo. Pero si tú me das una de las tuyas, tendríamos las mismas. ¿Cuántas ovejas tenía cada uno? 31. DÍAS Y SEGUNDOS. ¿Cuántos días hay en 43.200 segundos? 32. ESCALA DE ESTATURAS. Pedro tiene la estatura que tendrá Juan cuando crezca lo que le falta a Antonio para tener la estatura de Pedro. ¿Qué relación hay entre las estaturas de Pedro, Juan y Antonio? 33. PINTANDO UN CUBO. ¿Cuál es el mínimo número de colores para pintar un cubo de forma que dos caras adyacentes no tengan el mismo color? 34. DINERO DE JUAN Y PEDRO. Juan: Si me das 3 ptas. tendré tantas como a ti te quedan. Pedro: Si tú me das 6 tendré el doble de las que a ti te quedan. ¿Cuánto dinero tienen Juan y Pedro? 35. EL CUBO PINTADO. Un cubo de madera de 30 cm. de lado se pinta completamente de rojo; luego se sierra en 27 cubitos de 10 cm. de lado cada uno. ¿Cuántos serán los cubitos serrados que presentarían sólo dos caras pintadas? 36. EL CEREZO. A un cerezo subí, que cerezas tenía, ni cerezas toqué, ni cerezas dejé. ¿Cuántas cerezas había? 37. OTRO CEREZO. A un cerezo trepé, que con cerezas hallé, yo cerezas no comí, mas cerezas no dejé. ¿Cuántas cerezas había? 38. JUGANDO AL AJEDREZ. Tres amigos jugaron al ajedrez. En total jugaron tres partidas. ¿Cuántas partidas jugó cada uno? 39. LO DE LA SARDINA. A real y medio la sardina y media, ¿cuánto costarán siete sardinas y media? 40. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. Docena y media de huevos cuestan dieciséis duros y medio. ¿Cuánto costarán 18 huevos? 41. LO DE LOS ARENQUES. Si un arenque y medio cuesta tres medios peniques, ¿cuánto costarán doce arenques? 42. PAN, PAN Y PAN. Pan, pan y pan, pan y pan y medio, cuatro medios panes, y tres panes y medio, ¿cuántos panes son? 43. MEDIAS MEDIAS. Cuatro medios pares de medias medias, ¿cuántos pares de medias son? 44. LAS CERVEZAS. Si un hombre y medio beben una cerveza y media en un día y medio, ¿cuántas cervezas beberán seis hombres en seis días? 45. LOS TATUADORES. Dos tatuadores y medio pueden tatuar dos sirenas y media, en los brazos de dos marineros y medio en dos horas y media. ¿Cuántos
tatuadores se necesitarán para tatuar 24 sirenas, en los brazos de 24 marineros en 24 horas? 46. NIÑOS Y MOSCAS. Si tres niños cazan tres moscas en tres minutos. ¿Cuánto tardarán treinta niños en cazar treinta moscas? 47. A MODO DE CHIMENEAS. Dos fumadores consumen 3 cajetillas diarias. ¿Cuántos fumadores de las mismas características serán necesarios para consumir 90 cajetillas en 30 días? 48. LA TORRE EIFFEL. La torre Eiffel tiene 320 metros de altura y pesa 7.000 toneladas. Si construyéramos un modelo perfectamente a escala, con el mismo material y que tuviera la mitad de su altura, ¿cuánto pesaría? 49. MILÍMETROS CUADRADOS. Supongamos un cuadrado de un metro de lado, dividido en cuadraditos de un milímetro. Calcule mentalmente qué longitud se obtendría si colocásemos todos los cuadraditos en línea, adosados unos a otros. 50. LAS 16 CERVEZAS. Cuatro amigos se reúnen en un bar y consumen entre todos 16 cervezas. Cuando piden la cuenta pretenden pagar cada uno lo suyo. ¿Cuántas cervezas debe pagar cada amigo sabiendo que cada uno de ellos tomó dos cervezas más y/o dos cervezas menos que otro? 51. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 4 cm. ¿Qué longitud deberá tener el tercer lado para conseguir que el triángulo tenga la máxima área posible? 52. LOS GATOS DE MARGARITA. Cuando se le pregunta a la vieja Margarita con cuántos gatos vive, responde melancólicamente: "Con los cuatro quintos de mis gatos más cuatro quintos de gato." ¿Con cuántos gatos vive Margarita? 53. LAS FOCAS DEL ZOO. Estuve el otro día en el zoológico. Vi focas pero no había muchas. Sólo siete octavos de las focas más siete octavos de foca. ¿Cuántas focas había? 54. CONEJOS Y PALOMAS. En una jaula con conejos y palomas, hay 35 cabezas y 94 patas. Con estos datos, ¿cuántas aves hay exactamente? 55. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? Entre Pedro, Luis y Antonio tienen 500 ptas. Sabiendo que Antonio tiene doble que Luis y éste tres veces más que Pedro, ¿cuánto tiene Pedro? 56. MULAS Y BURROS. Se han vendido 9 burros y 7 mulas y se ha cobrado por ellos 75.000 duros. Sabiendo que los burros los pagan al doble que las mulas, ¿a qué precio se vendieron cada uno de ellas? 57. EL TIRO AL BLANCO. Cada vez que un tirador da en el blanco gana 500 puntos, y cada vez que falla pierde 300. Sabiendo que después de 15 disparos obtuvo 2.700 puntos, ¿cuántas veces hizo diana exactamente?
58. ¡OJO QUE ES UN CIRCUITO! Un caracol tarda una hora y veinte minutos en recorrer un circuito en sentido horario, pero cuando hace ese mismo camino en sentido contrario sólo tarda 80 minutos. ¿A qué se debe esa diferencia? 59. CURIOSA PELÍCULA. Mi amigo Bonifacio, rabioso aficionado al cine descubrió que una película de Buñuel duraba una hora y veinte minutos, los días pares, y sólo ochenta minutos, los impares. ¿A qué será debido? 60. EL GRAN CHOQUE. Dos naves espaciales siguen trayectorias de colisión frontal. Una de ellas viaja a 8 km. por minuto y la otra a 12 km/minuto. Suponiendo que en este momento están exactamente a 5.000 km. de distancia, ¿cuánto distarán una de otra un minuto antes de estrellarse? 61. TRABALENGUAS. Con cada bote de detergente la casa fabricante incluye un cupón de regalo. Una vez reunidos 10 cupones, el cliente puede canjearlos por un nuevo bote de detergente. ¿Cuántos cupones vale un bote de detergente? 62. LA GALLINA PONEDORA. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? 63. ¿CUANTA AGUA SE DERRAMÓ? La tripulación de un barco hundido tenía agua sólo para trece días, un litro al día por persona. El quinto día se derramó algo de agua sin querer y murió uno de los hombres. El agua duró exactamente lo que se esperaba. ¿Cuánta agua se derramó? 64. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. En un rectángulo, el largo es el doble del ancho y el perímetro es de 360 m. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 65. LOS CHICOS DE LA FERIA. A la feria benéfica de la escuela cada chico debía concurrir con un adulto. Los adultos pagan 2 dólares y los chicos 1 dólar de entrada. Se recaudaron 180 dólares. ¿Cuántos chicos fueron a la feria? 66. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA.. Tengo igual cantidad de monedas de 5 ptas. que de 1 pta. y entre las dos tengo 90 ptas. ¿Cuántas monedas de cada clase tengo? 67. MITOLOGÍA. ¿Cuántas extremidades tienen 3 centauros? 68. EN DOS DADOS. ¿Cuántos puntos hay en total en un par de dados? 69. ¿SABES DIVIDIR? Supón que divides once millares, once cientos y once entre tres. ¿qué resto te queda? 70. PARES CONSECUTIVOS. La suma de dos números pares consecutivos es 66. ¿Cuáles son esos números? 71. BOLI Y LÁPIZ. Si un bolígrafo cuesta 30 ptas. más que un lapicero y las dos cosas juntas cuestan 100 ptas., ¿cuánto cuesta cada una?
72. LOS OCHOS. En cierta localidad castellana existe una calle que tiene cien casas. Quieren numerarlas en la fachada con los números del uno al cien. ¿Cuántos ochos habrá que pintar? 73. EL ÁRBOL. El tronco de un árbol mide 20 metros más que la mitad de su altura. ¿cuánto mide en total? 74. FAMILIA COMIENDO. Una familia se reúne para comer. Si cada miembro de la familia come seis chorizos, sobrarán cinco, pero si cada uno come siete faltarán ocho. ¿Cuántos miembros componen la familia? 75. EL PALO Y LA VARA. ¿Qué altura tiene un palo que es cinco metros más corto que una vara de doble altura que el palo? 76. LAS CAJAS. Se tienen tres cajas, individuales y separadas de igual tamaño. Dentro de cada caja hay otras dos más pequeñas y en cada una de éstas otras cuatro aún menores. ¿Cuántas cajas hay en total? 77. AÑOS BISIESTOS. ¿Cuántos años bisiestos hay entre el año 1000 y el año 2000 ambos inclusive? 78. DECEPCIÓN TRIANGULAR. ¿Cuál es el área del triángulo de lados 94, 177 y 83? 79. PIENSE DESPACIO. ¿Qué número multiplicado por 3 es los 3/4 de 120? 80. DIVIDIENDO Y SUMANDO. Si Vd. divide 30 por un medio y le suma al resultado 10, ¿cuánto le da? 81. LAS OVEJAS DEL CORRAL. Un pastor tiene 17 ovejas; si todas menos 9 se le escapan del corral, ¿cuántas le quedan en el corral? 82. BUSCANDO, BUSCANDO. Buscar un número que multiplicado por el doble de 3 nos dé 5. 83. EL GANADERO Y EL PIENSO. Un ganadero tiene pienso para alimentar una vaca durante 27 días y si fuera una oveja para 54 días. ¿Para cuántos días tendría si tuviese que alimentar a la vaca y a la oveja? 84. MULTIPLICANDO. ¿Qué dos números naturales que hay que multiplicar entre sí para que su producto sea 47? 85. DOCENAS DE SELLOS. Si en una docena hay doce sellos de seis centavos, ¿cuántos sellos de dos centavos hay en una docena? 86. MÚLTIPLOS PRIMOS. De todos los múltiplos de un número primo, ¿cuántos son primos? 87. EN ROMANOS. Operando en números romanos, ¿cuánto vale C - LXXIX?
88. LA HORA. ¿Qué hora es cuando faltan 90 minutos para la una? 89. PROBABLE COLISIÓN. Dos lentos trenes van por la misma vía en sentido contrario, uno al encuentro del otro. Les separa una distancia de 87 km. Un tren va a 25 km/h y el otro a 35 km/h. ¿A qué distancia estarán un minuto antes de colisionar? 90. PRODUCTO TOTAL. Si AxB=24; CxD=32; BxD=48 y BxC=24, ¿Cuánto vale AxBxCxD? 91. LOS MÚLTIPLOS. ¿Cuántos múltiplos de 4 hay entre 1000 y 2000 ambos inclusive? 92. SUPERTRUCO DE MAGIA. Piensa un numero del 2 al 9. Multiplícalo por 9. Suma los dos dígitos del resultado. Réstale 5. ¿Qué resultado se obtendrá? 93. PAR O IMPAR. El cuadrado de un nº natural impar, ¿es par o impar? 94. MEDIO METRO. ¿Qué es mayor medio metro cuadrado o la mitad de un metro cuadrado? 95. CON CUATRO NUEVES. ¿Cómo se deberían colocar 4 nueves para que sumen 100? 96. CON CUATRO UNOS. ¿Cuál es el mayor número que puede escribirse con cuatro unos? 97. CON SEIS UNOS. Escribe 24 con seis unos y las operaciones elementales. 98. GASTANDO. Tenía 57 ptas. y me he gastado todas menos 12. ¿Cuántas me quedan? 99. CONTESTE MUY RÁPIDO. Imagínese participando en una carrera ciclista. Si en un momento determinado adelanta Vd. al segundo, ¿en qué lugar se colocaría? 100. CONTESTE EN 2 SEGUNDOS. Imagínese participando en una carrera ciclista. Si en un momento determinado adelanta Vd. al último, ¿en qué lugar se colocaría? 101. BEBIENDO. Seis hombre beben cerveza en un bar. En total bebieron 21 vasos. Si cada uno de ellos ha bebido distinto número de vasos. ¿Cuántos ha bebido cada uno? 102. HOYOS Y CANICAS. El otro día jugando a las canicas me sucedió lo siguiente: si ponía una canica en cada hoyo me sobraba una canica y si ponía dos canicas en cada hoyo me faltaban dos canicas. Ya no recuerdo cuántas canicas tenía ni cuántos hoyos había en el suelo, ¿me podría ayudar Vd.? 103. 120 CON 4 OCHOS. ¿Sabría Vd. escribir 120 con ocho ochos?
104. CUMPLEAÑOS. ¿Cuántos "cumpleaños" puede celebrar una persona que viva 50 años? 105. LAS 3 PASTILLAS. Un médico le receta a Vd. 3 pastillas y le dice que se tome una cada media hora, ¿cuántos minutos le duran a Vd. las pastillas? 106. BORRANDO CIFRAS. Borra 10 cifras del número 12345123451234512345 de manera que el número que quede sea lo más grande posible. 107. LOS TORNILLOS. En un saco hay 24 kg. de tornillos, ¿cómo podemos pesar 9 kg. usando una balanza? 108. ARRANCANDO HOJAS. A mi hijo de cuatro años le ha dado últimamente por arrancar tacos de hojas de los libros. El otro día, la primera página que arrancó estaba numerada con el 183 y la última con un número escrito con las mismas cifras en otro orden. ¿Cuántas páginas, no hojas, arrancó? 109. CUATRO LUNES, CUATRO VIERNES. En un mes de enero de cierto año hay exactamente cuatro VIERNES y cuatro LUNES, ¿En qué día de la semana cae el 20 de enero? 110. ¿CUÁNTOS GATOS? Una habitación tiene cuatro rincones. En cada rincón hay sentado un gato. Frente a cada gato hay sentados tres gatos. En cada rabo hay sentado un gato. ¿Cuántos gatos hay en total en la habitación? 111. SIN PAPEL NI BOLI. ¿Cuál es el valor de 19 x 13 + 13? 112. LAS FLORES. ¿Cuántas docenas salen con 180 flores? 113. EDAD DE LUIS. El cuadrado de la edad de Luis es la cuarta parte del cuadrado de la edad de Juan que es la mitad de 20. ¿Cuál es la edad de Luis? 114. EL CUADRADO. Un cuadrado tiene 144 m2. de área. ¿Cuál es su perímetro? 115. MINUTOS. ¿Cuántos minutos son 6 horas y media, 25 minutos y 120 segundos? 116. PRODUCTO DE DEDOS. Tome el número de sus dedos de las manos, multiplíquelo por el número de dedos de sus pies, divida el resultado por 1/2 y sume el número de meses del año. ¿Qué número obtiene? 117. LA FAMILIA. Una madre y un padre tienen 6 hijos y cada hijo tiene una hermana. ¿Cuántas personas componen la familia? 118. NARANJAS. Juan compró un kilo de plátanos el lunes y se comió la tercera parte de ellos. El martes se comió la mitad de los que le quedaban. El miércoles se comió los dos que le quedaban. ¿Cuántos plátanos compró el lunes?
119. BUÑUELOS. A Carlos le encantan los buñuelos. Puede comerse 32 en una hora. Su hermano se comería los 32 en 3 horas. ¿En cuánto tiempo se comerían 32 buñuelos entre los dos? 120. GRANDE, GRANDE. ¿Cuál es el mayor número que se puede escribir solamente con dos dígitos? 121. EL FRUTERO. El frutero vendió en el mercado, la mitad de los melones que llevaba más medio melón. Después se comió el melón que le quedó. ¿Cuántos melones llevó al mercado. 122. EL TONEL. Un tonel, lleno de vino tiene un peso de 35 kg. Cuando está lleno hasta la mitad, pesa 19 Kg. ¿Cuánto pesa el tonel vacío? 123. LAS NUECES. Alicia, Benito, Carlos, David y Enrique conjeturaban sobre el numero de nueces que había en un tarro. Alicia decía que 30, Benito pensaba que 28, Carlos conjeturaba que 29, David conjeturaba que 25, y Enrique decía que 26. Dos se equivocaron en una nuez, uno se equivoco en 4, y otro en 3. Pero uno acertó. ¿Cuántas nueces había en el tarro? 124. EL ESTABLO. En un establo hay gallos y caballos. Entre todos hay 22 cabezas y 72 patas. ¿Cuántos gallos y cuántos caballos hay en el establo? 125. EDADES. Las edades del padre y del hijo suman 66. La edad del padre es la edad del hijo invertida. ¿Qué edades tienen? (3 soluciones posibles) 126. ANIMALES DOMÉSTICOS. Todos los animales domésticos de mi vecina son perros menos uno, y todos son gatos menos uno. ¿Cuántos perros y gatos tiene mi vecina? 127. NÚMERO DE 4 CIFRAS. Halla el número de cuatro cifras tal que: La 2ª cifra menor que la 4ª. La 4ª 2/3 de la 1ª. La 1ª 2/3 de la 3ª. La 3ª triple que la 2ª. 128. LOS PASEOS DEL PERRO. Mi hermano saca a pasear a su perro tres veces al día. Cada paseo dura 13 minutos. ¿Cuántas veces saca a pasear al perro en un año? 129. LOS GATOS. En una habitación cuadrada hay 2 gatos en cada rincón. Enfrente de cada gato hay 2 gatos y al lado de cada gato hay un gato. ¿Cuántos gatos hay en la habitación? 130. OTRO NÚMERO DE 4 CIFRAS. Halla el número de cuatro cifras tal que: La 1ª cifra es 1/3 de la 2ª. La 3ª es la suma de la 1ª y la 2ª. La 4ª es tres veces la 2ª.
131. SUMA DE CONSECUTIVAS. ¿Qué tres números consecutivos suman 9.000? 132. PANES Y HORAS. ¿Qué es mayor, los panes que hay en 13 docenas o las horas de una semana? 133. LOS CERDOS. Juan y Benito tienen cerdos. Juan: Si me das 2 cerdos tuyos tendremos el mismo número de cerdos. Benito: Si me los das tú a mí, yo tendré el doble. ¿Cuántos cerdos tiene cada uno? 134. LOS TRESES. Si escribimos todos los números comprendidos entre 300 y 400, ¿cuántas veces aparece el dígito 3? 135. QUEBRADOS. ¿Qué número es 2/3 de la mitad de 1/4 de 240? 136. MÁS QUEBRADOS. ¿Qué número es 2/3 del doble del triple de 5? 137. LOS SALUDOS. Cuatro personas se saludan con un apretón de manos. ¿Cuántos apretones de manos hubo? 138. LOS PINTORES. Un pintor puede pintar una habitación en 4 horas, otro pintor puede pintarla en horas. ¿Cuánto tiempo tardarían si la pintasen trabajando juntos? 139. PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS. Para estimular a su hijo en el estudio de las matemáticas, un padre acuerda pagar a su hijo 8 céntimos de euro por cada problema solucionado correctamente. También le quitará 5 céntimos por cada incorrecto. Al final de los 26 problemas quedaron en paz. ¿Cuántos problemas solucionó el hijo correctamente? 140. LA TELA COLOREADA. Un trozo de tela se colorea como sigue: 3/4 partes de negro, los 80 cm restantes de rojo. ¿Cuanto mide el trozo de tela? 141. LARGO PRODUCTO. ¿Cuál es el producto de todos los números enteros no negativos menores que 10? 142. OTRO NÚMERO. Halle el número que es la mitad de 1/4 de 1/10 de 400. 143. CUADRADOS PERFECTOS. ¿Cuántos números que sean cuadrados perfectos hay entre 1 y 1.000.000, ambos incluidos? Ejemplos: 16=4*4, 121=11*11 144. MENUDA ESCAVADORA. Si un hombre tarda una hora en cavar un agujero de dos metros de largo por dos metros de ancho por dos metros de profundo, ¿cuánto tiempo tardaría el mismo hombre en cavar un agujero de cuatro metros de largo por cuatro metros de ancho por cuatro metros de profundo? Se asume que cava a la misma velocidad.
145. LOS NEUMÁTICOS. Antonio recorrió con su bicicleta 300 km. Tres neumáticos fueron utilizados por igual para recorrer dicha distancia. ¿Cuántos kilómetros fue utilizado cada neumático? 146. HALTEROFILIA. Fernando puso un disco de 25 kg. en cada extremo de la barra, otro disco de 10 kg. en cada extremo, y tres discos de 2 kg. en cada extremo. Después, tras unos segundos de concentración levantó todo el conjunto sobre su cabeza. ¿Qué peso total levantó Fernando sobre su cabeza? 147. MADERERO CORTADOR. El maderero cobra 5 euros por cortar un tronco de madera en dos pedazos. ¿Cuánto cobrará por cortarlo en cuatro pedazos? 148. LA RUEDA DE LA BICI. Una rueda de mi bicicleta tiene 21 radios. ¿Cuántos espacios hay entre los radios? 149. CERDOS Y PALOMAS. En una jaula del zoo hay un total de 30 ojos y de 44 patas. ¿Cuántos cerdos y palomas hay en la jaula? 150. UN EURO. ¿Cómo se puede conseguir exactamente un euro con 50 monedas? 151. EL CUENTAKILÓMETROS. El cuentakilómetros de mi coche muestra 72927 km. que es un número palíndromo. ¿Cuántos km. debo recorrer, como mínimo para poder ver otro palíndromo en el cuentakilómetros? 152. BOLSAS DE CARAMELOS. Mi hermano tiene cinco bolsas de caramelos. Cuatro bolsas tienen un total de 84 caramelos. La 5ª bolsa contiene cuatro caramelos menos que el promedio de las cinco bolsas. ¿Cuántos caramelos hay en la 5ª bolsa? 153. EMPACHO DE MANZANAS. Yo comí 6 manzanas, mi hermano comió 4, mi primo comió 8 y tiramos 2 que estaban malas. Habíamos comprado 2 bolsas con 18 manzanas cada una, y dejamos las más grande para mi mamá. ¿Cuántas podemos comer todavía cada uno? 154. LAS MUÑECAS. Tres personas están haciendo muñecas de papel. Benito tarda 30 minutos en hacer cada una. Teresa 60 minutos y Andrés 90 minutos. Comienzan a la vez, y descansan cuando terminan al mismo tiempo de hacer cada uno su respectiva muñeca. ¿Cada cuánto tiempo descansan? 155. DOBLE Y MITAD. ¿Cuál es el doble de la mitad del doble de 2? 156. EN UN MILENIO. ¿Cuántos siglos hay en un milenio? 157. ESCRIBIENDO A MÁQUINA. Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 en el mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para pulsar 360 caracteres en total?
158. OTRA VEZ EL ORIGINAL. El precio de un artículo estaba rebajado un 20% para su venta. ¿Qué tanto por ciento debe aumentarse el precio del artículo para que de nuevo tenga el precio original?
SOLUCIONES DE MENTALES 1. PERROS, GATOS Y LOROS. Un perro, un gato y un loro. 2. MENUDA RAZA DE GIGANTES. 20 metros. 3. EL PESO DE UN LADRILLO. Como ya tenemos en un platillo 3/4 de ladrillo, la pesa representará el cuarto que falta. Por tanto bastará multiplicar por 4 el valor de la pesa para tener el resultado. El ladrillo entero pesa 3 kilos. 4. LA CUADRILLA. Las tres cuartas partes de hombre es el cuarto que le falta a la cuadrilla. Entonces: 4 x 3/4 = 3 hombres. 5. ACABÓ LA GUERRA. 138 ojos. 6. PROPINAS AL ACOMODADOR. 1.300 duros. 7. ¿CUANTOS NUEVES? Veinte. 8. ¿CUANTO BENEFICIO? 2 ptas. 9. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. 10 ptas. 10. PILOTO DE FORMULA 1. Una hora y 23 minutos. Al multiplicar por 60, los segundos pasan a ser minutos y los minutos, horas. 11. LOS TANTOS POR CIENTO. Igual. 12. EL PRECIO DE LA BOTELLA. La botella 50 centavos. El vino 9 dólares y 50 centavos. 13. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. La botella 40 ptas. El tapón 10 ptas. 14. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. La botella 1 Kg. y 5 gramos. El tapón 5 gramos. 15. EL MISMO DINERO. 5 ptas. 16. ENTRE PASTORES. El primero 5 y el segundo 7. 17. ANTONIO, PEDRO Y LOS LIMONES. Antonio 24 y Pedro 30 limones. 18. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. Cada cubierta se utiliza 4/5 partes del tiempo total. Por tanto, cada una ha sufrido un desgaste de 4/5 de 5000 Km., es decir, 4000 Km.
19. ESCRIBIENDO A MAQUINA. 40 segundos. 20. ¿CUANTA TIERRA? 100/9 Ha. En efecto: 100/9 - 10/9 = 90/9=10 Ha. 21. DOMINÓ. No. 22. LA AMEBA. Dos horas y un minuto. Transcurrido sólo un minuto, ya se ha dividido en dos, y sabemos que dos amebas llenan el tubo en dos horas. 23. MANOS Y DEDOS. 50. Es frecuente que se conteste 100. 24. ¿QUÉ HORA SERÁ? Las 6 de la tarde. 25. DOCENAS DE HUEVOS. 72 - 72 = 0. 26. EL PRECIO DEL OBJETO. 18 duros. 27. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. Nueve. 28. OTRO LADRILLO. 6 Kg. 29. LA ALTURA DEL ÁRBOL. x=altura del árbol. x=3x-2, x=1 metro. 30. ENTRE PASTORES. El primero 5 y el segundo 7. 31. DÍAS Y SEGUNDOS. Medio día. 32. ESCALA DE ESTATURAS. Pedro es el más alto. Juan y Antonio tienen igual estatura, pues le falta lo mismo para llegar a la de Pedro. 33. PINTANDO UN CUBO. Tres colores. Las caras opuestas se pintan del mismo color. 34. DINERO DE JUAN Y PEDRO. Juan 24 ptas y Pedro 30 ptas. 35. EL CUBO PINTADO. 12. 36. EL CEREZO. 2 cerezas. 37. OTRO CEREZO. 2 cerezas. 38. JUGANDO AL AJEDREZ. Cada uno jugó dos partidas: A-B, A-C y B-C. 39. LO DE LA SARDINA. Siete reales y medio. Precisa ser propuesto de palabra y dicho con rapidez, para encubrir su evidencia. Sin embargo, siempre había el caso de quien, al descubrirle la solución, tras haber sido incapaz de hallarla, se excusaba diciendo: "¡Ah, sardinas! Yo te había entendido salmonetes". 40. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. Dieciséis duros y medio.
41. LO DE LOS ARENQUES. 12 peniques (1 chelín). 42. PAN, PAN Y PAN. 11 pares. 43. MEDIAS MEDIAS. Depende de cómo hayan sido los cortes. Si hechos al azar pueden darse tres casos: a) Puede que sean cuatro medias medias sueltas, que no encajan para formar ni siquiera una media porque las medias medias sean todas punteras, o talones, o mitades superiores (musleras), o inferiores (calcetas), o cualesquiera mezclas heterogéneas pero incoherentes de estas dichas. b) Pueden ser una media y dos medias medias, si tiene Vd. la suerte de que dos de ellas encajen para venir a darle una media, pero las otras dos medias medias no, cómo en el caso a), más desgraciado. c) Si está Vd. de mucha suerte, y encajan las cuatro medias medias dos a dos, puede llegar a ser dueño (o dueña) de un par de medias. En este caso, si quiere ponerse el par, tendrá que coser. 44. LAS CERVEZAS. 24 cervezas. Si un hombre y medio beben una cerveza y media en un día y medio, seis hombres beberán seis cervezas en el mismo tiempo, es decir, en un día y medio, y en seis días beberán cuatro veces más, que son las veces que un día y medio está contenido en seis días. 45. LOS TATUADORES. Dos tatuadores y medio. 46. NIÑOS Y MOSCAS. Tres minutos. 47. A MODO DE CHIMENEAS. Dos fumadores. 48. LA TORRE EIFFEL. 875 toneladas. No sólo se reduce la altura de la torre, sino también su ancho y su profundidad, por lo que su peso disminuye a un octavo del peso original. 49. MILÍMETROS CUADRADOS. En un metro cuadrado hay un millón de milímetros cuadrados. Cada mil mm², dispuestos uno junto al otro, constituyen un metro; mil millares formarán mil metros. Por lo tanto, la línea formada tendrá un kilómetro de longitud. 50. LAS 16 CERVEZAS. 1, 3, 5 y 7 cervezas. 51. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. Como el área de un triángulo es máxima cuando sea máxima la altura, considerando como base uno de los lados iguales, la altura máxima se conseguirá cuando el otro lado esté perpendicular al anterior; es decir la altura mide 4 cm. El tercer lado entonces será la hipotenusa, es decir, 32=5'65 cm. 52. LOS GATOS DE MARGARITA. Sea n el número de gatos. Tenemos: n=4/5·n+4/5 ===> n=4. Margarita vive con 4 gatos. 53. LAS FOCAS DEL ZOO. Sea n el número de focas. Tenemos: n=7/8·n+7/8 ===> n=7. Había 7 focas en el zoológico. 54. CONEJOS Y PALOMAS. 23 palomas.
55. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? 50 ptas. 56. MULAS Y BURROS. A 15.000 ptas. 57. EL TIRO AL BLANCO. Nueve veces. 58. ¡OJO QUE ES UN CIRCUITO! Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos. 59. CURIOSA PELÍCULA. Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos. 60. EL GRAN CHOQUE. El dato de 5.000 km. es irrelevante, pues se pide la distancia a la que se encuentran antes de chocar, pero un minuto antes de chocar. La distancia será: 8 + 12 = 20 km. 61. TRABALENGUAS. Nueve cupones. Siendo B=coste en cupones de un bote de detergente. Por 10 cupones, el cliente recibe un bote de detergente con el cupón correspondiente, no lo olvidemos. Así: 10=B+1, B=9. 62. LA GALLINA PONEDORA. Cada gallina tiene que poner 6 huevos, lo que se consigue al cabo de 9 días. 63. ¿CUANTA AGUA SE DERRAMÓ? El quinto día, antes de que se derramara el agua, quedaba agua para ocho días. El agua derramada le habría durado ocho días al hombre que murió, así que se derramaron ocho litros. 64. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. Largo 120 m., ancho 60 m. 65. LOS CHICOS DE LA FERIA. 60 chicos. 66. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA.. 15 de cada clase. 67. MITOLOGÍA. Tres centauros tienen 3x6 = 18 extremidades. 68. EN DOS DADOS. 42. 69. ¿SABES DIVIDIR? El resto es cero. No hay que cometer el error de escribir 11.111, lo cual es once millares, ciento once. En este caso el resto es dos. La cifra dada se debía haber escrito: 11.000 + 1.100 + 11 = 12.111 que es exactamente divisible por tres. 70. PARES CONSECUTIVOS. 32 y 34. 71. BOLI Y LÁPIZ. El boli 65 y el lápiz 35. 72. LOS OCHOS. Veinte. 73. EL ÁRBOL. 40 metros.
74. FAMILIA COMIENDO. Trece. 75. EL PALO Y LA VARA. Cinco. 76. LAS CAJAS. Hay 33 cajas: 3 grandes, 6 medianas y 24 pequeñas. 77. AÑOS BISIESTOS. 250 años. 78. DECEPCIÓN TRIANGULAR. Cero. 79. PIENSE DESPACIO. 30. 80. DIVIDIENDO Y SUMANDO. 70. 81. LAS OVEJAS DEL CORRAL. Nueve. 82. BUSCANDO, BUSCANDO. El 5/6. 83. EL GANADERO Y EL PIENSO. Para 18 días. 84. MULTIPLICANDO. El 1 y el 47. 85. DOCENAS DE SELLOS. 12. 86. MÚLTIPLOS PRIMOS. Ninguno. 87. EN ROMANOS. XXI. 88. LA HORA. Las once y media. 89. PROBABLE COLISIÓN. Si se acercan a 25 y 35 km/h respectivamente. La velocidad relativa de acercamiento es de 60 km/h, o sea, 1 km/min. Por tanto, un minuto antes de colisionar estarán a 1 km de distancia. 90. PRODUCTO TOTAL. 768. 91. LOS MÚLTIPLOS. 251. 92. SUPERTRUCO DE MAGIA. Un 4. 93. PAR O IMPAR. Impar. 94. MEDIO METRO. Es mayor la mitad de un metro cuadrado. 95. CON CUATRO NUEVES. 99 + 9/9 = 100 96. CON CUATRO UNOS. El mayor número es 11 elevado a 11. 97. CON SEIS UNOS. 24 = 11+11+1+1.
98. GASTANDO. 12. 99. CONTESTE MUY RÁPIDO. En el 2º lugar. 100. CONTESTE EN 2 SEGUNDOS. Al último nunca se le puede adelantar. Es él el que puede adelantar. 101. BEBIENDO. 1+2+3+4+5+6=21. 102. HOYOS Y CANICAS. Cuatro canicas y tres hoyos. 103. 120 CON 4 OCHOS. (8+8)x8-8=120. 104. CUMPLEAÑOS. 50. 105. LAS 3 PASTILLAS. Algo más de 60 minutos. 106. BORRANDO CIFRAS. 12345123451234512345. 107. LOS TORNILLOS. Separando 12 y 12. Separando 6 y 6. Separando 3 y 3. 108. ARRANCANDO HOJAS. 138 y 318 inclusive, abarcan 136 páginas. Solución única. 109. CUATRO LUNES, CUATRO VIERNES. Domingo o lunes. 110. ¿CUÁNTOS GATOS? 4 gatos. Uno en cada rincón sentado sobre su propio rabo. Delante de cada gato hay otros tres, uno en cada rincón, sentado sobre su propio rabo. 111. SIN PAPEL NI BOLI. 19 x 13 + 13 = 19+1 x 13 = 20 x 13 = 260. 112. LAS FLORES. 15 docenas. 113. EDAD DE LUIS. 5 años. 52 = 25 = 100/4. 114. EL CUADRADO. 48 m. 115. MINUTOS. 417 minutos. 116. PRODUCTO DE DEDOS. 212. 10 x 10 : 1/2 = 200 + 12 = 212. 117. LA FAMILIA. Nueve. 118. NARANJAS. Seis. Cada día se comió dos. 119. BUÑUELOS. Carlos come 3 veces más rápido que su hermano. Comerían 24 y 8. Es decir, tardarían 45 minutos. 120. GRANDE, GRANDE. 99 = 9x9x9x9x9x9x9x9x9 = 387.420.489.
121. EL FRUTERO. 3. 122. EL TONEL. 35-19=16 (es la cantidad de vino sacado). Luego 35-(16x2) = 3 kg. 123. LAS NUECES. Había 29 nueces en el tarro. 124. EL ESTABLO. 14 caballos y 8 gallos. 125. EDADES. 51 y 15; 42 y 24; 60 y 06. 126. ANIMALES DOMÉSTICOS. Un gato y un perro. 127. NÚMERO DE 4 CIFRAS. El 6394. 128. LOS PASEOS DEL PERRO. 3x365 = 1095. Los 13 minutos no importan. 129. LOS GATOS. 8 gatos. 130. OTRO NÚMERO DE 4 CIFRAS. 1349. 131. SUMA DE CONSECUTIVAS. 2999, 3000 y 3001. 132. PANES Y HORAS. Horas 168. Panes 156. 133. LOS CERDOS. Juan 10. Benito 14. 134. LOS TRESES. 120 veces. 135. QUEBRADOS. 20. 136. MÁS QUEBRADOS. 20. 137. LOS SALUDOS. 6. 138. LOS PINTORES. 80 minutos. 139. PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS. 10. 140. LA TELA COLOREADA. 3 m. 20 cm. 141. LARGO PRODUCTO. Cero. Está el cero entre ellos. 142. OTRO NÚMERO. Cinco. 143. CUADRADOS PERFECTOS. Hay 1.000. 12=1, 22=4, ..., 9992=998,001, 10002=1,000,000 144. MENUDA ESCAVADORA. Ocho horas. En el primer agujero: 2m x 2m x 2m = 8 metros cúbicos. En el segundo agujero, 4m x 4m x 4m = 64 metros cúbicos.
145. LOS NEUMÁTICOS. 200 km. Entre los tres neumáticos recorrieron 600 km. 146. HALTEROFILIA. Levantó 82 kg. más el peso de la barra. 147. MADERERO CORTADOR. 15 euros (3 cortes). También valdría 10 euros (2 cortes). 148. LA RUEDA DE LA BICI. 21. La mayoría de la gente contesta que 20. 149. CERDOS Y PALOMAS. 7 cerdos y 8 palomas. 150. UN EURO. 40 de 1 céntimo, 2 de 10 céntimos, y 8 de 5 céntimos. 151. EL CUENTAKILÓMETROS. 110 km. para ver el 73037. 152. BOLSAS DE CARAMELOS. 16. 153. EMPACHO DE MANZANAS. 18x2 - (6+4+8+2+1) entre 3 = 5. 154. LAS MUÑECAS. Cada 180 minutos. Benito 6 muñecas en los 180 minutos. Teresa 3 muñecas en los 180 minutos. Andrés 2 muñecas en los 180 minutos. 155. DOBLE Y MITAD. 4. 156. EN UN MILENIO. 10. 157. ESCRIBIENDO A MÁQUINA. 40 segundos. 158. OTRA VEZ EL ORIGINAL. Un 25%.
Juegos Numéricos (No Solucionados..) 1. Problemas Clásicos Adivinando Números Las propiedades y operaciones de los números a veces parecen casi mágicas.
Problema: Explica por qué puedo adivinar los dos números que has pensado si me dices el resultado de estas operaciones: 1. Piensa un número. 2. Multiplícalo por dos.
3. 4. 5. 6. 7.
Súmale 5. Multiplica el resultado por 5. Piensa otro número del 0 al 9. Súmalo al resultado anterior. Resta 25 al resultado obtenido.
Problema: ¿Cómo se puede justificar que sepa el resultado? 1. 2. 3. 4.
Escribe el año en que naciste Súmale el año de algún acontecimiento importante de tu vida. A este súmale los años que tendrás en 2007. Finalmente, a eso súmale el número de años que van a transcurrir desde que se produjo el acontecimiento importante de tu vida hasta el año 2007.
La respuesta será 4014.
Problema: Dile a alguien que piense un número de 3 cifras y que lo repita para formar un número de 6 cifras. Dile que se lo pase a alguien para que lo divida por 7. Observará que el resto de la división es 0. Dile a éste que le pase el resultado a otro para que lo divida por 11. Este a su vez le pasa el resultado a otro para que lo divida por 13 y que escriba el resultado en un papel. Si ahora abrimos el papel veremos que contiene el número pensado inicialmente. ¿Puedes explicarlo?
Problemas de velocidades. Problema: Dos muchachos que pasean en bicicleta, se hallan a 20 kilómetros uno del otro. En este momento empiezan a ir al uno hacia al otro, al mismo tiempo que una mosca que está posada en el manillar de una de las bicicletas empieza a volar hacia el otro. En el momento en que llega al manillar de la otra bicicleta da la vuelta y vuelve hacia la primera, y así sucesivamente. Si cada bicicleta se mueve a 10 kmts/h y la mosca a 15kmts/h, ¿qué distancia habrá volado la mosca cuando se encuentren las 2 bicicletas? Problema: Un pescador que llevaba un gran sombrero de paja estaba remando corriente arriba por un río cuya corriente llevaba una velocidad de 3 kmts/h. En cierto momento el sombrero se le cayó al agua, aunque no se dio cuenta hasta que estuvo a 5 kmts de distancia. En ese momento empezó a remar corriente abajo hasta que los recogió. En aguas quietas la velocidad con la que rema el pescador es de 5 kmts/h, por tanto su velocidad corriente arriba será de 2 kmts/h, mientras que corriente abajo será de 8 kmts/h. Si el pescador perdió su sombrero a las 2 de la tarde, ¿a que hora lo recuperó? Problema: El Sr. Martínez tiene que hacer un viaje de ida a vuelta a Teruel, y le gustaría llevar una velocidad promedio de 90 kmts/h entre la ida y la vuelta. Tras el viaje de ida, en el que ha hecho muchas paradas, calcula que su velocidad promedio en la ida a sido de 45 kmts/h. ¿A qué velocidad habrá de hacer la vuelta para cumplir su objetivo inicial? Problema: Un avión vuela de Madrid a Alicante, ida y vuelta. La velocidad del avión, cuando no hay viento, es de 800 kmts/h. Sin embargo, durante los dos trayectos ha habido un fuerte viento de 200 kmts/h en la dirección de Madrid a Alicante. ¿Como afectará ese viento a la duración total del viaje de ida y vuelta?
La respuesta al problema parecería ser que la velocidad del avión se ve aumentada por el viento a la ida en la misma medida en que es disminuida a la vuelta. Por tanto ambas influencias se compensan y el viaje durará igual que si no hubiera habido viento. Sin embargo, si consideramos el caso extremo de que la velocidad del viento fuera de 800 kmts/h el avión no podría regresar de Alicante y la duración del viaje de ida y vuelta sería infinita. ¿Cómo explicas la discrepancia entre los dos razonamientos?
Problema: El Sr. Martínez llega todos los días a su estación de tren, después del trabajo, a las 5 en punto de la tarde. Allí le recoge su mujer y le lleva en coche a casa. Un día toma un tren anterior, llegando a su estación a las 4 en punto. En lugar de esperar hasta las 5 decide pasear hasta su casa. Por el camino le encuentra su mujer que le recoge con el coche, llegando a su casa 10 minutos antes de lo habitual. ¿Cuánto tiempo caminó el Sr.Martínez? Problema: Pepe y Pablo hacen footing desde A hasta B. Pepe corre la mitad de la distancia y anda la otra mitad. Pablo corre la mitad del tiempo y anda la otra mitad. Los dos corren a la misma velocidad y los dos andan a la misma velocidad. ¿Quién llega antes? Problema: Un señor llegó hasta un puente ferroviario y empezó a correr por él. Cuando había recorrido 3/8 del puente oyó el silbato del tren. Calculó inmediatamente: si retrocedo al comienzo llego exactamente en el momento en el que el tren entra en el puente, corriendo a mi velocidad de 10 Km/h y si corro hasta el final a esta velocidad llego allá al mismo tiempo que el tren. ¿A qué velocidad marcha ese tren?
Acertijos con dinero Los problemas de esta sección están sacados del libro Matemática para divertirse de Martin Gardner publicado por Zugarto Ediciones en 1992 (Versión Original: Entertaining Mathematical Puzzles, Dover Publications, New York, 1986).
Problema: Cuando el Sr. Martínez fue al banco se dio cuenta de que se había quedado en números rojos. sin comprender cómo había sucedido, le explicó al Director del Banco lo siguiente: Inicialmente tenía 100.000 ptas en mi cuenta. Retiré sucesivamente 6 cantidades de dinero que sumaban 100.000 ptas, pero según mis registros únicamente había 99.000 ptas disponibles. Las cifras exactas fueron las siguientes: Retiros 50.000 25.000 10.000 8.000 5.000 2.000
Cantidad que quedaba en depósito 50.000 25.000 15.000 7.000 2.000 0
100.000 99.000 Como ve, aparentemente debo 1.000 ptas al banco. Apreciamos su honestidad, le dijo el Director del banco, pero no nos debe nada. Entonces, ¿hay algún error en mis cifras? No, sus cifras son correctas. ¿Puedes explicar cuál es el error?
Problema: "Déme cambio de 100 ptas", dijo el cliente. "Lo siento", dijo el cajero, "con las monedas que tengo me es imposible". "¿Puede entonces darme cambio de 50 ptas?" "Lo cierto es que no puedo darle cambio ni de 50, ni de 25, ni de 10, ni de 5 ptas." "¿Es que no tiene ninguna moneda?", preguntó el cliente. Tengo exactamente 125 ptas, contestó el cajero. ¿Qué monedas tiene el cajero?
La asignación de Pepito. Pepito quería que su padre le diera 1000 ptas a la semana, pero su padre se negaba a darle más de 500. Ante la falta de acuerdo Pepito le propuso a su padre: "¿Por qué no ma das 1 pta hoy, 2 ptas la semana que viene, 4 la siguiente, y así sucesivamente?" "Por cuánto tiempo", preguntó si padre. "Solamente hasta mi cumpleaños, después ya negociaremos otra vez". Si quedan 30 semanas para el cumpleaños de pepito, ¿cuál de las siguientes cantidades crees que se acerca más al dinero que debería recibir Pepito? 1.000 ptas 10.000 ptas 100.000 ptas
Problema: Supongamos que estás negociando el salario con tu Jefe y éste te da a elegir entre 2 ofertas: 1. 2.000.000 por tu primer año de trabajo y un aumento de 400.000 ptas anuales en los 5 años siguientes. 2. 1.000.000 por tu primer semestre de trabajo y un aumento de 100.000 ptas cada semestre durante los 5 años siguientes. ¿Qué oferta elegirías y por qué?:
Problema (Reparto Justo): Tres hombres en el desierto tienen 8 panes para comer, el primer hombre no tiene ningún pan, el segundo tiene tres panes y el tercero tiene cinco. Al llegar a un oasis el primer hombre quiere pagar a los otros dos la parte de los panes que él ha comido, toma ocho monedas y da tres monedas al segundo hombre y cinco al tercero. ¿Es justo este reparto?
Problema: Los hermanos Zipi y Zape me encargaron que vendiera en el mercado dos partidas de melones. Zipi me encargó 30 melones que debían ser vendidos al precio de 3 por una moneda de 500 pts; Zape me entregó también 30 melones para los que estipuló un precio más caro: 2 melones por una moneda de 500 pts. Lógicamente, después de efectuada la venta Zipi tendría que recibir 10 monedas de 500 pts y Zape 15. El total de la venta sería pues 25 monedas de 500 pts. Para mayor comodidad, empecé a venderlos en lotes de 5 por 1000 pts: Si tenía que vender 3 por 500 pts y luego 2 por 500 pts, sería más sencillo vender 5 por 1000 pts. Vendidos los 60 melones en 12 lotes de cinco melones cada uno, recibí 24 monedas de 500 pts. ¿Cómo se explica esta diferencia de 500 pts entre lo recibido y lo que se supone que habría que recibir?
Curioso Testamento Un rico abogado poseía 11 autos antiguos de gran valor. Cuando el abogado murió dejó un curioso testamento. En él pedía que sus 11 coches fueran repartidos entre sus tres hijos. La mitad de los autos debía ser para el hijo mayor; la cuarta parte para el mediano, y la sexta parte, para el benjamín.
Problema: ¿Cómo realizarías este reparto? Mientras los hijos piensan cómo hacer el reparto se acercó en su deportivo nuevo una famosa especialista en numerología. Cuando los chicos le contaron su situación, la señora, muy generosa, aparcó su deportivo junto a los otros coches y procedió al reparto dando la mitad del total, o sea, seis, al hijo mayor. El mediano se llevó la cuarta parte de 12, es decir, tres. Y el menor, la sexta parte de 12, o sea dos. Al terminar el reparto la señora se cercioró de que 6+3+2 = 11. Así que sobra un coche ¡el de ella! ¡Me alegro de haberos sido útil!, les dijo, ¡ya os enviaré la minuta!
Problema: ¿Cómo ha sido posible dicho reparto? Problema: Supongamos ahora que la herencia constaba de 35 coches que debían repartirse del siguiente modo: ½ para el mayor 1/3 para el mediano y 1/9 para el pequeño. Además, la especialista en numerología quiere como honorarios uno de los coches. ¿Cómo se solucionaría el problema? Comprueba qué pasaría con las cantidades 53, 71 y este mismo reparto (1/2, 1/3, 1/9). Problema: Se dispone de un saco con 8 monedas de oro, no todas del mismo valor: hay una que vale 300.000 pts., y las demás tiene un valor de 100.000 pts., 500.000 pts. ó de 1.000.000 pts. Cierto testamento indica que dichas monedas deben ser repartidas, sin ser vendidas, entre cuatro hermanos dando: 1/3 del valor total al hermano mayor, 1/4 al segundo, 1/5 al tercero y 1/6 para el pequeño. Ante el problema de semejante reparto, el abogado que llevaba el caso les propuso lo siguiente: él tenía una moneda de oro por valor de 100.000 pts, que añadió al saco de las 8 monedas y convino que daría a cada uno su parte siempre y cuando él pudiera quedarse con el saco. Los hermanos se aceptaron agradecidos, pues cada uno recibía así monedas por más valor de lo que le correspondía. Al salir del bufete se percataron de que entre todos habían recibido 8 monedas de oro pero ninguno tenía la moneda que valía 300.000 pts. ¿Cuál era el valor total de las 8 monedas? ¿Qué monedas recibió cada uno de los hermanos?.
Problema (Otro testamento): Un rajá dejó a sus hijas cierto número de perlas y determinó que la división se hiciera del siguiente modo: La hija mayor se quedaría con una perla y 1/7 de lo que quedara. La segunda hija recibiría dos perlas y 1/7 de lo restante, la tercera joven recibiría 3 perlas y 1/7 de lo que quedara. Y así sucesivamente. Hecha la división cada una de las hijas recibió el mismo número de perlas. ¿Cuántas perlas había? ¿Cuántas eran las hijas del rajá
Los Cuatro Cuatros El problema de los cuatro cuatros es el siguiente: Escribir con cuatro cuatros y signos matemáticos una expresión que sea igual a un número entero dado. En la expresión no puede figurar, aparte de los cuatro cuatros, ninguna cifra o letra o símbolo algebraico que suponga letras, tal como: log, lim, etc. Pero si puede usarse la parte entera. Afirman los pacientes calculadores que será posible escribir con cuatro cuatros todos los números enteros desde 0 hasta 100. A veces será necesario recurrir al signo de factorial ( ! ) y al de la raíz cuadrada. La raíz cúbica no puede ser empleada a causa del índice 3.
Problema: Escribe con cuatro cuatros todos los números del 0 al 100.
Problemas con vasijas Problema: Un hombre va a una fuente a buscar exactamente 4 litros de agua pero sólo dispone de dos recipientes: un cubo de 5 litros de capacidad y una botella de 3 litros. ¿Cómo puede obtener en estas condiciones exactamente 4 litros? Problema: Ahora se dispone de un suministro ilimitado de agua, un gran cubo con un desagüe y de dos vasijas que, una vez llenas, contienen exactamente 7 y 9 litros de agua. ¿Cómo se puede, con estos recursos, medir exactamente un litro de agua? Problema: Tenemos dos vasijas, una vasija A con 10 litros de vino y una vasija B con 10 litros de agua. Tomamos un litro de agua de la vasija A y lo echamos en la vasija B. Tomamos un litro de la mezcla de la vasija B y lo echamos en la vasija A. De la mezcla existente en la vasija A tomamos un litro y lo echamos de nuevo en la vasija B. Continuamos este proceso. Al final de 10 trasvases, ¿habrá más agua en la vasija B que vino en la A, o viceversa? ¿Y si repetimos el proceso infinitas veces?
¿Cómo escapar de una torre? Este acertijo ha sido extraído del libro The Moscow Puzzles, de Boris A. Kordemsky. Hace 300 años vivió un príncipe de corazón enfermo y excesivo orgullo. Éste había prometido a su hija en matrimonio a un rico vecino, pero ésta tenía un plan diferente. Enamorada de un lacayo, intentó huir con él a las montañas, pero fueron capturados. El príncipe decidió ejecutarlos al día siguiente. Los encerró en una alta torre junto con una muchacha, una sirviente que los había ayudado en su fallida huida. Mirando por la ventana, observaron que era imposible saltar y sobrevivir. Sin embargo, había una cuerda, colgando de una polea, en cuyos extremos había sendas cestas. Éstas habían sido utilizadas en el pasado para subir ladrillos y bajar escombros. También había en la torre 13 trozos de cadena de unos 5 kilogramos cada uno. Los prisioneros dedujeron que si una de las cestas llevaba una carga superior en cinco
kilogramos a la otra, la más pesada descendería suavemente al suelo a la vez que la otra ascendía hacia la ventana.
Problema: Sabiendo que los pesos de los prisioneros eran, respectivamente, de 90, 50 y 40 kilogramos, ¿cómo podrían escapar de la torre? En ningún momento una cesta en descenso puede pesar 5 kilogramos más que la otra. ¿Cuántas veces han bajado las cestas?
El Problema de Josephus Josephus Flavius fue un famoso historiador judío de la primera centuria (37-100). Cuentan que durante la guerra de los judíos y los romanos, él se quedó atrapado, con otros cuarenta soldados judíos, en una cueva asediada por los romanos y sin una posible vía de escape. La leyenda dice que, prefiriendo suicidarse a ser capturados, los soldados decidieron matarse entre ellos, pero Josephus y un amigo suyo no estaban de acuerdo. Para sobrevivir Josephus sugirió que se procediera del siguiente modo: Todos ellos debían colocarse en círculo, numerándose del 1 al 41, y empezando a contar por el primero toda tercera persona sería asesinada hasta que sólo quedara una persona que debería suicidarse. Josephus salvó su vida y la de su amigo colocándose en el lugar 31 y 16 respectivamente.
Problema: Comprueba que las dos últimas personas que quedaron fueron Josephus y su amigo. Problema: A una fonda llegó a comer un batallón de soldados hambrientos, que se sentaron en una gran mesa redonda a la que invitaron al dueño. A la hora de pagar propusieron el siguiente juego: Empezando a contar por el que presidía la mesa, toda segunda persona quedaría exenta de pago y podría irse. La cuenta la pagaría por tanto el último que quedara sentado a la mesa. Con los siguientes datos, y suponiendo que en la mesa hay sentadas en total N personas, calcula, como función de N, el lugar R donde sentarías al dueño del local para que sea él quien quede al final sentado a la mesa. N
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
R
1
3
1
3
5
7
1
3
5
7
9 11 13 15 1
3
5
7
9
Problema: Un hombre tenía cuatro hijos, dos de una primera esposa que murió, y otros dos de su segunda esposa. Acordaron dejar toda la herencia a uno sólo de los hijos y para ser ecuánimes en la elección la mujer sugirió el siguiente juego: Los cuatro hijos se dispondrían en círculo numerándose del uno al cuatro, y empezando a contar por el primero saldría del círculo todo aquel que fuera múltiplo de un cierto número N. La esposa colocó a los chicos de la siguiente forma: P S S P y ocurrió que los dos primeros eliminados fueron justamente los hijos de la primera esposa. ¿Sabrías decir qué número es N? Problema: ¿Que número es N si en el problema anterior los primeros eliminados son los hijos de la segunda esposa?
Problema: Obtén un valor de N para que en la siguiente lista PSPPSPSS sean eliminados en primer lugar todos los P, y otro valor para que en primer lugar sean eliminados todos los S.
2. Falacias En los siguientes problemas explica dónde está el error:
Problema: Uno igual a dos: Sea a = b, entonces: ab = a2, ab-b2 = a2-b2 b(a-b) = (a+b)(a-b) b = a+b b = 2b 1=2 Problema: Uno igual a cero. (n+1)2 = n2+2n+1 (n+1)2-(2n+1) = n2 (n+1)2-(2n+1)-n(2n+1) = n 2-n(2n+1) (n+1)2-(n+1)(2n+1) = n2 -n(2n+1) (n+1)2-(n+1)(2n+1)+(2n+1)2/4 = n2-n(2n+1)+(2n+1)2/4 [(n+1)-(2n+1)/2]2 = [n-(2n+1)/2]2 (n+1)-(2n+1)/2 = n-(2n+1)/2 n+1 = n 1=0 Problema: Cuatro igual a cero. cos2(x) = 1-sen2(x), 1+cos(x) = 1+(1-sen 2(x))1/2; elevando al cuadrado ambos miembros, (1+cos(x))2 = (1+(1-sen2(x))1/2)2; particularizando para x = , (1-1)2 = (1+(1-0)1/2)2 0 = (1+1)2 = 4. Problema: Uno igual a menos uno. (-1)2 = 1 (tomando logaritmos) 2ln(-1) = ln1 = 0 ln(-1) = 0 -1 = e0 -1 = 1. Problema: ¿Qué es lo que falla en este razonamiento? x2 = x x = x + … + x Derivando en los dos miembros de la igualdad se tiene: 2x = 1 + … + 1 = x 2x = x 2 = 1
3. Cuadrados Mágicos Vamos a comenzar este tema estudiando dos juegos de dos jugadores, muy sencillos y que se relacionan entre si de una manera sorprendente.
HOT: Hay nueve cartones y cada uno lleva impreso una de las siguientes palabras NULO, VEN, PIN, BOA, PELA, AHI, SUPO, CES, SIL. Se colocan los 9 cartones boca arriba sobre la mesa. Cada jugador toma uno de ellos por turno. Gana el primero que tenga tres con la misma letra. (Leo Moser, el matemático que inventó el juego lo bautizó con el nombre de HOT). SUMA 15: Nueve fichas marcadas del 1 al 9 se ponen sobre la mesa. Cada jugador coge una ficha por turnos. Gana el primero que sume 15 con tres fichas.
En los dos casos la pregunta es la siguiente:
Problema: Si ambos jugadores adoptan estrategias óptimas, ¿gana el primero, el segundo o hay empate? Problema: En la siguiente figura:
coloca los números del 1 al 9, cada uno en una casilla, de modo que los de la misma línea sumen lo mismo. Decimos que un cuadrado mágico es de orden n si es una disposición cuadrada de n 2 números consecutivos, el primero de los cuales es el 1, de modo que la suma de cualquier fila, columna o diagonal es constante. A esta constante la llamamos constante mágica . Un cuadrado mágico de orden n está formado por los números 1, 2, 3, ..., n 2. Por tanto, la suma de todos ellos es S=1+2+3+...+(n 2-2)+(n2-1)+n2, que también se puede poner como S=n2+(n2-1)+(n2-2)+...+3+2+1. Luego 2S = n 2 (n2+1) y por tanto S=n 2 (n2+1)/2. Si la constante mágica es x, como hay n columnas tendremos que nx=n 2(n2+1)/2 y por tanto la constante mágica de un cuadrado mágico de orden n será n(n 2+1)/2.
Problema: ¿Es posible encontrar un cuadrado mágico 2x2? Problema: Intentar construir un cuadrado mágico de orden 3 esencialmente diferente al obtenido en el juego "Suma 15".
Para construir cuadrados mágicos de orden impar n, Louberre desarrolló el siguiente método: 1. Se dibuja el cuadrado dividido en nxn celdillas. Se dibujan una fila superior y una columna derecha más, y se sombrea la celdilla añadida situada en el vértice superior derecho. 2. Se sitúa el 1 en el centro de la segunda fila (primera en el cuadrado original). 3. El siguiente número se coloca en la celdilla superior derecha de donde estamos situados excepto: a. Si nos salimos del cuadrado original volvemos a él yendo al extremo opuesto. b. Si vamos a una casilla ocupada se continúa por la casilla situada debajo de la que se escribió el último número. La casilla sombreada, se considera como si estuviera ocupada. Aplicado al caso anterior, este método nos proporciona el siguiente cuadrado mágico de orden 3. 8 1 6 3 5 7 4 9 2
Problema: Construye un cuadrado mágico de orden 5. El método anterior no sirve obtener cuadrados mágicos de orden n con n par. Para estos casos se utiliza el método de inversión de las diagonales. Vamos a aplicarlo al cuadrado mágico de orden 4. Su constante mágica es 4(4 .+1)/2=34. Empezamos dibujando el siguiente cuadrado más simple. 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 Es fácil observar que las diagonales poseen la suma requerida. Sin embargo, la suma de las filas superiores es demasiado pequeña, mientras que la suma de las filas inferiores es demasiado grande. De igual forma la suma de las primeras columnas es demasiado pequeña, y la de las dos últimas es demasiado grande. Esto sugiere que debemos mantener constante la suma de las diagonales intercambiando los números de las mismas desde la parte superior a la inferior y, simultáneamente, de derecha a izquierda. A una transformación como esta la llamamos inversión de las diagonales. El resultado es el siguiente cuadrado mágico de orden 4:
16 2
3 13
5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 Este no es el único cuadrado mágico de orden 4 que se conoce. Se pueden formar 880 cuadrados mágicos de orden 4 distintos y al menos trece millones de orden 5. Es muy poco lo que se sabe acerca del número exacto de cuadrados mágicos de orden n que se pueden construir. Otros cuadrados mágicos de orden cuatro pueden ser: 4
5 14 11
3
2 15 14
1 15 8 10
13 16 1
4
16 2
7
9
7
10 11 6
13 12 3
6
8
5 12 9
Problema: Obtener un cuadrado mágico de orden 6. Uno de los problemas más antiguos de la matemática recreativa es averiguar qué camino debe seguir un caballo de ajedrez para recorrer una y sólo una vez todos los cuadros del tablero. La solución dada por Euler en el s.XVIII es la siguiente: 1 48 31 50 33 16 63 18 30 51 46 3 62 19 14 35 47 2 49 32 15 34 17 64 52 29 4 45 20 61 36 13 5 44 25 56 9 40 21 60 28 53 8 41 24 57 12 37 43 6 55 26 39 10 59 22 54 27 42 7 58 23 38 11 Esta solución es un cuadrado mágico de orden 8. Es interesante ver cómo se mueve el caballo por cada uno de los cuatro cuadrados 4x4 que forman el cuadrado total. Cada uno de estos cuadrados es a su vez "mágico" con constante mágica 130. Ampliamos ahora la definición de cuadrado mágico a lo siguiente: Un cuadrado mágico genérico de orden n es una cuadrícula nxn en el que se distribuyen n 2 números distintos de modo que todas sus filas, columnas y diagonales den la misma suma.
Problema: Completa los siguientes cuadrados y calcula su constante mágica: 6 7
10 5
3
14 3
7 4
11 1 13
5
8 15
9
7 15 5
Problema: Construye un cuadrado mágico con los 9 primeros números pares y constante mágica 30. Problema: Se eligen tres números a, p, q. A partir de ellos se obtienen los siguientes nueve números: a
a+p
a+2p
a+q a+p+q a+2p+q a+2q a+p+2q a+2p+2q Los números obtenidos por filas, se colocan por este orden, en el lugar 1, 2, ..., 9 del cuadrado mágico básico de orden 3. Estudiar si se obtiene siempre un cuadrado mágico de orden tres.
Problema: Con las seis fichas siguientes de dominó:
consideramos un conjunto de 8 fichas repitiendo dos fichas distintas cualesquiera. Se trata de ordenar estas 8 fichas en un cuadrado 4x4, para que formen un cuadrado mágico de orden 4.
4. El Nim y otros juegos de fichas Existen muchos juegos con fichas que están programados para que los ordenadores los puedan jugar... y ganar. Aquí tienes algunos ejemplos:
Scoring Problema: Se colocan un montón de 50 fichas. Cada jugador debe coger, por turno, 1, 2 ó 3 fichas. Gana quien se lleve la última ficha. ¿Se te ocurre alguna estrategia para ganar? Problema: ¿Cuál será la estrategia para ganar si en el juego anterior pierde el que se lleva la última ficha?
Problema: El siguiente es un juego conocido ya en la edad media, consiste en lo siguiente: El primer jugador (A) dice un número n 1 tal que 0 < n1 6, el segundo (B) piensa un número n2 con 0 < n 2 6, y dice s 2=n1+n2, a continuación el jugador A, piensa un número n3 con 0m)? Problema: ¿Qué ocurre si en los problemas anteriores hay 2 o mas montones, pudiéndose retirar fichas únicamente de un solo montón cada vez? ¿Se te ocurren casos particulares con estrategia ganadora para alguno de los jugadores?
El Nim El Nim (quitar o retirar) es un juego para dos personas que consiste en lo siguiente: Se reparten una serie de fichas entre un número arbitrario de filas. Un ejemplo de distribución puede ser la siguiente en cuatro filas:
Cada jugador, al llegarle su turno, puede retirar tantos elementos como quiera, siempre y cuando todos los elementos procedan de la misma fila. Gana la persona que retira la última ficha.
Problema: Jugando al Nim con la distribución de fichas dada, comprueba qué ocurre si, siendo el segundo jugador, sigues la siguiente estrategia: "Al escribir en base dos el número de fichas que dejas en cada fila, alineándolos a la derecha, todas las columnas tienen un número par de unos." Problema: ¿Qué ocurre con la estrategia planteada en el problema 4 si variamos el número de fichas y de filas? Problema: ¿Qué pasa si en el Nim pierde el que se lleva la última piedra?
Turning turtles Tenemos una sucesión de cruces y círculos, de longitud cualquiera, como la siguiente: O X X O X X O O X O X En cada movimiento cada jugador escoge una "O" y la cambia por "X". Al mismo tiempo puede, si lo desea, cambiar una letra ("O" a "X" o "X" a "O") en cualquiera de los lugares a la izquierda de la cambiada anteriormente. El jugador que hace el último movimiento gana.
Problema: Este juego es Nim disfrazado. ¿Sabrías hallar la equivalencia con el Nim?
Juegos de Lógica 1. Enigmas y cuadros de doble entrada Empezaremos enunciando un enigma que resolveremos de varias formas: "Hoy gran etapa: Concarneau-Chateaulin, en la costa Ménez-Kerveyen, tenemos seis hombres a la cabeza. Son " Nuestro cronista se confunde y mezcla corredores, números, marcas y nacionalidades. ¿Quieren ayudarlo a terminar esta nota? Sabemos que:
Este grupo comprende seis hombres, todos de nacionalidades diferentes: alemán, inglés, belga, español, italiano y francés. Tres marcas patrocinan a los corredores, cada una de ellas a dos: Clas, Banesto y Festina.
Se tiene la siguiente información: a. b. c. d. e. f. g.
El número 1 y el alemán son dos corredores que llevan los colores de la marca Clas. El número 5 y el belga llevan los dos los de la marca Banesto. El español y el número 3 llevan los dos los de la marca Festina. Los corredores números 2 y 6 sacaron ventaja a la entrada del circuito de l’Aulne, mientra que el español se quedó. El italiano y el francés se adelantaron 30 segundos al número 3 en la tercera vuelta de este circuito. El número 2 y el alemán debieron abandonar, ambos, después de una caída. Finalmente, el número 1 ganó el sprint final frente al italiano.
Para resolver el enigma, en primer lugar, abordaremos la forma más "directa" o de "sentido común" que no conlleva formalizaciones ni el uso de estructuras determinadas; es decir, se trata de utilizar los datos como aparecen e ir haciendo sobre ellos las deducciones. Evidentemente, como cada persona tiene mecanismos de pensamiento distintos será difícil que todos coincidamos en el orden de los distintos pasos de las deducciones; una forma sería tratar la información en el cronológico que aparece.
Método 1: Deducción cronológica-"directa" La información a), b) y c) se puede resumir:
Clas: corredores número 1 y alemán. Banesto: corredores número 5 y belga. Festina: corredores número 3 y español.
Y una deducción clara es que tanto el alemán como el belga como el español han de tener números pares, además como consecuencia de esto los números impares corresponden a italiano, inglés y francés. La información (d) nos dice que, al entrar en el circuito de l’Aulne, los números 2 y 6 aventajaron al español, podemos deducir entonces que el español ha de tener necesariamente el número 4, puesto que debía de tener un número par. También se deduce que los números 2 y 6 han de distribuirse entre alemán y belga. La información de e) nos dice que el italiano y el francés adelantan al número 3 en la tercera vuelta, luego como ambos, italiano y francés, son números impares, el número 3 corresponde al otro corredor de número impar que es el inglés. También se deduce, por tanto, que los números 1 y 5 han de distribuirse entre italiano y francés. La información f) dice que el alemán y el número 2 sufren una caída, luego, como sabemos que el alemán sólo puede ser el 2 ó 6, necesariamente se tiene que el alemán es el número 6 y entonces el belga será el numero 2. La información g) dice que el sprint final lo disputan el número 1 y el italiano, así como éste sólo puede ser el 1 ó el 5, necesariamente será el 5, y por tanto el número 1 será el francés, con lo que queda resuelto el enigma. Un esquema del procedimiento que acabamos de realizar es el siguiente: Información
Deducciones
a) Clas: nº1 y alemán
nºs pares: alemán, belga y español
b) Banesto: nº5 y belga
nºs impares: italiano, inglés y francés
c) Festina: nº3 y español
nº 4 español
d) nº 2 y nº 6 adelantan español
nºs 2 y 6: alemán y belga e) italiano y francés adelantan al nº 3 nº 3 inglés nºs 1 y 5: italiano y francés f) nº 2 y alemán caen
nº 6 alemán nº 2 belga
g) nº 1 e italiano sprint
nº 5 italiano nº 1 francés
Figura 1.1
Método 2: Empezamos a organizar los datos Primera fase: organización de los datos
Como el objetivo del enigma es hacer corresponder cada número del uno al seis con una nacionalidad, desglosamos solamente estos datos olvidándonos del resto de la
información no relevante: podemos tomar las nacionalidades (o también los números) una por una y según la información desde a) hasta g) ver qué números pueden corresponderle y cuáles no. Así tendríamos: Nacionalidades No puede ser
Puede ser
1 a) Alemán
3, 5 marcas diferentes: b) y c) 4, 6 2 f) 3 c)
Español
1, 5 marcas diferentes: a) y b) 4 2, 6 d)
Inglés
Belga
Italiano
Francés
1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 3 marcas diferentes: a) y c) 5 b) 3 e)
2, 4, 6
2, 4, 5, 6
1 g) 3 e)
1, 2, 4, 5, 6
Figura 1.2 Segunda fase: deducciones
Analizando la última columna de la tabla anterior, se tiene que el español será el número 4 pues es lo único que puede ser, además como ya ningún otro puede ser el 4, se eliminan el resto de cuatros que aparecen en dicha columna. Con esta operación nos queda en la primera fila de esta tercera columna el número 6 solamente, esto es, el alemán es el número 6. Eliminamos el resto de seises de la columna, resultando así que el belga es el número 2. De nuevo, eliminamos los doses, obteniéndose que el italiano es el 5. Eliminando los demás cincos concluimos que el francés es el número 1 y, por tanto, el inglés el 3. Observemos que esta última deducción sobre el inglés se podía haber hecho ya desde el principio, ya que ninguno de los otros puede ser el número 3, según muestra la tercera columna. Antes de exponer otras formas de resolver este enigma, analicemos las dos dadas. En el primer método, prácticamente no hay ninguna representación (modelización) de los datos, las deducciones se hacen sobre la misma información que nos dan. El segundo método ya lleva una primera fase de organización de los datos, y así, en la segunda etapa de las deducciones el tratamiento no se hace sobre la información sino sobre los datos (la información relevante sintetizada): ya no deducimos que el alemán no puede
ser el número 1 según dice a), sino que se trata de ver las posibilidades de que en las distintas filas de la columna "Puede ser" haya números distintos. Cabe observar que el método 2 está a medio camino entre la deducción directa y el uso de un cuadro de doble entrada que es el siguiente método a tratar.
Método 3: cuadro de doble entrada Primera fase: organización de los datos
Un cuadro de doble entrada permite cruzar dos variables y, así, el repertorio de los diferentes casos posibles. En nuestro problema tenemos tres variables: nacionalidad, número y marca; como el cuadro sólo permite dos variables, parece más natural, dada la información que tenemos, privilegiar la nacionalidad y los números dejando la marca como variable suplementaria. Hacemos entonces una tabla enfrentado las nacionalidades y los números como indica la siguiente figura; si una nacionalidad y un número son incompatibles pondremos un 0 en el cuadro correspondiente, e irá un 1 solamente en aquel cuadro cuya nacionalidad coincida con el número. Luego, y como regla de deducción, tendremos que tanto en una fila como en una columna sólo puede haber un 1 . alemán
1
2
3
0(a)
belga
español francés
inglés
italiano
0
0
0
(a)+(b)
(a)+(c)
(f)
0
0
(f)
(d)
0
0
0
0
0
(a)+(c)
(a)+(c)
(c)
(e)
(e)
0
0
0
(a)+(b)
(b)
(b)+(c)
4
5
0 (d)
Figura 1.3(a) Se transcriben las informaciones dadas en forma de ceros y unos sobre la tabla, para llevar un mejor control sobre las informaciones, También anotaremos en la tabla, debajo de los ceros y unos, la información de la que provienen. Así, la información a) supone
un 0 en la casilla (1,alemán), b) un 0 en (5,belga) y c) un 0 en (3,español). Teniendo en cuenta la variable suplementaria marca, deducimos de a) y de b) un 0 en (5,alemán); de a) y c) un 0 en (3,alemán) y así sucesivamente, con lo que tenemos la situación que presenta la tabla de la figura 1.3(a) Segunda fase: deducciones
Una vez que tenemos en el cuadro toda la información codificada empezamos la fase de las deducciones utilizando la anterior regla mencionada: en cada fila y columna sólo puede aparecer un 1. Así, tenemos que en la fila tercera hay que poner un 1 en la casilla (3,inglés) y, por tanto, ceros en el resto de la columna "inglés". También hay que poner un 1 en la casilla libre correspondiente a la columna "español", lo cual obliga a poner ceros en toda la fila 4. Ahora estamos obligado a poner un 1 en la casilla (1,francés), y así sucesivamente, hasta llegar a la situación que presenta el cuadro de la figura 1.3(b). En dicho cuadro hemos anotado con un subíndice en las casillas de los unos para mostrar en qué etapa de la deducción ha surgido.
1
2
3
4
alemán
belga
español francés
inglés
italiano
0
0
0
1
0
0
(a)
(a)+(b)
(a)+(c)
(2)
0
1
0
0
0
0
(f)
(4)
(d)
0
0
0
0
1
0
(a)+(c)
(a)+(c)
(c)
(e)
(1)
(e)
0
0
1
0
0
0
0
0
1
(f)
(1) 5
6
0
0
0
(a)+(b)
(b)
(b)+(c)
1
0
0
(5)
(3) 0
0
0
(d)
Figura 1.3(b) En definitiva, la solución del enigma descodificando el resultado que muestra el cuadro es: nº 1 el francés, nº 2 el belga, nº 3 el inglés, nº 4 el español, nº 5 el italiano y nº 6 el alemán. Con este método, se tiene que la fase de organización y representación de los datos lleva un formalismo muy avanzado y, en cambio, la fase deductiva es casi mecánica.
Método 4: reducción a dos cuadros de doble entrada Las informaciones dadas en a), b) y c), como ya vimos en el método 1, nos permite deducir que alemán, belga y español tienen números pares, así como francés, inglés e italiano impares; esto nos permite reducirnos a dos cuadros de doble entrada y con menor número de entradas cada uno de ellos (como muestra la figura 1.4) y con las variables "número" y "nacionalidad". Observemos que ahora ya no hay el problema de las tres variables porque justamente la variable "marca" es la que nos ha servido para el desdoblamiento en dos cuadros. francés
1
3
5
1 (2)
inglés
italiano
0
0
2
(g)
0
1
0
(e)
(1)
(e)
0
0
4
1
6
(1)
alemán
belga
español
0
1
0
(f)
(1)
(d)
0
0
1 (2)
0
1 (1)
0 (d)
Figura 1.4 El procedimiento en cada cuadro es análogo al anterior, sólo que ahora la información es más manejable y hay menor número de etapas de deducciones: mientras que en el método anterior había 5 etapas deductivas en este sólo 3. A continuación, como ejercicio, pasamos a resolver dos enigmas usando cuadros de doble entrada, ya sabemos que lo principal en la tarea de organizar los datos es encontrar las variables principales. Problema: En el restaurante
Después de una dura mañana en la Facultad de Informática, Álvaro, Daniel, Paco, Enrique, Carmen y Luis se encuentran en el comedor. Sabemos que: a. Daniel, Carmen y el aficionado al pescado aprecian el vino blanco. b. Paco mira con envidia a las personas que eligieron jabalí y pato a la naranja. c. Álvaro y Daniel están situados frente a los que degustan la tortilla de patata y el pato a la naranja. d. Álvaro, Paco y Enrique han elegido cada uno un plato de carne.
¿Quién ha pedido el bistec? ¿Y los caracoles?
Problema: Beca divertida
Doce becarios: Javier, Miguel, Nacho, Silvia, Alberto, Cristina, Guillermo, Juan, María, Marta, Marcos e Inés, participan en los cursos de verano de El Escorial. Cada uno tiene una bebida preferida: menta con agua, batido de fresa, limonada, leche, champán, cola, zumo de naranja, café, té, anís, sidra y cerveza. Descubrir la bebida preferida de cada uno sabiendo que: a.
El primer día, los becarios juegan al mus: en una de las mesas se encuentran juntos Guillermo, Juan y los aficionados a la sidra y la cerveza; en otra, los bebedores de anís y té se enfrentan a María y a Marta; y en una tercera, Inés y Marcos con los que gustan de café y zumo de naranja. b. El hermoso tiempo del segundo día les permite jugar a los bolos en grupos de cuatro: Javier y Miguel dominan completamente al equipo de bebedores de té y café; Juan y Guillermo derrotan sin dificultad a los consumidores de batido y limonada; mientras que Nacho y María se enfrentan duramente a los aficionados al zumo de naranja y a la menta con agua. c. Los fanáticos del tenis tienen poco tiempo para entregarse a su deporte favorito. Juegan a dobles: Guillermo con el bebedor de cola se enfrentan a Marta asociada con al consumidor de limonada; por otra parte, Javier y Silvia se enfrentan a los que toman cerveza y té. d. Finalmente sepan que, después de estas jornadas de intensos estudios, los becarios se fueron a un lugar de descanso: Juan acompañó a los aficionados al champán y a la cola a Segovia; Miguel a los que gustan de sidra y cerveza a Toledo; el bebedor de batido se encuentra con Marta y Marcos en Almería, y el aficionado al café con Silvia y Alberto en Sigüenza.
2. Integramas y filotramas El uso de integramas El trío municipal
Los señores Alba, Blanco y Cano son los tres candidatos que obtuvieron la mayor cantidad de votos en las últimas elecciones en el de La Garrafa. El resultado fue muy ajustado: el que llegó a la cabeza aventaja al segundo en un voto y éste al tercero en otro voto. Los tres practican deportes diferentes (atletismo, natación y senderismo) y tienen una bebida favorita diferente: café, zumo de naranja y té. Con la siguiente información se trata de encontrar la clasificación de cada candidato, su deporte y su bebida favorita: a. El señor Cano, gran aficionado al café, aventajó a Blanco por un solo voto. b. El aficionado al zumo de naranja, que no soporta el senderismo, obtuvo un voto más que el bebedor de té. c. El señor Alba adora la natación.
Para resolver este enigma vamos a introducir un cuadro llamado integrama. Este instrumento de representación equivale a tratar varios cuadros de doble entrada
simultáneamente, poniendo cada variable en correspondencia con las otras. Así, si tenemos tres variables, como el enigma anterior de la carrera ciclista, tendríamos tres cuadros (combinaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2) y ya tendríamos todas las correspondencias necesarias, se tienen cuatro entradas de datos: una para cada una de las variables y otra que hay que repetir una variable. Se distribuyen los cuadros de la siguiente forma: Variable 1 Variable 3
Variable 2
Variable 3
Figura 2.1 En el caso del trío municipal, como tenemos cuatro variables, para poner en correspondencia cada una de las variables con el resto tendremos que utilizar seis cuadros, es decir, tenemos combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2. Cada cuadro será de 3x3 puesto que cada variable toma tres valores Formamos una tabla, como muestra la figura 2.2(a), donde se han colocado los valores de ceros y unos según las informaciones a) y b). Notemos que la información a) no es sólo que el señor Cano es aficionado al café, lo que se traduce en un 1 en la casilla (C,c), sino tam bién que el señor Cano no es el tercero, pues aventajó al señor Blanco, y por lo mismo el señor Blanco no puede ser el primero, lo que se traduce en ceros en los casillas (C,3) y (B,1). De la misma manera, la información de b) se traduce en un 0 en la casilla (z, s) y también ceros en (t,1) y en (z,3). Con esto ya tendríamos la primera etapa de organización de los datos, sólo falta tener en cuenta una información que no se puede codificar en la tabla: Cano va inmediatamente antes que Blanco, y el que bebe zumo va inmediatamente antes que el que bebe té. Codificaremos en la tabla donde aparecen las deducciones (Figura 2.2(b)) un asterisco para referirnos a que estamos haciendo uso de esta información en la deducción. Puestos 1
Candidatos A
2
3
Deportes a
n
1 (c)
s
Bebidas t
c
z
B
0 (a)
C
t
Bebidas
0
1
(a)
(a)
0 (b)
c
z
0
0
(b)
(b)
a Deportes
n s
Figura 2.2(a) Pasemos pues a la parte de las deducciones, notemos primeramente cómo se codifican las deducciones sobre el integrama, esto es, las reglas que nos permiten obtener los unos y los ceros del integrama. Hay que reseñar que cada uno de los seis cuadros es de doble entrada, por lo tanto, se mantiene en cada cuadro individualmente se mantiene la regla de que en cada fila y en cada columna sólo puede haber un único uno y el resto ceros. Además, también tenemos dos reglas específicas del integrama, vamos a ver como se obtienen de las propias deducciones. Sabemos que el señor Cano es aficionado al café, lo que se codifica como un 1 en la casilla (C,c), y también sabemos que el señor Cano no es el número 3, lo que se traduce en 0 en (C,3), luego podemos deducir que el aficionado al café no es el número 3, es decir, un 0 en (c,3). Así, tenemos la regla de integrama:
Regla 1: (C,c) es 1 y (C,3) es 0
(c,3) es 0
Por otra parte, supongamos que ya sabemos que el aficionado al café es el número 1, sería un 1 en la casilla (c,1), además como el aficionado al café es el señor Cano, deducimos que el señor Cano es el número 1, es decir, un 1 en (C,1); así tenemos la segunda regla específica de integrama:
Regla 2: (C,c) es 1 y (c,1) es 1
(C,1) es 1
Cabe observar que el orden en los elementos de los pares ordenados no es relevante.
Pasemos ya a hacer una descripción exhaustiva de cómo podrían ser las deducciones (ir viendo simultáneamente en la figura 2.2(b)): 1. La primera deducción que podemos hacer es la que nos ha servido de ejemplo para presentar la regla 1, es decir, un 0 en la casilla ( c,3). 2. Ahora, fijándonos en el cuadro bebidas x puestos podemos usar en el mismo la regla del cuadro de doble entrada, así en la segunda etapa de deducciones obtenemos un 1 en (t,3), en la tercera, teniendo en cuenta además la información (*), un 1 en (z,2) y en la cuarta otro 1 en (c,1). Con esto ya tenemos relacionadas bebidas con puestos. 3. Además, también podemos deducir en la cuarta etapa que hay un 0 en la casilla (s,2), pues por la información b) tenemos un 0 en (z, s) y por la etapa tercera de deducciones un 1 en (z,2), con lo que aplicando la regla 1 se tiene el resultado. 4. En la quinta etapa deducimos la que nos ha servido de ejemplo para la segunda regla: 1 en (C,1). Así, teniendo en cuenta la información (*), C inmediatamente antes que B, tenemos en la sexta etapa un 1 en (B,2). Siguiendo en este cuadro de candidatos x puestos deducimos en séptimo lugar, con la regla del cuadro de doble entrada, un 1 en (A,3). Ya tenemos los candidatos relacionados con los puestos, sólo nos falta encontrar sus deportes favoritos. 5. De 1 en (A,3) y 1 en (A,n) obtenemos, según la regla 2, un 1 en (n,3). Así, usando la regla del cuadro de doble entrada, obtenemos en el de deportes x puestos un 1 en (s,1) y, por último, un 1 en (a,2). Puestos 1
2
A
candidatos B
C
t
bebidas
c
z
deportes
a
0
Deportes 3
a
n
1
1
(7)
(c)
s
Bebidas t
c
1
(a) (6)*
1
0
1
(5)
(a)
(a)
0
1
(b)
(2)
1
0
(4)
(1)
1
0
(3)* (b)
1
0 (b)
z
(10)
1
n
s
(8)
1
0
(9)
(4)
Figura 2.2(b) Para finalizar, descodificando los resultados obtenidos en la integrama, tenemos:
El señor Alba, que ha obtenido el puesto 3º, es aficionado al té y practica la natación. El señor Blanco ha sido el segundo y es aficionado al zumo y al atletismo. El señor Cano ha obtenido el primer puesto y le gusta el café y el senderismo.
El uso de filotramas Vamos a resolver el enigma anterior utilizando una representación gráfica llamada filotrama (ver la tabla 3): es un cuadro en el que la primera columna se utiliza para los nombres de las variables, en la última, que deberá ser especialmente amplia, se codificará la información, y en las l as intermedias se irán anotando los resultados. Para ello la primera fila es fijada de antemano (los distintos valores que toma la primera variable) y en cada columna tenemos que ir anotando los valores de las distintas variables que son los que corresponden con el valor dado en la primera fila. Primera fase: representación de la información:
Construimos una tabla con cinco columnas, en la primera columna van las variables: puestos, candidatos, candidatos, deportes, deportes, bebidas; en la primera línea del cuadro cuadro de resultados van van los valores de la primera variable: 1, 2 y 3; el contenido del resto de filas de dicho cuadro es lo que tenemos que resolver y en la última columna vamos anotando las informaciones dadas en a), b) y c). La elección de "puestos" como primera variable no ha sido casual, sino que ha sido elegida para poder representar fielmente las informaciones del tipo "Cano precede inmediatamente a Blanco".
Figura 2.3
¿Cómo representar la información? Se pueden utilizar:
Uniones verticales entre ciertos valores de variables distintas, como el caso de la información c), que será representada por el "hilo" de más a la derecha que liga el candidato Alba con su deporte, la natación. Uniones horizontales , como el caso de las informaciones a) o b): indica que el elemento de la izquierda va inmediatamente antes que el del extremo de la derecha de tal unión. Uniones oblicuas , en este enigma no aaparecen, parecen, pero supongamos que tenemos la información "El señor Cano precede inmediatamente al aficionado al atletismo", entonces podemos codificar esta información con un segmento oblicuo que iría desde la fila de candidatos c andidatos hasta la de deportes uniendo Cano y atletismo de tal forma que atletismo quedaría situado a la derecha de Cano. También pueden aparecer combinaciones de tales uniones, como ocurre con a). Y lo que podríamos llamar uniones imposibles , para referirnos a la imposibilidad de que los valores de dos variables distintas estén relacionados, entonces el segmento aparece cruzado por dos rayitas, este es el caso de la información b), el candidato que bebe zumo no practica senderismo.
Segunda fase: deducciones deducciones
Resolver el enigma se traduce en llenar ll enar las columnas del cuadro de resultados r esultados con los datos correspondientes y estos datos están ligados por los segmentos como aparece en la parte derecha de la filotrama, luego se trata de trasladar trasladar esos segmentos segmentos (o uniones de segmentos) a la columna conveniente del cuadro de resultados. En este caso, dado la forma que presentan los "hilos", la resolución del enigma se convierte en la resolución de un puzzle. De todos modos, procederemos procederemos según una técnica racional con el fin de dar las directrices para resolver casos más complejos. En una primera parte se trata de añadir debajo de cada unión, o "hilo", las posibles columnas donde podría colocarse, independientemente independientemente de las otras. Así, en este enigma el "hilo" a) sólo puede ir colocado en las columnas 1 ó 2, asimismo el hilo b) sólo puede ir colocado de forma que zumo quede en las columnas 1 ó 2, por último, el hilo c) podría ir en cualquier cualquier columna. En la segunda parte pasamos a estudiar las l as posibilidades en conjunto: los hilos a) y b) son incompatibles entre sí, en el sentido de que no pueden ir colocados simultáneamente simultáneamente en la misma columna, con lo que uno de ellos tendrá que ir en la columna 1 y el otro en la 2. Como la posibilidad de que a) esté en la 2 y b) en la 1 no puede darse, pues zumo y café no pueden estar ambas en la misma casilla, entonces el hilo a) tendrá que ser colocado en la 1 y el b) en la 2, con lo que ya no hay otra forma de colocar el c) más que en la 3. Finalmente, debido a la imposibilidad mencionada en el hilo b), senderismo no zumo, obtenemos el cuadro completo de los resultados:
Figura 4
¿Quién ganó la medalla de oro? Juan, Pedro, Carlos y Raúl fueron seleccionados seleccionados para los Juegos Olímpicos. Tenemos sobre ellos las informaciones siguientes: El boxeador tiene un parche en el ojo,. Inés entrena a Juan. El que ganó la medalla de plata lo festejó con puré de patatas. El deportista aficionado a las patatas fritas se resfrió. Raúl sufrió una insolación. Teresa cuida el esguince de su atleta. El especialista del triple salto, si bien no se resfrió, no pudo obtener más que una medalla de chocolate. h. Pedro se alimentó con patatas salteadas. i. Carmen entrena al corredor de 100 metros. j. El atleta de decatlón come patatas al horno. k. El deportista que entrenó María ganó la medalla de bronce a. b. c. d. e. f. g.
¿Sabrían decir, para cada deportista, quién lo entrenó, su handicap, su plato de patatas preferido, su especialidad especialidad y la medalla medalla obtenida? Una forma adecuada de resolver este enigma, dado que tiene muchas variables, es mediante la filotrama. En la l a figura 5 aparece el cuadro con la información ya codificada. Tres de las informaciones, b), e) y h), han podido ser llevadas directamente al cuadro de resultados.
Presentamos ahora una de las posibles formas de realizar r ealizar la fase de las deducciones: deducciones:
Primera etapa: Considerando la información de la columna 2ª, se tiene que ninguno de los tres hilos c), d) y j) pueden ir en dicha columna; además son incompatibles entre sí en el sentido de que no podemos poner dos simultáneamente en la misma columna. Habrá entonces uno en cada una de las columnas 1, 3 y 4. El hilo g) es incompatible con c), d) y j), entonces tendrá que ir en la columna 2ª (los colocamos en el cuadro de resultados con un (1) para indicar que se obtuvieron en la primera etapa de deducciones). Segunda etapa: De manera análoga a la primera etapa, considerando la cuarta columna vemos que los hilos a), d) y f) no pueden ir en dicha columna 4ª, además como son incompatibles entre sí, irá cada uno en cada una de las columnas 1, 2 y 3. Pero vemos que son incompatibles con la 2ª columna, entonces será el f) el que vaya en la 2ª. Además j) es incompatible con a) d) y f), entonces j) irá en la columna 4ª. Tercera etapa: A la vista de como va el cuadro de resultados, podemos deducir que el hilo i) va en la 3ª y, por tanto, el k) en la 4ª. Cuarta etapa: Por último, vemos que para ubicar los hilos a), c) y d) sólo nos quedan la columnas1ª y 3ª. Como a) es incompatible con la 3ª, entonces irá en la 1ª. Al ser d) incompatible con a), tendrá que ir en la 3ª y, finalmente, c) ira en la 1ª pues es incompatible con d).
El cuadro de resultados quedaría:
En conclusión, la medalla de oro la ganó Carlos en los 100 metros.
En el atasco En un terrible lío de vehículos de todas clases y colores, se encuentran cinco caballeros que conducen otros tantos vehículos. Todos son de diferente nacionalidad y. Para pasar el mal rato que supone estar en mitad de un atasco, cada uno hace algo con la boca. Se sabe que: El que silba no es griego (que no se llama Cosme), ni el novio de la prima del que conduce la bicicleta. b. Gregorio (que no sabe silbar) es amigo del conductor del camión, pero no conoce al irlandés, ni al que maldice. c. El finlandés es el único que tiene primas, pero no se llama Savario o Aquiles. Ninguno de estos tres canta. d. El que conduce la motocicleta es turco, pero no maldice ni recita ni silba. a.
e.
Baltasar no tiene primas, no es novio de señorita alguna, no conoce a ninguno de los
f. g.
otros cuatro señores y sí conduce un vehículo de más de cuatro ruedas. El que tararea monta un vehículo de dos ruedas. El alemán conduce el automóvil, pero no se llama Aquiles (éste no es el griego) y tampoco es el que maldice.
¿Qué hace cada señor, qué vehículo conduce y de qué origen es?
3. Enigmas y lógica proposicional Un acertijo diabólico Empezaremos este tema proponiendo un acertijo, francamente diabólico, creado por Raymond Smullyan, dice así: Dos personas, A y B, hacen cada una de ellas una oferta, hay que determinar cuál es la mejor oferta.
Oferta de A. Tienen que formular un enunciado. Si el enunciado es verdadero, ganan exactamente diez dólares. Si el enunciado es falso, entonces ganan menos o más de diez dólares, pero no diez dólares exactamente. Oferta de B. Tienen que formular un enunciado. Sea el enunciado verdadero o falso, ganan más de diez dólares.
¿Cuál de las dos ofertas preferirían? La mayoría de la gente decide que la oferta de B es la mejor, dado que garantiza que más de diez dólares, mientras que en la oferta de A, no hay certeza de ganar más de diez. No se dejen engañar por las apariencias. Les haremos la misma oferta que R. Smullyan: Si alguno de ustedes está dispuesto a proponernos la oferta de A, le pagaremos veinte dólares por adelantado ¿Alguno juega? Antes de resolver este acertijo vamos a proponer otro, con varias variantes, que R. Smullyan presentó en uno de sus libros con el fin de dar algunas pistas para la resolución del anterior.
Acertijo de los premios Supongamos que se ofrecen dos premios, Premio 1 y Premio 2. Tienen que formular un enunciado, si el enunciado es verdadero, entonces reciben uno de los dos premios (no se sabe a priori cuál de los dos es); si el enunciado es falso, entonces no ganan ningún premio. ¿Qué enunciado formularán que les garantice que ganarán el Premio 1? Primera variante
Nuevamente se ofrecen los dos premios. Si formulan un enunciado verdadero, recibirán por lo menos uno de los dos premios y posiblemente ambos. Si formulan un enunciado falso, no ganan ningún premio. ¿Qué enunciado formularían que les hiciese ganar los dos premios?
Segunda variante
En este caso las reglas cambian un poco: Si formulan un enunciado verdadero, ganan el Premio 2; si formulan un enunciado falso, no ganan el premio2 (pueden o no ganar el premio 1). ¿Qué enunciado les hará ganar el Premio 1? Tercera variante
Supongamos ahora que las reglas son: si formulan un enunciado verdadero, no ganan ningún premio, si formulan un enunciado falso, ganarán uno de los dos premios. ¿Qué enunciado ganará el Premio 1?
De nuevo, el acertijo diabólico Volvemos al acertijo primero. Lo diabólico fue la oferta de pagarles veinte dólares por adelantado al que propusiera la oferta de A, porque si aceptan hacerlo, podríamos haberles ganado todo el dinero que quisiéramos, digamos, un millón de dólares. ¿Pueden descubrir cómo?
En la Isla de los Caballeros y los Bribones Seguimos de la mano de R. Smullyan y nos vamos a su Isla de los Caballeros y los Bribones donde cada habitante de la isla, como su propio nombre indica, o es un caballero o es un bribón, y la característica de estos peculiares personajes es: los caballeros siempre formulan enunciados verdaderos y los bribones siempre formulan enunciados falsos. Un hecho fundamental de esta isla, que debemos observar, es que ningún habitante puede decir que es un bribón, ya que un caballero nunca mentiría y diría que es un bribón, y un bribón nunca admitiría verazmente que es un bribón. De la misma forma, se tendría que ningún habitante de la isla podría decir que no es un caballero (observemos que es el mismo hecho puesto que, para un habitante de la isla, no ser un caballero es lo mismo que ser un bribón). La visita del empadronador
Una vez, el señor McGregor, el empadronador, decidió visitar la isla para visitar solamente a los matrimonios. En tal visita, le surgieron los siguientes problemas que esperamos le ayuden a resolver.
Problema (Y): McGregor llamó a una puerta; el marido la abrió a medias y le preguntó a McGergor qué deseaba. - Hago un censo - respondió McGregor -, y necesito información sobre usted y su esposa. ¿Cuál, si alguno lo es, es un caballero, y cuál, si alguno lo es, es un bribón? - ¡Ambos somos bribones! – dijo el marido enojado mientras cerraba la puerta de un golpe. ¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer? Problema (O): En la siguiente casa, McGregor le preguntó al marido: - ¿Ambos son bribones? – El marido respondió: - Por lo menos uno de nosotros lo es. ¿De qué clase es cada uno?
Problema (Si - entonces): La siguiente casa que visitó McGregor resultó un mayor enigma. Un hombre algo introvertido abrió la puerta tímidamente. Cuando McGregor le pidió que dijera algo sobre sí mismo y su esposa, lo único que dijo el esposo fue: - Si soy un caballero, entonces también lo es mi esposa. McGregor se fue no muy complacido. - ¿Cómo puedo deducir algo sobre alguno de los dos a partir de una respuesta tan evasiva? – pensó. Estaba a punto de escribir "Marido y Mujer ambos desconocidos", cuando recordó súbitamente una vieja lección de sus días de estudiante universitario. Por supuesto que – se dio cuenta -, puedo determinar de qué clase son ambos. ¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer? En realidad, la solución a este problema es un caso particular del siguiente hecho:
Teorema 1. Dada una proposición p, supongamos que un nativo de la Isla de los Caballeros y los Bribones dice: "Si soy caballero, entonces p". Entonces el nativo debe de ser un caballero y p verdadera. La demostración es la misma que la solución al anterior problema, sólo hay que sustituir "mi esposa también es caballero" por p.
Problema (Si y sólo si): Cuando el empadronador visitó a la cuarta pareja, el esposo dijo: - Mi esposa y yo somos de la misma clase; o ambos somos caballeros o ambos bribones. El esposo también daría la misma respuesta si hubiera dicho: - Soy un caballero si y sólo mi esposa es un caballero. ¿Qué puede deducirse sobre el marido y qué sobre la esposa? Al igual que sucedía con el problema anterior, la solución de este último problema es un caso particular del siguiente hecho:
Teorema 2. Dada una proposición p, supongamos que un nativo de la Isla de los Caballeros y los Bribones dice: "Soy un caballero si y sólo si p". Entonces p es verdadera independientemente de que el nativo sea un caballero o un bribón. La demostración del teorema es la dada en la solución del último problema sustituyendo "mi esposa es caballero" por p.
Una introducción a la lógica proposicional Daremos ahora unas nociones básicas de lógica proposicional y más adelante veremos cómo utilizarla para resolver muchos enigmas y acertijos, como los de los mentirosos y veraces de la Isla de los Caballeros y los Bribones. La lógica proposicional se encarga del estudio de los enunciados o declaraciones verbales, entendiendo por enunciado aquellas secuencias lingüísticas con pleno sentido cuya propiedad fundamental es que o bien es verdadero o bien falso, pero no ambas. Así, la frase "París está en Francia" es un enunciado, en cambio "Dónde está París? No es un enunciado y no es del interés de la lógica proposicional. Los enunciados pueden ser compuestos, esto es, pueden estar formados por enunciados, tales que cada uno de ellos tiene perfecto significado, y palabras que los conecten. La propiedad fundamental de una declaración compuesta es que su valor de verdad está
completamente determinado por los valores de verdad de sus componentes junto con la forma que están conectadas. A la lógica proposicional no le interesa el contenido del enunciado en sí, sino su valor de verdad o falsedad y cómo es su estructura: si es un enunciado compuesto, cómo se unen los subenunciados que lo componen. Por tanto, se simbolizan las frases utilizando: p, q, r, para representar los enunciados simples (que ya no se pueden descomponer en enunciados) y se les llama fórmulas atómicas o átomos; y se utilizan los símbolos: , , , , para representar las palabras que los conectan, a éstos se les llama conectivos lógicos. A la composición de átomos mediante conectivos se les llama fórmula molecular; en general, llamaremos proposiciones tanto a los átomos como a las fórmulas moleculares.
( ) Negación: Para toda proposición p, la proposición p significa lo opuesto o contrario a p. Se tiene que p es verdadera si p es falsa y es falsa si p es verdadera. Por ejemplo, si p representa el enunciado "París está en Francia", entonces p representa el enunciado "No es cierto que París está en Francia" o lo que es lo mismo "París no está en Francia"; en este caso p es verdadera y p es falsa. Los valores de verdad para la negación se pueden resumir en la siguiente tabla (codificamos V como el valor verdadero y F como el falso, también se suele usar 1 y 0 respectivamente). p
p
V
F
F
V
( ) Conjunción: Dos enunciados cualesquiera pueden ser combinados por la palabra "y" para formar uno nuevo que llamaremos conjunción de los anteriores. Simbólicamente pq denota la conjunción de las proposiciones p y q. El valor de verdad de pq en función de los valores de verdad de p y de q viene dado en la siguiente tabla: p q p q V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
Es decir, pq es verdadera cuando las declaraciones p y q son ambas verdaderas, y sólo en ese caso en Así, la frase "Llueve y hace viento" es verdadera sólo en el caso en que
ciertamente "Llueve" y ciertamente "hace viento"; si ciertamente llueve pero no hace viento, entonces la frase es falsa.
( ) Disyunción: Dos enunciados pueden ser combinadas por la palabra "o" para formar una nueva declaración que se llama disyunción y en términos de proposiciones será pq. El valor de verdad de p q en función de los valores de verdad de p y de q viene dada en la siguiente tabla: p q pq V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
Es decir, que p q sólo es falso cuando ambas declaraciones, p y q, son falsas y sólo en ese caso. Así, el enunciado "París está en Inglaterra ó 2+2=4" es verdadera pues ciertamente 2+2=4. Debemos observar que al "o" que se hace referencia aquí en el sentido "y/o", esto es, puede ocurrir p, puede ocurrir q o ambos a la vez, en contraposición al "o" exclusivo: "Me voy a Sevilla o a Barcelona"; evidentemente no puedo hacer ambas cosas a la vez.
( ) Si-entonces: Para proposiciones cualesquiera p y q, escribimos p q para notar las declaraciones de la forma "si p, entonces q" y que llamaremos condicional de p y q. El condicional de p y q es verdadera si p y q son ambas verdaderas o p es falsa. Su tabla de valores de verdad es: p q pq V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
( ) Si y sólo si: Notaremos pq a las declaraciones de la forma "p si y sólo si q", es decir p y q son ambas verdaderas o ambas falsas. La tabla de sus valores es, por tanto:
p q pq V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
En general, dada una proposición P(p,q, ) podemos hallar sus valores de verdad en función de los de p, q, con una tabla como las anteriores. Veamos, por ejemplo los valores de verdad de la proposición p (pq) pq: p q
p
pq
p(pq)
pq
p(pq)pq
V V
F
V
V
V
V
V F
F
F
F
F
V
F V
V
F
V
V
V
F F
V
F
V
V
V
Obsérvese que las primeras columnas de la tabla son para las variables p, q, …y que hay
suficiente número de filas en la tabla para permitir todas las posibles combinaciones de V y F para estas variables (para 2 variables se necesitan 4 filas, para 3 variables se necesitan 8 filas y, en general, para n variables se necesitan 2 n filas). Hay a continuación una columna para cada paso "elemental" de la proposición, el valor verdadero de cada paso está determinado por los pasos previos mediante las definiciones de los conectivos lógicos. Finalmente, obtenemos los valores de verdad de la proposición en la última columna. Nótese que los valores de verdad de la proposición p(pq) pq son todos verdaderos (en la última columna sólo aparece V) al margen de los valores de verdad de las proposiciones p y q, cualquier proposición que verifique este hecho se denomina tautalogía. Análogamente una proposición se dice que es una contradicción si contiene sólo F en la ultima columna de su tabla de verdad. La tautología más elemental sería p p, y la contradicción sería p p. También se puede observar que las dos columnas anteriores a la última son iguales, esto es, los valores de verdad de las proposiciones p(pq) y pq coinciden, en ese caso se dice que las proposiciones son equivalentes (por eso si unimos ambas proposiciones mediante el conectivo se obtiene una tautología).
A continuación, presentamos unos cuantos acertijos e invitamos a los alumnos que lo resuelvan por simple "sentido común", nosotros modelizaremos este "sentido común" utilizando un poco de lógica de proposiciones.
Enigmas y lógica de proposiciones El diploma
Después de laboriosos años, un estudiante de Informática llega al fin de sus estudios y a la entrega de diplomas. Se encuentra de pronto ante cuatro puertas cerradas. Se oye una voz gutural: "Tu diploma se encuentra detrás de una de estas puertas; tienes que adivinar cuál es, si te equivocas tendrás que volver a empezar la carrera. Tienes, sin embargo, tus posibilidades: en cada puerta figuran dos afirmaciones, y de las ocho afirmaciones que figuran en total, tres solamente son verdadera, las otras cinco son con seguridad falsas". 1. Sobre la puerta de ébano se puede leer: a. El diploma está detrás de esta puerta. b. El diploma está detrás de la puerta de caoba. 2. Sobre la puerta de caoba: a. El diploma no está detrás de la puerta de roble. b. El diploma está detrás de la puerta de ébano o de la de cerezo. 3. Sobre la puerta de cerezo dice: a. El diploma no está ni detrás de la puerta de ébano ni detrás de la de roble. b. El diploma está detrás de la puerta de caoba o detrás de la de ébano. 4. Y sobre la puerta de roble se puede leer: a. El diploma no está detrás de la puerta de cerezo. b. El diploma está detrás de la puerta de caoba.
Los amores de los colaboradores del inspector Lafrite
Para los dos colaboradores Lafrite, Relbou y Gremai, es el momento de distensión nocturna, en el restaurante. Surge la discusión acerca de las relaciones femeninas y de los sentimientos de cada uno. Relbou: "Te diré dos cosas: en primer lugar, amo a Béatrice o a Hélène ; en segundo lugar, si amo a Béatrice, amo a Hélène . Y entonces, ¿puedes decirme si amo a Béatrice, si amo a Hélène? Gremai: "¡!" ¿Pueden ayudar al inspector a conocer un poco de la vida privada de su colega? Algunos días más tarde, encontramos a nuestros dos inspectores conversando sobre al mismo asunto. Evidentemente olvidaron lo esencial que se había dicho entonces. Gremai: "¿Es cierto que si amas a Béatrice amas también a Hélène ?" Relbou: "Si es cierto, entonces amo también a Béatrice ". Gremai: "¡!" ¿Qué pensar de los amores de Relbou?
Relbou: "Modificaré la respuesta que te acabo de
dar, agregando: si es falso, no amo a
Béatrice". Gremai: "Entonces, ¡vamos! Ya veo; ¡estás cercado!" ¿Qué descubrió Gremai? El inspector Lafrite interroga a los sospechosos
Tres sospechosos fueron arrestados después del robo de una rica mansión de París, son: Bradacié, Piedplat y Nécassé. Estos tres personajes son bien conocidos por Lafrite, por el carácter muy aleatorio de la verdad de sus afirmaciones. Bradacié: "Piedplat es culpable y Nécassé es inocente". Piedplat: "Si Bradacié es culpable, Nécassé también". Nécassé: "Soy inocente pero uno por lo menos de los otros dos es culpable". Lafrite debe hacer frente a varias posibilidades; es lo que hace antes de acostarse, escuchando la novena sinfonía de Beethoven. a.
¿Es posible que estos tres bandidos hayan dicho la verdad? Entonces, ¿quién sería culpable? b. ¡Podrían haber mentido los tres, supongo! c. Si supongo que todos son inocentes, ¿quién mintió? y si los supongo a todos culpables, ¿quién mintió? d. ¿Es posible que no haya más que un falso testimonio? Y en ese caso, ¿quién mintió y quién es culpable? e. Y guardo lo mejor para el final después de esto dormiré como un lirón: supongo que el inocente dice la verdad y que el culpable miente ¿Quién es entonces inocente, quién culpable?"
¿Pueden ayudar al inspector a responder estas preguntas? La isla de los Bribones y los Caballeros, una vez más
Volvemos a la isla de los Caballeros y los Bribones para ver cómo podemos resolver los cuatro problemas con los que se encontró el empadronador utilizando la lógica de las proposiciones. Para ello hay que tener en cuenta un hecho muy importante: Si A es un nativo de la isla y notamos por p a la declaración "A es un caballero", entonces si A afirma k , se tiene que p k es verdadera ya que si p es verdadera entonces k es verdadera, pues un caballero siempre dice la verdad, y si p es falsa entonces A es un bribón, que siempre miente, por lo que k es falsa. Observemos también que, en las condiciones anteriores, p es la afirmación "A es un bribón". Hechas estas aclaraciones, estamos ya en disposición de resolver los problemas, a saber, determinar el carácter de caballero o bribón de los componentes de un matrimonio según las afirmaciones del marido.
Problema: Recordemos que aquí la respuesta del marido fue: "Ambos somos bribones". Sean p la afirmación "El marido es un caballero" y q la afirmación "La esposa es un caballero". El marido afirma, en términos de proposiciones, k= pq, por lo tanto, sabemos que la proposición p pq es verdadera.. Se trata de encontrar el carácter
de verdad o falsedad de p y q que determine la veracidad de dicha proposición, estudiémoslo mediante su tabla de verdad. p q
p
q
pq
ppq
V V
F
F
F
F
V F
F
V
F
F
F V
V
F
F
V
F F
V
V
V
F
La tabla muestra que sólo hay una posibilidad de que la proposición sea cierta (fila 3) y es que p sea falsa y q sea verdadera, es decir, el marido es bribón y la esposa caballero.
Problema: En la segunda entrevista el marido afirmaba que por lo menos uno de los dos era bribón, esto es, pq. Así pues, sabemos que la proposición p p q es verdadera, y obteniendo su tabla de verdad: p q
p
q
pq
ppq
V V
F
F
F
F
V F
F
V
V
V
F V
V
F
V
F
F F
V
V
V
F
Se tiene que el único caso en que la proposición es verdadera es si p es verdadera y q es falsa. El marido es caballero y la esposa es bribón.
Problema:La respuesta del marido en este caso fue "Si soy caballero, entonces mi esposa lo es", p q. Luego, tratamos de averiguar cuándo es cierta p pq, su tabla de verdad es: p q pq ppq V V
V
V
V F
F
F
F V
V
F
F F
V
F
Como queda de manifiesto, p y q han de ser verdaderas (marido y esposa ambos caballeros) para que la proposición sea verdadera.
Problema: Por último, la respuesta que recibió el empadronador fue que ambos eran de la misma clase, p q, y la proposición p (pq) es verdadera. Su tabla de verdad es: p q pq p(pq) V V
V
V
V F
F
F
F V
F
V
F F
V
F
Hay dos posibilidades de que la proposición sea verdadera (filas primera y tercera), en ambos casos q ha de ser cierta y p puede serlo o no: el carácter del esposo es indeterminado y la esposa es caballero.
4. Paradojas Los términos más frecuentemente usados en la descripción de una paradoja lógica son autorreferencia, contradicción, y círculo vicioso . Hay formas de autorreferencia y contradicción que sin ser paradojas propiamente se aproximan bastante a un estado paradógico, un buenos ejemplos de este tipo serían: POR FAVOR, NO LEA ESTA FRASE PROHIBIDO PROHIBIR Para hacer lo que dicen, no se puede hacer lo que dicen. Esta cuasi paradoja carece del tercer término, la circularidad viciosa: aunque la contradicción da vueltas en círculo no lo a hace una y otra vez. Tal situación la presenta también la siguiente historia:
