José Alfredo, Amor Montaño, Gabriela Campero Arena, Favio Ezequiel Miranda Perea-Teoria de Conjuntos, Curso Intermedio (2010).pdf

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Teor´ıa de Conjuntos Curso Intermedio

José Alfredo Amor Monta˜ no Gabriela Campero Arena Favio Ezequiel Miranda Perea

Invierno del 2010

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A Joaqu´ın y a Leonardo, porque hasta ellos le ganaron en existencia a este libro. A Ofelia, quien me ense˜ no ´ a jugar con los n´ umeros naturales, a Pascual, quien me encant´ o con los diagramas de Venn y a Martha Elena, quien por m´ as que me resisto me recuerda diariamente que las matem´ aticas deben tener alguna utilidad terrenal.

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Índice general

Introducci´ on

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1. Tipos de orden 1.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Construcci´ on y caracterización de las estructuras numéricas 1.2.1. Caracterización de xN, Py . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Construcci´ on y caracterización de xZ, Z y . . . . . . 1.2.3. Construcci´ on y caracterización de xQ, Q y . . . . . . 1.2.4. Construcci´ on y caracterización de xR, R y . . . . . . 1.3. Aritmética de tipos de orden . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. N´ umeros ordinales 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. La inducción transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. El teorema de enumeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. El primer ordinal no numerable ω1 . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. La recursión transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Aplicaciones de la recursión transfinita . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Los ordinales iniciales ωα . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2. Aritmética ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3. La jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados 2.7.4. Algunas pruebas interesantes . . . . . . . . . . . . . .

1 2 6 7 10 17 27 45 53 53 56 64 67 73 75 80 81 82 84 93

3. N´ umeros cardinales 103 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.3. La jerarqu´ıa de los alefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 v

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Índice general

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3.4. El cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Aritmética cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Idempotencia del producto cardinal . . . . . . 3.5.2. Sumas con un n´ umero infinito de cardinales . . 3.5.3. Productos con un n´ umero infinito de cardinales 3.5.4. El teorema de König . . . . . . . . . . . . . . . 4. Cofinalidad 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . 4.2. Definiciones y propiedades . . . 4.3. Ordinales regulares y singulares 4.3.1. El cardinal del continuo 4.4. Exponenciación cardinal . . . . 4.4.1. Resultados dependientes

. . . . . . . . . . . . . . . de la

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HGC

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116 120 120 124 128 134

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139 . 139 . 140 . 148 . 154 . 154 . 162

A. El lenguaje de la teor´ıa de los conjuntos 167 A.1. Definición del lenguaje TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A.2. Manejo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 B. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con elecci´ on B.1. Axioma del conjunto vac´ıo . . . . . . . . . . . . . . B.2. Axioma de extensionalidad . . . . . . . . . . . . . B.3. Axioma del par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4. Axioma de unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5. Axioma del conjunto potencia . . . . . . . . . . . . B.6. Esquema de comprensión o separación . . . . . . . B.7. Axioma de infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.8. Esquema de reemplazo o sustitución . . . . . . . . B.9. Axioma de regularidad o buena fundación . . . . . B.10.Axioma de elecci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.11.Comentario histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . B.12.Comentario sobre la independencia de los axiomas

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171 171 172 172 173 174 174 175 176 177 178 179 180

Bibliograf´ıa

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Índice de s´ımbolos

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Índice

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Introducción La importancia de la Teor´ıa de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir casi toda la matemática clásica. Por ejemplo, se pueden definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades como teoremas de la Teor´ıa de Conjuntos: par ordenado, relación, función, partición, orden, buen orden, los n´ umeros naturales, los enteros, los racionales, los reales, los complejos, todas las estructuras algebraicas como grupos, anillos, campos, y otro tipo de estructuras como los espacios vectoriales, los espacios topol´ ogicos, los espacios métricos, etc. La importancia práctica de esta teor´ıa radica en que los métodos e ideas teórico-conjuntistas son sumamente u ´tiles en casi todas las demás teor´ıas matemáticas. La Teor´ıa de Conjuntos generalmente se estudia a partir de la axiomatización de Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de elección, denotada de ahora en adelante ZFE. Estos axiomas son considerados tradicionalmente como el fundamento de la matemática clásica, pues prácticamente todos sus enunciados, con excepci´ on de algunos de la teor´ıa de las categor´ıas, pueden ser expresados en el lenguaje de ZFE y muchos de ellos pueden demostrarse dentro de la teor´ıa que se desprende de estos axiomas. Otro argumento que refuerza esta identificación de los axiomas de ZFE con el fundamento de la matemática cl´ asica es la fuerte convicción que tenemos en ellos. Creemos en ellos porque reflejan muy bien nuestros procedimientos de demostración cotidianos y en este sentido creemos que no nos llevarán a ninguna contradicción. Este libro está pensado como un libro de texto que cubra los temas que generalmente se imparten en la materia de Teor´ıa de Conjuntos II en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Hemos asumido que los lectores de este libro están familiarizados con los temas de un primer curso de Teor´ıa de Conjuntos: el concepto intuitivo de lo que constituye un conjunto, lo que significa la relación de pertenencia, las ideas básicas de lo que es un lenguaje vii

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ń Introduccio

formal de primer orden y el manejo del lenguaje de la Teor´ıa de Conjuntos (aunque una breve descripción de estos conceptos se da en el apéndice A); los conceptos conjuntistas formales de par ordenado, relación y función; la construcción de los n´ umeros naturales como conjuntos, el manejo de sus propiedades y la demostración y manejo del teorema de recursión para naturales, incluyendo sus aplicaciones para la aritmética de dichos n´ umeros; las relaciones de equipotencia y dominancia entre conjuntos, los conceptos intuitivos de cardinalidad de un conjunto y de suma, multiplicación y exponenciación cardinal, as´ı como los resultados de la aritmética cardinal que pueden ser demostrados con estos conceptos intuitivos. También presuponemos que el lector tiene una idea de la axiomatización de Zermelo-Fraenkel y que conoce los axiomas básicos de extensionalidad, vac´ıo, par, unión, separación, potencia e infinito, aunque los enunciados de éstos y una descripción de ellos se encuentran en el apéndice B. Además, damos por sentado que el lector ha tenido un primer acercamiento con el axioma de elección, el lema de Zorn y el teorema del buen orden. Todos estos temas están cubiertos de manera extensa en el libro “Teor´ıa de Conjuntos para estudiantes de ciencias” [Am05], publicado por la Facultad de Ciencias de la UNAM y del cual este libro es la continuación. El objetivo general de este libro es presentar un panorama amplio de las aritméticas ordinal y cardinal partiendo de los órdenes totales, as´ı como dar los elementos necesarios de la teor´ıa de cofinalidad para poder desarrollar, con todo rigor, los resultados más importantes de la aritmética cardinal transfinita y todas las restricciones posibles para el cardinal del continuo desde la teor´ıa de ZFE. El libro consta de cuatro cap´ıtulos y dos apéndices. El objetivo del primer cap´ıtulo es presentar las definiciones y propiedades de los tipos de orden de órdenes totales, la construcción formal de las estructuras numéricas clásicas de los n´ umeros enteros, racionales y reales a partir de los n´ umeros naturales, as´ı como su caracterización como tipos de orden particulares. Se termina este cap´ıtulo con conceptos de aritmética general de tipos de orden, completando con varios ejercicios. El segundo cap´ıtulo contiene la presentación de los ordinales y el método de inducción transfinita. En él se demuestra el teorema de enumeración que caracteriza a los ordinales como tipos de orden de los buenos ´ ordenes, vinculando este cap´ıtulo con el anterior. Además, se prueban varias versiones del teorema de recursión transfinita y se dan varias

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ń Introduccio

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aplicaciones del mismo, entre las que están la definición de las operaciones de la aritmética ordinal y la jerarqu´ıa de los conjuntos bien fundados. El tercer cap´ıtulo está dedicado a los n´ umeros cardinales, definidos como ordinales iniciales. Se da la definición formal de cardinal de un conjunto, revisando que esta definición cumple con las propiedades elementales de la equipotencia y la dominancia entre conjuntos. Además, se presentan las jerarqu´ıas de los alefs y de los beths, as´ı como resultados de la aritmética cardinal, incluyendo las fórmulas de sumas y productos infinitos de cardinales infinitos, las leyes de los exponentes generalizadas y el poderoso teorema de König y sus aplicaciones. El u ´ltimo cap´ıtulo contiene una presentación cuidadosa del concepto de cofinalidad, la clasificación de los cardinales en regulares y singulares, además de que se discute ampliamente la hipótesis del continuo. Se presentan los resultados generales de la exponenciación cardinal y las simplificaciones de éstos al suponer la hipótesis generalizada del continuo. Finalmente, quedan establecidas todas las restricciones posibles desde ZFE para el cardinal del continuo mostrando cuáles son los cardinales que no pueden ser el cardinal del conjunto de n´ umeros reales. El apéndice A contiene una breve discusión del concepto de conjunto y de cómo manejar a las colecciones que no estamos seguros si son conjuntos, las llamadas clases, además de presentar el lenguaje formal de la Teor´ıa de Conjuntos. El apéndice B contiene una presentación tanto intuitiva como formal sobre cada uno de los axiomas de ZFE, as´ı como la justificación de su verdad respecto al concepto iterativo de conjunto, es decir, respecto al modelo de la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados cuya construcción se da en el tercer cap´ıtulo como una de las aplicaciones del teorema de recursión transfinita.

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Agradecimientos A nuestros estudiantes y ayudantes de la materia de Teor´ıa de los Conjuntos II, cuyas observaciones mejoraron varias demostraciones, en especial a Alfonso González. A Rafael Reyes por el apoyo en dejar a este libro agradable a la vista. A los ´ arbitros, por sus cr´ıticas y sus sugerencias que ayudaron a mejorar nuestro texto.

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1 Tipos de orden Hay varias estructuras numéricas muy conocidas en matemáticas, como umeros son el conjunto de los n´ umeros naturales N, el conjunto de los n´ enteros Z y el conjunto de los n´ umeros racionales Q. Se puede demostrar que los conjuntos Z y Q (que definiremos formalmente como conjuntos en este cap´ıtulo) son numerables, es decir, tienen el mismo n´ umero de elementos que los que hay en el conjunto N. Esto quiere decir que, desde el punto de vista de la cantidad de elementos que tienen, no se puede distinguir entre los conjuntos de n´ umeros N, Z y Q. Sin embargo, es bastante claro que estos tres conjuntos tienen un aspecto distinto. Este aspecto está caracterizado por c´ omo se acomodan sus elementos, es decir, hay que analizar cómo están ordenados sus elementos para ver que realmente son muy distintos. Por ejemplo, en N hay un primer elemento y en Z no existe, y entre cualesquiera dos elementos de Q hay otro elemento de Q, lo cual no pasa ni en N ni en Z. Como ya mencionamos, en este cap´ıtulo definiremos formalmente a los conjuntos Z y Q con su estructura de orden; antes definiremos lo que es un tipo de orden, que es justamente lo que N, Z y Q no comparten. La definición de N, en la que están basadas las construcciones de Z y Q, se puede consultar en [Am05], pues es importante visualizar a N con base en esa definición netamente conjuntista. También definiremos al conjunto 1

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1. Tipos de orden

R, cuya cardinalidad (cuántos

elementos tiene) no es numerable, pero que además tiene una caracterización interesante basada en su tipo de orden.

1.1.

Definiciones y ejemplos

Recordamos la definición dada en el libro [Am05] de un conjunto totalmente ordenado para después definir qué significa que dos conjuntos totalmente ordenados tengan el mismo tipo de orden. Dada una relación binaria r, usamos indistintamente las notaciones xx, y y P r ó x r y para expresar que x está r-relacionado con y. Además, denotamos con domprq al dominio tx : Dy xx, yy P ru de r, con imprq a la imagen ty : Dx xx, yy P ru de r, y con camprq al campo domprq Y imprq de r. Definici´ on 1.1 Decimos que xA, ry es un conjunto parcialmente ordenado si y s´ olo si A es un conjunto y r es una relaci´ on binaria sobre A tales que (i) Para todo a P A, xa, ay R r; es decir, r es antirreflexiva en A, y

(ii) Para cualesquiera a, b, c P A, xa, by P r y xb, cy P r implican xa, cy P r; es decir, r es transitiva en A.

Decimos que xA, ry es un conjunto totalmente ordenado o linealmente oras, denado si y s´ olo si xA, ry es un conjunto parcialmente ordenado y, adem´

(iii) para cualesquiera a, b P A, se cumple una y s´ olo una de las siguientes condiciones: a b o xa, by P r o xb, ay P r; es decir, r es tricotómica en A.

Para abreviar el hecho de que xA, ry sea un “conjunto parcialmente ordenado” diremos que xA, ry es un orden parcial. De manera similar, diremos que xA, ry es un orden total cuando sea un “conjunto totalmente ordenado”.

Definici´ on 1.2 Sean xA, ry y xB, sy dos o ´rdenes totales. Decimos que xA, ry y xB, sy tienen el mismo tipo de orden si y s´ olo si hay un isomorfismo entre ellos; es decir, si existe una funci´ on biyectiva f : A Ñ B tal que

x, y P Apx r y Ø f pxq s f pyqq. Esto lo denotamos como xA, ry xB, sy o, si queremos exhibir en la notaci´ on que f es el isomorfismo, como xA, ry f xB, sy. Adem´ as, en este caso decimos que xA, ry y xB, sy son isomorfos.

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1.1. Definiciones y ejemplos

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Obsérvese que no se ha definido el tipo de orden de un conjunto totalmente ordenado, sino u ńicamente lo que significa que dos de estos conjuntos tengan el mismo tipo de orden. Como la colección de todos los órdenes totales es una clase propia, es decir, no es un conjunto1 , la definición de tipo de orden no es tan sencilla. Uno de los ejercicios de esta sección pide probar que la relación “tener el mismo tipo de orden” es de equivalencia sobre la clase (propia) de los ´ ordenes totales, por lo que esta relación induce una partición en clases de equivalencia (las cuales no son conjuntos). Es posible entonces definir el tipo de orden de un orden total como un elemento particular (un representante) de la clase de equivalencia correspondiente, esto se puede hacer formalmente usando el axioma de buena fundación2 y el llamado “truco de Scott” (véase, por ejemplo, [En77]). Sin embargo, en la sección 2.4, podremos definir el tipo de orden de todos los órdenes totales de cierto tipo: los buenos o´rdenes. Usaremos τ , µ, ν para denotar tipos de orden. No definiremos la noción de tipo de orden sino que daremos una definición de la relaci´ on “tener el mismo tipo de orden”, as´ı como de las relaciones de orden y orden estricto entre tipos de orden. Definici´ on 1.3 Si llamamos τ al tipo de orden de un orden total xA, ry y µ al tipo de orden de un orden total xB, sy, entonces

µ si y sólo si xA, ry xB, sy; decimos que τ ¤ µ si y s´ olo si existe una funci´ on inyectiva g : A Ñ B tal que x, y P Apx r y Ø gpxq s gpy qq y esto lo denotamos como xA, ry Æ xB, sy, o como xA, ry Æ g xB, sy; olo si τ ¤ µ y τ µ. decimos que τ µ si y s´

(i) decimos que τ (ii)

(iii)

Es un ejercicio de esta sección demostrar que la definición de igualdad y la de orden entre tipos de orden no depende de los órdenes totales escogidos 1

Véase la introducci´ on en el libro [Am05] para una discusi´ on de lo que esto significa en la Teor´ıa de Conjuntos. 2 En el apéndice B se da la lista de los axiomas de Zermelo-Fraenkel con elecci´ on, junto con una explicaci´ on de cada uno de ellos.

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1. Tipos de orden

como representantes de cada tipo de orden. En otras palabras, se puede probar que la igualdad y el orden entre tipos de orden están bien definidos. Los siguientes son ejemplos de tipos de orden: 1. Se puede demostrar que cualesquiera dos órdenes totales finitos con la misma cardinalidad son isomorfos. A la luz de este hecho y dado que los n´ umeros naturales (ordenados con la pertenencia) son precisamente ordenes totales finitos, elegimos el tipo de orden de cualquier orden ´ total finito xA, ry como el n´ umero natural n tal que |A| n. Esta elecci´ on tiene sentido dado que si |A| n P N, entonces se cumple que xA, ry xn, Py. Además es la elección más natural, pues se tiene una definición precisa de los n´ umeros naturales. (Véase [Am05]).

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Figura 1.1: Tipo de orden 3

2. Siguiendo la tradición, denotamos con ω el tipo de orden de xN, Py. En la sección 1.2.1 se dará una caracterización de este tipo de orden. Una caracterización de un tipo de orden τ es un teorema que afirma que cualquier orden total que cumpla ciertas propiedades es isomorfo a τ . Lo interesante es encontar las propiedades que debe cumplir el orden total para ser isomorfo a τ .

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Figura 1.2: Tipo de orden ω

3. Denotamos con ω el tipo de orden de m P n.

xN, Qy, donde n Q m si y sólo si

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1.1. Definiciones y ejemplos

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Ejercicios 1.1.1.- Demuestre que en la parte (iii) de la definición 1.1 sobra la afirmaci´ on “y sólo una”. 1.1.2.- Considere la siguiente definición: Decimos que xA, ry es un conjunto con orden reflexivo si A es un conjunto y r es una relación binaria sobre A tal que es reflexiva (para todo a P A, xa, ay P r), transitiva (para cualesquiera a, b, c P A, si xa, by P r y xb, cy P r, entonces xa, cy P r), y antisimétrica (para cualesquiera a, b P A, si xa, by P r y xb, ay P r, entonces a b). Sea A un conjunto, demuestre lo siguiente: (i) Si xA, ry es un conjunto con orden reflexivo, entonces el orden xA, r1y, con r1 rztxa, ay : a P Au, es un orden parcial; (ii) Si xA, ry es un orden parcial, entonces el orden xA, r1 y, con r1 r Y txa, ay : a P Au, es un orden reflexivo.

1.1.3.- Considere la siguiente definición: Decimos que xA, ry es un conjunto con orden total reflexivo si xA, ry es un conjunto con orden reflexivo y para cualesquiera a, b P A, xa, by P r ó xb, ay P r. Enuncie afirmaciones similares a las del ejercicio anterior ahora con las nociones de orden total y conjunto con orden total reflexivo y demuéstrelas. 1.1.4.- Demuestre que la relación “tener el mismo tipo de orden” es de equivalencia sobre la clase (propia) de los órdenes totales. 1.1.5.-

(i) Demuestre que si xA, ry es un orden total y existe n P N tal que |A| n, entonces xA, ry xn, Py, es decir, xA, ry y xn, Py tienen el mismo tipo de orden. (ii) Demuestre que si xA, ry y xB, sy son órdenes totales tales que son finitos y tienen la misma cardinalidad, entonces tienen el mismo tipo de orden.

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1. Tipos de orden

1.1.6.- Demuestre que n, m P Npn P m entre tipos de orden.

ùñ n mq, donde es el orden

1.1.7.- Demuestre que n P N pxn, Py Æ xN, Pyq, es decir que n P N pn ¤ ω q (donde ¤ es la relación de orden entre tipos de orden).

1.2.

Construcci´ on y caracterizaci´ on de las estructuras num´ ericas

Para dar una caracterización de xN, Py y, después de haberlos construido de manera conjuntista, de xZ, Z y, xQ, Q y y xR, R y en términos de cómo están ordenados sus elementos, necesitamos primero dar algunas definiciones. Definici´ on 1.4 Sea xA, ry un orden parcial. Decimos que xA, ry es un conjunto bien ordenado o un buen orden si y s´ olo si para todo X A con X H, existe y P X tal que para todo z P X, xy, z y P r o y z.

Definici´ on 1.5 Sea xA, ry un orden total. Decimos que xA, ry es sin extremo derecho (izquierdo) si y s´ olo si para todo a P A existe b P A tal que xa, by P r (xb, ay P r). Decimos que xA, ry es un orden total sin extremos si y s´ olo si es sin extremo derecho y sin extremo izquierdo. Definici´ on 1.6 Sea xA, ry un orden total. Decimos que un subconjunto X de A es acotado superiormente (inferiormente) si y s´ olo si existe a P A tal que para todo x P X, xx, ay P r o x a (xa, xy P r o a x). En este caso decimos que a es una cota superior (inferior) de X. Decimos que un subconjunto X de A es acotado si y s´ olo si es acotado superiormente y acotado inferiormente. Definici´ on 1.7 Sean xA, ry un orden total y X A. Decimos que X tiene r-m´ınimo (r-máximo) si y s´ olo si existe y P X tal que para todo x P X xy, xy P r o y x (xx, yy P r o x y). En este caso decimos que y es el r-m´ınimo (r-máximo) de X. Definici´ on 1.8 Sea xA, ry un orden total y X un subconjunto de A. Deolo si w es una cota cimos que w P A es el supremo (´ınfimo) de X si y s´ superior (inferior) de X y es el r-m´ınimo (r-m´ aximo) del conjunto de las cotas superiores (inferiores).

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´ n y caracterizacio ´ n de las estructuras 1.2. Construccio num´ ericas

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Definici´ on 1.9 Sea xA, ry un orden total. Decimos que xA, ry es denso si y s´ olo si para cualesquiera a, b P A con xa, by P r, existe x P A tal que xa, xy P r y xx, by P r.

Definici´ on 1.10 Si A es un conjunto, r A2 y B A, entonces la restricción de r a B, denotada como r æB , se define como r æB txb1 , b2 y : b1 , b2

P B y xb1, b2 y P ru. Algunas veces simplemente escribimos xB, ry, en vez de xB, r æB y.

1.2.1.

Caracterizaci´ on de xN, Py

Como ya mencionamos al principio de este cap´ıtulo la construcción del conjunto N se puede ver con detalle en varios libros, como son [Am05], [HrJe84], [En77]. Damos aqu´ı un resumen con las definiciones y teoremas más importantes. Definici´ on 1.11 Un conjunto n es un n´ umero natural si y s´ olo si cumple lo siguiente: (i) n es transitivo (i.e. si x P n y y

(ii) xn, Py es un buen orden;

P x, entonces y P n);

(iii) todo subconjunto no vac´ıo de n tiene un P-m´ aximo. Esta definición está basada en una idea dada por John von Neumann de que cada n´ umero natural sea el conjunto de los naturales anteriores, de tal un n´ umero natural suerte que el 0 es el conjunto H vac´ıo (pues no hay ning´ anterior a él), el 1 es el unitario del vac´ıo tHu, el 2 es el que tiene al vac´ıo y al unitario del vac´ıo tH, tHuu, ..., el sucesor de n es n Y tnu, etc. Todos estos conjuntos efectivamente cumplen la definición formal de ser n´ umero natural. Adem´ as, podemos definir la relación “menor” en los naturales como la pertenencia, pues el comportamiento de la pertencia sobre estos conjuntos coincide con la noci´ on usual del “menor”. Para poder reunir a todos los n´ umeros naturales en un conjunto se ne3 cesita el axioma de infinito que afirma lo siguiente: Existe un conjunto infinito. Más a´ un, dicho conjunto infinito es un conjunto inductivo en el sentido de la siguiente 3

Véase el apéndice B.

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1. Tipos de orden

Definici´ on 1.12 Un conjunto A es inductivo si y s´ olo si que x P A, x Y txu P A.

H P A y siempre

El conjunto x Y txu es llamado el sucesor de x y se denota spxq.

As´ı, el conjunto ω se define como la intersección de todos los conjuntos inductivos y existe por el axioma de infinito. Se puede demostrar entonces que todo n´ umero natural es un elemento de ω y que cualquier elemento de ω es un n´ umero natural; es decir, que ω N. También se puede demostrar que las nociones del 0, el sucesor de un conjunto y de ω cumplen con los famosos axiomas de Peano. Adem´ as, se prueba que xN, Py es un orden total, por lo que es válido preguntarse c´ omo es su tipo de orden. El objetivo de esta sección es precisamente dar una caracterización de ω o de xN, Py en términos de su tipo de orden, es decir, de c´ omo están ordenados sus elementos. Esta caracterización utiliza uno de los teoremas más importantes que involucra a los naturales, el teorema de recursi´ on para naturales, con el cual se pueden hacer definiciones recursivas. La versión principal de este teorema (hay varias versiones) es la siguiente: Teorema 1.1 Sea A un conjunto cualquiera. Sean a P A y f : A Ñ A. Entonces existe una u ńica funci´ on h : ω Ñ A tal que hp0q a y hpspnqq f phpnqq. Demostraci´ on. La demostración de este teorema puede revisarse en [Am05]; alternativamente, en el cap´ıtulo 2 demostramos una generalización de este teorema (teorema 2.5) % Ahora damos la caracterización de ω como tipo de orden. Teorema 1.2 Sea xA, ry un buen orden no vac´ıo sin extremo derecho y tal que todo subconjunto no vac´ıo de A acotado superiormente tiene m´ aximo. Entonces xA, ry xN, Py. Demostraci´ on. Sean A un conjunto y r A A tales que (i) A H; (ii) xA, ry es un buen orden;

(iii)

x P A Dy P Apx r yq; y

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9

(iv) para todo B A, si B H y Dy P A x P B px r y _ x y q, entonces Dz P B w P B pw r z _ w zq. Queremos demostrar que xA, ry xN, Py. Como xA, ry es un buen orden, A A y A H, sea a el r-m´ınimo de A. Definimos f : A Ñ A de tal forma que para cada x P A, f pxq el r-m´ınimo de ty

P A : x r yu.

Como ty P A : x r y u es un subconjunto de A distinto del vac´ıo pues xA, ry es sin extremo derecho, la función f está bien definida. Por el teorema de recursión para naturales (teorema 1.1), existe una u ńica función h : N Ñ A tal que hp0q a y hpspnqq f phpnqq. Obsérvese que por la definición de f pxq, x P Apx r f pxqq. Por lo tanto, n P Nphpnq r f phpnqqq y, como hpspnqq f phpnqq, tenemos que

n P Nphpnq r hpspnqqq.

Veamos que h es un isomorfismo. Primero demostraremos que n P Nm P Npm P n Ñ hpmq r hpnqq. Lo haremos probando que D tn P N : mpm P n Ñ hpmq r hpnqqu es un conjunto inductivo. Como m P Npm R 0q, 0 P D. Supongamos que n P D y demostremos que spnq P D. Sea m P N tal que m P spnq n Y tnu. Si m P n, entonces, por hipótesis de inducción, hpmq r hpnq. Por otro lado, sabemos que hpnq r hpspnqq y, como r es transitiva, hpmq r hpspnqq. Si m n, entonces hpmq hpnq y, como hpnq r hpspnqq, tenemos que hpmq r hpspnqq. Por lo tanto, spnq P D y D es inductivo. Como h es una funci´ on entre órdenes totales y

n P Nm P Npm P n Ñ hpmq r hpnqq,

por el ejercicio 1.2.3, h es inyectiva y, además,

n P Nm P Npm P n Ø hpmq r hpnqq. Falta demostrar que h es sobre, es decir, que imphq A (la imagen de h es A). Supongamos que Azimphq H. Como Azimphq A y xA, ry es un buen orden, sea p el r-m´ınimo de Azimphq. Entonces B tq P A : q r pu está acotado por p y B imphq. Además, B H, pues si B H, p ser´ıa el r-m´ınimo de A, es decir, a p; por lo tanto, p a hp0q P imphq,

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10

1. Tipos de orden

contradiciendo el hecho de que p no está en la imagen de h. Por lo tanto, B H. Tenemos que B imphq A, que B H y que B está acotado superiormente por p, entonces, por el inciso (iv) de nuestras hipótesis, existe q0 P B tal que q0 es el r-máximo de B. Como q0 P B, q0 r p y q0 P imphq, pues p es el r-m´ınimo de Azimphq. Por lo tanto, q0 hpmq para alg´ un m P N. Obsérvese que p es el r- m´ınimo del conjunto ty P A : q0 r y u (p es el m´ınimo de los r-mayores que q0 ), pues si hubiera p1 r p tal que p1 fuera r-m´ınimo de ty P A : q0 r yu, entonces q0 r p1 r p y q0 no ser´ıa el r-máximo de B. As´ı, p es el r-m´ınimo de ty P A : q0 r y u. Ahora, por la definición de f , f pq0 q p el r-m´ınimo de ty P A : q0 r y u, entonces f pq0 q f phpmqq hpspmqq. Por lo tanto, p f pq0 q P imphq, contradiciendo que p P Azimphq. % Concluimos que imphq A y, por lo tanto, xN, Py h xA, ry. Con este teorema hemos dado una caracterización de xN, Py, pues podemos concluir que xN, Py es el u ńico (salvo isomorfismo) buen orden no vac´ıo sin extremo derecho y tal que todo subconjunto no vac´ıo de él acotado superiormente tiene máximo.

1.2.2.

Construcci´ on y caracterizaci´ on de xZ, Z y

En la sección anterior se dieron las ideas principales de la construcción de xN, Py y también una caracterización de xN, Py como tipo de orden. El siguiente paso es la definición conjuntista de los n´ umeros enteros. Antes recordamos las definiciones de suma y multiplicación en N. Definici´ on 1.13 Sea m P N. Definimos la operaci´ on sumar m usando el teorema de recursi´ on para naturales (teorema 1.1) de la siguiente manera. Dados m P N y la funci´ on sucesor s : N Ñ N, por el teorema de recursi´ on para naturales, existe una u ńica funci´ on m : N Ñ N tal que m p0q m on suma en N y n P N m pspnqq spm pnqq. As´ı, definimos la operaci´ como la funci´ on N : N N Ñ N tal que m, n P N m N n m pnq. on multiplicar m usando Definici´ on 1.14 Sea m P N. Definimos la operaci´ el teorema de recursi´ on para naturales (teorema 1.1) de la siguiente manera. Dados 0 P N y la funci´ on sumar m, m : N Ñ N, por el teorema de recursi´ on para naturales, existe una u ńica funci´ on m : N Ñ N tal que m p0q 0 y

n P N m pspnqq m pm pnqq.

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´ n y caracterizacio ´ n de las estructuras 1.2. Construccio num´ ericas As´ı, definimos la operaci´ on multiplicación en funci´ on

No

producto en

N como

11 la

N : N N Ñ N tal que m, n P N m N n m pnq.

Las notaciones de la suma en los naturales como N y de la multiplicaci´ on como N pueden parecer excesivas. Sin embargo, definiremos la suma y la multiplicación en los enteros con base en las de los naturales por lo que usamos esta notación para evitar confusiones. Se pueden demostrar (en la mayor´ıa de los casos por inducción) todas las propiedades conocidas de la suma y multiplicación para naturales, como ser conmutativas y asociativas; que la multiplicación se distribuye sobre la suma; las leyes de cancelación de la suma y de la multiplicación; la existencia de los neutros; la compatibilidad de las operaciones con el orden, etc. Ahora, la idea de la construcción de los n´ umeros enteros es hacer de la operación aritmética de la sustracción, que sólo está definida parcialmente en los n´ umeros naturales, una operación “completa”. Después de definir a los n´ umeros enteros como conjunto, veremos cómo se extienden las operaciones de suma y multiplicación del conjunto N al conjunto Z. Sin embargo, dejaremos las demostraciones de las propiedades de estas operaciones como ejercicios dado que estos resultados realmente pertenecen al campo del álgebra. Más bien nos enfocaremos en caracterizar a xZ, Z y como tipo de orden. Existe una manera de definir la resta o sustracción para algunos pares ordenados de n´ umeros naturales: si pm, nq P N N es tal que m ¥ n (es decir, ńico natural n P m o m n), entonces se puede demostrar que existe un u k tal que m n k, y definimos a m n como k. Pero si pm, nq P N N es un n´ umero natural k tal que m n k (pues tal que m n, no existe ning´ se puede demostrar que n, k P Npn ¤ n kq y entonces para cualquier k, m n ¤ n k), por lo que m n no está definido. Si queremos definir m n para este u ´ltimo caso, tendr´ıamos que encontrar un “nuevo” individuo que sea solución de la ecuación m n x. Por ahora, representamos a la resta m n o a la solución de la ecuación m n x como el par pm, nq sin dar ninguna restricción en cuanto a la relación de orden que exista entre m y n. Es importante notar que siempre que m ¥ n, la solución de la ecuación ńica, pero existen muchas ecuaciones distintas cuyas solum n k es u ciones son la misma. Por ejemplo, la solución de la ecuación 3 1 x es la misma que la de 7 5 y (es decir, 3 1 7 5 2). Esto quiere decir que hay pares ordenados de n´ umeros naturales que queremos que representen al

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12

1. Tipos de orden

mismo n´ umero entero, como es el caso de los pares p3, 1q y p7, 5q. En general, queremos que pa, bq y pc, dq representen al mismo entero si la solución de las ecuaciones a b x y c d y es la misma. Entonces podemos definir una relación sobre N N en la que dos pares ordenados estén relacionados si esto sucede:

pa, bq r pc, dq si y sólo si existe k P N tal que a b

Nkyc

d

N k.

Sin embargo, hay pares ordenados de naturales que ser´ıa deseable que estuvieran relacionados y que no están r-relacionados. Por ejemplo, p1, 2q y p2, 3q no están r-relacionados pues no hay k P N tal que 1 2 N k y 2 3 N k, pero nuestra intuición indica que deben representar al mismo (nuevo) individuo. Para solucionar este problema, obsérvese que si pa, bq r pc, dq, como existe k P N tal que a b N k y c d N k, sumando estas dos ecuaciones adecuadamente N

a

a b Nk d Nk c N pd N k q pb N k q

Nc

y utilizando las leyes de asociatividad, conmutatividad y cancelación de la suma en los naturales, podemos definir una nueva relación binaria sobre N N de la siguiente manera:

pa, bq pc, dq si y sólo si a

Nd

b

N c.

Obsérvese que todos los pares ordenados que están r-relacionados también están -relacionados, pero además hay nuevos pares ordenados que un, se puede demoss´ı están -relacionados, como son p1, 2q y p2, 3q. Más a´ trar que la relación es una relación de equivalencia (ejercicio 1.2.7 de esta sección), y gracias a este hecho podemos definir a los enteros como las clases de equivalencia inducidas por . Escribimos pa, bq como la clase de equivalencia del par ordenado pa, bq, es decir, pa, bq tpm, nq : pa, bq pm, nqu. Definici´ on 1.15 Sea Z N N { tpa, bq : pa, bq P N Nu, es decir, sea Z el conjunto cociente de N N módulo . Z es el conjunto de los números enteros y a sus elementos los llamamos enteros.

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13

Los enteros negativos se definen como aquellos pa, bq tales que a P b. Los enteros positivos son aquellos pa, bq tales que b P a. Ahora definimos el orden com´ un en Z. Definici´ on 1.16 Definimos la relaci´ on binaria Z sobre Z de la siguiente manera: pa, bq Z pc, dq si y sólo si a N d P b N c.

Se puede demostrar que Z está bien definida y que xZ, Z y es un orden ω. En la sección total. El tipo de orden de xZ, Z y se denota como ω 1.3 se definirá la suma de tipos de orden y se podrá demostar que el tipo de orden de xZ, Z y es efectivamente la suma del tipo de orden de xN, Qy más el de xN, Py (ejercicio 1.3.8). Sin embargo, por ahora ω ω sólo es una manera de denotar el tipo de orden de xZ, Z y. Para definir las operaciones usuales en los enteros, podemos apelar a la motivaci´ on de su construcción. Como pa, bq y pc, dq “representan” las soluciones de las ecuaciones a b N x y c d N y, para “representar” a la suma de pa, bq con pc, dq se necesitan encontrar s y t de forma que s t N px N y q. Por lo tanto, sumando las primeras dos ecuaciones,

b Nx d Ny N c pb N dq N px a

N c

a

Ny

q

se puede ver cuál es la definición adecuada de la suma en los enteros. Definici´ on 1.17 Definimos la operaci´ on suma en : Z Z Ñ Z tal que dados p a, b q , p c, dq P Z, Z

pa, bq

p q pa

Z c, d

N c, b

Z como la función

q

Nd .

De manera similar, para definir la multiplicación de pa, bq y pc, dq, sabiendo que pa, bq y pc, dq “representan” las soluciones de las ecuaciones a b N x y c d N y, se necesitan encontrar s y t de forma que s t N px N y q. Por lo tanto, multiplicando la primera ecuación por y, a N y

b N y

N x N y,

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14

1. Tipos de orden

sumando a N d de ambos lados de la igualdad, a N d N a N y a N d N b N y

N x N y,

factorizando a del lado izquierdo de la igualdad, a N pd

sustituyendo d

Ny

q a N d

N y por c,

a N c a N d

Nb Ny

N x N y,

Nb Ny

N x N y,

sumando b N d de ambos lados de la igualdad, a N c N b N d a N d N b N d N b N y factorizando b del lado derecho de la igualdad, a N c

sustituyendo d

Nb Nd

N y por c,

a N c

a N d

Nb Nd

p

Nb N d

a N d

Ny

Nb Nc

q

N x N y,

N x N y,

N x N y,

se puede ver cuál es la definición adecuada de la multiplicación en los enteros. Definici´ on 1.18 Definimos la operaci´ on multiplicación en ci´ on Z : Z Z Ñ Z tal que dados pa, bq, pc, dq P Z,

pa, bq Z pc, dq pa N c

N b N d, a N d

Z como la fun-

q

Nb Nc .

Se puede demostrar que las operaciones de suma y multiplicación as´ı definidas son conmutativas y asociativas, y que la multiplicación se distribuye sobre la suma. También se puede demostrar que p0, 0q es neutro para la suma y que p1, 0q es neutro para la multiplicación. Además, para cualquier entero pa, bq existe un inverso aditivo pa, bq y pa, bq pb, aq. De esta manera se puede definir la operación sustracción (de manera completa) en los enteros como pa, bq pc, dq pa, bq Z ppc, dqq. Asimismo, se puede demostrar que las operaciones son compatibles con el orden Z , es decir que la suma preserva las desigualdades, que la multiplicación por positivos no iguales a p0, 0q también las preserva, y que la multiplicación por negativos “voltea” la desigualdad. Sobre todo hay que destacar que, a diferencia de lo que sucede en N, para cualesquiera pa, bq, pc, dq P Z la ecuación pa, bq pc, dq Z x tiene una u ńica solución en Z, pues la motivación para construir a los enteros fue justamente que se cumpliera esta afirmación.

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15

Más a´ un, si denotamos con 0Z a la clase p0, 0q y con 1Z a la clase p1, 0q, la estructura pZ, Z , Z , Z , 0Z , 1Z q resulta ser lo que en álgebra se denomina un dominio entero ordenado, pues, además de cumplir las propiedades mencionadas, se tiene que la multiplicación de dos enteros es 0Z si y sólo si alguno de los dos enteros es 0Z (lo que se llama “no tener divisores de cero”). También podemos definir el valor absoluto de un entero pa, bq, denotado como |pa, bq|, de la siguiente manera: "

|pa, bq| ppa,a,bbqq

si pa, bq ¥Z si pa, bq Z

0Z , 0Z ,

y demostrar todas las igualdades y desigualdades conocidas que involucran al valor absoluto con las operaciones en Z. Veamos ahora que el tipo de orden de xZ, Z y es una “extensión” del tipo de orden de xN, Py. Lema 1.1 xN, Py Æ xZ, Z y, es decir, el tipo de orden ω es menor o igual que el tipo de orden ω ω. Demostraci´ on. Debemos dar una función inyectiva EZ de N en Z tal que n P Nm P Npn P m Ø EZ pnq Z EZ pmqq. Definimos EZ : N Ñ Z como EZ pnq pn, 0q. Primero demostraremos que n P Nm P Npn P m Ñ EZ pnq Z EZ pmqq. Sean n, m P N tales que n P m. Tenemos que EZ pnq pn, 0q y que EZ pmq pm, 0q. Como n N 0 n y 0 N m m por la definición y la conmutatividad de la suma en N, n N 0 P 0 N m y EZ pnq Z EZ pmq. on entre órdenes totales que cumple que Como EZ es una funci´ n P Nm P Npm P n Ñ EZ pmq Z EZ pnqq, por el ejercicio 1.2.3, EZ es inyectiva y, además, n P Nm P Npm P n Ø EZ pmq Z EZ pnqq. Por lo tanto, xN, Py Æ xZ, Z y y ω ¤ ω ω. % De hecho, podemos decir que EZ es un morfismo inyectivo entre las estructuras xN, P, N , N , 0, 1y y xZ, Z , Z , Z , 0Z , 1Z y, es decir que EZ , además de satisfacer que pN, N q Æ EZ xZ, Z y, cumple lo siguiente:

n P Nm P NpEZ pnq

p q EZ pn

Z EZ m

qq

Nm .

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1. Tipos de orden

n P Nm P NpEZ pnq Z EZ pmq EZ pn N mqq. EZ p0q 0Z . EZ p1q 1Z . Se deja como ejercicio probar que ω ω ω, pues ω es un buen orden y ω ω no lo es. Por lo tanto, ω ω ω. Ahora ya estamos listos para caracterizar a xZ, Z y como tipo de orden. Teorema 1.3 Sea xA, ry un orden total no vac´ıo sin extremos tal que todo

subconjunto no vac´ıo de A acotado superiormente tiene r-m´ aximo y todo subconjunto no vac´ıo de A acotado inferiormente tiene r-m´ınimo. Entonces xA, ry xZ, Z y. Demostraci´ on. Sea xA, ry un orden total tal que: (i) A H,

a P ADb P ADc P Appb r aq ^ pa r cqq, (iii) para todo B A, si B H y Dy P A x P B px r y _ x y q, entonces Dw P B x P B px r w _ x wq, y (iv) para todo B A, si B H y Dz P A x P B pz r x _ z xq, entonces Dv P B x P B pv r x _ v xq. Sea p0 P A y sean A tp P A : p0 r pu y A tp P A : p r p0 u. Como xA, ry es un orden total y no tiene extremo derecho, xtp0 uY A , r y (ii)

es un orden total y no tiene extremo derecho. Como todo subconjunto no vac´ıo de tp0 u Y A está acotado inferiormente por p0 , todo subconjunto no vac´ıo de tp0 u Y A tiene r-m´ınimo, por lo que xtp0 u Y A , r y es un buen orden. Adem´ as, todo subconjunto no vac´ıo de tp0 u Y A acotado superiormente tiene r-máximo, pues esto se cumple en xA, ry. Por lo tanto, por el teorema 1.2, xtp0 u Y A , r y es isomorfo a xN, Py. Sea f : N Ñ tp0 u Y A un isomorfismo. Análogamente podemos ver que xA Y tp0 u, r1 y xN, Py, donde r1 es la relación inversa de r (véase el ejercicio 1.2.10 de esta sección). Por lo tanto, sea f : N Ñ A Y tp0 u un isomorfismo. Obsérvese que, por ser f y f isomorfismos, f p0q p0 f p0q. Se deja al lector(ejercicio 1.2.9) demostrar que para todo pn, mq P Z tal que pn, mq ¥Z 0Z , existe un u ńico k P N tal que pk, 0q P pn, mq y que

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para todo pn, mq P Z tal que pn, mq ¤Z 0Z , existe un u ńico k P N tal que p0, kq P pn, mq. Entonces podemos ver a Z como la unión tpk, 0q : k P Nu Y tp0, kq : k P Nu. Definimos g : Z Ñ A de la siguiente manera: gpn, mq

"

f pkq si pn, mq ¥Z 0Z y pk, 0q P pn, mq, f pkq si pn, mq ¤Z 0Z y p0, kq P pn, mq.

Por las observaciones anteriores, g está bien definida y es la unión de dos isomorfismos compatibles (i.e. que coinciden en los puntos que sus dominios tienen en com´ un). Se puede demostrar que g es un isomorfismo y, como A A Y tp0 u Y A , tenemos que xZ, Z y g xA, ry. % Con este teorema hemos dado una caracterización de xZ, Z y, pues pońico (salvo isomorfismo) orden total no demos concluir que xZ, Z y es el u vac´ıo sin extremos, y tal que todo subconjunto no vac´ıo acotado de él tiene m´ınimo y máximo. Por lo tanto el tipo de orden ω ω tiene el siguiente aspecto:

3

2

1

0

1

2


1.2.3.

3

4

ω

Construcci´ on y caracterizaci´ on de xQ, Q y

Al igual que como construimos xZ, Z y a partir de xN, Py completando la operación resta sólo parcialmente definida en xN, Py, construiremos xQ, Q y a partir de xZ, Z y completando la operación división. La suma, la multiplicación y la resta están definidos para cualquier par de n´ umeros enteros, pero la división no, pues dados a, b P Z no siempre es posible encontrar un c P Z tal que a b Z c (por ejemplo, si a 15 y b 2, no existe tal c en Z). Obsérvese que hemos dejado de denotar a los elementos de Z como pn, mq con n, m P N, pues conviene relajar la notación. Diremos que a P Z es divisible entre b P Z si existe c P Z tal que a b Z c. Queremos extender la estructura de los n´ umeros enteros para que todo elemento a de esta estructura extendida sea divisible por cualquier elemento

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18

1. Tipos de orden

b de la misma, pero también pretendemos que esta extensión preserve todas las reglas aritméticas válidas en Z. En particular, como 0Z Z x 0Z para todo x P Z, el sistema extendido también debe cumplir esta igualdad. As´ı, la ecuación a 0Z Z x puede tener muchas soluciones o no tener ninguna; si a 0Z , no tiene ninguna, y si a 0Z , tiene una infinidad. Por esto es que nuestra estructura extendida sólo cumplirá que para todo elemento a y ńico x tal que a b x. todo elemento b 0Z existe un u 1 Sea Q Z pZzt0Z uq. Al igual que sucedió al construir Z, hay pares ordenados de enteros en Q 1 que representan al mismo “cociente”. Por ejemplo, las ecuaciones 4 2 Z x tiene la misma solución que la ecuación 8 4 Z x y umero que 8{4. As´ı que esta vez entonces queremos que 4{2 sea el mismo n´ también definimos una relación sobre Q 1 de la siguiente manera:

pa, bq r pc, dq si y sólo si existe k P Z tal que a b Z k y c d Z k.

Sin embargo, en esta ocasión, de manera similar a como sucedió en la construcción de Z, hay pares ordenados de enteros que ser´ıa deseable que estuvieran relacionados y que no están r-relacionados. Por ejemplo, 6{4 y 3{2 no están r-relacionados pues no hay k P Z tal que 6 4 Z k y 3 2 Z k, pero nuestra intuición indica que deben representar al mismo (nuevo) individuo. Para solucionar este problema, obsérvese que si pa, bq r pc, dq, como entonces existe k P Z tal que a b Z k y c d Z k, multiplicando estas dos ecuaciones adecuadamente a b Z k d Z k c a Z pd Z kq pb Z kq Z c y utilizando las leyes de asociatividad, conmutatividad y cancelación de la multiplicación en los enteros (observando que en el caso en que k 0Z tendr´ıamos que a 0Z y c 0Z y la igualdad de la siguiente definición también se cumplir´ıa), podemos definir la relación binaria sobre Z pZzt0uq de la siguiente manera:

Z

pa, bq pc, dq si y sólo si a Z d b Z c. Obsérvese que todos los pares ordenados que están r-relacionados también están -relacionados, pero además hay nuevos pares ordenados que un, se puede demostrar s´ı están -relacionados, como son 6{4 y 3{2. Más a´ que la relación es una relación de equivalencia (ejercicio 1.2.12 de esta

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19

sección), y gracias a este hecho podemos definir a los racionales como las clases de equivalencia inducidas por . Denotamos la clase de equivalencia del par ordenado pa, bq como a{b, es decir, a{b tpc, dq : pa, bq pc, dqu. Definici´ on 1.19 Sea Q Q 1 { ta{b : pa, bq P Q 1 u, es decir, sea Q el odulo . Q es el conjunto de conjunto de las clases de equivalencia de Q 1 m´ los n´ umeros racionales y a sus elementos los llamamos racionales. Para definir el orden en los racionales primero debemos notar que todo racional se puede representar como la clase de equivalencia de un elemento pa, bq P Q 1 donde b ¡Z 0Z , pues a a donde b ¡ 0 ó b ¡ 0 . Z Z Z Z b b Definici´ on 1.20 Definimos la relaci´ on binaria Q sobre Q de la siguiente manera: a c si b ¡Z 0Z y d ¡Z 0Z , Q si y s´ olo si a Z d Z b Z c. b d Se puede demostrar que Q está bien definida y que xQ, Q y resulta ser un orden total. El tipo de orden de xQ, Q y se denota con η. Recordemos que lo que nos interesa es construir la estructura numérica de los racionales para después caracterizarla como tipo de orden, por lo que ahora definimos las operaciones usuales. Para definir las operaciones usuales en los racionales, podemos apelar a la motivaci´ on de su construcción. Como a{b y c{d representan a las soluciones de las ecuaciones a b Z x y c d Z y, para representar a la suma de a{b con c{d se necesita encontrar s y t de forma que s t Z px Z y q. Por lo tanto, multiplicando la primera ecuación por d, a Z d b Z d Z x, multiplicando la segunda ecuación por b,

c Z b b Z d Z y, sumando las dos ecuaciones anteriores,

pa Z dq Z pc Z bq pb Z d Z xq Z pb Z d Z yq, factorizando b Z d del lado derecho de la igualdad, a Z d Z c Z b pb Z dq Z px Z y q, se puede ver cuál es la definición adecuada de la suma en los racionales.

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1. Tipos de orden

Definici´ on 1.21 Definimos la operaci´ on suma en ci´ on Q : Q Q Ñ Q tal que dados a{b, c{d P Q, a b

Q como la siguiente fun-

pa Z dqb Zdpb Z cq .

c

Q d

Z

De manera similar, para definir la multiplicación de a{b y c{d, sabiendo que a{b y c{d representan a las soluciones de las ecuaciones a b Z x y c d Z y, se necesitan encontrar s y t de forma que s t Z px Z y q. Por lo tanto, multiplicando las dos primeras ecuaciones,

b Z x d Z y a Z c pb Z dq Z px Z y q

Z

a c

se puede ver cuál es la definición adecuada de la multiplicación en los racionales. Definici´ on 1.22 Definimos la operaci´ on multiplicación en guiente funci´ on Q : Q Q Ñ Q tal que dados a{b, c{d P Q, a c b Q d

Q

como la si-

ab Z dc . Z

Se puede demostrar que las operaciones de suma y multiplicación as´ı definidas son conmutativas y asociativas, y que la multiplicación se distribuye sobre la suma. También se puede demostrar que 0{1 es neutro para la suma y que 1{1 es neutro para la multiplicación. Además, al igual que como se cumple en los enteros, para cualquier racional a{b existe un inverso aditivo a{b y a{b paq{b; as´ı, se define la operación sustracción como a{b Q c{d a{b Q pc{dq. De hecho, también como sucede en los enteros, para cualesquiera a{b, c{d P Q la ecuación a{b c{d Q x tiene una u ńica solución en Q. Asimismo, se pueden definir los racionales positivos como aquellos a{b tales que a{b ¡Q 0{1, y a los negativos como los racionales que no son positivos ni cero. De manera similar a como sucede en los enteros, se puede demostrar entonces que las operaciones son compatibles con el orden Q , es decir que la suma preserva las desigualdades, que la multiplicación

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i i

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por positivos no iguales a 0{1 también las preserva, y que la multiplicación por negativos cambia el sentido de la desigualdad. Sobre todo hay que destacar que, a diferencia de lo que sucede en Z, se puede demostrar que para cualesquiera a{b, c{d P Q, si c{d 0{1, la ecuación a{b c{dQ x tiene una u ńica solución en Q, pues la motivación para construir a los racionales fue justamente que se cumpliera esta afirmación. De hecho, por cumplir con las propiedades mencionadas, la estructura

xQ, Q ,

Q , Q , 0Q , 1Q

y

donde 0Q es la clase 0{1 y 1Q la clase 1{1, es lo que en álgebra se denomina un campo ordenado. Adem´ as, la estructura construida xQ, Q y, cuyo tipo de orden denotamos como η, es realmente una extensión de xZ, Z y, pues tomando EQ : Z Ñ Q donde EQ ppq p{1Z , tenemos que xZ, Z y Æ xQ, Q y, lo cual equivale a que ω ω ¤ η. Más a´ un, la funci´ on EQ es un morfismo inyectivo entre las estructuras algebraicas pZ, Z , Z , Z , 0Z , 1Z q y pQ, Q , Q , Q , 0Q , 1Q q, es decir que EQ , además de satisfacer que xZ, Z y Æ EQ xQ, Q y, cumple que

p P Z q P Z pEQ ppq Q EQ pqq EQ pp Z qqq, que p P Z q P Z pEQ ppq Q EQ pqq EQ pp Z qqq, y que EQ p0Z q 0Q y EZ p1Z q 1Q .

Ahora cumplimos el principal objetivo de esta sección: caracterizar a

xQ, Q y como tipo de orden.

Recordemos que un conjunto A es numerable si existe una función biyectiva f : N Ñ A; este hecho lo entedemos como que A tiene la misma cardinalidad o misma cantidad de elementos que N (véase la introducción a la sección 1.2.4). Lema 1.2

xQ, Q y es un orden total denso, sin extremos y numerable.

Demostraci´ on. El hecho de que xQ, Q y es un orden total se deja como ejercicio. La prueba de que Q es numerable se puede ver en [Am05]. Para ver que esta estructura es sin extremos, basta ver que para todo a{b P Q, se tiene que a{b Q 1Q Q a{b Q a{b Q 1Q .

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1. Tipos de orden

Para ver que xQ, Q y es denso, sean a{b, c{d P Q con a{b Q c{d. Sin pérdida de la generalidad podemos suponer que b, d ¡Z 0Z . Entonces paZ dq Z pbZ cq P Q y se cumple que a paZ dq Z pbZ cq c . Q Q d 2 b d b 2 b d Z Z

Por lo tanto,

Z Z

xQ, Q y es denso, sin extremos y numerable.

%

De manera que el tipo de orden η tiene el siguiente aspecto:

Figura 1.5: Tipo de orden η

En la próxima sección veremos que, aunque en esta figura η aparenta ser una l´ınea continua, en realidad tiene muchos huecos. Los siguientes dos teoremas demuestran el mismo hecho: que xQ, Q y es el u ńico (salvo isomorfismo) orden total denso, sin extremos y numerable. Las demostraciones de estos teoremas son distintas, pero ambas utilizan el procedimiento conocido en inglés como el método “back-and-forth”. La frase “back-and-forth” se usa en la lengua inglesa para hablar de una acción hecha “de ida y vuelta” o “en un sentido y en el sentido inverso”. La idea de este procedimiento consiste en construir un isomorfismo primero decidiendo a dónde mandar un elemento del dominio y después tomando un elemento del codominio para decir de cuál elemento del dominio será imagen. Esta elecci´ on de elementos en el dominio y el codominio se repite una cantidad numerable de veces hasta abarcar a todos los elementos de ambos y la construcción se hace de tal forma que la función resultante sea un isomorfismo. Entonces se llama “forth” (“ida” o “en un sentido”) a la parte del procedimiento en que se elige un elemento del dominio y se decide cuál será su imagen, y se llama “back” (“vuelta” o “en el sentido inverso”) a la parte del procedimiento en que se elige un elemento del codominio y se decide de cuál elemento del dominio será imagen. Teniendo en cuenta esta forma de construir isomorfismos podemos entender mejor las demostraciones de los siguientes dos teoremas. Aunque el teorema que a continuación presentamos se debe a Cantor, el proceso “back-and-forth” es posiblemente un método de demostración posterior.

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Teorema 1.4 (Cantor) Cualesquiera dos o ´rdenes totales, densos, sin extremos y numerables son isomorfos. Demostraci´ on. Sean xA, ry y xB, sy dos órdenes totales, densos, sin extremos y numerables. Como A y B son numerables, sean A tan : n P ω u y B tbn : n P ω u de forma que ambas enumeraciones sean sucesiones inyectivas (es decir, no repiten elementos de A o B). Definimos dos sucesiones tcn : n P ω u y tdn : n P ω u por recursión (véase la figura 1.6):

a0 y d0 b0 ; sea k ¡ 0 y supongamos definidos cm y dm para toda m k, • si k es impar, definimos dk como bj P B donde j es el m´ınimo natural tal que m kpbj dm q, y definimos ck como ai P A

(i) c0 (ii)

donde i es el m´ınimo natural tal que ai guarda la misma relación en el orden r con respecto a c0 , c1 , ... y ck1 que la relación que guarda dk en el orden s con respecto a d0 , d1 , ... y dk1 ; podemos encontrar tal ai gracias a que xA, ry es denso y sin extremos.

• si k es par, definimos ck como ai P A donde i es el m´ınimo natural tal que m kpai cm q, y definimos dk como bj P B donde j es el m´ınimo natural tal que bj guarda la misma relación en el orden s con respecto a d0 , d1 , ... y dk1 que la relación que guarda ck en el orden r con respecto a c0 , c1 , ... y ck1 ; podemos encontrar tal bj gracias a que xB, sy es denso y sin extremos. Claramente, tcn : n P Nu A y tdn : n P Nu B. Ahora probemos que A tcn : n P Nu por inducción fuerte utilizando que A tan : n P Nu. - Si n 0, como c0 -

a0 , a0 P tcn : n P Nu. Supongamos que i kpai P tcn : n P Nuq, entonces i kDn P Npai cnq. Sea n0 el máximo n P N tal que cn ai para alg´ un i k. Queremos demostrar que ak P tcn : n P Nu. Si ak cn para alg´ un n ¤ n0 , entonces ak P tcn : n P Nu. Si n ¤ n0 pak cn q, entonces

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1. Tipos de orden • si n0 es impar, n0 1 es par y por lo tanto, por la construcción de la sucesión tcn : n P ω u, tenemos que ak cn0 1 P tcn : n P Nu. • si n0 es par y ak cn0 1 , entonces ak P tcn : n P Nu. Pero si n0 es par y ak cn0 1 , entonces n ¤ n0 1pak cn q y, como n0 2 es par, por la construcción de la sucesión tcn : n P ω u, tenemos que ak cn0 2 P tcn : n P Nu.

Por lo tanto, A tan : n P Nu. Análogamente se puede demostrar que B tdn : n P Nu. Sea h : A Ñ B tal que n P Nphpcn q dn q. Entonces h es un isomorfismo y xA, ry xB, sy, es decir xA, ry y xB, sy tienen el mismo tipo de orden. % c2 q a1

a4

c0 q a0

c3 q a5

a6

c1 q a2

c4 q a3 A h B

b4 q d2

b0 q

b2 q

b1 q

d0

d3

d1

b5

b3 q d4

Figura 1.6: Construcci´ on de las sucesiones tcn : n partir de las sucesiones tan : n P ω u y tbn : n P ω u

P ωu y tdn : n P ωu a

Por el lema y teorema anteriores sabemos que entonces xQ, Q y es el u ńico (salvo isomorfismo) orden total, denso, sin extremos y numerable. Como ya djimos anteriormente, el siguiente teorema prueba esto mismo, pero la demostración es un tanto distinta y también refleja el “aspecto” que tiene xQ, Q y. Teorema 1.5 (Cantor) Todo orden total sin extremos, denso y numerable es isomorfo a xQ, Q y.

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Demostraci´ on. Sea xP, P y un orden total sin extremos, denso y numerable. Como P y Q son numerables, sean P tpn : n P ω u y Q tqn : n P ω u de forma que ambas enumeraciones sean sucesiones inyectivas. Diremos que una funci´ on h de un subconjunto de P en Q es un isomorfismo parcial de P en Q si p, p1 P domphqpp P p1 Ø hppq Q hpp1 qq. Primero probaremos la siguiente afirmación: si h es un isomorfismo parcial de P en Q tal que domphq es finito, para cualesquiera p P P y q P Q existe un isomorfismo parcial hp,q de P en Q tal que h hp,q , p P domphp,q q y q P imphp,q q. Sea h tppi1 , qi1 q, ppi2 , qi2 q, ..., ppik , qik qu un isomorfismo parcial de P en Q, donde pi1 P pi2 P ... P pik . Entonces también qi1 Q qi2 Q ... Q qik . Sean p P P y q P Q. Si p P domphq y q P imphq, entonces definimos hp,q h. Si p R domphq, entonces puede suceder que p P pi1 , que pik P p, o que pir P p P pir 1 con 1 ¤ r k. Tomamos qn P Q, donde n es el m´ınimo natural tal que qn guarda la misma relación en el orden Q con respecto a qi1 , qi2 , ... y qik que la relación que guarda p en el orden P con respecto a pi1 , pi2 , ... y pik . Es decir, qn P Q, donde n es el m´ınimo natural tal que: si p P pi1 , entonces qn Q qi1 (tal qn existe pues Q es sin extremo izquierdo); si pik P p, entonces qik Q qn (tal qn existe pues Q es sin extremo derecho); y si pir P p P pir 1 con 1 ¤ r k, entonces qir Q qn Q qir 1 (tal qn existe pues Q es denso). Sea h1 h Y tpp, qn qu, entonces h1 es un isomorfismo parcial de P en Q y p P domph1 q. Si q P imph1 q, sea hp,q h1 . Si q R imph1 q, escribimos h1

tppj , qj q, ppj , qj q, ..., ppj , qj q, ppj , qj qu, donde pj P pj P ... P pj P pj . Entonces también se tiene que qj Q qj Q ... Q qj Q qj . Por lo tanto, puede suceder que q Q qj , que qj Q q, o que qj Q q Q qj con 1 ¤ r k. Tomamos pm P P, 1

1

2

k 1

1

1

2

2

2

k

k

k

k 1

k 1

k 1

1

k 1

r

k

r 1

donde m es el m´ınimo natural tal que pm guarda la misma relación en el orden P con respecto a pj1 , pj2 , ... y pjk 1 que la relación que guarda q en el orden Q con respecto a qj1 , qj2 , ... y qjk 1 . Es decir, pm P P, donde m es el m´ınimo natural tal que: si q Q qj1 , entonces pm P pj1 (tal pm existe pues P es sin extremo izquierdo); si qjk 1 Q q, entonces pjk 1 P pm

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1. Tipos de orden

(tal pm existe pues P es sin extremo derecho); y si qjr Q q Q qjr 1 con 1 ¤ r k, entonces pjr P pm P pjr 1 (tal pm existe pues P es denso). Sea h2 h1 Y tppm , q qu, entonces h2 es un isomorfismo parcial de P en Q, p P domph2 q y q P imph2 q. Por lo tanto, definimos hp,q h2 . As´ı, hemos probado que si h es un isomorfismo parcial de P en Q tal que domphq es finito, para cualesquiera p P P y q P Q existe un isomorfismo parcial hp,q h tal que p P domphp,q q y q P imphp,q q. Ahora, definimos por recursión una sucesión de isomorfismos parciales de la siguiente manera: h0 H, hn 1 phn qpn ,qn ,

donde phn qpn ,qn es la extensión de hn que cumple pn P dompphn qpn ,qn q y qn P impphn qpn ,qn q. Finalmente si definimos h nPN hn , entonces xP, P y h xQ, Q y. % As´ı, hemos caracterizado a xQ, Q y como tipo de orden. Además, podemos demostrar el siguiente poderoso resultado.

Corolario 1.1 Todo orden total numerable xS, S y puede sumergirse isoon inyectiva S Ñ Q, que m´ orficamente en xQ, Q y, es decir, hay una funci´ preserva el orden, lo cual se denota con xS, S y Æ xQ, Q y. Demostraci´ on. La demostración de este corolario es muy parecida a la prueba del teorema anterior. Como S y Q son ambos conjuntos numerables, sean S tsn : n P ω u y Q tqn : n P ω u de forma que ambas enumeraciones sean sucesiones inyectivas. Podemos demostrar que para cualquier isomorfismo parcial h de xS, S y en xQ, Q y con dominio finito y cualquier elemento s P S, existe un isomorfismo parcial hs de xS, S y en xQ, Q y tal que h hs y s P domphs q. Sea h tpsi1 , qi1 q, psi2 , qi2 q, ..., psik , qik qu un isomorfismo parcial de S en Q, donde si1 S si2 S ... S sik . Entonces también qi1 Q qi2 Q ... Q qik . Sea s P S. Si s P domphq, entonces definimos hs h. Si s R domphq, entonces puede suceder que s S si1 , que sik S s, o que sir S s S sir 1 con 1 ¤ r k. Tomamos qn P Q, donde n es el m´ınimo natural tal que qn guarda la misma relación en el orden Q con respecto a

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qi1 , qi2 , ... y qik que la relación que guarda s en el orden S con respecto a si1 , si2 , ... y sik . Es decir, qn P Q, donde n es el m´ınimo natural tal que: si s S si1 , entonces qn Q qi1 (tal qn existe pues Q es sin extremo izquierdo); si sik S s, entonces qik Q qn (tal qn existe pues Q es sin extremo derecho); y si sir S s S sir 1 con 1 ¤ r k, entonces qir Q qn Q qir 1 (tal qn existe pues Q es denso). Sea hs h Y tps, qn qu, entonces hs es un isomorfismo parcial de xS, S y en xQ, Q y, h hs y s P domphs q. Ahora, definimos por recursión una sucesión de isomorfismos parciales: h0 H hn 1 phn qsn donde

phn qs

on de hn tal que sn P dompphn qsn q. n es la extensi´ Finalmente si h nPN hn , entonces xS, S y Æ h xQ, Q y.

%

Entonces podemos concluir que hay una copia dentro de xQ, Q y de cualquier orden total numerable; es decir, todo orden total numerable puede ser encajado isomórficamente en cualquier orden total numerable denso y sin extremos.

1.2.4.

Construcci´ on y caracterizaci´ on de xR, R y

Todas las estructuras numéricas que hasta ahora hemos caracterizado tienen la misma cardinalidad. De manera similar a como hemos definido que dos ´ ordenes totales tengan el mismo tipo de orden, la noción de que dos conjuntos tengan la misma cardinalidad puede definirse sin que sea necesario definir el concepto de n´ umero cardinal. Definici´ on 1.23 Sean A y B conjuntos cualesquiera. Decimos que A tiene la misma cardinalidad que B, o que A es equipotente a B, si y s´ olo si existe una funci´ on biyectiva f : A Ñ B. Este hecho lo denotamos como A B. Se puede ver que la relación “tener la misma cardinalidad” es de equivalencia sobre la clase (propia) de todos los conjuntos. Sin embargo, las clases de equivalencia inducidas por esta relación no siempre son conjuntos, por lo que elegir un representante de cada una para definir los n´ umeros cardinales

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1. Tipos de orden

no puede hacerse a la ligera. En el cap´ıtulo 3 de este libro definimos formalmente cuáles son estos n´ umeros cardinales que representan a cada clase de equivalencia. Por ahora, lo interesante es notar que N, Z y Q tienen la misma cardinalidad, llamada, como ya mencionamos, numerable. Durante un tiempo los matemáticos se preguntaron si todos los conjuntos infinitos ten´ıan la misma cardinalidad, pero Cantor descubrió que existen conjuntos infinitos que no son numerables. Este descubrimiento se convirtió, seg´ un autores como Kanamori (ver [Ka96], en particular la nota al pie de página n´ umero 6), en el origen del desarrollo de la Teor´ıa de Conjuntos. El conjunto potencia de A, P pAq, es el conjunto de todos los subconjuntos de A. Claramente, existe una función inyectiva g : A Ñ P pAq definida como gpaq tau. Sin embargo, lo que Cantor demostró es que A no es equipotente con P pAq (véase por ejemplo [Am05]), es decir, demostró que la cardinalidad de P pAq es “más grande” que la de A para cualquier conjunto A. Como consecuencia de este resultado, se tiene que el conjunto infinito P pNq no es numerable. Por otro lado, se puede demostrar que P pAq tiene la misma cardinalidad que la del conjunto A 2 tf |f : A Ñ t0, 1uu (véase por ejemplo [Am05]). En particular, P pNq tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos. El conjunto de los n´ umeros reales, que construiremos a continuación, es uno de los conjuntos más famosos en matemáticas y no es numerable. Intuitivamente esto es porque al representar a los n´ umeros reales en sistema binario obtenemos esencialmente a todas las sucesiones de ceros y unos. Al igual que en los naturales y en los enteros, existen ecuaciones en los racionales que no tienen solución y este hecho puede motivar la necesidad de extender la estructura numérica de los racionales. Sin embargo, a diferencia de las construcciones de los enteros y racionales, que se hacen mediante la compleción de operaciones algebraicas (la resta y la división respectivamente), veremos que la construcción de los reales como extensión de los racionales tiene una naturaleza netamente conjuntista. Las observaciones para determinar que xQ, Q y tiene huecos han sido conocidas desde tiempos de los griegos, aunque la problemática no estuviera expresada precisamente en estos términos. La escuela pitagórica, no se sabe si Pitágoras mismo, descubrió que no exist´ıa ning´ un n´ umero racional cuyo cuadrado fuera el n´ umero 2. En términos modernos, esta escuela descu-

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brió que la ecuación x Q x 2 no tiene solución en Q. Pero lo que resultó un golpe más fuerte para la escuela pitagórica fue el descubrimiento de que no todos los segmentos de recta tuvieran medida racional; la terminolog´ıa de la época era que hab´ıa segmentos de recta inconmensurables, es decir, sin posibilidad de medirse. Se cree que este descubrimiento se hizo cuando se intentaba dar la razón entre el lado de un cuadrado cuyos lados fueran de medida unitaria y la diagonal de este cuadrado. A través del teorema de Pitágoras y del hecho de que ning´ un racional al cuadrado es 2, se descubrió que la diagonal de este cuadrado era inconmensurable. Este hecho lo entendemos en términos modernos como que la hipotenusa de un triángulo ? umero no sea racional. A partir de rectángulo de lado 1 mida 2 y que este n´ ese momento y durante muchos a˜ nos la mayor´ıa de los matemáticos griegos separó a la geometr´ıa de la aritmética, hablando de segmentos inconmensurables y considerando que el uso de los n´ umeros para medir longitudes y ´ areas era contrario al “idealismo platónico”. Sin embargo, los n´ umeros racionales en forma de cocientes de enteros eran conocidos y utilizados en la Grecia Antigua. Adem´ as, el matemático Arqu´ımedes usó estos n´ umeros en su estudio de las ´ areas y los vol´ umenes, y sus ideas de aproximar áreas y vol´ umenes con racionales de manera sucesiva se acercan a la concepción moderna de los n´ umeros reales. Este comienzo de la historia de los n´ umeros reales puede consultarse en [BePi63]. Durante muchos siglos los matemáticos utilizaron los n´ umeros reales sin que existiera una definición exacta de ellos. Afortunadamente, la idea intuitiva que se ten´ıa del sistema de n´ umeros reales era lo suficientemente acertada como para que rara vez se llegara a conclusiones falsas. Con base en esta concepci´ on informal se creó, por ejemplo, el cálculo de Newton y Leibniz. No fue sino hasta finales del siglo XIX con el trabajo de Cantor y particularmente el de Dedekind que la pregunta “¿qué es un n´ umero real?” fue resuelta.

El hecho de que xQ, Q y tenga huecos se puede formalizar con la terminolog´ıa de tipos de orden: en xQ, Q y no todos los subconjuntos superiormente acotados tienen supremo (o, equivalentemente, no todos los subconjuntos inferiormente acotados tienen ´ınfimo). Es decir, la motivaci´ on para completar a xQ, Q y es la misma de que existen segmentos de recta cuya medida no es racional, pero el planteamiento está en términos de las definiciones relacionadas con el comportamiento

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1. Tipos de orden

de los ´ ordenes totales. Para decir cuál es la longitud de un segmento de recta dado AB tomamos el conjunto S de todos los n´ umeros racionales positivos x tales que x es menor o igual que la distancia de A a B (medida en términos de un segmento unitario fijo), entonces si d es el Q -máximo de S, d es la longitud del segmento AB. Sin embargo, no siempre sucede que S tenga Q -máximo; por ejemplo, si AB es la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden lo mismo que el segmento unitario, podemos ver que el conjunto S tq P Q : 0 Q q y q Q q ¤Q 2u y que S no tiene Q -máximo. Precisamente el conjunto S es un subconjunto superiormente acotado de Q que no tiene supremo. Por lo tanto, la motivación para la construcción de la estructura xR, R y es que sea una extensión de xQ, Q y en la que todo subconjunto superiormente acotado tenga supremo (esta afirmación a veces es llamada el axioma del supremo). Primero analicemos qué sucede si cortamos un orden total xA, ry cualquiera. La idea intuitiva de lo que hacemos cuando cortamos un orden total es simplemente la de cortarlo con unas tijeras cuyas navajas sean infinitamente delgadas. La definición formal es la siguiente. Definici´ on 1.24 Una cortadura de un orden total xA, ry es un par ordenado pB, C q, donde B y C son subconjuntos ajenos no vac´ıos de A tales que A B Y C y si b P B y c P C entonces b r c. Entonces dada una cortadura pB, C q de un orden total xA, ry se puede dar alguna de las siguientes cuatro situaciones. 1. B tiene un r-máximo y C tiene un r-m´ınimo, como en la figura 1.7.1; 2. B tiene un r-máximo y C no tiene un r-m´ınimo, como en la figura 1.7.2; 3. B no tiene un r-máximo y C tiene un r-m´ınimo, como en la figura 1.7.3; o 4. B no tiene un r-máximo y C no tiene un r-m´ınimo, como en la figura 1.7.4. El tipo de cortadura enumerada como la 1 se puede denominar como un “salto”. Este tipo de cortadura no existe en xQ, Q y, pues si hubieran B y C tales, como xQ, Q y es denso, habr´ıa un q P Q entre el r-máximo

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de B y el r-m´ınimo de C, y entonces la unión de B y C no podr´ıa ser Q. Sin embargo, todos los demás tipos de cortaduras pueden darse en xQ, Q y. Las cortaduras enumeradas como la 2 y la 3 son equivalentes en el sentido de que en ambos casos el subconjunto B tiene supremo; en el caso 2, el supremo ser´ıa el r-máximo de B, y en el caso 3, éste ser´ıa el r-m´ınimo de C. El tipo de cortadura enumerada como la 4 se puede denominar como un “hueco” y estas cortaduras son precisamente las que no quisiéramos que fueran posibles en la extensión xR, R y de xQ, Q y. Es decir, queremos que xR, R y sea una compleción de xQ, Q y que resulte ser un orden total en el que las u ńicas cortaduras posibles sean las de tipo 2 o 3, de forma que todo subconjunto de xR, R y superiormente acotado tenga supremo. B

C

B

C

B

C

1.

2.

3. B

C

4. Figura 1.7: Tipos de cortaduras Construyamos entonces al sistema de los n´ umeros reales basándonos en el trabajo de Dedekind. Definici´ on 1.25 Un conjunto I es un segmento incial de (i) (ii) (iii)

H I Q, r, s P Qppr Q s ^ s P I q ùñ r P I q, y Dr P I q P I pq ¤Q rq.

Q si y sólo si

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1. Tipos de orden Obsérvese que si I es un segmento inicial de Q, entonces el par ordenado

pI, QzI q es una cortadura de xQ, Q y. Más aún, si I es un segmento inicial de Q, entonces pI, QzI q es una cortadura de tipo 3 o 4, pues por el inciso (iii) I no tiene máximo.

Definici´ on 1.26 Una cortadura de Dedekind es una cortadura pI, QzI q donde I es un segmento inicial de Q. La idea genial de Dedekind fue la de tomar a los segmentos iniciales de racionales precisamente como los n´ umeros reales. Definici´ on 1.27 Sea R el conjunto de todos los segmentos iniciales de Q, es decir, R tI : I es un segmento inicial de Qu. R es el conjunto de los n´ umeros reales y a sus elementos los llamamos reales. Por lo tanto, los n´ umeros reales son los segmentos inciales que corresponden a las cortaduras del tipo 3 o 4. Esto es natural, pues, como ya discutimos, las cortaduras de tipo 1 son imposibles en xQ, Q y, y las de tipo 2 son equivalentes a las de tipo 3 y no queremos repetir individuos. De hecho podemos pensar que cuando una cortadura de Dedekind es de tipo 3 el n´ umero real que le corresponde es un racional y cuando es de tipo 4 el n´ umero real que le corresponde es un “individuo nuevo” o un irracional. En otras palabras, dado r P Q, Ir tq P Q : q Q r u es un segmento inicial de Q (como se demuestra en el siguiente lema) y la cortadura de Dedekind pIr , QzIr q es de tipo 3. Sin embargo, existen segmentos iniciales I de Q, como por ejemplo I tq P Q : q ¤Q 0 _ q 2 Q 2u, tales que r P QpI Ir q y una cortadura de Dedekind pI, QzI q correspondiente a esta clase de segmentos es de tipo 4. Cabe mencionar que al cortar el orden total xQ, Q y la probabilidad de que la cortadura resultante sea de tipo 3 es más bien baja, aunque s´ı pueda suceder, esto es intuitivamente (gracias a nuestro conocimiento previo de aritmética cardinal y al hecho de que la cardinalidad de R es no numerable) porque la cardinalidad de Q es numerable y la cardinalidad de sus huecos es mayor. Es claro ahora por qué dijimos en la introducción de esta sección que la construcción del conjunto R es de naturaleza netamente conjuntista, pues los n´ umeros reales son subconjuntos de n´ umeros racionales y los supremos de estos subconjuntos son ellos mismos. Es decir, la manera en que Dedekind

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decidió llenar los huecos fue definiendo al conjunto de todos los racionales a la izquierda de un hueco como el punto que llena ese hueco. Como por definición R P pQq, podemos por lo pronto afirmar que la cardinalidad de R es menor o igual que la cardinalidad de la potencia de Q, es decir que |R| ¤ 2ℵ0 (véase [Am05] para la aritmética cardinal involucrada). Lema 1.3 Para todo r P Q, Ir

Q.

tq P Q : q Q ru es un segmento inicial de

Demostraci´ on. Sea r P Q. Como Q es sin extremo izquierdo, existe q P Q con q Q r, por lo que Ir H. Claramente Ir Q y, como r R Ir , Ir Q. Por lo tanto, H Ir Q. Sea q P Ir y sea t P Q tal que t Q q, entonces t Q q Q r y, por la transitividad de Q , t P Ir . Sea q P Ir . Como xQ, Q y es denso y q Q r, existe p P Q tal que q Q p Q r. Por lo tanto, Ir no tiene Q -máximo. % Veremos que estos segmentos iniciales Ir con r P Q son los correspondientes a los “n´ umeros racionales en R”. As´ı, reaparece el sabor conjuntista de esta construcción, pues los racionales ahora serán subconjuntos de racionales. Como ya discutimos, hay muchos otros segmentos iniciales que no se pueden escribir de esta forma y éstos son los que llenan los huecos, es decir los correspondientes a los n´ umeros irracionales. Ahora definimos el orden en R de forma que extienda el orden en Q e incluya los “huecos”. Definici´ on 1.28 Definimos la relaci´ on binaria R sobre manera: I R J si y s´ olo si I J.

R de la siguiente

Ahora veamos que es correcto hablar del tipo de orden de Lema 1.4

xR, R y.

xR, R y es un orden total.

Demostraci´ on. Claramente R es antirreflexivo y transitivo, pues se definió como la contención propia entre segmentos iniciales. Veamos que R es tricotómica. Sean I, J P R tales que I J e I R J. Queremos demostrar que J R I, es decir que J I. Sea q P J. Como por

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1. Tipos de orden

hipótesis I J, I zJ H, entonces sea r P I zJ. Como q, r P Q y xQ, Q y es un orden total, q Q r o r ¤Q q. Si r ¤Q q, como q P J y J es segmento inicial de Q, r P J, lo que contradice que r P I zJ. Por lo tanto, q Q r. Como I es segmento inicial de Q y r P I, q P I y J I. Pero por hipótesis J I, entonces J I y J R I. Por lo tanto, para todo I, J P R sucede una de las siguientes situaciones: I R J, J R I o I J. Para ver que sólo puede suceder una de estas situaciones, basta recordar que R se definió como la contención propia. % Denotamos con λ al tipo de orden de

xR, R y.

Figura 1.8: Tipo de orden λ Aunque en aparencia el tipo de orden λ se vea igual que el tipo de orden η (figura 1.5), sabemos que son muy distintos, pues demostraremos que λ, a diferencia de η, no tiene “huecos”. Demostremos ahora que la estructura R realmente es una extensión de Q. Lema 1.5 El tipo de orden η es menor o igual que el tipo de orden λ, es decir xQ, Q y Æ xR, R y. Demostraci´ on. Sea ER : Q Ñ R definida como sigue

ER prq Ir tq P Q : q Q ru. Veamos que r, r 1 P Qpr Q r 1 Ñ ER pr q R ER pr 1 qq. Sean r, r 1 P Q tales que r Q r 1 . Entonces para todo q P Ir , q P Ir1 , pues si q Q r, como r Q r 1 , q Q r 1 . Además, como ya vimos antes, Ir Ir1 . Por lo tanto, Ir Ir1 y ER pr q R ER pr 1 q. Como ER es una funci´ on entre órdenes totales y además se cumple que r, r1 P Qpr Q r1 Ñ ER prq R ER pr1qq, por el ejercicio 1.2.3, ER es inyectiva y, además, r, r1 P Qpr Q r1 Ø ER prq R ER pr1 qq. % As´ı que, xQ, Q y Æ xR, R y y η ¤ λ.

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35

Por consiguiente podemos ver a los n´ umeros racionales en R como los n´ umeros reales Ir con r P Q. Para ver que xR, R y es realmente la compleción de xQ, Q y necesitamos las siguientes definiciones. Definici´ on 1.29 Sea xA, ry un orden total. Decimos que D A es denso en A si y s´ olo si para cualesquiera a, b P A con a r b, existe d P D tal que a r d r b. Definici´ on 1.30 Sea xA, ry un orden total. Decimos que xA, ry es separable si y s´ olo si existe un subconjunto numerable D de A que es denso en A. Definici´ on 1.31 Sea xA, ry un orden total. Decimos que xA, ry es completo si y s´ olo si todo subconjunto no vac´ıo superiormente acotado de A tiene supremo. Primero demostraremos que xR, R y es denso, sin extremos, completo y separable (donde el subconjunto numerable de R denso en R será precisamente Q tIr : r P Qu, que es el correspondiente a los racionales) y después demostraremos que es el u ńico salvo isomorfismo orden total con esas propiedades. Teorema 1.6 separable.

xR, R y es un orden

total denso, sin extremos, completo y

Demostraci´ on. Por el lema 1.4 sabemos que xR, R y es un orden total. Demostremos que xR, R y es sin extremos. Sea I P R. Como I es un segmento inicial de Q, QzI H, entonces sea q P QzI. Como xQ, Q y es sin extremo derecho, sea q 1 P Q con q Q q 1 . Por el lema 1.3, sabemos que Iq1 es un segmento inicial de Q por lo que Iq1 P R. Demostremos que I R Iq1 , es decir que I Iq1 . Sea x P I. Como xQ, Q y es orden total, x Q q o q ¤Q x. Si q ¤Q x, como I es segmento inicial y x P I, q P I, lo que contradice que q P QzI. Entonces x Q q. Como q Q q 1 , x Q q 1 y x P Iq1 . Por lo tanto, I Iq1 . Además, q P Iq1 y q R I, por lo que I Iq1 y xR, R y no tiene extremo derecho. Ahora, sea p P I, entonces p P Q y, por el lema 1.3, Ip es un segmento inicial de Q. Demostremos que Ip R I, es decir que Ip I. Sea x P Ip ,

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36

1. Tipos de orden

entonces x Q p. Como I es segmento inicial de Q y p P I, x P I. Por lo as, p P I y p R Ip (pues p Q p), por lo que Ip I y tanto, Ip I. Adem´ xR, R y no tiene extremo izquierdo. Demostremos que xR, R y es completo, es decir, que todo subconjunto no vac´ıo superiormente acotado tiene supremo. Demostraremos Sea B R tal que B H y está superiormente acotado. que B es el supremo de B. Primero veamos que B P R. Como B H, sea I P B. Entonces I es un segmento inicial de Q, pues B R, e I H. Sea y P I, entonces y P B y B H. Sea y P B. Entonces y P I para alguna I P B. Como I es segmento inicial de Q, I Q. Por lo tanto, y P Q y B Q. Para demostrar que B Q, sea I P R una cota superior de B. Entonces J P B pJ ¤R I q, es decir, J P B pJ I q. Por lo tanto, B I. Como I es un segmento inicial de Q, I Q, por lo que B Q. Ahora, sean p, q P Q tales que p Q q y q P B. Entonces q P J para alguna J PB. Como B R, J es un segmento inicial de Q y p P J. Por lo tanto, p P B. Sea y P B, luego existe I tal quey P I P B. Como I es segmento inicial existe x P I tal que y Q x y x P B. Por lo tanto, B es un segmento inicial de Q y B P R. Claramente B es el supremo de B, pues dado I P B, I B y B; y dada K una cota superior de B, si y P B, y P J entonces I ¤R P B y, como K es cota superior de B, J K, por lo que para alguna J y P K y B K. Para demostrar que xR, R y es separable, sea Q tIr : r P Qu R. Por el lema 1.5, sabemos que |Q| |Q| ℵ0 , pues ER es inyectiva y suprayectiva sobre su imagen Q. Ahora veamos que Q es denso en R. Sean I, J P R tales que I R J, es decir, I J. Entonces sea r P Q tal que r P J zI. Como J es segmento inicial de Q, no tiene Q -máximo, sea t P J con r Q t. Veamos que I R It R J. Sea p P I. Si r ¤Q p, como I es segmento inicial de Q y p P I, r P I, lo que contradice que r P J zI. Por lo tanto, p Q r y, como r Q t, p P It . Como r Q t, r P It , pero r R I, por lo que I It e I R It . Ahora, sea p P It , entonces p Q t. Como J es segmento inicial de Q y t P J, p P J. Adem´ as, t R It , pues t Q t, y t P J, por lo que It J e It R J.

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37

Por lo tanto, Q es denso en R y xR, R y es separable. El hecho de que xR, R y sea separable implica que es denso. Por lo tanto, xR, R y es un orden total denso, sin extremos, completo y separable. % El siguiente teorema nos da la caracterización de orden.

xR, R y como tipo de

Teorema 1.7 Cualesquiera dos o ´rdenes totales densos, sin extremos, completos y separables son isomorfos. Demostraci´ on. Sean xA, A y y xB, B y dos órdenes totales densos, sin extremos, completos y separables. Entonces sean DA A y DB B tales que DA es denso en A, DB es denso en B y |DA | ℵ0 |DB |. Es claro que xDA , A æD y y xDB , B æD y son órdenes totales densos, A B sin extremos y numerables, por lo tanto son isomorfos por el teorema 1.4. Sea h : DA Ñ DB un isomorfismo, entonces h es biyectiva y se cumple que x, y P DA px A y Ø hpxq B hpyqq. Definimos la funci´ on f : A Ñ B de la siguiente manera: f paq sup thpxq : x P DA

^ x ¤ au, A

donde sup denota al supremo de un conjunto. Queremos mostrar que f es el isomorfismo deseado. Primero veamos que f está bien definida. Sea a P A. Como DA no tiene extremo izquierdo, thpxq : x P DA ^ x ¤A au H. Adem´ as como A no tiene extremo derecho, sea a1 P A tal que a A a1 . La densidad de DA en A implica que hay t P DA tal que a A t A a1 . Entonces para todo x P DA con x ¤A a, se tiene que x A t. As´ı que para todo x P DA con x ¤A a, se tiene que hpxq B hptq, pues x, t P DA y h es isomorfismo. Por lo tanto, thpxq : x P DA ^ x ¤A au está acotado superiormente por hptq y, como B es completo, dicho conjunto tiene supremo y as´ı f está bien definida. Para demostrar que f es un isomorfismo, primero demostremos que h f æD , es decir que x P DA pf pxq hpxqq. Sea x P DA . Tenemos que A mostrar que hpxq supthpy q : y P DA ^ y ¤A xu def f pxq. Como h es isomorfismo, entonces y P DA py ¤A x Ñ hpy q ¤B hpxqq, por lo que hpxq es cota superior de thpy q : y P DA ^ y ¤A xu. Ahora, sea t una

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38

1. Tipos de orden

cota superior de este mismo conjunto. Si y P DA y y ¤A x, tenemos que hpy q ¤B t. En particular, si y x, entonces hpxq ¤B t, por lo que se tiene que hpxq supthpy q : y P DA ^ y ¤A xu y hpxq f pxq. En segundo lugar veamos que a1 , a2 P Apa1 A a2 Ñ f pa1 q B f pa2 qq. Sean a1 , a2 P A tales que a1 A a2 . Como DA es denso en A, sean y1 , y2 P DA tales que a1 A y1 A y2 A a2 . Como h es isomorfismo y a1 A y1 , entonces para cualquier y P DA con y ¤A a1 , se tiene que hpy q B hpy1 q, por lo que hpy1 q es cota superior del conjunto thpy q : y P DA ^ y ¤A a1 u. Entonces se tiene que f pa1 q supthpy q : y P DA ^ y ¤A a1 u ¤B hpy1 q f py1 q. Por otra parte como h es isomorfismo y y1 A y2 , entonces f py1 q hpy1 q B hpy2 q f py2 q. Además, como hpy2 q P thpy q : y P DA ^ y ¤A a2 u, entonces f py2 q hpy2 q ¤B supthpy q : y P DA ^ y ¤A a2 u f pa2 q. Por lo tanto, f pa1 q ¤B f py1 q B f py2 q ¤B f pa2 q y hemos probado que a1, a2 P Apa1 A a2 Ñ f pa1q B f pa2qq. Más aún, por el ejercicio 1.2.3 (ver al final de esta sección) tenemos que f es inyectiva y que a1, a2 P Apa1 A a2 Ø f pa1q B f pa2qq. De manera que para mostrar que f es un isomorfismo, sólo falta ver que f es suprayectiva. Sea b P B. Si b P DB , entonces, como h es sobre, existe a P DA tal que hpaq b y, como h f æDA , entonces f paq hpaq b. Si b R DB , entonces sea Ab ty P DA : hpy q B bu. Queremos demostrar que b f psup Ab q. Primero veamos que Ab ∅. Como B no tiene extremo izquierdo, sea b0 P B tal que b0 B b, por la densidad de DB en B hay x1 P DB tal que b0 B x1 B b y como h es sobre DB entonces x1 hpy1 q para alg´ un y1 P DA , de donde hpy1 q x1 B b y por lo tanto y1 P Ab . Es decir, Ab ∅. Veamos ahora que Ab está acotado superiormente. Como B no tiene extremo derecho, sea b1 P B tal que b B b1 . Por la densidad de DB en B, sea x0 P DB tal que b B x0 B b1 . Ya que h es sobre, hay y0 P DA con hpy0 q x0 y b B hpy0 q. Ahora, dado y P Ab , se tiene que hpy q B b B hpy0 q. Por lo que si y P Ab , entonces y A y0 , pues h es isomorfismo. Por lo tanto, y0 es cota superior de Ab y as´ı sup Ab existe. Antes de mostrar que b f psup Ab q, mostremos la siguiente propiedad general: z P DApz A sup Ab Ñ z P Abq (1.1) En efecto, si z P DA y z A sup Ab , como el supremo de Ab es la m´ınima cota superior de Ab , entonces existe z0 P Ab tal que z A z0 .

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39

Puesto que h es isomorfismo se tiene que hpz q B hpz0 q y dado que z0 P Ab , entonces hpz0 q B b, de donde hpz q B hpz0 q B b y por lo tanto hpz q B b, es decir, z P Ab . Por lo que se cumple la propiedad (1.1). Continuando con nuestro objetivo, para ver que b f psup Ab q como f psup Ab q def supthpy q : y P DA ^ y ¤A sup Ab u veamos primero que b es cota superior del conjunto thpy q : y P DA ^ y ¤A sup Ab u con lo cual tendremos que b ¥ f psup Ab q. Sea y P DA con y ¤ sup Ab . Tenemos dos casos: Si y sup Ab , entonces hpy q hpsup Ab q. Queremos mostrar que hpy q ¤ b. Supongamos lo contrario, es decir b B hpsup Ab q para llegar a una contradicción. Como DB es denso en B, sea t0 P DB tal que b B t0 B hpsup Ab q. Dado que h es sobre, sea u0 P DA tal que hpu0 q t0 . Entonces b B hpu0 q B hpsup Ab q hpy q y, como h es isomorfismo, u0 A sup Ab y y por la propiedad (1.1), u0 P Ab . Entonces hpu0 q B b, es decir, t0 B b, contradiciendo que b B t0 . Por lo tanto, hpsup Ab q ¤B b.

P Ab y hpyq b. Por lo tanto, b es cota superior del conjunto thpy q : y P D ^ y ¤ sup Ab u y as´ı b ¥ sup Ab . Si y

A

sup Ab , entonces por la propiedad (1.1), y

B

A

A

Finalmente veamos que b es la m´ınima cota superior. Sea c una cota superior de thpy q : y P DA ^ y ¤A sup Ab u y supongamos para llegar a una contradicción que c B b. Como DB es denso en B, existe x P DB tal que c B x B b y puesto que h es sobre, hay y P DA con hpy q x, de donde c B hpy q B b y entonces y P Ab , por lo que y ¤A sup Ab ; pero como c es cota superior de thpy q : y P DA ^ y ¤A sup Ab u, entonces hpy q ¤B c, es decir, x ¤B c, contradiciendo que c B x. Por lo tanto, b ¤ c y as´ı b es el supremo de thpy q : y P DA ^ y ¤A sup Ab u, es decir, b f psup Ab q, lo cual concluye la prueba de que f es suprayectiva. Luego entonces f es isomorfismo y por lo tanto xA, A y f xB, B y. % Como en el teorema 1.6 demostramos que xR, R y es un orden total denso, sin extremos, completo y separable, entonces, salvo isomorfismo, xR, R y es el u ńico con estas propiedades. Ahora definimos las operaciones en R.

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40

1. Tipos de orden

P R. Definimos lo siguiente: x R y tp Q q : p P x ^ q P y u; 0R tq P Q : q Q 0Q u y 1R tq P Q : q Q 1Q u; x tp P Q : Ds ¡Q pps R xqu; x R y x R py q; |x| x Y pxq;

Definici´ on 1.32 Sean x, y (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) x R y

(vii) (viii)

$ 0R B ' ' ' ' & x R y

Y | | | |

si x ¥R si x R

' ' ' %

p|x| R |y|q

si x R 0R y y ¡R 0R o x ¡R 0R y y R 0R

'

0R y y 0R y y

¥R 0R R 0R

tp Q q : 0Q ¤Q p P x ^ 0Q ¤Q q P yu tp P Q : Dsp1{s ¡Q p ^ s R xu si x ¡R 0R , x1 p|x|1q si x 0 ; ?x 0 Y tq P Q : q2 q q P xu si x ¥ R0 R. R Q R R donde B "

Se pueden demostrar entonces las reglas aritméticas usuales: R y R son cerradas, conmutativas y asociativas; R distribuye a R ; 0R es el neutro con respecto a R , 1R es el neutro con respecto a R ; dado x P R, x P R y es su inverso aditivo; dado x P R con x 0R , x1 P R y es su inverso multiplicativo; dado x P R, |x| ¥R 0R ; R es compatible con R , etc. También se puede demostrar que la función ER : Q Ñ R definida en la demostración del lema 1.5 preserva las operaciones, es decir, que p P Qq P QpER ppq R ER pqq ER pp Q qqq, que

p P Qq P QpER ppq R ER pqq ER pp Q qqq, que ER p0Q q 0R y que ER p1Q q 1R .

En [Am05] aparece la siguiente demostración debida a Cantor de que R es no numerable. Esta demostración particular utiliza la caracterización ńicamente utiliza que R es un orden de R como tipo de orden (de hecho u total denso, sin extremo derecho y completo). La damos aqu´ı no sólo porque está muy acorde con esta sección, sino además porque refleja la razón por la cual R no es numerable.

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´ n y caracterizacio ´ n de las estructuras 1.2. Construccio num´ ericas Teorema 1.8 El conjunto

41

R es no numerable.

Demostraci´ on. Supongamos para llegar a una contradicción que R es umero real numerable. Entonces R tcn : n P ω u. Encontraremos un n´ a R tcn : n P ω u. Definimos dos sucesiones tan : n P ω u y tbn : n P ω u por recursión. (Véase la figura 1.9): (i)

c0 y b0 ck , donde k es el m´ınimo natural tal que a0 R ck (pues R

a0

es sin extremo derecho), (ii)

an 1 ck , donde k es el m´ınimo natural tal que an (pues R es denso) y bn 1 ck , donde k es el m´ınimo natural tal que an (pues R es denso). a0 a1

a2

a3

b3 b2 b1 b0

1

R ck R bn R ck R bn R

Figura 1.9: Construcci´ on de las sucesiones tan : n P ω u y tbn : n P ω u Como R es completo y tan : n P ω u está acotado superiormente por bn (para cualquier n P ω), sea a suptan : n P ω u P R. Demostraremos que a R tcn : n P ω u. Primero veamos que n P ω pan R a R bn q. Si hubiera un j P ω tal que a ¤R aj , como a suptan : n P ω u, a aj . Por construcción, aj R aj 1 . Entonces a aj R aj 1 , contradiciendo que a es cota superior del conjunto tan : n P ω u. Si hubiera un j P ω tal que bj ¤R a, como bj es cota superior del conjunto tan : n P ωu, bj a. Por construcción bj 1 R bj y bj 1 es cota superior del conjunto tan : n P ω u, contradiciendo que a es la m´ınima cota superior. Luego entonces, n P ω pan R a R bn q. Sea ci P tcn : n P ω u. Entonces puede ser que Dn P ω pci ¤R an _ bn ¤R ci q, o que n P ω pan R ci R bn q. Si Dn P ω pci ¤R an _ bn ¤R ci q, entonces a ci , dado que se cumple que n P ωpan R a R bnq.

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42

1. Tipos de orden

Si n P ω pan R ci R bn q, en particular para m P ω, am R ci R bm . u n j ¥N m y Entonces ci debe ser seleccionado como aj 1 o bj 1 para alg´ j ¤N m i. Es decir, ci debe ser seleccionado como elemento de alguna de las dos sucesiones a lo más depués de i pasos de la recursión, pues se elige siempre el de m´ınimo ´ındice. Esto contradice que n P ω pan R ci R bn q, por lo que este caso no es posible. As´ı se tiene que a ci para cualquier i P ω, lo que contradice que R tcn : n P ωu. % Por consiguiente, R es no numerable. De lo anterior se sigue que ℵ0 |R|. Ya hab´ıamos mencionado anteriormente que, como R P pQq, |R| ¤ 2ℵ0 , entonces hasta ahora tenemos que ℵ0 |R| ¤ 2ℵ0 . Para ver que |R| ¥ 2ℵ0 razonamos de la siguiente manera. Tomamos el conjunto de las sucesiones de ceros y unos (que son elementos de N 2) restando aquellas sucesiones que a partir de cierto momento sean sólo ceros. Este conjunto tiene la misma cardinalidad 2ℵ0 puesto que sólo eliminamos una cantidad numerable de sucesiones. Definimos una función f : N 2 Ñ p0, 1q de forma que f pa0 a1 a2 . . .q 0.a0 a1 a2 . . ., que es un real del intervalo p0, 1q en notación binaria. Entonces |N 2| ¤ |p0, 1q| |R|. Hemos visto que existen funciones inyectivas EZ : N Ñ Z, EQ : Z Ñ Q, y ER : Q Ñ R, de tal forma que podemos ver a los naturales como un subconjunto de R. El siguiente teorema demuestra que el conjunto de los n´ umeros naturales no está acotado superiormente en R. Teorema 1.9

R es arquimediano, es decir, r P R Dn P N pr R nq.

Demostraci´ on. Supongamos para llegar a una contradicción que N R está acotado superiormente en R. Como R es completo, sea b sup N. Entonces b R 1R no es cota superior de N (se deja como ejercicio ver que b R 1R R b). Por lo tanto, existe n0 P N tal que b R 1R R n0 . Como R es compatible con R (ejercicio 1.2.24, inciso (viii)) y 1R R 1R 0R (ejercicio 1.2.24, inciso (v)), b R n0 R 1R . Pero si n0 P N, se puede ver que n0 R 1R P N y esto contradice el hecho de que b sup N. % Por lo tanto, N no está acotado superiormente en R. As´ı, los naturales son “cofinales” en R, es decir, dado cualquier n´ umero real, existe un natural más grande que el real dado.

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43

Ejercicios 1.2.1.- Demuestre que todo buen orden es un orden total. 1.2.2.- Demuestre que si A es finito y xA, ry es un orden total, entonces xA, ry es un buen orden. 1.2.3.- Sea xA, ry tal que r es tricotómica en A, sea xB, sy un orden parcial y sea f : A Ñ B tal que x, y P Apx r y Ñ f pxq s f py qq. Demuestre que (a) f es inyectiva, y que

x, y P Apx r y Ø f pxq s f pyqq. Demuestre que n P N pxn, Py xN, Pyq, es decir, que el tipo de (b)

1.2.4.-

orden de cualquier natural es distinto de ω. Concluya, usando el ejercicio 1.1.7, que n P N n ω como tipos de orden. 1.2.5.- Demuestre que ω

ω.

1.2.6.- Sea xA, ry un orden total. Pruebe que xA, ry es un buen orden si y sólo si no existe una sucesión tan | n P ω u tal que n P ω pan 1 r an q. Comentario: Se necesita el axioma de elección4 para probar una de las implicaciones, ¿cuál de ellas? También se necesita el teorema de recursión (teorema 1.1) para escribir con todo rigor una de las implicaciones. 1.2.7.- Demuestre que la relación de equivalencia.

definida sobre N N para definir Z es

xZ, Z y es un orden total sin extremos. Demuestre que para todo pn, mq P Z tal que pn, mq ¥Z existe un u ńico k P N tal que pk, 0q P pn, mq. Demuestre que para todo pn, mq P Z tal que pn, mq ¤Z existe un u ńico k P N tal que p0, kq P pn, mq.

1.2.8.- Demuestre que 1.2.9.- (a) (b) 4

0Z , 0Z ,

Véase el apéndice B.

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44

1. Tipos de orden

1.2.10.- Sea A un conjunto y r una relación binaria sobre A. Definimos r1 una relación binaria sobre A de la siguiente manera: x r1 y si y sólo si y r x. Demuestre que si xA, ry es un orden total entonces xA, r1y es un orden total. 1.2.11.- Demuestre que la función g definida en la demostración del teorema 1.3 está bien definida y es un isomorfismo.

es una relación de equivalencia sobre Q 1. Demuestre que a{b a{ b.

1.2.12.- Demuestre que 1.2.13.-

1.2.14.- Demuestre que las operaciones definidas sobre los racionales están bien definidas. 1.2.15.- Demuestre que la suma y la multiplicación en los racionales son conmutativas y asociativas, y que la multiplicación se distribuye sobre la suma. 1.2.16.- Demuestre que si a{b, c{d P Q y c{d 0Q , la ecuación a{b c{d Q x ńica. tiene una solución x P Q y ésta es u

Q está bien definido. Demuestre que p Z q si y sólo si p{1 Q q {1. Demuestre que EQ : Z Ñ Q donde EQ ppq rp{1Z s es un morfismo inyectivo de xZ, Z , Z , Z , 0Z , 1Z y en xQ, Q , Q , Q , 0Q , 1Q y. Demuestre que xQ, Q y es un orden total.

1.2.17.- Demuestre que el orden 1.2.18.1.2.19.1.2.20.-

1.2.21.- Justifique que para cualquier tipo de orden numerable τ se tiene que τ ¤ η.

1.2.22.- Demuestre que un orden total xA, ry es completo si y sólo si todo subconjunto inferiormente acotado tiene ´ınfimo. 1.2.23.- Sea xP, P y un orden total, denso y sin extremos. Demuestre que existe un orden total denso, sin extremos y completo xC, C y tal que: (i) P

C,

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i i

i

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1.3. Aritm´ etica de tipos de orden

45

p, q P P pp q Ø p qq, (iii) xP, y es denso en xC, y y (iv) xC, y es el u ńico salvo isomorfismo que cumple lo anterior. A veces a xC, y se le llama la compleci´ on de xP, y. (ii)

P

C

P

C

C

C

P

1.2.24.- Demuestre que: (i) la operación

R es cerrada, asociativa y conmutativa;

(ii) la operación R es cerrada, asociativa y conmutativa; (iii) la operación R distribuye a R ; (iv) 0R es el neutro con respecto a a R ; (v) si x P R, entonces de x;

R y 1R es el neutro con respecto

x P R y, además, x es el inverso aditivo

(vi) si x P R es tal que x multiplicativo;

0R , entonces x1 P R y es su inverso

(vii) si x P R, entonces |x| P R y |x| ¥R 0R ; (viii)

x, y, z P Rpx R y Ø x

z

R y

z q;

1.2.25.- Demuestre que la propiedad arquimediana enunciada en el teorema 1.9 es equivalente a que a, b P Rpa, b ¡R 0R Ñ Dn P Npb R n R aqq.

1.3.

Aritm´ etica de tipos de orden

Es interesante explorar lo que pasa cuando unimos dos órdenes totales para formar un nuevo orden total, de forma tal que uno quede a la izquierda del otro. También es interesante hacer el producto cartesiano de dos órdenes totales para formar un nuevo orden total. Estos nuevos órdenes los definimos de la siguiente manera. Definici´ on 1.33 Sean τ y µ tipos de orden representados por xA, A y y xB, B y respectivamente.

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i i

i

i

i


i

46

1. Tipos de orden

Si A X B H, definimos τ orden de pA Y B, AYB q, donde x AYB y

si y s´ olo si

µ (la suma de τ más µ) como el tipo de $ & x

A y y x, y P A, ó x B y y x, y P B, ó % xPA y y P B.

Definimos τ µ (el producto de τ por µ; o τ , µ veces) como el tipo de orden de pA B, AB q, donde

pa1, b1 q

A B

pa2 , b2 q

"

si y s´ olo si

b1 b1

b2, ó b2 y B

a1

A

a2 .

A este orden se le llama orden antilexicográfico. Obsérvese que al definir A B no se necesita pedir que A y B sean ajenos. De hecho, un caso particular es τ τ denotado como τ 2 . Por otro lado, cuando escribamos τ τ estaremos asumiendo que es el tipo de orden de la unión de dos órdenes totales ajenos con el mismo tipo de orden. Esto se puede lograr tomando un orden total xA, A y con tipo de orden τ y uniendo xA, A y con xA tHu, AtHu y, donde se cumple que xa, Hy AtHu xb, Hy si y sólo si a A b. Es interesante decir aqu´ı que si τ y µ son tipos de orden finitos, τ µ µ τ y τ µ µ τ , pero que si τ o µ son infinitos, la suma τ µ y el producto τ µ pueden ser diferentes a la suma µ τ y al producto µ τ respectivamente (véanse los ejercicios 1.3.4, 1.3.5 y 1.3.6 de esta sección). Las figuras 1.10, 1.11, 1.12 son ejemplos visuales de la suma y la multiplicación de tipos de orden.

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i i

i

i

i


i


p p p p

p q

Tipo de orden ω

p0, 1q 1

p0, 1q p1, 1q p2, 1q p3, 1q

p0, 0q p1, 0q p2, 0q p3, 0q

Tipo de orden ω

p q

47

q q q q p0, 0q p1, 0q p2, 0q p3, 0q

ω

p2, 1q p1, 1q p0, 1q p0, 0q p1, 0q p2, 0q p3, 0q p4, 0q Tipo de orden ω

ω

Figura 1.10: Ejemplos de suma de tipos de orden

Ejercicios 1.3.1.- Sean xA, A y y xB, B y órdenes totales tales que A Demuestre que xA Y B, AYB y es un orden total.

X B H.

1.3.2.- Si xA, A y y xB, B y son órdenes totales, demuestre que también xA B, AB y es un orden total. 1.3.3.- Sean τ , µ y σ tipos de orden. Demuestre que (i) pτ

1.3.4.-

µq

τ pµ σq, (ii) pτ µq σ τ pµ σ q, (iii) τ pµ σ q pτ µq pτ σ q, (iv) τ τ τ 2. Sean xA, y y xB, y órdenes totales finitos. Entonces sus tipos de orden son n y m para algunos n, m P N. Demuestre que n m m n y que n m m n, donde es la suma de tipos de orden y es la multiplicación de tipos de orden. A

σ

B

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i

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i


i

48

1. Tipos de orden

p p p p p p p p pp pp pp pp p pp pp p

q q q q q q q q

q q q q q q q q 0 q q q q q q p0, 0q p1, 0q p2, 0q p3, 0q

1

p0, 1q p1, 1q p2, 1q p3, 1q

Tipo de orden ω 2 η

q5 q6

p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q

0

q1

q3

0

1

1

q0

q4

q2

1

0

0

1

1

pq2 , 0qpq2 , 1q

pq5 , 0q pq5 , 1q pq1 , 0q pq1 , 1q pq0 , 0qpq0 , 1q pq4 , 0qpq4 , 1q 0

0

0

1

pq6 , 0qpq6 , 1q pq3 , 0qpq3 , 1q

1

Tipo de orden 2 η η

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Tipo de orden ω η Figura 1.11: Ejemplos de multiplicación de tipos de orden

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i i

i

i

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ω

p2, 1q

49

ω

p1, 1q

p0, 1q

p0, 0q

p1, 0q

p2, 0q

ω

ω

ω

ω

ω

p q

ω

Tipo de orden ω pω ω

p2, 1q

p1, 1q

ωq

ω

p0, 0q

p0, 1q

p2, 0q

p1, 0q

p q

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Tipo de orden pω

ω

ω

ω

ω q pω

ω

ω

ω

ωq

Figura 1.12: Ejemplos de suma y multiplicación de tipos de orden

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i i

i

i

i


i

50

1. Tipos de orden

1.3.5.- Demuestre que el tipo de orden ω 1 no es igual al tipo de orden 1 ω, es decir, que en general la suma de tipos de orden no es conmutativa. 1.3.6.- Demuestre que el tipo de orden ω 2 no es igual al tipo de orden 2 ω, es decir, que en general el producto de tipos de orden no es comutativo. 1.3.7.- Demuestre que

ω ω, ω ω ω, ω ω ω ω ω ω 1 ω ω ω 1, ω 1 ω 1 ω, ω ω ω ω

(i) ω (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

ω,

xNztHu, Qy es igual a ω. Demuestre que el tipo de orden de xNztHu t0u, Q1 y es ω , donde pn, 0q Q1 pm, 0q si y sólo si m P n. También demuestre que el tipo de orden de xN t1u, P1 y es ω, donde pn, 1q P1 pm, 1q si y sólo si n P m. Demuestre que el tipo de orden de xZ, Z y es igual al tipo de

1.3.8.- (a) Demuestre que el tipo de orden de (b)

(c)

orden ω ω. Es por esto que decidimos denotar al tipo de orden de los enteros como ω ω. Sugerencia: Utilice al orden total xNztHu t0u, Q1 y como representante del tipo de orden ω y a xN t1u, P1 y como representante del tipo de orden ω.

1.3.9.- Demuestre que los siguientes tipos de orden son todos diferentes: (a) ω

(b) pω (c) pω

ω, ωq

pω

ω q pω

ω q,

ω q.

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51

1.3.10.- Encuentre un contraejemplo para justificar que no siempre

pµ

σq τ

pµ τ q pσ τ q.

Observe que esto no contradice el inciso (iii) del ejercicio 1.3.3. 1.3.11.- Recuerde que denotamos con η al tipo de orden de muestre que

η η η η 2 2 η; (ii) p1 η q η pη 1q η p1 η 1q η η 1 η η. (i) Demuestre que η η 1. (ii) Sea f : Q Ñ p1, 1s X Q definida como f pxq |x|x 1 , donde p1, 1s X Q tq P Q : 1Q Q q ^ q ¤Q 1Q u y " |x| xx sisi xx ¥ Q 00Q ,. Q Q Pruebe que xQ, Q y Æ f xp1, 1s X Q, Q æp1,1sXQ y. Obsérvese que el tipo de orden de xp1, 1s X Q, Q æp1,1sXQ y es η 1, por lo que η ¤ η 1. Por otro lado, claramente se cumple que xp1, 1s X Q, Q æp1,1sXQ y xQ, Q y y entonces η 1 ¤ η, pero por el primer inciso de este ejercicio η η 1. Por lo tanto, la relación ¤ entre tipos de orden no es antisimétrica, es decir, si τ y µ son tipos de orden con τ ¤ µ y µ ¤ τ , esto no necesariamente implica que τ µ. Describa c´ omo es el tipo de orden ω η pω ω q. Recuerde que denotamos con λ al tipo de orden de xR, R y. De(i) η

1.3.12.-

1.3.13.1.3.14.-

xQ, Q y. De-

η

muestre que (i) λ

λ λ,

(ii) λ λ λ.

(iii) λ ¤ λ

λyλ

λ ¤ λ.

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52

1. Tipos de orden

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i i

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i

2 Números ordinales 2.1.

Introducci´ on

Los n´ umeros naturales se definen para formalizar el proceso de contar los elementos de conjuntos finitos. Este proceso de contar involucra ordenar a los elementos. Los n´ umeros ordinales, como su nombre lo indica, generalizan esta formalizaci´ on de ordenar a cualquier conjunto finito o infinito, usando el axioma de elecci´ on (discutido en el apéndice B), para contar sus elementos. En la introducción de la sección 1.2.1 mencionamos la definición de n´ umero natural y discutimos brevemente su motivación. Los n´ umeros naturales se definen de manera que representen a todas las distintas cantidades finitas. Al decir que n es un natural se busca que n represente a todos los conjuntos finitos con n elementos. Entonces debe elegirse un conjunto que tenga 0 elementos, uno que tenga 1 elemento, uno que tenga 2 elementos, etc. Esta elecci´ on se hace usando la idea de John von Neumann de que todo natural es el conjunto de los naturales anteriores a él. Entonces el primer natural, por ser el primero y por ser el conjunto de los anteriores, es necesariamente el vac´ıo (esto no deber´ıa sorprendernos pues existe sólo un conjunto con ning´ un elemento, por lo que éste es el u ńico candidato para ser 53 i

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54

´meros ordinales 2. Nu

el natural 0). El siguiente natural, como es el conjunto de los naturales anteriores, es el unitario del vac´ıo; el siguiente es el conjunto que tiene al vac´ıo y al unitario del vac´ıo, etc. Este proceso de construcción de los naturales también se puede describir de la siguiente manera: el vac´ıo es el primer natural y dado n un natural, el siguiente natural, usualmente llamado el sucesor de n y denotado spnq, se obtiene agregando a n un elemento más y este elemento es n mismo; es decir, spnq n Ytnu. Constru´ıdos as´ı, los naturales resultan ser transitivos (un conjunto x es transitivo si y py P x Ñ y xq) y bien ordenados por la pertenencia. El desarrollo formal de los n´ umeros naturales puede verse en [Am05]. Lo importante aqu´ı es decir que la definición de que un conjunto sea finito depende por completo del concepto de n´ umero natural. Definici´ on 2.1 Un conjunto A es finito si existe un n´ umero natural n y una biyecci´ on f : n Ñ A. Es decir, un conjunto es finito si es equipotente a alg´ un n´ umero natural (definici´ on 1.23). Si existe un n´ umero natural n y una biyección f : n Ñ A, se dice que A tiene n elementos y éstos fueron contados en el orden natural, es decir, primero el f p0q P A, luego el f p1q P A, etc. Buscamos una generalización de estas ideas para poder contar los elementos de conjuntos en general, incluso cuando tengan un n´ umero infinito de elementos. Como los n´ umeros naturales resultan muy adecuados para contar los conjuntos finitos, los naturales serán ordinales. Pero necesitamos definir a los ordinales de tal forma que los elementos de cualquier conjunto puedan ser contados por ellos (con la ayuda del axioma de elección). De hecho, la idea de John von Neumann mencionada anteriormente es más general: todo ordinal es el conjunto de los ordinales anteriores a él. Entonces el siguiente ordinal depués de todos los naturales es el conjunto de todos ellos: ω, el m´ınimo conjunto inductivo (véase la introducción de la sección 1.2.1). Continuando as´ı, el siguiente ordinal después de ω, su sucesor, es ω Y tω u, denotado como ω 1 (por ahora, ω 1 es sólo una manera de denotar al sucesor de ω, pero una vez definida la suma entre ordinales formalmente veremos que precisamente ω 1 ω Y tω u). El siguiente es entonces ω 1 Y tω 1u, denotado como ω 2, y as´ı sucesivamente. El siguiente ordinal después de todos los de la forma ω n con n P ω es el conjunto de todos los anteriores, es decir, ω Y tω n : n P ω u que normalmente se

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ń 2.1. Introduccio

55

denota como ω ω; obsérvese que éste es un “salto” similar al que hicimos cuando construimos ω. Después, para cada n P ω, construiremos ωn ω ω ... ω loooooooomoooooooon n veces

ω Y tω

n : n P ω u Y tω

ω

n : n P ωu Y . . .

. . . Y tω . . . ω n : n P ω u. looooomooooon

n 1 veces

Si continuamos as´ı, construiremos el ordinal denotado como ωω

ω ω ω ... ω Y tω n : n P ω u Y tω

ω

n : n P ωu Y . . .

Posteriormente, el ordinal ωω

ω ω ω ...,

y as´ı sucesivamente. Debe ser claro que con esta idea cada n´ umero ordinal es un conjunto transitivo de ordinales, pues los elementos de sus elementos son anteriores a sus elementos y por tanto anteriores a él, por lo que serán también elementos suyos. Adem´ as cada ordinal pertenece y al mismo tiempo es subconjunto propio del siguiente. Esto nos sugiere a la relación de pertenencia como el orden lineal entre los ordinales. Veremos que la pertenencia entre ordinales coincide con la contención propia y es además un buen orden para los ordinales. Todas estas ideas intuitivas serán demostradas con todo rigor a partir de la definición que daremos de n´ umero ordinal. La clase (veremos que es propia) de los n´ umeros ordinales comparte varias propiedades con los naturales (aunque no sea conjunto), por ejemplo demostraremos el principio del m´ınimo ordinal, el principio de inducción para ordinales y el teorema de recursión transfinita que son generalizaciones de los resultados correspondientes para naturales. También veremos que dado un conjunto bien ordenado xA, ry existe un u ńico ordinal α y una función f tal que xA, ry f xα, Py (teorema de enumeración). Entonces podremos “contar” los elementos de A por medio del isomorfismo f y es as´ı como los ordinales formalizarán el proceso de contar incluso a conjuntos infinitos. Pero es aqu´ı donde necesitamos el axioma de

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i i

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56

elecci´ on pues para poder afirmar que los elementos de cualquier conjunto pueden ser “contados” por un ordinal, necesitamos que el conjunto sea bien ordenable. El teorema del buen orden que afirma que todo conjunto es bien ordenable es equivalente al axioma de elección (ver [Am05] para esta equivalencia; también en la sección 2.7.4 veremos, como una aplicación del teorema de recursión transfinita, que el axioma de elección implica el teorema del buen orden). Formalicemos ahora todo lo discutido.

2.2.

Definiciones y propiedades

Definici´ on 2.2 Un n´ umero ordinal es un conjunto transitivo bien ordenado por la relaci´ on de pertenencia P. La frase “α es ordinal” significa entonces lo siguiente: ypy P α Ñ y αq ^ xα, Py es un buen orden. Comprobaremos que esta definición formal coincide con la idea de John von Neumann discutida arriba. Además, veremos durante todo este cap´ıtulo que esta definición es la adecuada para que se cumpla nuestro objetivo: “contar” los elementos de conjuntos infinitos por medio de los ordinales. Los ordinales serán denotados con letras griegas min´ usculas α, β, γ, δ, . . . Proposici´ on 2.1 Sean α, β y γ ordinales. Entonces se cumple lo siguiente: (i) α R α;

(ii) si α P β y β (iii)

P γ, entonces α P γ; no es posible que α P β y β P α.

Demostraci´ on. (i) Usando el axioma de buena fundación esta afirmación es obvia. Sin embargo, en el caso en que α es ordinal podemos evitar su uso mediante la siguiente argumentación. Sea α un ordinal. Si α P α, entonces hay un elemento en α, a saber α mismo, que se pertenece a s´ı mismo, contradiciendo el hecho de que P sea antirreflexiva en α, es decir que xα, Py sea un orden parcial. Por lo tanto, α R α.

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2.2. Definiciones y propiedades

57

(ii) Sean α, β y γ ordinales tales que α P β y β P γ. Entonces, como γ es transitivo, se tiene que β γ. Por lo tanto, α P γ. (iii) Supongamos que α y β son ordinales tales que α P β y β P α. Entonces, como xα, Py es orden parcial, P es transitiva en α, por lo que tendr´ıamos que α P α, contradiciendo el inciso piq. Por lo tanto, no es % posible que α P β y β P α. As´ı que la relación de pertenencia en los ordinales es antirreflexiva, transitiva y cumple que dados α y β ordinales α R β o β R α. Estos hechos motivan la siguiente definición. Definici´ on 2.3 Definimos la relaci´ on de orden olo si α P β. gue: α β si y s´

entre ordinales como si-

Como ya discutimos anteriormente, la definición de ordinal debe tener como consecuencia que los naturales sean los ordinales finitos y que ω sea el primer ordinal infinito. Proposici´ on 2.2 Todo n´ umero natural es un n´ umero ordinal. Adem´ as, ω es un n´ umero ordinal. Demostraci´ on. De acuerdo a la definición 1.11 los naturales son conjuntos transitivos bien ordenados por la pertenencia, por lo que todo n´ umero natural es un n´ umero ordinal. Véase, por ejemplo, [Am05] para las demostraciones de que ω es transitivoy que xω, Py es un buen orden, hechos que se desprenden de que ω ty | y es inductivou (definición 1.12). Por lo tanto, ω es un ordinal. % Se puede verificar que pω, Pq no tiene un P-máximo, por lo que ω no es un n´ umero natural. Entonces hemos encontrado un n´ umero ordinal que no es natural, a saber ω. As´ı que todo natural es ordinal, más no a la inversa. Proposici´ on 2.3 Sea α un ordinal. Entonces (i) si x P α, x es un ordinal; (ii) α tβ | β es ordinal y β

αu; y

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i


58 (iii) si x α y x es transitivo, x es un ordinal. Demostraci´ on.

(i) Sea x P α. Por ser α transitivo, x α. Entonces xx, Py es un buen orden, pues xα, Py lo es y los subconjuntos de buenos órdenes son a su vez buenos ´ ordenes. Para ver que x es transitivo, sean z P x y y P z. Como x P α, α es transitivo y z P x, tenemos que z P α. Ahora, como z P α, α es transitivo y y P z, y P α. Por lo tanto, x, y, z P α. Finalmente, dado que xα, Py es un buen orden, P es transitiva en α, por lo que y P x. Por lo tanto, x es transitivo.

(ii) Sea α un ordinal. Por definición β P α si y sólo si β α. Además, por el inciso anterior, todos los elementos de α son ordinales, por lo que α tβ | β es ordinal y β αu.

(iii) Sean α un ordinal y x un subconjunto transitivo de α. Entonces xx, Py es un buen orden pues xα, Py lo es y los subconjuntos de buenos órdenes son a su vez buenos ´ ordenes. Como además x es transitivo, tenemos % que x es ordinal. As´ı, la definición formal de ordinal realmente satisface la idea de John von Neumann pues, por el inciso (ii), un ordinal es el conjunto de todos los ordinales anteriores a él. Proposici´ on 2.4 Sean α y β ordinales, entonces (i) α X β es un ordinal;

(ii) α β si y s´ olo si α P β;

(iii) se cumple que α β o β

α;

(iv) se cumple una y s´ olo una de las siguientes relaciones: α P β, o β P α, o α β. Demostraci´ on. (i) Sean α y β ordinales. Entonces α X β α. Por otro lado, la intersección de conjuntos transitivos es un conjunto transitivo. Por lo tanto, por el inciso (iii) de la proposición 2.3, α X β es un ordinal.

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(ii) Sean α y β ordinales tales que α β. Entonces tenemos que β zα ∅. Como β zα β y xβ, Py es un buen orden, existe x0 P β zα tal que x0 es el P-m´ınimo de β zα. Veamos que x0 α.

Como x0 es el P-m´ınimo de β zα, y P x0 py R β zαq, es decir, dada y P x0 , y R β o y P α. Como β es transitivo y x0 P β, tenemos que y P x0py P αq, por lo que x0 α.

Sea z P α. Entonces z P β y, como P es tricotómica en β y x0 P β, tenemos que x0 z o x0 P z o z P x0 . Ahora bien, x0 z pues z P α as, como α es transitivo y x0 R α, x0 R z. Por lo tanto, y x0 R α. Adem´ z P x0 y α x0 . Entonces α x0 , por lo que α P β. Rec´ıprocamente, sean α y β ordinales tales que α P β. Como β es transitivo, α β. Además, α β, pues α P β y P es antirreflexiva en los ordinales.

(iii) Sean α y β ordinales. Por el inciso (i), sabemos que α X β es un ordinal. Supongamos que α β y que β α, entonces sean x P αzβ y y P β zα. Por lo tanto, α X β α y α X β β. Entonces, por el inciso (ii), α X β P α y α X β P β, por lo que α X β P α X β, lo cual contradice el hecho de que α X β sea un ordinal. Por lo tanto, α β o β α. (iv) Sean α y β ordinales. Por el inciso anterior, tenemos que α β α.

β

o

Si α β, entonces se cumple al menos una de las relaciones.

Si α β, entonces α β o β α. Por el inciso (ii), se tiene que α P β o β P α. Por lo tanto, se cumple al menos una de las tres relaciones. No es posible que se cumplan dos de las relaciones a la vez, pues transitiva y antirreflexiva en la clase de los ordinales.

P es %

Como, por la proposición 2.1, la relación de pertenencia entre ordinales es antirreflexiva y transitiva, y además es tricotómica por el inciso (iv) de la proposición anterior, la clase de los ordinales está totalmente ordenada por la pertenencia. Adem´ as, veamos que está bien ordenada. Es importante aclarar que las clases no necesariamente son conjuntos (cuando no son conjuntos las llamamos clases propias), aunque con cui-

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60

dado podemos manejarlas como conjuntos. Véase el apéndice A para una discusión de esto. Teorema 2.1 (Principio del M´ınimo Ordinal) Toda clase no vac´ıa de ordinales tiene un elemento m´ınimo. Es decir, si C es una clase no vac´ıa de ordinales, entonces se cumple que Dα P C β P C pα P β _ α β q.

Demostraci´ on. Sea C una clase no vac´ıa de ordinales. Veamos que C es el elemento m´ınimo de C. Por el axioma de separación1 sabemos que C es un conjunto , ya que dado α P C (y dicho α existe, pues C es no vac´ıa), podemos observar que C tβ Pα : γ P C pβ P γ qu. Además, como xα, Py es un buen orden y C α, x C, Py es un buen orden. Para ver que C es transitivo, sean tiene que y P γ y queγ es transitivo, por y P C y x P y. Para todo γ P C se lo que γ P C px P γ q, es decir, x P C. De manera que C es un ordinal. p C α o C αq. Dado que α P C p C αq, se tiene que α P C De modo que, por la proposici´ on 2.4 (ii), α P C p C P α o C αq. Si sucediera queα P C p C P αq, se tendr´ıaque C P C, locual es ı, Dα P C p C αq, es decir, C P C. imposible, pues C es unordinal. As´ Adem´ as, como α P C p C P α o C αq, entonces C es el m´ınimo % ordinal de C. Una consecuencia de este teorema es el hecho de que la clase de todos los ordinales está bien ordenada por la pertenencia. Este hecho es una generalización del llamado principio del buen orden para naturales, que se sabe es equivalente al principio de inducción para naturales. Más adelante veremos que el principio del m´ınimo ordinal también es equivalente a una generalización para los ordinales del principio de inducción para naturales. Otra consecuencia es la llamada paradoja de Burali-Forti que se llama “paradoja” por razones históricas, pero en la actualidad sabemos que no es una paradoja. Al matemático Cesare Burali-Forti le pareció una paradoja, pues pensaba que la clase de todos los ordinales deb´ıa ser un conjunto. Denotamos a esta clase como OR, es decir, OR tα | α es un ordinal u. Corolario 2.1 (Paradoja de Burali-Forti) La clase de los ordinales no es un conjunto. 1

Véase el apéndice B

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Demostraci´ on. Como los elementos de un ordinal son ordinales, OR es transitivo. Adem´ as, por el principio del m´ınimo ordinal, P bien ordena a OR. De manera que, si OR fuera conjunto, OR ser´ıa un ordinal. Pero entonces OR P OR, contradiciendo el inciso (i) de la proposición 2.1. Por lo tanto, OR no puede ser conjunto. % Corolario 2.2 Para cualquier α, α es un ordinal si y s´ olo si α es un conjunto transitivo de ordinales. Demostraci´ on. Si α es un ordinal, entonces por definición es un conjunto transitivo. Adem´ as, por el inciso (ii) de la proposición 2.3, α es un conjunto de ordinales. Supongamos que α es un conjunto transitivo de ordinales. Como α es un conjunto de ordinales, por el principio del m´ınimo ordinal, xα, Py es un % buen orden. Como α es transitivo, α es un ordinal. Definici´ on 2.4 Un ordinal α se llama sucesor si y s´ olo si existe un ordinal β tal que α β Y tβ u. Es un ejercicio de esta sección demostrar que si β es un ordinal, entonces un ordinal entre β y su sucesor. β Y tβ u es un ordinal, y que no hay ning´ En adelante usaremos β 1 para denotar β Y tβ u. Por ahora, β 1 es sólo una manera de denotar a este ordinal; posteriormente, cuando definamos la suma ordinal, veremos que efectivamente β 1 β Y tβ u. Definici´ on 2.5 Un ordinal α se llama l´ımite si y s´ olo si α sucesor.

0 y α no es

Claramente, el ordinal 0 no es sucesor, pues ∅ β Y tβ u para cualquier conjunto β. En consecuencia, los ordinales se dividen en tres tipos disjuntos: el cero, los sucesores y los l´ımites. Proposici´ on 2.5 Se cumplen las siguientes propiedades. (i) Para todo ordinal β,

pβ

1q β.

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62

(ii) α es un ordinal l´ımite si y s´ olo si α es un ordinal tal que α α α.

0y

(iii) Todo ordinal l´ımite es inductivo. M´ as a´ un, α es un ordinal l´ımite si y s´ olo si α es un ordinal inductivo. (iv) ω es el m´ınimo ordinal l´ımite. Demostraci´ on.

(i) Para cualquier conjunto x, se cumple que x px Y txuq; pues dado y P x, hay z P x Y txu, a saber z x, tal que y P z, por lo que Ytxuq. Si además x es transitivo, veamos que px Ytxuq x. y P px Sea y P px Y txuq. Entonces hay z P x Y txu tal que y P z. Si z P x, entonces, como x es transitivo, y P x; si z x, entonces también se tiene que y P x.

(ii)

pβ

1q

pβ Y tβ uq β. as, Si α es un ordinal l´ımite, entonces, por definición, α 0. Adem´ claramente α α, pues α es transitivo. Para ver que α α, t´ omese β P α. Como α es un ordinal l´ımite, α β Y tβ u, y como no existe ning´ un ordinal entre β y su sucesor, tenemos que β Y tβ u P α. De aqu´ı que β P β Y tβ u P α y entonces β P α. Inversamente, supongamos que α es un ordinal tal que α α 0. Si hubiera un ordinal β tal que α β 1, entonces α pβ 1q; pero entonces, por el inciso (i), α β y, como β P α, tendr´ıamos que α P α, lo cual es absurdo. De manera que α es un ordinal l´ımite. Por lo tanto, si β es un ordinal,

(iii) Supongamos que α es un ordinal l´ımite. Como la pertenencia es tricot´ omica en OR, α 0 y α R 0, se tiene que 0 P α. Por otro lado, si β P α, como α β Y tβ u y la pertenencia es tricotómica en OR, un ordinal entre β y α P β Y tβ u o β Y tβ u P α. Como no hay ning´ su sucesor, α R β Y tβ u, pues β P α, por lo que β Y tβ u P α y α es inductivo.

Supongamos que α es un ordinal inductivo. Entonces H P α, de donde α 0. Ahora, si hubiera un ordinal β tal que α β Ytβ u, tendr´ıamos que β P α; pero entonces, como α es inductivo, β Ytβ u P α, por lo que

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α P α, lo cual contradice que α sea ordinal. Por lo tanto, α es ordinal l´ımite. (iv) Por el inciso anterior, ω es un ordinal l´ımite. Ahora, sea α un ordinal l´ımite. Por el inciso anterior, α es inductivo. Al ser ω el m´ınimo conjunto inductivo con respecto a la inclusión, tenemos que ω α. Por lo tanto, ω es el m´ınimo ordinal l´ımite. % Observe que, por el inciso (i) de la proposición anterior, si α es un ordinal sucesor, entonces α es el antecesor de α. Por otro lado, por el inciso (ii), una condición necesaria y suficiente para que α sea un ordinal l´ımite es que sea distinto del vac´ıo y que α α.

Ejercicios

2.2.1.- Demuestre que si A es un conjunto de ordinales, entonces A es un ordinal. Sugerencia: Utilice el corolario 2.2 del principio del m´ınimo ordinal. 2.2.2.- Si X es un conjunto no vac´ıo de ordinales, ¿cuál es el m´ınimo ordinal de X que el principio del m´ınimo ordinal asegura que existe? ¿Por qué? 2.2.3.- Sea α un ordinal. Demuestre lo siguiente:

(i) α Y tαu es ordinal; y (ii) no existe ning´ un ordinal β tal que α P β

Pα

1.

2.2.4.- Sea X un conjunto. Demuestre lo siguiente:

X es el supremo (con respecto a ) del conjunto X; (i) (ii) si X es unconjunto de ordinales tal que no tiene un P-máximo, entonces X es un ordinal l´ımite.

2.2.5.- Sea α un ordinal y sea X α. Demuestre que si para cada γ existe δ P X tal que γ P δ, entonces α X.

Pα

2.2.6.- Demuestre que todo n´ umero ordinal finito es un n´ umero natural.

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i


64

2.2.7.- Usando u ńicamente la definición ω tx | x es inductivou (véase la definición 1.12), demuestre que ω es un ordinal. Sugerencia: Utilice el corolario 2.2 del principio del m´ınimo ordinal. 2.2.8.- ¿Es cierto que todo conjunto inductivo de ordinales es un ordinal? Justifique su respuesta, dando prueba o contraejemplo. 2.2.9.- Sea α un ordinal. ¿Para qué casos (cero, sucesor o l´ımite) es cierto que α es inductivo? Justifique su respuesta.

2.3.

La inducci´ on transfinita

A continuación presentamos el principio de inducción ordinal, también conocido como principio de inducci´ on transfinita. Este principio es una generalización del principio de inducción para naturales que sabemos que es la herramienta más utilizada para demostrar las propiedades que cumplen los elementos de ω. Una de las versiones del principio para naturales es que si demostramos que el cero cumple una propiedad y cada vez que la cumpla un natural, la cumple su sucesor, entonces todos los naturales cumplen la propiedad. Esta idea está basada en que un natural o es el cero o es el sucesor de alg´ un natural. En las páginas anteriores, dividimos a los ordinales en tres tipos: el cero, un sucesor o un l´ımite. Entonces hay que generalizar el principio para ordinales para que también incluya a los ordinales l´ımites y este salto se puede entender como traspasar el infinito, de ah´ı la palabra “transfinita” en el nombre del nuevo principio. De hecho, veremos que para probar algo con una de las versiones del principio de inducción ordinal, se llevarán a cabo tres pasos, correspondientes a cada uno de los tipos de ordinales. Primero veamos la versión generalizada del a veces llamado principio de inducción fuerte para naturales o segundo principio de inducción para naturales, para después ver que es equivalente al principio descrito en el párrafo anterior. Teorema 2.2 (Principio de Inducci´ on Ordinal) Sea φ una f´ ormula del

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´ n transfinita 2.3. La induccio

65

lenguaje de la teor´ıa de conjuntos. Si se cumple que2

α P OR β β P α Ñ φpβ q Ñ φpαq entonces se tiene que

,

α P OR φpαq.

Demostraci´ on. Haremos la demostración por contrapositiva, es decir, supondremos que no es cierto que α P OR φpαq y veremos que entonces no es cierto que α P OR β β P α Ñ φpβ q Ñ φpαq . Supongamos que Dα P ORp φpαqq. Entonces C tα P OR | φpαqu es una clase no vac´ıa, de manera que por el principio del m´ınimo ordinal tenemos que Dα P OR φpαq ^ β β P α Ñ φpβ q .

%

Obsérvese que utilizamos el principio del m´ınimo ordinal para demostrar el principio de inducción ordinal. Más a´ un, en el ejercicio 2.3.1 de esta sección, se pide demostrar que estos principios son equivalentes, hecho que no debe sorprendernos pues ya sab´ıamos que el principio de inducción para naturales es equivalente al principio del buen orden (en los naturales). Ahora s´ı demostremos el principio de inducción transfinita que utiliza ´ los tres tipos de ordinales. Este dice que si el cero cumple una propiedad, y cada vez que la cumple un ordinal, la cumple su sucesor, y siempre que la cumplan todos los anteriores a un ordinal l´ımite, el ordinal l´ımite la cumple, se tiene que todos los ordinales cumplen la propiedad. Corolario 2.3 (Principio de Inducci´ on Ordinal, segunda forma) Si φ es una f´ ormula del lenguaje de la teor´ıa de conjuntos, entonces se cumple que 1. φp0q,

2. 3.

α P OR φpαq Ñ φpα 1q , y γ P OR γ es l´ımite ^ β β P γ Ñ φpβ q Ñ φpγ q ,

2 ormula Como se discute en el apéndice A.2 la expresi´ on α P ORϕ abrevia a la f´ αpordpαq Ñ ϕq, donde ϕ es cualquier fórmula y ordpαq es la fórmula que expresa que α

es ordinal. As´ı manejaremos a las cuantificaciones sobre clases de ahora en adelante.

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i i

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i


66 entonces se tiene que α P OR φpαq.

Ñ φpαq

, lo cual,

Demostraci´ on. Basta probar que α P OR β β P α Ñ φpβ q Ñ φpαq para aplicar el teorema 2.2. Sea α P OR y supongamos que β β P α Ñ φpβ q . (2.1) Queremos mostrar que φpαq. Si α 0, entonces, por el inciso 1 de las hipótesis, tenemos que φpαq. Si α β 1, entonces, como β P α, por la suposición (2.1), se tiene que φpβ q. De aqu´ı que, por el inciso 2 de las hipótesis, φpβ 1q. Por lo tanto, φpαq. Si α es un ordinal l´ımite, entonces la suposición (2.1) junto con la hipótesis 3 implican que φpαq.

Por lo tanto, se cumple que α P OR β β P α Ñ φpβ q por el teorema 2.2, lleva a la conclusión deseada.

%

Más adelante, en la sección 2.7.3, veremos que el principio de inducción ordinal no sólo se usa para demostrar propiedades de los ordinales, sino que termina siendo muy u ´til para demostrar propiedades (por lo menos de una parte importante) de la teor´ıa de conjuntos en general.

Ejercicios 2.3.1.- Observe que el principio de inducción ordinal se probó usando el principio del m´ınimo ordinal. Pruebe que el principio de inducción ordinal implica el principio del m´ınimo ordinal, es decir que ambos principios son equivalentes. 2.3.2.- Pruebe que la segunda forma del principio de inducción ordinal implica el principio de inducción ordinal. 2.3.3.- Ya hemos visto que si α es un ordinal, entonces xα, Py es un conjunto bien ordenado. Demuestre que si α y β son ordinales tales que

xα, Py xβ, Py (ver definición 1.2), entonces α β. Sugerencia: Considere el conjunto D tδ P α | hpδq δu, donde h es el isomorfismo.

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i i

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ń 2.4. El teorema de enumeracio

2.4.

67

El teorema de enumeraci´ on

Recordemos del primer cap´ıtulo que dos conjuntos totalmente ordenados tienen el mismo tipo de orden si son isomorfos. También recordemos que no dimos una definición precisa del tipo de orden de un conjunto totalmente ordenado, pues para esto necesitar´ıamos una manera de escoger un representante de la clase (generalmente propia) de equivalencia del conjunto totalmente ordenado. En esta sección, demostramos el teorema de enumeraci´ on que nos ayuda a definir de manera natural el tipo de orden para un caso particular de conjunto totalmente ordenado: los conjuntos bien ordenados. El teorema de enumeración afirma que todo buen orden es isomorfo a un u ńico ordinal. Entonces en el caso de los conjuntos bien ordenados tenemos un candidato magn´ıfico para ser su tipo de orden: el u ńico ordinal con el cual es isomorfo. Más a´ un, este teorema nos garantiza que el estudio de los buenos ´ ordenes es esencialmente el mismo que el estudio de los ordinales. En particular, esto significa que, salvo isomorfismo, hay tantos buenos órdenes numerables como ordinales numerables. Lo mismo sucede en general, salvo isomorfismo, hay tantos buenos órdenes no isomorfos de cierta cardinalidad como ordinales de esa misma cardinalidad. Para probar este importante teorema, necesitamos primero demostrar que los conjuntos bien ordenados cumplen algunas propiedades. Teorema 2.3 Si xA, A y y xB, B y son conjuntos bien ordenados isomorfos, entonces el isomorfismo entre ellos es u ńico. Demostraci´ on. Sean f y g isomorfismos de A en B y C

ty P A | f pyq gpyqu.

Para llegar a una contradicción, supongamos que C ∅. Como xA, A y es un buen orden, C tiene un A -m´ınimo, digamos a0 . As´ı, f pa0 q gpa0 q y c P Apc A a0 Ñ f pcq gpcqq. Como la relación B es tricotómica en B, f pa0 q B gpa0 q o gpa0 q B f pa0 q. Si f pa0 q B gpa0 q, entonces, como g1 es un isomorfismo de B en A, que f g1 pf pa0 qq g1 pf pa0 qq A a0 . La minimalidad de a0 implica 1 1 g g pf pa0 qq . De aqu´ı que f g pf pa0 qq f pa0q. Como f es inyectiva, se tiene que g1 pf pa0 qq a0 . Pero entonces a0 A a0 , lo cual es una contradicción a que A es antirreflexiva en A.

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68

Si gpa0 q B f pa0 q, entonces, como f 1 es un isomorfismo de B en A, f 1 pgpa0 qq A a0 . De manera análoga al caso anterior, utilizando la minimalidad de a0 y la inyectividad de g, llegamos a la contradicción de que a0 A a0 . Por lo tanto, C ∅ y entonces f g. % El siguiente corolario se desprende trivialmente de este teorema, donde un automorfismo de un orden total xA, A y es un isomorfismo de xA, A y en s´ı mismo. Corolario 2.4 Si xA, A y es un buen orden, entonces su u ńico automorfismo es la identidad. Para probar el siguiente lema, necesario para la demostración del teorema de enumeración, usaremos por primera vez uno de los esquemas en la axiomatización de Zermelo-Fraenkel para la teor´ıa de conjuntos, el axioma de reemplazo. Este axioma (en realidad un esquema de axiomas) afirma que la imagen de un conjunto bajo una correspondencia funcional es un conjunto. Llamamos funcional a una clase (quizá propia) de pares ordenados que se comporta como función.3 Más precisamente, si ϕ es una fórmula con dos variables libres que se comporta como una función en el universo de los conjuntos, es decir, que cumple que xyz ϕpx, yq ^ ϕpx, zq Ñ y z , y si a es un conjunto cualquiera, entonces la colección imagen de los elementos de a bajo ϕ, es un conjunto. Véase el apéndice B para la redacción formal de este esquema de axiomas. También necesitamos la siguiente definición y notación. Definici´ on 2.6 Si xA, ry es un orden parcial y c P A, entonces definimos el segmento inicial determinado por c en xA, ry, denotado por Ac , como el conjunto ty P A | y r cu. Lema 2.1 Sea xA, A y un conjunto bien ordenado. Si se cumple que

c P A Dβ P OR pxAc , y xβ, Pyq, A

entonces se tiene que

Dγ P OR pxA, y xγ, Pyq. A

3

Véase el apéndice A

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i


69

Demostraci´ on. Supongamos que c P A Dβ P OR pxAc , A y xβ, Pyq. Como xA, A y es un buen orden, es claro que xAc , A y es un buen orden. Por el teorema anterior, dado c P A el isomorfismo gc tal que xAc , A y gc xβ, Py es u ńico; además, por el ejercicio 2.3.3 de la sección anterior, el ordinal β al que Ac es isomorfo también es u ńico. Entonces podemos definir un 4 funcional f : A Ñ OR tal que para toda c P A, f pcq es el u ńico ordinal β tal que gc : xAc , A y xβ, Py. Sea γ tf pcq | c P Au, entonces γ es una colección de ordinales que es un conjunto, por el axioma de reemplazo. Veamos que γ es transitivo. Sean α y β ordinales tales que α P β P γ. un c P A. Sea b gc1 pαq P Ac A. Afirmamos Entonces β f pcq para alg´ que gcæAb : xAb , A y xα, Py. (2.2)

Dado que Ab es un orden total, por el ejercicio 1.2.3, basta ver que gcæAb preserva el orden y es suprayectiva sobre α. La primera afirmación se desprende de que gc es un morfismo. Para demostrar la segunda, sea δ P α. Entonces δ P β, pues α P β. Por lo tanto, existe y P Ac tal que gc py q δ. Resta ver que y P Ab , pero gc py q δ P α gc pgc1 pαqq y, como gc es isomorfismo, y A gc1 pαq b, de donde se sigue que y P Ab . Esto prueba que gcæAb es suprayectiva sobre α y con esto (2.2) queda demostrado. Finalmente, (2.2) implica que α f pbq, por lo que α P γ y γ es transitivo. Siendo γ un conjunto transitivo de ordinales, se tiene que γ es un ordinal. Ahora afirmamos que f : xA, A y xγ, Py.

(2.3)

Por definición de γ, tenemos que f es suprayectiva. Para mostrar la inyectividad, dado que xA, A y es un orden total, por el ejercicio 1.2.3, basta ver que f preserva el orden. Ya vimos que (2.2) implica que α f pbq pero también tenemos que gc pbq α. Entonces, si b A c tenemos que b P Ac y f pbq gc pbq P f pcq Por lo tanto, f preserva el orden y la afirmación (2.3) es cierta. % Lema 2.2 Sea xA, A y un buen orden. Entonces

c P A Dβ P OR pxAc , y xβ, Pyq. A

4

Véase el apéndice A

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70 Demostraci´ on. Definimos el siguiente conjunto

tc P A | Dβ P OR xAc, y xβ, Py u. Supongamos que E ∅. Siendo xA, y un buen orden, sabemos que E tiene un -m´ınimo, digamos b. Entonces z P A pz b Ñ z R E q, es decir, z P Ab Dβ P OR xAz , y xβ, Py . Por el inciso (iv) del ejercicio 1 de esta sección, Az pAb qz , por lo que z P AbDβ P OR xpAb qz , y xβ, Py . As´ı, dado que xAb , y es un buen orden, por el lema 2.1, concluimos que Dγ P OR pxAb, y xγ, Pyq, es decir, b R E lo cual es una contradicción. Por lo tanto, E ∅ y se sigue que c P A Dβ P OR pxAc , y xβ, Pyq. % E

A

A

A

A

A

A

A

A

A

De los lemas anteriores se desprende el teorema de enumeración. Teorema 2.4 (Teorema de Enumeraci´ on) Todo buen orden es isomorfo a un u ńico ordinal. Es decir, si xA, A y es un buen orden, entonces existe un u ńico ordinal γ tal que xA, A y xγ, Py. Demostraci´ on. Sea xA, A y un buen orden. Por el lema 2.2, sabemos que para todo c P A, existe un ordinal β tal que xAc , A y xβ, Py. Entonces, por el lema 2.1, tenemos que existe un ordinal γ tal que xA, A y xγ, Py. La unicidad de este ordinal es consecuencia del ejercicio 2.3.3. % Como mencionamos al principio de esta sección, gracias al teorema de enumeración, podemos definir formalmente el tipo de orden de un buen orden: el u ńico ordinal con el cual es isomorfo. Recordemos que en la sección 1.1 elegimos como el tipo de orden de un orden total finito al natural con el cual es isomorfo (utilizando que cualesquiera dos órdenes totales finitos de la misma cardinalidad son isomorfos). Además, por el ejercicio 1.2.2, sabemos que todo orden total finito es un buen orden. Entonces la definición que ahora damos incluye la convención que hab´ıamos hecho en esa sección de que el tipo de orden de un buen orden finito sea el natural al cual es isomorfo. Definici´ on 2.7 Sea xA, A y un buen orden. El tipo de orden de xA, A y, ńico ordinal denotado τ pxA, A yq o simplemente τ pAq, se define como el u α tal que xA, A y xα, Py.

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71

Ejemplo 2.4.1 τ pxN, Pyq ω;

ta, b, cu, txa, by, xa, cy, xb, cyu 3; Sea A N Y tx0, 0y, x0, 1yu. Definimos una relación binaria r en τ

A de la siguiente manera:

r æN P,

x0, 0y r x0, 1y,

para cualquier n P N, n r x0, 0y, y

para cualquier n P N, n r x0, 1y. Se puede ver que entonces xA, ry(es un buen orden y que además un las convencioτ xA, ry ω Y tω u Y ω Y tω u , es decir, seg´ nes de escritura que hicimos en la introducci´ o n de este cap´ıtulo, τ xA, ry ω 2. 0

1

2

ω

3

ω Y tω u

(

Figura 2.1: Tipo de orden ω Y tω u Y ω Y tω u .

Una vez que hayamos definido la suma, multiplicación y exponenciación de manera formal en los ordinales, podremos dar más ejemplos de tipos de orden y compararemos estas operaciones con las correspondientes en tipos de orden, definidas en el primer cap´ıtulo.

Ejercicios 2.4.1.- Sea xA, ry un orden parcial. Demuestre las siguientes afirmaciones. (i) Para cualquier c P A, Ac

A.

P A, si z r w, entonces Az Aw . orden total, para cualesquiera z, w P A,

(ii) Para cualesquiera z, w

(iii) Si xA, ry es un Az Aw , entonces z r w.

(iv) Para cualesquiera z, b P A, si z r b, entonces pAb qz

si

Az .

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i


72

2.4.2.- Sea xX, ry un orden parcial. Dado a P X, denotamos al r-segmento inicial determinado por a como Xar ty P X | y r au. Pruebe lo siguiente. (i) X es un ordinal si y sólo si xX, Py es un buen orden y a P X pXaP

aqq. (ii) Si para toda a P X se tiene que a, entonces r P æX . (iii) Si xX, ry es un buen orden y para toda a P X se tiene que Xar a, entonces X es un ordinal. Sea xA, y un conjunto bien ordenado y supongamos, como en el lema 2.1, que c P A Dβ P OR pxAc , y xβ, Pyq. Como vimos en la demostración del lema 2.1, podemos definir f : A Ñ OR tal que para toda c P A, f pcq es el u ńico ordinal β que cumple gc : xAc , y xβ, Py, pues sabemos que para cada c P A, gc y β son u ńicos. Demuestre que para cualesquiera y, z P A si y z, entonces gz py q gz rAy s. Sea xA, y un orden total. Para propósitos de este ejercicio, decimos que S A es un segmento inicial de A si y sólo si S es un subconjunto propio de A tal que para cualesquiera a P A y s P S, si a s, entonces a P S. ¿Es cierto que si xA, y es un orden total Xar

2.4.3.-

A

A

A

A

2.4.4.-

A

A

A

cualquiera, todo segmento inicial S de A es de la forma Ac para alg´ un c P A? Justifique, dando una prueba o un contraejemplo.

2.4.5.- Sean A un conjunto transitivo, r A A y s B B. Si suponemos que xA, ry xB, sy, ¿es B un conjunto transitivo? Es decir, ¿la propiedad de ser transitivo se preserva bajo isomorfismos? ¿Qué sucede en el caso en que r s P? Justifique sus respuestas. 2.4.6.- Sea xX, ry un buen orden y supongamos que el tipo de orden de xX, ry es el ordinal α. Demuestre que α es un ordinal l´ımite si y sólo si X ∅ y X no tiene un r-máximo. 2.4.7.- Sea xA, ry un buen orden infinito. Pruebe que existe una relación binaria r1 sobre A tal que xA, r1 y es un buen orden y xA, r1 y xA, ry. 2.4.8.- Sean α y β ordinales cualesquiera. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando su respuesta. Recuerde que la

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73

2.5. El primer ordinal no numerable ω1

notación A B significa que A y B son equipotentes (definición 1.23), que no es lo mismo que ser isomorfos. Además, decimos que A est´ a dominado por B, denotado A ¨ B, si hay una función inyectiva de A en B, y denotamos por A B el hecho de que A ¨ B y A B. (i) (ii) (iii) (iv) (v)

α β α¨β α β α β αβ

ñα¨β ñα¤β ñα β ñα β ñαβ

(vi) (vii) (viii) (ix) (x)

αβ α β αβ α¨β αβ

ñαβ ñαβ ñ pα β _ β αq _ β¨α ñ pα ¨ β _ β ¨ αq

2.4.9.- Sea A un conjunto. Demuestre que existe un buen orden para A si y sólo si A es equipotente con alg´ un ordinal. Entonces, como el axioma de elecci´ on es equivalente al teorema del buen orden (que afirma que todo conjunto es bien ordenable), el axioma de elecci´ on es equivalente a que todo conjunto sea equipotente con alg´ un ordinal.

2.5.

El primer ordinal no numerable ω1

Sabemos que hay una infinidad de ordinales numerables, como ω, ω 1, . . . , ω n, . . ., etc. Si todos los ordinales fueran numerables, tendr´ıamos que OR ω Y tα : α es ordinal numerableu y, como OR es una clase propia (corolario 2.2) y ω es un conjunto, la colección

tα : α es ordinal numerableu ser´ıa una clase propia. Sin embargo, probaremos, usando el axioma de reemplazo, que tα : α es ordinal numerableu s´ı es un conjunto. Se puede ver entonces que el conjunto ω Y tα : α es ordinal numerableu tα : α P ω o α es ordinal numerableu es transitivo y, como sus elementos son ordinales, es a su vez un ordinal. Adem´ as este ordinal, denotado como ω1 , es el primero no numerable, pues si fuera numerable ser´ıa un ordinal que se pertenecer´ıa a s´ı mismo. Entonces ω1 es un ordinal no equipotente a un ordinal menor que él. A los ordinales que cumplen esto les llamamos ordinales iniciales. Es claro que los naturales son ordinales iniciales y que el primer ordinal inicial infinito es ω, el segundo es

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i i

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74

precisamente ω1 , y en la sección 2.7.1 definiremos una infinidad de ordinales iniciales infinitos. La idea es entonces que ω1 sea el conjunto de todos los ordinales finitos o numerables, es decir, ω1

tα P OR | α P ω o α ωu.

Equivalentemente, buscamos que ω1 sea el conjunto de los ordinales equipotentes a alg´ un subconjunto de ω, es decir, ω1

tα P OR | DA ωpα Aqu.

Ahora s´ı, definimos a ω1 de la siguiente manera:

tα P OR |DB ω xB, ry xα, Py u. Observemos que B P P pω q, y que r P P pω ω q, por lo que ambos son ω1

conjuntos. Para ver que ω1 realmente es un conjunto, considérese el siguiente funcional F : P pω q P pω ω q Ñ ω1 F pxB, ryq

"

0 α

si xB, ry no es un buen orden, y si xB, ry es un buen orden y xB, ry xα, Py.

Por el teorema de enumeración 2.4, F es un funcional, pues si xB, ry es un buen orden, existe un u ńico ordinal α tal que xB, ry xα, Py. As´ı, dado que P pω q P pω ω q es un conjunto y ω1 es la imagen bajo F de P pω q P pω ω q, el axioma de reemplazo garantiza que ω1 es un conjunto. Ahora, veamos que ω1 es un ordinal. Proposici´ on 2.6 El conjunto ω1 es un ordinal. Demostraci´ on. De lo anterior es claro que ω1 es un conjunto de ordinales. Resta ver que ω1 es transitivo. Sean α P ω1 y β P α. Como α P ω1 , hay r ω ω y B ω tales que xα, Py xB, ry. Sea h dicho isomorfismo. Como β α, se puede ver que hæβ es un isomorfismo entre xβ, Py y xhrβ s, ræhrβ s y. Finalmente como hrB s B ω y ræhrβ s ω ω, entonces β P ω1 . As´ı, ω1 es un conjunto transitivo de ordinales, y ω1 es un ordinal. % Confirmemos que ω1 es no numerable y que es el primero con esta propiedad.

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´ n transfinita 2.6. La recursio

75

Proposici´ on 2.7 El ordinal ω1 es el primer ordinal no numerable. Demostraci´ on. Sea α P ω1 . Entonces α es numerable, pues xα, Py xcamprq, ry para algún r ω ω, lo que implica que α camprq y claramente camprq es numerable. Por lo tanto, todos los ordinales anteriores a ω1 son numerables. Ahora, supongamos que existe una función biyectiva g : ω Ñ ω1 . Definiendo a r ω ω como xn, my P r si y sólo si gpnq P gpmq, tendr´ıamos que xω, ry xω1 , Py. De la definición de ω1 , obtendr´ıamos que ω1 P ω1 , lo cual es una contradicción al hecho de que ω1 sea ordinal. Por lo tanto, ω1 % es no numerable.

Ejercicios 2.5.1.- Justifique que las colecciones tα P OR OR | DA ω pα Aqu son iguales.

| α P ω o α ωu y tα P

2.5.2.- Demuestre que realmente la imagen del funcional F definido en esta sección es ω1 .

2.6.

La recursi´ on transfinita

Las ideas de inducción y recursión surgen de la estructura que poseen los n´ umeros naturales, al ser construidos a partir de un objeto básico (el cero) mediante una funci´ on generadora (la función sucesor). La inducción y recursión se convierten en las principales herramientas para demostrar teoremas acerca de n´ umeros naturales y para definir funciones que tienen como dominio a los n´ umeros naturales, respectivamente. En la sección 2.3 generalizamos la inducción a todos los n´ umeros ordinales, considerando a éstos generados a partir del mismo cero con la operación sucesor y la nueva operación l´ımite ordinal. Ahora veamos los teoremas de recursión transfinita que, de manera análoga a la recursión para naturales, se convierten en una poderosa herramienta para definir funcionales o funciones sobre todos los ordinales o segmentos iniciales de ellos. Recuérdese que llamamos funcional a una clase

i

i i

i

i

i


i


76

(quizá propia) que se comporta como función. Además, decimos que G es un funcional del universo si es un funcional cuyo dominio5 es el universo. Teorema 2.5 (de Recursi´ on Transfinita, primera versi´ on) Si G es un funcional del universo, entonces podemos definir un u ńico funcional F tal que: 1. El dominio de F es la clase OR, y 2.

α P OR, F pαq GpFæαq

La demostración de este teorema requiere de algunos conceptos preliminares. Definici´ on 2.8 Sean t una funci´ on, G un funcional del universo y α un ordinal. Decimos que t es G, α-adecuada si y s´ olo si se cumple lo siguiente: 1. domptq α 2.

1, y

β ¤ α tpβ q Gptæβ q .

La idea es que una función será G-adecuada si tiene como dominio a alg´ un ordinal sucesor y en su dominio se comporta como el funcional F que se puede definir seg´ un el teorema de recursión transfinita. De hecho, la definición de F se hace aproximándola con funciones G-adecuadas, ya que, como se verá en la demostración de la proposición 2.9, estas funciones resultan ser compatibles. Proposici´ on 2.8 Si t es G, α-adecuada y δ tæα pδq tæβ pδq. Demostraci´ on. Como δ P β α, α α tiene que tpδq tæβ pδq tæα pδq.

1, y α

β

α, entonces tpδq

1 es el dominio de t, se

%

En la siguiente proposición se demuestra que para cada ordinal α existe una u ńica funci´ on G, α-adecuada, por lo que la definición buscada del funcional F realmente se podrá encontrar aproximándola por estas funciones. Si F es un funcional definido por una f´ ormula ϕpx, y q entonces usamos la expresi´ on “dominio de F ” para referirnos a la clase tx | Dy ϕpx, y qu. Véase el apéndice A.2 5

i

i i

i

i

i


i

´ n transfinita 2.6. La recursio Proposici´ on 2.9 Sea

x P OR

77

Ppx, yq la siguiente fórmula:

^ Dt t es G, x-adecuada ^ tpxq y _

x R OR

^ y∅

.

Entonces P define un funcional, es decir, para todo conjunto x existe un u ńico conjunto y tal que Ppx, y q. Demostraci´ on. Si x R OR, es claro que Ppx, y q se cumple u ńicamente para y ∅. Vamos a probar, por inducción transfinita, que para cualquier α P OR existe una u ńica funci´ on G, α-adecuada t. Entonces supongamos que para ńica t tal que t es G, β-adecuada. toda β α, existe una u Primero, para demostrar que existe una función G, α-adecuada, sea T tt | t es G, β-adecuada con β αu. Por el axioma de reemplazo, T es un conjunto, pues por la hipótesis de inducción, para cada β α existe una u ńica funci´ on G, β-adecuada. Afirmamos que T es un conjunto de funciones compatibles. Si t1 , t2 P T , y dompt1 q β1 y dompt2 q β2 , sin pérdida de la generalidad, supongamos que β1 ¤ β2 . Entonces β1 β2 y dompt1 q X dompt2 q β1 . Probemos ahora por inducción transfinita que δ β1 pt1 pδq t2 pδqq. Sea δ β1 y supongamos que γ δpt1 pγ q t2 pγ qq, lo cual implica que t1æδ t2æδ . Como t1 , t2 P T y G es funcional, tenemos que t1 pδq Gpt1æδ q Gpt 2æδ q t2 pδ q. Por lo tanto, T es un conjunto de funciones compatibles y T es una funci´ on. Sea τ T Y tx α, G p T qyu . Como T es una función, se tiene que domp T q tPT domptq β α pβ 1q α, de donde se sigue que α R domp T q. As´ı, τ es una función cuyo dominio es α 1. Finalmente, para probar que τ es G, α-adecuada resta ver que si β ¤ α, entonces τ pβ q Gpτæβ q. Si β α, entonces τ pβ q τ pαq Gp T q Gpτæα q Gpτæβ q. Por otro ńica función G, β-adecuada, que existe lado, si β α, entonces sea t P T la u por la hipótesis de inducción. Se tiene entonces que β P β 1 domptq, ´ltima igualdad se debe a que de donde τ pβ q tpβ q Gptæβ q Gpτæβ q, la u t τ . Por lo tanto, τ es una función G, α-adecuada. Para demostrar que τ es la u ńica función G, α-adecuada, sea τ 1 otra on funci´ on G, α-adecuada. Probaremos que γ ¤ αpτ 1 pγ q τ pγ qq por inducci´ sobre α. Sea γ ¤ α y supongamos que δ γ τ 1 pδq τ pδq . Entonces

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τ 1æγ τæγ , lo cual implica que τ 1 pγ q Gpτ 1æγ q Gpτæγ q τ pγ q, pues G es un funcional. Por lo tanto, τ es la u ńica función G, α-adecuada y con esto tenemos % que Ppx, y q es un funcional. Procedemos a continuación a demostrar el teorema de recursión transfinita. Demostraci´ on. (Del teorema de recursión transfinita, primera versión) Sea Ppx, y q la fórmula del enunciado de la proposición anterior. Definimos al funcional F as´ı: F pxq y si y sólo si x P OR

^ Ppx, yq.

F realmente es un funcional gracias a la proposición anterior. Además, es claro que el dominio de F es OR, y que α P OR F pαq tpαq, donde t es la u ńica funci´ on G, α-adecuada. Veamos que si t es una función adecuada, entonces Fædomptq t. Sea β P domptq, entonces, por la unicidad de las funciones adecuadas, tæβ 1 es G, β-adecuada. De aqu´ı que F pβ q tæβ 1 pβ q y, por la proposición 2.8, tenemos que tpβ q tæβ 1 pβ q, es decir que F pβ q tpβ q. De manera que si domptq α 1, entonces t Fæα 1 , lo cual implica que tæα Fæα . Como G es funcional, se tiene que Gptæα q GpFæα q, lo que final% mente lleva a que F pαq tpαq Gptæα q GpFæα q. Para finalizar la sección presentamos otras versiones, equivalentes, del teorema de recursión transfinita, las cuales pueden ser u ´tiles dependiendo de lo que se quiere definir recursivamente. Abusaremos de la notación escribiendo dompF q incluso cuando no sepamos si F es un conjunto. Teorema 2.6 (de Recursi´ on Transfinita, segunda versi´ on) Sean a un conjunto, y G y H funcionales del universo. Entonces podemos definir un u ńico funcional F tal que: 1. dompF q OR, 2. F p0q a, 3. F pspαqq GpF pαqq, y 4. F pγ q H pFæγ q, para un ordinal l´ımite γ.

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´ n transfinita 2.6. La recursio

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Demostraci´ on. Veamos cómo definir tal F usando la primera versión del teorema de recursión transfinita. Sea G1 definida por la siguiente fórmula PG1 px, yq: x∅

^ ya _ _ x es funci´ on ^ Dα P OR dompxq α 1 ^ y Gpxpαqq _ x es funci´ on ^ Dγ P OR γ es l´ımite ^ dompxq γ ^ y H pxq x ∅ ^ x no es funci´ on _ dompxq R OR ^ y ∅ .

Es claro que G1 define un funcional del universo, de manera que la primera versión del teorema de recursión transfinita garantiza la definición de un u ńico funcional F tal que dompF q OR y α P OR F pαq G1 pFæα q. De aqu´ı se sigue que: F p0q G1 pFæ0 q Gp0q a, que F pspαqq G1 pFæspαq q GpFæspαq pαqq GpF pαqq, y que F pγ q G1 pFæγ q H pFæγ q, si γ es l´ımite.

%

A continuación enunciamos otras dos versiones del teorema de recursión transfinita. Teorema 2.7 (de Recursi´ on Transfinita, tercera versi´ on) Sean a un conjunto, y G y H funcionales del universo. Entonces podemos definir un u ńico funcional F tal que: 1. dompF q OR, 2. F p0q a, 3. F pspαqq GpF pαqq, y 4. F pγ q H pF rγ sq, para un ordinal l´ımite γ. Demostraci´ on. Se deja como ejercicio.

%

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Teorema 2.8 (de Recursi´ on Transfinita, cuarta versi´ on) Sea G un funcional del universo. Entonces podemos definir un u ńico funcional F tal que: 1. dompF q OR, y 2.

α P OR, F pαq GpF rαsq.

Demostraci´ on. Se deja como ejercicio.

%

Ejercicios 2.6.1.- Demuestre la tercera versión del teorema de recursión transfinita. 2.6.2.- Demuestre la cuarta versión del teorema de recursión transfinita. 2.6.3.- Demuestre que las cuatro versiones del teorema de recursión transfinita son equivalentes.

2.7.

Aplicaciones de la recursi´ on transfinita

A continuación presentamos aplicaciones importantes e interesantes del teorema de recursión transfinita. La fuerza de este teorema está en su capacidad de generalizar conceptos y definiciones. Por ejemplo, en la primera parte de la sección generalizamos la idea de la definición de ω1 para ver que dado un ordinal incial existe un siguiente con cardinalidad mayor. En la segunda parte, generalizamos la suma, producto y exponenciación de los n´ umeros naturales a todos los ordinales. La tercera parte corresponde a una de las aplicaciones más importantes de este teorema, la construcción de una clase de conjuntos en la que están todos los conjuntos bien fundados de manera jerarquizada. Esta manera de ver a los conjuntos bien fundados es una herramienta poderosa para demostrar propiedades de estos conjuntos y para comprender mejor c´ omo están constru´ıdos conjuntos que supuestamente ya conocemos. En la u ´ltima parte damos una prueba de que el axioma de elecci´ on implica el teorema del buen orden y otra de que el axioma de elección implica el lema de Zorn. Estas pruebas son diferentes a las que normalmente

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´ n transfinita 2.7. Aplicaciones de la recursio

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aparecen en los libros, pues generalmente se necesita utilizar estos hechos antes de poder dar la recursión transfinita. Las hacemos aqu´ı por su sencillez y belleza, y para mostrar el poder que el teorema de recursión transfinita tiene para facilitar algunas pruebas.

2.7.1.

Los ordinales iniciales ωα

Recordemos la siguiente definición. Definici´ on 2.9 Un ordinal inicial es un ordinal que no es equipotente con ning´ un ordinal anterior a él. Sabemos que los naturales son ordinales iniciales y que tanto ω como ω1 son ordinales iniciales infinitos. Con la tercera versión del teorema de recursión transfinita, podemos definir una infinidad de ordinales iniciales infinitos de la siguiente manera: ω0 ωβ ωγ

1

ω, tα P OR |DB ωβ Dr ωβ ωβ xB, ry xα, Py u, tωβ | β γ u, si γ es l´ımite.

Obsérvese que la definición de ωβ 1 es una generalización de la definición vista antes de ω1 , por lo que para definir cada ωβ 1 es necesario utilizar el axioma de reemplazo. De hecho, también para definir cada ωγ , donde γ es un ordinal l´ımite, se necesita el axioma de reemplazo (¿por qué?). Se deja como ejercicio ver que cada ωα es un ordinal. Para demostrar que cada ωα es un ordinal inicial, necesitamos usar el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, que se puede encontrar en [Am05] (donde no se utiliza el concepto de cardinal, todav´ıa no discutido en este libro) o en el teorema 3.1, que demostramos en el cap´ıtulo de cardinales. Proposici´ on 2.10 Si α es un ordinal, entonces ωα es un ordinal inicial. Demostraci´ on. La demostración se hace por inducción sobre α. El caso en que α 0 es consecuencia de que ω no es biyectable con ning´ un ordinal finito. La prueba del caso en que α es sucesor es análoga a la demostración de que ω1 es el primer ordinal no numerable y se deja al lector.

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Si α es un ordinal l´ımite y para todo δ α, ωδ es un ordinal inicial, entonces supongamos que existe γ ωα tal que γ ωα . Como ωα tωβ | β αu suptωβ | β αu, por la definición del supremo, existe β α tal que γ ¤ ωβ . De aqu´ı que ωα γ ωβ . Como ωβ ωβ 1 ωα , ωα γ ωβ ωβ 1 ωα , y, por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, todos estos ordinales son equipotentes, por lo que ωβ ωβ 1 , contradiciendo la hipótesis de inducción. % Por lo tanto, para todo ordinal α, ωα es un ordinal inicial. En el siguiente cap´ıtulo el concepto de ordinal inicial será fundamental y all´ı demostraremos que todo ordinal inicial infinito es un ωα . Esta afirmaci´ on, aunque no parece sorprendente, es poderosa. Tiene el sabor, parecido a otros eventos importantes en matemáticas, en que definimos objetos que tienen una propiedad y terminamos definiendo todos los objetos que tienen dicha propiedad. As´ı, utlizando el teorema de enumeración, podremos concluir que todo buen orden es equipotente a un u ńico ordinal inicial.

2.7.2.

Aritm´ etica ordinal

Generalizando las operaciones aritméticas de los n´ umeros naturales, definimos las operaciones de aritmética ordinal, utilizando el teorema de recursión transfinita. Definici´ on 2.10 (Suma ordinal) Dados los ordinales α y β, definimos la on sobre β como sigue: suma ordinal α β por recursi´ α

0 α,

α

spδq spα

α

γ

δ γ pα

δq, δq suptα

δ|δ

γ u, si γ es un ordinal l´ımite.

Esta definición se justifica mediante la tercera versión del teorema de recursión transfinita, la idea es que el funcional F dado por el teorema defina la operación “ α ”, para cada α. Los detalles se dejan al lector. Obsérvese que α 1 α sp0q spα 0q spαq α Y tαu lo cual coincide con la notación convenida anteriormente para el sucesor de un ordinal. También es claro que la suma ordinal de dos n´ umeros naturales

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coincide con la suma dada en la definición 1.13 para los naturales. Más a´ un, esta suma coincide con la suma de tipos de orden, en el caso en que los tipos de orden sean buenos órdenes, pues recuerde que el tipo de orden de un buen orden es el u ńico ordinal con el cual es isomorfo. Además, al igual que con la suma de tipos de orden, la suma ordinal no es conmutativa, como se verá en los ejercicios. Definici´ on 2.11 (Producto ordinal) Dados los ordinales α y β, definion mos el producto ordinal α β (interprétese como α, β veces), por recursi´ sobre β como sigue: α 0 0,

α spδq pα δq αγ

α,

δ γ pα δq suptα δ | δ γ u, si γ es un ordinal l´ımite.

Al igual que con la suma ordinal, se puede verificar que el producto ordinal de dos n´ umeros naturales coincide con el producto dado en la definición 1.14, y que este producto también coincide con el producto de tipos de orden de buenos ´ ordenes. Definici´ on 2.12 (Exponenciaci´ on o potencia ordinal) Dados los ordinales α y β, definimos la potencia o exponenciaci´ on ordinal αβ por recursi´ on sobre β como sigue:

1, αspδq αδ α, αγ δ γ pαδ q suptαδ | δ γ u, si γ es un ordinal l´ımite. α0

Se deja como ejercicio justificar las definiciones de estas operaciones con el teorema de recursión transfinita. Es importante mencionar aqu´ı que algunas de las nociones intuitivas de las que hablamos en la introducción de este cap´ıtulo se pueden formalizar con las definiciones de estas operaciones. Por ejemplo, no nada más es cierto que para cualquier ordinal α, α 1 realmente es el sucesor de α, también se cumple que el siguiente ordinal después de todos los ω n con n P ω es realmente ω ω; al igual que se cumple que ω n ω ω ... ω , y que loooooooomoooooooon el supremo del conjunto tω n : n P ω u es ω ω, etc.

n veces

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2.7.3.


La jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados

En esta sección utilizamos el teorema de recursión transfinita para definir el universo de los conjuntos bien fundados. La motivación para la construcci´ on de este universo comienza con la famosa paradoja de Russell. Al principio, parecer´ıa que podemos definir un conjunto como cualquier colección de objetos que hagan verdadera alguna propiedad (donde una propiedad es vista como una fórmula con una variable libre, escrita en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos, véase el apéndice A). Es decir, se podr´ıa pensar que toda propiedad define un conjunto. Sin embargo, la paradoja de Russell plantea que esta es una concepción errónea de lo que debe aceptarse como un conjunto. Veamos cuál es esta paradoja. Sea P pxq la fórmula x R x. Si toda propiedad define un conjunto, entonces el siguiente A ser´ıa conjunto A tx | x R xu. De aqu´ı que A P A si y sólo si A R A, lo cual es absurdo. Por lo tanto, A no es conjunto. A principios del siglo pasado, esta paradoja trajo mucha discusión sobre la razón por la que esta idea intuitiva y simple de lo que es un conjunto falla. La axiomática de Zermelo Fraenkel ZFE surge en gran medida para responder la pregunta de cuáles colecciones son conjuntos y cuáles no. El axioma de separación es claramente una restricción a la idea general de que toda propiedad define un conjunto. Además, en la axiomática ZFE (la letra “E” es por el axioma de elección) está un axioma llamado el axioma de fundación o regularidad. Este axioma restringe los conjuntos posibles a los llamados “bien fundados”, y puede no mencionarse, pues no es contradictorio permitir que conjuntos “no bien fundados” existan. Veremos en esta sección lo que afirma el axioma de fundación y veremos que efectivamente implica que todos los conjuntos son “bien fundados”. Pero ¿cuáles son estos conjuntos “bien fundados”? Antes de definirlos, veamos cómo surgen. Como dec´ıamos, a la luz de la Paradoja de Russell, aparece la discusión sobre cuáles son los conjuntos. Podemos encontrar una respuesta parcial a esto pensando en cierto tipo de conjuntos (los que serán los “bien fundados”), si en vez de preguntarnos ¿qué son los conjuntos? nos preguntamos ¿cómo se construyen los conjuntos? Ahora, una idea fundamental de Cantor sobre el concepto de conjunto es que una colección de objetos sólo puede ser

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conjunto si se puede considerar como una entidad completa. Entonces, al construir un conjunto por primera vez debemos disponer ya de antemano de todos aquellos objetos que han de ser sus elementos o ¿es posible construir algo por vez primera, sin tener los elementos que lo constituyen? Esta observaci´ on nos lleva a considerar la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados, que es una idea subyacente a la axiomática de Zermelo Fraenkel. As´ı, debemos comenzar con una colección inicial de objetos BF0 . De aqu´ı construimos una colección BF1 de conjuntos de elementos de BF0 . Después construimos la colecci´ on BF2 de conjuntos de elementos de BF0 Y BF1 , y as´ı sucesivamente. Esta descripción es la idea intuitiva de lo que es la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados. Además, de acuerdo con esta descripci´ on ning´ un conjunto “construido” puede ser elemento de s´ı mismo. As´ı pues, todos los conjuntos construibles a partir de un principio no se pertenecen a s´ı mismos. Ahora, para obtener precisión en esta construcción, tenemos primero que decidir cuál es la colección BF0 que tomamos como la colección inicial. Como buscamos que la teor´ıa de conjuntos sea tan intuitiva y sencilla como sea posible, acordamos que la colección BF0 sea vac´ıa, es decir, comenzamos con nada6 . BF0 denota el primer estrato de la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados. La siguiente precisión que debemos hacer es hasta dónde permitimos que se extienda esta jerarqu´ıa. Como buscamos que la teor´ıa de conjuntos tenga las menos restricciones posibles, no queremos que haya un momento en el que ya no podamos constuir nuevos conjuntos. As´ı, acordamos que no hay un u ´ltimo estrato en esta construcción. Es decir, siempre podemos dar un paso más en la construcción de la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados, tomando colecciones de los elementos de los estratos anteriores. De hecho para cada ordinal α, deber´ıa haber un estrato correspondiente BFα , entre cuyos miembros están los conjuntos de los estratos anteriores, es 6

Hay algunas construcciones en las que se considera que BF0 sea una colecci´ on de objetos a los que se llama urelementos, la palabra es de origen alem´ an y el prefijo “ur” se puede traducir como “primitivo” u “original”. Estos urelementos se consideran indivisibles o que no tienen elementos, pero no son conjuntos. Para fines de la construcci´ on de las matem´ aticas dentro de la teor´ıa de los conjuntos estos objetos no-conjuntos son innecesarios, pues los n´ umeros, relaciones, funciones, estructuras numéricas usuales, etc. pueden ser construidos sin urelementos. As´ı, aqu´ı consideramos que BF0 es una colecci´ on vac´ıa.

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86 decir, que contenga a

β α BFβ .

Finalmente, precisemos lo que queremos decir con que “cada estrato sea una colecci´ on de conjuntos de elementos de los estratos anteriores”. Supongamos que hemos definido el estrato BFα , entonces ¿cuáles conjuntos de elementos de BFα serán miembros de BFα 1 ? Otra vez usando el argumento de que la teor´ıa de conjuntos tenga las menos restricciones posibles, escogemos todos los conjuntos de elementos de BFα , es decir, BFα 1 P pBFα q. Es interesante mencionar aqu´ı que estamos utilizando el axioma de potencia para esta construcción y este axioma afirma que existe el conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado. Esta es la manera más amplia de construir conjuntos con conjuntos dados, pero no es muy clara, pues en la noci´ on de subconjunto, vuelve a aparecer la noción de conjunto. Nuestra discusión de la paradoja de Russell tiene como consecuencia que no toda propiedad define un conjunto, pero ¿será cierto que todo conjunto es definido por una propiedad? ¿Ser´ıa conveniente entonces decir que el estrato BFα 1 sea el de las colecciones de elementos de BFα que estén en un conjunto ya construido y cumplan una propiedad escrita en el lenguaje de la teor´ıa de conjuntos? Observe que en este caso se estar´ıa usando el axioma de separación restringiendo el de potencia para construir el siguiente estrato. Hacerlo as´ı, lleva a una jerarqu´ıa llamada la de los conjuntos definibles o construibles, conocida como el universo L. Esta jerarqu´ıa fue definida formalmente por Gödel y es interesante decir aqu´ı que no se puede demostrar ni refutar en ZF que todo conjunto es definido por una propiedad (véase [Ku80]). Es por esto que no se puede ni demostrar ni refutar que la jerarqu´ıa de los conjuntos definibles sea distinta de la de los bien fundados. Sin embargo, como es un hecho que la jerarqu´ıa de los definibles está contenida en la de los bien fundados, argumentando otra vez la b´ usqueda de la menor restrictividad posible, acordamos que para la jerarqu´ıa de los bien fundados BFα 1 P pBFα q. Veremos que esta construcción realmente es acumulativa, en el sentido de que si un conjunto aparece en un estrato, aparece en todos los estratos posteriores a ese estrato. Además, veremos que todo conjunto construido de este modo tiene un inicio constructivo por lo que tendrá necesariamente “un fondo” respecto a la relación de pertenencia; pues si A fue formado en alg´ un estrato, entonces sus elementos fueron formados en estratos anteriores, y los elementos de sus elementos fueron a su vez formados en estratos anteriores

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´ a éstos, y as´ı sucesivamente hasta llegar al conjunto vac´ıo. Estos son los conjuntos bien fundados. Podemos ahora precisar que BF será la unión de todos los conjuntos formados en todos los estratos de la jerarqu´ıa acumulativa descrita, y le llamaremos la clase de los conjuntos bien fundados. En el apéndice B se da una discusión intuitiva de que los axiomas de ZFE son verdaderos respecto a la clase BF. Pasemos ahora a las formalidades. Denotamos, como es costumbre, al universo de todos los conjuntos con la letra V . Por el teorema de recursión transfinita, mediante el conjunto vac´ıo y los funcionales potencia P : V Ñ V : V Ñ V , podemos definir un u ńico funcional BF : OR Ñ V tal y unión que ∅, BFp0q BFpα 1q P pBFpαqq, δ γ BFpδq, si γ es l´ımite. BFpγ q Denotamos al conjunto BFpαq con BFα y se le llamará el α-ésimo estrato. Ahora, definimos ¤ BF BF α

P

α OR

y los elementos de BF serán los conjuntos bien fundados. Obsérvese que la clase BF es realmente la fórmula BFpxq

Dα pα es un ordinal ^ x P BF α q.

BF es una clase propia conocida como la jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados, o jerarqu´ıa de Von Neumann. En la figura 2.2 se da una idea gráfica de los estratos de esta jerarqu´ıa. Observe que BF0 0, BF1 1 y BF2 2. Sin embargo, 3 BF3 , pues ttHuu P BF3 . Teorema 2.9 Los estratos de la jerarqu´ıa de los bien fundados tienen las siguientes propiedades. (i) Sea α un ordinal, entonces x x P BFα (ii)

Dβ α px BFβ q . Sean α y β ordinales, entonces α β si y s´ olo si BFα BFβ .

(iii) Para cualquier ordinal α, BFα es transitivo.

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BFω1

BFω

P BFn

BFω

n ω

P pBFn q

ω

BFn

1

H, tHu BF2 H BF1 BF0

Figura 2.2: La jerarqu´ıa de los conjuntos bien fundados

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Demostraci´ on. Se dejan como ejercicio.

%

Es claro que BF V . Con respecto a la contención contraria, no hay una respuesta general definitiva. La u ńica respuesta es parcial: podemos suponer que V BF, o bien podemos suponer que V BF, y ambas suposiciones son posibles, en el sentido de que no nos llevarán a contradicciones. Intuitivamente, el hecho de suponer V BF significa que todos los conjuntos están construidos a partir de un principio. De hecho por un ejercicio de esta sección, al considerar los elementos que pertenecen a un conjunto bien fundado, y los elementos que pertenecen a sus elementos y los elementos que pertenecen a los elementos que pertenecen a sus elementos, etc., llegaremos después de una cantidad finita de pasos, al vac´ıo (véase el inciso (ii) del ejercicio 2.7.24). Formalizando esto, veremos que la afirmación V BF es equivalente al axioma de buena fundaci´ on. Por otro lado, el hecho de suponer lo contrario, que V BF, significa suponer que no todos los conjuntos deben tener un “fondo”, sino que además de los conjuntos bien fundados, hay conjuntos sin principio de construcción, es decir, dentro de los que se pueden dar cadenas infinitas descendentes de pertenencias. El ejemplo más sencillo de este fenómeno es un conjunto x con la propiedad de que x txu, de esta manera se tendr´ıa que x P x P x P x . . ., etc. La existencia de tales conjuntos se postula mediante ciertos axiomas incompatibles con el axioma de buena fundación, por ejemplo el axioma de Antifundación AFA (el desarrollo de la teor´ıa de conjuntos con este axioma puede estudiarse en [Ac88]). Es importante mencionar aqu´ı que el axioma de buena fundación es parte de los axiomas de ZFE, es decir, la mayor´ıa de los libros clásicos de la teor´ıa de conjuntos consideran que todo conjunto es bien fundado. Esto es porque los conceptos básicos de las matemáticas (las relaciones, las funciones, los n´ umeros naturales y demás estructuras numéricas) pueden ser definidos dentro de la jerarqu´ıa de los bien fundados. Sin embargo, la razón para que el axioma de buena fundación siga siendo parte de la axiomática de ZFE es la utilidad práctica de trabajar sólo con los conjuntos bien fundados, y no que sea creencia generalizada de los conjuntistas que todos los conjuntos sean bien fundados. De hecho, muchos conjuntistas consideran que es un axioma de tipo restrictivo. Entonces, incluso si se incluye este axioma, puede pensarse que se está trabajando en una sección del universo de los conjuntos, la sección de los bien fundados, aunque puede ser que haya con-

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juntos fuera de esta sección del universo. Veamos ahora las demostraciones formales de lo discutido. Una de las consecuencias más importantes de la definición de los conjuntos bien fundados es que podemos seguir la pista de la construcción de un conjunto, al tener un registro de en qué estrato se fueron construyendo los elementos que lo constituyen. Esto se da gracias a que la jerarqu´ıa de los conjuntos bien fundados está bien ordenada por la clase de ´ındices para los estratos, es decir, por la clase de los ordinales. Si suponemos que un conjunto x pertenece a alg´ un estrato, es decir si Dβ P ORpx P BFβ q, entonces, por el principio del m´ınimo ordinal, existe un ordinal m´ınimo α tal que x P BFα 1 , de modo que α será el m´ınimo ordinal tal que x BFα . El lector debe convencerse del siguiente hecho: si un conjunto aparece por primera un α; es decir, el m´ınimo ordinal vez en BFβ , entonces β α 1, para alg´ β tal que x P BFβ es necesariamente un ordinal sucesor. Conjuntos más complejos que otros aparecerán más arriba en la jerarqu´ıa de conjuntos, por ejemplo ∅ P BF1 , n P BFn 1 , tnu P BFn 2 , ω P BFω 1 . Estas consideraciones motivan la siguiente definición. Definici´ on 2.13 El rango de un conjunto bien fundado x se denota como ρpxq y se define como ρpxq

£

tα P OR | x P BFα 1 u.

Es decir, ρpxq es el m´ınimo ordinal α tal que x BFα . Proposici´ on 2.11 Si x y y son conjuntos tales que x P y, entonces se tiene que ρpxq ρpy q. Demostraci´ on. Supongamos que x P y. Como y BFρpyq , x P BFρpyq . Por el ejercicio 2.7.16, sabemos que x P BFρpxq 1 y que ρpxq 1 es el m´ınimo ordinal que cumple esto. Como x P BFρpyq , tenemos que ρpxq 1 ¤ ρpy q y ρpxq ρpy q. % Obsérvese que el rec´ıproco de esta proposición no es cierto. Por ejemplo, tenemos que ρp∅q 0 2 ρptt∅uuq y, sin embargo, ∅ R tt∅uu. Teorema 2.10 Se tienen las siguientes afirmaciones.

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tx P BF | ρpxq αu, es decir, x P BFα si y s´ olo si ρpxq α. Para cualquier conjunto x, ρpxq tρpy q 1 | y P xu. Para cualquier ordinal α, ρpαq α. Para cualquier conjunto x, ρp xq ¤ ρpxq. Para cualquier conjunto x, ρp xq yPx ρpy q.

(i) Para cualquier ordinal α, BFα

(ii) (iii) (iv) (v)

%

Demostraci´ on. Se deja al lector. Probemos ahora la equivalencia entre la afirmación V de buena fundación o regularidad. El axioma de buena fundación afirma que

BF y el axioma

Todo conjunto no vac´ıo tiene un elemento minimal con respecto a la relaci´ on de pertenencia, es decir,

x x ∅ Ñ Dy y P x ^ zpz P x Ñ z R yq

.

Para demostrar que este axioma es equivalente a que V BF, necesitamos primero demostrar que dado un conjunto cualquiera c, existe un m´ınimo conjunto transitivo que lo contiene. Ser conjunto transitivo es una propiedad que cumplen algunos conjuntos y ya hemos visto que estos conjuntos tienen caracter´ısticas muy u ´tiles y elegantes. A continuación mostraremos que aunque no todo conjunto es transitivo, siempre podemos extenderlo de un modo canónico para tener un conjunto transitivo m´ınimo que lo contiene; tal conjunto se llama su cerradura transitiva. Desde luego, si el conjunto dado es transitivo, entonces su cerradura transitiva es él mismo. La construcción de dicha extensi´ on se hace por recursión para naturales (recursión hasta ω). Teorema 2.11 (Existencia de la cerradura transitiva) Para todo conas a´ un, si R es junto A, existe un conjunto transitivo T tal que A T . M´ transitivo y A R, entonces T R. A tal conjunto se le llama la cerradura transitiva de A y se denota con CT pAq.

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Demostraci´ on. Sea A un conjunto. Considérese el funcional unión : V Ñ V . Por la segunda versión del teorema de recursión transfinita, restringido a ω podemos definir una sucesión de conjuntos como sigue: A0 An 1

A,

An .

Sea T nPω An . Es claro que T es un conjunto, por el teorema de recursión transfinita, y los axiomas de reemplazo y unión, y que A T , pues A A0 T . Adem´ as, si x P T , entonces x P An , para alg´ un n P ω. Por lo tanto, x An An 1 T , con lo cual concluimos que T es transitivo. Por otro lado, supongamos que R es transitivo y que A R. Paraver R, basta observar que An R implica que An 1 An R, que T y que R R, pues R es transitivo. Por lo tanto, como A0 A R, An R para todo n P ω, y T R. Con esto se prueba que T es el menor % conjunto transitivo que contiene a A. Ejemplo 2.7.1 La cerradura transitiva de tcu es: CT

ptcuq tcu Y c Y pYcq Y pY Y cq Y . . .

Ahora s´ı veamos que la afirmación V buena fundación.

BF es equivalente al axioma de

Teorema 2.12 El axioma de buena fundaci´ on es equivalente a que todo conjunto es bien fundado. Demostraci´ on. Supongamos, además del axioma de buena fundación, que existe un conjunto no bien fundado c, es decir, existe un conjunto c P V tal que c R BF. Entonces α P ORpc R BFα q. De la existencia de c y del teorema anterior, se sigue la existencia de un conjunto transitivo B que tiene como elemento a c, digamos B CT ptcuq. As´ı, el conjunto A tx P B | α P ORpx R BFα qu es no vac´ıo. Por el axioma de buena fundación, existe m P A tal que m X A ∅. Ahora bien, si x P m, entonces, por ser B transitivo, x P B, pero claramente x R A, pues m X A ∅. De manera que x P BFα para alg´ un α P OR.

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Es decir, x es bien fundado. As´ı, todo elemento de m es bien fundado. Veamos que entonces m mismo es bien fundado. Dadox P m, sabemos que existe un ordinal αx tal que x P BFαx , entonces δ xPm αx es un ordinal (es conjunto por el axioma de reemplazo y el de unión). De donde m BFδ y m P BFδ 1 . Pero esto contradice el supuesto de que m P A. As´ı pues, el conjunto c no puede existir y todo conjunto es bien fundado. Para demostrar el rec´ıproco supongamos que todo conjunto es bien fundado. Sea A ∅. Mostremos que existe y P A tal que y X A ∅. Como todo conjunto es bien fundado, A P BF y existe un ordinal β tal que . Para todo y P A, definimos f py q m´ıntδ P OR | y P BFδ u. A BFβ Sea γ tf py q | y P Au m´ıntf py q | y P Au. Entonces γ P OR, pues tf pyq | y P Au ∅. Sea y0 P A tal que γ f py0q. Ahora bien, si y0 X A ∅, habr´ıa z P y0 X A. Entonces, por la proposición 2.11, ρpz q ρpy0 q, de donde f pz q ρpz q 1 ρpy0 q 1 f py0 q γ. Pero z P A y f pz q γ, lo que contradice la minimalidad de γ. Por lo tanto, existe y0 P A tal que y0 X A ∅, con lo cual se cumple el axioma de buena fundación. % Entonces hemos construido la clase de todos los conjuntos bien fundados de manera jerarquizada. Esta manera de ver a los conjuntos bien fundados es una herramienta poderosa para demostrar propiedades de estos conjuntos y para comprender mejor c´ omo están construidos conjuntos que teóricamente ya conoc´ıamos. Los ejercicios 2.7.19 y 2.7.20 de esta sección son un ejemplo interesante de la nueva información que se adquiere sobre el nivel de complejidad de ciertos conjuntos.

2.7.4.

Algunas pruebas interesantes

El axioma de elecci´ on fue agregado a la lista de axiomas por Zermelo en 1904, cuando se dio cuenta que se utilizaba para probar que para todo conjunto existe un buen orden del conjunto. Es un axioma especial pues afirma que ciertos conjuntos (las funciones de elección) existen sin dar una descripci´ on de ellos como colecciones de objetos que tengan una cierta propiedad. Por esto y por algunas de sus consecuencias contraintuitivas (como que para el conjunto de los n´ umeros reales exista un buen orden) fue dif´ıcil para algunos matemáticos aceptar este axioma. Sin embargo, sus consecuencias en varias ´ areas de las matemáticas son tan necesarias y poderosas (como, por

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ejemplo, que todo espacio vectorial tenga una base), que ya es poco com´ un encontrarse con alg´ un matemático que no lo acepte. El llamado teorema del buen orden afirma precisamente que para todo conjunto existe un buen orden del conjunto. Se sabe que esta aseveración es equivalente al axioma de elección. También se sabe que el lema de Zorn es equivalente al axioma de elección. Este lema afirma que si toda cadena en un orden parcial no vac´ıo está superiormente acotada, entonces en el orden parcial existe un elemento maximal, donde una cadena es un subconjunto linealmente ordenado del orden parcial. En esta sección damos una prueba de que el axioma de elecci´ on implica el teorema del buen orden y otra de que el axioma de elecci´ on implica el lema de Zorn. Estas pruebas utilizan el teorema de recursión transfinita y gracias a este teorema tienen una gran belleza, además de ser más rápidas y claras que las que no lo usan. Para ver las otras pruebas puede consultarse [Am05]. La pregunta respecto a para qué conjuntos existe un buen orden fue discutida desde los tiempos de Cantor, quien consideraba bastante claro que para todo conjunto exist´ıa un buen orden. Intuitivamente se puede dar una “demostración” de este hecho del siguiente modo. Sea A un conjunto cualquiera y sea b un conjunto cualquiera que no pertenece a A (sabemos que siempre existe tal b). Ahora, definimos un funcional F que toma valores ordinales. Sea F p0q Sea F p1q

" "

un elemento de A b

si A H, y en otro caso.

un elemento de AztF p0qu b

Y as´ı sucesivamente, " un elemento de AzimpF sea F pαq b

æα q

si AztF p0qu H, y en otro caso. si AzimpF æα q H, y en otro caso.

As´ı, F da una lista de los elementos de A ordenados por los ordinales. El proceso de “construcción” de esta lista terminará si y sólo si F toma el valor b para alg´ un ordinal. Pero veremos que en alg´ un momento lo tomará, pues la colecci´ on de todos los ordinales es clase propia y A es un conjunto. Desde luego, nosotros veremos c´ omo esta idea intuitiva se puede formalizar con todo rigor, usando dos hechos necesarios: el teorema de recursión transfinita y el axioma de elecci´ on.

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Teorema 2.13 El axioma de elecci´ on implica el teorema del buen orden. Demostraci´ on. Sea A un conjunto. Probaremos que existe r A A de manera que xA, ry es un buen orden. Por el axioma de elección, sea f una funci´ on de elecci´ on para P pAqzt∅u. Sea c un conjunto tal que c R A, este c existe, pues A es un conjunto. Definimos f 1 : P pAq Ñ A Y tcu como f 1 f Y tx∅, cyu. Ahora, definimos el funcional G : V Ñ A Y tcu como GpX q f 1 pAzX q. Obsérvese que

X pAzX ∅ Ø GpX q cq.

(2.4)

Mediante la cuarta versión del teorema de recursión transfinita podemos definir un u ńico funcional F : OR Ñ A Y tcu tal que

α P OR F pαq GpF rαsq f 1pAzF rαsq

.

Demostramos las siguientes tres afirmaciones. 1. Si F pαq c, entonces β

2.

3.

¤ αpF pβ q cq. Supongamos que F pαq c. Entonces GpF rαsq c y, por (2.4), se tiene que AzF rαs ∅. Si β ¤ α, se tiene que F rβ s F rαs, por lo que AzF rαs AzF rβ s. De aqu´ı que AzF rβ s ∅ y, por (2.4), concluimos que F pβ q c. Si F pαq c, entonces β, δ ¤ αpβ δ Ñ F pβ q F pδqq. Supongamos que F pαq c. Sean β y δ con β δ y β, δ ¤ α. Sin pérdida de la generalidad, podemos suponer que β δ. Por la afirmación 1, F pδq c, ya que δ ¤ α y F pαq c. As´ı pues, F pδq GpF rδsq c y, por (2.4), AzF rδs ∅. Esto implica que F pδq f 1 pAzF rδsq P AzF rδs, pues f 1 f Y tx∅, cyu, donde f es función de elección, y AzF rδs ∅. Por lo tanto, F pδq R F rδs, pero, como β δ, F pβ q P F rδs, por lo que F pβ q F pδq. Existe un ordinal β tal que F pβ q c. Si se cumpliera que para todo ordinal α, F pαq c, la afirmación 2 implicar´ıa que OR F rORs A. De aqu´ı que, por el axioma de separación, F rORs ser´ıa un conjunto, pero entonces el axioma de reemplazo implicar´ıa que OR F 1 rF rORss ser´ıa un conjunto, lo cual es absurdo.

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Por el principio del m´ınimo ordinal y la afirmación 3, sea β0 m´ıntβ P OR | F pβ q cu. Entonces F pβ0 q GpF rβ0 sq c y, por (2.4), AzF rβ0 s ∅, lo que equivale a A F rβ0 s. Ahora, por la minimalidad de β0 , se tiene que α β0 , F pαq c. Como el contradominio del funcional G es A Ytcu, α β0 , F pαq P A. Esto prueba que F rβ0 s A. Por lo tanto, F rβ0 s A y, por la afirmación 2, Fæβ0 : β0 A. Sea r A A tal que a, b P A a r b Ø F 1paq P F 1 pbq . Como xβ0 , Py es un buen orden, xA, ry también lo es. En este caso se dice que r es el buen orden inducido por β0 mediante Fæβ0 . % Ahora, veamos la otra prueba prometida, la de que el axioma de elección implica el lema de Zorn. El lema de Zorn es una afirmación muy famosa en matemáticas por su poder y elegancia para demostrar muchos resultados cl´ asicos, algunos de los cuales resultan incluso ser equivalentes al lema. Como ya mencionamos antes, este lema afirma que cualquier orden parcial no vac´ıo con la propiedad de que todas sus cadenas están superiormente acotadas, tiene un elemento maximal. La idea intuitiva de esta demostración, por reducción al absurdo, es suponer que no hay un elemento maximal en el orden parcial dado y definir por recursión sobre OR, usando dos funciones de elecci´ on, una cadena de objetos de modo que ser´ıa una cadena-clase propia contenida en el conjunto dado, lo cual es una contradicción. Esta elegante demostración vuelve a mostrar el poder del teorema de recursión transfinita, mezclado con la fuerza del axioma de elección. Teorema 2.14 El axioma de elecci´ on implica el lema de Zorn. Demostraci´ on. Sea xP, y un orden parcial no vac´ıo, tal que toda cadena en P tiene cota superior en P . Obsérvese que siempre hay cadenas en P , pues como P ∅, hay a P P y tau es una cadena en P . Supongamos, para llegar a una contradicción, que P no tiene un elemento maximal. Por el axioma de elección, existe una función de elección g para el siguiente subconjunto de P pP q

ta P P | a es cota superior de C u | C es cadena en P

(

.

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´ n transfinita 2.7. Aplicaciones de la recursio Ahora, definamos f1 : tC | C es cadena en P u Ñ P como

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f1 pC q g ta P P | a es cota superior de C u . Como por suposición P no tiene elemento maximal, tenemos que para cualquier q P P existe r P P tal que q r. De aqu´ı que, por el axioma de elecci´ on, existe una funci´ on de elección h para el siguiente subconjunto de P pP q ( tr P P | q ru | q P P . Sea f : tC | C es cadena en P u Ñ P , tal que f pC q h tr

P P | f1pC q ru .

Sea C una cadena en P . Gracias al teorema de recursión transfinita, podemos definir para cada ordinal α los siguientes elementos de P : c0 cα cγ

1

f pC q, h tr P P | cα ru , f tcδ | δ P γ u , si γ es un ordinal l´ımite.

Obsérvese que si γ es un ordinal l´ımite, cγ está bien definido, pues para cualesquiera β y α tales que β P α P γ, se tiene que cβ cα , por lo que tcδ | δ P γ u es realmente una cadena. Más aún, se puede verificar por inducción sobre α que si β P α, entonces cβ cα y que tcδ | δ P αu es una cadena. As´ı, C Æ tcδ | δ P ORu es una cadena contenida en P , pero entonces C Æ es una clase propia contenida en un conjunto, lo cual es absurdo. % Por lo tanto, xP, y tiene un elemento maximal.

Ejercicios 2.7.1.- Justifique, usando la tercera versión del teorema de recursión transfinita, que el funcional ωα está bien definido. 2.7.2.- Justifique recursivamente, utilizando el axioma de reemplazo que para todo ordinal α, ωα es un conjunto. Depués demuestre que para todo ordinal α, ωα es un ordinal, de manera similar a como demostramos que ω1 lo era.

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2.7.3.- Demuestre que si ωα es un ordinal inicial, entonces ωα 1 es un ordinal inicial. Este es el caso que no se hizo expl´ıcito en la demostración de la proposición 2.10. 2.7.4.-

(i) Justifique las definiciones de la suma, producto y exponenciaci´ on ordinal mediante la tercera versión del teorema de recursión transfinita. (ii) Demuestre que si α y β son ordinales, entonces α αβ son ordinales.

β, α β y

2.7.5.- Sean xA, ry y xB, sy dos buenos órdenes, y sean α y β sus tipos de orden, respectivamente. (i) Demuestre que la suma de xA, ry y xB, sy como tipos de orden es isomorfa a α β.

(ii) Demuestre que el producto de xA, ry y xB, sy como tipos de orden es isomorfo a α β. Sugerencia: Si xA, ry f xα, Py y xB, sy g xβ, Py, entonces utilice la función h definida como hpa, bq α gpbq f paq.

2.7.6.- Considérese el buen orden xZ, y, donde vemos a Z como la unión de los positivos con el cero, Z Yt0u, y los negativos, Z , y el orden está definido de la siguiente manera: $ & p, q

P Z Y t0u p q p, q P Z % p P Z Y t0u Pruebe que τ xZ, y ω ω.

y p Z q, o y q Z p, o y q P Z .

2.7.7.- Pruebe las siguientes propiedades de la suma ordinal: (i) (ii) (iii)

α, β, γ P OR pα β q γ α pβ γ q ; α, β, γ P OR α γ pβ α β γ q; α, β, γ P OR pβ α β γ q α γ .

2.7.8.- Pruebe las siguientes propiedades del producto ordinal: (i)

α, β, γ P OR pα β q γ α pβ γ q ;

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α, β, γ P OR α γ pβ α β γ q ; (iii) α, β, γ P OR pβ α β γ q α γ . Demuestre que α, β, γ P OR α pβ γ q α β α γ . Sean α y β ordinales tales que α ¤ β. Pruebe que α γ β tiene (ii)

2.7.9.2.7.10.-

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una solución u ńica para alg´ un ordinal γ.

2.7.11.- Para cada una de las siguientes igualdades, encuentre ordinales α, β y γ para los cuales no se cumplan y, si es posible, encuentre ordinales distintos para los que s´ı se cumplan. (i) (ii) (iii)

α β β α. α β β α. α 1 1 α.

2.7.12.- Si es posible, encuentre ordinales α, β y γ que cumplan los siguientes pares de condiciones, justificando su respuesta. (i) α γ β γ y α β. (ii) α γ β γ y α β. 2.7.13.- Para cada una de las siguientes igualdades, encuentre el m´ınimo ordinal α que la cumpla. (i) ω α α. (iii) ω α α. (ii) ω α α. 2.7.14.- Para cada uno de los siguientes ordinales α, encuentre un conjunto A Q tal que xA, Q æA y xα, Py. (i) α ω 1. (iii) α ω 2 . (ii) α ω 2. (iv) α ω ω . 2.7.15.- Sea xA, ry un buen orden. Dado z P P pAq denotamos con αz pfz q al u ńico ordinal (isomorfismo) tales que fz : xαz , Py xz, ry. Definimos el orden sobre P pAq como x y si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones excluyentes entre s´ı: - x∅yy -

∅, o x, y ∅ y αx P αy , o x, y ∅, αx αy y fx pβ q r fy pβ q, donde β m´ıntδ P αx | fx pδq fy pδqu.

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Pruebe que xP pAq, y es un orden total. ¿Es cierto que xP pAq, y es un buen orden? 2.7.16.- Verifique que para todo conjunto bien fundado x, x x R BFρpxq .

P BFρpxq

1

y

2.7.17.- Demuestre las siguientes afirmaciones del teorema 2.9: (i) (ii)

x x P BFα Dβ α px BFβ q . α β si y sólo si BFα BFβ .

(iii) BFα es transitivo. 2.7.18.- Demuestre las siguientes afirmaciones del teorema 2.10: (i) Para cualquier ordinal α, BFα x P BFα si y sólo si ρpxq α.

tx P BF | ρpxq αu, es decir,

(ii) Para cualquier conjunto x, ρpxq

(iii) Para cualquier ordinal α, ρpαq α. (iv) Para cualquier conjunto x, ρp (v) Para cualquier conjunto x, ρp

tρpyq

1|y

P xu.

xq ¤ ρpxq. xq

P ρpy q.

y x

2.7.19.- Sean x y y conjuntos. Exprese los siguientes rangos en términos de ρpxq y/o ρpy q: (i) ρpP pxqq; (v) ρpxx, y yq; (ii) ρptxuq; (vi) ρpx y q; (iii) ρptx, y uq; (vii) ρpy xq. (iv) ρpx Y y q; 2.7.20.- Calcule ρpZq, ρpQq, ρpRq y ρpCq. Sugerencia: ρpCq ρpR2 q. 2.7.21.- Demuestre que el axioma de buena fundación implica que

x px R xq. 2.7.22.- Demuestre que el axioma de buena fundación implica que 2.7.23.-

Dx1 , . . . , xn px1 P x2 P . . . P xn P x1q. Demuestre que si x P BF y x es un conjunto transitivo de conjuntos

transitivos, entonces x es un ordinal.

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´ n transfinita 2.7. Aplicaciones de la recursio 2.7.24.-

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(i) Demuestre que no hay un conjunto tan : n P ω u BF tal que n P ωpan 1 P anq. Sugerencia: Véase el ejercicio 1.2.6.

(ii) Demuestre que si A P BF, entonces no existe tan : n P ω u A tal que n P ω pan 1 P an q.

2.7.25.- Suponga el axioma de buena fundación y suponga que si un conjunto A es bien ordenable, entonces P pAq es bien ordenable. Demuestre que entonces todo conjunto es bien ordenable. 2.7.26.- Justifique con los teoremas de recursión transfinita adecuados, los funcionales definidos en las pruebas de los teoremas 2.13 y 2.14. 2.7.27.- Complete la demostración del teorema 2.14, es decir, demuestre por inducción sobre α que si β P α, entonces cβ cα y que tcδ | δ P αu es una cadena.

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3 Números cardinales 3.1.

Introducci´ on

En varios de los libros que intoducen la Teor´ıa de Conjuntos, como [Am05] o [HrJe84], se define el hecho de que los conjuntos A y B tengan el mismo n´ umero de elementos sin que se necesite definir el concepto de n´ umero de elementos. Esto se hace simplemente usando el concepto de equipotencia (definición 1.23): A y B tienen el mismo n´ umero de elementos o son equipotentes si y sólo si existe una función biyectiva f : A Ñ B; este hecho muchas veces se denota como A B. En este caso se dice también que A y B tienen la misma cardinalidad y se denota como |A| |B |. Usando esta sencilla definición se pueden demostrar muchos resultados interesantes, sin recurrir al concepto de n´ umero de elementos. Después se puede hacer una suposición plausible de que existen conjuntos que se llaman n´ umeros cardinales cumpliendo que para todo conjunto X existe un u ńico n´ umero cardinal |X |, y que los conjuntos X y Y son equipotentes si y sólo si |X | |Y |. Con esta suposición basta para poder definir la aritmética cardinal: la suma, el producto y la exponenciación de n´ umeros cardinales y probar varias de sus propiedades. Véase por ejemplo [Am05] o [HrJe84]. 103 i

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´meros cardinales 3. Nu

La intención de este cap´ıtulo es la de definir formalmente qué conjuntos son los n´ umeros cardinales, lo que traerá consigo definir formalmente lo que significa el tama˜ no o n´ umero de elementos de un conjunto, y probar que estas definiciones satisfacen todas las propiedades arriba mencionadas. Adem´ as, teniendo la definición formal de n´ umero cardinal, en la sección 3.5.1 podremos demostrar una de estas propiedades (que para todo cardinal infinito κ, κ κ κ) sin recurrir al axioma de elección (cosa que sin la definición es inevitable) y también obtendremos resultados nuevos. Esto se logra usando el concepto de n´ umero ordinal. Para definir a los n´ umeros cardinales o, simplemente, cardinales debemos considerar la elecci´ on de representantes de cardinalidades. La idea intuitiva se desprende del hecho de que la relación “tener la misma cardinalidad” se comporta como una relación de equivalencia sobre la clase propia del universo de los conjuntos. Sin embargo, ni siquiera la clase de equivalencia de los conjuntos que tienen la misma cardinalidad que el conjunto t∅u es un conjunto. Es decir, ni siquiera la colección de todos los conjuntos que intuitivamente tienen sólo un elemento es un conjunto. As´ı, la elección de un representante para cada cardinalidad es necesaria y debe hacerse con cuidado. Para un conjunto finito es fácil elegir un representante de su cardinalidad, la elecci´ on natural es la del n´ umero natural equipotente con él. De forma que los n´ umeros naturales son n´ umeros cardinales. Para los conjuntos infinitos, buscamos elegir también un n´ umero ordinal, pero la elección no es tan natural. Usando el axioma de elección, sabemos que todo conjunto es bien ordenable y, por el teorema de enumeración, ése buen orden es isomorfo a un u ńico ordinal. Entonces para todo conjunto existe un ordinal con el cual es biyectable (o equipotente). As´ı que suena plausible, elegir a este ordinal como el cardinal del conjunto. Sin embargo, si A es infinito, existen muchas maneras de bien ordenar a A que dan como resultado buenos órdenes no isomorfos, por lo que existen muchos ordinales con los cuales A es biyectable. Entonces para definir el cardinal de A necesitamos elegir un solo ordinal. Esto lo podemos hacer usando el principio del m´ınimo ordinal: eligiendo el m´ınimo ordinal con el cual A es biyectable. As´ı, un n´ umero cardinal es un ordinal que no es biyectable con los ordinales menores a él.

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3.2.

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De la definición 2.9 sabemos que un ordinal inicial es un ordinal que no es equipotente (o biyectable) con ning´ un ordinal anterior a él. De aqu´ı que la definición de un cardinal es precisamente la de ser un ordinal inicial. Definici´ on 3.1 Un cardinal es un ordinal inicial, es decir, un ordinal no biyectable con ning´ un ordinal menor. En la definición anterior y en adelante, debe entenderse que el orden entre los cardinales es el mismo que el de los ordinales. Se deja al lector verificar que cualquier n´ umero natural es un ordinal inicial, por lo que los cardinales finitos son n´ umeros naturales. De aqu´ı en adelante denotaremos con κ, λ, µ a cardinales infinitos y con m, n a los finitos. Con CAR denotaremos a la clase de todos los cardinales infinitos, es decir, CAR tκ : κ es un cardinal y κ ¥ ω u. Abusando de la notación, obsérvese que CAR OR. Proposici´ on 3.1 Se cumplen las siguientes propiedades. (i) Si κ y λ son cardinales tales que κ λ, entonces κ λ. (ii) La pertenencia se comporta como un buen orden para la clase de los cardinales. (iii) Para toda n P ω, n es cardinal; ω es cardinal y para toda α P OR, ωα es cardinal. (iv) Si κ P CAR, entonces κ es un ordinal l´ımite. (v) Si α P OR, α ω y α ω, entonces α R CAR. Demostraci´ on. (i) Sean κ y λ cadinales tales que κ λ. Como κ y λ son cardinales y κ λ, tenemos que κ λ y λ κ. Entonces κ λ, pues la pertenencia se comporta como un orden total para los ordinales.

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(ii) Como los cardinales son una subclase de la clase OR y, por el principio del m´ınimo ordinal, la pertenencia se comporta como un buen orden para OR, P también se comporta como un buen orden para la clase de los cardinales. (iii) Se deja al lector como ejercicio, verificar que todo natural es un cardinal. El hecho de que ω es cardinal se desprende de que sea el primer ordinal infinito. Por la proposición 2.10, sabemos que para toda α P OR, ωα es cardinal. (iv) Sea κ P CAR. Si κ fuera un ordinal sucesor, digamos κ α 1, entonces se puede encontrar una biyección de κ con el ordinal anterior, es decir, κ α. Pero entonces α κ y κ α, lo cual contradice el hecho de que κ es cardinal. Se deja como ejercicio dar la biyección κ α. (v) Se deja como ejercicio.

%

Sin usar la definición formal de cardinal, utilizando sólo la noción de cardinalidad como la discutimos en la introducción de este cap´ıtulo, se pueden demostrar varias propiedades, como por ejemplo el siguiente famoso teorema. Teorema 3.1 (Cantor-Schr¨ oder-Bernstein) Sean A y B conjuntos cualesquiera. Si existen funciones inyectivas f : A Ñ B y g : B Ñ A, entonces A B. Demostraci´ on. Puede verse la demostración que no utiliza la definición % de cardinal de este teorema en [Am05]. A este respecto es importante observar que con la definición de cardinal, el axioma de elecci´ on y suponiendo cierta propiedad de la relación de dominancia entre conjuntos, podemos dar otra demostración de este teorema. Recuérdese primero la definición de la relación de dominancia: decimos que un conjunto A está dominado por B si existe una función inyectiva de A en B, lo cual se denota como A ¨ B. Como por el axioma de elección todo conjunto es bien ordenable, entonces por el teorema de enumeración y por el principio del m´ınimo ordinal, existen ordinales m´ınimos α y β con los cuales

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A y B son biyectables respectivamente. Por el ejercicio 3.2.3 de esta sección α y β son cardinales y como por el inciso (ii) de la proposición anterior P se comporta como un buen orden para los cardinales, entonces tenemos que ¤ se comporta como una relación antisimétrica para los cardinales. Luego entonces, como A ¨ B y B ¨ A, entonces por lo anterior α ¨ β y que β ¨ α. Ahora bien, si suponemos adicionalmente que

λ, κ P CARpλ ¨ κ ñ λ ¤ κq (3.1) entonces como α ¨ β y β ¨ α entonces α β y por lo tanto A B. Esto concluye una demostración de que la propiedad (3.1) implica el teorema de Cantor-Schröeder-Bernstein.

Al final de esta sección veremos que la clase de todos los cardinales es, al igual que la de los ordinales, una clase propia, por lo que no siempre sucede que la unión de una colección de cardinales es un cardinal. Sin embargo, si la colecci´ on es un conjunto, entonces la unión s´ı es un cardinal. Para demostrar esto, usamos una de las consecuencias del teorema de CantorSchröder-Bernstein que se deja al lector como ejercicio: si κ, λ y µ son cardinales tales que κ ¨ λ ¨ µ y κ µ, entonces κ λ µ. Proposici´ on 3.2 La uni´ on de un conjunto de cardinales es un cardinal, es decir, si X es un conjunto de cardinales, entonces X es un cardinal.

Demostraci´ on. Sean X un conjunto de cardinales y γ X. Como X es un conjunto de ordinales, por el ejercicio 2.2.1, γ es un ordinal. Si γ no fuera un cardinal, existir´ıa un ordinal δ γ X tal que δ γ. En tal caso δ P X, por lo que existir´ıa un κ P X tal que δ P κ. De esta manera se tendr´ıa que δ κ γ, por lo que δ ¨ κ ¨ γ y δ γ. As´ı, por el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, se obtendr´ıa queδ κ, lo cual es una contradicción a que κ es cardinal. Por lo tanto, γ X debe ser un cardinal. % A continuación presentamos el teorema de Hartog, el cual asegura que para todo conjunto A existe un cardinal m´ınimo que no es puede inyectar en él y que, por lo tanto, intuitivamente tiene más elementos. Para el caso particular en que A sea un cardinal κ, el teorema nos asegura la existencia

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de otro cardinal m´ınimo no dominado por él y, por tanto, es el primero estrictamente mayor que κ, es decir, es el sucesor cardinal de κ. Teorema 3.2 (Hartog) Para todo conjunto A existe un m´ınimo cardinal κ no dominado por A y dominado por P pP pA Aqq. Demostraci´ on. Sean A un conjunto y κ tα P OR | α ¤ Au. Si κ es un conjunto, entonces veamos que es un conjunto transitivo de ordinales. Sean α y β ordinales tales que β P α P κ, entonces β ¤ α ¤ A, por lo que β P κ. De aqu´ı que κ es un ordinal. Por otra parte, veamos que κ es un cardinal. Sea β κ, entonces β ¤ A, por lo que β κ, pues si κ β ¤ A, κ ¤ A, lo cual implicar´ıa el absurdo de que κ P κ. De manera que κ es un cardinal y además κ ¤ A. Finalmente, si µ es un cardinal que cumple que µ ¤ A y tuviéramos que µ κ, entonces µ ¤ A lo cual es una contradicción. Por lo tanto, si µ ¤ A, κ ¤ µ, es decir, κ es el m´ınimo cardinal no dominado por A. Por supuesto falta mostrar que κ es un conjunto, para lo cual definimos el siguiente conjunto:

txB, ry | B A, r B B y xB, ry es un buen ordenu. Claramente W P pAq P pA Aq. Sea F : W Ñ OR, donde F pxB, ryq se define como el u ńico ordinal α tal que xB, ry xα, Py. El teorema de W

enumeración garantiza que F está bien definida. Es claro que W es un conjunto por el axioma de separación. Afirmamos que F rW s κ con lo cual, por el axioma de reemplazo, habremos demostrado que κ es conjunto. Sea F pxB, ryq P F rW s y digamos que F pxB, ryq α. Entonces xα, Py xB, ry, por lo que α B ¤ A. De manera que F pxB, ryq P κ. Por otro lado, si β P κ, entonces β ¤ A, por lo que β B para alg´ un B A. Supongamos que g : β Ñ B es la función biyectiva. Calcando el buen orden de β a través de g, definimos el buen orden r para B como x r y si y sólo si g1 pxq P g1 py q. Se puede verificar que efectivamente xB, ry es un buen orden, además de que xB, ry g1 xβ, Py, de donde β F pxB, ryq P F rW s. As´ı, podemos concluir que F rW s κ y que κ es un conjunto. Finalmente, veamos que κ ¤ P pP pA Aqq. Definimos G : κ Ñ P pP pA Aqq mediante Gpαq tr P W | F prq αu F 1 rαs, es decir, Gpαq es la pre-imagen de α bajo F . La función G es inyectiva, pues si Gpαq Gpβ q,

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i i

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i


i


109

entonces para toda r P Gpαq se tiene que xα, Py xB, ry xβ, Py, de modo que por el teorema de enumeración, α β. La inyectividad de G atestigua la relación κ ¤ P pP pA Aqq. % Es interesante decir aqu´ı que para esta demostración del teorema de Hartog no hizo falta utilizar el axioma de elección, comentario que, siempre que sea posible, vale la pena aclarar en cualquier teorema que asegure la existencia de un conjunto ya que el axioma de elección no nos define lo que afirma que existe y claramente una definición constructiva nos da más información. Definici´ on 3.2 (N´ umero de Hartog) Dado un conjunto A, sea HpAq el m´ınimo cardinal no dominado por A, llamado el n´ umero de Hartog de A, de esta forma se define un funcional H : V Ñ ω Y CAR que asocia a cada conjunto un cardinal que representa al siguiente tama˜ no posible al tama˜ no de A. Al n´ umero de Hartog de un cardinal λ lo denotamos por λ . El n´ umero de Hartog de un conjunto está bien definido por el teorema de Hartog. Adem´ as, obsérvese que para definir el n´ umero de Hartog de un conjunto no necesitamos la segunda parte del teorema (la que afirma que el cardinal está dominado por la potencia de la potencia del conjunto). Sin embargo, es un resultado bonito que se puede utilizar para probar una afirmación muy interesante: que la hipótesis generalizada del continuo, de la cual hablaremos en el cap´ıtulo 4 (también véase el ejercicio 3.4.9), implica el axioma de elecci´ on. Para esta demostración véase [Am89]. Proposici´ on 3.3 El cardinal λ menor cardinal mayor que λ.

es el cardinal sucesor de λ, es decir, el

umero de Hartog de Demostraci´ on. Sea λ un cardinal. Como λ es el n´ λ, λ ¤ λ. Por el ejercicio 3.2.6 de esta sección, tenemos que λ λ. De aqu´ı que λ λ y, como λ es el menor cardinal con esta propiedad, λ es % el cardinal sucesor de λ. Como prometimos, aqu´ı está la prueba de que la clase de los cardinales es propia. Proposici´ on 3.4 CAR es una clase propia.

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i i

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i


i


110

Demostraci´ on. Una consecuencia del teorema de Hartog es que CAR no CAR ser´ıa tiene un u ´ltimo cardinal. Si CAR fuera conjunto, entonces un cardinal, por la proposici´ on 3.2. Adem´ as, para cualquier κ P CAR, es decir, κ CAR para todo cardinal intendr´ıamos que κ CAR, finito. Esto implica que CAR CAR y esto es una contradicción a que CAR sea ordinal. De manera que CAR no puede ser un conjunto. %

Ejercicios 3.2.1.- Demuestre que todo n´ umero natural es un cardinal y que, por ende, los cardinales finitos son los naturales. Sugerencia: Véase el lema de finitud en la página 69 del libro [Am05]. 3.2.2.- Demuestre que si α P OR, α ω y α ω, entonces α R CAR. 3.2.3.- Sea A un conjunto cualquiera. Sea γ la colección de todos los ordinales equipotentes a A. (i) Demuestre que γ es un conjunto y es no vac´ıo. (ii) Demuestre que el m´ınimo ordinal de γ es un cardinal. 3.2.4.- Dar la biyecci´ on requerida en la prueba del inciso (iv) de la proposición 3.1 3.2.5.- Usando el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein, demuestre que si κ, λ y µ son cardinales tales que κ ¤ λ ¤ µ y κ µ, entonces κ λ µ. 3.2.6.- Sean λ y κ cardinales cualesquiera. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando su respuesta. Compare sus respuestas con las del ejercicio 2.4.8 que habla de ordinales. (i) (ii) (iii) (iv) (v)

λ κñλ¨κ λ¨κñλ¤κ λ κñλ κ λ κñλ κ λκñλκ

(vi) (vii) (viii) (ix) (x) (xi)

λκñλκ λ κñλκ λ κ ñ pλ κ λ¨κ _ κ¨λ λ κ ñ pλ ¨ κ λ¨κλ¤κ

_ κ λq _ κ ¨ λq

i

i i

i

i

i


i

3.3. La jerarqu´ıa de los alefs

3.3.

111

La jerarqu´ıa de los alefs

En esta sección, usando el teorema de recursión transfinita, definimos una jerarqu´ıa de cardinales infinitos. Esto lo hacemos utilizando el n´ umero de Hartog, es decir, en este caso el concepto de cardinal sucesor. Además, conseguimos algo más poderoso: que cualquier cardinal infinito sea un cardinal de la jerarqu´ıa. Por lo que, como sucede en los eventos importantes en matemáticas, definimos objetos que tienen una propiedad y terminamos definiendo todos los objetos que tienen dicha propiedad (la de ser cardinal infinito). Definici´ on 3.3 El funcional álef ℵ : OR Ñ CAR se define mediante el teorema de recursi´ on transfinita como sigue: ℵp0q ℵpα 1q ℵpγ q

ω, ℵpαq , β γ ℵpβ q,

si γ es un ordinal l´ımite.

En adelante usaremos la notación usual ℵα en vez de ℵpαq. A los elementos de la imagen del funcional álef se les puede llamar los alefs. La siguiente proposición afirma que efectivamente el funcional álef arroja cardinales infinitos. Proposici´ on 3.5 Para todo α son cardinales infinitos.

P OR, ℵα P CAR. Es decir, todos los alefs

Demostraci´ on. Se deja al lector.

%

Ahora podemos demostrar que efectivamente todo cardinal infinito es un ´ alef. Proposici´ on 3.6 Se tiene que CAR tℵα | α P ORu. Demostraci´ on. En la proposición 3.5 ya se probó que tℵα | α P ORu CAR. Supóngase que existe un µ P CAR tal que µ ℵα para todo α P OR. Sea κ el m´ınimo ordinal tal que es cardinal infinito y cumple esta propiedad. Sea X tℵα | ℵα κu tλ P CAR | λ κu. Dado que ω P X, X ∅. Analizamos dos casos. Si X tiene un u ´ltimo elemento digamos ℵα , entonces

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i i

i

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i


112

´ltimo κ ℵα ℵα 1 , lo cual contradice que κ no es un álef. Si X no tiene u l´ ımite. De elemento, entonces X tℵα | α γ u, donde γ es un ordinal aqu´ı que κ suptλ P CAR | λ κu suptℵα | α γ u α γ ℵα ℵγ , contradiciendo nuevamente la definición de κ. Por lo tanto, CAR tℵα | α P ORu. % Recuérdese que en la sección 2.7.1 definimos los ordinales iniciales infinitos ωα . Ahora podemos decir que estos ordinales infinitos son cardinales. De aqu´ı que, por la proposición anterior, podemos asegurar que cualquier ωα es un ℵβ . Una consecuencia importante de esto es que todo ordinal inicial infinito (o cardinal infinito) es un ωα . De hecho, se puede demostrar que para cualquier ordinal α, ωα ℵα . Lo interesante de esto es ver que, a pesar de que la motivaci´ on de la construcción de los alefs es muy distinta a la de los ordinales iniciales infinitos, pues una es con el n´ umero de Hartog o el concepto de cardinal sucesor y la otra es a través del concepto de buen orden y del teorema de enumeración, obtenemos los mismos cardinales. La siguiente tabla clasifica a los ordinales en términos de si son ordinales sucesores, ordinales l´ımites, cardinales sucesores y/o cardinales l´ımites; de acuerdo con la definición 3.4. $ 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' sucesores ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' &

OR

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' %

ordinales finitos no cero cardinales finitos no cero 1, 2, 3, ... ordinales l´ımite no cardinales

l´ımites ω ω, ω ω ω, ...,ω1 ω, ...

ordinales sucesores infinitos, no son cardinales ω 1, ω 2, ...,ω ω 1, ... CAR (= alefs) cardinales infinitos sucesores ω1 ℵ1 , ℵ2 , ..., ℵω 1

cardinales l´ımites ω ℵ0 , ℵω , ℵω ω , ..., ℵω1

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i i

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i


113

Definici´ on 3.4 Un cardinal infinito κ se llama sucesor si y s´ olo si existe un un ordinal α tal que κ ℵα 1 , y se llama l´ımite si es ℵ0 o ℵγ , para alg´ ordinal l´ımite γ. Damos las siguientes definiciones para funcionales f : OR Ñ OR. Re cuerde que si γ es un ordinal, supβ γ f pβ q β γ f pβ q, otra manera de denotar este ordinal es con l´ımβ γ f pβ q, y esta manera da mayor sentido a la palabra “continuo” en la siguiente definición. Definici´ on 3.5 Sea f : OR Ñ OR un funcional. (i) f es monótono si y s´ olo si α, β (ii)

P ORpα β Ñ f pαq f pβ qq. f es continuo si y s´ olo si para todo ordinal l´ımite γ, f pγ q l´ımβ γ f pβ q.

(iii) f es normal si y s´ olo si f es mon´ otono y continuo. Obsérvese que si f es un funcional continuo y γ es un ordinal l´ımite, se tiene que f l´ım β l´ım f pβ q.

β γ

β γ

Los funcionales normales gozan de diversas propiedades interesantes, a continuación mostramos una de ellas. Definici´ on 3.6 Sea f : OR Ñ OR un funcional. Un punto fijo para f es un ordinal α tal que f pαq α. Proposici´ on 3.7 Sea f : OR Ñ OR un funcional normal, entonces f tiene puntos fijos arbitrariamente grandes. Demostraci´ on. Sea α un ordinal. Definimos la siguiente sucesión por recursión hasta ω: β0 α, βn

1

f pβnq.

i

i i

i

i

i


i


114

Sea β nPω βn . Veamos que β es un punto fijo de f . Para esto primero hay que notar que β es un ordinal l´ımite, pues tβn |n P ω u no tiene máximo al ser f monótona. As´ı, f pβ q

f

¤

¤ nPω

P

n¤ ω

P

βn

f pβn q βn

1

n ω

β.

La primera igualdadse da por la continuidad de f . Para ver la segunda igualpβnq ¤ γ β fpγ q, pues a cada f pβnq lo podemos dad, basta ver que nPω f q, pues dado γ β, hay ver como un f pγ q; y que γ β f pγ q ¤ nPω f pβn n P ω tal que γ βn , por lo que f pγ q f pβn q, y γ β f pγ q ¤ nPω f pβn q.

%

Obsérvese que dado un ordinal α, si β es el ordinal construido en la demostración anterior, β m´ıntδ P OR|f pδq δ ^ α ¤ δu. Esto es cierto, pues dado γ P tδ P OR|f pδq δ ^ α ¤ δu, veamos que β ¤ γ, para lo cual basta probar por inducción sobre ω que para todo n P ω, βn ¤ γ. Tenemos que β0 α ¤ γ, pues γ P tδ P OR|f pδq δ ^ α ¤ δu. Además, si βn ¤ γ, entonces, como f es monótona, βn 1 f pβn q ¤ f pγ q γ. De aqu´ı que β ¤ γ. Por lo tanto, efectivamente β m´ıntδ P OR|f pδq δ ^ α ¤ δu. A continuación mostramos que el funcional ℵ es normal y, por lo tanto, de acuerdo a la proposición anterior, existe una cantidad infinita de ordinales α tales que ℵα α. Proposici´ on 3.8 ℵ es un funcional normal. Demostraci´ on. Veremos que ℵ es monótono, por inducción sobre β. Si β 0, entonces para cualquier α β, se tiene que α 0 y la implicación es trivialmente válida. Supongamos que α P ORpα β Ñ ℵα ℵβ q. Sea α β 1, entonces hay dos casos. Si α β, entonces ℵα ℵβ ℵβ ℵβ 1 ; si α β, entonces, por la hipótesis de inducción, ℵα ℵβ ℵβ ℵβ 1 .

i

i i

i

i

i


i


115

Si β es un ordinal l´ımite γ, suponemos que α, δ γ pα δ Ñ ℵα ℵδ q. la hipótesis de inducción, teSea α γ. Como γ es l´ımite, α 1 γ y, por nemos que ℵα ℵα 1 . Por otro lado, ℵα 1 β γ ℵβ ℵγ , por definición del funcional ´ alef. De aqu´ı que ℵα ℵγ . As´ı, ℵ es monótono y ℵ es funcional continuo simplemente por cómo se definió. Por lo tanto, ℵ es un funcional normal. % Corolario 3.1 Para todo α P OR, existe κ ¡ α tal que ℵκ Por ejemplo, si α ℵ0 , hacemos κ

tℵ0, ℵℵ , ℵℵ 0

ℵ0

κ. , . . .u.

Ejercicios 3.3.1.- Revise que la definición del funcional álef está bien justificada por el teorema de recursión transfinita. 3.3.2.- Demuestre la proposición 3.5: para todo α P OR, ℵα

P CAR.

3.3.3.- Verifique que si f : OR Ñ OR es un funcional continuo, para todo ordinal l´ımite γ se tiene que f pl´ımβ γ β q l´ımβ γ f pβ q. 3.3.4.- Sean F uncpxq la fórmula que dice “x es función”, dompxq el término que representa al “dominio de x”, Ordpαq la fórmula que dice “α es ordinal” y Limpαq la que dice que “α es ordinal l´ımite”. Sea G : V Ñ V una operación sobre el universo definida como sigue para cualesquiera x, y: Gpxq y

_

F uncpxq ^ dompxq 0 ^ y

_

F uncpxq ^ Dα Ordpαq ^ dompxq α y

_

ℵ0

|tf : xpαq Ñ 2u|

1^

F uncpxq ^ Dα Limpαq ^ dompxq α ^ y

xrαs

F uncpxq _ pF uncpxq ^ α P ORpdompxq αq y

∅

q^

.

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i i

i

i

i


i


116 (i) Verifique que G es un funcional.

(ii) Aplique el teorema de recursión para ordinales utilizando el funcional G para definir una u ńica operación funcional con dominio OR a la cual llamaremos beth i.

(iii) Diga a qué son iguales ip0q, ipα

1q, y ipγ q para γ l´ımite.

(iv) Demuestre que i es un funcional normal.

3.4.

El cardinal de un conjunto

Como mencionamos en la introducción de este cap´ıtulo, ahora que sabemos la definición de n´ umero cardinal, podemos formalizar la idea de cardinal de un conjunto, mientras que antes sólo pod´ıamos asegurar cuándo es que dos conjuntos ten´ıan el mismo cardinal. Debe ser clara la importancia de esto, pues ahora realmente podemos decir cuál es el tama˜ no o cuál es el n´ umero de elementos de cualquier conjunto. Definici´ on 3.7 (AE) Sea A un conjunto. El cardinal de A, denotado como |A|, es el m´ınimo ordinal biyectable con A. Veremos en la siguiente proposición que el cardinal de un conjunto realmente es un cardinal. Además, veremos que para asegurar que todo conjunto tiene cardinal se necesita el axioma de elección. Claro que si se sabe que un conjunto es bien ordenable, el axioma de elección no es necesario para asegurar la existencia de su cardinal. Proposici´ on 3.9 Se cumplen las siguientes propiedades. (i) Para cualquier conjunto A, |A| existe y es u ńico. (ii) Para cualquier conjunto A, el ordinal |A| es un cardinal. (iii) Para cualquier conjunto A, |A| (iv) Si α P OR, entonces |α| cardinal.

¤

α.

tα P OR | α Au. M´ as a´ un, |α| α si y

s´ olo si α es

Demostraci´ on.

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i i

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3.4. El cardinal de un conjunto

117

(i) Sea A un conjunto. Por el axioma de elección, existe r A2 tal que xA, ry es un buen orden. Por el teorema de enumeración, existe un u ńico ordinal α tal que xA, ry xα, Py, por lo que A α. Entonces, usando el principio del m´ınimo ordinal, podemos encontrar el m´ınimo ordinal biyectable con A. La unicidad se sigue del hecho de que el m´ınimo ordinal de un conjunto de ordinales es u ńico. (ii) Sea A un conjunto. Si |A| no fuera un cardinal, entonces existir´ıa un ordinal β |A| tal que |A| β. Como A |A|, A β y β |A|, contradiciendo la minimalidad de |A|. (iii) Se deja como ejercicio al lector. (iv) Se deja como ejercicio al lector.

%

En la siguiente proposición vemos que la definición de cardinal efectivamente preserva la idea de que dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos si y sólo si tienen el mismo cardinal. Análogamente, se da lo esperado para el concepto de dominancia. Proposici´ on 3.10 Sean A y B conjuntos. Entonces se tiene lo siguiente. olo si |A| |B |. (i) A B si y s´ (ii) A ¨ B si y s´ olo si |A| ¤ |B |. Demostraci´ on. (i) Supongamos que A B. Como |A| A y |B | B, |A| aqu´ı que, por el inciso (i) de la proposición 3.1, |A| |B |.

|B |. De

Rec´ıprocamente, si |A| |B |, entonces A |A| |B | B, de donde A B.

(ii) Si A ¨ B, entonces, como |A| dos casos.

A y |B | B, |A| ¨ |B | y tenemos

Si |A| |B |, entonces, por el inciso (i) de la proposición 3.1, |A| |B | y, por lo tanto, |A| ¤ |B |.

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i i

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118

Por otro lado, si |A| |B |, entonces, por el teorema de CantorSchröder-Bernstein, no puede haber una inyección de |B | en |A|. Entonces |B | |A|, es decir, |B | R |A|. Como P es tricotómica en los ordinales, se tiene que |A| ¤ |B |. Rec´ıprocamente, |A| ¤ |B | implica que |A| |B |, que a su vez, impli% ca que |A| ¨ |B |. As´ı, como |A| A y |B | B, A ¨ B.

Ejercicios 3.4.1.- Demuestre que para cualquier conjunto A, |A| Au.

tα P OR | α

3.4.2.- Sea α un ordinal. Demuestre lo siguiente: (i) |α| ¤ α.

(ii) |α| α si y sólo si α es cardinal. 3.4.3.- Sean α y β ordinales y κ un cardinal. Demuestre lo siguiente: (i) Si α β, entonces |α| ¤ |β |.

(ii) Si α κ, entonces |α| κ.

(iii) Si κ α, entonces κ ¤ |α|.

(iv) Si |α| |β |, entonces α β.

3.4.4.- Sean α y β ordinales. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, dando prueba o contraejemplo. (i) Si α β, entonces |α| |β |.

(ii) Si |α| |β |, entonces α β. (iii) Si β

|α|

, entonces |β | ¤ |α|.

3.4.5.- ¿Es cierto que si α y β son ordinales tales que |α| |β |, entonces α β? Justifique su repuesta, dando prueba o contraejemplo.

i

i i

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i

119

3.4. El cardinal de un conjunto

3.4.6.- En el ejercicio 2.4.7 se pidió probar que si xA, ry es un buen orden infinito, existe una relación binaria r1 sobre A tal que xA, r1 y es un buen orden y xA, r1 y xA, ry. ¿Cuántos buenos órdenes no isomorfos se pueden definir sobre A? ¯ tq A A | xA, q y xA, ryu y BA 3.4.7.- Sea r A A. Definimos r tr¯ | xA, ry buen orden y r A Au. Sea OA tα P OR | α Au. Pruebe que BA OA y que "

|OA| 1|A|

si A es finito si A es infinito

3.4.8.- Demuestre la equivalencia de las siguientes afirmaciones: (a) (b)

DY pN Y ^ |R| ℵ1.

Y

Rq,

La afirmación (a) es la famosa hipótesis del continuo (HC), que dice que no hay ning´ un conjunto con cardinalidad mayor que la de los naturales y menor que la de los reales. ¿Se necesita en alguna de las pruebas del axioma de elección? 3.4.9.- Demuestre la equivalencia de las siguientes afirmaciones: (a)

DX pA X ^

(b) 2|A| |A| .

X

P pAqq,

La afirmación (a) es la hipótesis generalizada del continuo (HGC), que es una generalización de la hipótesis del continuo mencionada en el ejercicio anterior y de la cual discutiremos en el cap´ıtulo 4. ¿Se necesita en alguna de las pruebas del axioma de elección? 3.4.10.- Recuerde el funcional beth definido en el ejercicio 3.3.4 y que HGC es la afirmación paq del ejercicio 3.4.9. Demuestre que HGC es cierta si y sólo si α P ORpℵα iα q. ¯, BN definidos como en el ejercicio 3.4.7. Defi3.4.11.- Sean r N N y r ¯ | xN, ry es un orden totalu. Es claro que BN TN . nimos TN tr Diga si |BN | |TN | o si |BN | |TN |, justificando su respuesta.

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120

3.4.12.- Sea A un conjunto infinito cualquiera y sean BA y TA definidos de manera análoga a como se definieron BN y TN en el ejercicio anterior. Nuevamente es claro que BA TA . Diga si |BA | |TA | o si |BA | |TA |, justificando su respuesta. 3.4.13.- Sea A un conjunto infinito de cardinal κ. ¿Cuántos órdenes lineales no isomorfos hay del conjunto A?

3.5.

Aritm´ etica cardinal

A continuación nos dedicamos a desarrollar aritmética cardinal con cardinales infinitos, en especial nos ocuparemos de sumas y productos infinitos. Primero recordamos las definiciones de suma, producto y exponenciación cardinal simples. Estas definiciones y algunas de sus consecuencias pueden verse en [Am05]. Definici´ on 3.8 Sean κ y λ cardinales cualesquiera. Definimos la suma, multiplicaci´ on y exponenciaci´ on, respectivamente, de κ con λ de la siguiente manera: κ

λ |pκ t0uq Y pλ t1uq|;

κ λ |κ λ|; κλ

3.5.1.

|λκ|, donde λ κ tf |f : λ Ñ κu. Idempotencia del producto cardinal

Se puede demostrar, sin utilizar la definción de cardinal (sólo usando la de “misma cardinalidad”) la idempotencia del producto de cardinales infinitos, es decir, que κ κ κ, para cualquier cardinal infinito κ (véase [Am05]). Sin embargo, esto tiene que hacerse utilizando el axioma de elección. En esta sección demostramos esta afirmación, sin apelar al axioma de elección. Comenzamos mostrando un par de desigualdades importantes. Lema 3.1 Para todo κ P CAR, κ ¤ κ

κ y κ ¤κκ

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i i

i

i

i


i

3.5. Aritm´ etica cardinal

121

Demostraci´ on. Como κ κ |κ t0u Y κ t1u| y κ κ |κ κ|, es suficiente probar que κ ¨h κ t0uY κ t1u y κ ¨h κ κ, lo cual es inmediato haciendo hpαq xα, 0y. % Lema 3.2 Si κ y λ son cardinales tales que κ, λ ¡ 1, entonces κ λ ¤ κ λ. Demostraci´ on. Basta con mostrar que κ t0uY λ t1u ¨ κ λ. Definiendo h como $ & xα, 0y si x xα, 0y hpxq x1, β y si x xβ, 1y, β 0 % x0, 1y si x x0, 1y,

se tiene que κ t0u Y λ t1u ¨h κ λ.

%

A continuación definimos un buen orden para el producto cartesiano OR OR, as´ı como algunas de sus propiedades necesarias para mostrar la idempotencia del producto de cardinales infinitos. Definici´ on 3.9 Definimos el buen orden can´ onico para OR OR como sigue: sean η un ordinal y sean α, β, γ, δ P η. El orden η pη η q pη η q se define como xα, β y η xγ, δy si y s´ olo si

pαYβ γ Yδq _ pαYβ γ Yδ ^ α γ q _ pαYβ γ Yδ ^ α γ ^ β δq. Lema 3.3 Sea η un ordinal. Se tiene lo siguiente. 1. xη η, η y es un buen orden. 2. Si α, β P δ P η, entonces xα, β y η δ δ. Es decir, el segmento inicial del orden η determinado por xα, β y est´ a contenido en δ δ. Demostraci´ on. 1. Es directo verificar que η es un orden total y se deja como ejercicio. Sea A η η, A ∅. Definimos el η -m´ınimo de A como sigue:

i

i i

i

i

i


i


122

Sea α0 m´ıntα Y β | xα, β y P Au, es decir, el m´ınimo de los máximos de los pares de A, y sea B txβ, δy P A | β Y δ α0 u. Definimos β1 m´ıntβ | xβ, δy P B u, C tδ | xβ1 , δy P B u y δ1 m´ın C. As´ı pues, xβ1 , δ1 y P B y β1 Y δ1 α0 . Se deja como ejercicio verificar que estas definiciones son buenas y que el η -m´ınimo de A es xβ1 , δ1 y. 2. Recordemos que xα, β y η txγ, ǫy α, β P δ P η. Veamos que xα, β y η Hacemos un análisis de casos:

P η η | xγ, ǫy η xα, β yu. Sean δ δ. Sea xγ, ǫy P xα, β y . η

a) Si γ Y ǫ α Y β, entonces γ, ǫ ¤ máxtγ, ǫu máxtα, β u δ. Por lo tanto, γ, ǫ P δ. b) Si γ Y ǫ α Y β y γ α, entonces γ P δ, pues α ǫ ¤ γ Y ǫ máxtα, β u δ. Por lo tanto, γ, ǫ P δ.

c) Si γ Y ǫ α Y β, γ α y ǫ β, entonces ǫ ǫ P δ, y además γ α P δ, por lo que γ, ǫ P δ.

P δ. Además

β δ implica %

Utilizando los lemas anteriores, estamos ya en posición de probar nuestro objetivo. Teorema 3.3 Si κ es un cardinal infinito, entonces xκ κ, κ y xκ, Py. Demostraci´ on. Procedemos por contradicción. Sea κ el m´ınimo cardinal infinito tal que xκ κ, κ y xκ, Py. Por los lemas anteriores, sabemos que κ ¤ |κ κ| y que xκ κ, κ y es un buen orden. Por el teorema de enumeración, existe un β P OR tal que xκ κ, κ y f xβ, Py. Basta mostrar que β κ para obtener una contradicción. Obsérvese que κ ¤ β, puesto que κ ¤ |κ κ| |β | ¤ β, . Supongamos ahora que κ β, en cuyo caso κ β y κ tα P β | α κu es un segmento inicial de β, de manera que f 1 rκs será un segmento inicial de κ κ con el orden canónico κ . Pero |f 1rκs| κ y veremos que todo segmento inicial de κ κ tiene cardinal menor que κ. Sea xα, δy P κ κ. Veamos que |xα, δy κ | κ. Sea γ pα Y δq 1. Como κ es ordinal l´ımite, γ κ y, como α, δ γ, por el segundo inciso del lema anterior, se tiene que

xα, δy γ γ. κ

(3.2)

i

i i

i

i

i


i


123

Si γ es finito, entonces γ γ también lo es y |xα, δy κ | ω ¤ κ. En otro caso, se tiene que ω ¤ |γ | ¤ γ κ y γ γ |γ | |γ |; pero, por la minimalidad de κ, como |γ | κ, se tiene que x|γ | |γ |, |γ | y x|γ |, Py. De modo que |γ | |γ | |γ | y:

|xα, δy | ¤(3.2) |γ γ | |γ | |γ | |γ | |γ | κ, κ

lo cual contradice que κ β. As´ı pues κ ciendo la definición de κ.

β, de donde κ β, contradi%

La idempotencia del producto de cardinales infinitos resulta ahora un simple corolario del teorema anterior. Corolario 3.2 Si κ es un cardinal tal que κ ¥ ω, entonces κ κ κ κ κ. Demostraci´ on. Se sigue que κ ¤ κ

κ ¤ κ κ κ del teorema y de lemas anteriores.

%

Obsérvese que también hemos probado que la suma de cardinales infinitos es idempotente. Terminamos esta sección con un par de propiedades que son consecuencia de lo visto hasta ahora. Corolario 3.3 Si κ y λ son cardinales tales que κ κ λ κ λ κ Y λ máxtκ, λu.

¥ ω y λ ¡ 1, entonces

Demostraci´ on. Supongamos, sin pérdida de la generalidad, que κ ¥ λ. En tal caso κ Y λ κ y claramente κ ¤ κ λ. Además, como λ κ, κ λ ¤ κ κ, de donde κ ¤ κ λ ¤ κ λ ¤ κ κ κ. Por lo tanto, % κ λ κ λ κ κ Y λ máxtκ, λu. Nótese que para λ 1 y κ ¥ ω, este corolario se cumple trivialmente, por lo que basta pedir como hipótesis que λ 0. Proposici´ on 3.11 Para cualquier cardinal infinito κ, existe una partici´ on xAα : α P κy de κ tal que |Aα| κ para todo α κ.

i

i i

i

i

i


i


124

Demostraci´ on. Sean g tal que κ g κ κ y Aα tβ | gpβ q xα, β y u. El % lector debe verificar que esta es la partición buscada. La proposición anterior garantiza que para cualquier conjunto infinito de cardinal κ, existe una partición en κ conjuntos, cada uno de cardinal κ.

3.5.2.

Sumas con un n´ umero infinito de cardinales

En esta sección estudiaremos sumas que involucran a un n´ umero infinito de cardinales. Definici´ on 3.10 Sea tκi | i P I u una familia de cardinales indexada por un conjunto cualquiera I. Definimos la suma de dichos cardinales como ¸

P

κi

¤ κi

P

i I

i .

t u

i I

De esta forma, la suma de cardinales se define como el cardinal de la unión ajena de los mismos. A continuación mostramos que ésta es una definición correcta para familias de conjuntos ajenos cualesquiera. Proposici´ on 3.12 Si tAi | i P I u es una familia de conjuntos ajenos dos a dos y tales que |Ai | κi para todo i P I, entonces ¸

P

|Ai|

¤ Ai

i I

P

i I

¸

P

κi .

i I

Demostraci´ on. Sean Ai fi κi , entonces Ai fi1 κi 1 fi pαq xfi pαq, iy. De aqu´ı se puede verificar que ¤

P

i I

Ai

P

i I

fi1

tiu,

si definimos

¤

P

pκi tiuq.

i I

%

En el caso de que se tengan dos familias de conjuntos ajenos indexadas por un mismo conjunto de ´ındices y tales que conjuntos con el mismo ´ındice tienen la misma cardinalidad, podemos asegurar que las cardinalidades de su unión coinciden.

i

i i

i

i

i


i


125

Proposici´ on 3.13 Si tAi | i P I u, tBi | i P I u son dos familias de conjuntos ajenos dos a dos tales que |Ai | |Bi | para todo i P I, entonces ¤ Ai

P

¤

i I

Demostraci´ on. Sean Ai

f

i

¤

P

P

Bi .

i I

Bi , entonces se puede verificar que Ai

i I

P

¤

i I

fi

P

Bi .

i I

% La proposición anterior puede generalizarse al caso de dos conjuntos de ´ındices distintos pero equipotentes, como mostramos a continuación. Proposici´ on 3.14 Si tAi | i P I u. tBj | j P J u son dos familias de conjuntos ajenos dos a dos con I f J y tales que Ai gi Bf piq para todo i P I, entonces ¤ ¤ Ai Bj .

P

P

i I

j J

Demostraci´ on. Se puede verificar que h : hpai q gi pai q, es la biyecci´ on buscada.

P Ai

i I

Ñ

La proposición anterior se usa com´ unmente cuando J

P Bj , donde

j J

%

|I | y |I | I.

Obsérvese que si |I | λ y tκi |i P I u tκα |α P λu, entonces ¸

P

i I

κi

¸

P

κα .

α λ

Este hecho es u ´til para cambiar el conjunto de ´ındices de manera que sea un cardinal. Las propiedades usuales de asociatividad y conmutatividad se generalizan al caso de un n´ umero infinito de sumandos de acuerdo a la siguiente

i

i i

i

i

i


i


126 Proposici´ on 3.15 Sean tκi | i P λu y xλj : j λ un cardinal infinito. Entonces ¸

P

κi

¸ ¸

i λ

P

j J

P

P J y una partición de λ, con

κi .

i λj

Demostraci´ on. Sea tAi | i P λu una familia de conjuntos ajenos dos a dos, tales que |Ai | κi . Para la demostración, basta verificar que ¤

P

Ai

¤ ¤

P

j J

i λ

P

Ai .

i λj

% La propiedad de monoton´ıa válida para la suma de dos cardinales también se generaliza a sumas de una cantidad arbitraria de cardinales de acuerdo a la siguiente proposición. Proposici´ on 3.16 Sean tκi | i P µu, tλi | i P µu familias de cardinales tales que κi ¤ λi para todo i P µ. Entonces ¸

P

κi

¤

i µ

¸

P

λi .

i µ

Demostraci´ on. Para cada i P µ, sea fi : κi Ñ λi una función inyectiva. Definimos fi1 : κi tiu Ñ λi tiu como fi1 pxai , iyq xfi pai q, iy. Entonces basta ver que ¤ ¤ ¤ fi1 : κi tiu Ñ λi tiu

%

es inyectiva.

La proposición anterior no es válida para el menor estricto, a´ un si se tiene que κi λi , para toda i P µ. Por ejemplo, ¸

P

n ω

2n ω

¸

P

p2n

1q.

n ω

Para terminar nuestra exposición acerca de sumas infinitas, proporcionamos algunas fórmulas de utilidad.

i

i i

i

i

i


i

3.5. Aritm´ etica cardinal Proposici´ on 3.17

°

P

i λκ

127

κλ

Demostraci´ on. Basta observar que ¤

P

pκ tiuq κ λ.

i λ

%

Veamos algunos ejemplos de sumas infinitas: °

P 1 1 ℵ0 ℵ0 .

i ω

°

P n n ℵ0 ℵ0 .

i ω

°

P ℵ0 ℵ0 ℵ0 ℵ0 .

i ω

°

i κ

κκκ

κ κ κ °i κ

κ .

En el u ´ltimo ejemplo se observa nuevamente que, a´ un°cuando κi ° todo i P µ, no necesariamente se tiene que iPµ κi iPµ λi .

λi para

La proposición anterior se generaliza como sigue. Teorema 3.4 (Sumas infinitas) Sea tκα | α P λu un conjunto de cardinales indexados por λ. Si para toda α λ, κα 0 y λ ¥ ℵ0 o κα ¥ ℵ0 para alg´ un α λ, entonces ¸ κα λ sup κα .

P

P

α λ

α λ

°

°

Demostraci´ on. Como κα ¤ supα λ κα , α λ κα ¤ α λ psupα λ κα q κα q. Para la desigualdad contraria, λ psupα λ° como 1 ¤ κα entonces λ ° ° ¤ ¤ 1 κ . Claramente κ κ β α λ α° λ α para toda β λ, puesto α λ α que κβ ¨ α λ pκα tαuq, de manera que° α λ κα es una cota superior de tκα | α λu. Por lo tanto, supα λ κα °¤ α λ κα . Finalmente se tiene que % λ supα λ κα máxtλ, supα λ κα u ¤ α λ κα . Corolario 3.4 Si λ ¤ supα λ κα con κα para toda α λ, entonces ¸

P

α λ

κα

¥ ℵ0 para alguna α λ y κα 0

sup κα . P

α λ

i

i i

i

i

i


i


128

Veamos algunos ejemplos, que utilizan estos nuevos resultados: °

P n ℵ0 supnPω n ℵ0 ℵ0 ℵ0 .

n ω

°

P ℵn ℵ0 supnPω ℵn ℵ0 ℵω ℵω .

n ω

°

ℵn ℵ1 supα ℵ1 ℵα ℵ1 ℵℵ1

α ℵ1

3.5.3.

ℵℵ . 1

Productos con un n´ umero infinito de cardinales

A continuación desarrollamos la aritmética cardinal para el caso de productos infinitos. Definici´ on 3.11 Dada una familia de conjuntos tAi | i P I u, definimos su producto cartesiano generalizado, denotado iPI Ai , como ¡

P

Ai

tf : I Ñ

i I

En particular se tiene que

¤

P

Ai | f piq P Ai para todo i P I u.

i I

P A tf | f : I Ñ Au.

i I

La definición del producto de un n´ umero arbitrario de cardinales se sirve del producto cartesiano generalizado. Definici´ on 3.12 Sea tκi | i P I u una familia de cardinales indexada por un conjunto cualquiera I. Definimos el producto de dichos cardinales como ¹

P

κi

¡

i I

P

κi .

i I

La siguiente proposición garantiza que productos cartensianos generalizados, cuyas componentes son equipotentes, siguen siendo equipotentes. Proposici´ on 3.18 Si tAi | i P I u, tBi | i P I u son dos familias de conjuntos tales que Ai hi Bi para todo i P I, entonces ¡

P

i I

Ai

¡

P

Bi .

i I

i

i i

i

i

i


i


129

Demostraci´ on. Sea H : iPI Ai Ñ iPI Bi tal que H pf q : I Ñ iPI Bi , donde H pf qpiq hi pf piqq. El lector debe verificar que H es biyectiva. % Como corolario obtenemos el hecho de que cualquier producto de cardinales de conjuntos es igual al cardinal de su producto cartesiano generalizado. Corolario 3.5

±

iPI |Ai | iPI Ai .

|Ai|, de donde iPI Ai iPI |Ai| y ± % iPI |Ai | def iPI |Ai | iPI Ai .

Demostraci´ on. Ai Se tiene que

La proposición 3.18 se generaliza para el caso en que las familias de conjuntos se indexan con conjuntos del mismo tama˜ no como sigue. Proposici´ on 3.19 Si tAi | i P I u, tBj | j P J u son dos familias de conjuntos tales que I h J y Ai gi Bhpiq para todo i P I, entonces ¡

P

Ai

i I

¡

P

Bj .

j J

Demostraci´ on. Se puede verificar que H : iPI Ai Ñ j PJ Bj es la bi yecci´ on buscada, donde H pf q : J Ñ j PJ Bj , se define como H pf qpj q gh1 pj q pf ph1 pj qqq. % En particular, podemos utilizar como conjuntos de ´ındices u ńicamente a cardinales. Obsérvese que si |I | λ y tκi |i P I u tκα |α P λu, entonces ¹

P

i I

κi

¹

P

κα .

α λ

La monoton´ıa del producto de dos cardinales sigue siendo v´ alida en el caso general de acuerdo a la siguiente proposición. Proposici´ on 3.20 Si κα ± κ ¤ α µ α α µ λα .

±

¤ λα

para toda α

µ, entonces se cumple que

i

i i

i

i

i


i


130

Demostraci´ on. Se puede demostrar de manera análoga a como se de% mostró la proposición 3.16. Análogamente al caso de la suma, a´ un cuando se tenga κα λα para toda α µ, la desigualdad en los productos no necesariamente es estricta. Como ejemplo tenemos que κ κ , pero ¹

κ

α κ

puesto que ¹

κ

α κ

¹

κ

¡ κ

¹

κ ,

α κ

tf | f : κ Ñ κu κκ 2κ ,

α κ

¡ κ

α κ

tf | f : κ Ñ κ u pκ qκ 2κ ,

α κ

recordando que si 2 [Am05]).

¤λ¤κ

, entonces 2κ

λκ κκ pκ qκ

(véase

A continuación probamos otras propiedades de productos infinitos. Empezamos mostrando que el producto cardinal no tiene divisores de cero. Proposici´ on 3.21

±

α λ κα

0, si y sólo si κα 0 para algún α λ.

Demostraci´ on. Como el producto cartesiano de conjuntos no vac´ıo es no ± vac´ıo por el axioma de elección, tenemos que si α λ κα 0, entonces un α λ. κα 0 para alg´ Para el rec´ıproco, observe que no existe f : λ Ñ 0, si λ 0. % La asociatividad y conmutatividad del producto se generalizan como sigue. Proposici´ on 3.22 Sean tκα partici´ on de λ. Entonces ¹

P

α λ

| α P λu con λ P CAR y xλj κα

¹ ¹

P

j J

P

: j

P J y una

κα .

α λj

i

i i

i

i

i


i

3.5. Aritm´ etica cardinal Demostraci´ on. Sea H :

131

αPλ κα

H pf q : J

Ñ j PJ

Ñ

¤¡

P

P

j J

P

α λj

κα definida por

κα ,

α λj

donde H pf qpj q : λj Ñ αPλj κα está dada por H pf qpj qpαq debe verificar que H es biyectiva.

f pαq. El lector %

Se deja como ejercicio demostrar las siguientes igualdades de productos infinitos: ±

P

α λκ

±

αPλ κ

tf | f : λ Ñ κu κλ .

ℵ P 2 2 0.

α ℵ0

±

ℵ0 ℵ P ℵ0 ℵ0 2 0 .

α ℵ0

Terminamos nuestra exposición acerca de productos infinitos con la siguiente propiedad. Teorema 3.5 (Productos infinitos) Sean λ ¥ ℵ0 y xκα | α P λy una λ-sucesi´ on no decreciente de cardinales distintos de cero. Entonces ¹

P

κα

α λ

sup κα

P

λ

.

α λ

Demostraci´ on. Como κα ¤ supα λ κα , por la proposición 3.20 y el primero de los ejemplos anteriores, tenemos que ¹

α λ

κα

¤

¹

psup κα q

α λ α λ

sup κα

λ

.

α λ

λu una parPara verificar la desigualdad contraria, sea P tAβ | β ± tici´ o n de λ tal que | A | λ | P | . Como κ ∅ entonces α β α λ κα ∅ ± ± y αPAβ κα ∅. Por lo tanto, κα ¤ αPAβ κα para cualesquiera α P Aβ ± con β λ. As´ı pues, αPAβ κα es cota superior de todos los κα con α P Aβ , ± de donde supαPAβ κα ¤ αPAβ κα para toda β λ. Pero supα λ κα supαPAβ κα , hecho que probamos enseguida. Para cualquier α P Aβ λ, se

i

i i

i

i

i


i


132

cumple supα λ κα ¥ κα , por lo que supαPAβ κα ¤ supα λ κα . Para demostrar la desigualdad contraria, sea α0 λ. Entonces existe γ P Aβ tal que α0 γ, pues en caso contrario α0 ser´ıa una cota superior de Aβ en λ, de donde Aβ α0 y |Aβ | ¤ |α0 | ¤ α0 λ, lo cual es absurdo. De modo que, como la sucesión de κα es no decreciente, se tiene que κα0 ¤ κγ ¤ supαPAβ κα . Luego entonces supαPAβ κα es cota superior de tκα | α λu de donon tenemos que de supα λ κα ¤ supαPAβ κ± α . Para concluir la demostraci´ supα λ κα supαPAβ κα ¤ αPAβ κα lo cual implica que

psup κα qλ

α λ

¹

sup κα

β λα λ

¤

¹ ¹

β λ

P

κα

α Aβ

¹

κα .

α λ

% Veamos algunos ejemplos que utilizan estos resultados: ±

ℵ P zt u n 2 0 .

n ω 0

±

ℵ P ℵn ℵω0 .

n ω

±

α ω ω

±

ℵα

ℵℵω

0

ω.

ℵ1 ℵα ℵℵ1 .

α ℵ1

Las operaciones de suma y producto de una cantidad infinita de cardinales interact´ uan mediante las llamadas leyes de los exponentes generalizadas. Proposici´ on 3.23 (Leyes de los exponentes generalizadas) Se cumplen las siguientes igualdades: 1. 2.

±

iPI κi

±

λ

±iPI pκλi q, que generaliza a pκ µqλ κλ µλ. °

λ iPI pκ q κ i

P

i I

λi ,

que generaliza a κλ κµ

κλ

µ.

Demostraci´ on.

i

i i

i

i

i


i


133

λ λ 1. Definimos G : λ iPI κi Ñ iPI p κi q como sigue. Sea f P iPI κi λ arbitraria y sea Gpf q : I Ñ iPI p κi q tal que Gpf qpiq : λ Ñ κi se define como Gpf qpiqpαq f pαqpiq para toda α P λ. Veamos que G es biyectiva. Si f g, entonces existe α P λ tal que f pαq gpαq. Por lo tanto, existe i P I tal que Gpf qpiqpαq f pαqpiq gpαqpiq Gpgqpiqpαq, de donde Gpf qpiq Gpgqpiq y por lo tanto Gpf q Gpgq. Por lo tanto, G es inyectiva.

Por otra parte sea h P iPI pλ κiq, es decir, h : I Ñ iPI pλ κiq con λ λ hpiq P κi y sea f P iPI κi tal que f pαqpiq hpiqpαq P κi , para todo α P λ. As´ı, para cualesquiera i P I, α P λ, tenemos que Gpf qpiqpαq f pαqpiq hpiqpαq, es decir, para cualquier i P I, Gpf qpiq hpiq, de donde Gpf q h y G es suprayectiva.

λi 2. Definimos F : iPI pλi κq Ñ p iPI λi tiuq κ. Sea f P iPI p κq, es λ λ decir, f : I Ñ iPI p i κq con f piq P i κ. En tal situación definimos F pf q : iPI λi tiu Ñ κ mediante F pf qpx αi , iyq f piqpαi q P κ. λi Veamos que F es biyectiva. Sean f g P iPI p κq. Esto implica que existe i P I tal que f piq gpiq, de donde existe αi P λi tal que F pf qpxαi , iyq f piqpαi q gpiqpαi q F pgqpxαi , iyq. Esto nos lleva a que F pf q F pgq, por lo que F es inyectiva.

Por otra parte tomemos h : iPI λi tiu Ñ κ y f : I Ñ iPI pλi κq tal que f piqp αi q hpxαi , iyq. De esta forma se tiene que para cualquier xαi, iy P iPI pλi tiuq, F pf qpxαi, iyq f piqpαi q hpxαi , iyq, es decir, F pf q h y F es suprayectiva.

% Veamos más ejemplos de productos infinitos simplificados con ayuda de las leyes exponentes generalizadas. ±

ℵ0 n ℵ0

0 n ω

±

ℵ0 0n ω n

±

2ℵ .

±

°

0

0n ω n

ℵ0

p2ℵ qℵ 2ℵ ℵ 2ℵ . 0

0

0

0

0

ℵ0 n ℵℵ0 2ℵ . ° ± ℵ κ ℵ κℵ . n ω κ n n ω ℵ 0

n

n ω

n ω

0

n

0

ω

i

i i

i

i

i


i


134 ± ±

ℵn ℵω

n ω

3.5.4.

°

ℵω ℵ ℵω ℵ 2ℵ . ° ℵ ℵ ℵℵω 1 2ℵ . 1 ω 1

ℵn n ω ℵ ω

n

n ω

n ω

ω

n

ω

ω

ω

El teorema de K¨ onig

En ninguno de los resultados presentados en las secciones anteriores se preservan las desigualdades estrictas al sumar o multiplicar cardinales. A continuación presentamos el teorema de König que es muy importante precisamente porque habla de un caso de preservación del menor estricto. Más a´ un, hasta donde sabemos, ésta es la desigualdad estricta más general sobre operaciones de cardinales infinitos que se preserva. Teorema 3.6 (K¨ onig (AE)) Si tκi | i P I u, tλi | i P I u son dos familias de cardinales tales que κi λi para toda i P I, entonces ¸

P

κi

i I

¹

P

λi .

i I

Demostraci´ on. Sin pérdida de la generalidad, sean tAi uiPI y tBi uiPI dos familias de conjuntos tales que |Ai | κi , |Bi | λi , Ai X Aj ∅ para i j y Ai Bi . Basta ver que ¤ ¡ Ai Bi . (3.3)

P

P

i I

i I

Primero vamos a establecer la relación ¨. Para cada i P I sea ci P Bi zAi , obtenido por el axioma de elección dadoque Bi zAi ∅ por hipótesis. Bi , con f paq P iPI Bi mediante Definimos f : Ai Ñ f paqpℓq

"

cℓ si ℓ i, a si ℓ i.

para cualquier a P Ai , i P I.

f está bien definida pues cada a P Ai pertenece a unau ńica Ai , por hipótesis. Veamos ahora que f es inyectiva. Sean a a1 P Ai . Hay dos casos: Si a, a1 P Ai , entonces f paqpiq f paq f pa1 q.

a

a1

f pa1qpiq.

Por lo tanto,

i

i i

i

i

i


i


135

Si a P Ai , a1 P Aj , i j, entonces f paqpiq a P Ai y f pa1 qpiq ci con ci P Bi Ai . Por lo tanto, a ci y as´ı f paq f pa1 q.

Ahora, establecemos la relaci´ on mostrando que para g : Ai Ñ Bi arbitraria, existe una f P iPI Bi tal que para toda a P iPI Ai , gpaq f , es decir, g no es sobre. Tomemos una g arbitraria y para cada i P I, definamos ci tgpaqpiq | a P Ai u Bi . De esta definición y de las propiedades de Ai y Bi , se sigue que |ci | ¤ |Ai | |Bi |. Como c Bi , tomamos mediante i el axioma de elecci´ on di P Bi zci , y sea f P iPI Bi , definida por f piq di . q gpaqpiq para De esta definición es claro que f piq R ci y, por lo tanto, f pi todas i P I, a P Ai . Luego entonces f gpaq para toda a P Ai , por lo que % g no es suprayectiva. Terminamos el cap´ıtulo y nuestra discusión acerca de aritmética cardinal con algunos corolarios relevantes del teorema de König. Corolario 3.6 (Teorema de Cantor) Para todo cardinal κ, κ 2κ . Demostraci´ on. Como 1 2, tenemos que κ

¸

P

1

i κ

¹

P

2 2κ .

i κ

%

El siguiente corolario asegura que el cardinal del continuo no puede ser ℵω . Corolario 3.7 ℵω

2ℵ . 0

Demostraci´ on. Supongamos que ℵω 2ℵ0 . Como para toda n ω, se tiene que ℵn ℵω . Entonces tendr´ıamos que ℵn 2ℵ0 para cualquier n ω. As´ı, ℵω

¸

n ω

es decir, ℵω

ℵn

¹

2ℵ0

p2ℵ qℵ 2ℵ ℵ 2ℵ , 0

2ℵ . Por lo tanto, ℵω 2ℵ . 0

0

0

0

0

n ω 0

%

Finalmente mostramos una desigualdad estricta que no involucra directamente al cardinal 2.

i

i i

i

i

i


i


136 Corolario 3.8 ℵω

ℵℵω . 0

Demostraci´ on. Como para cualquier n ω, se tiene que ℵn Entonces ¸ ¹ ℵn ℵn 1 ℵℵω0 . ℵω

P

P

n ω

n ω

ℵn

1.

%

Ejercicios 3.5.1.- Consideremos las operaciones de suma, producto y exponenciación ordinal α ord β, α ord β, αβ , dadas en las definiciones 2.10, 2.11 y ord

2.12, as´ı como las operaciones respectivas para cardinales α car β, α car β, αβ enunciada en la definición 3.8. Diga si las siguientes car afirmaciones son verdaderas o falsas, dando prueba o contraejemplo. (i) κ

car

λ |κ

ord

λ|,

(ii) κ car λ |κ ord λ|,

(iii) κλ | κλ |. car

ord

3.5.2.- Sean κ, λ, µ y ν cardinales. Demuestre lo siguiente. (i) La suma y producto de cardinales es conmutativa y asociativa.

(ii) κ ¤ κ

(iii) κ pλ

λ.

µq κ λ

(iv) Si λ ¤ κ y ν (v)

(vi) (vii) (viii) (ix) (x) (xi)

κ µ.

¤ µ, entonces λ ν ¤ κ µ. Si λ ¤ κ y ν ¤ µ, entonces λ ν ¤ κ µ. Si λ 0, entonces κ ¤ κ λ. Si λ ¡ 0, entonces κ ¤ κλ . Si κ ¡ 1, entonces λ ¤ κλ . Si λ ¤ κ y ν ¤ µ, entonces λν ¤ κµ . κλ κµ κλ µ . pκλ qµ κλµ.

i

i i

i

i

i


i

3.5. Aritm´ etica cardinal (xii) pκ λqµ

137

κµ λµ.

3.5.3.- Sea η un ordinal. (i) Demuestre que la relación orden total.

η dada en la definición 3.9 es un

(ii) Verifique que en el lema 3.3 β1 y δ1 están bien definidas, y que el η -m´ınimo de A es realmente xβ1 , δ1 y. 3.5.4.- Muestre que la partición propuesta en la proposición 3.11 cumple con lo afirmado en dicha proposición. 3.5.5.- Defina una partición P tAβ | β tal que β λ, |Aβ | λ |P |.

λu de λ un cardinal infinito,

3.5.6.- Verifique que las funciones dadas en las demostraciones de la sección 3.5.2 cumplen con ser inyectivas o biyectivas, seg´ un sea el caso. 3.5.7.- Verifique que las funciones dadas en las demostraciones de la sección 3.5.3 cumplen con ser inyectivas o biyectivas, seg´ un sea el caso. 3.5.8.- Pruebe que si tAi |i P I u es una familia de conjuntos tales que A ∅ paratoda i P I y Ai X Aj ∅ para todo i j, entonces i iPI Ai ¤ p iPI Ai q I 3.5.9.- Demostrar las siguientes igualdades de productos infinitos: ±

αPλ κ

±

P 2 2 0. ± ℵ0 αPℵ0 ℵ0 ℵ0 α ℵ0

3.5.10.-

λ αPλ κ tf | f : λ Ñ κu κ .

ℵ

2ℵ . de cardinales tal que κi ¥ 2 Pruebe que si tκi |i P I u es°una familia ± para todo i P I, entonces iPI κi ¤ iPI κi 0

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138


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4 Cofinalidad 4.1.

Introducci´ on

Durante muchos a˜ nos los matemáticos se preguntaron si el cardinal del conjunto de los n´ umeros reales, conocido como el cardinal del continuo, era el cardinal sucesor de ℵ0 . Cantor ya hab´ıa demostrado que el cardinal del continuo es estrictamente mayor que el cardinal del conjunto de los n´ umeℵ 0 ros naturales. Adem´ as, se puede demostrar que |R| 2 , por lo que esta pregunta se puede resumir como ¿es 2ℵ0 igual a ℵ1 ? Cantor conjeturó que la respuesta a esta pregunta era afirmativa y a esta conjetura se le conoce como la hip´ otesis del continuo (véase el ejercicio 3.4.8). A pesar de que la hipótesis del continuo puede ser planteada en estos términos sencillos, durante muchos a˜ nos los esfuerzos por demostrarla (o refutarla) fueron en balde. En 1939, Kurt Gödel utilizó técnicas de la Lógica Matemática para probar que la hipótesis del continuo no puede ser refutada asumiendo los axiomas de ZFE. Sin embargo, esto no significaba que la hipótesis del continuo pudiera ser probada en ZFE. De hecho, veinticuatro a˜ nos después, Paul Cohen probó que la hipótesis del continuo no puede ser demostrada asumiendo los axiomas de ZFE. Es decir, los axiomas de ZFE no nos dan su139 i

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140

4. Cofinalidad

ficiente información para contestar la pregunta de si el cardinal del continuo es ℵ1 o no. Estos resultados pueden consultarse en [Ku80]. Por el axioma de elección, sabemos que existe alg´ un ordinal α tal que 2ℵ0 ℵα . Entre los esfuerzos que se hicieron para demostrar o refutar si α 1, estuvo la de investigar cuándo dos ordinales “terminaban del mismo modo”, concepto que definiremos en este cap´ıtulo como el de cofinalidad. Con este concepto podremos descartar a varios ordinales α, es decir, veremos que estos ordinales no pueden cumplir la igualdad 2ℵ0 ℵα . Sin embargo, como ya discutimos en el párrafo anterior, en ZFE no se puede dar una respuesta completa. De hecho, se sabe que los ordinales α que descartaremos en este cap´ıtulo son los u ńicos que se pueden descartar con la información que nos dan los axiomas de ZFE. Como es usual en matemáticas, la motivación de los conceptos muchas veces es superada y el concepto por s´ı solo es suficientemente interesante gracias a otras de sus consecuencias. Este es el caso del concepto de cofinalidad que, al margen de que descarta algunos cardinales para ser el cardinal del continuo, termina dividiendo a los ordinales en dos grandes clases (la de los regulares y la de los singulares) y el estudio de las caracter´ısticas de estas clases es interesante per se. Más a´ un, el concepto de cofinalidad también contesta algunas preguntas sobre la exponenciación cardinal, que ameritan una sección de este cap´ıtulo. Además, resulta que las implicaciones que tiene suponer la hip´ otesis generalizada del continuo con respecto a la exponenciación cardinal son también interesantes y ocupan la u ´ltima parte de este cap´ıtulo. La hipótesis generalizada del continuo que, como su nombre lo dice, es una generalización de la hipótesis del continuo, afirma que para todo ordinal β, 2ℵβ ℵβ 1 , es decir, 2ℵβ ℵβ (véase el ejercicio 3.4.9).

4.2.


Para dar la definición de cofinalidad entre ordinales, primero damos las siguientes definiciones. Definici´ on 4.1 Sean A y B conjuntos tales que xA Y B, y es un orden total. Decimos que A y B son -confinales si y s´ olo si

x P A Dy P B x ¤ y ^ y P B Dx P A y ¤ x

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141

Definici´ on 4.2 Si xx, y es un orden total y y x, entonces decimos que olo si z P x Dw P y z ¤ w. y es -confinal con x si y s´ La relación de confinalidad formaliza el hecho de que dos órdenes totales “terminen igual”. Veamos algunos ejemplos.

tn P ω | n es paru y tn P ω | n es imparu son P-confinales. Si y x y y es confinal con x, entonces x y y son confinales. tℵn |n P ωu y ℵω son P-confinales. ω es confinal con R. Son confinales

Q y R, Q y ω, Z y R, Q y RzQ.

Sin embargo, en el caso en que los conjuntos son ordinales, el hecho de que sean confinales, implica que son iguales, como se ve en la siguiente proposición. Proposici´ on 4.1 Si α y β son ordinales confinales, entonces α β. Demostraci´ on. Sean α y β ordinales. Entonces α ¤ β o β ¤ α. En el primer caso, como α es confinal con β, tenemos que δ P β Dγ P α δ ¤ γ. Por la transitividad de α, se tiene que δ P α y de esta forma β α, lo cual implica que α β. % Análogamente, si β ¤ α, llegamos a la misma conclusión. De manera que en ordinales no es interesante saber cuándo “terminan igual”, sino que “terminen del mismo modo”. Esto se formaliza con el concepto de cofinalidad (note que hemos eliminado una letra “n” de la palabra confinalidad) que representa el “modo de terminar” de un ordinal. Definici´ on 4.3 Sean α y β ordinales. Decimos que α es cofinal en β si y s´ olo si existe una funci´ on f : α Ñ β tal que f rαs es P-confinal con β. En tal caso se dice que f es una función cofinal de α en β. Veamos algunos ejemplos.

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142

4. Cofinalidad Para cualquier ordinal β, β es cofinal en β. Una función cofinal es la identidad. ω es cofinal en ℵω . Una función cofinal es f pnq ℵn . ω es cofinal en ω

ω. Una función cofinal es f pnq ω

n.

2 es cofinal en ω 4. Una función cofinal es f p0q ω 1, f p1q ω 3. Definici´ on 4.4 Sea xx, y un orden total y sea y x. Decimos que y es no-acotado en x si y s´ olo si z P x Dw P y pz wq. En caso contrario, decimos que y es acotado en x, es decir, si Dz P xw P y pw ¤ z q. Observemos que si y x es no-acotado en x, entonces y es confinal con x, pero el rec´ıproco no siempre es cierto. Por ejemplo, y tω 1, ω 2, ω 3u es confinal con ω 4 y, sin embargo, es acotado en ω 4. Proposici´ on 4.2 Sean α y β ordinales y sea f : α Ñ β. Entonces f rαs es no-acotado en β si y s´ olo si f rαs β.

Demostraci´ on. Supongamos que f rαs es no-acotado en β. Sea γ P f rαs, entonces existe δ α tal que γ P f pδq y f pδq P β. De donde γ P β y f rαs β. Por otro lado, tómese γ P β. Como f rαs es no-acotado en β, Dδ α, γ f pδq. De donde γ P f rαs y β f rαs. Para demostrar el rec´ıproco, sea γ P β f rαs. Entonces existe δ α % tal que γ P f pδq, es decir, f rαs es no-acotado en β. La siguiente proposición nos da una condición para la equivalencia entre que la imagen de una función entre ordinales sea no-acotada y que sea confinal. Proposici´ on 4.3 Sean α un ordinal, β un ordinal l´ımite y f : α Ñ β. olo si f rαs es P-confinal con β. Entonces f rαs es no-acotado en β si y s´ Demostraci´ on. Ya observamos que, en general, si y x y y es no-acotado en xx, y, entonces y es -confinal con x. De manera que si f rαs es noacotado en β, entonces f rαs es P-confinal con β o equivalentemente f es cofinal de α en β. Para demostrar el rec´ıproco, supongamos que f rαs es P-confinal con β y sea γ P β. Como β es l´ımite por hipótesis, γ 1 P β.

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i

143


Como f rαs es P-confinal con β, existe δ P α tal que γ 1 ¤ f pδq. Por lo tanto, γ γ 1 ¤ f pδq y, en particular, γ f pδq. As´ı, f rαs es no-acotado en β. % Proposici´ on 4.4 Sean α, β y γ ordinales tales que α es cofinal en β y β es cofinal en γ. Si existe una funci´ on f : β Ñ γ cofinal y no decreciente, entonces α es cofinal en γ. Demostraci´ on. Sea g : α Ñ β una función cofinal. Veamos que si f : β Ñ γ es una funci´ on cofinal y no decreciente, entonces f g : α Ñ γ es cofinal en γ. Sea δ P γ, como f es cofinal en γ, existe ε P β tal que f pεq ¥ δ, y, como g es cofinal en β, existe ξ P α tal que gpξ q ¥ ε. Ahora bien, como f es no decreciente, tenemos que f pgpξ qq ¥ f pεq ¥ δ (véase la figura 4.1). Por lo % tanto, f g es cofinal en γ. δ

¤ f pεq ¤ f pgpξqq ε ¤ g pξ q

γ

f β g

ξ

α

Figura 4.1: Esquema de la demostración de la proposición 4.4

Ahora estamos listos para dar la definición de la cofinalidad de un ordinal. Definici´ on 4.5 Sea β un ordinal. La cofinalidad de β, denotada cf pβ q, es el m´ınimo ordinal α tal que α es cofinal en β. Es decir, cf pβ q

£

tα | α cofinal en β u.

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i i

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i

144

4. Cofinalidad

Luego entonces la cofinalidad de β es el menor ordinal α tal que existe una funci´ on f : α Ñ β cuya imagen es P-confinal con β. Proposici´ on 4.5 Sea β un ordinal. Se cumple lo siguiente. (i) cf pβ q ¤ β.

(ii) cf pβ q es un cardinal. Por lo tanto, cf pβ q ¤ |β | ¤ β.

(iii) cf pβ

1q 1.

(iv) cf p0q 0.

(v) cf pω q cf pω

ω q cf pℵω q cf pℵℵω q ω.

Demostraci´ on. (i) Como β es cofinal en β, cf pβ q ¤ β.

(ii) Supongamos que γ es un ordinal tal que γ cf pβ q, γ g cf pβ q y f : cf pβ q Ñ β es cofinal. Veamos que entonces f g : γ Ñ β ser´ıa cofinal en β, contradiciendo la definición de cf pβ q. Si δ P β, entonces existe ε P cf pβ q tal que f pεq ¥ δ y, como g es sobre, existe ξ P γ tal que gpξ q ε. Por lo tanto, f pgpξ qq f pεq ¥ δ y f g ser´ıa cofinal en β. Por lo tanto, cf pβ q es un cardinal. De aqu´ı que cf pβ q ¤ |β | ¤ β.

(iii) Se tiene que cf pβ en β 1.

1q 1, pues f : 1 Ñ β

1 con f p∅q β es cofinal

(iv) Se tiene que cf p0q 0, pues la función vac´ıa es cofinal.

(v) Se tiene que cf pω q cf pω ω q cf pℵω q cf pℵℵω q ω, pues las siguientes funciones son cofinales: la identidad en ω; f : ω Ñ ω ω, donde f pnq ω n; g : ω Ñ ℵω , donde gpnq ℵn ; y h : ω Ñ ℵℵω , donde hpnq ℵℵn .

%

De la proposición anterior se observa que la cofinalidad del cero y de todos los sucesores ya está determinada, de modo que en adelante sólo nos interesa estudiar cofinalidades de ordinales l´ımite.

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i i

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145

4.2. Definiciones y propiedades Corolario 4.1 cf : OR Ñ CAR Y t0, 1u es un funcional.

Demostraci´ on. Es claro por la definición de cofinalidad y la proposición % anterior. Proposici´ on 4.6 Si β es un ordinal cualquiera, entonces existe una funci´ on f : cf pβ q Ñ β tal que f es cofinal y estrictamente creciente. Demostraci´ on. Sea β un ordinal. Si β es cero o un sucesor, la afirmación se sigue trivialmente de la demostración de la proposición anterior. Supongamos que β es l´ımite. Por la definición de cf pβ q, existe una funci´ on cofinal g : cf pβ q Ñ β. Entonces grcf pβ qs es no-acotado en β y grcf pβ qs β por las proposiciones 4.2 y 4.3. Definimos recursivamente la funci´ on f : cf pβ q Ñ β de la siguiente manera f pη q máxtgpη q, suptf pξ q

1|ξ

ηuu.

El lector debe justificar la existencia de f mediante el teorema de recursión transfinita. Veamos que si η P cf pβ q, efectivamente f pη q P β. Claramente gpη q P β. Supongamos que suptf pξ q 1 | ξ η u R β, entonces definimos f 1 pξ q 1 f pξ q 1. De aqu´ı que suptf pξ q 1 | ξ η u f rη s β y, por la proposición 4.2, f 1 rη s es no-acotado en β. De manera que f 1 es una función cofinal de η en β, contradiciendo el hecho de que η cf pβ q. Por lo tanto, suptf pξ q 1 | ξ η u P β y f pη q P β. Ahora veamos que f es cofinal y estrictamente creciente. Sea α P β. Entonces existe δ P cf pβ q tal que gpδq ¥ α. Como f pδq ¥ gpδq por construcci´ on, f pδq ¥ α y f rcf pβ qs es no-acotado en β (véase la figura 4.2). Por otra parte, si ξ η P cf pβ q, entonces f pη q ¥ suptf pγ q 1 | γ η u. Por lo tanto, % f pη q ¥ f pγ q 1 para toda γ η, de donde f pη q ¥ f pξ q 1 ¡ f pξ q. Proposici´ on 4.7 Sean α y β ordinales. Si f : α Ñ β es cofinal y estrictamente creciente, entonces cf pαq cf pβ q. Demostraci´ on. Sea f : α Ñ β cofinal y estrictamente creciente. Por definición, cf pαq es cofinal en α, de donde por la proposición 4.4, usando la existencia de f , tenemos que cf pαq es cofinal en β. As´ı, cf pβ q ¤ cf pαq.

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146

4. Cofinalidad α ¤ g pδ q ¤ f pδ q g δ

β cf pβ q

Figura 4.2: Esquema de la demostración de la proposición 4.6 Ahora bien, sea h : cf pβ q Ñ β cofinal. Definimos j : cf pβ q Ñ α, mediante j pξ q tη P α | f pη q ¥ hpξ qu. La función j está bien definida, pues f es una función cofinal de α en β y hpξ q P β, por lo que tη P α | f pηq ¥ hpξqu ∅. Veamos que j es cofinal en α. Sea γ P α, entonces f pγ q P β. Como h es cofinal, existe ξ P cf pβ q tal que f pγ q ¤ hpξ q, de donde, por definición de j, f pj pξ qq ¥ hpξ q. Por lo tanto, f pj pξ qq ¥ f pγ q y, como f es estrictamente creciente, j pξ q ¥ γ (véase la figura 4.3). As´ı pues % j : cf pβ q Ñ α es cofinal, de donde cf pαq ¤ cf pβ q. f pγ q ¤ hpξ q ¤ f pj pξ qq

β

f γ

¤ j pξq

α j ξ

h cf pβ q

Figura 4.3: Esquema de la demostración de la proposición 4.7 Corolario 4.2 Para cualquier ordinal β, se tiene que cf pcf pβ qq cf pβ q. Demostraci´ on. Se sigue de la proposición 4.7, dado que, por la proposici´ on 4.6, existe f : cf pβ q Ñ β cofinal y estrictamente creciente. % Corolario 4.3 Para cualesquiera ordinales α y β, se tiene que cf pα cf pβ q.

βq

i

i i

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i


i

147


Demostraci´ on. Por la proposición 4.7, como la función f : β Ñ α β definida como f pη q α η es cofinal y estrictamente creciente, cf pα β q cf pβ q. % Para demostrar la siguiente proposición, usamos el axioma de elección. Proposici´ on 4.8 (AE) Se tiene que cf pω1 q ω1 . Demostraci´ on. Sea f : ω ¤ f ω

r s

¤ f n

P

P

n ω

¤

¤

p q ¤ pf pnq tnuq pq p|f pnq| tnuq

n ω

¸

Ñ ω1. Entonces P

P

n ω

n ω

|f pnq| ℵ0 sup |f pnq| pq ℵ0 ℵ0 ℵ0 P

n ω

Para justificar la igualdad (), observe que si f pnq gn |f pnq|, entonces p| f pnq| tnuq. Aqu´ı usamos AE al elegir las n tnuq funciones gn . Para justificar la igualdad (), basta observar que |f pnq| ¤ ℵ0 para toda n P ω, pues f pnq P ω1 . As´ı pues cf pω1 q ¤ ω1 , pero cf pω1 q es un cardinal y cf pω1 q ω. Por lo % tanto, cf pω1 q ω1 .

pf pnq tnuq pg

Proposici´ on 4.9 Si γ es un ordinal l´ımite, entonces cf pωγ q cf pγ q. Demostraci´ on. Definimos f : γ Ñ ωγ , donde f pαq ωα . Es claro que f es estrictamente creciente, puesf ℵ æ γ y ℵ lo es. Además, f es no acotada, pues γ es l´ımite y f rγ s α γ ωα ωγ . As´ı pues, por la proposición 4.7, se tiene que cf pωγ q cf pγ q. %

Ejercicios 4.2.1.- Verifique que las funciones cofinales dadas en esta sección realmente lo sean. 4.2.2.- Verifique que cf pω

ω q cf pℵω q cf pω q cf pℵℵω q ω.

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i i

i

i

i


i

148

4. Cofinalidad

4.2.3.- Muestre que cf pω1

ω q ω.

4.2.4.- Justifique la existencia del funcional f utilizado en la demostración de la proposición 4.6. 4.2.5.- Demuestre que cf no es un funcional monótono. 4.2.6.- Demuestre que cf no es un funcional continuo. 4.2.7.- ¿Ser´ a cierto que si α y β son ordinales tales que |α| |β |, entonces cf pαq cf pβ q? Justifique con prueba o contraejemplo. 4.2.8.- Demuestre que si α cf pαq n.

4.3.

¥ ω y α es l´ımite, entonces para toda n P ω,

Ordinales regulares y singulares

En esta sección desarrollamos una clasificación de ordinales de acuerdo a su cofinalidad. Definici´ on 4.6 Decimos que un ordinal α es regular si y s´ olo si cf pαq α. Si α no es regular, es decir, si cf pαq α, decimos que α es singular. Proposici´ on 4.10 Sea α un ordinal. Se cumplen las siguientes propiedades. (i) Si α es regular infinito, entonces α es cardinal y cf pℵα q α.

(ii) cf pαq es un cardinal regular.

(iii) Los ordinales 0 y 1 son regulares. (iv) Cualquier ordinal sucesor mayor que 1 es singular. (v) Si α es l´ımite y no es cardinal, entonces es singular. Demostraci´ on. Se deja como ejercicio al lector.

%

De la proposición anterior, se observa que todo ordinal no cardinal es singular y que todo cardinal finito, con excepción del 0 y del 1, es singular.

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i i

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i

149

4.3. Ordinales regulares y singulares

Algunos ejemplos de cardinales regulares son los siguientes: 0, 1, ω, ω1 , ω2 , . . . , ωα 1 . Algunos ejemplos de cardinales singulares, con sus cofinalidades, son los siguientes: Cardinal α 1 con α 0 ω ω ωω ℵω ℵ ω1 ℵκ con κ ℵκ

Cofinalidad 1 ω ω ω ω1 cf pκq ¤ κ ℵκ

Para demostrar el siguiente teorema, utilizamos el axioma de elección. Teorema 4.1 (AE) Para todo cardinal infinito κ, se tiene que κ gular. Es decir, cualquier cardinal sucesor infinito es regular.

es re-

Demostraci´ on. Supongamos que κ es un cardinal infinito tal que κ es singular, es decir, cf pκ q κ . Por la proposición 4.6, existe una función f : cf pκ q Ñ κ cofinal y estrictamente creciente. Entonces κ

¤

f rcf pκ

qs

¤

p q

f pξ q.

ξ cf κ

Obsérvese que para toda ξ cf pκ q, se tiene que f pξ q P κ , de donde |f pξq| κ y |f pξq| ¤ κ. De esta manera hemos expresado a κ como una unión de a lo más κ°conjuntos, cada uno de cardinal menor que κ, lo cual implica que κ ¤ α κ κ κ κ κ, que es absurdo. De manera que % cf pκ q κ y κ es regular. Corolario 4.4 (AE) Todo cardinal singular infinito es l´ımite. De lo anterior se observa que ω es regular y l´ımite, todo cardinal sucesor infinito κ es regular y todo cardinal singular infinito es l´ımite, pero ¿habrá cardinales regulares y l´ımites mayores que ω? o bien ¿todo l´ımite mayor que ω será singular? En resumen, tenemos lo siguiente.

i

i i

i

i

i


i

150

4. Cofinalidad Cardinales infinitos Sucesores L´ımites

Regulares ℵ1 , ℵ2 , . . . ω, ?

Singulares No hay ℵω , ℵℵ1 , . . .

Teorema 4.2 Sea κ un cardinal infinito. La cofinalidad de κ es el menor cardinal λ tal que κ se puede escribir como una uni´ on de λ subconjuntos de κ, cada uno de cardinal menor que κ. Es decir, 1. Existe una familia tAξ | Aξ κ, ξ y para toda ξ cf pκq, |Aξ | κ, y

cf pκqu tal que κ ξ cf pκq Aξ

2. Si existe una familia tAξ | Aξ κ, ξ λu tal que κ para toda ξ λ, |Aξ | κ, entonces cf pκq ¤ λ.

ξ λ Aξ

y

Demostraci´ on. Sea κ un cardinal infinito.

f rcf pκqs κ 1. Sea f : cf pκq Ñ κ una función cofinal. Entonces f pξq P κ. Tenemos que f pξq κ y |f pξq| κ, y definimos A ξ por lo tanto ξ cf pκq f pξ q f rcf pκqs κ. As´ı, existe una familia tAξ | Aξ κ, ξ cf pκqu tal que κ ξ cf pκq Aξ y para toda ξ cf pκq, |Aξ | κ. 2. Supongamos que existe tAξ | Aξ |Aξ | κ para toda ξ λ.

κ, ξ λu tal que κ ξ λ Aξ y

Si κ ¤ λ, entonces cf pκq ¤ κ ¤ λ. Si λ κ es el caso, entonces ¤

κ |κ|

ξ λ

Aξ ¤

¸

ξ λ

|Aξ | λ sup |Aξ | ¤ λ κ pλ κq κ.

ξ λ

As´ı que, λ supξ λ |Aξ | κ, de donde ξ λ |Aξ | supξ λ |Aξ | κ, pues λ κ. De lo anterior, tenemos que t|Aξ | | ξ λu forma una λsucesión de elementos de κ, pues |A f : λ Ñ κ es ξ | κ. Por lo tanto, una funci´ on cofinal, pues f rλs t|Aξ | ξ λu ξ λ |Aξ | κ. Luego entonces, cf pκq ¤ λ.

i

i i

i

i

i


i

151


% El siguiente corolario caracteriza a la cofinalidad de κ como el menor cardinal λ tal que κ se puede expresar como una suma de λ cardinales, cada uno de cardinalidad menor que κ. Corolario 4.5 Sea κ un cardinal infinito. Entonces 1. Hay una familia de cardinales tκξ | ξ y para toda ξ cf pκq, κξ κ, y

cf pκqu tal que κ °ξ cf pκq κξ

2. Si hay una familia de cardinales tκξ | ξ λu tal que κ para toda ξ λ, κξ κ, entonces cf pκq ¤ λ.

°ξ λ κξ

y

Demostraci´ on. 1. Sean κξ

|f pξq|, donde f : cf pκq Ñ κ es una función cofinal. Entonces

κ |κ| pq

¤

pq

ξ cf κ

f pξ q ¤

¸

pq

|f pξq|

ξ cf κ

¸

pq

κξ .

ξ cf κ

La igualdad () se justifica por la parte 1 del teorema 4.2. Por lo tanto, ° ξ cf pκq κξ ¥ κ. °

Por otro lado, ξ cf pκq κξ cf pκq supξ cf pκq κξ ¤ κ, pues cf pκq ¤ κ y κξ |f pξ q| ¤ f pξ q κ. Por lo tanto, supξ cf pκq κξ ¤ κ. Al tener ambas desigualdades, se concluye que

°

p q κξ κ.

ξ cf κ

2. Supongamos que hay una familia de cardinales tκξ | ξ λu tal que ° κ ξ λ κξ y para toda ξ λ, κξ κ. En el caso en que κ ¤ λ, se tiene que cf pκq ¤ κ ¤ λ. °

Analicemos el caso en que λ κ. Tenemos que κ ξ λ κξ λ supξ λ κξ . Por lo tanto, ξ λ κξ supξ λ κξ κ, pues λ κ. Adem´ as, κξ κ, por lo que κξ κ. Luego entonces se cumplen las condiciones de la parte 2 del teorema 4.2 con tκξ | ξ λu y, por lo tanto, cf pκq ¤ λ.

%

i

i i

i

i

i


i

152

4. Cofinalidad

De lo anterior se sigue que un cardinal es regular si no es uni´ on de menos que él conjuntos, cada uno de cardinal menor que él, o bien, si no es suma de menos que él cardinales menores que él. Veamos ahora que un cardinal infinito mayor que ω que sea cardinal l´ımite y regular es un punto fijo del funcional álef. Proposici´ on 4.11 Si ℵα ℵα α.

¡

ω es un cardinal l´ımite y regular, entonces

Demostraci´ on. Si ℵα es como se pide, entonces α 0 y α es ordinal l´ımite. En tal caso cf pℵα q cf pαq ¤ α, pero, como ℵα es regular, cf pℵα q ℵα . Por lo tanto, ℵα ¤ α. Por otra parte, siempre se cumple que ℵα ¥ α. Por lo tanto, ℵα α. %

Obsérvese que hay cardinales regulares mayores que ω, como por ejemplo ℵ1 , que no son l´ımite. También hay cardinales l´ımite mayores que ω, como por ejemplo ℵω , que no son regulares (pues la cofinalidad de ℵω es ω). Si existiera un cardinal regular, l´ımite y mayor que ω, ya hemos visto que tiene que ser punto fijo del funcional ℵ. Sin embargo, esta condición necesaria no es suficiente para probar que existe un cardinal regular l´ımite y mayor que ω. Ya demostramos que el funcional ℵ tiene puntos fijos (proposición 3.7 y proposición 3.8), sin embargo, es un resultado conocido, que no mostraremos aqu´ı (véase [Ku80]), que desde ZFE no se puede probar que exista un cardinal regular l´ımite mayor que ω. A continuación presentamos algunos resultados que combinan el teorema de König y el concepto de cofinalidad. Teorema 4.3 Para cualquier cardinal infinito κ se cumple lo siguiente: (i) cf p2κ q ¡ κ, (ii) κcf pκq

¡ κ.

Demostraci´ on.

i

i i

i

i

i


i

153


(i) Sabemos que existe una familia de cardinales tκα | α cf p2κ qu tal que ° κ 2 α cf p2κ q κα , donde κα 2κ para toda α cf p2κ q. Entonces, por el teorema de König (teorema 3.6) se tiene que: 2κ

¸

p q

κα

¹

α cf 2κ

p q

2κ

p2κ qcf p2 q 2κcf p2 q . κ

κ

α cf 2κ

Si cf p2κ q ¤ κ, entonces κ cf p2κ q absurdo. Por lo tanto, cf p2κ q ¡ κ.

κ, de donde 2κ 2κ , lo cual es

(ii) Sabemos que existe una familia tλα | α cf pκqu tal que para toda ° α cf pκq, λα κ y κ α cf pκq λα . Por lo tanto, ¸

κ

pq

λα

α cf κ

Luego entonces κcf pκq

¹

pq

κ κcf pκq .

α cf κ

%

¡ κ.

Corolario 4.6 Si cf pλq ℵ0 , entonces λ 2ℵ0 , es decir, 2ℵ0 no puede ser ning´ un cardinal cuya cofinalidad sea ℵ0 . Demostraci´ on. Se sigue del teorema anterior, pues cf p2ℵ0 q ¡ ℵ0 .

%

Del corolario anterior se sigue en particular que: 2ℵ0

ℵω ,

2ℵ0

ℵω

ω,

2ℵ0

ℵℵ

ω

.

Corolario 4.7 Si cf pλq ¤ κ, entonces λ 2κ , es decir, 2κ no puede ser ning´ un cardinal cuya cofinalidad sea menor o igual que κ.

Del corolario anterior se sigue en particular que: 2ℵ1

ℵω , 1

2ℵ1

ℵω ,

2ℵ1

ℵω

ω.

i

i i

i

i

i


i

154

4. Cofinalidad

Corolario 4.8 Si κ es un cardinal infinito, entonces κ

¤ κcf pκq ¤ 2κ .

Demostraci´ on. Por la parte 2 del teorema anterior, κ κcf pκq y, como cf pκq ¤ κ, entonces κcf pκq ¤ κκ . De aqu´ı se concluye que κ κcf pκq ¤ κκ 2κ . Luego entonces κ ¤ κcf pκq ¤ 2κ . %

4.3.1.

El cardinal del continuo

El teorema de Cantor implica que 2ℵ0 ¡ ℵ0 , es decir, que 2ℵ0 ¥ ℵ1 . Pero hasta ahora no sabemos de cota alguna para el tama˜ no de 2ℵ0 , lo u ńico que sabemos, por el corolario 4.6, es que no puede ser un cardinal de cofinalidad numerable. De hecho, esto es todo lo que se puede saber de este cardinal (asumiendo los axiomas de ZFE), pues se puede demostrar que no hay ninguna contradicción al suponer los axiomas de ZFE y que 2ℵ0 sea cualquier cardinal que no esté prohibido por el corolario 4.6. Este u ´ltimo resultado se pueden consultar en [Ku80].

Ejercicios 4.3.1.- Sea α un ordinal. Demuestre lo siguiente. (i) Si α es regular, entonces α es cardinal y cf pℵα q α.

(ii) cf pαq es un cardinal regular.

(iii) Los ordinales 0 y 1 son regulares. (iv) Cualquier ordinal sucesor mayor que 1 es singular. (v) Si α es l´ımite y no es cardinal, entonces es singular. 4.3.2.- Verifique que ω ω, ℵω , y ℵω1 son singulares, dando sus cofinalidades.

4.4.

Exponenciaci´ on cardinal

Por el teorema 4.3, sabemos que κcf pκq λ cf pκq? Proposici´ on 4.12 Si κω

¡ κ, pero ¿qué pasa con kλ , si

κ, entonces ω cf pκq.

i

i i

i

i

i


i

´ n cardinal 4.4. Exponenciacio

155

Demostraci´ on. Por el teorema 4.3, se tiene que κcf pκq ω p κ q cf ¡ κ , por lo que necesariamente cf pκq ¡ ω. κ

¡ κ. Como κω κ, %

El rec´ıproco de esta proposición no es necesariamente cierto. Un ejemplo es el siguiente: cf pℵ1 q ℵ1 ¡ ω y, sin embargo, ℵℵ1 0 2ℵ0 ¥ ℵ1 . ¿Qué se puede saber si se supone la hipótesis generalizada del continuo?, el lector debe verificar que en tal caso y suponiendo cf pκq ¡ ω, se concluye que κω κ o κω κ . Teorema 4.4 (F´ ormula de Hausdorff ) Sean κ y λ cardinales infinitos. Entonces pκ qλ κλ κ .

Demostraci´ on. Analicemos los siguientes dos casos. Si κ ¤ λ, recordando que para todo µ: 2 ¤ µ ¤ λ implica que µλ 2λ , concluimos que pκ qλ 2λ y κλ 2λ . Además, κ ¤ λ 2λ y, por lo tanto, κλ κ 2λ κ 2λ . Finalmente, se tiene que pκ qλ 2λ κλ κ .

¤ pκ qλ . Como todo cardinal sucesor es regular, tenemos que κ cf pκ q. También sabemos que si λ cf pµq entoncestoda función f : λ Ñ µ tiene imagen acotada en µ, es decir, λµ γ µ λγ. Entonces, como λ κ cf pκ q, λκ γ κ λγ. Luego entonces, Si λ κ , veamos que pκ

¤

pκ qλ |λκ |

γ κ

qλ ¤ κλ κ

γ ¤

λ

¸

γ κ

|λγ |

y que κλ κ

¸

γ κ

|γ | λ ¤

¸

κλ

κλ κ

,

γ κ

donde la segunda desigualdad es válida dado que si γ κ , entonces |γ | ¤ γ κ y por lo tanto |γ | ¤ κ, de donde |γ |λ ¤ κλ , para toda γ κ . Para verificar la desigualdad contraria, observemos que, como κ κ , entonces κλ ¤ pκ qλ . Además, κ ¤ pκ qλ . Por lo tanto, se tiene que κλ κ ¤ pκ qλ pκ qλ pκ qλ .

i

i i

i

i

i


i

156

4. Cofinalidad

% La fórmula de Hausdorff también puede enunciarse usando alefs de la siguiente manera: pℵα 1qℵβ ℵℵαβ ℵα 1. El siguiente corolario es un caso particular del resultado muy conocido que recordamos al inicio de la demostración de la fórmula de Hausdorff. Corolario 4.9 Para cualquier cardinal infinito κ, se tiene que pκ

qκ 2κ .

Demostraci´ on. Tomando κ λ en la fórmula de Hausdorff y usando que, como 2 ¤ κ κ , tenemos que κκ 2κ , obtenemos la igualdad deseada. % Corolario 4.10 Sea

|R| c. Entonces pc qℵ c

.

0

qℵ cℵ c

Demostraci´ on. Por la fórmula de Hausdorff se tiene que pc Por lo tanto,

0

pc qℵ cℵ c p2ℵ qℵ c 2ℵ ℵ c 2ℵ c c c c 0

0

0

0

0

0

0

0

.

.

% Veamos algunos ejemplos, utilizando la fórmula de Hausdorff (F.H.) y las igualdades ℵℵ1 0 2ℵ0 y κκ 2κ . ℵℵ2 0 ℵℵ2 1 ℵℵ3 1

pℵ1 qℵ F.H. ℵℵ1 ℵ1 2ℵ ℵ1 2ℵ ℵ2. pℵ1 qℵ F.H. ℵℵ1 ℵ1 2ℵ ℵ1 2ℵ ℵ2 2ℵ . pℵ2 qℵ F.H. ℵℵ2 ℵ2 2ℵ ℵ2 2ℵ ℵ3. 0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Corolario 4.11 (F´ ormula de Hausdorff generalizada) Sean α un ordinal, λ un cardinal infinito y n P ω. Entonces ℵλα

n

ℵλα ℵα

n.

i

i i

i

i

i


i


157

%

Demostraci´ on. Es por inducción sobre n y se deja al lector. Corolario 4.12 Sean α un ordinal y n P ω. Entonces ℵℵαα n

2ℵ ℵα α

n.

Demostraci´ on. Se sigue del corolario anterior, pues ℵℵαα

2ℵ

α

.

%

Corolario 4.13 (F´ ormula de Bernstein) Sean λ un cardinal infinito y n P ω. Entonces ℵλn 2λ ℵn . Demostraci´ on. Tomando α 0 en la fórmula de Hausdorff generalizada y observando que como λ ¥ ℵ0 , ℵλ0 2λ , se obtiene la igualdad deseada. % Veamos algunos ejemplos que utilizan la fórmula de Bernstein: ℵℵ0 1

2ℵ ,

ℵℵ1 0

2ℵ ,

ℵℵ2 1

2ℵ ,

ℵℵ1 2

2ℵ ,

2ℵ ℵ3,

ℵℵ1 3

2ℵ ,

ℵℵ3 1

1

1

1

0

2

3

ℵℵ0 2 ℵℵ3 0

2ℵ ,

ℵℵ2 0

2

2ℵ ℵ2, 0

2ℵ ℵ3,

ℵℵ0 3

2ℵ ,

2ℵ ,

ℵℵ2 3

2ℵ .

ℵℵ3 2

0

2

3

Corolario 4.14 Si λ y κ son cardinales infinitos tales que λ ° λ tonces κ µ κ µλ . Demostraci´ on. Como λ cf pκq, se tiene que λ κ κλ

¤

γ κ

Por lo tanto, κλ

λ

γ ¤

¸

γ κ

°µ κ µλ.

|γ |λ

¤

¸

p|γ |¤γ κq γ κ

κλ

3

cf pκq, en-

λ γ, por lo que

γ κ

κ κλ κλ . %

i

i i

i

i

i


i

158

4. Cofinalidad

Definici´ on 4.7 (Hausdorff-Kuratowski) Un cardinal κ regular se llama débilmente inaccesible o inaccesible débil.

¡

ω, l´ımite y

No es posible saber desde ZFE si hay cardinales débilmente inaccesibles (véase [Ku80]). Si un cardinal κ es inaccesible débil, sabemos por la proposición 4.11 que κ es un punto fijo del funcional álef, es decir ℵκ κ. Obsérvese que λ tℵ0 , ℵℵ0 , ℵℵℵ0 , . . .u es un punto fijo de ℵ, pero no es inaccesible débil, pues cf pλq ω, por lo que es singular. Definici´ on 4.8 Un cardinal infinito κ es un cardinal fuerte o l´ımite fuerte si y s´ olo si para todo λ κ, se tiene que 2λ κ. Proposici´ on 4.13 Todo cardinal fuerte es un cardinal l´ımite. Demostraci´ on. Si κ es fuerte y λ λ κ y κ es cardinal l´ımite.

κ, entonces λ ¤ 2λ κ, por lo que %

Proposici´ on 4.14 Un cardinal infinito κ es fuerte si y s´ olo si

µ, λ κ, µλ κ. %

Demostraci´ on. Se deja como ejercicio.

Un ejemplo de un cardinal fuerte es iω (véase la definición del funcional un n P ω, i en el ejercicio 3.3.4), pues si λ iω , entonces λ in para alg´ de donde 2λ ¤ 2in 2in 1 iω . Nuevamente este cardinal no es regular, pues cf piω q ω. Proposici´ on 4.15 Sean κ y λ cardinales. Si κ es fuerte y λ tonces κλ κ.

cf pκq, en-

Demostraci´ on. Dado que λ ¡ 0, entonces κλ ¥ κ. Para verificar la desigualdad contraria, observemos que, como λ cf pκq, λκ λ ı que γ κ γ. De aqu´ κλ

¤

|λκ|

γ κ

γ ¤

λ

¸

γ κ

|γ |λ

¸

µ κ

µλ

κ sup µλ ¤ κ κ κ,

µ κ

i

i i

i

i

i


i


159

donde la u ´ltima desigualdad es válida, pues si µ κ y λ cf pκq entonces µλ κ, dado que κ es fuerte. Por lo tanto, supµ κ µλ ¤ κ.

¤ κ, %

Definici´ on 4.9 (Sierpinski-Tarski) Un cardinal κ ¡ ω, fuerte y regular se llama fuertemente inaccesible o inaccesible fuerte. Es claro que todo cardinal inaccesible fuerte es inaccesible débil, por lo que nuevamente no podemos demostrar la existencia de cardinales inaccesibles fuertes desde ZFE. Obsérvese que los cardinales inaccesibles fuertes no pueden ser obtenidos con las operaciones conjuntistas usuales, sucesor, unión, reemplazo o potencia, a partir de cardinales menores. Se comportan de manera análoga con respecto a los cardinales menores a ellos a como ω se comporta con respecto a los cardinales finitos (recuerde que para la existencia de ω requerimos el axioma de infinito). Proposici´ on 4.16 Sean κ y λ cardinales infinitos. Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones respecto al cardinal κλ en términos de cofinalidad.

¤ κcf pκq ¤ κκ 2κ . ¤ κcf pκq ¤ κλ ¤ 2κ .

(i) Si λ cf pκq ¤ κ, entonces κ ¤ κλ (ii) Si cf pκq ¤ λ ¤ κ, entonces κ (iii) Si κ ¤ λ, entonces κλ

2λ .

Demostraci´ on. Las pruebas se siguen de resultados anteriores y se dejan como ejercicio. % A continuación probamos una propiedad importante de la exponenciaci´ on de los cardinales fuertes, para lo cual necesitamos primero de la siguiente definición. Definici´ on 4.10 Sean κ y λ cardinales. Definimos el cardinal λ a la menor que κ, denotado λ κ , como: λ κ

suptλµ | µ κu.

Obsérvese que, en particular, λ κ

λκ .

i

i i

i

i

i


i

160

4. Cofinalidad

Lema 4.1 Si κ es un cardinal, entonces 2κ Demostraci´ on. Sea κ Entonces tenemos que 2κ

°

2

p q κi

i cf κ

p2 κ qcf pκq .

°i cf pκq κi , donde para toda i cf pκq,

¹

2κi

pq Por lo tanto, 2κ p2 κ qcf pκq .

¹

¤

i cf κ

pq

2 κ

κi

κ.

p2 κ qcf pκq ¤ p2κ qcf pκq 2κ .

i cf κ

%

Obsérvese que si κ es sucesor, digamos κ que p2 µ qcf pµ q p2µ qµ 2µ .

µ

, tenemos directamente

κcf pκq. Demostraci´ on. Como κ 2κ , κcf pκq ¤ p2κ qcf pκq 2κcf pκq 2κ .

Proposici´ on 4.17 Si κ es un cardinal fuerte, entonces 2κ

Para mostrar la desigualdad contraria, como κ es fuerte entonces 2 κ supµ κ 2µ ¤ κ. Finalmente, por el lema 4.1, tenemos que 2κ

p2 κ qcf pκq ¤ κcf pκq . %

A continuación determinamos el valor del cardinal κλ , para lo cual nos serviremos del siguiente lema. Lema 4.2 Si κ es un cardinal l´ımite y λ ¥ cf pκq, entonces λ

κ

sup µ

λ

cf pκq

.

µ κ

°

Demostraci´ on. Sea κ i cf pκq κi con κi κ para toda i cf pκq. Observamos que κλi ¤ supµ κ µλ ¤ κλ . Entonces usando el ejercicio 3.5.10 (página 137) y otros resultados del cap´ıtulo tres:

κλ

¸

pq

i cf κ

λ

κi

¤

¹

pq

i cf κ

λ

κi

¹

pq

i cf κ

κλi

¤

¹

sup µλ

i cf pκq

µ κ

i

i i

i

i

i


i


sup µ

λ

cf pκq

µ κ

161

¤ pκλ qcf pκq κλ . %

Proposici´ on 4.18 Sean κ y λ cardinales infinitos. El valor del cardinal κλ queda determinado como sigue: (i) si κ ¤ λ, entonces κλ (ii) (iii)

2λ ; un µ κ, entonces κλ µλ ; y si µλ ¥ κ para alg´ si κ ¡ λ y µλ κ para toda µ κ, entonces - si cf pκq ¡ λ, entonces κλ κ, y - si cf pκq ¤ λ, entonces κλ κcf pκq .

Demostraci´ on. (i) Ya se probó en la proposición 4.16. La afirmación es válida incluso si κ λ , pues pλ qλ 2λ .

(ii) Supongamos que existe µ κ tal que µλ

¥ κ. Entonces µλ ¤ κλ ¤ pµλ qλ µλ .

µλ . Supongamos que κ ¡ λ y que µλ κ para toda µ κ. Si κ es cardinal sucesor, digamos κ µ , entonces cf pκq κ ¡ λ y, como µ µ κ, µλ κ µ . As´ı, usando la fórmula de Hausdorff

Por lo tanto, κλ (iii)

(teorema 4.4), tenemos que κλ

Por lo tanto, κλ

κ.

pµ qλ µλ µ µ κ.

En el caso en que κ sea un cardinal l´ımite, debemos primero verificar que supµ κ µλ κ. Pero como para todo µ κ, µλ κ, κ es cota superior de donde supµ κ µλ ¤ κ. Por otro lado, es claro que κ supµ κ µ y como µ ¤ µλ para todo µ κ entonces se tiene que κ supµ κ µ ¤ supµ κ µλ . As´ı, supµ κ µλ κ.

i

i i

i

i

i


i

162

4. Cofinalidad - Si cf pκq ¡ λ, como toda f : λ Ñ κ es acotada, tenemos que κλ

¤

λ

α ¤

α κ

Por lo tanto κλ

¸

|α|λ sup µλ κ κ κ κ.

µ κ

α κ

κ.

- Si cf pκq ¤ λ, como supµ κ µλ κλ

κ, por el lema 4.2, tenemos que

sup µλ

µ κ

cf pκq

κcf pκq . %

Corolario 4.15 Para cualesquiera κ y λ cardinales infinitos, el valor de κλ un µ tal que cf pµq ¤ λ µ. es 2λ o κ o µcf pµq , para alg´ Demostraci´ on. Por la proposición 4.18, es claro que κλ puede ser 2λ o κ, en cuyo caso tenemos que κλ 2λ κ y, por lo tanto, κλ 2λ κ. As´ı que si no suceden los casos anteriores, entonces κλ ¡ 2λ κ. En este caso sea µ el m´ınimo cardinal tal que µλ κλ , de donde por la proposición 4.18 para µ % y λ, concluimos que µλ µcf pµq . El funcional guimel está definido para los cardinales como ‫ג‬pµq µcf pµq . As´ı, el corolario anterior muestra que la exponenciación cardinal está determinada por el funcional guimel.

4.4.1.

Resultados dependientes de la HGC

La demostración de la proposición 4.18 no requiere de la hipótesis generalizada del continuo, sin embargo, esta hipótesis permite obtener resultados más sencillos como mostramos a continuación. Lema 4.3 (HGC) Sean κ, λ y µ cardinales infinitos. Entonces: (i) κcf pκq

κ

;

(ii) si µ κ y λ κ, entonces µλ (iii) si µ κ, entonces 2µ

¤ κ;

2κ ;

i

i i

i

i

i


i

´ n cardinal 4.4. Exponenciacio (iv) si 2µ

163

2κ , entonces µ κ.

Demostraci´ on. (i) Sabemos que κ κcf pκq ¤ κκ 2κ HGC κ . Lo cual implica que κ κcf pκq ¤ κ , de donde necesariamente κcf pκq κ .

¤ κ y λ ¤ κ. Por lo tanto, µλ ¤ máxtµ, λumáxtµ,λu HGC pmáxtµ, λuq máxtµ

(ii) Sean µ, λ κ. Entonces µ

,λ

u ¤ κ.

(iii) Sea µ κ. Entonces 2µ (iv)

HGC µ ¤ κ 2κ . Por lo tanto, 2µ 2κ . Supóngase que µ κ. Entonces µ κ o κ µ y en cualquier caso, por el inciso anterior, tenemos que 2µ 2κ . %

Teorema 4.5 (HGC) Sean κ y λ cardinales infinitos. Entonces

κλ

$ κ ' ' ' ' &

si λ cf pκq ¤ κ,

' κ

si cf pκq ¤ λ ¤ κ,

λ

si cf pκq ¤ κ ¤ λ.

' ' ' %

Demostraci´ on. Analicemos los tres casos: 1. Si λ cf pκq, entonces, por la proposición 4.16, κ ¤ κλ ¤ κcf pκq ¤ 2κ . De aqu´ı que, por la hipótesis generalizada del continuo y el inciso (i) del lema 4.3, κ ¤ κλ ¤ κ , donde una de estas desigualdades es estricta. Por otra parte, κ ¤ κλ

¤λ γ

|λκ|

γ κ

¤

¸

γ κ

|γ |λ κ sup |γ |λ ¤ κ κ κ,

γ κ

´ltima donde la segunda igualdad es válida, pues λ cf pκq, y la u desigualdad se da porque |γ | κ y λ κ implican |γ |λ ¤ κ, por el inciso (ii) del lema 4.3. Por lo tanto, κ es cota superior y entonces supγ κ |γ |λ ¤ κ.

i

i i

i

i

i


i

164

4. Cofinalidad

2. Si cf pκq ¤ λ ¤ κ, entonces, por la proposición 4.16, tenemos que κ ¤ κcf pκq ¤ κλ ¤ 2κ , de donde, por la hipótesis generalizada del continuo, κ ¤ κcf pκq ¤ κλ ¤ κ y, por lo tanto, κλ κ . 3. Si κ ¤ λ, entonces, por la proposición 4.16, se tiene que κλ 2λ . Por lo tanto, la hipótesis generalizada del continuo implica que κλ λ .

%

Sabemos que si A y B son conjuntos tales que A B, entonces también P pAq P pB q. Sin embargo, el rec´ıproco de esta afirmación no se puede probar en ZFE, dado que se necesitar´ıa demostrar que si κ y λ son cardinales infinitos, entonces 2κ 2λ implica que κ λ y esto puede probarse sólo bajo la hipótesis generalizada del continuo.

Ejercicios 4.4.1.- Demuestre la fórmula de Hausdorff generalizada: si α es un ordinal, λ es un cardinal infinito y n P ω, entonces ℵλα n ℵλα ℵα n . 4.4.2.- Responda las siguientes preguntas, justificando sus respuestas. (i) ¿Es posible que 2ℵ1 (ii) ¿Es posible que (iii) ¿Si 2κ

2ℵ0

ℵℵ ? 1

sea inaccesible fuerte?

¥ λ, entonces se tiente que λκ 2κ ?

4.4.3.- Sean κ y λ cardinales infinitos. Demuestre lo siguiente.

¤ κcf pκq ¤ κκ 2κ . ¤ κcf pκq ¤ κλ ¤ 2κ .

(i) Si λ cf pκq ¤ κ, entonces κ ¤ κλ

(ii) Si cf pκq ¤ λ ¤ κ, entonces κ

(iii) Si κ ¤ λ, entonces κλ

2λ .

4.4.4.- Demuestre que κ es un cardinal fuerte si y sólo si para cualesquiera λ, µ κ, se tiene que µλ κ. 4.4.5.- Demuestre que si κ es un cardinal inaccesible fuerte y λ tonces κλ κ. 4.4.6.- Demuestre que ℵℵω1

κ, en-

ℵℵω 2ℵ 0

1

i

i i

i

i

i


i


165

4.4.7.- Demuestre que bajo la hipótesis generalizada del continuo todo cardinal inaccesible débil es inaccesible fuerte. 4.4.8.- Suponiendo la hipótesis generalizada del continuo, demuestre que si cf pκq ¡ ω, entonces κω κ o κω κ . 4.4.9.- Demuestre que κ es inaccesible fuerte si y sólo si κ ¡ ℵ0 , κ es fuerte ° y λ κ κλ κ. 4.4.10.- Demuestre que κ es inaccesible débil si y sólo si κ es regular y ℵκ κ. 4.4.11.- Demuestre que κ es inaccesible fuerte si y sólo si κ es regular y iκ κ. 4.4.12.- Se sabe que si A es un conjunto finito de cardinal n, entonces el n´ umero de funciones biyectivas f : A Ñ A es n! ¿Qué sucede si A es infinito de cardinal κ? 4.4.13.- Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes. (a) Si κ λ, entonces 2κ (b)

2λ . Si 2κ 2λ , entonces κ λ.

4.4.14.- Sea κ un cardinal inaccesible. Demuestre lo siguiente. (i) Para todo α κ, ℵα

κ.

(ii) ℵκ también es inaccesible. 4.4.15.- Suponiendo la hipótesis generalizada del continuo, se tiene que para todo κ cardinal infinito κcf pκq κ ¿Será cierto el rec´ıproco? 4.4.16.- Considere el siguiente teorema de Silver (1975): Si λ es un cardinal singular tal que cf pλq ¡ ω y para todo cardinal κ λ, 2κ κ , entonces 2λ λ . Argumente entonces por qué la hipótesis generalizada del continuo no puede fallar por primera vez en un cardinal singular de cofinalidad no numerable.

i

i i

i

i

i


i

166

4. Cofinalidad

i

i i

i

i

i


i

A El lenguaje de la teor´ıa de los conjuntos Una parte esencial en el estudio de cualquier teor´ıa es su lenguaje y en la Teor´ıa de Conjuntos en particular esto es muy importante por ser una teor´ıa tan básica y a la vez tan poderosa. Al precisar su lenguaje y, con él, las suposiciones iniciales acerca de los conjuntos y la relación de pertenencia, se precisan estos conceptos indefinidos, pues quedan determinados impl´ıcitamente por estas suposiciones iniciales.

A.1.

Definici´ on del lenguaje TC

El lenguaje de la Teor´ıa de Conjuntos (TC) es un lenguaje formal de predicados con igualdad cuyos componentes son: ´ Variables: a, b, c, . . . , w, x, y, z, A, B, C, . . .. Estas denotan conjuntos y existen en una cantidad numerable. S´ımbolos l´ ogicos: • Igualdad:

.

• Negación:

. 167

i

i i

i

i

i


i

A. El lenguaje de la teor´ıa de los conjuntos

168

^. Disyunci´ on (o) : _.

• Conjunción (y) : •

• Implicaci´ on (si, . . . entonces) : • Equivalencia (si y sólo si):

Ø.

Ñ.

• Cuantificador universal (para todo): . • Cuantificador existencial (existe): D.

S´ımbolos no l´ ogicos: u ńicamente un s´ımbolo de predicado de dos argumentos, P, escrito de manera infija, cuyo significado es “ser elemento de” o bien “pertenecer a”. S´ımbolos auxiliares: paréntesis p, q. Con estos s´ımbolos, formamos afirmaciones o fórmulas, de acuerdo a la siguiente definición recursiva: Las fórmulas simples o atómicas son sólo de las formas a Siendo a, b variables cualesquiera. Si ϕ, ψ son fórmulas, entonces fórmulas.

ϕ, ϕ ^ ψ, ϕ _ ψ, ϕ

b, a P b.

Ñ ψ, ϕ Ø ψ son

Si ϕpxq es una fórmula referente a una variable arbitraria x, entonces xϕpxq y Dxϕpxq son fórmulas. Las u ńicas fórmulas del lenguaje TC son las de las formas descritas en las cl´ ausulas anteriores.

A.2.

Manejo de clases

El concepto ingenuo de conjunto como colección determinada por una propiedad es un concepto equivocado, pues además de llevar a la contradicci´ on conocida como la paradoja de Russell, puede mostrarse que contradice una verdad l´ ogica (para más detalles sobre esta afirmación véase [Am05]). Si bien es claro que en ZFE sólo existen los conjuntos, muchas veces surgen de manera natural dentro de la teor´ıa, colecciones o clases tan enormes que no son conjuntos, por ejemplo, la colección de todos los conjuntos, la de

i

i i

i

i

i


i

A.2. Manejo de clases

169

todos los ordinales o la de todos los cardinales. Podemos decir que una clase que no es un conjunto, llamada clase propia, no es un objeto de estudio de la teor´ıa de conjuntos puesto que no existe en la Teor´ıa de Conjuntos, ya que existir es sinónimo de ser un conjunto. Sin embargo, las clases propias se pueden concebir intuitivamente y podemos hablar de ellas como si fueran conjuntos. Para formalizar el uso de estas colecciones en la Teor´ıa de los Conjuntos se puede utilizar una axiomatización más general que ZFE, donde se postule la existencia de clases, como, por ejemplo, la teor´ıa de von Neumann-Bernays-G¨ odel (NBG). Sin embargo, también es posible hablar de clases dentro de ZFE, aunque éstas no existan oficialmente. La idea es que dada una fórmula del lenguaje TC, siempre es posible definir la colección determinada por ella. Por ejemplo, la fórmula x x determina a la colecci´ on de todos los conjuntos, es decir al universo V . En general llamaremos clase a una colecci´ on determinada por una fórmula ϕpxq del lenguaje TC cuya u ńica variable no cuantificada o libre sea x. Esta observación permite incorporar un mecanismo de definición y uso de clases dentro de ZFE de manera que toda afirmación que involucre clases pueda reemplazarse por una expresión del lenguaje TC equivalente a la original. Observando que dada una propiedad ϕpxq, los objetos x que cumplen esa propiedad son exactamente los que pertenecen a la clase determinada por esa propiedad, denotamos a dicha clase con la notación tx | ϕpxqu. Una vez que se introduce la notación para clases podemos manipularlas como si fueran conjuntos en diversos casos. Por ejemplo, si definimos A tx | ϕpxqu y B tx | ψpxqu, entonces podemos definir operaciones entre clases, análogas a las operaciones con conjuntos, como sigue: AYB

tx | ϕpxq _ ψpxqu A X B tx | ϕpxq ^ ψ pxqu s tx | ϕpxqu A A B tx | DaDbpx pa, bq ^ ϕpaq ^ ψ pbqqu Adem´ as podemos definir la relación de pertenencia de un conjunto a una clase, as´ı como las relaciones de inclusión e igualdad entre clases como: a P A def ϕpaq

i

i i

i

i

i


i

A. El lenguaje de la teor´ıa de los conjuntos

170 AB

def xpϕpxq Ñ ψpxqq A B def xpϕpxq Ø ψ pxqq Obsérvese que todo conjunto es una clase pues si a es un conjunto definido por la fórmula ϕpxq, entonces se cumple la igualdad a tx | ϕpxqu. Es decir, el conjunto a es la clase definida por la fórmula ϕpxq. Pero no toda clase es un conjunto, por ejemplo, la clase de todos los conjuntos V tx | x xu, o la clase tx | x R xu, que al suponer que son conjuntos nos llevan a la conocida paradoja de Russell, mencionada al principio de esta sección. Más a´ un, la definición de pertenencia sólo tiene sentido entre un conjunto a y una clase A la cual podr´ıa ser propia o no. No es posible definir la relación de pertenencia entre dos clases propias. Finalmente observamos que, como los pares ordenados son conjuntos, existen algunas clases cuyos elementos pueden ser pares ordenados exclusivamente, a las cuales se les llama clases relacionales o simplemente relacionales. Es decir, una clase R es una relacional si y sólo si R V V . Más a´ un, una clase F es una funcional si y sólo si es una relacional que se comporta como una funci´ on. Es decir, F es una funcional si y sólo si F es una relacional y

xyz px, yq P F ^ px, zq P F Ñ y z y, en tal caso, denotamos con F pxq al u ńico valor y tal que px, y q P F .

Para un tratamiento más profundo acerca de clases dentro de ZFE sugerimos consultar [VRM00].

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B Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con elección El concepto correcto de conjunto se adquiere al establecer algunas de las propiedades esenciales de los conjuntos y algunos de los procesos mentales con los que construimos conjuntos. Estos serán los supuestos iniciales o axiomas de la teor´ıa. En este apéndice hemos hecho una descripción detallada de los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos Zermelo-Fraenkel con el axioma de elecci´ on (denotada como ZFE), as´ı como de su significado intuitivo respecto a la interpretación usual del concepto iterativo de conjunto en la llamada jerarqu´ıa acumulativa de los conjuntos bien fundados, vista en el cap´ıtulo 3.

B.1.

Axioma del conjunto vac´ıo “Hay un conjunto sin elementos.”

Dx y py R xq. 171 i

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ń B. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con eleccio

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Enunciado original en alem´ an: Es gibt eine Menge ohne Elemente. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: el conjunto ∅ está construido en el segundo estrato de la Jerarqu´ıa sin urelementos: es la u ńica colecci´ on posible de urelementos pues no hay urelementos. Observaciones: este axioma es constructivo en el sentido de que afirma la existencia de un conjunto definiéndolo.

B.2.

Axioma de extensionalidad

“Dos conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales.”

xy zpz P x Ø z P yq Ñ x y

.

Enunciado original en alem´ an: Zwei Mengen, die die selben Elemente haben sind gleich. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: La justificación de este axioma es previa a la jerarqu´ıa acumulativa, pues independientemente de c´ omo esté formado un conjunto, sus elementos lo determinan un´ıvocamente. Este axioma es de tipo especificativo. Observaciones: para cualesquiera x y y, el inverso del axioma de extensionalidad es una verdad lógica; una consecuencia inmediata de este axioma es que implica que todos los individuos (urelementos) son iguales, puesto que si a y b son individuos, entonces se cumple el antecedente del axioma y podemos concluir que a b. Otra implicación de este axioma es que el conjunto vac´ıo es u ńico y puede denotarse sin ambig¨ uedades como ∅.

B.3.

Axioma del par

“Para cualesquiera conjuntos x, y, hay un conjunto z cuyos elementos son exactamente x y y.”

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ń B.4. Axioma de unio

xyDzw

173

w

P z Ø pw x _ w yq .

Este conjunto z nuevamente es u ńico por extensionalidad y se denota usualmente como tx, y u. Enunciado original en alem´ an: F¨ ur alle Mengen x und y existiert eine Menge z, die genau x und y als Elemente hat. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: sean Ex y Ey los estratos en los que han sido construidos x y y, respectivamente. Entonces tx, y u puede construirse en cualquier estrato posterior a Ex y a Ey . Observaciones: El axioma del par implica que no hay un u ´ltimo estrato en la jerarqu´ıa; en el caso en que x y el par tx, xu se escribe simplemente txu y se conoce como el unitario de x.

B.4.

Axioma de uni´ on

“Para cualquier conjunto x existe un conjunto y, que tiene como elementos exactamente a los elementos de los elementos de x.”

xDyz z P y Ø Dwpw P x ^ z P wq

.

Tal conjunto y es u ńico y se conoce como la unión de x, denotado como x. Enunciado original en alem´ an: F¨ ur jede Menge x existiert eine Menge y, die genau die Elemente der Elemente von x als Elemente hat. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: puesto que los elementos de los elementos de x han sido construidos en estratos anteriores al de x, entonces x puede construirse en el mismo estrato que x, o inclusive en el estrato anterior.

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Observaciones: Puesto que x P ta, bu Ø x P a _ x P b, podemos un de definir a Y b como ta, bu. De manera que la operación com´ unión de dos conjuntos está plenamente justificada por los axiomas de unión y par.

B.5.

Axioma del conjunto potencia

“Para cualquier conjunto x existe un conjunto y, cuyos elementos son exactamente los subconjuntos de x.”

xDyz z P y Ø wpw P z Ñ w P xq . El conjunto y se llama el conjunto potencia de x, es u ńico por extensionalidad y se le denota como P pxq. Este axioma es constructivo. Enunciado original en alem´ an: F¨ ur jede Menge x existiert eine Menge y, deren Elemente genau die Teilmengen von x sind. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: todo subconjunto de x aparece en el mismo estrato que x, as´ı que P pxq puede construirse en el estrato siguiente. Observaciones: La noción de subconjunto x y puede definirse como wpw P x Ñ w P yq de manera que el enunciado del axioma de potencia puede simplificarse como xDy z z P y Ø z x .

B.6.

Esquema de comprensi´ on o separaci´ on

“Para cualquiera propiedad ϕ y cualquier conjunto x existe un conjunto y cuyos elementos son exactamente los z que son elementos de x y que cumplen ϕ”

xDyz z P y Ø z P x ^ ϕpzq

.

Este esquema es constructivo y postula un axioma para cada f´ ormula ϕ del lenguaje de ZFE, es decir, se postula un n´ umero infinito numerable de

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B.7. Axioma de infinito

axiomas. El conjunto y cuya existencia se postula y que para cada x y ϕ es u ńico por extensionalidad, se representa por: y

tz | z P x ^ ϕpzqu

o y

tz P x | ϕpzqu.

Enunciado original en alem´ an: F¨ ur jede Eigenschaft ϕ und jede Menge x existiert eine Menge y, die genau die z als Elemente hat, die Elemente von x sind und f¨ ur die ϕ zutrifft. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: para justificar la verdad de este axioma nótese que todos los elementos de la colección y han sido construidos en estratos anteriores al estrato en el que x fue construido (simplemente porque todos ellos son elementos de x), por tanto, y puede construirse en el mismo estrato en el que x se construya. Observaciones: El conjunto determinado por comprensión a partir de x y de ϕpz q es un subconjunto de x, es decir,

tz | z P x ^ ϕpxqu x. Esta observaci´ on justifica el nombre de separación.

B.7.

Axioma de infinito

“Existe un conjunto x que tiene al conjunto vac´ıo como elemento y que para cada uno de sus elementos y, tiene como elemento al conjunto cuyos elementos son exactamente y y los elementos de y.”

Dx ∅ P x ^ ypy P x Ñ y Y tyu P xq

o bien

Dx

Dvpv P x ^ wpw R vqq ^ y y P x Ñ Dz z P x ^ wpw P z Ø w P y _ w y .

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Enunciado original en alem´ an: Es existiert eine Menge x, die die leere Menge als Element enthält, und die mit jedem ihrer Elemente y auch diejenige Menge z als Element enthält, deren Elemente genau y und die Elemente von y sind. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: Sean E0 el estrato en el que ∅ ha sido construido, E1 el estrato en el que t∅u ha sido construido, E2 el estrato en el que t∅, t∅uu ha sido construido, etc. Si W es un estrato posterior a todos los En , entonces en W puede construirse un conjunto satisfaciendo el axioma de infinito. Observaciones: Este axioma es constructivo y afirma que hay un conjunto que tiene como elementos a los conjuntos ∅, t∅u, t∅,t∅uu, t∅, t∅u, t∅, t∅uuu, . . . de manera que estamos construyendo un conjunto inductivo, el cual es claramente infinito.

B.8.

Esquema de reemplazo o sustituci´ on

“La imagen de un conjunto bajo una relaci´ on funcional ϕ es un conjunto.” Más precisamente, si ϕ es una fórmula con dos variables libres x y y que define una relación funcional (total o parcial) en el universo de los conjuntos, es decir tal que: xy z ϕpx, y q ^ ϕpx, z q Ñ y z y si u es un conjunto cualquiera, entonces la colección imagen de los elementos de u bajo ϕ es un conjunto. Formalmente, sea ϕ una fórmula del lenguaje de ZFE que tiene a x y y como variables libres. Entonces el siguiente enunciado es un axioma:

xyz ϕpx, yq^ ϕpx, zq Ñ y z Ñ uDvz z P v Ø Dx x P u ^ ϕpx, zq

.

Enunciado original en alem´ an: Das Bild einer Menge unter einer funktionalen Eigenschaft ϕ ist eine Menge. Historia: fue propuesto por A. Fraenkel en 1922.

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ń B.9. Axioma de regularidad o buena fundacio

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Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: Dados ϕ y u, asóciese a cada ńico z que satisx en u tal que Dzϕpx, z q el estrato Ex en el cual el u face ϕpx, z q ha sido construido (es posible que hubiera elementos de u que no queden asociados con estrato alguno). Entonces v puede ser construido en cualquier estrato posterior a todos los Ex , de tal modo que los elementos de v sean exactamente todos los z que satisfacieron un x en u. ϕpx, z q para alg´ Observaciones: Dado ϕ y u, el conjunto cuya existencia se postula se representa por v tz | Dx x P u ^ ϕpx, z q u. En contraste con el esquema de separación, nótese que el esquema de reemplazo puede llevarnos fuera del conjunto u al formar el conjunto v, es decir, los elementos de v no son necesariamente elementos de u.

B.9.

Axioma de regularidad o buena fundaci´ on

“Todo conjunto no vac´ıo x tiene un elemento y tal que ning´ un elemento de y es un elemento de x.”

x Dzpz P xq Ñ Dy y P x ^ wpw P y Ñ w R xq

.

Es decir, todo conjunto no vac´ıo x tiene un elemento y tal que x X y ∅. Otro modo de decirlo es que todo conjunto no vac´ıo x tiene un elemento minimal respecto a la relación de pertenencia P restringida al conjunto x. Enunciado original en alem´ an: Jede nichtleere Menge x hat ein Element y derart, daß kein Element von y ein Element von x ist. Historia: fue propuesto por Dimitry Mirimanoff en 1917. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: Sean x un conjunto no vac´ıo y y un elemento de x construido en un estrato lo más abajo posible de y. Entonces y es un testigo de la verdad del axioma de regularidad ya que si z es un elemento de y, entonces z ha sido construido en un estrato anterior al estrato en el que y ha sido construido, por consiguiente z no puede ser un elemento de x, pues y fue elegido de tal manera que todo elemento de x ha sido construido en un estrato igual o posterior al estrato en el que y se construyó.

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Observaciones: Este axioma afirma que P es una relacional bien fundada sobre el universo V , es decir, prohibe la existencia de cadenas circulares de conjuntos tales como x P y P z P x, as´ı como la existencia de cadenas infinitas descendentes de conjuntos como . . . x3 P x2 P x1 P x0 . Este axioma es claramente especificativo, pues no nos proporciona nuevos conjuntos sino que especifica que todos cumplen con ser bien fundados. En realidad es un axioma restrictivo, pues aceptarlo es equivalente a aceptar que la jerarqu´ıa de los conjuntos bien fundados es todo el universo de los conjuntos, es decir que V BF.

B.10.

Axioma de elecci´ on

“Si x es un conjunto no vac´ıo de conjuntos no vac´ıos y ajenos dos a dos, entonces existe un conjunto y que tiene exactamente un elemento en com´ un con cada elemento de x.”

x Dypy P xq ^ ypy P x Ñ Dzpz P yqq ^ yzpy P x ^ z P x ^ y z Ñ upu P y Ñ u R zqq Ñ Dyzpz P x Ñ Dupu P y ^ u P z ^ wpw P y ^ w P z Ñ w uqqq o bien

a

a∅

^ ∅ R a ^ xypx P a ^ y P a ^ x y Ñ x X y ∅q Ñ

Dc w w P a Ñ Dzpw X c tzuq

^ u u P c Ñ Dvpv P a ^ u P vq

.

Al conjunto c le llamamos un conjunto de elección para a. Una versión equivalente al axioma de elección es la afirmación: para todo conjunto no vac´ıo de conjuntos no vac´ıos, existe una funci´ on de elecci´ on que elige un elemento de cada uno de los conjuntos no vac´ıos. Con más precisión: para todo conjunto no vac´ıo b de conjuntos no vac´ıos existe una funci´ on f ,tal que f : b Ñ b y tal que para todo x P b, f pxq P x.

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´ rico B.11. Comentario histo

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Enunciado original en alem´ an: Ist x eine nichtleere Menge nichtleerer und paarweise elementfremder Mengen, so existiert eine Menge y, die mit jedem Element von x genau ein Element gemeinsam hat. Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908. Justificaci´ on en la jerarqu´ıa acumulativa: La verdad de este axioma en la jerarqu´ıa de los conjuntos bien fundados queda justificada as´ı: sea a un conjunto de conjuntos no vac´ıos y ajenos dos a dos. Entonces los elementos de los elementos de a están construidos a lo más en el estrato que está dos niveles antes del estrato donde está construido a. Entonces en el estrato inmediato anterior al de a, donde se construyeron todos sus elementos, se puede construir cualquier colección formada por elementos de elementos de a, en particular se puede construir una colecci´ on c que tenga exactamente un elemento de cada uno de los elementos de a. Esto es posible porque cada elemento de a tiene al menos un elemento ya que ∅ R a, los elementos elegidos son distintos para elementos distintos de a, pues los elementos distintos de a son ajenos, y finalmente porque se pueden formar todas las colecciones posibles de elementos de elementos de a. Observaciones: El axioma de elección es una afirmación muy especial del lenguaje de la Teor´ıa de Conjuntos, pues afirma la existencia de un conjunto para el cual no se da una definición, por esa razón la caracterización de tal conjunto con el lenguaje es más complicada y es sólo una caracterización, pues no es u ńico el conjunto cuya existencia se postula. Es importante comentar que hay muchos enunciados equivalentes al axioma de elección.

B.11.

Comentario hist´ orico

La axiomatización conocida como Z está constituida por los axiomas B1 a B7 y fue propuesta por Ernst Zermelo en 1908. Es importante precisar que Zermelo incluy´ o al axioma de elección en su formulaci´ on original (en la versión de una funci´ on de elección), ya que su objetivo era demostrar el teorema del buen orden: para todo conjunto existe un buen orden, que es uno de los muchos equivalentes del axioma de elección, sin embargo, actualmente tal axioma se considera aparte de Z y de ZF.

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En 1922 A. Fraenkel propuso el esquema de reemplazo, mientras que Dimitry Mirimanoff propuso en 1917 el axioma de regularidad. La axiomatización conocida como ZF (Zermelo-Fraenkel) está constituida por los axiomas B1 a B9 y fue presentada en su formulación actual por Von Neuman. A la axiomática ZF junto con el axioma de elección, se le conoce como ZFC (por choice, en inglés) o como ZFE (por elecci´ on, en espa˜ nol).

B.12.

Comentario sobre la independencia de los axiomas

La axiomatización completa ZFE está constituida por los axiomas B1 a B10, sin embargo, los axiomas B2. Vac´ıo, B3. Par, y el esquema B6. Comprensión, realmente se pueden probar (son dependientes) del resto de los axiomas del siguiente modo: 1. B6. Comprensión

ñ B1. Vac´ıo.

2. B1. Vac´ıo y B5. Potencia y B8. Reemplazo 3. B8. Reemplazo

ñ B3. Par.

ñ B6. Comprensión.

As´ı pues, los axiomas independientes de ZFE son sólo seis axiomas y un esquema: B2. Extensionalidad (especificativo), B4. Uni´ on (constructivo), B5. Potencia (constructivo), B7. Infinito (constructivo), B8. Reemplazo (constructivo), esquema de axiomas, B9. Regularidad (especificativo), B10. Elecci´ on (existencial).

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R. A. Beaumont, R. S. Pierce, The Algebraic Foundations of Mathematics, Addison-Wesley Publishing Company Inc., 1963

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L.M. Villegas Silva, D. Rojas Rebolledo, F.E. Miranda Perea. Conjuntos y Modelos. Curso Avanzado. UAM Iztapalapa 2000.

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Bibliograf´ıa

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Índice de S´ımbolos

Ac , 68

ω1 , 74

Z , 13 Q , 19 R , 33

BF, 87 BFα , 87

cam, 2 CAR, 105 OR, 60 cf pβ q, 143 CT pAq, 91

P Ai , 128

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Q, 19 R, 32

r1 , 44 æ, 7 ρpxq, 90

¨, 73, 106 , 73

spxq, 61 Z , 13 N , 10 Q , 20 R , 40 sup, 37

dom, 2

Z, 12 im, 2 , 2 λ , 109

η, 19 λ, 34

Æ, 3 Z , 14 N , 11 Q , 20 R , 40

Xar , 72

ω, 4 ωα , 81 ω, 4 183 i

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Índice de S´ımbolos

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Índice

arquimediano, 42 automorfismo, 68 Axioma de Reemplazo, 68 de Buena Fundación, 89, 91 de Elección, 93 de Infinito, 7

bien ordenado, 6 con orden reflexivo, 5 con orden total relfexivo, 5 inductivo, 8 linealmente ordenado, 2 parcialmente ordenado, 2 totalmente ordenado, 2 compleción de, 45 sin extremo derecho, 6 sin extremo izquierdo, 6 sin extremos, 6 transitivo, 7, 54 conjunto potencia, 28 cortadura, 30 de Dedekind, 32 cota inferior, 6 superior, 6

buen orden, 6 inducido, 96 Teorema del, 94 cadena, 94 cardinal, 105 del continuo, 154 innaccesible débil, 158 innaccesible fuerte, 159 l´ımite, 113 sucesor, 109, 113 cardinalidad, 27 cerradura transitiva, 91 clase, 169 propia, 169 cofinal, 141 cofinalidad, 143 completo, 35 confinal, 140 conjunto bien fundado, 87

denso, 7 en un orden total, 35 dominado por, 73, 106 enteros, 12 negativos, 13 positivos, 13 equipotencia, 27 estrato, 87 exponenciación 185

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Índice

186 cardinal, 120 finito, 54 funcional, 68, 75, 170 del universo, 76 beth, 116 continuo, 113 monótono, 113 normal, 113 Fórmula de Bernstein, 157 Fórmula de Hausdorff, 155 generalizada, 156 guimel, 162 Hartog n´ umero de, 109 Hipótesis del continuo, 119, 139 Hipótesis Generalizada del continuo, 119 idempotencia, 120 ´ınfimo, 6 isomorfismo, 2 parcial, 25 multiplicación en los enteros, 14 en los naturales, 11 en los racionales, 20 en los reales, 40 cardinal, 120 máximo, 6 m´ınimo, 6 natural producto, 11 suma, 10

numerable, 21 n´ umero natural, 7 ordinal, 56 orden buen, 6 parcial, 2 total, 2 ordinal, 56 exponenciación, 83 inicial, 73, 81, 105 l´ımite, 61 potencia, 83 producto, 83 regular, 148 singular, 148 sucesor, 61 suma, 82 Paradoja de Russell, 84 Principio de Inducción Transfinita, 64 de Inducción Ordinal, 64 del M´ınimo Ordinal, 60 punto fijo, 113 racionales, 19 rango, 90 reales, 32 relacional, 170 relación antirreflexiva, 2 antisimétrica, 5 campo de, 2 dominio de, 2 imagen de, 2

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Índice reflexiva, 5 transitiva, 2 tricotómica, 2 restricción de una relación, 7

187 valor absoluto, 15 von Neumann, 7, 53, 54 Zorn Lema de, 94

segmento inicial determinado por, 68 segmento inicial de Q, 31 separable, 35 subconjunto acotado, 6 acotado inferiormente, 6 acotado superiormente, 6 sucesor, 8 suma en los enteros, 13 en los racionales, 20 en los reales, 40 cardinal, 120 supremo, 6 Teorema de Recursi´ on para naturales, 8 de Recursi´ on Transfinita, 78, 79 de Cantor-Schröder-Bernstein, 106 de Enumeración, 70 de Hartog, 108 de Recursi´ on Transfinita, 76 del Buen Orden, 94 tipo de orden, 2, 70 producto, 46 suma, 46 unitario, 173

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José Alfredo, Amor Montaño, Gabriela Campero Arena, Favio Ezequiel Miranda Perea-Teoria de Conjuntos, Curso Intermedio (2010).pdf

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