Estructura de la materia Jorge Pizarro Ceriche Resistencia de materiales Instituto IACC 09 de abril de 2018
Desarrollo 1) De acuerdo a la ley de Hooke ¿cuál es el peso máximo que puede soportar una balanza que cuenta con un resorte con una constante de fuerza (k) de 6x104 N/m, si el desplazamiento máximo permitido por diseño es de 2,8 cm?
Solución: Utilizamos la ley de Hooke para este problema el cual nos indica que:
= ∗ Donde Fx es desconocida, k es la constante de fuerza y x es el desplazamiento del punto de equilibrio. En este caso, el máximo desplazamiento permitido es de 2,8 cm = 0,028 m (el desplazamiento se realiza en la dirección contraria) y k = 6x104 N/m Luego, en la siguiente fórmula reemplazamos los d atos y obtenemos:
= ∗ = 6∗10
∗ 0,028 = 1680 []
Con esto tenemos que el peso máximo que puede soportar la balanza es de 1680 [N] Estimado, iniciando con tu retroalimentación te comento que realizaste un excelente trabajo en éste ejercicio, utilizaste las ecuaciones adecuadas junto con las conversiones correctas para llegar al resultado esperado.
2) En una cuerda elástica de 1 cm de diámetro, se encuentra colocada una masa de 10 Kg y se encuentra estirada a una longitud de 80 cm; cuando se le agregar 4,5 Kg más, la cuerda alcanza una longitud de 83,5 cm y al agregar 2 Kg más, la cuerda se rompe. Calcule la constante del resorte de la cuerda y luego determine cuál es el rango de su límite elástico (esfuerzo necesario para alcanzar la ruptura), suponiendo que el diámetro de la cuerda es constante. Justifique su respuesta de acuerdo a los conceptos aprendidos. Solución: Elaboraremos una tabla para los datos del problema, se sabe que el peso es F=m*g Masa
Peso
Longitud
Deformación
10 Kg
98 N
80 cm = 0,8 m
x
10 + 4,5 = 14,5 Kg
142,1 N
83,5 cm = 0,835 m
x + 0,035
10+4,5+2 = 16,5 Kg
161,7 N
Para calcular la constante del resorte y según el material de esta semana, el valor k es la pendiente de la recta que se genera entre la fuerza y la distancia, por lo tanto calculamos la constante:
=
142,1[] 98 [] 44,1 [] = = 1260 [⁄] 0,835 [] 0,8 [] 0,035 []
El valor de la constante del resorte de la cuerda es de k = 1260 [N/m] Para determinar el rango de su límite elástico, tenemos lo siguiente: El límite elástico es la máxima tensión dentro de la que el material cumple con la ley de Hooke. El límite elástico es superior al peso de las dos masas (10+4,5 k g) e inferior al peso de las tres masas (10+4,5+2 Kg) en ese momento la cuerda se rompe. Fuerza = peso = (10 kg + 4,5 kg + 2 kg) * 9,8 m/s2 = 161,7 N/m Por lo tanto el límite elástico estará en el rango de [142,1 N a 161,7 N]
Jorge, para comenzar a realizar el ejercicio, debemos tener en cuenta que la longitud ∆X o ∆L se calcula a partir de la longitud inicial de la cuerda, la cual no nos dan, 80cm no es la longitud inicial, es la longitud al colocar una carga de 98N.
Con la figura mostrada aplicando la ley de Hooke y formulando que la constante de elasticidad es igual en todos los puntos, igualamos la formula k en 1 y 2 con lo cual obtenemos el largo inicial sin estiramiento, luego obtengo la extensión en la cuerda para cada fuerza aplicada y con ello obtengo la constante k.
98 N 142,1 N = (0,8L ) (0,835 L) 142,1 N ∗ (0,8 m L ) = 98 N ∗ (0,835 L ) 142,1 ∗ 0,8 m 142,1 L = 98 ∗ 0,835 m 98 L 113,68 m 81,83 m = 142,1 L 98 L 31,85 m = 44,1 L L =
31,85 = 0,7222 m, corresponde al largo inicial de la cuerda. 44,1
L (largo final)
Peso
Fuerza
Extensión dela cuerda
(Kg)
(Newton)
0
0
0,7222 (L )
0
10
98
0,8
(0,8-0,7222) = 0,0778
14,5
142,1
0,835
(0,835 – 0,7222) = 0,1128
16,5
161,7
∆L (L L)(m)
(m)
Aplicando Ley de Hooke en el punto 2 tenemos que:
F=k∗∆x →k=
F 142,1 N N = = 1259,75 constante de eleasticidad de la cuerda. ∆x 0,1128 m m
Aplicando Ley de Hooke en el punto 1 tenemos que:
F=k∗∆x →k=
F 98 N = ∆x 0,0778 m
= ,
.
Rango límite elástico asumiendo que el diámetro de la cuerda es constante.
Esfuerzo =
Fuerza actuante en la cuerda F → σ= área del grosor de la cuerda que actua la fuerza A
Diametro de la cuerda = 1 cm = 1 cm ∗
1m = 0,01 m 100 cm
πd 3,1416 ∗ 0,01m Área cuerda = = = 0,00007854 m 4 4 σ=
161,7 N 161,7 N = = 2,0588 ∗ 10 Pa − 0,00007854 m 7,854 ∗ 10 m
σ = 2,0588 MPa, esfuerzo necesario para alcanzar la ruptura de la cuerda 3) Es conocido que los metales (así como cualquie r material) se expanden con el calor. En un modelo de esferas y resortes para dos materiales (A y B) con diferente coeficiente de expansión térmica, al calentar ambos materiales hasta la misma temperatura, A se expande más que B, ¿a qué parámetro del modelo se debe esta diferencia? Justifique su respuesta. Solución: Si tomamos por ejemplo un latón y el acero (dos metales con diferentes coeficientes térmicos), se dilata más el acero dulce. La causa es que cuando un cuerpo recibe el calor, sus partículas se mueven más deprisa, por lo que necesitan más espacio para desplazarse y por tanto, el volumen del cuerpo aumenta. A este aumento de volumen se llama dilatación, esta es una propiedad que puede caracterizar a las sustancias y permitir su identificación, diferentes metales tienen diferentes coeficientes de dilatación.
Muy bien Jorge, tienes razón, cuando un cuerpo absorbe calor los átomos dejan su estado de inmovilidad o equilibrio y comienzan a “excitarse” moviéndose y chocándose entre ellos, lo que
genera cambios en las dimensiones y volúmenes de los materiales, además, sabemos que para un metal más suave o maleable el coeficiente de expansión es alto en cambio en metales más duros el coeficiente de expansión es más bajo, esto se debe a que en los sólidos, el arreglo atómico es mucho más ordenado que en un líquido o un gas, donde los átomos están totalmente dispersos y desordenados, esto quiere decir que como A se expande más que B, posiblemente B sea un material sólido y A un líquido o un gas. Si lo relacionamos a un modelo de esferas y resortes sabiendo que A se expande más que B, entendemos que la constante de elasticidad del resorte (enlace) de A es menor a la constante de elasticidad (k) del resorte de B.
4) Observe la siguiente imagen que corresponde a la geometría de una celda unitaria de un metal hipotético y luego conteste:
a) ¿A cuál de los siete sistemas cristalinos pertenece este metal hipotético? R: Este metal hipotético pertenece al sistema cristalino tetragonal
= ≠ 0.30 = 0.30 ≠ 0.40 = = = 90°
b) Y ¿a cuál de las 14 redes cristalinas de Bravais pertenece? R: De las 14 redes cristalinas de Bravais que pertenece es a la de tetragonal centrada en el cuerpo. Excelente respuesta Jorge, reconoces las redes y sistemas cristlinos
5) Observe las propiedades del níquel (Ni) puro:
Elemento metálico.
Es un buen conductor del calor y la electricidad.
Tiene buena resistencia a la oxidación y a la corrosión.
Presenta esquemáticamente el siguiente defecto:
Suponga Ud. Que un estudiante compañero suyo le comenta que, dadas las propiedades del níquel y el dibujo esquemático, este metal presenta un defecto de tipo Schottky. Luego, explique por qué su compañero identificó incorrectamente el tipo de falla o defecto cristalino, considerando las características de la estructura cristalizada en los materiales, en este caso, del níquel puro.
Solución: El defecto Schottky es único para materiales iónicos y sucede cuando hay una vacante de catión y anión en la red cristalina, debido a que como el material debe permanecer eléctricamente neutro, una vacante no puede formarse sin la otra. Para este caso identificó incorrectamente ya que corresponde a un defecto que es la vacancia. Las vacancias o vacantes resultan de la ausencia de un átomo en un sitio de la red cristalina; los sitios de redes cristalinas vacantes reducen la fuerza y estabilidad de la red en su totalidad.
Es correcta tu respuesta, además el defecto Schottky se refiere a vacantes de catión y anión en la red cristalina y en el ejemplo sólo hay una vacante
Bibliografía
IACC (2017). Estructura de la materia. Resistencia de los Materiales. Semana 1.
