es una consecuencia de Y Del mismo modo, una sentencia
1= Y
0\=Y í//es una consecuencia del conjunto vacío de sentencias Y es satisfecha por todos los sistemas Y es verdad en todos los sistemas
Y es ló g ic a m e n te
v álid a
Por otro lado, fácil es de advertir que para cualesquiera conjun tos de sentencias T y A del mismo lenguaje S£ y para cada senten cia (p de 4B ocurre:
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T eorías y modelos
Si T C A y F |= y), entonces A 1=
{(p e SentX\ \= (p} C T C SentX. La teoría máxima en X , es decir, Sent Xy el conjunto de todas las sentencias de X , se llama también la teoría inconsistente en X .
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____ T eorías y modelos____
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Cualquier otra teoría en 88 que no abarque todas las sentencias de 88 se llama una teoría consistente en 88. Otra manera de expresar lo mismo es decir que una teoría es inconsistente si contiene contra dicciones, es decir, si entre sus teoremas se encuentra una senten cia del tipo (
} 232
ay
¥== z))
T eorías y modelos
T3 = {
Vx (p{x)
y y. -i3xs(x) = 0 y2: \/xy (dx) = s(y) => x ~ y) yy V x x + 0 = x J¿\ 'ixy x + r(y) ~ s(x+ y) y5: Vx x-0 - 0 y6: Vxy x-s(y) - x-y + x
T = { y f \ p , r t...
76 n V4
T es la aritmética de Peano de primer orden, presentada aquí axiomáticamente con ayuda del esquema axiomático (3, que en
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C onceptos y teorías en la ciencia_____ _____ ____
realidad no es una sentencia, sino la condensación de un conjunto infinito de sentencias. En efecto, en j3 la letra griega (p representa cualquier fórmula del lenguaje aritmético con una variación libre, y hay un número infinito de tales fórmulas, cada una de las cuales da lugar a un axioma distinto. Este esquema axiomático es imprescindible. Ningún conjunto finito de sentencias podría sustituirlo. Por tanto, la aritmética de Peano de primer orden no es una teoría finitamente axiomatizable. Sin embargo, para cada sentencia del correspondiente lenguaje se puede averiguar automáticamente si esa sentencia tiene la forma indicada por /3 y es, por tanto, un axioma, o no. Por consiguiente, el conjunto de sentencias {/?, 7 ,.. % }, aun siendo infinito (pues incluye las infinitas sentencias indicadas por j3), es decidible y, por tanto, la teoría de Peano de primer orden es axiomatizable. Esta teoría es también satisfacible, pues el sistema estándar ,/Ude los números naturales con el cero y las funciones de siguiente, adición y multiplicación es un modelo suyo.
Teorías completas Los teoremas de que consta una teoría son otras tantas respuestas a posibles preguntas que pueden formularse en el lenguaje de esa teoría. La mayoría de las teorías dejan ciertas preguntas sin res puesta. Para algunas sentencias ocurre que ni