Javier Buceta Fernández; Elka Koroutcheva; Juan Manuel Pastor Temas de Biofísica

TEMAS DE BIOFÍSICA

CUADERNOS DE LA UNED

Javier Buceta Fernández Elka Koroutcheva Juan Manuel Pastor

TEMAS DE BIOFÍSICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

CUADERNOS DE LA UNED (35275CU01A01) TEMAS DE BIOFÍSICA

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Prefacio

El presente libro, “Temas de Biof´ısica”, nace fruto de lo que pensamos es una necesidad. En la literatura existe una multitud de excelentes libros, tratados y art´ıculos sobre esta disciplina y afines como la Biolog´ıa Matem´ atica. Algunos de ellos, están referenciados en la bibliograf´ıa y han sido, en mayor o menor medida y de forma más o menos consciente, fuente de inspiración para algunas de las secciones que se recogen aqu´ı. Sin embargo, el nacimiento de nuevas titulaciones como las Ciencias Medioambientales pensamos que hace necesario presentar un enfoque original que, seg´ un nuestro criterio, no estaba recogido en un u ńico manual. Tal y como queda reflejado en sus planes de estudio, el alumnado de estas titulaciones es heterogéneo. De este modo, intentar incorporar un enfoque demasiado matemático y riguroso puede complicar excesivamente la lectura y estudio para algunos de ellos. Por otro lado, una presentaci´ on demasiado descriptiva y generalista restar´ıa interés a aquellos alumnos con una inclinaci´ on más formal. Hemos intentado, esperamos que con éxito, buscar un compromiso entre ambos extremos y presentar a lo largo de los cap´ıtulos tanto aspectos más formales, como aquellos más generalistas y descriptivos. As´ı, nuestro interés ha sido dar una base muy amplia de conocimientos f´ısicos fundamentales y más formales relacionados con temas como la Termodinámica, la cinética enzimática y los fenómenos de transporte a través de las membranas. También hemos querido dar una visi´ on global de la importancia que tienen los biopol´ımeros como base de la organizaci´ on de cualquier organismo vivo y destacar, en su relación con el medio ambiente, los efectos de las vibraciones, del sonido y de las radiaciones sobre el medio centrándonos en la interacción con la materia

ii y en las aplicaciones médicas. Finalmente, hemos intentado dar una amplia imagen del campo de las técnicas e instrumentación e incidir en su utilidad en lo que respecta a la medici´ on, el registro y el análisis de los datos. A lo largo de los cap´ıtulos, y con el fin de aclarar y afianzar algunos de los conceptos introducidos, presentamos una serie de problemas resueltos. M´ as concretamente, el libro se encuentra estructurado en 6 temas. Un primer tema de Termodin´ amica, que por su extensi´ on se ha dividido en dos cap´ıtulos, trata de los conceptos e ideas básicas de esta disciplina que sirven para establecer los principios energéticos o reglas b´ asicas sobre las que la Evoluci´ on ha ido creando los sistemas biológicos tan complejos que conocemos. En un segundo tema se da paso al estudio de los “ladrillos” biol´ ogicos: los biopol´ımeros. Además, este tema se centra también unas prote´ınas muy especiales desde el punto de vista de la cinética de las reacciones bioqu´ımicas, las enzimas, con explicación de los fen´ omenos competitivos y cooperativos. El tercer tema trata del transporte de iones a través de membranas y de los potenciales establecidos entre el interior y el exterior de las mismas. Se explica el potencial de la membrana, se dan unas nociones b´ asicas de electrofisiolog´ıa y se introduce el potencial de acción. El siguiente tema trata de la biof´ısica de los seres vivos. Dentro de este ep´ıgrafe tan general se centra, fundamentalmente, en las propiedades de los fluidos biológicos y en el movimiento de los seres vivos en el seno de distintos fluidos: la nataci´ on y el vuelo. Además se explican los conceptos básicos de la biomecánica del cuerpo humano y de la biof´ısica de las vibraciones y el sonido. El siguiente cap´ıtulo trata del tema de las radiaciones. Comienza con una introducci´ on a las propiedades de las radiaciones, sus tipos y sus aplicaciones desde el punto de vista anal´ıtico (la espectroscop´ıa). A continuaci´ on se explican las interacciones de la radiación con la materia y sus efectos biológicos. También se habla de la radiactividad, los conceptos b´ asicos y sus efectos. Finalmente, se comentan las aplicaciones médicas de la radiaci´ on ionizante. El u ´ltimo tema trata de las técnicas e instrumentación fisico-qu´ımicas. Se explican los conceptos y principios básicos en los que se fundamentan algunos de los métodos de an´ alisis m´ as importantes Se comentan las caracter´ısticas básicas que hay que conocer de todo equipo de medici´ on y, por u ´ltimo, se explican los parámetros más importantes relacionados con la obtenci´ on de im´ agenes. Los contenidos elegidos suponen una muestra introductoria de un campo en constante desarrollo y referimos al lector a la bibliograf´ıa complementaria ofrecida para profundizar y/o descubrir nuevas facetas y problemas donde la F´ısica y la Biolog´ıa se dan la mano. De cualquier modo, dado el amplio car´ acter de los temas tratados, esperamos que el libro sea un buen manual para los

iii alumnos de las licenciaturas de Ciencias Medioambientales en particular, y, en general, tanto para los licenciados provenientes de diferentes campos como la F´ısica, la Qu´ımica o la Biolog´ıa, como para cualquier especialista interesado en aspectos diversos de la Biof´ısica. Esperamos haberlo conseguido. Los autores queremos agradecer a F.J. de la Rubia su propuesta de escribir el libro y el apoyo constante que nos ha brindado. J.B. quiere agradecer a A. Falomir, F. Sagués, R. Reigada y J.M.R. Parrondo la lectura cr´ıtica y las sugerencias y puntualizaciones ofrecidas sobre los cap´ıtulos de Termodin´ amica y de Biopol´ımeros y Cinética Enzim´ atica de los cuales ha sido responsable. E.K. agradece en el mismo sentido la labor de A. V´ azquez, R. Ogallar y K. Koroutchev en relación a los cap´ıtulos sobre Fenómenos de Transporte en Membranas y Biof´ısica de los Cuerpos Vivos, y a J.J. Sánchez por el apoyo inform´ atico. Finalmente, J.M.P. agradece a J. Pastor su colaboración en el desarrollo de algunas figuras. Los autores, Septiembre de 2006.

Índice general

1. Termodin´ amica I 1.1. Conceptos Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ecuación de Estado del Gas Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. El Primer Principio de la Termodin´ amica . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Capacidad Calor´ıfica y Calor Espec´ıfico . . . . . . . . . 1.3.2. Aplicaci´ on del Primer Principio a un Gas Ideal . . . . . 1.3.3. Variaci´ on de la Temperatura Atmosférica con la Altura 1.4. El Segundo Principio de la Termodin´ amica . . . . . . . . . . . 1.4.1. M´ aquinas Reversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. El Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Entrop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 7 10 12 13 18 20 21 25 28

2. Termodin´ amica II 39 2.1. Potenciales Termodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1. Condiciones de Equilibrio y Espontaneidad . . . . . . . 41 2.2. Disoluciones Dilu´ıdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3. Equilibrio Qu´ımico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.1. La Hidr´ olisis del ATP: el Estado Biológico Estándar . . 62 2.4. Termodin´ amica de No Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4.1. Flujos Acoplados: el Teorema de Onsager . . . . . . . . 66 2.4.2. Producci´ on de Entrop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4.3. Minimización de la Producci´ on Entr´ opica: Teorema de Prigogine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

vi

ÍNDICE GENERAL

3. Biopol´ımeros y Cin´ etica Enzim´ atica 3.1. Del ADN a las Prote´ınas . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Transcripci´ on Genética . . . . . . . . . . 3.1.2. Traducción Genética . . . . . . . . . . . . 3.2. S´ıntesis de Biopol´ımeros . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Filamentos Prote´ınicos . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Pol´ımeros Globulares . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Elasticidad y Biopol´ımeros . . . . . . . . . . . . . 3.6. La Teor´ıa de Michaelis-Menten . . . . . . . . . . 3.6.1. La Hip´ otesis del Estado Cuasiestacionario 3.7. Fenómenos Competitivos . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Fenómenos Cooperativos . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. El D´ımero Cooperativo . . . . . . . . . .

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4. Fen´ omenos de Transporte: Membranas 4.1. Difusi´ on Pura a Través de Membranas . . . . . . . . . . 4.1.1. Potencial del Equilibrio de Nernst . . . . . . . . 4.1.2. Ecuación de Nernst-Planck . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Teor´ıa de Campo Constante . . . . . . . . . . . . 4.2. Difusi´ on I´ onica a Través de la Membrana . . . . . . . . 4.2.1. Potenciales de Gibbs-Donnan . . . . . . . . . . . 4.2.2. Creación de Potenciales de Difusi´ on . . . . . . . 4.2.3. Ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz . . . . . . . 4.3. Nociones Básicas de la Electrofisiolog´ıa . . . . . . . . . . 4.3.1. Propiedades Eléctricas de las Membranas: Fuerza tromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Potencial de Membrana y Circuito Equivalente . 4.4. Potencial de Acci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Técnica de Pinzamiento de Voltaje . . . . . . . . 4.4.2. Modelo de Hodgkin y Huxley . . . . . . . . . . . 4.4.3. Dinámica del Modelo de Hodgkin y Huxley (HH) 4.4.4. Teor´ıa del Cable . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Biof´ısica de los Cuerpos Vivos 5.1. Fluidos Biol´ ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Propiedades Básicas de los Fluidos . . . . . . . . . . 5.1.2. Fluidos Biol´ ogicos: Caracter´ısticas de su Viscosidad 5.1.3. Circulaci´ on Sangu´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Biomecánica del Cuerpo Humano . . . . . . . . . . . . . . .

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75 76 77 78 81 83 85 91 95 99 102 106 113 117 119 119 123 124 128 128 130 133 135 135 138 140 140 141 145 147 153 153 153 154 156 161

ÍNDICE GENERAL 5.3. Movimiento en Fluidos: Natación y 5.4. Sonido y Biof´ısica de la Audici´ on . 5.4.1. Vibraciones . . . . . . . . . 5.4.2. Sonido . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Mecanismos de la Audici´ on

vii Vuelo . . . . . . . . . . . . . . . .

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165 173 173 174 176

6. Radiaci´ on 6.1. Propiedades de la Radiación Electromagnética . . . . . . . . . 6.1.1. Propiedades de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Propiedades de Part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Espectro Electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Espectroscop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Absorción de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Espectro de Absorci´ on de Radiación. Ley de Beer . . . . 6.2.3. Equipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4. Componentes Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5. Espectroscop´ıa de Absorción Molecular . . . . . . . . . 6.2.6. Espectroscop´ıa de Fluorescencia Molecular . . . . . . . 6.2.7. Espectroscop´ıa de Infrarrojo . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.8. Resonancia Magnética Nuclear . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Interacción de la Radiación con la Materia . . . . . . . . . . . . ´ 6.3.1. Efectos de la Interacci´ on de los Fotones con los Atomos y Moléculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Efectos Fotobiológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Radiactividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Tipos de Radiaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2. Actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3. Detectores de Radiactividad . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Radiaciones Ionizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Radiodosimetr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Coeficiente de Atenuación . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3. Radioqu´ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4. Exposición a Radiación Ionizante . . . . . . . . . . . . . 6.6. Aplicaciones Médicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1. Determinaciones Cuantitativas . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2. Diagn´ ostico por Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . .

181 181 182 184 184 187 188 192 196 198 204 206 206 208 215 215 218 225 225 226 230 232 232 234 235 237 239 239 241

viii

ÍNDICE GENERAL

7. T´ ecnicas e Instrumentaci´ on 7.1. Fundamentos F´ısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Coloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Difusión y Sedimentaci´ on . . . . . . . . . . 7.1.3. Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4. Ley de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5. Sedimentaci´ on y Centrifugaci´ on . . . . . . . 7.2. Técnicas de Separación y An´ alisis . . . . . . . . . . 7.2.1. Centrifugaci´ on y Ultracentrifugación . . . . 7.2.2. Electroforesis . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3. Cromatograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4. Espectrometr´ıa de Masas . . . . . . . . . . 7.3. Instrumentacion de Medición y Registro . . . . . . 7.3.1. Caracter´ısticas Básicas . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Instrumentaci´ on Electr´ onica . . . . . . . . . 7.4. Obtencion de Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . ´ 7.4.1. Caracter´ısticas de los Instrumentos Opticos ´ 7.4.2. Microscopio Optico . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3. Microscopio Electrónico . . . . . . . . . . .

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253 253 254 259 261 264 265 267 267 269 272 283 292 292 297 302 303 308 314

CAPÍTULO

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Termodinámica y Procesos Biológicos I

Las células que conforman todo organismo vivo son las encargadas de proporcionar el material y la energ´ıa requeridas para mantener su actividad. Esto se consigue mediante un complejo entramado de reacciones qu´ımicas de las cuales es posible hacer una clasificación en términos de sus objetivos. Hablamos as´ı de redes catabólicas y anabólicas. Las primeras tienen por misión transformar el alimento en moléculas fundamentales o formas de energ´ıa u ´tiles para la célula. Las segundas utilizan esas mismas moléculas fundamentales y la energ´ıa para sintetizar otras moléculas necesarias para el funcionamiento de la maquinaria celular. Genéricamente, al conjunto de redes catabólicas y anab´ olicas se le conoce como metabolismo celular. En lo que respecta al almacenamiento energético, todos los organismos almacenan la energ´ıa en los enlaces qu´ımicos de moléculas orgánicas. Estas moléculas se construyen mediante las rutas metabólicas utilizando como materia prima las moléculas producidas por otros organismos, es decir, moléculas que proceden de la alimentaci´ on. En el origen de esta cadena se sit´ uan las especies vegetales que obtienen su energ´ıa de la luz1 mediante la fotos´ıntesis transformando la radiaci´ on electromagnética en energ´ıa almacenada en los enlaces qu´ımicos de ciertas moléculas (principalmente az´ ucares). Por otro lado, en lo que respecta al método controlado de extracci´ on de la energ´ıa acumulada en los enlaces qu´ımicos, tanto en las especies animales como en las vegetales, es mediante los procesos de oxidación y reducción. Genéricamente, la oxida1

Algunas bacterias también son capaces de obtener energ´ıa de la luz.

2

´ CAPÍTULO 1. TERMODINAMICA I

ción/reducci´ on consiste en eliminar/a˜ nadir electrones a una especie qu´ımica. La energ´ıa liberada mediante los procesos de oxidaci´ on-reducci´ on de macromoléculas orgánicas se almacena en los enlaces qu´ımicos de otras moléculas, más peque˜ nas, que sirven como portadoras de energ´ıa y desempe˜ nan el papel de “divisa” energética dentro de la “econom´ıa” metabólica. La divisa energética más com´ un, que no la u ńica, es la adenosina trifosfato, más conocida como ATP. El ATP se produce a partir de la glic´ olisis: una cadena de reacciones qu´ımicas que degrada la glucosa. El ATP se sintetiza mediante una reacción de fosforilaci´ on en la cual un grupo fosfato se a˜ nade a una molécula de ADP (adenosina difosfato). Esta reacci´ on “cuesta” energ´ıa, una energ´ıa que se almacena en el enlace qu´ımico del ATP. Por cada molécula de glucosa la glicólisis produce de forma neta dos moléculas de ATP. Entonces, cuando las células necesitan energ´ıa la pueden conseguir del ATP de una forma controlada a través de la hidr´ olisis. La hidr´ olisis libera por un lado la energ´ıa contenida en el enlace qu´ımico y por otro los productos de la reacción, ADP y un grupo fosfato, que quedan disponibles para almacenar energ´ıa en forma de ATP al volver a combinarse. La importancia de este proceso de reciclado se hace evidente al constatar que mantener en funcionamiento el cuerpo humano se estima que “cuesta” unas 1026 moléculas de ATP por d´ıa (unos 150 kilos de ATP). La reacción de la glicólisis no requiere de ox´ıgeno libre, lo cual hace posible entender la aparición de la vida sobre la Tierra hace unos 1800 millones de a˜ nos cuando en la atm´ osfera no se encontraba tal especie. En presencia de ox´ıgeno la fosforilaci´ on oxidativa puede oxidar el piruvato (residuo de la glic´ olisis) lo cual permite a las células potenciar su producción de ATP por cada molécula de glucosa más de 10 veces. Este proceso se lleva a cabo en las mitocondrias de las células. Cuando un organismo (aer´ obico) realiza un esfuerzo elevado, el ox´ıgeno se puede agotar localmente en las células musculares. Como resultado el piruvato no se oxida y se degrada en etanol o lactato. El lactato se convierte en aćido l´ actico que cristaliza en forma de agujas en las fibras musculares lo cual causa las conocidas agujetas. Con esta breve excursión a través del metabolismo, hemos querido ilustrar la importancia de los procesos energéticos como fuente de vida. Sin embargo, los objetivos de este cap´ıtulo y el siguiente no son analizar los detalles de las rutas y reacciones metabólicas (algo fundamentalmente estudiado por la Bioqu´ımica), sino el presentar los principios que rigen las transformaciones energéticas: las reglas del juego. En particular, este primer cap´ıtulo sobre Termodin´ amica está dedicado a presentar los conceptos fundamentales de la Termodin´ amica clásica, de equilibrio.

1.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1.1.

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Conceptos Fundamentales: Sistema, Estado y Proceso Termodin´ amico

Hasta el momento hemos utilizado libremente la palabra energ´ıa, pero ¿qué es la energ´ıa? La energ´ıa no es algo tangible en el sentido que lo es una célula: nadie ha visto “la energ´ıa”. As´ı, llamamos energ´ıa a la potencialidad o capacidad para realizar trabajo (o transmitir calor) y por tanto el uso que hemos hecho en los párrafos anteriores constituye un u ´ til abuso del concepto. Por lo tanto, m´ as que referirnos a la energ´ıa, deber´ıamos hablar de transformación de la misma. La Termodin´ amica es la disciplina que se dedica al estudio de las transformaciones energéticas. Históricamente, la Termodinámica se construyó como rama aplicada de la F´ısica a ra´ız de la Revoluci´ on Industrial. Poco a poco, atrajo a investigadores que forjaron los cimientos te´ oricos que daban soporte a los descubrimientos existentes sobre la máquina de vapor. La Termodin´ amica se basa en algunos principios que resumen nuestra experiencia cotidiana relativa al comportamiento de las transformaciones energéticas. Hay una rama de la Termodin´ amica, la Estad´ıstica, basada en la Teor´ıa Cinética, que fundamenta estos principios en la naturaleza atómica de la materia: un nivel de detalle que no consideraremos aqu´ı salvo en contadas excepciones. En su versi´ on m´ as simple la Termodinámica clásica postula dos Leyes o Principios. Anecdóticamente, la Segunda Ley se postuló antes que la Primera. No obstante, antes de enunciar dichas leyes es necesario introducir algunos conceptos para fijar la nomenclatura a utilizar. Llamamos sistema a aquella regi´ on del espacio (y su contenido) que centra nuestro interés de estudio: una célula, un motor, etcétera. La definici´ on de sistema implica la existencia de una frontera que separa el sistema del “resto”.˙ Al “resto” lo denominaremos entorno o medio. La frontera puede ser en general deformable y permeable tanto a energ´ıa como a masa. En función de los flujos que se produzcan entre el sistema y su entorno a través de la frontera, hablamos de sistemas abiertos (se intercambia materia y energ´ıa con el entorno), cerrados (intercambian energ´ıa) y aislados (sin intercambio de materia ni de energ´ıa). Llamamos variables de estado a aquel conjunto de variables que determinan el estado (energético) de nuestro sistema. Igual que en Mecánica la posición y la velocidad de una part´ıcula definen su estado mecánico, en Termodinámica una serie de variables determinan el estado termodinámico. La presión, la temperatura y el volumen son variables de estado. Dependiendo del sistema en cuestión, las variables termodin´ amicas no son independientes, por ejemplo la


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presi´ on y volumen de un gas ideal en un sistema cerrado. Las variables termodin´ amicas tienen un sentido macroscópico y quedan por tanto bien definidas cuando contamos con un elevado n´ umero de moléculas dentro del sistema en cuestión. Por tanto, no tiene sentido hablar de la presi´ on de una molécula. Podemos distinguir entre variables extensivas e intensivas. Hablamos de variables extensivas cuando dependen del tama˜ no del sistema, por ejemplo, el volumen. Por el contrario, hablamos de variables intensivas cuando estas no dependen de él, por ejemplo, la temperatura. Un proceso termodin´ amico es aquél que hace variar en el tiempo una o varias de las variables de estado. Cuando cambian algunas variables de estado pero la presi´ on permanece constante hablamos de procesos isobaros, si la temperatura permanece constante isotermos, si el volumen permanece constante isocoros, y si no hay transferencia de calor adiabáticos. A aquellas funciones de las variables de estado tales que su variación no depende del camino utilizado sino simplemente de los estados inicial y final, se las conoce como funciones de estado. Matemáticamente esto implica que si el conjunto {x} = (x1 , x2 , . . . , xn ) constituye las variables de estado e y ({x}) es una funci´ on de estado, entonces

b

dy = y (b) − y (a) ,

a

y decimos que y ({x}) tiene una diferencial exacta: la variaci´ on de y entre los estados a y b no depende de la trayectoria utilizada para ir de a a b. La diferencia de altura entre dos puntos de la Tierra es un ejemplo de diferencial exacta: vayamos por el camino que vayamos de un lugar a otro la diferencia de alturas entre ellos será siempre la misma. La diferencial nos indica la variaci´ on infinitesimal producida en la funci´ on debida una variaci´ on infinitesimal de las variables independientes. As´ı, para calcular la diferencial de una funci´ on debemos identificar previamente las variables independientes de las que depende. Tomemos por ejemplo la relación de dependencias indicada en la figura 1.1. La dependencia u ´ltima es en las variables x1 y x2 que son las variables independientes del ejemplo. Para calcular la diferencial de f utilizamos la regla de la cadena que podemos implementar utilizando la siguiente receta: exploramos todos los caminos posibles hasta llegar a x1 y x2 , por cada paso intermedio (flechas en la figura 1.1) aparecerá una derivada parcial de la funci´ on que se sit´ ua en el origen de la flecha respecto de la variable o funci´ on que aparece al final de la flecha; adem´ as los caminos

1.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

f

5

g

x1

h

x1

x1

x2

x2 Figura 1.1: Representación esquemática de las dependencias de una función f . El diagrama nos indica que f depende de h, g, x1 y x2 . A su vez g depende de x1 y h depende de x1 y x2 . se suman. Es decir, ∂g ∂h ∂f ∂f dx1 + dx1 + df = ∂g ∂x1 ∂h ∂x1 ∂h ∂f ∂f ∂f dx2 + dx1 + dx2 = + ∂h ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂g ∂h ∂f ∂f ∂f + + dx1 + = ∂g ∂x1 ∂h ∂x1 ∂x1 ∂h ∂f ∂f + dx2 , + ∂h ∂x2 ∂x2 es la variación infinitesimal producida en la funci´ on f debido a una variaci´ on infinitesimal en x1 y x2 . La derivadas parciales indican la diferenciación de la funci´ on en cuestión respecto de la variable indicada tomando como constantes indica la derivada de f respecto de el resto de variables. Por ejemplo, ∂f ∂g g tomando h, x1 y x2 como constantes. Aunque en el ejemplo no lo hayamos hecho, en general indicaremos las variables a tomar como constantes mediante sub´ındices en la derivada parcial. En general, dada una diferencial, df ({x}) = F1 (x1 , x2 , . . . , xn ) dx1 + . . . + Fn (x1 , x2 , . . . , xn ) dxn , ésta será exacta si se verifica: Fi (x1 , x2 , . . . , xn ) =

∂f ({x}) ∂xi

. xj=i


6

Donde el sub´ındice xj=i indica que al implementar la derivada tomaremos como constantes todas las xj con j diferente de i. Además, se debe cumplir el llamado teorema de Schwartz que establece que puesto que, 2 2 ∂ f ({x}) ∂ f ({x}) = ∂xi ∂xk xj=i ,xj=k ∂xk ∂xi xj=k ,xj=i entonces,

∂Fi ∂xk

= xj=k

∂Fk ∂xi

. xj=i

Problema. ¿Es la siguiente diferencial exacta?

df = 2x1 x2 dx1 + x21 + 1 dx2 . Soluci´ on. Como vemos, F1 = 2x1 x2 ,

F2 = x21 + 1 . De donde, ∂F2 ∂F1 = = 2x1 . ∂x2 ∂x1 La diferencial verifica entonces el teorema de Schwartz y podemos afirmar que es exacta.

Dado un sistema, cuando el conjunto de variables que determinan su estado energético no var´ıa con el tiempo y son uniformes, decimos que se encuentra en amica clásica es la Terun estado de equilibrio termodinámico2 . La Termodin´ modin´ amica de los estados de equilibrio; asume que los procesos que conectan estados intermedios son cuasiestáticos: se realizan lo suficientemente despacio como para que en cada instante el sistema esté acomodado al equilibrio 2 El equilibrio termodin´ amico implica el equilibrio mec´ anico (P constante e uniforme) y térmico (T constante e uniforme).

´ DE ESTADO DEL GAS IDEAL 1.2. ECUACION

7

termodinámico correspondiente. Podemos además diferenciar entre procesos reversibles e irreversibles. En los primeros es posible invertir una transformación resultante de modificar infinitesimalmente las variables termodinámicas, en los segundos no. Todo proceso reversible es cuasiestático pero un proceso cuasiestático no tiene porque ser reversible. Los procesos cuasiestáticos y reversibles son idealizaciones que resultan u ´tiles tal y como lo son en Mecánica las poleas y cuerdas sin peso.

1.2.

Ecuaci´ on de Estado del Gas Ideal

Tal y como hemos mencionado, la Termodinámica debe su desarrollo a la máquina de vapor. De este modo, es habitual que la manera de presentar esta disciplina sea a través de las transformaciones que sufren los gases. Aqu´ı tomaremos también ese modo de introducir esta disciplina. Supongamos entonces un gas que llamaremos ideal. Un gas ideal es una extrapolación de c´ omo se comportan los gases en el l´ımite de presión nula. Todos los gases a baja presión (y/o alta temperatura) se comportan (casi) idealmente. Trabajando en ese régimen de condiciones, R. Boyle descubri´ o que en una situación de equilibrio, un gas a temperatura constante verifica que, vP = C1 , donde v = V /n es el llamado volumen molar siendo V el volumen ocupado por el gas, n las moles de gas y C1 una constante. Recordamos aqu´ı, que un mol es el n´ umero de Avogadro de elementos en cuestión, siendo el n´ umero de 23 Avogadro NA = 6,022 · 10 . El peso molecular de una substancia est´ a definido como el peso en gramos de un mol de la substancia. Por ejemplo, un mol de átomos de carbono tiene una masa de 12 gramos. Posteriormente, J. L. Gay-Lussac descubrió que si lo que se mantiene constante es la presión, entonces los gases ideales verifican en equilibrio que, v = C2 , T siento T la temperatura y C2 otra constante. Por u ´ltimo, J. W. Gibbs deriv´ o una sencilla regla, la regla de las fases, que establece lo siguiente: dadas s especies qu´ımicamente independientes en equiumero de variables intensivas librio que se presentan en p fases3 , entonces, el n´ 3 En el caso general de un sistema heterogéneo, denominamos fase a cada parte homogénea y separable del sistema.


8

independientes, m, que determinan el estado de equilibrio del sistema es, m = 2 + s − p.

Problema. Las prote´ınas tienen tama˜ nos t´ıpicos del orden de 1nm (1nm = 10−9 m) y masas de 10kDa (el Dalton es una unidad estándar de masa en Qu´ımica y Biolog´ıa y equivale a la masa de un a´tomo de hidr´ ogeno: 1Da = 1,67 · 10−27 kg). Ciertos resultados experimentales muestran que 0,5 moles de una prote´ına pesan 213g. ¿Es esta prote´ına m´ as o menos masiva que una prote´ına t´ıpica? Soluci´ on. El peso en Daltons de los 0,5 moles de prote´ına es, 213g ×

1Da = 1,28 · 1026 Da. 1,67 · 10−24 g

De este modo el peso de una prote´ına es, 1mol Da kDa 1,28 · 1026 Da × = 212 = 0,212 . 23 0,5mol 6,022 · 10 prot. prot. prot. As´ı pues se trata de una prote´ına con menos masa que una prote´ına t´ıpica.

En el caso de un gas ideal s = p = 1 y por tanto m = 2. Notemos que el volumen molar es una funci´ on de estado ya que verifica que,

b

dv = v (b) − v (a) .

a

Entonces, P y T deben ser variables de estado y v = v (P, T ) debe verificar que, ∂v dv dP + dT , dv = dP T ∂T P para poseer una diferencial exacta. De acuerdo con las leyes experimentales

´ DE ESTADO DEL GAS IDEAL 1.2. ECUACION

9

de Boyle y Gay-Lussac, C1 v dv =− 2 =− , dP T P P v ∂v = C2 = , ∂T P T

de donde, dP dT dv =− + . v P T Integrando ambos miembros obtenemos finalmente la ecuación de estado de un gas ideal4 , P V = nRT , (1.1) donde R es la llamada constante de los gases que puede ser determinada experimentalmente: R = 8,31J · K −1 · mol−1 ≈ 2cal · K −1 · mol−1 . Si un gas verifica (1.1) entonces se le denomina ideal.

Problema. Se dispone de 12g de un gas ideal con peso molecular (56g/mol). El gas se encuentra en un contenedor de 100cm3 a 105 P a de presión, ¿a qué temperatura se encuentra el gas? Soluci´ on. Calculamos primero los moles de gas de los que disponemos, 12g ×

1mol = 0,21moles. 56g

Utilizando la ley de los gases ideales, −6

3

105 P a × 100cm3 × 10cmm PV 3 = = 5,7K. T = −1 nR 0,21mol × 8,31J · K · mol−1

4

La integral, Z

b a

dx b = ln x|ba = ln b − ln a = ln , x a

aparece de forma habitual en Termodin´ amica.

10

1.3.


El Primer Principio de la Termodin´ amica

El principio de la conservaci´ on de la energ´ıa establece que la energ´ıa a través de sus transformaciones ni se crea ni se destruye: la energ´ıa se conserva. El Primer Principio de la Termodin´ amica no es más que el principio de conservación de la energ´ıa aplicado a sistemas termodinámicos. Si denominamos U a la energ´ıa de un sistema, la llamada energ´ıa interna, el Primer Principio de la Termodinámica establece que la variación de energ´ıa del sistema m´ as la variación de la energ´ıa del entorno debe ser cero. Es decir si hemos quitado una cierta cantidad de energ´ıa al entorno y la hemos transferido al sistema, el sistema debe aumentar su energ´ıa en esa misma cantidad, lo mismo es cierto para cuando el sistema transfiere energ´ıa al entorno. Es importante hacer notar que el Primer Principio no hace referencia al tipo de procesos o transformaciones: la energ´ıa del conjunto sistema más entorno siempre se conserva. Las formas habituales de transferir energ´ıa entre el sistema y el entorno son mediante el calor y/o el trabajo. Debemos aclarar que el calor y el trabajo no constituyen en s´ı mismos formas de energ´ıa sino que dan nombre a maneras de transferir la misma: los sistemas no almacenan calor o trabajo sino que transfieren energ´ıas entre ellos y su entorno mediante esos procedimientos. Cuando calentamos (enfriamos) un objeto lo que hacemos es transferir energ´ıa utilizando el hecho de que se encuentra a un temperatura menor (mayor) que el objeto que transfiere. De igual modo, cuando un sistema realiza un trabajo transfiere energ´ıa a su entorno mediante este procedimiento. Teniendo en cuenta estas formas de transferencia energética (puede haber más), el Primer Principio de la Termodin´ amica se suele expresar como, ΔU = W + Q.

(1.2)

Donde W y Q representan las energ´ıas transferidas entre el sistema y su entorno mediante trabajo y calor respectivamente. Tomaremos el siguiente criterio de signos para el calor y el trabajo. Puesto que al calentar un sistema le estamos transfiriendo energ´ıa, debe aumentar la energ´ıa interna y por tanto en ese caso Q > 0 (procesos endotérmicos). Por el contrario, si es el sistema quien transfiere energ´ıa al entorno en forma de calor Q < 0 (procesos exotérmicos). En cuanto al trabajo, si el entorno realiza un trabajo sobre el sistema entonces éste aumenta su energ´ıa, W > 0, mientras que si es el sistema el que realiza un trabajo sobre el entorno, lo hace a consta de disminuir su energ´ıa y por tanto W < 0. En ciertas ocasiones, especialmente las relacionadas con máquinas térmicas, es conveniente referirse al trabajo desde el punto de vista del entorno como receptor de la energ´ıa que en forma de trabajo se transfiere

´ 1.3. EL PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA

11

otese que Wu´til = −W y que por tanto desde el sistema: trabajo u ´til, Wu´til . N´ el Primer Principio en términos de Wu´til se escribe como, ΔU = Q − Wu´til . Un gran n´ umero de tratados de Termodin´ amica adquieren este punto de vista “egoista” en lo referente a expresar el Primer Principio5 . Notemos que mientras que la energ´ıa interna es una funci´ on de estado, el calor y el trabajo no lo son, ya que la cantidad de energ´ıa que se transfiere entre el sistema y el entorno depende no sólo de los estados inicial y final sino del tipo de proceso que conecta esos estados. De este modo, en un ciclo ΔU = 0: puesto que el estado inicial y final son el mismo, también lo será su energ´ıa y de este modo W = −Q, es decir, en un ciclo la energ´ıa transferida del sistema al entorno en forma de trabajo es igual a la energ´ıa transferida del entorno al sistema en forma de calor. Con el fin de recordar esta diferencia entre magnitudes que poseen diferenciales exactas, como la energ´ıa interna, y las que no, como el calor y trabajo, utilizaremos s´ımbolos diferentes (d y δ respectivamente) al referirnos a una variación infinitesimal. As´ı, escribimos el Primer Principio en forma diferencial como: dU = δW + δQ.

Problema. Debido a una transformaci´ on termodin´ amica, la energ´ıa interna de un sistema var´ıa en −2cal. Si durante esa transformaci´ on se transfieren al sistema 3J de energ´ıa en forma de calor, ¿cu´ al, y en qué sentido, ha sido la energ´ıa transferida en forma de trabajo? Soluci´ on. Puesto que, ΔU = −2cal = −2cal ×

1J = −0,48J, 4,18cal

aplicando el Primer Principio, W = ΔU − Q = −0,48J − 3J = −3,48J, es decir, el sistema ha transferido 3,48J de energ´ıa al entorno en forma de trabajo. 5

En algunos tratados de Termodin´ amica, especialmente los orientados desde el punto de vista de la Ingenier´ıa, el concepto de trabajo u ´til se aplica al realizado sobre el entorno siempre y cuando éste no provenga de un proceso de expansi´ on: trabajo no hidrost´ atico.


12

1.3.1.

Capacidad Calor´ıfica y Calor Espec´ıfico

De acuerdo con el concepto de calor, cuando transferimos una cantidad diferencial de energ´ıa en forma de calor entre un sistema y su entorno se produce una variaci´ on en la temperatura de forma que, δQ = CdT . A la constante de proporcionalidad se le llama capacidad calor´ıfica y mide lo “sensible” que es un sistema a variar su temperatura cuando le transferimos energ´ıa mediante calor. Si tenemos dos materiales, dado el mismo aporte de energ´ıa en forma de calor, al material con una C más elevada le costará más modificar su temperatura una determinada cantidad que al material con una C inferior. Cuando dicha transferencia se realiza a presi´ on constante o a volumen constante hablamos de capacidad calor´ıfica a presi´ on constante o a volumen constante, δQ δQ , CV = . CP = dT P dT V Llamamos calor espec´ıfico a la capacidad calor´ıfica por unidad de masa. Si la unidad de masa elegida es el mol hablamos de calores molares, cX , donde X representa P o V : cX = CX /n. La Teor´ıa Cinética de gases permite estimar los valores de los calores molares a presión y volumen constante arrojando el sorprendente resultado de que dependen exclusivamente de la atomicidad del gas en cuestión. As´ı, se encuentra que para gases monoatómicos, 5 3 cP = R, cV = R. 2 2 En cuanto a los gases diatómicos, 7 5 cP = R, cV = R. 2 2 Nótese que con independencia de la atomicidad del gas se verifica la llamada relación de Mayer, (1.3) cP − cV = R. Como veremos, en algunas ocasiones es u ´ til expresar resultados en términos atico. del cociente adimensional γ = cP /cV denominado coeficiente adiab´

´ 1.3. EL PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA a)

13

b) Entorno

P

Isocora

Isobara

Sistema

Isote rma Adiab atica

V

Figura 1.2: a) Un pistón constituye un sistema modelo en numerosas situaciones termodinámicas. Al émbolo se le supone ideal de forma que no hay rozamiento cuando éste se desplaza permitiendo cambios de volumen en el sistema. b) Representación esquemática de las transformaciones termodinámicas t´ıpicas que sufre un gas ideal. El área contenida debajo de cada una de las curvas es la energ´ıa transferida entre el entorno y el sistema en forma de trabajo (trabajo u ´til). Dependiendo del signo de la transformaci´ on esta energ´ıa será positiva o negativa (ver texto). Nótese que sólo en el caso de una transformación isocora el trabajo es nulo al no variar el volumen.

1.3.2.

Aplicaci´ on del Primer Principio a un Gas Ideal

Con el fin de ilustrar el manejo del Primer Principio, calcularemos los valores de la energ´ıa interna, el trabajo y el calor para algunas transformaciones t´ıpicas. Nuestro punto de partida es un gas ideal dentro de un pistón que supondremos también ideal, sin rozamiento (Fig. 1.2a). Recordemos primeramente que la definición de trabajo es, → → − δW = F · d− r, → − donde F representa la fuerza total que act´ ua sobre el sistema. La fuerza → − → − → − ejercida sobre el gas es F = P S = −P S n , donde P es la presión, S es → la superficie del pist´ on, y − n un vector unitario perpendicular a S. Entonces, el trabajo realizado se puede expresar como, δW = −P dV y el trabajo total realizado en una transformación es, b P dV , (1.4) W =− a

si Va < Vb (expansión) entonces W < 0 mientras que si Va > Vb (compresión) entonces W > 0 puesto que el sistema gana energ´ıa.


14

Problema. La capacidad calor´ıfica molar de la urea, CO (N H2 ), es de 93,14J · K −1 · mol−1 . Si aportamos 4cal de energ´ıa en forma de calor a 2 moles de urea ¿cuántos grados aumenta su temperatura? Por otro lado, el benceno, C6 H6 , tiene una capacidad calor´ıfica molar de 136,1J · K −1 · mol−1 . Para producir un incremento de temperatura equivalente al generado en la urea ¿cu´ anta energ´ıa en calor´ıas deberemos aportar a 3 moles de benceno en forma de calor? Soluci´ on. El incremento de temperatura producido en la urea es, 1J 4cal × 4,18cal Q = 5 · 10−3 K. = ΔT = C 2mol × 93,14J · K −1 · mol−1

Para generar el mismo incremento de temperatura en la muestra de benceno deberemos aportar, Q = CΔT = 3mol × 136,1J · K −1 · mol−1 × 5 · 10−3 K = 2,1J = 4,18cal = 8,8cal. = 2,1J × 1J

Transformaci´ on isocora. En el caso de una transformación isocora W = 0 on trivial del Primer Principio arroja puesto que Va = Vb y una aplicaci´ como resultado que dU = δQ. Es decir, toda la variaci´ on de la energ´ıa interna del sistema se debe a la transferencia de energ´ıa entre el sistema y su entorno mediante calor. Por tanto podemos expresar CV como, δQ dU = , (1.5) CV = dT V dT V o lo que es lo mismo, dU = CV dT , b CV dT . ΔU = a

Puesto que para un gas ideal CV es una constante, este resultado nos indica que la variación de su energ´ıa interna es proporcional a la variaci´ on de


16

Substituyendo esta ultima expresión en (1.6) y recordando de nuevo la relación de Mayer (1.3), obtenemos que, V P = −γ , dP dV la integraci´ on de esta ecuación proporciona el siguiente resultado, P V γ = constante.

(1.8)

En particular, en una transformaci´ on adiabática se debe cumplir que γ γ Pa Va = Pb Vb . As´ı pues, podemos eliminar una de las variables que figuran en (1.7), por ejemplo, Pa , y reescribir el trabajo de un proceso adiab´ atico como, cV Pb Vb − Vbγ /Vaγ−1 . W = R Podemos resumir los resultados obtenidos en la siguiente tabla,

Isocora Adiab´ atica Isoterma Isobara

W 0 cV Pb (Vb −Vbγ /Vaγ−1 ) R −nRTa ln (Vb /Va )

−Pa (Vb − Va )

Q

ΔU

cV Va (Pb −Pa ) R

cV Va (Pb −Pa ) R cV Pb (Vb −Vbγ /Vaγ−1 ) R

0 nRTa ln (Vb /Va ) cP Pa (Vb −Va ) R

0 cV Pa (Vb −Va ) R

De un modo intencionado hemos escrito W , Q y ΔU en terminos de P y V . Alternativamente, pod´ıamos haber elegido P y T o P y V en virtud de la ecuaci´ on (1.1). El motivo de nuestra elección es el siguiente. Es u ´ til realizar representaciones gráficas de las transformaciones termodinámicas y uno de los sistemas de representación más habituales es el de Clapeyron o diagrama P − V (de Presión-Volumen). La figura 1.2b muestra, de acuerdo con las ecuaciones (1.1) y (1.8), transformaciones isotermas, isobaras, isocoras y adiabáticas de un gas ideal en un diagrama P − V . N´ otese que si comparamos en un diagrama P − V una isoterma con una adiab´ atica, la primera se corresponde con P ∝ 1/V mientras que la segunda con P ∝ 1/V γ . Puesto que γ > 1, la pendiente en el caso de una transformaci´ on adiabática es más negativa que en el caso de la isoterma.


17

Problema. 5 moles de un gas ideal monoatómico se encuentran a 35◦ C. Una compresión isobara a 106 P a enfr´ıa el gas hasta reducir su temperatura a 15◦ C. En ese momento, se somete el gas a una transfomación isocora hasta que su presión se eleva al doble. ¿cuál es el trabajo realizado por el gas?, ¿cu´ anta energ´ıa se transfiere en forma de calor entre el sistema y el entorno?, ¿cu´ anto var´ıa la energ´ıa interna del gas? Soluci´ on. Primeramente calculamos el volumen que ocupa el gas en la situaci´ on inicial, V1 =

nRT1 5mol × 8,31J · K −1 · mol−1 × 308K = 1,3 · 10−2 m3 . = P1 106 P a

La transformación isobara reduce el volumen del gas a, V2 =

nRT2 5mol × 8,31J · K −1 · mol−1 × 288K = 1,2 · 10−2 m3 . = P1 106 P a

Durante este proceso el trabajo y calor transferidos son, W1→2 = −P1 (V2 − V1 ) = 106 P a × 10−3 m3 = 103 J, 5 cP P1 (V2 − V1 ) = − × 106 P a × 10−3 m3 = −2,5 · 103 J. Q1→2 = R 2 De donde la variación de energ´ıa interna es, ΔU1→2 = W1→2 + Q1→2 = −1,5 · 103 J. La subsecuente transformación isocora eleva la presión a 2 · 106 P a y no produce trabajo. La energ´ıa transferida en forma de calor es, Q2→3 =

3 cV V2 (P3 − P2 ) = × 1,2 · 10−2 m3 × 106 P a = 4,1 · 104 J. R 2

Esta energ´ıa es también lo que ha variado la energ´ıa interna del gas. De este modo, en el conjunto de las dos transformaciones, W = W1→2 = 103 J. Q = Q1→2 + Q2→3 = 3,8 · 104 J. ΔU = ΔU1→2 + ΔU2→3 = 3,9 · 104 J.

18


Otro elemento u ´ til de los diagramas P − V es que de acuerdo con la ecuación (1.4), la cantidad de energ´ıa transferida entre sistema y entorno mediante el trabajo es el área definida por la curva que representa una transformaci´ on. El signo del trabajo depende del sentido de la transformaci´ on. En un diagrama P − V , un ciclo está representado por una trayectoria cerrada tal que el estado inicial y el final son los mismos y por tanto ΔU = 0. Llamaremos máquina térmica a aquel dispositivo que se comporte de manera c´ıclica. Si el ciclo se recorre en sentido antihorario el área encerrada será negativa y por tanto el trabajo ser´ a positivo de acuerdo con el criterio de signos utilizado: se transfiere energ´ıa del entorno al sistema en forma de trabajo, W > 0, y puesto que ΔU = 0, entonces Q < 0 (se transfiere energ´ıa del sistema al entorno en forma de calor). Por el contrario, si el ciclo se recorre en sentido horario, será el sistema el que transfiera energ´ıa en forma de trabajo al entorno a costa de que el entorno transfiera energ´ıa al sistema en forma de calor.

1.3.3.

Variaci´ on de la Temperatura Atmosf´ erica con la Altura

Es un hecho comprobado que los organismos responden y se adaptan a las condiciones del medio. Por ejemplo, la temperatura del entorno condiciona el metabolismo celular produciendo fenómenos como la hibernación. A nivel evolutivo, esta adecuación produce nuevas especies más adaptadas al entorno y explica en parte porqué para una misma localizaci´ on geográfica las especies que encontramos a nivel del mar son diferentes a las que podemos encontrar en cotas de altura más elevadas donde la temperatura es menor. Pero ¿por qué y cómo depende la temperatura atmosférica de la altura condicionando de este modo la vida? Suponiendo que en el régimen de presiones y temperaturas de interés el aire se comporta como un gas ideal y puesto que en las partes altas de la atmósfera la presión es menor, una aplicaci´ on trivial de la ecuaci´ on (1.1) nos dice que a menor presión mayor volumen, es decir, el aire en las partes altas de la atmósfera se expande. El aire es un mal conductor del calor y entonces podemos asumir que ese proceso de expansión mientras disminuye la presión se realiza de forma adiab´ atica. De este modo, se debe verificar que la cantidad P V γ es constante. Puesto que P V = nRT , encontramos que durante la expansi´ on adiab´ atica sufrida por el aire de la atm´ osfera T ∝ V 1−γ . Como γ > 1, la temperatura del aire debe disminuir a medida que la altura aumenta. Podemos estimar dicha variaci´ on del siguiente modo. La variaci´ on de la presión con la altura, h, es ΔP = −gρΔh, donde g es la gravedad y ρ la densidad del aire.


19

Una variaci´ on infinitesimal de presión la podemos expresar entonces como dP = −gρdh. Por otro lado, ρ = m/V que podemos expresar en funci´ on de P y de T aplicando la ecuaci´ on de estado de un gas ideal, es decir, ρ = mP/ (nRT ) = M P/RT donde M es la masa de un mol de aire. As´ı, dP = −

gM P dh. RT

(1.9)

Hasta este momento no hemos utilizado en el cálculo el hecho de que el proceso en cuestión sea adiabático; utilizando (1.8) obtenemos que, nRT γ = P 1−γ T γ = constante, PV γ = P P o lo que es lo mismo, P

1−γ γ

T = constante,

de donde aplicando la diferencial, 1−2γ 1−γ 1−γ P γ T dP + P γ dT = 0, γ es decir,

γ − 1 dP dT = . T γ P

Combinando esta u ´ ltima ecuaci´ on con (1.9) llegamos a la ecuación diferencial que relaciona T con h, 1 − γ gM dT = . dh γ R Suponiendo el aire como un gas diat´ omico compuesto en un 80 % por nitrógeno y un 20 % de ox´ıgeno, γ = 7/5 y M = 0,2 · MO2 + 0,8 · MH2 3 · 10−2 kg/mol. Además g 10m/s2 de donde, dT −10−2 K/m = −10K/km. dh Es decir la temperatura disminuye aproximadamente 10 grados (Kelvin o Celsius) por kilómetro lo cual explica las bajas temperaturas que se registran a medida que nos acercamos a las capas altas de la atmósfera. De cualquier modo, esa estimación sobrevalora la disminuci´ on térmica. El principal motivo es que el aire, seg´ un disminuye su temperatura, se aleja del comportamiento ideal que le hemos supuesto.

20

1.4.


El Segundo Principio de la Termodin´ amica

El Primer Principio de la Termodin´ amica establece la imposibilidad de sacar energ´ıa de donde no la hay: la energ´ıa, recordemos, se transforma pero no se crea ni se destruye. Esta restricción elimina la posibilidad de dise˜ nar una máquina térmica que cree energ´ıa, los llamados perpetuum mobile (móvil perpetuo) de primera especie. Ahora bien, el Primer Principio no establece ninguna limitaci´ on en cuanto a c´ omo pueden ser las transformaciones de la energ´ıa con tal de que ésta se conserve. Podemos ciertamente transferir energ´ıa a un sistema en forma de trabajo, por ejemplo, frotándolo, y como resultado transferir energ´ıa en forma de calor del sistema al entorno. Hasta aqu´ı no hay ning´ un problema. Imaginemos ahora la siguiente situaci´ on. De acuerdo con el Primer Principio es posible transferir energ´ıa de un entorno a un sistema en forma de calor, Q > 0, y utilizar esa energ´ıa recibida para transferir energ´ıa del sistema al entorno en forma de trabajo, W < 0. Por ejemplo, una masa en reposo en el suelo podr´ıa recojer energ´ıa de su entorno y utilizar el aumento de su energ´ıa interna para elevarse. Si ahora la masa cae regresando a la posición inicial, podr´ıamos utilizar la disminución de su energ´ıa potencial acumulada para realizar trabajo u ´til. De esta manera, c´ıclicamente, podr´ıamos utilizar la energ´ıa transferida en forma de calor del entorno para realizar trabajo. Sin embargo, la experiencia nos dice que este tipo de procesos no ocurren. El Segundo Principio de la Termodin´ amica pone de manifiesto esta asimetr´ıa de la naturaleza y elimina la posibilidad de construir máquinas térmicas que nieguen esa asimetria, los llamados perpetuum mobile de segunda especie. Existen varios enunciados del Segundo Principio, todos ellos equivalentes aunque no sea a primera vista evidente. El enunciado de Kelvin establece que: Dado un sistema y su entorno, es imposible realizar una transformaci´ on termodin´ amica cuyo u ńico resultado final sea la transferencia de energ´ıa en forma de calor desde el entorno al sistema y transferir integramente en forma de trabajo esa energ´ıa desde el sistema al entorno. Una palabra clave en el enunciado es “´ unico”. Pensemos por ejemplo en un gas ideal contenido en un émbolo tal que nuestro sistema y su entorno se encuentren a la misma temperatura. El gas puede ciertamente expandirse de una manera isoterma. Puesto que su temperatura no var´ıa, tampoco lo hace su energ´ıa interna y de este modo W = −Q. Es decir se transfiere energ´ıa del entorno al sistema en forma de calor y éste se utiliza para realizar una transferencia de energ´ıa del sistema al entorno en forma de trabajo. Aparentemente

´ 1.4. EL SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA

21

este resultado estar´ıa en contradicci´ on con el enunciado de Kelvin. Sin embargo, el resultado de la transformaci´ on no es u ńicamente esa transformación de calor en trabajo, algo más ha cambiado: el volumen ocupado por el gas ha aumentado. Por tanto, el estado final y el inicial son diferentes, la transformaci´ on es ciertamente posible, y no está en contradicción con el Segundo Principio. Otro enunciado alternativo del Segundo Principio es el de Clausius: Dado un sistema y su entorno tales que la temperatura del primero sea mayor (menor) que la del segundo, es imposible realizar una transformaci´ on termodin´ amica cuyo u ńico resultado final sea la transferencia de energ´ıa en forma de calor desde el entorno al sistema (desde el sistema al entorno). Es decir, que por ejemplo ocurra que el sistema se caliente más a costa de enfriar m´ as el entorno. Nótese que de nuevo el enunciado habla de resultados netos: “´ unico resultado final”.

1.4.1.

M´ aquinas Reversibles

De acuerdo con los enunciados de Kelvin y Clausius en una m´ aquina térmica son necesarios, al menos, dos focos térmicos a diferentes temperaturas e intercambiando energ´ıa en forma de calor con nuestro sistema para poder ˙ obtener “trabajo” del “calor”Imaginemos entonces dos focos térmicos a temperaturas T1 y T2 donde T2 > T1 . Podemos transferir una energ´ıa Q2 > 0 del foco caliente, T2 , al sistema, después transferir una parte de esa energ´ıa al entorno en forma de trabajo, W < 0, y otra parte, Q1 < 0, podemos transferirla al foco térmico fr´ıo T1 en forma de calor (Fig. 1.3). El sistema puede realizar c´ıclicamente esta tarea volviendo al final de cada ciclo al estado inicial (máquina térmica) y por tanto ΔU = 0. Entonces, de acuerdo con el Primer Principio, en cada ciclo se verifica que, ΔU = 0 = − |W | + Q2 − |Q1 | , es decir, la energ´ıa recibida por el entorno en forma de trabajo por cada ciclo es, Wu´til = |W | = Q2 − |Q1 | . Podemos definir el rendimiento como el cociente entre la energ´ıa que recibe el entorno del sistema en forma de trabajo (trabajo u ´til) y la energ´ıa recibida


22

T2 Q2 ! 0 Sistema

W 0

Q1 0

T1

Figura 1.3: Para poder obtener trabajo del calor de manera c´ıclica son al menos necesarios dos focos térmicos con los cuales intercambiar energ´ıa. En esta representaci´ on esquemática, el sistema toma energ´ıa del foco térmico caliente, T2 , que utiliza para, por un lado transferir energ´ıa en forma de trabajo al entorno, y por otro devolver parte al foco térmico frio, T1 .

por el sistema del entorno en forma de calor, −W Wu´til = = Q2 Q2 |Q1 | Q2 − |Q1 | =1− . = Q2 Q2

η=

Puesto que |Q1 | < Q2 , el rendimiento de una máquina térmica es siempre menor que la unidad: no podemos transformar todo el calor en trabajo. Ahora bien ¿cuál es la mejor máquina térmica? Como mostraremos a continuación, la mejor máquina térmica es aquella que funciona en condiciones reversibles. Para demostrarlo realizemos el siguiente experimento. Tomemos un gas ideal contenido en un cilindro de paredes adiab´ aticas con un émbolo. Supongamos además que el émbolo está perfectamente lubricado de forma que no ejerce ning´ un rozamiento. Encima del émbolo podemos poner una masa m hasta que se alcance una situación de equilibrio (Fig. 1.4). El objetivo del experimento es elucidar bajo qué condiciones se puede elevar la masa m lo máximo posible, es decir, cómo podemos utilizar la energ´ıa interna contenida en el gas de un modo o´ptimo para producir una transferencia máxima de energ´ıa del sistema al entorno en forma de trabajo. Puesto que la situación descrita es de equilibrio, es evidente que el émbolo no se moverá hasta retirar la masa. Si deslizamos ésta hacia un lado, el émbolo subir´ a de golpe y encontrar´ a una nueva posici´ on de equilibrio. Sin embargo, este procedimiento no ha elevado en absoluto la masa. Si dividimos la masa m en dos pedazos


23

con masas m/2 podr´ıamos deslizar primero una mitad, esperar que el émbolo suba y encuentre una nueva situaci´ on de equilibrio y entonces deslizar la otra mitad. Esta manera de proceder es claramente mejor que la anterior porque al menos hemos sabido como utilizar la energ´ıa interna del gas para elevar una parte de la masa.

Problema. Una m´ aquina térmica intercambia energ´ıa con dos focos. Al cabo de 5 ciclos el foco caliente ha proporcionado 10cal de energ´ıa mientras que el foco fr´ıo ha recibido en 2 ciclos 2cal. ¿Cu´ al es el rendimiento del ciclo?, ¿cuál es el trabajo u ´til producido en 7 ciclos? Soluci´ on. En un ciclo la energ´ıa intercambiada con cada foco es, Foco caliente:

2cal 10cal = 2cal, Foco frio: = 1cal. 5 2

De este modo el rendimiento es, η=

2cal − 1cal Q2 − |Q1 | = 0,5 = 50 %. = Q2 2cal

El trabajo u ´til por ciclo es, Wu´til = ηQ2 = 0,5 × 2cal = 1cal. As´ı pues, en 7 ciclos genera 7 calor´ıas de trabajo u ´til (transferidas del sistema al entorno).

Claramente podemos hacerlo a´ un mejor si dividimos la masa en pedazos con masas m/4, e incluso mejor si los pedazos son de m/8, y as´ı sucesivamente. En el l´ımite, vemos que la mejor manera de proceder para aprovechar de manera óptima la energ´ıa interna contenida en el gas, para transferir el m´ aximo de energ´ıa en forma de trabajo del sistema al entorno, es retirar diferenciales (pedazos infinitesimales) de masa. También es fácil ver que s´ olo en esta situación el proceso es reversible. En la primera experiencia, cuando ten´ıamos la masa m sin dividir, si quisiéramos ir marcha atrás después de haber deslizado la masa, tenemos que aportar energ´ıa a la masa o al gas, porque el émbolo está arriba


24

m

m

A

m

m 2

m 2

m

B

m 2

m 2 m m 2 2

m m

m

m

Figura 1.4: A: La mejor manera de aprovechar la energ´ıa interna acumulada para realizar trabajo es mediante transformaciones reversibles. Según se divida la masa en pedazos cada vez más pequeños, seremos capaces de realizar más trabajo u ´til. En el l´ımite en que las divisiones son infinitesimales, el trabajo obtenido es máximo y el proceso reversible. B: Ejemplo de una expansi´ on y compresión irreversible. No debemos confundir el hecho de que el gas recupere su estado inicial con que el proceso sea reversible. El concepto de reversibilidad involucra también a las masas.

y la masa abajo. La situación es entonces no reversible. Sin embargo, en el l´ımite de divisiones infinitesimales, el u ´ ltimo “trocito” quedará a la altura del émbolo que habr´ a ido subiendo poco a poco a medida que hemos ido retirando pedazos infinitesimales de masa. As´ı, sin aportar energ´ıa extra podemos deslizarlo sobre el émbolo que bajar´ a un poco, lo suficiente como para poner otro nuevo trocito de masa diferencial y as´ı suces´ıvamente hasta volver a la situación inicial. No debe confundirnos que el proceso sea c´ıclico en lo que respecta al émbolo con que el proceso reversible. La figura 1.4 muestra un ejemplo de proceso que devuelve el émbolo a la posición inicial y que sin embargo es no reversible tal y como evidencian las posiciones iniciales y finales de las masas. Los resultados de estos experimentos son extrapolables y podemos concluir que la mejor máquina térmica será aquella que trabaje en condiciones reversibles. No obstante, hay muchas máquinas térmicas, de hecho infinitas, que pueden trabajar en condiciones reversibles entre dos focos térmicos T1 y T2 , ¿cuál de ellas es la mejor?; en el caso de los gases, ¿es mejor un gas monoatómico o diat´ omico?, ¿qué ciclos proporcionan una mayor eficiencia? Para dar respuesta a estas preguntas estudiaremos a continuación una m´ aquina térmica concreta


P

P2

P1'

25

2

1'

P2'

2' W 0

P1

1 V2 V1'

V2' V1

V

Figura 1.5: El ciclo de Carnot. El ciclo se realiza reversiblemente en cuatro etapas dos de ellas isotérmicas y otras dos adiabáticas.

mediante la cual podemos comparar otras máquinas: la basada en el ciclo de Carnot.

1.4.2.

El Ciclo de Carnot

Supongamos entonces una m´ aquina ideal, sin rozamiento, donde todas las transformaciones sean reversibles. Un ejemplo de esta idealización es el llamado ciclo de Carnot. En la figura 1.5 encontramos una representaci´ on de este ciclo en un diagrama P − V . Disponemos de un gas ideal dentro de un cilindro con un émbolo tal que el sistema puede intercambiar energ´ıa con dos focos on inicial es tal que térmicos T1 y T2 donde T2 > T1 . Imaginemos que la situaci´ el gas se encuentra a una presión P1 ocupando un volumen V1 y a temperatura T1 . Primeramente sometemos al gas a una compresión isotérmica hasta que ocupa un volumen V1 a presi´ on P1 . Durante esta transformación 1 → 1 la energ´ıa interna del gas no cambia al no variar su temperatura, T1 , y de acuerdo con el Primer Principio Q1 = Q1→1 = −W1→1 = nRT1 ln (V1 /V1 ) < 0 es la energ´ıa transferida del sistema al foco térmico que se encuentra a temperatura on T1 en forma de calor. En segundo lugar, realizamos una nueva compresi´ del gas, pero esta vez de forma adiab´ atica, hasta el punto 2. Durante este


26

proceso elevamos la temperatura del gas hasta T2 transfiriendo energ´ıa del entorno al sistema en forma de trabajo. La cantidad de energ´ıa transferida es W1 →2 = CV (T2 − T1 ) > 0. El siguiente paso es una expansión isotérmica desde 2 hasta el punto 2 , transfiriendo energ´ıa del foco térmico a temperatura T2 al sistema en forma de calor. La energ´ıa transferida es Q2 = Q2→2 = on adiabática −W2→2 = nRT2 ln (V2 /V2 ) > 0. Finalmente, una nueva expansi´ hasta el punto 1 devuelve el sistema a su punto inicial. Durante este u ´ ltimo proceso el sistema transfiere una energ´ıa W2 →1 = CV (T1 − T2 ) = −W1 →2 < 0 al entorno en forma de trabajo. El rendimiento de la máquina térmica es, −W1→1 − W2→2 − W1 →2 − W2 →1 Wu´til = Q2→2 Q2→2 nRT1 ln (V1 /V1 ) + nRT2 ln (V2 /V2 ) = = nRT2 ln (V2 /V2 ) |Q1 | nRT1 ln (V1 /V1 ) =1− =1+ . nRT2 ln (V2 /V2 ) Q2

η=

Ahora bien, durante la compresi´ on adiabática 1 → 2 se verifica que P1 V1γ = P2 V2γ pero P1 V1 = nRT1 y P2 V2 = nRT2 de donde, = T2 V2γ−1 . T1 V1γ−1

(1.10)

Operando de igual modo, durante la expansi´ on adiabática 2 → 1 encontramos que, . (1.11) T1 V1γ−1 = T2 V2γ−1 Dividiendo (1.11) entre (1.10), V1 /V1 = V2 /V2 . Es decir, el rendimiento de la máquina térmica es, η =1− y por tanto,

T1 |Q1 | =1− , Q2 T2

(1.12)

Q2 |Q1 | = . (1.13) T1 T2 Sorprendentemente, el rendimiento no depende del tipo de gas que estemos utilizando ni de ning´ un otro detalle, salvo de las temperaturas de los focos con los cuales el sistema intercambia energ´ıa en forma de calor.


27

T2 Q2' ! 0

Q2 0 Sistema 2

W 0

Sistema 1

W ' W 0

Q1 0

Q1 ! 0

T1 Figura 1.6: No es posible construir una máquina térmica que supere el rendimiento del ciclo de Carnot o en general que supere el rendimiento de una máquina reversible cualquiera ya que violar´ıa en Segundo Principio de la Termodinámica. Ahora que disponemos de un ejemplo de m´ aquina térmica reversible podemos intentar dar respuesta a las preguntas que quedaron pendientes en la sección anterior respecto a qué máquina térmica reversible es la que produce mayor rendimiento. De este modo, tal vez podr´ıamos dise˜ nar otra m´ aquina que mejorase el rendimiento del ciclo de Carnot trabajando en las misma condiciones. Recordamos que con esto u ´ ltimo queremos decir que intercambie energ´ıa con los mismos focos térmicos a temperaturas T1 y T2 . Imaginemos entonces que existe una m´ aquina que toma una cantidad Q2 > Q2 > 0 del foco térmico caliente y devuelve una cantidad Q1 < 0 al foco fr´ıo. En particular elijamos que Q1 = Q1 y entonces el trabajo W < 0 realizado sobre el entorno por ciclo ser´ıa, Wu´ til = W = Q2 − |Q1 | > |W | , y su rendimiento, η´= 1 −

|Q1 | > η. Q2

Si esa máquina existiese, podr´ıamos tomar una cantidad W > 0 de la energ´ıa cedida al entorno en forma de trabajo y a´ un as´ı habr´ıamos transferido al en´til. Ahora bien, con esa torno una energ´ıa |W | − |W | en forma de trabajo u energ´ıa W podr´ıamos poner a funcionar una m´ aquina de Carnot en sentido inverso (recordemos que es reversible) de forma que transfiriéndole W > 0 aquina transen forma de trabajo y absorbiendo Q1 > 0 del foco fr´ıo, la m´ firiese una energ´ıa Q2 < 0 al foco caliente (Fig. 1.6). Si ésta fuese la situaci´ on, la energ´ıa que el sistema en su conjunto absorbe del foco caliente


28

después de cada ciclo ser´ıa Q2 − |Q2 | > 0 mientras que la energ´ıa cedida por el conjunto al foco fr´ıo después de cada ciclo ser´ıa − |Q1 | + Q1 = 0. Además, la energ´ıa transferida en forma de trabajo al entorno por ciclo ser´ıa |W | − |W | = (Q2 − |Q1 |) − (|Q2 | − Q1 ) = Q2 − |Q2 |. Es decir, habr´ıamos dise˜ nado una m´ aquina que absorbiendo energ´ıa de un u ńico foco (nótese que de forma neta el foco fr´ıo no entrega ni recibe energ´ıa) en forma de calor la convierte integramente en trabajo u ´ til. Este resultado está en desacuerdo con el enunciado de Kelvin del Segundo Principio y por tanto conclu´ımos que tal máquina no se puede dise˜ nar. Esta argumentación se puede demostrar rigurosamente y podemos afirmar en virtud del Segundo Principio que, Dadas dos m´ aquinas térmicas que intercambian energ´ıa con dos focos térmicos a temperaturas T1 y T2 tales que la primera recibe una energ´ıa en forma de calor Q2 y la segunda Q2 y devuelven respectivamente unas energ´ıas en forma de calor Q1 y Q1 , entonces, 1. Si la primera m´ aquina es reversible y la segunda no, entonces el rendimiento de la primera es superior y por tanto,

Q Q1 > 1 . Q2 Q2 2. Si ambas m´ aquinas son reversibles, entonces sus rendimientos son iguales y por tanto, Q1 Q1 = . Q2 Q2 Es decir, si una máquina es reversible, no importa lo complicado de sus transformaciones o de sus componentes o de cualquiera de sus propiedades, si intercambia energ´ıa con dos focos térmicos T1 y T2 , su rendimiento vendrá da´ do por (1.12). Esta es una propiedad de las leyes termodin´ amicas, y por tanto de la naturaleza, y no del dise˜ no de la m´ aquina en particular. El ciclo de Carnot es un ejemplo de máquina reversible pero cualquier otro ciclo realizado de forma reversible proporcionar´ a el mismo rendimiento si está sujeto a las mismas condiciones. Además, cualquier otra máquina no reversible tendr´ a menos rendimiento.

1.4.3.

Entrop´ıa

De acuerdo con la discusi´ on anterior, ver la ecuaci´ on (1.13), en una m´ aquina reversible podemos definir una cantidad, S = Q/T , que llamaremos entrop´ıa


29

tal que ΔS = 0 en un ciclo. Imaginemos ahora que tenemos una transformación reversible cualquiera entre dos estados a y b. Podemos definir la cantidad dS = δQ/T de forma que mediante transformaciones reversibles recorramos la trayectoria con m´ aquinas de Carnot que operen entre las temperaturas que se dan a lo largo de la trayectoria y una temperatura de referencia, siendo entonces δQ las cantidades diferenciales de energ´ıa transferidas mediante el calor entre el ba˜ no térmico a temperatura T y el sistema. De este modo podemos definir que la variaci´ on de S en la trayectoria reversible a → b es, b δQ , ΔS = a T y en un ciclo reversible se verifica que, δQ = 0. ΔS = T Por otro lado, para un proceso irreversible a → b es fácil demostrar (en virtud de que es imposible obtener más rendimiento que el de una máquina reversible) que b δQ . ΔS > a T Nótese que la expresión anterior no indica el valor del incremento de la entrop´ıa, simplemente se afirma que su valor será superior al que se hubiese obtenido si la transformaci´ on hubiese sido reversible. Es interesante considerar no s´ olo la variación de entrop´ıa del sistema, sino del conjunto entorno+sistema, es decir, la variaci´ on de entrop´ıa del universo dada una transformaci´ on. Tomemos, por ejemplo, el ciclo de Carnot como prototipo de ciclo reversible. En este caso, la variación de entrop´ıa del sistema es, Q2 |Q1 | − = 0, ΔSsistema = T2 T1 mientras que la variación de entrop´ıa del entorno es, ΔSentorno = −

|Q2 | Q1 + = 0. T2 T1

De este modo, ΔSuniverso = 0. Notemos que esta u ´ ltima condici´ on se verifica aunque el proceso no sea c´ıclico. De este modo encontramos una definición alternativa de transformaci´ on reversible: en una transformaci´ on reversible la variaci´ on de la entrop´ıa del universo


30

es nula. Del mismo modo se puede demostrar fácilmente que: en una transformaci´ on irreversible la variaci´ on de la entrop´ıa del universo es positiva. En el mundo real todos los procesos son irreversibles y de este modo la entrop´ıa define una flecha termodin´ amica del tiempo: el tiempo avanza en el sentido que aumenta la entrop´ıa del universo. Llegados a este punto, podemos resumir de forma concisa el Primer y Segundo Principio de la Termodin´ amica como, Dada una transformaci´ on cualquiera, la energ´ıa del Universo permanece constante, ΔUuniverso = 0 y la entrop´ıa del Universo no disminuye, ΔSuniverso ≥ 0. Entrop´ıa de un Gas Ideal en una Transformaci´ on Reversible De acuerdo con el Primer Principio de la Termodin´ amica, CV dT = δQ − P dV . o eliminando P , CV dT = δQ − nRT

dV . V

De este modo para un proceso reversible, dS =

dV dT δQ = CV + nR . T T V

Integrando esta u ´ltima expresi´ on,

Tb Vb + R ln ΔS = Sb − Sa = n cV ln Ta Va

.

De donde, Si = n (cV ln Ti + R ln Vi + s) , siendo s una constante6 . De forma alternativa, podemos expresar la entrop´ıa on de la concentraci´ on o densidad molar ρ = n/V , Si en funci´ ln

nVb ρa ρb Vb = ln = ln = − ln , Va nVa ρb ρa

de donde, Si = n (cV ln Ti − R ln ρi + s) . 6 La constante aditiva s se puede calcular utilizando argumentos de Mec´ anica Estad´ıstica (f´ ormula de Tetrode-Sackur) o mediante el llamado teorema de Nernst.


31

En general, para un gas ideal sometido a un proceso reversible, δQ , dT δQ , dS = T C=

de donde,

b

ΔS = a

CdT . T

Si la capacidad calor´ıfica se puede tomar como constante en el intervalo de temperaturas Ta → Tb , entonces, Si = C ln Ti + si . Entrop´ıa, Orden e Informaci´ on Hasta ahora no hemos tenido en cuenta el caracter atómico de la materia. Haremos una excepción para ahondar un poco m´ as en el significado de la entrop´ıa. Supongamos entonces que disponemos de dos contenedores C1 y C2 que se pueden comunicar con un puerta que de momento dejaremos cerrada. En uno de los contenedores hay un gas mientras que en otro hay vac´ıo. Al abrir la puerta, el gas se expandirá ocupando ambos contenedores. Puesto que el gas está formado por moléculas en movimiento no es descabellado pensar que es posible, aunque poco probable, que en alg´ un instante todas las moléculas se concentren de nuevo en el primer contenedor C1 . Si esto ocurriese, podr´ıamos cerrar la puerta habiendo completado un ciclo que viola el Segundo Principio. Intentemos estimar lo probable de este proceso. Para ello, imaginemos la siguiente simplicaci´ on de nuestro gas. Una caja con p posibles posiciones que pueden estar libres u ocupadas (Fig. 1.7). Supongamos que el n´ umero de posiciones ocupadas es p/2 y por tanto el n´ umero de huecos es también p/2. En principio suponemos que no hay configuraciones preferidas y que todas las posibles ordenaciones (microestados) en la caja son equiprobables. Podemos ir pasando configuraci´ on a configuración al azar y preguntarnos cu´ anto tiempo debe transcurrir para observar una configuraci´ on ordenada donde todas las posiciones ocupadas queden a un lado (mitad de la derecha o de la izquierda o de arriba o de abajo) y los huecos en el otro. Este fen´ omeno es el equivalente a ver una violación del Segundo Principio en el gas real. En principio, si uno espera lo suficiente, podremos ver cómo falla

32


Figura 1.7: Una imagen simplicada de un gas: una caja con p posiciones que pueden estar ocupadas o vac´ıas. En cada paso de tiempo reorganizamos aleatoriamente las posiciones. La probabilidad de encontrar una situaci´ on ordenada entre todas las alternativas posibles (microestados) es altamente improbable (ver texto).

el Segundo Principio. Ahora bien, ¿cu´ anto es suficiente tiempo? El n´ umero de posibles microestados de la caja es, p! W = p p . 2 ! 2 ! De todas estas configuraciones, sólo 4 se corresponden con una situaci´ on ordenada. As´ı, la probabilidad, P (p), de que nos encontremos una de ellas es, p p

! 2 !4 . P (p) = 2 p! Hagamos unos cuantos n´ umeros. A d´ıa de hoy, la computadora m´ as r´ apida de la Tierra es capaz de realizar unas 1014 operaciones por segundo. Si exploramos configuraciones a esa velocidad, el tiempo medio, en a˜ nos, que tendremos que esperar para observar una situaci´ on ordenada es aproximadamente P (p)−1 10−21 . Si comparamos este tiempo con la edad del Universo, que se sunos, el “n´ umero de Universos” que tendr´ıamos pone que es del orden de 1010 a˜ que dejar transcurrir (desde el Big Bang hasta la actualidad) para observar una violaci´ on del Segundo Principio con nuestro experimento idealizado es −1 −31 P (p) 10 . Si p = 1000 esta cantidad es del orden de ¡10267 ! Aunque posible, la violación espontanea del Segundo Principio es altamente improbable. Ni que decir tiene que cuando consideramos una caja con NA posiciones la posibilidad de violaci´ on espontanea del Segundo Principio es a efectos pr´ acticos cero.


33

Ahora bien, podr´ıamos intentar construir algun tipo de maquinaria que nos sirviese para que la exploración de configuraciones no sea aleatoria y que pudiesemos descartar as´ı las configuraciones que no sirven para violar el Segundo Principio. Podr´ıamos en nuestro experimento inicial del gas en un recinto con dos contenedores colocar la puerta y cerrarla. Cuando veamos que una molécula de gas se aproxima para entrar en C1 abrimos y una vez en el contenedor cerramos dejándola atrapada. As´ı, poco a poco, podr´ıamos tener todas nuestras moléculas en C1 tal y como deseabamos violando el Segundo Principio. Este experimento versiona el llamado demonio de Maxwell7 . Sin entrar a discutir la posibilidad de construir tal ingenio, realizemos unas breves reflexiones. En primer lugar, notemos que el concepto de disminución de entrop´ıa está ligado al concepto de incremento de orden. En nuestro caso la ordenación se realiza en función de la posici´ on de las moléculas del gas. En segundo lugar notemos que para realizar dicho ordenamiento selectivo es necesario disponer de información. En nuestro caso la posici´ on de las moléculas. As´ı, es posible demostrar que de construirse tal ingenio el incremento neto de variaci´ on de entrop´ıa en el Universo (el contenedor más el demonio) ser´ıa positivo debido a la energ´ıa requerida que debemos proporcionar al demonio con el fin de disponer de la informaci´ on necesaria para realizar el ordenamiento molécular. Ludwig Boltzmann estableci´ o la relación entre la entrop´ıa de un estado i y el n´ umero de microestados (energéticos), Si = kB ln Wi ,

(1.14)

umero de microestados del estado i y kB es la llamada consdonde Wi es el n´ tante de Boltzmann que podemos relacionar con dos constantes que ya hemos on (1.14) podemos ver que la visto, R y NA : kB = R/NA . Utilizando la ecuaci´ probabilidad de observar una violaci´ on del Segundo Principio va como e−NA , un n´ umero realmente peque˜ no y que está de acuerdo con las estimaciones que hicimos en nuestro experimento simplificado del gas. Del mismo modo, las transiciones entre microestados con mayor probabilidad, espontaneas, son aquellas para las cuales el sistema evoluciona hacia estados que exploran un máximo del espacio de configuraciones accesibles, genéricamente los estados más desordenados, proporciónando entonces un aumento de entrop´ıa. 7

En la versi´ on original propuesta por Maxwell un ente organizaba las moléculas del gas en funci´ on de su velocidad: las m´ as r´ apidas, en relaci´ on a la media, ocupaban progresivamente uno de los contenedores mientras que las lentas ocupaban al otro. De este modo la temperatura de uno de los contenedores aumentaba mientras que el otro se enfriaba; hecho que se pod´ıa utilizar para poner a funcionar una m´ aquina térmica que violase el Segundo Principio. Este razonamiento pasa por demostrar la equivalencia entre energ´ıa cinética y temperatura utilizando argumentos de Teor´ıa Cinética.

34


De acuerdo con esta discusión, se hace dif´ıcil entender los procesos evolutivos y de desarrollo que dan lugar a la formaci´ on de seres vivos puesto que se trata de procesos donde aparentemente la entrop´ıa disminuye al ser altamente organizativos. La clave está en entender a los seres vivos como sistemas abiertos que intercambian energ´ıa y masa con su entorno. Entonces, el metabolismo no s´ olo proporciona la energ´ıa requerida para que se realizen los procesos biol´ ogicos sino que también compensa la disminuci´ on de entrop´ıa que se produce en los seres vivos. Los alimentos, entendidos como moléculas altamente organizadas, se procesan y son devueltos al entorno en formas degradadas. De esta manera, el balance neto es un aumento de la entrop´ıa del Universo. En el pr´ oximo cap´ıtulo, cuando introduzcamos el concepto de producci´ on entr´ opica, esta compensación entre procesos quedar´ a más clara. No obstante, el lector podr´ıa hacer una u ´ltima pregunta u objección. Incluso entendiendo que la entrop´ıa del Universo no disminuya, ¿c´ omo se explica que existan procesos espontaneos cuyo resultado sea una disminuci´ on de entrop´ıa? Para responder a esta pregunta introduciremos en el próximo cap´ıtulo los potenciales termodinámicos. Equilibrio Termodin´ amico y Mec´ anico: Teor´ıa Cin´ etica Podemos seguir explorando más consequencias del carácter atómico de la materia y entender de una manera más profunda el significado del equilibrio termodin´ amico. As´ı, cuando un sistema se encuentra en equilibrio termodin´ amico necesariamente se debe encontrar en equilibrio mecánico de forma que las fuerzas netas que actuan sobre él son nulas. Volvamos al caso de un gas en un pist´ on. Dada una presi´ on y una temperatura, si el émbolo no se mueve (macroscópicamente) significa que la fuerza que ejerce el gas en el interior del pist´ on sobre el émbolo se ha igualado a la fuerza que ejerce el gas del entorno sobre él. Ahora bien, la fuerza que ejerce el gas sobre el émbolo se debe a las colisiones de las moléculas que lo golpean. Simplifiquemos de manera provisional este problema limitándonos al caso de que las moléculas se mueven sólo a lo largo del eje x, luego extenderemos el cálculo a tres dimensiones (Fig. 1.8). La fuerza que ejerce el émbolo sobre una molécula viene dada por, → − → v x (t) v x (t + Δt) − − − → → , F = m− a x = m l´ım Δt→0 Δt → donde − v x (t) es la velocidad de la molécula que golpea a un tiempo t el émbolo. Cuando se alcance el equilibrio, si suponemos que el émbolo es un reflector perfecto (colisi´ on elástica), la molécula saldrá despedida después de la colisión


35

− con la misma velocidad que incidi´ o pero en sentido opuesto: → v x (t + Δt) = → −− v x (t). As´ı, la fuerza que se ejerce sobre el átomo es, → → − 2− v x (t) , F = −m l´ım Δt→0 Δt o igualmente, en virtud del principio de acci´ on-reacción, → → − 2− v x (t) , F = m l´ım Δt→0 Δt es la fuerza que ejerce la molécula sobre el émbolo. Sin embargo esa no es la fuerza total que se ejerce sobre el émbolo puesto que a un tiempo t inciden muchas moléculas, todas aquellos que un instante Δt anterior esten a una distancia vx Δt, o menor, del émbolo. Es decir, las contenidas en el volumen Avx Δt (ver Fig. 1.8). Puesto que N/V es el n´ umero de moléculas por unidad de volumen (la densidad), el n´ umero total de moléculas incidentes será N Avx Δt/V . No obstante, no todas las moléculas incidentes tienen por qué ir a la misma velocidad vx y debemos multiplicar esta cantidad por la probabilidad de que vayan precisamente a esa velocidad ρ (vx ) dvx . Lo que es más, dos moléculas pueden ir a la misma velocidad pero en sentidos opuestos. As´ı, puesto que no hay ning´ un sentido privilegiado para el movimiento de las moléculas (si lo hubiese no habr´ıa equilibrio), el n´ umero total de moléculas que inciden sobre el émbolo a un tiempo t es, finalmente, N Avx Δtρ (vx ) dvx / (2V ) y la fuerza que ejercen es, − N Am 2 2→ v x (t) N Avx Δtρ (vx ) dvx − → − · =→ ex vx , F total = m l´ım Δt→0 Δt 2V V → siendo − e x un vector unitario en la direcci´ on x. Puesto que la presión es F/A llegamos al resultado, P V = N m vx2 . Recordamos ahora la simplificación inicial realizada que restring´ıa el movimiento a una dimensi´ on y corregimos la u ´ltima expresi´ on. Como el espacio se supone is´ o tropo y 2 2 no hay ninguna 2 o n privilegiada para el movimiento,

vx = vy = vz , y como además

direcci´ v 2 = vx2 + vy2 + vz2 , entonces vx2 = v 2 /3. De este modo, PV =

N m 2 2 v = N Ec , 3 3

donde Ec = mv 2 /2 es la energ´ıa cinética. Si comparamos esta expresión con la ecuaci´ on de los gases ideales (1.1) obtenemos que N 2 N Ec = nRT = RT , 3 NA


36 vx 't

N ,V , T

A x vx t

v x t 't

Figura 1.8: Visión microscópica de un gas en un pistón. La Teor´ıa Cinética nos permite relacionar la energ´ıa cinética media de las moléculas del gas con la temperatura del sistema en el equilibrio (ver texto).

es decir, 3 R 3 T = kB T . (1.15) 2 NA 2 As´ı, la temperatura es una medida de la energ´ıa cinética media de las moléculas. Además, la ecuación (1.15) indica la manera más adecuada de definir la escala de temperaturas, la escala absoluta, para la cual el cero absoluto se corresponde con una ausencia total de movimiento molecular8 . En el c´ alculo hemos supuesto de una manera velada la condición de equilibrio al imponer que la distribuci´ on de velocidades de los a´tomos no dependa del tiempo. Eso no significa que las velocidades de las moléculas individuales no dependan del tiempo ya que en las multiples colisiones (elásticas) que experimentan entre ellas van cambiando su velocidad. Las moléculas “reparten” de este modo su energ´ıa entre el colectivo de forma que la energ´ıa se conserva y se alcanza una distribución de probabilidad estacionaria para las velocidades. Imaginemos ahora que hubiesemos realizado el experimento con moléculas de masa m > m. En el equilibrio, a la misma temperatura, se debe verificar que Ec = Ec . es decir, Ec =

1 2 1 2 m v = m v . 2 2 8 Esta interpretaci´ on no toma en cuenta los efectos debidos al caracter cu´ antico de la materia.

´ 1.4. EL SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA De donde,

37

m v 2 = v 2 . m As´ı, a la misma temperatura, un gas formado por moléculas más/menos masivas ir´ a, en promedio, menos/más rápido que un gas formado por moléculas con menos/más masa. Del mismo modo se puede argumentar que si el gas está constituido por una mezcla de moléculas, las que tienen menos masa van, en promedio, m´ as r´ apidas que aquellas con más masa. Supongamos ahora el caso de un gas, o de forma más general un fluido, en equilibrio a temperatura T que está formado por un determinado tipo de moléculas y en cuyo seno situamos una part´ıcula coloidal9 . Una vez que el sistema está en el equilibrio a temperatura T , la part´ıcula poseerá la misma energ´ıa cinética promedio que el fluido y por tanto se mover´ a con una velocidad promedio menor que las moléculas del fluido. Esperamos además un movimiento un tanto err´ atico de la part´ıcula debido a las colisiones aleatorias con las moléculas del fluido. Hasta aqu´ı nada nuevo, pero ¿qué ocurre si aplicamos una fuerza externa a la part´ıcula? Por ejemplo, la part´ıcula puede estar cargada eléctricamente y aplicamos un campo eléctrico. En dicha situación, la part´ıcula se moverá en el fluido y sufrir´ a de una manera sistemática colisiones con las moléculas del fluido que se encuentren en la trayectoria de la part´ıcula: fricci´ on. En dichas colisiones la part´ıcula intercambiará energ´ıa con las moléculas del fluido que aumentar´ an su velocidad, se “calentar´ an”, y la part´ıcula tender´ a a frenarse. Esta transferencia de energ´ıa entre la part´ıcula y las moléculas del fluido es lo que se conoce como disipaci´ on. Como vemos, las colisiones aleatorias de las moléculas sobre la part´ıcula coloidal tienen dos efectos. Por un lado causan el movimiento err´ atico, fluctuante, a nivel microscópico de la part´ıcula, llamado browniano, y por otro son el origen de la fricción, y la consequente disipación, a un nivel macrosc´ opico. Puesto que ambos efectos tienen la misma causa uno esperar´ıa poder relacionarlos de alg´ un modo. Esta relación se manifiesta a traves del llamado teorema de fluctuaci´ on-disipaci´ on. Dicho teorema es generalizable a otros sistemas y establece una relaci´ on entre la respuesta de un sistema debido a una perturbación externa y las fluctuaciones internas del sistema en ausencia de la perturbación. En el cap´ıtulo 3 estudiaremos en más detale sus consequencias al profundizar sobre el movimiento browniano.

9 En el cap´ıtulo 7 (§ 7.1.1) se presentan las principales caracter´ısticas de las suspensiones coloidales.

CAPÍTULO

2

Termodinámica y Procesos Biológicos II

En el cap´ıtulo anterior hemos presentado los conceptos fundamentales de la Termodin´ amica clásica. En este cap´ıtulo sacaremos provecho a estos conceptos mediante los potenciales termodinámicos. Además, debido a su importancia en los procesos biológicos, al final del cap´ıtulo presentaremos una introducción a la Termodin´ amica de no equilibrio en su versión m´ as simple: el régimen lineal.

2.1.

Potenciales Termodin´ amicos

Tomemos un sistema puramente mecánico donde las transferencias de energ´ıa entre el sistema y el entorno en forma de calor sean despreciables. Por ejemplo, soltamos desde cierta altura y en el vac´ıo una masa. De acuerdo con la conservación de la energ´ıa, el Primer Principio, se debe verificar que ΔU = W . En nuestro ejemplo la cantidad de energ´ıa interna ser´ a la energ´ıa potencial debida al potencial gravitatorio y por tanto el trabajo que podemos extraer del sistema está limitado por la energ´ıa potencial contenida en el sistema. Además, el sistema evoluciona buscando un equilibrio estable que se corresponde con aquellos estados de m´ınima energ´ıa potencial. Como veremos a continuaci´ on, en sistemas termodin´ amicos hay equivalentes a la energ´ıa potencial de este ejemplo mecánico. En sistemas termodinámicos donde las transferencias de calor con el entorno son habituales tenemos en general que W = ΔU − Q. Si el sistema está intercambiando energ´ıa con un u ńico foco térmico a temperatura cons-

´ CAPÍTULO 2. TERMODINAMICA II

40

b tante T , entonces, puesto que ΔS ≥ a δQ/T , se verifica que Q ≤ T ΔS y por tanto, W ≥ ΔU − T ΔS. (2.1) Realizando la definición, F = U − T S,

(2.2)

obtenemos que W ≥ ΔF , o en forma infinitesimal que δW ≥ dF (δWu´til ≤ −dF ). Por tanto, si el sistema está mecánicamente aislado (por ejemplo, en un proceso a volumen constante) e intercambia energ´ıa en forma de calor con un u ńico foco térmico se verifica para cualquier transformación que dF ≤ 0, o lo que es lo mismo, Fb ≤ Fa . Es decir, F debe disminuir. As´ı, el sistema evolucionará espontaneamente hacia un m´ınimo de F y una vez all´ı se encontrará en un estado de equilibrio estable puesto que cualquier transformaci´ on contribuir´ a a aumentar su F . A F se le llama potencial termodin´ amico a volumen constante o energ´ıa libre de Helmholtz y da cuenta de la energ´ıa disponible en el sistema para realizar trabajo u ´til en las condiciones mencionadas. La evoluci´ on hacia los m´ınimos de la energ´ıa libre de Helmholtz exige que el sistema esté mecánicamente aislado mientras que el sistema intercambia energ´ıa con un u ńico foco térmico a temperatura T . Para muchos sistemas, en particular los biol´ ogicos, estas condiciones son muy restrictivas. Unas condiciones menos exigentes (o más habituales) son intercambiar energ´ıa con un foco térmico y que la presión sea constante. Supongamos entonces que disponemos de un sistema a presión constante que intercambia energ´ıa con un foco térmico a temperatura T . Podemos proceder como anteriormente y definir un nuevo potencial, G, hacia cuyos m´ınimos evoluciona el sistema tal que dG ≤ 0: el llamado potencial termodin´ amico a presi´ on constante o energ´ıa libre de Gibbs. De acuerdo con la ecuación (2.1), 0 ≥ ΔU − T ΔS + P ΔV . Definiendo, G = U − TS + PV = F + PV ,

(2.3)

en una transformaci´ on isobara e isotérmica se verificará que, Gb ≤ Ga . Es decir, la energ´ıa libre de Gibbs nunca aumenta. Por tanto bajo las condiciones descritas, el sistema evolucionará hacia los m´ınimos de este potencial

´ 2.1. POTENCIALES TERMODINAMICOS

41

termodinámico y una vez alli se encontrar´ a en una situaci´ on de equilibrio estable. En virtud del primer principio ΔU + P ΔV es la cantidad de energ´ıa que en forma de calor se transfiere entre el sistema y su entorno en una transformación a presi´ on constante. A la cantidad H = U +P V se la conoce como entalp´ıa. La energ´ıa libre de Gibbs se puede expresar en términos de H como G = H − T S. N´ otese que si la presión es constante dH = δQ y entonces, dS ≥

dH . T

De acuerdo con la nomenclatura introducida en el cap´ıtulo anterior, si dH > 0 la transformaci´ on será endotérmica mientras que si dH < 0 será exotérmica. Al igual que existe una relaci´ on directa entre la energ´ıa interna y la capacidad calor´ıfica a volumen constante, podemos relacionar a la entalp´ıa con Cp , δQ dH = . (2.4) CP = dT P dT P Haciendo paralelismo con la energ´ıa libre de Helmholtz, se conoce también a G como entalp´ıa libre. En resumen, en la evoluci´ on hacia el equilibrio, sea F = U − T S o G = H − T S el potencial termodin´ amico relevante, se produce una compensación entre efectos energéticos y entrópicos. En la siguiente sección detallaremos las “compesaciones” que pueden ocurrir de manera expontanea.

2.1.1.

Condiciones de Equilibrio y Espontaneidad

De acuerdo con lo explicado hasta el momento sobre los potenciales termodin´ amicos, un sistema en contacto con un u ´ nico ba˜ no térmico y que se encuentre a presión constante evoluciona espontaneamente hacia los m´ınimos de la energ´ıa libre de Gibbs. Una vez alcanzado un m´ınimo de G el sistema se encuentra en una condición de equilibrio estable y de forma espontánea no evolucionar´ a porque aumentar´ıa su energ´ıa libre. En forma diferencial la energ´ıa libre de Gibbs, G, es, dG = dU − T dS − SdT + P dV + V dP , pero, dU = δQ + δW = T dS − P dV , de donde, dG = −SdT + V dP .


42

O de forma equivalente, puesto que G = H − T S, dG = dH − T dS − SdT . Suponiendo una transformaci´ on a temperatura constante, la condición de equilibrio será, dG = dH − T dS = 0. De igual modo, podemos resumir en la siguiente tabla las condiciones para que una transformaci´ on a temperatura constante suceda (dG < 0) o no (dG > 0) de manera espontánea, dH <0 <0 >0 >0

dS >0 <0 >0 <0

dG <0 ? ? >0

La transformación es: posible. posible si T < dH/dS. posible si T > dH/dS. imposible.

Que la transformaci´ on sea posible termodinámicamente, que pueda ocurrir de forma espontánea, no implica que sea probable. Por ejemplo, en un proceso qu´ımico puede que la energ´ıa requerida para la activaci´ on de la reacción sea muy elevada y por tanto la velocidad de reacci´ on sea nula a efectos prácticos. Lo que s´ı es cierto es que si es imposible termodinámicamente entonces no ocurrir´ a de manera espont´ anea1 . Podemos ahora responder a la pregunta que quedó pendiente en el cap´ıtulo anterior: ¿cómo se explica que existan procesos espont´ aneos cuyo resultado sea una disminuci´ on de entrop´ıa? La respuesta es sencilla: siempre y cuando la temperatura sea lo suficientemente baja y que el proceso sea exotérmico el proceso puede ocurrir de forma espont´ anea a pesar de que disminuya la entrop´ıa (del sistema). Sin esta posibilidad la vida nunca hubiese existido sobre la tierra. Se cree que cuando un ave empolla un huevo lo hace para “darle calor”. Más bien es todo lo contrario, en realidad el ave act´ ua como un termostato para regular la temperatura del huevo y absorber el calor del proceso organizativo morfogenético. De esta manera, el proceso exotérmico junto con el mantenimiento de la temperatura por debajo de cierto umbral hacen posible el desarrollo embrionario que ciertamente disminuye la entrop´ıa del huevo. 1 Recordamos que en cap´ıtulo anterior hemos mostrado que rigurosamente es posible, pero muy improbable, violar el Segundo Principio de manera espontánea.

2.2. DISOLUCIONES DILUÍDAS

2.2.

43

Disoluciones Dilu´ıdas: Presi´ on Osm´ otica y las Membranas Celulares

Hasta ahora hemos considerado sistemas con un sólo componente. Sin embargo, la mayor´ıa de sistemas son multicomponentes. El sistema multicomponente más sencillo que podemos imaginar es el de dos especies; y dentro de los sistemas con dos especies, el más simple es aquél donde un gran porcentaje de la composici´ on es de una especie y una peque˜ na parte de la otra especie: las disoluciones dilu´ıdas2 . Llamamos disolvente (solvente) a la especie en mayor´ıa y soluto a la especie en minor´ıa. Entonces, una disoluci´ on dilu´ıda es aquella mezcla para la cual la cantidad de soluto es peque˜ na comparada con la cantidad de disolvente. Si denominamos n0 a los moles de disolvente y n1 a los de soluto disuelto entonces para una disolución dilu´ıda n0 n1 . Dada una temperatura constante T , calculemos F y G para estas disoluciones con en fin de obtener informaci´ on sobre el estado de equilibrio del sistema y sus posibles transformaciones espontaneas. Antes de empezar, debemos introducir las llamadas magnitudes molares parciales. Dadas s especies y una propiedad extensiva del sistema (volumen, energ´ıa interna, etc.) Y , s−1 s−1 ∂Y ni = ni yi , Y = ∂ni T,P,nj=i i=0

i=0

donde a las cantidades yi se les llama magnitudes molares parciales. La magnitud molar parcial de una especie en una mezcla no tiene por qué coincidir con la magnitud molar de la misma especie en un estado puro (s´ı coinciden en el caso de gases ideales y soluciones dilu´ıdas como las que tratamos). Por ejemplo 1 litro de alcohol junto con 1 litro de agua no dan 2 litros de mezcla sino un volumen inferior (con otra mezcla de especies el volumen puede ser superior). Entonces la energ´ıa interna se puede escribir como, U = n0 u0 + n1 u1 . Y en cuanto al volumen, V = n0 v0 + n1 v1 . 2

En general en los sistemas multicomponente hay que distinguir entre mezclas y disoluciones dependiendo de cu´ ales son las fases de los componentes y si existe o no mayor´ıa de alguno de ellos. Aqu´ı no distinguiremos entre ambas. Además, referimos al lector al cap´ıtulo 7 donde se describen algunas propiedades importantes de ciertas disoluciones y mezclas de interés biol´ ogico como los coloides.


44

Solución

Solvente Puro

Figura 2.1: En la figura se representa un sistema mixto disolvente-disolución separado por una membrana semipermeable. El disolvente puede atravesar la membrana mientras que la misma act´ ua como barrera para el soluto. La diferencia de concentracci´ ones establece una diferencia de presión a ambos lados, la llamada presi´ on osmótica (ver texto).

Si consideramos que las transformaciones a las que se somete al sistema son reversibles de forma que dS = dQ/T = (dU + P dV ) /T entonces, dS =

n0 (du0 + P dv0 ) + n1 (du1 + P dv1 ) n0 ds0 + n1 ds1 = . T T

Si integramos esta u ´ ltima ecuaci´ on, obtenemos que, S = n0 s0 + n1 s1 + C, donde C es una constante de integración a determinar que depende de n0 y n1 . El valor de dicha constante, as´ı como los valores de s0 y s1 , se pueden determinar utilizando argumentos de vaporizaci´ on de una mezcla gaseosa (no daremos aqu´ı los detalles), S = n0 s0 + n1 s1 − Rn0 ln

n0 n1 − Rn1 ln . n0 + n1 n0 + n1

As´ı, finalmente, F = n0 u0 + n1 u1 − − T n0 s0 + n1 s1 − Rn0 ln G = F + P (n0 v0 + n1 v1 ) .

n0 n1 − Rn1 ln n0 + n1 n0 + n1

(2.5)

,

(2.6)


45

Supongamos ahora una membrana semipermeable: una membrana que es permeable al disolvente pero no al soluto. Un ejemplo de membranas semipermeables son las membranas celulares que de forma pasiva permiten la entrada y salida de iones hidratados y peque˜ nas moléculas pero bloquean el paso de grandes moleculas. Experimentalmente se observa que cuando una disolución de un determinado solvente est´ a separada del disolvente puro por una membrana semipermeable se establece una diferencia de presión. Esta diferencia de presi´ on se llama presi´ on osm´ otica 3 . Para calcular el valor de la presión osmótica haremos uso de la energ´ıa libre F de una disoluci´ on dilu´ıda. En la figura 2.1 representamos de forma simplificada un sistema mixto disoluci´ on-disolvente separados por una membrana semipermeable. Si sometemos a este sistema a una transformaci´ on infinitesimal reversible, y suponiendo la temperatura constante, se debe verificar que δW = dF . Imaginemos entonces que la membrana representada en la figura se puede mover a derecha e izquierda sin rozamiento. En la derecha disponemos de n0 moles de solvente puro mientras que en la izquierda disponemos la disolución con n0 moles de solvente y n1 de soluto. La membrana deja pasar al disolvente pero no al soluto. De este modo habrá un flujo de disolvente a través de la membrana en ambas direcciones. Cuando ambos flujos se igualan el sistema se encontrará en equilibrio4 . Las concentracciones a ambos lados de la membrana son diferentes y por tanto queda establecida una diferencia de presi´ on, Π. En este estado de on, equilibrio, las energ´ıa libres del disolvente puro, Fdisolvente , y de la disoluci´ Fdisolución , son, respectivamente, Fdisolvente = n0 u0 − T n0 s0 , Fdisolución = n0 u0 + n1 u1 − T

n0 s0 + n1 s1 − Rn0 ln

n0 n1 − Rn1 ln n0 + n1 n0 + n1

.

Por tanto, la energ´ıa libre total es, F = Fdisolvente + Fdisolución . Imaginemos ahora que una vez alcanzado el equilibrio desplazamos la membrana infinitesimalmente y de forma reversible hacia la derecha, aumentando el volumen de disolución en una cantidad dV en la parte izquierda y disminuyendo consistentemente el de disolvente puro en la misma cantidad en la parte derecha. Durante este proceso una cantidad diferencial de solvente dn0 3

El paso de disolvente y no de soluto a través de una membrana semipermeable (´ osmosis), es la base de la di´ alisis: se permite el paso de peque˜ nas impurezas en disoluci´ on al tiempo que se impide que se “escapen” las macromoléculas. 4 De momento, y hasta el final del cap´ıtulo, no distinguiremos entre estado de equilibrio y estado estacionario.


46

atravesará la membrana de forma que dV = v0 dn0 mientras que el soluto no atraviesa la membrana. Por tanto, la energ´ıa transferida en forma de trabajo es, δW = −ΠdV = −Πv0 dn0 . Por otro lado, la variaci´ on de F en esta transformación es la debida al cambio de moles de disolvente a ambos lados de la membrana, dF =

∂F ∂F ∂F ∂F dn0 + dn0 = dn0 − dn0 , ∂n0 ∂n0 ∂n0 ∂n0

donde hemos utilizado que la variación de disolvente dn0 en el lado del disolvente puro debe ser igual (con signo opuesto) que la variaci´ on de disolvente en la parte de la disolución (lo que se pierde en un lado se gana en el otro): dn0 = −dn0 . Implementando la diferencial obtenemos que, dF = −RT

n1 dn0 . n0

Utilizando que en la transformaci´ on reversible se verifica que δW = dF , Πv0 = RT

n1 . n0

on y Puesto que v0 n0 es el volumen ocupado por el disolvente en la disoluci´ que la disoluci´ on es dilu´ıda, n0 n1 , podemos aproximar el volumen de la disolución del siguiente modo (el volumen de disolución es aproximadamente el volumen de disolvente), V = v0 n0 + v1 n1 ≈ v0 n0 , llegando finalmente a, ΠV = n1 RT ,

(2.7)

es decir: ¡la ecuación de los gases ideales! Este resultado se puede expresar con palabras del siguiente modo: La presi´ on osm´ otica que se establece entre una disoluci´ on dilu´ıda y el correspondiente disolvente puro a través de una membrana semipermeable es igual a la presi´ on que ejercer´ıa un gas ideal que se encontrase a la misma temperatura, ocupando el volumen de la disoluci´ on y conteniendo el n´ umero de moles del soluto disuelto en la disoluci´ on.


47

A la f´ ormula (2.7) se la conoce como relación de Van´t Hoff y también se suele expresar como, Π = ρsoluto RT , donde ρsoluto es la densidad del soluto.

Problema. Disponemos de 5ml de una disoluci´ on dilu´ıda a 37◦ C separados de disolvente puro por una membrana semipermeable, ¿cu´ antos gramos de soluto son necesarios para establecer una diferencia de presión de 1,6 · 105 P a en la membrana? El peso molecular del soluto es de 55g/mol. Soluci´ on. El n´ umero de moles requeridos será, −6

3

1,6 · 105 P a × 5ml × 10 mlm ΠV = = 6,2 · 10−5 moles. n1 = RT 8,31J · K −1 · mol−1 × 310K De donde los gramos de soluto requeridos son, 6,2 · 10−5 moles ×

55g = 3,4 · 10−3 g = 3,4mg. 1mol

Si imaginamos una célula como una disoluci´ on de prote´ınas separadas del medio mediante de una membrana semipermeable, podemos utilizar el cálculo anterior para estimar la presión osmótica que se ejerce sobre la membrana celular. Tomemos el caso de los globulos rojos o hemat´ıes. El di´ ametro de un gl´ obulo rojo es aproximadamente 2R = 10μm, de donde el volumen de la disolución será V = 43 πR3 ≈ 500μm3 . El 30 % de ese volumen está ocupado por hemoglobina, es decir 150μm3 . Puesto que el diámetro de una prote´ına de hemoglobina es aproximadamente 5nm, el volumen de una prote´ına es 5 · on hay unas 3·107 prote´ınas de hemoglobina, 10−7 μm3 y por tanto en la disoluci´ −17 moles de soluto. Suponiendo que la célula se encuentra es decir, unos 5 · 10 ◦ a 37 C (310K), la presión osmótica de equilibrio soportada por la membrana es, Π ≈ 250P a. Para mantener la funci´ on e integridad de los gl´ obulos rojos, la disoluci´ on debe mantener la presi´ on osmotica: debe ser isot´ onica. Si la disoluci´ on es


48

demasiado dilu´ıda (hipot´ onica) la presión dentro de la membrana celular no puede contener la entrada de soluci´ on y los glóbulos rojos se hinchan hasta estallar (hemolisis). Por otro lado, si la disoluci´ on es demasiado concentrada (hipert´ onica), los hematies no pueden contener el flujo de solvente hacia el medio, se van encogiendo y mueren. Los términos “demasiado dilu´ıda” o “demasiado concentrada” se refieren a la concentración de iones en disolución ya que en realidad la composici´ on del medio celular, tanto interior como exterior, no es simplemente acuosa. As´ı, la célula debe regular cuidadosamente la concentraci´ on de los iones para evitar que la membrana se rompa y la célula muera. Para ello es necesario que la célula disponga de mecanismos de transporte no sólo pasivos, sino activos, que puedan modificar la concentración de un determinado i´ on en su interior (a pesar de que la concentraci´ on de ese mismo ión en el exterior sea mayor). La llamada bomba de N a − K (Sodio-Potasio) es un ejemplo de estos mecanismos de transporte activo. Al final del cap´ıtulo introduciremos algunas nociones de Termodin´ amica de no equilibrio que nos ayudar´ an a entender la Termodin´ amica de estos procesos. Además, referimos al lector al cap´ıtulo 4 que está dedicado integramente a los fen´ omenos de transporte activos y pasivos en membranas.

2.3.

Reacciones Qu´ımicas: Potencial Qu´ımico y la Ley de Acci´ on de Masas

Cada subsistema del sistema mixto anteriormente descrito separado por la membrana semipermeable (sea la disolución dilu´ıda o no) es un sistema abierto puesto que intercambia masa con su entorno: el subsistema disolvente puro con el subsistema disolución y viceversa. Hasta ahora hemos considerado sistemas cerrados y no hemos reflejado en el balance energético del Primer Principio los cambios en energ´ıa que se producen al variar la masa. Empezando por el caso monocomponente, y puesto que una variaci´ on en el n´ umero de part´ıculas debe suponer una variaci´ on en la energ´ıa del sistema, podemos expresar la energ´ıa libre de Gibbs en forma diferencial como, dG = −SdT + V dP + μdn, donde,

μ=

∂G ∂n

, T,P

(2.8)

2.3. EQUILIBRIO QUÍMICO

49

es el llamado potencial qu´ımico de la especie considerada y mide la variación de la energ´ıa libre respecto del n´ umero de part´ıculas presentes5 . Podemos calcular fácilmente el valor del potencial qu´ımico para un gas ideal. En una transformaci´ on isotérmica que involucre n moles de gas, b b b Pb dP = nRT ln . dG = V dP = nRT Gb − Ga = P Pa a a a De este modo, μb − μa = RT ln

Pb . Pa

El estado a inicial es un estado de referencia que designaremos con el super´ındice “0” de forma que, μ = μ0 + RT ln

P . P0

El estado de referencia es un convenio que en general depende del tipo de sistema a tratar. En lo que concierne a los sistemas con los que trataremos aqu´ı, dada la temperatura T , corresponde a una concentración en disolución de 1 mol/l y la presi´ on P 0 de 1 atm. A este estado de referencia le llamamos estado termodinámico estándar. As´ı queda fijado el potencial qu´ımico de referencia a esa temperatura μ0 . Puesto que P = nRT /V , el potencial qu´ımico también se puede expresar en términos de las densidades molares (concentración), μ = μ0 + RT ln

ρ . ρ0

(2.9)

Indicando que el potencial qu´ımico de un gas ideal depende de la cantidad de gas presente en el sistema con respecto a la densidad de referencia. Generalizando al caso multicomponente, si disponemos de una mezcla r especies, la ecuación (2.8) queda como, dG = −SdT + V dP +

r

μi dni ,

i=1

donde,

μi =

∂G ∂ni

.

(2.10)

T,P,nj=i

5 El nombre de potencial qu´ımico tal vez sea un poco desconcertante dada su definici´ on puesto que no involucra nada espec´ıficamente qu´ımico.

50


CH3 CH2 CH2 CH2 CH2 CH2 CH3

CH3 CH3 CH3 –C –CH CH3 CH3

Figura 2.2: Mediante la isomerización una molecula puede presentar dos formas de organización diferentes. En la figura se presenta la isomerización (de cadena) del heptano. Las propiedades f´ısico-qu´ımicas de los isómeros son diferentes. La reacción se puede dar en ambos sentidos.

Si disponemos de una mezcla de dos especies con moles n1 y n2 en un sistema cerrado que no pueda intercambiar masa con el entorno, se cumplirá la siguiente ley de conservación, n1 + n2 = n = constante. Además supongamos que entre ambas especies puede haber intercambio de poblaciones. Esto se puede conseguir si, por ejemplo, una especie se puede presentar en dos estados diferentes mediante una isomerizaci´ on (Fig. 2.2). Podemos representar dicha reacci´ on de manera esquemática del siguiente modo, S 1 S2 , umero de moles ni . donde Si representa la especie i con un n´ La variación de energ´ıa libre en una transformaci´ on reversible, isobara e isotérmica será entonces, dG = μS1 dn1 + μS2 dn2 , puesto que dn1 + dn2 = 0, obtenemos que, dG = (μS1 − μS2 ) dn1 .

(2.11)

Es decir, si los potenciales qu´ımicos son iguales, el sistema alcanzará el equilibrio, dG = 0. Si estos son diferentes, espontáneamente se producir´ an


51

transformaciones tal que dG < 0, mientras que las transformaciones con dG > 0 no suceder´ an de forma espontánea. La siguiente tabla resume, en función de la variaci´ on de la población relativa del is´ omero y de la diferencia de potenciales qu´ımicos, la espontaneidad de las reacciones, μ S1 − μ S2 >0 <0 >0 <0

dn1 (−dn2 ) >0 >0 <0 <0

dG >0 <0 <0 >0

Problema. ¿En cu´ anto queda reducido el potencial qu´ımico de 8 moles de benceno a 37◦ C por un soluto presente en el sistema a fracción molar de 0,1? Soluci´ on. Dadas n moles de una mezcla con r especies donde n1 pertenecen a la especie 1, n2 a la especie 2 y en general nj a la especie j, se cumple que, r

ni = n,

i=1

y la fracci´ on molar de la especie j es xj = nj /n. Incorporar un soluto con fracci´ on molar 0,1 implica que de cada mol de mezcla 0,9 serán de benceno y por tanto si inicialmente el benceno se encuentra a una concentraci´ on ρini , al incorporar el soluto la concentración queda reducida a ρf in = 0,9ρini . El incremento de potencial qu´ımico por mol será entonces, ρf in ρini = − μ + RT ln 0 = RT ln Δμ = ρ ρini 0,9 = −271,4J/mol, = 8,31J · K −1 · mol−1 × 310K × ln 1

ρf in μ + RT ln 0 ρ 0

0

de donde el potencial qu´ımico de los 8 moles queda reducido en 271,4J/mol× 8mol = 2,2kJ.

52


Como vemos, dados los dos isómeros, aumentará la población de aquél con menor potencial qu´ımico: el equilibrio qu´ımico regula la poblaci´ on relativa de las especies presentes en un sistema. Lo mismo que las diferencias de temperatura causan las transferencias energéticas en el sistema, la diferencia de potenciales qu´ımicos causan transferencias de masa entre especies. No obstante, de momento no hemos calculado cuál será la población en equilibrio de cada una de las especies y además nos gustar´ıa extender las implicaciones de los potenciales qu´ımicos a reacciones más complejas que no sean simples isomerizaciones y encontrar una condici´ on general para el establecimiento del equilibrio. Por ejemplo, nos gustar´ıa poder elucidar la l´ ogica del equilibrio qu´ımico de reacciones que involucren diferentes especies y coeficientes estequimétricos. Un ejemplo ser´ıa la reacci´ on de la combustión (oxidaci´ on) del hidr´ ogeno, 2H2 + O2 2H2 O. Esta reacción nos indica que se necesitan dos moléculas de hidr´ ogeno y una de ox´ıgeno para producir dos moléculas de agua y que el agua se puede disociar en dos moléculas de hidr´ ogeno y una de ox´ıgeno, pero dada una temperatura ¿cómo está regulado el equilibrio entre especies? En general, escribimos las reacciones entre especies como, v1 A1 + v2 A2 + . . . + vr Ar w1 B1 + w2 B2 + . . . + wp Bp ,

(2.12)

donde vi y wi son, respectivamente, los coeficientes estequimétricos del reactivo Ai y del producto Bi . Hay diferentes formas de obtener la condici´ on de equilibrio, la llamada ley de acci´ on de masas. Aqu´ı presentaremos primero la deducción basada en la c´ amara de reacción de Van´t Hoff. Esta demostración es, probablemente, la menos directa de las posibles, pero ilustra perfectamente cómo utilizar lo aprendido sobre membranas semipermeables y potenciales termodinámicos. Posteriormente, introduciremos una demostración m´ as simple que nos conducirá al mismo resultado, con la ventaja a˜ nadida de que nos permitir´ a relacionar la constante de equilibrio de la reacci´ on con la variación sufrida por la energ´ıa libre de Gibbs de referencia a temperatura T , ΔG0 . Supongamos entonces que disponemos de una serie de membranas semipermeables ideales MCi tales que: 1. Una membrana MCi es permeable a la especie Ci y completamente impermeable al resto de las especies Cj=i . 2. Si la membrana MCi se encuentra separando dos mezclas con especies Ci y Cj=i tal que las presiones parciales para Ci son diferentes a ambos


T

53

VA1

VB1

v1 A1 M A1

M B1 w1 B1

VA2 v2 A2 M A2 VA3 v3 A3 M A3

VB2

v1c A1 , v2c A2 ,… , vrc Ar w1cB1 , w2c B2 ,… , wcp B p

M B2 w2 B2 VB3 M B3 w3 B3

•••

••• VAr

V

vr Ar M Ar

VBp

M Bp wp B p

Figura 2.3: La cámara de reacción de Van´t Hoff. lados de la membrana, entonces Ci fluye a traves de la membrana hacia el lado donde la presi´ on parcial es menor hasta que ambas presiones parciales se igualan y se establece el equilibrio6 . La cámara de reacción de Van´t Hoff consiste en una serie de pistones (ideales) conectados mediante membranas semipermeables MCi a una cámara de reacción (Fig. 2.3). En la c´ amara de reacción se disponen vi vi moles de Ai y wi wi moles de Bi de forma que éstos se encuentran en equilibrio 6 Dada una mezcla de especies, la presi´ on parcial de un componente es la presi´ on que se ejercer´ıa si el volumen que ocupa la mezcla estuviese ocupado exclusivamente con el componente en cuesti´ on. Por simplicidad supondremos que todas las especies son gaseosas y se comportan como gases ideales. La presi´ on parcial se puede relacionar f´ acilmente con las on parcial Pj es, fracciones molares. Dada una especie j con fracci´ on molar xj , la presi´

Pj = xj P , donde P es la presi´ on de la mezcla. Como vemos se verifica la llamada ley de Dalton, r X

Pi = P ,

i=1

es decir: dada una temperatura, la presi´ on ejercida por una mezcla de r gases perfectos es la suma de las presiones que ejercer´ıa cada gas por separado a la misma temperatura.


54

a temperatura T . Todo el dispositivo se encuentra en contacto con un ba˜ no térmico a la temperatura de equilibrio T y el volumen de la cámara de reacción, V , se supone mucho más grande que el volumen que puede albergar cada uno de los pistones VCi . A la izquierda de la cámara disponemos de pistones con los reactivos, Ai , de forma que el pistón 1 tiene v1 moles del reactivo A1 que ocupan un volumen VA1 a temperatura T y se comunica con la cámara de reacción a través de una membrana semipermeable MA1 y as´ı sucesivamente hasta el émbolo r. En la derecha disponemos de p pistones conectados con umenes iniciales la cámara mediante membranas semipermeables MBi con vol´ umero de moles de reactivos en la cámara, vi , son tales que, VBi = 0. El n´

vi vi , = V VA i de forma que las presiones parciales a ambos lados de los émbolos de reactivos son iguales y no hay flujos. Entonces, puesto que el sistema está en equilibrio, los reactivos de los émbolos no entrarán en la cámara de manera espont´ anea. Si deseamos introducirlos debemos proporcionar energ´ıa: realizar trabajo. As´ı pues, uno a uno, y muy despacio (cuasiestáticamente) vamos apretando los émbolos de forma reversible, introduciendo los reactivos de los pistones en la cámara hasta que vaciamos por completo los pistones y VAi = 0. La presión inicial en cada pistón es, PAi =

vi RT VA i

y ésta permanece constante durante el proceso de introducir los reactivos en la cámara ya que si bien disminuye el volumen durante la compresi´ on también van disminuyendo las moles contenidas. Además, como vi vi y V VAi , la amara permanecer´ a constante dupresi´ on parcial del reactivo Ai dentro de la c´ rante el proceso de compresión y por tanto no se provocar´ an flujos a través de la membrana semipermeable. De este modo, la cantidad de energ´ıa transferida al sistema por cada pist´ on es, WAi = −PAi ΔVAi = −PAi (0 − VAi ) = PAi VAi = vi RT , y por tanto la energ´ıa total transferida al sistema mediante trabajo durante esta primera etapa es, r vi . WA = RT i=1


55

Una vez que los reactivos están en el interior de la c´ amara reaccionarán produciendo wi moles de cada especie Bi . Si ahora succionamos de la cámara lentamente con los pistones de la derecha, éstos se irán llenando de especies puras Bi (las membranas semipermeables MBi impiden que otra especie entre on será tal que, en ellos). El n´ umero de moles wi en cada pist´

wi wi = , V VBi en ese momento las presiones parciales se habrán igualado. El trabajo realizado se puede calcular exactamente del mismo modo que cuando introdujimos los reactivos, WBi = −PBi ΔVBi = −PAi (VBi − 0) = −PBi VBi = −wi RT , WB = −RT

p

wi .

i=1

Al final de todo el proceso, la energ´ıa transferida en forma de trabajo es, W = WA + WB = RT

r i=1

vi −

p

wi

.

i=1

Puesto que el proceso ha sido reversible e isotermo entonces7 W = ΔF . Ahora bien, en lo que respecta a la c´ amara no ha habido cambio alguno en su energ´ıa libre ya que tanto en la situaci´ on inicial como en la final se dispone de los mismo moles vi y wi de Ai y Bi , respectivamente, en equilibrio a temperatura T y ocupando un volumen V . As´ı pues, la variaci´ on de energ´ıa libre se ha producido en los émbolos. Inicialmente, la energ´ıa libre en los émbolos es8 , FAini =

r i=1

FBini

UAi − T SAi =

r

Ai i vi cA T − T c ln T − R ln ρ + s , A A i i V V

i=1

= 0.

Puesto que ΔG = ΔF −W , esta condici´ on es equivalente al establecimiento de equilibrio: ΔG = 0. 8 En general, en la energ´ıa interna deber´ıamos a˜ nadir una constante que representa la energ´ıa que posee el gas o el componente en cuesti´ on en el cero absoluto. Estamos asumiendo aqu´ı el valor de esa constante como cero. 7


56

i Siendo cA V los calores molares a volumen constante de la especie Ai . De igual modo, las energ´ıas libres finales de reactivos y productos en los émbolos son,

FAfin = 0, FBfin

=

p

UBi − T SBi =

i=1

p

Bi i wi cB T − T c ln T − R ln ρ + s . B B i i V V

i=1

De esta manera,

ΔF = FAfin + FBfin − FAini + FBini = p

=T −T

i=1 r

Bi i wi cB − c ln T − R ln ρ + s − Bi Bi V V Ai i vi cA − c ln T − R ln ρ + s . Ai Ai V V

i=1

Por tanto se debe verificar que en equilibrio, r p vi − wi = i=1

i=1

= −

p wi Bi Bi cV − cV ln T − R ln ρBi + sBi − R

i=1 r i=1

vi Ai Ai cV − cV ln T − R ln ρAi + sAi . R

Exponenciando ambos miembros llegamos finalmente a, p “ “ ” P “ ”” i Bi Ai r 1 Pp ρw −R Bi i=1 wi R+cV −sBi − i=1 vi R+cV −sAi i=1 = e · r vi i=1 ρAi 1

·TR

“P p

i=1

B

wi cV i −

Pr

Ai i=1 vi cV

(2.13)

”

.

Notemos que el miembro de la derecha de esta u ´ ltima expresión es funci´ on de las propiedades qu´ımicas de las especies, de los coeficientes estequiométricos de la reacción y que como variable termodinámica sólo interviene la temperatura. Entonces, la ecuación (2.13) se suele expresar del siguiente modo: p wi i=1 ρBi r (2.14) vi = Kequilibrio (T ) , i=1 ρAi


57

donde Kequilibrio (T ) es la constante de equilibrio de la reacción a temperatura T . Este resultado se conoce como la ley de acci´ on de masas y se puede expresar con palabras del siguiente modo: Dada una reacci´ on qu´ımica en equilibrio, el cociente entre el producto de las concentracciones de reactivos elevadas a sus coeficientes estequiométricos y el producto de las concentracciones de productos elevadas a sus coeficientes estequiométricos, es una constante que s´ olo depende de la temperatura a la cual se produce la reacci´ on. Tal y como advertimos, la derivación de la ley de acción de masas mediante la cámara de reacción de Van´t Hoff no es, ni mucho menos, directa. A´ un as´ı, es un ejercicio que da cuenta de la riqueza de los potenciales termodinámicos. Presentamos ahora una deducción mucho más directa que conduce al mismo resultado y que, tal y como mencion´ abamos, tiene como ventaja a˜ nadida relaciona la constante de equilibrio con la variación sufrida en la reacci´ on por 0 la energ´ıa libre de Gibbs de referencia a temperatura T , ΔG . Entonces, si denominamos ΔG a la variación de la energ´ıa libre de la reacci´ on (2.12), la condición de equilibrio se puede escribir, generalizando la ecuación (2.11), como, p r μBi ΔnBi + μAi ΔnAi = 0, ΔG = i=1

i=1

umero de moles donde μCi y ΔnCi son el potencial qu´ımico y la variación en el n´ umero de de la especie Ci respectivamente. Ahora bien, la variación en el n´ moles de reactivos y productos está ligada por la estequimetr´ıa de la reacción de forma que9 , p r vi μAi = 0. ΔG = wi μBi − i=1 9

i=1

De igual modo se definen incrementos de la entalp´ıa, ΔH =

p X

wi HBi −

i=1

r X

vi HAi ,

i=1

o de la entrop´ıa, ΔS =

p X i=1

wi SBi −

r X

vi SAi ,

i=1

que miden, respectivamente, dados los reactivos, los costes de entalp´ıa y de entrop´ıa en la formaci´ on de los productos.


58

Puesto que μCi = μ0Ci + RT ln ρCi , siendo ρCi la concentracción relativa respecto al estado de referencia,

ΔG =

p

r 0

wi μBi + RT ln ρBi − vi μ0Ai + RT ln ρAi = 0.

i=1

i=1

Si denominamos ΔG0 =

p

ΔG = ΔG0 +

0 i=1 wi μBi

p

−

r

0 i=1 vi μAi

wi RT ln ρBi −

i=1

Por otro lado,

n

r

, entonces,

vi RT ln ρAi = 0.

i=1

αi RT ln ρCi

n = RT ln ραCii ,

i=1

i=1

donde αi representa el coeficiente estequiométrico de la especie Ci . De este modo, la condición de equilibrio se puede escribir como, ⎛

⎞ p wi ⎜ ρBi ⎟ ⎜ i=1 ⎟ ⎟ = 0, ΔG = ΔG0 + RT ln ⎜ r ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ρvAii i=1

o lo que es lo mismo, p i ρw Bi i=1 r

= e−

ΔG0 RT

.

(2.15)

ρvAii

i=1

Comparando (2.15) con (2.14) concluimos que, Kequilibrio (T ) = e−

ΔG0 RT

.

Cabe preguntarse de que manera var´ıa Kequilibrio (T ) con la temperatura con el fin de averiguar bajo qué condiciones térmicas se puede acelerar o decelerar una cierta reacción. El logaritmo es una función monótona as´ı pues, si


59

a la constante de el logaritmo de Kequilibrio (T ) crece o decrece también lo har´ equilibrio. De este modo, d ln Kequilibrio (T ) 1 dΔG0 ΔH 0 , =− = dT R dT RT 2 donde hemos utilizado que G = H − T S y que, Problema. El primer paso en la degradación metab´ olica de la glucosa es su fosforilaci´ on, Glucosa + Pinorg. → G6P , anico. El incremento en la energ´ıa donde Pinorg. indica un grupo fosfato inorg´ de Gibbs estándar de esta reacción es de +14kJ/mol a 37◦ C. ¿Cuánto vale la constante de equilibrio a esa temperatura? Soluci´ on. Una aplicaci´ on trivial de la ley de acción de masas da la solución, Kequilibrio (T ) = e−

ΔG0 RT

−

=e

14·103 J ·mol−1 8,31J ·K −1 ·mol−1 ×310K

S=−

dG dT

= 4,4 · 10−3 .

. P

Es decir, si una reacción es exotérmica, ΔH 0 < 0, la constante de reacción disminuye con T . Por otro lado, si la reacción es endotérmica, ΔH 0 > 0, la constante de reacción aumenta con la temperatura. Abramos un peque˜ no paréntesis para volver al caso de la reacción de isomerización. Ahora estamos en condiciones de calcular las poblaciones de equilibrio de los isómeros dada una cierta temperatura. Si particularizamos la ecuaci´ on (2.14) para la reacci´ on de isomerización, es fácil ver que en equilibrio las poblaciones de los isomeros son, n1 = n

1

, 1 + Kequilibrio (T ) Kequilibrio (T ) . n2 = n 1 + Kequilibrio (T )


60

Hemos de precisar que la condición de equilibrio qu´ımico no es estática sino din´ amica. Es decir, una vez alcanzado el equilibrio sigue habiendo reacciones de intercambio entre reactivos y productos en un sentido y en otro, pero de forma tal que los flujos quedan compensados y el n´ umero de reacciones por unidad de tiempo de izquierda a derecha en (2.12) es igual al n´ umero de reacciones de derecha a izquierda por unidad de tiempo.

Problema. Si las energ´ıas de Gibbs de formaci´ on estándar a 25◦ C del CO2 , del H2 O y del H2 CO3 son, respectivamente, −394,36kJ/mol, −228,57kJ/mol y −623,08kJ/mol, calcular el incremento de energ´ıa de Gibbs de la reacción, CO2 + H2 O → H2 CO3 , una reacci´ on habitual en el interior de los hemat´ıes. Si para esta reacción el incremento de la entalp´ıa estándar es −303,29kJ/mol, ¿cuál es el incremento de entrop´ıa? Soluci´ on. El incremento en la energ´ıa de Gibbs es, ΔG0 = −623,08kJ/mol − (−394,36kJ/mol − 228,57kJ/mol) = = −0,15kJ/mol. Por otro lado, puesto G = H − T S, −303,29kJ/mol + 0,15kJ/mol ΔH 0 − ΔG0 = = T 298K = −1,02kJ/mol.

ΔS 0 =

Podemos explicitar la condici´ on de equilibrio en estos términos del siguiente modo. La constante de equilibrio se puede expresar como,

Kequilibrio (T ) =

izquierda→derecha Kequilibrio (T ) derecha→izquierda Kequilibrio (T )

,


61

donde, derecha→izquierda (T ) Kequilibrio

=e

1 R

“P p

i=1

“ ”” B wi R+cV i −sBi

“ 1 Pr

“ ”” Ai i=1 vi R+cV −sAi

izquierda→derecha (T ) = e R Kequilibrio

·T ·T

1 −R

“P p

i=1

B

wi cV i

“ 1 Pr

Ai i=1 vi cV

−R

”

,

”

.

Entonces la frecuencia de reacciones (reacciones por unidad de tiempo) en cada sentido es, ωizquierda→derecha (T ) =

izquierda→derecha Kequilibrio

(T )

r

ρvAii ,

i=1 derecha→izquierda (T ) ωderecha→izquierda (T ) = Kequilibrio

p

i ρw Bi ,

i=1

y la condici´ on de equilibrio es simplemente, ωizquierda→derecha (T ) = ωderecha→izquierda (T ) . La ley de acción de masas dicta cuáles son las poblaciones de equilibrio de las especies pero sin embargo no nos informa sobre cómo se establece dicho equilibrio dada una condición inicial. Podemos aproximar la dinámica de relajaci´ on al equilibrio del siguiente modo. Dado un instante t, la concentración de Ai y Bi en un instante posterior t + dt será, ρAi (t + dt) = ρAi (t) + dt (ωderecha→izquierda (T ) − ωizquierda→derecha (T )) , ρBi (t + dt) = ρBi (t) + dt (ωizquierda→derecha (T ) − ωderecha→izquierda (T )) . Es decir, w v ∂ρAi (t) derecha→izquierda izquierda→derecha = Kequilibrio (T ) ρBii (t) − Kequilibrio (T ) ρAii (t) , ∂t p

r

i=1

i=1

r

p

(2.16) ∂ρBi (t) izquierda→derecha = Kequilibrio (T ) ∂t

derecha→izquierda ρvAii (t) − Kequilibrio (T )

i=1

Como vemos en el estado estacionario, ∂ρBi (t) ∂ρAi (t) = = 0, ∂t ∂t

i=1

i ρw Bi (t) .


62

se recupera la condici´ on de equilibrio de la ley de acci´ on de masas. Merece la pena destacar que las ecuaciones (2.16) no son necesariamente ciertas en lo que respecta al proceso de relajación al equilibrio ya que habitualmente hay estados transitorios intermedios entre especies que no hemos tenido en cuenta. De cualquier modo, alcanzado el equilibrio, la ley de acción de masas sigue siendo correcta independientemente de que no hayamos considerado esa posibilidad.

2.3.1.

La Hidr´ olisis del ATP: el Estado Biol´ ogico Est´ andar

Un gran n´ umero de procesos biol´ ogicos están vinculados a la hidrólisis del ATP como método para liberar energ´ıa, AT P 4− + H2 O → ADP 3− + HP O42− + H3 O+ . Si medimos ΔG0 a T = 298K, encontramos que ΔG0 = 10kJ (por mol). Es decir, es un proceso no espontáneo que requiere energ´ıa para que se pueda dar. Este resultado parece contradecir lo comentado en la introducci´ on del cap´ıtulo anterior sobre la hidr´ olisis del ATP como método controlado de obtener energ´ıa por parte de las células. La soluci´ on a esta aparente contradicción es la siguiente. Las condiciones termodinámicas estándar se corresponden con un medio de pH = 010 . Estas condiciones están muy alejadas de las condiciones biológicas habituales para las cuales pH = 7 y que denominaremos como estado biológico estándar. Con el fin de distinguir la notaci´ on de ambos estándares, para el u ´ ltimo utilizaremos el super´ındice “0 ”. En condiciones biol´ ogicas estándar, la medida de ΔG0 a T = 298K es ΔG0 = −31kJ (por mol): una reacción espont´ anea que libera energ´ıa. En las reacciones donde in tervenga el ión H3 O+ , para convertir medidas en kJ/mol entre ΔG0 y ΔG0 se utiliza la siguiente fórmula,

ΔG0 ΔG0 + a × b × 40kJ/mol, donde a es el coeficiente estequiométrico del i´ on H3 O+ en la reacción y b = 1 (−1) si se encuentra entre los productos (reactivos). En los procesos biológicos las reacciones que involucran la transferencia de nas desviaciones en las protones (iones H + ) son important´ısimas ya que peque˜ concentracciones de este ión pueden causar la muerte celular. Dicho i´ on no existe en forma libre en un medio acuoso como el de la célula y siempre parece en forma del i´ on H3 O+ . El pH por definici´ on es pH = − log ρH3 O + = 1 mol/l y pH = 0. 10

ρH O + 3 ρ0

. En condiciones termodin´ amicas est´ andar,

´ 2.4. TERMODINAMICA DE NO EQUILIBRIO

2.4.

63

Introducci´ on a la Termodin´ amica de No Equilibrio: Flujos y Fuerzas.

Dado un sistema termodinámico en equilibrio, cuando lo sometemos a una determinada transformaci´ on éste evoluciona hacia un nuevo estado de equilibrio. Tal y como hemos se˜ nalado, en la Termodin´ amica clásica las transformaciones se entienden reversibles y cuasiestáticas de forma que el sistema pasa a lo largo de una transformaci´ on por una sucesi´ on infinita de estados de equilibrio. Obviamente, las transformaciones reversibles y cuasiestaticas son idealizaciones u ´tiles pero no realistas. Los procesos f´ısicos, qu´ımicos y biológicos, por ejemplo los procesos metabólicos, son en realidad irreversibles y en general se sit´ uan fuera del equilibrio. En esta u ´ltima parte dedicada a la Termodin´ amica introduciremos algunas nociones de procesos irreversibles en su version más sencilla, la lineal. Problema. De forma global, la reacci´ on de la glicólisis se puede escribir como, C6 H12 O6 + 2N AD + + 2ADP 3− + 2HP O42− + 2H2 O → 2CH3 COCO2− + 2N ADH + 2AT P 4− + 2H3 O+ . amicas estándar el A una temperatura de 25◦ C y en condiciones termodin´ incremento de la energ´ıa de Gibbs de esta reacción es ΔG0 = −81kJ/mol. ¿Cu´ al es el valor de la energ´ıa de Gibbs en condiciones biológicas estándar? Soluci´ on. as a = 2 Puesto que el i´ on H3 O+ se encuentra en los productos b = 1 y adem´ en virtud del coeficiente estequimétrico. De este modo,

ΔG0 −81kJ/mol + 2 × 1 × 40kJ/mol = −1kJ/mol. Las variables extensivas que caracterizan un sistema están bien definidas con independencia de que se encuentre en equilibrio o no (el volumen será siempre el volumen). Sin embargo, las variables intensivas presentan problemas. Por ejemplo, ¿cómo podemos definir la temperatura de un sistema, digamos un barra, que est´ a recibiendo en una región (p.e. un extremo) energ´ıa en forma de calor y que en otra regi´ on (p.e. el otro extermo) está transfiriendo energ´ıa en forma de calor al entorno? Como primera aproximaci´ on a este tipo de

64


problemas, la Termodin´ amica lineal de los procesos irreversibles asume que localmente se verifican las condiciones de equilibrio y por tanto la validez de la Termodin´ amica clásica. Localmente viene a indicar elementos de volumen del sistema lo suficientemente grandes como para que los principios estad´ısticos en los que se fundamenta la Termodinámica clásica tengan sentido, pero también, lo suficientemente peque˜ nos como para que las variables intensivas estén bien definidas. Imaginamos entonces nuestra barra como una colección de pedacitos de barra con magnitudes intensivas termodinámicas bien definidas. La “comunicación termodin´ amica” existente entre estos subsistemas que constituyen el sistema global, introduce de una manera natural los conceptos de flujo y fuerza. As´ı, el flujo de una magnitud se define como la tasa de cambio que por unidad de tiempo y a´rea se produce a través de una determinada frontera (en general una variable extensiva). Por ejemplo, el flujo de iones a través de una membrana celular nos informa sobre cómo var´ıa con el tiempo la concentraci´ on de iones en el interior de la célula. Si existe un flujo es porque existe una fuerza que proviene de la diferencia (gradiente) de una variable, en general, intensiva. Por ejemplo, una diferencia de concentraci´ on (un gradiente) a ambos lados de una membrana celular. Cuando analiz´ abamos el mecanismo de la presi´ on osmótica hab´ıamos planteado el proceso de forma que el sistema estaba en equilibrio. La Termodin´ amica de no equilibrio puede precisamente aclararnos c´ omo se establece ese equilibrio cuando ponemos en contacto los dos subsistemas disolución-disolvente y cómo evoluciona el flujo de materia a través de la membrana semipermeable que eventualmente se cancela al alcanzarse el equilibrio. Es importante distinguir los conceptos de equilibrio y de estado estacionario. As´ı, un sistema puede alcanzar un estado estacionario sin necesidad de estar en equilibrio (ver figura 2.4). De este modo, cuando la fuerza se mantiene constante se alcanza con el tiempo un estado estacionario de no equilibrio. Por ejemplo, si sometemos a una barra a un gradiente térmico constante entre sus extremos, al cabo de un tiempo la temperatura en cada punto de la barra ser´ a constante (no variará en el tiempo aunque s´ı de punto a punto) a pesar de la presencia del flujo energético. La relaci´ on funcional m´ as simple que podemos imaginar entre causa (fuerza) y efecto (flujo) es lineal, J = φF , donde J es el flujo, F denominado coeficiente responde linealmente a fuerzas son “peque˜ nas”

(2.17)

la fuerza y φ es un coeficiente de proporcionalidad de transporte. Como vemos, se supone que el sistema la aplicaci´ on de una fuerza. Esto es sólo cierto si las y el sistema se encuentra cercano al equilibrio. A esta


A

65

B

J entrada

J salida

0

J entrada

J salida z 0

Figura 2.4: Un sistema puede alcanzar un estado estacionario sin estar en equilibrio. En el caso A la situaci´ on es estacionaria y de equilibrio: la barca tiene un nivel agua en su interior que permanece constante ya que no hay flujos de entrada, Jentrada , ni de salida, Jsalida , de agua. En el caso B la situaci´ on es estacionaria y de no equilibrio. La barca tiene en su interior el mismo nivel agua que en el caso A y éste permanece también constante si achicamos agua de forma continua. En el caso B el flujo neto (Jsalida − Jentrada ) es nulo. Incluso en la presencia de flujos netos no nulos los sistemas alcanzan un estado estacionario cuando las fuerzas que los generan son constantes. Por ejemplo, una barra sometida a un gradiente térmico constante entre sus extremos. hip´ otesis se la conoce como respuesta lineal. De este modo, podemos definir el coeficiente de transporte como, ∂J . φ = l´ım F →0 ∂F Como comentábamos, la existencia de una fuerza se explica por la existencia del gradiente de una determinada magnitud (i.e. de un “potencial”), F = −∇C, y por tanto podemos escribir (2.17) como, J = −φ∇C,

(2.18)

siendo C la magnitud de la que existe un gradiente11 . El estado estacionario se alcanza si F es constante. En el equilibrio F = 0 (C homogénea) y por tanto J = 0. En los sucesivos cap´ıtulos veremos diferentes ejemplos de flujos debidos a gradientes de diferentes magnitudes. As´ı, en el cap´ıtulo 4, al introducir la 11

En determinadas situaciones el gradiente puede no estar bien definido. Por ejemplo cuando existen diferencias abruptas de la magnitud en cuesti´ on. La fuerza en ese caso viene dada por el incremento de la magnitud, ΔC, de forma que J = φΔC.


66

Gradiente térmico

Flujo de materia

Gradiente de concentración

Flujo de energía

Figura 2.5: Un determinado flujo se puede producir por diferentes fuerzas y una fuerza puede dar lugar a diferentes flujos. Cuando varias fuerzas están presentes los flujos resultantes están acoplados. Basándose en la reversibilidad microscópica Onsager dedujo el teorema de reciprocidad para los coeficientes de los flujos acoplados (ver texto). llamada ecuación de Nernst-Planck, mostraremos cómo los gradientes de potencial electroqu´ımico generan transporte en las membranas. También, en el cap´ıtulo 7 presentaremos la ley de Fick que indica la corriente de materia que aparece debido a las diferencias de concentraci´ on.

2.4.1.

Flujos Acoplados: el Teorema de Onsager

Es posible que se produzcan flujos, de la misma variable en consideración, debido a diferentes fuerzas. Al mismo tiempo, una misma fuerza puede dar lugar a flujos de diferentes variables (Fig. 2.5). Por ejemplo, es posible establecer un flujo de materia no s´ olo debido a un gradiente de concentraci´ on sino también debido a un gradiente de temperatura (efecto Soret). Como ya sabemos, un gradiente de temperatura da lugar a un flujo de energ´ıa (calor). Adem´ as, este u ´ ltimo puede ser también generado por un gradiente de concentraci´ on (efecto Dufour). As´ı, debemos generalizar la ecuaci´ on (2.17) con el fin de incluir diferentes causas (fuerzas) y efectos (flujos) que pueden estar acoplados entre s´ı. De este modo, dada una colecci´ on de fuerzas F1 , F2 , . . . Fn éstas pueden lugar a diferentes flujos J1 , J2 , . . . Jn y escribimos, ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

J1 J2 .. .

⎞

⎛

φ11

φ12 .. .

. . . φ1n

⎟ ⎜ φ21 ⎟ ⎜ ⎟=⎜ . ⎠ ⎜ ⎝ .. Jn φn1 φn2 . . . φnn

⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

F1 F2 .. . Fn

⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠

(2.19)

´ 2.4. TERMODINAMICA DE NO EQUILIBRIO O bien, Ji =

n

φij Fj ,

67

(2.20)

j=1

donde φ es la llamada matriz de coeficientes de transporte tal que, ∂Ji . φij = l´ım Fj →0 ∂Fj F i=j =0

Problema. En una bicapa artificial de 100nm de espesor existe una diferencia de concentración de un disolvente entre un lado y otro de 10−5 moles, si se mide un flujo de disolvente de 1mol · cm−2 · s−1 a través de la bicapa ¿cuál es el valor del coeficiente de transporte? Soluci´ on. El gradiente a lo largo de bicapa es, ∇C =

moles 10−5 moles = 102 . −9 100nm × 10 m/nm m

Asi, el coeficiente de transporte es, φ=−

1mol · cm−2 · s−1 × 104 cm2 /m2 J = = 102 m−1 · s−1 . ∇C 102 mol/m

En virtud de la reversibilidad microscópica, L. Onsager propuso la llamada relaci´ on de reciprocidad o teorema de Onsager que establece que, φij = φji ∀i = j, es decir, la matriz de los coeficientes es una matriz simétrica. Tomemos el ejemplo mencionado de flujos de energ´ıa y materia debidos a gradientes térmicos y de concentraci´ on. Si llamamos JQ y JM a los flujos de energ´ıa (calor) y masa respectivamente y FM = −∇C y FQ = −∇T a las fuerzas debidas a los gradientes de concentración y de temperatura respectivamente. Entonces, la ecuaci´ on de los flujos acoplados es, φQQ φQM FQ JQ = , JM φM Q φM M FM


68

Compartimento 1

T1

G Q1

Compartimento 2

G Q1o2

G Q2

T2

Figura 2.6: Al poner en contacto dos compartimentos, que a su vez están en contacto con sendos ba˜ nos térmicos, se producen transferencias de energ´ıa entre los ba˜ nos y los compartimentos y además entre los compartimentos (flujos energéticos). El número de microestados energéticos accesibles aumenta y por tanto as´ı lo hace la entrop´ıa.

y en virtud de la relaci´ on de reciprocidad se verifica que, φQM = φM Q , es decir,

l´ım

FM →0

∂JQ ∂FM

= l´ım FQ =0

FQ →0

∂JM ∂FQ

. FM =0

O dicho de otra manera: la variaci´ on del flujo energetico en funci´ on de un gradiente de concentraci´ on cuando el gradiente térmico es nulo, es igual a la variación del flujo de masa en funci´ on de gradiente de temperatura cuando el gradiente de concentraci´ on es cero.

2.4.2.

Producci´ on de Entrop´ıa

Al someter un sistema a una situaci´ on de no equilibrio donde hay flujos, esperamos que su entrop´ıa var´ıe ya que estamos ofreciendo al sistema más microestados energéticos accesibles entre los cuales “moverse”. Cabe por tanto preguntarse cu´ al es la produci´ on de entrop´ıa y c´ omo ésta se relaciona con las distintas fuerzas y flujos presentes en el sistema. Ya sabemos que para un proceso reversible la variación de la entrop´ıa es proporcional a la variación de la energ´ıa que se transfiere mediante el calor. Tomemos ahora este ejemplo en una situación de no equilibrio para calcular la producci´ on entr´ opica. As´ı, supongamos dos compartimentos a los que ponemos en contacto con sendos ba˜ nos térmicos a temperaturas T1 y T2 tales que T1 > T2 (Fig. 2.6). Si ambos compartimentos no están en contacto y podemos asumir que los procesos son reversibles porque la temperatura de cada uno de los comparti-


69

mentos es ligeramente inferior a T1 y T2 (estamos cercanos al equilibrio), los cambios de entrop´ıa producidos en cada compartimento ser´ an, δQ1 , T1 δQ2 . dS2 = T2 dS1 =

Si ponemos en contacto ambos compartimentos existirá además una transferencia de energ´ıa (calor) del compartimento 1 al 2 puesto que T1 > T2 y as´ı, δQ1 − δQ1→2 , T1 δQ2 + δQ1→2 . dS2 = T2

dS1 =

Puesto que la entrop´ıa es una variable extensiva, la variación total de entrop´ıa en el sistema global formado por ambos compartimentos ser´ a, δQ1 δQ2 1 1 + − + δQ1→2 . dS = dS1 + dS2 = T1 T2 T2 T1 El primer término se debe a la variación externa de la entrop´ıa debido a los entornos, mientras que el segundo es la variación interna debida a la transfeon de entrop´ıa por rencia de energ´ıa entre compartimentos, dSint . La producci´ unidad de tiempo, o velocidad de producci´ on entr´ opica, es entonces, · δQ1→2 1 1 dSint = S int = − . dt dt T2 T1 Notemos que si T1 > T2 entonces δQ1→2 > 0 y 1/T2 − 1/T1 > 0, de donde la ·

velocidad de producci´ on de entrop´ıa, S int , es positiva: la entrop´ıa crece en el ·

tiempo en una situaci´ on de no equilibrio. En el equilibrio T1 = T2 y S int = 0. Esta ecuación también pone de manifiesto una importante propiedad: la velocidad de producción entr´ opica se puede escribir como el producto de un “flujo” por la “fuerza” que lo causa: ·

S int = JF . ·

(2.21)

Puesto que J = φF entonces S int = φF 2 . De este modo, el coeficiente de transporte debe ser no negativo para que, tal y como hemos mencionado, la


70

velocidad de producción de entrop´ıa sea también no negativa (positiva en una situación de no equilibrio y cero en el equilibrio). La ecuación (2.21) se puede generalizar para el caso en el cual existan no sólo un flujo y su fuerza complementaria sino un n´ umero n de ellas: por ejemplo flujos de energ´ıa y materia combinados tal y como hemos visto anteriormente. As´ı se obtiene que, n · S int = Ji Fi 0. (2.22) i=1

Utilizando la ecuaci´ on (2.20) la u ´ltima ecuaci´ on se puede escribir como, ·

S int =

n n

φij Fj Fi 0,

(2.23)

i=1 j=1

donde el signo igual es sólo cierto en el equilibrio termodinámico. Merece la pena destacar que la ecuación (2.22) es v´ alida también en procesos muy alejados del equilibrio. No ocurre as´ı con la ecuación (2.23) donde hemos supuesto una relaci´ on lineal entre flujos y fuerzas que, tal y como hemos comentado antes, es exclusivamente válida en el régimen de respuesta lineal. Tomemos a modo de ejemplo el caso de dos fuerzas y dos flujos acoplados. En este caso obtenemos que ·

S int = J1 F1 + J2 F2 0. Nótese que la condición de que la producci´ on entr´ opica sea positiva no implica que lo sea cada uno de sus miembros. Por ejemplo, puede darse el caso J2 F2 < 0 y J1 F1 > 0. Esto no viola la positividad de la velocidad de producción entr´ opica siempre y cuando J1 F1 > J2 F2 . En sistemas biológicos este tipo de compensaciones entrópicas son comunes. Por ejemplo, ocurren en el metabolismo, donde diferentes reacciones qu´ımicas de no equilibrio est´ an acopladas entre s´ı. Unas poseen una velocidad de producci´ on entr´ opica negativa mientras que otras generan una positiva tal que el resultado neto est´ a de acuerdo con (2.23). Es el caso de la s´ıntesis de la urea, un proceso altamente organizativo con velocidad de producci´ on entr´ opica negativa que se haya acoplado a reacciones de combustión de glucosa altamente desorganizativas, o la fosforilación oxidativa que mencionábamos al comienzo del cap´ıtulo anterior donde se acoplan la fosforilaci´ on del ADP a la oxidación del piruvato. Un ejemplo fuera de las rutas metabólicas lo encontramos en el transporte activo en membranas al cual nos referimos anteriormente. All´ı, los flujos de iones son tales que se


71

producen en contra de gradientes de concentraci´ on y de gradientes de potencial eléctrico (ver cap´ıtulo 4). Es decir, son procesos donde la velocidad de producci´ on entr´ opica es negativa. Sin embargo, estos flujos están acoplados a reacciones metabólicas (combustión de ATP principalmente) que de un modo neto generan una velocidad de producci´ on entr´ opica positiva. Esta lucha entre velocidades de producción positivas y negativas de entrop´ıas se da constantemente en todo ser vivo. El Segundo Principio implica que inexorablemente la velocidad de producción neta debe ser positiva. Tal y como veremos, en algunos casos (aquellos cercanos al equilibrio) la estrategia para combatir este destino es el mal menor: la producci´ on m´ınima de entrop´ıa.

2.4.3.

Minimizaci´ on de la Producci´ on Entr´ opica: Teorema de Prigogine

Hemos comentado que cuando una fuerza es constante al cabo de un tiempo se alcanza un estado estacionario. En el caso de flujos acoplados la situación es similar pero existe además una simplificaci´ on que como veremos tiene importantes implicaciones. As´ı, dadas n fuerzas independientes, si m < n de esas fuerzas son constantes entonces el sistema evoluciona hacia un estado estacionario tal que los correspondientes flujos ser´ an también constantes. Además, las n − m fuerzas restantes se hacen constantes y los n − m flujos se anulan. Veamos las consequencias de este comportamiento. Particularizando la ecuación (2.23) al caso de dos flujos acoplados encontramos que, ·

S int = φ11 F12 + (φ12 + φ21 ) F1 F2 + φ22 F22 0. Aplicando la relaci´ on de reciprocidad, ·

S int = φ11 F12 + 2φ12 F1 F2 + φ22 F22 0. Para que esta condición sea cierta para valores positivos y negativos de Fi (gradientes en un sentido u otro) se debe verificar que φ11 0, que φ22 0 (algo que ya hab´ıamos demostrado) y además que φ11 φ22 φ212 . En general se verifica que φii 0 y φii φjj φ2ij . Si F1 = F10 es constante, entonces se alcanza un régimen estacionario (de no equilibrio) tal que J1 se hace constante (y diferente de cero) y además F2 también se hace constante y el flujo J2 se anula. En lo que respecta a la


72

Sint F10 , F2

Sint F1 , F2

F10

F1

F20

F20

F2

F2 Figura 2.7: Representación gráfica del teorema de Prigogine. En un estado estacionario de no equilibrio la velocidad de producción entrópica es m´ınima (ver texto). La cruz roja indica el estado estacionario de no equilibrio mientras que la cruz azul indica el estado de equilibrio. producci´ on entr´ opica, ⎛ · ⎞

⎝ ∂ S int ⎠ = 2 φ12 F10 + φ22 F2 = 2J2 , ∂F2 F ⎛ · ⎞ 1 2 ⎝ ∂ S int ⎠ = 2φ22 0. ∂F22 F1

on entr´ opica Por tanto, si J2 = 0 (F2 = F20 = −F10 φ12 /φ22 ) la producci´ será m´ınima. Es decir, la producci´ on entr´ opica en el estado estacionario de no equilibrio es m´ınima. En la figura 2.7 hemos representado este resultado gr´ aficamente. Además, este resultado se puede generalizar para el caso de n fuerzas actuando sobre un sistema y constituye propiamente el teorema de Prigogine: Dadas n fuerzas independientes, si m < n de esas fuerzas son constantes, habr´ a m flujos estacionarios no nulos correspondientes a las fuerzas y la producci´ on de de entrop´ıa ser´ a m´ınima en el estado estacionario de no equilibrio cuando los n − m flujos restantes sean nulos.


73

Aunque el teorema es exclusivamente válido para situaciones cercanas al equilibrio, y en general los seres vivos se sit´ uan lejos de él, existen numerosos ejemplos que demuestran la aplicabilidad del teorema de Prigogine en los sistemas biol´ ogicos. Por ejemplo, en procesos ligados a la s´ıntesis del ATP.

CAPÍTULO

3

Biopol´ımeros y Cinética Enzimática

Las células están formadas por macromoléculas que proporcionan funcionalidad y estructura. En este cap´ıtulo presentaremos un subconjunto de macromoléculas de especial relevancia: los biopol´ımeros. Por definición un pol´ımero está formado por la uni´ on de unidades o bloques fundamentales: los mon´ omeros. En la célula existen una infinidad de pol´ımeros y proporcionar una descripción detallada de sus funciones y propiedades est´ a fuera del alcance de este libro. As´ı, el objetivo es presentar una imagen general que cubra diferentes aspectos relacionados con estas macromoléculas. De este modo, indicaremos primeramente su importancia biol´ ogica, y proporcionaremos cierto nivel de detalle sobre sus procesos de s´ıntesis. De especial importancia dentro de los biopol´ımeros son las prote´ınas ya que confieren funcionalidad a la célula. Genéricamente, los conceptos estructura y funci´ on están intimamente relacionados en Biolog´ıa y las prote´ınas no son una excepción. Si bien no podemos profundizar en los detalles de los procesos de plegamiento de prote´ınas, veremos como un modelo muy simple es capaz de proporcionarnos información u ´til sobre estos biopol´ımeros. Igualmente, las posibilidades estructurales de los biopol´ımeros están condicionadas por su propiedades elásticas y en este cap´ıtulo repasaremos brevemente la teor´ıa de la elasticidad aplicada a estos sistemas. La segunda mitad del cap´ıtulo está relacionada con la cinética de una clase especial de biopol´ımeros: las enzimas. Estas macromoléculas son los catalizadores conocidos más potentes y su entendimiento es cr´ıtico para el dise˜ no de f´ armacos o para la s´ıntesis industrial. De

76

´ ´ CAPÍTULO 3. BIOPOLÍMEROS Y CINETICA ENZIMATICA

2nm

DNA

Cromosoma

1400nm

11nm

Nucleosoma

Cromatina

700nm

300nm

30nm

Figura 3.1: El ADN está compactado a varios niveles: un cromosoma ocupa en longitud 105 veces menos de lo ocupar´ıa la secuencia de nucleótidos sin compactar.

este modo, revisaremos la teor´ıa cl´ asica de Michaelis-Menten y los fenómenos competitivos y cooperativos.

3.1.

Del ADN a las Prote´ınas: Breve Introducci´ on a la Biolog´ıa Molecular

La informaci´ on genética que se transmite de generación en generación, el genoma, está almacenada en un biopol´ımero: el ácido desoxiribonucleico o ADN. Los bloques fundamentales de este pol´ımero son cuatro nucleótidos (bases): adenina (A), citosina1 (C), guanina (G) y timina (T). Las bases son complementarias de forma que A se une a T mediante dos puentes de hidr´ ogeno y C se une a G mediante tres puentes de hidrógeno. De este modo, una secuencia de nucle´ otidos tiene una secuencia complementaria. La complementariedad aporta estructura y estabilidad al ADN al unirse las secuencias mediante los mencionados puentes de hidr´ ogeno (hibridaci´ on) formando una doble cadena que espacialmente tiene estructura de doble hélice, esta doble hélice es la que 1 Las citosinas pueden estar metiladas. Si bien esta modificaci´ on puede ser biol´ ogicamente relevante aqu´ı no consideraremos esta distinci´ on qu´ımica entre nucle´ otidos.

3.1. DEL ADN A LAS PROTEÍNAS

77

se conoce propiamente como ADN.

Problema. ¿Cu´ al es la secuencia complementaria de ADN de la cadena de nucleótidos ACTGGGTAC? Soluci´ on. Puesto que las bases están emparejadas A-T y C-G la sequencia complementaria es TGACCCATG.

Cada cadena del ADN posee una direccionalidad, al principio de la cadena se le denomina terminaci´ on-5´ mientras que al final se le denomina terminaci´ on3´. Los términos principio y final se refieren a la direcci´ on de lectura de la informaci´ on contenida en la secuencia de nucleótidos. La redundancia en la informaci´ on de la doble cadena tiene una doble misión. Por un lado sirve para corregir mutaciones en las secuencias y por otro sirve para transmitir la informaci´ on genética. Durante la replicación celular el ADN se separa en las dos cadenas complementarias y cada una de ellas sirve como patrón para generar su complementaria. De este modo se generan dos moléculas idénticas de ADN. El tama˜ no del genoma es enorme. En los seres humanos est´ a formado por billones de nucleótidos y está separado en 23 moléculas de ADN. La secuencia de nucle´ otidos que forma el genoma completo ocupar´ıa del orden de 1 metro lo cual supone unas 105 veces la longitud de una célula. As´ı, el pol´ımero debe empaquetarse. A intervalos regulares el ADN aparece enrollado una vuelta y media alrededor de unas prote´ınas de aspectos esférico llamadas histonas. Al conjunto de una histona y el ADN enrollado alrededor de ella se le conoce como nucleosoma. As´ı mismo, los nucleosomas están compactados uno sobre otro formando la cromatina que a su vez está compactada formando los cromosomas (Fig. 3.1). Los cromosomas se encuentran dentro del n´ ucleo celular que es donde ocurre el proceso de expresión genética o transcripción mediante el cual se sintetiza un nuevo biopol´ımero: el ácido ribonucleico o ARN.

3.1.1.

Transcripci´ on Gen´ etica

La informaci´ on contenida en el genoma est´ a organizada en genes: secuencias de nucleótidos que codifican prote´ınas. As´ı, durante la transcripci´ on, una


78

prote´ına llamada ADN polimerasa “abre” la doble hélice de ADN en la regi´ on a transcribir. Cada gen posee una región llamada promotor que especifica cómo se debe transcribir. Los llamados factores de transcripción se unen a esa región y, siguiendo sus indicaciones, la prote´ına ARN polimerasa se mueve a lo largo de la secuencia de nucle´ otidos generando una copia de la secuencia complementaria del gen, el ARN mensajero o mARN. No obstante, y a diferencia de la cadena de ADN complementaria, cuando se sintetiza el mARN, en vez de timina (T) se utiliza el uracilo (U), lo cual permite que el mARN sea estructuralmente estable en forma de una cadena sin necesidad de unirse a una complementaria como en el caso del ADN. El proceso de transcripción propiamente dicho termina aqu´ı. Como vemos, la transcripción no es más que una copia de informaci´ on de un biopol´ımero, ADN, a otro, mRNA. El proceso mediante el cual esa informaci´ on se vuelve funcional al ser traducida a otro biopol´ımero, la prote´ına, se conoce como traducción. En las células eucariotas entre la transcripci´ on y la traducción hay un paso intermedio de “purificaci´ on” del mARN conocido como splicing. Los genes eucariotas contienen trozos de secuencias que no son u ´tiles para la s´ıntesis de prote´ınas. A estos trozos no u ´ tiles se les llama intrones mientras que a los trozos de secuencias que codifican prote´ınas (´ utiles) se les conoce como exones. Mediante el splicing los intrones son eliminados y sólo se deja en el mARN la parte codificante del gen2 . Finalmente el mARN abandona el n´ ucleo y es transportado al citosol donde, con el fin de aumentar su estabilidad qu´ımica, se le a˜ nade una “cabeza” qu´ımica en la terminaci´ on-5´ y una secuencia de varios nucleótidos de adenina no codificantes en la terminaci´ on-3ćonocida como poli(A). Una vez en el citosol comienza la fase de traducción en prote´ınas.

3.1.2.

Traducci´ on Gen´ etica

Las prote´ınas son el principal constituyente de la masa celular. Mientras que en los ácidos nucleicos los monómeros son nucle´ otidos, en las prote´ınas los monómeros son aminoácidos. El n´ umero de amino´ acidos que contiene una acidos para la s´ıntesis prote´ına oscila entre 50 y 104 . Existen 20 tipos de amino´ de prote´ınas. Los aminoácidos comparten un grupo amino y un grupo carboxilo unidos por un enlace covalente conocido como enlace pept´ıdico. Por este motivo 2

Mediante el procedimiento conocido como splicing alternativo el mismo gen puede dar lugar a diferentes prote´ınas utilizando la inclusi´ on-exclusi´ on de exones. De este modo el mismo gen puede dar lugar a una media de ocho prote´ınas diferentes en el genoma humano.

3.1. DEL ADN A LAS PROTEÍNAS

79

Figura 3.2: El código genético. En esta tabla se muestra la correspondencia universal entre codones y aminoácidos que rige la traducci´ on del mARN en prote´ınas. Tomando por ejemplo como primera base (columna izquierda) la adenina, después como segunda base (fila superior) el uracilo y finalmente como tercera base (columna derecha) la guanima, vemos que este triplete (codón), AU G, codifica el aminoacido metionina (Met) que es el iniciador de traducci´ on (ver texto).

a las prote´ınas también se les llama polipéptidos 3 . El proceso de traducción de las prote´ınas funciona del siguiente modo. Una vez en el citosol el mARN es capturado por una compleja maquinaria de traducci´ on: los ribosomas. Problema. ¿Cu´ al es la secuencia complementaria de ARN de la cadena de nucleótidos ACTGGGTAC? Soluci´ on. Puesto que las bases (nucleótidos) están emparejados A-U y C-G, la secuencia complementaria es UGACCCAUG. Los ribosomas leen el mARN de tres en tres nucleótidos; a cada conjunto de tres nucleótidos se le llama cod´ on y el ribosoma traduce los codones al lenguaje de amino´ acidos. El n´ umero de posibles grupos de n elementos, que se 3 Si el pol´ımero est´ a formado por “pocos” amino´ acidos se le llama oligopéptido o simplemente péptido.

80


pueden repetir, y que son tomados de m en m, viene dado por nm , as´ı pues hay 43 = 64 posibles codones, sin embargo hemos afirmado que sólo hay 20 amino´ acidos diferentes. As´ı pues, o bien hay codones que no se corresponden con ning´ un amino´ acido o codones que se corresponden con varios aminoácidos. La soluci´ on pasa por ambas posibilidades: por un lado hay codones que corresponden al mismo aminoácido y por otro hay codones que no se traducen en amino´ acidos sino que se utilizan como se˜ nalizadores del final del proceso de traducción. En la figura 3.2 se muestran las correspondencias entre codones y aminoácidos: el código genético. Como vemos diferentes codones pueden codificar el mismo aminoácido y hay tres codones que sirven de se˜ nalizaci´ on de parada en la traducci´ on. Además existe un cod´ on, AUG, que tiene una doble funci´ on, por un lado sirve para indicar el comienzo de la traducci´ on y al mismo tiempo codifica un aminoácido, la metionina. El código genético es “universal”: todos los organismos, desde las bacterias hasta los seres humanos, utilizan esta correspondencia entre codones y aminoácidos en la traducci´ on del genoma. El proceso de traducción está mediado por otro biopol´ımero, el ARN de transferencia o tARN. El tARN consiste b´ asicamente en un aminoácido y una secuencia de las bases (A, C, G y U) donde tres de ellas, un codón, constituyen un centro activo. As´ı, el ribosoma que se ha unido al mARN empieza a traducir cuando encuentra el codón de iniciaci´ on AUG. Para ello utiliza una molécula de tARN que presenta en el centro activo el cod´ on complementario al de iniciación o anticod´ on, UAC, el cual lleva unido el aminoácido metionina, capturando el amino´ acido y liberando el tARN sin metionina. Posteriormente, el ribosoma “avanza” hasta el próximo codón y utiliza el tARN que presente el anticodón correspondiente para capturar su amino´ acido, el cual une a la metionina. De este modo el ribosoma va construyendo la cadena pept´ıdica hasta que se encuentra con alguno de los codones de fin de traducción. Con esa se˜ nal se libera la prote´ına y el mARN. A este flujo de información entre biopol´ımeros, del ADN al ADN (replicación), del ARN al mARN (transcripción) y del mARN a las prote´ınas (traducci´ on) se le conoce como el dogma central de la Biolog´ıa molécular . Una vez que el polipéptido se libera puede sufrir procesos de modificación al ser qu´ımicamente alterado. Además, las prote´ınas sufren un proceso de plegamiento en función del medio y de las interacciones que ocurren entre mon´ omeros (regidas en parte por las modificaciones qu´ımicas mencionadas). En algunas ocasiones este proceso puede ser dirigido por unas prote´ınas llamadas chaperonas. La estructura espacial del biopol´ımero condiciona su funcionalidad al exponer los llamados centros (sitios) activos: lugares de la prote´ına que sirven para interaccionar con el medio celular y desarrollar as´ı su funci´ on.

3.2. SÍNTESIS DE BIOPOLÍMEROS

81

En funci´ on del plegamiento que sufren, se pueden distinguir dos grandes clases de prote´ınas: las filamentosas y las globulares. Problema. Si un ribosoma encontrase la siguiente secuencia de bases en un ARN, GCAUGACGCGUGGGUGAGU, ¿qué cadena pept´ıdica le corresponder´ıa de acuerdo con la figura 3.2? Soluci´ on. El ribosoma empezar´ıa a traducir cuando encuentre el codón de inicio, AUG, y hasta que se encuentre con alguno de los tres codones de final de traducción, UAA, UAG o UGA. As´ı pues, del codón de inicio y hasta el cod´ on de paro, podemos separar la secuencia en codones como, ..AUG-ACG-CGU-GGG-UGA, que se corresponde con la cadena pept´ıdica, Met-Thr-Arg-Gly.

3.2.

S´ıntesis de Biopol´ımeros

Restringiéndonos a los biopol´ımeros con enlace covalente (p.e. el ADN), su s´ıntesis (polimerización) se produce por una reacci´ on de condensaci´ on en la cual los componentes de una molécula de agua se toman de los monómeros que se u ´ nen. Por el contrario, la adici´ on de agua, hidr´ olisis, genera la separación de mon´ omeros (Figura 3.3). Las reacciones de condensación son energéticamente desfavorables, ΔG > 0, mientras que las de hidr´ olisis son energéticamente favorables, ΔG < 0. La forma de obtener la energ´ıa necesaria para la polimerización proviene, genéricamente, de la hidrólisis del ATP que produce su desfosforilaci´ on y libera la energ´ıa del enlace qu´ımico. on de un mon´ omeDado un pol´ımero formado por n mon´ omeros, Pn , la adici´ on qu´ımica ro, P1 , se puede escribir de un modo simplificado en forma de reacci´ como, Pn + P1

kasociación

kdisociación

Pn+1 ,

82


on donde kasociación es la tasa de reacción y donde hemos incluido en la descripci´ la reacción inversa, substracción de un mon´ omero a un pol´ımero Pn+1 , con una umero de mon´ omeros que se unen al pol´ımero tasa de reacción kdisociación . El n´ por unidad de tiempo ser´ a proporcional a la concentraci´ on de monómeros libres ρP1 . Por otro lado los monómeros se disocian del pol´ımero a un ritmo constante kdisociación . En el equilibrio, ρP1 kasociación = kdisociación .

(3.1)

A la concentración de monómeros ρP1 tal que se verifica la ecuación (3.1) se le llama concentración cr´ıtica y establece la fase de saturación de crecimiento del biopol´ımero. Dicha concentraci´ on tiene una relaci´ on directa con las constantes de equilibrio de la reacción de s´ıntesis ya que, Kequilibrio (T ) = kasociación /kdisociación = (ρP1 )−1 .

(3.2)

Problema. A una temperatura de 37 grados cent´ıgrados se introduce un biopol´ımero en una disoluci´ on compuesta por sus monómeros. En ese momento se observa una polimerización que hace crecer el pol´ımero hasta que la tasa de asociación on es de 4 · 10−4 s−1 . ¿Cuál es el valor es de 10−2 M −1 · s−1 y la de disociaci´ de la constante de equilibrio a esa temperatura?, ¿cuál es la concentración cr´ıtica de monómeros a esa temperatura? Soluci´ on. Utilizando la ecuaci´ on (3.2), Kequilibrio (T ) =

kasociación 10−2 M −1 · s−1 = = 25M −1 . kdisociación 4 · 10−4 s−1

De donde la concentración cr´ıtica es, ρc =

1 1 = 4 · 10−2 M . = Kequilibrio (T ) 25M −1

Un pol´ımero puede crecer en principio por ambos extremos. As´ı, se habla de polimerización de cabeza o de cola. En la primera, utilizada en la s´ıntesis de prote´ınas, el enlace reactivo utilizado en la condensación se sit´ ua al final del pol´ımero que crece y debe ser regenerado cada vez que se a˜ nade un mon´ omero.

3.3. FILAMENTOS PROTEÍNICOS

83

H 2O

A

H + OH

B

A

B

Figura 3.3: Reacción de condensación. Mediante la unión de dos monómeros se libera una molécula de agua y se produce la uni´ on. Esta reacción es termodinámicamente desfavorable y precisa del aporte energético del ATP para que ocurra. La reacción inversa que produce la despolimeración se conoce como hidrólisis.

En la polimerizaci´ on de cola, utilizada en la s´ıntesis del ADN y el ARN, el enlace reactivo que porta el monómero se utiliza para producir la unión al pol´ımero que crece directamente. De este modo, y dado que la reacción qu´ımica completa es diferente en ambos extremos, habrá dos concentraciones cr´ıticas de monómeros que en general son diferentes. Cuando se alcanza el equilibrio hay un estado estacionario en lo que se refiere a la longitud del pol´ımero, pero es dinámico en el sentido de que, si marcamos un mon´ omero, observaremos que éste se “desplaza” a lo largo del pol´ımero hasta que es disociado. A este fen´ omeno se le conoce como treadmilling.

3.3.

Filamentos Prote´ınicos

Las células deben ser capaces de organizar su estructura y componentes internos para adaptarse a su crecimiento, división, etcétera. Además, deben ser capaces de cambiar su forma y de moverse en el medio extracelular. Todas estas tareas suponen un conjunto de funciones mec´ anicas que dependen de un intrincado sistema de filamentos conocido como citoesqueleto. El citoesqueleto es, por ejemplo, el encargado de separar los cromosomas durante la mitosis para posteriormente dividir la célula en dos y también de regular el transporte intracelular de substancias necesarias para el funcionamiento celular (Figura 3.4). Podemos distinguir tres principales tipos de filamentos en el citoesqueleto. Los filamentos intermedios tienen un di´ ametro de unos 10 nm y proporcionan a la célula la resistencia mecánica necesaria para soportar las tensiones que se generan al deformarse. Por otro lado, los microt´ ubulos mantienen la posici´ on de diferentes organelos dentro de la célula. Además, se encargan del transporte intracelular. Estos filamentos poseen un di´ ametro de unos 25 nan´ ometros. Finalmente, los filamentos de actina, o microfilamentos, son los que se encargan de dar forma a la célula y además son necesarios para su movimiento. Su

84


Figura 3.4: El citoesqueleto da estructura y funcionalidad a las células. En la imagen de la izquierda podemos observar el intrincado sistema de filamentos que conforman el citoesqueleto. En la imagen de la derecha se muestra un detalle del mismo. di´ ametro oscila entre los 5 y los 9 nanómetros. Como vemos, cada uno de ellos posee diferentes propiedades y funciones. Sin embargo todos ellos comparten ciertos principios, entre ellos el nivel de organizaci´ on. Los filamentos que forman el citoesqueleto son agrupaciones de biopol´ımeros cuyos monómeros son otros biopol´ımeros: prote´ınas. Es decir, son biopol´ımeros de biopol´ımeros de biopol´ımeros, un perfecto ejemplo de cómo la complejidad biol´ ogica surge de la cooperación de unidades simples. Este nivel de complejidad se alcanza mediante un compromiso entre funcionalidad y estabilidad. A diferencia con el ADN, el ARN y las prote´ınas, cuyos enlaces entre monómeros son enlaces fuertes, en el caso de los filamentos prote´ınicos los monómeros están unidos por interacciones covalentes débiles. De este modo, se pueden ensamblar y desensamblar rápidamente lo que hace que los filamentos sean dinámicos y adaptables a sus funciones. El precio que hay que pagar por esta facilidad a la hora de ensamblarse es que una cadena lineal larga es térmicamente inestable: no posee la fuerza suficiente como para soportar sin romperse la energ´ıa térmica del entorno. La soluci´ on de compromiso es la autoorganizaci´ on. As´ı, los filamentos prote´ınicos que conforman el citoesqueleto se generan uniendo cadenas lineales de biopol´ımeros de prote´ınas: protofilamentos. T´ıpicamente podemos distinguir tres tipos de organización en los protofilamentos. En el caso de los microfilamentos dos biopol´ımeros de actina se enrollan uno alrededor de otro formando hélices que, en un nivel de organizaci´ on superior, pueden crear redes bidimensionales o geles tridimensionales. Por otro lado, en los microt´ ubulos los biopol´ımeros de tubulina se unen formando cilindros huecos. Finalmente, en los filamentos intermedios, que están constituidos por biopol´ımeros de una familia hetereogénea de pro-

3.4. POLÍMEROS GLOBULARES

85

y

'L 1 x

r17

17

Figura 3.5: Un caminante aleatorio (punto rojo) en una red bidimensional. En cada salto el caminante salta de un punto de la red a otro contiguo recorriendo una distancia ΔL. El vector r17 indica la distancia recorrida al cabo de 17 saltos.

te´ınas, los protofilamentos se unen formando una “cuerda” de gran resistencia.

3.4.

Pol´ımeros Globulares: El Caminante Aleatorio

Analizando un problema “simple” podemos deducir alguna propiedad interesante de los pol´ımeros globulares en general y de las las prote´ınas globulares en particular. Supongamos entonces una red tridimensional donde tenemos una part´ıcula que va saltando aleatoriamente de un lugar de la red a uno contiguo: un caminante aleatorio. Para simplificar supondremos que inicialmente el → caminante se encuentra en el origen de coordenadas con posición − r 0 = (0, 0, 0) y que el espacio es discreto de forma que la distancia que nuestro caminante salta cada vez sea ΔL (Figura 3.5). Bajo estas premisas, al cabo de N saltos la posición del caminante será, − → r N = ΔL ·

N

→ → → (kix − e x + kiy − e y + kiz − e z) ,

i=1

donde, − → e x = (1, 0, 0) , → − e y = (0, 1, 0) , → − e = (0, 0, 1) , z

umeros aleatorios que pueden valer +1 o −1 con probabiliy kix , kiy y kiz son n´ dad 1/2. Evidentemente este resultado no nos dice mucho puesto que al ser un


86

→ proceso aleatorio − r N puede ser “cualquier” posición, sin embargo podemos

2 , calcular promedios estad´ısticos. Una cantidad interesante de estimar es rN donde · indica la operaci´ on promedio en experimentos, que proporciona informaci´ on sobre lo que se dispersa el caminante en su errático paseo. → → 2 , r N = rN Puesto que − rN ·−

2 = rN

ΔL ·

= ΔL · 2

N

− → → (kix → e x + kiy − e y + kiz − e z)

i=1 N

→ (kix − ex

+

→ kiy − ey

+

2

→ kiz − e z) ·

i=1

= N y− → → → x− z− kj e x + kj e y + kj e z = j=1

N N y y 2 x x z z ki kj + ki kj + ki kj . = ΔL · i=1 j=1

Podemos separar la u ´ ltima doble suma en las parejas con j = i y con j = i; de este modo, N

2 y 2 2 x 2 z 2 (ki ) + (ki ) + (ki ) + rN = ΔL · + ΔL2 ·

i=1 N

kix kjx +

kiy kjy

+ kiz kjz

.

i=1 j=i

Independientemente del signo de ki , (ki )2 = 1. Por otro lado las parejas ki kj toman un valor +1 la mitad de los casos (si las k s tienen el mismo signo) y −1 en la otra mitad (si las k s tienen signos opuestos) de forma que en promedio ki kj = 0. De este modo,

2 rN = ΔL2 · 3N . O lo que es lo mismo, en promedio, la distancia recorrida al cabo de N saltos es, √ 2 = ΔL 3N . (3.3) rN En el contexto que nos ocupa en este cap´ıtulo, lo relevante de este cálculo es que lo podemos aplicar para calcular el tama˜ no caracter´ıstico de un biopol´ımero. Para ello imaginemos que el pol´ımero está formado por N mon´ omeros y que la distancia del enlace qu´ımico entre monómeros es ΔL. En ese caso, si


87

asumimos que cada enlace está orientado aleatoriante en el espacio, el pol´ımero presentar´ a el aspecto de un ovillo y su tama˜ no caracter´ıstico, la distancia promedio de extremo a extremo, vendrá dado por la ecuaci´ on (3.3): el tama˜ no caracter´ıstico de un biopol´ımero globular crece con la ra´ız cuadrada del n´ umero de mon´ omeros. Esta aseveraci´ on pasa por una serie de suposiciones. La primera, que los monómeros “escogen” aleatoriamente la dirección hacia la cual apunta su enlace qu´ımico. Esta suposición no es necesariamente cierta ya que que en situaciones de densidad elevadas o si las interacciones entre monómeros o con el medio circundante son relevantes existirá un sesgo en la orientación del enlace. Además, hemos obviado en el cálculo el hecho de que dos monómeros no pueden ocupar el mismo lugar a la vez (algo que si puede ocurrir con nuestro caminante aleatorio al pasar por el mismo lugar en tiempos diferentes) y eso introduce correcciones al cálculo.

Problema. omeros. ExperimenUn determinado biopol´ımero está formado por 102 mon´ talmente se comprueba que dispone de una estructura globular que ocupa un volumen de 200nm3 . ¿En qué rango de los siguientes podemos situar la distancia entre monómeros? a) (0,01 − 0,1) nm b) (0,1 − 1) nm c) (1 − 10) nm Soluci´ on. Utilizando el dato del volumen podemos calcular el radio del biopol´ımero, V =

4 3 πR , 3

de donde, R = 3,63nm. Utilizando la ecuaci´ on (3.3) podemos estimar la distancia entre mon´ omeros como, R = 0,21nm, ΔL = √ 3N de donde la respuesta correcta ser´ıa b).


88

El modelo del caminante aleatorio es también u ´til para describir el comportamiento de peque˜ nas part´ıculas en suspensión en un fluido; el llamado movimiento browniano4 . En el seno del fluido, las moléculas están en perpetuo movimiento (agitaci´ on térmica) y una part´ıcula en suspensi´ on recibe “golpes”continuamente. Como resultado ésta se mueve aleatoriamente sin dirección aparente. En promedio recibir´ a golpes de todas direcciones por igual y por tanto su desplazamiento medio neto será nulo: rN = 0. Sin embargo, cuanto más tiempo transcurre (cuantos da), puede explorar más espacio y as saltos

2m´ = ΔL2 3N ). Si entre salto y salto transcuacceder a sitios más remotos ( rN rre un tiempo Δt, al cabo de N saltos el tiempo transcurrido sera t = N · Δt, de donde el desplazamiento cuadratico medio en función del tiempo será,

2 ΔL2 · 3t. rt = Δt En el l´ımite continuo tal que ΔL → 0 y Δt → 0, pero de forma que ΔL2 /Δt → constante, hablamos de un proceso difusivo donde la constante es proporcional al coeficiente de difusión D. La difusi´ on desempe˜ na un papel relevante en numerosos procesos biológicos tal y como veremos en los sucesivos cap´ıtulos. Teorema de Fluctuaci´ on-Disipaci´ on De acuerdo con la discusi´ on anterior, una part´ıcula inmersa en un fluido experimenta una agitaci´ o n

perpetua de forma que su dispersión aumenta linealmente en el tiempo, rt2 = αt, ¿podemos calcular de alguna manera este coeficiente de proporcionalidad? realizando el experimento

Evidentemente, on del tiempo: la cuidadosamente podemos medir rt2 y representarlo el funci´ pendiente de esta recta nos dará α. Sin embargo, si cambiamos la temperatura del fluido o la part´ıcula deberemos repetir el experimento ya que el coeficiente α depende de la agitación molecular (temperatura) y de otras caracter´ısticas del fluido y de la part´ıcula. ¿De qué manera podemos relacionar esta cantidad con las caracter´ısticas del experimento? De momento supondremos que el movimiento de la part´ıcula se realiza exclusivamente en una dimensi´ on espacial. La part´ıcula en el fluido esta sometida a una fuerza de fricci´ on debida al fluido que es proporcional a su velocidad5 , −μv, y a una fuerza aleatoria debida a la 4

El movimiento browniano fue bautizado as´ı en honor de R. Brown, el bot´ anico que al observar el polen descubri´ o el azaroso movimiento de las part´ıculas coloidales en suspensi´ on en un fluido. 5 N´ otese que el coeficiente de fricci´ on se puede medir. Por ejemplo dejando caer una part´ıcula del mismo material pero con m´ as masa en un campo gravitatorio. Es estas con-


89

agitaci´ on térmica, F , de forma que, ma = −μv + F . O bien, m

dx d2 x + F. = −μ dt2 dt

(3.4)

Multiplicando la ecuaci´ on (3.4) por x, mx

dx d2 x + F x. = −μx 2 dt dt

Notamos ahora que,

x

d2 x dt2 dx2 dt

=

d dt

= 2x

x

dx dt

2

−

dx dt

=−

μ dx2 + F x. 2 dt

,

dx , dt

de forma que, m

d dt

dx x dt

−

dx dt

2

Si promediamos esta ecuación, encontramos que F x = 0 puesto que la fuerza aleatoria no está correlacionada con la posición de la part´ıcula y dada una posición x existe la misma probabilidad de que la fuerza la empuje a la derecha que a la izquierda con la misma intensidad. Igualmente d (xdx/dt) /dt = d xdx/dt /dt = 0 ya que posici´ on y velocidad de la part´ıcula están descorrelacionadas. De este modo, m

dx dt

2

μ = 2

dx2 dt

.

diciones las fuerzas aleatorias son despreciables frente a la fuerza gravitatoria, la part´ıcula alcanza una velocidad de caida estacionaria y μ = mg/v.


90

Ahora bien6 ,

m

De este modo,

dx dt

dx2 dt

2 = 2 Ec = kB T .

=

d 2 2kB T x = , dt μ

de donde,

2 2kB T t. x = μ Al generalizar este resultado a tres dimensiones obtenemos finalmente,

2 6kB T t. rt = μ La importancia de este resultado es much´ısimo mayor de la aparentemente tiene. Tal y como hemos mencionado podemos medir el coeficiente α y también μ y la temperatura T , de forma que podemos estimar el valor de la constante de Boltzmann kB y ah´ı reside la importancia de este cálculo puesto que seg´ un hab´ıamos visto en el cap´ıtulo 1, kB = R/NA y R se puede medir en un “simple” experimento termodinámico. As´ı pues mediante un experimento con un caminante aleatorio podemos estimar el n´ umero de Avogadro y por tanto medir el n´ umero de moléculas presentes en una determinada cantidad de masa y estimar su tama˜ no. El c´ alculo realizado es un ejemplo del teorema de fluctuación-disipación sobre el cual hablamos brevemente en el cap´ıtulo 1 y que de un modo m´ as general establece una relación entre la respuesta de un sistema debido a una perturbaci´ on externa y las fluctuaciones internas del sistema en ausencia de la perturbación. 6

Recordamos que de acuerdo con la Teor´ıa Cinética (cap´ıtulo 1), Ec =

3 kB T . 2

Al considerar aqu´ı s´ olo una dimensi´ on espacial, Ec =

1 kB T . 2

3.5. ELASTICIDAD Y BIOPOLÍMEROS Alargamiento (compresión)

91

'L

Torsión

'I

Doblamiento

'z

Figura 3.6: Deformaciones simples.

3.5.

Elasticidad y Biopol´ımeros

En esta sección tomaremos un punto de vista diferente para estudiar algunas propiedades de los biopol´ımeros. Supondremos que tratamos con pol´ımeros con un n´ umero elevado de mon´ omeros de forma que a escalas mucho m´ as grandes que la distancia entre monómeros podemos suponer que nuestro biopol´ımero es un continuo, una cuerda, que podemos caracterizar por par´ ametros habituales utilizados en teor´ıa de la elasticidad. Esta imagen es cierta, por ejemplo, para el ADN o filamentos prote´ınicos que a lo largo de esta secci´ on supondremos cilindros de longitud L tal que L a, siendo a el radio. La elasticidad trata de estudiar el comportamiento de sustancias que tienen la propiedad de recuperar su forma y tama˜ no cuando las fuerzas aplicadas que producen deformaciones se eliminan. Genéricamente, las deformaciones que podemos aplicar son tres: alargamiento (compresión), torsi´ on y doblamiento (Figura 3.6). El alargamiento es la más simple de las deformaciones. Al aplicar una fuerza de magnitud F a uno de los extremos, estirando, observaremos que la longitud se incrementa en una cantidad ΔL (la compresión es equivalente al alargamiento pero de signo opuesto). Para estiramientos suficientemente peque˜ nos la fuerza es proporcional a la extensi´ on, la llamada ley de Hooke, F ∝ ΔL. Se puede argumentar muy fácilmente que la extensión depende de la longitud L ya que si tuviésemos dos cilindros unidos, al aplicar la fuerza cada uno de ellos se alargar´ıa una cantidad ΔL. Por ese motivo, es preferible trabajar con la raz´ on adimensional ΔL/L, conocida como deformaci´ on espec´ıfica. Del mismo modo podemos argumentar que debe existir una dependencia con el área del cilindro, o mejor dicho con la sección eficaz A = πa2 : para producir

92


el mismo alargamiento en un cilindro con más sección eficaz necesitaré más fuerza. De este modo, llegamos a, F = Y · πa2 ·

ΔL , L

(3.5)

donde Y es una propiedad que depende del material, del pol´ımero, conocida como m´ odulo de Young, y que indica lo fácil o dif´ıcil que es deformar un material al aplicarle una fuerza. A la fuerza por unidad de area, F/A se le llama esfuerzo. Cuando un material se estira, se observa que se contrae al mismo tiempo a lo largo de las direcciones perpendiculares al estiramiento. La proporción que se contrae el radio es proporcional a ΔL/L, ΔL Δa = −σ . a L

(3.6)

El signo menos indica los signos opuestos de ambos efectos: cuando existe un estiramiento del material aparece una compresión. A la constante de proporcionalidad, σ, se le llama raz´ on de Poisson. Al igual que cuando aplicamos una fuerza ésta provoca un estiramiento, cuando aplicamos un torque este genera un desplazamiento angular. Causa y efecto están relacionados por la siguiente formula,

τ =χ·

πa4 Δφ · , 2 L

donde Δφ es el angulo de torsi´ on y,

χ=

Y , 2 (1 + σ)

es el m´ odulo de torsi´ on o coeficiente de rigidez. Es también habitual llamar a la cantidad Δφ/L densidad de torsi´ on.

3.5. ELASTICIDAD Y BIOPOLÍMEROS

93

Problema. Mediante la utilizaci´ on de unas pinzas ópticasa , una cadena polimérica es sometida a un esfuerzo de 10pN/nm2 (1pN = 10−12 N ) y la deformación espec´ıfica obtenida es de 10−2 , ¿cuánto vale el módulo de Young del pol´ımero? Si la raz´ on de Poisson es σ = 10−3 y el radio de pol´ımero es de 1nm, ¿cuál ha sido la variaci´ on de su radio como consecuencia de la fuerza aplicada? Soluci´ on. Despejando Y de la ecuaci´ on (3.5), Y =

F L F ·L = · = 103 pN/nm2 . A · ΔL A ΔL

Por otro lado, utilizando (3.6), la variaci´ on que se genera en el radio es, Δa = −σ · a ·

ΔL = −10−5 nm. L

a

Las pinzas ´ opticas son dispositivos que por medio de luz láser atrapan part´ıculas dieléctricas para su manipulaci´ on.

Si aplicamos al extremo de un cilindro una fuerza de magnitud F en una dirección perpendicular mientras el otro extremo queda fijo, se produce un doblamiento de magnitud Δz. La relación entre ambas magnitudes viene dada por, 3πa4 Δz . · F =Y · 4L2 L Puesto que L/a 1 es fácil ver que la deformaci´ on que sale más “barata” en términos de la fuerza que tenemos que aplicar para generar el mismo desplazamiento es precisamente el doblamiento. Tomemos por ejemplo el cociente entre las fuerzas a aplicar para generar un alargamiento y un doblamiento de la misma magnitud en el mismo material, Falargamiento ∼ Fdoblamiento

2 L

1, a

El mismo resultado obtenemos al comparar la fuerza necesaria para generar una torsi´ on y un doblamiento en los biopol´ımeros. Por este mismo motivo, el doblamiento es la deformación que sale más barata energéticamente hablando.

94


Problema. Dados dos microfilamentos de la misma prote´ına tal que el radio de uno es el doble que el otro, ¿cómo debe ser su relación de longitudes para que aplicando el mismo torque a uno de ellos se produzca el mismo desplazamiento angular? Soluci´ on. Para el primero de los filamentos, τ1 = χ ·

πa4 Δφ · , 2 L

mientras que para el segundo, τ2 = χ ·

π (2a)4 Δφ · . 2 L

Igualando ambas expresiones, τ1 = τ2 , (2a)4 a4 = , L L de donde L = 16L, es decir, el microfilamento debe ser 16 veces más largo. Los biopol´ımeros están recibiendo un aporte energético constante del medio circundante. La energ´ıa térmica proviene de las moléculas que rodean el pol´ımero, agua principalmente, que se encuentran en agitación y que constantemente están transfieriendo energ´ıa al pol´ımero al chocar con él. A temperatura ambiente la energ´ıa térmica es 4 · 10−21 J ¿es suficiente esta energ´ıa como para producir una deformaci´ on en el biopol´ımero? Para dar respuesta a esta pregunta definimos la longitud de persistencia de un biopol´ımero de radio a y módulo de Young Y como, lp =

Y · a4 . 4 · 10−21 J

El significado de lp es el siguiente. Imaginemos un biopol´ımero como una varilla flexible sometida a golpecitos que la agitan de una manera aleatoria. Si nos fijamos en cualquier punto de la varilla en un instante, éste estará apuntando a una determinada direcci´ on y los puntos “cercanos” estarán también apuntando, m´ as o menos, hacia la misma dirección. La longitud de persistencia cuantifica el adjetivo “cercano” de la frase anterior. Por tanto, a mayor

3.6. LA TEORÍA DE MICHAELIS-MENTEN

95

longitud de persistencia m´ as dif´ıcil es doblar el pol´ımero mediante la energ´ıa térmica. Por debajo de lp podemos considerar el biopol´ımero como r´ıgido. Dicho de otra manera, el cociente lp /L indica lo r´ıgido de un biopol´ımero respecto de las fluctuaciones térmicas. En el caso del ADN la longitud de persistencia es lp 50nm ( L) lo cual indica que el ADN es fácil de doblar utilizando la energ´ıa térmica y explica la facilidad para empaquetarlo de la que hablamos on es la al principio del cap´ıtulo. Otro ejemplo que liga claramente lp y funci´ actina que posee una longitud de persistencia de lp 10μm, es decir, aproximadamente un di´ ametro celular, lo cual explica que mantenga la estructura celular. Problema. La relaci´ on entre el n´ umero de pares de bases, N , y la longitud del ADN, L, se puede estimar mediante la fórmula, N = L/0,34nm. Por otro lado, cada paso de espiral en la doble hélice se produce cada 10,5 pares de bases. Estimar con estos datos la densidad de torsión acumulada en cada paso de hélice del ADN. Soluci´ on. En un paso de hélice el desplazamiento angular es 2π (una vuelta) y eso sucede para 10,5 pares de bases. Por otro lado, la longitud que ocupan esos 10,5 pares es, L = 10,5 · 0,34nm = 3,57nm, de donde la densidad de torsi´ on acumulada en cada paso de hélice del ADN es, 2π Δφ = = 1,76nm−1 . L 3,57nm En el cap´ıtulo 5 volveremos a hablar de la elasticidad, pero esta vez en un contexto completamente diferente en lo que a la escala se refiere. As´ı, veremos la importancia de los fenómenos elásticos en la Biomecánica del cuerpo humano.

3.6.

Cin´ etica Enzim´ atica: la Teor´ıa de MichaelisMenten

Pr´ acticamente la totalidad de las reacciones qu´ımicas que suceden en la célula involucran la actuaci´ on de un biopol´ımero, en particular de prote´ınas

96


conocidas como enzimas y que act´ uan cómo catalizadores. La catálisis biol´ ogica presenta dos singularidades respecto de otros procesos catal´ıticos de la Qu´ımica. En primer lugar, en condiciones biológicas estándar, son excepcionalmente eficientes. En segundo lugar, act´ uan selectivamente mediante su uni´ on con especies moleculares conocidas como ligandos (sustrato) para generar productos. As´ı, un u ńico biopol´ımero enzimático es capaz de transformar entre 3 6 10 y 10 moléculas de ligando por minuto. La teor´ıa de Michaelis-Menten describe apropiadamente la mayor´ıa de las reacciones controladas enzimáticamente. La reacción enzimática más sencilla que podemos imaginar es aquella donde u ´ nicamente interviene un tipo de enzima, E, y un tipo de sustrato, S, reaccionando reversiblemente para dar un compuesto, C, k+1

E + S C,

(3.7)

k−1

Posteriormente, de forma irreversible7 , el compuesto libera la enzima utilizada como catalizador y el producto, P , k+2

C → E + P.

(3.8)

Habitualmente las cantidades de reactantes y productos se expresan en funci´ on de su concentraci´ on en la disoluci´ on m´ as que en cantidades absolutas. Cuando las concentraciones se expresan en moles por kilogramos de disolvente hablamos de molalidad mientras que cuando nos referimos a moles por litro de disolución hablamos de molaridad. La ventaja de la primera medida frente a la segunda es la siguiente. Tal y como hemos visto en los cap´ıtulos anteriores, el volumen de una disolución depende de la presi´ on y la temperatura y por tanto la molaridad es funci´ on de estas variables termodinámicas mientras que la molalidad no. Si denotamos con las letras e, s, c y p las concentraciones de las especies indicadas, la ley de acción de masas aplicada a (3.7) y (3.8) nos indica que la

7 La Termodin´ amica establece que la reacci´ on E + P → C debe existir. Sin embargo, en la pr´ actica la constante de reacci´ on es tan peque˜ na que podemos despreciarla.


97

variación con el tiempo de estas cantidades viene dada por, ds dt de dt dc dt dp dt

= −k+1 e · s + k−1 c,

(3.9)

= −k+1 e · s + (k−1 + k+2 ) c,

(3.10)

= k+1 e · s − (k−1 + k+2 ) c,

(3.11)

= k+2 c.

(3.12)

Además, asumimos que inicialmente s´ olo disponemos de enzima y sustrato, s (t = 0) = s0 , e (t = 0) = e0 , c (t = 0) = 0, p (t = 0) = 0. El conjunto de ecuaciones (3.9-3.12) puede ser simplificado ya que, d (e + c) de dc + = = 0, dt dt dt lo cual implica que la cantidad e (t)+c (t) no var´ıa en el tiempo. Este resultado no debe extra˜ narnos puesto que la cantidad de enzima se encuentra o bien en forma libre, e (t), o en el compuesto, c (t), y as´ı, salvo que haya procesos de degradación o aportemos más enzima mientras se forma el producto, la cantidad de enzima disponible es una constante. En particular esta cantidad será igual a la que disponemos en el instante inicial e (t) + c (t) = e0 y de este modo podemos eliminar bien la variable e o la variable c de las ecuaciones (3.9-3.12). Eliminando la variable e (t) = e0 − c (t), el sistema queda reducido a, ds = −k+1 (e0 − c) · s + k−1 c, dt dc = k+1 (e0 − c) · s − (k−1 + k+2 ) c, dt dp = k+2 c. dt

(3.13) (3.14) (3.15)

98


Problema. Se disuelven 12g del az´ ucar C12 H22 O11 en 200ml de H2 O (densidad 1g/cm3 ) de forma que la disoluci´ on posee una densidad de 1,022g/cm3 , ¿cuál es la molalidad y la molaridad de la disoluci´ on? Soluci´ on. Primeramente necesitamos calcular el n´ umero de moles de soluto (az´ ucar). Consultando la tabla peri´ odica encontramos que 1 mol de C12 H22 O11 pesa 342g. De este modo, n´ umero de moles de C12 H22 O11 = 12g ×

1mol = 0,0351moles. 342g

La masa de agua es simplemente (1cm3 = 1ml), masa=densidad × volumen=1g/cm3 × 200cm3 = 200g = 0,2kg, de forma que la molalidad será, molalidad =

0,0351moles 0,18 molal (m). 0,2kg

Por otro lado el volumen de disoluci´ on es, volumen=

200g + 12g masa = = 207,4cm3 = 0,2074l, densidad 1,022g/cm3

y la molaridad es, molaridad =

0,0351moles 0,17 molar (M ). 0,2074l

Examinando (3.7) y (3.8) el resultado que esperamos es que si dejamos transcurrir suficiente tiempo todo el sustrato quede transformado en producto y la enzima quede libre para catalizar nuevas reacciones. Efectivamente, el estado estacionario de las ecuaciones (3.13-3.15) nos indica que, s (t → ∞) = 0, e (t → ∞) = e0 , c (t → ∞) = 0, p (t → ∞) = s0 .


99

v0 V

V /2

s0

Km

Figura 3.7: Comportamiento de la velocidad de reacción en función de la concentración de sustrato de acuerdo con la ecuación de Michaelis-Menten (3.20). V es la velocidad de reacción máxima.

No obstante, la pregunta relevante en Bioqu´ımica no es tanto cuál es el estado estacionario sino la dinámica que nos lleva a él: la velocidad de reacción. Esta información nos indica lo r´ apida o lenta que transcurre una determinada reacción enzimática en funci´ on de las concentraciones de enzima y de sustrato en nuestro sistema. Para dar respuesta a esta pregunta debemos resolver el conjunto de ecuaciones diferenciales (3.13-3.15) en funci´ on del tiempo. De hecho basta con resolver las ecuaciones acopladas (3.13) y (3.14) puesto que conocida c (t) la cantidad de producto se obtiene por integraci´ on mediante (3.15), t

c t dt . p (t) = k+2 0

3.6.1.

La Hip´ otesis del Estado Cuasiestacionario

Para resolver las ecuaciones (3.13) y (3.14) utilizaremos la hipótesis cuasiestacionaria; para ello adimensionalizaremos por un momento las ecuaciones utilizando las siguientes definiciones, t˜ = k+1 · e0 · t, s˜ =

s s0 ,

c˜ =

c e0 ,

es decir, referimos la concentración de sustrato a su concentraci´ on inicial y la de compuesto a la de enzima disponible, además el tiempo queda referido al tiempo caracter´ıstico asociado a la velocidad de consumo del sustrato. En

100


estas unidades las ecuaciones (3.13) y (3.14) son, k−1 d˜ s = −˜ s + s˜ + c˜, (3.16) k+1 · s0 dt˜ k−1 + k+2 d˜ c = s˜ − s˜ + c˜, (3.17) ε· k+1 · s0 dt˜

sujetas a la condici´ on inicial s˜ t˜ = 0 = 1 y c˜ t˜ = 0 = 0 y donde hemos definido la cantidad ε = e0 /s0 . Tal y como hemos comentado anteriormente, la catálisis enzimática es altamente eficiente tal y como lo refleja el hecho de que la cantidad de enzima necesaria comparada con la cantidad de sustrato requerida en la reacción es muy peque˜ na: proporciones tales que ε ∼ 10−3 son habituales. Puesto que en situaciones biológicas t´ıpicamente ε 1, en el l´ımite podemos suponer que el miembro de la izquierda de (3.17) es nulo. Es otras palabras: en relaci´ on a la escala de tiempos de evolución caracter´ısticos de la reacción enzimática, la concentraci´ on del complejo C cambia muy lentamente. Tan lentamente que podemos asumir c como constante en el tiempo. Esta es la llamada hip´ otesis del estado cuasiestacionario. Volviendo a las ecuaciones en las unidades originales (3.13) y (3.14), dc 0. dt Despejando entonces c de (3.14)8 , c (t) =

k+1 · e0 · s (t) , k+1 · s (t) + k−1 + k+2

y al substituir en (3.13) obtenemos que, k+2 · k+1 · e0 · s (t) ds =− . dt k+1 · s (t) + k−1 + k+2

(3.18)

Esta u ´ltima ecuaci´ on se puede escribir también como, ds = −k+2 · c (t) . dt

(3.19)

Comparando (3.19) y (3.15) encontramos que ds/dt = −dp/dt. Es decir, la velocidad a la cual desaparece el sustrato es precisamente la velocidad a la 8 N´ otese que como resultado de la aproximaci´ on realizada c (t = 0) = 0: la soluci´ on obtenida para c (t) no es v´ alida para tiempos iniciales.


101

on, y as´ı, cual aparece el producto9 v (t), la velocidad de reacci´ k+2 · k+1 · e0 · s (t) dp = v (t) = . dt k+1 · s (t) + k−1 + k+2 Habitualmente la velocidad de reacción se determina en el tiempo inicial10 : v (t = 0) = v0 =

V · s0 , s0 + Km

(3.20)

donde V y Km vienen dadas por, V = k+2 · e0 , k−1 + k+2 . Km = k+1 A la ecuación (3.20) se la llama la ecuaci´ on de Michaelis-Menten y a Km se la conoce como la constante de Michaelis. El comportamiento de la velocidad de reacción está indicado en la figura 3.7. Como se puede apreciar, seg´ un se va aumentando la concentraci´ on de sustrato, la velocidad tiende a V que es la velocidad m´ axima de reacción. As´ı, para grandes concentraciones de sustrato la velocidad de reacci´ on satura y es independiente de s0 . La velocidad de saturaci´ on V depende de la concentración de enzima e0 y además del valor de k+2 . Por ese motivo a la reacción (3.8), donde aparece k+2 , se la denomina paso limitante. Por otro lado, la constante Michaelis coincide con el valor de concentraci´ on de sustrato para el cual v0 = V /2. La manera habitual de proceder experimentalmente para calcular los dos par´ ametros relevantes de la ecuación de Michaelis-Menten, V y Km , en procesos de catálisis enzimática pasa por la llamada representación de LineweaverBurk. Si llamamos a 1/s0 = s!0 y a 1/v0 = v!0 , entonces la ecuación (3.20) se puede escribir como, 1 Km + . v0 = s!0 · ! V V Es decir, el inverso de la velocidad de reacci´ on crece linealmente con el inverso de la concentraci´ on de sustrato. Es m´ as, en esta representación, tal y como mostramos en la figura (3.8), el valor de corte con el eje de las ordenadas es 9

Este resultado s´ olo es cierto en la aproximaci´ on del estado cuasiestacionario. En general, aunque parecidas, estas velocidades son diferentes. 10 A pesar de que la soluci´ on que se obtiene mediante la aproximación del estado cuasiestacionario para c (t) no es v´ alida para tiempo iniciales, la de s (t) que se obtiene por integraci´ on de la ecuaci´ on (3.18) s´ı lo es. Por extensi´ on, lo mismo ocurre para v0 .

102


vˆ0

1/ v0

1/V

1/ K m

sˆ0

1/ s0

Figura 3.8: La representación de Lineweaver-Burk de la ecuación de Michaelis-Menten permite obtener de un modo sencillo V y Km mediante una regresi´ on lineal.

1/V y el valor de corte con el eje de las abcisas es −1/Km . De este modo, realizando una regresi´ on lineal de los datos experimentales, podemos obtener V y Km .

3.7.

Fen´ omenos Competitivos

En general, una enzima cataliza una u ´ nica reacción. Esta especificidad depende de la complementariedad estructural entre el ligando y el sitio activo de la enzima. A esta complementariedad estructural se la conoce como propiedad estérica. De este modo, a los ligandos de una enzima que siendo diferentes son estructuramente similares se les llama isostéricos. Cuando en un sistema hay presencia de ellos, compiten por unirse al sitio activo de la enzima para generar diferentes productos. Este tipo de reacciones enzimáticas se llaman puramente competitivas. Un ejemplo de este tipo de comportamiento lo podemos observar en la asparaginasa que es capaz de reaccionar con la glutamina para producir glutamato pero también con el ácido asparag´ anico para producir aspartato. El caso más simple de reacciones enzimáticas puramente competitivas es el de dos sustratos isostéricos. Siguiendo el esquema de reacciones presentado anteriormente, (3.7) y (3.8), podemos describir la fenomenolog´ıa enzimática

´ 3.7. FENOMENOS COMPETITIVOS

103

mediante las reacciones, k+1

k+2

S1 + E C1 → E + P1 , k−1 k+3

k+4

S2 + E C2 → E + P2 . k−3

Implementando la ley de acci´ on de masas para la cinética de las concentraciones s1 , s2 , e, c1 , c2 , p1 , p2 encontramos otras tantas ecuaciones diferenciales sujetas a la condici´ on inicial: s1 (t = 0) = s1,0 , s2 (t = 0) = s2,0 , e (t = 0) = e0 , c1 (t = 0) = c2 (t = 0) = 0, p1 (t = 0) = p2 (t = 0) = 0. Este sistema de ecuaciones puede ser simplificado teniendo en cuenta que, al igual que antes, la cantidad de enzima disponible, bien en forma libre, bien en forma de compuesto, se mantiene constante en el tiempo, e (t) + c1 (t) + c2 (t) = e0 . Es más, si se verifican las siguientes condiciones, s1,0 k+1 e0 1, ∼ 1, ∼ 1, si,0 k+3 s2,0 entonces podemos volver a implementar la hipótesis del estado cuasiestacionario y realizar la aproximaci´ on, dc2 dc1 = 0, dt dt lo cual nos permite resolver c1 y c2 en términos de s1 y s2 . En este sistema existen dos velocidades de reacción dependiendo del producto, y las ecuaciones de Michaelis-Menten resultan,

v0p1 v0p2

s1 Km = V1 · 1 + · 1+ s1,0 s2 Km = V2 · 1 + · 1+ s2,0

s2,0 s2 Km s1,0 s1 Km

−1 ,

(3.21)

,

(3.22)

−1

104


Problema. La carboxipeptidasa pancre´ atica es una enzima que cataliza el proceso mediante el cual se rompen los residuos de amino´ acidos de un extremo de una cadena pept´ıdica. Utilizando diferentes concentraciones de sustrato se obtienen las siguientes velocidades de reacción medidas en los instantes iniciales (mM = milimolar = 10−3 · M ): s0 (mM ) 5 10 20

v0 (mM/s) 0,373 0,518 0,644

Comprobar que los datos verifican la ecuaci´ on de Michaelis-Menten y calcular la velocidad m´ axima de reacci´ on y la constante de Michaelis. Soluci´ on. Si los datos verifican la ecuaci´ on de Michaelis-Menten, en la representaci´ on de Lineweaver-Burk deben estar relacionados linealmente. As´ı pues construimos primeramente la siguiente tabla, s c 0 = 1/s0

“ ” mM −1

0,2 0,1 0,05

v b0 = 1/v0 (s/mM ) 26,824 19,294 15,529

La ecuación de una recta que pasa por dos puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) viene dada por, y − y2 x − x2 = . y2 − y1 x2 − x1

Utilizando los dos primeros puntos de la tabla obtenemos la recta, v!0 = 11,764s/mM + s!0 · 75,3s

que es exactamente la misma recta que se obtiene con cualquier otra combinaci´ on de puntos de la tabla de lo cual podemos concluir que los datos obedecen la ecuaci´ on de Michaelis-Menten. El valor de la velocidad m´ axima de reacción lo podemos calcular por el punto de corte con el eje de las ordenadas: v0 (s!0 = 0) = 11,764s/mM , !

de donde V = 1/! v0 (s!0 = 0) = 0,085mM/s. En cuanto a la constante de Michaelis la estimamos mediante el punto de corte con el eje de abcisas: 0 = 11,764s/mM + s!0 (! v0 = 0) · 75,3s

de donde despejando s!0 (! v0 = 0) obtenemos que Km = −1/s!0 (! v0 = 0) = 6,4mM .

´ 3.7. FENOMENOS COMPETITIVOS

105

s1 y K s2 , y las velocidades m´ aximas de donde las constantes de Michaelis, Km m reacción, V1 y V2 , son,

V1 = k+2 · e0 , V2 = k+4 · e0 , k−1 + k+2 s1 = , Km k+1 k−3 + k+4 s2 = . Km k+3 s1 y K s2 Experimentalmente la forma de proceder para calcular V1 , V2 , Km m se basa de nuevo en la representación de Lineweaver-Burk. Para cada una de las expresiones de la velocidad de reacci´ on (3.21) y (3.22) la representación de pi pi " v0 = 1/v0 frente a s" i,0 = 1/si,0 es una recta, 1 s2,0 p1 s1 " · 1 + Km · s# , (3.23) v0 = 1,0 · 1 + s2 V1 Km s1,0 1 p2 s2 " · 1 + Km · s# . (3.24) v0 = 2,0 · 1 + s1 V2 Km pi Sin embargo, en este caso la pendiente de la recta v" i,0 ) depende de la 0 (s" concentraci´ on inicial del sustrato conjugado sj,0. No obstante, el punto de pi (s" = 0) = 1/V no depende de tal corte con el eje de las ordenadas, v" 0

i,0

i

concentraci´ on inicial (ver figura 3.9). El an´ alisis de un conjunto de rectas pi " si v0 (s" i,0 ) para diferentes sj,0 permite calcular entonces Km . No obstante, es necesario realizar la siguiente advertencia. La representación de Lineweaver-Burk proporcionar´ a rectas en el caso de interacción puramente competitiva siempre y cuando durante la realización del experimento pi ıe el valor inicial de la concentraci´ on inicial en el cual medimos v" i,0 ) no var´ 0 (s" del sustrato conjugado sj,0. En el caso representado en la figura (3.9) podemos imaginar que si durante el experimento sj,0 var´ıa desde a hasta c entonces el pi comportamiento de v" (s" ) ya no ser´ıa lineal. Es posible definir el par´ ametro 0

i,0

adimensional,

s

i,j =

Vi · Kmj si , Vj · Km

que permite estimar si la variación en el tiempo de sj,0 es apreciable durante pi a débilmente mientras la medición de v" i,0 ): si i,j 1 entonces sj,0 variar´ 0 (s" pi " a lineal. Si por el contrario i,j 1 medimos v0 (s" i,0 ) y su comportamiento ser´


106

vˆ0pi

1/ v0pi

s j ,0

c s j ,0 s j ,0

b a

1/ Vi

sî ,0

1/ si ,0

Figura 3.9: La representación de Lineweaver-Burk para un sistema puramente competitivo de dos especies de ligandos. Siempre y cuando la concentración inicial del sustrato conjugado, sj,0 , no var´ıe en el tiempo apreciablemente, el análisis de un conjunto de rectas para distintos valores de sj,0 permite estimar las constantes de Michaelis y las velocidades de saturaci´ on (ver texto). pi entonces sj,0 variar´ a apreciablemente mientras medimos v" i,0 ) y su compor0 (s" tamiento será no lineal. En este u ´ltimo caso es necesario utilizar la versión de la ecuaci´ on de Michaelis-Menten dependiente del tiempo (no mostrada aqu´ı) s1 lo cual complica el procedimiento de cálculo de las constantes V1 , V2 , Km s 2 y Km . Finalmente, merece la pena hacer notar que si εi,j es grande en un no caso (comportamiento no lineal), entonces j,i es obligatoriamente peque˜ (comportamiento lineal) puesto que j,i = 1/i,j . Este es el caso mencionado anteriormente de la asparaginasa, para la cual asparaganico, glutamina 160 y por tanto glutamina, asparaganico = 1/asparaganico, glutamina 6 · 10−3 .

3.8.

Fen´ omenos Cooperativos

Muchas enzimas son pol´ımeros de prote´ınas donde un mismo motivo de enlaces pept´ıdicos, llamado prot´ omero, se repite. A estas enzimas se las conoce genéricamente con el nombre de olig´ omeros. Los olig´ omeros son llamados d´ımeros, tr´ımeros, tetrámeros, etcétera cuando el n´ umero de prot´ omeros presentes son dos, tres, cuatro, etcétera. En algunas enzimas, cada protómero contiene un sitio activo y por tanto un sustrato puede unirse a la enzima en varios lugares. Un ejemplo t´ıpico al respecto es la hemoglobina11 . Esta prote´ına se combina con el ox´ıgeno en los pulmones para formar la oxihemoglobina que libera el oxigeno en los diferentes tejidos. La hemoglobina liberada se combina 11

La hemoglobina no es una enzima. Los olig´ omeros no tienen por qué ser enzimas.

´ 3.8. FENOMENOS COOPERATIVOS

107

Figura 3.10: Representación de un molécula de hemoglobina. La hemoglobina posee cuatro sitios activos: los grupos hemo (en verde). entonces con el CO2 transport´ andolo a los pulmones. La hemoglobina posee cuatro sitios activos llamados grupos hemo, capaces de combinarse con otras tantas moléculas (Figura 3.10). Consideremos entonces una prote´ına formada con n prot´ omeros cada uno de ellos con un centro activo y que supondremos independientes y equivalentes en lo que respecta a su interacción con el ligando. Si denominamos S al sustrato y Ci a la prote´ına (enzima) con i sitios a, activos ocupados12 entonces la reacción de ocupación de un sitio activo ser´ k+1

S + Ci Ci+1 ,

(3.25)

k−1

donde i = 0, 1, 2, . . . , n−1. A estas n reacciones deberemos a˜ nadir otras tantas correspondientes a la formación de producto, k+2

Ci+1 → Ci + P .

(3.26)

Además, supondremos que el sustrato es muy abundante y que su concentración var´ıa tan lentamente que podemos tomar su concentracion como constante: s0 . Consideraremos primeramente las ecuaciones cinéticas que, de acuerdo con la ley de acción de masas, se deducen para las reacciones (3.25). Tomemos por ejemplo la ecuaci´ on con i = 0, k+1

S + C0 C1 . k−1

12

En esta notaci´ on C0 = E.

(3.27)

108


Problema. Se dispone de una enzima que es capaz de reaccionar con dos sustratos dion ferentes s1 y s2 . Cuando en un experimento se dispone que la concentraci´ inicial de s2 sea nula, se obtiene los siguientes resultados al medir v0p1 variando la concentraci´ on inicial del sustrato s1 , s1,0 (mM ) 5 10 20

p

v0 1 (mM/s) 0,373 0,518 0,644

Por otro lado, utilizando espectrometr´ıa de relajaci´ on qu´ımica, se determina s1 y K s2 . que 2,1 = 40 y que V2 = 1mM/s. Se pide calcular V1 , Km m Soluci´ on. p1 s1,0 ) se debe Puesto que 2,1 = 40 entonces 1,2 = 2,5 · 10−2 , es decir v" 0 (# comportar de manera lineal. Efectivamente si construimos la tabla para representar los datos proporcionados en la representación de Lineweaver-Burk, sd 1,0 = 1/s1,0

“ ” mM −1

0,2 0,1 0,05

p p d v0 1 = 1/v0 1 (s/mM )

26,824 19,294 15,529

comprobamos que éstos se ajustan a la recta, p1 # v" 1,0 · 75,3s. 0 = 11,764s/mM + s

Si comparamos esta expresión con (3.23) para s2,0 = 0, vemos que, 1 = 11,764s/mM , V1 s1 Km = 75,3s. V1 s1 = 6,4mM . Por otro lado, De donde V1 = 0,085mM/s y Km

2,1 = 40 =

s1 V2 · Km s2 . V1 · Km

s2 obtenemos finalmente, Despejando Km s2 = Km

s1 V2 · Km = 1,88mM . V1 · 2,1


109

Podr´ıamos estar tentados de escribir la siguiente ecuación de balance, dc0 = −k+1 · s0 · c0 + k−1 · c1 , dt sin embargo esta ecuación es incorrecta. El motivo es el siguiente. Cuando la enzima posee sus n sitios disponibles, el ligando tiene otras tantas posibilidades independientes de unirse a la enzima. De la misma manera, cuando la enzima posee sus n sitios activos ocupados, el n´ umero de posibilidades independientes de desocupar un sitio son n. As´ı pues, en el paso hacia la derecha de la reacción (3.27) debemos tener en cuenta las n posibilidades que posee el sustrato S para reaccionar con C0 y en el paso hacia la izquierda debemos tomar en cuenta que sólo existe una posibilidad de desocupación del compuesto C1 , es decir, la ecuaci´ on correcta es, dc0 = −k+1 · n · s0 · c0 + k−1 · c1 . dt Del mismo modo, la ecuación de balance para la reacción, k+1

S + C1 C2 ,

(3.28)

k−1

es, dc1 = −k+1 · (n − 1) · s0 · c1 + 2 · k−1 · c2 + k+1 · n · s0 · c0 − k−1 · c1 , dt donde los dos u ´ltimos términos provienen de considerar las contribuciones on (3.27). El conjunto de reacciones se puede construir sobre C1 de la reacci´ f´ acilmente con la ayuda del esquema mostrado en la figura 3.11. As´ı, las ecuaciones cinéticas de balance para (3.25) quedan finalmente, dc0 = −k+1 · n · s0 · c0 + k−1 · c1 , dt dcn = k+1 · s0 · cn−1 − k−1 · n · c1 , dt dcj = k+1 · (n + 1 − j) · s0 · cj−1 + k−1 · (j + 1) · cj+1 − dt − k−1 · j · cj − k+1 · (n − j) · s0 · cj , con j = 1, 2, . . . , n − 1 y con condición inicial, c0 (t = 0) = e0 , ci (t = 0) = 0, (i = 1, . . . , n) .

110

´ ´ CAPÍTULO 3. BIOPOLÍMEROS Y CINETICA ENZIMATICA s0

n u k1 u s0

C0

s0

n 1 u k1 u s0

C1

C2

k1 u s0

Cn 1

2 u k 1

k 1

s0

s0

s0

Cn

n u k1

s0

Figura 3.11: Representación esquemática del conjunto de reacciones (3.25). Cada c´ırculo representa el oligómetro con una determinada ocupación, las l´ıneas conectan posibles estados de ocupación del mismo con tasas de acuerdo con las posibilidades de asosiaci´ on y disociación descritas en el texto.

En este caso existe también una ley de conservación puesto que la cantidad de enzima, se encuentre en el estado de ocupación que se encuentre, se conserva, n

cj (t) = e0 .

j=0

No obstante, por conveniencia, esta vez no eliminaremos una de las variables cj de las ecuaciones cinéticas. La implementación de la hip´ otesis cuasiestacionaria implica, dci = 0. dt Al aplicar esta condición para i = n se obtiene, cn =

1 s0 · · cn−1 , n K

(3.29)

otesis para i = n − 1 y utilizando (3.29) donde K = k−1 /k+1 . Aplicando la hip´ obtenemos, s0 2 · · cn−2 . (3.30) cn−1 = n−1 K


111

As´ı, sucesivamente, podemos relacionar ci con ci+1 para i = 0, 1, 2, . . . , n − on 1. Es más, podemos combinar estas relaciones para expresar ci en funci´ exclusivamente de c0 , n · xj · c0 , (3.31) cj = j donde x = s0 /K, j = 1, 2, . . . , n y el primer término del miembro de la derecha es el llamado coeficiente binomial13 , n n! . = j! · (n − j)! j Recapitulando, la ecuaci´ on (3.31) nos indica c´ omo calcular la concentración de compuesto intermedio correspondiente a la enzima con j sitios activos ocupados en funci´ on de la concentraci´ on de enzima con ning´ un sitio ocupado. La concentración de ligando utilizado en compuestos enzimáticos interon de ligando utilizado en total medios Cj es j · cj , por tanto la concentraci´ es, n j · cj j=0

o equivalentemente este n´ umero corresponde a la concentración de sitios activos ocupados de la enzima. Puesto que la concentración de sitios activos totales, ocupados y sin ocupar, no es m´ as que la concentración de enzima umero de sitios activos por enzima, n, la cantidad, disponible, e0 , por el n´ n n j=0 j · cj j=0 j · cj = , (3.32) Y = n · e0 n · nj=0 cj no es más que la fracción de sitios activos ocupados. Pero, n j=0 13

cj =

n n j=0

j

· xj · c0 = c0 · (x + 1)n ,

La definici´ on del factorial de z es, z! = z · (z − 1) · (z − 2) · . . . · 1

Por definici´ on 0! = 1. El coeficiente binomial aparece de una manera natural en la expansión, ! n X n j n−j n (x + y) = x y . j j=0


112

y por otro lado,

n n n j j · cj = j· · x · c0 = c0 · x · j· · xj−1 = j j j=0 j=0 j=0 ⎡ ⎤ n n j n d ⎣ dx n = c0 · x · · · xj ⎦ = = c0 · x · dx dx j j

n

n

j=0

= c0 · x ·

j=0

d [(x + 1)n ] = c0 · x · n · (x + 1)n−1 , dx

de donde,

s0 x = . (3.33) 1+x s0 + K Este resultado nos indica varias cosas. En primer lugar, cuando la concentración inicial de ligando tenga un valor s0 = K, la mitad de los sitios activos estarán ocupados. En segundo lugar, dicha concentraci´ on inicial no depende en absoluto de la cantidad de sitios activos del oligómero. De hecho la ecuación (3.33) es la misma que hubiésemos obtenido en el caso de enzimas con un u ńico sitio activo tal y como podemos ver particularizando las expresiones (3.31) y (3.32) para j = 1. De cualquier modo estos resultados sólo son ciertos si k+2 = 0 puesto que hasta ahora hemos obviado la reacción (3.26), o lo que es lo mismo, Y =

k+2

Ci + P ← Ci+1 .

(3.34)

Por comparación de (3.34) con (3.25), es trivial ver que al considerar también (3.34), la forma en que quedan modificadas las ecuaciones de balance de Cj , y por extensión el resto de resultados ya obtenidos, se consigue realizando la sustituci´ on, k−1 → k−1 + k+2 . En el caso particular de Y , s0 , s0 + Km la constante de Michaelis. Por otro lado, la ecuaci´ on de balance Y =

siendo Km para P es,

dp = n · k+2 · cn + (n − 1) · k+2 · cn−1 + . . . + k+2 · c1 = dt n j · cj , = k+2 · j=0


113

pero dp/dt es la velocidad de reacci´ on, de donde, ⎛ ⎞ n n n j=0 j · cj = j · cj = k+2 · ⎝n · cj ⎠ · v = k+2 · n · nj=0 cj j=0 j=0 = k+2 · n · e0 · Y , o equivalentemente, v=

V · s0 , s0 + Km

(3.35)

con, V = k+2 · n · e0 , k−1 + k+2 . Km = k+1 En resumen, al considerar olig´ omeros con n sitios activos independientes y equivalentes, y asumiendo que la cantidad de ligando es tan abundante que la podemos considerar como constante, hemos obtenido exactamente el mismo resultado que si hubiésemos considerado mon´ omeros (suponiendo la misma concentraci´ on de sitios activos en ambos casos). Este tipo de comportamiento en reacciones enzimáticas mediadas por oligómeros se llama no cooperativo. Para que un sistema como el descrito se considere cooperativo los sitios activos no pueden ser considerados independientes: las tasas de asociación y disociación enzima-ligando deben depender de si hay o no sitios activos ocupados. Como veremos, en ese caso el comportamiento de la velocidad de reacción se aleja del predicho por la ecuaci´ on de Michaelis-Menten. Si al unirse un ligando la actividad de la enzima aumenta, entonces al ligando se le conoce como activador o efector. En el caso contrario se le llama inhibidor o represor. En este libro no estudiaremos en detalle los modelos cooperativos. No obstante ilustraremos su comportamiento con el modelo cooperativo más simple que podemos imaginar: el d´ımero cooperativo.

3.8.1.

El D´ımero Cooperativo

El esquema de reacciones de un d´ımero cooperativo es, k+1

k+2

S + C0 C1 → C0 + P ,

(3.36)

k−1 k+3

k+4

S + C1 C2 → C1 + P . k−3

(3.37)

114


Nótese que ahora las tasas de reacción son diferentes dependiendo del nivel de ocupación de los sitios activos. La ecuaciones cinéticas de balance para las concentraciones se pueden resolver aplicando la hipótesis cuasiestacionaria y el resultado final es que la velocidad de reacci´ on es, v0 =

+k e0 · s0 · (k+2 · Km +4 · s0 ) , Km · Km + Km · s0 + s20

(3.38)

donde, k−1 + k+2 , k+1 k−3 + k+4 = . k+3

Km = Km

Como podemos observar en la expresión (3.38), la velocidad de reacción del d´ımero cooperativo va como, v0 ∼ A ·

s20 . B + s20

Las funciones de la forma, f (x) = a ·

xn , b + xn

se llaman funciones de Hill de orden n. Por tanto la ecuaci´ on de MichaelisMenten es una funci´ on de Hill de orden 1. Una aproximación habitual en sistemas cooperativos es suponer la velocidad de reacci´ on de la forma, v0

V · sn0 . Km + sn0

Este resultado para la velocidad de reacci´ on se puede derivar formalmente de las ecuaciones cinéticas de balance de un sistema enzimático que considere reacciones, k+1

C0 + n · S Cn . k−1

(3.39)


115

Problema. ¿Qué condiciones debe verificar un d´ımero cooperativo para comportarse como un d´ımero no cooperativo? Soluci´ on. Examinando las ecuaciones (3.36) y (3.37) y compar´ andolas con (3.25) y (3.26), podr´ıamos pensar que la solución al problema pasa por las equivalencias, k+4 = k+2 , k+3 = k+1 , k−3 = k−1 , esperando que entonces (3.38) se reduzca a una forma de Michaelis-Menten; es trivial ver que no es as´ı. El motivo est´ a en recordar las posibilidades comentadas anteriormente sobre las opciones que posee el ligando de asociarse/disociarse de un sitio activo dependiendo de la ocupaci´ on del d´ımero. De esta manera, cuando la enzima no posee ning´ un sitio activo ocupado, el sustrato dispone de dos posibilidades de asociaci´ on mientras que cuando el d´ımero dispone de un sitio activo ya ocupado entonces sólo dispone de una. El mismo argumento se puede repetir, aunque a la inversa, para los procesos de disociación. As´ı, podemos comprobar que el d´ımero se comportará de manera no cooperativa si, k+1 = 2 · k+3 , k+4 = 2 · k+2 , k−3 = 2 · k−1 , puesto que entonces la velocidad de reacción (3.38) se reduce a la forma de Michaelis-Menten. Es decir, de suponer que los estados intermedios entre el oligómero con ning´ un sitio activo ocupado y el olig´ omero con sus n sitios activos ocupados se pueden obviar (lo cual es sólo una buena aproximaci´ on si las reacciones intermedias ocurren muy r´ apidamente). En la figura 3.12 mostramos el comportamiento de la velocidad de reacción v0 (s0 ) comparando un sistema no cooperativo y otro cooperativo. Mientras que el primero se comporta seg´ un la ecuaci´ on de Michaelis-Menten, el segundo presenta el aspecto de una fun-

116


v0

V

Sistema no cooperativo (Michaelis-Menten) Sistema cooperativo.

s0 Figura 3.12: Velocidad de reacción, v0 (s0 ), en un sistema no cooperativo y en uno cooperativo. El primero se comporta seg´ un la ecuaci´ on de Michaelis-Menten mientras que el segundo presenta un comportamiento sigmoide como el que aparece en las funciones de Hill con n > 1. ción de Hill con n > 1. De este modo, una manera de discernir si el sistema presenta comportamiento cooperativo es mediante la representación de Lineweaver-Burk: una desviación del comportamiento lineal es indicativo de cooperatividad enzim´ atica. Por otro lado, es posible estimar el grado de cooperatividad, n, mediante la llamada representación de Hill que consiste en representar log (v0 / (V − v0 )) frente a log (s0 ). La curva resultante es una recta de pendiente14 n. Terminamos el cap´ıtulo comentando el llamado efecto alostérico. Existen enzimas que poseen sitios activos que son diferentes de aquellos responsables de la acci´ on catal´ıtica. Estos sitios activos se conocen como sitios alostéricos. Entonces, un ligando que se une al sitio alostérico modifica la actividad del sitio activo catal´ıtico. El efecto alostérico está relacionado con cambios conformacionales en estos biopol´ımeros. Algunos autores realizan la equivalencia entre fen´ omenos cooperativos y alostéricos. Aqu´ı hemos querido diferenciar entre ambos aunque comparten el hecho de la existencia de una interacción indirecta entre sitios activos de la enzima que condiciona su actividad.

14

El ajuste a la funci´ on de Hill est´ a basado en una hip´ otesis que, genéricamente, es poco realista: (3.39). Entonces, es posible encontrar valores para n no enteros, e incluso menores que la unidad, en el ajuste. En este u ´ timo caso hablamos de cooperatividad negativa.

CAPÍTULO

4

Fenómenos de Transporte: Membranas

En este cap´ıtulo presentaremos la difusión i´ onica a través de membranas, la cual es fundamental para regular numerosos procesos en los seres vivos. Como sabemos, las membranas son sistemas básicos para el funcionamento de las células vivas y de los organismos. Antes de entrar en los detalles de los procesos de transporte a través de membranas, vamos a recordar algunos aspectos de la estructura y el funcionamiento de estos sistemas. Cada célula está rodeada por una membrana que controla su contenido qu´ımico y sirve para aislar la célula del ambiente, para transportar sustancias y para transmitir mensajes. La membrana celular está constituida por l´ıpidos, prote´ınas y gl´ ucidos en proporciones aproximadas de 40 %, 50 % y 10 %, respectivamente. En la membrana de la célula eucariota existen tres tipos de l´ıpidos: fosfol´ıpidos, glucol´ıpidos y colesterol. Una parte de estas moléculas lip´ıdicas es hidr´ ofila y la otra parte es hidrófoba por lo que cuando se encuentran en un medio acuoso se orientan formando una bicapa lip´ıdica (Fig.4.1). La membrana tiene un cierto nivel de fluidez que depende de la temperatura y de su composici´ on. La presencia de l´ıpidos insaturados y de cadena corta favorecen el aumento de la fluidez, mientras que la presencia de colesterol endurece las membranas, reduciendo su fluidez y permeabilidad. Las prote´ınas son los componentes de la membrana que desempe˜ nan las funciones espec´ıficas de transporte y de comunicaci´ on. Pueden girar alrededor de su eje y muchas de ellas pueden desplazarse lateralmente por la membrana.

118

´ CAPÍTULO 4. FENOMENOS DE TRANSPORTE: MEMBRANAS

Figura 4.1: Composición de una membrana biológica. Las prote´ınas de membrana pueden ser: - Prote´ınas integrales, que están unidas a los l´ıpidos atravesando la bicapa l´ıpidica una o varias veces. Por eso se llaman prote´ınas de transmembrana. - Prote´ınas periféricas, que se localizan a un lado u otro de la bicapa lip´ıdica y están unidas débilmente a las cabezas polares de los l´ıpidos de la membrana por enlaces de hidr´ ogeno, (Fig.4.1). Por u ´ltimo, los gl´ ucidos, se sit´ uan en la superficie externa de las células eucariotas. Son oligosacáridos unidos a los l´ıpidos (formando glucol´ıpidos), o a las prote´ınas (formando glucoprote´ınas). Esta cubierta de gl´ ucidos protege la superficie de las células de posibles lesiones, permite el deslizamiento de células en movimiento como, por ejemplo, las células sangu´ıneas, e interviene en los fen´ omenos de reconocimiento celular, particularmente importantes durante el desarrollo embrionario. Las dos funciones básicas de la membrana son el transporte, por un lado, y el reconocimiento y la comunicación por otro lado. Transporte Consiste en el intercambio de materia entre el interior de la célula y su ambiente externo. Puede ser: Transporte pasivo: Es un proceso de difusi´ on de sustancias a través de la membrana. Se produce siempre a favor del gradiente y puede manifestarse como difusión simple (a través de la bicapa lip´ıdica) o como difusión facilitada (a través de canales prote´ınicos). En el caso de difusi´ on simple, a través de

´ PURA A TRAVES ´ DE MEMBRANAS 4.1. DIFUSION

119

la bicapa lip´ıdica se realiza el transporte pasivo de moléculas lip´ıdicas, como las hormonas esteroideas, una gran parte de anestésicos y sustancias apolares como el ox´ıgeno y el nitrógeno atmosférico. El transporte pasivo a través de canales prote´ınicos da paso a los iones como el N a+ , K + , Cl− , etc. La difusi´ on facilitada, por su parte, permite el transporte de peque˜ nas moléculas polares, como los aminoácidos que al no poder atravesar la bicapa lip´ıdica, requieren que las prote´ınas transmembranosas faciliten su paso. Transporte activo: En este proceso también act´ uan prote´ınas de membrana pero ahora, a diferencia de la difusi´ on facilitada, éstas requieren energ´ıa, en forma de ATP, para transportar las moléculas al otro lado de la membrana. Este tipo de transporte se utiliza cuando se realiza en contra del gradiente electroqu´ımico. Como ejemplos de transporte activo se pueden citar la bomba de N a/K, y la bomba de Ca. En este cap´ıtulo vamos a estudiar con detalle los procesos de difusión simple a través de la membrana, discutiendo también algunos aspectos de la difusión facilitada. Reconocimiento y comunicaci´ on Estos procesos se basan en la actuación de las moléculas situadas en la parte externa de la membrana como receptoras de sustancias espec´ıficas e implican la presencia de unos receptores espec´ıficos en la membrana celular capaces de ser activados por est´ımulos que vengan del medio extracelular. Los receptores de membrana, ya estimulados, cambian su comportamiento y ´ transforman el est´ımulo extracelular en intracelular. Este act´ ua sobre enzimas o factores intracelulares provocando una respuesta celular como, por ejemplo, la contracci´ on muscular, la secreción glandular, la divisi´ on celular, etc.

4.1.

Difusi´ on Pura a Trav´ es de Membranas

En este cap´ıtulo vamos a introducir los conceptos b´ asicos para comprender los procesos f´ısicos que se realizan a través de las membranas. Como punto de partida, vamos a utilizar los fundamentos termodin´ amicos, introducidos en los cap´ıtulos anteriores.

4.1.1.

Potencial del Equilibrio de Nernst

Tal y como hemos visto en el segundo cap´ıtulo sobre Termodin´ amica, si en un sistema existe variaci´ on de masa, entonces la variación de la energ´ıa libre

120


de Gibbs (2.8) viene dada por: dG = −SdT + V dP + donde μi =

∂G ∂ni

r

μi dni ,

(4.1)

i=1

T,P,nj=i

es el potencial qu´ımico de un tipo de part´ıculas i,

que a continuaci´ on vamos a denominar especie o componente i. Recordamos que este potencial mide la variación de la energ´ıa libre respecto al n´ umero de part´ıculas presentes. En los ejemplos que vamos a estudiar, normalmente vamos a considerar el transporte de cargas. Si una cantidad determinada de cargas (dq) se transporta contra el potencial eléctrico ψ, el trabajo realizado ser´ a: δWq = ψdq. Teniendo en cuenta que existen otros tipos de trabajo como el trabajo δWP realizado cuando un gas se comprime aplicando una presi´ on P , que conlleva a la disminución de su volumen dV δWP = −P dV y el trabajo que se ejerce transportando materia dn contra el gradiente de concentraci´ on δWn = μdn, el trabajo realizado por el sistema en el caso de r especies transportadas se expresa finalmente con la siguiente ecuación: δW = −P dV +

r

μi dni + ψdq.

(4.2)

i=1

Usando el Primer Principio de la Termodin´ amica que establece que la energ´ıa interna de un sistema aumenta en dU si se suministra a éste cierta cantidad de calor δQ = T dS y si se realiza sobre éste cierta cantidad de trabajo δW , dU = δQ + δW, obtenemos la ecuación fundamental de Gibbs: dU = T dS − P dV +

r i=1

μi dni + ψdq.

(4.3)


121

Finalmente, usando la relaci´ on entre la energ´ıa interna U y la energ´ıa libre de Gibbs: G = U + P V − T S, la ecuaci´ on (4.3) en el caso de presencia de un potencial eléctrico ψ es: dG = −SdT + V dP +

r

μi dni + ψdq.

i=1

Una ampliaci´ on de esta ecuación está relacionada con el término ψdq. La carga eléctrica por unidad de mol y de carga viene dada por la constante de Faraday F = NA q = 9,65·104 C/mol, donde q es la magnitud de la carga de un electrón umero de Avogadro. (aproximadamente 1,602 · 1019 Coulombs) y NA es el n´ As´ı, si un determinado i´ on posee una carga z, la carga total de n moles del mismo será q = nzF . A partir de esta relaci´ on, los dos u ´ltimos términos de la ecuaci´ on (4.3), en el caso de que haya más de un ión en la disoluci´ on, se pueden expresar como r i=1

μi dni + ψ

r i=1

zi F dni =

r

(μi + zi F ψ)dni = μ ˜i dni .

i=1

La cantidad μ ˜i = μi + zi F ψ

(4.4)

es el potencial electroqu´ımico, que aparece en la mayor´ıa de los cálculos electroqu´ımicos. Teniendo en cuenta la dependencia del potencial qu´ımico μ de la concentración a través de la ecuación (2.9), para el potencial electroqu´ımico μ ˜ finalmente obtenemos la siguiente expresión: μ ˜ = μ0 + RT ln c + zF ψ,

(4.5)

siendo c la concentraci´ on de la especie considerada. Vamos a considerar ahora un sistema a presión y temperatura constantes que está separado por una membrana semipermeable y que consiste en dos compartimentos int (interior) y ext (exterior). Vamos a considerar que los potenciales eléctricos en los dos compartimentos son ψ int y ψ ext , respectivamente (Fig.4.2). De acuerdo con la condición del equilibrio, la energ´ıa libre del sistema G no experimenta cambios: (dG)T,P = (dGint )T,P + (dGext )T,P = 0.

(4.6)

122


Figura 4.2: Representación de un sistema compuesto por dos fases y dividido por una membrana semipermeable.

Supongamos que en los dos compartimentos hay distintos componentes i = 1, 2, ..., como por ejemplo en el caso de una disolución de una sal AB, formada por dos componentes, con concentraciones distintas en las dos fases int y ext. umero de moles de la componente i, intercambiada desde el Si dni es el n´ compartimento ext hacia el compartimento int, entonces de la ecuación (4.6), obtenemos la condición de igualdad de los potenciales electroqu´ımicos en los dos compartimentos, (4.4): int ext = μ0i + RT ln cext , μ0i + RT ln cint i + zi F ψ i + zi F ψ ext son las concentraciones del componente i en los dos donde las variables cint i , ci compartimentos (int y ext), respectivamente, y μ0i son los potenciales qu´ımicos en ausencia de potencial eléctrico. De aqu´ı podemos obtener la ecuaci´ on de Nernst para la diferencia del potencial Δψ a través de la membrana en función de la actividad qu´ımica de la componente permeable en ambos compartimientos y en condiciones de equilibrio termodin´ amico, que se cumple para cada especie i: int zi F (ψ int − ψ ext ) = RT (ln cext i − ln ci ).

La ecuación de Nernst entonces tiene la siguiente forma, válida para cada i: Δψ ≡ (ψ int − ψ ext ) =

cext RT ln iint . zi F ci

(4.7)

La ecuación (4.7) puede ser transformada para calcular la diferencia de las concentraciones del ión permeable i, que se crea entre las dos fases, dada la diferencia de potencial Δψ entre ambas: ext − cint i = ci e

zi F Δψ RT

.


123

La ecuación de Nernst permite por una parte el cálculo de la distribuci´ on de los iones en funci´ on del potencial eléctrico y por otra parte, el cálculo del potencial eléctrico que se produce como consecuencia de la distribución no uniforme de los iones. Las ecuaciones deducidas en esta sección se aplican sólo en caso de equilibrio termodin´ amico. Esto significa que la ecuación de Nernst no se puede utilizar para calcular el potencial de una célula viva. En realidad, el potencial de membrana de una célula viva puede ser debido al potencial de difusi´ on o generado por bombas de iones. Por otro lado, en general es bastante frecuente que algunos tipos de iones se distribuyen pas´ıvamente, y por lo tanto están realmente en equilibrio. Esto u ´ ltimo permite el estudio basándose en una suposición bastante sencilla, como la ecuación de Nernst. Como ejemplo de aplicación de esta teor´ıa se puede citar la concentración de cloruro en la mayor´ıa de las células vivas. Debido a que la permeablidad de membrana es bastante alta y a que no existen bombas de cloruro, su distribuci´ on es pr´ acticamente pasiva y determinada por la existencia del potencial de membrana. Por lo tanto, la ecuación de Nernst permite el cálculo de la concentraci´ on interna de los iones de cloruro si se conoce la concentraci´ on de cloruro fuera de la membrana y el potencial de membrana. Esta ecuación también permite el cálculo del potencial de la membrana de la célula, si se conoce la concentraci´ on de cloruro dentro y fuera de la membrana.

4.1.2.

Ecuaci´ on de Nernst-Planck

De los fundamentos de la Termodinámica, sabemos que el flujo de materia de la especie i a través de una membrana expresa el n´ umero de moles ni que atraviesan la unidad de a´rea A de la membrana en unidad de tiempo y se define i con la expresión Ji = A1 dn dt . Multiplicando el numerador y el denominador por la velocidad vi de las part´ıculas y teniendo en cuenta que Avi dt es el volumen de las part´ıculas en el tiempo dt, se obtiene la siguiente expresión para el flujo de la especie i a través de la membrana: Ji = ci vi , on de la especie i. denominando ci la concentraci´ Por otra parte, la velocidad que alcanzan las part´ıculas es proporcional a ua sobre ellas vi = ui fi , siendo ui la movilidad. Entonces, la fuerza fi que act´ el flujo a través de la membrana es: Ji = ci ui fi .

124


En el caso que consideramos, la fuerza depende del gradiente del potencial μ˜i , de donde obtenemos: electroqu´ımico fi = − ddx Ji = −ui ci

dμ˜i . dx

(4.8)

Por otro lado, el potencial electroqu´ımico de la especie i a temperatura y presi´ on constantes, se expresa mediante la ecuación (4.5): μ ˜i = μ0 + zi F ψ + RT ln ci .

(4.9)

Sustituyendo esta u ´ltima relaci´ on en la expresi´ on del flujo, ec.(4.8), obtenemos la siguente ecuación: Ji = −ui ci zi F

dψ dci − ui RT , dx dx

(4.10)

que se denomina ecuaci´ on de Nernst-Planck. Esta ecuaci´ on describe cómo el flujo de una especie i´ onica a través de una membrana depende del gradiente del potencial y del gradiende de la concentración. Es una ecuación b´ asica para la descripción de los procesos de difusión pura a través de membranas. En el caso de que en el sistema existan flujos de varias especies distintas, como primera aproximación, despreciando los flujos acoplados, el flujo resultante viene dado por la suma de cada especie por separado, lo que constituye el principio de independencia.

4.1.3.

Teor´ıa de Campo Constante

El modelo de campo constante fue propuesto originalmente por Goldman (1943) y más tarde desarollado por Hodgkin y Katz (1949). Es el modelo más sencillo para la integraci´ on y el estudio posterior de la ecuación de NernstPlanck. Supongamos un sistema constituido por una membrana de espesor Δx que separa los compartimientos int (interior) y ext (exterior), presentados en la figura 4.3. Fijamos el or´ıgen x = 0 en la interfase entre la membrana y el compartimiento ext. Seg´ un la ecuaci´ on de Nernst-Planck, el flujo total del componente i, Ji (x), a través de la membrana en el punto x en su interior, se da mediante la siguiente expresión: Ji (x) = −ui ci (x)zi F

dψ(x) dci (x) − ui RT . dx dx

(4.11)


125

Figura 4.3: Representación de una membrana de espesor Δx que separa dos compartimentos.

int

ext

ext Las variables (ci ≡ cint , ψ ) son las concentraciones y los i , ci ), (ψ ≡ ψ potenciales electrostáticos en el interior de la membrana, en las interfases con los compartimentos int y ext respectivamente, (Fig.4.3).

Para obtener la expresi´ on del flujo en funci´ on de las concentraciones en los compartimentos que separa la membrana, o la diferencia del potencial a través de la membrana, hay que hacer varias suposiciones: 1) El sistema está en estado estacionario y el flujo Ji es constante para todo componente i. 2) La movilidad es constante en el interior de la membrana. 3) El campo eléctrico a través de la membrana es constante. Esto significa que la derivada del potencial se puede expresar como la variación del potencial int ext Δψ −ψ . en un intervalo Δx: dψ dx = Δx con Δψ = ψ Integrando la ecuaci´ on (4.11) entre los l´ımites x = 0 y x = Δx, con la on lineal de x ( dψ suposición anterior de que ψ(x) es una funci´ dx = const.), obtenemos: 1 − ui RT

Δx

dx = 0

cint i cext i

dci Ji + ui zi F Δψ Δx ci

.

126


De aqu´ı, ext Ji + ui zi F Δψ 1 Δx Δx ci ln . = Δψ int ui RT ui zi F Δψ J + u z F c i i i Δx Δx i

Despejando Ji , finalmente tenemos: int ezi F Δψ/RT ui zi F Δψ cext − c i i Ji = − . Δx 1 − ezi F Δψ/RT

(4.12)

Esta ecuaci´ on da la forma expl´ıcita del flujo de la especie i a través de la membrana en función de las concentraciones y los potenciales electrostáticos en el interior de la membrana en la interfase con el exterior. Vamos ahora a relacionar las concentraciones y los potenciales en el interior de la membrana con las mismas cantidades en el exterior. Podemos considerar que la interfase entre la membrana y el medio exterior es tal que cualquier especie disuelta en uno de los medios, se disuelve en la fase contigua. En equilibrio, la relaci´ on entre las concentraciones de la especie i en las dos fases on. viene dada por el coeficiente de reparto βi , definido a continuaci´ Si además suponemos que: 1) El intercambio de iones entre la membrana y el exterior es mucho más r´ apido que el proceso de difusión a través de la membrana, esto permitirá trabajar en condiciones de equilibrio en las fases int y ext en todo instante y relacionar las concentraciones en el interior y en el exterior de la membrana a través del coeficiente de reparto. 2) El coeficiente de reparto βi de la componente i es constante e idéntico en las interfases con el interior y el exterior. Entonces: cext cint i i = = βi . int cext c i i

(4.13)

Usando la condición de equilibrio en cada una de las interfases, podemos aplicar la ecuación de Nernst (4.7) para cada interfase, con lo que se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: ψ

ext

ψ

− ψ ext = −

int

RT cext i , ln ext zi F ci

− ψ int = −

RT cint ln iint . zi F ci

(4.14)

En consecuencia, tenemos: Δψ ≡ ψ

int

−ψ

ext

= ψ int − ψ ext ≡ Δψ.

(4.15)


127

i RT βi , que tiene el sentido de perAhora, introduciendo el parametro pi = uΔx meabilidad de la membrana a la especie i, y usando las ecuaciones (4.13-4.15), la ecuaci´ on (4.12) se transforma en:

pi zi F Δψ Ji = − RT

int zi F Δψ/RT cext i − ci exp 1 − expzi F Δψ/RT

.

(4.16)

Esta ecuaci´ on de campo constante se denomina también ecuaci´ on de flujo de Goldman-Hodgkin-Katz . A partir de ella se puede estudiar la dependencia del flujo de una componente a través de la membrana, de las concentraciones en cada uno de los compartimentos y de la diferencia de potencial existente entre ellos, cuando el sistema est´ a en un estado estacionario. En el caso en el que las concentraciones en el interior y en el exterior de ext = c en la ecuaci´ on (4.16), la membrana sean iguales, sustituyendo cint i i = ci obtenemos la siguiente expresión para los flujos:

Ji = −

pi ci zi F Δψ. RT

Esta forma del flujo se puede interpretar, seg´ un la ley de Ohm, como una corriente que atraviesa un conductor eléctrico. En el caso de ausencia de corriente de la componente i, Ji = 0, de la ecuación (4.16), obtenemos la ecuación de Nernst:

zi F Δψ/RT = cint . cext i i e

int son distintas, cext = cint , Finalmente, cuando las dos concentraciones cext i , ci i i la relación entre el potencial y el flujo no es una recta, sino una curva con mayor pendiente cuando el flujo va desde el compartimento externo al compartimento interno que en el caso contrario. Por consiguiente, la resistencia de la membrana al flujo del interior es menor en el caso en el que hay intercambio de materia ext → int que en el que hay intercambio de materia int → ext.


128

Problema. A partir de la ecuaci´ on de Goldman-Hodgkin-Katz, (4.16), sabiendo el valor del flujo de la especie, expresar la concentraci´ on de la especie en el compartimento int en el exterior de la membrana en funci´ on de las demás variables en el caso de valor peque˜ no de la diferencia del potencial. Soluci´ on. De la ecuación (4.16), cuando Δψ 1, desarrollando la exponencial hasta el primer orden en Δψ, es decir, ex 1 + x, obtenemos int int Ji RT (−zi F Δψ/RT ) = −pi zi F Δψ(cext i − ci − ci zi F Δψ/RT ),

de donde cint i =

4.2.

pi cext i − Ji pi (1 +

zi F Δψ RT )

.

Difusi´ on I´ onica a Trav´ es de la Membrana

En esta sección vamos a estudiar los fen´ omenos de difusi´ on i´ onica. Estos procesos son fundamentales para explicar las diferencias de potencial de membrana que aparecen en las células. El objetivo ser´ a presentar las distintas distribuciones iónicas que contribuirán a la generaci´ on de potenciales de membrana. Esto se aplicará a lo largo del cap´ıtulo al estudio de modelos de generación del potencial de membranas en los sistemas biof´ısicos. Como punto de partida vamos a introducir el principio de electroneutralidad. Este principio establece que la suma de las cargas positivas es igual a la suma de las cargas negativas en cualquiera de los compartimentos separados por una membrana. Es un principio fundamental y se establece a nivel macroscópico. Sin embargo, las membranas biol´ ogicas son capaces de almacenar cargas en las superficies de contacto con algunos medios, actuando como condensadores. No obstante, la magnitud de la carga es despreciable y el principio de la electroneutralidad es exacto en el l´ımite termodinámico.

4.2.1.

Potenciales de Gibbs-Donnan

Consideramos el sistema de la figura 4.4, donde una membrana separa dos compartimentos en los cuales se introducen sales monovalentes A+ X − y A+ B − de la misma concentración. Supongamos que los iones A+ y B − pueden

´ IONICA ´ ´ DE LA MEMBRANA 4.2. DIFUSION A TRAVES

129

Figura 4.4: Esquema del sistema compuesto por las dos fases. difundir a través de la membrana, mientras que los iones X − se quedan confinados en el compartimento ext. Supongamos también que no existe potencial eléctrico externo aplicado sobre el sistema. En el caso de la figura 4.4, el ani´ on B − se dirige hacia la parte exterior de la membrana (parte ext) arrastrando al ani´ on A+ para satisfacer el principio de electroneutralidad. Esto conlleva un aumento de la concentración de A+ en la parte ext y una disminuci´ on en la parte int. Como consecuencia se genera una gradiente de concentraciones de iones A+ , que se opone al flujo del mismo ani´ on. En el equilibrio se alcanza una distribución asimétrica de los dos iones A+ y B − en ambos lados de la membrana. Esta distribuci´ on asimétrica genera una diferencia de potencial electrost´ atico entre las dos partes, que se denomina potencial de Gibbs-Donnan. En la parte exterior de la membrana la concentración de A+ es mayor que en la parte interior y se compensa con el potencial electrost´ atico. Lo mismo ocurre con el ani´ on B − , pero de manera opuesta, debido a que su carga es negativa. Aplicando la condición del equilibrio de Nernst, para la variable Δψ = ψ int − ψ ext tenemos: cint RT A ln ext Δψ = − F cA y cint RT B ln ext . Δψ = F cB Estas dos expresiones se cumplen si las respectivas razones entre las concentraciones en el interior y en el exterior son iguales, lo que introduce la raz´ on(o

130


tasa) de Donnan r: cext cint A B = = r. cext cint A B En términos de este parámetro, el potencial de Gibbs-Donnan tiene la siguiente forma: RT ln r. (4.17) Δψ = − F Si el i´ on indifundible X tiene su propia carga zX y su concentración es cX , se puede demostrar, que la razón de Donnan correspondiente es: ( (4.18) r = −R + R2 + 1, X |cX y ceq es la concentración de sal en equilibrio en el compardonde R = |z2c eq timento opuesto al compartimento donde se encuentra el i´ on X. Como se observa, la razón de Donnan es una funci´ on no lineal del par´ ametro R, aumentando con la concentraci´ on de los iones X positivos y disminuyendo con la misma para iones negativos. El potencial de Gibbs-Donnan está determinando b´ asicamente por la cantidad de componentes cargados de la célula no intercambiables, que provocan la distribuci´ on asimétrica de los demás iones. Si el sistema está compuesto por iones X débilmente difundibles, entonces aparecerá un flujo lento que tender´ aa igualar las concentraciones de estos iones en los dos lados de la membrana. El tiempo caracter´ıstico de este proceso es mucho más grande que el tiempo caracter´ıstico de difusi´ on de los demás iones. Resumiendo, los potenciales de Gibbs-Donnan (4.17) son potenciales de equilibrio y aparecen cuando la presencia de un i´ on indifundible provoca la distribuci´ on asimétrica de los demás iones. Estos potenciales son una aproximación muy buena para el estudio del potencial de membrana en sistemas biol´ ogicos, aunque presentan una simplificaci´ on por no tener en cuenta los cambios en el volumen celular, lo que conllevar´ıa alteraciones de todas las concentraciones intracelulares.

4.2.2.

Creaci´ on de Potenciales de Difusi´ on

Consideramos el siguiente sistema, presentado en la figura 4.5. Supongamos que no existe potencial eléctrico externo aplicado sobre el sistema y que se ha introducido una sal en el compartimento izquierdo siendo la movilidad del caon B − . Esto conlleva que haya una difusión m´ as ti´ on A+ menor que la del ani´ r´ apida del i´ on con mayor movilidad hacia el otro compartimento. Por otro lado, los dos iones difunden con la misma velocidad para no violar el principio de


131

Figura 4.5: Representación esquemática para la obtención de los potenciales de difusión. electroneutralidad. Esto significa que el ión m´ as rapido difunde m´ as despacio, frenado por el m´ as lento. En el mismo tiempo, el i´ on m´ as lento está acelerado por su i´ on opuesto. Como resultado, la difusión se realiza mediante una velocidad intermedia a la de los dos iones. Esta difusi´ on crea una diferencia de potencial, que lleva el nombre de potencial de difusi´ on. Usando la ecuación de Nernst-Planck (4.10) para los flujos de los cationes (+) y los aniones (−), podemos obtener la expresión del potencial de difusi´ on: J+ = −u+ RT

dc+ dψ − u+ z+ c+ F , dx dx

(4.19)

y dc− dψ − u− z− c− F . (4.20) dx dx Para simplificar el an´ alisis, vamos a considerar el caso de iones monovalentes, z+ = −z− = 1, c+ = c− = c en el exterior de la membrana y c+ = c− = c en su interior. Seg´ un la condición de electroneutralidad, tenemos: J− = −u− RT

J+ = J− . De aqu´ı, igualando la parte derecha de las ecuaciones (4.19,4.20) para los flujos de ambos iones, tenemos: u+ RT

dc dψ dc dψ + u+ cF = u− RT − u− cF . dx dx dx dx

132


Ahora, reorganizando e integrando entre los dos extremos de la membrana, tenemos: ψ int cint dc , (u+ + u− )F ext dψ = (u− − u+ )RT ψ cext c lo que nos permite obtener la expresión final para la variaci´ on del potencial: Δψ = −

u+ − u− RT cint ln ext . u+ + u − F c

(4.21)

Suponiendo ahora que existe un equilibrio en las interfases y que la membrana es simétrica obtenemos, seg´ un hemos visto en la secci´ on anterior, la ecuación final para el potencial de difusi´ on de una sal formada por iones monovalentes: Δψ = −

cint u+ − u− RT ln ext . u+ + u − F c

(4.22)

on Para iones de la misma movilidad, u+ = u− , Δψ = 0 y el potencial de difusi´ es cero. Esto significa que para tener un potencial de difusión es necesario que uno de los iones tenga una movilidad distinta que el otro. Problema. Comparar el potencial de difusi´ on antes y después de aumentar la concentraci´ on en el compartimento interior 2 veces. Soluci´ on. Seg´ un la ecuaci´ on (4.22), antes de variar los parámetros, tenemos: Δψantes =

cint u+ − u− RT ln ext u+ + u− F c

Después de variar la la concentración tenemos: Δψdespues = de donde:

2cint u+ − u− RT ln ext , u+ + u− F c

Δψdespues ln 2 =1+ . int Δψantes ln c /cext


4.2.3.

133

Ecuaci´ on de Goldman-Hodgkin-Katz

En una distribuci´ on i´ onica que existe alrededor de la membrana de un axón, hay que superar las aproximaciones triviales. Una forma de hacer esto es aplicar la teor´ıa del campo constante, (4.16). La aplicaci´ on de esta teor´ıa a una distribuci´ on de varios aniones y cationes monovalentes, da las siguientes ecuaci´ ones para los flujos: * ) int F Δψ/RT p+ F Δψ cext + − c+ e J+ = − RT 1 − eF Δψ/RT y

) * int −F Δψ/RT p− F Δψ cext − − c− e , J− = RT 1 − e−F Δψ/RT

donde de nuevo los sub´ındices + y − se refieren a los cationes y a los aniones respectivamente y los parámetros p± son sus permeabilidades. De la condici´ on de electroneutralidad, sumando por separado sobre todos los iones positivos y negativos: J+ = J− , (4.23) +

−

se obtiene: +

ext int cext c− − cint + − c+ b − /b = , (−p+ ) (p− ) 1−b 1 − 1/b −

donde el factor b = eF Δψ/RT . Por otro lado, despejando b, tenemos: ext int + p+ c+ + − p− c− . b= int ext + p+ c+ + − p− c−

(4.24)

(4.25)

Comparando las dos expresiones para el factor b, obtenemos finalmente la expresión del potencial de la membrana: int ext RT + p+ c+ + − p− c− ln (4.26) Δψ = − ext int . F + p+ c+ + − p− c− La ecuación (4.26) es la famosa ecuaci´ on de Goldman-Hodgkin-Katz (GHK) que expresa el potencial de la membrana en función de las concentraciones y

134


las permeabilidades de los distintos aniones y cationes monovalentes, que la atraviesan. En un caso concreto de estudio, que es el caso del axón de una neurona, el potencial de membrana se debe principialmente a los iones de N a+ , K + y Cl− . La ecuación de GHK entonces se transforma en: Δψ = −

int ext pN a cint RT N a + pK cK + pCl cCl . ln ext int F pN a cext N a + pK cK + pCl cCl

(4.27)

A partir de la ecuaci´ on (4.27) se ve que si la permeabilidad de uno de los iones es mucho mayor que la de los demás, los términos correspondientes a los demás iones se pueden despreciar y el potencial determinado por la ecuación de GHK se aproxima al potencial de Nernst del i´ on con la mayor permeabilidad. La expresión (4.27) es aplicable a la descripción del potencial generado por la distribución de iones de N a+ , K + y Cl− en membranas excitables en estado de reposo. En sistemas biológicos reales, la concentraci´ on de estos iones + + se mantiene constante gracias a la bomba N a , K -ATPasa y es interesante ver cómo esta bomba de iones afecta al potencial de la membrana en medios excitables. Se sabe que la bomba N a+ , K + -ATPasa intercambia 3 iones de N a+ por 2 iones de K + y que el transporte debido al efecto de la bomba compensa la difusi´ on de los iones por el gradiente de concentración. Vamos a ver cómo se modifica la ecuación de GHK en presencia de la N a+ , K + -ATPasa. Sean JÑ a y J˜K los flujos de los iones de N a+ y K + debidos ˜ a la N a+ , K + -ATPasa y sea d = − JJÑa . En nuestro caso, la razón es d = K

3/2. En el estado de reposo, la concentración de N a+ en ambos lados de la membrana es constante y por consiguinete JN a = −JÑ a . Usando la condición de la electroneutralidad (4.23), JN a + JÑ a + JK + J˜K = JCl

e introduciendo la raz´ on d, teniendo en cuenta que los dos primeros términos se cancelan debido a la concentración constante de N a+ en ambos lados de la membrana, obtenemos la siguiente relación entre los flujos de los distintos iones: 1 JN a + JK = JCl . d Como se observa, el efecto de la N a+ , K + -ATPasa es la presencia del factor 1 on con el caso de ausencia del flujo. Esto se puede interpretar d en comparaci´

´ 4.3. NOCIONES BASICAS DE LA ELECTROFISIOLOGÍA

135

como una reducción efectiva del flujo de los iones N a+ . Si ahora sustituimos cada uno de los flujos por su expresi´ on correspondiente de la ecuación de campo constante, y despejando Δψ de la ecuación resultante, obtenemos una expresi´ on an´ aloga a (4.27), donde el término relacionado con el ión N a+ está modificado por el factor de la raz´ on entre los flujos d: Δψ = −

1 int ext pN a cint RT N a + pK cK + pCl cCl ln d1 . ext ext int F d pN a cN a + pK cK + pCl cCl

(4.28)

La ecuación (4.28) es la ecuación GHK modificada por la presencia de las bombas N a+ , K + -ATPasa. En el caso de d = 1, la ecuación (4.28) se reduce a la ecuación GHK. En esta condición se puede demostrar que la ATPasa es capaz de mantener las concentraciones de N a+ y de K + y el potencial de la membrana estacionarios. De aqu´ı se puede afirmar que el papel principal de la N a+ , K + -ATPasa en el funcionamento de la membrana está basado en su capacidad de transportar olica. iones de N a+ y K + gracias a la energ´ıa metab´

4.3.

Nociones B´ asicas de la Electrofisiolog´ıa

En los cap´ıtulos anteriores presentamos el estudio de los flujos iónicos y la generación del potencial de membrana desde el punto de vista termodinámico, describiendo el movimiento de los iones gracias al gradiente electroqu´ımico. En este cap´ıtulo vamos a presentar los fenómenos desde el punto de vista de la Electrofisiolog´ıa. Ahora los flujos i´ onicos son considerados como corrientes eléctricas que atraviesan la membrana y el potencial de la membrana se introduce a partir de un circuito equivalente. Esta teor´ıa cl´ asica tiene su origen en los trabajos pioneros del estudio de la excitabilidad del nervio y del m´ usculo y tuvo su mayor éxito con el modelo de Hodgkin y Huxley del potencial de acci´ on del axón gigante de calamar. Por sus descubrimientos important´ısimos en el campo de la Neurofisiolog´ıa, Hodgkin y Huxley fueron galadordonados en los a˜ nos 60 con el premio más prestigioso en el ámbito de la investigación, el premio Nobel.

4.3.1.

Propiedades El´ ectricas de las Membranas: Fuerza Electromotriz

Consideramos el potencial de la membrana como una fuerza electromotriz que influye sobre el movimiento de los iones a través de la membrana de forma similar a como afecta a las cargas eléctricas a través de un conductor.

136


En los experimentos electrofisiol´ ogicos normalmente se mide la corriente que atraviesa la membrana biol´ ogica como respuesta lineal a la diferencia del potencial de sus dos extremos. En analog´ıa con las corrientes a través de un conductor, se puede aplicar la ley de Ohm, que relaciona la diferencia del potencial y la corriente a través de unidad de a´rea de la membrana, caracterizada por su resistencia Rm : E , (4.29) I= Rm siendo E la diferencia de potencial de la membrana e I el flujo de cargas o intensidad de la corriente. Definiendo otro par´ ametro caracter´ıstico de la membrana, su conductancia gm = 1/Rm , la ecuación (4.29) se transforma en: I = gm E.

(4.30)

Como sabemos, la condición de electroneutralidad macroscópica implica que las membranas tengan la misma concentración de cargas positivas y negativas, en cualquiera de los compartimentos que separa. Esto conlleva a una polarización de la membrana y como consecuencia su comportamiento efectivo es de un condensador con capacidad espec´ıfica Cm . Esta cantidad se expresa por el n´ umero de cargas por unidad de superficie σ al aplicar una diferencia de potencial E a través de la membrana: σ (4.31) Cm = . E Recordando que la capacidad espec´ıfica de un condensador plano de distancia d entre las placas y de constante dieléctrica es (4.32) C= , d podemos hacer una estimación realista de la capacidad de una membrana. En este caso, una distancia real entre las dos paredes de la membrana es de unos 20 · 10−9 m y la constante dieléctrica es aproximadamente el doble del vac´ıo. Usando la expresion (4.32), obtenemos una capacidad espec´ıfica de la membrana del orden de 1μF/cm2 . Por otro lado, las membranas, como condensadores cargados, act´ uan como pilas, creando un campo eléctrico E=

σd σ . = Cm

Vamos a considerar ahora el circuito presentado en la figura 4.6, que es el circuito m´ınimo para mostrar las propiedades de las membranas. Vamos a


137

Figura 4.6: Circuito m´ınimo equivalente para explicar las propiedades de las membranas. estudiar el tiempo de descarga del condensador después de dejar de aplicar una diferencia de potencial E a los extremos del condensador entre los dos puntos que corresponden a los puntos del exterior y del interior de la membrana. En cualquier momento t, la diferencia del potencial entre int y ext es: E(t) =

σ(t) , Cm

(4.33)

donde la variaci´ on de la densidad superficial de carga σ(t) con el tiempo t se debe a la corriente de descarga, IR (t): IR (t) = −IC (t) = −

E(t) dσ(t) ≡ . dt Rm

(4.34)

Combinando las ecuaciones (4.33) y (4.34), obtenemos: E(t) dE(t) . =− dt Rm Cm Reorganizando e integrando la u ´ltima ecuación: 0 E0 1 dE =− dt, E Rm Cm t E finalmente obtenemos la siguiente expresión para la variaci´ on del potencial de la membrana (el condensador) con el tiempo: E = E0 e−t/Rm Cm = E0 e−t/τ .

(4.35)

138


Figura 4.7: El canal de potasio y su circuito equivalente. El par´ ametro τ = Rm Cm es la constante de tiempo de la membrana y es una medida caracter´ıstica. Seg´ un el mayor o menor valor de esta constante, los procesos de carga o descarga se realizan más o menos rápidamente. As´ı cuando t = τ , el condensador se descarga en un factor 1/e.

4.3.2.

Potencial de Membrana y Circuito Equivalente

Los experimentos de Electrofisiolog´ıa realizados en los a˜ nos 40 han demostrado que el comportamiento de las membranas se puede explicar a base de un circuito eléctrico equivalente por las caracter´ısticas que muestran las membrana como células excitables. El dise˜ no de un circuito equivalente es relativamente f´ acil. Se basa en la idea de que las corrientes eléctricas a través de las membranas biológicas se deben esencialmente a los flujos de iones de N a+ , K + y Cl− . Los iones atraviesan la membrana por canales iónicos espec´ıficos. Esto genera fuerzas electromotrices para cada uno de los iones de tal manera que los canales iónicos act´ uan como bater´ıas. En el caso de un canal de potasio, que está representado en la figura 4.7, se observa cómo el canal act´ ua como una bater´ıa generando una fuerza electromotriz en el circuito equivalente de la membrana. En la membrana existen al mismo tiempo varios canales a través de los cuales pasan los distintos iones como los de N a+ , K + , Cl− , etc. La fuerza electromotriz resultante corresponde a la de todas las bater´ıas colocadas en paralelo y por consiguiente act´ ua como una u ńica bater´ıa. En general, los canales i´ onicos son prote´ınas bajo ciertas transiciones con-


139

Figura 4.8: El circuito equivalente de una membrana con canales de N a+ , K + y Cl− . formacionales, que pueden provocar la apertura o el cierre de los canales. En consecuencia, la conductancia instantánea total de la membrana viene dada por la suma de las conductancias individuales de cada uno de los canales que están abiertos en este instante. El circuito equivalente de una membrana t´ıpica con canales de N a+ , K + y Cl− está formado por cuatro ramas en paralelo, (Fig. 4.8): una que contiene un condensador que representa la capacidad de la membrana, y las otras tres ramas que corresponden a cada una de las tres especies iónicas. La aproximaci´ on del circuito equivalente permite evaluar el potencial de la membrana generado o la distribuci´ on de los iones de N a+ , K + y Cl− . En el estado de reposo, el potencial de membrana es constante y la carga un el del condensador también, lo que en consecuencia conlleva IC = 0. Seg´ circuito equivalente, (Fig.4.8), se cumple: IK + IN a + ICl = 0.

(4.36)

Por otra parte, para cada una de las ramas del circuito, aplicando la ley de Ohm, tenemos: IK = gk (E − EK ), IN a = gN a (E − EN a ), ICl = gCl (E − ECl ),

(4.37)

140


donde E = V int − V ext . A partir de las ecuaciones (4.37) y la ecuación (4.36), para la fuerza electromotriz total E obtenemos: E=

gK EK + gN a EN a + gCl ECl . gK + gN a + gCl

(4.38)

Como se puede observar, la ecuaci´ on (4.38) es similar a la ecuación GHK (4.26), que hemos obtenido en las secciones anteriores basándonos en consideraciones termodinámicas. Esta ecuación permite calcular la fuerza electromotriz del circuito equivalente en función de las conductancias y de las fuerzas electromotrices de cada uno de los iones de N a+ , K + y Cl− . Problema. A partir de la ecuaci´ on para la fuerza electromotriz del circuito equivalente, expresar la conductancia del sodio y discutir su comportamiento cualitativo en funci´ on del potencial E. Soluci´ on. A partir de la ecuaci´ on (4.38), despejamos la conductancia de los iones del sodio: (gK + gCl )E − (gK EK + gCl ECl ) . gN a = EN a − E Es una dependencia de tipo gN a =

b − ac aE − b ≡ −a + , c−E E−c

donde a = (gK + gCl ), b = (gK EK + gCl ECl ), c = EN a . Dependiendo del signo de la diferencia b − ac, gN a puede aumentar con E o disminuir.

4.4.

Potencial de Acci´ on

4.4.1.

T´ ecnica de Pinzamiento de Voltaje

Los primeros experimentos con membranas excitables consist´ıan en la aplicación de corrientes sobre una membrana y la medida de los cambios que ten´ıan lugar en el potencial a lo largo de la membrana. De esta manera, se registró, en los a˜ nos 40, el potencial de acción en el axón gigante de calamar, que fue investigado independientemente por dos grupos, el de Cole y Curtis, y el de Hodgkin y Huxley.

´ 4.4. POTENCIAL DE ACCION

141

Figura 4.9: Representación de la corriente del K + (curva 1) y la corriente máxima del N a+ (curva 2). (De Vázquez, 1993).

Posteriormente, el avance del estudio del impulso nervioso tuvo lugar con la aparici´ on de la técnica de pinzamiento de voltaje, que fue desarrollada alrededor del a˜ no 1949 por los cient´ıficos Marmont, Cole, Hudgkin, Huxley y Katz. En un experimento de pinzamiento de voltaje, el potencial de membrana var´ıa instant´ aneamente desde el valor de reposo a otro valor distinto, manteniéndose en este u ´ ltimo estado durante varios milisegundos antes de volver a olo en los instantes de salsu valor inicial. La corriente I = Cm dE dt se observa s´ to de potencial. Cuando el potencial se mantiene constante, la u ´ nica corriente que se puede registrar es la corriente iónica Ii . De este modo se puede estudiar el comportamiento de los distintos canales iónicos para diferentes valores del voltaje. Hodgkin y Huxley repitieron el salto de voltaje con los experimentos del ax´ on gigante del calamar y construyeron la gr´ afica que representa la corriente axima del del K + (Fig 4.9, curva 1) en el estado estacionario y la corriente m´ N a+ (curva 2). De una manera similar, se pueden determinar los valores de los potenciales en los que las corrientes de N a+ o de K + se anulen, que son los potenciales de equilibrio EN a , EK .

4.4.2.

Modelo de Hodgkin y Huxley

Los experimentos de Hodgkin y Huxley les llevaron a proponer el circuito equivalente de la membrana, presentado en la Fig.4.8, donde las conductancias

142


Figura 4.10: La dependencia temporal de las conductancias de iones de N a+ y de K + . de cada canal i = N a+ , K + , Cl− son determinadas por la ley de Ohm gi =

Ii . E − Ei

En la figura 4.10 se muestran los resultados para las conductancias correson del tiempo, que han sido pondientes a los iones de N a+ y K + en funci´ construidas a partir de la técnica de pinzamiento. no en estado de repoLas conductancias gN a y gK tienen un valor peque˜ so, lo que significa que la mayor´ıa de los canales están cerrados. Cuando se produce una despolarizaci´ on de la membrana, la conductancia gN a aumenta r´ apidamente, alcanza un m´ aximo y luego decrece lentamente. La conductancia del potasio gK , al contrario, aumenta muy lentamente, en comparación con la del sodio y alcanza un valor estacionario. Al regresar al estado de reposo, gK disminuye lentamente. Seg´ un el modelo de Hodgkin y Huxley, la variaci´ on de gN a se debe a la existencia de un proceso de activación r´ apida y una desactivaci´ on lenta. Estos procesos se explicaron en el modelo original en base a unas hipotéticas part´ıculas que controlan el proceso de activaci´ on y de desactivación. + Considerando el canal de K , Hodgkin y Huxley suponen que el canal posee cuatro part´ıculas, cada una de las cuales puede encontarse en dos estados A y B. El canal est´ a abierto sólo cuando las cuatro part´ıculas están en el estado B. Si αn y βn son las constantes de las transiciones entre los dos estados A y B y si n es la fracción de part´ıculas que están en el estado B, la variaci´ on de n con el tiempo viene dada por la ecuación: dn = αn (1 − n) − βn n. dt


143

Integrando sobre la fracción dentro del intervalo [n0 , n] y sobre el tiempo dentro del intervalo [0, t], obtenemos la siguiente expresión para la concentraci´ on de las hipotéticas part´ıculas que están en el estado correspondiente a la apertura del canal: αn αn −[ − n0 ]e−t(αn +βn ) . n(t) = αn + βn αn + βn Esta u ´ltima expresi´ on se puede escribir de manera compacta como: n(t) = n∞ − (n∞ − n0 )e−t/τn ,

(4.39)

donde los parametros n∞ y τn tienen la siguiente forma: τn = (αn + βn )−1 , αn . n∞ = αn + βn

(4.40)

Seg´ un la ecuaci´ on (4.40), n∞ es el valor estacionario de la fracción de las ´ ltimo par´ ametro es una part´ıculas n y τn es el tiempo de vida media. El u medida de la din´ amica de saturación del par´ ametro n desde un valor inicial n0 hasta el valor estacionario n∞ . Por otro lado, la conductancia de los iones de K + depende del valor máximo de la conductancia g˜K y de la probabilidad de que las cuatro part´ıculas estén en el mismo estado B. Entonces, gK (t) = g˜K n4 (t), de donde obtenemos la siguiente dependencia temporal de la conductancia del potasio: (4.41) gK (t) = g˜K [n∞ − (n∞ − n0 )e−t/τn ]4 . Finalmente, la intensidad de la corriente debida a los iones de potasio es: IK (t) = g˜K n4 (t)(E − EK ).

(4.42)

En el caso de la conductancia de los iones de sodio, Hodgkin y Huxley asumieron la existencia de tres particulas de tipo m que controlan la activaci´ on y una particula de tipo h, que controla la desactivación. Cada una de las part´ıculas m y h están en dos posibles estados A, B y C, D, respectivamente. Sean αm , βm , αh y βh las constantes de las transiciones entre los estados A y B y entre C y D, respectivamente. El canal está abierto sólo cuando las tres particulas m están en el estado B y al mismo tiempo la part´ıcula h está en el estado D.

144


De manera análoga a la derivaci´ on en el caso anterior, ahora en el caso de + iones de sodio N a , tenemos las siguientes ecuaciones: m(t) = m∞ − (m∞ − m0 )e−t/τm ,

h(t) = h∞ − (h∞ − h0 )e−t/τh , αm , m∞ = αm + βm αh , h∞ = αh + βh τm,h = (αm,h + βm,h )−1 .

(4.43)

Como la conductancia instantánea del N a+ depende de su máxima conductancia gÑ a y de la probabilidad de que las tres part´ıculas m estén en el estado B y la part´ıcula h esté en el estado D, obtenemos: gN a (t) = gÑ a m3 (t)h(t).

(4.44)

Sustituyendo las ecuaciones (4.43) en la u ´ltima ecuaci´ on, tenemos: gN a (t) = gÑ a [m∞ − (m∞ − m0 )e−t/τm ]3 [h∞ − (h∞ − h0 )e−t/τh ].

(4.45)

Finalmente, la intensidad de la corriente debida a los iones de sodio, tiene la siguiente forma: (4.46) IN a (t) = gÑ a m3 (t)h(t)(E − EN a ). Problema. Discutir el comportamiento de la conductancia del potasio dentro del modelo del Hodkgin y Huxley para largos tiempos de dependencia temporal. Soluci´ on. De la ecuación (4.41), gK (t) = g˜K [n∞ − (n∞ − n0 )e−t/τn ]4 , observamos que el aumento de los pasos del tiempo hace que el segundo término tenga cada vez menos peso, lo que da los siguientes primeros términos relevantes del desarrollo: g˜K [n4∞ − 4n3∞ (n∞ − n0 )e−t/τn ].


4.4.3.

145

Din´ amica del Modelo de Hodgkin y Huxley (HH)

Durante los experimentos de pinzamiento, que realizaron Hodgkin y Huxley, el potencial de la membrana cambiaba a saltos desde un potencial negativo hasta un potencial E mayor. En cada uno de estos saltos se determinaba la forma de gK (t), que se ajustaba a la ecuación (4.41). De all´ı Hodgkin y Huxley obten´ıan los valores de los parámetros n∞ , τ∞ para cada valor del potencial E. La determinaci´ on de los par´ ametros m∞ , τ∞ se realiza de manera similar en el caso de canales de sodio, usando la ecuaci´ on (4.45) con la aproximación de que en los primeros pasos del tiempo la función de desactivacion es aproximadamente uno (h ≈ 1). La dependencia de los par´ ametros de desactivación h∞ (E), τh (E) se calcula de manera más complicada mediante experimentos por separado para los dos par´ ametros. La variación de los parámetros del modelo de HH en función del voltaje, está presentado finalmente en la figura 4.11. Como se observa, la despolarización del axón aumenta los valores estacionarios de m∞ , n∞ y disminuye el valor estacionario de h∞ . La constante del tiempo τm var´ıa en un intervalo inferior al de variaci´ on de la constante τh y el + proceso de activaci´ on de los canales de N a es varias veces más rápido que el proceso de desactivación. Se observa también que los par´ ametros m∞ , h∞ tienen un comportamiento complementario, de manera que cuando los canales de N a+ se activan, empieza el proceso de desactivación, lo cual conlleva a que los canales de N a+ se abren sólo cuando tiene lugar un cambio de voltaje. Finalmente, conociendo todos los parámetros del modelo de HH, se pueden calcular las corrientes de N a+ y de K + usando las ecuaciones (4.42) ,(4.46), dando lugar al siguiente comportamiento de la corriente total, (Fig.4.12). El comportamiento de las corrientes obtenidas es muy similar al comportamiento experimental, (Fig.4.9), que es el gran reto del modelo de Hodgkin y Huxley. La apertura y el cierre de los canales de sodio y de potasio son procesos que dependen del valor del voltaje. Para que esto tenga lugar, es necesario un movimiento de cargas que corresponde a cambios en el potencial de la membrana. Esto ha sido la idea principal relacionada con la existencia de part´ıculas n, m y h dependientes del voltaje que dan lugar a la corriente de apertura. La corriente de apertura ha sido detectada experimentalmente mucho más tarde, en los a˜ nos 70, debido a su peque˜ na magnitud. Esto justifica el estudio de

146


Figura 4.11: La dependencia de los parámetros del modelo de HH del potencial de la membrana. (De Vázquez, 1993).

Figura 4.12: La dependencia temporal de la corriente total (l´ınea cont´ınua) obtenida a partir del modelo de HH. (De Vázquez, 1993).


147

Figura 4.13: Representación de las variables a lo largo de un axón. los procesos a través de membranas desde el punto de vista del modelo de Hodgkin y Huxley.

4.4.4.

Teor´ıa del Cable

La propagaci´ on del potencial de acci´ on a lo largo del axón gigante del calamar fue estudiado por Hodgkin y Huxley usando la teor´ıa del cable. Esta teor´ıa describe la propagaci´ on de las corrientes eléctricas a través de un cilindro hueco, formado por una membrana. Este modelo, debido a su formulación bastante general, se puede aplicar también a la investigación de la distribuci´ on de las corrientes y los potenciales en el nervio y en el m´ usculo. Vamos a estudiar la propagación del potencial de acción a lo largo de un ax´ on y vamos a suponer que en el punto x = 0 del ax´ on se induce un cambio en el potencial de la membrana. Esta alteración induce corrientes que se propagan a lo largo del ax´ on, presentadas en la figura 4.13. int ext Sean I , I las intensidades totales que atraviesan longitudinalmente el compartimento interior y el exterior, respectivamente. Imaginemos que entre dos puntos, 1 y 2, separados a una distancia Δx, en el compartimento interior un la ley de Ohm, existe una diferencia del potencial Δψ int . Seg´ I int ri Δx = ψ1int − ψ2int ≡ −Δψ int ,

(4.47)

donde ri es la resistencia axónica o intracelular por unidad de longitud. Des-

148


pejando a la corriente I int y expresándola en forma diferencial, tenemos: I int (x) = −

1 ∂ψ int (x) . ri ∂x

(4.48)

De manera análoga, 1 ∂ψ ext (x) , (4.49) re ∂x donde re es la resistencia extracelular por unidad de longitud. Como la corriente que se aleja del lugar, donde se ha generado la perturbaci´ on del potencial en el interior (la l´ınea discont´ınua), es idéntica de magnitud a la corriente que se acerca hacia el mismo lugar en el medio extracelular, tenemos I ext (x) = −

I int = −I ext .

(4.50)

A partir de las ecuaciones (4.48), (4.49) y (4.50) , obtenemos la siguiente expresión para el gradiente de potencial: ∂Δψ(x) ∂ψ int (x) ∂ψ ext (x) − = = −(ri + re )I int . ∂x ∂x ∂x

(4.51)

La resistencia del fluido intracelular es mucho más elevada que la del fluido extracelular, debido al peque˜ no di´ ametro del axón, ri re . Entonces la ecuación (4.51) se simplifica de la siguiente manera: I int (x) = −

1 ∂Δψ(x) . ri ∂x

(4.52)

on. Sea im la corriente transversal que atraviesa la unidad de longitud del ax´ Entonces entre los puntos 1 y 2, representados en la figura 4.13, la diferencia entre las corrientes I1int y I2int en estos puntos es igual al término im Δx, que en forma diferencial resulta: im = −

∂I int (x) . ∂x

Usando ahora la expresi´ on (4.52) para la corriente I int (x) en el medio intracelular, obtenemos para la expresión final de la corriente transversal im : im (x) =

1 ∂ 2 Δψ(x) . ri ∂x2

(4.53)

La ecuación (4.53) es la famosa ecuaci´ on del cable. Esta ecuación permite estudiar la propagaci´ on del potencial de acción a lo largo del axón, usando el modelo de Hodgkin y Huxley.


149

Figura 4.14: Representación esquemática de un elemento axónico. Como sabemos de la teor´ıa relacionada con el circuito equivalente de la membrana del ax´ on, la corriente total a través de la membrana se expresa mediante el modelo de Hodgkin y Huxley: I = Cm

dE + gÑ a m3 h(E − EN a ) + g˜K n4 (E − EK ) + g˜L (E − EL ), dt

(4.54)

donde con el u ´ltimo término tenemos en cuenta la presencia de una corriente de una naturaleza iónica indeterminada. Para establecer la correspondencia entre las magnitudes de las ecuaciones (4.53) y (4.54), consideramos un elemento axónico de longitud l y de radio transversal a, (Fig.4.14). Sean ρ y ri la resistencia espec´ıfica y la resistencia axónica respectivamente, que están relacionadas entre s´ı como: ρ=R

R πa2 , ri = . l l

(4.55)

Por otro lado, la intensidad de la corriente transversal total que atraviesa un elemento axónico de superficie lateral 2πal es I = IT /2πal y por tanto, la corriente por unidad de la longitud ax´ onica es im = IT /l: im = 2πaI.

(4.56)

Introduciendo ahora la relaci´ on Δψ ≡ E y usando las dos ecuaciones (4.55) y (4.56), la ecuaci´ on del cable tiene la siguiente forma: I=

a ∂2E . 2ρ ∂x2

(4.57)


15

la temperatura, ΔU = CV ΔT . Entonces, si T no cambia tampoco lo hace U . Podemos también expresar ΔU en funci´ on de ΔP = Pb − Pa , ya que Ta = Pa Va / (nR) y Tb = Pb Va / (nR) de donde ΔU = cV Va (Pb − Pa ) /R. El valor del trabajo, calor y energ´ıa interna en otros casos de transformaciones t´ıpicas es el siguiente. Transformaci´ on isobara. En el caso de una transformación isobara (presión constante) Pa = Pb y por tanto W = −Pa (Vb − Va ). En cuanto a la energ´ıa interna y al calor, tenemos que para una transformaci´ on isobara un gas ideal verifica que Ta = Pa Va / (nR) y Tb = Pa Vb / (nR) de donde ΔU = cV Pa (Vb − Va ) /R. Puesto que Q = ΔU − W entonces Q = Pa (Vb − Va ) (cV /R + 1). Utilizando la relación de Mayer (1.3) podemos escribir este u ´ ltimo resultado como Q = cP Pa (Vb − Va ) /R. Transformaci´ on isoterma. En el caso de una transformación isoterma, puesto que P = nRT /V al substituir en (1.4) y realizando la integral resulta W = −nRTa ln (Vb /Va ). Además puesto que la temperatura no var´ıa tenemos que ΔU = 0 de donde Q = −W = nRTa ln (Vb /Va ). Transformaci´ on adiab´ atica. Finalmente, una transformaci´ on que aparece a menudo es la transformación adiabática para la cual Q = 0. En particular, si la transformaci´ on es infinitesimal, se cumple que δQ = 0 y por tanto dU = δW . Es decir, en este caso toda la variación de la energ´ıa interna del sistema se debe a la transferencia de energ´ıa entre el sistema y su entorno mediante trabajo. As´ı, se verifica que, CV dT = −P dV , y por tanto, b CV dT = CV (Tb − Ta ) = cV (Pb Vb − Pa Va ) /R. W =

(1.6)

(1.7)

a

No obstante no es necesario conocer P y V de los estados inicial y final para poder calcular el trabajo. Para ello notemos que en la ecuaci´ on (1.6) aparecen las tres variables de estado de un gas ideal, P , V y T . Sin embargo, la ecuación de estado (1.1) nos recuerda que s´ olo dos de ellas son independientes. As´ı pues, podemos eliminar una de ellas, por ejemplo, la temperatura. Puesto que T = P V / (nR), su diferencial será, dT =

1 (P dV + V dP ) . nR

150


Supongamos ahora que el potencial de acci´ on se propaga a través del axón en forma de onda a una velocidad constante v. Entonces: 1 ∂2E ∂2E = 2 2, 2 ∂x v ∂t por lo que la ecuaci´ on del cable es: I=

a ∂2E . 2ρv 2 ∂t2

(4.58)

Introduciendo finalmente la ecuaci´ on (4.58) en la (4.54), obtenemos: dE a ∂2E = Cm gK n4 (E−EK )+˜ gL (E−EL ). (4.59) +˜ gN a m3 h(E−EN a )+˜ 2 2 2ρv ∂t dt La expresión (4.59) es la ecuación completa para la propagación del potencial de acción, que se obtiene con la teor´ıa del cable usando el modelo de HH. Esta ecuación diferencial permite conocer el perfil del potencial, resolviéndola numéricamente. Para encontrar las soluciones hay que tener en cuenta que el valor de la velocidad v no se conoce a priori y que hay que buscar los valores para los cuales la solución converge. Se puede demostrar que existe un valor u ńico para el cual la soluci´ on de la ecuación (4.59) converge. El perfil del potencial obtenido a partir de la ecuación (4.59) está presentado en la figura 4.15. Esta figura se corresponde con una gran precisi´ on a la figura experimental de la propagaci´ on del potencial de acción del ax´ on gigante de calamar, que estudiaron Hodgkin y Huxley. Como sabemos, en ausencia de est´ımulos, el potencial de la membrana se mantiene en torno a -70 mV. Ahora, si se introduce una peque˜ na excitación, seg´ un el modelo de Hodgkin y Huxley, la membrana se despolariza y, en consecuencia, los parámetros m y n aumentan, mientras que el h disminuye. La variación del m es mucho más r´ apida que la de n y h y, por tanto, el efecto es un aumento en la conductividad de los canales de N a+ . Se produce entonces el pico del potencial de acción. Por otro lado, la variaci´ on de n y h produce on de la conductancia un aumento de la conductancia del K + y una disminuci´ del N a+ , que provocan de nuevo la polarización de la membrana. Durante un cierto intervalo, la conductividad de los canales de K + es superior a la de los on de la membrana. Finalcanales de N a+ , lo que produce una hiperpolarizaci´ mente, esta hiperpolarización induce una lenta disminuci´ on de n, que conlleva a una disminuci´ on de la conductancia de gK de los iones de K + y la posterior disminuci´ on hasta el potencial de reposo.


151

Figura 4.15: La dependencia temporal del potencial de la membrana obtenido a partir del modelo de HH y de la teor´ıa del cable. (De Vázquez, 1993).

Después del modelo de Hodgkin y Huxley, que es el pionero de los modelos biof´ısicos sobre células excitables, han aparecido numerosas publicaciones sobre las células excitables. Todos estos estudios, que han contribuido enormemente al conocimiento del sistema nervioso, se basan en los flujos a través de la membrana por los canales iónicos, tal y como fue introducido por primera vez por Hodgkin y Huxley.

CAPÍTULO

5

Biof´ısica de los Cuerpos Vivos

En este cap´ıtulo vamos a estudiar una especialidad de la Biof´ısica llamada Biomecánica. Esta rama se dedica al estudio de los procesos mec´ anicos como el movimiento de las extremidades, la mecánica del flujo sangu´ıneo, los mecanorreceptores, etc. Antes de empezar con la explicaci´ on de algunos de estos mecanismos, vamos a recordar brevemente las propiedades b´ asicas de los fluidos.

5.1.

Fluidos Biol´ ogicos

5.1.1.

Propiedades B´ asicas de los Fluidos

Se dice que un flujo es laminar cuando las part´ıculas del fluido se mueven en capas paralelas entre s´ı. Una caracter´ıstica fundamental de los flujos laminares es el gradiente de velocidad, γ , (también llamada velocidad de corte), que está definido por la derivada de la velocidad del flujo v respecto a la coordenada perpendicular a la direcci´ on del flujo: γ =

dv . dz

(5.1)

Este gradiente es máximo en la cercan´ıa de la pared y disminuye alej´ andose de ella, seg´ un se observa en la figura 5.1. La fuerza F que mueve una capa de superficie a en el flujo laminar es proporcional al gradiente de velocidad con un coeficiente de proporcionalidad,

154

CAPÍTULO 5. BIOFÍSICA DE LOS CUERPOS VIVOS

Figura 5.1: El gradiente de velocidad de un flujo a lo largo de una superficie horizontal (izquierda) y a lo largo de un tubo (derecha).

η, llamado viscosidad, que aumenta con la concentración de las sustancias disueltas: F = ηγ a. (5.2) La viscosidad se define a partir de la fuerza necesaria para mover una capa de área de 1m2 con una velocidad de 1ms−1 a una distancia de 1m desde una superficie paralela. Otra caracter´ıstica de los fluidos es la presión de corte τ , que es la fuerza que deforma un cuerpo en un flujo con un gradiente de velocidad determinado: τ = ηγ .

(5.3)

Un fluido se denomina newtoniano cuando su viscosidad η es independiente del gradiente de velocidad γ . En el caso de que exista una dependencia entre las dos magnitudes η y γ , el fluido se denomina no newtoniano. Los fluidos biol´ ogicos como la sangre son, en general, no newtonianos y tienen un comportamiento pseudopl´ astico, donde las células sangu´ıneas se agregan, orientan y deforman, de forma que la viscosidad del flujo disminuye cuando aumenta el gradiente de la velocidad.

5.1.2.

Fluidos Biol´ ogicos: Caracter´ısticas de su Viscosidad

La viscosidad de los fluidos biol´ ogicos, como la sangre, las secreciones, el linfa, etc., ha sido estudiada intensamente gracias a los experimentos de viscosimetr´ıa. Estos experimentos han demostrado con gran exactitud que el plasma sangu´ıneo se comporta como un fluido newtoniano, mientras que una suspensi´ on de glóbulos rojos y la propia sangre se comportan como un fluido

´ 5.1. FLUIDOS BIOLOGICOS

155

Figura 5.2: La velocidad relativa en función del gradiente de velocidad de la sangre hunama (l´ınea cont´ınua) y de eritrocitos suspendidos en plasma (l´ınea discont´ınua). (De Lerche y Bmer, 1984).

no newtoniano. Una explicaci´ on satisfactoria de estos procesos complejos es la posible agregación de los eritrocitos en un bajo gradiende de velocidad, que posteriormente se disgregan a mayor gradiente de velocidad, lo que conlleva una disminuci´ on de la viscosidad resultante de la suspensi´ on. Bajo un gradiente de velocidad, los eritrocitos se deforman hasta formar elipsoides. Esta deformación es mayor cuanto mayor es la presión de corte τ . Por encima de cierto grado de deformaci´ on, las alteraciones de la membrana se hacen irreversibles. En la figura 5.2, se puede apreciar la viscosidad relativa de una suspensi´ on de glóbulos rojos, definida como el cociente entre la viscosidad del fluido y la viscosidad del disolvente puro, en función del gradiente de velocidad. Las diferencias entre las dos curvas en la regi´ on de bajo valor del gradiente se deben a la agregaci´ on de los gl´ obulos rojos, mientras que las diferencias en la regi´ on de alto valor del gradiente se deben a la deformaci´ on de la célula. En el caso concreto del fluido sinovial, que es de interés crucial para la ortopedia, el conocimiento de sus propiedades permite el tratamiento de algunas dolencias o enfermedades. Normalmente, las articulaciones no se desgastan sólo por el movimiento, o sea, por la presi´ on de corte del l´ıquido sinovial, sino que podr´ıan desgastarse también por la presi´ on est´ atica. En condiciones normales, el l´ıquido sinovial est´ a dentro de la cápsula articular y las cargas debidas al peso no pueden provocar su salida debido a la alta viscosidad de éste, que puede llegar hasta un valor de 40P a · s. En el caso de los movimientos de las articulaciones, se pueden producir presiones de corte de hasta 105 s−1 , lo que disminuye la viscosidad del fluido sinovial hasta 10−2 P a · s. Como consecuencia, se produce una lubrificación muy efectiva de la articulaci´ on.

156

5.1.3.


Circulaci´ on Sangu´ınea

Vamos a considerar el paso de un flujo laminar a través de un tubo suponiendo la existencia de una capa l´ımite en la que la velocidad del fluido es cero. A partir de esta capa la velocidad del fluido var´ıa desde cero, en las paredes del tubo, hasta la velocidad de la corriente. Este problema se puede estudiar considerando el flujo laminar como un movimiento de cilindros huecos concéntricos y de distintos radios. Sobre cada cilindro act´ ua una fuerza de v , a la viscosidad del fluido η fricci´ on proporcional al gradiente de velocidad d dr y a su a´rea superficial 2πrl: dv Ff riccion = 2πrlη . dr La fuerza propulsora de este flujo es proporcional a la diferencia de presi´ on 2 ΔP y al a´rea transversal del cilindo πr : Fpropulsora = πr 2 ΔP, siendo igual a la fuerza de fricci´ on en el caso de movimiento estacionario ´ltima relaci´ on, integrando sobre el radio r Ff riccion = Fpropulsora. De esta u hasta el radio del tubo R, y suponiendo la existencia de una capa l´ımite de l´ıquido atrapado en la pared, v(R) = 0, obtenemos la siguiente ecuación para el valor de la velocidad del flujo laminar, que circula dentro de un tubo, a una distancia r del centro del tubo y en funci´ on de la viscosidad del flujo, de la diferencia de la presi´ on y de la geometr´ıa del tubo: v (r) =

ΔP 2 (R − r 2 ). 4lη

(5.4)

Seg´ un la ecuaci´ on (5.4), la velocidad es m´ axima en el centro del tubo (r = 0) y decrece al alejarse del centro siguiendo un perfil olico. Integrando la R parab´ funci´ on v (r), a lo largo del todo el recorrido, 0 2πrv(r)dr, obtenemos la ecuaci´ on de Hagen-Poiseuille para el flujo de volumen JV a través del tubo: JV =

πΔP R4 . 8lη

(5.5)

Como se observa en esta expresi´ on, si el radio del tubo cambia bruscamente, el flujo de volumen también lo har´ a. Esto podr´ıa tener consecuencias, por ejemplo, en la circulaci´ on de la sangre en los vasos sangu´ıneos, donde se aprecian estrechamientos debido a la pérdida de elasticidad.


157

Sin embargo, hemos comentado que la sangre es un fluido no newtoniano y su viscosidad η depende del gradiente de velocidad γ . Entonces, la derivaci´ on de la ecuaci´ on (5.4) no es aplicable al caso de la sangre, puesto que all´ı hemos supuesto que el fluido es newtoniano. Problema. Calcular cu´ antas veces aumenta el flujo sangu´ıneo si el radio del vaso aumenta al doble. Soluci´ on. Seg´ un la ecuaci´ on de Hagen-Poiseuille, el flujo de volumen a través del tubo, o en este caso, el vaso sagu´ıneo es: JV =

πΔP R4 . 8lη

Si el radio aumenta dos veces, entonces el flujo de volumen aumentar´ a 24 veces, que es un cambio muy brusco y puede tener consecuencias para la circulaci´ on. Por otro lado, la sangre es un fluido no homogéneo, compuesto por una suspensi´ on de part´ıculas con una concentración m´ axima de los eritrocitos en la zona central de los vasos, que conlleva un aumento de la viscosidad de la sangre en esta región y una disminuci´ on de la misma en la cercan´ıa de la pared. Todo esto da lugar a un cambio del perfil de la velocidad, desde el perfil parabólico en el caso de un fluido newtoniano, ecuaci´ on (5.4), hasta un perfil más plano en el centro del vaso sangu´ıneo y de mayor pendiente en las proximidades de la pared. No hay que olvidar también, que el di´ ametro de los vasos sangu´ıneos cambia continuamente, lo que conlleva al efecto conocido como “efecto de entrada”, que consiste en un cambio del perfil de la velocidad tras una reducción abrupta del radio del vaso, (Fig.5.3). S´ olo después de recorrer una cierta distancia lE , tras el estrechamiento, se establece un nuevo perfil parabólico de la velocidad. Finalmente, la suposici´ on de que el flujo laminar es un flujo estacionario, en realidad no es correcta, porque el flujo sangu´ıneo se produce por pulsos. propulsora, que hemos usado anteEsto significa, que la condición Ff riccion = F riormente, en general no es v´ alida. Sin embargo, esta condici´ on es importante sólo en el flujo arterial, donde las ondas de pulso card´ıacas quedan parcialmente atenuadas por la elasticidad de las paredes de los vasos sangu´ıneos, pero

158


Figura 5.3: Representación del perfil de la velocidad trás una reducción del radio del tubo (vaso).

subsisten como oscilaciones de presión y de velocidad de la sangre. Hasta ahora hemos considerado que el flujo sangu´ıneo en los vasos es laminar. Para comentar este comportamiento, hay que recordar el concepto de n´ umero de Reynolds, que es una caracter´ıstica fundamental del flujo. Esta caracter´ıstica depende de la velocidad del flujo v , de la viscosidad η, de la densidad del medio ρ, de la distancia de corriente caracter´ıstica l y se expresa con la siguiente f´ ormula: lvρ . (5.6) Re = η El n´ umero de Reynolds cr´ıtico, que distingue entre un fluido laminar y uno turbulento es del orden Re = 106 para un flujo paralelo a una superficie plana y es del orden Re = 103 en el caso de un flujo en un tubo liso, r´ıgido y cil´ındrico, cuando el radio del tubo se toma como longitud caracter´ıstica. Seg´ un las tablas (Fig. 5.4), en las arterias grandes como las venas, se observan n´ umeros de Reynolds del orden de Re ∼ 103 , mientras que en los capilares Re ∼ 10−3 (régimen laminar). Sin embargo, hay que mencionar que en los vasos sangu´ıneos existen distintos factores que ayudan a mantener el car´ acter laminar del flujo por encima del n´ umero cr´ıtico de Reynolds, mientras que en la cercan´ıa de las ramificaciones de los vasos o de las imperfecciones producidas por arterioesclerosis, se pueden producir flujos turbulentos por debajo de estos valores m´ınimos de Reynolds. Vamos a estudiar a continuación los efectos de la gravedad y de la aceleraci´ on sobre la circulación sangu´ınea. En la figura 5.5 observamos el incremento de la presi´ on venosa sangu´ınea manométrica de una persona erguida a distintas alturas del cuerpo. Estas diferencias de presión se deben sobre todo a la altura por el efecto de la


159

Figura 5.4: Los números de Reynolds para distintos casos de vasos sangu´ıneos. (De Talbot y Berger, 1974).

Figura 5.5: La presión venosa manométrica de una persona erguida. (De F.Cussó, G.L´ opez y R.Villar, 2004).

160


gravedad sobre la sangre. Para una densidad de la sangre igual a ρ = 1,06 · 103 kg/m3 , el incremento de la presión en los pies, debido a la altura, es: ΔP = ρgh = 1,06 · 103 kg/m3 · 9,8m/s2 · 1,3m ≈ 104mmHg, donde hemos tenido en cuenta que la distancia aproximada medida desde el corazón es de 1,30m. De este modo la presión manométrica total, después de a˜ nadir 100mmHg de presión manométrica a la altura del corazón, es de unos 204mmHg. Sin embargo, la presi´ on real es menor que la calculada debido al paso de la sangre por las arterias y los capilares, siendo la presión en los pies de aproximadamente de 110mmHg. El efecto de la gravedad es mucho m´ as pronunciado en el caso de algunos animales muy altos como las jirafas. Para que la sangre que sale del corazón, situado aproximadamente a una altura de 2,5m, llege al cerebro, su presión a la salida del corazón debe alcanzar unos 300mmHg, lo que conlleva, por su parte, que la presi´ on en los extremos de los pies sea muy alta, de unos 500mmHg. Cuando la jirafa inclina su cabeza para comer o para beber, el cambio de presi´ on sangu´ınea sobre el cerebro ser´ıa muy alto y suficiente para destruirlo. Para que esto no ocurra, la jirafa ha adaptado su sistema circulatorio durante la evoluci´ on desarrollando unos vasos sangu´ıneos con fuertes paredes. Otro aspecto interesante de estudio es el comportamiento de la circulación sangu´ınea en condiciones de aceleración. Cuando una persona est´ a sometida a una aceleraci´ on a hacia arriba, ésta tiene un peso efectivo P = m(g + a) y su sangre está sometida a una aceleración efectiva de g +a. Para una persona erguida, ésto dificulta la subida de la sangre al cerebro hasta perder incluso conciencia para aceleraciones efectivas por encima de 2g. Este efecto es muy importante para los astronautas, que por ello despegan y aterrizan en posición transversal a la dirección del movimiento. Una manifestación de este efecto son los mareos al levantarnos rápidamente, que todos hemos notado alguna vez. En condiciones de ingravidez, el flujo sangu´ıneo no cambia, sino que se altera la distribuci´ on del volumen de la sangre venosa de los pies por todo el cuerpo. Esto puede llevar a un hinchamiento de las venas que están por encima del corazón, e incluso al hinchamiento de la cara. La nueva distribución de la sangre en condiciones de ingravidez puede provocar la reducci´ on del peso del miembro correspondiente. El organismo se puede adaptar rápidamente a estas condiciones reduciendo la cantidad de plasma en el cuerpo en aproximadamente un 20 %, lo que puede provocar la destrucción de eritrocitos.

´ 5.2. BIOMECANICA DEL CUERPO HUMANO

161

Este fen´ omeno de adaptación explica la anemia observada en los astronautas durante los vuelos de larga duración.

5.2.

Biomec´ anica del Cuerpo Humano

En las u ´ltimas décadas se han desarrollado numerosas investigaciones acerca de la biomecánica del cuerpo humano relacionadas con la forma de andar, de soportar cargas, las tensiones que se producen en los m´ usculos y las articulaciones, etc. Todas estas investigaciones tienen una gran aplicación en la ortopedia, la cirug´ıa, en la implantaci´ on de materiales artificiales en las articulaciones. Un problema importante en estas aplicaciones es entender las condiciones de adaptaci´ on del material a las propiedades viscoelásticas del hueso vivo. Las modelizaciones matemáticas del sistema locomotor humano son muy complicadas por el hecho de que se necesitan modelos dinámicos, que están compuestos de combinaciones complejas de elementos. Los tendones y los m´ usculos en los seres vivos son los elementos que hacen estable el sistema locomotor. A lo largo de la evolución, todos los sistemas de elementos estables frente a la compresión y a la tensi´ on han mostrado una optimización orientada al uso de la fuerza muscular y la estabilidad ósea, quedando determinados los vectores de tensión y compresión en el hueso por los puntos de fijaci´ on de los m´ usculos y de los tendones. Para dar una idea de c´ omo se podr´ıan modelar algunos elementos, vamos a recordar algunas nociones b´ asicas relacionadas con la flexión y la torsi´ on en los materiales. Como sabemos, la medida de la flexión se define a partir del radio de la curvatura R. Cuando se produce una flexi´ on, la cara cóncava se comprime y la cara convexa se extiende. Entre ambos planos existe un plano neutro que no experimenta ninguna deformaci´ on. Para entender la flexi´ on en los huesos reales, vamos a estudiar el comportamiento de una barra que est´ a curvada entre dos puntos y que forma un ańgulo α en radianes, (Fig.5.6). Si el radio de curvatura en el plano neutro es R, entonces la longitud l a una distancia x desde el plano neutro es: l(x) = α(R + x)

162


Figura 5.6: La geometr´ıa de una barra curvada. El ángulo de la curvatura es α. La l´ınea discont´ınua define el plano neutro. y la deformación (x) se da con la siguiente expresión: (x) =

x l(x) − lN = , lN R

(5.7)

on en el plano neutro. Obviamente, donde lN = αR es la longitud de la secci´ la variable es positiva en el caso de elongación y negativa en el caso de compresión. Como sabemos, la deformación más simple de un cuerpo es su alargamiento. En el diagrama (tensión-deformaci´ on) existe una región de m´ınima elongaci´ on, hasta el l´ımite de proporcionalidad, donde es válida la ley de Hooke. Seg´ un esta ley, la elongación es directamente proporcional a la tensi´ on σ con el coeficiente de proporcionalidad que es el módulo de Young, σ (5.8) Y = . Combinando la Ley de Hooke con la expresión (5.7), podemos calcular la tensi´ on provocada por la flexión: x (5.9) σ(x) = Y . R Si calculamos el diferencial de momento dM , podemos utilizar la u ´ ltima expresión y as´ı encontrar la fuerza necesaria para curvar la barra. Este diferencial

´ 5.2. BIOMECANICA DEL CUERPO HUMANO

163

Figura 5.7: Representación idealizada de la sección de un hueso tubular. se obtiene como el producto de la fuerza F por la distancia del punto de aplicaci´ on del vector de la fuerza F al plano neutro x: dM = xdF = xσda =

Y 2 x da, R

(5.10)

donde da es el diferencial de área en el que está aplicada la fuerza. El momento total de la flexi´ on de la barra se obtiene integrando sobre x: Y Y x2 da = Ia . (5.11) M= R R En la ecuaci´ on (5.11), la cantidad Ia es el momento de inercia del área y hemos asumido que la barra es homogénea con un m´ odulo de elasticidad Y constante. Como se puede ver, si el momento de la flexión M no cambia y el módulo de Young es constante, el momento de inercia es directamente proporcional al radio de la curvatura. En otras palabras, cuando mayor es el valor del Ia , mayor será el valor de R y entonces la flexión será menor. Vamos a determinar a continuación el momento de inercia en el caso de un hueso tubular, (Fig.5.7): n x2i Δai . Ia ≈ i=1

Aqu´ı Δai son las áreas de los rectángulos, los xi son las distancias de los centros de los rectángulos hasta el plano neutro y el sumatorio se extiende a todos los elementos. De esta manera se pueden calcular los momentos para distintas formas geométricas. Por ejemplo, para una barra cil´ındrica compacta de radio r, el momento de área es: Ia =

π 4 r , 4

164


mientras que para un tubo con radio interno r1 y radio externo r2 , el momento correspondiente es: π Ia = (r14 − r24 ). 4 En el desarrollo hemos supuesto que el módulo de elasticidad Y es constante. Sin embargo, las propiedades de los huesos muestran que este módulo puede variar con la posici´ on y también con la direcci´ on en la que se aplica la fuerza. Dependiendo del ańgulo de medida, el m´ odulo de Young puede variar hasta el doble. Esta propiedad se debe a la estructura de los huesos, donde las lagunas de las celdas óseas se orientan de acuerdo a la carga y siguen la trayectorias de la tensi´ on aplicada. Para dar una idea del orden de las propiedades de elasticidad de algunos materiales, podemos citar el valor del módulo de elasticidad, Y , en M P a que es 2 · 105 para el acero, 1 para la goma y al 104 para el hueso. Los l´ımites de elasticidad E para los mismos materiales son acero = 1,2 · 10−3 , goma = 3 y hueso = 10−2 , y la resistencia a la rotura σR en MPa es σacero = 5 · 102 y σhueso = 105 . Afortunadamente los huesos ofrecen una gran robustez antes las deformaciones. La mayor´ıa de los materiales biol´ ogicos tienen las propiedades de elasticidad de la goma, mientras que a los huesos se les atribuye las propiedades de acero. Como un ejemplo t´ıpico de los materiales del primer grupo, hay que citar a los tendones y a los ligamentos, donde algunas prote´ınas estructurales, como el colágeno, la elastina o la resilina, son responsables de las propiedades de elasticidad de goma de estas estructuras. Las células y las fibras de un tejido forman una red y las propiedades viscoelásticas del sistema dependen de las propiedades intr´ınsecas de las fibras, de la forma de la organizaci´ on de la red y del fluido en su interior. Al aplicar una tensi´ on a la red, ésta se alarga hasta lo que permita la capacidad de deformaci´ on del conjunto. Si los elementos de la red están todos orientados por la aplicaci´ on de una fuerza, puede aparecer una tensi´ on adicional por la elongaci´ on de las fibras y esto puede producir un cambio en el valor del m´ odulo de Young. Por ejemplo, este fen´ omeno se observa en las paredes de los vasos sangu´ıneos. Como distintas formas de controlar la viscoelasticidad de los materiales biol´ ogicos hay que citar el contenido de agua en un tejido, el volumen de la célula o el espacio intercelular. Todas estas formas de control permiten un estudio profundo de los procesos y su posible aplicaci´ on a efectos de ortopedia, deporte o seguridad laboral y en todas las actividades donde se quiera conocer qué clase de tensiones se producen en los m´ usculos y en las articulaciones al

´ Y VUELO 5.3. MOVIMIENTO EN FLUIDOS: NATACION

165

someterlos a una carga o a un movimiento. Problema. Calcular el momento total de la curvatura para una barra cil´ındrica compacta de radio r cuyo radio de la curvatura es R y su módulo de Young es Y . Soluci´ on. El momento total de la curvatura es M =

5.3.

Y R Ia

=

πY 4 4R r .

Movimiento en Fluidos: Nataci´ on y Vuelo

Como ya hemos discutido, el n´ umero de Reynolds caracteriza el efecto de la viscosidad del medio sobre el movimiento de los cuerpos. Normalmente los animales volando por el aire o nadando en el agua tienen un n´ umero de Reynolds muy grande. Para una persona nadando, este n´ umero es del orden de 100.000 y la viscosidad no tiene mucha importancia. Por el contrario, los insectos voladores tienen un n´ umero de Reynolds muy bajo, de alrededor de 30, y la fuerza de fricción es muy importante. Para una bacteria, este n´ umero es del orden 10−3 . El mundo que perciben es muy viscoso y en estas condiciones la inercia del movimiento es despreciable. En la figura 5.8 están presentados los n´ umeros de Reynolds para distintos animales en movimiento. Los animales de cierto tama˜ no, como aves y peces, basan su movimiento en el desplazamiento de masas de aire o agua. Sin embargo, a los organismos con un n´ umero de Reynolds muy bajo no les sirven las propulsiones. En estas condiciones, los microorganismos usan movimientos de tipo flagelar y ciliar. El primer tipo es propio de algunas bacterias, que tienen forma de cilindro y unos filamentos flagelares. En el caso de Escherichia coli, el microorganismo tiene un di´ ametro de unos 10−4 cm, una longitud de unos 2 · 10−4 cm, y seis flagelos de a basado en el movimiento unos 6 · 10−4 cm de longitud. El desplazamiento est´ de dichos flagelos, que giran sincronizadamente como un sacacorchos. El otro mecanismo de propulsi´ on es por medio de unos “pelillos”, llamados cilios, que algunos microorgansmos poseen, y que usan como remos. En la figura 5.9 se han represenado las distintas formas de propulsi´ on. Existe un razonamiento muy interesante relacionado con el movimiento cuando el n´ umero de Reynolds es bajo. Es el siguiente: Imaginemos un movimiento generado por el cambio de la forma de un cuerpo que posteriormente regresa a la forma inicial en secuencia inversa, que se denomina movimiento rec´ıproco. Cuando el n´ umero de Reynolds es bajo, todo

166


Figura 5.8: Los números de Reynolds correspondiente a distintos animales. (De R.Glaser, 1996).

Figura 5.9: Las distintas formas de propulsión: a) y b) movimiento por medio de cilios, c) movimiento por medio de flagelos.


167

es reversible y no depende del tiempo, sino sólo de la configuración. Las ecuaciones que describen el movimiento del fluido, las ecuaciones de Navier-Stokes, son lineales y reversibles en el tiempo. En este caso la viscosidad domina sobre la inercia. Cualquier organismo que utilize una técnica para nadar que implique una reversibilidad de tiempo (tal que no seamos capaces de distinguir si una pel´ıcula que recoja su movimiento está siendo reproducida hacia adelante o hacia atr´ as), no producir´ a desplazamiento neto y por tanto no podrá nadar. Un buen ejemplo representa la almeja, que abre su concha lentamente y la cierra rápidamente haciendo salir el agua de dentro. Con un n´ umero de Reynolds bajo, la almeja no puede desplazarse, porque tiene sólo una bisagra y con un sólo grado de libertad en el espacio configuracional, ella est´ a limitada a realizar u ´ nicamente un movimiento rec´ıproco. El razonamiento descrito en el caso de la almeja es conocido con el nombre de “teorema de la almeja”. Sin embargo, en el caso anteriormente citado de los microorganismos que se mueven gracias a la existencia de cilios o flagelos, los grados de libertad son mayores y estos microorganismos se pueden desplazar en el medio. Si sus flagelos fuesen r´ıgidos e hiciesen movimiento de bisagra, estos microorganismos tampoco podr´ıan nadar. Es necesario un movimiento de sacacorchos o movimientos de latigazos para que ellos puedan desplazarse. A continuaci´ on vamos a discutir los movimientos de los cuerpos en el aire y en el agua, suponiendo un n´ umero de Reynolds grande. El n´ umero de Reynolds cr´ıtico, que indica que la capa laminar del fluido sobre la superficie del cuerpo se desestabiliza, depende también de la forma del cuerpo. La capa l´ımite alrededor del cuerpo también se ve afectada por las presiones locales causadas por las diferencias de las velocidades locales. Por la ley de conservación de la energ´ıa, la energ´ıa total, compuesta por la cinética del medio en on P V , es constante, lo que lleva a movimiento 12 ρv 2 y la energ´ıa de compresi´ la ecuaci´ on de Bernoulli: 1 (5.12) P = P0 − ρv 2 , 2 donde hemos supuesto que para la velocidad v = 0, la presi´ on hidrost´ atica es P = P0 . Seg´ un esta ecuaci´ on, la presión local P que act´ ua en la superficie de un cuerpo, moviéndose en un fluido, es igual a la presión hidrost´ atica menos el 1 2 término 2 ρv . Esto significa que si la velocidad es constante, la presión en un punto determinado puede ser muy baja. Esto provoca la aparici´ on de una fuerza, que act´ ua en dirección perpendicular a la superficie del cuerpo. En los puntos donde la velocidad es muy grande y la presi´ on efectiva en este punto puede ser incluso negativa, se puede producir la aparición de una estela o flujo

168


turbulento con grandes remolinos dentro de una regi´ on mucho m´ as ancha, comparada con la región de la capa l´ımite turbulenta. De este modo podemos resumir, el aumento de la velocidad puede provocar la aparici´ on de las siguientes formas de flujo: - flujo laminar alrededor del cuerpo, - flujo turbulento en la capa l´ımite alrededor del cuerpo, - flujo turbulento discontinuo en forma de estela. Hay que mencionar que durante la evoluci´ on de las especies, la forma de los animales nadadores se ha optimizado para obtener caracter´ısticas que permiten reducir la fricci´ on debido a la viscosidad del medio. En algunos casos como los peces y los delfines, se impide la discontinuidad del flujo turbulento mediante la formaci´ on de microturbulencias en la superficie del cuerpo por la presencia de escamas. Es muy interesante el caso del delf´ın, que posee una capa amortiguadora viscoelástica sobre su piel y ciertos pliegues de la piel, que evitan la aparición de la inestabilidad del flujo. La nataci´ on Principialmente existen dos tipos de movimientos básicos durante la nataci´ on: la anguiliforme y la carangiforme. En el primer caso se realizan movimientos oscilantes de todo el cuerpo, mientras que en el segundo se realizan batidos de la cola. Normalmente la mayor´ıa de los peces usan una combinación de ambos movimientos. A continuaci´ on, vamos a estudiar el movimiento de un pez de masa m, que parte del reposo hasta alcanzar una velocidad v. Durante este movimiento, el pez ha desplazado una cantidad de agua M a la que se ha comunicado una velocidad V . Usando la ley de conservación del momento: mv = M V,

(5.13)

el trabajo, que ha realizado el pez es entonces: 1 1 m 1 ). W = mV 2 + M V 2 = mv 2 (1 + 2 2 2 M

(5.14)

De la ecuación (5.14) obtenemos la siguiente expresión para la velocidad del pez en funci´ on de la masa de agua: + 1 2W . (5.15) v= m 1 + m/M


169

Figura 5.10: La velocidad de natación activa y de arranque de varios animales mar´ıtimos. (Adaptada de Wu, 1977).

Se observa que el caso de máxima velocidad se alcanza cuando la masa m del pez es despreciable comparada con la masa M del agua desplazada. Un caso de optimizaci´ on de la velocidad se produce en los peces con colas largas y anchas, que pueden desplazar mucha agua. También hay que mencionar que no hemos tenido en cuenta la fricción con el medio viscoso por el hecho que para los peces el n´ umero de Reynolds es grande y las pérdidas por la fricción no tienen un papel importante. En la figura 5.10 est´ an representados los datos experimentales de las velocidades de natación activa y de arranque de varios animales marinos. En esta gráfica logar´ıtmica se observa que la dependencia velocidad-longitud sigue una ley de potencia L1/2 , que coincide, como veremos más tarde, con la ley de los vuelos de las aves. La ley de la velocidad de arranque va como L0,88 y está relacionada con la tasa de máximo metabolismo. En la misma gr´ afica también se observa que los grandes animales marinos alcanzan mayores velocidades, lo que les permite realizar saltos de hasta varios metros de altura.

170


Figura 5.11: Las fuerzas que actuan sobre un ala. El vuelo Vamos ahora a estudiar el vuelo de los animales. Este movimiento se puede clasificar en tres tipos: el vuelo paraca´ıdas, el planeo y el vuelo batido. El primer tipo de vuelo es el más simple. Hay diversas teor´ıas que afirman que este tipo de vuelo fue la primera etapa de la evoluci´ on hacia las otras formas voladoras. Un ejemplo t´ıpico de animal que realiza este tipo de vuelo es la ardilla voladora. En el siguiente tipo de vuelo, el planeo, durante el cual las aves llevan las alas extendidas, se usa el movimiento del aire aprovechando las corrientes térmicas. En el u ´ltimo tipo de vuelo, el batido, se utilizan la sustentaci´ on y la propulsión: las alas se doblan en el movimiento hacia arriba y baten hacia abajo y hacia atr´ as. Vamos ahora a calcular la fuerza de sustentación durante el vuelo, (Fig. 5.11). Seg´ un la ecuaci´ on de Bernoulli (5.12), 1 Pi − Ps = ρ(vs2 − vi2 ), 2 donde Pi , Ps son las presiones del aire sobre la superficie inferior y superior del ala y vi , vs son las respectivas velocidades del aire, cuya densidad es ρ. La fuerza de sustentación es proporcional a la diferencia de las presiones Pi − Ps y a la superficie S del ala, Fs = ΔP · S, entonces: 1 Fs = ρS(vs2 − vi2 ). 2 Como las velocidades vi , vs son proporcionales a la velocidad del aire v con un coeficiente de proporcionalidad C, vs2 −vi2 ∼ Cv 2 , para la fuerza de sustentación


171

Fs , obtenemos la siguiente expresión final: Fs =

1 CSρv 2 . 2

(5.16)

El coeficiente C depende de la forma del ala y del ańgulo que forma con la horizontal, teniendo un valor aproximado de 0.75 para el caso de un ave. Durante el vuelo, la fuerza de sustentación es igual al peso del ave mg. Usando esta condición y despejando la velocidad de all´ı, obtenemos la siguiente expresión para la velocidad del ave: + , 2Fs 2mg = . (5.17) v= CSρ CSρ Seg´ un la ecuaci´ on (5.17), el parámetro caracter´ıstico del ave es la relación de la carga sobre la envergadura m/S. Si L es la longitud del cuerpo, entonces la masa del cuerpo es proporcional al cubo de su longitud, m ∼ L3 y el área on (5.17), es proporcional a su cuadrado S ∼ L2 . Sustituyendo en la ecuaci´ tenemos para la velocidad de la ave v ∼ L1/2 en funci´ on de la longitud de su cuerpo. Vamos ahora a comparar la velocidad de despegue de un ave como, por ejemplo, la gaviota cuya longitud de ala es de aproximadamente 0,2m, con la velocidad de despegue de un colibr´ı, con una longitud de ala de unos 2cm. Seg´ un la expresi´ on (5.17), tenemos: + √ Lgaviota vcolibri = 10vcolibri . vgaviota = Lcolibri Se ve entonces, que la velocidad de despegue de la gaviota es de aproximadamente tres veces mayor que la del colibr´ı. Problema. Calcular la velocidad de despegue de un águila de 1, 2m de envergadura, sabiendo que un vencejo de 10cm de envergadura tiene velocidad de despegue de 20km/h. Soluci´ on. La velocidad de despegue del a´guila se expresa a través de la siguiente fórmula: + Laguila vvencejo ≈ 69km/h. vaguila = Lvencejo

172


Para el estudio de la potencia que desarrolla un ave durante el vuelo, hay que tener en cuenta que ésta se obtiene como el producto de la fuerza por la velocidad. Entonces la potencia necesaria para avanzar, venciendo la fuerza de arrastre, denominada potencia parásita ppar , viene dada por la siguiente expresión: ρv 3 . (5.18) ppar = Fa v = CSt 2 Fa es la fuerza de arrastre, que hemos sustituido por la fuerza de sustentación, dada por la ecuación (5.16). La variable St es la sección transversal del ala del ave a la dirección del movimiento. Durante el vuelo, el aire ejerce una fuerza F sobre el ave que es igual a su peso mg. Entonces, el ave ejerce una fuerza sobre el aire de sentido contrario a F e igual al peso. Como consecuencia, el ave impulsa aire hacia abajo con una velocidad inducida vind . De aqu´ı, la potencia inducida, que es la potencia necesaria para la sustentación, es pind = mgvind . Ahora vamos a relacionar la velocidad inducida como función de la velocidad de avance del ave. La fuerza que ejerce el ave es: Find =

Δpind , Δt

donde Δpind es la variación del momento lineal de la masa de aire, que impulsa el ave, dentro del intervalo Δt. Para el caso en el que la masa del aire es la que circula con una velocidad v dentro de un cilindo de diametro d, coincidiendo con la envergadura del ave, tenemos: Δpind = mΔvind =

πd2 Δtvρ vind 4

siendo ρ la densidad del aire. Por lo tanto, la fuerza inducida ser´ a: Find = mg =

πd2 vρ vind . 4

(5.19)

De aqu´ı, para la velocidad inducida como funci´ on de la velocidad del avance, tenemos: 4mg (5.20) vind = πd2 vρ

´ 5.4. SONIDO Y BIOFÍSICA DE LA AUDICION

173

y para la potencia inducida: pind = mgvind =

4m2 g2 . πd2 vρ

(5.21)

Se observa que la potencia parásita crece como el cubo de la velocidad, mientas que la potencia inducida decrece de forma inversamente proporcional a la velocidad. En el caso de una paloma, cuya masa es de aproximadamente 400g, la potencia total tiene un m´ınimo de aproximadamente 5W para una velocidad de unos 48km/h. Problema. Comparar la potencia par´ asita de una paloma y de un colibr´ı, suponiendo que la longitud del ala de la paloma es de unos 15cm. Soluci´ on. 3 7 Como ppar ∼ Sv 3 , S ∼ L2 , v ∼ L1/2 , entonces ppar ∼ L2 L 2 ∼ L 2 . En el caso 7 concreto ppar (paloma) = (0,15/0,02) 2 ppar (colibr´ı) ≈ 1155ppar (colibr´ı).

5.4.

Sonido y Biof´ısica de la Audici´ on

5.4.1.

Vibraciones

El estudio de las vibraciones es muy importante en relación con el efecto de los aparatos, las m´ aquinas, los coches, sobre el comportamiento de los seres. En general, el cuerpo vivo vibra cuando est´ a en contacto con un objeto vibrante y los factores importantes son la intensidad de la vibración y la frecuencia. Recordemos que para una oscilación arm´ onica, el desplazamiento en función de la frecuencia angular ω y del tiempo t viene dado por la siguiente expresión: x = x0 sen(ωt). En la práctica, los seres vivos están sometidos a varias oscilaciones, cada una con su propia amplitud y frecuencia. Por otro lado, cada cuerpo oscilante tiene su propia frecuencia de resonancia y si ésta es parecida a la externa, provocada por las vibraciones, el cuerpo incluso podr´ıa sufrir importantes da˜ nos si no tiene un sistema de amortiguamiento adecuado. Las vibraciones externas aplicadas al cuerpo humano pueden tener un efecto distinto. Numerosos experimentos han sido llevados a cabo y muestran que


174

Figura 5.12: Las vibraciones aplicadas al cuerpo humano. (De R.Glaser, 1996). la relación entre la amplitud de la vibraci´ on de un punto del cuerpo humano y la amplitud del soporte, sobre el cual está colocado el cuerpo, es muy distinta. Por debajo de 2Hz, el cuerpo sigue el movimiento del soporte. Para una frecuencia externa de 5Hz, que coincide con la frecuencia de resonancia del cuerpo humano, se observa una gran amplificación en las distintas partes del cuerpo como la cadera y el hombro, mientras que la amplificaci´ on es máxima para la cabeza alrededor de los 20Hz, (Fig. 5.12). La investigaci´ on de la percepci´ on de las vibraciones es de especial interés. La sensibilidad de los humanos nos permite, por ejemplo, detectar vibraciones de hasta 200Hz con una amplitud de s´ olo 0,1μm. La sensibilidad de los animales y especialmente de los insectos puede ser mucho mayor, lo que les permite percibir las vibraciones de terremotos mucho antes que a los humanos.

5.4.2.

Sonido

Cuando las ondas ac´ usticas están aproximadamente dentro del intervalo de frecuencias 20Hz − 20kHz, entonces se produce una sensación fisiol´ ogica que se denomina sonido. Por encima del l´ımite superior, las ondas se denominan ultrasonidos y por debajo del l´ımite inferior, infrasonidos. Los experimentos ac´ usticos llevados a cabo con distintos animales, muestran que la frecuencia máxima que pueden percibir es de unos 50kHz para el perro, 100kHz para el rat´ on y aproximadamente 150kHz para el delf´ın. La Ley de Weber-Fechner, relaciona el nivel de la sensación del sonido L,


175

medida en decibelios, dB, con la intensidades de onda I ([I] = W m−2 ) y con las presiones ac´ usticas P , respectivamente: L = 10 log

P2 I = 10 log 2 . I0 P0

(5.22)

En la ecuaci´ on (5.22), hemos tenido en cuenta que la intensidad de la onda I es proporcional al cuadrado de la presión ac´ ustica. El parámetro I0 = 10−12 W · −2 m es la intensidad de referencia de un sonido transmitido por el aire. Este valor corresponde al nivel del umbral de audici´ on del o´ıdo humano normal para una frecuencia de referencia de 1000Hz, que es su frecuencia de máxima sensibilidad. Finalmente, la presión de referencia P0 = 2 · 10−5 P a es la presión ac´ ustica que corresponde al valor de I0 , citado anteriormente. A continuaci´ on, vamos a calcular cuáles son las presiones de las ondas sonoras corespondientes para el umbral de audición y para el umbral de la sensación dolorosa. Para el umbral de audici´ on, la intensidad del sonido que el o´ıdo es capaz de detectar, es del orden I0 = 10−12 W ·m−2 . Se puede demostrar que la intensidad de una onda ac´ ustica está relacionada con la presi´ on P del medio en donde se propaga, la velocidad de la onda v y la densidad del medio ρ a través de la siguiente expresión: I=

1 P2 . 2 ρv

(5.23)

Si el medio es el aire, su densidad en condiciones normales es de ρ = 1,3kgm−3 , on (5.23) y la velocidad del sonido es v = 340ms−1 . Despejando en la ecuaci´ con respecto a la presión, obtenemos que el valor de la presión correspondiente al umbral de audici´ on es Paudicion = 3 · 10−5 P a. Para el caso del umbral de la sensación de dolor, donde la intensidad correspondiente es I ≈ 1W · m−2 , la presión es Pdolor ≈ 26P a, valor que aqu´ı, como en el cálculo anterior, tenemos que sumar a la presión atmosférica. Problema. Comparar la intensidad del sonido L después de aumentar la presión ac´ ustica 10 veces. Soluci´ on En la expresi´ on: L = 10 log II0 = 10 log derecha se transforma en: 10 log

100P 2 P02

P2 , P02

sustituimos P por 10P . La parte

= 20 + 10 log

la intensidad ha aumentado con el término

2 2 log P 2 P

0

.

P2 , P02

de donde se ve que

176


Figura 5.13: El o´ıdo humano.

5.4.3.

Mecanismos de la Audici´ on

El o´ıdo humano puede dividirse en tres partes: externo, medio e interno. El o´ıdo externo se extiende hasta el t´ımpano, el o´ıdo medio se localiza entre el t´ımpano y la ventana oval, mientras que el o´ıdo interno está localizado más all´ a de la ventana oval, (Fig. 5.13). El o´ıdo externo se puede considerar como un amplificador ac´ ustico con una selectividad direccional y frecuencia de resonancia entre 2Hz y 3kHz. El o´ıdo medio tiene caracter´ısticas más particulares. Su funcionamiento se debe a los peque˜ nos huesos, llamados martillo, yunque y estribo, que transmiten las vibraciones desde la membrana timpánica hasta la ventana oval. Este sistema complejo convierte las vibraciones del aire en vibraciones de los l´ıquidos linf´ aticos, que tienen una densidad y viscosidad parecidas a las del agua. Durante la transformaci´ on se realiza una reducción de la amplitud y un aumento de la presión. Por ejemplo, para el o´ıdo humano el incremento de la presi´ on interior es de 20 veces mayor que la exterior. Podemos calcular este incremento de la presión relacionando las fuerzas que act´ uan sobre el sistema yunque-estribo, (Fig. 5.14): Sean los sub´ındices (1) y (2) para el t´ımpano (o´ıdo externo) y el o´ıdo interno, respectivamente. Por un lado tenemos la relaci´ on entre las fuerzas aplicadas y los brazos de palanca entre yunque y estribo, que incrementan la fuerza sobre el estribo: F2 L2 = F1 L1 .


177

Figura 5.14: La representación del sistema conjunto formado por el yunque y el estribo. La relaci´ on entre la presi´ on del o´ıdo externo P1 y la presión del o´ıdo interno P2 es: F2 /S2 P2 = , P1 F1 /S1 donde S1 , S2 son las superficies de los órganos correspondientes. El a´rea de la membrana timpánica es aproximadamente 15 veces mayor que el área del estribo. Por otro lado, la relación de la longitud de los dos on brazos es L1 /L2 ≈ 1,3, lo que finalmente da la citada magnitud de relaci´ P2 L1 S1 entre las presiones: P1 ≈ L2 · S2 = 15 · 1,3 ≈ 20. Por u ´ltimo, el o´ıdo interno es el responsable de la detección real del sonido. Este o´ıdo está compuesto por un canal helicoidal enrollado, que está dividido por una membrana, llamada membrana de Reissner. De esta manera se forman dos cavidades, el canal vestibular y el canal timpánico. El fluido perilinf´ atico de estos canales está separado del fluido endolinf´ atico del canal medio. La presi´ on ac´ ustica se transmite desde la ventana oval al fluido perilinf´ atico y pasa al canal timp´ anico. La membrana de Reissner y la membrana basilar transmiten la presión ac´ ustica del fluido perilinfático al fluido endolinf´ atico del canal medio. Las células sensoriales, que transmiten los impulsos al cerebro, están situadas en la membrana basilar. Esta membrana mide unos 35mm de longitud y su rigidez se reduce hasta 100 veces a medida que se aleja de la ventana oval.

178


Las células sensoriales, llamadas células ciliadas, contienen en su superficie mechones de finas vellosidades, dispuestos de forma hexagonal. Estas vellosidades, llamados estereocilios, se excitan mediante el flujo oscilante por una asociación mecánica entre ellas y los canales iónicos de la membrana celular. De esta manera, la vibraci´ on mecánica se convierte en una se˜ nal electroqu´ımica, que ya hemos estudiado en el cap´ıtulo anterior. Cerca de la máxima intensidad deben evitarse los da˜ nos en el sistema y cerca del m´ınimo desplazamiento existen mecanismos que protegen el sistema contra el ruido térmico. En el u ´ltimo caso, la asociación de los estereocilios con pliegues de propiedades anisotr´ opicas, hacen que estas asociaciones sean menos sensibles a las oscilaciones por el ruido térmico y mucho más sensibles en la direcci´ on del flujo oscilatorio aportado por la se˜ nal sonora. Para terminar este cap´ıtulo, vamos a facilitar alguna informaci´ on relacionada con el efecto del ruido sobre la salud humana. Las vibraciones y el ruido pueden generar efectos cr´ onicos sobre los vasos sangu´ıneos y dependen del tipo de exposición a ellas. Por eso es necesario valorarlas con el fin de tomar medidas preventivas para la salud. La contaminaci´ on ac´ ustica producida por la actividad humana ha aumentado de forma dr´ astica en los u ´ ltimos a˜ nos. Seg´ un las estad´ısticas, 130 millones de habitantes de los pa´ıses miembros de la Comunidad Europea soportan niveles sonoros superiores a 65 decibelios (dB), l´ımite aceptado por la Organizaci´ on Mundial de la Salud. Espa˜ na es el segundo pa´ıs, después de Japón, con mayor ´ındice de poblaci´ on expuesta a altos niveles de ruido. El 80 % del nivel medio de ruidos en Espa˜ na, es debido a veh´ıculos a motor, el 10 % a las industrias, el 6 % a ferrocarriles y el 4 % a bares, talleres industriales, etc. La exposición continuada produce la pérdida progresiva de la capacidad auditiva. Adem´ as, el ruido puede causar efectos sobre: - el sistema cardiovascular con alteraciones del ritmo card´ıaco, hipertensi´ on arterial y excitabilidad vascular, - las glándulas endocrinas con alteraciones hipofisiarias y aumento de la secreción de adrenalina, - el aparato digestivo con incremento de enfermedades gástricas causadas por dificultades en el descanso, - otras afecciones por incremento del estrés, dificultades de observaci´ on, concentraci´ on, etc. Hoy la mejor soluci´ on consiste en incorporar un estudio de niveles ac´ usticos on a la planificación urban´ıstica, con el fin de crear islas sonoras. Otra soluci´


179

es insonorizar los edificios pr´ oximos a los puntos negros sonoros. A continuaci´ on, podemos comparar los valores reales del nivel del ruido, producidos por distintos emisores, seg´ un los datos estad´ısticos: Origen P´ ajaros trinando Rumor de hojas de árboles Zonas residenciales Conversación normal Ambiente de oficina Interior de f´ abrica Tráfico rodado Claxon de automóvil Claxon de autob´ us Interior de discotecas Motocicletas sin silenciador M´ aquinas taladradoras Avi´ on sobre la ciudad Umbral de dolor

dB 10 20 40 50 70 80 85 90 100 110 115 120 130 140

En los lugares p´ ublicos, los ruidos emitidos procedentes de exteriores no pueden sobrepasar los siguientes l´ımites en dB: Origen Hospitales Bibliotecas y Museos Cines, Teatros y Salas de conferencias Centros docentes y Hoteles Oficinas y Despachos p´ ublicos Grandes almacenes, Restaurantes y Bares

dB 25 30 40 40 45 55

En las viviendas, no pueden existir aparatos que emitan más de 80 dB y los aparatos domésticos no pueden emitir por encima de 40 dB por la noche. Por u ´ltimo, los veh´ıculos también están sometidos a niveles de emisión de ruidos dentro de los reglamentos legales.

CAPÍTULO

6

Radiación

No cabe duda de la importancia que tiene la radiación en Biolog´ıa, tanto desde el punto de vista del efecto de ésta sobre los sistemas vivos, como desde el punto de vista pr´ actico: gran parte de los métodos y técnicas empleados en el estudio anal´ıtico y en la obtención de im´ agenes de sistemas biológicos tienen como fundamento la interacción de la radiaci´ on con la materia. En el presente cap´ıtulo veremos algunos procesos de interacción de la radiaci´ on con la materia y, espec´ıficamente, con los sistemas biol´ ogicos. Mostraremos también el fundamento de importantes técnicas en las que a partir de dicha interacci´ on se puede obtener informaci´ on espec´ıfica de los complejos sistemas biol´ ogicos. Para comenzar, vamos a centrarnos, en primer lugar, en el origen y particularidades de la radiaci´ on.

6.1.

Propiedades de la Radiaci´ on Electromagn´ etica

La radiaci´ on electromagnética es un tipo de energ´ıa, en forma de campos eléctricos y magnéticos, que se puede transmitir sin soporte material y a una velocidad m´ axima de c = 3 · 108 m/s. Estos campos eléctricos y magnéticos constituyen ondas perpendiculares entre s´ı, y perpendiculares a la direcci´ on de propagaci´ on, cuya longitud de onda es inversamente proporcional a la energ´ıa que transportan. Por otra parte, en su interacción con la materia, esta radiación presenta propiedades de part´ıcula. Por ello se considera la radiaci´ on como paquetes dis-

´ CAPÍTULO 6. RADIACION

182

Figura 6.1: Representación de onda electromagnética. Cada plano perpendicular a la dirección de propagaci´ on contiene un vector de campo eléctrico y otro magnético, perpendiculares entre s´ı.

cretos de ondas, que se comportan como si fueran part´ıculas individuales, a los que se les denominan fotones. Este doble comportamiento dif´ıcil de conciliar, part´ıcula y onda, fue denominado dualidad onda-corp´ usculo por De Broglie. Además, esta dualidad no es exclusiva de la radiación electromagnética, sino que lo presentan todas las part´ıculas que viajan a elevadas velocidades. El mejor ejemplo lo presentan los electrones que pueden experimentar fen´ omenos de interferencia o difracci´ on como la luz. Vamos a ver, a continuación, algunas de las propiedades más importantes de la radiaci´ on electromagnética en su comportamiento como onda y en su comportamiento como part´ıcula.

6.1.1.

Propiedades de Onda

Una onda electromagnética se puede describir como un campo eléctrico que experimenta oscilaciones sinusoidales, que lleva acoplado un campo magnético proporcional y perpendicular a él. Ambos campos oscilan siempre perpendiculares a la dirección de propagaci´ on, es decir, son ondas transversales, como se muestra en la figura 6.1. La amplitud de la oscilaci´ on es la amplitud del campo. Como toda onda, lleva asociada una energ´ıa en su propagaci´ on. Dado que se puede transmitir sin medio material asociaremos su energ´ıa a los propios campos que están oscilando. Vamos a ver un peque˜ no recordatorio de los conceptos básicos referente a las ondas en general. El tiempo que tarda en pasar dos m´ aximos consecutivos

´ ELECTROMAGNETICA ´ 6.1. PROPIEDADES DE LA RADIACION

183

del campo por un mismo punto se denomina per´ıodo, T . La frecuencia, ν, es el n´ umero de oscilaciones del campo que ocurren por segundo; matemáticamente se puede expresar como la inversa del periodo, ν = 1/T . Su unidad en el Sistema Internacional es el s−1 o hertzio (Hz). Esta frecuencia depende exclusivamente de la energ´ıa de la onda. La relación entre la energ´ıa y la frecuencia de la onda viene dada por la relaci´ on de Planck: E = hν,

(6.1)

donde h es la constante de Planck (6, 63 · 10−34 J · s). Sin embargo, la velocidad de propagación de la onda (distancia recorrida por el campo por unidad de tiempo) var´ıa dependiendo del medio en el que se está propagando la onda electromagnética. La máxima velocidad de propagación se alcanza en el vac´ıo con el valor ligeramente inferior a 3 · 108 m/s (representado por el s´ımbolo c). Cuando la onda electromagnética atraviesa una sustancia material los campos eléctricos y magnéticos de la onda interaccionan con las propias cargas y campos constituyentes de la materia produciéndose un retraso en su propagación. La relaci´ on entre la velocidad máxima, c y la velocidad de propagación en un medio se denomina ´ındice de refracci´ on, n, n = c/ν. De la misma forma que se han definido unos par´ ametros temporales caracter´ısticos se puede definir los espaciales. El más importante que se utiliza para caracterizar una onda es la longitud de onda, λ, que es la distancia espacial entre dos máximos consecutivos. Matemáticamente se puede obtener como el producto entre la velocidad de propagación y el per´ıodo: λ =c·T =

c . ν

Otra forma de expresar la forma espacial de una onda es mediante el n´ umero de ondas, k, que es el n´ umero de ondas completas que hay por unidad de longitud. Matem´ aticamente se expresa como k=

2π . λ

Su unidad en el Sistema Internacional es, por tanto, m−1 , aunque también se puede ver expresado como cm−1 .


184

Problema. Un instrumento de espectroscop´ıa trabaja en un intervalo de longitudes de onda desde 180nm a 3200nm. Calcular el intervalo de frecuencias que utiliza. Soluci´ on. Haciendo uso de la relación entre la frecuencia y la longitud de onda: ν=

c , λ

podemos calcular la frecuencia m´ınima y m´ axima: νmin =

c = 93, 75 · 1012 Hz 3, 2 · 10−6 m

νmax =

c = 1, 67 · 1015 Hz. 0, 18 · 10−6 m

y

6.1.2.

Propiedades de Part´ıcula

Cuando se tiene en cuenta la interacción de la radiaci´ on electromagnética con la materia, es necesario postular que estas ondas est´ an constituidas por part´ıculas individuales (denominadas fotones) que pueden ser absorbidos o dispersados por a´tomos o moléculas incorporando para s´ı la energ´ıa transportada por la onda. Cuando sucede esto, el a´tomo o molécula pasa a un estado energético superior (utilizando la nomenclatura de la Mec´ anica Cuántica, pasa a un estado excitado caracterizado por una serie de n´ umeros cu´ anticos distintos). De manera equivalente, cuando un a´tomo o molécula pasa de un estado excitado a otro menos energético, el exceso de energ´ıa es emitido en forma de un fot´ on, cuya frecuencia es exactamente la correspondiente a esta diferencia de energ´ıa, ν = ΔE/h.

6.1.3.

(6.2)

Espectro Electromagn´ etico

El espectro electromagnético es el conjunto de longitudes de onda de la radiaci´ on electromagnética. El intervalo conocido y de interés para el hombre

´ ELECTROMAGNETICA ´ 6.1. PROPIEDADES DE LA RADIACION

185

Figura 6.2: Regiones del espectro electromagnético. En la escala superior se representa la frecuencia en Hz, y en la escala inferior las longitudes de onda en metros.

cubre un rango enorme, desde las longitudes de onda subat´ omicas de los fotones de rayos X y gamma (10−10 m − 10−13 m) hasta las longitudes de onda del orden del metro de los fotones de radiofrecuencia y los kilómetros de las ondas largas. En la figura 6.2 se muestra el espectro electromagnético con las distintas regiones en las que se suele dividir. La región del espectro visible se muestra ampliado porque comprende un intervalo relativamente peque˜ no de longitudes de onda. La escala superior corresponde a la frecuencia en hertzios y la inferior es la escala equivalente para la longitud de onda, en metros. Hay que notar que estas representaciones del espectro aparecen siempre en escala logar´ıtmica dada la enorme variaci´ on de los órdenes de magnitud: la longitud de onda va desde los miles de kilómetros hasta longitudes menores que el tama˜ no del n´ ucleo atómico. El espectro electromagnético suele dividirse en regiones en las que la radiación recibe un nombre particular. Una regi´ on muy relevante, desde el punto de vista biol´ ogico, es el espectro visible (VI), que cubre longitudes de onda desde los 380nm (0, 38μm) del violeta hasta los 780nm (0, 78μm) del rojo. Todos los colores del espectro visible están dentro de este intervalo. Como veremos en el cap´ıtulo referente al microscopio, es justamente el orden de magnitud de esta longitud de onda la que determine el tama˜ no del objeto m´ as peque˜ no que


186

puede verse (en sentido literal) con ning´ un instrumento óptico. Entre el visible y los rayos X se encuentra el ultravioleta (UV). Como cubre un amplio rango del espectro se diferencian, a su vez, varias regiones del UV: longitudes de onda mayores que 200nm corresponden al ultravioleta cercano y por debajo de este valor, ultravioleta extremo. Por el otro extremo del visible se encuentra el infrarrojo (IR). Por igual motivo se distinguen varias regiones dentro de este tipo de radiaci´ on: el infrarrojo cercano corresponde a longitudes de onda menores que 2500nm (2, 5μm), el infrarrojo medio se encuentra entre este valor y los 50μm; y el infrarrojo lejano o submilimétrico a la región entre los 50μm y 1mm. Por encima del mil´ımetro se encuentran los microondas, hasta los 30cm, correspondientes a frecuencias entre 1GHZ y 300GHz (recordemos que el prefijo Giga, G, tiene el valor 109 ). Longitudes de onda mayores corresponden a las llamadas ondas de radio (ultra alta frecuencia, muy alta frecuencia, onda corta, onda media, onda larga y muy baja frecuencia)

Problema. Indicar a qué rango del espectro corresponden las siguientes radiaciones: 1. λ = 1m. 2. k = 103 cm−1 . 3. λ = 25nm. 4. ν = 1018 Hz.

Soluci´ on. Localizando en el espectro electromagnético (Figura 6.2): 1. Radio. 2. IR. 3. UV. 4. Rayos X. Como la energ´ıa de la radiaci´ on es proporcional a la frecuencia, y ésta es inversamente proporcional a la longitud de onda, los fotones de menor longitud

6.2. ESPECTROSCOPÍA

187

de onda serán más energéticos que los de mayor longitud de onda. Por ello cuando se representa el espectro electromagnético se suele hacer una doble representación, en la que adem´ as de indicarse la longitud de onda de cada región, se expresa la frecuencia o, directamente, la energ´ıa correspondiente a esa longitud de onda.

6.2.

Espectroscop´ıa

Los elementos básicos constituyentes de toda la materia (viva e inerte) son los átomos y moléculas. El estado con menos energ´ıa en que se pueden encontrar estos átomos y moléculas se denomina estado fundamental. Si un átomo o molécula absorbe energ´ıa abandona este estado y pasa a otro estado de mayor energ´ıa, llamado estado excitado. La Mecánica Cuántica afirma que los estados excitados corresponden a valores concretos de energ´ıa, caracterizados por unos valores discretos (llamados n´ umeros cu´ anticos). De igual forma, la energ´ıa que un a´tomo o molécula puede tomar o irradiar es también discreta, y corresponde justamente a la diferencia de energ´ıa entre los estados en los que se encontraba el átomo o molécula. Cuando un a´tomo absorbe energ´ıa lo que ocurre realmente es que sus electrones toman esa energ´ıa para pasar a otro estado de mayor energ´ıa. Sin embargo, una molécula, con sus átomos en continua vibraci´ on y rotaci´ on, también puede tomar energ´ıa pasando a otro estado de rotaci´ on o vibraci´ on de mayor energ´ıa (también con valores discretos de la energ´ıa, caracterizados por unos n´ umeros cu´ anticos). La frecuencia de rotaci´ on o vibraci´ on sólo podr´ a ser la correspondiente a un estado cuántico permitido. Un a´tomo o molécula absorbe o emite energ´ıa, correspondiente a una transición de niveles cuánticos, en forma de fotones, que son las part´ıculas (sin masa) portadoras de la unidad b´ asica de energ´ıa radiante. La energ´ıa de un fot´ on vimos que viene dada por su frecuencia, de la forma: E = h · ν. Es decir, para que un a´tomo o molécula absorba un fotón su energ´ıa debe corresponder exactamente con la diferencia energética entre dos niveles cuánticos. De igual manera, cuando un a´tomo o molécula se relaja desprendiendo energ´ıa (pasando a un nivel energético inferior) emite un fotón cuya frecuencia corresponde a la diferencia de energ´ıa habida en el salto (Ec. (6.2)). Como los niveles energéticos (cuánticos) de un a´tomo o molécula son caracter´ısticos de éstos, las frecuencias de los fotones que podrán absorber o emitir también serán caracter´ısticos. El conjunto de frecuencias que un a´tomo puede emitir/abosrber constituye el llamado espectro de emisión/absorción

188


Figura 6.3: Espectro de absorción del sodio. Transiciones del sodio desde el nivel fundamental (3s) a estados excitados (3p, 4p y 5p). La anchura de la flecha representa la probabilidad de la transici´ on.

del susodicho a´tomo. As´ı pues, por la forma del espectro es posible identificar los átomos y moléculas (la intensidad de las l´ıneas del espectro viene dada por la cantidad de a´tomos que estén irradiando). La figura 6.3 muestra, como ejemplo, el espectro de absorción del sodio. A la derecha están representadas las transiciones correspondientes a las longitudes de onda de dicho espectro. Este es el fundamento de la espectroscop´ıa, la identificaci´ on de a´tomos o moléculas a partir de su espectro de emisión o absorci´ on. Dependiendo de la frecuencia del fot´ on emitido o absorbido por el a´tomo o moléculas se hablará de distintos tipos de espectroscop´ıas como veremos más adelante. De entre los diversos tipos de espectroscop´ıas vamos a centrarnos en cuatro de las más importantes: de absorción molecular, de fluorescencia molecular, de infrarrojo y finalmente, la resonancia magnética nuclear (RMN). Los otros tipos de espectroscop´ıas (como la at´ omica por llama, de plasma, etc.) tienen el mismo fundamento, diferenci´ andose básicamente en la forma en que se excita el átomo para hacerlo emitir.

6.2.1.

Absorci´ on de Radiaci´ on Electromagn´ etica

El término de absorción, en espectroscop´ıa, se refiere a que una especie qu´ımica situada en un medio transparente a la radiaci´ on aten´ ua selectiva-


189

mente ciertas frecuencias de radiación electromagnética. Igual que sucede con los átomos, las moléculas tienen un conjunto caracter´ıstico de posibles estados de energ´ıa, siendo el estado fundamental el de menor energ´ıa. Cuando una molécula es excitada por alg´ un mecanismo (por radiaci´ on, por colisión o térmicamente) pasa a otro de los posibles estados energéticos. Cuando la excitación es debida a la absorci´ on de un fot´ on debe ocurrir que la energ´ıa del fot´ on incidente coincida exactamente con la diferencia de energ´ıa entre el nivel fundamental (en el que se encuentre la molécula) y la del nivel excitado alcanzado. En estas condiciones, la energ´ıa del fot´ on se transfiere ´ıntegramente a la molécula, pudiéndose representar como M + hν → M ∗ . Después de un corto intervalo de tiempo la especie se relaja a su estado inicial transfiriendo su exceso de energ´ıa (la misma que absorbió) a otros a´tomos, moléculas o al medio.

Problema. En una medida de absorci´ on molecular, la longitud de onda de la radiaci´ on absorbida es de 10μm. Calcular: 1. La frecuencia y el n´ umero de ondas de dicha radiaci´ on. 2. La energ´ıa involucrada por cada molécula. 3. La energ´ıa absorbida por mol. 4. ¿Qué longitud de onda tendr´ıa la radiaci´ on absorbida si la diferencia de energ´ıa entre los niveles involucrados fuera el doble?

Soluci´ on. 1. ν =

c λ

= 3 · 1013 Hz; k =

2π λ

= 628318, 5rad/m.

2. Emolec = h · ν = 1, 986 · 10−20 J 2 · 10−20 J. 3. Emol = Emolec · NA = 1,196 · 104 J/mol. 4. ν = 2 · ν = 2 λc =

c λ/2

→ λ =

λ 2

= 5 · 10−6 m.

190


La excitación con radiación visible o UV determina la promoci´ on de un electrón de un orbital molecular o atómico a otro de mayor energ´ıa. Cuando sucede esta transición electrónica se denomina absorci´ on electr´ onica. Además de la transiciones electrónicas pueden suceder transiciones vibracionales, esto es, entre niveles vibracionales en los que los átomos de la molécula vibran en ciertas energ´ıas discretas (existen multitud de niveles vibracionales para un cierto nivel electrónico). La energ´ıa de transición entre estos niveles suele ser aproximadamente un orden de magnitud menor que la de transición entre niveles electrónicos. A su vez, para cada estado vibracional existen multitud de estados rotacionales, cuya diferencia de energ´ıa es t´ıpicamente un orden de magnitud menor que entre los vibracionales. As´ı pues, podemos decir que la energ´ıa total propia de una molécula, incluyendo la energ´ıa de translación, viene dada por ET ot = Eelect + Evibr + Erotac + Etransl . Dependiendo de la energ´ıa de la radiaci´ on incidente se podr´ a producir absorción de radiaci´ on para promocionar entre diferentes estados energéticos, ya sea entre estados rotacionales, vibracionales o electrónicos. La radiación visible/UV promocionar´ a electrones entre estados electrónicos, pero como para cada nivel electrónico existen numerosos niveles vibracionales y, a su vez, para cada vibracional numerosos estados rotacionales pr´ oximos, el espectro de absorción consistir´ a en bandas de absorci´ on (en lugar de l´ıneas aisladas si fuera sólo entre niveles electrónicos). Sin embargo, la radiaci´ on IR no tiene suficiente energ´ıa para producir transiciones electrónicas, aunque s´ı entre estados vibracionales y rotacionales. En la figura 6.4 (a) se representa la absorci´ on de un fot´ on asociada a una transición vibracional de un molécula diatómica. En la figura 6.4 (b) se representa la absorción de un fot´ on asociada a una transición rotacional. El tiempo de vida de un estado excitado es corto porque existen diversos mecanismos por los que un átomo o molécula excitada puede volver a su estado fundamental emitiendo el exceso de energ´ıa absorbido. Este proceso de relajaci´ on puede darse de dos formas distintas, radiante y no radiante. La relajaci´ on no radiante tiene lugar entre niveles vibraciones y rotacionales, simplemente por colisiones entre las moléculas entre s´ı, o con las del disolvente, transfiriéndose as´ı el exceso de energ´ıa al entorno (contribuyendo al aumento de temperatura del medio). Este proceso de relajación es el más probable para un estado vibracional excitado, siendo la vida media de estos niveles de 10−15 s.


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Figura 6.4: Representación de la absorción de un fotón por una molécula diatómica. a) Frecuencia correspondiente a una transición vibracional. b) Frecuencia correspondiente a una transici´ on rotacional.

Cuando la diferencia de energ´ıa entre estados es elevada (superior al eV 1 ) corresponderá a radiación visible o UV, mientras que cuando son transiciones entre niveles vibracionales (diferencias de décimas o centésimas de eV ) corresponde a radiaci´ on IR; las transiciones entre niveles rotacionales corresponden a diferencias de energ´ıa de milésimas de eV . La diferencia de energ´ıa entre los estados vibracionales y rotacionales es tan peque˜ na que por las propias colisiones entre moléculas se cede esa energ´ıa, pasando as´ı a sucesivos estados menos energéticos. Este procedimiento se denomina relajaci´ on vibracional y −15 suele tener un tiempo caracter´ıstico de 10 s. También puede tener lugar una relajaci´ on no radiante entre el nivel m´ as bajo vibracional de un estado electrónico excitado y el nivel vibracional superior de otro estado electr´ onico inferior. Este tipo de relajación se denomina conversi´ on interna y es mucho menos eficaz, con un tiempo de vida media de 10−6 − 10−9 s. As´ı, por ejemplo, los gases y vapores dan espectros de rayas y de bandas (los vapores están constituidos por a´tomos y moléculas libres desligados de su estado condensado). Las rayas son producidas por las transiciones electrónicas at´ omicas, t´ıpicas de los espectros atómicos. Las bandas son producidas por las moléculas presentes en el gas. Estas l´ıneas tan pr´ oximas que aparecen formando bandas son las propias de los espectros moleculares. En la figura 6.5 se muestran las transiciones que pueden ocurrir en una emisión at´ omica (izquierda) y en una emisión molecular (derecha). En los espectros moleculares 1 Recordemos que un eV es una unidad de energ´ıa definida como la energ´ıa que adquiere una carga de un electr´ on cuando es acelerado por un potencial de 1V .

192


Figura 6.5: Espectro de emisión atómica y molecular. E1 y E2 representan estados electrónicos excitados. En la emisión molecular el estado final puede ser cualquiera de los distintos niveles vibracionales (representados por los números 0, 1, 2, 3 y 4) del estado electrónico fundamental.

aparecen varias transiciones desde un mismo estado electrónico excitado, lo que hace que en lugar de rayas aparezcan una serie de bandas.

6.2.2.

Espectro de Absorci´ on. Ley de Beer

Cuando una muestra se somete a radiación, parte de esta radiación puede ser absorbida, mientras que el resto la atravesar´ a y podr´ a ser detectada a la salida. La absorción se puede medir a partir de distintas magnitudes. La fracción de la radiaci´ on electromagnética incidente que transmite una muestra, es decir, la cantidad de radiaci´ on no absorbida, se denomina transmitancia, T . La energ´ıa de radiaci´ on que incide sobre un área de 1cm2 es el poder radiante, p0 , luego midiendo la radiaci´ on a la salida de la muestra, p, se calcula la transmitancia como T = p p0 , esto es, la fracción de radiaci´ on incidente transmitida por la disoluci´ on (también se puede representar en %). Se denomina absorbancia, A, al logaritmo de la inversa de la transmitancia,


193

A = log(1/T ) y expresado en funci´ on de la radiaci´ on incidente y de salida: -

A = −logT = log p0 p

Problema. Transformar los siguientes datos de transmitancia a absorbancia: 1. 1 % 2. 10 % 3. 33 % 4. 90 % 5. 99 % Soluci´ on. Haciendo uso de la definici´ on, A = − log(T ) : 1. A = − log(0, 01) = 2, 0 2. A = − log(0, 1) = 1, 0 3. A = − log(0, 33) = 0, 48 4. A = − log(0, 9) = 0, 0457 5. A = − log(0, 99) = 0, 00436 Obsérvese que la absorbancia vale 1 cuando la transmitancia es del 10 %. Para transmitancias mayores tendremos valores cada vez menores, sin alcanzar el 0 (corresponder´ıa a una transmitancia del 100 %). Por el otro extremo, cada vez que la transmitancia se hace 10 veces más peque˜ na la absorbancia se incrementa en una unidad.

El espectro de absorción es una representación de alguna funci´ on de la atenuación del haz de radiaci´ on al que ha sido expuesta la muestra, frente a


194

Figura 6.6: Esquema de la medida de la transmitividad. b es el espesor de la celda y C es la concentración de la muestra.

la longitud de onda, la frecuencia o el n´ umero de onda. La ordenada de la representación puede ser el porcentaje de absorción ( %), la transmitancia T , la absorbancia, A o el logaritmo de la absorbancia. Es normal que el propio espectrofotómetro dé la lectura directamente de A y T( %). Relaci´ on entre Absorbancia y Concentraci´ on: Ley de Beer. Se puede relacionar la absorbancia con la concentraci´ on de analito2 , a través de la denomina ley de Beer: -

A = log p0 p = · b · C, donde es la absortividad molar ([] = L/mol ·cm), caracter´ıstica de la sustancia, b es la longitud de camino (tama˜ no de celda) y C la concentraci´ on (figura 6.6). Como se ve, la ley de Beer muestra la relación lineal existente entre la absorbancia y la concentraci´ on de analito. A la hora de medir experimentalmente, el analito estará en un recipiente transparente; sin embargo, inevitablemente se producir´ an pérdidas de la radiaci´ on incidente por absorci´ on y reflexi´ on de la celda (aproximadamente del 8 %). As´ı pues, para compensar estos efectos, la potencia del haz transmitido a través de la celda se compara con la de un haz que atraviesa una celda idéntica con sólo disolvente. As´ı se redefine la absorbancia como -

A = log p∗0 p , 2

Componente (elemento, compuesto o i´ on) de la muestra de interés anal´ıtico.


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siendo p∗0 la potencia de radiación que atraviesa la celda sin analito. Cuando la disoluci´ on contiene m´ as de una especie absorbente la absorbancia del sistema multicomponente será la suma de las absorbancia de cada componente: AT ot = A1 + A2 + · · · + An = 1 bc1 + 2 bc2 + · · · + n bcn . Hay que se˜ nalar también que existen limitaciones a la ley de Beer. En primer lugar deja de ser una ley exacta cuando se trata de concentraciones elevadas en las que las perturbaciones sobre una part´ıcula afectan también a sus vecinas. También existen desviaciones de esta ley cuando las especies absorbentes participan en equilibrios que dependen de su concentraci´ on (reacciones de asociación o disociación). Otras desviaciones son debidas al uso de radiaci´ on policrom´ atica que hace que aparezcan absorciones para diferentes longitudes de onda; otras por la presencia de radiaci´ on dispersa producida por el paso a través de las diferentes superficies, filtros y lentes, provocando desviaciones en la longitud de onda y en la cantidad de radiación que atraviesa la muestra. Problema. Una disolución que contiene Bi(III) y tiourea presenta, a 470nm, una absortividad molar de 9, 3 · 103 l · cm−1 · mol−1 . Calcular: 1. La absorbancia que tendr´ a una disoluci´ on 6, 5 · 10−5 M a 470nm en una celda de 5mm de espesor. 2. La transmitancia de la disoluci´ on. 3. La concentraci´ on de una disoluci´ on que presenta una transmitancia del 60 %. Soluci´ on. l · 6, 5 · 10−5 mol 1. A = · b · C = 9, 3 · 103 cm·mol l · 0, 5cm = 0, 30225.

2. T = 10−A = 0, 4986 50 %. 3. A = − log(0, 6) = 0, 22185; luego la concentraci´ on ser´ a: C=

0, 22185 A = = 4, 77 · 10−5 M. ·b 9, 3 · 103 · 0, 5


196

6.2.3.

Equipos

Se puede hacer una clasificación general de los instrumentos de espectroscop´ıa seg´ un los elementos que los componen y su finalidad: Espectroscopio. Es un instrumento destinado a identificar elementos en una muestra que se ha excitado con una llama u otro medio (espectroscop´ıa de absorción). Consta de un monocromador y un ocular móvil en el plano focal de salida. La longitud de onda se determina a partir del ańgulo de salida del haz. Color´ımetro. Es un instrumento de medida de absorción, con el ojo como detector. Para su uso se requieren patrones de comparación. Fot´ ometro. Este instrumento permite la medida cuantitativa de radiación. Se utiliza para absorción, emisión o fluorescencia (los destinados u ńicamente a fluorescencia se denominan, a menudo, fluor´ımetros), tanto con infrarrojo, visible o ultravioleta. Utiliza filtros de absorción o interferencia para seleccionar la longitud de onda y dispone de un fotodiodo para medir la potencia radiante. Espectr´ ografo. Registra espectros en una placa o pel´ıcula fotográfica en el plano focal del monocromador (como se verá más adelante, es un elemento que permite seleccionar una determinada longitud de onda), apareciendo como conjunto de im´ agenes negras de la rendija de entrada. Se utiliza básicamente para análisis cualitativo elemental. Espectr´ ometro. Consta de un monocromador con una rendija fija en el plano focal. Cuando va equipado con transductor en la rendija de salida para la medida de la potencia radiante se denomina de forma espec´ıfica espectrofot´ ometro. Además, seg´ un el dise˜ no del instrumento, éste puede ser de haz simple, de doble haz o multicanal. En el de haz simple un u ńico haz atraviesa la muestra y llega al detector. La medida de la transmitancia incluye, pues, tres pasos: el ajuste del 0 % de Transmitancia, mediante un obturador entre la fuente y el fotodetector; ajuste del 100 %T , haciendo pasar el haz por el disolvente (sin muestra) y variando la intensidad o amplificaci´ on hasta el valor 100; determinación final de la transmitancia, sustituyendo la celda del disolvente por el de la muestra. Como la se˜ nal es proporcional a la potencia de radiaci´ on absorbida se refiere directamente a %T . Cambiando la escala se puede obtener la


197

Figura 6.7: Esquema de montajes experimentales habituales en espectroscop´ıa. a) Instrumento de haz simple, b) instrumento de doble haz con separaci´ on espacial, c) doble haz con separaci´ on temporal. (De Skoog 1997).


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absorbancia. Estos instrumentos deben tener la fuente bien estabilizada para que no existan variaciones en la se˜ nal entre el segundo y tercer paso. El equipo de doble haz utiliza un dispositivo (divisor de haz) para separar los rayos en dos, de modo que unos se hacen pasar por una disoluci´ on de referencia y otros por la muestra; de esta forma ajustando el fotodetector al primer haz se mide el del segundo. Las se˜ nales se amplifican y se determina el cociente de ellas. Otro tipo de equipo de doble haz utiliza un espejo con sectores girado por un motor. Al girar el motor el haz se deja pasar a la muestra o se refleja a la celda de referencia. Las dos se˜ nales se recombinan y se llevan hasta un fotodetector. Mediante una cu˜ na o´ptica se va atenuando la se˜ nal de referencia hasta que se igualen las se˜ nales (mediante un detector de punto cero). La aguja en la cu˜ na permite leer directamente la transmitancia (o absorbancia). Este montaje realiza una separaci´ on temporal del haz, mientras que el anterior realizaba una separación espacial. La ventaja de estos equipos es que compensan las fluctuaciones de la fuente al hacer pasar el mismo haz por la disolución de referencia. El equipo de multicanales utiliza una fuente policrom´ atica sobre la muestra y después se hace pasar el haz por un monocromador de red de difracci´ on. La radiaci´ on dispersada incide en el detector de fila de fotodiodos (compuesto por varios centenares de fotodiodos), de entre 15 y 50 micras de tama˜ no, de modo que se registra en cada diodo una longitud de onda distinta; se obtiene el espectro completo al barrer de forma secuencial toda la salida. Este equipo permite una resolución de 1nm − 2nm, en un tiempo muy corto (del orden de un segundo).

6.2.4.

Componentes B´ asicos

Respecto a los componentes de un equipo de espectroscop´ıa, podemos decir que todos constan de cuatro elementos básicos (dispuestos, seg´ un el caso, en distinta configuraci´ on): una fuente de radiaci´ on, un selector de longitudes de onda, un detector y un procesador y lector de la se˜ nal. En la figura 6.7 se muestra el esquema de montaje experimental de las tres configuraciones habituales en espectrocop´ıa: Instrumento de haz simple (a), instrumento de doble haz con separaci´ on espacial (b) e instrumento con doble haz con separación temporal (c). -Fuente de radiaci´ on. Dependiendo del tipo de espectrometr´ıa emitirá en un rango determinado de longitudes de onda. Pudiendo emitir en continuo o


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Figura 6.8: Esquema de un filtro de interferencia. Una parte del haz incidente se transmite y otra se refleja en la cara semiespejada. Los rayos que no han salido, después de dos reflexiones, vuelven a la cara semireflejante y, de nuevo, unos atravesarán el material y otros volverán a reflejarse, y as´ı sucesivamente. A la salida del material el haz observado será el resultado de la interferencia de los rayos que han sufrido distinto n´ umero de reflexiones. La longitud de onda predominante será la que dé interferencia constructiva entre todos los rayos (ver la expresi´ on en el texto). en rayas (para la absorci´ on at´ omica y la fluorescencia atómica) -Selector de longitud de onda. Existen b´ asicamente dos tipos de selectores, los filtros y los monocromadores. Los primeros pueden ser, a su vez, por interferencia o de absorción. Los filtros de interferencia están constituidos por dos caras semiespejadas en las que se produce interferencia constructiva en la reflexión. Si el espaciado entre las caras es igual a la mitad de la longitud de onda deseada (o un m´ ultiplo de ésta) se reforzará dicha longitud de onda, atenu´ andose las demás (Fig. 6.8). La interferencia entre los distintos rayos reflejados por la primera y segunda cara espejada ser´ a constructiva cuando se cumpla la condici´ on: 2 · n · d = m · λ, siendo d el espesor, m el orden de la interferencia y n el ´ındice de refracci´ on. Luego la longitud de onda m´ axima vendr´ a dada por


200

Figura 6.9: Monocromador por red de reflexión. En la figura, la longitud de onda λ1 queda seleccionada, mientras que λ2 no sale por la rendija de salida.

λmax =

2·n·d . m

Los filtros de absorción están constituidos por un material que absorbe una gama de longitudes de onda, dejando pasar otras. Aunque son m´ as baratos, los inconvenientes de estos selectores son la anchura de banda (Δλ) respecto a la longitud de onda nominal y su baja transmitancia. Los monocromadores consisten en redes de reflexión o en prismas que producen la dispersi´ on del espectro, de modo que mediante un orificio desplazable en el plano focal de salida se puede seleccionar la longitud de onda deseada. Un esquema de un monocromador por red de reflexi´ on se muestra en la figura 6.9. Cada longitud de onda sale con una determinada orientaci´ on que puede ser seleccionada desplazando la rendija de salida en el plano focal del espejo de salida. Las redes de reflexión están formadas por superficies espejadas en forma de diente de sierra, formando sus caras un cierto ángulo. Mediante un espejo cóncavo se orienta el haz paralelo hacia esta red. Dos rayos paralelos al reflejarse en distintas superficies (en distintos dientes) van a recorrer distinta distancia y, por tanto, van a salir con distinta fase. El resultado de esta interferencia ser´ a la aniquilaci´ on de ciertas longitudes de onda (interferencia destructiva) y la intensificación de otras (como sucede con los filtros de in-


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Figura 6.10: Interferencia en una red de reflexión. La diferencia de camino entre los dos rayos será la distancia recorrida desde que incide el rayo 1 sobre la superficie (AC) hasta que sale reflejado el rayo 2 (BD) y vuelven a ser paralelos. Es decir, la diferencia de camino será AB − CD (ver el desarrollo en el texto).

terferencia). Las longitudes de onda que saldr´ an intensificadas ser´ an las que cumplan que el desfase entre los distintos rayos es un m´ ultiplo entero de dicha longitud de onda, es decir, cuando las ondas salgan completamente en fase. En la figura 6.10 puede verse dos rayos reflejados en distintas superficies. La diferencia de camino entre ambos puede verse (por semejanza de tri´ angulos) que es: AB − CD = d · sin(α) − d · sin(β), donde α es el ángulo que forma el rayo incidente con la normal a la red, N , y β es el ángulo que forma el rayo reflejado con dicha normal (seg´ un el convenio ´ de signos habitual en Optica el ángulo reflejado y el incidente tienen signos opuestos). Para que tenga lugar la interferencia constructiva se debe cumplir que esta diferencia de camino sea un m´ ultiplo entero de longitudes de onda: nλ = |AB − CD| = d (sin(α) + sin(β)) . Para cada ángulo de incidencia existe un ángulo de salida para el que una cierta longitud de onda aparece reforzada mientras que las dem´ as quedan atenuadas. De esta manera, mediante otro espejo se focaliza este haz hasta un peque˜ no

202


Figura 6.11: Montaje con un prisma monocromador. Los rayos que entran desde la rendija de entrada pasan por una lente colimadora que los saca paralelos. Al atravesar el prisma el haz se dispersa produciéndose mayor desviación en los rayos de mayor longitud de onda. Finalmente, una nueva lente focaliza los rayos seleccionados con una determinada longitud de onda en la rendija de salida.

orificio de modo que s´ olo va a poder pasar la longitud de onda deseada (con una cierta anchura de banda). Mediante el prisma también se consigue una dispersión del espectro, de modo que con una lente final se hace focalizar en el orificio de salida, seleccionando as´ı una cierta longitud de onda (como se muestra en la figura 6.11). -Detectores y transductores de radiaci´ on. Seg´ un el tipo de radiaci´ on a la que son sensibles se distinguen dos tipos de detectores: los detectores fotónicos y los detectores de calor. Los detectores fotónicos se basan en la interacci´ on de la radiaci´ on con una superficie reactiva que produce fotoemisi´ on, o que eleva los electrones a estados de energ´ıa en los cuales puede conducir electricidad (fotoconducci´ on). Existen varios tipos de detectores fotónicos: Fototubos. Compuestos por un cátodo de material fotoemisivo encerrado, junto a un ańodo, en un tubo sellado de cuarzo; se aplica una tensión de unos 90V para acelerar los electrones arrancados. Fotomultiplicador. Similar al anterior pero compuesto por 9 d´ınodos entre los que los electrones se van multiplicando y acelerando en cada etapa hasta alcanzar los 900V . Al multiplicarse el n´ umero de fotones en cada anodo se consiguen entre 106 − 107 electrones/fotón. Un esquema de un ´ fotomultiplicador se puede ver en la figura 6.12.


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Figura 6.12: Esquema de un fotomultiplicador. Al incidir un fotón sobre el fotocátodo ´ es acelerado hacia el electrodo positivo (primer d´ınodo). En cada arranca un electrón. Este etapa, un electrón choca contra el siguiente d´ınodo arrancando all´ı nuevos electrones. De nuevo, estos electrones son acelerados hacia el siguiente d´ınodo. En la salida se pueden conseguir hasta un millón de electrones por fotón incidente.

Fotodiodo de silicio. Se trata de un diodo de silicio polarizado en sentido inverso de modo que los electrones de UV y VI crean electrones y huecos en la capa vac´ıa, aumentando la conductividad. Células fotovoltaicas o fotocélulas. Consiste en un electrodo de Cu o F e con capa de semiconductor, recubierto con oro, plata o plomo como segundo electrodo. La radiaci´ on sobre el semiconductor crea electrones y huecos que migran en sentido contrario, apareciendo una peque˜ na corriente externa. Los detectores de calor se utilizan para la espectrometr´ıa de infrarrojo. Se mide la subida de temperatura de un material ennegrecido, situado en vac´ıo y muy bien aislado (por ello se requiere un riguroso control de la temperatura). El haz procedente de la fuente se corta con un disco rotatorio obteniendo as´ı una se˜ nal alterna, pudiéndose aislar luego de la se˜ nal continua de fondo. La medida de la temperatura puede hacerse por distintos medios: Termopares. Uno o m´ as pares de uniones de dos metales distintos crean una diferencia de potencial que depende de la temperatura.


204

Termorresistencias o bol´ ometros. Resistencia dependiente de la temperatura, como el platino o algunos semiconductores. Detectores neum´ aticos. Peque˜ na cámara cil´ındrica con xen´ on con una membrana ennegrecida que absorbe calor; en el otro extremo un diafragma flexible variar´ a seg´ un la temperatura. Detectores piroeléctricos. Cristales piroeléctricos compuestos por dos electrodos, uno de ellos transparente a la radiaci´ on IR, creándose una diferencia de voltaje entre ellos dependiente de la temperatura.

-Procesadores y medidores de la se˜ nal. Serán dispositivos electr´ onicos que amplifican, filtran y procesan la se˜ nal para mostrar finalmente el valor de la medida. Aunque conceptualmente serán semejantes a cualquier otro equipo electrónico de medida, tendrán la especificidad propia de cada equipo para trabajar con se˜ nales determinadas que necesitan un tratamiento espec´ıfico.

6.2.5.

Espectroscop´ıa de Absorci´ on Molecular

Este tipo de espectroscop´ıa está basada en la radiación ultravioleta, visible e infrarroja y se usa mucho en la identificación y determinaci´ on de miles de especies inorgánicas y org´ anicas. Esta técnica en visible y UV se emplea primariamente en an´ alisis cuantitativo y es probablemente el procedimiento m´ as usado en los laboratorios qu´ımicos y cl´ınicos de todo el mundo. Los espectros de absorción UV y visible se obtienen de ordinario con muestras gaseosas del analito o con disoluciones diluidas del analito en un disolvente transparente. La excitaci´ on con radiación visible o UV determina la promoción de un electr´ on de un orbital molecular o at´ omico a otro de mayor energ´ıa. Cuando sucede esta transición electrónica se denomina absorci´ on electr´ onica. Las moléculas absorben, generalmente, radiación UV o visible en forma de una o más bandas de absorci´ on electrónica, cada una de las cuales consta de un n´ umero muy grande de rayas discretas muy pr´ oximas unas de otras. Cada raya se debe a la transici´ on de un electrón desde el estado fundamental a uno de los muchos estados de energ´ıa vibracionales y rotacionales asociados con cada estado de energ´ıa electrónica excitado. Dado que las diferencias de energ´ıa entre estos estados vibracionales o rotacionales var´ıa muy poco, y al gran n´ umero de estos estados posibles, hay un gran n´ umero de rayas contenidas en una banda t´ıpica. Si además hay una interacci´ on, de cierta forma, con las moléculas del disolvente, se modifican los niveles vibracionales (Fig. 6.13).


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Figura 6.13: Transiciones propias de absorción molecular. Con IR se producen transiciones rotacionales y vibracionales dentro del mismo nivel electrónico. Con visible se producen transiciones electrónicas al siguiente nivel electrónico. Con UV suceden transiciones electrónicas a niveles superiores o cuando existen grandes diferencias de energ´ıa entre los niveles.

Los electrones responsables de que las moléculas orgánicas absorban UV y visible son los electrones compartidos que participan directamente en enlaces (dobles fundamentalmente) y que están asociados a más de un a´tomo, y los electrones externos no compartidos, localizados preferentemente en torno a ´ atomos como el ox´ıgeno, halógenos, azufre y nitr´ ogeno. Sin embargo, los enlaces sencillos de carbono-carbono o carbono-hidr´ ogeno corresponden a longitudes de onda de la región ultravioleta de vac´ıo (λ < 180nm) por estar fuertemente sujetos. Los grupos funcionales orgánicos no saturados que absorben en las regiones UV y visibles se llaman crom´ oforos. Experimentalmente se observan grandes absorciones con los denominados complejos de transferencia de carga, presentando absortividades molares mayores que las habituales ( > 10,000). Se origina un espectro de transferencia de carga cuando la absorción de un fot´ on ocasiona la tranferencia de un electr´ on desde un ligando al metal, o viceversa, en complejos de metales de transici´ on. El estado excitado es, por tanto, el producto de una especie de proceso interno de oxidación/reducci´ on. Si bien suelen volver a su estado original, también puede disociarse y producir productos fotoqu´ımicos de oxidación/reducción.


206

6.2.6.

Espectroscop´ıa de Fluorescencia Molecular

La fluorescencia y la fosforescencia son procesos de emisión de importancia anal´ıtica, basados en la excitación de ´ atomos o moléculas por absorción de radiaci´ on electromagnética. La especie excitada se relaja después al estado fundamental cediendo el exceso de energ´ıa pero en forma de fotones de mayor longitud de onda. La relajaci´ on consiste en un salto entre un nivel electrónico excitado y el nivel fundamental, pero a cualquiera de sus estados vibracionales. Este procedimiento se denomina fluorescencia. Lo mismo que las bandas de absorci´ on molecular (proceso inverso) las bandas de fluorescencia molecular constan de multitud de rayas tan pr´ oximas entre s´ı que suelen ser dif´ıcil de umeresolver. La fluorescencia es un fenómeno que puede durar 10−5 s. El n´ ro de moléculas que presentan fluorescencia es relativamente peque˜ no porque se requieren caracter´ısticas estructurales que disminuyan la velocidad de los procesos de relajación no radiante y aumenten la velocidad de relajaci´ on fluorescente. Puede suceder, además, que por motivos estructurales la relajación sea todav´ıa más lenta, durando minutos e incluso horas. Cuando ocurre esto se denomina al fen´ omeno fosforescencia. Desde el punto de vista qu´ımico, los compuestos que contienen anillos arom´ aticos son los que suelen presentar una emisión de fluorescencia molecular más intensa y u ´til. También presentan fluorescencia las estructuras de dobles enlaces conjugados o los hidrocarburos arom´ aticos no sustituidos. La sustituci´ on de un anillo aromático determina el corrimiento de las longitudes de onda de absorci´ on y cambios correspondientes en los picos de fluorescencia. Experimentalmente se comprueba que la fluorescencia está particularmente favorecida por la rigidez de la molécula, ya que disminuye la velocidad de relajaci´ on no radiante. En este mismo sentido, cuando disminuye la temperatura de la muestra disminuye la frecuencia de colisiones, disminuyendo la probabilidad de relajaci´ on vibracional y, por tanto, aumenta la eficiencia de la fluorescencia. Un aumento de la viscosidad del disolvente conduce al mismo resultado.

6.2.7.

Espectroscop´ıa de Infrarrojo

Esta es una de las técnicas más eficaces para identificar compuestos org´ anicos e inorg´ anicos puros porque, con la excepci´ on de unas pocas moléculas homonucleares (O2 , N2 , Cl2 ) todas las especies moleculares absorben radiación infrarroja. Adem´ as, exceptuando moléculas quirales en el estado cristalino, cada especie molecular tiene un u ´ nico espectro de absorción de infrarrojo. As´ı,


207

Figura 6.14: Transiciones no radiantes y de fluorescencia. Estas u´ltimas tienen lugar desde el nivel vibracional más bajo de un estado electr´ onico excitado.

la coincidencia exacta entre el espectro de un compuesto de estructura conocida y la de un analito identifica a este u ´ltimo de forma inequ´ıvoca. Por otra parte, esta técnica es menos satisfactoria para análisis cuantitativos que sus correspondientes UV y VI porque los picos que caracterizan la absorción son estrechos y de ordinario no se cumple la Ley de Beer. Los espectros de IR presentan picos de absorci´ on estrechos situados muy cerca unos de otros, que resultan de transiciones entre los niveles cuánticos vibracionales. El n´ umero de formas en las que puede vibrar una molécula está relacionado con el n´ umero de átomos y, por tanto, con el n´ umero de enlaces que contiene. Aunque todas las moléculas presentan multitud de modos vibracionales, no todos producen picos en IR. Un gran inconveniente de esta técnica es la incertidumbre producida por la radiaci´ on térmica del entorno. Para minimizar los efectos de este ruido externo los detectores están alojados bajo vac´ıo y se protegen cuidadosamente de su medio ambiente.


208

6.2.8.

Resonancia Magn´ etica Nuclear

De manera similar a las técnicas anteriormente citadas, la resonancia magnética nuclear (RMN) utiliza radiación para producir cierta excitaci´ on en los átomos de la muestra a examinar. Sin embargo, esta radiación no se utiliza para alterar la configuraci´ on electrónica de los ´ atomos, sino que sirve para inducir un cambio en la configuraci´ on del estado de las part´ıculas nucleares del a´tomo. El fundamento de la RMN es la interacci´ on entre los campos magnéticos nucleares y una radiaci´ on de radiofrecuencia (RF) que hace entrar en resonancia las part´ıculas nucleares. Para comprender esta interacción vamos a ver, en primer lugar, las propiedades magnéticas del n´ ucleo atómico (haciendo uso de algunos conceptos de Mecánica Cuántica, pero sin entrar en demasiado detalle). Las part´ıculas subat´ omicas del n´ ucleo (también llamados nucleones), protones y neutrones, tienen asociado un momento magnético (como si fueran peque˜ nos imanes, que podr´ıa asociarse al campo magnético creado por el giro de una part´ıcula cargada) que hace que en presencia de un campo magnético éstas se orienten siguiendo al campo externo. El par´ ametro o n´ umero cu´ antico que sirve para cuantificar este momento magnético es el llamado esp´ın (o spin). La Mecánica Cuántica nos dice que el momento magnético nuclear con esp´ın nuclear I dentro de un campo magnético sólo puede tener un n´ umero determinado de posibles orientaciones, dado por la expresión 2I + 1. El n´ umero cu´ antico de esp´ın que define el subnivel es mI y puede valer desde −I hasta +I, en incrementos enteros (es decir, un valor dentro del conjunto {−I, −I + 1, ..., I − 1, I}). De esta forma un n´ ucleo con esp´ın I = 1 tendr´ a 3 posibles orientaciones mI , mientras que uno con esp´ın I = 1/2 tendr´ a dos posibles orientaciones. En ausencia de campo magnético externo todas estas posibles orientaciones corresponden al mismo nivel de energ´ıa. Sin embargo, si se aplica un campo magnético este nivel energético se separa en 2I +1 subniveles distintos de energ´ıa. El momento magnético de un n´ ucleo con esp´ın I, y con una orientación mI es: μ=g

e·h mI = gμN mI , 4πmp

donde g es un valor numérico, denominado factor de Lande o factor g, propio de cada n´ ucleo (como ejemplo, para el n´ ucleo de hidrógeno g = 5, 58 y para el 17 n´ ucleo del O , g = −3, 78), h es la constante de Planck y μN es el denominado magnet´ on nuclear que se define como el momento magnético del protón de carga e y masa mp , como


μN =

209 e·h = 5, 05 · 10−27 J/T. 4πmp

También se puede escribir el momento magnético a partir de otra constante que nos va a ser más u ´til para describir la resonancia magnética: 1 μ = γ · h, 2 donde γ es también una constante caracter´ıstica de cada n´ ucleo que se denomina relaci´ on giromagnética (que para el prot´ on vale 42, 58M Hz/T y para el C 13 vale 10, 71M Hz/T ). Los átomos con n´ umero par de nucleones no van a ser susceptibles de producir se˜ nales de resonancia magnética porque, en promedio, no presentan momento magnético nuclear, es decir, tienen I = 0 y, por tanto, no presentar´ an desdoblamiento de sus niveles de energ´ıa. De los átomos con n´ umero 1 13 impar de nucleones, el hidr´ ogeno H y el carbono C son los más interesantes desde el punto de visto biol´ ogico. En concreto, el H 1 presente en el agua y grasas del cuerpo (y en la mayor´ıa de las biomoléculas, y que se estima representa cerca del 80 % de los átomos del cuerpo), es el elemento más utilizado en la RMN. No obstante, la utilidad anal´ıtica de esta técnica radica en las variaciones del momento magnético efectivo del n´ ucleo debido a los electrones pr´ oximos, tanto del propio a´tomo como los de enlace. Esto hace que dependiendo de la localizaci´ on en la molécula y del tipo de enlace que tenga se va a producir un peque˜ no desplazamiento en la relación giromagnética, denominado desplazamiento qu´ımico, presentando as´ı diferentes frecuencias de resonancia. Para simplificar, vamos a continuar esta parte centr´ andonos u ńicamente en la detección de los protones (H 1 ), con esp´ın I = 12 . La energ´ıa asociada a cada subnivel viene dada por la interacción de su momento magnético con el campo magnético externo, B0 , de la forma: 1 Em = −μ · B0 = − γh · B0 . 2 Luego la diferencia de energ´ıa entre dos subniveles será dos veces el incremento de energ´ıa magnética del esp´ın, es decir, ΔE = 2μB = γh · B0 1, 76 · 10−7

eV · B(T ), T

(6.3)

Consideremos ahora una muestra en ausencia de campo magnético. Como los vectores del momento magnético de cada prot´ on tienen una orientaci´ on al


210

Figura 6.15: Representación de la precesión del esp´ın nuclear dentro de un campo magnético.

azar, el promedio para el conjunto de todos los protones de la muestra, realizando la suma de todos los vectores, ser´ a nulo, es decir, no presentar´ a momento magnético macrosc´ opico (magnetización nula). Si ahora se coloca la muestra on interactuar´ a con este campo en el seno de un campo magnético B0 , cada prot´ tendiendo a alinearse con él, produciendo un efecto equivalente a la precesi´ on de una peonza al girar y estar sometida a la fuerza de la gravedad (como se muestra en la figura 6.15). Aparecer´ a una frecuencia de precesi´ on, llamada 3 on: frecuencia de Larmor , ω0 , que está dada por la ecuaci´

ω0 = γB0 .

(6.4)

Esta frecuencia de resonancia corresponde a la frecuencia de absorción entre los dos subniveles, cuya diferencia de energ´ıa vimos en la ecuación (6.3).

3

Conviene aclarar que habitualmente se representa con el s´ımbolo ω0 aunque no se trata de una frecuencia angular (en rad/s). En la notaci´ on general y de este libro el s´ımbolo para frecuencia es ν0 .


211

Problema. Calcular qué campo magnético ser´ıa necesario aplicar en una medida de RMN si quisiéramos crear una diferencia de energ´ıa de 10−6 eV entre los dos estados de esp´ın del n´ ucleo de hidrógeno y con qué frecuencia habr´ıa que excitar. Soluci´ on. ΔE = 2 · μ · B = 1, 758 · 10−7 eV · B, luego B=

10−6 eV = 5, 69T. 1, 758 · 10−7 eV /T

La frecuencia correspondiente será, seg´ un la relación de Planck: ν=

10−6 eV · 1, 6 · 10−19 J/eV ΔE = = 242 · 106 Hz = 242M Hz. h 6, 62 · 10−34 J · s

Es importante darse cuenta que la frecuencia de Larmor es distinta para cada tipo de n´ ucleo y, por tanto, para un mismo campo externo, la frecuencia de precesi´ on será distinta para n´ ucleos distintos. Esta tendencia a alinearse con el campo va a producir una interacción con el campo que se conoce como interacción Zeeman. Esta interacción va a hacer que exista una diferencia de energ´ıa entre los n´ ucleos alineados paralelos a B0 y aquéllos con alineación antiparalela a B0 . En este caso, en presencia de campo, el promedio del momento magnético va a dar una contribuci´ on neta en la direcci´ on del campo externo B0 , es decir, la muestra va a presentar una magnetización neta, M , no nula. Esta magnetizaci´ on va a ser la fuente de se˜ nal para el experimento de resonancia magnética. Por tanto, cuanto mayor sea el campo externo, B0 , mayor será la magnetización y, consecuentemente, mayor será la se˜ nal de resonancia magnética. Veamos, a continuación, cómo se produce la se˜ nal de resonancia magnética. En ausencia de campo magnético externo los protones, en equilibrio, ocupar´ an el estado de m´ınima energ´ıa (estado fundamental). En presencia de campo magnético externo, como existe una peque˜ na diferencia de energ´ıa entre ambos subniveles, una cierta población estará en el nivel fundamental y otra, menor, en el estado excitado. Esta diferencia de energ´ıa es mucho menor que la energ´ıa térmica. Para temperatura ambiente la energ´ıa térmica, Et = kB T (donde ahora T es la

212


Figura 6.16: Al aumentar el campo magnético aplicado se incrementa la diferencia de de energ´ıa entre los subniveles nucleares. Por ejemplo, para un campo externo de aproximadamente 7T la diferencia de energ´ıa entre un subnivel con esp´ın alineado paralelamente (α-esp´ın) y otro antiparalelamente (β-esp´ın) corresponde a una frecuencia de 300M Hz.

temperatura), es del orden de 0, 04eV , mientras que para un campo de 1T on la energ´ıa magnética será Em 2, 28 · 10−8 eV . La distribución de poblaci´ en los distintos subniveles (es decir, el n´ umero de protones en cada subnivel) sigue la ley de distribución de Boltzmann. Seg´ un esta estad´ıstica, el n´ umero de protones con esp´ın en estado excitado (no alineado con el campo externo), respecto al fundamental (alineado con el campo) ser´ a, para un valor t´ıpico de B = 1T , de: ΔE Nnoalin − ΔE = 1 − 4,4 · 10−6 . = e kB T 1 − Nalin kB T Es decir, que el exceso de protones en el estado alineado (menor energ´ıa) es sólo de 4 en un mill´ on. Afortunadamente, a pesar de esta fracci´ on tan peque˜ na el n´ umero de protones es tan elevado que se podrá obtener una se˜ nal medible cuando se produzca la relajaci´ on. Se puede observar que incrementando el valor el campo externo aumentamos las diferencias de energ´ıa entre subniveles y, por tanto, la diferencia


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de población entre ellos. La magnitud de la se˜ nal de RMN es directamente dependiente de esta diferencia de poblaci´ on. Por tanto, para obtener buenas medidas con RMN será fundamental disponer de un campo magnético externo muy intenso (más adelante veremos cómo se puede obtener estos campos intensos). La figura 6.16 muestra c´ omo aumenta la diferencia de energ´ıa entre los subniveles al aumentar el campo magnético externo,

La manera de producir una se˜ nal detectable que indique la presencia de un prot´ on (o cualquier n´ ucleo con esp´ın nuclear distinto de cero) es inducir, mediante una radiaci´ on con la energ´ıa correspondiente al salto energético entre dichos subniveles, la excitación de los protones en estado fundamental y detectar, posteriormente, la radiación emitida en su proceso de relajaci´ on.

Mediante una radiaci´ on con la energ´ıa correspondiente a la diferencia energética entre estos subniveles (E = hν = 2μB, correspondiente a radiaci´ on de radiofrecuencia) se puede excitar la part´ıcula nuclear cambiando as´ı su polarización de esp´ın, pasando de tener su momento magnético alineado con el campo externo a tenerlo contra-alineado.

En la visi´ on de una part´ıcula precesando alrededor de la dirección del campo externo, una perturbaci´ on con una frecuencia igual a la frecuencia de precesi´ on (frecuencia de Larmor) permitirá que aquélla absorba toda la energ´ıa pasando a un estado de mayor energ´ıa. Cu´ anticamente diremos que cuando un fot´ on con frecuencia de Larmor, correspondiente seg´ un la ley de Planck (Ec.(6.2)) a la diferencia de energ´ıa de dos subniveles, interacciona con el prot´ on se induce un salto entre dichos subniveles. Como hay más n´ ucleos en el estado de nivel bajo de energ´ıa, habr´ a una absorci´ on neta de radiaci´ on en la muestra.

La frecuencia del pulso de radiofrecuencia (RF) aplicado tendr´ a su máximo en la frecuencia ω0 . Cuando esta radiación cesa se producirá una relajación paulatina ya que termodin´ amicamente es más favorable este estado. Si se coloca una bobina conductora perpendicular al plano XY, como antena, se podr´ a detectar el conjunto de se˜ nales de RF emitido por los distintos n´ ucleos de la muestra.


214

Problema. Calcular el campo magnético que ser´ıa necesario aplicar para separar los subniveles de esp´ın nuclear del C 13 la misma cantidad que la separación existente entre los subniveles del H 1 cuando se le somete a un campo de 1T . ¿Qué frecuencia debe tener la radiación aplicada para producir la resonancia magnética? Soluci´ on. Partiendo de las relaciones giromagnéticas: γC 13 = 10, 71M Hz/T, γH 1 = 42, 58M Hz/T, podemos escribir el campo magnético a partir del cociente entre ambas, de la forma: 1

B=

42, 58 γ 1 h · 1T γ H · 1T ΔE = = H = T = 3, 98T. 13 C γC 13 h γC 13 h 10, 71 γ

Y la frecuencia de la radiación será: ν = ω0 = γB0 = 10, 71

M Hz · 3, 98T = 42, 58M Hz, T

como era de esperar, ya que hemos impuesto que la diferencia de energ´ıa entre los subniveles fuera la misma que para el hidr´ ogeno con un campo de 1T . Para obtener una se˜ nal de RM necesitaremos, en primer lugar, un muestra contenida en un recipiente, generalmente un tubo de vidrio de unas determinadas cualidades y caracter´ısticas; seguidamente necesitaremos un campo magnético en el que introducir dicha muestra, es decir un im´ an. Los primeros fueron imanes convencionales (un n´ ucleo de hierro dulce y una bobina enrollada en torno a él), pero desde mediados de los 60 se suelen utilizar superconductores que son más f´ aciles de fabricar y alcanzan campos mucho m´ as intensos. A continuación, un emisor de radiofrecuencias con el que irradiar dicha muestra y, con el fin de observar si se ha producido absorción, necesitaremos también un receptor (una antena) y un detector de las mismas para comparar dichas radiaciones. Finalmente será necesario un ordenador que convierta las ondas observadas en un espectro de RMN interpretable. Un esquema

´ DE LA RADIACION ´ CON LA MATERIA 6.3. INTERACCION

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Figura 6.17: Esquema de un sistema de Resonancia Magnética Nuclear. La muestra se encuentra rodeada del emisor y detector de radiofrecuencia, y situada entre dos potentes electroimanes. La emisión y recepci´ on de la señal está controlada por un ordenador que permite obtener directamente el espectro de RMN.

de este tipo de montaje se muestra en la figura 6.17.

6.3.

Interacci´ on de la Radiaci´ on con la Materia

El hecho de que los átomos y moléculas absorban radiación, adem´ as de permitirnos identificarlos de manera u ´ nica en estudios anal´ıticos, va a tener una repercusi´ on especial en los sistemas vivos. Vamos a ver, a continuación, el efecto directo de la interacción con los constituyentes de la materia y, posteriormente, veremos algunos ejemplos concretos del efecto de la radiación sobre algunos sistemas biol´ ogicos.

6.3.1.

´ Efectos de la Interacci´ on de los Fotones con los Atomos y Mol´ eculas

Además de la absorción y emisión de fotones, existen otros mecanismos de interacci´ on entre los fotones y las part´ıculas materiales. Realmente las interacciones con la materia son fenómenos muy complejos en los que intervienen tanto las propiedades de las radiaciones como la estructura atómica y las energ´ıas de ligadura de los nucleones y electrones. Se pueden clasificiar, por sus diferentes consecuencias, tres niveles generales de interacciones: a nivel nuclear (cuando interacciona directamente con los nucleones), a nivel electrónico de capas profundas y con los electrones de valencia. A nivel nuclear las interacciones son muy complejas y las consecuencias son mucho más dr´ asticas, ya que suele conllevar la transformaci´ on del n´ ucleo. Veremos brevemente las interac-

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ciones a nivel electrónico: las interacciones más importantes con los electrones profundos son el efecto Compton y el efecto fotoeléctrico. F´ısicamente, las interacciones con los electrones de valencia dan lugar, entre otros, a dos fenómenos importantes: la ionizaci´ on y la excitaci´ on asociativa. En ambos procesos se forman radicales libres (iones, moléculas o fragmentos moleculares que tienen electrones desapareados) muy energéticos. A la radiación que en su interacci´ on con la materia produce la ionizaci´ on de la misma se le denomina radiaci´ on ionizante (aunque este término engloba, adem´ as, radiación no electromagnética como electrones o n´ ucleos atómicos). Dada la enorme importancia, desde el punto de vista tecnológico, biol´ ogico y médico de este tipo de radiaci´ on, vamos a centrarnos en ella en la próxima sección. De las interacciones con los electrones de valencia comentaremos algunos ejemplos concretos de interés biológico, como el ozono, el fen´ omeno de la visión o la fotos´ıntesis. Efecto Fotoel´ ectrico Consiste básicamente en la absorción de un fot´ on por un a´tomo captando toda su energ´ıa. Como consecuencia de ello un electrón es arrancado de su capa electrónica. La diferencia de energ´ıa del fot´ on (E) y la energ´ıa de enlace del electrón (Wi ) será la energ´ıa cinética con la que saldrá despedido el electrón (Fig. 6.18 (a)). Su hueco es ocupado en cascada por electrones superiores, dando lugar a fluorescencia de rayos X caracter´ıstica. El efecto fotoeléctrico sólo se puede producir con un electrón de una capa i si E ≥ Wi . Entonces, la ionizaci´ on de la capa i a la que pertenec´ıa el electrón va seguida de la emisión de fotones de fluorescencia. Efecto Compton Esta interacci´ on sucede cuando un fot´ on incidente con energ´ıa E interacciona con un electr´ on de la corteza, arrancándolo y transfiriéndole una parte de su energ´ıa (Fig. 6.18 (b)). El resultado de la interacci´ on es un incremento de la energ´ıa cinética del electrón y la emisión de un fot´ on de menor energ´ıa (fot´ on dispersado). Existen unas expresiones (denominadas relaciones de Compton) que dan cuenta de la relaci´ on entre las energ´ıas del electrón y la del fot´ on dispersado, y de los ángulos seg´ un los cuales son emitidos. La energ´ıa transferida variar´ a entre Ec = 0 (choque tangencial) y Ec,max (choque frontal). El exceso de energ´ıa cinética captada por el electrón termina por cederse al ambiente. Este efecto contribuye a la generaci´ on de electrones


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Figura 6.18: Esquema de la interaccin de un fotón energético con un átomo. A la izquierda se muestra el efecto fotoeléctrico (a) y a la derecha el efecto Compton (b).

secundarios energéticos en el seno del material. Cuando los fotones son muy energéticos la mayor parte de su energ´ıa es transferida al electr´ on (y finalmente absorbida por el medio); mientras que cuando los fotones son poco energéticos la casi totalidad de la energ´ıa se transfiere al fotón dispersado. Esta interacción es proporcional a la densidad del material (realmente a la densidad electrónica). Ionizaci´ on Es la consecuencia directa de la interacción de radiaci´ on con carga, es decir, part´ıculas α (n´ ucleos de Helio) y β (electrones), ya que al acercarse a los electrones sus campos eléctricos pueden arrancar a los electrones de valencia que son los menos ligados de los átomos. Lógicamente también quedar´ an ionizados los átomos que experimenten el efecto Compton o el efecto fotoeléctrico ya que normalmente los huecos creados se irán rellenando con electrones m´ as externos, en cascada, hasta afectar a los electrones de valencia. Cuando afecta a un electr´ on de una molécula, ésta se convierte en un radical libre, muy reactivo, produciendo nuevas reacciones qu´ımicas. Un ejemplo importante de las reacciones radiol´ıticas es la ionización del agua : H2 0 + hν → (H2 O)+ + e− → H + + OH − + e− ,


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donde como producto aparece el radical hidroxilo (OH − ) con el electrón desapareado. Excitaci´ on Disociativa La radiaci´ on con carga puede excitar electrones de los orbitales de valencia, sin llegar a arrancarlos. Este estado excitado puede acabar produciendo la disociaci´ on de enlaces. En el caso del agua también se puede producir la reacción radiol´ıtica por este proceso: H2 O + hν → (H2 O)∗ → H + + OH − . Nuevamente, los radicales hidroxilo y el hidr´ ogeno reactivo dar´ an lugar a una cadena de reacciones con átomos o moléculas de su entorno. Vamos a ver, a continuación, algunos efectos de la interacción de la radiación con los dos medios donde se desarrolla la vida, la atmósfera y el agua. Después veremos el papel fundamental que tiene la radiación en algunos procesos biológicos, as´ı como un ejemplo en el que se utiliza la radiaci´ on con fines pr´ acticos, para producir alteraciones letales en algunos sistemas vivos. En la sección de Radiaciones Ionizantes veremos más espec´ıficamente los efectos nocivos de esta radiación que es necesario prevenir porque puede ser especialmente peligrosa para la vida.

6.3.2.

Efectos Fotobiol´ ogicos

Dada la importancia del papel de la radiaci´ on en muchos procesos biol´ ogicos vamos a comentar brevemente algunos ejemplos de cómo se produce la interacci´ on de la radiaci´ on con algunas moléculas biol´ ogicas espec´ıficas, en determinados mecanismos biol´ ogicos. De especial interés en Biolog´ıa cabe destacar el proceso de la fotos´ıntesis y la visión. Desde el punto de vista de las aplicaciones biomédicas podemos citar, además, la esterilización por radiación ultravioleta o el radiodiagn´ ostico (como se comentará al final del cap´ıtulo). Muchos procesos biol´ ogicos llevan involucradas reacciones qu´ımicas que tienen como catalizador o como fuente de energ´ıa la absorci´ on de radiaci´ on luminosa (radiaci´ on cuya longitud de onda corresponde al espectro visible). En los procesos fotobiológicos la molécula biol´ ogicamente funcional absorbe un fot´ on para pasar a un estado excitado. En este estado excitado se produce una transformaci´ on qu´ımica (reacción fotoqu´ımica). Después de este primer acto fotoqu´ımico las dem´ as reacciones qu´ımicas involucradas se realizan sin luz.


219

El Ozono En los or´ıgenes de la Tierra la atm´ osfera no estaba constituida, como en la actualidad, por ox´ıgeno y nitr´ ogeno como componentes más abundantes. Las moléculas de vapor de agua existentes en la atm´ osfera primitiva eran descompuestas por la radiación ultravioleta muy energética procedente del Sol (no exist´ıa ning´ un tipo de filtro para esta radiaci´ on) en hidr´ ogeno y ox´ıgeno gaseosos: hν

2H2 O −→ 2H2 + O2 . Este ox´ıgeno formado en la descomposición del agua junto con el producido en otras reacciones qu´ımicas en la superficie de la Tierra (en la que participaron también los primeros sistemas vivos que habitaron en esta atmósfera reductora) fueron creando una atm´ osfera oxidante más parecida a la actual. Por otra parte, el ox´ıgeno gaseoso también se descompone por la acción de la radiaci´ on ultravioleta, pero en su recombinación puede unirse con una andose una molécula de ozono (O3 ): molécula de O2 , form´ O2 + hν|λ<240nm → O + O, O2 + O → O3 . También puede ocurrir, por efecto de radiación UV (aunque menos energética, λ < 320nm), la descomposición del ozono en ox´ıgeno atómico y ox´ıgeno molecular. En este equilibrio din´ amico de formación y descomposición de ozono se está absorbiendo radiaci´ on ultravioleta y emitiendo radiaci´ on infrarroja, con lo que el resultado neto es la transformaci´ on de radiaci´ on UV en calor. Este proceso es, pues, muy importante para la vida en la Tierra, porque elimina buena parte de la radiación UV muy energética (perjudicial para la vida), además de contribuir a su calentamiento. De esta forma, además de aparecer el ox´ıgeno en la atmósfera se fue creando una capa de ozono (que si sit´ ua en la atm´ osfera en torno a los 30km de altitud) que constituye un auténtico filtro de radiaci´ on ultravioleta tan da˜ nina para la vida, como veremos m´ as adelante. La Visi´ on Las células responsables de la recepción de la luz en el proceso de la visión ´ son los conos y bastones (Fig. 6.19). Estas tienen en su parte externa unos

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Figura 6.19: Bastón y cono. discos en los que se encuentra la rodopsina, prote´ına compleja compuesta de la prote´ına opsina y el grupo crom´ oforo retinal. Por acci´ on de la luz el retinal se escinde de la rodopsina pasando a una conformaci´ on de isómero más estable: el retinal cambia su geometr´ıa de cis a trans (este cambio de geometr´ıa se puede visualizar en la figura 6.20), lo que la hace no apta para unirse a la opsina produciéndose as´ı su separación, cambiando su color del rojo p´ urpura al amarillo. Este cambio estructural provoca un desplazamiento de la rodopsina hacia la fase hidr´ ofoba interna de la membrana, aumentando la permeabilidad de ésta a algunos iones (a la vez que cierra los canales para los iones sodio). Esta circunstancia provoca la aparici´ on de unos potenciales que excitan el impulso nervioso. La aparici´ on de este impulso nervioso puede verse en la sección del Potencial de Acción. En la figura 6.21 se muestra el ciclo de la rodopsina: el retinal (trans) se reduce enzimáticamente a vitamina A (perdiendo completamente el color). A continuaci´ on la vitamina A es transportada al h´ıgado donde se transforma en 11-cis-vitamina A. Finalmente es transportada de nuevo al ojo donde se oxida pasando a 11cis-retinal que se combina con la opsina para dar la rodopsina e iniciar de nuevo el ciclo visual de la molécula. Para percibir el color, los conos contienen adem´ as otros pigmentos (yodopsinas) que tienen sus máximos de absorción para los 445nm, 535nm y 570nm. As´ı pues, existen conos sensibles al rojo, otros al verde y otros al azul,


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Figura 6.20: Transición cis-trans. Dos átomos o grupos atómicos intercambian su posición manteniendo los mismos enlaces. Como resultado cambia la simetr´ıa de la molécula.

Figura 6.21: Esquema de las transformaciones qu´ımicas involucradas en el proceso de la visi´ on.

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obteniéndose, por composición de los tres colores, la visión cromática.

Fotos´ıntesis La fotos´ıntesis es el proceso más importante en la obtenci´ on de energ´ıa bioqu´ımica en Biolog´ıa. La energ´ıa bioqu´ımica es una energ´ıa qu´ımica acumulada en forma de biomoléculas obtenida, normalmente, de otras transformaciones qu´ımicas. En la fotos´ıntesis se obtiene energ´ıa bioqu´ımica a partir de la energ´ıa de radiaci´ on. La molécula espec´ıfica sensible a la radiación en el proceso de fotos´ıntesis es la clorofila. Esta molécula consiste en un anillo tetrapirr´ olico que contiene un a´tomo de magnesio en su centro. Existen dos tipos de clorofila, a y b, que tienen distinto rango de longitudes de onda a las que son sensibles. As´ı, por ejemplo, la clorofila a tiene su rango entre 400nm y 800nm y presenta un m´ınimo entre 500nm y 600nm, correspondiente a la región del verde. Este es el motivo por el que las hojas de las plantas se vean verdes (absorben todas las longitudes de onda salvo la del verde, que la reflejan). Los pigmentos que absorben la luz, situados en la membrana, se hallan dispuestos en conjuntos. Estos fotosistemas contienen alrededor de 200 moléculas de clorofila y unas 50 de carotenoides. Todas las moléculas del conjunto pueden absorber luz, pero sólo una molécula de clorofila, combinada con una prote´ına espec´ıfica, transforma la energ´ıa luminosa en energ´ıa qu´ımica, por lo que recibe el nombre de centro de reacci´ on fotoqu´ımica. Todas las demás moléculas son colectoras o moléculas antena. Las membranas de los cloroplastos poseen 2 tipos de fotosistemas, denominados fotosistemas I y II. El fotosistema I está asociado con moléculas de clorofila que absorben a longitudes de onda m´ as largas (700nm), y el fotosistema II se activa con longitudes de onda más cortas (680nm). En este fotosistema ocurre el desprendimiento de ox´ıgeno. Ambos sistemas act´ uan como trampas fot´ onicas. Cuando se absorbe un fotón por la clorofila se transfiere hasta el centro de reacción, llamado P700 y P680 para el fotosistema I y II, respectivamente. La molécula de clorofila del centro de reacción se excita con esta energ´ıa liberando un electr´ on. Esta molécula se neutralizar´ a por la cesión de un electr´ on procedente de una molécula de agua, con lo cual el ox´ıgeno del agua se desprende a la atmósfera seg´ un la siguiente ecuaci´ on 2H2 O + 4hν → O2 + 4H + + 4e− .


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Figura 6.22: Fotos´ıntesis. Esquema de la interacción entre los fotosistemas P680 y P700. El fotosistema I actuando individualmente produce exclusivamente ATP (fotofosforilaci´ on c´ıclica); cuando act´ ua conjuntamente con el fotosistema II se produce ATP y NADPH (fotofosforilaci´ on no c´ıclica). La otra parte de la fotos´ıntesis, denominada fase oscura, se realiza sin la acción de la radiaci´ on. En esta fase se produce la reducción y asimilación del CO2 , mediante un proceso c´ıclico denominado ciclo de Calvin. Germicidas Dentro del amplio rango de longitudes de onda de la radiaci´ on ultravioleta, que va desde los 390nm (pr´ oximo al azul) hasta los 10nm (longitudes de onda de los rayos X), desde el punto de vista biol´ ogico se pueden establecer subrangos que se refieren con distinta letra detrás de la denominación de UV (UVA, UVB, UVC). La UVA tiene un rango de longitudes de onda de 320nm a 390nm y presentan ligero efecto nocivo. Esta radiación atraviesa la dermis entre un 30 % y un 50 %, siendo la causante del envejecimiento de la piel y del melanoma. La radiaci´ on UVB cubre el rango de 280nm-320nm, es muy energética y es la causante del eritema y quemaduras en la piel. Una exposición

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prolongada a esta radiaci´ on puede alterar el material genético por lo que tiene cierto valor germicida. La UVC es la más peligrosa (y la m´ as energética) puesto que cubre la regi´ on de absorción del ADN (265nm) produciendo su alteración y su incapacidad de reproducci´ on; este hecho hace que se utilicen generadores de este tipo de radiación para fines germicidas. Las lámparas germicidas son tubos fluorescentes que contienen vapor de mercurio. Justamente la l´ınea de emisión del mercurio está en 254nm (estas l´ amparas emiten un 90 % de su energ´ıa radiante en esta longitud de onda), cerca del pico de eficiencia germicida que son los 265nm. Esta regi´ on es muy letal a los virus, bacterias, esporas de hongos y microorganismos superiores, alterando el ADN y evitando as´ı su reproducción. Concretamente, es en la fase de reproducci´ on, cuando el ADN se está abriendo para su duplicaci´ on, donde se alteran unos enlaces bloqueándose el proceso. El grado de destrucción microbiol´ ogica es un producto de dos factores: la intensidad de la radiaci´ on y el tiempo de exposición. Como la intensidad radiante es la potencia por unidad de a´rea, el producto de intensidad de radiaci´ on por tiempo representa la energ´ıa recibida por unidad de a´rea. Este producto de intensidad y el tiempo es conocido como dosis (se expresa a veces en microwatios por segundo y dividido por cent´ımetro cuadrado, μW · s/cm2 ). El efecto acumulado hace que la tasa de supervivencia (S) sea una exponencial decreciente (como se verá en la sección de Radiodosimetr´ıa), de modo que al duplicar la dosis recibida la tasa de supervivencia se eleva al cuadrado. Esto se traduce en que si con una cierta dosis D1 se destruye el 90 % (tasa de supervivencia del 10 %, S1 = 0, 1), duplicando la dosis (D2 = 2D1 ) se destruir´ an el 99 % (S2 = 0, 01), y triplicando la dosis (multiplicando por tres el tiempo de exposición) se destruir´ a el 99,9 % de los microorganismos (S3 = 0, 001). Estos sistemas de esterilización, además de ser muy utilizados en laboratorios de Biolog´ıa, tienen una amplia aplicación en la eliminación de gérmenes en el agua, aire y en la industria alimenticia, por ejemplo, en la zona de envasado. Como ejemplo podemos citar la dosis necesaria para una destrucción del 90 % para diversos microorganismos: para el virus de la Hepatitis A se requieren 11mJ/cm2 , para la Legionella Pneumophilla 2mJ/cm2 y para la E.coli 5, 5mJ/cm2 .

6.4. RADIACTIVIDAD

6.4.

225

Radiactividad

Is´ otopos Radiactivos Cada a´tomo está constituido por un n´ umero determinado de electrones en la regi´ on externa, y un n´ umero concreto de protones y neutrones formando el n´ ucleo. Para caracterizar un átomo se utilizan dos n´ umeros: el n´ umero atómico, Z, que corresponde al n´ umero de protones del n´ ucleo, y el n´ umero m´ asico, A, que corresponde al n´ umero total de part´ıculas nucleares, es decir, protones más neutrones (como la masa del prot´ on y neutr´ on son muy similares, y éstas a su vez mucho mayor que la del electrón, la masa del átomo vendrá dada por el n´ umero de protones más el n´ umero de neutrones). Un elemento qu´ımico está caracterizado por su n´ umero at´ omico. Sin embargo, pueden existir variedades de un mismo elemento qu´ımico presentando diferente n´ umero de neutrones. A cada una de estas variedades de un elemento qu´ımico se le denomina is´ otopo. As´ı, por ejemplo, para el carbono con n´ umero at´ omico Z = 6, existen isótopos con 5, 6, 7 y 8 neutrones, es decir, con n´ umeros másicos A=11, 12, 13 y 14. De los distintos isótopos correspondientes a un elemento, normalmente uno de ellos es el más abundante en la naturaleza; por ejemplo, en el caso del carbono, el C 12 es el más frecuentemente encontrado. Por otra parte, algunos isótopos no son estables y tienden a descomponerse en otra variedad más estable. Estos isótopos inestables reciben el nombre de radiactivos, y en el proceso de transformaci´ on, denominado desintegraci´ on radiactiva emiten cierto tipo de radiaci´ on. En el caso anteriormente citado del carbono, el C 14 es inestable y tienden a desintegrarse.

6.4.1.

Tipos de Radiaciones

Un a´tomo radiactivo al desintegrarse puede emitir distintos tipos de radiaciones. Los principales tipos de radiaci´ on son las part´ıculas alfa, las part´ıculas beta y los rayos gamma. Las part´ıculas alfa (α) son n´ ucleos de helio, es decir, n´ ucleos de dos protones y dos neutrones. Tienen carga positiva (+2) y son muy energéticas. Penetran poco en la materia pero tienen gran poder de ionización (el poder de penetración de las distintas radiaciones se representa en la figura 6.23). Son altamente peligrosas. Su reacción de desintegraci´ on ser´ıa4 : 4 Recordemos que en la notaci´ on de los is´ otopos se utiliza el s´ımbolo del elemento qu´ımico con un sub´ındice a la izquierda indicando el n´ umero at´ omico y un super´ındice a la derecha


226

ZX

A

→Z−2 X A−4 + α.

Interaccionan con los electrones orbitales de los átomos con los que se encuentran cediendo parte de su energ´ıa, ionizando o excitando as´ı dichos átomos. Las part´ıculas beta (β) son part´ıculas equivalentes a los electrones pero pueden tener carga positiva o negativa. Aparecen cuando un protón se convierte en neutrón (emitiendo una part´ıcula beta positiva o “positr´ on”) o viceversa, un neutr´ on se convierte en protón (emitiendo una part´ıcula beta negativa o “negatr´ on”). Son moderadamente ionizantes y penetrantes. Cuando una part´ıcula beta negativa se aproxima a un n´ ucleo se ve frenado por éste (con carga positiva), desviando su trayectoria y emitiendo por ello radiación electromagnética de gran energ´ıa (rayos X). A esta radiación se le conoce como radiaci´ on de frenado o Bremsstrahlung. Cuando una part´ıcula beta positiva interacciona con los electrones de un a´tomo con el que se encuentra se produce una aniquilaci´ on de ambos (materia-antimateria) convirtiéndose en dos rayos gamma muy energéticos (0, 5M eV ). Los rayos gamma (γ) son radiaciones electromagnéticas (fotones) de alta energ´ıa (> 100eV ) que son emitidos cuando un n´ ucleo pasa a otro estado de menor energ´ıa, después de haber sido excitado al absorber energ´ıa (aunque también puede producirse el decaimiento energético por conversión interna, es decir, cediendo esta energ´ıa a los electrones orbitales, sin emisión de radiaci´ on gamma). Estos rayos son equivalentes a los rayos X, aunque normalmente son más energéticos; u ´ nicamente difieren en su origen, los rayos gamma son nucleares y los rayos X son orbitales. Son altamente penetrantes pero escasamente ionizantes. Su efecto al interaccionar con la materia depende de su energ´ıa (o lo que es lo mismo de su longitud de onda). Si su energ´ıa es inferior a 100keV , puede interaccionar con un electrón orbital del a´tomo con el que se encuentre cediéndole toda su energ´ıa haciendo que éste salga eyectado a alta velocidad (efecto fotoeléctrico). Cuando la energ´ıa del fot´ on es mayor que 100keV la interacci´ on dominante es el efecto Compton, dando como resultado, como ya vimos, un electrón arrancado y un nuevo fot´ on con menor energ´ıa, es decir, con mayor longitud de onda.

6.4.2.

Actividad

En la desintegraci´ on de una sustancia radiactiva se puede definir la tasa de desintegraci´ on (o velocidad de desintegraci´ on) como la masa desintegrada por unidad de tiempo: indicando el n´ umero m´ asico.

6.4. RADIACTIVIDAD

227

Figura 6.23: Poder de penetración de las distintas radiaciones. Las part´ıculas alfa no atraviesan la mano, las part´ıculas beta son frenadas por el alumninio, los rayos X son retenidos por el plomo, mientras que los rayos gamma y los netrones necesitan muros de hormigón para ser interceptados.

v=−

dM , dt

donde el signo menos indica que la variación de masa es una pérdida. Cuando esta tasa de desintegración se expresa en términos de n´ umero de desintegraciones por unidad de tiempo se denomina actividad, A, A=

−dN . dt

(6.5)

En este caso N es el n´ umero de isótopos radiactivos de la muestra. El n´ umero de desintegraciones por unidad de tiempo es proporcional al n´ umero total de isótopos existentes (antes de desintegrarse), A = λN, y la constante de proporcionalidad, λ, se denomina constante de desintegraci´ on. Sustituyendo ahora en la ecuaci´ on (6.5) resulta dN = −λN. dt La solución de esta ecuación es una exponencial decreciente


228

Figura 6.24: Representación de Ley de desintegración radiactiva. El tiempo en el que la actividad ha bajado a un 50 % define el per´ıodo de semidesintegraci´ on, τm . En el tiempo −1 1/λ la actividad es un factor e veces la original, es decir, del 36, 8 %. Nt = N0 e−λt , umero de isótopos en el instante considerado inicial. E igualdonde N0 es el n´ mente, derivando podemos encontrar la evolución de la actividad de una muestra radiactiva At = A0 e−λt , donde A0 es la actividad de una fuente a tiempo cero (t = 0), At es la actividad de la fuente al cabo de un tiempo t, y λ es la constante de desintegración radiactiva de la fuente. Esta constante puede interpretarse, desde el punto de vista estad´ıstico, como la probabilidad que tiene un determinado átomo de radioisótopo de desintegrarse en la unidad de tiempo. Su unidad es, por tanto, la inversa de un tiempo, es decir, de frecuencia. El tiempo que tarda en desintegrarse un n´ ucleo radiactivo es indeterminado, sin embargo, estad´ısticamente podemos definir un tiempo medio de vida, on o simplemente semiτm (también denominado per´ıodo de semidesintegraci´ per´ıodo) como el tiempo necesario para que su actividad (n´ umero de desintegraciones por unidad de tiempo) decaiga a la mitad, o lo que es lo mismo, que el n´ umero de isótopos se reduzca a la mitad (como se muestra en la Fig. 6.24).

6.4. RADIACTIVIDAD

229

La relaci´ on entre la constante de desintegración y el tiempo medio de vida se puede obtener a partir de la definici´ on de éste: A0 e−λτm =

A0 , 2

luego despejando el tiempo medio de vida: τm =

ln2 . λ

Como muestra esta ecuación, este tiempo es otra manera de expresar la constante de desintegraci´ on (caracter´ıstica de cada is´ otopo), independiente de 24 la masa inicial. Por ejemplo, si 1g de N a tarda 14, 9h en reducirse a 0, 5g (per´ıodo de semidesintegración), el mismo tiempo tardar´ a 1mg en reducirse a 0, 5mg. Como se ve, este parámetro nos sirve para saber cuánto tiempo tardar´ a la muestra en perder la mayor parte de su actividad. La unidad de actividad radiactiva en el Sistema Internacional es el Becquerel, Bq, que equivale a una desintegración por segundo. Cl´ asicamente se utilizaba como unidad de actividad el Curie, Ci, que es la actividad que presenta 1g de radio y equivale a 3, 7 · 1010 desintegraciones en un segundo (dps). Hay que pensar que cuanto mayor sea el per´ıodo de semidesintegración de un isótopo menor será su constante de desintegración y, por tanto, será necesaria más cantidad de sustancia para tener la misma actividad que otro isótopo de menor vida media. Por otra parte, conviene dejar claro que no se debe confundir la actividad de una muestra con la energ´ıa de sus radiaciones. La actividad depende de la cantidad de sustancia, a mayor cantidad de is´ otopos mayor n´ umero de desintegraciones por segundo ocurrirán, sin embargo, la energ´ıa de la emisión depende del tipo de radiaci´ on, como veremos a continuación. En el proceso de desintegración un is´ otopo (normalmente se habla de desintegraci´ on de un n´ ucleo porque realmente es éste el que sufre el proceso de desintegración) emite radiación y queda transformado en otro n´ ucleo distinto, normalmente también radiactivo. Este nuevo is´ otopo volverá a desintegrarse (con su particular tiempo de vida medio) produciendo otro is´ otopo distinto, continuando as´ı el proceso hasta que se cree un n´ ucleo estable, no radiactivo. Todos los n´ ucleos radiactivos que proceden de un mismo is´ otopo original forman lo que se denomina serie o cadena radiactiva. As´ı, todos los isótopos utilizados en aplicaciones pr´ acticas pertenecen a una de las cuatro series conocidas, tres de las cuales existen en la naturaleza desde la formación de la Tierra


230

(es decir su tiempo de vida media es comparable a la edad de la Tierra). Los n´ ucleos padre de estas cadenas son el T h232 , U 238 , Ac227 y el N p297 . Problema. Calcular el per´ıodo de semidesintegración del N a22 si comparado con una muestra de K 42 presentan la misma actividad cuando la masa de N a22 es 2000 veces mayor que la del K 42 , sabiendo la vida media del K 42 es de 12, 4h. Soluci´ on. Escribimos primero las respectivas actividades en función de sus constantes de desintegraci´ on: AN a = λN a · NN a , AK = λK · NK . Como nos dicen que son iguales, podemos despejar la constante de desintegraci´ on del sodio en funci´ on de la del potasio: AN a = AK −→ λN a · NK = λK · NK , λK . 2000 Escribiendo el per´ıodo de semidesintegración en funci´ on de la constante λ tenemos: λN a =

τ=

ln 2 ln 2 ⇒ τN a = , λ λK

quedando as´ı, el per´ıodo de semidesintegración del sodio en funci´ on del per´ıodo de semidesintegración del potasio: τN a = 2000 · τK = 2000 · 12, 4h = 24,800h 1033d´ıas.

6.4.3.

Detectores de Radiactividad

Vamos a clasificar los instrumentos de detección y medida de las radiaciones emitidas por los radiois´ otopos seg´ un su principio de funcionamiento. Detectores basados en la impresi´ on de placas fotogr´ aficas. Las radiaciones X y γ que son las más penetrantes pueden detectarse por su efecto

6.4. RADIACTIVIDAD

231

de ennegrecer placas fotográficas (equivalentemente a como sucede con las pruebas de diagn´ ostico o radiograf´ıas). El grado de ennegrecimiento es proporcional a la dosis de radiación recibida. Los trabajadores que pudieran estar expuestos a este tipo de radiaci´ on portan un dos´ımetro fotogr´ afico constituido por placas fotogr´ aficas recubiertas por distintos materiales (plomo, cobre, aluminio, papel); posteriormente se revelan estas placas y en función del grado de ennegrecimiento se puede calcular la dosis recibida.

Detectores basados en la ionizaci´ on de un gas. Contador de GeigerMuller. Consiste en una cámara de vac´ıo con un gas inerte y dos electrodos entre los que se aplica una tensi´ on elevada (entre 400V y 1500V ). Una de las caras de la c´ amara permite la entrada de la radiación que al interaccionar con el gas lo ionizará con lo que se hará conductor, produciéndose as´ı un paso de corriente entre los electrodos. La intensidad media de corriente es, en general, proporcional a la intensidad de radiaci´ on que recibe. El problema es que requiere un cierto tiempo para que el gas pase, de nuevo, de su estado ionizado a su estado fundamental (tiempo muerto del contador), por lo que es un inconveniente para medir altas actividades.

Detectores basados en el fen´ omeno de centelleo. Este fen´ omeno consiste en la emisión de radiaci´ on electromagnética, de longitud de onda pr´ oxima a la visible, por parte de un material luminiscente que absorbe la radiaci´ on incidente. La part´ıcula nuclear cargada o el fotón de radiaci´ on X o γ cede parte de su energ´ıa al interaccionar con el material. Esta energ´ıa absorbida excita los electrones de valencia a la banda de conducci´ on de la que vuelven a su estado fundamental emitiendo un fotón de luz (como vimos en el apartado de Fluorescencia). Dependiendo del tipo de radiaci´ on que se quiere detectar se utilizan diversos materiales luminiscentes, por ejemplo, para detectar part´ıculas γ bastan delgadas l´ aminas de sulfuro de cinc activado con plata, o el yoduro de sodio activado con talio para detectar electrones (radiación β) y radiaci´ on gamma. Posteriormente una etapa amplificadora, denominada fotomultiplicadora, similar a la que se explic´ o en los detectores en Espectroscop´ıa, eleva el n´ umero de electrones en el ánodo para poder ser medido.


232

6.5.

Radiaciones Ionizantes

Dentro del amplio rango de energ´ıas de las radiaciones relacionadas con la Biolog´ıa, las m´ as energéticas son capaces de ionizar la materia, es decir, de arrancar electrones a los átomos y, por tanto, alterar los componentes celulares. Los sistemas vivos están normalmente expuestos a radiación ionizante procedente del sol y, seg´ un la localizaci´ on, a más o menos radiaci´ on procedente de radiactividad natural. Sin embargo, lo que m´ as nos va a interesar aqu´ı, tanto por su utilidad como por los efectos que va a producir en los sistemas biol´ ogicos, son las radiaciones creadas por dispositivos fabricados por el hombre con fines diagnósticos, con fines terapéuticos o para investigación. Vamos a nombrar los más comunes y, posteriormente, veremos más en detalles los que consideramos más relevantes. Con fines diagn´ osticos podemos clasificarlos en los utilizados para generar imágenes y los de análisis. Con generación de im´ agenes: Radiolog´ıa (rayos X). Tomograf´ıa. Gammagraf´ıa. Y para la realización de análisis: Determinaciones radioisotópicas (in vitro). Ensayos radioisot´ opicos (in vivo). Con fines terapéuticos podemos citar el tratamiento del hipertiroidismo con yodo, o la radioterapia con cobalto. Antes de comenzar a explicar el fundamento de estos métodos, vamos a exponer algunas conceptos básicos de radiodosimetr´ıa.

6.5.1.

Radiodosimetr´ıa

Al interaccionar la radiaci´ on ionizante con un sistema viviente produce efectos biológicos negativos como consecuencia de la interacción con a´tomos y moléculas de alguno de sus o´rganos fundamentales. El efecto producido vendr´ a dado por la cantidad de energ´ıa recibida. Vimos que para medir la energ´ıa recibida por un ser vivo, por unidad de a´rea, se define el concepto de dosis. Para ello se toma como referencia la ionizaci´ on producida en el aire por

6.5. RADIACIONES IONIZANTES

233

radiaci´ on electromagnética (rayos X o γ), y se habla de dosis de exposici´ on. Su unidad es el Roentgen, R, que se define como la radiación que produce en su interacci´ on con un cm3 de aire una unidad de carga (de cada signo), en condiciones normales de presión y temperatura. En el Sistema Internacional se utiliza el Coulomb/kilogramo, que es la radiaci´ on que produce una carga de 1C en 1kg de aire. La equivalente entre ambas unidades es 1C/kg = 3876R. Se define la dosis de absorci´ on al cociente entre la energ´ıa absorbida y la masa considerada. Su unidad en el Sistema Internacional es Gray, Gy, que representa la absorcion de un julio de radiación gamma por un kilogramo de materia (1J/kg); otra unidad utilizada es el Rad (rad) que equivale a 100ergios/g. La relación entre ambas es: 1Gy = 100rad. Sin embargo, el efecto producido por una radiaci´ on en un sistema depende del tipo de radiaci´ on considerado; por ello es necesario definir un parámetro que represente el efecto producido por cada radiaci´ on. El factor de calidad, Q o eficacia biol´ ogica relativa es un factor que mide la capacidad de cada radiación para producir un cierto efecto biol´ ogico. As´ı se defini´ o el Rem (rem) como la cantidad de radiaci´ on que produce el mismo efecto que un rad o un cGy (por definici´ on de radiaci´ on gamma). Actualmente, en el Sistema Internacional se ha reemplazado esta unidad por el Sievert, Sv que es la cantidad de radiaci´ on absorbida que produce el mismo efecto que un Gray. 1Sv = 100rem. Ahora bien, una vez definidas las magnitudes relacionadas con la dosis de irradiaci´ on, habr´ a que determinar el efecto que producir´ a una fuente sobre los sistemas vivientes próximos a ella. Como la radiación emitida por una fuente, en principio, saldr´ a en todas las direcciones, para una misma área, la dosis recibida decrecerá con la distancia a la fuente al cuadrado. As´ı, por ejemplo, a una distancia de 10cm la dosis recibida será 100 veces menor que a 1 cm. ua una radiaci´ on Cuando se tiene una población celular sobre la que act´ ionizante es interesante conocer la relación entre tasa de supervivencia y dosis recibida. Esta relación representa la fracción de células supervivientes, S, en funci´ on de la dosis, D. El caso más sencillo corresponde a virus y bacterias, en el que esta relación es de tipo exponencial decreciente. Si N0 es el n´ umero de


234

células supervivientes en un instante inicial, al recibir una dosis D el n´ umero de células supervivientes pasar´ a a ser N . La tasa de supervivencia ser´ a: S=

N − D = e D0 , N0

(6.6)

donde D0 es una constante que indica la resistencia de tales células a la radiaci´ on, y se denomina radiosensibilidad. Si se representa en escala semilogar´ıtmica la tasa de supervivencia frente a la dosis, se obtiene una recta cuya pendiente es −1/D0 . Es decir, la tasa de supervivencia decrece más deprisa cuanto menor es D0 . En el aparatado de Germicidas (dentro de los Efectos Fotobiol´ ogicos) vimos un ejemplo numérico del significado esta ley (Ec. (6.6)).

6.5.2.

Coeficiente de Atenuaci´ on

Al incidir radiaci´ on sobre una porci´ on de materia, una parte de los fotones interaccionar´ an directamente con los a´tomos y moléculas constituyentes de la misma, mientras que otra parte atravesar´ a la materia sin sufrir ning´ un tipo de interacci´ on. Para expresar qué parte de la radiaci´ on incidente va a perderse ´ se define el coeficiente de atenuaci´ on, μ. Este expresa la probabilidad de que un fot´ on incidente experimente alg´ un tipo de interacci´ on con la materia y no salga indemne. El n´ umero de fotones colisionados, Ncol será proporcional al n´ umero de fotones incidente, N0 , y al espesor de la muestra materia, dx: Ncol = −μN0 · dx,

(6.7)

donde μ es el coeficiente lineal de atenuación. El signo menos indica que cada interacci´ on implica un fot´ on incidente menos. Como el n´ umero de fotones que colisionan es igual al n´ umero de fotones desaparecidos se puede escribir la ecuaci´ on (6.7) como dN = −μN · dx. Esta ecuación diferencial tiene como solución una exponencial decreciente de la forma: N = N0 e−μx . El coeficiente μ depende de la naturaleza del medio y de la energ´ıa transportada por los fotones. Su unidad en el Sistema Internacional es el m−1 , aunque suele expresarse en cm−1 .


6.5.3.

235

Radioqu´ımica

Antes de considerar los efectos de la radiación a nivel celular y sus consecuencias negativas en los organismos vivos, vamos a ver los cambios a nivel qu´ımico producidos por la radiación ionizante. El efecto sobre un sistema biológico puede tener lugar a nivel molecular, bien de forma directa sobre una cierta molécula o de manera indirecta cuando la radiaci´ on produce la radiolisis del agua. Cuando una molécula interacciona con radiaci´ on ionizante puede quedar ionizada (al perder un electr´ on) o excitada (presentando un excedente de energ´ıa). En este caso el exceso de energ´ıa puede ser liberado por emisión de fotones (fluorescencia) o por ruptura de un enlace covalente y escisión de la molécula en dos radicales (no es necesario que la interacci´ on con la radiación haya sido sobre un electr´ on de ese enlace) En la radiolisis lo que ocurre es que, o bien por ionizaci´ on o bien por excitación, la molécula de agua se escinde en iones y electrones que pueden ser captados por otras moléculas. Los electrones que no son captados van perdiendo su energ´ıa cinética hasta quedar rodeados de moléculas de agua fuertemente polarizadas (reciben el nombre de electrones solvatados). Estos electrones solvatados producen roturas de dobles enlaces con formación de compuestos de adici´ on. Los iones producidos en la hidr´ olisis reaccionarán con las moléculas próximas produciendo hidroxilaci´ on por los radicales OH − o la deshidrogenación por los radicales H + . Efecto de la Radiaci´ on a Nivel Celular El efecto directo de las radiaciones sobre las células aparece por la ionización y ruptura de uniones qu´ımicas a nivel molecular, especialmente cuando la molécula afectada, directa o indirectamente, es el ADN. De manera directa la propia radiaci´ on puede romper las moléculas de ADN, las prote´ınas o el agua celular form´ andose H2 0+ y OH − . Si por acci´ on directa se rompe la cadena principal de ADN, los fragmentos pueden combinarse con cadenas vecinas form´ andose enlaces transversales que alteran la secuencia nucleot´ıdica del código genético. De manera indirecta los iones o electrones producidos por la interacci´ on pueden, a su vez, reaccionar con otras moléculas produciendo nuevas roturas o ionizaciones. Por ejemplo, los radicales OH − liberados pueden interaccionar con el ADN, oxidando la cadena principal en las uniones pentosafosfato y produciendo su rotura, y destruyendo también las bases pirim´ıdicas y p´ uricas (A,C,T,G y U).

236


A nivel celular, los efectos producidos a nivel molecular se traducen en una serie de cambios biológicos que pueden ser, dependiendo de la dosis recibida, muerte celular (inmediata o tras un per´ıodo de latencia, muerte diferida), detención de la divisi´ on celular, alteraciones en la s´ıntesis de ADN (produciendo mitosis anormales, desigualdad en la distribuci´ on de cromosomas, etc.), establecimiento de una mutaci´ on viable, es decir, que produce una alteración genética compatible (aunque desconociendo siempre otras posibles manifestaciones a posteriori), o una cancerificación (en este caso se produce una desdiferenciaci´ on celular y un desarrollo de una l´ınea celular inmortal, lo que implica el carácter invasivo del desarrollo canceroso). Por otro lado, el efecto sobre las células depende en gran medida de su estado. La llamada ley de Bergognie y Tribondeau (1906) o ley de radiosensibilidad, establece que la sensibilidad de un tejido es directamente proporcional a su capacidad reproductiva e inversamente proporcional a su grado de diferenciaci´ on. Esto se debe a que durante la mitosis el ADN se encuentra en estado de actividad y, por ello, especialmente sensible a la radiaci´ on. Por otra parte, un menor grado de diferenciaci´ on implica un riesgo a˜ nadido debido a la potencialidad de la célula. Efectos Nocivos sobre las Personas Respecto a los efectos biológicos producidos por la radiaci´ on ionizante hay que distinguir entre los producidos por dosis altas y los producidos por sucesivas exposiciones a dosis bajas. Existen estudios realizados a partir de desastres nucleares (como el bombardeo de Hiroshima y Nagasaki, o la destrucción de reactores de centrales nucleares, como los de Three Milles Island y Chernobyl) en los que se puede relacionar el efecto directo de estas radiaciones en altas dosis sobre el organismo. Los efectos más importantes debidos a una exposición a una u ńica dosis elevada de radiación podemos clasificarlos dentro de unos l´ımites establecidos de radiaci´ on: para dosis superiores a 0, 5Sv aparecen efectos hematológicos leves, para dosis superiores a 1Sv existen cambios hematológicos severos, acompa˜ nados de n´ auseas y vómitos; para dosis superiores a 2Sv aparecen, además, problemas gastrointestinales severos, ca´ıda del cabello, debilidad, fiebre e, incluso, la muerte entre el 10 y 20 % de los casos; 4Sv es la dosis letal 50, es decir la que provoca la muerte en un 50 % de los casos; 6Sv es la dosis letal, produciendo la muerte de todos los individuos expuestos (con corto per´ıodo de latencia). Sin embargo, para dosis bajas u ńicamente puede hablarse de efectos es-


237

tocásticos, es decir, de la relación entre la dosis recibida y la probabilidad de aparici´ on de efectos biológicos patentes. Entre los más importantes y peligrosos destacan los efectos cancer´ıgenos y las mutaciones.

6.5.4.

Exposici´ on a Radiaci´ on Ionizante

Exposici´ on a Fuentes Naturales de Radiaci´ on En la propia naturaleza existen numerosas fuentes de radiactividad que hace que estemos continuamente expuestos a radiación. Estas fuentes se encuentran en ciertos materiales geológicos del suelo, en el agua y en el aire, de modo que finalmente todas las plantas y animales tienen incorporado a su organismo elementos radiactivos. Aunque la radiación emitida por estas fuentes es muy peque˜ na, las mayores cantidades proceden del suelo y del aire (incluyendo la radiaci´ on c´ osmica). En el caso de la radiaci´ on c´ osmica la dosis media recibida depende mucho de la altitud, pudiendo ser m´ as de cien veces superior en la cima de una monta˜ na que a nivel del mar, presentando un valor medio de 0, 35mSv/a˜ no. En el aire también existen peque˜ nas cantidades de radón, gas procedente de la descomposición del radio y del torio, que inhalamos continuamente y que se traduce en una dosis media anual de aproximadamente 1, 25mSV /a˜ no, dependiendo de las caracter´ısticas geológicas del suelo. Por simple incorporaci´ on de isótopos al organismo estamos expuestos a unos 0, 3mSv/a˜ no, y a 0, 45mSv/a˜ no por radiaci´ on del suelo. Es decir, como promedio el 15 % de la dosis recibida se debe a la radiación c´ osmica, el 20 % a la radiaci´ on terrestre, el 15 % al propio organismo y el 50 % al radón. En total, procedente de fuentes naturales de radiactividad, estamos expuestos a una dosis media5 (variando mucho de unas zonas a otras) de unos 2, 4mSv/a˜ no. Exposici´ on a Fuentes Artificiales de Radiaci´ on Se consideran fuentes artificiales a aquellas de origen no naturales, como puedan ser las emitidas por la televisi´ on, las esferas luminosas de los relojes, los viajes en avión (debido a la mayor radiaci´ on c´ osmica recibida durante el vuelo a gran altura), el poso radiactivo procedente de las explosiones nucleares en la atm´ osfera que tuvieron lugar en el pasado, las emisiones de las centrales térmicas de carbón (los humos contienen isótopos radiactivos), las centrales nucleares o las exploraciones radiológicas con fines médicos. De todas ellas, la principal fuente de irradiaci´ on son las exploraciones radiológicas, que en los pa´ıses desarrollados dan lugar a unas dosis equivalentes a la radiación c´ osmica. 5

Fuente: Foro Nuclear 2006.

238


Figura 6.25: Dosis medias anuales de radiación recibidas por una persona (De Consejo de Seguridad Nuclear, 2006).

Respecto a las dosis recibidas en aplicaciones médicas podemos mencionar las tres fuentes principales: el radiodiagnóstico, la Medicina Nuclear y la radioterapia. En radiodiagn´ ostico las mayores dosis recibidas proceden de exploraciones con rayos X. No obstante, la cantidad recibida depende del tipo de exploraci´ on y del estado del equipo. Por ejemplo, en una radiograf´ıa de tórax se recibe una dosis de 0, 05mSv, mientras que en una tomograf´ıa computerizada de regi´ on lumbar la dosis es de 6mSv. La dosis media recibida en pa´ıses desarrollados por este tipo de exploraciones es de unos 0, 5mSv/a˜ no − 1mSv/a˜ no. Como veremos más adelante, en Medicina Nuclear la radiaci´ on utilizada en resonancia magnética nuclear es mucho menos energética, contribuyendo con dosis menores. La otra fuente importante de radiaci´ on en Medicina es la radioterapia pero dada su especificidad y localizaci´ on de la zona a tratar la dosis no sobrepasa los 10mSv/a˜ no. En total, la dosis media absorbida por una persona debido a fuentes artificiales no suele alcanzar 1mSv/a˜ no. Un resumen de las cantidades medias de radiación recibidas por el hombre al a˜ no se representan en la figura 6.25. Dosis M´ aximas Permisibles Hay que tener en cuenta que las sucesivas dosis absorbidas por una persona tiene efecto acumulativo, es decir, a lo largo del tiempo van sumando sus efectos.

´ 6.6. APLICACIONES MEDICAS

239

La Comisi´ on Internacional de Protecci´ on Radiológica (ICRP) ha establecido los l´ımites máximos de dosis que pueden recibir personas que se exponen a radiaci´ on ionizante por motivos laborales, as´ı como para el p´ ublico en general, con el fin de evitar riesgos biológicos directos y posibles da˜ nos genéticos. El l´ımite máximo de dosis radiológica efectiva fijado por la Uni´ on Europea para el p´ ublico general es de 1mSv/a˜ no, pero para ciertas regiones del cuerpo es sensiblemente superior, como en manos y pies, que es de 50mSv/a˜ no. Para los trabajadores profesionalmente expuestos (que trabajan con este tipo de material) la dosis efectiva máxima es de 20mSv/a˜ no (100mSv de promedio en 5 a˜ nos).

6.6.

Aplicaciones M´ edicas

Dentro de las diversas aplicaciones diagnósticas de los radioisótopos en la Medicina, vamos a hacer una clasificación b´ asica para abordar cada uno de los tipos por separado: el diagn´ ostico por imágenes y técnicas de análisis. La Medicina Nuclear es la especialidad de la Medicina que utiliza radiaciones ionizantes procedentes de radioisótopos o radionucleidos para la realización de estudios morfológicos y funcionales de algunos órganos, as´ı como para realizar determinaciones cuantitativas (radioanálisis) de numerosas sustancias contenidas en el organismo.

6.6.1.

Determinaciones Cuantitativas

Existen diversos métodos de determinaci´ on y cuantificaci´ on de determinados agentes o sustancias biol´ ogicas u ´tiles para realizar ciertos diagnósticos, basados en la incorporación de un trazador radiactivo. Este trazador consiste b´ asicamente en una sustancia radiactiva que se introduce en el sistema (sin afectar al sistema) y tiene que tener idénticas caracter´ısticas fisico-qu´ımicas y biol´ ogicas que la sustancia a determinar. Radioinmunoan´ alisis (in vitro) Es un método de determinación cuantitativa de sustancias biol´ ogicas con una gran sensibilidad, lo que permite detectar y cuantificar numerosas sustancias que están en cantidades muy peque˜ nas en sangre u orina y que son muy dif´ıciles de detectar por medios anal´ıticos convencionales. Se basa en la unión ant´ıgeno-anticuerpo, en el que se ha marcado uno de estos dos elementos con un is´ otopo radiactivo, generalmente I 125 . Consiste en introducir la molécula

240


que se quiere cuantificar a la que se le ha a˜ nadido un marcador radiactivo. Si la molécula receptora está en concentración inferior a la marcada, existir´ a una competencia entre las moléculas marcadas y las originales hasta alcanzar un equilibrio. Posteriormente se separan las moléculas marcadas libres de las que se han acoplado al receptor y se calcula la relación entre ambas concentraciones. Si conocemos previamente la relación existente entre dicho cociente de concentraciones en función de la concentraci´ on de la molécula original, bastar´ a con interpolar en dicha curva de calibraci´ on para el valor del cociente medido. Se denomina radioinmunoensayo porque la molécula receptora es un anticuerpo contra la sustancia a determinar, y la sustancia a determinar act´ ua como ant´ıgeno. Por este método se cuantifican, especialmente diversas hormonas como T3, T4, TSH, FSH, e incluso vitaminas y algunas drogas. Estudios Metab´ olicos (in vivo) Para la realizaci´ on de estos estudios se le suministra al paciente una peque˜ na cantidad de sustancia radiactiva, denominada radiof´ armaco (puede ser por diferentes v´ıas, intravenosa, digestiva, inhalaci´ on, etc.). Estas sustancias por su especial afinidad, se fijan en el o´rgano que se desea estudiar emitiendo radiaci´ on gamma que es detectada. La elección del radionucleido depender´ a del tiempo de semidesintegración m´ as adecuado para la prueba a realizar. Existen diversas aplicaciones de los trazadores radiactivos para realizar estudios metabólicos. Uno de las más comunes es el estudio de la funcionalidad on de I 131 por la gl´ andula de la glándula tiroidea utilizando I 131 . La captaci´ tiroidea se realiza con una peque˜ na dosis (50mCi − 100mCi) de I 131 administrada por v´ıa oral. Con un simple contador de centelleo colocado sobre el cuello del paciente en distintos per´ıodos de tiempo se puede obtener la curva de captación del yodo, lo que dará información de la actividad funcional de dicho o´rgano. Como la avidez del tiroides por el yodo mide la actividad funcional de esta glándula, la curva de fijaci´ on de I 131 en el tiroides nos dará la informaci´ on que buscamos. En la figura 6.26 se muestra la curva de fijaci´ on del yodo en los primeros d´ıas para distintos pacientes: cuando el paciente presenta hipertiroidismo se produce una gran absorción de yodo inicial que decae a partir de medio d´ıa, mientras que en un paciente hipotiroideo la fijaci´ on de I 131 es m´ınima. Las ventajas fundamentales de los métodos exploratorios de la Medicina Nuclear son el no ser peligrosos ni molestos para el paciente, y el tener efectos secundarios m´ınimos, ya que la dosis recibida es igual o menor a los estudios


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Figura 6.26: Curva de fijación del yodo en las tiroides en distintos pacientes. (De Dutreix, 1980).

radiol´ ogicos habituales.

6.6.2.

Diagn´ ostico por Im´ agenes

Gracias al empleo de radiaciones penetrantes la Medicina ha logrado grandes avances en casi todos sus campos. La posibilidad de “ver” el interior del cuerpo humano para poder realizar diagn´ osticos o realizar intervenciones más precisas y menos invasivas ha sido fundamental para campos como la traumatolog´ıa o la cirug´ıa y tiene especial importancia en el diagnóstico, localización y tratamiento del cáncer. Hay que a˜ nadir que la obtenci´ on real de imágenes de cavidades internas se puede conseguir hoy en d´ıa introduciendo microc´ amaras por alg´ un conducto corporal, pero lo que no se podr´ a recoger nunca con luz visible es el interior de cuerpos opacos (la imagen representada de cuerpos opacos se crea a partir de información obtenida por otros medios distintos del habitual de sensibilización con luz visible). Dentro de los diversos dispositivos que permiten esa “visi´ on” interior de los organismos podemos clasificarlos en cuatro grandes grupos en funci´ on del principio f´ısico y el tipo de radiación empleado para interaccionar con el organismo y generar la se˜ nal de salida: radiolog´ıa, tomograf´ıa, gammagraf´ıa y resonancia magnética. Hay que se˜ nalar que la Resonancia Magnética Nuclear era una técnica de análisis antes de convertirse en una herramienta tan potente en el diagn´ ostico por imágenes, sin embargo, dada la gran importancia que tiene este campo la hemos incluido también en el segundo apartado.


242 Radiolog´ıa

En 1895 Roentgen descubri´ o una nueva radiación que pod´ıa atravesar la materia y sensibilizar material fotográfico. Esa gran inc´ ognita que supon´ıa el desconocimiento de esa radiación le hizo llamarla radiación X. Actualmente se denomina radiaci´ on X o radiaci´ on Roentgen a la radiación electromagnética cuyo rango de longitudes de onda va entre los 80nm y 10−5 nm aproximadamente, y dentro del espectro electromagnético se localiza entre el ultravioleta y la radiaci´ on gamma. Dentro del amplio rango de longitudes de onda (o frecuencias) se subdividen, desde el punto de vista médico, en dos tipos: rayos X duros y rayos X blandos. Los primeros son más penetrantes y, por tanto, más peligrosos; los blandos producen im´ agenes menos n´ıtidas pero son menos peligrosos. Vamos a ver, a continuación, el fundamento de un dispositivo generador de imágenes por rayos X. El elemento central es el generador de los rayos X ´ (Fig. 6.27). Este consta de un electrodo que al ponerse incandescente por el paso de una corriente eléctrica emite electrones (la emisión se puede controlar regulando la temperatura del metal emisor). Estos electrones emitidos son dirigidos y acelerados aplicando un potencial entre el emisor (cátodo) y un electrodo positivo (ánodo o anticátodo). La energ´ıa cinética de los electrones es proporcional al potencial aplicado. Cuando los electrones alcanzan el ánodo colisionan con los átomos de éstos emitiendo dos tipos de radiaci´ on: por un lado, al frenarse los electrones cuando se aproximan a un n´ ucleo atómico emiten fotones (por conservación de energ´ıa) que se denomina radiaci´ on de frenado, siendo su energ´ıa cinética, Ec = ΔV qe , donde ΔV es el potencial aplicado entre cátodo y ánodo y qe es la carga del electrón. Como la variaci´ on de energ´ıa de estos electrones puede tomar cualquier valor menor que su energ´ıa cinética inicial, el conjunto de las longitudes de onda emitidas constituyen un espectro continuo de radiaci´ on. Por otra parte, si al colisionar con los átomos del ánodo consiguen arrancar un electr´ on, el hueco dejado por éste será ocupado por un electrón de un nivel superior (con mayor energ´ıa). En este salto de nivel emitirá un fot´ on cuya energ´ıa corresponderá justamente con la diferencia de energ´ıa entre ambos niveles. La longitud de onda del fot´ on emitido corresponde al rango de los rayos X. Estos rayos X tienen una longitud de onda caracter´ıstica para cada salto de nivel constituyendo un espectro discontinuo (caracter´ıstico para cada


243

Figura 6.27: Esquema de un emisor de rayos X. Los electrones emitidos por el cátodo son acelerados por un potencial elevado para hacerlos colisionar con el anticátodo.

material). La mayor´ıa de la radiaci´ on X utilizada en la obtención de im´ agenes es radiación de frenado; el resto procede del espectro caracter´ıstico del ánodo. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que sólo una m´ınima parte de los electrones emitidos por el cátodo (1 %) dan como resultado la emisión de un fot´ on, de modo que la gran mayor´ıa de la energ´ıa cinética de los electrones se transforma en calor al alcanzar el ánodo, por lo que se requiere un buen sistema adicional de dispersi´ on del calor. Esta es la razón por la que el material utilizado en la fabricaci´ on de estos electrodos es el tungsteno, por su elevado punto de fusi´ on y su elevada difusi´ on térmica.

Problema. ¿Cómo podemos conseguir rayos X más duros para hacer un radiodiagn´ ostico de una región menos sensible? Soluci´ on. Aumentando el potencial de la fuente, entre cátodo y ánodo, para incrementar la energ´ıa cinética de los electrones arrancados del cátodo.

El radiodiagn´ ostico se basa en la diferente absorción de los rayos X que presentan los distintos tejidos del cuerpo. La imagen se consigue al situar al


244

paciente entre el emisor de rayos X y una pel´ıcula radiográfica. Para interpretar la imagen hay que tener en cuenta que est´ a constituida por las sombras proyectadas por los distintos o´rganos y estructuras que atraviesa la radiaci´ on. Un tejido que absorba mucho esta radiación proyectará una sombra más oscura. El contraste está directamente relacionado con la diferencia entre los coeficientes de atenuación de los tejidos atravesados. Si se tienen dos materiales de distinto coeficiente de atenuaci´ on, μ1 y μ2 y del mismo espesor, x, la exposici´ on (radiaci´ on saliente que sensibiliza la pel´ıcula radiol´ ogica) será: X1 = X0 e−μ1 x , = X0 e−μ2 x ,

X2

donde X0 es la radiaci´ on entrante y X1,2 la radiaci´ on saliente. Cuando el espesor es peque˜ no la exponencial se puede aproximar hasta primer orden en la serie de potencias, quedando la exposición como una funci´ on lineal del espesor: X2 X0 (1 − μ1 x), X2

X0 (1 − μ2 x).

El contraste de la imagen radiante (se transforma en imagen luminosa al sensibilizar el material radiológico) se define como: X2 − X1 . X2 + X1 Y si el espesor es peque˜ no se puede aproximar a C=

1 (μ1 − μ2 )x. 2 Vemos, pues, que el contraste radiológico depende directamente de la diferencia de los coeficientes lineales de atenuaci´ on, y éstos, a su vez, dependen de la naturaleza del medio y de la energ´ıa transportada por la radiaci´ on. Como se ve en la figura 6.28, el coeficiente disminuye al aumentar la energ´ıa del haz (notar la escala logar´ıtmica en el eje de ordenadas). Por ejemplo, para obtener buen contraste entre la grasa y el m´ usculo es necesario emplear tensiones bajas (entre 20kV y 30kV en mamograf´ıa). Sin embargo, tampoco se puede disminuir mucho la energ´ıa de la radiaci´ on porque en ese caso habr´ıa una fuerte absorción y, por tanto, muy poca sensibilizaci´ on del material radiol´ ogico. C=


245

Problema. Calcular el contraste radiológico entre dos tejidos de coeficientes lineales de as de un medio de atenuación μ1 y μ2 y espesor x, que están situados detr´ coeficiente μm y espesor y. Soluci´ on. La atenuación producida por este medio ser´ a: X0 − X0 = e−μm y , luego las exposiciones van a ser ahora: X1 X0 (1 − μ1 x) y

X2 X0 (1 − μ2 x).

Por lo que el contraste ser´ a ahora: C =

X2 − X1 X2 − X1 = =C X2 + X1 X2 + X1

Luego, teóricamente, el contraste no se verá afectado.

Hay que tener en cuenta, además, que la imagen final es la sombra total generada por las distintas atenuaciones producidas por los sucesivos o´rganos o estructuras que ha ido atravesando la radiación, es decir, nos da en una imagen la superposición de las imágenes (imagen integrada) producidas por todos los tejidos situados a lo largo de la propagaci´ on del haz. Es por ello que el “visionado” (interpretación) de una imagen radiol´ ogica debe hacerse por personal cualificado y experimentado que pueda discernir entre una patolog´ıa o un da˜ no y una sombra producida por otro o´rgano. Como variedades a la radiolog´ıa convencional existen la radioscop´ıa, en la que la imagen producida por la radiaci´ on que atraviesa al paciente no es recogida en una pel´ıcula radiogr´ afica que posteriormente hay que revelar, sino que directamente se proyecta en una pantalla fluorescente que emite luz visible al incidirle radiaci´ on X. Con esta técnica se puede visualizar una secuencia continua de imágenes en forma de v´ıdeo para apreciar movimientos de algunas v´ısceras, m´ usculos o articulaciones. Otra variedad es la radiograf´ıa con contraste. Consiste en la incorporación

246


Figura 6.28: Absorción de rayos X por distintos o´rganos del cuerpo. (De Dutreix, 1980). al torrente sangu´ıneo de un radiois´ otopo (normalmente una sustancia yodada) por medio de un catéter. La emisión de radiaci´ on desde el interior del organismo es recogida en una placa exterior pr´ oxima al paciente (en este caso act´ ua como emisor). Permite visualizar la circulaci´ on sangu´ınea para detectar malformaciones vasculares, enfermedades arteriales oclusivas, aneurismas, etc. Al tratarse de un método invasivo de diagn´ ostico presenta ciertos riesgos. Tomograf´ıa Hemos visto que la radiograf´ıa consist´ıa en una imagen integrada de todos los tejidos que atravesaba la radiación. La obtenci´ on de una imagen de u ńicamente uno de los planos atravesados permite una visión m´ as n´ıtida de un tejido, sin interferencia de los tejidos anteriores y posteriores. Esto se consigue con la técnica de la tomograf´ıa (del griego tomos=corte y grafos=escritura, imagen). Esta técnica consiste en realizar una secuencia de imágenes obtenidas al mover s´ıncronamente, respecto a la zona a explorar, el emisor y la placa en sentido opuesto (Fig. 6.29). De esta forma las imágenes de la zona enfocada se superpondrán mientras que los planos restantes irán perdiendo definici´ on. Una variedad de esta técnica que ha supuesto un avance revolucionario es la tomograf´ıa axial computerizada. Con esta técnica, ayudado por un ordenador (de ah´ı el nombre que recibe), se puede reconstruir con gran detalle cada uno


247

Figura 6.29: Esquema de la obtención de imágenes por tomograf´ıa axial computerizada. Se van adquiriendo imágenes según va girando el emisor de radiación alrededor del objeto. Posteriormente se reconstruye la imagen a partir de todas las proyecciones obtenidas.

de los órganos y estructuras internos. En esta técnica u ´ nicamente se enfoca la salida del emisor (utilizando un haz colimado de radiación) para radiar un plano (o rodaja) en el que se encuentre la zona de interés. El emisor va a girar entorno a un eje vertical que pasa por la regi´ on de interés y la imagen se va a recoger a lo largo de una cadena de receptores (fototubos) en configuración semicircular para ir registrando seg´ un va girando el emisor. La base de la tomograf´ıa axial computerizada es la reconstrucción por ordenador de la imagen interior (del plano irradiado) a partir del conjunto de sombras que se han ido recogiendo a medida que el emisor va girando entorno al paciente. Los rayos emergentes son recogidos en los fototubos y convertidos en se˜ nal eléctrica para posteriormente ser digitalizada y almacenada en el ordenador. Los datos recogidos por los detectores se procesan mediante algoritmos complejos, teniendo en cuenta la radiación inicial, obteniendo como resultado valores de coeficientes de atenuación de la radiaci´ on para cada punto (cada punto de una imagen digitalizada se denomina p´ıxel). El fundamento de la reconstrucci´ on de la imagen es el análisis de las sombras proyectadas en los distintos detectores al incidir los rayos desde distintas direcciones. Si en un punto del detector aparece una sombra significa que el rayo que deber´ıa haber incidido en dicho punto ha sido absorbido por alg´ un tejido en su trayectoria.

248


A partir de los datos de todas las sombras en los distintos detectores y mediante algoritmos matemáticos puede localizarse exactamente los puntos, en cada plano de estudio, de mayor y menor absorci´ on, lo que podr´ a identificarse posteriormente con los distintos órganos y tejidos. Asociando para el rango de valores de coeficientes una escala de grises (se asocia el valor más peque˜ no para el coeficiente de m´ınima absorción, o sea, el aire y el valor máximo para el coeficiente de máxima absorción, el metal), se representa la imagen bidimensional en blanco y negro de la rodaja procesada. La imagen aparecerá más n´ıtida cuanto mayor sea el rango de la escala de grises (más continua será la transición de un tono de gris al siguiente) y, por tanto, cuanto mayor sea la precisión con la que se obtienen los coeficientes para cada p´ıxel. A la hora de realizar un estudio concreto de una zona es m´ as u ´til variar la escala de grises de la imagen digitalizada, de manera que puede mostrarse u ´ nicamente los valores de alta absorción, potenciando as´ı la visualización de las zonas más densas como los huesos, o los de baja absorción, haciendo m´ as patentes las partes más blandas, o cualquier otra combinaci´ on que nos permita visualizar de la mejor manera posible la estructura que nos interese (variando el valor central de la escala de grises -centro de la ventana- y su rango -amplitud de la ventana-). Si tenemos en cuenta ahora que la rodaja tiene un cierto espesor (si al p´ıxel le a˜ nadimos la dimensión de profundidad obtenemos un prisma denominado v´ oxel) correspondiente a la anchura del haz colimado utilizado en la exploraci´ on podemos representar esa imagen bidimensional como una rodaja tridimensional de espesor constante. Como toda la información se guarda en el ordenador, a partir de las sucesivas rodajas se puede reconstruir una imagen tridimensional que puede ser manipulada inform´ aticamente como si se tratase de un objeto real tridimensional. Uno de los pocos inconvenientes es que como se realizan varias exposiciones para cada plano y esto se repite para cada plano la cantidad de radiaci´ on a la que se ve expuesto el paciente es mucho mayor (lógicamente está relacionado de manera directa con la informaci´ on que se obtiene). Gammagraf´ıa Es una técnica que permite visualizar la distribución de un radiois´ otopo en un o´rgano, generando una imagen bidimensional de la distribuci´ on en dicho órgano. Sin embargo, se trata de una técnica invasiva, en la que al paciente hay que inyectarle el radiois´ otopo (radiof´ armaco) que emite radiación gamma. Se trata de obtener informaci´ on a partir de la detección de esta radiaci´ on cuan-


249

do sale del cuerpo. Para ello se utiliza una c´ amara gamma que contiene unos cristales detectores que convierten los fotones emergentes en se˜ nales eléctricas (a partir de un fotomultiplicador). Además, entre el paciente y el cristal se coloca una plancha de plomo con perforaciones que hace de colimador y atenuador de la radiaci´ on secundaria. Las se˜ nales eléctricas generadas por cada detector proporcionan la informaci´ on para cada punto del plano explorado. El dispositivo con los detectores (gammac´ amara) se desplaza lentamente respecto al paciente de modo que puede recogerse la informaci´ on del plano deseado. Estas se˜ nales analizadas y procesadas permiten generar imágenes virtuales de la regi´ on analizadas. Las principales estudios imagenológicos derivados de la gammagraf´ıa son la gammagraf´ıa o´sea (que permite detectar y evaluar áreas de aumento o disminuci´ on del metabolismo óseo, relacionados en cada caso con tumores metastáticos, osteoporosis, fracturas, etc.), la gammagraf´ıa pulmonar de ventilación-perfusi´ on (procedimiento compuestos por dos gammagraf´ıas, una para medir la ventilación a partir de un radiois´ otopo inhalado y otra para ver la circulaci´ on en todas las a´reas de los pulmones), la gammagraf´ıa de la tiroides o la gammagraf´ıa de cr´ aneo, que va asociada a una tomograf´ıa axial computerizada. Im´ agenes por Resonancia Magn´ etica Aunque casi todas las técnicas de diagn´ ostico por imágenes utilizan radiaciones ionizantes, hay que hacer notar que las im´ agenes por Resonancia Magnética (RM) u ´ nicamente utilizan radiación de radiofrecuencia. Esta radiaci´ on tiene una longitud de onda del orden de las se˜ nales de TV y radio, que no es ionizante, y que es aproximadamente nueve órdenes de magnitud menos energética que los rayos X o rayos gamma. Además, en esta nueva técnica la obtenci´ on de la imagen no se basa en la proyección de las “sombras” producidas por los diferentes tejidos al ser atravesados por la radiación, sino que la radiaci´ on se utiliza para excitar ciertos n´ ucleos atómicos y, posteriormente, se recoge la se˜ nal emitida por éstos, se procesa y se reconstruye la imagen. Esta técnica utilizada en la obtención de im´ agenes médicas tuvo su origen como método de análisis. Por ello hacemos referencia a la sección de Espectroscop´ıa en el que se explica el fundamento de esta técnica. Aqu´ı vamos a ver cómo se aplica la se˜ nal de RMN para la obtenci´ on de im´ agenes. Recordemos que mediante una exposición de la muestra a una se˜ nal de radiofrecuencia, y situada dentro de un campo magnético elevado se consigue una se˜ nal de RMN de determinados n´ ucleos (normalmente de hidr´ ogeno).

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Figura 6.30: Emisión y recepción de la señal de RF. Durante un corto per´ıodo de tiempo se emite una señal de RF, compuesta por un conjunto de frecuencias. Al cortar la emisión se comienza a registrar la señal emitida por los n´ ucleos que se va atenuando durante un peque˜ no intervalo de tiempo. A esta señal temporal se le aplica la Transformada de Fourier para descomponerla en frecuencias. Cada frecuencia detectada corresponde a la respuesta de un determinado tipo de n´ ucleo.

Para obtener las imágenes con esta técnica es necesario determinar la localizaci´ on espacial del n´ ucleo emisor que ha sido detectado. Si todos los n´ ucleos at´ omicos están sometidos al mismo campo magnético la frecuencia de respuesta va a ser la misma para todos ellos, con lo que no tendremos posibilidad de localizarlos. Para ello, superpuesto al fuerte campo magnético constante (encargado de producir la polarizaci´ on parcial de los espines), se aplica un nuevo campo magnético que va variando linealmente desde un extremo al otro (lo que se denomina gradiente de campo magnético). Como el campo magnético local en cada región va a ser distinto, cada regi´ on emitir´ a con una frecuencia distinta. Estas se˜ nales están superpuestas en el tiempo, de modo que habrá que descomponer la se˜ nal en el conjunto de frecuencias que la componen, esto es, aplicar la transformada de Fourier6 . La se˜ nal de RF a la salida tendr´ a un pico de frecuencia a la frecuencia de Larmor, emitida en el proceso de relajación. Como se representa en la figura 6.30, después de la aplicación del pulso de radiofrecuencia se procede a la detección de la se˜ nal de RF emitida por la muestra durante un breve per´ıodo de tiempo en el que la respuesta va decayendo. Pos6

En la pr´ actica se utiliza casi siempre un algoritmo matem´ atico denominado Fast Fourier Transform (FFT) que para un n´ umero de puntos que sea potencia de 2 realiza el c´ alculo de forma mucho m´ as r´ apida.


251

teriormente, aplicando la Transformada de Fourier podemos descomponerla en las distintas frecuencias y, as´ı, determinar las distintas concentraciones de protones en funci´ on de la frecuencia. Como se ha superpuesto un gradiente de campo magnético al campo estático de RMN, para cada punto la frecuencia de Larmor (Ec. (6.4)) va a ser distinta. De esta forma, se puede reconstruir la imagen al poder identificar cada frecuencia con una posici´ on espacial. En im´ agenes se utilizan tres gradientes, uno para la direcci´ on X, otro para la Y y otro para la Z. La imagen de RMN es un mapa de frecuencias de los protones generadas por un campo magnético distinto para cada punto de la imagen. La intensidad del punto de la imagen (p´ıxel) está relacionado directamente con el n´ umero de protones contenido en un elemento de volumen definido por el v´ oxel (un p´ıxel con la profundidad de la sección analizada). Aunque van apareciendo nuevos sistemas de imagen por RMN, con más resolución, rapidez y prestaciones, los componentes básicos de todo equipo de RMN es pr´ acticamente el mismo. Un generador de campo magnético muy intenso. Puede obtenerse mediante un potente imán de grandes dimensiones (varias toneladas) con los que se pueden generar campos de hasta 0, 3T . También pueden obtenerse mediante electroimanes, consistentes en grandes bobinas por las que han de pasar intensidades de corriente muy altas para conseguir generar en su interior campos de hasta 0, 7T . El mayor inconveniente es la enorme cantidad de calor disipada por las corrientes tan elevadas involucradas. La manera de conseguir campos mayores es utilizando superconductores, de manera que no existe esa disipación térmica por el paso de corriente. El inconveniente es que se requieren temperaturas muy bajas para conseguir el comportamiento de superconductor (entre −263◦ C y −269◦ C), con lo que es necesario muy buenos sistemas criogénicos. As´ı, aunque no existe consumo eléctrico por no existir resistencia eléctrica, el consumo de estos dispositivos es del sistema criogénico. Con estos dispositivos se han conseguido campos magnéticos de más de 10T . Sistema de gradiente de campo magnético. Para localizar las se˜ nales de RF de las distintas regiones de la muestras se aplican peque˜ nas variaciones lineales al campo magnético principal, con intensidades m´ aximas de 10mT /m - 15mT /m. Sistema de radiofrecuencia. Es el responsable de la generación y transmisión de la radiaci´ on de RF utilizada para excitar los protones. Consta

252

´ CAPÍTULO 6. RADIACION de un sintetizador de la onda, con una frecuencia central correspondiente a la frecuencia de Larmor, y una envolvente discreta que contiene un rango de frecuencias. Posteriormente se amplifica con un amplificador de potencia de unos 10kW . Finalmente una antena transmisora irradiar´ a la se˜ nal de RF hacia la muestra. El sistema de adquisici´ on. Consta de una bobina receptora para detectar los voltajes inducidos por los protones en su relajaci´ on, un amplificador para pasar la se˜ nal del orden de nV o μV a valores de mV o V . Posteriormente se filtrará la se˜ nal y se procesará, mediante una FFT, para obtener finalmente unos valores de intensidad relativa para cada peque˜ na regi´ on de la muestra. Un sistema de visualizaci´ on convertir´ a esa tabla de valores en imágenes interpretables.

Conviene recalcar que esta técnica de diagnóstico no utiliza radiación ionizante, a diferencia de las anteriores, por lo que no entra˜ na ning´ un riesgo para el paciente al someterse a esta radiación. No obstante, se desconocen los efectos a largo plazo sobre el organismo que pudieran provocar los campos magnéticos tan intensos necesarios para realizar esta técnica.

CAPÍTULO

7

Técnicas e Instrumentación Fisico-Qu´ımicas.

7.1.

Fundamentos F´ısicos

Buena parte de los análisis bioqu´ımicos tienen por finalidad determinar, identificar, separar o purificar los componentes de mezclas de moléculas. Las macromoléculas biol´ ogicas tienen un peso molecular del orden de 10000 Daltons. Estas moléculas tan complejas cumplen, cada una, una funci´ on tan importante como espec´ıfica. Esta funci´ on está ligada a su tama˜ no, forma y estructura. Existen diversas técnicas f´ısicas que permiten determinar caracter´ısticas fundamentales de estas biomoléculas como el peso molecular, volumen, forma y estructura. Aunque estas técnicas son tema de estudio y aplicación en materia de Qu´ımica Anal´ıtica, sus fundamentos y principios ´ıntimamente relacionados con la F´ısica permiten que hagamos aqu´ı una peque˜ na exposición. Vamos a hacer una breve descripción y a explicar el fundamento de algunas de estas técnicas. Veremos, en primer lugar, los principios f´ısicos de las distintas técnicas más habituales de separación y an´ alisis. Comenzaremos por las caracter´ısticas b´ asicas de los fluidos biológicos desde el punto de vista f´ısico: las suspensiones coloidales. A continuaci´ on nos centraremos en el movimiento de las part´ıculas en suspensi´ on: los fen´ omenos de difusi´ on y sedimentación, en los que se basan las técnicas de cromatograf´ıa y centrifugaci´ on y daremos unos breves apuntes referentes a la viscosidad.

´ ´ CAPÍTULO 7. TECNICAS E INSTRUMENTACION

254

Figura 7.1: Sistema disperso. La fase A es la fase continua en la que se encuentra inmersa la fase B discreta.

7.1.1.

Coloides

La práctica totalidad de los fluidos biol´ ogicos, tanto los interiores al organismo (la sangre, la orina, la leche, etc) como del medioambiente (el agua, el humo, los residuos l´ıquidos, etc) son complejos sistemas dispersos. Un sistema disperso es el compuesto por una fase continua, denominada fase dispersante en la que se encuentran inmersas una o varias fases discretas dispersas. En la figura 7.1 la fase A es la fase continua (siempre se puede trazar una l´ınea continua para ir de un punto a otro de la misma fase) en la que hay inmersas part´ıculas de la fase B. Normalmente esta fase dispersa suele ser un conjunto muy variado de macromoléculas, constituyendo lo que se denomina suspensiones coloidales (recordemos que en los cursos básicos de Qu´ımica suele trabajarse con soluciones, que son sistemas homogéneos). Las suspensiones coloidales son dispersiones en fluidos de part´ıculas de tama˜ no mucho mayor (varios órdenes de magnitud) que las dimensiones de las moléculas de fluido (entre 1nm y 1μm). Estas part´ıculas se encuentran en suspensi´ on, inmersas en el fluido en movimiento continuo debido a la agitaci´ on térmica (denominado, como vimos en la sección del Caminante Aleatorio, movimiento browniano). Dependiendo del tipo de part´ıculas que forman la suspensi´ on, los coloides se clasifican en varios tipos: aerosoles, geles, espumas y emulsiones. Aerosoles. Son suspensiones en gases. Cuando las part´ıculas son sólidas reciben nombre espec´ıfico: humo cuando las part´ıculas sólidas son muy

7.1. FUNDAMENTOS FÍSICOS

255

Figura 7.2: Imagen microscópica de la estructura de un gel. peque˜ nas y polvo cuando las part´ıculas son de mayor tama˜ no. Cuando el aerosol está formado por gotas l´ıquidas en suspensi´ on en el gas se denomina niebla. Cuando existen part´ıculas sólidas y l´ıquidas en suspensi´ on se denomina smog. El aire que respiramos es, en s´ı, un aerosol constituido por part´ıculas sólidas, l´ıquidas (microgotas de vapor de agua) y microorganismos (bacterias, virus y mohos) en suspensi´ on. Geles. Est´ an constituidos por part´ıculas sólidas y l´ıquidas en un medio l´ıquido. En este caso las part´ıculas pueden interaccionar entre s´ı formando un entramado de tama˜ no casi macroscópico que tiene como consecuencia un gran aumento de la viscosidad del l´ıquido. En ocasiones se puede formar una estructura cuasi cristalina en la que la interacci´ on entre part´ıculas alcanza a todo el sistema, perdiendo as´ı la caracter´ıstica de fluido, y constituyendo lo que se denomina transici´ on sol-gel (formándose una estructura como la de la gelatina). En la figura 7.2 se muestra una imagen microscópica de la estructura de un gel. Espumas. Son suspensiones de c´ umulos de gas en el seno de un l´ıquido. Para ello es necesario que exista una sustancia que genere estructuras de tipo vacuola en las que permanezca encerrado el gas, el agente espumoso (como ciertas prote´ınas, saponinas, etc.). Como ejemplo de espumas se pueden mencionar las utilizadas para combatir incendios en las que el gas encerrado es di´ oxido de carbono. Emulsiones. Se trata de una suspensi´ on de part´ıculas l´ıquidas en el seno de otro l´ıquidos, siendo ambos inmiscibles. Mediante agitaci´ on mecáni-

256


Figura 7.3: Imagen de una emulsión de aceite en agua (izquierda). Esquema de la estructura de las microgotas de aceite recubiertas con lecitina (derecha). ca se pueden quedar atrapadas peque˜ nas gotas en el interior del otro l´ıquido. Para que una emulsi´ on sea estable y no se fusionen las gotas entre s´ı y termine por separarse una fase de la otra, es necesario a˜ nadir ´ un emulsionante. Estos están constituidos por moléculas con una zona apolar y otra polar. La zona apolar le permite enlazarse con las manchas lip´ıdicas, ya sean aceites o grasas. El área polar le permite interaccionar con el agua. De esta manera el agente emulsionante logra recubrir la superficie de la sustancia lip´ıdica permitiendo que la misma sea desplazada por el agua. Una imagen de una emulsi´ on de aceite en agua se puede ver en la figura 7.3. En la parte derecha de la figura se puede observar la estructura estable de gotas de aceite recubiertas con lecitina, en las que la parte apolar de ésta queda orientada hacia la gota y la parte polar hacia el exterior de la gota. Una gran cantidad de preparados alimenticios, cremas y ung¨ uentos son emulsiones. En el caso de la margarina, por ejemplo, se trata de una suspensi´ on de gotas de agua en aceite. En el estudio de los suspensiones coloidales se consideran las part´ıculas sometidas, en principio, a dos tipos de fuerzas: una fuerza viscosa que se opone al movimiento de las part´ıculas en el fluido y una fuerza estoc´ astica (aleatoria) generada por la agitación térmica de las part´ıculas. Además de estas fuerzas existirá alguna otra fuerza de interacción entre las part´ıculas, dependiente de la naturaleza de éstas y del fluido, que determinar´ a, en gran medida, el com-


257

portamiento de la suspensión. As´ı se podrán cambiar las caracter´ısticas de una suspensión si se conoce la interacción de un coloide individual con otro. Por ejemplo, en el tratamiento de purificaci´ on de agua se deben minimizar las fuerzas de repulsión entre las part´ıculas que la enturbian, para que as´ı se formen grandes aglomerados que sedimenten y filtren f´ acilmente. La manera habitual de cambiar la interacci´ on entre coloides es mediante fenómenos electrocinéticos. Es decir, las fuerzas electrostáticas entre la superficie del coloide con la de otro coloide o con las del l´ıquido determinan el comportamiento de la suspensión. Incrementando la carga superficial aumenta la repulsi´ on electrostática entre part´ıculas permaneciendo as´ı dispersos y en suspensión. Si, por el contrario, se reducen o eliminan las cargas superficiales los coloides se aglomeran y pueden llegar a sedimentar fuera de la suspensi´ on. Potencial Zeta La interacci´ on entre las part´ıculas coloidales puede entenderse si se estudia la configuraci´ on de carga alrededor de cada coloide. En primer lugar supondremos que la part´ıcula está cargada, por lo que no se formarán aglomerados debido a la repulsi´ on electrostática. Alrededor de este i´ on, por ejemplo negativo, se producir´ a una aglomeración de iones de signo contrario (contra-i´ on) a su alrededor formando una capa r´ıgida, llamada capa de Stern. Además, otros iones positivos sentir´ an el campo eléctrico grande creado por el coloide y tender´ an a aproximarse. Como el coloide está completamente rodeado de iones positivos, los nuevos iones quedarán pr´ oximos pero sin acercarse demasiado a la capa de Stern. En este equilibrio entre la atracci´ on debida al coloide altamente negativo y la repulsi´ on de la capa de Stern se establece una capa difusa en la que la concentraci´ on de iones positivos va decreciendo con la distancia (puede visualizarse como una nube de carga rodeando al coloide, con una densidad de carga decreciente con la distancia). Lejos del coloide la concentración de iones positivos y negativos será semejante, alcanzándose una densidad de carga nula. Al conjunto de contra-iones de la capa de Stern y la capa difusa se le denomina doble capa. Una imagen representativa de estas capas puede verse en la figura 7.4. El coloide negativo con su doble capa crea, a su alrededor, un potencial eléctrico (relativo a la disoluci´ on) decreciente con la distancia. El valor máximo del potencial corresponder´ a a la superficie del coloide, y fuera de la capa difusa tender´ a a cero. La forma de esta ca´ıda de potencial será un indicador de la fuerza repulsiva entre los coloides en funci´ on de la distancia que los separa. El potencial en la zona de separaci´ on entre la capa de Stern y la capa difusa se

258


Figura 7.4: Visualización de la doble capa, con la capa de Stern y la capa difusa. (De Zeta-Meter, Inc.).

denomina potencial zeta. Este potencial es una manera efectiva de controlar el comportamiento del coloide puesto que indica cambios en el potencial de la superficie y en las fuerzas de repulsión entre los coloides. Cuando la doble capa es muy grande el potencial zeta y el potencial de superficie son muy parecidos, como ocurre cuando el fluido es agua (Fig. 7.5). El comportamiento de los coloides en suspensión vendr´ a dado por el balance entre la fuerza de repulsi´ on electrostática y la fuerza de atracción de Van der Waals (la que mantiene unidas a las moléculas entre s´ı dentro de un l´ıquido). Al aproximarse los coloides sus respectivas dobles capas interaccionan apareciendo una repulsi´ on entre ellas. Por otra parte, las moléculas individuales de cada coloide al aproximarse entre s´ı experimentan atracción de Van der Waals. Se puede obtener una representaci´ on de la energ´ıa neta de interacci´ on restando la energ´ıa de atracci´ on a la energ´ıa de repulsión. En la región en la que la energ´ıa neta sea positiva existirá una repulsi´ on entre los coloides, mientras que cuando esta energ´ıa neta sea negativa corresponder´ aa una atracci´ on. Normalmente, a medida que se aproximan los coloides aparece una energ´ıa de repulsión que va aumentando hasta un m´ aximo, denominado barrera de energ´ıa, a partir del cual desciende hasta hacerse atractiva, región denominada trampa de energ´ıa (Fig. 7.6). La altura de esta barrera indica lo estable que será el sistema. Para que dos coloides queden unidos es necesario que tengan suficiente energ´ıa cinética para salvar esta barrera. Si esta


259

Figura 7.5: Definición del Potencial zeta. (De Zeta-Meter, Inc.). barrera es suficientemente peque˜ na las part´ıculas quedar´ an f´ acilmente atrapadas formando as´ı aglomerados. Dependiendo de nuestros prop´ ositos, podremos modificar esta barrera de energ´ıa en un sentido u otro. Con este fin se puede cambiar el pH, agregar activos para afectar a la carga del coloide, o cambiar la distribuci´ on de la doble capa. Un ejemplo importante son las dispersiones de arcilla en agua (coloide de barro). Para que fluyan bien las arcillas l´ıquidas se debe minimizar su viscosidad para que se liberen f´ acilmente las burbujas de aire. Esto se consigue buscando que el potencial zeta sea máximo. Para eliminar coloides del agua residual (de tama˜ no peque˜ no y, por tanto, dif´ıcil de eliminar por filtración o sedimentación) se disminuye el potencial zeta con coagulantes como el alumbre, cloruro férrico y/o pol´ımeros catiónicos. De esta forma desaparecen las fuerzas repulsivas y con una ligera agitación se formarán sistemas microfoculados (uni´ on de part´ıculas coloidales en grupos de mayor tama˜ no), que crecerán hasta hacerse visibles y f´ acilmente filtrados.

7.1.2.

Difusi´ on y sedimentaci´ on

Para separar part´ıculas es necesario que éstas se desplacen por el disolvente de diferente manera unas de otras. Desde el punto de vista macroscópico, para que exista un movimiento neto de part´ıculas en el medio, es decir, que se establezca un flujo material, es necesario que exista una fuerza neta sobre las part´ıculas en una dirección determinada. Sin considerar fuerzas externas o

260


Figura 7.6: Energ´ıa neta de interacción: balance entre la energ´ıa atractiva y la repulsiva. (De Zeta-Meter, Inc.). transporte activo sobre las part´ıculas, va a existir un flujo de part´ıculas cuando se dé alguna de las siguientes condiciones: que exista un gradiente de concentraciones (o desequilibrio del potencial qu´ımico, como se vió en la sección de Introducci´ on a la Termodin´ amica de No Equilibrio: Flujos y Fuerzas, y en la Ecuación de Nernst-Planck) o cuando exista una diferencia de densidades (por ejemplo, una suspensi´ on coloidal). La primera circunstancia da lugar al proceso denominado difusi´ on. La segunda condición propiciará la sedimentaci´ on. En este caso será la fuerza de la gravedad la que de manera natural realice la segregación. Por otra parte, en el movimiento de las part´ıculas dentro de un medio va a existir un rozamiento de éstas con las moléculas del solvente. Como es una fuerza de rozamiento din´ amico se escribe como un término negativo en la ecuaci´ on de movimiento de la part´ıcula, siendo proporcional a la velocidad de la misma Fext − f v = m (dv/dt) , donde Fext es la resultante de las fuerzas externas y f es el coeficiente de fricci´ on de la part´ıcula en el solvente. Para part´ıculas esféricas este coeficiente es proporcional a la viscosidad del mismo, η, y al radio de la part´ıcula ra . Esta es la denominada ley de Stokes:


261

fesf = 6πηra . Para part´ıculas que no son esféricas, como sucede con la mayor´ıa de las moléculas biol´ ogicas, su forma se puede aproximar a un elipsoide (una elipse en revoluci´ on). De esta forma la ley de Stokes se modifica introduciendo un factor de forma. La relaci´ on entre el coeficiente de fricción de la molécula, fi y el de una esfera equivalente fesf es el denominado factor de forma, F : F ≡ (fi /fesf ) .

7.1.3.

(7.1)

Viscosidad

Como ya se vió en la sección de Propiedades B´ asicas de los Fluidos, la viscosidad es la resistencia al movimiento relativo de las part´ıculas de un fluido, es decir, la resistencia a fluir. Esta resistencia depende del fluido, de su temperatura, as´ı como de las sustancias que éste tenga disueltas. La medida de la viscosidad se hace partiendo de la ecuación de movimiento de un fluido en régimen laminar a través de un capilar. De esta manera, a partir de la medida de la viscosidad se puede obtener informaci´ on de las sustancias disueltas. Una medida sencilla puede hacerse, por ejemplo, con el viscos´ımetro de Ostwald. Consiste en un tubo en forma de “U ” con un bulbo en cada brazo a diferentes alturas (Fig.7.7). Se rellena el bulbo inferior y se succiona por el otro brazo hasta llenar el bulbo superior y llegar a una marca superior, a. Con otra marca situada por debajo del bulbo, b, se deja caer la solución y se mide el tiempo, t, que tarda en bajar desde la primera marca a la segunda. La viscosidad se calcula como

4 πp · t · rcap , η= 8·l·V donde p es la presión hidrost´ atica del l´ıquido, rcap es el radio del capilar, l es la longitud ocupada por el fluido es su descenso desde la abertura inferior del bulbo, V es el volumen del l´ıquido que fluye y t es el tiempo que tarda en bajar el l´ıquido a través del capilar desde la marca a hasta la b. Es más f´ acil, sin embargo, calcularla a partir de un l´ıquido de referencia del que se conoce bien su viscosidad, η0 , y su densidad, ρ0 . En este caso, el cociente de viscosidades es proporcional al cociente de sus respectivas densidades y de sus respectivos tiempos de bajada. ρ t η = . η0 ρ0 t0

262


Figura 7.7: Viscos´ımetro de Ostwald. Se llena hasta la marca a y se mide el tiempo que tarda en descender el nivel del fluido hasta la marca b.

Normalmente se suele tomar como l´ıquido de referencia el agua, o bien el disolvente si queremos conocer la viscosidad de una disoluci´ on. Las part´ıculas disueltas van a introducir un aumento en la viscosidad, de modo que para peque˜ nas concentraciones se puede expresar la viscosidad de la disolución como una peque˜ na variaci´ on en la viscosidad del disolvente. Esta peque˜ na variación puede expresarse matemáticamente como una serie de potencias de la concentraci´ on, de la forma: η = η0 (1 + k1 C + k2 C + · · · ) , donde la concentración viene expresada habitualmente en gr/cm3 . Como primera aproximación, es decir, ignorando términos cuadráticos y superiores en la concentraci´ on y suponiendo part´ıculas de soluto grandes y esféricas, se puede escribir la viscosidad como: η = η0 (1 + νφ), donde ν es un coeficiente que para part´ıculas esféricas vale ν = 5/2 (para elipsoides muy alargados este factor puede llegar a ser mayor que 100) y φ es la fracci´ on de volumen. Si Vpart es el volumen ocupado por las part´ıculas y VT es el volumen total, la fracción de volumen es:


263

φ=

Vpart . VT

Expresando el volumen total a partir de la concentración de soluto (en gr/cm3 ) y la masa en función de la masa molecular obtenemos: φ=

vh NA C , M

siendo vh el volumen hidratado de la part´ıcula de soluto y M su masa molecular. También podemos reescribirlo en términos del volumen espec´ıfico parcial, v (en unidades de cm3 /g). El volumen espec´ıfico molar está definido como el volumen que ocupa un gramo de soluto dentro de la disoluci´ on. Si vh es el volumen de una part´ıcula hidratada, se tendr´ a: vh =

M v , NA

luego la fracci´ on de volumen ser´ a: φ = Cv. De esta forma la viscosidad relativa se puede escribir como: η η0 = 1 + νvC. Podemos definir ahora una viscosidad espec´ıfica, ηesp , como: ηesp = η η0 − 1. Esta viscosidad se relaciona directamente con las caracter´ıstica de la molécula: ηesp =

νNA vh C. M

De esta forma se ve que la viscosidad introducida por las part´ıculas de soluto no depende del tama˜ no real de las part´ıculas en s´ı, sino del volumen que ocupan cuando ya han interaccionado con la disoluci´ on. Si las part´ıculas no fueran esféricas habr´ıa que corregir esta expresión con un factor numérico (factor de forma, Ec. (7.1)) que dé cuenta de la anisotrop´ıa de la molécula.

264


Figura 7.8: Cuando existe una diferencia de concentración a lo largo del espacio se establece un gradiente de concentración, ΔC/Δx, que va a producir un flujo de masa por unidad de área, A.

7.1.4.

Ley de Fick

Además del movimiento aleatorio debido a la agitación térmica, las part´ıculas también pueden difundir debido a una diferencia de concentraci´ on. Como sabemos de la sección de la Ecuaci´ on de Nernst-Planck, cuando existe una diferencia de concentración a lo largo del espacio se establece un gradiente de concentraci´ on que va a producir un flujo de masa por unidad de a´rea (Fig. 7.8). En este caso, el movimiento no tiene un desplazamiento medio nulo como ocurr´ıa con el movimiento browniano debido a la agitación térmica, sino que aparece una fuerza de arrastre sobre las part´ıculas. La expresión que nos dice c´ omo se mueven las part´ıculas cuando hay una diferencia de concentraci´ on es la Ley de Fick. Seg´ un ésta el n´ umero medio de part´ıculas que atraviesa una sección A por unidad de tiempo es proporcional al gradiente de la concentración: dn = −DA dt

δC δr

.

El signo menos indica que las part´ıculas se desplazan desde la regi´ on de mayor concentración a la regi´ on de menos concentración; el factor de proporcionalidad es el coeficiente de difusi´ on, D. En estas condiciones, el flujo difusivo se puede expresar como


265

Jdif = −D

δC δr

.

El coeficiente de difusión depende de la temperatura y del coeficiente de fricci´ on de la part´ıcula en dicho medio, seg´ un la relaci´ on: D=

kB · T , f

(7.2)

conocida como ecuaci´ on de Nernst-Einstein, donde kB es la constante de Boltzmann, T es la temperatura absoluta y f es el coeficiente de fricción. Este on térmica. De esta forma, el producto kB T representa la energ´ıa de agitaci´ cociente kB T /f representa el área barrida por la part´ıcula por unidad de tiempo en su movimiento aleatorio debido a la agitaci´ on térmica.

7.1.5.

Sedimentaci´ on y Centrifugaci´ on

En el caso de la difusi´ on (Ley de Fick) hemos visto que un gradiente en la concentraci´ on produce un movimiento neto de dichas part´ıculas en el seno de la disoluci´ on. También se puede conseguir que unas part´ıculas se muevan y, por tanto, se separen, mediante la propia fuerza de la gravedad o aplicando una rotaci´ on cuyo efecto es una aceleración que puede llegar a ser varios órdenes de magnitud mayor que la de la gravedad. Se habla de sedimentaci´ on cuando las part´ıculas en suspensión caen y se separan del disolvente u ´ nicamente por el efecto de la gravedad. En este caso, hay que decir que las part´ıculas realmente no están disueltas (es decir, integradas a las part´ıculas del disolvente formando una mezcla homogénea) sino en suspensi´ on (como se indicó al comienzo del cap´ıtulo). Cuando la fuerza de la gravedad es insuficiente para conseguir la sedimentación en un tiempo razonable, se puede forzar una precipitación mediante una rotaci´ on a gran velocidad. La fuerza centr´ıfuga depende de la velocidad de giro, ω y del radio de giro rg de la siguiente forma: Fc = mω 2 rg , donde m es la masa de la part´ıcula. La masa efectiva de una part´ıcula en el seno de un fluido es (m − V ρ), donde V es el volumen de la part´ıcula y ρ es la densidad del fluido. As´ı pues, la fuerza centr´ıfuga o radial es Fc = (m − V ρ)ω 2 rg . Si se alcanza velocidad uniforme en el desplazamiento de las part´ıculas se tendr´ a un equilibrio entre la fuerza centr´ıfuga y la de rozamiento. La fuerza

266


de rozamiento vimos que era proporcional a la velocidad, en este caso a la velocidad radial, v: (m − V ρ) 2 dr −→ v = ω rg . (m − V ρ)ω 2 rg = f dt f Definiendo el coeficiente de sedimentaci´ on, s, como la velocidad por unidad de aceleración centr´ıfuga s≡

v ω 2 rg

,

la velocidad se puede escribir como v = s · ω 2 rg . De la expresión anterior podemos obtener una ecuación que nos determina la masa molecular en funci´ on del coeficiente de sedimentación V (ρs − ρd ) = f · s, donde ρs es la densidad del soluto y ρd es la densidad del disolvente. Luego el peso molecular será M=

NA f s , (1 − ρd /ρs )

on de la y recordando la relaci´ on de Nernst-Einstein (D = kB T /f ) y la relaci´ constante de los gases con la constante de Boltzmann (R = NA · kB ) podemos escribir M=

RT · s - . D 1 − ρd ρs

(7.3)

Esta es la llamada ecuaci´ on de Svedberg. La unidad del coeficiente de sedimentación en el S.I. es el segundo, sin embargo, en la pr´ actica se utiliza un subm´ ultiplo muy peque˜ no, el Svedberg, S: 1S ≡ 10−13 s. Dentro de las técnicas que se fundamentan en las diferencias de difusión y sedimentación comentaremos las más utilizadas: la cromatograf´ıa y la ultracentrifugaci´ on.

´ ´ Y ANALISIS ´ 7.2. TECNICAS DE SEPARACION

267

Figura 7.9: Perfil de concentraciones en una ultracentr´ıfuga.

7.2.

T´ ecnicas de Separaci´ on y An´ alisis

7.2.1.

Centrifugaci´ on y Ultracentrifugaci´ on

Uno de los equipos b´ asicos en un laboratorio de análisis es la centr´ıfuga. En ella las muestras se colocan en peque˜ nas probetas que, una vez cerrado el aparato, se hace girar a gran velocidad con el fin de acelerar el proceso de sedimentación. La ultracentr´ıfuga consiste en una centr´ıfuga que puede hacer girar la muestra a muy alta velocidad, del orden de decenas de miles de revoluciones por minuto, obteniéndose aceleraciones del orden de 3.000.000 veces la gravedad. Esta técnica puede ser utilizada como preparativa (para separar componentes de una muestra o purificar) o como anal´ıtica (para determinar pesos moleculares). Las componentes de un sistema se separan en bandas seg´ un sus coeficientes de sedimentación. Además, esta técnica requiere muy poca cantidad de muestra. La determinaci´ on de pesos moleculares puede hacerse por varios métodos. En el método de velocidad de sedimentación se utiliza una ultracentr´ıfuga a alta velocidad y se registra el movimiento de la capa de sedimentación en función del tiempo, obteniendo la velocidad de sedimentaci´ on, v. Para obtener ´ los cambios de concentración se utiliza el sistema o´ptico de Schlieren. Este está basado en el hecho de que la luz sufre refracci´ on al atravesar un medio con densidad variable; el cambio en el ´ındice de refracci´ on se relaciona con el cambio de densidad (Fig. 7.9). También se emplea la interferencia Rayleigh que consiste en utilizar una doble celda, una para el disolvente y otra para la muestra, se mide el desplazamiento de las franjas de interferencia y se obtiene la diferencia en el ´ındice de refracci´ on entre ambas celdas. Para ello la

268


Figura 7.10: Montaje experimental de la ultracentr´ıfuga con el dispositivo o´ptico para estudiar el perfil de concentraciones.

ultracentr´ıfuga incorpora sendas ventanas por las que un haz l´ aser atraviesa la muestra para obtener el perfil de concentraciones (Fig. 7.10). En el método del equilibrio, la muestra se centrifuga hasta alcanzar un equilibrio entre la sedimentaci´ on y la difusi´ on de las part´ıculas, quedando un gradiente de concentraci´ on estables, es decir, se consigue un flujo neto, Jneto , nulo. El flujo centr´ıfugo se podr´ a escribir como Jc = v · C = sω 2 rC, luego: Jneto = sω 2 rC − D(δC/δr) = 0, o bien, (δD/δr) s = , D ω 2 rC y sustituyendo en la ecuación de Svedberg (7.3): M=

RT (δC/δr) . (1 − ρd /ρs ) ω 2 rC

(7.4)

El inconveniente es que no se puede utilizar velocidades muy altas. Como se observa en la ecuación (7.4) cuanto mayor sea M menor tendrá que ser la


269

velocidad de giro para alcanzar el equilibrio (por ejemplo, para 50000 daltons, se requiere 10000rpm1 ). Otro método para calcular los pesos moleculares es la ultracentrifugación con gradiente de concentraci´ on. Utiliza otra solución de bajo peso molecular (p.e. CsCl), de forma que se forma un gradiente de densidades en equilibrio. Al a˜ nadir una sustancia de elevado peso molecular, ésta se suspenderá en un punto donde su densidad de flotaci´ on sea igual a la densidad de la soluci´ on de bajo peso molecular. Si tenemos una muestra multicomponente (como ocurrirá la mayor´ıa de las veces), se formará una fina capa de macromoléculas, separadas seg´ un sus coeficientes de sedimentación. A este se le llama sedimentaci´ on por zonas. Los métodos de sedimentación también pueden dar información del tama˜ no y forma de las part´ıculas. La variación de la velocidad de sedimentaci´ on es proporcional al radio y a la densidad de la part´ıcula: v0 = 2rp2 (ρp − ρs )ω 2 r 9η. Cuando la part´ıcula no es perfectamente esférica existe una discrepancia con esta ecuación y habr´ a que corregirla mediante el factor de forma, F (Ec. (7.1)).

7.2.2.

Electroforesis

Cuando una mezcla de moléculas ionizadas es colocada en el interior de un campo eléctrico (generado por un par de electrodos) éstas migrarán hacia el electrodo que tenga el signo opuesto a su carga. La diferencia de movilidad de las distintas especies a través de un medio va a permitir separar las distintas biomoléculas en su migración hacia el electrodo. El movimiento de las moléculas tiene tres contribuciones: la fuerza electrostática que depende de la carga de la molécula y del campo eléctrico creado, y va dirigida en el sentido del campo eléctrico (del electrodo positivo al negativo) para los iones positivos y en sentido contrario para los iones negativos; la fricción con el solvente que dificulta el movimiento de las moléculas en el medio y la agitación térmica, responsable del movimiento browniano, dando una contribuci´ on aleatoria como vimos en el apartado anterior. Como resultado, si se coloca una peque˜ na cantidad de muestra en un determinado punto se formar´ a un frente que ir´ a avanzando arrastrado por la 1 Aunque en las ecuaciones la velocidad angular ω viene expresada en rad/s, en la pr´ actica es m´ as com´ un hablar de revoluciones por minuto, rpm.

270


fuerza electrostática. Por otra parte, debido al efecto de difusi´ on, el frente se va a ir ensanchando con el tiempo. La concentración de iones en dicho frente presenta una distribuci´ on de tipo gaussiano, con su m´ aximo en la posición media del frente y cuya varianza va aumentando con el tiempo. Para reducir la anchura de este frente se puede dificultar el movimiento de las moléculas empleando un medio que oponga resistencia a su movimiento. A esta versión se denomina electroforesis en zona. La forma habitual de conseguir esto es mediante un gel. Un gel es un medio formado por un pol´ımero soluble de muy alto peso molecular que atrapa moléculas de agua y forma un tamiz o malla que dificulta el movimiento de los solutos. De esta forma, aunque la migraci´ on electroforética es más lenta, el ensanchamiento del frente también se verá reducido obteniéndose una mejor separación de especies. El medio soporte estabilizante impide, además, la difusión de las moléculas al acabar. Una vez que han sido separadas las biomoléculas de interés, se corta el potencial aplicado y se ti˜ nen para su mejor visualizaci´ on. Suponiendo una part´ıcula esférica no hidratada, de radio r, con una cierta carga q, la fuerza electrostática se puede escribir como: V , δ donde δ es la distancia entre electrodos y V el potencial aplicado; y la fuerza viscosa es: FE = q · E = q

|FH | = f v = 6πηrv. Cuando se mueve sin aceleración se satisface la igualdad entre ambas fuerzas. Podemos, as´ı, encontrar la velocidad estacionaria de movimiento igualando ambas ecuaciones: v=

qV . 6πηrδ

Vamos a definir ahora un par´ ametro pr´ actico que es la movilidad electroforética como la velocidad por unidad de campo eléctrico, caracter´ıstica de cada part´ıcula: μ=

q v = . E 6πηr

De este modo, al aplicar un campo eléctrico, la separación de componentes por sus distintas velocidades la podemos relacionar con la movilidad electroforética de los mismos.


271

Figura 7.11: Ejemplo de utilización de la electroforesis para la discriminación de componentes en el análisis de quesos. Según la distribuci´ on de las prote´ınas de suero lácteo en gel de poliacrilamida se distingue fácilmente los tipos de leche utilizados en la fabricaci´ on del queso.

No obstante, este resultado se obtiene partiendo de la hip´ otesis de tratarse de una part´ıcula cargada no hidratada, sin embargo, en la realidad toda part´ıcula cargada disuelta se encontrará hidratada y rodeada de contraiones (iones de signo contrario atra´ıdos por interacci´ on electrostática). Teniendo en cuenta la capa de contra-iones rodeando a la macromolécula la carga neta efectiva será menor, con lo que la movilidad electroforética real también va a ser menor. El movimiento resultante provoca que las moléculas no migren de manera homogénea, y dependiendo de su carga, su masa y su coeficiente de difusión alcanzarán el electrodo en tiempos distintos. Como la difusión depende de la temperatura, a mayor temperatura más difunden las part´ıculas y, por tanto, m´ as anchura tendr´ a el frente. En Biolog´ıa esta técnica es empleada para separar prote´ınas o ´ acidos nucleicos (e incluso células). Los ácidos nucleicos ya disponen de una carga eléctrica negativa, que los dirigir´ a al polo positivo, mientras que las prote´ınas se cargan con sustancias espec´ıficas que incorporan cargas negativas de una manera dependiente del peso molecular. En la figura 7.11 se muestra una utilización pr´ actica en el análisis de alimentos, en concreto, la determinaci´ on del tipo de

272


leche utilizada en la fabricación de quesos.

7.2.3.

Cromatograf´ıa

Es la técnica más potente y de aplicación m´ as general para separar, identificar y determinar componentes qu´ımicos de mezclas complejas. Cuando un fluido con solutos disueltos (fase m´ ovil) se hace desplazar a través de otro medio inmiscible (denominado fase estacionaria), cada uno de los componentes van a difundir de manera distinta en ambos medios. De esta forma, si se hace fluir la fase móvil (con los componentes que se desean separar) a través de la fase estacionaria, los distintos componentes se van a transportar a distinta velocidad, de modo que al salir van apareciendo separadamente. Se denomina eluci´ on al proceso mediante el cual los solutos son arrastrados a través de una fase estacionaria por el movimiento de una fase m´ ovil (mediante la adición sucesiva de disolvente). Al introducir la muestra disuelta en la fase móvil en el cromatógrafo los componentes se van distribuyendo en las dos fases, seg´ un sea su afinidad a una u otra fase. Al a˜ nadir m´ as disolvente (eluyente) se fuerza a la porción de muestra disuelta en la fase móvil a descender por la columna (tubo estrecho, relleno con la fase estacionaria, por el que se hace circular la fase móvil), de modo que tienen lugar nuevos repartos entre las fases móvil y estacionaria. Esto sucede de manera continua, de manera que la velocidad a la que es arrastrado cada soluto depende de la fracción de tiempo que pasa cada uno en la fase móvil. Para conseguir separar especies de una mezcla hay que hacer pasar a través de la columna una cantidad suficiente de fase m´ ovil hasta que emerjan por el otro extremo; se dice entonces que han sido eluidas. En la figura 7.12 se representa en distintos instantes de tiempo el avance de distintos solutos a través de una columna cromatogr´ afica; dependiendo de su afinidad a una u otra fase avanzará más deprisa o más lentamente consiguiéndose as´ı su separación. El perfil de concentraciones a la salida de la columna cromatográfica producir´ a en el detector una se˜ nal durante un peque˜ no intervalo de tiempo, con un m´ aximo situado aproximadamente en el punto medio de dicho intervalo. Como se trata de un proceso difusivo, igual que en la electroforesis, la se˜ nal ser´ a una gaussiana cuya anchura va creciendo linealmente con el tiempo de elución. Las diferencias de velocidad de los distintos componentes determinan que se vayan separando en bandas o zonas a lo largo de la columna. A medida que recorren más distancia se van desfasando m´ as temporalmente; sin embargo, también se produce, al mismo tiempo, un ensanchamiento de las bandas, lo que dificulta, por otra parte, su separaci´ on.


273

Figura 7.12: La separación de los componentes en una columna cromatográfica se va produciendo a medida que se va a˜ nadiendo eluyente.

La efectividad de una columna cromatográfica para separar dos solutos depende en gran medida de las velocidades relativas a las cuales emigran (eluyen) ambas especies. En cada instante de tiempo se puede describir el equilibrio Amóvil Aestacionario , cuya constante K es la relaci´ on o coeficiente de reparto: CS , CM donde CS es la concentración en fase estacionaria y CM es la concentración en la fase m´ ovil, es decir, el cociente entre las concentraciones en ambas fases. En el caso ideal esta relación es constante, luego CS ∝ CM . Sin embargo, para grandes concentraciones existen notables desviaciones de esta linealidad (cromatograf´ıa lineal). Para hacer determinaciones cuantitativas se mide el tiempo de retenci´ on, tR , es decir, el tiempo que tardan en llegar al detector (al final de la columna) cada una de las especies; y el tiempo muerto, tM , que es el tiempo que tarda en salir una sustancia no retenida, o lo que es lo mismo el tiempo que tarda en salir el eluyente. Entonces, la velocidad media de migración de un soluto es: K=


274

L , (7.5) tR donde L es la longitud del empaquetamiento de columna. Para las moléculas de la fase móvil será: v¯ =

L . (7.6) tM Ahora podemos expresar la velocidad de migración como una fracci´ on de la velocidad de la fase m´ ovil, es decir, el producto de la velocidad de la fase móvil multiplicado por la fracci´ on de tiempo que pasa en fase m´ ovil, u=

moles fase móvil , moles soluto 1 1 CM VM =u· =u· , v¯ = u · S CM VM + CS VS 1 + CS VS /CM VM 1 + K VVM

v¯ = u ·

donde K es la relación de reparto de ambas especies. Se puede definir ahora una nueva constante, denominada factor de capacidad, al producto ≡ KA kA

VS , VM

luego v¯ = u

1 . 1 + kA

Sustituyendo las definiciones de v¯ (Ec. (7.5)) y u (Ec. (7.6)), tendremos: 1 L L = , tR tM 1 + kA y, por tanto, = kA

tR − tM . tM

´ Esta es una magnitud medible directamente de un cromatograma (representaci´ on de la concentraci´ on de soluto detectada a la salida en funci´ on del apida tiempo o del volumen de eluci´ on). Cuando kA 1 la elución es muy r´ (tR tM ), con lo que es muy dif´ıcil determinar con exactitud tR . Si, por el 1, los tiempos son muy largos t t . Lo ideal es un factor contrario, kA R M ≤ 5. Para modificar los factores de capacidad se puede de capacidad 1 ≤ kA variar la temperatura, el empaquetado y la composición de las fases.


275

Figura 7.13: Determinación de la resolución de una columna. Se mide la diferencia entre los tiempos de retención de los analitos y la anchura de los respectivos picos.

Factor de Selectividad Para caracterizar la medida de lo bien que una columna cromatogr´ afica separa dos especies, se define el factor de selectividad, α, de una columna como el cociente α = KB KA , siendo B la especie más fuertemente retenida (luego siempre se cumplirá que α > 1). Es fácil deducir que α también se puede escribir como:

α=

kB , kA

o bien,

α=

(tR )B − tM , (tR )A − tM

por lo que puede obtenerse directamente de los tiempos de retenci´ on y el tiempo muerto.


276

Problema. Se pretenden separar dos especies A y B por elución con hexano en una columna empaquetada con gel de s´ılice que tiene agua adsorbida. Los coeficientes de reparto en agua/hexano, K, de las especies A y B son 6, 01 y 6, 20 (K = [A]H2 0 /[A]hex ). La relacion VS /VM del empaquetado es de 0, 422. a) Calcular el factor de capacidad de cada soluto. b) Calcular el factor de selectividad. c) Si se emplea una velocidad de flujo de 7, 0cm/min ¿qué tiempo se necesitar´ a para eluir las dos especies si la longitud de empaquetamiento de la columna es de 9, 8cm? Soluci´ on. a)El factor de capacidad ser´ a: = KA kA

VS = 6, 01 · 0, 422 = 2, 5362, VM

= KB kB

VS = 6, 20 · 0, 422 = 2, 6164. VM

y

b)El factor se selectividad ser´ a: α=

kB = 1, 03 kA

c)Ahora las velocidades se pueden obtener a partir de la velocidad del eluyente y del factor de capacidad: vA = u

1 1 = 1, 98cm/min = 7, 0 1 + kA 1 + 2, 5362

y vB = u

1 1 = 7, 0 1 + 2, 6164 = 1, 94cm/min. 1 + kB

Luego los tiempos para una determinada longitud serán: tA =

L = 4, 95min vA

tB =

L = 5, 05min. vB

y


277

Resoluci´ on Como ya hemos visto, en un cromatograma van apareciendo sucesivos picos o bandas correspondientes a las distintas sustancias que componen la muestra. Sin embargo, cuando estos picos aparecen muy juntos pueden llegar a verse como un u ńico pico. La capacidad para separar gr´ aficamente dos analitos es lo que se denomina resoluci´ on. Se define el factor de resoluci´ on Rs a la relación entre la separaci´ on temporal de los picos y la anchura media de los picos (Fig. 7.13). 2 [(tR )B − (tR )A ] , WA + WB donde WA y WB son las anchuras de las bases de los picos del analito A y B, respectivamente. Cuando Rs = 0, 5 la separación entre los picos es igual a la mitad de la base media de las bandas; cuando Rs = 1, 0 se aprecian separados ambos picos (la separación es igual a la anchura media de las bandas). Se considera que la separación de los picos es completa cuando Rs > 1, 5. Rs =

Eficacia de una columna cromatogr´ afica La eficacia de una columna cromatográfica es el grado de ensanchamiento de bandas que experimenta una muestra al atravesar la columna. Es decir, mide la capacidad de la columna para ensanchar los picos. La anchura es consecuencia directa de la difusi´ on de las part´ıculas de soluto a través de la fase estacionaria. Al existir un n´ umero elevado de part´ıculas de soluto (del a que algunas difundir´ an m´ as en el medio estacionario, orden de NA ) ocurrir´ mientras que otras difundir´ an menos y pasarán de nuevo la fase m´ ovil en la que serán arrastradas. El proceso de elución será un conjunto de transferencias continuas de una fase a otra, de modo que cuanto mayor sea el tiempo que permanece el soluto en la columna mayor serán las diferencias entre part´ıculas más difundidas y menos difundidas produciéndose el ensanchamiento de la banda. El efecto de la velocidad de elución puede verse en la figura 7.14. Cuando la velocidad es muy lenta (Fig. 7.14(a)) todos los picos se separan bien pero algunos aparecen muy anchos (5 y 6); cuando es muy r´ apida (Fig. 7.14(b)) los picos son estrechos pero algunos quedan sin resolver (1 y 2); la velocidad ideal debe dar un cromatograma con picos resueltos y suficientemente estrechos (Fig. 7.14(c)). Por razones hist´ oricas el parámetro que mide la eficacia de una columna se denomina altura de plato (H), en referencia a los platos que constitu´ıan

278


Figura 7.14: Efecto de la velocidad de elución (sobre un cromatograma ficticio): a) picos separados y ensanchados, b) picos estrechos pero sin resolver, c) cromatograf´ıa bien resuelta. las columnas de fraccionamiento para separar hidrocarburos. A partir de la varianza (σ 2 ) de las curvas o bandas, se define la altura de plato como la varianza por unidad de longitud de columna: σ2 , (7.7) L donde la varianza se mide sobre la gaussiana del perfil del analito a la salida de la columna (Fig. 7.15). Como la dimensi´ on de la varianza es una longitud al cuadrado, las unidades de la altura de plato ser´ an de longitud (normalmente se da en cent´ımetros). La varianza de una gaussiana representa la anchura de la campana tal que el área comprendida entre L − σ y L + σ es aproximadamente el 86 % del área total de la curva; es decir, el intervalo en el que pasa por el detector el 86 % de las moléculas de analito eluido. En analog´ıa con las columnas de fraccionamiento, cada plato representa un equilibrio te´ orico de distribución del soluto entre las fases. La altura de plato puede entenderse como la anchura de la banda por unidad de distancia recorrida, es decir, indica cómo se va ensanchando la banda a medida que avanza en la columna. Para cuantificar la eficacia de una columna se utiliza también el n´ umero de platos. Este parámetro representa el n´ umero de platos teóricos que hay en una columna: H=


279

Figura 7.15: La altura de plato de una columna cromatográfica se estima como la anchura de la banda a la salida por unidad de distancia recorrida.

L . (7.8) H Cuanto mayor sea el n´ umero de platos mayor será la eficiencia de la columna cromatográfica. A partir de la ecuaci´ on (7.7) también puede escribirse el n´ umero de platos como N=

L2 . (7.9) σ2 Para estimar experimentalmente la altura de plato hay que hacer uso del cromatograma. La varianza del perfil del analito a la salida de la columna se puede relacionar con la curva del cromatograma, dado que la velocidad media de avance del perfil del analito es la longitud de la columna entre el tiempo de elución, N=

vm =

L . tR

As´ı pues, la anchura en el cromatograma correspondiente al tiempo de elución del analito estar´ a relacionada con la anchura del perfil del analito de la forma:

280


Figura 7.16: Estimación de la anchura de un pico cromatográfico para el cálculo de la altura de plato.

τ=

σ , L/tR

(7.10)

donde τ es la varianza del pico del soluto en el cromatograma y L es la longitud de empaquetado de la columna. Para estimar ahora la anchura del pico del cromatograma podemos recurrir a un procedimiento gráfico que nos da un valor bastante aproximado. Consiste en prolongar las rectas tangentes a los lados del pico cromatogr´ afico en el punto de inflexi´ on de sendos lados, creando as´ı un tri´ angulo con base en el eje del cromatograma (como se muestra en la figura 7.16). Este triángulo as´ı creado tiene un a´rea aproximada del 96 % del área total; este área equivale a la integral de la gaussiana en un entorno de 2σ respecto a su máximo. Luego la anchura de este triángulo equivale a W = 4τ . Sustituyendo ahora en la ecuaci´ on (7.10) podemos obtener un valor estimado para la varianza del perfil del analito: σ=

L·W , 4tR

(7.11)

que sustituido en la definición de la altura de plato (Ec. (7.7)) nos dar´ıa un valor experimental de dicho par´ ametro.


H=

281

L · W2 . 16t2R

El n´ umero de platos se obtendr´ıa, a partir de (7.8) como: N=

16t2R . W2

Problema. Una columna cromatogr´ afica tiene una longitd de empaquetado de 24, 7cm. En un cromatograma se mide, para una sustancia A, un tiempo de retención de 3, 5min y presenta una anchura de la base del pico de 0, 95min. Calcular el n´ umero de platos y la altura de plato de la columna. Soluci´ on. La varianza de la banda se puede calcular a partir del tiempo de retenci´ on y de la anchura de la base en el cromatograma: σ=

24, 7 · 0, 95 L·W = 1, 676cm. = 4 · tR 4 · 3, 5

El n´ umero de platos será, entonces, N=

16 · t2R = 217, 2 W2

Y la altura de plato de la columna: H=

L · W2 = 0, 114cm. 16 · t2R

Problema. Se van a separar dos especies en una columna empaquetada con gel de s´ılice que tiene agua adsorbida. Los tiempos de retenci´ on de dos especies próximas son tA = 2, 45min y tB = 2, 30min. a) ¿Cu´ antos platos se necesitan para conseguir una resolucion de 1, 5? b) ¿Qué longitud debe tener la columna para que la altura de plato del empaquetado sea 2 · 10−2 cm?

282


Soluci´ on. a) La resolución se define a partir de los tiempos de retención (tA y tB ) y las anchuras de pico como, 2 [tB − tA ] . Rs = WA + WB La anchura del pico se puede escribir en función del tiempo de retención (Ec.(7.11)): 4σ · tA , WA = L y como la anchura se relaciona directamente con el n´ umero de platos (Ec. (7.9)): 1 σ =√ , L N entonces

4 WA + WB √ (tA + tB ) . N Luego la resolución se puede escribir como: √ N (tB − tA ) . RS = 2 (tB + tA ) As´ı, para conseguir una resolución de 1, 5 tendremos: √

N=

2 · RS [tB + tA ] = 95, [tB − tA ]

luego el n´ umero de platos será: N = 9025. b) Como el n´ umero de platos se define como la altura de plato por unidad de longitud de columna, se puede expresar L en funci´ on de N y H: L = N · H. Luego para N = 9025 la longitud del empaquetamiento tendrá que ser: L = 9025 · 2 · 10−2 = 180, 5cm.


7.2.4.

283

Espectrometr´ıa de Masas

Una técnica muy importante para la identificación de moléculas es a partir de la medida de su relación masa/carga, m/q, en estado ionizado. Es especialmente importante para la detección de macromoléculas de peque˜ na masa −12 (m < 10 g). La idea fundamental es acelerar las moléculas ionizadas en campos eléctricos para, a continuaci´ on, hacerlos girar por la acción de campos magnéticos o eléctricos (al tratarse de part´ıculas cargadas se pueden utilizar lentes electrostáticas y/o magnéticas para colimar y guiar el haz). El radio de giro vendr´ a dado por el equilibrio entre la fuerza centr´ıfuga (que depende de la masa) y la fuerza normal o de giro (que depende de la carga de la moléculas). Cuanto mayor sea la velocidad de entrada en el deflector mayor será la separación angular entre las distintas relaciones carga/masa. La fuerza que experimenta una part´ıcula cargada en movimiento, dentro de un campo magnético es la denominada Fuerza de Lorentz: , FL = q v ∧ B donde ∧ es el s´ımbolo para el producto vectorial. Si el campo magnético es perpendicular a la trayectoria el módulo de la fuerza será el producto del módulo de la velocidad por el módulo del campo magnético y multiplicado por la carga. Esta fuerza produce una trayectoria circular en el movimiento de la part´ıcula cargada. Dado que la part´ıcula tiene una cierta masa experimentar´ a una fuerza centr´ıfuga que es inversamente proporcional al radio de giro. A lo largo de la trayectoria ambas fuerzas son iguales pero de sentido contrario, luego

m

v2 = q · v · B. r

Se puede ver pues que, una vez introducidos dentro del campo magnético, las part´ıculas tendr´ an un radio de giro proporcional a su masa e inversamente proporcional a su carga: r=

m·v . q·B

(7.12)


284

Problema. ¿Qué diferencia espacial presentarán dos iones, uno con valor masa/carga m/q = 5 · 10−11 kg/C y el otro con la misma masa y con el doble de carga, en un espectr´ ometro en el que se aceleran con un potencial de 10kV y se hacen girar en un deflector angular de π/2 con un campo de 0, 01T ? Soluci´ on. Al acelerarse los iones en un potencial, la velocidad alcanzada ser´ a: , q 1 2 mv = q · ΔV −→ v = 2 ΔV . 2 m Ahora, al entrar en un campo magnético el radio de giro es (Ec.(7.12)): , m 1 2 ΔV . r= B q De esta forma, para el primer ión: r1 =

1 ( 10−3 2 · 10kV · 5 · 10−11 kg/C = −2 m = 0, 1m 0, 01T 10

y para el segundo, al tener el doble de carga su relación m/q será la mitad: r2 =

1 ( 10−3 2 · 10kV · 2, 5 · 10−11 kg/C = √ m = 0, 071m. 0, 01T 2 · 10−2

Como el deflector angular es de π/2 ambos iones describirán sendos arcos tangentes en su origen (Fig. 7.17). Cuando van a salir, la separación espacial será igual a la diferencia de sus respectivos radios de giro, es decir: Δs = r1 − r2 = 100 − 71 = 29mm. Luego a la salida de la cámara las part´ıculas se podrán seleccionar por la posición ocupada seg´ un su radio de giro. Vemos que el valor del radio tiene una dependencia expl´ıcita en una caracter´ıstica propia de cada part´ıcula, su relación masa/carga (m/q). Componentes b´ asicos El dise˜ no general de un espectrómetro comprende un inyector, un ionizador, un acelerador, un selector de part´ıculas en funci´ on de su relación car-


285

ga/masa y, finalmente, un detector. -Ionizador. Para que los iones sean acelerados y separados al desviarse en el campo magnético es necesario que el sistema se encuentre en condición de vac´ıo (para que no existan colisiones con las part´ıculas del aire). La muestra ha de ser transformada en i´ on gaseoso; para ello existen dos clases de fuentes de iones, las fuentes de gas y las fuentes de desorción. En las fuentes de gas las muestras se volatizan y posteriormente se ionizan sus componentes. Dentro de esta clase existen diferentes métodos de ionización, como son la ionización qu´ımica a presi´ on atmosférica (bombardeando los átomos gaseosos con un gas reactivo, como el metano, ox´ıgeno, amoniaco o hidr´ ogeno), por impacto electr´ onico (se generan electrones y se hacen colisionar con los átomos o moléculas del gas, M + e− → M + + 2e− , los iones moleculares positivos son acelerados por un campo eléctrico) o por ionización por campo (al someter a las moléculas a un campo eléctrico muy elevado). Las fuentes por desorci´ on no requieren que las moléculas se encuentren en estado gaseoso; mediante un haz dirigido a la superficie del material se van arrancando a´tomos de la fase condensada, permitiendo el análisis de moléculas no vol´ atiles y térmicamente inestables. Dentro de esta clase de fuente también hay varios tipos: desorción por campo (similar al de ionización por campo), desorción por l´ aser asistido por matriz o mediante bombardeo con átomos r´ apidos (xen´ on o arg´ on) -Acelerador. Para incrementar la velocidad de los iones se utiliza un acelerador formando por un generador de campo eléctrico. Como el radio de giro es proporcional a la velocidad del ión, cuanto mayor sea ésta, más separados aparecer´ an los distintos iones. Una forma de seleccionar una velocidad determinada puede hacerse mediante la combinación de un campo eléctrico y otro magnético, estratégicamente colocados de forma que la dirección de las fuerzas eléctrica y magnética sobre el ión sea la misma. Como la fuerza magnética depende de la velocidad, se puede seleccionar ésta ajustando el campo eléctrico, igualando ambas fuerzas, de modo que contrarreste la magnética y evite desviarse al i´ on qE = qvB, donde directamente hemos expresado el módulo de las fuerzas eléctrica y magnética (de Lorentz). Luego la velocidad del i´ on que no sufra desviaciones será

286


Figura 7.17: Deflector magnético. Dentro de un campo magnético los iones girarán con distinto radio según su relación masa/carga, seleccionándose as´ı a la salida. v=

E . B

-Selector. De acuerdo a la forma de detectar y el tipo de medida podemos encontrar diversos tipos de espectrómetros: a) De deflector magnético y/o eléctrico. (Fig. 7.17). Al entrar el haz ionizado en el deflector, un campo magnético perpendicular a su trayectoria desv´ıa las part´ıculas con diferentes ángulos de giro en funci´ on de su relación masa/carga. La detección se puede hacer seleccionando un determinado ańgulo de giro (y por tanto un u ńico tipo de part´ıculas con relación m/q determinado) o con un detector multicanal que permite detectar simultáneamente, para un intervalo de radios de giro, las distintas part´ıculas que tengan su radio de giro en dicho intervalo. b) De cuadripolo. (Fig. 7.18). El haz se hace pasar por un analizador en el que se crea un campo cuadripolar mediante cuatro barras entre las que se aplica unos potenciales de corriente continua y alterna ajustados de forma que se hace entrar en resonancia las part´ıculas que tengan una determinada relaci´ on carga/masa. De esta forma variando los potenciales aplicados se pueden ir seleccionando diferentes valores m/q.


287

Figura 7.18: Selector por cuadripolo. Las barras crean un campo cuadripolar que hace entrar en resonancia las part´ıculas con distinta relaci´ on masa/carga a la especificada.

Figura 7.19: Detector por tiempo de vuelo. Los iones son acelerados por unos electrodos, siendo su velocidad dependiente de su relación masa/carga.

288


c) De tiempo de vuelo. (Fig. 7.19). En este tipo de espectr´ ometros se seleccionan las part´ıculas aceleradas que han tardado un tiempo espec´ıfico en recorrer una cierta distancia; para ello se utilizan pulsos de láser o pulsos eléctricos que sincronizan el disparo con el tiempo de detección. Después de ser aceleradas por un potencial V , adquieren una cierta energ´ıa cinética y, por tanto: q·V =

1 mv 2 , 2

luego el tiempo que tarda en recorrer una distancia l después de ser acelerado (tiempo de vuelo) será (tv = l/v): , tv = l

m . 2·q·V

De esta forma los iones con menor relación m/q llegarán antes al detector. Sincronizando el tiempo de la detecci´ on a partir del disparo se pueden seleccionar las distintas part´ıculas. El inconveniente es que no todos los iones comienzan a moverse en el mismo instante y no todos alcanzan la misma velocidad, dando lugar a una cierta dispersión. Para solventar este problema (denominado “aberración cromática” por analog´ıa con el problema en óptica) se utilizan unos reflectores para alargar el recorrido y permitir una mejor sincronizaci´ on. d) De transformada de Fourier o de resonancia de ciclotr´ on. A partir de una bobina se hace entrar a los iones en o´rbitas de giro cada vez mayores al aplicarles una se˜ nal en resonancia con la frecuencia de ciclotrón2 . Los iones as´ı girando emiten una radiofrecuencia que después de medirse se calcula su transformada inversa de Fourier (se destransforma) obteniendo as´ı los picos de las distintas sustancias. Con este tipo de espectrómetro se consiguen resoluciones muy altas.

2

El ciclotr´ on es un acelerador circular de part´ıculas cargadas en el que se las hace girar dentro de un campo magnético y se las acelera mediante un campo eléctrico. Este campo se aplica en dos regiones diametralmente opuestas y en la dirección del movimiento, justo en el instante en que la part´ıcula pasa por ellas. La frecuencia de este campo eléctrico ha de ser, por tanto, la misma que la de giro de las part´ıculas, y es la denominada frecuencia de ciclotr´ on, f = qB/2πm. Con esta frecuencia del campo el sistema entra en resonancia alcanzando energ´ıas muy elevadas.


289

Problema. ¿Cu´ antos datos por segundo deber´ıa proporcionar el sensor de un detector por tiempo de vuelo para discriminar sustancias con relaci´ on carga/masa, (q/m)A = 1,7 · 1010 C/kg y (q/m)B = 0,8 · 1010 C/kg, si la longitud de vuelo es de 1m y se aceleran con un potencial de 100V ? Soluci´ on. El tiempo de vuelo será: , tv = l

1 m = ( q · 2V 10 2q/m

t1 = 0, 54 · 10−6 s; t2 = 0,79 · 10−6 s, luego,

Δtv = t1 − t2 = 0, 25 · 10−6 s = 0, 25μs.

Para que el sensor pueda detectar dos se˜ nales separadas temporalmente menos de 0, 25μs, el tiempo de lectura ha de ser menor que éste y, por tanto, la frecuencia mayor que su inversa: f≥

1 = 4 · 106 datos/s. Δtv

Finalmente, vamos a definir el poder de resoluci´ on de un espectr´ ometro como la relaci´ on entre la masa del ión detectado y la diferencia de masa de dos picos consecutivos, Δm: R=

m . Δm

Combinaci´ on con m´ etodos cromatogr´ aficos Para el estudio de sistemas muy complejos, como pueda ser una célula completa, la espectrometr´ıa de masas se combina con métodos cromatográficos (Fig. 7.20), como la cromatograf´ıa l´ıquida de alta presi´ on (HPLC), cromatograf´ıa l´ıquida r´ apida (FPLC) o la cromatograf´ıa de gases (GC). La separaci´ on que proporciona la cromatograf´ıa unida a la descomposici´ on de la espectrometr´ıa da como resultado un espectro bidimensional. As´ı, por

290


Figura 7.20: Montaje combinado de espectrómetro de masas acopado a un cromatógrafo.

Figura 7.21: Salida de un análisis combinado de cromatograf´ıa con espectrometr´ıa de masas. Para cada tiempo de elución se obtiene una segunda descomposici´ on por su relaci´ on masa/carga.


291

Figura 7.22: Selector de inercia. Las part´ıculas de mayor tamaño poseen más inercia y no pueden girar hacia las salidas laterales. En sucesivas etapas se pueden ir seleccionando tama˜ nos más pequeños.

ejemplo, con una cromatograf´ıa de intercambio iónico aplicada sobre el extracto de una célula se puede obtener una resoluci´ on de 100, que combinada con una espectrometr´ıa de masas con poder de resolución 10,000 da una resoluci´ on total de 1,000,000 para prote´ınas celulares de tama˜ no peque˜ no y medio (para cuyos tama˜ nos ambos métodos son bastante independientes). Como se ve en la figura 7.21 el resultado es un mapa bidimensional en el que para cada tiempo de elución se obtiene una nueva separaci´ on dada por el espectr´ ometro seg´ un la relación masa/carga de las sustancias eluidas. Aplicaciones biof´ısicas Aparte del interés propio en el campo del an´ alisis qu´ımico, desde el punto de vista biol´ ogico tiene importantes aplicaciones, especialmente cuando se utiliza como detector portátil de sustancias biológicas, tales como la detección r´ apida de sustancias tóxicas, virus, bacterias o ciertas prote´ınas. Como detector de agentes biológicos el espectrómetro de masas lleva incorporadas unas etapas iniciales para seleccionar y preparar las part´ıculas que van a ser analizadas. En primer lugar, en la etapa de selecci´ on del tama˜ no de part´ıculas incorpo-

292


ra un selector de inercia (Fig. 7.22). Este consiste en una boquilla aceleradora por la que entra el aerosol que se bifurca en unas ramas laterales por las que sale el flujo principal de aire transportando las part´ıculas peque˜ nas, y una peque˜ na abertura, en la direcci´ on de entrada, por la que pasa el flujo menor que transporta las part´ıculas grandes que tienen mayor inercia (y por tanto no tienen tiempo de girar). De esta manera, con sucesivos selectores se puede ir eliminando las part´ıculas grandes, qued´ andonos con las que tengan tama˜ no peque˜ no. Para preparar estas part´ıculas, se les hace pasar por un pirolizador (tubo en el que se pueden alcanzar altas temperaturas) que las descompone para hacerlas pasar finalmente por el espectrómetro. La sensibilidad de este tipo de detectores puede ser de una part´ıcula de agente biológico por litro, en menos de tres minutos. Otras aplicaciones importantes son la detección de mutaciones en ADN, el diagnóstico de enfermedades, la identificación de prote´ınas, el análisis proteómico, el estudio conformacional de prote´ınas, etc.

7.3.

Instrumentaci´ on de Medici´ on y Registro

Cuando se estudia un biosistema se pretende obtener una informaci´ on del sistema en cuestión de manera cualitativa o cuantitativa. En el primer caso la informaci´ on suele ser de tipo visual y para ello se utilizar´ an equipos o sistemas de obtención y registro de im´ agenes. En el segundo caso se requiere una medición y recogida de datos con instrumentación adecuada. Vamos a comenzar este cap´ıtulo por los equipos de medición y registro de magnitudes cuantificables. En la u ´ltima parte del cap´ıtulo veremos las caracter´ısticas de los dispositivos de obtención y registro de im´ agenes, con algunos ejemplos concretos.

7.3.1.

Caracter´ısticas B´ asicas

El tipo de instrumentaci´ on que se va a requerir dependerá en cada caso del tipo de medida que se vaya a realizar, de la magnitud a medir y de las condiciones en las que se tenga que realizar dicha medida. Sin pretender hacer una lista de todos los tipos de instrumentos de medida y registro, vamos a ver las caracter´ısticas básicas que debemos exigir a un instrumento para que satisfaga nuestras necesidades, sin entrar en gran detalle, pero para tener las nociones básicas sobre instrumentación en general.

´ Y REGISTRO 7.3. INSTRUMENTACION DE MEDICION

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Rango Lo primero que debe considerarse a la hora de elegir un instrumento es el rango de medida. Rango es el intervalo de valores entre los que se puede encontrar la magnitud a medir. Cubre desde el valor m´ınimo al valor m´ aximo de una magnitud dentro del cual el instrumento est´ a dise˜ nado para medir con precisión. Siempre se buscará que el valor máximo del instrumento sea suficientemente mayor que el valor más elevado que esperamos encontrar en nuestra medida, con el fin de evitar el posible deterioro del equipo o la pérdida de datos si ocurre alguna fluctuaci´ on. Por ejemplo, si pensamos que un circuito de presión puede alcanzar una presi´ on de 5,5bar, en lugar de utilizar un bar´ ometro cuya rango de medida es 0bar − 6bar ser´ıa más conveniente buscar otro cuyo fondo de escala fueran al menos 7bar − 8bar. También hay que considerar el rango de los par´ ametros utilizados en la medida. Normalmente, dentro de las caracter´ısticas técnicas de los aparatos, además de indicarnos el rango de medida, viene indicado el rango en las variables ambientales (por ejemplo, temperatura y humedad) en las que el aparato está calibrado. En este sentido, aunque el aparato pueda medir y dar resultados fuera de ese rango no está asegurado que la medida sea fiable o, al menos, no tenga la fidelidad propia del aparato, como veremos m´ as adelante. Además, deber´ a indicar el rango de los parámetros utilizados en la realizaci´ on de la medida. Es decir, por un lado hay que tener en cuenta el rango de la medida que nos dice el valor m´ aximo y el m´ınimo (éste suele ser la sensibilidad del instrumento) entre los que vamos a poder medir y, por otro lado, los requisitos que han de cumplir las muestras para poder realizar dicha medida. Por ejemplo, si queremos medir la temperatura de una solución, no sólo debemos tener en cuenta el rango de temperatura que podr´ a alcanzar la muestra, sino también, por ejemplo, su pH o su compatibilidad qu´ımica con la sonda. Si nuestro dispositivo de medida es un espectrofot´ ometro, deberá indicar cu´ al es el rango de longitudes de onda con las que trabaja; aunque la medida se obtiene a partir del flujo energético, para cada longitud de onda, ésta debe ser la adecuada para detectar el compuesto que estamos buscando. También hay que tener en cuenta que, por lo general, cuanto mayor es el rango de medida de un instrumento, menor será la capacidad para registrar diferencias peque˜ nas, como se ha mencionado anteriormente. Normalmente existirá un elemento del equipo que sea sensible a la magnitud a medir, denominado transductor, como veremos a continuación. La limitación de utilización del instrumento vendr´ a dada, en gran medida, por las caracter´ısticas f´ısicas del transductor, de modo que cuando se quiere cambiar el rango de medi-

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da normalmente es necesario cambiar el transductor. De forma general, si un transductor es capaz de responder a una magnitud grande no podr´ a apreciar peque˜ nas diferencias. Precisi´ on Una vez que sabemos el rango en el que vamos a medir debemos especificar el grado de precisi´ on con el que queremos la medida, es decir, la fracción m´ as peque˜ na de unidad que queremos que el instrumento nos dé de nuestra medida. A este parámetro también suele llamarse sensibilidad. Aunque son conceptos similares existe una clara diferencia. La sensiblidad, s, es la capacidad del instrumento de amplificar una peque˜ na variaci´ on de la magnitud, Δx, para mostrarla como una variación en el valor medido, Δy: s=

Δy . Δx

Es decir, la sensibilidad es el cociente entre la variación observada en el instrumento y la variaci´ on de la magnitud detectada, aunque ambas diferencias sean de diferente especie; por tanto su unidad será la del cociente de unidades. Sin embargo, la precisión tiene las mismas unidades que la magnitud a medir. La noción de precisión está relacionada con el concepto estad´ıstico de reproducibilidad o repetitibilidad. Esto quiere decir que encontramos siempre el mismo resultado cuando se realizan distintas medidas bajo las mismas condiciones pero en distintos instantes de tiempo, dentro de un error dado por la precisión del aparato. También conviene aclarar que habitualmente se suele identificar la precisi´ on con el n´ umero de d´ıgitos que muestra el instrumento, sin embargo, esto no es del todo cierto. El n´ umero de d´ıgitos que muestra un instrumento viene dado por el n´ umero de cifras significativas de la medida. El n´ umero de cifras significativas es el n´ umero de cifras que se conocen, con precisión, de la medida, luego, el n´ umero de d´ıgitos dependerá de la precisión del aparato. Sin embargo, el n´ umero de d´ıgitos también depende del rango de medida. Esto quiere decir que con el mismo n´ umero de d´ıgitos la precisión será distinta seg´ un el rango en el que estemos midiendo. En este caso, cuando se cambia el rango de medida en un instrumento normalmente cambiará la posición del punto decimal o el prefijo de la unidad de la medida. Pero ello no significa que tener menor n´ umero de d´ıgitos implique menos precisión. Un instrumento con pocos d´ıgitos puede tener más precisión que otro que muestre más d´ıgitos, dependerá de la fracción más peque˜ na de la magnitud que nos muestre.


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Normalmente estas dos propiedades, rango y precisi´ on, suelen ser contrapuestas: cuando un instrumento presenta un rango de medida muy amplio, suele tener una precisión peque˜ na, y viceversa, cuando tiene una gran precisión, el rango de medida suele ser muy estrecho. La mayor´ıa de los instrumentos electrónicos de medida son digitales, esto quiere decir que son dispositivos que tienen una etapa de conversi´ on analógica/digital. En este proceso, una se˜ nal eléctrica analógica es convertida en un digitalizador, pasando de ser un valor eléctrico de determinado potencial o intensidad de corriente a un valor numérico almacenado en una memoria; en esta conversión es determinante el n´ umero de bits utilizados en la digitalización. El proceso de digitalizaci´ on consiste, b´ asicamente, en asignar al valor eléctrico de entrada el dato discreto más pr´ oximo dentro de un conjunto finito de valores. El n´ umero de posibles valores viene dado justamente por el n´ umero de bits utilizados. Con n-bits se pueden escribir 2n − 1 valores decimales; por ejemplo, con 12 bits se pueden tener umeros distintos. 212 − 1, es decir, 4095 valores distintos, y con 16 bits, 65535 n´ Hay que resaltar que el n´ umero de valores es exponencial con el n´ umero de bits, lo cual significa que con 16 bits se pueden escribir el doble de n´ umeros que con 15 bits y con 18 bits ocho veces m´ as. Este n´ umero de posibles valores que se pueden escribir determina el n´ umero de d´ıgitos que presentará el instrumento de la medida. En resumen, la precisión de un instrumento depende fundamentalmente de la sensibilidad del transductor, mientras que el n´ umero de d´ıgitos que presenta de la medida depende adem´ as del n´ umero de bits empleados en la conversión analógico/digital.

Problema. Un instrumento de medida digital de 20-bits mide presiones con un fondo de escala de 20 bar. ¿Qué precisión tendremos en la medida de presión con dicho instrumento? Soluci´ on. El n´ umero de valores en los que se va a dividir el fondo de escala es : N = 220 − 1 = 1048575, luego el valor más peque˜ no que va a mostrar es ΔP =

20 = 1, 9 · 10−5 2 · 10−5 bar. 1048575

296


Frecuencia de Muestreo Por u ´ltimo, y relacionado con el proceso de digitalización, hay que hablar ´ de la frecuencia de muestreo. Esta es el n´ umero de muestras por segundo que el dispositivo puede tomar o digitalizar. También se puede definir el tiempo de medida como el tiempo empleado en realizar una medida. Este tiempo es igual a la inversa de la frecuencia de muestreo. Cuando el transductor proporcione una se˜ nal de manera continua la frecuencia de muestreo vendrá dada por la frecuencia de digitalizaci´ on del equipo. Cuando el proceso de medida tenga un tiempo de respuesta o un tiempo muerto (tiempo en el que el sensor no puede medir por tener que inicializarse antes de volver a hacer otra medida) la frecuencia de muestreo vendrá determinada por el mayor de estos tiempos (incluyendo el tiempo de digitalizaci´ on). De esta forma, la frecuencia de muestreo será la inversa del mayor de los tiempos. Normalmente, la frecuencia de muestreo y la precisi´ on suelen estar en contraposición, es decir, cuanta mayor precisión queramos exigirle a un instrumento menor será su frecuencia de muestreo. Esto se debe a que para conseguir mayor precisión los aparatos suelen realizar una cantidad de medidas auxiliares para posteriormente promediarlas. Por otra parte, los aparatos digitales suelen disponer de una memoria en la que almacenan los datos registrados. La capacidad de memoria va a determinar el tiempo total durante el cual podemos almacenar datos. El tiempo total de muestreo va a ser la capacidad total de memoria (cuántos datos puede almacenar) dividida por la frecuencia de muestreo. Por lo tanto, si queremos almacenar datos durante un determinado tiempo largo nos podemos encontrar con una limitaci´ on en la frecuencia de muestreo. La máxima frecuencia de muestreo será la capacidad de memoria dividida por el tiempo de recogida de datos. Finalmente vamos a comentar los conceptos de exactitud y fidelidad de una medida. La exactitud de la medida es la certeza de que la magnitud medida se corresponde con el valor real de la magnitud. Aunque esto es imposible de afirmar, existen formas de tener cierta seguridad de que un valor est´ a suficientemente próximo al hipotético valor real. Para ello se suele recurrir a los patrones y a las calibraciones. La seguridad de que la medida realizada es fiel vendr´ a dada por el certificado de calibración que venga acompa˜ nando al equipo. Este certificado nos asegura que toda medida realizada con el aparato se corresponder´ a, dentro de la precisión del mismo, con la que se obtendr´ıa con los métodos utilizados en la


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calibraci´ on del equipo (que han de cumplir unos requisitos de estandarización). Además, en este certificado figurar´ a el rango, la precisión y las condiciones con las que se ha realizada dicha calibración. Es importante pensar que si no existe una calibraci´ on previa del equipo no podemos tener ninguna confianza en que los valores medidos sean fiables.

7.3.2.

Instrumentaci´ on Electr´ onica

Todo instrumento electrónico consta de cuatro partes básicas: la fuente de alimentación, el transductor, la electr´ onica de tratamiento y amplificación de la se˜ nal, y una salida (o bien un lugar donde se representa el valor medido, o bien una via de comunicación con un ordenador). El principio b´ asico de cualquier instrumento de medida consiste en interaccionar con la muestra mediante un dispositivo que modifique alguna propiedad, de manera directa o indirecta, con la magnitud a medir. A continuaci´ on debe conseguirse transformar esa variaci´ on, si no lo es ya, en una variación de una propiedad eléctrica (resistencia, capacidad, voltaje, etc.). De esta forma tenemos una se˜ nal eléctrica cuyo valor está directamente relacionado con la magnitud medida. Posteriormente, mediante un circuito electrónico adecuado, se filtrará dicha se˜ nal (para eliminar fluctuaciones ajenas a las de la se˜ nal), se amplificar´ a y se tratará adecuadamente para, finalmente, ser representada. Esta u ´ltima etapa simplemente deberá reescalar el valor de la se˜ nal eléctrica al valor de la magnitud medida, procesarla adecuadamente y enviar ésta al sistema de representación del equipo, ya sea un pantalla alfanumérica (display) o un monitor. Transductor Es el elemento encargado de interaccionar con la muestra, de manera que modifique alguna propiedad caracter´ıstica relacionada de manera directa o indirecta con la magnitud medida. A continuaci´ on debe transformar ese cambio en una variaci´ on de una propiedad eléctrica (si no lo es ya), como resistencia, capacidad, voltaje, autoinducci´ on, etc., guardando una correspondencia un´ıvoca con la magnitud medida. Es la fase más importante y la que define realmente la magnitud y el rango que se puede medir. Normalmente podemos cambiar la resolución (o a veces el tipo de medida) cambiando la sonda o el elemento transductor. En la pr´ actica existen numerosos instrumentos mutimedida, en el que cambiando la sonda o el dispositivo en el que se realiza la medida (en el que se sit´ ua el transductor) se puede trabajar

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Figura 7.23: Esquema de un sensor de presión. El movimiento de la membrana produce una variaci´ on en la capacidad del condensador. La medida de esta capacidad está relacionada de manera directa con la presi´ on.

como si se dispusiese de otro instrumento de medida distinto. Vamos a comentar, como ejemplo, el principio f´ısico en el que se basan algunos transductores. Los instrumentos de medida de temperatura suelen tener como sonda un elemento termorresistivo, de modo que un cambio en la temperatura se traduce en un cambio en su resistencia eléctrica. Existen varios tipos de termorresistores. Los más utilizados son las resistencias de platino y los termistores. Las primeras son peque˜ nos elementos de platino cuya resistencia var´ıa linealmente con la temperatura, dentro de un rango de −50o C hasta 550o C. Los termistores son elementos semiconductores cuya variación con la temperatura no es lineal sino logar´ıtmica. Esta propiedad permite cubrir más rango de temperaturas. Midiendo con buena precisi´ on la resistencia será muy fácil su conversión a temperatura. Para medir presiones, además de los instrumentos analógicos de medida directa, se pueden utilizar los instrumentos electr´ onicos que además nos permiten hacer un registro de dichas medidas. Los instrumentos electrónicos utilizan un transductor constituido por un conjunto de cuatro resistencias de material el´ astico, en configuración de puente de Wheatstone, y unido a un diafragma. Al desplazarse el diafragma, por efecto de la presi´ on, dos de las ramas del puente se estiran y otras dos se contraen, cambiando el valor de las resistencias. De forma similar se puede hacer con condensadores, como se muestra en la figura 7.23, de manera que al desplazarse el diafragma se mueve una placa de un condensador variando as´ı su capacidad; mediante circuitos oscilantes se comparan las capacidades del condensador variable (C1 ) y el de referencia (C2 ).


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Figura 7.24: Representación de una señal eléctrica. a) Con ruido normal. b) Con ruido que imposibilita discrimar la señal.

Amplificador Una vez tenemos una propiedad eléctrica variable (relacionada un´ıvocamente con la magnitud a medir), mediante un circuito electrónico adecuado se filtrar´ a (para eliminar ruidos externos), se tratar´ a adecuadamente y se amplificar´ a la se˜ nal. Esta etapa de tratamiento y amplificaci´ on es muy importante y delicada. Hay que pensar que algunas se˜ nales procedentes de determinadas medidas son extremadamente peque˜ nas, por ejemplo, los potenciales en las transmisiones neuronales. La etapa de la amplificaci´ on será crucial para tener una medida fiable. Las caracter´ısticas básicas de un amplificador son la ganancia, el ruido, la respuesta en frecuencia y la impedancia de entrada. -Ganancia. La ganancia es la relaci´ on entre el voltaje de salida respecto al que ten´ıa de entrada. El elemento básico de los amplificadores actuales es el amplificador operacional. Este componente, trabajando en bucle cerrado puede amplificar la se˜ nal de entrada hasta varios órdenes de magnitud, y presenta una impedancia de entrada tan grande que pr´ acticamente queda aislado el circuito de entrada del de salida; esto hace que la corriente de entrada sea despreciable. Por esta caracter´ıstica también puede ser utilizado como convertidor corrientevoltaje (produce un voltaje proporcional a la corriente de entrada). Esto es muy u ´til cuando se trabaja con transductores cuya salida es una se˜ nal de corriente como, por ejemplo, los fotodiodos.

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-Ruido. La precisión del instrumento vendr´ a dada por la se˜ nal m´ as peque˜ na que es capaz de discernir y cuantificar, cuyas variaciones no se puedan atribuir al ruido. Hay que a˜ nadir que, adem´ as del ruido considerado como las fluctuaciones espurias de la se˜ nal, hay que tener en cuenta el propio ruido de los circuitos electrónicos que impedirá precisar más en la medida. Es prácticamente imposible que dentro de un equipo electr´ onico no aparezcan potenciales eléctricos indeseables que se a˜ naden a la se˜ nal. Estos potenciales no son producidos por ninguna fuente concreta y aparecen como peque˜ nas fluctuaciones que se superponen a la medida. Estas fluctuaciones espurias no tienen gran importancia cuando su amplitud es mucho menor que las de la medida (Fig. 7.24(a)); sin embargo, cuando la se˜ nal es muy peque˜ na puede llegar a enmascararla (Fig. 7.24(b)). La caracter´ıstica de un amplificador que indica cu´ anto puede llegar a representar el ruido en el proceso de amplificación ´ es la denominada “relaci´ on se˜ nal-ruido”. Este valor indica cuántos o´rdenes de magnitud se mantiene la se˜ nal respecto a las máximas amplitudes del ruido. -Respuesta en frecuencia. Cuando la magnitud que se mide es constante o de variaciones lentas no existen dificultades para amplificar la se˜ nal; sin embargo, cuando la medida es en s´ı una se˜ nal con r´ apidas fluctuaciones puede ocurrir que la electrónica no sea capaz de seguir estas variaciones. Cuando se va a trabajar con se˜ nales as´ı es necesario verificar que la frecuencia más alta en la medida está dentro del rango de la respuesta en frecuencia del amplificador. En este gráfico se representa la ganancia del amplificador en funci´ on de la frecuencia de la se˜ nal (ésta en escala logar´ıtmica para cubrir varios o´rdenes de magnitud). La ganancia suele ser constante hasta un valor máximo de la frecuencia, a partir de la cual la ganancia ya no puede mantener su valor y decae hasta cero. -Impedancia de entrada. Dentro de la complejidad electr´ onica de un amplificador la entrada del equipo puede representarse por una resistencia, denominada impedancia de entrada (se habla de impedancia en lugar de resistencia por tratarse de circuitos de corriente alterna) a la que se aplica la tensión de entrada. En la figura 7.25 se muestra un esquema eléctrico en el que está representada la impedancia (Zin ) de entrada como un elemento conectado en paralelo a la se˜ nal de entrada, la cual se representa, a su vez, con una impenal en la entrada dancia de salida (Zext ). Es decir, cuando se le aplica una se˜ existirá un peque˜ no paso de corriente a través de esa hipotética impedancia, entre los puntos A y B. Cuanto mayor sea el valor de esta impedancia de entrada menor ser´ a la corriente que lo atraviese (seg´ un la ley de Ohm) y, por


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Figura 7.25: Esquema de la entrada a un amplificador con una impedancia de entrada finita.

tanto, menor será la pérdida de tensi´ on a la entrada. Esta impedancia tiene que ser muy elevada porque es la responsable de que parte de la corriente que circula por el circuito externo a medir se derive, falseando as´ı la medida. Por otra parte, es aconsejable que la impedancia del circuito externo (sonda, transductor, equipo de medida, etc.) sea peque˜ na en comparaci´ on con la impedancia de entrada del amplificador (por el mismo motivo). La ca´ıda de potencial que se medirá vendr´ a dada por la relaci´ on de impedancia:

ΔVin ∝

Zex , Zin + Zex

con Zext << Zin . Este par´ ametro caracter´ıstico figurar´ a también en las caracter´ısticas del equipo, siendo siempre mayor que 10M Ω.


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Problema. Disponemos de un instrumento de medida con una impedancia de entrada de 10M Ω. Se le acopla un transductor de impedancia de salida de 1kΩ. ¿Cu´ al sera el error relativo de una medida de aproximadamente 10V ? Soluci´ on. La ca´ıda de potencial será: 1kΩ 1kΩ = 10V = 10−3 V = 1mV, 10M Ω + 1kΩ 10001kΩ luego el error relativo ser´ a de: ΔV = 10V

=

7.4.

1mV = 10−4 . 10V

Obtenci´ on de Im´ agenes

Cuando la informaci´ on que se quiere obtener de un sistema biol´ ogico es a partir de su observación se recurre, normalmente, a instrumentos ópticos que nos permiten obtener una imagen ampliada, e incluso registrarla. En principio, cuando se habla de im´ agenes se está pensando a una observaci´ on visual del objeto de interés a través de alg´ un instrumento. En este sentido una imagen es una representación de un objeto formada a partir de la luz emitida o reflejada por dicho objeto, que puede ser recogida por nuestro ojo o por un dispositivo fotosensible. Sin embargo, la información de la disposici´ on espacial de los distintos elementos o partes que constituyen el objeto de interés también puede obtenerse por el comportamiento distinto de dichas partes ante otro tipo de radiaci´ on (no visible) o, incluso, con cualquier otro medio f´ısico que pueda detectarse y conlleve dicha informaci´ on, es decir, que la medida obtenida de cada región sea diferenciable y caracter´ıstica. Debe quedar claro que en estos casos la imagen es una construcci´ on virtual, en la que se hace una correspondencia entre los datos reales obtenidos de cada punto observado y una escala de grises o de colores asociada. En el cap´ıtulo sobre radiaciones vimos diversos medios de diagnóstico que permiten crear una imagen del interior del organismo a partir de las sombras obtenidas cuando los distintos tejidos y o´rganos absorben la radiación X de manera distinta, o por la distinta absorci´ on y emisión de radiaci´ on de

´ 7.4. OBTENCION DE IMAGENES

303

radiofrecuencia cuando los n´ ucleos atómicos del paciente se somet´ıan a intensos campos magnéticos. No obstante, existen otras técnicas de diagnóstico por imagen basados en otras fuentes f´ısicas como, por ejemplo, a partir del eco de ondas de ultrasonido producido por las distintas partes del interior del organismo (ecograf´ıa). Sea cual sea el sistema utilizado para generar la imagen ser´ıa interesante poder guardarla y almacenarla para su estudio en cualquier otro momento. El registro de una imagen puede hacerse por procedimientos analógicos o digitales. Cuando se trata de un sistema de visualizaci´ on que conlleva un tratamiento digital de la informaci´ on el tipo de representación será, l´ ogicamente, digital. A cada punto de la imagen digital (p´ıxel) se le asocia un valor numérico. Este valor se traduce, a la hora de representarla, en un tono de gris o en un color (normalmente para obtener una amplia gama de colores se necesitan una terna de valores para cada p´ıxel, -RGB-, correspondiente a los colores rojo, verde y azul). Con este formato es más fácil aplicar filtros digitales, analizar y obtener informaci´ on cuantativa de la imagen. En el siguiente apartado vamos a ver los par´ ametros fundamentales que caracterizan a los distintos instrumentos ópticos. Finalmente, después de ver el l´ımite de resolución del microscopio tradicional (instrumento o´ptico que permite obtener las imágenes de los objetos más peque˜ nos) pasaremos a comentar una variaci´ on de éste (aunque tecnológicamente es completamente distinto) que permite obtener im´ agenes de cuerpos a´ un m´ as peque˜ nos al utilizar como luz un haz de electrones, el microscopio electrónico.

7.4.1.

´ Caracter´ısticas de los Instrumentos Opticos

A la hora de trabajar con estos instrumentos debemos conocer una serie de par´ ametros fundamentales que determinan la relación entre la imagen que se obtendrá con él y el objeto observado. Estos par´ ametros nos dirán cu´ antas veces más grande vamos a ver el objeto, cu´ al es el tama˜ no del objeto más peque˜ no que podremos ver o qué región de la muestra de interés vamos a poder observar a través del instrumento. No obstante, antes de definir dichos par´ ametros, vamos a hacer una clasificación general de los instrumentos ópticos en función del tipo de imagen que forman, porque vamos a tener que utilizar diferentes definiciones para el mismo concepto, seg´ un sea ese tipo de imagen. Esta clasificación b´ asica se hace en funci´ on de si la imagen final que produce el instrumento es real o virtual, es decir, si se puede recoger en alg´ un tipo de soporte material, como pantalla o dispositivo fotosensible, o por el contrario hay que ver la imagen

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directamente con el ojo (en este caso se dice que la imagen es virtual). En el primer caso hablamos de instrumentos ópticos objetivos, mientras que el segundo caso decimos que se trata de instrumentos ópticos subjetivos. Aumento Se define el aumento (también llamado aumento lateral) de un instrumento o´ptico objetivo como el cociente entre el tama˜ no lateral de la imagen (medido en una dirección perpendicular a la de propagación de la luz) y el tama˜ no real del objeto. Este par´ ametro se representa por dicho valor seguido del s´ımbolo X. As´ı, por ejemplo, si un instrumento tiene un aumento de 20X, un objeto de tama˜ no 50 micras producir´ a una imagen de tama˜ no 1 mm. Para un instrumento subjetivo se utiliza el concepto de aumento visual , que se define como el cociente entre el tama˜ no angular aparente de la imagen (´ angulo bajo el que se observa la imagen) y el tama˜ no angular del objeto en visi´ on directa. En la figura 7.26 se observa que un mismo objeto nos parece más grande, es decir, se ve con mayor tama˜ no angular (ω1 > ω2 ), cuando se sit´ ua a menor distancia. Para esta definición normalmente se considera el objeto situado en el punto de visi´ on c´ omoda del observador, fijada en 250 mm. En este caso si, por ejemplo, estamos utilizando una lupa de aumento 4X nos dar´ a la sensación de ver la imagen cuatro veces más grande porque el ángulo con el que se ve es cuatro veces mayor que el ángulo bajo el que ver´ıamos el objeto a ojo desnudo. Por otra parte, hay que se˜ nalar que el aumento visual real dependerá de la posici´ on del objeto y la distancia de trabajo del observador, como puede comprobarse experimentalmente con una simple lupa. Por ello, para las lupas se define el aumento normal (o aumento comercial) situando al objeto en la focal de la lupa y considerando una distancia de visi´ on c´ omoda de 250 mm. El aumento total de un instrumento compuesto (por ejemplo, un microscopio está compuesto por un objetivo y un ocular) es el producto de los aumentos de cada uno de sus elementos; y si se trata de una imagen final obtenida a través de una serie de procesos (imágenes intermedias), siempre que estos mantengan las proporciones originales de la imagen, el aumento total será el producto de los aumentos laterales en cada uno de los procesos. Ilustrémoslo con un ejemplo. Supongamos que tomamos una imagen a través de un microscopio con un objetivo 20X y le acoplamos la cámara a través de un adaptador 1,5X. Este acoplamiento sustituye al ocular porque éste proporciona una imagen virtual para ser vista por el ojo, no para ser recogida en un soporte material, luego en este caso no se tendr´ a en cuenta el aumento del ocular. As´ı pues, a la salida del microscopio tendremos un aumento de 35X. Recordamos también


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Figura 7.26: Formación de la imagen en retina. El tamaño aparente depende del ángulo con el que llegan los rayos. Aunque el tamaño del objeto es el mismo al situarse más cerca el ángulo subtendido es mayor (ω1 > ω2 ) y, por tanto, su tama˜ no en retina (tama˜ no aparente) también es mayor.

que las cámaras, fotogr´ aficas o de v´ıdeo, cuando se acoplan al microscopio lo hacen directamente sin su objetivo, por lo que tampoco se tendrá en cuenta los aumentos de la óptica de la cámara. Si la imagen se recoge en una pel´ıcula (negativo) de 35 mm, y luego se amplia a papel de 20 cm (éstas suelen ser las dimensiones horizontales, guardando una proporci´ on constante con sus respectivos tama˜ nos verticales) estamos consiguiendo un aumento en esta etapa de 200/35, es decir, 5,7X. Con lo que el aumento total será de 35 multiplicado por 5,7 es decir, 200X. Esto se traduce en que, por ejemplo, una part´ıcula que en nuestra fotograf´ıa tenga un tama˜ no de 2 mm, su tama˜ no real será de 10 micras. Campo El campo es la regi´ on tridimensional del espacio de la que el instrumento proporciona im´ agenes n´ıtidas. Esta caracter´ıstica es complementaria al aumento, puesto que si queremos ver más campo tenemos que sacrificar el aumento, y viceversa, a mayor aumento menor campo. Normalmente se estudia de forma separada el campo axial y el campo transversal. En la figura 7.27 se representan algunos par´ ametros relacionados con la captura de imagen a través de una cámara: la distancia de trabajo, los campos transversal y axial (denominado profundidad de campo) y el tama˜ no del sensor.

306


El campo transversal es la porci´ on del plano perpendicular al eje o´ptico que es visible a través del instrumento. Sin embargo, hay que se˜ nalar que no todos los puntos del campo transversal se ven con igual iluminación a la salida del instrumento, ya que existe una regi´ on de la periferia desde cuyos puntos ciertos rayos no llegan a atravesar todo el sistema óptico. Este es el fenómeno denominado vi˜ neteo. El elemento f´ısico que limita la cantidad de luz que entra en el instrumento se denomina diafragma (puede ser el propio di´ ametro de una lente o un elemento colocado expresamente para ese fin). La región de campo cuyos puntos presentan en la imagen todos igual iluminación se denomina campo de iluminaci´ on plena; por el contrario, el l´ımite del campo transversal estará constituido por los puntos de los que u ńicamente un u ńico rayo l´ımite atravesará el sistema, constituyendo el denominado campo de iluminaci´ on l´ımite. Entre el campo de iluminación plena y el campo de iluminaci´ on l´ımite existe una regi´ on (en forma de corona circular por la simetr´ıa de las lentes) en la que la iluminación ir´ a decreciendo de forma paulatina al alejarnos del eje óptico. Para solucionar este problema de iluminación se suele colocar un diafragma (denominado diafragma de campo) de tama˜ no y ubicaci´ on determinados para eliminar el vi˜ neteo o, al menos, restringir el campo al denominado campo de iluminaci´ on media de donde aproximadamente la mitad de los rayos atravesarán el sistema óptico. El campo axial es la longitud, medida en la dirección del eje óptico, cuyos puntos generan im´ agenes aceptablemente n´ıtidas a través del instrumento. Los fenómenos que limitan este campo axial son de naturaleza diferente en los instrumentos objetivos de los instrumentos subjetivos. En los instrumentos objetivos el campo axial se denomina profundidad de campo, y es debido a la naturaleza discreta del elemento receptor de la imagen (tama˜ no de grano de la pel´ıcula, tama˜ no del p´ıxel en una cámara digital, etc.). Un punto situado delante del plano enfocado producir´ a como imagen un punto borroso (pseudoimagen) de un cierto tama˜ no. Mientras el tama˜ no de la pseudoimagen sea menor que la dimensi´ on del fotorreceptor, podremos decir que la imagen sigue enfocada. A la distancia entre los puntos anteriores y posteriores al plano enfocado en los que se consigue una imagen aceptable en el plano imagen se denomina profundidad de campo; entre dichos puntos la imagen quedar´ a enfocada. En los instrumentos subjetivos el campo axial depende de la capacidad de acomodaci´ on del observador, puesto que éste verá enfocado un punto mientras se encuentre situado entre su punto remoto (punto lejano que puede ser visto n´ıtidamente, es decir, sus rayos convergen en la retina) y su punto próximo (punto m´ as cercano que se puede enfocar haciendo un esfuerzo de acomoda-


307

Figura 7.27: Parámetros relacionados con el campo y el aumento al trabajar con una cámara.

ción). A la distancia entre estos puntos es lo que se define como profundidad de enfoque, y abarca todos los puntos de los que el observador puede obtener una imagen enfocada gracias a un esfuerzo de acomodación (cuando el objeto se encuentre en su punto remoto el esfuerzo de acomodación será nulo, mientras que cuando se encuentre en su punto pr´ oximo el esfuerzo de acomodación será máximo). Luminosidad La luminosidad o claridad de un instrumento o´ptico es un par´ ametro que indica la relación entre la cantidad de luz de la imagen (con que sale del instrumento) y la cantidad de luz emitida por el objeto observado (esta luz emitida puede ser por transmisión, si se trata de un objeto muy delgado como en los microscopios, o por luz reflejada por el objeto cuando es iluminado por una fuente de iluminación externa). Las definiciones de luminosidad, flujo luminoso y otras magnitudes fotométricas escapan del propósito de introducir de forma cualitativa los par´ ametros fundamentales de los instrumentos ópticos; por ello no vamos a exponer las ecuaciones correspondientes a la luminosidad de una imagen proporcionada por un instrumento o´ptico (de nuevo, las expresiones son distintas seg´ un se trate de un instrumento objetivo o de uno subjetivo). Simplemente indicaremos que esta luminosidad es inversamente proporcional


308

al cuadrado del aumento lateral y directamente proporcional al factor de transmisión (relaci´ on entre la intensidad luminosa que sale de una lente y la que ha entrado) de todas las lentes que forman el instrumento. De esta forma, cuando multiplicamos por dos el aumento, la luminosidad se hace cuatro veces menor.

7.4.2.

´ Microscopio Optico

Formalmente, microscopio ser´ıa cualquier instrumento óptico subjetivo capaz de crearnos una imagen visible de objetos diminutos (no visible a ojo desnudo). Esta definici´ on incluir´ıa a las lupas de gran aumento. La idea básica del microscopio (denominado compuesto) consiste en a˜ nadirle a la lupa otro elemento convergente de modo que aumente la imagen creada por ésta (de ah´ı el nombre original de microscopio compuesto). As´ı pues, el microscopio es un sistema compuesto, formado por una lente (o sistema de lentes) convergente, denominado objetivo, que crea una imagen aumentada de un objeto diminuto, al que se le a˜ nade, a una cierta distancia, una segunda lente (en la pr´ actica también será un sistema de lentes), denominado ocular, que permite ver aumentada la imagen creada por el objetivo. Además de poseer más aumento que una simple lupa, el microscopio presenta otras mejoras, como mayor luminosidad y mayor campo visual con menos aberraciones (además éstas son más f´ aciles de corregir). Estructura El primer elemento, el objetivo, es un sistema convergente con una distancia focal muy peque˜ na. Cuando en un sistema convergente as´ı se sit´ ua el objeto a una distancia mayor que su distancia focal, fob , éste forma una imagen mayor, invertida y real (detrás del sistema), aunque a gran distancia. El segundo elemento, el ocular, se sit´ ua detr´ as de aquél, a una distancia tal que la y el foco objeto del ocular, F , distancia entre el foco imagen del objetivo, Fob oc llamada longitud o ´ptica o intervalo o ´ptico, sea una distancia fija, t, (para que las f´ ormulas sean las mismas para todos los microscopios todos los fabricantes han adoptado un mismo valor, t = 160mm). As´ı, el objeto se coloca delante del objetivo de forma que la imagen dada por éste se forme en el plano focal objeto del ocular. De esta manera la imagen final que crea de esta imagen intermedia está en el infinito (un observador emétrope no necesita acomodar para ver la imagen a través del microscopio). En la figura 7.28 se muestra el objeto (a), su imagen a través del objetivo, (b) y la imagen de ésta dada por el ocular, (c); finalmente de esta imagen el ojo forma una imagen en retina (d).


309

Figura 7.28: Esquema de la formación de las distintas imágenes a través de un microscopio: (a) objeto, (b) imagen dada por el objetivo, (c) imagen formada por el ocular, (d) imagen final formada sobre la retina del ojo. , se puede calcular a La f´ ormula para la distancia focal del microscopio, fm partir de la expresi´ on para un sistema compuesto:

= fm

· f −fob oc . t

Como las focales del objetivo y ocular son peque˜ nas (especialmente la del objetivo) y adem´ as están divididas por un valor relativamente grande, la focal del microscopio va a ser muy peque˜ na. Aumento normal Para calcular el aumento del microscopio hay que tener en cuenta que es un sistema compuesto, luego será el producto del aumento del objetivo multiplicado por el aumento del ocular. El objetivo crea una imagen real y su , se puede calcular a partir de: aumento lateral, βob

310


= βob

−t . fob

Como el ocular crea una imagen virtual su aumento se define a partir del aumento normal, Γoc (para instrumento subjetivo) Γoc =

250 , foc

expresando la distancia focal en mil´ımetros. Luego el aumento normal del microscopio, Γm , será el producto de ambos: · Γoc = Γm = βob

−t · 250 250 = . fob · foc fm

De esta expresión se puede deducir que cuanto menor sea la distancia focal , mayor ser´ a el aumento (igual que sucede con las lupas), del microscopio, fm pero al tratarse de una focal negativa el aumento también será negativo, lo que significa que la imagen final que da el microscopio ser´ a invertida. As´ı, por ejemplo, un aumento normal de 100X implica una distancia focal del microscopio de 2, 5mm. Desde el punto de vista comercial, el aumento de los microscopio suele expresarse como el producto de dos valores M x N, donde M es el aumento del objetivo (en el que figurar´ a la marca “M x”), y N es el aumento comercial del ocular (en el que figurar´ a la marca “x N”). Como las distancias focales de los microscopios son tan peque˜ nas, la profundidad de enfoque también es muy peque˜ na. Esta distancia, para el caso del microscopio se puede calcular como 2 · AA, Δe = f m

donde AA es la amplitud de acomodación normal. Para un microscopio de 100 aumentos y para una amplitud de acomodación normal de 4 dioptr´ıas3 se obtiene una distancia de enfoque de Δe =

250 100

2

4 = 0, 025mm. 1000

Esto quiere decir que u ńicamente quedarán enfocados planos separados axialmente 25μm del plano de enfoque. 3

Dioptr´ıa es la unidad de potencia ´ optica; 1D = 1/1000mm.


311

Luminosidad Para caracterizar la luminosidad de un microscopio se utiliza la denominada apertura numérica, A.N., A.N. = n · sinσ, donde n es el ´ındice de refracci´ on de espacio anterior al objetivo y σ es el máximo ángulo que forma el cono de luz que parte del objeto y entra en el sistema (ángulo formado por el eje o´ptico y un rayo que entra por el borde del objetivo). Sin entrar en conceptos de fotometr´ıa podemos expresar la luminosidad de un microscopio como Ce = K

A.N. Γ

2 .

Es decir que cuando el aumento es muy grande la luminosidad decrece cuadr´ aticamente. Por ello, en los microscopios de gran aumento es necesario que el objetivo tenga una apertura numérica grande y un sistema de iluminación adecuado. Una forma de conseguir mayores valores de apertura numérica es utilizando un medio de mayor ´ındice de refracci´ on. Estos objetivos, llamados de inmersión, utilizan un aceite entre el objetivo y el portaobjetos, de modo que se puede conseguir una A.N. mucho mayor. L´ımite de resoluci´ on La resoluci´ on de un microscopio es la capacidad de mostrar separados (resolver) dos puntos muy pr´ oximos entre s´ı. L´ ogicamente, cuanto mayor sea el aumento más separados veremos dos puntos próximos. O dicho de otro modo, si el aumento es suficientemente grande podremos distinguir como dos objetos distintos lo que antes no se ve´ıa o aparec´ıa como una u ńica mancha. La distancia más peque˜ na a la que se pueden situar dos objetos puntuales y sean vistos todav´ıa como separados se denomina l´ımite de resoluci´ on. Cuando un haz procedente de un punto atraviesa un orificio (como pueda ser la montura de una lente) va a experimentar el fenómeno de la difracci´ on (por tratarse de ondas) produciendo una figura de difracci´ on formada por unos anillos concéntricos alternados claros y oscuros de intensidad r´ apidamente decreciente. Cuando tengamos dos puntos próximos sus figuras de difracción se superpondr´ an presentando unos perfiles de intensidad como los mostrados en la figura 7.29. Existen varios criterios para considerar resueltos dichos puntos. El criterio más aceptado es el de Rayleigh, que dice que se considerarán separados

312


Figura 7.29: Dos perfiles de difracción próximos. Arriba, la intensidad presenta un máximo central suma de los dos máximos pr´ oximos: no quedan resueltos. Abajo, la envolvente presenta un m´ınimo local entre los máximos apreciándose as´ı separadas.

dos puntos cuando el m´ aximo de difracción de uno coincida con el primer m´ınimo del otro (Fig. 7.29 inferior). Este criterio da un l´ımite de resolución, ηdif , dependiente de la longitud de onda y de la abertura del haz de la forma aproximada 0, 61 · λ , A.N. donde λ es la longitud de onda de la luz utilizada. Como se ve aumentando la apertura numérica se puede conseguir un l´ımite de resolución m´ as peque˜ no y, por otro lado, utilizando una luz de menor longitud de onda también se puede disminuir este l´ımite. Por otra parte, debido al carácter discreto de la retina existirá un l´ımite de resolución impuesto por la condición de que las distintas im´ agenes caigan en puntos distintos de la retina (distintos fotorreceptores). Considerando un on l´ımite de resolución del ojo de 1, 3 (rayos convergentes con menor separaci´ ηdif ≈


313

angular se ven como un u ńico rayo), el l´ımite de resolución que impone es de aproximadamente ηojo ≈

1 . 10 · Γ

Vemos, pues, que por mucho que se quiera conseguir un aumento muy grande de un microscopio, siempre nos vamos a encontrar con dos tipos de limitaciones: el fen´ omeno de la difracción de la luz y el efecto producido por la estructura discreta de la retina. De esta forma, el l´ımite real vendr´ a dado por el factor que sea más desfavorable, es decir, / . 0, 61 · λ 1 . , η = max 10 · Γ A.N.

Problema. Obtener una expresi´ on para el m´ aximo aumento que puede tener un microscopio para que el l´ımite de resolución por difracci´ on coincida con la limitaci´ on por la estructura discreta de la retina, para la longitud de onda de m´ axima sensibilidad del ojo, λ = 550nm (a dicho aumento se le denomina aumento util o resolvente del microscopio). Soluci´ on. Igualando ambos l´ımites de resolución: ηdif = ηojo ⇒

1 0, 61 · λ = . A.N. 10Γ

Luego el aumento máximo será: Γ = es decir,

A.N. A.N. = , 6, 1λ(mm) 6, 1 · 0, 00055 Γ 300 · A.N.,

aproximadamente 300 veces la apertura numérica.


314

Problema. Una marca comercial asegura que cierto modelo de microscopio que estan presentando es capaz de discernir unos orgánulos celulares de tama˜ no 0, 4 micras. Si su objetivo tiene una apertura numerica de 1, 2, comprobar si es cierta dicha afirmacion para el pico del espectro visible (λ = 550nm). Soluci´ on. ηdif ≈

0, 61 · 0, 55mm 0, 61 · λ = = 0, 28μm < 0, 4μm. A.N. 1, 2

Luego s´ı tiene capacidad para discernir puntos separados 0, 4μm.

7.4.3.

Microscopio Electr´ onico

Como ya hemos comentado en el l´ımite de resolución en las mejores condiciones experimentales, la difracción va a ser, en u ´ltimo término, el efecto que nos va a marcar el l´ımite inferior del que no podremos bajar utilizando luz visible. Por este motivo, para poder ver por debajo de décimas de micra hay que recurrir a otro tipo de haz (rayos) de menor longitud de onda (para bajar as´ı el l´ımite de resolución por difracci´ on). El fundamento de la microscop´ıa electrónica consiste en el empleo de rayos catódicos en lugar de rayos luminosos. El instrumento cambia radicalmente porque, aunque básicamente utiliza lentes para focalizar y dirigir los rayos, éstas son electrostáticas o magnéticas que generan los campos adecuados para desviar el haz de electrones. Y, por otro lado porque los rayos en s´ı no forman una imagen final que podamos ver, sino que necesitamos un elemento visualizador que convierta este haz de electrones en luz visible. En la radiaci´ on electromagnética se relaciona la longitud de onda con la energ´ıa transportada λ=

h . E/c

Una part´ıcula material en movimiento a muy alta velocidad también lleva asociada una longitud de onda, seg´ un postul´ o De Broglie (y comprobado experimentalmente con la difracci´ on de electrones) λ=

h h = . p mv


315

As´ı pues, la longitud de onda de una part´ıcula en movimiento viene dada por su momento, es decir, por su velocidad. Como ejemplo, un electrón (de masa 9, 1 · 10−31 kg) viajando a una velocidad de 100m/s llevar´ıa asociada una onda de longitud 7μm. Como nos interesa usar haces de longitud de onda muy peque˜ na es necesario conseguir velocidades muy elevadas. Para ello será necesario acelerar mediante grandes diferencias de potencial (del orden de 100,000V ) para poder conseguir longitudes de onda de hasta 0, 03 ˚ A (3 · 10−12 m), es decir, cien mil veces menor que la luz visible. Sin embargo, aunque aumentando los potenciales de aceleración se pueda conseguir longitudes de onda tan peque˜ nas, van a existir otros tipos de limitaciones a la resoluci´ on. Por un lado existen limitaciones en las lentes magnéticas para conseguir focalizar el haz de manera exacta, es decir, igual que con las lentes ópticas, aparecen aberraciones que producen im´ agenes borrosas o distorsionadas. Por otro lado, para conseguir una imagen contrastada es necesario que la relaci´ on de intensidad entre el objeto y el fondo sea mayor que 0, 2. Para conseguir contrastes mayores es necesario aumentar la intensidad del haz, sin embargo, un exceso de intensidad en el haz incidente tiene un efecto nocivo en los materiales biol´ ogicos, como se comentó en la sección de Efectos Fotobiol´ ogicos. No obstante, los microscopios electrónicos actuales presentan un aumento y resolución mucho mayores que los microscopios ópticos, alcanzando valores de 100000 X e incluso superiores, lo que permite resolver estructuras proteicas, virus, ADN, etc. Existen dos tipos básicos de microscopios electrónicos, de transmisi´ on y de barrido. Microscopio Electr´ onico de Transmisi´ on El microscopio electrónico de transmisi´ on (normalmente denominado TEM, abreviatura de su nombre en inglés) presenta un esquema similar a un microscopio óptico, con su fuente de electrones, sus lentes (magnéticas) que dirigen la trayectoria de los rayos y un portamuestras constituido de fin´ısimos materiales pl´ asticos (incluso se puede te˜ nir la muestra, pero en lugar de colorante se emplean sustancias que son opacas al paso de los electrones). Todo este sistema, incluyendo la muestra ha de estar cerrado en un recinto en el que se practica el vac´ıo para evitar que el haz de electrones colisione con part´ıculas del aire (Fig. 7.30). Finalmente, para visualizar las im´ agenes los haces transmitidos deben recogerse en pantallas fluorescentes (como la de los televisores o monitores) que producen luz visible al ser impactadas por los electrones. Hay que tener en cuenta que la formación de la imagen es diferente que en el microscopio ópti-

316


Figura 7.30: Esquema de un microscópio electrónico de transmisión (TEM). co. En éste la imagen se forma por las diferencias de absorción de luz de los distintos cuerpos (el portamuestras es transparente). En el TEM la mayor´ıa de los electrones atraviesan la muestra sin desviarse. S´ olo una peque˜ na parte del haz sufre desviaciones en su interacción con la muestra. Un objetivo posterior focaliza estos haces desviados para proyectarlos en una pantalla. Microscopio Electr´ onico de Barrido El microscopio electrónico de barrido (denominado también SEM, abreviatura de su nombre en inglés) tienen los mismos principios que el TEM, pero se diferencia en la obtenci´ on de la imagen. Aunque la generación y direccionamiento de los rayos catódicos es similar en el microscopio de barrido, los electrones no atraviesan la muestra, sino que al impactar con ella le arrancan electrones a la misma, que son atra´ıdos por un detector de muy alta sensibilidad (Fig. 7.31). Esta se˜ nal detectada es amplificada y tratada de modo que se puede visualizar en un monitor. Se denomina de barrido porque el haz no incide directamente sobre toda la muestra, sino que interacciona de manera puntual y la va barriendo siguiendo l´ıneas paralelas (mediante un sistema de deflexión igual que en los aparatos de TV) en sucesivas pasadas. Este sistema de barrido va sincronizado con el del monitor, de modo que cada punto de la muestra se corresponde con un punto en la pantalla.


317

Figura 7.31: Esquema de un microscópio electrónico de barrido (SEM). Los electrones focalizados van barriendo la superficie de la muestra arrancando electrones. La detecci´ on de estos electrones permite la creación de una imagen topográfica de la muestra.

La imagen dada por el SEM es sustancialmente distinta a la del TEM. En este u ´ ltimo es una imagen de transmisión, es decir, se observan las distintas densidades (de manera similar a lo que ocurre en una radioscop´ıa); en el SEM es una imagen por reflexi´ on, tanto de los electrones primarios del haz que colisionan con la muestra y salen dispersados en sentido contrario al incidente, como con los secundarios generados en la interacción de los primarios con los átomos de la muestra. El contraste en la imagen viene dado, por una parte, por la diferente capacidad de cada átomo de dispersar los electrones (denominada sección eficaz) y, por otra parte, de la topograf´ıa de la superficie. Por este motivo, el SEM tiene un dispositivo para inclinar el portamuestras, de modo que se puede conseguir que la imagen dé distintos aspectos de relieve, pues recoge efectos de sombra. La resolución de este microscopio depende del tama˜ no del punto de incidencia del haz sobre la muestra y puede ser del orden de 50 ˚ A.

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Índice alfabético

Absorbancia, 192 Absorción, 188 Absorción, Banda de, 190 Absorción electrónica, 190, 204 Absorción molecular, 204 Absortividad molar, 194 Acción de masas, Ley de, 48, 57 Acción, Potencial de, 140 Actina, 83 Actividad, 226, 227 ADN, 76 Aerosol, 254 Alfa, Part´ıcula, 217, 225 Almeja, Teorema de la, 167 Amplificador, 299 Apertura numérica, 311 ARN, 77 ARN mensajero, 78 ARN de transferencia, 80 Atenuación, Coeficiente de, 234 Atmósfera, 219 ATP, 2, 119, 134 ATP, Hidr´ olisis del, 62 Audici´ on, Umbral de, 175 Aumento, 304 Aumento lateral, 304

Aumento normal, 309 Aumento visual, 304 Avogadro, N´ umero de, 7 Becquerel (Bq), 229 Beer, Ley de, 194 Bernoulli, Ecuación de, 170 Beta, Part´ıcula, 217, 226 Biomecánica, 153 Biopol´ımero, 75 Boltzmann, Constante de, 33 Boltzmann, Entrop´ıa de, 33 Bomba sodio-potasio, 48 Boyle, Ley de, 7 Cable, Ecuaci´ on del, 148 Cable, Teor´ıa del, 147 Calidad, Factor de, 233 Calor, 10 Calor espec´ıfico, 12 Caminante aleatorio, 85 Campo, 305 Campo axial, 306 Campo constante, Teor´ıa de, 124 Campo, Diafragma de, 306 Campo de iluminaci´ on l´ımite, 306 Campo de iluminaci´ on media, 306

ÍNDICE ALFABETICO ´ Campo de iluminaci´ on plena, 306 Campo, Profundidad de, 306 Campo transversal, 306 Capa difusa, 257 Capa, Doble, 257 Capa de Stern, 257 Capacidad calor´ıfica, 12 Capacidad, Factor de, 274 Carnot, Ciclo de, 25 Centrifugaci´ on, 265, 267 Chaperona, 80 Cinética enzimática, 95 Circuito equivalente, 138 Citoesqueleto, 83 Clapeyron, Diagrama de, 16 Clausius, Enunciado de, 21 Cod´ on, 79 Coeficiente adiabático, 12 Coeficiente estequiométrico, 52 Coeficiente de transporte, 64 Coloidales, Suspensiones, 37, 254 Coloides, 37, 254 Color´ımetro, 196 Compton, Efecto, 216, 226 Condensación, 81 Constante de equilibrio, 57 Conversi´ on interna, 191 Corte, Velocidad de, 153 Cromatina, 77 Cromatograf´ıa, 272 Crom´ oforo, 205 Cromosoma, 77 Cuadripolo, 286 Cu´ anticos, N´ umeros, 184, 187 Curie (Ci), 229 Dalton, Ley de, 53 Decibelio (dB), 175 Deformaci´ ones elásticas, 91

323 Desintegración, Constante de, 227 Desintegración radiactiva, 225 Desintegración, Tasa de, 226 Despegue, Velocidad de, 171 Detector de calor, 203 Detector por centelleo, 231 Detector fotónico, 202 Detector por impresión, 230 Detector por ionización de gas, 231 Detector neumático, 204 Detector piroeléctrico, 204 Detectores de radiactividad, 230 Diafragma, 306 Diafragma de campo, 306 Di´ alisis, 45 Diferencial, 4 Difusi´ on, 88, 259 Difusi´ on, Coeficiente de, 88, 264 Difusi´ on i´ onica, 128 Dioptr´ıa, 310 Disipaci´ on, 37 Disoluci´ on dilu´ıda, 43 Disoluci´ on hipert´ onica, 48 Disoluci´ on isot´ onica, 47 Dispersi´ on, 254 Dogma central, 80 Dolor, Umbral de, 175 Donnan, Razón de, 130 Dosis, 224, 232 Dosis de absorción, 233 Dosis de exposición, 233 Dosis máximas, 238 Efecto Efecto Efecto Efecto Efecto Efecto

alostérico, 116 Compton, 216, 226 cooperativo, 113 Dufour, 66 fotoeléctrico, 216, 226 Soret, 66

324 Eficacia biol´ ogica relativa, 233 Elasticidad, 91 Electroforesis, 269 Electroneutralidad, Principio de, 128 Electr´ on-Voltio (eV ), 191 Eluci´ on, 272 Emulsi´ on, 255 Energ´ıa, 3 Energ´ıa cinética, 35 Energ´ıa libre de formaci´ on, 57 Enfoque, Profundidad de, 307 Entalp´ıa, 41 Entalp´ıa de formación, 57 Entalp´ıa libre, 41 Entrop´ıa, 28, 31 Entrop´ıa de formación, 57 Enzima, 95 Equilibrio y espontaneidad, 41 Equilibrio mecánico, 34 Equilibrio qu´ımico, 48 Equilibrio termodin´ amico, 6 Esfuerzo, 92 Espectro de absorción, 187, 192 Espectro continuo, 242 Espectro electromagnético, 184 Espectro de emisi´ on, 187 Espectro visible, 185 Espectrofot´ ometro, 196 Espectrógrafo, 196 Espectrometr´ıa de masas, 283 Espectrómetro, 196 Espectroscop´ıa, 187 Espectroscopio, 196 Esp´ın, 208 Espuma, 255 Estado biol´ ogico estándar, 62 Estado cuasiestacionario, 99 Excitaci´ on disociativa, 218 Exones, 78

ÍNDICE ALFABETICO ´ Exposici´ on, 244 Fick, Ley de, 264 Filamento intermedio, 83 Filamento prote´ınico, 83 Filtro, 199 Filtro de absorción, 200 Filtro de interferencia, 199 Flexi´ on, 161 Fluctuaci´ on-disipación, Teorema de, 37, 90 Fluido newtoniano, 154 Fluido no newtoniano, 155 Flujo termodin´ amico, 64 Flujos acoplados, 66 Flujos laminares, 153 Fluorescencia, 206 Fluorescencia molecular, Espectroscop´ıa de, 206 Fluor´ımetro, 196 Forma, Factor de, 261 Fosforescencia, 206 Fosforilaci´ on, 2 Fotocélula, 203 Fotodiodo, 203 Fotoeléctrico, Efecto, 216, 226 Fot´ ometro, 196 Fotomultiplicador, 202, 231 Fot´ on, 184, 187 Fotos´ıntesis, 222 Fototubo, 202 Frecuencia, 183 Frecuencia de muestreo, 296 Frecuencia, Respuesta en, 300 Fricción, 37, 88 Fuerza termodin´ amica, 64 Funci´ on de estado, 4 Gammagraf´ıa, 248

ÍNDICE ALFABETICO ´ Ganancia, 299 Gas ideal, 7, 13 Gay-Lussac, Ley de, 7 Geiger-Muller, Contador de, 231 Gel, 255 Genes, 77 Germicidas, 223 Gibbs, Energ´ıa libre de, 40 Gibbs-Donnan, Potenciales de, 128 Giromagnética, Relación, 209 Gl´ obulo rojo, 47 Goldman-Hodgkin-Katz, Ecuaci´ on de, 133 Goldman-Hodgkin-Katz, Ecuaci´ on de flujo, 127 Gradiente, 65 Gravedad, 160 Gray (Gy), 233 Helmoltz, Energ´ıa libre de, 40 Hemoglobina, 47, 106 Hertzio (Hz), 183 Hidr´ olisis, 2, 81 Hill, Funci´ on de, 114 Histona, 77 Hodgkin y Huxley, Modelo de, 141 Hooke, Ley de, 162 Impedancia de entrada, 300 Infrarrojo, 186, 190, 206 Infrarrojo, Espectroscop´ıa de, 206 Infrasonido, 174 Intrones, 78 Ionización, 217 Ionización del agua, 217, 218 Ionizador, 285 Isomerización, 50, 59 Isótopo, 225 Kelvin, Enunciado de, 20

325 Larmor, Frecuencia de, 210 Lineweaver-Burk, Representación de, 101 Longitud de persistencia, 94 Luminosidad, 307 Luminosidad del microscopio, 311 M´ aquina reversible, 21 Maxwell, Demonio de, 33 Mayer, Relación de, 12 Membrana basilar, 177 Membrana celular, 47 Membrana semipermeable, 45, 121 Metabolismo, 1, 71 Michaelis, Constante de, 101 Michaelis-Menten, Ecuación de, 101 Michaelis-Menten, Teor´ıa de, 95 Microestado, 31 Microfilamento, 83 Microscopio, 308 Microscopio electrónico, 314 Microscopio electrónico de barrido, 316 Microscopio electrónico de transmisión, 315 Microscopio, Luminosidad del, 311 Microt´ ubulo, 83 M´ odulo de torsi´ on, 92 Mol, 7 Molalidad, 96 Molaridad, 96 Monocromador, 200 Mon´ omero, 75 Morfogénesis, 42 Movilidad electroforética, 270 Movimiento browniano, 37, 88 Mutaci´ on viable, 236 Natación, 168 Nernst, Ecuación de, 122

326 Nernst-Einstein, Ecuaci´ on de, 265 Nucleosoma, 77 Nucléotido, 76 Objetivo, 308 Ocular, 308 O´ıdo, 176 Olig´ omero, 106 Onda, Longitud de, 183 Onda, N´ umero de, 183 Onda, Propiedades de, 182 Onda-corp´ usculo, Dualidad, 182 Ondas ac´ usticas, 174 Onsager, Teorema de, 66 Ozono, 219 Ozono, Capa de, 219 Part´ıcula alfa, 217, 225 Part´ıcula beta, 217, 226 Péptido, 79 Per´ıodo, 183 Per´ıodo de semidesintegración, 228 pH, 62 P´ıxel, 247 Planck, Constante de, 183 Planck, Relación de, 183 Plato, Altura de, 278 Platos, N´ umero de, 278 Poisson, Raz´ on de, 92 Polimerización, 81 Pol´ımero, 75 Polipéptido, 79 Potencia inducida, 172 Potencia par´ asita, 172 Potencial electroqu´ımico, 121 Potencial qu´ımico, 49 Potencial zeta, 257 Potenciales termodinámicos, 39 Precisión, 294

ÍNDICE ALFABETICO ´ Presión osmótica, 45 Presión parcial, 53 Prigogine, Teorema de, 71 Primer Principio, 10, 30 Prisma, 202 Proceso termodin´ amico, 4 Producci´ on entr´ opica, 69 Prote´ına, 77 Protones, Transferencia de, 62 Rad (rad), 233 Radiaci´ on, 181 Radiaci´ on, Detectores de, 202 Radiaci´ on, Detectores fotónicos de, 202 Radiaci´ on electromagnética, 181 Radiaci´ on de frenado, 242 Radiaci´ on, Fuente de, 198 Radiaci´ on ionizante, 216, 232 Radiaci´ on Roentgen, 242 Radiaci´ on visible, 222 Radiactiva, Desintegración, 225 Radiactividad, 225 Radiactividad, Detectores de, 230 Radiactivo, Marcador, 240 Radiodosimetr´ıa, 232 Radiof´ armaco, 240 Radioinmunoensayo, 240 Radiolog´ıa, 242 Radioqu´ımica, 235 Radiosensibilidad, 234, 236 Rango, 293 Rayos gamma, 185, 226, 230, 240 Rayos X, 185, 216, 226, 230, 242 Reciprocidad, Teorema de, 66 Red de reflexión, 200 Regla de las fases, 7 Reissner, Membrana de, 177 Relajaci´ on vibracional, 191 Rem (rem), 233

ÍNDICE ALFABETICO ´ Reparto, Coeficiente de, 273 Resolución cromatográfica, 277 Resolución, L´ımite de, 311 Resonancia Magnética Nuclear, 208 Resonancia Magnética Nuclear, Imagen por, 249 Respuesta lineal, 65 Retenci´ on, Tiempo de, 273, 275 Reynolds, N´ umero de, 158, 165 Ribosoma, 79 Rigidez, 92 RMN, 208 Roentgen (R), 233 Ruido, 178, 300 Schwartz, Teorema de, 6 Sedimentación, 259, 265 Sedimentación, Coeficiente de, 266 Sedimentación por zonas, 269 Segundo Principio, 20, 30 Selectividad, Factor de, 275 Selector de longitud de onda, 199 SEM, 316 Semiper´ıodo, 228 Sievert (Sv), 233 S´ıntesis de pol´ımeros, 81 Sistema termodinámico, 3 Spin, 208 Stern, Capa de, 257 Stokes, Ley de, 260 Sustentaci´ on, Fuerza de, 170 Svedberg (S), 266 Svedberg, Ecuaci´ on de, 266 TEM, 315 Temperatura absoluta, 36 Termodin´ amica, 3 Termodin´ amica de no equilibrio, 63 Termopar, 203

327 Termorresistencia, 204 Termorresistor, 298 Tiempo medio de vida, 228 Tiempo muerto, 273, 275 Tiempo de retención, 273, 275 Tiempo de vuelo, 288 Tomograf´ıa, 246 Torsión, 161 Trabajo, 10 Traducción genética, 78 Transcripción genética, 77 Transductor, 297 Transiciones rotacionales, 190 Transiciones vibracionales, 190 Transmitancia, 192 Transporte activo, 119 Transporte pasivo, 118 Tubulina, 84 Ultracentrifugaci´ on, 267 Ultracentrifugaci´ on por equilibrio, 268 Ultracentrifugaci´ on por gradiente de concentraci´ on, 269 Ultrasonido, 174 Ultravioleta, 186, 191, 204, 219, 223 Van´t Hoff, Cámara de reacción de, 53 Van´t Hoff, Relación de, 47 Variables de estado, 3 Velocidad de reacción, 99, 101 Vibraciones, 173 Vi˜ neteo, 306 Viscosidad, 154, 261 Viscosidad espec´ıfica, 263 Viscosidad relativa, 263 Visible, Radiación, 204, 222 Visi´ on, 219 Voltaje, Pinzamiento de, 140 Volumen molar, 7

328 Vóxel, 248 Vuelo, 170 Weber-Fechner, Ley de, 174 Young, M´ odulo de, 92, 162 Zeta, Potencial, 257

ÍNDICE ALFABETICO ´

Javier Buceta Fernández; Elka Koroutcheva; Juan Manuel Pastor Temas de Biofísica

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