Isomorfisma A.
Pendahuluan
Istilah isomorfisma berasal dari bahasa Yunani yang terdiri dari dua kata yaitu “isos” mempunyai arti “sama” dan “morphe” yang berarti “bentuk/wujud”. Gagasan ini pertama kali diperkenalkan oleh Galois sekitar 175 tahun yang lalu. Misalkan seorang Amerika dan Jerman diminta untuk menghitung beberapa benda. Orang Amerika mengatakan, "one, two, three, four, five,. f ive,. . . , " Sedangkan orang Jerman mengatakan "Eins, zwei, drei, vier, fünf,. . " Apakah keduanya melakukan hal yang berbeda? Tidak, Mereka berdua menghitung benda tersebut, tetapi mereka menggunakan perbedaan terminologi (bahasa,istilah) untuk melakukannya. Demikian pula, ketika orang Amerika mengatakan: "two plus three is five" dan orang Jerman akan berkata: "Zwei und drei ist fünf". Mereka berdua setuju dengan konsep dan hasil yang telah digambarkan, tetapi mereka menggunakan perbedaan terminologi (bahasa,istilah) untuk menggambarkan konsep yang dimaksud. Situasi serupa sering terjadi dengan grup, dimana grup yang sama digambarkan atau diselesaikan dengan terminologi yang berbeda memiliki hasil dan tujuan yang sama. Dimana pada bab 1, kita mengambar simetri dari sebuah persegi dalam geometris
4 (halaman
30, buku Gallian). Sedangkan pada bab 5
kita mengambarkan grup yang sama yaitu
4 pada
permutasi (halaman 97, buku
Gallian). B.
Definisi dan Contoh Isomorfisma Isomorfisma
Definisi
“Sebuah Isomorfisma
(phi) dari grup G ke grup
adalah pemetaan satu adalah
ke-satu ke-satu (atau fungsi) dari G ke (onto) G’ dengan mempertahankan mempert ahankan operasi dari grup tersebut” tersebut”.
≈ =
Jika ada isomorfisma dari G ke isomorfik dan ditulis
untuk setiap a, b dalam G , kita dapat katakan bahwa G dan
adalah adalah
. Definisi ini dapat divisualisasikan seperti yang
1
ditunjukkan pada Gambar 6.1. Para pasang panah putus-putus mewakili operasi kelompok.
Hal ini tersirat dalam definisi isomorfisma bahwa kelompok isomorfik memiliki orde yang sama. Hal ini juga tersirat dalam definisi isomorfisma bahwa operasi di sisi kiri dari tanda sama adalah G, sedangkan operasi pada sisi kanan adalah
. Empat kasus yang melibatkan (.) dan (+) ditunjukkan pada Tabel 6.1.
Operasi grup G
Operasi grup
(.)
(.)
(.)
(+)
(+)
(.)
(+)
(+)
Presentasi Operasi
.
.
=
=
+
+
.
+
=
=
.
+ ( )
Ada empat langkah yang terpisah yang terlibat dalam membuktikan bahwa grup G isomorfik ke suatu grup.
Langkah 1 ". Pemetaan" Tentukan calon untuk isomorfisma tersebut,
yaitu, mendefinisikan
fungsi dari G ke
Langkah 2 "1-1." Buktikan bahwa mengasumsikan bahwa
sehingga Langkah
dalam
"O.P"
adalah satu-ke-satu, yaitu
adalah ke (onto), yaitu untuk
, temukan elemen g dalam G sedemikian rupa
(g) = . 4
.
(b) dan membuktikan bahwa a = b.
Langkah 3 ". Ke (onto)" Buktikan bahwa setiap elemen
(a)=
Buktikan
bahwa
mempertahankan. yaitu menunjukkan bahwa semua a dan b dalam G.
2
adalah
(ab) =
operasi
untuk
(a) (b) untuk
Contoh 1. Misalkan G adalah bilangan real terhadap penjumlahan dan
adalah
bilangan real positif pada perkalian. Jawab : a.
∈
adalah G ke
b. Pembuktian untuk “satu-ke-satu” Misalkan 2
2
,
2
2 = , dan
2
2 = , maka :
2 =2
2
2
2 =
2
=
c. Pembuktian “ke(onto)” Kita harus menentukan untuk setiap y adalah bilangan real positif dan x adalah bilangan real, maka :
=
=
2 =
=
2
d. Pembuktian “O.P” (Operasi mempertahankan)
+
=2
= 2 . 2 = ( ) +
Jadi, untuk setiap x dan y dalam G adalah “O.P” Maka G dan
adalah isomorfisma.
2. Misalkan G = SL(2,R), grup dari matriks real 2 × 2 dengan derteminan 1. Misalkan M adalah matriks real 2 × 2 dengan derteminan 1. Kemudian kita bisa definisikan pemetaan dari G ke G itu sendiri dari
− 1
=
untuk semua A dalam G. Untuk memverifikasikan bahwa
adalah isomorfisma ? a.
adalah sebuah fungsi dari G ke G. Disini, kita tunjukan bahwa memang merupakan elemen dari G adalah A. Ini mengikuti dari
sifat determinan:
3
− 1
det
− − 1
= (det )(det ) det
1
= 1.1. 1
=1
Dengan demikian MAM -1 dalam G.
b.
adalah
satu-ke-satu.
=
Misalkan
. kemudian
MAM-1= MBM-1 dan sisi kiri dan sisi kanannya adalah A=B c.
adalah ke(onto), misalkan B milik G. Kita hanya menemukan
sebuah matriks A dalam G sehingga
=
. Bagaimana kita
melakukan ini? Jika seperti matriks A adalah untuk yang ada, ia harus memiliki properti MAM-1 = B. Tapi ini memberitahu kita untuk apa harusnya A itu? Karena kita dapat memecahkan masalah A untuk memperoleh A = M-1BM dan memverifikasikan bahwa
=
− − − − − − − − 1
d.
1
=
1
=
.
adalah sebuah operasi mempertahankan. Misalkan A dan B milik
G. Maka,
=
(
)
1
=
Pemetaan C.
1
=
1
1
=
1
( )
bisa disebut konjugasi dari M dan isomorfisma
Teorema Cayley
“Setiap grup adalah isomorfik untuk permutasi grup” Bukti:
Misalkan G kita ambil sembarang grup. Dan kita haru menentukan grup
adalah permutasi grup yang merupakan isomorfik ke G. Jawab : Karena G adalah semua anggota yang membangun G, kita harus menggunakannya untuk membangun
pada himpunan elemen G. dan misalkan
ℎ ∈ . Misalkan
=
|
dan
adalah permutasi
dan
adalah grup dalam
operasi dari fungsi komposisi. disini kita simpulkan bahwa
adalah indentitas
dan
− − 1
=
1
Pembuktian isomorfisma a.
isomorfisma antara G dan
4
b. Untuk “satu-ke-satu”
ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ =
=
=
=
sehingga
c. Untuk “ke(onto)”
=
=
( )=
( )
=
d. Untuk “O.P” operasi mempertahankan
Jadi, grup
=
=
=
( ) ( )
merupakan refersentasi prtmutasi dari grup G, grup
dengan
grup G isomorfisma. Teorema Cayley adalah penting untuk dua alasan kontras. Pertama adalah bahwa memungkinkan kita untuk mewakili kelompok abstrak dalam cara yang konkret. Yang kedua adalah menunjukkan bahwa himpunan aksioma yang sedang kita bahas diadopsi untuk grup mendukung kebenaran prediksi sebuah grup permutasi. Contoh Permutasi grup adalah Isomorfisma.
Persentasikan U(12) = {1,5,7,11} dan permutasi U(12) adalah isomorfisma. Jawab : U(12)
1
5
7
11
1
1
5
7
11
5
5
1
11
7
7
7
11
1
5
11
11
7
5
1
Dari tabel tersebut kita bisa dapat permutasi – permutasi grup-nya
5
1
=
1 1
5 7 5 7
7
=
1 7
5 7 11 1
11 , 11
=
5
11 , 5
11
1 5
=
5 7 7 11 1 11
11 1
5 7 1 5
11 7
Sehingga bila kita kalikan secara komposisi pada permutasi grup tersebut maka hasilnya
(12)
1
1
1
5
5
7
7
11
11
5 5
11
7
1
11
11
11
7
1
7
5
5
Dengan ini menyatakan bahwa U(12) dengan D.
7
1
(12) bersifat isomorfisma.
Sifat-Sifat Isomorfisma
Dua teorema kami berikutnya memberikan daftar sifat - sifat isomorphisma dan isomorfik kelompok. Teorema 6.2 Sifat – sifat Isomorphisma berwakil pada Elemen – elemen. _
Misalkan itu adalah isomorfisma dari grup G ke grup
G . Kemudian
_
G
1.
memberikan identitas G ke identitas
2.
Untuk setiap n bilangan bulat dan untuk setiap elemen kelompok di G, n (a ) =
3.
.
[ (a)] n.
Untuk setiap elemen a dan b dalam G, a dan b berubah jika dan hanya jika (a) dan (b) berubah. _
a
jika dan hanya jika
G
= (a ) .
4.
G=
5.
| a | = | (a) | untuk semua a dalam G (isomorphisms mempertahankan order – order).
6
6.
Untuk k bilangan bulat tetap dan b adalah elemen grup tetap dalam G, Persamaan xk = b memiliki jumlah penyelesaian yang sama di G _
G
k
seperti halnya persamaan x = (b) dalam
.
_
7.
Jika G terbatas, maka G dan
G
memiliki persis jumlah yang sama dari
unsur setiap order. BUKTI Kita akan membatasi hanya membuktikan sifat 1, 2, dan 4, tapi amati sifat 5 mengikuti sifat 1, 2 dan sifat 6 mengikuti sifat 2, dan sifat 7 mengikuti sifat 5. untuk kemudahan, mari kita menunjukkan identitas di G oleh e _
dan identitas dalam
G
oleh e. Kemudian, pada e = ee, kita memiliki (e) = (ee)
= (e) (e). _
_
Juga, karena (e)
G
, kita memiliki (e) =
e
(e). Begitu baik. Dengan
_
demikian dengan penghilangan.
e =
(e) ini pembuktian sifat 1.
Untuk bilangan bulat positif, sifat 2 mengikuti definisi isomorpisme dan induksi matematika. Jika n negatif, maka – n positif, dan kita memiliki dari sifat 1 dan pengamatan tentang hal bilangan bulat positif bahwa e = (e) = (gng-n) = (gn) (g-n) = (gn)( (g))-n. Dengan demikian, perkalian kedua sisi sebelah kanan dengan ( (g))n, kita mendapatkan ( (g))n = (gn) sifat 1 membuat n = 0.
Untuk membuktikan sifat 4, misalkan G = _
G
a
dan ditulis diakhir,
_
. Karena atas. Untuk setiap elemen b dalam
G
ada sebuah elemen ak dalam
G dengan demikian (ak ) = b. Sehingga, b = ( (a))k dan begitu juga b _
Ini terbukti bahwa
(a)
G
=
(a)
_
.
Sekarang misalkan
G
G. Untuk setiap elemen b dalam G. Kita memiliki (b)
7
(a)
=
(a)
(a)
. Jelas,
.
a
. Sehingga,
untuk beberapa bilangan bulat k kita memiliki (b) = ( (a))k . Karena adalah satu ke suatu b = a k . Ini membuktikan bahwa
a
= 6.
Ketika operasi grup adalah penjumlahan, sifat 2 teorema 6.2 adalah (na) = n (a); sifat 4 menyatakan bahwa suatu isomorpisma diantara 2 grup tidak isomorpik. Sering b diambil untuk diidentifikasi. Contoh, perhatikan C* dan R*. Karena persamaan x4 = 1 memiliki 4 penyelesaian dalam C* tetapi hanya 2 dalam R*. Tidak masalah bagaimana seseorang berusaha mendefinisikan isomorpisma dari C* ke R*, sifat 6 tidak bisa dipertahankan. E. Teorema 6.3 Sifat-Sifat Isomorfisma dalam Grup _
Misalkan adalah suatu isomorpisma dari grup G ke grup
G
. Kemudian
_
-1
1. adalah isomorpisma di
G
ke G. _
2. G adalah abelian jika dan hanya jika
G
adalah abelian.
_
3. G adalah siklik jika dan hanya jika
G
siklik.
4. Jika K adalah subgrup dari G, maka (K) = { (k)| k K}adalah _
subgrup dari
G
.
Bukti sifat 1 dan 4 tersisa sebagai latihan (latihan 21 dan 22). Sifat 2 adalah akibat langsung sifat 3 dari teorema 6.2. Sifat 3 mengikuti sifat 4 dari teorema 6.2 dan sifat 1 dari teorema 6.3. Teorema 6.2 dan 6.3 menunjukkan bahwa grup – grup isomorpik memiliki banyak kesamaan sifat. Sesungguhnya, definisi justru dirumuskan sehingga grup isomorpisma memiliki semua sifat teori grup yang sama. Dengan ini kita mengerti bahwa jika dua grup isomorpik, maka setiap sifat yang bisa dinyatakan dalam bahasa teori grup berlaku untuk satu jika dan hanya jika memang benar untuk yang lain. Inilah sebabnya para ahli aljabar mengatakan grup isomorpik dengan
8
sama dengan atau sama. Tak dapat disangkal menyebut grup yang setara, agak sama, mungkin lebih tepat, tapi kita patuh pada tradisi lama. F.
Definisi Automorfisma
Automorfisma adalah sebuah isomorfisma yang memetakan grup G ke dirinya sendiri. Contoh:
1. Apakah pemetaan berikut adalah automorfisma dari Grup yang diberikan? Jawab:
Ambil x, y
G
− − =
dan misalkan
=
=
Ambil y
G
maka
− − − − =
pilih
=
=
(
=
2.
→− →
Jadi, bahwa :
(G, ∙ ), :
)
T onto
adalah automorfisma
2
Jawab:
Ambil x, y
G
dengan misalkan ( ) = ( )
– – =
2
(
)(
+
9
2
=
2
=0
2
) = 0
T ( 1-1)
Akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah
− =
=
(memenuhi) atau
( tidak memenuhi karena x, y bilangan bulat positif)
sehingga
=
( 1-1 )
Ambil sebarang y G karena x, y > 0 berarti pilih x =
=
G.
2
=(
→
y
Jadi, bahwa T:
)2 =
2
y
T onto
adalah automorfisma
Definisi Inner Automorfisma
Ketika sebuah grup G tidak abelian, ada automorfisma
∈
untuk masing-
masing elemen g G yang disebut inner automorfisma dari G. Inner automorfisma didefinisikan dengan:
−
1
=
adalah sebuah bijeksi karena ini mempunyai pemetaan invers
−
1
:
− − − − 1
1
=
1
1
=
adalah sebuah automorfisma karena
− − − =
1
1
=
1
=
Contoh:
1. Carilah inner Automorfisma dari
4 yang
diinduksi oleh
90 !
Jawab: Inner Automorfisma dari D4 yang diinduksi oleh tabel berikut ini.
10
90 ditunjukkan
di dalam
− → − → − → − → − → − → − → − → − 90
90
0
90 0 90
90
90
270
1
=
1
1
90
270
90
90
90
90
90
′
90
180
90
90
0
90
90 270
=
H.
=
90 180
=
′
1
90 90
180
1
90
90
1
=
1
=
1
=
1
=
′
Teorema Aut(G) dan Inn(G) adalah grup.
Himpunan dari grup Automorfisma dan himpunan dari grup Inner Automorfisma adalah grup dibawah operasi fungsi komposisi Bukti: Jika
… =
, , ,
terakhir ini memiliki kemiripan, karena
≠
… =
, dan jika
,
,
,
,
. Daftar
mungkin sama dengan
meskipun
. Jadi satu-satunya pekerjaan yang dilakukan dalam menentukan
adalah memilih unsur-unsur yang menjelaskan Isomorfisma. Di lain sisi,
penentuan
cukup terlibat.
Contoh:
∈ − − Untuk menentukan Inn
Automorfismanya yaitu Karena
0
0
1
=
0,
180
0(
), maka
4
90 ,
4
180
, pertama-tama lihat dulu semua anggota Inner
=
180,
, maka 0.
11
270,
180
,
,
=
,
0 180
.
′
0
1
180
−
1
=
− − =
270
90 (
270
270
1
=
90 180
90
1
180
−
1
=
90
90
−
1
=
).
=
Karena
180
dan
′
=
, kita kita punya
180
=
dan
=
.
′
I.
Teorema Aut(
≈
.
Untuk semua bilangan bulat positif n, Aut(
. Jadi kita bisa mencari anggota Aut(
) adalah isomorfisma dengan
) dengan mencari nilai
.
Contoh:
1.
(
5)
adalah grup siklik berorder 4.
Karena untuk semua bilangan bulat positif n, Aut(
dengan
(
, maka bisa dicari anggota
5 = {1,2,3,4}, melihat dari anggota
order dari
2.
(
8)
5)
) adalah isomorfis
adalah anggota
5 .
5 di samping terlihat bahwa
5 juga 4.
memiliki 4 elemen tapi tidak siklik.
Karena untuk semua bilangan bulat positif n, Aut( dengan
(
, maka bisa dicari anggota
8)
) adalah isomorfis
adalah anggota
8 .
8 = {1,3,5,7}, melihat dari anggota himpunan di samping kita bisa
melihat bahwa
8 memiliki 4 buah elemen. Sekarang kita tinggal
menentukan apakah elemen tersebut siklik atau tidak.
∈ 8 = {1,3,5,7} ={
|
}
1 = 11 , 12 = 1 3 = 31 , 32 = 1 5 = 51 , 52 = 1 7 = 71 , 72 = 1
12
Dari hasil di atas diketahui bahwa anggota generator, sehingga
8 tidak memiliki
8 bukan merupakan grup siklik. Hal ini sesuai
(
dengan pernyataan di atas bahwa
8)
memiliki 4 elemen tapi tidak
siklik. Dari kedua contoh di atas bisa dilihat bahwa Aut( dengan
) memiliki hubungan
, yaitu isomorfisma. Untuk menentukan anggota Aut(
cari dengan menentukan anggota
) bisa kita
.
Soal: 1.
Tunjukkan bahwa U(8) isomorfik dengan U(12), tapi tidak isomorfik dengan U(10). Jawab: a. Tunjukkan bahwa U(8) isomorfik dengan U(12).
8 = 1,3,5,7 , 32 = 52 = 72 = 1
8
12 = 1,5,7,11 , 52 = 72 = 112 = 1
12
→ :
Pemetaan
8
12 :
3 = 5,
5 = 7,
7 = 11. Adalah 1-
1, onto dan jika dilihat dari tabel Cayley dari U(8) ke U(12), bisa dilihat bahwa U(8) dan U(12) adalah isomorfisma. Tapi
10 = 1,3,7,9 = 3 ,
32 = 9, 33 = 7, 34 = 1,
jadi
U(10) adalah grup siklik.
b. Identifikasikan masing-masing dari U(8), U(12), dan U(10) sebagai grup siklik atau produk grup siklik.
≅ ⊕ ≅ ≅ 8
2
2
12 ; (10)
13
4
2.
Carilah Aut(
6)
Jawab: Menurut teorema 6.5 Aut(
6)
hanya ada dua automorfisma dari
isomorpik dengan
6
yaitu
5.
1
(6) = {1,5}. Karenanya
Karena
6 adalah
siklik,
yang harus kita ketahui adalah dimana masing-masing automorfisme mengambil 1, generator dari automorfisma dari
6.
6,
Dari teorema 4.2, property 4, jika
(1) pasti generator dari
6 juga.
angka antara 1 dan 5 yang merupakan coprime dari angka antara di
6.
yang kedua adalah
3.
Jika
Yang pertama
5 yang
1,
6.
adalah sebuah
generator dari Generator dari
6
adalah
6
adalah
yang memetakan 1ke 1 dan automorfisme
memetakan 1 ke 5.
= 0,±2,±4,±6,
… dan
= 0,±3,±6,±9,
…
. Tunjukkan bahwa
G dan H adalah grup isomorfisma di bawah operasi penjumlahan. Apakah isomorfisma tersebut juga mempertahankan operasi perkalian? Jawab: Dari himpunan di atas bisa dibentuk menjadi:
∈ ℤ ∅ → 3
∅ ∅ ∅ ∅
dan :
1-1
=
dengan
3 2
=
3
=
2
3 2
=
Onto
∈
Jika 3
. Lalu
2
=
3 2
2
=3 .
Operasi mempertahankan
∅ ∅ ∅ +
=
=
=
3 2
3
2 3 + 2 +
14
+
∈ ℤ = 2
dan
=
Perkalian
∅ ∅ ∅ ≠ 6 =
2
3 =
3 2
3
3
2
3
2
9
=3
2
=
27 2
27
9
4.
6 =9
2
2
Buktikan bahwa S 4 tidak isomorphic dengan D12!
Jawab: Grup dihedral, D12, memiliki unsur R 30 dari order 12. Karena isomorfisma mengawetkan order, R 30 harus dipetakan ke elemen order 12 di S 4. Karena order permutasi umumnya merupakan perkalian dari panjang disjoin cycle, maka tidak ada element yang terdapat di dalamnya. Element dari order terbesar di S 4 adalah 4 putaran yang memiliki order 4.
5.
∈ℚ =
Let
+
2 ,
, and
∈ℚ 2
=
,
, prove that G
and H are isomorphic under addition. Does your isomorphic preserve multiplication as well as addition? Answer:
∅ ∅ ∅ ∅
Definisikan
∅∶→
dengan
Untuk menunjukkan bahwa
+
2 =
+
+
2
2 =
adalah fungsi satu-satu, kita anggap
2 , maka:
2
2
=
Karena kedua matrik di atas sama jika dan hanya jika semua anggota mereka sama, a harus sama dengan c dan b harus sama dengan d, berarti
+
2=
+
∅
2. Maka adalah fungsi satu-satu.
∅
adalah onto H karena untuk setiap
∈ ∈ ∅
memetakan anggotanya ke dalam H di bawah
15
2
.
,
+
2
∈ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ +
Misal
∅
+
2 + =
+
=
+2 +
2
2, +
+
2
2 +
+ +2
2
2 =
+
2
+
+
=
=
+
2 = 2
+ +
+( + ) 2 = 2 +
+2
+
16
2
+
+
=
2
+
+
2( + ) +
2
2
+
2
Glosarium
Isomorfisma
: Pemetaan satu-ke-satu (atau fungsi) dari G ke (onto) G’ dengan mempertahankan operasi dari grup tersebut
Onto Automorfisma
:
Ke :
Sebuah isomorfisma yang memetakan grup G ke dirinya sendiri.
Inner Automorfisma
:
Automorfisma
yang pada grup non abelian
17
∈
untuk masing-masing elemen g G
Daftar Pustaka
Galian, J.A. 2010. Contemporery Abstract Algebra. United State of America: Brooks/Cole Cengage learning.
18
