SOMI XVIII Congreso de Instrumentación Metrología ISA184 Método para la obtención del volumen en tanques horizontales con casquetes esféricos parcialmente llenos. Ing. J. C. Ravelo Hernández, Ing. E. Morgado López, Dra. I. I. Siller Alcalá, Ing. J. M. Jaimes Ponce, Ing. R. Alcántara Ramírez Compañía Sherwin Williams, S. A. de C. V. Poniente 140 No. 595 Col. Industrial Vallejo 02300 México, D. F. UAM -Azcapotzalco Depto. de Electrónica Ciencias Básicas e Ingeniería e-mail
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[email protected] Abstract In this work the development of a equation to get the liquid volume or weight of a cylindrical tank with spherical tops is presented. This equation was used to implement implement a Distributed Distributed Control Control System DeltaV in the Company Sherwin Williams. S. A. de C. V. Resumen En este trabajo se presenta el desarrollo de una ecuación para determinar el volumen o peso del líquido contenido en un tanque cilíndrico con casquetes esféricos, montado horizontalmente cuanto está parcialmente lleno. Esta ecuación fue implementada en un Sistema de Control Distribuido Delta V en la Compañía Sherwin Williams, S. A. de C. V. La ecuación requiere de las dimensiones físicas del tanque tales como: el diámetro interior, la longitud, la altura de los casquetes, todas estas, son consideradas constantes, teniendo como única variable el nivel de altura del líquido. El modelo da un resultado bastante bueno para el cálculo de volumen cuando se considera que los casquetes son esféricos o hemisféricos, para el caso de casquete cóncavo estándar, toriesférico y elipsoidales se tendrá un error de menos del 2%. Este trabajo es de gran interés, por su aportación en la industria. 1. Introducción La medición de nivel de líquidos es una de las variables que se encuentran con más frecuencia en la industria química, particularmente en la industria de pinturas. En muchos de los procesos que utilizan líquidos contenidos en tanques de almacenamiento, la medida del nivel en cada recipiente puede ser de primordial importancia para la operación del proceso y también para la administración de inventarios, debido a que provee información sobre:
• • • • • • •
Cuánto producto hay en un tanque de almacenamiento. Cuánto producto ha sido adicionado a un tanque. (recibido o transferido) Cuánto producto ha sido removido de un tanque. (vendido, transferido, o por pérdidas debidas a fugas de material). Cuál es la capacidad restante del tanque. Si la cantidad de producto está cambiando inesperadamente con el tiempo. Qué tan cerca está de derramarse el tanque. (o por arriba de niveles críticos). Qué tan cerca está de vaciarse el tanque. (o por debajo de niveles críticos).
El propósito de la medición de nivel, es en muchos casos, determinar el volumen o el peso de un líquido contenido en un tanque tanque de almacenamiento en función de una altura altura del nivel cualquiera, dentro del rango de medición. La conversión de nivel a volumen o a peso en tanques cilíndricos
1
SOMI XVIII Congreso de Instrumentación Metrología ISA184 verticales se logra aplicando relaciones matemáticas muy simples que involucran la determinación del área de la base circular, el peso específico y la altura de nivel del líquido; en este caso, existe una relación lineal del volumen o el peso en función de la altura del nivel. Sin embargo, cuando los tanques están montados horizontalmente y además poseen cabezas o casquetes esféricos en los extremos, la relación del volumen o peso en función del nivel se vuelve muy compleja y no lineal. En este trabajo se desarrolla un modelo matemático para calcular el volumen o el peso en función del nivel para tanques horizontales parcialmente llenos con casquetes esféricos. El modelo permitirá implementarse en la elaboración de tablas de conversión, nomogramas o en un programa de computadora, sin importar el lenguaje de programación o el sistema operativo y será aplicable para cualquier tanque horizontal sin importar sus dimensiones. 2
PROBLEMA DE MEDICIÓN DEL VOLUMEN
En la fábrica de pinturas CÍA. SHERWIN WILLIAMS S.A. Fig. 2.1 surgió la necesidad de instalar un sistema para la medición de nivel en todos los tanques de almacenamiento de materia prima en forma continua, principalmente debido a lo siguiente:
• •
•
Las autoridades de control ambiental exigen un mecanismo para asegurar que cualquier tanque, al ser llenado, no rebasen el 90% de su capacidad máxima, con el fin de evitar derrames de sustancias inflamables, tóxicas o corrosivas. Las mediciones de nivel se realizaban en forma manual, resultando en inexactitud de las lecturas, riesgo de accidente del trabajador al tener que trepar por encima de los tanques para destaparlos e introducir una regleta o cinta métrica, así como a exposición a diversas sustancias químicas riesgosas para la salud y contaminación de los materiales durante la apertura de los tanques. Se requería que el inventario de materias primas almacenadas en los tanques tuviera un alto índice de confiabilidad, ya que esto permitiría mantener el control de existencias de los materiales y establecer los planes de producción en forma óptima.
Figura 2.1 Granja de tanques cilíndricos montado s horizontalmente Cía. Sherwin Williams S. A. De C. V.
2
SOMI XVIII Congreso de Instrumentación Metrología ISA184 Para lograr lo anterior se adquirió un sistema de control distribuido DeltaV System [4] con capacidad para monitorear y controlar el nivel de todos los tanques de almacenamiento existentes en la planta. Este sistema consta de una estación de trabajo basada en una PC industrial, donde a través de pantallas de operación gráfica, se pueden monitorear y controlar las variables de proceso, no solamente de nivel, sino de cualquier otra variable de proceso crítica de la planta. El sistema consta también de tarjetas de adquisición de datos donde se reciben las señales de los instrumentos de medición de campo y un concentrador para poder formar una red de comunicación con la estación de trabajo o con otros sistemas de control. (ver Fig. 2.2) A pesar de la gran potencia de cálculo matemático disponible en el sistema de control distribuido, éste no contaba con una herramienta dedicada para dicha aplicación por lo que se hizo necesario buscar una solución de ingeniería, la cual consistió en encontrar las ecuaciones que permitieran caracterizar este tipo de tanques, a partir de unas cuantas dimensiones físicas disponibles que se consideran constantes para cada tanque: diámetro interior, longitud total, profundidad de los casquetes y la altura del nivel como variable única del proceso. A partir de lo anterior, poder definir un algoritmo de programación, para que posteriormente se implementara en el sistema de control distribuido.
Figura 2.2 Sistema para medición continua de nivel en tanques horizontales. 3.
CÁLCULO DEL VOLUMEN DEL TANQUE.
Para obtener el volumen total del tanque montado horizontalmente, se dividirá en dos partes: Volumen parcial de la sección recta VpsrVy Volumen parcial de los casquetes los cuales serán obtenidos posteriormente. Así, el volumen parcial de un tanque en posición horizontal VPTH, considerando la sección recta y los dos casquetes esféricos será dada por: = V PSR + 2V PC ; [m3] Para obtener el peso del líquido contenido en el tanque, se utiliza V PTH
Peso = V PTH * P. E . ; [kg] 3
3.1 3.2
Donde: P.E.= Peso específico del líquido [kg/m ] 3.1
Cálculo del volumen parcial de la sección recta del tanque.
Para determinar el volumen parcial de la sección recta de un tanque montado horizontalmente, se requiere primero calcular el área del segmento de círculo ASC formado por la circunferencia del tanque y la altura de nivel del líquido h. como se muestra en la figura 3.1. Se presentan los siguientes dos casos:
•
Cuando el nivel está igual o por debajo de la mitad del diámetro interior, es decir,
h≤
•
Cuando el nivel está igual o por arriba de la mitad del diámetro interior, es decir,
h≥
D 2 D 2
. .
3
SOMI XVIII Congreso de Instrumentación Metrología ISA184
Figura 3.1 Sección recta del tanque y ubicación en el plano del segmento de círculo
Caso1. para
h≤
D 2
; de la figura 3.1, se calcula el área del segmento circular por integración:
ASC
=
= = x
x
∫
− x
x
r 2
r 2
2
2
r
− x 2 dx −
− x + 2
r 2 2
x
∫
− x
(r − h) dx
sen −1
x
x
r − x
− x (r − h )
x
− x
x − x 2 + r 2 sen −1 − 2 x (r − h) r
3.3
realizando algunas sustituciones, obtenemos ASC
=
D 2 4
sen
−1 2 h( D − h) D
−
D h( D − h) ( 2
− h)
[m2]; ∀
h≤
D 2
3.4
Luego entonces, el volumen parcial de la sección recta del tanque, se calcula con la siguiente expresión: V PSR = ASC L ; [m3] 3.5 Caso2. para
h≥
D 2
;
Para calcular el área del segmento de círculo ASC , se aplica; ASC = Area total del círculo – A SC´
3.6
Figura 3.2 Ubicación en el plano del segmento del círculo
4
SOMI XVIII Congreso de Instrumentación Metrología ISA184 De la figura 3.2 se tiene que; ASC ´=
x
∫
− x
r 2
− x 2 dx −
x
∫
− x
(h − r )dx
3.7
La ecuación anterior está dada por (3.4) y sustituyendo en (3.7), se obtiene; ASC
=
π D
2
D 2 − 4
sen
−1 2 h( D − h) D
−
h( D − h) ( h −
D
)
2 2 2 2 h( D − h) + h ( D − h) (h − D ) = π D − D sen −1 4 4 2 D 2 2 h( D − h) + h( D − h) (h − D ) [m2]; ∀ = D π − sen −1 4 2 D 4
h≥
D 2
3.8
Luego entonces, el volumen parcial de la sección recta del tanque, para los dos casos, se calcula con la siguiente expresión; V PSR = ASC L [m3] 3.9 3.2
Cálculo del volumen parcial del casquete esférico.
Para la determinación del volumen parcial de los casquetes se dispone de la tabla 1, que da el volumen, como una fracción del volumen total del casquete. En esta tabla publicada por Doolittle, [1], la fracción de volumen está en función de la altura o nivel h del líquido y el diámetro interno D del casquete en posición vertical. (h/D) No. h/D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26
Fracción de Volumen 0.0012 0.0047 0.0104 0.0182 0.0280 0.0397 0.0533 0.0686 0.0855 0.1040 0.1239 0.1451 0.1676
No. H/D 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50
Fracción de Volumen 0.1913 0.216 0.242 0.268 0.295 0.323 0.352 0.381 0.410 0.440 0.470 0.500
No. h/D 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
0.52 0.54 0.56 0.58 0.60 0.62 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76
Fracción de Volumen 0.530 0.560 0.590 0.619 0.648 0.677 0.705 0.732 0.758 0.784 0.8087 0.8324 0.8549
No. h/D 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
0.78 0.80 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00
Fracción de Volumen 0.8761 0.8960 0.9145 0.9314 0.9467 0.9603 0.9720 0.9818 0.9896 0.9953 0.9988 1.0000
Tabla 3.1. Fracción de volumen de casquetes esféricos parcialmente llenos sobre tanques horizontales.
Empleando técnicas de métodos numéricos, en este caso, la de regresión polinomial por mínimos cuadrados [3], se puede encontrar la ecuación que se utilizó para construir la tabla 1. Aproximaremos la curva al siguiente polinomio 3.10 y = a0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 Sabemos que los parámetros del polinomio están dados por
5
SOMI XVIII Congreso de Instrumentación Metrología ISA184 ∧ θ
= ( X T X ) −1 X T Y
3.11
siendo, Y =
y1 1 y 1 2= M M y 50 1
∧ X θ
a0 x 23 a1 M a2 3 x 50 a3
2
x1
x1
x 2
x 22
M
M
x 50
2 x50
3.12 3
x 2
Obteniendo los parámetros a través de los mínimos cuadrados el polinomio quedaría como 2 3 3.13 y = 0 .0001− 0. 0015 x + 3. 004 x − 2. 003 x el cual se puede aproximar a : y = 3 x − 2 x 3.14 Expresando (3.14) en términos de Fracción de volumen (h/D) para el casquete parcialmente lleno: 2
3
2
h D
3
h D
Fracción de volumen = 3 − 2
3.15
Esta ecuación reproduce cada uno de los valores de la tabla 3.1, para cada valor de (h/D). Luego, el volumen del casquete parcialmente lleno, en posición vertical se calcula con la siguiente expresión: Vol. parcial del casquete (V PC ) = Fracción de Vol. * Vol. total del casquete
3.16
Para calcular el volumen total del casquete esférico VTC, nos apoyamos en la figura 3.3, el cual está dado por [4] π 3 V TC = a D 2 6 4
+ a 2
3.17
Por tanto, sustituyendo (3.17) y (3.15) en la expresión (3.16), se tiene que el volumen del casquete esférico parcialmente lleno VPC, en posición vertical se obtiene con; 3 h 2 h 3 2 V PC = a D + a 2 3 − 2 6 4 D D π
3.18
Figura 3.3 Casquete esférico
6
SOMI XVIII Congreso de Instrumentación Metrología ISA184 4.
DIAGRAMA DE FLUJO
La figura 5.1 muestra el diagrama de flujo que se utilizó para realizar el programa que se instaló, en el Sistema de Control Distribuido DeltaV System [4]. En él se aplican las ecuaciones obtenidas anteriormente para calcular el volumen ( y también el peso) parcial en tanques horizontales con casquetes esféricos, a partir de las dimensiones físicas del tanque, del peso específico del líquido y de la altura del nivel como única variable. La tabla 4.1 muestra las dimensiones y contenidos de los tanques de la Compañía Sherwin Williams. RELACION DE LOS TANQUES DE ALMACENAMIENTO
No. CAPACIDAD DESCRIPCION DEL MATERIAL CARACTERISTICAS DEL TANQUE PESO ESP EN LITROS ALMACENADO (g/cc) FIG. D (m) a (m) L(m) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
25,000 25,000 50,000 50,000 50,000 20,000 20,000 10,000 10,000 10,000 10,000 20,000
XILOL GAS NAFTA GAS NAFTA XILOL TOLUOL METILISOBUTIL CETONA SOLVENTE RECUPERADO PETROLEO DIAFANO (DIESEL) ACETATO DE BUTILO GASOLVENTE ACETONA AROMINA 100
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3.0 3.0 3.0 3.0 3.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0
0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3
3.5 3.5 7.0 7.0 7.0 6 6 3 3 3 3 6
0.860 0.772 0.772 0.864 0.865 0.800 0.825 0.800 0.880 0.700 0.790 0.870
Tabla 4.1 Tanques de Almacenamiento de la Compañía Sherwin Williams
5.
CONCLUSIONES
En este trabajo se desarrolló un modelo matemático para determinar el volumen o peso de un líquido contenido en un tanque cilíndrico montado horizontalmente cuando está parcialmente lleno. El cual fue implementado en la Compañía Sherwin Williams, a través del uso del Control Distribuido DeltaV System Las ecuaciones están desarrolladas considerando las dimensiones físicas de los tanques o propiedades de los líquidos fácilmente disponibles en la práctica; no está limitado a un lenguaje de programación específico ni a un tamaño de tanque en particular. El modelo da un resultado exacto para el cálculo de volumen cuando se considera que los casquetes son esféricos o hemisféricos, para el caso de casquetes cóncavos estándar, toriesféricos y elipsoidales también es aplicable el modelo con un error menor al 2% del volumen total de los casquetes. Este modelo está principalmente indicado para aplicarse en un programa de computación, donde se introduzcan los parámetros constantes del tanque tales como el diámetro interior, la longitud, la profundidad de los casquetes esféricos y en función de una sola variable que es el nivel de altura del líquido; a partir de esto, devuelva el contenido del tanque correspondiente en volumen o en peso de manera continua y en tiempo real. Esto puede ser de gran utilidad para la industria que utiliza este tipo de tanques pues se evita tener que caracterizar el tanque calibrando el llenado, por ejemplo con un medidor de flujo o con una báscula ó midiendo el nivel correspondiente en cada punto, o tener que consultar una tabla o nomograma cada vez que se desee una conversión de nivel a capacidad. Una limitación de este modelo matemático es que se asumen condiciones ideales, por lo que no se consideran los efectos de los errores introducidos por diversos factores tales como: efectos de expansión del tanque debido a cambios de temperatura y en la densidad del líquido contenido en el tanque, geometría irregular del tanque debido a deformaciones mecánicas y otros.
7
SOMI XVIII Congreso de Instrumentación Metrología ISA184
INICIO
DEFINIR D, L,a , y P.E. (CONSTANTES)
VARIABLE DE PROCESO NIVEL= h
D 2
A SC
=
D 4
2
2
se n −1
h ( D D
−
h)
−
h ( D
−
>
≥ h
D h) ( 2
−
h)
A SC
V PS R
V TC
=
π
6
= A
SC
3
2
a
4
D
Peso
=
D 2 4
π −
2
se n −1
h ( D D
−
h)
+
h ( D
− h) (h −
D 2
+ a 2
3
h h = 3 − 2 V D D
Volumen
2
L
2
V PC
=
D
V PSR
+
TC
2V PC
= Volumen * P . E .
Figura 4.1 Diagrama de flujo para el cálculo del volumen o del peso en tanques horizontales parcialmente llenos. 8
)
SOMI XVIII Congreso de Instrumentación Metrología ISA184 REFERENCIAS 1.- R. H. Perry PH.D, Manual del Ingeniero Químico ”Transporte y almacenamiento de fluidos”,(4th ed. McGraw-Hill Book Company Inc, New York), 6-113 - 6-114, 1963. 2.- Douglas M. Considine & S.D. Ross, Handbook of applied instrumentation , “Liquid level”,(McGra w-Hill Book.Company Inc, New York), 6-113 - 6-114, 1963. 3.- Chapra, Numerical Methods for engineers, ”Polynomial regresión”, (1a ed., Prentice Hall School, México), 302-306, 1990. 4.- DeltaV System, Emerson Process Management http:// www.easydeltav.com/aboutdeltav/index.asp.
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