;,).] I>) lím^sgn (x) no existe. Sea que la fon dó n signo sgn esté definida por sgn (x) := +1 := 0 := 1
para para para
a
> 0, 0, < 0.
a = a
«»l «sérvese que sgn ( a ) = a /| a ¡ para a =£ 0. (Ver la figura 4.1.2.) Se demostrará que ■pn no tiene lím ite en a = 0. Esto se hará probando que existe una sucesión (a/() tal i|iir lím (xn) = 0, pero tal que (sgn (a ;¡)) no converge. De hecho, sea xn := (1 )"/n para n e N de tal modo que lím (a ;|) = 0. Sin i milargo, puesto que sgn
( a ; í)
= (1 )"
para
n eN,
ili l ejemplo 3.4 .5 a) se sigue que (sgn (a J) no converge. Por lo tanto, lím sgn (a) no existe. x^ ° V) lírn sen ( 1 / a ) no existe en R. Sea g(x) := sen ( 1 / a ) para a i= 0. (Ver la figura 4.1.3.) Se demostrará que g no licne límite en c = 0, para lo cual se recurrirá a dos sucesiones (a ;¡) y (yn) con xn =/=0 Vyn ^ 0 para toda n e N y tales que lím (xn) = 0 y lím (yn) = 0, pero tales que lím (g(xf)) + lím (g(yn)). De acuerdo con el teorema 4.1.9, esto indica que lím g n o puede existir. (Explicar por qué.) De hecho, se recuerda que en Cálculo sen t = 0 si t = raspara n e Z y que sen /= +1 si t = \n + 2nn para n eZ. Se hace ahora xn := l/«7rpara n eN; entonces TA fin de contar con aplicaciones interesantes en el presente ejem plo y los siguientes, se hará uso de las conoc idas propiedades de las funciones trigonométricas y exponen ciales que se establecerán en el capítulo 8.
I finí I < Ii mi ¡nleiviilo, sea /': I >R y sea c el. Supóngase que existen los miníelos /vy /, Inlcs que '/(.v) l,\ K 'x -d parax el. Demostrar que límc/=L . M■ I >emosliai que líin_.v' = c3 para cualqui er c eR. ') I >cmoslini (|ue lím \¡x = Ve para cualquier c ^ 0 . 111 1 i'.ai ambas descripciones del concepto de límite, la e-8 y la de sucesiones, para establecer las siguientes proposiciones: 1 (a)
lím
----------
, -► 2 1 -
X
=
(<;) lím 7 7 = 0 x o |x|
-1
(x > 1),
(x # 0),
(b)
x
1
l í m ——— = —
x- 1
1 +
x
X +
(d) lím - 1 —x»l x + 1 --
-----
(x > 0),
2
1
-----
1
= — (x > 0 ). 2
I I / Demostrar que los siguientes límites no existen en R. FIGURA 4.13 . La función g(x) = sen (l/x)
(x A 0).
lím (xf¡) = Oy g(xn) = sen nn= O para toda n eN , de modo que lím (g(xn)) = 0. Por otra parte, SQ&yn := sen {\n+ 2izri)~l para n e N ; entonces lím (yn) = 0 y g(yn) = sen (| 7C+ 2 un ) = 1 para toda n e N , de modo que lím (g(y„)) = 1. Se concluye que lím sen (l/x) no existe. ' "
Ejercicio s de la sección 4.1 1 / Determinar una condición sobre x - li que asegure que: a) x 2 l 1< 1/2. b ) x 2 i ; < 1/103. c) |x2 —1 < 1¡n para una n e N dada. d) ¡x3 1 < 1 /n para una n e N dada. 2?' Sea c un punto de acumulación de A C R y sea/: A~>R. Demostrar que lím/(x) = L si y sólo si Jim !/(x) -L\ = 0. 3/ Sea/: R
y sea c eR. Demostrar que Jim, /(x) = L si y sólo si lím f( x+ c) = L. x c rv '
4r Sea/: R -* R, sea / C R un intervalo abierto y sea c el. S i f x es la restricción de/a /, demostrar que f xtiene un límite en c si y sólo si/tien e un límite en c, y que Xlím /= lím /.. J ^ »CJ 5. S e a s e a J C R un intervalo cerrado, y sea c e J . Si/2esla restricción de / a J , demostrar que si / tiene límite en c entonces f2 tiene límite enc. Demostrar que no se deduce que si f 2 tiene límite en c, entonces/ tiene límite en c. 6. Sea I := (0, a), a > 0, y sea g(x) := x2 para x el. Para cualesquiera x, c en I, demostrar que :g(x) c2i =£ 2a'x c./Usar esta desigualdad para demostrar que Jim x 2 = c2 para cualquier c el.
(a) (c)
1 lím —r *-<•0 x
(x > 0),
lím (x + sg n( x) ), X -» o
1 (b) lím — ¡=x—>0 yx
(x > 0),
(d) lím sen (l / x 2)
(x ¥=0).
X - * 0
12/ Su pone r que la func ión/: R->R tiene límite L en 0, y sea a > 0. Si g: R - *R está definida por g(x) :=f(ax) para x e R , demostrar que lím g = L. 13/ Sea c un punto de acumulación de A C.R y sea f\A~ >R tal que lím c(/(x ))2 = L. Demostrar que si í, = 0, entonces lím /(x) 0. Demostrar con un ejemplo que si L ¥= 0, entonces/puede no tener límite en c. 14V Sea que/: R *•R esté definida haciendo/(x) := x si x es racional y f(x ) := 0 si x es irracional. Demostrar que / tiene un límite enx = 0. Usar un razonamiento en términos de sucesion es para demostrar que si c + 0 , entonces/no tiene límite en c.
SECCIÓN 4.2 Teoremas sobre límites Se obtendrán a continuación algunos resultados que son útiles para calcular límites de funcion es. Es tos resultados son paralelos a los teoremas sob re límites de sucesiones establecidos en la sección 3.2. De hecho, en la mayoría de los casos estos resultados se demuestran usando el teorema 4.1.8 y los resultados de la sección 3.2 . D e otra manera, los resultados de esta sección se pueden demostrar usando razonamientos £
I I « M O M A S s < >i
I I MI I I
Demostración. Si L :=lím_/, entonces por el teorema I l Iho im ' l. exisl c 8 > 0 tal que si 0 < |x c\< 8, entonces \f(x)-L\ < 1; por lanío |por el corolario 2.3.4a)], | / (x )| \L\ <| f ( x ) L j < 1. Por lo tanto, si x eA n V§(c), x ± c, entonces|/(x)| ^ \L\+ 1. Si c g A, se toma M := \L\+ 1, en tanto que si c e A se hace M := sup {\f(c) , \L\ + 1}. Se sigue que si a eA fl V§(c), entonces !/(x)¡ ^ M. Con esto se demuestra que/está acotada en la vecindad Vs(c) de c. q .e . d .
i
i ti inosfi iK'ion. I hia demostración d e e s t e teorema es similar paso a paso a la o, l 1.1 o ii ii .i y.'..3. <)lra forma es h acer uso del teorem a 3.2 .3 y del teorem a 4.1 .8. !'•o r|i iii|)lo, sea ( v;|) cualquie r sucesión e n A tal que xn # c para n e N y c = lím n I i'm el Icorcma 4 .1.8 se sigue que
I í m ( g ( x J ) = M.
lún ( / ( x „ ) ) = L ,
I *. o o l í a p a r l e , l a d e f i n i c i ó n 4 . 2 . 3 i n d i c a q u e
( j g ) ( * J = f ( x n) g ( *n )
Para
n e IV.
loi lo lauto, aplicando el teorema 3.2.3 se obtiene La siguiente definición es similar a la definición 3.1.3 para sumas, diferencias, productos y cocientes de sucesiones.
lím (( / & ' ) (* « ) ) = lím ( / ( * , . ) « ( * « ) ) = ( l í m ( / ( x „ ) ) )( l ím ( g ( x j ) )
4.2.3 Definición. Sea A C R y sean f y g funciones definidas de A a i?. Se define la suma / + g, la diferencia / g, y el producto fg de A a R como las funciones dadas por
= LM.
l'oi consiguiente, por el teorema 4.1.8 se sigue que
( f + g ) ( x ) :=/ (*) + g(x ), ( f ~ g ) ( x ) = = / ( x ) ~ g ( x ) , ( f g ) ( x ) ■■ = f( x )g (x ), para toda x eA . Además, si b eR, se define el m últiplo ¿/corno la función dada por
(b f)(x ) ■= bf(x )
para toda x G A .
Por último, si h{x) & 0 parax eA, se define el cociente///? como la función dada por
(í)(i):= W) parat°da
' x-*c °
lím ( f + g ) = L + M,
lím ( / g ) = L - M,
x —> C
x- > c
lím (fg ) = LM,
lím ( b f )
*>C
X»C
b) Si h:A ~>R, si
—*c
Los demás incisos de este teorema se demuestran de una manera similar. Se q .e . d . dejan los detalles al lector. Observ aciones. 1) Se hace notar que, en el inciso b), se establece la hipótesis adicional de que H = lím h ^ 0. Si esta hipótesis no se satisface, entonces es C X posible que el límite /(*)
4.2.4 Teorema. S e a A C R , s e an f y g fu n c i on e s d e A o , R , y s e a c e R u n p u n to d e a c u m u l a c ió n d e A . A d e m á s , s e a b e R . a) Si l í m f = L y l í m g = M , e n to n c e s : x->cJ
lím (/g)= lím ((/g)(*„)) = LM. x
= bL.
1™W) no exista. Pero aun si este límite existe, no se pueda usar el teorema 4.2.4 b) para evaluarlo. 2) Sea A C R, y sean /¡, /2,... , f n funciones de A a i?, y sea c un punto de acumulación de A. Si L k ■= lím f k
h(x) ¥= 0 paratoda x e A, y s i l í m
x~> c
h í 0 , e n t o n c e s
para
k = l
x-*c
entonces por el teorema 4.2.4, mediante un razonamiento de inducción, se sigue que x —>c
h /
H
L l + L 2 + ••• + L n = lí m ( / i + / 2 + ••• + / „ ) ,
I IMI 11
11'( >1(1 MAS S<>lll(l' I IMI riiS
lím ( f l ' f l
L 1 • L 2 ••• L n =
x-*c
' ./„)•
lux c /(\): v ’ A y lt(x) := 3 x ó para x e K , entonces no se puede usar i I .'. I b) para evaluar líin^ ( f(x )/h (x )) porque
I i.
11111 h ( x ) = lím (3x — 6)
lí 3)
M.l
x— 2
En particular, a partir de 2) se deduce que si L = lím f y n e N , entonces
x-»2
— 3 lí m x — 6 = 3 2 — 6 = 0 . L n = lím ( / ( * ) ) " .
an embargo, si x A 2, entonces se sigue que
4.2.5 Ejem plos , a) Algunos de los límites que se establecieron en la sección 4.1 se pueden demostrar usando el teorema 4.2. 4. Por ejemplo, de este resultado se sigue que, como lím x = c , entonces lím x2 = c 2, y que si c > 0, entonces x->c
y
1
x->c x
1
1
lím x
c
(x + 2)(x 2) 3x 6
3(x —2)
1 —(x + 2). 3
'.e iienc, por lo tanto, A X X i. / \ lím = lím — (x + 2) = lím x + 2 x»2 3x — 6 x-*2 3 3 ' x—»2 ' 1
(Explicar por qué.) b) lím (x2 + l)(x 3 4) = 20.
=
4
A2+2^3
Por el teorema 4.2.4 se sigue que «>l>sérvese que la función g (x) = (x2 4)/(3x 6) tiene límite en x = 2 aun cuando l ím ( x 2 + l ) ( x 3 4 ) = ( lím ( x 2 + 1 ) ) ( l ím ( x 3 4
x—>2
Vx>2
' ' x~*2
= 5 •4 = 20.
no está definida en este punto. e) lím no existe en R. x-*¡2
X
^ C t. Í' O
(c)
x3 4 \ lím 2 \ x2 + 1 /
Desde luego, lím 1 = 1 y H := lím x = 0. Sin embargo, puesto que H = 0, no se x -* 0 x -* 0 puede aplicar el teorema 4R 4 b) para evaluar lím (l/x). De hecho, como se vio en .v> 0 el ejemplo 4.1.10 a), la función ip(x) = l/x no tiene límite enx = 0. Esta conclusión lambién se sigue del teorema 4.2.2 , ya que la función cp(x) = l/x no está acotada en una vecindad de x = 0. (¿Por qué?) f) Si p es una función polinómica, entonces lím p(x ) = p( c) .
4 5
Si se aplica el teorema 4.2.4 b), se obtiene x3 — 4 lím —r = x -*2 x + 1
lím (x 3 — 4) lím (x x
*
4 = — + 1) 5
Sea p una función polinóm ica en i? de tal modo que p( x) = anxn + an_ lx "~ 1+ •••+ <2 ,x + a() para toda x eR. Del teorema 4.2.4 y del hecho de que lím xk = c k se sigue que
2
l ím p ( x ) = l ím [ a „ x " + a ^ . j x " 1 + ••• +£ í j X + a 0 ] x —>C
Obsérvese que como el límite del denominador [es decir, lím (x2 + 1) = 5] no es igual a 0, entonces se puede aplicar el teorema 4.2.4 b). * 2 (d)
x2 4 4 lím = . * * 2 3x — 6 3 ---------------
X —»c
= l í m ( f l „ x " ) + l ím ( a „ _ j X n _ 1) + ••• + l í m ( a , x ) + l ím a 0 x —* C
X —* C
= ancn + an_xcn~x + ••• +üjC + a () = p ( c ) .
X—* c
x -» c
11 <)IMmas s< mui 11M111
I IIMI II Por tanto, Jim p(x) = p(c ) para cualquier función poliinum. .1 / g)
S i p y q son funciones polinómicas enft y si q(c) •/■ 0, en lon ces h
=
p M
x c
•1.2.8 Ejemplos. ¿1) liin x' 72 = Q (x > 0). Sea /'(.v) := x !/! para x > 0. Puesto que la desigualdad x < x 1/2 ^ 1 se cumple p.u.i 0 x ^ 1, se sigue que x 2 < /(x) = x3/2 ^ x, para 0 < x 1. Puesto que
p(g)
l ím x 2 = 0
í/(c) '
Puesto que q(x) es una función polinómica, de un teorema de álgebra se sigue que existen a lo sumo un número finito de números reales a ,, .. ., a m [las raíces reales de
I>) l í m s e n x = 0 .
x>0U A* Más adelante se demostrará (ver el teorema 8.4.8) que x
x-+c q ( x )
lím q ( x )
=
( *) q(c)
4.2.6 Teorema. Sea A C R, sea f : A -* R y sea c e R un punto de acumulación
de A. Si f(x)
í
y si lím f e xiste, entonc es a x~ *cJ
b
para toda
1 |x2 < eos x < 1
para toda x e R.
( eos X “
1\
r “H
No se puede usar el teorema 4.2.4 b) (al menos no directamente) para evaluar este límite. (¿Por qué?) Sin embargo, de la desigualdad (*) del ejemplo c) se sigue que
x eA , x A c, — {x < ( eo s x l ) / x < 0
p ara
x > 0
*c
Dem ostración . De hecho, si I = lím f entonces por el teorema 4.1.8 se sigue X -* c
que si (xn) es cualquier sucesión de números reales tal que c A xneA para toda n e N y si la su cesión (x () converge a c, entonces la sucesión (/( *,)) converge a L. Puesto que a f(xn) ^ b para toda n eN, por el teorema 3.2.6 se sigue que a í Q.E.D. L b. Se establece a continuación un análogo del teorema de compresión 3.2.7. La demostración se le deja al lector. 4.2.7 Teorema de compresión. Seo A C R, sea nf g, h:A~*R,y sea c eR un
punto de acumu lación de A. Si f( x)
x 3 0.
Puesto que lím (1 i x 2) = 1, del teorema de compresión se sigue que xlím co sx = 1. - * 0
lí m /"=s £>.
x
para toda
p ío
El resultado siguiente es un análogo directo del teorema 3.2.6.
a
x
c) lím cos x = 1. ' x 0 Más adelante se demostrará (ver el teorema 8.4.8) que
= q(c) A 0. Por lo tanto, se puede aplicar el teorema 4.2.4 b) para concluir que jy t * )
sen x
Puesto que lím (±x) = 0, del teorema de compresión se sigue que lím sen x = 0.
Si c no es solución de q(x), entonces q(c) A 0 y por el ejemplo f) se sigue que lím q(x)
=
l ím x = 0 ,
, 1.1 teorema de compresión 4 .2.7 se sigue que Jim x 3,2 0.
P(x)
r ( * ) := q ( x )
Hm P í o
y
x*o
g(x) ^ h(x)
par a toda
y si lím f = L = lím h, entonces lím g = L.
x eA , x =k c,
y que 0 < (eos x - l)/ x < fx
para x < 0.
Sea ahora f( x): = -x /2 para x 3 0 y /(x) := 0 para x < 0, y sea h(x) := 0 para x3 0 y h(x) := x/2 para x < 0. Se tiene entonces / ( x ) < ( eo s x l ) / x < h ( x )
para
x A 0.
Puesto quese ve de inmediato (¿có mo ?) que lírn / = 0 = lírr^A, por el teorema de compresión se sigue que líin (eos x l)/x = 0. /sen x \ (e) lím ( 1=1. ---------
I IM11 I
11 i >l111(1 i I m i 11
De nueva cuenta, no es po sible usar el Icoiciim I I lo pmn i v.iluai esle Imil te. Sin embargo, más adelante se demostrará (ver el lenicm.i H I K) que
l ' j c i c ic i o .s ( le l a s e c c i ó n 4 . 2
i
.x ¿x 3 < sen x < x
para
x > ü
x < sen x < x |x,J
para
x < 0.
A jilu
(..)
y que
.ii
e l l e o n i n a 1 . 2. 1 pa r a d e t e r m i n a r l o s s i g u i e n t e s l í m i t e s :
Imi (x t lX2x + 3) ( x G fí) , . .i / I 1 \
(t ) *
lím
------------------------( x > 0 ) ,
►2 \ x + 1
que Jim (sen x)/x = 1. f)
lím x2 = 1, por el teorema de compresión se infiere
lím (x sen (1/x)) = 0. sen z
1 para toda z eR ,
para toda x e fi , x ^ 0. Puesto que lím !x| = 0, por el teorema de compresión se sigue que lím /= 0. x — o
Hay resultados que son paralelos a los teoremas 3.2.9 y 3.2.10; sin embargo, se dejan como ejercicios. Se concluye esta sección con un resultado que es, en cierto sentido, un recíproco parcial del teorema 4.2.6. 4.2.9
Teorema. Sea A C R, sea J': A~*R y sea c e R unpunto de acumulación l ím / > 0
x-*c
(e)
lím
(x + l)2 1 -------------------
.0
t. Hnconlrar lím x~*0
x~* 0
Ix| < / (x ) = x sen (1/ x) < |x|
de A. Si
L
respectivamente ,
lím -5 -----(x G /t). x—o x + 2
l ím / < 0 ,
x -* c
i
entonces existe una vecindad Vs(c) de c tal que f{x) > 0 [o bien, f(x) < 0] pa ra t od a x e A D V¿(c), x =£ c. Demostración. Sea L := lím f y supóngase que L > 0. Se toma e = \L > 0 en el teorema 4.1.6 b) y se obtiene un número 5 > 0 tal que si 0 < \x-c< < 8 y x eA , entonces \f(x)-L\ < \L. Por lo tanto, (¿por qué?) se sigue que si x eA O V§(c), x + c, entonces /(x) > \L > 0. Si L < 0 se aplica un razonamiento similar. q .e .d .
x2 — 4
(x > 0 )
* * o
Sea /(x) := x sen (1/x) para x =£ 0. Puesto que 1 se tiene la desigualdad
(x > 0),
I>el e í minar los siguientes límites y señalar los teoremas que se usan en cada (Ouizás quiera usarse el ejercicio 1 4 siguiente.)
1 | x 2 < ( s en x ) / x < 1 p ara to da x # 0.
x » o
(d)
2x)
x'
lím " , ^ x i x2 2 x+ 1
caso.
Por lo tanto se deduce (¿por qué?) que
Pero como lím (1 -\x2) = 1
(b)
x
(x
(b)
> 0 ),
(d) lím
i
\l1 + 2x V'l + 3x x X + 2x
l ím x —* 2
X -
(x >
0 ),
(x
> 0 ).
2
v£l — x 1
donde x > 0.
I: Demostra r que lírn^ eos (1/x) no existe pero que lím x eo s (1/x) = 0.
Sv Sea que f g estén definidas en A C R a R y sea c punto de acumulación de A. Supóngase que /está acotada en una vecindad de c y que lím^ g = 0. Demostrar que lím fg = 0. x-+c
6¡ Usar la formulación eó del límite para demostrar la primera proposición del teorema 4.2.4 a). 7¡' Usar la formulación de sucesiones del límite para demostrar el teorema 4.2 .4 b). 8f/ Sea n e yVtal que n 5* 3. Deducir la desigualdadx2 =£x" ^ x 2 para1 < x < 1. Usar después el hecho de que lím x2 = 0 para demostrar que lím^x" = 0. 9.
Sea que /, g estén definidas de A a R y sea c un punto de acumulación de A. a) Demostrar que si existe tantoJim /co mo lím ( f + g), entonces existe jírn g. b) Si existen Jim / y Jíjn fg, ¿se sigue que existe lím g'l
10. Dar ejemplo s de funcione s/ y g tales que / y g no tengan límite en un punto c, pero tales que tanto /+ g como fg tengan límite en c. 11. Determinar si existen en R los siguientes límites. a) lírn sen (1/x2) (x + 0) , b) lírn^ x sen (1/x2) (x ¥=0) , c) lím sgn sen (1/x) (x + 0),
d) lírn
sen (1/x2) (x > 0).
12. Sea f : R - * R tal que f( x + y )= f( x )+ f(y ) para todax ,y en R. Supóngase que lím /= L existe. Demostrar que L = 0 y demostrar después que/tiene límite en todo punto c eR. [S ugerencia: Observar primero que/ (2x) = /(x) + /(x) = 2/(x) parax eR . Observar asimismo que/(x) = f( x - c ) + f( c) parax, c en /?.] O.^SeaA C R, sea f :A - * R y sea c e R un punto de acumulación de A. Si existe lím / y si (/¡denota la función definida parax eA por |/j(x) := |/(x|, demostrar que lím \f\ = \lírr^ / .j
I IMI I I
AMI'I IA< IOMI S DM .CON( l .l' IO IU . I.IMITI
14 Y Sea A C R, sea/: A ~>R y sea c eR un punió «le ;u mu «le A. Adem .r.. supóngase que f( x) 2a 0 para toda x eA, y sea V/ la Imu ion definida paia x eA por (V/)(x) := \Jf(x). Si existe Jim / demostrar quejó n V f - J lím /.
149
ii S¡ <■c R es un punto de acumulación del conjunto A fl ( - c o , c) = {x eA: x . 1, eulonces se dice que L e R es un límite por la izquierda de / en c y se i NI Ill )C lím f = L
'•'SECCIÓN 4.3 A mpliac iones del concepto de límite
X
* C
i dada cualquier £ > 0 existe una 8 > Otal que para toda xeA conO < c - x < 8, mímicos | f( x ) -L \ < e.
En esta sección se analizarán tres tipos de ampliación del concepto de límite de una función que ocurren con frecuen cia. Puesto que todas las ideas presentallas son estrechos paralelos de las que ya se han tratado, esta sección se puede leer con facilidad.
Notas. 1) Si L es un límite por la derecha de/en c, en ocasiones se dice que L es un limite de/desde la derecha en c. En ocasiones se escribe lím /(x) = L.
Límites por un lado
x-*c +
En ocasiones una función/puede no tener un límite en un punto c, a pesar de que existe un límite cuando la función se restringe a un intervalo en un lado del punto de acumulación c. Por ejemplo, la función signo considerada en el ejemplo 4.1.10 b), e ilustrada en la figura 4.1.2, no tiene límite en c = 0. Sin embargo, si la función signo se restringe al intervalo (0, =c), la función resultante tiene límite 1 en c. = 0. D e manera similar, si la función signo se restringe al intervalo ( - c o , 0), la función resultante tiene límite 1 en c = 0. E stos son ejemplos elem entales de límites por la derecha y por la izquierda en c = 0. Las definiciones de límites por la derecha y por la izquierda son modificaciones directas de la definición 4.1 .4. De hecho, al sustituir el conjunto A de la definición 4.1.4 por el conjunto A fl (c, =c) se llega a la definición del límite por la derecha en un punto c que es un punto de acumulación de A D (c, “ ). De manera similar, al sustituirá por A D ( - c o , c ) se llega a la definición del límite por la izquierda en un punto c que es punto de acumulación de A fl ( - c o , c). Sin embargo, en lugar de formular estas definiciones en términos de vecindades, se enunciarán las formas £5 análogas del teorema 4.1.6. 4.3.1 Definición. Sea A C R y sea f : A ~ + R . i S i c e R es un punto de acumulación del conjunto A fl (c, =c) = {x eA: a > c} , entonces se dice que L e R es un límite por la derecha de/e n c y se escribe lím f = L
X —»c +
si dada cualquier £ > 0 existe una 8 = 8(e) > 0 tal que para toda x eA con 0 < x c < 5, entonces \f(x)-L\ < e. t Gran parte de esta sección se puede omitir en una primera lectura de este capítulo. De hecho, tan sólo se usa el concepto de límites unilaterales, y esto ocurre hasta la sección 5.5.
';<•usa una terminol ogía similar para los lím ites por la izquierda. (2) A los límites lím+ / y Hm_ /se les llama límit es por un lado de/ en c. Es posi Ur que no exista ningún límite por un lado. Asimismo, uno de ellos puede existir sin que s exista el otro. De manera similar, como es el caso para f(x) := sgn (x) en c = 0, ambos pueden existir y ser diferentes. (3) Si A es un intervalo con punto terminal izquierdo c, entonces se puede ver de inmediato que f:A ~* R tiene límite en c si y sólo si tiene límite por la derecha en c. Además, cu este caso el límite Jim / y el límite por la derecha lím / son iguales. (Una situación similar ocurre para el límite por la izquierda cuando A es un intervalo con punto terminal derecho c.) Se deja al lector la demostración de que /únicamente puede tener un límite por la derecha (o bien, por la izquierda) en un punto. Existen resultados análogos ;i los establecidos en las secciones 4.1 y 4.2 para límites por ambos lados. En particular, la existencia de límites por un lado se puede reducir a consid eraciones en términos de sucesiones.
^
4.3.2 Teorema. Sea A C R, sea f: A ->Ry sea ceR unp unto de acumulación de A D (c, c0). Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: i x lím f = L e R , - > c + J ii para toda sucesión (xn) que converge a c tal que xneA y xn> cp ara toda ne N , la sucesión (/(*„)) converge aL eR. Se le deja al lector la demostración de este resultado (así como la formulación y demostración del resultado análogo para límite por la izquierda). No se ocupará espacio en repetir las formu laciones de la versión para un lado de los demás resultados de las secciones 4.1 y 4.2. El resultado siguiente relaciona el concepto de límite de una función con los límites por un lado. La demostración se deja como ejercicio. 4.3.3 Teorema. Sea A C R, sea/: A ->R ysea ce R u n punto de acumulación de los dos conjuntos A D (c, ^ ) y A fl ( x , c). Entonces lím /= L e R si y sólo si lím f = L = lím /. c x->c +
X-*C -
LSI)
I IMI 11
A M I' I IA ( l u l l l M U I
( U N I I r i o I >1 I I M I I I
4.3.4 Ejem plos, a) Sea /(a ) := sgn (.v). En el ejemplo 4.1.10 b) se vio que la función sgn no lienc límite en (l. I"i evidente que lím sgn ( a ) = +1 y que lím sgn (a ) = 1 . Puesto que estos dos Ii mites por un lado son diferentes, por el teorema 4.3.3 también se sigue que sgn ( i ) no tiene límite en 0. b) Sea g(x) := ei/x para a # 0. (Ver la figura 4.3.1.) Se demuestra primero que g no tiene límite finito por la derecha en c = 0 yn que no está acotada en ninguna vecindad por la derecha (0, S) de 0. Se usará la desigualdad 0 < t < e'
( *)
para
t > 0,
la cual se demostrará posteriormente (ver el corolario 8.3.3). De (*) se sigue que si
x > 0, entonces 0 < 1 / a < e x'x. Por tanto, si se toma xn = 1/n, entonces g(xn) > n para toda n eN. Por lo tanto, lím e*-'x no existe en R. x —0 +
Sin embargo, lím e x>x - 0. De hecho, si
a < 0 y se loma t = - 1 / a en (*) se obtiene 0 < - 1 / a < ex'x. Puesto que a < 0, esto significa que 0 < ex>x < - x para toda a < 0. De esta desigualdad se sigue que lím e X;x= 0 .
c) Sea h(x) := l/{ex'x + 1) para a =£ 0. (Ver la figura 4.3.2.) En el ejercicio b) se vio que 0 < 1 / a < ex'x para a > 0, de donde se sigue que 0
< m + T < c 77 < *'
desigualdad que indica que lím h - 0 . x-* 0 +
FIGUR A 4.3.2 Gráfica de h(x) = l/(ex'x + 1 ) (x * 0). Puesto que en el ejercico b ) se vio que lím e X/x = 0, por el análogo del teo n nía 4.2.4 b) para límites por la izquierda se sigue que
x»o ( e x/x + 1 )
lím e x/x + 1 iO
0+1
i >1isérvese que para esta fu nción existe n en R los límites por ambos lados, pero son diferentes.
Límites infinitos La función / ( a ) := 1 / a 2 para a ¥= 0 (ver la figura 4.3.3) no está acotada en una vecindad de 0, por lo que no puede tener límite en el sentido de la definición 4 .1.4 . Aun cuando los símbolos oo (= + oo) y oo no representan números reales, en oca iones resulta conv eniente poder decir que “/ ( a ) = 1 / a 2 tiende a ce cuando x - * 0”. I'.ste uso de ± oo no causará ninguna dificultad siempre que se tenga cuidado y nuni ii se interprete co o - c e como un número real. 4.3.5 Definición. Sea A C R, sea/: A -» R y sea c e R un punto de acumulación de A. i Se dice que/tien de a <» cuando a > c, y se escribe FIG URA 4.3.1 Gráfica de g(x) = elx (x =£ 0).
lím / = oo,
x~*c
AMI 'I I A< H INI' S i >rI ( ' ( >N< I J ’K ) I >1' I I m i 11
FIGUR A 4.3.3 Gráfica de/(x) = l/x2 (x ± 0). si para toda a e R existe 8 = <5(a) > 0 tal que para toda x eA con 0 < \x - c\< 8, entonces /(x) > a. ii Se dice que / tiende a - o o cuando x > c, y se escribe lím / = —oo,
x-*c
si para toda ¡3eR existe 8 = <5(/3) > 0 tal qu e para toda x e A con 0 < \x- c\< 8, entonces /(x) < /3. 4.3.6 Ejemplos, a) lím ( l / x 2 ) = oo. x->0
En efecto, dada a > O, sea 8 := 1 /y /a. Se sigue que si O < |x|< 5, entonces x2 < 1 / a de tal modo que l/ x 2 > a. b) Sea g(x) := l/ x para x =£ 0. (Ver la figura 4.3.4. ) La función g no tiende a oo ni a - o o cuando x -* 0. En efecto, si a > 0 entonces g(x) < a para toda x < 0, por lo que g no tiende a oo cuando x + 0. D e manera similar, si fí < 0, entonces gQc) > (3 para toda x > 0, por lo que g no tiende a -o o cuando x > 0. Aun cuando muchos de los resultados de las secciones 4.1 y 4.2 tienen ampliaciones de acuerdo con este concepto de límite, no todos ellos las tienen ya que ± o o no es un número real. El resultado siguiente es un análogo del teorema de compresión 4.2.7. (Ver también el teorema 3.6.4.) 4.3.7 Teorema. Sea A C R, sean f g: A ~*R y sea c e R un punto de acumu lación de A. Suponer que f(x) ^ g(x ) pa ra tod a x eA , x ¥=c. a) Si lím /= °°, entonces lím g = oo. x-*c
b) Si lím g = 7
x-+c °
x-*c
-oo,
entonces xlím f= ->cJ
-oo.
Dem ostración, a) Si Jim /= ooy si a e R es dada, entonces existe 8(a) > 0 tal que si 0 < jx c\< 8(a) y x eA , entonces/(x) > a. Pero com o/(x) g(x) para lodax eA ,x i=- c, se sigue que si 0 < jx —c¡ < 5(a ;)y xe A , entonces g(x) > a. Por lo lanto, lim g = I a demostración del inciso b) es similar. q .e .d . La función g(x) = l/x considerada en el ejemplo 4. 3.6 b) sugiere la convenien eia de considerar límites un ilaterales infinitos. 4.3.8 Definición. Sea A C R y sea/: A -> R. i Si c e R es un punto de acumulación del conjunto A f) (c, °°) = {x eA: x > <■}, entonces se dice que /t ie n de a ce [o bien a - c o ] cuando x > c + y se escribe lím / = oo
respectivamente, lím^ f -
00
*c +
si para toda a e R existe 8 = S(á) > 0 tal que para toda x eA con 0 < x c < 8, entonces/(x) > a [o bien, /(x) < a] . ii Si c es un punto de acumulación del conjunto A f! ( - c o , c) = {x eA: x < c} , entonces se dice que / tiende a ce [o bien, a - c e ] cuando x > c - y se escribe
eR
lím / = oo
r -»/• —
[respectivamente, lím / = —00 , X —> C ~ i |
I IMI II
A M I’ I I A< l< >NI\S I 'I I < <>N< I C ID I >!• I IM I II
si para toda a e R existe <5= S (o ¿) > 0 tal que para (oda a i i <<>n o entonces/(x) > a [o bien,/(x) < a ] .
<• \
1.3.1 J 'Icor vin a. Sea A C I(, sea /: A -> R y supon er qu e (a, <») C A p ar a .ilginui 11 c R . Entonces los siguientes 2enunc iados son equivalentes'. i t, = lím /; ii para toda sucesión (x j en A fl (a, oo) tal que lím (xM) = c0, la sucesión { /(\f()) converge a L.
o,
4 3 . 9 E j e m p l o s , a ) S e a g (x ) := 1/x para x ^ 0. En el ejemplo 4.3.6 b) se encontró que jím g no existe. Sin embargo, es un ejercicio sencillo demostrar que l ím ( 1 / x ) = oo
y
J
x>0+
l ím
x—>0—
(1 / x) =
Se le deja al lector la demostración de este teorema y la formulación y demos ii ación del resultado correspondiente para el lím ite cuando x - o o .
oo.
b) En el ejemplo 4.3.4 b) se vio que la función g (x ) := e { /x para x A 0 no esta acotada en ningún intervalo (0, 8 ) , 8 > 0. Por tanto, el límite por la derecha de e l ' cuando x —>0 + no existe en el sentido de la definición 4 .3.1 i). Sin embargo , puesto que 1 / x < e 1 /x
para
4.3.12 Ejemplos, a) Sea g(x ) := 1/x para x # 0. Es un ejerc icio eleme ntal demostrar que lím (1/x) = 0 = lírn^ (1/x). (Ver la figura 4.3.4 en la página 153.) b) Sea f( x) := 1/x2 parax ¥= 0. El lector puede probar que lím (1/x2) = 0 = lím (1/x2). (Ver la figura 4.3.3.)
x > 0,
I Jna forma de hacerlo es demostrar que si x ^ 1 entonces 0 =£ 1/x2 derando el ejercicio a), esto indica que lím (1/x2) = 0.
se ve de inmediato que lím e l x = oo en el sentido de la definición 4.3.8 .
V>0 +
1/x. Cons i-
x —^►ce
Límites en el infinito
Así como resulta conveniente poder decir qu e/(x) > ± co cuando x
c para
C e R , también lo es contar con la noción correspondiente cuando x ►±°°.
También es deseable definir el concepto de límite de una función cuando x - * oo [o cuando x» o o] .
4.3.13 Definición . Sea A C R y sea/: A ->R. i Supóngase que (a, “ ) C A para alguna a eA . S e dic e que / Hiende a oo [0 bien, a - o o ] cuando x 00 y se escribe
4.3.10 Definición. Sea A C R y sea/: A - * R . i Supóngase que ( a , oo) c A para alguna a e R . Se dice queí, e R es límite de / cuand o x > oo y Se escribe
lím f = oo
respectivamente, lím / = —00 ,
m
l ím / = L ,
v
—*oo
8
X-»co
si dada una a e R cualquiera, existe K = K ( a ) > a tal que para cualquier x > K , entonces/(x) > a [o bien,/(x) < a ] . (Ver la figura 4.3.5.) ii Supóngase que (oo, b ) C A para alguna b e R . Se dice que/tiende a co [0 bien a ce] cuando x~ > ccy se escribe
si dada una e > 0 cualquiera, existe K = K ( e) > a tal que para cualquier x > K , entonces |/(x) - L j < e. ii Supóngase que (oo, b ) C A para alguna b e R . Se dice que L e R e s ¡imite de /'cuando x > oo y se escribe lím f — L ,
si dada una e > 0 cualquiera, existe K = K ( e) < b tal que para cualquier x < K , entonces |/(x) - L \ < £. El lector deberá notar la gran semejanza entre 4.3.1 0 i) y la definición de límite de una sucesión. Se le deja al lector la demostración de que los límites de/cuando x - * +cc son únicos siempre que existen. También se cuenta con criterios de sucesiones para estos límites; sólo se enunciará el criterio cuando x -*<*>. Para ello se emplea el concepto de límite de una sucesión propiamente divergente (ver la definición 3.6 .1).
>
lím f - oo X » 0 0
respectivam ente,
lím f = —00 , X -» 0 0
si dada una a e R cualquiera, existe K = K ( a ) < b tal que para cualquier x < K , entonces/(x) > a [o bien,/(x) < a ]. Como antes, hay un criterio de sucesiones para este límite. Se formulará el que corresponde al caso cuando x ce. 4 3 . 1 4 T e o r e m a . S e a A C R , s e a f : A > R y s u p o n e r q u e ( a , oo) C A p a r a a l gu n a a e R . E n t o n c e s l o s s i g u ie n t e s e n u n c i a d o s so n e q u i v a l e n t e s:
A M I ' I IA< I' >NI S I >1 I
i i
INI I I ' I I i DI I I M I I I
I*<.i l<> i.m io, .*;«•Ih ik (' /.)g (*) < / (* ) < ( ] L)g(x) para toda* > a v de donde se si /•in «Ir ininedia lo la conc lusió n. q.e.d. I a d e m o s t r a c i ó n d e l i n c i s o ii es similar. Se le deja al lector la formulación del resultado análogo cuando x > oo. 4.3.16. Ejemplos a)Jim *" =
para n eN.
Sea g(*) := x" para * e (0, ce). Dada a e R , sea K := sup {1 , a } . Entonces para inda .v > K se tiene g(x ) = *" 3= * > cr. Puesto que a e R es un valor cualesquiera, se sigue que lím g = <«. b) x lím lím x" = - o c para n eN ,n impar. -> - X>x" = oo para n e N, n par, y x-,-x Se tratará el caso de n impar, es decir, n = 2k+ 1 con k = 0 , 1 , . . . . D ad a a e R , sea K := inf { a, 1 }. Entonces, como (.x2)k 5= 1, para cualquier* < K sq tiene *" = (v fx =s * < a. Puesto que a e R es arbitraria, se sigue que X lím * " = oo. — X c) Sea p : R -> R la función polinómica
p ( x ) := cinxn + a n_ j * " 1 + ••• + a Yx + a 0. Entonces x-,cc lím p r = oc si a,n > 0 y lím p = - o o si a"it < 0. De hecho, sea g(*) := *" y se aplica el teorema 4.3.15. Puesto que
i x-*xJ lím f= co \10 bien , lím /= oo!; J’ ii p ara toda sucesión (xn) en {a, oo) tal que lím ( */() = oo, entonces lím (/(*,))
= 00 [o bien, lím (/ (* )) = —oo].
se sigue que Jim (/?(*) /g( x)) = an. Puesto que lím. g =
El resultado siguiente es un análogo del teorema 3.6.5. 4.3.15 Teorema. Sea AC M, sea f: A -* R y suponer que {a, oo) C A p ar a alguna a eR . Suponer además que g(x) > 0 p ar a t oda x > a y que Sím
/(*)
x^«> g{x)
la afirmac ión se sigue
del teorema 4.3.15. d) Sea p la función po linómic a del problema c). En tonces Jrm^ p = 00 [o bien co] si n es par [o bien, impar] y an > 0 . Se dejan los detalles al lector.
Ejercicios de la sección 4.3
= L
p ar a a lgu na L e R ,L =£ 0. i Si L > 0, entonces lím f = ^ s i y só lo si lím g = oo. X ~ > = 0
1. Demostrar el teorema 4.3.2 . 2. Dar un ejemplo de una función que tiene un límite por la derecha pero no un límite por izquierda en un punto. 3. Sea /(* ):= *~ ! 2 para x + 0. Demostrar que lím +/(*) = Jím _/ (x) = +o=.
ii Si L < 0, entonces lím /= oo si y sólo si lím g = oo.
4. Sea c e R y sea q ue/esté definida para * e( c, ce) y f(x ) > 0 para toda * e (c, ce). Demos trar que lím_ /= ce si y sólo si lím 1//= 0.
Demostración, i Puesto qu eL > 0, la hipótesis indica que existe a 1 > a tal que
5. Evaluar los siguientes límites o demostrar que no existen.
<
/(*/
,3
< ¿L
(a)
para
x > a1.
lím . T - 1 +
----------
X -
1
( x # 1),
(b )
lím x —* 1
(x =£ 1), X
—
1
,> I IM I I I
lím (x + 2)/jx
(c)
(x > O),
( AI’l l lll O ( 'INC o (
x > 0 +
(e)
lím ( /x + 1 ) /x x—*0
fx — 5 (g) lím 7 = y'x + 3 x - c o
(x > —1 ),
(x > 0),
[lili
x ►.«i
<* 1
A
( < • <».
(í)
lím ( A + 1 ) / x (x > O), X — »co
(h)
lím
-fx
—
x
fx + X
(x
>
l'UNCIÜNES CONTINUAS
0).
6 . Demostrar el teorema 4.3. 11.
7. Suponer que / y g tienen límites en R cuando toda x e (a, °°). Demostrar que Jhn_ /=£ Jim g.
que f(x ) S g(x) para
8 . Sea qu e/esté definida de (0, ce) a R. Demostrar que lím f( x) = L si y sólo si
lím
x * 0 +
/(1 /x) = L. ''
9. Demostrar que si /: (a, <») > i? es tal que lím x/( x) = L, donde L e i?, entonces lím_ f{x ) = 0 . 10. Demostrar el teorema 4.3 .14 . 11. Terminar la demostración del teorema 4.3.1 5. 12. Supóngase que lím f( x) = L , donde L > 0, y que lím g( x) = ce. Demostrar x -* C
X -» c
que lím f(x )g{x) = ce. Si L = 0, demostrar por un ejemplo que esta conclu sión no se puede cumplir. 13. Encontrar las funciones/ y g definidas en (0, «=) tales que lí m /= ce y lírng = 0°, y lírn^ (/ g) = 0. ¿Puede el lector encontrar dichas funciones con g(x ) > 0 para toda x e ( 0, ce) tal que lím fí g = 0 ? X-> x
14. Sean que/ y g estén definidas en (a, ce) y supóngase que Jim f= L y lún_ g = ce. Demostrar que Jíin_ f ° g = L.
1 .11 este capítulo se iniciará el estudio de la clase más importante de funciones que •auge en el análisis real: la clase de las funciones continuas. Se definirán primero los conceptos de continuidad en un punto y continuidad en un conjunto, y se demostrará que varias combinaciones de funciones continuas dan lugar a funciones continuas. Las propiedades fundamentales que hacen tan importantes a las funciones continuas se establecen en la sección 5.3. Por ejemplo, se demostrará que una función continua en un intervalo acotado cerrado debe alcanzar un valor máxim o y un mínimo. Se demostrará asimismo que una función continua debe asumir todos los valores intermedios a cualesquiera dos valores que adopte. Estas y otras propiedades no las poseen las funciones en general y, por tanto, distinguen a las funciones continuas como una clase muy especial de funciones. Segundo, en la sección 5.4 se introducirá el concepto importante de continuidad uniforme y se aplicará dicho concepto al problema de obtener aproximaciones de funciones continuas usando funciones m ás elementales (tales como polinom ios). Las funciones monótonas son una clase importante de funciones y poseen sólidas propiedades de continuidad; se analizan en la sección 5.5. En particular, se demostrará que las funciones monótonas continuas tienen funciones inversas monótonas continuas.
SEC CIÓ N 5.1 Funciones continuas En esta sección, que es muy similar a la sección 4.1, se definirá qué se entiende al decir que una función es continua en un punto o en un conjunto. Este concepto de continuidad es uno de los básicos del análisis matemático y se usará prácticamente en la totalidad del material subsecuente de este libro. Por consiguiente, es esencial que el lector lo domine. 5.1.1 Definición . Sea A C R, sea /: A -* R y sea c eA. Se dice que / es continua en c si, dada cualquier vecindad V£(f(c)) de /(c), existe una vecindad T5(c) de c tal que si .y es cualquier punto de A O V¿(c), entonces f( x ) pertenece a V£(f(c)). (Ver la figura 5.1.1.)
I (INC IMNI Sl ONI INH AS
M IN< l<>NI S < ( >N I INI IA *.
l"l
I >,nl,i , ihil./uiiT r O, existe una Ó> 0 tal que para toda x e A con ¡ x c\ mi,m ees\J {x) f(e)\ < E. ni Si (xn) es cualqu ier sucesión de números reales tal que xn e A par a tod a n
I a demostración de este teorema requiere tan sólo ligeras mod ificacion es en l.r. demostraciones de los teoremas 4.1.6 y 4.1.8. Se dejan los detalles como un <|cre¡cio importante para el lector. II siguiente criterio de discontinuidad es una consecuencia de la equivalencia dr los incisos i y ii del teorema anterior; se deberá comparar con el criterio de diver ncia 4.1.9 a) con L = f(c) . El lector deberá escribir en detalle la demostración. FIG UR A 5.1.1 Dada V£(f(cf), la vecindad V¿(c) se encuentra determinada. Observaciones 1) Si c eA es un punto de acumulación de A, entonces una comparación de las definiciones 4.1.4 y 5.1.1 revela que/e s continua en c si y sólo si (1)
m-límf
Por tanto, si c es un punto de acumu lación de A, entonces para que (1 ) sea válida se deben satisfacer tres condiciones: i/ debe estar definida en c (para que/(c) tenga sentido), ii el límite de/en c debe existir en R (para que lím/teng a sentido) y iii estos valores/(c) y Jim/de ben ser iguales. 2) Si c e A no es un punto de acumulación de A, entonces existe una vecindad Vs(c) de c tal que A fl V§(c), = {c}. Así, se concluye que una fun ción/es continua automáticamente en un punto c eA que no sea un punto de acumulación de A. Estos puntos con frecuencia se llaman “puntos aislados” de A; revisten escaso interés práctico para nosotros, ya que están “lejos de la acción”. Puesto que la continuidad es automática para dichos puntos, en general sólo se examinará la conti nuidad en puntos de acumulación. En consecuencia, la condición (1) se puede considerar característica de la continuidad en c. En seguida se define la continuidad de/en un conjunto. 5.1.2 Definición. Sea A C R, sea/: A -*R. Si 5 C A, se dice que/es continua en B si / es continua en todos los puntos de B. Se presentan a continuación algunas formulaciones equivalentes de la definición 5.1.1. 5.1.3 Teorema. Sea A C R, sea f: A -* R y sea c e A. E ntonces las siguientes condiciones son equivalentes. i f es continua en c; es decir, dada cualqu ier vecindad V£(f (c )) de f(c), existe una vecindad V5{c) de c tal que si.x es cualquier punto de A f] V4(c), enton ces f(x) pertenec e a V£(f(c)).
5.1.4 Criterio de discontinuidad. Sea A C R, sea f: A > R y sea c eA . I 11tunees f es discontinua en c si y sólo si existe una sucesión (x#J) en A tal que (x/f) , onverge a c, pero la sucesión (/(*„)) no converge a f(c). 5.1.5 Ejemplos, a) f( x) := b es continua en R. En el ejemplo 4.1 .7 a) se vio que si c e R , entonces se tiene lím(./ b. Puesto qiie/(c) = b, entonces/ es continua en todo punto c e i? . P or tanto, / es continua en R. b) g(x) := x es continua en R. En el ejemplo 4.1.7 b) se vio que si c eR , entonces se tiene Jim g = c. Puesto que g(c) = c, entonces g es continua en todo punto.c e R. Por tanto, g es continua en R. c) h(x) := x2 es continua en R. En el ejemplo 4.1.7 c ) se vio que si c e R , entonces se tiene lím/i = c2. Puesto que h(c) = c2, entonces h es continua en todo punto c e R . Por tanto, h es continua en R. d) ip(x) := 1/x es continua en A := {x e i ? : x > 0 }. En el ejemplo 4.1. 7 d) se vio que si c eA , entonces se tiene lím
si
x es racional,
=0
si
x es irracional.
I (>2
l'IIN('l()Mi:S< (>NTINlIAN
Se afirma que fn o es con tinua en ningún pun to
MIN< K INI N ( <>N IIN IIA :
es (|iic pa iíi |\ /'| • 8, x c.A, se licne |/í(a") - h(b)\ = |/i(x)|=S l//zQ=€ £. IS ii 11111111 h i,, lonlmua en el número irracional b. i m«uni.ec uencia, se deduce que la fun ción h de Thomae es continua precisa mi nli en los pun ios irrac ionales de A.
■
......... ..
I .<> «Ihs ervac ione s. a) En ocasiones una función/: A ~>R no es continua en un p i m í o e debido a que no está definida en ese punto. Sin emb argo, si la fun ción/ ih ni limi teI. e nel punto c y si se define F en A U { c } -* R por F(a) — L
■=f( x )
para
x = c,
para
x e A,
. i honres /''es continua en c. Para verlo basta verificar que 1ím F = L, pero esto es una míerencia (¿por qué?), ya que lím/= L. b) Si una función g: A -> R no tiene límite en c, entonces no hay manera de i.l.i. nrr una funció n G: A U {c} -* R que sea continua en c definiendo G (x ) == C
g ( x )
para
x = c,
Para
x e A.
Para verlo, obsérvese quesi existe Jim G y es igual a C, entonce s Jim g tam Im u existe y es igual a C. 5.1.7 Ejem plos, a) La función g(x) := sen (1 / a ) para a A 0 (ver la figura 4 . 1 . 3 . n la página 1 3 8 ) no tiene límite en a = 0 [ver el ejemplo 4 . 1 . 1 0 c)]. Por tanto no li.iv ningún valor que se pueda asignar en a = 0 para obtener una extensión continua de g en a = 0 . Se a / ( a ) := a sen (1 / a ) para a 0 . (Ver la figura 5 . 1 . 3 . ) Puesto que/n o está b) de íinida en a = 0 , la función /no puede ser continua en este punto. Sin embargo, en •Iejemplo 4 . 2 . 8 f ) se vio que lím ( a sen (1 / a ) ) = 0 . Por lo tanto, de la nota 5 . 1 . 6 a) «s» x ~’ 0 \e sigue que si se define F: R~>R por
F ( x ) == 0 :=
a
para sen (1 / x )
para
x = 0, x ¥= 0,
enlonces F es continua en a = 0.
Ejercicios de la sección S.l
FIG UR A 5.1.2 Función de Thomae.
V. Demostrar el teorema 5 . 1 . 3 . 2r Establecer el criterio de discontinuidad 5 . 1 . 4 . 3:' Sea a < b < c. Supóngase que/ es continua en [a, b], que g es continua en [b, c] y qu cf(b) = g(b). Definir h en [a, c] por li(x) :=/(x) para a g [a, b) y h(x) := g(x) para a g (b , c). Demostrar que h es continua en [a, c].
i i iMI IIN At l<>NI-N I >1 I I IN< U INI S < ( >N l'INH AS
Sea l\ (I y sea que/: R »R cumpla con la condición f\ x) -f (y ) ^ K x - y para toda x,y eR. Demostrar que/es continua en todo punto c eR . I S u p ó n g a s e q ue /: R -> R es continua en R y que/(r) = 0 para todo número racional r. Demostrar que/(x) = 0 para toda x eR. 13: 1)efinir g: R-> R por g(x) := 2x parax racional, y g(x) := x + 3 para x irracional. Encontrar todos los puntos en los que g es continua. 14. Sea A := (0, ce) y sea que k:A~*R esté definida como se indica a continuación. Para x e A, x irracional, se define k(x) := 0; para x eA racional y de la forma x = m/n con números naturales m, n que no tienen factores comunes excepto 1, se define k(x) := Demostrar que k no está acotada en todo intervalo abierto de A. Concluir que k no es continua en ningún punto de A. 15. Sea /: (0, 1) * R acotada pero tal que lím /no existe. Demostrar que existen dos suces ion es (x/;) y (yM) en (0 , 1) con lím (x/() = 0 = lím (yj, pero tales que lím (/(xj) y lím (f(yn)) existen pero no son iguales. II
SECCIÓN 5 2 Combina ciones de funciones continua s
FIGURA
5. 1.3 Grá fica do/(.v) - x sen (l/.v) (.v A ü).
4. Si x eR, se define [x]j como el mayor entero n e Z tal que n x. (Así, por ejemplo , [8 .3] = 8, |[tc]] = 3, [ ti ] = 4 .) A la función .v>>[.vi se le llama la función del mayor entero. Determinar los puntos de continuidad de las siguientes funciones: a) / ( x ) = = [ x |
b ) g ( x ) ■= x [ x ] ,
c) h(x) ■■= [sen .vi, d) k(x) ■= [l/ x] (x ¥= 0). 5'/ Sea que / esté definida para toda .v e R, x A 2, por f(x ) := (x2 + x 6) (x 2). ¿Puede definirse/en x = 2 de tal manera que/sea continua en este punto? 6'/ Sea A C R y sea /: A - * R continua en un punto ce A. Demostrar que para cualquier £ > 0, existe una vecindad Vs{c) de c tal que si x, yeA D entonces /(x) /(y) < e. l v Sea f : R - * R continua en c y sea f( c ) > 0. Demostrar que existe una vecindad Vg(c) de c tal que para cualquier x e Vs{c) entonces/(x) > 0. 8”‘ Sea/: R-* R continua en R y sea S := {x £ R: /(x) = 0} el “conjuntocero” de /. Si (x j C S y x = lím (xH), demostrar que x eS . 9.‘ Sea A C B C R, sea/: B -> R y sea g la restricció n de / a A (esdecir, g(x) := /(x) para x £ A). a) Si fe s continua en c eA, demostrar que g es continua en c. b) Demostrar con un ejemplo que si g es continua en c, no se sigue necesariamente que/es continua en c. 10 y Demostrar que la función valor absoluto /(x) := x es continua en todo punto c e R.
Sea A C R y sean / y g funcion es que están definidas de A a R y sea b e R. E n •1.2.3 se d efinió la suma, la diferencia, el producto y el m últiplo de funcion es, denotadas por/+ g, f - g , fg, b f Además, si Ir. A - + R e s tal que h(x) A 0 para toda ve A , entonces se definió la función cocien te, denotada por f/ h . El siguiente resultado es similar al teorema 4.2.4, del cual se deriva. 5.2.1 Teorema. Sea A C R, sean f y g funciones de A a Ry sea b eR . Supo ner que c eA y que fy g son continuas en c. a) Entonces f + g, f - g, fg y b f son continuas en c. b) Si h: A~ >R es continua en ce A y si h(x) A 0p ara toda x eA, entonces el cociente f/ h es continuo en c. Demostración. Si c eA no es un punto de acumulación de A, entonces la conclusión es automática. Por tanto, se supone que c es un punto de acumulación de A. a) Como f y g son continuas en c, entonces /(c)=Jím/
y
g( c) = jipi, g.
Por tanto, del teorema 4.2.4 a) se sigue que ( / + 8) (Ó =/(c) + g(c) = Jim (/+ g).
Por lo tanto, / + g es continua en c. Las afirmaciones restantes del inciso a) se demuestran de manera similar. b) Como c e A, entonces h{c) A 0. Pero como h(c ) = jílj\7b por el teorema 4.2.4 b) se sigue que
166
IIJN< l( INI'.S (( IN I INII/V
f . h(c)
( <(MltlNAt lONI'S IH•HIN< l() NI-.S< ( INUND AS
_ i ™ / _ „ 11 lím h , T ’ ’ h ( c )
r(c) =
167
p ( c ) p(x) = l ím = l ím r ( z ) . q( c) x-*c q(x ) X -+ C
Por lo tanto, el cociente f/ h es continuo en c.
o.i .n
ii
muir/os reales para los que está definida. El siguiente resultado es una consecuencia inmediata del teorema 5.2.1, apli cado a todos los puntos de A. Sin embargo, puesto que se trata de un resultado de suma importancia, se enunciará formalmente. 5.2.2 Teorema. Sea A CR , sean f y g funciones de A a R y sea b eR . a) Las funciones f+ g, f - g, fg y b f son continuas en A. b) Si h: A -> R es continua en A y h(x) A 0 pa ra x eA , entonc es el coci ente
f /h es cont inuo en A.
|senz| < \z\,
|cosz|
sen x sen y = 2 s e n [| ( x y ) ] eos [ | ( x + y ) ] . Pm lauto, si c eR, se tiene entonces
5. 2. 3 Ob se rv aci ón . Para definir cocientes, en ocasiones resulta más conveniente proceder de la siguiente manera. Si cp'.A-^R, s e a A ^ { x e A : q/x) ± 0}. El cociente//
<*>
O So demostrará que la función seno sen es continua en R. Para ello se hace uso de las siguientes propiedades de las funciones seno y "'.< iio que se demostrarán en el capítulo 8. Para toda x , y , z e R se tiene:
(í )(i ),=3 a
para ieA
Si
¡senx — sen c| < 2 • ||x — c\ •1 = \x —c |.
c. Puesto que c e R es un número cualesquiera, se ipiic que sen es continua en R. d) La función coseno es continua en R. Se hace uso de las siguientes propiedades de las funciones seno y coseno que •.i demostra rán más ad elante. Par a toda x,y, z eR se tiene Pm lo tanto, sen es continua en
Isen zl < |z|,
|senz| < 1,
eos x — eos y — 2 s en [ | ( x 4 y ) ] s e n [ | ( y — x ) ] . Por tanto, si c eR, se tiene entonces
5.2.4 Ejem plos , a) Funciones polinómicas. S i p es una función polinómica, de tal modo que p( x) = anx n + a/l_1xn~1 + •••+ Aj* + aQpara toda x e R , entonces por el ejemplo 4.2.5 f) se sigue que p(c ) = lím p para cualquier c eR. Por tanto, una función polinóm ica es continua en R. b) Funciones racionales. S i p y q son funciones polinómicas en i?, entonces existe a lo sumo un número finito cq,..., a mde raíces reales de q. Si * g { a v . . . , a m] entonces q(x) ^ 0, de tal modo que se puede definir la función racional r por z \
r\x)
W
p := ~7~\ q(x)
r
t
Para X ^ { “ !*•• •’ “ »»}•
En el ejemplo 4 :2.5 g) se vio que si q(c) =£ 0, entonces
Icos x — eos c| < 2 • 1 • ||c x| = |x — c|. Por lo tanto, eos es continua en c. Puesto que c e R es un valor cualesquiera, se sigue que eos es continua en R. [De otra manera, se podría usar la relación eos* = sen (x + n¡ 2).] e) Las funciones tan, cot, sec, esc son continuas en donde están definidas. Por ejemplo, la función cotangente está definida por
cot
X
:=
eos X
siempre que senx =£ 0 (es decir, siempre quex =£ nn, n eZ ). Pu esto que sen y eos son continuas en i?, por la observación 5.2.3 se sigue que la función cot es con
I IIN( Ii iNI
( <>NI INI lA'.
i
( iMIUNAi II INI S IU I I)N< I' INI S i <1NI INI IAS
tinua en su dominio. Las demás i unciones Irigonom el 11<,r. m i i .ii.m de im.hu io similar. 5.2.5 Teorema. Sea A C R, se a f: A —>Ry sea que \f\esté definida p ara \ > i p°r \f\ (x) := \f(x)\. a) Si fe s continua en un punto c eA, entonces |/| es continua en c. b) Si f es continua en A, en tonces |/¡ es continua en A. Dem ostración . Esta es una consecuencia inmediata del ejercicio 4.2.13. O.l Ii
5.2.6 {Teorema. Sea A C R, sea f: A ~*R y se a f(x) 5= O pa ra tod a x eA . Se hace que V / e s t é def ini da p ar a x eA por (V/)(x) := V/(x). a) Si f e s continua en un punto c eA, entonces sf f es continua en c. b) Si f e s continua en A, en tonces \¡Jes continua en A. Dem ostración . Esta es una consecuencia inmediata del ejercicio 4.2.14. Q.E.D.
FIG UR A 5.2.1 La composición de/ y g.
Composición de funcionies continuas Se demostrará ahora que si la función f : A - * R c s continua en un punto c y si g: B -* R es continua en b =f(c), entonces la composición g 0f os continua en c. Para tener la seguridad de que g °/está definida en la totalidad de A, también es necesario suponer que/(A) C B. 5.2.7 Teorema. Sean A, B C R y sean f: A -* R y g: B —>Rfuncion es tales que f(A ) C B. Si f es continua en un punto c e A y g es continua en b = f( c ) eB , entonces la composición g 0 /: A > R es continua en c.
Los teoremas 5.2.7 y 5.2.8 son muy útiles al establecer que ciertas funciones continuas. Se pueden usar en situaciones en las que resultaría complicada la aplicación directa de la definición de continuidad. m u i
5.2.9 Ejemplos, a) Sea g/x) := \x\ para x e R . Por la desigualdad del triángulo (ver el corolario 2.3.4) se sigue que
«** Dem ostración. Sea W una vecindade de g(b ). Puesto que g es continua en b, existe una vecindadó Vde b =f(c ) tal que si y e B D V entonces g(y) e W. Puesto que/es continua en c, existe una vecindady U de c tal que si x eA D U, entonces f( x ) e V. (Ver la figura 5.2 .1.) Pu esto que /(A) C B, se sigue que si x eA D U, entonces f( x ) e B D V, de modo que g °/(x) = g(/(x)) e W. Pero como W es una q .e .d . vecindade cualesquiera de g(b ), esto indica que g °/es continua en c. 5.2.8 Teorema. Sean A, B C R, sea f: A ~ * R continua en A y sea g: B -* R continua en B. Sif (A ) C B, entonces la función compuesta g °f :A -*•R es continua en A. Demostración. El teorema es consecuencia inmediata del resultado anterior, q . e .d . si / y # son continuas en todo punto de A y B, respectivamente.
| g iO ) “
g i (c )l
para toda x, c eR. Por tanto, g 1 es continua en c e R. Si /: A > R es cualquier función que es continua en A, entonces el teorema 5.2.8 implica queg, °/= |/'¡ es continua en A. Esto proporciona otra demostración del teorema 5.2.5. b) Sea g 2(x) : = ^ fx parax 5» 0. Por los teoremas 3.2.10 y 5.1.3 se sigue que g2 es continua en cualqu ier número c 3= 0. Si/: A -* R es continua en A y si/(x) ^ 0 para toda x eA , entonces por el teorema 5.2.8 se sigue que g2 ° f = V /es continua en A. Esto proporciona otra demostración del teorema 5.2.6. c) Sea g fx ) := sen x para x e R . E n el ejemplo 5.2.4 c) se vio que g3 es continua en i?. Si/: A es continua en A, entonces por el teorema 5.2 .8 se sigue que g3 o/es continua en A. En particular, si f( x ) : = l¡ x parax ¥= 0, entonces la función g(x) := sen (1/x) es continua en todo punto c ^ 0. [Se vio ya, en el ejemplo 5.1.7 a), que g no se puede definir en 0 a fin de hacerla continua en ese punto.]
17 0
I UN. lONr :;
I UN( l<)NI S ('< >NTINI l/\‘
Ejercicios de la sección 5.2 1. Determinar los puntos de continuidad de las siguientes funciones c iiuliem los teoremas que se usan en cada caso. a)7(x) :=
x 2 + 2 x + 1
x + i
b ) ' g ( x ) ~ yjx + >¡x c) h(x) ■=
(x > 0),
x
(x *
i
n inii
k v a i O
S
l S n i n / . H >H conliimas en un punto c, y sea h(x) := sup {/(x), g(x) } para \ . R. I tcinosliai que /i(x) = i(/(x) + g(x)) + j:/(x) g(x ) 1para toda x eR . l isai osle hecho para demostrar que Ii es continua en c. lo Se a/: ||y sea que /: I~>R esté acotada y sea continua en I. Se define g: I >R por g(x) := sup {f(t):a í t x} parax e l . Demostrar que g es continua en I. *
SEC CIO N 5.3 Funciones continuas en intervalos
\¡1 + |senx| ----------------------
continuas
0) ,
d) k( x) ■■= eos \/l I X2 (x e R). 2Y Demostrar que si /: A -* R es continua en A C R y si n eN, entonces la función /” definida por/ "(x) := (/ (x))" para x e A es continua en A. ?>{ Dar un ejemplo de funciones /y g que sean d iscontinuas en un punto c de R tales que: a) la suma/+ g sea continua en c, b) e l producto fg sea continuo en c. 4. Sea que x >* [x ¡ denote la función del mayor entero (ver el ejer cicio 5.1.4 ). Determinar los puntos de continuidad de la función/(x) := x [xl , x eR. 5'/ Sea que g esté definida en R por g( l) := 0 y g(x) := 2 si x + 1, y sea /(x) := x + 1 para todax eR . Demostrar que lím g °/A (g ° /)(0). ¿Por qué este hecho no contradice el teorema 5.2.7? 6/ Sea que f g estén definidas en i? y sea c eR. Supóngase que jím f - b y que g es continua en b. Demostrar que lím g ° f = g(b). (Comparar este resultado con el teorema 5.2.7 y con el ejercicio anterior.) 7/ Dar un ejemplo de una función/: [0 ,1] ->R que sea discontinua en todos los puntos de [0, 1] pero tal que / sea continuo en [0, 1]. 8/ Sean/, g continuas de i? a i? y supóngase que/(r) = g(r) para todos los números racionales r. ¿Es verdadero que f(x ) = g(x) para toda x e R l 9. Sea h: R->R una función continua en R que satisface h(m/ 2") = 0 para toda m eZ, n eN. Demostrar que h(x) = 0 para toda x eR. 10: Sea/: R ->R continua en i? y sea P := {x eR: f(x) > 0}. Si c eP , demostrar que existe una vecindad Vs(c) CP . ( ETtTL 5, i.? ) iv ! S i/ y g son continuas en R, sea 5 := {xeR:f(x) S5g(x )}. Si (s?¡) C S y lím (s;|) = s, demostrar que s eS. 12. Se dice que una función /: R -> R es aditiva si f( x + y) = f(x ) + f(y ) para toda x, y én R. Demostrar que si / es continua en algún punto x0, entonces es continua en todos los puntos de R. (Ver el ejercicio 4.2.12.) 13. Supóngase que /es una función aditiva continua en R. Si c :=/(!), demostrar que se tiene/(x) = ex para toda x eR. [Sugerencia: Demostrar primero que si r es un número racional, entonces/(r) = cr.] 14. Sea que g: R~ * R satisfaga la relación g(x + y) = g(x)g(y) para toda x, y en R. Demostrar que si g es continua en x = 0, entonces g es continua en todos los puntos de R. Asimismo, si se tiene g(o) = 0 para alguna a e R , entonces g(x) = 0 para todax € i?.
I as funciones que son continuas en intervalos tienen varias propiedades im !•..Maníes que no poseen las funciones continuas en general. En esta sección se . •.i.ililccerán algunos resultados bastante profundos que son de considerable im p.»ilauda y que se aplicarán más adelante. 5.3.1 D ein ició o. S e dice que una función /: A + R está acotada en A si ■\kisic una constante M > 0 tal que !/(x)¡ M para toda x eA . 1ín otras palabras, una función está acotada si su codominio es un conjunto acotado en
li Se hace notar que una función continua no está acotada necesariamente. Por eje mplo, la Imn ión /(x) := 1/x es continua en el conjunto A := {x eR: x > 0}. Sin embargo,/no está neniada en A. De hecho,/(x) = 1/x ni siquiera está acotada cuando se restringe al conjunto Ii : ■■{x eR : 0 < x < 1} . Sin embargo, /(x) = 1/x está acotada cuando se restringe al >injunto C := {x eR : 1 *£ x}, aun cuando el conjunto C no está acotado. 5.3.2 Teo rem a de acoíaibiiidad1'Sea I := [a, b ] un intervalo acotado cerrado r sea f: I —>R continua en I. Entonces f está a cotada en I. Demostración. Supóngase que / no está acotada en /. Entonces, para cualquier n e/V existe un núme roxn e I tal que If( xn)\> n. Puesto que /está acotado, la MicesitmX := (x (|) está aco tada. Por lo tanto, po r el teorema de Bo lzanoW eierstrass 1.4.7 se sigue que existe una subsucesión X ’ = (x,l(.) de X que converge a un número v. Puesto que I es cerrado y los elementos de X' pertenecen a I, por el teorema 3.2.6 se sigue que x e l . Por tanto ,/es continua en x, por lo que (/(x„r)) converge a /(x). Se concluye entonces por el teorema 3.2.2 que la sucesión convergente (■/(x,v)) debe estar acotada. Pero esta es una contradicción, ya que . |/(*nr)| > n r > T
para r e N.
Por lo tanto, el supuesto de que la función continua/no está acotada en el intervalo acotado cerrado I lleva a una contradicción. . q.e.d. t Este teorema, así como el 5 .3. 4, se cumplen para un conjunto acotado cerrado cualesquiera. Para otros desarrollos, ver las secciones 10.2 y 10.3.
172
M IIII II iNI'S ('< >N I IN IIA S I N IN I I NVAI
l ' UN < ' I O N I . S < ( ) N U N I I A '
5.3.3 Deímlcñómi. Sea A C R y sea /: A —>K. Se diré (|iie /li m e mm máx imo absoluto en A si existe un punto x* eA tal que / (** ) > / (*)
para toda x <= A .
Se dice que /tien e un mínim o absoluto en A si existe un punto x* eA tal que / (* *) < / (*)
para toda
Se dice que x* es un punto máximo absoluto de / en A y que x* es un punto mínimo absoluto de/en A si existen. Se hace notar que una función continua en un conjunto A no necesariamente tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto en el conjunto. Por ejemplo, /(x) := 1/x no tiene ni un máximo ni un mínimo absol uto en el conjunto A := {x eR: x > 0 }. (Ver la figura 5.3.1.) No puede haber un máximo absoluto para/en A porque/n o está acotada por arriba en A, y no hay ningún punto en el que/asuma el valor 0 = inf {f(x)\ x eA}. La misma función tampoco tiene un máximo ni un mínimo absoluto cuando se restringe al conjunto {x eR: 0 < x < 1} , en tanto que tiene ambos, un máximo absoluto y un mínimo absoluto, cuando se restringe al conjunto {x eR: 1 x «S 2}. Además, /(x) = 1/x tiene un máximo absoluto pero no un mínimo absoluto cuando se restringe al conjunto {x eR: x 1} , aunque no tiene un máximo absoluto ni un mínimo absoluto cuando se restringe al conjunto {x eR : x > 1}.
Se ve de inmediato que si una función tiene un punto máximo absoluto, en lonces este punto no se encuentra determinado necesariamente de manera única. Por ejemplo, la función g(x) :- x 2 definida parax eA := [1, +1] tiene dos puntos v= ±1 que producen un máximo absoluto en A y el punto único x = 0 que produce su mínimo absoluto en A. (Ver la figura 5.3.2.) Para citar un ejemplo extremo, la función constante h(x) := 1 para x e R es tal que todo punto de R es tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto de/. 5.3.4 Teorema del máximomínimo. Sea I := [a, b] un intervalo acotado cerrado y sea f : I -> R continua en I. Entonces f tiene un máximo abso luto y un mínimo absoluto en /. Demostración. Considérese el conjunto no vacío/(/) := {/(x): x e l } de los valores de / en I. En el teorema 5.3 .2 anterior se estableció que/(/) es un subconjunto acotado de R. Sea s * := sup/(/) y s* := inf/(/). Se afirma que existen los puntos x* y x* en I tales que 5* = f( x*) y s* =/(**)• Se establecerá la existencia del punto x*, dejando al lector la demostración de la existencia de x*. Puesto que s* = sup/(/), si n eN, entonces el número s* l/n no es cota superior del conjunto/(/). Por consiguiente, existe un número xRel tal que (#)
FIG UR A 5.3.1 La función /(x) = 1/x (x > 0).
5*
I ----------
n
< f { x n) < s *
para
n e N.
Puesto que I está acotado, la sucesión X := (x() está acotada. Por lo tanto, por el teorema de BolzanoWeierstrass 3.4.7, existe una subsucesión X' := (x„r) de A que converge a un número x*. Puesto que los elementos de X' pertenecen a 1 - [a, b |,
HJ N( II »NI:.S ('( )N I INDAS
I D Ni l O N l í S C O N T I N U A S I . N I N T E R V A L O S
por el teorema 3.2.6 se sigue qu e x* g L Por lo lanío,/es i
• « „ • /!„ ■(/J a ) / 2 ■, y 0 S c« a . = OS or )/ 2" ' . S e s ig il e, 1*01 imito, que c = lím (a„) y c = lím (j8n). Puesto que/es continua en c, se tiene
17 4
1 s*
nr < / ( * « , ) < * *
para
r e N,
lím ( / ( « „ ) ) = / ( c ) = lím ( / ( £ „ ) ) .
por el teorema de compresión 3.2.7 se concluye que lím (/(*„,.)) = s* . S e tiene por lo tanto / ( * * ) = lím ( / ( * „ , ) ) = s * = s u p / ( / ) . Se concluye que x* es un punto máximo absoluto de / en /.
q .e . d .
El siguiente resultado proporciona la base para la localización de las raíces de funciones continuas. La demostración presentada proporciona asimismo un algoritmo para el cálculo de la raíz y se puede programar con facilidad en una computadora. Otra demostración de este teorema se indica en el ejercicio 5.3.8. 5.3.5 Teorema de localización de raíces. Sea I un intervalo y sea f: I - » R continua en /. Si a < fi son números en I tales que f(a ) < 0 < f( fi ) (o tales que f( a ) > 0 > fi fi )), entonces e xis te un nú mero c e (a, fi) tal qu ef(c ) = 0. Demostración. Se supone que f( a ) < 0 < f( fi ). Sea / := [a, (3] y y:= \(a + fi)- S i/(7) = 0 se toma c : = y y se termina la demostración. Si /(y) > 0 se hace a 2 := a, (32 := y, en tanto que si /(y) < 0 se hace a 2 := y (32 : = fi. En cualquiera de los dos casos se hac e /2 := [a 2>f i2], de donde f(o¿2) < 0 y f( fi 2) > 0. Se continúa este proceso de bisección. Supóngase que los intervalos 7p J2, ... , Ik := [a k, ¡3k\ se han obtenido por bisección sucesiva y que son tales que f ( a k) < 0 y f( f ik) > 0. Sea yk := ¡( ak + fik). S i/(7¿) = ()>se íoma c := 7¿ Y se termina la demostración. Si f( yk) > 0 se hace a k +, := a ie A + 1 := Yk> en tant0 ^ue s ¡/(7¿) < 0 se hace otk +l := yk, Pk +l := (3k. En cualquiera de los dos casos se hace A +J de donde
f ( a k+ j) < 0
y
f ( P k + i ) > 0.
1*01 otra parte, puesto que/(j9;J) 5= Opara toda n gN, por el teorema 3.2.4 se sigue ,|iie f( c ) = lím (/($„)) > 0. Asimismo, puesto que f ( a n) ^ Opara toda n gN, por el mismo resultado (aplicado a /) se sigue que f( c) = lím (f( a n)) ^ 0. Por lo lauto, se debe tener que f( c) = 0. Por consiguiente, c es una raíz de/. q . e .d .
El siguiente resultado es una generalización deí anterior. Garantiza que una función continua en un intervalo asume (al menos una vez) cualquier número que esté entre dos de sus valores. 5.3.6 Teorema del valor intermedio de Bolzano. Sea I un intervalo y sea f: I R continua en I. Si a, b g I y si k g R satisface f(a) < k < f(b), entonces existe un punto c g I entre ay b tal que f(c) = k. Dem ostración. Supóngase que a < b y sea g(x) := f(x ) - k; entonces g( a) < 0 < f>(b). Por el teorema de localización de raíces 5.3.5 existe un punto c con a < c < b tal que 0 = g( c) =f (c) k. Por lo tanto, /(c) = k. SÍ b < a, sea h(x) := k- f( x) de modo que h(b) < 0 < h(a). Por lo tanto, existe un punto c con b < c < a tal que 0 = h(c) = k -f (c ), de donde/(c) = k. q . e .d . 5.3.7 Corolario. Sea I := [a, b] un intervalo acotado cerrado y sea f\~* R continua en I. Si Ic gR es cualquier número que satisfa ce inf/(/) < k < s u p/( 7) ,
entonces existe un número c g I tal que f(c) = k. Dem ostración . Por el teorema del máximomínimo 5.3.4 se sigue que existen los puntos c * y c* tales que inf/(/)
- / ( c * ) < k < f ( c * )
Entonces la conclusión se sigue del teorema 5.3.6. Si este proceso termina al localizar un punto yn tal que f( y n) = 0, la demostración se completa. Si el proceso no termina, se obtiene una sucesión anidada de intervalos acotados cerrados In = [an, /3J, n g N. Puesto que estos intervalos se encuentran por un proceso de bisección repetida, se tiene [3n- a n= (/3 a)/ 2w_1. Por la propiedad de los intervalos anidados 2.6.1 se sigue que existe un punto c que pertenece a ln para toda n eN . Puesto que a fJ c [3n para toda n eN, se tiene 0 ^
=sup/(Z). q .e .d .
En el siguiente teorema se resumen los principales resultados de esta sección. Estable ce que la imagen de un intervalo acotado cerrado bajo una función continua también es un un intervalo acotado cerrado. Los puntos terminales del intervalo de la imagen son los valores mínimo absoluto y máximo absoluto de la función, y la enunciación de que todos los valores entre los valores mínimo absoluto y máxi
1/(1
I d i n I O N E S C O N T I N U A S U N IN I I U V A l . O t
II IN< KINI': ; (' ( INI INI IA‘|
mo absoluto pertenecen a la Imagen es una manera de (!«•■.. nl>n el leorema del valor intermedio de Bolzano. 5.3.8 Teorema. Sea I un intervalo acotado cerrado y sea f: I~*R continua «■// I. Entonces el conjunto /(/) := {/(x): x e l } es un intervalo acotado cerrado. Demostración. Si se hace m := inf/(/) y M := sup/(/), entonces por el teorema del máximomínimo 5.3.4 se sabe que m y M pertenecen a /(/). Además, se tiene/(/) C [m, M). Por otra parte, si /ces cualquier elemento de [m, M], entonces por el corolario anterior se sigue que existe un punto c e l tal que k =/(c). Por tanto, k ef(I ) y se concluye que [m, M j C/ (/). Por lo tanto,/(/) es el intervalo [m, M J. Q.E.D.
Atención. Si / := [a, b) es un intervalo y /: / » /? es continua en I, se ha demostrado que/(/) es el intervalo [m, M). No se ha demostrado (y no siempre se cumple) que/(/) es el intervalo [ f( a), f( b )] . (Ver la figura 5.3.3.) El teorema anterior es un teorema “de preservación” en el sentido de que establece que la imagen continua de un intervalo acotado cerrado es un conjunto del mismo tipo. El siguiente teorema extiende este resultado a intervalos generales. Sin embargo, se deberá tener presente que aun cuando se demuestra que la
imagen continua de un intervalo también es un intervalo no se cumple que el intervalo de la imagen tiene necesariamente la misma forma que el intervalo del dominio. Por ejemp lo, la imagen continua de un intervalo abierto no es necesariamente un intervalo abierto y la imagen continua de un intervalo cerrado no acotado no es necesariamente un intervalo cerrado. Si f( x) := l/(x2 + 1) para x e R , entonces/ es continua en i? [ver el ejemplo 5.2.4 b)]. Es fácil ver que si / j:= (1 , 1), entonces /(/,) = (i, 1], que no es un intervalo abierto. Asimismo, si I2 := [0, “ j, entonces /(/2) = (0,1], que no es un intervalo cerrado. (Ver la figura 5.3.4.) Para demostrar el teorema de preservación de intervalos 5.3.10, es necesario el siguiente lema para caracterizar intervalos. 5.3.9 (*)
Lema. Sea S Q R un conjunto no vacío con la propiedad
siX, y eS
y
x < y,
entonces [x, y] C S.
Entonces S es un intervalo.
FIGURA 5.3.3 /(/) = [m, A/].
Demostración. Se supondrá que S tiene al menos dos puntos. Hay cuatro casos principales que se deben considerar: i S está acotado, ii S está acotado por arriba pero no por abajo, iii S está acotado por abajo pero no por arriba y iv S no está acotado ni por arriba ni por abajo. i Sean a := inf S y b := sup S. Si s eS, entonces a ^ s ^ b de tal modo que e [a, b]\ puesto que s e S es algún valor, se concluye que S C [«, b]. Por otra parte, se afirma que (a, b) C S. Porque si z e (a, b), entonces z no es cota superior de S y, por tanto, exis te x e S c on x < z. Además, z no es cota superior d e S, por lo que existe y e S co n z < y . Por consiguiente, z e [x, y] y la propiedad (*) indica que z e [x, y] C S. Puesto que z es un elemento cualesquiera de (a, tí), se deduce que (a, tí) C S. Si a £S y b &S, entonces se tiene S = (a, b)\ si a í S y b e S se tiene S = ( a , b]; si a e S y b g S se tiene 5 = [a, tí), y si a eS y tí eS se tiene S = [a, b].
MIN< H> NI¿ < <)N 11! MIA'
< ( t N I I N I I I I ) A H U N II ' O K M I
ii Sea b : sup ó. Si ,ve.S, entonces s • /», poi I<><111« •,tdi Im i* ,V( ( ./i] Se afirma que (ce, b) C S. Porque, si 2 e ( 00, />), el 1,1/on.iminilo dado en I indica que existen x, y e S ta le s q u e z e [ x , y j C S. Po r lo laní o, ( /■, />) ( ,V. Si b<£S, entonces se tiene S = ( - c o , b); s i b e S se tiene S = ( - c o , b\. iii Sea a := inf S y se aplica un razonamiento similar al de ii. E n e ste c as o ,*n> tiene S = (a, co) si a <£S, y S = [a, co) si a e S. iv Si z eR , el razonamiento empleado antes indica que existen x, y e.S' lalcw que z e [x, y] C S. Por lo tanto R C S, de modo que S = (- oo, oc). 0.1 ,n Por tanto, en cualquiera de los casos anteriores S es un intervalo. 5.3.10
.
11 11.1
I )i'iimsii:u que ,v() es una solución de la ecu ación c os x = x2. R es continua en i? y que 1lím^/ = 0 y lím / = 0. id 1 Siipnnjase c]iic/: R Ilemoslrar (|iie /está acotada en i? y que se alcanza un máximo, o bien, un mínimo en R. Dar un ejemplo para demostrar que no necesariamente se alcanza tanto un máximo como un mínimo. 11 . Sea /': R R continua en i? y sea (3eR. Demostrar que si x0 e R es ta! que /(•',,) < A en tonces existe una vecinda d5 U de x() tal que f(x ) < /3para toda X G II .
Teorema de preservación de intervalos. Sea I un intervalo y sea f: I
I E x a m i n a r qué intervalos abiertos [o bien, cerrados] son mapeados por/(x) := \2 para x e R en intervalos abiertos [o bien cerrados]. I Examinar el mapeo de intervalos abiertos [o bien, cerrados] bajo las funciones g(x) := l/(x2 + 1) y h(x) := x 3 para x e R . II. Si/: [0,1 ] ~*R es continua y sólo tiene valores racionales [o bien, irracio nales], ¿la función /debe ser constante? 15 . Sea / := [a, b ] y sea/: / * R una función (no necesariamente continua) con la propiedad de que para tod ax e l, la función/está acotada en una vecindad V$x(x) de x (en el sentido de la definición 4.2.1). Demostrar que/está acotada en I. I(). Sea J := (a, b) y sea g : J ~ * R una función continua con la propiedad de que para todax e J la función g está acotada en una vecindad V^/*) de x. Dem ostrar que g no está necesariamente acotada en J.
-* R continua en I. Entonces el conjunto f( l) es un intervalo. Demostración. Sean a, (3 e/(/) con a < ¡3; entonces existen los puntos a, b e/tales que a = f ( a ) y (3 = f(b ). Además, por el teorema del valor intermedio do Bolzano 5.3.6 se sigue que si k e( a , t6), entonces existe un número c e l con k f ( c) G/ (0 Por 1° tentó, [a, fi] C /(/), demostrándose así que/(/) posee la propiedad (*) del lema anterior. Por lo tanto,/(/) es un intervalo. q . i ;. i >.
Ejercicios de la sección 5.3 1 / Sea / := [a, b ] y sea/: I > R una función continua tal que /(x) > 0 para toda xen/. Demostrar que existe un número a > 0 tal que/(x) 2=apara toda xel. y g: I~> R funciones continuas en I. Demostrar 2 / Sea I := [a, b] y sean que el conjunto E := {x e I: f(x) = g(x)} tiene la propiedad de que si (xn) C E y xn > x0, entonces xQe E. 3. Sea I := [a, b] y sea f: I - +R una función continua en / tal que para cadax eu I existe y en/ tal que ¡/(y): ] jf ( x ) . Demostrar que existe un punto c en /tal que f( c) = 0 . 4. Demostra r que todo polinomio de grado impar con coefici entes reale s tiene al menos una raíz real. 5. Demostra r que el polinomio p(x ) := x4 + 7x3 - 9 tiene al menos dos raíces reales. Usar una calculadora para localizar estas raíces con dos cifras decimales de precisión. 6 . Sea/ contin ua del intervalo [0, 1] a R y tal que /(O) = /(1). Demostrar que existe un punto c en [0, 5] tal que/(c) = f( c + 3 ) . [Sugerencia: Considerar g{x) =f (x) ~f(x + j)] Concluir que existen, en cualquier momento, puntos antípodas en el ecuador terrestre que tienen la misma temperatura. 7. Demostra r que la ecuación x = eos x tiene una solución en el intervalo [0, 7T/2 ]. Usar el procedimiento de bisección usado en la demostración del teorema de localización de raíces y una calculadora para encontrar una solución , aproximada de esta ecuación, con dos cifras decimales de precisión. 8: Sea I := [a, b ], sea /: / > R continua en /y sean/(o) < 0, f( b) > 0. Sea W := ix €/: f(x ) < 0} y sea w sup W. Demostrar que/(z/) = 0. (Este resultado proporciona otra demostración del teorema 5.3.5.)
11>, /i .‘|y s*'a que/ : I * R oslé definida por/(x) := sup {x1, eos x} \i /. I >emoslrar que existe un punto mínimo absoluto x 0 e / para / e n / .
'i S ra /
i k i
SEC CIÓ N 5.4 Continuidad uniforme Sea A C R y sea/: A - * R. Por el teorema 5.1.3 se ve de inmediato que los i)',Vientes eiíúnciados son equivalentes: i f es continua en todo punto u e A ; ii dada e > 0 y u eA, existe una 5(£, u) > 0 tal q ue para toda x tal que x e A v ,\ u\ < 8(e, u), entonces \f(x) / ( « ) |< £■ El punto que se quiere subrayar aquí es que S depende, en general, tanto de 1 ■() como de u eA. El hecho de que 8 depende de u es un reflejo del hecho de que 1,1 liinción/puede cambiar sus valores con rapidez cerca de determinados puntos y . on lentitud cerca de otros. [Por ejemplo, consid érese /(x) := sen (1/x) para x > 0; ver la figura 4.1.3.] Ahora bien, ocurre con frecuencia que la función /e s tal que el número 8 se puede elegir de tal modo que sea independiente del punto u eA y que d ependa tan sólo de £. Por ejemplo, si/(x) := 2x para toda x e R , entonces
\
l / ( * ) - / ( « ) I = 2lx - «I. y, por tanto, se puede elegir 8(e, u) := e/ 2 para toda £ > 0 , u e R . (¿Por qué?)
<<(NIINlIII »AI >IINIIOKMI .
IS I
Vecindad8 FIGURA 5.4.1 g(x) = 1/x (x > 0). Por otra parte, si se considera g(x) := 1/x para x eA := {x eR: x > 0 } , entonces
u —x ux Si u eA está dada y si se toma (2)
<5(e,u) := inf
, |u2ej,
entonces si \x-u \ < S(e, a) se tiene \x- u\ < \u de tal modo que \u < x < jM, de donde se sigue que \/x < 2 ¡u. Por tanto, si |x-u\ < la igualdad (1) produce la desigualdad (3)
| g ( x) g ( u ) | < (2/u*)\x u|.
Por consiguiente, si \x- u\ < 8(e, u), la desigualdad (3) y la definición (2) indican que !g(*) g(u )| < (2 /u 2)(ku2£) = £. Se ha visto que la selección de 8(e, u) por la fórmula (2) “funciona” en el sentido de que nos permite dar un valor de 8 que asegurará que jg(.v) g(i<)\ < e cuando x
u\ < 8 y x, u eA. Se hace notar que el valor de <5(e, u) dado en (2) depende sin lugar a dudas del punto u eA. Si se quisiera considerar toda u eA, la fórmula (2) no lleva a un valor <5(e) > 0 que “ funcionará “ sim ultáneamente para toda u > 0, ya que inf {<5(e, u): u > 0} = 0. El lector atento habrá observado que hay otras selecciones de 8 que se pueden hacer. (Por ejemplo, también se podría haber tomado <5,(e, u) := inf {Jm, jM2e}, como el lector puede demostrar; sin embargo, se seguirá teniendo inf {^ (e , u): u > 0} = 0.) De hecho, no hay forma de elegir un valor de 8 que “funcionará” para toda u > 0 para la función g(x) := 1/x, como se verá. La situación se presenta gráficamente en las figuras 5.4.1 y 5.4.2, donde para una vecindadedada alrededor de f( 2) = \y de /(j) = 2 se ve que los valores máx imos correspondientes de 8 son considerablemente diferentes. Cuando u tiende a 0, los valores permitidos de 8 tienden a 0. 5.4.1 Definición. Sea A C R y sea/: A ->R . Se dice que/es uniformemente continua en A si para cada e > 0 ex iste una <5(f) > 0 tal que si x, u eA son números cualesquiera que satisfacen |x-u\ < 8{é), entonces |/(x) f{u)\ < £.
Es evidente que si/es uniformemente continua en A, entonces es continua en todo punto de A. Sin embargo, en general el recíproco no es verdadero, como lo muestra la función g(x) := 1/x en el conjunto A := {x eR: x > 0 }.
I 1IN< l<)NI .S • '<>N IIN II AN
( ON'I INIIIDAH IINII'OKMr.
Resulta conveniente formu lar una condición cqiiivnlruie |mi a dccii qiic ///kcn uniformem ente continua en A. Esto s criterios se presentan en el resultado sigincii te, dejándose la demostración al lector como ejercicio. 5.4.2 Criterios de continuidad no uniforme. Sea A C R y sea J': /\ > // Entonc es lo s siguientes enunciado s son equivalentes-. i f no es uniformemente continua en A. ii Existe una £() > 0 tal que par a toda 5 > 0 existen los puntos x¿, us en ;\
talesque\x5- u 5\<8y\ f(x8)-f (u s)\^£0.
=
I1un ci o n es
',i '.(■ d,i iiiki Iunción uniformemente continua en un conjunto que no es un mi. iv.do acolado cerrado, enton ces en ocasio nes es difícil estable cer su continui d.i.l iiniloniie. Sin embargo, hay una condición que ocurre con frecuencia que es Milu icnle para garantizar la continuidad uniforme. 3.4.4 Definición. Sea A C R y sea f: A -> R . Si existe una constante K > 0 tal i|IH'
iii Existe una e0 > 0 y dos sucesiones (x ) y (u ) en A tales que lím (x - u ) ^ tapa ra toda n eN. " "
1 / 0 ) - f(u)\ < K\x - u\
Oy !/(•*,) / (« ,),
Este resultado se puede aplicar para demostrar que g(x) := 1/x no es uniforme mente continua en A := {x eR: x > 0}. Si xn := \jn y un := 1 ¡(ii + 1), entonces se tiene lím (xn u j = 0, pero |g(xn) - g(uf¡)\ - 1 para toda n eN . Se presenta ahora un importante resultado que asegura que una función con ti nua en un intervalo acotado cerrado I es uniformemente continua en I. Otra de mostración de este teorema se da en 10.3.5 c). 5.4.3 Teorema de continuidad uniforme. Sea I un intervalo acotado cerra do y sea f: / » R continua en I. Enton ces f es uniformemente continua en I. Dem ostración . Si/ no es uniformemente continua en/entonces, por el resultado anterior, existen £0 > 0 y dos suce siones (x/() y (uf) en / tales que \xn- un\< 1/n y \f(xn)-f(un) | £0 para toda/? eN . Puesto que/ está acotado, la sucesión”^ ) está acotada; por el teorema de Bo lzano—Weierstrass 3.4.7 , existe una subsucesión (x„k) de (xn) que converge a un elemento z. Puesto que / es cerrado, el límite z pertenece a /, por el teorema 3.2 .6. Es evidente que la subsucesión correspondiente (u„k) también converge a z, ya que
I>.11.i lo da x, u eA, entonces se dice que /e s una función de Lips chitz (o que ... 11l ace una condición de Lipschitz) en A. I ,a condició n de qu e la funci ón /: A -*•R en un intervalo I es una función de i ipschitz se puede interpretar geométricamente de la siguiente manera. Si se es (nbe la condición como /O ) /(«)
x —u
< K,
x, u e I , x # u,
mi unces la cantidad que está entre los signos de valor absoluto es la pendiente del ,rp,mentó de recta que une los puntos (x,f(x)) y (u,f(uf). Por tanto, una función/ .al isface una condición de Lipschitz si y sólo si las pendientes de todos los segmentos de recta que unen dos puntos de la gráfica de y =/(x) en I están acotadas por algún número K. 5.4.5
Teorema. Si f: A -> Re s una función de Lipschitz, entonces fe s unifor
memente continua en A. Dem ostración . Si la condición de Lipschitz se satisface con la constante
K, ento nces dada £ > O se puede tomar 8 := e/K. S i x, u e A satisfacen \x u\ < 8, "«* ~
~
entonces
+ \xnt ~ Z\
Ahora bien, si/ es continua en el punto z, entonces li s dos sucesiones (f(x„k)) Y (/( «» *) deben converger a/(z). Pero esto no es posible, porque 1/(0
= b.
Por l o t a n to / e s u n i f o r m e m e n t e c o n t i n u a e n A.
Q.e.d.
5.4.6 Ejemp los, a) Si f( x) := x2 en A := [O, b], donde b es una constante positiva, enton ces
I>s0
para toda n e N. Por tanto, la hipótesis de que/ no es uniformemente continua en el intervalo acotado cerrado I implica que/no es continua en algún punto z e l. Por consiguiente, si/es continua en todo punto de/, entonces/ es uniformemente conti nU ae n /-
1 / (0 - / ( « ) I < k /
Q. E. D.
|/ (x) —/(« *) I = |x + m|k — «I < 2b\x u\ para toda x, u en [O, b\. Por tanto, / satisface una condición de Lipschitz con la constante K := 2b en A y, por lo tanto,/es uniformemente continua en A. Desde
184
l'UN ('! ()NI'.S <'()N IINI IA‘
<'<>N IINI III >A1 >11N11■'<)RMi:
luego, com o/ es continua y A es un intervalo acotado cenado, cambien se puede llegar a esta conclusión por el teorema de continuidad uniforme. (Obsérvese que / no satisface una condición de Lipschitz en el intervalo [0, oo).) b) No toda función uniformemente continua es una función de Lipschitz. Sea g(x) := j x para x en el intervalo acotado cerrado I := [0, 2], Puesto que g e s continua en /, por el teorema de continuidad uniforme 5.4.3 se sigue que g es unifor memente continua en /. Sin embargo, no hay ningún número K > 0 tal que |g(x)| K\x\ para toda x e /. (¿Por qué no?) Por lo tanto, g no es una función de Lipschitz en /. c) En ocasione s se pueden combin ar el teorema de continuidad uniforme y el teorema 5.4.5 para establecer la continuidad uniforme de una función en un con jun to . S e con sid era g( x) := V * en el con jun to A := [0, oo). La continuidad uniforme de g en el intervalo I := [0, 2] se sigue del teorema de continuidad uniforme, como se indicó en el ejemplo b). SÍ J := [1, oo) entonces si tanto x com o u están en J se tiene
luía Inda //, m 11(8). Por la elección de 8, esto indica que para n , m > H (8 ) se 11, nc |/'(xj -f (x m)\ < e. Por lo tanto, la sucesión ( f ( x j ) es una sucesión de Cauchy.
| g ( x ) - g ( u )| ==IVx" { ü \ = ----- < \\x - u\. v x + Vii
Por tanto, g es una función de Lipschitz en J con la constante K = ±y, por tanto, por el teorema 5.4.5, g es uniformemente continua en [1, oo). Puesto que A = I U J , se sigue [tomando 8(e) := inf {1, S¡(£), <5y( e )} ] que g es uniformemente continua en A. Se dejan los detalles al lector.
Q.E.D.
: resultado anterior ofrece otra manera de ver que/(x) := 1/x no es uniforme 1 A incnte continua en (0,1). Se observa que la sucesión dada porxH= 1/n en (0 ,1) es una sucesión de Cauchy, pero la sucesión de la imagen, donde f ( x j = n, no es una sucesión de Cauchy. 5.4.8 Teorema de extensión continua. Una función fe s uniformemente con tinua en el intervalo (a, b) si y sólo si se pued e definir en los puntos terminales a y />de ta l modo que la función extendida e s continua en [a, b\. Dem ostración . Una función que es uniformemente continua en [a, b ] desde luego que es continua en el conjunto (a, b ), por lo que sólo se debe demostrar la implicación inversa. Supóngase que /es uniformemente continua en (a, b). Se mostrará cómo extender/ a a; el razonam iento para b es similar. Esto se hace al demostrar que existe lím /(x) = L, y esto se consigue usando el criterio de sucesiones para límites. Si ' ( x j es una sucesión en (a, b) con lím (x;() = a, entonces es una sucesión de Cauchy, y por el teorema anterior, la sucesión ( f ( x j ) también es una sucesión de Cauchy y, por consiguiente, es convergente por el teorema 3.5.4. Por tanto, el límite lím ( f ( x j ) = L existe. Si (u j es cualquier otra sucesión en (a, b) que converge a a, entonces lím (m x ) = a a = 0, de modo que por la continuidad uniforme de/se tiene
El teorema de extensión continua Se han visto funciones que son continuas pero no uniformemente continuas en intervalos abiertos; por ejemplo, la función/(x) := 1/x en el intervalo (0,1). Por otra parte, por el teorema de continuidad uniforme, una función que es continua en un intervalo acotado cerrado siempre es uniformemente continua. Así, surge la pregunta: ¿bajo qué condiciones una función es uniformemente continua en un intervalo acotado abierto? La respuesta revela el alcance de la continuidad uniforme, pues se demostrará que una función en (a, b ) es uniformemente continua si y sólo si se pued e definir en los puntos terminales para producir una función que es continua en el intervalo cerrado. S e establece primero un resultado que es de interés por sí mismo. 5 . 4 7 T e o r e m a . Si f: A~ >R es uniformemente continua en un subconjunto A de R y si ( x j es una sucesión de Cauchy en A, entonces ( f( x n)) es una sucesión de Cauchy en R. De m ostr ació n. Se a (xw) una sucesión de Cauchy en A y sea e > 0 dada. Primero se elige <5> 0 tal que six , u en A satisfacen ¡x u\ < 8, entonces \f(x) / ( « ) | < e. P uesto que (xrt) es una sucesión de Cauchy, existe H(8) tal que \xn- x j < 8
lím ( / ( « „ ) ) « lí m ( / ( « „ ) / ( O ) + l í m ( / ( x j )
= 0 + L = L. Puesto que se obtiene el mismo valor L para toda sucesión que converge a a, por el criterio de sucesiones para límites se infiere que /tiene límite L en a. Si se define f( a ) = L, enton ces/es continua en a. El mismo razonamiento se aplica a b, por lo que se concluye que/tiene una extensión continua al intervalo [a, b]. q.e.d. Puesto que el límite de/(x) := sen (1/x) en 0 no existe, por el teorema de extensión continua se infiere que la función no es uniformemente continua en (0, b] para cualquier b > 0. Po r otra parte, puesto que lím x sen (1/x) = 0 existe, la función g(x) := x sen (1/x) es uniformemente continua en (0, b] para toda b > 0.
fAproximación En muchas aplicaciones es importante estar en posición de obtener aproximaciones de funciones continuas por medio de funciones de carácter elemental. Aun f El resto de esta sección se puede om itir en una primera lectura de este capítulo.
IK6
I IIN <’K INI '.S<'<)N l'IN I IAN
cuando hay varias definiciones que se pueden usar pata pren sai rl leí mino "apmxl mar”, una de las más naturales (así como una de las más importantes) es estableen que, en cualquier punto del dominio dado, la función de apro ximación no di lema de la función dada por más del error preasignado. 5.4.9 Definición. Sea I C R un intervalo y sea s: Ento nce s x se denon»i na función escalonada si posee tan sólo un número finito de valores diferenles, con cada valor siendo asumido en uno o más intervalos en I. Por ejemplo, la función s: [2. 4] -» R definida por s(x) := 0,
2
< x < — 1,
:= 1,
1
< X < 0,
i “ 3,
2 ^ ^ ^
¡= 2 ,
1 < x < 3,
“ 2,
3 < x < 4,
FI GU RA 5. 4.4 Aproximación por funciones escalonadas.
1>
es una función escalonada. (Ver la figura 5.4.3.) Se demostrará a continuación que una función continua en un intervalo acotado cerrado 1 se puede aproximar arbitrariamente cerca por fun ciones escalonadas. 5.4.10 Teorema. Sea I un intervalo acota do cerra do y sea continua en I. Si £ > 0, entonces existe una función escal onada s ¿.í~ *R tal que i f( x ) - s£(x)| < epara toda x el.
b
a
0
Demostración. Puesto que (por el teorema de continuidad uniforme 5.4.3) la iunción/es uniformemente continua, se sigue que dada e > 0 existe un número <*(/■) > 0 tal q ue s i x, y e l y \xy ! <
( t)
se(x) ■= f ( a + kh)
para
x e Ik, k = 1 , . . . , m,
de tal modo que sg es constante en cada intervalo Ik. (De he cho, el valor de s£ en Ik es el valor de/en el punto terminal derecho de í k. Ver la figura 5.4.4.) Por consiguiente, si x elk, entonces »
| / (x ) se(x) I = | f ( x ) - f ( a + kh ) I < e .
Se tiene por lo tanto j/ ( x ) s£(x) < £ para toda x e l .
FIGURA 5.4.3 Gráfica de y = s(x).
q.e.d.
Obsérvese que la demostración del teorema anterior establece algo más de lo que se señaló en el enunciado del teorema. D e hecho, se ha demostrado la siguiente afirmación más precisa.
( <>NI INI MI >A11 IINI H >líMI I UNCIONI S CONTINUA*. 5.4.11 Corolario. Sea I : = [a, b\ un intervalo acota do i errad o y sea J . I » l< continua en I. Si £ > 0, existe un número natural m tal t/ue si I se divide en ni intervalos disjuntos ík que tienen longitud h : = ( b - a)/m, entonces la Junción esea lonada s £ definida en la ecu ación (4) satisface | f( x) - sf xf , < ep ara tod a x < /. Las funciones escalonadas son de naturaleza en extremo elemental, pero no son continuas (excep to en los casos triviales). Puesto que con frec uencia es desea ble obtener aproximaciones de funciones continuas por funciones continuas sim pies, se demostrará a continuación que es posible aproximar funciones continuas mediante funciones lineales por partes que son continuas. 5.4.12 Definición. Sea / := [a, £>] un intervalo. En ton ces s e dice que u na fim ción g: I > R es lineal por partes en / si / es la unión de un número finito de intervalos disjuntos /j,... ,I m tales que la restricción de g a cada intervalo Ik es una función lineal. Observación. Es evidente que para que una función lineal por partes g sea continua en /, los segmentos de recta que forman la gráfica de g se cortan en los puntos terminales de los subintervalos adyacentes fk,I k + 1 (k= 1, .. ., m - 1). 5.4.13 Teorema. Sea I un intervalo acotado cerrado y sea f: I - * R continua en I. Si e > 0, entonces existe una función lineal po r par tes continua g£: I- * R tal que |/(x) gcfx)\ < £ para toda x el. Dem ostració n. Puesto que /es uniformemente continua en / := [a, b], existe un número 8(e) > 0 tal que si x, y e l y \x-y\ < 8 (é), entonces |f( x) -f( y)\ < £■ Sea m e N lo bastante grande para que h := (b - a)/m < 5(e). Se divide I = [a, b] en m intervalos disjuntos de longitud h; a saber, 1^= [a,a + h], y sea ¡k = (a + (k 1 )h, a + kh\ para k = 2 , . . . , m. En cada intervalo Ik se define g£ como la función lineal que une los puntos
( a + ( k - 1 ) h , f ( a + ( k — l ) h ) )
y
(a + k h , f ( a + kh)).
Entonces g£ es una función lineal por partes continua en I. Puesto que para x e l k el valor/(x) está dentro de £ unidades de f ( a + (k 1 )h) y f ( a + kh), es un ejercicio demostrar que \f(x) g£x)\ < £ para toda x el k; por lo tanto, esta desigualdad se cumple para toda x e l . (Ver la figura 5.4 .5.) q.e.d.
FI GU RA 5 .4.5 Aproximación por funciones lineales por partes. 5.4.14 Teorema de aproximación de Weierstrass. Sea / un intervalo acota do cerrado y sea f: I > R continua en i. Si £ > 0, entonces existe una función pol inómic a p £ tal q ue \f(x) - p £(x)\ < £ pa ra toda x e l . Hay varias demostraciones de este resultado. Desafortunadamente, todas ellas son bas lante complicadas o emplean resultados de los que aún no se dispone. Una de las demostraciones más elementales se basa en el siguiente teorema, debido a Scrge Bcrnstein, para Iunciones continuas en [0,1]. Dada/: [0,1 ]>!?, Bernstein definió la sucesión de polinomios:
(5 ) k —0
I,a función polinómica Bn, según se define en (5), se llama el /iésimo polinomio de Be rnst ein para /; es un polinomio cuyo grado es a lo sumo n y cuyos coeficientes dependen de los valores de la función/en n + 1 puntos separados por una distancia igual
0 ,
1 2 ,
n n
k ?•••»!» n
y de los coeficientes binomiales ti
Se concluye esta sección enunciando el importante teorema de Weierstrass relativo a la aproximación de funciones continuas por funciones polinómicas. Como sería de esperarse, para obtener una aproximación dentro de una £ > 0 preasigna da, se debe estar en posición de usar polinomios de grado alto.
\ n l X
k)
ni k\(n —k)\
n(n 1 ) ••• ( n k + 1) 12
S A I S T e o r e m a d e a p ro x i m a c i ó n «l e H e n i sl e h i. .V, ./ / |0 . 11 >K , oniimi,
y s e a e > 0. Existe una n£ eN tal que si n 5= nt„ cníoiu v.v •.«■u. nc |/(\) />' ( \) epara toda x e [0, 1]. La demostración del teorema de aproximación de Bernstein se presenta en LUA, pp 169 172. Ahí se demuestra que si <5(e) > 0 es tal qu e\f(x) -f(y)\ < epara toda x, y c |<), i con \x-y |< 5(e) y si M 2* \f(x)\ para toda x 6 [0, 1], entonces se puede tomar
l ). imi'.iiai que si f e s uniformemente continua cn un subconjunto acotadoA «Ir U, rnlouces/csiñ acotarla en A. i I , ,\i g( \): f x para x g [0, 1], demostrar que no existe ninguna constante K tal «pie «;(v) K x para toda x e [0, 1]. Concluir que la función uniformemente continua g no es una función de Lipschitz en [0, 1]. I ’t" 1temoslrar que si/e s continua en [0, x ) y es uniformemente continua en [a, /) para alguna constante positiva a, entonces/es uniformemente continua en
lii
|(), co).
(6)
nE■= sup {(<5(g/ 2)) 4, M2/e 2}.
La estimación (6) da información acerca de qué tan grande se debe tomar n para que Ii se aproxime a/dentro de e unidades. El teorema de aproximación de Weierstrass 5.4.14 se puede derivar del teorema de aproximación de Bernstein 5.4.15 mediante un cambio de variable. Específicamente, se sustituye/: [a, b]->R por una función F: [0, 1] > R definida por F ( 0 := / 0 + ( b - a )t )
p ar a f e [ 0 , 1 ].
Es posible obtener una aproximación de la función F por polinomios de Bernstein para F en el intervalo [0, 1], la cual produce entonces polinomios cn [a, ó] que dan una aproximación de /.
Ejercicios de la sección 5.4 li/ Demostrar que la función /(x) := l/x es uniformemente continua en el con ju nt o A := [a, ce), d onde a es una constante positiva. 2Y Demostrar que la función /(x) := 1 jx2 es uniformemente continua en A := [1, cc), pero que no e s uniformemente continua en B := (0, x). 3. Usar el criterio de continuidad no uniforme 5.4 .2 para demostrar que las siguientes funciones no son uniformemente continuas en los con juntos dados. a) f{x) := x2, A := [0, x), b) g(x ) := sen (l/x), B := (0, x). 4. Demo strar que la función /(x) := 1/(1 + x2) para a: e R es uniformemente continua en R. 5'.' Demostrar que si/y g son uniformemente continuas en un subconjunto A de R, entonces/+ g es uniformemente continua en A. 6/ Demostrar que si/y g son uniformemente continuas en A C R y si ambas están acotadas en A, entonces su producto fg tu/es uniformemente continuo en A. 7. Si /(x) := x y g(x) := sen x, demostrar que tanto / como g son uniformemente continuas en R, pero que su producto fg no es uniformemente continuo en R. 8r Demostrar que si/y g son uniformemente continuas en R, entonces la fonación compuesta/° g es uniformemente continua en R. 9 Si /es uniformemente continua en A C R y f(x ) ^ k > 0 para toda .y eA, demostrar que 1./es uniformemente continua e n i? j
A
I t. Sea A C R y supóngase que f: A - ^ R tiene la siguiente propiedad: para cada r > 0 existe una función g£.A~ *R tal que g£ e s uniformemente continua en A y \JXx) - 8 e(x) \< ep ara tod a* eA . Demostrar que/es uniformemente continua en A. 14. Se dice que una función/ : R - * R e s periódica en R si existe un número p > 0 tal que f( x + p) =f( x) para toda x eR. Demostrar que una función periódica continua en R está acotada y es uniformemente continua en R. 15. Si f (x) := 1 para x e [0,1], calcular los primeros polinomios de Bernstein de fQ. Demostrar que estos polinom ios coinciden con/0. [Sugerencia: El teorema del binomio afirma que
(« + *)" =
L ( kn) ° k b * - k ] . k —0 '
16. Si f fx ) := x para x e [0,1], calcular los primeros polinomios de Bernstein de /,. Demostrar que coinciden con/j. 17. Si f2(x) :=x2paraxe(0,1), calcularlos primeros polinomios de Bernstein de f2. Demostrar que Bn(x) = (1 l/n)x2 + ( 1 ¡npc. 18. Usando el resultado del ejercicio anterior para/,, ¿qué tan grande debe ser n para que el «ésimo polinomio de Bernstein fín de f2 satisfaga f 2(x) Bn(x j í 0.001 para toda x e [0, 1]?
SECC IÓN 5.5 Funciones monótonas e inversas Recuérdese que si A C R, entonces se dice que una función/: A -* R es creciente en A si siempre que xv x2 eA y x , ^ x2, entonces /(x,) /(x2). Se dice que la función / es estrictam ente creciente en A si siempre que xp x2 eA y Xj ^ x2, entonces /(x^ =£ /(x2). D e manera similar, se dice que una función g: A -* R es decreciente en A si siempre que xv x2 eA y x{ ^ x2, entonces g(x f) > g(x2). Se dice que la función g es estrictam ente decrecien te en A si siempre que xp x2 gA y x, < x2, entonces g(Xj) > g(x2). Si una función es creciente o bien decreciente cn A, se dice que es monótona en A. S i /es estrictamente creciente o bien estrictamente decreciente e n A, se dice que/es estrictamente monótona en A.
I UN( IONI :; ( ONIINIIAS
Se hace notar que si/: A -* R es crecienle en A, nii om ,i;: /es
i lím / = sup {/(x ) : x e l, x < c}, ii lím / = i n f { / ( x ): x e I, x > c}. x->c +
Dem ostració n. Se observa primero que si x e / y x < c, entonces/(x) f(c ). Por tanto, el conjunto {/(x): x e / , x < c}, el cual es no vacío pues c no es un punto terminal de I, está acotado por arriba por/(c). Por tanto, el supremo indicado existe; se denota por L. Si se da £ > 0, entonces L - e no esuna cota superior de este conjunto. Por tanto, existe y£ e/, y£ < c tal que L - e < f ( y £) L. Puesto que/es creciente, se deduce que si S(e) := c - y £ y s iO < c - y < S(£), entonces y < y < c de tal modo que
L - e <
/(
yE) < f ( y )
<
L.
Por lo tanto, \f(y) - L < £ c ua nd o 0 < c y < S(e). Puesto que £ > 0 es un valor cualesquiera, se infiere que se cumple i. La demostración d e ii es similar. q.e.d. El resultado siguiente proporciona criterios para la continuidad de una función crecie nte /en un punto c que no es un punto terminal del intervalo en el que está definida/. 5.5.2 Corolario. Se a / G R un intervalo y sea f: I ~*R creciente en /. Suponer que c e l no es un punto terminal de 1. Entonces los siguientes enunciad os son equivalentes. a) / es continua en c. b) lím f = f ( c ) = lím /. x— *c— X^C + c) s up { / ( x ) : x e I, x < c) = f( c) = in f{/ (x ) : x <= I, x > c'}.
c FIGUR A 5.5.1 Salto de/en c. listos resultados se deducen con facilidad del teorema 5.5.1 y 4.3.3. Se dejan I.•. detalles al lector. Sea /un intervalo y sea/: I~*R una función creciente. Si a es el punto termi n.il izquierdo de /, es un ejercicio demostrar que/es continua en a si y sólo si / ( a ) = i nf { / ( x ) : x e /, a < x} o si y sólo si fi a ) = / jm +/. Condiciones similares se aplican al punto terminal
delecho, así como para funciones decrecientes. Si f: I -* R qs creciente en I y si c no es un punto terminal de /, se define el •.alio de/en c como j j ( c ) J í m + / lím /. (V er la f igur a 5 .5 .1 .) De l teo rem a 5 .5. 1 ■,e sigue que
j f ( c ) - i n f { / ( x ) : x e I, x > c} - s up { / ( x ) : x e /, x < c ) , para una función creciente. Si el punto terminal izquierdo a de / pertenece a /, se define el salto de/e n a como jf (a) := J im +/ f( a). Si el punto terminal derecho />de I pertenece a /, se define el salto de/en b como jf (b) :=/(h) - x\ty_ /• 5.5.3 Teorema. Sea I C R un intervalo y sea f: I -* R creciente en í. Si c e l, entonces f es continua en c si y sólo si j^(c) = 0. Demostración. Si c no es un punto terminal, esto se sigue por el corolario 5.5.2 . Si c e / es el punto terminal izquierdo de /, entonces /e s continua en c si y sólo si f( c) = lím f que es equivalente a j^ c) - 0. Se aplican observaciones q.e.d. similares al caso de un punto terminal derecho. Se dem uestra a continuación que puede haber a lo sumo un conjunto co ntable de puntos en los que una función mo nótona es discontinua.
I IIN< l<»Ni; S <'<)N I INI lAft
M U I ' l« ' N I S M ( > N( l ' IO N A S I I N V I U S A S
5.5.4 Teorema, Sea I C R un intervalo y sea J. I •U nn>n<>1011,1 en I. I m , >n ces el conjunto d e puntos D (Z I en los que f es discontinua es un con junto con table. Demostración. Se supondrá que /es creciente en /. Por el teorema 5.5.3 se sigue que D = {x e/: j^ x) A 0}. Se considerará el caso en que I := [a, b\ es un intervalo acotado cerrado, dejando al lector el caso de un intervalo cualesquiera. Se observa primero que como /es creciente, entonces jf (c) ^ 0 para toda c e / Además, si a xx < •■■< xn =s b, entonces (¿por qu é?) se tiene / ( « ) < / ( t í ) + j f ( x {) + ••• + jf ( x„ ) < f ( b ) ,
I*. 1.. <01110 iodo pimío de I) debe estar incluido en este conjunto, se deduce qu eí) < . mi con junto contable.
q .e .d
.
1d teorema 5.5.4 tiene algunas aplicaciones útiles. Por ejemplo, en el ejercicio ' I.’ se vio que si h : R - » R satisface la identidad
h(x + y) = h(x) + h(y)
(♦)
para toda x , y G l l ,
v m l, es continua en un solo punto xn, entonces h es continua en todo punto de R. 'ó sigue que si h es una función monótona que satisface (*), entonces h debe ser . oniinua en R. [De este hecho se sigue que h(x) = Cx para toda x eR , donde C := //(1)1
de donde se sigue que
Funciones Inversas j f ( x ,) + ••• + j f ( x n ) < f ( b ) / ( a ) . (Ver la figura 5.5 .2.) Por consiguiente, puede haber a lo sumo k puntos en I = [a, donde jf (x) s * (f(b) ~f(a))/k. Se conc luye que existe a lo sumo un punto x e l donde jf (x) = f( b ) /(tí); hay a lo sumo dos puntos en 1 donde jf (x) s* ( f( b ) /(tí))/2; a lo sumo tres puntos en I donde jf (x) ^ ( f ( b ) /(« ))/3, y así sucesivamente. Por lo tanto,■hay a lo sumo un conjunto contable de puntos x donde jf (x) > 0.
b]
m
5.5.5 Teorema de la inversa continua. Sea ¡ C R un intervalo y sea f: I~>R estrictamente monótona y continua en /. Entonces la función g inversa de f es estrictamente monótona y continua e n J := /(/).
j/(x 4) { jf(.x3) { m-Aa)
jf (*2) {
jf (x i ){! 1
f( a) l
1
l
l
a
xx
j
x2
I
*3
Se considerará ahora la existencia de las funciones inversas de funciones que son continuas en un intervalo / C R. Se recuerda (ver la sección 1.2) que una Iunción f : I - + R tiene una función inversa si y sólo si/es inyectiva (= uno a uno); es decir, x, y e¡ y x A y implican que f( x) A f( y) . Se observa que una función estrictamente monótona es inyectiva y, en consecuencia, tiene una inversa. En el siguiente teorema se demostrará que si/: / -* R es una función estrictamente monótona continua, entonces/tiene una función inversa g en J :=/(/) que es estrictamente monótona y continua en J. En particulár, si / es estrictam ente crecien te, entonces también lo es g, y s i/e s estrictamente decreciente, entonces también lo es g.
x4
Dem ostración . S e considera el caso en que / es estrictamente creciente y se deja al lector el caso en que/es estrictamente decreciente. Puesto que/es continua e / es un intervalo, por el teorema de preservación de intervalos 5.3.10 se sigue que / := /(/) es un intervalo. Además, puesto que/es estrictamente crec iente en /, es inyectiva en /; por lo tanto, existe la fu nción g: J > R inversa de/. Se afirma que g es estrictamente creciente. De hecho, si y v y 2 e J , donde y, < y2, entonces y l = /(* ,) y y2 = f( x2) para alguna x p x2 e /. S e debe tener x, < x9; de no ser así, x, 2* x2, lo cual indica que y t = /( *,) > / (x2) = y2, que contradice la hipótesis de qu ey j < y2. Se tiene por lo tanto,
b
FIGURA 5.5.2 /(*,) + ... +jf(xn) sf( b) -f {a) .
g ( y 1 ) =
*1 < *2 =
s(y2)‘
I I INI |( INI S M< INI 1 1< >NAS I I N V I U S A S
V
c
J
*
--------------------------------
---------------------------------
►
F I G U R A 5 . 5 . 3 g(y) i=x para y e J .
y
Puesto que y x y y2 son elementos cualesquiera de J con y { < y2, se concluye que g es estrictamente creciente en J. Aún falta demostrar que g es continua en./. Sin embargo, esta es una consecuencia del hecho de que g (J ) = I es un intervalo. De hecho, si g es discontinua en un punto c. e J , entonces el salto de g en c es diferente de cero, de tal modo que lím g < I / -> C -
lím g . y-*c +
Si se eli ge cualquier número x ¥=g( c) que satisfaga lím_ g < x < _lím+ g, entonces x tiene la propiedad de que x + g( y) para cualquier y e J . (Ver la figura 5.5.3.) Por tamo, x £ l , l o cual contradic e el hecho de que / es un intervalo. Se conc luye por q.e.d. lo tanto que g es continua en J . ./ [0, ce). Sea y Ss 0 algún valor; por la propiedad de Arquímedes, ex iste k e N tal
La función raíz /tésima
que 0 =5 y < k. Puesto que (¿por qué?) *
Se aplic ará el teorema de la inversa continua 5.5.5 a la función de la potencia nésima. Es necesario distinguir dos casos: i n par y ii n impar. i n pa r. Para obtener una función que sea estrictamente monótona, se centra la atención al intervalo I := [0, oo). Por tanto, sea f( x) := x" para x eJ. (Ver la figura 5.5.4.) Se ha visto ya (en el ejercicio 2.2.17) que si 0 x < y, entonces/^) = x" < y n = /(y)‘> Por 1° tanto, / es estrictamente creciente en I. Además, por el ejemplo 5.2 .4 a) se sigue que/es continua en I. Por lo tanto, por el teorema de preservación de intervalos 5.3.10 , se sigue que J :=/(/) es un intervalo. Se demostrará ahora que
/(O) = 0
=f(k),
por el teorema del valor intermedio de Bolzano 5.3.6 se sigue que y e J . Puesto que y 2= 0 es un valor cualesquiera, se deduce que J = [0, =»). Por el teorema de la inversa continua 5.5 .5 se con cluye que la función g que es la inversa dcf(x ) = x" en / = [0, oo) es estrictamente creciente y continua en J - [0, =c). Se aco stumbra escribir
l'UN< l<»Ni :S <•(»N1INI IA’
I IIN< l
y g ( x ) = x i/ n
g ( x ) = y%
o
para x G (n par), y llamar a x 1/n = *\[x la raíz nésima de x s* O (n par). A In función g se le llama la función de la raíz n-é sima (n par). (Ver la figura 5.5.5.) Puesto que g es la inversa de/, se tiene & (/(*))
y
f ( g ( x ) ) = x para toda x e [ 0 ,<»).
Estas ecuaciones se pueden escribir en la siguiente forma: ( * ”) 1/" = z
y
(x'/"y = x
para toda x e [0, co) y n par.
ü n im par. En este caso se hace F(x) := x" para toda x e R; por 5.3.4 a), F es continua en R. Se deja al lector la demostración de que F es estrictamente creciente en R y de que F(R) = R. (Ver la figura 5.5.6.) Por el teorema de la inversa continua 5.5.5 se sigue que la función G que es la inversa de F(x) = x" para x e R es estrictamente creciente y continua en R. Se acostumbra escribir G ( x ) = x 1/n
o
G ( x ) - 7x
para
x e R,
FIGUR A 5.5.7 Gráfica de G(x) = x1^ (:xeR,n impar). y llamar a x^,/n la raíz /zésiwmsi de x eR . A la función G se le llama la función de la raíz n-é s ima (n impar). (Ver la figura 5.5.7.) Se tiene
n impar, ( x " ) 17" = x
y
( x ] /,ty = x
y para toda x e R y n impar.
Potencias racionales Una vez que se han definido las funcione s de la raíz rcésima para n eN, resulta sencillo definir las potencias racionales. 5.5.6 Definición, i Si m, n e N y x 5= 0, se define x m
FIGU RA 5.5.6 Gráfica de F(x) = x" (x eR, n impar).
Así, se ha definido x r cuando r es un número racional y x > 0. La s gráficas de x ei x r dependen de si r > 1 , r = 1, 0 < r < 1 , r = 0, o bien, r < 0. (Ver la figura 5.5.8.) Puesto que un número racional r e Q se puede escribir enla forma r = m/n, con m e Z, n e N, de diferentes maneras, se deberá demostrar que la definición 5.5.6 no es ambigua. Es decir, si r = m/n = p/q con m, p e Z y n, q e N y si x > 0, entonces (x1/n)w = (x1"OL Se deja co mo eje rcicio para el lector establec er esta relación.
I I I NI I U N I N M O N Ú l l l N A S I
FIGURA 5.5.8 Gráfica d c x - * x r (x > 0). 5.5.7
Teorema. Si m eZ, n e N y x > 0, entonces xm" = (x"')1''.
Dem ostración. Si x > 0 y m , n e Z, en tonces (x "1)" • x mn = (*")'"• Sea ahora y x m/n _ (xi/nyn > q cje la ¡ m0Cj 0 qUe y " = ( (x 1 .'«)«)'«= S e sigu e pollo tanto que y = (x' ”)1'' 1.
q.e.d.
El lector también deber demostrar, como ejercicio , que si x > 0 y r, s e Q, entonces
xrx* = x r+s = x s x r
y
(x r)' = ars = ( x ' ) r .
Ejercicios de la sección 5.5 1. Si / := [a, b] e s un inte rvalo y /: / —*•R es una función creciente, entonces el punto a [o bien, b ] es un punto mínimo [o bien, máxim o] absoluto de/ en 7. Si /es estrictamente creciente, entonces a es el único punto mínimo absoluto de /en I.
'.i / y i; mui Iunciones crecientes
■III
en un intervalo / C R , demostrar que/ + g es uo.i luucioii creciente en /. Si / también es estrictamente creciente en I, en Ioí ii es / i i; es estrictamente creciente en 7. '■ I•eniostrnr que tanto/'(x) :=xc om o g(x) : = x 1 son estrictamente crecientes en /. |<>, 11, pero (pie su producto fg no es creciente en 7. I Iicmoslrar que si /y g son funciones positivas crecientes en un intervalo7, entonces su producto fg es creciente en I. ■>. I>emostrar que si 7 := [a, b] y/: I->R es creciente en 7, entonces/es continua en ti si y sólo si f{ á ) = inf {/(x): x e (a, b)}. (>. Se a / C R un intervalo y sea/: 7► 7? creciente en 7. Supóngase que c e 7 no es un punto terminal de 7. Demostrar que/es continua en c si y sólo si existe una sucesión (x j en 7 tal que x n < c para n = 1, 3, 5,... ; xn> c para n - 2, 4, 6, .. . ; y tal q ue c = lím (x/f) y f( c) = lím (/(xj). 7. Sea 7 C i? un intervalo y sea /: 7 > i? creciente en 7. Si c no es un punto terminal de 7, demostrar que el salto j^(c) de/ en c está dado por inf {/(y) /(x): x < c < y, x, y e 7}. 8. Sean/, g crecientes en un intervalo 7 C R y sea/(x) > g(x) para todax e/. Si y e/(7 ) f l g (7), demostrar que/_1(>') < íT'OO [Sugerencia: H acer primero la interpretación geométrica de este enunciado.] 9. Sea 7 := [0, 1] y sea que /: 7 -+ R esté definida por/(x) := x para x racional y /(x) := 1 x parax irracional. Demostrar que/es inyectiva en 7 y que/(/(x)) = x para todax e7. (Por tanto,/es su propia función inversa!) Demostrar que / sólo es continua en el punto x = j. 10. Sea 7 := [c, b] y sea /: 7 » R continua en 7. Si / no tiene máximo [o bien mínimo ] absoluto en un punto interior c de 7, demostrar que/no es inyectiva en 7. 11. Sea /(x):= x para x e [0 , l]y/ (x) := 1 +xpa rax e (l , 2]. Demostrar que/y /1 son estrictamente crecientes. ¿Son continuas en cualquier punto/y/1? 12. Sea/ : [0,1] ->R una función continua que no asume ninguno de sus valores ^.d os veces y con/(O) < /(1). Demostrar que/es estrictamente creciente en [0, 1], 13. Sea h: [0,1] -* R una función que asume cada uno de sus valores exactamente dos veces. Demostrar que h no puede ser continua en todo punto. [Sugeren cia: Si c, < c 2 son los puntos donde h alcanza su supremo, demostrar que c x = 0, c2 = 1. Examinar ahora los puntos donde h alcanza su ínfimo.] 14. Sea x e R , x > 0. Demostrar que si m, p eZ, n, q 'eN y mq = np, entonces (x1")m= (x1^ . 15. Si x eR, x > 0 y si r, s e Q, demostrar que x rx v = xr +s = x sx r y (xr)s = x rs = (x*y . '
y
INVIKNAS
< A P I H I L O SI I S
DERIVACIÓN
Antes del siglo XVII, una curva por lo general se describía como un lugar geométrico de los puntos que satisfacían alguna condición geométrica, y las rectas tangentes se obtenían por construcciones geométricas. Esta perspectiva cambió de manera radical con la creación de la geometría analítica en los años 1 630 po r René Descartes (15961650) y Fierre de Fermat (16011665). En este nuevo escenario los problemas geométricos s e replanteaban en términos de expresiones algeb raicas, y las nuevas clases de curvas se definían no por condiciones geométricas sino algebraicas. El concepto de derivada evolucionó en este nuevo contexto. En los años 1630, Fermat fue el primero en vislumbrar una relación entre el problema de encontrar rectas tangentes y el problema aparentemente inconexo de encontrar valores máxim os o mín imos. Y la relación en tre las rectas tangentes a curvas y la velocidad de una partícula en movimiento fue descubierta por Isaac Newton (1 642 1727) a fines de los años 1660. La teoría de las fluxiones de Newton, la cual se basaba en una idea intuitiva del límite, sería familiar para cualquier estudiante moderno de cálculo diferencial una vez que se hicieran algunos cambios en la terminología y notación. Pero la observación fundamental, hecha por Newton e, independientemente, por Gottfried Leibniz (16461716) en los años 1680, era que las áreas bajo curvas se podían calcular invirtiendo el proceso de diferenciación. Esta técnica, que resolvía con facilidad problemas de áreas antes complicados, despertó enorme interés entre los matemáticos de la época y desem bocó en una teoría coherente que llegó a conocerse como cálculo diferencial e integral. En este capítulo se explicará la teoría de la derivación. La teoría de la integración, incluyendo el teorema fundamental que relaciona la derivación y la integración será el tema del siguiente capítulo. Se supondrá que el lector se encuentra familiarizado con las interpretaciones geométrica y física de la derivada de una función, según se describen en los cursos de introducción al cálculo. Por consiguiente, se atenderán los aspectos matemáticos de la derivada sin abordar las aplicaciones en la geometría, la física, la economía, etcétera. La primera sección se dedica a una presentación de los resultados básicos relativos a la derivación de funciones. En la sección 6.2 se estudia el teorema fundamental del valor medio y algunas de sus aplicaciones. En la sección 6.3 se presentan las importantes reglas de L'Hospital para el cálculo de ciertos tipos de límites “indeterminados”. En la sección 6.4 se ofrece un breve análisis del teorema de Taylor y algunas de sus aplicaciones; por ejemplo, en funciones convexas y en el método de Newton para la localización de raíces.
204
i a ni kivaha
D I ' K I V A i I ' IN
l>< mo .lran oii. Pura luda .ve/, .v / c, se licne
S E C C I Ó N 6 .1 L a d er iv a d a Tin esta sección se presentarán algunas de las propiedades elementales de la derivada. Se empieza con la definición de derivada de una función.
/(v) - J ( c ) = |
( 1)
lím ( f ( x ) - f ( c ) ) = A
-ño)
X
En este caso se dice que/es derivable en c, y se escrib e/'(c) para denotar L.
f ' ( c ) = lím
(2)
f ( x ) - f ( x ) X —c
siempre que este límite exista. (Se deja abierta la posibilidad de que c sea el punto terminal del intervalo.) N ot a. Es posible definir la derivada de una función que tiene un dominio más general que un intervalo (ya que sólo es necesario que el punto c sea un elemento del dominio y, asimismo, un punto de acumulación del dominio) pero la i mportancia del concepto se pone de manifiesto de manera más natural usando funciones definidas en intervalos. En consecuencia, restringiremos la atención a dichas funciones. Siempre que la derivada de/: / - » R exista en un punto c el, su valor se denota por/ '(c). Se obtiene así una función f cuyo dominio es un subconjunto del dominio de/. Al trabajar con la funció n/ ' es conveniente considerarla también como una función de x. Por ejemplo, si /(x) := x2 para x e R , entonces en cualquier punto c de R se tiene
f ' ( c ) = lím
x->c
f ( x ) - f ( c ) ----------------------
X — C
= lím
x —*c
X ~ C
en c.
C
/
. V — > £'
I'iii lo tanto, lím f(x) - f( c) , por lo que /es continua en c.
Q.e.d.
C
La continuidad de/: !~+Re n un punto no garantiza la existen cia de la derivada en ese punto. Por ejem plo, si f( x) := |x¡ para x e R , entonces para x Ose tiene i /(v) / (0))/(* 0) = \x\/x, que es igual a 1 si x > 0 y a 1 si x < 0. Por tanto, el limite en 0 no existe [ver el ejemplo 4.1.10 b)] y, por lo tanto, la función no es derivable en 0. En consecuencia, la continuidad en un punto c no constituye una eondición suficiente para que la derivada exista en c. O bse rv aci ón . Al considerar combinaciones algebraicas simples de funciones de la c\, no es difícil construir funciones continuas que no tienen derivada cn un nlimero finito (o incluso contable) de puntos. En 1872, Karl Weierstrass causó el asombro del mundo matemático al of recer un ejemplo de una función que es continua en todo punto l'i-rd'cuya derivad a no existe en ninguno de ellos. Esta función desafiaba la intuición geométrica acerca de curvas y rectas tangentes y, por consiguiente, estimuló la realización de investigaciones mucho más profundas de los conceptos del análisis real. (E s posible demos irar que la función /definida por la serie lurina x>-> j.v
/ ( * ) :=
E
— COS ( 3 " x )
= lím (x + c) = 2c. x-»c
Por tanto, en este caso, la función f está definida en la totalidad de i? y f\ x) = 2x para x e R . Se demuestra a continuación que la continuidad de/.en un punto c es una condición necesaria (pero no suficiente) de la existencia de la derivada en c. 6.1.2
X
posee la propiedad citada. Sin embargo, no se presentará una demostración de esta afirmación.)
x2 - c 2 ------------
ílím ( x - c ) )
----------------------
= f ' ( c ) •<) = (). X
En otras palabras, la derivada de /en c está dada por el límite
lím \ x —> C
>C
< £ .
X— c
j(xc).
Cn. '.Id que existo J' {c ), se puede aplicar el teorema 4.2.4 relativo al límite de un hielo para concluir que
6.1.1 Definición. Sea /C R un intervalo, sea/: I~>R y sea c e / . S e dice <|ii« un número real L es la derivada de /en c si para cualquier número £ > 0 dado existe un número 8(e) > 0 tal que para cualquier x e/ con 0 < ¡x c\ < 8(r), entonces |/ 0 )
—
Teorema. Sif: I~ *R tiene una derivada en ce ! , entonces fe s continua
Hay varias propiedades básicas de la derivada que son muy útiles al calcular las derivadas de diferentes combinaciones de funciones. Se proporciona a continuación la justificación de algunas de estas propiedades, las cuales le serán familiares al lector por cursos previos. 6.1.3 Teorema. Sea I C R un intervalo , sea c e l y sean f: I ~>R y g: I fun cio nes q ue son de riv ables en c. E ntonces:
R
I A l»l lUVADA
DI ItIVAl M)N
a) Si a eR , entonces la función a J es derivable en > , r
/( » )g( < )
(cf)'(c) = af'(c).
(3)
J(c)g(c) + f(c)g(c) -f ( c )g (x ) g ( x ) g ( c ) ( x - c )
f { x ) - f ( c ) X- C g ( x ) g ( c )
b) La función f + g es deriva ble en c, y
g ( c ) - f ( c )
-------------------------
(.f+g)’C)=f\c)*s'(c).
W
c) (Regla del producto) La función fg es derivable en c, y
11'
(fsY(c) = f'(c)g(c ) + f( c) g\ c) .
(5)
------
lo la continuidad de g en c y la derivabilidad de/ y g en c, se deduce que „
(i (c) = hm
c0 (Regla del cociente ) Si g(c ) =£ O, entonces la función f/g es derivable en c,
g(x)-g(c) X- c
------------------
Q(x)-q(c) ---------------------
=
f ( c ) g ( c ) - f ( c )g ' ( c ) “5
(g(c)Y
■
» l'o, lanío, q - f / g es derivable en c y s e c u m p l e l a e c u a c i ó n ( 6 ) .
q . e .d .
( / y ( ) ^ ( c )g ( c ) - f w s ' j c ) m
(6 )
(L(c)Y Demostración. Se demostrarán los incisos c) y d), dejando a) y b) como ejercicios para el lector. c) Sea p := fg; entonces para x e l , x A c, se tiene
p ( x ) p ( c ) ^ f ( x ) g ( x ) - f ( c ) g ( c ) X- c X - c
Se, puede aplicar la inducción matemática para obtener las siguientes amplia . iones de las reglas de derivación. 6 .í .4 Corolario. S i /,, f 2,. .., f nson fun cio nes de un int erv alo 1 a R qu e son daivables en c el , entonces: a) La función f + f2 + •••+ f nes de riv able en c y l< )
Puesto que, por el teorema 6.1.2, g es continua en c, entonces lím g(x) = g (c). X
C
Puesto que/ y g son derivables en c, por el teorema 4.2.4 sobre las propiedades de los límites se infiere que
!
p ( x ) p i e ) 7 ^ = / ' ( c) g ( c ) + f ( c ) g ' ( c ) .
------
------
Por tanto, p = fg es derivable en c y se cumple la expresión (5). d) Sea q :=f/g. Puesto que g es derivable en c, es continua en esc punto (por el teorema 6.1.2). Por lo tanto, como g( c) A 0, se sabe por el teorema 4.2.9 que existe un intervalo J C I con c s J tal que g(x) A 0 para toda x e J . Para x e J , x ± c, se tiene
q ( x ) q ( c ) = f ( x ) / g ( x ) ~ / ( c ) / g ( c ) = R x ) g ( c ) ~ f ( c ) g ( x ) x~ c
x~ c
g ( x ) g ( c ) ( x - c)
+ & ) ’ ( * ) = / í ( < 0 +Í'ÁC) +
+K(C).
b) La función /,/2 ■•• fn es de riv able en c y
= f ( X) s ( x ) - f ( c ) g ( x ) + f ( c ) g ( x ) f ( c ) g ( c ) X- c . . . . . f ( x ) - f ( c ) g ( x ) - g ( c ) — — . — . g ( , ) + / (c ) .—
(/l+ / 2+
( H) _ ( f J -2 ••• fn )'( c ) = f [ ( c ) f 2(c ) ••• f n(c ) + f Á c ) ñ ( c ) ■•• f n( c ) + ••• + f l ( c ) f 2 ( c ) ••• f n{ c ) . Un importante cas o especial de la regla del producto ampliada (8) ocurre si las lunciones son iguales, es decir,/, = f 2 = •••= f n = /■ Entonc es (8 ) da lugar a (»)
( n \ c ) = n ( f ( c ) ) n- l f ' ( c)
I ',11 particular, si se toma/(x) := x, enton ces para la derivada de g(x ) := x" se obtiene i;'(x) = nx"~l, n eN . La fórm ula se amplía para incluir enteros negativos aplicando la regla del cociente 6.1.3 d). 6.1.5 Notación. Si I C R es un intervalo y /: / > R, se ha introducido la notación f para denotar la función cuyo dominio es un subconjunto de / y cuyo valor en un punto c es la derivada f' (c ) de/en c. Ex isten otras notaciones que se usan en ocasiones para/ '; por ejemplo, en ocasiones se escribe D f en lugar de/'. Así, las fórmulas (4) y (5) se pueden escribir en la forma
D ( f + g ) = D f + Dg,
D( f g ) = ( D f ) •g + /• ( D g ) .
I A DI UIVADA
DI KIV/\< l( IN
Cuando x es la “variable in depen diente” , en cursos d
¿
( /( * ) S ( * ) ) ( I ( I ) j ( « ( x ) ) + / ( * ) ( § ( * ) ) .
Esta última notación, debida a Leibniz, tiene ciertas ventajas. Sin embargo, tam bien tiene algunas desventajas y se debe usar con cierto cuidado.
g ('j ) “ g ( í ¿ ) : y- d ■= g '( d)
. , SI y G l , y ¥ = d ,
0 ( / / ) :=
si
y = d.
Puesto que g es derivable en d, se tiene lím G(y) = g\d ) = G(d), por lo que G ‘ u y-» a . \<
(I I)
x—*c
y ~*d
Por la definición de G se sigue que El siguiente teorema sobre la derivación de funciones compuestas se conoce como la “regla de la cadena”. Proporciona una fórmula para la derivada de una función compuesta g ° f Por ejemplo, la fórmula (9) se podría derivar usando la regla de la cadena. Si / es derivable en c y g es derivable en /(c), entonces se demostrará que la derivada de la composición g ° f e s ( g ° f) '( c) = g'( f( c )) f' (c ). Obsérvese que esta expresión se puede escribir como
La idea de la regla de la cadena es la observación de que el cociente diferencial se puede escribir como el producto
x- c
para
toda y el. Por tanto, si x e J y se hace y = f( x) , se tiene entonces
ff o f ( x ) - g o f ( c ) = g ( f ( x ) ) g ( / ( c ) ) = G°/(cc)(/(x) Por lo tanto, si x e J , x A c, se tiene entonces
( g o / y « ( g ' o /) • / ' .
g(/ (*)) ~ g(/(c)) = g(/ (*)) ~ g(/ (c))
g ( y ) ~ g ( d ) = G ( y ) ( y d)
/(*) - f ( c )
f ( x )- f ( c)
g ° f { x ) - g ° f { c ) f(x)-f{c) ; = G ° /( x) • . x-c x-c Por consiguiente, por (11), se tiene
x- c lim
Esto sugiere el valor límite correcto. Desafortunadamente, el primer factor del producto puede no estar definido si el denominador f( x) - f ( c ) es 0 para valores de x próximos a c, y esto plantea un problema. La siguiente demostración salva esta dificultad. 6.1.6 Regla de la cadena. Sean /, J inte rvalos en R, s ean g: I -* R y /: J » R funcion es tal es q ue f ( J ) C I y sea c e J. Si f e s derivable en cy si g es derivable en f( c) , enton ces la fun ción com puesta g ° f e s deriv able en cy g '( / ( c ) ) - f i e ) .
x->c
g o f ( x ) ~ g o f ( C) ----------------------------------
x -c
= g ( f ( c ) ) • / ( c ) .
Por lo tanto, g °/ es derivable en c e J y se cumple la igualdad (10).
Si g es derivable en /, si/e s derivable en J y si f ( J ) C /, entonces por la regla de la cadena se sigue que (g ° /)' = (g' ° /) •/', expresión que también se puede escribir en la forma D(g °f ) = ((Dg) °f ) ■Df. 6.1.7 Ejemplos, a) Si/: I~*R es derivable en /y g(y) :=y" para y e R , n e N, entonces como g'(y ) = n yn~\ por la regla de la cadena 6.1.6 se sigue que
( g ° f í ( x ) = g ’( f ( x ) ) - f ' {x ) Demostración. Sea d := f(c) y sea que G esté definida en / por
q.e .d.
para
x e L
Se tiene por lo tanto ( f")'(x ) = n ( f(x)Y ~' f'(x) para toda x e /, como se vio en ( 9).
II)
I >1 Ul VA( K III
I A DI KIVAIlA
b) Supóngase que /:/ >/í es dcrivaMc en /y qu. /
.i .i ir ..i. I liei Im> de <|ne /> .sen \ eos x para toda x e R y se aplica la regla del lie i., a I i c) y la regla de la cadena ó. 1.6, se obtiene (¿por qué?)
j '( v) = 2x sen (l/x) cos(l/x) ( ) ) (O = ( W ) ' ( 0 = & ' ( / ( * ) ) / ' ( *) = W ) (/(*))
para
,,
/
«i, no se puede aplicar ninguna de la reglas anteriores. (¿Por qué?) Por con ijuiienie, la derivada de/en x = 0 se debe encontrar recurriendo a la definición de di iiv.ida. Se encuentra que
c) Se demostrará más adelante que si S(x) := sen x y C(x) := eos x para lo.lu y
C'(x) = sen x = 5(x)
para toda x e R . Si se usan estos hechos conjuntamente con las definiciones tan x ■=
sen x ---------
eos x
1
scc x
,
eos x
parax ^ (2 k + 1)^/2, k eZ, y se aplica la regla del cociente 6.1.3 d), se obtiene
D tan x =
(eos x )(eos x ) ( s e n x ) ( —s en x ) (eos x) 2 (eos x)
D scc x
(sec x )2
2
0 — 1 ( —s en x ) “ (eos x)
/'(O) y *
lím X
>0
/ ( x ) —f(0) ---------------------
X - 0
= lím
x 2 sen (1 /x )
*-><)
X
= lím x sen (l / x ) = 0. x -»()
l’oi lanío, la derivada f de /existe en toda x e R . Sin embargo, la función /' no in ni límite en x = 0 (¿por qué) y, por consigui ente,/ ' es discontinua en x = 0. Por i mío, una funció n/qu e es derivable en todo punto de R no tiene necesariamente mu derivada/' continua.
Funciones inversas A continuación se relaciona la derivada de una función con la derivada de su Iunción inversa, cuando esta última existe. Para poder usar el teorema de la inversa ■onlinua 5.5.5, sólo se atenderá a funciones continuas estrictamente monótonas. 6.1.8 Teorema. Sea Í Q R un intervalo y sea f:I ~* R estrictamente monótona r continua en I. Sea J:= f{ ¡) y sea g: J -* R la función estrictamente monótona y i .miinua inversa de f. Si f es derivable en c e l y f\ c) i7- 0, entonces g es derivable
en d:=f{c )y
senx -2 = ( s e c x ) ( t an x )
(co sx)
parax A (2 k+ \)n/2, keZ De manera similar, ya que
g'(d) =JvS =/'(«()' Demostración. Para y e J , y =£ d, se define
eos x
COt X := --------- ,
sen x
CSC X :—
i sen x
y
...
,
f ( g { y ) ) - f ( g ( d ) )
H(y) ^
parax A kn, keZ , se obtiene entonces
D c o t x = — ( e sc x ) 2
x ^ 0
a
x e R , entonces
S'(x) = eos x = C(x)
para
D e sc x = ( e s c x ) ( c o t x )
para x A kn,k e Z. d) Supóngase que / está definida por
gOA«OO
Puesto que g : J - > R es estrictamente monótona, entonces g(y ) A g(d ) para y e J , y d; por lo tanto, H está bien definida en J . Asimismo, puesto que y = f( g (y )) y d= f(g(d)), se tiene entonces
y —d
f ( x ) ■= x 2 se n ( l / x )
para
x#0,
0
para
x = 0.
'
g(y) ~ s(d) de modo que H(y) + 0 para y + d, y eJ .
I
DI lílVAl l<)N
Se demo strará que líni^ //(y) = /'(<)• De he cho ,; a :.<•d. i« 0, com o /'mili rivable en c = g( d) , existe 8 > 0 tal que si 0 < |* el • <\ \< /, enlomes /<*) "/ (c)
X —c
-f(c)
< e.
Pero como g es continua en d = f(c), existe y > O tal que si \y- d\< y y <7, entonces |#(y) g(¿/)| < 8. Puesto que g es inyectiva y c = g( d) , se ti ene O ■: |i,;( vi c\< 8 si O < \y-d\< y, y e j. Por lo tanto se sigue que
I»
g'( ^ f ' ( c ) < e
g ( y ) —g ( d )
Opara y ^ d , y e J . Como se tiene
g ( y ) - g ( d ) y- d para y
d, y eJ , se infiere que v g(y)~g(d) 1 1 1 lím = lím — —— = — = . y->d y~ d y-*d H(y) f(c) lim H ( y ) y~*d
Por lo tanto, g' (d ) existe
g’ ° f ( x ) = J ^ cy
es igual a 1 /f'( c) .
xGL
lambicn se puede escribir en la forma g'(y) = l/f'(x), siempre que se tenga muy presente .|ii< vy y se re lacionan por y = f(x) ox = g(y).
1
-------------
y
Para
6.1.1© Ejemp los, a) Sea n e N par, sea / := [ 0, oo) y sea f( x ) := xn para x e l . Al imal de la sección 5.5 se vio que/es estrictamente creciente y continua en /, de modo que su función inversa g(y ) := y1'" para y e J := [0, °°) también es estrictamente creciente y continua en J . Además, se tiene/ /*) = nx n~1para toda * e l . S e sigue por tanto que si y > 0, enton ces g'(y) existe y
H(y)
---------------
7T T 7 para
u ni la forma
cuando O < \y d\ < y y eJ. Pero como e > O es un valor cualesquiera eslo significa que lím H(y) =f\c). Sin embargo, se observó ya que H(y)
21.)
I A DI KIVADA
g ' t ! / ) “ / ' ( g ( v ) ) "
1 n ( g ( y ) ) n- 1
1
q . e . d ..
1
= n(y''")nZT = V n" 1)Al' No ta. La hipótesis hecha en el teorema 6.1.8 de que/'(c) ^ Oes esencial. De hecho,
Sl f\ c) = O, entonces la función inversa g no es derivable en d = f (c). En realidad, si g fuera derivable en d, como/es la función inversa de g, se puede aplicar el teorema 6.1.8 a £ para concluir que/ es derivable en c - g{d) y que 1 = f'(c) g'( d) = O, que es una contradicción. Por lo tanto, g no es derivable en d. La función f(x) := x 3, .v eR , ejemplifica esto con c = 0. estrictamente monótona en /. S ea J :=f(I )ysea g: J- >R la función inversa de f Sife s derivable en I y f'( x) 0 pa ra x e l , entonc es g es de riva ble en J y 6.1.9
(13)
Teorema. Sea I CR un intervalo y sea
£ = — ■ f ° g
Se deduce por tanto que
g' { y) = - y (1/n) 1 n
para
y > 0.
Sin embargo, g no es derivable en 0. (Para una gráfica de/ y g, ver las figuras 5.5.4 y 5.5.5 en la p. 197.) b) Sea n e N , n ¥= 1, impar, ses F(x) := xn para * e R y sea G(y) := yx/n su función inversa definida para toda y e R. Como en el ejemplo a), se encuentra que G es derivable para y =£ 0 y que G'(y) = (l/n)y^ 1para y =£ 0. Sin embargo, G no es derivable en 0, aun cuando G sea derivable para toda y ^ 0. (Para una gráfica de F y G, ver las figuras 5.5.6 y 5.5.7 en las pp. 198 y 199.)
21.1
I >1 l(IVA< li IN
I A I>1 UIVADA
c) Se a /•:= m/n un número racional positivo, sea / |0, " ) v sea /»'(\) \‘ p a r a * e l . (Recuérdese la definición 5.5.6.) Entonces R es la composición «I* Ion funciones/(*) := x m y g(*) := **/", x el. Es decir, R(x) = /(#(*)) para ,v * I Si aplica la regla de la cadena 6.1.6 y los resultados de a) [o b), según n sea p.n o impar], se obtiene entonces
R'(x) = f' (g(x ))g’(x) = m(xl/n) ,n- 1 • ~x(l/n)-' n
= — *<"•/")1 = rx r_1 n
^
para toda * > 0. Si r > 1, entonces es un ejercicio demostrar que la derivada también existe en * = 0 y R\0) = 0. (Para una gráfica de R, ver la figura 5.5.8 en la p. 200.) d) La fun ción seno es estrictamente creciente en el intervalo / := \-n/ 2, n/2. |. por lo tanto, su función inversa, que se denotará por Arcsen , existe en J := [1, 11 Es decir, si x e [71/2, n¡2\ y y e [ 1,1 ] entoncesy = sen x si y sólo si Arcsen y = . En el ejem plo 6 .1.7 c) se afirmó (sin demostración) que sen e s derivable en / y que D s en * = e o s * p a r a * e l . Puesto que eo s* =3 0 para*en {-n/2, tc /2 ) por el teorema 6.1.8 se sigue que //Arcsen y —
1 -------------
D sen *
=
1 ----------
eos *
1
1
] /1 ( s e n * ) 2
} / l - y 2
para toda y e ( 1, 1). La derivada de Arcsen no existe en los puntos 1 y 1.
Ejercicios de la sección 6.1 1( Usar la definición para encontrar la derivada de las siguientes funciones: a) /(*) := *3 para * eR . b) §(x) ■ ’ =V * para * e i?, * =£ 0. c) h(x) := V* para * > 0. . d) k(x) := 1/-Jx para * > 0. 2 í Demostrar que /(*) := *V3, x eR, no es derivable en * = 0. y. Demostrar el teorema 6.1.3 a), b). 4/ Sea que /: R - > R esté definida por /(*) := * 2 para * racional, /(*) := 0 para * irracional. Demostrar que /es derivable e n * = 0 y encontra r/'(0). 5. Derivar y simplificar: a) /(*) :=
c)
* 2'»
1+ *z
h(x) := (sen*¿)"' para m, k eN,
b)
g(x) := ^ 5 - 2 * + * 2,
d) k(x) := tan (*2) para ¡*j < V n/2.
21 8
(. 8r:i ii i N y sea <|iie/: R > R esté definida por/(*) := xn para* > 0 y/(*) := opaia \ O. ¿Para qué valores de n f es continua en 0? ¿Para qué valores de ii I ' es derivable en 0? / Suponer que /: R -* R esderivable en c y que /(c) = 0. Demostrar que g(x) . f(\) es derivable en c si y sólosi/'(c) = 0. I)eleiminar dónde son derivables las siguientes funciones de R a R y encontrar la derivada: a) /(* ) := ¡*¡ + !* + 1¡ b) g(x) :=2 x+ |*| c) //(* ):=*;* d) k(x) := ¡sen *¡. e) p(x) := x2 para * racional y p(x) := 0 para * irracional. o. Demostrar que si/: R - * R qs una función p ar [es decir,/( *) = /(*) para toda * £•/£] y tiene derivada en todo punto, enton ces la derivada / ' es una funci ón impar [es decir,//*) = /'(*) para toda* eR], Demostrar asim ismo que si g: R - * R e s una función impar derivable, entonces g es una funci ón par. 10'. Se a que g: R ^ - R esté definida por g(x) : = * 2 sen (l/* 2) pa ra* A 0, y g(0) = 0. Demostrar que g es derivable para toda x e R . Demostrar asimismo que la derivada g' no está acotada en el intervalo [ 1, 1]. I V. Suponer que existe una función L\ (0, =°) > R tal que L'(x) = 1/* para * > 0. Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) /(*) := 1 (2 * + 3) para * > 0. b) g( x) := (L(* 2))3 para * > 0. c) h(x) :=L(ax ) para a > 0 , * > 0 . ,d) k(x) : = X (£ (*) ) cuando L(x) > 0, * > 0. 12/ Si r > 0 es un número racional, sea que f: R~* R esté definida por/(*) := * r sen (1/*) para * A 0, y /(0) := 0. Determinar los valores de r para los que existe/'(O). 13. Si/: R > R es derivable en c eR, demostrar que / ' ( c ) = lí m ( n { / ( c + 1 / n ) ~ / ( c ) } ) . Sin embargo, demostrar con un ejemplo que la existencia del límite de esta sucesión no significa que exista f' (c). 14/ Dado que la función h(x) := *3 + 2* + 1 para * e R tiene una inversa hrx en R, encontrar el valor de (h~x)'(y) en los puntos que corresponden a * = 0 ,1 , 1 . 15. Dado que la restricción de la función coseno a / := [0, 7r] es estrictamente decreciente y que eos 0 = 1, eos n = 1 , sea 3 := [1 ,1] , y sea Arceos: J - * R la función inversa de la restricción de eos a /. Demostrar que Arceos es derivable en (1, 1) y que D Arceos y = (—1)/(1 y2)1/2 para y e ( l , 1). Demostrar que Arceos no es derivable en 1 y 1. 16. Dado que la restricción de la función tangente a /: {-n/2, n/2) es estrictamente creciente y que tan (/) = R, sea Arctan: R > R la función inversa de la restricción de tan a I. Demo strar que Arctan es derivable en jR y que D Arctan (y) = (1 + y2)1 para y eR.
II 'I NH UM A 1)1.1 VAN >U MI DIO
I» KIVACION
217 f l l i J / M ?
SEC CIÓN 6.2 El teorema del valor medio El teorema del valor medio, que relaciona los valores de una función con Ion valores de su derivada, es uno de los resultados de mayor utilidad en el anál íním real. En esta sección se establecerá este importante teorema y se examinarán algu ñas de sus múltiples consecuencias. Se empieza con el análisis de la relación entre los extremos relativos de mui función y los valores de su derivada. Recuérdese que se dice que la función /': / • R tiene un máximo relativo [o bien, un mínimo relativo] en c e/ si existe mui vecindad V := Vs(c) de c tal que f( x) =S f( c ) [o bien,/(c) f( x) ] para toda .v en 1 O I. Se d ice que/tiene un extrem o relativo en c e/si tiene un máximo relativo, o bien, un m ínimo relativo en c. El siguiente resultado proporciona la justificación teórica del conocido proce so de encontrar los puntos en los que /tiene extremos relativos examinando Ion ceros de la derivada. Sin embargo, se debe tener presente que este procedimicnlo sólo se aplica a los puntos interiores del intervalo. Por ejem plo, si f( x):= x en el intervalo I := [0, 1], en tonces el punto terminal x = 0 produce el únicomínimo relativo y el punto terminal x = 1 produce el único máximo de/en /, pero ninguno de estos dos valores es un cero de la derivada de/. 6.2.1 Teorema del extremo interior. Sea c un punto interior del intervalo I
en el que f: I - * R tiene un extremo relativo. Si la derivada d ef en c existe, entonces
f'(c) = 0.
Demostración. Se demostrará el resultado únicamente para el caso en que / tiene un máximo relativo en c; la demostración del caso de un mínimo relativo es similar. Si f' (c ) > 0, entonces por el teorema 4.2.9 existe una vecindad VC / de c tal que
/(*) /(
---------------------
x- c
„
0
para
Se o bserva que si/(.v) := |.v|en / := [—1, 1] , en tonce s / tien e un máx imo interior •ii \ (I; sin embargo, la derivada de/ no existe en x = 0. 0.2.3 Teorema de Rolle. Suponer que fe s continua en un intervalo cerrad o I |w, ó], que la derivada f existe en todo punto del intervalo abierto {a, b) y que Ha) /(/'). Entonces existe al menos un punto c en {a, b) tal que f\ c) = 0, (Ver la hilara b.2.1.) Demostración. Si /se anula en /, entonces cualquier c e n (a, b) satisfará la •imelusión del teorema. Por tanto, se supone que/no es este el caso; sustituyendo I por / de ser necesario, es posible suponer que/ asume algunos valores positivos. l‘or el teorema del máximomínimo 5.3.4, la función/a lcanza el valor sup {f(x): » l\ > 0 en algún punto c de I. Puesto que/(n) = /(£») = 0, el punto c debe estar en la, />); por lo tanto,/'(c) existe. Puesto que/tiene un máximo relativo en c, por el l e o r e m a del extremo interior 6 .2.1 se concluye que/ '(c) = 0 . q .e .d . Como consecuencia del teorema de Rolle, se obtiene el importante teorema del valor medio. 6.2.4 Teorema del valor medio. Suponer que f e s continua en un intervalo cerrado I : = [a , b] y que f tiene derivada en el intervalo abierto (a, b). Entonces reiste al menos un punto c en e l intervalo abierto ( a , b) tal que
f ( b ) — f ( a) = f ' ( c ) ( b - a ). Demostración. Considérese la función cp definida en I po r .............................
tp(x) ■■= f ( x ) / ( a )
Rb)-Ra), -^ZTa
x e V , x ^ c.
S i x e V y x > c, se tiene entonces
f ( x ) - f ( c ) > 0. X- c
/(*) - R e ) = (x - c) •--V— -
Pero esto contradice la hipótesis de que/tiene un máximo relativo en c. Po r tanto, no se puede tener/'(c) > 0. De manera similar (¿cóm o?), no se puede tener/'(c) < 0. Por lo tanto, se debe tene r/'(c) = 0. q.e.d. 6.2.2 Corolario. Sea f\ I R continua en un intervalo I y supóngase que f tiene un extremo relativo en un punto interior c d e I. Entonces la derivada d ef e n c no existe, o bien, es igual a cero.
FIG UR A 6.2.1 Teorema de Rolle.
( x ~ fl)
21W
1)1 KIVAl ION
[La función )); ver la figura |I u función (p satisface la hipótesis del teorema de Rolle, ya que ip es con! ¡mía eni |m. b], derivable en (a, b) y
o
<►.2.5 'I co re ni a. Suponer que fe s continua en un intervalo cerra do I := [a, b], t/ni' f es derivable en el intervalo abierto (a, tí), y que f'(x) = 0 pa ra x e (a, tí). I aintiees f es constante en /.
„ \ r// , Kb) “/(«) ---------------
~
b —a
Por tanto, f( b ) - f{ a ) = f' {c )( b - a)
M iroinna del valor medio permile sacar conclusiones acerca de la naturaleza I, mu Imicioii /a parí ir de la información sobre su derivada /'. L os resultados i11*mr n ies se obtienen de esta manera.
o.i .n,
La interpretación geométri ca del teorema del valor medio es que existe un punto en hi curva y = f(x ) en el que la recta tangente es paralela al segmento de recta que pasa por los puntos (a,f(a)) y ( b j ( b )). En consecuencia, es fácil recordar el enunciado del teorema del valor medio trazando los diagramas apropiados. Si bien el uso de este procedimiento no se deberá desalentar, tiende a sugerir que la importancia de este resultado es de naturaleza geométrica, lo cual es bastante engañoso. De hecho, el teorema del valor medio es un lobo con traje de oveja y es el teorema fundamental del cálculo diferencial. En el resto de esta sección se presentarán algunas de las consecuencias de este resultado. Más adelante se ofrecerán otras aplicaciones.
Dem ostración . Se demostrará que f( x) = f(a ) para toda x e l . De hecho, si se •i.i \< /, x > a, se aplica el teorema del valor medio a /en el intervalo cerrado Ix := |,/. \\. S e obtiene un punto c (que depende de x) entre a y x tal que f( x) - f ( a ) = I (i ■)(.v a). Puesto que/'(c) = 0 (por hipótesis), se deduce que f( x) - f ( a ) = 0. Por imío, /(v) = f( a) para cualquiera e l . q.e.d. 6.2.6 Corolario. Suponer que f y g son continuas en / := [a, b], que son ilnivables en (a, tí) y que f\x ) = g'(x) p ar a tod a x e (a, tí). Entonces existe una •. ‘listante C tal que f - g + C enl. Recuérdese que se dice que una función f : I ~ * R e s crecien te en el intervalo I u siempre que x v x 2 e n I satisfacen x1< x2, entonces f{ xf ) ^ f( x 2). Recuérdese .r;imismo que/ es decrecie nte en I si la función / es creciente en I. 6.2.7 Teorema. S e a f :I - * R derivable en el intervalo I. Entonces: a) f e s creci ente en I si y s ól o s i f'(x ) 5= 0 pa ra tod a x e l . -b ) fe s decreciente en I si y sólo si f'(x) ^ 0 pa ra tod a x e l . Demostración, a) Supóngase que/'(*) 25 0 para toda x e l . Si %2 en I satisfacen Xj < x2, entonces se aplica el teorema del valor medio a / en el intervalo cerrado J := [xv x 2] para obten er un punto c en (xv xf) tal que / ( * 2 > / < * l) = f ( c ) ( x 2 - X i) . Puesto que f\ c ) ^ 0 y x 2 x1 > 0, se sigue que f( x 2) /(^ 3) > 0. (¿Por qué?) .Por tanto, f{ x f) ^ f( x2) y, como x x < x 2 son puntos cualesquiera de I, se concluye que /es creciente en I. En cuanto a la afirmación recíproca, se supone que /es derivable y creciente en I. Para cualqu ier punto c de I, si x > c, o bien, x < c para x e ¡ , entonces se tiene que (f(x) - f ( c ) ) / ( x - c ) . (¿Por qué?) Por tanto, por el teorema 4.2.6 se concluye que
y-c FIGU RA 6.2.2 Teorema del valor medio.
"
f ( c ) = lím
x —>c
X — C
> 0.
b) La demostración del inciso b) es similar y se omitirá.
Q.E.D.
l i l i ( i ld M A N I I VA I ( II I M I N I O 22(1
I >1 K l V A < I O N
i N e i s ; i |>Iíc : k ' íoibcs d el l te o r e m a d e l v a l o r m e d i o
Se dice que una función /es estrictamente crecióníc en un ¡Hiérvalo /si |mih cualesquiera puntos x v x2 de / tales que x, < x2, se tiene /(a ,) < /'(a ,). Co n un razonamiento similar a la demostración del teorema 6.2.7 se puede demoslim que una función que tiene una derivada estrictamen te positiva en un intervalo es esb u lamente creciente en el mismo. (Ver el ejercicio 6.2.13.) Sin embargo, la afinun ción recíproca no se cumple, ya que una función derivable estrictamente crecienic puede tener una derivada que asuma valores cero en determinados puntos. I’m ejemplo, la función/: R - + R definida por /(x) := x3 es estrictamente crecie nte en U, pero/'(O ) = 0. L a situación para las funciones estrictamente decrecientes es similai
Sr
S Observación. Resulta razonable definir una función como creciente en un punió m existe una vecindad del punto en la que la función es crecie nte. S e podría suponer que, si ln derivada es estrictamente positiva en un punto, entonces la función es creciente en osle punto. Sin embargo, este supuesto es falso; de hecho, la función derivable definida por
g(x) := x + 2 x2 sen ( l/ x ) := 0
si x ^ 0, si x = 0,
es tal que g'(0 ) = 1, a pesar de lo cual es posible demostrar que g no es cre ciente en ninguna vecindad de x = 0 . (Ver el ejercicio 6.2.10.) En seguida se verifica una condición suficiente para que una función tenga un extremo relativo en un punto interior de un intervalo. Es común hacer referencia a esta condición com o el “criterio de la primera derivada”. 6.2.8 Crite rio de la prim era derivada para extremos. Sea f continua en el intervalo I := [a, b] y sea c un punto interior de I. Suponer que fe s derivable en (a, c) y ( c , b). Entonces: a) Si existe una vecindad ( c 8, c + 8) C / tal que f'(x) 5= 0 par a c - 8 < x < c y f'(x) ^ 0 pa ra c < x < c + 8, ent onces f tien e un m áxim o relativo en c. b) Si existe una vecindad (c -8 ,c + 8) C / tal qu ef’ix ) 0 pa ra c - 8 < x < c y f '(x) 23 0 par a c < x < c + 8, entonces f tiene un mínimo relativo en c.
Ejem plos , a) El teorema de Rolle se puede usar para localizar las raíces de una función. Si una función g se puede identificar como la derivada de una función f entonces entre dos raíces cualesquiera de / hay al menos una raíz de g. r. .i ejemplo, sea g(x) := eos x; se sabe entonces que g es la derivada de/(x) := sen i Por tanto, entre dos raíces cualesquiera de sen x hay al menos una raíz de eos x. I'..r otra parte, g'(x) = sen x = -f(x), por lo que otra aplicación del teorema de K<.lie nos d ice que entre dos raíces cualesquiera de eo s hay al m enos una raíz de sen. Se concluye por lo tanto que las raíces de sen y eos se entrelazan entre sí. Quizás o.ia conclusión no sea nueva para el lector; sin embargo, un razonamiento similar ,c puede aplicar a las func ion es de Bes se l J n de orden n = 0,1, 2,... usando las ielacione s
x"Jn(x )] ’ = xnJ n_ i ( x ) ,
[x »;„(*)]' = *
Observación. El recíproco del criterio de la primera derivada 6.2.8 no se cumple. Por ejemplo, existe una función derivable f : R - * R con mínimo absoluto en x = 0 pero tal que /' asume valores tanto positivos como negativos a ambos lados (o de alguna manera cerca) de x = 0. (Ver el ejercicio 6.2.9.)
para
0.
Id lector deberá aportar los detalles de este razonamiento. b) Es posible aplicar el teorema del valor medio para obtener cálculo s apro \imados y estimaciones de error. Por ejemplo, supóngase que se quiere evaluar \l 105. Se emplea el teorema del valor medio con f(x) := \/x, a = 100, b = 105 para obtener / Í 0 5 /IOO =
5 2 /c ’
para algún número c con 100 < c < 105. Puesto que 10 < Ve < V l05 < V i2 1 : 11, se puede afirmar que e 2 ( 11)
Demostración, a) Si x e ( c 8, c ), entonces por el teorema del valor medio se sigue que existe un punto cx e (x, c ) tal que f( c) / ( x ) = ( c x)f'(cx). Puesto que f' ( cx) 23 0, se infiere que/(x) ^ f( c ) para x e (c <5, c ). De manera similar, se sigue (¿cómo?) que f( x ) ^ f ( c ) para x e (c, c + 8). Por lo tanto, /(x) f( c) para toda x e ( c <5, c + 8) , de dond e/tiene un máximo relativo en c. b) La demostración es similar, q . e .d .
7n +i(* )
c < / IÓ 5 1 0 <
2 ( 10) ’
de donde se sigue que 10.2 272 < VTÓ5"< 10.25 00. Quizás esta estimación no tenga la precisión deseada. Es evidente que la estimación Ve < V Í 05 < Vi 21 fue muy amplia y que se puede mejorar haciendo uso de la conclusión de que Vi 05 < 10.25 00. Por tanto, V e < 10.2 500 y se puede determinar con facilidad que 0.2439 <
, < /ÍÓ5 10. 2(10.2500)
La estimación mejoradles 10.2439 < Vl05 < 10.2500.
II
1)1,ItIVAl'I()N
Si / ; ( » ) : ( I I \)'\ entonces h\x) = « ( 1 + x)‘r 1 para toda x > 1. [En el . |. iiipl l .ll ) c) se es tab leci ó la deriv ada para a racional. La ampliación a cv ni.it IImal se estudiará en la sección 8.3 .] S ix > 0, por el teorema del valor medio aplicado a //en el intervalo [0 ,x] se infiere que existe n que satisface 0 < c < x tal <1111 //(v) //(O) = h'(c)(x- 0). Se tiene por tanto
Desigualdades Un uso muy importante del teorema del valor medio e s la obtención «le »iu i .i*. desigualdades. Siempre que se cuente con información acerca del codominio de lu derivada de una función, esta in formación se puede usar para deducir ciertas pin piedades de la función en sí. L os siguientes ejem plos ilustran el valioso papel qu< desempeña el teorema del valor medio a este respecto. 6.2.1 0 Ejem plos, a) La función exponencial/(x) := ex tiene la derivada /'( \i = e* para toda x e R . Por tanto,/'(x) > 1 parax > 0 y f( x ) < 1 parax < 0. A pailn de estas relaciones se establece la desigualdad (*)
ex>l+x,
x e ñ
en la que la igualdad se cumple si y sólo si x = 0. Si x = 0 , se tiene la igualdad con ambos miembros iguales a 1. S i x > 0 su aplica el teorema del valor medio a la función /en el intervalo [0 , xj. En tonces para alguna c c on 0 < c < x se tiene
l l l H U M A I >11 V AI
( 1 + x ) a — 1 = « ( 1 + c ) a ~ l x .
x»
f u .s lo que c > 0 y a - \ > 0, se sigue que(l +c)a~] > 1 y, por tanto, que(l +x)“ 1 i a x. Si i < x < 0, una aplicación similar del teorema del valor medio en el iniervalo [x, 0] lleva a la misma desigualdad estricta. Puesto que el caso x = 0 da .orno resultado la igualdad, se concluye que (#) es válida para toda x > 1 con la igualdad si y sólo six = 0. d) Sea a un número real que satisface 0 < a < 1 y sea g(x ) = a x - x a para . 0. Entonces g'(x) = a( 1 x " ' 1), de modo que g'(x) < 0 para 0 < x < 1 y g'(x) 0 parax > 1. Por consiguiente, si x 5= 0, entonces g(x) ^ g (l) y g(x) = g (l) si y s o l o si x = 1. Por lo tanto, si x 3= 0 y 0 < a < 1, se tiene entonces x" < ax + ( 1 — a ) .
ex - e° - e°(x
0) .
Puesto que e° = 1 y e c > 1, se llega a e x 1 > x de donde se tiene e x > 1 + x parax > 0. Un razonamiento similar establece la misma desigualdad estricta par ax < 0. Por tanto, la desigualdad (* ) se cumple para toda x y la igualdad ocurre sólo si x = 0. b) La función g(x) := sen x tiene la derivada g\x) = cosx para tod axe i?. Con base en el hecho de que 1 =s eos x =£ 1 para toda x e R se demostrará que (**)
xs sse nx = Sx
p ar a t od a x 3* 0 .
De hecho , si se aplica el teorema del valor medio a g en el intervalo [0, x] , donde x > 0, se obtiene sen x sen 0 = (eos c)(x 0) para alguna c entre 0 y x. Puesto que sen 0 = 0 y 1 ^ eos c 1 , se obtiene x ^ sen x ^ x. Co mo la igualdad ocurre cuando x = 0, la desigualdad (* *) se encuentra establecida. c) (Desigualdad de Bernoulli) Si cr > 1, entonces (#)
(1+ *)“ > 1 + ax
para toda x > 1,
donde la igualdad ocurre si y sólo si x = 0. Esta desigualdad se estableció antes, en el ejemplo 2.2.14 c), para valores enteros positivos de a mediante inducción matemática. Se deduce ahora la versión más general empleando el teorema del valor medio.
Si a > 0 y b > 0 y se hace x = a ib y se multiplica por b, se obtiene la desigualdad
aabl~a < a a + (1 — a ) b , donde la igualdad ocurre si y sólo si a = b. (Esta desigualdad es con frecuencia el punto de partida para establecer la importante desigualdad de Holder.)
La propiedad del valor intermedio de las derivadas Se concluye esta sección con un resultado interesante, más conocido como leorema de Darboux. Establece que si una función/es derivable en todos los punios de un intervalo /, entonces la función /' tiene la propiedad del valor intermedio. Esto significa que s i/' asume los valo res A y B, entonces también asume todos los valores que están entre A y B. El lector puede identificar esta propiedad como una de las importantes consecuencia s de la continuidad establecida en el teorem a 5.3.6 . Resulta notable que las derivadas, que no son necesariam ente funcione s continuas, " también posean esta propiedad. L e m a . Sea I C R un intervalo, sea f : I R, sea c e l y suponer que f 6.2.11 tiene derivada en c. Entonces: a) Si/'(c) > 0, entonces existe un número 8 > 0 tal que f ( x) > / ( c ) pa ra x e l tal que c < x < c + 8. b) Si/'(c) < 0, entonces existe un número 8 > 0 tal quef(x) > f(c) para x e l tal qu e c - 8 < x < c„~
224
DI IIIVAI l< »N
I I II <)|(l MA DI I VAI u n MI D io
Demostración, a) Puesto que
lim
x—>c
H1,g<-h4icios de la sección! 6.2
/(*) - f ( c ) ---------------------
X — C
„ = /' '(C) > 0,
por el teorema 4.2.9 se sigue que existe un número 8 > 0 tal que si x e / y () • |\ c\< 8, entonces
> o
x —c
Si x e l también satisface x > c, entonces se tiene
f ( x ) - f ( c ) = ( x - c ) -
/(c ) > 0. X —c
P or t an to , s i x e / y c < x < c + 5, e nto nc es f(x ) > f( c) . La d e m o s t r a c i ó n d e l i n c i s o b ) e s s i m i l a r .
q .e . d .
6.2.12 Teorema de Darboux. Si fe s derivable en / = [a, ¿>] y si k e s un núme ro entre f (a) y f\b), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f\ c) = k. Demostración. Supóngase que f\ a ) < k < f\ b) . S e define g en /por g(x) := kx ~/(x) para x e l . Puesto que g es continua, alcanza un valor máximo en I. Puesto que g\ a) = k - f\ a ) > 0, por el lema 6.2.11 a) se sigue que el máximo de g no ocurre en x = a. D e manera similar, como g\b) = k f' (b ) < 0, por el lema 6.2.11 b) se sigue que el máximo no ocurre en x = b. Por lo tanto, g alcanza su máximo en alguna c en (a, b). Entonces por el teorema 6.2.1 se tiene 0 = g\c) = k Por . . . tanto, f' (c ) = k. q
e
d
6.2.1 3 Ejem plo. Es evidente que la función g: [1, 1] > R definida por g(x) := 1
para x > 0.
:= 0
para x = 0.
:= 1
para x < 0.
(que es una restricción de la función signo) no satisface la propiedad del valor intermedio en el intervalo [1, 1], Por lo tanto, por el teorema de Darboux, no existe una función / tal que f' (x ) = g(x) para toda x e [ 1, 1]. En otras palabras, g no es la derivada en [1, 1] de ninguna función en este intervalo.
l l’.iii;i las siguie ntes funciones de R a R, encontrar los puntos de los extremos idaiivos, los intervalos en los que cada función es creciente y aquéllos en los que es decreciente: a) /(.v) := x 2 3x + 5, b) g(x ):= 3x 4x2, c) h (a) := x 3 3x 4, d) k(x) :=x 4 +2x2 4. 2 . Encontrar los puntos de los extremos relativos, los intervalos en los que las siguientes funciones son crecientes y aquéllos en los que son decrecientes: a) f(x ) := x + 1/x parax + 0. b) g(x ) := x/(x2 +1) para x e R . c) h (x) := Vx 2 \¡x + 2 para x > 0. d) k(x) := 2x + 1/x2pa rax 0. 3. Encontrar los puntos de los extremos relativos de las siguientes funciones en el dominio especificado: a) f(x ) := x2 1 para - 4 x *£ 4. b) g(x) := 1 (x l) 2 3para0 ^ x « 2. c) h(x) := xx 2 12; para 2 ^ x í 3. d) k(x) := x(x 8 )1/3para 0 «s x 9. a2,..., a n números reales y sea que / esté definida en R por 4. Sean
/(*) := E («¿ *)2> ¿= i
x e R.
Encontrar el único punto del mínimo relativo para /. 5. Sea a >. b > 0 y sea n e N que satisface n 3= 2. Demostrar que a 1 " bl n< (a ¿>)L« [,Sugerencia : Demostrar que f(x ) := x1" (x l) 1" es decreciente para x ^ 1 y evaluar/en 1 y en a/b.] 6. Usar el teorema del valor medio para demostrar que sen x sen y x~y\ para toda x, y en R. 7. Usar el teorema del valor medio para demostrar que (x l)/x < log x < x 1 parax > 1. [Usar el hecho de que D log x = 1/x parax > 0.] 8f’Sea/: [a, b]->R continua en [a, b] y derivable en ( a , b). Demostrar que si lím f'( x) =A , entonces existe/'(a) y es igual a A. [Suger encia: Usar la definición de /'(a) y el teorema del valor medio.] 9: Sea que f: R- >R esté definida por/(x) := 2 x4 + x4 sen (1/x) parax ^ 0 y/(0 ) := 0. Demostrar que/tien e un mínimo absoluto en x = 0, pero que su derivada tiene valores tanto positivos como negativos en cualquier vecindad de 0. 10/ Sea que g:R -^ R esté definida por g(x) :=x + 2x2sen (1/x) para x =£ 0 y g(0) := 0. Demostrar que g'(0) = 1, pero que en cualquier vecindad de 0 la derivada g'(x) asume valores tanto positivos como negativos. Por tanto, g no es monótona en ninguna vecindad de 0. 11/ Dar un ejemplo de una función uniformemente continua en [0, 1] que sea derivable en (0,il) pero cuya derivada no esté acotada en (0,1).
12. Si h(x) 0 para x < 0 y h(x) := 1 para x 0, driuo.'.li.ii <|iic no cx é.lr mui función/: R -> R tal que/'(x) = h(x) para toda x e R . i )ar ejemplos ilr .1..', funciones, que no difieran por una constante, cuyas derivadas son iguales n h(x) para toda x + 0. 33/ Sea / un intervalo y se a/: /- » R derivable en I. Demostrar que si /' es posil ivu en /, entonces/es estrictamente creciente en I. \A? Sea / un intervalo y sea/: /> R derivable en /. Demostrar que si la derivada / ' nunca esOen/, entonces/'(x) > Opara todax e ¡o bien /'(x) < Opara toda
xel.
35 ) / Sea I un intervalo. Demost rar que si / es derivable en / y si la derivada/ ' esta acotada en /, entonces/ satisface una condición de Lipsch itz en I. [Recuérdese que se dice que una función/: /- » R satisface una condición de Lip schilz en / si existe una constante K tal que ¡/(x) f(y)' K\ x- y \para toda x, y cu I. (Ver la sección 5.4.)] 16. Sea/: [0, °°)-+R derivable en (0, «=) y supóngase que/'(x) > b cuando x »<*. a) Demostrar que para cualquier h > 0 se tiene X lím (/(x + h) -f(x))/h = b. —>CC b) Demostrar que si / (x) > a cuando x » co, entonces b - 0. c) Demostrar quejím_(/(x)/x ) = b.
1 7 / Sean/, g derivadles en i? y supóngase que/(0) = g (0 )y f\ x ) g\x) para toda x s= 0. D emostrar que /(x) ^ g(x) para toda x ^ 0. 18. Sea I := [a, b] y sea/: / -+R derivable en ce / . Demostrar que para toda £ > 0 existe 8 > 0 tal que si 0 < \x-y\ < 8 y a x c y b, entonces
/ ( » ) - / ( y )
x- y
- f( c )
< £.
19. Se dice que una función derivable s uniforme mente derivab le en / := [a, b] si para toda £ > 0 existe 8 > 0 tal que si 0 < x y :< < 5y x , y e l , entonces
/ ( * )
~f(y)
x- y
I
1(1 (ti AN I >1. I ll i >M’I I AI
IH'.UIVAí ION
~ f ( x ) < £.
Demostrar que si/es uniformemente derivable en /, entonces/' es continua en /. 20/ Supóngase que/: [0, 2] -» R es continua en [0, 2] y derivable en (0, 2), así como que/(0) = 0,/(l) = 1 y/(2) = 1. a) Demostrar que existe c, e (0, 1) tal qu e/'( c,) = 1. b) Demostrar que existe c2 e (1, 2) tal que/'(c,) = 0. c) Demostrar que existe c e (0 , 2) tal que/'(c)*= f j t y.j . ?h ¡\ T ' t r )
Sl'!< 'i 'N 1>N
Ke^las de L’Hospital
I 1niar<|iics Guillame Franqois U Hospital (1 661 17 04) fue el autor del primer libio .Ir cálculo diferencial, VAnalyse des infiniment petits, publicado en 1696. i indio el entonces novedoso cálculo diferencial de Johann Bernoulli (16 671 748 ), i.i un. io cuando Bernoulli visitó la finca campestre de L’Hospital y posteriormente 11aves de una serie de cartas. El libro fue el resultado de los estudios de L’H ospital. i I irorema del límite que llegó a conocerse como la regla de L’Hospital se dio a . oiiix er en este libro, aunque fue descubierto en realidad por Bernoulli. Fl teorema inicial fue refinado y ampliado, y los diferentes resultados se co iii icen en su con junto com o las reglas de L'Hospital (o de L’Hópital). En esta sec . mu se establecen los resultados básicos y se indica la manera en que se pueden deducir los demás. Formáis ixideterailiiadas En los capítulos anteriores con frecuencia nos hemos ocupado de los métodos Ii.ua evaluar límites. En el teorema 4.2.4 b) se demostró que si A := Hm/(x) y B := luii g(x), y si B A 0, entonces » ' C
f ( x )
A
tim —;— = ~ •
Sin embargo, si B = 0, entonces no se llegó a ninguna conclusión. Se verá en el ejercicio 6.3.2 que si 8 = 0 y A ^ 0 , entonces el límite es infinito (si existe). El cas o en que A = 0 y B = 0 no se ha considerado aún. En este caso se dice que el límite del cociente ff g es “indeterminado”. Se verá que en este caso el límite puede no existir o ser cualquier valor real, dependiendo de las funciones particulares/y g. La simbología 0/0 se usa para referirse a esta situación. Por e jemplo, s i a es cualquier número real y si se define/(x) := c a y g(x) :=x, entonces
lím
f ( x )
cxx
= l ím —
----------
x —>0 g ( x )
x-^0
X
=
l ím
x —>0
a = a.
Por tanto, la forma indeterminada 0/0 puede llevar a cualq uier número real a com o límite. Otras formas indeterminadas se representan por los símbolos °°/«>, 0 • 0o, T', e c e - c o. Estas notaciones corresponden al comportamiento indicado en el límite y a la yuxtaposición de las funciones/y g. La tención sí centrará en las formas indeterminadas 0/0 e oo/oc. Los demás casos indeterminados por lo general se reducen a la forma 0/0 ó oc/oc al lomar logaritmos, exponenciales o mediante operaciones algebraicas.
I >H(IVA< H »N U H ¡ I A S l >l I I I O S r i T A I .
Regla de I/Hospital: El caso 0/(1
m
Para demostrar que el uso déla derivación en este contexto no es nn d c s n i mllii forzado sino natural, se establece primero un resultado elemental que se lusn . h elusivamente en la definición de derivada. 6.3.1 Teorema. Sea que fy g estén definidas en [a, b], sea f(a ) = g(a ) sea g(x) A 0 pa ra a < x < b. S ify g so n derivables en a y s i g' {a ) A 0, eníoin c» existe el límite de f/g en a y es igual a f'(a)/g \a) . Por tanto /oo
, ím
=
g ( x )
/ w = n o g ( // j g { a ) g’( c ) ' Demostración. Como en la demostración del teorema del valor medio, se una función a la que se pueda aplicar el teorema de Rolle. Se observa en leí mino que como g'(x) A 0 para todax en (a, b ), por el teorema de Rolle se ■lene que g(u) A g(b ). Ahora, para x en [a, b\, se define
i n i n h Ii i
(l y
f ( b ) —f ( a )
n a) g '(a )'
'
Demostración. Puesto que f( a ) = g(a ) = 0 el cociente f( x) /g(x ) para a < \ b se puede escribir de la siguiente manera:
K x) " g W
/ (O / ( « )
g OO
g ( x ) ~ g ( a )
f ( b ) ~ f ( a )
x —a g(x)-g(a) x —a
hn sin
Aplicando el teorema 4.2.4 b) se obtiene
„ /(O * !? + g ( x )
/(O - f ( a )
x^ + ~ x ~ a , , g ( x ) - g ( a ) hrn x —a
n * ) g '(a )
Q.E.D.
----------------------
Ad ver ten cia. La hipótesis de que f(á ) = g(a ) = 0 es esencial aquí. Por ejemplo, si f(x ) := x + 17 y g(x) :=2 x + 3 para x eR, entonces 17 v f ( O hm — — — , *og (x) 3
mientras que
/'(O) 1 = g(0) 2
El resultado anterior permite trabajar con límites tales como x 2 + x
lím * »o s en 2 *
2 0 + 1 2co s0
—
2
Teorema del valor medio de Cauchy. Sean fy g continuas en [a, b] y derivables en (a, b ) y suponer que g'(x) A 0 pa ra tod a x en (a, b). Enton ces exist e
c en (a, b) tal que
que g\c ) A 0 , se obtiene el resultado buscado al dividir entre g'(c ).
q . e .d .
Observación. El teorema anterior posee una interpretación geométrica que es simi l ii u la del teorema del valor medio 6.2.4. S e puede considerar que las fun cio nes /y g ■I la minan una curva en el plano por medio de las ecuacio nes paramétri cas x = f(t ),y = g(t) ■laido a í =s b. Entonces la conclusión del teorema es que existe un punto (/(c), g(c)) en n|. mi va para alguna c en (a , b) tal que la pendiente g '(c)/f\c) de la recta tangente a la curva i nes e punto es igual a la pendiente del segmento de recta que une los puntos terminales de l.i curva. Obsérvese que si g(; t) := x, entonces el teorema del valor medio de Cauchy se n iluce3l teorema del valor medio 6.2.4. Se establecerá a continuación el resultado principal de esta sección, al que se liará referencia como la regla de L’H ospital. El lector deberá observar que, en con fiaste con el teorema 6.3.1, el resultado siguiente no supone la derivabilidad de las lunciones en el punto a. Este resultado afirma que el comportamiento en el límite de f/ g en a es igual al comportamiento en el límite de f' /g ' en a, incluyendo el caso en que el límite es infinito.
1
Para manejar límites cuando/ y g no son derivables en e l punto a es necesaria una versión más general del teorema del valor medio debida a Cauchy. 6.3.2
g (n ) (g (x ) “ g ( u ) ) " ( / ( l ) “ / { a ))
i un mees h es continua en [a, b], es derivable en (a, b) y h(a) = h(b) = 0. Por lo i mío. por el teorema de Rolle 6.2 .3 se sigue que existe un punto c en (a, b) tal que
/O) /(«) / (O
220
6.3.3 Regla de L ’HospitaS. Suponer que fy g son continuas en [a, b ], que son derivables en (a, b), que f(a ) = g(a ) = 0 y que g(x) A 0yg'(x) A 0 pa ra a < x < b . Entonces :
f ( x) -L\ a) Sí lím f ( x ) = L paraL eR, entonces lím ———
x~*a * g( x) x-+a+ g(x) f' (x ) f ( X) b) Si lím .. . = cc ío bien, col entonces lím = co fo bien, col * « + g(x) x-a+ g(x)
2 30
I )I
KHil AS DI i: HOSPITAL
KI VA( K »N
Dem ostración, a) Si se da e > ü, entonces existe ó 8 entonces
f ' ( * )
g’(x)
Otal que si
/'•(£) ® / (l/ < )
\ ,i i
G(t)
LT
g(*)
A
g '( c x) ’
f ’M g' ( 0
0
■= g ( l / í )
si
■= 0
si í = 0 .
/ v <¡ las hipótesis del teorema 6.3.3. Para 0 < t < l/b, la regla de la cadena 6.1.6 mdica que F\t) = (1 / t 2) f' ( l/ t ) y que G\t) = (- l/ t2)g\l/t). Por tanto, al aplicar <1 leorema 6.3.3, se concluye que
,,hm -/(*) r-r =
T <
lím -77777- =
„ /'(i/o „hm /'(*) •
lím —77;-;— =
Q- e . d .
e. 6.3.5
Puesto que esta expresión es válida para toda x con a < x < a + 8, se c on cluy e <|ii« b) Se considerará únicamente el caso +oo. Si se da cualquier > 0, entonen» existe 8 > 0 tal que si a < x < a +
Ejemp los, a) Se tiene sen x eos x lím ■—¡= = lím — -— p — = r ->0 + l / ( 2 v x ) x->0+ Vx
x\ím+f(x)/g(x) =L.
_ lím 2 yx eos x = 0 . x»0+
Obsérvese que el denominador no es derivable en x = 0, por lo que no es posible aplicar el teorema 6.3.1.
/(*)
f ( o x)
Si*)
g'(cx)
(1 c o s x ) ,No • „ s en x 1 = hm —7 — . n¡. b) Se tiene lirn *->0 x¿ x o 2x
> K.
Puesto que K es arbitraria, se concluye que lím f(x) /g (x ) = +oo.
Q.ii.n
El últim o resultado se establec ió para límites por la derecha, pero es evidente que al combinar los resultados para límites por la izquierda y por la derecha se llega al resultado correspondiente para límites por ambos lados. A con tinuación se ampliarán lo s resultados al caso de límites en el infin ito; se considerará tan sólo el caso Teorema. Suponer que f y g son continuas y derivables en [b, <»), que lím f(x ) = lím g(x) = 0, y que g(x) ¥= 0 y g'(x) =£ 0 para x > b. Entonces 6.3.4
X~+x
t = 0;
Puesto que c satisface a < c < a + 8, la desigualdad anterior indica que
—
si
- L < e.
/ ( » ) = f M
/(*)
si 0 < t < l / b ,
:= 0
Para cada x que satisface a < x < a + <5 se obtie ne (po r el teorem a del valor medln de Cauchy) un punto cx tal que a < cx < x y
g ( x )
231
X~+x
El cociente del segundo límite es de nueva cuenta indeterminado en la forma 0/0. Sin embargo, las hipótesis de la regla de L/Hospital aún se cumple, de tal modo que es válida una segunda aplicación de la misma. Se obtiene por tanto
lím x —>0
x
x
------
1 __ e os x f sen x = l ím = l ím = —. *»o 2 x x —>0 2 2
c) Se tiene lím (e x - l)/x = lím ex/l = 1 x ~ * o
7
77
* *o
’
De manera similar, se tiene
„ /(*) „ / '( * ) hm — — = lim — — 1-400 g ( * ) g ( x ) Dem ostració n. El cambio de variables t := 1/x permite considerar las funciones F y G definidas en el intervalo [0, 1 ¡b\ po r
1 — e os 5
--------
lím
x —>0
d)
'
e* r 1 x ---------
x
= lím x*o
1
------------
2x
1 = —.
Se tiene lím (log x)/(x 1) = lím (l/x)/l 1.
X-* 1
* 1
2
I H UI VA<
El caso co/oo
1‘in .loque a ■ \■
En el resultado siguiente se considera la forma indeterminada
=L paral eR, entonces lím =L; *-*'+ ¿(X) x-a + g(x) f'íx') f (x ) b) Si lím ■ .. . = co [o bien, col entonces lím ■■■ ■ = co [o bien, col *»«+£(*) , v í í + g(x )
r , < c , < a + 5, se sigue que
f W
f(xl
6.3.6 Teorema. Suponer quefy gson derivables en (a, b), quelim^ /(\) y lím g(x ) = co, y que g(x) A 0 y g (x ) A 0 pa ra a < x < b. Enton ces : x* a +
g 'U )
/;(*)
Dem ostració n, a) Por hipótesis, si se da 0 < £ que si a < x < a + 5, entonces
1 / (»!)/ / (*)
.
< (e + |L|«)2 {2 (1 + |L|)}e.
Q.E.D.
para
Hay un resultado análogo al teorema 6.3.6 que es válido bajo las mismas hipótesis para el cálc ulo de límites cuando x —>oc (o cuando x -> co). Este resulta ' hi se establece con b ase en el teorema 6.3 .6 del mismo mo do que el teorema 6 .3.4 '.<•derivó del teorema 6.3.3 . E ste resultado se usará ampliam ente, dejando los de i.illes al lector. 6.3.7
,
a< I
Obsérvese que como g'(x) A 0 para a < x < b se tiene g(x ) A g(c A) para a < x < c2. Por las hipótesis se ve que lím F(x) = 1. Por lo tanto, existe c3 con a < c3 < c2 tal que \F(x) 1 1< e si e m pr e q ue a < x < cy Por tanto, si a < x < c3 se tiene 1
1 < i < 2. 1 e \F(x)\
Ejemp los, a) Sea I = (0, co) y considérese lím (log x)/x.
Si se aplica la modificación del teorema 6.3.6 , se obtiene lím (log x)/x = 11m (l/x)/l = 0. x b) Sea I = R y considérese x-*y> lím x2/ex. Se tiene X-*x lím x2/ex - Xlím x2x/ex - > = ° lím ° 2¡ex = 0. c) Sea I = (0, n) y considérese lím (log sen x)/log x. x»o + Al aplicar el teorema 6.3.6 se obtiene
log sen x
Se observa que
* > G +
/ ( » ) ^ / ( « )
g (x )
/(x ) - / ( c j
1
g(x)
F(x)
g (x )- g( c, )
F(x) '
g(x)
+ \L — L F ( x ) | j | F ( x ) | 1
-\\e\t)
Ii) S e deja la demostración como ejercicio .
i-j < e.
i g ( C, ) 7 w x )
LF(x)|-|F(x)r I
l'iicslo que £ > 0 es un valor cualesquiera, se concluye que ^lím+ f(x )/g (x ) - L.
Se elige c¡ en (a, a + 5) y, como/tiene límite por la derecha infinito en a, se puede elegir c2 en (a, c,) tal que f(x) A /(Cj) para a < x < c2. Se define ahora la función F en (a, c2) por
F (l)”
F(x)
/'«) ^
entonces existe 5 > 0 la
/'(*) _ r
,
1
ira
a) Sí lím
g ' M
23.!
|í| ( ¡ I A S D I I I I O S l ’ l I A I .
IO N
log x
=
lim
*>o+
eos x sen x
1 /x
=
lím
* » o + l sen
x
■eos X.
Puesto que lím + x/(sen x) = 1 y lím + eos x = 1, se concluye que el límite bajo consideración es igual a 1.
Entonces, po r el teorema del valor medio de Cauchy 6.3.2 , existe £ en (x, c x) tal que / (*) = n o g(x)
j _
g ' « ) ’ F ( x) *
Ot ras form as indefrermiiniadas
Las formas indeterminadas tales como cc cc, 0 •x , Va, 0o, ce 0 se pueden reducir a los casos ya considerados mediante operaciones algebraicas y el uso de
23 4
I MíHI VA< ION
1(1 (¡I A S DI •: I IIOS I'I IAI
las funciones logarítmica y expon encial. En lugar de loi iimlai eslas vai ianlc?. teoremas, se ilustrarán las técnicas pertinentes por medio de ejemplos. 6.3.8
......
Ejem plos, a) Sea / := (0, tt/2) y considérese i b . / J - i x»o+ \x sen x
que tiene la forma indeterminada oo /I lím | x -* o + \x
1
oo.
hm xlo gx =
eos x
=
l= °
-------------------
c) Sea /:= (0,
oo)
log x --------
1 /x
=
y lím
x -> 0 +
1/x 1 /x
r =
lím ( x ) = 0 .
x —>0 +
y considérese lím xx, que tiene la forma indeterminada 0".
Se recuerda por el cálculo elemental (ver también la sección 8.3) qu ex * = e xlo%x. Por el e jercicio b ) y por la continuidad de la función y h* e y en y = 0 se sigue que lím xx = e° - 1. *>0 + d) Sea I := (1, oo) y considérese lím (1 + 1/x/', que tiene la forma indeterminada I a0. Se observ a que (*)
e) Sea /:= (0, oo) y considérese lím (1 + \/x)x, que tiene la form a indeter x-> 0 + nuil.ida ". De acuerdo con la fórmula (*), se considera
= hm
x->™
log (1 + 1/x) , 1 — == h m —— = 0 . 1/x x»o+ 1 + 1/x
Y. Suponer que / y g son continuas en [a, b] y derivables en (a, b), que c e [a, b] y que g(x) # 0 para x e [a, b], x c. Sea A := lím / y B := lím g. S i B = 0 y si lím f(x )/g(x) existe en R, demostrar que debe tenerse A = 0. [Sugerencia: f(x ) = {f (x)/g (x)}g (x) .] 2/ Además de las hipótesis del ejercicio anterior, sea g(x) > 0 para x e [a, b], x ^ c . S \ A > 0 y B = 0, demostrar que se debe tener lírn_ f(x )/g (x) = oo. Si A < 0 y B = 0, demostrar que se debe tener hm_ f(x )/g (x) = - o o . 3‘. Sea/ (x) := x2 sen (1/x) para 0 < x «s 1 y/(0) = 0, y sea g(x) := x2 para x e [0, 1]. Entonces tanto/como g son derivables en [0, 1] y g(x) > 0 para x =£ 0. Demostrar que l ta /(x) = 0 = Ir a g(x) y que lítn f(x )/g(x) no existe. 4. Sea /(x) := x2 para x racional, sea /(x) := 0 para x irracional y sea g(x) := sen x para x eR . Usar el teorema 6.3.1 para demostrar que lím /(x)/g(x) = 0. Ex x~* 0 plicar por qué no se puede aplicar el teorema 6.3.3. 5: Sea f( x) := x2 sen (1/x) para x ^ 0, sea /(0) := 0 y sea g(x) := sen x para x e R. Demostrar que lím f(x )/g(x) = 0 pero que Ira f'(x )/g'(x) no existe.
lím x>o+
c)
log (1 + 1/x)
(1 +
hm x»o+
Ejer cido s de la sección 6.3
a)
„
+ l/x)x = e.
indica.
Se tiene además
lím — —
(1
61/ Evaluar los siguientes límites, donde el dominio del cociente es el que se
(1 + 1/ x)* = e* 1°8(1 + 1/*).
lím x log (1 I 1/ x) =
se infiere que lím
s e n x
hm = lím x->o+ 2 eos x — x s e n x \ x»o+ senx + x eos x 0
l ím
= 1,
x-«0 +
1
=
x —>0 +
es continua en y
Se liene por lo tanto lím (1 + 1/x/ = e° = 1.
b) Se a/ := (0, =c) y considérese lím xl og x, que tiene la forma indetermina da 0 •(oo). Se tiene **o +
x —>0 +
i ►(,r
Se tiene
------------------
sen x j
y
hm x log(1 + 1/x) =
y sen x x lím x » o + x sen x
\ |=
l'iicslo <|iie
235
lím i
!og(x + 1) -------------------
sen x log eos x
------------
-»0+
X
(0,tt / 2 ) ,
(0 ,7r/2),
b) d)
lím i»o+ lím
x-*0+
tan x x tan x x
x
-----
X
(0,tt/2), (0, tt/2).
--------------
7.l/ Evaluar los siguientes límites:
l/x)~\-x-2) —X
---------------------
„
1
= ’im = 1 X>00 1 + 1/ x
a) lím i » o c)
Arctan x ------------
x
( oo, co),
lím x3 log x (0,a>), x»o+
1 b) lím r iO i(log x) -------------
d) lím — x—*oo e
(0, oo).
(0,1),
II 4 I|' I MA I >1 l'AN I l Ht I >I•lí I VA< l< )N
8: Evaluar los siguientes límites: logx a) lím (0,«>),
i■•'
.
log X b) lím — f= - ((), oo)t x —>oo
c) lím x log sen x (0, ir),
d) Iim
x -> o
yx
X + log X
x»os
xlogX
(O, oo).
Evaluar los siguientes límites: a) lím x 2* (0, oo), *■>()+
b) lím (1 + 3/ x)* **o
e) lím (1 + 3/x)v (0, oo),
d)
X->oo
lím
x -» 0 +
X
(O, oo),
/*
1 Arctan x
lO.^Evaluar los siguientes límites: a) lím xl/x (0, oo),
b)
X —*00
c)
lím
x 5"’*
(O, oo),
d)
x —>0 +
lím (se nx )1 (O, tt \
x —*0 +
lím
x — w / 2 -
I) (sec x tan x)
? „ ( * ) : = / ( * o ) + / ' ( * < ) ) (* * o ) +
/"(*o)
(O. tt/II) + ... +
11. Sea/d erivab le en (O, o=) y supóngase que lím (/(x) + /' (x)) = L. Demostiai que lírn f(x ) = L y lím f' (x) = 0. [Sugerencia: f( x) = e xf( x)/ ex.] 12. Intentar aplicar la regla de L’Hospital para encontrar tan x lím . x—>7r/2 se c x --------
Hacer después la evaluación cambiando la expresión en términos de senos y cosenos.
SECCIÓ N 6.4 Teorema de Taylor Una técnica de suma utilidad en el análisis de funciones reales es la aproximación de funciones por polinomios. En esta sección se demostrará un teorema fundamental en esta área que se remonta a Brook Taylor (16851731), aun cuando el término del residuo fue incorporado mucho después por JosephLouis Lagrange (17361813). El teorema de Taylor es un poderoso resultado que tiene múltiples aplicacio nes. Se ilustrará la versatilidad del teorema de Taylor mediante una exp licación breve de algunas de sus aplicaciones en estimaciones numéricas, desigualdades, valores extremos de una función y funciones convexas. El teorema de Taylor se puede considerar como una ampliación del teorema del valor medio a derivadas de “órdenes superiores”. En tanto que el teorema del valor medio relaciona los valores de una función con su primera derivada, el teorema de Taylor proporciona una relación entre los valores de una función y sus derivadas de órdenes superiores. Las derivadas de orden mayor que uno se obtienen por una amp liación natural del proceso de derivación. S i la derivada f' (x ) de una función / existe en todo pun
--------
( x x 0)
,
posee la propiedad de que él y sus derivadas hasta del orden n coinciden con la Iunción / y sus derivadas hasta el orden n, en el punto especificado xy. Este poli iii unió Pn se llama el nésimo p olinomio de Ta ylor par a/en xQ. Es natural esperar que este polinomio proporcione una aproximación razonable de/para puntos próximos a x0, pero para graduar la precisión de la aproximación es necesario tener información en cuanto al residuo R n : = f - P f¡. El siguiente resultado fundamental proporciona esta información. 6.4.1 Teorema de Taylor. Sea n e N, sea I := [a, b] y se a /: I-+ R tal que fy sus derivada sf ' ,/ ",. ..,/(,,)son continuas en Iy q u e f(>! + *) existe en ( a , b). Six Qe I, entonces para cualquie r x en I existe un punto c entre x y xQtal que (2)
/ ( * ) = / ( i 0) + / ' ( * o ) ( * * o) + ^ 2 ¡ °^
_ xo)2
Dem ostración . Sean x 0 y x dadas y sea que J denote el intervalo cerrado con puntos terminales x0 y x. Se define la función F en J por
(
F( t) - - f i * ) - m (x I ) f ( t )
----------
t\n
I»I KIVA< JUN
II OKI MA DH IAVI lili
para t e j . Entonces un sencillo cálculo indica que se lim e
........ ..........
(x —t)n F'{t) - i — ¿ / ( n + D(0 .
*y11 v.» • i.
loma la Iunció n/(x) := (1 + x )1/3, el punto xQ= 0 y n = 2. Puesto que/'(x) = t ,i i 0 •’•/■' y f"(x ) = 1 ( § )(1 + x)5'3 , se tiene /'(O) = j y /"(O) = 2/ 9. Se obtiene Ioo la uto
^ \ n+11 H*o)
f ( x ) = P 2 ( x ) + Rz(x) = 1 + | x | x 2 + f í 2 ( x ) ,
para í e J , entonces G(x0) = G(x) = 0. Al aplicar el teorema de Rolle 6.2.3 se oblie ne un punto c entre x y x0 tal que / _ \n 0 = G ' ( c ) = F'(c) + (n + l ) l X C* F ( x0). (X
donde R?(x) = ^
XQ)
-------
1
n + 1
(x — x0) n+ 1 (x —c)'1
2
-----------------
(x - c ) n
2
-------------
ni
2 _ f (» . + D r r ) =
J
1 }
f (n+1)(c )
í
_______
o) q . e .d .
Se usará la notación Pn para el nésimo polinomio de Taylor (1) de / y R para el residuo. Así, la conclusión del teorema de Taylor se puede escribir como /(x) = Pn{x) + Rn(x), donde R n está dado por f(n + 1)/ \ « ■ (* > "
A
{ —l ( r - r \n+l
( n + 1)! 1
que implica el resultado enunciado.
(3 )
(1 + c ) W para algún punto c entre 0 y x.
5 / 3 \3 1 Ho(0.3) < — — = 21 ^ 81 \ 10 / 600
i ( x — x 0r +1 7~T V F '( c ) n + 1 ( x c) --------------
x3 =
Al hacer x = 0.3 se obtiene la aproximación P 2(0.3 ) = 1.09 para ■v'O. Además, c > 0 en este cas o, enton ces (1 + c)“8'3< 1y, por tanto, el error es a lo sumo
Se ob tiene por tanto
=
p.uir. m se especifica una precisión determinada, entonces la cuestión mconliai un valor adecuado de n. L os siguientes ejemplos ilustran \c icMielven esto s caso s. Ir rn
n. 1.2 Isjenigilos. a) Usar el teo rema de Ta ylor co n n - 2 para aproximar
Si se defin e <7 en J por
H * o )=
'
m
< 0.17X 1 0 2 .
se tiene |^L3 - 1.091 < 0.5 x 102, con lo cual se asegura una precisión de dos
11 1i as decimales.
Aproximar el número e con un error menor de 185. b) x. Se considera la función g(x ) := e x y se toma x0 = 0 y x = 1 en el teorema de l aylor. Es necesario determinar n de tal modo que |P„(1)! < 10 5. Para ello se usará el hecho de que g'(x) = e x y la restricción inicial de ex «£ 3 para 0 x ^ 1. Puesto que g'(x) = e x, se sigue que g^Xx) = e x para toda k e N y por lo tanto ■;a) (0 ) = 1 para toda k e N . Por consiguiente, el nésimo polinomio de Taylor está .lado por x2 P„(x) 1 +X —
o r T T jr ^ ^ 1
para algún punto c entre x y xQ. S e hace referencia a esta fórmula para Rn como la form a de Lagram ge (o como la forma de rivad a) del residuo. Se conocen muchas otras expresio nes para una de ellas se expresa en términos de integración y se introducirá más adelante. (Ver el teorema 7.3.14.)
Aplicaciones del teorema de Taylor El término correspondiente al residuo Rn del teorema de Taylor se puede usar para estimar el error al aproximar una función por su polinomio de Taylor P . Si el número n está dado, entonces surge la cuestión de la precisión de la aproxim ación.
y el residuo par ax = 1 está dado por R;|(l ) = ec/(n + 1)! para alguna c que satisface 0 < c < 1. Puesto que e c< 3, se busca un valor de n tal que 3 ¡(n + 1)!< 10_:>. La realización de un cálculo revela que 9! = 362,8 80 > 3 x 1 05, de talmodo que el valor n = 8 proporcionará la precisión deseada; además, puesto que 8! = 40,320, no hay la seguridad de que sea suficiente un valor menor de n. Se obtiene por tanto 1 1 e « P8sv( 1 y) = 1 + 1 + — 2 ! + • • • + —8 , = 2 . 71 8 2 8 con un error menor eme 1()5.
II)
DI KIVAi l
11 <>1(1 M A
El teo rem a de Tay lor tambié n se puede usai |>;u;<«w i.iUi rn d rsuii.d.l.ul
I >1
l'A Y I I >l(
h m|'.i un r ‘iiirniD u hitivo en r es que / (c) —0. Una manera de determinar si / tie i ni. relativo o un mínimo relativo [o ninguno de ellos] en c es usar el . mi. i «. de la primera derivada 6.2.8. En caso de existir, también se pueden usar en . I I di terminación las derivadas de orden superior, com o se indica a continua ción. ......
6.4.3 Ejemp los, a) 1 £x 2 ^ eos x para toda x e Si. Usando /(x) := eos x y xQ= 0 en el teorema de Taylor, se obtiene eos x =
1
-
|x2
+ Rz(x),
0.4.4 Teorema. Sea I un intervalo, se a xfl un punto interior de I y sea n ^ 2. que existen las d erivadas / ' , / /(,,) y que son continuas en una vecin dad de v(),y que /'(*0) = ... = f^ ~ ]\x0) = 0 , per o f("\x() + 0. i ) Si n es par y /(,,)(x0) > 0, entonc es f tiene un mínimo relativo en x Q. ii) Si n es pa r y f ("\x{i) < 0 , entonces f tiene un máximo relativo en x(). ii i ) Si n es impar entonces f n o tiene un máximo relativo ni un mínimo relati-
donde para alguna c entre 0 y x se tiene R
(
\
Ráx) = ~
SCnC
~
t
-I T ' - '■’ ■
n, entonces 0 c < n\ puesto que tanto c como x3 son positivas, m Si 0 x tiene R2(x) 0 . Asimismo, si entonces - tí í c S 0 ; puesto que tanlu sen c com o x3 son negativas, se tiene de nueva cuenta /?2(x) ^ 0. Por lo tanto, se ve que 1 i x 2 «£ eos x para ,x| n. Si |x| 3= n, entonces 1 \x 2 < 3 ^ eos x y In validez de la desigualdad es trivial. Por tanto, la desigualdad se cumple para toda
x eR.
b)
ii
1Demostración. Al aplicar el teorema de Taylor en x0 se encuentra que para /se tiene
f M ( c ) n o
= / ( * » ) + — ¿ r ~ { x ~ Xu)"•
Para cualquier k e N y para toda x > 0, se tiene
Usando el hecho de que la derivada de log (1 + x) es 1/(1 + x) pa rax > 0, se ve que el «ésimo polinomio de Taylor para log (1 + x) con xQ= 0 es Pn(x ) —x
~x2+
+ ( l ) n~ 1 - x n
n
y el residuo está dado por
*»(*) =
( - l ) nc n-
,n
+i
para alguna c que satisface 0 < c < x. Por tanto, para cualquier x > 0, si n = 2k es par, se tiene entonces > 0; y si « = 2& + 1 es impar, se tiene entonces Enton ces la desigualdad enunciada se sigue de manera inmediata. ^ 21r+ i(* )
Extremos relativos En el teorema 6.2.1 se estableció que si una función f : I - * R es derivable en un punto c localizado en el interior de /, entonces una condición necesaria para que/
donde c es algún punto en tre x0 y x. P uesto qu e /(,,) es continu a, s i/ (/!\x()) A 0, i nionces existe un intervalo U que contiene a x() tal que/^'!)(x) tendrá el mismo aino que /(/,)(x(J) pa rax e U. Si x e U, entonces el punto c también pertenece aí/ y, \ por consiguiente, f ("\c) y /w (xQ) tendrán el m ismo s igno. i) S i n es par y/(rt)(x0) > 0, entonces parax e U se tiene/ (,,)(c) > 0 y (x x0)" (!, de tal modo que ^x) 0. Por tanto, f( x ) =* /(x0) para x e U y, en consecuencia, / tiene un mínimo relativo en xQ. ii) Si n es par y/(,,)(x0) < 0, entonces se sigue que R n_,(x) ^ 0 para x e U , de donde/(x) ^/(x0) para x e U. Por lo tanto, / tiene un máximo relativo en x0. iii ) Si n es impar, entonces ( x x ())" es positivo si x > x Qy negativo si x < xQ. Por consiguiente, si x e U , entonces tendrá signos opuestos a la izquierda y a la derecha de xQ. Por lo tanto, /no tiene un mínimo relativo ni un máximo q . e .d . relativo en x 0 .
Funciones convexas La noción de convexidad es fundamental en varias áreas, en particular en la teoría moderna de la optimización. Se examinarán de manera breve las funciones convexas de una variable real y su relación con la derivación. Los resultados básicos, con las modificaciones adecuadas, se pueden ampliar a espacios de dimensiones superiores.
2-1.
I»l l
1 1 ( >1 (1 M A
I >1 I A \ I ' >l<
I <,1. 1,1 ,1 . / (Vn ( I ijiuic io 6.4.16.) Dada u el, sea h tal que a + h y a - h n. mi 1 1n a / l'.iiiniues a - 1((í/ + h) + {a - h)) y como /es convexa en I, se tiene l(u)
f({ (a + h)
+
¿ ( a -
h))
< | / ( fl
+ h) + i
/( a
-
h).
ln >■ lo lau to, s e ti ene f( a + h) - 2f(a) + f ( a - h ) 3* 0. Puesto que h 2 > 0 para toda h 11, se ve que el límite de (* ) debe ser no negativo. Por tanto, se obtiene /" (« ) 0 Ii ii a cua lqu ier a el. I'ara probar el carácter sufici ente de la condición se usará el teorema de Taylor. an \|, x7 dos puntos cualesquiera de /, sea 0 < /< 1 y seax fl = (1 /)xL+ tx2. Al .plicar el teorema de Taylor a/en x(j se obtiene un punto c, entre xQy x, tal que / ( * . ) / ( * o) + / ' ( * » ) ( * , * o ) + V " ( c , ) ( x , ~ x 0f . v un punto c, en tre x0 y x 2 tal que 6.4.5 Definición. Sea / C R un intervalo. Se d ice que una funció n/: /► U i . convexa en I si para cualquier t que satisface 0 1 y los puntos cualesquicm xv x2 en I, se tiene
f ( x 2)
= / ( x 0) + / ' ( x
0) ( x 2
x 0) +
lf"(c2)(x2
X ()) 2 .
:.i /’" es no nega tiva en /, ento nces el término / ( (1 t)x 1 + tx2) < ( 1
+ tf(x2).
Obsérvese que si < x2, entonces cuando t varía de 0 a 1, el punto (1 1 ).\, i tx2 recorre el intervalo de x { a x2. Por tanto, si / es convexa en / y si x p x., c / entonce s la cuerda que une dos puntos cualesquiera (aq,/ (*, )) y (x2,/(x 2)) sobre l.i gráfica de /está arriba de la gráfica de /. (Ver la figura 6.4.1.) Una función convexa no es necesariamente derivable en todo punto, como ln indica el ejemplo/(x) := ¡x|,x e R . Sin embargo, es posible demostrar que si I cn un intervalo abierto y si/: I - * R es convex a en /, entonces existen las derivadas iz quierda y derecha de / en todo punto de /. Como una consecuencia, se sigue que una función convexa en un intervalo abierto es necesariamente continua. No se probarán las afirm aciones anteriores, ni se desarrollará n muchas otras propiedades interesantes de las funciones convexas. Más bien, sólo se establecerá la relación entre una función convexa / y su segunda derivada/", suponiendo que/" existe, 6.4.6 Teorema. Sea I un intervalo abierto y supon er que f: I -> R tiene se gun da d er iva da en l. En ton ces f es una func ión convex a s i y s ólo s if"(x ) 2a 0 para
toda x e l.
Dem ostra ción . A fin de probar el carácter necesario de la condición, se han uso del hecho de que la segunda derivada está dada por el límite (*)
/"(«)
lím h—>0
f ( a + h) — 2 / ( f l ) + f ( a — h) _
r
■■= i ( i o r ( c i ) ( * i * o )2 + W " ( c 2 ) ( x 2 - x 0f
también es no negativo. Se obtiene por tanto (1
í ) / ( * l) +
2
) = / ( x o ) + f ( x o ) ( (!
0 * 1
+
t x 2
-
x o)
+ K i o r ( * i ) ( * i ^ o )2 + W " ( c 2 ) ( x z - x 0 ) 2 = /(x 0) +H
> f ( xo) = / ( ( ! 0 X1 + txz)Por t a n t o , s e v e q u e / e s u n a f u n c i ó n c o n v e x a e n I.
q.e.d.
Método de Newtoe Con frecuencia es deseable estimar una solución de una ecuación con un grado elevado de precisión. El método de bisección de intervalos, usado en la demostración del teorema de localización de raíces 5.3.5, proporciona un procedimiento de estimación, pero tiene la desventaja de converger a una solución con mucha lentitud. Un método que con frecuencia produce una convergencia mucho más rápida se basa en la idea geométrica de obtener aproximaciones sucesivas de una curva por rectas tangentes. El nombre de este método es en honor de su descubridor, Isaac Newton.
no
i k
m a
i
>i ’l A V I
nu
I ' ,/m . mili, ni■mui raíz r d e f hd que para cualquier x , g I ' la sucesión (.x n) ■I, laud a ¡nu
I * )
x a+l ■■=x n -
/ (O
Pa ra
n
I; i teneee a I :|:y (xn) converge a r. Además ( ♦ ♦)
|xn + 1 r\ < K\xn r|2
p ar a n e N .
Itamostradón . Puesto que f{ a )f (b ) < 0, los números/(«) y f(b) tienen signos ■•puestos; por tanto, por el teorema 5 .3.5 , ex iste r G/tal que f( r ) = 0. Puesto que/' •Hinca es cero en /, por el teorema de Rolle 6.2.3 se sigue que /no se anuía en iini)1,un otr o p unt o de I. Se hace ahora x' e I un valor cualesquiera; por el teorema de Taylor existe un pimío c' entre x y r tal que FIG UR A 6.4.2 Método de Newton. Sea / una función derivable que tiene una solución en r y sea ,Vj una estima ción inicial de r. La recta tangente a la gráfica en (x,, /(x,)) tiene la ecuación y ■ f( x i) + /'( *,)(* X j) y corta el eje x en el punto
0 - f ( r) = / ( * ' ) + / ' ( * ' ) ( r - x ') + j / " ( c ' ) ( r ~ x ' )2, ■Ir donde se sig ue qu e - f ( x ' ) = f ' ( x ' ) { r - x ' ) + y " ( c ' ) ( r - x ' ) 2.
Si x" es el n úmero definido a partir de x' por “el procedimiento de Newton”: /(* i)
„
oo
(Ver la figura 6.4.2.) Si se sustituye x { por la segunda estimación x2, entonces se obtiene un punto x3, y así sucesivamente. En la nésima iteración se obtiene el punto xn +j a partir del punto xn por la fórmula
/(O Xn+1' Xn /'(*«) ’
,
X ‘ *
/ (*') / '(*') ’
•ntonces un cálculo elemental in dica que
de donde se sigue que
Ba jo las hipótesis adecuadas, la sucesión ( x j convergerá con rapidez a la ecuación
f( x) = 0, como se demuestra a continuación. El elemento clave para establecer la rapidez de la convergencia es el teorema de Taylor. 6.4.7 Método de Newton. Sea I :=[a,b] y sea f:!~ *R derivable dos veces en I. Suponer que f( a) f( b ) < ti y que existen las constantes m, M tales que \f'(x) 2* m > 0 y\f"(x)\ ^ M para toda x e I y sea K :=M/2m. Entonces existe un subintervalo
*
r
2 f { x ' )
^ ‘
Puesto quec' e /, las restricciones supuestas sobre /' y f " se cumplen y, al hacer K ■- m n m cp nhtipnp. la d e s i e u a l d a d
I >I .KIVA<
II MU I.MA M
io n
C AY I .O K
Se elige ahora S > 0 tan pequeña que 8- : I/A y que el ml ei valo I ' |/ r + 5 ] esté contenido en I. S i xfí e /*, entonces \xf¡ r\ ■ ¿iy de la expresión (II i sigue que \x)¡ +} - r\ K\xfi-r\ 2 ^ K 52 < 8; por tan to^ e /* indica que v/f ( . /1 Por lo tanto, sixj e /*, se infiere quex^ e I * para toda n eN . Además, si \( < I' ento nces un razon amien to de inducció n elemen tal usando (# ) indica que |.\;|( , i 1 < (Téóy'lx, r\para n eN . Pero como K8 < 1 con esto se demuestra que lím \ i 6.4 .8 Eje m plo . Se ilustrará el método de Newton aplicándolo para apioxl mar V 2. Se hace/(x) := x 2 2 para x e R, ento nces se busca la raíz positiva de l,i ecuación/(x) = 0. Puesto que f'(x ) = 2x, la fórmula de iteración es /(*„)
f ( * n ) *1 ~ 2
1
2
2x„ ' = 2
X" + Z
Si se toma x { := 1 como estimación inicial, se obtienen los valores sucesivos x , 3/2 = 1.5,x3 = 17/12 = 1 .4 1 6 6 6 6 .x4 = 577/408 = 1.41421 5... yx5 = 665,857/4711 832 = 1.414213562374..., valor que es correcto once cifras decimales. Observaciones. 1) Si se hace que en := xn r sea el error al aproximar el valor de /•, entonces la desigualdad (**) se puede escribir en la forma \Ken+,| |K e f . Por consiguiente, si \Ken\< 10 entonces |Ken +J < 10~2"', por lo que el número de dígitos significativos dtKen se ha duplicado. Debido a esta duplicación, se dice que la sucesión generada por el método de Newton converge “cuadráticamente”. 2) En la práctica, al programar el método de Newton en una computadora, con frecuencia se hace una conjetura inicial xx y se corre el programa. Si es muy mala la elección de Xj o si la raíz está muy cerca del punto terminal de I, el procedimiento puede no convergel a una raíz de/. En las figuras 6.4.3 a la 6.4.5 se ilustran una serie de posibles dificultades. Una estrategia conocida es usar el método de bisección para llegar a una estimación más o menos próxima de la raíz y cambiar después al método de Newton para el coup de gráce.
FIGURA 6.4.3 / no definida en x 2.
Ejercicios de la sección 6.4 1. Sea/(x) := eos ax parax gi ?, donde a ± 0. E ncontrar /M(x) para n e N , x e R . 2. Sea g(x) := x 3’para x e R . Encontrar g'(x) y g"(x) para x e R , y g"'(x) para x 0. Demostrar que g'"( 0 ) no existe. : 3. Usar la inducción para demostrar la regla de Leibniz para la «ésim a derivada de un producto:
( f e t \ x ) = t ( U / <" ‘ ) ( A s ( l) (A 4. Demostrar que si x > 0, entonces 1 + \x - \x «s V TT x ^ 1 + \x. 5. Usar el eje rci cio ant erior para aproximar \/L2 y x/2. ¿Cuál es la mayor precisión que se puede asegurar al usar esta desigualdad? 6. Usar el teorema de Taylor con n = 2 para obtener una aproximación más precisa de v/L2 y y¡2. 7. Si x > 0, demostrar que (1 + x) 1/3 (1 + \x J¡x2) ^ (5/81 )x3. Usar esta desigualdad para apro ximar \f\2 y \¡2. 8. Si/(x) := ex, demostrar que el término correspondiente al residuo en el te orema de Taylor converge a cer o cuando n -* para cada x0 predeterminada y x. [Sugerencia: Ver el teorema 3.2.11.] 9. Si g(x) := sen x, demostrar que el término correspondiente al residuo del teorema de Taylor converge a cero cuando n -* » para cada x0 predeterminada y x.
248
l l ( U(l MA l»l TA YI I )U
DI'.KIVAI Ii )N
10. Sea h(x) := eU* 2 pa ra x ^ 0 y //(O). Dem ostrar que //'"’((») • Opara Inda n < /V Concluir que el término correspondiente al residuo del teorema de liiylui para xQ= 0 no converge a cero cuando n > para x + 0. [Sugcrcn, ¡,i : l’oi ln regla de L’Hospital, lím h(x)/xk = 0 para cualquier k e N . Usar el cim illo l . . x -* 0 para calcular hSn>(x) parax =£ 0.] 11. Si x e [0,1] y n eN, demostrar que log(l
+ x )
|x
x2
X 3
— + — +
X 1
+ ( l ) " '1 —
<
n+ I
Usar este resultado para obtener una aproximación de log 1.5 con un orioi menor que 0.01; menor que 0.001. 12. Se quiere aproximar sen por un polinomio en [ 1 ,1 ] de tal modo que el eimi sea menor que 0.001. Demostrar que se tiene senx
x3 X
x5 \
6 + 120 )
5040
para
\x\ < 1.
13. Calcular e con siete cifras decimales correctas. 14. Determinar si x = 0 es o no un punto del extremo relativo de las siguienini funciones: a) f( x) := x 3 + 2, b) g(x) := sen x x , c) h (x) := sen x + ¿ x 3, d) k(x) := eos x 1 + \x2. 15. Sea/continua en [a, b) y supóngase que existe la segunda derivada/" en (ti, b). Supóngase asimismo que la gráfica de/ y el segmento de recta que une Ion puntos (a, f(a)) y (b,f(b)) se corta n en un punto (x 0, /(xQ)), donde a < x Q
f ( a + h ) - 2 f ( a ) + f ( a - h )
/ "(« ) = lím /í ->0
Dar un ejemplo en que este límite exista, pero la función no tenga segunda derivada en a. 17. Suponer que l C R es un intervalo abierto y que/"(x) ^ 0 para todax e l. Si c e l , demostrar que la parte de la gráfica de/e n l nunca está abajo de la recta tangente a la gráfica en (c,f(c)). 18. Sea / C R un intervalo y sea c e l . Supóngase que / y g están definidas en I y que existen las derivadas/<">, g<">y son continuas en I. Si /® (c) = 0 y gW(c) = 0 para k = 0, 1,..., n - 1, pero g(n\c) ¥= 0, demostrar que ,
/(*) g(*)
f (n\ c ) g in\ c)
r> i >ciii(isii¡ii c|iie la función/(x) := x 3 2 x 5 tiene una solución r en el intervalo l : [2, 2.21 Si xj := 2 y si se define la sucesión (xn) usando el procedi niionio de Newton, demostrar que \xn + { - r\ (0.7);x n rj2. Demostrar que x(|es correcta con se is cifras decimales. 20. Aproximar (as soluciones reales de g(x) := x4 x 3. 2 1. Aproximar las soluciones reales de h(x) := x3 x 1. Aplicar el método de Newton empezando con las elecciones iniciales a) x l := 2, b) x, := 0, c) xx:= -2 . Explicar qué ocurre. 22. La ecuación log x = x 2 tiene dos soluciones. Aproximarlas usando el método de Newton. ¿Qué ocurre si xl := |es el punto inicial? 23. La función /(x) := 8x 3 8x2 + 1 tiene dos raíces en [0, 1], Aproximarlas usando el método de Newton con los puntos iniciales a) x1 := | y b) xl :=\. Explicar qué ocurre. 24. Aproximar la solución de la ecuación x = eos x, con seis cifras de precisión. 25. Sea/:= [a, b] y sea/: / - » R derivable en/. Suponer que/(a) < 0 < f(b) y que existen m, M tales que 0 < m < f\x) « M para x e l . Sea xx e / un valor cualesquiera y se define xn + x:= xn-f(xn)/M para n eN. Demostrar que la sucesió n (x;|) está bien def inida y converge a la soluci ón única r e l de/y que l*n+ i — r| < (1 — m/M)n|x, - r|< (1 - m/ M )n|/(x,)|/m.
[.Sugerencia : Si
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x >si ic rio
i A INTEGRAL DE RIEMANN
Se han mencionado ya los avances realizados durante los años 1630 por Fermat y l )cscartes que desembocaron en la geometría analítica y la teoría de la derivada. Sin embargo, la materia que conocemos com o cálculo no empezó a tomar forma sino a linos de los años 1660, cuando Isaac Newton (16421727) creó su teoría de las “fluxiones” e inventó el método de las “tangentes inversas” para encontrar áreas bajo curvas. El proceso inverso de encontrar rectas tangentes para encontrar áreas también fue descubierto en los años 1680 por Gottfried Leibniz (16461716), quien desconocía el trabajo no p ublicado de Newton y quien llegó al descubrimiento por mi camino muy diferente. Leibniz introdujo la terminología “calculus differentialis ” y “calculus integralis”, ya que para encontrar rectas tangentes se utilizaban diferencias y para encontrar áreas se usaban sumas. Así, ambos descubrieron que la integración, siendo un proceso de sumas, era el inverso de la operación diferenciar. Durante siglo y medio de desarrollo y depuración de las técnicas, el cálculo estuvo compuesto de estas operaciones aparejadas y sus aplicaciones, principalmente en problemas de la física. En la década de los años 18 50, Bernh ard Riemann (18261866) adoptó una perspectiva nueva y diferente. Separó el concepto de integración de su contraparte, la diferenciación, y examinó aislado el interesante proceso de sumas y límites para encontrar áreas. Amplió el panorama al considerar todas las funciones de un intervalo para las que era posible definir este proceso de “integración”: la clase de las funciones “integrables”. El teorema fundamental del cálcu lo se hizo un resultado válido tan sólo para un conjunto restringido de funcio nes. La perspectiva de Riemann llevó a otros matemáticos a inventar otras teorías de la integración, la más significativa de las cuales es la de Lebesgue. En este capítulo se empezará por definir el concepto de integrabilidad de Riemann de funciones ei un intervalo por medio de sumas superiores e inferiores. En la sección 7.2 se analizarán las propiedades básicas de la integral y la clase de las funcione s integrables en un intervalo. El teorema fundamental del cálculo es el tema principal de la .sección 7.3. En la sección 7.4 se analizan otras formas de tratar la integral de Riemann, y se establece su equivalencia, además se presenta una breve introducción a las “integrales impropias”. En la sección 7.5 se estudian varios métodos para aproximar integrales, un tema que se ha convertido de importancia crecien te durante la era delas computadoras de alta velocidad. Una historia interesante acerca de la teoría de la integración, con un capítulo sobre la integral de Riemann, se encuentra en el libro de Hawkins citado en la bibliografía.
2 52
I . A I N I ! l IR A l
I N I I i l t A l l l l I I ) AI > D I U I I ' M A M N
D I . KM M A N N
S E C C I Ó N 7 .1 I n te g r a b i li d a d d e R i e in n i m En esta sección se seguirá el procedimiento de Darboux y se definirá la mii gral superior y la integral inferior de una fun ción aco ta da cualesquiera cn un inin valo acotado cerrado. E ntonces se dirá que tal función es integrable según Kiciuaiin si su integral superior y su integral inferior son iguales; la integral de Riemann «I. la función se define como este valor común. Se consideran asimismo varios cjcm píos elementales y se establece un criterio para la integrabilidad de Riemann que hace recorda r el criterio de Cauchy para la convergencia de una sucesión. Dcspin' n se aplica este criterio para demostrar que funciones que son continuas o bien mo nótonas en un intervalo y son integrables según Riemann. Puesto que se supone que el lector está familiarizado, al menos de manera informal, con la integral pm un curso previo de cálculo, no se proporcionará una motivación extensa de ella ni se estudian las múltiples interpretaciones importantes que se usan en sus aplicaciones,
I a suma i nfe rio r de/correspondiente a la partición P se define como n
Sumáis sup erior e inferior
H ? ; f ) := E mÁxk~ *k- 1)>
Para discutir el concepto de integral de Riemann, primero se debe introducir algunos aspectos de terminología y notación. Si I := [a, b] es un intervalo acotado cerrado en R, entonces una partición d< I es un conjunto finito ordenado P := {x0, xv . . . , xn} de puntos en I tales que
fci
v la suma su perio r de/correspondiente a P se define como n
v ( P i f ) := E Mk(xk - *k-i)k
a = x0 < x1 < x2 < ■•■ < xn = b. (Ver la figura 7.1.1.) Los puntos de la partición P se pueden usar para dividir/en subintervalos no traslapados:
[* 0>*l],[*l,* 2]>,[*„ —!,*„]• S ea / :/ —►/? una función a cotada en I y sea P = (*0, xv Para k = 1, 2, ... , n se hace
mk
i nf { / ( z ) : * e [ * * _ ! , * * ] } ,
« - *o
*t
X2
- 1
Si/es una función positiva, entonces la suma inferior L(P\f) se puede interpretar como el área de la unión de los rectángulos con base [^ _ p xk] y altura mk. (Ver la figura 7.1.2.) De manera similar, la suma superior U ( P ; f ) se puede interpretar como el área de la unión de los rectángulos con base [xk_v xk] y altura Mk. (Ver la figura 7.1.3.) La interpretación geométrica sugiere que, para una partición dada, la suma inferior es menor o igual que la suma superior. Se demuestra a continuación que es este el caso.
,xn) una partición d e/.
Mh ■= s up { / ( x ) : * e [xk_l,xh]}.
xk _ 1 Xk
x n _ ,
FIG URA 7.1.1 Una partición de / = [a, b].
x„=b
FIGURA 7.1.3 U(P\f), una suma superior.
I A I N I I ( ¡ K A I \>\ I MI M A I I I I
7.1.1 Lema. Si f: I
entonces L (P ;f)
R está acotada y /' es U(P;f).
una
I N 11 I I K A I l l l I H A I I I I I K I I M A N N
¡na ¡n ion i nali/ nici a ¡Ir I,
Demostración. Sea P:= (xQ, xv .. ., x n). Puesto que mk «S Mk para A I . n y c om ox A.Ajt_ x > 0 para k = 1, 2 , . . . , n, se sigue que
AIkiiíi Ixcii, si {> es un refinamiento cualquiera de P (es decir, si P C Q), I I l i o n , es (> se puede obtener a partir de P agregando un número finito depuntos a /•mío a la ve/,. Por tanto, al repetir el razonamiento anterior, se infiere que L ( P ; f )
, I as sumas superiores se manejan de manera similar; los detalles se dejan como , in ci do .
n
n
P(P J ) = E ™k(x k - xk-i) < E Mk{xk xk_l) = U(P;f). fc=l k= 1
ai I,
Si P := (xQ,x v . .. ,x n) y Q := (yQ, y , , . . . , ym) son particion es de/, se dice qu< Q es un refinamiento de P si cada punto de partición xk e P también pertenece a () (es decir, si P C Q). Un refinamiento Q de una partición P se puede obtenei agregando a P un número finito de puntos. En este caso , cada uno de lo s intervalo, [xk~v LÜ en clue P divide a / se pueden escribir corno la unión de los intervalos cu yos puntos terminales pertenecen a Q ; es decir, [ * * ! . * * ] = [Vi-i.Vj] u [ y j . v J + í ] u ••• u [ yh ^ , y h ]. Se demuestra a continuación que el refinamiento de una partición incrementa las sumas inferiores y decrementa las sumas superiores. 7.1.2 Lema. Si f: I * R está ac otada, P es una partición de I y si Q es un refinamiento de P, entonces
L( P;f ) < L ( Q , f )
y
U(Q;f)<íU(P;f).
Demostración. Sea P = (x0, xp ... , x/:). Se examina primero el efecto de agregar un punto a P. S ea que z e / satisfaga xk _ 1< z < xk y sea P' la partición
P' ■■=( x0,x 1,. .. ,x k_1,z,x h,. .. ,x n),
,
Q .e . d.
lin el lema 7.1.1 se demostró que una suma inferior es menor que una suma superior si ambas sumas corresponden a la misma partición y en el lema 7.1.2 que al hacer el refinamiento de una partición se incrementan las sumas inferiores y se
L( P i ; / ) < L ( Q ; f ) < U ( Q ; f ) < U ( P 2 ; f ) .
Q.e.d.
Integrales superior e inferior La colección de todas las particiones del intervalo I se denotará por ¿F(/). Si /: /» R está acotada, entonces cada F en ¿P(/) determina dos números: L( P ; /) y determina dos conjuntos de números: el U(P; /). Por tanto, la cole cción conjunto de las sumas inferiores L ( P ; f ) para F e ¿P(l) y el conjunto de las sumas superiores U(P;f) para F e ¿P(í). Por tanto, se llega a las siguientes definiciones.
obtenida a partir de P al agregar z a P. Sean m \ y m"k los números
m'k ■■= i nf { / ( % ) : x e [x k_ l ,z ] } , Entonces mk
m"k ■■= i n f { / ( x ) : x G [ z , x k ] } .
m\ y m¡, ss m"k (¿por qué?) y, por consiguiente,
”h ( x k ~ x k - 1 ) = rnk(z - xk_1) + m k { x k z ) < m'k(z - xk_ 1) + m"k (x k - z) Si se suman los términos m(x. - x. _ ,) para j ¿ k a la desigualdad anterior se obtiene L ( P ; /) L (P ”; /).
7.1.4 Definición. Sea I := [a, ó] y sea f\ I~ * R una función acotada. La in tegral inferior de / en I es el número £(/)
s u p { Z ,( P ; / ) : P e & ( ! ) } ,
y la integral superior de/en / es el número
II11 l •. I' A lil I II >AI • I >1 101 M AN I l
Puesto que/es una función acotada, la existencia de los números
m¡ ■■= in i { f ( x ) : x e l )
M, ■■= sup { f ( x ) : x e= /).
y
7 «(. IM nm ion. S e n / yscu./:/ ’ P mía función acotada, lmtonees i iIk f 1111< /c:. líicma ius inlcgrablc* en /si /.( /) = U(j). tin este caso la integ ral ,1. u,c,n-.mn «le /en I se define como el valor L(f) = U(f) y este número por lo I, iicial se denola por
m ^ b - a ) < L ( P - f ) < Í 7 ( P ; / ) < Mj (b - a) .
^h
ml(b-a)^L(f)
y
u ( f ) < M ¡ (b - a) .
También se anticipa la siguiente desigualdad. 7.1.5
Teorema, Sea 1 = [a, b\ y sea f : I -* R una función aco tada. Entonces
existen la integral inferior L( f ) y la integral superior U (f) de f en I. Además
(Ó
Además, se definen / 7 / V
Se sigue por tanto que
(#)
f ( x ) dx.
/>
está garantizada. Se ve de inmediato que para cualquier P e // {i) se tiene
£(/)
Demostración. Si P { y P2 son particiones cualesquiera de I, entonces por el lema 7.1.3 se sigue que L( P l ; f ) U(P2; f ) . Por lo tanto, el número U(P2; f ) es una cota superior del conjunto {L(P; /): P e Por consiguiente, L ( f ) , por ser el supremo de este conjunto, satisface
Puesto que P2 es una partición cu alesquiera de /, entonce s L ( f ) es una cota inferior del conjunto {U(P;f): P e ¿ P ( í ) } . Por consiguiente, el ínfimo U(f) de este con ju nt o sa tis fac e la desi gua ldad ( f ) . q . e .d .
La integral de Riemann Si / es un intervalo acotado cerrado y /: / - »R es una función acotad a, en el teorema 7.1.5 se demostró que la integral inferior L ( f ) y la integral superior U(f) siempre existen. Además, siempre se tiene L( f) ^ £/(/). Sin embargo, es posible que se tenga L ( f ) < U (f ) , como se verá en el ejemplo 7.1.7 d). Por otra parte, hay una numerosa clase de funciones para las queL (f ) = U(f). Se dice que esas funciones son “integrables” y al valor común d e l( / ) y U(f) se le llama “la integral de/en/”.
' n
y
/ 7 =o .
Q
Se ve, por tanto, que si la integral de Riemann de una función en un intervalo r \iste, entonces la integral es el único número real que está entre las sumas inferióles y las sumas superiores. En adelante con frecuencia se omitirá el genitivo “de Riemann” y se usará el término integral” para hacer referencia a la integral de Riemann. Hay varias teorías diferentes de la miegración en el análisis real y la integral de Riemann es una de ellas; pero como en este lilno limitaremos la atención a la integral de Riemann, no habrá ambigüedad en cualquier iHerencia a la “integral” o “i ntegrabilidad”. Para un tratamiento de la integral de Riemann Hieltjes, el lector deberá consultar Introducción al análisis matemático (Editorial Limusa); para un tratamiento de la integral de Lebesgue, consultar The Llements oj ¡ntegration de K.C¡. Bartle. 7.1.7 Ejem plos , a) Una función constante es integrable. Sea f( x) := c para x e l : - [a, b ]. Si P es partición cu alesquiera de /, es fácil ver <|ueL(P;/) = c( b- a) = U(P; f). (Ver el ejercicio 7.1.1.) Por lo tanto, las integrales inferior y superior están dadas por L ( f ) - c ( b - a ) = U(f). Por consiguiente, / es integrable en / y
j
f = J c d x = c ( b — a ) .
b) La función g(x) ;= x es integrable en [O, 1]. Sea P la partición de I := [O, 1] en n subintervalos dados por
1 2
n’n’
n —1 n ’ n ’ n
^
Puesto que g es una función creciente, su ínfimo y su supremo en el subintervalo [(k l)/ n, k/n\ se alcanzan a la izquierda y a la derecha de los puntos terminales
.‘•Vi
I A IN I I <ÍKAI
DI' 1(11 MA NN
IMi l (1UAIUI 11>AI' l»l Itll MANN
respectivamente y, por tanto, están dados por mk~ (/« I ), n y Mk puesto que xk~xk_x= l/n para toda k = 1, 2, ... , n, se I¡ene
L ( P n ; g ) = (0 + 1 + . . • + ( „ l )) / n 2,
/. n A«l« mrtu,
U(Pn;g) = ( 1 + 2 1
I » )/ «•
Si se usa la fórmula 1 + 2 + ■■■+ m = m(m + l)/2, para /w e N [ver el ejemplo 1.3.3 a)] se obtiene que
|ini;i ind.i / / 1 N. P o r l o t a n t o , s e v e q u e
'
sup {/.( Pn ; h ) : n G N) < sup [ L ( P ; h ) : P G
/)} = L ( h ) ,
0 i romo que //(/*) = in f {(/( P ; h ) : P G ^ ( / ) ) < i n f {( /( Pn ; / i ): n G ¡ V ) = [
=
( n — l) n
1 /
n( n + 1 )
1\
1/
I
í f 11„
1nioiices, se infiere qu&L(h) = U(h ) = J. Por lo tanto, h es integrable en/ = [0 ,1] y
Puesto que el conjunto de particiones { P (: n eN} e s un subcon junto del con junio de todas las particiones ¿P(/) de /, se sigue que
l = sup [L( Pn; g) : n <=N ] < sup [ L ( P ; g ) : P
G
^ (/)} = L(g),
d) Una función no integrable. Sea / := [0, 1] y sea/: / * i? la función de Dirichlet [ver el ejemplo 5.1.5 g)] ■l( Imida por
f( x ) := 1 para x racional,
y también que
:= 0 para x irracional. ü ( g ) = i n f { ( / ( P ; g ) :i P e á » ( / ) } < i n f { t/ ( P „ ; g ) : n e N } = ±. Com o | «= L(g ) Í7(g) ^ 3 , se concluye que I(g ) = U(g) = l Por lo tanto, g es integrable en / = [0, 1] y
'.i P := (x0,x t, ... , x j es partición cualesquiera de [0,1 ], entonces como cualquier intervalo no trivial contiene números tanto racionales como irracionales (ver el teorema de densidad 2.5.5 y su corolario), se tiene mk = 0 y Mk = 1. Se tiene por lo imito
L ( P ; f ) = 0, j lg = f x d x = •'o
■'o
2
I«ara toda P e / (/), de donde
c) La función /z(x) := x 2 es integrable en I := [0, 1]. Sea P como en el ejercicio b). Puesto que h es creciente en [0, 1] se tiene mk = ((,k - 1 )/«)2 y Mk = ( k/n )2 para k = 1, 2, ... , «. Se tiene por tanto
L ( Pn ; h ) =
( 0 2 + 12 + ••• + ( n — l ) 2) / n 3 ,
U(Pn;h) =
( l 2 + 2 2 + ••• + n 2 ) / n 3 .
Usando la fórmula l 2 + 22 + ■••+ m2 = \jn(m + 1)(2 m + 1) [ver el ejemplo 1.3.3 b)] se obtiene
H P n ’ h ) = ( n - l )n ( 2 n l )/ 6 n 3 = í l — 3 \ 2n = n ( n + l )( 2 n + l ) / 6 n 3 =
U ( P ; f ) = 1,
+ —
+— T ], 2 n J + 2 _ j,
M/) = o,
(/(/) = i.
Puesto que¿(/) ^ U(/), la función/no es integrable en [0, 1]. Al tratar la integral de Riemann nos enfrentamos a dos tipos de cuestiones. Primera, para una función acotada dada en un intervalo surge la cuestión de la existencia de la integral. Segunda, si se sabe que existe la integral, entonces se plantea el problema de evaluarla. Se empieza por establecer algunas condiciones para la existencia de la integral. 7.1.8 Criterio de integrabilidad de Riemann. Sea I := [a, b] y sea una función acotada en I. Entonces fe s integrable en I si y sólo si para cada £ > 0 existe una partición P£ de I tal que
I A IN I I ( ¡UAI
l >l
Kll M AN N
Demostración. Si/es integrable, entonces se liuu/(/) ('{ /) Sir.ed.i/ 0, ento nce s por la defin ición de integral infe rior com o un supremo , r\i\i* mui partición P, de / tal que
L ( f ) —e / 2 < L ( P , ; / ) . De manera similar, existe una partición P0 de I tal que
U(P2 ; f ) < U ( f ) + e / 2. Si se hace/’. := Pl U P2, enton ces P£es un refina mient o tanto de P, c om o de /’, l'm consiguiente, por los lemas 7.1.1. y 7.1.2, se tiene
L { f ) ~ e / 2
<
L(Pl ; f ) <
FIGURA 7.1.4 U(P]f)-L(P;f).
L(P( ; / )
Puesto que L ( f ) = //(/), se concluye la validez de (*). (¿Por qué?) Para establecer el recípro co, se observa primero que para cualquier partición P se tiene L ( P ; / ) ^ ! ( / ) y U(f) U(P ; /). Por lo tanto,
V(f) ~ L(f)
<
U( P J ) - L (P -, f ) .
Supóngase ahora que para cada e > 0 existe una partición P£ tal que la expresión (*) se cumple. Se tiene entonces
Demosíración. Si se da e > 0 , por la hipótesis se sigue que existe K tal que si !(, entonces U(P¡¡-,f) -L (P n\f) < £, de donde se sigue la integrabilidad de
/por el criterio de Riemann. El resto de la demostración se deja como ejercicio. Q.E.D.
La importancia del corolario radica en el hecho de que aun cuando la defini i ion de la integral de Riemann incluye, para una función dada, el conjunto de l o d a s las particiones po sibles de un intervalo, la existencia de la integral y su valor i un frecuencia se pueden determinar por una sucesión especial de particiones. 7.1.10 Ejemplos, a) Se a g(x) := x en [0,1 ]. S i Pn := (0, 1/n , .. . , { n - 1 )/n, 1), •■ufanees por el cálcu lo del ejem plo 7 .1 .7 b) se tiene
U (f ) - L ( f ) < U ( Pe ; f ) - L (Pe ; f ) < 8. l í m ( L 7 (Pn ; g ) - L ( P n ; g ) ) = lím = 0 Dado que £ > 0 es un valor cualesquiera, se concluye que U(f) !( / ). Puesto U(f) es válida siempre, s e tiene que (por el teorema 7.1.5) la desigualdad /.(/) L(f) = U(f). Por tanto ,/es integrable. q.i.d,
n
n
U
y por tanto que J^x d x = lím U(Pn; g) = lím j(l + 1/n) = b) Si h(x) := x 2 en [0, 1] y si P es la partición del ejemplo a), entonces por el ejemplo 7.1.7 c) se sigue (¿por qué?) que
En la figura 7. 1.4 se proporciona una representación geom étrica de la diferen
cia
U(P ; /) - L( P; /).
7.1.9 Corolario. Sea I \= [a , b ] y se af : I -* R una función acotada. Si {P : // eN } es una sucesión de particiones de í tal que l™ (t/(Pn ; f ) - L( P„ ;/ ) ) = 0 , n
fb entonces f es integrable y lím L(Pn; f) = Jaf - lím U(Pn; /).
Integrabilidad de funciones monótonas y continuas Se concluye esta sección demostrando que una función que es monótona continua en [n, b] es integrable. Si /: I - >R es una función acotada en I := [a, b] y P := (x0, xv .. ., xf) es una partición de I, se emplea la notación común
I A IN IT
l (| | M A N M
IN I I ( í K A I I I I 1 D A I » 1 * 1 ' R I I M A N N
mk ■■= i n f { / ( x ) : x e [ x fc_ , , x* ] } ,
Mk == sup { j\ x ) : x < |* A , . r j |
/'| 8, enton ces |/(«) /(/>)|< e/(b a). Sea ahora n e N tal que n > ( b ’»y sea l ‘n (,v(), vj,..., X") la pa rtición de / en n partes iguales de tal modo que b b i (h - a)/ n < 8. Si se aplica el teorema del máximomínimo 5.3.4 a cada intervalo [xk_ v x^, n oblicuo la existencia de los puntos uk, vken [xA._1,xí] tales que ii
l»
Se hace notar asimismo que
U ( P ; f ) - L ( P ; f ) = ¿ (Mfc k=1
- **_,)•
*
/(«*)=
7.1.11 Integrabilidad de funciones monótonas. Sea / := [a, b ] _ysea J': I •//
f ( v k) = m k .
monótona en I. Entonces f e s integrable en /.
'.*• licne por lo tanto Dem ostració n. Supóngase que/es creciente en /. Sea Pn := (x0, xv ... , xn) In partición de/en n partes iguales, de tal modo que xk-x k l = (b-a )/n para k 1, 2 , . . . , n. Puesto que/e s creciente en [xk_ v x¡^, es evidente que mk = f( x k_ ,) y Df =f(xk). Por lo tanto se tiene la suma “telescópica”:
E
( M k
m k ) (x k
* *_ ,) =
¿=i
¿
n k=i b —a
( f ( x k )
~ f ( x
k_,))
n
71
+ ' *• + / ( * „ ) ~ / ( * „ i ) )
-
—
E
e
b —a
b - a
n
= e.
(/(*«) ~ f ( xo) )
n
Puesto que £ > 0 es un valor cualesquiera, se sigue que lím (U(Pn;f )- L (P n; /)) q . e .d . 0, por lo que el corolario 7.1.9 indica que/es integrable en I.
(.fW /(«))•
":’Nota. En los ejercicios se verá que si /: [a, b] -*R está acotada y tiene a lo sumo un número finito de discontinuidades en [a, b], entonces/es integrable en [a, b]. Sin embargo, es posible que una función tenga un número infinito de discontinuidades y aun así sea integrable; ver el ejercicio 7.1.11.
Si se da ahora e > 0, se elige « e TV tal que n > ( b - a ) (f ( b) - f( a ) ) /e . Para la partición correspondiente P/(se tiene
; / ) “ L ( Pn > f ) =
le donde se sigue que
0 < U ( Pn ; f ) ~ L ( P n ; f ) = £ ( M . - m J K - r ,. , )
= — ^ — ( / ( ^ i ) “ / ( * o) + / ( * 2 ) ~ / ( * i )
=
Mk ~ m k = /(«*) - /(» *) < e / ( b - a ) ,
( ** * “
< e
Ejercicios de la sección 7.1 rb
Por el corolario 7.1 .9 se sigue que /es integrable en /.
q . e .d
.
Se demuestra a continuación que la continuidad también es una condición suficiente para la integrabilidad. 7.1.12 Integrabilidad de funciones continuas. Sea I := [a, b] y se a f: I -* R
continua en I. Entonces f e s integrable en I.
Dem ostración . Por el teorema de continuidad uniforme 5.4.3, /es uniformemente continua en /. Por lo tanto, si se da e > 0, existe 8 > 0 tal que si u , v e l
Y. Demostrar en detalle que si f(x ) := c para x e [a, b ], entonces Ja /= c( b a). 2. Sea que /: [0,2] + R esté definida por f(x) := 1 six + 1 y/ (l) := 0. Demostrar que /es integrable en [ 0 , 2 ] y calcular su integral. 3. a) Demo strar que si g(x) := 0 para 0 x =5 \ y g(x) := 1para 5 < x «£ 1, entonces se tiene J^g = j . b) ¿Se sostiene la conclusión si se cambia el valor de g en el punto \a 7 ? 4. Sea que h: [0, 1] *■ R esté definida por h(x) := 0 para x irracional y h(x) := x para .vracional. De mostrar que L (h) = 0 y U(h) = j. Por tanto, h no es integrable en [0 , 1 ]. x 3 para 0 =£ x ss 1 y sea Pn la partición del ejemplo 7.1.7 b). 5. Sea f(x ) Calcular L (Pn; f ) y U(Pn; /), y demostrar que f^x3d x= \. (Sugerencia: Usar la fórmula l 3 + 23 + •••+ m3 = [\m(m + l)]2.)
264
I A I NT U I ¡ R A I
I'IU U'll I »Al >1
DI' IDI MANN
0
7. Suponer que/es una función acotada en [a, b] y que para cual(|iiin iiiimki.d e(a, b) la restricción de/a [c, b] es integrable. Demostrar que/es inUp.nilili en [a, b\ y que ///= lím f * f “
c
c
■ 8'." Se a / := [a, 6 ] y sea/: /~> i? una func ión aco tada y tal que / ( a ) 5= (1 paia In.ln x € /. Demostrar que /,(/) =3 0. •9: Sea I := [a, b], sea/: I - * R una función continua y sea f(x ) > 0 para toda \ / Demostrar que si L (/) = 0, entonces/(x) = 0 para toda x e l. 10. Sea / := [o, 6], sea f : I -> R una función continua y suponer que para Imln lunción integrable g: / - » R el producto fg es integrable y que J^ fg = 0. I >r mostrar que /(x) = 0 para toda x e /. 11. Sea / := [0,1 ] y sea h la restricción a I de la función de Thomae del ejemplo 5.1.5 b). Demostrar que h es integrable y que f¿h = 0. Comparar este resulln do con el del ejemplo 7.1.7 d). 12. Sea I := [a, b] y sean f [} f 2:1 -* R funciones acotadas. Demostrar que L(J\ ) i ¿ (/2) ^ L (f\ + f 2)- ( Sugerencia : Usar el ejercicio 2.5.7.) 13. Dar ejemplos para demostrar que la desigualdad estricta puede ocurrir en el ejercicio anterior. 14. Demostrar que/(x) := cos(n/x) para 0< x = 5 1, /(0) = 0, es integrable en [0, 1 1 15. Demostrar que si /: [a, b] -* R es una función acotada y tiene un número finito de discontinuidades, entonces/es integrable en (a, b]. (Sugerencia: Usar el ejercicio 7.) 16C Sea/:= [a, b] y sea f\ I->R una función creciente en/. Si Pn es la partición de / en n partes iguales, demostrar que
í ;.n esta sección se establecerán algunas de las propiedades básicas de la inte
r ial de Riemann, incluyendo las importantes propiedades de linealidad y positividad. 1ii concepto de integrabilidad describe una colección de funciones, la clase de lx. Iunciones integrables en un intervalo, y la sección se concluirá con una revisión di las propiedades de permanencia de esta clase. El resultado clave es que si se luce la composición de una función integrable con una función continua, la fun i ion compu esta resultante es integrable. De este hecho se iníiere que el valor abso 11iio, la potenciación y el producto de funciones integrables también son integrables. Es común hacer referencia a la siguiente propiedad como la propiedad de linealidad de la integral de Riemann. 7,2.1 Teorema. Sea I := [a, b] y sean f, g: 1 R funciones integrables en i . Si i e R , entonces las funciones kf y f+ g son integrables en I, y
¡"kf-kff. J a a
(H.
f a\ f + g )
(2)
o < V(Pn-,f) ¡ hf < K ( b - a f / n . a
18. Sea P£ la partición cuya existencia se afirma en el criterio de Riemann 7.1.8. Demostrar que si P es cualquier refinamiento de P£, entonces U ( P ; f ) - L ( P ; f ) « £. 19. Si/: I - * R es una función acotada, sea i¡/, := sup { f(x)\: x e l } , y si P = (a = x0 < x, < ... < xn = b) es una partición de / := [a, ¿>], sea P i1:= sup { x, xo>• • a) Si P' es la partición obtenida a partir de P com o en la demostración del lema 7.1.2, demostrar qu e£ (P ;/) ^ L(P'\f) ss L(P;f) + 2 :/| •i 'P 'i y
U(p-,f)^U(P'-f)^U(P-f)-2 \f\- \P\.
A IN I I • « KA l I >1 U l l M A N N
SECCIÓN 7c2 Propiedades de la integral de Riemann
o < V(Pn,f) / V < ( b - „ ) ( / ( & ) / ( « ) ) / „ . 175 Se a / := [n, y sea que/ : / R satisfaga la condición de Lipschitz f(x ) f( y ) K x —y\ para toda x, y e I. S i Pn es la partición de I en n partes iguales, demostrar que
I
I.) si // i*s una parí ¡don obtenida a partir de P agregando k puntos a P, de mnsiiai que /.(/’,; / ) *¿L(P;f) + 2k f • P , y también que U(P{,f) ^ //(/*;/) 2A / • P ;. I)cm ostrar que si e > 0, entonces existe <5> 0 tal que si <3es cualquier partición de /= [n, /?] con Q < 8, entonces L(Q; /) ^ L ( f ) - £ y U(Q-,f) /,(/) + ¿:. (Sugerencia: Sea P : una partición tal que ¿(/ ) e/2 < L(P ,; / ). Si hay A' puntos en P , diferen tes de u, b , sea 5 := e/(4A: / ). Se a ahora Q cualquier partición con Q < 8 y considérese <2, := Q U P r )
6. Si/: [a, b] ->R es una función acotada tal que /(x) 0 cx ap io |>¡un \n i |. ,, , c j de [a, b], demostrar que f e s integrable en [a, b\ y que J ' j
DI
= ]7 + a
f ag -
Demostración. 1) Si k = 0, las afirmaciones acerca de k f son triviales. Se considerará el caso k < 0, dejando al lector el caso k > 0 que es un poco más sencillo. Sea P := (x0, xv ... , xn) una partición de I. Puesto que k < 0, se ve de inmediato que i n f { k f ( x ) : x e [ * , _ ! , X ;]} = k s u p { / ( x ) : x € para j = 1, 2, ... , n. (Ver el ejercicio 2.5.4 b).) Al multiplicar cada uno de estos términos por xj - x j _l y sumar, se obtiene L(P; kf) = kU(P;f). Por lo tanto, ya que k < 0, sé tiene
L(kf)
= sup
{L(P
A /):
Pe
£ ? ( ! ) ) le i n f {l / ( P ;/ ) :
P
e ^ ( 1 )}
=W(f).
26 6
l ’ U< >1*111 ( A l > I S I U l A I M I I O U A l I ) l . K I I ' M A N N
I.A IN'I'I■;
Con un razonamiento similar se demuestra que U(P; kf) ~ /
/ ' V i f ' í i < •
U ( k f ) = inf { U ( P ; k f ) : P
I )}
2<>7
+ U( Pt ; g )
• a
i i
A/.( / |
< L ( P e ; / + g ) + e < f b( f + g ) + e. a
Puesto que/ es integrable, entonces U(f) = L(f) , de donde se sigue que /,(/
/VJfc/V (2) Para establecer la afirmación acerca de/ + g, sea /;' := las siguientes desigualdades (ver el ejercicio 2.5.7):
x.]; se utilizan
Puesto que e > 0 es un valor cualesquiera, se deduce la ecuación 2 ).
.
Al aplicar un razonamiento de inducción común es posible ampliar el teorema / I a una combinación lineal finita de funciones integrables. lio ocasiones se hace referencia al resultado siguiente como la propiedad de positividad de la integral. 7.2.2
i nf { / ( * ) : x e /.) + i n f { g ( x ) : x e /.} < i n f { ( / + g ) ( x ) : x e / .} ,
q .e .d
Teorema. Sea I := [a, b] y sea f: I~ *R integrable en I. Si f(x) 3= 0 pa ra
huía x el , entonces
SUP { ( / + g ) ( x ) : x e /.} < s u p { / ( x ) : x G i j + s u p { g ( x ) : x e / ,} . Se infiere de inmediato que L ( P ; f ) + L ( P ; g ) < L ( P ; / + g )
y
t/ ( P; f + g ) < U( P;f) + £7( /’ ;«)
para cualquier partición P e ¿^(/). Si se da ahora £ > 0, entonces como/y g son integrables, existen las particiones Pf E y Pge tales que t/(P/ „ ; / ) < L ( P / „ ; / ) +
1,
U(Pe_ , ; g ) < L ^ , - , g ) +
Demostración. Esta se sigue inmediatamente de la expresión (#) que está después de la definición 7.1.4. q . e .d . De hecho, de la expresión (# ) que está después de la definición 7.1.4, se deduce que si/ : I -» R es integrable en /:= [« , b] y si m =£ /(x) M para toda r e / , entonces n.
m {b — c ) < í &/ < M (b —a ).
(4)
Si se hace P £ := P ^ U Pg£> entonces se obtiene (¿por qué?) En particula r, si/ es integra ble en / y si |/(x)| ^ K para toda x e l , entonces (*)
V( Ps ; f + g ) ^ U ( P e ; f ) + U(Pe ; g) < L ( pe i f ) + L (Fe i g ) + « <
;/ + g) + e.
Por tanto, por el criterio de Riemann 7.1.8, se ve que /+ g es integrable. Para terminar la demostración de (2), se observa que de la expresión (*) se sigue que f b( f + g ) < U ( P , ; f + g ) < í L ( P , J ) + L ( P , ; g ) + e <
De (* ) también se sigue que
í bf +
f hg + e .
/>
( 5) 7.2 .3
< /
Co rol ari o. 5//, g: / *•i? son integrables en I := [a, £>] y
/(x )
pa ra toda x e l , entonc es
/>/> Dem ostración . Por el teorema 7.2.1, la función g /es integrable en I y
g(x )
268
! •! « I N I K A K I S K l I A I N H K K A I K l . 1( 11 M A N N
I A I N I I . I Í K A I K l I NI M A N N
■i .' Ii.k i /*¡ . /*' n |íí, f| y
f\Sf ) ~JJabg - fJ bafa
I
Por hipótesis, ( g - f ) ( x ) 5= 0para toda* e l, de tal modo que por el teorema se sigue que
:= V í i [c, b\, entonces se ve de inmediato que
('( I", ; f ) + U(P’ 2 ; f )
L (P ';/) = L(P ;;/) + L(P5;/).
y
\l i iimbinar estos resultados con la fórmu la precedente se tiene
\U ( P ¡ ; / ) - L ( p ¡ ; / ) ] + [ V ( P Í - . f )
f g ~ ¡ bf = f \ g a Ja Ja
/*
Teorema. Sea I := [a, b) y sea que c satisfaga a < c < b. Sea f: 1 ►H
una función acotada. E ntonces fe s integrable en I si y sólo si es integrable t a n t o en /, := [a, c] com o en I2 := [c, b]. En este caso,
(6)
f i - Jfaf + fJ c i
Dem ostrac ión. S e supone primero que/es integrable en [a, c) y [c, ¿>]. Enton ces, dada e > 0, por el criterio de Riemann se sigue que existen las p a rt ic io n e s( de [a, c\ y P 9 £ de [c, b] tales que
Sea ahora P£ := P,
y
i'nesio que los dos términos entre corchetes son no negativos, se deduce que
(//)
U{P[;f)-L(P¡;f)
C /( P2, e ; / ) - L ( P 2>6 ; / ) < e / 2 ,
—L ( P 2 ; f ) < e.
Cuesto que e > 0 es un valor cualesquiera, por el criterio de Riem ann se sigue que /e s integrable en [a, c] y en [c, b] . Hemos demostrado que/es integrable en [a, b] si y sólo si es integrable tanto ••ii [a, c] como en [c, b] . La demostración se completa al establecer (6). De la expresión (#) del párrafo anterior se sigue que
a
< L ( P [ J ) + L (P '2 J ) + 2 e< f f + a
[ bf + 2e.
Jc
!>e (#) también se sigue que
ff+
U P2 £. Se sigue que
a
/V< ;/) + U(P[
U ( P ’2 ; f )
c
< L(P[ ;/) + L ( P ' ;/ ) -f 2e
U( Pe ; f ) - L ( P e ; / ) = [ í / (P l e ; / ) + U(P2_e -, f ) ] [L(P j e ; / ) + L(P2 e ; / ) ] ” [ U ( r , , . ; / ) - I . ( P ,, , ; / ) ] + < B.
U ( P 2 ; f )
y
/ 7 < U ( P ' ; / ) = Ü ( P ¡ ; / ) + £/( P í ¡ f )
a
U( P l¡ e; f ) - L ( P h e ; f ) < e / 2
L ( P Í J ) ]
“ /) >
No es obvio que si /es integrable en [a, b] y si c e (a , b), entonces /es integrable en [a, c\ y [c, b). En el siguiente resultado se establece este hecho así como ln “adivilidad” de la integral en intervalos. 7.2.4
-
W (P 2 e J ) - L (P2 e ¡ / ) ]
Puesto que e > 0 es un valor cualesquiera , por el criterio de Rieman n se sigue que /es integrable en [a, b]. Se supone ahora que /es integrable en [a, £>]. Si e > 0, existe una partición P de [a, b] tal que U(P; / ) L(P; f) < e. Si P ' := P U {c}, entonces P ' es un refinamiento de P, de donde, por el lema 7.1.2, se sigue que
= L(P' J ) + 2e < f bf + 2e. a
Puesto que e
>
0 es un valor cualesquiera, se obtiene la relación
6).
q.e.d.
Al aplicar un razonamiento de inducción común es posible ampliar el teorema 7.2 .4 a una descomposición de [a, b ] en una unión finita de intervalos no traslapados.
La clase de las funciones integrables En el teorema 7.2.1 se demostró que una constante múltiplo de una función integrable es integrable. De manera similar, la suma de dos funciones integrables también es integrable. Se demuestra a continuación que algunas otras combinado
270
I A INTIÍOUAI. IH KII'. MANN
nes defunciones integrables son integrables. El resultadoile mayor utilidad cu rule sentido se establecerá a continuación. k. n
^ AeB
7.2.5 Teorem a de composición. Sean I := [a, b] y J := [c, d\ intervalos i1 suponer que f: I ~ * R e s integrable en I, que ( p:J~ >Res continua y que J\¡ )<.„,/ Entonces la composición
1*0
£
(Mk ~ mkj(xk - xk_¡) < 2Ke'.
Ae B
/ *
\l combinar (i) y (ii) se obtiene
U ( P ; f ) - L ( P ; f ) < 8 2.
U { P ; < p o f) ~ L { P ; < p ° f ) = £
(Mk ~ mk)(x k - xk_y)
Ae A
La demostración se terminará probando que para esta partición P se tiene
£ (Mk - rnk)(xk - xk_l) keB < s ( b — a ) + 2 K e’ = e. +
U ( P \ ( p ° f ) L ( P , < p ° f ) < e.
(§)
Puesto que e > 0 es un valor cualesquiera, con esto se demostrará que ip ° / es integrable en /, por el criterio de Riemann 7.1.8. Para establecer (§) sea que mk, Mk denoten, como es costumbre, el ínfimo y el supremo de f e n [ x k _ v xk\y sea que mk, Mk denoten el ínfimo y el supremo de
A ■■= {k\ Mh — mk < 8} ,
l’oi tanto se obtiene la desigualdad (§), como se quería.
q .e .d .
El considerable esfuerzo realizado en la demostración del teorema de compo '.uión se recompensa con varios corolarios útiles. 7.2.6 Corolario. Se a /:= [a, b] y sea f\ I- *R integrable en I. Entonces: á) La función valor absoluto /I es integrable en 1, y
B •= {k\ Mk — mk > 8} . (7 )
Ahora bien, si k e A y x, y e [xk_ 1#x j, entonces f( x) - f( y ) < 8, de donde se sigue que cp°f(x)-
£
h eA
(Mk - mk)(xk - xk_i) < e ’( b - a ) ,
Por otra parte, si k gB, sólo se puede afirmar que Mk - mk ^ 2 K, de donde £
k
[Mk ~ ñk)(xk ~ xk_x) < 2K £ (x k - xk_1).
Sin embargo, para k z B se tiene 8
Ae B
Mk - mk, de modo que
donde \f(x)\ ^ Kp ara toda x el. b) Si n eN, entonces la función de la n-ésima potencia f" es integrable en I. c) Si existe 8 > 0 tal que f(x) ^ 8 para toda x e l, entonces la función recí proca 1¡f es integrable en /. Demostración. Puesto que /es integrable en /, entonces existe K > 0 tal que K para toda .v e l. a) Sea cpft) := t\para t e J := [~K,K]. Entonces
f(x)\
I A IN IM .K AI
D I I N I M A NI I
b) Sea (p2(í) := tn para t e j 1I \-K, K J. l iilon o s , K], entonces ip3 ° f = 1//, y se aplica el teorema de compos ición, o i n 7.2.7 Teorema del producto. Sea I := [a, b] y sean f g:I ~>R integrables
I’ltl >111 I >AI >I',NDI I A IN 11 (¡ KA I I 'I INI MA NN
l'j c i vicio s «!«• R;i soci’ióm 7.2
I Sea / |u, />|, sea /: /-* R una función acotada y sea k > 0. .i) Deino slrar c|iie L(kf) = kL(f) y que U(kf) = kU(f). b) I >emostiar que si / es integrab le en / y k > 0, entonces k ft s integrable en
(V N í
D . Sea /:=[«, b] y sean f y g funciones acotadas de / a R. Si f( x) ^ g(x) para toda x e l , demostrar que L(/) « L(jg) y que U(f) í U(g). \ \Isar la inducción matemática para demostrar que si/.: [a, b]-* Re s integrable n
y k¡ e R para i =1, 2, ... , n, entonces
/s = t [ ( / + g ) 2 / 2 g 2] . aplicando otra vez el teorema 7.2.1 se demuestra que fg es integrable en /. a i n Los resultados precedentes garantizan la existencia de la integral en una clase muy numerosa de funciones. El ejemplo siguiente muestra que no se puede pies cindir de la hipótesis del teorema de composición de que cpsea continua. 7.2.8 Ejemplo. La composición de funciones integrables no es necesaria mente integrable. De hecho, sea / := [0, 1] y sea f : I - * - R la función deThomae definida por /(()) := 1 ,f (x) := 0 si x e l es irracional y f( m/ n ) := l/n si m, n e N y m y n no tienen factores enteros comunes. Entonces/es integrable en / (ver el ejercicio 7.1.11) Sea que g: I~>R esté definida por g(0) := 0 y g(x) := 1 para x 6 (0, 1]. Entonces g es integrable en / y es continua en todo punto de /excepto 0. La composición g " / (x) = 0 si x e l es irracional y g ° f(x ) = 1 si x e l es racional. Por tanto, g ° /e s la función de Dirichlet cuya no integrabilidad se demostró en el ejemplo 7.1.7 d). Observación. Al final de la sección 7.1 se enfatizó que una función acotada que tiene a lo sumo un número finito de discontinuidades es integrable y quizás el l ector suponga que este hecho caracterizaría a la colección de las funciones integrables. Sin embargo, la función de Thomae / del ejemplo 7.2.8 ilustra que la colección de discontinuidades de una función integrable no debe ser necesariamente finita. A este respecto, hay un teorema debido a Henri Lebesgue que ofrece una condición necesaria y suficiente para que una función acotada sea integrable. Para establecer este resultado es necesario hacer una definición: Se dice que un conjunto D C R es un conjunto de medida cero si para toda £ & 0 existe una
¿=i
k¡f¡ es integrable en [a, b] y
íkj'%
«=i
«
4: Sea I :=[a,b]y sean/, g, h funciones acotadas de / ai? . Su póngase que /(x) g(x) ^ h(x) para x e R . Demostrar que si /y h son integrables en /y si Ja f = A) rb rb Ja h, entonces g también es integrable en /y Ja g = Juf. Elaborar una demostración detallada del hecho de que U(P' ;f) = U(P\;f) + U(P'2;f ) en la demostración del teorema 7.2.4. (V. Usar la induc ción mat emátic a para demostrar que si P := (x(), xv ... , xn) es
ib
Jl
una partición de [a, b] y si/es integrable en [a, b], entonces Ja / = YL k — 1
7. Sea I := [a, b] y sea c e(a, b). Sea - f que denote el conjunto de todas las particiones de /y sea que ,J / c denote el conjunto de todas las particiones de I que contienen al punto c. Si/: ¡ —*R es una fu nción acotada en /, demostrar que L ( f ) = sup {L(P ;/): P e 8. Sea a > 0 y sea/ := [fl, a]. Sea f : J - * R una función acotada y sea -N* el conjunto de todas las particiones P de / que contienen a 0 y que son simétricas (es decir, x e P si y sólo si x e P). Demostrar que /(/ ) = sup {L (P ; /): P 9. Supóngase que / := [-a, a], donde a > 0, y que f : J - » R es una función integrable en/. Usar el ejercicio anterior para establecer los siguientes resultados. a) Si/ es par (es decir, si/( x) = /(x) para toda x eJ), entonces /.fl/= 2¡0 f b) Si/ es impar (es decir, si/ (x ) = -f(x) para todax e/), entonces I_af= 0. 10. Supóngase qu e/es integrable en [a, b] y sea c e R. Si g se define por g(y) := f( y - c) para toda y e[a + c, b + c], demostrar que g es integrable en el intervalo [a + c,b + c] y que
colección contable de intervalos In := (an, b j con an
E
n —i
bn para n eN tal que ü C ( J ln n 1 (bn an) < £ . El teorema de Lebesgue es que una función acotada /: [a, b] R es
f ’ i r f =
i = 1
Riemann integrable si y sólo si su conjunto de discontinuidades es un conjunto de medida cero. En Introducción al análi sis matemático (Editorial Limusa) (proyecto 44.a) se da una demostración del teorema de Lebesgue.
Dar un ejemplo de una función integrable h: [0, 1] -+R con h(x) > 0 para toda x, pero tal que l/'/i no sea integrable en [0, 1]. \2J Dar un ejemplo de una función/: [0, 1] -» R que no sea integrable en [0 ,1] , pero tal quej/jsea integrable en [0, 1].
11.
I A IN I I ( íUA l l>l INI MA NN
13. S e a / : = [a, ¿>] y sea /: }
—>R
una función
II
i n t e g r a b l e e n I.
llsai
la (Icm/mmMuiI
!/(*)! ~ \f(y)\ < \f(x) -f(y)\ para x , y e l para demostrar que i f\ también es integrable en I sin usar el teoirimi 7.2.5. 14. Sea / := [a, b], s e a / : / * R una función integrable en I y sea|/ (x) ' /s puní toda v g /. Usar la desigualdad (/ (z) )2 ~ (/(?/))2 ^ 2K|/ (t) —f(y)\ par ax,y e /para demostrar que/2es integrable en /sin usar el teorema 7..’ .Y 15. Si / C R es un intervalo, dar un ejemplo de una función/integra ble en I y de una función g no integrable tal que fg sea integrable en I. 16: Si/ es integrable en I := [a, b ] y /(x) 3= 0 para toda x g /, ¿se cumple noce,su riamente que g(x) := V/( x) es integrable en /? 17? Si/ es integrable en [a, 6] y 0 m /(x) M para toda x g [a, b ], demos trar que
11 < UN M A I U N D A M I N ' I ' A I I M I < A l N I I I . o
I ,i j >i mi ,i luí 111; i dvl (core ma Iti iidamental prop orciona las bases teórica s para , i nu 11HIi 11 le calculai una inlegral que el lector aprendió en sus clases de cálculo, pie,mía osle resultado en un contexto bastante general; se llega luego a una . i aun mi lanío mas limitada como un corolario. ii
/.A. I le o rema fundame ntal del cálculo (p rimer a form a). Seaf: [a, b] > R im. rjnb lc en \a , b] y sea que F: [a, b]-^ R satisfaga las condiciones: a) /■' es continua en [a, b); l>) existe la derivada F' y F\x) = /(x) par a toda x e (a, b). I nlonces:
f bf = F ( b ) - F ( a ) .
,11
JU
IIDemostración. Sea e > 0 dada; por el criterio de Riemann 7.1.8, existe una punición P = (x0, Xj, . .. , x () de [a, b] tal que U ( P ; F ' ) - L { P ; F ' ) < e.
1 /2
— - a f■>aí 18. Si/ es continua en I c G/tal que
a \r aplica ahora el teorema del valor medio 6.2.4 a F ' en cada uno de los interva !"■. \xk _,, x j, se obtiene un punto tk e (xk_ p xk) tal que
[a, b] y /(x) 3= 0 para toda x el, demostrar que exislc 1 /2
/(*)
—
F( xk) ~ F( xk-i) = (xk~ xk-i) F' ( h )» 4c ifynde se sigue que
/*/■
m'Áxk~ xk-i) < F(xk) ~ F(xk- 1) < M'Áxk~ xk-i)> 19 Si/ y g son integrables en / := [a, b] y si /i(x) := sup {/(x), g(x)} para toda x g / , demostrar que /; es integrable en I. 20. S i/ es continua en I := [o, 6] y /(x) > 0 para toda x e l , demo strar que 1 //es integrable en I.
donde mk y M[ denotan el ínfimo y el supremo de F ' en \xk _,, x j. Si se agregan estas desigualdades en todos los subintervalos de la partición P y se observa que el icrmino de en medio es “telescópico”, se obtiene L ( P ; F' ) < F( b ) - F ( a ) < U ( P , F ' ) .
SECCIÓN 7.3 El teorema fundamental del cálculo I’cro como también se tiene En esta sección se presenta la conexión entre las nociones de derivada e integral. De hecho, hay dos teorem as; uno se refiere a la integración de una derivada y el otro a la derivación de una integral. Ambos establecen que, en sentidos que deberán precisarse, las operaciones de derivación e integración son inversas la una de la otra. Sin em bargo, hay ciertos aspectos sutiles y se advierte al lector que verifique que las hipótesis de estos teoremas se satisfacen antes de aplicarlos.
L( P ; F' ) < / V < n
se sigue (¿por qué?) que
U(P;Fr),
276
I A I N I l í í i R A I D I ' I MI M A N I I
/ V [F(b) F ( a ) ]
< e.
Como £ > 0 es un valor cualesquiera, se deduce la ecuación (1).
l(< I h )
F(c)
hj / ( * )* — 1 r +hf í \ ?
-ño)
oi n
i la derivada F' de F existe en [a, b], ii la función F' es integrable en [a, b]. Entonces la ecuación (1) es válida con f= F '. Se presenta a continuación la segunda forma del teorema fundamental di I cálculo, la cual considera la posibilidad de permitir que varíe el “límite superior de integración.
/(c)
:+ h
un diñ o el integrando de la última integral es, en el valor absoluto, menor que £, i /.2. 6 a) se infiere que
F(c + h) — F ( c )
-f(c)
< 777 •e • \h\ = e . \h\
l’iirsto que £ > O es un valor cualesquiera, se sigue que
Teorema fundamental del cálculo (segunda forma). S e a f : [a, b\ >H
lím fco
integrable en [,a , b] y sea
F(c
+ h) F(c) 1 i i = / ( c ).
----------
--------
n
Q.E.D.
Se tiene por tanto F f(c) = f( c) . F ( x ) — j f para
(2)
x e [a,b];
7.3.4 Corolario. Seaf: [a, b]~»R continua en [a, b ] y se a
entonces F es continua en [a, /?]. Ad em ás, si f es con tin ua en un pu nt o c e |«, b], entonces(f^s derivable en c y F
F'(c) = f ( c ) .
(3)
Demostración. Sea K > 0 tal que jf(x)\ ^ K para x e [a, b]. Si x, y e [a, b] y
x < y, entonces, como
F(y) - F(x) = f f - / 7 = f f . a a x por el corolario 7.2.6(a) se sigue que (4)
\F(y) -F(x)\^K\tj~x\.
La continuidad de F se sigue de la desigualdad (4). Supóng ase ahora que/e s continua en un punto c e [rz, b]. Sea £ > 0 dada y sea S > 0 tal que si \h\ < 8 y c + h e[a, b ], entonces f( c + h) - f(c)\ < e. Para cualquiera de estas h se usa la observación de que (í/h) f c+Hld x = l para obtener
1 dx
= U f (f{x)- Kc))cb
7 3 . 2 C o r o l a r i o . Sea que F: [a, ¿>] -> R satisfaga las condiciones:
7.3.3
27 7
I I 1 1 n l ( I •M A I I I N I ) A M I ' N I A l . I U I . ( A I . < 1) 1 .< >
F ( x ) :=
j a f
para * e [ « ,& ] •
F.ntonces F es derivable en [a, b ] y F'(x) - f(x) para toda x e [a, b]. Dem ostració n. E ste resultado se sigue de inmediato del teorema.
q . e .d .
En ocasiones resulta conveniente combinar estas dos formas en un solo teorema, el cual se presenta a continuación. O bsérvese que las hipótesis de esta versión son más estrictas que en las formas anteriores. Sin em bargo, la conclusión subraya la naturaleza inversa de la derivación y la integración de funciones continuas. 7.3.5 Teorema fundamental del cálculo (forma combinada). Sean F y f fun cio nes cont inua s en [a, b] y s ea F(a ) = 0. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: (i) F’(x) = f(x ) para toda * e [a,b]; (ii) F(x) = j f
para toda x e [a, h].
Dem ostración . El lector deberá comprobar que la equivalencia de estas conq .e .d . diciones se encuentra garantizada por los corolarios 7.3.2 y 7.3.4.
27K
I.A INI I (¡KAI |)| 1(11 MANN
11 II nKIMA I IINDAMI NIA I I'1 1
Hay una terminología particular que se usa en relación con eslos lonininm (aunque la mism a varía un tanto dependiendo del autor). 7.3.6 Definición. Sea /:= [a, b] un intervalo en R. a) Si/: I -> R, entonces una antiderivada de/en I es una fu nc ió n / / • l< tal que F'(x) = / (x) para toda x e l . b) Si / : /*•R es integrable en /, entonces a la función F : I - > R definida pni
F(x) := j f
para
ll'( X)
/<■'( ') ( .' ( v ) I l ' ( x ) G ' ( x ) = f ( x ) G ( x ) + F ( x ) g ( x )
11,11.11
+ F g . Pero, /, mui iüie grnb lcs y F, G son continuas (y por tanto integrables) en [a, b], , |iroiema del producto 7.2.7 se sigue que fG ,F g y, por consiguie nte, fG + Fg mu inii piabl cs cn |«, b\. Al aplicar el teorema fundamental 7.3.1 se concluye que f \ f G + F g) = H ( h ) ÍJ(fl)
x el
Ja
Q-e .d .
d. duiule se sigue de inmediato la ecuación (5) se le llama la integral indefinida de/en I. La primera forma del teorema fundamental 7.3.1 indica que si f e s integra //. en [a, b] y F e s una antiderivada de f entonces (1) es válida. Este es el método común para evaluar integrales en el cálculo. Sin embargo, desafortunadamente / una función integrable puede no tener antiderivada (ver los ejerci cios 7 .3.2 y 7.3. /> y ii una función puede tener antiderivada pero no ser integrable (ver el ejercicio 7.3.5). La integrabilidad de/garantiza la existencia de la integral indefinida F, y l.i segunda forma 7.3.3 indica que si f e s continua en I, entonc es su integral indefim da es una antiderivada de f en /. Se concluye, por lo tanto, que las funciones continuas siempre tienen antiderivadas. Sin embargo, desafortunadamente, si la función integrable /no es continua, entonces la integral indefinida puede no so una antiderivada de/debido a que i puede no ser derivable en puntos del intervalo (ver el ejercicio 7.3.4) o ii 3a derivada de la integral indefinida puede existir pero ser diferente del valor de/en muchos puntos del intervalo (ver el ejercicio 7.3.8).
Evaluación de integrales
I.os dos teoremas siguientes proporcionan la justificación de los métodos de . imliio de variable” que se usan con frecuencia para evaluar integrales. Estos i>uirinas, que se basan en la regla de la cadena 6.1.6, se emplean (por lo general implícitamente) en la evaluación de integrales por medio de los procedimientos 'que incluyen operaciones con derivadas, comunes en los cursos elementales de I líenlo. 7.3.S Teorema de la primera sustitución. Sea J := [
í Pf {( p (t ) )( p '{ t ) dt = f ^ f ( x ) dx.
Demostración. Sean c :=
Se presentará a continuación una breve revisión de las “técnicas de integración” comunes que se basan en los teoremas fundamer tales. Deberán ser familiares para el lector por un curso de cálculo previo. Integración por partes. S i f g : [a, b] -> R son integrables en [a, b] y tienen antiderivadas F, G en [ a , b], entonces 7.3.7
(5)
j bF ( x ) g ( x ) dx = [ F ( b ) G ( b ) F ( a ) G ( a ) ] f f ( x ) G ( x ) dx. a
a
Demostración. Sea H(x) := F(x)G(x) para x € [a, b]. Entonces H es continua en [a, b] y, por la regla del producto [teorema 6.1.3 c)], se tiene
u
/ f ( x ) dx para
u e í.
o
•(Considérese ahora la funci ón definida por H(t) := F(cp(t)) para t e J . Po r la regla de la cadena 6.1.6 se sigue qu &H\t)=F\cp{t))cp{t) y por el corolario 7.3.4 se sigue que F\u) = f( u), de donde
H'(t) =
para
Si se aplica el corolario 7.3.2 y se usa el hecho de que H(a ) = F(cp(a)) = F(c) = 0 , se concluye que
280
II
LA IN I I'X¡RAI. DI KII MANN
.>.81
11 i > lí l M A I U N D A M I N I A l D I I C A L C U L O
I..ii.t iod.i \< I. Por el corolario 7.3.2 se sigue que / / M O M O d i = H ( p ) H ( « ) = H(f¡).
Ja
í r , ,7 \ x ) f ( x ) d x = ( G ° P ) M P ) ) - ( G » ( í ) ( 9 ( « ) )
■>(«>
Por otra parte, también se tiene
C03 ) G («). H(/3) = F ( 9 (/ }) ) = F ( d ) = / / / ( * ) *•
La fórmula (6) se deduce de estas dos ecuacione s.
l’.n otra parte, como G' = f ° cp, por el corolario 7.3.2 también se sigue que o.i i.
J 5f/(
7 3 .9 Ejem plo. Considérese la integral 1 + t2) dt. Si se hace/(x) := j(l + x)_l y
áx = |log(l + x)
f [ log 26 log 2] = | log 13.
7.3.10 Teorem a dle la segunda sustitución. Sea J := [a, (3¡ y sea que cp: J > i? tenga una derivada continua tal que cp(t) 0 para t e J . Sea I un intervalo que contiene cp{J) y sea i R ía fun ción inversa de cp. Si f : / *•R es continua en /,
//((*)) dt = G ( 0 ) - G ( « ).
a
Nota. En ocasiones ocurre que cp' se anula en a. En este caso con frecuencia ■.e aplica el teore ma al intervalo [a, ¡3] y después se hace a -> a +. Se procede de manera similar si cp'(¡3) = 0. Si
J
7.3.11 Ejem plo . Considérese la integral 1/(1 +-ffj dt. Es evidente que el integrando tiene la form a/ °
r2 p d t — I
Jx
= 2^°
f f ( < p ( t ) ) d t = j « fí f ( x ) V { * ) d x . «
1
J 1 l + yft
entonces
(7)
q .e .d .
AI combinar las dos últimas ecuaciones se obtiene (7).
1
2xáx
i + *
dx = 2^2{ 1 ( 1 + x )
dx
(pía)
= 2 [ x l og ( 1 + x )] |2 = 2 [ l l o g | ] . DemostE°ación. Puesto que cp'(t) A 0 para t e J , se sigue que
7.3.12 Teorema del valor medio para integrales. Sea/continua en I := [a, b] y sea p integrable en I y tal que p(x) ^ 0 pa ra tod a x e l . En ton ces exi ste un punto c e l tal q ue (8)
f hf ( x ) p ( x ) dx = / ( c ) í bp(x ) dx. Ja a
Dem ostración . Por los teoremas 7.1.1 2 y 7 .2.7 se sigue que el producto f p es integrable. Sea m := inf/(/ ) y M := sup/(/), de tal modo que mp(x) ^ f(x )p( x) ^ Mp(x) para toda x e l . Por lo tanto, por el corolario 7.2.3 se concluye que
282
l i l i ( l i d M A I I I N D A M I N I AI I *1 I ( A l < I II n
I A I N 11 ( ; K A I I >1 U I I ' M A N N
.i ,i i
mfbp < f ’fp < M[''p. Ja
Ja
Ja
I n lup.ai de usar la expresión (12 ), con fre cuen cia resulta conveniente hacer el iini >hi de variable. /= ( I s)a + sb para ,se [0, 1] para obtener la fórmula
Si I a p = O, la elección de c es un valor cualesquiera; de no ser así se tiene
i i ■,)
Puesto que / es continua, por el corolario 5 .3. 7 del teorema del valor intermedio .!< Bolzano se sigue que existe un punto c e / donde f(c ) es igual al cociente de lu desigualdad (9). 0 , ,, 7.3.13 Corolario. Si f es continua en / := [a, /?], entonces existe c e I tal
¡y=f(o){b-a).
(10)
Demostración. Se toma p( x) := 1 en (8).
n+1
/ i
m < J bfp j j bp < M.
(9)
. ‘8 1
q
■ n it = — —
[ \ l - s ) nf (n+1)( a + ( b - a ) s ) ds. Jo
--------
n!
Kjcrcicios de la sección 7.3 1. Si F x y F2 son antiderivadas de/: /- >R en un intervalo I, demostrar que F x f 2 es una función constante. 2. Demostrar que la función signo (sgn(x) := 1 cuando x < 0, sgn(0) := 0, sgn(x) := +1 cuando x > 0) es integrable en / := [ 1, i], pero que no tiene antiderivada en i. Obsérvese, no obstante, que si H{x) := x , entonces H\x) ~ sgn(x) para toda x =£ 0, y que
. ü . i ,,
f 1 sgn (x ) dx = H(l) f í ( 1 ) . •'i
Forma integra! de! residuo
a) Usar la primera forma del teorema fundamental para demostrar que si b > 0, entonces
El lector recordará el teorema de Taylor 6.4.1, el cual permite calcular el valoi f( b ) en términos de los valores/(¿j),/'(a),... ,f^ '\a) y un término correspondiente al residuo que requiere de /(" + 9 evaluada en un punto entre a y b. Para algunas aplicaciones es más conveniente poder expresar el término del residuo corno una integral en la que interviene * 9.
f sgn (x) dx = H(b) —H( 0 ) = b. Jo b) Usar el teorema 7.2 .4 y la primera forma del teorema fundamental para demostrar que si a < 0 < b, entonces
7.3.14 Teorema de Taylor. Suponer que la función fy sus derivadas f ' , f",
son continuas en [a, b] a R. Entonces (11)
f i a ) f (n)(a ) f { b ) = f { a ) + J - S > ( b « ) + • • ■ + J — f l ( b - a Y + 1! ni
j sgn (x ) dx = H(b) —H(a) = b + a. ñ„,
4. Demostrar que la integral indefinida de sgn en [1 ,1 ] está dada por S(x ) := x
Dem ostración. Se integra Rn por partes para obtener
1 . Por tanto, la integral indefinida en un intervalo puede existir aun cuando no exis ta una antiderivada. 5. Sea G(x) := x2 sen ( k / x 2) para 0 < x ^ 1, y G(0) := 0. Demostrar que la derivada g(x) := G'(x) existe para todax e [0, 1], pero que g no está acotada y, en consecuencia, no es integrable. (Por tanto, g tiene una antiderivada en [0, 1], pero no es integrable en este intervalo.) Sin embargo, demostrar que exis
R , = ^ [ ( i í ) 7 w ( í ) C + n j\ b - i ) ” " 7 « ( í ) d íj
te al^ J « 8(-x)ílx' x ) para 0 < x =£ 1 y K{ 0 ) := 0. Demostrar que k(x) : = ó. Sea K(x) :=x2 sen { k / K\x) es integrable en [0, 1] aun cuando ds discontinua en x = 0. Evaluar
donde el residuo está dado por (12)
«„■=
W. a
J¡k (x) dx. = - ~ f ~ ( b - a ) n +
f \ b t y - ' f M { t ) dt.
7.
La función de Thomae h, dada en el ejemplo 5.1.5 b), es integrable en todo intervalo [a, b] contenido en {x: x > 0} (ver el ejercicio 7.1.11 ), aun
284
i a inti -<;u ai . i »i : un
8.
9.
10.
11.
II II dl tl MA I IINDAMI NI Al I »l I (‘AH' ll IU
mann
cuando es discontinua en todo número racional. Demostrar <|uc Ii no li< m antiderivada en ningún intervalo. Demostrar que la función de Thomae del ejercici o anterior tiene una inlrguil indefinida 77 en [1, 2], pero que H'(x) A h(x) para todo número racion al«n [1,2]. Usar los teoremas 7.2.4 y 7.3.1 para demostrar que si /es integrable en \,i, /•| y si F es continua en [a, b] y F'(x) = /(x) ex cept o para un núm ero fini to
H{x) ■= J f
Ja
/■x+ a
g ( x ) ■■= I
x —a
J / = j* / para toda x e I. Demostrar que /(x) = 0 para toda x e 7. I«5. Supóngase que/: [0, °c)*/? es continua y que/(x) A 0 para todax > 0. Si se tiene
demostrar que /(x) = x para toda x 5= 0. 19. Sea /:= [a, b] y Supóngase que/: ¡-+R es continua y que/(x) Si M := sup {/(x): x e 7 }, demostrar que la sucesión
*
( [jr w * n
para i S J .
converge a M. 20. Evaluar las siguientes integrales; justific ar cada paso.
2
í s e n ( í2) dt,
Jo
c) F(x) ■= Jx f 2/l + t2 dt,
b ) F ( x ) == f
Jo
f para x e. R.
( / ( * ) ) 2 = 2 / f para toda r >
entonces G\x ) = (/° v)(x)v\x) para todax e J. 13. Encontrar F' , cuando F está definida en 7 := [0, 1] de la siguiente manera: a) F (x )
(1 + í 3) " 1dt,
a)
ftF + t2 dt,
b)
J o VI + t-
d) F(x ) ~ f SenXcostdt.
J0
14. Sea que F: [0 ,3] ->R esté definida por/(x) := x para 0 x < l ,/ (x ) := 1 para 1 ss x < 2 y/(x) :=x para 2 =£x ^ 3. Obtener una expresión explícita para F(x) = ÍQ/como una función de x. ¿Dónde es derivable F ? Evaluar F '(x ) en todos los puntos donde F es derivable. 15. Una forma de tratar el logaritmo es definir L\ (0, co) > R por
L(x) ■■= i - dt
c)
+ f3 dt.
J o
d)
y/l + t/í
t:
J j
dt, dt
t/í
21. Evaluar las siguientes integrales; justificar cada paso.
f ” 1—f dt,
/•5 b) j° t\ /2 t l r 3 dt,
a ) i , r + Vi
r i
para x > 0. 22.
Verificar las siguientes propiedades de L. a) L'(x) = l/x para x > 0. b) L (xy) = L (x) + L (y) para x, y > 0. c) L (x") = nL (x) para x > 0, n eN.
R -> R por
I)emoslrar que g es derivable y encontrar g'. I /. Sea I := [0, 1] y sea/: 7» R continua. Supóngase que
para x e Z.
Encontrar H\x) para x el. 12. Sea 7 := [a, b] y sea f : I - * R continua en 7. Además, sea J = [c, d] y sea v :./ - * R derivable en / y tal que satisfaga v (J ) C 7. Demostrar que si G: J ►R está definida por C O ) » [ vMf
K. Sc¡i /: ¡{ >R íonliuna y sea a ■0. Delínase
i' ^
• íZí , t( t + 4) d) l 7(i ^i tyf + 1 Evaluar las siguientes integrales; justifica r cada paso.
i)
di, —
b)
/ \/í
do 1
dt,
O pa rax eF .
I A II I11 • .U Al * • >M< >IIN I IM I 11
Nolii. Ai m ui;mdi> imi s e p i c s e n l a i i i l a ik i l a c i ó n p a i a i n d i c a r l a d e p e n d e n c i a d e l,i.
a m i a s d e R i e m a n n , S' (/ *; / ) d e l o s p u n i o s i n l e i m e d i o s
b,k , e l l e e l o i n o d e b e l a
o lv i d a d a . D e h e c h o , p u e d e h a b e r u n n ú m e r o i n f i n i t o t i c v a l o r e s q u e s e p u e d e n « do . i i r i l o m o u n a s u m a d e R i e m a n n c o r r e s p o n d i e n t e a u n a p a r t i c i ó n d a d a / ' , a l
23. Sea /:= [a, b] y sea g: I - * R continua en/. Supóngase que existe K <1 tal que |g(x)| < K
r x
\g\ para toda x G l.
. I. gn diliaenles punios intermedios, P a r a u n a f u n c i ó n p o s i t i v a f e n / , la s u m a ( 1 ) s e p u e d e i n t e r p r e t a r c o m o e l á r e a .1. la u n i ó n d e l o s r e c t á n g u l o s c o n b a s e s x/( xk _ , y a l t u r a s /( £ *) • ( V e r l a f i g u r a / I I ) S i l a p a rt ic ió n
Demostrar que g(x) = 0 para toda x e /. 24. Sea /:= [a, />] y sean f g continuas en / y tales que
J/a " / ■ A a
. . n e n c i a , q u e e s t é c e r c a d e l v a l o r d e l a i n t e g ra l d e / , s i e m p r e q u e d i c h a i n t e g ra l
.|iin i elección de los puntos intermedios
-
n\
—
™k < f ( h ) < M k donde
( 1 — \"+ 1 --
(1 -
es muy fina, resulta razonable esperar que la suma de
. Msia. De hecho, resulta evidente que para cualquier partición
Demostrar que existe c e / tal que /(c) = g(c). 25. Demostrar que, bajo las hipótesis de 7.3 .14 , el residuo se puede expresar en la forma
R„ -
P
h’ a m a n í) ( I ) p r o d u z c a u n a a p r o x i m a c i ó n d e l “ á r e a b a j o l a g r á f i c a d e / ” y , e n c o n
m k :=
P
p ar a
i n f /(/.) y Mk := s u p f( Jk), ¡k :=
fc = l , . . . , n ,
p xk], d e d o n d e s e s i g u e q u e
e ) " p - *' \ a + 0 ( b - a ) ) ,
ii
para algún número 6 e [0, 1]. [Esta es la forma del residuo debida a Cauchy.|
SEC CIO N 7.4 La integral como un límite En los cursos de introducción al cálculo la integral de Riemann con frecuencia se introduce en términos de límites de ciertas sumas conocidas como “sumas de Riemann” y no en términos de integrales superior e inferior como se ha hecho aquí. Por fortuna, es el caso que estas formas de tratar los límites lleven también al mismo concepto de integración. Uno de los propósitos de esta sección es establecer la equivalencia de estas teorías de la integral de Riemann. La sección concluye con una breve estudio de las integrales “impropias”.
n
n
E mÁ xk- xk-i) < E f ( h ) ( xk- xk-i) < E MÁxk - xk~i)-
A
l
k = 1
k = 1
Se (¡ene por tanto
L(Pif)
7.4.1 Definición. Sea / := [a, b ] y s e a f : I - > R una función acotada. Si P := (x„,x[7..., x () es una partición de /y si (£,, £2, ... ,%n) son números tales qu e xk_ { ^ ^ x^.para k = 1, 2, . .. , n, entonces a la suma
(1)
S ( P - f ) :=
de /, y para cual
%k ( k= 1 , . . . , n), e n t o n c e s
E/(Í*)(X * -**_ ,)
/c1
se le llama suma de Riemann de f correspondiente a la partición P y los puntos intermedios %k.
FIGURA 7.4.1 S(P;f), una suma de Riemann.
I A IN I I i ilt Al » i >M( i I IN I IM111
I A INT HORAI . I»I'. KII'.MANN
Es decir, cualquier suma de Riemann de/correspondiente ¡i P está entre la suma inferior y la suma superior de/correspondientes a P, sin importar la forma en que se elijan los puntos intermedios £,k. Se hace notar que si las cotas superior e inferior mk y Mk se encuentran en Par a toc*a k = 2, ... , n, entonces las sumas superior e inferior son [xk~ v iguales a las sumas de Riemann para elecciones particulares de los puntos inlei medios. Sin embargo, en general, las sumas superior e inferior no son sumas de Riemann (dado que/puede no asumir los valores mk y M k), aun cuando es posible considerarlas arbitrariamente próximas a sumas de Riemann para puntos interine dios elegidos con sumo cuidado. (Ver el ejercicio 7.4.5.) Surge una pregunta: ¿es posible obtener la integral f b/com o “el lím ite” de las sumas de Riemann S ( P ; f ) de/? Para hacer más precisa esta pregunta es necesario hacer más explícito qué se entiende por “el límite”, ya que deberá ser claro para el lector que hasta este punto no se ha considerado ningún proceso de límites que incluya la convergencia de las sumas de Riemann. Sin embargo, a continuación se mostrará que se pueden ofrecer al menos dos posibles definiciones de límite y que en ambos casos la respuesta a la pregunta inicial es afirmativa. 7.4,2 Teorema. Sea I \= [a, b] y sea f : I —>R una func ión in tegrabl e en I en el sentido de la definición 7.1.6. Entonces, si se da e > 0 , existe una partición P£dc 1 tal que si P es cualquier partición que sea un refinamiento de P£y si S(P ]f ) es cualquier suma de Riemann de f entonces
*< /’ ; / ) f " f
ii
ik i
se afirm ó.
Q . E. D .
I I recíproco del teorema anterior también es verdadero. 7.4.3 Teorema. Sea l := [a, b] y sea f: I -> R una función acota da. Suponer ,¡iie exist e un númer o A ta l que.pa ra toda £ > 0 existe una parti ción P£ tal que si P 1 1\y si S(P ; /) es cualquier suma de Riemann d e f correspondiente a P, entonces /) ~A\ < £■Entonces fe s integrable en l en el sentido de la definición 7.1.6 .' T/. Una demostración de este teorema se puede basar en la observación de que •fulas £ > 0 y una partición Q de /, existe una suma de Riemann de Q que está . b uiro de £ unidades de la suma superior U(Q ;/) y existe otra suma de Riemann •le Q que está dentro de £ unidades de la suma inferior L(Q; /). Puesto que la definición no resulta particularmente difícil, se dejará para el lector como un ins Imotivo ejercicio. Hay otro sentido en el que la integral se puede obtener como un límite de las ■.ninas de Riemann. 7.4.4 Definición. Si 1 : = [a, b] ys iP := ( x „ , . . . , xn) es una partición de /, entonces la norm a de P, denotada por ¡LP¡; se define por
Dem ostració n. Si/ es integrable y e > 0, entonces, por el criterio de Riemann 7.1.8, existe una partición Pf de / tal que U(P£; f) -L (P £; f) < e. Además, si P es cualquier partición tal que P D P £ entonces por el lema 7.1.2 se sigue que
de donde U(P; f) - L (P; f) < £. Pero si S( P ; /) es una suma de Riemann de / correspondiente a P y a cualquier elección de los puntos intermedios, entonces se tiene
Además, se tiene asimismo que L(P; f ) «= [ bf ^ (J(P;f). Se sigue por lo tanto que
Ja
P ||: =
S l i p { X j
X 0 ,X 2
X 1, . . . , X n ~
En otras palabras, j!P¡| es la longitud máxima de los subintervalos en que I es dividido por la partición P. Nota. Deberá quedar muy claro que dos particiones muy diferentes de I pueden tener la misma norma. También es claro que si P C Q, entonces \Q\ ||P\\; sin embargo, no se sigue que si \'.Q.} ¡;P¡i, entonces P C Q. (¿Por qué?) Se demostrará a continuación que si/es integrable, entonces la integral de/es el límite de las sumas de Riemann cuando !P i > 0 en el sentido del siguiente teorema.
I A IN I I < 1 UA I I » K l l M A U I I
7.4.5 Teorema de Darboux. Se a / := |«, h |y sea j : 1 >If una /////. /,l/i integrable en I en el sentido de la definición 7.1.6. Ento nces, si se da r o. e\i\i,¡ una 5 > 0 tal que si P es cualquier partición de 1 tal que ||P||< 5 y si .S'( /’ . / I »'» cualquier suma de Riemann de f correspondiente, entonces
I A IN 11 »1KAI « <>M<> UN I IM I II
l’i„ ,1 0 , 111.
(>+ i /’ , se debe lenei «|oe U((J* ; /)
/.({/* ; /) < í ‘/3, p o r l o q u e l a
11111|*il i id de /; es meiio i (pie r. Por lo tanto , la d istan cia en tre .........
que
."'I
t\ l o c u a l i n d i c a l a d e s i g u a l d a d (3).
S(Q;
/) y
Ja / e s q.e.d.
I I iceiproco del teorema anterior también es verdadero. (3 )
S(F;/)/V
< £.
Dem ostración . Puesto que/es integrable y e > 0 , por el criterio de Ricmiuin x j tal que U(Pe; f ) l(l\, 7.1 .8 se sigue que existe una partición P£ := (xQ, /) < e/3. Además, si P D P£, entonces también se cumplirá que U( P ;/)/,(/'; /) < e/3. Sea M := sup {¡/(x)¡: x e l } y sea S := e/12 nM, donde n + 1 es el número di punto de P£. Se a ahora Q := (y0,y ,, ... ,y m) una partición de/c on !|£X| < <5y scaU ’ := Q U P£. Se sigue que Q* D P£ y que Q* tiene a lo sumo n 1 más puntos que (/ es decir, los puntos entre x v ... , xn _ , que pertenecen a P£ pero no a Q. Se quiere comparar U (Q ;/) y U(Q *; /). Puesto que Q* D Q, se sigue que hi tiene U (Q ; / ) U(Q *; / ) ^ 0. Si se escribe Q* := (z Q, zp . .. , z;;), enton ces ni puede ver que U(Q; f ) U ( Q *; f ) se puede escribi r como la suma de a lo sumo 2{n - 1) términos de la forma
(Mj — M* )( zk —zk _-¡), donde M. es el supremo de/en el j- é s imo subintervalo de Q y M* es el supremo dr /en el k-é s imo subitervalo de Q:i. Puesto que |M.Af*| 2M y¡ zr z(t_ ] ¡ «s ||(>*|| ^ ||Q¡| ^ 5, se deduce que 0 < U ( Q ; f ) - U (Q * ;/ ) < 2 (n - 1 ) 2 M8 < e / 3 . Se tiene por tanto V ( Q ; f ) < U ( Q * ; f ) + e / 3. Un razonamiento exactamente igual indica que e /3 < L ( Q ; f ) . Ahora tanto la suma de Riemann S(Q ; /) como la integral Infestan contenid as en el intervalo cerrado [L(Q; f), U(Q; /)] y, por consiguiente en el intervalo abierto
7.4.6 Teorema. Se a / := [a, b\ y s e a f : I - * R una función acotada. Suponer ,/ií. >\islc un número B tal que par a toda £ > O existe una 8 > O tal que si P es , 11<1I<11U
Demostración. Sean e > O y 8 > Ocomo en el teorema, y sea P£ una parti \\P¿\ < 8. Si F e s cualquier partición tal qu eP D P£, en tonc es ||P|| ^ /* 11 ■ 8 de tal modo que para cualquier suma de Riemann correspondiente se n, iic S ( P ; f ) - B < £. Por lo tanto, por el teorema 7.4.3,/es integrable en / y B = 11
/ ' Y
Q. E.D .
lín los últimos treinta años, R. Henstock y I. Kurzeweil han presentado (de ni,mera independiente) una notable ampliación de la integral de Riemann que po \rr varias propiedades de mayores alcances que la integral de Riemann común o 111. luso que la integral de Lebesgue. R.M. M cLeod o frece una exposición de esta troría en una monografía citada en las referencias.
Ikitegraies impropias En la explicación precedente de la integral se emplearon dos premisas fijas: se irqrssría que la función estuviera acotada y que el dom inio de integración fuera un Iulervalo acotado. Si cualquiera de estas dos condicion es no se satisface, en tonces no es posible aplicar la teoría de integración presentada sin introducir algunos cambios. Puesto que hay casos importantes en que es deseable hacer meno s estríelo uno o ambos requerimientos, se indicarán brevemente las alteraciones que es necesario hacer. Una relación más detallada se puede encontrar en Introducción al análisis matemático (Editorial Limusa). Se considera primero el caso de una función no acotada. 7.4.7 Definición. Sea/: {a, b)- *R tal que/cs integrable en el intervalo [c, b] gara toda c en ( a , b\. Supónga se que existe un número real A tal que para toda e > II exist e <5> Otal que si c satisface a < c < a + 8, entonces se tiene \A-¡a f < £. En este caso se dice que A es la integral impro pia de/e n {a, b] y el valor de A se denota por
f bf a
o
/ V O ) dx
Ja
I A IN'I l'< ¡UA I I >1 1(11 M \N I I I A IN I I i ilt A l < <*M< >UN I IM111
Es evidente que el número A es el límite por la derecha /t
lím / /. In loi r.ri u. 11
cia, resultaría natural denotar la integral impropia de / en {a, h\ por A = ja¡ / Sin uiiImijhi, no se acostumbra escribir el signo más en el límite inferior de la integral a menos que luq ii una grave confusión. Observaciones, a) Si/está acotada en [a, b ] y s i/ es integra ble en |r, /*| p.im toda c que satisface a < c b , enton ces se sigue q ue/ es int egrable de h echo en |,/, b], (Ver el ejercicio 7.1.7.) Además, el valor del límite en la definición precedcnle coincid e con el valor de la integral de / en [a, b]. Por tanto, la noción de inlegnil impropia resulta superflua en este caso. b) Obsérvese que es posible asignar un valor cualesquiera a a/ sin aféel a i mi integrabilidad o el valor de su integral. 7.4.8 Ejem plos, a) La función /: [0, 1] -* R definida por f( x) := 1/ V i para II < x 55 *’ / (° ) := no está acotada y, por tanto, no es integrable en [0, 1). Sin embargo, para toda c que satisface 0 < c < 1 se tiene
I .i ilrlmu idii piecedrnU incluye una “impropiedad” en el punto terminal ix ijiin 11 In 11. un inlerv alo; un compo rtamie nto análog o en el punto termin al derecho , nal.i
in. ejemplo, si /(jc) := l / x 2 para x e(0, 1], x * 0, y f( x) := 0 para x e [ l , 0 ] , la niirpt al impropia de/en [1,1] no existe porque la integral impropia de/en (0,1] no existe. A continuación se trata el caso de las integrales impropias en intervalos no .i oiados. 7.4.9 Definición. Sea a e R y sea/: [a, oc) *• R tal que para toda c > a, la i mu ión /es integrable en el intervalo [a, e]. Supóngase que existe un número A tal
/ /=
J c
Í ' V
J c VX
Por tanto, si se hace que c > 0
+,
('/ =
A)
b) Si g( x) := \/x para 0 < x
*
= 2ví
c
= 2( 1 / c ) .
se infiere que la integral impropia de/en (0,
11cn
lím 2 ( 1 V e ) = 2 .
,: —>
7
1, entonces para toda c con 0 < c < 1 se tiene
r l r 1 1 I g = I — dx - log 1 log c = - log c.
J c
c
X
Puesto que la funciónlog c no está acotada cuando c » 0 +, la integral impropia de g en (0,1] fio existe. c) Sea h (x) := x a para x en (0, 1], donde a > 0, a 1. (El caso en que a es racional para esta función se analizó en el ejemplo 6.1.10 c); en la sección 8.3 se discutirá el caso en que a es irracional.) Para 0 < c < 1 se tiene
c i. r i h= x a dx c
Jc
=
^
(1 c 1 " ) .
------------
l —a
S i 0 < a < 1, entonces c1a -> 0 cuando c > 0 +, por lo que la integral impropia de h existe. Sin embargo, si a > 1, entonces h no tiene una integral impropia.
que para to d ae > 0 existe un número real M tal que si c > M, entonces \A- f a /I < i Iin este caso se dice que A es la integral im propia d e/en [a, oc) y el valo r de A ■.ede nota po r ^
( f
o
J a
f f ( x ) d x . a
En otras palabras, la integral impropia de/en [a, cc) está dada por j a f = lím_ ¡a f, si el limite existe. En ocasion es se dice que la integral impropia de/“converge” si el límit e existe y que “diverge” en el caso contrario. 7.4.10 Ejemplos, a) Si a > 0 y si f ( x ) := l/ x para x en [a, cc), entonces para íoda c > a se tiene
f c i I —dx - log c lo g a .
I X
Puesto que la función log c no está acotada cuando c —>co, la int egr al im prop ia de /en [a, cc) no existe. b) Sea a > 0, a ± 1, y sea g{x ) := x~a para x en [1 , cc). Para cualquier c > 1 se tiene
f g = f x - a dx — — r ( i " c _ “ +1) a - 1 v a
29 4
I A IN I IN KA I l»l Ull MA NN
I A IN 11 <íl( Al I <)M( >UN I IMI 11
Si a > 1, entonces c~“+1 -> 0 cuando c » oo, por lo que la integral i m p m p i . i <|( en [1, c o ) existe y tiene el valor 1 / { a - 1). Si 0 < a < 1, entonces r " ' 1 no ruin acotada cuando c - * co y la integral impropia de g en [1, oo) no exislc. Las integrales im propias en intervalos de la forma ( - c o , b] se tratan de inaiiei h similar. El caso de una función/definida en (oo, co) se trata considerando Inn integrales imp ropias de / en (oo, ¿?] y en [b, co) para cualquier b e R fija. Si mu bas integrales improp ias existen, entonces la integral impropia de / en (
/ > /J / —cc+ f Jb f r°
r
1
c —* —CO
(Arctan c) + lím (Arctan c) c
00
Ejercicios de la sección 7.4 n
V. Sea/in tegrab le en [O, 1]. Demostrar que lírn^ ((1/ n) X) f( k/ n ) ) = f^f. j h= i Usar el ejercicio 1 para expresar cada uno de los límites siguientes como una integral: a)
lím
n —* oo
/A 1 \ X) — TT ’
3. D em os trar q ue j ím í ¿
b) lím
( ”
A= 1 6. Sea / ( a ) :=x para a g [O, b] y sea P := (x0,X j, .. ., a /() una partición de [O, b]. Demostr ar que para los puntos interm edios := j(.xk + xk_{), k = 1, ..., n, la surna de Riemann correspondiente satisface S( P ;/) = kb2. Concluir que J0 x
■•= [( *£ +
K K
2.
n
E f ( v k) ( x k - * k - 1) - L ( p J ) < e -
1
X x 1 +2 d JI — c oiT +~,—X¿2 dx = JI — o o1T +“¡—X¿2 dx + I II —
= — lím
l)c manera similar, existen los puntos intermedios (i¡v r ¡ 2, ... , rjn) tales qut
7. Sea g(x) := xp para x e [O, b], c on p e N y p 5= 2, sea P := (a())xv partición de [O, b] y sea
Por ejemplo, se tiene 1
A■=1
dx - \b2.
J- oc
rx
*/(P;/) E f ( £ t ) ( x k * * . ) < e.
“5
k
-----
Ti
+n
a) f l \ogxdx,
b) f 2— dx, h x log i
c) f 2 .... ■■■■•■dx,
d) f* x log xdx.
Jo
I
4'. Usar el ejercic io 1 para evaluar:
J l VA
a) lím |( 1/n8) X! k7j>
lím |(l/ n) XI sen — j
5. Sea /una función acotada definida en [«, b] y sea P := (x(), xv ... , xn) una partición de [a, b]. Dada e > O, demostrar que existen los puntos intermedios (Él’ %2> ta,es que
+ * r 2*k-1 + ••■ + ^ i ) / ( p ! ) ] I/P
para k = l , . .. , n. Demostrar que ^ g [aa._ p a J y encontrar el valor de la suma de Riemann S(P\ g) de estos puntos intermedios. Usar este resultado para evaluar J^xp cbc. [Sugerencia: u p + 1 vp+1 = (m t)(wp + ¿
^ L _ ) = 7r/4 .
U-i k
, xf¡) una
13.
1
------
J 0
Supóngase que/satisface la condición de la definición 7.4.9. Demostrar que la integral impropia de/en [a, cc) existe si y sólo si para toda e > Oexiste M ¡ eR tal que si M ^ u < v, entonces f “f > £. 14/ Establecer por qué cada una de las siguientes es impropia y determinar si son convergentes o divergentes. Calcular el valor de las que sean convergentes.
m i l < il
2 x ( I o g x ) 2
15^Establecer por qué cada una de las siguientes es impropia y detcrminai m mui convergentes o divergentes. Calcular el valor de las que sean convergen leu a) f l y i Vi — x ,00 1 c)
í — dx J o X~
dx,
in .. M.l.lili s. Si se desea obtener una aproximación mejor, se puede inlenlar en i iinii.ii Iluiciones de aproximación g y Ii más exactas. Se puede usar el teorema ele Taylor 6 .4 .1 para aproximar e~x2 por medio de un polinomio. Al usar el teorema de Taylor es necesa rio establecer restriccione s sobre •l leí mino del residuo para que los cálculos tengan signifi cación . Por ejemplo , si aplica el teorema de Taylor a e~y para 0 «S 1 se obtien e
e - " - i - y + h 2 - h * + «3.
f X e ~ x d.x
00
d)
í -=JQ Vx (x
1 — + 4)
/ \' ( =y4e~c¡ 24, donde c es algún número con 1 . Puesto que no se . nenia con mayor información acerca de la localización de c, hay que conformarse con la estimación ü ^ R3 ^ y 4/24. Se tiene por tanto do nd e
dx.
e *2 = 1 x 2 +
^SECCIÓN 7.5 Integración aproximada El teorem a fundamental del cálculo 7.3.1 ofrece un método sencillo para cvn luar una integral, pero sólo si es posible e ncontrar una antiderivada del integrando De nada sirve este método cuando no se puede encontrar una antiderivada. Sin embargo, existen varias técn icas para aproximar el valor de una integral cuando no es posible encontrar una antiderivada, y en esta sección se estudiarán algunos de los métodos más elementales y útiles. Por conveniencia, la atención se cenlraifi en los integrandos continuos. Un procedimiento muy elemental para obtener estimaciones rápidas del valoi de una integral fa f( x) dx se basa en la observación de que si g(x) ^ f( x) ^ h{.\) para x e [a, b ], entonces
f hg( x ) dx < f hf ( x ) dx < ( bfi(x) dx. Ja a a Si se pueden calcular las integrales de g y /;, se obtiene entonces una estimación del valor de la integral de /. J Por ejemplo, supóngase que se quiere estimar el valor de f Qe~x2 dx. Es sencillo demostrar que e~x e~xl « 1 para x e [ 0 ,1], de donde
Por consiguien te, se tiene 1 1/e =? JQe ~x2 dx 1. Si se usa el promedio de los valores del paréntesis cuadrado se obtiene la estimación 1 1 ,/2e ~ 0.8 16 para la integral con un error menor que l/2e < 0.184. Esta estimación es muy aproximada, pero se obtiene con rapidez y puede ser bastante satisfactoria para nuestras t Esta se cción se puede omitir en una primera lectura de este capítulo.
donde 0
¿ xB + « 3 ,
R3 ^ x 8/24, para x e [0, 1]. Por lo tanto, se obtiene
Puesto que se tiene 0 < f ' R , dx < — — = —— < 0.005, se sigue que ;° 3 9 •24 216 26 r\ 2 / e " 1 dx « — ( « 0 .7 4 2 9 ), 35 Jo con un error menor que 0.005.
Sumas superior e inferior Es natural intentar aproximar integrales considerando las sumas superior e inferior (o las sumas de Riemann) que se usan para definir estas integrales. Sin embargo, al reflexionar por un momento es claro que no será sencillo evaluar las sumas superior e inferior de funciones generales, ya que con frecuencia es difícil determinar el supremo yel ínfimo de una función en un intervalo.Uncaso en el que esto resulta sencilloes, desdeluego, el de una función monótona. Eneste caso el supremo y el ínfimo corresponderán con los puntos terminales del intervalo. En general, es conveniente usar particiones en las que los puntos sean equidistantes. Así, al considerar una función continua / en el intervalo [a, b], se consideran las particiones Pnde [a, b] e n n subintervalos iguales con una longitud h := (b a)fn dada por los puntos de partición
29 8
I A IN I l'CK AI
DI li li MANM
IN 11 (il(A( Ii )N APROXIMADA
a , a + h , a + 2 h , . . . , a + nh — b.
\f(b) —f(a)\(b —a) 2n
f ' f ( x ) dx - Tn( f ) Supóngase que /es continua y creciente en [a, b]\ entonces la suma inlmoi de / correspondiente a la partición Pn es
B><mostración»,, Se ha dado ya la dem ostració n el caso en que /es monó to 11.1 v creciente. Se deja al lecto r la consideración del caso en que/ es decrecien te. Q.E.D.
L(Pn- , f ) = h Z f ( a + kh), k —0
en tanto que la suma superior de /correspondie nte a Pn e s
S
7.5.2 Ejemplo. Si f( x) = e~x2 en [0, 1], entonces/es decreciente. Por la des ic.iialclad (2) se sigue que si n = 8, entonces \I q C~x2 dx - T8(f)\ < (1 e1)/16 < (Mil, ysi« = 16, entonces \j^e-x2 d x - T {(ff)\^ (1 e_1)/32 < 0.02. En realidad, 1.1 aproximación es bastante mejor, como se verá en el ejemplo 7.5.5 .
ü ( P „ ; f ) - h t f ( a + kh).
L a r e g l a d e l tr a p e z o i d e
/c= 1
En este caso el valor exacto de la integral f* f( x ) dx está entre L{ P n; /) y U(Pn\/), A m enos que haya razones para pensar que uno de estos términos se encuentra más cerca de la integral que el otro, generalmente se toma la media \[L(Pn; /) + £/(//; /)], la cual se ve de inmediato que es igual a n —1 ( 1)
U f ) -= h
!/(«) + E f ( a
+ kh) + if(b)
k = i
como una aproximación razonable de la integral. En este caso la estimación del error es:
í bf ( x ) d x - U f ) J a
El método de integración numérica llamado la “regla del trapezoide” se basa ni aproximar la función continua/: [a, b] ^ R por medio de una función linea l por parles. Sea n e N y h := (b - a)/n; como antes, se considera la partición Pn := (a, a i //, a + 2h ,... ,a + nh = b). S e aproxima / por la función lineal por partes gn, cuya gráfica pasa por los puntos (a + kh, /(« + kh)) donde k = 0, 1, ... , n. Parece i.r/onable que la integral I ‘’f(x) dx será “aproximadamente igual a” la integral /( gn(x) dx, siempre que/ sea razonablemente suave y n lo suficientem ente grande. Es un ejercic io de geometría elemental determinar que el área de un trapezoide N /' con base de longitud h y lados de longitudes / e l2 es \h(f + l2). Esto se puede interpretar como la longitud h de la base multiplicada por la longitud promed io \{lx i If) de los lados de T. De manera similar, se puede demostrar que como gn es lineil en el intervalo [a + kh, a + (k + 1 )h), la integral de gn en este intervalo está dada por
« l [C / ( P „ ;/ ) L ( P n J ) ] iM / W
/ ( « )]
= [ f W - f (a ) ] (b ~ a) 2n Una estimación del error como ésta resulta particularmente útil pues proporciona una restricción superior para el error en términos de cantidades que se conocen desde el principio. En particular, se puede usar para determinar qué tan grande se deberá elegir n para tener una aproximación dentro de una tolerancia esp ecífica e>0. 7.5.1 Teorema. Sif: [a, b ]- *R es una función monótona en [ a , b ] y si Tn(f) está definida por (1), entonces se tiene
a H k + m g „ ( x ) dx = ! / . [ / ( « + /a+kh
k h ) + f ( a + (k + l ) h ) l
donde k = 0 , 1 , . . . , n - 1. La integral de gn en [a, b] se obtiene entonces al sumar estos valores. Puesto que todo punto de partición de Pn, con excepción de a y b, pertenece a dos intervalos adyacentes, se obtiene
í bg n( x ) dx = h [ \ f { a ) + f { a + h ) + ••• + f ( a + ( n 1 ) h ) + \ f ( b ) ] . a
Se ve, por tanto, que la integral de la aproximación lineal por partes gn de/es igual a la suma (3)
Tn( f ) : = h
if(*)
+
E 1ñ a + kh ) + i f ( b )
k = l
IN 11 I IUA< l<>N A I’IU IXI MA I >A
que es igual a la qu e se obtuv o antes com o la m edia tic /■(/',;./') y //(/’,; /'). Se luu n referencia a Tn(f) como la n-ésima aproximación trapezoidal de / cu |,/. /.| l u . I teorema precedente se obtuvo una estimación del error cuando /es m oiiolon.i ííu deriva ahora una sin esta restricción sobre/, pero en términos de la segunda d n ivii da /"de/.
£>*(/») A l
luy e (|iie ¡.Alt7/ /‘H( f ) ~ í ' ’]{x) dx
U f ) - / V ( O dx = ( ~ ; “ ) h * r ( c ) . a
IZ
Demostración. Si k = 1 , 2 , . . . , n, sea ak :=a + (k - 1 )/ h y sea que
R esté definida por
<£*(0
~ tlf {ak) + f ( ak + 0] ~ / * /(*) ^ 2
para f e [0, /z]. Se observa que 0¿(O) = 0 y que (por 7.3.4) l [ f ( a k ) + /0 *
+ 0] +
W'(ak
= H / K ) / K + 0 ] + W ' ( a k
,',A(/>
+ 0 +
+0
-f(ak
+0
7.5.4 Corolario. Sean f |aJ)] }. Entonces
y f" continuas en [a, b] y sea B2 := sup { f" (x )\: .v
+ í).
(S )
B ■■= su p { / " ( * ) : x € [ a , b ]}
por lo que se tiene \At ^ 0 " ( í ) ^ ^ p ara í e [ 0, /i], k =1, 2, ... , n. Al integrar y aplicar el teorema 7.3.2 se obtiene, ya que 0'.(O) = 0, que\At2 ^ 0'(¿ ) =£ \Bt2 para t e [0, h\, k = 1 , 2 , . . . , n. Al integrar nuevamente y tomar t = hsQ obtiene, ya que 0, = 0, que
¿AA3 < * t(A) < ifiA3
para k - 1, 2, ... , n. Si se suman estas desigualdades y se observa que
Tn( f ) - / V O ) dx <
(b —a)h 12
B:
La expresión (5) también se puede escribir en la forma
+ 0
Sea ahora que A, B estén definidas por A := i n f { / " ( * ) : x e [a ,b ]} ,
a
l*u. .i«» q u e/ " es con tinua en [«, ¿>], por las de finic ione s de A y B y el teorema del ,.l..i intermedio de Bolzano 5. 3.6 se deduce que existe un punto c en [a, b] tal que ln igualdad (4) se cumple. q .e .d .
(•'*) + 0 + l / 'K
«)/ í2 < Tn( f ) ~ f ’f i x ) dx < ~ B { h - a ) h 2.
-M »
Por consiguiente, 0/(0) = 0 y
^ (0 =
¡1,/j/z'//. Pu es to que /z= (/> «)///, se
I.a igualdad (4) resulta interesante por cuanto proporciona tanto una restric . i. >nsup erior como una restricción inferior de la diferencia Tn( f ) - f a f(x) dx. Por •|i inplo, si /"(.y) > A > 0 para toda x en [a, b ], entonces (4) indica que esta ililn'cnc ia deberá ex ceder siemp re f2A(£> a)h2. Sin embargo, por lo general, la i. ■.d icció n superior es la de mayo r interés.
“ k
$t(0 =
"
ii. in
7.5.3 Teorema. Sean f f ' y f" continuas en [a, b] y sea Tn( f ) la n-éMiiin aproximación trapezoidal (3). Entonces existe un punto c e [a, b] tal que
(4)
1)M)
U f ) ~ / / ( * ) dt
12 n 2
2'
( 'uando se conoce B2, esta desigualdad se puede usar para determinar qué tan grande se debe elegir n para tener la seguridad de conseguir el grado de precisión deseado. 7.5.5 Ejem plo. Sí/(.y) := e~*2 en [0,1], entonces un cálculo indica que/"(x) = 2e~x2 (2x 2 1). Se tiene, por lo tanto, B 1 2. Por la desigualdad (6) se sigue que si n - 8, entonces Ts(f ) - fQe~xl dx ^ 2 (1 2 •64) = 1/384 ^ 0 .003 y que si n = 16, entonces T]h( f ) - f0 e~xl dx ^ 2/(12 •256) = 1 1536 < 0.000 66. Esto indica que la precisión es considerablemente mejor en este caso que la predicha en el ejemplo 7.5.2.
-'D2
IN 11.4iUA< 'IÓN AI'IU )XIMAI >A
I. A INI I (¡RAI I>1 Kll MANN
La regla del punto medio
1111
i .).. /•ii.le tang ente ” r e s u l t a ser igual a la “regla del punto medio” . Se demuestra a regla del punto medio proporciona una precisión ligeramente m |
,, ni l i ma c ió n qu e la
Un método obvio para aproximar la integral d e/cs tomar las sumas de Uu ní,mu evaluadas en los pun tos me dio s de los subintervalos. Así, si P es la partición
( a >a 'k h , a + 2 h , a
+ nh ~ b )
se tiene la aproximación por la regla del punto medio dada por
K ( f ) » h[f{a + \h) +f(a + §*) + ••• +f(a{n - * )* )] '7)
7.5.6 Teorema. Sean f, f ' y f " continuas en [a, b] y sea Mn( f ) la n-ésima il>i,>\itnación del punto medio (7). Entonces existe un punto y e [a, b\ tal que rb
¡ jb ( x ) dx - Mn( f ) =
H)
-24— f" (y )-
Demostración. Si k = 1 , 2 , . . . , n, sea ck : = a + (k—^) h y sea que y/k: [0, \h\ -*
li esté definida por
= h T lf(a + (k-l)h ). k = i
Otro método consiste en usar funciones lineales por partes que sean tangentes a la gráfica de/en los puntos medios de estos subintervalos. A primera vista, osle último método parece presentar la desventaja de que será necesario conocer la pendiente de la recta tangente a la gráfica de /en cada uno de los puntos m edios n + (b~j)h (k = 1, 2, ... , n). Sin embargo, es un ejercicio de geometría demostrar que el área del trapezoide cuyo lado superior es esta recta tangente en el punto medio a + {k-\)h es igual al área del rectángulo cuya altura es f{ a + (k - \ ) h ). (Vci la figura 7.5.1.) Por tanto, esta área está dada por (7) y se ve que la “regla del
( b - á ) h 2
M * ) -= ¡ Ci+‘f ( x ) d x - f ( c k)2 t J Ck ~ t
para t e [0, \h\ Obsérvese que \f/k(0) = 0 y que como
Mt)= jrck i/ Mdx■ Jckr _t/(odx se tiene « ( 0 = f ( o k + t) - f ( c k « ) ( ! ) 2 / ( < > i) = [ / ( c ft + í ) + f ( c k - () ] 2 f ( c t ) . IVvr cons iguie nte y/'k( 0 ) = 0 y * * ( 0 = f ( c k + t) + f ( c k - t ) ( - l )
= f ( c h + t ) - f ( c k t) . Por el teorema del valor medio 6.2.4, existe un punto ck ¡ con ck ckj, < t tal que !//"(/) = 2tf"(ck) . Si A y B se hacen como en la demostración del teorema 7.5.3, se tiene 2tA ^ y/"(/) ^ 2 tB para t e [0, h¡2], k= 1 , 2 , . . . , n. Se sigue como antes que
\At3 < ipk(t) < ¿Bt3 para toda t e [0, \h], k = 1, 2, ... , n. Al tomar t = \h se obtiene
< Mih) < ¿ Bh3
I A IN 11 <»U Al
DI
IMI
M
I N 1 1 < Í U M l< > N A I Í U i X I M A l ' A
Mili
Al sumar estas desigualdades y observar que
h
Nrn a h o r a / u n a liiiición coiilinua en \n, l>\y sea //c:.N un número pa r. Se hace (/»
E > P k & ) = / V ( * ) d x - M n( f ) ,
[a, a + 2 h ] , [ a + 2 h , a + 4 h • ] , . . . , [ b — 2 h , b ] ,
k 1 se concluye que
,v aproxima / por una función cuadrática que coi ncida con f e n los puntos — A/i3n < f f ( x ) dx 24 V
—Mn(/)
<
24
— Bh3n.
1/o = f ( a ) ’
definida por ( H)
( b — í¡)/is 24
Obsérvese que los coeficientes de los valores de/en los n + 1 puntos de partición son 1,4 , 2, 4, 2, ... ,2 , 4, 1. Se establecía continuación un teorema que proporciona información acerca de la precisión de la aproximación de Simpson.
B2.
La desigualdad (9) también se puede escribir en la forma
( 10 )
M n( / ) “ / / ( * ) dx
( b - a f B0.
S„ (/ ) := l h [ f ( a ) + 4 f ( a + h ) + 2 f ( a + 2/i) + 4 f ( a + 3/i)
+ 2/( « + 4h) + ••• + 2 f ( b - 2 h ) + 4 f ( b - h ) +f(b)].
7.5.7 Corolario. Seanf, f y f" continuas en [a, b] y sea B2 := sup {| f" (x ) : \ e [a, £>]}. Entonces
Mn( f ) ~ j bf ( x ) d x ¡ <
y2= f( a + 2h),...
I ii vista de la relación anterior estos lleva a lanésim a apro xim ació n dle Sim pson
Si se usa el hecho de que h = (b - a)/n y se aplica el teorema del valor intcrmedii» de Bolzano 5.3.6a f " en [a, b], se concluye que existe un punto y e [a, b] tal quila igualdad ( 8 ) se cumple. o.i n
(9)
y¡ = f ( a + h ) ,
N
7.5.8 Teorema. S ean f f ' , f " y / "' y /(4) continuas en [a, b] y sea n e N un número par. Si Sn( f ) es la nésima aproximación de Simpson (11), entonces existe un punto c e [a, b] tal que
24 ns
( 12 )
S „ (/ )
ch
(b —a) h4 180 f “ X c ).
/ ( * ) dx =
Regla de Simpson El método que se introducirá a continuación, generalmente, proporciona una aproximación mejor que la regla del trapezoide o la del punto medio y requiere muy pocos cálculo s adicionales. Mientras que las reglas del trapezoide y del punto medio aproximan la función/por medio de funciones lineales por partes, la regla de Simpson ap roxima/ por medio de una función cuya gráfica es la unión de partes de parábolas. A fin de motivar la fórmula, el lector deber demostrar que si se dan tres puntos (~h>ytí, (0, >’1), ( h,y2), entonces la función cuadrática q(x) =Ax2 + Bx + C que pasa por estos tres puntos tiene la propiedad de que
Demostración. Si k = 1 , 2 , . . . , ¿n - 1, sea ck := a + (2 k + \)h y sea que
Evid entem ente, cpA.:( 0 ) = 0 y
h q(x) dx = 5 h ( y Q + 4y¡ + y2) -h
ri(<) = -Af"(ck- t) +f"(ck+ 0 ] -
- 0 + / ' ( c * + O] .
I A IN 11 (¡R AI l>l 1(11 M AN N 1(1/
II11 I
por lo que
¿(0) = 0 y
II
B ==
s up { / ( 4)( x ) : x e [ « , h |),
entonces se tiene
b 4.
180
l a expresión (13) también se puede escribir en la forma
En consecuencia, por el teorema del valor medio 6.2.4 se sigue que existe yk l con \ck~ 7 j ^ 1 ta* clue 9 7 (0 = ^ 2/(4)(7/; ,)• Si se hace que A y B estén def inidas poi A :=inf {/ <4)(x ): x e [rt, b ]} y
(b —a)hA
Sn ( f ) ~ f ' f ( x ) dx
-h sn(f) ~ J f(x)dx
II )
(b-ay <
180 n4
4'
7.5.10 Ejemplo. Si f( x ) := e~x2 en [0, 1], entonces un cálcul o indica que /<4>(x) = 4e~x¿[4x4 1 2 x z + 3 ] ,
§a í 2 < ^ ( 0 < ! ^ 2 para /e [0, //], /: = 0 ,1 ,. .. , \n 1. Después de integrar tres veces, esta desigualdad se convierte en
1
1 „ 1 r — At° < tp.(t) < — Bt° 90 ky J 90
s .( / ) / ‘<
para toda t e [0, /?], k = 0, 1, ... , kn - 1. Al hacer t = h, se obtiene 1 1 — Ahr>< (pk( h ) < — B/i5 90 90 YkK ’
I l ~ i1 y/ E
= S„ (/ ) f bf ( x ) dx, "
se concluye que 1
— Ah 90
1 r¡, n —< S „ (/ ) / f ( x ) dx < — Bh —. 2
, ,w /
V
'
90
9.
Puesto que h = (b - d)/n, por el teorema del valor intermedio de Bolzano 5.3.6 (aplicado a / (4)) se sigue que existe un punto c e [o, b] tal que la relación (1 2) se cumple. q . e .d . 7.5.9 Corolario. Sean f / ', / " y / '" y /(4) continuas en [a, b] y sea B4 := sup {|/(4)(*)|: * £ [a, b]}. Entonces
20
180 •8'
1 =
.36 86 4
< 0.000 03,
v que si n = 16, entonces S i e ( / ) / '<
para k = 0, 1, ... , { n - 1. Al sumar estas \n desigualdades y observar que
k = o
de donde se sigue que |/(4^(x)| 20 para * € [0, l j. Por tanto, B 4 =£ 20 . Por (14 ) .e deduce que si n = 8, entonces
dx
1 589 824
< 0.000 0017.
7.5.11 Obse rvacion es, a) La nésima aproximación del punto medio Mn i\1n( f ) se puede usar fácilmente para establecer las aproximaciones (2/?)ésimas del trapezoide y de Simpson usando las fórmulas establecidas en los ejercicios 7.5.9 y 7.5.10. De hecho, una vez que se calcula la aproximación trapezoidal inicial 7), sólo hace falta encontrar Mn. Un procedimiento rápido y eficaz para aproximar una integral se puede basar en la siguiente serie de cálculo s: T[ = \{b a)[f(a) i- f( b) \; Mx = ( b - a ) M a + b)), T2 = \MX+ ¡TVS2 = \MX + \T-,MV TA= \M2+ ',T2, S4 = \M2 + \T2, M4, T&, 58; ... b) Si f" (x ) > 0 [o f" (x ) « 0] para toda * e [a, b], entonces el valor de la integral está entre Mn y I'2n (ver el ejercicio 7.5.8), por lo que es inmediata una estimación del error.
Ejercicios de la sección 7.5 1. Usar la aproximación trapezoidal con n - 4 para evaluar log 2 = /, (1/x) dx. Demostrar que 0.68 66 ^ log 2 ^ 0.695 8 y que 0.0013 <
1 1 < T, log 2 < — < 0.0105. 768 4 b 96
-----
i \ rm ii 4os
I A IN 11 ( í|
2. Usar la aproximación de Simpson con >i —I pani cvaluai log Demostrar que 0.6927 =£ log 2 =s 0.6933 y que 0.000 016 < — ■ ~
< S „ l og 2 < ~
( i 11 ¡l\
< 0 .0 0 0íiL'l
3. Sea/ (x) := (1 + x 2/ 1para x e [0 ,1 ]. Demostrar que/"(x) = 2(3.r’ I)(I i t11 3 Y cluc f" (x) ^ 2 para x e [0 ,1] . Usar la aproximación trapezoidal con n i para evaluar n¡4 = J¡f( x) dx. Demostrar que •T4(f ) - (n/ 4 ) « 1/96 • (11111 n 4. Si se usa la aproximación trapezoidal Tn(f) para aproximar n/4 como en . I ejercicio 3, demostrar que se debe tomar n 3= 409 para tener la seguí ídn.l il.< que el error es menor que 106. 5. Sea j como en el ejercicio 3. Demostrar que/<4>(x) = 24(5 x4 10x 2 t I )(I i x 2) 5 y que /(4)(x); í 96 para x e [0, 1], Usar la aproximación de Sinipsuii con n = 4 para evaluar n/4. Demostrar que S4(f) (n/ 4) ^ 1/480 < ().i li i 11 6. Si se usa la aproximación de Simpson .S'„(/) para aproximar n/4 como en el ejercicio 5, demostrar que se debe tomar n & 28 para tener la seguridad d. que el error es menor que 10~6. 7. Si p es un polinomio a lo sumo de grado 3, demostrar que las aproximacionn, de Simpson son exactas. 8. Demostrar que si f"(x) 3= 0 en [a, /?] (e s deci r, si /es convexa en [</, /i|) entonces para cualesquiera números naturales m, n se tiene M (/ ) / ,'/'(a ) dx ^ TmU)- Si/"(x) =£ 0 en [n, b], se invierte el sentido de esta desigualdad 9. Demostrarle T2n(f) = + Tn(f)\. 10. Demostrar que S2n( f ) = \[Mn{ f ) + (/)]. 11. Demostrar que uno tiene la estimación 5 / / ) Ja ’/(x) dx [{b - a) 2/18/r \lt„ donde B 2 ^ f"(x) para toda x e [a, 6]. 12. Obsérvese que J0 (1 x 2)12 dx = n/4. Explicar por qué no se pueden usar las estimaciones del error dadas por las fórmulas (4), (8) y (12). Demostrar que si h (x) := (1 x 2)12 parax en [0,1] , entonces T(h) ^ 7r;4 ^ M (h) . Calcular Mg(h )y T¿h ). _ " 13. Si h es como en el ejerci cio 12, explicar por qué K = J q2¡i(x) dx = n /8 + 1/4, Demostrar que h"(x) ^ 23 2 y que h(4\x) ^ 9 •27 2 para x e [0, l.s/ 2]. De mostrar que K - T n{h) 1./.12n2 y que K Sn(h) ^ 1/10n\ Usar estos resultados para calcular n. En los ejercicios 14 al 20, aproximar las integrales indicadas, dando estima ciones del error. Usar una calculadora (o una computadora) para obtener una precisión mayor. 14. f 2d + x4y ' 2
J0
16.
dx
i 1 + x3 dx pr/2 18. 'o 1 + sen x 20. f 1cos(x2) dx
15. í 2(4 +x3)^2dx
Jo rv senx 17. / dx J0 x
SI l( 1 Í S I O N E S D E F U N C I O N E S
i ,i , .i|>dolos anteriores con frecuencia se han usado suce siones de números rea I, l n e s t e capítulo se considerarán sucesiones cuyos términos son fun cione s en Iu , mi de números reales. Las sucesiones de funciones surgen de manera natural e n e l Hi.disis real y resultan particularmente útiles para obtener aproximaciones de una lun. ion dada y para definir nuevas funciones a partir de funciones conocidas. I•ii la sección 8.1 se introducirán dos nociones diferentes de conv ergencia de una sucesión de funciones: la convergencia puntual y la convergencia uniforme. I ;.l .i gímelo tipo de convergencia es muy importante y será el principal centro de alen , |,a razón de ello es el hecho de que, com o se demuestra en la sección 8.2 , la . unvergencia uniforme “preserva” ciertas propiedades en el sentido de que si cada i, i mino de una sucesión de funcion es uniformemente conve rgente posee estas pro piedades, entonces la función límite también posee d ichas propiedades. En la sección 8.3 se aplicará el concepto de convergencia uniforme para definir y derivar las propiedades básicas de las funciones exponencial y logarítmica. I .a .ccción 8.4 se d edica a un tratamiento similar de las funcione s trigonomé tricas.
SEC CIÓ N 8.1 Convergencia puntual y uniforme Sea A C R dado y supóngase que para toda n e N existe una función f n:A - *R ; se dice que (fn) es una sucesión de fund ones de A a R. Es obvio que para toda x , a tal sucesión da lugar a una sucesión de números reales, es decir, a la sucesión (I)
(/«(*))>
que se obtiene al evaluar cada una de las funciones en el punto x. Para ciertos valores de x eA la sucesión (1) puede converger y para otros valores de x eA esta sucesión puede divergir. Para cada número x eA para el que la sucesión (1) converge, existe un número real determinado de manera única, a saber, lím (/n(x)). En general, el valor de este límite, cuando existe, dependerá de la elección del punto x eA. Por tanto, surge de esta manera una función cuyo dominio consta de todos los números x e A para los que la sucesión ( 1) converge.
19. í 71/2/sen x dx 8.1.1 Definición. Sea (fn) una sucesión de funciones de A C R ai ?, seaA () C A y sea/: A0 - * R . Se dice que la sucesión (/„) converge de A0 a/ si, para toda x e A0, la sucesión (fn(x)) converge a /(x) en R. En este caso a / se le llama el límite
^
.110
Sin
INIONIS I UI I
N C IO N I' S
eo.A0 de la sucesiéini (//). Cuando tal función /' exi sle , se dice t|iic l.i mk
A0,
o
fn ~>f en
A0.
En ocasiones, cuando fn y/están dadas por fórmulas, se escribe
f(x) = lím fn(x) para
xeA0,
o
/„(x)»/(x)
para
x e A n.
8.1.2 Ejem plos, a) lím (x/n) = 0 para x e R. Para n e N, sea f n(x) := x/n y sea/(x) := 0 para x e R . Por el ejempl o 3 .1.'/ ti) se tiene lím (1/n) = 0. Por tanto, por el teorema 3.2.3 se sigue que
FIGURA 8.1.2 g „ ( x ) = x n.
lím (/„(x)) = lím (x/n) = x lím (1/n) = x ■0 = 0 .pie la sucesión es divergente. De manera similar, si |x¡ > 1, entonces la sucesión ( \;() no está acotada y, por tanto, no es converg ente en R. Se concluye que si
para todax e R. (Ver la figura 8.1.1.) b) lím (x"). S e a gn(x) := x" parax e R , n e N . (Ver la figura 8.1.2.) Evidentemente, si x = I, entonces la sucesión (£„(1)) = (1) converge a 1. Por el ejemplo 3.1.11 c) se signo que lím (x" ) = 0 para 0 ^ x < 1 y se ve de inmediato que esta igualdad se cumplo para 1 < x < 0. Si x = 1 , entonces g„ (l) = (1 )" y en el ejemplo 3.2.8 b) se vio
g(x) : =
0
:= 1
para
1 < x < 1,
para
x = 1,
•utonces la sucesión (gn) converge a g en el conjunto (1, 1]. c) lím ((x 2 + nx)/n) = x p a r a x e R . Sea /^(x) := (x2 + nx ) para x e R, n e N, y sea h (x) := x para x e R . (Ver la figura 8.1.3.) Puesto que se tiene h n(x) = (x2)/«), por el ejemplo 3 .1.7 a) y el teorema 3.2.3 se sigue que h n(x) » x =h(x) para todax e R. d) lím ((1 /n) sen (nx + n) = 0 para x e R. Sea Fn(x) := (1/n) sen (nx + n) para x e R, n e N, y sea F(x) := 0 para x e R . (Ver la figura 8. 1.4 .) Pu esto qu e |sen>> |^ 1 para toda y e R, se tiene
l •)
— sen (n x I ti)
n
para toda x e R . Se sigue, por lo tanto, que lím (Fn(x)) = 0 = F(x) para toda x e R. El lector deberá observar que, dada cualquier e > 0, al elegir n lo suficientemente grande se puede hacer F n(x) - F(x)\ < £ para todos los valores de x simultánea En parte para reforzar la definición 8.1.1 y en parte para preparar el terreno para la importante noción de convergencia uniforme, la definición 8.1.1 se reformula de la siguiente manera. (■
• i i N V l ' I U I I 'N C J A l ' l I N I ! I A I V I I N I I O K M I
'.c d rj;i ,il lic loi tkmoslrar que esta formulación es equivalente a la definición (I l I ( lucremos subrayar que el valor K{e, x) dependerá, en general, tanto de s > 0 ., ‘nu de v < /\((. l;,l lector deberá confirma r el hecho de que en los ejemp los 8. 1.2 im ) el v alor de K(s, x) requerido para obtener una desigualdad como (3) depende lanío de r > 0 como d e x e A Q. La razón intuitiva de esto es que la convergencia de 11 uncsión es “significativamente más rápida” en unos puntos que en otros. Sin . uib.irgo, en el ejemplo 8.1 .2 d), como se vio en la desigualdad (2), si se elig en lo aiil iciclilemente grande, se puede hacer |Fn(x)-F(x)\ < e para todos los valores de i ■ R. 1is justamente esta muy sutil diferencia la que distingue la noción de “con ■u,.rucia puntual” de una sucesión de funciones (de acuerdo con la definición n i I) de la noción de “convergencia uniforme”. ( ' o 'i w e r g e e d a u n i fo r m e 8.1.4 DeinSdóm. Una sucesión ( f ) de funciones de A C R a R converge uniform emen te en A0 C A a una función /: A0 i? si para toda e > 0 existe un numero natural K{e ) (que depende de epero no de x e A0) tal que si n K(é) y x ' .1(), entonces
\fn(x)-f(x)\
«1)
FIGURA 8.1.3 hh(x) = (x2 + ¡ix)/n.
Im este caso se dice que la sucesión (/M ) es un iforme men te convergeatíe e nA 0. En ncasiones se escribe /„ =*/
en ^0’ 0
Para
x e A o-
Una consecuencia inmediata de estas definiciones es que si la sucesión (fn) converge uniformemente a / en AQ, entonces esta sucesión también converge pun lualmente a / enA 0 en el sentido de la definición 8.1.1. El hecho de que el recíproco no siempre se cump le sale a relucir mediante un examen atento de los ejem plos S. 1.2 ac); a continuación se presentarán otros ejemplos. En ocasiones resulta conveniente contar con la siguiente condición necesaria y sufic iente para que una suc esión (/M) no converja uniformemente a/en AQ. 8.1.5 Lema. Una sucesión (fn) defunciones de A C R a R n o converge uni formeme nte a una fu nción /: AQ*• R en AQC A si y sólo si para alguna eQ> 0 existe una subsucesión ( f n) de (f )y una sucesión (xk) enA0 tal que (5)
8.1.3 Lema. Una sucesión (Q de Junciones d e A C R a R converge a una fun ció n f: A 0 - * R e n A Qsiy só lo s i para toda e > Oy toda xe /L existe un número natural K(e, x) ta l que si n 2= K(e, x), entonces (3)
Ifnk(xk) -f ( x k)i 2= e0
par a tod a
Ic e N
Para demostrar este resultado el lector únicamente tiene que negar la definición 8.1.4; se deja como importante ejercicio para el lector. Se indica a continuación cóm o se puede usar este resultado. 8.1.6 Ejem plos, a) Considérese el ejemplo 8.1.2 a). Si se hace nk = k y xk= k, entonces f , k{xf) = 1, por lo que | f ¡k(xk) -f( xf) ' = |1 0 ¡ = 1. Por lo tanto, la sucesión (fn) no converge uniformemente a /en R.
I i M'lVI’Kt il NCIA ri INI IIAI •>(INIKIUMI b) Considérese el ejemplo 8.1.2 b). Si nk = k y xk (} )'
ilu .ii.i liv ns, :.c.i /l : |(). 11. Aun cuand o la suc esi ón (x/n) no converge uniíorme •iii nic a la Iunció n cer o en R, se demostrará (pie la convergencia es unifo rme en A. I'.iiu ello, obsérvese que
ciiIhik c\
| g * (* *) g ( * k ) l = l i ~ o| = }• Por lo tanto la sucesión (gn) no converge uniformemente a g cu ( 1, 11. c) Considérese el ejemplo 8.1.2 c). Si nk - k y xk = - k , entonces / / ,() i! y h(xk) = /cpor lo que j hk(xk) - h(x k)\= k. Por lo tanto, la sucesión ( l i j no coiiviu ge uniformemente a h en R.
La norma uniforme Al discutir la convergencia uniforme, con frecuencia resulta conveniente ir.ni la noción de norma uniforme en un conjunto de funciones acotadas. 8.1.7 Definición. Si A C R y cp: A -* R es una función, se dice que cp eslii acot ada en A si el conjunto
||
(7 )
IMU < «
<=>\(p(x)\^ e
' I.
II/,,
~fh
1
= sup{|*/n
0 |: 0 < x < 1 } =
TI
l " " lu (llIC II/, ~ f\\A 0 P° r Jo tanto, ( f ) converge uniformemente a / en A. I>) Sea gn(.y) := x n para x g A := [0, 1] y n e N, y sea g(x) :=0 para 0 < x < v i;( I ) := 1. Las funciones gn(x) - g(x) están acotadas en A y I « . * I I a su p{*" 10
1
p a ra 0 < ,< l\ =1 para x = 1 J
para cualquier n e N. Puesto que ¡jg,, g!!A no converge a 0, se infiere que la suce sion ( g j no converge uniformemente a g en A. c) El lema 8.1 .8 no se puede aplicar a la sucesión del ejemplo 8.1 .2 c) porque la función hn(x) - h(x) = x2/n no está acotada en R. Sin embargo, sea A := [0, 8] y considérese IIh n — h\\A = sup \x2/ n : 0 < x < 8 } = 6 4 / n .
para toda xe A .
8.1.8 Lema. Una sucesión (fn) de funciones acotadas en A C R converge uniformemente afe nA si y sólo si ||//( -f\\A~* 0. Dem ostra ción . (=>) Si (//() converge uniformemente a / en A , entonces por la definición 8.1.4, dada cualquier e > 0, existe K(e) tal que si n ^ K ( e ) y x g A f entonces
Por lo tanto, la sucesión (hn) converge uniformemente a h en A. d) Remitién dose ai ejemplo 8.1.2 d), por la relación (2) se observa que ¡|FB l‘ R 1/n. Por tanto (Fn) converge uniformemente a F en R. e) Sea G(x) := x "( l x ) para x eA := [0, 1]. Entonces la sucesión (G;;(x)) converge a G(x) := 0 para toda x e A. Para calcul ar la norma uniforme de Gn G = Gn en A, se encuentra la derivada y se resuelve G ;(x) = xn-1(n - (n + l).t) = 0
I/ » (* ) “ / ( * ) I < Por lo tanto, la función/está acotada (¿por qué?) y se sigue que \\fn- f\\A ^ £ siempre que n > K (e). Puesto que e > 0 es un valor cualesquiera esto significa que i¡/„ /IU — 0. (<=) Si ¡|/;¡ -f\\A 0, entonce s dada e > 0 existe un número natural H( e ) tal que si n > H(e), entonces |\fn f\\A =s e. Por la relación (7) se sigue que ¡f f x ) f(x)\ ^ epara todan ^ H ( s ) y x e A . Por lo tanto, (fn) converge uniformemente a / en A.
para obten er el punto x/( := n/(n + 1). Este es un punto interior de [0,1 ] y es sencillo verificar aplicando el criterio de la primera derivada 6.2.8 que Gn alcanza un máximo en [0, 1] parax^. Se obtiene por lo tanto
i i G j J, = G „ ( o = ( i + i / » r n — n +—1 ,
Q.E.D.
Se ilustra en seguida el uso del lema 8.1.8 como una herramienta para examinar la convergencia uniforme de una sucesión de funciones acotadas.
que converge al número diferente de cero 1¡e . Así, se ve que la convergencia no es uniforme en A.
8.1 .9 Ejem plos, a) El lema 8.1.8 no se puede aplicar a la sucesión del ejemplo 8.1.2 a) porque la función fn(x) - f(x) = x/n no está acotada en R. Para fines
Haciendo uso de la norma uniforme es posible obtener una condición necesaria y suficiente para la convergencia uniforme que suele ser útil.
310
IN 11 |M AMU K I DI I IMI11
SIK'I' SIONHS Dl;. I IIN( K)NI;.S
8.1.10
Criterio de Cauchy de convergencia uuiloi nie. Se a ( ln) nrm '.me
sión de funciones aco tadas en A CR . Entonces esta sucesión converge unifórme mente a una función ac otada fe n A si y sólo s i par a toda ¿' > 0 existí- un minien > H(e ) en N tal que par a toda m, n 2= H{e), entonces \\fm f n\\Á s ¿\ Demostradón. (=>) Si f n ^ f e n A , entonces dada e > 0 existe un mimen» natural K{\e) tal que si n 3= /C(js e) entonces j\fn/||A \e. Por tanto, si m y n K ( j e), entonces se concluye que
I/„(.*) / „ ( x ) l < I/ , „( * ) - / ( * ) I + l / . ( * ) “ / ( * ) I < i * +
le
=
I
para toda x e A . Por lo tanto, \\fm / JA e, para m , n ^ K ( \é ) := H(e). (<=) Recíprocamente, supóngase que para e > 0 existe H(e) tal que si m , n H(e), entonces \\fm f\\A ^ e. Por lo tanto, para toda x e A se tiene I f m ( X ) - f n ( x ) I <
(8 )
II f , n “ / m i l A <
e
P
m, H
^
H ( e ).
Se sigue que ( f n(x )) es una sucesión de Cauchy en i?; por lo tanto, por el teorema 3.5.4, es una sucesión convergente. Se d efine/: A -> R por /(x) := lím (fn(x))
para
xeA
Si se hace n -* <» en (8), por el teorema 3.2.6 se sigue que para toda r e A s e tiene l/w( * ) / ( * ) l « e
P^a
m^H(e).
Por lo tanto, la sucesión (fn) converge uniformemente a fenA.
q .e . d .
Ejercicios de la sección 8.1 Demostr ar que lím (x/(pf+ «)) = o para toda x e J?, x 3= 0. Demostrar que lím (nx/( 1 + n2x 2)) = 0 para toda x e R. Evaluar lím (nx/( 1 + nx)) para x e R, x 3* 0. Evaluar lím (xn/(l + x") ) para x e R, x 3= 0. Evaluar lím ((sen nx)/( 1 + nx)) para x e R , x ^ 0. Demostrar que lím (Arctan nx) = ( k /2) sgn x para x eR. Evaluar lím (e~nx) para x e R, x 3= 0. Demostrar que lím (xe~nx) = 0 para x e R, x 3= 0. Demostrar que lím (x2e~nx) = 0 y que lím (n2x2e~"x) = 0 para x R, x s* 0. Demostrar que lím ((eos nxfn) existe para toda x eR. ¿Cuál es el valor del límite? 11. Demostrar que si a > 0, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 1 es uniforme en el intervalo [0, a], pero que no es uniforme en el intervalo [0, ce). 12. Demostrar que si a > 0, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 2 es uniforme en el intervalo [a, ce), pero no es uniforme en el intervalo [0, 00). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
e
li I que si a ■0, enlonces la convergencia de la sucesión del ejercicio .1es uniforme en el intervalo |a, ^-), pero no es uniforme en el intervalo [ü, oo). I I I)emostrar que si ()< / > < 1, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 4 es uniforme en el intervalo [0, b], pero no es uniforme en el intervalo |(), 1). 15. I)emostr ar que si a > 0 , entonces la convergencia de la sucesión del ejercic io 5 es uniforme en el intervalo [a, cc); pero no es uniforme en el intervalo [0, ce). I<>. 1)emostra r que si a > 0, entonces la convergencia de la sucesión del ejercicio 6 es uniforme en el intervalo [a, cc), pero no es uniforme en el intervalo (0, ce). 17. Demostrar que si a > 0, entonces la convergencia de la sucesión del ejercici o 7 es uniforme en el intervalo [a, “ ), pero no es uniforme en el intervalo [0, ce), 18. Demostrar que la convergencia de la sucesión del ejercic io 8 es uniforme en .....
[0, O O ) .
19. Demostrar que la sucesión {x2e~nx) converge uniformemente en [0, ce). 20. Demostrar que si a > 0, entonces la sucesión (n2x2e~nx) converge uniformemente en el intervalo [a, co), pero no converge uniformemente en el intervalo [0, ce). 21. Demostrar que si (f ), (gn) convergen uniformemente a / y g, respectivamente, en el conjunto A, entonces (fn + gt) converge uniformemente a / + g en A. 22. Demostrar que si fn{x) := x + 1/n y f(x ) := x para x e R , entonces (fn) converge uniformemente a /en R, pero la sucesión (f2) no converge uniformemente en R. (Por tanto, el producto de sucesiones de funciones uniformemente convergentes puede no ser uniformemente convergente.) 23. Sean (/n), (gn) sucesiones de funcio nes acotadas en A que convergen uniformemente a f g, respectivamente, en A. Demostrar que (fngn) converge uniformemente a fg en A. 24. Sea (fn) una sucesión de funciones que converge uniformemente a / en A y que satisface ff x ) ^ M para toda n e N y toda x e A. S i g es continua en el intervalo [-M, M], demostrar que la sucesión (g ° f n) converge uniformemente a g °/en A.
SEC CIÓN 8.2 Intercam bio de límites Con frecuencia es conveniente saber si el límite de una sucesión de funciones es una función continua, una función derivable o una función integrable. Desafortunadamente, no siempre sucede que el límite de una sucesión de fu nciones tenga estas útiles propiedades. 8.2.1 Ejemplo, a) Sea gn(x) := x" para x e [0, 1] y n e N. Entonces, como se observó en el ejemplo 8.1.2 b), la sucesión (gn) converge puntualmente a la función g(x) := 0
para
0 *£ x < 1,
=1
para
x = 1.
I M I I l ' i A M I I K M U I I M I 11
Nl l( i .SI ONI S I >1 I I IN« H (NI
Aun cuando todas las funcione s g/(son continuas en.v = I , la hm.io n .■ i.mmm , continua en x = 1. Recué rdese que en el ejemp lo 8.1 .6 l>) se demosiiu «pie.¿i .i sucesión no converge uniformemente a g en [0, 1]. b) Todas las funciones gn(x) = x n del ejercicio a) tienen derivadas c u en [0, 1] . Sin embargo, la función límite g no tiene derivada en x = I, ya que mu, continua en este punto. c) Sea que/ p [0, 1 ] -» R esté definida para n 5= 2 por
.1» <>11n•ih••. i oii sid oic n “ ai lil ic iii le s” las fun cio nes Jn del inciso c) quizás pre Io i ni considciai la sucesión (lin) definida por hn(x) := 2 nxe~nx2 para x 6 [0, 1], •i * N Tue sto que //;J = //', dond e ///x) := e~"x2, se tiene
...
f n(x) := n2x
x ^ 1/n,
para
0
:= -n2(x - 2ir )
para
1¡n « x =5 2/n,
'■= 0
para
2/n
x
f h n( x ) d x = Hn( l ) - H n(0) = l - e - \ \.Irmas, es un ejercicio demostrar que h(x) := lím (hn(x)) = 0 para todax e [0, 1]. i lime, por tanto,
1. Aun cuando la discontinuidad la función límite del ejempl o 8.2 .1 a) no es muy
(Ver la figura 8.2.1.) Es evidente que todas las funciones fn son continuas en [0, 11. por tanto, son integrables. Ya sea mediante un cálculo directo, o bien, haciendo referencia al significado de la integral como un área, se obtiene
í f n(x) dx = 1 J o
para
n > 2.
El lector puede demostrar quc//;(x) » 0 para toda x e [0, 1]; por tanto, la función límite/asume el valor cero y es continua (y por tanto integrable) y J¡ f( x ) dx = u Se llega así a la incómoda situación en que:
í f ( x ) d x = 0 ¥* 1 = lím f f n(x ) dx. o
•'o
piando, resulta evidente que es posible construir ejemplos más complicados que
pin.lucirán una discontinuidad más amplia. De cualquier modo, se debe abandona! la esperanza de que el límite de una sucesión convergente de funcione s contin u a s [y, en su caso, derivables, integrables] será co ntinuo [y, en su caso, derivable, iuirj>rabie]. Se verá a continuación que la hipótesis adicional de la convergencia uniforme . s condición suficiente para garantizar que el límite de una sucesión de funciones i oiiiinuas sea continuo. También se establecerán resultados similare s para suce lones de funciones derivables e integrables.
Intercambio del límite y la continuidad 8.2.2 Teorema. Sea (f n) una sucesión d e funcion es continuas en un conjunto \Q R y su poner qu e ( fn) converge a una función f: A —>R en A. Entonces f es continua en A. WfoKnenWfítr Dem ostración . Por hipótesis, dada £ > 0 existe un número natural H := H ( e ) tal que si n 5= H entonces f f x ) - /(x) < |£ para toda x e A . Sea ahora c e A un valor cualesquiera; se demostrará que /es continua en c. Por la desigualdad del 11 ¡ángulo se tiene l / O ) / ( O I « l / o ) _ / h O ) + I/ h O ) 0 0 ) 1 + l / „ 0 ) / O ) < j e + \fH(x) —/ h ( c ) I + 3e Tuesto que fH es continua en c, existe un número 8 := 5() e, c, f¡¡] > 0 tal que si x c < 8 y x e A, entonces \fH{x) fH(c ) < \£. (Ver la figura 8.2.2.) Por lo tanto, si x - c < 8 y x g A, entonces se tiene /(x) -f(c ) < £. Puesto que £ > 0 es un valor cualesquiera, con esto se establece la continuidad de / en el punto arbitrario c e A.
FIGU RA 8.2.1 Ejemplo 8.2.1 c).
Q.E.D.
.120
I l l l l | n A M U I ' 11 >i i
SU< T . . N I O N I N DI I ( I N I II INI
im i
11
UviiiosImm ion. Sean n ■ l> los punios terminales de./ y se a x e J cie rto valor. '.t ni.it i /V, se aplica el teor ema del valor medio 6.2 .4 a la difere ncia f m- J n en el mii i valn con puntos terminales xQ, x. Se concluye que existe un punto y (que de pi n
= f , Á * o)
“ / » ( * o ) + ( * " * o ){ f' n(y ) “ / «( i /) } *
’.e tiene por tanto II
FIGURA 8.2.2 \fH(x) - f H{c)\ < e/3. Observación. Aun cuando la convergencia uniforme de la sucesión de funciones continuas es condición suficiente para garantizar la continuidad de la función límite, no es condición necesaria. (Ver el ejercicio 8 .2.2.)
Intercambio del límite y la derivada En la sección 6.1 se mencionó que Weierstrass demostró que la función dei'i nida por la serie
h = 0
-fn II/-
l / m( * o) - / » ( * o ) l + ( * -
l'oi el teorema 8.1 .10 de esta desigualdad y de las hipótesis de que (/„(*,,)) es con vergente y de que (/') es uniformemente convergente en J se sigue que ( f ) es uniformemente convergente en J. El límite de la sucesión (fn) se denota por /. Puesto que todas las f n son continuas y la convergencia es uniforme, por el teorema 8.2.2 se sigue que / es continua en J. Para establecer la existencia de la derivada de/en un punto c e J se aplica el teorema del valor medio 6.2.4 a fm- fn en un intervalo con puntos terminales c, x. Se concluye que existe un punto z (que depende de m, n) tal que { /, «( *) / „ ( * ) } { L ( c ) ~ L ( c ) i = ( * c){f;n(z) / ' ( ) ) • l’or tanto, si x A c, se tiene f m ( X )
fn ( x ) ~ fn ( C)
X —c
co
/ ( *) = = £
L - f nh <
X —c
< II/: - f n II/
2 * c o s ( 3 *x )
es continu a en cualquier punto pero que no tiene derivada en ningún punto deR. Al considerar las sumas parciales de esta serie se obtiene una sucesión de funciones (/„) q116 tienen derivada en cualquier punto y que convergen uniformemente a/. Por tanto, aun cuando la sucesión de funciones derivables (/ ) es uniformemente convergente, no se sigue que la función límite sea derivable. Se demostrará a continuación que si la sucesión de derivadas (/ ') es uniformemente convergente, entonces también lo es (fn). Si se agrega la hipótesis de que las derivadas son continuas, entonces es posible presentar una demostración suscinta, basada en la integral. (Ver el ejercicio 8.2.11.) Sin embargo, sin el supuesto de que las derivadas son continuas se requiere un razonamiento un tanto más elaborado. 8.2.3 Teorema. Sea J C R un intervalo acotado y sea (Jn) una sucesión de funciones de J a R. Sup oner q ue exis te x() e J tal qu e ( f n(xQ)) conve rge, y que la sucesión ( / ' ) de derivadas existe en J y que converge uniformemente a una fun ción f en J que tiene derivada en todo punto de J y f ' - g .
Puesto que {f'f) converge uniformemente en J , si se da e > 0, existe H(é) tal que si m, n S3 H(e) y x A c, entonces
X — c
X —c
Si se toma el límite con respecto a m en esta desigualdad y se aplica el teorema 3.2.6, se obtiene
f ( x ) - f ( c ) X —c
f n(x ) - f n( c ) X - c
siempre y cuando x A c, n > H(e). Puesto que g(c) = lím (/'(c)), existe N( e ) tal que si n > N(e), entonces if' fc ) - g(c ) < £. Se hace ahora K := sup {H(e\ N(é)}. Puesto que existe f'K, existe 8K{e) > 0 tal que si 0 < \x - c\< 8K(e), entonces
< I K IM O N I S D I | |( N( I O N I I l l l l I H A M I lU i D I I IM I 11
/ * ( * ) ~ / jc( c ) X ~ C
I ii ■miM'i m ui i.i . .i i oncl uy c que
/ ¿ ( O I < £.
< U(P,;fK) - L(P 'ifK) + ¡e
"(
Al com binar estas desigualdades, se concluye que si 0 < \x-c\ < óK(r), enlomen
^ 2£
| f ( x ) - ñ c ) X
- c
- g(¿ ) < 3e.
'i
Puesto que e > 0 es un valor cualesquiera, con e sto se demuestra que existe/'(r) y que es igual a g(c). Puesto que c e J es un valor cualesquiera, se concluye que )" o.ií.d, g z n i.
2£ =
Ir se luí usado la desiguald ad (#). Puest o que £ > 0 es un valor cualesquiera, I criterio de Riemann se sigue que/ es integrable en J. Para establecer la igualdad (*) se aplica el corolario 7.2.6 a) para obtener
í hf ( x ) dx - í hf n( x ) dx = J h { f ( x ) - f n( x ) } d x J u
Intercambio del límite y la integral En el ejemplo 8.2.1c ) se vio que si ( /() es una sucesión de funciones integrables que converge a una función integrable/en [a, b], entonces no ocurre necesaria mente que
¡ bf ( x ) d x = lím f hf n( x ) dx. a a Se demuestra a continuación que la uniformidad de la convergencia es condición suficiente para garantizar que esta igualdad se cumple. 8.2.4 Teorema. Sea (/;i) una sucesión de funcione s que son int egrables en \a, b] y suponer que (f n) converge uniformemente a f en [a, b].E nto nce sfes integrable en [a, b] y se cumple la igualdad (*).
si k
Demostración. Sea J := [ a , b ] y sea e > 0 dada. Entonces existe K(e) tal que K(é) entonces ||//jy < e/4(b - a).
Sea K := K(e); puesto qu t f K es integrable, por el criterio de Riemann 7.1.8, existe una partición P£ = (xQ, xp . .., xn) de J tal que
U( P, -. fK) - L ( P , ; f K) < l e .
f
Como |f( x) - f K(x)\ e/4 (b - a) para toda x e J , se sigu e que si los supr emos de / y fK en [x._p x ] se denotan por M( / ) y Mj(f K), entonces M f f ) ^ M £f K) + e/4 (b - a). (¿P or que?) S e tiene por lo tanto V( P£; f ) < U ( P p , f K) + i s .
De manera sim ilar se infiere que
L{ P, J k ) j e <
Ja
Ju
Puesto que lím \\f-f„\\j = 0, se sigue la conclusión.
Q.E.D.
I ,a hipótesis de que la convergencia de la sucesión ( / J e s uniforme es bastan i« icstrictiva y restringe la utilidad de este resultado. Se enunciará a continuación mi resultado que no restringe la convergencia de manera tan estricta pero que reuniere la integrabilidad de la función límite. La demostración de este resultado es lusiante elaborada y será omitida. 8.2.S Teorema de convergencia acotada. Sea (fn) una sucesión de funcio nes que son integrables en [a, b] y suponer que ( f j converge a una función integrable f en [a, b]. Supo ner asimismo que existe B > 0 tal qu e \fn(x)\ B pa ra tuda x e [a, b], n e N. Entonces la igualdad (*) se cumple.
Ejercicios de la sección 8,2 1. Probar que la sucesión ((x" /(l + *" )) no converge uniformemente en [0, 2] probando que la función límite no es continua en [0, 2]. 2. Demostrar que la sucesión del ejemplo 8.2.1 c) es un caso de una sucesión de funciones continuas que converge de manera no uniforme a un límite continuo. 3. Construir una sucesión de funciones en [0, 1] que sean discontinuas en todo punto de [0 ,1 ] y que converja uniformemente a una función que sea continua en todo punto. 4. Suponer que (fn) es una sucesión de funciones continuas en un intervalo I que converge uniformemente a una función /en ¡. Si ( x/() C / converge a x 0 e I, demostrar que lím (/„(*„)) =/(%)• 5. Sea /: R-> R una función uniformemente continua en R >' sea/ /*) := /( * + l/n) para x e R. Demostrar que (fn) converge uniformemente a/en R. 6. Sea fn(x) := 1/(1 + x)nparax e [0,1]. Encontrar el límite puntual / de la sucesión ( fn) en [0,1]. ¿La sucesión (fn) converge uniformemente a / en [0, 1]?
i ,v; i
7. Suponer que la .sucesión (/ ) converge uniloiinemcule .1 /en el . nii|iinli>l \ suponer que todas las Jn están acotadas en A. (bs decir, para luda n enisii una constante Mntal que fn(x) «£ Mn para todax eA.) Demoslrar .pie la luu. mu /está acotada en A. 8. Sea f n(x) := «v/(l + nx2) para x e A : = [0, cc). Demostrar que lo.las las / . aun acotadas en A, pero que el límite puntual / de la sucesión no esta acotado , n A. ¿La sucesión ( f j converge uniformemente a/en A? . 9. Sea f n(x) := x"/n para x e [0 , 1]. Demostrar que la sucesión (/ ;) de deriva bles converg e uniform emente a una funció n der ivab le/e n |<>, 11 y <|in la sucesión (/') converge en [0, 1] a una función g, pero que g( l) / /'( I) 10. Sea gn(x) := e~"x/n pa rax 3= 0, //e N. Considérese la relación entre Iim (e i y iím (^;). 11. Sea i := [a, b] y sea ( f j una sucesión de funciones en / -* R que convcigc n/ en /. Supóngase que todas las derivadas f ' son continuas en /y que la su. v si° n (/„') converge uniformemente a g en /. Demostrar que ......
/ O ) / ( « ) = f g ( t ) d t
dx = 0.
i \ r < >n
i
n
<
ia i
y
i . » .
.Aid i
m k
a
Se empieza estableciendo al resultado clave de la existencia de la función , \ponencial. 8.3.1 Teorema. Existe una función E: R -> R tal que: i E\x) = E(x) para toda x e R. i i E( 0 ) = 1. Dem ostración. Se define por inducción una sucesión (E J de funciones continuas de la siguiente manera:
•>„
¿Qué ocurre si a - 0 ? 14. Sea f n(x) := nx, (1 + nx) para x 6 [0, 1], Demostrar que (_/) converge de nía ñera no uniforme a una función integrable / y que í f ( x ) dx = lím /"^(x) dx.
Jo
in i
I ,a función exp onenc ial
y que f' (x ) = g(x) para toda x e /. 12. Demostrar que lím f f e~"*2dx = 0. 13. Si a > 0, demostrar que
nx
« i.
n d< rule libio se dio por■scninda la familiarid ad con oslas Iuncion es para poder iiii¡111/. 11 Ins ejemplos. Sin embargo, es necesario colocar estas importantes funcio .. M.lnr bases firmes en algún sitio a fin de establecer su existencia y determinar ,1 |impiedades básicas. Esto se hará aquí. Es po sible adoptar otros enfoques para i nir.egii ii este ob jetivo. S e procederá aquí dem ostrando primero la existen cia de un,, hmeion (|uc es la derivada de sí misma. A partir de este resultado básico se ni,limen algunas de las propiedades principales de la función exponencial. En .i gii ida se presenta la funció n logarítm ica com o la inversa de la función expo nencial v. .la relación inversa se usa para deducir algunas de las propied ades de la funció n l.igai ilmica.
(l
sen nx
i i i i
J q
15. Sea gn(x) := nx( 1 x )" para x e [0,1 j ,n e N. Discutir la convergencia de (g )
y(ÁUndx)-
(1)
E j ( x ) : = 1 + X,
(2)
E n+ l{ x ) ■■= 1 + / o E n ( 0 dt,
para toda n e N, xg R. Evidentemente, E xes continua en R y, por tanto, es i ntegrable rn cualquier intervalo acotado. S i se ha definido En y es continua en R, entonces es integrable en cualquier intervalo acotado, de donde En + x está bien definida por la fórmula anterior. Además, por el teorema fundamental del cálculo 7.3.3 se sigue que E j es derivable en cualquier punto x e R y que
E' +l(x)= En(x) para
neN.
ló. Sea {?'], r2,.. rn) una enumeración de los números racionales en /:= [0 ,1 1y sea que fn: I -* R esté definida como 1 si x = r p..., rn y como 0 en caso contrario. Demostrar qut f H es Riemann integrable para toda n e N, que//x) ^ f 2.(v) ^ ‘ 5 f„(x) ^ ' • y que / (x) := lím (/,(x)) es la función de Dirichlet, que no es Riemann integrable en [0, 1],
(3)
SE CC IÓ N 8o3 Las funciones exponencial y logarítmica
Se a A > 0 dada; en tonce s si |x¡ =£ A y m > n > 2 A, se tiene
En esta sección se presentarán las funciones exponencial y logarítmica y se deducirán algunas de sus propiedades más importantes. En las secciones anterio
Por un razonamiento de inducción (el cual se le deja al lector) se demuestta que 2 ( 4)
(5)
xn
e „ ( i ) = 1 + Y i + i T + " ' + yT
\Em(x) £ „ ( * ) !
(n + 1)!
para
m\
xeR-
Sll< l'M O N I N DI I IIN< ’H Mil
A í A\ + • •+ n l n 1
1 +
I A‘ . I I I N ' IONI.S I Xm NI '. Ní IAl Y I ,<><1AKII MK A
Demostración. Sean/f, y E2 dos funciones de R ai? que satisfacen las propie •.i y ü del teorema 8.3.1 y sea F := E x - E v Entonces
............
F\x) = Efx ) - E¡(x) = Ef x) E2(x) = F(x)
An + 1 < (n + I ) ! 2 '
i loda x e R y
Puesto que lím (A"/n\) = 0, se sigue que la sucesión (E ) conve rge un ifoi nicnu nln en el intervalo [-A,A\, donde A > 0 es un valor cualesquiera. Esto signific a .-11 particular que (EJx)) converge para toda x e R . Se define E : R - * R por ’
E(x) := lím E J x ) para x e R . Puesto que toda x e R está contenida en algún intervalo [-A , A], por el teorema 8.2.2 se sigue que E es continu a en x. Además, re sulta evident e por (1) y (2 ) muí ^«(0) ~ 1 Par2 toda n e N. Por lo tanto, ¿s(0) = 1, con lo que se demuestra ii. . _ En cua^ u‘er intervalo [ -A , A] se tiene la convergencia uniforme de la suce sión (En). Con base en la relación (3), también se tiene la convergencia uniforme' de la sucesión (¿ s ') de las derivadas. Por lo tanto, por el teorema 8.2 .3 se sigue m u . la función límite E es derivable en [~A,A] y que
Imnto cne ¡x tal que (»!)/
n_, F(n\ on) + (nl)!X + ti!
F ' ( 0)
F(x) = F ( 0) + y p x +
,
n!
para toda x e [A, A]. Puesto que A > 0 es un valor cualesquiera, se establece el enunciado i. q .ií.h Corolario. La función E tiene derivadas de todos los órdenes y £<")(*)
= E(x) para toda neN , x eR .
Demostración. Si n - 1, el enunciado se reduce a la propiedad i. Se infiero para n e N por inducción. } 8.3.3
fs .vidente (por inducción ) que F tiene derivadas de todos los órdenes y, de hecho, .|iir ld"\x) = F(x) para n e N , x e R . Sea x e R un valor cualesquiera y sea !x el intervalo cerrado con puntos terminales 0, x. Pu esto que F es continua en lx, existe K > 0 tal que |F(f)\ K para toda i , / . Si se aplica el teorema de Taylor 6.4.1 a F en el intervalo Ix y se usa el hecho .1. que F (k\ 0) = F(0) = 0 para toda k e N, se sigue que para toda n e N existe un
_ H C n ) .
E'(x) = lím (E'(x) = l ím (E n_ ,(*)) = E(x)
8.3.2
F(0) = EfO) - E2(0) = 1 1 = 0 .
Corolario. Si x > 0 , entonces 1 + x < E(x).
Demostración. A partir de la expresión (4) resulta evidente que si x > 0 entonces la sucesión (En(x)) es estrictamente creciente. Por tanto, E,(x) < E(x) ca v ra todax > 0. 1 Q.E.D.
Se demuestra a continuación que la función E, cuya existencia se estableció en el teorema 8.3.1, es en realidad única. 8.3.4 Teorema. La función E :R -+ R que satisface las propiedades i y ii del teorema 8.3.1 es única.
Se tiene por lo tanto
K\x\n
|F(x)|<
------------
n!
paratoda n e N .
Pero como lím (!x|7« !) = 0, se concluye que F(x) = 0. Puesto que x e R es un valor cualesquiera, se infiere que E f x ) E2(x) = F(x) = 0 para toda x e R . Q.e.d. La terminología y notación comunes de la función E (cuya existencia y unicidad se ha establecido ya) se ofrece en la siguiente definición. 8.3.5 Definición . A la función única E : R ~ * K tal que E'(x) = E(x) para toda x e R y E {0) = 1 se le llama la fanción exponencial. Al número e = F( l) se le ’ llama el nú mero de Eu ler. C on frecuencia se escribirá exp(x) := E(x)
o
e x : = E(x)
para x e R .
El número e se puede obtener como un límite, y en consecuencia, es posible aproximarlo de varias maneras. [Ver los ejercicios 8.3.1 y 8.3.10 y el ejemplo 3.3.5.] El uso de la notación e* para E(x) se justifica por la propiedad v del teorema siguiente, donde se establece que si r es un número racional, entonces E(r) y e r coinciden. (Los exponentes racionales se analizaron en la sección 5.5.) Por tanto,
SH< l'.SM INI S DI I UNI Ii Mil
i'K
I N M I I N » I U N I S I M ’ O N I N< I A I V I .
la función £ se puede considerar como una ampliación de la idea de cxponu n i.u mu de números rac ionales a números reales cu alesquiera. Para lina dclinu ion J. ««• para a > 0 y a e R arbitraria, ver la definición 8.3.10.
Por /v v inducción se sigue que si n e N, x e R, entonces
E(nx) = E(x)n.
Teorema. La función expon encial satisfac e las siguientes propicia,!* \ iii E(x) A 0 pa ra tod a x e R\ iv E(x + >') = £ ( a ) E(y) para toda x, y e i? ;
'¡i se hace x = 1/n, esta relación indica que
v E(r ) = e''pa ra toda r e Q.
■le donde se sig ue qu e E(l/n) = e1 ". Se tiene asimismo que E(-m) = 1/£(/«) = \/em e~mpara m e N. Por lo tanto, si m e Z,n e N, se tiene
8.3.6
Demostración, iii Sea a e R tal que E(a) = 0, y sea J a el intervalo cerrad» MUI puntos terminales 0, a. Sea K í 5 IE (/)|para toda i e J a . Al aplicar el teorema Taylor 6.4.1 , se concluye que para toda n e N existe un punto c n e J a tal que
E(m/n ) = (£(1, n))"' = (e 1 (’on esto se establece v.
= e m>n. q.e.d.
£'(«) ESn~l\ a ) 1 = £ ( 0 ) = £ ( « ) + — y j— ( - a ) + ••• + _ " 1 ) ! ~( ~ a )
, E {n)(c n) /
8.3.7 Teorema. La función exponencial E es estrictamente creciente en R y tiene codominio igual a { y 6 R : y > 0 } . Ad emás se tiene vi lím^ £( x) = 0 y Jim £(a ) = oo.
E ( c n) /
Se tiene por tanto
K
0 < 1 < —rk| "
n\
para
n
G
N.
Pero como lím (}a\n/n\) = 0, esto constituye una contradicción. iv Sea y fija; por iii se tiene £(y) A 0. Sea que G : R-> R esté definida por E ( x + y) G ( x ) :== — — £({/)
Para x
R
Dem ostración. Se sabe que £(ü) = 1 > 0 y que £(a) A 0 para toda x e R. Puesto que £ es continua en R, por el teorema del valor intermedio de Bolzano 5.3.6 se sigue que £ ( a ) > 0 para toda x e R . Por lo tanto, E\x) = £ ( a ) > 0 para a eR , de modo que £ es estrictamente creciente en R. Por el corolario 8.3.3 se sigue que 2 < e; en consecuencia, 2" < e" = £ ( « ) , d e donde se sigue que lím E(n) = ce. Puesto que £ es estrictamente creciente, se concluye que lím E(x) = oo. Asimismo, como 0 < £( « ) = e~n < 2~", se sigue que lím £( « ) = ü, así que lí m £ ( x ) = 0.
Evidentemente se tiene
x —> —oo
E'(x + y)
E(x + y)
para toda x e R , y
Por lo tanto, por el teorema del valor intermedio 5.3.6, toda y e R con y > 0 pertenece al codominio de £. q . e .d .
La función logarítmica G(°) -
£ ( 0 + y)
£(y)
=
1.
De la unicidad de E, demostrada en el teorema 8.3.4, se sigue que G(x) = E(x) para toda x e R . Por tanto, E(x + y) = E(x) E(y ) para toda x e R. Puesto que y e R es un valor cualesquiera, se obtiene iv.
Se ha visto que la función exponencial £ es una función derivable estrictamente creciente con dominio R y codominio {y e R: y > 0}. (Ver la figura 8.3.1.) Se infiere que R tiene una función inversa. 8.3.8 Definición. A la función inversa de £ : R - * R se le llama el logaritmo (o el logaritm o natu ral). Se denotará p o r! o por log. (Ver la figura 8.3.2.)
33 0
I AN I I IN< K l N I i S l ' X I ‘ < I NI N< I A l Y I O d A U Í ' l M l ( A
S U C H S I O N H S D I . H I N < K INI
N.33J Teorema. El logaritmo I, es una función estrictamente creciente con ,lon uuio j x c R: x > 0 } y codominio R. La derivada de L está dada por vii //(x) = 1/x pa ra x > 0. i i logaritmo satisface la ecuación funcional i'iii L(xy) = L(x) + L(y ) pa ra x > 0, y > 0. Se tiene además ix L( 1) = 0 y L(e) = 1. x L( x r) = rL(x) para x > 0 , r e Q. xi lím L(x) = oo y lím L(x) = ° °. x - > x
X > 0 +
Demostración. El hecho de que L es estrictamente creciente con dominio {x < R: x > 0} y codominio R se sigue de que E es estrictamente creciente con dominio i? y codominio {y e R: y > 0 } . vii Puesto q u e£ /(x) = E(x) > 0, por el teorema 6.1.9 se sigue qu eL es derivable en (0, °°) y que
ld{x) =
1
1
E °L(x)
E°L (x)
1
x
para
*e(0 ,oo ).
viii S i x > 0 , y > 0, sean u L(x) y v := L(y). Se tiene entonces x - E (u) y y = E(v). Por la propiedad iv del teorema 8.3.6 se sigue que xy = E(u )E( v) = E(u + v), de modo queL(x_y) = L ° E(u + v) - u + v = L(x) + L{y). Con esto se establece viii. Las propiedades de ix se siguen de las relaciones £(0) = 1 y £(1) = e. x Este resultado se sigue por viii y por inducción matemática para n e N, y se generaliza para r e Q aplicando razonamientos similares a los empleados en la demostración de 8.3.6 v. Para establecer la propiedad xi se observa en primer término que como 2 < e, entonces lím (en) = 00 y lím (
lím L ( x ) = lím L ( e n) = x —>oo
L °E(x ) = x
y
lím L ( x ) — lím L ( e ~ n) = c o . x —* O ■+-
para toda x e R Q.E.D.
y E°L(y)=y
para toda y e R , y > 0.
Estas fórmulas también se pueden escribir en la forma
l o g e x = x,
e'ogy = y.
Fundones de potencias En la definición 5.5.6 se analizó la función potencia x xr, x > 0, donde r es un número racional. Mediante las funciones exponencial y logarítmica es posible generalizar la noción de funciones de potencias de potencias racionales a potencias reales cualesquiera.
II I| II II IIII \ I M 'i I| IIII I K I A l Y I 11( IA IU I l\ll< A
332
SI l< i :si( tNI .S III l'IINt II I|II
83 .10
í ,11 HRIIIID* i o n
Definición. Definición. Si a g R y x > 0, el número \" se tlelme ninm
< ii.nulo ii.nulo ¡i
xa := e a lo lo* x = E ( a L ( x ) ) .
O, a / I, en ocasione s es conveniente definir la func ión log (j.
K3 .M Definición. Definición. Sea a > 0, a A 1. Se define
A la f u n c i ó n x x “ parax > Ose le llama llama la función función potencia c o n e x p o l í e n l e o Nota. Si x > 0 y a = m/n, donde m eZ ,n e N, entonces en la sección 5 .5 se deliim •i •i " := (x'")f Se tiene tiene por por tan tanto to log xa = a logx, de donde donde se sigue qu ex * = e|oB*“ = <■" ' I n consecu encia, la definición 8. 3.1 0 es consecuente con la definición dada dada en la sección '» '« Se establecen a continuación algunas propiedades de las funciones de polm cias. Sus demostraciones son consecuencias inmediatas de las propiedades de las funciones exponencial y logarítmica y se dejarán al lector. 8.3.11 Teorema. Si a e R y x, y pertenecen a (0 ,°c), ,°c), entonces: a) Ia =1 ; b ) x a > 0; c) (xy)a = x aya; d) (x/y)a = x €‘/y a.
para
log a
Para ,v g (0, ce), al número logfl(x) se le llama el logaritmo dex base a. El caso <•produce la la función logaritmo (o logaritm o natural) de la la definición 8.3.8 . El imi n - 10 da lugar a la función logaritmo base 10 (o logaritmo común) log10 de .•i frecuente en la realización de cálculos. Las propiedades de las funcio nes log^ presentarán en los ejercicios.
xM x + • •+ — < e x /1 + — ni J l 1!
8.3.13 Teorema. Sea a e R. Entonces la función x <->xct de (0, °°) a R es
continua y deriv able, y x e (0, <*). <*).
Usar esta esta fórmula para demostr demostrar ar que 2 § < e < 2 1 y que, que, por lo tanto, tanto, e no es un número entero. 2. Calcular e con cinco cifras decimales de precisión. 3. Demostrar que si 0 x a y n e N, entonces i +
x
+ . .. +
i!
xn n!
< g*< 1 +
1
log
x 1!
x n~'
+ " . +
e “x"
—
+ — .
( n — 1)!
ni
e
1 \
0 < en! —11 + 1 + — + ••• H— n ! <
x)
2!
a
ni J
----------
n+ 1
< 1.
Usar esta desigualdad para demostrar que e no es un número racional. 5. Si x s* 0 y r e N, demostrar que
1. = Xa ■ = a x * " 1. X
para toda x e ( 0 , “ ) .
2 x" + 1 (» + 1)! '
4. Demostrar que si n 5 2, entonce entoncess
Dem ostrac ión. Por la regla de la cadena cadena se tiene tiene calogí:: •D ( a Dx a Dea]osx calogí
x e (0, oo). oo).
1. Demostrar que si x > 0 y si n > 2x, entonces
El siguiente resultado se refiere a la naturaleza derivable de las funciones de potencias.
para
log x
Ejercicio s de Sa sección 8.3
8.3.12 Teorema. Si a, ¡3 e R y x e (0, °c)? entonces: a) x a +P = xax.P; b) (xa xax.P; (xa) = xaP = (x^)«; c) x_ " = l/x Q; d) si a < (5, entonces entonces x a < x^ para x > 1.
£>xa = a x a ~ l
log fl ( X) :=
q .e . d .
En uno de los ejercicios se verá que si a > 0, la función potencia x i>x“ es estrictaestrictamente crecien te de (0, =c) a R, y que si a < 0, la fun ció nx hx “ es estr estrict ictamen amente te decreci decrecienente. (¿Qué ocurre si a = 0?)
1 X +
1
1 x
v
7
1 + X
Usar esta igualdad para probar que
, o g( l + o _ x _ Las gráficas de las funciones x >» >» x * d e (0 , oc) a R son similares a las de la figura 5.5.8 de la página página 200.
, ( —x ) " + x 2 x 3 + •• ••• + ( x ) " “ 1 + V
, x"
+ . . . +( + ( _ D,m1
í i-t) + íI v— > * "/0
-JIM
’IÍSK INIi.S
|||
I
IINI
K m i
1
Sl« Sl«:< T N >N H.l .l II.as funcio nes tri go no m étri cas
y que
6. Usar la fórmula del ejercici o anterior para para calcular log 1.1 y log (1.4) con cuatro cifras decimales de precisión. ¿De qué magnitud se debe elegir n en esta desigualdad desigualdad para calcular log 2 con cuatro cifras decim ales de precisión? 7. Demostrar que log(e/2) = 1 l og 2. Usar este resultado resultado para calcular log .’ con cuatro cifras decimales de precisión. 8. Sea f : R -* R tal que f'( x) = f( x) para toda x e R . Demostrar que existe K c ci U tal que f( x) = K ex para toda x e R . 9. Sea ak > 0 para k = l,...,n y sea/1 := (al + •••+ an)/n la media aritmética de dichos números. Para cada k, incorporar xk := a J A 1 en la desigualdad I i x e x (válida para x ^ 0). M ultiplicar los términos resultantes para para demos trar la desigualdad desigualdad de la media ar itméticageométrica
(°l
(*)
8 . 4 . 1 T e o r e m a . Existen Existen las funciones C: R —>R y S: R -* R tales que i C"(x) = C ( x ) y S"(x) = -S(x) para toda x e R;
" ' an) /
ii C(0) = 1, C'(0 ) = Oy 5(0 ) = O, O, S'(0 ) = 1.
Demostrar asimismo que la desigualdad en (*) se cumple si y sólo si al = a1 = ■••= an. 10. Evaluar ¿' (1 ) utilizando la sucesión (1 (1 + 1/n) y el hecho de que e = lím ((1 + 1 / 0
.
11. Establ ecer las afirmaciones del teorema 8.3.1 1. 12. Establ ecer las afirmaciones del del teorema teorema 8.3.1 2. 13. a) Demostrar que si a > O, entonces la función x i »x“ es estrictamente cre ciente de (O, <*) a R y que lím x “ = Oy lím x a = cc. cc. A’ -> O +
X
*
b) Demostrar que si a < O, entonces la función x t»x“ es estrictamente decreciente de (O, (O, « ) a R y que que lím x “ = * y lím x " = 0. x -* O+
14. Demostrar que si a > O, a ^ 1, entonces = x para todax e (O, ce) y log (ay) = y para toda y e R. Por lo tanto, la función x o loga x de (O, ce) ce) a i? es la inversa de la función y ■» ■»a y en R. 15. Si a > O, a A 1, dem ostrar que la funció n x |U oga x es deriv able en (O, ce) y que D loga x = l/(x log a) para x e (O, ce). 16. Si a > O, a * 1, y x y y pertenecen a (O, ce), demostrar que loga (xy) = loga x +}ogay. 17. Si a > O, a A 1, y b > O, b =£ =£ 1, demostrar que Jog
b
X = hg a
h * para par a X G
En particular, probar que log 0 x = (log e. log 10)log x = (l ogin e)log x para para e (O, (O, ce).
X
.luido con las funciones exponencial y logarítmica, existe otra colección muy importante de funciones trascendentales conocidas como las funciones uigonométricas. Estas son las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, se . .míe .míe y cosecan te. Es común introducirlas con base en una perspectiva geométrica cu términos de triángulos, o bien, del círculo unitario. En esta sección las funciones trigonométricas se introducen de manera analítica y después se establecen .ilgunas de sus propiedades básicas. En particular, las diferen tes propiedades de las Iunciones trigonométricas que se usaron en los ejemplos de partes anteriores de esle libro se deducirán con todo rigor en esta sección. Basta considerar las funciones seno y coseno ya que las demás funciones trigonométricas se definen en términos de estas dos. El tratamiento del seno y el coseno es similar en esencia al que se empleó con la función exponencial por cuanto primero se establece la existencia de las funciones que satisfacen ciertas propiedades de derivación.
Dem ostració n. S e definen de manera inducti inductiva va las sucesiones ( C J y (5 /() de funciones continuas de la siguiente manera: ( 1)
C , ( x ) := 1 ,
S ,(x ):= x ,
(2)
S„(x) ■■= í C „(t)d t, Jo
(3)
C„ +¡(x ) .= . = 1 f s „ ( t ) d t ,
O para toda n e N ,x e R. Se observa por inducción que las funciones Cn y Sn son continuas en R y, por tanto, que son integrables en cualquier intervalo acotado; en consecuencia, estas funciones están bien definidas por las fórmulas anteriores. Además, por el teoreSt¡ y C n+ 1 son derivables en todo punto ma fundamental 7.3.3 se sigue que St¡ punto y que (4)
s;,(*) = C„(x)
y
c;, + 1( * )
= S „ (x )
p ar ara n e N , x e R .
Por razonamientos de inducción matemática (que se dejan al lector) se demuestra que
I A*. I IIN4 K INI N I KM .1>Nl »MI I KM A V /
< 1/4): 1/4):
> .
ir (pie (puesto ipir . 1
1 x 2"
x 2,1 + 2
|(2ñj!
(2 n + 2)!
A 2" i + Í - Y 12»)
(2n)!
<
A 2"
~ ( A
+
(2m \2"'
2)! 2"
'
x e R.
para
Por el teorema 8.2.2 se sigue que C es continua en R y, como C ((0) = 1 para toda toda
n g N, que C(0) = 1. Si x «s A y m 5= n > 2 A, por (2) se sigue que que
S,„(x)-Sn(x) = f { C J t ) - C n(t))dt (t) )dt.. J o
A2"
^
/ 16
( -
\
a
),
de donde se sigue que la sucesión (Sn) converge converge uniformemente en [ A , A]. Se define S: R~> R por para
x g R.
y
S"(x) = ( c ( x ) ) ' = - S ( x )
x g R.
Por el teorema 8.2.2 se sigue que S es continua en R y, como S;J(0)■ S;J(0) ■ 0 para toda n g N, que 5(0) = 0.
C'fx) = -Sn ,(x) ,(x) para n > 1, por lo Puesto que C'fx) lo anterior se sigue que la sucesucen’ ) converge uniformemente en [-A, A], En consecuencia, por el teorema sión (C n) 8.2.3 , la función límite C es es derivable en [A, A] y C'(x) = lím C'fx) = lím (~Sn_ ,(x)) = -S(x) para x g [A, A], Puesto que A > 0 es un valor cualesquiera, cualesquiera, se tiene
C'(x) = -S(x) para x e R .
S'( 0 ) = C ( 0 ) = 1.
Por tanto, los enunciados i y ii están demostrados.
q.e.d.
8.4.2 Corolario. Si C, S son son las funciones de l teorema 8.4.1, entonces iii C'(x) = 5(x) y S\x) = C(x) pa ra x g R. Ade más, má s, est as fu nc ion es tienen de riv adas ad as d e tod os los órdenes órd enes . Demostración. Las fórmulas iii se establecieron en (6) y (7). La existencia de q . e .d . las derivadas derivadas de orden superior se deduce por inducción matemática. 8.4.3 Corolario. Las funciones S y C satisfacen satisfacen la identidad de Pitágoras iv (C(x))2 + (S(x))2 = 1 pa ra x e R. Demostración. Sea f( x ) := ( C(x ))2 + (5(x))2 para x g R, de donde
Si se usa (5) y el corolario 7.2.6 a), se concluye que
(6)
( ( x ) = ( S ( x ) y = —C ( x )
C'(0) = 5 (0 ) = 0,
Como lím (A2"/(2h) (A2"/(2h) !) = 0, la sucesión (C;|) converge un iformemente en el inlerva lo \-A,A], donde A > 0 es un valor cualesquiera. Esto significa en particular que que (C„(.v)) converge para toda x e R. Se define C : R~> R por
S(x) := lím Sn(x)
para toda
para toda x g R. Además se tiene
15/'
!* .(.) - S . ( . ) K
S'(x ) = C(x)
I' oi (6) y (7)
IB I
C(x) := lím Cn(x)
i >11 i .i/.oi i/.oii; 1111 ni i(c>Mimlar, (c>Mimlar, basado en el hecho de que S'fx) = Cn(x), se demuestra que S es ilerivalile en R y que (/)
..v2'" +
H f
f ( x ) = 2 C ( x ) ( — S ( x ) ) + 2 S ( x ) ( C ( a c ) ) = 0
para
x e jR.
Se deduce por tanto, tanto, que f( x ) es una constante para toda x g R. Pero como/(0) = 1 + 0 = 1, se concluye que f( x ) = 1 para toda x e R . q.e.d. En seguida se establece la unicidad de las funciones C y S. 8.4.4 Teorema. Las funciones C y S que satisfacen satisfacen las propiedade s i y i i del teorema 8.4.1 son únicas. Demostración. Sean C, y C2 dos funciones de R a R que satisfacen C'\x) = -Cj(x) para toda x e R y C .(0) = 1, C'(0) = 0 para j = 1, 2. Si se hace D := C, C2, C2, entonces D"(x) = D(x) para x g R y D( 0) 0 ) = 0 y D^^O) = 0 para toda k g N. Sea ahora x g R un valor cualesquiera, y sea ¡x el intervalo con puntos termiC2 - C ' son continuas en /., nales 0, x. Puesto que D = Cf - C2 y T := := S j - S 2 = C2 D(t)\ K y T(t) ^ K para toda t g ¡x. Al aplicar el teorema existe K > 0 tal que D(t)\ de Taylor 6.4.1 a D e n I xy se usa el hecho de que D( 0) 0 ) = 0, D(¿)(0) = 0 para k e N, se deduce que para toda n e N existe un punto cne ¡x tal que
SIH i '.SK '.SK )NI 'S DI I I IN( II HII •,
D'ÍO)
l)(" "(O)
D ( x ) = D ( 0 )+ - y -x +■■■+1!
=
(
n — 1)!
l V . I IINI II INI
n{"\r )
1I — 1 "V ii
!
ii>i :.<• dedu ce que // //(a ) 11>I in iiciim . in lii ii> >;l \|pai a loda
O p a r a luda x i U. I’oi lo l.inln, /(\)
x i R.
o.i .n.
Se derivarán a continuación algunas de las propiedades básicas ríe las limcio in ■. co sen o y s eno .
D(n\ D(n\ cn) n ¡ n!
I lili a lN ( >MI I l'l i A*.
* •
Entonces, D ^ (c ;|) = ±D(cn), o bien, £>(,i) (,i)(c (c ;) = ± 7 (c ;). En cualquiera de eslos casen casen se tiene K|x|B
|0(x)U
8.4.7 Teorema. La funció funciónn C e sp ar yS es impar en el sentido sentido de que r C(-x) = C(x) y 5 ( x ) = 5 ( x ) p ar a x g R. •w y e.R, entonces se tienen las “fórmulas de adición ” vi C (x + y) = C(x)C(y) - S(x)S(y), S(x + y) = S(x)C(y ) + C(x)¡Hy).
7»!
Pero como lím (|x|"/w!) = 0, se concluye que D(x) = 0. Puesto que x e R o s un valm cualesquiera, se infiere infiere que C¡(x) C2(x) = 0 para toda x g R. Con un razonamiento similar se demuestra que si 5, y S2 son dos funciones en R - * R tales que S ” (x) = Sj(x) para toda x e R y Sj (0) = 0, S'(O) = 1 para j = 1, 2, entonces se tiene 51 (x) = 5,(x) para toda x g R. q.ií.d.
Demostración, v Si
M or a que se ha establecido la existencia y la unicidad unicidad de las las funciones C y y 5, se dará a las mismas sus nombres comunes. comunes.
f( f ( x ) = C{x + y) = aC(x aC (x)) + (3S(x) (3S(x)
y
f'( f '( x ) = —S(x + y) = —a.S'(x) + (3C(x) 8.4.5 Definición. Las funciones únicas C: R - * R y S: R^> R tales que C"(x) = C(x) y S"(x) = 5(x) para para toda x e R y C(0) = 1, C'(0) = 0 y 5(0) = 0, 5'(0 ) = 1 se llaman la función coseno y la función seno, respectivamente. Se acostumbra escribir eos x := C(x)
y
sen x := 5(x)
para x
g
R.
Las propiedades de derivación del inciso i del teorema 8.4.1 no llevan por sí mismas a funciones determinadas de manera única. Se tiene la siguiente relación. 8.4.6 Teorema. Sif: R -*R es tal tal que que /"(* ) = /(*) /(*)
P^a
x
g
R,
entonces existen los números rea les a , [3 tales que f( x ) = aC(x) + (3S(x (3S(x))
pa ra
(3, de donde se sigue la para x e R . S l se hace x = 0, se obtiene C(y) = a y - S(y) = (3, primera fórmula del inciso vi. L a segunda fórmula se demuestra de manera similar. Q.IÍ.D.
Las siguientes desigualdades se usaron anteriormente (por ejemplo, en 4.2.8). Teorema. Si x e R, x s* 0, entonces se tiene vii -x S 5 (x (x ) ^ x ;
8.4.8
x~ viii 1 — — < C(x) < 1; 2 ix x
x e R.
Demostración. Sea g(x) :=/(0)C(x) + /'(0)5(x ) parax g R. S e ve de inmediato que g"(x) = - g(x) g(x) y que ^(0) =/(0), y puesto que
g'(x)=/(0)5(x)+A0)C(x), se tiene asimismo g'(0 ) = f\ 0 ). Por lo tanto, la función h ’. - f - g tiene la propiedad de que h"(x) = - h (x) para todax g R y h (0) = 0, h\ 0) = 0. Así por la demostración
x 1
x3 — < s(x ) < x; 6 x2
---------
2
< C (x (x ) < 1
x2 ----------
2
x4 + — . 24
Demostración. Por el corolario 8.4.3 se sigue que 1 por lo que si x 5= 0, entonces x <
j
C(t) dt < x ,
para t e R C(t) ^ 1 para
. I K I M O N I N l >l I I I Ni I I i l l l
I \'. I I INi II INI
de donde se obtiene vii. Al integrar esta desigualdad se obtiene x 2
— ~
2
rx
x 2
/ S(t) dt < — ,
I l'l i a »N< IMI 1 l ' H A ‘
\11 S i hIim i \'.i 11111•<‘ ( ' //) (i, y es un ejerci cio ile mosli ¿11 que .V(( ' Jl ) I.Si ii'.nn estas dos igualdades junio con las fórmulas W, se obtienen las relaciones 1,1.1 o. •.e. utas.
2
K )
Ejercicios de la sección 8.4
en consecuencia x2 2
x2
< —C(x) + 1 < — . v
'
2
Se tiene por tanto 1 (x2/2) ^ C(x ), de donde se sigue v/ü. La desigualdad /\ si establece al integrar viii, y la desigualdad x se obtiene al integrar ix. o.i o
1. Calcular eos (.2 ), sen (.2) y eos 1, sen 1 con cuatro cifras decimal es de preci sión. 2. Demostrar que sen x ^ 1 y que eo s x 1 para toda x e R. 3. Demos trar que la propiedad vii del teorema 8.4.8 no es válida si x < 0, pero que se tiene sen x- < \xpara toda x e R. Demostrar también que sen x-x\r ¡x: 3/6 para toda x e R. 4. Demostrar que si x > 0 entonces
El número k se obtiene a partir del lema siguiente. 8.4.9 Lema. Existe una raíz y de la función cosen o en e l intervalo (\¡2, sj.\) Ad emás, C(x) > 0 pa ra x e [0, y). El número 2 y es la menor raíz positiv a de S. Demostración. Por la desigualdad (x) del teorema 8.4.8 se sigue que C tiene una raíz entre la raíz positiva V 2 de x 2 2 = 0 y la menor raíz positiva de x 4 12 \' f 24 = 0, que es v 6 2s¡3 < s¡3. Se hace que 7 sea la menor raíz de C. Por la segunda fórmula de vi con x - y se sigue que .S(2v) = 2S(x)C(x). Esla relación indica qué .S(2y) = 0, de donde 2 y es una raíz positiva de S. La misma re lación indica que si 28 > 0 es la menor raíz positiva de 5, entonces C(<5) = 0. Puesto que 7 es la menor raíz positiva de C, se tiene <5 = 7. q .e . d . 8.4.10 Definición. Sea que n := 2y denote la menor raíz positiva de S. Not a. De la desigualdad V2 < 7 < V(Ñ2\/3 se sigue que 2.829 < n < 3.185. 8.4.11 Teorema. Las funciones C y S tienen perio do 2n en el sentido de que xi C(x + 2 k ) = C(x) y S(x + 2 n) = S(x) pa ra x e R. Ad em ás se tiene xii S(x) = C(1 n - x) = -C(x + 5 7r), C(x) = 5(| Ti —x) = S(x + 3 71 ) pa ra toda xeR. Demostración, xi Puesto que S(2x) = 2S(x)C (x) y S(n) = 0, se sigue que S(2 tí ) = 0. Además, si x = 7 en vi se obtiene C(2x) = (C(.v)) 2 (5(.v))2. Por lo tanto, C( 2 k ) = 1. En consecuencia, por vi con y - 2 k s &sigue que
C(x + 2 tr ) = C ( x ) C ( 2 t t ) S ( x ) S ( 2 i r ) = C ( x ) ,
y S ( x + 2 tt) = S ( x ) C ( 2 tt) + C ( x ) S ( 2 u ) = S ( x ).
x2 x1 x6 .1 — — + — — ----2
24
720
x 2 x -1 eos x < 1 — — + — . 2 24
Usar esta desigualdad para establecer una cota inferior para n. 5. Calcular n aproximando la menor raíz positiva de la función seno. (Bisecar intervalos o usar el método de Newton de la sección 6.4.) 6 . Definir las sucesiones (c;l) y (sn) por inducción como c,(x) := 1, s](x) := x , y * , . ( * ) = / c„(t)dt, o
C, 1 + 1( x )
= 1 + / sn(t) dt
Jo
para toda n e N , x e R . Usar un razonamiento como el de la demostración del teorema 8.4.1 para concluir que existen las funciones c: R > R y s: R -* R tales que (; ) c"(x) = c(x ) y s"(x ) = ¿■(x) para toda x e R , y ( jj ) c(0) = 1, c'(0) = 0 y ¿(0) = 0 , ¿'(0) = 1. Además, c'(x ) = ¿(x) y s'(x) = c( x) para toda x e R . 7. Demostrar que las funciones c, s del ejercicio anterior tienen derivadas de todos los órdenes, que satisfacen la identidad (c(x ))2 (s(x ))2 = 1 para toda x 6 R. Además, son las únicas funciones que satisfacen (j) y (jj )■ (Las funciones c, 6’ se llaman el coseno hiperbólico y el seno hipe rbólico, respectivamente.) 8 . S i f . R - R es tal que f"( x) =/(x) para toda x e R, demostrar que existen los números reales a, [5 tales que /(x) = ac(x) + /3s(x) para toda x e R. Aplicar este hecho a las funciones/j(x) := e x y f2(x) := e~x para x e R. Demostrar que c(x) = 3 (ex + e~x) y que ¿(x) = \(e x - e~x) para x e R. 9. Demostrar que las funciones c, s de los ejerc icios anteriores son par e impar, respectivamente, y que c ( x + y) = c(x)c(y) + s(x)s(y),
s(x + y) = s(x)c(y ) + c(x)s(y),
para toda x, y e R. 10. Demostrar que c(x) 3= i para toda x e R , que tanto c com o.?son estrictamente crecientes en ( 0 , =c) y que lím c(x) = xlímX s(x ) = cc. .v — 00
-»
C A P I T U L O
N IIU V L
SLiRIHS INFINITAS
liste capítulo se dedica a establecer los teoremas más importantes en la teoría de las series infinitas. Aun cuando se incluyen aqu í algunos resultados periféricos, la atención se centra en las proposiciones básicas. Se remite al lector a tratados más detallados para resultados y aplicaciones avanzadas. En la primera sección se presentarán los teoremas básicos relativos a la convergencia de series infinitas en R. Se obtendrán algunos resultados de carácter general que sirven para establecer la convergencia de series y justifican ciertas operaciones con series. En la sección 9.2 se presentarán algunos “criterios” usuales de convergencia absoluta de series. En la siguiente sec ción se presentan los “criterio s” que resultan de utilidad cuando las series no son absolutamente convergentes. En la sección final se introduce el estudio de series d e funciones y se establecen las propiedades básicas de las series de potencias.
SEC CIO N 9.1 Convergencia de serles infinitas En textos elementales, una serie infinita en ocasiones se “define” como “una expresión de la forma
x l + x 2 + ••• +x „ I
(1)
Sin embargo, esta “definición” carece de claridad, ya que no hay ningún valor particular que pueda asociarse a priori a este arreglo de símbolos, el cual requiere la realización de un número infinito de adicione s. Aun cuando no hay otras definiciones que sean adecuadas, se considerará que una serie infinita es lo mismo que una sucesión de sumas parciales. 9.1.1 Definición. S iX := (xn) es una sucesión en R, entonces la serie infinita (o simplemente la serie) generada por X es la sucesión S (.xk) definida por «1 » X j, S2 '=
Sj
~t~X 2
sk ■■=sk - ¡ + xh
( = Xj +
X 2 ),
(=
x2 +
X, +
+xk),
. 1 1( 1 1 •. I N I I N I I
a
I i >NVI !(• .I NI
:,
Si S converge, se hará referencia a lím S com o la sum¡« de la serie itiliniia /\ l< elementos xn se les llama los términ os y a los elementos xk se les llama las siuum parci ales de esta serie infinita. Se acostumbra usar la expresión (1) o uno de los símbolos
£(* „) .
E (*„)> n = I
E *„> n = 1
tanto para denotar la serie infinita generada por la sucesión X = (x/() com o para denotar lím S en caso de que esta serie infinita sea convergente. En la práctica, el doble uso de estas notaciones no lleva a confusiones, siempre que se dé poi sobrentendido que es necesario establecer la convergencia de la serie. El lector deberá estar alerta para no confundir los vocablos “sucesión” y “se rie”. En el lenguaje no matemático estos dos términos son intercambiables; sin embargo, en matemáticas no son sinónimos. De acuerdo con la definición dada, una serie infinita es una sucesión S obtenida a partir de una sucesión dada X de acuerdo con un procedimiento especial que se enunció antes. Unas palabras finales acerca de la notación. Aun cuando por lo general el índice de los elementos de las series son números naturales, en ocasiones resulta más conveniente empezar con n = 0, con n = 5 o con n = k. Cuando sea este el caso, las series resultantes o sus sumas se denotarán por notaciones tales como OO
00
00
E
E
E *„•
n= O
n= 5
IA I ir M
K li
s
INI INI IAÍ
<'abría esperar que si las sucesiones X = (x/() y Y = (_yM) g enera n s erie s co nver ivules, entonces la sucesión XY = (xnyn) también genera una serie convergente. El hecho de que no sea siempre este el caso se puede ver al tomar las sucesiones X = i : ((—1)"/n/«), com o se demostrará más adelante. Se presenta en seguida una condición necesaria muy simp le para la conver jv nc ia de una ser ie. Si n em bar go, se enc uen tra lej os de ser su fic ien te. 9.1.3 Lema. Si 2(xn) converge en R, entonces lím (x () = 0. Dem ostración . Por definición, la convergencia de 2( x ;¡) significa que lím (sk) existe. Pero, como xk = sk- sk _ p entonces lím (xk) = lím ( sk) lím (sk_f). q . e . d . El resultado siguiente, a pesar de su alcance limitado, es de gran importancia. 9.1.4 Teorema. Se a (x/() una sucesión de números reales no negativos. En tonces 2 (x /() converge si y sólo si la sucesión 2 = (sf) de sumas parc iales está acotada. En este caso, £ > „ = lím ( sk ) = s u p j s * }. Dem ostración. Puesto que xn > O, la sucesión de sumas parciales es monótona creciente: ••• ^ 5^ ^
.
n= k
En 3 .1.3 se definió la suma y la diferencia de dos sucesionesA”, Y en R. De manera similar, si c es un número real, se definió la sucesión cX = ( cxn). Se examinan a continuación las series generadas por estas sucesiones. 9.1.2 Teorema, a) Si las series 2 (x ;|) y 'S.(yn) convergen, entonces la serie 2(x;1+ yn) converge y las sumas están relacionadas po r la fórmula
E(* n + y J = EC O + £(?/„)• Un resultado similar es válido para las series generadas p o rX - Y. b) Si la serie 2 (x /;) es convergente y c es un número real , entonces la serie Y,{cxn) c onve rge y £(cx„) = cE (*„). Dem ostració n. Este resultado se obtiene directamente del teorema 3.2.3 y la definición 9.1.1. n pn
Conforme al teorema de convergencia monótona 3.3.2, la sucesión 5 converge si y sólo si está acotada. q . e .d . Puesto que el criterio de Cauchy que se presenta en seguida es justamente una reformulación del teorema 3.5.4 la demostración se omitirá. 9.1.5 Criterio de Cauch y para series. La serie 2 (xn) en R converge si y só lo si par a todo número e > O existe un número natural M{é) tal qu e si m > « 5 M(e), entonces
l*m ~ Sn\= \*n+\+ r- n+2 + *** + * J < £La noción de convergencia absoluta con frecuencia resulta de gran importancia al considerar series, como se demostrará más adelante, 9.1.6 Definic ión. Sea .Y := (x;|) una sucesión en R. Se dice que la serie 2 (x () es absolutamente convergente si la serie 2(|xJ) es convergente en R. Se dice que
una serie es con diciona lmen te convcB'gente si es coiivripcnie pero no a l >lni.i mente convergente. Se hace hincapié en que, para series cuyos elementos son números reales un negativos, no hay diferencia entre la convergencia común y la convergencia al>sn luta. Sin embargo, para otras series puede existir una diferencia. (Por ejemplo, mas adelante se demostrará que la serie 2(1 /n) diverge, en tanto que la serie 2( I )" n converge.) 9.1.7
El /
« M N V I h u e ñ i ia l>l SI 1(1 ES INI in i i a :
. 1 m i ' . S I N I ' I N I I Aí i
'•i '«/| I, i iihiiKes |) Considérese la serie arm ónic a 2 (1 /«), la cual es bien sabido qu e diverge, rúes!o que lím {1/n) = 0, no se puede aplicar el lema 9.1.3 para establecer esta divergencia. En su lugar se usará un razonamiento como el del ejemplo 3.3.3 b) y se demostrará que una subsucesión de las sumas parciales no está acotada. De Iiccho, si k x- 2, entonces
Teorema. Si una serie en R es abso lutamente convergente, ento nces
convergente. BemnostradÓJii. Por hipótesis, la serie 2(|xJ) converge.Por lo tanto, del en rácler necesario del criterio de Cauchy 9.1.5 se sigue quedada e > 0, hay un número natural M(s) tal que si m > M(e), entonces
y si k7 = 22, entonces
s l *« + i l + l * n + 2 l + ••• + I * J < £ •
De acuerdo con la desigualdad del triángulo, el primer miembro de esta relación es dominante con respecto a
9.1.8 Ejem plos , a) Se considera la sucesión real X := (an), la cual genera la serie geométrica:
a + g 2 4 ••“ + a n + •••.
n+ 1 _ m+i 1 —a
,
como se puede comprobar al multiplicar ambos miembros por 1 a y observar el “efecto de telescopio” en el primer miembro. Por tanto las sumas parciales satisfacen
, J.1
lsm ~ SJ lfíí!
,
+ ••• + a m \<
\ an + l \
+
| aw + 1 | --------
|1 — a |
+ 21 1 = 1 + . 2 \ 4 I
kl
h —1 \J =
+ 2r
s2 /
S i,
í'r>
+
1
“
2
^
1 +
r
—.
2
Por lo tanto, la subsucesión (skn) no está acotada y por el teorema 9.1.4 se sigue que la serie armónica no converge. c) Se considera ahora ia serle p 2 ( 1 /n p), donde 0 < p «£ 1 , y se usa la desigualdad elemental np ^ n, para n e N. D e esta última se sigue que si 0 < p ^ 1, entonces 1 1 < —
Una condición necesaria para la convergencia es que lím (a n) = 0, lo cual requiere que -,a\< 1. Si m > n, entonces
an+ 1 + a n+z + ••• + a m =
k'
1 1 + 3 4
Por inducción matemática se establece que si kr = 2r, entonces
* r~1
Se aplica el carácter suficiente del criterio de Cauchy para concluir que la serie 2 (x,;) debe converger. q.e.d.
(3)
k*
1 1 1 + _ + _ + 1 2 3 4
> Si
"n + 2
(2)
1
Puesto que las sumas parciales de la serie armónica no están acotadas, esta desigualdad demuestra que las sumas parciales de 2( 1 /n p) no e:tán acotadas para 0 < p =s 1. Po r tanto, 3a serie diverge para estos valore s de p. d) Consid érese la serie p para p > 1. Puesto que las sumas parciales son monótonas, esta es condición suficiente para demostrar que alguna subsucesión se mantiene acotada a fin de establecer la convergencia de la serie. Si kL = 21 1 = 1, entonces = 1. Si k2 = 22 1 = 3, se tiene
1 / 1
,
m > n.
1 \
2
sk9 = + 1 — + — ! < 1 + — = 1 + 2P y i 2P 2 p~ l ’
34H
i <>NVI U( il N( IA 1)1'. NI Kll N INI INI IA S
.1Kll S INI'INI IA‘
y si k3 = 23 1 = 7, se tiene 1 1 1 \ 4 i 1 4 — I < s¡.k + — < 1 + sk3 — Sj 2 4 I — q,/> 4 — g;> 4 — 0p 7/1 2
I
4 ■!''
2p
I
Sea a := l /2/,~1; puesto que/? > 1, se ve queO < a < 1. Por inducción maternal i* ,i se encuentra que si kr = 2r 1, entonces ^ ^ s/c,. < 1 +
+ o2 + •••
Por tanto, el número 1/(1 a) es una cota superior de las sumas parciales de la serie/? cuando 1 < /?. Por el teorema 9.1 .4 se sigue que para tales valores de ¡< la serie/? converge. e) Considérese la serie 1( 1. («2 n)). Usando fracciones parciales se puede escribir 1 1 1 1
k2 + k
k( k + 1)
k
k + l'
Esta expresión demuestra que las sumas parciales son telescópicas (¿por qué?) y, por tanto, 1 S„ =
1 +
----------
1 •2
4••• +
2 3
1
1
n(n 4 1)
1 1
n 4 1
M |>i mu i ictiiil i iiiiiuicn lo se obtien e al inter camb iar el primer térm ino y el segu ndo, el tercero y el cuarto, y así sucesivamente. El segundo reordenamiento se oblicué a partir de la serie armónica tomando un “término impar”, dos “términos pai es”, tres “términos impares”, y así sucesivamente. Es evidente que la serie armónica se puede reordenar en muchas formas más. 9.L 9 Defin ición. Una serie E (}’m) en R es un reordemamiento de una serie E(.. v() si ex iste una función biyectiva / de N en N tal que ym = x^m) para toda m e N. A Riemann se debe la notable observación de que si I(x„) es una serie en R que es condicionalmente convergente (es decir, que es convergente pero no absolutamente convergente) y si c es un número real cualesquiera, entonces existe un reordenamiento de £(.vj() que converge a c. El concepto de la demostración de esta afirmación es elemental: se toman términos positivos hasta obtener una suma parcial que exceda a c, entonces se toman términos no positivos de la serie dada hasta obtener una suma parcial de términos menor que c, etc. Puesto que lím (x;|) = 0, no es difícil ver que se puede construir un reordenamiento que converge a c. Al trabajar con series por lo general se encontrará conveniente tener la seguridad de que los reordenamientos no afectarán la convergencia o el valor del límite. 9.1. 10 TeoE’ema de reordenan niento. Sea E( x() una serie absolutamente con vergente en R. Entonces cualquier reordenamiento de E (x () converge al mismo valor. De m ostr ació n. Sea X (x>;) que converge a x y sea E(y;¡) un reordenamiento de Z(x t)-, se demostrará que !(>'„ ) converge a x. Si e > 0, sea N tal que s i q , n > N y sn := xq 4 •••4 xn, entonces
Se s igue que la sucesión (s/() converge a 1.
Reordeeam ientos de series
<7
Hablando en términos generales, una reordenación de una serie es otra serie que se obtiene a partir de la serie dada utilizando todos los términos exactamente una vez, pero cambiando el orden en que se toman los términos. Por ejemplo, la serie armónica
_1 +1_ +1 _ + . . . + _1 + . . . 1 2
n
3
tiene los reordenamientos
1 _
2
1 1 1 1 4 4 — + • _| 4 + 1 4 3 2n 2n 1 1 1 1 1 1 1 + — 4 + — 4 + + ••• 1 2 4 3 5 7
—
k —S!+ 1
\xk\
y
\x-sn\
Ahora bien, seaM e N tal que todos los términos x ,, .. ., xN e stán contenidos como sumandos en tAj:=yl 4 •••4 y xr S e sigue que si m ^ M, entonces tm- sn consta de una suma finita de términos xk con índice k > N; por tanto, para alguna q > N se tiene 11 s I =£ "•
¿
x, < £. Por lo tanto, si m í2 A/, se tiene
* = at + i • k
It m - x\ < |tm s j
1 4_
E
Puesto que e
>
4-
\sn - x\ < s
4- e
= 2b .
0 es un valor cualesquiera, se tiene ! ( > ’, „ ) = x.
q.e.d.
-------
Ejercicios de la sección 9.1 1. Sea E( a„) una serie dada y sea E (6;j) una serie cuyos términos son los mismos que los de E(fl„) excepto porque se han omitido los términos para los
IM 11 INI lí. NI < (IN VI U NI N< IA AllS OI N IA
SI Kll S INI INI CAS
2.
3.
4. 5. 6.
que an = 0. Demos trar que E(a M) converge a un mini no A si y solo si converge a A. Demostrar que la convergencia de una serie no es afectada al cambial un número finito de sus términos. (De sde luego, el valor de la suma puede cnm biar.) Demostrar que al agrupar los términos de una serie convergente introducir» do paréntesis que contienen un número finito de términos no destruye la con vergencia ni el valor del límite. Sin embargo, la agrupación de los términos de una serie divergente puede producir su convergencia. Demostrar que si una serie convergente sólo contiene un número finito de términos negativos, entonces es absolutamente convergente. Demostrar que si una serie es condicionalmente convergente, entonces la se rie de términos positivos es divergente y la serie de términos negativos es divergente. Demostrar usando fracciones parciales que 1 a)^ V jL t —1 = — n =0 \a + n)(a + n + 1) a
^ «(lo g >i )(log log íí ) ( log log log n ) II . Demostrar que si c > 1, las series siguientes son convergentes:
~'n(\ogn)C’
15. Encontrar la nésima suma parcial sn := a 2 + ••■+ a nde la serie log (1 1 /ir) . Demostrar que esta serie es convergente. 16. Si (an) es una sucesión decreciente de números positivos, demostrar que si !S(art) es convergente, entonces lím (nan) = 0. ( Sugerencia: Usar el razonamiento del ejercicio 11.) Dar un ejemplo de una serie divergente con ( a n) decreciente y lím (nan) = 0. 17. Si (at) > 0 y si lím (>ran) existe, demostrar que 2 (« ;J) es convergente. 18. Sea 0 < a. Demostrar que la serie 2 (1/(1 + «" )) es divergente si 0 < a < 1 y que es convergente si a > 1.
SI a > 0,
19. ¿Converge la serie ]T
b) ¿ = ¿ n = 1 n(n + l ) ( n + 2 ) 4
n = I
20. Si 2( xy|) es absolutamente convergente, demostrar que cualquier reordenación 2 (y w) también es absolutamente convergente.
7. Si £ (a „) es una serie convergente, entonces ¿la serie 2(« w2) es convergente siempre? Si an > 0, entonces ¿se cumple que X (/a #l) es convergente siempre? 8. Si I( a ;¡) es convergente y an 0, entonces ¿la serie Z(\/anan+1) es convergente? 9. Sea E (a M) una serie de números positivos y sea que bn, con n e N, esté definida como bn := (al + a2 + •••+ an)/n. Demostrar que I (bn) diverge siempre. 10. Si I ( « J es absolutamente convergente y (bn) es una sucesión acotada, demostrar que Y.{anbn) converge. 11. Sea una serie monótona decreciente de números positivos. Demostrar 9ue 23
n= 1
(an) converge si y sólo si la serie 23 2" a z«
n= I
converge. Se acostumbra referirse a este resultado como el criterio de condensación de Cauchy. [Sugerencia: agrupar los términos en bloques como en los ejemplos 9.1.8 b, d).] 12. Usar el criterio de condensación de Cauchy para explicar la convergencia de la serie/? 1(1 fnp). 13. Usar el criterio de condensación de Cauchy para establecer la divergencia de las series ^
n log n ’
«(log n) (log log n)'
^ 2 3 n ( ] 0 g n ) ( ] 0 g l og n ) ’
S E C C I Ó N 9, 2 Criterios de convergencia absoluta En la sección anterior se obtuvieron algunos resultados relativos al manejo de series infinitas, en especial en el importante caso en que las series son absolutamente convergentes. Sin embargo, excepto por el criterio de Cauchy y el hecho de que los términos de una serie convergente convergen a cero, no se establecieron condiciones necesarias o suficientes para la convergencia de series infinitas. Se presentarán a continuación algunos resultados que se pueden usar para establecer la convergencia o divergencia de series infinitas. En vista de su importancia, en esta sección se prestará especial atención a la convergencia absoluta. El primer criterio señ ala que si los términos de una serie real no negativa están dominados por los términos correspondientes de una serie convergente, entonces la primera serie es convergente. Proporciona un criterio de convergencia absoluta que el lec tor deberá formular. 9.2.1 Criterio de comp aración. Sean X := (x;j) y Y : = (y;|) suceciones reales y suponer que par a algún número natural K, (1)
0
xn ss yn
para
n > K.
Entonces la convergencia de Z(_y;;) indica la convergencia de1.(xn)y la divergen cia de 2(x;j) indica la divergencia de 2(>’„).
i |ll 11 Kl u' . I >1 < ( >NVI l<« í| N< JA AHM >1111A
.1 1(11-S I NI li li I A.*
Demostración» Si m > n 2=sup {K , x„ +1 + ••• + x m <
culoiicvs
yn+ l
+ •••
+ym <
S ,
de donde es evidente la primera afirmación. El segundo enunciado es el coniiapu sitivo del primero y, por lo tanto, es lógicamente equivalente al mismo. o.i u 9.2.2 Criterio de com paración de límites. Suponer queX := (x /() y Y : ( r i
son sucesiones reales positivas. a) Si se cumple la relación
ion. ,i) Si se cumple (3), enton ces se tiene |.vj ^ r" para n 2= K. r.ú.i ti i I, la serie L (r" ) es convergente, como se vio en el ejemplo 9.1.8 a). si/,ue, por tanto, por el c riterio de com paración que 2 (x rt) es absolutamente
Corolario. Sea X := (xn) una sucesión en R y se estab lece
lím (x n/ y n) * 0
(2)
entonces 2 (xn) es convergente si y sólo s i 2 ( y „ ) es convergente. b) Si el límite de (2) es cero y 1. (yn) es convergente , entonces 2(x n) es convci gente . Dem ostración . De la relación (2) se sigue que para algún número real c > I y algún número natural K ( l / c ) Jn l <
< cy n
para n > K.
Si se aplica dos veces el criterio de comparación 9.2.1, se obtiene la afirmación del inciso a). La demostración del inciso b) es similar y se omitirá. q .e . d.
Criterios de la raíz y del cociente Se presenta a continuación un importante criterio debido a Cauchy. 9.2.3 Criterio de la raíz, a) Si X := (xn) es una sucesión en R y existe un mañero positivo r < 1 y un número natural K tales que
(5)
r °=
l í m ( k „ r “ ),
siempre que est e límite exista. Entonces 2 (x j es absolutamente convergente cuando r < 1 y es divergente cuando r > 1. Dem ostración . Se sigue que si el límite de (5) existe y es menor que 1, entonces existe un número real r{ con r < r, < 1 y un número natural K tales que \xn\l'n ;j para n 5= K. En este caso la serie es absolutamente convergente. Si este límite es mayor que 1, entonces existe un número natural K tal que Q. e . d . \x \1/n > 1 para n s* K, en cuyo caso la serie es divergente. Nota. Cuando r = 1 no hay conclusión; es posible la convergencia o la divergencia, como el lector deberá demostrar. El criterio siguiente se debe a D ’Alembert. 9.2.5 Criterio del cociente, a) SiX:= (xn) es una sucesión de elementos de R diferentes de cero y existe un número positivo r < 1 y un número natural K tales que ( 6)
l* JV " < r
(3)
para
n > K,
entonces la serie I ( x () es absolutam ente convergente. b) Si existe un número natural K tal que (4 )
I
,1/n
> 1
entonces la ser ie 2 (x () es divergente.
pa ra
n ^ K,
entonces la serie 2(x„) es absolutam ente convergente. b) Si existe un número natural K tal que (7)
> 1
entonces la serie 2 (xf¡) es divergente.
par a n > K t
. m u i ■: in i
ii i i i a '
( IIIII IHIIMH (ON VIIU UNCIA AIIS( AIIS( HUIA
Demostración, a) Si se cumple (6), entonces poi mi M/nnamiriilcMlr nxlm ción elemental se establece que \xK+ J ^ r m|xA|para |pa ra m I. Se sigue que p.u p.u ,i n K los términos de 2( x n) son dominados por un múltiplo lijo de los térm inos
k\, DiiuoMi DiiuoMi u
f W
J k -
-
1 ).
1
Al sumar esta desigualdad para k = 2, 3, ... ,n, se obtiene la relación
(xn) una sucesión en R y sea 9.2.6 C o r o l a r i o . Sea X := := (xn)
S» / ( ! ) < / f ( t ) dt < *«!>
J \
r •• ••= lím (lt„ + 1l/ | xj ),
■
la cual establece la existencia de los dos límites
siempre que el límite exista exista.. E ntonces la serie l( x n) es absolutamente convergente convergente cuando r < 1 y es divergente divergente cuando r > 1. Dem ostració n. Supóngase que el límite existe y que que r < < 1. Si /• /•' satisfa ce r ■ r j j < 1, e nto nc es ex ist e un núme ro n atural K tal que \xn+j|/¡* +j|/¡* J < r l para n 2* K. En este caso el teorema 9.2.5 establece la convergencia absoluta de la serie. Si r > > I , entonces existe un número natural K tal que \xn +J/jx J > 1 para para n 2= K, y en este caso ocurre la divergencia.
< t / (O dt < f ( k
l ím ( O ,
l ím
f ( t ) dt
0 bien la inexistencia de ambos. Si existen, entonces al sumar la relación (9) para para k = n + 1, ... , m, se obtiene que
Í f ( t ) dt < Sm _ | m
q.e.d.
It
Nota. Cuando r = 1 no se puede llegar a una conclusión; es posible la convergencia o la divergencia, como el lector deberá demostrar.
f + 7 ( 0 dt < s m ~ s n < f f ( t ) dt. Ai n + 1
El criterio de la integral El sigu iente criterio de convergencia, de gran poten cial, utiliza la noción de la integral impropia que se presentó en la sección 7.4.
función positiva decreciente en { t: t 9.2.7 Criterio de la integral. Sea fuñ a función 5= 1}. Entonces la serie 2 ( / ( « ) ) converge si y sólo si la integral impropia
/ ( t) dt = lím | f ( t ) dt
existe. existe. Cuand o ocurre la convergencia, la suma par cial sfí = E s= (S)
( / ( £) £) ) satisfacen la estimación
E k =
i
f f ( t ) dt J n+ 1
de donde se sigue que
- s„ < f / ( i ) dt. J n
(/ <7C)) y la suma
Si se toma el límite con respecto a m en esta última desigualdad, se obtiene la q . e .d . desigualdad ( 8 ) . Se indicará la manera en que los resultados de los teoremas 9.2.1 al 9.2.7 se pueden aplicar a la serie serie/? /? 2 (1 /n p) que se introdujo en el ejemplo 9.1.8 c). 9.2.8 Ejem plos, a) Primero se aplica aplica el criterio de comparación. comparación. Al saber que la serie armónica 2(l / n) diverge, se ve que si/? si/? ^ 1, entonces np n y, por tanto, \/np. Después de usar el criterio de comparación 9.2.1, se concluye que la 1 fn serie/? 2(1 ¡np) diverge para p 1. b) Se considera ahora el caso en que p = 2; es decir, la serie 2(l/re2). Se compara la serie con la serie convergente 2 (l/n(n + 1)) del del ejemplo 9.1.8 e). Puesto que la relación 1
1
n ( n + 1)
n2
.1IUI '¡ INI INI I A
< l ' l 11 11 l ' U )')' . I i l ( i I N V I l o i l 'N < I A A l i ' .< .< »l »l N I A
se cumple y los términos del primer miembro forman una mi 10 roiiveigr nlc. im . > posible aplicar directamente el criterio de comparación comparación (¿por qué no?) (lis ie león ma se podría aplicar si se comparara el «ésimo término de2(l/w(/i i I )) con el (n + l )ésim o término de 2 (1/n2).) (1/n2).) En su lugar, se aplica el criterio de compai.n mn de límites 9.2.2 y se observa que
n i la m k c M i i n ( ( I i I / / i ) 1 ' ) converge a I , el criterio del cociente (en la forma il< I corolario 0.2 .0) tampoco ofrece inform ación alguna. alguna. e) Por último, se aplica el criterio de la integral a la serie/?. Sea/(í) := t~p y ici uerdese que
f - d t n(n + 1)
n2
n(n + 1)
n+ 1'
Puesto que el límite de este cociente existe y no no es igual igual a 0, y como 2(l/ n( n i 1 1) converge, converge, entonces la serie 2(1 fn 2) también converge. c) Considérese ahora el caso en que /? 5= 2. Si se observa que np > n2 para p 2, entonces 1 ¡n p ^ 1/n2 1/n2.. Una aplicación directa del criterio de comparación ase gura gura que 2(1 /n p) converge para p 2, ya que 2 (1/n2 (1/n2)) converge. converge. De otra manera, se podría aplicar el criterio de comparación de límites y observarse que 1
1
n2
1
np
n2
np
np~2 ’
Si p > 2, esta expresión converge a 0, de donde por el corolario 9.2.2 b) se sigue que la la serie 2(1 jn p) converge para p 2= 2. Usando el criterio de comp aración no es posible obtener ninguna información respec to de la serie/ serie/?? para 1 < p < 2, a menos que se pueda encontrar una serie cuya naturaleza convergente sea conocida y que se pueda comparar con la serie/> en este codominio. d) Los criterios de la raíz y del cociente se ejemplifican aplicándolos a la serie/?. Obsérvese que
r i t”
/
i 11 /?
Para P * l -
Criterio de Raabe pf\xn\) que se usaron en los corolarios Si los límites lím (|xj' ") o lím (\xn + pf\xn\ 9.2 .4 y 9.2.6 son iguales a 1, entonces estos criterios no no funcionan y puede tener tener lugar la la convergencia o la divergencia. (Se ha visto ya que esto ocurrió en el ejem plo 9.2 .8 d) para la serie serie/? /?.) .) En esos ca sos con fre cuencia resulta conve niente usar un criterio más elaborado, debido a Raabe. sucesión de elementos d ife 9.2.9 Criterio de Raa be. a) Si X := := (x/() es una sucesión rentes de cero en R y si existe un número real a > 1 y un número natural K tales que
( l / n " ) 1/n = ( n~")Wn = ( n 1/n 1/n) ~p .
a + . t ~ < 1 — — \xH\ n
"T
p ar a n > K ,
entonces la serie 2(xn) es absolutamente convergente. número rea l a 1 y un número natural natural K tales qu e b) Si existe un número
lím lím (( l/ n ,,)1/'1 ,,)1/'1)) = 1, (11) por lo que el criterio de la raíz (en la forma del corolario corolario 9 .2.4) no da información alguna. Del mismo modo, como
dt = =
( Ion Ion base en estas r elaciones se ve que la serie/ serie/?? converge si p > 1 y que diverge si ,?*S1.
(10)
Se sabe [ver el ejemplo 3.1.11 e)] que la sucesión («*'") converge a 1. Se tiene por tanto
(n ) - l o g ( l ) , = l o g (n
A
l*„ + il
a
—— — > 1 — —
pa ra n > K ,
entonces la ser ie 2. 2. ( x j es absolutamente convergente. convergente. Demostración, a) Si se cumple la desigualdad (1), entonces se tiene
1
1
(n + 1)" 1)" "
1
~ (1 + 1/ n) 1”
k\x k\xh+1\ h+1\< < (k - l)\xk\ l)\xk\-- (a - l)\xk\ l)\xk\
para
k > K.
35 8
i n i l U NI NI O N l ' l < O M V I l ( ( ¡ l'l' N < I A A l is o l U T A
SI KM S INMNITA5
Se sigue que (12)
0.2.1 i I<;í <>iu |»Ios . a) Se considera de nuevo la seriep en vista del criterio de K.ube. Al aplicar la regla de L’Hospital cuando/? 2= 1, se obtiene (¿por qué?)
¿clx^ + jl > (a - l ) |x |x fe fe| > O ( k - l)|x*| ¿clx^
p ara
k > K,
de donde se deduce que la sucesión (k\xk + J ) es dec rec ien te p ara k 2 =K. Si se siunii la relación (12) para k - K , . . . , n y se observa que el primer miembro es telescópl co, se encuentra que
a = lím n
= lím lím n|x„ + 1|> ( a - l)(| xK|+ •••+ |x |xn|). n|). ( K - l) | x j n|x„ = p
Con esto se demuestra (¿por qué?) que las sumas parciales de 2(|xJ) están acola das y se establece la convergencia absoluta de la serie. b) Si se cumple la relación (11) para n 2 =K, entonces, como a ==£ 1, s e tie ne
+
xn|. > ( n - a ) | x j > ( n - l)| xn|.
Por lo tanto, la sucesión (n\xn+ j|) es cre cie nt e p ara n ^ K y existe un número c > 0 tal que \xn+ > c/n para n 2 =K. Pero como la serie serie armónica S(l/ n) diverge, diverge, se sigue que la serie 2(x„) no puede ser absolutamente convergente. q .e .d . Al aplicar el criterio de Raabe, con frecuencia es conveniente emplear la siguiente forma en términos de límites. 9.2.10 Corolario. Sea X := := (x;¡ (x;¡)) una sucesión de núm eros reales d iferentes de
cero y sea
(13)
'V>
(n + l ) P ~ n ” '
(n + 1 ) P “
( 1 + l / n ) ;> ;> ~ 1 \ 1/ n
lím
1 .(1+ 1/n)"
• 1 = p.
Se concluye que si p > 1, entonces la serie/? es convergente. Sin embargo, si p = i, el corolario 9.2.10 no da ninguna información. b) Se considera ahora la serie H(n/(n2 + 1)). Un sencillo cálculo indica que lím (xn + J x n) = 1, por lo que no es posible aplicar el corolario 9.2.6. Se tiene asimismo asimismo que que lím lím (n(l xn + j/xM j/xM)) = 1 , por lo que tamp oco se puede ap licar el corolario corolario 9.2 .10. Sin embargo, es posible demostrar demostrar que xn + l/xn 2 =(n l)/n, de donde, por el criterio de Raabe 9.2.9 b) se sigue que la serie es divergente. (En este caso también se puede aplicar el criterio de la integral o el de comparación de límites con (yn) = (1/n).) Aun cuando es más sencilla la aplicación la forma de límites 9.2.10 del criterio de Raabe, el ejemplo 9.2.11 b) muestra que la forma 9.2.9 es de mayores alcances que la 9.2.10.
Ejercicios de la sección sección 9,2 1. Establec er la convergencia o la divergencia de las series cuyos nésimos términos son: 1 n
a := lím n i —
a) (n + l)(n
+2 ) ’
c) 2~I/n,
siempre que este límite exista. Entonces la serie S.(xn) es absolutamente conver gen te c uan do a > 1 y no es absolutamente convergente cuando a < 1. Dem ostración . Supóngase que existe existe el límite de de (13) y que se satisface a > 1. Si «j es un número cualquiera con a > a ¡ > 1, entonces existe un número natural K tal que a l < n ( 1 ¡x/ ¡x/(+ J/ k J ) para n 2= K. S e sigue por lo tanto que ¡x„+ ií/k„l ií/k„l < 1 ~ a J n Para n ^ K , y es posible aplicar el teorema 9.2.9 a). El caso en que a < 1 es similar y se deja como ejercicio para el lector, q . e .d . Nota. Cuando a = 1 no se puede llegar a ninguna conclusión; es posible la convergencia o la divergencia, como el lector deberá demostrar.
W (n + l)(n + 2 )’ d) n/2 ".
2. Establec er la convergencia o la divergencia de de las series cuyos nésim os términos son: a) (n(n + l) )" 1/2, b) (n2(n + l) ) "1/ "1/2, c) n\/nn, d)( d) ( l ) " n / ( n + 1). 3. Analizar la convergencia o la divergencia de las las series con término nésimo (para n suficientemente grande) dado por a) (log n) v, c) (log n ) l°K", e)(n log n )_ l,
b) (log n ) ”, d) (log n )IogloR" )IogloR",, 0 (n(log (n(log nXlogl nXloglog og n)2)1 n)2)1 .
.11(11
4. Expli car la convergencia o la divergencia divergencia de las senes
n! 3 •5 •7 •••(2n + 1) ’ ______________________
i I III I KK
INI INI I A'.
(, NnV/ ! ) 2 (2 n )! ’
2 •4 •••(2 •••(2 n )
2 •4 •••(2n)
3 •5 •••(2n + 1) ’
5 •7 •••(2 •••(2 n + 3)
8. Sea 0 < a < 1 y considerar considerar la serie serie
e nii iiii i". In .suces ión (ó () converge a log 2. [Sugerencia: bn = c2n c2n- c n+ log 2. ] I(>. I(>. Sea que {/*,, /;?, ...} denote la colección de números naturales en los que no
está presente el dígito 6 en sus sus expansiones decimales. Demostrar que la serie 2.(1/nk) converge a un número menor que 80. Si {m,, m2, . . . } es la colección
17.
de números que que terminan terminan en 6, entonces 2( 1 /m k) diverge. Si p > 0, q > 0, demostrar que la serie ( p + 1 ) ( p + 2 ) • • • ( / ? + n )
••• (q + n) (q + 1)(¿7 + 2 ) ••• converge para q > p + 1 y que diverge para q p + 1. 18. Suponer queninguno queninguno de los números a, b, c es un entero negativo o cero. Probar que la senit* hipergeoméfrica
ab TT^ +
a2 + a + a4 + a3 + ••• +a2n + a2n~x + •■•.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15.
Demostrar quesepuede se puede aplicar el criterio de la raíz,pero raíz, perono no el criterio del cociente. Si r e (0, 1) satisface la expresión (3) del criterio del cociente 9.2.3, demostrar que las sumas parciales sn de £(*„) son una aproximación de su límite .v de acuerdo acuerdo con la la estimación estimación s s j ^ r" +1/(1 ?•) para n ^ K. Si r e e (0 , 1) satisface satisface la expresión expresión (6) del criterio del del cociente 9.2.5, demostrar que ls s j r'xn|/(1 r) para n 5= K. Si a > 1 satisface la expresión (10) del criterio de Raabe 9 .2.9 , demostrar que que sM|*£ n xn\j{a 1) para para n 3= K. Para las series del ejerc icio 1 que convergen, estimar el residuo residuo si se toman toman únicamente cuatro términos. Cuando sólo se tom< tom< n diez términos. S i se quisiera determinar la suma suma de las series con un error de 1/1000, ¿cuántos térm inos se deberán tomar? Responder las preguntas preguntas planteadas planteadas en el ejercic io 12 para las series dadas en en el ejercicio 2. Demostrar que la serie l + 5 ^+ ^+ | ¿+ + es diver diverge gent nte. e. Para n e N , sea que cn esté definida por cn := \ £ + •■•+ l/n - log n. Demostrar que (cn) es una sucesión creciente de números positivos. Al límite C de esta sucesión se le llama la constante de Euler y es igual aproximadamente a 0.577. Demostrar que si se hace
I >1 < »»N\ I l(< l(< il .Nl IA N« »All.'ii >1 11I A
u{a + l)/?(/? + 1) 2!c(c + 1)
a {a + 1)(« + 2)/?(/? + 1)(¿ + 2) +
3!c(c + l) (c + 2)
es absolutamente convergente para c > a + b y que es divergente para c < a + b. 19. Sea an > 0 y supóngase que 2 (o ;|) converge. Construir una serie convergente 2(/?;j) con bn > 0 tal que que lím (an/bn) = 0; por tanto, 2(/?J converge con menos rapidez que 2 (at). (A;¡) las sumas parciales de 2 (« ;¡) ;¡) (at). [Sugerencia: [Sugerencia: Sea (A;¡) y A su límite. Def inir £>, := \[A VA - A 1 y bt¡ := V A -A /¡_1 VA - A n para 1.] 20. Sea (an) una sucesión decreciente de números reales que converge a 0 y supóngase que 2 ( í í J diverge. diverge. Construir una serie divergente divergente S,(bn) con bn> 0 tal que lím ( b j a ¡,) = 0; por tanto, tanto, 2 ( bn) diverge con menos rapidez que 2( « w). l a /(ési ma sum a par cial ci al de d e 2(
SEC CIÓ N 9.3 9.3 C riterios de convergencia convergencia no absoluta Los criterios de convergencia explicados en la sección anterior se enfocaban principalmente en el establecimiento de la convergenc.;a absoluta de una serie. Puesto que hay muchas series tales como £ n= 1
( l ) ,,+1 n
£ ’
n 1
( i ) " +1 Vn
que son convergentes pero no absolutamente convergentes, resulta conveniente contar con algunos criterios para este fenómeno. En esta breve sección se presen tará primero el criterio para series alternantes y luego los criterios para series mas generales debidos a Dirichlet y Abel.
3 62
siíuii'S
inhnitaj
< iri i
-
Series alternantes
i>i;< '< >n v i ,i « ; i '.n < i a
n o a u s o i .w t a
(1)
El cri terio más conocid o para la convergencia no absoluta de series es el n ea do por Leibniz, el cual se puede aplicar a series que son “alternantes” en el :.¡ guíente sentido. 9.3.1 Definición . Se dice que una sucesión X := (xn) de números reales di ferentes de cero es alte rna nte si todos los términos (1 )" +1x/¡, n e N , son nú meros reales positivos (o negativos). Si la sucesió nX = (xn) es alternante, se dice qur la serie Z(xn) que genera es una serie alter nante . En el caso de una serie alternante, resulta conveniente hacer xn = ( 1 ) " + izn |<> ( l ) " z J , d on de z n > 0 para toda n e N. 9.3.2 Criterio para series alternantes. Sea Z := (zn) una sucesión decre ciente de números estrictamente positivos con lím (zn) = 0. Entonces la serie alternante E ( ( l ) n + 1z/¡) es con vergente . Demostración. Puesto que se tiene S 2n =
ikios
( Z 1 ~ Z ? .)
+ ( Z 3 ~ Z 4 ) + ' *‘ d" (^2 n- l ~ ^2n)>
+
Resulta evidente que este criterio para series alternantes establece la convergencia de las dos series ya mencionadas, a saber,
( 2)
„= 1
n
“
( 1 ) " +1
n= 1
vn
E -------- 7 =—
.
•
Se presentarán a continuación otros dos criterios de aplicación generalizada. Se basan en el siguiente lema, que en ocasiones se denomina la fórm ela de sem as parciales, ya que corresponde a la conocida fórmula de la integración por partes. 9.3.3 L ema de Abel. Sean X := (xn) yY:= (yn) sucesiones en R y se a que las sumas parciales de Z(yn) estén denotadas po r (sn) con s0 := 0. Si m > n 0, entonces m m—1 ( 3)
XkVk = (XmSm~ *»+lSn) +
E k - n
y como z k - z k +1 s* 0, se sigue que la subsucesión (s2n) de sumas parciales es creciente. Puesto que
( l ) n+1
E
+ l
E k = n
+1
(Xk ~ Xk+l)«*-
Dem ostración. Puesto que yk - s k- sk_l para k - 1, 2 ,. .. , el primer miembro de (3) es igual a ; JE 1 xk(sk - sk_1). Al juntar los términos multiplicando sn, sn+ v
S2n == Z\~ (~2 ~ ^3 ) ~
( Z2n—2 ” Z2n-\) ~ Z2n’
se sigue asimismo que s2n ^ z1 para toda n e N . Por teorema de convergencia monótona 3.3.2 se sigue que la subsucesión (s2n) converge a algún número s e R. Se prueba a continuación que la sucesión (sn) completa converge a 5 . De hecho, si e 5= 0, sea K tal que si n 5* K, entonces \s2n- s\=£ \e y |z 2n +J *5 \e. Se sigue que si n 5= K entonces
... , sm se obtiene el segundo miembro de (3).
Se aplica ahora el lema de Abel para obtener criterios de convergencia de series de la forma Zxnyn. 9.3.4 Criterio de DiricMet. SiX := (xn) es una sucesión decr eciente con lím
(xn) = 0 y si las sumas parciale s (sn) de X
n = 1
co
serie ^
ls2n + l — Si “ l52n "*■ Z2n + 1 ~ S\ ^ l®2n “
"P l^2n+ ll ^
2S ~ S'
Por lo tanto, toda suma parcial de un número impar de términos también está dentro de e unidades de 5 si n es lo suficientemente grande. Puesto que e > 0 es un valor cualesquiera, se establece la convergencia de (sn) y, en consecuencia, la de Q.E.D. X ( l ) ’, + 1zn. No ta. Es un ejercic io dem ostrar que si s es la suma de la serie alternante y si sn es su nésirna suma parcial, entonces
q .e .d .
(yn) están acotadas, entonces la
(xnyn) es convergente.
Demostración. Sea |sj ^ B para toda n e N. Si m > n, por el lema de Abel 9.3 .3 y el hecho de que xk xk +1 ^ 0 se sigue que m —1
E
x k y k < ( Xm + Xn + l ) B +
h = n 4 - 1
E k = n +
1
(Xk -X k +1)B
= [ ( * m + Xn + 1) + ( x n+ 1 “ Xm)]B
= 2xn+1B.
>i .Kir.s
in i in i ia
i Id 11 li l i )•. I >| ('< IN VI IM •I *N< IA N( I AUN» U N IA
:
Puesto que lím (xk) = 0, la convergencia tic X(x/cyk) se signe del ci ilei io de conv< i gencia de Cauchy 9.1.5 .
la serie gente.
00
Criterio de Abel. SiX := ( x;|) es una sucesión monótona convergente r oo (yn) es convergente , enton ces la ser ie 1L^(xnyn) también e s eonvei
Dem ostració n. Si (x;|) es decreciente con límitex , se a un := xn-x , n e N , poi lo que (un) decrece a 0. Entonces xn = x + uH, de donde xnyn = xyn + uHyn. I'oi el criterio de D irichlet 9 .3.4 se sigue q ue X(w„yn) es con vergente y, com o £(.yy/(l converge [debido al supuesto ce la convergencia de S( y w)], se co ncluye que X( x (v()) es convergente. Si (xn) es creciente con límite x, sea vn := x - x n, n e N , por lo que (vn) decrece a 0. En este caso xH= x - vn, de donde xnyn = xyn- vnyn, y el razonamiento continúa q . i í . d . como antes. 9.3.6
ll\¡l«ireiiciios de la sección 9.3 I. Aplicar criterios de convergencia y convergencia absoluta a las siguientes series:
,
a)
£ E „i
c)
“ { —l) " + 1n e „ =1 n + 2
M £ (" ir* b) E „= i » + l
2 , T~> «2 + l ’
d>
l 2
1 ——
2 s e n | x ( c o s x + • •• + c o s nx ) = s e n (n + f ) x sen \x,
Icos x + •••eos nx| =
|sen(n + j) x - sen|x| 1 ¡ r— < |2sen|x| "" ¡sen|x|"
----------- ---------
------------
^ (" i) " 7( n
0, entonces la serie (a n eos nx) converge siempre que x A 2 kn. b) Puesto que se tiene
Isenx + ••• +sennx| <
nn
’ + 1^«+1 )
(n + 1)"
se sigue que si x A 2 kn{k e N), entonces
i 3
l
i 4 5
l
í
— — + — 4 — — — — — + I
6
7
^ 7(n
nn
+ 1V‘+1’ 1)
4
(n + 1)"
Si las sumas parciales de ü(an) están acotadas, demostrar que la serie E ane~M es convergente para t > (h n= 1 10. Si las sumas parciales sn de E an están acotadas, demostrar que la se 9.
00 ] 0= ,l=1 " ri e y —a converge a y* 1 «1» " „ !*(« +1) 11. ;S e puede aplicar el criterio de Dirich let para establecer la convergencia de
r— [sen gx| cc
Como antes, si (an) es decreciente y si lím (an) = 0, entonces la serie 2^ {a n sen
nx) converge parax # 2 kn ( y converge también para estos valores).
' ■' )
donde los signos se repiten por pares. ¿Converge? 6. Sea an e R para n e N y sea p < q. Si la serie X(a„/np) es convergente, demostrar que la serie ’L(anfrfl) también es convergente. 7. Si p y q son números positivos, demostrar que X( l)"( lo g n)p/nq es una serie convergente. 8. Analizar las series cuyo término nésimo es:
Por tanto, el criterio de Dirichlet implica que si (an) es decreciente con lím (an)
2 s en £ x ( s e n x + •• • + s e n n x ) = e o s f x e os ( n 4 | ) x ,
” log n e <-d -+i— . n 1 n
2. Si sn es la nésima suma parcial de la serie alternante E (1 )" + izn y si s denota la suma de esta serie, demostrar que ¡s s j « z “+ v 3. Dar un ejemp lo para demostrar que el criterio para series alternantes 9.3.2 puede fallar si (zn) no es una sucesión creciente. 4. Demostrar que el criterio para series alternantes es una consec uencia del criterio de Dirichlet 9.3.4. 5. Considérese la serie
Ejem plo s, a) Puesto que se tiene
se sigue que si x A 2 kn(k e N ) , entonces
W.'.
1 1 1 1 1 1 — — — —+ — + — + — — 2 3 4 5 6
.1 Kl l
.1 lili
INI li li I A*,
donde ei núme ro de signos aunio nla en uno en <;i
Mnr para alguna r < 1, entonces la serie 2 ^ 0-/n)an converge. 15. Supóngase que Z(a „) es una serie convergente de números reales. Probar que £(/?„) converge o da un contraejemplo cuando bn está definida por a) an/n,
b) \fan/n
c) a nsenn,
d) yjan/n
e) nl/na„,
0
( a n > 0),
(a„> 0), a j ( 1 + |aj).
SE CC IÓN 9.4 Series de funciones Debido a su frecuente ocurrencia e importancia, se presenta a continuación una discusión de las series infinitas de funciones. Puesto que la convergencia de una serie infinita se maneja al examinar la sucesión de sumas parciales, las cuestiones referentes a series de funciones se responden examinando las cuestiones correspondien tes relativas a sucesiones de funciones. P or esta razón, una parte de la presente sección es una simple transposición a la terminología de series de los resultados ya establecidos para sucesiones de funciones. Este es el caso, por ejemplo, para la parte de esta sección que trata series de funciones gen erales. Sin embargo, en la segunda parte de la secció n, donde se estudian las series de potencias, surgen nuevas variantes debido al carácter especial de las fun ciones que intervienen. 9.4.1 Definición. Si (fn) es una sucesión de funciones definida en un subconjunto D de R con valores en R, la sucesión de las sum as p arci ales (s;|) de la serie infinita £(/„) está definida para x en D por
*i(*) :=/i(*)>
S2(x) := íj(: X) + f 2(x) Sn+ l ( * )
== S „ ( X ) + / B + 1( X )
I ' l I I I N ( l < I NI
i i i. i n d o l.i mk i'moii ( v(() de fun cione s conver ge a una funció n fo n D, se dice que la .ene infinita de lunciones 11(7’) converge a /e n D. Es común escribir E(/ „).
E ( / „ ),
o
£/ „ n= 1
n= 1
para denotar la serie o la función límite, cuando existe.
Si la serie £(!/ „(*) !) converge para toda a: en D, se dice que es abso 1«utamente converg ente enD . Si la sucesión ( sn) de funciones converge uniformemente a / en D, se dice que £('/„) es uniformemente convergente en D, o que converge a /uniform emente en D. Una de las principales razones del interés en las series de funcione s uniformemente convergentes es la validez de los siguientes resultados, los cuales ofrecen condiciones que justifican el cam bio de orden de la sumatoria y otras operaciones con límites. 9.4.2 Teorema. Si fn es continua en D C R a R para toda n g TV y si X(/J converge a f uniformemente en D, entonces fe s continua en D. Esta es una transposición directa para series del teorema8.2.2. El resultado siguiente es una transposición del teorema 8.2.4. 9.4.3 Teorema. Suponer que las funciones con valores reales fn, ne N , son integrables en el intervalo J := [a, b]. Si la serie £(/„) converge a funiformemente en J, entonces f es integrable y
(1)
/*/ E A a
n= I
a
En seguida se considera el teorema correspondiente relativo a la derivación. En este caso se supone la convergencia uniforme de la serie obtenida después de derivar término por término la serie dada. Este resultado es una consecuencia inmediata del teorema 8.2.3. 9.4.4 Teorema. Para toda n <=fV, sea f nuna función con valores reales en J := [«, b) que tiene derivada f'nen J. Suponer que la serie T ( / J ) converge para al menos un punto de Jy que la serie de derivadas Z ( / ' ) converge uniformemente en J. Entonces existe una función con valores reales f en J tal que Z(/„) converge uniformemente a fen J. Además, f tiene derivada en J y f - ! ( / ' ) .
Criterios de convergencia uniforme Puesto que se han enunciado algunas consecuencias de la convergencia uniforme de series, se presentarán ahora algunos criterios que se pueden aplicar para establecer la convergencia uniforme.
'.I
RUS
.1 K ll
INI INI IA *
9.4.5 Criterio de Cauchy. Se a (/ w) una sucesiónfun ciones de I >< R a /»' La serie infinita X( //() converge uniformemente en D si y solo si par a toda ¡ 11 existe M(e) tal que si m > «3= M(e ), ent onc es
\fn+i(x) + •• • + f n( x ) |< e para toda x e D . 9.4.6 CriterioM de Weierstrass. Sea (Mn) una sucesión de núm eros reate-, po sit ivos tale s qu e J n(x)\ < Mnpa ra x e D, n e N. Si la se ri e Z ( M J es convergente, entonces £(/„) converge uniformemente en D. Demostración. Si m > n, se tiene la relación I A h i O ) + • • • + í n ( x ) \< Mn+ l + ••• +M m Se aplican ahora 9.1 .5, 9.4.5 y la convergencia de
para x e D.
).
Series de potencias Se abordará ahora el estudio de las series de potencias. Esta es una clase ini portante de series de funciones que posee propiedades que no son válidas para las series de funciones en general.
E n ! *" » >i 0
(0),
¿
n= 0
x "/ n!,
{xGñ:|x|
R,
icspeetivamente. Por tanto, el conjunto en el que una serie de potencias converge puede ser pequeño, mediano o grande. Sin embargo, un subconjunto cualesquiera de R no puede ser el conjunto exacto en el que una serie de potencias converge, eomo se demostrará a continuación. S i (b ) es una sucesión acotada de números reales no negativos, entonces se define el límite superior de (bH) como el ínfimo de los números v tales que bn /'para toda n e N lo suficientemente grande. Este ínfimo se encuentra determinado de manera única y se denota por lím sup (bn). Lo único que se debe saber es i que si v > lím sup (¿? ), ento nces bn ^ v para toda n e N lo suficientemente grande, y ii que si w < lím sup (bn), entonces w bn para un número infinito d e n e N . 9 . 4 . 8 Definición. Sea ’L(al¡x") una serie de potencias. Si la sucesión (|aj1;") está acotada, se hace p := lím sup si esta sucesión no está acotada, se hace p = + co. Por definición, el radio de convergencia de E(a l¡x n) está dado por H :=
C)n>
E*"> n= 0
>oiivci'gen para x en los conjuntos
9.4.7 Defin ición. Se dice que una serie de funciones reales ! ( / ) es una serie de potencias en la proximidad de x = c si la función f n tiene la forma /„ (*) = a n ( X -
1 *1 I U N I I I > N I
0
■= 1 /p := +CO
SÍ
p = +00,
si sí
0 < p < +<», P = 0.
El inter valo de converg encia es el intervalo abierto (-R , R). Se justifica a continuación el término “radio de convergencia”.
donde an y c pertenecen a R con n = 0, 1, 2, .... A fin de simplifica r la notación, sólo se tratará el caso en que c = (). Sin embargo, al obrar así no se restringe la validez general de los resultados, ya que con la transposición x = x —c una serie de potencias en la proximidad de c se reduce a una serie de potencias en la proximidad de 0. De este modo, siempre que se hable de una serie de potencias, se hará referencia a una serie de la forma CO
(2)
E n= 0
= a Q + 0 ]X + • • • + a n x n + •••.
Aun cuando las funciones que aparecen en (2) están definidas en la totalidad de R, no deberá esperarse que la serie (2) sea convergente para toda x en R. Por ejemplo, mediante la aplicación del criterio del cociente 9 .2.5 es posible demostrar que las series
9.4.9 Teorema de CaucSiyHadaniard. Si R es el radio d e convergencia de la serie d e potencia s 'L(anxn), entonces la se rie es absolutamente con vergente si |x¡ < R y es diverg ente si \x\> R.
Dem ostración . Sólo se tratará el caso en que 0 < R < + co, dejando como ejercicios los casos en que R = 0 y R = + co. Si 0 < \x\ < R, entonces e xiste un número positivo c < 1 tal que |x|< cR. Por lo tanto, p < c/\x|, de dond e se sigue que si n es lo suf icien tem ente gra nde, ento nces |«n|1,n + c/\x¡. Esto es equivalente a decir que (3)
k * nl < c "
para toda n lo suficientem ente grande. Puesto que c < 1, la convergencia absoluta de Z(anx n) se sigue por el criterio de comparación 9.2 .1.
a un
Si |*|> R = 1/p, entonces existe un número inliuiio de n < A/ para las . |ik ni< tiene \a ^n > l/\x\. Por lo tanto, \anx n\> 1 para un núm ero inf ini to de //. pin I.» que la sucesión (a nx n) no converge a cero. ,, i i, Se habrá notado que el teorema de CauchyHadamar no establece si la serie convnjie cuando |x|= R. De hecho, cualquier cosa puede ocurrir, como lo indican los ejemplos
L-
—x n
E
~zx"'
Puesto que lím (nl " ) 1 , todas estas series de potencias tienen radio de convergencia igual a 1, La primera serie de potencias no converge en ninguno de los puntos x = 1 y * = i I la segunda serie converge en x = - 1 pero diverge en x = + 1, y la tercera serie de potencias converge tanto en x = 1 como en x = + 1. (Encontrar una serie de potencias con R = I que converge en x = + 1 pero diverge enx = 1.) Es un ejercicio demostrar que el radio de convergencia de la serie E(a x") también está dado por
in
h in
i/i
< i < in i :>
Drun osti ari ou . Si |.v()|< R, entonces el resultado anterior afirma que 2(¿/;(x") .
«o entonces f'(x ) =
n=0
E
(n anxn~1) para
\x\ < R .
n=l
A m b as s e r ie s ti en en e l m is m o ra d io d e co n v er g en ci a .
De mo strac ión . Puesto que lím (/?'■'") = 1, la sucesión (\nanf !n) está acotada si y sólo si la sucesión ( ¡« J1 ") está acotada. Además, se puede ver de inmediato que lím sup (|na„|1/n) = lím sup (|a„|l/n). siempre que el límite exista. Con frecuencia resulta más conveniente emplear (4) que la definición 9.4.8. El razon amiento usado en la demostración del teorema de CauchyHadamard produce la convergencia uniforme de la serie de potencias en cualquier intervalo fijo cerrado y acotado en el intervalo de convergencia ( -R , R ).
Por lo tanto, el radio de convergencia de las dos series es el mismo, por lo que la serie derivada formalmente es uniformemente convergente en todo intervalo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia. Entonces es posible aplicar el teorema 9.4.4 para concluir que la serie derivada formalmente converge q .e .d . a la derivada de la serie dada.
9 . 4 1 0 T e o r e m a . Sea R el radio de convergencia de l ( a nx" )ys ea K un inter valo cerra do y aco tado contenido en el intervalo de convergencia ( /?, R). Enton ces la ser ie de potencias converge uniformemente en K.
Se debe notar que el teorema no hace ninguna afirmación acerca de los puntos terminales del intervalo de convergencia. Si una serie es convergente en uno de los puntos terminales, entonces la serie derivada puede ser convergente o no en este punto. Por ejem plo, la serie E (xn/n2) converge en ambos puntos terminalesx = 1 y x = +1. Sin embargo, la serie derivada dada por E (xn~l/n) converge en x = 1 pero diverge en x = +1.
Dem ostració n. La hipótesis sobre K C (- R , R) indica que existe una constante positiva c < 1 tal que Jx|< cR para toda x e K. (¿Por qué?) Por el razonamiento de 9.4.9 se infiere que para n suficientemente grande, la estimación (3) es válida para toda x e K . Puesto que c < 1, la convergencia uniforme de £(« „* ") en K es " q.e.d. consecuencia directa del eriterioM de Weierstrass con M := c". 9.4.11 Teorema. El límite de una serie de potencias es continuo en el inter valo de convergencia. Una serie de potencias se puede integrar término por término en cualquier intervalo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia.
n —1
Mediante la aplica ción repetida del resultado anterior^se concluy e que si k es cualquier número natural, entonces la serie de potencias ^ (an%n) se Puede var k veces término por término para obtener «= 0
ni (5 )
n= k O
“
■a„x k ) ]
NI UII'.N INI INI I AN
M I
il'UII'.N 1*1 I IJN< IONI
Además, esta serie converge absolutamente a f (k\\) pai.i |»| R y couvngr mu formemente en cualquier intervalo cerrado y acotado en el inlei valo de convcigui cia. Al sustituir x = 0 en (5), se obtiene la importante fórmula /
an = bn
p a ra tod a
n e N.
Dem ostrac ión. Las observaciones precedentes demuestran que n\an= f ("\()) = n\bn para toda n e N. q.u.i».
Serie de Taylor Si una fun ción / tiene derivadas de todos los órdenes en un punto c de R, entonces se pueden calcular los coeficientes de Taylor an= f (-n\c)/n\ para n e N y obtener así una serie de potencias con estos coeficientes. Sin embargo, no se cum ple necesariamente que la serie de potencias resultante converge a la función/en un intervalo en una proximidad de c. (Ver el ejercicio 9.4 .12 para un ejemp lo.) La cuestión de la convergencia se resuelve por medio del término del residuo Rn del teorema de Taylor 6.4.1. Se escribirá co /'OO/
(6)
/ (* ) E
n0
”!
para \x- c\< R si y sólo si la sucesión (Rn(x)) de los residuos converge a 0 para toda x en algún intervalo {x: \x c j< /?}. En este caso se dice que la serie de potencias (6) es la expansión de Taylor de/en c. Se observa que los polinomios de Taylor de /estudiados en la sección 6.4 no son sino las sumas parciales de la expansión de Taylor (6) de/. 9.4.14 Ejemp los, a) Si f( x ) := sen x, x e R , se tiene /(2,,)(x) = (1 )" sen x y /(2" +^(*) = (“ l) 7' cos x para n eN ,x e R. Al hacer la evaluación en c = 0 se obtienen los coeficientes de Taylor a2n = 0 y a2ll + ¡ = (l)"/(2 n + 1) Ipara n e N . Puesto que |sen xj 1 y |cos x| 1 para toda x, se sigue que \Rn(x)\ ^ \x\njn\ para n e N y x e R. Puesto que lím (Rn(x)) = 0 para loda x e R , se obtiene la expansión de Taylor ( _ ! )” senx =
E
— + 1 ) ! x 2 " + 1 p ar a to da x G R '
Al aplicar el teorema 9.4.12 se obtiene la expansión de Taylor
eos x —
E x '2n para toda x e R. n - 0 ( 2 n ) !
b) Si g(x) := e x, x e R , entonces = e x para toda n e N y, en consecuen eia, los coeficientes deTaylor están dados por an = \/n\ para n e N. Para x e R dada se tiene \Rn(x)\ ^ e'x\x\n/n\ y, por lo tanto, (/?;l(x)) tiende a 0 cuando n > ce. Se obtiene así la expansión de Taylor (7)
*
e x = E "T *”
1
para toda x e R .
H = 0 11 ■
Se puede obtener la expansión de Taylor en una c e R cualesquiera mediante el recurso de sustituir x por x c en (7) y observar que
Ejercicios de la sección 9.4 1. Explic ar la convergenc ia y la convergencia uniforme de la serie X( /(¡), donde f n(x) está dada por: a) (x2 + n 2)1, b) (nx )2 , x =£ 0, c) sen (x/n2), d) (xn + 1)_1, x > 0, e) x"(x " + l)" 1,x 3= 0, f ) ( !)" (« + x)_1, x 23 0. 2. Si E( o/t) es unaserie absolutamente convergente, entonces la serie sen nx) es absoluta y uniformemente convergente. 3. Sea (cn) una sucesión decreciente de números positivos. Si £ (c ;¡ sen nx) es uniformemente convergente, entonces lím (ncn) = 0. 4. Analizar los casos R = 0, R = + cc en el teorema de CauchyHadamard 9.4.9. 5. Demostrar que el radio de convergencia R de la serie de potencias E(a;]x") está dado por lím ( «„!/«„ + j ) siempre que este límite exista. Dar un ejemplo de una serie de potencias en que este límite no existe. 6. Determinar el radio de convergencia de las series 'L(anx’1), donde an está dada por a) 1/n", b) na/n\, c) n"/n\, d) (log n)~l, n 2= 2, e) (n\)2/(2n)\, f )n ~^n. 7. Si a H = 1 cuando n es el cuadrado de un número natural ^y a„ti = 0 en caso contrario, encontrar el radio de convergencia de Z,(anx"). S i bn= 1 cuando n = m\ para m eN ybn= 0en caso contrario, encontrar el radio de convergencia d e l (bnx n). 8. Demostrar en detalle que lím sup ( nan X!n) = lím sup ( an\l n). 9. Si 0 < p «i an ^ q para toda n e N, encontrar el radio de convergencia de
M mi s INI INI I A'.
< a p i h i l o
10. Sea /(x ) = E(a nx" ) para |jc! < R. Si/ (x ) / ( \) |>:u.i in.l.i \ ■ R, dcim »••!im que an = Opara toda n impar. 11. Demostrar que si/es tá definida para ¡.x: < r y si existe una constante B lal que \f<-"\x)¡ í B para toda \x] < r y n e N, entonces la expansión de la sci ¡e de Taylor
„=o
£( ™ )i "
para O< i < 1.
n= 0
15. (S erie geom étrica) Demostrar directamente que si |x| < 1, entonces l 1 — X
16.
Z
= E *"• n = 0
Demostrar integrando la serie para 1/(1 + x) que si ¡xj < 1, entonces
log (1 + x ) =
+ 1 _
E
l
n= 1
'X .
17. Demostrar que si ix < 1, entonces x = y i í L . r 2,<+1 n=O2» + 1 18, Demostrar que si |x| < 1, entonces Arcsenx = y
i >
_ — — . 2n I I 2 •4 •••2 n 2n +
-
19, Encontrar la expansión de una serie para ¡le~t2 dt para x e R. 20, Si a e R y \k\< 1, a la integral F( a, ¡c) := ,f0 (1 &2(sen x )2)1''2 d x se le llama la integral elíptica del primer tipo. Demostrar que /7t FU
\
v “ / 1 •3 ••• (2n 1) \2 „
, * ) “ 2 . ? 0( ”
10
/
IA TOPOLOGÍA DE R
,i!
converge a f(x ) para 'xl < r. 12. Probar por inducción que la función dada por/(x) := e~l ’x2 parax ^ O, /((>) = 0, tiene derivadas de todos los órdenes en cada punto y que todas estas derivadas asumen el valor cero en x = 0. Por tanto, esta fun ción no está dada por su expansión de Taylor en la proximidad de x = 0. 13. Dar un ejemplo de una función que es igual a su expansión de la serie de Taylor en la proximidad dex = 0 parax 5= 0, pero que no es igual a su expan sión para x < 0. 14. Usar la forma de Lagrange del residuo para justif icar la expansión binomial general (1 + 1) - -
d i
2 - 4 -- 2 »
)
h”
Para l*l< 1 -
En la mayor parte de este texto únicamente se han considerado funciones que están definidas en intervalos. De hecho, en el caso de ciertos resultados importantes relativos a funciones continuas, también se estableció el supuesto de que los intervalos eran cerrados y estaban acotados. Se examinarán ahora las fun ciones definidas en conjuntos más generales, con el fin de establecer algunas importantes propiedades de las funciones continuas en un contexto más general. Por ejemplo, en la sección 5.3 se demostró que una función que es continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un valor máximo. Sin embargo, se verá que la hipótesis de que el conjunto es un intervalo no es esencial y que es posible pasarla por alto en el contexto apropiado. En la sección 10.1 se definen las nociones de conjunto abierto y de conjunto cerrado. El estudio de los conjuntos abiertos y los conceptos que se pueden definir en términos de dichos conjuntos constituyen el estudio de la topología puntocon ju nt o, por lo que en real idad se anal izan cie rto s asp ect os de l a top olo gía de R. (El campo de las matemáticas llamado “topología” es muy abstracto y rebasa con mucho el estudio de la recta real, aun cuando las ideas clave se encontrarán en el análisis real. De hecho, es el estudio de las funciones continuas en i? el que motivó muchos de los conceptos abstractos desarrollados en la topología.) La noción de conjunto compacto se define en la sección 10.2 en términos de coberturas abiertas. En el análisis avanzado, la compacidad es un concepto muy poderoso de uso generalizado. Los subconjuntos compactos de R están caracterizados en su totalidad por el teorema de HeineBorel, por lo que el potencial completo de la idea no es tan evidente como lo sería en contextos más generales. No obstante, cuando en la sección 10.3 .se establezcan las propiedades básicas de las funciones continuas en conjuntos compactos, el lector deberá empezar a apreciar la manera en que se usan los razonamientos basados en la compacidad. En la sección 10.4 se abordan las características esenciales de distancia en la recta real y se introduce una generalización de la distancia llamada “métrica”. La ampliamente usada desigualdad del triángulo es la propiedad clave en este conc epto general de distancia. S e presentan ejemplos y se indica la manera en que los teoremas relativos a la recta real se pueden ampliar al contexto de un espacio métrico. Las ideas discutidas en este capítulo son un tanto más abstractas que las de capítulos anteriores; sin embargo, la abstracción con frecuencia desemboca en conocimientos más profundos y refinados. En este caso, lleva a un contexto más general para el estudio del análisis.
3 76
I A T O I ' O ] ( M i l A DI I!
SEC CIÓN 10.1 Con juntos abiertos y cerrados en
. <>N II IN I O S A l UI i n o s V I I ' U U A I > < I N /»'
R
Hay tipos especiales de conjuntos que desempeñan un papel destacado en 0. Aun cuando se requiere que una vecindadede un punto sea simétrica respecto de dicho punto, la idea de una vecindad (general) relaja esta c aracterístic a parí i cular, aunque con frecuencia sirve al mismo propósito. 1 0 . 1 . 2 Definición, i Un subconjunto G de R es abierto en R si para cada \ G existe una vecindad V de x tal que V QG. ii Un subcon junto F de R es cerrado en R si el complemento i? (F) = RAI'' es abierto en R. Para demostrar que un conjunto G Q R es abierto, basta probar que cada punto de G tiene una vecindad£ contenida en G. De hecho, G es abierto si y sólo si para cad a x e G existe ex > 0 tal que (x £., x + £.) está contenido en G. Para demostrar que un conjunto F Q R es cerrado, basta probar que cada punto y <£F tiene una vecinda d£ disjunta de F. De hecho, F es cerrado si y sólo si para cada y &F existe ey > 0 tal que F f l (y ey, y + ey) = 0 . g
1 0 . 1 . 3 Ejemplos, a) El conjunto R = ( - c o , c c ) es abierto. Para cualquier x e R se puede tomar £ := 1. b) El conjunto G := {x eR : 0 < x < 1} es abierto. Para cualquier x e G se puede tomar ex como el menor de los números x, 1 x . Se le deja al lector demostrar que si \u x| < £ventonces u e G. c) Cualqu ier intervalo abierto I := (a, b) es un conjunto abierto. De hecho, si x e I, se puede tomar ex como el menor de los números x - a , b - x . Entonces el lector puede demostrar que (x —ex, x + £t) C /. De man era similar, ( - c o , b) y (a, co) son conjuntos abiertos. d) El conjunto I := [0, 1] no es abierto. Esto se sigue porque toda vecindad de 0 6 1 contiene puntos que no pertenecen a I. e) El conjunto I es cerrado. Para ver esto, se hace y <£ /; entonces y < 0 ó bien y > 1. Si y < 0, se toma ey := \y\, y si y > 1, se toma ey := y - 1. Se le deja al lector demostrar que en ambos casos se tiene / H (y ey, y + ey) = 0 . f ) El conjunto H := {x: 0 *£ x < 1} no es abierto ni cerrado. (¿Por qué?) g) El conjunto vacío 0 es abierto en R. De hecho, el conjunto vacío no contiene puntos en absoluto, por lo que el requisito de la definición 10.1.2 i se satisface. El conjunto vacío también es cerrado ya que su complemento R es abierto, como se vio en el ejemplo a).
\n
lín el l«•11 j >11.ijc ro imm, los vocablos “abierto” y “cerrado” son antónimos cuando se .i|ilican a (iiiei las, ventanas y mentes. Sin embargo, no lo son cuando se aplican a s ubconjuntos . le U. I’or ejemplo, se observó ya que los conjuntos 0 y i? son tanto abiertos como cerrados en l(. (Quizás el lector se sienta aliviado al saber que no hay otros subconjuntos en R que migan ambas propiedades.) Además, hay muchos subconjuntos delí que no son abiertos ni cerrados; de hecho, la mayoría de los subconjuntos de R poseen este carácter neutro.
se
El siguiente resultado básico describe la manera en que los conjuntos abiertos relacionan con las operaciones de unión e intersección de conjuntos en R.
Propiedades de los conjuntos abiertos, a) La unión de una colec 10.1.4 ción cuales quiera d e subconjuntos abiert os en R es un conjunto abierto. b) La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos en R es un conjunto abierto.
Demostración, a) Sea {G^: X e A } una familia de conjuntos en R que son abiertos, y sea G su unión. Considérese un elemento x e G ; por la definición de unión, x debe pertenecer a G\0 para alguna A,0 e A. Puesto que G\Q es abierto, existe una vecindad V de x tal que V Q G\Q. Pero G ^ C G, por lo que V QG . Puesto qu ex es un elemento cualesquiera de G, se concluye que G es un conjunto abierto en R. b) Supóngase que G { y G2 son abiertos y sea G := G, Cl G2. Para demostrar que G es un conjunto abierto se considera una x e G cualquiera; entonces x e G, y x g G2. Puesto que G{ es abierto, existe e1> 0 tal que (x £p x + £j) está contenido en G r De manera similar, puesto que G2 es abierto, existe £2 > 0 tal que (x e 2, x + £2) está contenido en G2. Si se toma ahora £ como el menor de £, y £2, entonces la vecindad£ U := (x £, x + £) satisface tanto U Q G { c omo U C G2. Por tanto, x e U C G . Puesto que x es un elemento cualesquiera de G, se concluye que G es un conjunto abierto en R . Aplicando un razonamiento inductivo (cuyo desarrollo se le deja al lector) se sigue que la intersección de cualquier colección fin ita de conjuntos abiertos es abierta. q.e.d. Las propiedades correspondientes para conjuntos cerrados se establecerán mediante el uso de las identidades de De Morgan para conjuntos y sus componentes. (Ver el teorema 1.1.6.) Propiedades de los conjuntos cerrados, a) La intersección de una 10.1.5 colección cualesquiera de conjuntos cerrados en R es un conjunto cerrado. b) La unión de cualquier colección finita de conjuntos cerrados en R e s un conjunto cerrado. Demostración, a) Si {/y. X e A } es una familia de conjuntos cerrados en i? y
F := O Fx, entonces tf(F)= ( J t^ (Fa ) es la unión de los conjuntos abiertos. Ae A
'
Ae A
u
i a i o n n <>
I i MUI
Por tanto, ¡f (F) es abierto por el teorema 10.1.4 a) y, |xw consiguiente, /• un conjunto cerrado. b) Supóngase cjue los conjuntos F v F2, ... , F n son cerrados en R y sea /•' F , U F 2 U •••U F n. Por la identidad de De M organ, el com plem ento de /■' eslíi dado por
^ (F ) = ^ ( F i ) n
n €{Fn).
Puesto que cada -g (F(.) es abierto, por el teorema 10.1.4 b) se sigue que -g (F ) es q .ií .d . abierto. Por tanto, F es un conjunto cerrado. Las restricciones de finitud en 10.1.4 b) y 10.1.5 b) no se pueden eliminar. Considérense los siguientes ejemplos. 10.1.6 Ejemplos, a) Sea Gn := (0, 1 + l/n) para n zN. Entonces, por el ejemplo 10.1.3 c), Gn, es abierto para cada n zN. Sin embargo, la intersección 00 G := D Gn es el intervalo (0,1], el cual no es abierto. Por tanto, la intersección n = 1
de un número indefinido de conjuntos abiertos en R no es necesa riamen te un con jun to a bie rto . b)
S e a F w:= [1/n, 1], n z N. Todo F n es cerrado, pero la unión F :=
•
IN II i'.
A lil i I' D >•. S • I 1*11Al IIIN I I I I!
l ( P in In Piulo, se dcl)i‘. Icucr ipic .\/v c
de que v( i /-'para luda n g
<í' (/■); pero esto contradice el supuesto
N. Se concluye por lo tanto queA z F .
ii >i. Supóngase, por el contrario, que F no es cerrado, por lo que G := if ( F ) no es un conjunto abierto. Entonces existe un punto yQz G tal que para cada n z N exisle un número yn z i f (G) = F tal que y n y 0|< 1/n. Se sigue que y0 := lím ( \’;|) y, pues to que y/( z F para toda n z N, la hipótesis ii implica que yQz F, hecho que contradice el supuesto de que yQz G -f =(F). Por tanto, la hipótesis de que F no es un conjunto cerrado implica que ii no es verdadera. Por consiguiente, ii implica /, como se quería demostrar. q.ií.d.
El resultado siguiente guarda una estrecha relación con el teorema anterior. Establece que un conjunto F es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación. Re cuérdese por la sección 4 .1 que un punto a es un punto de acumulación de un conjunto F si toda vecindade de a contiene un punto de F diferente de a. Puesto que por el teorema 4 .1.2 cada punto de acumulación de un conjunto F es el límite de una sucesión de puntos de F, el resultado se sigue de inmediato del teorema 10.1.7 anterior. Se ofrece una segunda demostración en la que sólo se usan las definiciones pertinentes. 10.1.8
Teorema. Un subconjunto de R es cerrado si y sólo si contiene todos
sus puntos de acumulación.
OO
u
n =
F;,es
1
el conjunto (0,1], que no es cerrado. Por tanto, la unión de un número indefinido
de conjuntos abiertos en R no es necesariamente un conjunto cerrado.
Caracterización de conjuntos cerrados Se presentará ahora una caracterización de los subconjuntos cerrados en R en términos de sucesiones. Como se verá, los conjuntos cerrados son precisamente los conjuntos F que contienen los límites de todas las sucesiones convergentes cuyos elementos se toman de F. 10.1.7 Caracterización de ios conjuntos cerrados. Sea F C R; entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. i F es un subconjunto cerr ado de R. ii SiX = (xn) es cualquier sucesión convergente de elementos de F, entonces lím Xpertenece a F. Demostración, i => ii. S e a X= (xn) una sucesión de elementos de F y sea a := lím X; se quiere demostrar que x z F . Supóngase, por el contrario, que a £ F; es F ), el complemento de F. Puesto que £ (F ) es abierto y x z decir, que a- z -g (F) , se sigue que existe una vecindad^ de a tal que V£ está contenida en i f ( F ) . Puesto que a = lím ( a ( ) , se sigue que existe un número natural K = I<(e) tal que xK
Dem ostración. Sea F un conjunto cerrado en R y sea a un punto de acum ulación de F; se probará que a e F. De no ser así, entonces a pertenece al conjunto abierto - f (F ). Por lo tanto, existe una vecindade V£ de a tal que V£ C - f (F ). Por consiguiente V£ f i F = 0 , lo cual contradice el supuesto de que a es un punto de acumulación de F. Recíprocamente, sea F un subconjunto de R que contiene a todos sus puntos de acumulación; se demostrará que - f ( F ) es un conjunto abierto. Porque si y z i f ( F ) , entonces y no es un punto de acumulación de F. Se sigue que existe una vecindade V£ de y que no contiene un punto de F (co n la posible e xcepció n de y). Pero como y e - f (F), se sigue que V£ C t f ( F ) . Puesto que y es un elemento cualesquiera de -tf (F ), se deduce que para todo punto en y existe una vecindade que se encuentra contenida en su totalidad en i f (F). Pero esto significa que - f ( F ) es un conjunto abierto en R. Por lo tanto, F es un conjunto cerrado en R. q . e . d .
Caracterización de conjuntos abiertos La idea de conjunto abierto en R es una generalización de la noción de intervalo abierto. El hecho de que esta generalización no lleve a conjuntos demasiado peculiares que sean abiertos se pone de m anifiesto en el resultado siguiente. 10.1.9 Teorema. Un subconjunto de R es ab ierto si y sólo s i es la unión de un número contable de intervalos abiertos disjuntos en R.
<( >M11IN I i IN A lili IM I >!. \ i I U U A I >( >,NI N Ii I .A
T(
>l‘( II
(
X ¡1A l>l
A'
Demostración. Supóngase que G V 0 es un conjunto almrlo en R. i’am lodn x e G , sea := {a eR : (a, x] C G } y sea Bx := {b e R: [x, b) C G) . Pu eslo que
ni tac ion l. i«. himi iKvion de un ejemplo mucho más interesante llamado el comj nimio
Puesto que l e G e s un valor cualesquiera, se concluye que t j / C G. Por
[0,i] U [|,1],
xeG x
otra parte, puesto que para toda x e G existe un intervalo abierto í con x e I x Q G, se tiene asimismo que G C n
/,. Se concluye, por lo tanto, que G =
U Ix. xe G xe G Se afirma que si x, y e G y x A y, entonces ¡x = Iy o bien, Ix D / = 0 . Para demostrar esto, supóngase que z e I x C\Iy, de donde se sigue que ax < z < b . y a < z < bx. (¿Por qué?) Se probará que ax = ay. D e n o ser así, p or la propiedad*"de tricotomía se sigue que i ax < ay o bien, ii ay < ax. Si se cum ple el caso i, entonces ay e $x = (ax, bx) C G, lo cual contradice el hecho de que ay £ G. De manera similar, si se cumple el caso ii, entonces ax e ly = (ay, by) C G, lo cual contradice el hecho de que ax g G. Por lo tanto, se debe tener a r = ay y un razonamiento similar implica que bx = by. Se concluye, por lo tanto, que si Ix n íy # 0 , entonces / . = / . Aún queda por demostrar que la colec ción de intervalos diferentes {/ : x e G} es contable. Para ello, se enumera el conjunto Q de los números racionales Q = {rv r 2’ ••• >rn>■••} (ver teorema 2.7.13) . Por el teorema de densidad 2.5.5 se sigue que todo intervalo ¡x contiene números racionales; se selecciona el número racional de í x que tiene el menor índice n en esta enumeración de Q. Es decir, se elige >'„(*) e Q tal que I,.n{x) = Ix y /?(x) es el menor índice n tal que Irn = Ix. Por tanto, el conjunto de intervalos diferentes ¡x x e G, se pone en correspondencia con un subconjunto deN . En consecuencia, este conjunto de intervalos diferentes es conQ.E.D. table.
Después se elimina la tercera parte abierta de en medio de cada uno de los dos intervalos cerrados en F, para obtener el conjunto F2
[ 0 ,| ] U [ | , i ] U [ f , | ] U [ | , l ] .
Se ve que F 1 es la unión de 7? = 4 intervalos cerrados, cada uno de los cuales es de la forma [k/ 3 2, (Je + l)/32]. Después se elimina las terceras partes abiertas de enmedio de cada uno de estos conjuntos para obtener Fy que es la unión de 23 = 8 intervalos cerrados. Se continúa de esta manera. En general, si se ha construido Fn y está formado por la unión de 2" intervalos de la forma [k/ 3", (k + l)/3"], entonces el conjunto F { se obtiene al eliminar la tercera parte de en medio de cada uno de los intervalos. El conjun to de Cantor F es lo que queda después de que este procedimiento se ha llevado a cabo para toda n e N. (Ver la figura 10.1.1.) 10.1.10 Definición. El conjun te de Can tor F es la intersección de los con junt os Fn, n eN , obtenido por la eliminación sucesiva de la tercera parte de en medio, empezando con I = [0, 1],
Se deja como ejercicio demostrar que la representación de G como una unión disjunta de intervalos abiertos se encuentra determinada de manera única. Nota. Del teorema anterior no se sigue que un subconjun to de i? es cerrado si y sólo si es la intersección de una colección contable de intervalos cerrados (¿por qué no?). De hecho, hay conjuntos cerrados en R que no se pueden expresar como la intersección de una colección contable de intervalos cerrados en R. Un con jun to que co ns ta de dos pun tos es un eje mp lo. (¿ Po r qu é? ) Se de sc rib e a co nti
F4 —
—
—
--------------------------
-------
—
FI GU RA 10.1.1 Contrucción del conjunto de Cantor.
i .a i <>r< »i ()( ¡ i a i >1 /.•
Pues to qu e es la in tersec ción de con jun tos cen ado s, el |»<>|>i<>f e s un <
3
1 00 + ••• = y 3 o
3
Al usar la fórmula para la suma de una serie geométrica se obtiene
L =
1 3
1
jr — 1.
i l
3
Por tanto F es un subconjunto del intervalo unitario I, cuyo complemento en i tiene longitud total 1. Obsérvese asimismo que la longitud total de los intervalos que forman Fn es (2/3)", que tiene límite 0 cuando n > oo. Puesto que F C F para toda n e N, se ve que si es válido decir que F tiene “longitud”, debe tener longitud 0. 2) El conjunto F no contiene ningún intervalo abierto no vacío como subconjunto. De hecho, si F contiene un intervalo abierto no vacío / := (a, b ), entonces como I Q F n para toda n e N, se debe tener 0 < b - a (2/ 3)" para toda n e N. Por lo tanto, b - a = 0, de donde I es vacío, que es una contradicción. 3) El conjunto de Cantor F contiene un número infinito (incluso incontable) de puntos. El conjunto de Cantor contiene todos los puntos terminales de los intervalos abiertos eliminados y todos ellos son puntos de la forma 2kj 3", donde k = 0 , 1 , . . . , n para toda n e N. Existe un número infinito de puntos de esta forma. El conjunto de Cantor en realidad contiene muchos más puntos que los de la forma 2k/3n; de hecho, F es un conjunto incontable. Se presenta el razonamiento en términos generales. Se observa que toda x e l se puede escribir como una expansión ternaria (base 3)
*
f fl" L n= l
( a \a2
an' ' ' )3
donde cada an es 0, 1 ó 2. (Ver la explicación del final de la sección 2.6.) De hecho, cadax que está a uno de los intervalos abiertos eliminados tiene an= 1 para alguna n; por ejemplo, todo punto de (/ §) tiene a l = 1. Los puntos terminales de los intervalos eliminados tienen dos expansiones ternarias posibles, una que no tiene
i < >NII
IN I (>'■ A l l l l IM <
Y < I K K Al »<>'i I N /.'
digilos I , |><>■cu mplo, j = (1 00 •••), = (0 22 •••),. Si se elig e la exp ansión sin d ígitos I para eslos puntos, entonces F consta de todas las x e l que tienen expansiones in uarias sin dígitos 1; es decir, an es 0 ó 2 para toda n e N . Se define ahora un mapeo ip de F en I de la siguiente manera: , M ^ j
^ (« n /2 ) h 2„
para * e F .
Es decir, ip({a{a2 ••)3) = (pvb2 ■•)2>donde b n = a j 2 para toda n e N y ( b p 2 •••) denota la representación binaria de un número. Es posible verificar que se define así un mapeo que lleva a F en I; se concluye que F tiene un número incontable de puntos. (Ver la sección 2.7.)
Ejercicios de la sección 10.1 1. Si x e (0,1), sea ex como en el ejemplo 10.1.3 b). Demostrar que si u - x < £x, entonces u e (0, 1). 2. Demostrar que los intervalos (a , x ) y ( - o c , a ) son conjuntos abiertos y que los intervalos [6, oc) y ( - c c , b] son conjuntos cerrados. 3. Desarrollar el razonamiento de inducción matemática de la demostración del inciso b) de las propiedades de los conjuntos abiertos 10.1.4. 4. Demostrar que (0, 1] =
p j (0, 1 + 1f r i ) , como se afirmó en el ejemplo
10.1. 6 a). " =1 5. Demostrar que el conjunto N de los números naturales es un conjunto cerrado. 6. Demostrar que A := {1/n: n e N} no es un conjunto cerrado, pero que A U {0 } es un conjunto cerrado. 7. Demostrar que el conjunto Q de los números racionales no es ni abierto ni cerrado. 8. Demostrar que si G es un conjunto abierto y F es un conjunto cerrado, entonces G\ F es un conjunto abierto y F\ G es un conjunto cerrado. 9. Se dice que un punto x e R es un punto interior de A C R cuando existe una vecindad V de x tal que V C A. Demostrar que un conjunto A C R es abierto si y sólo si todo punto de A es un punto interior de A. 10. Se dice que un punto x e R es un punto frontera deA C U cuando toda vecindad V de x contiene puntos de A y puntos de € (A). Demostrar que un conjunto A y su complemento € (A) tienen exactamente el mismo número de puntos frontera. 11. Demostrar que un conjunto G C R es abierto si y sólo si no contiene a ninguno de sus puntos frontera. 12. Demostrar que un conjunto F C R es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos frontera. 13. Si A C R, sea A° la unión de todos los conjuntos abiertos que están contenidos en A; al conjunto A° se le llama el interior de A. Dem ostrar que A° es un conjun. >abierto, que es el mayor conjunto abierto contenido en A y que un punto z pertenece a A° si y sólo si z es un punto interior de A.
-*K-I
I A T<1|'( II I MH a I I I 1 II
14. Empleando la notación del ejercicio anlcrioi, m-.hi . 1 , / f jimios e n / í i >< mostrar queA0 C A, (A°)° =A° y que (A n B)" = A" ( i II". Dcmoslrm asimís mo queA° U B° C (A U B)° y dar un ejemplo para probar que la inclusión puede ser propia. 15. Si A C R, sea A la intersección de todos los conjun tos cerrados que conlir nen a A; al con junto A" se le llama la cerradura de A. Dem ostrar que A es un conjunto cerrado, que es el menor conjun to cerrado que contiene a A y que mi punto iv pertenece a A" si y sólo si w es un punto interior, o bien, un pimío frontera de A. 16. Empleando la notación del ejercicio anterior, sean A, B conjuntos en R. De mostrar que se tiene A C A~, (A~)~ = A~ y que (A U B)~ = A~ U B~. Demos!raí que (A íl fi )C A fl 5 "y dar un eje mplo para probar que la inclusión puede ser propia. 17. Dar un ejemp lo de un conju nto A C R tal que A° = 0 y A~ = R. 18. Demostrar que si F C R es un conjun to cerrado no vacío que está acotado por arriba, entonces sup F pertenece a F. 19. Si G es un conjunto abierto y x e G, demostrar que los conjuntos A vy Bx de la demostración del teorema 10.1.9 no son vacíos. 20. Si el conjunto Ax de la demostración del teorema 10.1.9 tiene una cota inferior, demostrar que ax := inf Ax no pertenece a G. 21. Si en la notación empleada en la demostración del teorema 10.1 .9 se tiene av < y < x, demostrar que ax := inf Ax no pertenece a G. 22. Si en la notación empleada en la demostración del teorema 10.1.9 se tiene I H Iy A 0 , demostrar que bx = by. 23. Demostrar que todo punto del conjunto de Cantor es un punto de acumulación de F. 24. Demostrar que todo punto del conjunto de Cantor es un punto de acumulación de € (F).
SECCIÓN 10.2 Conjuntos compactos En análisis avanzado y topología, la noción de conjunto “compacto” es de enorme importancia. Esto es menos cierto en R porque el teorema de HeineBorel proporciona una caracterización muy simple de los conjuntos compactos en R. No obstante, la definición y las técnicas usadas en relación con la compacidad son de suma importancia, y la recta real ofrece un sitio adecuado para ver la idea de compacidad por primera vez. La definición de compacidad hace uso de la noción de cubierta abierta, la cual se define a continuación. 10.2.1 Definición. Sea A un subconjunto de i?. Una cub ierta abierta de A es una colección ,# = {G a} de conjuntos abiertos en R cuya unión gontiene a A; es decir,
A S |J Ga a
<'< IMII IN I (>N< '<*MI’A< T< >'
'.i t.:' c:. un.) miIh olcccion do conjuntos de ,í? tal que la unión de los conjuntos de .(/' también contiene a A, entonces a se le llama sub ctibie rta de Si . 0" consta de un número finito de conjuntos, entonces a se le llama siihculbierta imita de . Puede haber varias cubiertas abiertas diferentes para un conjunto dado. Por ejemplo, si A := [1, «=), entonces el lector puede verificar que las siguientes colecciones de conjuntos son todas cubiertas abiertas de A: := {(°>°°)}> := { ( r l , r + l ) : r e Q 1 r > 0 ] ,
A?2 : = { ( n - 1, n + 1): n e N ) , : = { ( 0 , n): n
10.2.3 Ejemplos, a) Sea K := {x,, x2, ... , xn} un subconjunto finito de R. Si= A? {G tt} es c ualquier cubierta abierta de K, entonces cada x¡ está contenida en algún conjunto Ga¡ de A?. Entonces la unión de los conjuntos de la colecció n {Grq, Ga2, ... , Gan} contiene a K, por lo que es una subcubierta finita de A?. Puesto que es una colección cualesquiera, se sigue que el conjunto finito K es compacto. b) Sea H := [0, co). Para probar que H no es compacto, se presentará una cubierta abierta que no tiene ninguna subcubierta finita. Si se hace Gn := (1, n) para cada n <=N, entonces H C
Q
Gn, por lo que
:= { Gn: n e N } es una
I A l'OI’Ol (MilA l'l
l¡
(
cubierta abierta de //.Sin embarg o, si {( ? „ ,, G„2, .. . ,(V,lA¡ es c ualquie r sul>c<>l.< «mn
KC
finita de c0, y si se hace m := sup {nv n2, ... , nk}, entonces
Eviden temente , esta unión no contien e a // = [0, oc). Por tanto, ninguna subc oleceu m finita de ¿í? conseguirá que su unión contenga a H y, por lo tanto, H no es compnclu c) Sea J := (0, 1). Si se hace Gn := (1/n, 1) para cada n e N , entonces se ve de 0 0
inmediato qu e./ = U Gn. Por tanto, ¿0 : = {Gn: n e N} es una cubierta abierta de
G „ , U G „ 2 U •••
UGnr=Gs =
Ahora se quiere describir todos los subconjuntos compactos de R. Se establecerá primero mediante razonamientos bastante directos que cualquier conjunto compacto en R debe ser tanto cerrado como acotado. Después se demostrará que estas propiedades en realidad caracterizan a los conjuntos comp actos en R. Este es el contenido del teorema de HeineBorel. Teorema. Si K es un subconjunto compacto de R, entonces K es ce
rrado y acotado. Dem ostración . Se demostrará primero que K está acotado. Para toda m e N, co sea Hm:= (-m, m). Puesto que cada Hmes abierto y como K C [ j Hm= R, se ve que la colección {Hm\m e N} es una cubierta abierta de K. Puesto que K es compacto, esta colección tiene una subcubierta finita, por lo que existe M e N tal que K c
II
mi
U G „ = G,„.
A partir de este hecho se sigue que K f l ( « 1¡m, u + 1 ¡ni) - 0 , por lo que (u I jm , u + 1/mj C -é’iK). Pero como u era un punto cualesquiera en i? (K), se Q-e.d. infiere que - g (K j es abierto. Se demuestra a continuación que las condiciones del teorema 10 .2.4 son tanto necesarias como suficientes para que un subconjunto de R sea compacto.
y si se hace ,v:
Puesto que 1/5 está en./ pero no en Gs, se ve que la unión no contiene a J . Por lo tanto, J no es compacto.
10.2.4
' IM I'Al
n = 1
G„, U G „2 U ••• U G nt = G„, = ( 1 , m ) .
J . S i {Gnv Gnv ... , Gnr} es cualquier subco lección finita de sup {nv n2, ... , nr}, entonces
>t M I I I N I ' >,‘í i
M \ j H m = H m = ( - M , M ) . m= 1
Por lo tanto, K está acotado, ya que está contenido en el intervalo acotado (-M, Mj. Se demuestra ahora que K es cerrado, probando que su complemento 0 (K j es abierto. Para ello, sea u e 0 ( K j un punto cualesquiera y para toda n e N se hace Gn := {y eR : |y u\> 1/n}. Es un ejercicio demostrar que cada conjunto Gn es abierto y que R\{u} = U G . Puesto que u e K, se tiene K C f l G . Puesto n . n=l que K es compacto, existe m e N tal que n= 1
10.2.5
Teorema de HeineBorel. Un subconjunto K de R es compacto si y
sólo si es cerrado y acotado. Dem ostración . En el teorema 10.2.4 se demostró que un conjunto compacto en R debe ser cerrado y acotado. Para establecer el recíproco, suponer que K e s cerrado y acotado, y sea - {G £J una cubierta abierta de K. Se desea demostrar que K debe estar contenido en la unión de alguna subcolección finita de ¿0. La demostración se hará por contradicción. Se supone que: (*)
K no está contenido en la unión de ningún número finito de conjuntos en .0 .
Por hipótesis, K está acotado, por lo que existe r > 0 tal que K C [ r , r]. Se hace ij := [—r, r] y se biseca /, en dos subintervalos cerrados i\ := [r, 0] e /" := [0, r]. Al menos uno de los dos subconjuntos K D /j y K n !'/ debe ser no vacío y poseer la propiedad de que no esté contenido en la unión de cualquier número finito de conjuntos en [Porque si los dos conjuntos K f l !\ y K fl /" están con tenidos en la unión de algún número finito de conjuntos en entonces K = (K Hi /[) U (K n ¡['j está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en 0 , lo cual contradice el supuesto (*).] Si el conjunto K C i /¡ no está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en ¿0, se hace I2 := I[ ; en caso contrario, K f l I" tiene esta propiedad y se hace /2 = /". Ahora se biseca /2 en dos subintervalos cerrados I'2 e I" . Si el conjunto K(~\I'2 es no vacío y no está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en ¿0, se hace J 3 := I'2; en caso contrario K n ¡2 tiene esta propiedad y se se hac e /3 := I2 . Al continuar el p roceso se obtiene una sucesión anidada de intervalos (Inj. Por la propiedad de los intervalos anidados 2.6.1, existe un punto z que pertenece a todos los / , n eN. Puesto que todo intervalo In contiene puntos de K, el punto z debe ser un punto de acumulación de K. Además, como se supuso que K es cerrado, por el teorema 1 0.1.8 se sigue que z e K. Por lo tanto, existe un conjunto G} en c f con z e G } . Puesto que Gk es un conjunto abierto, existe £ > 0 tal que
(z —e,z + e) c G a.
I A K H'( il ( l( ¡|A I H /.'
Por otra paite, puesto C|uelos intervalos / ¡ se obl ieneii |>
10.2. 3 c) se vio que el conjunto acotado J := (0, 1) no es compacto; obsérvese que ./ no es cerrado. Por tanto, no es posible omitir ninguna de las dos hipótesis del Teorema de H eineBorel. Los teoremas de HeineBorel y de BolzanoWeierstrass 3.4.7 se pueden combinar para obtener una caracterización en términos de sucesiones de los subconjuntos de R. 10.2.6 Teorema. Un subconjunto K de R es com pacto si y sólo si toda suce sión en K tiene una subsucesión qu e converge a un punto en K. Demostración. Supóngase que K es compacto y sea (xn) una sucesión con xf¡ e K para toda n e N. Por el teorema de HeineBorel, el conjunto K está acotado, de donde la sucesión (xn) está acotada; por el teorema de BolzanoWeierstrass 3.4.7, existe una subsucesión (x„k) que converge. Dado que K es un conjunto cerrado (por el teorema de HeineBorel), el límite x = lím (x„k) está en K. Por tanto, toda sucesión en K tiene una subsucesión que converge a un punto de K. Para establece r el recíproco, se probará que si K no es cerrado o no está acotado, entonces debe existir una sucesión en K que no tiene ninguna subsucesión que converge a un punto de K. Primero, si K no es cerrado, entonces ex iste un punto de acumulación c de K que no pertenece a K. Puesto que c es un punto de acumulación de K, existe una sucesión (xn) co n x n e K y x a ± c para n e N tal que lím (xn) = c. Enton ces toda subsucesión de (x/t) también converge a c y como c &K, no existe ninguna subsucesión que converge a un punto de K. Segundo, si K no está acotado, entonces existe una sucesión (xf¡) en K tal que jx j > n para toda n e N . (¿Por qué?) Entonces ninguna subsucesión de (xf!) deja de estar acotada, de donde ninguna subsucesión de ella puede converger a un punto
Ejercicios de la sección 10.2 1. Presentar una cubierta abierta del intervalo (1, 2 ] que no tenga ninguna subcubierta finita.
I I IN< K INI tí» ' '<>N I INI IA '
III'»
.>, I'1 i'm ii1.11 una cubierta abiorla de N que no tenga ninguna sulx uliieila Inula 3. Presentar una cubierta abierta del conju nto { 1/n: n e N ) que no tenga ningii na subcubierta finita. 4. Usar la definición 10.2 .2 para, demostrar que si Te s 1111 subconjunto cenado de un conjunto compacto K en R, entonces F es compacto. 5. Usar la definición 10. 2.2 para, demostrar que si K l y I<2 son conjuntos com pactos en R, entonces su unión K x U K2 es compacta. 6. Usar el teorema de HeineBorel para demostrar la siguiente versión d e l l e o i e ma de BolzanoWeierstrass: Todo subconjunto infinito acotado de R tiene un punto de acumulación en R. (Ob sérves e que si un con junto no tien e punios
{ x l - x 2, :x ¡ e K i} .
SEC CIÓ N 10 3 Funciones continuas En esta sección se examinará la manera en que el concepto de continuidad tic funciones se puede relacionar con las ideas topológicas de conjuntos abiertos y conjuntos compactos. Se establecerán en este contexto algunas de las propiedades fundamentales de las funciones continuas en intervalos presentadas en la sección 5.3. Entre otras cosas, estas nuevas argumentaciones demostrarán que el concepto de continuidad y muchas de sus importantes propiedades se pueden llevar a un nivel más alto de abstracción. Esto s e estudiará brevemente en la siguiente sección relativa a los espacios métricos.
Continuidad En la secci ón 5.1 se examinó la continuidad en un punto; es decir, la continuidad “local” de funciones. A continuación se analizará principalmente la con li
1 1 I N ( ' i o n i ís c o n t i n u a s
nuidad “global” en el sentido de que se supondrá que las lum iniies son eon liiiu;n en la totalidad de sus dominios. En la sección 5.1 se definió la continuidad de una función /: A -> R en un punto c e A. La definición 5.1.1 establece que/es continua en c si para toda vcein dade V£(f(c)) de/(c) existe una vecindad# V5(c) tal que si x e Vs(c) f l A, cnlon ces f( x ) e V£(f (c )) . Se quiere reformular esta condición de continuidad en un punió en términos de vecindades generales. (Recuérdese por 10.1.1 que una vecindad de un punto c es cualquier conjunto U que contiene una vecindade de c para alguna e > 0.) 103.1 L e m a . Una función f : A —>R es continua en el punto c de A si y sólo si para toda vecindad U de f(c ), existe una vecindad V de c tal que si x e V f l A, entonces f(x ) e U. Dem ostración . Supóngase que /satisface la condición enunciada. Entonces dada e > 0, se hace U = V£(f(c)) y después se obtiene una vecindad V para la cual x e V D A indica que f( x ) e U. Si se elige 8 > 0 tal que Vs(c) C V, entonces x g V$(c) fl A indica que/(x) e U; por lo tanto, /es continua en c de acuerdo con la definición 5.1.1 . Recíprocamente, si /es continua en c en el sentido de la definición 5.1.1, entonces, como cualquier vecindad U de /(c) contiene una vecindade V£(/ (c) ), se sigue que al tomar la vecindad# V = Vs(c) d e c de la definición 5.1.1 se satisface la condición del lema. q .e .d . Cabe hacer notar que el enunciado de que x e V fl A indica que f( x ) e U es equivalente al enunciado de que f( V f l A) C U ; es decir, que la imagen directa de V C\A está contenida en U. Y por la definición de imagen inversa, esto es lo mismo que V D A Q f~ \U ). (Ver la sección 1.2 para las definiciones de imagen directa e inversa.) Usando esta observación se obtiene una condición para que una función sea continua en su dominio en términos de conjuntos abiertos. En c ursos más avanzados de topología el inciso b) del siguiente resultado con frecuen cia se toma com o definición de continuidad (global). 10 3.2 Teorema de continuidad global. Sea A Q R y sea f:A~ >R una fun ción con dominio A. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes : a ) fe s conti nua en t odo pu nto de A. b) Para todo conjunto abierto G en R, existe un conjunto abierto H en R tal que H n A = f~\G). Demostración, a) => b). Supóngase que/es continua en todo punto de A, y sea G un conjunto abierto en R dado. Si cpertenece a/1(G), entonces/(c) e G , y como G es abierto, G es una vecindad de f( c) . Por lo tanto, por el lema anterior, de la continuidad de /s e sigue que ex iste un conjunto abierto V(c) tal que x e V(c)
iu i
implica (11n /(\) < O'; es decir, V(<) eslá contenido en la imagen inveisa / ‘(í »). Se seleccion a ! ’(< ) para cada c en J' '((»), y sea II la unión de lodos estos conjuntos V(c). Por las propiedades de los conjun tos abiertos 10.1.4, el conjim lo II es abieilo y se tiene H D A = f~ ](G ). Por tanto, a) implica b). b) a). Sea c un punto cualquiera deA , y sea G una vecindad abierta de /(<•) Entonces la condición b) implica que existe un conjunto abierto 11 en R tal que II D A =f~\G). Puesto que/(c) g G, s e sigue que c e H , de donde//es una vecindad ilc c. S i * e / / n A , e nt on c es / (c ) e G y , por lo tanto, /e s continua en c. Con esto se q . i -. d . demuestra que b) implica a). En el caso en queA = R, el resultado anterior se simplifica en cierta medida. 1 0 3 3 C o r o l a r i o . Una función f: R -* R es continua si y sólo si f~l(G) es abierta en R siempre que G sea abierto. Se debe subrayar el hecho de que el teorema de continuidad global 10.3.2 no establece que si /es una función continua, entonces la imagen directa/(G) de un conjunto abierto es necesariamente abierto. En general, una función continua no enviará conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Por ejemplo, considérese la función continua f :R - > R definida por /( x ) : = x 2 + l ,
xe R .
Si G es el conjunto abierto G := ( 1 ,1 ), entonces la imagen directa bajo / es /(G) = [1, 2), que no e s abierto en R. Ver los ejercicios para más ejemplos.
Preservación de la compacidad En la sección 5.3 se demostró que una función continua pasa un intervalo cerrado y acotado [a, b] a un intervalo cerrado y acotado [m ,M ], donde m y M son los valores mínimo y máximo de/en [a, b\, respectivamente. Por el teorema de Hein eBorel, é stos son s ubconjuntos comp actos de i?, por lo eme M ‘•eorema 5.3.8 es un caso especial del siguiente teorema 10 3.4 Preservación de la compacidad. Si K es un subconjunto compacto de R y si f:K ~ > R es una función continua en K, entonces f( K ) es compacto. Dem ostración . Sea = {G ?J una cubierta abierta del conjunto f( K ). Se debe demostrar que Atiene una subcubierta finita. Puesto que f( K ) C U Gx, se sigue que K C U f~ ](G} ). Por el teorema 10.3.2, para cada Gx se puede encontrar un conjunto abierto//^ tal qu eH x D K = f~1(Gf). Entonces la colección {Hx} es una cubierta abierta del conjunto K. Puesto que K es comp acto, esta cubierta abierta de K contiene una subcubierta finita {HXi, Pí^2, ... , H Xn}. Se tiene entonces
I A M )l ‘( U ( m; | , . i >|
n
I U N I ' l O M I '. N ( ( I N U N D A S
IVni i'umu ,i,(/ Ü / _ 1( g a,) =
i= l
L ) H x ¡ n K z > K .
1= 1
|/(x)
l'M
8(\r, a k) s e s i g u e q u e - f ( u k)\ < i e
y
|/(u) -/(M fc)l < le.
n
De esta relación se sigue que |J G^ D f( K ). Por tanto, se ha encontrado mu subcubierta finita de d?. Puesto que se concluye que f (K ) es compacto.
es una cubier ta abierta arbitraria de /(A ), o.i.n
10.3 .5 Algu nas aplicac iones . Se indicará a continuación cómo aplicar la noción de comp acidad (y el teorema de H eineBo rel) para obtener otras demos!i a ciones de algunos resultados importantes que se probaron usando el teorema de BolzanoWeierstrass. De hecho, estos teoremas conservan su validez si los intei valos se reemplazan por conjuntos compactos no vacíos cualesquiera en R . A) El teorema de acotabilidad 5.3.2 es una consecuencia inmediata del teorema 10.3.4 y del teorema de HeineBorel 10.2.5. De hecho, si K C R es compacto y si /: K > R es una función continua en K, entonces f( K ) es compacto y, en consecuencia, está acotado. B) E l teorema del máximomínimo 5.3.4 también es una consecuencia inmediata del teorema 10.3.4 y del teorema de HeineBorel. Como se hizo anteriormente, se encuentra que/(Ai) es compacto y, por tanto, está acotado en R , por lo que s * := sup f( K ) existe. Si f(K ) es un conjunto finito, entonces s* g /(Ai). Si f( K ) es un conjunto infinito, entonces s* es un punto de acum ulación de /(Ai) [ver el ejercicio 10.2.6]. Puesto que f(I< ) es un conjunto cerrado, por el teorema de HeineB orel, se sigue por el teorema 10 .1.8 que s* g /(A). Se concluye que s* = /(x*) para alguna x* g A. C) También se puede dar una demostración del teorema de continuidad uniforme 5.4.3 basada en la noción de compacidad. Para ello, sea A C R compacto y sea K -+ R una función continua en A. Entonces, dada £ > 0 y u e K , existe un número 8u := 5(l£, u) > 0 ta l q ue s i x c A y \x-u\ < 8¡t, entonces ¡/(x) -f(u)\ < \e. Para cada u g A, sea Gu := (u 8U, u + i <5,), de tal modo que Gu es abierto; se considera la colección ^ := { G (f: u g A }. Puesto que u g Glt para u g A, es un hecho trivial que A C
Se tiene por lo tanto ¡/(x) - f ( u )| < £. Se ha demostrado que si £ > 0, entonces existe ¿)(£) > 0 tal que si x, u son puntos cualesqu iera de Ai con \x-u\ < 8 { f ), entonces j/(x) f( u ) |< £. Puesto que £ > 0 es un valor cualesquiera, con esto se demuestra qu e/ es uniformemente continua en K, como se afirmó. Se concluye esta sección ampliando el teorema de la inversa continua 5.5.5 a funcion es cuyos dom inios son, en lugar de intervalos en R, subconjuntos compactos de R. 10.3.6 Teorema. Si K es un subconjunto compacto de R y f : K —>R es una fun ció n inye ctiv a y con tinua , ent onc es f~ x es contin ua en f(K ). Dem ostración. Como K es compacto, entonces el teorema 10.3.4 implica que la imagen f( K ) es com pacta. Puesto que / es inyectiva por hipótesis, la función inversa /1 está definida de/(Ai) a K. Se a ( y/() cu alquier sucesión convergente en f( K ) y sea_y() = lím ( y j. Para establecer la continuidad de f~ l se demostrará que la sucesión (/~ '(y„ )) converge a /1(y0). Sea xn := f~ \y ,t) y, por el método de con tradicc ión, sup óngas e que (x;|) no converge a x0 := f~ \y0). Enton ces existe una £ > 0 y una subsucesión (x/) tal que x'k - xo ^ £ Para tQóa k. Puesto que K es compacto, se concluye por el teorema 10.2 .6 que existe una subsucesión (x " ) de la sucesión (x'k) que converge a un punto x * de Ai. Puesto que [x* x 0j 3 e, se tiene x * =£ x Q. Alrora bien , com o f e s continua, se tiene lim (f(x''j) = f( x *) . Asimismo, como la subsucesión (y ") de (yH) que corresponde a la subsucesión (x ") de (x () debe converger al mismo límite que (y/(), s e tiene lím ( f( x " r ) ) = l í m ( y"n) = y 0 = / ( x 0 ) .
Puesto que K es compacto, existe un número finito
de conjuntos, digamos (? « ,, ., GUM cuya unión contiene a A. Se define ahora 8 ( s ) == ¿ i n f {S „ ,
S j,
Se con cluye, por lo tanto, que/(x *) =/(x Q). Sin embargo, como / es inyectiva, esto implica que x* = xQ, lo cual constituye una contradicción. S e con cluye, por tanto, que /"' pasa sucesiones convergentes en f(I <) a sucesiones convergentes en K q .e .d . y, en consecuencia, /1 es continua.
de donde <5(£) > 0. Ahora bien, s i x, u e Ky\x-u\ < 8(e), entonces existe alguna uk con k = 1 , . . . , M tal que x g G„k; por lo tanto, ¡x uk <\ 8U¡. Puesto que se tiene se sigue que
u ~ n A.| < \u ~ x| + |x uk\< 8Uk.
Ejercicios de la sección 10.3 1. Sea que f : R - * R esté definida por /(x) := x 2, x e R. a) Demostrar que la imagen inversa/“’(/) de un intervalo abierto I := (a, b ) es un intervalo abierto, la unión de dos intervalos abiertos, o bien, el con junto vacío, dependiendo
I A l ( ) l ‘ ( >1 ( H í l A D I / í
2.
3. 4.
5.
6. 7. 8.
9. 10.
de a y b. b) Demostrar que si/ es un intervalo abieiloqne nuil ¡ene a 0, cnion ces la imagen directa/(/) no es abierta. Sea que f :R - > R esté definida por/ (x) := 1/(1 + x 2), x e R. a) Encontrar un intervalo abierto (a, b) cuya imagen directa ba jo/ no sea abierta, b) Demos trar que la im agen directa del intervalo cerrado [O, cc) no es cerrada. Sea / := [1, cc) y sea /(x) = V x 1 para x e l . Para toda vecindade G = ( r, + £) de O, presentar un conjunto abierto H tal que H fl / = /1(G). Sea que h.R-^R esté definida por h(x) := 1 si O x ^ 1 , h(x) := Oen caso contrario. Encontrar un conjunto abierto G tal que h~x{G) sea no abierto y un conjunto cerrado F tal que h~A(F ) sea no cerrado. Demostrar que si/: R R es una función continua, entonces el conjunto {x e R: /(x) < a } es abierto en R para toda a e R. Demostrar que si /: R -* R es una función continua, entonces el conjunto {x e R: f(x) =£ «} es cerrado en R para toda cve R. Demostrar que si /: R -> R es una función continua, entonces el conjunto {x e R\ f( x) = k} es cerrado en R para toda k e R. Dar un ejemplo de una funció n/: R-+R tal que el conjunto {x s R: f(x) = 1} no es ni abierto ni cerrado en R. Demostrar que f :R->R es una función continua si y sólo s i para todo conjunto cerrado F e n R la imagen inversa/1 (F ) es cerrada. Sea I := [a, b\ y sean f\ I- > R y g :I -> R funciones continuas en I. Demostrar que el conjunto {x el: f (x) = g{x )} es cerrado en R.
SECCIÓN 10o4 Espacios métricos Este libro se ha dedicado al estudio cuidadoso del sistema de los números reales y de diferentes procesos de límites que se pueden definir para funciones de una variable real. Uno de los temas centrales fue el estudio de las funciones continuas. En este punto, con una sólida comprensión del análisis en la recta real, se puede iniciar el estudio de espacios más generales y los conceptos de límites relacionados. Es posible generalizar los conceptos fundamentales del análisis real de varias maneras diferentes, pero una de las más provechosas es en el contexto de los espacios m étricos, donde métrico es una abstracción de una función de distancia. En esta sección se introducirá la idea de espacio métrico para indicar a continuación la manera en que ciertas áreas de la teoría desarrollada en este libro se pueden ampliar a este nuevo contexto. Se analizarán los conceptos de vecindad de un punto, de conjuntos abiertos y cerrados, de convergencia de sucesiones y de continuidad de funciones definidas en espacios m étricos. La finalidad de esta bre ve explicación no es desarrollar la teoría de los espacios métricos con gran profundidad, sino poner de manifiesto la manera en que las ideas y las técnicas claves del análisis real se pueden ubicar en un marco más abstracto y general. El lector deberá observar cómo los resultados básicos del análisis en la recta real sirven para motivar y encauzar el estudio del análisis en contextos más generales. La generalización puede cumplir dos importantes objetivos. Uno es que los teoremas derivados en contextos generales con frecuencia se pueden aplicar en
i srA<
i
io n m i
kk
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imichos vaso:; parlieulares sin necesidad de una demostración separada para cada caso especial. El segundo objetivo es que al eliminar las características no esenciales, y en ocasiones distrayentes, de las situaciones particulares, con frecuencia resulta posible la comprensión de la significación real de uri concepto o teorema.
Métricos En la recta real, los conceptos de límites se definieron en términos de la distancia \x-y\ entre dos puntos x, y en i?, y m uchos teoremas se demostraron usando la función del valor absoluto. En realidad, un estudio atento revela que sólo se requirieron unas cuantas propiedades claves del valor absoluto para probar mucho s resultados fundamentales, y resulta que estas propiedades se pueden extractar y aplicar para definir funciones de distancia más generales llamadas “métricos”. 10.4.1 Definición. Un métrico en un conjunto S es una función d : S x S ~ > R que satisface las siguientes propiedades: a) d(x, y) 2* 0 para toda x, y e S {positividad ); b) d(x, y) = 0 si y sólo si x = y {precisión); c) d(x, y) = d(y , x) para toda x ,y e S {simetría)-, d) d{x,y) ss d{x, z) + d{z,y) para todax, y, z& R ( desigualdad d el triángulo). Un espacio métrico (5, d ) es un conjunto S junto con un m étrico d en S. Se consideran varios ejemplos de espacios m étricos. 10.4 .2 Ejem plos , a) El métrico familiar en R está definido por
d ( x , y) •■=\x - y\
para
x,y
La desigualdad d el triángulo para d se sigue de la desigualdad del triángulo para el valor absoluto ya que se tiene
d (x ,y ) = \x - y\ = l (x
z)
+ ( z - y )|
< \x - z\ + \z — yl = d{x, z) + d ( z , y ) , para toda x, y, z e R . b) La función de distancia en el plano obtenida a partir del teorema de Pitágoras ofrece un ejemplo de un métrico en R 2. E s decir, se define el métrico d en R 2 de la manera siguiente: si Px := (xp y j y P2 : = (x2, y ,) son puntos en R 2, entonces
d(Pi,P2)
:=
} / { x l -
x2)2 +
{ y x - y 2) 2 .
c) Es posible definir varios métricos diferentes en el mism o conjunto. En R2 también se puede definir el métrico d í de la siguiente manera:
i a r o r o i o ( ¿ i a i» i n
di(pi>pz) := lxi “ *2I+ lí/i ~ y*l Otro métrico más en R2 es dx definido por
La comprobación de que cl{ y dx satisfacen las propiedades de un métrico se deja como ejercicio. d) Sea que C [ 0 , 1] denote el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo [0, 1]. Para/, g en C[0, 1], se define
d J í f , g ) '■= s u p { | / ( x ) g ( * ) | : * e [0 . 1 ] ) . Entonces se puede verificar que dx es un métrico en C[(), 1]. Este métrico es la norma uniforme d e/ g , según se definió en la sección 8 .1; es decir, dx ( f g ) = l|/ -gj¡, donde ||/|¡ denota la norma uniform e de / en el co njun to [0 , 1]. e) Se conside ra nuevamente C [0 ,1], pero ahora se define un métrico diferente d{ p or
-/0
/ . g e C [ 0 .1 ] .
Es posible usar las propiedades de la integral para demostrar que éste es en realidad un métrico en C[0, 1]. Los detalles se dejan como ejercicio. f) Sea S un conjunto no vacío. Para s, í eS se define
d(s, t) ■= 0 ■= 1
M I I l'l< «r .
10.4.4 Di linicióii. Sea (.V, d) un espacio métrico. Entonces para vecindad /de un punto xQen S es el conjunto
> 0 la
V . ( * o ) : = ( x e S : d ( x o * ) < e l
d J iP x, P2) ■■= sup {lar, x2\, |(/, y2\).
<*,(/. g ) = / ‘ l / * l .
I M*A< l<
si s = t, si s # t.
Es un ejercic io demostrar que d es un métrico en S. Este métrico se llama el m étrico discreto en el conjunto S. Cabe hacer notar que si (S, d ) es un espacio métrico y si T C S, entonces d' definido por d\x, y) := d{x, y ) para toda x,y <=T produce un métrico en T, el cual se denota generalmente por d. Con base en lo anterior, se dice que (T, d) también es un espacio métrico. Por ejemplo, el métrico d en R definido por el valor absoluto es un métrico en el conjunto Q de los números racionales y, por tanto, (Q, d) también es un espacio métrico.
Una vecindad de a0 es cualquier conjunto U que contiene una vecindade de *0 para alguna e > 0 . Cualquier noción definida en términos de vecindades se puede definir y analizar ahora en el contexto de los espacios métricos mediante la modificación adecuada de la terminología. Se considera primero la convergencia de sucesiones. Una sucesión en un espacio métrico (5, d) es una función X: N~* S con dominio N y codominio en S, y se usa la notación usual para sucesiones; se escribeX := (xn), pero ahora xn e S para toda n e N. Al sustituir el valor absoluto de la definición convergencia de sucesion es por un métrico, se llega a la noción de convergencia en un espacio métrico. 10.4.4 Definición. Sea ( a; j) una sucesión en el espacio métrico ( S , d ). S e dice que la sucesión (x„) converge a .v en S si para cualquier e > 0 existe K e N tal que xn e VJx) para toda n 3= K. Obsérvese que como xn e V£(x) si y sólo si d(xn, a ) < e, una sucesión (,v/() converge a asi y sólo si para cualquier e > 0 existe I< tal que d(xn,x) < f para toda n 25 K. En otras pa labras, una sucesió n (x/() en (5, d) converge a a si y sólo si la sucesión de números reales (d(xn, a)) converge a 0. 10.4.5 Ejemplos, a) Considérese R 2 con el métrico d definido en el ejemplo 10.4.2 b). Si P n = (a (, yn) e R2 para toda n eN, entonces se afirma que la sucesión (P;i) converge a P = (a , y) con respecto a este m étrico si y sólo si las sucesiones de números reales (aj() y (y„) convergen a x y y, respectivamente. Primero, se observa que la desigualdad ¡a(Ja ¡ ^ (d(Pn,P) implica que si (/’;/) converge a P con respecto al métrico d, entonces la sucesión (xn) converp.e a a ; la convergencia de (yn) se sigue con un razonamiento similar. El recíproco se sigue de la desigualdad d(Pn, P) ^ |a/( a , + \yn - y', la cual se verifica con facilidad. Se dejan los detalles al lector. b) Sea dx el métrico en C[ 0, 1] definido en el ejemplo 10.4.2 d). Entonces una sucesión ( f n) en C[0, 1] converge a / con respecto a este métrico si y sólo si ( fn) converge uniformemente a/en el con junto [0, .1 ]. Esta condición se estab leció en el lema 8.1.8 en la explicación de la norma uniforme.
Sucesiones de Cauchy Vecindades y convergencia La noción básica necesaria para introducir los conceptos de límites es la de vecindad, la cual se define en espacios métricos de la siguiente manera.
La noción de sucesión de Cauchy es un concepto importante en los espacios métricos. La definición se formula como se anticiparía, con el métrico sustituyendo al valor absoluto.
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10.4.6 Defioición. Sea (S, d) un espacio métrico. Se dice tjnc una siiccmum
(xn) en S es una sucesión de C auchy si para toda e > Oexiste // t/V tal que
xm) < £para toda n, m
H.
El teorema de convergencia de Cauchy 3.5.4 para sucesiones en R establece que una sucesión en R es una sucesión de C auchy si y só lo si converge a un punto de R. Este teorema no se cumple para espacios métricos en general, como lo reve lan los ejemplos que siguen. Los espacios métricos para los cuales las sucesiones de Cauchy son convergentes poseen una importancia especial. 10.4 .7 Definición. S e dice que un espacio métrico (5, d ) es com pleto si toda sucesión de Cauchy en S converge a un punto de S. En la sección 2.4 la propiedad de completidad de R se estableció en términos de las propiedades de orden imponiendo el requisito de que todo subconjunto no vacío d el? que esté acotado por arriba tenga un supremo en /?. La convergen cia de las sucesiones de Cauchy se deduce como un teorema. De hecho, es posible invertir los papeles de estas propiedades fundamentales de R : la propiedad de completidad de R se puede enunciar en términos de sucesiones de Cauchy como en 10.4.7, y la propiedad del supremo se puede deducir entonces como un teorema. Puesto que muchos espa cios m étricos no tienen una estructura de orden apropiada, el con cepto de completidad se debe describir en términos del métrico, y las sucesiones de Cauchy ofrecen el medio natural para ello. 10.4.8 Ejem plos, a) El espacio métrico ( Q , d) de los números racionales con el métrico definido por la función del valor absoluto no es completo. Por ejem plo, si (x(|) es una sucesión de números racionale s que converge a V2, entonces es una sucesión de Cauchy en Q, pero no converge a un punto de Q. Por lo tanto, (Q, d) no es un espacio métrico completo. b) El espacio C[0, 1] con el métrico dx definido en 1 0.4.2 d) es completo. Para probar esta afirmación, supóngase que (/;|) es una suce sión de Cau chy en C[0, 1] con respecto al métrico dx. Entonces, dada £ > O, existe H tal que
(#)
I/„ (*) “ /,„(*)!< e
para toda x g [O, 1] y toda n, m 5= //. Por tanto, para toda x, la sucesión ( / „ ( * ) ) es una sucesión de Cauchy en R y, por consiguiente, converge en R. Se define/como el límite puntual de la sucesión; es decir, / ( x ) := lím (/„(*)) para toda a g [0 ,1]. Por (#) se sigue que para toda x e [O, 1] y toda n 3= H se tiene \fn(x) f(x)\ e. En consecuencia, la sucesión (fn) converge uniformemente a / en [O, 1], Puesto que el límite uniforme de funciones continuas también es continuo (por 8.2.2), la función / está en C[0, 1], Por lo tanto, el espacio métrico (C[0, 1], dx) es completo. c) Si d{ es el métrico en C[0, 1] definido en 10.4.2 c), entonces el espacio métrico (C[0, 1], no es completo.
Para probar esta afirmación basta presentar una sucesión de Cauchy que no tenga límite en el espacio. Se define la sucesión (fn) de la siguiente ma nera (ver la figura 10.4.1):
f„ ( x ) ■■= 1 == 1 +
■= 0
para 0 < x < 1/2
n/2 - nx
Para 1/2 < x <
1/2
+ 1/n
para 1/2 + 1/n < x < 1.
Obsérvese que la sucesión (fn) converge puntualmente a la función discontinua x 1/2 y/(x) := 0 para 1/2 < x =s 1. Por tanto, /g C[0 , 1 ]; de hecho, no hay ninguna función g g C[0, 1] tal que r/(/„, g) 0.
f( x ) := 1 para 0
Conjuntos abiertos y continuidad Una vez definida la noción de vecindad, las definiciones de conjunto abierto y conjunto cerrado se escriben igual que para conjuntos en R. 10.4.9 Definición. Sea (S , d ) un espacio métrico. Se dice que un subconjunto G de S es un conjunto abierto en S si para todo punto x g S existe una vecindad U de x tal que U C G. Se dice que un subconjunto F de S es un conjunto cerra do en 5 si el complemento S\F es un conjunto abierto en S. Los teoremas 10.1.4 y 10.1.5 relativos a las uniones e intersecciones de con jun tos abi ert os y co nju nto s cerr ad os se pued en am plia r s in dif icu ltad a es pa cio s métricos. De hecho, la transposición a espacios métricos de las demostraciones de esos teoremas se hace con muy pocas modificaciones; simplemente se sustituyen las vecindadese (x - e, x + f) en R con vecindadese V/x) en 5. Se examina ahora el concepto de continuidad de funciones que mapean un espacio métrico (5,, d {) en otro espacio métrico (S ,, d ,). Obsérvese que la definición 5.1.1 de continuidad para funciones en R se modifica al reemplazar las vecindades en R con vecindades en los espacios métricos.
lm
l /\ H)l'
La noción de compacidad se amplía de inmediato a los espacios métricos. Se dice que un espacio métrico (S, d) es compacto si toda cubierta abierta de S tiene una subcubierta finita. Entonces al modificar la demostración de 10.3.4 se obtiene el sigu iente resultado. 10.4.12 Preservación de la compacidad. Si (S, d) es un espacio métrico compacto y f : S -* R es una función continua, entonces f(S ) es compacta en R. Por tanto, las importantes propiedades de las funciones continuas dadas en 10.3.5 se siguen de inmediato. El teorema de acotabilidad, el teorema del máximom ínimo y el teorema de la continuidad uniforme para funciones con tinuas con valores reales en un espacio métrico compacto se establecen mediante la mo dificación apropiada de la terminología de las demostraciones dadas en 10 .3.5. E j e r c i c i o s d e l a se c c i ó n 1 0 . 4
1. Demostrar que las funciones dy y d x definidas en 10.4. 2 c) son métricos en R2. 2. Demostrar que las funciones d rj. y dy definidas en 10 .4.2 d, e) son mé tricos en C[ 0, 1]. 3. Verificar que el métrico discreto en un conjunto S según se definió en 10.4.2 f) es un métrico. 4. vSi Pn := (xn, yn) e R 2 y es el métrico de 10.4 .2 c), demostrar que (Pn) converge a P := (x, y) con respecto a este métrico si y sólo si (x(l) y ( yn) convergen a x y y, respectivamente. 5. Verificar la conclusión del ejercic io 4 si dx se sustituye con dr 6. Sea ó' un conju nto no vacío y sea d el métrico discreto definido en 10.4.2 f). Demostrar que en el espacio métrico (S, d) una sucesió n (x/() en S converge a x si y sólo si existe una K <=N tal que xn = x para toda n 3= K. 7. Demostrar que si d es el métrico discreto en un conjunto S, entonces todo subconjunto de 5 es a la vez abierto y cerrado en (5, d). 8. SeanP := (x,y) y O := (0 ,0 ) en/?2. Trazar los siguientes conjuntos en el plano: a) {P € R 2: dfO , P) 1 }. b) {P e R 2: dJO , P) ^ 1}.
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que en cualquier espacio métrico una vecindad# de un punto es
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10. Demostrar el teorema 10.4.11 . 11. Demostrar el teorema 10.4.12. 12. Si (S, d) es un espacio métrico, se dice que un subconjunto A C S está acotado si existe x0 e 5 y un númeroB > 0 tal que A C {x e S:d(x, xQ)^ B }. Demostrar que si A es un subconjunto compactode S, entonces A es cerrado y acotado.
Mbliognilísi
Aposto!, T. M., M ath em ati cal A nalys is, 2a. edición, AddisonWesley, Reading, Mass., 1974. Bartle, R. G., The Elements o f Integración, Wiley, New York, 1966. Bartle, R. G., Introducción al Análisis Matemático, 2a. edición, Editorial Limusa. Barwise, J. y I. Etchemendy, TheLanguage of First Order Logic, Univ. of Chicago Press, 3990. Boas, R. R , Jr., A Pri me r o fRealFunctions, 3a. edición, Carus Monograph Number 13, Math. Assoc. Amer., 1981. Gelbaum, B. R., y J. M. H. Olmested, Counterexamples inAnalysis, HoldenDay, San Francisco, 1964. Halmos, P. R., Naive Set Theory, SpringerVerlag, New York, 1974. Hawkins, T., Lebe sgue’s Theory o fIntegration, Its Origins and Development, Univ. Press, Madison, 1970. Kíine, M., Ma the ma tic al Thoug ht Fr om Anci ent to Mo dern Times, Oxford Univ. Press, New York, 1972. McLeod, R. M., The Generalized Riemann Integral, Carus Monograph Number 20, Math. Assoc. Amer., 1980. Tichmarsh, E. C., The Theory of Functions, 2a. edición, Oxford Univ. Press, London, 1939. Wilder, R. L., The Foundations of Malhemalics, Wiley, New York, 1952.
APENDICE
I .Ó G I C A Y
DEMOSTRACIONES
Las ciencias naturales se ocupan del registro de hechos y de la organización de los mismos en un cuerpo coherente del saber que haga posible la comprensión de la naturaleza. Originalmente, las ciencias se restringían en gran medida a la observación, al acopio de información y a su clasificación. Esta clasificación llevó de manera gradual a la formación de diferentes “teorías” que ayudaban a los investigadores a recordar los hechos individuales así como a poder explicar, y en ocasiones predecir, los fenómenos naturales. La meta final de la mayoría de los científicos es poder organizar su ciencia en una colección coherente de principios y teorías generales para que estos principios les permítan tanto la comprensión de ia naturaleza como su aplicación para hacer predicciones del resultado de futuros experimentos. Así, su intención es estar en posición de desarrollar un sistema de principios generales (o axiomas) para la ciencia que los ocupa les permita deducir los hechos y consecuencias particulares a partir de estas leyes generales. Las matemáticas son diferentes a otras ciencias: por su naturaleza intrínseca es una ciencia deductiva. Esto no quiere decir que los matemáticos no reúnan hechos y hagan observaciones relacionadas con sus investigaciones. En realidad, muchos matemáticos dedican gran parte de su tiempo a la realización de cálculos de casos esp eciales de fenómenos que estudian con la esperanza de descubrir “principios unificadores”. (El gran Gauss llevó a cabo una vasta cantidad de cálculos y estudió muchos datos num éricos antes de poder hacer una conjetura re specto de la distribución de los números primos.) Sin embargo, incluso después de formular estos principios y conjeturas, el trabajo se encuentra lejos de haber concluido, pues los matemáticos no están satisfechos hasta que las conjeturas se han derivado (es decir, probado) de los axiomas de las matemáticas, de las definiciones de los términos y de los resultados (o teoremas) ya demostrados. Así, un enunciado matemático no es un teorema hasta que se ha derivado cuidadosamente de axiomas, definiciones y teoremas demostrados con anterioridad. Cabe dedicar algunas palabras a los axiomas (es decir, postulados, hipótesis, etc.) de las matemáticas. Hay pocos axiomas que se apliquen a las matemáticas en su totalidad, los “axiomas de la teoría de conjuntos”, y hay axiomas específicos dentro de las diferentes ramas de las matemáticas. En ocasiones estos axiomas se enuncian formalmente y en ocasiones se encuentran incorporados en definiciones. Por ejemplo, en el capítulo dos de este libro se presentó una lista de propiedades que se supuso posee el sistema de los núm eros reales; en realidad son un conjunto de axiomas. Como otro ejemplo, la definición de “grupo” en el álgebra abstracta
101.
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que es verdadera cuando P es falsa y es falsa cuando P es verdadera. (Una notación común para la negación de P es > P. ) Al reflexionar un poco se llega a que
P = no(no P). (Este es el “principio de la doble negación”.) S i P y Q son proposiciones, entonces su conjunció n es la proposición denotada por
PyQ que es verdadera cuando tanto P como Q son verdaderas y es falsa en los demás casos. (Una n otación común para la conjunción de P y Q e s P A Q.) Resulta evidente que
(PyQ)^(QyP). De manera similar, la disyunción de P y Q es la proposición denotada por
PoQ que es verdadera cuando al me nos una de las proposiciones P y Q es verdadera y es falsa cuando ambas son falsas. En documentos legales el “o” se denota por “y/o” para aclarar que esta disyunción también es verdadera cuanto tanto P como Q son verdaderas. (Un a notación com ún para la disyunción de P y Q es P V Q). También es evidente que (Po0 « G 2
o P) .
A fin decontrastar las proposiciones disyuntivas y las conjuntivas, obsérvese que la proposición “2 < \¡2 y \[2 < 3 ” es falsa, pero la propo sición “2 < x/2 ó \¡2 < 3” es verdadera (ya que V2 es aproximadamente igual a 1 .414 2 •••). Reflexiona ndo un poco se descubre que la negación, la conjunción y la disyunción se relacionan por las leyes de De Morgan: no (Py Q) = (no P) o (no Q), n o ( P o 0 = (n o P ) y (no Q). La primera equivalencia se puede ilustrar considerando las proposiciones
P: x = 2 ,
Q: y e A.
La proposición (P y Q) es verdadera si tanto (x = 2) como (y eA) son verdaderas, y la proposición es falsa si al menos una de las proposiciones (x = 2) y ( y e A ) e s falsa; es d ecir, la proposición no (P y Q) es verdadera si al menos una de las proposiciones (x A 2) y (y <£A) se cumple.
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i >i ; m o s t u a < ' I O N I
Si estoy en Chicago, entonces estoy en Illinois,
Implicaciones Una man era muy importante de formar una nueva proposición a partir de pin posiciones dadas es la implicaciÓM (o condicional), denotada por
(P => Q),
a
(si P entonces Q)
o
(P implica Q).
En este caso a P se le llama la hipótesis y a Q se le llama la conclusión de la implicación. Para ayudar a comprender los valores de verdad de la implicación, considérese la proposición Si hoy me saco la lotería, entonces le compraré un automóvil a Sam. Resulta claro que esta proposición es falsa si me saco la lotería y no le compro un automóvil a Sam. ¿Qué pasa si no me saco la lotería hoy? Bajo estas circun stancias, no he hecho ninguna promesa ace rca de comprarle a alguien un automóvil, y como la condición de sacarse la lotería no se realiza, el hecho de no comprarle un automóvil a Sam no se deberá considerar como la ruptura de una promesa. Por tanto, la implicación se considera verdadera si la hipótesis no se satisface. En los razonamientos matemáticos, las implicaciones son motivo de gran interés cuando la hipótesis es verdadera, pero no lo son tanto cuando la h ipótesis es falsa. El procedimiento aceptado es tomar la proposición P => Q como falsa únicamente cuando P es verdadera y Q es falsa; en los casos restantes la proposición P => Q es verdadera. (Por consiguiente, si P es falsa, entonces se conviene en tomar la proposición P => Q como verdadera sin importar si Q es verdadera o falsa. Esto puede parecerle extraño al lector, pero resulta ser conveniente en la práctica y consecuente con las demás reglas de la lógica.) Se observa que la definición de P => Q es lógicamente equivalente a no (P y (no Q)\ ya que esta proposición sólo es falsa cuando P es verdadera y Q es falsa, y es verdadera en los casos restantes. De la primera ley de De Morgan y del principio de la doble negación se sigue asimismo que P => Q es un equivalente lógico de la proposición (no P ) o Q, ya que esta proposición es verdadera a menos que tanto no P como Q sean falsas; es decir, a menos que P sea verdadera y Q sea falsa.
Contrapositivo y recíproco Como ejercicio, el lector deberá demostrar que la implicación P => £) es equivalente lógico de la implicación (no Q) => (no P), la cual se llama el contrapositivo de la implicación P=>Q. Por ejemplo, si P => Q es ia implicación
entonces el contrapositivo (no Q)
(no P) es la implicación
Si no estoy en Illinois, entonces no estoy en Chicago. La equivalencia de estas dos proposiciones se percibe después de reflexionar un poco. Al intentar establecer una implicación, en ocasiones es más sencillo establecer el contrapositivo, que es su equivalente lógico. (Este hecho se explicará con mayor detalle más adelante.) Si se da una implicación P => Q, entonces también se puede formar la proposición
Q=>P, la cual se llama el recíproco de P => Q. E l lector deberá estar atento para no confun dir el recíproco de una implicación con su contrapositivo, ya que son proposiciones muy diferentes. Mientras que el contrapositivo es un equivalente lógico de la implicació n dada, el recíproco no lo es. Po r ejemplo, el recípro co de la proposición Si estoy en Chicago, entonces estoy en Illinois, es la proposición Si estoy en Illinois, entonces estoy en Chicago. Puesto que es posible estar en Illinois fuera de Chicago, es evidente que estas dos proposiciones no son equivalentes lógicos. Hay una última manera de formar proposiciones que se mencionará. Es la doble implicación (o la bicondicioeal), que se denota por
P <=> Q
o
P si y sólo si Q,
y que se define por
(P=>0y(0=>n Es un ejercicio directo demostrar que P <=> Q es verdadera precisamente cuando P y Q son ambas verdaderas o ambas falsas.
Contexto y cuantificadores En cu alquier forma de comun icación, es importante que los individuos tengan un contexto adecuado en mente. Proposici ones com o “Hoy vi a María” pueden no ser particularmente informativas si quien escuc ha conoc e a varias personas de nombre María. De manera similar, si uno llega a la mitad de una conferencia de matemáticas y ve la ecuación x2 = 1 en el pizarrón, es conveniente que el observador sepa qué entiende el expositor por la literal x y el símbolo 1. ¿El número x es un
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entero? ¿Una función? ¿Una matriz? ¿Un subgrupo ele un guipo dado? ¿Id niiii Imi lo 1 denota un número natural? ¿La función identidad? ¿La matriz identidad? ¿Ll subgrupo trivial de un grupo? Con frecuencia quienes participan en una discusión conocen bien el conlcxln. pero siempre es una buena idea establecerlo desde un principio. Por ejemplo, cn muchas proposiciones matemáticas intervienen una o más variables cuyos valores por lo general afectan la veracidad o falsedad de las mismas, por lo que siempre se debería aclarar cuáles son los posibles valores de las variables. Con mucha frecuencia las proposiciones matemáticas incluyen expresiones como “para todo”, “para cualquier”, “para alguna”, “existe”, “hay”, etc. Por ejemplo, se pueden tener las proposiciones Para todo entero x, x2 = 1
y Existe un entero x tal que x2 = 1. Evidentemen te, la primera proposición es falsa, como se constata al tomar x = 3; sin embargo, la segunda proposición es verdadera, ya que se puede tomar x = l ó x = -l . Si se ha establecido el contexto de que se habla de enteros, entonces las proposiciones anteriores se pueden abreviar sin problemas como Para toda x, x2 = l
y Existe x tal quex 2 = 1. La primera proposición incluye el ciiasiíificador universal “para toda”, y está haciendo una afirmación (en este caso falsa) acerca de todos los enteros. La segunda proposición incluye el cua ntificad or existen cia! “existe”, y está haciendo una afirmación (en este caso verdadera) acerca de al menos un entero. Estos dos cuantificadores ocurren con tanta frecuencia que los matemáticos acostumbran usar el símbolo V para representar el cuantificador universal y el símbolo 3 para representar el cuantificador existencial. E s decir, se tiene V
denota “para toda”,
3
denota “existe”.
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De manera similar, la proposición
¡i
( 3 y)(Vx)(x + y = 0)
se puede leer como Existe un entero y tal que para todo ente ro x,x + y = 0 . Estas dos proposiciones son muy diferentes; por ejemplo, la primera es verdadera y la segunda es falsa. La moraleja es que el orden de aparición de lo s dos tipos diferentes de cuantificadores es muy importante. También se debe subrayar que si en una expresión matemática con cuantificadores intevienen varias variables, se debe suponer que l os valores de las variables posteriores dependen de los va lores de las variables mencionadas antes. Así, en la proposición (verdadera) i anterior, el valor de y depende del valor de x; en este caso, si x = 2, entonces y = 2, en tanto que si x = 3 , entonces y = 3 . Es importante que el lector sepa cómo negar una proposición que incluye cuantificadores. En principio, el método es simple. a) Para demostrar que es falso que todo elemento x de un conjunto dado posee cierta propiedad basta presentar un solo comtraejem pllo (es decir, un ele mento particular del conjunto que no posee esta propiedad); y b) Para demostrar que es falso que existe un elemento y en un conjunto dado que satisface cierta propiedad es necesario probar que ningún elemento y del conjunto tiene esa propiedad. Por lo tanto, en el proceso de formar una negación no (Vx) í?
pasa a ser
(3 x) no
no (3y )
pasa a ser
(Vy) no íñ
y de manera similar,
Cuando interviene ; varios cuantificadores, estos cambios se usan repetidamente. Así, la negación de la proposición (verdadera) i dada anteriormente pasa a ser de manera sucesiva no (Vx) (3y) (x + y = 0),
Aun cuando en este libro no se usan estos símbolos, es importante que el lector sepa cómo leer las fórmulas en que aparezcan. Por ejemplo, la proposición
(3x ) no (3y) (x + y = 0),
i
(3x) (Vy) (x +y * 0).
(Vx) (3y)(x + y = 0)
(entendida para enteros) se puede leer
n i
(3x ) (Vy) no (x + y = 0),
La última proposición se puede expresar en palabras como:
Para todo entero x, existe
Existe un entero x tal que
un entero y tal que x+ y = 0.
para toda y, x + y V 0.
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A I T . N I >l( I
(Esta proposición es, desde luego, í'alsa.) De manera similar, la negación de la proposición (lalsa) ii darla anlcnom uulr pasa a ser de manera sucesiva no (3y ) (Vx) (x + y = 0), (Vy) no (Vx) (x + y = 0), (Vy) (3x) no (x + y = 0), (Vy )(3x)(x + y V 0).
La última proposición se puede expresar en palabras como: Para todo entero y, existe un entero x tal que x + y V 0. Obsérvese q ue esta proposición es verdadera y que el valor (o los valores) de x que hace x + y V 0 depende de y, en general. De manera similar, la proposición Para toda 0, el intervalo (-8, 5 ) contiene un punto que pertenece al conjunto A. se puede considerar que incluye la negación Existe 8 > 0 tal que el intervalo ( 5 , 8) no contiene ningún punto de A. La primera proposición se puede simbolizar como
( V 5 > 0 ) ( 3 t /e A ) (y e ( « , « ) ) ,
I < ' » (U I A V I > l ' .M l >N I I I A l
II INI
Demostraciones directas Sean P y Q proposiciones. A l afirmar que la hipótesis P de la implicación P => Q implica la conclusión Q ( o q u e P Q es un teorema) se afirma que siempre que la hipótesis P es verdadera, entonces Q es verdadera. La construcción de una demostración directa de P =$ Q requiere la construcción de una cadena de proposiciones Rl,R2,...,Rn tal que
P = *R V
R ^ R 2,
•••,
R„=>Q.
(La ley del silogism o establece que si i?, => R2 y R2 => i?3 son verdaderas, entonces R { => R3 es verdadera.) Esta cons trucción no suele ser una tarea sencilla; puede requerir intuición y considerable esfuerzo. Con frecuen cia también requiere experiencia y suerte. Al construir una demostración directa, con frecuencia se trabaja hacia adelante a partir de P y hacia atrás a partir de Q. Nos interesan las consecuencias lógicas de P; es decir, las proposiciones Qv . .., Qk tales que P => Q.. Y tam bién se podrían examinar las proposiciones Pv...,Pr tales que P. => Q. S i se puede trabajar hacia adelante a partir de P y hacia atrás a partir de Q de tal modo que la cadena “se conecte” en alguno de los pasos intermedios, entonces se tiene una demostración. Con frecuencia en el proceso de intentar establecer P=$Q uno se encuentra con que se debe fortalecer la hipótesis (es decir, agregar hipótesis a P) o debilitar la conclusión (es decir, reemplazar a Q por una consecuencia que no sea equivalente a Q). La mayoría de los estudiantes están familiarizados con las demostraciones “directas” del tipo descrito arriba, pero daremos aquí un ejemplo elemental. Demostremos el siguiente teorema. Teorema 1. El cuad rado de un entero imp ar también es un entero impar. Si se hace que n simbolice un entero, entonces la hipótesis es:
P: n es un entero impar. y su negación se puede simbolizar como
La conclusión del teorema es:
(35 > 0 ) (V y e A ) (y * ( « , « ) ) o como
Q: n2 es un entero impar. Se necesita la definición de entero impar, por lo que se introduce la proposición
(35 > 0)(A n
(-8,8) = 0).
Es firme opinión de los autores que, si bien el uso de este tipo de simbología con frecuencia resulta conveniente, no es un sustituto de la reflexión. D e hecho, los lectores ordinariamente deberán razonar por sí m ismos cuál es la negación de una proposición y no confiar a ciegas en la simbología. Aun cuando una notación y simbología convenientes con frecuencia pueden ser un útil auxiliar para el razonamiento, nunca pueden ser un sustituto adecuado del pensamiento y la comprensión.
R[:n = 2k+ 1 para algún entero k. Se tiene entonces P => R{ . Se quiere deducir la proposición n2 = 2 m + 1 para algún entero m, ya que ésta implicaría Q. Se puede obtener esta proposición usando álgebra fí2: n2 = ( 2 k + l ) 2 = 4 k 2 + 4k + 1,
R.y. n2 = 2 ( 2 k 2 + 2 k ) + 1.
I i I i|( A Y 11| M< I M UAt K >111
AIT NI’M I
Si se hace m —2 1c1 + 2 k, entonces m es un entero y se lia d.
Demostraciones indirectas Hay básicamente dos tipos de demostración indirecta: i las demostraciones por el contrapositivo y ii las dem ostraciones por contradicción. Ambos se inician con el supuesto de que la conclusión Q es falsa, en otras palabras, que la proposición “no Q" es verdadera. i Demostraciones por el contrapositivo. En lugar de demostrar P => Q, se puede probar su contrapositivo, que es su equivalente lógico: no Q => no P. Considérese el siguiente teorema. Teorema 2. Si n es un entero y n2 es par, enton ces n es par. La negación de “Q: n es par” es la proposición “no Q: n es impar”. La hipótesis “P: n2 es par” tiene una negación similar, por lo que el contrapositivo es la implicación: Si n es impar, entonces n2 es impar. Pero este es precisamente el teorema 1 , el cual se demostró arriba. Por lo tanto, esto proporciona una demostración del teorema 2. La demostración por el contrapositivo suele ser conveniente cuando el cuan tificador universal está presente, ya que la forma contrapositiva incluirá entonces el cuantificador existencial. El siguiente teorema es un ejemplo de esta situación.
11
Dem ostración. Si a - 0 es falso, entonces como a 3= 0 se debe tener a > 0. En este caso, si se escoge £0 = 1 a, entonces se tiene eQ > 0 y £0 < a, de donde la hipótesis 0 =5 a < £ para toda e > 0 es falsa. q . e .d . Se presenta ahora un ejemplo más de una demostración por el contrapositivo.
3*
Teorema 4, Si m, n son números naturales tales que m + n 3* 20, entonces m 1 0 , o bien , n 3 = 1 0 .
Demostración. Si la conclusión es falsa, entonces se cumplen las dos desigualdades m < 1 0 y n < 10. (Recuérdese la ley de De Morgan.) Entonces al sumarlas se obtiene m + n < 10 + 10 = 20, por lo que la hipótesis es falsa, q . e . d .
ii Dem ostración p or contrad icción. Este método de demostración hace uso del hecho de que si C es una contradicción (es decir, una proposición que siempre es falsa, tal como “ 1 = 0 ”), entonces las dos proposiciones
(Py(noG)) =>C, P=*Q son equivalentes lógicos. Por tanto, P => Q se establece demostrando que la proposición (P y (no Q)) implica una contradicción. Teorema 5. Sea a > 0 un número real. Si a > 0, entonces 1¡a > 0. Demostración. Se supone que la proposición a > 0 es verdadera y que la proposición 1 ¡a > 0 es falsa. Por lo tanto, 1¡a ^ 0. Pero como a > 0 es verdadera, por las propiedades de orden de i? se deduce que a ( l / a ) 0. Puesto que 1 = a ( l / a ) , se deduce que 1 0. Sin embargo, esta conclusió n contradice el resultado cono cido de que 1 > 0 . q . e .d . Hay varias demostraciones clásicas por contradicción (conocidas también como
reductio ad absurdum ) en la literatura matemática. Una es la demostración de que no hay ningún número racional r que satisfaga r2 = 2. (Este es el teorema 2.1.7 en el texto.) Otra es la demostración del carácter infinito de los números primos, la cual se encuentra en los Elementos de Euclides. Recuérdese que un número natural p es primo si sus únicos divisores son 1 y p. Se supondrán los resultados básicos de que todo número primo es mayor que 1 y que todo número natural mayor que 1 es primo o divisible por un número primo. Teorema 6. {Elementos de Euclides, Libro IX, Proposición 20.) Hay una infi nitud de nú meros primos.
Teorema 3. Sea a 3= 0 un número real. Si para toda £ > 0 se tiene 0 «s a < £,
entonces a - 0 .
Demostración. Si se supone, por contradicción que los números primos son finitos, entonces se puede suponer que S = p n} es el conjunto de todos lo s
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números primos. Se hace m =px ■■• pn, el produclo de lodo, los mimeros pi irnos. y se hace q = m + 1. Como q > p { para toda i, vemo s que
R EC O M EN DA CION HS PA R A E JE R C IC IO S SELECCIONADOS
Lector: No recurra a estas sugerencias a menos que se encuentre atorado. Sin embargo, después de reflexionar un poco en un problema, en ocasiones una pequeña sugerencia es todo lo que se necesita para desatar una idea. En muchos de los ejercicios se piden demostraciones y con frecuencia no hay un solo enfoque que sea correcto, así es que aun cuando el lector tenga un razonamiento totalmente diferente, éste puede ser correcto. Pocas de las siguientes sugerencias están completas, aunque se ofrecen mayores detalles para el material de los primeros capítulos.
SECCIÓN 1=1 4. A D B C A por definición. Si A C B, entonces x e A implica que x e B, de donde x e A fl B de tal manera que A C A fl B C A. Por tanto, si A C B, entoncesA =A D B. Recíprocamente, si A =A f l B, entonces x e A implica que x e A f !5 , de donde x e B , por lo que x e B . Por tanto, si A = A fl B, entonces A CB. 5. 6. El conjunto D es la unión de {*: x e A y x i B } y {x: x <£A y x e B} . 10. Si x e E fl (U Aj), entonces x e E y x e U Aj. Por lo tanto, x e E y x e A j para al menos una j. Esto significa que x e E fl A - para al menos una j, de modo que E fl (UAp C U(£ fl Aj). La demostración de la inclusión en el otro sentido es similar. 13. Si x <¿ n{Af. j e J } , entonces existe k e J tal que x <£ Ak. (¿Por qué?) Por lo tanto, x e (Ak) y, en consecuencia, x e U { (Aj):j e J }. Por lo tanto, (HA^.) C U (Aj). La demostración de la inclusión en el otro sentido es similar.
SECCIÓN 1.2 1. No. Por ejemplo, tanto (0,1 ) como (0, 1 ) pertenecen a C. 3. E\F = {x: 1 =s x < 0 },f (E )\ f ( F ) es el conjunto vacío, yf(E\F) = {y: 0 < y =£ 1}. 4. S iy e/ (£ T iF ), entonces existe* eEC\F tal quey = f(x ). Puesto quex e E implica quey e / (£) y xe F implica quey e f( F ), se tiene y e f( E ) D f( F ). Con esto se demuestra que f( E fl F ) C f( E ) fl f( F ). 7. Una biyección es la función lineal que mapea a a 0 y ¿ a l , a saber, f(x ) := (.v a)/(b - a).
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III
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10. Si (6, a) y (6 , a' ) perten ecen a /' ', e n l o m e:. (
1. La afirmación se cumple para n = 1 porque 1/(1 •2) = 1/(1 + 1). S i se cumple para n = k, entonces se deduce para n = k+ 1, ya que 1 (k + 1)(£ + 2)
+ ^ + (“l/ + 2(k + l) 2 = (1 )*+ 2
2
3.
7. ------
+0
2
+
.
5. Si 5 2¿ 1 es divisible entre 8, entonces se deduce que 52(* + J) 1 = (5lk - 1 ) + 24 •52k también es divisible entre 8. 7. Si k 3 + (k + l)3 + (k + 2)3 es divisible entre 9 , enton ces (/c + l ) 3 + (k + 2 ) 3 + (k + 3 )3 = /c3 + (k + l)3 + (k + 2)3+ 9(k2 + 3k + 3) también es divisible entre 9. 9. La suma és igual a n/(2n + 1). 11. Si nQ> 1, sea 5, := {n e N: n - nQ+ 1 e 5} . Se aplica 1.3.2 al conjunto Sv 13. Para n = 5 se tiene 7 ^ 23. Si k 5= 5 y 2k 3 2* ~2, entonces 2(/c + 1) 3 = ( 2 ¿ 3 ) + 2 s £ 2 * 2 = 2 ( * +1) 2 . 15. \[k + \/\fk + 1 = (\fk\Jk + 1 + 1) /V FT 1 > (A: + 1)/V¿ + 1 = y/k + 1
SECCIÓN 2.1 1. Se multiplican por 1/6 ambos miembros de ub = b. Se usan (M2), (M4) y (M 3) en el primer miembro y (M 4) en e l segundo miembro. 3. a) Se suma 5 a ambos miembros de 2x + 5 = 8 y se usan (A2), (A4) y (A3) para obtener 2x = 3. Después se multiplican ambos miembros por 1/2. c) Se escribe x2 - 2x = x(x - 2) = 0 y se aplica el teorema 2.1 .6 c). Alternativamente, obsérvese que x = 0 satisface la ecuación, y si x 4- 0 , entonces al multiplicar por l/x se obtiene x = 2 . 4. a) -(a + b) = (l)(tf + b) = (1 )a + (1)6 = (-a) + (6). 7. Obsérvese que si q e Z y si 3#2 es par, entonces q2 es par, de donde q es par. Por tanto, si ( p /q )2 = 6, entonces se deduce que p es par, por ejemplo,/? = 2 m, de donde 2 m2 = 3q2, por lo que q también es par. 9. Si s := r + £ e Q, entonces £ = s - r g Q, que es una contradicción. Si t := rt ; e Q y r =£ 0, entonce s = t/r e Q, que es una contradicción. 11. Se toma x = -y = V2.
2 .2
a) Si a < 6, entonces 2.2.6 a) implica que a + c < 6 + c. S i a = 6, entonces a + c = 6 + c. Por tanto, si a =s 6, entonces a + c 6 + c. Si c < d, entonces 2.2.6 a) implica que 6 + c < 6 + d, de donde a + c < b + d. Puesto que 6 a y d - c están en/3, por 2.2.1 //sededuceque(6d + a c ) (a ¿ + be ) = (6 ¿j)(¿ c) está en P. Si a A 0, entonces 2.2.5 a) implica que a2 > 0; puesto que 62 5* 0, se sigue que a2 + 62 > 0. Si 0 < a < 6 , por el ejercicio 2.2.6 se sigue que 0 < a 2< o b < b 2. Entonces, por el ejemplo 2.2.1 4 a), se infiere que a - 'la2 < \lab < -Jb 2 = 6. a) {x eR: x < 1 ó x > 4 } , c ) { x e R: 1 < x < 0 ó 1 < x } . a) Si 0 < c < 1, entonces 2.2.6 c) implica que 0 < c2 < c, de donde 0 < c2
5.
k+1 k + 2 '
3. La igualdad se cumple para n = 1 porque l 2 = (1 ) 2 T •2 . La demostración se termina probando que (—1) * +1
sección 1.
SECCIÓN 1.3
k k+ 1
12. a) Conmutativa, 110 asociativa, sin idéntico. 13. a) No distributiva.
9. 12.
14. 16. 18. 19.
Usar el ejercicio 2.2.13 y el ejercicio 2.1.14. Sea 6 := 1/c y usar el ejercicio 2.2.14. Tomar aj := 1/VcT. y bj := yfc. en la desigualdad de Cauchy 2.2.14 d). Tomar aj := Cj y b. := 1 en la desigualdad de Cauchy. Obsérvese asimismo que ck > 0 para toda k implica que (Cj + ■••+ c j 2 > c2 + ••■■¥c 2.
SECCIÓN 2.3 1. 3. 5. 8.
10.
a) Si a 0, entonces !a!= a = Va2; si a < 0, entonces laí= -a = Vg2. b) a2 52=0 para toda a e P. Probar primero que a 6 5= 0 s i y sól o si la bj = a 6. Demostrar después que ( g + 6 )2 = ( g + 6 ) 2 si y sólo si a b = a b . a) {x e R: -2 «s x 9/2 }, c) {x e R: x < 0} . a) {(x , y):y= x o y = -x}. b) Considerar cuatro casos. Si x 5= 0, y s* 0, se obtiene el segmento de recta que une (0 ,1 ) y (1, 0). Si x 0, y 3= 0, se obtiene el segmento de recta que une ( 1, 0) y (0, 1), y así sucesivamente. Para la intersección, sea y el menor de ey 8. Para la unión, sea y el mayor de e y 6.
SECCIÓN 2.4 1. Cualquier número negativo o cero es una cota inferior. Para cualquier x > 0 , el número mayor x + 1 está en Sv por lo que x no es cota superior de Sv Puesto que 0 x para toda x e S ¡ , entonces u = 0 es una cota inferior de 5¡ . Si v > 0, entonces v no es cota inferior de Sx ya que v/2&Sxy v/2 < v. Por lo tanto, inf 5/ = 0.
«I <<)MI NI>A( H>NI SI*A IS Nl l
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Kl ( <»MI .NI>A< lONI S l'AUA I II IM ICIOS SI I I ( ( K( NADO S
3. Puesto que 1 /n =£ I para toda n t./V, I es cola \ii|m «le .V,. IVn* I miembro de Sv de donde 1 = sup Sy (Ver el ej civ ii i«> .'. I.<».). 5. Si 5 está acotado por abajo, entonces S' := {.y: .ye .V) está acotado pin ai 11 ba, por lo que u := sup S' existe. Si v s para toda ó' e S, entonces v para toda s e S , por lo que - v 2= u y, por tanto, v «s -u . En consecucneia, inf S = —u. 6. Sea he S una cota superior de S. Si v es otra cota superior de S, entonces n v. Por tanto, u = sup S. 8. Sea u := sup S. Puesto que u es una cota superior de S, también lo es u + I /n para toda n e N. Puesto que u es el supremo de S.y u - l/n < u, entonces existe s q e S con u - l/n < sQ, de donde u - l / n no es cota superior de S. 10. Puesto que sup S es cota superior de 5, es cota superior de S0 y, por tanto, sup SQ*5 sup S.
SECCIÓN 2.6 I. Obsérvese que [a , b ] C [a', b'] si y sólo si a' *£ a ^ b « b'. 3. Puesto que inf S es cota superior de S y sup 5 es cota superior de S, entonces S C Is. Además, si S C [a, b], entonces a es cota inferior de 5 y b es cotí. superior de S, de donde [a, b] D Is. 5. Si x > 0, entonces por el corolario 2.5.3 b) se sigue que existe n e N con l//i < x , de donde x E [0, l/n]. 7. Si x ^ 0, entonces x E Kn para ninguna n eN. Si x > 0, entonces por la propiedad de Arquímedes se deduce que existe iixe N con x E (nx, °°). II . 1.25137•137•• = 31253/24975.
11. Considerar dos casos. Si u 2= s* , entonces u = sup (S U {«}). Si u < 5 *, entonces existe s e S tal que u < s < .y*, por lo que s* = sup (S U {«}).
SECCIÓN 2.5 1. El número 0 es cota inferior del conjunto, y si y > 0, entonces existe una n e N tal que 0 < l/n < y. Por tanto, 0 es el ínfimo del conjunto. 3. Supóng ase que u e R no es el supremo de 5. Entonces i u no es cot a superior de S (porfío que existe 5j e S con u < sv de donde se toma n e N con 1 ¡n < S j u para demostrar que u + 1¡n no es cota superior de 5), o bien, ii existe una cota superior ul de S con ux< u (en cuyo caso se toma l/n < u - u xpara probar que u - l / n no es cota superior de S). 5. Sea u := sup f(X ). Entonces /(x) ^ u para toda x eX , por lo que a + /(x) =£ a + u para toda x e X, de donde sup {a + /(x): x e X} a + u. S i w < a + u, entonces w - a < u, por lo que existe xweX con w -a < f(xw), de donde w < a + f( x u) y, por tanto, w no es cota superior de {a +/(x): x eX}. 7. Si u := sup f( X ) y v:= supg (X), entonces f( x) ^ u y g(x) < v para todaxeY , de donde f(x ) + g(x) < u + v para todax eX . Por tanto, u + v es cota superior del conjunto {/(x) + g(x): x eX } y, por consiguiente, sup {/(x) + g(x): x e X } *5 u + v. Sea S := {h(x, y): x e X, y e Y}. Se tiene h(x, y) *£ F(x) para toda x e X, y e Y, por lo q ue sup S sup {F(x): x e X}. S i w < sup {F(x)\ x e X} , entonces existe xqe X con vv< F(x 0) = sup {/í(xq, y) y e 7 }, de modo que existe y0 e Y con w < h (x0, y0). Así, w no es cota superior de S y, por consiguiente, w < sup S. Puesto que esto se cumple para cualquier w tal que w < sup {F(x): x e X} , se concluye que sup {F(x): x e X} =s sup S. 13. Obsérvese que n < 2" para cualquier n e N. 16. Considerar T := {í e R: 0 ^ /, t3 < 2}. Si t > 2, entonces r3 > 2 por lo que t E T. Por tanto,y := sup T existe. Siy3 < 2, se escoge l/n < (2 y 3)/(3y2 + 3y + 1) y se demuestra que (y + 1/n)3 < 2, que es una contradicción, y así suce11.
sivamente.
l.’ l
SECCIÓN 2.7 3. a) Hay seis inyeccio nes de S en T. 5. Cada miembro del subconjunt o de seis elementos debe pertenecer a uno de los cinco conjuntos enumerados. Por el principio del palomar, dos de los seis elementos deben parar en el mismo conjunto, y la suma de esos dos elementos es 10. 7. La biyección del ejercicio 2.7.6 es un ejemplo. Otro es el cambio definido por f(n ) = n + 1 que mapea N en N\{1 }. 9. Sea An:= {« } para toda n e N.
SECCIÓN 3.1 1. 3. 5. 6. 7. 9. 13.
a) 0, 2, 0, 2, 0. b) 1 , 1/2, 1/3,1/4, 1/5. a) 1, 4,1 3, 40, 121. c) 1, 2, 3, 5, 4. b) Obsérvese que 2/i/(« + 1) 2 = 2/(n + 1) < 2/n. Dada e > 0, sea K 2= 2/e. a) 1/yJn + 7 < l/y¡ñ. c) y/ñ/(n + 1) < 1/v/ñ. Considerar ((1)") Escoger e > 0 tal que x e > 0 . Usar el razonamiento de 3.1.1 e). Si (2 n)l'n= 1 + kn, demostrar que ^ 2(2/i
- l)/n(n - 1) < 4/(« - 1).
SECCIÓN 3.2 I. a) lím(xn)= l . b) Divergencia. 3. Considerar ((1 )"). 5. Si zn :=xnyn y lím (xn) = x ¥=0, entonces en última instancia xn ¥= 0 por lo que
Yn~ Zn/Xn'
7. No está acotada. 9. En (3) el exponente k es fijo, pero en (1 + 1 ¡n)n el exponente varía. II . Demostrar que b zn ^ 21/"b.
K H ' O M I
NI >A< l O N I ' S l ’A K A I I I H M l« >*, M i l i i m i l M n i '
13. a) (l/«). 15. a) Converge a 0. 17. b) (*).
b) Diverge.
SECCIÓN 3.3 1. Demostrar por inducción que 0 ^ xn *£ 2 para «2= 2 y que (x;¡) es monótona. De hecho, (xn) es decreciente, porque si xx< x2, entonces se tendría (xx- 1)•' < x xx2 - 2x, + 1 = 0. Puesto que x := lím (xn) debe satisfacer x = 2 l/x, se tiene x = 1. 3. Demostrar que la sucesión es monótona. La raíz positiva de la ecuación z2-z a = 0 e s z * = ( l + V l + 4a)/2. Demostrar que si 0 < zx< z*, entonces z2 z x - a < 0, y la sucesión ( zn) se incrementa a z*. Si z* < zv entonces la sucesión se decrementa a z*. 5. Demostrar que (Sn) es decreciente y que está acotada, y que (tn) es creciente y está acotada. Asimismo, tn $ xn sn para n eN. 8. Demostrar que yn + ¡ yn > 0 y que yn < n/(n + 1)< 1 paratoda n. 10. a) e. d) Obsérvese que 1 1/n = (1 + 1 /(n - l))_l. 12. Obsérvese que 0 =s sn V 5 (s2 - 5)/V5 (s 2 _ 5)/2.
7. a) Existe Nx tal que si n > Nx, entonces 0 < xn< yn. 9. b) Sea 0 < xn< M. Si (y^) no converge a 0, existe e0 > 0 y una subsucesión (y njt) tal que e0 < y„k. Puesto que lím (xn/yn) = °°, existe K tal que si k > IC, entonces M/ e0 < xnk/y„k, lo cual da lugar a una contradicción.
SECCION 4.1 I. a) Si \ x - 1|< 1, entonces \x + lj < 3, de donde \x2-l \ 3\x - lj. Por tanto, \x- 1¡ < 1/6 asegura que \x2 - 1, < 1 / 2 . d) Si \x—1|< 1, entonces \x2 + x + lj < 7. 3. Si Jim. f( y ) = L, entonces para cualquier e > 0 existe 5 > 0 tal que si 0 < \y - e l < 8 , entonces /(y) - L \ < e . Se hace ahora x : = y - c, por lo que y = x +
c, para concluir que se tiene Jim f( x + c) - L. 5. Obsérvese que la restricción de sgn a [0 ,1 ] tiene límite en 0. 7. := e/K. 9. SiTomar c = 0, 8tomar 8 := e2. Si c > 0, demostrar que \\[x - V e t
( l/\Tc)\x - c\.
a) Considerar^ : = 1 / n . c) Considerar xn := 1/n y yn := -1/n. 13. Si f(x ) := sgn(x), entonces Jún (/(x))2 = 1, pero Jim /(x) no existe.
II.
SECCIÓN 3.4 2. Si xn := cL ", entonces x2n= Vx^ 5. Si (xn) no converge a 0, entonces existe sQ> 0 y una subsucesión (x„k) con x nk > eoPara toda k e N . 6. a) 1. d) Obsérvese que (n + 2 )/n - [{n + 2 )/(n + 1)] •[(n + !)/«]. 8. Demostrar que lím ((T) ”xfl) = 0. 11. Escoger « j 2* 1 para que x„x5=s 1 , después esccger n2> nxpara que x„2 > s - 1/2 y, en general, escoger nk > nk_ xpara que x„k > s - l/k.
SECCIÓN 4.2 I. a) 1 0 c) 1/12 3. Multiplicar el numerador y el denominador por V i + 2x + V T + 3x. 5. Si ,/(x)i < M para x e Vs(c), entonces \f(x) g(x ) - 0¡ M\g(x) - 0, para x e _______
__ __ _
Vs(c). a) Obsérvese que g(x) = (/ + g)(x) - /(x).
9.
b)
No; por ejemplo, tomar /(x) := x 2 y g(x) := l/x para x > 0.
I I. a) El límite no existe.
b) 0
SECCIÓN 3.5 3. a) Obsérvese que (1 )" ( 1)" +1 = 2 para toda n e N . 6. Sea u := sup { xn: n eN ). S i £ > 0, sea H tal que u - e < xH u. S i m 5= n ^ H, entonces u - e < xn < xm < u, de modo que -x a < £. 7 . S e a l : =x 2- x r Demostrar que xn+l-x n =1/2"“'. Obsérvese que (x2n + x)es una sucesión creciente. Expresar x2n+ x en términos de x2n_v 10. Demostrar que xn+ x - xn < J xn-x n_ 2. El límite es \[2 - 1.
SECCIÓN 3.6 3. Obsérvese que 0 < e si y sólo si x(¡ > 1/e. 5. No. Como en el ejemplo 3.4. 5 e), existe una subsucesión (nk) tal que nk sen (nk) > nk/ 2, y existe una subsucesión tal que mk sen (m k) < - m j 2.
SECCIÓN 4.3 3.
Dada a > 0, si 0 < x < 1/a2, entonces x < 1/ a y, en consecuencia, /(x) > Puesto que a es un valor cualesquiera,x - >lím 0 f( x) = o2.
a.
5. a) Si a > 1 y 1 < x < a / { a - 1), entonces a < x/(x 1); se tiene por tanto que lím x/(x - l ) = oo. /— y, por tanto, a < (x + 2)/y[x. r~ c) S i *~>1+ a > 0 y 0 < x < 4 / a 2, entonces a < 2/Vx e) Si x > 0, entonces 1/ Vx < (Vx + l)/x, de donde el límite por la derecha es +co. g) 1 7. Usar el teorema 4.3.11 .
424
kix
( ) m i ; n i »a <’ k ) n i ; s p a k a i : ii k < k i o .n n i i i • i i m n a i »<»,•;
9. Existe a > 0 tal que x f ( x ) - L < I siempre que \ <»■ por lanío, / (L + l)/x para x > a. 13. No. Si /*(x) := f( x )- g (x ), entonces lím k(x) = 0 y se tiene que /(*)/#(v) ^ I + h(x)/g(x)-* 1.
SECCIÓN 5.1
UH(
7.
x-*Q
5. 7. 9. 11. 13.
15.
SECCIÓN
I.
’CIONADOS
4. 6. 10.
14.
Puesto q ue 1/x 1/m = ( « x)/xu, se deduce que 1/x 1¡u «S (1/m2) x - u para x, u en [a, «>). Demostrar que x + u /(l + x2)(l + u2) ^ 2 para x, u en R. Si M es cota tanto de / como de g en A, demostrar que /(x)g(x) f{u )g (u) « M m - m + M g ( x ) - m para toda x, u en A Existe 8 > 0 tal que si ¡x u j < 8 , x , u e A , entonces j/(x) f (w)¡ ^1. S está acotado, entonces está contenido en la unión de un número finito de intervalos de longitud 8. Puesto que / está acotada en [0, p], se sigue está acotada en R. Puesto que j es continua en J := [1, p + 1], es uniformemente continua en J . Demostrar ahora que esto implica que / es uniformemente continua en R. Demostrar que /2(x) Bn{x) ^ l/4 « y que la igualdad se cumple en x = 1/2. Por tanto, se debe tomar n ^ 250.
SECCIÓN 5.5 1. Si x g [a, b], entonces f( a) «s f(x ). 5. Si / es creciente en [a, b], entonces \ím+/(x) = inf {/(x): x e (a, b)\.
1. Demostrar que inf {/(y) f(x ): x < c < y ,x ,y e l } = inf {/(y ): c < y, y £ /} s u p { / ( x ) :x < c , x e l } .
10. Usar el teorema del valor intermedio de BolzanoWeiérstrass 5.3.6. II . La función / no es continua en x = 1.
53
1. Aplicar el teorema de acotabilidad 5.3.2 a l//0 bien el teorema del máximo mínimo 5.3.4 para concluir que inf /(/) > 0. 3. Construir una sucesión (*„) en / con lím (/ (*„ )) = 0 y aplicar el teorema de BolzanoWeierstrass a (xn). (Alternativamente, demostrar que si el valor mínimo de / en i es diferente de 0, entonces ocurre una contradicción.) 5. En los intervalos [1.035,1.040] y [7.02 6, 7.025].
l
SECCIÓN Bo4
18. Sea / la función discontinua de Dirichleí [ejemplo 5.1.5 g)] y sea g(x) := 1 /(x). La función g no es continua en 1 = /(0). Sea / (x) .= 1 si x es racional y /(x) := 1 si x es irracional. Demostrar que un número real cualesquiera es el límite de una sucesión de números de la forma m/ 2", donde m e Z , n e N . Si h(x) := /(x) g(x), entonces h es continua y S - {x € R: h(x) 3= 0 } Demostrar primero que /(0) = 0 y (por inducción) que f( x) = ex para x e N y en consecuencia, también para x e Z . Probar después que /(x) = ex para x e Q. Por último, si x £ Q, sea x = lím (rn) para alguna sucesión en Q. Si /(x) ^ g(x), entonces de ambas expresiones se obtiene h(x) = /(x); y si /’(■*) 55 g(x), entonces h(x) = g(x) en ambos casos.
>A
E n e l i n t e r v al o [ 0 . 7 3 9 0 , 0 . 7 3 9 1 ] .
SECCIÓN 5o2 3.
l ’. N I
9. Puesto que f( n ¡ 4) < 1, en tanto que /(0) = 1 y f{ n/2 ) > 1, se sigue que x0 e (0, n/2). S i eos x0 > x$, entonces existe una vecindad5 V§(xQ) C I en la cual f( x) = eos x, de donde x0 no es un punto mínimo absoluto d e /. 12. Obsérvese que la imagen de (1 ,1 ) bajo / es [0, 1), por lo que la imagen de un intervalo abierto puede no ser un intervalo abierto. 14. Sí. 16. Considerar g(x) := 1/x para x en J := (0,1).
4. a) Continua si c =£ 0, ±1, ±2, ... . c) Continua si sen c A 0, 1. 5. Sí. Definir /(2) := lím /(x) = 5. 7. Sea e := /(c)/2 y sea 8 > 0 tal que si x c < 8, entonces /(x) f( c) < e, lo cual significa que /(x) > f( c) - e = f(c)/2 > 0. 9. b) Sea f( x) := 1 para x ^ 0, /(x) := 1 para x < 0 y /I := [0,1 ]. 12. Si x es irracional, entonces existe una sucesión ( r j de números racionales que converge a x. 13. La función g sólo es continua en 3. 15. Sea In := ( 0 ,1/n] para n e N . Demostrar que (sup f( In)) es una sucesión decreciente y que (inf /(/„)) es una sucesión creciente. Si lím (sup f( I )) = lím (inf /(/„)), entonces lím /exis te.
’( I M
SECCIÓN 6.1 1.
l( l + h ) ~ I T
b) g'M = Km c)
1 , n 1 ( v r r r £ ) „i™„ j x + h
4. Obsérvese que /(x)/x ^ x pa rax ei?.
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1 2y r
U l . ( ' ( )MI
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l< )NI S l’AMA
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l« H M
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. ( |n|l,\|.n’
5. a) f\ x) = (1 - x 2)t/ (l + X2)2. c) h(x) = mkxk~!(cosx*)(sen xk)m~l. 6. La función f ' es continua para «2= 2 y es derivable para n 2* 3. 8. a) f'( x) = 2 para x > 0 , f'( x) - 0 para 1 < x < 0 y f\ x) = 2 para x I. c) h (x) = 2¡x¡ para toda x eR. 10. Puesto que g\\/'j2ñrc) = 2v« 7r, se sigue que g' no está acotada en ninguna vecindad de 0. 11. a) f\ x) = 2/(2x + 3). b) g\x) = 6(¿ (x2))2/x. 12. r > 1.
SECCIÓN 6.2 1. a) Creciente en [3/2, co). c) Creciente cn ( - c o , 1] y [1, co). 2. a) Máxim o relativo en x = 1; máximo relativo en x = 1. c) Máxim o relativo en x = 2/3. 3. a) Mínimo s relativos en x = ± 1; máximos relativos en x = 0, ±4. c) Mínimos relativos en x = -2, 3 ; máximo relativo en x = 2. 4. x = (l/n)(a1 + •••+ an). 6. Si x < y, existe c en (x, y) tal que !sen x sen y \= ¡eos c¡ |_y—x¡. 9. f' ( l/ 2 n n ) < 0 para « 2=2, y f'(2/{A n + l)n) > 0 para n 2 * 1. 11. Por ejemplo , /(x) := Vx. 14. Aplicar el teorema de Darboux 6.2.12. 16. b) Si b A 0, entonces para n suficientemente grande, si x 5= n, entonces existe una xn> n tal que e > \f(n + 1) /(«); = ¡/ '(O ! > ¡¿>|/2. 20. c) Aplicar el teorema de Darboux a los resultados de a) y b).
SECCIÓN 6.3 1.
4. 6. 7. 8. 9. 10.
A =B [ Jímc/(x) /g( x)] = 0
Obsérvese que /'(O) = 0, pero que /'(x) no existe si x =£ 0. a) 1 b) 1 c) 0 d) 1/ 3 a) 1 b) oo C) 0 d) 0 a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 a) 1 b) 1 c) e 3 d) 0 a) 1 b) 1 c ) f 0 ) d) 0
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\ l'AH A I IIU( K IOS SI I lí( ( H)NAI >OS
'). A’ (.\) \ '„"/>/! M) cuando « -> 0° 11. Con n = 4, log 1.5 = 0.40; con n~ 7, log 1.5 = 0 .405. 13. e = 2.718 281 8 con n = 11 14. a) No b) No c) No d) Mínimo relativo 16. Considerar /(x) := x x en a = 0 . 19. Puesto que /(2) < 0 y /(2.2) > 0, hay una solución de / en [2.0, 2.2], El valor de x4 es aproximadamente 2.0 94 5515 . 20. rj = 1.452 626 88 y r2 = 1.164 035 14 21. r= 1.324 717 96 22. r1= 0.158 594 34 y r2 = 3.146193 22 23. 7j = 0.5 y r 2 = 0.809 016 99 24. r = 0.739 085 13
SECCIÓN 7.1 1. Demostrar que si P es cualquier partición de [a, b ], entonces L(P; f ) = U(P;
f )
=
c ( b - a ) .
2. Considerar P£:= ( 0 , - e , ¡ + e, 1). 5. Demostrar qu eI( P;j; /) = (1 1/n)2/A y í/(Pfj; /) = (1 + 1/n)2¡A. 7. Dada e > 0, escoger c e (a, b ) en la proximidad de a. S i Qe es una partición de [c, b] tal que U(Qe; f ) L(Qe; f) < e, sea P£ : = {«} U Qe. 9. Si f( c) > 0 para alguna c el, usar el teorema 4.2.9 para encontrar una partición PQde I tal que L( P0; /) > 0. 11. Evidentemente, L( P; li) = 0 para toda P. Si e > 0, construir una partición P£ tal que U(P£; h) < e. 13. Considerar el ejemplo 7.1.7 d). 15. Dada e > 0, encerrar cada discontinuidad en K intervalos disjuntos [ ak , con longitud total < e/AM y con índices tales que bk< ak+í,k= En cada uno de los conjuntos [a, a j , [bk, a k+ J , [bK , b) la función es uniformemente continua. 17. Examinar la demostración de 7.1.1 2. 19. a) Con la notación de 7.1 .2, se tiene m ¡ ¡\, mkI, mk \ !l/|¡. Por tanto, 0 í L(P'\ f ) L(P; f) = (m'k - mk)(z- xk- i ) + « mk)(xk z) < 2 i!/.,(x¿ ^ _ 1)^2:i/i|.||p¡¡.
SECCIÓN 7.2
1
SECCIÓN 6.4
■ i , MI M|.A
1.
a) Puesto que inf {kf(x)\ x e 7} = k inf {/(x): x e 7;}, se tiene L(P; kf) = kL(P\f).
1. 2. 5. 6. 7.
f- 2n~0(x) = ( l )”fl2" _ 1sen ax y /(2,,)(*) = (~l)"a2n eos ax para neN . g'(x) = 3x2 para x ^ 0, g'(x) = 3x 2 para x < 0 y g"(x ) = 6¡x¡ parax e R . 1.095 < VL2 < 1.1 y 1.375 < V 2 < 1.5 R2(0.2) < 0.0005 y i?2( 1) < 0.0625 R2(x) = (1/6)(10/27)(1 + c) “8'3x3 < (5/81)x3, donde 0 < c < x
3. El caso n = 2 es el teorema 7.2.1. 7. Por el ejercicio 2.4.1 0 se deduce que sup {¿ (P ; /): P 6 ¿P(I)} ^ sup {P(P ; /): P e ¿P(I)}. Recíprocamente, siP e ¿P(I), s e a P ' := P U { c} . 9. a) Si / es par y P es una partición simétrica de [ a , a], entonces L(P; f) = 2L[P p / ) .
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Ki :<’OMIiNl )A( iONIiS l'AUA I II l(( K |»>?, :¡| ||< <|< tflAlK >
13. Usar la desigualdad para demostrar que U(P;¡J'¡)
/
S E C C I O N 7.5
U(/’ ; /)
19. Demostrar que h = (1/2)(/ + g + !/ g!).
SECCIÓN 7.3 3. a) Aplicar el teorema 7.3.1 a //(x) := x en [0, b], b > 0. 7. Si h tuviera una antiderivada en algún intervalo no trivial, ocurriría una contradicción en el teorema de Darboux 6.2.12. 9. Si P es una partición que contiene a todos los puntos donde F \x) A /(x), aplicar el teorema 7.3.1 a cada subintervalo de P. 11. Escribir H(x) = fabf - Ja f 13. b) F '(x) = 2x (l + x 6)"1. d) F\x) = (eos x) eos (sen x). 15. a) Si 0 < a < x < 1, escribir í\(l/t) dt = f\ (l¡ t) dt + JJ (l /t ) dt. b) Para y > 0 fija, demostrar que si g(x) := L(xy) - L(x), entonces g'(x) = 0 para toda x > 0 y g(l) = L(y). = 0. 17. Si F(x) := ¡o f, entonces F \x) = 0 para toda x e l y F( 0) 19. Si £ > 0, entonces M~ e < f( x ) para x en algún intervalo [c, d] C [a, b ]. Usar el ejemplo 3.1.11 d). 20. a) (23'/2 l)/3 b) V Í0 1 c) 52/9 d) (4/3)(3 3'2 23/2) 21. a) 4(1 log(5/ 3)) b) (135'2 5 5/2)/ 10 (1 33/2 5 3/2)/2 c) log(3 + 2 V2) log 3 d) 7F/4Arctan (1/2) 22. a) 2(171/4) b) 2 log2 1 c) 2v/2 + 41 og (2V 2) d) V8 + (1 /2) log ((V8 1/(V8 + 1)) M para x e l , demostrar que g{x) «s MKn(x - a) ,l/n\. Aplicar 23. Si g(x) ahora el ejercicio 3.2.15 c). 25. Sea t := a + 9(b a) para 9 e [0, 1] y escribir
1. Usar (4) con n = 4,a = l,b = 2,h = 1/4. En este caso, 1/4 ^ f" (c ) ^ 0.697 02. 2. S4 ~ 0.693 25. 3. r 4 = 0.782 79. 5. S4 = 0.785 39. 11. Usar el ejercicio 7.5.10. 13. Interpretar K como un área. n ~ 3.141 592 65. 14. Aproximadamente 3.653 484 49. 15. Aproximadamente 4.821 16. Aproximadamente 0.835 648 85. 17. Aproximadamente 1.851 18. 1. 19. Aproximadamente 1.198 20. Aproximadamente 0.90 4 524 24.
2 ,T 4~
159 32. 937 05. 140 23.
SECCIÓN 8.1 1. 3. 5. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 23.
Obsérvese que 0 f jx ) x/n -> 0 cuando n -+ «>. /(0) = 0 y /(x) = 1 para 0 < x. En este caso /(x) = 0 para 0 x. El teorema 3.2.1 1 puede resultar útil. Si x g [0, a], entonces /;¡(x) ^ a/n. Sin embargo, fn{n) = 1/2. Six g [a, co), entonces f n(x) 1 ^ 1 /na . Si x g [a, co), entonces fn(x) ^ 1¡na. En este caso f n( 1 /n) - \¡e. ¿Dónde se maximiza /„? Sea M una cota de (fn(x)) y (gn(x)) en A de tal modo que g(x) ^ M. Demostrar que (f„(x))(gn(x)) - /(x)g(x) « M g n(x) g(x) + M f n(x) - /(x) para todaxg A.
Rn = (1 /n\)(b a) n ' 1/0](1 ~ 0) /<» +'\a + 6(b - a)) d9. Aplicar ahora el corolario 7.3.13.
SECCIÓN 7.4 1. La suma es la suma de Riemann correspondiente aPn := (0, l/n, 2/n,..., n/n) y los puntos intermedios %k := k/n. 3. Demostrar que el límite es igual a Jo (1 + x2)1 dx. 4. a) 1/8. b) 2/n. 7. La suma de Riemann es telescópica. 11. Obsérvese que la suma de las sumas de Riemann de / en [a, c] y en [c, b] es una suma de Riemann en [a, b ]. Además, si e > 0, existe 5 > 0 tal que todas las sumas de Riemann en [a, £>] correspondientes a P con P < 8 difiere en menos de e de una suma en [a, c] más una suma en [ c, b]. 15. a) La integral es igual a n. b, c) Las integrales son divergentes, d) La integral es igual a k /2.
SECCIÓN 8.2 1. El límite es /(x) := 0 para 0 ^ x < l , /(1) := 1/2, y /(x) = 1 para 1 < x 2. 5. Dada e > 0, sea <5> 0 tal que para x , u e R con x - u < 8 , /(x) f( u ) < e. Ahora establecer la restricción l/n < 8. 7. Dada e = 1, existe K > 0 tal que s i n ^ K y x e A , entonces fn(x) - /(x) < 1. Demostrar que /(x) =£ f¡¿x) + 1 para toda x g A. 9. En este caso /(x) := 0 para tod ax g [0, 1], pero g (l ) = 1. 11. Por la primera forma del teorema fundamental se sigue que J(/f¡ = f n(x) f n(a). Ahora se aplica el teorema 8.2.4. 13 Si a > 0, entonces se puede aplicar el teorema 8.2.4. Si a = 0, usar el teorema 8.2.5. 15. Se puede aplicar el teorema 8.2 .5, o bien, se pueden evaluar las integrales directamente.
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SECCIÓN 8.3 1. En (5), sea A := x > 0 y sea m -* =°. Para estimar e, tomar x = 1 y n = 3. 3. Evidentemente, En(x) « ex para toda n e /V, x 5= 0. P ara obten er la otra d e s igualdad, aplicar el teorema de Taylor 6.4.1 a [0, a] y observar que si c e |0, a], entonces 1 =£ ec ea. 5. Obsé rvese que 0 /"/(1 + t) *£ í" para t e [0, x\. 7. log 2 *0 .69 31 . 9. Puesto que a JA = 1 + xk ^ E(xk), se deduce que (a} ■■■an)/An £(x,) ••• E(xn) = £(x , + •••+ x„) = 1. 11. a) Puesto que ¿( 1 ) = 0, se tiene 1“ = £,(a,Z,(l)) = £( 0) = 1. c) (xy)“ = E(a L (xy)) = E(aL (x) + ccL (y)) = E(aL ( x)) ■E(aL (y)) = x “y “. 13. a) Si a > 0, por 8.3.13 se sigue que x>>x“ es estrictamente creciente. Puesto que lím L(x) = co, usar 8.3.7 para demostrar que lím xa = 0. a >o + x -* o + 15. Usar 8.3.1 4 y 8.3.9 vii. 17. De hecho, se tiene log flx = (logx)/(log a) = {(lo gx)/ (log ¿>)}{(log fc)/(log a) } si a 1, b ^ 1. Ahora se toma a = 10, b = e.
SECCIÓN 8.4 1. 3. 5.
7. 9.
Si n > 2 x , entonces c o sx C ^ x) =£ (16/15) x 2n/(2n)\. Por tanto, eos (0.2) * 0.980 067, eos 1 * 0.540 302. Usar 8.4.8 ix y el hecho de que el seno es una función impar. El ejercicio 8.4.4 indica que C4(x) =£ eos x CJx) para toda a: eR . Al integrar varias veces se obtiene S4(x) =s sen x ^ 55(x) para toda x > 0. Demostrar que £4(3.05 ) > 0 y que S.(3 .15 ) < 0. (Este procedimiento se puede afinar.) Seguir un razonamiento como el de 8.4. 3 y 8.4.4 . Si
SECCION 9.2 I. a, d) Son convergentes. b, c) S on divergentes. 3. a) Es divergente ya que (log n)p < n para n suficientemente grande. c) Es convergente. d) Es divergente. 5. Comparar con £(l/ n2). 7. a) Es convergente. c) Es divergente. 8. En este caso lím (xj") = a < 1. 9. Si m > « 2 * K, entonces sm-sn =£ xn +j + •••+ xm < r n + J/(l r ) . Se hace ahora m -+ °o. 11. Sumar los términos de (12 ) para k = n+ 1,..., m; entonces se hace 13. b) .s' s10 < 0.633 y s - s n < 0.001 cuando n > 4 x 106. 14. Obtener una estimación más baja de s3n. 15. Usar el teorema del valor medio para demostrar que cn > c fl +r 17. Si q ^ p + 1, usar el corolario 9.2.10. Si q = p 4 1, usar 9.2.2 con yn = 1/n.
S E C C I Ó N 9.3 I. 3. 5. 8. II.
b, d) Son convergentes pero noabsolutamenteconvergentes. Sea z 2/t_ 1 '■=1/n, z 2n := 0. Sí. a) Es convergente. b) Es divergente. Agrupar los términos para obtener una serie alternante. Usar la integral de 1/x para demostrar que los términos de la serie agrupada son decrecien tes a 0. 12. Usar el lema de Abel. 15. a) Usar el criterio de Abel. c) Si an = 0 excepto cuando sen n está próximo a ±1, es posible obtener un contraejemplo, e) Recuérdese el ejemplo 3.1.11 e).
SECCIÓN 9.1 3. Se obtiene una subsucesión de la sucesión (5 ). Considerar la serie divergente £(!)"•
S E C C I Ó N 9.4 1.
6 . a ) [ ( a + n ) ( a + n + 1 )] 1 = ( « + « ) 1 ( a + n + l ) 1 .
7. Considerar Z ( l) 7 « 1'2. 8. Sí. 11. Agrupar términos para demos trar que a x + a2 + •••+ a 2„ está acotada por abajo por ( 1 /2 )(<21+ 2 a2 + 2 2a ¿2 + ••■+ 2 "a2„) y por arriba por a1+ 2a2 + 2 2a 22 + •••+ 2na2„. 13. a) 2”(l/2" log 2") = \/(n log 2) > 1/n. b) Usar el inciso a). 15. Usar la inducción matemá tica para demostrar que sn = l o g 2 l og n + log (n »■ 1). 19. No; racionalizar.
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3.
6. 7. 9. II . 12. 15.
a) Tomar Mn := 1/n1. b) Convergencia uniforme para x 5= a > 0 y convergenc ia no uniforme para c) Convergencia en/?; convergen cia uniforme para x sS a. Si la serie converge uniformemente, entonces cn sen nx + •••+ c2nsen 2 nx < e para n suficientemente grande. Ahora x se restringe a un intervalo en el que sen kx > 1/2 para n k =5 2n. a) R = ce. c) R = 1/e. c) R = 4. Ambos radios = 1. P or 3 .1 .1 1 d) s e ti en e p 1 1. Usar el teorema de Taylor 6.4.1. Si n e N, existe un polinomio Pn tal que f-"\x) = e~l x2P n( 1/x) para x =£ 0. En este caso ^(x ) = (1 x" +!)/(l x).
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f */2(sen a )2" dx = (7T/2X1 *3 •5 *•*(2 n - 1))/(2 •4 •6 •••2/j).
1. Si x - u < inf {x, 1 - x } , entonces h < a + ( 1 a ) = 1 y « > a - x = 0, por lo que 0 < u < 1. 4. Si x e (0, 1], entonces x e (0, 1 + 1/n) para toda n eN. Asimismo, si x > 1, entonces x 1 > 0, por lo que existe nx e N tal que x - 1 > 1 /nx, de donde x e (0,1 + 1/n). 7. Por el corolario 2.5.6 del teorema de densidad se sigue toda vecindad de un punto x en Q contiene un punto que no está en Q, por lo que Q no es un conjunto abierto. 10. Obsérvese que x es un punto frontera deA <=> toda vecindad V de x contiene puntos de A y puntos de t í(A) <=> x es un punto frontera de tí(A). 12. Sea F cerrado y sea a un punto frontera de F. Si a £ F, entonces a e tf(F). Puesto que ¡í (A) es un conjunto abierto, existe una vecindad V de a tal que V C if (A), lo cual contradice la hipótesis de que a es un punto frontera de F. Recíprocamente, si F contiene a todos sus puntos frontera y si y g F, entonces y no es un punto frontera de F, por lo que existe una vecindad V de y tal que V C tf(F). Esto implica que if(F) es abierto, por lo que F es cerrado. 14. Puesto que A° es la unión de subconjuntos deA, se tiene A° C A. S e sigue que (A°)° C A°. Puesto que A° es un subconjunto abierto de A° y (A°)° es la unión de todos los conjuntos contenidos enA°, entonces A° C (A°)°. 17. Tomar A = Q. 20. Si ax e G, entonces como G es abierto, existe e > 0 con (a x - e , a x + e ) C G . Esto contradice la definición de ax.
SECCIÓN 10.2 1. Sea Gn := (1 + 1/n, 3) para n e N . 4. Obsérvese que si £ es una cubierta abierta de F, entonces ¿£C\ {if (F )} es una cubierta abierta de K. 7. Sea Kn := [0, n] para n e N. 8. Usar el teorema de HeineBorel. 10. Puesto que K está acotado, inf K existe. Para n e N, sea Kn := {k e K: k (inf K) + 1/n}. S e aplica ahora el ejercicio 10.2.9. [Otra opción es usar el teorema 10 .2 .6 !]
11. Para n e N , sea xne K tal que c - xn ahora el teorema 10.2.6.
inf { c a : a e I<} + 1/n. Se aplica
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SECCIÓN MU
r iiilry.in i, usando el Icoie
ma 0.4.11.
19. Integrar e (2 = E ( l) "í 2"//i!. 20. Aplicar el ejerci cio 9.4, 14 y el hecho de que
I' AHA I II IH l« l<>*•SI I I < < H I N A I MC
1. b) Si /:= (a, b) donde a <0 < b, entonces /(/) = [0, c ) donde c es el mayor de a2 y 'o2. 3. f~\ G) = /’([0, e)) = [1,1+ e2) = (0, 1 + e 2) n I. 5. /_1((oc, a)) es la imagen inversa del conjunto abierto (co, a:). 7. Si xne R es tal que f( xn) = k para toda n e N y si a = lím (aw), entonces /(a) = lím (/(a„)) = k .
SECCIÓN 10.4 Px := (a ,, y , ) , P2 := (A2,y 2), P3 := (a 3,y 3), entonces d x(P v P2) ( a , a 3 + a 3 a 2 ) + ( y, -y3 + y3 -y 2 ) = d x(P v P3) + 3, P2). Por tanto, d x satisface la desigualdad del triángulo. Se tiene s A t si y sólo si d(s, t) = 1. Si s =£ t, el valor de d(s, u) + d(u, t) es 1, o bien, 2, dependiendo de si si u es igual a .s o a t, o a ninguno de los dos. Si ( a ;|), (yj() converge a a , y, entonces d(Pn, P ) = a (| a + yn-y + 0, por lo que (Pn) converge a P. Recíprocamente, puesto que x n - x 5 d(Pn, P), si d(Pn, P) -* 0, entonces lím (xn) = x; se procede de manera similar para (y n). Demostrar que un conjunto compuesto por un solo punto es abierto. Entonces se sigue que cualquier conjunto es un conjunto abierto, lo cual a su vez implica que cualquier conjunto es un conjunto cerrado. Para una y e V£(x) dada, sea 5 := e - d(x,y ); entonces 8 > 0. Demostrar que V5(y) C V£(x). Puesto que y es un valor cualesquiera, se deduce que V£(x) es un conjunto abierto. Modificar la demostración del teorema 10.2.4.
1. Si
3. 5. 7.
9.
12.
I N D K ’l A N A L I T I C O
Absurdum, ver Reductio Acotada(o): conjunto, 59, 400 función, 139,171 sucesión, 96 teorema de convergencia, 305 Antiderivada, 278 Axioma, 405 Axioma de selección, 82 Bernoulli, Johann, 2 27 Bicondicional, 409 Biyección, 27 Cambio de variable, 284 Campo, 37 Canis Lupus, 218 Cantor, Georg, 75 Cauchy: criterio de condensación de, 350 criterio de convergencia de, 120, 316, 345, 367 criterio de^la raíz de, 352 desigualdad de, 50 sucesión de, 119, 397 teorema del valor medio de, 228 Clase, 15 Cociente: de funciones, 139 de sucesiones, 140 Cola de una sucesión, 92 Compacidad, preservación de la, 39 1,4 00 Complemento de un conjunto, 19, 20 Composición de funciones, 28, 168 Computadoras, 73, 86 Condición de Lipschitz, 226 Condicional, la, 408 Conjunción, 407 Conjunto(s): abierto, 376, 39 9
acotado, 59, 401 cerrado, 376, 399 compacto, 384 complemento de, 19 complemento con respecto, 19 contable, 78 contiene/está contenido en, 15 de Cantor, 381 diferencia simétrica de, 21 disjunto, 17 enumerable, 78 finito, 76 iguales, 16 inclusión de, 16 incontable, 78 ínfimo de, 59 infinito, 76 intersección de, 17 intervalos, 68 ss. no acotado, 59 producto canesiano de, 20 punto de acumulación de, 130 punto frontera de, 383 punto interior de, 383 que no se intersecan, 17 supremo de, 59 unión de, 17 vacío, 17 Conjunto abierto, 376, 399 Conjunto cerrado, 376, 399 Conjunto compacto, 384 ss. Conjunto contable, 78 Conjunto de Cantor, 38 1 Conjunto enumerable, 78 Conjunto finito, 76 Conjunto infinito, 76 Conjunto vacío, 17 Conjuntos disjuntos, 17 Constante de Euler (C), 360
Im i|i I ANAI lll<(>
INI HCI ANAI II h (i
Continuidad, 28 ss., 389 ss. global, 390 uniforme, 179 ss. Continuidad uniforme, 179 ss., 392 Continuo ( continuum), 70 Contradicción, 406 demostración por, 415 Contradominio de una función, 23 Contracjemplo, 411 Contrapositivo (antítesis), 408 demostración por, 414 Convergencia: absoluta, 345 de una serie de funciones, 366 ss. de una sucesión, 88, 126 de una sucesión de funciones, 309 ss. en un espacio métrico, 397 intervalo de, 369 radio de, 369 uniforme, 313, 36 7 Convergencia absoluta, 345 Convergencia condicional, 346 Convergencia uniforme: de una serie, 367 de una sucesión, 313 Coseno, 338 Cota: inferior, 58 máxima inferior, 59 mínima superior, 59 superior, 58 Criterio: de la /iésima derivada, 220 de la primera derivada, 220 Criterio de Abel, 364 Criterio de Dirichlet, 363 Criterio de discontinuidad, 161 Criterio de la integral para series, 354 Criterio de la primera derivada, 220 Criterio de la razón, 103, 353 Criterio de la segunda derivada, 2 42 Criterio de Raabe, 357 Criterio de razón de D ’Alambert, 353 Criterios de comparación, 127, 351 Criterios de convergencia de series, 351 ss. Cuantificador existencial, 410 Cuantificador universal, 410
Darboux,
Enteros, lo
Equivalencia lógica, 40 6 Espacio métrico, 394 ss. Espacio métrico completo, 398 Excluido, principio del medio, 406 Exponentes, 42 Extensión de una función, 26 Extremo relativo, 216, 220, 240 Falacia, 406 Fermat, Pierre de, 203, 251 Flexiones, 203 Formas indeterminadas, 227 Función(es), 22 ss. aditiva, 170,193 acotada, 139, 171 biyecíiva, 27 cociente de, 140 compuesta, 28,1 68 continua, 159 ss., 400 contradominio de, 24 convexa, 241 creciente, 191, 219 de Bessel, 221 de Lipschitz, 183 de potencias, 124, 136 de Thomae, 162, 272, 283 decreciente, 191, 219 del entero mayor, 170 del seno inverso, 214 derivable, 204 derivada de, 204 diferencia de, 140 dominio de, 24 escalonada, 186 exponencial, 327 extensión de, 26 gráfica de, 24 hiperbólico, 341 imagen de, 24 imagen directa de, 26 imagen inversa de, 26 impar, 215 integrable, 256 inversa, 28, 195 ss., 221 ss. inyectiva, 27 límite de, 129 ss. lineal por partes, 188
logarítmica, 129 ss., 329 métrico, 395 monótona, 191 múltiplo de, 140 no derivable, 205 par, 215 periódica, 191 polinómica, 144, 166,189 racional, 144, 166 raíz cuadrada, 66 raíz «ésima, 196 ss. restricción de, 25 salto de, 193 signo, 137 sobre, 27 sucesión de, 309 ss. suma de, 140 suprayectiva, 27 trigonométricas, 335 ss. uno a uno, 27 valores de, 24 Función aditiva, 170, 193 Función convexa, 242 Función creciente, 191, 21 9 Función de Thomae, 162, 272, 283 Función decreciente, 191, 21 9 Función del entero mayor, 164 cota mínima (= ínfimo), 58 Función derivable, 204 uniformemente, 226 Función discontinua de Dirichlet, 161 Función exponencial, 325 ss. Función impar, 215 Función inyectiva, 27 Función lineal por partes, 188 Función métrica, 395 Función par, 215 Función periódica, 191 Función signo, 137 Función suprayectiva, 27 Funciones de Bessel, 22 1 Funciones hiperbólicas, 341 Funciones no derivables, 205 Funciones trigonométricas, 335 ss.
Gallus gallus, 406 Gráfica, 24
l m >|i l A N A I I I I ' o
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Hipótesis, 408 de inducción, 32 Imagen, 24, 26 imagen directa, 26 Implicación, 408 Inducción fuerte, 35 Inducción matemática, 31 ss. Inferior: cota, 58 integral, 255 suma, 253 Infimo, 59 Innumerabilidad de R, 81 Instancia, en última, 92 Integración aproximada, 296 ss. Integral, 256 elíptica, 374 impropia, 291 ss. indefinida, 278 inferior, 255 superior, 255 Integral de Lebesgue, 251, 257 Integral de RiemannStieltjes, 257 Integral elíptica, 374 Integral indefinida, 278 Integral por partes, 278 Integrales impropias, 291 ss. Interior: de un conjunto, 384 punto, 38 3 teorema del extremo, 216 intersección de conjuntos, 17, 19 Intervalo(s), 68 ss. anidados, 70 ss. caracterización de, 176 conservación de, 178 de convergencia, 369 longitud de, 69 Intervalo abierto, 68 Intervalo cerrado, 6 9 Intervalo semiabierío, 69 Intervalo semicerrado, 69 Inversa: función, 27, 195 ss., 211 ss. imagen, 26 Inyección, 27 Jueg o K (£), 89
Lagrange, .1.1 . • lo Lebesgue, 1Icm i, .! /.' Leibnitz: criterio de, para series alternas, 362 regla de, 247 Leibnitz, Gottfried, 203, 251 Lema de Abel, 363 Leyes de De Morgan, 20, 22, 407 L’Hospital, G. F., 227 Límite(s): criterio de comparación, 127, 351 de una función, 23 ss. de una sucesión, 88 inferior, 111 infinito, 151 ss. superior, 111, 369 unilateral, 148 Límites por un lado, 148 Límites infinitos, 151 ss. Logaritmos, 284, 329 ss. Longitud de un intervalo, 69 Ivíapeo, ver Función Máquina, 25 Máximo absoluto, 171 Máximo relativo, 216 Media aritmética, 49, 334 Media geométrica, 49 Medida cero, 272 Medio excluido, principio del, 406 Método de Newton, 243 ss. Miembro de un conjunto, 15 Mínima cota superior { - supremo), 58 Mínimo absoluto, 172 Mínimo relativo, 216 Molino de carne, 25 Monótona: función, 191 sucesión, 105 teorema de la subsucesión, 87 Múltiplo de una sucesión, 87 Negación, 407 Newton, Isaac, 203)25 1 Norma de una función, 312 Norma (o malla) de una partición, 289 Norma uniforme, 314 Nurnerabilidad de Q, 8 0
Niíinero(s):
irracionales, 16, 43 naturales, 16, 42 racionales, 16, 42 reales, 16, 37 ss. Número de Euler ( e ), 110, 327 Número impar, 43 Número irracional, 43 Número par, 43 Número racional, 16, 42 Números naturales, 16 Números negativos, 44 Números reales, 16, 37 ss. potencias de, 199, 331 Operación binaria, 38, 44 ,Par ordenado, 20 Partición, 252 norma, 183 refinamiento, 254 Pico, 116 Polinomio: de Bernstein, 189 de Taylor, 237 Polinomio de Taylor, 237 Positiva(o): clase, 44 número, 45 Potencia(s): de un número real, 42,199, 331 funciones de, 199, 331 series de, 368 Preservación: de intervalos, 178 de la compacidad, 391, 400 Principios del palomar, 77 Producto: de conjuntos, 20 defunciones, 140 de sucesiones, 87 teorema del, 272 Producto cartesiano, 20 Progresión geométrica, 34 Propiedad, 16 Propiedad asociativa, 18, 38, 44 Propiedad conmutativa, 18, 38, 44
•i i'*
Propiedad de Arquímedes, <>3 Propiedad de complelitud de R, 5 8 ss. Propiedad de idempotencia, 18 Propiedad de los intervalos anidados, /1 Propiedad de tricotomía, 4 4 Propiedad del buen orden, 31 Propiedad del ínfimo, 61 Propiedad distributiva, 18, 39, TI Propiedades algebraicas de R, 38 ss Propiedades de los conjuntos e n m. los 377 Propiedades de los conjuntos 377 Propiedades de orden de R, 44 ss. Proposición, 406 Punto: de acumulación, 129 frontera, 383 interior, 383 intermedio, 286 Punto de acumulación, 129 Punto fijo, 400 Punto frontera, 383 Puntos antípodas, 178 Puntos terminales de intervalos, 69 7n ......
Quod eral demostrandum , 414 Radio de convergencia, 369 Raíz(ces): criterio de la, 352 existencia de, 66, 68 funciones de, 196 ss. localización de, 174 método de Newton, 243 ss. Raíz cuadrada de 2: cálculo, 109 carácter irracional, 44 existencia, 64 Rayos, 69 Recíproco, 39, 409 Reductio ad absurdum, 415 Refinamiento de una partición, 254 Regla de la cadena, 208 Regla de Simpson, 304 ss. Regla del punto medio, 302 ss. Reglas de L’Hospital, 227 ss.
INI'K I ANAI lili (i
Representación bimuia, /.í ss. Representación decimal, 73 ss. Residuo: en el teorema de Taylor, 238 forma de Cauchy, 286 forma de Lagrange, 238 forma integral, 283 Restricción de una función, 25 Riemann: criterio de integrabilidad de, 259 integral de, 256 suma de, 286 Riemann, Bernhard, 251 Salto de una función, 193 Selección, axioma de, 82 Seno, 346 Serie(s), 343 absolutamente convergentes, 345 alternante, 362 condicionalmente convergentes, 346 de funciones, 366 ss. de potencias, 368 ss. de Taylor, 372 geométrica, 346 hipergeométrica, 361 reordenamientos de, 348 serie/?, 347 sin seis, 361 Serie armónica, 122123, 347 Serie de Taylor, 372 Serie geométrica, 346, 374 Serie sin seis, 361 Serie/?, 347 Series alternantes, 362 Series hipcrgeométricas, 361 Series infinitas, 343 ss. Subconjunto, 16 Subcubierta, 38 5 Subsucesión, 112 Sucesión(es), 29, 30 ss. acotada, 96 barajada, 118 cociente de, 87 cola de, 87 constante, 87 contractiva, 123
cunvcigun In
me
converge ii le, KH
de Cauchy, I I') de Fibonacci, 87 de funciones, 309 ss. diferencia de, 87 divergente, 88 inductiva, 8 6 límite de, 88 monótona, 106 múltiplo de, 87 no acotada, 127 producto de, 87 propiamente divergentes, 126 recursiva, 86 subsucesión de, 112 suma de, 87 término de, 29, 85 valores de, 85 Sucesión barajada, 118 Sucesión contractiva, 123 Sucesión creciente, 105 Sucesión de Fibonacci, 87 Sucesión decreciente, 106 Sucesión propiamente divergente, 126 ss. Suma: de funciones, 140 de la serie, 344 de Riemann, 286 de sucesiones, 86 parciales, 344, 36 6 Sumas parciales, 344, 363 Superior: cota, 58 integral, 255 suma, 253 Suprayección, 27 Supremo, 59 iterados, 68 propiedad del, 61 Supremos iterados, 68 Sustracción en R, 4 2 Tautología, 406 Taylor, Brook, 236 Teorema de aproximación, 185 ss. Teorema de aproximación de Bernstein, 190
Tcni enia
Teore ma del valoi intermedio de
para conjuntos inf initos, 389 para sucesiones, 116 Teorema de CauchyHadamard, 369 Teorema de composición, 270 Teorema de compresión, 99, 144 Teorema de continuidad global, 390 ,40 0 Teorema de convergencia monótona, 106 Teorema de Darboux sobre la integral, 290 Teorema de densidad, 66 Teorema de derivación, 371 Teorema de extensión continua, 185 Teorema de HeineBorel, 387 Teorema de integrabilidad, 259 ss. Teorema de intercambio: en relación con la continuidad, 319 ,36 6 en relación con la derivación, 320 ,36 7 en relación con la inteligencia, 296, relacionados con series, 366 ss. relativos a sucesiones, 317 ss. Teorema de la inversa continua, 195,393 Teorema de localización de raíces, 174 Teorema de reordenamiento, 349 Teorema de Rolle, 217 Teorema de u nicidad para series de potencias, 372 Teorema del máximomínimo, 173, 392
Bolzano, 175 Teorema del valor intermedio de Darboux, 224 Teorema del valor medio: forma de Cauchy, 228 para derivadas, 217, ss. para integrales, 281 Teorema fundamental del cálculo, 27 5 Teoremas de sustitución, 279, 280 Teoremas del valor intermedio: de Bolzano, 175 de Darboux, 224 Transformación, ver Función(es) Unión de conjuntos, 17, 19 Uno a uno, 27 Valor absoluto, 53 Valor de una función, 24 Vecindad, 56, 376, 291, 397 Weierstrass: criterio M de, 36 8 función no derivable de, 204 teorema de aproximación de, 189 Y/o, 407
L a e d i c ió n , c o m p o s i c ió n , d i s e ñ o e i m p r e s i ó n d e e s ta o b r a b a j o l a s u p e r v i s ió n d e
f u e r o n r e a l iz a d o s
GRUPO NORIEGA EDITORES.
B alde ras 9 5 , C ol . C entro . M éxico , D .F. C. P. 060 40 0 2 2 2 2 8 7 0 0 0 4 0 4 6 3 2 D P 9 2 1 211
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INTRODU CCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO Robert G. Bartle
Es una obra que se distingue por la forma de exposición de sus temas, ya que además de ser rigurosa y precisa, es de fácil comprensión. Mediante definicio nes exactas, numerosos ejemplos y minuciosas demostraciones trata, sin caer en la abstracción matemática, de eliminar el abismo existente entre los cursos de cálculo y los cursos avanzados de análisis, matemáticas aplicadas, top o logía y geometría. El libro contiene ocho capítulos, cada uno de los cuales se subdivide en sec ciones que profundizan en temas como el álgebra de conjuntos, propiedades algebraicas de los números reales, conjuntos cerrados y abiertos, teorema de Heine-Borel, teorema de BoizanoWeiersírass, convergencia, sucesiones de fundones continuas, límites de fun ciones, teorema de valor medio, integral de Riemann-Stieltjes, convergencia de series infinitas, la derivad a en R 1’ y la integral en Rp. Por su contenido y claridad de exp o sición,. esta obra es un valioso libro de texto para los cursos que se imparten sobre la materia a nive licenciatura en las carreras de! área de ciencias fisico matemáticas.