Introdução à Análise Real - Alexandre L Madureira

Introdu¸c˜ ao ` a An´ alise Real P´ os-gradua¸ os-gradua¸ c˜ cao a õ do LNCC1

Alexandre L. Madureira

´ rio Nacional de Computac ˜ o Cient´ıfica—LNCC, Brasil Laboratorio o ¸ao a URL: URL: http://www.lncc.br/ alm URL: URL: http://www.lncc.br/ alm/cursos/analise06LNCC.html

∼ ∼

1

20 de mar¸co co de 2006

ćio. Estas notas de aula são Prefacio. a ao relativas ao curso de Análise a lise da pós-gradua¸ os-gradua¸c˜ cão a o do

Laboratório orio Nacional de Computa¸c˜ cão ao cient´ cient´ıfica, LNCC. Estas notas devem servir de apoio, e certamente não ao eliminam a necessidade de se usar os já clássicos, assicos, aprimorados e vários arios livros did´ aticos. aticos. Mencionam Mencionamos os alguns alguns deles na biliografia. biliografia. Neste curso apresento alguns tópicos opicos de análise alise que, espero, sejam úteis. uteis. Na verdade, o que eu espero mesmo é apresentar o rigor matemático atico aos alunos, e mostrar como este deve ser utilizado em conjunto com a intui¸c˜ cão ao matemática. atica. Minha exp eriˆ encia encia diz que os alunos do LNCC tˆ em em a intui¸c˜ cao aõ mais desenvolvida que o rigor. Planejo Planejo discutir discutir os seguintes seguintes tópicos: opicos: Os n´ umeros reais e topologia em R umeros Fun¸c˜ cões; oes; Conjuntos finitos, infinitos, contáveis; aveis; Propriedades dos reais; Espa¸cos cos Vetoriais; Conjuntos abertos e fechados; Vizinhan¸cas; cas; Teorema de BolzanoWeierstrass; Conjuntos Compactos; Teorema de Heine–Borel; Sequˆ Seq uência enc iass e Conver Co nvergˆ gência enc ia;; Sequˆ Se quênci en cias, as, Subs Su bsequ equˆência enc ias; s; Seq S equˆ uência enc iass mon´ mo nótonas otonas (em R); limsup; Caracteriza¸c˜ cao aõ de conjuntos fechados; Sequências encias de Cauchy Cau chy Fun¸c˜ cões oes Cont´ Con t´ınuas ınu as Propriedade Propriedadess Locais e Globais Globais Preserva¸c˜ cão ao de Compacidade e Continuidade Uniforme Diferenciabilidade Fun¸c˜ coes o˜es de uma variável; avel; Derivadas parciais; Diferenciabilidade Regra da cadeia; Teorema de Taylor; Teorema da fun¸c˜ cão ao impl´ıcita ıcita e da fun¸c˜ cao ão inversa; Aplica¸c˜ cões oes Sequência enci a de fun¸ fun ¸c˜ cões oes Convergência encia pontual e uniforme; unif orme; Trocas de limites lim ites Equicontinuidade

•

n

• •

• •

A referˆ refe rência enci a básica asi ca é o livro liv ro The elements of Real Analysis , de Robert Bartle [ 1]. Outra referˆ ref erência enci a importa imp ortante nte é o já cl´ assico assico livro de análise alise do Elon Lima [ 5], bem como [ 8]. Para tópicos opicos espec´ıficos ıficos em uma dimensão, pode-se ler [ 2, 4]. Finalmente, Final mente, idéias eias mais mai s abstratas abstra tas são ao apresent apresentadas adas em [ 6].

Conte´ udo udo Cap´ıtulo 1. Pré-requisitos 1.1. 1.1. Fun un¸c˜ ço˜es 1.2. Conjunto Conjuntoss finitos, finitos, infinitos, infinitos, enumer´ enumer´ aveis 1.3. Exerc´ıcios

1 1 2 3

Cap´ıtulo 2. Os n´ Cap´ umeros umeros reais e o Rn 2.1. Os n´ umeros Reais 2.2. 2.2. Espa Espa¸cos ços Vetoriais e o Rn 2.3. 2.3. Con Conjun juntos tos aberto abertoss e fechad fechados os em Rn 2.4. 2.4. Celas Celas encaix encaixan antes tes em Rn e o teorema de Bolzano–Weiertrass 2.5. Conjuntos Compactos 2.6. Exerc´ıcios

5 5 8 11 14 15 17

Cap´ıtulo 3. Sequências 3.1. 3.1. Defin Defini¸ i¸c˜ caõ e resultados preliminares 3.2. Subsequências e Teorema de Bolzano–Weierstrass 3.3. Sequências de Cauchy 3.4. Sequˆ encias encias Contr´ Contr´ ateis 3.5. 3.5. Caract Caracteri eriza¸ za¸c˜ cão de conjuntos fechados 3.6. Sequˆ encias encias em R 3.7. Limite superior e inferior 3.8. Sequˆ encias encias Monótonas 3.9. Exerc´ıcios

19 19 24 26 28 29 30 31 32 33

Cap´ıtulo 4. Continuidade Cap´ Continuidade e Fun¸ Fun¸c˜ cões Cont´ınuas 4.1. Propriedades lo cais 4.2. Propriedades globais 4.3. 4.3. Fun un¸c˜ ço˜es Uniformemente Cont´ınuas 4.4. Exerc´ıcios

35 35 37 40 43

Cap´ıtulo 5. Diferencia¸c˜ Cap´ caõ 5.1. 5.1. Deriv Derivada ada em uma uma dime dimens˜ ns˜ ao 5.2. Teorema eorema de Taylor aylor e Aplica¸ Aplica¸c˜ co˜es 5.3. 5.3. Defin Defini¸ i¸c˜ cao aõ e Propriedades de fun¸c˜ coes o˜es diferenciáveis 5.4. 5.4. Matriz Matriz Hessia Hessiana, na, F´ ormula de Taylor e pontos cr´ıticos 5.5. Exerc´ıcios

45 45 50 52 58 62

Cap´ıtulo ıtu lo 6. Sequência enci a de Fun¸c˜ co˜es 6.1. Convergência Pontual

65 65 iii

´ CONTEUDO

iv

6.2. Convergência Uniforme 6.3. Equicontinuidade 6.4. Exerc´ıcios Bibliography

66 68 69 71

CAPÍTULO 1

Pr´ Pr´ e-re e- requ quis isit itos os 1

Neste cap´ cap´ıtulo, recordaremos recordar emos defini¸c˜ coes o˜es e nota¸c˜ coes o˜es básicas asicas sobre conjuntos e fun¸c˜ coes. o˜es. Assumiremos aqui que as propriedades básicas asicas de conjuntos são ao conhecidas. Em particular, são ao de grande importância ancia os conjuntos

{ } (números umeros naturais), naturais), Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . } (n´ umeros umeros inteiros), inteiros), Q = {m/n : m, n ∈ Z, n =  0} (números umeros racionais). racionais). N = 1, 2, 3, 4, . . .

1.1. Fun¸ c˜ coes o ˜es Considere A e B dois conjuntos conjuntos.. Uma fun¸c˜ cao aõ é uma regra que associa a cada elemento Cham amam amos os o conj conjun unto to A de dom´ınio da fun¸c˜ cao aõ f e o x A, um elemento f ( f (x) B . Ch denotamos por D(f ). ). Chamamos o conjunto B de contra cao aõ f . con trado dom´ m´ınio ın io da fun¸c˜ f . Escrevemos f : A B , ou ainda

∈

∈

→

f : A x

→B → f ( f (x).

⊂ A, chamamos de imagem de E o conjunto f ( f (E ) = {f ( f (x) : x ∈ E }. Similarmente, se H ⊂ B , chamamos de imagem inversa de H o conjunto f (H ) = {x : f ( f (x) ∈ H }. Se E

−1

Se f ( sobre ). Dize Dizemo moss que f é f (A) = B dizemos que f é sobrejetiva (ou simplesmente sobre).  injetiva (ou biun´ bi un´ıvoca ou um a um ou 1-1) quando, dados a, a D(f ), f ), se f (a) = f ( f (a ) então ao a = a . Numa forma mais compacta, escrevemos que para todo a, a D(f ) f ) temos

∈

f ( f (a) = f ( f (a ) =

⇒

⇒

a = a ,

∈

onde “ = ” significa implica que. que. Se f é injetiva injetiva e sobre, a chamamos de bijetiva ou de uma bije¸c˜ c˜ ao. ao. Dizemos que g : B cao ˜ inversa de f se A é fun¸c˜

→

g (f ( f (x)) = x para todo x

f ( f (g(y )) = y para todo y

∈ A,

Quando existir, denotamos a inversa de f por f −1.

∈ B.

˜ o. Note que a defini¸c˜ Observa rvac c ¸ao. a cao aõ de imagem inversa independe de existir ou não ao a 2 R dada por f ( fun¸c˜ cão ao invers inversa. a. Po Porr exemplo, exemplo, a fun¸ fun¸c˜ cao aõ f : R ao tem inversa. f (x) = x não −1 Entretanto f (R) = R.

→

1Ultima ´

Atualiza¸c˜ cão: ao: 15/02/2006 1

´ 1. PRE-REQUISITOS

2

1.2. Conjuntos finitos, infinitos, infinitos , enumeráveis aveis

{

··· }

Um conjunto B é finito se é vazio ou se existe ex iste uma bije¸c˜ cao aõ entre B e 1, 2, , N para algum N N. Ca Caso so B não ao seja finito, o dizemos infinito. infinito. Se B é finito ou se existe uma bije¸c˜ cao aõ entre B e N, dizemos que B é enumer´ avel .

∈

˜ o. Existe aqui uma diferen¸ca ca entre os termos usados em inglês es no Bartel [ 1], Observa rvac c ¸ao. a

e suas tradu¸c˜ coes o˜es diretas em portuguˆ português. es. Seguindo Seguindo Elon [ 4], usamos o termo enumer´ avel para par a equi e quivaler valer ao inglˆ ing lês es countable. oes enumerable ou denumerable são ao usadas countable. Já as expressões quando existe bije¸c˜ cao aõ com N, i.e., exclui os conjuntos finitos. Por sua vez, Rudin [ 8] define os termos de uma terceira forma.

{

}

e finito, e portanto porta nto enumerável. avel. Exemplo 1.1. 2, 3, 4, 5 ´

{

Exemplo 1.2. P = 2, 4, 6, uma bije¸c˜ cao aõ entre P e N.

···} é enum enumer er´ável avel pois φ : N → P definida por φ(n) = 2n é

e enum enumer er´ável avel pois Exemplo 1.3. O conjunto Z ´

{

Z = 0, 1,

−1, 2, −2, 3, −3, ···},

Z dada por φ(i) = ( 1)i [i/2] eφ:N bije ¸c˜ cao aõ entre N e Z. A fun¸c˜ cao aõ [ ] : R i/2] é uma bije¸ tal que [x [x] é a parte inteira de x, i.e., o maior inteiro menor ou igual a x.

→

−

·

→ Z é

enumer er´ável avel pela “contagem diagonal”: Exemplo 1.4. Q é enum 0 1, 1 , 2 1 3, .. .

−1, −, −, 1 2 1 3

2, 2 , 2 2 3,

−2, −, −, 2 2 2 3

3, 3 , 2 3 3,

−3, · · · − , ··· − , ··· 3 2 3 3

e podemos contar pois Q=



1 0, 1, 1, , 2, 2

−

−

1 1 , , 2, 2 3

− −

1 , 3

 ···

.

Exemplo 1.5. O conjunto de n´ umeros umeros reais R não ao é enumer´ enum erável. avel. Pa Para ra mostrar mostrar isto, usaremos uma demonstra¸c˜ cao aõ por contradi¸c˜ cão. ao. Mostraremo Mostraremoss na verdade verdade que I = x R :

≤ ≤ }

∈

{ ∈

0 1 não ao é enumer´ enume rável. avel. Usando Usando a base base decimal, decimal, todo elemen elemento to x x I pode ser representado por x = 0, a1 a2 a3 , onde ai 0, . . . , 9 . Assuma que I é enum enumer er´ável. avel. Então ao existe uma enumera¸c˜ cao aõ x1 , x2, . . . , xn , . . . dos elementos de I tal que

···

∈{

}

x1 = 0, a11 a12 a13 . . . , x2 = 0, a21 a22 a23 . . . , x3 = 0, a31 a32 a33 . . . , ..., onde aij

∈ {0, . . . , 9}. Seja agora y = 0, b b b · · · onde 0 se a ∈ {1, . . . , 9} b = 1 2 3

i



ii

1 se aii = 0.

1.3. EXERC EXERCÍCIOS

∈



3

∈

Logo y I mas y = xn para todo n N. Isto contradidiz a afirma¸c˜ cao aõ que x1 , x2 , . . . , xn , . . . é uma um a enumer enu mera¸ a¸c˜ cao aõ dos elementos de I . Portanto, I não ao é enumer enu mer´ável. avel.

1.3. 1.3 . Exerc´ Exe rc´ıcios ıci os cao aõ tem inversa inversa se e somente se ela é uma bije¸c˜ cao. aõ. Exerc´ıcio 1.1. Mostre que uma fun¸c˜ aveis. aveis. Mostre Mostre que o produto cartesiano cartesiano Exerc´ıcio 1.2. Sejam A e B conjuntos enumer´ enumer er´ável. avel. Conclua assim que Z enumerável avel implica em Q enumerável. avel. A B é enum

×

cao aõ que n < 2n para todo n Exerc´ıcio 1.3. Mostre por indu¸c˜

cão ao que se x > Exerc´ıcio 1.4. Mostre por indu¸c˜ n N. Esta é a desigualdade de Bernoulli.

∈

∈ N.

n

−1, então ao (1 + x) ≥ 1 + nx para todo

CAPÍTULO 2

Os n´ umeros umeros reais e o Rn 1

Neste cap´ cap´ıtulo, falaremos falaremo s sobre números umeros reais. Assumiremos aqui que os números umeros reais são ao bem definidos e “existem”, sem entrar em detalhes sobre a constru¸c˜ cao aõ deste deste corpo. corpo. A idéia eia é apenas apresentar propriedades que os reais satisfazem. A seguir, falaremos sobre so bre abertos e fechados nos reais.

2.1. 2.1. Os n´ umeros umeros Reais umeros 2.1.1. Propriedades dos Reais. Para discutir uma importante propriedade dos números reais, introduziremos o conceito de cotas. ˜ o 2.1.1. Considere um conjunto S Definic ¸ ao a

≤

∈

⊂ R. Dizem Dizemos os que u ∈ R é cota superior Analo Analogamen gamente, te, dizemos dizemos que v ∈ R é cota inferior de S

de S se s u para todo s S . se v onjunto tem cota superio superiorr dizemos dizemos que ele é limitado s para todo s S . Se um conjunto por cima ou superiormente. superiormente . Se um conjunto onjunto tem cota inferior inferior dizemos que ele é limitado por baixo ou inferiormente. inferiormente. Se um conjunto conjunto tem cota superior superior e inferior, dizemos que ele é limitado.

≤

∈

Note que nem todos os conjuntos possuem cotas superiores e/ou inferiores. Por exemplo ao ao possui cota superior, superior, apesar ap esar de possuir cota inferior. inferior. Segue-se Segue-se da defini¸c˜ cao aõ que N R n˜ se um conjunto possui cota superior, então ao ele possui infinitas cotas superiores:

⊂

⇒

s cota superior de A =

s + 1 cota superior de A.

Observa¸c˜ cao aõ análoga aloga vale para as cotas inferiores. Exemplo 2.1. O conjunto R− = x

{ ∈R:

}

ao x < 0 é limitado superiormente mas não − inferiorme inferiormente nte.. De fato qualquer qualquer número umero não ao negativo negati vo é cota c ota superior supe rior de R , pois se b 0, − R implica que x < 0 R pode ser então ao x outro lado, lado, nenhum nenhum número umero a b. Por outro − cota inferior pois sempre existe y R tal que y < a. Conclu´ımos ımos portanto port anto que qu e R− não é limitado.

∈

≤ ∈

∈

≥

ao ao é limitado limita do nem supesupe Exemplo 2.2. Usando argumentos como acima, vemos que R n˜ riormente nem inferiormente.

{ ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. En Ent˜ t˜ ao ao qualquer número umero b ≥ 1 é cota co ta superior de I , e todo número umero a ≤ 0 é cota inferior de I . De fato, nestes casos ter´ ter´ıamos cão, ao, I é lim l imit itad ado. o. a ≤ x ≤ b para todo x ∈ I . Logo, por defini¸c˜ Exemplo 2.3. Seja I = x

umero umero é cota inferior e superior do conjunto vazio. Exemplo 2.4. Note que qualquer n´ 1Ultima ´ Atualiza¸c˜ cao: aõ: 15/02/2006 5

´ 2. OS NUMEROS REAIS E O Rn

6

˜ o 2.1.2. Se um conjunto S ´ e limitado limitad o por cima, cim a, chamamos chamamo s de supremo de S Definic ¸ ao a

ou simplesmente sup S a menor de suas cotas cotas superio superiorres. Analo Analogamen gamente, te, se um conjunto conjunto baixo, chamamos de ´ınfim ın fimoo de S ou simplesmente inf S a maior de suas S é limitado por baixo, cotas inferiores. Logo, se u = sup S , então ao (1) s u para todo s S . (2) Se existe v R tal que s

≤

∈

∈

≤ v para todo s ∈ S , então ao u ≤ v .

˜ o. Segue-se da defini¸c˜ Observa rvac c ¸ao. a cão ao a unicidade do supremo e do ´ınfimo, ınfimo, se estes exis-

tirem.

∅

ao ao v = sup S se e somente se para Lema 2.1.3. Seja S = , e v cota superior de S . Ent˜

∈ S tal que v −  < s . Como mo v −  < v , então ao v −  não ao é cota co ta D . (⇒) Seja v = sup S e  > 0. Co superior de S . Logo, existe um elemento s ∈ S tal que s > v − . (⇐) Seja v cota superior de S . Assuma que para todo  existe s ∈ S tal que v −  < s . Vamos então ao mostrar que v = sup S .  v. Se vˆ < v, definimos Seja vˆ cota superior de S com vˆ = definimos  = v − vˆ e então ao  > 0 e existe cao ã o com o fato de ˆv ser cota superior. s ∈ S tal que s > v −  = vˆ. Isto é uma contradi¸c˜ todo  > 0 existir s



˜ EMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO













Logo temos obrigatoriamen obrigatoriamente te vˆ > v , e v é a menor das cotas superiores, i.e., v = sup S .



{ ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} tem 1 = sup I e 0 = inf I inf I . Note que sup I ∈ I e

Exemplo 2.5. I = x

inf I inf I

∈ I .

{ ∈ R : 0 < x < 1} tem 1 = sup U e 0 = inf U inf U .

Exemplo 2.6. U = x

caso sup I

Note Note que neste neste

∈ U e inf I  U . inf I ∈

ao vazio em R limitado superiormente Propriedade do supremo de R: Todo conjunto não tem um supremo em R. Da propriedade acima, abtemos o seguinte resultado. Lema 2.1.4 (Propriedade Arquimediana). Para todo x

∈ R, existe n ∈ N tal que n > x.

˜ . Por contradi¸ c˜ cão. ao. Assuma Assuma que que n˜ ao ao existe tal número umero n. Portan Portanto, to, x é DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO R. Pela cota superior de N Pela Proprie Propriedad dadee do suprem supremoo de R, então ao N tem um supremo Logo exis existe te m N tal que s 1 < m. Mas Mas ent˜ ent˜ ao, ao, s < m + 1, uma contradi¸c˜ cao, aõ, pois s. Logo  m + 1 N e s deveria ser cota superior de N.

∈

∈

⊂

−

˜ o. Densidade Densidade de Q em R: Se x, y R e x < y , então ao existe r Observa rvac c ¸ao. a x < r < y. y . Da mesma forma, existe r R Q tal que x < r < y. y.

∈ \

∈

∈ Q tal que

umero umero real a, o valor absoluto (ou 2.1.2. 2.1.2. Valor absoluto absoluto e Interv Intervalos. alos. Para um n´ módulo) odulo) de a é dado da do por po r se a 0, a a = a se a < 0.

||



≥

− Exemplo 2.7. Por defini¸c˜ cao aõ |5| = 5, e | − 5| = −(−5) = 5. umeros umeros reais: Lema 2.1.5. Algumas propriedades dos n´

´ MEROS REAIS 2.1. OS NU

|− | | | | | | || | ∈ −| | ≤ ≤ | |

∈

(1) a = a para todo a R. (2) ab = a b para todo a, b R. (3) Dados a, k R temos que a k se e somente se (4) a a a para todo a R.

∈ | |≤ ∈

7

−k ≤ a ≤ k .

(1) Se a = 0, então ao 0 = 0 = 0 . Se a > 0, então ao a < 0 e logo ( a) = a = a . Se a < 0, então ao a > 0 e a = a= a.

||

˜ . DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

| − a| = − −

||

|− |

−

(2) (2 ) Exerc´ Exe rc´ıcio. ıci o. (3) (3 ) Exerc´ Exe rc´ıcio. ıci o. (4) Tome k = a no ´ıtem ıtem (3) do lema. Ent˜ ao ao a

||

|− | −

− ||

| | ≤ |a| =⇒ −|a| ≤ a ≤ |a|.

Lema 2.1.6 (Desigualdade Triangular). Para todo a, b



∈ R temos

|a + b| ≤ |a| + |b|. Logo,, −|a| − |b| ≤ D . Sabemos que −|a| ≤ a ≤ |a| e −|b| ≤ b ≤ |b|. Logo com o quer´ıamos ıam os a + b ≤ |a| + |b|. Pelo ´ıtem (3) do Lema 2.1.5 temos que |a + b| ≤ |a| + |b|, como ˜ EMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

demonstrar.



Dentre os mais importantes conjuntos reais estão ao os inter interv valos. alos. Sejam Sejam a, b Chamaremos de interv intervalo alo quaisquer quaisquer conjuntos conjuntos dos seguintes seguintes tipos: a < b. b . Chamaremos

∈ R, com

(1) Intervalo aberto: (a, ( a, b) = x R : a < x < b (2) Intervalo fechado: [a, [ a, b] = x R : a x b (3) [a, [a, b) = x R : a x < b (4) (a, (a, b] = x R : a < x b (5) [a, [a, + ) = x R : a x (6) (a, (a, + ) = x R : a < x (7) ( , b] = x R : x b (8) ( , b) = x R : x < b (9) ( ,+ ) = R (10)

{ {

∞ ∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∅

{ ∈ { ∈ ∈ ≤ } ∈ ≤} { ∈ ≤ } { ∈ } { ∈ ≤} { ∈ }

} ≤ ≤}

A defini¸c˜ cao aõ de alguns intervalos intervalos particulares é imediata usando-se usa ndo-se o módulo: odulo: (a

− d, a + d) = {x ∈ R : |x − a| < d},

[a

− d, a + d] = {x ∈ R : |x − a| ≤ d},

˜ o 2.1.7. Dizemos que uma sequˆ encia encia de intervalos intervalo s I n é encaixa enca ixant ntee se Definic ¸ ao a

⊃ I ⊃ I ⊃ · · · ⊃ I ⊃ ·· · = [0, [0, 1/n] ao ∩ I = {0}. /n] então = (0, (0, 1/n) ao ∩ I = ∅. /n) então I 1

Exemplo 2.8. Se I n Exemplo 2.9. Se I n

2

3

n

∞ n=1 n

∞ n=1 n

Teorema 2.1.8 (Teorema (Teorema dos intervalos intervalos encaixantes). Para n

∈ N, seja I

= [an , bn ] uma sequˆ sequência encia de intervalos fechados fechados limitados e n˜ ao vazios vazios e encaix encaixant antes. es. Ent˜ Ent˜ ao existe ∞ R tal que ξ em em disto, se inf bn an : n N = 0, ent˜ ao ξ é o unico ´ ξ n=1 I n . Al´ elemento da interse¸c˜ cao. ˜

∈

∈∩

{ −

∈ }

n


8 ˜ . Temos b DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO 1

≥a

⊂

{

∈ }

para todo n pois I n Seja ξ = sup an : n N . I 1 . Seja Logo ξ Queremos mos mostra mostrarr agora que ξ Supon ponha ha an para todo n. Quere bn para todo n. Su o contrário, ario, i.e., que existe bk < ξ para algum k . Logo bk < am para algum m. Seja Ent˜ t˜ ao ao a p [a p , b p ] = , uma contradi¸c˜ cao. a˜ o. Logo Logo p = max k, m . En am > bk b p e temos [a an ξ bn para todo n N e portanto ξ I n para todo n N. Assumindo agora que inf bn an : n N = 0, definimos η = inf bn : n N . Então ao η an para todo n N e η ξ . Como 0 η ξ bn an para todo n N, temos η = ξ pois inf bn an : n N = 0. 

≥ { } ≤ ≤ ≥ { −

n

≥ ∈ { − ∈ ≥ ∈ }

≤

≥ ∅ ∈ ∈ ∈ } ≤ − ≤ −

{

∈

∈ }

2.2. 2.2. Espa¸ Espa¸ cos cos Vetoriais e o Rn O exemplo mais comum e intuitivo de espa¸co co vetori veto rial al é o Rn . Entretanto, uma defini¸c˜ cao aõ mais geral é de grande utilidade. A menos que explicitamente mencionado, neste texto nos restringiremos a espa¸cos cos vetoriais sobre o corpo dos reais. ˜ o 2.2.1. Um espa¸co co vetorial V sobre os reais reais é um conjunto cujos elementos Definic ¸ ao a

chamamos de vetores, com duas opera¸c˜ coes ˜ bin´ arias, soma vetorial e multiplica¸c˜ cao ˜ por escalar tais que (1) x + y = y + x, para todo x, y V (2) (x + y) + z = y + (x + z), para todo x, y, z V (3) Existe um elemento 0 V tal que 0 + x = x, para todo x V (4) Para todo x V , V , existe um elemento y V tal que y + x = 0 (5) 1x = x, para todo x V (6) (α (α + β )x = αx + β x, para todo αβ R e para todo x V (7) α(β x) = (αβ )x, para todo αβ R e para todo x V (8) α(x + y) = αx + αy, para todo α R e para todo x, y V

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈

∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈

Alguns resultados resultados podem ser obtidos obtidos imediatame imediatamente nte:: Lema 2.2.2. Seja V um espa¸co co vetorial sobre os reais. Então ao temos que

(1) O vetor zero é único unico (2) Todo elemento de x V tem um unico u ´ nico negativo dado por ( 1)x (3) 0x = 0 para todo x V (4) α0 = 0 para todo α R

∈ ∈ ∈

−

˜ . Demonstraremos apenas a primeira afirmativa. As demais ficam como DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

exerc´ exerc´ıcios. Para demonstrar (1), assuma que 01 e 02 sejam dois zeros de V . V . Logo

01 = 02 + 01 = 01 + 02 = 02 , onde usamos que a hipótese otese de que 01 é zero e a propriedade (3) da Defini¸c˜ cao ão 2.2.1, seguida da propriedade (1). Na última ultima igualdade usamos a hipótese otese de que 01 é zero e novamente novament e a  propriedade (3) da Defini¸c˜ cao aõ de 2.2.1. uplas uplas ordenadas de n´ umeros umeros reais, i.e, Exemplo 2.10. Seja Rn o conjunto das n-´ def

Rn = x = (x1 , . . . , xn ) : xi

{

∈ R para i = 1, . . . , n}.

Definimos então ao as opera¸c˜ coes o˜es produto por escalar e soma da seguinte forma: αx = (αx1 , . . . , α xn ),

x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn ),

2.2. ESPAC ESPAC ¸ OS VETORIAIS E O Rn

9

onde x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) estão a o em Rn , e α R. Pode-s Pode-see checar checar que Rn é espa¸co co vetorial com as opera¸c˜ cões oes acima descritas. Em particular, R2 é esp es paco ¸co vetorial.

∈

co F das fun¸c˜ coes o˜es de R em R, com as opera¸c˜ cões oes Exemplo 2.11. O espa¸co def

∈ R e todas u, v ∈ F (αu)( αu)(x x) = αu( αu(x) para todo x ∈ R, toda u ∈ F e todo α ∈ R (u + v )(x )(x) = u(x) + v (x) para todo x def

Duas importantes ferramentas matemáticas aticas quando se trabalha em espa¸cos cos vetoriais são ao produtos internos e normas. ˜ o 2.2.3. Seja V espa¸ co vetorial co vetorial sobre sobre os reais. Um pro produto interno interno é uma Definic ¸ ao a R, denotado por x, y fun¸c˜ cao ˜ de V V x y e tal que

× → → · 0 (1) x · x > 0 para todo x ∈ V com x = (2) x · y = y · x para todo x, y ∈ V (3) (α (αx) · y = α(x · y) para todo α ∈ R e todo x, y ∈ V (4) (x + y) · z = x · z + y · z para todo x, y, z ∈ V

note que da defini¸c˜ cao aõ acima conclu´ conclu´ımos imediatamente que para todo x 0 x = (00) x = 0(0 x) = 0.

·

·

·

∈ V , V ,

e Exemplo 2.12. Em R2 , se x = (x1 , x2 ), e y = (y1 , y2 ), o produto interno canônico ´ dado por

x y = x1 y1 + x2 y2 . Em Rn , para x = (x1 , . . . , xn ), e y = (y1 , . . . , yn ), definimos

·

·

x y = x1 y1 + cao aõ Exemplo 2.13. Em R2 , a opera¸c˜

··· + x y . n n

  − −    2 1

(x1 , x2 ) (y1 , y2) = x1 x2

·

1 4

y1 y2

= 2x1y1

−x y −x y 1 2

2 1

+ 4x 4x2 y2

define um produto interno. De fato, a primeira propriedade (positividade) é verdadeira pois (x1 , x2 ) (x1 , x2 ) = 2x21



·

− 2x x

1 2

+ 4x 4x22 = 2[(x 2[(x1

2

− x /2) 2

+ 7x 7x22 /4] > 0,

se (x1 , x2 ) = (0, (0, 0). As outras outras propri proprieda edades des do produto produto intern internoo s˜ ao a o mais fáceis aceis de serem checadas. Exemplo 2.14. Considere o espa¸co co vetorial das fun¸c˜ coes o˜es cont´ cont´ınuas em [0, [0, 1], com as

operacoes de multiplica¸c˜ cao aõ por escalar e soma como no Exemplo 2.11. 2.11. Ent˜ Entao aõ a opera¸c˜ caodada aõdada pela integral de Riemann 1

·

f g = define um produto interno deste espa¸co. co.



f ( f (x)g(x)dx

0

Introduzimos agora a no¸c˜ cao aõ de norma . Num espa¸co co vetorial, uma boa forma de se medir distâncias ancias entre vetores é atrav´ através es de normas. Em particular, o conceito normas ajuda na defini¸c˜ cao aõ canônica onica de conjuntos abertos e fechados, como veremos a seguir.


10

˜ o 2.2.4. Dado um espa¸co co vetorial V , um a fun¸ fu n¸c˜ cao ˜ de V em R, Definic ¸ ao a V , uma norma é uma

→    ≤      | |   ∈

denotada por x x , e tal que x + y para todo x, y V (desigualdade triangular) (1) x + y (2) αx = α x para todo x V , V , e para todo α R (3) x > 0 para todo x V tal que x = 0

∈

∈

∈



Quando um espa¸co co vetorial V tem uma norma associada, associada, dizemos dizemos que é um espa¸co co normado. normado. Exemplo 2.15. Em R2 ,

 

x21 + x22

(x , x ) = 1

2

define uma norma. No caso mais geral, em Rn ,

(x , . . . , x ) = 1

n

também em define defi ne uma norma. nor ma.

x21 +

2 n

··· + x

da da por Exemplo 2.16. Outra norma em Rn é dada

(x , . . . , x ) 1

n

∞

| |

= max x j . 1≤ j≤ j ≤n

O resultado resul tado abaixo a baixo é importante imp ortante pois p ois mostra m ostra que q ue todo produto interno induz uma norma. co vetorial com produto interno. Ent˜ ao Teorema 2.2.5. Seja V um espa¸co

x = √x · x def

define uma norma em V . em em disto, vale a desigualdade de Cauchy-Schwartz V . Al´

|x · y| ≤ xy

(2.2.1)

para todo x, y

∈ V.

˜ . Como o produto interno DEMON interno garante garante que sempre sempre teremos teremos x x EM ONST STRA RAC C ¸ AO

· ≥ 0, então ao a opera¸c˜ cao aõ acima está bem definida. Mostraremos primeiro (2.2.1). Seja z = x − (x · y)y/y. Então ao x·y z·y =x·y− y y · y = 0, e x·y 0 ≤ z = z · z = z · x = x · x − y x · y. Logo (x · y) ≤ x y , 2

2

2

2

2

e (2.2.1) vale. Para mostrar a propriedade (1) da defini¸c˜ cao aõ de norma, note que 2

x + y 

= (x + y) (x + y) = x x + 2x y + y y

·

·

·

2

· ≤ x

+2 x y + y

2

    

= ( x + y )2 ,

 

e assim assim temos temos (1). (1). As propri proprieda edade de (2) e (3) seguem-s seguem-see imediat imediatame ament ntee da defini¸ defini¸c˜ cao a˜ o e das  propriedades do produto interno. ˜ o. Note pela demonstra¸c˜ cao aõ que a igualdade x y = x Observa rvac c ¸ao. a se x = αy para algum α R.

∈

| · |  y vale se e somente

2.3. CONJUNTOS ABERTOS ABERTOS E FECHADOS FECHADOS EM Rn

11

2.3. Conjunto Conjuntoss abertos e fechados fechados em Rn Para Para definirmos definirmos o que é um conjunto conjunto aberto necessita necessitamos mos dos chamadas chamadas bolas em Rn . Dizemos que a bola aberta de raio r e centro x é dada da da p or n

Br (x) = y

{ ∈ R : x − y < r }.

De forma similar, chamamos de bola fechada de raio r e centro x, e de esfera de raio r e centro x os conjuntos n

n

{y ∈ R : x − y ≤ r},

{y ∈ R : x − y = r}.

Podemos agora definir conjuntos abertos em Rn . ˜ o 2.3.1. Um conjunto G Definic ¸ao a

tal que B (x)

⊂ G.

Exemplo 2.17.

⊂R

n

é aberto em Rn se para todo x

∅ é aberto aber to por “vacuidade”.

∈ G existe  > 0

∈

−

⊂

ab erto nos no s reais reai s pois p ois para p ara todo t odo x R, temos B1 (x) = (x 1, x + 1) Exemplo 2.18. R é aberto R. Note que tomamos  = 1. Da mesma forma, Rn também em é aberto ab erto pois po is para par a todo to do x R, n tem-se B1 (x) R .

∈

⊂

(0, 1) é aberto abert o em R. De fato fato para para qualqu qualquer er x Exemplo 2.19. O conjunto (0,

{ { ∈

− }  }

seja  = min x/2 Ent˜ t˜ ao ao B (x) = (x x/2, (1 x)/2 . En n ab ertoo em Rn . B1 (0) = x R : x < 1 é abert

− , x + ) ⊂ (0, (0, 1). 1).

∈ (0, (0, 1),

De form formaa an´ aloga, aloga,

⊂ R não ao é aberto. De fato 0 ∈ I , e para todo ⊂ I , pois, por exemplo, −/2  I . bola B (0) = (−, )   > 0, a bola /2 ∈ B (0) mas −/2 /2 ∈ (0, 1) × {0} = {(x, 0) ∈ R : x ∈ (0, (0, 1)} não ao é abert ab ertoo Exemplo 2.21. O conjunto A = (0, ⊂ A, em R . De fato fato,, seja seja x ∈ (0, (0, 1) e x = (x, 0) ∈ A. Para ara todo todo  > 0 temos que B (x)  pois, por exemplo, (x, (x, −/2) (x, −/2) /2) ∈ B (x) mas (x, /2) ∈  A. Compare com o exemplo 2.19. [0, 1] Exemplo 2.20. O conjunto I = [0, 



2

2





propriedades es fundamen fundamentais tais de conjunto conjuntoss abertos são ao Lema 2.3.2. Duas propriedad (1) A união ao arbitrária aria de abertos abert os é aberta. abert a. (2) A interse¸c˜ cão ao finita de abertos é aberta.

{ ∈ Λ} uma fam´ılia ıli a arbitr´ arbi trária aria de abertos, e seja G = ∪ G e x ∈ G. Então ao x ∈ G para algum λ ∈ Λ. Como G é abert ab erto, o, então ao existe  tal que B (x) ⊂ G . Logo B (x) ⊂ ∪ G = G e então ao G é aber ab erto to.. Para mostrar (2), sejam G , G abertos e G = G ∩ G . Seja Seja x ∈ G. Logo Logo x ∈ G e a b erto, ert o, seja sej a  tal que B (x) ⊂ G . Da mesma forma, sendo G aberto, x ∈ G . Como G é ab seja  tal que B (x) ⊂ G . Definindo  = min{ ,  }, temos  > 0 e B (x) ⊂ G ∩ G = G. ˜ . Para mostrar (1), seja G : λ DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO λ

λ ∈Λ

λ



λ0

λ0



1

2

1

2

2

0

λ∈Λ

λ

2

1

1

1

2

λ0

2

1

1

1

2

2



1

2

Logo G é aberto. ab erto. O caso geral, para um n´ n umero u ´ mero finito de conjuntos segue por indu¸c˜ cao. aõ. Exemplo 2.22. Em uma dimens˜ ao, ao, I n = (0, (0, 1

é aber ab erto to..

∞ n=1 I n

− 1/n) ab ertoo e ∪ /n) é abert



= (0, (0, 1) tamb´ ta mbém em

cao aõ infinita de avertos pode não ao ser aberta. Por exemplo, exemplo, Gn = Exemplo 2.23. Interse¸c˜ ∞ (0, (0, 1 + 1/n) ab erto em R, ao contrário ario de n=1 Gn = (0, (0, 1]. Da mesma mesma forma, forma, B1/n (0) é /n) é aberto

aberto, mas

∞ n=1 B1/n (0)

∩

∩

= 0 não ao é abert ab erto. o.

{}

Um outro importante imp ortante conceito é o de conjuntos fechados, e temos a seguinte defini¸c˜ cao. aõ.


12

Fig. 1. Conjunto S . ˜ o 2.3.3. Um conjunto F Definic ¸ ao a def

Rn F = x

\

{ ∈R

n

: x

∈ F } é aber aberto to..

n

⊂R

def

é fechad fech adoo em Rn se seu complemento (F ) F ) =

C

Para mostrar que um conjunto G é abert ab ertoo em Rn , basta mostrar que para todo x G existe  > 0 tal que B (x) G. Para mostrar que F é fechado, fechado , basta ba sta mostrar m ostrar que para pa ra todo to do x / F existe  > 0 tal que B (x) F = .

∈

⊂

∈

∩

∅

[0, 1] é fechado fecha do em R pois ([0, ([0, 1]) = ( Exemplo 2.24. [0,

C

(1, ∞) é aberto ab erto em R. −∞, 0) ∪ (1,

(0, 1] não ao é aberto abert o nem fechado em R. Exemplo 2.25. (0, Exemplo 2.26. Em R2 o conjunto



S = x = (x1, 0)

∈R

2

: x1



∈ [0, [0, 1)

,

representado na figura 1, não ao é nem aberto aber to nem fechado. Para mostrar que S não ao é fechado, fecha do, consider cons ideree a sequência enci a em S dada S dada por xn = (1 1/n, 0). Como xn (1, (1, 0) S , então ao S não ao cont´ c ontém em um de seus seu s pontos p ontos de acumula¸ ac umula¸c˜ cão, ao, logo S não é fechado. Para mostrar que S não ao é aberto, abert o, note que toda bola de raio  e centro em (0, (0 , 0) cont´ co ntém em pontos em S e no complementar de S .

→

−

∈

ao ao fechados em Rn , pois seus complementares Exemplo 2.27. Os conjuntos Rn e s˜ ( ) = Rn e (Rn ) = são ao abertos em Rn .

C∅

C

∅

∅

Exemplo 2.28. Para todo x

n

∈R

e r > 0, as esferas e as bolas fechadas de centro x e

n

raio r são ao conjuntos fechados em R .

´ rio 2.3.4. Como consequência encia do Lema Le ma 2.3.2 2 .3.2 temos: Corolario a

(1) A interse¸c˜ cao aõ arbitrária aria de fechados é fechada. (2) A união ao finita de fechados é fechada. (1) Seja F λ : λ Λ uma cole¸c˜ cao ão de fechados em Rn , ao (F ) a o de abert abertos. os. Logo Logo F = λ∈Λ F λ . Então F ) = λ∈Λ (F λ ) é uma união aberto e, por defini¸c˜ cao, aõ, F é fecha fechado do.. n (2) Se F 1, . . . , F n são ao fechados em R e F = F 1 ao (F ) F n , então F ) = (F 1 ) Como a interse¸c˜ cao aõ finita de abertos é aberta, e (F i ) são ao abertos, então ao aberto. Logo F é fecha fe chado do..

˜ . DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

∩

C

{

∈ } ∪ C

∪···∪

C

C

C

e seja (F ) F ) é

C ∩···∩C (F ). C (F ) F ) é n



(1/n, 1) é fechad fech adoo em R, mas Exemplo 2.29. F n = (1/n,

∞ n=1 F n

∪

= (0, (0, 1] não é.

2.3. CONJUNTOS ABERTOS ABERTOS E FECHADOS FECHADOS EM Rn

13

cões oes 2.3.1. 2.3.1. Outras Outras caracteriz caracteriza¸ a¸c˜ coes o ˜es de conjuntos abertos e fechados. Outras no¸c˜ que podem ser uteis u ´ teis quando precisamos caracterizar conjuntos abertos ou fechados vêm em a seguir. ˜ o 2.3.5. Sejam x Definic ¸ ao a

n

n

∈ R , e A ⊂ R . Dizemos ent˜ ao que

(1) uma vizinhan¸ca ca de x é um conjunto conjunto que contenha contenha um aberto aberto que contenha contenha x. (2) x é ponto interior interior de A se existe uma vizinhan¸ca ca de x contida em A. (3) x é ponto de fronteira de A se toda toda vizinhan¸ vizinhan¸ca c a de x contém em ponto de A e do complementar (A). (4) x é ponto exterior de A se existe uma vizinhan¸ca ca de x contida em (A).

C

C

Observe que das defini¸c˜ coes o˜es acima, dados um ponto x Rn , e um conjunto A Rn , então ao x é ponto interior, exterior, ou de fronteira de A, sendo as op¸c˜ coes o˜es mutualmente exclusivas. Note ainda que pela defini¸c˜ cão ao acima, uma vizinhan¸ca c a não ao precisa ser necessariamente um conjunto aberto.

∈

(0, 1). Se a Exemplo 2.30. Seja U = (0, v izin inha han¸ n¸ca ca de a. U é viz

⊂

∈ U , e  < min{a, 1 − a}, então ao B (a) ⊂ U . Logo 

[0, 1]. 1]. En Ent˜ t˜ ao ao I n˜ vi zinha han¸ n¸ca c a de 0 pois para todo  > 0 Exemplo 2.31. Seja I = [0, ao é vizin temos B (a)

⊂ I . Entretanto, I é vizi vi zinh nhan an¸¸ca c a de 0. 0.5 por exemplo.

As seguinte seguintess propriedade propriedadess podem ser usadas para se definir definir se um conjunto conjunto é ou não ao aberto. Lema 2.3.6. Seja B

n

⊂ R . As afirmativas abaixo são ao equivalentes.

(1) B é aber ab erto to.. (2) Todo ponto de B é ponto po nto interior inter ior.. (3) B é uma vizinha vizi nhan¸ n¸ca ca de seus pontos. ˜ . Vamos mostrar que (1) DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1).

Assumindo (1), Seja x B . Como por hipótese, otese, B é aberto, abert o, temos que B é vizinh viz inhan an¸¸ca ca de x. Logo x é ponto po nto interior inter ior de B . Como x é arbi ar bitr tr´ário, ario, obtemos (2). Seja agora agora (2) verdadeir verdadeiro. o. Se x B , então ao por hipótese, otese, x é ponto interior de B , i.e., existe um aberto em B contendo x. Logo, por defini¸c˜ cão, ao, B é u uma ma vizin vi zinha han¸ n¸ca ca de x e (3) vale. Finalmente, assumindo (3), tome para cada x B um aberto Gx B tal que x Gx . Então ao B = x∈B Gx é abert ab ertoo pois po is é un uni˜ ião ao de abertos. 

∈

∈

∈

∪

⊂

∈

Uma outra caracteriza¸c˜ cão ao para conjuntos abertos envolve o uso de ponto de fronteira. Temos o seguinte resultado. Teorema 2.3.7. Seja G

de seus pontos de fronteira. ˜ . ( DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

x

n

⊂ R . Ent˜ ao G é aberto a berto se e some s omente nte se G n˜ ao contém em nenhum nen hum

⇒) Assuma G aberto e x ∈ G.

Ent˜ En t˜ ao ao existe aberto U

⊂ G tal que

∈ U . Então ao x n˜ ao ao é ponto de fronteira. (⇐) Assuma que G não ao cont´ contém em nenhum de seus pontos de fronteira. Se G é vazio vazio,, ent˜ ent ão ao é aberto. Assuma ent˜ ao ao que G é não ao vazi vazio. o. Seja Seja x ∈ G. Co Como mo G não ao contém em pontos de  fronteira, existe vizinhan¸ca ca U de x em G tal que U ⊂ G. Logo G é aber ab erto to..


14

´ rio 2.3.8. Seja F Corolario a

seus pont p ontos os de fronteir fronteira. a.

n

⊂R.

Ent˜ En t˜ ao ao F é fechado se e somente se contém em todos todo s os

Finalmente fechamos esta se¸c˜ cao aõ com o conceito de ponto de acumula¸c˜ cao. aõ. õ Definic ¸ ao a

2.3.9. Um ponto x cao aõ de S R ´ e um ponto de acumula¸c˜ vizinhan¸ca ca B (x) cont´ em em pelo menos um ponto de S diferente de x.

∈

n

⊂R

se toda

Note que um ponto pode ser de acumula¸c˜ cao aõ de um certo conjunto mesmo sem pertencer a este conjunto. De fato veremos vários exemplos abaixo em que tal situa¸c˜ cao aõ ocorre. Exemplo 2.32. Se S = (0, (0, 1), então ao todo ponto em [0, [0, 1] é ponto de acumula¸c˜ cao aõ de S .

ao tem ponto de acumula¸c˜ ao cao. aõ. Exemplo 2.33. O conjunto N n˜

{

u ´ nico ponto de acumula¸c˜ cão ao de 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/ n , . . . Exemplo 2.34. O unico

} é o 0.

∩ Q tem como pontos de acumula¸c˜ cao aõ o conjunto S = [0, [0, 1]. ao u é Exemplo 2.36. Seja S ⊂ R limitado superiormente e u = sup S . Se u ∈ / S , então ponto de acumula¸c˜ cao aõ de S , pois para todo  > 0 existe x ∈ S tal que x ∈ (u − , u + ). Exemplo 2.35. S = [0, [0, 1]

Uma caracteriza¸c˜ cao aõ util u ´til de fechados utiliza o conceito de pontos de acumula¸c˜ cao, aõ, como o resultado a seguir indica. Teorema 2.3.10. Um subconjunto de Rn ´ e fechado fechad o se e somente some nte se contém em todos os seus

pontos de acumula¸c˜ cao. ˜ n

⇒) Seja F um fechado em R , e x ponto de acumula¸c˜ cao aõ de F . F . Temos que mostrar que x ∈ F . ao x ∈ C (F ). ab erto,, então ao F . De fato, se x ∈ / F , F , então F ). Mas como C (F ) F ) é aberto existe  > 0 tal que B (x) ⊂ C (F ). Logo B (x) ∩ F = ∅ e x não ao é ponto de acumula¸c˜ caode aõde F ). Logo cão. ao. Portanto x ∈ F . F , F , uma contradi¸c˜ F . (⇐) Assumimos agora que F cont´ contém em todos os seus pontos de acumula¸c˜ cao. aõ. Con Consid sidere ere então ao um ponto y ∈ C (F ). ao y não ao é ponto p onto de acumula¸ acumu la¸c˜ cao aõ de F , F ). Então F , e portanto existe  > 0 tal que B (y) ⊂ C (F ). ab erto,, e conclu´ con clu´ımos ımo s que F é fec f echa hado do.. F ). Logo C (F ) F ) é aberto  ˜ . ( DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO







2.4. Celas Celas encaixantes encaixantes em Rn e o teorema de Bolzano–Weiertrass ao) ao). Todo subconjunto de R infinito Teorema 2.4.1 (Bolzano–Weiertrass em uma dimens˜ e limitado tem pelo menos um ponto de acumula¸c˜ cao. ˜ A seguir damos uma idéia eia da demonstra¸c˜ cao, aõ, antes de proceder formalmen formalmente. te. Os passos são ao os seguintes: (1) S I 1 := [a, b] para algum a, b R, pois S é lim l imit itad ado. o. (2) Seja I 2 um dos conjuntos [a, [a, (a + b)/2] ou [(a [(a + b)/2, b], tal que I 2 contenha infinitos pontos de S . Note que I 2 I 1 . (3) Divida I 2 em duas partes e defina I 3 como sendo uma das partes tal que que contenha infinitos pontos de S . Por defini¸c˜ cao, aõ, I 3 I 2 . (4) Prossiga assim definindo I 4 , . . . , I n tais que I n I 2 I 1 , e que I n contenha infinitos pontos de S . ∞ (5) Usando Teorema dos intervalos encaixantes, seja x n=1 I n . (6) Mostre que x é ponto po nto de acumula¸ acumu la¸c˜ cao. aõ.

⊂

∈

⊂

⊂

⊂ ··· ⊂ ⊂ ∈∩

2.5. CONJUNTOS COMPACTOS

15

˜ . (do Teorem Teoremaa 2.4.2). Como S é limita lim itado, do, existe exis te I 1 = [a, b] DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

⊂

⊂ R tal que

Note que [a, [a, (a + b)/2]/ 2]/2 ou [(a [(a + b)/2, b] ou contém em infinitos infinit os pontos de S , e chame de S I 1 . Note subintervalos, e denomine denomine por I 3 I 2 tal intervalo. Da mesma forma, decomponha I 2 em dois subinterv um dos subintervalos tal que I 3 S contenha contenha infinitos pontos. Assim procedendo, procedendo, obtemos obtemos uma sequência encia encaixante encaixa nte I n Pelo Teorema eorema dos intervalos intervalos encaixantes, encaixantes, I 2 I 1 . Pelo ∞ existe x emos agora que mostrar mostrar que x é ponto de acumula¸c˜ cão. a o. Note Note que que o n=1 I n . Temos n−1 comprimento de I n = (b a)/2 . Da Dado do  > 0, seja V = (x , x + ). Seja Seja n tal que n−1 (b a)/2 Ent˜ t˜ ao ao I n Logo V contém em infinitos infinito s pontos de S , e x é ponto po nto de < /2. /2. En V . V . Logo  acumula¸c˜ cao. aõ.

∈∩

−

∩ ⊂ ··· ·· · ⊂ ⊂

−

−

⊂

Um resultado semelhante vale no Rn , e a demonstra¸c˜ caõ é an´ an aloga. a´loga. Uma outra outra maneira de se mostrar este resultado é baseada na no¸c˜ cao aõ de compacidade que discutiremos a seguir. Teorema 2.4.2 (Bolzano–Weiertrass no Rn ). Todo subconjunto de Rn infinito e limitado

tem pelo menos um ponto de acumula¸c˜ cao. ˜

2.5. Conjunto Conjuntoss Compactos Um importante conceito em anális al isee é o de conjuntos compactos. cos de dimensão ao compactos. Em espa¸cos finita, estes conjuntos são ao na verdade conjuntos fechados limitados, e a no¸c˜ cao aõ de compacidade ajuda apenas nas demonstra¸c˜ coes, o˜es, tornando-as mais diretas. Entretanto, em dimensão ao infinita, infinita, nem todo fechado fechado limitado limitado é compacto, compacto, e algumas algumas propriedade propriedadess que contin continuam uam valendo para compactos, deixam de valer para fechados limitados. Antes de definirmos compactos, precisamos introduzir a no¸c˜ cao aõ de cobertura aberta. ˜ o 2.5.1. Seja A Definic ¸ ao a

n

⊂R.

G { }

Chamamos Chamam os = Gα de cobertura aberta de A se para todo α temos Gα conjunto aberto, e A α Gα . (0, 1) Exemplo 2.37. Como (0, aberta de (0, (0, 1). Exemplo 2.38. Se para x cobertura aberta de Rn .

⊂∪

⊂∪

∞ (1/i, 1), i=1 (1/i,

∈ R, temos G

x

então ao

= (x

˜ o 2.5.2. Dizemos que um conjunto K Definic ¸ ao a

∞ i=1

G = {(1/i, (1/i, 1)}

é uma cobertu cob ertura ra

− 1, x + 1), então ao G = {G }

x x∈Rn

é uma

n

⊂R

é compacto se para toda t oda cobertura aberta aberta de K existir existir uma subc subcobertu oberturra finita de K em . Em outras outras palav palavrras, se existe existe cobertura aberta = Gα de K tal que K ao existem α1 , α2 , . . . , αn tais que α Gα , ent˜ n K i=1 Gαi .

⊂∪

G { }

⊂∪

G

Note que para mostrar que um determinado conjunto é compacto precisamos provas que para toda cobertu cobertura ra aberta aberta existe existe subcobertu subcobertura ra finita. finita. Pa Para ra mostar mostar que não ao é compact com pactoo basta achar uma cobertura que não ao possui subcobertura finita.

{

}

G{ } ⊂∪ G ∈ G (tal conjunto sempre existe pois G é cobert cob ertur uraa

cao aõ Exemplo 2.39. Seja K = x1 , x2 , . . . , xn conjunto finito em R e seja Gα cole¸c˜ de conjuntos abertos em R tais que K é uma u ma cobertura cobe rtura aberta aber ta de K . Para α Gα , i.e.,

∈G

tal que xi i = 1, . . . , n, n, seja Gi i de K ). ) . En Ent˜ t˜ ao ao G1 , . . . , Gn geram uma subcobertura finita de K . Logo K é compact com pacto, o, e conclu´ımos ımos que todo conjunto finito é compacto. compact o.


16

∞ i=1

⊂ ∪ (1/i, (1/i, 1), mas } tal que (0, (0, 1) ⊂ ∪ (1/n (1/n , 1), ent˜ então a o (0, (0, 1) ⊂ (1/N (1/N , 1), onde

(0, 1) não ao é compacto. compacto. De fato (0, (0 , 1) Exemplo 2.40. O conjunto (0,

{

p i=1

se existisse Gn1 , . . . , Gnp N ∗ = max n1 , . . . , n p > 0, um absurdo.

{

}

i

∗

e compac co mpacto to se e soment som entee se é fechad fech adoo Teorema 2.5.3 (Heine–Borel). Um conjunto em Rn ´ e limitado. ∞ conjunto conjunto compacto. compacto. Ent˜ Então ao K m=1 Bm (0). Como K é compacto, a cobertura cob ertura acima possui subcobertura finita e portanto existe M tal que K BM (0). Logo K é lim l imit itad ado. o. Para mostrar mos trar que é também em fechado, fechad o, seja x (K ) e Gn = y Rn : y x > 1/n . ∞ Logo Gn é abert ab ertoo e Rn x = n∞=1 Gn . Mas Mas como como x / K , então ao K Usandoo n=1 Gn . Usand N agora que K é compacto, extraimos uma subcobertura finita e temos K n=1 Gn = GN . Portanto K B1/N (x) = e conclu´ conc lu´ımos ımo s que B1/N (x) (K ). ). Logo (K ) é abert ab ertoo e K é fechado. ( ) Suponha K fechado e limitado. Então ao existe uma cela ˜ . ( DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

n

⇒) Assuma K ⊂ R

⊂∪

⊂

∩

⇐

∈C

\{ } ∪ ∅

∗

∗

n

{ ∈

∈ ⊂C

 −  ⊂∪ ⊂∪ C

}

∗

∗

⊂ I = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b , para i = 1, . . . n} tal que K ⊂ I . Seja d = [ (b − a ) ] . A fim de obter uma contradi¸c˜ cao, aõ, suponha que exista um recobrimento aberto {G } de K que não ao contenha nenhuma subcobertura finita K

n i=1



i

i

i

i

i

2 1/2

α

de K . Seja ci = (ai + bi )/2. Então ao [ai , ci ] e [ci , bi ] determinam 2n celas cuja união é I . Pelo menos uma destas celas contém em pontos p ontos da d a parte par te de K que não ao p pode ode tem subcobertura subcobertura finita. Chame de I 1 esta cela. cela. Subdividindo Subdividindo I 1 desta mesma forma, obtemos uma sequˆ s equência encia de d e celas fechadas I n tal que (1) I 1 I 2 I 3 . . . , (2) I n cont´ co ntém em parte pa rte de K que não ao tem subcobertura finita, (3) se x, y I n , então ao x y 2−n d. Pelo Teorema das celas encaixantes, existe ξ I n , para todo n N. Como omo I n K = , então ao ξ é ponto po nto de acumula¸ acu mula¸c˜ cão ao de K . mas K fechado implica que ξ K . Portanto ξ Gα , para algum α. Como Gα é abert ab erto, o, então ao existe r tal que

{ } ⊃ ⊃ ⊃ ∈

 − ≤

∈

∈

∩ ∅ ∈

∈

y − ξ ≤ r =⇒ y ∈ G .

(2.5.1)

α

Seja n tal que 2−n d < r, e y um ponto arbitrário ario de I n. Por (3) acima, −n

ξ − y ≤ 2

d < r.

Por (2.5.1), (2.5.1 ), conclu´ımos ımos que y Logo,, Gα , e portanto, todo ponto de I n pertence a Gα . Logo u ma cobertu cob ertura ra de I n, uma contradi¸c˜ cao aõ com (2). I n Gα , e Gα é uma 

∈

⊂

Uma outra demonstra¸c˜ cao aõ que apresentamos abaixo vale no caso unidimensional pode ser usada para mostrar que um conjunto fechado e limitado em R é comp co mpac acto to.. Teorema 2.5.4. Um conjunto fechado e limitado em R ´ e compa compact cto. o.

−

˜ . Parte DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO Parte (i) Primeiro assumimos K = [ l, l], e

aberta de K . Seja

G

=

{G } cobertura α

{ ∈ [−l, l] : [−l, c] pode ser coberto por finitos abertos de G }. Então ao S é nao ão vazio, pois l ∈ S , e é limitado. limita do. Seja s = sup S . Então ao s ∈ [−l, l], pois se s > l S = c

ter´ te r´ıamo ıa moss l como cota superior de S menor que o supremo, um absurdo.


G

17

∈

G

Seja então ao Gα¯ elemento de tal que s Sabemo moss que que tal tal Gα¯ existe pois é Gα¯ . Sabe cobertura de [ l, l] e s [ l, l]. Primeiro afirmamos que s S , pois caso contr´ ario ario suponha Gα1 , . . . , Gαn subcobertura finita de S . Então ao ter te r´ıamo ıa moss Gα1 , . . . , Gαn , Gα¯ subcobertura finita de [ l, s]. Queremos Queremos mostrar agora que s = l. Assumindo s < l, e como Gα¯ é abert ab ertoo então ao existe  tal que s +  Gα¯ , e s +  < l, cao aõ com a defini¸c˜ cao aõ de supremo. l , logo s +  S , uma contradi¸c˜ limitad o, e = Gα Parte (ii) Consideramos agora o caso geral, onde K é fechado e limitado, é cobertura cobert ura aberta aber ta de K . Como omo K é fechado, fecha do, então ao (K )´ )é aberto, aber to, e como K é limi li mita tada da,, n então ao existe l R tal que K [ l, l]. Logo Logo Gα , (K ) geram uma cobertura aberta de [ l, l]. Pela Parte (i), existe uma subcobertura Gα1 , . . . , Gαn , (K ) de [ l, l], e portanto tamb´ ta mbém em de K pois K [ l, l]. Como K (K ) = , então ao Gα1 , . . . , Gαn é uma u ma cobert cob ertur uraa finita de K . 

−

∈−

{

∈

}

∈

}

−

∈

∈

−

{

⊂−

⊂−

G { }

C

{ C } { C } − ∩C ∅ { }

2.6. 2.6 . Exerc´ Exe rc´ıcios ıc ios Exerc´ıcio 2.1. Se S

mostre mostre que S

⊂ I . s

⊂ R é um conjunto con junto não ao vazio e e I é dado da do por I := [inf S, [inf S, sup S ], ], s

s

Exerc´ıcio 2.2. Demonstre os ´ıtens (2) e (3) no Lema 2.1.5. Exerc´ıcio 2.3. Seja X

coes o˜es f : ⊂ R e as fun¸c˜

R e g : X R sejam tais que os X conjuntos f ( cão ao f + g : X R por f (X ) e g (X ) sejam limitados superiormente. Defina a fun¸c˜ (f + )(x) = f ( sup( f + + g)(X )(X ) sup f ( ) +sup g(X ). ). Dê um u m exemp e xemplo lo f + g )(x f (x) + g (x). Mostre que sup(f f (X )+sup em que a desigualdade desigu aldade é estrita. es trita.

→

→

≤

Exerc´ıcio 2.4. Seja S

→

inf S e sup S são ao unicos. u ńicos. ⊂ R conjunto limitado. Mostre que inf S

cao aõ do Teorema 2.1.8 quais o(s) argumento(s) que Exerc´ıcio 2.5. Aponte na demonstra¸c˜ não ao é (s˜ (s ao) ão) válido(s) alido(s) se considerarmos uma sequência encia encaixante de intervalos intervalos abertos. Exerc´ıcio 2.6. Demonstar os ´ıtens (2), (3) e (4) do Lema 2.2.2. Exerc´ıcio 2.7. Seja A

⊂

Rn , e denote por interior de A o conjunto A◦ de pontos

interiores de A. Mostre que (1) (A (A◦ )◦ = A◦ (2) (A (A B )◦ = A◦ B ◦ (3) Se B A e B é abert ab erto, o, ent˜ ent ão ao B

∩

∩

(i.e. A◦ é o “maior” “maior ” aberto abert o contido em A) denotamos por A¯, a interse¸c˜ cao aõ Exerc´ıcio 2.8. Seja A Rn . Chamamos de fecho de A, e denotamos de todos os fechados que contenham A. Most Mostre re que que x A¯ se e somente se x é ponto po nto de interior ou de fronteira da A.

⊂

◦

⊂A

⊂

∈

ario 2.3.8. Exerc´ıcio 2.9. Demonstre o Corolário Exerc´ıcio 2.10. Mostre que um ponto x

∈A⊂R

n

é ponto po nto de acumula¸ acu mula¸c˜ cao ão se e somente

se toda vizinhan¸ca ca de x contém em infinitos infinit os pontos de A. Exerc´ıcio 2.11. Mostre que todo ponto de

{1/n : n ∈ N}

é ponto de fronteira, mas somente 0 é ponto de acumula¸c˜ cao. aõ.


18

Exerc´ıcio 2.12. Sejam A, B

n

⊂ R , e x ponto de acumula¸c˜ cão ao de A ∩ B . Mostre que x é

ponto de acumula¸c˜ cao aõ de A e de B .

n

Exerc´ıcio 2.13. Mostre que F =

x

 ∅ é fecha {x − y : y ∈ F } = 0, então fe chado do em R , e inf { ao

∈ F . F .

ao ao pontos em Rn , então ao existem vizinhan¸cas cas U Exerc´ıcio 2.14. Mostre que se x = y s˜

de x e V de y tais que U V = .

∩

∅



ao ao vizinhan¸cas c as de x Exerc´ıcio 2.15. Mostre que se U e V s˜ vizinhan¸ca ca de x.

n

∈ R , então ao U ∩ V é

conju ntos abaixo, abaix o, ache, se for poss p oss´´ıvel, uma cobertur co berturaa Exerc´ıcio 2.16. Para cada um dos conjuntos de abertos que não ao contenha contenha subcobertura finita. (1) R (2) 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . (3) 0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .

{ {

}

}

Exerc´ıcio 2.17. Mostre sem usar o Teorema de Heine–Borel que a bola aberta B1 (0)

não ao é compa co mpacta cta.. c ompa pact ctoo e F Exerc´ıcio 2.18. Mostre sem usar o Teorema de Heine–Borel que K ´ K é com é fechad fech ado, o, ent˜ ent ão ao F é comp co mpac acto to.. com pacto cto e S Exerc´ıcio 2.19. Mostre que se K é compa menos um ponto de acumula¸c˜ cao. aõ.

⊂ K

⊂ K é infin in finit ito, o, então ao S cont´ co ntém em pelo el o

Mostre o resultado resultado do exerc exerc´ıcio 2.19 sem usar o Teorema eorema de Heine– Heine– Exerc´ıcio 2.20. Mostre Borel. cao aõ de Cantor). Assuma que K j seja uma cole¸c˜ cao aõ Exerc´ıcio 2.21 (Teorema da interse¸c˜ de conjuntos compactos, com K 1

⊃ K ⊃ K ⊃ . . . . Mostre que ∩ 2

3

{ }

∞ j j=1 j =1 K

é nao ão vazio.

CAPÍTULO 3

Seq Se quˆ enc en cias 1

3.1. Defini¸ Defini¸c˜ c˜ ao ao e resultados resultad os preliminares prelimina res Uma sequência enci a em Rn é simplesmente simples mente uma fun¸c˜ cao a˜ o de N em Rn . Po Porta rtant ntoo X : N n R indica uma sequˆ encia encia de números umeros reais, que escrevemos escrevemos tamb´ em em como (xk ), ou ainda (x1 , x2 , x3, . . . ). Para indicar o k-´ k -ésimo esimo valor da sequência encia escrevemos simplesmente simples mente xk .

→

defin e a sequência enci a ( 1, 1 Exemplo 3.1. xk = ( 1)k define

−

− − 1, 1, −1, 1, −1, . . . ) em R.

encia de Fibonacci Fibon acci é definida recursivamente por x1 = 1, x2 = 1, Exemplo 3.2. A sequência e xk+1 = xk + xk−1 para k

≥ 2. Portanto temos (x (x ) = (1, (1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . ). k

Podemos realizar realiza r com c om sequências encias várias arias das opera¸c˜ coes ões que realizamos realizamos com números umeros reais, como por exemplo somar, subtrair, etc. Sejam por exemplo ( xk ) e (yk ) dua duass sequências enci as em n R , e c R. Ent˜ ao ao definimos definimos

∈

(xk ) + ( yk ) = (xk + yk ),

(xk )

− (y ) = (x − y ), k

k

k

c(xk ) = (cxk ).

·

Podemos da mesma forma definir produtos pro dutos de sequências encias em R por (x (xk ) (yk ) = (xk yk ).

·

(2, 4, 6, 8, . . . ) e (yk ) = (1, (1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . ), então ao (xk ) (yk ) = Exemplo 3.3. Se xk = (2, (2, (2, 2, 2,

· · · ).

A primeira pergunta que surge quando tratamos de sequências encias é quanto à converg con vergˆência en cia destas, isto é, e, se quando k aumenta, os termos xk se aproximam aproximam de algum valor real. Note que para isto, não ao importa o que acontece acontece com finitos termos da sequˆ sequência, encia, mas sim seu comportamento assintótico otico com respeito a k . Em outras outras palav palavras ras queremo queremoss determ determina inarr o comportamento comp ortamento das sequências encias no “limite” “ limite”.. ˜ o 3.1.1. Dizemos que x Definic ¸ ao a Rn ´ e limite de uma sequência encia (xk ), se para todo ∗ ∗ N tal que x xk <  para todo k > K . Escrevem Escrevemos os neste caso que  > 0, existe K

xk

∈

 − 

→ x, ou que x = lim x , ou ainda k

∈

x = lim xk . k→∞

De forma resumida, xk

∗

→ x se para todo  existir K ∈ N tal que k ≥ K =⇒ x − x  < . ∗

k

Se uma sequência enci a n˜ ao tem limite, dizemos que ela diverge diverge ou é divergente. divergente. O lema abaixo é consequência encia da defini¸c˜ cão ao de convergˆ convergência, encia, e portanto na maioria dos exemplos a seguir nos restringimos ao caso unidimensional. ´ Ultima Atualiza¸c˜ cão: ao: 15/02/2006

1

19

ˆ 3. SEQUENCIAS

20

seq uência enc ia (xk ) em Rn converge converg e se s e e somente som ente se a sequˆ s equência enci a das d as i-ésimas esim as Lema 3.1.2. Toda sequˆ coordenadas (xi )k converge em R para i = 1, . . . , n. n.

 

˜ . Exer DEMON Ex ercc´ıcio ıc io.. EM ONST STRA RAC C ¸ AO



Exemplo 3.4. Se xk = 1, entao lim xk = 1. De fato, dado  > 0, para todo k

|x − 1| = 0 < . k

≥ 1 temos

lim(1/k)) = 0. De fato, dado  > 0, seja K ∗ tal que 1/K 1/K ∗ < . Logo, para Exemplo 3.5. lim(1/k

todo n > K ∗ temos 1/k

∗

| − 0| = 1/k < 1/K

< .

(0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, . . . ) não ao converge para 0. De fato, tome  = 1. Então ao Exemplo 3.6. (0, ∗ ∗ ∗ para todo K N temos 2K 2K > K e x2K = 2. Portanto x2K 0 = 2 > .

∈

|

∗

∗

− |

Observe que diferentes situa¸c˜ coes o˜es ocorrem nos exemplos acima. Em 3.4 a sequência encia é ∗ ∗ constante, e a escolha de K independe de . Já no exemplo 3.5, temos que K claramente depende de . A seguir, seguir, no exemplo exemplo 3.6 o objetivo objetivo é mostar que um certo certo valor x n˜ ao é o limite da sequ se quˆênci en ciaa (xk ). Mostramos Mostramos ent˜ então ao que existe pelo menos um certo  > 0 tal que para todo ∗ ∗ Note que que o que que fizemo fizemoss foi negar a K , conseguimos achar n > K tal que xk x > . Note conve co nvergˆ rgênci en cia. a.

| − |

seq uência enc iass em Rn e seja (zi ) a sequência encia formada por Exemplo 3.7. Sejam (xn ) e (yn ) sequˆ ao, se limi→∞ xi = ξ e z1 = x1 , z2 = y1 , z3 = x2 , z4 = y2, . . . , z2i−1 = xi , z2i = yi , .... Então, limi→∞ yi = ξ, temos que lim i→∞ zi = ξ . De fato, Suponha que (zn ) não ao convirja para ξ. En Ent˜ t˜ ao ao existe um , uma subsequˆ sub sequência enci a (znk ), e um inteiro N 0 tal que

z − ξ > . nk

para todo nk > N 0 . Isto implica que existem infinitos elementos de ( zn ) distando mais que  de ξ. Logo existem infinitos elementos de ( xn ) ou de (yn ) distando mais que  de ξ. mas isto contradiz o fato de que lim n→∞ xn = ξ e limn→∞ yn = ξ . Talvez a segunda pergunta mais natural em rela¸c˜ cão ao aos limites lim ites de sequências enci as é quanto qua nto a unicidade destes, quando existirem. A respota é afirmativa, como mostra o resultado abaixo. encia encia po pode de ter no m´ aximo um limite. Teorema 3.1.3 (Unicidade de limite). Uma sequˆ ˜ . Considere que ( xk ) ´ DEMON e uma sequência enci a tal que xk EM ONST STRA RAC C ¸ AO   ∗  Sejam m  = x x /2 > 0, e sejam K e K N tais que xk x = x . Seja



k > K ∗



→ x e x → x , com  −  ∈  − x <  para todo e x − x  <  para todo k > K . Logo, se k > max{K , K }, então ao x − x  ≤ x − x  + x − x  < 2 = x − x . k







∗

k



k

k





Como um n´ umero umero não ao pode p ode ser estritamen estritamente te menor que ele mesmo, mesmo, temos uma contradi contradi¸¸c˜ cão. ao.   Portanto x = x e o limite limi te é unico. u ´ nico. Para mostrar convergˆ convergência, encia, podemos usar o resultado seguinte. Teorema 3.1.4. Seja ( Seja (xk ) uma sequência enc ia em Rn . Ent˜ ao as afirmativas s˜ ao equivalentes. equivalentes.

(1) (xk ) converge para x. (2) Para toda vizinhan¸ca ca V de x existe K ∗ k

∗

≥ K

∈ N tal que =⇒ x ∈ V. k

˜ O E RESULTADOS PRELIMINARES 3.1. 3.1 . DEFI DE FINI NIC C ¸A

21

˜ . Fica como com o exerc´ıcio. ıcio . DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO



As vezes, vezes, uma sequˆ sequência encia se aproxima aproxima de algum valor em Rn de forma mais lenta que ´ poss alguma outra sequência encia de d e reais que converge para 0. E po ss´´ıvel assim ass im garantir gar antir convergência, enci a, como o resultado a seguir nos mostra. n

(ak ) sequˆ se quência en cia em R conve convergen rgente te para 0. Se para ( xk ) sequˆ se quência enc ia em Lema 3.1.5. Seja (a

R existir c > 0 tal que

x − x ≤ c|a | k

então ao xk

→ x.

k

para todo k

∈ N,

˜ . Como (a (ak ) converge, dado  > 0, seja K ∗ DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

∗

todo k > K . Logo

x − x ≤ c|a | <  k

e lim xk = x.

k

∈ N tal que |a | < /c para k

para todo k > K ∗ , 

´ rio 3.1.6. Seja (a Corolario a (ak ) sequˆ seq uência enc ia em R convergente para 0. Se para ( xk ) sequˆ se quênci en ciaa n ∗ em R existir c > 0 e K N tal que

∈ x − x ≤ c|a | k

então ao xk

→ x.

k

para todo k

∗

≥ K ,

(2/k)) sin( sin(11/k). ao Exemplo 3.8. Seja xk = (2/k /k). Enão

|x − 0| ≤ k2 . k

Como 1/k 1/k

→ 0, podemos usar o lema acima para garantir que lim[(2/k lim[(2 /k)) sin( sin(11/k)] /k)] = 0.

Uma outra no¸c˜ cao aõ importante é o de limita¸c˜ cão ao de uma sequˆ sequência. encia. Neste caso, mesmo quando qua ndo a sequˆ s equência enci a n˜ n ao aõ converge, podemos conseguir alguns resultados parciais, como veremos mais a seguir. ˜ o 3.1.7. Dizemos Dize mos que uma sequência enci a (xk ) é limitada quando existe um n´ umero Definic ¸ ao a real C tal que xk C para todo k N.

 ≤

∈

Um primeiro resultado resulta do intuitivo é que toda sequência encia convergente é limitada. limitad a. De fato, é razo´ zo ável avel pensar p ensar que se a sequência encia converge, converge, ela não ao pode ter elementos arbitrariamente grandes em norma. enc ia converge conv ergente nte é limit li mitad ada a Teorema 3.1.8. Toda sequência ˜ . Seja (xk ) sequˆ encia encia convergente e seja x seu limite. Seja  = 1. Como DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

(xk ) converge, existe K ∗ tal que x xk < 1 para todo k > K ∗ . Logo, usando usando a desigualdade desigualdade triangular temos

− 

x  ≤ x − x + x < 1 + x k

k

para todo k > K ∗ .

Falta agora limitar os K ∗ primeiros primeiro s termos termo s da sequência. encia. Seja então ao

{      Portanto x  ≤ C para todo k ∈ N.

 

 }

C = max x1 , x2 , x3 , . . . , xK , 1 + x .

k

∗



ˆ 3. SEQUENCIAS

22

Outro resultad r esultadoo importante imp ortante trata tra ta de limites l imites de d e sequências encias que são ao resultados de opera¸c˜ cões oes entre sequências. encias. Por exemplo, dadas duas sequências encias convergente, convergente, o limite da soma das sequências encias é a soma dos limites. E assim a ssim por diante. ao ao Lema 3.1.9. Seja (xk ) e (yk ) tais que lim xk = x e lim yk = y. Ent˜ (1) lim(xk + yk ) = x + y. (2) lim(xk yk ) = x y. (3) lim(c lim(cxk ) = cx, para c R. (4) Em R, temos que lim(x lim(xk yk ) = xy. xy. (5) Em R, temos que se yk = 0 para todo k e y = 0, então ao lim(x lim(xk /yk ) = x/y. x/y.

−

−

∈



˜ . (1) Dado  > 0, seja K ∗ DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

∗



∈ N tal que x − x < /2 /2 e y − y < /2 /2 k

≥ K . Logo x + y − (x + y) ≤ x − x + y − y < 

para todo k

k

k

k

k

para todo k

k

∗

≥ K .

(2) A demonstra¸c˜ cão ao é basicamente a mesma de (1), tomando-se o devido cuidado com os sinais. (4) Para todo k N temos

∈

|x y − xy| ≤ |x y − x y| + |x y − xy| = |x ||y − y| + |y||x − x|. Seja M ∈ R tal que |x | < M e |y | < M constante M existe pois como (x ( x ) converge, M .. Tal constante ela é limitada. Agora, dado  > 0, seja K tal que |y − y| < /(2 /(2M M ) e |x − x| < /(2 /(2M M ) para todo k ≥ K . Logo, |x y − xy| ≤ M [|y − y| + |x − x|] < , para todo k ≥ K . k k

k k

k

k

k

k

k

k

∗

k

∗

k k

k

k

k

k

∗

Deixamos (3) e (5) como exerc´ exerc´ıcios para o leitor.



˜ o. Os resultados do lema acima continuam válidos alidos para um n´ umero umero finito Observa rvac c ¸ao. a

de somas, produtos, etc. ao é limit li mitad ada. a. Exemplo 3.9. (n) diverge pois não 1/2 + 1/ 1 /3 + 1/ 1 /4 + Exemplo 3.10. Seja S n = 1 + 1/ é limitada, e portanto divergente. divergente. Note que x2n

     ··· 

1 = 1+ + 2

1 = 1+ + 2

4

i=3

1 1 + 3 4

1 + n

8

i=5

+

1 + n

1 1 1 1 + + + 5 6 7 8 2n

+

i=2n

1 +1

−

+

· · · + 1/n 1/n.. Mostraremos que (S (S ) não ao

··· +

n

  ···   ··· 

1 1 > 1+ + 2 n

1

2n−1 + 1 4

i=3

= 1+

1 + 4

+

8

i=5

+

1 + 8

1 1 1 + + + 2 2 2

1 2n

2n

+

i=2n

−

1 +1

1 2n

· · · + 12 = 1 + n2 .

Logo (S (S n ) não ao é limitada l imitada,, e portanto port anto diverge. Outra forma de ver que a sequência encia acima diverge é por indu¸c˜ cão. ao. Quero Quero mostrar mostrar que que 1/2. Assumindo que S 2n 1 1 + (n ( n 1)/ 1)/2 temos S 2n 1 + n/2. n/2. Note que S 2 = 1 + 1/ 1 1 (n 1) 1 n + + n > 1+ + > 1+ , S 2n = S 2n 1 + n−1 2 +1 2 2 2 2

≥

−

−

···

−

≥

−

˜ O E RESULTADOS PRELIMINARES 3.1. 3.1 . DEFI DE FINI NIC C ¸A

23

como quer´ quer´ıamos demonstrar. demonstrar. Mais uma vez a conclus˜ conclus˜ ao ao é que (S n ) não ao é limitada, limita da, logo diverge.





(2n + 1)/n 1)/n = 2. De fato, Exemplo 3.11. limn→∞ (2n 2n + 1 = (2) + n



1 . n

Como limn→∞(2) = 2 e limn→∞ (1/n (1/n)) = 0, nós os obtemos o resultado. Exemplo 3.12. limn→∞ 2n/( n/(n2 + 1) = 0, pois





2n 2/n = . 1 + 1/n 1 /n2 n2 + 1

Como limn→∞ (2/n (2/n)) = 0 e limn→∞ (1 + 1/n 1/n2 ) = 1 = 0, podemos aplicar o resultado sobre quocient quo cientee d dee sequˆ s equências. enci as.



se quênci en ciaa Exemplo 3.13. A sequˆ 1 xn = 2 n converge. Primeiro note que n



(3.1.1)

i=

i=1

n



i

i=1

n2 + n . 2

Para n = 1 o resultado (3.1.1) é trivial. Assuma (3.1.1) vedadeiro para n = k. Temos então ao que k+1

 i=1

3k + 2 (k + 1)2 + (k (k + 1) k2 + k k 2 + 3k +k+1 = = i= , 2 2 2

e portanto fórmula ormula (3.1.1) (3.1.1 ) é verdadeira. verda deira. Temos então ao que 1 n2 + n 1 = 1 + xn = 2n2 2 n

 

1 = + 2

 

1 . 2n

Logo (x (xn ) é soma s oma de dua duass sequências enci as convergentes converg entes,, (1/ (1 /2) e (1/ (1/2)(1/n 2)(1/n)) e 1 1 1 + lim = . n→∞ 2 n→∞ 2n 2

lim xn = lim

n→∞

(xn ) sequˆ s equência enci a convergente converg ente em R,e seja x Exemplo 3.14. Seja (x sequência enci a defini d efinida da por po r 1 (x1 + x2 + n

∈ R seu limite. Então ao a

··· + x ) n

converge e tem x como seu limite. Sem perda de generalidade, supomos que (x (xn ) converg convergee para zero. zero. Pa Para ra o caso caso geral geral quando (x (xn) converge para x basta tratar a sequência encia (xn x).

−

ˆ 3. SEQUENCIAS

24

···

Seja S n = (x1 + x2 + + xn )/n. (xn) converge, então ao é limitada. limita da. Seja M tal que /n. Como (x ∗ ∗ xn < M para todo n N. Dado  > 0, seja K tal que M/K <  e sup xn : n K ∗ < . . ˇ ˆ Então, ao, temos S n = S n + S n , onde

| |

∈

{| |

ˇn = 1 (x1 + x2 + S n

··· + x

K

∗

ˆn = 1 (xK + xK +1 + S n

),

∗

∗

≥ }

· · · + x ). n

Então ao (S n ) é a soma de duas sequˆ sequências encias conve convergen rgentes. tes. De fato para n > (K ∗ )2 , temos ˇn ˆn < ( em diss di sso, o, S (S n) converge. S K ∗ M/n M/K ∗ < . Além  (n K ∗ )/n < . . Portanto (S

| |≤

≤

| |

−

Outro resultado importante refere-se à convergencia convergencia das normas de sequências: encias: se uma sequência encia converge, entao a sequência encia de normas também em converge. A reciproca recipro ca n˜ ao é ver ve rn dadeira. dadeira . Basta considerar cons iderar como com o contra-exemplo contra-exemp lo a sequência encia ( 1) . Neste caso a sequência encia diverge mas a sequência encia de seus valores absolutos converge. converge.

− 

Lema 3.1.10. Seja (xn ) convergente. Então ao ( xn ) tamb´ mbém o é.

 

˜ . Exer Ex ercc´ıcio ıc io.. DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO



3.2. Subsequências encias e Teorema de Bolzano–W Bolzano– Weierstrass eierstras s Seja (xk ) sequência enci a em Rn e k1 < k2 < k3 < enci a de números umeros < k j < . . . sequência naturais. Então ao dizemos que (x (xkj ) é uma subs su bsequ equˆênci en cia a de (xk ).

···

(1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . ), então ao (1, (1, 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, . . . ) e (x2k ) Exemplo 3.15. Se (xk ) = (1, são ao subsequˆ sub sequências enci as de (xk ). Um primeiro primeiro resultado resultado relacionado relacionado com subsequˆ subsequências encias nos diz que se uma sequˆ sequência encia conver converge ge para um determinad determinadoo limite, limite, entao entao todas as subsequˆ subsequˆ encias encias conver convergem gem e têm em o mesmo limite. Lema 3.2.1. Se uma sequência encia (xk ) converge para x, então ao todas as subsequˆ encias encias de

(xk ) são ao convergentes e têm em o mesmo limite x. ˜ . Seja (xk ) subsequˆ DEMON encia encia convergente, convergente, e seja x = limk→∞ (xk ). Dado EM ONST STRA RAC C ¸ AO

 > 0, seja K ∗ tal que

x − x  < 

(3.2.1)

k

∗

≥ K . ≥ j para todo j ∈ N, então ao j ≥ K para todo k

∗

Seja (xkj ) subsequˆ sub sequência enci a de (xk ). Co Como mo k j ∗ portanto k j K e portanto x xkj < ,

≥

 − 

por (3.2.1). Logo (xkj ) converge para x.



( 1)n diver diverge ge pois se conve convergi rgisse sse para para algum algum x sequências encias convirgiriam convirgiri am este est e mesmo valor. Mas Exemplo 3.16.

implica em

− 

lim (( 1)2n = 1,

n→∞

−



lim (( 1)2n+1 =

n→∞

−



−1.

∈

R, suas suas subsub-

ˆ NCIAS E TEOREMA DE BOLZANO–WEIERSTRASS 3.2. SUBSEQU SUBSEQUE

25

e não ao crescente e limitada para 0 < a < 1. Logo é convergente. co nvergente. Exemplo 3.17. (an ) ´ Seja l = limn→∞ (an ). Então ao l = lim (a2n ) = lim (an ) lim (an ) = l2. n→∞

n→∞

n→∞

Logo l = 0 ou l = 1. Como Com o a sequência enci a é não ao crescen crescente te e limitada limitada superiormen superiormente te por a < 1, n então ao l = 1 não ao pode ser limite. Logo limn→∞ (a ) = 0. 3. 2.22 (Crit´ (Cr itérios eri os de divergˆ div ergência enc ia)). Seja (xk ) sequˆ seq uência en cia em Rn . As afirmativas abaixo Lema 3.2. são ao equivalentes: (1) (xk ) não ao converge para x Rn . (2) Existe  > 0 tal que para todo K ∗ N, existe k j N, com k j > K ∗ e x xkj . (3) Existe  > 0 e uma subsequência encia (xkj ) de ( xk ) tal que x xkj >  para todo j N.

∈

∈

∈

 − 

∈

⇒ ∈  −  > K tal que x − x  > . . (2) =⇒ (3): (3): Seja Seja  como como em (2). Pa Para ra todo j ∈ N, seja k

 − ≥

˜ . (1) = (2): Se (xk ) não ao converge para x então ao existe  > 0 tal que é DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO ∗ ∗ impo im poss´ ss´ıvel ıve l acha a charr K N tal que x xk <  para todo k > K . Logo, para todo K ∗ , existe

k j

∗

kj

j

> j tal que x

 − x  ≥ .

Portanto Porta nto s subse s ubsequˆ quência enci a ( xkj ) satisfaz a propiedade em (3).

kj

(3) = (1): Se (xk ) convergisse para x ter´ te r´ıamo ıa moss ( xkj ) convergindo para x, o que contraria  a hipótese otese inicial. Logo ( xk ) não ao converge para x.

⇒

No exemplo abaixo temos uma aplica¸c˜ cao aõ imediata do Lema 3.2.2. enci a em Rn tal que toda subsequência encia de (xk ) cont co nt´ém em Exemplo 3.18. Seja (xk ) sequência uma subsequência encia convergente para x. Então ao (xk ) converge para x. Por contradi¸c˜ cão ao suponha que (xk ) não ao convirja para x. Portanto existe ex iste uma subsequˆ s ubsequência encia (xkj ) e  > 0 tal que (3.2.2)

x − x  >  kj

para todo j

∈ N.

Mas então, ao, por hipótese, otese, (xkj ) tem t em uma u ma subsequência encia convergindo para x, uma contradi¸c˜ cao aõ com (3.2.2). (3.2.2). Finalmente mostramos um importante resultado que nos garante convergencia de alguma ´ o análogo subsequˆ sub sequência enci a mesmo me smo quando quan do a sequência enci a orig o rigina inall não ao converge. E alo go para par a sequˆ s equências enci as do Teorema de Bolzano–Weierstrass 2.4.2. Teorema 3.2.3 (Bolzano–Weierstrass (Bolzan o–Weierstrass para sequências) encias) . To Toda da sequência enci a limit l imitada ada de nu-

meros reais tem pelo menos uma subsequˆ encia encia convergente. ˜ . Seja (x ) sequˆ encia enc ia em Rn e s = xk : k DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO k seq uˆ

{ ∈ N}. Então ao S ´ finito ito ou não. ao. S é fin Se S for ao existe pelo menos um elemento s ∈ S tal S for finito, então S tal que s = x = x = x = . . . . k1

k2

k3

para algum k1 , k2 , k3 , . . . em N. Neste caso, a subsequência encia constante ( xkj ) é converg co nvergente ente.. Se S for infinito, infinito, e como este conjunto conjunto é limitado limitado por hip´ otese, otese, ent˜ então a o o teorema de Bolzano–Weierstrass Bolzano–Weierstrass 2.4.2 garante a existência encia de pelo menos um ponto x de acumula¸c˜ cao aõ de po nto de acumula¸ acu mula¸c˜ cão, ao, então ao para todo j N existe pelo menos um ponto em S . Como x é ponto

∈

ˆ 3. SEQUENCIAS

26

∩

∈ N tal que x ∈ S ∩ B

S B1/j (x), i.e., existe k j temos

1/j (x).

kj

x − x  < j1 < J 1 <  kj

Então, ao, dado  > 0, para 1/J 1/J < 

para todo j

≥ J.

Logo, a subsequência encia (xkj ) é conver co nvergen gente. te.



e uma sequência encia limitada limita da de elementos distintos, distintos, e Exemplo 3.19. Suponha que (xk ) ´ N tem exatamente um ponto de acumula¸c˜ que o conjunto xk : k cão. a o. En Ent˜ t˜ ao ao (xk ) é

{

∈ }

convergente. De fato, seja x o ponto de acumula¸c˜ cão ao da sequência. encia. Por absurdo, assuma que (xk ) não ao converge para x. Então ao existe  > 0 e uma subsequencia ( xkj ) tal que

x − x >  para todo k ∈ N. Mas então ao o conjunto {x : j ∈ N} é infinito pois poi s os x são ao distintos e portanto pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass ele tem pelo menos um ponto de acumula¸ a cumula¸c˜ cão, ao, que é diferente dife rente de x, uma contradi¸c˜ cao aõ com x ser o único unico ponto de acumula¸c˜ cão ao de {x : k ∈ N}. kj

kj

kj

k

3.3. Sequˆ encias encias de Cauchy Um conceito importante impo rtante tratando-se tratand o-se de sequências encias é o de sequências encias de Cauchy. Cauchy. Formalmente, dizemos que uma sequência encia (xk ) é de Cauchy se para todo  > 0 existe K ∗ N tal que xk xm <  para todo k, m K ∗ .

∈

| − |

≥

Usando os lemas a seguir, mostraremos mostrar emos que uma sequência encia é convergente se s e e somente s omente se é de Cauchy. seq uência enc ia conver co nvergen gente te é de d e Cau C auchy. chy. Lema 3.3.1. Toda sequˆ ˜ . Seja (xk ) sequˆ encia encia convergente, e x o seu limite. limite. En Ent˜ tão, ao, dado  > 0, DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO ∗ ∗ existe K N tal que x xk < /2 / 2 para todo k K . Portanto,

∈

| − | ≥ |x − x | ≤ |x − x| + |x − x | <  k

m

k

m

se k, m

∗

≥ K .

Logo (xk ) é de Ca Cauch uchy. y.



od a sequência enci a de Cauchy é limita lim itada. da. Lema 3.3.2. Toda ˜ . Seja (xk ) sequˆ encia encia de Cauchy. Cauchy. Então, ao, considerando  = 1, temos que DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO ∗ ∗ xk < 1 para todo k > K . Logo, para k > K ∗ temos existe K N tal que xK

∈

|

− | |x | ≤ |x − x | + |x | < 1 + |x |. |, 1 + |x |}, temos imediatamente que |x | ≤ C para Definindo C = max{|x |, . . . , |x todo k ∈ N. Portanto Porta nto a sequência enci a é limitad lim itada. a.  ∗

k

1

k

K −1 ∗

∗ K

∗ K

∗ K

∗ K

k

Finalmente Finalme nte podem p odemos os enunciar a equivalencia entre convergˆ co nvergˆ encia encia e o critério erio de Cauchy. Cauchy. 3.3 .3 (Crit´ (Cri tério erio de convergência enci a de Cauchy) . Uma Um a sequência enc ia é converge conv ergente nte se Teorema 3.3.3 e somente se é de Cauchy.

ˆ NCIAS DE CAUCHY 3.3. SEQUE

27

˜ . J´ a vimos no Lema 3.3.1 que se uma sequência encia é convergente, ela é de DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

Cauchy. Assuma agora que (xk ) é sequência enci a de Cau Cauchy chy.. Pelo Lema 3.3.2, 3.3 .2, a sequência enci a é limita lim itada, da, e pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass Bolzano–Weierstrass 3.2.3, existe uma subsequência encia (xkj ) convergente. Seja x = limkj →∞ (xkj ). Quero Quero mostrar mostrar que x = limk→∞ (xk ). Seja Seja  > 0. Co Como mo (xk ) é de ∗ Cauchy, temos que existe K N tal que  xk xm (3.3.1) para todo k, m K ∗ . 2 Como (xkj ) é convergente conver gente,, então ao existe m k1 , k2 , . . . tal que m > K ∗ , e  x xm < . 2 ∗ Como m > K temos também em de 3.3.1 que xk xm /2 /2 para todo k K ∗ . Finalmente, para todo k K ∗ temos

∈ | − |≤

≥

∈{ } | − | | − |≤

≥

≥

|x − x | ≤ |x − x | + |x − x | < . k

k

k

k

Conclu´ Con clu´ımos ımo s que (xk ) converge.



Exemplo 3.20. Considere x1 = 1, x2 = 2 e xn = (xn−1 + xn−2 )/2 para n

≥ 3.

Ent˜ En t˜ ao ao

mostraremos que (x (xn ) converge converge pois é de Cauchy Cauchy. Mostramos primeiro que 1 (3.3.2) xn xn+1 = n−1 , para n N. 2 Note que (3.3.2) (3.3.2 ) é válido alido para n = 1. Sup Supondo ondo também em v´ alida alida para n = k, i.e., que 1 (3.3.3) xk xk+1 = k−1 , 2 temos 1 1 1 (xk+1 + xk ) = (xk+1 xk ) = k , xk+1 xk+2 = xk+1 2 2 2 onde usamos (3.3.3) na ultima u ´ ltima igualdade. Conclu´ Conclu´ımos por indu¸c˜ cao aõ que (3.3.2 (3. 3.2)) é v´ v álida. alida. ∗ K −2 Tendo (3.3.2) demonstrado, basta agora, dado , tomar K tal que 2 Nestee  > 1. Nest ∗ caso, se n m K , tem-se

| −

|

| −

|

−

| |

∈

|

−

| |

− |

∗

≥ ≥ − x | + |x − x | + · · · + |x − x | (3.3.4) |x − x | ≤ |x − x | + |x 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ··· + = + + + ··· +1 = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 − 1/2 1 ≤ = < , 2 2 1− Exemplo 3.21. Em geral, se (x − x | < c , onde S = (x ) é tal que |x c é n

m

n− 2

n

n− 3

n− 1

n−4

n−1

m−1

n−2

m−1

n− 2



n− 3

n−m−1

m+1

n−m−2



n−m−3 n−m

1 2

m−1

n

m

n+1

n

n

m−2

n

n i=1 k



convergente, convergente, então ao (xn ) é convergente. convergente. De fato, mostramos abaixo que a sequência encia é de Cauchy, e portanto converge. Note que para n > m, temos (3.3.5) xn xm xn xn−1 + xn−1 xn−2 + + xm+1 xm cn−1 +cn−2 + +cm = S n−1 S m−1 .

| − |≤| −

| |

−

| ··· |

− |≤

···

−

Como S n converge, então ao é de Cauchy. Logo Log o dado d ado  > 0, existe K ∗ N tal que n > m > K ∗ implica que S n−1 S m−1 < . Logo Logo,, por (3.3. (3.3.5) 5) temos temos que n > m > K ∗ implica que Cauch uchy. y. xn xm <  e (xn ) é de Ca

| − |

|

−

|

∈

ˆ 3. SEQUENCIAS

28

3.4. Sequências enci as Contráteis ateis Dizemos que uma sequência encia (xk ) é contr´ atil se existem número umero real λ < 1 e um natural K tais que xk+2 xk+1 λ xk+1 xk ∗

|

para todo k > K ∗ .

−

|≤ |

− |

enc ia contr´ cont r´ atil at il é converge conv ergente nte Teorema 3.4.1. Toda sequência ˜ . Seja (xn ) sequˆ DEMON encia encia contrátil atil com constant constantee λ < 1. Sem Sem perd perdaa de EM ONST STRA RAC C ¸ AO

generalidade, assumimos nesta demonstra¸c˜ cão ao que K ∗ = 0, isto is to é

|x − x | ≤ λ|x − x | k+2

k+1

k+1

k

∈ N. Então, ao, |x − x | ≤ λ|x − x | ≤ λ |x − x | ≤ · · · ≤ λ |x − x |. Logo, para m ∈ N e k ≥ m temos |x − x | ≤ |x − x | + |x − x | + · · · + |x − x | ≤ λ + λ + · · · + λ |x − x | = λ λ +λ + · · · + 1 |x − x | − 1 |x − x | ≤ λ |x − x |. λ =λ 1−λ λ−1 Logo, dado  > 0 se K ∈ N é tal ta l que qu e λ |x − x | < , 1−λ então ao |x − x | <  para todo m ≥ K , k ≥ K . Portanto Porta nto a sequência enci a é de Cauchy e é para todo k

k+2

k



k −2

k+1

m

k −3

k+1

k

m−1

m−1

2

k

k−1



k

k−1

2

k −2

m−1

1

k−m

2

k

k −1

1



m+1

k−m−1

k−m−2

m−1

2

1

2

1

m



2

1

∗

K −1 ∗

2

k

1

∗

m

∗

convergente



encia definida por Exemplo 3.22. Seja a sequência x0 = a > 0,

xn+1 = 1 +

1 . xn

Queremos mostrar que (x ( xn ) é cont co ntr´ rátil, atil, e portanto convergente. + R dada por f ( Seja f : R 1+1/x.. Então ao a sequˆ se quência en cia é defin d efinid idaa por po r xn+1 = f (xn ), f (x) = 1+1/x ∗ + e temos portanto que x = (1 + 5)/ 5)/2 é a unica u ´ nica solu¸c˜ cao aõ em R para a equa¸c˜ cao aõ x = f ( f (x). ∗ 2 Usaremos mais tarde o fato de que x > x implica em x > x + 1. 1. Note Note ainda que f é tal que

→

(3.4.1) e que se x, y (3.4.2)

√

⇒

x>y =

∈R

+

f ( f (x) < f (y),

{ } 1 1 |f ( − f (x) − f ( f (y)| = x y

e c < min x, y , então ao





=

|x − y| ≤ |y − x| . xy

c2

A fim de utilizar (3.4.2), mostraremos que (x ( xn ) é limitada limitad a inferiormente inferio rmente por algum a lgum n´ n umero u ´ mero maior que um.

˜ O DE CONJUNTOS FECHADOS 3.5. 3.5 . CARACTE CAR ACTERIZ RIZAC AC ¸A

29

Temos então ao três es possibili pos sibilidades: dades: a = x∗, a > x∗ ou a < x∗ . Quan Quando do a = x∗ , a série é trivialmente convergente pois temos x1 = x2 = = x∗ . Assuma então ao que x0 = a > x∗ . A análise alise para a < x∗ é simi si mila lar. r. Então ao x1 = f ( Porr indu¸ indu¸c˜ cao aõ temos que x2n−2 > x∗ e x2n−1 < x∗ . De f (x0 ) < f ( f (x∗ ) = x∗ . Po fato, como estas desigualdades são ao verdadeiras para n = 1 e assumindo tamb´ em em corretas ∗ ∗ ∗ para n = k temos x2k = f ( f (x2k−1 ) > f ( f (x ) = x e x2k+1 = f ( f (x2k ) < f ( f (x ) = x∗ , como quer´ıamos ıam os demonst demo nstrar. rar. Temos então ao x0 = a, x1 = (a + 1)/a 1)/a,, e

···

x2 = 1 +

1 2a + 1 a + a2 = = a = x0 , < x1 a+1 a+1

onde usamos que a + 1 < a2 . Da mesma mesma forma, forma, x3 = 1 + 1/x 1/x2 > 1 + 1/x0 = x1 . Portant Portantoo temos que para n = 1 vale x2n < x2n−2 e x2n+1 > x2n−1. Assumindo Assumindo estas duas desigualdade desigualdadess para n = k temos 1/x2k+1 < 1 + 1/x 1/x2k−1 = x2k , x2k+2 = 1 + 1/x

1/x2k+2 > 1 + 1/x 1 /x2k = x2k+1 , x2k+3 = 1 + 1/x

como quer´ quer´ıamos demonstrar. demonst rar. Conclu´ Con clu´ımos ımo s que (x2n−1 ) é sequ se quˆênci en ciaa não ao decrescente, e que x2n > x∗ > x1 para todo (xn ) é limitada limita da inferiormente inferior mente por x1 . n N. Portanto (x Aplicando Aplicando agora (3.4.2), temos

| |

∈

1 |x − x | = |f ( f (x ) − f ( f (x )| ≤ |x − x |. x k+1

k

k

k −1

2 1

k

k −1

Como x1 = 1 + 1/a 1/a > 1, então ao (xn ) é cont co ntr´ rátil atil e portanto converge. Para achar o valor limite, basta resolver x = f ( f (x), e temos que lim n→∞ xn = x∗ .

3.5. Caracteri Caracteriza¸ za¸ c˜ cao a õ de conjuntos fechados Podemos usar sequências encias para caracterizar conjuntos fechados, como o resultado abaixo mostra. Teorema 3.5.1. Seja F

⊂ R. As afirmativas abaixo s˜ ao equivalentes.

(1) F é fechad fech adoo em Rn . (2) Se (xk ) é sequˆ sequênci en ciaa conve converge rgent nte, e, com xk

k→∞ xk

∈ F para todo k ∈ N, ent˜ ao lim n

∈ F . F .

⇒(2) (Por (Por contradi¸c˜ c˜ ao) ao ) Assuma F fechado em R , e seja ( x ) seq sequˆ uênci en ciaa x = x. Su em F com lim Supon ponha ha x ∈ Como mo C (F ) abert o, existe vizinhan¸ vizinha n¸ca ca V de / F . F . Co F ) é aberto, x tal que V ∩ F = ∅. Logo Logo,, para para todo todo k ∈ N, temo temoss x ∈ cao aõ com / V , V , uma contradi¸c˜ lim x = x. Portanto x ∈ F . F . (2)⇐(1) (Por (Por contradi¸c˜ cao) ao ˜ ) Suponha que C (F ) ao seja aberto aberto.. En Ent˜ t˜ ao ao existe x ∈ C (F ) F ) não F ) tal que para todo k ∈ N existe um ponto em x ∈ B (x) ∩ F . um a sequ se quˆênci en ciaa F . Logo (x ) é uma em F que converge para x. Por hipótese, otese, temos que x ∈ F , cao aõ com x ∈ C (F ). F , uma contradi¸c˜ F ). Portanto C (F ) ab erto,, e F é fecha fe chado do.. F ) é aberto  ˜ . (1) DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

k→∞

k

k

k→∞

k

k

1/k

k

k

ˆ 3. SEQUENCIAS

30

3.6. Sequências enci as em R Outros resultados importantes importantes para tentar tentar achar achar um “candidato” “candidato” limite vêm em a seguir. seguir. O primeiro primeiro nos diz que se temos uma sequˆ sequência encia de números umeros positivos, então a o o limite, se existir, tem que ser não ao negativ negativo, o, podendo podendo ser zero. zero. A seguir seguir,, aprend aprendemo emoss que se temos temos uma sequência encia “sanduichadas” “sandu ichadas” entre outras ou tras duas sequências encias convergentes que q ue tem te m o mesmo limite, então ao a sequência encia do meio converge e tem também em o mesmo limite. (xn ) convergente com lim xn = x. Se exi exist stee K ∗ Lema 3.6.1. Seja (x ∗

para todo n > K , então ao x

≥ 0.

∈ N tal que x ≥ 0 n

−

˜ . (por contradi DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO contradi¸¸c˜ cao) aõ) Assuma que x < 0. Seja Seja ent˜ ent˜ ao ao  = x/2 x/2 > 0. ∗ N tal que xn Como (x (xn ) converge para x, seja K Logo,, x <  para todo n > K ∗ . Logo

∈ −

∈

| − |

is to é, e, xK +1 < x +  = x/2 ao uma contradi¸c˜ cao aõ xK +1 (x , x + ), isto x/2 < 0. Obtivemos então pois xK +1 não ao é negati neg ativo. vo.  ∗

∗

∗

´ rio 3.6.2. Se (xn ) e (xn ) s˜ ao convergentes com lim xn = x e lim yn = y, e se ao Corolario a ∗ existe K N tal que xn yn para todo n > K ∗ , então ao x y.

∈

≥

≥

˜ . Se zn = xn DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

ao lim z − y , então n

n

= lim xn

resultado segue então ao do Lema 3.6.1.

− lim y

n

=x

− y.

O presen presente te 

≤

3. 6.33 (san (s andu´ du´ıche ıch e d dee sequˆ s equência en cias) s). Sejam (x (xn ), (yn ) e (zn ) sequências enci as tais que xn Lema 3.6. ∗ ∗ N. Assuma ainda que (x (xn ) e (zn ) convergem zn para todo n > K , para algum K

≤

∈

yn com lim xn = lim zn . Então ao (yn) converge e lim yn = lim xn = lim zn .

˜ . Seja a = lim xn = lim zn . Dado  > 0, existe K ∗ tal que xn DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

∗

|z − a| <  para todo n > K . Logo − < x − a ≤ y − a ≤ z − a <  =⇒ |y − a| <  n

n

n

n

| − a| <  e

n

∗

para todo n > K , como quer´ quer´ıamos demonstrar. demonst rar.







−1 ≤ sin n ≤ 1, então ao

Exemplo 3.23. limn→∞ (sin n)/n = 0 pois como

−1/n ≤ (sin n)/n ≤ 1/n,

e o resultado segue do lema 3.6.3.

ao) ao). Seja (x (xn ) sequência enci a de números umeros positi p ositivos vos tal que (xn+1 /xn ) Lema 3.6.4 (teste da raz˜ converge e lim n→∞ (xn+1 /xn ) < 1. Então ao (xn ) converge e limn→∞ (xn ) = 0. ˜ . Seja L = limn→∞ (xn+1 /xn ). Ent˜ ao, ao, por hipótese, otese, L < 1. Seja r tal que DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

L < r < 1. Portanto dado  = r n K ∗ . Logo,

≥

∗

− L > 0, existe K

0 < xn+1 < x n r < x n−1 r2 < xn−2 r3 <

tal que xn+1 /xn < L +  = r para todo

··· < x

r n−K +1 para todo n ∗

K

∗

∗

≥ K .

Se c = xK r −K . , então ao 0 < x n+1 < crn+1 . O resultado segue do Corolário ario 3.1.6, pois como n ao limn→∞ r = 0. r < 1, então  ∗

∗

´ rio 3.6.5. Seja (x (xn ) tal que xn = 0 para todo n Corolario a



L = lim

n→∞

|x | |x | n+1 n

∈Ne

3.7. LIMITE SUPERIOR E INFERIOR

31

∗

∈ R existe K ∈ N tal que n ≥ N =⇒ |x | > C.

existe e L > 1. Então ao para todo C

∗

n

˜ . basta considerar o teste da raz˜ ao ao para yn = 1/xn. Neste caso, DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

lim

n→∞

|y | = lim |x | = lim |y | |x | n+1

n

n→∞

n

n→∞ |xn+1 | |xn |

n+1

Portanto para n

∗

≥ K

∗

≥ K

=

1 limn→∞ |x|xnn+1| |

+

∗

∈ R existe K 1 =⇒ |y | < . C

Logo (y (yn ) converge para zero, e para todo C n

1

=

1 < 1. L

tal que

n

| |

temos xn > C e (xn ) não ao é limitada limita da e não ao converge. 

(xn ) = n/2 ao Exemplo 3.24. Seja (x n/2n . Então 1 1 xn+1 n + 1 2n n+1 lim = lim n+1 = lim = . n→∞ n→∞ 2 2 n→∞ n 2 xn n Pelo teste da razão ao temos limn→∞ (xn ) = 0

 





 

(xn ) converge. Exemplo 3.25. Note que para xn = 1/n, /n, temos limn→∞ xn+1 /xn = 1 e (x Entretanto, para yn = n, temos limn→∞ yn+1 /yn = 1 mas (y (yn ) n˜ ao convergente. convergente. Portan Portanto to o teste não ao é conclusivo quando o limite da razão ao entre os termos é um.

3.7. Limite Limite superior e inferior inferior Uma no¸c˜ cao aõ importante tratando-se de sequências encias é a de limites superiores (lim sup) e inferi inferiore oress (lim (lim inf), que nos dá informa¸c˜ coes o˜es sobre sequências encias limitadas mesmo quando estas não ao são ao convergentes. Seja (x (xn ) sequência encia limitada de reais, e defina V = v

{ ∈ R : existem finitos n ∈ N tais que x

Definimos então ao

n

}

>v .

lim lim sup sup xn = inf V. inf V. De forma análoga, aloga, se

{ ∈ R : existem finitos n ∈ N tais que x

W = v definimos

n

}

lim lim inf inf x xn = sup W. Lema 3.7.1. Seja (x (xn ) sequˆ sequência encia de reais limitada. Ent˜ Então ao (xn ) converge para x se e

somen somente te se lim sup xn = lim inf inf x xn = x. (xn ) = ( 1)n . Então a o liminf x liminf xn = Exemplo 3.26. Seja (x

−

Exemplo 3.27. Seja

(zn ) = Então a o lim lim inf inf zzn =

−1 e limsup z

n

= 1.

( 1)n n ( 1) + . n

−

−



−1 e lim sup sup x

n

= 1.

ˆ 3. SEQUENCIAS

32

3.8. Sequências enci as Mon´ M on´ otonas otonas Um classe muito especial de seqiencias é a de sequências encias monótonas. otonas . Uma sequˆ seq uência encia monótona otona é tal que seus valores alores não ao “oscil “oscilam” am”,, i.e., i.e., eles eles ou nu nunca nca diminuem diminuem ou nu nunca nca aumentam. Pode-se ver que a defini¸c˜ cao aõ de sequência enci a mon´ m onótona otona é restrita a uma dimensão. ao. ˜ o 3.8.1. Dizemos Definic ¸ ao a Dizem os que uma sequência enci a (xn ) é mon´ otona otona crescente, crescente, ou simples-

mente crescente se x1 sequˆ encia encia (xn ) é x2 xn . . . . Da mesma forma uma sequˆ mon´ otona otona decrescente, decrescente, ou simplesmente decrescente se x1 Finallx2 xn . . . . Fina ment me nte, e, uma um a sequˆ sequênci en ciaa é monótona otona se for crescente ou decrescente.

≤

≤ ··· ≤

≤

≥ ≥ ··· ≥

≥

(1, 2, 3, 4, . . . ) e (1, (1 , 2, 3, 3, 3, 3, . . . ) são ao crescentes. Exemplo 3.28. (1, (1/n)) é decres dec rescen cente. te. Exemplo 3.29. (1/n

−

Exemplo 3.30. ( 1, 1,

−1, 1, −1, . . . ) não ao é mon´ mo nótona. otona.

Teorema 3.8.2. Uma sequˆ encia enci a mon´ otona é convergente se e somente se é limitada. limitada . N . Da mesm Além em disso, diss o, se (xn ) é crescente, ent˜ ao limn→∞ (xn ) = sup xn : n mesma a forma, se (xn ) é decrescent decres cente, e, ent˜ ent ˜ ao limn→∞ (xn ) = inf xn : n N .

{

{

∈ }

∈ }

⇒ ) Já vimos que toda sequência encia convergente é limitada. limita da. ( ⇐= ) Assuma (x (x ) crescente e limitada. Seja x = sup{x : n ∈ N}. Então ao dado  > 0, existe N tal que x −  < x ≤ x < x + , pois x é o supremo. su premo. Logo, para todo to do n > N temos converge para x. Se a sequência encia for não-crescente, ao-crescente, x −  < x ≤ x ≤ x < x + , portanto x converge ˜ . ( = DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

n

n

N

N

n

n

a demonstra¸ demonstra¸c˜ caõ é an´ an aloga. a´loga.



Exemplo 3.31. (an ) diverge se a > 1 pois ´ e ilimitada. ilimit ada. Exemplo 3.32. (an) converge se 0 < a

Além em disso, dis so, limn→∞

≤ 1 pois é monótona otona decrescente e limitada. (a ) = 0, pois inf {a : n ∈ N} = 0. n

n

Mostrarem remos os que (y ( yn ) é converg co nvergent entee Exemplo 3.33. Seja y1 = 1 e yn+1 = (1 + yn )/3. Mostra e acha achamo moss seu seu limi limite te.. Note Note que y2 = 2/3 < 1 = y1 . Vamos amos mostr mostrar ar por indu¸ induc˜ çao aõ que 0 < yn+1 < yn . Esta afirmativ afirmativa vale para n = 1. Assuma Assuma verdadeira verdadeira para n = k 1, isto is to é 0 < y k < y k−1 . Então ao para n = k temos

−

yk+1 = (1 + yk )/3 < (1 + yk−1 )/3 = yk , e como yk > 0, então ao yk+1 > 0, como quer´ quer´ıamos. Portanto a sequência encia é monótona otona não ao crescente e limitada inferiormente por zero. Portanto converge. Seja y seu limite. Então ao y = lim yn+1 = lim (1 + yn )/3 = (1 + y)/3. n→∞

n→∞

Logo y = 1/2. (2yn + 3)/ 3)/4. Note Note que que y2 = 5/4 > y1 . Para ara Exemplo 3.34. Seja y1 = 1, e yn+1 = (2y mostrar que yn+1 > yn em geral, usamos indu¸c˜ cão. a o. Note Note que que para para n = 1 o resultado vale. Assuma agora que valha tamb´ t ambém em para n = k para algum k, i.e., yk+1 > yk . Então ao 1 1 (2yk+1 + 3) > (2y (2yk + 3) = yk+1 . yk+2 = (2y 4 4


33

∈

Logo, por indu¸c˜ cao, aõ, yn+1 > yn para todo n N, e (yn ) é não ao decrescente decrescente.. Para Para mostrar mostrar que é limitada, limita da, note que y1 < 2. Mais Mais uma vez vez usamos indu¸ indu¸c˜ cão ao a fim de provar que em geral yn < 2. Assuma que yk < 2. Logo, 1 1 7 (2yk+1 + 3) < (2 yk+1 + 3) < < 2. yk+1 = (2y 4 4 4 Por indu¸c˜ cao, aõ, segue-se que yn < 2 para todo n N. Como (y (yn ) é mon´ mo nótona otona e limitada, então ao é convergent co nvergente. e. Seja y = limn→∞ (yn ). Então ao

| | | | | | | | |

| |

|

| | ∈

((2yn + 3)/ 3)/4) = ((2y ((2y + 3)/ 3)/4). 4). y = lim (yn ) = lim ((2y n→∞

n→∞

resolvendo a equa¸c˜ cao aõ algébrica ebrica acima, temos y = 3/2. Exemplo 3.35. Assuma 0 < a < b, b , e defina a0 = a e b0 = b. Seja

1 bn+1 = (an + bn ), 2 para n N. Então ao (an ) e (bn ) convergem para o mesmo limite. Vamos mostrar por indu¸c˜ cao aõ que an+1 =

∈

(3.8.1)

ai+1 > a k ,



an bn ,

ak < b k ,

bi+1 < bk

para i = 0, 1, . . . .

√

√

Para i = 0 temos a0 = a < b = b0 . Logo, Logo, usan usando do que que y > x implica em y > x, e que a0 e b0 são ao positivos, temos a1 = a0 b0 > a0 . Além em diss d isso, o, b1 = (a0 + b0)/2 < b0 pois Portantoo (3.8.1) vale vale para i = 0. Assuma que valha também em para i = n. En Ent˜ t˜ ao ao a0 < b0 . Portant em disso, dis so, bn+1 = (an + bn )/2 < bn e bn+1 = (an + bn )/2 > an an+1 = an bn > an . Além pois an < bn por hipótese. otese. En Ent˜ tão ao an+1 = an bn < bn+1 bn < bn+1 . Logo Logo (3.8. (3.8.1) 1) val valee tamb´ ta mbém em para pa ra i = n + 1. 1. Po Porta rtant ntoo temos que (a ( an ) é mon´ mo nótona otona não ao decrescente e limitada superiormente, enquanto (b ( bn ) é mon´ mo nótona otona não ao crescente crescente e limitada limitada superiormente. superiormente. Ambas Ambas então ao convergem e sejam A e B seus limites. Neste caso teremos 1 A = AB , B = (A + B ). 2 e portanto portanto A = B .

√

√

√



√

3.9. 3.9 . Exerc´ Exe rc´ıcios ıci os Exerc´ıcio 3.1. Demontre o Lema 3.1.2. Exerc´ıcio 3.2. Demonstrar o Teorema 3.1.4. Exerc´ıcio 3.3. Demonstrar o Lema 3.1.10. Exerc´ıcio 3.4. Seja (xk ) sequˆ s equência enci a convergente converg ente para x. Mostre que xk : k

é comp co mpac acto to..

{

∈ N} ∪ {x}

Exerc´ıcio 3.5. Dˆ e um exemplo exem plo de uma sequência enci a (xn ) em R tal que toda subsequência encia

convergente de (x ( xn) convirja para x, mas que (x ( xn ) não ao seja convergente. Exerc´ıcio 3.6. Seja (xn ) sequˆ se quência enci a de d e Cauchy Ca uchy contend co ntendoo uma um a subs s ubsequˆ equência enci a convergent co nvergentee

para x. Mostre que ( xn ) converge para x. Exerc´ıcio 3.7. Sejam (xk ) e (yk ) duas sequˆ encias encias de Cauchy Cauchy em Rn . Most Mostre re que que

x − y  converge. k

k

ˆ 3. SEQUENCIAS

34

e monotona o´tona e limitada, limitada, Exerc´ıcio 3.8. Seja x1 = 1 e xn+1 = (2+ xn )1/2 . Mostre que xn ´ e portanto converge. Ache seu limite. q ue a sequˆ s equência encia dada d ada por p or xn+1 = (a + xn )1/2 Exerc´ıcio 3.9. Seja a > 0 e x1 > 0. Mostre que converge. encias limitadas limita das (xk ) e (yk ), mostre que Exerc´ıcio 3.10. Dadas duas sequências lim sup( sup(xk + yk )

≤ lim lim sup( sup(x sup(y ). x ) + lim sup( k

k

CAPÍTULO 4

Continuidade e Fun¸c˜ coes o ˜e s Cont Co nt´ ´ınua ınuass 1

Um dos mais importantes tópicos opicos de análise alise é o estudo de fun¸c˜ cões oes e suas propriedades, propriedades, m n R e R R . Dizemo em particular a continuidade. continuidade. Sejam Sejam os conjunt conjuntos os D Dizemoss que uma uma fun¸c˜ cão ao f : D nu a em x D, se para toda vizinhan¸ca ca V de f ( ca R é cont´ınua f (x) existir vizinhan¸ca U de x tal que x U D = f ( f (x) V. Finalmente, dizemos que f é cont´ co nt´ınua nu a em D D se f for cont´ cont´ınua em todos os pontos de  D. Dividimos o estudo de fun¸c˜ coes o˜es cont´ cont´ınuas analisando anal isando primeiro propriedades propried ades locais, lo cais, seguido s eguido das propriedades globais. A menos que seja explicitamente explicitamente indicado, neste cap´ cap´ıtulo utilizaremos a nota¸c˜ cao aõ acima.

→

⊂

∈ ∈ ∩

⇒ ⊂

⊂

∈

4.1. Propriedad Propriedades es locais

∈

Come¸camos camos observando que a fun¸c˜ c˜ ao f é cont´ınua ınu a em todo ponto pont o x D que n˜ ao seja ponto de acumula¸c˜ cao ˜ de D. De fato, neste caso, existe vizinhan¸ca ca U de x tal que D U = x . Logo para todo vizinhan¸ca ca V de f ( f (x), temos que

y

∈ D ∩ U =⇒

y=x =

⇒

Logo f é necess nec essar aria iamen mente te cont con t´ınua ınu a em x.

f ( f (y) = f ( f (x)

∩

{}

∈ V

ao as afirmativas abaixo são ao ao equivalentes. Lema 4.1.1. Ent˜ (1) f é cont´ınua nu a em x. (2) Para todo  > 0 existe δ > 0 tal que

y

∈ D, x − y < δ =⇒ f ( f (x) − f ( f (y) < . (3) Se (x ) é tal ta l que qu e x ∈ D para todo n ∈ N e lim ao lim x = x, então n

n

n→∞

n

f (xn ) n→∞ f (

=

f ( f (x).

Outro resultado importante é o seguinte critério erio de descontinui descont inuidad dade: e: f não é cont´ co nt´ınua nu a em x se e somente se existe sequência encia ( xn ) em D convergindo para x mas f ( ao f (xn ) não convergindo para f ( f (x). Uma no¸c˜ cao ão que pode ser útil util em algumas ocasiões oe s é a de limites de fun¸c˜ coes. ˜ oes. Se x é ponto nt o de acumula¸c˜ cao aõ de D, dizemos que p é o limite lim ite de f em x se para toda vizinhan¸ca ca V de p existir vizinhan¸ca ca U de x tal que

 

y

∈ U ∩ D,

y=x =



⇒

f ( f (y)

∈ V.

Neste caso, escrevemos p = limy→x f ( f (y), e dizemos que f converge para p no ponto x. Uma observa¸c˜ cao aõ a respeito da defini¸c˜ cao aõ acima é que só a utilizamos para pontos de acumula¸c˜ cão ao 1Ultima ´


˜ 4. CONTINUIDADE E FUNC ¸ OES CONTÍNUAS

36

do dom´ınio. ınio . Note Not e tamb´ t ambém em que a no¸c˜ cao aõ de limite em x independe do valor que f assume em ao precisa nem estar definida neste ponto. x. Na verdade, f não ˜ o. Note algumas diferen¸cas Observa rvac c ¸ao. a cas na defini¸c˜ cao ão de limite de fun¸c˜ cao aõ e contin continuidade uidade

num ponto x. Pa Para ra defini definirr limite limite,, a fun¸ fun¸c˜ cao a˜ o não ao precisava nem estar definida em x, e se estivesse, o valor assumido não ao tinha importância. ancia. Mas fazia parte da defini¸c˜ cao aõ que x fosse ponto de acumula¸c˜ cão ao do dom´ dom´ınio da fun¸c˜ cao. aõ. Na defini¸c˜ cao aõ de limite, a fun¸c˜ cao ão tem que estar definida em x, mas este ponto não ao necessariamente necessar iamente é de acumula¸c˜ cão. ao. Se x for ponto de acumula¸c˜ cão ao de D, então ao nu a em x f é cont´ınua

⇐⇒

f ( f (x) = lim f ( f (y). y →x

e cont´ınua nu a em R. De fato, para todo c Exemplo 4.1. g (x) = x ´ c = g (c). Exemplo 4.2. Seja

 −

∈ R, temos lim

x→c

g(x) =

1 0

se x > 0, sgn(x) = se x = 0, 1 se x < 0. Tomando-se as sequências encias ( 1/n) 1/n), ), ambas ambas conve convergi rgindo ndo para para c = 0 mas nunc nuncaa /n) e ( 1/n atingindo atingindo este valor, valor, tem-se tem-se f ( 1. Entao a˜ o esta fun¸c˜ cao a˜ o não ao f ( 1/n) /n) = 1 e f (1 f (1/n /n)) = 1. tem limite em c = 0, pois se o limite existe, este tem que ser único. unico. Po Porta rtant nto, o, a fun¸ fun¸c˜ cão ao sgn(x) não ao é cont co nt´´ınua ınu a no zero, zer o, já que não ao existe limx→0 sgn(x).

−



Exemplo 4.3. Seja f : R

−



 

−

→ R dada por f ( f (x) =



∈

1 se x Q, 0 caso caso con contr´ trário, ario,

∈

∈

é desco de scont nt´´ınua ınu a para pa ra todo to do x R. Para mostrar isto, assuma x Q, e uma sequência enci a (xn ) em R Q convergindo para x. Neste caso, lim n→∞ f ( f (xn ) = 0 = 1 = f ( f (x). Da mesma forma, se tomamo s uma sequência encia (xn ) em Q convergindo para x, e temos lim n→∞ f (xn ) = x / Q, tomamos 1 = 0 = f ( f (x).

\ ∈ 

 



 

∈

As vezes, é poss pos s´ıvel estender uma fun¸c˜ cão ao de forma cont´ cont´ınua. ınua. Seja x / D ponto de acumula¸c˜ cao aõ de D. Se existir lim y→x f ( ao definimos f ( f (y), então f (x) como sendo este limite, e f será cont con t´ınua ınu a em x. cao aõ Exemplo 4.4. Considere a fun¸c˜ +

f : R

→ R,

f ( f (x) =



x, se x 0, se x

+

∈ R ∩ Q, ∈ R \Q. +

Então ao limx→0 f ( f (x) = 0 e podemos estender f continuamente no zero definindo g : R+

∪ {0} → R,

g (x) =



f ( f (x), se x R+ , 0, se x = 0.

Então ao temos g cont´ cont´ınua no zero (e somente no zero).

∈

4.2. PROPRIEDADES GLOBAIS

37

´ claro que nem sempre tal extensão ao cont co nt´´ınua ınu a é poss´ po ss´ıvel. ıve l. Por exemp exe mplo lo no Exemplo 4.5. E + + R dada por f ( R caso de f : R ao se pode definir f (0) 0 f (x) = 1/x, /x, não f (0) tal que f : R

→

seja sej a cont con t´ınua. ınu a.

∪{ } →

4.1.1. 4.1.1. Composi¸ Composi¸c˜ cao a õ de fun¸c˜ coes. o ˜es. Em geral, se f e g são ao cont co nt´´ınuas ınu as,, ent˜ e ntão ao f + f + g , f g , R ´ ta mbém em o são. a o. Da mesm mesmaa forma forma,, se h : D e tal ta l que qu e h(x) = 0 para todo x do f g tamb´ dom do m´ınio ın io,, então ao f /h é cont´ co nt´ınua ınua.. O pr´ pr oximo o´ximo resultado garante que a composi¸c˜ cao ˜ de fun¸c˜ coes o˜es cont´ co nt´ınua nu as tamb ta mb´ém é cont´ınua nu a.

→

cont con t´ınua ın ua em x cont con t´ınua ın ua em x.

∈



Rn , e f : D , R R e g : R cont´ınua ın ua em f ( ao a composi¸c˜ c˜ ao g D e g cont´ f (x) R. En˜

Teorema 4.1.2. Sejam D

m

−

⊂R

⊂

∈

l

Assuma ma f → R . Assu ◦ f : D → R é

→

l

˜ . Seja y = f ( ca de g(y). Como g é cont´ınua nu a em y, então ao DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO f (x) e W vizinhan¸ca

existe vizinhan¸ca ca V de y tal que

y

∈ V ∩ R =⇒

g (y  )

∈ W.

Como f é cont´ınua nu a em x, então ao existe existe vizinhan¸ vizinhan¸ca ca U de x tal que

x

∈ U ∩ D =⇒

f ( f (x )

∈ V.

Logo

x

∈ U ∩ D =⇒

f ( f (x )

Portanto g f é cont´ınua nu a em x.

◦

∈ V =⇒

g(f (x ))

∈ W.



cao aõ g (x) = x é cont´ınua nu a em Rm . Realmente, como Exemplo 4.6. A fun¸c˜

 |g(x) − g(y)| = | x − y | ≤ x − y,

se (xn ) converge para x então ao

 

|g(x ) − g(x)| ≤ x − x =⇒ lim g(x ) = g(x). Portanto, se f é cont´ınua nu a em x, entao h(x) = f ( mbém em o é, e, pois h = g ◦ f é comp co mpos osi¸ i¸c˜ cao aõ f (x) tamb´ n

n

n→∞

n

de fun¸c˜ coes o˜e s cont co nt´´ınuas ınu as..

4.2. Propriedad Propriedades es globais Algumas Algumas propriedade propriedadess de fun¸c˜ coes o˜e s cont con t´ınuas ınu as não ao estão ao restritas a apenas um ponto, mas sim a todo to do o dom´ınio. ınio. Como exemplos exemp los citamos cita mos preserva¸ pres erva¸c˜ cão ao de compacidade, e a continuidade uniforme. Antes de prosseguirmos com as propriedades e suas aplica¸cões, oes, temos o seguinte resultado que caracteriza fun¸c˜ coes o˜es cont co nt´´ınuas ınu as em todo to do dom do m´ınio ın io.. ao equivalentes: Teorema 4.2.1 (Continuidade Global). As afirmativas abaixo s˜ (1) f é con cont´ınua em D (2) Se V Rn é aberto aber to,, ent˜ en t˜ ao existe aberto U D tal que U D = f −1 (V ) V ) n −1 (3) Se H R é fechad fech ado, o, ent˜ ent ao ˜ existe fechado F D tal que F D = f (H )

⊂ ⊂

⊂

⊂

∩

∩


38 ˜ . (1) DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

⇒ (2): Seja f cont´ co nt´ınua ınua em D e V ⊂ R

n

aberto. Seja x

Como é f cont´ınua, ınua, existe exis te aberto ab erto U x contendo x tal que

−1

∈ f

(V ). V ).

∈ U ∩ D =⇒ f ( f (y) ∈ V. Logo U ∩ D ⊂ f (V ). ao U é aber ab erto to p ois oi s é un uni˜ ião ao de abertos, e V ). Seja U = ∪ U . Então U ∩ D = f (V ). V ). (2) ⇒ (1): Seja x ∈ D e V vizinhan¸ca ca aberta de f ( otese existe um aberto U f (x). Por hipótese tal que U ∩ D = f (V ). ao x ∈ U e portanto U é viz v izin inha han¸ n¸ca ca de x. V ). Mas como f ( f (x) ∈ V , V , então Além em disto, para todo tod o y ∈ U ∩ D tem-se f (y) ∈ V . V . (2) ⇒ (3): (3): Seja Seja H ⊂ R fechado. fechado. Ent˜ Então ao como C (H ) é aberto, temos por hipótese otese que existe aberto U tal que U ∩ D = f (C (H )). )). Seja F = C (U ). ). Então ao x ∈ F ∩ D =⇒ f (x) ∈ / C (H ) =⇒ f ( f (x) ∈ H =⇒ F ∩ D ⊂ f (H ). y

x

−1

x

x∈f

−

−1

1 (V ) V )

x

−1

n

−1

−1

Por outro lado,

x

−1

∈ f

⇒ x ∈/ U ∩ D e x ∈ D =⇒ x ∈ F ∩ D =⇒

(H ) =

f −1 (H )

Logo f −1 (H ) = F D. (3) (2): semelhante ao caso anterior.

∩

⇒

⊂ F ∩ D. 

˜ o. Note que U aberto e f cont´ co nt´ınua nu a n˜ Observa rvac c ¸ao. a ao implica em f ( f (U ) aberto. Da mesma

forma, F fechado n˜ ao implica em f ( f (F ) F ) fechado. Como exemplo tome f (x) = x2 e U = ( 1, 1) implica em f ( [0, 1). f (U ) = [0, E se F = [1, [1, + ) com g (x) = 1/x, ao g (F ) (0, 1]. /x, então F ) = (0,

−

∞

arias 4.2.1. Fun¸c˜ coes o ˜es Cont´ Cont´ınuas em Conjuntos Compactos. Um resultado com várias aplica¸c˜ coes o˜es vem a seguir seguir e garante garante que a compacidade compacidade é uma propriedade propriedade preservada preservada por fun¸c˜ cões oes cont con t´ınuas ınu as.. Teorema 4.2.2 (Preserv (Preserva¸ a¸c˜ cao ão de compacidade). Se k é compacto compac to,, e f : K

cont´ con t´ınua ın ua,, ent e nt˜ ˜ ao f ( com pact ctoo. f (K ) é compa

n

→R

é

G = {G } cobertura aberta para f ( ), i.e., f ( f (K ), f (K ) ⊂ ∪ G . Logo cont´ınua, pelo Teorema 4.2.1, para todo α existe H aberto tal K ⊂ ∪ f (G ). Por f ser cont´ que f (G ) = H ∩ K . Portanto {H } é uma u ma cobertura cober tura aberta abert a de K . Como K é com c ompa pact cto, o, então ao existe {H , . . . , H } subcobertura finita. Logo, K ⊂ ∪ H ∩ K = ∪ f (G ), e então ao f ( Portanto, o, achamos uma subcobertura subcobertura aberta finita para f ( ), e f (K ) ⊂ ∪ G . Portant f (K ), ˜ . Seja DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

α −1

−1 α

α

α

α

α

α

α

α

α1

αn

n i=1

n i=1

n −1 i=1

αi

αi

αi

conclu´ con clu´ımos ım os que qu e f ( co mpact acto. o. f (K ) é comp



Uma aplica¸c˜ cao aõ imediata do resultado acima é a existência encia de máximos aximos e m´ınimos de fun¸c˜ coes o˜es cont´ cont´ınuas definidas em compactos. Em particular, estas fun¸c˜ coes o˜es são ao limitadas. limitadas. ˜ o 4.2.3. Dizemos que f : D Definic ¸ao a

f ( f (x) ≤ M para todo x ∈ D.

→R |

n

é limit li mitad adaa em D se existe M

∈ R tal que

| ≤ 1 para todo x ∈ R.

Exemplo 4.7. sin x ´ e limi li mita tada da em R pois sin x

ao ao é limita lim itada da em R+ . Entretanto 1/x 1/x é limita lim itada da em (1/ (1/2, + Exemplo 4.8. 1/x n˜

|1/x| ≤ 2 para todo x neste intervalo. intervalo.

∞) pois

4.2. PROPRIEDADES GLOBAIS

39

O Teorema 4.2.2 garante que imagens de compactos são conjuntos conjuntos compactos, compactos, portanto portanto pelo Teorema eorema de Heine–Bore Heine–Borell (Teore (Teorema ma 2.5.3) fechados fechados e limitados. limitados. O resultado resultado abaixo é consequência encia imediata imediat a deste fato. Teorema 4.2.4. Seja K compacto, e f : K

em K .

→R

n

cont´ cont´ınua ın ua em K . Ent˜ ao f é limi li mita tada da

Uma demonstra¸ demonstra¸c˜ cao aõ alternativa do Teorema 4.2.4 que dispensa o uso de no¸c˜ coes o˜es de compacidade vem a seguir. ˜ . (alternativa do Teorema 4.2.4; por contradi¸ DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO c˜ c˜ ao) ao ) Assuma K fechado e limitado e f não ao limitada. Então ao para todo n N existe xn D tal que f ( f (xn ) > n. Como D

∈

∈

é fechado fe chado e limit li mitado ado,, ent˜ e ntão, ao, pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, (xn ) poss p ossui ui subsequˆ sub sequência enci a (xnk ) convergente. convergente. Seja x = limnk →∞ xnk . Como D é fechad fech ado, o, ent˜ ent ão ao x D. Mas como f é cont´ co nt´ınua, ınu a, ent˜ ent ão ao f tem limite em x, e portanto é localmente limitada, uma contradi¸c˜ cao aõ com a constru¸c˜ cao aõ de (xn ). 

∈

Outra no¸c˜ cao aõ importante impo rtante é o de máximos aximos e m´ m´ınimos. ınimos . Dizemos que f : D R tem valor ∗ ∗ máximo aximo em D se existe x sup erior de f ( formaa an´ aloga aloga D tal que f ( f (x ) é cota superior f (D). De form dizemos que f tem valor m´ınimo em D se existe x∗ D tal que f ( f (x∗ ) é cota inferior de ∗ aximo e x∗ de ponto de valor m´ınimo. f ( f (D). Chamamos x de ponto de valor máximo

→

∈

∈

˜ o. Se uma fun¸c˜ cao aõ f como acima definida assume seus valores máximo aximo e Observa rvac c ¸ao. a

m´ınim ın imoo em D, então ao f é limi li mita tada da em D.

−

Exemplo 4.9. f : ( 1, 1)

−

2

→ R dada por f ( ao é limitada limita da em (−1, 1), f (x) = 1/(1 − x ) não

mas é limitada limita da em [ 1/2, 1/2] por exemplo.

−

c ontt´ınua ınu a e limi li mita tada da em ( 1, 1), mas não ao assume valor máximo aximo Exemplo 4.10. f ( f (x) = x é con

−

−

nem m´ıni ınimo mo em ( 1, 1). Entretanto f assume seus valores máximo axi mo e m´ınimo ınim o em [ 1, 1]. l imit itad adaa em R, assume seu valor máximo aximo em x∗ = 0, Exemplo 4.11. h(x) = 1/(1 + x2 ) é lim mas não ao assume seu valor m´ m´ınimo. Isto porque inf h inf h(R) = 0 = h(x) para todo x R.



∈

˜ o. Note que pontos de máximo aximo e m´ınimo não a o são ao unic u ´ nicos os em geral. geral. Por Observa rvac c ¸ao. a

exemplo, f ( f (x) = x2 tem

−1 e 1 como seus dois pontos de máximo aximo em [−1, 1].

O resultado resultad o a seguir mais uma vez é consequˆ co nsequência encia do Teorema 4.2.2. 4.2.2 . Teorema 4.2.5 (Pontos Extremos). Seja K compacto e f : K

→ R cont´ cont´ınua ın ua em K .

Ent˜ ao f tem pelo menos um ponto de m´ aximo e um de m´ınimo em K .

˜ . Como K ´ e com c ompa pacto cto,, então ao o Teorema 4.2.2 garante que f ( mbém DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO f (K ) tamb´

é compa co mpacto cto.. Logo Log o f ( port anto o f (K ) é limitado e portanto tem supremo, e f (K ) é fechado, e portanto ∗ ∗ supremo pertence a f ( ). Logo existe x ). f (K ). K tal que f ( f (x ) = sup f ( f (K ). Mesmo tipo tip o de argumento assegura que existe ponto p onto de m´ınimo em K . 

∈

A seguinte demonstra¸c˜ cao aõ dispense o uso direto de compacidade. ˜ . (alternativa do Teorema 4.2.5) Demonstraremos somente que f assume DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

um valor máximo. aximo. O caso de valor m´ınimo é análogo. alogo. Como Como D é fechado limitado, limita do, então ao ∗ ∗ limitado. Seja s = sup f ( 1/n. pelo f ( f (D) é limitado. f (D). Seja xn tal que f ( f (xn ) > s /n. Mas pe

−


40

Teorema de Bolzano–Weierstrass, D limitado limita do implica em existência encia de uma subsequência encia ∗ ∗ (xnk ) convergente. convergente. Seja x o limite de tal subsequência. encia. Como D é fechad fech ado, o, então ao x D. ∗ Como f é cont´ co nt´ınua ınua,, ent˜ então ao f ( f (x ) = limnk →∞ f ( f (xnk ). Finalmente, usamos que 1 s∗ f ( f (xnk ) s∗ , nk e pelo Lema do sandu´ıche ıche de sequências encias 3.6.3, temos que f ( f (x∗ ) = limnk →∞ f ( f (xnk ) = s∗ . 

∈

− ≤

≤

Outro resultado de grande importância ancia é o Teorema do Valor Intermediário ario que garante garante a preserva¸c˜ cao aõ de intervalos por fun¸c˜ cões oe s cont´ co nt´ınua. ınu a. (Teoremaa do Valor Interme Intermedi´ di´ ario) ario). Sejam a < b e f : [a, b] Teorema 4.2.6 (Teorem R cont´ cont´ınua. ınua . Se existe exis te d R tal que f ( ao existe c (a, b) tal que f ( f (a) < d < f (b), ent˜ f (c) = d.

∈

→

∈

˜ . Seja A = DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

{x ∈ [a, b] :

}

∈

ão vazio pois a f ( f (x) < d . Logo A é nao A. Definindo c = sup A, seja xn A tal que c 1/n < xn < c. En Ent˜ t˜ ao ao (xn) converge para c e por continuidade de f , ao f ( f , temos f ( f (c) = limn→∞ f ( f (xn ). Como f ( f (xn ) < d, d , então f (c) d. Assuma por um instante que f ( co nt´ınua ınua,, e ent˜ ent ão ao para  = d f ( f (c) < d. Mas f é cont´ f (c) existe δ > 0 tal que c + δ < b e

∈

−

≤

−

∈ (c, c + δ) =⇒ f ( f (x) < f ( f (c) +  = d. Logo c + δ/2 cao aõ pois c = sup A. Portanto f ( δ/ 2 > c e c + δ/2 δ/ 2 ∈ A, uma contradi¸c˜ f (c) = d.  ´ rio 4.2.7 (Teorema do ponto fixo em uma dimensão) ao). Seja f : [0, [0, 1] → [0, [0, 1] Corolario a cont co nt´´ınua. ınu a. Ent˜ Entao aõ f tem um ponto fixo, i.e., existe x ∈ [0, [0, 1] tal que f ( f (x) = x. [0, 1] → R dada por d(x) = f ( Portanto to d é cont´ınu nuaa. D . seja d : [0, f (x) − x. Portan Nosso objetivo ob jetivo é achar a char raiz para d em [0, [0, 1]. Se d(0) = 0 ou d(1) = 0, então ao nada mais h´ aa fazer. Supo Suponha nha que nem n em 0 nem 1 sejam ra´ızes ızes de d. Logo d(0) = f (0) f (0) > 0 e d(1) = f (1) f (1) − 1 < 0 pois f (x) ∈ [0, [0, 1]. Aplicando Aplicando o Teorema eorema do Valor Intermedi´ Intermedi´ ario (Teorema 4.2.6), temos ario que existe x ∈ (0, (0, 1) tal que d(x) = 0, 0 , como quer´ quer´ıamos demonstrar. demonst rar.  x


Conclu´ımos ımos esta parte com uma importante impo rtante consequência encia dos resultados resultad os anteriores.

Teorema 4.2.8. Seja I intervalo fechado limitado e f : I

interval o fechado limitado. limitado . f ( f (I ) é intervalo

→ R fun¸c˜ c˜ ao cont´ cont´ınua. ınua . Ent˜ ao

4.3. Fun¸c˜ coes o ˜es Uniformem Unif ormemente ente Cont´ Cont´ınuas

∈ (0, (0, 1). Seja c ∈ (0, (0, 1). Então ao 1 1 x−c g (c) − g(x) = − = . c x cx

Considere g (x) = 1/x, /x, para x

Para mostrarmos que g é cont´ınua nu a em c. seja  > 0. Sem perda de generali generalidade, dade, podemos 2 assumir assumir que  < 1, e portanto c < 1. Seja δ = c /2. ao /2. Então

|x − c| < δ =⇒ Logo

c2  c c
⇒

2

|x − c| < δ

c < x. 2

|x − c| < δ = c  = c <  =⇒ |g (c) − g(x)| = cx cx 2cx 2x

˜ 4.3. 4. 3. FUNC FU NC ¸ OES UNIFORMEMEN UNIFORMEMENTE TE CONTÍNUAS

41

onde usamos que c/2 u ´ltima desigualdade. Mostramos então, ao, usando s e δs que 1/x 1/x c/2 < x na ultima é cont´ cont´ınua em todo ponto diferente de zero. zero . O ob jetivo principal pri ncipal do cálculo alc ulo acima aci ma é ressa re ssalta ltarr que a escolha de δ não ao é uniforme em rela¸c˜ cao aõ ao ponto c, i.e., δ depende de c. Em outros casos, a escolha de δ independe do ponto em questão. ao. Po Porr exempl exemplo, o, para f ( f (x) = x, dado  > 0, tomando δ =  temos

|x − c| < δ =⇒ |f ( f (x) − f ( f (c)| < .

Dizemos que esta fun¸c˜ cao aõ é un unifo iform rmeme emente nte cont co nt´´ınua. ınu a.

Rm e f : A Rn . Dize 4.3.1. Seja A Dizemo moss que que f é uniformemente cont´ co nt´ınua ınu a em A se para todo  > 0, existir δ tal que

õ Definic ¸ ao a

⊂

→

{x, y} ⊂ A, x − y < δ =⇒ f ( f (x) − f ( f (y) < .

Note que a defini¸c˜ cao aõ de contin continuidade uidade uniforme uniforme só faz sentido senti do no dom´ıınio ni o ou subdom´ sub dom´ıınio ni o da fun¸c˜ cao, aõ, e não ao pontualmente como na defini¸c˜ cao aõ de continuidade continuidade.. Uma forma equivalen equivalente te de se definir uma fun¸c˜ cao aõ uniformemente uniform emente cont´ cont´ınua, é exigir que dado  > 0 exista δ tal que para todo x A tem-se

∈

y

∈ B (x) ∩ A =⇒ f ( f (x) − f ( f (y) < . δ

Além em disto, pode-se usar o seguinte resultado abaixo para se mostar que uma fun¸c˜ cão ao n˜ ao é uniform uni formement ementee cont´ınua. ınua. Rn . Ent˜ e f : A ao as afirmativas abaixo s˜ ao ao ao equivalentes. (1) f não ao é un unif iform ormeme emente nte cont co nt´´ınua ınu a em A. (2) Existe  > 0 tal que para todo δ > 0 existem pontos x A e c A tais que x c < δ mas f ( f (x) f ( f (c) > . . (3) Existe  > 0 e duas sequencias (x (xn ) e (yn ) em A tais que limn→∞ (xn yn ) = 0 e f ( f (xn ) f ( f (yn ) >  para todo n N.

Lema 4.3.2. Seja A

| −| | −

m

⊂R |

→

−

∈

|

|

∈ −

∈

Exemplo 4.12. O resultado acima pode ser usado por exemplo para mostrar que f ( f (x) = + 1/x não ao é uniform uni formement ementee cont´ınua ınua em R . Con Consid sidere ere as sequenc sequencias ias (1/n (1/n)) e 1/(n + 1) . Então ao limn→∞ 1/n 1/(n + 1) = 0 mas mas f (1/n (1/n)) f 1/(n + 1) = 1 para todo n N.





−

−







∈



Uma interessante propriedade da continuidade continuidade uniforme é dada abaixo, e tem aplica¸c˜ cao aõ m n R e assuma que f : A R ´ na extensão a o de fun¸c˜ coes, o˜es, ver exerc´ exerc´ıcio 4.8. Seja A e uniform uni formement ementee cont´ cont´ınua. ınua . Então ao (xn ) ser sequência encia de Cauchy implica im plica que f ( mb ém f (xn ) tamb´ é sequˆ se quênci en ciaa de Ca Cauch uchy. y. De fato, seja  > 0. Como f é un unif iform ormem emente ente cont co nt´´ınua, ınu a, ent˜ ent ão ao existe δ tal que (4.3.1) para todo x, y (4.3.2)

⊂

 →

x − y < δ =⇒ f ( f (x) − f ( f (y) < ,

∈ A. Como (x ) é sequˆ se quência en cia de Cau Cauchy, chy, então existe N tal que se m, n > N =⇒ x − x  < δ. n

0

0

m

n

Combinando (4.3.1) e (4.3.2), temos então ao que

⇒ f ( f (x ) − f ( f (x ) < .

m, n > N 0 =

m

n

Apesar de parecer dif´ dif´ıcil conferir se uma dada fun¸c˜ cao aõ é ou não ao uniform uni formement ementee cont c ont´´ınua, ınua , o (supreendent (supreendente?) e?) resultado resultado abaixo garante garante que todas as fun¸c˜ coes o˜es cont´ cont´ınuas em conjuntos compactos são ao uniform uni formement ementee cont co nt´´ınuas. ınuas .


42

(Continuidade uidade Uniforme em compactos) compactos). Seja K Rm conjunto comTeorema 4.3.3 (Contin pacto, e f : K Rn cont´ con t´ınua ın ua em K . Ent˜ ao f é unifo uni forme rmeme mente nte cont´ınua ınu a em K .

⊂

→

˜ . Seja  > 0. Entao, para todo x DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

∈ K , existe δ(x) > 0 tal que (4.3.3) y ∈ B (x) ∩ K =⇒ f ( f (y) − f ( f (x) < /2 / 2. Seja a cobertura aberta de K gerada por {B (x)} . Como K é com c ompa pacto cto,, então ao existe {x , . . . , x } tal que {B (x )} é uma subcobert sub cobertura ura de K . Seja δ (x)

1

1 δ (xi ) 2

n

i

1 δ (x) 2

n i=1

δ=

x∈K

1 min δ (x1), . . . , δ( δ(xn ) . 2

{

}

Sejam x, y ao existe ´ındice j 1, . . . , n tal que x K tais que x y < δ . Então B 1 δ(xj ) (x j ), i.e., x x j < δ (x j )/2. Portanto, usando (4.3.3) temos que f ( f (x) f ( f (x j ) < 2 /2. /2. Da mesma forma,

∈

 − 

 − 

∈{



}

−



∈

y − x  ≤ y − x + x − x  < δ + 12 δ(x ) ≤ δ(x ), e então ao f ( Conclu´ clu´ımos ımo s que q ue f (y) − f ( f (x ) < /2. /2. Con x − y < δ =⇒ f ( f (x) − f ( f (y) ≤ f ( f (x) − f ( f (x ) + f ( f (x ) − f ( f (y) < , j

j

j

j

j

j

j

e portanto portanto f é uni u nifo form rmem ement entee con contt´ınua ınua..



Abaixo apresentamos uma demonstra¸c˜ cão ao alternativa do Teorema 4.3.3, que não ao usa argumentos de compacidade. ˜ . (alternativa do Teorema 4.3.3; por contradi¸ DEMON contradi¸c˜ cao) ao ˜ ) Suponha que f não ao EM ONST STRA RAC C ¸ AO

seja uniformemente uniforme mente cont´ cont´ınua. Como K é com c ompa pacto cto,, ent˜ e ntão ao é fechado e limitado li mitado.. Então, ao, pelo Lema 4.3.2, existe  > 0 e existem sequências encias (xn ) e (yn ) em K tais que xn yn < 1/n e f ( Como mo K é fechado, pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, Bolzano–Weierstrass, existe f (xn ) f ( f (yn ) > . Co subse sub sequˆ quência en cia (xnk ) convergente. convergente. Seja z = limnk →∞ (xnk ). Como K é fechad fech ado, o, ent˜ ent ão ao z K . Note que (ynk ) também em converge converg e para z pois



−

 − 



∈

(ynk

− z) = (y − x

nk ) + ( xnk

nk

− z).

Como f é cont´ınua nu a em z, então ao f ( f (z) = limnk →∞ f (xnk ), e f ( f (z) = limnk →∞ f ( f (ynk ), uma contradi¸c˜ cão ao com f ( u nifo form rmem ement entee con c ontt´ınua. ınu a. f (xn ) f ( f (yn ) > .  . Logo f é uni 



−



Outra importante situa¸c˜ cao aõ em que temos continuidade continuidade uniforme, mesmo com dom´ dom´ınios m n não ao compactos, compacto s, é quando qu ando a fun¸c˜ cao aõ é d dee Lipschitz. L ipschitz. Seja A R e f : A R . Dizemos que f é de Lipschitz se existe k R tal que

⊂

∈

→

f ( f (x) − f ( f (y) ≤ kx − y para todo x, y

∈ A.

Teorema 4.3.4. Se A

cont´ con t´ınua ın ua em A.

m

⊂R

e f : A

n

→ R , e f é de Lipschi Lip schitz, tz, ent˜ ao f é unifo uni forme rmemen mente te

4.4. EXERC EXERCÍCIOS ˜ . Seja k DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

para todo x, y

43

∈ R tal que f ( f (x) − f ( f (y) ≤ k x − y

∈ A. Dado  > 0, seja δ = /k. ao se x, y ∈ A e x − y < δ , temos que /k. Então f ( f (x) − f ( f (y) ≤ k x − y ≤ kδ = .

o que mostra que f é un unifo iform rmeme emente nte cont co nt´´ınua ınu a em A.



Nem toda fun¸c˜ cão ao uniformemente uniform emente cont´ cont´ınua é de d e Lipschitz, como o exemplo abaixo mostra. mostra .

→ R, tal que g(x) = √x. Como omo [0, [0, 1] é compacto, compacto , e g é cont´ co nt´ınua ınua,, ent˜ então ao g é uniform uni formement ementee cont´ınua ınua em [0, [0, 1]. Entreta Entretanto nto note que se g fosse de Lipschitz, nós os ter´ıamo ıa moss a existˆ exi stência en cia de k ∈ R tal que √x = |g(x) − g(0)| ≤ k|x − 0| = kx =⇒ √1 ≤ k para todo x > 0, x [0, 1] Exemplo 4.13. Seja g : [0,

um absurdo. Logo g não ao é de Lipschit Lip schitzz apesa ap esarr de ser uniform uni formement ementee cont co nt´´ınua em seu s eu dom d om´´ıni ınio. o.

4.4. 4.4 . Exerc´ Exe rc´ıcios ıci os cao aõ [x], que retorna para Exerc´ıcio 4.1. Determine os pontos de continuidade da fun¸c˜ cada x R o maior inteiro menor ou igual a x. Por exemplo, [2] = 2, [2. [2.5] = 2, [ 2.5] = 3.

∈

Exerc´ıcio 4.2. Seja f : Rm

→ R cont´ co nt´ınua ınua em x ∈ R

m

−

−

, e f ( Mostre que existe existe f (x) > 0. Mostre

uma vizinhan¸ca ca de x tal que f seja estritamente positiva. Exerc´ıcio 4.3. Sejam f , f , g : Rm x Rm : f ( ab ertoo em Rm . f (x) > g (x) é abert

{ ∈

→

}

R fun¸c˜ coes o˜es cont cont´ınuas. ınuas.

Mostre Mostre que o conjunto conjunto

exe mplo loss de Exerc´ıcio 4.4. Dê exemp

→ →

(1) Um conjunto F fechado em R e uma fun¸c˜ cao aõ f : F R cont con t´ınua ınu a tais ta is que f ( ao f (F ) F ) não seja compacto. R tais que f −1 (A) n˜ (2) Um conjunto A aberto em R e uma fun¸c˜ cao aõ f : R ao ao seja aberto em R. R (3) Um conjunt conjuntoo D R, um conjunto A aberto em R e uma fun¸c˜ cao aõ cont´ co nt´ınua ın ua f : D −1 tais que f (A) não ao seja aberto em R.

⊂

→

[0, 1] Exerc´ıcio 4.5. Seja f : [0,

→ R cont con t´ınua ınu a tal ta l que qu e f (0) f (0) < 0 e f (1) f (1) > 0. Mostre que se

{ ∈ [0, [0, 1] : f ( ao f ( f (x) < 0}, então f (s) = 0. l imitado.. Dê exemplo exempl o de uma um a fun¸c˜ cao aõ f : D → R Exerc´ıcio 4.6. Seja D ⊂ R conjunto limitado

s = sup x

m

cont´ cont´ınua e limitada limita da que não ao atinja seu máximo. aximo.

coes o˜es uniformemente uniform emente cont´ cont´ınuas e limiExerc´ıcio 4.7. Mostre que o produto de duas fun¸c˜ tadas tad as é unifo u niformem rmemente ente cont´ınua. ınua . Dê um u m exemplo exem plo de dua duass fun¸c˜ coes o˜es uniform uni formement ementee cont co nt´´ınuas tal que o produto não ao seja s eja uniformemente un iformemente cont´ cont´ınuo. Prove que a fun¸c˜ cao aõ de seu exemplo não ao é uni u nifo form rmem ement entee con contt´ınua ınua.. (0, 1] Exerc´ıcio 4.8. suponha f : (0,

→ R uniformemente uniform emente cont´ cont´ınua em (0, (0, 1]. Mostre Mostre que que

podemos definir f (0) uniform emente cont´ cont´ınua em [0, [0, 1]. f (0) tal que f seja uniformemente

CAPÍTULO 5

Diferencia¸ c˜ ao 1

Neste cap´ cap´ıtulo vemos a no¸c˜ cao aõ de diferenciabilidade e suas aplica¸c˜ coes. o˜es. Co Come me¸¸caremos caremos com o caso unidimensional, onde veremos algumas propriedades e aplica¸c˜ coes o˜es particulares.

5.1. Derivada em e m uma dimensão ao

→

Seja f : I R, onde I é um intervalo inter valo em R. Dizemos que f é difer di ferenc enci´ iável avel em c existe um número umero real L onde dado  > 0 existe δ > 0 tal que x

∈ I,

| − c| < δ

0< x

 ⇒

=

f ( f (x) x

Chamamos L de derivada de f em c, e escrevemos L = f  (c). Note que se f é dif d ifer eren enci ci´ável avel em c, então ao f ( f (x) x→c x

f  (c) = lim



− f ( f (c) −c −L

∈ I se

< .

− f ( f (c) −c .

Se f é dif d ifer eren enci ci´ável avel em todo ponto de I dizemos que f é dif d ifer eren enci ci´ável avel em I . Neste caso note  que a derivada f é uma um a fun¸ fu n¸c˜ cão ao de I em R. R´ Observe que f : I e difere dif erenci nci´ável avel em c I com f  (c) = L se e somente se existir uma fun¸c˜ cão ao r tal que

→

∈

− c) + r(x − c), De forma equivalente escrevemos h = x − c e f ( f (x) = f ( f (c) + L(x

r (h) = 0. h→0 h

com com lim lim

r(h) = 0. h→0 h

(5.1.1)

lim f ( f (c + h) = f ( f (c) + Lh + r(h) com li

Pod emos também Podemos em entender entend er L como a aplica¸c˜ cao aõ linear (neste caso dada por um número) umero) que torna (5.1.1) poss´ poss´ıvel. Esta interpreta¸c˜ cao aõ induz de forma natural a generaliza¸c˜ cao aõ da no¸c˜ cao aõ de derivada derivada para o caso multidime multidimensiona nsional. l. A seguir temos dois exemplos de fun¸c˜ coes ões diferenciáveis. aveis. ao para c Exemplo 5.1. Se f ( f (x) = x2 , então

∈ R tem-se (x + c)(x )(x − c) x −c = lim = lim(x + c) = 2c. f (c) = lim x−c x−c 2



x→c

1Ultima ´

2

x→c

x→c


˜ 5. DIFERENCIAC ¸ AO

46

Exemplo 5.2. Seja

f ( f (x) =

 

1 x2 sin , se x = 0 x 0, se x = 0.



Logo, para x = 0 temos f  (x) = 2x sin1/x sin1/x



− cos1/x cos1/x.. Em x = 0 usamos a defini¸c˜ cao: aõ: 1 f ( f (x) − f (0) f (0) = lim x sin = 0. f (0) = lim x−0 x 

x→0

x→0

Logo f é dif d ifer eren enci ci´ável avel em R mas f  não ao é cont´ co nt´ınua ınua no zero zero..

Diferenciabilidade implica em continuidade, como nos mostra o resultado a seguir. Teorema 5.1.1. Se f : I

ent˜ ao f é con cont´ınua em c.

→ R, onde I é um interval inte rvaloo em R é dife di feren renci ci´ ´ avel em c ∈ I ,

˜ . Seja L = f  (c). Dado  > 0, existe δ > 0 tal que DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

x

∈ I,

| − c| < δ =⇒ L −

0< x



f ( f (x) < x

Seja δ¯ = min δ,/( ao δ,/(L + ) . Então

{

x

∈ I,

}

f (x) − | − c| < δ¯ =⇒ |f (

0< x



f ( f (x) f ( f (c) = x

|

Logo f é cont´ınua nu a em c.

− f ( f (c) −c





< L + .

− f ( f (c) − c |x − c| ≤ (L + )δ ≤ .



˜ o. Pelo Observa rvac c ¸ao. a Pelo teorema teorema acima, diferencia diferenciabilida bilidade de implica em continu continuidade idade.. O inverso entretanto não ao é verdade verdade em geral. geral. Seja por exemplo exemplo f : R R onde f ( f (x) = x . Então ao f é cont´ınua nu a em R mas não ao é difer di ferenc enci´ iável avel em zero pois para x = 0 temos

f ( f (x) x

− f (0) f (0) −0



=

|x| = x



1

||

se x > 0, 1 se x < 0.

−

→ 0 não ao existe. existe. Sejam f e g fun¸c˜ coes o˜es de I → R, onde I é um intervalo inter valo em R, ambas diferenciáveis aveis em

Logo o limite quando x c



→ 

∈ I . Então ao

(1) (αf (αf ) (c) = αf  (c), onde α

∈ R. De fato, se x = c, então ao (αf )(x )(x) − (αf )( αf )(cc) f ( f (x) − f ( f (c) =α . x−c x−c

(2) (f (f + g) (c) = f  (c) + g (c). (3) Se p = f g, então ao se x = c,



p( p(x) x

− p( p(c) f ( f (x)g(x) − f ( f (c)g(c) f ( f (x)g (x) − f ( f (c)g(x) + f ( f (c)g(x) − f ( f (c)g (c) = = −c x−c x−c f ( f (x) − f ( f (c) g(x) − g(c) = g(x) + f ( f (c) . x−c x−c

Õ 5.1. DERIVADA DERIVADA EM UMA DIMENSA

Logo existe limx→c ( p( p(x) p( p(x) p (c) = lim x→c x 

− p( p(c) − c = lim



x→c

− p( ))/(x − c) e p(c))/ f ( f (x) − f ( f (c) g(x) + lim x−c

47

  x→c

g (x) f ( f (c) x

− g(c) −c



= f  (c)g (c) + f ( f (c)g  (c).



∈ I , então  c, ao seja h(x) = f ( f (x)/g( /g (x). Logo se x = − h(x) − h(c) f ( f (x)g (c) − f ( f (c)g(x) = = (x − c)g (x)g(c) x−c x−c f ( f (x)g (c) − f ( f (c)g(c) f (c)g(c) − f ( f (c)g (x) f ( f (x) − f ( f (c) 1 f ( f (c) g(x) − g(c) − = + = . (x − c)g(x)g (c) (x − c)g (x)g(c) (x − c) g(x) g(x)g (c) x − c Logo existe lim (h(x) − h(c))/ ))/(x − c) e 1 h(x) − h(c) f ( f (c) − = f (c) h (c) = lim g (c). x−c g (c) g (x) ao f é dife di ferrExemplo 5.3. Pela regra acima temos que se f ( f (x) = x , para n ∈ N, então (4) Se g (x) = 0 para todo x f ( f (x) g (x)

f ( f (c) g (c)

x→c









x→c

2

n

enciável avel e f  (c) = nxn−1 .

Uma primeira e importante aplica¸c˜ cao aõ de derivadas diz respeito a pontos extremos locais. R, onde I R ´ Dizemos que uma fun¸c˜ caof aõf : I e um intervalo, tem um m´ aximo local em c I se existe δ > 0 tal que

→

∈

x

⊂

∈ (c − δ, c + δ) ∩ I =⇒

f ( f (x)

≤ f ( f (c).

Defini¸c˜ cao aõ an´ aloga aloga serve para m´ınimo ınimo local. Chamamos Chamamos um ponto p onto de m´ aximo axi mo ou m´ıni ınimo mo local de ponto extremo local. O resultado a seguir descreve condi¸c˜ cão ao necess´ necessária aria para um ponto ser extremo local. Teorema 5.1.2 (Ponto extremo interior). Seja f : I

ec

→ R, onde I ⊂ R é um inter int erval valo, o, 

∈ I ponto extremo local. Se f é dife di feren renci ci´ ´ avel em c, ent˜ ao f (c) = 0.

˜ . Sem perda de generalidade, assuma c ponto de m´ aximo aximo local. local. En Ent˜ t˜ ao, ao, DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

se f  (c) > 0 temos

− −

− −

f ( f (x) f ( f (c) f ( f (x) f ( f (c) = >0 x→c x c x c numa vizinhan¸ca ca de c. Logo, para x > c tem-se f (x) > f ( cão ao pois c é ponto onto de f (c), contradi¸c˜   máximo aximo local. De forma semelhante não ao podemos ter f (c) < 0. Logo f (c) = 0.  0 < f  (c) = lim

⇒

Note que se a derivada de uma fun¸c˜ cão ao se anula num determinado ponto, não a o se pode R dada por conclu concluir ir que este este seja seja um ponto extremo extremo.. Como Como exempl exemploo temos temos f : R 3 ao é ponto de máximo axi mo nem m´ıni ınimo mo f ( f (x) = x , que tem derivada zero em x = 0 mas este não local. A seguir apresentamos apresentamos um resultado resultado com importantes importantes por si e por suas consequˆ consequˆ encias. encias. ´ E o Te Teorem oremaa do Valor Médio ed io,, que vemos a seguir na sua versão ao mais simples, o Teorema de Rolle. Rolle.

→


48

∈ R e f :

(Teorema ma de Rolle) Rolle). Seja a < b Teorema 5.1.3 (Teore

→ ∈

R cont´ [a, b] con t´ınua ın ua e diferenci´ avel em [a, b]. Assuma Assuma ainda ainda que f ( Ent˜ ao existe c (a, b) tal que f (a) = f ( f (b) = 0. Ent˜  f (c) = 0. ˜ . Se f ´ e identicamente identicamente nula em [a, b], então ao o resultado é verdadeiro. DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

Caso contrário, ario, então ao f assume algum valor positivo ou negativo em (a, (a, b). Sem Sem perda perda de generalidad generalidade, e, suponha que f assuma algum valor positivo. Como [a, [a, b] é compacto comp acto,, então ao f atinge seu máximo aximo em algum c (a, b). Mas pelo Teorema do Ponto extremo interior 5.1.2,  quer´ıamos demonstrar. demonst rar. f (c) = 0, como quer´ 

∈

(Teorema do Valor Médio) edio). Seja a < b Teorema 5.1.4 (Teorema

∈ (a, b) tal que )(b − a). f ( f (b) − f ( f (a) = f (c)(b

diferenci´ avel em [a, b]. Ent˜ ao existe c

∈ R e f : [a, b] → R cont´ cont´ınua ın ua e



˜ . Seja DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

φ(x) = f ( f (x)

f ( f (b) − f ( f (a) (x − a). − f ( f (a) − b−a

Então ao φ(a) = φ(b) = 0. Como omo f é difer di ferenc enci´ iável avel em [a, [a, b], então ao φ tamb´ ta mbém em o é no mesm me smoo  intervalo. Logo, pelo Teorem de Rolle 5.1.3 existe c (a, b) tal que φ (c) = 0. Portanto

∈

f  (x) =

f ( f (b) b

− f ( f (a) −a .



Uma primeira aplica¸c˜ cão ao do Teorema do Valor Médio edio garante que se s e uma fun¸c˜ cão ao definida definida num intervalo tem derivada identicamente igual a zero, então a fun¸c˜ cao aõ é cons co nsta tante. nte. Lema 5.1.5. Assuma que f : [a, b] 

→ R seja sej a cont´ c ont´ınua ınu a em e m [a, [ a, b], onde a < b, e diferenciável avel

em (a, b). Se f (x) = 0 para todo x, então ao f é constante cons tante em [a, b].

˜ . Seja a < x < b. edio 5.1.4, existe c DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO b. Pelo Teorema do Valor Médio

−





−

∈ (a, x)

tal que f ( )(x a). Como f (c) = 0, temos f ( rb itr´ rário, ario, f (x) f ( f (a) = f (c)(x f (x) = f ( f (a). Como x é arbit  temos f constante em (a, (a, b). Mas continuidade temos f constante em [a, [a, b]. Observe que pelo resultado acima, se f , ao fun¸c˜ coes ões diferenciáveis aveis que tem a mesma f , g são derivada, então ao f e g diferem diferem por uma constant constante. e. A aplica¸c˜ cao aõ seguinte do Teorema do Valor Médio edio garante condi¸c˜ coes o˜es necessárias arias e suficientes para uma fun¸c˜ cao aõ ser crescente num intervalo. Dizemos que uma fun¸cão ao f : I R é crescente no intervalo I se para x, y I com y > x tem-se f ( f (y) f ( f (x). Dizemos ainda que e estritamente cresce R´ crescente nte em I se para x, y I com y > x tem-se f ( f : I f (y) > f ( f (x). Defini¸c˜ cões oes análogas alogas valem para fun¸c˜ cões oes decrescentes e estritamente decrescentes. decrescentes .

→

∈

∈

≥

⊂ R intervalo e f : I → R diferenciável avel em I . Então ao (1) f é cresc cre scente ente em I se e somente se f (x) ≥ 0 para todo x ∈ I . (2) f é decres dec rescent centee em I se e somente se f (x) ≤ 0 para todo x ∈ I .

Lema 5.1.6. Seja I





→

Õ 5.1. DERIVADA DERIVADA EM UMA DIMENSA

49

⇒) Assuma f crescente. Para x, c ∈ I , f ( f (x) − f ( f (c) ≥ 0. x < c ou x > c =⇒ x−c

˜ . ( DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

Portanto

− −

f (x) f ( f (c) 0. x→c x c ( ) Assuma f  (x) 0 para todo x I . Sejam Sejam x1, x2 I com x1 < x2 0. Usan Usando do o  teorema do valor médio edio 5.1.4, 5.1.4 , existe ex iste c (x1 , x2 ) tal que f ( )(x2 x1 ).  f (x2 ) f ( f (x1 ) = f (c)(x f  (c) = lim

⇐

≥

∈

∈

≥

∈

≥

−

−

´ poss´ ˜ o. E poss´ıvel modificar a demonstra¸c˜ cao ã o acima e mostrar que f  (x) > 0 Observa rvac c ¸ao. a implica implica em f estritamente crescente. Entretanto, mesmo fun¸cões oes que tem derivada nula em alguns pontos podem ser estritamente crescentes, como por exemplo f ( f (x) = x3. ˜ o. N˜ ao ao é verdade que se f  (c) > 0 para algum ponto c no dom´ıınio ni o da f Observa rvac c ¸ao. a

implique em f crescente numa vizinhan¸ca ca de c. Como exemplo considere 1 2x2 sin se x = 0, x + 2x g(x) = x 0 se x = 0,

 



é dif d ifer eren enci ci´ável avel em zero com g (0) = 1, mas não ao é crescente em nenhuma vizinhan¸ vizinha n¸ca ca do zero. Outra aplica¸c˜ coes o˜es do Teorema do Valor Médio edio seguem nos exemplos abaixo. exp(x). Então ao f  (x) = exp(x exp(x). Queremos mostrar que Exemplo 5.4. Seja f ( f (x) = exp(x



(5.1.2)

exp(x) > 1 + x para todo x = 0.

Seja x > 0. Então ao aplicando aplica ndo o Teorema do Valor Médio edio em [0, [0, x] temos que existe c tal que exp(x exp(x) exp(0) = exp(c exp(c)(x )(x 0). 0). Como c > 0, então ao exp(c exp(c) > exp(0) = 1. Logo

−

∈ (0, (0, x)

−

exp(x exp(x) > 1 + x. Para x < 0, os argumentos são ao semelhantes e portanto a desigualdade (5.1.2) vale. Exemplo 5.5 (Ponto Fixo). Seja I intervalo fechado e f : I 

→ I diferenciável avel tal que

|f (x)| < c para todo x ∈ I , onde c < 1. En Ent˜ t˜ ao ao a sequência encia definida por x e x = f ( f (x ) para i ∈ N converge, e x = lim em disto, este ponto x é ponto fixo, i.e, f ( f (x) = x. Além fixo é unico. u ´ nico. De fato, note que para todo i ∈ N temos |x − x | = |f ( f (x ) − f ( f (x )| ≤ f (ξ )|x − x | ≤ c|x − x |, onde ξ é um ponto po nto entre x e x . Como I é interva int ervalo lo,, então ao ξ ∈ I . Portanto, a sequência encia (x ) é contr co ntr´átil, atil, o que implica em convergência. encia. Seja x = lim Como mo I é fecha fe chado do,, x . Co então ao x ∈ I . Como f é dif d ifer eren enci ci´ável, avel, em I , então é cont´ co nt´ınua ın ua em I e portanto portanto 0

n→∞

i+1

i

i

i−1

n

i−1



i

i−1

i

i−1

i

i

n→∞

n

lim f ( lim xn+1 = x. f ( f (x) = f ( f ( lim xn ) = lim f (xn ) = lim n→∞

Logo x é ponto po nto fixo de f . f .

n→∞

n→∞

i

i−1


50



Para mostrar unicidade, sejam x = y pontos fixos de f . ao f . Então

|x − y| = |f ( f (x) − f ( f (y)| ≤ c|x − y | < |x − y |, um absurdo. Logo x = y.

5.2. Teorema eorema de Taylor aylor e Aplica¸ Aplica¸c˜ coes o ˜es Uma ferramenta poderosa em análise alise com várias ari as consequˆ cons equências enci as é o Teorema eore ma de Taylor, aylo r, que é na verdade verda de também em uma aplica¸ apl ica¸c˜ cão ao do Teorema do Valor Médio. edio. A expansão ao de Taylor aproxima localmente por um polinômio omio uma fun¸c˜ cao aõ que pode ser complicada. Suponha que f : I R onde I R tenha n 0 derivadas num ponto x0 I . Defina

→



)(x P n (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x

⊂



≥

− x ) + f (x ) 0

(x

0

∈

2

− x ) + · · · + f 2 0

( n)

(x0 )

(x

−x ) 0

n!

n

,

onde usamos a nota¸c˜ caoque aõque g (k) (c) indica a k-ésima esima deriva de g num ponto c. (k) Note que com a defini¸c˜ cao aõ acima, temos f (k)(x0 ) = P n (x0 ) para k = 1, . . . , n. n. Chamamos omio de Taylor de ordem n para f em x0 , e o resultado abaixo diz o quão ao b oa é P n de polinômio a aproxima¸c˜ cao aõ de uma fun¸c˜ cao aõ por seu polinômio omio de Taylor.

≥ 0 e I = [a, b], com a < b. Seja f : I → R fun¸c˜ cao ˜ n cont´ con t´ınua ın ua em I e tal f exista em (a, b). Se x , x ∈ I

Teorema 5.2.1 (Taylor). Seja n (n)

(n+1)

vezes diferenci´ avel em I com f ent˜ ao existe ξ (x0 , x) (x, x0 ) tal que

∈

∪

)(x f ( f (x) = f ( f (x0 ) + f  (x0 )(x

2

− x ) + f (x ) (x −2x ) + · · · + f 

0

0

0

(n)

0

(x0)

(x

−x ) 0

n

n!

(n+1)

+ f

(x x0 )n+1 (ξ ) . (n + 1)!

−

∈

˜ . Sejam x0 , x DEMON generalid lidade ade,, assuma assuma x > x0 . Defin Definaa EM ONST STRA RAC C ¸ AO I . Sem perda de genera J = [x0 , x] e seja F : J R dada por

→

n

− t) F ( F (t) = f ( f (x) − f ( f (t) − (x − t)f (t) − · · · − n! (x



f (n) (t).

Logo F  (t) = Definindo G : J

− (x −n!t)

n

f (n+1) (t).

→ R por G(t) = F ( F (t)

n+1

  − − x t x x0

−

F ( F (x0 ),

temos G(x0 ) = G(x) = 0. Pelo Teorema de Rolle (Teorema 5.1.3) existe ξ 0 = G (ξ ) = F  (ξ ) + (n ( n + 1)

(x ξ )n F ( F (x0 ). (x x0 )n+1

− −

∈ (x , x) tal que 0

˜ ES 5.2. TEOREMA DE TAYLOR E APLICAC ¸O

51

Portanto F ( F (x0 ) =

−

1 (x x0)n+1  1 (x x0 )n+1 (x ξ )n (n+1) (ξ ) F (ξ ) = f n + 1 (x ξ )n n + 1 (x ξ )n n! (x x0 )n+1 (n+1) = (ξ ). f (n + 1)!

− −

− −

−

−



→ R, onde I = [a, b] ⊂ R, com a < b. Assuma Assuma que que f e suas derivadas f , f , . . . , f existam e sejam cont´ cont´ınuas em I . Se f (x) = 0 para todo ao f ( x ∈ I e f ( f (x ) = f (x ) = · · · = f (x ) = 0 para algum x ∈ I , então f (x) = 0 para todo x ∈ I . De fato, pelo Teorema de Taylor 5.2.1, dado x ∈ I , existe ξ entre x e x tal que (x − x ) (x − x ) )(x − x ) + f (x ) + · · · + f (x ) f ( f (x) = f ( f (x ) + f (x )(x 2 n! (x − x ) + f (ξ ) . Exemplo 5.6. Seja f : I 



(n+1)



0

(n+1)

(n)

0

0

0

0

0



0

0



0

0

2

(n)

0

0

n

0

(n+1)

n+1

(n + 1)!

Mas por hipótese, otese, f (i) (x0 ) para i = 0, . . . , n, n, e f (n+1) temos f (n+1)(ξ ) = 0. Portanto, f ( f (x) = 0 para todo x

≡ 0 em I . Em particular, como ξ ∈ I , ∈ I .

Uma aplica¸ aplicac˜ çao aõ da série erie de Taylor refere-se à caracteriza¸c˜ cao ão de extremos locais. Teorema 5.2.2. Seja a < b

∈ R e I = [a, b].

∈

≥

Seja Sejam m x0 (a, b) e k 2 n´ umero  inteir inteiro. o. Supondo Supondo que f , . . . ,f ,f existam, que sejam cont´ cont´ınuas em I , e que f (x0 ) = = (k−1) (k) (x0 ) = 0 mas f (x0 ) = 0, temos que f 

(k)

···



(1) Se k é par pa r e f (k) (x0 ) > 0, ent˜ ao f tem m´ınimo ınim o local em x0 . (k) (2) Se k é par par e f (x0 ) < 0, ent˜ ao f tem m´ aximo local em x0 . (3) Se k é ´ımpa ım parr, ent˜ nt ˜ ao x0 n˜ ao é maximo axim ´ o nem m´ınimo ınim o local.

∈ I existe ξ entre x e x tal que (x − x ) (x − x ) )(x − x ) + f (x ) + · · · + f (x ) f (x) = f ( f (x ) + f (x )(x 2 (k − 1)! (x − x ) (x − x ) + f (ξ ) = f ( f (x ) + f (ξ ) ˜ . Pelo Teorema de Taylor, para x DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

0



0

0



0

0

0

2

(k−1)

0

k

k!

0

0

k

0

(k−1)

0

k

k!

k

.

Assumindo agora que f (k) (x0 ) > 0, como f (k) é cont´ınua nu a ent˜ en tão ao existe δ > 0 tal que f (k)(x) > 0 para todo x U = (x0 δ, x0 + δ ). Se x U , então ao ξ U e então ao f (ξ) (x) > 0. Se n é par, então ao para x = x0 temos (x x0 )k k f (ξ ) > 0. k! Logo ın imoo loca lo cal,l, x U x0 = f ( f (x) f ( f (x0) > 0 = x0 é m´ınim

∈ 

−

∈

∈

−

∈ \{ \{ } ⇒

−

e portanto (1) está demonstrado. Para demonstr d emonstrar ar (2) ( 2) o argumento é semelhante. sem elhante.

⇒


52

−

Finalmente, se k é ´ımpa ım par, r, ent˜ então ao (x ( x x0 )/k! p osit itivo ivo para pa ra x > x0 e negativo para x < x0 . /k! é pos Logo f ( cao aõ (3) (3 ) é f (x) > f ( f (x0 ) ou f ( f (x) < f ( f (x0 ) dependendo do sinal de x x0. Logo a proposi¸c˜ verdadeira. 

−

5.3. Defini¸ Defini¸c˜ c˜ ao ao e Propriedades Proprieda des de fun¸c˜ coes o ˜es difer di ferenc enci´ i´ aveis avei s A no¸c˜ cao aõ de diferenciabilidade e de derivada em dimensões oes maiores simplesmente generR, onde A Rm , e x ponto aliza de forma natural natural a deriv derivada unidimensional. unidimensional. Seja f : A interior de A. Dizemos que f é difer di ferenc enci´ iável avel em x se existe uma matriz L Rn×m tal que

→

lim

h→0

⊂ ∈

f ( f (x + h) − f ( f (x) − Lh = 0. h

Chamamos L de derivada de f em x, e que qu e tamb´ t ambém em denotamos denotam os por Df ( Df (x) ou f  (x). Note que x, h Rm , e que f ( matr iz com m colunas f (x + h), f ( f (x), f  (x)h Rn . Logo f  (x), que é matriz m n e n linhas, define uma fun¸c˜ cao aõ linear de R em R . Assumiremo Assumiremoss neste texto a conven¸ conven¸c˜ cao aõ que h é sempre suficientemente suficientemente pequeno p equeno de tal forma que x + h A. Assim como em uma dimensão, ao, f é dif d ifer eren enci ci´ável avel em x se e somente se existir uma fun¸c˜ cao aõ r tal que

∈

∈

∈

lim f ( f (x + h) = f ( f (x) + f  (x)h + r(h) com li

(5.3.1)

h→0

r(h) = 0. h

Note que pela identidade acima, temos imediatamente que diferenciabilidade implica em continuidade. A derivada de uma fun¸c˜ cao aõ num determinado ponto, se existe, é unic u ´ nica. a. De fato fato,, se L1 e L2 são ao duas derivadas de f em x , então ao substituindo h = tξ, com ξ = 1 em (5.3.1) conclu´ımos ımos que existem fun¸c˜ coes o˜es r1 e r2 tais que



f ( f (x + tξ) = f ( f (x) + tL1 ξ + r1 (tξ), f ( f (x + tξ ) = f ( f (x) + tL2ξ + r2 (tξ), r1(tξ ) r2 (tξ) lim = lim = 0, t→0 t→0 t t



Logo Log o conclu´ con clu´ımos ımo s que











(L − L )ξ = r (tξ) −t r (tξ) ≤ r (ttξ) + r (ttξ) . Tomando o limite quando t → 0 em ambos os lados da equa¸c˜ cão ao conclu´ con clu´ımos ımo s que (L − L )ξ = 0, para todo ξ ∈ R . Mas isto só é poss´ıvel ıvel se L = L , como quer´ quer´ıamos demonstrar. demons trar. Podemos usar o resultado de unicidade acima descrito para encontrar derivadas em casos simples. simples. Como exemplo exemplo considere A ∈ R e f : R → R dada por f ( Ent˜ t˜ ao ao f (x) = Ax. En 1

2

2

1

2

1

1

m

1

n× m

2

2

m

n

f  (x) = A, e para mostrar tal fato vemos que r(h) = f ( f (x + h)



− f ( f (x) − f (x)h = A(x + h) − Ax − Ah = 0.

Pela unicidad u nicidadee da derivada conclu´ımos ımos que f  (x) = A. Uma interessante forma de analisarmos uma fun¸c˜ cao aõ em várias arias variáveis aveis é restring rest ringindo indo esta fun¸c˜ cão ao numa dire¸c˜ cao aõ e usando propriedades de fun¸c˜ coes o˜es de apenas uma variável. avel. Para Para m n m R , onde A R ´ tanto, sejam u R com u = 1, e f : A e abe a berto. rto. Dad Dadoo x A, seja n R dada por φ(t) = f ( ao, definimos a derivada direcional de f em x f (x + tu). Então, φ: R

→

∈



→

⊂

∈

˜ E PROPRIEDADES DE FUNC ˜ ´ VEI S 5.3. 5. 3. DEFI DE FINI NIC C ¸ AO ¸ OES DIFERENCIA

53

na dire¸c˜ c˜ ao u como φ (0), quando esta existir. Note que neste caso, φ (0) é um vetor do Rn (na verdade uma matriz n 1, que identificamos como um vetor no Rn ). Noutra forma de definir, a derivada derivada direcional é dada pelo vetor Lu tal que

×

−

f ( f (x + tu) f ( f (x) Lu = 0. t→0 t Escrevemos neste caso Du f ( f (x) = Lu . Para i 1, . . . , m seja ei onde o vetor veto r com a iésima esima coordenad co ordenadaa valendo um e as demais dem ais coordenadas com valor zero, i.e., lim

∈{

−

}

e1 =

1 0 0 .. . 0

   

e2 =

,

0 1 0 .. . 0

   

,

...,

en =

0 0 .. . 0 1

   

,

No caso em que u = ei , então ao temos a derivada parcial em rela¸c˜ cão ao a` iésima esima coordenada coor denada e escrevemos ∂f (x). Dei f ( f (x) = ∂x i ´ importante ressaltar que a existência E encia de derivadas derivada s par parciais ciais em rela¸c˜ cao ˜ as a`s coordenadas Consid sidere ere o simple simpless exempl exemploo n˜ ao implica implica na existˆ encia encia de derivadas direcionais direcionais em geral . Con abaixo. Exemplo 5.7. Seja f : R2

→ R dad dadaa por f ( f (x, y) =

Então ao

x y 0

 

se y = 0,



se y = 0.

∂f ∂f (0, (0, 0) = (0, (0, 0) = 0, 0, ∂x ∂y mas a derivada direcional na dire¸c˜ cao(a, aõ(a, b) não ao existe se ab = 0, pois não ao existe o limite quando t 0 de f ( f (ta,tb) ta,tb) f (0 f (0,, 0) 1 b = . t ta A situa¸c˜ cão ao muda se assumirmos diferenciabilidade, como mostra o resultado a seguir.



→

−

Teorema 5.3.1. Seja A Rm aberto e assuma f : A Rn diferenci´ avel em x A. m Seja u R com u = 1. Ent˜ ao existe a derivada direcional Du f (x) e esta é dad dadaa por

∈



⊂

→

∈

Du f ( f (x) = Df ( Df (x)u. ˜ . Como f ´ e dif d ifer eren enci ci´ável avel em x, então ao para todo  > 0 existe δ tal que DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

h < δ

 ⇒

=

f ( f (x + h)



− f ( f (x) − Df ( Df (x)h h

<


54

para todo h

∈R

m

. Tomando h = tu temos f ( f (x + tu) t <δ = t

 ⇒

||



− f ( f (x) − Df ( Df (x)u

Portanto Portanto a derivada derivada direcional existe e é dada por Df ( Df (x)u.

< . 

O teorema acima é importante porque p orque podemos p odemos calcular Df ( Df (x) tamoando-se derivadas nas dire¸c˜ coes o˜es das coorden coordenada adas. s. De fato, consid considera erando ndo-se -se f ( f (x) = f 1 (x), f 2 (x), . . . , fn (x) , temos que Dei f ( f (x) =

  

∂f 1 ∂x i ∂f 2 ∂x i

.. .

∂f n ∂x i

   





.



Df (x)e1 Df ( Df (x)e2 . . . Df ( x)em , Usando agora que Df ( Df (x)ei = Dei f ( f (x), e que Df ( Df (x) = Df ( concl co nclu u´ımos ım os que Df ( Df (x) =

  

∂f 1 ∂x 1 ∂f 2 ∂x 1

∂f 1 ∂x 2 ∂f 2 ∂x 2

∂f n ∂x 1

∂f n ∂x 2

.. .

.. .

··· ··· ··· ···

∂f 1 ∂x m ∂f 2 ∂x m

.. .

∂f n ∂x m

  

.

A matriz matr iz acima acim a também em é chamada chama da de matriz jacobiana de f no ponto x. ´ importante ressaltar que a existˆ E encia encia de derivadas derivadas direcionais n˜ ao implica em diferenciabilidade. Para ilustrar tal fato, considere a fun¸c˜ cao aõ x2 se (x, y) = (0, (0, 0), 0), f (x, y) = y 0 se (x, y) = (0, (0, 0). 0).

 

Então ao



∂f ∂f (0, (0, 0) = (0, (0, 0) = 0, 0, ∂x ∂y mas dado o vetor (a, ( a, b)t = (0, (0, 0)t com (a, b)t 2 = a2 + b2 = 1, temos



  f ( f (ta,tb) ta,tb) − f (0 f (0,, 0) lim = lim t→0

ab2 = ab2 , t→0 a2 + b2

t

e a derivada derivada direcional é dada por (5.3.2)

D(a,b) f (0,, 0) = ab2 . a,b)t f (0

Entretanto, se f fosse diferenciável, avel , ter´ıamo ıa moss D(a,b) f (0,, 0) = Df (0 Df (0,, 0) a,b)t f (0

 a b

=

∂f ∂f (0, (0, 0)a 0)a + (0, (0, 0)b 0)b = 0, ∂x ∂y

uma contradi¸c˜ cao aõ com (5.3. (5.3.2). 2). Logo f não ao é diferenc dife renci´ iável avel em (0, (0, 0) apesar de ter todas as derivadas direcionais neste ponto. Apesar da existˆ existência encia de derivadas derivadas direcionais direcionais num determinado determinado ponto não ao garantir a diferenciabilidade neste ponto, a existˆ encia encia e continuidade continuidade das derivadas derivadas parciais numa vizinhan¸ca ca dum ponto garante a diferenciabilidade, como podemos ver no resultado a seguir.


Teorema 5.3.2. Seja f : A

m

→ R, onde A ⊂ R

55

∈

é aberto aber to.. Se x A e ∂f/∂xi existir e for cont´ cont´ınua numa vizinhan¸ca ca de x para i = 1, . . . , m, ao f é dife di feren renci ci´ ´ avel em x. m, ent˜ ˜ . Dado  > 0, seja δ tal que DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

 ⇒   

y − x < δ

=

∂f (y) ∂x i

−

Dados x = (x1 , x2 , . . . , xm)t e y = (y1 , y2 , . . . , ym )t , sejam

z0 = y,

z1 =

  

x1 y2 y3 .. .

ym

Temos então ao que y

  

,

z2 =

x1 x2 y3 .. . ym

  



∂f (x) < ∂x i

, . . . , zm−1 =

  

√m . x1 x2 .. .

xm−1 ym

  

,

zm = x.

 − x < δ implica implica em z − x < δ , para todo i. Note que ) − f ( f ( f (y) − f ( f (x) = f ( f (z ) − f ( f (z ) + f ( f (z ) − f ( f (z ) + · · · + f ( f (z f (z i

0

1

1

2

m−1

m

).

Pelo Teorema do valor médio edio (Teorema (Teorema 5.1.4), 5.1.4 ), existe zî no segmento determinado por zi−1 e zi tal que ∂f i f ( f (zi ) f ( f (zi−1 ) = (yi xi) (ˆz ). ∂x i

−

−

Logo, (5.3.3)



m

f ( f (y)

− f ( f (x)

 − i=1

∂f (x)(y )(yi ∂x i

m

 ≤ 

−x) i

i=1

∂f i (zˆ ) ∂x i

−

|

∂f (x) yi ∂x i

 m

−x|≤ √ i

m

|

−x| ≤ y − x, yi

i

i=1

onde usamos a desigualdade de Cauchy–Schwartz para obter a última ultima desigualdade. Portanto  de (5.3.3) (5.3.3 ) conclu´ımos ımos que f é dif d ifer eren enci ci´ável avel em x. ´ rio 5.3.3. Seja f : A Corolario a

n

m

é aberto ab erto.. Se x A e ∂f/∂xi existir e for cont´ cont´ınua numa vizinhan¸ vizinha n¸ca ca de x para i = 1, . . . , m, ao f é difer di ferenc enci´ iável avel em x. m, então

→ R , onde A ⊂ R

∈

Outro resultado de grande importância ancia diz respeito à diferenciabilidade de composi¸c˜ coes o˜es de fun¸c˜ cões, oes, garantindo que se duas fun¸c˜ coes o˜es são ao diferenciáveis, aveis, então ao a composi¸c˜ cao aõ tamb´ ta mbém em o é. conjuntos abertos. Sejam Teorema 5.3.4 (Regra da Cadeia). Sejam A Rl e B Rm conjuntos m n R e g : B R , onde f ( di ferenci´ ci´ avel em x f : A f (A) B . Se f é diferen A e g é

→

→

⊂

⊂

diferenci´ avel em f ( ao g f é dife di feren renci ci´ ´ avel em x e f (x), ent˜

◦

(g f ) ))f  (c). f ) (c) = g (f ( f (c))f

◦

⊂

∈


56

˜ . Seja y = f ( DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO f (x). Note que para h tal que x + h

temos

∈ A e k tal que y + k ∈ B,

r(h) = 0, h p(k)  p( li lim k = 0.

lim f ( f (x + h) = f ( f (x) + f  (x)h + r (h) com li

h→0

g (y + k) = g (y) + g (y)k + p(k) com Definindo k = f ( f (x + h)



− f ( f (x) = f (x)h + r (h), temos

k→0

g f ( f (x + h) = g(f ( f (x + h)) = g (y + k) = g(y) + g  (y)k + p(k)

◦

= g (y) + g (y)[f )[f  (x)h + r(h)] + p(f ( f (x + h)

onde q (h) = g (y)r(h) + p(f ( f (x + h)





− f ( f (x)) = g(y) + g (y)f (x)h + q (h)

− f ( f (x)). Finalmente,

− f ( f (x)) .    Se f ( ca de x, então ao p(f ( ario, f (x + h) = f ( f (x) numa vizinhan¸ca f (x + h) − f ( f (x)) = 0. Caso contrário,  p(  p( f ( p(f ( f (x + h) − f ( f (x)) p(f ( f (x + h) − f ( f (x)) f (x + h) − f ( f (x) lim = lim lim = 0. h f (x + h) − f ( h f (x) q (h) r(h) p( p(f ( f (x + h) = g (y) lim + lim h→0 h h→0 h h→0 h lim

h→0

h→0

h→0

De qualquer qualque r forma conclu´ımos ımos que

p( p(f ( f (x + h) h→0 h

− f ( f (x)) = 0. 

lim

Portanto, lim

h→0

donde obtemos o resultado. Exemplo 5.8. Seja f : Rn

q(h) = 0, h

n

 n

→ R , e seja a fun¸c˜ cao aõ g : R → R g (f ( f (x)) = x,

n

inversa de f , is to é, e, f , isto

f ( f (g (y)) = y,

para todo x, y em Rn . Se f é difer di ferenc enci´ iável avel em x Rn , e g é difer di ferenc enci´ iável avel em y = f ( f (x), então ao Df ( ao inversas uma da outra, isto é, e, Df (x) e Dg( Dg (y) são

∈

Df ( Df (x)Dg( Dg (y) = Dg( Dg (y)Df ( Df (x) = I , onde I é a matriz mat riz identida ident idade. de. De fato, seja h(x) = g(f ( Derivando h(x) = x, temos Dh( Usando do a f (x)) = x. Derivando Dh(x) = I . Usan regra da cadeia para h(x) = g (f ( f (x)), temos Dh( Dh(x) = Dg( Dg (y)Df ( Df (x). Logo, Dg( Dg (y)Df ( Df (x) = I . De forma análoga aloga segue-se que Df ( Df (x)Dg( Dg (y) = I . Uma aplica¸c˜ cao aõ imediata da regra da cadeia é dada no seguinte teorema do valor médio edio para fun¸c˜ cões o es de várias arias variáveis. aveis. Na verdade, verdade, esta é uma aplica¸ aplica¸c˜ cao aõ imediata do teorema do valor médio edio unidimensional (Teorema (Teorema 5.1.4) quando restringimos uma fun¸c˜ cao aõ de várias arias variáveis aveis num segmento de reta.


57

m

→ R, diferenci´ avel em A, onde A ⊂ R é abert a berto. o. Sejam Sej am x, segmentoo de reta unindo unindo estes estes pontos. pontos. Se S ⊂ A, ent˜ ao existe ξ ∈ S tal y ∈ A e seja S o segment que f ( f (y) − f ( f (x) = Df ( Df (ξ )(y − x). Teorema 5.3.5. Seja f : A

˜ . Este resultado segue-se de uma aplica¸ DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO c˜ cão ao do teorema do valor médio edio

φ (t) = Df x + t(y







→ A dada por φ(t) = f x + t(y − x) .

unidimensional (Teorema 5.1.4) para a fun¸c˜ cao aõ φ : [0, [0, 1] Note ainda que pela regra da cadeia temos que



− x) (y − x). 

´ interessante notar que não E ao vale uma “generaliza¸c˜ cao aõ trivial” para o teorema do valor n médio edio quando a imagem de uma fun¸c˜ cão ao está no R , para n 2. Como exemplo, exemplo, considere considere 2 a fun¸c˜ cao aõ φ : R omando-se os pontos t = 0 e t = 2π, R dada por φ(t) = (sin t, cos t). Tomando-se vemos que não ao existe ξ [0, [0, 2π] tal que

→

≥

∈





− φ(2π (2π) = φ (ξ )(2π )(2π − 0) = 2πφ 2πφ (ξ ).  0 para todo ξ. pois φ(0) − φ(2π (2π) = 0 e φ (ξ ) = φ(0) 

Encontramos na demonstra¸c˜ cão ao do resultado abaixo uma outra aplica¸c˜ cao aõ da regra da cadeia, desta vez para fun¸c˜ coes o˜es de R em R.

⊂ → →  0. Neste caso, ent˜ ao g é dife di feren renci ci´ ´ avel em d = f ( f (c) se e somente se f (c) =

(Derivada da Fun¸c˜ cao aõ Inversa) Inversa). Seja I Seja I R intervalo, f : I R con cont´ınua nu a Teorema 5.3.6 (Derivada R cont´ e invert´ıvel ıvel com inversa g : J con t´ınua ın ua,, e J = f ( di feren renci ci´ ´ avel em c I , f (I ). Se f é dife

∈



g (d) =

1 1 = f  (c) f  (g (d))



∈ J \{ \{d}, então  c. Logo, se f (c) = 0, ao g (y ) = g (y ) − g(d) g (y ) − c f ( f (g (y)) − f ( f (c) lim = lim = lim y−d f ( f (g (y )) − f ( f (c) g (y ) − c

˜ . Se y DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

y →d



y →d

y →d



−1

=

1 f  (c)

,

onde usamos a continuidade de g no ultimo u ´ltimo passo. Conclu´ımos ımos que g é difer di ferenc enci´ iável avel em d e   g (d) = 1/f (c). Analogamente, se g é dif d ifer eren enci ci´ável avel em d, então ao usando a regra da cadeia e que g(f ( f (x)) = x, temos ))f  (c) = 1, g  (f ( f (c))f e então ao f  (c) = 0.





Exemplo 5.9. Seja f : R+ R+ dada por f ( f (x) = xn , onde n R+ , e g(y ) = n y . Para y > 0 temos ent˜ ao ao g : R+

→

√

→

g  (y ) =

1 ny

n−1 n

.

Note que g não ao é difere dif erenci nci´ável avel no zero pois f  (0) = 0.

ao f tem inversa inversa ∈ N. Então


58

5.4. Matriz Matriz Hessiana, Hessiana, F´ ormula ormula de Taylor e pontos cr´ cr´ıticos R num determinado Note que a derivada de uma fun¸c˜ cao aõ de uma fun¸c˜ cão ao de f : Rm m ponto x foi definida como uma aplica¸c˜ cao aõ linear de R em R com certa capacidade de aproxR dada por imar a fun¸c˜ cao aõ f no ponto x. No caso, para x fixo, fixo , ter´ıamo ıa moss Df ( Df (x) : Rm

→

∂f ∂f (x)y1 + (x)y2 + ∂x 1 ∂x 2

Df ( Df (x)y =

· · · + ∂x∂f (x)y m

→

m,

onde y Rm . De forma análoga, aloga, definimos a segunda derivada de f num ponto x fixado como sendo a R tal que fun¸c˜ cão ao bilinear D2 f ( f (x) : Rm Rm

∈

×

→

m

∂ 2 f (x) 2 D f ( f (x)(y, z) = yi z j , ∂x ∂x i j i,j=1 i,j =1



∂ 2 f ∂ onde = ∂x i ∂x j ∂x j

 

∂f , ∂x i

e y, z Rm. Uma forma mais compacta de escrever a defini¸cão ao acima é usando-se usando -se a matriz 2 hessiana H dada por H ij f (x)/∂x i ∂x j . Logo ij (x) = ∂ f (

∈

D2 f ( f (x)(y, z) = yt H (x)z. Um interessante resultado garante que se f for suficientemente suave num determinado ponto x0 (é suficiente que a segunda derivada derivada exista numa vizinhan¸ca ca de x0 e seja se ja cont con t´ınua ınu a 2 em x0 ) teremos que n˜ ao importa a ordem em que se toma as derivadas, derivadas, i.e., ∂ f/∂xi ∂x j = 2 port anto a matriz hessiana hessian a é simétrica. etrica. ∂ f/∂x j ∂x i , e portanto Defini¸c˜ coes o˜es para derivadas de ordem mais alta seguem o mesmo formato, sendo estas aplica¸c˜ coes ˜ multilineares multilineares.. Entretanto para os nossos propósitos, ositos, a matriz hessiana basta. Apresentamos no teorema a seguir a fórmula ormula de taylor, e nos restringimos ao caso particular de polinômios omios quadráticos aticos.. Este Este teorem teoremaa ser´ a de fundamental importância ancia para caracterizarmos pontos extremos.

→ R, sendo A aberto, duas vezes diferenci´ avel em A, com derivadas de rivadas cont´ cont´ınuas. Sejam x, y ∈ A tais que o segmento S que une estes dois pontos esteja contido em A. Ent˜ ao existe ξ ∈ S tal que 1 f ( f (y) = f ( f (x) + Df ( Df (x)(x − y) + (y − x) H (ξ)(y − x), 2 (Taylor). Seja f : A Teorema 5.4.1 (Taylor)

t

onde H (x) é a matriz hessiana de f .





→ R dada por φ(t) = f x + t(y − x) . Ap Apli lica cand ndoo o Teorema de taylor em uma dimensão ao (Teorema 5.2.1), obtemos que existe tˆ ∈ (0, (0, 1) tal que ˜ . Seja φ : [0, DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO [0, 1]

1 φ(1) = φ(0) + φ (0) + φ (tˆ). 2 Usando a defini¸c˜ cao aõ de φ obtemos o resultado diretamente.



Assim como em uma dimensão, ao, usaremos o Teorema de Taylor para estudarmos pontos R, onde A Rm , tem um m´ extremos de uma fun¸c˜ cao. aõ. Dizemos que f : A aximo local em x A se existe δ > 0 tal que

∈

(5.4.1)

→

y

∈ B (x) ∩ A =⇒ δ

⊂

f ( f (y)

≤ f ( f (x).

´ 5.4. MATRIZ HESSIANA, HESSIANA, FORMULA DE TAYLOR E PONTOS CRÍTICOS

59

Dizemos que x é m´ aximo estrito local se valer valer a desigualdade desigualdade estrita estrita em (5.4.1). Defini¸ Defini¸c˜ cão ao análoga aloga serve para m´ınim ın imoo loca local l e m´ınimo ınim o estrito estr ito local . Cha Chamam mamos os um ponto ponto de m´ aximo aximo ou m´ınimo local loca l de ponto extremo local , e um ponto de máximo aximo ou m´ınimo estrito local de ponto extremo estrito local . O teorema teorema que obtemos obtemos a seguir, seguir, relativo relativo a pontos extremos interiores, interiores, é análogo alogo ao caso unidimensional, ver o Teorema 5.1.2, e diz primeiro que pontos extermos interiores são pontos cr´ cr´ıticos, i.e., pontos em que a derivada se anula. O resultado mostra tamb´ em em que t se um ponto po nto é de m´ıni ınimo mo local lo cal,, então ao a hessian hess ianaa é semi-definida positiva , i.e, h H (x)h 0 m para todo h R . De for forma ma an´ análoga aloga se um ponto é de máximo aximo local, então ao a hessiana hessia na é t m semi-definida negativa , i.e, h H (x)h 0 para todo h R .

≥

∈

≤

∈

Teorema 5.4.2 (Ponto extremo interior) . Seja f : A

→ R, onde A ⊂ R

m

é abe abert rto, o, e x A ponto extremo extremo local. local. Se f é dife di feren renci ci´ ´ avel em x, ent˜ ao Df ( em disto, f Df (x) = 0. Se além for duas vezes diferenci´ avel, com derivadas d erivadas segundas cont´ cont´ınuas, ent˜ ao temos que

∈

(1) se x for ponto de m´ınimo loc local, al, ent˜ ao ht H (x)h (2) se x for ponto de m´ aximo local, ent˜ ao ht H (x)h onde H (x) é a matriz hessiana no ponto (x).

m

≥ 0 para todo h ∈ R ≤ 0 para todo h ∈ R

, ,

m

˜ . Para mostrar que x ´ e ponto p onto cr´ cr´ıtico, ıtic o, basta bas ta usar u sar o Teorema 5.3.1 5.3 .1 e mostra mos trarr DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

que as deriv derivada adass parcia parciais is se anula anulam. m. Dad Dadaa ent˜ ent˜ ao a o o vetor ei temos que a fun¸c˜ cao aõ φ(t) = f ( f (x + tei ) tem ponto extremo local em t = 0. Usando o Teorema 5.1.2 vemos que φ(0) = 0 e conclu conc lu´´ımos ımo s que x é p onto onto cr´ıtic ıt ico. o. Suponha agora que f seja duas vezes diferenciável avel com derivadas segundas segunda s cont´ cont´ınuas, e que x seja ponto p onto de m´ınimo local. Ent˜ ao ao x é ponto cr´ cr´ıtico, como acabamos acabam os de mostrar, mostra r, e pelo Teorema de taylor em várias arias dimensões oes (Teorema 5.4.1), temos que 2

s − f ( f (x) = u H (ξ )u, 2 para todo s suficientemente pequeno e u ∈ R com u = 1, e onde ξ é ponto po nto do segmento seg mento unindo x e x + su. Quan Quando do s → 0, temos que ξ → x, e usando a continuidade de H concl co nclu u´ımos ım os que H (ξ ) → H (x). Como x é m´ınim ın imoo loca lo cal,l, ent˜ ent ao aõ f ( f (x + su) − f ( f (x) ≥ 0 para todo s suficientemente pequeno. Portanto u H (ξ )u ≥ 0, como quer´ quer´ıamos demonstrar. demonst rar.  t

f ( f (x + su)

s

m

s

s

s

t

s

Os resultados acima nos dão ao condi¸c˜ coes ões necessárias arias para um ponto interior ser extremo local, loca l, porém em estas não a o são ao suficientes (vide exemplo f ( Dizemo moss que um ponto ponto f (x) = x3 ). Dize é de sela quando a derivada se anula mas este não ao é extremo local. Um caso interessante interessante é quando qua ndo a fun¸c˜ cao aõ é localmente crescente crescente na dire¸c˜ cao aõ de uma coordenada e decrescente na 2 R dad dire¸c˜ cao aõ de outra. Por exemplo, f : R dadaa por f ( f (x, y) = x2 y2 , ver Figura 1. O resultado a seguir dá algumas condi¸c˜ coes o˜es suficientes um ponto ser de máximo axi mo,, m´ınim ın imoo ou de sela. Mais precisamente, temos que se um ponto p onto cr´ cr´ıtico x de uma fun¸c˜ cao aõ suave tem t m 0 , então R a hessiana H (x) positiva definida , i.e, h H (x)h > 0 para todo h ao ele el e é t m´ınimo estrito local. lo cal. De forma análoga, aloga, se H (x) é negativa definida , i.e, h H (x)h < 0 para m todo h R ao ele é m´ınimo estrito local. loca l. O ultimo u ´ltimo caso é quando a Hessiana Hessian a é 0 , então t m t indefinida i.e, existem h, ξ em R tais que ( h H (x)h)(ξ H (x)ξ ) < 0. A´ı ent˜ ent ão ao x é p onto nt o de sela.

→

−

∈

∈ \{ }

\{ }


60

1

0.5

0

–0.5

–1 –1 –1

–0.5 y

–0.5

0 0 0.5

x

0.5 1 1

afico afico de x2 Fig. 1. Gr´ Teorema 5.4.3. Seja A

derivad deri vadas as cont´ cont´ınuas, ınua s, e x

⊂

2

− y , que tem ponto de sela em (0, (0 , 0).

Rm aberto aberto e f : A

→

R duas vezes vezes difer diferenci´ avel, com

∈ A ponto cr´ıtico. ıtico. Temos ent˜ ao que

(1) se H (x) for positiva definida ent˜ ao x é m´ınim ın imoo estr es trit itoo loca local, l, (2) se H (x) for negativa definida ent˜ ao x é m´ınim ın imoo estr es trit itoo loca local, l, (3) se H (x) for indefinida ent˜ ao x é ponto de sela. sela . ˜ . Mostraremos apenas o caso em que H (x) ´ DEMON e positiva p ositiva definida. defi nida. neste caso, ca so, EM ONST STRA RAC C ¸ AO

·

devido à continuidade das segundas derivadas, H ( ) é positiva p ositiva definida numa vizinhan¸ vizinha n¸ca ca de cões oes do Teorema 5.4.1, e suficientemente próximo x. Para y A x satisfazendo as condi¸c˜ de x, temos que existe ξ pertencente ao segmento de reta entre y e x e tal que

∈ \{ }

(5.4.2)

f ( f (y)

1 − f ( f (x) = (y − x) H (ξ )(y − x). 2 t

Portanto x é m´ınimo estrito local loca l pois a espressão ao do lado direito de (5.4.2) é estritamente positiva.  Note que apesar do teorema anterior dar condi¸cões oes suficientes para determinar se um ponto po nto cr´ıtico ıt ico é ou não ao extremo local, ainda é preciso descobrir se a hessiana é positiva ou negativa negativa definida ou o u indeterminada. Esta dificuldade é contorn´ avel, avel, pois existem vários arios resultados de álgebra algebra linear que dizem, dizem, por exemplo, exemplo, quando quando uma matriz matriz é ou não ao positiva definida. Por exemplo, uma matriz simétrica etrica é positiva definida se e somente se seus autovalores são ao positivos. pos itivos. A referˆ re ferência encia [3] apresenta este e vários arios outros resultados relacionados ao tema. Uma segunda aplica¸c˜ cao aõ do Teorema 5.4.1 diz respeito à fun¸c˜ coes o˜es convexas definidas em m convex convexos. os. Dizemos Dizemos que A R é convexo co nvexo se x, y A implica em (1 t)x + ty A para

⊂

∈

−

∈

´ 5.4. MATRIZ HESSIANA, HESSIANA, FORMULA DE TAYLOR E PONTOS CRÍTICOS

61

f ( f (x)

x afico afico de x2 Fig. 2. Gr´

2

− y , que tem ponto de sela em (0, (0 , 0).

∈ [0, [0, 1]. Dizemos que f : A → R é conve co nvexa xa em A se f (1 − t)x + ty ≤ (1 − t)f ( f (x) + tf (y). para todo t ∈ [0, [0, 1]. Graficamente, uma fun¸c˜ cao aõ é convexa se o gráfico afico de f entre x e y está todo t





abaixo da reta que une os pontos ( x, f ( f (x)) e (y, f ( f (y)), como ilustra a Figura 2. Existem inúmeros umeros resultados resultados relacionados relacionados a convex convexidade. idade. Em particular, particular, um m´ınimo local lo cal é também em global glo bal,, e se o m´ınimo ınim o local lo cal é estrito estr ito,, segue-se segu e-se a unicida uni cidade de de m´ıni ınimo mo global glo bal [7]. Teorema 5.4.4. Seja A

m

⊂R

→

R duas vezes conjunto aberto e convexo e f : A diferenci´ avel, com derivadas der ivadas cont´ cont´ınuas. ınuas. Ent˜ ao as afirmativas abaixo s˜ ao equivalentes: (1) f é conve con vexa xa (2) A matriz hessiana H (x) é semi-definida semi-defin ida positiva par paraa todo x A.

∈

⇐) Assuma que H (x) seja semi-definida positiva em A. Seja S o segmento de reta unindo x e y ∈ A, e seja 0 < t < 1. Definin Definindo do x = (1 − t)x + ty, pelo Teorema de Taylor existe ξ ∈ S entre x e x , e ξ ∈ S entre x e y tais que 1 f ( f (x) = f ( f (x ) + Df ( Df (x )(x − x ) + (x − x ) H (ξ )(x − x ), 2 1 f ( f (y) = f ( f (x ) + Df ( Df (x )(y − x ) + (y − x ) H (ξ )(y − x ). 2 ˜ . ( DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO

0

0

1

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

t

t

1

0

2

0

Como H (ξ1 ) e H (ξ2 ) são ao ambas semi-definidas positivas, então ao

− t)f ( f (x) + tf (y) (1 − t) t = f ( )+ Df ((x )[(1 − t)x + ty − x ]+ (x − x ) H (ξ )(x − x )+ (y − x ) H (ξ )(y − x ) f (x )+Df 2 2 (1 − t) t = f ( (x − x ) H (ξ )(x − x ) + (y − x ) H (ξ )(y − x ) ≥ f ( f (x ) + f (x ). 2 2 (1

0

0

0

0

0

0

t

1

0

t

1

0

0

Logo f é conve co nvexa xa.. ( ) Se f é conve co nvexa xa,,

⇒

f ((1 f ((1

− t)x + ty) ≤ (1 − t)f ( f (x) + tf (y)

0

t

2

t

0

2

0

0


62

e para t

∈ (0, (0, 1] temos que

f ((1 f ((1

− t)x + ty) − f ( f (x) ≤ f ( f (y) − f ( f (x).

t Tomando o limite t 0 obtemos Df ( ormula de Df (x)(x y) f ( f (y) f ( f (x). Usando agora a fórmula Taylor obtemos que existe ξ no segmento unindo x e y tal que 1 (x y)t H (ξ )(x y) = f ( f (y) f ( f (x) Df ( Df (x)(x y) 0, 2 Tomando y con clu´ımos ımo s a demonst demo nstra¸ ra¸c˜ cão. ao. x e usando a continuidade de H conclu´ 

→

− ≤

−

−

−

−

−

− ≥

→

˜ o. Note que no processo de demonstra¸c˜ cao aõ do Teorema eorema 5.4.4, 5.4.4, mostra mostramos mos Observa rvac c ¸ao. a

também em que uma fun¸c˜ cão ao f ser convexa é equivalente a Df ( Df (x)(x todo x, y.

− y) ≤ f ( f (y) − f ( f (x) para

5.5. 5.5 . Exerc Exe rc´ ´ıcios ıc ios Exerc´ıcio 5.1. Assuma f : R

|

→ R diferenciável avel em c ∈ R e f ( f (c) = 0.

Mostre Mostre ent˜ então ao



|

que g(x) = f ( d ifer eren enci ci´ável avel em c se e somente se f (c) = 0. f (x) é dif Exerc´ıcio 5.2. Seja f : R

→ R dad dadaa por n

f ( f (x) =



(x

i=1

onde ci unico. u ´ nico.

2

−c) , i

∈ R para i = 1, . . . , n,n, e n ∈ N. Ache um ponto de m´ınimo ınimo local de f . Most re que é f . Mostre

e exemplo de uma fun¸c˜ cão ao uniformemente uniform emente cont´ cont´ınua em [0, [0, 1] que seja Exerc´ıcio 5.3. Dˆ diferenci´ avel avel em (0, (0, 1) mas cuja derivada não ao seja limitada em (0, (0, 1). Mostre Mostre porque porque o seu exemplo funciona. 

Exerc´ıcio 5.4. Seja I

⊂ R um intervalo e f : I → R diferenciável. avel. Mostre que se f é positiva em I , i.e., f (x) > 0 para todo x ∈ I , então ao f é estri e stritam tamente ente crescente cres cente.. e um intervalo inter valo e f : I → R diferenciável avel com Exerc´ıcio 5.5. Mostre que se I ⊂ R ´ 

derivada limitada em I , então ao f é de Lips Li pschi chitz. tz.

Rn uniformemente limitado, e f : B uniform emente cont´ cont´ınua. Mostre que f é limi li mita tada da em B . Mostre Mostre que esta esta conclu conclus˜ são a o não ao é necessariamente necessar iamente verdadeira se B não ao for limitado.

Exerc´ıcio 5.6. Seja B

m

⊂R

→

Exerc´ıcio 5.7. Mostre que se f : R

→ R e g : R → R são ao uniform uni formement ementee cont co nt´´ınuas, ınua s,

então ao f + un iformeme memente nte cont c ont´´ınua. ınua . Mostre Mos tre que, mesmo mes mo que q ue f seja limitada, a fun¸c˜ cão ao f g f + g é unifor não ao é necessa nece ssaria riamente mente uniform uni formement ementee cont´ınua. ınua. Exerc´ıcio 5.8. Seja f : R2

→ R dad dadaa por

f ( f (x, y ) =

xy2 x2 + y4 0

 



para (x, (x, y) = (0, (0, 0), 0), para (x, y) = (0, (0, 0). 0).


63

Mostre que a derivada direcional de f em (0, (0, 0) com respeito a u = (a, b) existe e que b2 se a = 0. , a Mostre que f não ao é cont co nt´´ınua ınu a e porta po rtanto nto não ao é difer di feren enci´ ciável avel no (0, (0, 0).



Du f (0 f (0,, 0) =

Exerc´ıcio 5.9. Seja I

⊂ R intervalo aberto e f : I → R quatro vezes diferenciável, avel, com a quarta derivada derivada cont´ cont´ınua, numa vizinhan¸ca ca de x ∈ I . Mostre Mostre ent˜ então ao que existe uma

constante c tal que



f  (x)

−

f ( f (x + h)



− 2f ( f (x) + f ( f (x − h) ≤ ch , h 2

2

para h suficientemente suficientemente pequeno. A forma acima é utilizada para aproximar f  (x), quando ave. f é suave. Exerc´ıcio 5.10. Mostre que dados quaisquer x, y

∈ R fixados, fixados , o resto da série erie de Taylor da fun¸c˜ cão ao cos x centrada em x e calculada em y converge para zero quando n → +∞. cao aõ diferenciável avel no Exerc´ıcio 5.11. Seja B = {x ∈ R : x ≤ 1} e f : B → R fun¸c˜ interior de B tal que f ≡ 0 na fronteira de B . Mostre que f tem ponto cr´ cr´ıtico no interior de m

B.

Exerc´ıcio 5.12 (M´ (M´ınimos Quadrados) Quadra dos). Considere para i = 1, . . . , n os pontos (x (xi , yi ) 2 R , e seja p : R R dada por p(x) = ax + bx + c tal que a, b e c minimizam o erro 2

n i=1



2

∈

→

| p( satisfazem as equa¸c˜ cões oes p(x ) − y | . Mostre que a, b e c satisfazem i

i

n

a

n

xi4

xi3

+b

n

xi3 + b

=

i=1 n

xi2 + c

i=1

i=1

xi =

i=1

xi yi ,

i=1 n

n

xi2 + b

xi2 yi ,

i=1 n

i=1

n

a

xi2

+c

i=1 n

i=1 n

a

n

           xi + cn =

i=1

yi .

i=1

(0 , 0) é ponto p onto de sela sel a de d e f (x, y) = Exerc´ıcio 5.13. Mostre, usando o Teorema 5.4.3, que (0, x2

2

2

2

− y , e ponto de m´ınimo estrito local lo cal de f ( f (x, y ) = x + y . dadaa por Exerc´ıcio 5.14. Seja f : R → R dad x se x ∈ Q, f ( f (x) = 0 se x ∈ R\Q.



2

Calcule f  (0).

exis tam e sejam se jam cont´ınuas ınuas em ( 1, 1). Exerc´ıcio 5.15. Seja f : ( 1, 1) tal que f  , f  f  existam 

−







Assuma f (0) = f (0) = 0, mas f (0) = 0. Mostre que f não ao é m´ınim ın imoo loca lo cal.l. Exerc´ıcio 5.16. Seja f : R 

·

Mostre então ao que f (t) f (t) = 0.

3

→R

 

−

diferenciável avel e tal que f (t) = 1 para todo t

∈ R.

CAPÍTULO 6

Sequˆ Sequênci encia a de Fun un¸¸c˜ coes o ˜es 1

Rn , onde i N. Dizemos ent˜ Seja A Rm e f i : A ao ao que (f (f i ) define d efine uma sequência enci a n de fun¸c˜ coes. ões. Note que cada x A define defin e a sequência enci a (f i (x)) em R .

⊂

→ ∈

∈

6.1. Convergência enci a Pontual Pont ual ˜ o 6.1.1. Seja (f i ) uma sequˆ Definic ¸ ao a Rn , e A Rm . encia enci a de fun¸c˜ coes, ˜ onde f i : A Rn em A0 Dizemos que (f i ) converge pontualmente para uma fun¸c˜ c˜ ao f : A0 A se para

todo x

→

∈ A , a sequˆ sequênci en cia a (f (x)) converge para f ( f (x). 0

i

→

⊂

⊂

Ent˜ t˜ ao ao f i converge pontualmente para f Exemplo 6.1. Sejam f i (x) = x/i e f ( f (x) = 0. En em R, pois para todo x R tem-se limi→∞ f i (x) = limi→∞ x/i = 0.

∈

ao ao Exemplo 6.2. Sejam gi (x) = xi . Ent˜ (1) Se x ( 1, 1), então ao limi→∞ gi (x) = limi→∞ xi = 0. (2) Se x = 1, então ao limi→∞ gi (x) = limi→∞ 1 = 1. (3) Se x = 1, então ao gi (x) = ( 1)n = 1 não ao converge. (4) Se x > 1, então ao gi (x) não ao é limitada l imitada e portanto p ortanto não ao converge. Logo (g (gi ) converge pontualmente para g em ( 1, 1], onde

∈− − ||

−



− se − 1 < x < 1,

0 1 se x = 1.

g (x) = Note que



0 = lim lim g(x) = lim lim lim gi (x) = lim lim gi (x) = 1. x→1

x→1

−

−

i→+∞

i→+∞ x→1

−

Note que a defini¸c˜ cão ao de convergˆ convergência encia pontual pode ser escrita da seguinte forma. ˜ o 6.1.2. Uma sequˆ Rn , e A Rm converge encia enci a de fun¸c˜ coes ˜ (f i ) onde f i : A Definic ¸ ao a Rn em A0 pontualmente para uma fun¸c˜ c˜ ao f : A0 A se para dado  > 0 e x A0 , existe

→

N 0 (x, ) tal que

n > N 0 (x, )

⊂ =⇒ |f (x) − f ( f (x)| < .

→

⊂

∈

i

O que fica claro na defini¸c˜ cao aõ acima é que a “escolha “escolha de N 0 ” depende do ponto x em considera¸c˜ cão. ao. Considere o exemplo 6.1, e seja  = 1/10. Então, ao, para x = 1 e N 0 (x, ) = 10, temos 10 = n > N 0 (x, ) = 10 f i (x) f ( f (x) = 1/n < . Mas para x = 2, a escolha anterior de N 0 = 10 já não ao é suficiente e temos que escolher N 0(x, ) 20.

⇒|

≥

1Ultima ´


−

| | |

ˆ ˜ 6. SEQUENCIA ENC IA DE FUNC FUN C ¸ OES

66

6.2. Convergência enc ia Unifor Un iforme me Rn . Dizemos que a sequˆ e i N, seja f i : A encia encia n R , se dado  > 0 existe N 0 () tal de fun¸c˜ coes ˜ (f i ), converge uniformemente para f : A que n > N 0 = f i (x) f ( f (x) <  para todo x A.

˜ o 6.2.1. Dados A Definic ¸ ao a

⊂R

m

∈

⇒

→

→

−



∈

Observe que convergencia convergencia uniforme implica em convergencia pontual, mas que a afirma¸c˜ cao aõ rec re c´ıpro ıp roca ca não ao vale. Uma forma prática atica de se mostrar que uma um a sequˆ seq uência encia de fun¸ fun ¸c˜ cões oes não ao converge uniformemente é utilizando o resultado abaixo. onde A Rm e i N. Ent˜ ao a sequência enci a de fun¸c˜ coes ˜ n R se e somente se para algum  > 0 existir (f i ) n˜ ao converge uniformemente para f : A uma subsequˆ sub sequência enc ia (f nk ) e uma sequência enci a de pontos (xk ) em A tais que Teorema 6.2.2. Seja f i : A

→R

n

⊂ →

nk (xk )

∈

− f ( f (x ) ≥  para todo k ∈ N. R → R e f : R → R, onde f (x) = x/i e f ( f (x) = 0.

f

Exemplo 6.3. Sejam f i :

k

i

Tome ome

ao  = 1/2, nk = k e xk = k. Então

|f

nk (xk )

− f ( f (x )| = 1 > . k

Logo não ao há convergencia uniforme. Uma forma de “medir” convergência encia uniforme uniform e é através es da norma do supremo, supremo , que para cada fun¸c˜ cao aõ limitada associa o valor máximo a ximo que o módulo odulo desta desta assume. Formalment ormalmentee temos a seguinte defini¸c˜ cao. aõ. õ Definic ¸ ao a

6.2.3. Seja f : A norma do supremo ent˜ ao por

n

m

→ R , onde A ⊂ R

f 

, fun¸c˜ cao ˜ limitad limitada. a. Defini Definimos mos a

= sup f (x) : x

∈ A}. Portanto, uma sequência encia de fun¸c˜ coes ões limitadas (f (f ), onde A ⊂ R , converge para f : A → R , se e somente se lim f − f  = 0. [0, 1] → R é tal ta l que qu e g (x) = x , g : [0, [0, 1] → R é tal ta l que qu e Exemplo 6.4. Se g : [0, 0 se x ∈ [0, [0, 1), 1), g(x) = sup,A sup,A

{



m

i

n

i→∞

i

sup,A sup,A

i

i

i



1 se x = 1,

então ao

g − g i

para todo i

sup, sup,[0, [0,1]

∈ N. Logo g

i

= sup xi : x

{



∈ [0, [0, 1)} ∪ {0}

não ao converge uniformemente para g.

=1

Exemplo 6.5. Se f i (x) = x/i e f ( então ao f (x) = 0 ent˜

f − f  i

sup, sup,[0, [0,1]

{

= sup x/i : x

∈ [0, [0, 1]} = 1/i.

Logo f i converge uniformemente para a fun¸c˜ cao ão identicamente nula.

ˆ NCIA UNIFORME 6.2. CONVERG CONVERGE

67

→ R seja uniformemente uniforme mente cont´ cont´ınua em R e defina Ent˜ t˜ ao ao f converge uniformemente para f em R. De fato fato,, seja seja  > 0. f (x) = f ( f (x + 1/i). /i). En Como f é uni u nifo forme rmeme mente nte cont con t´ınua, ınu a, existe exi ste δ ∈ R tal que |x − y| < δ =⇒ |f ( f (x) − f ( f (y)| < . Seja então ao N ∈ N tal que N > 1/δ. /δ. Logo 1/i)) − f (x)| < , i > N =⇒ |f (x) − f ( f (x)| = |f ( f (x + 1/i para todo x ∈ R. Portanto, f converge uniformemente para f . f . erio de Cauchy para convergência encia uniforme) uniform e). Sejam A ⊂ R e Teorema 6.2.4 (Critério coes ˜ limita limitadas das.. Ent˜ Ent˜ ao (f ) converge onverge uniformem uniformemente ente para ara uma fun¸c˜ c˜ ao f : A → R fun¸c˜ f : A → R se e somente se dado  > 0, existe N tal que i, j > N =⇒ f − f  < . D . (⇒) Basta usar que f (x) − f (x) ≤ f (x) − f ( f (x) + f ( f (x) − f (x) para todo x ∈ A. (⇐) Assuma que dado  > 0 existe N tal que i, j > N =⇒ f − f  < . Exemplo 6.6. Suponha que f : R

i

i

∗

∗

∗

i

i

m

n

i

i

0

0

i

j sup,A sup,A


j

i

j

i

0

0

i

j sup,A sup,A

Logo,

⇒ f (x) − f (x) < ,

m, n > N 0 =

m

i

para todo x então ao (f i(x)) é sequência encia de Cauchy em R, e podemos definir A. Mas en f ( f (x) = limi→+∞ f i (x). Falta agora mostrar que limi→+∞ f i f sup,A sup,A = 0. Dado  > 0, seja K N tal que  i, j > K = f i f j sup,A sup,A < . 2 ¯ N tal que Dado x A e seja K  ¯ = i K f i (x) f ( f (x) < . 2 ¯ depende Note que K depende somente de  e K dep ende também em de x. En Ent˜ t˜ ao, ao, seja i K , e para ¯ . Logo cada x A, seja j = sup K, K

∈

 − 

∈

⇒ − 

∈

∈

≥

∈

⇒|

−

|

{ } f ( f (x) − f (x) ≤ f ( f (x) − f (x) + f (x) − f (x) < , i

j

j

≥

i

e (f i ) converge uniformemente para f . f .



Finalmente Finalm ente conclu´ımos ımos esta se¸c˜ cao aõ mostrando que limite uniforme de fun¸c˜ coes o˜e s cont con t´ınuas ınu as é tamb´ ta mbém em uma um a fun¸ fu n¸c˜ cão ao cont´ cont´ınua. Lembre-se que esta propriedade não a o vale em geral se a conve co nverg rgˆênci en ciaa é só pontual. Teorema 6.2.5 (Troca de Limites e Continuidade). Seja (f i ) sequência en cia de fun¸ fun ¸c˜ coes ˜ f i : n m n R cont´ R . Ent˜ con t´ınua ınuass em A R convergindo uniformemente para f : A Ent˜ ao f é A

→

cont con t´ınua ın ua em A.

⊂

→

ˆ ˜ 6. SEQUENCIA ENC IA DE FUNC FUN C ¸ OES

68 ˜ . Seja x DEMON EM ONST STRA RAC C ¸ AO 0

∈ A. Dado  > 0 existe N ∈ N tal que f ( f (x) − f

N N0 (x)

0

 < /3 /3

∈ A. Como f é cont´ınua nu a em A, existe δ > 0 tal que  x ∈ A, x − x  < δ =⇒ f (x) − f (x ) < . 3 Logo se x ∈ A e |x − x | < δ , então ao f ( f (x) − f ( f (x ) ≤ f ( f (x) − f (x) + f (x) − f (x ) + f (x ) − f ( f (x ) < . para todo x

N N 0

0

N N0

N N 0

0

0

0

N N 0

N N 0

N N0

0

N N0

0

0

Logo f é cont´ınu nuaa.



6.3. Equicontinuidade Equicontinuidade Nesta se¸c˜ cao aõ discutiremos os conceitos de equicontinuidade e enunciaremos o Teorema de Arzelá–Asco a–Ascoli. li. N˜ ao apresentaremos demonstra¸c˜ ao cões, oes, que podem (devem) ser conferidas em [4], por exemplo. Rn , onde A Rm . Cha Seja F conjunto de fun¸c˜ cões oes f : A Chamam mamos os o conjun conjunto to F de equico equicont´ nt´ınuo ın uo em x0 A, se dado  > 0, existe δ > 0 tal que

→

x

∈ A,

⊂

∈ x − x  < δ =⇒ f ( f (x) − f ( f (x ) <  para todo x ∈ A e f ∈ F . 0

0

Se F for equicont´ equicont´ınuo em todos todo s os o s pontos p ontos de A, dizemos simplesmente que F é equico equ icont´ nt´ınuo ın uo.. O conceito de equicontinuidade num ponto pode ser generalizado de forma a que a escolha de δ não ao dependa mais do ponto em considera¸c˜ cao aõ i.e., seja seja uniforme. uniforme. Dizemos Dizemos ent˜ então ao que F é uniforme unif ormement mentee equicont´ınuo, ınuo , se dado  > 0, existe δ > 0 tal que

x, x0

∈ A, x − x  < δ =⇒ f ( f (x) − f ( f (x ) <  para todo x, x ∈ A e f ∈ F . De forma semelhante, chamamos F de simplesmente limitado se para cada x ∈ A existe c tal que f ( f (x) < c para todo f ∈ F . F . Finalmente, dizemos que F é uniformemente limitado se existe c tal que f ( f (x) < c para cada x ∈ A e para todo f ∈ F . F . 0

0

0

O resultado abaixo informa que se A for compacto, então ao equicontinuidade e equicontinuidade uniforme são ao equivalentes. O mesmo acontece com limita¸c˜ cao aõ simples e uniforme. Lema 6.3.1. Seja F conjunto de fun¸c˜ cões oes f : K

→ R, onde K ⊂ R é comp c ompacto acto.. Então ao F

é equic equ icont´ ont´ınuo ınu o se e some so mente nte se é un unifo iform rmeme emente nte equico equ icont nt´´ınuo. ınu o. Além em disto di sto,, F é simp si mples lesmen mente te limitado se e somente se for uniformemente limitado. Temos então ao o Teorema de Arzelá–Ascoli, a–Ascoli, que de alguma forma generaliza o Teorema de Bolzano–Weierstrass Bolzano –Weierstrass para sequências encias de fun¸c˜ coes. o˜es.

Teorema 6.3.2 (Teorema de Arzelá–Ascoli) a–Ascoli). Seja F conjunto de fun¸c˜ coes ˜ definidas em com pacto. o. Ent˜ Ent ao ˜ F é equicont´ equi cont´ınuo ınu o e simpl sim plesesK e assumindo valores em R, onde K R é compact

⊂

mente limitado limitado se e somente somente se toda toda sequˆ sequˆ encia encia de fun¸c˜ coes ˜ têm em subsequência enci a que converge uniformemente. Como aplica¸ aplica¸c˜ cão ao mostramos alguns detalhes do belo exemplo apresentado em [ 4].

−

→ [0, [0, 1], cont´ cont´ınuas e tais que ´ poss pos s´ıvel mostrar que não ao existe f ¯ ∈ F f ( f (x) dx. dx. E

Exemplo 6.7. Seja F o conjunto das fun¸c˜ cões oes f : [ 1, 1] 1 −1



−

f ( f ( 1) = f (1) f (1) = 1. Considere A(f ) f ) = tal que A(f ) ). Considere agora f ¯) = minf ∈ f ∈F A(f ). F c = f

{ ∈ F : f é de Lipschitz com constante c}.


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{

∈ }

Então ao F c é simplesmente simple smente limitado limita do e equicont´ equicont´ınuo. Seja então ao µc = inf A(f ) f ) : f F c , e para cada n N seja f i F c tal que 1 µc A(f i ) µc + . i Pelo Teorema de Arzelá–Ascoli, a–Ascoli, (f (f i ) possui pos sui subsequência encia (f ik ) uniformemente convergente ¯ ¯ para algum f c . Po Pode de-s -see mostra mostrarr que f c ortan nto o F c , e que A(f ¯c ) = minf ∈ f ). Porta f ∈F c A(f ). problema problema de minimizar minimizar A( ) em F c tem solu¸c˜ cao. aõ.

∈

∈

≤

≤

∈

·

6.4. 6.4 . Exerc Exe rc´ ´ıcios ıc ios s equência enci a de d e fun¸ fu n¸c˜ cões oes (f (f i), onde f i (x) = sin(nx sin(nx))/(1 + nx). Exerc´ıcio 6.1. Seja a sequˆ nx). Mostre + que (f (f i ) converge pontualmente para todo x R , uniformemente em [a, [a, + ) para a > 0,

∞

∈

mas não ao converge uniformemente em [0, [0 , + ). Exerc´ıcio 6.2. Seja A

m

⊂R

∞

→

R sejam fun¸c˜ e f i : A coes o˜es uniformemente uniform emente cont´ cont´ınuas. Mostre que (f ( f i ) converge uniformemente para f , ao f é uni u nifo form rmem ement entee con c ontt´ınua. ınu a. f , então

exem plo de sequˆ s equência enci a (f ( f i ) de fun¸c˜ coes o˜es que converge uniformemente Exerc´ıcio 6.3. Ache exemplo em (0, (0, 1], mas não ao em [0, [0, 1].

Bibliography [1] R. G. Bartle, The elements of real analysis , Second edition, John Wiley & Sons, New York, 1976. [2] R. G. Bartle and D. R. Sherbert, Introduction to real analysis , Second edition, Wiley, New York, 1992. [3] R.A. Horn and C.R.Johnso C.R.Johnson, n, Matrix analysis , Cambridge University Press, Cambridge, 1985. [4] E. L. Lima, Curso de an´ alise. Vol. 1 , Inst. Mat. Pura Apl., Rio de Janeiro, 1976. [5] E. L. Lima, Curso de an´ alise. Vol. 2 , Inst. Mat. Pura Apl., Rio de Janeiro, 1981. [6] E. L. Lima, Espa¸cos co s M´ M´ etri et ricos cos , Inst. Mat. Pura Apl., Rio de Janeiro, 1977. [7] D. G. Luenberger, Introduction Addison-Wesley,, Reading,MA, Introduction to linear linear and nonlinear nonlinear program programming ming , Addison-Wesley 1973. [8] W. Rudin, Principles of mathematical analysis , Third edition, McGraw-Hill, New York, 1976.

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Introdução à Análise Real - Alexandre L Madureira

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