TUGAS BESAR KALKULUS MAKALAH INTERGAL TRIGONOMETRI
RIZKY PRIMA YOLANDA
( 201010120311158 )
HENDRA ADI SUGARA
( 201010120311159 )
INDRA WAHYU KURNIAWAN
( 201010120311160 )
ROMI BASTIAN
( 201010120311161 )
ERWIN TRIMADANA
( 201010120311166 )
FEBRIAN ADI PRADHANA
( 201010120311147 )
MUHAMMAD HELMI KURNIAWAN
( 201010120311163 )
JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 2011
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
LATAR BELAKANG
Trigonometri merupakan ilmu yang mempelajari sudut. Biasanya mahasiswa kurang menguasai penggunaan sudut (sin, cos, tan,dll). Dengan makalah ini kami bermaksud menjelaskan betapa pentingnya ilmu trigonometri ini, selain itu makalah ini dibuat dengan tujuan memenuhi tugas akhir Semester 2 Bidang Studi KalkulusII.
1.2
RUMUSAN MASALAH
Mengetahui apa itu integral trigonometri beserta contohnya. Mahasiswa dituntut mengerti manfaat dari integral trigonometri.
1.3
1.4
TUJUAN
Memahami ilmu integral trigonometri
Karakter trigonometri
MANFAAT
Mahasiswa dapat menggunakan penjelasan ini untuk mengenal integral trigonometri.
Mahasiswa dapat membedakan antara integral trigonometri dengan integral tak tentu/tentu.
\
BAB II INTEGRAL TRIGONOMETRI
Apabilakitamenggabungkanmetodesubstitusidanpenggunaancerdikkesamaantrigonometri, makakitadapatmengintegralkanberagambentuktrigonometri. Kita tinjau lima jenis yang paling umumdijumpai:
Bentuk baku integral trigonometri
∫ sin u du = - cos u + C
∫ cos u du = sin u + C
∫ sec² u du = tan u + C
∫ csc² u du = - cot u + C
∫ sec u tan u du = sec u + C
∫csc² u cot u du = - cot u + C
∫ tan u du = -ln |cos s | + C
∫ cot u du = ln | sin u | + C
∫sec u du = ln | sec u + tan u | + C
∫ csc u du = ln | csc u – cot u | + C
Jenis 1: ∫ x dx dan∫ dx Pertamaperhatikankasusapabila n bilanganbulatpositifdanganjil.setelahkitamengeluarkanfaktor sin x ataucos x danmenggunakankesamaan sin² x +cos²x =1. Contoh:
Hitunglah ∫ cos³x dx PENYELESAIAN:
Melakukansubstitusi u = cos x sajatidakmembantu,karenakemudian du = -sin x dx. Untukmengintegralkanpangkatdarikosinus, kitamemerlukanfaktor sin x tambah Demikian pula, pangkatdari sinus jugaakanmembutuhkanfaktorcos x tambahan. Jadi,
disinikitadapatmemisahkansatufaktorkosinusdanmengubahfakroe cos²x yang tersisamenjadisuatupersamaan yang malibatkan sinus denganmenggunakankesamaan sin² x + cos²x = 1:
Cos x = cos²x · cos x = (1-sin² x) cos x Kemudiankiyadapatmenghitung integral denganmensubstitusikan u = sin x, sehingga du = cos dx dan Secaraumum, kitadpatberusahauntukmenulis integral yang melibatkanpangkatdari sinus dankosinusdaridalamsuatubentukdimanakitahanyamempunyaisatufaktor sinus (dansisapersamaantersebutdalamkosinus) atauhanyasatufaktorkosinus (dansisanyadalam sinus).Kesamaan sin² x +cos² x =1 memungkinkankitamengubahkembalipangkatgenap sinus kekosinusdansebalikya.
(n ganjil) Carilah ∫sin⁵x dx PENYELESAIAN:
∫ sin⁵dx = ∫ sin⁴sin x dx = ∫ ( 1 - cos²x )²sin x dx
⁴
=( 1 – 2 cos²x + cos x )sin x dx
⁴ = - cos x + ⅔ cos³x - ⅕cos⁵ + C
= - ∫ ( 1 – 2 cos²x + cos x )d( cos x )
( ngenap ). Carilah ∫ sin²x dan ∫ cos⁴x dx PENYELESAIAN : Di sinikitamanfaatkankesamaansetengahsudut.
dx = ∫ dx - ∫ ( cos 2x ) (2) dx = ∫ dx - cos 2x d(2x) = x - sin 2x + C ∫ cos⁴x dx = ∫ )² dx = ∫ ( 1 + 2 cos 2x + cos² 2x ) dx = ∫ dx + ∫ ( cos 2x )(2) dx + ∫ 9 1 + cos 4x) dx = ∫ dx + ∫ cos 2x d(2x) + ∫ cos 4x d(4x) ∫sin²x dx = ∫
= x + sin 2x +
sin 4x + C
∫
Hitungalah
PENYELESAIAN: Jikakitatuliskan sin² x = 1 - cos² x, integralnyatidaklebihmudahdihitung. Namun, denganmenggunakanrumussudutparuhuntuk sin²x, kitaperoleh
∫ ∫ ∫ = ( )– = Perhatikanbahwakitamelakukansubsitusi u = 2x di dalambenakkitaketikamengintegralkancos 2x.
Tentukan ∫ sin⁴x dx PENYELESAIAN:
Kita dapatmenghitung integral inidenganmenggunakanrumusreduksiuntuk ∫ sinⁿ x dx,
⁴
tetapicaralainnyaadalahdenganmenuliskan sin x= (sin² x)²danmenggunakanrumussudut-paruh
∫ sin⁴x dx = ∫ (sin² x)² dx
–)² dx
=∫( =
∫ ( 1 – 2 cos 2x + cos² 2x ) dx
Karenamuncul cos² 2x, kitaharusmenggunakanrumussudut-paruhlainnya
cos² 2x = ( 1 + cos 4x ) Inimemberikan
∫ sin⁴ x dx = ∫ [ 1 – 2 cos 2x + (1 + cos 4x)] dx
∫ ( - 2 cos 2x + cos 4x ) dx = ( x – sin 2x + sin 4x ) + C =
Sebagairangkuman, kitadaftarkanpedoman yang harusdiikutidalammenghitung integral yang
berbentuk ∫ x cosⁿ x dx, dengan m ≥ 0 dan n ≥ 0 bilangan bulat. Strategiuntukmenghitung ∫ x cosⁿ x dx
1) Jikapangkatdarikosinusadalahbilanganganjil ( n = 2k + 1 ), simpansatufaktorkosinusdangunakan cos² x = 1 – sin² x untukmenyatakanfaktor yang tersisadalam sinus:
∫ x = ∫ x cos x dx = ∫ x
cos x dx
Kemudiansubstitusikan u = sin x 2) Jikapangkatdari sinus adalahbilanganganjil ( m = 2k + 1 ), simpansatufaktor sinus dangunakan sin² x = 1 - cos² x untukmenyatakanfaktor yang tersisadalamkosinus:
∫ x cos dx = ∫ cosx sin x dx = ∫ cosⁿx sin x dx Kemudiansubstitusikan u = cos x. [Catatbahwajikapangkatdari sinus maupunkosinusadalahbilanganganjil, salahsatudari (a) atau (b) dapatdigunakan.] 3) Jikapangkatdari sinus maupunkosinusadalahbilangangenap, gunakankesamaansudutparuh. sin² x =
(1 – cos 2x)
cos² x =
(1 +cos 2x)
Kadang – kadangkesamaan di bawahinidapatmembantu Sin x cos x =
sin 2x
Kita dapatmenggunakanstrategi yang serupauntukmenghitung integral yang berbentuk ∫
x secⁿ x dx.karena (d/dx) tan x = sec² x, kita dapat memisahkan faktor sec² x dan mengubah pangkat (genap) dari sekan yang tersisa menjadi bentuk yang melibatkan tangen dengan mengggunakan kesamaan sec² x = 1 + tan²x. Atau, karena (d/dx) sec x =sec x tan x, kitadapatmemisahkanfaktor sec x tan x danmengubahpangkat (genap) daritangen yang tersisamenjadisecan.
Jenis2 : ∫ x x dx Jikasalahsatu m atau n bilanganbulatpositifganjilsedangkaneksponen yang satunyabilangansembarang, kitafaktorkan sin x ataucos x danmenggunakankesamaan sin²x + cos²x = 1. Contoh:
Hitunglah ∫ sin⁵ x x dx
PENYELESAIAN: Kita dapatmengubah cos²x menjadi 1 – sin²x, namunkitaakanmemperolehpersamaandalam sin x tanpafaktorcos x tambahan. Sebagaialternatif, kitapisahkansatufaktor sinus dantulisulangfaktor sin²x yang tersisadalamcos x:
∫ sin⁵ x x = ( sin²x )² cos²x si x= ( 1 – cos²x )²cos²x sin x Denganmensubstitusikan u = cos x, kitaperoleh du = -sin x dx dankarenaitu
∫ sin⁵ x x dx = ∫ sin⁴x cos²x sin x dx = ∫ ( 1 – cos² x )² cos² x sin x dx = ∫ ( 1- u² )² u² (-du)
⁴ ⁶
= - ∫ ( u² - 2u + u ) du
- 2+ } + C
=-{
⁵
= - cos³ x + cos x -
cos⁷ x + C
Padacontoh- contohterdahulu, pangkatganjildari sinus dankosinus memungk9inkan kitamemisahkansebuahfaktortunggaldanmengubahpangkatgenapssianya.Jikaintegrannyaberisipang katgenapdari sinus maupunkosinus, strategiinigagal.Dalamkasusinidapatmenarikkeuntungandarikesamaansudut-paruh sin²x =
(1 – cos 2x ) dan cos²x = (1 = cos 2x )
( m atau n ganjil )
Carilah ∫ sin³ cos x dx PENYELESAIANNYA:
∫ sin³x x dx = ∫ ( 1 – cos²x )( ) dx =-∫(
x -
– ] + C
=-[ =
sec³x – sec x + C
Jika m dan n dua-duanyabilanganbulatpositifgenap, makakitamenggunakankesamaansetengahsudutuntukmemperkecilderajatintegran.
(m dan n dua-duanyagenap)
Carilah ∫ sin²x cos⁴x dx PENYELESAIAN:
∫ sin²x cos⁴x dx = ∫ (
)( )²
∫ ( 1 + cos 2x - cos²2x - cos³2x )dx = ∫ [1 = cos 2x - (1 + cos 4x) – (1 - sin²2x)cos 2x ] dx = ∫ [ - cos 4x + sin²2x cos 2x ]dx = [ ∫ dx - ∫ cos 4x d(4x) + ∫ sin²2x d(sin 2x) ] = [ x - sin 4x + sin³2x ] + C =
Jenis 3: ( ∫ tanⁿ x dx, ∫ cotⁿ x
dx )
Dalamkasustangen, faktorkan tan² = sec²x – 1 ;dalamkasuskotangen, faktorkan cot²x = csc²x – 1. Contoh:
Carilah ∫ tan³ x dx PENYELESAIAN: Disinihanyaada tan x, sehinggakitagunakan tan² x = sec² x – 1 untukmenyatakanfaktor tan² x dalam sec² x.
∫ tan³ x dx = ∫ tan x tan² x dx = ∫ tan x ( sec² x -1 ) dx = ∫ tan x sec² x dx - ∫ tan x dx =
- ln |sec x| + C
Dalam integral yang pertamakitamelakukansubstitusi di dalambenakkita u = ytan x sehingga du = sec² x dx.
Jikapangkatgenapdaritangenmunculbersamapangkatganjildarisecan, makamenyatakanintegrandalamsecan x seluruhnyaakanmembantu. Pangkatdarisecan x mungkinmembutuhkanpengitegralanparsial, seperti yang diperlihatkandalmcontohberikutini.
Hitunglah ∫ sec³ x dx PENYELESAIAN: Di sinikitamenggunakanpengintegranparsialdengan: u = sec x
dv = sec² x dx
du = sec x tan x Maka
v = tan x
∫ sec³ x dx = sec x tan x - ∫ sec x tan² x dx = sec x tan x - ∫ sec x (sec² x – 1) dx = sec x tan x - ∫ sec³ dx + ∫ sec x dx
DenganmenggunakanRumus 1 danmenyelesaikanpersamaan di atasuntukmemperolehintegral yangdiinginkan, kitadapatkan
∫ sec³ x dx = ( sec x tan x + ln |sec x + tan| ) + C Integral padacontohdiatasmungkinterlihatsangatkhusustetapiseringditemuidalampenggunaan integral. Integral yang berbentuk ∫
cscⁿ x dx dapat dihitung dengan metode serupa dengan
bantuan kesamaan 1 + cot² x = csc² x.
Jenis 4:(∫ secⁿ x dx, ∫ cscⁿ x dx )
Strategiuntukmenghitung ∫ a) Jikapangkatdarisecanadalahbilangagenap ( n = 2k ), simpansatufaktor sec²x dangunakan sec² x = 1 + tan² x untukmenyatakanfaktor yang tersisadalam tan x:
∫ x dx = ∫ sec² x dx = ∫ sec² x dx Kemudiansubstitusikan u = tan x. b) Jikapangkatdaritangenadalahbilanganganjil ( m = 2k + 1 ), simpansatufaktor sec x tan x dangunakan tan² x = sec² x – 1 untukmenyatakanfaktor yang tersisadalam sec x :
∫ x secⁿx dx = ∫ ( x sec x tan x dx = ∫ Kemudiansubstitusikan u = sec x
Untukkasuslainnya, pedomannyatidaklahsejelasini.Kita mungkinharusmenggunakankesamaankesamaan, integral parsisal, dankadangkalasedikitkecerdasan.Kadangkadangkitaharusdapatmengitegralkan tan x denganmenggunakanrumus:
∫ tan x dx = ln | sec x | + C Kita jugaakanmebutuhkan integral taktentudarisecan:
∫ sec x dx = ln | sec x + tan x | + C Kita dapatmembuktikanrumusdiatasdenganmenurunkanruas, atausebagaiberikut. Pertamakitakalikanpembilangdanpenyebutdengan sec x tan x :
∫ sec x dx = ∫ sec dx =∫
dx
Jikakitasubsitusikan u = sec x + tan x, maka du = ( sec x tan x + sec² x ) dx,
makaintegralnyamenjadi ∫ ( 1/u ) du = ln | u | + C. Jadi, kitaperoleh ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x | + C
Contoh:
Hitunglah ∫ tan⁶ x sec⁴ x dx PENYELESAIAN: Jikapisahkansatufaktor sec²x, kitadapatmenyatakanfaktor sec²x yang tersisadalamtangendenganmenggunakankesamaan sec²x = 1 + tan²x. Kemudiankitadapatmenghitung integral denganmensubstitusikan u = tan x dengan du = sec²x dx:
∫ tan⁶xsec⁴x dx = ∫ tan⁶x sec²x sec²x dx = ∫ tan⁶x( 1 + tan²x ) sec²x dx = ∫ u⁶( 1 + u² ) du = ∫ ( u ⁶ + u⁸ ) du
+ + C = tan⁷ x + tan⁹ x + C =
Hitunglah ∫ tan⁵xsec⁷x dx PENYELESAIAN:
⁵
Jikakitapisahkanfaktor sec²x, sepertipadacontohterdahulu, kitaakanmempunyaifaktorsec x, yang tidakmudahdiubahmenjaditangen. Namun, jikakitapisahkanfaktor sec x tan x, kitadapatmengubahpangkatdaritangen yang tersisa, yiatumenjadi yang hanyamelibatkansecandenganmenggunakan tan² x = sec x – 1. Kemudiankitadapatmenghitungintegralnyadenganmensubtitusikan u = tan x, sehingga du = sec x tan x dx ;
∫ tan⁵ x sec⁷ x dx = ∫ tan⁴ x sec⁶ x sec x tan x dx = ∫ ( sec² x – 1 )² sec⁶ x sec x tan x dx = ∫ ( u² - 1 )² u⁶ du = ∫( – 2u⁸ + u⁶ ) du =
∫ ( ngenap, m sembarang ). Carilah ∫ ⁴ dx PENYELESAIAN:
∫ = ∫ ( = ∫ (
∫ = ∫ -2
( m ganjil, n sembarang ) ∫ tan³ x PENYELESAIAN:
∫ tan³x
∫
= ∫ ( sec²x – 1 ) = ∫
∫ = Jenis 5: (∫ sin mx cosnx dx, ∫ sin mx sin nx dx, ∫ cos mx cosnxdx ) Ingtegralinimunculdalamteoriarusbolak-balik, masalahperpindahanpanas, dandalammasalahmenggunakanderet Fourier. Untukmenghitung integral – integral ini, kitagunakankesamaanhasilkali : a) b) c)
∫ sin mx sin nx = ∫ cos mx cosnx = ∫sin mx cosnx =
Contoh:
Hitunglah ∫ sin 4x cos 5x dx PENYELESAIAN: Integral inidapatdihitungmenggunakanpengintegralanparsial, tetapilebihmudahdenganmenggunakanpersamaandiatas :
∫sin 4x cos 5x dx = ∫ =
∫ ( -sin
x + sin 9x ) dx
=
- cos 9x ) + C
Carilah ∫ sin 2x cos 3x dx PENYELESAIAN:
∫ = ∫ ∫ = -
∫ sin 2x cos 3x dx =
BAB III
PENUTUP
Besar harapan kami dengan terselesaikannya makalah ini, sehingga pelaksanaan belajar mengajar akan lebih mudah.Kami dapat menyelesaikan makalah ini berkat bimbingan dosen dan buku referensi.
Kami memahami bahwa makalah yang kami buat jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.
Semoga makalah ini dapat berguna bagi kita semua.
Verberg, Dale. Dan J.Purcell, Edwin . 2001. Kalkulus Jilid satu Edisi Tujuh . Jakarta :Adiaksara Stewart, James, 1998. Kalkulus jilid satu edisi keempat. Jakarta :Erlangga
