Ingineria Reglarii Automate by Dumitrache, 2005

Pror. univ. dr. ing.

Ioan DUMITRACHE

Membru corespondent al Academiei Române

INGINERIA REGLĂRII AUTOMATE

EDITURA POLITEHNICA PRESS Bucureşti, 2005

Copyright ©, 2005, Editura Politehnica Press. Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate editurii.

Adresa: Calea Griviţei, nr. 132 78122, Sector 1, Bucureşti Telefon: 402.94.76

Redactor: Anca PERŞOIU Coperta: Adriana BUTMĂLAI Bun de tipar: 15.03.2005, Coli tipa: 45,375 ISBN: 973-8449-72-3

PREFATA~ '

Trecerea la societatea bazată pe cunoaştere reprezintă nu numai o a evoluţiei tehnologiei informaţiilor şi comunicaţiilor, ci şi o cerinţă a creşterii competitivităţii într-o lume a schimbării şi a globalizării. Dezvoltarea de procese şi produse competitive impune un nou concept de fabricaţie, care incorporează cunoaştere şi inovare, agilitate şi flexibilitate. Suportul natural al unor procese tehnologice performante într-o economie competitivă este asigurat prin creşterea gradului de automatizare, prin înnobilarea acestora cu noi atribute de calitate, de eficienţă şi de compatibilitate cu mediul înconjurător. Automatica, prin suportul formal asigurat de teoria sistemelor, prin suportul conceptual oferit de teoria conducerii, de teoria informaţiei şi prin suportul hardware oferit de tehnologia circuitelor integrate pe scară largă şi foarte largă, a microprocesoarelor şi a sistemelor avansate de calcul, furnizează instrumentele şi conceptele necesare automatizării proceselor din diverse domenii de activitate. Prin concepte şi instrumente software şi hardware avansate, automatica este prezentă practic în toate sectoarele socio-economice. Procesele tehnologice integrate într-o economie competitivă vor fi proiectate în vederea automatizării pentru a răspunde rapid şi eficient condiţiilor de adaptare la cerinţele pieţei. Conceptul "IPDC" (Integrated Process Design and Control) se impune tot mai mult în contextul globalizării şi, evident, al pieţelor concurenţiale, răspunzând unor cerinţe înalte de productivitate şi utilizabilitate. Inginerii tehnologi, proiectanţii de procese cooperează strâns cu inginerii automatişti proiectanţi de soluţii şi echipamente de automatizare, pentru a concepe şi realiza sisteme competitive tehnic şi economic, flexibile şi tolerante la defecte, integrabile într-o economie bazată pe cunoaştere. Proiectarea integrată a proceselor şi a produselor presupune o nouă abordare în economia bazată pe inovare şi cunoaştere. Conceptul de întreprindere colaborativă capătă noi valenţe într-o economie bazată pe competiţie şi calitate, iar automatizarea proceselor şi a întreprinderilor reprezintă condiţii esenţiale pentru atingerea acestor deziderate. consecinţă

6

INGINERIA REGLĂRI! AUTOMATE

Automatizarea unui proces presupune asigurarea tuturor mijloacelor şi metodelor necesare evoluţiei acestuia, în concordanţă cu cerinţele de eficienţă economică, de calitate, de siguranţă în funcţionare şi de compatibilitate cu mediul înconjurător. Conceptul de "proces curat" sau/şi "produs curat" integrat în conceptul larg de "ECO-ECONOMIE", care pătrunde tot mai mult în sfera de activitate a inginerului proiectant, impune o nouă abordare a proiectării proceselor şi a sistemelor de conducere automată. Ingineria reglării, ca parte integrantă a domeniului larg ce vizează automatizarea proceselor, se bazează pe conceptele specifice ale teoriei sistemelor şi pe suportul hardware necesar implementării strategiilor de reglare/conducere. În esenţă, în cadrul acestei lucrări sunt prezentate principalele aspecte ale aplicării teoriei sistemelor automate pentru rezolvarea problemelor specifice de proiectare şi analiză a soluţiilor şi a strategiilor pentru reglarea sau conducerea unor procese, inclusiv aspectele practice ale alegerii echipamentelor pentru implementarea strategiilor de reglare. Structurată în trei părţi, cartea acoperă principalele aspecte conceptuale şi aplicative ale reglării automate. În prima parte, sunt prezentate elementele esenţiale ale analizei sistemelor de reglare şi problematica alegerii şi a acordării legilor de reglare pentru arhitecturi convenţionale de reglare cu unul şi două grade de libertate. Astfel, după o succintă prezentare a problemelor reglării parametrilor tehnologiei, apelând la diferitele structuri de sisteme de reglare automată, în capitolul al doilea sunt prezentate particularităţile diferitelor modele matematice ale proceselor conduse şi modalităţile inginereşti de obţinere a acestora. Capitolul al treilea al lucrării prezintă, sintetic, problematica formulării şi alegerii obiectivelor reglăriilconducerii pentru diferite categorii de sisteme de reglare şi pentru diferite tipuri de mărimi exogene ce acţionează asupra sistemelor de reglare automată. Sunt evidenţiate şi elementele specifice robusteţii stabilităţii şi ale performanţelor în prezenţa incertitudinilor structurate şi nestructurate ale modelelor matematice ce caracterizează procesele supuse automatizării. În capitolele al IV-lea şi al V-lea sunt prezentate problemele de alegere şi acordare a algoritmilor convenţionali de tip PID în varianta continuă şi discretizată. Sunt analizate aspectele specifice ale acordării analitice pe bază de model simplificat al procesului şi modalităţile de acordare experimentală pe obiectul condus în funcţiune. O atenţie specială este acordată discretizării algoritmilor PID în vederea implementării pe cale

Prefaţă

7

numenca a acestora, cu luarea în consideraţie a tuturor regimurilor de funcţionare şi a moduri lor de lucru ale unui sistem dereglare automată. Partea a doua a lucrării prezintă, sintetic, principalele probleme ale proiectării structurilor şi ale strategiilor de reglare/conducere. Astfel, în capitolul al VI-lea sunt prezentate problemele sintezei legii de reglare pe bază de model în cadrul structurilor cu unul şi două grade de libertate, inclusiv problemele sintezei strategiei de reglare cu model intern (parametrizarea afină a regulatoarelor). Sinteza legii de reglare după stare cu estimarea stării şi problemele specifice implementării strategiei de reglare după stare sunt prezentate în capitolul al VII-lea al lucrării. Diferite proceduri de sinteză a legii de reglare cu două grade de libertate pe baza modelului discret al obiectului condus în prezenţa perturbaţiilor deterministe şi stocastice sunt prezentate în capitolele al VIDlea şi al IX-lea ale lucrării. Sunt prezentate şi strategii de reglare de minimă varianţă şi strategii de conducere predictivă pentru procese supuse perturbaţiilor stocastice. Elemente introductive în conducerea neliniară a proceselor sunt prezentate în capitolul al X-lea al lucrării. Astfel, sunt prezentate categorii de sisteme neliniare şi limitări ale liniarizării modelelor, precum şi metode de analiză şi sinteză a sistemelor neliniare. Principalele metode de analiză a stabilităţii şi utilizarea conceptului de stabilitate şi hiperstabilitate pentru proiectarea legilor de reglare neliniară sunt prezentate în ultima parte a acestui capitol. În capitolul al XI-lea sunt prezentate principalele probleme ale conducerii adaptive a proceselor, inclusiv problemele specifice implementării diferitelor strategii de conducere adaptivă, directă şi indirectă, pentru procese cu diferite grade de complexitate. Capitolul al XII-lea este destinat prezentării principalelor probleme ale proiectării algoritmilor de reglare pentru procese cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri. Sunt extinse metodele de sinteză pentru procese monovariabile la procesele multivariabile şi sunt prezentate metode specifice de sinteză a legii de conducere, pentru procese caracterizate prin modele cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri. Partea a doua a lucrării se încheie cu capitolul al Xill-lea, destinat prezentării sintetice a problematicii sistemelor inteligente de conducere, a sistemelor cu autonomie ridicată. Sunt prezentate cele patru metodologii inteligente şi modalităţile de utilizare ale acestora pentru rezolvarea problemelor de identificare şi de conducere a proceselor complexe. Ultima parte a lucrării (capitolele al XIV-lea şi al XV-lea) este destinată prezentării principalelor probleme ale implementării pe cale analogică şi pe cale numerică a diferitelor strategii de reglare. Sunt


8 evidenţiate

limitările

introduse de suportul hardware utilizat pentru implementarea legilor de reglare în realizarea performanţelor sistemelor de reglare/conducere. Lucrarea prezintă, sintetic, principalele probleme ale conceperii, dezvoltării şi implementării unor soluţii pentru reglarea/conducerea unor procese tehnologice. Prezentarea graduală a conceptelor şi a procedurilor de analiză şi sinteză a sistemelor de reglare automată, precum şi exemplele incluse în lucrare asigură accesibilitatea mai multor categorii de cititori, studenţi, doctoranzi şi ingineri proiectanţi. Exemplele prezentate în lucrare, precum şi o serie de studii de caz sunt incluse detaliat în C.D.-ul care însoţeşte lucrarea. În încheiere, doresc să mulţumesc prof. dr. ing. Toma Dragomir pentru ideile şi observaţiile pertinente făcute în urma citirii manuscrisului, precum şi prof. dr. ing. Costică Niţu pentru observaţiile consistente făcute după citirea ultimei părţi a lucrării. Mulţumesc în mod deosebit domnişoarei ing. Raluca Misleanu pentru efortul depus pentru tehnoredactarea lucrării, domnului as. ing. Mihai Spătaru pentru pregătirea C.D.-ului ataşat lucrării, precum şi doamnelor ing. Dana Neacşu şi fiz. Anca Perşoiu pentru activitatea de pregătire a lucrării în vederea tipăririi. Autorul

CUPRINS

1. INTRODUCERE ......................................................................................... 19 1.1. Scurt istoric ....................................................................................... 20 1.2. Problematica sistemelor dereglare (conducere) ............................... 23 1.3. Tendinţe în automatizarea proceselor industriale ............................. 38

2. MODELE MATEMATICE ALE OBIECTELOR CONDUSE............... 39 2.1. Problematica modelării şi identificării proceselor ............................ 39 2.2. Modele intrare - stare- ieşire .......................................................... 45 2.3. Modele intrare-ieşire ........................................................................ 49 2.4. Parametrizarea modelelor procesului condus ................................... 54 2.5. Discretizarea modelelor continue ..................................................... 60 2.6. Modele matematice stocastice .......................................................... 64 2.7. Sisteme cu parametrii distribuiţi şi cu timp mort ............................. 70 2.8. Modele nepararnetrice ...................................................................... 76 2.8.1. Răspunsul în frecvenţă (caracteristici de frecvenţă) .............. 76 2.8.2. Răspunsul indicial ................................................................. 82 2.9. Erori de modelare. Incertitudini ....................................................... 88 2.10. Exemple de modele obţinute prin modelare analitică .................... 91

3. PERFORMANTELE SRA ...................................................................... 103 3.1. Introducere ...................................................................................... 103 3.2. Stabilitatea SRA ............................................................................. 107 3.2.1. Stabilitatea relativă a SRA.................................................... 109 3.3. Precizia SRA în regim staţionar (permanent) ................................. 113 3.4. Evaluarea performanţelor în regim tranzitoriu ............................... 120 3.4.1. Criterii locale de performanţă ............................................. 127 3.4.2. Indicatori integrali de performanţă ...................................... 129 3.5. Robusteţea stabilităţii şi a performanţelor ...................................... 133 3.5.1. Condiţia de stabilitate robustă ............................................. 133 3.5.2. Condiţia de performanţă robustă ......................................... 137

Probleme .......................................................................................................... 141 4. ALGORITMI ŞI STRUCTURI CONVENŢ.IONALE DE REGLARE ................................................ u ............................................ 144 4.1. Introducere ...................................................................................... 144 4.2. Analiza performanţelor SRA cu regulatoare convenţionale ........... 156

10


4.2.1. Analiza SRA cu regulator P ................................................ 157 4.2.2. Analiza SRA cu regulator Pl... ............................................ 158 4.3. Analiza SRA cu regulatoare PID pentru procese cu timp mort ...... 166 4.4. Acordarea regulatoarelor PID ......................................................... 173 4.4.1. Acordarea regulatoarelor pentru procese rapide ................. 173 4.4.2. Alegerea şi acordarea regulatoarelor pentru procese lente ...................................................... ~···· 177 · · . 4.5. Robusteţea SRA cu regulatoare PID .............................................. 191 4.6. Structuri dereglare ......................................................................... 198 4.6.1. Principiul modelului intern (IMP) ....................................... 198 4.6.2. Structura dereglare cu două grade de libertate ................... 201 4.6.3. Structura de reglare combinată ............................................ 202 4.6.4. Structura dereglare în cascadă ............................................ 204 4.6.5. Structura dereglare cu predictor Smith............................... 208 Probleme.......................................................................................................... 212

5. ALGORITMI NUMERICI DE REGLARE PID ................................ 215 5.1.lntroducere...................................................................................... 215 5.2. Algoritmul PID de poziţie şi incremental... .................................... 219 5.3. Algoritm PID cu filtrare ................................................................. 222 5.4. Algoritmi PID modificaţi ............................................................... 227 5.5. Alegerea perioadei de discretizare .................................................. 231 5.6. Acordarea algoritmilor numerici .................................................... 233 5.7. Implementarea algoritmilor PID numerici ..................................... 236

6. PROIECTAREA SRA PE BAZA MODELELOR INTR..4.RE - JEŞJRE

oooooooooooooooooooooooouooooooooouoooouuoooooououuoooooouuuooooooouoo

244

6.1. Introducere ...................................................................................... 244 6.2. Problematica proiectării SRA monovariabile ................................. 251 6.3. Problematica proiectării în frecvenţă.............................................. 255 6.4. Proiectarea SRA pe baza funcţiilor de transfer H0 (s) şi Hd (s) ............................................................................. 259 6.5. Proiectarea SRA pe baza caracteristicilor logaritmice de frecvenţă ................................................................. 265 6.6. Proiectarea pe baza caracteristicilor amplitudine-fază ............................ 276 6.7. Sinteza legii dereglare prin proceduri de alocare a polilor ............ 280 6.7.1. Formularea problemei ......................................................... 280 6. 7.2. Sinteza algoritmilor PI şi PID prin proceduri de alocare a polilor ............................................................. 287 6. 8. Proiectarea SRA prin parametrizarea regulatoarelor ............................. 289 6.8. 1. Elemente preliminarii .......................................................... 289 6.8.2. Problematica proiectării ...................................................... 292 6.8.3. Rejecţia perturbaţiilor .......................................................... 293 6.8.4. Efortul de comandă ............................................................. 296

Cuprins 6.8.5. Alegerea funcţiei de transfer Q(s) ...................................... 297 6.8.6. Sinteza regulatorului PID apelând la parametrizarea afină ....... 298 Probleme.......................................................................................................... 305

7. SINTEZA LEGII DE REGLARE DUPĂ STARE............................... 308 7. J. Reglarea prin reacţie după stare ..................................................... 309 7.2. Estimarea stării ............................................................................... 316 7 .2.1. Calculul direct al variabilelor de stare ................................. 317 7.2.2. Reconstrucţia stării folosind un sistem dinamic .................. 318 7 .3. Proiectarea regulatorului cu estimator de stare ............................ 322 7.4. Proiectarea regulatorului în prezenţa perturbaţiilor ............................. 325 7.5. Proiectarea regulatorului pentru urmărirea referinţei ................... 328 7 .6. Regulator cu două grade de libertate ........................................... 330 7. 7. Sinteza legii de conducere optimală ............................................ 333 7.7.1. Formularea problemei de conducere optimală .................... 333 7.7.2. Sinteza legii de comandă optimală prin metoda programării dinamice ......................................................... 335 7.7.3. Sinteza legii dereglare optimală pentru modele extinse ..... 339 Probleme.......................................................................................................... 342

8. PROIECTAREA SISTEMELOR NUMERICE DE REGLARE PE BAZA MODELELOR INTRARE- IEŞIRE ••.•••••••••••.•.•..••.••••••.••.• 346 1.? 8.1. Metoda răspunsului impus .............................................................. 347 8.2. Algoritmul Dead-Beat (DB) ........................................................... 354 8.2.1. Algoritmul Dead-Beat normal (DBn) ................................. 354 8.2.2. Algoritmul Dead-Beat extins (DBe) ................................... 357 8.3. Proiectarea sistemelor de reglare prin proceduri de alocare a polilor .......................................................................................... 360 8.3.1. Formulare generală.............................................................. 360 8.3 .2. Proiectarea regulatoarelor cu două grade de libertate cu compensarea polilor şi a zerourilor procesului. .............. 367 8.4. Probleme ale robusteţei regulatoarelor numerice ........................... 372 Probleme .......................................................................................................... 376

9. SISTEME STOCASTICE DE REGLARE ........................................... 379 9 .1. Introducere ...................................................................................... 379 9.2. Sinteza legii dereglare de minimă varianţă ................................... 381 9.2.1. Proiectarea predictorului optimal ........................................ 382 9.2.2. Sinteza legii dereglare de minimă varianţă ........................ 385 9.3. Algoritmi de minimă varianţă cu penalizarea comenzii ................. 388 9.4. Algoritmi de minimă varianţă modificaţi. ...................................... 391 9.5. Sinteza legii de comandă optimală după stare pentru procese stocastice ................................................................ 395 9.5.1. Sinteza legii de comandă optimală.. .................................... 395 9.5 .2. Estimarea stării în prezenţa perturbaţiilor stocastice ........... 397

11

12

INGINERIA REGLA-RI! AUTOMATE

9.6. Algoritmi de conducere predictivă ...................................... ,.......... 402 9, 6. l . Predicţia ieşirii .................................................................... 404 9.6.2. Sinteza legii de conducere predictivă .................................. 405 9.6.3. Conducerea predictivă în comparaţie cu reglarea cu predictor Smith ............................................................... 410 Probleme......... ,........................................................... ,..... ,.............................. 412

1O. SISTEME NELINIARE ......................................................................:... 415 l 0.1. Tipuri de neliniarităţi. ................................................................... 415 l 0.2. Sisteme de reglare neliniare .......................................................... 417 10.3. Analiza sistemelor neliniare prin metoda planului fazelor ........... 426 10.3.1. Puncte singulare în planul fazelor ..................................... 428 10.3.2. Traiectorii de fază pentru sisteme neliniare ...................... 433 10.3.3. Cicluri limită în planul fazelor .......................................... 443 10.4. Analiza intrare-ieşire a sistemelor neliniare ................................. 448 10.4. l, Funcţia de descriere ........................................................... 449 10.4.2. Analiza oscilaţiilor într-un SRA neliniar........................... 454 10.5. Stabilitatea sistemelor neliniare .................................................... 457 10.5.1. Stabilitatea sistemelor neliniare ........................................ 458 10.5.2. Stabilitatea sistemelor liniare ............................................ 466 10.5.3. Stabilitatea absolută .......................................................... 468 10.5.3.1. Criteriul cercului ................................................ 469 10.5.3.2. Criteriul lui Popov ............................................. 474 10.6. Tehnici de conducere a sistemelor neliniare................................. 477 10.6.1. Conducere multi-model ..................................................... 477 10.6.2. Conducere neliniară bazată pe model intern ..................... 481 Probleme....... ,., ...................... ,.. ,....................................................... ,.............. 482

11. SISTEME ADAYfiVE ........................................................................... 486 11.1. Introducere .................................................................................... 486 11.2. Sisteme adaptive cu model de referinţă (SAMR) ......................... 498 11.2.1. Introducere ........................................................................ 498 11.2.2. Urmărirea modelului ......................................................... 499 11.2.3. Metoda gradientului (Regula MIT) ................................... 501 11.2.4. Proiectarea SAMR pe baza teoriei stabilităţii ................... 504 1i .2.5. Procedura generală de sinteză a SAMR ............................ 507 Il. 3. Sisteme adaptive cu identificarea modelului (sisteme adaptive cu autoacordare- SAA)................................... 509 11.3.1. Regulatoare cu autoacordare indirectă .............................. 510 11.3.2. Regulatoare cu autoacordare directă ................................. 513 11.4. Reglarea adaptivă cu reacţie după stare........................................ 514 11.5. Probleme ale implementării algoritmilor adaptivi.. ...................... 518 11.5.1. Implementarea estirnatorului... .......................................... 519 11.5.2. Implementarea regulatorului ............................................. 520 Probleme ................................................. ,.................................... ,................... 525

13

Cuprins 12. SISTEME DE REGLARE CU INTRĂRI ŞI IEŞIRI MULTIPLE ............................................................................... 528 12.1. Introducere .................................................................................... 528 12.2. Probleme ale proiectării regulatoarelor multivariabile ................. 540 12.2.1. Elemente de analiză ........................................................... 540 12.2.2. Tehnici SISO în conducerea proceselor multivariabile ..... 543 12.3. Proiectarea sistemelor multivariabile apelând la tehnici de control optimal... ...................................................... 557 Probleme .......................................................................................................... 562

13. SISTEME INTELIGENTE DE CONDUCERE ................................. 564 13.1. Introducere .................................................................................... 564 13.2. Sisteme inteligente autonome ....................................................... 567 13.3. Sisteme bazate pe cunoştinţe (Sisteme Expert) ............................ 573 13.3.1. Introducere ........................................................................ 573 13.3.2. Arhitecturi de sisteme expert ............................................ 576 13.3.3. Sisteme expert în timp real... ........... ~ ................................. 582 13.4. Tehnici fuzzy în conducerea proceselor ....................................... 585 13.4.1. Elemente introductive ................................................................ 585 13.4.2. Reglarea fuzzy a proceselor .............................................. 594 13.4.3. Proiectarea regulatoarelor fuzzy ........................................ 600 13.5. Sisteme de conducere bazate pe reţele neurale ............................. 608 13.5.1. Reţele neurale artificiale .................................................... 608 13.5 .2. Arhitecturi de reţele neurale artificiale .............................. 612 13.5.3. Algoritmi de antrenare a RNA .......................................... 614 13.5.4. Reţele neurale aplicate pentru modelarea şi conducerea proceselor .................................................. 620 13.6. Algoritmi genetici ......................................................................... 624 13.7. Tehnici inteligente hibride ............................................................ 629 14. IMPLEMENTAREA ANALOGICĂ A ALGORITMILOR 631 DE REGLARE ............................................. 14.1. Introducere .................................................................................... 631 14.2. Structuri de regulatoare ................................................................ 634 14.3. Elaborarea comenzii folosind amplificatoare operaţionale .......... 639 14.3.1. Structură cu AO cu reacţie paralelă de tensiune şi montaj inversor .............................................................. 642 14.3.2. Structură cu AO şi reacţie paralelă de tensiune-montaj neinversor .............................................. 644 14.3.3. Structură cu AO în montaj diferenţia!.. ............................. 646 14.3.4. Structură cu AO şi reacţie înT, montaj inversor ............... 646 14.3.5. Structură cu AO şi reacţie potenţiometrică de tensiune .... 647 14.4. Realizarea legilor dereglare de tip P, Pl, PD, PID ....................... 648 14.4.1. Realizarea legii dereglare de tip P .................................... 648 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

INGINERIA REGLĂR!l AUTOMATE

14.4.2. Realizarea legii dereglare PD cu filtrare (PDF) ............... 651 14.4.3. Realizarea legii dereglare!, PI ......................................... 654 14.4.4. Realizarea legii dereglare PID .......................................... 657 14.4.5. Probleme ale preciziei de realizare a legii dereglare şi de acordare a algoritmilor implementaţi cu AO ............ 660 14.5. Elemente de compatibilitate a comenzii cu diferite elemente de execuţie ..............................................................................., .... 662 14.6. Blocuri de transfer în structura regulatoarelor .............................. 667 14.7. Fenomenul wind-up şi tehnici de eliminare a acestuia ................. 670 15. IMPLEMENTAREA NUMERICĂ A ALGORITMILOR DEREGLARE ......................................................................................... 675 15.1. Introducere .................................................................................... 675 15.2. Arhitecturi hardware pentru sisteme de conducere ...................... 678 15.2.1. Problematica alegerii şi dimensionării structurii şi a modulelor funcţionale .................................. 678 15.2.2. Arhitecturi de sisteme numerice de conducere .................. 687 15.3. Probleme ale implementării algoritmilor numerici ...................... 694 15.3 .1. Reprezentări ale algoritmilor de reglare. Realizări ........... 694 15.3.2. Realizarea software a algoritmilor dereglare numerică .... 700 15.4. Aspecte operaţionale ale implementării ....................................... 707 15.5. Programarea regulatoarelor numerice .......................................... 711 15.5.1. Introducere ........................................................................ 711 15.5.2. Planificarea taskurilor ....................................................... 716 15.6. Organizarea unui algoritm dereglare numerică în jurul unui EXECUTIV de timp real ......................................... 718 BIBLIOGRAFIE ....................................................................................... 721

CONTENTS

1. INTRODUCTION 1.1. Short history ..................................................................................... 19 1.2. Paradigms of control engineering ..................................................... 20 l. 3. Trends in control of industrial processes .......................................... 23 2. MATHEMATICAL MODELS OF CONTROLLED PROCESSES •••••• 39 2.1. The problems of processes modeling and identification .................. 39 2.2. State - space models ......................................................................... 45 2.3.1nput- output models ....................................................................... 49 2.4. Parameterization of processes models .............................................. 54 2.5. Discretization of continuous models ................................................ 60 2.6. Stochastic models ............................................................................. 65 2.7. Distributed parameters and time -delay systems ............................. 70 2.8. Nonparametric models ..................................................................... 76 2.9. Modeling errors. Uncertainties ......................................................... 88 2.10. Examples of analytical models ....................................................... 91 3. THE PERFORMANCES OF COTROL SYSTEMS ............................. 103 3.1. Introduction .................................................................................... 103 3.2. Stability .......................................................................................... 107 3.3. Precision ......................................................................................... 113 3.4. Performances evaluation ................................................................ 120 3.5. Stability and perforrnances robustness ........................................... 133 Problems .......................................................................................................... 141 4. CONVENTIONAL CONTROL STRUCTURES AND

ALGORJTHMSooouoooooouooouooooouououno~oooouoouoooooooouooooouoouooooooouuo

144

4.1. Introduction .................................................................................... 144 4.2. The analysis of control systems with conventional controllers ...... 156 4.3. The analysis of control systems with PID controllers for tirne- delay processes .............................................................. 166 4.4. Tuning of PID controllers ............................................................... 173 4.5. Robustness of control systems with PID controllers ...................... 191 4.6. Control architectures ...................................................................... 198 Problems .......................................................................................................... 212

16


5. NUMERI CAL PID CONTROL ALGORITHMS .................................. 215 5.1. Consistent abbreviation .................................................................. 215 5.2. Position and incremental PID algorithms ....................................... 219 5.3. Filtering PID algorithm .................................................................. 222 5.4. Modified PID algorithm ................................................................. 227 5.5. Selection of discretization (sampling) time .................................... 231 5.6. Tuning of discrete algorithms ......................................................... 233 5.7. Problems of discrete PID algorithms implementation .................... 236 6. DESIGN OF CONTROL SYSTEMS BASED ON INPUT- OUTPU"f MODELS ............................................................ 244 6.1. lntroduction .................................................................................... 244 6.2. SISO control systems design problems .......................................... 251 6.3. Frequency domain design problems ............................................... 255 6.4. Design of control systems based on transfer functions .................. 259 6.5. Design of control systems using Bode diagrams ............................ 265 6.6. Design of control systems using the M (w) and 10( w) diagrams ......... 276 6.7. Synthesis by Pole Assignment procedure ....................................... 280 6.8. Design of control systems by SISO controller parameterizations ........ 287 Problems .......................................................................................................... 305 7. SYNTHESIS VIA STATE- SPACE MODELS •••••••••.••.••••••••••••.•••••••••.• 308 7 .1. Control by state feedback ............................................................... 309 7.2. Estimators ....................................................................................... 316 7.3. Combining state feedback with estimation ..................................... 322 7.4. Controller design with included disturbance .......................................... 325 7.5. Controller design with reference tracking ...................................... 328 7.6. Two degree of freedom controller design ...................................... 330 7.7. Synthesis of optimal controller....................................................... 333 Problems .......................................................................................................... 342 8. DIGITAL CONTROL SYSTEM DESIGN BY INPUT- OUTPUT MODELS ................................................................. 346 8.1. Direct design by imposed response of system ................................ 347 8.2. Dead- Beat algorithms ................................................................... 354 8.3. Design of digital systems by pole assignment ................................ 360 8.4. The robustness of digital controllers ............................................... 372 Problems .......................................................................................................... 376 9. STOCHASTIC CONTROL SYSTEMS .................................................. 379 9.1.lntroduction ..................................................................................... 379 9.2. Minimum- Variance Control ......................................................... 381 9.3. Minimum- Variance Control with command penalties ................. 388 9.4. Modified minimum- variance control ........................................... 391

Contents

17

9.5. Linear Quadratic Gaussian Control ................................................ 391 9.6. Predictive control algorithms .......................................................... 402 Problems .......................................................................................................... 412 10. NONLINEAR SYSTEMS ....................................................................... 415 10.1. Types of nonlinearities .................................................................. 415 10.2. Nonlinear control systems ............................................................. 417 10.3. Analysis of nonlinear systems by phase portraits ......................... 426 10.4. Input- Output Analysis. Describing functions ............................. 448 10.5. Nonlinear systems stability ........................................................... 457 10.6. Nonlinear control techniques ........................................................ 477 Problems .......................................................................................................... 482 11. ADAPTIVE SYSTEMS ........................................................................... 486 11.1. Introduction ................................................................................... 486 11.2. Model- Reference Adaptive Systems (MRAS) ........................... 498 11.3. Adaptive Systems with Model Identification (Autotuning Adaptive Systems) ....................................................................................... 509 11.4. Adaptive control via state feedback .............................................. 514 11.5. Implementation problems of adaptive controllers ........................ 518 12. MULTIVARIABLE CONTROL SYSTEMS ........................................ 528 12.1. Introduction ................................................................................... 528 12.2. Special problems of multivariable controllers design ................... 540 12.3. Design ofmultivariable systems via optimal control techniques .. 557 Problems .......................................................................................................... 562 13. INTELLIGENT CONTROL SYSTEMS .............................................. 564 13.1. Introduction ................................................................................... 564 13.2. Autonomous Intelligent Systems .................................................. 567 13.3. Knowledge- Based Systems (Expert Systems) ........................... 573 13.4. Fuzzy techniques in process control ............................................. 585 13.5. Neural Networks Control Systems ................................................ 608 13.6. Genetic Algorithms ....................................................................... 620 13.7. Hybrid Intelligent Techniques ...................................................... 629 14. IMPLEMENTA TION OF CONTROL ALGORITHMS BY ANALOGIC ELECTRONIC CIRCUITS ........................................ 631 14.1. Preview ......................................................................................... 631 14.2. The structure of electronic controllers .......................................... 634 14.3. Operational amplifier used to implement the controller ............... 639 14.4. Implementation ofPID Controllers .............................................. 648 14.5. The compatibility of controller with different actuators ............... 660 14.6. Transfer models in the controller structure ................................... 662 14.7. Anti- wind up schemes ................................................................ 670

18

CONTROL ENGINEER/NG

15. DIGITAL IMPLEMENTA TION OF CONTROL SYSTEMS ............ 675 15.1. Introduction ................................................................................... 675 15.2. The architectures for control systems ........................................... 678 15.3. Problems of implementation of numerica! control systems .......... 694 15.4. Operational aspects of implementation ......................................... 707 15.5. The programming of digital systems ............................................ 711 15.6. The structuring of numerica! algorithms by real- time operating systems .......................................................................... 718

BIBLIOGRAPHY .......................................................................................... 721

1.

INTRODUCERE

unor procese automatizate, astfel încât să fie menţinute specificaţiile dorite, ca de exemplu, profitabilitatea, calitatea, siguranţa, impactul asupra mediului etc, presupun o strânsă colaborare între experţi în diferite domenii: teoria sistemelor, tehnologia prelucrării şi transmiterii informaţiilor, ingineria reglării/conducerii, calculatoare, instrumentaţie etc. Fiecare dintre aceste domenii contribuie, mai mult sau mai puţin, la dezvoltarea conceptuală şi realizarea practică a sistemelor de conducere automată a proceselor industriale. Succesul sau insuccesul unui proiect de automatizare a proceselor industriale depinde în esenţă de doi factori: a) gradul de înţelegere şi de cunoaştere a moduri lor de funcţionare a procesului condus şi b) capacitatea de manipulare a conceptelor specifice teoriei sistemelor, a reprezentării formale a semnalelor şi a principiilor reglării (conducerii). Complexitatea proceselor industriale, corelată cu cerinţe înalte de performanţă, impune automatizarea ca pe o necesitate obiectivă în contextul globalizării economiei şi a pieţelor de procese şi produse. În afara unor cerinţe de performanţă specifice vizând eficienţa, calitatea, siguranţa în funcţionare, optimizarea consumurilor energetice, sistemele de conducere automată sunt tot mai mult supuse unor norme specifice de compatibilitate cu mediul în care evoluează. Astfel, în afara cerinţelor tehuice şi economice, sistemele de conducere automată sunt supuse tot mai mult restricţiilor ecologice. Conceptele de "produs curat" şi "proces curat", integrate în noţiunea largă de "ECO-ECONOMIE", care pătrunde tot mai mult în sfera de activitate a inginerului proiectant, reclamă mutaţii substanţiale în proiectarea proceselor industriale şi, implicit, în conceperea, proiectarea şi realizarea sistemelor de conducere automată. Pentru a fi automatizate, procesele tehuologice se proiectează integrând problemele de automatizare şi echipamentele de conducere în sisteme cu performanţele impuse încă din faza de concepţie şi proiectare a proceselor. Procesele complet automatizate se proiectează integrat cu Proiectarea

şi funcţionarea


20 soluţiile

specifice de conducere automată. Proiectarea şi conducerea procesului trebuie tratate în paralel, pentru a atinge niveluri înalte de produc ti vi tate şi utilizabilitate. Conceptul "IPDC" (Integrated Process Design and Control) se impune tot mai mult în contextul globalizării şi, evident, al pieţelor concurenţiale. Inginerii tehnologi proiectanţi de procese trebuie să coopereze strâns cu inginerii automatişti proiectanţi de soluţii şi echipamente de automatizare. Conceptul "IPPD" (Integrated Process and Products Design) este strâns corelat cu IPDC şi se impune a fi tratat în termeni specifici "Ingineriei concurente" (IC). În acest context, automatica şi automatizarea proceselor capătă noi valenţe, în strânsă corelaţie cu cerinţele de performanţă impuse sistemelor de conducere şi având la bază rezultatele evoluţiei ştiinţei şi tehnologiei.

1.1. Scurt istoric Sistemele de reglare (conducere) automată au o lungă istorie, fiind mai vechi decât însăşi umanitatea. Multe sisteme biologice de reglare se regăsesc în structura primilor locuitori ai planetei. În jurul anului 300 î.e.n., grecul Ktesibios a inventat ceasul cu apă, care controla curgerea apei cu viteză constantă într-un container. Nivelul apei în container permitea măsurarea timpului. O etapă importantă în evoluţia sistemelor de reglare a apărut în timpul revoluţiei industriale. Astfel, maşinile realizate în acea etapă, cum ar fi maşinile cu abur, necesitau vehicularea unor importante cantităţi de materiale şi energie, dificil de controlat manuaL Ca sistem reprezentativ pentru reglarea vitezei maşinilor cu abur remarcăm regulatorul centrifugal datorat lui James Watt. Cu ajutorul acestui regulator se asigura reglarea vitezei maşinilor cu abur prin modificarea debitului de abur. Cele două războaie mondiale au contribuit substanţial la dezvoltarea sistemelor de reglare (conducere), fie în domeniul sistemelor de ghidare automată, fie în domeniul sistemelor de fabricaţie cu productivitate ridicată. O etapă importantă în evoluţia sistemelor dereglare (conducere) este marcată de programele de cercetări spaţiale în anii 1960 şi 1970, care au impus noi concepte şi noi tehnologii în automatizarea proceselor. Se poate remarca o reală lansare a automaticii moderne odată cu lansarea cercetărilor privind cunoaşterea spaţiului extraterestru, aerian şi acvatic. Automatica - domeniu de avangardă al ştiinţelor inginereşti - a cunoscut o continuă evoluţie în ultimii 40 ani, constituindu-se într-o ramură

Introducere

21

a ştiinţei ce contribuie esenţial la înnobilarea multor domenii ale ştiinţei şi tehnologiei. Având la bază un avansat formalism matematic, automatica îmbină în mod fericit concepte, strategii de conducere şi metodologii cu cele mai avansate tehnologii care asigură achiziţia, transmiterea şi procesarea informaţiilor şi cunoştinţelor despre procesul condus şi mediul său extern, în scopul realizării conducerii automate. Evoluţia automaticii este strâns legată de cea a tehnologiei, în general, şi a ştiinţei calculatoarelor, în particular, rezultate semnificative obţinându-se în ultimele două decenii, atât în plan conceptual, cât mai ales în cel aplicativ, ca urmare a dezvoltării microelectronicii, a introducerii circuitelor electronice pe scară largă şi foarte largă, a dezvoltării de sisteme de operare în timp real. Progrese remarcabile au fost realizate în domeniul interfeţelor de proces, în domeniul elementelor de execuţie şi al traductoarelor cu ridicat nivel de inteligenţă, în domeniul procesoarelor de semnal şi al microcontrolerelor, fiind astfel posibilă implementarea celor mai avansate strategii de conducere, având la bază modele matematice ale proceselor sau strategii euristice, respectiv modele lingvistice sau modele calitative. Astfel, dacă se consideră evoluţia strategiilor de conducere a proceselor industriale, pot fi evidenţiate mai multe categorii şi, corespunzător acestora, se pot ataşa generaţii de sisteme de conducere [42] cum ar fi: sisteme convenţionale având la bază strategii convenţionale de reglare (reglare PID, reglare în cascadă, reglare directă); sisteme avansate de conducere având la bază tehnici clasice de conducere (ajustarea amplificitrii, compensarea timpului mort, reglare prin decuplare, reglare selectivă etc.); sisteme avansate de conducere bazate pe tehnici noi (reglare predictivă, reglarea cu model intern, reglare adaptivă, control statistic al calităţii etc.); sisteme avansate bazate pe modele matematice complexe (control neliniar, control robust, control optimal); sisteme avansate având la bază tehnici inteligente (sisteme bazate pe cunoştinţe, tehnici fuzzy, tehnici neurale); sisteme inteligente hibride având la bază tehnici avansate de procesare a informaţiilor şi a cunoştinţelor, care integrează tehnicile neurale, tehnicile fuzzy, tehnicile IA şi programarea evoluţionistă. Corespunzător acestor categorii de strategii de conducere şi ţinând seama de evoluţia arhitecturilor hardware şi software pentru implementarea lor, pot fi evidenţiate diferite generaţii de sisteme de conducere automată.

22

INGINERIA REGLĂRll AUTOMATE

Desigur, sistemele avansate de conducere cu autonomie ridicată, ce presupune implementarea unor tehnici inteligente hibride, necesită utilizarea unor echipamente de procesare a informaţiilor şi cunoştinţelor, având la bază comportarea creierului uman şi inteligenţa moleculară. Se realizează astfel în mod natural corespondenţa dintre sistemele de calcul din generaţia a VI-a şi sistemele avansate de conducere autonome, cu un înalt nivel de inteligenţă.

Parcurgerea diferitelor etape în dezvoltarea automaticii şi, a sistemelor de conducere automată, care incorporează, atât strategiile de conducere, cât şi suportul hardware şi software pentru implementarea acestora, evidenţiază trecerea de la structurile tri vi ale de reglare, cu unul sau două grade de libertate, având la bază reacţia negativă şi comanda directă după mărimile exogene măsurabile, la structurile cu multiple interacţiuni şi cu un înalt nivel de inteligenţă, cu organizare multinivel şi multistrat, care funcţionează pe principiul creşterii preciziei cu descreşterea inteligenţei, structuri multirezoluţionale [24]. Astfel, arhitecturile de sisteme de conducere automată au evoluat de la simple bucle de reglare cu o intrare şi o ieşire, la arhitecturi de sisteme autonome multistrat, multifuncţionale, cu nivel ridicat de inteligenţă. La începutul noului mileniu, automatizarea reprezintă, indubitabil, un factor esenţial al societăţii moderne. Virtual, orice sistem cu care venim în contact incorporează tehnologii avansate de automatizare. Astfel, de la echipamentele simple, domestice, de control a temperaturii şi a umidităţii în încăperi de locuit, la sisteme complexe de automatizare a avioanelor, automobilelor, combinatelor chimice, centralelor termoelectrice şi nucleare, a proceselor complexe de fabricaţie etc., identificăm o gamă variată de sisteme de conducere dintre cele mai performante. Procesele tehnologice complexe pot fi conduse numai apelând la sisteme de conducere ce includ mii de bucle dereglare, cel mai adesea într-o puternică interacţiune. Nivelul performanţelor, corelat cu cerinţele tehnologice care vizează controlul unor forţe sau fluxuri de energie de valoare mare, impune precauţii importante în adoptarea tehnologiei de automatizare. Acestea presupun utilizarea unor echipamente hardware de mare precizie, instrumente performante de calcul şi tehnici inteligente de conducere. în afara aplicaţiilor industriale, sistemele de reglare (conducere) reprezintă elemente centrale în funcţionarea sistemelor biologice, a sistemelor de comunicaţie, a sistemelor economice şi chiar a interacţiunilor umane. Într-adevăr, dacă se analizează atent, automatica (automatizarea) se regăseşte, într-o formă sau alta, în orice aspect al vieţii. corespunzător,

Introducere

23

Se poate aprecia că ingineria reglării (conducerii) este una dintre cele mai provocatoare şi interesante domenii ale ingineriei moderne. Aceasta incorporează concepte, modele, metode, tehnici şi tehnologii din diverse discipline, reprezentând un domeniu interdisciplinar cu larg spectru aplicativ. Ingineria reglării (conducerii), datorită globalizării pieţei şi dezvoltării economiei, va cunoaşte în viitor o dezvoltare semnificativă, atât în plan conceptual, cât şi în planul aplicaţiilor. Competiţia în afaceri impune o producţie cu preţuri minime şi de calitate maximă, obiective realizabile printr-un ridicat nivel de automatizare. În prezenţa unor resurse naturale limitate şi a unor restricţii privind prezervarea mediului nostru fragil, automatizarea apare ca singura cale de a obţine beneficii şi de a te menţine în competiţie. Desigur, în acest context remarcăm impactul factorilor economici, politici şi de mediu asupra dezvoltării ingineriei reglării (conducerii) automate.

1.2. Problematica sistemelor dereglare (conducere) Proiectarea unui sistem de reglare necesită un efort ciclic, în care se iterează etapele de modelare, proiectare, simulare, testare şi implementare. În funcţie de particularităţile procesului, de gradul de generalitate şi aplicabilitate a sistemului proiectat pot fi evidenţiate particularităţi ale metodelor de proiectare. Pentru procesele care nu includ aspecte comerciale (cercetare, educaţie şi misiuni speciale ca de exemplu lansarea primului om pe lună), predominante sunt aspectele tehnice, pedagogice, siguranţa în funcţionare, deşi nici costul nu trebuie neglijat. În cazul proiectării unui sistem de reglare cu motivaţie comercială, se vor lua în consideraţie aspectele economice în strânsă corelaţie cu performanţele şi complexitatea aplicaţiei. Un sistem de reglare automată (SRA) asigură menţinerea variabilei reglate la o valoare constantă impusă prin referinţa sistemului care în acest caz este o constantă. Orice SRA este orientat pe aplicaţie, instalaţia tehnologică fiind cea care determină arhitectura şi componentele SRA. Astfel, proiectarea unui SRA presupune o tratare holistică a tuturor componentelor hardware şi software şi a tuturor aspectelor funcţionale ale acestuia, şi anume: instalaţia tehnologică, senzori (traductoare), elemente de execuţie, obiective, comunicaţii, arhitecturi şi interfeţe, calculatoare, algoritmi, perturbaţii şi incertitudini.

INGINERIA REG/..ĂR/1 AUTOMATE

24

Astfel, pe lângă elementele structurale ce compun un sistem de conducere automată (instalaţia tehnologică, interfeţe, senzori, elemente de execuţie, regulatoare (calculatoare)) se impune considerarea aspectelor funcţionale evidenţiate prin modelele matematice ataşate componentelor şi întregului sistem, prin cerinţele de performanţă şi prin modelele mărimilor exogene şi a incertitudinilor. Atât problemele de analiză ale SRA, cât şi cele de proiectare se raportează practic la elementele deja menţionate. Funcţionarea oricărui SRA se raportează la obiective impuse (cerinţe de performanţă) iar acestea presupun integrarea sistemică într-o arhitectură optimă a componentelor şi a funcţiilor mai sus menţionate. Instalaţia tehnologică (IT) reprezintă o parte componentă a SRA. înţelegerea funcţionării acesteia, cunoaşterea regimului nominal de funcţionare, cunoaşterea perturbaţiilor şi a locului de aplicare, particularităţile sursei de energie şi a posibilităţilor de ajustare, dimensim1ile fizice şi conexiunea cu cerinţele de performanţă ale instalaţiei tehnologice sunt elementele esenţiale, necesare pentru caracterizarea acesteia. Cunoaşterea legilor ce guvernează funcţionarea instalaţiei tehnologice în funcţie de particularităţile acestora (procese mecanice, electrice, chimice, termice, economice etc.) permite obţinerea unor modele analitice ce caracterizează regimurile de funcţionare. Instalaţi a tehnologică poate fi reprezentată sistemic ca în figura 1.1, unde intrarea este reprezentată prin fluxul de energie Q iar ieşirile sunt reprezentate prin mărimile din proces p 1 , p2 , ••• , Pn de natură fizică diferită (presiuni, temperaturi, debite, nivel, concentraţii, deplasări, viteze etc.). Asupra IT pot acţiona diverse perturbaţii v1 , v2 care determină, fie modificarea regimului de funcţionare (perturbaţii aditive), fie modificarea structurală a modelului matematic ataşat IT şi implicit comportarea acesteia (perturbaţii parametrice). v, p,

Q 1

""-.,

/

Instalaţie Tehnologică

p,

(IT) ~

p,

Fig.l.l

Traductoarele (senzorii) într-un sistem de reglare automată au rolul esenţial în culegerea informaţiei din IT. Prin măsurarea şi conversia

Introducere

25

mărimilor fizice din proces se asigură informaţia necesară pentru luarea deciziilor de conducere a IT. În cazul în care nu toate mărimile fizice sunt măsurabile, pot fi generate informaţii despre proces pe baza unor observaţii şi măsurări indirecte. Aceasta conduce la ideea de "senzor soft" sau "senzor virtual". Traductoarele într-un SRA sunt strâns legate de particularităţile IT, de natura fizică a mărimilor măsurate. În cele mai multe cazuri, traductoarele sunt integrate în IT, poziţia lor fiind bine precizată încă din faza de proiectare a IT, astfel încât informaţia obţinută prin măsurători să fie consistentă şi nedeformată.

La alegerea unui traductor pentru SRA se iau în consideraţie următoarele caracteristici [34]: precizia de măsurare (rezoluţia traductorului); liniaritatea caracteristici( statice a traductorului; sensibilitatea traductorului ş1 capacitatea de rejecţie a zgomotelor; fineţea şi fidelitatea; viteza de răspuns (dinamica traductorului); compatibilitatea cu cerinţele de mediu; costul traductorului. Traductoarele, în componenţa cărora vom include elementele sensibile şi adaptoarele de semnal, furnizează mărimea măsurată ca semnal unificat, cel mai adesea sub formă de curent continuu în forma (4- 20) mA. Astfel, mărimile fizice generic notate prin p (parametri) sunt convertite în mărimi măsurate y (ieşiri măsurate), după cum se arată în figura 1.2. v,

v,

lr Q 1

'\ V

p Instalaţie Tehnologică

"

(IT)

V

Traductor (T)

y ~

Fig. 1.2

Elemente de execuţie (EE) Odată alese traductoarele pentru a furniza informaţii asupra stării instalaţiei tehnologice, se impune a acţiona asupra IT cu scopul asigurării evoluţiei procesului din starea curentă în starea dorită. Acţiunile asupra sursei de energie a IT sunt realizate cu ajutorul elementelor de execuţie. Ca şi traductoarele, elementele de execuţie se aleg în funcţie de particularităţile


26

IT. Elementele de execuţie pot contribui la îmbunătăţirea performanţelor sau pot limita performanţele unui SRA dacă sunt alese şi dimensionate necorespunzător.

Alegerea, dimensionarea şi poziţionarea elementelor de execuţie (EE) pentru un SRA reprezintă una dintre sarcinile dificile ale proiectantului de sistem. Adesea elementele de execuţie se aleg şi se poziţionează în IT odată cu proiectarea şi realizarea acesteia. De menţionat faptul că elementele de execuţie convertesc un semnal de comandă (informaţional) într-un flux de energie controlat prin intermediul organului de execuţie. Un element de execuţie este alcătuit din organul de execuţie conectat direct la IT şi elementul de acţionare. Pot fi identificate în aplicaţii industriale diferite tipuri de organe de execuţie, determinate de particularităţile energetice ale IT şi în mod corespunzător diferite tipuri de elemente de acţionare (electrice, pneumatice, hidraulice). Mărimea de execuţie, notată generic cu m , reprezintă cel mai adesea o mărime de natură energetică ( Q ) şi se constituie ca intrare în instalaţia tehnologică (IT). Ieşirea din instalaţia tehnologică, notată prin z, reprezintă mărimea fizică specifică acesteia şi este măsurată prin intermediul traductorului T. Integrarea EE într-o instalaţie tehnologică alături de traductoare permite a defini printr-un termen generic "obiectul condus" sau "procesul generalizat", reprezentat ca în figura 1.3. În cele ce urmează vom înţelege prin termenul "proces" ansamblul foppa_t_din_ IT, E_E, şi T. . ~n ~~ Î ciJ f~ o<1~
-2'~ţ ______

V ,------- ----------'

r-"--~

'

u:'

EE

IT

Q

V, -------,

l

1j:\

~) ţ

Y: T

' :

''

u

Obiectul Condus

y

' '--------------------------------------------1

(b)

(a)

Fig.1.3

În această reprezentare sintetică, u reprezintă comanda, y reprezintă ieşirea măsurată, iar v; perturbaţile care pot acţiona asupra instalaţiei tehnologice, asupra elementului de execuţie şi asupra traductorului. Ţinând seama de locul şi rolul EE într-un SRA, pentru alegerea acestora se impune considerarea următorilor factori: cuplul sau forţa dezvoltată de elementul de acţionare;

Introducere

27

liniaritatea caracteristicii statice a EE; dinamica EE şi compatibilitatea cu dinamica IT; capacitatea organului de execuţie de a asigura fluxul de energie necesar compensării perturbaţiilor ; compatibilitatea EE cu mediul industrial; volumul ocupat de EE în corelaţie cu puterea dezvoltată; costul şi siguranţa în funcţionare. Performanţele unui SRA sunt substanţial influenţate de elementele de execuţie care pot introduce neliniarităţi esenţiale dificil de gestionat. Tendinţele în domeniul EE vizează dezvoltarea unor EE inteligente cu ridicată compatibilitate, atât cu IT, cât şi cu sistemele numerice de conducere în timp real. Compensarea neliniarităţilor şi adaptarea EE la diferite regimuri de funcţionare ale IT reprezintă atribute importante ale EE inteligente. Obiectivele oricărui SRA sunt de a asigura rejecţia perturbaţiilor şi urmărirea referinţei. Aceste obiective calitative pot fi detaliate pornind de la particularităţile SRA şi astfel pot fi enumerate obiectivele cantitative de tipul: nivelul preciziei, vitezei de răspuns, grad de stabilitate etc, sau obiective generale ca: profitabilitate, calitate, siguranţă în funcţionare, compatibilitate cu mediul etc. De remarcat faptul Că obiectivele sunt corelate cu particularităţile procesului condus, cu variabilele ce trebuie controlate şi cu gradul de complexitate al sistemului de conducere. În capitolul al treilea sunt prezentate categorii de obiective utilizate în proiectarea SRA. Calculatoarele sunt parte integrantă a sistemelor moderne de conducere a proceselor industriale. Organizate în structuri distribuite sau/şi ierarhice, sub forma unor unităţi singulare de tipul automatelor programabile a regulatoarelor numerice, sistemele numerice de procesare a informaţiei asigură puterea de calcul necesară şi flexibilitatea dorită sistemelor complexe de conducere. În afară de includerea în aplicaţiile de timp real, calculatoarele sunt instrumente eficiente pentru proiectarea asistată de calculator a sistemelor de conducere, pentru simularea şi testarea algoritmilor de conducere. Instrumentele moderne de proiectare asistată pentru realizarea rapidă a prototipurilor de sisteme de reglare automată permit dezvoltarea de medii integrate pentru modelarea sistemelor de reglare, proiectarea, simularea şi implementarea acestora. Utilizarea unor asemenea instrumente facilitează reducerea timpului necesar pentru proiectarea şi implementarea unor sisteme bazate pe strategii avansate de conducere.

28

INGINERIA REGLĂRI/ AUTOMATE

Arhitecturi şi interfeţe. în funcţie de complexitatea procesului, de de variabile controlate pot fi adoptate diferite arhitecturi de sisteme de conducere, centralizate sau descentralizate. Descompunerea problemei de conducere în subprobleme sau subsisteme impune utilizarea unor arhitecturi distribuite de conducere, însă armonizarea şi coordonarea diferitelor subsisteme necesită o ierarhizare multinivel sau multistrat. În capitolul al XVlea sunt prezentate particularităţile sistemelor distribuite şi ierarhizate de conducere. În cazul unor structuri distribuite, interfaţarea diferitelor componente reprezintă o sarcină specială a proiectantului de sistem de conducere. Tendinţa în această direcţie o constituie standardizarea interfeţelor cu real impact asupra costurilor, flexibilităţii şi siguranţei în funcţionare. La nivelul de bază (executiv) structura unui SRA se alege în funcţie de numărul variabilelor controlate, în funcţie de cerinţele de performanţă impuse şi în funcţie de numărul de elemente de execuţie incluse în IT. Comunicaţii. În ultimii 10-15 ani, o varietate mare de reţele de comunicaţii a fost dezvoltată fiind astfel utilizate în sistemele industriale la diferite niveluri: regulatoare (calculatoare), senzori, elemente de execuţie şi câmp. Proiectarea sistemelor de comunicaţie şi a protocoalelor asociate reprezintă în automatizarea avansată una dintre cele mai importante operaţii. Reţelele de comunicaţie la nivelul câmpului prezintă un interes special în automatizarea proceselor ca urmare a avantajelor oferite (costuri reduse de instalare, dimensiuni reduse ale cablurilor de conectare, flexibilitate ridicată, interfaţarea dispozitivelor inteligente, distribuţia funcţiilor de comandă la nivelul senzorilor şi elementelor de execuţie). Reţelele digitale de comunicaţie deschid noi oportunităţi pentru îmbunătăţirea monitorizării proceselor, a identificării rapide a defectelor şi remedierea acestora. Reţelele FIELDBUS şi PROFIBUS sunt cele mai răspândite în aplicaţiile de timp real în automatizarea proceselor industriale. Extinderea utilizării traductoarelor şi elementelor de execuţie inteligente în configuraţii de sisteme numerice de conducere cu reţele PROFIBUS şi FIELDBUS conduce la creşterea siguranţei în funcţionare a sistemelor de conducere, la creşterea calităţii şi competitivităţii produselor. Înainte de a alege variabilele din proces ce pot fi controlate şi manipulate se determină numărul maxim de variabile ce pot fi specificate independent. Practic, se determină numărul gradelor de libertate N L din numărul variabilelor din proces N v şi numărul ecuaţii lor independente ce leagă aceste variabile NE . Astfel: (1.1) numărul

Introducere

29

În general, numărul variabilelor controlate ( N c) va fi mai mic sau

egal cu numărul gradelor de libertate ( N L ). Pornind de la definiţia obiectului condus şi admiţând că variabilele controlate notate cu y reprezintă mărimi de calitate ale SRA (abateri faţă de regimul de funcţionare al procesului, amplitudinea comenzii, amplitudinea variabilei fizice din proces) iar mărimi le exogene w sunt perturbaţiile şi zgomotul ce însoţesc variabila măsurată, obiectul condus ca proces supus conducerii (proces condus) se poate reprezenta ca în figura 1.4. Pentru un asemenea obiect pot fi selectate diferite structuri de SRA cu unul sau mai multe grade de li bettate.

___. y

w • Proces Condus

y

u

Fig.1.4

Pornind de la structura prezentată în figura 1.5, unde regulatorul (calculatorul) generează comanda u pe baza informaţiilor măsurate y, astfel încât să se asigure evoluţia dorită a variabilelor y în prezenţa mărimi lor exogene w, se pot exemplifica structuri de reglare cu diverse grade de libertate. y

w Obiect Condus

...

p y

u

u

Regulator (Calculator)

c

,.___ program ~

Fig. 1.5

Prin programul impus sistemului de conducere şi ţinând seama de se generează comanda u şi mărimile de caii tate ii asociate regulatorului (calculatorului).

evoluţia ieşirii măsurate y,


30

Pentru caracterizarea funcţionării obiectului condus şi a regulatorului în continuare, din considerente de simplitate, operatorii liniari P, respectiv C . Aceşti operatori pot fi, spre exemplu, funcţiile de transfer ataşate acestor două sisteme. utilizăm

Structura de reglare cu un singur grad de libertate. În figura 1.6 structura trivială a unui SRA cu o intrare r şi o ieşire măsurată y supus acţiunii perturbaţiilor v1 - aplicată la ieşirea procesului, v2 - perturbaţie aplicată la intrarea procesului şi n - zgomotul de măsură. În această structură evidenţiem ca mărimi de calitate (variabile controlate) mărimile e, u şi Yp. Evoluţia acestor mărimi de calitate

se

prezintă

furnizează informaţii

u, cât

şi

privind buna funcţionare a SRA. Este evident că, atât Yp trebuie limitate ca amplitudine. Variabila e=r-y reprezintă

eroarea în SRA pe baza căreia se elaborează comanda u . Pentru un SRA se impune ca eroarea în regim staţionar să fie egală cu zero (pentru mărimi exogene de tip treaptă). v,

v,

r

+

y

+

Fig. 1.6

Din figura 1.6 pot fi scrise următoarele Yp

relaţii:

PC PC P l+PCr-l+PCv1 +l+PCv 2

C C PC u ; - - r - - - v1 - - - v o l+PC l+PC !+PC 1 1 p e = 1+ PC r 1+ PC v! - 1+PC Vz ·

(1.2)

În relaţiile (1.2) s-a neglijat efectul zgomotului n asupra variabilelor de calitate. Dacă notăm:

not

not[

]T

w; [r v1 v2 ] şi ji = y P u e

obţinem relaţia

matriceală:

y;Jli·W

(1.3)

Introducere

31

l

unde:

[PC -PC P l C -C - P C · - I+PC 1 ~1 -P

=l

H1

(1.4)

Cele două obiective ale SRA nu pot fi realizate simultan dacă se o structură de SRA cu un grad de libertate. Perturbaţii le şi referinţa acţionează diferit asupra celor trei variabile reglate, iar în structură există un singur regulator. Astfel, prin alegerea regulatoru!ui C nu pot fi controlate în mod corespunzător toate variabilele de interes. foloseşte

Structura de regla re cu două grade de libertate. În figura 1. 7 se prezintă structura de SRA cu două grade de libertate: regulatoarele cu funcţiile de transfer C, şi C Y. Cele două regulatoare plasate pe cele două canale distincte

asigură

Mărimile

practic satisfacerea obiectivelor reglării. reglate (de calitate) pot fi exprimate, ca

şi

în cazul

precedent, astfel: PC, PCy p Yp = !+PCy r-l+PC;vl + !+PCY Vz

u=

C, I+PCy

r

l+P(cy E=

l+PCy

-c,)

l+PCY

v1

PCy !+PCy

(1.5)

v2

p

r-

l+PCy

v1 -

l+PCy

v2 .

v,

r

+

v, ,-----.., Y,

C,

p

y

Fig. 1.7

Cu aceleaşi

y=Hz·W

notaţii

se obţine reprezentarea matriceală: (1.6)


32 unde matricea H 2 are forma: H2=

PC,

-PC y

C

-c y

[ t+ P(c;

-c,)

-1

_;c ]·-~-P

(1.7)

l+ PCy

Y

Se poate observa cu uşurinţă că regulatorul C, , printr-o alegere corespunzătoare, asigură comportarea dorită a SRA în raport cu referinţa, iar CY asigură practic rejecţia perturbaţiilor. Structura de SRA cu trei grade de libertate. În condiţiile în care unele perturbaţii ce acţionează asupra procesului condus sunt măsurabile se poate adopta o structură de reglare cu compensarea directă a perturbaţiei măsurabile. Se realizează astfel o reglare directă (feedforward). Combinând această reglare directă cu reglarea cu două grade de libertate se obţine o structură de reglare combinată, cu trei grade de libertate. În figura 1.8 se prezintă structura dereglare cu trei blocuri dereglare (trei grade de libertate, C, , Cv , CY ). Compensarea efectului perturbaţiei măsurabile v2 cu ajutorul blocului de reglare Cv asigură o mai bună comportare a SRA în raport cu această perturbaţie. Pentru proiectarea acestui bloc de reglare se Impune cunoaşterea modelelor P şi Pv . v,

v,

+

r

y

c

'

Fig. 1.8 Relaţii

algebrice simple pot fi utilizate modelul în forma matriceală:

şi

în acest caz pentru a

obţine

(1.8)

Introducere

33

unde I-1 3 are în componenţă cele trei funcţii de transfer al blocurilor de reglare e, , e Y, ev şi P şi Pv . Determinarea matricei I-1 3 este un simplu exerciţiu

pentru cititor.

Structura de reglare în cascadă. Multe procese industriale pot fi reprezentate prin modele decompozabile cu variabile intermediare măsurabile şi de cele mai multe ori controlabile. Reglarea acestor variabile intermediare în cadrul unor bucle de reglare secundare aduce contribuţii importante la îmbunătăţirea comportării întregului SRA prin creşterea vitezei de răspuns şi a preciziei reglării. În figura 1.9 se prezintă structura unui SRA în cascadă cu două bucle de reglare (realizate cu regulatoarele e1 şi e2 ) şi un regulator suplimentar e, pentru urmărirea referinţei. V

V

V

y

P,

Fig.1.9

Se admite că bucla secundară (c7e,P7-) este mai fapi4iJ: decât bucla principală (e1 , P1 ) de (3-5) ori, iar variabila 'jp este ~ăsurabi!ă. O asemenea structură se adoptă în condiţiile în care mărimile intermediare sunt măsurabile şi se impune reglarea lor cu abateri controlate. Calcule elementare pot conduce, ca şi în cazurile precedente, la o reprezentare matriceală de forma: y = I-1 4 ·w (1.9) unde H 4 este o matrice compusă din P1 , P2 , e1 , e2 şi e, . O asemenea structură este eficientă dacă se aleg corespunzător variabilele intermediare şi se proiectează corect toate blocurile de reglare. O atenţie deosebită trebuie acordată alegerii variabilei intermediare care să conţină informaţii consistente despre perturbaţia dominantă ce acţionează în bucla interioară.


34

Structura de reglare cu model intern (Interna! Model Control). În figura 1.1 O se prezintă o structură de reglare cu model intern.

v,

v,

u

r

y

+

Fig. 1.10 În această structură, prin P şi C s-au notat modelele nominale pentru proces şi, respectiv, regulator, proiectat pe baza modelului nominal P. O structură echivalentă a SRA (v. fig. 1.11) se obţine dacă se

introduce parametrizarea afină:

C:=~.

(1.10)

1-PC

v,

v, u

r

y

Fig.l.ll

Modelul matricea! ataşat acestui sistem se relaţiile (1.2) expresia (1.10): yp=

PC '( l+C P-P

·}r

PC

Pl-PC

obţine

.}vt+ l+C. P-P. vz I+C\P-P ·t

înlocuind în

1ntroducere

u

35

c

c

1 l+C'(P-P')r- I+C'(P-P')v -

PC

l+C P-P')v '(

2

(1.11)

I-N: PC 1 2 E= l+C(P-f>(-l+c(P-f>) v -1+C(P-f>) v 1-PC

sau

y=H 5 ·w unde matricea H 5 are forma:

1 H5 = ~+c(P-fo)t

[

~,

1-PC

-PC

-c

-~-foc)

1.12)

=

În cazul în care P P, rezuliă o formă simplificată a matricei H 5 • De remarcat faptul că abaterea modelului nominal faţă de modelul real al procesului joacă un rol important în structura modelului (1.12). În cazul în care incertitudinea de modelare LA = P- fo este egală cu zero, se pot calcula relaţiile:

y=PC·r=T·r E=

(1-PC}r= S·r

(l.l3)

care evidenţiază posibilitatea de a calcula simplu funcţia de sensibilitate S a SRA şi complementara acesteia, T . Problematica parametrizării afine şi a proiectării regulatoarelor în acest caz este prezentată în § 6.8. De remarcat faptul că în lipsa incertitudini lor (LA =O) sistemul de reglare este în circuit deschis având un singur grad de libertate, iar performanţele sunt determinate de structura funcţiei T ( T = PC).

Structuri de SRA adaptive. În condiţiile în care informaţia apriorică

despre proces este săracă, incertitudinile de modelare a procesului sunt semnificative, se poate adopta o structură de reglare adaptivă, organizată pe mai multe niveluri ierarhice. În cadrul unor structuri de reglare adaptive se includ funcţii suplimentare care asigură completarea informaţiei despre proces, proiectarea on - line a regulatorului pe baza modelului matematic identificat al procesului şi elaborarea comenzii adaptive care asigură compensarea incertitudini lor parametri ce. În figura 1.12 se prezintă structura standard a unui sistem adaptiv cu identificarea modelului procesului.


36

y

w

ProcesCondus (P)

___. u 1--

y

'

Regulator (C)

'

fi,

)'

+~

s,

Proiectarea

1

Regulatorului

Î e,

s.

L..-

Identificarea Modelului Procesului

~

Fig. 1.12

În această structură se evidenţiază setul de para:netri estimaţi

il k ai

modelului procesului, setul de parametri calculaţi ftk ai regulatorului şi criteriul de performanţă 1, utilizat pentru proiectarea regulatorului. Prin comenzile sm şi se se evidenţiază posibilitatea de a selecta un model al procesului ( sm) dintr-o clasă apriori definită pentru caracterizarea procesului condus sau/şi un algoritm de conducere dintr-o bibliotecă de algoritmi potenţiali pentru conducerea procesului. Structurile evoluate de sisteme adaptive includ şi un al treilea nivel de supervizare (v. fig. 1.12). Problematica analizei şi proiectării sistemelor adaptive este prezentată în capitolul al XI-lea. Este evident că problema centrală a oricărui SRA, indiferent de structura selectată o constituie algoritmul de conducere, strategia de conducere a procesului. Dacă traductoarele reprezintă "ochii" SRA, iar elementele de execuţie "muşchii", în mod natural, in acelaşi sens figurativ, regulatorul reprezintă "creierul" SRA. Proiectarea algoritmului şi operaţionalizarea acestuia pe un suport hardware reprezintă, într-adevăr, sarcina cea mai importantă a inginerului automatist. În funcţie de complexitatea procesului, de cerinţele de performanţă impuse SRA, de clasa

Introducere

37

de perturbaţii ce acţionează asupra procesului, pot rezulta algoritmi cu diferite grade de complexitate. În cele ce urmează, vom considera algoritmul de reglare (conducere) sub forma unei relaţii liniare sau neliniare între variabilele de comandă u şi mărimi le ce definesc informaţia funcţională a sistemului x 1 (t) şi parametrii structurali

1t (

t) :

u(t) = F(x1 (t),1t(t)). Modalităţile

de realizare a funcţiei F conduc la structuri cu diferite grade de libertate şi performanţe definite în raport cu diferitele categorii de mărimi exogene ce acţionează asupra obiectului condus. Perturbaţii şi incertitudini. Procesele reale sunt supuse acţiunii perturbaţiilor, iar modelarea lor, de cele mai multe ori, se realizează cu incertitudini. Abilitatea proiectantului de SRA poate conduce la soluţii de SRA cu ridicată robusteţe la incertitudinile de modelare şi insensibilitate, în raport cu perturbaţiile. Desigur, analiza tuturor factorilor ce pot interveni în adoptarea unei soluţii de automatizare a unui proces industrial urmăreşte optimizarea soluţiei, compatibilitatea cu cerinţele specifice de mediu şi, nu în ultimul rând, asigurarea unor costuri cat mai reduse. Analiza cost-beneficiu a oricărei soluţii de automatizare trebuie să se constituie printre problemele majore ce trebuie rezolvate de proiectantul de SRA. Rezultatele acestei analize pot conduce la modificări în strategia de proiectare a sistemului de reglare automată, care, aşa cum s-a menţionat, reprezintă un proces iterativ şi interactiv. Tratarea sistematică a problemelor de modelare a procesului condus, de alegere, dimensionare şi poziţionare a traductoarelor şi elementelor de execuţie, de selecţie a structurilor SRA şi de proiectare a algoritmilor, de simulare şi testare a algoritmilor proiectaţi şi de implementare a acestora pe un suport hardware performant precum şi de realizare a soluţiei de , automatizare pe procesul industrial, de analiză a performanţelor obţinute în mediu real, reprezintă în esenţa, etapele dezvoltării unei aplicaţii de automatizare a proceselor industriale. În lucrare se încearcă o prezentare a principalelor tehnici şi proceduri, care permit dezvoltarea şi implementarea unor soluţii de automatizare cu accent pe problematica reglării automate.

38


1.3. Tendinţe în automatizarea proceselor industriale Nivelul de automatizare a oricărui proces reprezintă un indicator sintetic al calităţii, productivităţii şi eficienţei. Cu cât procesele sunt mai complexe, cu atât automatizarea lor devine o necesitate şi o cerinţă a menţinerii în sfera de competiţie în care se află producţia de bunuri specifice. Automatizarea se extinde cu un ritm alert de la proces la întreprindere, asigurându-se performanţe globale prin integrarea conceptelor şi a mijloacelor de automatizare, în vederea creşterii profitului, a productivităţii şi producţiei de calitate. Competiţia globală impune noi cerinţe proceselor şi întreprinderilor industriale vizând competitivitatea, succesul de piaţă şi capacitatea de adaptare rapidă la cerinţele pieţei. Într-un asemenea context, rezistă cei care-şi propun să evolueze şi nu cei care-şi propun să supravieţuiască. O asemenea abordare presupune a considera, în adoptarea soluţiilor, cele mai avansate rezultate din domeniul tehnologiei informaticii şi ingineriei, din domeniul comunicaţiilor şi al automaticii. Structurile distribuite de conducere cu integrarea procesoarelor de mare viteză, a microcontrolerelor şi a automatelor programabile se constituie într-o direcţie reală de dezvoltare a aplicaţiilor în conducere în timp real a proceselor. Utilizarea facilităţilor de comunicaţii oferite de magistralele standardizate FIELDBUS şi PROFIBUS, precum şi a facilitaţilor de comunicaţie oferite de INTERNET şi INTRANET, poate conduce la creşterea performanţelor sistemelor complexe de conducere. Rezultatele semnificative din domeniul tehnologiei informaţiei şi comunicaţiilor sunt însoţite de rezultate remarcabile din domeniul teoriei conducerii, care furnizează concepte, proceduri, metode avansate de sinteză a strategiilor de conducere, atât în domeniul liniar, cât şi în cel neliniar. Dezvoltarea de dispozitive inteligente (senzori, elemente de execuţie) prin integrarea conceptelor hardware şi software în structuri avansate de echipamente, deschide noi direcţii în domeniul realizării echipamentelor de automatizare inteligente. Progresele obţinute în domeniul inteligenţei artificiale, al metodologiilor inteligente de conducere, conduc în mod firesc spre o nouă generaţie de sisteme de conducere cu autonomie ridicată. Integrarea resurselor hardware performante şi a pachetelor software cu facilităţi de prelucrare paralelă în timp real reprezintă o direcţie importantă în dezvoltarea noilor generaţii de echipamente şi sisteme de conducere inteligente.

2•

MODELE MATEMATICE ALE

OBIECTELOR CONDUSE

2.1. Problematica

modelării şi identificării

proceselor

Aşa

cum s-a menţionat în capitolul precedent, vom defini drept obiect condus sau procesul generalizat ansamblul format din instalaţia tehnologică, elementele de execuţie şi traductoare. Mărimile de intrare sunt reprezentate prin comanda u şi vectorul mărimilor exogene notat prin w = [v, r ce conţin, atât mărimile perturbatoare v(t), cât şi referinţele r(t), iar mărimile de ieşire sunt variabilele măsurate y(t) şi mărimile de calitate y(t), aşa cum se arată în figura 2.1. De menţionat că, pentru procese cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri, operăm cu vectori de intrare şi vectori de ieşire ( y(t )E 9F' şi

Y,

u(t )E 9\"' , dacă procesul are m comenzi şi p ieşiri măsurate). y

\V

Proces y

1' u

"'

[

,!,

- .,

Model

(

Ym e

Mecanism selectare/

ajustare

Fig. 2.1

+

~

40


Activitatea de modelare matematică a fenomenelor şi a proceselor din natură reprezintă una dintre cele mai vechi preocupări ale omului. A modela procese, obiecte naturale, sisteme înseamnă de fapt a determina un set de relaţii între variabilele fizice specifice, sub forma unor structuri matematice de tipul ecuaţiilor algebrice, al ecuaţiilor diferenţiale sau al sistemelor de ecuaţii diferenţiale ş.a. Astfel, prin determinarea unui model matematic al unui proces se urmăreşte obţinerea unei caracterizări cantitative a funcţionării acestuia cât mai apropiată de realitate. Pentru determinarea modelelor matematice asociate unor procese (obiecte fizice) se utilizează o combinaţie adecvată de procedee teoretice şi experimentale, a căror succesiune este determinată de scopul modelării şi de caracteristicile sistemului supus modelării. Modelele matematice utilizate pentru caracterizarea proceselor pot fi structurale sau sintetice. Parametrii unui model structural au o interpretare structurală naturală, vor fi determinaţi de legile fizice specifice. Modelele sintetice nu sunt bazate pe legile fizice ce caracterizează procesul. O modelare eficientă presupune satisfacerea următoarelor trei cerinţe:

universalitatea (se poate aplica modelelor tuturor obiectelor ce fac parte dintr-o clasă de interes); număr limitat de parametri; identificabilitatea parametrilor. Pot fi constituite pentru diferite clase de procese diverse tipuri de modele matematice: modele continue sau discrete; modele variante în timp sau invariante în timp; modele dinamice liniare sau neliniare; modele cu o intrare şi o ieşire sau cu mai multe intrări şi ieşiri; modele parametrice sau neparametrice; modele deterministe sau stocastice; modele cu parametri concentraţi sau modele cu parametri distribuiţi; modele fuzzy sau nonfuzzy; modele verbale sau neverbale. De remarcat faptul că un model poate fi caracterizat prin mai mulţi descriptori dintre cei menţionaţi. În mai multe cazuri, în funcţie de scopul urmărit, este suficient a avea un model care este valabil numai într-un punct de lucru. În acest caz, liniarizarea poate conduce la un model mai simplu şi mai util. Determinarea modelelor matematice pentru procese date este posibilă pe cale analitică sau pe cale experimentală. În primul caz, modelul matematic se "construieşte" pe baza legilor fizice care generează dinamica procesului. Identificarea experimentală presupune construirea modelului matematic pe baza prelucrării datelor funcţionale (intrări-ieşiri) asociate procesului.

Modele matematice ale obiectelor conduse

41

Pentru obţinerea unui model matematic pe cale analitică, se impune parcurgerea următoarelor etape: 1. Stabilirea conexiunilor procesului cu mediul înconjurător, a ipotezelor simplificatoare asupra sistemului, ipoteze care reduc efortul de analiză. 2. Stabilirea ecuaţiilor de bilanţ pentru masele, energiile şi impulsurile care apar în cadrul sistemului. Scrierea acestor ecuaţii se face pentru componentele sistemului sau pentru întregul sistem, evidenţiindu-se elemente acumulatoare şi disipatoare de energie în structura acestuia. Ecuaţiile de bilanţ, care reflectă variaţii ale acumulărilor, reprezintă ecuaţii diferenţiale, acestea fiind ecuaţii de stare ale sistemului. 3. Stabilirea ecuaţii lor de stare fizico-chimice. 4. Stabilirea ecuaţiilor fenomenologice, în cazul proceselor ireversibile (procese de propagare a căldurii, procese de difuzie, reacţii chimice). 5. Finisarea (prelucrarea, simplificarea) modelului teoretic. Modelul teoretic al procesului obţinut sub forma unor ecuaţii ordinare şi/sau cu derivate parţiale, de cele mai multe ori fiind deosebit de complex şi inutilizabil pentru aplicaţii inginereşti, este supus unor simplificări, cum ar fi: - liniarizarea ecuaţiilor neliniare cu derivate parţiale, atunci când funcţionarea procesului are loc în vecinătatea unui punct nominal; - aproximarea prin ecuaţii diferenţiale ordinare a ecuaţiilor cu derivate parţiale; - reducerea ordinului ecuaţii lor diferenţiale ordinare. Simplificarea modelului analitic este posibilă apelând la ipoteze simplificatoare adecvate chiar în prima etapă a elaborâriî modelului. Modelul analitic, chiar dacă nu poate fi utilizat în forma finală, sistemul de ecuaţii obţinut nu poate fi rezolvat explicit, furnizează informaţii utile asupra structurii sale, informaţii ce pot fi utilizate în cadrul analizei experimentale (identificării). Identificarea proceselor !ŞI propune determinare modelului matematic pe baza măsurărilor efectuate asupra variabilelor ce caracterizează evoluţia sa într-un anumit regim de funcţionare. Pe baza informaţiilor apriori despre proces, măsurările efectuate asupra variabilelor de intrare şi de ieşire din proces permit a determina, printr-o procedură de identificare, legăturile dintre variabilele măsurate. Modelele obţinute prin identificare (prelucrarea datelor experimentale) au următoarele proprietăţi, în contrast cu modelele obţinute prin modelare matematică: au validitate limitată pentru un punct de lucru precizat, un anumit tip de intrare şi un anumit proces;

42


au o semnificaţie fizică redusă, parametrii modelelor nu au fizice directe; modelele sunt relativ uşor de construit şi de utilizat. Modelele obţinute în urma analizei teoretice şi experimentale pot fi comparate, eventualele neconcordanţe eliminându-se prin refacerea unor etape parcurse în procesul de construcţie a modelului analitic sau experimental. În funcţie de scopul urmărit, se poate alege fie modelul teoretic, fie modelul obţinut prin identificare. Modelul teoretic (analitic) reprezintă legătura funcţională dintre mărimile fizice ale procesului şi parametrii săi, fiind utilizat în condiţiile în care se cunosc suficiente elemente legate de legile care caracterizează comportarea sa dinamică sau dacă trebuie simulată comportarea sistemului. Modelul experimental conţine ca parametri valori numerice a căror legătură funcţională cu datele fizice rămâne necunoscută, fiind un model sintetic. Pentru determinarea modelului unui sistem nu se poate utiliza exclusiv unul dintre procedeele de analiză teoretică sau experimentală, ci o combinaţie adecvată de procedee teoretice şi experimentale, succesiunea acestora fiind determinată în special de scopul modelării şi de particularităţile sistemului şi informaţia iniţială disponibilă. În figura 2.1 se prezintă o schemă de principiu ce ilustrează modul de obţinere a unui model matematic apelând la ambele metode [89]. Astfel, pentru un proces dat, prin analiza teoretică se determină o structură a modelului matematic, iar printr-o procedură de identificare se ajustează parametrii modelului pentru a obţine aceeaşi comportare intrareieşire ca a procesului real. Identificarea sistemelor reprezintă un proces iterativ, în care se utilizează o combinaţie adecvată de procedee teoretice şi experimentale, a căror succesiune este determinată de rezultatele care se obţin pe parcurs şi de scopul urmărit în construcţia modelului. Modelele obţinute în urma identificării pot fi utilizate pentru: cunoaşterea mai bună a evoluţiei procesului; verificarea şi validarea modelelor teoretice; predictarea evoluţiei unor variabile din proces; optimizarea proceselor în regim staţionar şi dinamic; sinteza sistemelor de reglare şi conducere a proceselor. În funcţie de precizia modelului, de gradul de adecvanţă al acestuia la realitate, de domeniul de valabilitate al acestuia depind performanţele sistemelor de conducere sintetizate pe baza modelelor matematice ale proceselor. semnificaţii


43

În figura 2.2 se prezintă etapele principale ale identificării [89]. r----------------~

:

ll "" "

Identificare experimentaJâ

1

''

Obiective ''' 1 '---- 1 11 1

~

•

"'

--------------.

' :

1

' _j

Semnale de test, SISO/MIMO perioada de

.-----""''---.., Proiectare

Modelare Legi fizice proces

analitică

·-----

Înţelegerea

-fenomenului

eşantiOnare

experimentală

1

__ ,'

Date intrare/ieşire

Structura

modelului teoretic

Colectare validare date

Estimare sructura!ordin

j

•

> ---------

---------------DA

DA

DA

Model final

Fig. 2.2


44

În faza iniţială a identificării procesului se impune a se delimita interacţiunile

cu mediul, intrările măsurabile, perturbaţiile ce acţionează asupra procesului, asigurându-se astfel cunoaşterea fenomenului. Caracterizarea modelului presupune a selecta din mulţimea de caracterizări posibile acea caracterizare care defineşte cât mai veridic comportarea procesului, cu luarea în consideraţie a unor simplificări, a eliminării unor situaţii nerelevante pentru proces. Alegerea unei caracterizări de tipul: liniar, continuu, invariant, liniar în parametri, monovariabil, cu parametri concentraţi, determinist etc., cu perechile lor, implică o bună cunoaştere apriorică a sistemului. Obiectivele identificării sunt de o deosebită importanţă în construcţia modelului matematic. În funcţie de obiectivele impuse se alege tipul modelului, gradul de complexitate al acestuia, particularităţile senmalelor de test, dacă se impune utilizarea unor asemenea senmale externe pentru excitarea procesului. Cu aceste elemente primare se poate trece la proiectarea experimentului, în vederea stabilirii semnalelor de intrare, validării şi corectării acestora pentru a fi utilizate optim în cadrul procedurii propriuzise de identificare. Alegerea setului de modele reprezintă fără îndoială cea mai importantă şi cea mai dificilă etapă în cadrul procedurii de identificare. Această etapă presupune utilizarea eficientă apriori a cunoştinţelor despre proces, intuiţia inginerească şi experienţa proiectantului completate cu proprietăţile formale ale modelelor şi metodelor de identificare în scopul determinării clasei reprezentative de modele pentru procesul supus identificării. Pe baza datelor obţinute prin măsurare şi dispunând de setul de modele fixat, se poate trece la determinarea modelului, care presupune determinarea structurii şi a parametrilor acestuia, apelând la o anumită procedură de estimare. Ultima etapă a identificării o reprezintă validarea modelului, verificându-se dacă întreaga informaţie conţinută în datele de intrare-ieşire se regăseşte în model, dacă există concordanţă între model şi informaţiile disponibile asupra sistemului (consistenţa). Identificarea obiectului apelând la proceduri de prelucrare a informaţiilor funcţionale, intrări şi ieşiri (comenzile u şi variabile măsurate y din proces) impun utilizarea reprezentării obiectului condus ca sistem cu intrarea u şi ieşirea y, variabile măsurabile. O altă abordare a construcţiei modelului matematic, condiţionată de separabilitate, presupune descompunerea "obiectului condus" în cele trei componente şi evidenţierea unor modele matematice pentru elementul de execuţie, instalaţia tehnologică şi traductor, ţinând seama de particularităţile fiecărei componente şi de faptul că sunt interconectate în serie.


45

2.2. Modele intrare - stare- ieşire Pentru obţinerea modelului matematic ataşat procesului condus pot fi utilizate tehnici de modelare analitică şi tehnici de identificare experimentală. În cazul utilizării metodelor analitice, modelele matematice se obţin prin aplicarea legilor ce descriu funcţionarea procesului (legea conservării masei, legea conservării energiei etc) ţinând seama de particularităţile fiecărui proces. În general, modelele matematice obţinute pe cale analitică sunt modele complexe, neliniare şi cel mai adesea variabile în timp. În funcţie de scopul urmărit prin construcţia modelului matematic, pe baza unor ipoteze simplificatoare, se pot obţine modele mai simple, însă cu o acurateţe mai redusă. În general, în rezolvarea problemelor de proiectare a strategiei de conducere a unui proces se apelează la modele simplificate, deşi uşor imprecise. Utilizarea unor asemenea modele, pe lângă faptul că acestea pot fi manipulate, conduce la soluţii implementabile cu costuri acceptabile. Astfel, o primă problemă inginerească în proiectarea soluţiilor de automatizare rezidă în adoptarea unui model matematic al procesului condus, adecvat realităţii, dar suficient de simplu pentru a putea fi utilizat. Se cere astfel un compromis complexitate-precizie. Prin identificarea experimentală, se obţin modele a căror adecvare este asigurată prin setul de mărimi funcţionale ataşate procesului pe un orizont de timp precizat. Astfel, se alege acel model matematic care asigură cea mai bună aproximare a comportării procesului descrisă prin măsurătorile efectuate asupra variabilelor de intrare şi de ieşire. Pentru proiectarea SRA pot fi folosite diferite categorii de modele dintre care cele mai utilizate sunt modelele matematice parametrice şi neparametrice, modele de tipul intrare-ieşire şi modele de tipul intrarestare-ieşire.

Forma cea mai generală a modelului matematic este modelul de stare: .X~)= f(x(t), u(t), w(t), t) y(t) = g(x(t), u(t), w(t), 1)

ataşat

x(t 0 )=x0 E9\"

unui proces

(2.1)

)i(t) = h(x(t), u(t), t)

unde: x(t) E 9\"

reprezintă

vectorul de stare a sistemului;

u(t)E 9\m reprezintă vectorul mărimilor de comandă; y(t) E 9\ P reprezintă vectorul variabilelor măsurate din proces;

INGINERIA REGLĂR/! AUTOMATE

46

y(I)E w(t)E

:Rq reprezintă

vectorul variabilelor de calitate;

1

9t reprezintă vectorul mărimilor exogene ce acţionează

asupra procesului;

x0 =x(t 0 )

reprezintă valoarea lui

x(t) Ia timpul iniţial t =t0 ? O.

Variabilele de stare reprezintă o mulţime completă de variabile interne a cărei cunoaştere Ia un moment de timp permite a calcula ieşirea y(t) ca o funcţie de variabilele de stare şi de variabilele prezente şi viitoare ale intrărilor şi de a estima tendinţa de evoluţie a sistemului la momentul curent. Funcţiile f , g şi h sunt funcţii vectoriale neliniare. Este evident că utilizarea acestui model pentru proiectare este dificilă, dacă nu chiar imposibilă, pentru multe aplicaţii. În cazul în care funcţiile f şi g sunt funcţii ce pot fi liniarizate, se obţine un model simplificat de forma:

x(t )= A(t )x(t )+ B(t" y(t) = C(t )x(t)+ D(t" dacă vom considera numai comanda

x(to )= xo u(t) ca intrare

(2.2) şi

y(t) ca

mărimi de

teştre.

Matricele A(t), B(t), C(t) şi D(t) cu elemente variabile în timp au dimensiuni corespunzătoare pentru cazul multivariabil: A(t)E 9t nxn, B(t )E 9tnxm , C(t )E :Rnxp şi D(t )E :Rpxm. În cazul în care funcţiile f şi g sunt liniare şi invariante în timp, se poate simplifica modelul şi se obţine un model invariant în timp, sub forma: x(t )= Ax(t )+ Bu(t) x(t 0 )= Xo E :Jt" (2.3)

y(t) = Cx(t )+ Du(t)

unde matricele A, B, C şi D au aceleaşi dimensiuni ca în cazul anterior, au toate componentele constante. Un asemenea model liniar invariant în timp se obţine dacă modelul neliniar definit prin funcţiile f şi g : însă

x(t )= J(x(t \ u(t )) y(t)= g(x(t}u(t))

(2.4)

este liniarizat. Spunem că {xs (t} u s (t h s (t} tE 9t} este o mulţime de traiectorii care satisfac ecuaţiile de mai sus, dacă: x,(t)=J(x,(t~us(t)) ( ) Il = ( (\ ()); xs t 0 =x,0 E9t (2.5) () gxsiJ.Usl Y.,t


47

Traiectoria {x, (t ~ u, (t \y, (t ~tE 9\} poate corespunde la un punct de echilibru al modelului de stare. În acest caz x,, u, , y, nu va depinde de timp şi (x,,ys) va satisface .i:, =O, adică f(x,,us}=O. Pentru a descrie o traiectorie {x(t ~ u(t \y(t) tE 9\} cât mai aproape de traiectoria {x, (t ~ u, (t \y, (t) tE 9\} folosim dezvoltarea în serie Taylor sub forma [46]:

x(t)= f(x,,us)+ ~lx=x, ·(x(t)-x,)+ ~ X lu;=:us

y(t)= g(x"u,)+ og

ax

Derivatele

nominală,

x=x,

·(x(t)-x,)+ ~g

vectoriale f

iar matricele of

ox

·(u(t)-u,)+ ...

x=x,

(2.6)

·(u(t)-u,)+ .. ·

UU u=Us

U=Us

funcţiilor

x=x,

U u=us

şi of ou

şi g

sunt evaluate la traiectoria

sunt constante, având elementele ij de

forma of; .

oxj

Dacă notăm ~(t)=x(t)-x,(t), ~u(t)=u(t)-u,(t) obţinem un model

liniar în incremente sub forma: ~(t )= A~(t )+ B~u(t)

(2.7)

~y(t )= c~(t )+ D~u(t)

Astfel, se

obţine

un model liniar în componentele incrementale ale alese în jurul unui punct de funcţionare (model valabil pentru abateri reduse în jurul acestui punct de funcţionare). În acest caz, matricele A, B, C şi D sunt calculate astfel: intrărilor şi ieşirilor

_of

.

_of

A - -~ x=x' ' B - -~ x=x' UX u=us UU u=us (2.8) şi

nu depind de timp. O altă formă a modelului (2. 7) este:

x(t )= Ax(t )+ Bu(t )+ E y(t) = Cx(t )+ Du(t )+ F unde matri cele E

şi

(2.8')

F au forma:

E = f(x,,u,)- of ~~x=x, ·x,- of lx=·x, ·u, dx u:::u_~,

du ju::ou~


48 şi

F = g(x,,u,)- dg

x"x, dx u=us

·x,- ~g

x=x,

·u,.

UU u=us

Spunem că (2.2) este un sistem liniar finit-dimensional variabil în timp (LTV), iar (2.3) este un sistem liniar finit-dimensional invariant în timp (LTI). în cazul în care, în cadrul modelului se pot evidenţia variabile de stare cu dinamică mai scăzută şi, respectiv, dinamică mare, modelul matematic are forma: x= Allx+ A12 z + B1u (2.9) !li= A21 x + A22 z + B2u y=C1x+C2 z+Du unde

xE

9\"1 şi

zE

9\" 2 şi 11> O iar matricele Aii, Bi,

c1

şi D

au

dimensiuni corespunzătoare. Cu ajutorul acestui model pot fi descrise fenomene lente (dominante) şi fenomene rapide (parazite). Prin intermediul numărului 11 se caracterizează valorile constantelor de timp foarte reduse ce pot fi neglijate. Remarcăm faptul că asupra modelului iniţial (dificil de manipulat, dar cu capacitate mare de adecvare la realitate), prin ipoteze simplificatoare s-au efectuat operaţii de liniarizare, operaţii de reducere a dimensiunii prin neglijarea dinamicii fenomenelor rapide (neglijarea constantelor de timp parazite) şi s-a admis că parametrii sunt constanţi Astfel, dintr-un model neliniar, variabil în timp, de dimensiune mare, s-a obţinut un model liniar, invariant în timp, de dimensiune redusă. Prin operaţiile menţionate se introduc incertitudini în caracterizarea procesului respectiv, se utilizează un model matematic cu un anumit nivel al incertitudinilor. Pentru cazul în care procesul are o intrare şi o ieşire, modelul matematic de stare asociat în aceleaşi ipoteze w =O este:

x= Ax(t)+bu(t) y=cT x~)

x~ 0 )=x 0 E 9\"

(2.10)

unde matricea A E 9\" x" , iar b E 9\ nxl şi cE 9\nxl . În acest model s-a considerat că nu este transmisie directă de la comandă la ieşire şi deci d = O. în cazul în care modelul de stare conţine incertitudini parametrice definite prin vectorul parametrilor necunoscuţi q , forma acestuia este:

x(t) = A(q )x(t )+ s(q M) y~)= C(q)x(t)

(2.11)

Modele matematice ale obiectelor conduse Funcţia

de transfer

49

ataşată reprezentării

de stare (2.5) este

definită

prin relaţia: (2.12) Dacă se reprezintă mulţimea parametrilor Q , cu q E Q , se poate vorbi de o "familie de procese". În unele probleme, Q este reprezentată numai printr-un număr finit de puncte de funcţionare q(j )E Q , adică: .X= A (J) x+ B(j)u ·) ; j = !, 2, .. ·, N (2.13) ( Y(s)= H(s,q)·U(s)

y=C

1

x

unde A (J) = A(qi ), B(J) = B(qi ), C(J) = c(q 1 ).

Structura modelului (2.13) este menţinută, însă setul de parametri q 1

diferenţiază matrice le A (J), B(J) şi c(J) în cazul în care nu există transmitere directă a comenzii la ieşire ( vvl =o). Alternativ, o familie finită de matrice de transfer se defineşte prin: H 1(s)=C(J)&l-A(J)t·B(J), j=l,z, ... ,N

Putem, astfel, vorbi de o familie obiectului condus.

finită

(2.14)

de modele liniare

ataşate

2.3. Modele intrare-ieşire Dacă

un sistem este descris de ecuaţii diferenţiale liniare de forma: y
de transfer pentru condiţii

iniţiale

nule sub forma:

H (s):= Y(s) = bmsm+bm_,sm-I+ ... +bo P U( s) s n +a11 _ 1s n-1 +... +a0

(2.15)

Transfonnata Laplace inversă hP (1) a funcţiei de transfer H P (s) este cunoscută

ca răspunsul la impuls al sistemului:

hp(t):=L· 1[Hp(s)]. Răspunsul forţat

al sistemului se poate astfel calcula cu relaţia : y(t)=hp(t)*u(t) . (2.16) * d l . co'"'"iahv un de semnu l . enota ~nvo uţ1a. ,10

(F*~)(t)~ ff(o) ~(H;)h ~ ~ %(î)f(-t-z)~?; ~~

-~


50

Când <

Ut,

unde

(

u(l)

= o11 (1), unde o11 (1)

)-J'

f -

este

funcţia

delta

definită

ca:

i(I)-/(1-E)

lffi

c-o

c

l(t) este funcţia treaptă unitară, atunci:

*

y(1) = hp (t) o11 (1) = hp (t)

Astfel, când intrarea unui sistem liniar invariant în timp este o delta (cunoscută ca impuls unitar la t =O), ieşirea sistemului este chiar răspunsul la impuls (funcţia pondere). Spunem că H P(s) este proprie dacă H p(=) este finită, adică n?.m; funcţie

strict proprie,

dacă Hp(=)=O, adică n>m şi

m > n , spunem

biproprie,

dacă n=m. Dacă

că

sistemul este impropriu. Funcţia de transfer se poate defini pornind şi de la prin aplicarea transformatei Laplace ecuaţii lor (2. l O): sX(s)-x0 =AX(s)+bU(s)

ecuaţia

de stare (2.17)

Y(s)

=cT X (s)

Y(s)

=cr (si- A)- 1bU(s) = H P (s)U(s)

sau unde Hp(s)=cr(sl-A)- 1b reprezintă funcţia de transfer în cazul sistemelor monovariabile sau matricea de transfer în cazul sistemelor cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri. Pentru a calcula răspunsul sistemului pornind de la modelul de stare observăm că:

J 1

x(t)

= eA(t-to) x(t0 ) +

eA(t-<)bu( ~ )d~

(2.18)

J''o cr

(2.19)

'o

iar y(t)

= cr eA
eA(t-t)bu( ~)d~

unde eA
y (t)= jcTeA(t-<)bu(~)
'o

introducem 1

hp(t) := CT eA b

(2.21)

notaţia:

(2.22)


atunci (2.21)

capătă

51

forma:

1

y1 (t)= Jhp(t-T)u(T)dT 'o

sau 00

Yt(t)

=J

h;(t -T)u(t)dT = h; •u(T)

(2.23)

-00

unde

h~ {t)

={

hP (t) pentru t ~O

O

pentru t
.

al sistemului se calculează printr-o integrală de convoluţie între funcţia pondere h~(t) şi comanda u(t). Pentru sistemele discrete caracterizate prin ecuaţii liniare cu diferenţe [6]: Yk + a1Yk-1 + GzYk-2 + ... + anYk-n = quk-1 + b2uk-2 + ... +bmuk-m ' (2.24) prin aplicarea transformatei Z, se obţine: Astfel,

răspunsul forţat

Y(z) = qz -1 +b2z -2 + ... +bmz -m U(z) 1+a1z -1 + ... +a.z -n Funcţia

(2.25)

de transfer în z se defineşte ca:

Y( ) h -1 +bzZ ··2 + ... + bmZ -m H (z):=-z-="~z p U( z ) 1+a z -1 + ... +anz -n 1

( 2.26 )

unde z- 1 =e-sT reprezintă întârzierea cu un tact (T este perioada de discretizare). Dacă se cunoaşte funcţia de transfer a unui sistem, se pot obţine diferite realizări (A,b,cr ), inclusiv formele canonice. Dacă vom dispune de o reprezentare de stare (A, b, cr ), atunci cu uşurinţă se obţine funcţia de transfer: 1 Hp(s) ·cTadj(sl-A)b (2.27) det(s/- A)

În cele ce urmează, considerăm că funcţiile de transfer H P ( s) sunt strict proprii şi, în cel mai rău caz, proprii. Cele două po!inoame B(s) = bmsm + bm_1sm-l + ... + ~s + bo şi

pot fi: polinoame monice, dacă 8(0) = A(O) =1 polinoame Hurwitz, dacă rădăcinile ecuaţiilor B(s)=O; A(s)=O sunt situate în semiplanul stâng.


52

Un sistem cu dacă polinoamele

funcţia

A(s)

şi

B(s) d f: • . . • de trans fier H P (s) = - este e aza mm1ma

A(s)

B(s) sunt polinoame Hurwitz

şi este stabil dacă

numai A(s) este Hurwitz. Dacă cele două polinoame A(s) şi B(s) nu au factori comuni, adică sunt polinoame coprime, spunem că sistemul este ireductibil şi are dimensiunea minimă. Un asemenea sistem este complet controlabil şi observabil [34, 56]. Rădăcinile polinomului B(s) =O reprezintă zerouri le sistemului, iar rădăcinile polinomului A(s) =O reprezintă polii sistemului. Sistemele reale sunt aproape totdeauna strict proprii. Unele metode de proiectare a regulatoarelor conduc la funcţii de transfer biproprii sau chiar improprii. Pentru a fi implementate asemenea legi de reglare, se introduc factori suplimentari la numitorul funcţiei de transfer, astfel selectaţi încât efectul lor să fie neglijabil (se introduc poli reali simpli, de regulă strict negativi, cât mai departe de origine). Adesea, în practică, sistemele reale au o întârziere între intrare şi ieşire. Aceasta este asociată cu transportul de material de la un punct la altul. Un element cu întârziere pură are o funcţie de transfer de forma: Hp(s)=e-sr (2.28) unde r

reprezintă

timpul mort. În cazul general, sistemele cu timp mort pot fi descrise prin intermediul unor modele de forma:

H (s)= B(s).e-rs P

A(s)

(2.29)

sau H P (s) = H (s )· e-rs

unde H(s) este o raţională proprie sau strict proprie. Astfel, o realizare minimală corespunde unei funcţii de transfer care nu are poli-zerouri comuni care să se compenseze, adică cele două polinoame A(s) şi B(s) ale funcţiei de transfer nu au factori comuni, altul decât o constantă. O caracterizare importantă a faptului că cele două polinoame sunt coprime este dată prin următoarea lemă: Lema 2.1. (Identitatea lui Bezout): Două polinoame A(s) şi B(s) sunt coprime dacă există polinoamele c(s) şi D(s), astfel ca C(s)A(s)+ D(s)B(s) = 1

(2.30)


53

Identitatea lui Bezout poate avea un număr finit de soluţii C(s) şi D(s) pentru o pereche dată de polinoame coprime A(s) şi B(s). Această proprietate este adesea valorificată în proiectarea sistemelor de reglare automată liniare invariante în timp. O teoremă importantă, frecvent folosită pentru proiectarea sistemelor dereglare, este următoarea: TEOREMA 2.1.: Dacă A(s) şi B(s) sunt coprime, având gradele na, respectiv nb, na > nb, atunci, pentru orice polinom arbitrar dat A*(s ), de

grad "a' > na, ecuaţia polinomială A(s)Q(s) + B(s)P(s) =A *(s) are o soluţie unică Q(s) şi P(s), ale căror grade nq şi respectiv restricţiile n P < na , nq

nP

(2.31) satisfac

:0: max [na* - na, nb -1].

Demonstraţie:

Din Ierna 2.1 există polinoamele C(s) şi D(s), astfel că: A(s)C(s)+ B(s)D(s) = 1

(2.32)

Multiplicând ecuaţia (2.32) pe ambele părţi cu polinomul A'(s) obţinem:

A *(s)A(s)C(s) +A *(s)B(s)D(s) =A* (s)

(2.33)

Împărţind A* (s )D(s) prin A(s) se obţine: A*(s)D(s) _ R(s)+ P(s) A(s) A(s)

unde R(s) este câtul de grad "a* + nd - na , iar P(s) este restul de grad np < na.

Folosind egalitatea A *(s)D(s) = R(s)A(s) + P(s), putem exprima partea dreaptă a relaţiei (2.33) sub forma: A *(s)A(s)C(s) + R(s)B(s)A(s) + P(s)B(s) = [A* (s)C(s) + R(s)B(s)]A(s) + P(s)B(s)

sau Q(s)A(s)+ P(s)B(s)= A *(s)

(2.34)

unde Q(s) =A *(s)C(s)+ R(s)B(s). Ecuaţia de mai sus evidenţiază faptul că gradul lui Q(s) A ( s) este

egal cu gradul lui [A*(s)-P(s)B(s)]";;max{na,np +nbJ· Prin urmare, gradul lui Q(s), notat cu nq, satisface condiţia nq:Smax{na,-n0 , np+nb-na}· Astfel, s-a stabilit că polinoamele Q(s) şi P(s), nP

54

Deoarece nP
n P < na, nq $ max {na* - na, nb -I} , adică A(s )Q1 (s) + B(s)fl (s) =A *(s), A(s)Q2 (s) + 8(s)P2 (s) =A *(s) Dacă scădem

o

ecuaţie

din alta, avem:

A(s l[Q1(s)- Q2 (s l) + B(s)[ Il (s)- P2 (s l] =O,

(2.35)

ceea ce conduce la: B(s) A(s)

= Qz(s)-QI(s)

(2.36)

fl(s)-P2 (s)

Deoarece n P < na, ecuaţia (2.36) arată că A(s) şi B(s) au factori comuni, ceea ce contravine ipotezei că A(s) şi B(s) sunt coprimi. Astfel, Q1(s)=Q2 (s) şi P1 (s)=P2 (s), ceea ce demonstrează că soluţiile Q(s) şi P(s) din (2.34) sunt unice. Dacă nu se impun restricţii asupra gradelor polinoamelor Q(s) şi P(s), ecuaţia (2.31) are un număr infinit de soluţii. Ecuaţiile de forma (2.31) sunt cunoscute sub denumirea de ecuaţii diofantice şi sunt utilizate frecvent la proiectarea algebrică a regulatoarelor pentru procese caracterizate prin modele li ni are invariante în timp [46].

2.4. Parametrizarea modelelor procesului condus Considerăm

x= Ax+bu;

modelul de stare x(O)

=x 0

(2.37)

y=cT X

unde

xE9\",uE9\ 1,yE9\ 1

corespunzătoare. Tripletul reprezintă

şi

matricele

(A,b,cT)

constă din

au

(n 2 +2n)

dimensiuni

elemente care

(2.37) este într-o formă canonică, realizării (A,b,cT) sunt fixate şi au valori O sau 1 şi astfel cel mult 2n elemente sunt necesare pentru a specifica proprietăţile parametrii procesului.

atunci n 2 elemente ale

Dacă

A,b,cT


55

procesului. Aceste 2n elemente reprezintă coeficienţii polinoamelor de la numărătorul şi numitorul funcţiei de transfer. Pornind de la (2.37), funcţia de transfer are forma: 2 H (s) = b"_ 1sn-l + b"_ 2s"- + ... + />ts + b0 _ B(s) P s" +a"_ 1s" 1 + ... +a1s+a0 A(s)

(2.38)

ŞI,

m consecinţă, pentru a specifica unic proprietăţile intrare-ieşire ale procesului, sunt necesari 2n parametri. Cănd sunt necesari mai mulţi parametri pentru caracterizarea procesului, spunem că procesul este supraparametrizat. Spre exemplu, dacă scriem ieşirea în funcţie de intrare sub forma: Y(s) = B(s). A(s) U(s)

(2.39)

A(s) A(s)

unde A(s) este un polinom stabil de grad arbitrar n >O, rezultă că procesul are aceleaşi proprietăţi ca procesul descris de (2.38), însă în modelul matematic sunt incluşi mai mulţi parametri. Este evident că în acest caz reprezentarea de stare a sistemului nu este minimală. Pentru estimarea parametrilor modelului şi sinteza sistemelor de reglare automată pot fi utilizate diverse parametrizări ale modelului matematic al procesului condus. Parametrizarea 1: Consideram (2.3 7) sub forma şi

ecuaţiei diferenţiale

/") + a"_ly
(2.40)

T

e = [bn-1, bn-2, ... , bo an-1, an- 2, ... ,a0 ] -vectorul parametrilor ŞI

_' (n-1) (n-2)

u

,u

(n-2)

, -y

T _[ T

, ... ,-y

-(•n-!(s)u,

T --an--l(s)

yj.T,

,T

. . 1

1 1 undeai(s):=s [ ,s - ,

(n-1)

, ... , u, -y

... ,

lj

Cu aceste notaţii putem scrie (2.40) sub forma ·

compactă

Ecuaţia (2.41) este liniară în parametri, fiind deosebit de pentru proiectarea estimatoarelor de parametri.

(2.41) importantă


56

În cazul discret, pe baza ecuaţ1e1 cu diferenţe, obţinem aceeaşi

reprezentare, cu

observaţia că

'Pn-l =[uk-l• uk-2• ... , uk-n' -yk-l• -yk-2• ... , -yk-n]

= [a~-t(q-l)u,

-a~-~(q-1)

=

yr

unde a;(q- 1)=[q- 1,q- 2 , ... ,q-n(, iar q- 1 întârziere ( q -luk

T

reprezintă

operatorul de

= uk-l) şi, prin urmare,

T

yk=e ·
folosim reprezentarea (2.41 ), pentru a evita utilizarea

semnalelor yl•l şi obţinem

qJ,

se poate utiliza un filtru stabil de ordinul n

1

.

A(s) ŞI

o nouă reprezentare:

Z=tlT
(2.42)

1 () s" unde: Z:=--y" ->Z=--y.

A(s)

A(s)

1 (sl ·-raL aL(sJ A(s) u, A(s) y

lr

l

şi

A( s) = s• + :l.._1sn-I + ... + :l.0 este un polinom în

s, arbitrar, Hurwitz.

Este clar că semnalul scalar Z şi vectorul

s' A(s )'

i = 0,1, ... , n.

Astfel, putem exprima

A(s) sub forma:

A(s) = sn +:l.T an-! (s) unde Â=[Ân-1•'-n-2• .. ·•

sn Z= A(s)y

'-o{ şi

A(s)-ATan-l (s) T an-I (s) . A(s) y=y-Â A(s) y,Iar

Y = Z + ÂT an-I (s) Y .

A(s)


Deoarece

57

Z = eT
2 , unde:

el :=[bn-1'

8 2 :=[an-!'an-2''"'

bn-2' ... , bo(·

·-an_/~)
ao(

·- an_1(s)
se obţine y sub forma:

T +e22

y=81
sau

T

y =eA·
(2.43)

unde:

eA= [eT, eT, -AT]T . 1 2 Ecuaţiile (2.42) şi (2.43) sunt reprezentate sub forma schemei bloc în figura 2.3. y

<1>,

-a" .. , (s)

A(s)

+

+

z

Fig. 2.3

Reprezentarea de stare pentru generarea semnalelor în (2.42) (2.43) poate fi obţinută prin utilizarea identităţii:

[adj(st- Ac )]z =an-l (s) unde Ac, l sunt date sub forma:

-A.

ll-1 1

-A.

-A.

o o

n·-2

o

Il 1

'o 1 1

Ac =

j, 1

1=1'1 1

'

'1

·1

o

o

.

.

1

o

oj

ŞI


58 şi

care implică

det(sl-Ac )= A(s), Astfel, din (2.42) • 4>1 =AC]

şi

+ lu,

4>2 = AC2 -ly,

din figura 2.3

q,1 E lR

n

rezultă:

4>2 E !Rn (2.44)

y=fJT

A

z=y+AT

2

=fJT

Deoarece A{s )= det(sl- Ac} şi A(s) este un polinom Hurwitz, rezultă că Ac este o matrice stabilă. Modelul parametric (2.44) este o reprezentare de stare neminimală pentru procesul (2.38), deoarece sunt folosite 2n integratoare pentru a reprezenta un sistem de ordinul n. Într-adevăr, funcţia de transfer calculată pe baza modelului (2.44) este:

Y(s) _ B(s) A(s) _ B(s) U(s)- A(s)' A(s)- A(s) ceea ce implică n

compensări

poli-zerouri stabile.

Parametrizarea 2: Considerăm

modelul parametric (2.43)

y=fJT

A.

şi identificăm

8 wm(s)w;;/(s)=l, unde wm(s)= m((s)) este o funcţie de transfer Am S cu gradul relativ egal cu unu şi Bm (s) si Am (s) sunt polinoame Hurwitz. Deoarece e< este un vector constant, putem exprima (2.43) sub forma:

avem


59

(2.45)

(s) sunt !l.(s)wm(s) an-l

Deoarece toate elementele lui

funcţii

de transfer

proprii cu poli stabili, starea '1' = ['1'[. 'l'zrf J , unde: an-J (s) u'1'1

wm(s)!l.(s) '

'1' = 2

a

1s)

n-1 '

1

wm(s)!l.(s/'

poate fi generată fără diferenţierea variabilelor y şi u. Dimensiunea lui '1' depinde de ordinul n al polinomului A(s) şi de gradul polinomului Am (s ). Deoarece Bm (s) poate fi arbitrar, dimensiunea lui 1ţ1 poate fi, de asemenea, arbitrară.

În figura 2.4 este prezentată schema bloc a parametrizării (2.45). y

u

-a,.,(s)

A(s)w.{s)

j

Fig. 2.4

Un caz special pentru (2.45) este 1 wm(s)=-.-

arătat

în figura 2.5, unde:

s+Ao

şi s + A.0 este un factor al polinomului

u

a,, (s) Aq(s)

'P,

A(s ), adică:

js+\,j

+ +

yl

~ Aq(s)

ii.T Fig. 2.5

li>


60

A(s)= (s + "-o)Aq (s) = s" +A.11 _ 1sn-l + ... + A.0, iar =s 11-l +q11 _ 2 s n-2 + ... +q1s+ 1. Această parametrizare a fost utilizată pentru a dezvolta observatoare adaptabile stabile [52]. 0 ( ) "'q s

2.5. Discretizarea modelelor continue Pornind de Ia soluţia ecuaţiei de stare (2. 18) A(t-t0 ) A(t-r) x(t)=e ·x(t0 )+ e bu(r)dr,

J'

(2.46)

în cazul în care se consideră comanda ca o funcţie constantă pe porţiuni u(r)=u(kT)=uk pentru rE[kT,(k+l)r} T>O, kEZ, se poate obţine echivalentul discret al modelului continuu de stare. Comanda uk se menţine constantă pe parcursul unei perioade de discretizare în cazul în care se utilizează un extrapolator de ordinul zero pentru aproximarea comenzii între două momente discrete de timp. Dacă se consideră soluţia (2.46) pentru t 0 = kT şi t = (k + 1)r, unde T este perioada de discretizare, obţinem: x[(k+ l)Tj = eAT x(kT) + fl~+l)T e A[(k+l)T

-rJ. bdt · u(kT)

(2.47)

sau xk+l = cf; xk

(2.48)

+ ruk

unde xk =x(kT~ uk =u(kT~ xk+l =x[(k+l)r] şi cf; = eAT'

r= foT eA~dT)b şi

T) =(k

+ I)T -ţ.

Cea de a doua ecuaţie ce defineşte evoluţia ieşirii y în funcţie de stare se obţine direct: y(kT):= Yk =cT xk (2.49) Sistemul descris prin ecuaţiile (2.48) şi (2.49) se numeşte discretizatul cu pasul T >O al sistemului neted (A, b, c

T).

cărui realizare este (A,b,cT ), se obţine echivalentul discret având realizarea (~.r,cT ). Pentru sistemele Astfel, pentru sistemul a

multivariabile se obţine, în mod similar, echivalentul discret cu o realizare (~.r. c), cu dimensiuni corespunzătoare ale matricelor.

Modele matematice ale obiectelor conduse Semnificaţia operaţiei

61

de discretizare este

ilustrată

în figura 2.6,

unde, pe lângă sistemul neted (A, b, cT ), se includ convertoare le analog-numeric şi numeric-analogic, care explicitează modalitatea de a "integra" un sistem care, natural, tranzitează funcţii definite pe 9\, într-un sistem care să tranziteze funcţii definite pe Z.

~ x,

~---.t•i_c_N_A .... _ _I---l•~I_A_._b._c_'---'f--1

y,

Fig. 2.6

Cele două matrice ifJ c/> = eAT

r

şi

pot fi calculate pornind de la definiţiile lor:

= l+_!_AT +_!_A 2T2 + .... = 1+ ATijl 1!

(2.50)

2!

unde 1 2 2 'V= 1 +_!_AT +_!_A T + .... = 1 +_!_AT[I+_!_ATf .. - -AT[/ + _!_ATJ)···l 2! 3! 2 3 N -1 N şi care reprezintă o serie cu bune proprietăţi numerice. Matricea r se obţine prin evaluarea integralei:

l

'I:-

1 f=JeArt drtb= -AiTi+lb=ljfTb. (2.51) O i=O(i+l)! Pentru calculul matricelor
1. 2. 3. 4. 5. 6.

Selectează

perioada T , N Matricea 1 f- identitate; Matricea 'f ~ 1 ;

şi

descrie matrice le .4.

şi b ;

k~N;

=1 , merge la pasul 9; . 1 M atncea 'V +-1 +- A'l\v; Dacă k

k

7. k~k-1; 8. Merge la 5; 9. Matricea r +- T 'V b; 10. Matricea •-/ + ATijl. Număml N

reprezintă număml termenilor la care convergenţă este îndeplinit.

seria, în cazul în care testul de

se

tmnchează


62

Dacă se dispune de funcţia de transfer a obiectului condus H P (s ), se

poate obţine direct echivalentul discret, fără a apela la determinările matricelor şi r. Pentru extrapolatorul de ordinul zero, se poate obţine cu uşurinţă funcţia de transfer ţinând seama că funcţia u(t) este constantă pe intervalul [o, T]: 1 e-Ts ' . . .. . H EOZ (s) = H CNA (s) = - - - (m Ipoteza unUI coeficient de conversie

s

s

unitar). Astfel, comanda u k se aplică la intrarea procesului caracterizat prin funcţia de transfer H P (s) prin intermediul extrapolatorului (fig. 2.7).

~j

1-e ~TJ

·1

s

'{

H,(s)

y,

1

Fig. 2.7 Dacă se notează cu hc (t) funcţia pondere ataşată părţii continue a

sistemului caracterizat prin l

Hc(s)= -e ieşirea discretă

-Ts

s

funcţia

de transfer:

·HP(s),

(2.52)

y(kT) se calculează cu relaţia: ~

y(kT); Yk

=L hc (kT -nT'p(kT).

(2.53)

n=O

Aplicând transformata Z pe ambele se calculează ca o convoluţie, se obţine:

părţi şi ţinând

Y(z)= Hc(z)·U(z)

seama

că ieşirea

(2.54)

unde ~

Hc(z)= Lhkz-k k=O

reprezintă funcţia

(2.55)

de transfer discretă a sistemului continuu caracterizat prin

H p(s).

Astfel, funcţia de transfer pondere discrete:

discretă

se

obţine

ca transformata Z a

funcţiei

Hc(z)=

z{c l-:-Ts Hp(s)]} =(1- z- }lf H:(s)] 1

[

1

(2.56)


63

Exemplu/2.1: Considerăm

un proces caracterizat prin: -rs kpe Hp(s)= n ~ ). 0 Tks + 1 k=l

r Se cere echivalentul discret pentru cazul în care T =- ( d un d

număr

întreg). Pornind de la relaţia (2.56),

obţinem:

1-z -t\JZ -dz[Co - + -C, - + ... +Cn -s 1 1

_f H.( c z) -~

s+T1

n

-k p

1

TIi~I Ti }:ti

Ci =

n (

s+-Tn

1

1 ];

i= l, ... ,m.

TI--i~' Ti

li

)t-i

Ţinând seama de

expresia transformatelor Z afuncţiilor treaptă unitară şi exponenţială, fUncţia de transfer H" (z) capătă forma: _ {,

( ) -\1-z Hcz

-1

{r-Co_1 +.t..; ~

ci

i~t 1-e

1- z

-TL

/T,1 Z-1

J·z

-d

sau

coll(l-e·T/T, z -t

)+ f (1- z- }ill(I-e-TIT, z -l)

i=l

1

i=l

j=l

i=l

Pentru m =3, K P

=l,

de transfer H c (z) pentru T H ( c z

T1 =!Os. T2 = 7.5, T3 = 5s

=2s sub fonna [57j:

-t)= 0,0027 z..

1

2

+0,0093z .. +0,0019z ..3 1

2

~

l-2,25498z .. +1,69 z .. -0,42z ..,

şi T

=O se obţine funcţia


64

Forma generală a funcţiei de transfer obţinută prin discretizarea funcţiei H P (s), cu includerea elementului de reţinere este H c

(z-1); qz-1 +bzz-2+ ... +b"z-n 1+a1z

-1

2

n

Bfz-lj

(2.57)

A -1

+a2 z +... +a"z z Cele două polinoame A(z) şi B(z) au gradul n, respectiv n-!. De remarcat faptul că prin discretizare se obţine şi polinomul B(z) de dimensiunea (n-1), dacă obiectul condus are n constante de timp. Pentru cazul în care comanda este întârziată cu un timp mort 1:, se obţine modelul discret echivalent: H c (z)=

unde d = t/T

Bfz -11 ~ z -d A z-

reprezintă

(2.58)

timpul mort normal al obiectului condus.

2.6. Modelele matematice stocastice

în multe

aplicaţii,

utilizarea modelelor deterministe pentru caracterizarea proceselor şi a perturbaţiilor ce acţionează asupra acestora este ineficientă, impunându-se luarea în considerare a caracterului stocastic de evoluţie a variabilelor de intrare, stare şi ieşire ale proceselor. Pentru a defini un proces stocastic, considerăm o mulţime E de puncte e , numite evenimente elementare, şi fie F o familie de submulţimi s ale lui E , numite evenimente, iar P() o probabilitate pe F, adică o funcţie P: [0,1] -7 F care pune în corespondenţă fiecărui f E F un număr pozitiv, subunitar P(J ), numit probabilitate a evenimentului f. Mulţimea E cu structura (F, P) se numeşte câmp de probabilitate [6]. Vectorul n(e)Ex, unde x este spaţiul euclidian n-dimensional, se numeşte vector aleator sau variabilă aleatoare cu valori în x; funcţia n : E --+ x ce pune în corespondenţă fiecărui eveniment elementar eE E un vector n(e) E x poartă denumirea de variabilă aleatoare. Astfel, variabila n() capătă diverse realizări n(e) funcţie de "întâmplările" e. Un proces stocastic este definit prin: n:TxE--+x care pune în corespondenţă fiecărui moment tE T şi fiecărui eveniment eE E un vector n(t,e)EX. Valoarea procesului la momentul t fixat n(t,.)


65

este o variabilă aleatoare, iar procesul în ansamblu ca funcţie, poate fi gândit fie ca familie n(t,.), tE T a acestor variabile, fie ca ansamblu, pentru eE E, al valorilor sale n(t,e), tE T. Un proces stocastic poate fi definit ca o familie de variabile aleatoare care este o funcţie de două argumente {n(t, e} tE T, eE E}. În cazul în care t = O, ± 1, ± 2,.... procesele stocastice sunt discrete. Media il este funcţia de timp ce exprimă "conţinutul stabil" sistematic repetabil şi comun al tuturor realizărilor n(t, e) cu eE E ; ea se defineşte ca "suma" acestor realizări, ponderată cu probabilităţile respective: n(t)= E{n(t)}=

Iim_!_ In(t) N-'>=

(2.59)

N tol

Abaterea de la medie reprezintă partea fluctuantă, nesigură, "propriu-zis stocastică" a procesului considerat. în cazul în care n(t) =O, procesul se numeşte centrat (variaţiile au loc în jurul mediei zero). O caracteristică a senmalelor stocastice este defmită de funcţia de autocorelaţie:

N

ii>nn(<)=E{n(t) n(t+<)}= Iim _!_L;n(t) n(t+<)

(2.60)

N---.oo N t=l

Funcţia

de autocorelaţie descrie relaţiile intrinseci ale semnalelor aleatoare, respectiv gradul de interdependenţă (stocastică) a componentelor procesului centrat n(t,.). în particular, dacă se consideră numai deviaţiile de la medie, se obţine matricea de autocovarianţă: (2.61) Rnn (r )= cov[n, rl= E{n(t )- n(t )Y [n(t H )- n(t )J} Un proces stocastic normal este complet determinat prin două funcţii

n(l)= E{n(t)}

)J}

(2.62) R(s, t) =cov[n(t} n(s )] = Efn(s )- n(s )JT [n(t )- n(t denumite valoare medie şi funcţia de covarianţă. Un proces stocastic se spune a fi staţionar dacă valoarea medie este constantă şi R"" (r) nu depinde de t. Pentru r =O, varianţa semnalului n(t) se calculează cu relaţia:

cr~ =Rnn(O)=

N

Iim N-•oo

_!_E[n(t)-n(t)).

(2.63)

N t=l

Procesele stocastice multivariabile sunt caracterizate prin matricea de corelaţie ,.,.(r) şi matricea de covarianţă Rnn(r ).

INGINERIA REGLA-RI/ AUTOMATE

66

Relaţia între două semnale stocastice staţionare n1 (t) şi n2 (t) poate

fi descrisă prin funcţia de matricea de intercorelaţie:

intercorelaţie

,..., (-r)=E{nJ(t)~!;!(tH)}= Iim N-oo

sau, în cazul multi variabil, prin 1 N -2:> 1 (t)n 2 (t+~)

(2.64)

N t=l

sau prin funcţia de intercovarianţă: Rn.n, (•) = cov(n 1 ,~7;!, Ţ) =

(2.65)

= E{[nl (t)- iij (t)h (t + •)- ii'z (t)]}+,..n, (•) -iijii'z Două

semnale stocastice se spune că sunt necorelate

cov[n 1 ,~7;!,!]= Rn,n,

dacă

(!)=0

(2.66)

sunt ortogonale dacă iii n2 = O, ceea ce implică

Dacă notăm prin a~ varianţa semnalului n(t ), atunci funcţia de covarianţă a acestui semnal de medie

n este dată de relaţia:

R(t)=cov[n1 ,,]=cr~o(•) unde o( •) este funcţia delta Kronecker [58]

(2.67)

1

pentru ' =O pentru "'"o Zgomotul alb se caracterizează printr-o densitate spectrală Astfel, pornind de la definiţia funcţiei de densitate spectrală:

o( •) = {o

1

00

.

constantă

[6].

(ro)=- f e-JWIR(t)dt (2.68) 2n -oo rezultă, ţinând seama de (2.67), că zgomotul aib are (ro)=const. Pornind de la aceste noţiuni elementare, pot fi introduse modele matematice ;stocastice ale unor procese supuse acţiunii unor mărimi cu proprietăţi stocastice. Maniera de introducere este de a considera procesul stocastic n(t )s n(k )s nk care acţionează la ieşirea procesului condus (fig. 2.8). n, ,

u, PROCES

Fig. 2.8

y,

1----1~~-'"'r---.


67

Transferarea ta ieşire a tuturor zgomotetor care acţionează asupra procesului este posibilă datorită i_p,mezei de tiniaritate pe care o impunem în vederea construcţiei modelului matematic al procesului. Zgomotul nk se poate datora unor perturbaţii aleatoare interioare procesului, unor intrări nemăsurabile, unor zgomote de măsurare. În condiţiile utilizării unui model matematic sub forma ecuaţiilor cu diferenţe pentru caracterizarea procesului perturba! cu semnal n, , putem scrie ieşirea perturbată sub forma: bo + }:biq-1 Yk =

J=l

l+~a;q-i

(2.69)

uk +nk

i-=1

unde

q- reprezintă operatorul de întârziere (u(k-1)=q- 1u(k)). 1

Datorită

ipotezei făcute asupra zgomotului ce acţionează aditiv la ieşire, acestuia i se pot aplica teoreme de reprezentare a proceselor stocastice cu densităţi spectrale raţionale [6]. Toate procesele staţionare cu densităţi spectrale raţionale pot fi generate prin trecerea zgomotului alb prin sisteme dinamice stabile. Astfel, nk poate fi obţinut trecând zgomotul alb printr-un filtru (raţional) stabil caracterizat prin funcţia de transfer

Hv(z- )= cJz~;), 1

(2.70)

D;Tz~

sau folosind reprezentarea în timp: 1+ Lc;q-i

n(k)=

1

l+ ~djq-1

v(k),

(2.71)

J=!

unde v(k) reprezintă o secvenţă de variabile aleatoare independente şi identic distribuite (zgomot alb discret), de medie zero şi dispersie E~ 2 (k )}= .?. 2 , iar polinoamele D1{z-- 1 1 1) prime între ele, au toate zerourile în exteriorul cercului de rază unitară. Din (2.69) şi (2.71) se obţine forma generală a unui model matematic monovariabil discret şi stocastic:

)c {z-

y(k) *+(k )+ ~: (:~>(k) =

(2. 72)

sau (2.73)


68 unde

-1) 1 0(q- )= ~(:-l(1 (q- ) C (

1

C

este un filtru stabil şi de fază minimă (6]

)= 1+ aJq -1 + .... + amaq -ma Bt (q-1) =bo+qq-1 + ... +b"'bq -mb cii\q-1) 1+cJq -1 + .... +cnc q -ne q (q -1) =l+d1q -1 + .... +dndq -nd Al (q -1

(2.74)

=

Modelul obţinut, folosind pentru caracterizarea zgomotului un model general autoregresiv de medie alunecătoare, este folosit mai rar în cadrul metodelor de identificare. Cel mai adesea, zgomotul este reprezentat, fie ca un proces de medie alunecătoare (MA), fie ca autoregresie (AR). Dacă

n(k )= C1(q -l ~(k)

(2.75)

respectiv 1

n(k)= -::t=ilv(k)

(2.76)

DtW J ieşirea perturb~ată a procesului este

y(k )= q

u(k )+ C1 (q -l ~(k)

(2.77)

pentru modele~de tip MA şi 1

y(k) =

u(k )+ -::t:'il v(k) D1 \q

pentru modele AR. Introducânq

notaţiile:

A(q-1 )= fo{{q-1 pJq-1) B(q -1 )=BI (q -1 Pt (q -1) c(q-1 )=el (q-1) forma

generală

A(q-

1

(2.78)

1

(2.79)

a modelului matematic este:

)y(k)~ B(q- 1 ~(k)+C(q- 1 ~(k).

(2.80)


69

(2.81) se obţine modelul:

A(q-1 ~(k)= B(q-1~(k)+

v(>

r(k).

(2.82)

Reprezentările

din (2.80) şi (2.82) nu mai sunt minimale în comparaţie cu (2.71), însă sunt convenabile pentru identificarea proceselor utilizând metode de estimare a parametrilor. Cu aceste notaţii, dacă se cunoaşte modelul discret al procesului condus sub forma H c şi dacă se

(z-I)

notează cu

de perturbaţie, structura modelului matematic al procesului supus comenzii u k şi perturbaţi ei vk se obţine din figura 2. 9. H,.

(z-I ) funcţia de transfer a filtrului

v,

H,(d n,

u,

H" (z

... r

')

y,

Fig. 2.9

Un model stocastic de stare cu semnale stocastice v1(k) şi v2 (k) care acţionează asupra stării şi ieşirii sistemului are forma:

x(k +1)= x(k )+ ru(k )+ v 1 (k) y(k )= Cx(k )+ v 2 (k) vectori independenţi, identic având matricea de covarianţă:

distribuiţi

E~ 1 (k )vŢ (k )}= R1 E~2 (k )vf (k )}= R2

(2.83)

cu valori medii egale cu zero

şi

(2.84)

Starea iniţială x 0 a sistemului este o variabilă aleatoare necorelată cu zgomotele albe discrete v1 (k), v2 (k ), având media egală cu .X0 , E{x0 }= .X0 şi matricea de covarianţă egală cu ~:

EÎxo -x0 lx0 -x0 Y}= R0 •

INGINERIA REGLĂRJ! AUTOMATE

70

Modelul (2.83) poate fi utilizat pentru a reprezenta sisteme liniare finit dimensionate, incluzând perturbaţii stocastice cu densităţi spectrale raţionale.

2.7. Sisteme cu parametri

distribuiţi şi

cu timp mort

O clasă largă de procese inerţiale cum ar fi cuptoarele termice, coloanele de distilare şi fracţionare, reactoarele chimice, reactoarele nucleare, liniile electrice lungi, etc sunt caracterizate matematic cu ajutorul ecuaţiilor cu derivate parţiale. Variabilele de stare şi de ieşire în acest caz sunt dependente de timp şi de variabile spaţiale. Pentru a ilustra această categorie de sisteme se consideră procesul de încălzire a unei bare de dimensiuni uniforme într-un cuptor (fig. 2.10a).

X

-·-· ·-·-·-·-·-'---'-'-tii>.... ·-·-·-·-·-·-·-·-·-

·-

_..v(t)

Fig. 2.10a Distribuţiile

de temperatură de o parte şi de alta de-a lungul barei 01 (t,x) şi 02 (t,x) sunt supuse unorrestricţii tehnologice de forma 01(t,x)E[9lm• 91M] [ , t>O,xE LO,l (2.85)

l

02 (t, x) E [0 2w 0 2M j

Dacă se apelează la în lungul barci are forma:

aO(t,x) al

ecuaţia

difuziei [34],

distribuţia

de

temperatură

2

a 0(t,x) It 2 +v (t ) aO(t,x) +a [e(t,x ) -em (t,x )] ax ax

(2.86)


71

unde s-a considerat e1(t,x)=e 2(t,x)=9m(t,x) pentru dimensiuni suficient de mici ale barei, J.1 - coeficientul de difuziune, cr - coeficientul de conductivitate al materialului, iar v(t) reprezintă viteza de deplasare a barei. Condiţiile de frontieră pentru ecuaţia (2.86) au forma: e(t,O)=O, e(t,l)=g1 (r). (2.87) Pentru încălzirea staţionară a barei ( v(t) = O) şi ln ipoteza unor dimensiuni reduse ale barei se poate scrie ecuaţia distribuţiei de temperatură sub forma:

ae(t, y)

(2.88)

8t cu următoarele

condiţii

la limită:

e(t,O)=g 0 (t) e(t,h)=gh(r)

(2.89)

În aceste modele se consideră ca mărimi de comandă 91(t,x),

92(t,x), v(t), g0(t) şi gh(t), iar variabilele de stare sunt e(t,x) şi e(t,y), fiind dependente de poziţia punctului în planul x o y . Un alt exemplu de proces caracterizat prin modele cu parametrii distribuiţi este reactorul nuclear. În [ 17] sunt prezentate mai multe metode pentru modelarea reactoarelor nucleare. Liniarizarea modelelor matematice cu parametrii distribuiţi conduce la forma:

ilx(r,t) = A(r )x(r,t )+ B(r }.l(t)

(2.90)

dt

unde r reprezintă variabila spaţială definită pe corpul central al reactorului C şi x(r, t) reprezintă starea internă a reactorului. Pentru r fixat şi t, starea reprezintă un vector N- dimensional, iar A(r) este o matrice dependentă de vatiabila spaţială care implică operatori de tip difuzie. Comanda u(t) este un vector M- dimensional şi reprezintă efectul poziţionării barelor, iar B(r) este o matrice de dimensiuni corespunzătoare. Ecuaţiei (2.90) i se asociază condiţiile la limită şi condiţiile iniţiale x(r,t )=O (2.91) ŞI

(2.92) la momentul t 0 . Un alt model matematic cu parametrii 8 2u 8 2u = u 8r 2 8t 2

distribuiţi

poate fi de forma: (2.93)

INGINERIA REGLĂRI! AUTOM4TE

72

care descrie un proces de transmitere a undelor. O ecuaţiei (3. 93) poate fi pusă sub forma: U s =Ame- jro~r

soluţie simplificată

+ Bm ejwpr

a

(2.94)

unde coeficienţii Am şi Bm depind de condiţiile la limită, iar ~=.../o.. Primul termen din (2.94) reprezintă unda care se deplasează în direcţia creşterii distanţei r, iar al doilea termen reprezintă unda inversă. în cazul proceselor în care apare numai unda directă ( Bm = O) U =A e-jwpr .s

(2.95)

m

Pentru un proces de transport se poate defini la r = O intrarea şi la distanţa l ieşirea Y(l) sub forma:

u(o)

Y=Ame-jwPl,dacăU(O)=Am.

(2.96) în aceste condiţii se poate defini o funcţie de transfer sub forma: H, (s) = e- jro' (2.97) unde

T=~l.

În figura 2.10b se prezintă un proces de transport unde banda transportoare de lungime L se deplasează cu viteza v(t).

=................ ............ .,.~

•.!'•J'•· ............ •J'•.t'••

..,

~.

r

..

....\

\.11 ..J.J

..

..

. .....

v(t) L

..

r

"'

~

-!.1

Fig. 2.10b

Dacă se notează cu

-r = L timpul de transport al materialului se V

poate considera că ieşirea este întâniată cu -r , iar transportorului se poate aproxima cu: H,(s)=K,e-"

funcţia

de transfer a (2.97)

unde K, reprezintă coeficientul de transfer al procesului. În unele aplicaţii, modelele cu parametri distribuiţi pot fi aproximate cu modele liniare cu parametrii concentraţi variante în timp sau cu modele liniare cu parametri concentraţi cu timp mort.


73

Astfel, pot fi considerate modele lin iare simplificate sub forma: H P (s)

= H (sVrs

(2.98)

unde H (s) reprezintă o raţională strict proprie. O reprezentare de stare pentru sistemele cu timp mort poate fi: -~(t)=

Ax(t)+bu(t)

(2.99)

sau

i(t) = Ax(t) +bu(t- •) y(t)=cT x(t) şi

(2.100)

În cazul cel mai general modelele matematice pentru procesele lente foarte lente cu timp mort inclus în stare au forma:

i=f(x(t),x(t--.;i),u(t),u(t--.;d) y = g (x(t ),x(t- t; ),u(t ),u \11

unde

ri

şi

rk

reprezintă

timpi morţi

•d)

,

incluşi

x0

E

9\

n

(2.101)

în stare şi comenzi.

În unele aplicaţii apar (într-o formă idealizată) tranziţii intrare-ieşire de tip "propagare" de forma: y(t)=u(t-•), tEiR, r>O (2.102) unde 1: se numeşte timp mort sau timp de propagare. Funcţia de transfer asociată unui proces cu timp mort este:

H,(s)=e-u

(2.103)

o clasă de sisteme infinit dimensionale. Una dintre problemele legate de asemenea procese de "transport" este problema realizabilităţii funcţiei de transfer (2.103) printr-un sistem finit dimensional. Aceasta se reduce la "aproximarea" printr-o funcţie care

evidenţiază

raţională strict proprie sau cel mult proprie a funcţiei e -• s. Dacă notăm

plin H, a(s) funcţia de transfer ce aproximează pe H, ( s) : bn 1' O

(2.104)

atunci, ţinând seama că H r a (o)= 1, din dezvoltarea în jurul originii a acestei funcţii

Hra ( s) --1+c 1s+c 2 s 2 + .... +czns 2n

+ ....

(2.105)


74

prin identificare se

obţin relaţiile:

c1 +q =a 1 c2 +c1q +b2 =a2 Cn +cn-ll; + ... +clbn-2 +bn =an cn+l +cnbl

(2.106)

+ ... +c2bn-l +ctbn =0

P~·de.ăiiă" parte, HAs )= s-rs poate fi pusă sub forma: -ls

e deci

't'

coeficienţii c;

c1

2

2

't

3

3

't

4

4

't

2n

2n

=1-t s+-zs -6s + 24 s - ... +(Zn)!s + ....

=-.:.,u

pot fi

calculaţi 2

=.:.__,

Cz

2!

Ck

(2.107)

cu ajutorul relaţiilor

=(-l)k 21... k!

Vom spune că H,.(s) aproximează H,(s)=e--rs, cu kE

(2.108)

[o,n]

dacă

în (2.104) facem ak+I = ... =an =0, iar a 1,a 2 ,... ,ak>b1,b2 ,... ,b" se determină din primele n + k relaţii (2.1 06) în care coeficienţii c; se calculează cu (2.1 07). Astfel, dezvoltarea în jurul originii a raţional ei (2.1 04) până la puterea k a lui s coincide cu dezvoltările în jurul originii până la aceeaşi putere a lui e _,,, . O asemenea aproximare este cunoscută sub denumirea de tip Pade. Aproximaţiile Pade uzuale sunt de ordinul (2+0), (2+ 1), (! +!) şi (2+2):

1

1--TS

H,a(s)=

3 2 2 T 2 1+-n+-s 3 6 T

H Ta (s) =

1- -s 2 T

1+-s 2

T

Tz

1--s+-s

H,a(s)=

2

12 2 2 1+-s+-s 2

T

t

2

12

(2.109)


75

Oricare dintre realizările (2. 109) reprezintă o realizare finit dimensională de tip Pade, de ordinul (n + k), a lui e-TS . O altă realizare a lui e -Ţs este de forma:

H,a(s)=(

1 1+ S't

)"

cunoscută

sub denumirea de aproximarea Strejk [53]. În cazul sistemelor discrete

y(k)=u(k -d), şi

presupunând u(.) z-transformabilă, H ( z) =

z: , [ = ; l

rezultă

(2.110)

d

care pentru d ~ 1 este o funcţie raţională strict proprie. O realizare imediată a lui (2.11 O) este, de exemplu: O 1 Ol

o o

o

:1 H

oo

o]

(2.111)

Ij cu au

care ilustrează faptul că în cazul discret tranziţiile de tip propagare sistemice finit dimensionale, dimensiunea fiind egală cu numărul de

Ad E 9\dxd

realizări

paşi asociaţi

timpului de propagare (d =

f)· În anumite ipoteze, sistemele

descrise de ecuaţii cu derivate parţiale pot fi aproximate prin ecuaţii diferenţiale cu întârziere, timpul mort fiind dependent de timp şi de variabila spaţială. Un model liniar penttu un sistem monovariabil cu timp mort la intrare (timpul mort este egal cu un număr întreg de perioade de discretizare) are forma: xk+J

= {!>xk + ruk-d

(2.112) Xo E ~~n iar penttu cazul în care timpul mort apare la ieşirea procesului, are forma: Yk

= cr xk

(2.113)

lNGlNERlA REGLĂRll AUTOMATE

76

Ţinând seama de faptul că timpul mort poate fi reprezentat printr-o serie de elemente de întârziere cu un tact a cărui realizare este:

xf., = Adxf + bduk uk-d

=c

x,

se poate obţine o realizare xf+l =\l!axf +fduk O

y,

(2.114)

T d

compactă

(2.115)

T O = cdox,

unde

x2: = xkdj ERn+d; J

(nd =n+d)

(2.116)

xk

if>d=
O

re~ rd=[bol; c~O =[c~ o]. Ad d

Astfel, prezenţa timpului mort aplicat la intrare dimensiunii spaţiului stării (nd = n + d).

determină creşterea

2.8. Modele neparametrice Din categoria modelelor neparametrice utilizate pentru analiza sinteza SRA, cele mai folosite sunt: 1) caracteristicile de frecvenţă

ŞI ŞI

2) răspunsul indicial.

În acest paragraf sunt prezentate aceste două categorii de modele, evidenţiindu-se limitările şi avantajele oferite pentru analiza şi proiectarea SRA.

2.8.1. Răspunsul în

frecvenţă

(caracteristici de frecvenţă)

Considerăm

un sistem liniar caracterizat printr-o funcţie de transfer H (s) supus, la intrare, acţiunii unui senma! sinusoidal. Răspunsul la senmale sinusoidale conţine informaţii suficiente şi despre răspunsul la alte semnale. Acesta poate fi apreciat din analiza F ourier, care arată că. orice semnal definit pe un interval [to, t1l poate fi reprezentat ca o combinaţie liniară de unde sinusoidale cu frecvenţe O, ro 0 , 2ro 0 , 3ro 0 , ••. , unde ro 0 =21tl(t-t0 )

este cunoscută ca frecvenţa fundamentală. Principiul


77

superpoziţiei

permite a combina răspunsul la unde sinusoidale individuale pentru a obţine răspunsul la o formă de undă compusă. Pentru sistemul stabil descris prin funcţia de transfer de forma: m

L,bi/ H (s) = K __,i=:=O:...,-_

(2.117)

n-1

11

s +L,aJsJ j=O

considerăm o intrare sub forma exponenţială e'01

•

Pentru simplificare, considerăm că toţi polii lui H (s) sunt distincţi şi nici unul nu este egal cu s0 . În acest caz, răspw1sul sistemului se obţine sub forma:

Y(s )= H(so) + Y1 (s) s-s 0

(2.118)

unde primul termen este răspunsul permanent dat de intrarea de tip exponenţial, iar cel de-al doilea termen este răspunsul tranzitoriu. Trecând (2.118) în domeniul timp, răspunsul sistemului este: n

y(t)= H(s0 )e'01 + 2::CkeP•'

(2.119)

k=l

unde Pk , k = 1, 2, · · ·, n sunt polii lui H (s), iar ck sunt determinaţi de condiţiile iniţiale

ale sistemului

şi

de valorile coeficienţilor a j, b1 din (2.117).

Este evident că pentru un sistem stabil, cel de-al doilea termen (componenta tranzitorie a răspunsului) în (2.119) scade la zero când t--i oo. Dacă ţinem seama că: . 1 (jwt - jrot ) smmt= Zj'{ -e , răspunsul sistemului la un semnal sinusoidal poate fi calculat prin

combinarea răspunsului la u(t )= e'0' cu s0

= jw

De notat că evaluarea lui li (s) la

şi

u(t) = e-v cu s0 =- jw.

s = jw conduce la

Ull număr

complex, care poate fi reprezentat convenabil prin amplitudinea argumentul său în coordonate polare, ca H

unde

(jw) = IH (jco Jiej'PjWj

lli (jw ~

este amplitudinea, iar

şi

(2.120)

cp( ro)=- arg li (Jro) este argumentul.

INGINERIA REGLĂPJI AUTOMATE

78

Astfel, răspunsul staţionar (pennanent) la o intrare obţine din (2.119) şi (2.120):

sinusoidală

se

Yp (t) = 21j[H (jro )ejwt- H (- jw)e- jwt J=

1[!H (JWe . )/ J[rot+
=2}

=/FI (jw )/sin (rol+ cp( ro))

(2.121) în aceste condiţii, putem concluziona că o intrare sub fonnă de undă sinusoidală forţează ieşirea la o undă sinusoidală cu aceeaşi frecvenţă. Mai mult, amplitudinea undei sinusoidale de la ieşire este modificată cu un factor egal cu amplitudinea lui FI (iw) şi faza deplasată cu faza lui FI (iro). Dacă sistemul conţine timp mort, adică funcţia de transfer are fonna: m . B( ) L: b.s' (2.122) H( s ) -- e-rs A( s) -- e-rs i=O' n 1 .' 1 s sn + fa .s j=O ] atunci poate fi demonstrat că ecuaţia (2.121) devine: o' dacă t
u(t) = U msinrot unde U m este amplitudinea undei sinusoidale şi se alege astfel încât să se menţină liniaritatea modelului procesului. În cazul conservării liniarităţii, răspunsul obiectului condus este: y(t)=Ysin(wt+cp), (2.124) unde Y reprezintă amplitudinea ieşirii şi ({! este defazajul ieşirii sinusoidale faţă de intrarea u(t ).


Pentru diferite valori ale

l'î (ffii}, Y2(ffi2), ... , YN (ffiN)

79

frecvenţei,

cu Um

= const., se obţin valorile

şi respectiv cp1(ffii}, cp2(ffi2),

Y. (ffi.) 1

Reprezentarea dependenţei - 1-

um

lacaracteristica A(m),întrucât

~(ffiJ u

... , 'PN (ffiN ).

pentru diferite valori ar conduce

-

A.rffi.). l \

l

m Această caracteristică poate fi reprezentată folosind scala logaritmică şi, în consecinţă, amplitudinea se măsoară în decibeli (A dB = 20 lg A (ffi) ), iar

axa

frecvenţelor (pulsaţiilor)

se gradează în decade. În figura 2.11 sunt ilustrate caracteristicile A(ffi) şi 'P(ffi) în

reprezentare logaritmică parametric de tipul:

şi

pot fi utilizate pentru determinarea unui model

. B(jffi) H p(Jffi)= A(jffi),

(2.125)

unde coeficienţii polinoamelor A(iffi) şi B(jffi) se obţin printr-o procedură de optimizare parametrică.

Oi

-to

r

2tl

!----------~

"

\1\\)' 10 :;

"''''- ..

-

1!)'

~"racven!a

(radlnc)

Fig. 2.11

10'

INGINERIA REGLĂR!I AUTOMATE

80

Pentru construcţia unui model parametric al obiectului condus pe baza caracteristicilor de frecvenţă obţinute pe cale experimentală, se definesc erorile:

(e) za

e.

A (ro;)- Ae (ro;)

(2.126)

Ae (roi)

ŞI

(2.127) unde A ( roJ şi rp (ro,) reprezintă valori asociate unui model parametric cu parametri a;, bj de forma:

.)n +an-l (.)nl (Jro Jro + ··· + a0

(2.128)

iar Ae (roi) şi 'Pe (roi) reprezintă valorile amplitudinii şi fazei la frecvenţele

ro; , determinate experimental. Aceste caracteristici pot fi utilizate direct pentru proiectarea regulatoareior. Prin utilizarea unor criterii pătratice de tipul: Ia=

N 2 2: e. (e) sau /"' i=O za .,.

N = 2:

2

e.

i=O 1'P

(eJ'

(2.129)

şi

prin proceduri corespunzător alese pentru minimizarea unor asemenea criterii, se pot determina parametrii a;, b j ai modelului parametric. O altă metodă pentru obţinerea modelului parametric pe baza caracteristicii A (ro) presupune aproximarea caracteristicii cu asimptote pe domenii definite de frecvenţă. Punctele de intersecţie ale dreptelor ce aproximează caracteristica A(ro) definesc valorile pulsaţiilor de frângere sau singularităţile sistemului (poli şi zerouri). Pentru a ilustra aceasta metodă, considerăm un sistem ale cărui caracteristici Bode au fost determinate experimental şi au forma din figura 2. 12. Din figura 2.12 se observă că sistemul are un pol în origine (prima pantă a caracteristicii A(ro) este egală cu -20dBidec ). De asemenea, se observă că sistemul mai are doi poli şi un zero, întrucât pantele dreptelor ce aproximează A(w) pe intervale definite de frecvenţă alternează - 20dB 1dec , - 40dB 1dec , - 20dB 1dec , - 40dB 1dec .


~

-40dB/dec

•s "'' ~

l ') ">'!

fj()

81

-

a

!

: !

j

:

:

.,

..,

'

'

.,' '

~": --·----~ i~. 1~

10"'

1!'1 1

10

lilv

1'}

,,/

Fig. 2.12

de transfer ataşată unui obiect ce are caracteristica A(ro) determinată experimental în acest caz este: Forma

funcţiei

H() k(s-z 1) s s(s- P1Xs- Pz) unde IPJI
II (T;s+l)

Hp(s)=Kp

1 n·"''-"-·- - -

IT k=i

se

obţin

(Tks+l)sa

caracteristicile A(w) Adb (ro)=

şi

cp(w), în reprezentare logaritmică:

201ogjH r (Jro )j =

=20logjKrj-20alogJrol+ t20log~l+7j 2 w 2

K""l

i""i

m

- 'tzolog~l+T;w 2 ŞI

n

cp( w) = -u~ + I;arctg w'lj- I;arctg wTK. 2 i=l K--=1


82 Prezenţa

unui număr a de poli în origine în funcţia de transfer H P ( s) determină o pantă a caracteristicii Adb (w) egală cu -20a dbldecadă şi în mod corespunzător un defazaj egal cu a2: la frecvenţe joase. 2 Caracteristica logaritmică Adb (w) poate fi trasată prin aproximare, cu asimptote pentru frecvenţe joase şi frecvenţe înalte ale termenilor: (T,s + 1) respectiv ('lks + 1).

/T,w/«:1, 20iog)l+T, 2 w2 ~o, iar pentru jT,w/«:1, 20!og )1 + T, 2w2 ~ 20 logwT,, care reprezintă o dreaptă cu panta egală cu Pentru

-20 db/decadă. În mod similar se obţin cele două asimptote pentru elementele de întârziere. Astfel, pentru jwTK /;;!> 1, se obţine o dreaptă cu parte egală cu -20 dbldecadă. Cele două caracteristici A(w) şi
Este cunoscut faptul că, dacă la intrarea unui sistem liniar se aplică nule o treaptă unitară, se obţine răspunsul indicial. În cazul unui răspuns indici al supraamortizat (fig. 2.13 ), prin utilizarea unor metode de aproximare a răspunsului se poate obţine modelul parametric [19, 20, 34] sub forma unei funcţii de transfer. în

condiţii iniţiale

~,r---------------~-------------,

1~--------+----------------1

Fig. 2.13

Astfel, un asemenea răspuns poate fi aproximat cu relaţia: n

y(t)=co- 2:c1e-Ai i=l

(2.130)


83

unde c0 = y" reprezintă componenta staţionară a răspunsului indicial şi poate fi calculată direct din grafic, iar componenta tranzitorie a răspunsului conţine constantele c; şi polii funcţiei de transfer Â;, care în acest caz sunt reali şi distincţi. Transformata Laplace a răspunsului (2.130) are forma:

Y(s)= co +-c1 -+~+···+~ s s + At s + Az s + An

(2.131)

pentru determinarea constantelor c; ŞI a polilor "A;, precum şi a numărului n al acestora, are la bază metoda logaritmării succesive [89). Procedura este iterativă şi se iniţiază cu un model de ordinul întâi. Y(t)=c0 -c1e-).,r (2.132) O

şi

procedură

se introduce

funcţia

y1(t)=c0 -y(t)=c1e-?c11

(2.133)

Logaritmând (2.133) se obţine lny1 (t)=lnc1 -J..1t

(2.134)

care, în reprezentare logaritmică, defineşte o dreaptă de pantă -A1 , ce intersectează ordonata într-un punct de coordonate (In c1,O). Această dreaptă se construieşte din valorile expresiei y1 (t )= c0 - y(t) stabilite experimental şi apoi reprezentând In y 1 (t) pentru diverse valori ale timpului. Dacă diferenţa

y2 (t)=y 1(t)-c 2e-A,'

(2.135)

nu este suficient de mică, mai ales pentru valori mici ale lui t , procedura continuă luând (2.136) Yz(t)=cze-'•' respectiv

InJ5iz(t)J=lnc2 -1. 2t

(2.137)

Se reprezintă această dreaptă cu panta - ~ şi intersecţia ordonatei la punctul de valoare egală cu In c 2 • Astfel, răspunsul indicial poate fi aproximat cu -() -).r (2.138) yt =c0 -c1e-Ar'-c2e' unde c1 , c2 , Â1 şi Â 2 se determină grafic. Procedura iterativă poate ti oprită dacă diferenţa y-3 (t ) = y-2 (t ) -c3e-).,.'

(2.139) este suficient de mică, altfel procedura continuă până ce răspunsul indicial experimental este suficient de bine aproximat printr-un număr dat de exponenţiale.


84

Calculele continuă până se găseşte o diferenţă Yk (t )=O pentru toţi t. Dacă funcţia de transfer a procesului admite zerouri, punerea lor în evidenţă, după determinarea coeficienţilorc; si A.;, i=l,2,···,n, se poate face pe baza relaţiilor referitoare la condiţiile iniţiale c0 -

"

n

i=l

i=l

LC; =O; LAfCi =0; q=l,2, .... ,n-l

(2.140)

Dacă relaţiile

(2.140) nu sunt satisfăcute începând cu un anumit rang q < n, rezultă că există (n-q) zerouri şi deci forma funcţiei de transfer are forma: n n-q c0 .n "Ai .2:: (s Hi) l-1 i"'l (2.141) ( )Hs-nq n

.n Bi t=l .2:: (s +Ai)

t=l

Zerourile B. se l

determină

prin identificarea imaginii

răspunsului

Y(s) = H(s )I, în care H (s) este dat prin (2.141) cu expresia răspunsului aproximat s

Y(s)=~+~+ ... +~. s

s+A.1 s+A." O altă metodă pentru construcţia modelului matematic are la bază determinarea suprafeţelor delimitate de curba experimentală şi curba de răspuns a modelului încercat. În acest caz, se testează iniţial un model de ordinul 1, apoi unul de ordinul al 2-lea etc., până se găseşte o apropiere satisfăcătoare. Aceste metode relativ simple, cu grad redus de precizie, pornesc de la modelele de ordin inferior, mărindu-se ordinul, până la găsirea unui model acceptabil. În condiţiile în care în structura modelului matematic este cunoscută sau se acceptă o anumită structură, capabilă să descrie cu suficientă precizie dinamica procesului, apare evident cerinţa determinării parametrilor modelului, pornind de la răspunsul determinat experimental. O metodă folosită este utilizarea unor modele cu funcţii de transfer tipice, de dimensiune redusă, acceptabile pentru un număr destul de mare de procese tehnologice. Se utilizează de obicei pentru procese lente şi foarte lente, cu răspuns indicial supraamortizat, modele de forma:


85

Oricare dintre modelele (2.142) poate exprima cu precizie mai bună sau mai redusă răspunsul indicial al unui proces lent. În literatură [89] sunt prezentate metode pentru determinarea parametrilor ce intervin în aceste modele de dimensiune redusă. În figura 2.14a se prezintă răspunsul indicial al unui proces lent şi răspunsul indicial al modelului cu timp mort şi o singură constantă de timp.

K~' r-------------- ~

B

!,

rr

'

1

'

l

1

:

J

YAr---

t

'

'

!

j .

'

:

-L----~.~-~-~-

tA

t8

J t

(b)

(a)

Fig. 2.14. Dacă

5iV) este

răspunsul indicial asociat modelului, impunând ca

acest răspuns să coincidă cu răspunsul indicial obţinut experimental în puncte, se pot determina parametrii modelului cu ajutorul relaţiilor:

două

(2.143) unde (2.144)


86

O altă posibilitate pentru determinarea constantei de timp TP şi a timpului mort este aceea de a aduce tangenta la răspunsul experimental în punctul de inflexiune şi a determina astfel intersecţia acesteia cu abscisa şi cu dreapta ce defineşte valoarea staţionară a ieşirii (fig. 2.14b). În [5] se prezintă o altă metodă pentru determinarea parametrilor modelului de ordinul întâi cu timp mort. Astfel, dacă modelul procesului are forma:

Kpe-sr Hp(s)= l+sT p

urmează

HP(O)=Kp H;(O)=-Kp(r+TP)

(2.145)

H;(o)= KP (2r} + 2Tpr+r 2 ) respectiv

KP =Hp(O)

(2.146)

H; (o) r+Tp = HP (O) T

=

P

(2.147)

H; (o) -r~~~ (0))2 Hp(o) Hp(o)

Funcţia

de transfer şi derivatele acesteia în raport cu ro, pentru ro= O, se calculează din următoarele integrale: ~

~

u(o )= f u(ţ )dt

Y(O)= f y(t)dt

o

o =

u'(o)=-f tu(t )dt

~

Y(O)=-f ty(ţ)dt

o

= u"(O)= Jt 2 u(ţ)dt o împreună

(2.148)

o ~

Y"(O)= f t 2 y(t)dt o

cu ecuaţiile

r(o)=H p(o)u(o) Y'(O) = 11~ (O)U {O)+ Hp (O)U'(O) r"(o) = H; (o)u (o)+ 2H~ (o)u' (o)+ 11P (o)u"(o)

(2.149)


87

Această metodă poate fi folosită pentru semnale de intrare arbitrare. De remarcat faptul că modelele construite pe baza răspunsului indicial sau pe baza caracteristicilor de frecvenţă sunt modele ale ansamblului format din instalaţia tehnologică, traductor şi elementul de execuţie. Semnalul de intrare sub forma unei comenzi se aplică elementului de execuţie, iar variabila măsurată se obţine la ieşirea traductorului. Având în vedere că traductorul se alege în funcţie de natura fizică a variabilei din proces, care trebuie măsurată, iar elementul de execuţie se alege în funcţie de particularităţile procesului, de tipul fluxului de energie controlat de elementul de execuţie, putem spune că acest ansamblu alcătuieşte partea fixată a unui sistem de reglare, a cărei funcţie de transfer o notăm cu H P, aşa cum s-a prezentat în capitolul 1:

Hp(s )= HE(s )H rr(s )HT(s ). Principalele probleme ce apar la identificarea proceselor pe baza rezultatelor experimentale sunt: alegerea variabilelor şi a structurii modelului; proiectarea experimentului în scopul asigurării nivelului optim al variabilelor de excitaţie şi a evidenţierii tuturor regimurilor de funcţionare într-un context exogen dat; eliminarea perturbaţiilor nestaţionare şi a reducerii erorilor de măsurare a variabilelor de intrare; încadrarea variabilelor de intrare şi ieşire în domenii admisibile de variaţie impuse de particularităţile procesului tehnologic supus identificării;

alegerea semnalelor optime pentru excitarea procesului; asigurarea condiţiilor de identificabilitate a procesului în condiţiile funcţionarii acestuia sub controlul unui regulator; alegerea perioadei optime de achiziţie a informaţiilor şi a duratei experimentului; alegerea metodei optime de prelucrare a datelor ţinând seama de particularităţile modelului asociat procesului şi semnalelor exogene ce acţionează asupra acestuia; validarea modelului urmărindu-se asigurarea unei adecvanţe maxime la realitate. Aceste probleme, corelate cu multe altele de natură teoretică şi practică evidenţiază complexitatea sarcinii de identificare a proceselor tehnologice. În [89] sunt discutate detaliat asemenea probleme cu care este confruntat specialistul în automatică.


88

2.9. Erori de modelare. Incertitudini În paragrafele anterioare sunt prezentate diferite categorii de modele prin modelare analitică şi identificare experimentală, modele care aproximează funcţionarea reală a obiectelor (proceselor). Cele mai multe modele sunt obţinute ca aproximări liniare ale unor relaţii neliniare, cu valabilitate în vecinătatea unui punct de funcţionare. În alte cazuri, structura modelelor a fost simplificată, neglijând constantele de timp cu valori mici (parazite) al căror efect asupra răspunsului este nesemnificativ în raport cu efectul constantelor de valoare mare. De cele mai multe ori, modelele liniare se consideră modele invariante în timp, deşi în realitate parametrii modelului variază în timp, iar modelele cu parametri distribuiţi sunt aproximate cu modele cu parametri concentraţi. Desigur, toate aceste aproximaţii conduc la modele matematice a căror utilizare provoacă rezultate nesatisfăcătoare care, în anumite cazuri, sunt departe de realitate. Este evident că proiectarea unui regulator pe baza unui model simplificat conduce la un rezultat uşor implementabil, dar performantele obţinute în realitate pot fi total necorespunzătoare, datorită erorilor de modelare. Erorile de modelare introduc incertitudini în modelarea proceselor şi, în consecinţă, pot fi viciate rezultatele analizei sau/şi sintezei SRA pe baza modelelor simplificate. Incertitudinile pot fi grupate în două mari categorii: structurate şi nestructurate. Din categoria incertitudinilor structurate reţinem varianţa parametrilor fizici ai procesului şi reducerea dimensiunii modelului matematic. Pentru a exemplifica această clasă de incertitudini, considerăm modelul procesului: obţinute

1 ~,..--::.-

s 2 +as+l presupunem că parametrul H P (s)

ŞI

a

variază

în limitele amin , Umax :

a E [amin 'Umax ]. În aceste condiţii, spunem că modelul aparţine unei mulţimi structurate: Hp

={ s +as+l 2

1

:a . <:;a<:;amaJ mm j

iar modelul matematic este parametrizat printr-un număr finit de parametri ai cu valori cuprinse în domeniul menţionat. Incertitudinile nestructurate pot fi definite sub forma adi ti vă sau sub forma multiplicativă.


89

Dacă notăm cu Îl P(s) funcţia de transfer nominală pe baza căreia se proiectează sau se analizează un SRA, atunci definim incertitudinea aditivă sub forma: Hp(s)=Îl p(s)+LA(s) (2.150)

unde LA (s) este stabilă şi satisface condiţia:

/LA (jw)j:::;ta(w), Voo, iar la (OJ) reprezintă limita superioară a amplitudinii lui LA (joo) .

(2.151)

În acest caz, se poate defini clasa de modele cu incertitudini aditi ve sub forma:

Hp ={H p :/H p(Jro)-Îl p(Jw)/:::;ta(w)}

(2.152)

Incertitudinile multiplicative pot fi reprezentate în funcţie de LM (s ), astfel:

Hp(s)=Îlp[l+LM(s)] unde LM (s) reprezintă incertitudinea multiplicativă, este

(2.153) stabilă şi satisface

condiţia:

/LM (jw)/::::zm (ro) Clasa modelelor ce sub forma:

_!

(2.154) conţin

incertitudini multiplicative se

./H p (Jro)-Îl p (iro)/ 1
reprezintă

(2.155)

Hp- Hp.

În relaţiile de mai sus Îl P reprezintă modelul nominal utilizat pentru caracterizarea procesului. În figura 2.15 se prezintă schematic modelul matematic cu incertitudini aditive şi multiplicative.

rl

L -

u(s)

LM(s)

u(s)

+ (b)

(a)

. Fig. 2.15

~ + ~Y(s) H,(s)


90

O reprezentare mai explicită a incertitudinii multiplicative presupune descompunerea lui LM (s) sub forma: LM (s )= d(s )· W2(s) (2.156) unde W2 (s) este o funcţie de transfer stabilă, fixată, şi reprezintă o pondere, iar d(s) este o funcţie de transfer stabilă, variabilă care satisface condiţia

/ldll~

::; 1 .

În toate calculele ce iau în consideraţie incertitudinea multiplicativă vom considera că H P (s) şi fi P (s) au acelaşi număr de poli de instabilitate (incertitudinea nu introduce poli suplimentari de instabilitate). Ideea acestei reprezentări cu incertitudine multiplicativă este că &W2 defineşte perturbaţii ale procesului normalizat în raport cu unitatea: HP (2.157) -,--l=&W2 HP sau dacă 11&/L ::; 1 , atunci:

~ P (Jro) H p(Jro)

1 slw (jro)l, Vro 2

(2.158)

li

astfel că lw (Jro defineşte profilul incertitudinii. 2 Inegalitatea (2.158) descrie un disc în planul complex. La fiecare frecvenţă, punctul H P 1fi P se situează în cercul de centru 1 şi raza /W2 /. În

iw, (Jroli

este o funcţie crescătoare de ro, incertitudinea creşte cu creşterea frecvenţei. Includerea funcţiei de transfer & evidenţiază incertitudinea fazei şi acţionează ca un factor de scală asupra amplitudinii perturbaţiei (/&/ variază între O şi 1) [60]. general,

,In

, P (sl = -"---( ÂP (s l) , unde cazul în care H BP

coprime, incertitudinea poate fi

, (sl

AP

şi

B,P (s) sunt stabile,

s

inclusă

în model şi sub forma:

- Âp(sl+&l(s) (2.159) ( BP s)+& 2 s) unde & 1(s) şi & 2 (s) sunt stabile şi alături de LA (s) ŞI LM (s) reprezintă () HPs-,(

incertitudini nestructurate.


91

2.10. Exemple de modele obţinute prin modelare analitică

În cele ce urmează, sunt prezentate exemple de modele matematice obţinute pe cale analitică prin aplicarea legilor ce guvernează funcţionarea obiectelor fizice. Astfel, prin aplicarea legilor conservării masei, a energiei, a impulsului se pot obţine modele matematice sub forma unor ecuaţii diferenţiale sau ecuaţii cu derivate parţiale. Exemplul 2.2

Se consideră sistemul mecanic din figura 2.16. Presupunem că asupra masei M acţionează o forţă externă notată F;. Deplasarea h~) a masei se raportează la o poziţie de echilibru ho. Presupunem că resortul R este caracterizat prin constanta de elasticitate k , iar amortizorul A prin coeficientul de frecare vâscoasă f .

(R)

M

(A)~

h(r)

111/J/1711 Fig. 2.16 Dacă admitem că amplitudinea forţei F;~) este mică, astfel încât

deplasarea h~) faţă de ho să fie suficient de mică, astfel încât constanta de elasticitate k şi coeficientul de frecare vâscoasă f să fie independente de deplasarea h şi de viteza de deplasare a masei, se poate obţine un model matematic simplificat, de forma:


92

(2.160)

unde: 2

. 'fiorţa M -d 2-h reprezmta dt

.

. l"a;

merţw

. "fiorţa dfr •• e ecare vascoasa; f -dh reprezmta

dt kh reprezintă forţa elastică a resortului. Principul echilibrului forţelor, in ipotezele simplificatoare admise, a condus la un model liniar de ordinul doi. Dacă se consideră F; ca fiind intrarea u(t) in sistem şi h(t) se consideră ieşirea y(t) din sistem, modelul analitic ataşat structurii mecanice din figura 2.16 are forma: d2y dy f) f) M - + j-+kY\t ;u.ţ 2 dt dt

(2.161)

sau (2.162)

unde:

k -reprezintă Jf -reprezintă pulsaţia naturală;

s; 2 OJn ;

k0

;

factorul relativ de amortizare;

kM

_!_ k

reprezintă coeficientul de transfer.

Dacă deplasarea h(t) faţă de

ho

este suficient de mare, astfel încât f să

fie o funcţie de h şi h, iar k să fie o funcţie neliniară de h, modelul matematic obţinut prin aplicarea aceluiaşi principiu al echilibrului forţelor capătă forma: 2

d h ( •)dh M+ f\h,h -+k(h)·h;F; 2 dt dt ceea ce ilustrează neliniaritate şi varianţă a parametrilor.

(2.163)

Exemplul 2.3 Considerăm deplasează odată

sistemul mecanic prezentat în figura 2.17, unde masa M se cu deplasarea cartului sub acţiunea unei forţe externe.


93

y (k)

M

c

Fig. 2.17 Dacă

se notează cu y deplasarea masei M şi cu u deplasarea cartului C, in ipoteza unor amplitudini reduse ale celor două variabile, prin aplicarea legii a doua a lui Newton, se obţine: M d2y =-

dt 2

/l/ dydu )-k(y-u) dt dt

(2.164)

sau d 2y dy du (2.165) M-+ f-+ky=f-+ku 2 dt dt dt Funcţia de transfer ataşată f!~Odelului liniar al structurii mecanice considerate este: H(s)=

fs+k Ms 2 + fs+k În acest caz, parametrii modelului au semnificaţie fizică.

(2.166)

Exemplul 2.4 Se consideră sistemul de suspensie al unei motociclete, prezentat în figura 2.18. Deplasarea celor două mase m1 şi m 2 se obţine ap/icând legea a doua a lui Newton în ipoteza acţiunii unei mărimi externe u de amplitudine redusă: m1x = k 2 (y-x)+ f(:Y-x)+k 1 (u -x) 111z}i=-k 2 (y-x)-J(:Y-u)

(2.167)


94

Fig. 2.18

Aplicând transformata Laplace acestor două ecuaţii liniare în condiţii iniţiale egale cu zero, obţinem, după eliminarea variabilei intermediare x(t ), funcţia de tran~fer ataşată sistemului: k 1 (Js+k 2 ) H (s ) r u (2.168) 4 ( 3 m1m 2 s + m 1 +m 2 )Js +tk 1m 2 +(m 1 +mz)k 2 F +k1 fs+k 1k 2

Exemplul 2.5 Considerăm

sistemul din figura 2.19. În această schemă, Q1 şi Q2 sunt debitele de fluid de intrare în regim staţionar,

iar H 1 şi H 2 reprezintă nivelul în cele două rezervoare în regim staţionar. Se consideră că q;1 , q ;2 , h1 , h2 , q 1 şi q 0 au valori mici. Admitem că cele două ventile prin care se vehiculeazăjluidul de debit q1 şi q 0 au o rezistenţă R1 şi J?o, iar curgerea se consideră a fi /aminară. În aceste ipoteze, ecuaţiile ce descriu funcţionarea acestui sistem în care rezervoarele sunt considerate capacităţi, au forma: echivalentă


95

C 1dh 1 = (q; 1 - q1 )dt hl -hz Rl

=ql (2.169)

Czdhz =(ql +q;z -qo)dt hz -=qo Rz

Rezervorul l Rezervorul 2

Ei, +1~ H, +h,

Rz L_~-+~-===~d==-~~t---===ekţ==-.. ~

c

-

c

Q, + q,

-

Q,+Q,+q"

Fig. 2.19 Considerăm

ca intrări în sistem debitele qil şi q ;z, iar ca ieşiri, nivelurile

în cele două rezervoare h1 Dacă eliminăm

şi

h2 .

variabilele intermediare q 1

obţinem:

dh 1 = _1_~qn dt C1 L

_I_[h

dh 2 = dt C2

şi obţinem:

q 0 din ecuaţiile (2.169),

l

h 1 - h2 R1 J

1 - h2

R1

+q '

2

(2.170)

_!!:1._] R2

Pentru a obţine un mode! de stare, xl = ht şi xz =hz ; Yl =hl u1 =q;J şi

şi

uz =q;z; Yz =hz

selectăm:


96

(2.171)

sau x~Ax+Bu

(2.172)

y=Cx unde 1 R1C1

A= -(

R1 ~2 + Rz~J (2.173)

Exemplul2.6 Se consideră sistemul prezentat în figura 2.20. Q, =Q +q,

---~

' Fig. 2.20.


97

În regim staţionar, de bitul de intrare este Q, = Q , debitul de ieşire este Q0 = Q , iar nivelul în rezervor este H = H . Presupunem aljluidului este turbulent, caz în care:

că

regimul de curgere

Q = kJH unde k este un coeficient de proporţionalitate. Adăugarea debirului q, la intrare determină o modificare a nivelului de la H = H la H =Ii + h. Ca urmare a modificării nivelului, se modifică şi debitul/a ieşire, de la Q0 = Q la Q0 = Q +qo. Ecuaţia continuităţii se scrie în acest caz: cdH =Q.-k,fii 1 dt unde C reprezintă capacitatea rezervorului. Se obţine în acest caz un model neliniar de forma:

dli 1 dt=J(H,Q,)= CQ; O ecuaţie

kJH

-C

liniarizată pentru

dH =-J(H Q)= dt '

(2. 174)

(2.175)

(2.175) se obţine sub forma:

of (H-H)+JL(Q·

au

oQ,

1

-Q)

(2.176)

unde J(H,Q)=O

atJ

Q

k

1

oii H=f[_ =- 2CJH - ,ff{ 2C../H Q,=Q unde

2H

.

()J

R=~ şt-

Q

fJQ; H=/f_

-

Q 2CH

=--]

RC

(2.177)

1 =-

C

Q,=Q

Cu aceste aproximaţii, se

obţine:

dH = _ _ 1 (H _Ii )+_!_(Q1 dt RC C

-Q)

(2.178)

sau

1 1 dh dt =- RCh+ Cq; respectiv dh RC-+h=Rq 1 dt care reprezintă ecuaţia

liniarizată pentru sistemul considerat.

(2.179)

INGINERIA REGLĂRJ/ AUTOMATE

98 Exemplul 2. 7

Se consideră pendulul invers montat pe un cărucior acţionat electric (fig. 2.21). F, y

X

M

F(t)

Fig. 2.21 Admiţând că

masa căruciorului este M şi masa concentrată a pendulului este m se cere modelul matematic al ansamblului în prezenţa unei forţe F(t) ce acţionează asupra căruciorului. Considerăm că masa tijei pendulului este neglijabilă iar coordonatele centrului de greutate al masei pendulului sunt: xP =x+lsin8 (2.180) Yp =lcose unde 1 este lungimea tijei pendulului, iar 8 este unghiul de deviaţie al pendulului de axa verticală. Ecuaţia echilibrului forţelor pe direcţia x în prezenţa forţei externe F(t) are forma:

faţă

2

d 2x d xp M -+ m -2- = F(t) 2 dt dt dacă se neglijează forţele de frecare.

(2.181)

Dacă în ecuaţia (2.181) se introduce

2

d

~p, se obţine:

dr 2 (M + m)x- ml sin 8 *0 +mi cos 8 •ii = F(t)

Întrucât d2

.

..

-sine= -sin 8*8 2 +cos8 *8 2 dt

(2.182)


99

şi

d2

.-

..

--cos(); -cos8*8" -sin() *8 dt 2 cea de a doua ecuaţie de echilibru a cuplurilor reduse la punctul de pivotare al pendulului se obţine pornind de la evidenţierea forţelor ce acţionează asupra masei m a pendulului. Dacă notăm cu Fx forţa ce acţionează de-a lungul axei x şi cu Fy forţa ce acţionează rotaţie

pe axa y prin aplicarea celei de a doua legi a lui Newton a pendulului, se obţine: (Fx cos8J -(Fy sin8) = (mg sin 8 )* 1

mişcării

de

unde 2

xp r '2 ··] Fx = md- - = m[.X-1 sin O *8 +1 cos() *B 2 dt

d2yp

f.

..

.. 1

Fx = m - -- =m~ cosB *8" +1 sin8*sin 8 *ii J dt 2 sau după înlocuirea forţelor Fx si Fy fn ecuaţia de echilibru a cuplurilor şi unele simplificări, se obţine: micos8+ml0 = mg sine. (2.183) Modelul matematic ataşat pendulului invers în ipotezele menţionate este un model ne liniar şi are forma:

(M +m)x- ml sine *B 2 + ml cos8 *O= F(t) micos8 + m/0- mg sine= O Având în vedere că poziţia de echilibru a pendulului este obţinută pentru =0, se poate liniariza modelul în jurul acestei poziţii. Pentru a liniariza modelul matematic pentru 8(t )=o O, scriem mai întâi ecuaţiile (2.182) şi (2.183) sub forma:

e

~ + m- m cos 2 e F= F(t )+ ml sin e *B2 -

mg cos e sin 8

şi

[mi cos 2 e-(M +m)t)e = F(t )case -(M + m)g sine +mi case sine sau ..

F(t)+mlsine•!F -mgcosesin8

X=-'-'---------";:-2

M +m-mcos e

O= F case -(M +m)g sine +mlcose sine m/cos 2 e-(M +m)l Prin alegerea ca variabile de stare x 1 =(J,x 2 =0,x 3 =x si x4 =X


100

se obţine modelul- intrare- stare - ieşire sub forma: xz

Fcosx1 -(M +m)gsinx 1 +mlcosx1 sinx1xÎ mlcosx4 -(M +m)l

sau

.X= J(x(t} F(t ))= J(x~ }u~ )), se notează prin u(t) forţa de activare a căruciorului. sunt respectiv

dacă

y(t)=[e Xj

Ieşirile

sistemului 8 si x

JLc*x=[!0 o0 o1 o]*x 0

Modelul liniarizat în jurul poziţiei de echilibru (x 0 , u 0 ) se obţine cu uşurinţă dacă se calculează derivatele funcţiei vectoriale f(x,u) în acest punct de echilibru. Astfel, elementele matricei Jacobian

iljl

se calculează cu

si ilfl

ax!X{),UQ

au XQ,UQ

relaţiile:

ilfl =0 il!J =O ax1

'ax1

a12 -usinx1 -(M +m)gcosx1 +ml(-sin 2 x1 +cos 2 x 1 )x;Î -ax-1 = [mtcos 2 x 1 -(M +m)l] 2 ucosx 1 -(M +m)gsinx1 +mlcosx1 sinx1.xÎ [

aj4

_

ax!-

2

Jz - (M + m)l

lml cos x 1 mlcosx1x:Î -mg(-sin 2 x 1 +cos 2 x 1)_

*

.

2mlcosx1 smx1

[M +m-mcos 2 x 1f

[u + ml sin x1xi - mg cos sx1 sin xJ- 2m cos x1 sin xJ.

[M + m -mcos 2 x1f

Prima coloana a matricei A a sistemului liniarizat se obţine pentru (x 0 , u0 ), dacă se calculează cele patru componente pentru e = O, u =O : =O ajj

' ilx1 xo,u 0

(M +m)g ah = MI ' ilx1

x0 ,u0

=O si ilf4

ilxXX

= XQUQ

mg M


101

În mod similar se calculează celelalte componente ale matricei A şi se obţine:

o

o o o o o o o 1 o o o 1

(M +m)g A=

MI

o -mg

M Pentru calculul matricei B se evaluează:

i1fzl

iJfi 1

i11J 1

au xouo ' au xouo 'Tu xouo

şi

. Sl

iJ/41 au

XQUo

se obţine:

o

o cosx1

1 MI

2

B=

mlcos x 1 -(M +m)l

=

o

o

1

1 2

M +m-mcos x 1

j xo,uo

M

Dacă

se notează prin 0x deviaţia stării faiă de starea zero si 0x, variaţia comenzii faţă de comanda iniţială u 0 =O, se obţine modelul matematic liniarizat: &= A8x+Bt5u sau .X= Ax+Bu y=Cx reprezintă un sistem standard liniar invariant în timp. O formă simplificată, liniarizată se obţine şi dacă în ecuaţiile (2.182) şi (2.183) se consideră

care

e "' osi sin e "' e ' cos e "" 1, e.e z o: (M+m)x+mlB=F(t) şi mi+mtă =mg8.

X(s) . H 2 ( S )8(s) de transfer H 1 (5·)---SI - - - se F(s) F(s) iniţiale egale cu zero, sub forma:

Funcţiile condiţii

H (s) = 1

Hz(s)=

mg -mls 2 (M +mXmg -mls }

1

2

+m 2 ls

obţin,

4

(M +m)g -Mls 2 Aceste fUncţii de transfer evidenţiază instabilitatea sistemului.

pentru

3.

PERFORMANTELE SRA ,

3.1. Introducere Aşa

cum s-a menţionat în capitolul 1, pentru proiectarea unui SRA se impune definirea obiectivelor şi a cerinţelor de performanţă necesare în alegerea celei mai bune soluţii de automatizare. Pentru structurile de reglare convenţionale, în cadrul cărora se utilizează algoritmi standard PI sau PID, se impune acordarea acestora astfel încât anumite performanţe să fie realizate. În cazul general al sintezei structurii şi strategiei de reglare/conducere a unui proces, selectarea modalităţilor de exprimare a cerinţelor de performanţă se realizează în funcţie de particularităţile obiectului condus şi de modelul matematic ataşat acestuia. Referitor la un SRA, obiectivele esenţiale calitative ale acestuia sunt: - rejecţia perturbaţiilor şi - urmărirea referinţei. Desigur, pentru proiectarea sistemelor de reglare automată şi adoptarea soluţiei de automatizare a unui proces, pe lângă aceste obiective calitative, se vor include şi cerinţe specifice referitoare la siguranţa în funcţionare, calitatea producţiei, operabilitatea procesului, conformitate cu standardele de mediu etc. Astfel, la proiectarea unui SRA trebuie avute în vedere nu numai aspectele specifice alegerii algoritmului de reglare (conducere), ci şi întregul ansamblu de măsuri ce conferă soluţiei de automatizare fiabilitate şi robusteţe, operabilitatea sigură în regimuri critice de funcţionare şi, nu în ultimul rând, costuri minime. Putem afirma că o soluţie de automatizare trebuie să satisfacă, atât cerinţe generale impuse de particularităţile instalaţiei tehnologice şi de mediul în care evoluează, cât şi cerinţe de performanţă specifice ataşate regimului optim de funcţionare într-un context de perturbaţii precizate. Cerinţele de performanţă ataşate unui SRA vor fi definite în raport cu anumite mărimi exogene (referinţe, perturbaţii) ce acţionează asupra SRA.

Performanţele

SRA

103

Pornind de la formularea problemei de proiectare pentru o structură standard de SRA (fig. 3.1a), se pot defini cerinţele de performanţă în raport cu evoluţia mărimilor de calitate y . Astfel, cerinţele calitative de performanţă care sunt: stabilitatea asimptotică, precizia, performanţele tranzitorii, robusteţea stabilităţii şi a performanţelor tranzitorii, se pot materializa în criterii locale sau globale de performanţă, ce includ variabilele de calitate y . Dându-se modelul H P (s) ataşat procesului condus, se cere regulatorul caracterizat prin H R (s ), astfel încât, pentru exogenul definit prin semnalele w, să se asigure evoluţia dorită a mărimilor de calitate (reglate) y . Prin prelucrarea mărimilor măsurate y se generează comenzile u care asigură evoluţia dorită mărimilor

O

structură detaliată

evidenţiază

toate într-un SRA.

mărimile

y.

a SRA cu un singur grad de libertate (fig. 3.1 b) exogene şi, evident, reacţia negativă inerentă

y

w .1

Hp(s)

.. ~

1

y

u HR(s)

... ~

(a) V2

R(s) +

U(s)

e(s) H,(s)

x,

v,

+

+

H,(s)

+

Y(s)

+

N(s) (b)

Fig.3.1

Este de menţionat că reacţia negativă are o serie de proprietăţi benefice, printre care capacitatea de a reduce efectul perturbaţiilor, de a descreşte sensibilitatea la erorile de modelare sau de a stabiliza un sistem instabil.


104

În figura 3.1b sunt prezentate funcţiile de transfer (matricele de transfer pentru cazul sistemelor cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri) ale procesului condus H P (s) şi ale regulatorului H R (s ). Admitem, într-o primă etapă, că modelarea procesului se realizează fără erori, adică H P (s) = IÎ P (s),

iar H P (s) şi H R (s) sunt raţionale în formă minimală (ireductibile):

- Bp(s)

H P (s ) --(-) AP s

(3.1)

şi

HR(s)= QR(s) PR(s) unde polinoamele QR (s)

(3.2) şi

PR (s) au dimensiuni corespunzătoare.

Dacă

se consideră x 0 starea iniţială a procesului, pot fi scnse relaţiile între variabilele de interes sub forma:

Y(s)=Hp(sp(s)+Hp(s)v2 (s)+V1(s)+ F(s,())

(3.3)

U(s )= HR(s )R(s)- HR(s )Y(s )- HR(s )N(s)

(3.4)

AP s

sau

U(s)= HR(s{ R(s)- N(s)- HP (sp(s)- V1 (s)- HP (s)vz(s)- Ft~>) l(3.5) unde F ( s,x0 ) este o funcţie liniară de starea iniţială, V1 (s) şi V2 (s) reprezintă transformatele Laplace ale perturbaţiilor care acţionează la ieşirea şi la intrarea procesului, N(s) reprezintă transformata Laplace a zgomotului de măsură, iar R(s) reprezintă transformata Laplace a referinţei. Cele două ecuaţii pot fi rezolvate şi aduse la forma:

U(s)=

H(js) ( )[R(s)-N(s)-V1 (s)-Hp(s)v2 (s) F(s,())] 1+HpsHRs Aps

(3.6)

şi

.

[ HP (s Y(s)

)H R(s XR(s )- N(s ))+ V(s )+ H (s )v (s )+ Ft~))J 1

() () 1+HpsHRs

P

2

(3.7)

Arhitectura cu un singur grad de libertate prezentată în figura 3.1b reflectă faptul că există un singur grad de libertate disponibil pentru a asigura forma dorită a două funcţii de transfer de la R(s) şi N(s) la Y(s) şi de la V1 (s) şi V2 (s) la Y(s ). Prin urmare, dacă funcţia de transfer HR (s) a

Performanţele

SRA

regulatorului este cu referinţa

105

proiectată

pentru a asigura un

răspuns

particular în raport

Y(s)=H 0(s).R(s)

HR(s)Hp(s) ·R(s) 1+H 8 (s)Hp(s) ( ) H R (s )H P (s) 0 H s 1+ HR (s )H P (s)

atunci aceasta induce un

răspuns

(3.8)

necontrolat în raport cu

perturbaţia

de

ieşire:

(3.9) fără

nici un grad de libertate. Pentru a asigura comportarea dorită a SRA, atât în raport cu referinţa, cât şi în raport cu perturbaţia, pentru a satisface cele două obiective majore, rejecţia perturbaţiilor şi urmărirea referinţei, se adoptă o arhitectură de SRA cu două grade de libertate (fig. 3.2).

H,(s)

ii(s)

Y(s)

H,(s)

N(s)

Y. (s)

+-Fig. 3.2 Relaţiile ce definesc evoluţia variabilelor mărimile

Y(s)

şi

U(s) în raport cu

l ()

exogene şi starea iniţială x 0 , în acest caz, au forma:

() 1 F(s,x 0 )) () Hp(s)HR(s)H,(s) Rs+ Ys= V1 s+ + 1 + H p(s )H R (,) 1+ HR (s )H P (s) AP (s) +

HP (s) ( ) HP (s )H R (s) ( ) ~sNs l + H P (s )Il R (s) 1+ H P (s )H R (s)

(3.10)


106

Din analiza relaţiilor (3.10) şi (3.11) rezultă că H R (s) poate fi selectată pentru a asigura comportarea dorită în raport cu perturbaţi a, iar H r ( s) poate fi selectată pentru a asigura comportarea dorită în raport cu referinţa. De remarcat faptul că şi în cadrul arhitecturilor cu două grade de libertate rămân funcţii de transfer ce nu pot fi modificate independent. Astfel, H R (s) poate fi folosită pentru a asigura răspunsul dorit în raport cu una din perturbaţiile V1 (s), V2 (s) sau N(s ), însă odată selectată, restul relaţiilor nu pot fi modificate independent. Din relaţiile (3.10) şi (3.!1) observăm că pot fi definite următoarele funcţii de sensibilitate:

T(s )·= HR(s )H p(s) = 8 P (s X!R (s) . 1+ HR(s )H p (s) Bp(s X2R (s )+A P(s )PR (s) 1 Ap(s)PR(s) Ss· () . 1+HR(s)Hp(s)- Bp(sk!R(s)+Ap(s)PR(s)

(3.12) (3.13)

( )·HP(s) Bp(s)PR(s) Sz s .-l+HR(s)Hp(s)- Bp(sk!R(s)+Ap(s)PR(s) HR(s) _ QR(s)AP(s) u . 1+HR(s)Hp(s) Bp(sk!R(s)+Ap(s)PR(s) unde s;(s) reprezintă funcţiile de sensibilitate, iar T(s)

(3.14)

S (s)·=

(3.15) reprezintă funcţia de

sensibilitate complementară. în cazul modelării proceselor fără erori, spunem că s(s) şi T(s) sunt nominale. Polinomul a0 (s) := BP (s)QR (s) + AP (s )PR (s) reprezintă polinomul caracteristic al sistemului în circuit închis. Prezintă interes pentru analiza SRA sistemului deschis:

._Y(s) _ _ QR(s)Bp(s) Hd (s ).- - () - HR(s )H P(s)- ( ) ( ) E s PR sAp s

şi

funcţia

de transfer a

(3 .16)

între funcţiile de sensibilitate definite mai sus există următoarele relaţii: s(s)+T(s)=l (3.17)

S2 (s)=S(s)H p(s)= T(s()) HR s

(3.18)

S" (s)= S(s )H R (s)= T(s()) HP s

(3.!9)

Performanţele

SRA

107

Cu aceste funcţii de sensibilitate definite, fi rescrise sub forma:

Y(s )~ T(s XH, (s )R(s )- N(s )]+ S(s { V1 (s )+

relaţiile

(3.10)

şi

(3.11) pot

F~:&>)]+ S (s Yz (s) 2

(3.20)

ŞI

U(s )~ Su (s {11, (s )R(s )- N(s )- 1 (s )- HP (s )v2 (s)

V

Ft(.))]

(3.21)

Se observă că ieşirile Y(s) şi U(s) din proces şi regulator sunt influenţate de condiţiile iniţiale ale procesului prin relaţiile date de: S(s )· F(s ..xo) F(s,xok>R(s) (3.22)

Ap(s) Bp(s X;l8 (s )+ AP(s )P8(s) F(s, x0 ) -s . F(s, x0 ) u Ap(s) Bp(sX;l 8 (s)+Ap(s)PR(s)

(3.23)

Practic, în toate relaţiile deduse anterior intervine polinomul caracteristic a (s) al SRA. Acest polinom, împreună cu polinoamele 0 Q8 (s), PR(s), Bp(s) şi Ap(s) determină caracteristicile tranzitorii, stabilitatea şi precizia SRA pentru diferite mărimi exogene. Comportarea SRA poate fi descrisă compact prin modelul matricea!:

Y(s)J 1 U(s) l+Hp(s)HR(s).

Hp(s)HR(s) HP(s) H8 (s) -Hp(s)HR(s)

H,(s)R(s) (3.24 ) -Hp(s)HR(s) Vz(s) \1 (s) -HR(s) N(s)

Analiza SRA presupune a verifica stabilitatea, preczzta, comportarea tranzitorie şi robusteţea şi a evalua valorile unor indicatori de performanţă care să încadreze comportarea sistemului în domeniul admisibil sau inadmisibil. În cazul proiectării se aleg indicatorii (criteriile) de performanţă care trebuie realizaţi prin selectarea arhitecturii SRA şi a strategiei dereglare (conducere).

3.2. Stabilitatea SRA dacă

Spunem, prin definiţie, că un SRA este intern stabil dacă şi numai toate cele opt funcţii de transfer din ecuaţia matriceala (3 .24) sunt


108

stabile. Această definiţie este echivalentă cu cerinţa ca toate semnalele în bucla dereglare să fie limitate pentru orice mulţime de mărimi exogene r(ţ ), v1(t), v2 (t) şi n(t) limitate. Se poate uşor observa din (3.24) şi (3.12)- (3.15) că sistemul închis este intern stabil dacă şi numai dacă polinomul caracteristic

a0 (s) := BP (s)QR (s )+ AP (s )PR (s) are factori stabili (zerourile situate în semiplanul stâng al planului complex). Demonstraţia acestei leme rezultă imediat din ecuaţia (3.24) şi din definiţia stabilităţii interne. Astfel, condiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie intern stabil este ca rădăcinile ecuaţiei: Bp(s)QR(s)+AP(s)PR(s);o (3.25) să fie situate în semiplanul stâng al planului complex. De notat că ideea de stabilitate internă implică mai mult decât stabilitatea funcţiei de transfer în raport cu referinţa ( H0 (s)"' T(s) ). În plus, se cere să nu existe compensări de poli instabili între modelul procesului şi modelul regulatorului. Polinomul caracteristic al sistemului poate fi scris sub forma: Cto ( s) = sn + an_;sn~J + ... + O.o (3.26) sau dacă le,,

i

= 1,

2, · · ·, n reprezintă zerouri le lui a 0 ( s) :

n

uo(s)= n(s-?ci)

(3.27)

1=1

Rădăcinile

?c, pot fi reale şi/sau complex conjugate, iar dacă toate sunt situate în semiplanul stâng al planului complex, rezultă următoarea forma a lui u0 ( s):

admitem

că

(3.28) ao(s)=,~(s+/rd),~((s+Jcr,/) +ro:) unde \ =-lrJ i=l,2,···,n 1 reprezintă rădăcinile reale ŞI An, +i =-Iad+ }ro,, i = 1, 2, · ··, n 2 reprezintă rădăcinile complexe cu partea 2

reală negativă.

Se poate observa că u0 (s) este alcătuit din produsul factorilor de ordinul întâi şi de ordinul doi, iar coeficienţii a. sunt reali şi pozitivi. l

Proprietatea ca toţi coeficienţii polinomului caracteristic să fie pozitivi reprezintă o condiţie necesară ca polinomul a0 ( s) să fie un polinom Hurwitz [46]. Ţinând seama de relaţiile între coeficienţi şi rădăcinile unui polinom, se poate deduce condiţia necesară şi suficientă pentru ca un SRA cu

Performanţele

SRA

109

polinomul caracteristic a0 ( s) să fie intern stabil. În acest sens, criteriul Routh-Hurwitz [20, 46] permite evaluarea stabilităţii sau instabilităţii interne a unui SRA. Pentru analiza stabilităţii relative (gradul de stabilitate) a unui SRA, se pot utiliza caracteristicile de frecvenţă.

3.2.1. Stabilitatea relllJiY!i a SRA .

t;-""

f''~'r'.c

r-t:s-

Este evi6ent faptul că ~;~iectarea unui SRA urmăreşte în primul rând ca sistemul închis să fie stabil. În particular, este de dorit a obţine criterii cantitative care să permită evaluarea gradului de stabilitate, adică a cuantifica stabilitatea relativă. Folosind reprezentarea polară a funcţiei de transfer H d (s )= H R (s )H P (s) în confonnitate cu criteriul Nyquist, se poate aprecia stabilitatea sistemului închis caracterizat prin H 0 (s )= H d (s~). l+Hd s

Conform criteriului Nyquist [91 ], spunem că un sistem închis este ~( stabil în cazul în care H As) nu conţine poli în semiplanul drept, dacă locul f de transfer ataşat sistemului deschis nu înconjoară punctul critic (-1,0) atunci când ro variază de la - oo la + oo • Dacă H d (s) conţine p poli în semiplanul drept, atunci condiţia necesară şi suficientă ca sistemul închis să fie intern stabil este ca locul de transfer să înconjoare punctul critic (-1,0) de p ori în sens antiorar (trigonometric), când ro variază de la - oo la + oo. În ambele cazuri este necesar ca în sistemul deschis să nu existe compensări de singularităţi instabile. Dacă locul Nyquist (locul de transfer) trece prin punctul critic (-1,0) există o frecvenţă ro E iR, astfel ca [1+ H 8 (jw 0 ) H P ( jw0 )) = 0

o, adică sistemul

închis are poli plasaţi pe axa imaginară. Această situaţie este cunoscută ca "limita de stabilitate" sau "conditia de stabilitate critică". În figura 3.3 se prezintă locul de transfer al unui SRA stabil cu lid (s) stabil. Dacă se, noteaz~: , . \ to\) ~"'"'' ,, """ \1>''-'"· ' j A-Il \1.1( ur"\ "' '0 roc - pulsaţia pentru care d (}roc) = 1 şi ::>J "'() ~ "' - w 1

IH

III

\Jd.(UJ~

'

ron - pulsaţia pentru care cp( ron) = arg[ H d ( Jron) j = -·180 ~ se pot introduce indicatori cantitati vi pentru evaluarea gradului de stabilitati?! al SRA. ,, \ Vv' , V~\ w" 1 ~ o("' \tM,)

U~(v~

a


110

Astfel, în situaţia că sistemul este stabil, se definesc marginea de amplitudine MA (ro) şi marginea de fază M 'P (ro): 1

(3.29)

şi

(3.30) Aceşti indicatori furnizează informaţii privind comportarea SRA în raport cu un sistem la limita de stabilitate. Astfel, marginea de amplitudine indică necesarul de amplificare ce ar putea conduce SRA la limita de stabilitate, iar marginea de fază indică o rezervă de fază până la atingerea limitei de stabilitate ( rp( ro) ~-rr ).

Im

Im

1 1 1

-~

..

Re

. Re

, , ,

(a)

Fig. 3.3

Este evident că ambii indicatori, pentru a asigura stabilitatea, trebuie să fie pozitivi. Întrucât marginea de amplitudine se măsoară în decibeli,

rezultă că JHd (jmrr)/
/H d(jro)/ = 1,

uzuale

şi

faza

M rp

ale

acestor indicatori =(30" +60" ). Aceste valori

rp( w) =(120° +150°), iar când

de

arată

calitate sunt: că atunci când

arg[Hd (JroJ] = -!80°,

amplitudinea are valori între 0.25 şi 0.63. Un alt indicator pentru stabilitatea relativă este prezentat în figura 3.3b.

Performanţele

SRA

De observat

111

că

un vector din (-1,0) la H d

corespunde la 1+ H d {iw1)

,

r.

adică la /S {Jw1

~·

(iw1).

pentru

w=w,,

Astfel, raza 17 a cercului

tangent la locul de transfer reprezintă valoarea maximă a lui

/Sr 1 • Cu cât

amplitudinea lui S este mai mare, cu atât sistemul este mai aproape de instabilitate. Marginile de stabilitate MA şi M"' pot fi definite şi în planul caracteristicilor logaritmi ce A (w) şi 'P( w) (caracteristici Bode).

În figura 3.4 sunt evidenţiate cele două mărimi ce definesc indicatorii pentru stabilitatea relativă. ~'\

::::.

•oo

"~ •

13&

'' '

~

~

uf'.; ,__- ~

M, 180

- ___ , ___ - -'

10

'

1o

''

~

,,

'" , o~

Frecven!ă

''"' ···'-'

(fadls<>c)

liig. 3.4

Cei doi indicatori de calitate pot fi sub forma: MA '2MAo

utilizaţi

pentru proiectarea SRA

(3.31)

M'/1 '2 MifJO

unde MAo

şi

M ifJO reprezintă valori limită acceptabile pentru realizarea unui

grad de stabilitate dorit pentru sistemul închis. În domeniul frecvenţelor pot fi utilizaţi şi alţi indicatori de calitate care să permită evaluarea comportării unui SRA. Astfel, se pot defini valoarea de vârf a amplificării SRA şi banda de frecvenţe wB (fig. 3.5):


112

•

Mv

•

w, -

•

w

8

= maxiTUwr Jl = maxiHo (jwr )1, unde de rezonanţă - reprezintă valoarea

(3.32)

pulsaţiile

M ( w 8 ) = .fi M 0 .

2

De remarcat fuptul

frecvenţei

că, cu cât

pentru care amplitudinea

M, este mai mare, gradul de

stabilitate este mai redus, iar cu cât w8 este mai mare, cu atât comportarea în raport cu referinţa este mai bună şi mai proastă în raport cu zgomotele (v. § 3.1). M M,

------------------=:--:="--.------.-----'' '

Mo

'' ' ''

i

f ~

t~

i'

!

~~~~ ~ ~~~~~~~~~ t~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~

1

L____

:

l

_J.__

-

(J)r

:

_jJ (J)b (J)

Fig. 3.5

Drept indicatori de calitate pentru proiectarea SRA pot fi folosiţi, astful, şi:

Mv :S:Mvo (J) B

[

E W ~ ' ro llz

(3.33)

l

Cu cât w8 este mai mare, cu atât durata regimului tranzitoriu este mai mică. Dacă se doreşte o comportare optimă a SRA în raport cu referinţa, neglijând efectul perturbaţiilor, inclusiv al zgomotului, se poate cere pentru w8 îndeplinirea condiţiei ro 8 2:rollo. În acest caz, ro 80 şi M,0 sunt indicatori acceptabili (valori satisfăcătoare ale SRA.

limită)

pentru realizarea unor

performanţe

Performanţele

SRA

113

3.3. Precizia SRA în regim

staţionar

(permanent)

Orice SRA are ca obiective rejecţia perturbaţiilor şi urmărirea Abaterea faţă de regimul staţionar fixat prin program este un indicator important pentru aprecierea calităţii SRA în regim staţionar. Pentru diferite tipuri de intrări, un SRA răspunde diferit şi eroarea în regim staţionar pentru intrări de tip treaptă sau în regim permanent pentru intrări de tip rampă şi parabolă pot fi egale cu zero sau diferite de zero. Teoretic, este de dorit ca un SRA să aibă capacitatea de a răspunde la schimbări în poziţie, viteză şi acceleraţie cu eroare egală cu zero în regim staţionar. În practică este nerealist să impunem asemenea cerinţe severe de performanţă, având în vedere că întotdeauna un SRA este supus acţiunii unor mărimi de tip treaptă (poziţie), rampă (viteză) şi parabolă (acceleraţie), fiind dificilă satisfacerea cerinţei de eroare egală cu zero, simultan pentru toate cele trei tipuri de semnale polinomiale. Pentru a evidenţia calitatea comportării unui SRA în regim staţionar (permanent) şi a selecta indicatori de performanţă, presupunem că SRA este stabil şi este caracterizat prin funcţiile de transfer HAs) şi H 0 (s). Pentru cazul în care funcţia de transfer a căii directe H As) poate fi pusă sub forma: referinţei.

Hd(s)=

[ /

1

kd(l+-7;s)\l+T2s)···(l+1;ns)

(3.34)

2 2 0

T s +21;T0 s+l (l+T.s)(I+Tbs)···(I+Tqs)

sau

() kd~(s) Hd s = sa?z(s)

Qd(s) Pd(s)'

(3.35)

unde P1 (s) şi P2 (s) sunt polinoame cu proprietatea că ~(o)= P2 (o)= 1 şi a reprezintă numărul de poli în originea planului complex, se calculează s(s) cu relaţia: 1

S (s) = -1_,_-,H--'-d-;(-cs)

(3.36)

De remarcat faptul că valoarea lui a defineşte tipul sistemului. Pentru a=O, sistemul este de tip 'zero' (pe calea directă nu există nici un integrator), pentru a=! sistemul este de tip 'unu' (calea directă conţine un integrator), sistemul este de tip 'doi' (calea directă conţine două integratoare) ş.a.m.d. În continuare, considerăm structura de SRA cu un grad de libertate (fig. 3.1), unde H 8 (s) şi H p(s) au senmificaţia cunoscută.


114

Întrucât admitem că SRA este stabil, se poate aplica teorema valorii finale pentru calculul erorii în regim staţionar (permanent): e = Iim e(t) = Iim se(s) st t-+oo s--+0 sau (3.37) În practică nu se proiectează sisteme de reglare automata cu a> 2 , având în vedere dificultăţile de stabilizare a sistemului care conţine mai mult de două integratoare pe calea directă. Se poate realiza un compromis între precizia în regim staţionar şi stabilitatea relativă (gradul de stabilitate). Pentru intrare treaptă unitară R(s )=_!_,din (3.37), s

e

st

obţinem:

. 1/ s 1tm s---;-;s-+0 1+Hd(s)

=

(3.38)

Termenul Iim H As) este definit coeficient eroare de poziţie şi se S->0

notează

cu kp: kp = limHd(s)

(3.39)

s->0

staţionar

Astfel, eroarea în regim sistem de tip zero este: Est

pentru intrare

treaptă unitară şi

1

=--=S(O)=ep

(3.40)

1+kp Este de remarcat faptul eroare la poziţie este infinit.

Pentru intrare

un

că

pentru a= 1

rampă unitară

şi

a= 2, coeficientul de

1 R(s) = s 2 , eroarea în regim permanent

eP se obţine: . 1/s2 =ev = s-0 hm s 1+Hd ( s )

1 (3.41) Iim sHd ( s ) s-+0 Prin definiţie, Iim sH d (s) = k, reprezintă coeficientul de eroare la viteză. f.p

s->0

Astfel, pentru intrarea (permanent) este: 1

e =V

k

V

rampă unitară,

eroarea în regim

staţionar

(3.42)

Performanţele

SRA

115

Pentru sisteme de tip 'unu' (a= 1 ), eroarea în regim permanent (eroarea la viteză) este finită şi egală cu inversul coeficientului de eroare la viteză. Pentru a> 1, coeficientul de eroare la viteză devine "" şi, în consecinţă, eroarea este egală cu zero.

Pentru intrare

parabolă unitară R(s)

=-+s , eroarea

în regim

permanent (eroarea la acceleraţie) se calculează cu relaţia: . 11 s 3 1 (3.43) f.p=oea= hm s ( ). 2 s->0 l+Hd s Iim s Hd(s) s-.0 Dacă notăm prin ka =Iim s 2 H d (s) coeficientul de eroare la s->0

acceleraţie,

eroarea se va calcula cu relaţia:

1 e =a k a

(3.44)

Ca şi în cazurile anterioare, pentru a> 2 se obţine eroare zero, întrucât coeficientul de eroare la acceleraţie devine infinit. O sinteză a analizei valorii erorii pentru diferite tipuri de tipuri de sisteme este prezentată în tabelul 3 .1.

egală

cu

intrări şi

Tabelul3.1

~ )

1 -

-

s

1

s2

-

1

s3

1

o

--

1

o

2

o

1+kp

00

-

00

1

kv

o

00

1

ka

Din tabel rezultă cu uşurinţă că, în raport cu referinţa pentru intrări se obţine eroare staţionară egală cu zero numai dacă pe calea directă este inclus cel puţin un integrator. Pentru intrare rampă, se obţine eroare la viteză egală cu zero numai dacă pe calea directă se includ cel puţin două integratoare. De observat că pentru intrare parabolă, sistemele de tip 'doi' prezintă eroare la acceleraţie finită. Se poate remarca din tabelul 3.1 că eroarea într-un SRA poate fi egală cu zero, poate fi finită sau infinită. Este important de observat că, dacă de tip

treaptă,


116

intrările nu sunt unitare, erorile în regim staţionar sunt proporţionale cu amplitudinea acestora, întrucât analizăm sisteme liniare. Pentru o intrare compusă, având toate componentele (poziţie, viteză, acceleraţie) sub forma:

r(t )= Au(t )+ Btu(t )+.!. Ct 2 u(t) (3.45) 2 unde u(t) este semnalul unitar şi coeficienţii A, B şi C definesc amplificările

acestor componente, se obţine răspunsul staţionar prin considerarea componente separat şi aplicând principiul superpoziţiei. Astfel: e

st

=A

1

(

1+ Iim Hd s)

s--+0

+B

1 Iim sHd(s)

1

+ c---."2' - - -

s->0

fiecărei

(3.46)

Iim s H (s)

s--+0

d

sau A

e =--+oo+oo pentru (a= O) 1+k

st

e

st

sst

=

p

B k

0+-+oo

pentru (a= 1)

V

=

c

O+O +k

pentru (a= 2 ) .

a

Se poate observa că pentru diferite tipuri de sisteme pot fi urmărite anumite intrări cu eroare zero sau eroare finită. Coeficienţii de eroare pot fi calculaţi , aşa cum s-a arătat, în funcţie de H d (s), dar pot fi calculaţi şi în funcţie de configuraţia polilor şi zerouri lor funcţiei de transfer H 0 (s). Considerăm că toate singularităţile SRA sunt situate în semiplanul stâng. Pentru acest demers vom considera relaţia:

T(s )= 1- S(s) sau

Y(s) =l- E(s) R(s) R(s) unde

T(s) = ko (s + Zj Xs + Zz )· .. (s + Zm) = ko n:l (s + z;) (s+ Pl Xs+ P2 )···(s+ Pn) n;;j (s+ p j)

(3.47)

iar funcţia de sensibilitate S(s) se dezvoltă în serie de puteri în s sub forma: 1 1 1 1 S(s)= o=co+cls+czs 2 +···=-- + - s+--s 2 +··· (3.48) I+Hd s I+kp kv ka

Performanţele

SRA

117

Cu aceste elemente precizate, vom determina relaţia între coeficienţii kp, kv, ka şi polii şi zero urile SRA.

Coeficientul de eroare la poziţie kp Să considerăm

s(s) pentru s =O:

1 E~o)) = Iim ( )R,o ,_,o 1+ Hd s

s(o)

(3.49)

sau ţinând seama de definiţia coeficientului kp: 1 s(o)=-

1+kp Ţinând seama de relaţia existentă între

(3.50)

T(O)

şi

s(o ), se obţine:

T(O)= Y(O) =~ R(o) 1+kp

(3.51)

sau _ r(o)

k

(3.52)

P -1-T(ă)

Dacă ţinem poziţie

seama de (3 .4 7), se

obţine

coeficientul de eroare la

sub forma:

p-n" kon:~zinmi=Jzi

k -

(3.53)

J=JpJ-ko

unde k 0 este factorul de transfer în regim staţionar al sistemului închis. Coeficientul de eroare la

Pentru a

obţine

viteză

k,

coeficientul kv, introducem (3.48) în

relaţia

T(s )= 1- S(s ): 1 1 1 T(s)=1---- - - s - - s 2 -··· 1+kp

şi luăm

kv

ka

derivata expresiei în raport cu s, pentru s = O :

[~ (T(s ))Lo =- k]v

(3.54)

În plus, ţinem seama de proprietatea SRA care, pentru treaptă unitară, are eroarea egală cu zero, şi anume T(O )= 1 pentru cazul în care u:::: 1. Astfel, se poate calcula eroarea la viteză folosind relaţia:

-[!!:_[T(s )]l _!_= kv

ds [T(s

Js-o =-[!!:_tnT(s)l

)to

ds

J,_o

(3.55)


118

sau, dacă înlocuim expresia funcţiei de transfer T(s) în relaţia de mai sus, obţinem:

1 kv

=-{~ [lnk 0 + ln(s + z1 )+ ···+ ln(s + Zm )-ln(s + Pt )- ... -ln(s + Pn )J} ds

care poate fi

s=O

scrisă

sub forma:

1 1 1 1 k v =-[s:z, + .. ·+ s+ zm- s+ p, _",_ s+ Pn

l=O

(3.56)

sau (3.57)

Coeficientul de eroare la acceleraţie ka

Acest coeficient poate fi determinat într-o cazul precedent, pornind de la expresia: 1 1 s -1- s 2 - ... T(s)=I--- - 1+kp

kv

manieră similară

ca în

ka

că - 2. egalează derivata de ordinul doi a funcţiei T(s)

Este evident

ka

pentru s=O. Astfel, ţinând seama ca T(O)= 1 şi luând derivata de ordinul al doilea a logaritmului funcţiei T(s), se obţine:

-2={d: ka

[lnT(s)]}

ds

s=O

+~ kv

(3.58)

sau, după efectuarea calculelor, pentru s =O :

-:a = kvz + L~=~~L;=t.'-iz Pj 1

1

unde kv este definit prin (3.57).

Exemplu/3.1 Să considerăm

H d (s)

(

SRA de ordinul doi (fig. 3.6) unde:

ui

n

s s + 2(wn

) şi

(3.59)

Performanţele

SRA

119

r

Fig. 3.6 Pentru referinţă treaptă unitară, f , 1 =O, pentru că T(O )= 1:

. S (,s ) = hm . [1- T (s)] = hm . s,, = hm

s(s + 2(wn )

=O.

s-c>O s->0 s->0 s(s + 2(wn )+ Wn2 Pentru referinţă rampă se calculează coeficientul de eroare la

viteză

kv:

2

k =iimsHd(s)=~=w" v s->0 2(wn 2( iar eroarea la viteză este dată de relaţia: 1 2(

ev = - = - . k, w.

Astfel, pentru a obţine un răspuns cât mai precis la intrări de tip rampă, factorul de amortizare t; trebuie să fie cât mai mic. De reţinut că factorul t; influenţează sensibil răspunsul tranzitoriu al SRA. Coeficientul de eroare la viteză se poate calcula şi pornind de la expresiile celor doi poli complecşi conjugaţi ai SRA: p1 = -sron

+ Jron )1- 1;2

Jron )1- I:,Z . Astfel, ţinând seama de relaţia (3.57) se obţine: 1 2/;ron kv =~y;Pz

= -t;ron -

_1 =-1 +-1 =3_, kv P1 Pz ron

Pentru proiectarea SRA pot fi folosite drept criterii de

performanţă:

kp ?.kPO

(3.60)

k, ?. k,0

ka ?. kao

care

evidenţiază cerinţa

ca SRA

să aibă

o precizie cât mai

bună

în regim

staţionar. În relaţia (3.60) coeficienţii kPo, k, 0 şi ka 0 reprezintă valorile limită

admise pentru coeficienţii de eroare de poziţie,

viteză şi acceleraţie.


120

în regim staţionar (permanent) pot fi folosite relaţiile ce definesc ieşirea în raport cu V1 , V2 şi N . În cazul în care se consideră perturbaţia ce acţionează la intrarea procesului, pentru calculul Pentru

erorii

se

rejecţia perturbaţiilor

Hp(s) întrucât efectul -I+HR(s)Hp(s)' asupra ieşirii se poate evalua prin intermediul funcţiei S 2 (s).

utilizează

perturbaţiei V 2

funcţia

S2 (s)

Este evident că pentru un SRA stabil o perturbaţie de tip treaptă poate fi rejectată în regim staţionar dacă S2 (O)= O. O asemenea cerinţă este satisfăcută numai dacă regulatorul conţine cel puţin un integrator în structură. Astfel, dacă scriem: S 2 (s)= rezultă că

1

(3.61)

1

-(-)+HR(s) Hps S2 (o)= O numai dacă

H R (s) conţine un pol în origine. De observat

că prezenţa unui pol în origine în H P (s), deşi asigură

est = O în raport cu

referinţa

de tip treaptă, nu asigură rejecţia în regim staţionar a perturbaţiilor de tip treaptă. Astfel, pentru a asigura rejecţia perturbaţiilor în regim staţionar şi urmărirea referinţelor de tip treaptă, regulatorul trebuie să conţină cel puţin un integrator. Un asemenea rezultat confirmă principiul reglării cu includerea modelului exogenului cu model intern în structura regulatorului.

3.4. Evaluarea performanţelor în regim tranzitoriu Pe lângă stabilitate şi precizie, se impune analiza răspunsului tranzitoriu şi evaluarea performanţelor. Caracteristicile răspunsului tranzitoriu al SRA sunt definite în raport cu intrări de tip treaptă. Vom considera un sistem de ordinul doi care reprezintă o bună aproximare, chiar pentru sisteme de ordin mai mare, dacă sistemul are doi poli complex conjugaţi ca rădăcini dominante. Astfel, dacă funcţia de transfer a sistemului închis este: H 0 (s)o=T(s)

unde t;

şi

calculează

ro" au

2

aln

(3.62)

s + 2t;wns +ro;; semnificaţia dată

cu relaţia:

în capitolul 2,

răspunsul

indicial se

Performanţele

SRA

121

m2

1

1

Y(s)=-·H 0 {s)=-· 2 n s s s +2i;mns+m~ Aplicând transformata Laplace inversă, se obţine: -l;mnt y(t)=I- psin(mnt~l-1; 2 +

(3.63)

(3.64)

În figura 3.7 este prezentat răspunsul indicial al unui SRA de ordinul al doilea.

y(t)

6

-'

4

1'\'··-.,

r(t)

YM

'•

V 1

0.8

0.6

04

0.2

()

o

'

'

(f>-(y.,

' VYm1 '•

2

'' ' ''' '' ' ''' ''' '' ''' '' '' ''' ''' ' 1M

1

i

--------,..._

1

V

'' '' ''' '' '

"-./

Y.!+6 ~-----------

--- ------- ------y,-t. 1

:'

0.98

''' '''

' ''' '' '' '' ''

5

20

15

10

1.02

25

1

30

Timp (sec)

Fig. 3.7 Componenta staţionară a răspunsului

al SRA este: (3.65)

Y
forţat

s-+0

iar componenta tranzitorie este: y1r

-Gt sin(mnt~!-(, +'P) 2

1-(,-

care tinde la zero pentru

•

t---? oo .

(3.66)


122

Indicatorii de calitate ai răspunsului indicial al sistemului de ordinul al doilea sunt: Valoarea de regim staţionar Yst = Y~, care reprezintă valoarea finală a ieşirii (aceasta se poate determina în cazul general dacă sistemul are toţi polii în semiplanul stâng, adică sistemul este stabil). Suprareglajul cr, care se calculează în funcţie de valoarea maximă a ieşirii YM , care depăşeşte valoarea de regim staţionar şi se exprimă în procente sub forma: y -y a %= M st ·100 (3.67) Yst

Pentru exemplul considerat, se calculează suprareglajul derivând (3.66) şi calculând timpul tM la care ieşirea atinge valoarea maximă: dy(t)/t-t =0= df - M

= e-;; [-sron sin( contM ~1-1;2 )+ron~l-1/ cos(contM ~1-1;2 +cp )] Jar 1t

(3.68)

COn ~1-1;2 Astfel, suprareglajul se calculează cu relaţia: 1t(l)

G

a=Y(tM)-1=

-1;~ -e con.Jî=f!

r:-;:; vi-1;2 întrucât sin (1t +
·~--\

_::\;1!_ \

sin(1t+cp)=e -

..J!-1;'

(3.69)

Această relaţie sugerează că

un factor relativ de amortizare mic va conduce la un suprareglaj mai mare şi invers. De remarcat faptul că pentru orice SRA se urmăreşte obţinerea unor valori ale suprareglajului cât mai mici, iar pentru multe procese se urmăreşte obţinerea unor răspunsuri amortizate sau supraamortizate [34, 46, 76].

Timpul de stabilizare sau durata regimului tranzitoriu reprezintă timpul necesar ca răspunsul tranzitoriu să intre într-o bandă specificată de deviaţie ± ~ în jurul valorii finale y st. Această deviaţie, ~, este uzual definită ca un procentaj faţă de y" , Ll. = 2% + 5% . Dacă admitem o deviaţie ~ = 0.05, în cazul particular analizat ( y st = Y~ = 1) se poate calcula durata regimului tranzitoriu.

Performanţele

SRA

123

Astfel, dacă se obţine cu uşurinţă: tt

notează

cu t 1 timpul de stabilizare, din (3.64) se

tno.osR

~

(3.70)

~wn

considerând valoarea

maximă

a

funcţiei

sin

rov1 ~1- ~ 2 + cp J.

Pentru

sistemele de reglare automată cu ~ E (0.6+ 0.8), se poate utiliza o relaţie aproximativă

pentru calculul duratei regimului tranzitoriu: 4

(3.71)

lt~--

~(l)n

Timpul de creştere t c se defineşte ca timpul necesar ca ieşirea să evalueze între 0.1· Yst şi 0.9· Yst, sau timpul necesar atingerii valorii y(tc )= 0.9· Yst • Timpul de întârziere t 1 se defineşte ca timpul necesar ca ieşirea y(t) să atingă 50% din valoarea de regim staţionar, y(t 1 ) = 0.5 · Yst. Gradul de amortizare 1\ evidenţiază viteza de amplitudinilor pozitive ale răspunsului oscilant amortizat:

descreştere

1\= Ym1 - Ym,,

a

(3.72)

Ym1

unde Ym, tM

1

=

reprezintă

R, tM

2

maximă

a

ieşirii obţinută

la timpul

iar Ymz reprezintă a doua amplitudine pozitivă a ieşirii

ron 1-~2

obţinută la

amplitudinea

=

R

ron 1-~2

(v. fig. 3.7).

Indicatorii de calitate ce caracterizează funcţionarea unui SRA joacă un rol important în analiza şi proiectarea acestora. De remarcat faptul că .aceşti indicatori de calitate sunt determinaţi de poziţia polilor şi a zerourilor Jn planul complex. Orice pol generează o componentă specială sau un mod natural în răspunsul pondere (răspunsul la impuls unitar). Aceste moduri sunt prezente în răspunsul sistemului la orice intrare dată (excepţia apărând în cazuri foarte speciale, când polii coincid cu zerourile).


124

Este important a diferenţia polii sistemului în funcţie de poziţia lor în planul complex. Polii plasaţi foarte departe de axa imaginară sunt poli cu efect rapid asupra răspunsului tranzitoriu, iar polii apropiaţi de axa imaginară determină componentele lente ale răspunsului tranzitoriu. Spunem că aceşti din urmă poli reprezintă polii dominanţi sau polii lenţi ai SRA. Spre exemplu, dacă un sistem are polii: p1 =-1, p 2 =-3, p 3.4 = -4 ± j6, p 5,6 = -7 ± j8, spunem şi

polii Ps. 6 = -7 ± j8

reprezintă

că

polul p 1 =-l este polul dominant

polii rapizi.

Zerourile unui SRA joacă un rol esenţial în realizarea unei anumite comportări a acestuia. Este evident că zerourile unui SRA apar din interacţiunile aditive dintre stările asociate cu polii acestuia. Mai mult, zerourile unei funcţii de transfer depind de locul aplicării intrării şi de modul cum ieşirea este obţinută ca o funcţie de stări. Ca şi în cazul polilor, pot fi identificate zerouri rapide sau zerouri lente, în funcţie de poziţia faţă de limita de stabilitate în comparaţie cu polii dominanţi. În cazul în care apar zerouri în semiplanul drept al planului complex, spunem că sistemul este de fază neminimă. În aceste situaţii, răspunsul sistemului la intrare treaptă poate evidenţia mai întâi o scădere şi apoi o creştere a ieşirii. Exemplul 3.2 Pentru a ilustra acest efect, transfer este:

considerăm

un sistem a

cărui funcţie

de

H()0

-s+z s - z(s + IX0.5s +1)'

Pentru diferite valori ale lui z se obţin răspunsurile pondere prezentate în figura 3.8. Se poate constata că zerourile plasate în semiplanul drept determină o scădere a ieşirii, obţinându-se un subreglaj în comparaţie cu suprareglajul. De observat că un zero rapid /z/ >> 1 nu are efect asupra răspunsului tranzitoriu. Când zeroul este lent şi stabil, se obţine un important suprareglaj, iar când este lent şi instabil (plasat În semiplanul drept), se obţine un subreglaj semnificativ.

Performanţele

SRA

125 ~----r------··----,---~

1

j

3

6

Timp(sec)

Fig. 3.8

În cazul în care un SRA are doi poli dominanţi, prezenţa unor poli zerouri suplimentare în funcţia de transfer nu afectează semnificativ comportarea dată de cei doi poli dominanţi dacă singularităţile suplimentare (poli-zerouri) sunt plasate suficient de departe în semiplanul stâng în raport cu polii dominanţi. În figura 3. 9 se prezintă răspunsul indicial al SRA caracterizat prin funcţiile de transfer: (!)~ (s + z) (3.73) HOl (s ) = 2 2 s + 2t;rons + w11 z sau/şi

2

Hoz(s)

(s + p J(s

ronp 2 + 2t;rons + w~)

(3.74)

şi

H03(s)

(s+z)

p

1

(s 2 + 2/;wns +ro~)·-;· s + P

pentru 1;=0.7, ro11 =10,

jzjE[uo], 1*[2,12].

(3.75)


126

o -1

-2 -3 -4

-5

o

0.5 a)

2

e.-2

/~----

l

_:\ l

-2

\

'\

p =-2

-3 -4

p=--

r=-1

~~-ll--~----~------~----~----------~ o l 2 3 4 5 6 b)

Fig. 3.9, a, b

Performanţele

SRA

127

o.D2r---------------------, o.

-.01

-.02 ' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ' o 2

c)

Fig. 3.9 (continuare). 3.4.1. Criterii locale de

performanţă

Evaluarea performanţelor unui SRA în domeniul real al timpului presupune determinarea indicatorilor de calitate pentru mărimi exogene precizate. Astfel, aprecierea comportării unui SRA se poate face în funcţie de valoarea indicatorilor: cr , t 1 , t; , t,, i5 şi, desigur, ţinând seama de valorile erorilor est , ev , ea . Pentru proiectarea unui SRA pot fi forma unor relaţii de tip inegalitate: cr
folosiţi aceşti

indicatori sub

tr ::; ro t. ::; t. 1

10

te::; tcO

·
(3.76)

128


unde valorile limită ale indicatorilor ( cr0 , t0 , t;o. tco. li0 ) reprezintă cerinţe impuse pentru obţinerea unei comportări dorite a SRA în raport cu o referinţă treaptă. Principial, în mod similar pot fi definiţi indicatorii de calitate pentru răspunsul SRA în raport cu perturbaţiile ce acţionează asupra procesului. Relaţiile (3.76) definesc cerinţe locale de performanţă pentru un SRA sau performanţe impuse SRA în raport cu un anumit tip de referinţă. Dacă notăm prin D. domeniul admisibil al performanţelor unui SRA, iar prin P; o performanţă atinsă sub forma / 1 5,1 0 sau / 1 <: / 0 , unde / 1 reprezintă indicatori de calitate şi / 0 o limită admisibilă a acestora, atunci problema proiectării unui SRA se defineşte în raport cu Da şi cu P = {Pt •P2, · · ·, PN } , mulţimea de performanţe ataşate acestuia. Spunem că un sistem LR corespunde setului de performanţe P dacă evoluţia sa determină valori pentru indicatorii de calitate în Da, astfel încât fiecare performanţă P;, i =1, 2···, N, să fie îndeplinită. în aceste condiţii, fiecare performanţă P; acţionează ca o restricţie care îngustează clasa sistemelor L R cu o comportare satisfăcătoare. Alegerea cerinţelor de performanţă se face în strânsă corelaţie cu particularităţile procesului şi ale exogenului ce acţionează asupra sistemului închis. în cazul particular al cerinţelor de performanţă (3.76), acestea reprezintă individual o comportare locală şi nu o comportare globală a întregului SRA. în multe cazuri, performanţele locale sunt influenţate diferit de parametrii ajustabili ai SRA. Pentru cazul particular al SRA de ordinul doi, apar contradicţii între cerinţele de performanţă şi variaţia parametrilor sintetici l; şi con . Astfel, valori mici ale lui 1:, determină valori mari ale lui a şi, în mod corespunzător, valori mari ale timpului de stabilizare, fiind dificil a obţine un răspuns cu 11 redus şi cr mic. în mod similar, pot fi evidenţiate diferite relaţii între performanţele SRA în raport cu referinţa şi perturbaţia ce acţionează la intrarea procesului. De observat că durata regimului tranzitoriu, pentru 1; fixat, este invers proporţională cu pulsaţia naturală con a SRA. Aceasta arată că t 1 poate fi modificat f'ară schimbarea factorului de amortizare 1; , care se determină dintr-o condiţie de forma cr::; cr 0 • Rezultă că, pentru a obţine răspunsuri rapide, trebuie alese valori mari pentru con . Ţinând seama că răspunsul tranzitoriu al SRA de ordinul doi cu t; E (O, 1) este caracterizat prin 5 indicatori de calitate, iar numărul de

Performanţele

SRA

129

parametri ajustabili este egal cu doi, în mod natural apar relaţii contradictorii între valorile parametrilor ~ şi wn şi criteriile locale de performanţă, existând astfel o neconcordanţă între gradul de libertate performanţele impuse.

parametrică şi

3.4.2. Indicatori integrali de performanţă În mod natural, se impune definirea unor criterii globale de a căr9r valoare minimă sau maximă să asigure soluţii optimale sau suboptimale. In cele ce urmează, vor fi introduse diferite forme ale criteriilor de performanţă, în funcţie de eroare şi de timp, dar şi criterii globale de performanţă, care stau la baza sintezei comenzii optimale. Cel mai simplu şi cel mai utilizat criteriu de performanţă este definit sub forma: performanţă,

00

/1

= f E 2 (t)dt

(3.77)

o

Prin utilizarea integralei erorii pătratice, se penalizează atât valorile pozitive, cât şi valorile negative ale erorii. Acest criteriu este cunoscut în literatura de specialitate sub denumirea "ISE" (Integral Square Error). Pentru un sistem de ordinul doi cu parametrii i; şi ron , acest indicator de are o valoare minimă, pentru i; ~ 0.5 . Un alt indicator de performanţă este definit în absolută a erorii: performanţă

funcţie

de valoarea

00

/2

= Jje(t)jdt

(3.78)

o

Prin utilizarea amplitudinii erorii, integrala creşte pentru eroare sau negativă şi rezultă un sistem subamortizat. Pentru un sistem de ordinul doi, acest indicator de performanţă are un minim pentru ~= 0.7. Acest indicator este cunoscut ca "IAE" (Integral Absoluţe Error). Un criteriu foarte util, ce penalizează răspunsurile de lungă durată, este cunoscut ca "ITAE" (Integral of Time multiplied by the Absolute value ofError) şi este dat prin: pozitivă

00

/3

= f tis(t)ldt

(3.79)

o

Acest indicator de performanţă este mult mai selectiv decât IAE şi ISE. Pentru un sistem de ordinul doi, / 3 are un minim pentru i; =O. 7 . Criteriul ISE nu este foarte sensibil la variaţiile parametrilor, deoarece minimul este uzual suficient de larg şi nu prezintă dificultăţi de


130

calcul. Criteriul IAE are o mai bună sensibilitate decât ISE. Criteriul ITAE, în general, produce oscilaţii şi suprareglaje mai mici decât criteriile IAE şi ISE, însă are sensibilitate ridicată la variaţiile parametrilor. Variante ale acestor criterii sunt prezentate în literatură [17, 31], unele dintre acestea având o valoare practică importantă. Un criteriu de performanţă utilizat în proiectarea SRA cu răspuns aperiodic are forma: /4

= f(e 2 (r)+T 2e(r))dr

(3.80)

o

reprezintă constanta de timp ataşată răspunsului aperiodic optimal. O altă variantă a criteriilor pătratice include şi un termen definit în funcţie de efortul de comandă, sub forma:

unde T

!5 =

J(e 2 (t)+pu 2 (r))dt

(3.81)

o

unde p > O reprezintă factorul de penalizare al comenzii. Prin minimizarea acestui criteriu de performanţă se asigură, pe lângă evoluţia dorită a erorii, răspuns tranzitoriu dorit şi o minimizare a efortului de comandă cu limitarea comenzii, în concordanţă cu particularităţile elementului de execuţie. În cazul în care modelul matematic ataşat obiectului condus este de tipul intrarestare- ieşire, se poate utiliza un criteriu de forma: /6

= J(xr Qx + pu 2 (t) )dt

(3.82)

o

pentru un sistem cu o intrare şi o ieşire sau /7 =

j(xTQx+uTRu)dt,

(3.83)

o unde Q este o matrice de ponderare pătratică simetrică, semipozitiv definită, iar R este o matrice de ponderare pătratică simetrică, pozitiv definită. Forma generală a unui criteriu de performanţă ataşat unei probleme de conducere optimală este: tf

18

= F(x~ 1 ))+ f L(x,u,t)dt

(3.84)

o

unde F(xV 1 )) reprezintă funcţia cost final, iar L(x, u, t) reprezintă funcţia cost pe parcurs. F şi L sunt funcţii diferenţiabile. Minimizarea unui criteriu de forma (3.84), unde funcţiile F şi L pot avea diverse forme, asigură evoluţia optimală a sistemului după o traiectorie optimală în prezenţa unor restricţii de forma:

x= f(x,u,t)

(3.85)

Performanţele

SRA

131

ŞI

(3.86)

unde U a reprezintă mulţimea comenzilor admisibile. Este de remarcat faptul că, pentru un SRA performanţele pot fi specificate în funcţie de forma şi dimensiunea unor serr..nale de interes. În cazul sistemelor de urmărire, măsura performanţei este dată de dimensiunea semnalului de eroare. În acest caz, utilizarea unui criteriu de forma ISE se reduce la calculul normei 2 a semnalului de eroare. Astfel, norma 2 a erorii e se calculează cu relaţia:

llell~: ==

J

E

2

(3.87)

(t )dt

-oo

sau în cazul general al SRA având ca ieşire vectorul mărimilor de calitate y, cerinţele de performanţă pot fi exprimate prin intermediul normei: ~

115'11~ :~

Jy2(r)dt

(3.88)

::;_ mo

Performanţele se exprimă astfel prin valoarea "mică" a lui

\e(jro Jl

I.Y(jro)\. ceea ce presupune ca js- 1 (jro)j == \l+Hd(jw)l să fie cât mai mare, întrucât e(jro) == S (jro) · R(jw). Această cerinţă poate fi explicitată sau

riguros prin inegalitatea:

\l+Hd(jw)!:C:mp, roE[O,ro0 ] unde [o, W este intervalul activ de 0

]

(3.89) frecvenţă al SRA, adică acel interval

care include zonele de frecvenţă în care referinţele şi perturbaţiile au valori "semnificative". De regulă, m P (ro) creşte când ro -+ O, pentru ca eroarea staţionară să

fie cât mai mică. Este uşor de evidenţiat faptul

jHd (jro Jj duce la o în faptul

că

o amplificare mare a

căii

directe

bună asigurare a performanţelor. Această remarcă rezidă

JHd (jw Jj

ro pentru care

că

aproximează bine

jl+ Hd (Jw )j

pentru acele

frecvenţe

/lid (Jw Jj > > 1.

Observaţia

1: Cerinţa de amplificare mare în circuit deschis (aşa cum se doreşte în fond) conduce la creşterea efectului zgomotului asupra erorii. Această observaţie este evidentă dacă se exprimă eroarea în funcţie de zgomot (fig. 3.10).


132

v, r

. \l-

y

e

_

H,(s)

H,(s)

+

~

' + (

+

•

n

Fig. 3.10

Astfel:

(r(jro)- v1(Jw J) + ceea ce arată ca pentru B

H (jw) d ( . ((Jw)

I+Hd JW

IH d ( jwJl mate se obţine:

(iw) ~ n (iw)

(3.90)

Această relaţie arată că dacă

n este mare,

adică dacă

intervalul activ de frecvenţă al SRA include amplitudini mari ale zgomotului, acesta va avea realmente un efect nociv asupra performanţelor SRA. Observaţia

2: O amplificate mate în circuit deschis pentru intervale mati de frecvenţă determină o "intensificate" a efectului comenzii. Din figura 3.1 O rezultă cu uşurinţă:

u(Jw)=

~. ) · T(Jw) · (r(Jro)-n(Jw)-v 1(Jru))

H p JW

Pentru procesele uzuale,

jHP ( jw Jj

este de

regulă mic pentru

(3.91) ro mate

(procesele comportându-se ca filtru "trece jos") şi, în consecinţă, amplitudinea lui u va fi puternic intensificată de toate mărimile exogene ale sistemului, cu reale consecinţe asupra uzurii instalaţiei tehnologice. Ţinând seama de cele două observaţii, se impune limitarea valorilor amplificării în circuit deschis, pentru anumite intervale de vatiaţie ale frecvenţei.

J;i-

lrerformanţele SRA

J'

35. Robu•l"''•

133

•tabililăţil şi • p
le;; Admiţând că sistemul condus este supus perturbaţiilor parametrice r:'sub forma multiplicativă, apare în mod firesc cerinţa proiectării ;; regulatorului care să asigure robusteţea stabilităţii şi a performanţelor. Dacă se consideră incertitudinile sub forma multip licativă, atunci,

H P(jro)= Îl P(jro)

(1 + LM (jw))

(3.92)

'unde

!LM (jw )/::; lm (ro) iar H P şi Îl P au acelaşi număr de poli situaţi în semiplanul drept. Funcţia · de transfer Îl P reprezintă modelul nominal ataşat procesului condus.

3.5.1.

Condiţia

de stabilitate robustă

Conform criteriului Nyquist, bucla

nominală

va fi

stabilă dacă, şi

numai dacă, hodograful Î'(jw)~l+Îid(jw), înconjoară originea în sens trigonometric, de un număr de ori egal cu numărul de poli instabili ai lui HAs ), atunci când ro parcurge intervalul [- oo, +=] (se acceptă pentru simplitate ca

HAs) nu are poli pe axa imaginară), flAs )= H R(s )·Îl p(s).

În prezenţa incertitudinilor, bucla perturbată cu H d (s) = H PH R(s) va fi stabilă dacă şi numai dacă hodograful r(iro) = 1+ fi d (Jw) va înconjura originea în sens trigonometric, exact de acelaşi număr de ori ca hodograful nominal, oricare ar fi H P definit prin (3.92) Această ultimă condiţie este adevărată dacă şi numai dacă posedă

proprietatea enunţată (sistemul nominal )

il+(l+LM (jw))Hd(iw)j >O, \lro2: O şi VLM care verifică condiţia jLM

(jro )j::; lm (ro).

Î'(jro)

şi

ll+(l+LM(ro))Hd(jro)j> 0,\lro;:>:Oşi V LM ce verifică (3.92). Această a doua condiţie este echivalentă

şi

şi

(3.93)

cu condiţia : (3.94)

.VI\,,

INGINERIA REGLARI! AUTOMATE

134

Cu referire la această

condiţie

/1+ (!+ LM (jw))H d (jw)/ > <*

avem

următoarele

duble

implicaţii:

0, \ILM cu /LM (jw)/ < lm (ro)

j[I+ Hd (iw) + LM (jw)H d (jwJ)/ >O

liro;:c:O, \ILM cu /LM (jw)/ < lm(w) <*

ji+Hd(iw) /1+ LM(jw~

(3.95)

~d(t) >0

I+Hd JW

\iw;:c:O, IILM cu /LM(iw)
cum,

rezultă

datorită stabilităţii

buclei nominale avem sigur:

Il +Hd (iw)i >O, \/ro;::: O în continuare

1+ LM(Jro}Hd(Jro) >0, 1/ro;:c:O, VLM I+Hd (jro) <*

(3.96)

LM (Jro)Hd (Jro) , < !, Vro;::: O şi VLM I+Hd (jro)

Deci, în continuare:

jt.,(Jro)H0 (Jw)j <1, 1/ro;:c:O, IILM(Jro)

cu

/t.,(Jro)/ < lm(w) (3.97)

sau (3.98) În cazul în care se foloseşte reprezentarea LM(s)=Ll(s)w2(s), unde Ll(s) şi W2(s) au semnificaţiile prezentate în § 2.9, condiţia (3.98) poate fi pusă sub forma:

//wziio/L <1 întrucât //Ll/L < 1 sau, dacă ţinem seama că H0 (s )= T(s)

'· l

//w2 f/L

<1

(3.99)

şi reprezintă cerinţa de robusteţe a stabilităţii în prezenţa incertitudinilor multiplicative LM(Jw) cu proprietateaLM (Jro):;; lm(ro), \/ro;::: O.

Performanţele

SRA

135 consideră

un proces cu funcţia de transfer nominală 11 P (s) şi funcţia de transfer reală dată prin H P (s). Presupunem că

TEOREMA 3.1. Se

H R (s) este funcţia de transfer a regulatorului care asigură stabilitatea internă

sistemului nominal. De asemenea, admitem că HAs)= HP (s )H R(s) şi iJ As)= IÎ P (s )H R(s) au acelaşi număr de poli a

instabili. Atunci, condiţia suficientă pentru stabilitatea sistemului închis prin utilizarea regulatorului pentru procesul real este ca:

IB (iw)j!LM (jw)!

Î!p.HR ·!LM (Jro)I
0

unde

!LM (iw Jl :S lm (ro), Demonstraţia

(3.100)

'/(J). imediată dacă

este

se observă că

Hp(s )H R(s )= Hp(s )H R(s )+ LA(s )H R(s )= fÎd(s 11+ LM (s )j

iar din figura 3.11 vedem apar dacă:

că acelaşi număr

(3.101) de încercuiri ale punctului critic

!LA (Jw)H 8 (iw)!
(3.102)

1+ H, (im,) -1

' ''

''

Re

''

H,(jro)

djro )H, (jw) H, (jm) Fig. 3.11

Dacă ţinem seama că echivalentă

LA(s)=Hp(s)LM(s),

observăm că (3.102) este

cu:

ILM (iw) Î! P (iw) H8 (jw Jl , . . • <.1, Vw sau 1 Il+ Il P (iw) H R (Jw) 1 IIÎ0 (iw)LM (Jw)j < 1, Vro

(3.103)

-

ceea ce aveam de demonstrat. Observaţia 1: robusteţea stabilităţii.

Teorema 3.1

oferă

numai

condiţia suficientă

pentru


136

Exemplul 3.3 Se consideră un SRA cu {46]: 0 ·5

ii d (s)

s(s +1) 2

iar

,

H p(s) = e-sr il p(s ).

Se cere: a) valoarea lui r care conduce sistemul la instabilitate; b) valoarea critică a lui r pentru care se conservă stabilitatea SRA, conform teoremei 3.1. Soluţie:

a) Timpul mort introduce o modificare a fazei egală cu ({J, =-an, însă nu afectează amplitudinea A(ro ). Astfel, condiţia de stabilitate critică (limita de stabilitate) apare când dejazajul (/!, · egalează marginea de fază M 'P, adică

rc

= M"'

ro o

, iar

Jil

P (Jro0

~ =1.

Cu aceste elemente, se

obţine ro0= 0.424~ad s -l] şi

M !fJ = 0.77 rad, iar

valoarea critică Te= 1.816[s]. b) Funcţia de transfer a sistemului închis este dată de:

il o(s)= il ~H R l+Hpi!R iar

0.5 s +2s 2 +s+0.5 3

LM (s )= e-sr -1 ==> ILM (Jro l = 2/sin ~TI· Conform teoremei 3. 1,

jil 0 (jro)LM (Jro~ < l,

condiţia

pentru stabilitate

robustă

este ca

'<:lw.

A(w) 1.5

Igw

Fig. 3.12

Performanţele

lui

T

SRA

137

Reprezentarea acestei amplitudini În funcţie de w pentru diferite valori ale este dată În figura 3. 12. Se poate observa că cerinţa de stabilitate robustă este satisfăcuta dacă

r~l.5.

3.5.2. Condiţia de performanţă Robusteţea performanţelor

robustă

se obţine

dacă şi

mp(ro):S /I+Hd(Jw)j, VroE [o,ro0 ] şi Hd cu

HP verificând

Această

(3.92).

c(s)=S(s)·R(s),

iar

maximizarea inversei

cerinţă

minimizarea

numai

dacă:

=HPHR rezultă

amplitudinii

din erorii

faptul

că

presupune

sensibilităţii (js-l (jro J/ = /1 + H d (jw Jj ).

Avem atunci explicit, pentru Hp(s) = IÎ p(s)[l+ LM {jro)]:

mp (ro)::; !1 + (1 + LM {jro) li d (Jru) ~ =

=/Hlid(jru)/,1+ pentru

ro, astfel încât Jlid(Jru)j >

pentru

L~~~)d~~~;ru),"+d(Jru)/11+LM {iru)/

J#d (jw) > > 1j, de unde rezultă că avem:

mp(m) 1 1+LM{Jru)

(3.105)

1

w astfel încât

(3.104)

j#d (jw Jj > > l.

Dar

mp(ru)

---'---;--;- >

mp(w)

mp(w)

> .--'----,

(3.106)

1-lm(w)- 1-ILM {jru)l-ll+LM {Jru)\

pentru w , astfel încât lm ( ru) < l , de unde se vede că din compararea lui (3.105) cu (3.106)

rezultă implicaţiile:

IHd(Jw)l? mp(ru()) 1-lm '"

'* jlid(Jw)j

>

mp{ru) ' 1+ LM {jru)l ,

1

(3.107)


138 Aşadar, condiţia

(3.107) cu arnendament;II menţionat imediat mai jos, asigură cerinţele de robusteţe a performanţelor. In capitolul al patrulea se vor determina cerinţele de robusteţe a performanţelor pentru clase date de intrări. Pentru proiectarea SRA, vor fi selectate criterii de performanţă în concordanţă cu particularităţile procesului condus, cu natura semnalelor exogene ce acţionează asupra sistemului şi cu particularităţile modelului matematic utilizat pentru caracterizarea sistemului. Incertitudinile modelului matematic ataşat obiectului condus se iau în consideraţie la proiectarea regulatorului robust care să asigure robusteţea stabilităţii şi a performanţelor.

De remarcat faptul că includerea incertitudinilor în modelul procesului conduce la următoarele relaţii care definesc funcţiile de sensibilitate: s(s)=s(s)·Sm(s) (3.108)

T(s)=f(sll+Lu (s)Js'm(s) Sz(s)=Sz(sll+Lu(s).ls'm(s) su(s)= su(s)sm(s) sm(s)= unde

1

'() . () l+TsLus

(3.109) (3.110) (3.111) (3.112)

sm(s) reprezintă sensibilitatea erorii.

Prin utilizarea relaţiilor (3. !08)-(3.111) pentru analiza şi/sau sinteza SRA, se poate evidenţia efectul incertitudinii multiplicative asupra performanţelor. De observat că dacă S"' (Jw) este foarte aproape de 1+}O pentru toate frecvenţele, incertitudinile nu influenţează performanţele SRA obţinute pentru modelul nominal. Acest lucru se poate evidenţia din (3 .1 11 ), în cazul în care

jt(jro) LM {jro)j << t.

Performanţei~ unui SRA sunt definite în raport cu anumite mărimi exogene specificate. In general, mărimile exogene ce acţionează asupra unui SRA nu sunt cunoscute apriori, iar pentru proiectare se poate selecta o anumită clasă de mărimi pentru care se impun cerinţele de performanţă. Dacă ne referim la un SRA cu un grad de libertate, eroarea e(s) se poate calcula în raport cu referinţa şi/sau cu perturbaţiile V1 şi V2 , luând în consideraţie funcţia de sensibilitate s(s). Pentru intrări sinusoidale de amplitudine subunitară, dacă punem condiţia ca amplitudinea erorii să fie limitată la 'o, specificaţia de performanţă

a SRA poate fi

llslloo «

0

dată

sub forma [60]: (3.113)

Performanţele

SRA

139

întrucât

B(s)=S(s) R(s)

(3.114)

iar amplitudinea maximă a erorii e(t) egalează norma infinit a lui S(Jro) pentru referinţa cu amplitudine limitată la unitate. Dacă admitem că referinţa este generată printr-un filtru cu funcţia de transfer W1 (s ), la intrarea căruia se aplică o referinţă de amplitudine

limitată, 1/R 'JJ<»::; 1 , specificaţiile de performanţă pot fi scrise sub forma:

IISWdL < 1 unde referinţa este

(3.115) dată

de

relaţia:

R(s )= W1(s )R' (s) Condiţia

(3.116)

(3 .115) se obţine cu uşurinţă dacă scriem:

e(s) = S(s)

~ (s)· R'(s)

(3.117)

şi calculăm:

(3.118) sRPIIellz =sup{/lsw/J/2 :JjR'JJ2
llswdL
(3.119)

Semnificaţia funcţiei de ponderare W1 (s) constă în aceea că pentru referinţe

cu

restricţii

energetice, spectrul lor de energie este ponderat prin

1/h (jw)j : 2

{R: 2~_'tjn(jw)nv1 (jw)r dwsi} Dacă se notează

h(jroJj s

m P (ro) , atunci

(3.120)

condiţia:

Jjw1sJJoo
(3.121)

În cazul în care se include perturbaţia multiplicativă în modelul procesului, funcţia de sensibilitate se calculează cu relaţia: 1 1 = (3.122) l + H d (s) 1+ lÎ d (s XI+ LM (s )] sau

s(s)=---,

S(s)=

s(s) = S(s) l + LM (s )Î'(s) 1+ tl(s )w2 (s )f(s)

(3.123)


140 Condiţia

pentru asigurarea robusteţei performanţelor în acest caz va fi:

iiW1S/L =

wl'§ ,, l+6W2 T

Este evident stabilitate robustă:

~

<1, Vro, vjjll/L si ·

că această condiţie

trebuie

(3.124) completată

cu cea de

(3.125)

TEOREMA 3.2. O robusteţei performanţelor

condiţie necesară şi suficientă

pentru asigurarea

este [60):

jjjw~sJ+Iwzflt <1

(3.126)

Demonstraţie:

Presupunem că (3.126) este adevărată

şi:

(3.127) pentru un 6 fixat. Dacă ţinem

seama că:

1=j1 +!lW2 f -llW2 fj sj1 +AW2 fj +jW2fj ŞI

rezultă

(3.128) şi

implicit condiţia:

" _w:.:..t!.:s_,_,, ' <1

(3.129)

n-

l+AW T~ 2

ceea ce trebuia demonstrat. Dacă

alegem

frecvenţa

ro pentru care

w1s

I-jw2fj

este maxim

seama că pentru o anumită funcţie Ll.{Jro) este îndeplinită relaţia:

I-jw fj =jl+AW fj. 2

2

şi ţinem

Performanţele SRA

141

rezultă

Wp§

~

jw,sj

<

ji+t,W2

fj-

Wp§

=

I-jw2 f!L I-jw2fj

wl'§

1+t,W2T

=·

(3.130)

ceea ce asigură:

'11 . 1 W2 T = < 1 ŞI

w,s . 1-W2 T 1

respectiv

(3.131)

< l, 1

=

lllw,sj+jw2fit
lfvzTt < 1 şi

(3.132)

l lwl sj +jwzfiiL < 1

(3.133)

sau

w,s

11--'---.;:-11 <1, ':ff, (3.134) 1+t,W2T = Testele pentru verificarea robusteţei unei soluţii de reglare pot fi utilizate pentru proiectarea SRA apelând la tehnici specifice de tip "loop shaping".

PROBLEME 3.1. Presupunem că procesul condus este caracterizat prin modelul: 2 H p (s) =

ron

~\· IL~) . \ \'--' 6'"c~c '?.t"l

ol) \ 'lv,

'

s(s+21;ron)

"'

~~~."

-

Bi\{j(~l\lio<~1 'w~

tN'v"-· ·

.

\J ::!:! A<> \j~iar regulatorul este de tip proporţional """' () ullfiu) H R(s)= KR; KR = 1,5,10. Se cere: a) marginea de fază pentru diferite valori ale parametrilor K R, 1; şi ron ; \<

+

b) valoarea limită a lui K R pentru care marginea de fază depinde numai de 1;; c) admiţând că 1; E (O, 1) , să se aleagă valoarea lui K R pentru care cr::S:5% şi 11 :S3s,când ron =IO[rad/s].


142

3.2. Se procesului:

consideră

un SRA cu un singur grad de libertate cu modelul

Hp(s)= (s+l )~ s+a )

şi

HR(s)=!. s

Se cere: a) pentru ce valoare a lui a (număr real) sistemul de reglare este intern stabil; b) domeniul de variaţie admisibil pentru a pentru a menţine stabilitatea; c) pentru ce valoare a lui a suprareglajul SRA este cr :s; 5%. 3.3. Se consideră un SRA cu un grad de libertate, unde modelul procesului este de forma: 10

Hp(s)= (s+a)(sH) iar regulatorul este de tip Pl. Se cere: a) valorile optime ale lui K R şi 1j, pentru ca răspunsul SRA să fie oscilant arnortizat; b) să se analizeze efectul parametrilor a şi P asupra gradului de stabilitate al SRA în cazul în care KR =5 şi T; =!Os; c) să se calculeze eroarea la viteză. 3.4. Admitem că modelul nominal al procesului este:

IÎp(s)

2 2

s +s+l iar comportarea reală este dată de:

Hp(s)=

2 a s +Ps+l

.

Admiţând că regulatorul este de tip P, se cere: a) modelul incertitudinii; b) domeniile de variaţie pentru a , p şi K R pentru care sistemul este intern stabil; c) pentru modelul nominal să se determine K R astfel încât răspunsul SRA să asigure un răspuns indici al cu cr :s; 1O% .

3.5. Se consideră un SRA cu două grade de libertate, ca în figura 3.13. Se cere: a) să se calculeze funcţiile de sensibilitate S, T, S1 şi S" pentru cazul nominal şi pentru cazul în care

Performanţele

SRA

143

LA(s)=Hp(s)-iip(s)= ( l-J(-a); s+l s+a b) să se analizeze efectul parametrului a asupra comportării SRA în raport cu perturbaţii le V1 şi V2 care au forma de tip treaptă. V,

Y(s)

R(s)

Fig. 3.13

3.6. Se consideră un SRA cu modelul nominal 2 '( )

Ts=z s

ron

z·

+ 2l;rons + ron

Admiţând că w (s) = _P_, iar

LM (s) = s +a , se cere: !Os+! s+0.5 a) domeniul de variaţie al parametrilor a şi p pentru care SRA este intern stabil; b) influenţa parametrului P asupra performanţelor SRA; c) structura regulatorului care asigură o valoare minimă a funcţiei de sensibilitate S. 1

4.

ALGORITMI

CONVENŢIONALE

ŞI STRUCTURI DE REGLARE

4.1. Introducere În aplicaţiile industriale, în cadrul structurilor cu unul sau mai multe grade de libertate, sunt utilizate legi de reglare convenţionale sau neconvenţionale.

Acest capitol este dedicat prezentării algoritmilor convenţionali de reglare de tipul P, PI, PD şi PID. Vor fi analizate efectele variaţiei parametrilor şi ale structurilor algoritmilor asupra performanţelor SRA. Legea de reglare de tip P

Cea mai simplă lege de reglare este de tip proporţional. Dacă ne referim la structura clasică de SRA cu reacţie unitară şi un singur grad de libertate (figura 4.1), se poate defini legea dereglare de tip P sub forma:

u(t)= KRs(t)

(4.1)

v,

r

e

+~(

~

Regulator

u

~ Proces

~ v, y

Fig. 4.1 funcţia

În acest caz putem spune că regulatorul are o comportare de tip P, iar de transfer ataşată acestuia este: HR(s)=KR (4.2)

Algoritmi şi structuri convenţionale de reglare

145

Este evident că un asemenea regulator are o comportare ideală reprezentată prin răspunsul indicial din figura 4.2. Răspunsul reprezentat punctat ar putea defini comportarea reală a unui regulator de tip P. Această comportare este determinată de modul de implementare a legii de reglare de tip P. Ideal, pentru o treaptă unitară aplicată la intrare ( e(t) = 1(t) ), răspunsul este o treaptă de amplitudine egală cu factorul de amplificare. Un regulator P poate controla orice proces stabil, însă performanţele obţinute sunt limitate, iar eroarea în regim staţionar pentru referinţă treaptă este diferită de zero. În mod tradiţional se foloseşte banda de proporţionalitate (BP) pentru a descrie acţiunea proporţională:

BP[%]= 100(%]. KR

Timp(sec)

Fig. 4.2

Legea dereglare de tip PI obţine

Dacă la componenta P se adaugă o componentă de tip integral (l), se cunoscuta lege de reglare PI dată de relaţia:

u(t)= KJ(t)+..!_fe(,)dT l 1j

(4.3)


146

Ca

şi

în cazul legii de reglare de tip P, coeficientul K 8

poartă

denumirea de factor de amplificare al componentei P, iar raportul K R = K 1 T;

poartă denumirea de factor de amplificare al componentei integrale. În acest

caz putem scrie relaţia (4.3) sub forma:

u(t)=KRe(t)+K1je(r)dr

(4.4)

Se poate observa că factorul de amplificare K 8 este chiar coeficientul ce defineşte componenta proporţională K p, iar coeficientul K 1 este determinat atât de K 8 cât şi de constanta de timp a acţiunii integrale 11. Funcţia de transfer ataşată legii de reglare PI este: 1 H 8 (s)=KR(I+- )= KR (T;s+l)=K 1 T;s+l (4.5) Ţ.s Ts \ s l -,_..:__ - - J Răspunsul indicial al regulatoruTui de tip PI este reprezentat în figura 4.3. Răspunsul real al regulatorului este marcat punctat pe figură, iar răspunsul ideal permite a evalua "timpul de dublare". 6

r-·---~~--·

1

i

U, E

i

51 21<" 4

~-------------------------------1

31

K, 2~~~--"~----------------------+----------4 ! ,'' ,~'i ~------------------------4---------~ i/' ''' ''

1,1 '

0 L------~--- . -~.L .. --.- ... o 1

~-• .. ---~

2

3

4

Timp (sec}

' +----' ---' 5

6

l

T;

Fig. 4.3

De remarcat faptul că pentru t=T; şi s(t)=I(t) componenta proporţională se dublează ( u(t) = 2K R ).

Algoritmi şi structuri convenţionale dereglare

147

În unele lucrări, constanta de timp T; este cunoscută ŞI sub

denumirea "timpul de dublare". Spre deosebire de regulatorul P, unde numai K R este ajustabil, în cazul regulatorului PI sunt ajustaţi cei doi parametri K R şi T; sau K p şi K 1 . De remarcat faptul că, prin ajustarea constantei integrale T;, se modifică efectul acţiunii de integrare, iar prin modificarea factorului de proporţionalitate K R se modifică atât componenta integrală, cât şi cea proporţională.

Comportarea reală a regulatorului PI, ţinând seama de modul de implementare a legii de reglare, este diferită de comportarea ideală (forma punctată din fig. 4.3). Prezenţa componentei integrale în structura unui algoritm de reglare poate genera efecte nedorite ca urmare a saturării, însă se asigură eroare staţionară egală cu zero în cazul în care semnalul de ieşire în regim staţionar are valori sub limita de saturare. Legea dereglare de tip proporţional-derivativă (PD)

În acest caz, la componenta proporţională se adaugă o componentă derivativă:

u(t)=KR[e(t)+Td ~;]

(4.6)

sau (4.7)

unde K 0 =KRTd. Funcţia de transfer ce defineşte comportarea unui regulator PD este: HR(s)=KR(l+Tds)

(4.8)

unde K R este amplificarea proporţională, iar Td este constanta de timp ataşată componentei derivative (timpul derivativ). Ambele componente sunt ajustabile prin modificarea K p şi K 0 . Componenta derivativă evidenţiază faptul că ieşirea u(ţ) este proporţională cu viteza de variaţie a erorii. În figura 4.4 se reprezintă, pentru t >O, răspunsul regulatorului PD la semnal de tip rampă unitară. Se evidenţiază în figura 4.4 faptul că acţiunea de derivare are un caracter anticipativ. Timpul derivativ Td reprezintă intervalul de timp prin care componenta derivativă anticipează efectul acţiunii proporţionale.


148

u,ref

Fig. 4.4 Această

componentă,

deşi

prezintă

avantajul comportării anticipative, are însă dezavantajul că amplifică semnalele de tip zgomot şi poate cauza efecte de saturaţie în comportarea elementului de execuţie. Componenta derivativă nu poate fi utilizată niciodată singură, aceasta fiind efectivă numai în perioada tranzitorie (pentru e(t) = const., comanda derivativă u 0 =O). De remarcat faptul că legea de reglare PD, aşa cum evidenţiază relaţia (4.8), reprezintă un sistem nerealizabil fizic. Cel mai adesea, legea de reglare PD este definită printr-o funcţie de transfer de forma: I+Tds

(4.9)

HR(s)=KR l+aTds

unde a « 1 reprezintă coeficientul de filtrare al componentei derivative. Funcţia de transfer (4.9) evidenţiază o comportare de tip "anticipaţie-întârziere" (lead-lag) cu factor de amplificare (de proporţionalitate) neunitar. Un model uzual pentru algoritmul PD este: HR(s)=KR[I+

unde a se alege în zgomotul.

Tds J aTds + 1

concordanţă

cu banda de

frecvenţă

în care se

găseşte


149

Pentru această lege de reglare se poate reprezenta pentru diverse valori ale coeficientului a (fig. 4.5).

4:~ 4\

J

~-

1

~ 2.5

"

indicial

·~

3.5 3

răspunsul

j

2

1.5

~'- -~~:-'- - 1

~

::'-----'----L...__L__''-----'---'·

o

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

2

timp(sec)

Fig. 4.5

Legea dereglare proporţional-integral-derivativă (PID) Combinaţia derivativă conduce

acţiunilor de reglare proporţională, integrală şi în mod natural la algoritmul cel mai "popular", cunoscut ca algoritmul sau legea dereglare de tip PID. Această lege "ideală" de reglare are forma:

[

1

ds]

u(t)=KR s(t)+-Js(t)dt+Td- sau T.l dt u(t) = KRs(t)+ K1 fs(t)dt + KD ~:

(4.10)

(4.11)

unde: K p = K R -factor de proporţionalitate (efectul proporţional); - factorul integral; T; Kv = K RTd -factorul derivativ. Funcţia de transfer ataşată acestui regulator este:

K1 = KR

1 H R(s )= K R(1 + - - + Tds) T;s

(4.12)


150

sau

K1 (4.13) s Răspunsul la semnal de intrare de tip rampă unitară este prezentat în figura 4.6a, iar răspunsul indicial este reprezentat în figura 4.6b. Hn () s =Kp +-+KDs

141 12 10

' ,

PID

6

timp( sec)

(a)

·r~-~-~" -----~~---~

------

~--. ~~-----~--------~

·[ 4~

'

(b)

Fig. 4.6

1

--~----~--

_ _j

3.5

4.5

4

--- " - '

5


151

în cazul legii de reglare de tip PD, funcţia de transfer (4.12) un sistem nerealizabil fizic. Pentru realizabilitatea fizică a legii de reglare PID pot fi utilizate diferite variante ale acesteia. O primă variantă a legii de reglare PID include constanta de timp aTd pentru filtrarea componentei deri vati ve: Ca

şi

evidenţiază

1 HR(s)=KR 1+-+ [

~s

T s

d. ) aTds.,-1

(4.14)

cu a<
HR(s)=KR[1+-1][Tds+IJ ~s aTds+l

(4.15)

Astfel, prin filtrarea componentei derivative se asigură realizabilitatea algoritmilor şi se atenuează efectul componentei derivative asupra semnalelor de tip zgomot. În afară de legile de reglare PID cu filtrarea componentei derivative, sunt utilizate şi variante de algoritmi "PID-modificaţi", algoritmi care prelucrează diferit eroarea, ieşirea măsurată şi chiar referinţa.

Algoritmi libertate

"PID-modificaţi"

PI-D, 1-PD, PID cu

două

grade de

În figura 4. 7 se prezintă o structură de SRA cu regulator PI-D.

v(s) R(s) +

- e(s)

w

KR

u(s)

t

H,(s)

Y(s)

u,(s) T,s y" (s)

Fig. 4.7

+

N(s)


152

În acest caz, legea de reglare este definită prin relaţia:

1 1 U(s)= KR(1+- )R(s)-KR(1+- +Tds \(s) ~s

J'

~s

(4.16)

O asemenea lege de reglare care nu conţine componenta D pe calea permite evitarea apariţiei unor şocuri pentru instalaţia tehnologică la modific.area dură a referinţei. In această structură, componenta derivativă este plasată numai pe calea de reacţie. În funcţie de particularităţile zgomotelor ce însoţesc semnalul de măsurat Yn (s), se pot introduce constante de timp de filtrare, iar componenta derivativă devine: directă

Tds Ud(s)=

aTds + 1

Yn(s).

Legea dereglare PI-D capătă forma:

1

1

~s

~s

U(s)=KR 1+-!R(s)-KR i + - +

Tds ]Yn(s) aTds+1

(4.17)

sau dacă se evidenţiază şi eroarea: U(s)=KR[i+_l_!e(s)-KR[ ~

Tds Yn(s). aTds+1

Este de remarcat faptul că în absenţa referinţei R{s) şi a zgomotului N(s ), funcţia de transfer în raport cu perturbaţia v(s) este:

Hov(s)=

Hp(s) 1 1+ KRH P (J1 +-- +Tds) ţ T;s

(4.18)

Pentru a evita apariţia unor salturi ale comenzii la modificarea sub forma de treaptă a referinţei şi a conduce în regim de saturaţie elementul de execuţie, se utilizează o altă variantă de algoritm PID-modificat şi anume algoritmul I-PD. În figura 4.8 se prezintă un SRA cu regulator I-PD. În acest caz, comanda poate fi calculată cu relaţia:

1

1

~s

T;s

U(s)= KR - R(s)- KR[1 +- + Tds]Y.(s)

(4.19)

1 [1+-+ 1 Ts JYn(s), U(s)=KR-R(s)-KR d T.s T.s aT s + 1

(4.20)

sau

1

1

d


153

în cazul în care se include constanta de timp pentru filtrarea componentei derivative r = aTJ"

1

v(s)

e(s) +

Fig. 4.8 Se remarcă faptul că pe calea directă este menţinută componenta care asigură comportarea dorită a SRA în regim staţionar:

integrală

1

U(s)=KR-e(s)-KR Ijs

T s

l+

d

a.Tds + l

Yn(s).

Funcţia de transfer a SRA în raport cu referinţa (V(s )=O şi N(s )=O)

este: H 0 () s =

1

KRHp(s)

(4.21)

,

T,s 1+KRHp (s{ 1+-+Tds 1 ) T,s iar funcţia de transfer în raport cu în lipsa zgomotelor, este:

perturbaţia,

pentru

referinţă egală

cu zero

şi

H P (s)

(4.22) 1 1+KRHp(s{1+--· +Tds) Tis Această expresie este aceeaşi ca pentru structurile de reglare cu regulatoare de tip PID şi PI-D. Pornind de la structurile de reglare cu algoritmi de reglare PI-D şi IPD se poate uşor evidenţia faptul că în aceste cazuri avem structuri cu două grade de libertate. Cele două obiective majore ale unui SRA: urmărirea referinţei şi rejecţia perturbaţiilor pot fi realizate. Pentru structura convenţională dereglare din figura 4.9, unde H P (s) se consideră fixată şi nemodificabilă, iar H R (s) este funcţia de transfer a

Hov (s)


154

regulatorului, se pot defini funcţiile de transfer în raport cu cele trei ( r ), perturbaţia ( v) şi zgomotul ( n ), sub forma:

intrări:

referinţa

H (s): Y(s): HR(s)H p(s) _ Ho(s) yr R(s) 1 + HR (s )H p(s)

(4.23)

- Y(s)_ Hp(s) _ () Hyv (s) - Vs - ()- 1+HRs ( )H Ps ( )-Hov s

(4.24)

(4.25)

v(s) E(s)

R(s) "\ ..J

+

-

u(s) ~)"'. + H,(s)

+

.•

Y(s) H,(s)

•

)"'. N(s) Fig. 4.9 Aşa cum s-a menţionat în capitolul l, gradele de libertate ale unui SRA se referă la numărul funcţiilor de transfer independente. în acest caz, pornind de la relaţiile (4.23)-(4.25), observăm:

() Hy,s-

HP(s)- Hyv (s) ( ) Hyv (s) () sauHy,s+ ()=1 Hps Hps

(4.26)

ceea ce ilustrează faptul că, dacă una dintre cele trei funcţii de transfer este dată, celelalte două sunt fixate. Aceasta conduce uşor la concluzia că acest SRA are un singur grad de libertate. Pentru SRA prezentat în figura 4.1 O, în aceleaşi condiţii se calculează cele trei funcţii de transfer:

H (s) = Y(s) HR1 (s )H p(s) =H (s) 0 yr R(s) 1+(HR 1(s)+HR 2(s))H p(s)

(4.27)

()-Y(s) Hp(s) () Hyv s -V(s) 1+(HR1(s)+HR 2 (s))Hp(s(Hov s

(4.28)


H

yn

155

(s)= Y(s) = (HRI(s)+HRz(s))Hp(s) () N(s) I+(HRI(s)+HRz(s))Hp(s) Ilon s

(4 _29 )

Din aceste relaţii se obţin cu uşurinţă: H yr (s) = H Rl (s )H y,(s) - H yv(s)-H p(s) Hy 11 (S) () HP s

(4.30)

Astfel, se remarcă din (4.30) că această structură de reglare are două grade de libertate. Dacă Hyv (s) este dată, atunci Hyn (s) este dată, dar H yr (s) nu este fixată, deoarece H Rl (s) este independenta de H yv (s).

H,, (s) +

R(s)

"\.,.-/

~

v(s) + "'

H,,(,s)

-

u(s)

Y(s)

''\

H,(s)

+

/\_. N(s) Fig. 4.10

În acest caz, două funcţii de transfer dintre cele trei calculate sunt independente, iar SRA are două grade de libertate. O altă structură de SRA cu două grade de libertate este prezentată în figura 4.1 1.

v(s) R(s)

u(s)

e(,) ..\.,/

+

-

Y(s)

"\

H"(s)

+ ~

-

~

ll,(s)

H"(s)

f Fig. 4.11

(

N(s)


156

(4.32) (4.33) Ţinând seama de aceste expresii, putem scrie următoarele relaţii între aceste funcţii de transfer:

H Y' (s )=H RZ (s )H Y' (s) + ( ) Hyns

H P (s )- H Y' (s)

()

HP s

(4.34)

H JN (s)- H P (s)

()

HP s

Este clar că şi în acest caz, dacă H yv (s) este dată, atunci H yn (s) este fixată, însă H yr (s) nu este fixată deoarece H Rz (s) este independentă de H yn (s).

Aceasta ilustrează că sistemul de reglare automată are două grade de libertate. Este de remarcat faptul că structurile de reglare cu regulatoare PI-D şi regulatoare 1-PD se înscriu în categoria SRA cu două grade de libertate. În aceste cazuri, referinţa şi senmalele perturbatoare sunt prelucrate după legi diferite. Astfel, cele două legi de reglare reprezintă cazuri particulare ale unor sisteme cu două grade de libertate: HRI(s)=KR-1

(4.35)

T;s

HR 2(s)=KR(l+Tds) (4.36) În cazul general, cele două legi de reglare vor fi determinate pornind de

la cerinţe de performanţă şi ţinând seama de particularităţile obiectului condus. De remarcat faptul că pentru structurile de reglare cu două grade de libertate, performanţele SRA pot fi obţinute la valori dorite prin ajustarea parametrilor de acord pentru fiecare lege de reglare din structură.

4.2. Analiza

performanţelor

SRA cu regulatoare

convenţionale

În cele ce urmează, vor fi analizate performanţele SRA cu un singur grad de libertate şi cu două grade de libertate, în cazul în care modelul procesului este


157

fixat. Vom considera în cadrul acestui paragraf modele simplificate ale procesului conţinând una sau două constante de timp şi/sau timp mort. 4.2.1. Analiza SRA cu regulator P " Vom considera mai întâi procese de ordinul întâi, ~~-

;~-xr1Hp(s)=

W

'--

fără

timp mort:

-~

P

Tps 2:l.J. 1 ~-· ·· -Ui.acesrcaz,lUnc!iile de transfer ataşate SRA calculate în raport cu referinţa şi perturbaţia, au forma: KRKp H 0 () s =----"--(4.37) Tps+l+KRKp T0 s+1 unde

Şl

Hov(s)=

KP (4.38) Tps+l+KRKp Pornind de la expresiile celor două funcţii de transfer, se pot determina performanţele în raport cu referinţa şi cu perturbaţiile în cazul variaţiei acestora sub formă de treaptă. Pentru procese care nu conţin integrator (în funcţia de transfer H P (s) nu apare un zero în origine), utilizarea unui regulator P conduce la eroare staţionară diferită de zero pentru referinţă treaptă. Eroarea în regim staţionar pentru referinţă treaptă unitară rezultă cu uşurinţă din relaţia: ~ ,.!i;'l ( ) 1' t=tmses=tms 1.

st

dacă ţinem

s_.,O

1

1 -1m 1'

s->0 1+Hd(s)s

1

s_.,01+Hd(s)

,

(4.39)

seama de relaţia de calcul a erorii:

s(s)= l+:d(s((s)=[I-H0 (s)]R(s). Astfel, s

st

ţinând

seama de (4.3 7) şi (4.39), rezultă:

KRKP T s+l+K K

= Iim 1- ---'-'---'---1

s......O

P

R

P

l+KRKP

(4.40)


158

Este de remarcat faptul că prin creşterea factorului de amplificare se reduce valoarea erorii staţionare. Pentru acest caz particular de sistem de ordinul întâi, viteza de răspuns a SRA la modificarea referinţei creşte odată cu creşterea factorului de amplificare K R . Astfel, constanta de timp a SRA, ţinând seama de (4.37), se calculează cu relaţia: Tp To ----"-l+KRKp ceea ce

evidenţiază

faptul

că

pentru un TP dat,

creşterea

factorului de

amplificare K R conduce la reducerea constantei de timp T0 •

4.2.2. Analiza SRA cu regulator PI Se consideră în continuare un model de ordinul întâi pentru caracterizarea procesului, iar regulatorul este de tip Pl. În cadrul structurii SRA cu un singur grad de libertate (fig. 4.12), se evidenţiază faptul că pe calea directă există un integrator poziţionat înaintea punctului de aplicare a perturbaţiilor. V

'-,.

+ '-.-'_

E

K,(T,s+l) T,s

r

"~"

....s._

y

T,s+l

Fig. 4.12 Funcţia

de transfer a căii directe este dată de relaţia: () KRKp(T;s+l) Hd s T;s(Tps+l)

(4.41)


159

Pentru acest SRA, eroarea în regim staţionar este având în vedere prezenţa integratorului pe calea directă:

egală

cu zero,

1

(r.s 1)

K K + E = Iim [1- H (s J] = Iim 1 P R 1 =O . st s--;() O s-+0 T T s 2 + T (1 + K K \, K K i P i P RJY P R Perturbaţiile

de tip treaptă în acest caz sunt rejectate. Într-adevăr, ieşirea calculată în raport cu perturbaţia este: 1 .) K pT;s ( ) =H 0 , (s ) ·Vts ( Y,,s = \_ , 2 T;Tps +T; l+KpKRp+KpKR s iar valoarea de regim staţionar a acesteia este: y, =Iim sY,(s )=O. st

s--?0

Pentru analiza performanţelor tranzitorii, vom scrie raport cu referinţa şi perturbaţia sub forma:

(O~ (lis+ 1)

'

l(s)= 2 2 R(s) s + 21;rons + ron Yv(s)=

KR

ieşirea

SRA în

(4.44)

ro2s

n V(s) 1j s 2 +21;rons+wn2

(4.45)

unde (!)

2 KRKP = n TT i p

1;- tl+KRKp) T;Tp - 2 KP KRKp . Ţinând

seama de (4.44),

răspunsul

indicial al SRA poate fi pus sub

forma [15, 34]: 2 ~).. 2Q. + 1 -l;ro t ( r:-::2 ) y(t)=1- ~ - -1; e n sin roni'.Jl-1;- +y

1

unde ).. = ronT., tgy 1

2

p 1;-1-.

(4.46)

. tg

ŞI

t;

Pentru diferite valori ale parametrilor K R şi T,· se pot determina performanţele tranzitorii, suprareglajul şi durata regimului tranzitoriu, ţinând seama de relaţiile de calcul: cr = exp -t;

n-(y-
ry

r:-::7 · \f] + )..~- 21;1-.

-.Jl-1;2

(4.47)


160

t1

=In

l 0.05~1- r, 2 +-ln\fA 12 -2(,1.+1 -(,ron

(4.48)

(,ron

Din analiza răspunsului unui SRA cu regulator PI pentru un proces de ordinul întâi cu parametrii K P = 10 şi TP = l5s , pentru diferite valori ale parametrilor K R şi 7f se poate cu uşurinţă constata efectul creşterii KRKp factorului de amplificare al căii directe asupra suprareglajului şi T; duratei regimului tranzitoriu (fig. 4.13). :f.Q..

;\\,

0.5

o

o

5

10

Fig. 4.13

În mod similar se poate analiza efectul modificării raportului K R 17f asupra performanţelor tranzitorii în raport cu perturbaţia. Răspunsul SRA la perturbaţie treaptă unitară se calculează cu relaţia: KR

y (t)=-·

v ,

T.

,

ro

-r,ron1 sinro

n e r:-::2

vJ-1;-

n

R1-1;

1

(4.49)

figura 4.14 sunt prezentate răspunsurile SRA în raport cu perturbaţiile de tip treaptă pentru diverse perechi de valori K R 1T; .

în


161

Este de remarcat faptul că, pentru a limita amplitudinea ieşirii în raport cu perturbaţia, se cere ca valoarea factorului K R /~ să fie cât mai mică. Pentru a obţine însă viteze de răspuns ridicate în raport cu referinţa, se cere ca raportul K R 1T; să fie cât mai mare. Rezultă cu uşurinţă că această structură de reglare nu poate asigura o comportare optimă, atât în raport cu modificarea referinţei, cât şi în raport cu modificarea perturbaţiei. Ajustarea celor doi parametri ai regulatorului K R şi ~ se va face ţinând seama de particularităţile procesului şi de natura perturbaţiilor.

0.9.----------------------, 1

otv"JS \1( ,\';

0.5

K ;

'

T,. =30

20

40

60

80

Fig. 4.14

Exemplu/4.1: Pentru a exemplifica modul de utilizare a regulatoarelor P, Pl şi PID şi de abordare a proiectării sistemelor cu astfel de regulatoare, considerăm un SRA a turaţiei unui motor de curent continuu cu excitaţie independentă. Ecuaţiile care descriu fUncţionarea motorului de curent continuu sunt [ 11 }:

e

.

d2 J--+he~Kmi+C,

dt 2

di . L-+Ri=u-K 8 dt e

(4.50)


162 unde:

J -momentul de inerţie redus la axul maiorului; b - coeficientul de frecare vâscoasă; K m - coeficient de proporţionalitate; C, - cuplul rezistent; L - inductanţa circuitului rotoric; R -rezistenţa circuitului rotoric; K e - coeficient de proporţionalitate; i - curentul rotoric; u - tensiunea de alimentare a maiorului. Dacă introducem notaţiile: y := viteza unghiulară, v := C r - perturbaţia de tip sarcină, ecuaţiile motorului pot fi scrise sub forma: }j!+by = Kmi+v

e-

(4.51)

di R" K ,y+ L -+ •=u dt

Dacă aplicăm

transformata Laplace ecuaţii/ar finale, în nule şi eliminăm variabila intermediară 1(s ), obţinem:

r

JL sz LbR+KmKe

+

=

condiţii iniţiale

JR+bL s+l]Y(s)= bR+KmKe K

m

bR+K m K e

u(s)+

(4.52)

1 bR T· K m K e

v(s)

sau

(r1s + 1Xr2 s + l)Y(s )= AU(s )+ BV(s) unde constantele de timp r 1 _1

rl

şi

(4.53)

r 2 se calculează cu relaţiile:

JR +bL + ~(JR +bL) -4JL(bR+ KmK,) 2

=------~~--~----~----~~

2JL

JR+bL-~(1R+bL)Z-4JL(bR+KmKe)

_1

T 2 ------~--~---~---~~~ -

2JL

iar amplificările A şi B sunt: Km 1 A= ; B=---bR+KmKe bR+KmKe Ecuaţia (4.53) poate fi scrisă şi sub forma funcţiei de transfer: Y(s )= H 1 (s )u(s )+ H 2 (s )v(s) unde

(4.54)


163

şi

B H 2 (s)= (r s+l r s+l 1 2

X

)'

În cazul în care b =O şi L are valoare redusă, atunci r 2 = LI R şi poartă denumirea de

constantă de timp electrică,

iar r 1 -

şi reprezintă constanta

RJ KmKe

mecanică

a maiorului. V sunt constante, valoarea de regim staţionar a ieşirii (turaţia de regim staţionar) este: Yst =AU+ BV (4.55) Cea mai simplă structură de SRA a turaţiei unui motor de c.c. este prezentată în figura 4. 15. de timp

Dacă

U

şi

B A

f

r

Regulator

u

+

y

A

+

Fig. 4.15

În această structură s-a considerat că traductorul (tahogeneratorul) are fUncţia de transfer egală cu unitatea. Admiţând că regulatorul utilizat este de tip P: u=KR(r-y) ieşirea Y(s) se poate calcula cu ajutorul relaţiei: Y(s)=

AKR

(r1s + tXr 2 s+ 1)+ AKR

R(s)+

B

(r 1s + tXr 2 s + 1)+ AK R

În regim staţionar, pentru cazul în care v = O (nu cuplu), se obţine: AKR Yst = 1+ AK

de

V(s)

Yst

=r ·

(4.56)

există perturbaţii

K R se alege astfel Încât AK R >> 1,

de tip

(4.57)

R

Dacă amplificarea

turaţie

rezultă:

INGINERIA REGLA.R/1 AUTOMATE

164

În prezenţa perturbaţiei, valoarea de regim staţionar a turaţiei este dată de relaţia:

y = st Dacă

AK

R

1+AKR

r+

V

(4.58)

1+AKR

prin proiectare se aleg valori ale factorului de amplificare K R, şi

astfel încât AK R >> 1 turaţiei

B

AK R >> B, vor rezulta abateri nesemnificative ale

în prezenţa perturbaţiei.

Pentru un motor de curent continuu cu parametri

r 2 = 11600s, A= 10

şi

B = 50, cu

referinţa

r 1 = 11 60 s,

de 100rad 1s, la o

variaţie

a

cuplului rezistent egală cu v = -o.INm, se obţine: Yst = !Ou + 50v .

Pentru KR

=1110şi

v=O,

Yst =lOOrad/s

încircuitdeschisseobţine:

(u=!O).

Pentru aceleaşi valori ale lui K R ( v = -0.1 Nm) se obţine:

şi

r1, în prezenţa perturbaţiei

Yst =100+50(-0.1)=95rad/s. In cazul închiderii buclei cu referinţa egală cu zero:

B Yst

Pentru a deschis,

=

50

îmbunătăţi

precizia de 100 de ori în

1 + AK R = 100, rezultă: K R = 99, ceea ce poate conduce sistemul în

comparaţie

cu sistemul

adică

saturaţie.

În aceste condiţii, valoarea staţionară a turaţiei în lipsa perturbaţiei este: AK 99 Yst R r=-100=99radls 1+AKR 100 iar în prezenţa perturbaţiei: Yst = 99-0.05 = 98.5 rad 1 s . Este de remarcat faptul că în timp ce sistemul deschis operează cu eroare egală cu 5%, sistemul închis, în prezenţa perturbaţiei, are o eroare staţionară de 0.05%. Reglarea turaţiei cu regulator Pl Dacâ se consideri/ procesul caracterizat prin funcţia de transfer: H p(s) şi

A

(r1s + 1Xr 2s + 1)

(4.59)

regulatorul de tip P!, fUncţia de transfer a căii directe este: Hd(s)=HR(s)Hp(s)=

(RA(Tx+l) ) Tisr 1s+1 r 2 s+l

(4.60)


165

iarfuncţia de transfer a SRA în raport cu referinţa este: H ( )0

KRA(T;s+l)

s- KRA(T;s+1)+(r1s+1Xr 2 s+1):r;s · Eroarea în regim staţionar este egală cu zero pentru referinţă perturbaţie treaptă, datorită integratorului prezent în structura regulatorului. Ecuaţia caracteristică a SRA este: AKR r 1r 2 s 3 + (T 1 +Tz )s2 + (1+AKR )s+--=0

şi

(4.61)

Ti

Prin alegerea parametrilor K R şi Ti se pot obţine performanţele tranzitorii dorite, cu observaţia că prezenţa componentei integrale, printr-o alegere necorespunzătoare a constantei de timp Ti, poate conduce la degradarea performanţelor tranzitorii. Sistemul dereglare, în acest caz, conţine trei poli şi un zero. O soluţie avantajoasă se obţine în cazul în care constanta dominantă de timp a procesului, determinată precis, poate fi compensată prin alegerea constantei Ti = r 1 • În acest caz, se obţine: Ho(s)=

KRA T;s(T 2 s+ 1)+ K RA

(4.62)

ceea ce evidenţiază un sistem de ordinul doi ale cărui performanţe tranzitorii sunt determinate numai de valoarea factorului de amplificare K R, în condiţiile ideale ale cunoaşterii precise a constantelor de timp r 1

şi T 2 ,

respectiv amplificarea A.

Reglarea turaţiei cu regulator de tip PID

Componenta derivativă este introdusă pentru îmbunătăţirea stabilităţii şi gradului de amortizare a răspunsului. Aşa cum s-a menţionat, componenta derivativă poate fi inclusă în SRA, fie pe calea directă, fie pe calea de reacţie (algoritmul PID-modificat). Ieşirea SRA în prezenţa perturbaţiei şi cu regulator PID pe calea directă se calculează cu relaţia: creşterea

AK++./s +Tds)

Y(s)=

'

1 (r s + 1Xr2s+ 1)+ AK R(1 + - - + TdsJ Ts

R(s)+

1

'

+

'

B

(r 1s + 1Xr 2s + 1)+ AK R(l

1 +-- + Tds) T;s

(4.63)

v~)


166 Funcţia

de transfer a SRA în raport cu referinţa este: 1 AKR[l+- +Tdsl Tis J

, )

Ho\s = (r 1s+1X-r 2 s+l)+AKR[l+-1-+Tds] Tis

şi evidenţiază prezenţa

a trei poli şi două zerouri. Este uşor de remarcat faptul că o alegere necorespunzătoare a parametrilor de acord K R, T; şi Td poate conduce sistemul fn instabilitate. Pentru a atenua efectul nedorit al celor două zerouri, se poate selecta un algoritm PID cu filtrare a cărui fUncţie de transfer de forma: H (s)

KR(8 1s+IX82 s+l)

&(rs+l)

R

asigure compensarea constantelor de timp r 1 şi r 2 , prin alegerea corespunzătoare a constantelor 81 şi 8z, şi anume: 81 ='!"1 Şi 82 =Tz. fn acest caz se obţine: să

H 0 (s)=

AKR 8s(rs + 1)+ AK R '

ceea ce evidenţiază un SRA de ordinul doi ale cărui performanţe tranzitorii pot fi controlate prin alegerea corespunzătoare a constantelor r şi respectiv a factorului de amplificare K R, Se poate analiza efectul fiecărei componente asupra performanţelor tranzitorii ale SRA. Ţinând seama de limitările structurii de reglare cu un singur grad de libertate, pentru reglarea turaţiei se recomandă variante avansate de structuri cu două grade de libertate [11). Cea mai utilizată structură dereglare a turaţiei unui motor de curent continuu este structura de reglare în cascadă.

4.3. Analiza SRA cu regulatoare PID pentru procese cu timp mort Vom considera în cele ce urmează modele matematice de ordinul 1 şi de ordinul al 2-lea cu timp mort, modele ce aproximează cu bună precizie o clasă de procese lente şi foarte lente. Astfel, pentru procese caracterizate prin funcţii de transfer de forma: K pe -ts ( )

Hit s

=

Tps+l

8

( )

h s

Kve -ts

= s(Tvs+l)


167

ŞI

vom analiza efectul modificării parametrilor K R , T; şi Td asupra gradului de stabilitate al SRA şi asupra performanţelor tranzitorii. Presupunem că parametrii modelului ataşat procesului condus sunt deterrninaţi suficient de precis. A vând în vedere particularităţile sistemelor cu timp mort, vom analiza comportarea SRA pornind de la condiţiile ce asigură limita de stabilitate a acestora. Pentru un proces cu o constantă de timp şi timp mort, alegerea unui regulator P conduce la o funcţie de transfer a căii directe: fK\K e-ts P Tps+l

(s)='(B

H d

(4.64)

Comportarea SRA va fi influenţată de factorul de amplificare Kd =KRKp şi de raportul t!TP. Atât creşterea factorului de amplificare Kd, cât şi creşterea raportului t!TP, determină o reducere a gradului de

stabilitate. Raportul

t 1TP =

e1,

cunoscut ca şi timpul mort normalizat, poate fi

utilizat ca un indicator al dificultăţilor de reglare a proceselor cu timp mort [4]. Cu cât e este mai mare, dificultăţile de reglare a acestor procese sunt mai 1

mari. În mod similar, se poate introduce un factor de amplificare normalizat: K 1 =KpKRo

unde K RO

reprezintă

factorul de amplificare al regulatorului pentru care

locul Nyquist intersectează axa reală negativă ( 'P( ro) =-1t ):

Hh(o) K,=KpKRo=l

(

Hh \ JW"

li

(4.65)

unde .~· este cea 111aÎ_I11icăf~C.9Y!
1~

argHh(jro")=-1t. Numărul

K1 poate fi interpretat ca amplificarea cea mai mare Kd ce

poate fi realizată folosind regulator proporţional, când SRA se găseşte la limita de stabilitate.


168

O valoare mare a acestui număr evidenţiază uşurinţa reglării unor asemenea procese, în schimb o valoare redusă creează reale dificultăţi de reglare a proceselor cu timp mort cu regulator P. În regim staţionar, eroarea pentru referinţă treaptă egală cu r0 se calculează cu relaţia: 1 1 1 r =--r e = r > st I+KPKR O I+KPKRO O I+K O 1

(4.66)

Numărul

K1 poate fi astfel utilizat pentru a estima eroarea staţionară minimă în condiţiile utilizării regulatorului P şi, de asemenea, determină oportunitatea includerii componentei integrale în algoritmul de reglare în vederea satisfacerii cerinţei de precizie a SRA. Într-o manieră similară, se pot introduce coeticienţii normalizaţi 92 şi K 2 , pentru procese modela te prin funcţii de transfer de forma: ( \ Hit

Kve-Ts

sj= s(Tvs+l)'

e

t

2

(4.67)

=-

TV

unde r şi Tv , în acest caz, reprezintă timpul mort aparent şi constanta de timp aparentă a procesului. Pentru aceste procese ce conţin în structură un integrator, produsul K RoK v are dimensiunea unei frecvenţe. Amplificarea nmmalizată a procesului cu integrator se defineşte astfel:

}!.'!hsHp(s) KvKRo Kz= ronjHh{jron)J ron unde ron este cea mai mică frecvenţă pentru care: arg Hd (jro") =

(4.68)

-n.

Pentru referinţa de tip treaptă (fără perturbaţii), eroarea în regim staţionar este egală cu zero. Pentru referinţa rampă, eroarea de viteză este dată de relaţia: 1

&

unde r1

V

1

=--r >--r j 1 KvK R K2m"

reprezintă

panta referinţei de tip rampă.

(4.69)


169

În raport cu perturbaţiile de tip sarcină sub formă de treaptă, ce la intrarea procesului, se calculează eroarea sub forma:

acţionează

(4.70)

respectiv, Yv2 =

v0 KR

Kvwnvo Kvvo >-KvwnKR WrrKz

(4.7 1)

KvT0v0 2rrK2

(pentru procese ce conţin un integrator [4, 11 ]). Cantităţile y, 1 1 K Pv0 şi yvZw 11 1 Kv v sunt astfel adimensionale. 0

Luând în consideraţie valoarea maximă a erorii în raport cu de tip treaptă Yv max, se pot defini următorii indicatori sinteti ci pentru evaluarea preciziei în raport cu perturbaţiile de tip treaptă de amplitudine egală cu v0 • Astfel, pentru procese cu timp mort şi o constantă de timp, se defineşte factorul: perturbaţia

1 '-1 = ~· Yvmax p

(4.72)

o

iar pentru procese cu un integrator, timp mort defineşte factorul: w11 2rr '-z=--·Yvmax= ·Yvmax Kvvo KvTovo

şi

o

constantă

de timp se (4.73)

Folosind aceşti indicatori sintetici se pot determina valorile optime ale factorului de amplificare care asigură gradul de stabilitate dorit şi precizia în raport cu referinţa şi perturbaţia de tip treaptă. Pentru procese de ordinul întâi şi timp mort, se poate stabili o relaţie exactă între coeficienţii sintetici e1 şi K1 , în condiţiile în care SRA se află la limita de stabilitate: ,

e1 = Tp

tt-atan~Kf-1 ~Kf -1

(4.74)

În figura 4.16 se prezintă dependenţa între e1 şi KI> evidenţiindu-se efectul pe care timpul mort normalizat e1 şi factorul de amplificare

normalizat K 1 îl au asupra gradului de stabilitate al SRA. Din această dependenţă se poate determina, pentru o anumită valoare a parametrului el , valoarea factorului de amplificare care asigură gradul de stabilitate dorit.


170

Fig. 4.16

O relaţie analoagă cu (4.74) se poate obţine pentru procese cu integrator şi timp mort. Funcţia de transfer sH p (s) poate fi caracterizată prin timpul mort aparent şi constanta de timp T, . În acest caz, ţinând seama de condiţiile ce definesc limita de stabilitate, se deduce cu uşurinţă relaţia:

e

2

=

T

~K~-l

T.V

Factorul

Dependenţa

FF1

--atan K -! 1t 2 2

e2

K = f 2

(4.75)

poate fi utilizat pentru calculul coeficientului K 2 .

(e 2 ) este reprezentată în figura 4.17.

K,

Fig. 4.17


171

O analiză similară se poate efectua şi în cazul utilizării regulatorului Pl. Astfel, pentru procese cu timp mort şi o constantă de timp, utilizarea unui regulator PI conduce la următoarea funcţie de transfer a căii directe: H

d

(s)=

KR (7js +

1)

7js

·

K pe-rs

(4.76)

Tps + l

sau ,

Kde

-ts r

(1js+i )

\ s) = -"-,---'.-'-,.--'-

H

s(Tps +

d

t)

La limita de stabilitate, sistemul este caracterizat prin coeficientul: KpKRo K dO = ___,.;._::::_ T;o unde K RO

1fo

reprezintă factorul de amplificare al regulatorului PI care asigură

argHd(jwn)=-n, pentru un KP dat (amplificarea pentru care se asigură

intersecţia locului Nyquist cu axa reală negativă). Dm relaţm:

f"

Q

îtftr H

1{ : k

tJ t~V

arg Hd (jwn) = 'f'( m11 ) = -n = -~- w"r- a tan Tpwn +a tanT;m" rezultă

(4.77) unde 'f'p

=atanTPw11 şi 'Pi =atan7j.

Dacă definim coeficientul

, K

K;

sub forma:

Iim sHd(s) "-s·""'~"'o-,---,, IHd (jw" Jl

z=·

rezultă:

sau

2 ~(1- KlT? ) +4Klr}, ·· (1- Kb?) 2

.

ot. rn f
(4.78)


172 şi

Din (4.77)

(4.78) rezultă: 2

(1- K '2 T;2) 2 r \1~~----~----------~----~ 2 '2 2) (1- K2 T;

+ 4K2'2Tp2 -

--a " tanro"Tp + atan ro"T; 2

sau '

e

2

Ţ

=--=

T

p

" -atan 1IV\1-K III( '27j2)

=

2

2

2

1~(1-K{7j2 )

2

(4.79)

+

2 +4K{r;-(l-K{1f )

~

2

III( '2 7j2) atanV\II1-K 2

+

2 (1-K '2 1j2) +4K2·2TP2

i~(1- K{7j

2

z (1-K '21j2) +4K2'2 TP2

2

2

)

\

+ 4K;r; -

(1- K{7j2 )

2

Se obţine astfel o relaţie e~

=

t(K;.1j) care poate fi utilizată pentru

acordarea regulatorului Pl. Pentru cazul foarte simplificat, atunci când TP este calculat cu precizie ridicată şi alegând TP =T;, relaţia (4.79) devine:

e2' = -1r, 2K21j

(4.80)

Acest caz particular poate fi studiat şi pornind de la expresia funcţiei de transfer H As), pentru TP =T;: K K H ( s) = d

p

Re -rs.

T.s 1

Deducerea acestui rezultat poate reprezenta un

exerciţiu

pentru

cititor. În mod similar, se poate analiza comportarea SRA cu regulatoare PID pentru procese cu timp mort, cu una şi două constante de timp. De remarcat faptul că introducerea componentei derivative pentru procese cu timp mort se face cu precauţie şi, evident, numai dacă se obţine o îmbunătăţire a performanţelor tranzitorii.


173

În regim staţionar se asigură comportarea dorită în raport cu referinţa de tip treaptă, ca urmare a prezenţei componentei mtegrale în structura regulatorul ni. şi perturbaţia

4.4. Acordarea regulatoarelor PID A acorda un regulator convenţional PID presupune determinarea valorilor optime ale parametrilor K 8 , Ti şi Td care asigură pentru un proces dat comportarea dorită a SRA în raport cu referinţa şi perturbaţiile ce acţionează asupra procesului. Ţinând seama că modelele simplificate ale proceselor conţin cel mai adesea incertitudini structurale şi parametrice, determinarea analitică a parametrilor de acord este orientativă cel mai adesea, rămânând ca valorile optime ale parametrilor să fie validate experimental. Acesta este motivul pentru care frecvent vorbim de acordarea experimentală pe obiect a regulatoarelor selectate în concordanţă cu particularităţile procesului şi cu cerinţele de performanţă dorite. Experienţa a validat soluţii eficiente pentru diferite clase de procese în ceea ce priveşte tipul de algoritm de reglare şi structura optimă de SRA. În aceste condiţii, rămâne de acordat regulatorul pentru regimuri precizate de funcţionare întrun context perturbator cunoscut cu suficient de bună precizie. În paragraful anterior au fost analizate efectele diferitelor componente ale algoritmilor PID asupra performanţelor SRA fără a evidenţia ponderea acestora, definită prin parametrii K 8 , K RIT; şi K RTd, asupra comportării generale a unui SRA. În cele ce urmează se prezintă proceduri analitice şi experimentale de detem1inare a parametrilor de acord K R , T; şi Td pentru procese caracterizate prin modele matematice simplificate. 4.4.1. Acordarea regulatoarelor pentru procese rapide Separarea obiectelor conduse în funcţie de valoarea constantelor de timp şi de valoarea timpului mort se impune ţinând seama de particularităţile proceselor lente şi foarte lente din punct de vedere al reglării sau conducerii. Este cunoscut faptul că procesele rapide, caracterizate în general prin valori ale constantelor de timp dominante mai mici de 1O secunde şi constante de timp parazite, în general, cu un ordin de mărime mai reduse decât constantele de timp dominante, sunt descrise prin modele matematice


174

cu o bună prec1z1e. În aceste condiţii este posibilă, cu bune rezultate, utilizarea unor metode analitice pentru determinarea valorilor optime ale parametrilor de acord. Astfel, punând condiţia ca durata regimului tranzitoriu să fie minimă (banda de frecvenţă cât mai mare), rezultă relaţii de calcul ale parametrilor de acord în funcţie de parametrii modelului [15, 34]. Dacă vom considera modele matematice de forma:

(s)=

H P

K

(4.81)

P

(T1s +IXT2 s + IXT.l:s + 1)

unde 1) şi T2 sunt constante de timp dominante, iar T.l: reprezintă suma tuturor constantelor parazite de timp (T.l: « min(T1,T2 )) şi algoritmul de reglare recomandat de tip PID de forma: KR

HR(s)= atunci

funcţia

(e1s + 1)(e2s + 1) ()

s ts + l

(4.82)

,

de transfer a căii directe este:

În această relaţie,

e1

Ae

1)(e2s + 1) ) s(T1s + 1)(T2s + 1(T~s + 1) KRK

Hd(s)=HR(s)Hp(s)

şi

e2

s+ 1

(4.83)

au senmificaţia constantelor de timp

ataşate unor elemente de anticipaţie incluse în structura algoritmului de reglare de tip PID. În condiţiile în care 1) , T2 şi T~ sunt cunoscute cu precizie, se pot alege parametrii regulatorului conform criteriului modulului [5, 39) astfel: 1 el ez =Tz; KR

=1J;

=--=-,.. 2KpT.l:

Cu această alegere a parametrilor de acord se obţine:

HAs)

(l

)

2T~s T~s + 1 1

(4.84)

Este evident şi faptul că SRA asigură eroare staţionară egală cu zero, iar răspunsul tranzitoriu este influenţat numai de valoarea constantei de timp T~ , care are valoare foarte redusă.


175

În aceste condiţii, performanţele SRA sunt determinate de T~, banda de frecvenţă fiind dată de relaţia:

.fi 1 ron=(Jln=-·-,. 2 T 2:

Această relaţie rezultă

cu

uşurinţă

din (4.84), care poate fi

pusă

sub

forma: H

unde

d

u/

(s)= (

n

s s+21;ron

2

1

ron = - , ,

2T

E

)'

.fi

.

i;=-=0.7. 2

O asemenea acordare a algoritmului de reglare asigură o valoare constantă a suprareglajului ( cr = 4.3% ), iar durata regimului tranzitoriu rezultă în funcţie de T~ : 4 ' tt

;oo-=8TE. i;ron

Pentru cazul în care referinţa este (eroare de viteză):

rampă unitară, rezultă

o eroare

permanentă

1

())

'

21;

E

e =-=....!!..=2T . v

Kv

Se

poate

M ( w) = jH (ro Jj

0

uşor

evidenţia

prin

intermediul

caracteristicii

(fig. 4.18) că banda de frecvenţe în acest caz este cu atât mai

mare cu cât T~ este mai mic.

M(w)

Mot------

w, Fig. 4.18

())


176

Exemplul 4.2: Se

consideră

Hp(s)=

un proces caracterizat prin:

5 (8s+IX2s+IXO.Is+I)'

Se cere a alege un regulator astfol încât să fie satisfăcute următoarele de performanţă: aS 5%, t1 S ls şi Es1 =O. Conform variantei Kessler [39], se recomandă un regulator a cărui fUncţie de transfer este: cerinţe

HR(s)= (8s+IX2s+1) s 8 1 = 8s, 82 = 2s, 8 = 2K P Tr, = 2 · 5 · 0.1 = 1. În acest caz:

.fi

1 -1 , ( =0.707. Tr, Cu aceste valori ale parametrilor se obţin performanţele: a= 4.3%, 11 =STr, = 0.8s şi t:: st =O. Pentru intrare rampă: Wn =-·-=1.1s

2

1

.

Ev = - = 2Tr, = 0.2.

Kv

Pentru urmărirea fără eroare în regim permanent a referinţei rampă, conform criteriului simetriei [34, 39] se recomandă algoritmi de reglare de forma:

(s)= (ecs+i)'

H

R

9s

(4.85)

unde n poate lua valoarea 1 sau 2 pentru algoritmi PID, ee= 4nT~, iar 9 = 2K PT~ ·

on

.,.s-, unde T k reprezintă constantele dominante ale procesului. gTk

Folosind asemenea algoritmi de reglare pentru procese caracterizate prin modele aproximative de forma:

HP(s)=

Kpn

(4.86)

(Tl:s +!)il (Tks) 1

se obţine

funcţia

H d (s )=

de transfer a căii directe a SRA: 4Tl:s + 1 2 (TEs + 1)

sris

(4.87)

Algoritmi şi structuri convenţionale de regfare

177

Şl

Ho(s)=

(4.88)

4Tl:s+l

srfs 3 + srl;s 2 + 4Tis + 1

Din (4.87) rezultă că eroarea în regim permanent la referinţă rampă cu zero, iar din (4.88) rezultă că performanţele tra11zitorii sunt influenţate numai de T"I; . Funcţia de transfer H 0 (s) conţine trei poli şi un zero, putând fi pusă sub forma: este

egală

(jJ p ) _n_(s+z

H

0

(s)=

(4.89)

(s 2 +21;ronsH>~)(s+p)

1

un d e z = - - , 4TI

1 ron=2TE

~=0.5,

.

ŞI

1 p=--. 2Ty;

O asemenea distribuţie a celor trei poli şi a zeroului comportare nesatisfăcătoare a SRA în raport cu referinţa asigură o bună comportare în raport cu referinţa rampă.

evidenţiază

o

treaptă, însă

Exemplul 4.3 Considerând procesul caracterizat prin: H P

(s)-

1 4s(O.ls+l)

se cere alegerea unui regulator astfel încât eroarea în raport cu cu zero. Conform criteriului simetriei, pentru acest proces se regulator Pl:

referinţa

de tip

rampă să fie egală

recomandă

un

4

2K Tr,s · Tr. P

Tp

De remarcat faptul că, în ambele cazuri, performanţele sistemului sunt determinate numai în funcţie de constanta de timp parazită, putând fi aplicate numai proceselor rapide.

4.4.2. Alegerea

şi

acordarea regulatoarelor pentru procese lente

Procesele lente sunt caracterizate prin modele aproximative, având constante de timp mai mari de 1O secunde şi, cel mai adesea, conţin şi timp mo1t. Pentru alegerea tipului de regulator, proiectantul de SRA are în

178


general la bază o serie de criterii verificate în practică, ţinând seama de caracteristicile procesului şi de performanţele impuse. Prezenţa timpului mort în funcţionarea unui proces tehnologic impune o serie de precauţii în alegerea tipului de regulator, putându-se recomanda atât regulatoare liniare PI şi PID, cât şi regulatoare neliniare de tip bipoziţional sau tripoziţional. Componenta derivativă se include într-un algoritm de reglare pentru proces cu timp mort numai în măsura în care se obţine o îmbunătăţire a performanţelor. Pentru valori ale raportului r!TP < 0.2 se pot recomanda algoritmi neliniari, în măsura în care cerinţele de performanţă nu sunt foarte înalte. Amplitudinea şi frecvenţa perturbaţiilor trebuie luate în consideraţie la alegerea tipului de regulator. Astfel, pentru procese cu constantă de timp medie şi un timp mort redus, la o amplitudine medie a perturbaţiilor şi o frecvenţă redusă a acestora, se recomandă un regulator bipoziţional sau un regulator P. Pentru o frecvenţă mai mare a perturbaţiilor, având diverse amplitudini, se recomandă un algoritm PI, iar pentru un proces cu mai multe constante de timp şi timp mort redus, la o amplitudine mare a perturbaţiilor şi o frecvenţă mare a acestora, se recomandă un algoritm PID. De asemenea, pentru procese cu două sau mai multe constante de timp dominante, nu se recomandă un regulator P, ci un regulator PI sau PID, care anulează eroarea staţionară şi asigură o viteză de răspuns mai ridicată. În funcţie de tipul mărimii reglate, de perturbaţiile procesului fizic, sunt recomandate diverse tipuri de regulatoare, având în vedere dinamica procesului ( r, TP) şi caracterul perturbaţiilor. Astfel, pentru reglări de nivel pot fi utilizate, atât regulatoare P, cât şi regulatoare PI, aceasta în funcţie de precizia urmărită şi de tipul perturbaţiilor. Dacă perturbaţiile în cazul reglării de nivel sunt determinate, atât de variaţia debitului de intrare, cât şi de variaţia debitului de ieşire, iar abaterea staţionară se cere a fi zero, se recomandă un regulator PI, ai cărui parametri de acord sunt diferiţi pentru gaze şi lichide, având în vedere că pentru lichide constanta de timp este mai redusă decât pentru gaze. În cazul unor reglări de debite şi amestecuri de fluid, dat fiind că asemenea procese sunt caracterizate printr-o constantă de timp mică şi o amplificare mare, sunt recomandate regulatoarele Pl. Prezenţa zgomotelor determinate de variaţiile debitului face inoportună utilizarea componentei derivative la reglarea debitelor. La reglări de temperatură, unde raportul r/TP este mare, sunt recomandate regulatoarele PI sau PID.

În tabelul 4.1 se prezintă sintetic recomandări pentru alegerea tipului de regulator pentru diverse funcţii de transfer ale procesului şi cu evidenţierea unor restricţii asupra performanţelor ce pot fi atinse în anumite condiţii impuse. ·


179

Tabelu/4.1

::;;:

p

PD

PI

PID

e

DA

DA DA

KP 1~s + 1

dacă

se impun

dacă

NU

TP este

precis determinat

cerinţe

asupra erorii staţionare

DA KP (T1s +

IXT2 s + 1) KP

n

TI (Tks + 1)

DA

DA cu

cu

restricţii

performanţe

asupra

reduse Rar utilizat,

amplificării

performanţe

DA

Se

utilizează

rar

cu

restricţii

asupra amplificării

Se

scăzute

utilizează

1

DA, Kpe

Tps+l

când 1/Tp <0.1 iar

Est

DA

NU

DA

NU

NU

NU

funcţie

este

în limi.tele admisibile Kpe

-TS

DA

NU

-TS

NU

DA

1

Rar, în Kpe

(r1s+l)(r2s+l)

1

1

DA

rar

1

-ts

1

de

tipul timpului mort şi de efectul componentei

D În tabelul 4.2 se prezintă unele recomandări privind algoritmul de reglare pentru diverşi parametrii tehnologiei, cu evidenţierea unor particularităţi ale modelului procesului.


180

Tabelu/4.2

::s:

DA,

Temperatură

dacă

p

PI

PID

DA

DA

Bipoziţional

egl

DA,

T

DA

rn cazuri speciale

-

DA

NU

-

DA

-

DA

mari Debit

Nivel

NU DA dacă nu exista timpi morţi prea

de

t!TP

TP

DA dacă nu există timpi morţi prea

funcţie

raportul

-<0.1

Presiune

în

mari Odată stabilită

legea de reglare pentru un proces dat, se impune luarea în consideraţie a tipului de regulator din punct de vedere al agentului purtător de semnal. Din punctul de vedere al legilor de reglare P, I sau D, sistemele pneumatice şi electronice sunt echivalente. Alegerea unui regulator pneumatic sau electronic este determinată de tipul procesului, de tipul parametrilor reglaţi, de tipul elementelor de execuţie şi de tipul traductoarelor. Siguranţa în medii cu pericol de explozie şi incendii poate constitui un argument în favoarea regulatoarelor pneumatice, însă regulatoarele electronice prevăzute cu siguranţă intrinsecă pot fi utilizate în asemenea medii. Pentru procesele la care sunt utilizate traductoare pneumatice şi elemente de execuţie pneumatice, se recomandă un regulator pneumatic, având în vedere că în acest caz se foloseşte un singur agent purtător de informaţie.

Considerentele economice constituie, de asemenea, un element important în adoptarea soluţiei pneumatice sau electronice. În cazul în care se cere automatizarea complexă a unui proces tehnologic cu ajutorul unui calculator de proces, reglarea convenţională cu regulatoare electronice prezintă avantaje în comparaţie cu reglarea pneumatică, dată fiind complexitatea instalaţiilor de cuplare a aparaturii pneumatice la calculatoare.


181

Pentru acordarea regulatoarelor destinate proceselor lente, pot fi utilizate mai multe criterii. Criteriul modulului poate fi extins la acordarea regulatoarelor pentru procese lente, permiţând delimitarea domeniilor de variaţie a parametrilor care asigură satisfacerea cerinţelor de performanţă în raport cu variaţia referinţei, precum şi selectarea valorilor care asigură comportarea optimă în raport cu acţiunea perturbaţiei aditive care acţionează asupra procesului. Alegerea şi acordarea regulatoarelor pentru procese cu timp mort reprezintă una dintre problemele cele mai dificile în practica reglării automate, aceasta datorită, atât dificultăţilor de determinare cu precizie a timpului mort ce caracterizează procesul, cât şi influenţei nefavorabile a timpului mort asupra comportării tranzitorii a unui sistem de reglare automată.

Pentru acordarea regulatoarelor pentru procese cu timp mort pot fi utilizate criterii bazate pe metoda limitei de stabilitate, criterii bazate pe rezultate ale identificării experimentale sau criterii experimentale având procesul în funcţiune.

Criterii experimentale de acordare a regulatoarelor Dificultăţile

legate de identificarea cu precizie a proceselor lente, comportarea neliniară a unor asemenea procese, precum şi caracterul aleatoriu al anumitor perturbaţii ce intervin în funcţionarea proceselor fac ca metodele analitice de acordare a regulatoarelor să aibă un caracter limitat. De cele mai multe ori, după o acordare pe baza unui criteriu dat, se impune verificarea performanţelor şi reajustarea parametrilor de acord. De asemenea, în funcţie de frecvenţa şi amplitudinea perturbaţiilor se impune corectarea parametrilor de acord. Metodele practice de acordare au la bază experienţa acumulată în alegerea şi acordarea regulatoarelor. Astfel, pentru un sistem dat, în funcţiune, cu mărimea de referinţă şi cu mărimile perturbatoare menţinute constante, prin modificarea parametrilor de acord până se ajunge la limita de stabilitate, se determină amplitudinea şi frecvenţa oscilaţiilor întreţinute. Folosind aceste mărimi caracteristice ce caracterizează limita de stabilitate a sistemului, se determină valorile parametrilor de acord ai regulatorului. Metoda Ziegler-Nichols se aplică la acordarea regulatorului pentru procese lente la care perturbaţiile sunt determinate de sarcină şi au o durată mare. Pentru un regulator PID, se fixează acordul pentru 7j la valoarea maximă ( 7j -'> oo) şi pentru Td la valoarea minimă ( Td = O) şi se modifică K R până ce mărimea de ieşire a sistemului y intră într-un regim de oscilaţii


182

neamortizate, deci sistemul ajunge la limita de stabilitate. Valoarea K RO şi perioada oscilaţiilor neamortizate Ta sunt utilizate pentru determinarea parametrilor de acordare optimă. Pentru a obţine un raport 1/4 între amplitudinea celei de-a doua oscilaţii pozitive şi amplitudinea primei oscilaţii pozitive ("amortizarea în sfert de amplitudine"), criteriul Ziegler-Nichols recomandă următoarele valori de acordare optimă, în funcţie de K RO şi Ta: Pentru regulatoare P: (4.90) KRopt =0.5KRo Pentru regulatoare PI:. K Ropt

=0.45K RO

(4.91)

T;opt = 0.8T0

Se remarcă o reducere a factorului de amplificare (4.91) faţă de regulatorul P, justificată ca urmare a necesităţii compensării efectelor nefavorabile ale componentei I asupra procesului tranzitoriu. Pentru regulatoare PID parametrii optimi se calculează cu relaţiile: K Ropt

=0.75K RO (4.92)

Tdopt = O.JT0

o creştere a lui K R şi o reducere a lui T;, care determină creşterea factorului total de amplificare, datorată îmbunătăţirii performanţelor tranzitorii ca urmare a prezenţei componentei D. Pentru cazul în care există interinfluenţă între parametri (adică modificarea unui parametru influenţează valorile celorlalţi parametrii de acord) [37], relaţiile de calcul sunt: Se

remarcă

KRopt =0.6KRo T;opt

=0.5T0

Tdopt

=0.12T0

(4.93)

În acest caz, factorul total de amplificare K Ropt 1Tiopt se reduce foarte puţin faţă de cazul anterior. Metoda Offereins permite detenninarea parametrilor optimi de acord pornind de la K Ro şi T0 determinate ca în cazul precedent. In cazul utilizării unui regulator Pl, pentru a obţine un răspuns optim la aplicarea unei perturbări se recomandă: K Ropt = 0.5K RO

(4.94)


183

unde 7'; 0 reprezintă valoarea limitată a lui 1; pentru care se depăşeşte limita de stabilitate menţinând K Ropt . Astfel se măreşte factorul K Ropt IT; până la depăşirea

limitei de stabilitate şi se reţine valoarea lui T;o. în ceea ce priveşte componenta D, metoda prevede verificarea prealabilă a eficienţei acestei componente asupra performanţelor sistemului. Această verificare se face punând acordul pentru 1j la valoarea maximă şi pentru Td la valoarea minimă, iar valoarea K R se modifică până aproape de K RO. Dacă mărirea lui Td are ca efect o creştere a gradului de stabilitate, îmbunătăţind performanţele tranzitorii şi depărtând sistemul de limita de stabilitate, atunci influenţa componentei D este pozitivă. Pentru determinarea valorii optime a constantei Td , se menţine K R în jurul valorii K RO şi se măreşte Td până când calitatea regimului tranzitoriu şi deci gradul de stabilitate nu se mai îmbunătăţesc. Valoarea lui Td de la care se atinge acest efect este adoptată ca valoare optimă. Exemplul 4.4 Se consideră procesul al cărui model este dat prin [46}:

Hp(s)= (

1

r

s +1

iar algoritmul de reglare este de tip PID în cadrul unei structuri de SRA cu un grad de libertate ifig. 4.9). Se cere: a) parametrii de acord ai regulatorului PID, apelând la metoda limitei de stabilitate Ziegler-Nichols; b) răspunsul indicial pentru referinţă şi perturbaţie. Soluţie:

Determinăm

'jK- RoH

p

care conduce la K Ro= 8

mai intâi K RO şi

-~

Wc

(Jw ~ K RO +(jwc + l)l '- ~Ne'_\:!

şi wc = J3.

'" v - r-fu

3'

('1 ,,.

Â

vvc 0 • - [ 4- .':>Wc" +-

-.t- \ '

-

, ·

o

J ;·

+·3u-~J-?v·· "'o '"'

d( 3wclNI:~).J

Prin urmare, perioada critică este: 11co ~ IR_ =) Wc (3, Wct)? () ~) Wc "\ T0 3.63. Cu aceste valori, obţinem parametrii de acord conform relaţiilor Ziegler~:ev~[ \ Y-i- 4- ?-) ~ ~ +u;;~'· 3 Nichols: _ _ K Ropt - 0.6K RO - 4.8

=

J1

1iopt

= 0.5T0 = 1.81

1dopt

= 0.125To

=0.45


184 Dacă

alegem un regu!ator cu componenta derivativă filtrată cu o constantă de timp T1 =ard =O.lTd = 0.045, se obţine funcţia de transfer a căii directe sub forma:

sau 2

H ( )= 52.8s +109.32s+58.93 d s s(s+22.2Xs+lf . Pentru a determina răspunsul indicial, folosim pentru simulare mediul SJMUL!NK, aplicând treaptă unitară la momentul 1 =O şi o perturbaţie treaptă la t = 20. În figura 4.19 se prezintă răspunsul indicial al SRA.

2.5.---------------, 2

0 o~--~10~---~20~----~~----~40

timp (sec)

Fig. 4.19

Se poate observa că, prin aplicarea acestei proceduri de acordare, suprareglajul este foarte mare.

Aplicarea acestei metode de acordare necesită precauţie, având în vedere că procesul este forţat să oscileze cu o anumită amplitudine a oscilaţiilor, care poate deveni periculoasă în anumite condiţii de funcţionare. De menţionat că atingerea limitei de stabilitate pentru SRA se poate atinge şi prin introducerea în bucla dereglare a unui releu ideal [3].


185

Criterii de acordare bazate pe rezultatele identificării Alte metode practice de determinare a parametrilor optimi de acord au la bază raportul .2.. caracteristic pentru un proces cu timpul mort r ŞI o TP constantă de timp TP: K Hp(s)=

pe

-
Tps+l

.

Pentru a determina parametrii ce caracterizează comportarea procesului la un semnal de comandă de tip treaptă se parcurg următoarele etape: se aplică la intrarea procesului care se află în regim staţionar caracterizat prin u0 şi y0 , în buclă deschisă, la un moment de timp t0 , o treaptă de la u0 la usi , care poate fi cuprinsă între (1 O+ 20%) din întreaga scală;

noua valoare de regim staţionar a ieşirii y" înregistrează răspunsul procesului la o intrare !J.u =us1 - u 0 ; se calculează parametrii modelului matematic cu relaţiile: se

calculează

Kp = Ys1-Y0 , t=t - t ŞI· Tp = t 2 -t 1 ( v. f.1g. 1 0 ust- Uo

şi

se

420) . .

y

u

Y"

1 1

1 1 1 1

1 1

u,

y,

...___,...-_,L.--------+-----1 1

t,

t,

t,

t,

(b)

(a)

Fig. 4.20

Cu valorile parametrilor K p, Tp şi r obţinute pe cale experimentală se calculează parametrii de acord ai regulatoarelor PID folosind diferite relaţii.


186 Relaţiile

Ziegler-Niclzols:

pentru regulator P: 1 Tp KRopt=-Kp r

(4.95)

pentru regulator Pl: 0.9 Tp KRopt=Kp r

(4.96)

T;opt = 3.3t

pentru regulator PID, cu q =O: 1.5 Tp KRopt=-Kp t

(4.97)

T;opt = 2.5r Tdopt = 0.5t

pentru regulator PID cu q = 1: 1.2 Tp KRopt=-K p

r

(4.98)

T;opt = 2r Tdopt = 0.5t Relaţiile

WOppelt:

pentru regulator P: 1 Tp KRopt=Kp r

(4.99)

pentru regulator Pl: 0.8 Tp KRopt=-Kp T

T;opt = 3r

pentru regulator PID: 1.2 TP KRopt=-KP

T

(4.100)


187

T;opt = 2t

(4.101)

Tdopt = 0.42t Relaţiile

(4.101) sunt apropiate de relaţiile (4.97).

Relaţiile

Kapelovici [37]:

Pe baza unor cercetări experimentale, au fost stabilite relaţii pentru calculul parametrilor optimi de acord, asigurând un răspuns tranzitoriu aperiodic cu durată minimă şi un răspuns cu suprareglaj maxim a= 20% . În tabelul 4.3 sunt prezentate aceste relaţii de calcul. Tabelu/4.3

Tipul regulatorulni

Răspuns

aperiodic şi a

durată minimă

Răspuns

a = 20%

oscilant cu

şi durată minimă

răspunsului

răspunsului

1

T;opt = 4.5K PTP

Tiopt =!.7KPTP

p

0.3 Tp KRopr=-·Kp T

K

0.7 Tp =-·Ropt KP T

0.6 TP =-·Ropt Kp T

K

0.7 TP =-·-

PI

K

T. =0.8+0.5Kp wpt K

PID

Ropt

0.95 TP =-·KP

T

T. = 2.4t !Opt Td Relaţiile

opt

= 0.4t

Ropt

KP

a

T

T. =t+0.3TP wpt K

Ropt

1.2 TP =-·KP t

T. =2t wpt T = 0.4t dopt

Chien, Hrones, Reswich

Pe baza unor încercări pe modele, sunt prezentate în tabelele 4.4 şi 4.5 de calcul ale parametrilor optimi de acord pentru o comportare optimă la variaţii treaptă ale intrării şi la variaţia perturbaţiei. S-au luat în discuţie răspunsuri tranzitorii aperiodice cu durată minimă şi răspuns cu a= 20% şi durată minimă, atât la variaţii ale mărimii de intrare (tab. 4.4), cât şi pentru comportarea optimă la perturbaţii (tab. 4.5). Reprezentarea grafică în scară logaritmică a relaţiilor ce permit determinarea parametrilor de acord ai unui regulator PID, pentru un proces ce conţine timp mort şi o constantă de timp, ilustrează dependenţa parametrilor de acord de acest raport r ITP. relaţiile

188

INGINERIA REGLA'R!I AUTOMATE

De remarcat importanţa sistemului cu timp mort.

deosebită

performanţelor

a acestui raport asupra

Tabelu/4.4 Tipul regulatorului

Răspuns

aperiodic şi a

durată minimă

Răspuns

răspunsului

p

K

PI

K

0.3 Tp

K

t

0.35 TP

=-·Ropt

K

1.2l

T.

T.

t =

şi durată

minimă

=-·-

Ropt

oscilant cu

cr = 20%

0.7 TP

=-·Ropt K P t 0.6 TP

Ropt

=-·-

1

= t

~----------r---~'~op~------~----~-----'~op~t----------·----i

= 0.95 Tp

K

Kp

Ropt

PID T.

zopt

Td

opt

=-1._2 .-TP

K

Ropt

t

t

T.lOpt = 1.35t

=t

Td

=0.5t

opt

= 0.47t

Tabelul4.5 Tipul regulatorului

Răspuns

aperiodic şi a

durată minimă

Răspuns oscilant amortizat cu cr = 20%

răspunsului

p

PI

K

K

0.3 TP

=-·-

Ropt

" 0.6 Tp

=-·-

Ropt

KP

t

T. =4 wpt

K Tiopt = Tdopl

K

0.7 TP

Ropt

=-·0.7 Tp

Ropt

T. lOpt

=-·-

=t

1.2 TP

_ 0.95. TP KP r

KRopt=-·Kp r

2.4-r

Tiopt =

Ropt -

PID

K

=0.42-r

Tdopt

2.4r

=0.42r


189

În figura 4.2!a se evidenţiază, în reprezentare logaritmică, factorului total de amplificare a căii directe a sistemului Kd =KpKR funcţie de raportul a=TiTP,dupădiverşiautori [6,34).

dependenţa

Dependenţa

timpului de integrare şi de derivare de raportul a este reprezentată în figura 4.2!b şi 4.2lc. Se remarcă o bună concordanţă între diversele criterii de acordare a regulatoarelor. 10'

K,

t

10'

10' l - Cohen si Coon

2- Van der Grinten 3 - Ziegler- Nichols 4 -l ,atonr

10_,

Jo-'

10'

10'

-+a

(a)

T

10'

_!...

1:

10'

10'

10l - Cohen si Coon 2 - Va.11 der Grinten 3 - Ziegler- Nichols 4- Latour

10-''-----r----r------' w-' w-· 10' 10' (b)

-+

w-'

w-'

a

Fig. 4.21

1 - Cohen si Coon 2 - Van der Grinten 3- Ziegler- Nichols 4- Latour

10'

Jo-' (c)

-+

JO' a


190

Adoptarea unor relaţii de acordare depinde de condiţiile concrete în care funcţionează sistemul de reglare automată. Astfel, pentru un sistem la care mărimea de intrare suferă variaţii relativ frecvente (procese cu desfăşurare discontinuă, prezenţa unui calculato< la nivelul ierarhic superior, încadrarea regulatorului într-o buclă interioară la reglarea în cascadă sau într-o schemă dereglare de raport) se adoptă relaţiile din tabelul4.3. Diversitatea criteriilor practice de acordare a regulatoarelor evidenţiază faptul că problema acordării regulatoarelor pentru procese lente este o problemă spinoasă, care depinde de gradul de cunoaştere a procesului şi experienţa acumulată în alegerea şi acordarea regulatoarelor. Caracterul neliniar al proceselor, identificarea imprecisă a proceselor lente nu permit stabilirea unor relaţii generale pentru calculul parametrilor de acord. Metodele practice de acordare prin încercări pot fi utilizate cu bune rezultate în alegerea şi acordarea regulatoarelor pentru procese lente Ţinând seama de analiza făcută în § 4.3, pot fi utilizaţi pentru alegerea algoritmului şi/sau a structurii de reglare a proceselor cu timp mort parametrii sintetici

(K1.aJ.

respectiv

(K2,a2).

prezentate în [4], pot fi întâlnite următoarele

Conform rezultatelor

situaţii:

• În acest caz nu se recomandă regulator PID acordat prin metode

Ziegler-Nichols. Sunt recomandate regulile propuse de Cohen şi Coon, Heng şi Hegglund [4]. Se recomandă reglarea feedforward pentru procese cu valori mari ale timpului mort. •

0.6 < 8, < 1, 1.5 < K1 < 2.25 1

Deşi

81 < 1, procedura Ziegler-Nichols de acordare dă rezultate slabe. Se recomandă utilizarea altor metode de acordare şi structuri de reglare directă (feedforward) şi cu predictor Smith. •

0.15<0 <0.6, 2.25
Se obţin rezultate bune apelând la procedura Ziegler-Nichols de acordare a regulatoarelor PID. În acest caz, acţiunea derivativă cel mai adesea contribuie la îmbunătăţirea performanţelor.

• Procesele cu integrator pot fi considerate ca procese stabile cu e

1

tinzând către zero. În cazul în care cerinţele de performanţă nu sunt foarte


191

ridicate, pot fi utilizate legile de reglare P sau Pl. În unele cazuri, pot fi îmbunătăţite semnificativ prin adăugarea componentei derivative . performanţele

• În aceste situaţii, se recomandă regulatoare PD. Utilizarea unui regulator PID acordat prin metoda Ziegler-Nichols nu asigură performanţe bune. De remarcat faptul că acţiunea derivativă contribuie esenţial la obţinerea unor performanţe bune. În condiţiile unor incertitudini importante, ţinând seama de cunoştinţele acumulate în activitatea de conducere a proceselor lente şi foarte lente, se poate cu uşurinţă trece la structuri de conducere ierarhizate. Regulatoarele bazate pe cunoştinţe pot fi utilizate la nivelul ierarhic superior pentru selecţia structurii de reglare (cu un grad de libertate, cu două grade de libertate, reglare în cascadă, reglare combinată sau reglare cu predictor Smith) şi pentru alegerea şi acordarea legii de reglare. Astfel, ţinând seama de particularităţile procesului, de natura perturbaţiilor şi de cerinţele de performanţă impuse, se poate adopta soluţia de reglare cea mai potrivită apelând la tehnici inteligente de conducere [2, 5].

4.5.

Robusteţea

SRA cu regulatoare PID

În acest subcapitol sunt introduse elementele specifice reglării proceselor apelând la algoritmi de reglare standard, luând în consideraţie modele matematice simplificate. În aceste condiţii, acordarea regulatoareior convenţionale se face pe proces pornind de la analizele simplificate pe baza unor modele ce conţin incertitudini structurate şi nestructurate. Diferitele variante de legi de reglare PID şi proceduri de acordare ale acestora acoperă clase largi de procese industriale, obţinându-se performanţe satisfăcătoare. În prezenţa perturbaţiilor şi a zgomotelor de măsură, proiectarea SRA cu ridicate performanţe presupune luarea în consideraţie a următoarelor aspecte: performanţele de urmărire (nivel cât mai redus al erorii de urmărire); rejecţia perturbaţiilor

(amplitudinea

ieşirii

cât mai

redusă

în

prezenţa perturbaţiilor);

sensibilitatea la erorile de modelare (efecte cât mai reduse asupra performanţelor); marginea de stabilitate (stabilitate robustă);


192

sensibilitatea la zgomote de măsură (efect cât mai redus al zgomotului de măsură). În cele ce urmează vom analiza aceste aspecte în detaliu. Pentru aceasta considerăm sistemul reprezentat în figura 4 .22.

v(s) u(s)

+

Y(s)

R(s)

N(s) Fig. 4.22 Urmărirea referinţei:

Având în vedere reacţia unitară, pentru acest SRA cu libertate, funcţia de transfer H 0 (s) este:

două

grade de

HP(s) H0(s)=Hy,(s)= ( )H ( )(HRJ(s)+HR2(s)) l+HR 1 s Ps

(4.102)

Pentru a obţine bune performanţe la urmărirea referinţei, funcţia de transfer H 0 (s) trebuie să se menţină aproape de unitate pentru un domeniu cât mai larg de frecvenţe. Astfel, prin ajustarea regulatoarelor H RI (s) şi H RZ (s) se urmăreşte atingerea acestui deziderat. Rejecţia perturbaţiei

În cele ce urmează vom considera modul de reducere a efectului la anularea acestora asupra ieşirii din proces. Gradul de rejecţie al perturbaţiei poate fi exprimat prin raportul între

perturbaţiilor, până

H 0v(s) şi H p(s):

S = H 0 v(s)

1

(4.103)

v Hp(s) l+HRI(s)H p(s) Pentru îmbunătăţirea rejecţiei perturbaţiei se cere ca Sv mai mic pentru un domeniu cât mai mare de frecvenţe.

să

fie cât

Sensibilitatea la erorile de modelare

Pentru proiectarea unui SRA se apelează la un model al procesului care în general reprezintă o aproximare a comportării reale a procesului. Astfel, modelele matematice cu care operăm conţin incertitudini sau erori de


193

modelare datorate următorilor factori: neglijarea caracteristicilor neliniare, neglijarea caracteristicilor de înaltă frecvenţă, precizia redusă în evaluarea parametrilor modelului, vatianţa în timp a caracteristicilor procesului. Aceşti factori determină în esenţă incertitudinile structurale şi parametri ce ale modelelor matematice ataşate obiectelor conduse. Dacă vom nota prin ii P (s) un model nominal şi prin FJ P (s) modelul real (v. § 2.9), atunci putem defini incertitudinile aditive şi multiplicative sub forma: LA(s)=Flp(s)-Hp(s)=Lllip(s) (4.104) respectiv 11 P (s) LM(s)=-.--1 11 P (s)

(4.105)

În cazul incertitudinilor multiplicative vom considera:

LM(s)=W2 (s}L\(s) unde W2 (s) este o funcţie de transfer de ponderare,

(4.106) fixată şi t.(s) este o funcţie de transfer stabilă variabilă, care satisface condiţia s1

Jt. (ro)j

(amplitudinea

nu depăşeşte unitatea pentru întreg spectrul de

frecvenţe pentru care se defineşte). Se consideră că şi 11 P (s) şi aceeaşi poli instabili. În acest caz, perturbaţia Ţinând seama că H (Jro) •P( . )

HP

;ro

1 ::;

lit.IL

HP (s)

D.(s) este permisibilă.

llt.L s 1, atunci:

h (jro) , Vro

ceea ce evidenţiază că

(4.107)

1

jw2 (jro Jl

defineşte profilul incertitudinii. Inegalitatea

(4.107) descrie un cerc în planul complex cu centrul în 1 şi raza

lw2 (Jro)l

Funcţia

au

IWzl·

este crescătoare cu frecvenţa w, incertitudinea creşte cu

creşterea frecvenţei. Scopul principal al introducerii funcţiei de transfer ll(s) este de a lua în consideraţie incertitudinea de fază şi de a acţiona ca un variază între O şi 1). factor de scală asupra amplitudinii perturbaţiei Sensibilitatea la erorile de modelare se referă în acest caz la diferenţa între răspunsul sistemului în prezenţa incertitudinilor şi în lipsa acestora. Luând în consideraţie incertitudinile aditive, putem scrie:

(it.!

b.H0 (s) ~ H 0 (s)- FÎ 0 (s) =

(HRI =

(s)+ HR2 (s))(H p(s)+ LA (s))

l + HRl

(s)[ fÎ

p

(s)+ LA(s)]

(s) + H RI{s ))fi P (s) l+HR 1(s)Hp(s)

(HRl

INGINERIA REGL4RJJ AUTOMATE

194

sau (4.108) Ţinând

seama de (4.102) şi (4.1 08), se obţine:

LA (s) 1 il P (s) . 1 + H R! (s )H P (s) sau

(s) B0 (s) f>.Hp(s) Hp(s) t..H

0

Funcţia

(4.109)

S

poartă

denumirea de

funcţie

de sensibilitate.

Această

funcţie poate fi interpretată ca o măsură a variaţiei funcţiei H 0 (s) ca urmare a variaţiei funcţiei de transfer H P (s).

De notat că Sv definit în (4.103) este aceeaşi cu S definită prin (4.109). Pentru sistemele de reglare automată cu performanţe ridicate se impune Ia proiectarea regulatorului şi luarea în consideraţie a comportării procesului la frecvenţe înalte. Dacă dinamica de înaltă frecvenţă a procesului este necunoscută, este de dorit a ţine amplificarea la înaltă frecvenţă cât mai redusă, pentru a suprima fenomenele generate de comportarea la frecvenţe înalte. Marginea de stabilitate

Stabilitatea SRA este determinată cel mai adesea pornind de la criteriul Nyquist. Funcţia de transfer a căii directe, în prezenţa incertitudinilor aditive este: Hd

(s) =HRl ( s)[if P (s)+ LA (s J] =HRl (s)if P (s )+ HR 1 (s)LA (s).

Proiectarea HRl (jro) HP (jro)

SRA presupune satisface condiţia

asigurarea stabilităţii acestuia, de stabilitate Nyquist. Dacă

H R1 (jro) LA (jro) este mai mic în amplitudine decât distanţa între punctul

-1 + jO

şi

punctul

H RI ( jro) H P ( jro)

H R! ( jro) HP (jro)

la o frecvenţă

dată,

atunci

satisface, de asemenea, condiţia de stabilitate Nyquist.

Astfel, dacă: IH RILA!
(4.110)


195

Notând prin • HR!fjp T

=_ _:.;.:_---':--

(4.lll)

l+liRIHp relaţia

(4.ll O) poate fi

scrisă

sub forma:

~:
(4.112)

Această

inegalitate dă marginea de stabilitate în forma generală. Dacă notăm prin l (ro) limita superioară a erorii de modelare: LA (Jw)

HP (Jw) Hp(Jw) :Sl(w),

H P (jw)-

Hp(Jro)

atunci, pentru asigurarea condiţiei de stabilitate, alegem

f(Jro) astfel încât:

lf(~ro) ;::/(ro) Această

rămâne sub ~~~

inegalitate pentru toate

(4.113) arată că,

atât timp cât eroarea de modelare

frecvenţele, sistemul este stabil.

O ilustrare a cerinţelor de stabilitate a unui sistem cu incertitudini de

modelare este dată în figura 4.23. Im -1

Re

r--

perturba!

1 1

' nominal Fig. 4.23


196

Este de remarcat faptul că pentru acest SRA rezultă cu uşurinţă S(iro) şi T (iro) sub forma: S(jro)+T(iro)=l (4.114) Această relaţie evidenţiază faptul că este imposibil a face ca ambele să fie mai mari sau mai mici la aceeaşi frecvenţă. Pentru regiunea frecvenţelor înalte, unde !(ro)> 1, avem:

relaţia între

funcţii

IT(Jro)l:; !(~) (4.115)

ls(Jro)l = 1-IT(Jro)j21- l(~); [!(ro)> 1] Dacă S (Jro) şi

T(iro) satisfac aceste condiţii, stabilitatea sistemului

este garantată. De notat că 1(ro) specifică o limită superioară a amplitudinii lui

IT (jro Jl· Deoarece:

T(jro)=

HRl (jro)Îl P(jro) , l+H Rl (jro)H p(jro)

(4.116)

şi jH Rl (jro) HP(jro Jj < < 1 pentru frecvenţe înalte, atunci

,Ji,~?x,lr(jro)l = jH Rl (jro)H P(jro)j sau

'H Rl (jro)H p (jro)j < t(~)

(4.117)

care arată că eroarea de modelare specifică o de amplificare al căii directe a SRA.

Efectul zgomotului de

măsurare

limită superioară

este determinat de

a factorului funcţia

de

transfer: H yn (s )= -T(s ).

Astfel, dacă

IT (Jro Jl

este mai mică, atunci efectul zgomotului este

redus. Din analiza prezentată se desprind următoarele concluzii: prin reducerea funcţiei de sensibilitate js (iro )j se îmbunătăţeşte rejecţia perturbaţiei şi se reduce sensibilitatea la erorile de modelare; prin reducerea funcţiei IT(JroJI se îmbunătăţeşte stabilitatea şi se reduce sensibilitatea la zgomotele de măsură.


197

de urmărire depind de H RI (s) şi H R 2 (s ), rejecţia perturbaţiei, sensibilitatea la erorile de modelare, marginea de stabilitate şi sensibilitatea la zgomotele de măsură depind numai de H RI (s). În proiectarea SRA cu regulator PID cu două grade de libertate (sau acordarea regulatoarelor PID) va trebui mai întâi să se asigure caracteristicile buclei de reglare (performanţele), prin alegerea şi acordarea blocului de reglare H RI (s), şi apoi să se asigure comportarea în raport cu referinţa, prin alegerea blocului dereglare H RZ (s ). O analiză similară se poate realiza şi pentm SRA cu un grad de libertate dacă alegem HR 2 (s)=O. Apelând la caracteristica A ( w) (diagrama Bode) se pot defini cerinţele Este interesant de observat

că deşi performanţele

pentru asigurarea robusteţei performanţelor SRA. Astfel, cerinţa ca S (}ro) să fie redus la joasă frecvenţă specifică limita minimă pentru amplificare la joasă frecvenţă, iar cerinţa asupra nivelului redus al sensibilităţii la zgomot specifică limita superioară a amplificării la frecvenţă înaltă. O diagramă Bode acceptabilă este prezentată în figura 4.24. Frecvenţa de tăiere trebuie să fie apropiată de banda de frecvenţă cerută, iar panta caracteristicii A (m) trebuia să fie egală cu - 20dB! dec . A[dB

T(jro)mic

IH,, (j(J) )H , (j(J) ~ « (J)

Fig. 4.24

1

INGINERIA REGLĂRi! AUTOMATE

198

4.6. Structuri de reglare 4.6.1. Principiul modelului intern (IMP)

Analiza SRA folosind diferiţi algoritmi de reglare evidenţiază modul de realizare a unei comportări dorite în cadrul unei structuri date. Utilizarea principiului de reglare cu model intern asigură comportarea dorită în regim staţionar sau în regim permanent în raport cu mărimile exogene (referinţa, perturbaţii adi ti ve). Dacă definim clasa de mărimi exogene ca ieşiri ale unui sistem dinamic cu intrare zero şi anumite condiţii iniţiale specifice, putem scrie perturbaţia v(s) sub forma [46]: 1

V(s)= Pv(s)·Qv(s)·xv(O),

(4.118)

unde xv (o) reprezintă starea iniţială a sistemului care generează perturbaţia, iar ~ (s) şi Qv (s) sunt polinoame ce se obţin prin aplicarea transformatei Laplace ecuaţiei: dqv(t)

q-1

- - + L: dtq

i=O

div(t) y.-.-=0 1

dt

1

(4.119)

În mod similar, presupunem că referinţa este generată de un sistem dinamic caracterizat prin: dqr(t)

q-1

ir(t)

-~q - + ~~~~ L: y.-.-=0

(4120) .

R(s)=_!_()·Q,(s)·x,(o)

(4.121)

sau P, s

Polinoamele Pv (s) şi P, (s) au forma: q-1

P,(s)=sq

+ .2::

t=O

.

y.s 1

1

(4.122)

De remarcat faptul că polinoamele Pv (s) şi P, (s) pot conţine rădăcini situate în semiplanul stâng şi în semiplanul drept, ceea ce evidenţiază particularităţile semnalelor exogene. Caracterul persistent al semnalelor exogene este dat de rădăcinile cu partea reală pozitivă. Dacă ne referim la structura prezentată în figura 4.25, unde perturbaţia acţionează asupra procesului într-un punct intermediar, putem evidenţia cele două categorii de perturbaţii ce acţionează la intrarea şi la ieşirea procesului.


199

V(s) R(s) +

Fig. 4.25

Astfel, pentru cazul în care H Pz (s) = 1, perturbaţia se consideră că acţionează la ieşirea procesului, iar pentru cazul în care perturbaţia acţionează

la intrarea procesului. Modelul procesului în acest caz este dat de:

HA

'

(s )= J,

liP (s) = li ll (s )li Pz (s). Ieşirea SRA, calculată în raport cu perturbaţia

V(s) este:

Y(s) = S(s )li Pz (s )v(s) iar comanda U (s) este dată de relaţia: U(s)=-Su(s)liP, (s)V(s)= T(s())V(s), li lj s

(4.123)

(4.124)

unde:

s(s) =

1

1+ H R (s )HA (s )H p, (s) '

.

S (s)=

HR(s) l+liR(s)H-, (s)Hp2 (s) T(s) = H R (s )li FJ (s )H P, (s) 1+ H R (s )H Fj (s )H P, (s )' u

Din (4.123) se observă că efectul perturbaţiei asupra teşm1 este rejectat asimptotic când cel puţin una dintre următoarele condiţii este satisfăcută:

v(t)-. O când

t -. oo ;

polinomul Pv (s) este un factor în numărătorul

S(s )H p2 (s).

Satisfacerea acestor condiţii presupune ca SRA să fie stabil. Primul caz nu prezintă interes din punct de vedere al comportării în regim staţionar şi va fi considerat în contextul performanţelor tranzitorii. Când rădăcinile lui Pv (s) sunt în semiplanul drept închis, atunci numai a doua condiţie garantează eroare staţionară egală cu zero datorată perturbaţiei V(s). Această cerinţă poate fi îndeplinită dacă factorii lui Pv (s)


200

sunt incluşi în polinomul de la numitorul lui H R (s) şi/sau în numitorul lui H 11 (s ). Pentru cazul în care H 11 (s )= 1, se impune ca Pv (s) să fie un factor al numitorului H R (s). Observăm că dacă Pv (s) este un factor al numitorului lui H R (s), atunci componentele instabile ale lui v(t) vor fi asimptotic compensate, atât pentru ii P (s), cât şi pentru H P (s), dacă bucla nominală este robustă din punctul de vedere al stabilităţii. Rejecţia perturbaţiilor în regim staţionar necesită ca Pv (s) să fie inclus ca parte a numitorului regulatorului. Această cerinţă este cunoscută ca Principul Modelului Intern (IMP). Când se foloseşte IMP, f(s) şi T(s) au valoarea 1 pentru rădăcinile lui Pv(s). Astfel, din (4.123), observăm că ieşirea u~) a regulatorului va conţine în general modurile perturbaţiei. B

(s)

Pentru un model al procesului H P (s) = ___f__() şi cu un regulator cu AP s

funcţie

de transfer

HR(s) = QR((s)) . PR s

rezultă că

polinomul caracteristic al

sistemului va fi:

a(s )= Ap(s )Pv(s )PR(s )+ QR(s )B p(s),

(4.125)

unde

PR(s)= Pv(s)PR(s). Principiul modelului intern se aplică şi în cazul urmăririi referinţei. Pentru acest caz, considerăm o structură cu două grade de libertate (fig. 4.26). Performanţele de urmărire pot fi cuantificate pe baza următoarelor ecuaţii: Y(s)=H,(s)r(s)R(s) (4.126) t:(s)= R(s)-Y(s)= (1-H,(s)r(s))R(s) (4.127) U(s)= H,(s)su(s)R(s) (4.128)

v,(s)

v,(s)

Y(s) R(s) '-------' +

N(s)

++

Fig. 4.26


201

Pentru a realiza urmărirea robustă a referinţei (eroare staţi onară egală cu zero), se impune ca polinomul Pr(s) să fie factor al numitorului produsului H R (s )H P (s), adică IMP este satisfăcut şi pentru referinţă. Dacă polinoamele

Pr (s) au unele rădăcini comune, atunci acestea trebuie incluse în numitorul lui H R (s) o singură dată pentru a Pv (s)

şi

satisface simultan IMP pentru referinţă şi perturbaţie. Prezenţa componentei integrale în structura regulatoarelor convenţionale asigură comportarea dorită în regim staţionar atât în raport cu referinţa treaptă, cât şi în raport cu perturbaţia treaptă. 4.6.2. Structura de reglare cu

două

grade de libertate

Utilizarea IMP, aşa cum s-a arătat mai sus, asigură rejecţia completă a perturbaţiei şi urmărirea referinţei în regim staţionar, însă performanţele regimului tranzitoriu nu sunt controlate. Răspunsul tranzitoriu este influenţat de zerourile funcţiei de transfer între punctul de aplicare al perturbaţiei sau referinţei şi ieşire, de polii funcţiei de transfer între ieşire şi punctul de aplicare al perturbaţiei şi referinţei şi poziţia polilor în buclă închisă. Performanţele tranzitorii pot fi influenţate în diferite moduri, însă cel mai evident este prin modificarea poziţiei polilor sistemului închis prin schimbarea regulatorului. În unele situaţii, când referinţa sau/şi perturbaţiile sunt măsurabile, se poate adopta soluţia de reglare cu două grade de libertate sau soluţia dereglare combinată. Prin urmărirea referinţei se adoptă structura de SRA cu două grade de libertate (fig. 4.26). Ideea urmăririi directe a referinţei (feedforward) este de a folosi prefiltrul cu funcţia de transfer Hr{s) pentru a inversa T(s) la anumite frecvenţe, astfel că H r (s )r(s) = 1 la polii modelului referinţei (adică la a1 , i = 1, · · ·, na ). De notat că prin utilizarea acestei strategii se poate evita folosirea unei amplificări mari în bucla de reglare pentru a aduce T(a1 ) la valoarea egală cu unitatea. Aceasta ar putea avea efecte benefice asupra stabilităţii robuste. Pe de altă parte, dacă H r (s) este folosit pentru a realiza H r (a 1 )r(a1 ) = 1, atunci perfonnanţele pentru procesul real vor fi sensibile la erorile de modelare.


202

4.6.3. Structura de reglare În cazul în care perturbaţia soluţie dereglare directă (fig. 4.27).

combinată

v(t) este

măsurabilă, se poate adopta o

v(s)

R(s) H, (s)

+

1----i_,

+

Fig. 4.27

Din figura 4.27,

observăm

pentru referinţa nulă că :

Yv(s)=S(s)H 12 (s)[l+Hil (s)Hnv(s)jv(s) Uv (s) =

-s. (s J[H12 (s) + H nv ( s)HIl (s)jv(s)

(4.129) (4.130)

Arhitecturii propuse i se cere să prezinte următoarele proprietăţi: funcţia de transfer H RV (s) trebuie să fie stabilă şi proprie, întrucât acţionează în buclă deschisă; ecuaţia (4.129) indică faptul că, ideal, blocul de reglare directă (feedforward) inversează modelul nominal: HRv(s)=-[Hll(s)t

1

(4.131)

pentru H li (s) cu o caracteristică de frecvenţă trece-jos se obţine ll RV (s) cu o caracteristică trece-sus.

Utilizarea acestei arhitecturi asigură rejecţia directă a perturbaţiei măsurabile, ceea ce asigură o îmbunătăţire a performanţelor SRA , în special pentru procese lente şi foarte lente.

Exemplul 4.5: Se

consideră procesul descris

de modelul nominal:

e-2s

liP

(s)= 3s2 +4s+l

1 cu H li (s) = - şi H P2 s +1 modificări în treaptă.

-2,

(

s) = _e_. 3s + 1

iar perturbaţia acţionează sub forma unei


203

Alegem regulatorul cu acţiune directă asupra perturbaţiei (regulator feedforward) sub forma: s +1 HRv (s) = - K - as+l unde a permite, prin ajustare, a realiza compromisul i'ntre eficienţa reglării directe şi efortul de comandă. În figura 4.28 se prezintă răspunsul SRA în raport cu referinţa şi perturbaţia ce acţionează la momentele de timp t1 =Os şi 12 = 20s, pentru K =O şi K = 1 şi diverse valori ale lui a. 1.8

1.6

k = l;a = 2

1.4 1.2

,.., 0.8 0.6 04 0.2 10

20

30 timp (sec)

40

50

60

Fig. 4.28

Regulatorul H 8 (s) este de tip PID şi este acordat astfel incât suprareglajul în raport cu referinţa treaptă unitară să fie a::; 5%. Se poate cu uşurinţă observa câ performanţele tranzitorii sunt îmbunâtâţite in prezenţa regulatorului H RV (s).

Utilizarea reglării directe după perturbaţie este posibilă numai în cazul în care H Il (s) este inversabilă. Astfel, pentru cazul în care în H Il (s) apare timp mort sau zerouri de fază neminimă, este foarte dificil a aplica această structură. Se recomandă în special pentru procese ce includ timpi morţi semnificativi în H p2 (s).


204

Reglarea combinată poate fi considerată ca o structură cu trei grade de libertate în cazul în care se include şi prefiltrul pentru referinţă (fig. 4.29)

v(s)

.------, Y(s)

Fig. 4.29

în

această structură, cele trei blocuri de reglare pot fi ajustate

independent pentru

obţinerea comportării

dorite în raport cu

referinţa şi

perturbaţia.

4.6.4. Structura de reglare în

cascadă

În cazul în care unele variabile intermediare din proces sunt măsurabile şi pot fi rejectate perturbaţii importante prin intermediul unor bucle de reglare secundare, se poate adopta soluţia de reglare în cascadă. Ca exemplu, să considerăm reglarea nivelului într-un rezervor, folosind ca variabilă manipulată debitul de fluid. Pentru aceasta se poate adopta o soluţie simplă cu un regulator de nivel sau o soluţie cascadă cu un regu!ator intermediar pentru controlul debitului pe conducta de alimentare (fig. 4.30b). În cea de-a doua schemă este inclusă o buclă de reglare secundară pentru reglarea debitului, iar referinţa este generată de regulatorul principal de nivel.

r(t)

r{t)

Y.(t)=H.

+

H.

Q(t)

Q(t)

(a)

(b)

Fig.4.30


Structura dereglare în

cascadă

este

prezentată

205

în figura 4.31.

Fig. 4.31 În această structură este inclusă bucla secundară cu regulatorul li Rz (s) şi modelul li li (s )li a(s) şi bucla principală cu regulatorul li R1 (s)

care generează referinţa pentru bucla secundară. Regulatorul secundar li Rz (s) este astfel proiectat, încât să atenueze efectul perturbaţiei înainte de a afecta semnificativ ieşirea procesului. Avantaje importante ale structurii de reglare în cascadă se obţin în următoarele ipoteze: când li a (s) conţine neliniarităţi importante ce limitează performanţele buclei de reglare; când li b (s) limitează banda de frecvenţă în arhitectura clasică cu un singur regulator; când perturbaţiile dominante sunt compensate în bucla secundară;

când li b (s) conţine timp mort sau zerouri de fază neminimă. Regulatorul li R1 (s) trebuie proiectat pentru un model echivalent cu intrarea U 1 (s) şi ieşirea

Y1(s) şi perturbaţie V(s): Y(s )=liP, (s )sz (s )v(s )+li Rz (s )li p(s )s 2 (s ); 1 (s ),

(4.132)

unde H p (s) = Il li (s )liP, (s) S 2 (s) = [1 +li Rz (s )li li (s )li a (s

)f

1

sau (4.133)

unde

Tz (s) = li Rz (s )H li (s )H.(s) 1 + ll Rz (s )Hil (s )11 a (s) ·


206

Dacă vom compara această ieşire cu ieşirea SRA cu un singur regulator, putem deduce modelul echivalent al blocului secundar. Astfel, dacă: Y(s )= H "> (s )v(s )+ H p(s p(s) (4.134)

rezultă că în cascadă regulatorul H R1 (s) acţionează asupra unui sistem în

care perturbaţia este precompensată prin funcţia de sensibilitate a buclei secundare S2 (s ). În aceste condiţii se obţin performanţe mai bune la rejectarea perturbaţiei. Dacă regulatorul H R2 (s) s-a proiectat pentru H Il (s )Ha (s ), atunci li R1 (s) se proiectează pentru modelul echivalent: d

(4.135)

Hp.(.s)=lib(s)·T2 (s)

Exemplu/4.6: Se

consideră

procesul caracterizat prin modelul prezentat în figura 4.32,

cu:

1 -2• ~ lill (s)=-; lip. (s)=-e-; li.{s)=l; Hb(s)=-e-. s +1 ' 3s + 1 3s + 1 Admitem că variabila Y1(s) este măsurabilă. Se cere a alege blocurile dereglare pentru urmărirea referinţei şi rejecţia perturbaţiei de tip treaptă.

V(s) u(s) 1

s+l

Y(s)

e-2•

3s+l

Y, Fig. 4.32

Rezolvare: Vom alege o structură dereglare în cascadă având în vedere că y 1(t) este măsurabilă, perturbaţia dominantă este inclusă ca efect în valoarea măsurată Y1(s ), iar procesul are timp mort. Alegem pentru bucla secundară un regulator Pl cu T; = ls

HR (s)= lO(s+l) 2 s

şi

KR

= 1O :


207

S-a ales acest regulator pentru a asigura o bună compensare a În bucla secundară şi pentru a obţine viteză bună de răspuns a buclei secundare. Funcţia de transfer a buclei secundare este:

perturbaţiei

10 H 02 (s)"" T2 (s)= - - . s+!O Regulatorul principal se proiectează pentru un model echivalent: IOe- 2·'

(s+l0)(3s+l)' Pentru acest model recomandăm un regulator PI cufimcţia de transfer:

(s)=5· 3s+l

HR

s

1

care asigură performanţe satisfăcătoare În raport cu referinţa treaptă şi perturbafia precompensată În bucla secundară. In figura 4.33 se prezintă rezultatul simulării în condiţiile În care referinţa se modifică sub formă de treaptă la t = 2 sec iar perturbaţia apare la t=6sec. 1.4

1.2

----o_a r1

y

06

0.4

J 021

1 1

'

1

o' o

---'--5

10

15

----'-20

_j 25

30

Fig. 4.33

Principalele proprietăţi ale reglării în cascadă sunt: reglarea în cascadă este o strategie bazată pe reacţie; variabila intermediară trebuie măsurată; se poate interpreta aceasta că bucla secundară are un estimator pentru perturbaţie;


208

se impune a considera la proiectarea buclei secundare zgomotul de măsură care poate limita banda de frecvenţă a acesteia; deşi reglarea în cascadă necesită inversarea, ea poate fi mai puţin sensibilă la erorile de modelare prin folosirea avantajelor reacţiei negative. 4.6.5. Structura de reglare cu predictor Smith Prezenţa

timpului mort în modelul procesului face dificilă utilizarea unor proceduri de reglare bazate pe inversarea modelului. În acest caz se recomandă o structură de reglare cu scoaterea timpului mort în afara buclei dereglare. în figura 4.34 se prezintă structura dereglare cu predictor Smith. Ideea de bază în cadrul strategiei de reglare cu predictor Smith este de a construi un model paralel ce compensează întârzierea. Admitem că procesul este modelat prin: Hp(s)=H(s)e-
H(s)

stabilă, proprie şi timpul mort

R(s)

T.

Y(s) Proces +

H(s)

Fig. 4.34

Regulatorul, în acest caz, se poate proiecta pe baza funcţiei de transfer între R(s) şi z(s), care nu conţine timpul mort în bucla de reglare:

T (s)- H(s)HR(s) zr -l+H(s)HR(s) Funcţia de transfer între

(4 .!37)

R(s)

şi

Y(s) în acest caz este

calculată cu

(4.138)


209

sau Această structură

este

aplicabilă

numai

dacă

(4.139) procesul în buclă

deschisă

este stabil. Relaţia (4. 139) evidenţiază o modalitate simplă de alegere şi proiectare a unui regulator pe baza modelului fără timp mort şi întârzierea răspunsului cu r . Dacă admitem că modelul nominal al procesului este:

Hp(s)=fi(s)/is

(4.140)

aceeaşi formă:

iar modelul real este de

Hp(s)=H(s)e-

15

,

atunci structura dereglare cu predictor Smith are forma din figura 4.35.

Y(s)

R(s) H.(s)

H(s)e-"''

+

lÎ (s)(l-e-f')

+

Fig. 4.35 Funcţia de transfer

HR (s)

se obţine pe baza modelului fără timp

mort. Regulatorul cu predictor Smith are

H ( )= HR(s) 51 R l+HR(s)H(s)(l-e iar funcţia de transfer a

căii

funcţia

de transfer: (4.141)

ts)

directe este:

EÎR(s)H(s)e-ts Hd (s) = HR(s)H p (s) = 1+ HR(s) fÎ (s )(1- e-u) Funcţia

_

(4.142)

de transfer a SRA în acest caz capătă forma:

HR(s)H(s)e- 15

H0 (s) = T(s) = l+HR • ( ) •( ) • ( ) ( , ts • ( ) • ( ) -'is s H sv- -HR s H se s H s1 +HR


ZlO sau

(4.143)

r(s)= I+HR(s)H(s)+HR(s)(H(s)e-rs -H(s)e-'is) Dacă i

=r

f(s)=

H (s)H(s) ~ (): ( )e-- 15 =Tzr(s)·e-ts l+HRsHs

şi

capătă forma:

ii (s);" H(s), T(s)

Din (4.142) se poate

evidenţia

(4.!44)

incertitudinea adi ti vă:

• ) -15 ) -îs LAs -H• ( se ( ) =H(se

iar

(4.145)

r(s) poate fi pusă sub forma: HR(s)H(s)e-rs T(s)= l+HR • ()'() , ('s)LA ()' s H s +fiR s

(4.146)

În mod similar, se pot evidenţia incertitudini multiplicative:

H(s)e-TS LM(s):=,()-îs H se iar funcţia de transfer

r( s) =

(4.147)

1

r(s) poate fi pusă sub forma:

ii R ( s)H (sV"

l+IÎR(s)ii(s)+IÎR(s)ii(s)e-i'l[~(s)e H(s)e

-ti

.

1

ts

sau

T(s)

HR (s)H(s)e-ts

(4.148)

1+ HR(s)H(s) + HR(s)H(sVisLM (s)

Robusteţea stabilităţii şi a performanţelor SRA cu regulatorul

ii R (s)

proiectat pe baza modelului fără timp mort pot fi studiate pentru diferite clase de incertitudini structurate şi nestructurate ( r-= i şi H (s) * ii (s) ). Dacă ţinem seama de definiţia incertitudini1or multiplicative, funcţia de transfer H d (s) poate fi pusă sub forma: fiR

Hd(s)=

(s )H (s )e-îs

r

fi ·J·,

(s )e -ts

(4.149)

,

l+HR(s)H(s),l-e-rsj H(s)e-rs

sau

HAs)=IÎd(s)-[LM(s)+l] unde ii As) este funcţia de transfer a căii directe pentru

(4.150) t

=i

şi

ii(s)= H(s).


211

Exemplul 4. 7: Se

consideră

H p(s) şi

un proces caracterizat prin:

K Pe-"

Tps+l

un mode/nominal:

, () f:Pe-is HP s = - , - - . TPs +1

Admiţând că r

* f, TP * TP

şi f: P = K P, se cere a analiza efectul

parametrilor t5 = r -· f şi A = TP - fP asupra performanţelor SRA cu regulator

H(s) = , f: P

proiectat pe baza modelului

.

Tps+1

Pentru proiectarea regulatomlui impunem ca răspunsul indiceal al SRA

H 0 (s)=

să jie:

1 e-ts, T0 s +1

ip

cu T0 =·-,-

Kp

În aceste condiţii, rezultă un regulator PI cu fimcţia de transfer:

HR(s)= cu

fP: +_~, TPs

1 T0 s

Hd(s)=--. Incertitudinea LM (s) În acest caz capătă forma: ·) H(s)e-"' L M {s = , { )e , H s -rs

1=

Tps + l Tps + 1

e-

&

- 1 sau

TPs + 1 -& LM (s ) = (, t e -L TP ± A.p + 1 Pentru cazul În care

TP

= 8s

şi f = 4s, admiţând că t5 E [0.2 + 0.8] şi

AE [2 + 4), se obţine algoritmul dereglare: H (s)-8s+_! R

şi răspunsurile

8s indiciale din figura 4.36.

-


212

"' = 4

L\=2 06

08 0.6 0.4

li= 0.2;0.4;0.6;0.8 40

60

60

0.2

100

40

timp (SP-t)

60

80

100

timo (uei

Fig. 4.36

tl

*

Din analiza răspunsurilor indiciale pentru diferite incertitudini Il *O şi O, rezultă că strategia de reglare cu predictor Smith are o bună robusteţe a

stabilităţii şi performanţelor.

PROBLEME 4.1. Se consideră modelul: -as+l

Hp(s)= (s+l)(s+2) · şi

Se cere analiza efectului parametrului a asupra parametrilor K R , 1j Td folosind procedura Cohen-Coon de acordare (a= 0.1 + 20 ). 4.2. Se consideră procesul caracterizat prin modelul: Hp

şi

(s)

K pe

-TS

Tps+ 1

un regulator acordat prin procedura Cohen-Coon. Se cere: a) marginea de amplitudine şi marginea de fază pentru diferite

valori ale raportului a =

__.::__ ;

TP b) valoarea maximă a sensibilităţii în

funcţie

de valoarea lui a .

4.3. Se consideră un proces caracterizat printr-un model nominal:

-s+3

HP(s) (s+3Xs+6)'

Algoritmi şi structuri convenţionale de reg/are

213

Se cere: a) algoritmul PID care realizează o bandă de frecvenţă (j)B = 2[rad 1s]; b) comparaţi rezultatul obţinut cu rezultatul obţinut prin utilizarea procedurii Cohen-Coon. 4.4. Se consideră un proces caracterizat prin modelul:

u(s)

1 1

~1

.t J

10 s+lO

y(s) Ţs+!)

~

1

Se cere: a) algoritmul de reglare care prin: cr::;S%, 11 o<:ls, z51 =0;

asigură

un răspuns indicial caracterizat

b) valoarea factorului de amplificare K R astfel încât răspunsul

c)

'v s O.O!s;

indici al în raport cu perturbaţia.

4.5. Se consideră procesul caracterizat prin: H (s) = P

•

O.Se-4~. !Os+ l

Se cere: a) algoritmul de reglare care regimului tranzitoriu t1 = 7s;

asigură

un

răspuns

indicial cu durata

b) admiţând că T şi TP sunt variabile, în limitele TE[2, 6] şi TP E[8,12], să se determine legea de variaţie a factorului de amplificare,

astfel încât răspunsul indicial

să

se modifice

câtuşi

de

puţin.

4.6. Se consideră procesul caracterizat prin: 1

Hp(s)=-2- - - . s +s+l

Se cere: a) algoritmul de reglare care asigură un răspuns indicial aperiodic cu o constantă de timp T0 = 3s; b) valorile optime ale parametrilor K R, 1j şi Td obţinute prin aplicarea criteriului modulului.


214

4. 7. Să se sintetizeze un regulator PI pentru un proces caracterizat prin modelul: H P (s) =- - - c : - - +4s+8

astfel încât MA ;" 10 [dB] şi M,n > 2'.. T- 4 4.8. Se

consideră

un proces caracterizat prin modelul:

-s+4 () HP s = (s+1Xs+4)"

Se cere o strategie dereglare care să asigure: a) tst =O pentru o referinţă constantă; b) erori staţionare egale cu zero pentru frecvenţă 0.25 [rad 1s]; c) regulatorul H R (s) să fie propriu.

perturbaţii

sinusoidale de

4.9. Se consideră un proces caracterizat prin modelul:

(s)= 0.5e-2s

H

8s+ 1

P

Se cere alegerea unei structuri de reglare şi a unei strategii, astfel încât răspunsul indiceal să fie aperiodic cu o durată a regimului tranzitoriu t1 =10s.

4.1 O. Se consideră un proces având modelul nominal dat prin: H (s)P

-

-s+8

(s+1Xs+4) ·

Se cere un regulator care satisface IMP pentru OJ = O şi OJ=2 [rad/s ].

5

e ALGORITMI NUMERICI DE

REGLARE PID

5.1. Introducere Sistemele moderne de conducere a proceselor presupun implementarea strategiilor (algoritmilor) de conducere pe cale numerică. În acest capitol sunt evidenţiate particularităţile algoritmilor de reglare implementaţi pe cale numerică. Se prezintă în continuare clasa algoritmilor convenţionali dereglare de tip PID şi problemele discretizării şi implementării acestora pe cale numerică. Conducerea numerică a unui proces continuu presupune prezenţa elementelor de interfaţă care asigură conversia serrmalelor continue în semnale numerice (CAN) şi în mod corespunzător conversia comenzii numerice în comandă continuă (CNA), după cum se arată în figura 5.1.

'k

lr

+

Numeric

~

Yk

uk

Regulator

1

.1

CNA

v(t)

Proces

1

1

y(t)

1

Ceas 1

1

.. 1

CAN

L.

1

Fig. 5.1 Operaţia de conversie a mărimii continue

numerică Yk

y(t) într-o manme

presupune eşantionarea mărimii y(t) cu o perioadă de

eşantionare egală

cu T şi ataşarea fiecărei valori y' (t) a unui număr întreg


216

de cuante. Astfel, fiecărei amplitudini y • (t) eşantionată cu perioada T din

funcţia continuă y(t) Q(·)

i se asociază o mărime numerică, Yk =Q&'(kr)], unde reprezintă operatorul de cuantizare. Cel mai adesea această operaţie se

neglijează şi astfel lucrăm cu valorile eşantionate Yk = y '(kT)=

y(kT).

Variabila Yk este denumită variabilă discretă iar precizia de cuantizare (de conversie) este dată de lungimea cuvântului cu care operează convertorul analog-numeric. Pentru un convertor cu l O biţi, lungimea cuvântului are o rezoluţie de 0.1% ( 210 =1024 ). Comanda numerică elaborată de regulatorul numeric este transmisă la momente discrete de timp spre proces prin intermediul convertorului numeric-analogic. Convertorul CNA are rolul de a converti mărimile numerice în mărimi analogice compatibile cu intrarea elementelor de execuţie. Conversia se poate realiza folosind diferite metode de aproximare (extrapolare) a comenzii între momentele discrete de timp. Cea mai utilizată metodă de aproximare este metoda cu extrapolator de ordin zero - comanda se menţine constantă între două momente discrete de timp (fig. 5.2a). În figura 5 .2b se prezintă metoda de aproximare cu extrapolator de ordin întâi unde comanda variază liniar între două momente discrete de timp.

------ -- -------

----- ..' '

ul

'

7'

'

2T

3T

4T

t

T

(a)

2T

3T

4T

5T

1

(b)

Fig. 5.2

În practică, cea mai utilizată metodă de aproximare a comenzii între două momente discrete de timp este menţinerea constantă a acesteia pe parcursul unei perioade de discretizare: u(t)=uk pentru tE[kT,(k+l)T]. Comanda uk este calculată pe baza referinţei în formă discretă rk ŞI a ieşirii în formă discretă (numerică) Yk.

Algoritmi numerici de reglare PID

217

Este uşor de remarcat faptul că ieşirea convertorului numencanalogic este cvasicontinuă. Pentru obţinerea ecuaţiilor cu diferenţe pentru diverşi algoritmi continui de reglare descrişi prin ecuaţii diferenţiale sau funcţii de transfer pot fi folosite mai multe metode de discretizare. Cele mai utilizate metode de discretizare a algoritmilor continui sunt: metoda dreptunghiurilor şi metoda trapezelor [6]. Pentru a ilustra cele două metode considerăm integrala: l = f' /(t)dt (5.1) o

a cărei aproximare numerică poate fi obţinută sub forma : 1k = h- 1 + Tfk sau l k = 1k-1 + Tfk-1 în cazul aproximării prin metoda dreptunghiurilor şi: 1k = 1k-1 +

2T (Jk +.fk-1 )

(5.2) (5.3)

în cazul utilizării metodei trapezelor. Prin 1k s-a notat valoarea integralei până la momentul t k . Ilustrarea celor două metode poate fi urmărită în figura 5.3.

f

------ ~

t

Fig. 5.3

În relaţiile (5.2) şi (5.3) Jk şi fk_ 1 reprezintă valorile funcţiei f(t) în momentele tk şi tk-l iar T = tk- tk-l reprezintă perioada de eşantionare (discretizare). Dacă aplicăm transformata Z ecuaţiilor (5.3) obţinem cu uşurinţă funcţia de transfer a unui integrator numeric sub forma:

l(z)= z- 1I(z)+ 1f(z)


218

respectiv

I(z)= z- 1/(z)+ ~ (1+z-1 )r(z), l(z) T J(z) 1-z

. l(z) _ T 1+z- 1 ŞI J(z)- 2 1-z-1

1

Din aceste funcţii de transfer care definesc operaţiile de integrare se poate admite că echivalentul acestor operaţii de aproximare a integralei este: 1

T

Tz _ = -(cunoscuta metoda Euler) s z-1

1

- "'-- sau -

s z-1

(5.4)

respectiv 1

2 z -1

- ", ___ (cunoscuta metodă Tustin) (5.5) s T z +1 Acelaşi rezultat se obţine dacă considerăm în (5.4) ŞI (5.5) în membrul drept z = eTs folosind diferite metode de aproximare a exponenţial ei: eTs ""1 + sT

(5.6)

sau e

Ts

1 ""-1-sT

respectiv T

l+s-

eTs

""--f (metoda trapezelor). l-s2

Ecuaţiile

pentru algoritmi PID de reglare se pot obţine fie direct din ecuaţiile diferenţiale, fie din funcţiile de transfer Il R (s) unde variabila s se înlocuieşte cu aproximarea în Z a acesteia (relaţiile (5.4) sau (5.5)). La alegerea metodei de discretizare a algoritmilor PID se iau în consideraţie precizia de aproximare a algoritmului continuu, complexitatea relaţiilor de calcul a parametrilor algoritmului şi capacitatea de structurare a algoritmului în vederea implementării cu flexibilitate ridicată. Este uşor de observat că metoda trapezelor aproximează mai bine integrala şi are avantajul că semiplanul stâng al planului s este transformat în interiorul cercului unitar. Utilizarea metodei Euler de aproximare poate conduce Ia instabilitate, un sistem continuu stabil poate fi transformat într-un sistem discret instabil. Aproximarea pe baza diferenţei înapoi asigură totdeauna conservarea stabilităţii sistemului după transformare. cu

diferenţe


219 poziţie şi

5.2. Algoritmul PID de

incremental

Algoritmul PID ideal este descris de ecuaţia:

1

dE]

(5.7)

u(t)= KR <(t)+-f<(r)dr+Td~ dt

unde K R, Ti şi Td au semnificaţia dată în capitolul 4. Folosind metoda dreptl.lnghiurilor pentru aproximarea integralei în ( 5. 7), obţinem:

(5.8) sau

De remarcat faptul că în ambele cazuri, pentru a obţine comanda la pasul curent este necesară cunoaşterea componentei l k-J , deci algoritmul trebuie iniţializat. Aici, l k-J reprezintă valoarea integralei până la momentul tk-).

Relaţia

(5.8) poate fi T k

uk = KR 'k

+ T.

y';

'

respectiv

r uk = KRI'k

pusă şi

+: (
T k::;i

+~

sub forma:

·

)

(5.9)

-Ek-l

Td ( tr '; +T

) 'k -Ek-l ·

Algoritmul în forma (5.8) sau (5.9) este cunoscut sub denumirea de algoritm PID de poziţie. Pentru a elimina neajunsul algoritmului de poziţie, care trebuie iniţializat, vom obţine comanda sub formă incrementală pornind de la relaţia:

)j

T k-1 Td 1 uk 1 = KR ek 1 +- 2.: s.1 +---\'k 1-E. 2 1 ~ 1 T KJ Dacă

din (5.9) se scade

Uk =Uk·-1 +q0Ek

sau

"

relaţia

(5.10) se

-1-f1'k-1 +q2tk-2

(5.10)

obţine:

(5.11)


220 2

"k = uk - 1 + j=()l L q.sk -l·

unde coeficienţii q0 , q1

şi

q 2 se

calculează

cu relaţiile:

qo = KR[1+2:_+ Td] T1

ql

T

=-KR[1+2~ J

(5.12)

Td T

qz=KR-

De remarcat faptul ca m acest caz algoritmul nu mat trebuie comanda se generează sub forma unui increment: D.uk =uk -uk-1 =q0 8 k + 8 18 k-1 ·I-S2 8 k-2 <5· 13 ) iar amplitudinea incrementului poate fi controlată prin valorile parametrilor %, q1 şi q 2 , respectiv KR, T;, Td şi T. Algoritmul descris prin (5.11) este cunoscut sub denumirea de algoritm PID incremental. Acest algoritm este uşor compatibil cu elemente de execuţie de tip integral. De remarcat faptul că utilizarea algoritmilor incrementali sau de viteză pentru comanda elementelor de execuţie de tip integrator asigură controlul vitezei medii sau momentane a elementelor de execuţie care, prin integrare de către acestea, devine increment de poziţie. în cazul elementelor de execuţie de tip proporţional, utilizarea algoritmilor de poziţie asigură controlul poziţiei (ieşirii) elementului de iniţializat,

execuţie.

Algoritmul PID incremental poate fi descris transfer: H (z-l)=qo+qtZ R 1

-1

+qzz

şi

-2

prin

funcţia

de

(5 .1 4 )

-z -1

unde z- 1 =e-sT, având în vedere (5.13) şi definiţia funcţiei de transfer. Modelul (5.14) se obţine imediat dacă se aplică transformata Z ecuaţiei cu diferenţe ( 5.11) care poate fi pusă şi sub forma: -1 qo +qlq

uk =

1-q

-2 +qzq 1

(5.15)

8k

unde q- 1 este operatorul de întârziere ( q-lek Acelaşi

HR(s)

rezultat se obţine

dacă

= KR(!+--+Tds ~ 1

T;s

J

= ek-l ).

în funcţia de transfer:


221

sau

T Td 1+-+~

T

(5.16)

1-z -1

sau HR(z-1)= qo +q1z

-1

+qzz

-2

1-z -1 unde coeficienţii q0 , q1 şi q 2 au aceeaşi semnificaţie ca în relaţia (5.12). Un rezultat similar se obţine dacă se utiiizează metoda Tustin de aproximare a integralei:

1 2 1-z-1] 1 T 1+z-_ +Td ·-· ( -I) = KR [1+-·-· _1 1

HR Z

T;

2 1-z

T 1+z

sau

sau -1

(z-I) R

-2

qo +q1z +q2z -1 -2 1+ PJZ + PzZ unde coeficienţii q; şi p j se calculează cu relaţiile: H

[ T Td]

q0 =KR l+-+22T; T

l

r T Td ql =KRl--4T; T J q2

T Td] = KR [-I+-+2-

P1 =-2 Pz =1.

2T,

T

(5.17)


222

De remarcat faptul integrator:

că

algoritmul în

formă discretă conţine

un

limHR(z)== (p 1+p 2 =-1). z-~I

Algoritmul obţinut este un algoritm recurent de ordinul doi a ecuaţie cu diferenţe are forma:

cărui

-2 +q2q uk= -1. -2ek !+ p1q T p2q

qo +q1q

-1

sau (5.18)

5.3. Algoritm PID cu filtrare În cazul utilizării unui algoritm PID real descris prin funcţia de transfer: HR(s)=KR[1+-1 Jt( Tds+l) ~s aTds + l

echivalentul discret obţinut prin utilizarea metodei algoritm recurent de ordinul doi:

(5.19) dr~nghiurilor

este un

(5.20)

(5.21)


223

T-2aTd p = 1 aT -T d

aTd p =

2

aT -T d

Expresiile (5.21) evidenţiază că discretizarea prin metoda trapezelor cond1,1ce la relaţii de calcul ale coeficienţilor p 1 mai complexe. Structura algoritmului recurent de ordin doi (5.20) prezintă flexibilitate redusă la implementare şi dificultăţi în ceea ce priveşte evidenţierea diferitelor regimuri de funcţionare şi moduri de lucru. Cea mai simplă realizare a algoritmului (5.20) în vederea implementării este prezentată în figura 5.4. De menţionat că schema din figura 5.4 nu corespunde unei realizări sistemice minimale, însă evidenţiază modalitatea de a calcula comanda pe baza informaţiilor disponibile, modelul utilizat fiind cauza!.

q

q -1

-1

+

Fig. 5.4


224

Este uşor de remarcat faptul că pentru elaborarea comenzii uk sunt necesare 5 operaţii de înmulţire, Il adrese de memorie pentru variabilele ek' ek-J, ek-Z, uk, uk-l, uk-Z şi pentru coeficienţii p j şi qi. O

uşoară

relaxare a necesarului de memorie se obţine dacă se apelează la realizarea din figura 5.5. Relaţiile de calcul a variabilelor ce intervin în cadrul algoritmului sunt: uk =qoxo + q1x1 + qzxz xo

=Ek

xl

= xoq -1

1

P1X1 - PzXz

-

Xz = x 1q

(5.22)

-1

unde q -l reprezintă operatorul de întârziere ( q- 1uk = uk-l ).

q

-1

q -1

Fig. 5.5

Un algoritm recurent de ordinul n se obţine similar dacă se consideră:

H ( )- QR(s) R s - PR(s)

cu dimensiunea polinomului PR (s) egală cu n şi se înlocuieşte operatorul de . . sau a trapezu lUI') . mtegrare -1 =-T ·1 + z-t1 ( meto d a T ustm s 2 I-zForma generală a algoritmului recurent de ordinul n este: HR(z-t)

-1

-n

qo +q1z +···+q"z 1+ PtZ-l +···+ PnZ-n

(5.23)

sau n

uk

n

= Lqf'-'k-i- LPjuk-j (o,;Q

}=1

(5.24)


225

O realizare,canonică a acestui algoritm este prezentată în figura 5.6. Din această structură se deduce cu uşurinţă necesarul de memorie pentru implementare şi timpul necesar pentru elaborarea comenzii. De remarcat că ek = rk - Yk se generează la fiecare achiziţie a variabilei din proces.

Fig. 5.6

O altă modalitate de discretizare a algoritmului PID cu filtrare presupune structurarea algoritmului sub fom1a unor module standard P, I şi PD cu filtrare (fig. 5.7).

u(s)

(a)

(b)

Fig. 5.7

Utilizarea structurilor modulare din figura 5. 7 permite obţinerea unui algoritm numeric uşor de implementat pe cale numerică cu ridicată flexibilitate şi reale facilităţi pentru considerarea diferitelor regimuri de

~~

--

~TJsiA

,J-

~@ ~tit}~ TJJc f WJ cÂt

226

cJJ


funcţionare şi

moduri de lucru. Astfel, dacă se determină echivalentul discret al fiecărui modul din stmctura 5.7, obţinerea comenzii pentm diferite legi de reglare este posibilă prin configurarea corespunzătoare a algoritmului. Ecuaţia diferenţială ce caracterizează componenta PDF este: aTd dD dt

+ D(t) = Td

de +e(t) dt

(5.25)

unde D(t) este ieşirea modulului PDF. Echivalentul discret al acestui modul (reţea de anticipaţie-întârziere) se obţine apelând la metoda dreptunghiurilor pentm aproximarea integralei: aT d

D -D k k-1 T

După

unele

D =D k

k-1

+D

E

= T

k

operaţii

+

aT

Td

+T

d

d

-E

k-1

k T

+e

(5.26)

k

simple (5.26) poate fi

pusă

sub forma:

( e -e )+ T ( e -D ) k k-1 aT + T k k-1

(5.27)

d

Componenta proporţională este dată de relaţia: (5.28) Pk = KRDk iar componenta integrală se obţine prin metoda dreptunghiurilor sub forma: T lk =lk-1 +KR-Dk

(5.29)

T;

Comanda uk

uk

= Pk + Ik

se

obţine

ca suma (5.30)

Pentm implementarea acestui algoritm se pot lua în consideraţie diferite regimuri de funcţionare şi moduri de lucm, precum şi diverse stmcturi (fig. 5.8). În funcţie de poziţia comutatomlui C0 (1, O, 2) se poate fixa referinţa de la calculator, prin intermediul operatomlui uman sau de la alt regulator în regim de funcţionare în cascadă. Comutatorul C1 permite utilizarea unui algoritm cu structură variabilă şi cu două grade de libertate, ieşirea măsurată Yk este prelucrată după o lege PID iar referinţa după o lege Pl, dacă poziţia comutatorului este "0", sau cu un singur grad de libertate dacă poziţia comutatorului C1 este "1 ".

Comutatorul C2 pennite trecerea mărimii de comandă de la modul de lucru AUTOMAT (poziţia "1" a comutatorului) la modul de lucru MANUAL (poziţia "0") sau la modul de lucru CALCULATOR (poziţia "2").


227

CALC --!-'--<-..- - - - -1 1 1 ', C0 1 1 ........ • 'k

1 1

', 1 /1 ~"""' 1 /' 1

o

_____ _

CAS 12 ...

1 •-

Comandă manuală

Fig. 5.8

O asemenea structurare a algoritmului evidenţiază o ridicată flexibilitate la implementare. Problemele specifice implementării sunt prezentate în § 5.6.

5.4. Algoritmi PID

modificaţi

Există

mai multe variante de algoritmi PID modificaţi: PI-D, I-PD sau PID cu două grade de libertate (§ 4.1 ). Se consideră algoritmii care prelucrează diferit variabilele de intrare (referinţă, eroare şi ieşirea măsurată).

În cazul general al plasării componentei derivative pe calea de reacţie şi

a componentei PIpe calea directă se obţine legea de reglare:

r

1

l

f

1

Tds

Tr'

a.Tds+J

U(s)=KRll+- R(s)-KR 1+-+ ~sJ

Y(s)

sau (5.31)

Cele două blocuri de reglare pot fi obţinute în formă numerică simplu, apelând la una din metodele de discretizare menţionate în § 5.1:

HR (z-I)= KR~l+..?::_·~] 1

L

T; 1-z

(5.32)


.2.28

(5.33) După

efectuarea unor operaţii elementare de calcul se poate obţine:

uk =$irk- ~f:~:JYk

(5.34)

sau 2

Uk

2

2

= Ltirk-i- LsnYk-n- Lrjuk-j

o o 1 unde polinoamele R(q -l ), s(q -l) şi T(q - 1) se obţin cu uşurinţă din (5.32) şi (5.33) după trecerea în domeniul timp:

1-1) =t0 +t1q -1 +t2 q -2

T\q

{ -1) = 1 +r q -1 +r q -2 R\q 1 2

(5.35)

i -1) = s +s q -1 +s 2 q -2 S \q 1 0 Coeficienţii

ti,

r1

şi

sn se

calculează

în

funcţie

de parametrii

algoritmului în formă continuă K 8 , T1 , Td, a şi de T . (exerciţiu elementar pentru cititor) Structura comenzii (5.34) evidenţiază un algoritm cu două grade de libertate sau aşa numita formă canonică de reglare (R, S, T). Desigur diversele variante de algoritmi PID modificaţi pot fi luate în consideraţie pentru obţinerea formei echivalente discrete, însă în toate cazurile se obţine o structură standard de regulator cu două grade de libertate cu diferite polinoame R(q - 1 ), s(q şi T(q - 1 ). O posibilă realizare a acestui tip de algoritm în vederea implementării este prezentată în figura 5. 9. De menţionat că la punerea în funcţie a unui asemenea algoritm se impune prudenţă la iniţializarea stărilor pentru a evita generarea unor comenzi de valori care depăşesc domeniul de lucru admis. O variantă de algoritm PID modificat presupune ponderarea referinţei cu un coeficient ~ iar componenta derivativă este filtrată cu o constantă de timp de a ori mai mică decât constanta de timp asociată componentei derivative.

-!)


229

Fig. 5.9

Forma continuă a acestui algoritm este:

sT 1 u(s)=KR PR(s)-Y(s)+- (R(s)-Y(s)) _!!_d_yfs) T.s 1+saTd 1 l sau

U(s)=K Dacă

forma

rp-1

R[

1 R(s)-K 1++ sTd Y(s) Tjs · R Tjs 1+ saTd

(5.36)

(5.37)

se apelează la o metodă de discretizare se obţine cu uşurinţă

canon~~~'{ T~(q~ 1 ) uk =Rfq1rk -Rfq1yk

unde polinoamele -I ), şi capătă diverse forme în funcţie de metoda de discretizare folosită. Dacă folosim metoda dreptunghiurilor şi ţinem seama că cele trei componente ale algoritmului PID modificat cu ponderarea referinţei sunt:

R(q

s(q --l) r(q -J)

P(t) = KR (Pr(t)- y(t))


230 dD. () dy aTd--rD t =-KRTddt

dt

se obţine comanda discretă sub forma: "k = Pk

+h +Dk

(5.38)

unde pk = KR(~rk- Yk) KRT

(5.39)

1k = 1k-1 +--ek

T;

aTd Dk-1 aTd + T

Dk =

Din (5.38)

şi

KRTd ( ) Yk - Yk-1 aTd + T

(5.39) se obţine:

"k = K R [Prk - Yk] + lk-1 aTd

+ aTd + T Dk-1

Yk) +

+ KRT ( 'k T;

KRTd ( ) aTd + T Yk - Yk-1

sau uk = KR[P+ KRT)rk -KR[I+_'C+

T;

+KR

O

Td aTd + T

Yk-1

T;

+ lk-1 +

formă compactă, fără

a

Td ]Yk aTd + T

aTd aTd + T

+ (5.40)

0 k-1

evidenţia

cele trei componente, se

obţine

dacă în (5.37) se foloseşte aproximarea .!. =~: s

1-z

U(z)=KR[p- T·-s]R(z)-KR I+,T-s+ T Td Y(z) (5.41) Tz 1-z [ Tz 1-z - -_+ aTd 1 1-z

După operaţii elementare se obţine forma polinoamelor

s(z -l) şi r(z -l):

R(z

-l ),


231

sau

u(z -1 )= to +ti z-1 + lzz -2 R(z-1 )- So + SjZ-1 + SzZ -2 Y(z-1) 1+r1z- 1 +r2 z- 2

'

(5.42)

l+r1z- 1 +r2 z- 2

Din (5.42) rezultă că algoritmul PID modificat este un algoritm recurent de ordinul doi în formă canonică. Coeficienţii r; , t 1 , sn ai polinoamelor ce definesc algoritmul se calculează cu uşurinţă în parametrii algoritmului continuu K R, T;, Td, u, ~ şi T.

%

funcţie

de

5.5. Alegerea perioadei de discretizare

Algoritmii de reglare obţinuţi prin discretizarea algoritmilor continui au în general performanţe inferioare ca urmare a aproximării componentelor integrală şi derivativă şi, evident, ca urmare a pierderii de informaţie în procesul de eşantionare şi cuantizare. Pentru alegerea perioadei de discretizare sunt recomandate, cel mai adesea pe baza experienţei, relaţii ce definesc raportul între T şi 7j, respectiv T şi Td. Regulatoarele numerice industriale destinate reglării unui număr redus de mărimi din proces folosesc o perioadă de discretizare fixată de ordinul 200 ms. O alegere a perioadei T în jur de (100-200) ms determină o comportare cvasicontinuă a algoritmului de reglare. În acest caz pot fi extinse metodele de acordare cunoscute din domeniul sistemelor dereglare continue. Este de remarcat faptul că valori foarte mici ale perioadei T (frecvenţe mari de eşantionare) asigură o bună aproximare a algoritmului de reglare, însă costurile interfeţei de proces sunt ridicate, numărul buclelor de reglare realizate cu un singur regulator este redus iar complexitatea algoritmilor implementaţi este limitată.


232

În cazul în care T este mai mare, pierderea de informaţie în procesul de eşantionare determină o precizie redusă în comportarea sistemului de reglare, perturbaţiile pot determina apariţia oscilaţiilor între momentele de eşantionare fără ca informaţia să fie transmisă şi prelucrată de regulator. Principalii factori ce trebuie luaţi în consideraţie la alegerea perioadei de discretizare sunt: performanţele dorite pentru sistemul de reglare; dinamica procesului şi spectrul de frecvenţă al perturbaţiilor; particularităţile elementului de execuţie şi a traductoarelor; complexitatea algoritmilor şi costul pentru fiecare buclă de reglare. Este uşor de observat că alegerea perioadei de eşantionare T presupune o analiză atentă a mai multor factori al căror efect cel mai adesea este contradictoriu. În cazul sistemelor de reglare cu regulatoare numerice sunt prezentate în literatură [6, 16, 36,43] recomandări privind alegerea perioadei T pentru diferite clase de procese şi diferite spectre de frecvenţă ce caracterizează perturbaţiile.

Dintre aceste recomandări reţinem: T =(0.1 + 0.3 'p; pentru regulatoare Pl; T (0.3 + 1)r sau T (0.1+ 0.3 )r0 pentru regulatoare Pl acordate pe baza metodei Ziegler-Nichols şi procese cu timp mort; 1 1 . . . - durata regtm . ul m. tranzttonu. T = - + - .} , , unde t, reprezmtă (

=

=

6

15

O metodă mult mai precisă pentru alegerea perioadei T are la bază banda de frecvenţă a sistemului de reglare (care trebuie realizat). Pornind de la faptul că un sistem de reglare cu regulator numeric are o comportare cvasicontinuă, performanţele fiind definite prin banda de frecvenţă ro , se 8

poate alege o pulsaţie ros astfel încât semnalul discret de la intrarea SRA să poată fi refăcut la ieşire. Ţinând seama de teorema lui Shanon [6, 16] se poate recomanda pentru alegerea perioadei T relaţia: ros 2(2-o-20)ro

8

2 ·'d . unde ros= " reprezmta pu l saţta e eşanttonare.

T

Cerinţele de performanţă impuse la urmărirea referinţei şi rejecţia perturbaţiilor sunt factori determinanţi la alegerea perioadei T . Cunoaşterea

a priori a performanţelor elementelor de execuţie şi a traductoarelor, precum şi clasa de perturbaţii ce acţionează asupra procesului, reprezintă cerinţe primare ale alegerii corespunzătoare a perioadei T .

Algoritmi numerici dereglare PJD

233

5.6. Acordarea algoritmilor numerici Comportarea algoritmilor PID numerici obţinuţi prin discretizarea algoritmilor PID continui este foarte apropiată de comportarea algoritmilor continui dacă T este suficient de mic. În aceste condiţii pot fi extinse cu uşurinţă metodele de acordare din domeniul sistemelor continue la sistemele cu regulatoare numerice. Pentru procese lente şi foarte lente cu timp mort, determinarea răspunsului indicial şi caracterizarea acestuia prin parametrii K P, -r şi TP (fig. 5.10) permit calculul parametrilor de acord conform tabel ului 5.1. y

KP

------------y,--·,;-;;>-- - -

t

Fig. 5.10 Tabelu/5.1

Algoritm p PI PID '

KR

T;

li a 0.9/a 1.2/a

-

1

Td

1

-{)

3r

-

2r

O.Sr

Ţ

In tabelul 5.1, a = - .

TP Extinderea metodelor bazate pe comportarea SRA la limita de stabilitate conduce, de asemenea, la rezultate bune în acordarea algoritmilor numerici de tip PID.


234

În tabelul 5.2 se prezintă relaţiile de calcul ale parametrilor de acord KR, T1 şi Td în funcţie de KRo şi T0 (v. § 4.4.2).

Factorul K Ro

reprezintă

factorul de amplificare pentru care se atinge

limita de stabilitate a SRA, iar T0 stabilitate.

reprezintă

perioada oscilaţiilor la limita de Tabelu/5.2

Algoritm

7i

p

KR 0.5KR0

Pl

0.45K 80

To /1.2

-

PID

0.6K11o

T0 /2

T0 !8

Td

-

În literatură [6, 36, 43, 46] sunt prezentate relaţiile de calcul ale

parametrilor de acord pornind de la cerinţe de performanţă exprimate prin criterii sintetice de tipul IAE, ISE, ITAE. De remarcat faptul că în unele relaţii de calcul se include timpul mort echivalent

te = r

+ ~ pentru partea continuă a SRA. Timpul mort 2

echivalent este luat în calcule în măsura în care T are o valoare semnificativă, pornind de la faptul că elementul de eşantionare şi reţinere ataşat părţii continue a SRA este caracterizat prin funcţia de transfer: 1- e-sT HEER(s)=-Ts

În domeniul frecvenţelor, acest element evidenţiază o întârziere pură T . ega l acu-: 2

. )-1-cosmT+jsinmT

HE'E'R ( Jffi "

. JffiT

sin mT

.1- cos mT

mT

mT

---}

sau . wT

wT

sm-cosHEER(jw)=

2wT

2

. mT

sm- -jmL

(jm);; m/ 2

e

2

. wT

T

T)

sm-( 2 w .. ro j--w-;;T;"'--c wT . cosT- ;sm2 2

2 H EER

. 2 wT

sm - 2

2

Algoritmi numerici de reglare PID Ţinând

235

seama că procesul este caracterizat prin

funcţia

de transfer:

K e-ts H(s) =~P.___ Tps +l rezultă

cu uşurinţă timpul mort echivalent. Timpul mort echivalent te= r + ~ se

calculează pentru o pe1ioadă

de discretizare care satisface condiţia roT < 7t. 2

K R,

În tabelul 5.3 sunt date relaţiile de calcul ale parametrilor de acord TIT; şi Td IT pentru un algoritm PID modificat cu ~ = l [6, 36, 57]. Tabelu/5.3

Parametri

Acordarea pe baza răspunsului indiceal

Tip algoritm

p

KR

TITi

Td IT

KR

TI Ti

Td IT

_!_g_

-

-

Kno 2

-

-

o.21rr/

-

Kf?o T

-

-r+T

PI

Acordarea pe baza parametrilor la 1 limita de stabilitate

O.I35Tp

0.9Tp

T

•+2

[<+it

1.2Tp

0.3TPT

rt

K (0.45- 0.27)-:?

To 0.54--

r KR,'+2

KR

1

ro

.

PID

HT-~ \

2

1

0.6TPT

KR(t+~{

051p

KRT

T

0.6KRo-

ro

K/?o T !.2--

KR 10

1

.2_ K /?o

70

40 KR 1'

Relaţiile

de acordare în funcţie de perioada oscilaţiilor T0 şi factorul de amplificare critic K 80 , pentru care se obţine limita de stabilitate a sistemului, sunt valabile pentru T ~ 2< şi nu sunt recomandate pentru T ~ 4r. Desigur, parametrii algoritmilor numerici pot fi determinaţi riguros prin metode de proiectare în condiţiile în care modelul matematic ataşat părţii continue este cunoscut şi criteriile de perfonnanţă sunt impuse. În acest caz pot fi utilizate metode bazate pe alocarea polilor, metode de optimizare parametrică, metode bazate pe răspm1s impus etc. În general, utilizarea algoritmilor PID implementaţi pe cale numerică presupune utilizarea unor metode de acordare cunoscute din domeniul sistemelor continue cu modificări nesemnificative, având în vedere că T este redus iar comportarea algoritmilor este cvasicontinuă.


236 'It:

5.7. Implementarea algoritmilor PID numerici

Pentru implementarea unui algoritm de reglare acesta trebuie astfel organizat, încât să includă toate facilităţile impuse unei bucle de reglare. Astfel, vor fi incluse în cadrul programului variabile de stare de configurare ce definesc diferite regimuri de funcţionare, moduri de lucru, diferite tipuri de algoritmi cu luarea în consideraţie a fenomenelor de saturare a componentei integrale şi a parametrilor de acord. Înainte de a trece la organizarea algoritmului de reglare sub forma unui task (PID) parte componentă a unui program de reglare organizat pe taskuri, să evidenţiem printr-un model toate regimurile şi modurile de operare ale unui algoritm PID cu filtrare. Astfel, algoritmul PID cu filtrare poate fi inclus ca algoritm cu un singur grad de libertate sau cu două grade de libertate în cazul în care componenta PD cu filtrare primeşte la intrare numai variabila măsurată din proces, cu moduri de operare AUTOMAT şi MANUAL şi regimuri de funcţionare CALCULATOR şi CASCADĂ. Pentru a lua în consideraţie saturarea componentei integrale şi saturarea elementului de execuţie sau aşa numitul efect "integrator windup" pot fi considerate mai multe căi. O posibilitate este aceea de a stopa integrarea când elementul de execuţie atinge nivelul de saturare. O altă posibilitate este prezentată în figura 5.11, unde se include în jurul integratorului o reacţie negativă în funcţie de abaterea dintre ieşirea şi intrarea elementului de execuţie. Eroarea es definită ca diferenţa între ieşirea elementului de execuţie m şi ieşirea regulatorului v este egală cu zero atâta timp cât EE nu este saturat. Prin reacţie negativă în jurul integratorului se urmăreşte anularea erorii e s prin resetarea integratorului, astfel încât ieşirea regulatorului este la saturare. Resetarea integratorului se realizează la o valoare corespunzătoare cu o dinamică determinată de constanta de timp de urmărire T, . Avantajul acestei scheme pentru eliminarea efectului de saturare (antiwindup) constă în posibilitatea de generalizare pentru orice tip de element de execuţie. În cazul în care ieşirea elementului de execuţie nu este măsurabilă, acesta poate fi modelat şi un semnal echivalent poate fi generat de model pentru a calcula eroarea e,. Este uşor de remarcat faptul că la implementarea numerică a algoritmului sub forma unui program de reglare se impune luarea în consideraţie a structurii antiwindup prezentată în figura 5.11.


-y

237

KRTds aTds+J

E

J

r

1

~~ KR 1

,

\..

,.---

4

f!R Ti

~;

V

1

.1 EE 1

~

m

1 +

~

e,

~

'----

1

-

Ti

Fig. 5.11

Practic, toate regulatoarele PID pot funcţiona în două moduri: MANUAL (M) şi AUTOMAT (A). În modul MANUAL, ieşirea regulatorului este generată de operator prin acţiuni corespunzătoare de creştere sau scădere. Regulatoarele pot funcţiona în cascadă cu alte regulatoare sau cu alte elemente neliniare multiplicatoare sau selectoare, respectiv pot funcţiona în regim CALCULA TOR cu fixarea referinţei de la nivelul ierarhic superior sau comanda este calculată la nivelul superior şi transmisă elementului de execuţie. În acest ultim caz regulatorul este, fie în regim de staţie de rezervă, fie este defect. În timpul funcţionării regulatorului este posibilă cerinţa de ajustare a parametrilor de acord. Pentru evitarea apariţiei unor şocuri în f..mcţionarea procesului controlat ca urmare a ieşirii comenzii din domeniul admisibil la comutarea modurilor şi regimurilor de funcţionare, precum şi la modificarea parametrilor, se impune la implementarea algoritmului includerea unor funcţii de echilibrare a comenzii. Astfel, la trecerea de la modul M la modul A se impune a verifica dacă valoarea de ieşire a integtatorului este corectă în momentul comutării. Acest fenomen este cunoscut ca transfer fără şocuri (bumpless transfer). În figura 5.12 sunt prezentate variante de algoritmi şi modalităţi de realizare a comutării fără şocuri. Comanda manuală este generată prin intermediul unităţii de comandă manuală (UCM).


238

UCM

:1

+

M

'k

Yk

A

:1

Alg. PID Incremental

b

1

1 s

u

Fig. 5.12

în prezenţei

această figură comanda se generează incremental, ca urmare a

integratorului plasat la

ieşire, şi

ca urmare, la comutare nu apar

şocun.

în figura

5.13 sunt incluse forme speciale de algoritmi de poziţie şi modalităţi specifice de echilibrare.

UCM

u

Alg. PD Incremental Yk - ' - - - - - - - '

Alg. PD Incremental Yk - ' - - - - - - - ' (b)

Fig. 5.13

în figura 5.13a acţiunea integrală este realizată ca reacţie pozitivă în jurul unui sistem de ordinul întâi. în acest caz funcţia de transfer de la u la v este: 1 _ 1+ s1;' _ H l (s ) 1 1----sTJ' 1+ sTJ'


239

ceea ce evidenţiază că, pe manual, Ieşirea este incrementată. Pentru a considera protecţia antiwindup se poate utiliza schema din figura 5.13b, cu includerea pe calea directă a caracteristicii cu saturaţie a elementului de execuţie. în acest caz constanta acţiunii integrale este egală cu T;. În [6, 43, 57] sunt prezentate şi alte modalităţi de structurare a algoritmului, astfel încât comutarea să se realizeze f'ară şocuri pentru procesul condus. Pentru a exemplifica modul de structurare a unui algoritm în vederea implementării ca program de reglare, considerăm algoritmul PID cu filtrare. În figura 5.14 se prezintă schema bloc a algoritmului cu considerarea diferitelor moduri de lucru şi variante funcţionale. în spatele "comutatoarelor" care apar în schemă, sunt variabile de tip eveniment, pe care le vom numi flaguri, prin intermediul cărora se poate modifica foarte uşor atăt structura algoritmului, cât şi regimurile de lucru. Comutatorul C0 , cu cele două poziţii C0 =O şi C0 = 1, defineşte tipul de referinţă pentru regulator. Aşa cum s-a menţionat, regulatorul poate primi referinţă internă sau referinţă externă de la calculator sau alt regulator în regim cascadă. Comutatoml C1 introduce, de asemenea, două variabile de stare C1 = O şi C1 = 1 pentru a evidenţia utilizarea unui algoritm PID standard sau un regulator PID modificat (cu două grade de libertate). C1 =O ilustrează utilizarea unui algoritm PID modificat cu prelucrarea diferenţială a referinţei şi a variabilei măsurate din proces. Comutatorul C2 introduce variabilele C2 =O şi C2 = 1 în funcţie de tipul elementului de execuţie care poate fi normal deschis sau normal închis. Astfel, comanda creşte odată cu creşterea erorii ( C2 = 1) sau comanda scade la creşterea erorii ( C2 =O). Comutatorul C3 , cu cele două poziţii C3 =O şi c 3 = 1, include în algoritm protecţia antiwindup. Variabila C3 = 1 ilustrează situaţia normală de funcţionare când mărimea de comandă nu este saturată. Comutatorul C4 inclus în schema bloc evidenţiază prin cele două variabile C4 = O şi C4 = 1 prezenţa sau absenţa componentei integrale în cadrul algoritmului. Astfel, C4 = 1 ilustrează un algoritm PID, iar C4 =O ilustrează un algoritm PD, componenta integrală a algoritmului este exclusă de la calculul comenzii, dar ea trebuie memorată pentru a se putea trece fără şocuri de la structura PD la structura PID, în cazul unei reconfigurări a algoritmului.

c, = 1

Co

~

------ ------' c, ~ p o l c ~o

~O

r• 1 C

1

' - k

' "c '

3

=:t'

o

C5

~O

,-----,

' '' c, = 1 ''' '' ' T ' ''' ' ''' ' •-----------

+

~,=0

!_ _____ -:

~1 r--K

Yk

c, = l

4

l

~c~~o Co

C, =O

Tds+l R aTds+l

~s

+

c4 = 1

-=t!L~ Um

Fig.5.14

UM

c

' o

=1

c

5

=0


241

Conform figurii 5.14, rezultă relaţia: 1k

=U k = Dk

şi

deci la reintroducerea componentei integrale vom avea la algoritmului aceeaşi comandă u k :

ieşirea

U~ = lk +Dk =Uk -Dk +Dk =Uk. În felul acesta, în primul moment de la reconfigurare valoarea comenzii uk rămâne neschimbată, urmând ca apoi să se manifeste efectul componentei integrale. Comutatorul C5 , cu cele două poziţii C5 =O şi C5 = 1, determină comutarea modului de operare de pe comanda automată (A) elaborată de algoritm pe comanda manuală (M) elaborată de operator şi invers. C5 = 1 ilustrează faptul că regulatorul numeric este pe regim AUTOMAT iar mărimea de comandă este furnizată de algoritm, iar C5 =O ilustrează faptul că regulatorul este pe regim MANUAL, caz în care comanda este furnizată de operator de la tastatură prin incrementare sau decrementare cu o valoare fixă prestabilită. La pornirea sistemului, algoritmul trebuie iniţializat pe regimul MANUAL ( C5 =O), operatorul furnizând comanda pentru aducerea procesului în punctul de funcţionare dorit. După obţinerea mărimii reglate la o valoare în jurul punctului de funcţionare, se trece în regimul AUTOMAT ( C5 = 1). Pentru ca trecerea să se facă fără şocuri şi în acest caz, este necesar ca în regim MANUAL să se calculeze valoarea componentei integrale cu relaţia: /k =UMAN -Dk

În felul acesta, la trecerea pe AUTOMAT avem: u k =1k + Dk =uMAN - Dk + Dk =uMAN şi astfel comutarea are loc fără şocuri. Componenta integrală este limitată în această schemă cu ajutorul variabilei aparente C3 care nu se configurează de către operator ci este "poziţională" automat, conform schemei în funcţie, de valoarea mărimii de comandă:

C3

=1,

în cazul în care

mărimea

de

comandă

nu este

saturată:

uk E (Umin•Umaxl; C3 =O , în cazul saturării superioare sau inferioare a comenzii, situaţie în care componenta integrală trebuie limitată pentru a nu căpăta valori necontrolate şi pentru a obţine o de saturare rapidă în cazul schimbării semnului erorii.


242

Componenta

integrală

lk =Umax -Dk sau

h

este

limitată

=Umin

Ia valoarea:

-Dk

după

cum mărimea de comandă este limitată superior sau inferior. Astfel, mărimea de comandă va fi menţinută la valoarea U min sau U max până la schimbarea semnului erorii: Uk =lk +Dk =Dk

C1 ,

+Umax

-Dk

=Umax

De menţionat că la configurarea algoritmului se introduc: variabilele parametrii de acord (KR, 'F;· Td, a, Pl, limitele maximă şi minimă ale

comenzii U max şi U min , valoarea referinţei şi elemente specifice variabilei măsurate din proces. În vederea organizării programului de aplicaţie se urmăreşte asigurarea unei flexibilităţi ridicate la configurare cu luarea în consideraţie a tuturor modurilor şi regimurilor de funcţionare. Astfel, regimul MANUAL, în funcţie de particularităţile regulatorului numeric, poate fi asigurat local sau de la nivelul ierarhic superior, pe când regimul AUTOMAT presupune elaborarea comenzii prin prelucrarea adecvată a variabilei măsurate din proces şi a referinţei. Se iau în consideraţie, de asemenea, regimul cascadă şi regimul calculator. În regim CASCADĂ bucla de reglare funcţionează cu referinţă externă, referinţă fixată de alt bloc de reglare. În regimul CALCULATOR se pot evidenţia, fie o funcţionare a blocului de reglare cu referinţă impusă de nivelul ierarhic superior (regim de supervizare), fie o funcţionare în regim de rezervă, caz în care comanda este calculată la nivelul ierarhic superior şi transmisă direct spre elementul de execuţie. La comutarea de la un regim de funcţionare la alt regim de funcţionare se impune evitarea şocurilor pentru instalaţia tehnologică. În acest sens pot fi incluse două opţiuni la configurarea algoritmului de reglare: iniţializarea şi urmărirea variabilei din proces. Urmărirea variabilei din proces semnifică faptul că în regim MANUAL sau CASCADĂ referinţa locală urmăreşte variabila din proces. În acest fel, comutările din regim MANUAL sau CASCADĂ în regim automat se vor face fără şocuri (eroarea buclei este forţată la zero). Această situaţie este frecvent întâlnită şi la regulatoarele analogice, egalizarea dintre referinţa locală şi măsură fiind realizată de operator, înainte de comutarea de regim MANUAL-AUTOMAT. Iniţializarea se referă la conectarea în cascadă a două blocuri de reglare (de calcul). Dacă blocul interior este în regim MANUAL sau AUTOMAT, ieşirea blocului exterior urmăreşte referinţa locală a blocului interior. Astfel, comutarea MAN-CASC sau AUTO-CASC se vor face fără şocuri. În figura 5.15 pot fi evidenţiate regimurile de funcţionare ale


243

blocurilor conectate în cascadă. Şi această situaţie este întâlnită la regulatoarele analogice, egalizarea dintre referinţa externă şi referinţa internă a regulatorului din aval făcându-se de către operator, înainte de comutarea pe referinţa externă a regulatorului din aval.

Uz

BLOC l

__jAUTO

RI

Fig. 5.15

De observat că dacă blocul din interior este configurat, atât cu variabilei din proces, cât şi cu iniţializarea, atunci, în regim manual, ieşirea blocului din amonte U 2 urmăreşte referinţa locală a blocului din aval R1 , care, la rândul ei, urmăreşte semnalul măsurat din proces lJ . Astfel, toate cele 3 mărimi ce intervin în calculul erorii în diferite regimuri de funcţionare ( U 2 , Y1 , R1 ) sunt egale, orice comutare de regim neproducând variaţii ale poziţiei elementului de execuţie. În legătură cu opţiunea de configurare "iniţializare", apare următoarea situaţie specială. Dacă blocul din aval este configurat în iniţializare, iar blocul din amonte este în regim MANUAL, operatorul nu poate modifica ieşirea blocului din amonte (deşi este în regim MANUAL), deoarece acesta urmăreşte referinţa locală a blocului din aval. Acest regim special se numeşte "manual-iniţializare". De remarcat că apariţia acestui regim special al blocului din amonte este dictată de configurarea blocului din aval. urmărirea

6.

PROIECTAREA SRA PE BAZA MODELELOR INTRARE- IEŞIRE

6.1. Introducere Procesul de proiectare a unui SRA reprezintă un demers dificil, având în vedere faptul că modelul matematic ataşat obiectului condus nu poate surprinde toate aspectele funcţionale ale instalaţiei tehnologice, iar cerinţele de performanţă impuse pot determina soluţii care nu totdeauna devin operaţionale. Conceptual, proiectarea unui SRA poate fi definită într-o formă sistemică. Dându-se un model al obiectului condus şi precizându-se mărimile exogene, se cere un regulator care în prezenţa unor restricţii impuse asupra comenzii, asigură satisfacerea cerinţelor de performanţă cât mai precis. O soluţie analitică a problemei de proiectare se poate obţine în cadrul unui proces iterativ şi interactiv, parcurgând etapele deja menţionate în capitolul I: determinarea modelului matematic al obiectului condus: ansamblul format din instalaţia tehnologică, traductoare şi elemente de execuţie (v. cap. 2); stabilirea obiectivelor reglării/conducerii cerinţe de performanţă impuse (v. cap. 3); alegerea metodei de proiectare (v. cap. 4 pentru optimizarea parametrilor de acord ai algoritmilor PID); testarea posibilităţii de realizare a algoritmilor proiectaţi şi analiza condiţiilor de implementare a acestora; validarea soluţiei de automatizare prin analiza performanţelor SRA, implementat pe proces. Alegerea metodei de proiectare reprezintă cea de a treia etapă în cadrul algoritmului de proiectare. În funcţie de tipul modelului matematic al procesului, de criteriul de performanţă selectat, pot fi utilizate metode de optimizare a parametrilor algoritmilor de reglare selectaţi pentru un proces

Proiectarea SRA pe baza modelelor intrare-ieşire

245

dat în cadrul unor structuri cunoscute de reglare sau pot fi utilizate metode de sinteză a structurii sistemului de conducere şi a algoritmului de conducere, care minimizează un criteriu de performanţă selectat. În cadrul primei categorii de metode, algoritmii convenţionali de reglare PID sau alţi algoritmi cunoscuţi calitativ, se adaptează la un proces dat prin optimizarea valorilor parametrilor. În această clasă de metode se înscriu criteriile de alegere şi acordare a regulatoarelor, metodele de optimizare parametrică. Metodele de sinteză exactă presupun utilizarea unor modele matematice cât mai precise şi de dimensiune adecvată pentru determinarea legilor de comandă optimă într-un sens bine definit prin criteriile de performanţă adoptate. Se pot detennina algoritmi optimi de reglare în cadrul unor structuri fixate de sistem de reglare sau de conducere, sau se determină atât structura optimă, cât şi algoritmul optim de conducere pentru un proces dat. În cadrul acestui capitol vor fi prezentate criterii de alegere şi acordare a regulatoarelor convenţionale, proceduri de optimizare parametrică, precum şi metode specifice de proiectare a algoritmilor de reglare pentru structuri date de sisteme de reglare. Testarea posibilităţii de realizare a algoritmilor proiectaţi şi analiza condiţiilor de implementare pe un suport hardware reprezintă cea de a patra etapă a proiectării sistemelor de reglare (conducere). Un algoritm este util şi eficient în măsura în care este implementabil pe un suport hardware cu erori minime. Algoritmul rezultat din proiectare poate fi implementat pe o structură hardware în logică cablată sau în logică programată sub forma unor programe de aplicaţie. Indiferent de modul de implementare, se impune o analiză a performanţelor obţinute în urma implementării algoritmului pe echipamentul ales. Această etapă presupune alegerea optimă a echipamentului care asigură implementarea cât mai precisă a algoritmului de conducere. Ultima etapă a proiectării o constituie validarea soluţiei prin analiza yerformanţelor întregului sistem de reglare implementat pe proces. In condiţiile în care performanţele obţinute prin analiză corespund cerinţelor impuse, se consideră încheiat procesul de proiectare. În caz contrar, se reia procesul de proiectare şi ajustare a parametrilor de acord pe n funcţiune. Se poate constata cu uşurinţă că procesul de proiectare a unui SRA este iterativ şi interactiv, uşor de algoritmizat în vederea asistării de calculator. Astfel, problema proiectării asistată de calculator poate fi uşor formalizată la modele, atribute, indicatori, obiecte şi baze de cunoştinţe. În figura 6.1 se evidenţiază relaţia între calculator şi proiectant în procesul interactiv al dezvoltării unei aplicaţii de proiectare asistată de calculator a unui SRA. Este important de observat că proiectarea este un proces cu reacţie, obiectul şi specificaţiile fiind iterativ ajustate într-un ciclu cu reacţie.

246


În această interacţiune om-maşină din cadrul procesului de proiectare,

proiectantul este confruntat cu incertitudinile modelului şi complexitatea calculelor. Pentru elaborarea unui sistem pentru proiectarea asistată de calculator (PAC) (se dezvoltă un mediu iterativ de calcul), se iau în consideraţie abilităţile specifice la nivelul operatorului şi al maşinii. Astfel, proiectantul stabileşte obiective, manevrează ambiguităţi, conceptualizează, rezolvă conflicte între obiective şi incertitudini etc, iar calculatorul evaluează funcţii, execută proceduri complexe, caută prin seturi complexe de date, generează şi manipulează indicatori etc. În contextul interactiv de calcul se manevrează cunoştinţe formale şi informale precum şi cunoştinţe declarative şi imperative. Toate aceste cunoştinţe trebuie astfel manipulate încât să se atingă obiectivul proiectării, apelând la principii şi proceduri. Proiectantul gândeşte apelând la principii generale, iar calculatorul operează pe baza unor proceduri formale specificate. În figura 6.2. se prezintă modul de organizare a interacţiunii între obiecte şi baza de cunoştinţe. Proiectantul utilizează mediul de calcul interactiv pentru: a manipula cunoştinţele declarative formale prin evaluarea comportării şi atributelor oricărui model dinamic dat; a manipula cunoştinţe imperative formale prin executarea unor secvenţe de proceduri adecvate în scopul atingerii obiectivelor specificate; a manipula cunoştinţe imperative informale sub forma unor ghiduri de proiectare, reguli practice, cerinţe de proiectare etc. Pentru a realiza toate acestea în mod corespunzător, se cere un larg spectru software, interfeţe şi display-uri performanţe şi se cere a folosi


limbaje declarative

şi

247

imperative adecvate pentru a asigura compatibilitatea

maximă a proiectantului cu sistemul PAC. În procesul de proiectare operăm

cu: obiecte, atribute ale obiectelor şi

operaţii

asupra obiectelor.

1 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

1

\

\

1

Specificaţii

Fig. 6.2

Dintr-un punct de vedere general, metodologiile de proiectare

presupun trei situaţii posibile: un atribut dat determină un obiect corespunzător; setul de obiecte poate fi cercetat pentru a găsi unul cu atributul dorit; un obiect dat poate fi manipulat folosind operaţii disponibile până ce va avea atributul dorit. Astfel, în funcţie de cantitatea de cunoştinţe analitice disponibile, proiectantul foloseşte metode analitice, procedurale sau experimentale. În figura 6.3. se evidenţiază conexiunile între cadrul conceptual al proiectantului şi cadrul executiv al sistemului de calcuL Din cele prezentate, rezultă cu uşurinţă caracten.tl interactiv al

procesului de proiectare de la faza de construcţie a modelului matematic, la validarea soluţiei de automatizare, prin analiza asistată de

până


248

calculator a performanţelor. În literatură [ 1O, 44, 46] sunt prezentate mai multe sisteme de programe PAC a SRA implementate atât pe calculatoare personale, multe dintre acestea apelând la sisteme EXPERT. Indicaţii

Sinteză

ATRIBUTE

OBIECTE

Căutare

Manipulare sistematică

OPERA ŢII ASUPRA OBIECTELOR

Fig. 6.3

Pornind de la modelul matematic al procesului şi ţinând seama de obiectivele reglării/conducerii concretizate sub forma unui obiect matematic se poate formula problema proiectării unui sistem de reglarelconducere astfel: dându-se un model al procesului, se cere a se detem1ina structura sistemului de reglare/conducere şi algoritmul de reglare sau conducere a procesului, astfel încât să fie satisfăcute cerinţele de performanţă impuse. Se cere astfel a se determina legea de conducere u(t )EVa (unde V a reprezintă mulţimea comenzilor admisibile) astfel încât obiectivele conducerii să fie integral satisfăcute. Aşa cum s-a menţionat în capitolul I, la proiectarea SRA trebuie luaţi în consideraţie diferiţi factori ce pot influenţa cerinţele de performanţă, cum ar fi: atenuarea perturbaţiilor de tip sarcină; reducerea efectului zgomotului de măsură; urmărirea referinţei;

variaţiile şi

incertitudinile în comportarea procesului. Adoptarea metodei de proiectare presupune luarea în consideraţie, pe lângă factorii menţionaţi mai sus, şi a particularităţilor modelului matematic ce descrie obiectul condus şi obiectivele reglării/conducerii, prezentate, de asemenea, sub formă de model matematic.


249

Etapele proiectării unui SRA cu luarea în consideraţie, atât a aspectelor conceptuale, căt şi a aspectelor legate de alegerea componentelor în vederea implementării soluţiei pe proces, sunt prezentate în figura 6.4. [86]. Astfel, proiectantul: 1. obţine o înţelegere completă cu privire la: descrierea generală a problemei; performanţele globale ale SRA, precizia în regim staţionar şi comportarea în regim tranzitoriu; identificarea funcţiei de transfer a procesului controlat; siguranţa în funcţionare, conexiunea cu mediul, dimensiuni, costuri, energie necesară, întreţinere etc; 2. consideră mai multe soluţii alternative, incluzând sisteme electrice, hidraulice şi pneumatice şi utilizând varianta continuă sau numerică dereglare; 3. alege cele mai bune proceduri pornind de la elemente fixate de beneficiar;

specificaţii, cerinţe şi

4. interpretează cerinţele în raport cu performanţele sistemului în circuit închis (caracteristici de frecvenţă, caracteristici ale răspunsului tranzitoriu pentru mărimi exogene precizate); 5. stabileşte caracteristicile aproximative ale buclei deschise ce vor satisface cerinţele sistemului în circuit închis; 6. proiectează sistemul şi selectează comportamentele care satisfacerea cerinţelor de la punctul 5; 7.

rafinează, simplifică, corectează

asigură

etapele 5 şi 6;

8. simulează sistemul incluzând caracteristicile sale liniare şt neliniare în vederea validării în mediu simulat a soluţiei şi realizează modificările necesare; 9.

construieşte

Realizează modificările

10. minimizării

rafinează

costului.

un prototip şi validează experimental proiectarea. ce se impun pentru a atinge obiectivele propuse;

proiectarea în scopul

optimizării performanţelor şi

Validează soluţia optimizată

pe proces.

De observat că schema de proiectare (fig. 6.4) nu se parcurge întotdeauna în mod complet. Caracterul interactiv al procesului de proiectare presupune reluarea unor etape şi corecţia unor elemente specifice proiectării.

INGINERIA REGLĂRI/AUTOMATE

250

Obţine înţelegere completă cerinţelor

a legate de conducere

... Consideră

mai multe

soluţii

alternative

...

Alege cea mai

bună procedură

... Interpretează cerinţele

în

funcţie

de

caracteristicile de proiectare ale buclei închise

...

Stabileşte

caracteristicile buclei deschise ce vor satisface caraceristicile în circuit închis

... r---+

Proiectează

sistemul şi selectează componentele

'--

Revede,

.

rafinează şi simplifică

cerinţele

-j.

-

impuse proiectării componentele selectate

... Simulează sistemul şi reţine soluţia ce asigură cele mai bune performanţe

Construieşte

--+ '---

şi

• •

un prototip şi validează proiectarea experimental

Rafinează proiectarea pentru a optimiza performanţele şi a minimiza ~n~tnl

..

1 Proiectare

Fig. 6.4

finală


251

6.2. Problematica proiectării SRA monovariabile Considerăm

structura convenţională a unui SRA (fig. 6.5): V

r(s) +

Fig. 6.5

unde H p este funcţia de transfer a obiectului condus, H R este funcţia de transfer a regulatoru!ui (compensatoru!ui), iar r este mărimea de referinţă, u este mărimea de comandă, y este mărimea reglată, n este zgomotul de măsură şi deci mărimea măsurată va fi (y + n ). Mărimea de intrare în regulator este eroarea e , care este alterată de zgomot (e = r- y -n ). Comportarea intrare-ieşire, adică transferurile de la mărimile externe sistemului la mărimea reglată y şi eventual la comanda u , poate fi descrisă prin relaţiile: y=

H

d

(r-n)+

1

v

(6.1)

I+Hd l+Hd 1 Hd E= (r-v)+--n l+Hd l+Hd

(6.2)

(6.3) de transfer a căii directe a SRA. Mărimile care intervin în relaţiile (6.1 }--(6.3) sunt evident transfom1atele Laplace ale mărimilor originale temporale, omiţăndu-se, pentru comoditatea scrierii, argumentul s, iar în Jocul literelor mari folosindu-se literele mici. De remarcat faptul că în relaţiile (6.1- 6.3) intervin două funcţii de transfer şi anume: unde H d = H RH p

H0 : =

reprezintă funcţia

Hd l+Hd

-funcţia

de transfer în circuit închis

şi


252

H ·= ,.

1 l+Hd

Cele două

-

funcţia de transfer a erorii.

funcţii

de transfer sunt legate prin relaţia

(6.4) Un scop pentru care a fost concepută structura din figura 6.5 este acela ca mărimea reglată y să urmărească "cât mai fidel" mărimea de referinţă r (în contextul perturbant al mărimi lor v şi n ). Cele două obiective ale unui SRA - urmărirea referinţei şi rejecţia perturbaţiilor - pot fi atinse punând condiţii asupra celor două funcţii de transfer H 0 şi H, . De remarcat faptul că H, reprezintă funcţia de sensibilitate în raport cu variaţia parametrilor modelului obiectului condus. Dacă admitem o variaţie MI p a funcţiei de transfer a procesului, rezultă o variaţie MI d a funcţiei de transfer a căii directe şi evident o variaţie MI 0 a funcţiei de transfer a sistemului închis. Calcule elementare evidenţiază faptul că variaţia MI p determină o variaţie MI 0 , iar raportul: H" +Ho =1.

t:.Ho

!!JL = I':.HP

1

l+Hd

.- s

(6.5)

Hp reprezintă

sensibilitatea sistemului în raport cu variaţiile MI P. Astfel se poate defini prin (6.5) operatorul de sensibilitate şi ţinând seama de (6.4) H 0 reprezintă operatorul de sensibilitate complementară. În cele ce urmează vom folosi notaţiile: - funcţia de sensibilitate s := 1 l+H 4 (s)

ŞI

T := H d (s)~ + H d (s)]- -funcţia complementară a sensibilităţii. 1

Este evident că pentru o structură de SRA cu un singur grad de libertate, cele două funcţii satisfac ecuaţia: S(s )+ T(s) = 1 (6.6) Pentru procese caracterizate prin modele de forma: H (s)= Bp(s) = bmsm +bm·lsm-1 +"·+bo P A p{s) s n +an_ s n-1 + .. ·+a s+a 1 1 0

(6.7)


cu un exces de poli reglare de forma:

faţă

Q (s) HR(s)o= 0 R() 'R s

253

de zerouri egal cu e P =n- m, se cere un algoritm de n

=

n -1

qnsq+qn-ls• 4

!

s P + PnP-Is

n

l

P

unde

coeficienţii q1 , p 1 sunt necunoscuţi,

şi nP

trebuie determinată.

Condiţia

+···+qts+qo

+···+ P1s+ Po iar dimensiunea polinoamelor

de realizare

fizică

nq

impune ca np>"q

Presupunem că ambele funcţii de transfer H p(s) şi H R (s) sunt în forma lor minimală ( ireductibilă). Cele două funcţii importante ce caracterizează comportarea SRA cu un grad de libertate, H d (s) şi H 0 (s) se calculează şi au forma: BP (s) QR(s) Hd(s) =Il p(s).HR(s) = - - . - . A"(s) P8 (s)

(6.8)

Ho(s)=. T(s)=

(6.9)

ŞI

Hd(s) l+Hd(s)

Bp(s) . QR(s) Bp(s) QR(s)+Ap(s) PR(s)

Cerinţele de performanţă impuse de SRA pot ti obţinute dacă acestea se transpun într-o formă dorită a funcţiei de transfer Il 0 (s), respectiv H d (s). Cele două cerinţe funcţionale: a) stabilitate şi b) precizie - pot fi realizate asigurând celor două funcţii de transfer o anumită formă. Polinomul caracteristic al SRA este dat de relaţia:

=Bp(s)QR(s) +Ap(s). PR(s) (6.10) sau dacă se notează cu ap(s):=c.m.m.d.c.{Bp(s),PR(s)} ŞI cu a, (s) := c.m.m.d.c.{QR (s ),Ap (s )} Pc(s)=ar(s)ap(s)[BpQR +ApPR] (6.11) întrucât se presupune că polinoamele Ap(s), Bp(s), Q8 (s), P8 (s) conţin Pc(s)

factori comuni ce pot fi compensaţi in funcţia de transfer H d (s ). Relaţia (6.11) se obţine dacă cele patru polinoame pot fi puse sub forma: Bp(s)=Bp. ap(s);Ap(s)=a,.(s).

Ap

~W=~.arW;~(s)=~W.apW În aceste condiţii, funcţia de transfer H d (s) capătă forma: fld(s)=

~(s)·~(s) Ap(s)· Pp(s)

(6.12)

(6.13)

INGINERIA REGL4Rll AUTOMATE

254

Compensarea unor poli sau zerouri ale procesului caracterizat printr-un model H p(s) care conţine incertitudini structurale şi parametrice, cu valabilitate limitată în vecinătatea punctului de funcţionare, este inadmisibilă din punctul de vedere al cerinţei de stabilitate a SRA. Polinomul caracteristic conţine acele singularităţi incluse în a, (s) şi a P ( s) care generează instabilitatea SRA, deşi formal funcţia de transfer a căii

directe este într-o formă simplificată. În aceste condiţii se recomandă construcţia unei funcţii de transfer H d (s) pornind de la performanţe, astfel încât să nu se compenseze eventualele singularităţi instabile ale procesului condus. Pot fi compensaţi cu precauţie anumiţi poli stabili ai procesului, cu condiţia ca aceştia să nu se încadreze printre incertitudinile parametri ce ale modelului ataşat procesului condus. Cea de a două cerinţă de performanţă se referă la comportarea în regim staţionar (permanent). Este cunoscut faptul că orice SRA trebuie să asigure urmărirea referinţei şi rejectarea perturbaţiilor. Atingerea acestor obiective presupune o anumită formă a funcţiilor de transfer H d (s) şi H 0 (s ). Pentru o clasă precizată de mărimi exogene (referinţă, perturbaţii) definită prin:

W= {w w(s) =

f3:(~),

Va(s), a[a(s)j :; 8[f3w(s)j}

(6.14)

unde

f3w(s) = Po + P1s + ...... f3q-lsq-l + sq

(6.15)

este polinomul ce determină clasa mărimilor exogene, iar prin fixarea unui a( s) se alege un element din clasa mărimi lor exogene. Pentru mărimi exogene persistente se admite implicit că polinomul Pw (s) este instabil. Pentru structura

prezentată

în figura 6.5, eroarea e(s) se

calculează

cu relaţia: t(s)=

1

( ) .

I+Hd s

R(s) sau

t(s)=

-

1 -·V(s)

(6.16)

I+Hd

sau

a(s) e(s)=S(s). -.-) f3w (s Rezultă

(6.17)

din (6.16) şi (6.17) condiţia pentru a obţine precizia dorită t-->oo Iim e(t) =o, prezenţa în funcţia de sensibilitate a unui număr

f3w(s) ·

cu

uşurinţă

de zerouri în origine mai mare decât dimensiunea q a polinomului


255

Cele două condiţii referitoare la stabilitate şi la precizie vor fi completate cu o nouă condiţie privind realizarea algoritmului de reglare. De remarcat faptul că cerinţa de precizie impune includerea în funcţia de transfer ataşată regulatorului a modelului mărimilor exogene. Astfel, pentru semnale de tip treaptă, rampă sau parabolă, H 8 (s) trebuie să conţină un număr de poli în origine egal cu q ( q = 1 pentru treaptă, q = 2 pentru rampă şi q = 3 pentru parabolă). în aceste condiţii rezultă o structură de algoritm implementabil dacă e0 ?: e P. Această condiţie rezultă din analiza relaţiei:

H8(s)=H; 1(s).Hd(s)

(6.18)

sau -1

li R ( s) = H P

•

lio(s) ( ) J-li0 s

(6.19)

ţinând seama că e0 = ed iar e P =o[AP (s )J- il[BP (s )j, unde prin eP s-a notat excesul polilor faţă de zerouri le funcţiei de transfer H p (s), iar prin e0 s-a notat excesul polilor faţă de zerourile funcţiei de transfer H 0 (s). Obţinerea funcţiei de transfer H R (s) presupune satisfacerea a două cerinţe: cerinţa funcţională

cerinţa

(stabilitate, precizie, performanţe tranzitorii); structurală ( e 0 ?: e P, cu luarea în consideraţie a

incertitudinilor structurale şi parametrice ale modelului ataşat procesului condus). Pentru construcţia funcţiei de transfer li d (s) se va avea în vedere includerea modelului intern al exogenului în structura regulatorului pentru asigurarea regimului permanent dorit al sistemului.

6.3. Problematica

proiectării

Pornind de la structura

generală

în

frecvenţă

a SRA prezentat în figura 6.6,

obţinută din figura 6.5 cu o evidenţiere a mărimi lor exogene W = [r, vf şi a

mărimilor de calitate [y,t{, se obţine reprezentarea generală a SRA, ca în figura 6.7.


256

+

Yz :=E

Fig. 6.6 U1 "W

r---+

Y1

H 11 (s)

H 12 (s)

H 21 (s)

Hzz(s)

uz :=u 1

( )

1 HR s

1~

"'Y

Yz :=E

1

Fig. 6.7 Semnificaţia

ţinând şi

matricelor H;j din figura 6.7 este uşor de evidenţiat seama de notaţii şi de cele două structuri echivalente din figurile 6.6

6.7:

[;J=yl "'Y=[ e:=yz=[l - 1:.

o

1

1

-1

-~;J[;]

(6.20)

Hpj

sau

o

[::]=

1 -1

Hp -Hp

V

-1

-Hp

u

1

1

r

u, (6.21) Uz

Din (6.21) rezultă:

l

H =[O1 -1l H =[-Hp H H =(1 -1), H =-Hp 11

21

12

22

P ]

(6.22)


257

Relaţia intrare-ieşire pentru sistemul prezentat în figura 6. 7 se cu uşurinţă ţinând seama că u2 = H R · y 2 :

obţine

Y = YI = lH11 + H12H R(l-HnHRt H21~1

adică

T=HYJ"' =HII+HizHR(l-HzzHRtiHzi· Ţinând

(6.23)

seama de (6.21) se obţine:

T=[O l 1 -1

]+[

Hp ]HR(I+HpHRt -Hp

1

[l -!]

sau (6.24) exact matricea de transfer ataşată sistemului cu ieşirea y şi intrarea w. Pentru evaluarea efectului mărimilor exogene w asupra ieşirii de calitate (reglată) reprezentată prin vectorul y = y1 se poate scrie: y =T(s). w. (6.25) O posibilitate pentru evaluarea performanţelor unui sistem de reglare automată este aceea de a evalua norma unei funcţii de transfer H (s) în cazul monovariabil: JJHJJoo := supiH (Jw)l (6.26) (J) adică

în ipoteza că

JJHL

"H(s) nu are poli pe axa

imaginară", unde numărul pozitiv

se numeşte nonna în sens Loo a funcţiei de transfer H(s) şi reprezintă

distanţa maximă de la origine la punctele locului de transfer

H(jro) (care nu

are ramuri la infinit datorită ipotezei că nu are poli în origine). O a doua posibilitate de evaluare a intensităţii transferului w-> y dacă funcţia de transfer este strict proprie şi nu are poli în origine, presupune apelarea la norma funcţiei de transfer:

JJHJJ~ : =2.".1

2 1 = H(-Jw)H(Jw)dw=- }'IH(Jw)l dw

J 00

2n

~o.J

(6.27)

~(X)

care se numeşte norma în sens L 2 a funcţiei de transfer H (s). În cazul sistemelor cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri- unde u1, u 2 , y1 , y 2 sunt vectori cu dimensiunile m1 , m2 , p 1 , p 2 , reprezentând corespunzător mărimile exogene, de comandă, reglată şi măsurată, generalizarea rezultatelor de la sistemele monovariabile este imediată:

H,(s)=[[HJ,

H",l

H 21 ll 22 ,

(6.28)


258

unde Hn

=[~ ~J H12 =[-~J

H 21 =[! -1], H 22 =-Hp. În acest caz, matricea H s are semnificaţia:

(6.29) YI]=Hs[ul]=[Hll H12]·[u1] [ Yz uz H21 Hzz Uz Uz=HRY2 iar transferul intrare-ieşire este realizat prin intermediul matricei: T0 :=H11 +H 12 HR(l-H 22 HRt 1H 21 (6.30) care poartă denumirea de funcţie omografică a matrice lor H, şi H R , presupunând îndeplinită condiţia de regularitate [56]: ji-H 22 HR/=/I-HRH 22 /;e0. (6.31) Similar cu cazul sistemelor monovariabile (SISO), se pot introduce în cazul sistemelor multi variabile (MIMO) normele L2 şi L~. Pentru o matrice proprie T(s) fără poli pe axa imaginară se defineşte:

//TL :=sup;;(T(Jro))

(6.32)

ro

unde O' (T (jro)) este valoarea singulară maximă a lui T (}ro) , numită norma L~ a matricei de transfer

T(s).

Dacă se face ipoteza că

T(s) este strict

proprie atunci este bine definită cantitatea reală:

//T//~ = 2~ f.':'oo'tr(r* (jro)T(jro))dro

(unde

r* (jro) := TT (-}ro) ,

(6.33)

iar tr (r;TR) este urma matricei

numită norma L 2 a matricei de transfer

r· (Jro )T (Jro))

T(s).

Cu aceste elemente pregătitoare se poate formula problema fundamentală a sintezei în frecvenţă: Dându-se sistemul:

[~:l=HP ~~:] se cere un compensator H 8 (s), astfel încât sistemul rezultat (v. fig. 6.7) să posede simultan următoarele două proprietăţi: (S) stabilitate, adică oriunde s-ar injecta în structura din figura 6. 7 un semnal mărginit, în orice alt punct al structurii senmalul rezultat să fie de asemenea mărginit;


259

(O) optimalitate, adică una din nonnele /1Ty1u1

L sau 11Ty u ilz să fie 1 1

minimă, unde Ty 1u1 = F(H,, H R) reprezintă funcţia omografică a lui H P şi H R .

Pentru cazul SISO, luând în matricea H Y' devine:

consideraţie

numai

referinţa

r ( v =O),

(6.34)

care se

referă

la

robusteţea stabilităţii şi

la

robusteţea performanţelor

asigurate prin operaţia de minimizare a normei C sau L2 a lui H Y'.

în cazul în care se impune şi limitarea amplitudinii comenzii, tehnologică naturală,

l

cerinţă

se poate utiliza o variantă hibridă a matricei de transfer:

HAl+Hdt'j" [ T 1 Hy, = HR(l+Hdt = HRS . [ (l+ 1/d s

t'

unde a fost

(6.35)

inclusă şi funcţia de transfer__!:! R (s() ) , care defineşte transferul !+lld s

de la r(s) la u(s). Cu aceste particularizări, se poate trece la sinteza in frecvenţă a sistemelor de reglare automată, construind T şi S , astfel încât să fie satisfăcute cerinţele de performanţă şi stabilitatea într-un domeniu de frecvenţe bine definit.

6.4. Proiectarea SRA pe baza

funcţiilor

de transfer

110 (s) şi Hd (s) Funcţia

de transfer a unui SRA de ordinul al II-lea este

cunoscută şi

are forma: )_ ( )_ H0 1 \s - T s -

2

ffin s

2

+ 2~ffins + ffin2

•

(6.36)

Pentru un asemenea sistem se cunosc relaţiile între performanţele impuse în raport cu referinţa treaptă şi parametrii t; şi (J)n. Astfel, dacă se solicită

satisfacerea unor cerinţe locale de performanţă sub forma:


260

se poate construi un model dorit de funcţie de transfer: wz roz0 Ht(s)= 2 nO sau H:(s)= " 2 _

s +2l; 0w. 0 s+rono

H "-

s(s+2l; 0w. 0 )

li

R:Mp (6.37)

unde ~o şi ronO rezultă din cerinţele de performanţă. În cazul în care procesul este caracterizat printr-o raţională strict proprie, stabilă, de fază minimă, se obţine regulatorul sub forma:

w~

d()

-1()

Ap(s)

(638) .

HR () s =Hp s ·Hd s = ( )·-(-)" s s + 2l;0 w. 0 Bp s

În structura regulatorului este inclus modelul invers al procesului şi modelul dorit H :f (s) pentru sistemul în buclă deschisă. Relaţia (6.38) este validă pentru a genera o lege de reglare implementabilă în măsura în care ep ::; 2 . Pentru procese caracterizate de raţionale

strict proprii de

fază minimă

cu e p > 2 , se impune

corecţia funcţiei

de transfer H 0 (s) sub forma: n

Hg (s) = =

2 .

00

nPk

2 nO

2

(6.39)

. -:n:---'-1_ _

s .,.. 2l;ow.os + w.o n(s + Pk) 1

unde p k

reprezintă

poli reali

situaţi

pe axa

reală negativă

suficient de

departe de origine (/Pd>>(5-6)<;0 w. 0 ), pentru ca efectul lor asupra performanţelor

tranzitorii să fie cât mai mic. De remarcat că eroarea în regim staţionar se menţine egală cu zero. Pentru cazul în care se urmăreşte îmbunătăţirea vitezei de răspuns a sistemului şi conservarea celorlalte l'~l!!fQI1lliln~ în regim tranzitoriu se impune construcţia funcţiei de transfer corectate sub forma:
"''-

(6.40)

/~ ~~·_,

unde

z,

reprezintă

zerouri plasate pe axa

reală negativă

suficient de departe

de origine, dar mai aproape decât polii Pk, astfel încât să se realizeze efectul anticipativ, să se asigure condiţia de rea!izabilitate, iar celelalte performanţe tranzitorii să se menţină în domeniul admisibi!.


Astfel, se construieşte

H S(s)

261

prin adăugarea unor reţele de

compensare H As)= !!J.. s + Z; astfel încât să fie satisfăcute condiţiile de Z; s + Pk funcţionalitate şi de structură. Pentru obţinerea funcţiei de transfer li R (•) în care H P (s) este cunoscută, se construieşte construieşte iterativ şi

HC (s) sau Hj (s) în cazul în care ep s 2 sau se interactiv H8(s) sau H:J(s), utilizând compensatoare

cu funcţia de transfer H c(s) = .E.. s + z , respectiv H c(s) = _!!__, obţinânduzs+p

s+p

r

se expresii de forma (6.39) sau (6.40). ; 1 Introducerea compensatoarelor de tip H c (s) este posibilă atât pe calea directă cât şi în bucla de reglare. În primul caz, structura SRA este prezentată în figura 6.8. l2.)

V

r

y

Hj(s)

'---------'"':-.---' '~ '11~ Hp Fig. 6.8 'L>D·,:>'J-->~ '~ wtvX 1

In aGest caz, fi: ( s) = fi RJ ( s) fi P ( s)-

2

( w.o

s s + 2~ 0 w. 0

) şi, în consecinţă,

o structură de SRA cu două grade de libertate determinate de prezenţa celor două blocuri de reglare H R, (s) în buclă şi de compensare sau se

obţine

de tip feedforward li c(s). În cel de-al doilea caz se pot introduce pe calea directă şi bucla închisă compensatoare care asigură obţinerea funcţiei de transfer dorite pe calea directă. Astfel, în cazul în care nu sunt îndeplinite ambele cerinţe, se poate construi Hjc(s)=Hj(s)Hc(s). (6.41) Compensatoarele cu funcţia de transfer H c (,) = .!!_ s + z pot fi de z s+ p

tipul

anticipaţie-întârziere

sau

întârziere-anticipaţie,

în

funcţie

de valoarea

"-~A


262

raportului

~~~~ , care este supraunitar pentru cazul în care compensatorul este

de tip anticipaţie-întârziere şi este subunitar în cazul compensatoarelor de tipul întârziere-anticipaţie. Structura cu două grade de libertate presupune că în buclă închisă regulatorul cu funcţie de transfer H RI (s) este fizic realizabil numai dacă ep

:S 2: -1 ( '

HRI ( s) =Hp

s) (

2 "'nO

s s+2so"'no

(6.42)

)'

Cel de-al doilea bloc de reglare (compensatorul de anticipaţie întârziere cu funcţia de transfer H c (s)) se introduce pentru a obţine funcţia de transfer: 2

Hoc(s)

"'no ,2

ps+z

(6.43)

+ 21; ro s + w2 z s + p O nO nO

iar rezultatul global are forma: _1

HR(s)~•Hp Ap(s) =

Bp(s).

H~(s)

(s)

1-H~(s) (6.44)

ro~0 p(s+z)

z(s+p)e +2/;0"'nos+ro~o)-ro~Op(s+z)

Incertitudinile în modelul matematic al procesului sunt preluate de regulatorul ce conţine modelul invers H? 1(s). Pur formal se pot alege singularităţi ale funcţiei de transfer

H8 (s) care să asigure o formă minimală

a funcţiei de transfer H R (s) pentru a se reduce efortul de implementare. Pentru cazul în care compensatorul se introduce în cascadă se obţine o structură de SRA cu un singur grad de libertate (fig. 6.9). V

y

r

+

Fig. 6.9

Proiectarea SRA pe baza modelelor intrare-ieşire Dacă

se alege un compensator cu funcţia de transfer:

Hc(s)= s+z s+p

=.!._ l+aTs a 1 + Ts

1 unde a> 1 iar z = ---

aT

corectată

263

şi

(6.45)

p = - Tl ,

funcţia

de transfer a

căii

directe

are forma: (6.46)

iar

sau

m~o (1+ a1S)

de ( ) _

Ho

s -

3

aTs +a(! +2~om 110 r)s

2

+

(

(6.47)

2 ) 2 2a( 0m11 o +aT"'nO s+ro11 o

ceea ce evidenţiază o structură cu trei poli şi un zero. În cazul în care a>> 1 , se poate considera o aproximare a funcţiei de transfer H c (s) sub forma: Hc(s) ;:
iar funcţia de transfer H gc (s) capătă forma:

"';o

(1+ aTs) s = 2 ( 2 ) 2 s + 2(omno + amnoT s + "'no

de ( )

Ho

(6.48)

şi se obţine un model de ordinul doi şi cu un zero determinat de valorile parametrilor a şi T . Factorul relativ de amortizare corectat se poate calcula din (6.48):

(6.49)

(c =(o +a Trono . 2

Modificarea factorului de amortizare, care creşte faţă de factorul ~o selectat din performanţe, determină o modificare a erorii în raport cu semnale de tip rampă. Astfel, eroarea la viteză se calculează cu ajutorul relaţiei: Ev

= 2/;c Wno

=~((o +aŢmno) ffino

2

}

sau (6.50)


264

Un rezultat similar se obţine şi în cazul în care se foloseşte un compensator de tip derivativ în cadrul unei bucle minore (v. fig. 6.10). Funcţia de transfer a căii directe în acest caz este: (f)2

H~c(s)=

nO

,iar

2

s (s + 21;0 wnO

+ wnOP)

(f)2

do )

HO

\S

2

=

s

+

nO

(

2 /;ow nO

·.;\...-'

s(s)

r ~

+

'<" ~-

(6 51)

t ? + w~oP f + w~o ?

.

2 Wno

y

~(s + 2s0 wno)

p

1

1

1 [3 s 1

Fig. 6.10

Din (6.51) rezultă că factorul relativ de amortizare al sistemului corectat este mai mare şi se calculează cu relaţia:

se= 1;0 +

(f)

p

~o (pentru p >O).

Eroarea în raport cu 21;0

referinţa

de tip

rampă

este:

"v =--+P wnO

o înrăutăţire a comportării în regim permanent. Din analiza celor două variante de compensare rezultă că efectul de stabilizare produs de aT şi de p este acelaşi. ceea ce

evidenţiază

Exemplul6.1: Se consideră sistemul a cărui funcţie de transfer a căii directe este: 144

Hd(s)= s ~O.ls + 1)"

Se cere a corecta această funcţie de transfer, astfel încât răspunsul indicial al sistemului dereglare să fie amortizat critic. Pentru sistemul iniţial necompensat w~0 = 144 şi

s = 0.417. 0

Proiectarea SRA pe baza modelelor intrare-ieşire Performanţele

SRA în acest caz sunt:

4 SoWno

a=23.5%,t1 : - - =

4 0.417·12

.

:=3.2s,EH=0şi

·

2/;o Ev = - - :=0.0695s.

w.o

Răspunsul ®19(/izat

critic se obţine pentru ţ =1. lntroducând un compensator cu funcifa de transfer: Hc(s)=1+aTs

rezultă un sistem de ordinul doi cu aceeaşi pulsaţie naturală şi 1;c = 1;0 + aT Wno . 2

Punând condiţia 1; c = 1 = a 0 + aT Wno , rezultă aT = 0.0972. 2 În cazul utilizării unei compensări printr-o buclă minoră se obţine un rezultat similar:

Wnof3 se =so +--=1=0.417+6·{3 2 f3 = 0.0972. De notat că f3 şi aT sunt identice. Eroarea la viteză în acest ultim caz este:

Ev =ZI;o+ f3 = 0.0695+0.0972 = 0.1667 s. Wno

6.5. Proiectarea SRA pe baza caracteristicilor logaritmice de frecvenţă Pentru unele procese pot fi obţinute cu uşurinţă modele matematice neparametrice sub forma caracteristicilor de frecvenţă. Utilizarea acestor modele pentru proiectarea legii de reglare are la bază criterii de performanţă definite în domeniul frecvenţelor cu reală semnificaţie inginerească. Dacă pentru un proces se cunosc caracteristicile Ap(m) şi 'f'p(m) definite astfel: Ap(mJ=IHP(jmJI şi 'f'p(m)=arg[Hp(jm)], prezentate sub forma grafică în figura 6.lla, acestea pot fi folosite cu bune rezultate pentm proiectarea SRA. Caracteristicile de frecvenţă A (w) ŞI


266

aproximative pentru sistemul caracterizat prin

AP ( w)

şi

cp P ( w)

sunt

prezentate în figura 6.llb. Bode Diagram 100~

iD

50

-8

o

~

" :2 "'" ~

c

.so

())..!!_ -

-

-

-

-270--~~~~'--~~~.......u~~~~.......t-~~~....d

·t(l~1

'1 o-l

10° Frequencv (radlsec)

Fig. 6.11

Prima teoremă a lui BODE stabileşte corespondenţa între pantele caracteristicii logaritmice A( w) şi caracteristica cp( w). O pantă de ;Wf!.d/J 1decadă corespunde la o fază rp

mult,

această teoremă stabileşte

=90• ·a:, pentru

a= O, ± 1, ±2. Mai că panta la pulsaţia de tăiere wc dă informaţii

asupra gradului de stabilitate. Pentru o

pantă

de -20dB/ decadă

rezultă

o

margine de fază egală cu 90°, ceea ce implică un sistem cu un ridicat grad de stabilitate. Astfel, o primă condiţie pentru asigurarea stabilităţii unui SRA este ca panta caracteristicii logaritmice A( w~ în jurul pulsaţiei de ţăiere trebuie să fie de ~20dBidecadă pentru un domeniu suficient de mare de frecvenţe în jurul pulsaţiei de tăiere. De remarcat faptul că definirea pulsaţiilor wc pentru care amplitudinea este egală cu 1 (caracteristica A (w) intersectează axa frecvenţelor) şi "'rr pentru care argumentul funcţiei H(jw) este de -180° permite determinarea marginii de amplitudine şi a marginii de fază (v. cap.3).


267

Cea de-a doua teoremă a lui BODE stabileşte că, pentru sisteme liniare de f
în reprezentare logaritmică. Prin ajustări iterative asupra structurii şi parametrilor algoritmului dereglare se pot obţine caracteristici de frecvenţă dorite. Pentru o structură convenţională de SRA (fig. 6.5), pornind de la expresia funcţiei de transfer H d (s):

tp(w)

HAs)= HR(s)· Hp(s) se pot defini caracteristicile Ad (ro) şi cpd (ro): Ad (ro)= 20logiH d (jro)l = 20logiH R(iro)j + 20logiH P(iro)j

(6.52) (ro)= argH R (iro)+argH P (iro)= cpR (ro) +cpp (ro). Dacă se notează cu AR (ro) şi respectiv AP (ro) caracteristicile de cpd

modul în reprezentare

logaritmică

ale regulatorului

şi

obiectului condus,

rezultă:

AR(ro)=Ad(w)-Ap(w)

(6.53)

şi, în mod similar, se obţine caracteristica cp R (ro) a regulatorului:

cpR(w)=cpd(w)-cpp(w).

(6.54)

Întrucât expresia H p (s) se presupune cunoscută în faza de proiectare, rezultă că pentm obţinerea algoritmului de reglare definit prin caracteristica AR (ro) şi cp R (ro) se cere a construi Ad (ro) şi cpd (ro) astfel încât să fie satisfăcute cerinţele de performanţă. Cu alte cuvinte, Ad (ro) şi cpd

(cu)

reprezintă

caracteristici de frecvenţă dorite, construite pentru a

satisface cerinţe impuse de performanţă. Datorită folosirii caracteristicilor asimptotice, aplicarea relaţiilor (6.53) şi (6.54) este foarte simplă. Astfel, prin folosirea unor reţele de corecţie de anticipaţie sau de întârziere şi combinaţii ale acestora, se poate asigura forma dorită a caracteristicilor Ad (ro) şi cp d (m) pentru satisfacerea


268

Forma generală a funcţiei de transfer a unei corecţie introdusă în cascadă cu H p (s) este: tuturor

performanţelor.

reţele

de

m

kc fl(s +z;)

H c{s) = ~'c:o'=lc___ _

(6.55)

jj

fl(s+ PJ) J=l

În acest caz problema se reduce la alegerea judicioasă a polilor şi zerourilor compensatorului (reţelei de corecţie) pentru a satisface performanţele impuse (obţinerea caracteristicilor dorite Ad (ro) şi 'f' d (ro)).

Caracteristica dorită Ad ( m) poate fi trasată pornind de la obţinerea unei pante de -20

dE/decadă

în jurul pulsaţiei de

tăiere

roc

definită

prin condiţia

Ad (mc) =O, pantă care se cere a fi menţinută constantă într-o gamă suficient

de mare de

pulsaţii

în

vecinătatea pulsa~ei

(j)c. O asemenea

cerinţă,

conform

teoremei lui Bode [76], asigură performanţele tranzitorii bune. O altă posibilitate de trasare a caracteristic ii Ad ( m) este aceea de a folosi relaţiile stabilite între performanţele sistemului şi poziţiile polilor zerourilor funcţiei de transfer H 0 (s) definită în funcţie de H d (s):

H0 (s)= HAs())'

şi

(6.56)

l+Hd s

Din (6.56) rezultă că asimptotele de înaltă frecvenţă coincid pentru caracteristicile de frecvenţă ale sistemului închis şi deschis, întrucât H (jm) 0

şi Hd

(jro) tind în acelaşi mod către zero când ro -> oo .

Pentru a exemplifica, să considerăm sistemul de ordinul al 2-lea pentru care definim expresiile funcţiilor de transfer H 0 (s) şi H d (s ): H

d

(s)= ( ·

())2 n

s s + 21;mn

(6.57)

)

())2

HO(s)=z

n

2"

s + 21;cons + mn

La frecvenţe joase se obţine caracteristica: . ) kv Hd.f ( JOl =-. 'kv ~·

]Ol

Oln

=-, 21;

(6.58)


269

iar modulul Adj.f

=hu(Jw)/=; .

(6.59)

Asimptota de joasă frecvenţă are o pentru ro= 1 rad 1s se obţine:

pantă

de -20 dB 1decadă , iar (6.60)

201ogjHdJJ(J·l1=[kv1s·

Din (6.57)

rezultă pulsaţia

de frângere

ro f = 2(ron;

de la

această

pulsaţie,

asimptota de înaltă frecvenţă are panta de -40 dB 1decadă , care cu asimptota de înaltă frecvenţă a caracteristicii sistemului închis. In figura 6.12 se prezintă caracteristicile de frecvenţă ale sistemului deschis şi închis, fiind satisfăcute cerinţele de performanţă impuse prin t; şi wn . ~oincide

Satisfacerea

şi

a altor

performanţe,

spre exemplu ev :S: e vO, presupune

ajustarea coeficientului kv care se concretizează practic prin translatarea caracteristicii A(ro). Pentru a nu fi alterate prin această modificare a factorului de amplificare performanţele sistemului, se utilizează o reţea de corecţie de anticipaţie-întârziere cu o funcţie de transfer:

(s)=

H c

(6.61)

jwaT+I jwT + 1

cu u ales în concordanţă cu cerinţele impuse de deplasarea caracteristicii A(w), pentru a satisface cerinţa Kv?: Kvo. Utilizarea reţelei de corecţie (6.61) şi alegerea convenabilă a constantelor T şi uT asigură satisfacerea tuturor performanţelor, caracteristica de frecvenţă corectată coincide cu caracteristica dorită pentru un domeniu larg de frecvenţe (v. fig. 6.12).

A[dB]

logw

Fig. 6.12

INGINERIA REGLĂR/1 AUTOMATE

270

Constantele T şi aT se aleg având în vedere concluziile rezultate din teorema lui Bode, precum şi considerente suplimentare legate de alterarea cât mai redusă a performanţelor determinate de polii dominanţi. În figura 6.13 sunt prezentate caracteristicile Ac (ro) şi 'Pc (ro) ale reţelei

de

corecţie

de

anticipaţie-întârziere.

1

1

1

z

1 1 1 1

'p

L---.-~=·ţ-_:_ _____ ±:~:::::=------

------------ 1

---------------·-·-·---~

1

--l

1 1 1

Fig. 6.13 Odată construită performanţelor,

caracteristica Ad (ro), care asigură satisfacerea tuturor

se obţine caracteristica

AR (ro)

prin utilizarea relaţiei (6.53).

Folosind cerinţe de performanţă ca margine de amplitudine şi margine de fază se pot trasa caracteristicile dorite Ad (ro) şi cpd (ro) prin introducerea în sistem a unor compensatoare (algoritmi de reglare), care să corecteze în mod corespunzător caracteristicile de frecvenţă ale obiectului condus.

Etapele

de

proiectare ale

unui

compensator

pe

baza

caracteristicilor de frecvenţă în reprezentare logaritmică sunt: - se trasează AP (ro) şi cp P (ro) , evaluându-se MA , M"' coeficienţii

de eroare pentru sistemul necompensat (obiectul condus);

ŞI


271

se determină cerinţa de fază pentru a satisface M (/J ;? M
reţea

a fazei pentru o

de tipul (6.61) se

r- . Faza se calculează pornind de la

1

"'m = .[zP =

Tvu.

H c (jw) = ..!_

Iajw + l =

a

la o

maximă

frecvenţă

relaţia:

!_[(a7]
Tjro+l

obţine

condiţia

l+f2ro2

J

sau

şi

este

dată

de:

'P = arctg

m

=

se din

,

2 2 l + ar m

"'m :

sau pentru m= tg
afro- Tro

a-l ,

2va

.

a-l

sau sm

calculează

a din

(6.62)

a+l

ecuaţia

(6.62)

şi

se

determină

amplitudinea

ecuaţia

Ad ( w) = -20loga + 201og~l + o.

care, pentru

m = mm,

AdB (m 111

2r 2w2 -

20iog~l + r 2m2

devine:

)= ·-!Ologu

se evaluează !Ologa şi se determină frecvenţa unde curba A(w) necompensată este egală cu -!Olog a. Această frecvenţă este noua frecvenţă de tăiere şi ro111 simultan deoarece compensatorul realizează o amplificare -

egală

cu -!Olog a la m = mm.

Se reprezintă răspunsul în frecvenţă al sistemului compensat cu verificarea satisfacerii cerinţei de margine de fază şi se repetă în continuare etapele anterioare, dacă este necesar. Exemplul 6.2:

Să considerăm

un SRA având H d (s) = ( K__). Se cere a proiecta un ss+2 compensator, astfel încât eroarea În regim permanent la intrare rampă să fie mai mică decât 5%

din amplitudinea rampei, iar M

272

Din cerinţele de precizie rezultă: 1

Kv =-=20 ev deci: H (' ) Kv d JW = jw(jw + 2)

10 jw(0.5 jw +1)"

Caracteristica Ad (w) pentru acest sistem necompensat este reprezentată în figura 6.14. Frecvenţa de tăiere pentru sistemul necompensat este de 6.2rad 1s, iar marginea de fază la această frecvenţă este determinată direct din ecuaţia: cp(w) = -90- arctg0.5wc = -162•. Astfel, se obţine în acest caz o margine de fază M ip = 180+ argH Rezultă că

AJwJ= 180" -162" = rs· .

trebuie

adăugată

o

reţea

de

anticipaţie

în

aşa

fel încât

să

se

obţină M"' =45", la noua frecvenţă de tăiere w~. Deoarece (J)~ >Wc, rezultă o creştere a fazei sistemului compensat. Creşterea de fază va fi 45• -18" = 27", la care vom adăuga încă 10% pentru a se asigura un domeniu suficient de larg

pentru M"'. Astfel, vom proiecta o reţea cu o anticipaţie de fază egală cu 30•. Pentru calculul factorului Kc folosim · 30• =a---1= O.5 Stn a+l

relaţia

de la pasul al treilea

sau a=3. Faza maximă apare la wm

şi această frecvenţă

va fi selectată să coincidă

cu (J)~. Amplitudinea la Wm va fi egală cu: 20loga = 20log3 =9.6dB. Astfel, frecvenţa de tăiere este evaluată pentru dH c (jw ~ = -9.6dB şi în consecinţă

IH

(J)m = (J)~ = 8.4 rad 1S. Desenând Ad (w ), astfel încât intersecţia cu axa absciselor să aibă loc la

w=w~ =8.4rad!s, se observă că z=9.6 şi p=az=19.2. Astfel, reţeaua de corecţie este Hc(s)=.!.. 1+sl9.6. · 3 1+s/l9.2 Factorul total de amplificare trebuie multiplicat cu 3 întrucât . a mtro . dus o atenuare ego1" 1 a cu -1 = -. a 3

corecţie

reţeaua

de


273

Sistemul compensat are funcţia de transfer

H (s)H (s) = c

4o

i30

d

20(s /9.6 + 1) s(o.ss+rXslt9.2+tr

-............ ..._......._

Caracter stica necomp< nsată

--....

120 glO

'

o

~ o o o N

"'~

-6dB/c

,..,

.......

f::aracteristic compensată

'~ ' '

-10

"''

-20

"

'~- ------ --

.._a actensltca ne ornpensată

0.1

o

""'

Carac ristica -14( ,cum

' .........

2

:-

5

-16Cfc

'

-

10

20

50 a-~Jiog,.

Fig. 6.14

Pentru a verifica dacă s-a obţinut marginea de fază sistemului compensat la w = wc = 8.4 rad 1 s :

dorită, evaluăm faza

cp(wc) =-90" - arctg0.5w~ - arctg wc + arctg _wc 19.2 9.6 Rezultă

=-136.3°.

as ifei rezerva de fază dorită.

În mod similar, se poate utiliza o reţea de corecţie (un compensator) de tipul întârziere-anticipaţie a cărei funcţie de transfer este:

HJ•)=n

l+Ts

l+nTs

, n>l.


274

Caracteristicile de în figura 6.15.

frecvenţă

ale acestui compensator sunt prezentate

A[dB]

p

z lgw

-90

Fig. 6.15

Un asemenea compensator se foloseşte pentru a obţine o a marginii de amplitudine printr-o frecvenţă de tăiere mai scăzută şi, în mod uzual, M"' a sistemului este mai mare şi astfel specificaţiile de performanţă ale sistemului sunt satisfăcute. Efectul atenuator al acestui compensator poate fi folosit pentru îmbunătăţirea stabilităţii prin "reşaparea" caracteristicii A( m) necompensată prin plasarea frecvenţelor - 1- şi _!_ în domeniul de frecvenţe, astfel încât panta de a.T T -20dB!dec a caracteristicii A(w) compensată să asigure cerinţele impuse de margine de fază. Procedura de proiectare a unui compensator cu întârziere de fază folosind caracteristicile A(w) şi .,o(m) în reprezentare logaritmică presupune parcurgerea următoarelor etape: - se trasează diagramele Bode ale sistemului necompensat cu amplificarea astfel ajustată, încât să fie satisfăcute cerinţele de comportare îmbunătăţire

Proiectarea SRA pe baza modelelor intrare-ieşire dorită

în regim permanent. Se

asigură

275

valorile dorite pentru K P, K, sau

Ka, după caz;

se determină M"' a sistemului necompensat şi dacă este insuficientă, se merge la etapele următoare; se determină frecvenţa ro~ unde M rp cerută ar putea fi -

satisfăcută;

- se plasează zeroul compensatorului cu o frecvenţă de tăiere ro~ ; se

măsoară

necesară

atenuarea

decadă

sub noua

la mc în scopul de a asigura

A(co~)=o; se calculează a astfel încât atenuarea să fie e

poziţionează

egală

polul compensatorului la m

P

cu 20Iga; l mz

= - = - şi

u.T

a

astfel

proiectarea este încheiată. Exemplul 6.3 Se

consideră

un SRA cufuncţia de transfer a căii directe

K

HAs)= ss+2 (

r

Se cere: Kv = 20; Mf/J = 45'. Diagramele Bode ale sistemului sunt prezentate în figura 6.16. Marginea de fază a sistemului necompensat este M f/J

=18'.

Dacă se doreşte o margine de fază egală cu

noua

frecvenţă

de

tăiere OJ~

45', se poate uşor obţine =1.5radls pentru care cp(wJ=-130'. S-a ales

w~ = 1.5 rad 1s pentru a obţine M ~ egală

=50'

cu o rezervă de 5'.

Atenuarea necesară pentru a obţine această nouă pulsaţie de tăiere este cu 20dB, ceea ce permite a găsi a= 10 (20dB = 20loga ). Astfel, se alege

zeroulla o distanţă de o decadă sub pulsaţia de tăiere w, = wc = 0.15 rad 1s, iar !O

polul se

plasează

(J)

la wP = - ' = 0.015rad 1s

a

-

In aceste

condiţii,

compensat este caracterizat prin: (·. )!:! (· ) H cd(·.]W )-H c ]W d ]W -

20(6.66jw+l) X ). jw\0.5 jw + 1 6.66 jw + 1 {,

sistemul


276

Răspunsul În frecvenţă al sistemului compensat este prezentat În figura 6.16 cu linie punctată.

A(dB 60

50

''

40 30 20

''

qJ(w)

''

''

' ...

'

~

-------

10

--------

o

--------

--

'

....... 1

''

''

-100

''

-120

''

-140

'•

-160 -180

0.01

0.1

o.

1

2

10

Fig. 6.16

Este evident că o asemenea reţea de corecţie (compensator) introduce o atenuare cu frecvenţa de tăiere mai redusă şi astfel se obţine o creştere a marginii de fază. Evaluând marginea de fază pentru w~ = 1.5 rad 1s, obţinem că M'1'

=45°,

ceea ce corespunde cerinţei impuse.

6.6. Proiectarea pe baza caracteristicilor amplitudine-fază Pentru un sistem de ordinul al II-lea se poate stabili cu uşurinţă relaţia între comportarea în timp şi cea în frecvenţă dacă se determină pulsaţia de rezonanţă wr şi în mod corespunzător valoarea maximă (de vârf) a modulului Mv, Mv=M(wr)·


şi ~:

Calculând M (co) ro, =con

=O se

277

obţine pulsaţia de rezonanţă:

~1- 2~ 2 , ~ E [o, h)

(6.63)

2)

ŞI

)=

M =M(ro r

V

(6.64)

l

21;~1- 21;2

având în vedere că M (o)= 1 pentm comportarea dorită în raport cu referinţa treaptă unitară.

Din (6.64) rezultă cu uşurinţă:

1:,2 =1-~1-l!MJ

(6.65)

2 Relaţia

dintre M v

şi

suprareglaj se

obţine

cu

uşurinţă dacă ţinem

seama că -~__li_

cr = e .JH;Z (6.66) în tabelul 6.1 se prezintă valorile suprareglajului pentm diferite valori ale lui M v.

Tabelul6.1 Mv

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1:,

0.58 0.1

0.54 0.13

0.5 0.16

0.47 0.18

0.44 0.2

0.42 0.22

cr

.

1.35

1.40

1.45

0.4 0.24

0.38 0.26

0.37 0.28

Din (6.65) şi (6.66) rezultă dependenţa cr = f(M v): cr = exp[-n(M v-

~M; -1]]

(6.67)

sau (6.68) În mod uzual se recomandă ca M v = 1. 7 sau, în cazuri de SRA la care suprareglajul trebuie să fie cât mai mic, se recomandă M v = 1.3. Desigur, ţinând seama de cerinţele de performanţă impuse în domeniul frecvenţelor, pentru co 8 cât mai mare se recomandă M v = 1. Procedurile de proiectare bazate pe caracteristici de frecvenţă sunt aproximative, însă reprezintă o etapă preliminară pentru o proiectare exactă.


278

Pentru un sistem de reglare automată cu două blocuri conectate ca în figura 6.17, se poate obţine H 0 (s) sub forma:

funcţionale

H0 (s)H(s) -l+H(sp(s)

(6.69)

H0 () 1 [ H(sp(s) ] s = G(s) 1 + H(s p(s)

(6.70)

sau

R(s)

+

H(s)

Y(s)

'-r"

..

G(s)

i+-

Fig. 6.17

Termenul 1+ H (s p(s) poate fi uşor aproximat ţinând seama de valoarea amplitudinii (în decibeli) a produsului H(s p(s) care poate fi reprezentat printr-o dreaptă de pantă constantă. Astfel: J+H(jro)G(jro)~l pentru jH(Jro)G(jro)J«l (6.71) J+H(Jro)G(iro)~H(Jro)G(Jro) pentru

jH(Jro)G(Jro)j»l.

(6.72)

Ţinând

seama de aceste aproximaţii şi înlocuind în (6.70) se obţine: H0 (s)=: H(s) pentru jH(Jro)G(Jro)J
ŞI

Ho(s)=:

c(s) pentru jH(iro)G(Jro)j>l.

(6.74)

Aceste ultime relaţii aproximative prezintă un important interes în iniţierea procedurii de proiectare a unui SRA pe baza caracteristicilor de frecvenţă. Aceste relaţii sunt aproximative şi evident se introduc reale erori pentru frecvenţele unde H(sp(s)=!. Calculul erorilor ce apar în acest caz permite corecţia valorilor aproximative cu care se lucrează în faza preliminară.

Pentru a ilustra modul de utilizare a acestor un exemplu.

aproximaţii considerăm


279

Exemplul 6.4 Se

consideră

SRA având

funcţiile

de transfer:

H(s);__ji_ l+Ts

ŞI

G(s )= 1. Atunci: H

0

(s)-

K 1+ K

1

---s+1 1+K

Pentru K = 10 şi

T

k0 T.0 s + 1

şi T =1 sunt prezentate aproximaţiile pentru jH0 (jro)l

[H(Jw)G(Jw)[ în figura6.18. A(w)

40

9J(w)

30

- - - - - - - - - - - _, [HGI~= IHI

20

............

10

..... ...... J

(J.)

n

t

k 10 =-=-=10 T 1

f.-~-~~=========-----=:.-.-.;;;;;:;::::::::::::--1 ~10 .... , ',

...

-20

'

~

''

-40

' fPAw)=?f!J<(w)

-50

' ',

~o

~o

' , ....... ----

-W -90

- - - - - - - 0.1

100

10

Fig. 6.18

Curba întreruptă reprezintă caracteristicile A(w) şi 1" (w) pentru Hd

(jro) ~ H (Jro) . La

Hd (jro)

frecvenţe mai înalte decât w= 1 rad/s , li (iw)

au o atenuare de 20dB 1dec. La w~~ "'n

=

~ =dO,

li (iw)

şi

şi

Hd (jw)


280

se aproximează a fi egale cu OdB. Pentru frecvenţe joase, H (jw) este egală 0 1 cu - () = l şi este prezentată în figura 6.18 ca fiind identică cu abscisa. Gs

În acest capitol au fost prezentate diferite proceduri pentru proiectarea SRA pe baza caracteristicilor de frecvenţă utilizând compensatoare de tipul anticipaţie -întârziere , întârziere-anticipaţie şi bucle minore cu reacţie de viteză. Comparaţia între diferitele tipuri de compensatoare şi proceduri de proiectare evidenţiază următoarele caracteristici, avantaje, dezavantaje şi domenii de aplicabilitate [76, 86], conform tabel ului 6.2: Fiecare dintre procedurile de compensare asigură o îmbunătăţire a stabilităţii, dacă sunt folosite în mod corespunzător. Compensarea cu avans de fază se aplică în cazul în care se doreşte creşterea vitezei de răspuns a SRA cu obţinerea unui nivel tolerabil al efectului zgomotului la frecvenţe înalte. Din comparaţia celor patru proceduri rezultă că fiecare aplicaţie trebuie tratată cu multă precauţie, selectându-se cea mai bună procedură ţinând seama de particularităţile procesului şi de cerinţele de performanţă Impuse.

6.7. Sinteza legii dereglare prin proceduri de alocare a polilor 6.7.1. Formularea problemei

Se consideră procesul caracterizat prin modelul: H (s)= Bp(s) = bo +bis+b2s2 +···+bn-Isn-1 P Ap(s) a0 +a1s+a 2s 2 +···ans"

(6.75)

iar structura legii de reglare este: Q (s)

qo +q1s+···+qn s"q

PR(s)

Po+PJS+···+PnPs"P

HR(s)=-R-= Ambele proprii.

funcţii

(6.76)

q

de transfer sunt în forma

ireductibilă şi

sunt strict

Tabelu/6.2 Tipul

Caracteristici

compensatoarelor

întârziere de

fază

Avantaje

Dezavantaje

-

îmbunătăţeşte

- creşte amplificarea la frecvenţe joase;

-

descreşte

-

-

reduce eroarea staţionară.

-

descreşte banda frecvenţe a SRA;

de

descreşte Oln şi

stabili-

tatea;

efectul zgomotului

la înaltă frecvenţi!;

ApHcabilltate

-tranzîtoriui durata regimului -care creşte

-

necesitatea reali-zării unor constante de timp mari.

creşte ~.

avans de fază

largă

aplicabilitate pentru cazul în doresc valori mari ale coeficienţilor de eroare; - nu se aplică dacă faza necompensală la frecvenţe joase nu poate egala marginea de fază dorită. se

necesită amplificare - foarte utilizat când se doreşte banda de - îmbunătăţeşte stabilitatea; -suplimentară; frecvenţe a sistemului; creşterea vitezei de rAspuns a reduce durata regimului zgomotul la sistemuluî. - creşte amplificarea -tranzitoriu. inalte; la frecvenţe înalte; poate necesita valori mari - creşte mn şi ~ . ale constantelor da titnp, zgomotul îmbunătăţeşte stabilitatea; la aplicabil când se doreşte creşterea - creşte amplificarea coeflcienţilor de eroare; la joasă frecvenţi!; - reduce eroarea în regim frecvenţe înalte; creşte amplificarea -la înaltă - necesită valori mari ale - aplicabil când se doreşte creşterea frecvenţă; vitezei de rAspuns. - reduce durata regimului constantelor de timp. creşte

creşte

frecvenţe

avans-întârziere de fazli

creşte

staţionar;

-

buclă

vitezli

minori de

-

creşte Wn şi ~ .

banda de a sistemului; - creşte amplificarea la frecvenţe inalte; creşte (J)• şi ~ . creşte

frecvenţe

-

tranzitoriu.

-

stabilitatea; durata regimului

-

independent

înaltă frecvenţă, însă

imbunătăţeşte

- reduce tranzitoriu; - relativ

de

mediu;

-

pennite izolarea dinamicii

nedorite într~_p<>I"ţilUle a SRA.

creşte

eroarea

staţionaw

-

-

foarte utilizată când se doreşte Wl tranzitoriu rapid; - utilizat tn medii ostile. necesitând Wl spaţiu mic; - utilizat pentru izolarea dinamicii nedorite. răspuns

ră;

creşte

zgomotul la mai puţin ca in cazul reţelelor cu avans de fazA;

----


282

Polinomul caracteristic dorit al SRA este de forma: Pc(s)=a1s 1 +al-1/-l +···+a0 (6.77) unde coeficienţii a; se obţin printr-o alocare corespunzătoare a polilor sistemului. Dacă polinomul Pc(s) este arbitrar specificat se cere acel algoritm de reglare H R (s) care pentru H P (s) dat să asigure existenţa

polinomului caracteristic în forma {6.77). Pentru a evidenţia această idee, considerăm următorul exemplu [46].

Exemplul 6.5 Presupunem modelul nominal al procesului: Ap(s)=s 2 +3s+2, Bp(s)=l şi considerăm

un regulator de forma:

Hn(s)= qo+qls. Po + P1S Polinomul caracteristic al SRA este: Ap(s )· Pn(s )+ Qn(s )· BP (s )= (s 2 + 3s + 2Xp1s + p 0 )+ (q 0 + q1s ). Considerăm polinomul caracteristic dorit Pf (s) al SRA sub forma:

P/ (s)= s 3 +3s 2 +3s+ 1. Din ecuaţia polinomială s +3s +3s+ 1 =(s +3s+2h1s+ Po)+(qo +q1s) 3

2

2

rezultă relaţia matriceală:

o o o 3 1 o o 2 3 1 o o 2 o 1 1

Matricea Po. q 1, q 0

P1

1

Po ql

=3

qo

1

3

coeficienţilor este nesingulară şi asţfe! putem

şi se obţin

rezolva pentru p 1,

valorile:

Po =O, ql =1 şi qo =1. Asţfel, polinomul caracteristic este obţinut prin utilizarea unui regulator cu fUncţia de transfer: P1

=1.

Hn(s)=s+1. s De remarcat faptul că alocarea polilor depinde în nesingularitatea unei matrice particulare.

esenţă

de


283

TEOREMA 6.1 (Teorema lui Silvester) Se consideră două polinoame: A(s)=a0 +a 1s+···+a11 s 11

(6.78)

B(s )= b0 +b1s + ··· +bns" împreună cu matricea eliminant M,

Me

=

an

o

o o o

an-I

an

an-2

an-I

ao

an

bo

o

al ao

an-1

O

O

a0

bn

o

bn-1 bn bll-2 bn-1

o o o

o

bl bo

bn bll-1

O

O

b0

(6.79)

Polinoamele A(s) şi B(s) sunt relativ prime (coprime) dacă şi numai dacă det(M e) ;e O. Demonstraţie:

Dacă: Aproximăm că A(s) şi B(s) nu sunt relativ prime. Atunci există

o rădăcină comună :\. astfel încât cele descompuse sub forma:

două

polinoame

A(s)= (s- '-) 0~-/-1 +···+a~) B(s)= (s-Â)

să

fie

(6.80)

(.' n 1 +···+b ') ~n-ls-

0 Eliminarea factorului (s- Â.) conduce la:

A(s }[t,~_1 sn-l + .. · + b~ ]- B(s J[a~_1 sn-l +···+a~]= O

(6.81)

Prin egalizarea coeficienţilor pe ambele părţi se obţine: (6.82) unde

e·T = ['bn-1 Ecuaţia

' bo -an-1

(6.82) are o

... a~] soluţie

(6.83) netrivială

dacă

şi

numai

dacă

det[M ,]=O.

Numai dacă: Prin inversarea argumentului de mai sus. Lema 6.1: Se consideră un SRA cu un singur grad de libertate cu regulatorul şi modelul procesului date prin (6.76) şi (6.75). Aproximăm că


284

BP(s) şi Ap(s) sunt coprime. Presupunem că Pc(s) este un polinom arbitrar cu gradul l = 2n-1. Atunci există polinoamele QR(s) şi PR(s) cu gradele nq = n P = n -1 astfel ca:

AP (s )PR (s)+QR(s )B P(s )=Pc (s)

(6.84)

Demonstraţie:

Din (6.84), prin egalarea coeficienţilor pe ambele părţi se obţine:

În conformitate cu teorema lui Silvester, matricea M este nesingulară dacă şi numai dacă polinoamele Ap(s) şi Bp(s) sunt relativ

prime. Vom considera două cazuri particulare:

Cazull: l = 2n -1 + k, cu k un întreg pozitiv. În acest caz, o soluţie realizabilă se obţine dacă vom alege nP =n-l+k. Astfel: P8 (s )=Pa (s )+ ~ (s) (6.86)

Proiectarea SRA pe baza modelelor intrare-ieşire Pa (s )!s" ~n-l+ksk-l + · .. + -

285

p"]

(6.87)

â

PR (s )= Pn-1 sn-l + ··· + Po

(6.88) Coeficienţii polinomului Pa (s) pot fi calculaţi prin egalarea coeficienţilor care corespund la cele mai înalte puteri ale lui s în ecuaţia (6.84). În acest caz se aplică Ierna 6.1 înlocuind PR(s) prin PR(s) şi Pc(s) prin Pc(s)-Ap(s)Pa{s). Astfel, o soluţie există întotdeauna dacă Ap(s) şi B P (s) sunt coprime. Cazul 2: 1 < 2n- 1. În acest caz nu există soluţie decât pentru alegeri speciale ale polinomului P.c (s ). Acest lucru poate fi argumentat astfel:

modelul nominal al procesului este strict propriu ar putea fi cel puţin bipropriu, n P = 1- n ; la

limită

avem n P =nq

=1- n . Aceasta

arată că

şi

regulatorul

avem cel mult

m = 21 - 2n + 2 coeficienţi ai regulatorului pentru a realiza polinomul caracteristic dorit. De notat că m = l + 1+ (l- 2n + 1), care conduce pentru

acest caz la m < l + 1 , deoarece l < 2n - 1 ; egalarea coeficienţilor în (6.84) conduce la (1 + 1) ecuaţii; totuşi, noi am arătat deja că numărul de necunoscute este mai mic de (l + 1). Astfel, setul de ecuaţii este, în general, inconsistent. De remarcat faptul că polinoamele Ap(s), Bp(s), QR(s) şi PR(s) pot fi monice rară a se pierde din generalitate. În cazul în care este cerut un regulator strict propriu, gradul minim al polinoamelor QR(s) şi PR(s) este nq =n-1 şi nP =n. Pentru o alegere arbitrară a polinomului caracteristic

Pc (s ), gradul său trebuie să fie l =2n.

Pentru a se garanta stabilitatea internă a SRA nu este permisă compensarea poli-zerouri instabili între regulator şi modelul procesului. În cazul în care se doreşte compensarea poli-zerouri stabili ai regulatorului şi ai modelului procesului, se impune ca factorii ce se compensează să fie incluşi în polinomul caracteristic. În cazul unui pol s = - p al modelului procesului care urmează să fie compensat de un zerou al regulatorului, polinomul caracteristic conţine factorul (s + p). În acest caz, ecuaţia (6.84) are soluţie, factorul (s + p) fiind comun ambelor părţi ale ecuaţiei.


286

Rezolvarea problemei de proiectare prin metoda alocării polilor presupune validarea condiţiei ca polinoamele A P (s) şi B P (s) să fie coprime iar dimensiunea polinoamelor QR (s) şi PR (s) să fie aleasă în strânsă corelaţie cu dimensiunea polinoamelor AP (s) şi BP (s) şi dimensiunea polinomului caracteristic dorit.

Exemplul 6.6: Considerăm

modelul nominal al procesului:

5 H P (s)

(s + 1Xs + 5 )"

Alegem polinomul caracteristic de gradul 3 sub forma: 2

Pc(s)= (s +6s+18Xs+30) astfel încât performanţele să fie determinate de cei doi poli complex-conjugaţi. Cel de-al treilea pol este situat suficient de departe pe axa reală negativă astfel încât să nu influenţeze performanţele SRA. Gradele polinoamelor QR (s) şi PR (s) sunt astfel egale cu 1. Ecuaţia polinomială ce

trebuie rezolvată este de forma: 2

(s + 1Xs + sXs + Po )+ 5(q 0 + q 1s )= (s +6s + 18Xs + 30). Necunoscutele în acest caz sunt parametrii regulatorului ( q 0 , q 1, Po ). După efectuarea calculelor,

Po = 30, q 0 = 78 şi

se obţine: q1 = 2.6.

Astfel, regulatorul recomandat are funcţia de transfer: H (s)= 78+2.6s. R s+30 În cazul în care se doreşte includerea componentei integrale în structura regulatorului, polinomul caracteristic se alege de gradul 4. Putem, de asemenea, impune condiţia ca polul la s = -1 din modelul procesului să fie compensat de un zero al regulatorului. Ecuaţia polinomială ce trebuie rezolvată în acest caz are forma: 2

s(s+1Xs+5Xs+ p 0 )+5(q0 +q1s)= (s+1Xs +6s+18Xs+30). După eliminarea factorilor comuni şi egalarea coeficienţilor, se obţin parametrii regulatorului (exerciţiu pentru cititor). Cu aceste valori ale parametrilor se obţin răspunsurile indiciale prezentate înfig.6.19.


1.4

287

-

1.2

sistem 1 sistem 2

\

1

0.8 0.6

1\..----------1 1 1 1

0.4 0.2

15

10

5 timp (sec)

Fig. 6.19

6. 7.2. Sinteza algoritmilor PI şi PID prin proceduri de alocare a polilor Considerăm

algoritmii

. . acord genera11zaţ1 KP

~

convenţionali

KR KR, K 1 ~-, K 0 Ti

~

PI

şi

KRTd

PID, cu parametrii de .

ŞI

aTd =!D

(6.89)

(PI) ŞI

K K s 1 0 H(s)=K++ R P s r s+l

(PID)

(6.90)

D

sau forma

generală 2

HR(s)~ qzs +qls+qo 2

(6.91)

+ P1S unde coeficienţii de acord se calculează cu relaţiile: PzS

~

K p

q1P1 -qopz 2

P!

(6.92)


288

- qo K ~-Pt

(6.93) 2

2

_q2Pt -qtPtP2+qoP2

K D-

(6.94)

2

Pt t

Pz

~~

=D P 1

Pentru procese caracterizate prin modele de ordinul doi se pot determina parametrii de acord ai regulatoarelor PI şi PID prin proceduri de alocare a po!ilor pornind de la cerinţe de performanţă impuse printr-un polinom caracteristic dorit Pc (s). Dacă a[Ap(s)j=2 şi a[Bp(s)j:>l, parametrii regulatorului se obţin dacă

a(Pc(s)]=1=4. În cazul în care modelul procesului conţine timp mort, se

aproximează raţională

timpul mort de forma: K e-Ts

H () P p s = Tps+1

~

(aproximaţia

K

Pade de ordinul I)

şi

se

obţine

o

S't

1-P __ 2 Tps+1 l+ ST 2

(6.96)

Pentru asemenea model, se recomandă regulatorul PI sau PID, iar parametrii de acord pot fi determinaţi printr-o procedură de alocare a polilor alegând în mod corespunzător polinomul caracteristic al SRA. Exemplul 6. 7: Se consideră procesul caracterizat prin modelul: 2 H

P

(s)-

(s+2Xs+5)'

Se cere a sintetiza un algoritm PID astfel încât polii şi s2 = -2sistemului să fie la s1 = -2+ Polinomul caracteristic în acest caz va avea forma:

j../5

dominanţi

ai

j../5.

Pc(s)= (s 2 +4s+9Xs+l0f Algoritmul dereglare se alege de forma: 2

HR(s)=qo+q,s+q2s s(s + p 0 ) pentru a asigura eroare staţionară egală cu zero la referinţă şi perturbaţie treaptă unitară.

Ecuaţia polinomială

care trebuie rezolvată are forma: 2 s(s + zXs +5Xs+ Po)+ 2(qo +q,s+ qzs ~ 2 +4s +9Xs +10)2 .

)=

Proiectarea SRA pe baza modelelor intrare-ieşire Soluţia acestei de transfer este:

funcţie

ecuaţii

289

conduce la algoritmul de reglare PID a

cărui

2

450+55s + 30s s(s+l7) Parametrii K P, K 1 , K D

H R (s)

şi

r D potfi de terminaţi cu uşurinţă în funcţie de

( p 0 , q0 , q 1, q 2 ) (exerciţiu pentru cititor). Cu aceste valori ale parametrilor se obţine răspunsul indicial prezentat înfig.6.20.

0.8

' 0.6

0.4

0.2

o o

5

10

15

timp{ sec)

Fig. 6.20

6.8. Proiectarea SRA prin parametrizarea regulatoarelor 6.8.1. Elemente preliminarii În paragrafele anterioare sunt prezentate principalele metode de proiectare a SRA pentru procese cu o intrare şi o ieşire, evidenţiind particularităţi şi limitări ale acestora. Pentru un SRA cu un singur grad de libertate (fig. 6.21 ), comanda U(s) poate fi generată în funcţie de referinţa R(s) sub forma: ( ) Us=

H R(s) () ()' ()·Rs l+HRsHPs

(6.97)

JNGJNERIA REGLĂRI/ AUTOMATE

290

sau

U(s)= Q(s)· R(s) unde

Q(s)·-

HR(s)

(6.98)

.- 1 + HR (s )IÎ P (s)

reprezintă

H R (s)

o funcţie de transfer ce conţine blocul de reglare caracterizat prin şi modelul nominal al procesului lÎ P (s). V1 (s)

V2 (s)

+

+

lÎ P (s)

+

Y(s) N(s)

Fig. 6.21 Funcţia

de transfer a SRA, în aceste

condiţii,

poate fi

calculată

direct

sub forma:

_ _ • _ HR(s)IÎ p(s) H0 (s)=T(s)-Hp(s)·Q(s)(\il () I+HR SJ"p s

(6.99)

Această

expresie stă la baza parametrizării afine a regulatoarelor. De remarcat faptul că T (jro) va fi egală cu 1 numai la acele

frecvenţe unde

Q(jro) inversează modelul procesului. De notat că (6.99) este afină în raport cu Q(s). Expresia funcţiei de transfer H 0 (s) în raport cu H R (s) evidenţiază o relaţie neliniară, ceea ce determină reale dificultăţi la acordarea regulatorului pentru obţinerea unor performanţe impuse. Din definiţia funcţiei de transfer Q(s) (6.98) se obţine cu uşurinţă funcţia de transfer H R (s):

(s)-

H R

Q(s)

(6.100)

1- Q(s )·IÎ P (s)

parametrizată în

Q(s)

şi cunoscută ca parametrizarea Youl a [46] a tuturor

regulatoarelor stabilizatoare pentru procese stabile. Acest rezultat este formalizat în următoarea lemă:

Lema 6.2: (Parametrizarea

afină pentru

sisteme stabile) Se consideră un proces caracterizat printr-un model nominal lÎ P (s)

controlat într-o

structură

cu un grad de libertate cu un regulator propriu.


291

Bucla nominală este intern stabilă dacă şi numai dacă Q(s) este orice funcţie de transfer proprie, iar H R (s) este parametrizat ca în (6.100 ). Demonstraţie:

Definim următoarele funcţii de sensibilitate pentru modelul nominal ÎIP(s):

f(s)=Q(s)·lÎp(s) s(s)=!-Q(s)·lÎp(s) S1 (s )= p-Q(s )lÎ P (s )p P (s) S2 (s)= Q(s)

(6.101) (6.102) (6.103)

Din ecuaţia (6.104) rezultă imediat că stabilitatea funcţiei Q(s) este necesară pentru stabilitatea internă. Ecuaţiile (6.101) şi (6.104) împreună cu aproximarea că stabilă, arată că stabilitatea lui

Q(s) este

(6.104) de transfer

lÎ p(s) este

suficientă pentru a asigura

stabilitatea celor patru funcţii de sensibilitate şi, prin urmare, a asigura stabilitatea internă a buclei. Punctul esenţial al pararnetrizării (6.l O1) este că descrie toate regulatoarele liniare posibile invariante în timp pentru un proces liniar invariant în timp, caracterizat prin Îl P (s). În acest caz, trebuie să alegem

Q(s) ca o funcţie de transfer stabilă. Parametrizarea descrisă poate fi de SRA cu model intern (fig. 6.22). r-----------------------r l l 1

1

explicitată

V2 (s)

u(s) i

R(1) 1

Y(s)

1

1

sub forma unei structuri

PROCES

1

:+

:+

1 1 1 1

1 1 1 1

!

l

:

N(s)

L-------------------------------- ---,

+:

1

1

i 1 1

1

Îlp(s)

l1

l1

EQ(s)

..REGULATORu

,: 1 1

11 1

1' 1

: ____________________________________________________________!1 !_

Fig. 6.22

INGINERIA REGLĂRi/ AUTOMATE

292 Dacă ţinem

seama de definiţia incertitudinii adi ti ve (6.26):

LA (s) = HP(s )-fi P(s) şi

multiplicative:

- HP(s)-fip(s) LM (s) • () HP s cele patru funcţii de sensibilitate se pot calcula cu

relaţiile:

S(s )= [1- Q(s )fi p(s )J SM (s )= S(s). SM (s) T(s)= Q(s)·IÎ p(sJl + LM (s)].sM (s) Sl(s)= Q(s)·SM (s) S2 (s )= ~- Q(s )·fi P(s )11 + LM (s )]. SM (s )·IÎ P(s)

(6.105) (6.106) (6.107) (6.108)

1

(6.109)

sM(s)= 1+ Q() () s ·LA s 6.8.2. Problematica proiectării

Prin selectarea funcţiei de transfer Q(s) poate fi formată una dintre cele patru funcţii de sensibilitate. O cerinţă obişnuită este aceea de a asigura pentru un SRA ca /.S ( jwJ/ să fie cât mai mică la frecvenţe joase şi să crească spre 1 la frecvenţe înalte. Ultima cerinţă este folosită pentru a reduce înalte, condiţie impusă pentru rejecţia zgomotului la înaltă şi asigurarea robusteţei la erorile de modelare. În aceste condiţii, o alegere rezonabilă pentru Q(s) poate fi: la

frecvenţe

/i (jw J/

frecvenţă

1

Q(s)=FQ(s)·[flp(s)J (6.110) unde FQ(s) joacă un rol important în proiectarea regulatorului, luând în consideraţie:

zerourile instabile ale modelului procesului, gradul relativ al modelului (excesul poli-zerouri), rejecţia perturbaţiilor, efortul de comandă şi robusteţea.

Pentru fi P (s) stabil, asigurarea stabilităţii buclei presupune ca Q(s) să fie stabil. Totuşi, aceasta implică faptul că dacă fi P (s) conţine zerouri de fază minimă, atunci acestea pot conduce la Q(s) instabil, ţinând seama de (6.110). În aceste condiţii, se poate înlocui (6.110) cu:

Q(s)= FQ(s)·FÎ~(s) unde

fi~ (s) reprezintă o aproximare stabilă a lui

(6.111)

[ii P(s )J

1 •


293

Pentru cai:ul - în c~e · polinomul BP(s) din funcţia de transfer

, P()s = ~(s) Bp(s) poate f"1 descompus 'm doua• po1-moame B'+P ( s) stab'l1 şt· s; ' (s) H instabil, monic:

8p (s)= n; (s)· 8; (s)

o alegere corespunzătoare pentru ii~ (s) ar putea fi:

'i()_Âp(s) HP s- s;(s)

(6.112)

În acest caz, (6.111) conduce la relaţia:

Âp(s) s;(s)

Q(s)= FQ(s)--,-

(6.113)

Condiţia de realizabi/itate a regulatorului presupune ca Q(s) să fie

proprie şi, în consecinţă, FQ (s) trebuie să aibă gradul relativ cel puţin egal cu gradul relativ respectiv al

1

funcţiei [ii~(s)J . Conceptual, această condiţie poate

td, ('

fi îndeplinită dacă se includ factorii de forma (1 + ts E ~·) în numitorul funcţiei de transfer [46]. În această formă, nd se alege astfel ca Q(s) să fie cel puţin bipropriu, iar t se alege ţinând seama de cerinţele de proiectare. l'

6.8.3.

~ -\.\~ ~~"'·,. JM_ f'liv\1, xJ . DoJ f"tv
• ct 1\\\"_~ ""'~"'"\C- =~ f'~ Rejectarea perturbaţiilor

'î'

Erorile staţionare în raport cu perturbaţii le v1(t) şi v2 (t) pot fi reduse la zero dacă Q(jw) este exact inversa lui HP (jro) în toata banda de frecvenţă

unde perturbaţiile au energie semnificativă. Parametrizarea afină poate fi generalizată pentru a include cazul când energiile perturbaţiilor sunt concentrate la anumite frecvenţe cunoscute. Regulatorul H R (s) conţine componenta integrală dacă şi numai dacă

Q(O)= [ii p(O)J • De notat, totuşi, că această formulare a problemei rejecţiei 1

perturbaţiilor nu include soluţiile care depind de gradele de libertate pe care le are proiectantul la dispoziţie. O asemenea parametrizare este formulată prin următorul rezultat: Lema 6.3. Se consideră un model stabil ii P (s) cu perturbaţii la frecvenţă zero. Atunci un SRA cu un grad de libertate care asigură eroare


294 staţionară

de

urmărire egală

cu zero se obţine

dacă şi

numai

dacă

regulatorul

fi 8 (s) poate fi exprimat ca în (6.100), unde Q(s) satisface relaţia: 1 Q(s )= sQ(s )+ [Ji P (O)J • Qa (s) (6.1l4) unde Q (s) este o funcţie de transfer stabilă, iar Qa (s) este o funcţie de transfer stabilă care satisface condiţia Qa (o)= 1 . Demonstraţie:

Observăm că dacă stabilă şi

regulatorul

în

consecinţă

fi 8 (s)

Q(s)

este

şi

Qa (s) sunt stabile, atunci

asigurată

şi

Q(s) este

stabilitatea buclei. De asemenea,

conţine un integrator: 1

sQ(s )+[Ii P (O)J Qa (s)

Q(s) fiRs( ) 1-Qsfips ()'()

(6.115)

ceea ce demonstrează suficienţa. Pentru a demonstra necesitatea se consideră un regulator ce stabilizează modelul în buclă închisă şi asigură eroarea la s = O . Aceasta este echivalent cu f(o) = 1. Din ecuaţia f(s) =Q(s )H P (s) observăm că aceasta este echivalentă cu

condiţia Q(O)-[Iip(o)J

1

=0, respectiv

f 0 =1, adică Q(s)-[Iip(O)J

1

este

o funcţie de transfer stabilă arbitrară care are un zerou la s =O. O caracterizare a acestor funcţii de transfer este: 1

Q(s)-[Jip(O)J =s[Q(s)+ Qb}s)] unde

(6.116)

Qb(O)=O. Ecuaţia (6.116) arată că orice

referinţă sau/şi perturbaţii

poate fi 1

Q(s) care

scrisă

asigură eroare staţionară la

sub forma:

Q(s )= sQ(s )+[Ii P (O)J [1 + HP (s )Qb(s )] din care rezultă, ţinând seama de (6.114), că Qa (s) are forma: Qa(s)=l+Hp(s)Qb(s) Rezultă că cea mai simplă alegere în (6.114) este Q.(s) = 1.

(6.117)

(6.118)

Lema 6.4. Se consideră un model stabil HP (s) şi aproximăm că perturbaţia v 2 are componente la frecvenţele ro , ro , ... , ro . Atunci, într-un 1 2 1 SRA cu un grad de libertate se asigură erori staţionare egale cu zero dacă şi numai dacă regulatorul fi 8 (s) poate fi exprimat ca în (6.100), unde Q(s) satisface:


aQ(s) Q(s)=--=

N

~Q(s)

(s)

1

295

ft (s 2 +w 2 )+N2 (s) 1

.-1

(6.119)

f)Q(s)

unde aQ(s), N1(s), N 2 (s) şi ~Q(s) sunt polinoame reale în s cu ~Q(s) stabil şi: N 2 (jw 1 ) = p0 (jw1

J[ HP (jw, f, unde i=1 ,2, .. .1

(6.120)

Demonstraţie:

Deoarece pQ (s) este un polinom stabil, Q(s) este stabil şi deci SRA este stabil. Observăm din (6.119) şi (6.120) că Q(jwi H R (±jwi

)= oo

)= [R P (jwJJ

-1

şi astfel

pentru i = 1,2,-··,1, adică se realizează inversarea perfectă a

modelului la aceste frecvenţe, ceea ce demonstrează suficienţa. Pentru a demonstra necesitatea se consideră un regulator care stabilizează SRA şi asigură eroare staţionară nulă la frecvenţele ro= ro1 , ro 2 , ••. , ro1 • Notăm numărătorul lui Q(s) cu aQ (s) şi numitorul cu

PQ(s).

Dacă împărţim

aQ(s) prin polinomul

un polinom N 1(s) şi un rest N 2 (s):

P2 (s)~iD1 (s 2 +w;), obţinem

aQ(s) _ R (s) 2 -() =N (s)+-() 1 p2 s p2 s

(6.121)

Din (6.121) şi (6.119) identificăm cu uşurinţă Fi1 (s) ca fiind N1 (s) şi N2 (s) ca fiind N 2 (s). Mai mult, condiţia pentru a asigura eroare staţionară egală cu zero este echivalentă cu anularea sensibilităţii nominale în raport cu perturbaţia v2 la s=±jw.l pentru i=l,2,-··,l. Din ecuaţia

S2 = ~- Q(s )IÎ P (s )p P (s) observăm că această condiţie este -1

echivalentă cu Q(±jw;)=[RP(jw,.)j , care necesită ca (6.120) să fie satisfăcută.

Observaţie: Notăm că în (6.119) o posibilă alegere pentru N2 (s) este: 21

2/-1 [

N2 (s)=PQ(sJ;;(1jwi+1) ~

r1

RP(jwJJ

[I

s- jw . _ k

~~j~

~

(6.122)

INGINERIA REGL{RII AUTOMATE

296

<1

unde <>0, w +1. =-w.1 pentru i=l,2,-··,l, Q 2u=fJ,2, .. ·,21}-~} şi ' 1: 1

- ( f3Q(s)=f3Q s)· ( n+l )21-1

(6.123)

Putem astfel parametriza Q(s) sub forma: _

1

21 ,

.n (s 2 +w12 )+I: [np (jw. ~ 1=1 1=1 1}j

Q(s) = Q(s)

-1

.

kE

~

s- jw

.

;

(6.124)

k

l . ]W. - JW 1

k

Lemele de mai sus ne permit să parametrizăm probleme de reglare de regim staţionar cu prezervarea structurii afine a funcţiilor de sensibilitate în variabilele de proiectare Q (s). satisfăcând restricţiile

6.8.4. Efortul de

comandă

Din (6.99) şi (6.102) observăm că dacă S =O la o frecvenţă dată (adică QÎI P =1), atunci avem amplificare infinită în regulatorul H R (s) la aceeaşi frecvenţă. Pentru un proces de fază minimă se poate alege

Îl~(s)= [H p(s)J

1 ,

iar regulatorul, conform

relaţiei

(6.111), ar putea avea

forma: FQ(s).ÎI~(s)

() HRs= 1- F() Q s

(6.125)

Pentru a ilustra acest rezultat, alegem: 1

FQ(s)= (

tl'

(6.126)

'f ,

+1

iar factorul de amplificare al regulatorului la frecvenţe înalte Kf se calculează în funcţie de factorul de amplificare al procesului la frecvenţe înalte: Kif R

=

1

(6.127)

-r". Kifp

Astfel, dacă alegem FQ (s) mai rapid ( t devine mai mic), factorul de amplificare Kf

creşte

şi

implicit creşte nivelul comenzii. Această

consecinţă poate fi apreciată din faptul că pentru

Îl P (s) de

fază minimă şi

stabilă rezultă:

S

(s)= Q(s)= 2

[H p(s)J (-rs + l'f

1

(6.128)


297

Pentru a asigura robusteţe, ţinând seama că erorile de modelare sunt semnificative la frecvenţe înalte, banda de frecvenţă a SRA ar putea fi astfel aleasă, încât răspunsul în frecvenţă (Jro să se reducă puternic înainte ca

It li

efectul erorilor de modelare să devină semnificativ. Alegem Q(s} ca în (6.111) şi astfel:

t(s)= FQ(s)·B;(s).

(6.129) În cadrul parametrizării afine, cerinţa de robusteţe poate fi satisfăcută dacă FQ (s} reduce amplificarea lui t (Jro) la frecvenţe înalte. Aceasta se realizează în mod uzual prin includerea unor poli corespunzători în FQ(s). Desigur, reducerea lui /t(Jro}lla o valoare mult mai mică decât unitatea la o anumită frecvenţă necesită ca

/s (Jro)/

să tindă spre unitate la

aceeaşi frecvenţă

în cazul structurilor cu un singur grad de libertate. Se poate remarca faptul că printr-o alegere corespunzătoare a filtrului FQ(s} se poate asigura nivelul dorit al comenzii şi se asigură robusteţea procedurii de sinteză dacă

amplificării

FQ(s)

ales asigură reducerea

/f (irollla frecvenţe înalte[46].

6.8.5. Alegerea funcţiei de transfer Q(s} Cea mai simplă alegere a lui Q(s} este inversul funcţiei de transfer a procesului fi P (s}. Totuşi, această soluţie "ideală" trebuie modificată in practică luând în calcule următoarele aspecte: Stabilitatea internă presupune compensarea zerourilor de fază neminimă astfel că acestea trebuie să apară in t(s). Aceasta impune faptul că amplificarea lui Q(s} trebuie să fie redusă la aceste frecvenţe pentru a evita apariţia unui răspuns tranzitoriu necorespunzător. Excesul polilor modelului trebuie să fie mai redus decât gradul relativ al lui t(s }, deoarece Q(s} trebuie să fie propriu pentru a rezulta H R(s) propriu.

It (iro)/

să fie cât mai mic pentru a asigura rejecţia zgomotului de măsură, trebuie să creştem sensibilitatea în raport cu perturbaţiile ce acţionează la ieşire la aceeaşi frecvenţă. De asemenea, polii lenţi ai buclei deschise trebuie să apară fie ca poli ai funcţiei S2 (s) sau ca zerouri ale lui s(s) şi, evident, în fiecare caz apare o penalizare a Întrucât impunem ca

performanţelor.


298

Procesele sunt în general de tip filtru trece-jos. Prin urmare, obţinerea lui Q(s) cât mai aproape de modelul invers al procesului conduce la o funcţie de transfer de la v, (s) la u(s) de tipul filtrului trece-sus. Aceasta conduce la creşterea nivelului comenzii şi la saturarea regulatorului. Erorile de modelare, în mod uzual, devin semnificative la frecvenţe înalte şi, prin urmare, pentru a conserva robusteţea este necesar a atenua f(s) (şi deci Q(s )) la aceste frecvenţe.

6.8.6. Sinteza regulatorului PID apelând la parametrizarea afină În acest paragraf vom ilustra aplicarea parametrizării afine la sinteza algoritmilor Pl şi PID în cazul în care sistemul deschis este stabil. Vom considera modele simplificate de ordinul 1 şi de ordinul al IT-lea, cu şi fără timp mort. Pentru un model de ordinul 1 de forma: A

Kp

()

Hps=A . Tps+l

se poate uşor observa zerouri instabile: A

j (

Hps

)

=

r

că

(

şi

modelul invers nu

)l-1 =...J:fP."-s+_1 KP

[Hps~ A

acesta este inversabil

(6.130)

-A

Pentru a obţine

conţine

Q(s) ca o raţională biproprie, trebuie ales

FQ (s) sub

forma: 1 FQ (s)= as+!.

(6.131)

În aceste condiţii, obţinem: .

1

fps+!

Q(s)=F (s)·fi' (s)=-- ·-"-Q P KP as+l

(6.132)

ŞI

H

R

Q( s) -1-Q(s)·flp(s)

( s) - -....:;::+-<;;---,~

fps+l kpas

(6.133)

care reprezintă un algoritm Pl cu parametrii de acord: fp

KR

.

=---ŞI

Kpa

1 K =--1 Kpa

(6.134)


299

Folosind aceşti parametri ai regulatorului se transfer nominală f(s) sub forma:

obţine funcţia

de

1 f(s)= Q(s)· Hp (s)= FQ (s)=-- .

(6.135) as+! unde a devine un parametru de acordare. Alegând a mic, se obţine un răspuns rapid şi invers. Cu acest regulator, perturbaţia V1 (s) care acţionează la ieşirea procesului este rejectată prin funcţia de sensibilitate nominală:

S(s)=l-f(s)=l-FQ(s)=~

(6.136) as+l Astfel, o valoare mică a parametrului a asigură rejecţia rapidă a perturbaţiei V1 (s).

În figura 6.23 se prezintă răspunsul SRA la perturbaţii de tip treaptă pentru diverse valori ale parametrului a .

•• 0.8

0.7

~

0.8

y

0.5

0.4

0.3 .

1

•••

.., o

o

8

'

Fig. 6.23 Totuşi, a nu poate fi ales arbitrar de mic, având în vedere limitările introduse de elementul de execuţie şi consideraţiile referitoare la robusteţea SRA. Procedura de proiectare a regulatorului pentru un model de ordinul întâi evidenţiază o metodă simplă de acordare a unui regulator PI cu un singur parametru de acordare, a . De remarcat faptul că dacă fP şi Î< P sunt variabile în timp, regulatorul poate fi uşor adaptat întrucât parametrii K R şi

K1 =

~R '

sunt calculaţi explicit, prin relaţii simple, în

funcţie de

fP

şi Î< P .


300

În continuare, considerăm un model de ordinul doi cu factor mediu de amortizare ~P > 0.6:

,

i:P

(6.137)

Hp(s)= 2 • , .z s + 2~props +ro p

Întrucât nu avem zerouri instabile, putem alege: .2 2 ; , 1 s + 2.,props+rop _ Hp(s) 1 =-----.!7-. KP

'i

[.

Hp(s)=

(6.138)

!:.___L

Pentru a obţine

Q(s) ca o raţională biproprie, ţinând seama de relaţia de calcul, Q(s )= FQ(s )· H~(s ), FQ(s) trebuie să aibă un exces al polilor egal cu 2. Alegem, în aceste

condiţii:

1

(6.139)

FQ (s) = - 2; ; - - - a2s + a s + l 1

În aceste condiţii, regulatorul are forma:

( )Q(s) FQ(s)·H~(s) HR s -l-Q(s)·Hp(s) l-FQ(s) ' sau, după înlocuirea lui FQ (s) şi H~ (s): 2

2e •

,2

HR(s)= s + p""'ps+rop) i:P(a 2s2 +a1s+l

qo+qts+q2s s(p!s+po)

(6.140)

2

ceea ce evidenţiază un algoritm PID echivalent cu parametrii de acord: K

R

=

; , ,2 2'ProPa! -a2roP

K

a2

(6.141)

p 1

.2

(j)p

K

I

=-.2

al -

KD= şi

(6.142)

KPa!

; , ,z 2'>propa1a2 + a2roP

constanta de timp a

' 3 KPal derivativă:

•o=__l_.

(6.143)

(6.144)

al

Cu acest regulator putem parametriza f(s) în funcţie de &n şi parametri sintetici ai SRA de ordinul doi, alegând: 1 a 2 = -,2 ron

şi

ze

al= ' ron

e ca

(6.145)


Astfel, funcţia de transfer

,z

301

f(s) se obţine sub forma:

f(s)=FQ(s)= 2 ,~n ,z s + 21;cons + '"n

Cu această alegere a lui regulatorului:

(6.146)

f(s) se

obţin parametrii de acord ai

(6.147)

(6.148)

(6.149) Ţ

1

(6.150)

- -

D- Z~&n

În comparaţie cu algoritmul PID clasic, acest algoritm obţinut prin metoda parametrizării afine prezintă mai multe avantaje. În particular, parametrii de acord K R , K 1 , K v şi r v se calculează explicit în funcţie de parametrii

e şi

&n' respectiv

k p,

ep

şi

<Îl p

ai

modelului nominal al procesului şi pot fi ajustaţi fără eforturi suplimentare. Rezultate similare se pot obţine şi pentru modele de ordinul doi cu un zerou stabil şi factor de amortizare ep < 0.6. Pentru modele de ordinul întâi cu timp mort de forma: , ,

-ips

Kpe

Hp(s)=---f'-,-Tps+l

(6.151)

este evident că inversarea nu este posibilă ŞI m acest caz folosim aproximarea Pade de ordinul întâi pentru elementul cu timp mort. Astfel: -'ips e

2-'ips ;;;::

(6.152)

2+ rps

iar modelul procesului devine: ,

Hp(s)~

-i/(ps+2KP , 2 { , ) . t PTPs + \t p + 2Tp s + 2

(6.153)


302

Acest model este stabil, folosi o inversă aproximativă:

însă

de

fază neminimă,

astfel

că

2 ·i ipfps +(ip +2fp)s+2 HpT(s)~ • 2KP

putem

(6.154)

O raţională biproprie Q(s) se obţine dacă se alege FQ (s) sub forma:

FQ(s)=

1

(6.155)

. a s2 +a s + 1

2

1

Cu această alegere rezultă algoritmul de reglare sub forma:

HR(s)

Q(s) 1-Q(s)·IÎp(s)

FQ(s)IÎ;"(s) 1-FQ(s) IÎ;,.(s)·Hp(s)

sau qo +q1s+q2s

2

(6.156)

s(p1s+ ro)

(6.157) (6.158)

(6.159)

2a 'C D =

Se

2•

(6.160)

2a1 + 'C P

observă,

din nou,

că

parametrii de acord K R , K 1 , K 0

şi 'C

0

se

calculează direct în funcţie de parametrii modelului nominal şi de parametrii filtrului FQ(s). Relaţiile de calcul a parametrilor de acord sunt neliniare şi

dificil de aplicat, acesta fiind unul dintre motivele pentru care se

preferă


303

utilizarea unor metode euristice de acordare a regulatoarelor pentru procese care conţin timp mort. Un avantaj al acestor expresii explicite pentru calculul parametrilor de acord apare evident în cazul reglării adaptive pentru modele cu parametri variabili. O comparaţie între reglarea cu predictor Smith pentru procese cu timp mort şi reglarea bazată pe parametrizarea afină (reglarea cu model intern) este uşor de evidenţiat. În cazul în care modelul procesului poate fi pus sub forma:

fi P ( sl = e-i P' • ii P ( sl expresia funcţiei de transfer A

T(sl=e

-i

S

P

(6.161)

f(s) este:

-

·Hp(sl·Q(sl Q(s) trebuie proiectat numai pe baza

(6.162)

care sugerează că părţii raţionale a modelului H P (s), deoarece timpul mort nu poate fi inversat.

în aceste condiţii, putem selecta Q(s) pe baza raţionalei Q(s)=

HR(s)

(6.163)

1+ H8 (s)· HP(s)

cu observaţia că, pentru JH R (jro lJ mare,

în

H P (s):

-1

jQ (jro li ;::: [ii P (jw l] .

figura 6.24 se prezintă structura de reglare cu predictor Smith în

forma Q.

r-----------------------t 1 1

1 1

u(s) i

R(t) 1

1

:+

'

!

'' 1''' !'' '' ' ' 1

PROCES

:+

1

i

N(s)

'' ''L-------------------------------- --1 e -fPs H P (s) !'' '' 1

"REGULATOR"

1

''

1

'

'

1

1

1

:

1

~-----------------------------------------------------------J Fig. 6.24


304

Dacă Q(s) se implementează pe baza relaţiei (6.163) se obţine

structura clasică dereglare cu predictor Smith (fig. 6.25).

r-----------------------, '' '' R(f) u(s~

Y(s)

+ PROCES

:+

:+

'

+

'

!

!

N(s)

'' ' ''

''' '

' '' ~'

1

----------------------------------

+

(1-e-'•')RP(s)

'' ''' ''' ''

---,

'' ~'

'' ' ''' ''' '

~-------------------------------------------------------------J Fig. 6.25

Exemplul 6.8:

Se

consideră procesul

caracterizat de un model nominal:

-s

Îlp(s)=-e-. 4s+1 Se cere să se proiecteze un regulator care asigură o bună urmărire a referinţei in banda de frecvenţă roE[O, 1] [rad/s]. Pentru rezolvare folosim structura folosind numai partea raţională a lui Îl P (s).

prezentată

in figura 6.22,

O alegere corespunzătoare a lui Q(s) este: Q(s)=

4s+l s + 1.3s + 1 2

care conduce la: -s

f(s)"'

2

e

s + l.3s + 1

Performanţele

figura 6.26.

.

SRA cu

această

proiectare se pot

evidenţia

in


305

1.4.-----------------, 1.2

0.8 >-

0.6 0.4

J

0.2

o

o

2

6

4

8

10

timp

Fig. 6.26

De remarcat faptul că prin metoda de proiectare bazată pe parametrizarea afină se asigură explicit stabilitatea nominală. Relaţiile de calcul pentru T(s) şi s(s) sunt mult mai simple şi sunt afine în Q(s ). Ca şi în cazul altor metode de proiectare, metoda parametrizării afine presupune alegerea unor variante în vederea optimizării. Acordarea algoritmilor PI şi PID se realizează mai simplu cu un suport ingineresc mai consistent în cazul utilizării parametrizării afine, parametrii de acord se determină direct în funcţie de parametrii modelului procesului.

PROBLEME 6.1. Se consideră un proces caracterizat prin modelul: H pSA

(

)-

0.5 s( s +0.1 ) '

Se cere să se proiecteze un regulator într-o structură de SRA cu un grad de libertate astfel încât răspunsul indîcial să asigure: cr $6%, t, ~ 3sec şi Bst =0. 6.2. Se

consideră

fi (s)P

-

K

modelul unui proces sub forma:

s(s+IOXs+l)'


306

Se cere un algoritm de reglare, astfel încât, pentru K E (0.5 + 2) să se asigure o:::; 20%.

6.3. Pentru un SRA cu un grad de libertate a cărui a căii directe este: HAs)= !O(s+l) s(s + O.!Xs + 10) se cere a alege un compensator, astfel încât M '1' <: 45". 6.4. Se consideră un proces al

fi (s)P

cărui

funcţie

de transfer

model este:

4-s (s+!Xs+4)'

-

Se cere a sintetiza un algoritm de reglare care asigură următoarele: a) eroare staţionară egală cu zero la referinţă constantă; b) eroare staţionară egală cu zero pentru perturbaţii sinusoidale de frecvenţă 0.25[rad 1 sec]; c) algoritmul de reglare să fie caracterizat printr-o raţională biproprie.

6.5. Se consideră un model nominal al unui proces de forma: -2s

fi p(s)=-e-. !5s + 1

Se cere a proiecta un regulator într-o libertate, astfel încât răspunsul indicial al SRA durată a regimului tranzitoriu t1 $ 8sec. consideră

6.6. Se aproximativ:

structură

să

cu un grad de fie caracterizat printr-o

un proces caracterizat prin

următorul

model

H p(s)=~. s

Se cere o M '~' <: 45°.

structură

de reglare cu regulator liniar, astfel încât

6.7. Se consideră un proces lent caracterizat prin:

(s)-

H P

-

s+l (s+2Xs+5)'

Se cere a proiecta un regulator, astfel încât polinomul caracteristic al SRA să aibă rădăcinile \ = -3, 1. = -5 şi 1. , = -10 ± j/5. 2 34 6.8. Pentru un proces al

fi P

(s)-2

-s+IO

-

(s+5Xs+l0)

cărui

model nominal este:

Proiectarea SRA pe baza modelelor intrare-ieşire să se descrie clasa de regulatoare

cu zero pentru referinţe

Q(s) care

şi perturbaţii

307

asigură eroare staţionară egală

constante.

6.9. Se consideră un proces având modelul nominal: • () -ru+l + Hp s = (

)(

s+5 s+IO

) , a E iR

Se cere: a) un regulator PID care asigură performanţe impuse (la alegere) pentru a E [0.1, 20]; b) comparaţi metoda de acordare prin procedura parametrizării afine cu metode clasice de acordare; c) proiectaţi legea dereglare printr-o procedură de alocare a polilor, impunând cerinţe de performanţă identice. 6.10. Se consideră procesul caracterizat prin modelul:

fi

(s)-2 P

-

s+l (s+2Xs+10)"

Se cere: a) Proiectarea unui regulator, astfel încât polinomul caracteristic al SRA să fie Pc(s)= s 4 +3s 3 +2s 2 +s+!. b) Să se compare rezultatul obţinut prin proiectarea prin metoda alocării polilor cu rezultatul obţinut prin metoda parametrizării afine.

7.

SINTEZA LEGII DE REGLARE DUPĂ STARE

Considerăm

mai întâi obiecte conduse cu o intrare caracterizate prin modele de forma: ,__ --' xk+I =)1/itk +~!ik' ' 'Y --~-·' -<.""

Yk

fr

/T·

=,c xk

ŞI

o

teştre,

::·~·

;

J

x0

=x(O)E :R"

(7.1)

unde matri cele (, r. au dimensiunile şi senmificaţia prezentate în §2.2. În cele ce urmează presupunem că sistemul (7 .1) este complet, adică

cr)

perechea (,r) este controlabilă, iar (,cr) este observabilă. Problema sintezei legii de reglare după stare va fi rezolvată aplicând principiul separării [46]. Astfel, în prima etapă, considerând starea xk accesibilă măsurării, vom sintetiza matricea de comandă după stare, iar în cea de a doua etapă construim vectorul de stare prin estimare sau predicţie pe baza informaţiilor măsurabile uk şi Yk. În cele ce urmează vom considera modele de stare pentru care perturbaţiile sunt reprezentate prin starea iniţială. Vom extinde rezultatele obţinute pentru aceste modele şi în prezenţa unor perturbaţii mai generale, generate de sisteme dinamice ale căror intrări sunt impulsuri. Drept cerinţă de performanţă (criteriu) în cazul problemei reglării, vom considera aducerea stării la zero după acţiunea perturbaţiei asupra stării iniţiale. În cazul procedmilor bazate pe alocarea polilor, viteza de atingere a stării de echilibru (starea egală cu zero) este indirect determinată de poziţia polilor în discul unitate. Cu cât polii sunt mai aproape de origine, viteza de răspuns a sistemului este mai mare.

Sinteza legii de reglare după stare

7.1. Reglarea prin

309

reacţie după

stare

Pentru modelul (7 .1) se consideră perturbaţii în starea iniţială a sistemului. Scopul reglării după stare este de a asigura o evoluţie dorită a stării, respectiv de a asigura sistemului în circuit închis o ecuaţie caracteristică dorită. Aceasta asigură o rejecţie a perturbaţiei cu o anumită viteză. Cea mai simplă lege de reglare după stare este:

" =-Lf;x;

(7.2)

i=l

x,.

unde variabilele de stare sunt considerate disponibile (măsurabile). Introducând (7 .2) în (7 .1 ), se obţine modelul sistemului cu după stare: xk+I

=(
reacţie

(7.3)

unde

i{y

uk =wk -JTxk

~-~~·~~

a~

tk=rk-yk

care, pe lângă legea de reglare după stare, include şi un integrator pe calea directă care generează semnalul wk . în figura 7.1 se prezintă structura SR..A. cu legea de reglare hibridă după stare şi eroare.

+

Fig. 7.1


310

Valorile proprii ale matricei <1> 0 determină comportarea dinamică a sistemului cu reacţie. Pentru o pereche (,r) controlabilă, există totdeauna o matrice f

T

care alocă o configuraţie dorită a valorilor proprii ale matricei

conform teoremei alocării [56, 62]. Ecuaţia caracteristică ataşată sistemului cu reacţie după stare este: O= det[zl-+f!r]=det[z!- 0 ]~zn +a zn-l + .. ·+an (7.5) 1 Dacă alegem valorile proprii ). ; ale matricei 0 , astfel încât să obţinem performanţele dorite, polinomul caracteristic dorit al sistemului are forma: (- f/ T),

(7.6) după

Astfel, se forţează polinomul caracteristic al sistemului cu reacţie stare să fie identic cu ecuaţia caracteristică impusă prin performanţe. Exemplu/7.1: Se

consideră modelul discret a/unui proces caracterizat prin

H P (s )= ~

s

a cărui realizare este: XI= Xz

x 2 =u sau

x=Ax+bu y=cT X

o

1]

unde A= [O O,

ro]

b=l! şi

CT

=[! 0].

Echivalentul discret al acestui model continuu se pornind de la relaţiile [6]:

=eAt

:l+AT=[~

:]

rzl

r =J: eAs ds . b = [f unde T

reprezintă perioada de

discretizare. As(fel, modelul de stare în forma discretă este: xk+l

sau

j

= xk + ruk

obţine

cu

uşurinţă


Yk

311

=[1

Ojxk. Acelaşi model de stare se obţine dacă se consideră funcţia de transfer în z 2

1 ( T z +1 . pentru HP (s ) =2, care este Hc z)= s 2 (z-1) 2 O lege de reglare după stare poate fi de forma: uk =- fixi - f2xz · Folosind o asemenea lege de reglare se obţine sistemului Închis:

=oxk

xk+l

=

[1- II ~2

T- Iz

- f 1T

ecuaţia

de stare a

~2-]xk.

1- fzT Ecuaţia caracteristică a sistemului Închis este:

det[zl-

2

+(/ T2 +fzT-2}+(! T2 2

2

1

1

-

fzT+l)=o.

Presupunând că ecuaţia caracteristică dorită a sistemului este:

z 2 +a 1z+a 2 =0 rezultă,

două ecuaţii

din identitatea celor pentru calculul elementelor / 1

şi

caracteristice,

următoarele ecuaţii

fz:

y2 f 1 -+ fzT-2=a 1 2

Tz fJT- fzT+1=az respectiv,

fi

1 =-;;-(!+al +az) T" l

Iz= 2T(3+al +az)· şi

De remarcat faptul

că

În acest exemplu există totdeauna

h, pentru toate valorile

a1

şi

soluţie

pentru

f1

a 2•

În cazul în care modelul procesului este în forma canomca matricea de comandă după stare se calculează direct în funcţie de coeficienţii a; ai ecuaţiei caracteristice a sistemului şi coeficienţii a; ai ecuaţiei caracteristice dorite a sistemului cu reacţie după stare. controlabilă,


312

Într-adevăr,

dacă

(.r) este în forma

perechea

canonică

controlabilă:

c

-a,

-az

-an

l

l

o

o

1

o o

o o

o

o

=

1

' re;:::

o

(7.7)

o

prin utilizarea comenzii uk =- f r xk se obţine:

o =-fjr =

-a,-/,

-az- fz

1

o

o

l

o

o

-a n -

o o l

J:n (7.8)

o

iar ecuaţia caracteristică ataşată sistemului este: det(zl- o)= z" + (a 1 + / 1)z•-I + (az + fz)z"- 2 + ... +(an+ fn )1 n (7.9) Ţinând seama că ecuaţia caracteristică dorită a sistemului cu reacţie după stare are forma (7 .6), rezultă cu uşurinţă, din identitatea celor două ecuaţii (7.9) şi (7.6), relaţiile: a;+f;=a;, i=l, ....n (7.10) respectiv f.1 =a.a .. 1 1 Pentru un sistem care nu este în forma poate efectua o transformare liniară de forma:

canonică controlabilă,

se

xk = Tik

care transformă sistemul caracterizat prin perechea (,r) într-un sistem caracterizat prin ( c,rJ, (,r)~( c.fc ): xk+l = r-'rxk + r-'ruk Yk

=crixk

(7.11)

sau xk+l Yk

= cxk + fcuk r-

=ce Xk

unde c = r- 1T,

re = T- 1r, c~· = CT T.

(7.12)

Sinteza legii dereglare după stare

după

Ţinând seama de stare capătă forma: uk

-r-

=-!

xk

-r

313

această

=-! T

-t

xk

transformare

=-!

T

liniară,

legea de

comandă

(7.13)

xk

unde JT =]TT- 1. Este de menţionat faptul că prin transformarea liniară se conservă controlabilitatea sistemului. Pornind de la definiţia matricelor c şi re, rezultă că matricea de control abilitate a sistemului transformat este: Re =[re :<1> cre :.... :<1>~-lrc] sau Re= ~- 1 r: T- 1<1> T- 1r: .... T- 1R, (7.14) unde R este matricea de controlabilitate a sistemului iniţial:

)=

R=

[r: r: ... :"-1r].

Astfel, matricea T se poate calcula cu relaţia: T- 1 = ReR- 1 • (7.15) Ţinând seama de faptul că orice matrice verifică ecuaţia caracteristică conform teoremei Cayley-Hamilton, se poate obţine o procedură rapidă de calcul a matricei de comandă după stare, cunoscută sub denumirea de procedura Ackerman [34, 56]. Pentru deducerea acestei proceduri de calcul a matricei de comandă după stare se consideră ecuaţia caracteristică a sistemului sub forma: zn +a1zn-1 + ... +an =ac ( z1) •

Conform teoremei Cayley-Hamilton: "'" +ar*'c · "'n-I + ... +an ] n = O• (7 ·16) "'e unde c este matricea în forma canonică controlabilă a sistemului controlat. Ecuaţia caracteristică dorită a sistemului cu reacţie după stare având forma:

) zn +a 1zn-1 +a2 zn-2 + ... +an""ac ( z,

conduce la: n n--1 n-2 if>c +a1if:>c +azil?c

Din (7 .16)

şi

Uc(c) = (uJ

(7 .17) rezultă cu uşurinţă:

-a1)~-1 +(uz- az)~-Z + ... +(an -an)ln

Deoarece e este în forma produsul vectorului e~ e~c

(7.17)

+ ... +anln =ac(
canonică controlabilă,

=[o O . . 1] cu =[O O .. 1 O]=e~_ 1 •

se

(7.18)

observă că

c conduce la:

(7.19)


314 Dacă multiplicăm

(e~cft>c şi aşa

acest vector cu
=[O O

1

mai departe: e~
O}Pc

O]=e~_ 2

=[0 O ··· 1 O

(7.20)

0]= eŢ.

Astfel, dacă multiplicăm (7 .18) cu vectorul e~ se obţine:

eiacCc)=(aJ-aJ)eŢ +(az -a2 )ei + ... +(an -an)ei sau,

dacă ţinem

seama de (7.10):

e~ac('Pc)=F

(7.22)

Pentru a obţine matricea de comandă după stare f

T

ţinem seama că:

JT =iTr 1 =eiac(<~>c)T-l=eiT-lac(ii>)

şi

T, respectiv (r'
sau,

(7.23)

f = T- "T. 1

seama de relaţia (7.15), se obţine din (7.23):

=e~[RcR- 1 ] ac()

/

(7.21)

dacă ţinem

(7.24)

seama de forma matricei Re , care are ultima linie

identică

cu vectorul e~, se obţine:

!T =e~R-Iac() , t

, m rucat

TR

en

c

(7.25)

= enT .

Dacă

introducem notaţia: hr nol[o O . . . J]R- 1

se obţine matricea de

comandă după

(7.26) stare:

JT = hTac(). Dându-se

(
(7.27) şi setul de valori proprii dorite Â., procedura de 1

calcul a matricei de comandă după stare presupune parcurgerea următoarelor etape: - se verifică controlabilitatea sistemului; - se calculează coeficienţii a; ai ecuaţiei caracteristice dorite ţinând seama de relaţia:

ac(z)=ll(z-A.J= zn +a1zn-l + ... +an; -

se calculează vectorul hT ţinând seama de relaţia:

hT =e~R- 1 ;


315

se calculează matricea de comandă fr cu ajutorul relaţiei:

-

IT =hTac();

-

stop.

Această procedură poate fi extinsă cu uşurinţă şi la sistemele cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri, dacă se are în vedere unnătorul rezultat remarcabil [34, 86] - Dacă perechea (, r) este controlabilă, atunci

aproape oricare ar fi matricea F0 E 9\ mxn şi vectorul g E 9\ m, perechea cu o L\

singură intrare definită prin ( 1,r1)=(<1> + fF0 ,fg) este controlabilă. Astfel,

dacă matricea !T alocă polii perechii ( 1,r1 ), adică '-(<~'> 1 atunci 1- ( + r (F0 + gf

+fdr)=A,

T))= A , iar matricea de comandă F = F0 + gf T alocă

polii perechii iniţiale (, r), unde A reprezintă mulţimea valorilor proprii. În acest caz, procedura de sinteză a matricei de comandă, în condiţiile în care se dau (,r,c) şi mulţimea A={'-J a valorilor proprii dorite, presupune parcurgerea următoarelor etape: - se verifică controlabilitatea perechii (,r); - se alege în mod aleator matricea F0 şi vectorul g controlabilitatea perechii <1> 1 = + fF0 , r 1 = fg;

şi

se

verifică

- se detennină pentru perechea ( 1 ,rd matricea de comandă fT, conform procedurii Ackerman aplicată sistemelor cu o intrare şi o ieşire; - se construieşte matricea de comandă F cu ajutorul relaţiei F = Fo + gfT; - stop. Procedura

expusă

ieşiri evidenţiază

vectorul

g

pentru sisteme cu mai multe

faptul că soluţia problemei nu este alegându-se în mod aleator.

intrări şi

unică,

mai multe matricea F0 şi

Exemplul 7.2: Se consideră acelaşi proces (dublu integrator) din exemplul 7.1 şi se cere a determina matricea de comandă după stare folosind procedura Ackermann. Matricea de contra/abilitate a sistemului este:


316 iar inversa acesteia are forma:

R-1

=-~r-1 T

2. }.1

2

1

3;l·

T ' --

2

Ecuaţia caracteristică dorită,

a sistemului cu reacţie

după

stare, pentru

=0.4 şi Az = 0.2 are forma:

(z -0.4Xz- 0.2)= z 2 -0.6z + 0.08 = ac{z) iar ac() este:

ac()=

[J

-0.6[1 [01 2T] 1 0

Se calculează matricea de

r' = :, (o

lAT]· 0.48 '

T] +0.08 0 1 comandă:

~{~ -1]['~' ~:~l 1

sau 2

1 r =-12 [o tl·[-0.48+L4r o.nr-o.7r ]=-12 [-04s _ 0.24 r]. T

0.48

-0.24T

T

7.2. Estimarea stării Este evident nerealistă aproximaţia că toate variabilele de stare ale procesului sunt accesibile măsurării. Este necesar a construi vectorul de stare din măsurări, pornind de la structura dată a modelului procesului. Presupunem că modelul procesului are forma: xk+l

=xk + ruk

Yk = c

unde uk

T

(7.28)

xk

şi Yk reprezintă informaţii funcţionale, măsurabile.

construi un model al procesului care pe baza genereze o ieşire Yk = cT xk , unde procesului.

xk e 9\"

Se impune a

informaţiilor "k şi Yk să

reprezintă starea estimată a


317

7.2.1. Calculul direct al variabilelor de stare Pornind de la ecuaţia Yk momente discrete de timp:

= cr xk,

obţinem cu uşurinţă, la diferite

, - Tx Y k-n+l - C k-n+1 Yk-n+2

Yk

= CT
rr =Cr '*',...n-1 xk-n+l + Cr .._n-2r '*' Uk-n+I + ... + c uk-1·

Dacă

introducem vectorii: Yk-n+t

uk-n+l

Yk-n+2

uk-n+2

şi

Y, =

Uk =

uk~

Yk ecuaţia

(7.29)

(7 .29) poate fi Yk = Woxk-n+l

unde matricele W0

şi

scrisă

sub forma:

+WuU k'"'W" au forma:

CT CT (!>

1

CT (!>2

şi Wu =

Wo =

o o o

o

crr CT f

O ,~tctf)v, :

1

. cTP: 14:__/·-~--·'

Matricea W0 este inversabilă dacă sistemul este observabil şi ca urmare: 1

1

= Wo Yk - Wo- WuU k"J{ Astfel, starea se obţine în funcţie de Y, şi U, . Din ecuaţia de stare a sistemului se obţine cu uşurinţă: ,..n-1 ..,.,n-2r r xk ="V Xk-u+l + '*' uk-n+l + ··· + uk-1 Xk-n+l

sau (7.30)

V


318

unde ipy

r, =[il>"~ 2 r

=il>"~'w~.

ip"-'r

!

! .... ! r]-il>"~ 1 w.J 1 w,

(7.31)

Vectorul de stare este astfel o combinaţie liniară a variabilelor (Yk • Yk-i•"·Yk-n+i) şi (uk-i•uk-2 ,...uk-n+i ). Pentru a ilustra acest mod d~ construcţie a variabilelor de stare, considerăm exemplul următor. Exemplul 7.3: Procesul condus este caracterizat prin modelul de stare[6]:

xk+i

=

[~ ~]xk +

7Juk

Oh.

Yk=[l

Scriind ecuaţiile: 1

Yk =xk

2

1 2 T Yk = xk-1 + Txk-1 + zuk-1

se obţin cele două variabile de stare 1

xk

xl

şi

xf:

= Yk

2

xk =

Yk- Yk

T

1

T

+zuk-1·

Astfel, variabila de stare

xl

se calculează direct, fiind egală cu variabila

măsurată, iar variabila x} se calculează În fimcţie de Yk, Yk-l şi uk~l, care sunt disponibile.

7 .2.2.

Reconstrucţia stării

Cea mai

este cunoscută forma:

simplă

cale de a estima starea unui proces a cărui realizare (,f,cT) presupune a construi un model al procesului sub

T•

A

folosind un sistem dinamic

Yk = c xk

A

; x0 E

mn ,.

(7.32)

starea estimată a procesului. Dacă definim eroarea de estimare ek := xk - xk, rezultă cu uşurinţă

unde xk

reprezintă

ek+l

=ek,

(7.33)


319

ceea ce evidenţiază imposibilitatea de a controla convergenţa stării estimate la starea reală a procesului. În cazul în care condiţiile iniţiale ale sistemului real (ee. 7.28) şi ale sistemului (7.32), care reprezintă modelul sistemului real, convergenţa stării xk la starea reală xk a sistemului se asigură numai dacă sistemul (7.32) este asimptotic stabil. Pentru a controla convergenţa stării estimate xk la starea reală xk, se construieşte un sistem dinamic sub forma: xk+l =xk • T• Yk =c xk

unde L

reprezintă

+ fuk + L(yk

- .)\)

(7.34)

• mn xk E ,.

matricea de ponderare a erorii ek

= yk- yk

dintre

ieşirile

procesului şi predictorului (estimatorului) (7.34). Structura predictorului de stare (7.34) este prezentată în figura 7.2a. Astfel, reconstrucţia stării se realizează prin includerea în sistem a ieşirilor măsurate Yk şi .)\, obţinând starea xk+l pe baza informaţiilor anterioare (la momentul k ). Modelul (7.34) poate fi pus şi sub forma: (7.35) Xk+lik = xkit-l + fuk + L~k - CT Xk!k-l) evidenţiază

comportarea ca predictor de stare într-un pas, ce generează starea .Xk+l pe baza măsurătorilor disponibile la momentul k .

ceea ce

r- _,..,--------- -------------------------------------

~H

Juk

'

' :l'k Z

-li n

~-------------------------------------------------'

(a)

Predictor

uk

(,r,cr,L) Yk

h

•

(b)

Fig. 7.2

În cazul în care cele două ieşiri sunt identice, ultimul termen în (7 .34) nu are nici un efect.


320

Modelul (7.34) poate fi pus sub forma: xk+l = •

Yk

ceea ce

=c

(4>- LeŢ ţk + ruk + Lyk Ţ.

•

xk

xk E

evidenţiază că

(7.36)

run ~•

dinamica predictorului de stare cu

intrările

uk şi Yk

este determinată de matricea cf>, =cf>- Lcr . Astfel, predictorul de stare reprezintă un sistem cu intrările măsurabile uk şi Yk şi cu starea xk şi ieşirea Yk (fig. 7.2b). Pentru a determina matricea L scriem ecuaţia erorii de estimare (de reconstrucţie) sub forma: (7.37) ek+l LeŢ ~k sau

=(ci>-

ek+l/k

=(ci>- LcT ~k/k-1.

(7.38)

Matricea L poate fi aleasă astfel încât sistemul (7 .3 7) să fie asimptotic stabil, adică ek va converge la zero totdeauna. Prin introducerea reacţiei de la măsurători (termenul L(yk - Yk )) în procesul de reconstrucţie a stării este posibil a face ca eroarea ek să conveargă la zero, chiar dacă sistemul (7.28) este instabil. Este de remarcat faptul că (7 .3 7) reprezintă un sistem asimptotic este detectabilă (observabilă). stabil, dacă perechea Pentru un sistem observabil se poate găsi, conform teoremei alocării [54, 73], o matrice L care să aloce valorile proprii ale matricei Lcr) în alocaţii apriori fixate. Astfel, indiferent de starea iniţială .X0 , procesul de convergenţă a stării h este controlat prin alegerea matricei L a predictorului. Determinarea matricei L este practic identică cu determinarea matricei de comandă după stare fr prin alocarea de poli. Selecţia polilor predictorului trebuie să fie un compromis între sensibilitatea la erorile de măsurare şi rapida refacere a erorilor iniţiale. Un predictor rapid va converge repede, însă va fi sensibil la erorile de măsurare [43]. Matricea L se poate determina în mod similar ca matricea f r printr-o procedură de alocare a polilor, dacă se consideră dualitatea proprietăţilor structurale ale sistemului, controlabilitatea şi observabilitatea. Cea mai simplă procedură de calcul a matricei L are la bază identitatea:

(ct>,cr)

(ci>-

det

(zi -i[> + Lcr)= z" + â1z"-1+â z"2

2

+ ... +ii=

IT (z- ~i 1

unde ~; reprezintă valorile proprii dorite ale predictorului.

),

(7.39)


321

Folosind procedura Ackermann extinsă la sistemul cu perechea (,cr) observabilă, se obţine matricea L sub forma:

r! =[O o ..

IJ(wJT\x,(
sau (7.40) unde W0

reprezintă

matricea de observabilitate a sistemului:

l =[C cp TC ..... ( n-1

W

iar

r

c].

a, (z) este polinomul caracteristic al predictorului de stare. Dacă matricea L se alege astfel încât matricea (- Lcr) să aibă

toate valorile proprii în origine, obţinem un predictor deadbeat. Acest predictor are proprietatea că eroarea de estimare atinge valoarea zero într-un timp finit egal cu nT . Astfel, dacă folosim procedura Ackerrnann pentru calculul matricei L, aceasta se calculează în cazul predictorului deadbeat cu relaţia: L=
.xk = .xz + L&k -

rP)

(7.42)

r? =crx2 unde starea estimată x2 se calculează cu relaţia: ,o .._, r xk = '*'xk-1 + uk-1 · Astfel, estimatorul de stare este descris prin

ecuaţia:

xk =
sau xk =(l-LcTJ
{

T

(7.43)

l

ek =xk -xk =\,cr) este observabilă dacă

(,cr) este observa bilă. Aceasta implică faptul că valorile proprii ale matricei (- LcT

322

Pentru un sistem cu p ieşiri şi m intrări, se poate cu uşurinţă observa că matricea (1 -CL) este o matrice pxp, iar L poate fi aleasă astfel ca CL = 1 , dacă rangul matricei C este egal cu p . Aceasta implică egalitatea Yk = Cxk, ceea ce evidenţiază că ieşirea sistemului este estimată fără eroare. Este de remarcat că starea la tactul k se generează pe baza informaţiilor curente măsurate în cadrul unui proces iterativ. Utilizarea unui estimator sau a unui predictor pentru furnizarea stării xk pe baza măsurătorilor se va face ţinând seama de infonnaţia disponibilă, de precizia de cunoaştere a modelului, de precizia de măsurare a ieşirilor din proces. Pentru procese multi variabile cu Yk E 9F şi xk E 9\", în cazul în care cele p ieşiri sunt conţinute în vectorul de stare şi sunt măsurabile, se poate construi un estimator (predictor) minimal. Dimensiunea vectorului de stare ce trebuie estimat în acest caz este (n- p)(xk E :n•-p ). În [15, 86] sunt prezentate problemele specifice proiectării unui estimator minimal. În cazul prezenţei unor zgomote importante la măsurări, un estimator complet (estimarea celor n vaiiabile de stare) asigură precizie superioară, impunându-se utilizarea acestuia, chiar dacă efortul de calcul este mai mare.

7.3. Proiectarea regulatorului cu estimator de stare Considerăm

multe intrări

şi

în cele ce urmează cazul general al unui sistem cu mai mai multe ieşiri: (7.45)

un de

uk E rom "' ,

Yk E ""p "' ,

tar

. 1e mat nce

"' r , c .....

au

dimensiuni

corespunzătoare.

În condiţiile cunoaşterii matricelor de comandă F regulatorul cu estimator de stare este descris prin: xk+l = Xic + ru, + Lyk - Lh

Yk = c uk

xk

şi

de estimare L,

(7.46)

=wk -Fxk

sau xk+l =('!'LC-rF)xk +LYk +rwk uk

= wk- Fxk

(7.47)


323

unde wk este comanda ce asigură comportarea dorită în regim staţionar în raport cu referinţa. Dacă analizăm comportarea sistemului cu reacţie după stare (fără considerarea comenzii wk) evidenţiind eroarea de predicţie, obţinem pentru sistemul cu

reacţie după

r

stare

xk := [e[ x[ sub forma: xk+l = [ :::: <1> ;:c

J; [

şi

cu predictor, modelul compus cu starea

<1>

~rF Jxk.

(7.48)

Ecuaţia caracteristică

a sistemului închis (7.48) este: det[ zl-i.t>+ LCj det[ z/ - +fF] = ae(z)ac (z) = a0 ( z) = ?" (z) (7.49)

unde a, (z) este polinomul caracteristic al predictorului de stare, ac (z) este polinomul caracteristic al regulatorului cu reacţie după stare, iar polinomul caracteristic al sistemului închis (fig. 7.3) [34,43]. uk

PROCES

•

xk

Xk+I = <1>xk + fuk

a0 ( z) este

Yk

c

ESTIMA TOR

Lj

xk

-F ~

xk+l = <1>xk + ruk + +L(yk -.h)

1+-

Fig. 7.3

Se poate observa că rădăcinile ecuaţiei caracteristice a sistemului cu regulator şi estimator de stare sunt compuse din rădăcinile estimatorului şi ale regulatorului, care sunt neschimbate ca urmare a principiului separării. Regulatorul cu estimator poate fi descris şi prin ecuaţiile: xk+ 1 =[-f'F-LC]xk +Lyk (7.50) uk = - FXk , dacă nu se ia în consideraţie comanda wk Astfel, matricea de transfer ce caracterizează comportarea regulatorului cu estimator este: HR(z)=-F[zl-<1>+fF+LCJ 1 ·L (7.5!) iar ecuaţia caracteristică a regulatorului este: det[zl-+f'F+LC]=aR(z) (7.52)


324

Pentru proiectarea regulatorului cu estimator (compensator dinamic) vom determina matricea de comandă F , astfel încât să fie satisfăcute cerinţele de performanţă şi în condiţiile unor restricţii impuse de procesul condus (elementul de execuţie), iar matricea L a estimatorului se va determina astfel încât estimatorul să fie mai rapid decât regulatorul de cel puţin patru ori [43, 46, 86]. Această cerinţă este impusă de restricţiile de timp la implementarea în timp real a legii dereglare după stare. Estimarea rapidă a stării se impune la implementarea algoritmului de reglare, însă aceasta trebuie să fie corelată cu caracteristicile zgomotului şi posibilităţile de rejectare ale acestuia. Tehnicile de estimare optimală a stării permit rezolvarea problemelor privind viteza maximă de estimare [86]. Structura sistemului de reglare cu regulator şi estimator este prezentată în figura 7.4. r--------, wk

1 1 1 1

1

uk:

: ''-<" 1+ 1

l

1

'

1 1 1

-

•...1

:~

1

xk+l - xk

+ ruk

y

c'1

l

1 1 1

------------------------------------,

1 1 1 1 1

.,

OBIECT CONDUS

1

ESTIMATOR

---fFl+- - -o

L(

-o)

1 1 1 1 1

~ xk+l = xk + Yk - Yk ' L--------------------------------------------J 1 1 1

1 1 1

Fig. 7.4

în practică, este convenabil a selecta rădăcinile ecuaţiei caracteristice a regulatorului, pentru a satisface cerinţele de performanţă şi restricţiile impuse de elementele de execuţie, iar rădăcinile ecuaţiei caracteristice estimatorului (predictorului), astfel încât să se asigure o viteză ridicată de răspuns în corelaţie cu cerinţele de rejecţie a zgomotului de măsură şi cu sensibilitatea la erorile de modelare.

7.4. Proiectarea regulatorului în prezenţa perturbaţiilor Regulatorul bazat pe reacţie după stare cu estimator prezintă interes academic, însă nu este foarte util din punct de vedere practic. Acest neajuns este determinat de faptul că perturba\iile au fost luate în consideraţie într-un mod simplist, şi anume ca variaţii ale stării iniţiale.


325

cele ce urmează considerăm procesul supus acţiunii perturbaţiei

în

v(t ), caracterizat prin modelul: .i:(t) == Ax(t) + Bu(t) + v(t) (7.53) y(t) = Cx(t). Perturbaţia v(t), care uzual are mai multă energie la frecvenţe joase, poate fi mode lată astfel [6]: dw

-==A1w dt

v=C1w unde matricea Aw are valori proprii în origine sau pe axa semiplanul drept. Dacă introducem vectorul compus -'i (t):=[x, sistemul:

wf

.i:1

=[~ ~:Jx~ +[~]u

imaginară

sau în

şi discretizăm

(7.54)

y=[C O]x1 obţinem echivalentul discret de forma:

xk+I [ xw]flxkl [rJ [wk+I == O w wk + Otk rxk 1 l Yk=[C O[wkj·

(7.55)

Legea de comandă în acest caz este o combinaţie liniară a tuturor variabilelor de stare: (7.56) uk = -Fxk - Fwwk unde xk şi wk sunt stările estimate cu ajutorul predictorului de stare:

rwk+l J~ -I

[rl [

, ) (7.57) "k + L ](Yk - Cxk wk oJ Lw în acest caz, starea predictorului este compusă din stările estimate ale procesului şi ale generatorului de perturbaţii, iar comanda conţine şi o componentă în funcţie de starea estimată >ÎJk. Sistemul închis este astfel descris de modelul: ;k+l

L

xk+I

L

=(<'k -rFek -rFwet:'

wk+I =

ek+!

= (
e;:+! =
(7.58)


326

Matricea F asigură ca starea xk să meargă ta zero cu o viteză dorită după apariţia unei perturbaţii. O alegere corespunzătoare a matricei Fw reduce efectul perturbaţiei v asupra sistemului prin acţiunea directă în funcţie de perturbaţia estimată wk. Această acţiune directă în funcţie de perturbaţie este efectivă dacă matricea ( xw- rFw) poate fi egalată cu zero. Amplificările predictorului L şi Lw influenţează viteza cu care erorile de estimare converg la zero. Structura sistemului cu reacţie după stare şi perturbaţie este prezentată în figura 7.5. PROCES

PREDICTOR

Fig. 7.5

În cazul în care la intrarea procesului se aplică o perturbaţie constantă, atunci wk = vk şi

nu există erori de măsurare, regulatorul descris prin ecuaţiile (7.56) şi (7.57) devine: uk = -frxk - Fwvk = -Fxk- vk (7.59) xk+I =

327

V

-

F

uk

PROCES

r

(,r,c)

.,,-~

Yk

-

,....

)"\+

vk

Predictor (perturbaţie)

+ PREDICfOR

fk

~ (,f,C,L,Lw) ....

A

Fig. 7.6

Rescriind

ecuaţiile

(7.59) sub forma:

=-Fxk -vk xk+l = (- fF )Xk + L(yk - Cxk) vk+I =vk + Lw(Yk- Cxk) uk

(7.60)

se evidenţiază mai clar existenţa integratorului în structura regulatorului. Este de observat că starea estimată xk este aceeaşi ca în cazul în care nu exista perturbaţia vk. Prin aplicarea transformatei Z ecuaţiilor (7.60) se obţine cu uşurinţă:

u(z)= -FX(z)-v(z) [zl- + fF + LC}X(z)= LY(z) V(z)= (z -It' LJY(z)- CX(z)] sau

X(z)= [zi- +fF + LC ]- 1 LY(z)= Hyx(z)Y(z) unde

not[ H Hyx(z)= zl-+fF+LCJ

L

(7.61)

Folosind acest rezultat intermediar se obţine comanda sub forma:

U(z)= -FH yAz)Y(z)- v?(z) sau (7.62) Această

expresie arată că regulatorul conţine componenta integrală. Acţiunea integrală este obţinută prin estimarea perturbaţiei constante ce acţionează la intrarea procesului.


328

7.5. Proiectarea regulatorului pentru

urmărirea

referinţei

Unul dintre obiectivele sistemului de reglare automată este de a asigura urmărirea referinţei. Astfel, se cere unui SRA ca stările şi ieşirile sistemului să răspundă la modificările referinţei într-un mod apriori specificat. Cea mai simplă abordare a acestei probleme este de a include în legea de comandă o componentă proporţională cu referinţa sub forma: uk = -Fxk + Nrk (7.63) unde N este un scalar, în cazul sistemelor cu o intrare şi o ieşire, şi o matrice, în cazul sistemelor cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri [34, 43]. Pentru a analiza comportarea SRA în prezenţa acestui regulator, considerăm sistemul închis caracterizat prin modelul: xk+l Yk

= xk + ruk

= Cxk

xk+l = xk +fu* uk

sau,

dacă

+ L(y* -

(7.64) Cx*)

= -Fxk + Nrk introducem eroarea de estimare ek :

xk+I =(-rF)xk +fFek +rNrk ek+l

=(- LC),k

(7.65)

Yk = Cxk

eroarea de estimare nu este controlată prin rk . Această observaţie sugerează includerea semnalului de referinţă, astfel încât eroarea de estimare să poată fi controlată. Ecuaţia predictorului de stare în acest caz poate fi pusă sub forma: xk+I = (- fF- LC}xk + Lyk + Mrk (7.66) De remarcat faptul

că

uk =Nrk -Fxk

Astfel, prin proiectarea regulatorului, se urmăreşte determinarea matricei M şi a scalarului N, astfel încât să se asigure o anumită contiguraţie a zerouri lor funcţiei de transfer H 0 (z). Funcţia de transfer a sistemului de reglare, ţinând seama de (7 .65), se obţine sub forma: H 0 (z)= C[z/-+rFt1fN

= N · B((z)) Ao z

(7.67)

unde A0 (z) este ecuaţia caracteristică a sistemului cu reacţie după stare.

Sinteza legii dereglare după stare Dacă

se compară (7.67) cu funcţia de transfer a procesului:

1 Hc(z)=C[zl-J f= rezultă că referinţa.

329

~~~~·

(7.68)

zerourile sistemului nu sunt modificate prin comanda ce include

Faptul că polinomul B(z) apare la numărătorul ambelor funcţii de transfer poate fi uşor evidenţiat prin aducerea ambelor sisteme în forma canonică controlabilă.

Pentru a asigura urmărirea referinţei cu anularea erorii în regim pentru referinţe constante, introducem componenta integrală în legea de comandă considerând la intrarea procesului o perturbaţie constantă v. În acest caz, legea de comandă poate fi scrisă sub forma [6]:

staţionar

uk =-Fxk -vk +Nrk xk+I vk+I

=xk +r(ok +uk )+ L(yk- cxk) =ok + LwCvk - cxk)

(7.69)

Aceste ecuaţii pot fi scrise şi sub forma: uk =-Fxk -vk +Nrk xk+I = (- fF)xk + fNrk + L(yk -Cxk)

(7.70)

vk+I =vk +Lw(Yk -cxk)

Din comparaţia relaţiilor (7.70) şi (7.59) rezultă că urmanrea se obţine printr-o modificare simplă a rezultatului obţinut în§ 7.5. Referindu-se la ecuaţia generală a predictorului de stare (7.66), se observă că alegerea scalarului N şi a matricei M poate asigura comanda în funcţie de eroarea de reglare ek = rk - Yk sau eroarea de estimare să fie independentă de referinţă. Astfel, în acest din urmă caz, rezultă M = fN, iar în cazul în care comanda se calculează în funcţie de ek, M = -L [6, 43]. Într-adevăr, din ecuaţia erorii de estimare: ek+I =(-LCh +(fN-Mh (7.71) pentru ca aceasta să nu fie influenţată de referinţă, rezultă M = fN . Pornind de la ecuaţia (7.66) şi incluzând eroarea dereglare se obţine: xk+I = (- fF- LC)xk + L(yk - rk) ceea ce permite a alege M = -L şi N =O pentru ca uk să fie calculată în funcţie de eroarea dereglare sk. Matricea M şi scalarul N trebuie alese astfel încât să se obţină flexibilitate maximă în satisfacerea restricţiilor impuse de răspunsul dorit al sistemului de reglare. Această cerinţă se poate realiza printr-o alegere a matricei M şi a scalarului N care asigură o alocare arbitrară a zerourilor funcţiei de transfer H 0 (z). referinţei


330

7.6. Regulator cu

două

grade de libertate

Realizarea celor două obiective ale reglării: urmărirea referinţei şi rejectarea perturbaţiilor este posibilă practic prin utilizarea unei structuri de regulator cu două grade de libertate. În figura 7. 7 se prezintă structura de principiu a unui sistem de reglare cu două grade de libertate. PROCES

rk ~! ~,

1

uk

uf

HR, 1

Yk.

(.P,r,c)

y

+'.-' ~-

uYk

HRy

...

Fig. 7.7

Regulatorul

H Ry

se

proiectează

să

astfel încât

se asigure

insensibilitatea la perturbaţii, la zgomotul de măsură şi la incertitudinile introduse prin modelare. Regulatorul H Rr se proiectează pentru a obţine performanţe impuse în raport cu modificarea referinţei. Pentru a proiecta regulatorul cu funcţia de transfer H Rr , presupunem că performanţele de urmărire sunt specificate printr-un model de stare: (7.72)

unde

yJ:' =Cmxk xJ:' E 9\ nm reprezintă starea modelului de referinţă ce realizează o ieşire

dorită (optimală)

în raport cu referinţa rk . Legea de reglare în acest caz poate fi, în mod natural:

unde

uk = F(xk' -xk)+uf xk' este starea dorită,

ieşirea dorită

(7.73)

iar uf este semnalul de

comandă

ce

asigură

[6].

Termenul uJ = F~k' - xk) reprezintă semnalul de reacţie, iar u[ reprezintă semnalul de acţiune directă (feedforward) (fig. 7.8), care se aplică în buclă deschisă. Semnalul uf va produce variaţia dorită a stării procesului. Dacă starea

estimată

a procesului

xk

egalează

starea modelului

xJ:', semnalul de

Sinteza legii dereglare

reacţie reacţia

după

stare

331

F(x;'- xk) este egal cu zero. Dacă există diferenţă între xk

şi

xt,

va genera acţiuni de corecţie. r

uk

PROCES

(,r,c)

Model de referinţă

PREDlcroR

(,I',C,L) Fig. 7.8

Pentru a genera semnalul de acţiune directă în funcţie de referinţă, să observăm că dacă prin H Jz) am notat funcţia de transfer a procesului, iar prin H m (z) funcţia de transfer a modelului de referinţă, semnalul de comandă directă în funcţie de referinţă, u;, poate fi calculat cu ajutorul

rei*"''";

·ffi'•

(7.74)

Pentru a utiliza această relaţie se impun câteva condiţii: modelul H m (z) să fie stabil; excesul polilor modelului trebuie să nu fie mai mic decât excesul polilor procesului; zerourile instabile ale procesului trebuie să fie zerouri ale modelului Hm(z). În cazul proceselor cu o intrare şi o ieşire, rezultă:

,_, A(q) _ [ _(al-aj)q''- +... +(a.-a~')jl uk- fl.m ( )rk- Kmll-t , rk, -'\.. q q"+arq" '+ ... +a~ 1

(7.75)

.mtrucat • 1i c (z) =-()ŞI B(z) . Hm (z) = Km--,-). B(z) Az

Am(Z

Semnalul uk_ poate fi generat din stările modelului de referinţă, în cazul în care se constmieşte perechea (m,rm) în forma canonică controlabilă:


332

r-~r

-uzm

o

1

o o

o

o

1

1>m =

Astfel,

o

-(ln-1

m

-am n

o o o

Km

o o

rm=l

(7.76)

o

ţinând

Ukr

= K mrk

,-T

r

seama de (7. 75), rezultă: + /,T m r · Xk

(7.77)

unde m

Jr=~-~

m

~-~

....

m]

~-~,·

(7.78)

Prin transformări corespunzătoare se pot obţine diferite reprezentări ale legii de comandă după starea xi" . Uneori pot fi introduse neliniarităţi în comanda directă în funcţie de referinţă pentru a atenua efectul dur al acestuia. A vând în vedere că această comandă urmăreşte creşterea vitezei de răspuns a sistemului, poate fi utilizat chiar un model simplificat al procesului, micile deviaţii pot fi compensate prin reacţie. Prin combinarea soluţiilor pentru urmărirea referinţei şi rejecţia perturbaţiilor se obţine un regulator performant, care poate fi descris prin:

uk=u[+uf u[ = Km ~k +F,x';) uf = F(xf -xk )- Fwwk

xk+I = wwk + Lw (Yk- Yk)

(7.79)

XuJ = \!>mxk +fmrk Acest regulator asigură rejectarea perturbaţiei de tip sarcma, reducerea efectelor zgomotului de măsură şi urmărirea referinţei. Răspunsurile la perturbaţiile de tip sarcină, la referinţe şi zgomotul de măsură sunt complet separate. Răspunsul la referinţă este determinat de modelul de referinţă. Răspunsul la perturbaţii de tip sarcină şi la zgomotul de măsură este influenţat de predictorul de stare şi de reacţia după stare ce poate fi ajustat prin intermediul matrice lor F, Fw, L şi Lw.


333

toate stările estimate sunt comparate cu comportările lor dorite asigură o reglare de precizie. În figura 7. 9 se prezintă structura completă a SRA cu două grade de libertate cu reacţie după stare. Faptul

că

u'k

Model de

PROCES

(,r,c)

referinţă şi

generator de

comenzi PREDICTOR

(.P,r.c.L)

Fig. 7.9

Regulatorul dat de (7.79) poate fi reprezentat în diferite forme echivalente, deoarece sistemul este liniar şi invariant în timp. În practică este util a folosi modele de referinţă neliniare, elementele de execuţie şi convertoarele pot fi neliniare şi astfel pot fi introduse efecte neliniare, ca urmare a procesului de rotunjire în procesul de calcul.

7.7. Sinteza legii de conducere optimală 7.7.1. Formularea problemei de conducere optimal ă

Pentru un proces multi variabil neliniar de forma:

0-A:,) unde

=J(xk,ukovk,k) Yk =g(xk,uk,vk,k) f =col(/1, iz ,. .. .fn) este o (L): xk+l

continuă şi

n

; x0 E

(

7 .80 )

9\

funcţie vectorială, în general neliniară,

cu derivate pa,iiale continue în raport cu argumentele vectoriale xk şi uk , se poate defini un proces de conducere dacă se precizează comenzile uk la momente discrete de timp, fie explicit prin intermediul unei funcţii de comandă în circuit deschis, sub forma: (7.81)


334

fie implicit, prin intermediul unei legi de conducere în circuit închis, de forma: uk = h 0 (k,xk) (7.82) unde h 0 = col(h1 ,h2 , •••• ,hn ). Ţinând seama că în general starea iniţială x 0 şi timpul iniţial sunt arbitrare, legea de comandă (7.81) determină pentru fiecare pereche (k 0 ,x0 ) câte o funcţie de comandă "adaptată" stării iniţiale considerate. Pentru a rezolva o problemă de conducere, respectiv a sintetiza o lege de comandă, vom defini procesul de conducere admisibil prin perechea formată dintr-o funcţie de comandă admisibilă şi traiectoria de stare corespunzătoare. Funcţiile de comandă admisibile sunt definite sub forma: uk E Ua sau uk E Ya (k,xk) (7.83) unde u. şi Ya(k,xd reprezintă submulţimi precizate în spaţiul vectorial 9\m al comenzilor uk, sinteză

Forma este:

~k E 9\m ).

generală

a indicelui de

performanţă

asociat problemei de

N-1

(4)

l=lf(x,V]+ LL(xk,uk),

(7.84)

k=O

a cărui valoare permite a aprecia comparativ calitatea proceselor admisibile de conducere. Funcţiile l 1 (costul final) şi L (costul pe parcurs) sunt reale şi continue, cu derivate parţiale de ordinul unu şi doi, continue în raport cu argumentele xk şi uk. Fiecărui proces de conducere admisibil al sistemului condus îi corespunde o valoare precizată l 0 a indicelui de performanţă, o valoare a costului. Cu cât această valoare este mai mică, cu atât procesul de conducere este mai bun. Valoarea minimă a indicelui l este obţinută dacă procesul de conducere este optimal. . Astfel, se poate formula problema conducerii optimale discrete: \!) Dându-se sistemul ( 1: ), să se determine funcţia de comanpă admisibilă care minimizează indicele de calitate ataşat sistemului (1: ). "' u~ ~ -r", JIIK /~ '".&,. Soluţia problemei de conducere formulată într-o asemenea manieră ~;~ reprezintă funcţia de comandă optimală. Procesul de conducere format din funcţia de comandă optimală şi traiectoria de stare asociată acestuia se numeşte proces de conducere optimală. Pentru sinteza legii de conducere optimală, vom considera modele (3) liniare de forma (7.1), unde ( ,r) este o pereche controlabilă şi perechea ( , C) este o pereche observabilă:

(~

xk+ 1 ~

Yk = Cxk

(7.85)

Sinteza legii de reglare după stare şi

criterii de performanţă sub forma

335 p_ătr~ă:

1AxN ]= .!_x~SxN 2

(7.86)

L[xk,uk]=[~x[Qxk +u[Ruk]

unde: S ~ O; Q ~ O; R > O sunt matrice de pondeTllfll pătrate simetrice, a căror alegere se face de către proiectant, în funcţie de ponderi le ce trebuie asociate variabilelor de stare şi comenzilor. Pentru rezolvarea problemei de sinteză a legii de comandă optimală, se pot utiliza mai multe metode [6, 43, 46, 78]. Problema optimizării criteriului (7.86) pentru procese caracterizate de modele liniare poartă denumirea de problema liniar-pătratică. 7.7.2. Sinteza legii de comandă programării dinamice

optimală

prin metoda

Metoda programării dinamice discrete are la bază principiul optimalităţii al lui Bellman [34, 46]. Dacă şirul us, k0 5 s 5 N -1, constituie funcţia de comandă optimală asociată stării iniţiale xko =x0 , iar x?.se

[k 0 ,N] este traiectoria

optimală

corespunzătoare,

atunci oricare ar fi momentul curent k , şirul trunchiat uk, constituie funcţia de comandă optimală asociată stării curente xk. Altfel spus, fiecare segment final al unui proces de conducere optimal reprezintă el însuşi un proces optimal. Dacă notăm cu l(k,xf) funcţia de cost minim, conform principiului optimalităţii, această funcţie satisface ecuaţia funcţională de tip recurent: L[k,x2 ]= min {L(k,xk ,uk )+ I[k + l,xk+l]} u,EKa (7.87) kE [k 0 ,N-!l l(N,xN)=I 1 (xN) Ecuaţia (7 .87) se numeşte ecuaţia lui Bellman sau a programam dinamice discrete şi reprezintă un mijloc de determinare a funcţiei de cost minim şi al legii de comandă optimale, la fiecare pas al intervalului de conducere [k 0 , N]. Pentru a ilustra principiul optimalităţii, considerăm traseul din figura 7.10. Se cere a determina traseul optim de deplasare între punctele A şi L, astfel încât costul deplasării să fie minim.


336

Jbd

D

B Jbe

E A J"k

K lch

c

H

l<'ig. 7.10 Dacă notăm

cu J ab costul între nodurile A şi B, iar prin J ac costul nodurile A şi C etc., costul minim se obţine prin

corespunzător minim între găsirea minimului sumei:

min[J ab + lbd + 1 dl,J ab + lbe + Jel,}ac + lck + 1 kb lac+ lch +h1]. Dacă starea iniţială este A şi decizia iniţială este de a merge spre nodul B, atunci traseul de la B la L trebuie să fie optimal dacă întregul traseu între A şi L este optim. Dacă decizia iniţială este de a merge la C (nodul C), atunci traseul de la nodul C la L trebuie să fie ales ca optimal. Notând cu g 8 şi g c costurile minime întreB şi L, respectiv întreC şi L: g B =min[Jbd + 1 dl,J be + le1 J 8c =min[lch +Jhl,Jck +htl principiul optimalităţii pentru acest exemplu capătă forma: g A = min 1 = min[J ab + g B ,Jac + g c]. Cantitatea ce trebuie minimizată este alcătuită din două părţi: o parte legată direct de decizia curentă, constantele J ab şi J ac, şi a doua parte reprezentând valoarea minimă a tuturor costurilor viitoare, începând cu starea care rezultă din prima decizie, costuri care se consideră optimale în raport cu această stare. Pentru un sistem liniar (,r,c), căruia i se ataşează un indice de performanţă de forma: l

min=

N··lr

I

= x~SxN + Llx~QxN +u~Ruk k"O

J


337

unde matricele S, Q şi R au semnificaţia cunoscută, conform principiului optimalităţii, valoarea minimă a funcţiei de cost I se obţine sub forma:

]= min~[ Ruk + x[ Qxk + l(xf+l )} "' unde l[x2+J reprezintă valoarea minimă a lui llTk+J 1min = ![xf

Admitem

că

J

k.

1]

este o

formă pătratică:

1~2+1 ]= x[+lpk+lxk+I unde Pk+l este o matrice

Dacă ţinem capătă

(7 .88)

simetrică,

(7.89) pozitiv definită.

seama de modelul procesului condus, atunci J [x2.1 ]

forma: l[xk+l]= [xk + ru,

y pk+l [x, + ruk J

(7.90)

iar (7.88) devine: l min =

min~[ Ru, + x[ Qxk + [xk + fuk f

Pk+l [xk + fud}

(7 .91)

"'

Admiţând că

nu există restricţii asupra comenzii, minimul expresiei (7.91) în raport cu uk se obţine prin anularea gradientului în raport cu uk al expresiei din acoladă: (7.92) Ruk +fT pk+lruk + rT pk+lxk =o sau

[R+fTpk+lf~k

=-fTPk+1xk,

respectiv u2

=-[R +fT pk+lfrfT pk+lxk.

Expresia (7.93) evidenţiază forma comenzii optimale apelând la metoda programării dinamice. Dacă se notează:

l>f

T

}1 T

Fk =tR+r Pk+lrl r Pk+l,

(Î.93) obţinută

(7.94)

rezultă

comanda optimală sub forma: u2 = -Fkxk. (7.95) Pentru determinarea matricei de comandă după stare Fk , se impune cunoaşterea matricei Pk+J, celelalte elemente fiind date, iar sistemul condus se consideră complet. Valoarea optimă a funcţiei de cost se obţine pentru u2 introdusă în (7.91 ): !opt = (- Fkxk

f R[- Fkxk ]+x[ Qxk + {($- fF, )xdr Pk+l (- fFk )xk

sau (7.96)

INGINERIA REGLĂR/l AUTOMATE

338 Admiţând că

1opt este tot o formă pătratică:

T

!opt= xk Pkxk' rezultă, prin identificare următoarea ecuaţie recurentă:

(7.97) Pk = Q + FkTRFk + (<1>- fFk )T Pk+l ~~<1>- fFk 1\ Pentru determinarea comenzii optimale se impune rezolvarea ecuaţiei matriceale recurente (7 .97) în timp invers. Un proces cu stare finală evidenţiază necesitatea considerării valorii m1mme a lui liberă

l(x2+ 1 )=l[x(N)]=O, ceea ce permite alegerea matricei P(N)=O (N=k+l) şi iniţializarea ecuaţiei

(7.97) cu această valoare. Astfel, soluţia problemei liniar-pătratice apelând la principiul optimalităţii se obţine prin rezolvarea sistemului de ecuaţii matriceale: Pk =Q+F{RFk +(
= r,R+fT J1+1f

l-I f

T

Pk+1
(7.98)

u2=-Fkxk

cu iniţializarea P(N) =O. De remarcat faptul că u2 reprezintă o comandă optimală în sensul minimizării indicelui de calitate l , întrucât semnul derivatei parţiale de ordinul doi în raport cu uk este pozitiv: [R+fTpk+Ir]>O.

Elaborarea comenzii optimale presupune calculul la fiecare pas de discretizare a matricei de comandă Fk şi estimarea stării procesului, întrucât starea xk nu este accesibilă măsurării. Dacă se extinde N--? = alegându-se un indice de performanţă de forma: 1=

f ~k Ruk + x[ Qxk ],

(7.99)

k=O soluţia

problemei de conducere optimală este: u2 =-Faxk

(7.100)

unde T }1 T f Fa =[R+f P0 fJ r P0

a ecuaţiei recurente (7.97). În figura 7.li se prezintă schema sistemului de conducere optimală cu estimator de stare. iar

P0 reprezintă soluţia asimptotică


339

7. 7.3. Sinteza legii de reglare optimal ă pentru modele extinse Considerăm

modelul procesului:

= xk + ruk

xk=l

E

E

(7.101)

E

cu xk 9\", uk 9\m, Yk 9\ Pşi modelul integratoarelor numerice incluse pe calea directă a SRA pentru anularea erorii staţionare (permanente): wk+l

= wk +Ek (7.102)

wk =wk

unde wk E 9\ P reprezintă teştrea celor p integratoare incluse în sistem pentru a obţine comportarea dorită în raport cu semnalele exogene de tip treaptă.

Dacă se

obţine

introducem

x} :=[xf,~t{r. Yk :=[xf.wfr şi

Ji:=[O

rf-r,

modelul extins:

Xk+l = tXk 1 Yk

+ fluk + ft

(7.103)

= cIxk1

E9\"+P; y} E9\ 2P, /1E9\ 2P 1 :=f o]E 9\(n+rl<(•+rl. r1 :=[r]E 9\(n+prm ·c1 :=[c o/JE 9\zp•(n+p)_ CI ' O ' O

unde x}

L

Indicele de I1=

performanţă ataşat

f:[crQ

1c:k

k=O

+u[Ruk]

acestui sistem extins are forma: (7.104)


340

unde Q 1 este o matrice de ponderare

simetrică

semipozitiv

definită

de

dimensiuni (2px2p) şi ck vectorul de eroare al sistemului extins (ck E~Ji!P). Dacă

Ql

matricea Q1 are forma:

=[;

~J

atunci / 1 poate fi scris sub forma: N

11= L.:;[cJQck +wJQwwk +u[Ruk]·

(7.105)

o

Pentru

obţinerea

comenzii optimale vom proceda într-o maniera

similară cu cazul anterior, admiţând pentru 11[x!+I] o formă pătratică sau:

!Jxk+l]=x!~IP[+lxk+l·

(7.106)

Valoarea optimă a indicelui 11 va fi:

+}

. {(rk -Cxkf Qh -Cxd+wJQwwk +u[Ruk (7.107) !opt =mm ( V" ( "k + \
rr

rT

Ruk + Pj+lrluk + P[+l (lxl iar comanda optimală are forma:

+ fJ )=o

(7.108)

!f}l[rl ukOf =-[R + f1TPk+l d [fi Pk+l
(7.109)

u2 = -F]x1 + ,Uk

(7.110)

sau unde s-au notat: 1 r1-I r 1 =r[R + f1r Pk+l J) f1 Pk+I
(7.111)

111 = -[R+ff P}+Irr rf Jt+Ifi ·

(7.112)

1

Fk

Prin introducerea comenzii optimale în expresia indicelui de performanţă (7.107), se obţine: 11opt =xfPixl

=h -CxlT Qh -Cxl)+wJQwwk +

+~1-F[x!T R~k -Fjxl)+ +[(<1>1 - rl Fj ~l +(rl - r1.ul )J P[+l [(l - rl F1~l +(rl -· r1.ul )]

(7.113)


341

Din identitatea (7.113) se obţine 1_

r

ecuaţia recurentă:

IT

i)

1 { 1 1 { Pk -C QC+Fk RFk +\1 -r1F1 Pk+l\<1>1-riFk T

(7.114)

a cărei rezolvare în timp invers permite a determina matricea P).. Astfel, în acest caz, soluţia problemei de conducere optimală se obţine prin rezolvarea sistemului de ecuaţii matriceale: P}

= CT QC + F{RF} +(4>1 -

l F*1 = [ R + rlT Pk+,rt

rr

l-I rl

T

f1F}

r

P}+l (1>1 -f1Ff)

1

(7.115)

Pk+lI

r l-1rr1 f},+Ifî 1

J.!k =- R + 1 /},+1 1. 1

[

1

1

Dacă matricea de comandă F poate fi partiţionată astfel:

F} :=(Fu; Ftzl unde F11

E

9tmxn

şi

F12 E 9t""P, comanda optimală poate fi scrisa sub forma:

u2 = -filxk- fizwk +J.ti

(7.ll6)

în cazul anterior pentru N -7 = , se obţine o soluţie staţionară (asimptotică) pentru matricea de comandă F} şi, evident, o matrice Pd [34, 46]. Comanda optimală este generată sub forma: (7.117) uf = -Fllxk- fizwk + J.l 1 Ca

şi

l J.t 1 =- [ R+fT1 Paf 1

l-I f

T 1 1 Paft

(7.118)

1 f T !f }1 T l F =[R+f1 Pa t] f 1 Pa 1

Dacă ţinem

seama de

definiţia

(7.119)

vectorului

/ 1 , rezultă

cu

uşurinţă că

vectorul de anticipaţie J.t 1 este determinat de modificarea referinţei Astfel, comanda optimală devine:

u2 =-F11 xl-F12 wk +Nrk

rk.

(7.120)

unde matricea N se obţine cu uşurinţă din (7.118). În figura 7.12 se prezintă structura sistemului de conducere optimală cu estimator de stare. în cadrul acestei structuri este inclusă şi comanda de anticipaţie în funcţie de referinţă. Această structură asigură eroarea staţionară nulă pentru referinţe de tip treaptă şi o evoluţie optimală de-a lungul unei traiectorii optimale generată de comanda care minimizează criteriul de performanţă pătratic selectat.

u2,


342

N

l ek rk

. \..!

~

-

r:

wk

Integratoare numerice

~

1

J

J "1

Fiz 1

.1

1

1

+

'"'.

- f ......

-

uk

Vk

PROCES

(
Yk

--

PREDICTOR

xk

(
1 FII 1

Fig. 7.12

O extensie a structurii sistemului de conducere optimală cu estimarea poate obţine cu uşurinţă. Regulatorul optimal obţinut prin minimizarea criteriului pătratic, prin alegerea matricelor de ponderare R şi Q poate realiza un bun compromis între viteza de răspuns şi amplitudinea semnalelor de comandă. Prin alegerea matricelor de ponderare Q şi R, pot fi influenţate performanţele sistemului închis. Variabilele de stare x; care corespund unor variabile fizice semnificative se aleg la început. Funcţia cost se alege ca o sumă ponderată a variabilelor x;. Ponderi mari corespund la răspunsuri de amplitudine mică. Răspunsurile sistemului închis la perturbaţii tipice sunt astfel evaluate. O reală dificultate este de a găsi ponderi relative între variabilele de stare şi variabilele de comandă, lucru care se realizează prin perturbaţiilor se

încercări.

Uneori specificaţiile de performanţă sunt date în funcţie de deviaţiile maxime admise ale variabilelor de stare şi ale comenzilor pentru o perturbaţie dată. O regulă empirică de a decide ponderile în criteriul pătratic de performanţă este a alege elemente diagonale ca fiind valoarea inversă a pătratelor deviaţiilor admise. O altă cale este de a considera numai penalităţi asupra variabilelor de stare şi restricţii asupra deviaţiilor comenzilor.

PROBLEME 7.1. Se consideră sistemul: xk+l

Yk

[0.15 0.0.2]2 +[1]o

=

=[l 1)xk

xk

uk

.


343

Se cere a determina legea de comandă sistemului închis să fie p 1 "'0.15 şi p 2 "'0.2.

după

stare, astfel încât polii

7.2. Se consideră sistemul continuu:

_\}+[~}.

x,.,[-:

y=[1 o}x Pentru T "'0.2 sec , se cere: a) modelul discret al sistemului continuu; b) legea de reglare după stare, astfel încât polinomul caracteristic al sistemului închis să fie ac(z)"' z 2 -0.6z + 0.2; c) polinomul caracteristic al sistemului continuu. 7.3. Se consideră sistemul:

l

-0.7

= 0.3

xk+l

Yk

o]1 +[0.02 0.3 J xk

uk .

=[o 1}xk

Se cere proiectarea unui observer de stare: a) prin calculul direct al stării pe baza ieşirii; b) prin construcţia unui sistem dinamic care pem1ite

obţinerea

stării xk+I 1k ;

c)

prin considerarea unei variabile de stare măsurabile.

7.4. Se consideră procesul caracterizat prin modelul discret:

ro.3 0.81J

xk+l

=1

Yk =

[1 ol•k

L0.5

xk

+ rlo.3]uk + 0.1

[1]0

vk

,

este o perturbaţie constantă. Se cere a determina regulatoarele care în cazurile: a) starea xk şi vk pot fi măsurate; b) starea poate fi măsurată; c) numai ieşirea este măsurabilă. unde

vk

7.5. Se consideră sistemul: xk+l

0.2 o.5] rl1 2 xk + 4

=[ 1

Yk =~

o}xk

J

uk .

rejectează

efectul

perturbaţiei


344

Se cere: a) proiectarea legii de reglare după stare şi urmărirea referinţei, astfel încât răspunsul indicial al sistemului să fie aperiodic cu o constantă de timp egală cu 2sec; b) proiectarea estimatorului de stare, astfel încât răspunsul acestuia să fie aperiodic cu o constantă de timp egală cu 0.5 sec ; c) structura regulatorului cu reacţie după stare, urmărirea referinţei şi estimator de stare. 7.6. Se consideră procesul caracterizat prin modelul: xk+1

=

[0.12 0.24] +[1]3 xk

uk.

Yk =[1 o}xk Se cere: a) legea de reglare după stare astfel încât stările să fie aduse în origine în intervale de eşantionare; b) legea de reglare după stare care duce procesul din origine la starea x{ =[2 6)T. Este posibil? c) estimatorul de stare care asigură o evoluţie exponenţială dată a erorii de estimare. 7.7. Se consideră modelul discret ataşat unui proces: xk+1

0.5 =[0.3

1] [0.3} [1]

0.6

xk

+ 0.1

k

+ O vk

Yk = [1 o}xk este o perturbaţie constantă. Se cere proiectarea regulatoarelor care asigură rejecţia în următoarele cazuri: a) starea procesului şi perturbaţia sunt măsurate; b) numai ieşirea este măsurată.

unde vk

vk

perturbaţiei

7.8. Se consideră procesul caracterizat prin modelul de stare: Xk+t

Yk

=[~ ~}k +[~}k •

=[1 o}xk

Se cere: a) regulatorul liniar pătratic în cazul în care se alege Q = cr c şi R=p;


b) polii sistemului cu reacţie penalizare p asupra poziţiei acestora.

345 după

7.9. Se consideră procesul a cărui

-1)

H ( c z

z··1+0.8z-2

stare

funcţie

şi

efectul coeficientului de

de transfer este:

1- !.4z - 1 +0.48z 2 •

Se cere: a) modelul de stare al acestuia în forma canonică controlabilă; b) estimatorul de stare care asigură convergenţa erorii de estimare în trei intervale de discretizare. 7.10. Se consideră un proces caracterizat prin modelul:

.iv)=[~ ~}v)+[~}(t)_ YV)= [1 o}x(t) Se cere: a) modelul de stare în forma discretă alegând T =0.1 sec ; b) legea de reglare după stare cu um1ărirea referinţei, astfel încât viteza de răspuns a SRA la referinţă treaptă unitară să fie maximă.

8.

PROIECTAREA SISTEMELOR

NUMERICE DE REGLARE PE BAZA MODELELOR INTRARE- IEŞIRE

În acest capitol se prezintă proceduri de sinteză a algoritmilor numerici apelând la modele matematice discrete ale proceselor. Se admite că modelele matematice sunt furnizate proiectantului pe baza unor proceduri de identificare experimentală sau sunt obţinute prin discretizarea unor modele continue disponibile. Considerăm că obiectul condus este caracterizat prin modele de forma: il - H { -1)= 1\[' _ tt.\Z

!lki). A(?) Z-d

(8.1)

unde polinoamele A(z-1 ) şi s(z- 1 ) sunt definite ca:

A(z -1 )= 1 + a1z- 1 + a2 z -z + ··· +amz -m B(z-1)= b1z -l +b2 z- 2 + ··· +bmz -m

(8.2)

iar d <:: O, dE N reprezintă timpul mort al procesului, sau, în cazul includerii mărimilor perturbatoare stocastice, de forma: B(q-1)

Yk

= A(q-1)

C(q-1)

uk d +---· vk

unde polinoamele

-

(8.3)

D(q-1)

c(q -I) şi v(q -1)

semnifica~ia : C q =co +clq

-1)

în operatorul de întârziere

q-1

au

-1 + .. ·+cn,q -n

c

D(q-1 )=do+ dlq-1

+ ... +dndq -n

(8.4)

şi

definesc natura perturbaţiilor ce acţionează asupra procesului în cazul în care vk este zgomot alb discret. Printr-o alegere corespunzătoare a polinoamelor

c(q- 1 )

şi

D(q- 1),

ţinând seama de teorema de reprezentare în

Proiectarea SRN pe baza modelelor intrare -

ieşire

347

condiţiile

în care proprietăţile zgomotului alb discret sunt cunoscute, se pot modela diferite categorii de perturbaţii stocastice (v. § 2.6). În figura 8.1 se prezintă structura unui SRA cu regulator numeric şi procesul caracterizat printr-un model discret. Pentru un model matematic al procesului dat se cere regulatorul numeric cu funcţia de transfer H R -l ), care asigură satisfacerea cerinţelor de performanţă impuse în raport cu referinţa rk şi perturbaţiile vk, în prezenţa U..'lor restricţii impuse comenzii de tipul uk E U a, unde U a reprezintă clasa comenzilor admisibile.

(z

(

~

vk

1

'k

+·r

~

HR

(t..oi)

uk • ~

~q-d

..'\nk Yk

1

1

Fig. 8.1

În acest capitol se sintetizează regulatorul numeric pe baza modelului discret al procesului, apelând la diferite metode. Presupunem că polinoamele A(z) şi B(z) au zerourile situate în interiorul cercului de rază unitară. În aceste condiţii, procesul este caracterizat printr-un model stabil, de fază minimă.

8.1. Metoda răspunsului impus Considerăm că

este cunoscut modelul procesului, obţinut printr-o procedură de identificare experimentală. Metoda răspunsului impus presupune că pentru o referinţă precizată", răspunsul. SRA trebuie să aibă o formă Impusă. În acest caz rezultă că, spre exemplu, pentru referinţă treaptă unitară, răspunsul indicial al SRA are o

definită Yd (z -l ): f'\0:) Yd(z-l )~ Y1Z-I + YzZ- 2 +···+ YkZ-k +··· unde coeficienţii Yk = y(kT) reprezintă valorile forma

de timp.

(8.6) ieşirii la momente discrete


348 Numărul

de termeni în (8.6) este infinit, însă pentru cazul în care se impune atingerea regimului staţionar după un număr impus de perioade k = m, valoarea coeficienţilor Yk, k 2 m, este egală cu 1 sau egală cu valoarea staţionară dorită a ieşirii. în cazul răspunsului indicial, Ym =Ym+1 =··· = Ym+n =··· =l, având în vedere cerinţa ca eroarea în regim staţionar a SRA să fie egală cu zero după un număr m de perioade de discretizare. Astfel, prin impunerea răspunsului la o referinţă dată, impunem cerinţele de performanţă ale SRA, atât în regim staţionar, cât şi în regim tranzitoriu. Pentru proiectarea regulatorului, care asigură un răspuns impus, sunt date: modelul procesului H c 1 rtf' cerinţele de performanţă prin forma impusă a răspunsului; restricţiile asupra comenzii uk E U a ţinând seama de particularităţile elementului de execuţie şi de cerinţele de implementare ale regulatorului. în cazul în care modelul procesului este de fază minimă ( H c 1 ) este inversabilă), se poate obţine regulatorul cu un singur grad de libertate, pornind de la expresia funcţiei de transfer dorite HOd (s), funcţie ce poate fi

'

(z - )f"

(z -

cu

uşurinţă determinată, dacă R(z-1 )=~,

iar Yd(z- 1) este precizat prin

! 1-z

valorile coeficienţilor Yk . • in Astfel:

f':J' '!!!

~

H

\r
oAz - )= (r- z- }d (z- )= 1

1

1

( ) -1 ( ) -k =y1z -1 +y2-Y1Z +···+yk-Yk-1Z

((

(8.7) +···

În cazul în care se impune ca durata regimului tranzitoriu să fie egală cu m perioade de discretizare, se poate scrie li Od (z - 1 ) sub forma:

111

'f""~t

Hod (z -

1

)= Y1Z - 1 + (y2- Y1 )z -2 + ···+ + ( Ym-1-

-m+1 Ym-2 ) Z

+ (l - Ym-1 )Z-m

(8.8)

sau: (8.9)

unde: (8.10) m

Din (8.1 O) se observă că L p j·=l . j~1

v' l:wc\ li K,

~"~u~. K~:Jk'"

Proiectarea SRN pe baza modelelor intrare · ieşire

l 1

349

Ţinând seama că funcţia de transfer a SRA cu un singur grad de libertate (fig. 8.1.) are forma: (8.11)

Ho(z-t)= HR(z-I)Hc(z-l) ' I+H 8 (z- 1)Hc(Z 1) rezultă:

H (2

~1:

-t)=

1 [ Hod(z- 1 ) ]=H·t(2 -t).H (2 -t)

Hc(z 1) 1-Hod(Z-1) H

unde H d (z ·l )d

( -1)

od z 1-Hod(z- 1)

(8.12)

dd

c

reprezintă funcţia de transfer dorită pentru

sistemul deschis (calea directă). Prin înlocuirea în (8.12) a modelului invers al procesului

şi funcţia

care în acest caz reprezintă o serie finită în z-l cu coeficienţi bine ~determinaţi, se obţine algoritmul de reglare minim sub forma: HOd

(z-

1

),

(8.13)

HR(z-I)=A(z-l). P(z-1)

B(z -I)

1-P(z -l)

sau: • ) = S( z -1) so+StZ -1 +SzZ -2 +· .. +SnZ -n H lz-1 (8.14) R\ R( -l) 1 z +r1z -1 +r2z -2 +···+rnz -n unde coeficienţii ( r1 , s j) se pot calcula cu uşurinţă în funcţie de parametrii

modelului (a;, b j) performanţă

şi

de

coeficienţii

pj

determinaţi

impuse pentru referinţa treaptă unitară

Este de remarcat faptul

că

din

selectată

cerinţele

de

în acest caz.

dimensiunea polinoamelor

s(z -I)

şi

R(z -l ) rezultă în funcţie de dimensiunea modelului procesului şi de durata regimului tranzitoriu impusă prin numărul m de perioade de discretizare. În

-l)

-l)

are factori comuni cu P(z se poate reduce cazul în care polinomul B(z dimensiunea algoritmului de reglare. Această dimensiune poate fi redusă şi prin reducerea duratei regimului tranzitoriu, însă în acest caz se impune o analiză atentă a efectului asupra amplitudinii comenzii. Algoritmul rezultat prin această procedură de sinteză este un algoritm recurent, cauza!, ce poate fi pus cu uşurinţă sub forma: n

uk

n

= s0ck + i=l E S·€ k-·- E r· uk- · 1 l J=l J 1

(8.15)


350

cu uşurinţă că valoarea iniţială a comenzii pentru este u0 =s0 . Această valoare iniţială se poate calcula din (8.13) sub forma: Din (8.15)

rezultă

referinţa treaptă unitară

(8.16)

ceea ce evidenţiază efectul pe care îl au valorile p 1 , respectiv y 1 , asupra comenzii iniţiale. De observat că valoarea lui p 1 caracterizează viteza de răspuns a SRA. Cu cât se impune o viteză mai mare de răspuns (timp de creştere mare), cu atât comanda iniţială este mai mare pentru un coeficient b1 dat. În anumite situaţii, comanda iniţială poate depăşi limitele admisibile pentru elementul de execuţie şi, în consecinţă, regulatorul atinge nivelul de saturaţie al comenzii. Pentru a atenua acest efect negativ asupra reglării cu răspuns impus, se poate relaxa cerinţa de performanţă prin alegerea unei valori y; < y1 sau se poate modifica perioada de discretizare T . În acest din urmă caz, coeficientul b1 , care se obţine în funcţie de T , poate fi crescut prin creşterea acestei perioade de discretizare. Acest lucru este evident dacă modelul procesului se obţine prin discretizarea directă a modelului continuu al procesului (§ 2). Proiectarea regulatoarelor numerice prin metoda răspunsului impus, deşi conduce la un rezultat imediat, prezintă neajunsul major că amplitudinea comenzii poate ieşi din domeniul admisibil şi, în consecinţă, poate conduce la saturarea elementului de execuţie. Prin încercări succesive, se poate alege un răspuns (neoptimal) care să asigure şi satisfacerea cerinţelor impuse de încadrarea comenzii în limite admisibile [16, 57].

Exemplul8.1: Se consideră un proces caracterizat printr-o funcţie de transfer

(s)=

H P

K P

Tps+!

•

Se cere a se sintetiza un algoritm de reglare numeric, astfel încât, pentru se obţină un răspuns caracterizat prin valorile: y1 = y(T)= 0.8~l y(ZT)= y(3T)= ... = y(nT)= 1. Astfel, răspunsul sistemului atinge regimul staţionar după două intervale de timp egale cu T. Se impune ca u0 SUa, unde Ua este precizat pentru această aplicaţie Ua = 2. referinţă treaptă unitară să

Proiectarea SRN pe baza modelelor intrare ·

ieşire

351

Rezolvare: Structura SRA cu regulator numeric pentru un proces continuu, caracterizat prin H P (s) este dată în figura 8.2.

Regulator numeric

Fig. 8.2

Modelul discret al părţii continue în acest caz se obţine folosind relaţia:

Hc(z-1

)= (1-z- ).z[ H:(s)] 1

sau v-..~i'VIÂ) 1

Hc{z- 1)= (1-z-1)KP .z ~ i

\

s+TP

respectiv: -1

Hc(z

)=

K P (1-e -T ITP )z -1

l-z- 1e

Pentru K P = 1,

TP

-TIT

[2o.

P

= lOsec

şi

r

J CQ b1 )

T = 1sec, se

obţine

lÎ -1 6 " 1o modelul discret sub

forma: ~,

-l

0.5z- 1

H (Z -1 ) =__,vlc:Zc-,-~..:.c.:.::_..,.

1+a1 z-l 1+0.3z -l

c

·

Se observă că pentru valori mai mari ale lui T, coeficientul b1 are, de asemenea, valori mai mari.

Funcţia de transfer vJi?·') ill:,'z,

(

HOd Z

-1)

HOd

(z -1 ) se obţine sub forma:

= p 1z-1 + p 2 z-2 =0.8z -1 + 0.2z -2 .

R.,(rj Cu aceste elemente calculate se obţine algoritmul dereglare sub forma: 1 1 1 H (z-1 )= 1+0.3z- 1 z- (0.8+0.2z- ) _ (1+0.3z- 1 )(0.8+0.2z- ) 8

0.5z-1 1-Q.Sz-1-o.Zz

2

0.5(1-0.8z - 1-0.2z - 2 )


352

sau HR ( Z

_1)-

-

0.8+0.44z -I +0.06z -z !.6+0.83z -I +0.0012z - 2 1

2

0.5(1-o.Sz- -o.2z- )

1-o.Sz - 1-o.2z

2

Comanda iniţială rezultă: u0 =!.6
·r"

•• ••

•• Fig. 8.3 Obţinerea

unui algoritm de dimensiune redusă presupune a construi HOd (z-I) de dimensiuni reduse. Forma minimală a acestei funcţii de transfer poate fi definită pentru senmale de tip treaptă şi rampă astfel: Hod (z- 1 z- 1 pentru treaptă unitară (8.17) ceea ce evidenţiază că regimul staţionar se atinge într-o singură perioadă de discretizare, resrectiv: Hod (z-I)= 2z -I-z -2 pentru rampă unitară. (8.18) Aceste rezultate se obţin ţinând seama că pentru semnale polinomiale aplicate la intrare de forma:

)=

R(z-1) =

a(z-1) ,

(1-z-I )"

eroarea se anulează, conform teoremei valorii finale, perioade de discretizare egal cu n: E st

=lim(l-z- 1)[1-H (z- 1)] a(z-I) z~ 1 o (l-z 1)"

după

un

număr

finit de (8.19)

Proiectarea SRN pe baza modelelor intrare ·

Pentru treaptă unitară

ieşire

a( z-l) = 1, n= 1,

353

iar pentru rampă unitară

a(z- 1)=Tz- 1 şi n=2. în aceste condiţii, rezultă pentru cele două tipuri de semnale forma a răspunsului. Este evident că utilizarea unor modele de forma (8.17) şi (8.18) pentru sinteza algoritmului numeric, deşi se obţine o formă minimală, poate conduce la algoritmi necauzali, cu valori ale comenzii iniţiale necontrolate. Eroarea în regim staţionar se poate calcula, conform teoremei valorii finale, cu relaţia: minimală

a( z-1 ) a_"=lim(z-1)[1-H0 (zn. z~1 (t-z-1) 1 )]·

Pentru a

obţine

eroare

r:

egală

conţină termenul (1- z -l ~- H o(z -l )]= (1- z- 1 f(z) unde F(z) este un polinom ce nu

(8.20)

cu zero, se impune ca

~- H 0 (z -l )] să

are zerouri la z =1. Pentru un răspuns

minimal, se alege:

F(z)=l şi I-H 0 (z- 1 )=(l-z- 1 ) pentru n = 1 (treaptă unitară) 1- H 0

(z-1)= (1- z-1

r

şi

pentru rampă unitară ( n = 2 ). Astfel, se obţin H0

(z- )= z1

funcţiile

de transfer:

1

pentru n =1 şi H0

(z-1 )=1+2z-1 -z-2

pentru n = 2. Pentru procese asimptotic stabile, de fază minimă, se poate obţine un algoritm recurent cauza! de dimensiune minimă, dacă se compensează toate zerouri!e polinomului A(z). întrucât algoritmul de reglare conţine modelul invers al procesului se impune precauţie la compensarea singularităţilor instabile şi la prezenţa unor zerouri situate în afara discului unitar.


354

8.2. Algoritmul Dead-Beat (DB) 8.2.1. Algoritmul Dead-Beat normal DBn că

Presupunem

modelul procesului este dat,

coeficienţii

determinati cu precizie, zerourile polinoamelor B(z) şi interiorul discului unitar. Pentru o referinţă dată se poate construi polinomul P(z P(z- 1)=HOd P1Z-I + PzZ-2 + ... + PmZ-m

(z-I)=

dacă

admitem că pentru referinţă treaptă unitară răspunsul de regim staţionar după m perioade de discretizare. Cunoaştem p 1

=y

1

şi faptul că

(a; , b j) sunt

A(z) sunt în

-l) sub forma:

(8.21) atinge valoarea

m

L p j =1 , restul coeficienţilor

pj

j=l

sunt necunoscuţi. Introducem seria infinită: u(z- 1 uo + U1Z -l + U2Z - 2 + .. · + llmZ-m +um+IZ-m-l + ... (8.22) care reprezintă forma comenzii pentru cazul în care se obţine un răspuns sub forma: (8 ·23) { -1) =y1z -1 +yzZ -2 + .. ·+ymz -m +ym+IZ -m-1 +"· Y \Z În relaţia (8.22) nu se cunosc valorile "k până la um, care se poate determina din condiţia ca sistemul să atingă în regim staţionar o valoare a ieşirii Yst = 1 = Ym. Ţinând seama că

)=

B(q-1) ll k - A(q-1) k,

y rezultă:

m

A(l) 1+fa; um

=Ym. B(l) ~b.

1 Kc

(8.24)

1 )

unde Kc

= limHc (z- ) reprezintă factorul de amplificare al procesului. 1

z-->1

Definim raportul: U(z) Q( -1) (! --:= z -z -1)f[u 0 +u 1z -1 +uzz -2 + .. ·+umz -m +um+JZ -m-1 +·" ] R(z)

=

sau: (8.25)

Proiectarea SRN pe baza modelelor intrare -

ieşire

unde coeficienţii q; se pot calcula cu relaţiile: qo =u 0 , q 1 =u 1 -u 0 , ... , qm =um -um-I De observat că funcţia de transfer H R

(z - ) se poate obţine sub forma: (8.27)

Q(z-1) 1-P(z - 1) 1-P(z - 1)

c

(8.26)

1

H (z-1)=H-1(z-1). P(z-1) R

355

întrucât raportul Y(z- 1)1 R

z- 1

q; =a;q0

p 1 =b1q0 .

(8.28) U(z 1 )/Rz 1 Acest rezultat se obţine în condiţiile în care se aleg coeficienţii q; şi p 1 sub forma [36, 57]: ,

(8.29)

Într-adevăr, dacă se aleg coeficienţii q; şi p 1 în funcţie de a; şi b1 conform relaţiilor (8.29j, se obţine identitatea (8.28). În aceste condiţii, 1 1 ) şi ) se obţin sub forma: polinoamele

Q(z - Ptz Q(z - )= q 0 A(z -1 ) P(z -1 ) =q0 B(z -1) 1

Funcţia

de transfer a căii directe în acest caz are forma: 1

Hd

(8.30)

.B z(z -1~z1 - z- A z 1

iar funcţia H 0

1

_

1

q0 B z-

1

1-qo B z - 1

'

(8.31)

(z -1) devine: 1

s(

Hd z- _ -qo (S. 32) _ z-1\F pf\Z -1) . I+Hd z 1 Parametrii algoritmului de reglare se obţin în acest caz în funcţie de q 0 şi coeficienţii (a;, b1 ) ai modelului procesului. Valoarea coeficientului q0 se obţine cu uşurinţă din condiţia ca regulatorul să conţină componenta integrală: H o(z-1

m 1 LPJ=I, qo }=1 b1+b2 + ...... +bm şi,

în

(8.33)

consecinţă, rezultă:

ql.:ma; '

,· -1 ,......• m

})} j=l

b.1 -, P1·=m

})} j=i

(8.34) ;'

= l, ...... ,m


356

Câteva observaţii cu referire la această metodă rapidă şi simplă de sinteză a algoritmului numeric dereglare se impun: a) algoritmul de reglare obţinut are o formă similară ca şi în cazul utilizării metodei răspunsului impus: -1

H (z-I

Sz

-1

=

q 0 Az 1-qo B z -1

(8.35) 1 -m ' R z-1 l+r1 z +···+rmz însă dimensiunea acestuia este redusă substanţial, fiind egală cu dimensiunea modelului procesului; b) algoritmul sintetizat presupune compensarea totală a polilor modelului procesului, ceea ce impune o precizie ridicată în cunoaşterea coeficienţilor polinomului A(z); c) valoarea iniţială a comenzii u0 = s0 q0 este în acest caz determinată numai de coeficienţii b j . În cazul în care suma acestor R

=

coeficienţi

este redusă, se poate obţine o comandă iniţială care să conducă sistemul în saturaţie. De asemenea, prin utilizarea acestei metode se pot obţine salturi de comandă de la un tact la alt tact, ce pot determina o funcţionare total necorespunzătoare a regulatorului (dead-beat); d) relaţiile de calcul ale parametrilor de acord ai regulatorului sunt simple şi pot fi implementate în cadrul proiectării on-line în structuri de reglare adaptivă; e) pentru a relaxa cerinţa de încadrare în limitele admisibile se poate alege o perioadă de discretizare mai mare, astfel încât

m

L, bj

să fie mai

j=l

mare. O valoare prea mare a perioadei T duce la pierderea de informaţie în procesul de achiziţie, efectul unor perturbaţii asupra ieşirii nu este inclus în luarea deciziei şi în consecinţă pot apărea fenomene necontrolate, inclusiv instabilitate; f) pentru a controla nivelul comenzii iniţiale se poate adopta o metodă de proiectare ce are la bază o extindere a dimensiunii algoritmului de reglare. În cazul în care procesul conţine timp mort, extensia metodei de proiectare este imediată (exerciţiu pentru cititor) şi se obţine: HR

(z-t ~ qoA(z~I l-q 0 B

z

(8.36) -d

Exemplul 8.2: Se consideră procesul caracterizat prin fUncţia de transfer: \ H (.-t F z-1 +o.8z -2 c ~ 1+1.2z-1 +0.35z 2 •

Proiectarea SRN pe baza modelelor intrare • ieşire

357

Se cere algoritmul Dead-Beat pentru acest proces: -I -I -2 -I q0 A z s0 +siz +s 2 z H R (z -I -I -2 1-qoB z 1+riz +r2 z 1 1 qo=--~ 1 + 0.8 1.8 1

1

so =qo = 'i = 1.8 1.8 1 1.2 0.8 SI =-1.2~ r2-1.8 1.8 1.8 _ 1n _ 0.35 Sz - - v . 35 - - 1.8 1.8 Astfel, se obţine algoritmul recurent de ordinul doi: H R (z-I)= 1 + 1.2z-I + 0.35z-

2

1.8+ z-I +0.8z- 2

8.2.2. Algoritmul Dead-Beat extins (DBe) Comanda iniţială în cadrul algoritmului DBn este fixată prin valorile coeficienţilor b j . Pentru a relaxa această restricţie în aplicarea algoritmului DBn se poate extinde dimensiunea algoritmului şi, în consecinţă, se pot obţine unul sau mai multe grade de libertate de a controla comanda iniţială s0 • În cadrul acestui algoritm se consideră algoritmul de reglare sub forma: H (

-1

-m

-2

-m-1

so+siz +szz +···+smz +sm+Iz R 2 F -I -2 -m -m-I 1+riz +r2 z +···+rmz +rm+IZ în condiţiile în care procesul este caracterizat prin modelul: Hc

-I\

(z-I~Z-I A z-

Dacă

I

(8.37)

.

se notează cu: p'(z-I p;z-I + p;z -2 + ... + p~z -m şi respectiv: Q'(z-I q~ +q;z-I +···+q~z-m cele două polinoame construite pentru algoritmul DBn, rezultă că extensia algoritmului de reglare presupune satisfacerea următoarelor identităţi: z = z -I)(a-z -I) :q0 +qiz --I +···qm+1z -m-I (8.38) z = z a-z =P1Z +···+Pm+1z

)=

)=

Q( -1) Q'( P( -1) p'( -1)(

-1)

-I

-m-1


358

Relaţiile între coeficienţii q; ŞI q;, respectiv între p~ şi p 1 , în condiţiile

în care a este constantă arbitrară pozitivă, sunt de forma:

qo =aqo ql

= aql -qo

q2 =aq2 -ql

(8.39)

'

P2 =ap2- P1 P3=ap3-P2

Pm

= apm' -

(8.40)

Pm-1

Pm+l =-Pm

Între parametrii ( q;, p~) şi coeficienţii (a;, b1 ) ai modelului procesului sunt stabilite relaţiile conform (8.34) sub forma: q; =a;q~, i=l,2,···,m p~ =b1 q~,j=l,2, .. ·,m

Din (8.40)

(8.41)

rezultă:

m

m

J=l

J=l

~~p~~p~

~~

având în vedere cerinţa ca eroarea în regim staţionar pentru referinţă treaptă fie egală cu zero. Dacă ţinem seama de (8.41 ), atunci relaţia (8.42) se scrie sub forma:

unitară să

m

m

J=l

J=l

I=q 0 ~brq~~b 1

(8.43)

Din (8.43) se obţine:

' ""'"'""!

qo=qo

(8.44)

'm

~bj J=l

ceea ce evidenţiază posibilitatea de a alege comanda în funcţie de a .

iniţială

în mod arbitrar

Proiectarea SRN pe baza modelelor intrare • ieşire Folosind relaţia (8.44) şi ţinând seama de (8.39) parametrii de acord ai regulatorului DBe sub forma: . ' 1 1 'h =OOjtJo-tAJ=ot tJo-f!)+-=%(ot -1)+-

'j~~);

q;_

359 şi

(8.40), se

obţin

l:h

=aaz cio -ot cio =
qm

=aa,.c/o-a",...1 c/o=a.Ro-a,n-1(%-D,j )={a". -a",...1)tAJ+Th

qn>H

=-a".c/o=-a",[f!)-Di ]=-a",qo+i}i

respectiv:

P1 =ab1q~ =b1q0 P2

=ab2q~ -b1q~ =b2q0 -b{qo- Llbi J=(b2 -b1)q0 + ~~i (8.46)

unde

si sqi şir;

=-P;·

Algoritmul DBe, ca şi algoritmul DBn, se impune a fi calculat cu precauţie, având în vedere că polii procesului sunt compensaţi de regulator. Ţinând seama că regulatorul sintetizat poate fi pus sub forma: _

1

HR(z ) rezultă funcţia _

Hd

q~A(z- 1 )(a-z- 1 )

l-q~B(z-1)(a-z-1),

(8.48)

de transfer a căii directe sub forma: 1

q~(a-z- 1 )B(z- 1 )

(z )= 1-q0. B(z- 1)(a-z- 1) ,

(8.49)


360

ceea ce asipră o comportare a sistemului transfer H 0 \z -1 ) sub forma:

caracterizată

prin

H0 (z- 1 )=q~(a-z- 1 )B(z- 1 ).

funcţia

de

(8.50)

Aceasta ilustrează existenţa unui grad de libertate în realizarea comportării dorite prin alegerea parametrului a • Ca şi în cazul algoritmului DBn, se impun câteva observaţii referitoare la algoritmul DBe şi anume: a) algoritmul de reglare obţinut este cauza! şi are dimensiunea (m +!),ceea ce necesită un efort suplimentar la implementare; b) valoarea comenzii iniţiale poate fi aleasă de proiectant, astfel încât să se evite intrarea în saturaţie a regulatorului în primul tact şi să se asigure performanţe dorite pentru SRA; c) algoritmul de reglare conţine, ca şi în cazul precedent, un număr de (m + 1) poli în origine. Aceasta asigură răspuns rapid, însă prezintă o ridicată sensibilitate în raport cu variaţiile parametrilor (a; , b1 ); d) faptul că valoarea iniţială a comenzii este la alegerea proiectantului face posibilă alegerea unei perioade de discretizare T mai mică decât în cazul DBn şi, în consecinţă, se reduce riscul apariţiei unor fenomene necontrolate între momentele de eşantionare; e) metoda de proiectare presupune f) ca modelul procesului să nu conţină incertitudini parametrice, iar polinomul B(z) să aibă zerourile plasate în discul unitar. Pentru procese cu timp mort, structura algoritmului de reglare se obţine direct sub forma: H ( -1) R

ceea ce

z

1

qoA(z-1)(a-z-1) l -qo B( z-1) z-d( a-z -1)'

(8.51)

evidenţiază că prezenţa

determină creşterea

timpului mort în modelul procesului necesarului de memorie pentru implementare.

8.3. Proiectarea sistemelor de reglare prin proceduri de alocare a polilor 8.3.1. Formulare generală Considerăm

y

B(q-1)

u

modelul determinist cu o intrare şi o ieşire:

k A(q-1) k-d

(8.52)


361

unde polinoamele A(q -l) şi s(q -l) au fonna şi semnificaţia din (8.1.). Cele două polinoame sunt relativ prime (nu au factori comuni, iar d "'O). Pentru proiectarea SRA vom considera o structură cu două grade de libertate de fonna :

= R(q

(8.53)

S(q-1)

T(q-1)

uk

1 ) 'k- R(q 1/k

unde regulatorul este în figura 8.4.

fonnă canonică,

~

.2.. r(q·t)

+

iar SRA are structura prezentată în

uk

1 R(q-1)

...

$1q-d 1

s(q

Yk

-1)

Fig. 8.4 Considerăm

modelului:

comportarea

dorită

a sistemului

bk = q-d Bm(q- 1h

descrisă

cu ajutorul

Am(q- 1

(8.54)

unde Am (q -l) este polinom monic, stabil polinomul B,.

(q- ).

Dacă utilizăm

(8.52),

şi nu are factori comum cu

1

legea de

comandă

(8.53) pentru procesul descris prin

obţinem:

q

Yk =

-dT( -1)B( -1)

q

(8.55)

q

A(q-1 )R(q -1 )+ q -d B(q -1 )S(q -1)

Cele două ieşiri obţinute pentru (8.54) şi (8.55) trebuie să fie identice: q-dT(q-1)B(q-1) A(q-1)R(q-l)+q dB(q-1)S(q-l)

Astfel, problema

proiectării

aceeaşi

intrare, confonn

_ q-d Bm(q-d)

=

Am(q d)

.

relaţiilor

(8.56)

se reduce la detenninarea polinoamelor -l ). s(q - ) şi T~ - ), care asigură satisfacerea identităţii (8. 56). Din (8.56) rezultă că zerourile procesului trebuie, de asemenea, să se găsească printre zerourile sistemului în circuit închis, chiar dacă acestea sunt compensate de polii corespunzători ai SRA. De notat că zerourile instabile sau slab amortizate nu pot fi compensate de regulator, deoarece pot conduce la instabilitate.

R(q

1

1


362

În acest caz, considerăm factorizarea polinomului o(q -l) sub forma: (8.57)

o(q-l)=o+(q-l)n-(q-1)

unde o+(q- 1) conţine zerourile stabile (care pot fi compensate) şi o-(q- 1) conţine zerourile instabile sau slab amortizate (care nu pot fi compensate). Pentru a obţine o factorizare unică, vom alege o+ (q -l) sub forma unui polinom monic. Din (8.56) rezultă că ecuaţia caracteristică a SRA este: A(q-I)R(q

-1 )+ q-d O(q-1 )S(q-1) =Pc (q -1)

(8.58)

Printre rădăcinile acestei ecuaţii caracteristice se vor regăsi polii modelului de referinţă (zerourile polinomului Am -l )) şi zerouri le stabile ale procesului. Deoarece, în general, modelul de referinţă are un ordin mai mic decât al SRA, adică:

(q

grad[Am(q- 1)}grad[A(q- 1)R(q- 1)+q-d O(q- 1)S(q -l)], există

factori în partea

stângă

a

relaţiei

(8.56) care se

factori sunt incluşi în polinomul a, (q

-l)

(8.59)

compensează. Aceşti

care este denumit polinomul

observerului şi care se alege a avea rădăcinile bine amortizate. Polinomul observerului apare în mod evident în ecuaţia caracteristică, aşa cum s-a arătat în §7.4. Prin urmare polinomul caracteristic al sistemului închis poate avea următoarea formă:

A(q-1 )R(q-1) + q-d O(q-1) S (q-1 )=o+ (q-1 )Am (q -l

Deoarece

o+(q- 1)

polinoamele A(q -l)

şi

o(q

fe (q-1 ). (8.60)

este un factor al polinomului

o(q- 1)

şi

-l) sunt coprime, rezultă din (8.60) că o+ (q-) ar

putea să fie un divizor al polinomului R(q -l ), adică:

}R

R(q- 1)=o+(q- 1 1(q- 1)

(8.61)

În aceste condiţii, ecuaţia (8.60) poate fi pusă sub forma: A(q-1 )RJ (q-1 )+q-d o- (q-I)S(q -1 )=Am (q -1 )a, (q-J),

(8.62)

iar ecuaţia (8.56) este astfel echivalentă cu: q-d o+ (q-1 )O- (q-1) T (q-1) _ q-d Om (q-1) o+(q- 1)Am(q 1)a,(q- 1) A",(q 1) .

(8.63)

Proiectarea SRN pe baza modelelor intrare - ieşire

363

Pentru ca ecuaţia (8.63) să se menţină, ţinând seama că polinomul B- (q - ) nu poate fi compensat, este clar că B- (q - 1) trebuie să fie un factor 1

al polinomului Bm(q- 1), adică: Bm(q-1) = s-(q-1 ). B~(q-1) şi,

(8.64)

de asemenea, că: T(q- 1 ) =a, (q- 1 ).B~ (q- 1 ).

(8.65)

Astfel, rezultă că Bm(q- 1) nu poate fi ales liber. Putem alege liber numai parţial polinomul Bm(q- 1), prin alegerea polinomului B~(q- 1 ). Ecuaţia (8.62) este o ecuaţie diofantică, ale cărei soluţii sunt 1 1 )şi ). polinoamele Ecuaţia (8.62) poate fi pusă sub forma clasică de ecuaţie diofantică: A(q - 1)R(q- 1)+B(q- 1)S(q- 1)=C(q - 1) (8.66)

R(q-

s(q-

pentru care se poate demonstra că există totdeauna o soluţie pentru

s~- 1 ), dacă cel mai mare factor comun al polinoamelor

A(q- 1)

şi

R(q -l)

i3(q-

1

)

şi

este

un divizor al polinomului C(q- 1). Prin urmare, (8.62) va avea tot~auna o

soluţie pentru R(q- 1) şi s(q- 1), deoarece am aproximat că A(q- 1) şi B(q- 1) sunt coprime şi, în consecinţă, A(q - 1) şi q-d B(q- 1) sunt de asemenea coprime. De notat că dacă o soluţie există, atunci (8.66) are, în general, o şi S sunt soluţiile infinitate de soluţii. Într-adevăr, dacă R0

(q -l)

ecuaţiei (8.66), atunci poate fi uşor verificat că R0

0(q -l) {q- )+B(q- 1)Q(q- 1 ) 1

şi

s0 (q- 1 )-A(q- 1 )Q(q- 1 ),

cu Q(q- 1) un polinom arbitrar, sunt, de asemenea, soluţii ale ecuaţiei diofantice (8.66). Acest rezultat este datorat parametrizării Youla-Kuceia [46], care se prezintă sub forma următoarei teoreme. TEOREMA 8.1: Pentru un proces descris prin modelul

Hc(z)= ~~~j

şi un regulator stabilizator HR(z)= ~:~:~,există clasa tuturor

regulatoarelor stabilizatoare descrisă prin [6]:

S(z) _ S0 (z)+Q(z)A(z) R(z)- R0 (z)-Q(z)B(z) unde Q(z) este stabil.

(8.67)

/NG!NERL4 REGLĂRI/ AUTOMATE

364

Demonstraţie: Arătăm că !~:~ unde L(z) şi M(z) sunt polinoame. Astfel, relaţia (8.67) poate fi

este stabil, introducând Q(z)=

pusă

~~~)'

sub forma:

0

S MS +LA -= R MR 0 -LB

unde am omis argumentul z , pentru simplificarea scrierii. Utilizarea acestui regulator asigură un polinom caracteristic al SRA de forma: Pc =AR+ BS = A(MR 0

)+ B(Ms 0 +LA)= M(AR 0 +BS 0 ).

(8.68) Acest polinom are toate rădăcinile în interiorul discului unitate, deoarece M(z) este stabil şi AR 0 + BS 0 este stabil. Pentru a demonstra că toate regulatoarele stabilizatoare pot fi scrise ca (8.67) cu Q stabil, considerăm un regulator stabilizator S 1R, care conduce la un polinom caracteristic al SRA de forma: - LB

AR+BS =Pc.

Din (8.67) rezultă: SR 0 - QSB = RS 0 + QRA Jar SR 0 -RS 0 Q- AR+BS

Pc

care este stabil, deoarece polinomul Pc are toate zerourile în interiorul cercului unitate. Se poate demonstra existenţa unei singure soluţii pentru ecuaţia (8.66) dacă impunem următoarele restricţii asupra gradelor polinoamelor: gradR(q- 1)< gradB(q- 1 )

sau: gradS(q- 1 )< gradA(q- 1).

Mai mult, ţinând seama că algoritmul pe care-I proiectăm trebuie să fie cauza!, adică gradS(q- 1)< gradR(q- 1), şi alegem la limită, pentru a elimina apariţia unor întârzieri în legea de comandă: grad[S(q- 1 )~grad[R(q- 1 ~gradhq- 1 ) ], (8.69) rezultă următoarea condiţie: gradR(q- 1) =gradAm(q- 1 )+gradae(q-t

sau:

)+gradB+ (q -l )-gradA(q -l) (8.70)

grad[S(q - 1) ~grad A m(q -l )+ gradae (q - 1)- gradB(q -l )-d

(8.71)


365

Gradele polinoamelor R(q şi s(q sunt, astfel, impuse de structura sistemului şi structura funcţiei de transfer dorite pentru SRA. Pentru a fi siguri că se obţine o soluţie unică, vom alege: gradS(q- 1) :SgradA(q- 1)-1 sau gradR(q- 1 ):SgradB(q-1 )+d-l aşa cum rezultă din (8.67) sau (8.68) [6, 46]. Prin selectarea condiţiilor (8.70) sau (8.71) rezultă condiţiile pentru obţinerea unei soluţii unice pentru R1 -!)şi s(q sub forma:

-l)

-I)

-t)

(q

(q-l) = gradAm (q- 1)+ grada, ( q-l )- gradA(q-l) gradS(q- )= gradA(q- )-1 gradR1

1

1

(8.72)

(8.73)

sau:

)= gradB-(q- 1)+d-1 gradS(q- 1)= gr~ (q- 1)+ grada,(q- 1) - gradB- (q- 1 )-d gradR1 (q- 1

(8.74) (8.75)

Alegând condiţiile {8. 72) şi {8. 73) şi punând condiţia ca legea de reglare să fie cauzală ( grads{q- 1 )= gradA(q- 1 :S gradR(q- 1 )) se obţin:

)-1

gradae (q -l );:o: 2gradA(q -l )- gradAm (q - 1 )- gradB+ (q -l

În cazul în care se cere ca gradT(q - 1 (8.65),

)--1.

(8.76)

)s gradR(q - 1 ) şi ţinem seama de

obţinem:

gradae ( q- 1) + gradB+ ( q -

1 )

= gradT( q- 1)::::; gradR( q- 1 )

ŞI

gradR(q - 1 )~ gradAm (q - 1

)+ grada, (q -l )+ gradB+ (q- 1)- gradA(q- 1 ) (8.77)

sau gradA(q- 1)- gradB+(q- 1

)s gradAm(q- 1)- gradBm(q- 1).

(8.78) Excesul de poli ai sistemului poate fi astfel mai mic decât excesul de poli al modelului de referinţă. Condiţia (8.76), în combinaţie cu (8.78), garantează că reacţia va fi cauzală când (8. 72) ŞI (8. 73) sunt alese. Aceasta implică cauzalitatea funcţiilor de transfer: S(z- 1 )

H Ry

1 R(z--)

.

ŞI H Rr

T(z- 1) 1 R(z-)

·

În aceste condiţii, etapele proiectării sistemelor de reglare numerice cu două grade de libertate, prin alocarea polilor, sunt următoarele: 1 1 1 ) monic; • - Factorizează n+(q- 1 ), cu

n(q- )=

)n-(q-

n+(q-

11


366

-Alege Am(q- 1),

B"'&- 1 )=B-(q- 1 ~~(q- 1 ) şi a,(q- 1 ), astfel

încât să fie îndeplinite condiţiile (8. 76) şi (8. 78); 1 • -Selectează gradele polinoamelor R1 1 ) şi ), astfel încât să fie satisfăcute condiţiile (8.72) şi (8.73) sau (8.74) şi (8.75);

(q-

s(q-

-Rezolvă ecuaţia diofantică:

A(q- 1 )R1

R1 (q- 1 )şi •

(q- 1) +q -d 8- ( q - 1)s(q- 1)=Am (q- 1)a, (q- 1), pentru

s(q- 1); -

Calculează:

)= B+ (q -1 fi (q -1) şi T ( q -1) = a, (q -1) B~ ( q -1); R(q -1

•

Generează

-

T(quk-

1

comanda: S(q- 1 )

)

R(q-1)

rk

Polinoamele A(q

R(q-1)

Yk •

-l) şi s(q - 1)sunt coprime, iar A(q -l) este monic.

Exemplul 8.3: Se

consideră procesul caracterizat prin

1 A(q- )yk = B(q- 1~k cu Yo = 1

unde: A(q-l)=t+Zq-1 +q-2

modelul:

şi B(q-l)=zq-l+q-z+q-3 =q-l~+q-1 +q-2).

-l) poate fi factoriza/ astfel: s(q- )= z(t+o.sq- 1+O.sq-2 )= s-(q- 1).n+(q-1 ) cu B+ (q -l) manie. Polinomul B(q 1

Modelul de referinţă care defineşte comportarea dorită a sistemului de reglare este de forma: Am(q-l)yk =q-IBm(q-1) cu şi

Soluţie:

Pentru a satisface (8. 72), (8. 73)

şi (8. 76).

alegem grada,

(q -l )=O,


)=O

gradR1(q- 1

şi

( -1) = s0 + s1q -1 .

)= 1.

gradS(q- 1

Astfel,

367

a, (q- 1)= l,

R1(q- 1

)= r

0

şi

S 1q

Rezolvăm coeficienţilor r0 ,

în acest caz s0 şi s 1 :

următoarea ecuaţie diofantică

A(q-1 }?t{q-1 )+q-IB-(q-1 ~(q-1

pentru

obţinerea

)= Am(q-1 k(q-1)

,

sau (1+ 2q- 1 + q- 2 }o+ 2q_ 1 ,~ + s 1q-· 1 1-q- 1 + 0.25q- 2 . Din această identitate se obţine r0 =1, s 0 =-1.5 şi s1 = -0.375

0

)=

şi,

în

consecinţă:

R1

(q- )= 1. s(q- )= -1.5 -0.375q-'1

1

că atunci când a, (q - 1 ) este R1(q -l) şi R(q -l) trebuie să fie polinoame monice. Cunoscând R1(q -l) şi B + &1 -l ), se obţine: R(q - 1 )= s+ (q - 1 }?1 (q -l )= 1 + o.sq -l + o.sq - 2 De observat din (8.62)

atunci

un polinom manie,

şi

r(q- 1)= B~ (q -

1

~e (q -l )= 0.5+015q - 1.

În aceste condiţii, legea de comandă se calculează astfel: S(q-1) T(q-1)

uk R(q_1/k R(q·'/k sau

Rezultă

astfel un algoritm cauza/ de dimensiune

egală cu doi.

8.3.2. Proiectarea regulatoarelor cu două grade de libertate cu compensarea polilor şi a zerourilor procesului Considerăm că polinoamele A(z) şi

B(z)

conţin zerouri stabile şi/sau

instabile (în afara discului unitar). Astfel, presupunem că polinoamele A(z) şi B(z) pot fi factorizate sub forma:

A(z)=A+(z)A-(z) B(z)=B+ (z)B- (z)

(8.79)


368

unde A+(z) şi B+(z) sunt factori ce poţ fi compensat\ (conţin zerouri în interiorul discului unitar). Pentru a obţine factorizări unice, polinoamele A+ (z) şi B+ (z) se aleg a fi lm)ni.<;.e. Pentru compensarea singularităţilor procesului, rezultă că cele trei polinoame ce definesc regulatorul cu două grade de libertate pot fi puse sub forma: R=B+R1

(8.80)

S =A+ St

T = A+1J

Cu închis

această

capătă

reprezentare, polinomul caracteristic Pc al sistemului

forma:

(8.81) Ţinând seama că polinomul caracteristic al sistemului închis este alcătuit din polinomul caracteristic al regulatorului şi al estimatorului (observerului), putem factoriza polinomul caracteristic astfel: ~· = ae ·ac . (8.82) Această factorizare corespunde principiului separării utilizat la proiectarea legii de reglare după stare. Polinoamele A+ şi s+, care sunt compensate, sunt astfel factori ai polinomului caracteristic sistemului închis: Pc=AR+BS=A+ B+(A-R1+B-S1)=A+ B+Ji".

(8.83) Cu aceste identitatea:

notaţii, rezultă

din (8.81)

că

polinoamele R1

şi

S1 satisfac

A- R1 + B- S1 = ae ac .

(8.84) ' ' Regulatorul cauzat de ordin minim se obţine alegând soluţia unică cu gradS1 < gradA-.

Legea de reglare poate fi scrisa ca: B+ R1uk=A +1Jrk-A +StYk, respectiv

l

uk=A:[!irk~Yk B Rt R J 1

Această relaţie arată că compensează şi,

astfel, se

(8.85) polii

proiectează

şi

zerourile stabile ale procesului se regulatorul pentru un model de ordin


redus al procesului. Factorii compensaţi trebuie să corespundă modurilor stabile de funcţionare ale sistemului. În practică, pentru a se asigura o funcţionare stabilă în cazul proiectării regulatorului cu compensare de zerouri şi poli ai procesului, se impun precauţii speciale, asigurându-sc o delimitare a zonei de poziţionare a zerouri lor pentru care se obţine o amortizare suficient de bună [6, 46]. În cazul în care se urmăreşte realizarea unui raspuns dorit, ,definit prin: Bm )' =-rk

A

m

rezultă

m

'

a·

cu uşurinţă că polinomul

trebuie să fie un factor al polinomului

Bm, deoarece s· nu poate fi compensat, şi, prin urmare, Bm Prin alegerea polinoamelor R , S şi T sub forma:

= B- B~.

R=AmB+Ri

(8.86)

S=AmA+S1

T=B~a.elaciA+, legea dereglare poate fi scrisă astfel [6]:

uk

=

Din şi,

kl- B~ae ac

SI rk--Yk AmRI R1 1

B+

(8.87)

l

ecuaţia diofantică

(8.84)

rezultă:

ae ac = A- Rl + B- SI ' ' prin urmare,

(8.88)

B~aeiacJ

B~(A-R1 +B-S1)

AmRI

AmR1

sau

B~ae,ac1

Bm. A-+ Bm.. ~. AmRI Am BAm R1 În acest caz, legea dereglare (8.87) capătă fonna: Bm A

A+ SI,

uk~-rk+-·-=-
)

·

(8.89)

Astfel, regulatorul are două componente: componenta directă, (feedforward) cu funcţia de transfer: HRI(z) Bm(z)A(z)_ B~(z)A(z) Am (z)B(z) Am (z)B' (z)

(8.90)


370 şi

componenta în H RZ

reacţie,

cu

funcţia

de transfer: (8.91)

(z)=A+(z) SI(Z). B+(z) RI(z)

Polinoamele RI (z) şi SI (z) se obţin prin rezolvarea ecuaţiei diofantice (8.83). Regulatorul corespunde structurii generale cu două grade de libertate prezentată în figura 8.5. A B rk • ~

s

Bm

Am

~'(

~

R

1

~ wk

B A

Yk

Fig. 8.5 Răspunsul

la

perturbaţii

este generat de polinoamele ae,

ŞI

ac, , tar

răspunsul

la referinţă este dat prin funcţia de transfer Bm 1 Am . De notat că regulatorul nu poate fi implementat prin blocuri separate, aşa cum este arătat în figura 8.5, deoarece fiecare bloc separat nu este cauza!. Comportarea în raport cu perturbaţiile vi şi v2 (figura 8.6) se poate obţine, dacă se calculează mărimile de calitate uk, Yp şi Yk, sub forma:

BT BR BS rk+ vi Vz AR+BS AR+BS AR+BS BT BR AR } 'k rk+ vi+ v AR+BS AR+BS AR+BS 2 BS AS AT uk= rk vi+ Vz AR+BS AR+BS AR+BS Yp

+

(8 92)

.

B A

Fig. 8.6

Yp

+ Yk


371

Proiectarea regulatorului are ca obiectiv minimal stabilirea sistemului închis. Aceasta înseamnă că polinomul caracteristic Pc (z) = A(z)R(z)+ B(z)S(z) are toate rădăcinile în interiorul cercului de rază unitară. Pentru ca efectul asupra variabilei y P a unei perturbaţii v1 de tip treaptă să

fie nul în regim staţionar, se impune ca regulatorul să conţină un integrator ( R(z)= (z -I)R. (z) ). În mod similar, pot fi analizate condiţii specifice impuse polinoamelor R şi S pentru a fi satisfăcute cerinţe de performanţă în raport cu perturbaţiile v1 şi v2 • Exemplul 8.4: consideră

Se forma[6]:

(z)=

H

procesul caracterizat printr-un nwdel de ordinul doi sub

K(z-b)

=

(z-!Xz-a)

c

B(z) A(z)

unde bO, K>O. Se cere legea de reglare astfel încât comportarea SRA modelul: H (

m Z

)=

să fie descrisă

de

Koz 2 Z + PJZ + Pz

Soluţie:

Modelul procesului conţine un zero, Polinomul

z = b,

care nu este inclus în Bm (z).

B(z) poate fi descompus sub forma:

B(z)=(z -b)· K = s+ (z)· s- (z) Bm (z) = B~ (z)· a, (z) 1 cu Bm

( ) _ Bm ( Z) _ Ko _ 1+ P1

z -

s- (z) -

Întrucât

K -

Hm(!)= 1, şi

K

+ Pz

.

a, (z) poate fi ales

Gradele polinoamelor R1

şi

+ graJA., gradS = gradA -1 = 2 gradR1 = grada,

Alegând: Rt(z)=ro şi S(z)=soz+s!

S sunt date: gradA

a,( z) = 1.


372

se obţine identitatea polinomială:

(z -1Xz -ah+ K(soz +s,)= z 2 + P!Z + pz. Din egalarea coeficienţilor ce multiplică operatorul z la diferite puteri, se obţin relaţiile:

r0 =1

-(l+ah + Ks0 = p 1 şi,

ar0 +Ks1 = Pz după rezolvarea acestui sistem de

r0 = l , s 0

= l+a+ P1 , s1 K

ecuaţii algebrice, obţinem:

Pz -a

K

Polinomul T(z) se obţine cu uşurinţă: T(z) =a, (z)·

B~ ( z) = z 1+ P~+ Pz

Legea de reglare în aceste

t0 z.

condiţii are forma:

uk =tork -SoYk -SIYk-1 +buk-1·

8.4. Probleme ale

robusteţei

regulatoarelor numerice

Este evident faptul că nivelul de adecvanţă al modelului discret al procesului condus joacă un rol esenţial în obţinerea, prin proiectare, a unui regulator care să asigure robusteţea stabilităţii şi a performanţelor. Erorile de modelare pot influenţa dramatic performanţele sistemelor numerice proiectate prin metode bazate pe răspuns impus sau prin proceduri de alocare a polilor. De remarcat faptul că ecuaţia caracteristică a SRA cu regulator proiectat prin metoda răspunsului impus sau prin metode de tip dead-beat este: A0 (z)= z", întrucât funcţia de transfer a sistemului închis are forma: Ho(z)= P1Z- 1 + pzz-2 + .. ·+ P Z-n.

(8.93)

(8.94) În aceste condiţii, analiza sensibilităţii SRA la erorile de modelare şi determinarea preciziei modelului pentru a obţine o proiectare cu rezultate cât mai bune reprezintă cerinţe pentru validarea soluţiei proiectate. Pentru analiza sensibilităţii SRA la erorile de modelare, considerăm polinomul caracteristic în forma generală: 11

(8.95)

Proiectarea SRN pe baza modelelor intrare - ieşire

373

unde coeficienţii a; sunt determinaţi de poziţia polilor în interiorul discului unitate. Pentru simplitate, considerăm poli reali, distincţi Â; , şi în consecinţă ' polinomul caracteristic se obţine sub forma: n

(8.96)

P(z.a)= IT(z-'A;). 1

Admiţând că

prin erorile de modelare sau de reprezentare numerică a parametrilor regulatorului se modifică coeficientul ak cu liak , atunci o rădăcină A.1 a polinomului caracteristic se poate modifica cu 8A.1 . În aceste condiţii,

polinomul caracteristic satisface egalitatea:

P('A1 +O'A j• ak +Oak )= P('A 1,ak )+ BPI 8z

8P

+8ak

Z=A·

·li'A1 +

J

(8.97)

·liak +.. ·=0 z=l-.

J

Ţinând seama că P('A1 ,ak )=O, rezultă:

8P 8ak liÂ j =

z=l-.

apl , ·oak 8z

Dacă ţinem

(8.98)

Z=Â·

J

seama de (8.95)

şi

(8.96),

rezultă:

(8.99)

o'A 1 = r#:.j

Relaţia (8.99) evidenţiază efectul pe care îl are eroarea de modelare sau reprezentarea numerică a parametrilor modelului procesului sau/şi şi regulatorului asupra performanţelor SRA. Cu cât rădăcinile polinomului caracteristic sunt mai apropiate şi mai aproape de origine, sistemul închis are o mai mare sensibilitate la erorile de modelare sau reprezentare a parametrilor. Din (8.99) se poate observa şi faptul că sensibilitatea performanţelor la erorile de modelare (reprezentare) este cu atât mai mare, cu cât k este mai mic. În cazul în care polii SRA cu regulator cu două grade de libertate (fig. 8.7) reprezintă zerourile funcţiei F(z):

F(z)= 1+ HRy (z)H c(z)= =1+ HRy(z)TÎ c(z)+ HRy (z)Hc (z)- HRy (z)Hc(z)

(8.100)


374

unde

reprezintă modelul nominal al procesului pe baza căruia se

il,. (z)

proiectează regulatorul, iar H c (z) reprezintă modelul real, se poate deduce

cu

uşurinţă condiţia

de

robusteţe

a

stabilităţii.

Dacă:

(8.101) pe cercul unitate, atunci urmează, din principiul variaţiei argumentului, că diferenţele între numărul de poli şi numărul de zerouri în afara discului unitate pentru

funcţiile [1 + H d (z)J şi

[1+ il d (z)J sunt aceleaşi. Vz

Fig. 8.7 Precizia relativă cerută pentru robusteţea stabilităţii este obţinută prin împărţirea relaţiei (8.101) la

il d(z):

/_1_

Hc(z)-ilc(z) < I+ild(z) ilc(z) - ild(z) /H 0(z) · Dacă

(8.102)

scriem incertitudinea multiplicativă sub forma:

L M (Z )

=

Hc(z)-ilc(z) • () Hc Z

(8.103)

cu

/LM(z)/:Sla(w) atunci

condiţia

(z=eTÎ'"),

pentru asigurarea robusteţei

l/il 0(z)LM (zt

<1

stabilităţii rezultă

sub forma: (8.104)

sau (8.105)


Un rezultat similar obţinem dacă ţinem seama dereglare H Rr (z) şi H Ry (z) au semnificaţiile:

375 că

cele

două

blocuri

T(z)

HRr (Z) = R(z) ŞI

HRy (z) =

s(z) R(z)'

iar în cazul utilizării procedurii de alocare a polilor rezultă relaţia [6]:

ILM(z):>l \ )" Hmz

care

defineşte

HRrN HRyZI

nivelul de precizie

(8.106) relativă

a modelului cerut pentru asigurarea

stabilităţii SRA, unde Hm (z)= Bm((z)) are semnificaţia dată în (8.54). Am Z

Pentru a analiza efectul erorilor de modelare (reprezentare) asupra performanţelor, vom determina funcţia de transfer H 0 (z) în prezenţa incertitudinilor şi apelăm la o procedură de alocare a polilor pentru proiectarea regulatorului. Funcţia de transfer a SRA în prezenţa incertitudinilor se poate calcula în funcţie de H m (z) sub forma:

' s

H 1+H,-

H0=HmA'

~

(8.107)

H, l+H-

'R

Această

expresie arată cum erorile de modelare se reflectă în expresia funcţiei de transfer H 0 (z) şi, implicit, în performanţele SRA. Analiza sensibilităţii şi a robusteţei SRA numerice trebuie să evidenţieze limitele erorilor de modelare (reprezentare) care pot fi admise pentru proiectarea regulatorului, ţinând seama de particularităţile metodelor de proiectare pe baza modelelor discrete. Proiectarea algoritmilor numerici prin proceduri de alocare a polilor sau pe baza răspunsului impus presupune considerarea unor precauţii speciale la alegerea polinomului caracteristic dorit şi a răspunsului impus. Sensibilitatea ridicată a performanţelor la erorile de modelare impune o alegere a zerourilor polinomului caracteristic într-o zonă admisibilă, evitându-se originea şi zona apropiată de cercul unitar (O< l"d < 1) .


376

Procesul de proiectare este o procedură tipic iterativă, care presupune alegerea polinomului caracteristic şi restiicţiile impuse polinoamelor R şi S, ţinând seama de particularităţile procesului. Prin proiectare, se urmăreşte reducerea la minimum a "fragilităţii" regulatoru!ui, având în vedere faptul că modelele sunt determinate cu precizie limitată.

PROBLEME 8.1. Se consideră un proces caracterizat prin modelul: ·)H p(S -

o.se·4s

(5s + 1X 15s + 1)'

Se cere: a) stmctura SRA cu regulator numeric cu un singur grad de libertate; b) modelul discret al procesului, alegând în mod corespunzător perioada de discretizare; c) algoritmul de reglare care asigură un răspuns indicial de forma:

Y(O )= Y(T)= Y(2T)= O Y(3T)= 0.7, Y(4T)= Y(5T)= · ·· =Y(kT)= 1 8.2. Se consideră un proces caracterizat prin modelul: -1 o 5 -2 H (-! ) = z + . z c \~ 1 o7 -1 -2 .

+ . z +z Se cerc: a) un algoritm DB care să asigure o comandă iniţială u0 s 0.5 ; b) să se compare algoritmul DB cu algoritmul obţinut printr-o procedură de tip răspuns impus, care asigură:

Y(O)=O, Y(T)=0.8, Y(2T)=Y(3T)=···=1. 8.3. Pentru un proces caracterizat prin:

(z)=~· z+1

H c

2 (z-1)2

se cere: a) stmctura de SRA cu regulator numenc cu două grade de libertate; b) polinoamele S(z), R(z) şi T(z), astfel încât poiinomul caracteristic să fie de gradul doi cu t; = 0.7 şi mn = 0.2, cu T =!sec.


377

8.4. Se consideră procesul caracterizat prin modelul: H c (z-1

)= (1-1.5z -l x!+0.5z- 1 + z - 2). 1+0.5z-1 + z- 2 +O.sz- 3

Se cere: a) structura SRA numeric cu două grade de libertate; b) polinoamele S(z). R(z) şi T(z), astfel încât funcţia de transfer dorită pentru SRA să fie de forma: 1

2

3

H (z-1)= Po+Piz- +Pzz- +P3z, m 1+a1z- 1 +a2 z- 2 +a3 z- 3 +a4 z- 4 cu a1 şi Pj specificaţi. 8.5. Se consideră procesul caracterizat prin

Hc(z-1)=

şi

H ( _ 1) -

sj

şi

z

de transfer:

z-1-

1+a1z 1 impunem o comportare m

funcţia

-

dorită

a SRA, descrisă prin:

1

z- (l+aJ) 1 • 1+ a1z-

Se cere: a) algoritmul de reglare cu două grade de libertate cu parametrii r1 , tk în funcţie de a1 şi a1 ; b) polinomul caracteristic al sistemului închis. 8.6. Se consideră procesul caracterizat prin

Hc(z-1)=

z-1 +0.7z-2

funcţia

de transfer:

.

1-l.Sz -I + 0.8z -z Se cere algoritmul de reglare care asigură polinomul caracteristic al SRA de forma: Pc(z- 1)=1-1.5z- 1+0.7z- 2

cu un estimator de dimensiune minimală de tip dead-beat (polii plasaţi în origine). Se vor considera cele două cazuri posibile, în care se compensează sau nu se compensează zeroul procesului. 8.7. Se consideră procesul caracterizat prin funcţia de transfer:

1 2 Hc(z-1)= OAz- +0.3z- . 1-1.6z-1 +0.7z- 2

~


378

Se cere a determina algoritmul de reglare printr-o procedură de alocare a poli lor, astfel încât să fie satisfăcute cerinţele: a) amplificarea în regim staţionar egală cu unitatea; b) polinomul caracteristic al estimatorului să aibă gradul minim; c) să se compenseze zerouri le; d) polinomul caracteristic dorit să fie de forma:

P,.(z- 1 )=!-0.1z- 1 +0.3z-2 ; e)

regulatorul conţine (nu conţine) integrator.

8.8. Se consideră procesul caracterizat printr-un model discret: H { -~)c \Z

z-z

- 1 - 3z -1 + 2z -2 . Se cere algoritmul de reglare ce plasează ambii poli ai SRA în origine, iar fomm acestuia este dată de ecuaţia generală Ruk = Trk - Syk cu S =-T, Comparaţi

alocarea polilor şi

rezultatele obţinute prin metoda de proiectare prin metoda DBn.

bazată

pe

9.

SISTEME STOCASTICE DEREGLARE

9.1. Introducere În cele ce urmează, considerăm că perturbaţiile ce acţionează asupra procesului sunt de natură stocastică şi pot fi generate de un sistem liniar, la intrarea căruia se aplică zgomot alb discret. Ieşirea procesului poate fi calculată în acest caz sub forma: Yk

B(q-1) C(q-t) A(q-t) uk-d+ A(q-1) vk

(9.1)

unde vk reprezintă o secvenţă de variabile aleatoare necorelate, de medie zero şi deviaţie standard egală cu cr • În cazul în care nu există perturbaţii, modelul procesului se reduce la o raţională H c (z - 1 ). Când nu există semnal de comandă, modelul este un proces stocastic cu o densitate spectrală raţională sau un proces ARMA. Modelul (9.1) reprezintă un sistem liniar perturba! de zgomot. Un asemenea sistem poate fi reprezentat că în figura 9.1, cu una sau două surse de zgomot. vk

$] f.jq-d 1

Yk uk

1

(b)

(a)

Fig. 9.1

Yk

INGINERIA REGL4RII AUTOMATE

380

Când polinomul C(z) are toate zerourile în interiorul discului unitate, spunem că avem o reprezentare a inovaţiei, deoarece variabilele aleatoare vk reprezintă inovaţii ale procesului aleator. Dacă variabilele vk şi uk sunt cunoscute până la momentul k , atunci Yk poate fi calculată ca şi vk, dacă se cunosc variabilele Yk şi uk până la momentul k • Modelul stocastic de stare în care se includ perturbaţiile stocastice vk şi wk are forma generală: xk+l ~ xk

+ ruk + vk

ron

(9.2) +wk unde vk şi wk sunt secvenţe de vectori independenţi identic distribuiţi cu valori medii egale cu zero şi matrice de covarianţă R1 şi R2 , iar matricele , r, C au semnificaţie cunoscută şi dimensiuni corespunzătoare pentru uk E 9\m, Yk E 9\ P. Starea iniţială x 0 a sistemului (9.2) este o variabilă aleatoare necorelată cu zgomotele albe discrete vk şi wk, având media egală cu :X0 , E {x0 }"' x0 , şi matricea de covarianţă R0 : Yk ~cxk

; x0 E n

E{ [.xo -xo]·[xo -:xof}== Ro

(9.3)

Matricele R0 şi R1 presupunem că sunt semipozitiv detinite, iar R2 este o matrice pozitiv definită, unde R1 şi R2 se calculează cu relaţiile:

E~kvT}~ R1 E{wkw[}~ R2

(9.4)

Modelul (9.2) poate fi utilizat pentru a reprezenta sisteme liniare finit dimensionale cu perturbaţii procese stocastice cu densităţi spectrale raţionale.

Pentru sinteza legii de reglare în prezenţa perturbaţiilor stocastice pot fi folosite atât modele intrare-ieşire (9.1), cât şi modele de stare (9.2). Criteriile de performanţă utilizate frecvent în proiectarea legii de reglare pentru procese stocastice au forma: !1 =

E~·f}

în cazul în care se consideră că Yst =O, deci

I2 ==E{yţ+puf}}

(9.5) referinţa

este egală cu zero sau: (9.6)

care, în aceleaşi condiţii, include şi varianţa comenzii ponderată cu scalarul p, pentru procese cu o intrare şi o ieşire. Minimizarea acestor criterii asigură dispersia minimă a ieşirii sau varianţa minimă a ieşirii în prezenţa perturbaţiilor stocastice.

Sisteme stocastice de reglare

381

Un criteriu de performanţă care asigură comportarea dorită atât în raport cu referinţa, cât şi în raport cu perturbaţii le stocastîce are forma:

2.

{

13 = E [Yk+l -rk] +p[uk -U,)

2}

(9.7)

unde rk reprezintă referinţa sistemului de reglare, iar U s reprezintă valoarea de regim staţionar a comenzii. Minimizarea acestui criteriu de performanţă asigură eroare staţionară nulă pentru referinţă treaptă. Legea dereglare obţinută prin minimizarea criteriilor (9.5)+(9.7) se cunoaşte şi sub denumirea de lege de reglare de minimă varianţă. În cazul utilizării modelelor de stare stocastice (9 .2), forma generală a unui criteriu pătratic are forma: /4

f = Elx~SxN +N~ })x[ Qxk +u[ Ruk) }

(9.8)

k=O

unde matricele S , Q şi R au senmificaţia dată în capitolul 7. Minimizarea acestui criteriu de performanţă permite determinarea legii de conducere optimală pentru un proces ale cărui variabile de stare şi perturbaţiile sunt stocastice. Această lege de conducere este cunoscută şi sub denumirea de lege de conducere liniar pătratic-gaussiană (LQG). În funcţie de criteriul de performanţă selectat şi de modelul matematic al procesului, în prezenţa mărimilor exogene stocastice se pot utiliza diferite metode de proiectare a iegii dereglare/conducere.

9.2. Sinteza legii de reglare de Presupunem

că

legea de reglare uk

minimă varianţă

reprezintă

o

combinaţie liniară

a

variabilelor Yk, Yk-l• ••. , Yk-n, uk-l, uk_ 2 , ... , uk-n, ceea ce asigură cauzalitatea acestuia. Pentru a obţine o asemenea lege de reglare, admitem că pertnrbaţiile v; şi v J sunt necorelate pentru i ct j. În aceste condiţii, se poate sintetiza o lege de reglare optimală liniară. fn cazul proceselor descrise de modele de forma: V

.k

_B(q-\-

C(q-l)v A(q-l) k d A(q-l) k

(9.9)

sinteza legii de reglare ce minimizează un criteriu pătratic de forma: 1=

E~ f+J

(9.10)


382

presupune rezolvarea a două probleme distincte: predicţia ieşirii Yk+d pe un orizont de timp egal cu timpul mort d , şi sinteza legii dereglare ce minimizează criteriul (9.1 0). 9.2.1. Proiectarea predictorului optimal

Presupunem că procesul ce urmează a fi predictat este generat de un filtru la intrarea căruia se aplică zgomot alb Gaussian, iar cel mai bun predictor se consideră cel care minimizează eroarea pătratică de predicţie. Un predictor admisibil în m tacte este o funcţie arbitrară de variabilele disponibile Yk, Yk- 1 , .... Considerăm procesul stocastic descris prin modelul: C(q-1)

(9.11)

A(q- 1)vk

Yk

unde şi

C (~q

-1) =1+c1q -1 +···+cnq-n

sunt polinoame monice, stabile, în operatorul de întârziere q - 1 • Admitem că variabilele Yk, Yk-1 , ••• , au fost observate predictăm ieşirea Yk+m după un număr de m tacte. Din (9.11) se obţine cu uşurinţă:

şi

C(q -1) Yk+m- A(q-l) Vk+m= =vk+m+f1vk+m-1

dorim

să

(9.12)

+···+ fm-1vk+l + fmvk + fm+lvk-! +···

dacă se realizează o dezvoltare în serie a raportului

c(q

-l )t A(q-I).

Astfel, în membrul drept al relaţiei (9.12) pot fi evidenţiate două componente, una ce conţine informaţii cunoscute la momentul k şi cealaltă care conţine informaţii necunoscute la momentul k . Dacă ţinem seama că polinomul c(q-1 ) este stabil şi se poate calcula v; din Y;, Yi-1, ... , folosind relaţia: V

-

A(q -

1 )

k - C(q-1)

(9.13)

y k

din (9.12) obţinem predictorul optimal în sensul minimizării erorii pătratice sub forma: (9.14)

Sisteme stocastice de reglare iar eroarea de

383

predicţie:

ek+mlk =vk+m + J,vk+m-1 + ... + fm+lvk+l'

Rezultatul de mai sus se obţine

(9.15) dacă se realizează descompunerea:

C(q-1) =F( -1)+ -m G(q-1) A(q-1) q q A(q-1) •

(9.16)

unde:

F( q-1) = 1+ flq-1 + .. ·+ fm-lq··m+l G(,q -1) =go+glq -1 + .. ·+gn-lq -n+l · Folosind (9.17), Yk+m

sau,

=F(q

dacă ţinem

-1

ecuaţia

(9.17)

(9.12) devine:

G(q- 1) )vk+m+ A(q-l) Yk

(9.18)

seama de (9.13): -1

Yk+m = F(q

G(q- 1 ) )vk+m+ C(q·l/k

(9.19)

Primul termen din dreapta în ecuaţia (9 .13) conţine informaţiile necunoscute, variabilele vk+i sunt toate independente de datele disponibile Yk, Yk-l• Yk- 2 , ... , la momentul k. Ultimul termen este o funcţie liniară de datele disponibile la momentul k. Introducem funcţia arbitrară y ce reprezintă predicţia ieşirii în funcţie de datele disponibile. Eroarea de predicţie în acest caz se calculează cu relaţia: ,

, F( -1) G(q-l) , q vk+m C(q-1) Yk-y

ek+mjk=Yk+m- )'=

(9.20)

Minimizarea erorii pătratice conduce la:

2 1 ,2} {( _1 )2}·-rEllc(q-rk-Y [rc(q- ) ,) ]+ E {h+m-Y) =E F(q )vk+m (9.21)

c(q-1) 1 +ZE [F(q- )vk+ml·,c(q-fk -.îi!·

l

vk+l

1

Ultimul termen în (9.21) este egal cu zero, deoarece vk+m, vk+m-l, au valoarea medie egală cu zero şi sunt independente de Yk, Yk-1• . •.. Minimul expresiei (9.21) se obţine pentm:

y

G(q-\ C( q -1). k

... ,

(9.22)

INGINERIA REGLĂR!l AUIVMATE

384

Astfel, predictorul optimal este descris de (9.22) sistem liniar, iar eroarea de predicţie este:

şi reprezintă

un

(9.23)

ek+mjk =F(q -l )vk+m

Rezultatul obţinut poate fi definit prin teorema: TEOREMA 9.1 - Predicţie optimală: Predictorul optimal în m tacte pentru un proces stocastic generat de (9.11), unde polinomul C(z) are toate zerourile în discul unitar şi vk este o secvenţă de variabile aleatoare independente, este: , , G(q-t) y=yk+mjk C(q-t/k•

unde

c(q -t) se obţine din descompunerea: c(q-t )= A(q-t )F(q -t )+ q-mc(q -t)

(9.24)

şi

are semnificaţia dată în (9.17). De remarcat faptul că aproximaţia conform căreia v; şi vj sunt independente pentru i j este esenţială pentru ca ultimul termen din (9 .21) să fie egal cu zero şi, astfel, cel mai bun predictor este liniar. V arianţa erorii de predicţie este dată de relaţia:

*

E { e~+mjk

}=cr2 ( 1+ .t? + ... + f,;_ 1)

ceea ce evidenţiază cât de bine poate fi orizonturi de timp. Pentru obţinerea polinoamelor

(9.25) predictată ieşirea Yk

F(q- 1) şi c(q- 1) se

pe diferite

poate rezolva

ecuaţia diofantică:

c(q-t )= A(q-l )F{q-1 )+q-mG(q-1)

obţinând

cu uşurinţă

CI=

c2

coeficienţii f;, g j

din sistemul de

ecuaţii

algebrice:

al+ ft

= a2 + aJ1 + fz

Cm-1 =am-I+ am-zf1 + '" + aJim-2 + fm-1 Cm =am+ am-1f1 + ... + alfm-1 + go Cm+l = am-1 +am fi+ ... + aJim-J

+ gl

(9.26)


385

Exemplu/9.1: Considerăm

y k -

sistemul:

l-Q.3q-l +0.4q" 2 V l-q , + 0. 5q , *

unde vk are varianţa egală cu unitatea. Se cere a determina predictorul optim pentru trei tacte. Identitatea (9.24) are în acest caz forma:

1-0.3q- 1 + 0.4q- 2 =(1+ J;q- 1 + J,q-')(1-q·' +0.5q- 2 )+q- 3 (g 0 + g,q-') 1-0.3q-I +0.4q- 2 =1+ f 1q" 1 +

f 2 q- 2 -q- 1 - J,q- 2 - J,q-3 + +0.5q-' +0.5J;q_, +0.5/,q-• + goq-3 + g,q-4 -0.3= J; -1-> J; =0.7 0.4= !, - J; +0.5 ..... J, =0.6

0=-/ 2 +0.5/1 + g 0

0=0.5!, + g, ..... g, iarpolinoamele

F(q- 1 )şi

->

g0 = +0.25

= -0.3

G(q- 1 )sunt:

F( q-') = 1+0.7q- +0.6q .. G(q ')=0.25-0.3q '. 1

2

Predictorul optimal în trei tacte este: , 0.25- 0.3q-I Yk+Jik l-0.3q 1 + 0.4q ' Yk

9.2.2. Sinteza legii dereglare de

minimă varianţă

Considerăm că polinomul B(z) are toate zerourile în discul unitate

iar C(z), de asemenea, este stabil. Modelul procesului are forma y-k

B(q -1) U

A(q-l) k-d

+

generală:

C{q-1)

(9.27)

V

A(q-l) k

unde d = gradA- gradB >O, iar gradA = gradC = n. Ieşirea predictată pe d + 1 tacte poate fi scrisă din (9.22) sub forma:

şi

(9.24),


386

sau (9.28) Primul termen din (9.28) este independent de datele disponibile la momentul k şi, de asemenea, independent de termenul al doilea şi al treilea. Cel de al doilea termen poate fi calculat exact pe baza datelor disponibile ţinând seama de (9.27): V

(9.29)

_A(q-1) y -q-d B(q-1) u k C(q-1) k C(q-1) k

Folosind expresia (9 .29) în (9 .28) se obţine: G(q- 1 )

-1

Yk+d+l = F(q

)vk+d+l

1 A(q-)

-d-1

Yk -q

B(q- 1 )G(q- 1 ) 1 A(q-1)C(q-)

uk +

B(q- 1 ) A(q

1)

uk+l

sau (9.30) Calculul varianţei ieşirii Yk+d+l conduce la:

f

2

l

-1

E))lk+d+l FE-r,,F(q ţinând

1 1 1 ) 1 )~· {[G(q- ) B(q- )F(q- ) )vk+d+l 'frE, C(q _ /k + C(q _ ) uk+l J (9.31) 2

f{

1

1

seama că vk+d+l, ... , vk+l sunt independente de Yk, Yk-l, ... ,şi uk,

uk-t' ····

Deoarece ultimul termen în (9.31) este pozitiv, urmează E{yf+d+d

:2':

(1+ [..2 + .... + J} )cr2

iar egalitatea se obţine uko

că:

dacă:

G(q-1)

y

qB(q -1 )F(q -1) k

(9.32)

care reprezintă comanda optimală de minimă varianţă. Rezultatul poate fi rezumat în următoarea teoremă.

TEOREMA 9.2 - Reglare de minimă varianţă: Considerăm un proces descris prin (9.27), unde vk este o secvenţă de variabile aleatoare independente, de medie egală cu zero şi deviaţie egală cu u. Polinoamele B(z) şi C(z) au zerourile în interiorul discului unitate. Legea de reglare de

minimă varianţă este dată de (9.32), unde polinoamele

c(q -l) şi F(q -l)


387

sunt date de (9.24) cu m = d + 1.

Această

lege de reglare

dă ieşirea

în regim

staţionar:

1

Yk=F(q- )vk=vk+f!vk-1+···+ fdvk-d a cărui varianţă este:

var[Yk l=e&f+d+l ~a Rezultatul

obţinut

2

se

6 + t/ + ··· + !} ). bazează

pe teorema 9.1

şi

pe faptul

*

că v, şi v1

sunt independente (necorelate) pentru i j. Strategia de minimă varianţă se obţine prin predicţia ieşirii pe un orizont egal cu d tacte şi alegând acea comandă care egalează predicţia cu ieşirea dorită. Problema de control stocastic poate astfel fi separată în două probleme, una de predicţie optimală stocastică şi una de control optimal deterministic. Teorema 9.2 poate fi interpretată ca o teoremă de separare[ 6]. Eroarea de reglare este o medie alunecătoare de ordin egal cu ( d -1 ), şi deci pentru argumente mai mari de ( d -1) aceasta este egală cu zero. De remarcat faptul că prin utilizarea legii de reglare de minimă varianţă, zerourile procesului se compensează.

Exemplul 9.2: Considerăm

sistemul [6]: 1

1 +0.5q -l -2 +"--'-l--'-0"-.9_,_q_-_ _ Yk l-1.7q-l +0.7q-2 q uk 1-l.?t/-1 +0.7q-2 vk.

Prin divizarea polinoamelor qd-IC(q) la A(q) se obţin polinoamele: F(q)= q + 0.8 şi

G(q )= 0.66q 2 - 0.56q

sau

)= 1+ 08q c(q- )= o.66 -o.s6qF(q -l

-l

1

Legea dereglare de

1

•

minimă varianţă

este:

0.66-0.56q-l uk

l

l

(1 +0.5q- )(1 + 0.8q -- )

Yk

iar varianţa ieşirii este:

var[yk ]=Ebf ~1+(0.8? =1.64 pentru a = l. Legea de reglare de minimă variantă poate fi interpretată în de rezultatele obţinute prin procedura de alocare de poli.

funcţie


388 Prin utilizarea legii dereglare de se obţine:

minimă varianţă

din (9.27)

şi

A&-1) -B(q-lk-d JYkHC(q-l)]v [G(q-1) qF(q-1 ~(q-1) uk O k

(9.32) (9.33)

Polinomul caracteristic al sistemului închis este dat de determinantul matricei din partea dreapta rela)iei (9.33~. Astfel qA(q-1 f(q-1 ~(q-1 )B(q-1 -d s(q ţ(q 9 .3 4) dacă ţinem seama de (9 .24 ). Strategia de conducere de minimă varianţă poate fi interpretată ca o proiectare bazată pe alocare de poli, unde polii sunt plasaţi la zerourile date de (9.34). Această similaritate poate fi evidenţiată dacă legea de reglare se scrie sub forma:

)+Gtq-1

unde

-1)

(

G(q-1) S(q-1) uk qB(q -1 )F(q -1) Yk =- R(q -1) Yk s(q- 1 )=G(q- 1 }şi R(q- 1)=qB(q- 1)F{q-1). Ecuaţia caracteristică

A(q-1 )R(q -1 )+

care

p = -1

reprezintă

(9.35)

a sistemului închis este: = c(q -t ~(q 8 (q-t )s(q

-1 h-a

-1)

un caz special al ecuaţiei diofantice, când

ac=qB(q-tj şi ae=C(q- 1).

s+ =B,

Într-adevăr,

dacă se consideră s(q- 1 )= o(q- 1 ) R(q -t )= qB(q -l )F(q -t ), ecuaţia caracteristică va căpăta forma:

cu şi

qA(q -t ~(q -1 )F(q -t )+ s(q -t p(q -t h-d = =B(q-lxqA(q-l )F{q-l )+ G(q-l »-d l= =s(q -t h[A(q-1 f(q-1 )+ G(q-1 »-d-1 ]= qB(q-1 ţ(q-1) întrucât c(q- 1)= A(q-1 )F(q-t )+ q-d-1 0 (q-1 ). Acest

rezultat

este

obţinut

pentru

cazul

s(q- 1)= s+(q- 1), adică toate zerourile polinomului B- 1(z)

particular când sunt poziţionate

în exteriorul discului de rază unitară.

9.3. Algoritmi de minimă varianţă cu penalizarea comenzii Considerăm

Yk-

procesul caracterizat prin modelul:

B(q-l) C(q-l) uk a+ A(q-1) - A(q-1) vk


-l)

389

-l

( un de B \q = b 1q + ... + b"q -n are toate zerourile în exteriorul discului unitate. Criteriul de performanţă ataşat problemei de sinteză a algoritmului de reglare de minimă varianţă şi penalizare a comenzii are fom1a: 1= E{y}+d+l

+puţ}.

(9.36)

Pentru rezolvarea problemei de sinteză folosind acest criteriu de performanţă parcurgem cele două etape: predicţia ieşirii şi sinteza legii de reglare. Ţinând seama de modelul procesului, putem scrie ieşirea sub forma: B(q-1) . C(q-1) (9.37) Yk+d+l A(q-1) uk+l + A(q-l) vk+d+1 sau,

dacă ţinem

C(q-

1

)

A(q - 1 )

seama de descompunerea: F( -1)

q

+q

unde polinoamele F(q- 1 )

-d-1

G(q-

1 )

1

.4(q )

şi

,

G(q- 1 ) au forma:

)= 1+ f1q- + f2q- +··· + fdq-d G(q -l )= go + glq-1 + ... g"_lq-n-1, F(q- 1

1

B(q- 1)

2

1 uk+l +F(q

Yk+d+l

A(q )

-1 )vk+d+l

Ţinând seama că polinoamele

+

C(q- 1)

.

vk.

(9.38)

C(z)

au zerourile în interiorul

A(q 1 )

B(z)

şi

(9.39)

(9.40) Criteriul de performanţă (9.36) poate fi pus în acest caz sub forma: l-E

-

B( -1)

q u l A(q-1) k+!-

f[

G( -I'B( -1) -d-1 1

q q q A(q 1)C(q 1)

u

+

k+l

(9.41)


390

sau dacă se consideră identitatea polinomială: c(q-1

)= F(q-1 ~(q-1 )+q-d-IG(q-1 ), 1

=

l

B(q- )F{qE {[ C(q- 1)

2 1) 1 G(q- ) --1 ] 2} uk+1 + C(q- ) Yk + F(q )vk+d+1 +puk . (9.42) 1

Dacă ţinem seama că necorelate cu

1

F(q- }k+d+ 1

uk, uk-l, ... , Yk, Yk- 1 , ... ,

conţine informaţii viitoare,

(9.42) se poate scrie sub forma:

2 1 1 1 { B(q- )F(q- ) G(q- ) ] -1 } 2 l= [ C(q-1) uk+l+ C(q-1/k +E F(q )vk+d+1 +puk.

Valoarea

minimă

a acestui indice de

performanţă

se

obţine

pentru

.

(}[

-=0, respectiv:

auk

sau G(q-- 1)

o

uk =-

qB(q- 1)F(q- 1)

+ ~ C(q- 1)

(9.43)

Yk ·

Pentru cazul în care se alege p =O se

obţine

comanda

optimală

sub

forma: (9.44) ceea ce evidenţiază faptul că algoritmul are aceeaşi formă ca în cazul precedent. Introducând comanda uk în ecuaţia ce defineşte modelul procesului: B(q-1) Yk

A(q-1)

C(q-1) uk d +

-

A(q-1)

vk

se obţine:

sau (9.45)

Sisteme stocastice de reglare Ieşirea

391

sistemului în

funcţie

de zgomotul vk se

calculează

astfel cu

relaţia:

yk-

(9.46)

C(q-l)F(q-1) V A(q -1 )F(q -1 )+G(q -1 )q -d-1 k

sau, dacă ţinem seama de descompunerea C = AF + q -d-! G , se obţine: Yk

= F(q- 1~k,

ceea ce ilustrează că

ieşirea

este o medie

alunecătoare

Yk = vk + flvk-l + hvk-2 + ·" + fdvk-d ·

V arianţa ieşirii în acest caz este: var[yk]=E{yf}=a

2

[l+ f'? +···+ J}j.

(9.47)

Este de remarcat faptul că valori mari ale timpului mort conduc la ale varianţei variabilei Yk . Utilizarea algoritmului de minimă varianţă în forma determinată nu asigură comportarea dorită în raport cu referinţa. Astfel, eroarea în regim staţionar este diferită de zero pentru o referinţă de tip treaptă, în cazul în care procesul este de tip proporţional. creşteri

9.4. Algoritmi de

minimă varianţă modificaţi

Pentru a asigura eroarea staţionară nulă pentru referinţă treaptă unitară, se pot proiecta algoritmi de reglare de minimă varianţă modificaţi, astfel încât să se asigure pentru sistemul de reglare atât varianţa minimă a ieşirii în prezenţa perturbaţiilor stocastice, cât şi eroarea staţionară nulă pentru intrare treaptă. Cea mai simplă metodă pentru obţinerea erorii staţionare egală cu zero este aceea de a adăuga algoritmilor de minimă varianţă o componentă integrală. Astfel, algoritmul de reglare în condiţiile includerii unui compensator de tip PI este definit prin produsul: H R(z-

1)= H RMv(z- 1). H PI ~z- 1 )

unde H RMV (z- 1) varianţă, iar

reprezintă funcţia de transfer pentru algoritmul de minimă

H PI(z-l)= 1+

K

-1

(9.48) 1+p1z reprezintă algoritmul PI cu q 0 = 1, q 1 = K; -1 şi p 1 = -1. Pentru K1 =O rezultă comportare proporţională, iar pentru K 1 = 1 rezultâ comportare integrală. i

z-1

qo+qlz 1


392

Este uşor de remarcat faptul că includerea compensatorului de tip PI ( K; "'O) în structura regulatorului de minimă varianţă, deşi asigură comportarea dorită în regim staţionar pentru referinţă treaptă, comportarea în raport cu semnalele perturbatoare stocastice este suboptimală (varianţa ieşirii nu mai este minimă). O altă posibilitate pentru asigurarea comportării dorite a sistemului de reglare, atât în raport cu referinţa, cât şi cu semnalele stocastice ce acţionează asupra procesului, este aceea de a proiecta algoritmul de reglare astfel încât să se asigure minimul unui indice de performanţă de forma (9. 7). Pentru un model al procesului de forma: y

B( -1) k

q

C( -1)

U

A(q-1) k-d

+ q

V

A(q-1) k

criteriul de performanţă ce se cere minimizat are forma: 2 1= E{(Yk+d+I-rd +p(uk-U,) }

(9.49)

unde u, reprezintă valoarea de regim staţionar a comenzii corespunzătoare regimului staţionar de funcţionare fixat prin rk . Punând condiţia y" = rk = 1 , rezultă cu uşurinţă expresia comenzii U, : A(!)

1

B(l)

Kc

(9.50)

U ---rk =-rk '

întrucât Kc=lim B(z-;> z->1 A(z- )

reprezintă coeficientul de transfer al procesului.

Pentru proiectarea algoritmului de reglare vom proceda într-o manieră similară ca în paragraful anterior pentru proiectarea algoritmului de minimă varianţă pentru procese cu timp mort [57]. Ieşirea predictată pe orizontul ( d + 1) este dată de relaţia: _ Yk+d+l-

sau,

dacă ţinem

B(q-1) A(q

_1 uk+l

)

C(q-1) A( _1)vk+d+l q

(9.51)

seama de descompunerea: 1

C(q -l) F( -1 )+ -d-1 G(q- ) A(q-1) q q A(q-1)

se

(9.52)

obţine:

(9.53)


393 (9.54)

vf =F(q·-1 )vk+d+1

criteriul de performanţă (9.49) poate fi pus sub forma:

I=E{(y*+vrrS +p(uk-u,) 2} sau:

l=E{(y* -rS}+E{vJ}+ 2E{(y*-rkh }+E{p(uk-ui}Dacă ţinem

seama că v1

reprezintă informaţii

(9.55)

viitoare necunoscute care

nu sunt corelate cu ( y • - rk ), criteriul de performanţă poate fi pus sub forma:

1=

B(q-1)

u A(q t) k+l

G(q-l) (

+ A(q

1)

B(q-l) ]A(q-1) 12 y.----u d -rkj + k A(q-l) k- C(q 1) J

(9.56)

+E{vj} +p[uk -U,]2 Pentru calculul comenzii optimale, valoarea . 81 raport cu uk se obţme pentru -=0. 8uk

minimă

a

funcţiei l

în

Astfel, rezolvând ecuaţia .!!!.__=0, respectiv: 8uk

q'r(

B(q-1) G(q-1) B(q-1) A(q-l) q- C(q-1) A(q-1) q

-d)

uk

G(q-1) ] + Yk C(q-1) -rk]+

(9.57)

++k- ;c rk]=O se

obţine

comanda optimală. Ecuaţia (9.57) poate fi

pusă,

după

efectuarea unor calcule

elementare, sub forma: [

B(q-1)C(q-l)q -G(q-1)B(q-l)q-d +_E_A(q-I)C(q-1) luk

q

+G(q-I)A(q-I)Yk- C(q-1)A(q-l)

J

[t+E.q _l_1'k = 0 Kc)

Dacă ţinem

seama de identitatea polinomială:

C(q -1 )-G(q -1 )q -d-1 =F(q -1 }A(q -t)

+ (9.58)


394 rezultă

cu uşurinţă din (9 .48) legea de comandă optimală ce minimă a indicelui de performanţă (9.55):

u,o

=

G(q- 1) g_C(q-1) + B(q-1)F(q-l )q

~

_E_C(q-1)+B(q-1)F(q-1)q

~

~-m

~ k,

Se poate observa cu uşurinţă că strategia de reglare caz are două grade de libertate şi poate fi pusă sub forma: uko

optimală

S(q -t) Yk + T(q -1) rk R(q-1) R(q-1)

unde polinoamele R(q- 1),

valoarea

+

[1 +-p 1) r,.

C(q-1)

+

Yk

asigură

în acest (9.60)

s(q- 1) şi T(q- 1) au semnificaţia:

R (q-1) =g_C(q-1)+B(q-1)F(q-1)q

~

(9.61)

S(q-1) =G(q-1)

T(q- 1)=C(q- 1)[1

+g_J..j. ~ k,

Structura sistemului de reglare cu regulatorul optimal proiectat este prezentată în figura 9 .2.

t--l+~o-.

I--t+>{/" '\ Yk .. +

Fig. 9.2


395

9.5. Sinteza legii de comandă optimală pentru procese stocastice Se

după

stare

consideră că

perturbaţiile

procesele sunt caracterizate prin modele de stare, iar stocastice acţionează atât asupra stării, cât şi asupra ieşirii

măsurate.

9.5.1. Sinteza legii de comandă

optimală

Considerăm

modelul de stare: xk+l =xk + ruk + vk Yk

=Cxk + wk

(9.63)

cu x0ER", E{x0 }= x0 Matricele de

şi

(9.62)

şi E{[x0 -:XO] [x0 -

covarianţă

R0

şi

xor}= f?o.

R1 = E~k v[} sunt semipozitiv definite

R2=E{wk w[} este o matrice pozitiv definită. Semnalele perturbatoare vk şi wk sunt

secvenţe

identic distribuiţi cu valori medii zero. Criteriul de performanţă ataşat problemei de comandă optimală are forma:

de vectori

independenţi

l=E{x~SxN+ ~~~[ Qxk+u[ Ruk )l k~

J

sinteză

a legii de

(9.64)

unde S şi Q sunt matrice simetrice semipozitiv definite, iar R este o matrice simetrică pozitiv definită. Problema de sinteză a legii de comandă poate fi formulată astfel: dându-se (9.62) se cere a determina o strategie de comandă, astfel încât criteriul de performanţă (9.64) să aibă valoarea minimă. Pentru rezolvarea acestei probleme vom aplica principiul optimalităţii [6, 15, 46] cu particularităţile impuse de natura stocastică a variabilelor, care intervin în modelul (9.62) şi (9.63). Astfel, comanda optimală în acest caz are aceeaşi fonnă ca în cazul determinist: (9.65) u?=-Fk.xk unde matricea Fk se calculează cu ajutorul ecuaţiei matriceale:

r

Fk =tR +r

T

Pk+l

r 1}1 r T Pk+t

(9.66)


396

iar Pk este o matrice simetrică semipozitiv rezolvarea ecuaţiei recurente:

definită,

ce se

obţine

prin

(9.67)

P, =4>T Pk+l+Q-F{[R+fT Pk+lrh

sau P,=Q+F{ RFk +(<1>-fFd Pk+I (<1>-fFt} cu condiţia iniţială P(N) = S .

Acest rezultat se

obţine

cu uşurinţă

dacă

(9.68) scriem (9.64) sub forma:

1

E{x1sxN+

~ (x[ Qxk+u[Ruk )f=E{~xŢ Qx,+u?' Ru,}+ J

k=O

s=O

(9.69)

+{x1SxN+~(x; Qx,+u; Ru, 1} şi, ţinând

seama că primul termen nu depinde de uk, uk-l, uN-I, minimul acestui indice de performanţă se reduce la minimul celui de al doilea termen din expresia (9.69): mini =minE{x1SxN+ Uk

Uk

~k Qx,+u?' RuJLE{V(xk,k)} J

(9.70)

S>=k

unde V(xk ,k) este dată de relaţia:

V(xk,k)=u/~~~-I E{x~SxN+ ~k Qx,+uŢ Ru, 1} sau V(xk, k )=minE~[ Qxk +u[ Ru,

"'

+V((Xk+l ,k+l)/xt )~

+ E{v((xk+l ,k+l)l x, )}]

= min[x[ Qx,+u[ Ruk

(9.71)

"'

1ar

V(xk+l•k + l)=minE{x1SxN+

~(x; Qx,+u?' Rus}l xk+

1 }.

(9.72)

s:=k+1

Pentru k =N se

obţine:

V(x,N)=minE~~SxN jx, ~xT Sx.

"'

(9.73)

Această ecuaţie dă condiţia iniţială

Presupunem că soluţia (9. 73) este o formă pătratică:

ecuaţiei

pentru (9. 71 ). funcţionale (9.71) cu

T

(9.74)

V(xk,k)=xk Pkxk+hk

unde Pk este o matrice

pătratică

condiţia iniţială

semipozitiv definită.

Sisteme stocastice de reglore 397 ------------~--------------------------

Similar, definim funcţionala v(xk+l ,k + 1): (9. 75) (9. 71 ), trebuie mai întâi a determina distribuţia condiţională a vectorului xk+l care pentru (9.62) are o medie (
Pentru a evalua

funcţionala

E{V((xk+l ,k + 1) xk )}=(xk +ruk l Pk+l (xk +ruk )+t,R1Pk+ 1+hk+l (9.76)

întrucât pentru xk normal cu media m

şi covarianţa R1

[6)

E~r Px~mr Pm+t,R1P. Introducând (9.76) şi (9.75) în (9.71) se obţine: V(xk ,k)=rnin~f Qxk+u[ Ruk +(xk +ruk l Pk+l (xk +ruk )+t,R1Pk+l +hk+l}

sau,

dacă

"'

introducem comanda optimală (9.65), se obţine:

V(xk ,k)=xrlQ + FTRF + (
+

(9.77)

+ t,R1Pk+l + hk+t

unde: F=Fk =[R+rr Pk+IrJ

1 .rr Pk+ 1

iar ecuaţia recurentă pentru calculul matricei Pk se identitatea relaţiilor (9.74) cu (9.77):

obţine

imediat din

Il =
(9.78)

= hk+l + t,R:Pk+i·

Astfel, ecuaţia recurentă (9.78) are forma precizată în (9.67). Pentru N -• oo se obţine soluţia asimptotică ca şi în cazul deterministic (v. § 7.7). Pentru sinteza comenzii optimale am presupus că starea procesului este accesibilă măsurării. În practică, starea trebuie reconstruită din măsurători în prezenţa perturbaţiilor stocastice. 9.5.2. Estimarea stării in prezenţa Pentru sistemul (9.52), xk =
ecuaţia

perturbaţiilor

stocastice

predictorului de stare este:

+ ruk-1 + Lk--dYk-1 -

Cxk-d

(9.79)

iar eroarea de estimare (predicţie) se obţine sub forma: ek =xk -xk =[
(9.80)


398

Vom determina matricea Lk a estimatorului, astfel încât eroarea de reconstrucţie a produsului scalar ar ek să fie minimă în sensul mediei

Vectorul a este un vector arbitrar, de dimensiuni introducem notaţia: Sk:=E~ke[ },

pătratice.

corespunzătoare.

Dacă rezultă:

E~Tt\i{a~aTSka. Ecuaţia erorii de predicţie la pasul (k + 1 ), are forma: ~~~~~~-4~ respectiv:

ţinând

(9.81) seama de (9.80),

~.8~

_ =ek .r(..-.... L kc)r +vkr -wkrLrk · (9.83) ek+l Cu aceste elemente putem calcula media erorii la pasul ( k + 1): Sk+! =(<1>-LkC)Sk (-LkC)Y +R1+LkR 2 LT =E~k+le[+J care reprezintă varianţa erorii de reconstrucţie. Ecuaţia recurentă (9.74) poate fi pusă şi sub forma: ..,

rf

T

T

1-I

(9.84)

..,T

Sk+l="'Sk +R1-SkC [R 2 +CSkC j CSk"' +

+[ Lk-Skcr(Rz+CSkCT t J[R +CSkCT f *{ LcSkcr(R +CSkCT t} 2

(9.85)

2

Valoarea minimă a varianţei erorii de reconstrucţie a stării se obţine în cazul în care membrul al doilea al relaţiei (9. 85) este identic egal cu zero, respectiv dacă:

o

rf

rl-l

Lk =Sk C [R2 +CSkC j .

(9.86)

Matricea L2 calculată cu ajutorul relaţiei (9.86) mmtmizează varianţa erorii de reconstrucţie a stării. Predictorul optimal (filtrul Kalman) este în acest caz caracterizat prin ecuaţia: xk+l =xk+ruk+LHyk-cxd

L2

(9.87)

se calculează cu ajutorul relaţiei (9.86). Filtrul Kalman este astfel un observer asimptotic de ordinul n care dă predicţia sau estimarea stării într-un mediu stocastic în condiţiile în care se cunosc matricele de covarianţă ale zgomotelor ce acţionează pe stare vk şi la ieşire wk . unde


Valoarea din (9.75):

minimă

a

399 varianţei

erorii de

reconstrucţie

a

stării

se

obţine

(9.88)

Primul termen din (9.88) arată cum eroarea de reconstrucţie la pasul k se transmite la pasul ( k + 1) prin dinamica sistemului. Prezenţa matricei R1 în expresia varianţei Sk+l pune în evidenţă efectul perturbaţiilor vk asupra varianţei erorii de reconstrucţie. Ultimul termen pune în evidenţă modul cum eroarea de reconstrucţie scade, datorită informaţiei obţinute din măsurători. De notat că Sk nu depinde de observaţii, putând fi precalculată în timp direct şi memorată în calculator. Varianţa erorii de reconstrucţie se calculează cu ajutorul ecuaţiei recurente: Sk+l=SkT +R1-LkCSkT (9.89) dacă matricea Lk este generată pas cu pas pe baza ecuaţiei: L2=
1

Este de remarcat faptul constant a , ales arbitrar.

•

că

(9.90) matricea Sk+l nu depinde de vectorul

Pentru calculul matricei Lk se impune ca matricea [R2 +CSk C T] să fie nesingulară. Această condiţie se verifică cu uşurinţă dacă matricea R2 este pozitiv definită ( R2 este pozitiv definită dacă toate ieşirile sunt perturbate). Pentru rezolvarea celor două ecuaţii matriceale (9.89) şi (9.90) iniţializăm sistemul cu S0 = R 0 , determinând astfel la fiecare pas matricea estimatorului. Matricea Lk este ajustată în permanenţă ţinând seama de varianţa zgomotelor vk şi wk şi de varianţa erorii de reconstrucţie (predicţie) ek. În acest sens se poate spune că filtrul Kalman este adaptiv. Este de remarcat faptul că soluţia (9.78) este de aceeaşi formă cu ecuaţia Riccati, asociată problemelor de conducere optimală prin minimizarea unui criteriu pătratic, rezultatul în acest caz fiind matricea optimală L2 a predictorului de stare. Principala diferenţă faţă de problemele de comandă optimală constă în faptul că ecuaţiile se definesc cu condiţii iniţiale şi se rezolvă în sens normal al creşterii timpului. În cazul în care caracteristicile zgomotelor vk şi wk sunt invariante, după un regim tranzitoriu determinat de matricea de covarianţă a stării

INGINERIA REGLA"Rll AUTOMATE

400 iniţiale R0 ,

matri cele Lk ŞI sk asociate predictorului optimal tind spre matricele constante L şi S :

L=SC 7 [R2 +CSC 7 S=[-LCJs

J

1

(9.91)

(9.92) 1 În cazul în care se folosesc soluţiile asimptotice (9.91) şi (9.92) pentru construcţia stării xk, se impune a cunoaşte media x0 a stării iniţiale şi matricea de covarianţă R0 • Utilizarea soluţiilor asimptotice pentru Sk şi L2 permite calculul ofline al matricei L şi construcţia stării xk prin rezolvarea ecuaţiei: (9.93) xk =
(9.95) soluţia asimptotică

este o

soluţie

suboptimală.

Sistemul închis cu o strategie de conducere de tipul LQG este descris prin ecuaţiile: xk+l =
+ ruk +vk

Yk

=Cxk +wk

uk

= -·Fxk/k-1

xk+I/k =
(9.96)

+ L(yk- Cxkjk-J ).

introducem eroarea de predicţie

[;::; J= [

}[;: J

ek

= xk

-

xk, obţinem:

(9.97)

ceea ce evidenţiază că dinamica sistemului închis este determinată de matricele (- rF) şi (- LC) corespunzătoare problemei de control LQ şi filtrului optimal. în figura 9.3 se prezintă schema de implementare a regulatorului LQG. Funcţia de transfer ataşată regulatoru!ui LQG în cazul sistemelor cu o intrare şi o ieşire are forma: ~ 1-1 S(z) ( (9.98) HR ( z) =-Fzl-+!F+LCJ L=-R(z)


401

R(z)=det[zl-+fF+LC], gradR(z )= n , iar gradS(z)< n.

unde:

Polinomul caracteristic

ataşat

filtrului Kalman este:

aF = det[zt-(- LC)j

(9.99)

iar polii acestuia se află printre polii sistemului închis. ,-----------------------------------------~--------------------.

:

'

PROCES

'

Yk

'' '' 1_

-------------------~--------------------------------------

;'

'' '' '' '' ' -·

Pentru procesul caracterizat prin cele două polinoame coprime A(z) şi B(z), utilizarea regu!atorului optimal (9.98) conduce la ecuaţia:

A( z)R( z) + B(z)S( z) = aF (z)ac (z). (9.100) În acest caz, polinoamele R(z) şi S(z) pot fi obţinute prin rezolvarea ecuaţiei

diofantice. În acest caz, legea admisibilă de conducere este determinată de polinoamele R(z) şi S(z). Pentru a nu avea întârzieri în legea de comandă, adică uk să fie o funcţie de Yk, Yk-1 , •.. , şi uk_ 1 , uk-z, ••• ,polinoamele R(z) şi S(z) trebuie să aibă acelaşi grad. Dacă legea de comandă este o funcţie de Yk- 1 • Yk- 2 , ..• , uk_ 1 , uk-z, ... , existând o întârziere de un tact în comandă, excesul polilor în funcţia de transfer a regulatorului este egal cu unitatea.


402

Este evident că dimensiunea polinoamelor R(z) şi S(z) determină complexitatea legii de reglare. Este de remarcat faptul că soluţia la problema LQG bazată pe modelul de stare introduce restricţii suplimentare la rezolvarea ecuaţiei diofantice (9.100). Ecuaţia (9.98) reprezintă o interpretare polinomială a soluţiei de stare. Regulatorul optimal obţinut pe baza modelului de stare impune gradR(z)= n şi gradS(z)< n. Dacă A(z) şi B(z) sunt coprime, regulatorul optimal LQG reprezintă o soluţie unică a ecuaţiei (9.1 00), cu condiţia

gradS(z)< gradA(z). În cazul în care procesul este caracterizat prin modele de fază sau conţine moduri necontrolabile prin comanda uk, se impune adoptarea unor proceduri specifice de sinteză a celor două polinoame R(z) şi s(z). În [6] sunt prezentate particularităţile metodelor de sinteză a algoritmilor dereglare in cazul în care B(z) conţine zerouri în afara cercului de rază unitară. Problema unnăririi referinţei poate fi rezolvată în acelaşi mod ca şi în cazul determinist. Principalele probleme ce trebuie avute în vedere la implementarea legilor de conducere LQ şi LQG sunt legate de: alegerea parametrilor de proiectare, matricelor de ponderare în funcţie de obiectiv şi perioada de discretizare; obţinerea unor modele cât mai exacte pentru proces şi neminimă

perturbaţii;

efortul de calcul numenc ŞI metodele de rezolvare cât mai eficiente pentru obţinerea legii de conducere.

9.6. Algoritmi de conducere predictivă Printre tehnicile avansate de conducere a proceselor industriale, de un real succes se bucură tehnicile de conducere predictivă. Restricţiile impuse de elementele de execuţie care pot intra în saturaţie, cerinţele de menţinere a funcţionării proceselor în jurul punctului optimal de funcţionare, evitându-se astfel introducerea unor importante incertitudini de tip neliniaritate, precum şi alte restricţii care apar în conducerea unor procese apelând la algoritmi convenţionali au impus în ultimii 15 ani noi strategii de conducere cum ar fi: Dynamic Matrix Control (DMC),


403

Generalized Predictiv Control (GPC), Extended Horizon Adaptive Control (EHAC), Extended Predictive Self-Adaptive Control (EPSAC), Multipredictor Receding Horizon Adaptive Control (MURHAC), Multistep Multivariable Adaptive Control (MUS MAR). În cele ce urmează se prezintă algoritmul de conducere predictivă cunoscut sub denumirea MODEL PREDICTIVE CONTROL (MPC). Există mai multe modalităţi de reprezentare a acestei clase de algoritmi apelând, fie la modele polinomiale, fie la modelele de stare, atât pentru procese cu o intrare şi o ieşire, cât şi pentru procese cu multiple intrări şi multiple ieşiri. Vom considera reprezentarea polinomială a

ohl""'';: ~i;j:::I:J::rto
vk

(9.!0

l)

este zgomot alb discret, iar polinoamele c(q - 1 ) şi D(q - 1 ) se aleg

sub forma: c(q- 1 1+c1q- 1 + ···+cnq-n şi D(q- 1 l-q- 1 • Un asemenea model este cunoscut sub denumirea de model CARIMA (Controlled Auto-Regressive Integral Moving-Average). Pentru sinteza legii de conducere predictivă considerăm, pentru simplificarea procedurii de sinteză, cazul particular c(q - 1 1. Modelul matematic pe care îl adoptăm în vederea sintezei legii de conducere predictivă, în aceste condiţii, are forma:

)=

)=

)=

A(q- 1)Yk = s(q- 1)uk-d + ~

(9.102)

A(q- 1)Yk =B(q- 1)uk-1 + ~

(9.103)

sau

unde t. =1-q-1 • Controlul predictiv presupune predictarea ieşirii procesului pe un orizont de timp precizat şi calculul comenzii care forţează sistemul de reglare spre o comportare impusă prin traiectoria de referinţă, astfel încât ieşirea predictată să fie egală cu referinţa. Predicţia se poate realiza într-un pas, într-un număr de paşi egal cu timpul mort d sau într-un număr extins de paşi mai mare decât timpul mort. Eficienţa utilizării unui algoritm de conducere predictivă trebuie analizată luând în consideraţie faptul că procesele pot fi caracterizate prin modele de fază neminimă, instabile în buclă deschisă sau conţin poli aproape de zona de instabilitate (roboţii industriali), au timp mort


404

necunoscut sau variabil (procese de !aminare), conţin incertitudini structurale sau/şi parametrice. Problema sintezei legii de conducere predictivă presupune rezolvarea a două subprobleme: problema predicţiei ieşirii pe un orizont de timp precizat şi sinteza legii de conducere optimală minimizând un criteriu pătratic.

9.6.1.

Predicţia ieşirii

Mai întâi admitem că modelul procesului este de forma (9.103) şi extinzând rezultatul obţinut în§ 9.3, putem scrie identitatea: 1 = FAq-1 ~(q-1 ~+q-jGAq-1) (9.104) unde F1 (q- 1) şi aAq- 1) sunt polinoame unic definite pentru intervalul de predicţie j date.

Dacă înmulţim ecuaţia (9.103) cu produsul F1 (q-

(q-

F1

1

A(q-1)

~
~(q- 1 ~Yk+J = F1 (q- 1~(q- 1 ~uk+J-1 + F1 (q- 1~k+J

1

sau ţinând seama de (9 .1 04) se obţine

şi

(9.105)

ieşirea y k+ 1 :

= FAq-1 ~(q-1 ~uk+J-1 + FJ (q-1 ~k+ J + GJ (q -1 ~k.

(9.106) Ecuaţia (9.106) permite construcţia predictorului optimal sub forma: Yk+ J

=GJ(q- 1~k + EJ(q- 1 ~uk+J- 1 1 1 1 EAq - )= FAq - ~(q- ), întrucât toate

(9.107)

Yt+Jik

unde

componentele zgomotului apar

pentru valori ale timpului mai mari decât k , iar polinomul FAq

-I)

are

gradul egal cu (J -1). Orizontul de predicţie a ieşirii poate fi selectat în funcţie de valoarea timpului mort al procesului. Dacă j < d , atunci yk+ Jik depinde în întregime de datele disponibile, iar dacă j ~ d sunt necesare precizări asupra acţiunil_?r de conducere viitoare. In acest din urmă caz, ţinând seama de modelul (9.102) şi apelând la acelaşi raţionament, obţinem:

Yk+ j şi

=B(q- 1)Fj (q- 1 ~uk+ j-d + aAq- 1~k + Fj (q- 1

h+

j

(9.108)

predictorul optimal: Yk+Jik

= s(q- 1 )FJ(q- 1 ~uk+J-d +GAq- 1~k

(9.109)


405

respectiv,

Yk+JJk = EJ(q-l ~uk+}-d +GAq-l ~k

dacă se foloseşte egalitatea

(9.110)

)= E1(q- 1).

F1(q- 1 )B(q- 1

9.6.2. Sinteza legii de conducere predictiv ă Presupunem că se j =1, 2, · · ·, care poate fi

cunoaşte secvenţa mărimilor constantă

sau

variabilă

de referinţă rk+ 1 , în timp (traiectorie

precizată).

Obiectivul legii de conducere predictivă este de a realiza ca ieşirea viitoare a procesului Yk+J să fie cât mai apropiată de rk+ 1 . Pentru rezolvarea acestei probleme se impune parcurgerea următorilor paşi:

valoarea viitoare a referinţei rk+ 1 ; - se utilizează modelul de predicţie pentru generarea JeŞlrtl predictate yk+Jlk şi se calculează eroarea ek+J = rk+J- Yt+Jlk. De observat că -

se

selectează

yk+Jlk, pentru j~d, depinde de valorile viitoare ale comenzii uk+J• care

trebuie determinate; - se minimizează funcţia obiectiv selectată care include erorile ek+ 1 şi se determină secvenţa valorilor viitoare ale comenzii "k+ 1 ; - primul element uk al secvenţei care rezultă se reţine şi se aplică procesului, iar elementele vectorilor de date se actualizează pentru a fi utilizate la calculul comenzii în pasul următor [5, 46]. poate fi pus şi sub forma: Pentru j > d , produsul s(q )F1 (q

-l

1

s(q-l ţ, (q

unde:

grad[RAq-

-I

1

grad[R1 (q -l Coeficienţii răsp1msului

)= R1(q -1 )+ q-(J-d+l)JiAq -1)

(9.lll)

)]= j -d )]= n- 2.

polinomului RAq-- 1 ) sunt pnmu pondere al procesului, întrucât [5]:

q-dţ(q)l) =q -ds~q

-

-l)

Aq-1

_

-q

-d R

(.

-llrF, -1)

-1)

.q

J

J,q +q

+q

(J- d + 1) termeni

-d~;q-!jl1= Aq-l J

-t) n(q-1PAq-1) -J-d. i\q + A(q-1) q

-(d+l):R

f

aJ


406 Ecuaţia

= s&-l )Fi (q-l ~uk+j-d + Gj(q-l ~k

Yk+Jik

poate fi

(9 .1 09)

scrisă, ţinând

seama de (9 .III), sub forma:

=RAq-~~uk+J-d +RAq-~~uk-1 +GAq-~~k

h+Jik

sau (9.112)

unde Y1 = R1 (q-

~uk-1 +GJ(q- 1~k

1

care este o funcţie de Lluk-l, Lluk-2, ... ,şi Yk, Yk-1, ···· Ieşirea la momentul (k + j) depinde de semnalele de comandă viitoare dacă j > d şi, în consecinţă, se impune, fie a considera semnalul de comandă constant Lluk = Lluk+l = · · · = Llk+ J-d · fie a determina secvenţa de comandă care aduce ieşirea Yk+d la o valoare dorită prin minimizarea unei funcţii cost de forma:

w

2

1 = 2..,A u; .

(9.113)

i=k

Pentru primul caz în care se este cea dorită, adică Yk+ 1 =

menţine constantă

comanda

şi ieşirea

yf+1 , legea de comandă se obţine rezolvând

ecuaţia:

1 1 [R1 (l)+q- RAq-

)}.uk +Gi(q- 11'k "'Yf+J·

(9.114)

Astfel, secvenţa de comandă care asigură ieşirea yf+J este dată de relaţia:

= uf+J- EAq-1 ~k

Llu

•

Ri(l)+RJ(q-11-1

k

Această reactualizează

secvenţă de comandă se aplică procesului la următorul pas în funcţie de noile măsurători.

Exemplul 9.4: Se consideră modelul procesului sub forma: Yk +a1Yk-1 +azYk-2 =b1uk-1 +bzuk-2 şi se cere acea lege de comandă care asigură: Yktl

E

'k.

(9.115) şi

se

Sisteme stocastice de reglare Ieşirea la pasul

407

(k + 1) este dată de relaţia:

Yk+I =b,uk +bzuk-l -aiYk -azYk-1 iar din condiţia ca ieşirea predictată Într-un pas obţine comanda realizabilă sub forma: u,

să

fie

identică

modelului trebuie

estimaţi,

cu

referinţa

se

=_!_h +aiYk +azYk-1 -bzuk-I].

bl Având În vedere

că parametrii

se

abţine

legea

dereglare predictivă i'n funcţie de parametrii estimaţi â; şi bj sub forma.·

If b' ] uk =.."-[rk +aiYk +azYk-l- zuk-l · bl Legea de reglare este uşor de implementat ţinând seama că informaţiile curente rk şi Yk sunt generate la fiecare pas, iar uk-I şi Yk-l sunt memorate. A

A

În cel de-al doilea caz se poate adopta un criteriu de performanţă care să asigure prin minimizare abaterea minimă a ieşirii faţă de referinţă şi efort minim de comandă. Astfel, selectăm funcţia obiectiv (criteriul de performanţă) sub forma: pătratic,

N,

l(N1, N 2 , Nu)=E

{

2: [Yk+j-rk+j] J=N 1

2

N

2

]

+ I:ri~ uk+j-d ]=1

(9.116)

j

unde: N1 -reprezintă orizontul minim de predicţie; N 2 - reprezintă orizontul maxim de predicţie; N,. - reprezintă orizontul de predicţie a comenzii; pj -este secvenţa de ponderare a comenzii. Diverse valori pentru N1 , N 2 şi Nu determină diferite scheme de conducere predictivă. Minimizarea funcţiei obiectiv (9.116), pentru un model dat al procesului, asigură obţinerea comenzii predictive generalizate. Procedura de conducere în acest caz este cunoscută sub denumirea Conducere Predictivă Generalizată

(GPC).

Parametrul N1 se alege de obicei egal cu 1, sau dacă este cunoscut timpul mort se alege, pentru reducerea efortului de calcul, N 1 ;?; d . Parametrul N 2 se alege astfel încât să fie inclus în criteriu întreg răspunsul afectat semnificativ de comanda curentă. În general se alege mai mare decât gradul polinomului -I) şi adesea egal cu timpul de creştere al răspunsului procesului.

n(q


408

Din practică [5, 46, 57] rezultă că un număr relativ mare de procese pot fi conduse predictiv cu bune rezultate alegând NI= 1 şi N 2 = 10. Pentru orizontul de predicţie al comenzii cel mai frecvent se alege N" = N 2 • Pentru sinteza secvenţei de comandă predictivă vom particulariza criteriul (9.116) alegând NI= 1, N 2 =Nu= N şi p1 = p =const. şi vom utiliza

ecuaţia

(9.1 08) pentru calculul ieşirii Yk+ 1 . Astfel, funcţia obiectiv capătă forma:

I

N

2

l=E t;[Yk+j-rk+J]

+pt;Ll N

2

}

(9.117)

uk+J-I

ŞI

Yk+ 1

=FAq -I )B(q-I ~uk+ J-d + G 1 (q -I )Yk + F 1 (q -l ~k+ i.

Corespunzător

gamei de sub forma:

poate scrie şi

variaţie

a parametrului j

Yk+I

=EI(q-I~uk-d +GI(q-I)Yk +FI(q-I~k+I

Yk+Z

=Ez (q-l ~uk+l-d + Gz (q-I ~k + Fz (q -I ~k+Z

Yk+N

=EN(q-l~uk+N-I-d +GN(q-I~k +FN(q-I~k+N

ecuaţia

(9.118) (9.118) se

(9.119)

care ilustrează că fiecare variabilă de ieşire se calculează în fimcţie de comenzi viitoare pentru j > d , intrări măsurate şi semnale perturbatoare viitoare. Dacă introducem notaţiile: noi

y = [yk+l

Yk+2

Yk+N

f

not

D.U = [D.uk+l

···

(9.120)

not

g = (GIYk

GzYk

not

V= [F]vk+l

atunci

obţinem

...

...

FNvk+N

reprezentarea matriceală a sistemului (9 .119): (9.121)

Y=Eu+g+V,

unde

u = D.U E=

y

şi

eo

o

el

eo

eN-1

eN-2

.]


409

Dacă timpul mort al procesului este d > 1, atunci primele (d

ale matricei E vor fi nule. Cu aceste notaţii şi

pusă sub forma

r

= h+ 1

ţinând

rk+Z

···

seama rk+N

că secvenţa referinţelor

-!) linii poate fi

f, funcţia obiectiv capătă forma:

l=E{[Y-rf[Y-r]+priu}

(9.122)

t ={[Eu+ g + v -rf[Eu+g +V -r]+puru}.

(9.123)

sau De observat că 1 este o funcţie de valorile viitoare ale comenzii şi se determină peste toate realizările viitoare ale secvenţei necorelate staţionare

h+JPresupunândcă E~ru}=o, E{vd=O şi E{v[vk}esteneafectatăde uk, se obţine secvenţa de comandă optimală care minimizează (9.123). Astfel,

~~ = z[( ErE +pl)u +ET (g- r)]= 0 ŞI

(9.124) Pentru a reduce efortul de calcul pentru secvenţa de comandă dată de (9.124) se alege N" < N 2 = N şi astfel dimensiunea matricei de inversat este mai redusă [5]. În acest caz, matricea E are forma: e0 O O

o eN-1

eN-2

eN-Nu

iar secvenţa de comandă se calculează cu

u= [rE1T E1 + pl l-1 E1T ( r- g).

relaţia:

(9.125)

În acest caz, matricea de inversat are dimensiunea (Nu x N") şi, în consecinţă, efortul de calcul este mai redus (Nu < N ). Eficienţa utilizării comenzii predictive generalizate este esenţial determinată de particularităţile modelului procesului şi de modul de alegere al parametrilor N1 , N 2 , N" şi p. Pentru cazul în care timpul mort al procesului este cunoscut exact, se alege N 1 = d.


410

În cazul în care d nu este cunoscut precis sau este variabil, N1 poate

n(q-

1 ) se extinde pentru a include toate fi ales egal cu 1, iar polinomul valorile posibile ale timpului mort. Pentru procese de fază neminimă (răspuns iniţial negativ), N2 se alege, astfel încât eşantioanele ieşirii pozitive să fie incluse în funcţia obiectiv. N 2 trebuie să depăşească gradul polinomului B(q - 1), N 2 > n0 . Orizontul de predicţie al comenzii se alege în concordanţă cu nivelul de complexitate al procesului condus, N" > 1 şi trebuie să aibă o valoare cel puţin egală cu numărul polilor instabili sau al celor care se apropie de zona de instabilitate [58].

9.6.3. Conducerea predictivă în predictor Smith

comparaţie

cu reglarea cu

::n:~:k~:l al procesului de forma: se poate construi un algoritm de reglare cu predictor Smith, impunând ca răspunsul SRA să fie dat de relaţia: -d-18 -1~-1 yq q q ~ k -

A q -1 1

+ B q -1

•

q -1

-d-1

(9.126)

k •

unde R* (q reprezintă funcţia de transfer ce defineşte algoritmul de reglare proiectat pentru un model fără timp mort. Structura SRA cu regulator cu Predictor Smith este prezentată în figura 9.4.

-l)

r----------------------, ' ' ' :' + uk : :

R*(q-l)

r~

:

' :'

B(q -1)

q

Al?)

t1

-d-1

'

'L---------·-~------------------1 -J-1 1-+'' -+<

:'

:

q

1

'

:

:

L-----~

+

yk+d+l

: ~--------+---~ ' Regulator cu predictor Smith + :' L----------------------------------------------------1

Fig. 9.4

Sisteme stocastice de reglare Funcţia

411

de transfer a regulatorului cu Predictor Smith este:

Rf-1)=

R'q-

\q

"'

1+

R*'q -1 B• q

1

-1

A,- 1

(l- q

(9.127)

'

-J-1

'J

iar ieşirea predictată 5'k+d+l se calculează cu relaţia: Yt+d+l

=~uk

+[Yk -q-d

~f:~:juk-ll

(9.128)

Predictorul de minimă varianţă în (d + 1) paş1 bazat pe modelul general (9.102) are forma: (9.!29) Yktj = â(q-l }Fj(q-I ~uk+J-d-1 +GAq-l ~k cu â(q

-1 )FA, -1 )= RAq 1)+ q- }+dJ?j (q-1)

sau pentru j

=d +1

Yk+d+l = â(q -l }Fd+l 1

.8(,-t)

unde procesului.

Dacă

(q- 1~uk + Gd+!Yk,

(9.130)

şi Â~- ) reprezintă polinoamele estimate ale modelului

folosim

1 _ ~-

ecuaţia diofantică

Fd+l ' q

pentru j

=d + 1

-!)+q -d-1 Gd+~q-? • M . s(q obţinem: 1

LVJ.W J şi multiplicăm ambele părţi cu

-l ),

1 1 ~ -1~, ··1 ') -d-1 Gd+l CJ- •(q- ) d+l q q +q 1

_F

-

.

Din ecuaţiile (9.130) •

Yk+d+! =

uk

+

şi

G

MqA

(9.!31) se {

d+l \q

-1

1

obţine

Yk -q

-d

(9.131)

°

cu uşurinţă:

~ B qA

Aq

_

!

1 uk-1

]

·

(9.132)

În figura 9.5 se prezintă structura SRA cu predictor de minimă varianţă în (d + 1) paşi. Eroarea ek = Yk- Yk în acest caz este filtrată prin intermediul 1 ). Predictorul Smith în forma sa simplificată nu ia în polinomului Gd+I consideraţie efectul perturbaţiilor. În cazul utilizării unor modele mai complexe pentru perturbaţii, forma predictorului de mmimă varianţă va fi evident diferită şi include în 1 mod natural polinoamele şi ) ce definesc clasa mărimilor perturbatoare stocastice ce acţionează asupra procesului [46, 51].

(q-

c(q -l)

D(q-


412

§(qj

A{?) ~)

q

A\?)

-d-1

+

+ + Fig. 9.5

PROBLEME 9.1. Se consideră un proces caracterizat prin ecuaţia cu diferenţe: Yk- Yk-1 +0.6Yk-2 =uk-2 +0.3uk-3 +0.5vk +0.4vk-l +0.2vk-2

unde vk reprezintă un semnal stocastic de tip zgomot alb. Se cere: a) algoritmul de minimă varianţă; b) varianţa realizată prin utilizarea algoritmului. 9.2. Se Yk

consideră

modelul:

=1.7 Yk-1 - O.Syk-2 + uk-d + 05uk-d-l + vk + l.5vk-1 + 0.7vk-2 ·

Se cere: a) algoritmul de varianţă minimă şi varianţa ieşirii pentru d = 1, d = 2 şi d = 3; b) comparaţi varianţa ieşirii şi analizaţi prin simulare efectul timpului mort asupra varianţei ieşirii. procesul caracterizat prin ecuaţia: Yk - L5Yk-l + 0.6yk-2 = uk-2 + 0.8uk_3 + vk - OAvk-1 unde vk este zgomot alb. Se cere: a) algoritmul Deadbeat pentru vk =O; b) algoritmul de minimă varianţă; c) varianţa ieşirii când se folosesc cei doi algoritmi. 9.3. Se

consideră


413

9.4. Se consideră modelul unui proces sub forma: B(q)

Yk

C(q)

= A(q) uk-d +1. D(q) vk

unde vk este zgomot alb şi B(q) este stabil. Polinoamele A, C şi D sunt monice. Se cere forma generală a algoritmului de minimă varianţă. 9.5. Se consideră procesul caracterizat prin modelul: (l-0.7q· 1)Yk =uH +(1-0.4q- 1 ~kSe cere a determina algoritmul LQG care minimizează criteriul de performanţă:

1= E(yf +puf) pentru diverse valori ale parametrului p.

9.6. Se consideră procesul caracterizat prin modelul: Yk -1.3Yk-l + 0.7 Yk-2 =uk-1 + 0.5uk-Z + vk + 0.2vk-I. Se cere: a) algoritmul de minimă varianţă; b) algoritmul DB pentru vk =O; c) varianţa ieşirii când se folosesc cei doi algoritmi.

9. 7. Arătaţi

că un~siste;n caracterizat prin modelul: B -1 C -1 y-qu+qv k - )q-t k D q-1 k

j

1

unde:

,1-l)l -1 -n "\q = +alq + .. ·+anq ( -1) =blq -1 + b zq -2 + ... + bnq -n B \q

( C \q

--1) = 1 +clq -1 + .. ·+cnq -n

are următoarea reprezentare de stare:

= <'!>xk + fuk + Kvk+l

xk+l

Yk = Cxk

cu

r-·,

-a?

1

o

o

1

o

...

o o o o c = [1 o o ... o].

l-aO

n

l

nr. lJ bl

1

1

oj

11

c1

K•

1

ezi;

CJ


414

9.8. Se consideră modelul de stare al unui motor sub forma: xk+I

=0.5xk + uk

Yk = xk + vk

unde xk este viteza, u este tensiunea de intrare şi y este viteza

măsurată

de

tahogenerator. Zgomotul de măsura este zgomot alb cu varianţa egală cu cr 2 • Admiţând că viteza iniţială este o variabilă stocastică de medie zero şi varianţă unitară, se cere algoritmul de reglare care minimizează funcţia obiectiv:

1=E[x~1 + tpu~J k=O

pentru diverse valori ale parametrului p (p=l, p=O.l ). 9.9. Se consideră modelul: xk+l = [

1 1 o 1]xk

+[0l· 5j~'k +lrljolk

Yk = [1 o}xk unde vk este o secvenţă de variabile aleatoare independente, normale de

medie zero media

şi varianţă egală

cu unitatea.

Aproximăm că

EL
x 0 este normal cu

R0 = 3/ .

Se cere: a) să se determine ecuaţiile pentru matricea de covarianţă a erorii de construcţie şi matricea L pentru filtrul Kalman; b) viteza de convergenţă a erorii de reconstrucţie a stării şi valoarea staţi o nară a covarianţei şi a lui L. 9.10. Pentru modelul sub forma: 05 xk+I :}k ;

=[~

+[~}k +[

}k

Yk = [1 o}xk unde vk este zgomot alb, se cere matricea de matricea filtrului Kalman pentru p = 1.

comandă după

stare F

ŞI

1o

e SISTEME NELINIARE

10.1. Tipuri de neliniarităţi Sistemele neliniare includ toate acele sisteme ce nu pot fi descrise prin modele liniare. Diversitatea mare a neliniarităţilor întâlnite în sistemele reale face imposibilă o clasificare unitară a acestor sisteme neliniare. În acest capitol vom considera structuri de sisteme de reglare automată, în cadrul cărora vom evidenţia o parte liniară şi o parte neliniară, ce conţine, atât neliniarităţi statice, cât şi ne/iniarităţi dinamice. Marea majoritate a sistemelor întâlnite în tehnică, au un grad mai mare sau mai redus de neliniaritate. Alegerea corespunzătoare a punctului de funcţionare în jurul căruia se face liniarizarea, permite obţinerea unor modele aproximative, liniarizate, cu un grad limitat de valabilitate în jurul acestui punct, pentru multe dintre elementele ce compun structura unui sistem de reglare automată. Neliniarităţile ce nu pot fi liniarizate se cunosc în literatură şi sub denumirea de neliniarităţi esenţiale. Într-un sistem automat pot apărea neliniarităţi statice (esenţiale) şi neliniarităţi dinamice. Neliniarităţile statice definesc dependenţa intrare - ieşire y = f(u) în regim staţionar şi sunt ilustrate prin intermediul caracteristicilor statice. Pentru caracterizarea sistemelor neliniare pot fi utilizate modele generale de forma: x= J(x,u,v,t) ; x.,ţ{ ) =x ,t?.t (10.1) 0 0 0 y = g (x,t ) unde x(t )E R" este starea,

y(t )E RP

-

vectorul mărimi lor mă.surate,

vectorul mărimi lor de comandă, iar vE Rq este vectorul mărimi lor perturbatoare. Pentru majoritatea proceselor este tipică descrierea sistemică sub forma: x= f(x,u)., x(O)=x ,r >0 (10.2) 0 y=gx () u(t )E Rm -


416

descriere ce evidenţiază invarianţa temporală, respectiv faptul că timpul nu figurează explicit în modelul matematic asociat proceselor. În cazul în care funcţiile neliniare f şi g pot fi liniarizate în jurul unui punct static de funcţionare, se obţine modelul liniar:

Ax(t )+ Bu(t) y=Cx(t)

i =

(10.3)

unde mauicele A, B, C au dimensiuni cu ajutorul relaţiilor:

A=of(x,uJI

; B=of(x,u)l

corespunzătoare şi

; C=og(x)l

OX XO ,UO OU XO ,UO În acest caz, funcţiile netiniare f şi punctului de liniarizare

pot fi calculate (l0.4)

OX XO g au fost liniarizate în jurul

(x 0 ,u 0 ) cu t(x 0 ,u 0 )=O, g(x 0 )=O, în cazul în care

(x 0 ,u 0 ,y 0 ) reprezintă un punct de echilibru. Matricele A, B, C depind de punctul (x 0 ,u 0 ). Dacă se consideră diferite regimuri de funcţionare, rezultă diferite seturi (Ai, si, ci) şi astfel prin liniarizare rezultă diferitele modele. O asemenea aproximare a modelelor neliniarc evidenţiază un anumit nivel de incertitudine structurală în caracterizarea obiectelor reale neliniare prin aproximaţii liniare. Caracterizarea intrare-ieşire poate evidenţia, atât o caracteristică statică neliniară, cât şi o caracteristică dinamică neliniară. Astfel, dacă definim un sistem prin operatorii f şi g sub forma: J(u, y) =O (10.5) Şl

(10.6) y = g(u) care introduc operaţii de derivare, integrare sau alte operaţii similare, spunem că un asemenea sistem este neliniar dinamic, având o evoluţie proprie în timp. Dacă această evoluţie este convergentă în timp şi fiecărei valori stabilizate la intrare îi corespunde o valoare stabilizată, bine determinată, la ieşire, putem defini caracteristica statică stabilă a elementului considerat ca fiind alcătuită din totalitatea acestor puncte

(ui,Yi). Funcţia g

poate fi definită ca un operator dinamic neliniar care transformă funcţii de timp în a!te funcţii de timp. În acest caz putem folosi notaţia y =g(u) care reprezintă o transformare de la u la y prin intermediul operatorului g .

Sisteme neliniare

417

10.2. Sisteme dereglare neliniare În cazul general, un sistem de reglare (conducere) neliniar poate fi reprezentat ca în figura IO.la. Această structură evidenţiază faptul că, atât obiectul condus, cât şi regulatorul sunt caracterizate de modele neliniare. Admiţând că modelul procesului poate fi liniarizat (funcţiile f şi g sunt liniarizabile) se poate alcătui structura de sistem de reglare cu regulator neliniar (fig. lO.lb ). O a treia variantă o constituie varianta în care obiectul condus este neliniar, iar regulatorul este definit ca sistem liniar (fig. lO.lc).

~ ~

PROCES x=f(x,u,w) y = g(x,u, w) y=h(x,u,w)

PROCES

x =Ax+ B 1u + B2w L4. y=Cx+Du y = Ex +F1 w+ F2 u

f----

y

u

y

REGULA TOR

-

---.. w

y

Xc =fc(xc,y) U = gc(xc> Y)

,.._

REGULA TOR

--

Xc = fc (xc •Y) u=gc(xc,y)

(a)

(b)

PROCE.'i w

x= J(x,u, w,t)

y

y = g(x,u, ~

w,t) y =h(x,u, w,t) y

u

REGULA TOR Xc = Acxc + BcY u=Fx c c +GcY

L- - - - - - ' (c) Fig.lO.l

.__


418

Structurile de sisteme neliniare în care neliniarităţile statice sunt grupate şi părţile componente liniarizate interconectate, sunt cel mai adesea întâlnite în practică. Forma generală a modelelor matematice ce definesc asemenea structuri este următoarea: x=Ax+Bu

(10.7)

y=Cx " = (ţl(y)

unde: u = [u 1u2 ...umY este un vector de intrare m-dimensional al unităţilor neliniare dacă se aproximează că numărul de unităţi neliniare este egal cu numarul m al ieşirilor neliniare; B este o matrice n x m cu coeficienţi constanţi şi C este o matrice constantă n x p . Cea de a treia ecuaţie în (1 O. 7) este ecuaţia ce descrie partea neliniară cu funcţia vectorială neliniară qJ(y) dată. În figura 10.2 se prezintă o structură de sistem neliniar cu evidenţierea celor două părţi componente: partea liniarizată şi partea neliniară prin modelul u = (ţl(y). x=Ax+bu y=Cx

u

u = (ţl(y)

y

Fig.10.2 Ecuaţia

a doua din (1 O. 7) este ecuaţia de legatură între partea liniară şi partea neliniară. Uzual, sistemele neliniare constau din m unităţi, fiecare având o intrare şi o ieşire. În acest caz, ecuaţia u = qJ(y) se descompune în m ecuaţii scalare u; =fJl;(y;);i=l, ... ,m. Cu alte cuvinte,
(10.8)

u=rp(y) unde u şi y sunt scalari, iar

Sisteme neliniare

419

Apelând la caracterizarea intrare în figura 10.2, obţinem:

.

y=-H(s'p u = rp(y) unde H(s) este funcţia de transfer a minus în prima reacţie negativă

ecuaţie din (!0.9) (fig. 10.3).

r

ieşire

pentru sistemul reprezentat (10.9)

părţii liniare a sistemului. Semnul

arată că

sistemul este in circuit închis cu

H(s)

1 y

-1 1

ju

'P(Y)

Fig.10.3 Neliniarităţile

într-un sistem automat pot fi inerente, determinate de caracteristicile reale ale elementelor componente, dar pot fi şi neliniarităţi introduse intenţionat, în scopul obţinerii unor performanţe dorite prin includerea unor algoritmi neliniari de reglare (reglare adaptivă, reglare optimală neliniară, reglare cu structură variabilă etc). O particularitate a sistemelor neliniare o constituie poţiunea de Stabilitate, care este mult mai nuanţată faţă de sistemele liniare. In acest sens menţionam faptul că unor sisteme neliniare le este specifică funcţionarea cu ascilaţii Întreţinute (autooscilaţii), care nu presupune instabilitatea sistemului: aceste autooscila~i sunt similare cu cele ale sistemelor Jiniare la limita de stabilitate, dar se deosebesc de acestea prin faptul că parametrii lor nu depind de semnalul de intrare (v. § 10.6). În cadrul structuri lor uzuale de sisteme de reglare se întâlnesc neliniarităţi statice de tipul saturaţie, zonă de insensibilitate, histerezis, caracteristică de tip releu şi altele. În tabelul 10.1 se prezintă principalele neliniarităţi şi ecuaţiile ce le descriu. În cazul general, caracteristicile cu histerezis sunt descrise prin ecuaţii de tipul:

y(t)='P(u(t)J~.x)

(10.10)


420

Tabelu/10.1

Caracteristica statică

Tipul neliniarităţii

---

Modelul matematic

y

Zonă

de

s

saturaţie

-Il

__iL'

Ll

j- s

Zonă

de insensibilitate

u

r

/

K(u+l:l.\u<-L'.

u

y

O,

s ----

/i

-Llt-l:l.

l:l.

y= u

Lll

-s

y = M sgn u = nedefinit, u =O

-M

----, _j ____

u

-M,u
y

M

1

-Il

tJ. -M

1

1

K(u-l:l.~ UE (l:l.,l:l. 1) K(u+l:l.~ ue(-l:l. 1,-l:l.)

r"o

M

Releu cu zonă de insensibilitate

/u/ ~t.

Ssgnu, /u/ > l:l.1

... y

Releu ideal

~~5·

y= K(u-t.\ u>l:l.

Il

''' ' ----

/u/>t.

1

/

-Il

şi saturaţie

/u/ ~t.

y- Ssgnu,

y

~

Insensibilitate

fKu,

1

Vi

u

1

r·<,

y= O,ue (-l:l.,+l:l.) -M,u~-l:l.

!Sisteme neliniare

421 Tabelul 10.1 (continuare)

Releu cu zonă de insensibilitate şi histerezis

M,u?.ÂJ_

y

M --

M,uE[~.~b{t-8)=M

-L\2-L\1 ~

t., L\2

u

---M

QuE[~.~b{t-8)=0 y= QuE[-~AJ QuE[-~.~h{t-8)=0 -M,uE[-~,~b{t-8)=--M -M,u$~

y

Releu cu histerezis

-il

'

1-

-

,....

Notaţia u(t ~~ arată că

y-

IM,u?.L\ M,uE[-Mh{t-8)=M

-l-M,uE(-Mb(r-8)=-M

il

u

- M,u <;, -!!.

y{t) este determinată nu numai prin valoarea

lui u(t) la momentul t, însă de asemenea prin istoria sa trecută pe întregul interval de timp trecut (O,t ). Parametrul x în exemplele evidenţiate în tabel este egal cu y (t -o) , adică valoarea lui y obţinută după comutarea precedentă a releului. Caracteristicile statice prezentate în tabelul 10.1 pun în evidenţă fie o polaritate directă (reprezentarea dependenţei intrare-ieşire în cadranele I şi TII), fie o polaritate inversă (reprezentarea în cadranele II şi IV). În unele probleme, cum sunt cele de stabilitate a sistemelor neliniare, cadranele I şi III se înlocuiesc cu anumite sectoare admisibile din interiorul lor. Dacă un element neliniar este caracterizat prin ecuaţia neliniară y=g(u) (10.11) condiţia de polaritate se poate exprima şi sub formă integrală, pozitiv definită: u

Jg(T)d-c?O,g(O)=O o

(10.12)

În cazul general, pentru un element neliniar cu intrarea u(t) şi ieşirea y(t), condiţia de polaritate directă (cadran ele I şi III) u(t)·y{t)?.O, Vt>O (10.13)

INGINERIA REGLARII AUTOMATE

422

se poate înlocui cu o

condiţie

mai

puţin restrictivă,

de medie

1

Ju(T)y(<)dT?_O, 'v't>O (!0.14) o care stă la baza conceptului de hiperstabilitate [8, 88]. Separarea caracteristicilor statice neliniare de cele dinamice liniare evidenţiază faptul că starea de referinţă completează descrierea părţilor liniare, iar caracteristicile neliniare preiau atributele unor funcţii definite complet pe mulţimea mărimilor de intrare. Acest lucru este posibil dacă operatorii f şi g determină în mod univoc mărimile de ieşire, atunci când se dau mărimile de intrare şi o stare de referinţă (iniţială, finală etc.). Există, atât neliniarităţi statice uni voce, cât şi neliniarităţi statice neunivoce. Neliniarităţile inerente sau intenţionate . pot fi analitice sau neanalitice. Neliniarităţile analitice sunt descrise de funcţii g(u) continue şi derivabile în raport cu argumentul u, iar cele neanalitice sunt neliniarităţi continue sau discontinue, nederivabile în raport cu argumentele lor. Neliniarităţile neanalitice, care conţin cel puţin un punct singular în domeniul de funcţionare, se numesc esenţiale; aceste neliniarită~ nu pot fi liniarizate. Conectarea neliniarităţilor se poate realiza în serie, în paralel sau opusă (fig. 10.4), putându-se grupa şi interconecta cu partea liniară a unui sistem.

u=u 1 ~

C-u )' . )'1r:-~

li

(a)

11

+

""-

...

y NI 1

Nz

Fig.l0.4

1

"'

Sisteme neliniare

423

În figura l0.4.a, dacă cele două neliniarităţi statice sunt definite prin relatiile:

=g,(u,) Yz =gz(u,)=y

,

Yt

rezultă

un model neliniar echivalent y

= g(u)

care cel mai simplu se obţine pe cale grafică în cazul în care cele două caracteristici neliniare N 1 şi N 2 sunt reprezentate grafic. Într-o manieră similară se pot deduce modele neliniare echivalente şi pentru celelalte structuri prezentate în figura 10.4. Într-un sistem de reglare automată pot apărea neliniarităţi esenţiale în cadrul diferitelor componente. Astfel, regulatorul poate fi de tip bipoziţional sau tripoziţional, poate introduce o neliniaritate de tip saturaţie sau poate fi un regulator cu factor de amplificare variabil. Elementul de execuţie poate introduce neliniarităţi de tip "zonă de insensibilitate" sau "histerezis", cu s~u fără saturaţie, iar traductorul poate introduce "zonă de insensibilitate". In figura 10.5 se prezintă o structură de sistem de reglare automată, în cadrul căreia se evidenţiază neliniarităţi introduse de elementul de execuţie şi poziţioner.

Regulator

Fig.10.5

O

structură tipică

de sistem neliniar cu regulator neliniar este prezentată în figura 10.6. În acest caz, regulatorul este alcătuit dintr-un bloc neliniar cu caracteristică de tip releu cu zonă de insensibilitate şi histerezis (tripoziţional) şi un bloc liniar de corecţie caracterizat prin funcţia de transfer H" (s). Comanda furnizată de acest regulator este sub forma unor impulsuri modulate în durată [34, 37]. O clasă specială de neliniarităţi frecvent întâlnite în structura sistemelor de conducere neliniare o reprezintă clasa neliniarităţilor sectoriale v=rp(cr) definite generic prin ll(k1, k2 ).


424

Caracteristicile ce aparţin acestor neliniarităţi sectoriale satisfac condiţia:

k1 ::; 'f'( cr)::; k2 cr rp(O)=O unde k 1

şi

(10.15)

k2 sunt valori cunoscute

'f'\lcr)

şi

definite

'f'(cr)

(10.16)

k1 =inf--; k2 =sup-a

o

a

a

Obiect condus

EE +

-

Y 1--r+

+

Fig.10.6

Este

uşor

de remarcat că (1 0.15) este

echivalentă

cu condiţia:

(k2cr-v)(v-k1cr)?O

(10.17)

Un caz particular al clasei de neliniarităţi 11 (k1, k2 ) este clasa 11( O, k) , care este considerată cel mai frecvent în literatură. Cele două clase de neliniarităţi sectoriale sunt prezentate în figura 10.7.

k

cr

1 (a)

(b)

Fig. 10.7

Sisteme neliniare

425

Din clasa TJ(k1, k2 ) putem evidenţia o subclasă TJ(O, oo) ale căror caracteristici cp( a) pot aproxima orice formă în cadrul cadranelor I şi III. Pentru clasa 'l( O, k) , obţinem:

'f'(cr) v 0::=;--=-:o;k, ao;eO a a

rp(O)=O

(10.18)

sau echivalent:

(ka-v)·v 2:0 Pentru k = oo

(10.19) , această condiţie aproximează

forma:

O<
(10.20)

a '

rp(O)= O sau

a·v2:0. O altă caracteristică din clasa 11(k1, k 2 ) poate fi redusă la o caracteristică în clasa TJ( O, k) prin substituţia:

v1 = 'f'I (a)= 'f'J (cr)- k1cr = v- k1cr care conduce la: o::;'f'I(cr) :o;k, ao;eO a

rp1 (o)= o k = k 1 -k 2 • O asemenea transformare a neliniarităţii impune o transformare corespunzătoare a funcţiei de transfer a părţii liniare. Astfel, pentru un sistem descris p1in modelul:

cr=-H(s)v

v = 'f'( a) 1"( o)= o

(10.21)

transformarea funcţiei de transfer H (s) conduce la forma:

a/v a

1-- K 1 ~ Dacă funcţia

1"( a) este

H(s) I-K1H(s)'

(10.22)

continuă şi monotonă şi are derivata de

ordinul întâi pozitivă pentru toate valorile lui a, clasa TJ(k1, k 2 ) poate fi determinată prin următoarea condiţie: d'f'(cr) K1 < ·
da


426 Această condiţie

este

echivalentă

cu inegalitatea:

(k2cr-v)(v-k1cr)2:0 Dacă inegalităţile

(10.24)

nu sunt impuse restricţii suplimentare asupra funcţiei rp(a), (10.23) limitează clasa funcţiilor 'P( cr) la acelaşi sector definit

prin dreptele de pante k1 şi k 2 • Într-un caz mult mai general, când cr şi v sunt vectori de dimensiuni arbitrare, este mai convenabil a folosi o clasă mai generală de neliniarităţi pentru investigarea stabilităţii. De notat că relaţiile (1 0.17), împreună cu (1 0.24) reprezintă cazuri particulare ale dependenţei r . dcr(t\l F[v(t), cr(t), ~;::o. unde F este o

(10.25)

funcţie reală pătratică,

a

cărei formă

depinde de natura

neliniarităţii.

Dacă inegalităţile

de forma (1 0.25) şi de forma F ( v, cr)? O sunt

satisfăcute oriunde pe intervalul

(0,=),

funcţiile v~) şi

cr(t) se spune

că

satisfac restricţia locală de forma F . Multitudinea neliniarităţilor ce pot apărea într-un sistem automat, precum şi diferitele structuri de sisteme neliniare, fac ca metodele de analiză şi sinteză a sistemelor neliniare să nu aibă un caracter de generalitate, metodele de rezolvare a ecuaţiilor ne!iniare fiind în general legate de tipul neliniarităţilor.

10.3. Analiza sistemelor neliniare prin metoda planului fazelor Spaţiul stărilor corespunzătoare

fom1ei normale a ecuaţiilor este fazelor, iar variabilele de stare sunt denumite coordonate de fază. Ecuaţiile sistemelor mecanice, transformate pentru reprezentare în spaţiul fazelor, au fazele de mişcare ca variabile. Ecuaţiile rezolvate în funcţie de derivatele de ordinul cel mai mare: spaţiul

denumit

y

(n) _ f{ · .. (n-1)) - \ţ.y,y,y, ... ,y

(10.26)

pot fi reduse la variabile de stare

d; =

dx

xi+l•i

=1,2,···,n-1

y=xl

Xn ~ J(t,x. 1,x 2 ,···xn)

(10.27)

Sisteme neliniare Dacă

sistemul este de ordinul doi (pot fi evidenţiate de stare), se obţine planul fazelor şi ecuaţiile de stare:

427 două

variabile

dx1 -x 2 dt -

(10.28)

dxz = J(xl, xz) dt

Împărţind a doua ecuaţie la prima se obţine o ecuaţie diferenţială, în care timpul a fost eliminat: d.x 2 -=

dxl

J(x 1,x2) xz

(10.29)

Reprezentarea geometrică a soluţiei acestei ecuaţii x 2 = F(x 1 ) se numeşte o curbă integrală (traiectorie de fază). Deoarece derivatele x 1 şi x 2 sunt determinate prin ecuaţiile (1 0.28), pentru orice punct nesingular în planul fazelor putem vorbi de un punct reprezentativ ( x 1 şi x 2 ) pe curba integrală care se mişcă cu o viteză definită de-a lungul curbei integrale şi poate fi tratată ca traiectorie de mişcart: a punctului reprezentativ sau traiectorie de fază. La x 2 =O şi f(x 1, x 2 ) =O nu există mişcare, deoarece derivatele x 1 şi x 2 devin egale cu zero, la aceste puncte. Punctele definite prin ecuaţiile: x 2 =0

J(xl.xz)= O

(10.30)

se numesc puncte singulare. Soluţia ecuaţiei de stare x1 =O, x 2 =O, determină starea de echilibru a sistemului. În aceste ecuaţii, variabilele x1 , x 2 sunt selectate astfel încât să exprime deviaţia de la o oarecare stare de echilibru, care pentru x1 =O sau x2 =O, este denumită starea de echilibru, la zero, care este un punct de echilibru. Originea coordonatelor în planul fazelor ( x 2 , x1) este totdeauna un punct singular. Dacă există şi alte puncte singulare în afara originii, ele sunt toate pe axa abscisei, aşa cum se poate vedea din (10.30). Existenţa mai multor puncte singulare pe partea interioară a curbei integrale determină o divizare a acesteia în mai multe traiectorii de fază. Să considerăm un exemplu de curbă integrală care constă din două traiectorii de fază. Acestea se obţin pornind de la ecuaţiile:

x1 =x2

.:<2 = -ax2 -bx1•


428

2

Se poate integrală

uşor arăta că dacă a

> O, b > O şi b 2 < ~, există o curbă 4

[88]:

~2 = Xz = k. X1

Xj

Ecuaţia

pentru această curbă integrală este x 2 = kx1 , o linie dreaptă care trece prin origine. Punctul singular care este originea divide această linie dreaptă în semidrepte plasate în cadranele doi şi patru. Fiecare dintre aceste semidrepte este o traiectorie de fază care se termină în origine. 10.3.1. Puncte singulare în planul fazelor

Studiul sistemelor neliniare în planul fazelor începe cu studiul echilibrului şi al traiectoriilor ecuaţiei în vecinătatea unui punct de echilibru. Pot fi obţinute informaţii importante despre comportarea sistemelor neliniare în vecinătatea unui punct de echilibru din studiul liniarizării lor într-un punct de echilibru. În consecinţă, vom considera mai întâi un model liniar de forma: x=Ax, (10.31) cu xE 9\n şi A E 9\nxn, şi vom studia efectul valorilor proprii asupra portretului de fază. Pentru sistemul (1 0.31) originea este punct de echilibru unic dacă şi numai dacă valorile proprii ale matricei A sunt diferite de zero. În cele ce urmează, considerăm sistemul de ordinul doi: .i:I =alxl +blxz

.i:2 = a 2 x1 +b2x 2

(10.32)

x=Ax

unde A =[al az

b1 ], bz

căreia îi aplicăm transformarea de similaritate TE 9\2x2 :

T- 1AT = J care determină forma Jordan a matricei A.

(10.33)

Astfel, aplicând transformarea de coordonate x = r- 1x, sistemul (10.33) este transformat în [84]: Î = T- 1ATi = JX. (10.34) În figura 10.8 se evidenţiază transformarea T a planului P în f5 . În analiza acestui sistem transformat apar următoarele trei cazun distincte care generează comportamente calitativ diferite.

Sisteme neliniare

429

Valori proprii reale ale matricei J : J

=[~

(10.35)

Â:J

cu Â1, Âz Eli.

xz

0 o Fig. 10.8 Soluţiile ecuaţiei

de stare (10.34) în acest caz sunt:

x1(t) = x1(o }Aj' şi X:? (t) = -"z(ol''. Dacă eliminăm

-

~=

-"w

timpul din

( xz - )).tfAz

ecuaţiile

(10.36) (1 0.36) obţinem: (10.37)

-"zo

traiectoriei de stare în planul fazelor (x2 , .:i\ ). În funcţie de valoarea şi semnul valorilor proprii Â1 şi Âz pot fi obţinute diferite traiectorii de stare. În figura 10.9 se prezintă traiectoriile de fază pentru cazul în care A1 O, Â 2 >O traiectoriile diverg din origine (v. fig. 10.10), sistemul este instabil, iar originea este un nod instabil. Dacă valorile proprii A1 şi Âz au semne contrare ( A1
reprezintă ecuaţia


430

xz

Fig.10.9

Xz

Fig.lO.lO

Fig. 10.11

Sisteme neliniare

431

Fig.10.12

Este de observat că ecuaţia (1 0.37) se menţine pentru ambele cazuri cu diferenţa că exponentul este pozitiv pentru nodul stabil (curbele sunt parabolice) şi este negativ pentru şa (curbele sunt hiperbole). O valoare proprie repetată cu un singur vector propriu:

În acest caz, forma Jordan a matricei A nu este diagonală: J

=[~ ~]

(10.38)

iar soluţiile ecuaţiei de stare sunt: .XI (t) = x10 el.t + x20 tel.t ;2

•

(10.39)

(t) = .X20 e''

Prin eliminarea timpului în (10.39) se stare sub forma: ii=

~10 .X2 +..!.i2 ln[ ~2 ].

Xzo

Â.

Xzo,

obţine ecuaţia

,l.

W

traiectoriilor de (10.40)

Traiectoriile converg în ongme sau diverg de la aceasta (v. fig. 10.13), însă forma lor este diferită faţă de cazul prezentat în figura 10.9. În acest caz, punctul de echilibru poartă denumirea de nod stabil impropriu. Pentru }. >O nodul impropriu este un nod impropriu instabil. În acest caz, axa ii este asociată cu valoarea proprie Â. şi este invariantă, pe când axa i 2 nu este invariantă, traiectoriile intersectează axa i 2 .


432

xz

Fig.10.13

Valorile proprii sunt complexe:

Forma Jordan a matricei A este:

A-[a[-13

13]

iar matricea A nu poate fi Pentru a obţine coordonate: -2

p= ( x1

(10.41)

a

diagonalizată. soluţiile

în acest caz, facem schimbarea de

+x-2)1/2 2

ŞI

tancp =~2

.

XI

în aceste coordonate, ecuaţiile sunt: p=ap

(10.42)

iar portretul de fază este uşor de vizualizat. Traiectoriile au o evoluţie de tip spirală logaritmică şi converg spre origine sau diverg, în funcţie de semnul lui a. Variabila unghiulară q; se incrementează cu viteză constantă, în funcţie de semnul lui 13, în sensul orar direct sau invers. Dacă a< O, traiectoriile converg la origine, în care caz punctul de echilibru este cunoscut ca focar stabil. Pentru a> O, traiectoriile diverg iar originea este

Sisteme neliniare

433

un focar instabil. Dacă a= O, originea este încercuită de un număr infinit de orbi te circulare, iar echilibrul este denumit centru. În figura 10.14 sunt prezentate portretele de fază pentru acest caz (valori proprii complexe), evidenţiindu-se un focar şi un centru. l.

x,

·-

(a)

x,

(b)

(c)

Fig.10.14

Cazurile de mm sus (cu excepţia centrului) se păstrează dacă se puţin elementele matricei A (acestea reprezintă cazuri nedegenerate). Cazul a= O este de fapt degenerat, întrucât la o modificare foarte mică a elementelor matricei, centrul se transfom1ă în focar. modifică

10.3.2. Traiectorii de

fază

Prezenţa neliniarităţilor

ale traiectorii lor de li ni are.

fază

în

pentru sisteme neliniare

în structura unui sistem determină modificări cu traiectoriile definite pentru sisteme

comparaţie


434

Sistem cu frecare uscată (zonă de insensibilitate). Să considerăm un sistem de ordinul doi cu frecare uscată, caracterizat prin ecuaţiile:

roâ.6.,

Y+ roây =

l

(10.43)

O , .Y =O, /Y/ ::S L\

ro5L\,

Forţa

y >O, /Y/ > .6. .Y <0, /Y/ > L\

de frecare uscată se consideră a fi proporţională cu o constantă oarecare [). . În timpul mişcării, forţa inerţială şi forţa arcului sunt echilibrate prin forţa de frecare ( y + roây = F1 , y"' O). Dacă totuşi forţa

ro5y

a arcului

este mai mică decât forţa de frecare, sistemul este imobil. Astfel, mişcarea la diferite etape este descrisă de diferite ecuaţii diferenţiale (10.43). Pot fi definite astfel, traiectorii de fază în partea superioară a planului fazelor, în partea inferioară şi segmente de repaus pe axa absciselor y E [- [)., [).]. Acest segment este locul unui număr infinit de puncte de echilibru posibile. Mişcarea în partea superioară este descrisă de ecuaţia:

.Y+ro~ y = (y+L\)"+ ro5 (y+L\)=0, y>O iar în partea inferioară, în mod corespunzător de

ecuaţia:

.Y+ro5 y = (y-L\)"+ ro5 (y-L\)=0, y
traiectoriilor de

fază

(10.44)

în acest caz se

obţin

(10.45) pentru [).=O sub

forma: 2

2

xzroozc -+xl =

(10.46) 2 unde: x1 = y , x 2 = :Y . Aceste ecuaţii pun în evidenţă traiectorii sub formă de elipse centrate în origine. În cazul în care [). ot O, elipsele sunt centrate pe axa abscisei, însă centrele sunt deplasate prin + [). şi - [). în jumătatea superioară, respectiv jumătatea inferioară a planului (fig. 10.15). Ca rezultat al deplasării centrelor elipselor, mişcarea punctului se apropie prin parcurgerea elipselor spre segmentul de repaus, zona în care punctul rămâne după ajungerea pe acest segment. Astfel, segmentul de repaus este în acest caz stabil. Axa abscisei este divizată în trei părţi prin punctele - [). şi + [).: partea din interior, segmentul de repaus şi cele două părţi exterioare (/y/ < [).) pe care are Joc o tranziţie dintr-o parte în alta a

2

planului. Asemenea linii sunt denumite linii de comutare.

Sisteme neliniare

435

Xz

-11 +d

Fig.10.15 Soluţiile ecuaţiilor

cu

condiţiile iniţiale

y0

şi

.Yo =O sunt:

y = L'. + y0 cos ro0t , O< 1 < n/m0 = II respectiv, (10.47) y = -L'. +(y0 - t.) cosm0 t, II < t < 2ti. A doua elipsă in semiplanul inferior este: Y = L'. +( Yo- 26.) COSfDol (10.48) şi aşa mai departe, pentru celelalte elipse. Amplitudinile vibraţiilor descresc liniar. Timpul de amortizare într-

un sistem liniar este teoretic infinit, în timp ce într-un sistem neliniar cu fi-ecare uscată, acesta este finit.

Sisteme oscilante cu frecare variabilă. uscată pot fi scrise în forma:

Ecuaţiile

unor asemenea

sisteme cu frecare

y+w~y+ /c 2 y/

=O, y>O

(10.49)

unde c 2 y reprezintă frecarea internă variabilă. O altă formă a ecuaţiei (10.49) pune în evidenţă funcţia "semn":

y + (w~ +

w5

ji + (

c 2 ) y =O, sgn y = sgn 5• c

2

(10.50) )

y

= O,

sgn y

= --

sgn y


436

Astfel, în cadranele I şi ill, unde semnele lui y şi y sunt aceleaşi, traiectoriile de fază sunt părţi de elipse ce sunt concentrice în raport cu originea coordonatelor, având raportul între axe egal cu În cadran ele II

~ro~+ c2 .

şi IV raportul axelor este egal cu ~w~ -

Se poate vedea din figura 10.16

că

traiectoriile de

c2

fază

•

converg spre

ongine.

2

1 4

Fig.l0.16 Ecuaţia oscilaţiilor

libere poate fi aproximată prin ecuaţia liniară:

)i+2hey+w5eY =0, unde, pentru valori mai mici ale lui c 2 , c2 he ~ - 2- , Woe ;:::j (l)O. Woe1t

Sistem neliniar cu forţă elastică variabilă semn. Considerăm ecuaţia de mişcare sub forma:

şi

y+ yrp(y)=O, unde

cu schimbare de (10.51)

rp(y) se schimbă în concordanţă cu următoarea lege: rp(y )= rp0 [ 1-:. } Dacă notăm y

sub forma: dx 2

-= dx 1

(10.52)

=x1 , y = x2 , ecuaţia traiectoriei de fază poate fi scrisă

x 11p (x 1 ) x2

Sisteme neliniare

437

respectiv: Xj

xi = xi0 -

2

Jx1cp (x1 )dx1 •

(10.53)

XJO

Reprezentarea grafică a traiectoriilor de

fază

este dată în figura l 0.17.

Fig. 10.17 Construcţia

curbe lor este uşor de urmărit din figura 10.18. Originea coordonatelor, care este o singularitate de tip ,.centru", este înconjurată prin traiectorii închise (însă nu elipse). Există, de asemenea, un punct singular de tip şa la punctul x1 = y a , pe axa abscisei. Traiectoria care trece prin acest punct este reprezentată printr-o linie îngroşată. Ea divide planul fazelor în regiuni cu diferite legi de mişcare: traiectoriile în regiunea I sunt închise, în regiunea II ele se apropie de hiperbole, în timp ce traiectoriile din regiunea III ocolesc regiunea I şi se extind spre infinit. Dacă ecuaţiile de mişcare nu pot fi rezolvate analitic în vederea obţinerii ecuaţiei traiectoriei de fază, se poate folosi metoda izoclinelor pentru construcţia grafică aproximaiivă a traiectoriilor. Astfel, dacă presupunem că ecuaţiile unui sistem autonom au fost reduse la forma: :

2

=.P(x1.x2 ),

(10.54)

l

notând panta traiectoriilor de fază în raport cu axa x 1 printr-o valoare constantă arbitrară c1 , avem: (10.55) .P(x1,x 2 )= c1 Prin atribuirea de valori diferite c1 , se poate construi o familie de curbe de pantă constantă (izocline ). La punctul de intersecţie cu o izoclină, traiectoria de fază are o pantă egală cu arctanc 1 • În [88] sunt prezentate metode grafice de construcţie a traiectoriilor de fază (inclusiv metoda izoclinelor).


438

(a)

Xt Xt'P(xl) (b)

Xt 2

x2

(c)

(d) Il

''

' '' ....

...... --------~

-- ------Fig.10.18

Sisteme neliniare cu neliniarităţi de tip releu. Pentru a exemplifica modul de trasare a traiectoriilor de fază, considerăm o structură de sistem cu parte liniară formată din două integratoare şi parte neliniară definită prin funcţia cp( cr) (fig. 10.19).

~t.Sis'lenre

neliniare

439

Sistemul închis este un sistem oscilant conservativ. În cazul unui releu ideal, obţinem: .i2

.x,

=±

K

xz

·2

xz ± Kx1 = C

(Itl-56)

2

y=x1 =cr, v=±K dacă

v={K, cr>O -K, cr
şi C

sunt constante.

(a)

(b)

Fig.10.19 Ecuaţia traiectoriei de fază este ecuaţia unei parabole. Astfel, traiectoriile de fază vor fi curbe închise, formate din fragmente de parabole {fig. 10.20a) Introducerea zonei de insensibilitate va determina apariţia în fazelor şi a unor părţi liniare în domeniul (- ~. + ~) ca în 10.20b. Dacă se folosesc relee cu histerezis pozitiv, procesul va fi di,rer,~eriL în timp ce prezenţa histerezisului negativ asigură convergenţa procesului ( 10.2la). Analiza traiectoriilor de fază pentru sistemele neliniare relee permite a evidenţia influenţa diverşilor factori (zonă de insem;ibi.lit:lte, histerezis) asupra stabilităţii şi convergenţei sistemelor.


440

x2 V

x2 (j

~

LI.:'

' 1-A

X!

X!

(a)

(b) Fig.10.20

Presupunem în continuare că acţiunea releului depinde nu numai de coordonata x1 , însă de asemenea depinde de derivata în timp a acestei coordonate (fig. 10.2lb):

d 2 x1

-

dt 2

+ cp(a)

=O

a=-(x1 +a0 x2 ), (r=O)

·

(10.57)

{K, a>O -K, cr
În acest caz, linia de comutare nu va coincide cu axa x1 şi nu va fi paralelă

cu această axa. Linia de comutare va fi

dxl cr=x1 +a 0 -=0 dt

descrisă

de

ecuaţia:

(10.58)

Înclinarea acestei linii indică faptul că la o distanţă considerabilă de origine, procesele în sistemul cu releu ideal devin atenuate (fig. l0.2lb). În acelaşi timp, un regim alunecător este observat în vecinătatea originii. Traiectoriile de fază în cazul unui releu ideal sunt formate din segmente de parabole. Să considerăm două parabole la care linia de comutare MN va fi tangentă în punctele A şi B (fig. 10.22). Pe porţiunea AB a liniei de comutare traiectoriile de fază se vor apropia de linia de comutare din ambele părţi ale segmentului AB, între punctele de tangenţă A şi B, pe când, pe porţiunea MA, traiectoriile se apropie de linia de comutare doar din partea stângă. Când punctul reprezentativ atinge partea AB a liniei de

Sisteme neliniare

441

comutare, adică partea alunecătoare, el este incapabil de a o părăsi. Totuşi linia de comutare este linia de discontinuitate pentru partea dreaptă a ecuaţiilor (1 0.56). Xz '' '3

~

V

..

cr

1

A, -A,

A,

x, ,4

,5

:

(a)

(b)

Hg.10.21

xz M

Fig.10.22

Prin urmare, mişcarea de-a lungul liniei de comutare nu este de aceste ecuaţii. Ca şi în cazul caracteristicilor discontinue, această mişcare este obţinută prin extinderea ecuaţiei. Această extindere presupune ca în orice punct din regimul alunecător liniile de discontinuitate .~.ă fie determinate prin construirea vectorilor de viteză v1 şi v2 pe ambele !)ărţi ale liniei de discontinuitate şi unirea vârfurilor lor (fig. 10.23). determinată

INGINER lA REGLĂRI/ AUTOMATE

442

' Vt ''

i '' ''

k--+.J dx,

(a)

(b)

Fig.10.23

Vectorul cerut v este direcţionat din acest punct de-a lungul tangentei la linia de discontinuitate şi are vârful plasat pe linia ce uneşte vârfurile celor doi vectori v1 şi v2 (fig. 10.23). În acest caz, linia de discontinuitate este o linie dreaptă, iar viteza de modificare a coordonatei x1 este dx1· = x 2 dt

şi este aceeaşi pe linia de comutare.

Valorile lui ecuaţia

dxl dt

ŞI

x1

pe linia

dreaptă

sunt legate prm

(1 0.58).

Această ecuaţie va defini legea de vanaţ1e a lui x 1 de-a lungul segmentului de alunecare. Este de remarcat faptul că mişcarea în regim alunecător este determinată numai prin parametrii şi ecuaţiile (10.56). Această ecuaţie este uzual obţinută în forma liniară cu ajutorul corecţiei liniare şi astfel liniarizarea alunecătoare a unui sistem cu releu este obţinută prin descreşterea ordinului ecuaţiei. Astfel, datorită inerţiei releului, procesul de alunecare nu este mai încet netezit şi constă din oscilaţii de mică amplitudine şi înaltă frecvenţă în jurul liniei de alunecare. Linia de comutare nu este o traiectorie de fază, deşi ea poate fi făcută să coincidă cu o traiectorie (fig. 10.24). În acest caz, procesul va consta din două etape: apropierea de linia de comutare de-a lungul unor traiectorii a căror alegere depinde de condiţiile iniţiale şi mişcarea spre poziţia de echilibru (originea) de-a lungul liniei de comutare. Mişcarea de-a lungul liniei de comutare este exact determinată de ecuaţiile diferenţiale şi nu este necesară nici o extensie.

Sisteme neliniare

443

Fig.l0.24 Un asemenea proces este optimal în

viteză

pentru

ecuaţiile

(1 0.56)

dacă o restricţie este impusă asupra derivatei a doua 1~12 1 s K . Pentru sistemul cu un releu ideal considerat mai sus, legea de comutare trebuie să aibă următoarea formă:

ecuaţia

pentru

1

a=x1 +a0 x2 /x2 /=0, a0 = 2K

<0 (10.59)

.2

Ka=~+Kx1 =0, x2 >0, adică ecuaţia

2 liniei de comutare este

identică

cu ecuaţia traiectoriei de

fază.

10.3.3. Cicluri limită în planul fazelor Ciclurile limită reprezintă curbe închise în planul fazelor, către care tind asimptotic dintr-o vecinătate detetminată toate traiectoriile, atât din interior, cât şi din exterior în cazul în care sunt cicluri limită stabile sau de la care diverg traiectorii, atât spre interior, cât şi spre exterior în cazul ciclurilor limită instabile, traiectorii perturbate de la aceste traiectorii închise (fig. 10.25).


444

Fig.l0.25 limită),

Pentru a ilustra asemenea traiectorii închise (cicluri considera următorul sistem neliniar de ordinul al doilea: unde

y + a1(y, :Y ):Y + aoy =O, y(O)= Yo· :Y(O)= :Yo, a1(y, y) este un coeficient variabil. Presupunem că a0 = 1 şi a1 (y, .Y)= s(I-i- _;;2), cu 1;

proporţionalitate.

în

vecinătatea originii planului y = x 1 ,

acestor coordonate sunt neglijabile în raport cu (1 0.60) devine liniară:

vom

(10.60) un factor de

y = x2 pătratele

aproximaţiile

lor liniare, iar

ecuaţia

y+I;Y+y=O=.to y(O)=x0 :0

:Y(O)= :Yo "'o şi

s

s

admite un punct de echilibru în origine stabil pentru > O şi instabil dacă < O.

în

cazul instabil ( 1;
<; 2 - 4 O, orice perturbaţie de la condiţiile iniţiale x 10 = O, x 20 =O determină o traiectorie divergentă, iar cu îndepărtarea de origine scade amortizarea, până când se anulează pe cercul + :Y 2 =xf +xi =1. Se observă că acest cerc reprezintă o traiectorie închisă, un ciclu stabil, deoarece perturbaţiile interioare determină amortizarea negativă şi amplitudinea oscilaţiilor creşte, iar perturbaţiile exterioare generează procese cu amortizare pozitivă şi amplitudinea scade (fig. 10.26).

i

Sisteme neliniare

445

,

Fig.l0.26

Orice sistem la care punctul de echilibru x 1 = x 2 =O este instabil, iar ciclul limită este unic şi este stabil, se numeşte instabil în mic şi stabil în mare.

s

În cazul stabil ( >O), toate traiectoriile la care 1converg către acest punct, care poate fi focar stabil, dacă ţ 2 stabil, dacă 1; 2 - 4 > o. Sistemul în acest caz se

-

i -i

>O

4 < O sau nod

numeşte

stabil în mic. Şi în acest caz traiectoria i + y2 = xl + x~ = 1 este un ciclu limită, dar orice perturbaţie, oricât de mică, de la aceasta înscrie sistemul, fie pe o traiectorie interioară + .Y5 < 1) care evoluează spre punctul de echilibru x 1 = x 2 =O, fie pe o

(yJ

traiectorie exterioară ( + yJ > 1 ), care se îndepărtează nemărginit de ciclul limită. În acest caz, avem un ciclu limită instabil reprezentat cu linie întreruptă în figura 10.27a. În lipsa altor caracteristici care să limiteze îndepărtarea de ciclul limită spre exterior (ca de exemplu un alt ciclu limită stabil), spunem că sistemul este instabil în mare. Aceste modele simple din plan arată că şi ciclurile limită au rolul de separatoare, cel puţin la sistemele de ordinul al doilea. Anume acestea, indiferent de numărul lor, separă domeniile în care traiectoriile de mişcare (tranzitorie) converg de acelea în care aceste traiectorii sunt divergente (fig. 10.27b).

yJ


446

x,

. Fig.10.27 Prezenţa sau absenţa ciclurilor limită în tabloul calitativ de mişcare depinde de tipul neliniarităţilor şi de parametrii părţii liniare. Pentru neliniarităţi date, cu modificarea parametrilor părţii liniare, punctele de echilibru instabile pot deveni stabile şi invers. Valorile parametrilor pentru care are loc o asemenea inversare se numesc valori limită sau de bifurcaţie şi formează curbe sau suprafeţe de bifurcaţie în spaţiul acestor parametri. Asemenea bifurcaţii pot determina în acelaşi timp apariţia sau dispariţia unor cicluri limită, odată cu domeniile respective de instabilitate sau stabilitate în mic. În cazul general, pentru un sistem neliniar descris prin ecuaţiile: .Xr =ft(xl,x2) (10.61) .X2 = 12 (xl, x2) se pot formula teoreme de existenţă a ciclurilor limită în plan sau soluţii periodice ale ecuaţiilor (1 0.61 ). Criteriul Bendixon. Acest criteriu stabileşte suficienţe pentru ca în sistemele bidimensionale să nu existe cicluri limită în afara punctelor de echilibru [34, 88]. Dacă se consideră domeniul D mărginit, criteriul stabileşte că dacă

df., +t}fz :=div[f(x)] (10.62) dx1 dx2 nu schimbă semnul şi nu devine identic zero, atunci în acest domeniu nu pot exista traiectorii închise (cicluri limită).

Sisteme neliniare

447

Acest criteriu rezultă din faptul dx2 _ dx1 -

că ecuaţiile

(10.61) sunt echivalente cu: •

f2(x 1,x2 ) f 1 (x1,xJ ·

cu excepţia punctelor în care f 1 =O sau, pe orice traiectorie a sistemului avem: (10.63) Admiţând că există un ciclu limită în De, putem lua acest ciclu limită ca frontiera C a domeniului De şi atunci, din (10.63) decurge:

f (.fi dt2 - f2dxJ )= o. Trecând de la integrale de contur la integrale echivalente Gauss pe domeniul De, se obţine:

JJf 011 + 0h]dx1dx 2 =0 D LiJxi i.lx2

(10.64)

c

Dar mărimea de sub integrala plană are senm constant şi valoarea integralei nu poate fi nulă. Din această contradicţie rezultă criteriul enunţat [84 ]. În teoria şi practica sistemelor neiiniare de ordinul al doilea, o importanţă deosebită prezintă ecuaţia lui Lienard: y + f (y ):Y + g(y )=o (10.65) pentru care se formează funcţiile integrale y

y

o

o

F(y )= Jf(s )ds,G(y )= Jg(s }ls. Ecuaţia

(10.65) se mai scrie

şi

(10.66) sub forma:

y = z- F(y) z=-g(y)

(10.67)

care evidenţiază câteva proprietăţi remarcabile. Astfel, dacă: g(y) îndeplineşte condiţiile lui Lipschitz şi, în plus,

yg(y )>o

pentru y *O, iar Iim G(y )= =, y-tcc

funcţie univocă în intervalul y E (- =, + =) şi pentru orice interval finit, îndeplineşte condiţiile lui Lipschitz; în plus, pentru orice y suficient de mic yF(y )
F(y) este o

există

numerele M , K 1

şi

K 2 > K 1 , toate pozitive, astfel încât:

F(y):::: K1 pentru y > M F(y )::; K 2 pentru y < -M,

atunci

ecuaţia

(10.65) cu (10.66) admite cel puţin un ciclu

limită.


448

Sistemul (10.65) cu (10.66) admite un singur ciciu limită, dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii: g(y) este o funcţie impară, iar g(y) >O pentru y >O; F(y) este o funcţie impară şi există y0 , astfel ca F(y )
F(oo)=G(=)==; f(y) şi g(y) îndeplinesc

condiţiile lui Lipschitz pe once

interval finit. În [88] sunt prezentate şi alte teoreme şi criterii pentru existenţa ciclurilor limită. Metoda planului fazelor permite analiza calitativă a evoluţiei unui sistem dinamic liniar sau neliniar, cu evidenţierea unor puncte de echilibru stabile sau instabile, respectiv cicluri limită stabile şi instabile. De remarcat faptul că în planul fazelor se poate obţine un portret de fază pentru diferite condiţii iniţiale ale sistemului. Traiectoriile de fază gradate în timp permit de asemenea evidenţierea unor indici cantitativi pentru evaluarea calităţii răspunsului sistemului. Metoda planului fazelor reprezintă o metodă topologică de analiză a sistemelor neliniare, cu largă aplicabilitate pentru clase largi de sisteme.

10.4. Analiza intrare-ieşire a sistemelor neliniare În acest paragraf se prezintă unele elemente introductive ale analizei sistemelor neliniare pe baza modelelor intrare-ieşire. În prima parte se prezintă metoda funcţiei de descriere care reprezintă o metodă de aproximare liniară a sistemelor neliniare. Metoda funcţiei de descriere permite analiza posibilităţilor de apariţie a oscilaţiilor într-un SRA care conţine unele neliniarităţi în buclă. In cea de a doua parte a paragrafului se analizează stabilitatea intrare-ieşire a sistemelor neliniare. Pentru a defini funcţia de descriere, care reprezintă un aproximant liniar al sistemului neliniar, considerăm o structură de sistem neliniar în cadrul căruia neliniarităţi!e sunt grupate în blocul N , iar partea liniară are ca intrare ieşirea v a subsistemului neliniar (fig. 10.28).

-

...\,.)

(J'

N

+

Fig. 10.28

V

.1 j ~~ H(s) 1

y

Sisteme nelinkzre

449

------------------------------------------10.4.1.

Funcţia

de descriere

Admitem că partea liniară are o comportare de filtru trece-jos, permite trecerea numai a armonicii fundamentale

/H (Jro )/) )/H (kjro )/,

adică

k = 2,3 ... ,

în condiţiile în care semnalul v se obţine ca soluţie periodică din dezvoltarea în serie Fourier a răspunsului părţii neliniare la un semnal sinusoidal aplicat la intrare. Metoda aproximării răspunsului sistemului neliniar cu prima armonică din dezvoltarea în serie Fourier este aplicabilă unei clase foarte largi de caracteristici neliniare discontinue, simetrice, nesimetrice etc. Presupunem că sistemul neliniar este descris prin ecuaţiile:

y=-H(s)v v=rp(cr)

(10.68)

cu

ll(s)= ~~:~. Variaţiile sinusoidale ale variabilelor de intrare liniare sunt definite prin relaţia:

şi ieşire

ale

ji=H(Jw)v, unde

y

şi

v

sunt variabile de

părţii

(10.69) ieşire şi

intrare care

variază după

o lege

sinusoidală.

Relaţia

între armonicile fundamentale ale variabilelor de ieşire şi intrare v şi cr ale părţii neliniare se stabileşte cu ajutorul unei funcţii complexe, denumită coeficient de transfer armonie sau funcţie de descriere. Presupunem că intrarea unui element neliniar staţionar este o funcţie periodică armonică

cr =A sin rol şi funcţia neliniară

care defineşte caracteristica elementului neliniar satisface condiţiile Dirichlet (8, 34, 88]. Atunci variabila de ieşire din elementul neliniar va fi o funcţie periodică, ce poate fi dezvoltată în serie Fouricr. Ca urmare a comportării părţii liniare ca filtru trece-jos, vor fi reţinute din dezvoltarea în serie Fourier a funcţiei v numai componenta constantă şi termenii ce conţin prima armonică. Astfel, ieşirea periodică din elementul neliniar, prin dezvoltarea în serie Fourier ( t ;o, O) are forma aproximativă (10.70)

INGINERIA REGLĂRJJ AUTOMATE

450

întrucât componentele B, sin (irot) + c, cos (irot), pentru i;:, 2 sunt neglijate. Dacă se consideră

neliniaritatea

cp( cr)

simetrică,

adică

cp(cr)= -cp(-cr), atunci armonica fundamentală la ieşirea elementului neliniar este:

v = B1 sin rot + C1 cos rot unde 8 1

şi C1

sunt

coeficienţii

(10.71) seriei Fourier:

112•o cp (A sin 1J1) sin 1j1d\jl 112•o cp( A sin '1')cos 1j1d\jl,

81 =1t

(10.72)

C1 =1t

unde '1' = rot. În locul cantităţilcir 8 1 şi C1 , pentru definirea funcţiei de descriere se şi

folosesc rapoartele 8 1 / A

C1 / A :

1 2 a= 81 =-- f 'cp(Asin'l')sin'l'd'l' A

nAJo

b = Cr = _l f A

2

2nJo

Aceasta dă,

'

cp( A sin '1' )cos \jld\jl.

ţinând

seama de (10.71):

v =A( a sin rot + bcosrot).

(10.73)

Pentru simplificarea calculelor, funcţiile trigonometrice sunt adesea înlocuite prin funcţii complexe, variabilele reale y , i7 şi cr sunt înlocuite prin valorile complexe cu aceeaşi parametri, adică amplitudini, frecvenţă şi fază. Expresia complexă pentru (10.73) are forma: v = A(a + jb )ejwr

=(a+ jb)cr.

(10.74)

~ = a + jb = ~a2 + b 2 ej'P" ,

(10.75)

Raportul

N (A, jro) =

cr

~a 2 + b2 = h,. , este raportul amplitudinilor lui i7 şr cr , iar
unde

de transfer armonie sau funcţie de descriere a elementului neliniar. Astfel, funcţia de descriere este un număr complex care este o funcţie, atât de frecvenţa ro , cât şi de amplitudinea A a intrării sinusoidale.

Sisteme neliniare Ţinând

451

seama de

definiţia

funcţiei

de descriere,

remarcăm

următoarele proprietăţi:

atunci

dacă

neliniaritatea r,o( cr) este fără memorie şi invariantă în timp,

N(A, ro) este

calculează

-

independentă de ro, iar coeficienţii

B1(A)

şi C1 (A) se

cu ajutorul relaţiilor (10.72); presupunând că funcţia q~() este impară şi limitată sectorial,

adică:

K1cr 2 :S:: crr,o( cr) :S:: K2cr 2 , 1/cr E !R, atunci funcţia de descriere satisface:

(10.76)

K1 sN(A)sK 2 •

(10.77) Demonstrarea celor două proprietăţi reprezintă un exerciţiu util pentru cititor. Pentru a exemplifica modul de obţinere a funcţiei de descriere, considerăm un element ce conţine neliniarităţi statice combinate, zonă de insensibilitate şi saturaţie. Asemenea nelîniarităţi întâlnim în funcţionarea elementelor de execuţie într-un SRA. Comportarea neliniară a acestui element este prezentată în figura 10.29 şi este descrisă de ecuaţiile: S sgn (cr) pentru cr :S:: -6 1

K(cr+ll) pentru crE(-61, - ll) (10.78)

v=r,o(cr)= O pentru crE[-ll,llj K(cr-ll) pentru crE(ll,llJ)

l

S sgn (cr) pentru cr? 6 1 V

s

:

D.

--.J.L------1

-S

Fig.l0.29

-A 1

o·


452

Caracteristica este simetrică şi b = O, iar K = S f Il 1 - 6. . Admiţând la intrarea neliniarităţii un semnal sinusoidal cr(r) = A sin('!') se obţine variaţia ieşirii v ţinând seama de particularităţile neliniarităţii (fig. 10.30). V

s ---- ---------' ---------------------------+~

-

'

''

1

:

' ' --r---------r '' ''

-------------------------A 1t -

cpl 1!

Fig.10.30

Pentru a determina 'i'J şi '!' 2 , se observă că t. =A sîn ('l'd, iar t. 1=A sin ('l'z), ilustrând astfel zona de insensibilitate şi saturaţie.

În intervalul crE(t.,t.J) sau 'I'E('!'J•'i'z) variabila depinde liniar de

a:

v = k(cr- t.) =k(Asin ljl-t.) = kA(sin1jl-SÎnljl1). În intervalul '!' E('l'z,1l-'!'z) valoarea lui cu

v

rămâne constantă şi egală

s. Ţinând

seama

că

dreaptă '!'=~ şi ~ 3; , relaţia:

1"'' . (.

cele

două

curbe 1

se poate calcula

. ).

şi

2 sunt simetrice

funcţia

faţă

de linia

de descriere folosind

1rJ2 .

4S a =4KA sm '!' ·- sm 'JiJ sm '1'd '1' +sm'!'d'!' nA "'· nA v, sau după efectuarea calculelor:

a= K (2o/2 +sin21j1 2 -21j11-sin2'!'J) 1t

(10.79)

Sisteme neliniare

453

v este egal cu zero pentru jcrJ < Ll, se consideră limita inferioară a integralei. Domeniul ('lf1, %) S-a considerat că

în

două

intervale ( ljl1,ljl 2 )

definită. Următoarele

-

.

şi

(ljl 2 ,

%) , în

.

cazuri speciale pot .

cadrul

1J1 < IJIJ, iar IJI 1

a fost

cărora funcţia

împărţit

este bine

apărea:

.

nu exzsta saturaţie: IJ!z =-, caz m care 2

a=

~ ( n- 21J11 - sin21j11 ) = ~ (a- sinct)

unde a= n- 21f! 1 ;

nu există zonă de insensibilitate, însă există saturaţie ( IJII =O) a= K (21j1 2 - sin21f! 2 );

•

caracteristică

releu cu

zonă

în (1 0.79) este omisă, şi a= 4S 17tA cos IJ!z; caracteristică releu fără cos\j/ 2 = 1 şi, în acest caz, obţinem 4S

de insensibilitate lf!z = IJII : prima

integrală

zonă

de insensibilitate: Il = O

şi

a=-.

nA

Pentru neliniarităţi cu histerezis se calculează, atât g , cât şi b, funcţia de descriere având în acest caz formă completă. Pentru neliniaritatea de tip releu cu zonă de insensibilitate şi histerezis (fig. 10.31), funcţia de descriere se calculează apelând la relaţiile: 2M a=-

nA

ljl1

•-'1',

2M J sin lf!dljl =-(cos 'l't +cos ljlz) nA ljl,

. Lll = arcsm-,

A

. Ll \j/ 2 = arcsm-

A

(10.80)

2M •-'1', 2M b=cos ljldljl = -?( Ll- Lll ). nA nA"

J ljl,

Il

Pentru - = -1 se Llj centrat în origine. Aici: b= 4MLl 1 nA2

obţine

caracteristica de tip releu cu histerezis

(6.81)


454

V

M

-61

--------

-Il

Il

---------

Il]

(!

-M

Fig.10.31

Într-o manieră similară se pot deduce funcţii de descriere pentru toate neliniarităţile statice sau asimetrice ce pot fi întâlnite în structura sistemelor neliniare. 10.4.2. Analiza

oscilaţiilor

intr-un SRA neliniar

Se consideră structura convenţională de SRA neliniar (fig. 10.32), unde partea neliniară este aproximată prin funcţia de descriere N (A, jro) , iar referinţa este egală cu zero.

r=O

O"

+'(

N(.)

V

1

1

H(s)

1

y

1

Fig.10.32

Una dintre utilizările majore ale funcţiei de descriere este de a permite predictarea oscilaţiilor în sistemele de reglare neliniare. Pentru cele două subsisteme prezente în structura dată din figura i0.32 pot fi scrise ecuaţiile: v=Ncr 1

y(t)= jh(t-Ţ)v(Ţ)dT. o

(10.82)

Sisteme nelininre Dacă

455

tinem seama

că

funcţia

y() este dată U(A,w) +}V (A, ro)= H (jw)· N(A,w).

a

de descriere are o armonică atunci armonica fundamentală

v= Aasinrot + jAbcosrot,

fundamentală

lui

UAsinwt'+ VAcoswt,

de

dacă

În aceste condiţii, ecuaţia caracteristică a SRA sau ecuaţia balansului armonie are forma: !+H(Jw)N(A,w)=O. (10.83) Ecuaţia (10.83) are două necunoscute, A şi ro, şi două ecuaţii. Metoda funcţiei de descriere arată că soluţiile (A, ro) reprezintă aproximativ frecvenţa şi amplitudinea oscilaţiilor generate la limita de stabilitate a SRA. Testul (10.83) poate fi utilizat grafic, în special dacă neliniarităţile sunt fără memorie. În acest caz, N(A,ro) este real, nenegativ şi independent de ro, iar (10.83) capătă forma: l+H(Jw)N(A)=O. (10.84) Grafic această ecuaţie este rezolvată în planul Nyquist (fig. 10.33).

i

1

- N(A)

V=

ImH(Jm)

U = ReH(jm)

H(Jm)

Fig.10.33 1 Punctele de intersecţie ale locului Nyquist cu locul invers - N(A) evidenţiază frecvenţa oscilaţiilor

pe locul invers al

funcţiei

pe locul Nyquist de descriere.

şi

amplitudinea acestora

Prin deplasarea de-a lungul curbei - N(A) în amplitudinii A, pentm sistemul deschis stabil,

direcţia creşterii

soluţia periodică

va deveni


456 instabilă

la punctul de

intersecţie

a celor

două

curbe (locul de transfer

şi

- N(A)). În figura 10.34 se prezintă cazul general al SRA cu neliniarităţi aproximate prin funcţii de descriere N (A, jro) , unde curba ce reprezintă 1 , . ) este parametrizată în A . N(A.;ro

V =ImH(Jw)

U =ReH(Jw)

1

N(A,jw)

M---+Fig.10.34

Punctele M

şi N

stabile, respectiv instabile.

în figura 1O.34 corespund Ia

Porţiunea

MN a curbei

(

soluţii

1

N A,jw

)

periodice

evidenţiază

instabilitatea SRA. Pentru amplitudini A mai mari decât cele ataşate punctului N sistemul este stabil. Punctele M şi N definesc cicluri limită pentru funcţionarea SRA, cu observaţia că ciclul limită ce apare în punctul M este un ciclu limită instabil, iar ciclul limită ce apare în punctul N este un ciclu limită stabil. Metoda funcţiei de descriere poate fi folosită nu numai pentru analize SRA neliniare, ci şi pentru proiectarea acestora. Metodele de compensare utilizate în cazul sistemelor liniare pot fi extinse şi la sistemele neliniare. Astfel, metoda reducerii amplificării, metoda compensării folosind reţele de tip anticipaţie-întârziere şi metoda compensării prin reacţie după viteză în paralel cu reacţia de poziţie, pot fi utilizate cu bune rezultate în proiectarea sistemelor neliniare. Pentru a evidenţia modul de aplicare a metodelor menţionate, în tigura 10.35 se prezintă în planul amplitudine-fază cele două modele pentru partea liniară şi partea neliniară.

457

(b)

Fig.10.35

Prin alegerea

corespunzătoare

a metodei de compensare se

asigură

' deplasarea caracteristicii Hc (Jro), care asigură stabilitatea SRA.

10.5. Stabilitatea sistemelor neliniare " Problema stabilităţii sistemelor dinamice a reprezentat o reală · ., provocare pentru matematicieni, fizicieni şi astronomi, care au încercat să formuleze problema stabilităţii sistemului solar sau problema stabilităţii ;,coelor N corpuri. Torricelli (1608-1647) a formulat pentru prima dată ii/principiul energiei totale minime, care arată că un sistem de corpuri are un \'vpunct de echilibru stabil dacă acesta are energia totală minimă. La mijlocul Î~Ş,ycolului al XVID-lea, Laplace şi Lagrange au arătat că, dacă un sistem este ~~qqonservativ (conservă energia totală alcătuită din energie cinetică şi M';;potenţială), atunci o stare care corespunde la energie cinetică zero şi energie g\potenţială minimă este un punct de echilibru stabil. Prima tratare riguroasă a •:? Ştabilităţii sistemelor dinamice se datorează matematicianului rus ~~..~· M. Liapunov, care în J892 formulează .,Problema generală a mişcării" şi t';2defineşte stabilitatea soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale cunoscută şi sub *'',~enumirea "Stabilitate în sens Liapunov" [84].


458

10.5.1. Stabilitatea sistemelor neliniare În cele ce urmează, ne vom referi, mai întâi, la sisteme dinamice neliniare descrise de modele de forma: X= f(x,t), x(to)= Xo, (10.85)

unde xE 9\" în timp dacă

şi t ~O.

f

Sistemul definit în (10.85) este autonom sau invariant nu depinde explicit de timp.

liniar dacă x = A(t )x pentru A(): 9\+ ~ 9\""". Considerăm că f(x,t) este continuă pe porţiuni în raport cu timpul . Notăm cu s, o sferă de rază r cu centrul în origine, [84]. Proprietăţile sistemului (! 0.85) spunem că sunt adevărate: local, dacă sunt adevărate pentru toţi x0 în S, ; Sistemul

este

global, dacă sunt adevărate pentru toţi x 0 E 9\"; semiglobal, dacă sunt adevărate pentru toţi x0 E S, uniform, dacă sunt adevărate pentru toţi t 0 ~O.

şi

r arbitrar;

1: Continuitate Lipschitz. Funcţia f este local Lipschitz în x dacă, pentru un r > O, există tm l ~ O, astfel ca: Definiţia

(10.86)

//f(xl,t)- J(xz,t1/$lj/x; -xz// pentru

toţi

continuă

x 1, x 2 E S,, t ~O. Constanta l este denumită constantă Lipschitz.

Dacă

inegalitatea (10.86) se menţine pentru toţi x 1 ,x2 E 9\", spunem că funcţia f este continuă Lipschitz global. Dacă f are derivate parţiale în raport cu x mărginite, atunci aceasta este o funcţie Lipschitz. Definiţia

2: Punct de echilibru. Spunem că x' este un punct de

ecuaţiei (10.85) dacă t(x',t),., O pentru toţi t ~ t0 . Dacă J(x,t) este continuă Lipschitz în x, atunci soluţia x(t)=x*

echilibru al pentru

toţi

t este denumită o soluţie de echilibru.

În continuare, vom considera că x * = O reprezintă un punct de echilibru al ecuaţiei (10.85). Una dintre cele mai importante consecinţe ale continuităţii Lipschitz este că aceasta asigură limite ale vitezei de convergenţă sau divergenţă ale soluţiilor din origine. Definiţia

3: Stabilitate în sens Liapunov. Punctul de echilibru

x =O este un punct de echilibru stabil al ecuaţiei (10.85), dacă pentru toţi

o(t0 ,e), astfel ca: IJ.xo/i
t 0 ~0 şi e>O există

unde x(ţ) este soluţia ecuaţiei (10.85) începând din

(10.87)

x0 la

t0 •

459

În figura 10.36 se ilustrează definiţia stabilităţii arătând că ;ţraiectoriile încep în sfera s8 şi nu părăsesc sfera S, . Uneori această definiţie este cunoscută sub denumirea de stabilitate în sens Liapunov Ia timpul t 0 •

s -------------------------------------------

'

t

- s, ______________________________________ ::::__

,.,_~_

Fig. 10.36 Definiţia 4: Stabilitate uniformă. Punctul de echilibru x =O este un punct de echilibru uniform stabil al ecuaţiei (10.85) dacă o din definiţia precedentă este independent de t 0 . Definiţia 5: Stabilitate asimptotică. Punctul de echilibru x =o este un punct de echilibru asimptotic stabil al ecuaţiei (1 0.85) dacă: x =O este un punct de echilibru; x =O este atractiv, adică pentru oricare t 0 2: O există un o(r0 )

astfel ca //x0 //
Această definiţie

1

cere, pe iângă stabilitatea punctului de echilibru, ca traiectoriile să tindă la punctul de echilibru când t -r =. Convergenţa (raiectoriilor în origine nu implică totdeauna stabilitatea punctului de echilibru.


460 Definiţia

6: Stabilitatea

asimptotică

uniformă.

Punctul de echilibru x =O este un punct de echilibru asimptotic stabil uniform pentru (1 0.85), dacă: x =O este un punct de echilibru uniform stabil; traiectoria x(t) converge uniform la zero, adică există ii> O şi o funcţie

y( Ţ,Xo): w+ X W" -> w+, astfel ca: • Iim r( t,xo) =o pentru toţi Xo E Sa

şi

r~oo

(10.88) Definiţia

7: Stabilitate

asimptotică globală.

Punctul de echilibru x = O este un punct de echilibru global asimptotic stabil, dacă este stabil şi Iim x(t )=O pentru toţi x 0 E 9î".

1->=

Definiţia

8: Stabilitate

asimptotică

uniform

globală.

Punctul de echilibru x =O este un punct de echilibru global uniform asimptotic stabil dacă este global asimptotic stabil şi dacă, în plus, convergenţa în origine a traiectoriilor este uniformă în timp; aceasta înseamnă că există o funcţie y :W" x W+ _, W, astfel ca:

llx(t)ll::;r(Xo,t-t0 ), iit~O.

(10.89) Pentru sistemele liniare invariante în timp, viteza de convergenţă a traiectoriilor la origine este exponenţială, însă pentru sisteme variante în timp şi sisteme neliniare viteza de convergenţă poate lua diferite forme. Definiţia

9: Stabilitate

exponenţială, viteză

de

convergenţă.

Punctul de echilibru x =O este un punct de echilibru exponenţial stabil, există ~. a > O, astfel ca:

iix(t )il::; ~e -u(t-t") IIXoll pentru

dacă

(10.90)

toţi x0 E

S,, t ~ t 0 ~O. Constanta a reprezintă viteza de convergenţă. Stabilitatea global exponenţială este definită prin cerinţe ca ecuaţia

(10.90) să se menţină pentru toţi x 0 E 9î". În general, stabilitatea exponenţială este mai puternică decât stabilitatea asimptotică, deşi pentru sisteme liniare se poate arăta că stabilitatea uniform asimptotică este echivalentă cu stabilitatea exponenţială. Pornind de la aceste definiţii şi ţinând seama că stabilitatea este o proprietate a sistemului, Liapunov a introdus o metodă, reţinută în literatura de specialitate ca metoda a doua a lui Liapunov, pentru a determina stabilitatea sistemului (10.85) fără integrarea explicită a ecuaţiei diferenţiale.

Sisteme neliniare

461

Metoda reprezintă o generalizare a noţiunii ce ilustrează măsura disipării de energie într-un sistem şi furnizează informaţii asupra stabilităţii. Pentru aceasta se introduc următoarele funcţii ce definesc "măsura energiei" într-un sistem [84]. Definiţia aparţine

10:

Funcţii

de clasă K şi KR. O funcţie a(-): 3?+

clasei K (a(-) E K ),

dacă

este

continuă,

a() se spune că aparţine clasei KR K şi în plus a(p)-> oo când p-)"". a( O)= O.

Funcţia

Definiţia

strict dacă

->

!R+

crescătoare şi

a este din clasa

local pozitiv definite (f.l.p.d.). O funcţie continuă v(x,t ): 9\" x9\+ -) 9\+ este o funcţie local pozitiv definită, dacă pentm un r >O şi un a(-) din clasa K : 11:

V(O,t)=O şi Definiţia

Funcţii

V(x,r)::::a(llxll),

'ifxE S,, t?:O.

(10.91)

pozitiv definite (f.p.d.). O funcţie continuă V(x,t ): 9\" x 9\+ -) 9\+ este o funcţie pozitiv definită, dacă pentru un a() din clasa KR: (10.92) V(O,t)=O şi V(x,t):?:a(llxll), 'ifxE9\", t?:O şi

12:

Funcţii

a(p)-> oo când p-) "". funcţie

continuă

este descrescătoare dacă există o funcţie ~O din clasa K , astfel ca: O

V(x,t)$P(IIxii),VxE S,,

v(x,t):9\nx9\+-)9\+

o

funcţie

(10.93)

t?:O.

Analog se introduce noţiunea de funcţie negativ definită. Dacă funcţia V , fără să-şi sch1mbe senmul, se anulează şi în alte puncte decât originea, atunci se numeşte .funcţie de semn constant. Teorema de bază a lui Liapunov stabileşte că dacă V(x,t) este o

funcţie

pozitiv

definită

sau local pozitiv

definită şi

dVi:· 1)
putem aprecia stabilitatea sau instabilitatea punctului de echilibm. Derivata în timp a funcţiei v(x, t) este luată de-a lungul traiectorii lor ecuaţiei (1 0.85), adică:

dV(x,t) iJV(x,t)+ Clli(x,t) J(x,t). dt dt ax TEOREMA 10.1. Pentru sistemul:

x(t)= J(x,t)

(10.94)


462

dacă se poate găsi o funcţie V (x, 1) cu proprietăţile:

V(x) este o funcţie local pozitiv definită V(x,t);5;0, Vt<:10 , VxE S, v(o)= o atunci spunem că sistemul este stabil în sens Liapunov. Demonstraţie:

V(x,l) este o

funcţie local pozitiv definită, avem pentru

V(x,l);::: a(lixll), VxE Ss.

(10.95)

Deoarece

a()EK: De asemenea, şi din condiţia 8 > O astfel ca:

V(x,t)$0, Vt<:t0 , Vxe S, alegem

P(t0 ,o):= sup v(x,t0 )
llxii:SS unde s 1 =min(s,r,s) cu s>O.

Astfel, există întotdeauna de & şi

o, deoarece P(t0 ,o) este o funcţie continuă

a(ed > O. Admitem că

Jlx(t0 )jj :S: o implică jjx(t)!J
contradicţie.

Dacă nu este adevărat că jjx(t )jj < s 1 pentru toţi

timpul pentru care

1,

punem t1 > t0 să fie

Jjx(I)Jk s1 • Atunci:

v(x(td.ti);:::a(sd> v(x(lo),to). ceea ce reprezintă o contradicţie deoarece Deoarece:

(10.96)

V(x(t ~~ )s; O pentru toţi llxll < s1 •

ajx(t0 )j :S: V(x(t0 ),10 )
jjx(10 )jj< s 1 . Astfel, j x(1J!J
urmează că

TEOREMA 10.2. Un sistem neliniar de forma (10.85) este uniform asimptotic stabil dacă se găseşte o funcţie Liapunov proprietăţile:

V(x,l) este local pozitiv definită; - V(x,l) este local pozitiv definită.

V(x,t) care are

Sisteme neliniare

X

463

O funcţie continuă v(x) este pozitiv definită într-o regiune deschisă a spaţiului stărilor care conţine x =O dacă v(o)= O ŞI v(x)> O pentru

xE X şi

x;tO.

O funcţie este pozitiv semidefinită dacă xE

X

şi

v(o )=O

şi

v(x )<:O pentru

x;tO.

TEOREMA 10.3. Sistemul neliniar (10.85) este global uniform asimptotic stabil, dacă se găseşte o funcţie Liapunov care are proprietăţile: v(x,t) este o funcţie pozitiv definită; - v(x,t) este de asemenea o funcţie pozitiv definită. Demonstrarea celor două teoreme urmează un raţionament similar cu cel din cazul teoremei 10.1. În [84] sunt prezentate demonstraţiile celor două teoreme. Observaţii:

a)

descreşterea

funcţiei

v(x, t) este

asociată

uniformă şi caracterul local pozitiv definit al funcţiei -

cu

v(x,t) este asociat cu

stabilitatea asimptotică; b) stabilitatea globală este asociată cu cerinţa ca funcţie pozitiv definită şi corespunzător

stabilitatea

V(x, t) trebuie

v(x,t)

să fie o funcţie

negativ definită.

ExemplullO.l: Fie sistemul neliniar:

x, = x2 -x( {x2 = -x1 - 3x~ care admite soluţia banală x 1 =O şi x 2 =O. Să studiem stabilitatea acestei soluţii cu metoda Liapunov. O variantă de funcţie Liapunov pentru acest sistem este:

Vab(xt,x 2 )=ax( +bx~ determinând parametrii a

şi

cu

b din

a,b>O

condiţiile asupra funcţiilor V şi ~~.

În cazul de faţă, dV va fi: dt

dV = av dt axl

Xj

+av Xz = 2ax1 (xz - xf )+ 2bxz (axz

=2(a-bJxtx2 -2ax( -6bxi

Xj -

să fie o

3x~ )=


464 observă că

Se

este suficient să

luăm

a = b >O , de exemplu a = b = 1.

A tuncz,. -dV va fi1: dt dV 4 4 -=-2x 1 -6x 2 dt deci va fi negativ definită, iar V este pozitiv definită. Conform teoremei 1, soluţia banală este asimptotic sistemul este autonom, este chiar uniform asimptotic stabilă.

stabilă şi,

deoarece

Exemplu/10.2: Să considerăm

.XI

un alt exemplu:

=xz

x2 =-1x1 (1+4x~)· Ideea căutării unei funcţii Liapunov este de a reduce termenul 1 + 4xi, deci căutăm o funcţie v(x 1, x 2 ) a cărei derivată parţială în raport cu x 2 să conţină

la numitor termenul respectiv. Căutăm deci funcţia V(x 1,x2 ) deforma:

V(x 1,x2 )= a(x1)+ b(x1)in(!+ 4x~ ). Derivatele parţiale vor fi:

BV = a'(xJ)+b'(xJ)ln(l +4xi) 8x1 8V 8xz

8b(xJ)x2

=

1+4xi ·

Observăm că putem lua b(x1)= const

=b

şi atunci derivata funcţiei

v(x,t) va fi: dV '(x )x -=a 1 2 dt

-

z) '(

4bx1x 2 (\1+4x =a x )x -4bx x • 2 1 2 1 2

1+4x22

Alegând acum a(x1 ) de forma: a(x 1)= 4bx1 se obţine: dV =O dt şi astfel soluţia sistemului este uniform stabilă.

Sisteme neliniare

465

Exemplul 10.3: Se

consideră

x1

= x2

sistemul neliniar din figura 10.37 caracterizat prin modelul

[84]:

Xz =- J(xz )- g(xl)

unde funcţiile J(x 2 ) şi g(x 1 ) evidenţiază caracterul ne liniar al acumulatorului de energie potenţială ( g(x 1 )J şi al disipatorului ( J(x 2 )J. Aproximăm că f şi g modelează

local elemente pasive,

adică există

a 0 astfel ca:

of(a ):?: O. \fa E [-a0 ,a0 ],

ag(a ):::: O,

\faE[-a0,a0 ].

M

Fig. 10.37 Funcţia

Liapunov propusă pentru acest sistem are forma:

v(x)= xi + Jg(a }ia 2

care

evidenţiază

o

suma

totală

a energiei sistemului (energia

cinetică

plus energia

potenţială).

Această funcţie este o funcţie local pozitiv definită, g(x1 ) nu este identic nulă pe orice interval iar

~1 (x )= x2 [- f(x 2 )- g(xJ+ când

g(x1 )x2 =-xzi(x 2 ):;; O

llxzll
asimptotică

stabilitatea sistemului,

însă

nu stabilitatea

a originii.

Teoremele Liapunov dau condiţiile suficiente pentru stabilitatea punctului de echilibru în originea sistemului (10.85). Aceste teoreme nu furnizează proceduri pentru detenninarea funcţiilor Liapunov v(x,t ).


466

10.5.2. Stabilitatea sistemelor liniare

Teoria stabilităţii sistemelor nu necesită aplicarea teoremelor lui Liapunov, însă teoria Liapunov aplicată sistemelor liniare permite o mai bună înţelegere a construcţiei funcţiilor Liapunov pentru sistemele ne!iniare. Considerăm mai întâi sisteme liniare variante în timp: x=A(t)x, X~o)=xoE9\", (10.97) unde A~ )e 9\ """ este o funcţie limitată continuă pe porţiuni. Astfel, sistemul (10.97) satisface condiţiile pentru existenţa şi unicitatea soluţiilor. Matricea de tranziţie a stării (t,t0 )e 9\""" asociată cu A(t) este prin definiţie soluţia unică a ecuaţiei diferenţiale matriceale: (10.98) (t,t0)= A(t)·(t,t0), (t0,t0)= 1 iar soluţia ecuaţiei (10.97) este: (10.99) x(t)= (t,t0 )x(t0 ). Această expresie arată că traiectoriile sunt proporţionale cu dimensiunea condiţiilor iniţiale, astfel că proprietăţile locale şi globale sunt identice. Ţinând seama de proprietăţile matricei ~,t 0 ) şi anume: (t, ţ) ·( ţ,f0 ), lft, ţ,t0 ŞI

avem:

_!!__(t,to) = _!!___[(
dt0

t l= -(to, tr A(to )(to.t )
,t

1

(10.100)

= -(t0,t)A(t0). TEOREMA 10.4: Punctul de echilibru O al ecuaţiei (10.97) este uniform asimptotic stabil dacă este uniform stabil şi l(t,t0 1 H O când t ~ oo, uniform în t 0 . Punctul o!= O este un punct de echilibru uniform asimptotic stabil dacă o!= O este un punct de echilibru exponenţial stabil. În [84] se prezintă demonstraţia acestei teoreme pe baza proprietăţilor matricei fundamentale (t,t0 ). În continuare, considerăm sistemul autonom, invariant în timp descris prin: · AX , x E ron A E c:nnxn X= J\ , ..n (10.101) 0 şi deducem cerinţele care asigură stabilitatea în sens Liapunov.

Sisteme neliniare

467

TEOREMA 10.5: Punctul de echilibru x=O al ecuaţiei (10.101) este stabil dacă toate valorile proprii ale matricei A sunt în re· şi cele plasate pe axa imaginară sunt zerouri simple ale polinomului minimal al matricei A. O posibilitate de a studia stabilitatea sistemului (10.101) este de a alege o funcţie Liapunov V(x)= xT Px

unde PE 9\nxn este o matrice n

simetrică

pozitiv definită sau

n

v(x)= LLP;JxixJ i=l j=1

cu (10.102) Dacă există

o matrice

simetrică,

pozitiv definită Q E 9\nxn, astfel ca: (10.103)

ATP+PA=-Q,

atunci v(x) este o funcţie negativ definită. Ecuaţia (10.103) care este o ecuaţie

liniară

de forma:

L(P)= Q

(10.104)

unde L este o transformare din 9\nxn H 9\nxn este o ecuaţie Liapunov. Fiind dată o matrice simetrică QE 9\nxn, se poate arăta că (10.103) are o soluţie unică simetrică PE 9\nxn când L este inversabilă, aceasta dacă toate cele n 2 valori proprii ale transformării liniare L sunt diferite de zero. Pentru a demonstra această teoremă, observăm că funcţia V(x) este o funcţie pozitiv definită (prin alegere) iar funcţia li(~)= -xT Qx este o funcţie

negativ

definită.

Demonstrarea necesităţii se de forma: P

=

= JeA

T

1

bazează

pe considerarea unei matrice P

QeA 1 dt

o care este bine definită, deoarece matricea A are toate valorile proprii cu parte reală negativă iar integrala este convergentă. Pe de altă parte, are loc relaţia:

J(AT eA''QeA +eA''QeAt A }it= J:1[eA''QeA']dt = 00

AT P+ PA=

00

1

o

=eA ' 'QeA' 100 o

o

= -Q.


468

Astfel, matricea P considerată verifică ecuaţia Liapunov şi teorema este demonstrată. Matricea Q poate fi aleasă, de exemplu, matricea unitate. Prin intermediul teoremei lui Uapunov se poate reformula problema stabilită~i asimptotice a unui sistem liniar invariant autonom descris prin ecuaţia de stare (10.101). Astfel, sistemul (10.101) este asimptotic stabil dacă şi numai dacă pentru orice matrice Q simetrică pozitiv definită există o matrice P simetrică pozitiv definită care satisface ecuaţia Liapunov (10.103). Dacă există o soluţie P diferită de zero pentru ecuaţia matriceală (10.103) cu o matrice simetrică Q?.:O, atunci miginea pentru (10.101) este stabilă. Acest rezultat derivă din faptul că V este garantată a fi cel puţin negativ semidefinită. Se poate aprecia, pe baza celor menţionate mai sus, că pentru sistemele liniare invariante formele pătratice pentru funcţiile Liapunov reprezintă reale opţiuni. Pentru un sistem de ordinul doi caracterizat prin ecuaţiile de stare: 1 Ji·[x1 ] .i'ilJ O [xz] [-ro~ -2<;ro" xz

alegem matricele P

Q

Ptz]şiQ=rqii

P=[Pu Pzt iar ecuaţia

şi

P22.

matriceală

" O qzz Liapunov are forma:

PA+ATP=[fPit P21

PI2]. O

P22 . -ro~

= -[q~l Pentru q11

şi

OJl

q22

1

-

l

flO

2~ron + 1

q~zl aleşi şi pentru ~ şi

10.5.3. Stabilitatea

ron

daţi

se determină py.

absolută

Vom studia stabilitatea unei clase largi de sisteme neliniare cu partea partea cu reacţie neliniară fără memorie (posibil variantă în timp) (ftg. 10.38). Dacă x(t )E 9\", u{ţ )E 9\ şi y(t )E 9\ reprezintă starea, intrarea şi ieşirea părţii liniare, modelul sistemului închis este: directă liniară şi

x=Ax+bu y=c T x V

= -u = -rp(y(t ~t)

(10.105)

Sisteme neliniare

469

unde neliniaritatea
(10.!06)

H(s) sau

pentru (A,b,cT ), astfel ca punctul de echilibru O să fie global asimptotic stabil pentru o clasă de neliniarităţi definite prin

ep( o,t).

y(t)

u(t) + V

Fig. 10.38 Această

problemă

cunoscută

sub denumirea de problema stabilitatea globală a sistemului ( 10.1 06) pentru o întreagă clasă de neliniarităţi plasate în reacţie. Presupunem îndeplinite următoarele condiţii:

stabilităţii

este

absolute deoarece ne propunem

să demonstrăm

a) (A, b, cT) este minimal, adică sistemul este controlabil ŞI observabil; b) c)

matricea A are toate valorile proprii în c- ; neliniaritatea ']J(.,t) aparţine sectorului [k1 ,k 2 ] pentru k 2 ?. k1 ?. O: k1cr 2 ~crep( cr,t)::; k2cr 2 .

Este natural să presupunem acum problema: dacă se dă o neliniaritate continuă univocă, fiind cuprinsă în sectorul ( k 1 , k 2 ), este stabil sistemul cu structura dată în figura 10.38? Problema stabilităţii absolute a fost formulată de N.A. Aizerman [34] astfel: dându-se un sistem format dintr-o parte liniară (stabilă şi cu factor de amplificare unitar) şi o parte neliniară, să se găsească sectorul maxima! ( k 1 , k2 ), astfel încât sistemul să fie global asimptotic stabil.

10.5.3.1. Criteriul cercului În aceste ipoteze, originea în ecuaţia (10.106) este global asimptotic stabilă dacă:

Re[l+kH(jro)]>O, 'iro

(10.107)

lNG/NERlA REGLĂRI/ AUTOMATE

470

Pentru demonstrarea acestei propoziţii, considerăm o Liapunov de forma V (x) = xr Px, cu P > O şi P simetrică. Ţinând seama de (10.106) rezultă: V(x)=

f/ Px+ xT Px = xr(Ar P+ PA~+2xT Pbu

Folosind (10.105) şi multiplicând pe ambele y = cT~ cu ku şi adăugând şi scăzând u 2 se obţine:

(10.108) părţi

O=kucT x+u 2 -u(ky+u). Scăzând ecuaţia

funcţie

ecuaţiei

ale

(10.109)

(10.109) din (10.108) obţinem:

V(x)= xr(A TP +PA~+ 2uxT( Pb -~kcT )-u 2 + u(ky + u)

(10.110)

sau

V(x):Sxr(ArP+PA~+2uxT( Pb-~kcT )-u 2 întrucât, deoarece (jJ aparţine sectorului [o, k], (o = y) .

(10.111)

os QJ(y,t) :Sk pentru toţi y;
rezultă că

rp(y,t)

şi ky -rp(y,t) au totdeauna acelaşi semn, adică

(jJ(y,t xky- rp(y,t )]<: 0 pentru toţi y E 9\ ŞI

u[lq-u]so întrucât u =-QJ(y,t).

Dacă funcţia de transfer ~+kcr(si-At 1 b] este real pozitivă, atunci prin !ema Kalman-Yacubovici-Popov (KYP) [84) qE

9\"

şi

urmează că

3P,Q>0

Ş!

s >O astfel ca:

ATP+PA=-ql -sQ

(10.112)

J T Pb--kc =q 2

cu s un scalar. Din (10.112)

şi

(10.111) pe baza lemei (KYP) [46, 84]

S-ex T Qx- ( x T q-u )

rezultă:

2

S-exTQx .

Astfel, rezultă că -V este o funcţie pozitiv definită şi originea este global asimptotic stabilă. Condiţia impusă pentru a genera funcţia Liapunov

Sisteme neliniare

471

este ca [1 + kH (s )] să fie strict real pozitivă. Aceasta este echivalent cu

Re [H (jw) ]2: -

i,

deoarece k este strict pozitiv.

că cerinţa

de stabilitate a sistemului închis pentru toate neliniarităţile rp(-, t) în sectorul [o, k] forţează sistemul deschis să fie stabil {deoarece rp(-,t) poate fi ales şi identic zero). Această propoziţie poate fi generalizată şi pentru cazul în care rp(, t) se situează în sectorul [k1, k2 ] pentru k 2 :2: k1 :2: O. Pentru aceasta, partea liniară va avea forma: De notat

G(s)=

H(s)

1+ k)'l (s)

iar neliniaritatea se transformă în:

w( cr,t) = rp( cr,t)- ktcr situată în sectorul [o, k2 - k1 ]. TEOREMA 10.6: Presupunem că H(1) are p poli în c• ŞI neliniaritatea rp(-,t) este în sectorul [k1 ,k 2 ]. Atunci originea sistemului (10.106) este global asimptotic stabilă dacă: 1.

H(s) nu intersectează punctul de afix - J...

Jocul Nyquist al lui

kt

şi-1 încercuieşte

2.

de p ori în sens antiorar;

Re[l+kzH(jw{lj>O, VwEiR ll+ k1H (jw 1

Pentru demonstrare a)

considerăm următoarele

(10.113) trei cazuri:

k1 >O. Dacă H (jw) =V (jw) + jV (jw) obţinem din (1 0.1 13): 2

(1+k 2VXI+k1U)+k1k 2V >O (10.114) (I+ktu)z +ktzvz Numitorul acestei expresii este totdeauna pozitiv, deoarece locul Nyquist nu atinge

niciodată punctul - J... şi deci putem scrie: k1

2

(l+kPXI+k 1U)+k 1k2V >O

sau (10.115)


472

Această inegalitate arată că locul Nyquist al funcţiei H (jro) nu intră

1 1 . 'm di seu1 d'm p 1anu1 comp1ex care trece pnn . -şt - k1 k2 observa în figura 10.39.

aşa

cum se poate

Fig.10.39 Inecuaţia pusă

(10.115)

evidenţiază

cu

uşurinţă ecuaţia

cercului

dacă

este

sub forma:

)J

[u+±(ki +kî')J +V 2 -[±k'-k21 1

Astfel, locul de transfer

înconjoară

>O.

de p ori în sens antiorar discul

D(k1,k 2 ).

b)

k1 < O< k 2 . O condiţie necesară pentru stabilitatea absolută este

să aibă toate valorile proprii în semiplanul stâng deschis, deoarece rp(,t );;; O este o neliniaritate admisibilă. Procedând ca mai sus, avem:

ca A

(l+k 2UXl+k 1U)-k 1k 2V 2 >0

sau (10.116)

Sisteme neliniare

473

Inegalitatea (1 OJ 16) arată că locul Nyquist nu intersectează sau 1 (deoarece p =O) şi se situează în interiorul discului D(k1 ,k2 ) atinge

k,

(fig. !0.40).

Im

1

kz

Fig.10.40

c) k 1 < k 2
Fig.10.41


474

10.5.3.2. Criteriu/lui Popov Criteriul cercului pentru verificarea stabilităţii absolute a unei familii de sisteme de forma (10.106) implică utilizarea funcţiei pătratice Liapunov V =x7 Px.

În cele ce urmează, considerăm că qJ(, t) se situează în sectorul [o, k] cu k >0. Criteriul de stabilitate absolută al lui Popov afirmă că echilibrul în origine este global asimptotic stabil dacă există q0 > O, astfel încât [1 + k(l + q0 s)H(s )] este strict real pozitivă, unde H(s )= c7 (si- At 1b. Testul grafic pentru criteriul lui Popov se obţine pornind de la condiţia de real-pozitivitate particularizată în frecvenţă: Re[(!+q0 jro)H(jro)]>-i, pentru care, în esenţă, absolut stabile.

reprezintă condiţia

Dacă ţinem

seama că

ro;:::o

(10.117)

ca o familie de sisteme neliniare

H(jro)=U(ro)+ jV(ro)

şi

să

fie

înlocuim în (10.117),

obţinem:

U (ro)- q0 ro V ( m) >

-k1

(10.118)

U' (ro)-q0V'

-i,

(10.119)

sau

(ro)>

unde U' (ro)= U (ro) şi V' (ro)= wV( ro). Dacă reprezentăm grafic, în planul complex,

ecuaţia:

1 U * -q 0 V ' +-=0 k

obţinem dreapta cu panta - 1 care trece prin punctul

1

pe axa reală. k qo Această dreaptă poartă denumirea de "dreapta lui Popov ". În figura 10.42 se reprezintă dreapta lui Popov şi locul Nyquist

(u

modificat în planul ',V*). Condiţia ca sistemul (1 0.1 06) să aibă un punct de echilibru în origine, global asimptotic stabil, este ca locul de transfer modificat să se situeze sub dreapta de pantă variabilă 1/ q0 şi care intersectează axa reală în punctul de coordonate [-Il k , O].

Sisteme neliniare

475

Extensia criteriului pentru neliniarităţi situate în sectorul (k 1,k 2 ) este imediată dacă realizăm transformarea:

G(s)

H(s) 1+k1H(s)

w( cr,l) = 'P( cr,t)- klcr V' = wV

1

U'=U

k

Fig.l0.42 În aceste condiţii, criteriul lui Popov se reduce la a cere să existe q 0 >O, astfel încât

funcţia de transfer

1 k2 -kJ

+ (1 + q 0 sp(s)

să fie strict real

pozitivă.

Demonstraţia

criteriului lui Popov este dată în [84, 88].

Exemplul10.4: Se consideră partea liniară a sistemului ne liniar descrisă prin:

H(s)=

Ko

(1 + sT0 )3

, K0 >0, T0 >0.

Se cere să se determine sectorul maxim de stabilitate criteriul Popov. Trasăm locul modificat:

H(jw)= K 0 (1- jwT0

(1 + w2To2

absolută

apelând la

? =-T--'---~+ j K0 (w 3 T~ -3wT0 )

r

(1 + w2To2

r

INGINERIA REGlARll AUTOMATE

476

u' = Ko

2

2

l-3w To + w2To2

J

(!

2

WE (0,=).

2

-:.:T..!!.l:(w.:.....:T..!!0_-,...::.J.3) • _w V - Ko- 0 2 +w Se observă că intersecţiile locului cu axa absciselor se obţîne pentru w = O, respectiv w2T02 = 3, obţinându-se punctele:

6

Tl J

U • =K0 respectiv: U'=_Ko. 8 Intersecţia

2 2

cu axa ordonatelor se

obţine pentru pulsaţia:

1

w To =3 adică

În punctul:

V'=_9Ko =-3.,[3 Ko. 8.J3 8 Locul modificat apare în figura 10. 43.

v·

(w==) o

u'

_ 3K0 8T0

(() ~ Jj) 3T0

Fig.10.43

Sisteme neliniare

477

Se observă că locul modificat este o curbă convexă şi că dreapta Popov, lase locul modificat de aceeaşi parte cu originea, trece prin punctul

care

să

( 0,-

~o} corespunzător unui parametru Klim determinat din relaţia: 1 - Klim

K0

=-g,

deci:

10.6. Tehnici de conducere a sistemelor neliniare Aşa

cum s-a menţionat în introducere, procesele reale sunt caracterizate prin modele neliniare, cel mai adesea variante în timp. În cazul în care modelele de forma (10.1) pot fi liniarizate în jurul unor puncte de funcţionare, pot fi proiectate regulatoare liniare care să asigure performanţe impuse pentru regimul de funcţionare ales. Ieşirea din zona admisibilă de variaţie a mărimilor de intrare şi ieşire ale procesului conduc la degradarea performanţelor sau cel mai adesea la instabilitatea SRA. În aceste condiţii, regulatorul proiectat are un ridicat nivel de fragilitate şi în consecinţă soluţia adoptată are o robusteţe redusă. 10.6.1. Conducere multi-model

Pentru a ne menţine în domeniul reg!ării liniare a proceselor neliniare se poate adopta soluţia "conducerii multi-model". Această strategie de conducere presupune descompunerea unei probleme complexe dificil de rezolvat în mai multe probleme mai simple, pentru care se pot determina soluţii analitice şi care asigură soluţia problemei originale complexe. Astfel, se pot descompune problemele de modelare şi conducere pentru diferite regimuri de funcţionare ale procesului. Diferite modele locale şi corespunzător regulatoare sunt aplicate sub diferite regimuri de funcţionare. Printr-un sistem de supervizare se pot selecta modele şi regulatoare sau combinaţii ale acestora cu ponderi adecvate pentru a genera comenzi în funcţie de regimul de funcţionare al procesului. În figura l 0.44 se prezintă structura de conducere multi-model.


478

referinţa

.1 1 ~+-----------------~J ~~, M2 rr~~

Y-----------------------,______;1

:

1 1

Fig.10.44

Ponderile w; aplicate comenzilor locale generate de regulatoarele C; se calculează la nivelul supervizorului în funcţie de regimul de funcţionare al procesului şi de modelul adoptat pentru acel regim. Dacă schimbarea regimului de funcţionare este lină (netedă) şi comportarea procesului se schimbă lin cu regimul de funcţionare, pot fi adoptate modele liniarizate local, deşi procesul conţine neliniarităţi complexe dacă este analizat global. O asemenea abordare a conducerii unui proces neliniar complex permite o interpretare şi o mai bună înţelegere calitativă şi cantitativă apelând la metode inginereşti tradiţionale. Combinaţia între un model liniar şi un regulator liniar poate asigura comanda necesară asigurării cerinţelor impuse unui regim de funcţionare selectat. Procedura de conducere bazată pe multiple modele presupune parcurgerea următoarelor etape: se descompune întreg domeniul de funcţionare în regimuri de funcţionare şi se identifică variabilele ce pot fi utilizate pentru a caracteriza regimurile de funcţionare;

Sisteme neliniare

479

se aleg modele locale M; sau structuri de regulatoare C; în cadrul fiecărui regim de funcţionare. Aceste structuri vor fi detenninate pe baza cunoştinţelor relevante despre proces disponibile, pentru diferite condiţii de funcţionare; structurile locale de modele sau regulatoarele sunt parametrizate în anumite variabile ce trebuie determinate; se alege metoda de combinare a modelelor locale sau/şi a regulatoarelor în funcţie de regimul de funcţionare selectat. Dacă prin z(t) notăm punctul de funcţionare al procesului, un algoritm PID neliniar va avea forma: 1

1

d

u(t)=KR(z(t))e(t)+ ( ( )/s(t)dHTd(z(t))_!'_, T; z t, o dt r'

(10.120)

unde parametrii de acord sunt funcţie de regimul de funcţionare. Dacă se selectează punctele de funcţionare z1, z2 , ... , Zn iar regimul de funcţionare este în vecinătatea acestor puncte atunci se poate folosi un algoritm PID de forma: · 1 ·' de '1 u(t)=Kk e(t)+-.je(t)dt+T:f-J T'1 o dt r• când z(t) este în vecinătatea punctului z; , i = 1.2, ... , n .

(10.121)

Proiectarea acestor algoritmi este mai simplă decât proiectarea unui algoritm neliniar chiar dacă există un model dinamic neliniar al procesului. Tratarea problemelor de conducere pentru procese neliniare complexe fără o abordare simplificată corelată cu regimurile de funcţionare impuse, necesită luarea în consideraţie a unor tehnici neconvenţionale bazate pe modelare calitativă, reţele neuronale, sisteme expert, logică fuzzy şi raţionamente probabilistice. Aceasta reprezintă în esenţă tendinţa ce se manifestă în dezvoltarea unei noi generaţii de sisteme de conducere inteligente cu ridicată autonomie. Principalele probleme ce trebuie rezolvate în cazul conducerii multimodel sunt legate de identificarea regimurilor de funcţionare şi de transferul între regulatoare fără şocuri pentru proces. Prima problemă este adesea rezolvată dacă există variabile măsurate ce reprezintă un indicator esenţial al dinamicii (comportării) procesului. Pentru a exemplifica, în cazul conducerii performante a avioanelor se folosesc numărul Mach şi altitudinea ca variabile pentru planificarea regulatoarelor. Cea de-a doua problemă necesită ca fiecare regulator să opereze stabil, indiferent dacă este sau nu este instalat în regim automat pe proces. Această cerinţă poate fi realizată printr-o strategie de tipul "anti-wind-up" [46).


480

modalitate de a asigura comutarea regulatoarelor rară şocuri este prezentată în figura 10.45. Regulatorul descris prin H k(s) este folosit pentru a asigura că ieşirea regulatorului i urmăreşte intrarea reală în proces. Supervizorul va selecta din cele n regulatoare unul pentru a genera comanda spre proces, celelalte fiind în stare de aşteptare. Toate regulatoarele în rezervă sunt conectate în reacţie ca în figura 10.45, astfel încât ieşirile lor să urmărească ieşirea regulatorului activ. În figura 10.45 comanda u(t) reprezintă ieşirea regulatorului activ, O

altă

iar H h(s) un regulator în aşteptare având semnalul de referinţă r(t) pentru o ieşire particulară

y(t ). Regulatorul

H

k(s)

reprezintă regulatorul pentru

regulatorul i. Astfel, regulatorul H k{s) este un regulator-regulator. Pentru acest regulator-regulator, semnalele r(t) şi y(t) acţionează ca perturbaţii. O asemenea metodă poate fi folosită cu bună eficienţă în cazul saturării elementelor de execuţie, în cazul sistemelor adaptive şi al sistemelor cu amplificare planificată .

r{t)

. - - - - - , U;

l----t>l H h(s)

(t)

y(t)

Fig.l0.45

Comanda u(t) poate fi şi o combinaţie a ieşirilor regulatoarelor: (10.122) i=l

unde

w;E

[0,1] şi

n

,Lw; =1,

Vt.

i=l

Aceasta poate fi folosită când supervizorul generează decizii de comutare soft prin generarea ponderii de confidenţă ataşată fiecărui posibil regulator. Aceste ponderi pot fi, de exemplu, probabilitatea ca fiecare regulator să fie corect sau pot fi alte funcţii de apartenenţă. Evidenţierea modelelor locale pentru caracterizarea diferitelor regimuri de funcţionare şi, în mod corespunzător. a unor algoritmi dereglare

Sisteme neliniare

481

asociaţi acestor regimuri poate reprezenta baza pentru configurarea sau reconfigurarea dinamică a strategiilor de conducere în cadrul sistemelor cu ridicată autonomie. Nelîniaritatea şi complexitatea proceselor în aceste condiţii nu reprezintă neajunsuri majore pentru rezolvarea problemei conducerii dacă se apelează la principiul descompunerii unei probleme complexe în mai multe probleme mai simple, dacă este posibil.

10.6.2. Conducere neliniară

bazată

pe model intern

Principiul reglării cu model intern poate fi extins la procese nelîniare caracterizate prin modele stabile şi cu inversul acestora de asemenea stabil. Arhitectura SRA cu model intern este prezentată în figura 10.46, unde iar perturbaţiile procesul neliniar este modelat prin operatorul H P

O

acţionează

la intrarea şi

ieşirea

procesului.

•r----------------------•• • •

r(t )!

,: +

u(t )!

QO

y(t)

,L_______________________________ _ PROCES

1

--,

•

+.

•

! !

i•

Îlp(-)

•

e(t)

•

i

••

• •

l~?~~~!-~~----------------------------------------------1 Fig.10.46 Admiţând că

procesul este stabil în buclă deschisă şi cunoscând că v2 (t) = O, eroarea e(t) va converge (în cazul modelarii exacte) la valoarea perturbaţiei v1(t). Reamintim (v. § 6) că pentru procese caracterizate prin modele liniare stabile de fază minimă regulatorul s-a ales de forma: 1

unde

Q(s)= FQ(slH p(s)J (10.123) FQ (s) reprezintă un filtru stabil ce trebuie ales. Cea mai simplă alegere a fost astfel încât [FQ (s )f 1 să fie un polinom

stabil al cărui grad este egal cu gradul relativ al lui liP (s). În cazul liniar aceasta conduce la rezultatul:

y(t)= FQ(v(t))

(10.124)

INGINERIA REGlARI/ AUTOMATE

482 Acelaşi

principiu poate fi aplicat la sisteme neliniare. Cea mai simplă situaţie apare când procesul are o neliniaritate statică la intrare şi perturbaţia acţionează numai la ieşirea procesului. În acest caz, ieşirea modelului nominal este: y(t)= lÎ p(u(t))+v1(t) (10.125) sau

y(t)= lÎ p(fP(u))+vt(t), unde lÎ P este un operator liniar şi
FQ ca un operator liniar stabil de grad relativ

versiunea neliniară a relaţiei (10.123) devine:

Q(o) =
(10.126)

În aceste condiţii se obţine comanda sub forma:

l

u(t )=
(10.127)

ceea ce evidenţiază un model invers aproximativ al procesului neliniar care conduce direct la o ieşire a sistemului: y(t)= FQ(v(t))+v1(t). (10.128) În acest caz modelul paralel cu procesul se poate construi uşor ţinând seama de inversabilitatea modelului.

PROBLEME 10.1. Se

consideră

un proces în

mişcare

de

rotaţie

cu modelul liniar

sub forma: H p(s)=~. s-

Se cere: a) modelul de stare cu variabilele de stare

poziţia

ŞI

viteza

unghiulară;

b) portretul de fază pentru comenzi discontinue cu valori normalizate egale cu + 1 şi respectiv -1; c) sinteza legii de comandă neliniară care asigură răspunsul minimal în timp. 10.2. Se

consideră

structura de SRA cu regulator neliniar

tripoziţional şi proces modelat prin H P (s )=

K

(.

P

)

s 7Ps + 1

(fig. 10.49).

Sisteme neliniare

483

Se cere: a) modelul de stare ataşat sistemului; b) portretul de fază pentru K P = 1 şi TP = 4s; c) funcţia de descriere ataşată regulatorului ne liniar; d) valorile limită ale parametrilor K P şi TP pentru care SRA este stabil. + ~--- rr

E

+'-~

KP

u

-li

s(Tps+!)

li

- ---

y

-1

Fig.10.49

10.3. Se

consideră

un sistem mecanic ce

prezintă hist~rezis

mecanic

(fig. 10.50).

y(t)

u(t)

Fig.10.50

Se cere: a) funcţia

de

descriere

ataşată

acestei

neliniarităţi

u(t)= Asinrot; b) caracteristicile de frecvenţă (N(AI Li)) şi ('Y(A 1Li)).

pentru

INGINERIA REGLĂRI! AUTOM4TE

484

10.4. Se consideră un sistem mecanic având caracteristica în figura 10.51. Se cere funcţia de descriere pentru u(t)= Asinrot.

statică

reprezentată

y(t) k

'' /

' /'

' ''

/

'

u(t)

Fig.10.51

10.5. Se consideră un SRA care conţine un element neliniar cu histerezis mecanic şi un element liniar caracterizat prin funcţia de transfer

H(s)=

K

s(0.5s + 1)2 Se cere: a) frecvenţa ro şi !:J.I A la intersecţia ciclurilor limită care apar pentru K = 5 şi K = 10 ; b) valoarea amplificării K pentru care se obţine o margine de amplitudine de 6dB. 10.6. Se consideră sistemul neliniar: .i:1 = 10x1 - 10x2

xz =15x1 -12x2 -0.1~-tan- 1 x 2 ) y =xz +vt

ce acţionează la ieşire. Se cere: a) să se arate că sistemul nu este stabil inversabil; b) să se arate că sistemul este stabil în buclă deschisă; c) să se proiecteze o lege de comandă care liniarizează prin asigură urmărirea referinţei constante şi rejecţia perturbaţiei v1 •

unde

şi

v1 reprezintă perturbaţia combinată

reacţie

Sisteme neliniare

485

10.7. Se consideră un sistem caracterizat prin: .i: = l" 0.5

0.3]x(t).

0.2 0.7

Se cere: a) să se selecteze care dintre Liapunov pentru acest sistem:

funcţiile

de mai jos sunt

funcţii

V1(x 1 ,x2 )= x1 +X~,

V2 (x1,x2 )= 3xf +xL v3(xl,xJ= xi, V4 (x 1 ,x 2 )=(~ 1 +xz? +xi; b) funcţie Liapunov global asimptotic stabil.

corespunzătoare

pentru care sistemul este

10.8. Se consideră sistemul caracterizat prin:

-x2 + x1(x12 + xi -1) .i:2 = x1 +x2 (xr +x~ -1)

.i:1 = şi

o funcţie Liapunov:

v(x)=xf +xi. Se cere să se verifice stabilitatea sistemului. 10.9. Pentru sistemele invariante descrise prin modelele:

H1(s)= (

1

)2

s s+l 1 H 2 (s)= ( ) ss+l

H3(s)=

1

(s -IXs + 2)

se cere a determina limitele parametrilor K1 , K 2 sau K pentru neliniarităţile sectoriale cp(y )E [K1, K2] sau cp(y )E [o, K] pentru care sistemele în buclă închisă sunt stabile.

11.

SISTEME ADAPTIVE

11.1. Introducere Sistemele adaptive reprezintă o nouă categorie de sisteme de conducere caracterizate prin capacitatea de a compensa modificările structurale sau parametrice ale obiectului condus prin modificări corespunzătoare ale structurii sau ale parametrilor algoritmului de conducere. Este cunoscut faptul că structurile convenţionale de reglare/conducere sunt performante în măsura în care informaţia iniţială despre procesul condus (inclusiv informaţii asupra mărimilor exogene) este cât mai completă. Regulatoarele robuste sunt proiectate pe baza unui model matematic precizat şi o clasă de incertitudini bine definită. în condiţiile în care informaţia iniţială despre proces este redusă, ,) modelul matematic ce caracterizează procesul şi mărimile exogene este { incomplet, neliniar şi variant în timp, apare în mod natural cerinţa adoptării unor noi concepte de conducere a procesului, care să includă funcţii .suplimentare. Astfel, într-un sistem adaptiv, se regăsesc funcţiile: de completare a informaţiei despre proces şi mărimile exogene; de proiectare on-line a strategiei de conducere, având la bază un model matematic sau informaţia cât mai completă despre proces; de elaborare a comenzii, în concordanţă cu cerinţele de performanţă impuse. Sistemele adaptive au avut o evoluţie spectaculoasă în ultimii 40 de ani, începând cu anii 1960, când s-a definit capacitatea unui regulator de a modifica parametrii de acord. Primele regulatoare adaptive au fost concepute pentru aplicaţii în domeniul aviaţiei [5]. Rezultate semnificative în cercetarea sistemelor adaptive au fost obţinute în deceniul al 7-Jea. Astfel, s-a fundamentat teoria controlului dual [52], s-au dezvoltat proceduri recursive de identificare şi estimare a parametrilor (5], s-au formulat principii recursive în controlul adaptiv [5, 58].

Sisteme adaptive

487

Evoluţia

sistemelor adaptive în ultimii 20 de ani este strâns legată de structurilor cu microprocesoare capabile să implementeze proceduri avansate de conducere, inclusiv proceduri adaptive. Din punct de vedere conceptual, sistemele adaptive au cunoscut o dezvoltare semnificativă în ultimii ani ai secolului al XX-lea. Astfel, au fost elaborate proceduri de proiectare a sistemelor adaptive pe baza teoriei stabilităţii şi hiperstabilităţii [5, 45, 52, 87, 88], au fost dezvoltate noi metode de proiectare robustă a sistemelor şi noi proceduri ro1mste de estimare în timp real a parametrilor. În ultimii ani, a fost finisată o largă clasă de proceduri de proiectare a sistemelor adaptive, asigurând robusteţe soluţiilor şi o reală implementabilitate. Au fost dezvoltate noi concepte de conducere adaptivă robustă multimodei şi au fost propuse soluţii viabile pentru conducerea în timp real a unor procese complexe caracterizate prin modele neliniare. · . Cele mai multe sisteme adaptive de conducere pot fi grupate în două man grupe: { '7.) - sisteme adaptive în circuit deschis (feedforward adaptive { controllers); sisteme adaptive în circuit închis (feedback adaptive controllers). Structura generală a unui sistem adaptiv cu adaptare în circuit deschis este prezentată în figura 11.1. evoluţia

w

-

y PROCES

y

-.

u

'------

REGULATOR ADAPTIV

r:~·-"' ADAPTARE

Fig. 11.1

r-

1 1 _:_j

488


Adaptarea structurii sau/şi a parametrilor regulatorului se realizează în funcţie de mărimile exogene w (referinţe, perturbaţii) măsurabile. Pentru a realiza adaptarea în buclă deschisă, se impune a fi cunoscută influenţa semnalelor externe măsurabile asupra comportării procesului şi a buclei de reglare. Din această categorie de sisteme adaptive fac parte structurile de conducere cu "planificarea amplificării" (gain scheduling), aplicate în conducerea avioanelor. În cadrul acestor structuri, factorul de amplificare al regulatorului se proiectează în avans pentru semnalele măsurabile care descriu condiţiile de funcţionare cu aproximaţie şi semnalele externe, care se modifică lent în comparaţie cu dinamica procesului. Procedura poate fi extinsă şi pentru regulatoare cu mai mulţi parametri de acord. Parametrii calculaţi pentru anumite condiţii de funcţionare sunt memoraţi sub formă de tabele şi pot fi utilizaţi atunci când condiţiile de funcţionare sunt identice sau apropiate cu cele pentru care au fost calculaţi prin proiectare. Avantajul esenţial al acestor structuri de sisteme adaptive este reacţia rapidă la modificările procesului, întrucât comportarea procesului este cunoscută înainte şi nu se identifică pe baza măsurărilor efectuate asupra intrărilor şi ieşirilor din proces. Ca dezavantaj al acestor structuri se menţionează faptul că se neglijează semnalele nemăsurabile şi numărul mare al parametrilor ce trebuie memoraţi pentru a acoperi cât mai multe condiţii de funcţionare. Cea de a doua categorie de sisteme adaptive (cea mai utilizată) are la bază principiul reacţiei, iar legea de reglare adaptivă se determină pe baza informaţiilor ce definesc comportarea procesului. Structura generală a unui astfel de sistem adaptiv este prezentată în figura 11.2. Informaţia măsurabilă din proces este folosită pentru a construi un model comportamental al procesului, iar pe baza acestuia se proiectează noua strategie de conducere. În acest caz, regulatorul adaptiv îşi modifică on-line structura sau parametrii în funcţie de modelul obţinut şi în concordanţă cu cerinţele de performanţă impuse prin funcţia obiectiv l. Schema detaliată a unui sistem adaptiv în circuit închis este prezentată în figura 11.3. Astfel, în afara reacţiei negative, care are rolul de a asigura satisfacerea performanţelor pentru informaţii apriorice date despre proces, este inclusă o nouă buclă de adaptare care, pe baza rezultatelor identificării procesului condus sau a întregului sistem, asigură adaptarea comenzii la varianţa sau necunoaşterea parametrilor sau/şi a structurii obiectului condus. În acest caz, incertitudinile parametrice sau structurale sunt compensate prin proiectarea on-line a legii de comandă pe baza informaţiilor obţinute prin identificare.

Sisteme adaptive

489

y

w

PROCES

______!:.

r---1' u

~ REGULA TOR ADAPTIV

1--

'

.J

/

y

l

~~

l

1-

MECANISM DE

!---

ADAPTARE

Fig.ll.2

[

l

REGULA TOR

r(t)

1

u(t)

y(t)

PROCES 1

ADAPTIV

y(t)

1 1

.

VJ

~

PROIECTARE ALGORITM

1

IDENTIFICARE

+-

Fig. 11.3

vz

490


Mecanismul de adaptare în acest caz asigură identificarea procesului şi proiectarea on-line a regulatorului (structură şi/sau parametrii algoritmului dereglare). În practică. sunt multe procese pentru care modelele matematice ce caracterizează funcţionarea lor sunt modele ce includ incertitudini parametrice şi/sau structurale (roboţi, sisteme energetice, sisteme de navigaţie, procese metalurgice şi chimice, ş.a.). O clasificare a sistemelor adaptive în circuit închis este prezentată în [52, 58]. În cadrul acestui capitol, sunt prezentate două mari categorii de sisteme adaptive: sisteme adaptive cu model de referinţă (SAMR) şi sisteme adoptive cu identificarea modelului procesului (SAIM). Aceste două tipuri de sisteme adaptive fac parte din categoria sistemelor adaptive "NEDUALE" caracterizate prin faptul că regulatorul se proiectează prin minimizarea unui criteriu de performanţă, luând în consideraţie numai valorile prezente şi trecute ale semnalelor din bucla de reglare şi informaţia curentă despre proces, stare sau semnale estimate. Cele două categorii de sisteme adaptive fac parte din clasa sistemelor adaptive în circuit închis, legea de comandă adaptivă se determină pe baza informaţiilor obţinute despre procesul condus. Strategia de proiectare a regulatoarelor adaptive neduale este asociată cu principiul separării şi cu principiul echivalenţei certe (certainty equivalence principle). Principiul separării presupune separarea funcţiilor de identificare şi de elaborare a comenzii adaptive, iar principiul echivalenţei certe presupune că modelul identificat al procesului este cunoscut rară incertitudini. Structura generală a unui sistem adaptiv cu model de referinţă este prezentată în figura 11.4. Modelul de referinţă caracterizează comportarea dorită a sistemului de reglare pentru o clasă dată de intrări. Mecanismul de adaptare în acest caz forţează comportarea SRA spre o comportare impusă, prin alegerea corespunzătoare a modelului de referinţă. Mecanismul de adaptare asigură proiectarea algoritmului de reglare, asigurând minimizarea unui criteriu de performanţă definit în funcţie de eroare e = y - y M , unde y M este ieşirea modelului de referinţă. Alegerea modelului de referinţă reprezintă o etapă a fazei de proiectare a sistemului adaptiv, aceasta răspunzând, atât cerinţelor de performanţă impuse de comportarea ideală dorită a întregului sistem, cât şi cerinţelor structurale impuse de particularităţile procesului. Regulatoml este uzual parametrizat printr-un număr de parametri ajustabili it, operând astfel ca o familie de regulatoare destinată unei clase de procese.

Sisteme adaptive

491

..{t)

y(ţ)

-+

Proces Condus

r-'-----+

r--0

r--

Model de Referinţă

YM

u(ţ) '--

Regulator

+-

y(ţ)

Adaptiv

r

r{ţ)

/In

Proiectarea Algoritmului (regulatorului)

l n "'

r

Mecanism .___ de Adaptare

7

H

+

-

J

Regulator Adaptiv

r{ţ)

[~

-4

y{ţ)

Proces Condus

u(t)

1 L_"

Model de Referinţă

-

YM

a)

b)

Fig. 11.4

Atunci când parametrii procesului sunt exact cunoscuţi, parametrii ai regulatorului fac posibil ca ieşirea procesului să fie identică cu ieşirea modelului de referinţă. Când parametrii procesului nu sunt cunoscuţi, mecanismul de adaptare va ajusta parametrii regulatorului, astfel ca urmărirea asimptotică să fie cât mai exact realizată. Dacă legea de reglare este liniară în parametri ajustabili, spunem că regulatorul este liniar parametrizat. Cele mai utilizate sisteme adaptive sunt proiectate având la bază o parametrizare liniară a regulatorului, aceasta asigurând mecanismului de adaptare stabilitate şi convergenta urmăririi. Astfel, mecanismul de adaptare în cadrul sistemelor adaptive cu model de referinţă asigură convergenta la zero a erorii de urmărire, prin modificarea parametrilor sau structurii regulatorului, cu asigurarea stabilităţii sistemului de reglare. Se poate uşor observa că SAMR are în componenţă două bucle: o buclă interioară, care este compusă din regulator şi proces şi o buclă exterioară, care ajustează. parametrii regulatorului în direcţia anulării erorii de urmărire. corespunzători

INGINERIA REGLĂR/1 AUTOMATE

492

Pentru a compara o structură de SRA cu regulator fix şi cu regulator adaptiv, considerăm un proces de ordinul I şi un regulator proporţional cu două grade de libertate: y(t)= (aP +~}y(t)+u(t) (11.1)

u(t)=-KPy(t)+r(t) unde

~ reprezintă

(11.2)

incertitudinea asupra parametrului a P cu valori cuprinse

între două limite ~m şi ~M (L\E [~m,L\M ]). referinţă

Modelul de

selectat pentru acest SRA este caracterizat prin: Ym = -amYm + r(t ), am> o. (11.3)

Presupunănd că

(

~E

[-

a P este cunoscut, iar incertitudinea

~

este precizată

20,10 ]), se poate obţine K P care asigură robusteţea stabilităţii. Astfel, din ( 11.1) şi ( 11.2) rezultă:

y(t)=(aP +~-Kp)y(t)+r(t)

(ll.4)

iar condiţia de stabilitate a SRA rezultă: (11.5) sau

Kp>aP+lO. Comportarea în regim staţionar a SRA se poate studia dacă se calculează eroarea e(t) = y(t )- ym(t) în regim staţionar ( e" = lime(t )). H-

Din (11.4) se

obţine:

y(t )= -amy(t )+ (aP + ~- KP +am )y{t )+ r(t) sau prin aplicarea transformatei Laplace în

Ys= ()

1

s+am

condiţii iniţiale

nule:

(·) an+~-Kp+am () Rs+· Ys.

s+am Dacă ţinem seama de (11.3) şi (11.4) obţinem eroarea de urmărire:

a + ~- K p +am 1 ( ) p • R s .(11.6) s+am s-aP -~+Kp În regim staţionar, dacă alegem la limită Kp =am+ aP -10 şi E (s ) = Y (s ) - Ym (s ) =

considerăm am e"

=1

şi R(s) = .!_, se obţine: s

~-10 = ,_.._ hme t = . <

()

11-~

Sisteme adoptive

Valoarea

( e" = -

493 maximă

urmărire

a erorii de

se obtine pentru L\. m = -20 ,

'% ), iar valoarea minimă se obţine pentru

L\. = 1O ( e" = O).

Astfel, regulatorul fix (11.2) poate fi folosit pentru un domeniu cunoscut al incertitudinii L\. şi nu asigură urmărirea asimptotică pentru referinţe diferite de zero. Pentru a P cunoscut şi L\. = O legea de comandă poate fi:

u(t)=-Kpy(t)+r(t) iar

KP = aP + am , ceea ce asigură o ecuaţie a erorii sub forma: e(t)= -a.,e(t), e(O)= y(O)- Ym(O). În cazul în care a P este necunoscut, legea de reglare nu poate fi

implementată deoarece KP este necunoscut. În aceste condiţii, legea de reglare poate avea forma:

unde

u(t)= -KP (t )y(t )+ r(t) K P (t) reprezintă o estimare a parametrului KP • Dacă

introducem notaţia:

Kp:=Kp(t)-Kp atunci ecuaţia erorii de urmărire devine:

e(t)=-a'"e(t)+Kpy(t), t20.

(11.7)

Pentru e determina legea de variaţie a parametrului K, (t) care asigură convergenţa asimptotică la zero a erorii de urmărire, alegem pentru sistemul (Il. 7) funcţia Liapunov:

v(e, Kp )= e 2 (t )+ R;(t) a cărei

derivată

în timp este:

v =!!_dt v(e, R )= 2~(t )e(t)+ R (r )K(t )). p

Deoarece

KP

p

(11.8)

este constant şi ţinând seama de (11. 7), ecuaţia (11.8)

devine:

V =-2ame 1 (t )+ 2e(t )y(t )if P (t )+ 2K P (t )K P (t). Stabilitatea asimptotică a sistemului (1 1. 7) se obţine pentru V
KP (t) = -e(t )y(t),

t

<:: O


494

sau 1

Kp (t) =-

unde K P (o)

fe( t) y( t)dt + Kp(O),

(11.9)

o este o estimaţie iniţială a parametrului necunoscut

asemenea lege de ajustare a parametrului K P asigură

KP.

O

V = -2ame (t)
ceea ce asigură stabilitatea sistemului pentru o clasă largă de incertitudini parametrice cu urmărirea asimptotică a modelului de referinţă. Sistemele adaptive cu model de referinţă sunt definite ca sisteme neliniare şi variante în timp. Pentru aplicaţii practice, adaptarea poate fi împărţită în trei etape: • compararea comportării sistemului închis cu comportamentul unui sistem impus prin modelul de referinţă; • calculul parametrilor sau structura regulatorului pe baza legii de adaptare; • ajustarea regulatorului. Diferenţele între diversele structuri de sisteme adaptive cu model de referinţă sunt determinate de procedurile de proiectare a legii de adaptare. Sistemele adaptive cu model de referinţă au capacitatea de adaptare rapidă la semnalele de intrare definite, putând fi proiectate pe baza teoriei stabilităţii sistemelor neliniare.

Structura generală a unui sistem adaptiv cu identificarea modelului matematic al procesului este prezentată în figura 11.5. Sistemele adaptive cu identificarea modelului matematic (SAIM) sunt cunoscute şi sub denumirea de sisteme adaptive cu autoacordare. În cadrul structurilor SAIM identificăm cu uşurinţă o procedură de identificare a modelului procesului şi o procedură de proiectare on-line a regulatorului. Aceste sisteme sunt bazate pe principiul separării (echivalenţei certe) şi pe aproximarea că parametrii estimaţi ai modelului sau variabilele de stare sunt identici cu parametrii reali sau variabilele de stare reale ale procesului condus. Parametrii reali ai procesului sau variabilele reale ale acestuia sunt înlocuiţi prin estimaţiile lor obţinute on-line. Sistemele adaptive cu identificarea modelului pot fi divizate în două clase, în funcţie de tipul modelelor matematice identificate: modele parametrice sau modele neparametrice.

Sisteme adaptive

495

w,

y, Proces Condus

,--o

r--

u, f---

.............

Regulator Adaptiv

i 1f

Jf

Proiectarea Regulatorului

Ţ ~

1I e,

Identificare Model

y,

r,

4

Regulator Adaptiv

~

Proces Cmdus

1 v,

tt,

k

r

u,

~--~

v,

[

1

l

Proiectarea Regulatorului

......

Estimarea

Parametrilor

(},

r--

a)

b)

Fig.ll.S

Mecanismul de adaptare din figura 11.5b conţine o procedură de estimare recursivă a parametrilor obiectului condus şi o procedură de proiectare a regulatorului pe baza rezultatelor estimării. Astfel, se evidenţiază în cadrul acestei structuri o buclă convenţională de reglare ce se constituie într-un prim nivel de reglare şi o buclă de adaptare ce reprezintă cel de-al doilea nivel ierarhic în conducerea procesului. Parametrii obiectului condus, a cărui structură se presupune cunoscută, se estimează la fiecare moment de timp şi sunt utilizaţi pentru proiectarea parametrilor regulatorului. Comanda se calculează pe baza parametrilor determinaţi şi în funcţie de semnalele funcţionale măsurate Yk şi uk . Dacă se notează prin âk vectorul parametrilor estimaţi la momentul k şi prin ftk , vectorul parametrilor regulatorului, iar prin Cfik vectorul de regresie ce conţine informaţia funcţională curentă şi trecută, obţinută prin măsurarea variabilelor Yk şi uk, un sistem adaptiv cu autoacordare poate fi definit prin relaţiile:

âk =Sk-I +F(âk-t>'Pk•Yk)


496 ftk

=t(âk)

uk

= g(ftk,'Pk)

(ll.lO)

unde funcţiile F, f şi g definesc proceduri de estimare a parametrilor, de proiectare a algoritmului de reglare şi de elaborare a comenzii. Estimarea parametrilor poate fi înţeleasă simplu, ca un proces de găsire a unui set de parametri ce filtrează datele de intrare-ieşire disponibile din proces. Pentru procese liniare, există multe tehnici disponibile pentru a estima parametrii necunoscuţi ai procesului. Există, de asemenea, multe proceduri de proiectare a algoritmilor de reglare pe baza modelului procesului (alocare de poli, PID, regulator liniar pătratic (LQR), minimă varianţă sau tehnici H~ de proiectare). Prin combinarea diferitelor proceduri de estimare şi de proiectare a legilor de comandă se obţine o mare varietate de regulatoare cu autoacordare (self-tuning). Pentru modele liniare, regulatoarele sunt parametrizate liniar, iar comanda se generează sub forma: -T uk=nk''Pk·

(11.11)

În cazul în care parametrii regulatorului se obţin prin calcul, pe baza

parametrilor estimaţi ai procesului, sptmem că avem un sistem adaptiv indirect, deoarece translaţia se face de la parametrii procesului la parametrii regulatorului. Dacă este posibil să se reparametrizeze procesul, astfel încât modelul să conţină parametrii regulatorului, putem realiza un sistem adaptiv direct. În acest caz, se estimează direct parametrii regulatorului, fără a parcurge faza de proiectare a parametrilor algoritmului. Funcţiile de transfer ataşate procesului condus şi regulatorului sunt

(11.12)

respectiv (ll.l3)

(11.14)

iar parametrii regulatorului detemtinaţi în funcţie de

_ r- _ , _ _JT

nk

= qo

la iteraţia k.

q!"'qn P!'" Pn

ek

formează vectorul ftk:

(11.15)

Sisteme adaptive

497

Relaţiile între parametrii âk şi ftk sunt definite prin procedura de proiectare, iar comanda uk se generează la fiecare iteraţie în funcţie de rezultatele estimării parametrilor procesului condus. În cazul reglării adaptive directe, se determină direct parametrii ftk ai regulatorului printr-o procedură de estimare, dacă se parametrizează procesul în funcţie de ftk. Astfel, se poate include în (11.12) relaţia: âk = r 1(ftk) (11.16) dacă funcţiafeste inversabilă,

iar Yk devine:

Yk =h(ftk,'Pk) ·

Este de remarcat faptul că ambele scheme de reglare cu model de autoacordare au în alcătuire două bucle de reacţie. Bucla o buclă convenţională de reglare, ce cuprinde procesul şi regulatorul, iar bucla exterioară este o buclă de ajustare a parametrilor sau structurii regulatorului având la bază informaţiile funcţionale ale procesului (intrări, ieşiri). Metodele pentru proiectarea buclei interioare şi tehnicile de ajustare a parametrilor sunt diferite pentru cele două scheme de adaptare. În comparaţie cu SAMR, sistemele cu autoacordare (sistemele adaptive cu identificarea modelului) sunt mai flexibile, datorită posibilităţilor multiple de cuplare a diferitelor metode de estimare şi proiectare a regulatoarelor. Totuşi, stabilitatea şi convergenţa sistemelor cu autoacordare sunt în general dificil a le garanta, adesea impunându-se ca semnalele de excitaţie să fie suficient de puternice pentru a se obţine o estimaţie consistentă. Parametrii procesului sau ai regulatorului în cadrul structurilor de sisteme adapti ve SAMR şi SAIM sunt estimaţi în timp real, iar estimaţiile sunt folosite pentru proiectarea regulatorului sau generarea directă a comenzii, fără a lua în consideraţie incertitudinile estimaţiilor. În multe scheme de estimare este posibil a obţine o măsură a calităţii estimaţiilor şi a folosi aceasta pentru modificarea regulatorului. Sistemele adaptive sunt inerent neliniare, comportarea lor fiind dificil de analizat. Teoria sistemelor neliniare, teoria stabilităţii, identificarea sistemelor, estimarea recursivă a parametrilor, controlul optimal şi stocastic contribuie la înţelegerea sistemelor adaptive. Astfel, o abordare riguroasă a problematicii (analiza, sinteza) sistemelor adaptive presupune o înţelegere profundă a disciplinelor mai sus referinţă şi cu interioară este

menţionate.

Teoria sistemelor adaptive operează cu metode specifice analizei, cât cu metode destinate proiectării sistemelor adaptive. Probleme cum sunt stabilitatea, robusteţea şi convergenţa soluţiilor sistemelor adaptive, în strânsă conexiune cu problemele implementării sistemelor adaptive, constituie în continuare teme de cercetare de reală actualitate. şi


498

referinţă

11.2. Sisteme adaptive cu model de

(SAMR)

11.2.1. Introducere

În figura 11.6 se prezintă structura standard a unui SAMR. Modelul de referinţă (MR) defineşte comportarea dorită a SRA pentru o referinţă specificată. Parametrii sau structura regulatorului se modifică în funcţie de eroarea dintre ieşirea y a SRA şi ieşirea y M a modelului de referinţă. Se evidenţiază în această structură bucla de reglare clasică şi o buclă exterioară, care are rolul de ajustare a parametrilor sau a structurii regulatorului.

r(t) +

u

Regulator Adaptiv

y(t)

Condus vJ

ft

_!__,.

Obiectul

vzÎ

Mecanism Adaptare ~

YM Model de referinta MR Fig.11.6

Mecanismul de adaptare, prin ajustarea parametrilor regulatorului forţează comportarea SRA spre o comportare impusă prin modelul de referinţă. O asemenea abordare sugerează posibilitatea de a utiliza un regulator liniar pentru un model liniar al procesului şi un mecanism de adaptare neliniar care asigură menţinerea performanţelor impuse SRA prin intermediul modelului de referinţă. Parametrii 1t ai regulatorului sunt ajustaţi direct prin minimizarea criteriului de performanţă l = J(e) ataşat mecanismului de adaptare.

Sisteme adaptive

499

Principalele metode de analiză şi sinteză a SAMR sunt: metoda gradientului; metoda bazată pe teoria stabilităţii în sens Liapunov; metoda bazată pe teoria pasivităţii.

11.2.2. V rmărirea modelului Problema sintezei SAMR se reduce în esenţă la asigurarea erorii e = y- y M cât mai mică posibil, forţând astfel SRA la comportarea impusă de modelul de referinţă. Se poate realiza o urmărire perfectă a modelului de referinţă, asigurând o eroare cât mai aproape de zero pentru toate semnalele de referinţă, eroare care depinde de model, de SRA şi de referinţă. Minimizarea erorii presupune rezolvarea unei probleme de optimizare a parametrilor regulatorului, astfel încât ieşirea măsurată a procesului condus pentru o referinţă dată să fie cât mai apropiată de ieşirea dorită a modelului de referinţă. Performanţele dorite ale SRA sunt impuse prin alegerea modelului de referinţă MR. Pentru un model liniar discret de forma: (11.17) se poate recomanda un regulator liniar descris prin modelul: Ru,

= Trk -

Syk,

(11.18)

unde R, S, T sunt polinoame în operatorul q -l. Presupunem că polinoamele A şi B sunt relativ prime, iar modelul (11.17) este propriu (în cazul continuu) sau cauza! (în cazul discret). Admitem că polinomul A este manie. Pentru structura de SRA prezentată în figura 11.17 se cere a găsi un mecanism de adaptare care să ajusteze parametrii regulatoru1ui ( r; ,t j, s, ), astfel încât eroarea de urmărire a modelului: B -t y să

m

=

mq r A ·-1 k m q 1

fie minimă în prezenţa incertitudinilor ce caracterizează polinoamele A Din (11.17) şi ( 11.18) rezultă ecuaţia:

BT Yk = AR+BSrk.

(11.19) şi B.

(11.20)


500

r(t) +

u

Ru=Tr-Sy

~

J

y(t)

B A

r-::+ Fig.11.7 Ţinând

seama de (11.19), pentru a obţine răspunsul dorit al SRA cu regulatorul (11.18), AM trebuie să dividă polinomul caracteristic, iar zerouri le procesului (date de B =O) vor fi incluse ca zerouri ale sistemului închis, indiferent dacă pot fi compensate de polii sistemului închis. Deoarece zerourile instabile sau foarte aproape de cercul unitar nu pot fi compensate, polinomul B se factorizează sub forma B = n+ n-, (11.21) unde B+ conţine acei factori ce pot fi compensaţi, iar n- conţine factorii ce nu pot fi compensaţi. Se presupune că n+ este monic şi conţine zerourile stabile. În aceste condiţii şi ţinând seama că gradul polinomului caracteristic este mai mare decât gradul polinomului AmB+, se include printre divizorii acestuia şi polinomul caracteristic a, al estimatorului de stare. Astfel, polinomul caracteristic conţine trei tipuri de factori: zerourile stabile ale procesului prin n+, polii modelului dorit daţi prin polinomul Am şi polii estimatorului daţi prin polinomul a, . În aceste condiţii: AR+ BS = n+ a,Am ( 11.22) reprezintă o ecuaţie diofantică (v.§ 8.3). Din această identitate, urmează că n+ divide polinomul R, deci: R =B+ R1 (11.23) şi ecuaţia (11.22) capătă forma: AR1 + B- S = a,Am. (11.24) Din (11.20) şi (11.19) rezultă Bm şi,

în

că

n-

trebuie

să dividă

Bm:

=B-B~

consecinţă:

T= a,B~.

(11.25)

Sisteme adaptil•e Condiţiile

SOl pentru

existenţa soluţiei ecuaţiei

diofantice (11.22) sunt

date în § 8.3. Legea de reglare cu două grade de libertate definită prin relatia (11.18) cu polinoamele R, S şi T date prin relaţiile (11.23), (11.24) ·şi (11.25) asigură urmărirea perfectă a modelului de referinţă, dacă sunt îndeplinite condiţiile de compatibilitate pentru obţinerea soluţiei ecuaţiei diofantice (11.22).

11.2.3. Metoda gradientului (Regula MIT) Procedura de ajustare a parametrilor conform acestei metode este cunoscută şi sub denumirea de regula MIT [5]. Problema ajustări! parametrilor în acest caz se reduce la minimizarea unei funcţii obiectiv 1 = f ( e) , unde e = y- y m . Alegând un criteriu pătratic de forma: 1

2

(11.26)

1 =-e 2 , rezultă

1 = F( PJ·Pz ........ ,pN ),

unde Pi sunt parametrii regulatorului, cu nr = [p1,p2 , ... , PN ]. Pentru minimizarea criteriului ( l 1.26), se alege ca direcţie de căutare a minimului gradientulnegativ al funcţiei obiectiv 8e -dn: = - y8F- = -ye-. dt

01[

Dacă

admitem

{11.27)

01[

că

schimbă

parametrii se

variabile din sistem, atunci derivata

oe

01[

poate fi

mult mai lent decât alte

evaluată sub aproximaţia că

n este constant. În relaţia (11.27), constanta pozitivă y caracterizează viteza de

adaptare iar

oe reprezintă sensibilitatea sistemului în raport cu parametrii

01[

regulatoru!ui.

Exemplulll.l: Se consideră procesul caracterizat prin modelul Presupunem că modelul de j•m =-am5'm +bmr.

referinţă

y = -·a P y + b Pu

este tot de ordinul întâi:

[5, 48].


502

O urmărire perfectă a modelului de regulator de tip P cu parametrii necunoscuţi t0 u{t) = t0 r(t )- s0 y(t) a căror valoare se poate calcula cu relaţiile: 10

b",. s0 bp

=-ŞI

referinţă şi

se poate realiza cu un

s0 :

am-ap bp

De remarcat faptul

că

parametrii (a P, b P) ai modelului procesului sunt

necunoscuţi.

Pentru a deduce legea de ajustare a parametrilor t 0

şi

s0 folosind regula

'funcţu"le de sens1·b·t· ile. Daca• notam • z ttate -de ŞI. dt0 ils0 cu H om (s) funcţia de transfer ataşată modelului de referinţă şi prin H 0 (s) funcţia de transfer a SRA cu regulatorul selectat, rezultă cu uşurinţă: b t0 MIT., vom cal cu l a eroarea e

Y(s)=H 0 (s)R(s)

ŞI

P R(s) s+aP +bPs0

şi

Ym(s)= bm ·R(s). s+am Funcţiile de sensibilitate se .ile .de d se caIculeaza şz - , un e: ilt0 ds 0

e=

obţin

[P +::~bpso P

:"'aJ

cu

uşurinţă dacă

se

defineşte

eroarea şi

r.

Astfel, funcţiile de sensibilitate au forma:

ae

-=

ato

bp r p+ap +bpSO

ae

b:to (p+ap +bps 0 ) 2 =

aso = unde p

bp p+ap +bpSO y

reprezintă

operatorul de derivare. Aceste relaţii nu pot fi utilizate deoarece parametrii aP şi b, sunt

necunoscuţi.

Pentru a

obţine relaţii

utilizabile pentru ajustarea parametrilor,

a -a

că pentru valorile optime ale parametrilor regulatorului s 0 = · "'

identitatea:

p+aP +bpso = p+a",.

P

bp

observăm

se asigură

Sisteme adaptive

503

Mai mult, parametrul bP poate fi absorbit în factorul de adaptare ybP. De notat că în acest caz semnul parametrului b P trebuie cunoscut. Cu aceste

fonna: dt 0 dt

-r[

~

observaţii

se

obţin ecuaţiile

de ajustare a parametrilor sub

1 r]e p+am

ds 0 ~r[ 1 dt p+am În figura 11.8. se prezintă structura SAMRpentru exempiul considerat.

y]e

-

u

r

u=

t 0 r-

s0 y

y

y = -apy+ bpu

+

f

f

1

'

r -r

X ÎX

+

Î

+

1

y r

1

p+am

L.l

1

e MR

-~ + Fig.H.8

504


Referitor la utilizarea regulii MIT pentru ajustarea parametrilor regulatorului, pot fi făcute următoarele remarci: nu este necesar a cere o urmărire perfectă a modelului; procedura poate fi aplicată atât sistemelor neliniare, cât şi sistemelor parţial cunoscute; integrarea ecuaţiilor ce definesc sensibilităţile erorii în raport cu parametrii şi efectuarea operaţiilor de multiplicare cu factorul 'Y şi mărimile r şi y asigură obţinerea valorilor parametrilor t0 şi s0 ; regula MIT asigură o bună adaptare pentru valori mici ale factorului de adaptare 'Y. Valori permisibile pentru 'Y sunt influenţate de amplitudinea referinţei şi de factorul de amplificare al procesului; alegerea necorespunzătoare a factorului de adaptare poate genera instabilitatea sistemului închis. Regula MIT poate fi extinsă şi la sistemele de ordin n cu regulatoare cu două grade de libertate [5, 45, 58]. Regula MIT poate fi extinsă la optimizarea unor fUncţii obiectiv mai generale decât forma pătratică.

Regulatorul adaptiv se obţine, în acest caz, parcurgând etapele: 1. Se specifică un model şi o structură de reglare cu parametri ajustabili şi performanţele sub forma unei funcţii obiectiv; 2. Se determină legea de ajustare a parametrilor prin calculul gradientului funcţiei obiectiv, în raport cu parametrii regulatorului; 3. Se alege viteza de modificare a parametrilor în direcţia opusă gradientului funcţiei obiectiv. Utilizarea acestei proceduri presupune cunoaşterea parametrilor modelului procesului pentru a calcula funcţiile de sensibilitate, impunându-se în cazul normal estimarea parametrilor necunoscuţi ai modelului procesului. În cazul în care modelele ataşate procesului şi modelului de referinţă sunt continue, ecuaţiile de ajustare a parametrilor ri , si şi ti conţin operatorul de derivare p în loc de operatorul de deplasare q .

11.2.4. Proiectarea SAMR pe baza teoriei stabilităţii Aşa cum s-a menţionat în § 11.1, sistemele adaptive sunt alcătuite din două bucle de reglare: una interioară (convenţională) şi cealaltă exterioară, cu o dinamică mai lentă, care are rolul de a ajusta parametrii regulatorului, astfel încât eroarea de urmărire să tindă la zero. Asigurarea stabilităţii asimptotice a sistemului conduce în mod firesc la anularea erorii de urmărire, întrucât sistemul adaptiv are ca ieşire tocmai eroarea de

Sisteme adaptive

505

urmărire. În literatură [5, 45, 87] sunt prezentate proceduri de sinteză a

SAMR, apelând, fie la teorema de stabilitate Liapunov, fie la conceptul de hiperstabilitate. Pentru a ilustra ideea, vom considera în continuare un exemplu.

Exemplul11.2: Se consideră un proces de ordinul întâi, ai presupun cunoscuţi:

cărui

parametri ap

şi

bp se

dy =-a y+b u p p dt şi

un model de referinţă caracterizat prin

ecuaţia:

dym =-amYm + bmr, am > O -dt cu Ym (o)= Ymo şi r~) un semnal extern limitat, ce caracterizează răspunsul dorit al sistemului. Se cere a determina legea de variaţie a parametrilor regulatorului, punând condiţia ca SAMR să fie asimptotic stabil în sens Liapunov. Ecuaţia erorii se poate obţine pornind de la relaţia de definiţie după înlocuirea comenzii u(t) = t 0 r- s0 y în ecuaţia ce descrie funcţionarea obiectului condus: de= !!._(y- Ym) = -ame +(am - ap - bpso ~ + (bpto -bm dt dt funcţie

)r.

De notat că eroarea tinde la zero dacă parametrii regulatorului se aleg în de ap şi bp.

Astfel,

dacă

parametrii a P

şi

bP sunt

cunoscuţi, rezultă

cu

uşurinţă

parametrii regulatorului care asigură anularea erorii e(t): . de e=-=-ame dt cu e(O)= y(O)- Ymo· Obiectivul proiectării este de a determina un mecanism de ajustare a parametrilor regulatorului t 0 şi s0 , ţinând seama că ap şi bp sunt necunoscuţi. Pentru acest scop, alegem o funcţie Liapunov de forma:


506 Aceastăjimcţie

cu valorile optimale.

este zero când e este zero şi parametrii regulatorului egali V este:

Derivatajimcţiei

dV =ede+_!_(bs +a -a )dso+_!_(bt -b )dt0 = p mdt "Ypo mdt dt dt "Ypo

l

0 =-ame 2 +l (bps0 +ap-am J(dS - -0 " ( ye +1 (bpt0 -bm J(dt -+"(re. J "Y dt "Y dt Pentru ca SAMR să fie asimptotic stabil în sens Liapunov, se impune a alege următoarele legi de ajustare a parametrilor t0 şi s0 : dt0 -=-yre dt ds 0 -=yye dt Într-adevăr prin utilizarea acestor legi de ajustare a parametrilor se

obţine:

dV 2 -=-a e <0 dt m care evidenţiază că sistemul este asimptotic stabil în sens Liapunov, iar e va tinde către zero. De remarcat faptul că, nu în mod necesar, parametrii t 0 şi s0 converg către valorile lor de echilibru. Din acest punct de vedere, legea de adaptare este similară cu regula MIT, însă fUncţiile de sensibilitate sunt înlocuite cu alte semnale. De observat că în cadrul acestei proceduri, pentru a determina legea de adaptare, parametrii t 0 şi s0 se consideră noile variabile de stare ale sistemului. Regula de ajustare a parametrilor t 0 şi s0 obţinută prin aplicarea teoriei stabilităţii, este similară cu legea de ajustare obţinută prin regula MIT. În ambele cazuri, legea de ajustare poate fi scrisă sub forma: dn

dt = yrpe,

unde n este vectorul parametrilor regulatorului şi
y]'

sau

rp -

l

[- r, y

f

p+am pentru regula MIT. Vectorul rp poate fi interpretat ca valoarea fUncţiei cost.

negativă

a gradientului

Sisteme adaptive

507

11.2.5. Procedura

generală

de sinteză a SAMR

un proces cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri şi o structură de regulator cu parametrii necunoscuţi, astfel încât modelul de stare al sistemului închis are forma: Se

consideră

x(t)=Ax(t)+Br(t); XQER"1

(11.28)

y(t)=Cx(t) unde

xE

iar matricele A şi B de dimensiuni au elementele ajustabile prin ajustarea parametrilor

R"1 , rE Rm, yE RP,

corespunzătoare

regulatorului. Modelul de

xM

referinţă

= AMxM +BMr;

YM =CMxM unde xM este starea

este descris prin ecuaţia de stare:

xM o

E R"2

(11.29)

ataşată

MR, iar matricele AM ,BM ŞI CM asigură comportarea dorită, impusă pentru SRA. Se consideră că dimensiunea celor două sisteme este aceeaşi, vectorul eroare ( e ) se calculează ţinând seama de ecuaţiile (11.28) şi (11.29): o=XM -X

e=AMe+(AM -A)x+(BM -B)r

(1 1.30)

Presupunem că toate elementele matricelor A şi B sunt ajustabile individual şi alegem o funcţie Liapunov sub forma [45, 58]:

V=eTPe+tr[(AM -Al Fi 1(AM

-AJ]+

1 +tr[(BM -Bl Fji (BM -B)j

(11.31)

unde P. Fi 1, Fji 1 sunt matrice pozitiv definite, ce urmează a fi determinate din condiţia de stabilitate în sens Liapunov. Derivata funcţiei Liapunov se calculează cu relaţia:

V=erPe+eTPE-2tr[AM sau,

dacă

se

ţine

-Af F;- 1.4-2tr[BM -sr' iJ

seama de (11.38), se

(11.32)

obţine:

V=[er A;{; +xT(AM -Al +rT(BM -sl]Pe+ +eTP[AMe:+(AM -A)x+(BM -B)rj-2tr[AM -Ar Fi 1 Ă-2tr(BM -B)T FiJ 1B

(11.33)

INGINERIA REGLĂRJJ AUTOMATE

508 Dacă

alegem P astfel încât să fie

satisfăcută ecuaţia matricială

ALP+PAM =-Q unde Q este o matrice pozitiv definită:

(11.34)

V=-eTQe+2tr[(AM -A((PsxT -F,.ţ 1 A-)]+ +2tr[(BM -B((Pe rT -F0

(11.35)

s)]

1

Dacă

se alege matricea AM ca o matrice cu toate valorile proprii în semiplanul stâng (matrice Hurwitz), atunci se poate alege o matrice Q, astfel încât să poată fi utilizată ecuaţia (11.34) (vezi § 10.9). În ecuaţia (11.35) primul termen este negativ definit pentru toţi e( t)"" O, iar al doilea şi al treilea termen devin egali cu zero dacă alegem: Ă=FA[Pej . XT

(11.36)

B= F8 [Pe] . rT Cele două ecuaţii ajustabili ai regulatorului. Dacă introducem integrare,

reprezintă

funcţia

legile de modificare a parametrilor

s0 = Ps(t) în

ecuaţiile (11.36), după

obţinem: t,

A(ti)= JFA-ea(t) .xTdt

o

(11.37)

t,

B(ti)= fF8 .e0 (t).rTdt

o Un sistem asimptotic global stabil se

obţine

alegând matricele FA

şi

F8 pozitiv definite.

Legea de adaptare s-a obţinut direct din funcţia Liapunov aleasă arbitrar. Aceasta arată că legea de adaptare care a rezultat face parte dintr-o mulţime. De remarcat, de asemenea, că matrice le Q , FA şi F8 se aleg arbitrar. Procedura

prezentată

a presupus

că

starea sistemului este

accesibilă

măsurării.

Un rezultat similar se poate obţine apelând la conceptul de hiperstabilitate a unui sistem neliniar [58, 87].

Sisteme adaptive

509

Sistemele adaptive cu model de referinţă au o largă aplicabilitate în domeniul roboticii, industriei chimice, industriei energetice şi în domeniul aviaţiei.

Printre caracteristicile SAMR [58], remarcăm următoarele: • Alegerea MR necesită o cunoaştere cât mai precisă a modelului procesului, informaţia apriorică trebuie să fie cât mai bogată; • Un SAMR forţează bucla de reglare la o comportare impusă de MR, chiar dacă este posibilă o comportare mai bună; • Pentru ajustarea parametrilor regulatorului, semnalul extern măsurabil rE 9\ trebuie modificat continuu pentru a excita valorile proprii ale sistemului; • Pentru cazul în care modelul procesului este liniar şi are o structură cunoscută precis, SAMR pot fi proiectate, astfel încât să fie global stabile; • SAMR au multe elemente la alegere, impunându-se astfel testarea în mediu simulat înainte de a fi implementat pe proces; • Când parametrii procesului sunt constanţi, în prezenţa zgomotelor, parametrii regulatorului nu trebuie modificaţi; • SAMR se recomandă pentru sisteme cu modificarea continuă a referinţei şi pentru procese supuse zgomotelor de amplitudini mici.

11.3. Sisteme adaptive cu identificarea modelului (sisteme adaptive cu autoacordare · SAA) Într-un sistem adaptiv se consideră că parametrii regulatorului sunt ajustaţi tot timpul. Aceasta arată că parametrii regulatorului urmăresc modificările parametrilor procesului. Problemele de analiză a convergenţei şi stabilităţii acestor sisteme sunt dificile, ceea ce impune a considera parametrii procesului constanţi, însă necunoscuţi. Dacă parametrii procesului sunt cunoscuţi, procedura de proiectare specifică un set de parametri doriţi ai regulatorului. Regulatorul adaptiv ar putea converge la valorile acestor parametri, chiar dacă procesul este necunoscut. Regulatorul care are această proprietate este denumit cu autoacordare (self-tuning) deoarece fn mod automat se acordează la cerinţele de performanţă cerute. Regulatorul cu autoacordare (RAA) este bazat pe ideea separării funcţiei de estimare a parametrilor de procedura de proiectare a


510

regulatorului. Parametrii necunoscuţi sunt estimaţi on-line, apelând la o procedură de estimare recursivă (§ 2. 7). Parametrii estimaţi sunt trataţi ca şi când ar fi parametrii reali, neluându-se în consideraţie incertitudinile parametri ce. Pentru proiectare pot fi folosite diferite metode: alocarea polilor, minimă varianţă, urmărirea modelului etc. Metoda de proiectare este aleasă în concordanţă cu specificaţiile de performanţă şi particularităţile modelului matematic ataşat obiectului condus.

Diferite combinaţii dintre metodele de estimare şi cele de proiectare conduc la regulatoare cu diferite proprietăţi. În cazul în care cele două proceduri de estimare a parametrilor şi de proiectare a regulatorului sunt separate, spunem că regulatorul realizează o reglare adaptivă indirectă.

Astfel, parametrii regulatorului se obţin indirect, pe baza parametrilor estimaţi ai procesului. Dacă modelul procesului se reparametrizează

direct, în funcţie de parametrii regulatorului, este posibil astfel a determina direct parametrii regulatorului printr-o procedură de estimare. Avem în acest caz un algoritm adaptiv direct sau implicit. Analiza proprietăţilor asimptotice ale unui regulator direct cu autoacordare a fost realizată pentru prima dată în 1973 de Astrom şi Wittenmark [5].

11.3.1. Regulatoare cu autoacordare indirectă Vom aproxima modelul procesului sub forma:

A(q- 1 )Yk =B(q-1~k-d +C(q- 1~k grad[A]= grad[C]=n, grad[B]=m,

(11.38) unde iar d este timpul mort al procesului, exprimat ca număr întreg de perioade de discretizare. Pentru cazul deterministic ( vk =O), se pot utiliza diverse metode recursive de estimare a parametrilor (a; ,b; ). Estimatorul celor mai mici pătrate cu factor de uitare

exponenţial

este descris prin [57]:

âk = âk-1 +ykek T • Yk - 'Pk-1e k-I

ek

=

Yk

r T ]-1 =fl-I'Pk-I[A.+'f'Hfl-I'Pk-1

(11.39)

Sisteme adoptive unde

eT

511

= [b0 q b-z ...

necunoscuţi,

bm a1

...

an J reprezintă vectorul parametrilor

iar

q>[_l = [uk-d ... uk-d-m- Yk-1- Yk-n] reprezintă

vectorul de regresie ce conţine informaţia funcţională măsurabilă. În cazul sistemelor stocastice cu -r O şi deci o secvenţă de semnale Gaussiene independente, egal distribuite, care acţionează asupra procesului, se pot utiliza estimatoare recursive specifice pentru determinarea inclusiv a parametrilor c1 • Aşa cum s-a arătat în §2.7, dacă semnalul de intrare în proces este suficient de puternic şi structura modelului estimat este apropiată de realitate, estimaţiile vor converge la valori reale dacă sistemul închis este stabil. Condiţiile de convergenţă pentru diferite metode de estimare sunt de mare importanţă. Pentru proiectare vom putea utiliza diverse metode. În cele ce urmează considerăm metoda alocării polilor. Regulatorul considerat are forma: R(q -l ~k = T(q -l -r ~k (11.40) pentru un model al procesului:

c(q ),c

h-s(q A(q-r ~k = n(q-r k

Dacă

presupunem descrisă prin modelul:

Am(q-l~k

că

sistemul închis are o comportare

dorită,

=Bm(q-lh

în cazul în care se notează cu ae (q

-l)

polinomul caracteristic al

estimatorului ataşat regulatorului numeric (11.40), se pot determina polinoamele R , S şi T prin rezolvarea ecuaţiei diofantice: AR+ BS = a,~B+, (11.41) întrucât, pentru realizarea răspunsului dorit pentru întregul sistem se cere a fi satisfăcută identitatea: BT Bm AR+BS =Am.

(11.42)

Numitorul AR+ BS este polinomul caracteristic al sistemului închis. Polinomul B este factoriza! ca B = s+ B-, unde B+ este un polinom manie ale cărui zerouri sunt stabile şi pot fi astfel compensate de regulator, iar Beste un polinom ale cărui zerouri sunt instabile (când B+ = 1 nu există compensare de zerouri).


512

Deoarece a+ este compensat de regulator, acest polinom va trebui să se constituie printre factorii divizari ai polinomului caracteristic al sistemului închis. Alţi factori ai polinomului sunt a, şi Am. Din (11.41) urmează că a+ divide polinomul R

şi

astfel:

R=R1a+,

(11.43)

iar ( 11.41) capătă forma: (11.44) Soluţia ecuaţiei diofantice este obţinută similar cu rezolvarea unui set de ecuaţii liniare. Această ecuaţie are o soluţie unică dacă A şi s- sunt relativ prime. Din (11.42) rezultă că a- trebuie să dividă am şi deci ARI+a-S=a,Am.

(11.45) • Cu aceste elemente pregătitoare, procedura de calcul pentru algoritmul de reglare cu autoacordare, bazată pe metoda alocării polilor este următoarea: Date: Specificaţiile de performanţă ale sistemului închis, formulate prin funcţia de transfer am 1 Am şi cu polinomul dorit a, al observatorului de stare. 1. Estimează recursiv coeficienţii polinoamelor A, B şi C în (11.39), utilizând metoda celor mai mici pătrate sau alte metode care permit 1 inclusiv estimarea coeficienţilor c; ai polinomului ). 2. Înlocuieşte A , a şi C cu estimaţiile obţinute la pasul 1 şi rezolvă ecuaţia (11.44) pentru a obţine R1 şi S. Calculează R prin ecuaţiei (11.43) şi T pnn rezolvarea ecuaţiei rezolvarea

c(q-

T

=a, am 1a- =a, a~ . 3.

4.

Calculează

comanda uk cu ajutorul relaţiei Ruk = Trk - Syk. Repetă paşii 1, 2 şi 3 la fiecare perioadă de eşantionare.

Pentru implementarea acestui algoritm se impun următoarele de compatibilitate [5, 58]: a- divide am ii[Am ]- iJ[am ]~ iJ(A]- iJ[a]

condiţii

a[a,];:: 28[ A] -8[~]-a[ a+ ]-1. Problemele ce pot apărea la implementarea acestui algoritm sunt: - gradele polinoamelor A, a şi C sau, cel puţin, limitele lor superioare trebuie cunoscute;

Sisteme adaptive

513

- factorii comuni ai polinoamelor estimate A şi B fac imposibilă rezolvarea ecuaţiei diofantice; - stabilitatea sistemului închis trebuie să fie garantată; - semnalele de excitaţie la intrarea procesului trebuie să fie persistente pentru a asigura convergenţa parametrilor la valorile lor reale. 11.3.2. Regulatoare cu autoacordare directă Proiectarea algoritmului de reglare în cazul reglării adaptive indirecte necesită un volum de calcul mai mare, iar stabilitatea poate fi analizată cu dificultate. Dacă ecuaţia diofantică (11.44) este multiplicată prin Yk şi se foloseşte modelul procesului, obţinem: aeAmYk = RtAYk +B-Syk = R1auk +a-Syk

=a-(Ruk + Syk + R1Cvd

+ R1Cvk =

(11.46)

De remarcat că ( 11.46) poate fi considerată ca un model al procesului parametrizat în a-, R şi S. Estimarea acestor parametri permite de fapt obţinerea polinoamelor R şi S . De observat că modelul obţinut prin reparametrizarea modelului procesului este neliniar în parametri. O altă cale pentru a realiza parametrizarea este de a scrie modelul (11.46) sub forma: ( 11.47) unde

li= a-R

şi

s = s- s.

Polinomul R din ecuaţia (11.46) este monic, însă R din (11.47) nu este monic. Polinoamele R şi S au un factor comun care conţine zerourile slab amortizate. Acest factor poate fi compensat înainte de calculul legii de comandă.

• Algoritmul care stă la baza reglării cu autoacordare directă presupune parcurgerea următoarelor etape: ETAPE: 1. Estimează coeficienţii polinoamelor R şi S în (11.47); 2. Compensează, dacă este posibil, factorii comuni din R ŞI S pentru a obţine R şi S ; 3. Calculează semnalul de comandă conform (11.40), unde R şi S sunt obţinute în etapa 2; 4. Repetă etapele 1, 2 şi 3 la fiecare perioadă de eşantionare.


514

Acest algoritm evită problema estimării neliniare, însă există mai mulţi parametri ce trebuie estimaţi, deoarece parametrii polinomului Bsunt estimaţi de două ori. Ideea de bază în cadrul sistemelor adaptive cu autoacordare este de a separa estimarea parametrilor necunoscuţi ai procesului şi proiectarea regulatorului. Parametrii estimaţi sunt aproximaţi a fi egali cu parametrii reali atunci când se proiectează regulatorul. Prin combinarea diferitelor proceduri de estimare şi metode de proiectare se pot obţine diverse scheme de sisteme adaptive cu autoacordare cu diferite proprietăţi. Cel mai important aspect ce trebuie evidenţiat în cadrul SAA este parametrizarea. O reparametrizare poate fi realizată folosind modelul procesului şi răspunsul dorit al buclei de reglare. Scopul reparametrizării este de a asigura estimarea directă a parametrilor regulatorului, care implică liniaritatea în parametri a noului model. Pentru alegerea combinaţiei optime de metode de estimare a parametrilor şi proiectare a regulatorului este important a cunoaşte condiţiile în care se asigură stabilitatea şi convergenţa SAA În acest context, stabilitatea arată că semnalele rămân limitate, iar convergenţa asigură atingerea asimptotică a comportării dorite. În [5, 45, 58] sunt prezentate rezultate teoretice şi aplicaţii ale diferitelor scheme de conducere adaptivă a poceselor.

11.4. Reglarea

adaptivă

cu

reacţie după

stare

Se consideră un model de stare pentru un proces cu o intrare ieşire sub forma [45]: x~)=

Ax(t)+bu(t) T f) , x(t)e 9\", u(t)e 9\, t<:O

y () t =c x\t

şi

o

(11.48)

cu x(O)= x 0 , unde Ae 9\">
Aproximăm că vectorul de stare

x(t) este disponibil pentru măsurare.

Obiectivul proiectării legii de reglare este de a proiecta o lege de reglare u~) astfel încât toate semnalele în buclă închisă să fie limitate, iar vectorul de stare x(t) să urmărească asimptotic un vector de stare xm (t) generat de un model de referinţă: (11.49)

Sisteme adaptive

515

cu xm (o)= Xmo, iar matricele Am E 9\nxn, bm E 9\" sunt cunoscute. Valorile proprii ale matricei Am sunt situate în semiplanul stâng al planului complex. Referinţa r(t) este o funcţie limitată şi continuă pe porţiuni pentru un sistem de referinţă stabil bine definit. Pentru a atinge acest obiectiv al reglării admitem că sunt îndeplinite următoarele cerinţe:

l. există un vector constant încât sunt satisfăcute ecuaţiile: • T • A+ bii =Am , bf2 =bm ;

ÎI

E

9\" şi o constantă

Î 2e 9\, astfel

2. semnul constantei Î 2 , sign[f2 j este cunoscut. Prima cerinţă reprezintă aşa numita condiţie de potrivire (matching) cu care dacă matrice le A şi b ar fi cunoscute, legea de reglare u(t)= x(t)+ Î 2 r(t) (11.50) ar putea conduce la sistemul închis de forma:

N

.i:(t) =Ax(t )+ b[ft x(t )+ Îzr(t )]= Amx(t }+ bmr(t), t
şi eroarea de

a stării satisface ecuaţia:

e(t)= Ame(t}, e(O)= Xo -Xmo·

în aceste condiţii, eroarea tinde exponenţial la zero (Iim e(t} =O), iar 1-->oo

obiectivul reglării este atins. Dacă parametrii matricelor .4. şi b sunt necunoscuţi, legea de comandă u(t) poate avea aceeaşi formă, însă II (t) şi 12 (t) reprezintă estimaţii ale valorilor rezultate din calcul pentru a asigura urmărirea stării

xm(t). Astfel, legea de

comandă

u{t }=It (t }x(t )+ 12 (t )r(t) presupune ajustarea parametrilor II (t) şi f2 (t ), în aşa fel încât pentru o referinţă dată să se asigure obiectivele reglării. Introducând lefea de comandă în ecuaţia (11.48) se obţine:

.i:(t) =Ax(t )+ b[f[ (t }x(t )+ 12 (t )r(t )) x(t) =Amx(t )+ bmr(t)+ b[fiT (t )x(t )+ 12 (t )r(t )] sau

.i:(t) = Amx(t )+ bmr(t )+ bm[_;__ J? (t }x(t )+ _;__ 12 (t )r(t )] Iz h

(11.51)


516 Ecuaţia

erorii de urmărire se obţine din (11.49)

şi

(11.51 ):

)l.J

e(t )= Ame(t )+ bm[_;_ N (t )x(t )+ _;.. lz(t )r(t h h Întrucât 11(t) şi Iz (t) sunt generate printr-o lege de adaptare, vectorul de stare ataşat sistemului închis este format din e(t), 11(t) şi Iz (t ). Pentru acest sistem dinamic ce caracterizează evoluţia erorii alegem o funcţie pozitiv definită: 1 - - )

V\e,JI,fz

1 -r -11 -z -1 =er Pe+1I f 11+;-;;-l/zy , A

Iz

1

unde

PE

9\""" este

O

ihl

1

matrice constantă şi P =pT > 0 care satisface ecuaţia

matriceală:

PAm + A,~P =-Q

(11.52)

pentru orice matrice Q constantă, simetrică ( Q = Qr) pozitiv definită. Matricea definită ( r =

rE iRnxn

este o matrice

constantă, simetrică,

pozitiv

rr >O), iar r este o constantă pozitivă.

Derivata în timp a

funcţiei

V poate fi

obţinută

cu uşurinţă

V= ~v(e,};,Jz) dt

dacă ţinem

seama de

ecuaţia

erorii

şi

de ecuaţia matriceală (11.52):

V=-eT (t)Qe(t)+eT (t)Pbm ~ .ft (t)x(t)+er (t)Pbm ~ ]2 (t)r(t)+ 2 -r

I

~

h

2 -

I

~

Iz

(11.53)

+-1!fi (tW fi(t)+-1lfi(t)y- fz(t) fz h A

A

Pentru ca sistemul să fie asimptotic stabil, se cere ca V
.i; (t) = -sign[fz Jrx(t)er (t)Pbm,

t 2::0

(11.54)

iz(t)=-sign[J2 ]yr(t)eT(t)Pbm, t2:0 cu f 1 (o) şi f 2 (o) estimaţii iniţiale arbitrare ale constantelor Folosind ca lege de adaptare (11.54) se obţine:

ÎI

şi ] 2 •

V= -er (t)2e(t)< O. Legea de comandă după stare şi referinţă cu f 1(t) şi f 2 (t) ajustate în conformitate cu (11.54), aplicată procesului descris prin (11.48), garantează

Sisteme adaptive

517

că

toate semnalele sunt limitate şi eroarea de urmărire tinde asimptotic spre zero când timpul tinde spre infinit ( e(t )e L2 ). Acest rezultat s-a obţinut apelând la teoria stabilităţii prin alegerea funcţiei Liapunov V şi asigurării că

V
e(t) =(A- LcT }(t ), t ~ 0.

(11.56)

Prin alegerea valorilor proprii ale matricei (A- Lcr ) se poate asigura viteza de convergenţă la zero a erorii de estimare a stării. Ecuaţia estimatorului poate fi pusă şi sub forma: i(t)=(A-Lcr~(t)+bu(t)+Ly(t), t~O (11.57) sau

t

X(s)= (si- A+ Lcr ~U(s )+(si- A+ Lcr LY(s) respectiv

'( )- a1 (s) () a2 (s) () x s - ae (s )u s + ae (s ) Y s

(11.58)

unde:

ae (s) = det(sl- A+

a1 ( s)

şi

LcT)

a2 ( s) sunt polinoame în operatorul s.

în aceste relaţii

s-a presupus

că

Iim (~CO

)A-zJy.X0 (0) tinde exponenţial

la zero. Estimarea stării face posibilă utilizarea legii de reglare sub forma:

u(r) = N.x(r)+ Î 2 r(r)

şi

(11.59)

cu satisfacerea condiţiei: limV1r x{t )- Î/ x(t )]=O. H~

Comanda după stare, în aceste condiţii, poate fi parametrizată sub forma:

Nx(t) = n:['f'1 (t) + ft~ r.p2 (t)

(11.60)


518

unde: it1 E
parametrii modelului (1 1.48) sunt cunoscuţi;

at(s) a2 (s) r,o1 (s)=-(-), r,o2 (s)=-(-). a2 s

ae s

Pentru comanda adaptivă termenul

1/.x(r) = ltir,o1(r) +rrr r,o2 (r)

unde

(t) E
1t1

necunoscuţi lt~ şi

ltz (t) E
sunt

f/ x(t) este parametrizat ca: (IL6I)

estimaţiile

parametrilor constanţi

lt;, care trebuie ajustaţi prin legea de adaptare.

11.5. Probleme ale implementării algoritmilor adaptivi În paragrafele anterioare au fost dezvoltate aspectele teoretice ale reglării adaptive. La implementarea practică a unui sistem adaptiv apar multe dificultăţi generate, atât de ipotezele in care s-a dezvoltat teoria, cât şi de echipamentele pe care se implementează algoritmii. Astfel, pe lângă algoritmul propriu zis, obţinut printr-o procedură de proiectare, se impune a considera situaţii specifice pornirii, opririi, comutării regimurilor de funcţionare manual şi automat etc. Multe dintre aceste aspecte practice au soluţii ad-hoc, care adesea depind de aplicaţia considerată. Ele sunt frecvent verificate prin experimentare extensivă şi simulare deoarece problemele sunt complexe şi nu se dispune de o teorie adecvată. Unele probleme specifice sistemelor adaptive trebuie luate în considerare la implementarea acestora şi anume: • informaţia iniţială despre proces şi modul de utilizare a acesteia; • selectarea cerinţelor de performanţă pentru sistemul de reglare şi realizabilitatea acestora; • robusteţea estimării parametrilor şi considerarea incertitudinilor structurale prin neglijarea constantelor de timp mici şi foarte mici; • considerarea fenomenelor de comutare rară şocuri de la un regim de funcţionare la alt regim de funcţionare; • considerarea neliniarităţilor introduse de elementele de execuţie şi de procesul condus.

Sisteme adaptive

519

Multe dintre aceste probleme nu sunt specifice numai reglării adaptive şi sunt importante pentru implementarea regulatoarelor în general. Implementarea trebuie să includă multe trăsături ce au fost probate cu bune rezultate în practică, însă fără a fi complet acoperite din punct de vedere teoretic. În cele ce urmează, sunt prezentate câteva elemente specifice implementării regulatoarelor adaptive. 11.5.1. Implementarea estimatorului Obţinerea

unor modele bune presupune utilizarea unor date bune şi o a modelului. Modelele utilizate sunt simplificate (liniare şi de ordin redus). Astfel, cel mai adesea, dinamica de înaltă frecvenţă este nemodelată. Este cunoscut din teoria identificării sistemelor că estimaţiile obţinute în prezenţa dinamicii nemodelate vor depinde crucial de proprietăţile semnalului de intrare [5, 45]. Când se determină structura şi complexitatea regulatorului, se cer cunoştinţe apriorice despre proces (complexitate, timp mort şi tipuri de semnale exogene). Presupunem că procesul este descris prin modelul discret: Yk = Hc(q'pk +Hv(q'h +dk, unde raţionalele H c (q) şi H v (q) depind de perioada de discretizare T , perturbaţia vk este aproximată a fi zgomot alb de medie zero, iar d k este un semnal determinist de formă cunoscută, însă de amplitudine necunoscută ( dk poate fi sarcină, rampă sau un senmal sinusoidal). Pentru cazul în care vom considera perturbaţii le d k generate prin impulsuri care se aplică unor sisteme dinamice cunoscute, eliminarea acestora se poate realiza într-un spectru de frecvenţă bine definit, prin includerea unor filtre cu atenuare ridicată la frecvenţe înalte. O proprietate interesantă a sistemelor adaptive este că parametrii sunt estimaţi în buclă închisă. Nemodelarea dinamicii de înaltă frecvenţă poate genera probleme dificile, concretizate în estimaţii la valori nerezonabile. Filtrarea semnalelor înainte ca ele să fie introduse în estimator este o posibilitate de a atenua efectele nemodelării dinamicii de înaltă frecvenţă. Pentru a obţine o modelare robustă este necesar ca modelul să fie precis în jurul frecvenţei de tăiere. Pentru a estima un model redus cu această proprietate, este esenţial ca semnalul de intrare să aibă suficientă energie în jurul frecvenţei de tăiere şi să fie un semnal de excitaţie persistent. Gradul necesar de persistenţă al excitaţiei este legat de complexitatea modelului estimat. Aceasta necesită ca cerinţele asupra semnalelor de intrare să devină mai severe când ordinul este crescut. Deoarece semnalul de intrare este generat prin reacţie, nu există garanţia că structură adecvată


520

el va fi persistent. Pentru a garanta un model bun, este astfel necesar a monitoriza excitaţia şi energia semnalului de intrare în benzile de frecvenţă relevante. Când excitaţia la intrarea procesului nu este persistentă sau când energia semnalului este prea scăzută, parametrii estimaţi vor fi imprecişi. Pentru a elimina acest neajuns, fie se injectează semnale perturbatoare, fie se deconectează bucla de adaptare când excitaţia este prea săracă. O altă problemă ce trebuie avută în vedere la implementarea estimatorului este capacitatea de urmărire a parametrilor. Pentru a realiza această funcţie, este necesar a uita datele vechi. O cale pentru a rezolva această problemă este a utiliza uitarea exponenţială. Când factorul de uitare Â. = l , toate datele au aceeaşi pondere, însă cu Â. < l , datele recente sunt ponderate mai mult decât cele vechi. Este posibil a generaliza metode cu uitare exponenţială şi a folosi diferiţi factori de uitare pentru diferiţi parametri. Această tehnică operează bine numai dacă procesul este corespunzător excitat tot timpul [58].

11.5.2. Implementarea regulatorului În toate aplicaţiile de reglări numerice este important a avea o filtrare a semnalelor înainte de a fi eşantionate. Fenomenul "a/iasing" ce apare în procesul de eşantionare impune utilizarea unor filtre "antialiasing ", care constau din unul sau mai multe filtre în cascadă de forma: corespunzătoare

H 1 (s)

0)2

s 2 + 2/;ros + ro2 • Asemenea filtre vor asigura filtrarea ieşirii printr-o alegere corespunzătoare a structurii şi a parametrilor 1; şi ro , asigurându-se în acelaşi timp obţinerea unor modele matematice, în faza de estimare, valide într-un domeniu corect de frecvenţe. Filtrarea naturală obţinută prin eşantionare ajută estimatorul a obţine modele mai bune. Ieşirea convertorului numeric-analogic este un semnal constant pe porţiuni. Aceasta arată că semnalul de comandă transmis la elementul de execuţie este compus dintr-o serie de trepte, unde cea mai mică treaptă este dată de rezoluţia convertorului. Pentru unele sisteme, ca servosistemele hidraulice pentru controlul zborului şi alte sisteme cu răspuns puternic oscilant, treptele de comandă excită aceste moduri cu slabă amortizare. În asemenea cazuri este avantajos a utiliza un filtru pentru netezirea semnalului generat de convertorul CNA. Asemenea filtru este denumit filtru post-eşantionare. Una dintre problemele căreia trebuie să i se acorde atenţie la implementarea algoritmului este saturarea componentei integrale. Uneori integratorul poate genera valori mari ce conduc la saturarea comenzii. Acest

Sisteme adoptive

521

fenomen de saturare este denumit "reset windup", sau "illlegrator windup". Pentru a se elimina acest fenomen nedorit, cu implicaţii asupra performanţelor sistemului dereglare, se impun o serie de precauţii la implementare. Dacă ne referim la algoritmul cu două ~ade de libertate (11.18), prin adăugarea pe ambele părţi a termenului A0 (q- 1h se obţine: A0 uk = Trk- Syk + (Ao- Rpk. Un regulator cu compensarea saturării ("anti-reset windup") este dat prin: Aovk =Trk -Syk +(Ao -Rpk (11.62) uk = sat[vk] unde sat [•] este funcţia saturaţie.

Acest regulator este echivalent cu ecuaţia (11.18) atât timp cât semnalul de comandă nu se saturează. Polinomul A0 este stabil şi poate fi interpretat ca dinamica observerului regulatorului. în figura 11.9 se prezintă o schemă bloc pentru ecuaţia (11.62). Pentru A0 =1 (corespunzător pentru observer dead-beat) algoritmul de reglare este: uk =sat[Trk -Syk

+(1-Rpk].

Un aspect căruia se impune a i se acorda atenţie la implementarea algoritmilor adaptivi îl constituie alegerea intervalului de discretizare. Viteza de eşantionare influenţează multe proprietăţi ale sistemului, ca urmărirea referinţei, rejecţia perturbaţiilor şi a zgomotului de măsură, precum şi sensibilitatea în raport cu modelarea imprecisă a procesului.

.

Yk

T

+

-S

-1 Ao

,/'\ '-~

-

V

Ao -R Fig.l1.9

EJ

uk

522


O regulă empirică de alegere a perioadei de discretizare T pentru metodele de proiectare deterministe recomandă ro 0T = 0.1-7- 0.5 unde ro0 este frecvenţa naturală a polilor dominanţi ai sistemului închis. Dacă polul dominant este real, se poate recomanda T/T0 =0.1+0.5, unde T0 este constanta de timp a polului dominant. Aceste reguli implică un timp de răspuns la treaptă de cel puţin (5-20) eşantioane. În cadrul sistemelor adaptive, deoarece procedura de proiectare este on-line, este necesar a acoperi toate posibilităţile şi regimurile de lucru oferite de un sistem de reglare automată. Astfel, se impune a şti dacă modelul procesului este sau nu de fază minimă sau dacă există divizari comuni ai polinoamelor şi Combinaţia optimă a metodelor de estimare şi proiectare a algoritmilor adaptivi va urmări asigurarea convergenţe!, stabilităţii şi robusteţii sistemelor adaptive în condiţiile definirii clasei de mărimi exogene şi a delimitării nivelului incertitudinilor în construcţia modelelor. De remarcat faptul că sistemul adaptiv are o structură ierarhică cu două bucle ce interacţionează şi operează la scale diferite de timp. O condiţie necesară pentru stabilitatea sistemelor adaptive este ca sistemul închis să fie stabil, în cazul în care parametrii de acord sunt fixaţi la valorile lor exacte. Pentru a satisface această condiţie, trebuie luate în consideraţie problemele legate de compensarea polilor şi a zerourilor, probleme ce au în vedere, atât structura procesului condus, cât şi a algoritmului de reglare. Condiţia suficientă ca sistemul adaptiv să fie stabil este ca toţi parametrii estimaţi, ceruţi pentru proiectarea algoritmilor de reglare, să conveargă la valorile lor reale. Prin convergenţă înţelegem că obiectivul reglării este atins asimptotic şi toate variabilele sistemului rămân mărginite pentru o clasă de condiţii iniţiale. Analiza proprietăţii de convergenţă a sistemelor este utilă nu doar pentru faptul că furnizează informaţii privind stabilitatea sistemului, ci şi pentru faptul că uşurează distincţia dintre algoritmii de reglare performanţi sau mai puţin performanţi, sugerând totodată modalităţi prin care performanţele sistemelor adaptive pot fi îmbunătăţite. În [5, 45, 58] sunt prezentate metode de analiză a stabilităţii şi a convergenţei sistemelor adaptive. Performanţele sistemului de reglare vor influenţa conţinutul frecvenţial al semnalelor de intrare şi de ieşire ale procesului ce urmează a fi identificat, apărând unele situaţii conflictuale între cele două bucle - bucla de reglare şi bucla de adaptare.

A(q -t) s(q -t ).

Sisteme adapll've

523

Este de remarcat faptul că cele două bucle de reglare şi adaptare cu perioade diferite de discretizare, cu două scale de timp diferi te. Utilizarea celor două scale de timp într-un sistem adaptiv presupune că parametrii procesului variază lent. Aceasta arată că parametrii estimaţi la momentul anterior de eşantionare sunt utilizaţi pentru calculul comenzii curente. Pentru a iniţializa un algoritm cu autoacordare există mai multe căi, în funcţie de informaţia apriorică disponibilă despre proces. În cazul că nu se cunoaşte nimic despre proces, valorile iniţiale ale parametrilor în estimator pot fi alese egale cu zero, astfel ca regulatorul iniţial să fie proporţional sau integral cu amplificare redusă. Intrările şi ieşirile procesului ar putea fi scalate pentru a avea aceeaşi amplitudine, astfel încât să se asigure condiţii numerice mai bune, atât pentru estimare, cât şi pentru partea de reglare propriu-zisă. În faza iniţială, adăugarea unui semnal perturbator poate creşte viteza de convergenţă a estimatorului. Situaţia este diferită dacă procesul a fost controlat înainte cu un regulator convenţional sau unul adaptiv. În acest caz, valorile iniţiale se iau cele corespunzătoare regulatorului utilizat înainte. Pornirea unui asemenea algoritm cu autoacordare trebuie făcută cu precauţie, pentru a evita, atât transmiterea spre elementul de execuţie a unor comenzi foarte mari, cât şi o funcţionare necorespunzătoare a estimatorului, în cazul în care comenzile transmise procesului nu sunt persistente şi puternic excitante pentru proces. Implementarea algoritmilor adaptivi presupune includerea în algoritmi a unor "reţele de siguranţă" (safety nets). Algoritmul de reglare trebuie să includă limitarea comenzii şi desaturarea componentei integrale (anti reset windup). Ţinând seama de dificultăţile şi multiplele precauţii la implementarea sistemelor adaptive apare ca o necesitate organizarea acestor sisteme pe trei niveluri ierarhice, aşa cum se arată în figura 11.1 O. Nivelul ierarhic superior are rolul de supervizare a funcţionării normale a buclei de adaptare. Printre funcţiile acestui nivel reţinem: alegerea optimă a perioadei de eşantionare; alegerea metodei de estimare a parametrilor modelului; estimarea timpului mort; alegerea metodei de proiectare; verificarea stabilităţii sistemului de reglare; conectarea sau deconectarea buclei de adaptare etc. interacţionează, deşi operează


524

Supervizor

1

Proceduri

1<

Proceduri

Proiectare

Estimare

-

1 rk

r

Algoritmi de Reglare

Obiect Condus

Yk

Uk

Î

Î

Fig.ll.lO

Completarea funcţiilor supervizorului cu funcţii specifice operatorului uman, apelând inclusiv la tehnici euristice de decizie, asigură sistemului adaptiv un grad de autonomie mai ridicat şi, în consecinţă, un nivel de inteligenţă corespunzător. O funcţie ce apare tot mai frecvent în structurile adaptive de conducere o reprezintă funcţia de identificare automată a defectelor şi reconfigurarea dinamică hardware şi software a sistemului. Supervizorul în acest caz poate prelua această sarcină complexă de organizare a întregului sistem de conducere cu evoluţie într-un mediu necunoscut apriori. Astfel, se includ în sistem funcţii ce-i conferă toleranţă la defecte şi implicit autonomie în funcţionare. Sistemele adaptive robuste cu ridicată autonomie reprezintă o primă generaţie de sisteme inteligente de conducere. O structură avansată de sistem adaptiv este reprezentată în figura 11.11, unde procesul este descris de modele diferite pentru diverse regimuri de funcţionare, iar regulatoarele se selectează şi combină pentru asigurarea cerinţelor de performanţă impuse prin intermediul supervizorului.

Sisteme adaptive

525 Supervizor

r

r

-=:

R,

--1>

,___

l

~ Sistem de seleţtare si ponderare

y

f- '-+ u

Obiect condus

R, M,

'' ' ''

! '

L~

R",

M,.

f-

~--

'

:'

i ! MN

Fig.ll.ll

În această structură se prezintă doar o modalitate de configurare a sistemului adaptiv prin selectarea celei mai potrivite strategii de conducere în funcţie de regimul de funcţionare şi de cerinţele de performanţă. Diferitele modele M 1 ataşate regimurilor de funcţionare ale procesului sunt selectate în vederea alegerii celui mai potrivit algoritm de reglare Rk pentru asigurarea performanţelor dorite ale SRA. Supervizorul stabileşte strategia de combinare a comenzilor furnizate de Rk pentru asigurarea funcţionării procesului la perforrmmţele impuse pentru întreaga gamă de variaţie a ieşirii Yk şi a intrării uk.

PROBLEME 11.1. Se consideră procesul caracterizat prin modelul:

Hp(s)= z Kp s +a 1s+a 0


526

cu K p >O, y(t) şi y(t) disponibile pentru măsurare, unde a0 , a1 şi K p sunt necunoscuţi.

Se cere: a) o realizare de stare (A, b, cT); b) o lege de reglare după stare, astfel încât eroarea de urmărire a stării unui model de referinţă să tindă exponenţial la zero când timpul tinde către infinit; c) legea de adaptare a parametrilor regulatorului pentru asigurarea stabilităţii asimptotice. 11. 2. Se consideră procesul caracterizat prin modelul: Hp(s)= ( Kp ) ss+a unde Kp >0 şi aE [-10,10]. Se cere: a. o structură de SRA, astfel încât răspunsul indicial să urmărească un răspuns impus; b. legea de comandă care asigură urmărirea unui răspuns aperiodic cu o constantă de timp egală cu 0.5sec. c. legea de variaţie a parametrilor regulatorului care asigură urmărirea asimptotică a ieşirii dorite furnizată de un model de referinţă.

11.3. Se consideră un sistem mecanic format din două corpuri legate printr-o articulaţie

flexibilă şi

amortizor descris prin:

J mem (t) + bmem (t) = u(t) -uk (t)

Ji, (t)+b,e, (t) = uk (t ), unde Om (t), J m şi bm reprezintă poziţia unghiulară a motorului, inerţia şi coeficientul de frecare vâscoasă,

e, (t),

J, şi b, sunt poziţia, inerţia şi

coeficientul de frecare vâscoasă ale sarcinii, u(t) este comanda (tensiunea de alimentare a motorului), iar uk (t) este forţa din articulaţie datorată flexibilităţii şi amortizării:

(t)= Ko(t)+bkB(t) o(t) = em (t)- e, (t), unde K > O este coeficientul de rigidizare Iar bk este coeficientul de uk

amortizare. Se cere: a. legea de sunt cunoscuţi;

comandă,

în

condiţiile

în care parametrii modelului

Sisteme adaptive

527

b. legea de adaptare a comenzii, în cazul în care parametrii sunt variabili în timp, astfel încât starea sistemului să urmărească o stare generată de un model de referinţă. 11.4. Se

consideră

modelul unui manipulator:

D(q)q + C(q,q)(q,t) = Kuu unde Ku E 9\nxn este o matrice constantă

necunoscută

pentru u E 9\"

ŞI

qE 9\".

Se cere: a. o schemă de reglare

adaptivă

pentru K"

diagonală şi

pozitiv

definită;

b.

o

schemă

de reglare

adaptivă

pentru

Ku

diagonală

şi

nesingulară.

11.5. Se

consideră

procesul de ordinul I:

:Y(t)=(aP +t>)y(t)+u(t) unde

aP

este parametrul nominal al procesului

incertitudinea parametrică. Dându-se un model de

ŞI

tJ.

reprezintă

referinţă

Ym (t )= -amYm(t)+ r(t} am >O se cere: a) legea de comandă pentru modelul nominal cu o structură fixă; b) legea de comandă adaptivă în prezenţa incertitudinii parametri ce; c) studiu comparativ pentru cele două situaţii cu evidenţierea robusteţei celor două soluţii.

12.

SISTEME DEREGLARE CU

INTRĂRI ŞI IEŞIRI MULTIPLE

12.1. Introducere Multe procese industriale sunt caracterizate prin faptul că mai multe generează ca efecte mai multe ieşiri (fig. 12.1) cu puternice interacţiuni între variabile. intrări

Fig.12.1

Pentru a descrie funcţionarea unui asemenea obiect, putem utiliza în cazul liniar, funcţii de transfer H ij pentru fiecare pereche intrare - ieşire: Yi

=H 11 (s )U1 (s )+ H 12 (s )u 2 (s )+ ....... + H 1m (s )u m(s)

Y2

=

H21 (s )U1 (s )+ H22 (s )u 2 (s )+ ....... + Hzm (s )u m(s) (12.1)

YP (s )= Hpl (s )U1 (s )+ Hp 2 (s )U 2 (s )+ ....... + Hpm (s )U m(s) sau, dacă notam reprezentare

yr (s) =[Y1(s) ... YP (s )] şi Ur (s )= [u 1(s ).. .Um(s )], se obţine o

matriceală:

Y(s)=Hp(s)·U(s)

(12.2)

Sisteme de reglare cu intrări şi ieşiri multiple

529

unde

(12.3)

În cazul particular al proceselor cu m intrări şi m ieşiri, matricea (12.3) este o matrice pătrată. Spunem că matricea H P (s) este o "matrice proprie" dacă fiecare funcţie de transfer H iJ (s) este proprie.

O observaţie utilă este aceea că dacă uk (t) este un impuls Dirac, Hik (s) este transformata Laplace a componentei i a ieşirii y(t). Răspunsul pondere al sistemului h(t) poate fi calculat ca şi în cazul sistemelor monovariabile ca transformata Laplace inversă a matricei H P (s): hll (t)

hl2 (t)

h(t)= h21(t) h22 (t)

(12.4)

unde

(12.5) Modelul de stare pentru un sistem multivariabil se obţine cu uşurinţă prin evidenţierea dimensiunilor corespunzătoare ale matricelor A, B, C şi D.

Astfel, se poate utiliza o realizare de forma:

x=Ax+Bu y=Cx+Du;x(t)=x0 E R" unde x(t )E R" , u(t )E Rm, y(t )E Rm,

(12.6) AER""",

BERnxm,

CERnrxn,

DE Rmxm. Proprietăţile

structurale ale sistemelor multivariabile se definesc similar ca pentru sistemele monovariabile [46]. Relaţia între cele două modele se obţine cu uşurinţă, dacă aplicăm transformata Laplace ecuaţiei (12.6):

sX(s)-x(O)= AX(s)+BU(s) Y(s )= cx(s )+ DU(s) Pentru x(o) = O se obţine: Y(s )= [c(sl- At 1 B+ D]u(s ),

(12.7)

(12.8)


530

iar matricea de transfer ataşată sistemului este:

H(s)=C(si-At 1B+D.

intrări

(12.9) În cele ce urmează, vom considera modele pentru procese cu două şi două ieşiri, caracterizate prin matricea:

(s)-[ll 11 (s) H12 (s)J

H P

-

(12.10)

H 21 (s) H 22 (s)

Pentru a exemplifica un asemenea model, considerăm procesul cu două intrări şi două ieşiri (fig. 12.2). Cele două fluide ce alimentează rezervorul au temperaturi diferite, intrările în proces fiind considerate cele două debite de fluide ( Q1 şi Q2 ). Ieşirile măsurabile ale procesului sunt nivelul ( y1(t)) şi temperatura {y 2 {t)). Admitem că modelul matematic este !iniarizat în jurul unui punct de funcţionare caracterizat prin y 10 şi y 20 •

=___.=.;=:::j~

u u

(Q,,T,)

~===:=..___= (Q,.T,)

H

Fig.12.2

În acest caz, este evident că cele două ieşiri pot fi obţinute sub forma:

Jî(s)=H11 (s) Ul(s)+HizUz(s) Y2 (s)=H 21 (s) U1 (s)+H22 (s) U2 (s),

(12.11)

iar matricea de transfer ataşată acestui proces are forma (12.1 0). Funcţiile de transfer Hll (s) şi H 22 (s) sunt denumite funcţii de transfer principale, iar H 12 (s) şi H 21 (s) sunt funcţii de transfer de cuplare. O asemenea reprezentare se constituie în partea controlabilă şi observabilă a procesului. În cazul general, dacă funcţiile de transfer Ho (s) sunt în forma minima!ă, pentru procesul cu două intrări şi două ieşiri pot fi utilizate două structuri canonice: structura de tip P (fig. 12.3 a) şi structura de tip V (fig.l2.3 b).


531

Pentru structura canonică V se obţin următoarele Y1(s )= HllUI (s )+ H 21 (s )Y2 (s)

ecuaţii:

(12.12)

Yz (s )= HtzYi (s )+ Hn (s Pz (s) sau Y(s)=[Hll O

0

11 22

]{u(s)+[

0

1121

11 12

O

]r(s)}

(12.13)

Y(s)= Hd{U +HcY 1 unde 0

Hzz

] este matricea diagonală

şi

H~ 1 ] este matricea de cuplare.

"'

H:.

u,j

1

-'----+1•

l{ "

•

r,

h

~>-·---<>~{__~~,_,j

1-__LI-----:.\

b)

a)

Fig.12.3

Matricea de transfer pentru forma HP =(l-Hdflc}- 1 .Hd

canonică

J,,

V este astfel: (12.14)

Aceasta există dacă det[I- H dll O. Ambele forme canonice pot fi întâlnite în reprezentarea proceselor multivariabile, iar trecerea de la o formă la alta este uşor de realizat (57}. Comportarea proceselor multivariabi!e este detenninată de funcţiile de transfer principale H u(s) şi Hij (s ), atât ca senm, cât şi ca poziţie.


532

În cazul în care Hii (s) = H jj (s) şi H ij (s) = H ji (s) spunem că procesul multi variabil este simetric. Cea mai simplă soluţie pentru reglarea proceselor mutlivariabile este soluţia monovariabilă, adică pentru fiecare mărime reglată se adoptă o structură cu un singur bloc dereglare (fig. 12.4).

Fig.12.4 Dacă

admitem R1 =O, R 2 =O U, =-HR, Y,

şi observăm că:

Uz =-HR 2 Yz regulatorul poate fi descris prin matricea diagonală: HR

=[-~Rl

(12.15)

_;RJ

Ţinând seama de structura matricei H P (s) şi de matricea H R (s) se obţine:

[1-H p(s)HR(s)jY(s)=O

(12.16)

sau l+HuHR, [ HizHR,

HziHR2 I+H 22 HR2

J[Yj ]=[OJ"

(12.17) Y2 O Ecuaţia caracteristică ataşată SRA se obţine cu uşurinţă din (12.1 7): [1 + H II (s )H RI (s )j [1 + H 22 (s )H R2(s )) (12.18) - HI 2(s )H 2I (s )H RI (s )H RZ (s )= 0

Sisteme dereglare cu intrări şi ieşiri multiple

533

Expresiile [1 + H 11 (s )H Rl (s )] şi [! + H 22 (s )H R2(s )] sunt polinoamele caracteristice ale buclelor de reglare decuplate. Termenul al doilea din ( 12. 18) exprimă influenţa cuplării celor două bucle principale de reglare, prin elementele de cuplare H 12 (s) şi H 21 (s), asupra comportării SRA. Acest termen descrie efectul indus de buclele de reglare principale prin intermediul efectului elementelor de cuplare. Pentru a analiza efectul componentelor H 12 (s) şi H 21 (s) asupra comportării celor două bucle dereglare, rescriem (12.18) în forma:

~2fl21HRIHR2 )] =0 [1+H 11 HR! ][1+H 22 HRI ][1 ( 1+HllllRi 11+H22HR2 sau, dacă introducem în (12.19) expresiile funcţiilor de transfer buclelor principale (admiţând că în figura 12.4 lf 12 = H 21 =O): li

01

(12.19) ataşate

( )- llu(s)HRI(s) s -1+lf 11 (s)HR!(s)

ŞI

ll ozs( )-

llzz(s)HR2 1+ H () s H R 2 ()' s 22

se obţine:

(1 + llu (s )H Rl (s )](1 + H 22 (s )H m{s )][1- K(s )H 01 (s )H 02 (s )] =O (12.20) unde (12.21) reprezintă

factorul de cuplare dinamic. Din (12.20) rezultă că valorile proprii ale sistemului multivariabil în structura P sunt constituite din valori proprii ale buclelor principale şi valorile proprii suplimentare cauzate de elementele de cuplare H 12 (s) şi H 21 (s).

Prin împărţirea cu [1 + H 22 (s )H R 2 (s )] în (12.18), rezultă: (12.22) 1 + H 11 (s )H Rl (s K(s )H 02 (s )] =O sau, dacă împărţim cu [1 + H u (s )H Rl (s )] , se obţine: 1 + H 22 (s )H R 2(s K(s )H 01 (s )] =O. (12.23) Din analiza relaţiilor (12.22) şi (12.23) rezultă că efectul factorilor de cuplare asupra comportării buclelor principale poate fi evidenţiat prin în!ocmrea funcţiilor de transfer Hll( s )şi H 22 (s) cu expresiile:

11-

11-

H[1(s)=Hn(s)

[1-K(s)H02 (s)]

H22(s)=H 22 (s) [1-K(s)H01 (s)].

(12.24)


534

În figura 12.5 se reprezintă modificarea buclelor de reglare principale ca urmare a efectului cuplării.

- Jî(s)

Fig. 12.5

În mod similar se obţine şi structura buclei de reglare cu regulatorul principal H R 2 . Un element important în analiza efectului interacţiunii dintre mărimile de intrare şi ieşire este reprezentat de valoarea coeficientului de cuplare în regim staţionar (57]: K _ Hiz(O)Hzi(O) K1zKz1 ( 12 .25) 0

-

H11 (0)H 22 (0) K11 Kzz

unde K ij reprezintă factorii de amplificare

ataşaţi fiecărui

canal intrare-

ieşire,

iar K 0 reprezintă factorul de cuplare în regim staţionar. De remarcat faptul că pentru canalul principal cu regulatorul H RI (s), factorul de amplificare nu este Hu(o), ci:

H11 (0J!- K0 Hoz(O )], dacă ţinem

seama de (12.24). Factorul [1- Kofio; (O)] = Eu descrie modificarea amplificării datorită cuplării.

În figura 12.6 se prezintă dependenţa factorului Eu de K 0 . Din analiza graficului din figura 12.6 se pot distinge următoarele situaţii: a) K 0 1 b) K0 >O; cuplare pozitivă -

K0

E(O,H0i 1 (0)]-->euE[O,l) 1

- Ko> Ho;(Oj-->Eu
Sisteme de reglare cu intrări şi ieşiri multiple B ii

= 1-

535

k 0 H OI (0)

1

H OI (0) cuplare negativa

cuplare pozitiva

Fig.12.6

Întrucât factorul de cuplare K(s) depinde numai de funcţiile de trausfer ale procesului incluzând semnele lor, cuplarea pozitivă sau negativă sunt proprietăţi ale procesului cu două variabile de intrare şi două variabile de ieşire. În funcţie de valoarea factorului K0 şi de constantele de timp incluse în funcţiile de transfer H ij (s ), eficienţa reglării decuplate este mai mare sau mai redusă. Pentru o

aualiză completă

a comportării SRA pentru procese cu două intrări şi două ieşiri, vom considera în cele ce urmează efectul mărimilor exogene (referinţe, perturbaţii). Pot fi întâlnite diferite situaţii posibile (fig. 12.7): - perturbaţiile v acţionează asupra ambelor bucle. Perturbaţiile VI şi Vz generate de V prin H vi şi H v2 pot acţiona simultan, determinând schimbarea punctului de funcţionare, şi se materializează prin modificări ale puterii sau forţelor de comandă. Funcţiile de transfer H ,1 şi H vz pot avea acelaşi semn sau semne diferite. - referinţele pot fi modificate simultan sau independent în func,tie de regimul de funcţionare dorit. În cazul particular al procesului considerat, cele două intrări se referă la nivelul dorit în rezervor şi temperatura fluidului la ieşirea din rezervor. Perturbaţiile pot fi cele două temperaturi ale fluidelor de alimentare a rezervorului şi consumul de fluid (perturbaţie de tip sarcină).


536

V

Fig.12.7

În funcţie de excitaţiile externe (perturbaţii, referinţe) şi de funcţiile de transfer H u(s) şi H ij (s), regulatoarele principale H R, şi H R, se pot ajuta

sau bloca unul pe celalalt. De remarcat faptul că soluţia de reglare a proceselor cu două regulatoare principale trebuie atent analizată luând în consideraţie factorul de cuplare, particularităţile şi semnul perturbaţiilor, precum şi momentele de modificare a referinţelor [46, 57].

Exemplu/12.1: Se consideră procesul caracterizat prin modelul:

2 El (s)J 2s +1 p l' 0.1

0.~~~1] 0.5

0.2s+l 4s+l Pentru acest proces se poate adopta o soluţie de reglare cu două blocuri ' d'm vedere ca'fiactorul de cuplare K0 = O.l· 0· 1 · O.OI . de reg1are, avan 2·0.5 Factorul de cuplare dinamic are forma:

K(s) =O. O!

(2s + 1)(4s + 1) . (0.2s + 1) (0.1s + 1)


537

Admitem pentru fiecare canal principal intrare-ieşire câte un regulator P1:

1

1

~s

2s

1

1

HR1 (s)=K/1+- )=4(1+- )

l

HR2 (s)=K/l+- )=8(1+- ) T2 s 4s

l

Cu aceste blocuri de reg!are se obţin fUncţiile de transfer:

1 Ho,(s) 0.25 s+l Hoz(s)=-ls+1 şi coeficienţii

de

corecţie

eu

e11 =1-K0 H 01 (0)=1-0.01·1=0.99 e12 =1-K0 H 02 (0)=1-0.01·1=0.99 Rezultă

cu uşurinţă că efectul cuplării în regim staţionar este neglijabil. Pentru a analiza efectul în regim dinamic se calculează:

H{1(s )= H 11 (s) [1- K(s ). H02 (s )] H~z(s )= H 22 (s )[1- K(s ). H 01 (s )] sau

Hf1 (s)= Hc22 (s)=

2

[[1-0.01

2s+1

(2s+1) (4s+1) (0.2s+1) (O.!s+l)

0.5 'J-O.OJ (2s+l) (4s+1) 4s + 1 (0.2s+l) (O.ls+l)

l

(s~l)l 0.25~ + ~l·

În figura 12.8.a,b se prezintă răspunsul SRA pentru treaptă aplicată la intrare, în condiţiile în care se neglijează interacţiunea între canale, folosind două regulatoare Pl În condiţiile în care se include interacţiunea dintre cele două canale, prin luarea în calcul a fUncţiilor de transfer H [1 (s) şi H ~2 (s) la proiectarea blocurilor de reglare, se 128.c,d.

obţin răspunsurile

prezentate în figura


538 1. 4

Raap 51St 1 (Y1) -·· Ref <~
2 1

08 06

.\

1( 11

0.4 ().2

0

o

2

3

4

5

s 7 a

9

ta

11

12

13

u

15

a)

14 - · Rasp Slst 2 (Y2)

1

- · R• f SfSl 2 (RL)

1.2

',

··~

/

o.a 06 0.4

0.2

1

l

2

3

4

s s 7 a b)

Fig. 12.8

9

10 11

12 13 14 15


,,

12

'"

539

.

;

·~-

'

O.S

-·

'

'

'

0.6 0.4 -

0.2

Rasp sistem 1 (YI) cu KIJ=O.OI Referinta s;stem 1 (R!)

--- Rasp s•st~m 1 (Yt) cu K0=0.03

0

o

1

2

3

4

s s

7

a

9

10 11

12 13 14 15

c)

12

'-':,

~-=--

1 r-

,:J""'

;/

0.8

'

06 '

'' ''

0.4 '

0.2

-

--0

o

2

3

4

5

s

7

Pasp sistem 2 (Y2) cu I
a

9

10 11

d) Fig. 12.8 (continuare)

12 13 14 15


540

12.2. Probleme ale proiectării regulatoarelor multi variabile 12.2.1. Elemente de

analiză

Aşa

cum s-a menţionat în §12.1, procesele multivariabile, în situaţii speciale, bine definite, pot fi controlate cu regulatoare monovariabile, descompunând SRA multivariabil într-o mulţime de bucle de reglare cu o intrare şi o ieşire. În aceste cazuri particulare, se neglijează interacţiunile între variabile şi se determină regulatoarele ca şi când procesul ar fi reprezentat printr-o matrice diagonală cu funcţiile de transfer H 11 ( s) pe diagonala principală. În cazul general, structura SRA cu un singur grad de libertate are forma din figura 12.9, undeHR(s) şi HP(s) sunt matrice mxm, dacă procesul are m intrări şi m ieşiri, iar Y(s ), V1(s ), u(s) şi V2 (s) sunt vectori de dimensiune m.

"î (s) R(s) E(s)

u(s)

Y(s)

+ -

+

N(s)

~----------------------------------~

Fig.12.9 Dacă vom extinde noţiunile de funcţie de sensibilitate

introduse în analiza SRA monovariabile, mărimile de interes din sistem:

s(s)

obţinem următoarele relaţii

şi

T(s)

pentru

Y(s )= T(s )R(s )- T(s )N(s )+ S1(s )V1(s )+ S 2 (s )v2 (s) (12.26) U(s )= Su (s)R(s )- Su (s )N(s )+ Su (s )V1(s )+ Su (s )H P (s )V2 (s) (12.27) E(s )= S(s )R(s )- S(s )N(s )+ Su (s )Vt (s )+ S1(s) V1(s )- S2 ( s )V2( s )(12.28) unde Su(s) reprezintă matricea de transfer ce conectează R(s) la U(s), iar S2 (s) reprezintă matricea de transfer ce conectează V2 (s) la Y(s).


541

Expresiile matricelor S(s ), T(s ), Su (s) şi S2 (s) pot fi obţinute cu uşurinţă:

S(s)=~+HpHRf 1 T( s) = HpHR [1

(12.29)

+ HpHRrl = [! + llpHRJ 1 • Il pllR 1

Su( s)= HR[l +Il pHRJ =Il R( s )S( s )= 11(, 1( s ). T( s) S 2 ( s )= [1 +Il p( s )Il R( s )JI Il p( s )=

(12.30) (12.31) (12.32)

1

=Il p( s J[l +Il R( s )Il p( s }J = S( s )Il p( s)

De remarcat faptul

că şi

în cazul sistemelor multivariabile se

menţine

relaţia:

S(s)+T(s)= l.

(12.33)

Cu aceste elemente introduse, se poate trece la analiza performanţelor unui SRA dat sau/şi la proiectarea regulatorului care asigură performanţele impuse într-un context exogen precizat.

Stabilitatea în buclă închisă Spunem că un sistem MIMO este stabil dacă toţi polii sunt strict în intervalul regiunii de stabilitate (semiplanul stâng pentru sisteme continue sau discul unitate pentru sisteme discrete). Totuşi, interacţiunea sistemelor (fig. 12.9) poate conduce la moduri instabile ascunse ca urmare a unor potenţiale compensări poli-zerouri instabile. bucla de reglare din figura 12.9. Această este intern stabilă dacă şi numai dacă cele patru de sensibilitate definite în (12.29)- (12.32) sunt stabile.

Lema 12.1: Se

consideră

buclă considerată nominală funcţii

Demonstraţie:

Dacă toate semnalele de intrare, adică

r(t), v1(t), v2 (t) şi n(t) sunt

limitate, atunci se vede din (12.26) - (12.28)

că

stabilitatea celor patru

funcţii de sensibilitate este suficientă pentru a asigura ieşiri limitate

u(t)

şi

E(t).

y(t),

Observăm că această condiţie este necesară, deoarece

Su ( s) = Il; 1( s )T( s) este stabilă dacă şi numai dacă T(s) este stabilă.

Precizia SRA multivariabil poate fi determinată similar ca în cazul SRA monovariabile, cu observaţia că operăm cu vectori la intrare şi ieşire. Admitem că mărimile exogene sunt trepte definite prin: 1 . 1 1 R(s)~Kr·-,V1 (s)=K 1 ·-,V2 (s)=K 2 ·(12.34) s

s

unde K RE R'", K 1E Rm, K 2 E Rm sunt vectori

s

constanţi.

lNGlNERlA REGLĂRll AUTOA1ATE

542

Pentru un SRA stabil, prin aplicarea teoremei valorii finale se obţin: Yst =Iim y(t)=T(O) K, +S(O)K1 +S2 K2 (12.35) USI

=Iim u (t) = su (0) K, + s. (O)KI -

s.ll p (0)

(12.36)

Kz

Hoo

(12.37)

s" = lims(t)= S(O) K,- S(O)K1 -S2 (0) K 2 1~00

Lema 12.2:

Considerăm

SRA. multivariabil (fig. 12.9).

Aproximăm că

referinţa

R(s) este un vector de forma (12.34). Eroarea staţionară în canalul i, s;(oo) este egală cu zero, dacă rândul i din s(o) este egal cu zero. În aceste condiţii, rândul i din r(o) este vectorul elementar v; =[oo... OIO... of. Demonstraţie:

Considerănd referinţa

sub formă de

treaptă

(12.34), eroarea staţionară

se calculează cu relaţia: E;(oo)

unde

= [S(O)]; *

(1238)

K, =O

[s(o)];, este rândul i al matricei s(o). Totuşi, si(oo)=O

pentru orice vector constant K" dar (12.38) este adică S0 îşi pierde rangul la s = O. Aceasta este exact definiţia unui zero într-un sistem multi variabiL Proprietatea rândului i din T(O) este o consecinţă directă a identităţii S(s )+ T(s) = I şi proprietatea rândului i din S0 . Rezultate similare se obţin şi pentru perturbaţii. O reprezentare polinomială a matricei H P (s) ŞI, în mod satisfăcută numai dacă

[s(o)];, are toate elementele egale cu zero,

corespunzător, a matricei H R (s) are forma generală:

Hp( s )= Bp( s J[Ap(s)]- 1 ,

(12.39)

respectiv liR( s) = QR( s )[PR(s)]-I,

(12.40)

unde Bp, Ap, QR şi PR reprezintă matrice de transfer. Matricea ataşată sistemului deschis va fi dată de produsul HA s) = H p( s ).li R (s),

(12.41)

iar matricea ataşată sistemului închis are forma:

H0(s)=T(s)=[l+Hp(s) HR(s)t·HpHR

=

(12.42)

= llpHR [l +HpHRri Matrice le H P (s), li R (s), H d (s) şi H 0 (s) pot fi factorizate în diferite modalităţi [46].


543

12.2.2. Tehnici SISO în conducerea proceselor multivariabile

O

primă etapă

în proiectarea sistemelor multivariabile este analiza comportării sistemului decuplat proiectat prin tehnici specifice sistemelor monovariabile. Astfel, se foloseşte un regulator complet decuplat ( H R se alege ca o matrice diagonală). Într-o asemenea abordare interacţiunile pot fi tratate ca perturbaţii. Ieşirile procesului pot fi descrise sub forma: Y;( s) = H 1;( s )U;( s )+

m

L H 11 (s)U 11 (s),

(12.43)

j.,t:.i

l:::J

unde

contribuţia fiecărei intrări

aplicată

la

ieşire

pentru fiecare

u1

* u1 se poate considera ca o perturbaţie

buclă

de reglare ce include regulatoarele

H Ri (s). Această abordare este, desigur, incorectă, ţinând seama că în esenţă perturbaţiile

de cu

sunt intrări independente. Totuşi, în anumite condiţii, ţinând seama de amplitudinea şi spectrul frecvenţă, o asemenea tratare poate conduce la rezultate acceptabile. Pentru a exemplifica limitările acestei abordări, considerăm un proces două intrări şi două ieşiri cu patru regimuri de funcţionare posibile [46].

Exemplul12.2 Se consideră procesul descris prin matricea H p(s) {46]:

r

Hp(s)=ls

l

K~~

2

j·

2

+3s+2 Kzl

s+I

6 2 2 s +2s+l s +5s+6 Coeficienţii K 12 şi K 21 depind de regimul de procesului.

funcţionare

ataşat

Punctul de funcţionare 1 ( K12 = K21 =O) Clar, în acest caz nu există interacţiune şi în consecinţă un regulator cu două componente H şi H 822 poate fi utilizat. 811 Admiţând pentru cele două bucle de reglare aceeaşi funcţie de transfer dorită

HOl( s) =

Hoz(s)=

2

6

'

s +4s +6 se obţin funcţiile de transfer ale regulatoarelor.' 2

H

(s)=3(s +3s+2); R11

s( s + 4)

H, Rzz

2

=s +5s+6 s( s + 4)


544

Sistemul de reglare se constituie din două bucle de reglare independente, al căror răspuns la referinţa treaptă aplicată pe cele două canale este prezentată în figura 12.10 a,b.

0.6

0.6 0.4

0.2

00

2

3

4

5

s

a

7

9

10 11

12 13 14

15

a) 1.4

t:J;'~ ef

S
SISI

r··r1

0.2

00

. ,,__,__

---"·-~'---«--

1

1

0.6

0.4

1

1\.

1.2

0.8

2 (R2)

J

lj

2

3

4

5

6

7

a

9

10 1,

J

12 13 14 15

b) Fig. 12.10

Punctul de funcţionare 2 (K 12 = K 21 =0.1) Considerăm regulatoarele proiectate pentru punctul de fUncţionare anterior. La momentul de timp t 1 = ls se aplică o treaptă unitară de referinţă r1 şi

Sisteme de reglo:re cu

intrări şi ieşiri

multiple

la momentul de timp t 2 =!Os, se Răspunsul SRA, pentru (K12

aplică

= K21 =0.1)

545

o

treaptă unitară

şi pentru (K 1z

referinţă

de

r2 .

= Kz 1 =0.3) este arătat

în figura 12.11 a,b. Se poate constata că interacţiunile au efecte neglijabile şi, astfel, o tratare complet decuplată a sistemului este acceptabilă. 14 2

[\

. . .-p·-! t -

1

O. B

1

1

O. 6

1

0.4

0.2

0

o

1 2

K1~K21;Q.I

Rasp Sls!am 2 (YI) cu

1 - Ref-erinta sîstetn 2 {R~)

...

3

~

s s

R3SIJ sistetn2 {Yf} tu

7

a

9

10 11

Kl2-"~'h21=Q_3

12 13 14

15

a) 14

12

t\. 1

1

:('""'''

O.B

:!

0.6

,,J

!}

0.4

0.2

0

\~.

0

ij

- - Rasp >~stern 2 (Y2) cu K12•K21-il 1 ,. ~~··c

,:;

Refennts s!s1em 2 (R2)

--- Rasp s~s1em 2 (Y2)

2

3

4

5

6

7

B

b) Fig. 12.11

9

CIJ

10 11

Kl2=K21~ 3 11

17 13 14 15


546 Punctul de funcţionare 3 ( K12

= -1.

K21 = 0.5)

Rezultatul simulării, pentru ( K12 =-1. K21 =0.5) şi (K12 =-0.5, K21 =0.5). folosind aceleaşi regulatoare ca pentru punctul de funcţionare 2 şi în aceleaşi condiţii, este arătat în figura 12.12a,b. Se observă clar că schimbarea referinţei într-o buclă afectează sensibil ieşirea din cea de a doua buclă dereglare.

::~t />\.,

""-'::..·- - J

r· 0.8

r·\ ~=----------·

1

0.6

0.4

- - Rup ststem 2 ('r'1J cu K12'= .,;1<.21-:=0 5 ~~- Ref8rinta SJS.tE'm 2 (Rf) ~ Rasp ststem 2 (Y1) cu 1<1Z.. -G.5J<:!l=0.5

02

J. · 0

o

2

3

4

s a

7

a

9

10 11

12 13

~~ ts

a)

1.2

0.6 0.6

04 0.2 '

Oi-.02 .0.4

.0.60

.•''

'

R
V 2

--

4

R~?f€-nna

s s 7 a b)

Fig.l2.12

l 9

10

11

12

13 14

15


547

Punctuldefuncţionare4 (K 12 =-2, K 21 =-!)

Pentru aceleaşi condiţii de simulare (aceleaşi regulatoare şi modificări de se poate observa din figura 12.13a, b că sistemul devine instabil şi deci inacceptabil. referinţă),

[ ·

~

RdSp S
1] 1

10

5

·20 '-"---'---'---''--"--'-_.,.,.-!-':--,A--"---",...-,':--:'c-...J o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a)

'

20

o

2

3

4

5

6

7

8

b)

F'ig.12.13

9

10 11

12 13

u

15


548

Pentru o analiză atentă a fenomenelor ce apar în acest ultim caz vom calcula cele două ieşiri folosind relaţiile:

=[/ + H p( s )H R( s Jf1. H p( s )li R( s) [Rt ( s )] [YYI((s))] R 2 (s) 2 s unde

iar

H12J· [llll llzi Hn

H p( s) = După

efectuarea calculelor, se

YJfs)]=[l+llllllR 11 [Y (s) Hz!HR 11 2

obţine:

ll12HR 22 1+HzzHR 22

]-l[HIIHR

11

HzlHR li

H12HR 22 HzzHR 22

][Rj(s)l R2(s)J

sau după înlocuirea fUncţiilor de transfer, matricea H 0 (s) are forma:

1 L'>(s)

9s 4

+ 40.5s 3 +67.5s2 -18s- 81

-4.5s 4 - 3!.5s 3 -63s 2 - 36s

-3s 5 - 30s 4 -105s 3 -15s 2 -72s 9s4

+ 40.5s 3 + 67.5s 2 -18s- 81

unde L'l(s)= i + !Os 5 + 5!s 4 + 134.5s3 + !64.5s 2 +18s -81. Se poate observa că. deşi regulatoarele independente au fost proiectate astfel încât să fie garantată stabilitatea pentru cazul buclelor de reglare decuplate, la apariţia interacţiunii, în modelul procesului apar instabilitate şi degradarea performanţelor.

Din analiza acestui exemplu preluat din [46] se poate constata că ignorarea interacţiunilor la proiectarea regulatoarelor poate genera probleme cu puternic impact asupra performanţelor şi comportării generale a sistemului multi variabil. în cadrul unei arhitecturi descentralizate de conducere a proceselor multivariabile cu m intrări şi m ieşiri, din cele m! perechi posibile intrare ieşire pot fi selectate acele perechi ce prezintă interes. Pentru aceasta se poate folosi metoda ariei de amplificare relativă (Relativ Gain Array- RGA) [46]. Asifel, pentru un sistem multivariabil cu matricea de transfer llp(s) se poate defini RGA sub forma unei matrice cu elementele r1j: 1

r1j = [H p (o )Jij [H ?

(o

)L

unde [Hp(O)]u reprezintă elementul ij din matricea li p(O) şi, respectiv, elementulji al inversei matricei H-p 1 (o).

Sisteme de reglare cu

intrări şi ieşiri multiple

Parametml 'ii

furnizează

o

informaţie

549

despre nivelul de sensibilitate

al perechii ij intrare-ieşire (intrarea i cu ieşireaj). Pentru exemplul anterior se poate calcula cu

R=[_l-K~zK21 K12K21 1- K 12 K 21

uşurinţă

matricea R:

1~~~:~21]·

1 1- K1zKz 1

Pentru K 12 E (0,1) şi K21 E (0,1) se poate observa că perechile (u 1,y 1) şi (u 2 ,y 2 ) sunt dominante. Pentru K 12 =-1 şi K 21 =0.5 matricea R capătă forma:

R=H~ ~l în schimb pentru K 12 = -2

2]

R=[-12

şi K 21

= -1 se obţine:

-1 ,

ceea ce sugerează a schimba perechile de la (uJ·Yz) şi (uz,Yt).

(u 1,y1 ), (u 2 ,yz)

la perechile

Exemplul123 Se consideră ansamblul alcătuit din patru rezervoare cuplate, a cărui reprezentare schematică este dată în figura 12.14. Ca intrări în sistem se consideră debitele de fluid Q1 şi Q2 , iar ca ieşiri nivelul din rezervoarele 1 şi 2. Admiţând că debitele spre rezervoarele 1 şi 4 se pot ajusta prin supapa S 1 şi

debitele spre rezervoarele 2 şi 3, prin supapa S 2 , se poate aproxima funcţionarea ansamblului de rezervoare printr-un model de forma:

f •

1

Hp ( s)= ·

(1Js + l)(T3s +1) -rzkz T2 s+l

unde coeficienţii y 1 şi l- y1 reprezintă proporţiile de debit de fluid de la pompa 1 care se adaugă în rezervoarele 1 şi 4, iar y 2 şi 1- y 2 reprezintă proporţiile de debit de fluid de la pompa 2, care se adaugă în rezervoarele 2 şi 3. Aceşti coeficien{i ajustabili au valori cuprinse între O şi 1, corespunzător poziţiei supapelor sl şi s2.


sso

Fig.12.14 Pentru acest model, se poate studia efectul coeficienţi/ar y 1 şi y 2 asupra procesului şi asupra poziţiei zerourilor acestuia. Dacă se calculează

comportării

R, se obţine:

(1-yz)kl]·[ Y1k1 (1-y 2)k1]-l (1-yl)k2 Yzkz (1-yl)kz Yzkz

R=Hp(O)H/}(O)=[ Y1k1 Dacă

admitem că parametrii modelului sunt: k1 = 3, k 2 = 4, T1 = 60s , T2 = 90s, T3 = 20s , T4 = 30s,

se obţine:

Sistemul are două zerouri care satisfac det H p (s) = O:

detHp(s)= sau

Y!klyzkz _ (l-YJXl-yz)k1k2 (1Js + IXT2s + 1) (T1s + IXT2 s + 1XT3s + IXT4 s + 1)

Sisteme de regklre cu intrări şi ieşiri multiple

551

lntrucât y 1 >O şi y2 >O, rezultă că

a=

(1- Y'

XI- Yz) >O,

Y1Y2 Rezolvând ecuaţia det H p (s) = O pentru

a > O, rezultă cele două zerouri:

- (TJ + T4 )± ~(T3 + T4 ) 2 -4T3T4 (1-17) cu

şi

+T4)+,{X z2-- -(T3 ZT3T4 ,

(OJ) şi în semiplanul drept pentru 11 > l. la (Y! +y 2 )E (!.2), iar condiţia 17>!

care este în semiplanul stâng pentru 11 E

Condiţia 1/E corespunde la Astfel,

(OJ) corespunde (y 1 + y2)E (OJ). dacă (y 1 +yz)E (1,2)

presupunem, spre exemplu, atunci:

că

sistemul este de fază minimă. Dacă

Yt =O. 8 şi y 2 = O. 5,

R=lL-0.33 1.33 . -0.33], 1.33 _ ceea ce sugerează să utilizăm perechile

(u 1, y1 )

şi (u 2 , yz) pentru sinteza unui

regulator descentralizat. În acest caz, recomandăm două regulatoare principale de tip P!:

1 ). , HR1 (s)=jl+-

l_

Rezultatul figura 12.15 a,b.

20s

simulării

//R 2

1 )· (s)=jl+-

l,

25s SRA cu aceste blocuri de reglare este prezentat În

O altă posibilitate pentru proiectarea SRA multivariabile, apelând la tehnici specifice sistemelor monovariabile, constă în includerea în sistem a unui precompensator care asigură diagonalizarea matricei de transfer.


552

(1,(1.

0.0

'' 1 r,

02

o

.

~

o

"

20

10

"

00

"'

llmp(s.ec)

00

00

J

100

a)

1

~

-- --- -------

-~~~~

0.6

0~-~--~ o

10

2(l

30

40

50 timp (sec)

b)

F'ig. 12.15

~L- ~----~---j 60

70

.•

60

90

100


553

În figura 12.16 se prezintă structura unui SRA cu prccompensator H..(s). ,----~------~------------------~ 1

1 1 1 1

R(s)

:

1' 1 1

Y(s)

1

___....,

Hc(s)

' ' '''

l /iL-----------------------------2 HR(s)

1

HP(s)

i

1

!

Fig.12.16

Proiectarea regulatorului (matricea H R (s)) se face având la bază un model modificat: H~(s)=Hp(s)Hc(s) (12.44) Referitor la această procedură, pot fi făcute următoarele remarci: o primă încercare pentru H c{s) poate fi o aproximare a lui H ; 1( s). De exemplu, se poate folosi matricea coeficienţilor matricei de

transfer H; 1(O) ca un precompensator, dacă aceasta există; dacă se alege un precompensator dinamic, atunci trebuie evitată compensarea poli-zerouri între precompensator şi modelul original al procesului. Decuplarea poate fi dinamică şi se obţine o matrice diagonală H ~ ( s), caz în care problema se reduce la mai multe bucle de reglare cu o

intrare şi o ieşire. Dacă matricea H~(jro) este diagonală numai într-o bandă finită de frecvenţe, spunem că sistemul este decuplat în aceea bandă. În particular,

când H; (O) este diagonală, spunem că sistemul este static decuplat. Un sistem este triunghiular cuplat atunci când intrările şi ieşirile pot fi ordonate, astfel încât matricea H ~ ( s ) este triunghiulară superior sau inferior pentru toţi s . Cuplarea în acest caz este ierarhică. Pentru cazul triunghiular inferior prima ieşire depinde numai de prima intrare, a doua ieşire depinde numai de prima şi a doua intrare, şi, în general, ieşirea k depinde numai de primele k intrări. Asemenea sisteme sunt relativ uşor de controlat prin regulatoare

INGINERIA REGLĂRi/ AUTOMATE

554

monovariabi!e combinate cu acţiunea feedforward (directă) pentru a compensa interacţiunile. O altă modalitate pentru proiectarea regulatoarelor multivariabile constă în decuplarea sistemului, adică selectarea acelui regulator care asigură matricei H/)( s )"' T(s) forma diagonală. Astfel, punem condiţia ca matricea H d (s) să fie diagonală:

(12.45)

Pentru exemplificare, considerăm cazul unor matrice ( 2 x 2 ): H12]

Hp(s)=[HII

H21

(12.46)

Hzz

ŞI

Il

H R( s) =[H R HR21 Dacă

impunem caracterizată prin:

l2]

HR HR22

(12.47)

sistemului

pe

directă

calea

jHd Hd(s)=, o'

l[

c

o

comportare

se pot deduce blocurile dereglare H R care asigură o comportare decuplată: '1

HllHR 11 +H12HR 21 [ ff21liR

llllHR12 +H12liR n

"'

11

+HzzHR2I

H ;·

llziHRi2 +HzzHR 22

Un rezultat similar se

obţine dacă

regulatorul se

o

J. (12.48)

lld,_ calculează

cu

relaţia:

adjHP _rHd1 det liP

1 L

(12.49)

O

sau

Funcţiile

H

8

de transfer li Ru

= lld, 1 " H 11 ·1-K(s)

. '

şi H Rz2 HR22

au forma: [{ d2 llzz

1

=--.---

1-K(s)


Hd!

Hl2

11

H 22

1-K(s)

=- Hd2

H21

1

HRzi =--H

HR

555

(12.50)

H22 Hll 1- K(s) Astfel, cele două blocuri de reglare 12

compensarea interacţiunii între canale. De observat faptul că structura blocurilor de reglare este influenţată de factorul de cuplare dinamică K(s ), de funcţiile de transfer H d1( s) şi H dz (s) şi, evident, de forma matricei H P(s).

În cazul în care apar probleme de realizabilitate a algoritmilor de reglare, trebuie schimbat H d (s). Pot fi analizate diverse combinaţii de modele pentru proces şi regulator (P- P; P- V; V- P) (exerciţii pentru cititor). Exemplul12.4: Se

consideră:

0.5 s+I

0.2 s+0.2

H p( s) =

0.1 --s +0.1

1 s+l Se cere proiectarea regulatorului multivariabil care asigură decuplarea celor două canale şi asigură o comportare identică. pe cele două canale principale. caracterizată printr-un răspuns aperiodic cu o constantă de timp T01 = T02 = 0.5s. În aceste condiţii, matricea de transfer H 0 ( s) ataşată sistemului închis este de fonna:

Ro( >l"T( ,;. [

05: H

Ţinând seama că SRA se principale să fie decuplate, rezultă:

f3_

ol

Hd(s)=l~ ~J

proiectează

astfel încât cele

două

canale


556

Apelând la relaţiile (12.50), se obţin cele patru blocuri dereglare: 2 1 HRn

= r{5 .

2(s+l)z

s+l

(10s+l)(5s+l)

- - 1+ --'---'---

sau

H R = 4{ s +!)(!Os+ 1)(5s +1)

s [(!Os+ 1)(5s + i)+ 2(s +I)Z] 2 1

li

HR

=-s1

21

s+l

1+

2( s +!)(!Os+!)( 5s + !)

= s [(!Os+ 1)(5s + 1) 2(s + I)Z] 2(s+l)2 (!Os + 1 )( 5s + 1)

Hi2 - -H Rn H 22

Hzi - -H Rn H ll

0.2 s+0.2 H 1 =- Rn

s+l 0.2 s+0.2 _ 1

H

s+l 5s+l

--R22·2

s+! !Os+!

s+l Rezultatele simulării pentru referinţă treaptă unitară aplicată celor două bucle la momentele t =O, respectiv t = 1, sunt prezentate în figura 12.17a,b.

1

-

1

1 E·'""'" c:=-_Y.'_ _ __j

-~

q- .

1 0.6

~

r1,y 1

0.6

,..

1

j

0.2

,,_____--;-----~---~--J o

10

a)

Fig.l2.17

15


551

1 '1

1

-

......

,~

_______' -~_]

,. r

1

1

i 1 1

-1 1

"

fO

Hmp(tl!C)

b)

Fig.l2.17 (continuare). De remarcat faptul că, prin proiectarea regulatorului prin decup!area celor două canale, se obţin funcţii de transfer care nu se încadrează în structurile standard de tip PID.

12.3. Proiectarea sistemelor multivariabile apelând la tehnici de control optimal Considerăm

modelul nominal al procesului cu m

intrăli şi p ieşiri:

.i: = Ax+ Bu( t) n ; x0 E R , u=Cx(t)

unde .r.( t )E R", u E Rm

şi y e RP,

iar matricele A, B

şi C

au dimensiuni

corespunzătoare.

Presupunem că starea iniţială x 0 trebuie adusă la cea mai mică valoare posibilă în intervalul de timp (t 0 , t 1 ) , cu un efort minim de comandă.

Astfel, problema

reglării

optimale se

defineşte

ca o

problemă

de

!NG!NER!A REGLARI! AUTOMATE

558

obţinere a comenzii u(t) pe intervalul (10 ,t1 ) , ce asigură ca următoarea funcţie

obiectiv (o

funcţie

cost) să fie

minimizată:

(12.51) to

unde

QE Rnxn şi

Q1

E R"""

sunt matrice simetrice semipozitiv definite

şi

simetrică pozitiv definită. Pentru rezolvarea acestei probleme stabilim mai întăi relaţia între problema generală de optimizare şi problema reglării liniar pătratice. Astfel, dacă folosim relaţiile: f(x,u,t)=Ax(t)+Bu(t) (12.52)

RE R=" este o matrice

V(x,u,t)=xTQx+uT Ru

(12.53)

g(x(t1 ))=g(xf)=x~ Qfxf,

(12.54)

putem defini

funcţia:

T 0 [oJ (x t) W(x,u,t)=V(x,u,t)+[ ox' f(x,u,t)=xTQx+uTRu

t>

+

+ (12.55)

[{)J:~·t)r (Ax

+

Bu).

unde 0

J (x,t)

'J

=

min

u(<)

{

Jv(x,u.~)

(12.56)

1

reprezintă costul optimal în intervalul {ţ,t1 ) cu starea iniţială x0 . Astfel, pentru a obţine comanda optimală u 0 , conform principiului optimalităţii [46], trebuie să minimizăm w(x,u,t). Aceasta se obţine prin anularea gradientului lui W(x,u,t) în raport cu comanda u: iJW =2Ru+BT ()Jo(x,t)

0

du dx Din (12.57) rezultă comanda optimală u 0 (t ): uo(t)=-.!_R-IBT (JJO(x,t). 2 dx

(12.57)

(12.58)

De observat că Hessianul lui W în raport cu u este egal cu R care prin aproximarea iniţială, este o matrice pozitiv definită. Aceasta confirmă că (12.58) asigură minimullui W.


559

Notăm

r1

în cele ce urmează că 1°(x 0 ~ 1 )t1 [xJ Q x~, unde xJ reprezintă starea finală optimală. Aceasta este o funcţie pătratică de starea finală xr . Se poate arăta, prin inducţie, că acesta este adevărat la orice moment de timp, conform principiului optimalităţii al lui Bellman [46, 88]. Presupunem că funcţia obiectiv optimală are forma: J 0 (x,t) = xT Px cu P(t )= [P(t )f, (12.59) iar gradientul acestuia în raport cu x este: 8J 0 (x,t)

8x

)=

2P(t)

x(t)

(12.60)

ŞI

810

&(x,t)

Dacă

(12 61)

xTP(t) x(t).

.

introducem (12.60) în (12.58)

u0(t) = -F(t) x(t),

obţinem

comanda optimală: (12.62)

unde F(t) = R- 1Br P(t)

(12.63)

reprezintă

matricea de comandă după stare, variantă în timp. Din (12.55), după înlocuirea comenzii optimale, obţinem: W(x,u 0 ,t) = _xr

[Q- P(t)BR-IBT P(t)+ 2P(t)A]

x(t).

(12.64)

Pentru a calcula matricea F(t), trebuie mai întâi a obţine P(t ), care poate fi uşor determinată dacă introducem (12.61) şi (12.64) în ecuaţia:

iJJ 0( X,t) dt care conduce la: - xT

0 V'( X, U O, t ) + [iJJ ( X,t )]Tf.( X, U O, t ) ,

dt

F(t )x(t )= xT [Q- P(t )BR- 1BT P(t )+ 2P(t JA]x.

(12.65)

Notăm, de asemenea, că zxT PAx = xT (PA+ AT P )x.

Pentru ca (12.65) să fie satisfăcută pentru toate stările x(t ), trebuie ca: - f>{ t) = Q- P( t )BR- 1BT P( t )+ P( t )A+ AT P( t) (12.66) Ecuaţia (12.66) este cunoscută ca Ecuaţia Riccati în timp continuu. Această ecuaţie poate fi rezolvată în timp invers pentru a satisface condiţiile limită (12.54) şi (12.59). De remarcat faptul că P~ 1 )= Q1 . Rezultatele de mai sus pot fi extinse şi la sistemele variante în timp, adică la sistemele caracterizate prin A , B , Q şi R variabile în timp.


560

Desigur, rezolvarea problemei de control optimal presupune apriori satisfăcute unele cerinţe. Cele mai importante cerinţe se referă la controlabilitatea şi observabilitatea perechilor (A,B), respectiv (C,A). O cerinţă suplimentară în conexiune cu funcţia cost este ca perechea 112 (Q ,A) să fie detectabilă [46}. Îndeplinirea acestor cerinţe asigură existenţa soluţiei asimptotice pentru ecuaţia Riccati, Pa , când t 1 -; oo.

Această soluţie asimptotică se obţine din (12.65) cu

dP =O. dt

Când este folosită această valoare staţionară pentru calculul legii de conducere optimală, sistemul în buclă închisă este stabil. Matricea sistemului cu reacţie după stare este: A0 =A- BF =A- BR- 1BT Pa (12.67) şi are toate valorile proprii în semiplanul stâng. Pentru ca legea de comandă după stare să fie utilizată, se impune estimarea stârii sistemului condus pe baza informaţiilor disponibile u~) şi y(t ). Rezultatele prezentate în capitolul 7 pot fi extinse la sistemele multivariabile. Estimatorul de stare se proiectează pentru perechea (c,A) luând în consideraţie o problemă echivalentă de control pentru perechea (A,B). Astfel, se consideră sistemul dual cu A.= Ar şi s' = cr. Pentru sistemul dual (A,, s·) se proiectează matricea de comandă F'

E

Rpxn, astfel încât A,- s' F' să aibă valorile proprii în regiunea de

stabilitate. Prin urmare, dacă alegem L =( F' l, matricea (A - LC) are valorile proprii în interiorul regiunii de stabilitate. Estimatorul de stare, în aceste condiţii, este caracterizat prin ecuaţiile:

i =AX( t )+ Bu( t )+ L(y~ )- Cx~ )) .Y(t)= c.x~)

., x•

0E

R"

Cu starea estimată x( t), legea de conducere optimală u 0 (t) = -F x(t) 0

(12.68) capătă

forma: (12.69)

i(t) =(A- LC) x(t)+ B u (t)+ Ly(t ).

În cazul general, când se estimează atât starea procesului X( t), cât şi perturbaţia il( t), legea de conducere poate fi compusă astfel încât, pe lângă cerinţele de stabilizare a procesului, să se asigure eroarea staţionară pentru referinţă şi perturbaţii constante.


561

Legea de conducere optimală se obţine, astfel, sub forma: u 0 (t)= --F1.i(t)- F2v(t)+ z(t) 'J

z(t)

=

Je(T) dT

(12.70)

'o e(t)= r(t)- y(t)

unde z (t) reprezintă vectorul ieşire din integratoare le plasate pe calea directă în sistemul de conducere. în figura 12.18 se prezintă structura sistemului de conducere cu reacţie după stare şi estimator de stare. VJ

r(t) V

f

Cl:rernl1cr (Estil11l!Cr)

1'

z

_,...-, u0 (t)

~'roi-

(t)

l l PRCUS

v2 (t)

y(t)

r-+0~ Fig.12.18

Pentru modele discrete ale proceselor multivariabile, rezultatele se extind cu uşurinţă, inclusiv în prezenţa perturbaţiilor stocastice (vezi § 7.5). în multe cazuri practice, întâlnim procese cu număr diferit de intrări şi ieşiri. Astfel, pot fi întâlnite procese cu m > p, deci cu exces de intrări sau m < p , deci exces de ieşiri. Pentru situaţia în care m > p , având mai multe grade de libertate la intrare, este posibil a controla mai multe variabile, chiar dacă acestea nu trebuie măsurate. O strategie posibilă este de a folosi un estimator pentru a estima variabilele omise şi, în consecinţă, regulatorul poate fi proiectat pentru un sistem de dimensiuni m x m.


562

O altă situaţie foarte des întâlnită în practică este aceea unde p intrări sunt selectate ca variabile primare de comandă, iar restul care rămân, (m- p) intrări, sunt în relaţii fixate în raport cu primele p intrări. Spre exemplu, în instalaţiile de ardere, debitul de combustibil este variabila primară, iar debitul de aer necesar arderii se află într-o relaţie bine definită cu variabila primară. În cazul în care p > m , nu pot fi controlate toate ieşirile independent, la toate momentele de timp. Deşi toate măsurătorile ar putea fi folosite pentru obţinerea stării estimate, numai m cantităţi pot fi controlate independent. Astfel, deşi orice parte a regulatorului ce depinde de reacţia după starea estimată ar putea folosi întregul set de măsurători, totuşi acţiunile asupra procesului vor fi numai o submulţime de m variabile. O altă strategie este de a defini importanţa relativă a intrărilor prin folosirea unui indicator corespunzător de performanţă. Spre exemplu se poate folosi un criteriu pătratic cu diferite ponderi pentru diferite intrări. De remarcat că nu pentru toate buclele se realizează eroare staţionară egală cu zero. Sistemele multivariabile sunt supuse unor specificaţii de proiectare pentru asigurarea decuplării dorite. Decuplarea este legată în timp şi în frecvenţă de direcţionalitate. De remarcat că cele mai eficiente metode de proiectare a regulatoarelor multivariabile sunt: metoda decuplării triunghiulare şi metoda decuplării dinamice.

PROBLEME 12.1. Se consideră un proces cu două intrări

şi două ieşiri

caracterizat

prin: l s+l

0.2 O.ls+l

OI

1

Se cere: a) O structură de SRA care să asigure decuplarea ieşirilor. b) Algoritmi de reglare care asigură pentru referinţă treaptă unitară răspuns indicial aperiodic pentru fiecare canal intrare-ieşire cu durata regimului tranzitoriu t1 ::; 2sec.


563

12.2. Se consideră procesul caracterizat prin:

HP(s)--(s+!)2 1 [s-2 -2

1

j'

-2.

se proiecteze un regulator care asigură eroare staţionară nulă la referinţe treaptă unitară şi o bandă de frecvenţă ro 8 =0.5[rad/sec] pentru ambele canale. Se cere

să

12.3. Se consideră procesul caracterizat prin: 1 1 [ 2 -1 H p(s)= (s+4Xv+5) 0.5 3

J

Să

se sintetizeze un regulator multivariabil, astfel ca polii

dominanţi

ai SRA să fie rădăcinile ecuaţiei s + !3s + 100 =O. 2

12. 4. Se consideră procesul cu modelul nominal:

o

2 H ( s) = r s + 3s + 2 p \ 0.5 2

l

1 1

6

(s+2)(~s+l)

s2 +5s+6

Se cere: a) Să se proiecteze regulatorul multivariabil considerând sistemul decuplat. b) Să se evalueze performanţele SRA pe ambele canale pentru ~=0.2 şi ~=-0.2.

12. 5. Se consideră procesul al cărui model nominal este: 5

Hp(s)= s [

2

+~s+5

0.5

s+5

"

4(s+l)

s+4

s 2 +4s+4

Se cere: a) Pentru ~ = -2 să se construiască un precompensator pentru a realiza decuplarea; b) Să se proiecteze regulatoare PID pentru procesul decuplat şi să se evalueze performanţele; c) Să se efectueze aceleaşi calcule pentru p= 2 .

13.

SISTEME INTELIGENTE DE CONDUCERE

13.1. Introducere Dificultăţile

majore în caracterizarea matematică riguroasă a comportării proceselor tehnologice complexe au impus în ultimii 20 de ani noi tehnologii neconvenţionale în conducerea proceselor. Astfel, apelând la ,, concepte din domeniul inteligenţei: ,adiflciale au fost create sisteme de J:" conducere bazate pe cunoştinţe (®!Q, sisteme expert de conducere în timp real ('SETR) cu largă aplicabilitate în automatizarea unor procese cu informaţie apriorică redusă [24]. Teoria mulţimilor ~ a permis dezvoltarea unor regulatoare, sisteme de conducere fuzzycu un impact deosebit în reglarea (conducerea) unor procese ncliniare cu modele matematice incerte. Evoluţia acestor regulatoare, corelată cu evoluţia tehnologiei de implementare a condus la sfârşitul mileniului al doilea la o explozie de aplicaţii a acestora, atât în varianta simplă, cât mai ales în varianta unor structuri avansate de regulatoare fuzzy adaptive şi optimale [23]. O a treia tehnologie neconvenţională de conducere ce s-a impus în ' ultimii 20 de ani are la bază Pfl?.Cesarea ~f!iă artificială. Astfel, au fost dezvoltate arhitecturi de sisteme de coitduc;re bazate pe reţele neurale artificiale (RNA) cu largă aplicabilitate în modelarea şi conducerea proceselor nelîniare [33]. O evoluţie semnificativă au cunoscut în ultimii 1O ;- ani tehnicile evoluţioniste, în particular algoritmii genetici (AG), care, fie în varianta individuală, fie în varianta hibridă cu celelalte tehnologii neconvenţionale, au permis rezolvarea unor probleme complexe de Qi!Jtimizare sau conducere oplimală [29]. Termenul de "sistem inteligent", deşi pretenţios şi chiar exagerat, are un substrat real şi un suport consistent ţinând seama de rezultatele cercetărilor în domeniul modelării comportamentului creierului uman şi al inteligenţei moleculare. Preocuparea specialiştilor pentru a crea sisteme de conducere automată cu ~l,cată autonomie a impulsiona! cercetarea şi dezvoltarea sistemelor cu un grad mai

Sisteme inteligente de conducere

565

înalt sau mai redus de inteligenţă. Autonomia presupune inteligenţă şi, în consecinţă, realizarea sistemelor de conducere autonome presupune implementarea unor tehnici de conducere inteligentă. Crearea maşinilor inteligente a reprezentat o continuă provocare pentru specialiştii în automatică şi informatică, iar robotica cognitivă reprezintă doar o latură a acestei provocări. Sistemele inteligente de conducere reprezintă un subdomeniu al vastului câmp de cercetare al maşinilor inteligente. Evoluţia sistemelor de conducere de la structuri convenţionale şi algoritmi proiectaţi pe baza modelelor matematice ale proceselor la sisteme inteligente ce integrează tehnici euristice, sisteme expert, reţele neurale, tehnici fuzzy şi tehnici evoluţioniste de procesare a informaţiei şi cunoştinţelor reprezintă o cale naturală ţinând seama de stadiul atins în domeniul micro şi nanotehnologiei. Mecanismele adaptării şi învăţării dezvoltate şi aplicate încă din anii 1960-1970, au fost extinse cu noi atribute ale sistemelor de conducere, preluate din sistemele biologice: percepţie, raţionament, analiză de valoare Oudecată), comunicare, generare de comportamente etc, creându-se premisele dezvoltării unor sisteme de conducere autonome. Modelarea sistemelor inteligente cu aplicabilitate în domeniul roboţilor inteligenţi [2, 25, 47] a impulsiona! cercetările în domeniul sistemelor inteligente de conducere. Judecata de valoare Raţionament

Percepţie

Procesare

Generare de comportamente

senzorială

M odelullumii DATE CUNOŞTINŢE

Elemente de

Senzori

MEDIU (PROCES)

Fig.13.1

execuţie

566


Un model simplificat al unui sistem inteligent cu evidenţierea celor patru funcţii esenţiale: percepţie, "ÎnVăţare, raţionament şi generare de comportamente este prezentat în figura 13.1 [2]. O asemenea reprezentare simplificată a unui sistem inteligent evidenţiază, pe de o parte, interacţiunea cu mediul prin intermediul senzorilor distribuiţi şi a elementelor de execuţie, iar pe de altă parte, capacitatea de procesare senzorială a informaţiilor, de memorare (învăţare) şi planificare (generare) a acţiunilor. Un asemenea model simplificat preia elemente specifice din domeniul inteligenţei umane, reprezentând o încercare de modelare a inteligenţei naturale. Desigur, a crea un sistem inteligent de conducere cu atributele unui sistem inteligent natural este, cel puţin pentru acest moment, foarte dificil, însă nu trebuie abandonată ideea, chiar dacă nu poate fi realizat pe baza cunoştinţelor actuale. Pentru a dezvolta sisteme inteligente de conducere vom apela la rezultatele obţinute în diferite domenii cum sunt: inteligenţa artificială, ştiinţa calculatoarelor, matematică, psihologie şi filozofie, ştiinţele naturii şi, desigur, în domeniul ingineriei şi al teoriei conducerii, integrându-le într-o concepţie unitară de sistem de conducere cu ridicată autonomie. Desigur, există diferite niveluri şi tipuri de inteligenţă şi în consecinţă regulatoarele, în funcţie de complexitatea funcţiilor implementate, pot avea diferite niveluri de inteligenţă. Apare în mod firesc întrebarea referitoare la tipul şi nivelul de inteligenţă al unui regulator care să-i confere calitatea (sau să fie considerat) de rcgulator inteligent. O altă abordare a conceptului de sistem de conducere inteligentă se referă la înţelegerea mecanismelor inteligenţei umane, a sistemelor biologice de a realiza sarcini, cu scopul de a obţine idei cum pot fi rezolvate probleme dificile şi, în consecinţă, de a proiecta asemenea sisteme tehnice capabile să rezolve problemele la acelaşi nivel de competenţă ca sistemele biologice cele mai performante. O metodologie de conducere este întetigentîi dacă foloseşte tehnici şi proceduri specifice sistemelor !biologice (forme de reprezentare şi generare de comportamente) pentru a dezvolta sau implementa un regulator pentru conducerea unui proces dinamic. Pornind de Ia această definiţie cele patru metodologii de conducere bazate pe: sisteme expert, tehnici fuzzy, reţele neurale şi algoritmi genetici pot fi considerate metodologii inteligente. Astfel, metodologia de conducere fuzzy include utilizarea mulţimilor fuzzy şi logica fuzzy pentru reprezentarea bazată pe reguli a cunoştinţelor umane despre cum se conduce un proces, inferenţa fuzzy pentru modelarea proceselor deductive umane şi procesoare convenţionale sau procesoare fuzzy pentru implementare. Alte metodologii de conducere inteligentă includ conducerea bazată pe


567

cunoştinţe,

care include un sistem expert bazat pe reguli, conducerea prin învăţare, utilizarea sistemelor de planificare pentru comandă, controlul neural şi algoritmi genetici pentru rezolvarea problemelor de conducere inclusiv conducerea adaptivă şi optimală. Multe metodologii inteligente de conducere rezultă din sinteza mai multor metodologii convenţionale şi inteligente, fiind astfel generate Sisteme Inteligente Hibride (Sili). Astfel, un regulator inteligent (sistem inteligent de conducere) este dezvoltat sau implementat cu o metodologie inteligentă sau/şi tehnici de conducere ce emulează funcţii care în mod normal sunt realizate de fiinţe umane sau sisteme biologice. Pornind de la această definiţie putem vorbi despre regulatorul fuzzy ca despre un regulator inteligent cu un anumit nivel de inteligenţă. De asemenea, putem să spunem că regulatoarele ce integrează tehnici de învăţare, tehnici neurale, algoritmi genetici sunt regulatoare inteligente cu un anumit nivel şi un anume tip de inteligenţă. Vom denumi sisteme inteligente de conducere (regulatoare inteligente) inclusiv sistemele ce emulează funcţii specifice sistemelor inteligente naturale. Indiferent de definiţiile adoptate pentru regulatoare inteligente, acestea caracterizează în mică măsură funcţiile complexe ale sistemelor inteligente naturale. Totuşi, proiectarea regulatoarelor inteligente are la bază cerinţa de a emula cât mai exact funcţii specifice fiinţei umane pentru rezolvarea de probleme dificile, de a realiza o cât mai ridicată autonomie în raport cu mediul şi cerinţele rezolvării de probleme. Sistemele de conducere inteligentă cu un înalt grad de autonomie pot funcţiona bine în prezenţa unor incertitudini semnificative ale procesului şi ale mediului pentru perioade extinse de timp, putând compensa defectele ce apar fără intervenţii externe.

13.2. Sisteme inteligente autonome Arhitectura funcţională a unui sistem autonom este prezentată în figura 13.2. Organizat pe trei niveluri ierarhice, sistemul inteligent autonom asigură interfaţa cu procesul prin intermediul elementelor sensibile şi a elementelor de execuţie şi interfaţa cu operatorul uman şi cu alte sisteme. Nivelul executiv preia funcţiile de bază ale conducerii numerice directe, apelând la algoritmi PID convenţionali, algoritmi de conducere adaptivă, estimare de parametri, algoritmi de conducere optimală şi algoritmi de identificare a defectelor. Nivelul de coordonare integrează


568

funcţiile de acordare a algoritmilor de la nivelul executiv, de planificare şi de învăţare, de supervizare şi coordonare, respectiv de identificare a defectelor şi de reproiectare on-line a strategiei de conducere ori de reconfigurare dinamică. Ultimul nivel, nivelul strategic, supervizează cele două niveluri prin luarea unor decizii simbolice şi monitorizează performanţele. La acest nivel se implementează funcţii specifice pentru planificare şi învăţare, funcţii pentru generarea obiectivelor şi a strategiilor de conducere optimală. Acest nivel strategic coordonează nivelul tactic şi executiv.

Nivelul Strategic (management)

s

-*-

c

Management Generare obiective Monitorizare performanţe j,.

Interfaţă

Planifidri Optimizare Învătare

Operator

Nivelul de Coordonare '?ţ..

Planificare

;(,

Jft Optimizare Proiectare -

Supervizare Algoritmi FDI Învăţare

Acordare

Nivelul de Executie -

Algoritmi PID Estimare parametri Distribuirea

Reglare adaptivă Algoritmi FDI ~ Învăţare

informaţiei

PROCES

Fig. 13.2

ffi~~"_


569

De remarcat faptul că pentru fiecare nivel sunt integrate funcţii ce conferă arhitecturii un anumit nivel de inteligenţă, distribuit ierarhic pe cele trei paliere: executiv, tactic şi strategic. Interacţiunea şi schimbul de date şi cunoştinţe între cele trei niveluri este totală, iar complexitatea funcţiilor implementate creşte odată cu depărtarea de proces. Astfel, se poate cu uşurinţă evidenţia că la nivelul executiv precizia este foarte ridicată, pe când gradul de inteligenţă este mai redus. În cadrul nivelului de coordonare sunt integrate funcţii de învăţare, de planificare, reconfigurare dinamică, acordare şi supervizare, ce presupun o creştere a gradului de inteligenţă şi o reducere a preciziei. În sfârşit, ultimul nivel, care integrează cele mai multe funcţii specifice unui sistem inteligent cu procesare de cunoştinţe şi reprezentări simbolice pentru luarea deciziilor, are gradul cel mai înalt de inteligenţă, realizând în acelaşi timp şi comunicarea cu operatorul uman. La acest nivel, procesarea simbolică (lingvistică) este predominantă, iar precizia este mult mai redusă decât la nivelul executiv, unde procesarea este numerică. Putem vorbi de o arhitectură funcţională în cadrul căreia gradul de inteligenţă creşte cu scăderea preciziei de-a lungul celor trei niveluri ierarhice. Se evidenţiază principiul: creşterea inteligenţei şi descreşterea preciziei şi invers (Jncreasing Precision and Decreasing Intelligence) în cadrul unei arhitecturi ierarhizate pe trei niveluri [2]. Diferitele funcţii specifice sistemelor inteligente de conducere sunt realizate apelând la metodologiile inteligente deja menţionate. Dacă la primul ni vei de execuţie pot fi incluse metodologiile fuzzy şi reţelele neurale pentru reglare, identificare şi conducere adaptivă, inclusiv reglare fuzzy adaptivă, la nivelul strategic includem toate cele patru metodologii fie individual, fie în formă hibridă (geno-fuzzy, neuro-fuzzy sau geno-neurofuzzy). De menţionat că, pentru conducerea proceselor complexe, se integrează atât metodologiile inteligente, în special în forma lor hibridă, cât şi tehnicile convenţionale de conducere de tip algoritmic. Aceasta şi datorită faptului că realizarea unui grad înalt de autonomie necesită un ridicat nivel de inteligenţă, care incorporează mai multe şi diverse proceduri pentru luarea deciziilor şi raţionament. Proiectarea unui sistem de conducere autonom reprezintă un obiectiv, iar inteligenţa reprezintă un mijloc prin care se realizează acest obiectiv. Pentru arhitectura multi ni vei de sistem inteligent autonom se poate remarca şi faptul că scala de timp este diferită pentru fiecare nivel, iar granularitatea modelelor folosite se modifică în cadrul ierarhiei conducând la o creştere a abstractizării pentru nivelul strategic.


570

Pornind de la cerinţa ca un sistem de conducere să fie autonom, se poate formula problema de sinteză într-o manieră sistemică: Dându-se un proces complex (P), neliniar cu multiple incertitudini, se cere a se găsi acea arhitectură de sistem de conducere ( C), astfel încât să se realizeze o comportare autonomă specificată prin (n (fig. 13.3).

T r

.

y

u

p

c

p

1-----· f

l -------·

1

Fig.13.3

Rezolvarea unei asemenea probleme presupune utilizarea, atât a metodelor formale de sinteză a legii de conducere pe baza modelelor matematice, cât şi a metodologiilor inteligente de conducere. Pentru a exemplifica modul de realizare a autonomiei unui sistem de conducere apelând, atât la modele matematice, cât şi la metodologii de conducere inteligente, se consideră arhitectura de sistem de conducere din figura 13.4 [2, 47]. În această configuraţie se evidenţiază utilizarea unor modele pentru caracterizarea procesului şi învăţarea şi memorarea acestora într-o bază de cunoştinţe ce defineşte comportamentul procesului şi în mod corespunzător utilizarea unor algoritmi de conducere selectaţi din baza de cunoştinţe în funcţie de comportamentul dorit al procesului, respectiv al întregului sistem de conducere. Obiectivele conducerii sunt selectate în strânsă corelaţie cu autonomia impusă întregului sistem, acestea fiind memorate în baza de cunoştinţe ce conţine cerinţele de comportament global ale întregului sistem. În această structură se evidenţiază funcţiile clasice cum sunt: identificare, generare de decizii, acordare, care sunt implementate apelând la tehnici de învăţare, de generare de comportamente, de planificare, de percepţie şi reconfigurare dinamică specifice sistemelor inteligente. Baza de cunoştinţe conţine modele ale procesului, modele ale strategiilor de


571

conducere şi obiectivele conducerii. Clasa modelelor poate fi extinsă cu modele pentru planificare, modele pentru diagnoză, modele operaţionale, modele de reparare. Toate aceste modele pot fi selectate în funcţie de cerinţele de funcţionare ale întregului sistem apelând la proceduri de reconfigurare dinamică.

~

l

.VJ +V2

1

4 r

y REGULATOARE

r------·· ----------.

'' ''' cerinţe

'

'' '' '

Selectare Obiective

' '' '

' ''

''' '' '' '' ''' '' '' '

'' '' '

Bază de cunoştinţe

Obiective

'' '' '

Învăţare

Obiective

'

''' ''' ' ' ''

PROCES

f------- -~r-

--------:

Selector Algoritmi

' ''' '' ' '' '' ''' ' ''' '' ''

Bază

de

cunoştinţe

Algoritmi

Învăţare

Legi de OJntrol

'' '

r------------------~

'' :Lft. ' ' '' '' ' '' ''' '' ' '' '' '' '' ' '' ''' '' ' '' '' ' ''' '' ' '' ''' '' ' ''' '' ' '' '' ' : '

'

Selectcr Modele

Bază de cunoştinţe

Modele

Învăţare

Modele

'' '

~ '' '' '' ' ''' ' '' ''' '' ' '''

'' ''

~ '

1 '' ' 'L-----------------J L-----------------1 '. . _____ --_"'_. . -------.J'

Fig.13.4

Astfel,

sistemele inteligente de conducere au abilitatea de de funcţionare cu toleranţă totală la defecte. In funcţie de complexitatea proceselor şi de obiectivele conducerii pot fi proiectate şi implementate sisteme de conducere cu diferite grade de autonomie. Nivelul de inteligenţă incorporată într-un sistem conferă acestuia un grad mai redus sau mai ridicat de autonomie. autoorg~nizare şi

572


Sistemele de conducere autonome incorporează tehnici convenţionale sau avansate de conducere în strânsă interacţiune cu metodologii inteligente, cum sunt: tehnicile fuzzy, tehnicile neurale, evoluţioniste şi, desigur, reprezentările simbolice specifice inteligenţei artificiale. În cadrul unui sistem autonom de conducere se pot evidenţia diferite niveluri de abstractizare, respectiv diferite niveluri de precizie în realizarea unor task:uri specifice inteligenţei umane cum ar fi: Generalizarea (G), Focalizarea Atenţiei (FA) şi Căutarea Combinatorială (CC) [2]. Orice activitate inteligentă poate fi conectată cu ansamblul de funcţii menţionate. Astfel, sistemele inteligente de conducere asigură procesarea informaţiilor şi cunoştinţelor în structuri heterorarhice şi ierarhice multirezoluţie, incluzând funcţii specifice de percepţie (P), reprezentare a cunoştinţelor (K) şi elaborare de decizii (ED). Cel mai redus nivel de abstractizare într-un sistem ierarhic, care este nivelul în cadrul căruia se asigură cel mai ridicat nivel al preciziei, trimite ieşirile sale la elementele de execuţie generând o acţiune A1 • O activitate la acest nivel poate fi reprezentată prin relaţia [2]: (P; K; ED)1 ~ A1 • (13.1) Pentru al doilea nivel de abstractizare, folosind acelaşi raţionament, se poate scrie relaţia: (P; K; ED)2 ~ A 2 ~ (P; K; ED)2 ~ ((P; K; ED)1 ~ AJ (13.2) În cazul general, se poate scrie relaţia: . (P; K; ED )n ~A" {:} (P; K; ED )n ~ [(P; K; ED )n-I ~An-I]. (13.3) care evidenţiază faptul că fiecare nivel de abstractizare presupune realizarea unor funcţii de percepţie, învăţare şi generare de acţiuni, apelând la mecanisme specifice generalizării, focalizării atenţiei şi căutării combinatoriale. Într-o asemenea ierarhizare a funcţiilor, regulatoarele fuzzy asigură generalizarea şi focalizarea atenţiei, reţelele neurale pot realiza toate cele trei funcţii (G, FA, CC), iar algoritmii genetici asigură căutarea combinatorială, optimizarea valorilor entropiei la diferite niveluri. Fiecare strat (P; K; ED) poate fi considerat metodologie ca un set de proceduri de generalizare, focalizare a atenţiei şi căutare combinatorială. Dacă se consideră un proces conectat prin senzori (S) şi elemente de execuţie (EE) la un sistem decizional, se obţine arhitectura simplă din figura 13.5. Funcţiile specifice percepţiei senzoriale (P), reprezentării · cunoştinţelor (K), învăţării şi elaborării deciziilor (ED) (planificării comenzii) sunt integrate într-un sistem multi-rezoluţie cu organizare heterorarhică. O asemenea reprezentare presupune o căutare centralizată sau descentralizată în cadrul spaţiului stărilor apelând la funcţiile G, FA şi CC.


573

ED

p

K

(PIC)

s

PROCES

EE

Fig.13.5

Pentru studiul sistemelor inteligente de conducere pot fi utilizate mai multe metode şi diverse categorii de modele ce includ modelele pentru studiul sistemelor dinamice cu evenimente discrete, studiul sistemelor hibride şi modele ce includ agenţi inteligenţi hibrizi [2, 61, 49]. În cele ce urmează, sunt prezentate elemente introductive privind cele patru metodologii inteligente, evidenţiindu-se particularităţile şi sinergismul natural al acestora.

13.3. Sisteme bazate pe cunoştinţe (Sisteme Expert) 13.3.1. Introducere Ca ramură a inteligenţei artificiale, sistemele bazate pe cunoştinţe au cunoscut o continuă evoluţie, iar domeniile de aplicabilitate s-au extins, de la domeniul medical, financiar, la domeniul fabricaţiei şi la conducerea în timp real a proceselor. Sistemul expert (SE) este un program care operează asupra cunoştinţelor şi generează rezultate similare cu rezultatele obţinute de experţii umani. Astfel, un sistem expert are în componenţă o bază de cunoştinţe şi un mecanism de căutare şi prelucrare a cunoştinţelor pentru a obţine o soluţie la o problemă rezolvabilă de unul sau mai mulţi experţi umani. Sistemele expert operează cu cunoştinţe despre un subiect sau dintrun domeniu, acumulate într-o bază de cunoştinţe şi astfel structurate, încât să poată fi procesate. Cunoştinţele în cadrul sistemelor expert pot fi fie expertize sau cunoştinţe disponibile din cărţi, reviste sau de la persoane care posedă aceste

INGINERIA REGlARI! AUTOMATE

574 cunoştinţe (experţi

umani). Termenele ,,Sisteme Expert", "Sisteme Bazate Pe Cunoştinţe" sau ,,Sisteme Expert Bazate Pe Cunoştinţe" sunt adesea folosite sinonim. Cea mai simplă schemă a unui SE este prezentată în figura 13.6.

r·----------------------1 '

! FAPTE

J '

' i

BAZADE

CUNOŞTINŢE

j

·-------------------------'

UTILIZATOR ' - - - - - - - - - - EXPERIENŢĂ

:------------------------i ''

! ! ''

MOTOR

INFERENŢĂ

''

1

! :

:'

·-- -----------------------

1 1

1

Fig.13.6

Sistemele bazate pe cunoştinţe au fost iniţial proiectate să acţioneze ca un asistent inteligent al expertului uman. Putem aprecia că evoluţia conceptuală şi aplicativă a inteligenţei artificiale, corelată cu progresele din domeniul ingineriei calculatoarelor, hardware şi software, a permis dezvoltarea unor sisteme expert performante cu aplicaţii practice în toate domeniile de activitate. Conducerea în timp real a proceselor tehnologice reprezintă un domeniu pentru care sistemele expert au evoluat semnificativ în ultimii 15 ani [18], acoperind, atât problematica supervizării conducerii proceselor complexe, cât şi problematica conducerii directe, apelând la reprezentări simbolice a comportării proceselor şi a regulatoarelor. Cunoştinţele pot fi clasificate în: cunoştinţe procedurale, cunoştinţe declarative şi cunoştinţe tacite. Cunoştinţele procedurale se referă la acele cunoştinţe care arată cum se pot rezolva probleme, iar cunoştinţele declarati ve se referă la acelea care arată că ceva este adevărat sau fals. Cunoştinţele tacite sunt acelea care nu pot fi exprimate prin limbaj (reţele neurale). Cunoaşterea poate fi definită ca o reflectare activă în conştiinţă a lumii reale, a esenţialu!ui şi a generalului din fenomene. Pot fi evidenţiate distinct cunoaşterea rejlexivă, bazată pe reflectarea exterioară a faptu!bi ştiinţific şi cunoaşterea generativă, bazată pe crearea de noi obiecte abstracte.


575

Cunoaşterea

este empirică dacă informaţiile despre obiecte, fapte, fenomene, procese este sesizată de subiect prin organele sale senzoriale sau prin intermediul unor aparate sau instrumente. Cunoaşterea este teoretică dacă se desfăşoară după raţionamente şi judecăţi care reflectă legăturile interne, cauzalitatea, legităţile după care se dezvoltă structurile şi se desfăşoară procesele. Ea se dezvoltă prin analiză, sinteză, deducţie, inducţie, generalizare, particularizare, luând în consideraţie şi' cunoaşterea empirică [ 18, 61]. Există o multitudine de tehnici de reprezentare a cunoştinţelor. Acestea includ: reguli, reţele semantice, cadre, limbaje de reprezentare a cunoştinţelor, grafuri conceptuale şi altele. Cea mai răspândită metodă de reprezentare a cunoştinţelor în cadrul sistemelor expert este metoda bazată pe reguli. Metoda bazată pe reguli de producţie asigură separarea componentelor obişnuite ale calculului, în scopul manipulării uşoare în procesele la care sunt utilizate. Sistemul construit în jurul regulilor de producţie se bazează pe separarea celor două părţi ale regulilor: premiză şi acţiune: (partea de premiză)-+ (partea de acţiune) (condiţie)-+ (acţiune)

Astfel, un sistem de producţie este compus dintr-o bază de date şi un set de reguli. Condiţiile unei reguli pot fi considerate ca o bază de date, iar concluzia unei reguli este o acţiune care manipulează date din baza de date şi, în plus, un control al sistemului determină secvenţa regulilor utilizate. Dacă notăm cu D baza de date şi cu R setul finit de reguli, atunci un sistem de producţie P !iate fi considerat un dublet P = (D, R). Baza de date este constituită dintr-un set de termeni, iar o regulă are forma generală: IF <;_THEN g,

în care condiţia c este constituită din termeni, paranteze, conective A , v , -,, iar acţiunea a este formată dintr-un singur termen şi reprezintă o concluzie. Structura generală a unei reguli de producţie este următoarea: (partea condiţie)-+ (partea acţiune)

sau IF (partea condiţie) este îndeplinită THEN se execută (partea acţiune).


516

Mecanismul regulilor de producţie este preluat din teoria limbajelor formale, este de natură procedurală şi este poate cel mai apropiat de modul de realizare a programelor clasice. Însăşi structura regulii de tipul: IF- THEN- ELSE

este una dintre structurile de control întâlnite în toate limbajele de nivel înalt. Mecanismul interpretativ al regulilor de producţie conţine următoarele etape: selectarea tuturor regulilor care conţin piesa de cunoaştere ce satisface partea de condiţie numită şi corespondenţă; rezolvarea conflictelor prin care se elimină regulile care conduc la acelaşi rezultat şi selectarea regulii care va fi efectiv aplicată; execuţia părţii acţiune a regulii cu cea mai mare prioritate, în situaţia în care sunt producţii aplicabile; pornind de la contextul modificat în urma aplicării regulilor anterioare se reia ciclul începând cu faza de corespondenţă, atâta timp cât ciclul produce acţiuni materializate prin modificarea contextului. Oprirea mecanismului interpretativ poate avea loc dacă acţiunea unei producţii specifică concret oprirea, sau se selectează o producţie vidă. Forma cea mai generală a unei reguli de producţie cu mai multe condiţii şi mai multe acţiuni este: r=(c 1 Ac 2 Ac 3 A···I\ck)---+(a 1,a 2 ,··,an),

în care c 1 , j

E

(1, k) sunt condiţiile şi

ak , k E

(l,n) sunt acţiunile.

13.3.2. Arhitecturi de sisteme expert

Pornind de la definiţia dată de Ed Feigenbaum sistemelor expert [18, 61]: -"Un sistem expert este un program de calculator, inteligent, care foloseşte cunoştinţe şi proceduri de inferenţă pentru a rezolva probleme care sunt suficient de dificile pentru a necesita expertiză umană semnificativă în soluţionarea lor" - se poate alcătui arhitectura unui SE ca în figura 13.5. Sistemul expert (SE) emulează abilitatea de a lua decizii ale unui expert sau a mai multor experţi umani. Sistemele expert pot fi caracterizate ca o nouă modalitate de programare declarativă; programele se scriu ca un ansamblu de specificaţii independente unele de altele, numite şi elemente de cunoaştere, ce sunt legate între ele dinamic, printr-o procedură de inferenţă. Principalele caracteristici ale sistemului expert sunt: • Disponibilitate crescută: Expertiza se poate găsi pe orice calculator cu performanţe corespunzătoare;


577

• Costuri reduse; • Operare cu pericol redus în medii ce pot fi dificile şi periculoase pentru expertul uman; • Permanenţă: cunoştinţele SE sunt perene după dispariţia experţilor;

• Expertiză multiplă: Cunoştinţele de Ia mai mulţi experţi pot fi preluate şi integrate pentru rezolvarea de probleme; • Siguranţă ridicată în funcţionare; • Capacitatea de a explica modul de obţinere a concluziei. Aceasta creşte încrederea că a fost dată decizia corectă; • Viteza de răspuns mai ridicată decât a unui expert uman; • Răspuns complet, neemoţional Ia toate momentele de timp. Procesul de dezvoltare a unui sistem expert are un beneficiu indirect deoarece cunoştinţele experţilor umani trebuie organizate într-o formă explicită pentru a fi introduse în calculator şi astfel pot fi examinate din punct de vedere al corectitudinii, consistenţei şi completitudinii. Structura generală a unui SE este prezentată în figura 13.7 şi are în componenţă: baza de cunoştinţe, baza de date, mecanismul de inferenţă, modulul explicativ, interfaţa cu utilizatorul şi interfaţa cu expertul (inginerul de cunoştinţe). Baza de cunoştinţe conţine ansamblul cunoştinţelor specializate introduse de expertul uman, utile pentru rezolvarea unei probleme. Într-un sistem bazat pe reguli, cunoştinţele sunt reprezentate sub forma unor reguli. Cunoştinţele stocate în baza de cunoştinţe sunt în principal descrieri de obiecte în conjuncţie cu relaţiile dintre acestea. Fiecare regulă specifică o relaţie, o recomandare, o directivă, o strategie cu o structură de tipul: IF THEN . Baza de date conţine fapte utilizate în cadrul regulilor. Mecanismul de inferenţă realizează inferenţe (raţionamente) prin decizii asupra regulilor care sunt satisfăcute prin fapte, ordonează regulile în funcţie de priorităţi şi execută regulile cu cele mai mari priorităţi. Mecanismul explicativ permite utilizatorului să ceară SE explicaţii asupra unor concluzii particulare şi asupra necesităţii unor fapte specifice cerute de o anumită concluzie. Un SE trebuie să dispună de capacitatea de a explica modul de raţionament şi să justifice avizul pentru condiţie şi concluzie. Interfaţa cu utilizatorul asigură comunicarea utilizatorului care caută soluţii la probleme şi SE capabil să dea un răspuns. Interfaţa cu expertul (inginerul de cunoştinţe) facilitează achiziţia de cunoştinţe, organizarea şi depanarea bazei de cunoştinţe.


578

Programe

••~-----------------------~-----•• ••• • Baza de • • •

•• •' ''

Mecanism de

Baza de Date

Inferenţă

Cunoştinţe

'' ' ''

Modul Explicativ

••' • ' •' ' •' ' •' ''

Interfaţă

Interfaţă

cu Expertul

Utilizator

•' •' '' ' '•'' ''

------------------------''

~------------------------

Utilizator

Expert

Fig.13.7 Inteifaţa externă permite SE să lucreze cu fişiere de date externe şi programe scrise în limbaje de programare convenţionale. O asemenea interfaţă asigură funcţionarea inclusiv în timp real dacă sunt achiziţionate date din proces şi sunt transmise comenzi la elementele de execuţie. Sistemele expert folosesc raţionamentul simbolic când rezolvă probleme, întrucât foloseşte simboluri pentru reprezentarea diferitelor tipuri de cunoştinţe (fapte, concepte, reguli). Spre deosebire de programele convenţionale, care procesează date nu..'llerice, SE sunt construite pentru procesarea cunoştinţelor şi pot astfel opera cu date calitative. Programele


579

convenţionale prelucrează

date pe baza unor algoritmi ŞI cu paşi bine exacte la probleme. Sistemele expert nu urmăresc o secvenţă prescrisă de paşi şi permit raţionamente inexacte putând opera cu date incomplete, incerte şi fuzzy. Separarea cunoştinţelor de mecanismul de procesare într-un SE asigură acestuia flexibilitate şi uşurinţă în dezvoltare. Adăugarea sau extragerea unor cunoştinţe într-un SE asigură acestuia capacitatea de adaptare la cerinţele de rezolvare a problemelor dintr-un domeniu specificat. Baza de cunoştinţe a unui SE bazat pe reguli constă din două părţi: • fapte sau predicate care reprezintă cunoştinţe declarative despre problemele care trebuie rezolvate; • reguli care specifică acţiuni ce trebuie întreprinse în cazul unor situaţii date. Asupra acestor reguli operează mecanismul de inferenţă. Starea unei baze de cunoştinţe la un moment de timp dat reprezintă valoarea tuturor predicatelor. Dacă notăm prin P;, cu i = l,n, predicatele care pot fi adevărate, false sau necunoscute, vectorul de stare x ce caracterizează baza de cunoştinţe este definit ca: x := (p 1, p2 ,· ··,p.]. Astfel, spaţiul stărilor bazei de cunoştinţe conţine toate stările ce pot fi atinse dintr-o stare iniţială prin orice secvenţă de acţiuni ce includ stările iniţială şi finală. Regulile constau dintr-o condiţie sau premiză, care testează valoarea logică a unei mulţimi de fapte la fiecare etapă în procesul de raţionament, urmată de o acţiune sau consecinţă, care evidenţiază un rezultat când regulile sunt activate. Atăt condiţia, cât şi consecinţa pot fi reprezentate sub forma unor conjuncţii sau disjuncţii de fapte. Dacă o regulă se defineşte în funcţie de n predicate (condiţii) şi are o singură consecinţă (acţiune): (r; ): (p;1 11 P;2 11···11 P;.)-t a;, definiţi şi generează soluţii

atunci baza de reguli poate fi definită în funcţie de cele n predicate şi m reguli. Regulile sunt folosite de mecanismul de inferenţă pentru a deduce noi cunoştinţe. Astfel, o fază elementară de raţionament asupra unei singure reguli presupune parcurgerea următoarelor etape: selectează o regulă aplicabilă (predicatele sunt adevărate); motorul de inferenţă compară faptele cu condiţia regulilor şi selectează regula cea mai apropiată; modifică faptele în regula selectată (valoarea logică a predicatelor în "consecinţă" (acţiune) este pusă ca "adevărat").

INGINERIA REGL.fRJI AUTOMATE

580

Regula selectată este activată de motorul de inferenţă şi acţiunea cu aceasta este executată. Asemenea operaţii elementare sunt repetate în buclă prin toate regulile şi faptele, până când toate condiţiile sunt satisfăcute (nu se obţin noi concluzii). Inferenţa indică modul cum un SE aplică reguli pentru a obţine o concluzie. Există două metode generale de inferenţă, utilizate în cadrul sistemelor expert: inferenţa înainte şi inferenţa înapoi. Pentru a ilustra modul de inferenţă considerăm o bază de date, care include faptele A, B, C, D şi o bază de cunoştinţe, care conţine trei reguli [69]: Regula 1: Dacă Y este adevărat şi D este adevărat Atunci Z este adevărat; Regula 2: Dacă X este adevărat şi B este adevărat Atunci Y este adevărat; Regula 3: Dacă A este adevărat Atunci X este adevărat. Lanţul de inferenţă prezentat în figura 13.8 arată cum SE aplică reguli pentru a infera faptul Z . asociată

A

X

..__.

y

z

B

D Fig.l3.8

Astfel, din regula 3 se deduce din A un nou fapt X , iar regula 2 este executată pentru a infera faptul Y din faptul iniţial B şi noul fapt X . În final, regula 1 aplică faptul iniţial D cunoscut şi cel obţinut anterior Y , pentru a realiza acţiunea (concluzia) Z. Mecanismul de inferenţă decide când sunt activate regulile. Inferenţa înainte sau înlănţuirea înainte (forward chaining) presupune raţionare pornind de la fapte şi obţinând concluzii din aceste fapte. Această metodă de inferenţă începe cu un set de fapte cunoscute,


581

deduce noi fapte folosind reguli ale căror condiţii sau premise potrivesc (match) fapte cunoscute şi continuă acest proces până se atinge o stare obiectiv sau până când nu mai există reguli ale căror condiţii să adapteze faptele cunoscute sau deduse. În cazul înlănţuirii înainte pot fi incluse multe reguli suplimentare care nu au conexiune directă cu scopul propus. Multe reguli pot fi activate pentru a deduce noi fapte care însă nu au legătură cu obiectivul dorit. Inferenţa înapoi sau înlănţuirea inapoi (backward chaining) implică raţionarea inversă de la o ipoteză, o concluzie potenţială ce trebuie demonstrată, la fapte care suportă ipoteza. Un asemenea mod de raţionare este cunoscut şi sub denumirea de raţionament cu scop determinat (goal dri ven reasoning). Într-o asemenea strategie de raţionament, regulile sunt folosite în direcţie inversă, de la acţiune la condiţie. Astfel, mai întâi se caută în baza de cunoştinţe reguli ce pot avea soluţia dotită. Aceste reguli trebuie să conţină scopul în părţile lor "acţiune". Dacă asemenea reguli sunt găsite şi partea "condiţie" adaptează datele din baza de date, atunci regulile se activează şi scopul este demonstrat. Dacă xs este starea scop ce trebuie găsită, atunci în cadrul inferenţei înapoi începem cu xs din baza de fapte şi găsim o regulă care conţine unele predicate din x, în partea "consecinţă" a sa. Asemenea metodă de inferenţă se recomandă pentru: • demonstrarea unor teoreme în matematică; • diagnoză în sistemele de diagnostic medical; • diagnostic şi identificare în sistemele expert în timp real pentru conducerea proceselor. Particularităţile problemelor supuse rezolvării determină tipul de raţionament care trebuie aplicat. În anumite cazuri, pot fi identificate probleme pentru care nici unul dintre mecanismele de inferenţă enunţate nu sunt eficiente. În aceste situaţii, se poate utiliza inferenţa bidirecţională - o combinaţie de raţionament înainte şi înapoi. În acest caz, căutarea se porneşte în acelaşi timp de la fapte şi de la scopuri. Procedura bidirecţională de raţionare se termină când se atinge puntea de raţionare (fig. 13.9) [61]. Problemele de raţionament sunt rezolvate prin căutare pe grafuri de raţionare în spaţiul stărilor. Soluţia este descrisă printr-o cale care constă din reguli sau tranziţii executate secvenţial începând cu starea iniţială şi terminând în starea fmală, care este starea scop. În [ 18, 61] sunt prezentate mai multe metode de căutare.

582


F

s c o

A p

u

T E

R I

p

Înapoi

Înainte

Fig.13.9

13.3.3. Sisteme expert în timp real Particularităţile şi restricţiile introduse de aplicaţiile de conducere în timp real impun precauţii în dezvoltarea sistemelor expert în timp real. Principalele probleme ce trebuie urmările în proiectarea unui sistem expert în timp real (SETR) sunt: • alegerea arhitecturii SETR; • sincronizarea şi comunicaţia între subsistemele cu operare în timp real şi subsistemul inteligent; • schimbul de date între cele două subsisteme; • dezvoltarea programelor pentru SETR. Componentele software ale unui SETR sunt alcătuite din cele specifice unui SE şi cele adăugate pentru funcţionarea în timp real [61]. Cele două categorii de componente sunt separate printr-o interfaţă care facilitează schimbul de date şi sincronizarea subsistemelor (fig. 13.10). În această structură sunt evidenţiate, atât elemente active, cât şi elemente pasive. Subsistemul de timp real conţine taskuri specifice privind achiziţia, procesarea şi transmiterea datelor, precum ·şi gestionarea evenimentelor. Rezultatele prelucrării datelor sunt transmise de regulator


583

prin intermediul elementelor de execuţie spre proces. Astfel, taskurile principale ale unui sistem de conducere în timp real sunt: gestiunea dispozitivelor de măsurare, procesare primară şi secundară a datelor, gestiunea evenimentelor şi gestiunea regulatoarelor şi a elementelor de execuţie (v. § 15. 7).

r-------------------------------------------------------------------,

: '' ' ''' ' '' ' ' '' '' ' '' '''

' ''' ' ''' '

1_____

Subsistem în timp real

Date Măsurate

Brute

Procesarea Datelor Primare

Date Măsurdte

Date Elemente

: '' '' '' ''' ''' ' '' '' '

Evenimente

Execuţie

//>
Procesare

Manipulare Evenimente

Primară

'

Regulatoare

'' '

~

-------- -------------------- --------------------- --------- ' __1

,.. INTERFAŢĂ ~

r-------- - ------------------------------------------'' ' '' '' '' '' '' Mecanismul Baza de '' '' de Inferenţă Cunoştinţe ''' ''' ' '' ' ' Subsistem inteligent :

:

-------------------------------------------------------J Fig.13.10

Subsistemul inteligent

conţine

inferenţă şi "managerul" bazei fişierele din baza de date a raţionamentului este comunicat

comunicare între taskuri.

baza de cunoştinţe, mecanismul de de cunoştinţe. Acest subsistem citeşte subsistemului în timp real. Rezultatul proceselor de timp real prin mesaje de

INGINERIA REGLA'Rll AUTOMATE

584

Sincronizarea şi comunicarea între procese se realizează apelând la mecanisme specifice sistemelor de operare în timp real, semafoare şi cutii poştale. Pentru asigurarea acestor operaţii se folosesc primitive de tipul: "trimite semnal" şi "trimite mesaj", cu sau fără aşteptarea răspunsului. Pentru comunicarea între procesele ce au loc în timp real şi mecanismul de inferenţă, cel mai adesea se foloseşte primitiva "trimite mesaj". Mesajele sunt colectate într-un buffer de mesaje pentru fiecare pereche care comunică şi direcţie de comunicare. În acest mod, se organizează un şir de mesaje, cereri de raţionament de la procesare primară la motorul de inferenţă, altele pentru transmiterea mesajelor care rezultă în urma raţionamentului către un regulator şi altele. Procesele de timp real sunt astfel implementate, încât să poată aştepta pentru obţinerea unui mesaj, pe când mecanismele de inferenţă nu au această abilitate. Astfel, mecanismele de inferenţă în cadrul SETR trebuie implementate astfel încât să gestioneze mesaje care aşteaptă pentru procesare în mod corespunzător. Gestiunea timpului şi a priorităţilor într-un SETR presupune existenţa unor mecanisme suplimentare care să rezolve eficient ordonarea cu prioritate a mesajelor care cer raţionamente şi care reprezintă un rezultat al raţionamentului. Restricţiile de timp şi gestiunea timpului într-un SETR are particularităţi legate de organizarea bazei de cunoştinţe şi de mecanismele de raţionament. Întreruperea unui proces de raţionare necesită un mecanism special de resetare, întrucât resetarea bazei de cunoştinţe se realizează prin refacerea valorii originale a predicatelor în cazul înlănţuirii înainte şi prin ştergerea mărcilor în cazul înlănţuirii înapoi. Etapele dezvoltării unui SETR:

1. Identificarea şi formularea problemei În această etapă se selectează problema şi se identifică caracteristicile acesteia. Se constată că rezolvarea problemei este dificilă pe cale analitică şi se încadrează problema într-un domeniu de cunoaştere în scopul achiziţiei de cunoştinţe şi dezvoltării unei baze de cunoştinţe.

2.

Conceptualizarea şi extragerea cunoştinţelor Această etapă

presupune extragerea cunoştinţelor dintr-un model al lumii reale şi a le aduce într-o formă utilizabilă. Pentru conceptualizarea cunoştinţelor sunt necesare definiţii clare asupra datelor, faptelor, ipotezelor, a relaţiilor între obiecte din domenii, asupra ierarhiilor, restricţiilor etc, care se asociază problemei de rezolvat.


3.

585

Formalizarea şi organizarea cunoştinţelor În această etapă, inginerii de cunoştinţe trebuie să aleagă cel mai

eficient mod de reprezentare şi organizare a cunoştinţelor. Rezultatul acestei etape este o bază de cunoştinţe care explicitează concepte şi relaţii cerute pentru rezolvarea problemei selectate.

4.

Implementarea pe un sistem de calcul Această etapă transformă cunoştinţele

fonnalizate într-un cadm de reprezentare, apelând la metode şi instrumente specifice procesării cunoştinţelor. Astfel, cunoştinţele devin un program executabil şi inginerul de cunoştinţe construieşte prototipul SE.

5.

Testarea SETR În general, testarea sistemelor expert apelează la scule avansate de

testare, existente în toate sistemele de dezvoltare a SE. Se testează funcţionarea în timp real pentru diferite condiţii de funcţionare. Prezenţa unor mijloace speciale de testare este impusă de particularităţile SETR. Printre mijloacele speciale de testare se includ: generatoare programabile ce imită comportarea proceselor reale, monitoare ale interfeţei pentru monitorizarea stării mesajelor în aşteptare şi altele. În [18, 61, 69] sunt prezentate în detaliu problemele dezvoltării subsistemelor expert, cu aplicaţii în conducerea în timp real a proceselor.

13.4. Tehnici fuzzy în conducerea proceselor 13.4.1. Elemente introductive Pentru elaborarea comenzii într-un sistem dereglare (conducere), se pot utiliza informaţii numerice (furnizate prin intermediul traductoarelor) sau/şi informaţii lingvistice (furnizate de experţi umani). Informaţia lingvistică este reprezentată prin cuvinte cu o anumită semnificaţie, cum ar fi: mic, mare, înalt, scund etc. Cele mai multe cunoştinţe umane sunt reprezentate într-o formă lingvistică. Integrarea acestor informaţii lingvistice în sisteme inginereşti reprezintă o preocupare importantă a specialiştilor în conducerea proceselor complexe, în condiţiile în care informaţiile numerice sunt incomplete. Cea mai eficientă modalitate de reprezentare a informaţiilor lingvistice are la bază teoria mulţimilor fuzzy, având în vedere că cel mai adesea cunoştinţele umane despre anumite probleme sunt esenţialmente "fuzzy".


586

Pentru a exemplifica, să considerăm o incintă în care temperatura poate lua valori între 16 şi 30°C. Un observator uman, rară a avea la dispoziţie un termometru pentru a măsura exact temperatura, apreciază că în incintă este rece, cald sau foarte cald. Această reprezentare lingvistică a temperaturii poate fi descrisă formal prin intermediul teoriei mulţimilor fuzzy. Astfel, dacă notăm prin U domeniul de variaţie a temperaturii şi admitem că cele trei cuvinte ce caracterizează temperatura în incintă acoperă domeniile (l6-20°C), (20-25°C) şi (25-30°C) din întreg domeniul de variaţie a temperaturii, atunci definim o mulţime juzzy şi o foncţie de apartenenţă flF care poate lua valori în intervalul [0.1]: flF(u):U ->[0,1). (13.4) Mulţimea F este complet determinată prin u EU şi flF: F

= {(u,JlF{u ))Ju EU}.

(13.5)

Funcţia

de apartenenţă în cazul temperaturii în incintă poate lua valori în domeniul [0,1] pentru fiecare variabilă lingvistică. Pentru noţiunea fuzzy "rece", funcţia de apartenenţă are valoarea egală cu "1 ", pentru temperaturi foarte joase şi scade către zero, pentru temperaturi care depăşesc 20°C. În figura 13. Il se prezintă variaţia funcţiei de apartenenţă pentru diferitele domenii de variaţie a temperaturii. 1

rece

cald

foarte cald

1 Jl.F 0.5

temperatura [°C ] Fig.13.11

Pentru noţiunea fuzzy "cald", funcţia de apartenenţă are valoarea pentru o valoare a temperaturii aproape de 23°C. În această reprezentare noţiunile lingvistice sunt dependente de domeniile de variaţie a temperaturii. maximă


587

Pentru a creşte gradul de generalizare, ţinând seama de diversitatea mărimilor fizice ce trebuie controlate pe baza reprezentării şi procesării fuzzy, se utilizează noţiuni lingvistice independente de domeniul de variaţie a variabilelor fizice. Cel mai frecvent sunt utilizate noţiuni lingvistice cum ar fi: pozitiv mare (PM), pozitiv mic (Pm), zero (Z), negativ mic (Nm) şi negativ mare (NM), definite pe domeniul normalizat de variaţie a variabilelor fizice [-1,1] sau pe un domeniu standard al numerelor reale între -6 şi 6 [23]. Mulţimile fuzzy folosesc variabile lingvistice sau noţiuni fuzzy pentru a descrie gradul de apartenenţă. în funcţie de natura universului, funcţia de apartenenţă poate fi reprezentată, fie într-o formă continuă, fie într-o formă discretă. Pentru reprezentarea în formă continuă, se pot utiliza mai multe tipuri de funcţii de apartenenţă [23, 61]: • curbe sub formă de clopot, care sunt bazate pe funcţii exponenţiale ca şi funcţii standard de distribuţie Gaussiană: (u-u0 ) 2

J.t(u)=e-2T

(13.6)

unde u este variabila independentă din universul de discurs (domeniul de variaţie al lui u), u0 este valoarea de vârf relativ la univers şi cr este deviaţia standard; • curbe- S care sunt bazate pe funcţia cosinus:

ro u
S(u0 ,b,u)=l0.5+0.5cos("~"0 rr) 1

unde b este

•

u

-b,u0 ]

(13.7)

>u0

lăţimea secţiunii crescătoare şi

curbe - Z, care sunt reflecţii

ro

U

< Uo

u0 este coordonata vârfului; ale curbe lor S: '

Z(u0 ,b,u)=J0.5+0.5cos(u~u0 rr) 1

•

uE[u0

uE[u0 ,u0 +b]

(13.8)

u>u0 +b

curbe- fl, care reprezintă combinaţia curbelor S şi Z:

TI(u!,uz,b,u) = min( S(u!,b,u ),Z(uzb,u )) .

(13.9)

În acest caz, curba evidenţiază un palier în vecinătatea valorii maxime a funcţiei de apartenenţă;


588

• reprezentări linia re trapezoidale): O;

U

u- U 5

l (Us,Ud ,U ) =

ud -us

;

r,

(funcţii

funcţii

L, triunghiulare,

< Us U

r

E [US'Ud

]

(13.10)

u >ud

O;

(13.11) u -uc 1 ud -uc

r ] ;uELUc,Ud

O;

u >ud

Funcţiile r şi L sunt funcţii liniar crescătoare sau descrescătoare şi depind de doi parametri, us şi ud, care reprezintă valorile variabilei u la stânga ( us) şi la dreapta (ud ). Funcţia triunghiulară depinde de trei variabile, uso ud şi uc, care reprezintă valoarea variabilei pentru care funcţia de apartenenţă este maximă (egală cu 1). Funcţia trapezoidală depinde de patru parametri şi prezintă un palier pentru un domeniu de variaţie a variabilei u pentru care funcţia de apartenenţă este maximă. În figura 13.12 sunt prezentate formele funcţiilor de apartenenţă în cazul utilizării unor reprezentări exponenţiale, iar în figura 13.13 sunt prezentate formele funcţiilor de apartenenţă în cazul unor reprezentări liniare.

0.8

curbă

urbăZ

0.6r 0.4r

A

o

0~~~~----~~------~~--~--~==~

o

2

6

4

u

Fig.13.12

8

10


Il

1i

r

0.8

''[

589

-~--Tl

:\

"'""'!\"'"'

0.4

0.2

~

1

_j

\

o

o

2

4

6

j

r

10

8

u

Fig.l3.13

Pentru reprezentarea în formă discretă, se asociază fiecărei valori a variabilei din universul de discurs (domeniul de variaţie) o valoare a funcţiei de apartenenţă. Astfel, funcţia de apartenenţă în acest caz este reprezentată ca un vector al valorilor discrete. Cu aceste elemente introductive, putem spune că o mulţime fuzzy F reprezintă o mulţime de perechi ordonate pe universul U:

F={(u,llF(u))}, (13.12) unde uE U şi llF(u) este funcţia (gradul) de apartenenţă în F. Perechea (u,llF (u )) este o mulţime cu un singur element (singleton fuzzy). O mulţime fuzzy poate fi considerată ca o reuniune de singletoane fuzzy, în special în cazul reprezentării discrete. Pentru o mulţime fuzzy cu n elemente, ţinând seama de definiţia sa, putem scrie: F

= {(u,~)),(u.l:(~),.··,(u,!l.(~)}.

(13.13)

Funcţia de apartenenţă joacă un rol esenţial în teoria mulţimilor fuzzy, deoarece aceasta defineşte gradul de apartenenţă la o mulţime. Teoria mulţimilor fuzzy introdusă de Zadeh [49, 61, 93] are la bază operaţii şi relaţii între funcţii de apartenenţă.

Dacă definim două mulţimi fuzzy A şi

B, A={u.llA(u)} şi B={u.!l8 (u)},

putem in.troduce următoarele operaţii primitive cu mulţimi fuzzy:

•

Reuniunea a

două mulţimi

fuzzy:

AUB= A sau

B:=AmaxB. unde max reprezintă o operaţie de selecţie a maximului dintre apartenenţă corespunzătoare celor două mulţimi fuzzy:

llAun(u)=max(p.A(u),~J. 8 (u)), pentru

uE U,

funcţiile

de

(13.14)


590

•

Intersecţia

AnB=A

şi

a două

mulţimi

fuzzy:

B:=AminB,

de selecţie a minimului dintre apartenenţă corespunzătoare celor două mulţimi fuzzy: unde min este o

operaţie

funcţiile

(13.15)

JlAn 8 (u)=min(JlA(u),Jl 8 (u)),pentru ueU.

•

de

Complementul mulţimii A este:

...,A = notA := 1 - A ,

unde fiecare valoare a funcţiei de apartenenţă se scade din 1: (13.16) Jl~A (u) = 1- JlA (u), pentru uE U. Pentru a ilustra cele trei operaţii, să considerăm două mulţimi fuzzy definite pentru consumul de energie şi temperatura aerului într-o incintă, în cazul în care se folosesc mai multe tipuri de aparate de aer condiţionat în funcţie de puterea instalată [61]. Astfel, considerăm că aparatele au o putere instalată în domeniul 0.5kW şi 4kW. În acest caz, U = {0.5, 1, 1.5, 2, 3, 4}, iar temperatura şi consumul de energie depind de tipul aparatului astfel:

u 1~

\0

Jlr

'

1

0.5 0.0

u 1 0.5 Jlc

1.0

1

0.1 1

0.7

1.5 0.4

2 0.5

0.8

4 1.0

1.5 0.6

2 0.4

3 0.2

4 0.0

3

,rrrc

.";

Pentru o putere instalată mare, temperatura poate atinge valori mari, iar consumul este cu atât mai mic, cu cât puterea instalată este mai mică. Dacă dorim să instalăm un aparat de aer condiţionat cu consum minim şi temperatură ridicată, atunci realizăm intersecţia celor două mulţimi fuzzy, Jlrnc = min(Jlr,Jlc).

u Jlr

!le

min (Jlr, Jlc)

0.5 0.0 1.0 0.0

1

0.1 0.7 0.1

1.5 0.4 0.6 0.4

2 0.5 0.4 0.4

3

0.8 0.2 0.2

4 1.0 0.0 0.0

Dacă dorim un aparat care să asigure temperatură maximă sau consum minim, atunci realizăm reuniunea celor două mulţimi fuzzy, Jlruc = max(Jlr,Jlc) ·

'/('l/


V ~T

0.5 0.0

~c

1.0

1 0.1 0.7

rnax (Jlr' Jlc)

1.0

0.7

591

1.5 0.4 0.6 0.6

2 0.5 0.4

0.2

4 1.0 0.0

0.5

0.8

1.0

3 0.8

Reprezentarea grafică a celor două operaţii, în cazul utilizării unor curbe de tip S şi Z pentru funcţiile de apartenenţă, este dată în figurile 13.14a pentru operatorul ŞI, respectiv 13.14b pentru operatorul SAU.

0.9

o' os 0.5 0.4

03

o' o1 2 Operator fuzzy SI

Opualor fuuy SAU

Fig.l3.14 Operaţiile

comutativitate, asociativitate, distributivitate, regulile DeMorgan, absorbţia sunt valabile şi în cazul operaţiilor fuzzy "ŞI" şi "SAU".

între mulţimile fuzzy pot fi definite mai multe tipuri de relaţii fuzzy. O relaţie fuzzy este o mulţime fuzzy de perechi ordonate cu funcţia de apartenenţă cuprinsă între O şi 1. O relaţie fuzzy R definită pentru două universuri de discurs U şi V este o mulţime fuzzy definită în spaţiul produs U x V şi are funcţia de apartenenţă JlR (u, v), unde u E U şi vE V : R=

J JlR(u,v)!(u,v),

(13.17)

UxV

în cazul în care cele două universuri R= I;J.LR(u,v)!(u,v),

Uşi

V sunt continue şi: (13.18)

UxV

dacă

V sunt definite în formă discretă. Pentru a exemplifica, să considerăm două mulţimi fuzzy [23] definite pe un uni vers reprezentat prin valori discrete: U = {1, 2, 3} ŞI V = {1, 2, 3}, iar relaţia fuzzy liniară "aproximativ egal" este definită ca: U

şi


592 l, dacă u = v

I

dacă

llR(u,v)= 0.8,

0.3, dacă

sau în reprezentare

lu-vi=I lu -vi= 2

matriceală:

~

l

2

3

1

1

2 3

0.8 0.3

0.8 1 0.8

0.3 0.8 1

.

O as~menea relaţie fuzzyeste:-, ., R ;;;'1f(I, 1) 4;' v(î, "'2) + 1/(j:Jl +0.8/ (I, 2) +0.81(2,2Jt,;c"" : ·'-'",-:':':<:' ' '' ' •·•·<·' '' ' ' ' w( +0.8/(3, 2)+0.8/(2, 1)+0.3/(1, 3)+0.3/(3, 1). ",, • ) ~

Relaţiile

fuzzy joacă un rol esenţial în conducerea fuzzy a proceselor, întrucât acestea pot descrie interacţiunile între variabile. Să considerăm două relaţii fuzzy R şi S definite pe U xv. Intersecţia celor două relaţii este definită prin: llRnS (u, v) = min(J1R (u, v),Jls (u, v)), \i(u, v)EU xV. (13.19) În mod similar se defineşte şi reuniunea celor două relaţii fuzzy: llRus(u,v)=max(JlR(u,v),Jls(u,v)), \i(u,v)E UxV. (13.20)

Pentru a exemplifica cele două operaţii asupra considerăm [23): R = "u considerabil mai mare decât v"

~ Uj

Uz U3

şi

Vj

vz

VJ

V4

0.8 0.0 0.9

1 0.8 1

0.1 0.0 0.7

0.7 0.0 0.8

Vj

Vz

V3

V4

0.4 0.9 0.3

0.0 0.4 0.0

0.9 0.5 0.8

0.6 0.7 0.5

S ="v foarte aproape de u"

~ UI Uz U3

relaţiilor

fuzzy R

şi

S,

Sisteme inteligente de conducere Intersecţia relaţiilor

593

R şi S denotă "u considerabil mai mare decât v şi

v foarte aproape de u":

A Ut

uz U3

VJ

vz

V3

v4

0.4 0.0 0.3

0.0 0.4 0.0

0.9 0.0 0.7

0.6 0.0 0.5

Reuniunea relaţiilor R sau v foarte aproape de u":

!'dZ RuS=

Ut

Uz U3

şi

denotă

"u considerabil mai mare decât v

VJ

Vz

V3

v4

0.8 0.9 0.9

1.0 0.8 1.0

1.0 0.5 0.8

0.7 0.7 0.8

S

Un tip special de relaţie fuzzy este "compoziţia". Pentru două mulţimi fuzzy A şi B, ambele în formă matriceală, compoziţia lor este dată prin: R=AoB, (13.21) unde o este produsul interior "sau - şi" sau "compoziţia max - min", definită ca o relaţie binară între două mulţimi fuzzy. Operaţia definită este foarte similară cu produsul ordinar de matrici, cu observaţia că aplicăm operatorul "ŞI" în schimbul multiplicării şi operatorul "SAU" în schimbul însumării. Dacă folosim operatorii n şi U în locul operatorilor "ŞI" şi "SAU", rezultatul compoziţiei se obţine sub forma: · n

r;1 = (a; 1 ub11

)n(a; 2 ub21 )n···n(a;n ubn1 )= Uaik nbkJ.

(13.22)

k=l

O altă operaţie asupra mulţimilor fuzzy o reprezintă "implicaţia". O asemenea operaţie joacă un rol important în sinteza legii de reglare bazată pe mulţimi fuzzy. Implicaţia între două mulţimi fuzzy A şi B este definită prin: A-+B:=AxB, (13.23) unde x este un produs extern al matrici lor folosind operatorul logic "ŞI''. Pentru a exemplifica, considerăm mulţimea fuzzy A reprezentată printr-un vector coloană, unde fiecare element este egal cu valoarea definită a funcţiei de apartenenţă, iar mulţimea B reprezentată într-o manieră similară, ca un vector linie.

lNG!NERlA REGLĂRI! AUTOMATE

594

Produsul lor este definit prin: al az

a 1 nb1 x[b1 bz

an

O

implicaţie

...

bm]=

a 1 nb2

a 2 nb1 a 2 nb2

al nbm a 2 nbm

an nb2

an nbm

an nbl

fuzzy A ~ B poate fi

înţeleasă

ca o

(13.24)

regulă

fuzzy

IF-THEN: DACĂ u este A ATUNCI v este B, unde u EU şi vE V sunt variabile lingvistice [61].

13.4.2. Reglarea fuzzy a proceselor Un proces poate fi descris printr-un model matematic (liniar sau neliniar) sau printr-un model lingvistic. în acest paragraf se prezintă structura unui sistem de reglare apelând la mulţimi fuzzy. O reprezentare fuzzy a unui obiect condus presupune definirea unui set de reguli IF - THEN între variabilele de intrare şi ieşire. Desigur, o reprezentare lingvistică a comportării unui proces se bazează pe observaţii, pe experienţa operatorului în exploatarea procesului. Asemenea modele pot fi utilizate pentru sinteza legii de conducere, care în acest caz se prezintă tot într-o formă lingvistică.

Cel mai adesea, procesele nu pot fi descrise de modele matematice care să permită sinteza legii de conducere, caracterul profund neliniar al acestora le face neoperaţionale. în aceste situaţii, se poate adopta o strategie de conducere bazată pe informaţia fuzzy despre proces. Astfel, ştiind că între variabilele de interes din cadrul procesului există relaţii de tipul "Dacă U creşte, Atunci Y creşte" şi dacă se pot defini mulţimi fuzzy pentru încadrarea acestor variabile, se poate genera setul de reguli ce caracterizează comportamentul procesului. Experienţa operatorului uman în conducerea procesului se poate materializa într-o bază de reguli ataşată regulatorului fuzzy. Regulatorul fuzzy procesează variabile fuzzy şi generează comenzi compatibile cu procesul condus, cel mai adesea, sub forma unor funcţii neliniare. Structura standard a unui regulator fuzzy este prezentată în figura 13.15.


595

Meamismde Intrări

=: :::::=;

nurrerice

inferenţe

Fuzzificare

CotrenZi

Defuzzificare l3a2JI de reguli

j l3a2JI de date

Fig. 13.15 Dacă

se consideră mecanismul de inferenţă şi baza de reguli ca modulul ce generează comenzi fuzzy pe baza prelucrării informaţiilor fuzzy, atunci un asemenea regulator conectat la proces presupune utilizarea unor interfeţe care să convertească informaţia numerică în informaţie lingvistică (fuzzy) şi, respectiv, informaţia f..rzzy în comenzi numerice. În figura 13.16 se prezintă structura generală a unui sistem de reglare cu regulator lingvistic. (cunoştinţe)

ji

w

PROCES

u

~

IZ

IZ c

c

comenzi

V

Regulator Lingvistic (RF) program

fuzzy

Fig. 13.16


596 Interfaţa

de intrare a regulatorului realizează o scalare a variabilelor din proces şi le converteşte în variabile lingvistice prin fuzzificare. În această interfaţă se ataşează variabilelor ce urmează a fi procesate, etichete ale mulţimilor fuzzy prin utilizarea diferitelor modele de reprezentare fuzzy (curbe clopot, S, triunghiulare, trapezoidale). Interfaţa de ieşire sau modulul de defuzzificare asigură conversia informaţiilor fuzzy în informaţii ferme (crisp) prin mecanisme de defuzzificare şi realizează scalarea variabilelor de comandă în forma de valori compatibile cu intrarea elementului de execuţie. Modulul de decizie logică şi elaborare a comenzii presupune utilizarea unor mecanisme de inferenţă şi a unei baze de reguli (bază de cunoştinţe) a regulatorului. Regulatorul fuzzy generează comenzi pe baza unor intrări sub forma unor variabile lingvistice apelând la implicaţii sau relaţii fuzzy. Baza de reguli conţine în esenţă strategia de conducere a procesului sub forma unui set de reguli de producţie obţinute din experienţa operatorului şi a inginerului specialist în conducerea proceselor: DACĂ ATUNCI unde prin stare proces şi comandă înţelegem variabile lingvistice care descriu proprietăţi ale mărimilor din proces. Regulile se obţin, fie prin verbalizarea introspectivă a cunoştinţelor bazate pe experienţa operatorului sau prin interogarea operatorului şi/sau a inginerului automatist folosind chestionare adecvate, fie pe baza unui model lingvistic (model fuzzy) ataşat procesului controlat. Mecanismele de inferenţă folosite în cadru! regulatoarelor fuzzy sunt în general mai simple decât cele folosite în cadrul sistemelor expert, deoarece consecinţa unei reguli nu se aplică ca antecedent într-o altă regulă. Considerând baza de reguli: R={R1.R2 ,.··,Rn}, (13.25) unde R; reprezintă regula i a unui sistem cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri sub forma: "Dacă x; este A; şi ... şi Y; este B;, Atunci z; este C; şi ... şi zq măsurate

este D; " atunci baza de reguli poate fi

reprezentată

sub forma:

R= {~R;} ={~[(A; X.. ·XB; )-7 (z 1 +... + Zq )]} =

={~((A; X .. ·XB; )--. zJu ... ~[(A; x .. ·XB; }-7 zq]} = = {Q~[(A; x .. ·XB; )--. zk]} = {RB 1, RB 2,... , RBq}

(13.26)


597

unde RB; reprezintă regula: "Dacă x este A; şi ... şi y este B; Atunci zk este D; " pentru i =1, 2, ... , n şi k =1, z.... , q. O asemenea reprezentare evidenţiază faptul că baza de reguli R a unui regulator fuzzy constă dintr-un set de reguli de comandă cu mai multe intrări şi o singură ieşire de tipul RB;. Pentru a exemplifica modul de reprezentare a bazei de reguli de tip MISO (intrări multiple şi o singură ieşire) considerăm ca intrări în regulator eroarea s = r- y şi derivata erorii Ll.e , iar ieşirea este comanda u : R1: Dacă s este A1 şi Ll.s este B1 Atunci u este D1 Rz: Dacă e este A 2 şi Ll.s este B2 Atunci u este D 2 Rn: Dacă s este An şi Ll.s este Bn Atunci u este Dn u este De În această reprezentare generală, s , Ll.s şi u sunt variabile lingvistice ale sistemului, iar A;, B; şi D; sunt valori lingvistice ale variabilelor lingvistice e , Ll.s şi u în universul de discurs E, Ll.E şi U , pentru i = 1, 2,···, n. Variabilele lingvistice sunt acele variabile reprezentate prin cuvinte sau propoziţii într-un limbaj natural sau artificial. O variabilă lingvistică poate fi reprezentată prin patru mărimi caracteristice: X -numele simbolic al vruiabilei lingvistice; LX - mulţimea valorilor lingvistice pe care le poate lua variabila lingvistică X ; U - universul de discurs care reprezintă domeniul fizic peste care variabila lingvistică ia valorile cantitative ferme; M x - o funcţie semantică dă interpretarea unei valori lingvistice în funcţie de elementele cantitative ale lui U : Mx :LX-7LX

unde LX este o notaţie pentru o mulţime fuzzy LX= LIJ.LX

u

(x)! x şi

LX=

definită

JiJ.LX (x)! x,

peste U , respectiv: (13.27)

u

în cazul unui U reprezentat în formă discretă sau continuă. Pentru a exemplifica, considerăm eroarea E într-un SRA definită prin: (E. LE, e, ME), unde LE= {NM, Nm, ZE, Pm, PM}


598

e=[-1, I] sau e=[-6, 6] ME:LE->LE.

În cazul în care valorile lingvistice sunt reprezentate ca în figura 13.17, atunci se pot defini: 6

JL(e;-6;-3)1E

NM (negativ mare)=

-6 6

Nm (negativ mic)=

JA(e;-6;-3;0)1€ -6

6

ZE (zero)=

JA(s;-3;0;3)1!: -6 6

Pm (pozitiv mic)=

JA(e;0;3;6)!& -6 6

PM (pozitiv mare)= jr(c:;3;6)1E.

Folosind asemenea

-6 reprezentări

lingvistice pentru variabilele de stare

e şi L\e se pot genera comenzi u sau L\u sub formă lingvistică, apelând la

mecanisme de ~

inferenţă

specifice regulatoarelor fuzzy.

1

0.8 1

0.6ţ 0.4

~

l /

1

0.21// o

L__

••

-6 E

Fig. 13.17 Există trei categorii de sisteme fuzzy: sisteme fuzzy pure, sisteme fuzzy Takagi- Sugeno şi sisteme fuzzy cu fuzijicator şi defuzijicator (sisteme fuzzy de tip Mamdani) [61].


599

În cele ce urmează, vom prezenta sintetic numai ultimele două tipuri de sisteme fuzzy a căror eficienţă în reglarea proceselor a fost probată cu succes. Regulile "DACĂ - ATUNCY', utilizate în cadrul sistemelor fuzzy Takagi - Sugeno au forma: Jiii: DACĂ u1 este F/ şi ... şi un este F; unde

F1

ATUNCI y;=cb+clu 1 +···+c~un, (13.28) sunt mulţimi fuzzy, c, sunt parametri cu valori reale, y; este

ieşirea sistemului datorată regulii R(i), cu i = 1, 2, · · ·, N . În acest caz, partea "DACĂ" a regulii este fuzzy, iar partea "ATUNCr' este o mărime fermă obţinută ca o combinaţie liniară a variabilelor de intrare. Dacă se notează prin wi ponderea tuturor valorilor de adevăr pentru regula R(i) pentru o intrare: n

wi = Il11~,

(uk),

(13.29)

k=l

atunci se poate calcula media ponderată a variabilei / : N

L,w'yi y~) =.!::;-N~l-

(13.30)

l:wi i=1

unde vectorul de intrări ~ = [u 1 u2 ... unY, iar y~) reprezintă ieşirea din sistemul fuzzy Takagi - Sugeno. O reprezentare a sistemului fuzzy Takagi - Sugeno este dată în figura 13.18. De remarcat faptul că un asemenea sistem nu permite incorporarea experienţei umane sub forma unor reguli fuzzy având în vedere că partea "ATUNCr' a regulilor nu este fuzzy. Avantajul acestor sisteme este determinat de existenţa unui sistem de ecuaţii (13.30) pentru care se pot extinde metodele cunoscute de estimare a parametrilor l Sistemele fuzzy cu fuzificator şi defuzificator au cea mai largă aplicabilitate în problemele de reglare a proceselor datorită facilităţilor de reprezentare a experienţei umane în reguli fuzzy. Variabilele de intrare şi de ieşire ale proceselor sunt variabile reale ce pot fi convertite în variabile lingvistice existând multiple grade de libertate pentru alegerea metodelor de fuzificare, a mecanismelor de inferenţă şi a metodelor de defuzificare. Asemenea sisteme pot fi uşor adaptate problemelor de reglare a variabilelor din proces.


600

r-~~·····-------------~----------·-------------------------------------~

'

' ' '

'

''

'

Rin:

D1că u, este F,' şi ... şi u, este R 1

•

1

Atunci y =co

1 l l -~e, u,+... tc" Un

w'y'

uEU

Media Ponderată L-_......-J

''

i y(u)EY '

R(N): n..-x J.J
este FN , ŞI. ... Şl. u, este FN "

Atunci y .fl N =co -teJ Nu,+... tc"NUn ;

'

wN y N '

'''

'' ' '

·-----------------------------------------------------------------------' Fig.13.18

în ele ce urmează, se prezintă procedura de proiectare a unui regulator fuzzy ca sistem cu fuzificator şi defuzificator. 13.4.3. Proiectarea regulatoarelor fuzzy Structura generală a unui regulator fuzzy evidenţiază existenţa a patru module esenţiale: modulul de scalare - fuzificare, modulul de defuzificare - scalare, mecanismul de inferenţă şi baza de reguli si baza de date. Astfel, regulatoarele fuzzy sunt conectate la proces prin intermediul celor două interfeţe active care asigură conversia, dar nu numai, a informaţiilor numerice în variabile fuzzy şi, respectiv, a variabilelor fuzzy în informaţii numerice. în structura regulatoarelor sunt incluse mecanismul de inferenţă (mecanismul de decizie logică) care procesează reguli, cunoştinţe şi baza de reguli (baza de cunoştinţe) şi de date. Baza de date furnizează informaţiile necesare pentru funcţionarea corespunzătoare a modulelor de interfaţare cu procesul (scalare- fuzificare, defuzificare - scalare), a bazei de reguli prin interpretarea valorilor lingvistice ale variabilelor de stare, de intrare şi de comandă ale procesului.


601

Baza de reguli conţine strategia de conducere sub forma unui set de reguli de producţie obţinute din experienţa operatorului şi a inginerului specialist în conducerea proceselor sub forma: DACĂ ATUNCI sau DACĂ x este LX ATUNCI u este LU unde x şi u sunt variabile lingvistice iar LX şi LU sunt valori lingvistice care descriu o proprietate a variabilelor lingvistice. Pentru proiectarea bazei de reguli sunt necesare: • alegerea variabilelor de stare şi de comandă; • alegerea conţinuturilor regulilor- antecedent şi consecinţă; • alegerea domeniilor valorilor lingvistice pentru variabilele de stare şi de comandă; • deducerea regulilor. Mecanismul de inferenţă (blocul de decizie logică) reprezintă nucleul regulatorului şi emulează procesul de decizie umană pe baza conceptelor şi a regulilor de inferenţă din logica fuzzy. lnferenţa poate fi bazată pe reguli individuale sau poate fi bazată pe compoziţia de reguli. Parametrii de proiectare se reduc la: • alegerea reprezentării unei singure reguli; • alegerea reprezentării unui set de reguli; • alegerea mecanismului de inferenţă; • testarea setului de reguli din punct de vedere al consistenţei şi completitudinii. Pentru interfaţa de intrare care asigură scalarea şi fuzificarea variabilelor numerice în variabile fuzzy se consideră ca parametri de proiectare: • alegerea factorilor de scală în funcţie de domeniile de variaţie ale variabilelor nnmelice; • alegerea metodei de fuzificare şi a parametrilor specifici acestuia (liniar, curbeZ, curbe n, clopot etc.). În cazul interfeţei de ieşire, în cadrul căreia se realizează convertirea variabilelor lingvistice în variabile numerice şi scalarea acestora în domeniul admisibil de valori pentru intrarea procesului condus, ca parametri de proiectare se consideră: • alegerea operatolilor de defuzificare; • alegerea metodei de defuzificare; • alegerea factorilor de scală pentru variabilele de comandă.


602

Pentru a proiecta un regulator fuzzy care prelucrează eroarea E , se pot utiliza ca variabile de intrare E şi e (derivata erorii) sau ~E, iar ieşirea poate fi comanda u sau variaţia comenzii ~~~ sau u. Astfel, pentru a realiza o comportare de tip PI - fuzzy se pot utiliza reguli sub forma: DACĂ sk este şi t!.sk este ATUNCI t!.u este sau, spre exemplificare: DACĂ sk este şi l:!.ek este ATUNCI ~~~ este . în mod similar, se pot obţine comportări PID - fuzzy dacă se introduce pe lângă variabilele Ek, ~Ek şi os, care defineşte suma erorilor. Forma unei reguli în acest caz este: DACĂ sk este şi ~Ek este şi osk este ATUNCI uk este. Pentru a exemplifica modul de alcătuire a unei baze de reguli specifice comportării PI - fuzzy considerăm ca variabilă de interes eroarea Ek

= rk - Yk ,

~uk

= uk -

vanaţw

erorii

~Ek

= Ek -sk-I

ŞI

variaţia

comenzii

unde rk şi Yk reprezintă referinţa şi respectiv, ieşirea măsurată din proces în formă numerică. Admitem o reprezentare lingvistică identică pentru cele trei variabile lE=UE=lllU={NM, Nm, 7.E, Pm, PM}, conform tabelului 13.1. uk-l,

Tabelu/13.1

1~

NM

Nm

ZE

Pm

PM

NM

NM

NM

NM

NM

ZE

Nm

NM

Nm

Nm

ZE

PM

ZE

NM

Nm

ZE

Pm

PM

Pm

NM

ZE

Pm

Pm

PM

PM

ZE

PM

Pm

PM

PM

k


603

Din acest tabel pot fi extrase câteva regimuri de funcţionare ale regulatorului. Astfel, pentru ek şi t.ek negative sau pozitive, mici sau zero, valoarea curentă a variabilei y k a deviat de la referinţă, însă se menţine aproape de ea. În acest caz, variaţia comenzii t.uk se menţine de asemenea mică sau zero în amplitudine şi asigură corectarea deviaţiei faţă de referinţă. Dacă ek este aproape de zero (Pm, ZE, Nm) sau foarte departe de zero (NM), i'lek este negativ, înseamnă că Yk evoluează departe de referinţă şi astfel, o modificare negativă a variaţiei comenzii Lluk inversează tendinţa de evoluţie a ieşirii şi deplasarea acesteia spre referinţă. Dimensiunea setului de termem (valori lingvistice ale variabilelor de intrare) determină granularitatea acţiunii de comandă a regulatorului fuzzy. Astfel, pentru un număr de 5 variabile lingvistice (PM, Pm, ZE, Nm, NM) se obţine un număr de 25 de reguli. Dacă se doreşte o rezoluţie mai bună a comenzii în vecinătatea referinţei, atunci se poate extinde numărul de variabile lingvistice pentru Nm, ZE, Pm (negativ zero, negativ foarte mic, pozitiv zero, pozitiv foarte mic etc.). Această granularitate ridicată în realizarea fuzificării determină creşterea numărului de reguli cu implicaţii privind implementarea (dimensiunea memoriei, timp de execuţie) şi performanţele sistemului de reglare. Pentru deducerea regulilor pentru un regulator fuzzy (tab. 13.1) pot fi utilizate trei proceduri importante: pe baza experienţei operatorului şi a expertului în automatică, pe baza unui model lingvistic al procesului sau pe baza unui model ne!iniar. Pentru eficienţa calculelor, utilizarea eficientă a memoriei şi analiza performanţelor sistemului de reglare (conducere) fuzzy se recomandă o reprezentare uniformă a funcţiilor de apartenenţă. Formele uzuale ale funcţiilor de apartenenţă includ funcţiile triunghiulare, trapezoidale şi de tip clopot. Aceste forme sunt uşor de parametrizat, prezintă eficienţă în manipulare, conduc la dimensiuni reduse ale memoriilor utilizate. Cea mai simplă şi mai eficientă formă de reprezentare a funcţiilor de apartenenţă este torma triunghiulară. Proiectarea regulatoarelor fuzzy se poate realiza direct sau pe baza unui model lingvistic al procesului condus şi pot fi regulatoare fuzzy PID, regulatoare bazate pe tabele, regu!atoare cu auto - organizare, regulatoare fuzzy adaptive sau regulatoare neuro- fuzzy. Principalele etape ale proiectării regulatoarelor fuzzy sunt: l. Alegerea variabilelor de intrare şi de ieşire ale regulatorului fuzzy. Pentru alegerea corespunzătoare a acestor variabile se impune


604 obţinerea

unor informaţii apriori despre dinamica obiectului condus, stabilitate, varianţa în timp a parametrilor etc. Pe baza acestor ţinând seama de obiectivele conducerii, se alege tipul de regulator

neliniarităţi,

date şi fuzzy.

mare de variabile de intrare determină regulatorului, aceasta în special în cazul regulatoarelor fuzzy multi variabile [23, 61]. 2. Determinarea universurilor de discurs şi a funcţiilor de apartenenţă pentru fiecare variabilă de interes (intrări, stări, ieşiri). Alegerea universului de discurs pentru fiecare variabilă presupune a determina valorile minime şi maxime posibile ale semnalelor de intrare ale regulatorului fuzzy, adică domeniile de funcţionare ale variabilelor măsurate ale procesului. Alegerea acestui domeniu şi rezoluţia sa au un important impact asupra preciziei şi cerinţelor de calcul. Universul de discurs (domeniul de variaţie) poate fi standardizat pentru toate variabilele. Cele mai folosite domenii standardizate sunt [-1, 1] şi [-6,6], dacă se folosesc numere reale sau [-100,100], dacă se folosesc procente din valoarea reală a variabilelor de interes. Folosirea acestor domenii standardizate impune introducerea unor factori de scală şi un nivel zero pentru fiecare semnaL Odată determinat universul de discurs pentru fiecare variabilă, se alege forma funcţiilor de apartenenţă. Dacă se folosesc multe funcţii de apartenenţă pentru fiecare variabilă, creşte exponenţial numărul de reguli şi contrar, un număr redus de funcţii de apartenenţă conduce la o flexibilitate scăzută a regulatorului, în special în cazul proceselor neliniare. Cel mai adesea se folosesc trei funcţii de apartenenţă, iar variabilele lingvistice mic, mediu şi mare sunt frecvent folosite. Funcţiile de apartenenţă continue caracterizează mai bine schimbările variabilelor, însă necesită mai mult timp pentru inferenţă. Funcţiile de apartenenţă discrete sunt prezentate sub forma unor vectori. în acest caz, inferenţierea este mai uşoară, însă dimensiunea vectorilor influenţează precizia. 3. Construcţia bazei de reguli care conţine toate regulile pentru funcţionarea regulatoarelor fuzzy reprezintă cea mai importantă etapă în proiectarea regulatoarelor fuzzy. Se poate alcătui baza de reguli folosind o bază de reguli normalizată sau standardizată ca în tabelul 13 .1. În acest caz, eroarea şi derivata erorii sunt folosite pentru a genera comenzi fuzzy similare comportărilor de tip PID - fuzzy. Fiecare element al matricei definite în acest tabel reprezintă o regulă. De notat că avantajul esenţial al unui regulator fuzzy nu este abilitatea sa de a emula regulatoare liniare, ci De

creşterea

reţinut că numărul

complexităţii


605

abilitatea de a controla procese neliniare într-o manieră simplă şi uşor de se cunosc parametrii unui regulator liniar, aceştia se pot folosi ca parametri iniţiali pentru regulatorul fuzzy şi astfel acordarea acestuia este mai simplă. Regulile pot fi deduse din experienţa şi intuiţia experţilor sau prin utilizarea unui model fuzzy al procesului condus. 4. Analiza bazei de reguli reprezintă o etapă importantă în proiectarea regulatoarelor fuzzy. Astfel, pornind de la importanţa bazei de reguli în funcţionarea unui regulator fuzzy se impune analiza următoarelor proprietăţi specifice bazei de reguli [23]: înţeles. Dacă

consistenţa;

completitudinea; redundanţa;

interacţiunea.

Consistenţa:

de reguli este inconsistentă dacă două sau mai multe reguli cu aceleaşi sau foarte apropiate părţi condiţionale (antecedente) generează diferite ieşiri. Aceste ieşiri diferite cauzează apariţia unor vârfuri în cadrul reprezentării grafice a mulţimii fuzzy dată prin mecanismul de inferenţă al regulatorului. O bază de reguli consistentă se caracterizează prin faptul că toate regulile cu diferenţe mici în părţile de intrare generează ieşiri uşor diferite. Completitudinea: O bază de reguli este completă dacă orice intrare diferită de zero generează o ieşire diferită de zero. Există două cauze principale pentru apariţia incompletitudinii unei baze de reguli. Prima cauză o reprezintă existenţa unei rupturi între funcţiile de apartenenţă, iar cea de a doua cauză o reprezintă omiterea uneia sau mai multor reguli. Dacă prin X; notăm partea condiţională a regulii i şi prin U i partea consecinţă (inferenţiată) a regulii i, atunci forma generală a unei reguli va fi: Dacă X i Atunci U;, unde i = 1, · · ·, n , iar n este numărul de reguli. Regulatorul este complet dacă: O

bază

VxEX:3X 1 (x)>e

unde i E [1, n] şi e E (O, 1]. Astfel, în conformitate cu această relaţie, o bază de reguli este completă dacă există cel puţin o regulă care contribuie la ieşire printr-un număr mai mare decât E • Redundanţa: O regulă este redundantă dacă există cel puţin o altă regulă în baza de reguli cu aceeaşi parte dacă - atunci. Redundanţa se obţine dacă se alocă reguli duble sau reguli care deja sunt acoperite de altele deja existente.


606

O regulă este altei reguli. Interacţiunea:

redundantă dacă mulţimile

Interacţiunea

sale sunt

submulţimi

ale

la independenţa părţilor condiţionale ale regulilor. Dacă relaţiile de intrare ale acestor părţi sunt disjuncte, atunci nu există interacţiuni între reguli. Gradul de interacţiune al regulii R; cu baza de reguli R poate fi măsurat prin [23, 61]: Y; =II(X;oR)-U;jj unde X; şi U; sunt intrări şi ieşiri ale regulii R; , iar R este baza de reguli se

referă

(R=UR;).

5. Proiectarea mecanismului de inferenţă presupune alegerea metodei de inferenţă care poate fi bazată pe reguli individuale sau pe compoziţie.

Dacă

admitem că intrările în regulatorul fuzzy sunt eroarea ek şi derivata (diferenţa) erorii !lek, atunci regulile simple pot fi scrise sub forma: R(;):

DACĂ ek este LE(;) şi !lek este !lLE(i) ATUNCI

uk

este LU (i)

unde LE(i), !lLE(i) şi LU (i) sunt valori lingvistice (simboluri) din mulţimea de termeni LE , L!lE şi LU . Funcţiile de apartenenţă sau mulţimile fuzzy

J.l~1, J.l~E şi J.l~b sunt definite pe domeniile

E, !lE

şi

U.

Interpretarea regulii de mai sus ca implicaţie de tip Mamdani [61] este dată ca o relaţie fuzzy R(;) definită pe E x LlE x U :

( 0~) (

Ve,f:J.e,u: J.l~) (e,f:J.e,u) = min 0~1 e), J.l)iE (t.e ),J.l~b (u)).

Pentru un set de reguli putem scrie: Ve, f:J.e,u : 11 R ( e, f:J.e, u) = max

E, f:J.e,

u), .. ·, J.l ~) (e, f:J.e, u))

unde fiecare regulă este definită ca mai sus. Pentru a realiza inferenţa prin compoziţie considerăm valorile crisp ale erorii şi diferenţei erorii, ek şi ilek, ca intrări ale modulului de fuzificare:

Sisteme inteligente de conducere Calculul 11~ şi 11l,E

părţii conqiţionale

607

a regulii presupune combinarea

funcţiilor

într-o funcţie de apartenenţă 11A:

lfE,LlE:J.lA(E,LlE)= min (J.l~(e),J.lf,E(tle)), Ex&E~

iar valoarea comenzii se obţine prin compoziţie între J.lA

şi

11R:

\fu: J.lu (u) = max min (11A (E,LlE),J.lR (e,tle,u )) . E,&E

Dezavantajul acestui tip de inferenţă bazată pe compoziţie constă în efortul mare de calcul şi cerinţe mari de memorare a lui 11 R • Din fericire, această metodă de inferenţă este echivalentă cu metoda de inferenţă bazată pe reguli individuale. Demonstraţia acestei afirmaţii este prezentată în [23]. 6. Alegerea factorilor de scală asigură normalizarea intrării şi ieşirii ţinând seamă de diversitatea domeniilor de variaţie ale variabilelor de intrare şi ieşire. Factorii de scală joacă un rol similar cu factorii de amplificare în cadrul regulatoarelor convenţionale. O alegere necorespunzătoare a acestor factori de scală poate conduce la instabilitate, deteriorarea performanţelor SRA. Pentru a exemplifica, se consideră factorul de scală Nu pentru comandă şi, respectiv, N< şi N6< factorii de scală pentru eroare şi diferenţa erorii, iar relaţia între aceste variabile are forma: Nu ·Lluk = F(N< ·Ek>N&< ·LlEd. Factorii de scală se pot determina prin metode euristice sau prin metode analitice [23]. Determinarea acestora se bazează pe cerinţele de performanţă impuse sistemului dereglare cu regulator fuzzy. 7. Alegerea metodei de defuzificare presupune alegerea modului de conversie a variabilelor lingvistice în variabile numerice cu valori ferme. Pot fi utilizate diferite metode de defuzificare cu un grad mai mare sau mai redus de aproximare a variabilelor de ieşire ferme din variabile de intrare lingvistice. Astfel, în literatură sunt prezentate metoda centrului de greutate, metoda centrului sumelor, metoda centrului celei mai mari arii, metoda primului maxim etc. [23, 49, 61]. Una dintre cele mai folosite metode de defuzificare este metoda centrului ariilor. În acest caz, procesul de defuzificare se reduce la calculul valorii care divide mulţimea fuzzy rezultantă în două părţi cu arii egale.


608 funcţii

Pentru

de

apartenenţă

discrete, acest punct se

calculează

cu

relaţia: n

l::UrJ.Lu(ui) -'-ic;..==-cl- - - u * =n

l::J.Lu(uj) j=l

unde Jlu

(u i)

este gradul de apartenenţă a termenului j la valoarea u i din

domeniul de variaţie discret. Proiectarea regulatoarelor fuzzy ca transformări neliniare pentru procese neliniare reprezintă un demers cu un suport formal redus şi o pronunţată activitate euristică. Simplitatea modului de operare generată de însăşi esenţa modului de raţionament uman în cadrul operaţiilor de conducere a proceselor reprezintă principalul argument pentru clasa largă de aplicaţii a acestor regulatoare neliniare cu ridicată robusteţe. Combinarea tehnicilor fuzzy de conducere cu tehnicile neurale şi algoritmii genetici au condus la arhitecturi hibride de sisteme neuro - fuzzy sau geno - fuzzy cu performanţe superioare faţă de regulatoarele fuzzy convenţionale [29, 33].

13.5. Sisteme de conducere bazate pe rEţele neurale 13.5.1. Reţele neurale artificiale Reţelele neurale artificiale (RNA) reprezintă modele simplificate ale creierului uman. Ca şi creierul uman, reţelele neurale artificiale sunt alcătuite din neuroni interconectaţi între ei prin intermediul sinapselor. Astfel, fiecare neuron constă dintr-o celulă la care se ataşează mai multe dendrite (intrări) şi un singur axon (ieşire). O sinapsă produce o reacţie chimică ca răspuns la o intrare. Reţelele biologice sunt capabile să proceseze electrochimic milioane de stimuli de intrare cu o viteză cu câteva ordine de mărime mai redusă decât cele mai performante calculatoare actuale. Primele rezultate consistente privind modelarea matematică a reţelelor de neuroni sunt datorate lui McCulloch (1943). Conceptul de învăţare la nivel cortical a fost propus de Hebb, în 1949, care evidenţiază modificarea continuă a ponderilor conexiunilor neuronale, pe măsură ce organismul învaţă diferite taskuri funcţionale.


609

În 1958, Rosenblatt a propus un model neural numit "PERCEPTRON", care poate învăţa să clasifice anumite mulţimi de patternuri similare sau distincte. Primele aplicaţii ale reţelelor neurale pentru conducere se datorează lui Widrow şi Smith (1960). Ei au dezvoltat o reţea cu un singur strat, denumită ADALINE (Adaptive LINear Element), utilizată pentru stabilizarea şi comanda unui pendul invers. Kohonen ( 1988) şi Anderson (1972) au dezvoltat memorii "asociative" şi "interactive" şi "învăţarea competitivă". Algoritmul "backpropagation" a fost studiat de către Werbos (1974) şi dezvoltat ulterior de Rumelhart (1986) şi alţii, conducând la conceptul Multi-Layer Perceptron (MLP). Creşterea interesului pentru modelele conecţioniste a fost determinată de dezvoltarea unor noi arhitecturi, a unor noi algoritmi de învăţare, de paralelismul intrinsec al unor astfel de structuri de procesare, precum şi de rezultatele obţinute în domeniul implementărilor VLSI şi a proiectării asistate de calculator, care au permis construirea unor maşini de calcul cu un înalt grad de paralelism. În domeniul reglării automate, modelele conecţioniste oferă o modalitate nouă de abordare a metodelor de identificare şi conducere, atât pentru sisteme dinamice liniare, cât şi pentru sisteme neliniare [14, 33]. Reţelele artificiale neurale au următoarele proprietăţi relevante pentru conducerea inteligentă a proceselor: • capacitatea de învăţare din date experimentale şi abilitatea de a generaliza în prezenţa datelor ce nu au fost prezente în setul de date de antrenare; • capacitatea de aproximare funcţională; • procesarea distribuită a informaţiei; reţelele neurale artificiale au o structură paralelă, care permite implementarea hardware cu un ridicat nivel al toleranţei la defecte; • viteză ridicată de procesare În timp real. Principalele domenii în care RNA şi-au probat utilitatea şi eficienţa sunt: recunoaşterea formelor, modelare, identificare, conducere adaptivă, filtrare etc. cu aplicaţii în aeronautică, sisteme de producţie, robotică, telecomunicaţii etc. Arhitectura unei RNA conţine un număr de neuroni ca elemente active de procesare şi conexiunile între aceştia. Un neuron biologic este o celulă care recepţionează stimuli electrochimici de la surse multiple (senzori) şi răspunde prin generarea unor impulsuri electrice ce vor fi transmise altor neuroni sau celule efectoare (muşchi sau glande). Un singur neuron din cei 10 10 - 10 12 neuroni biologici este conectat cu alte sute de mii de neuroni, conexiunile realizându-se prin intermediul a două tipuri de sinapse: excitatoare sau inhibitoare.


610

Neuronii sunt compuşi din nucleu, corpul celulei, numeroase legături dendritice care produc conexiuni de la alţi neuroni prin sinapse şi un trunchi axon ce transportă o acţiune potenţială de ieşire la alt neuron prin legături terminale şi sinapse. Pentru a specifica o reţea neurală artificială sunt necesare următoarele elemente: numărul de neuroni şi modul de interconectare; modul în care semnalele sunt combinate la intrarea neuronului; modul de propagare a semnalelor de la intrare la ieşire; metoda de învăţare folosită la antrenarea reţelei; funcţiile de activare şi ecuaţiile dinamice care generează comportarea sistemului; numărul straturilor de intrare, de ieşire şi ascunse. Modelul de bază al unui neuron artificial (model simplificat al neuronului biologic) constă dintr-un sumator ponderat şi o funcţie de activare (fig. 13.19). funcţia

de activare

Xt---to(

Yi

xz..---1~

''

'' '

Xn~

suma ponderată Fig.13.19

În această figură se prezintă un neuron în stratul j, unde x1 , ... , xn sunt intrări, wil, ... , win sunt ponderi, bi este o valoare constantă de

polarizare (bias),feste funcţia de activare, iar

Yj

este ieşirea neuronului.

Suma ponderată a semnalelor de intrare este, astfel: n

s1(t)= ~Wj;x;(t)+b1

(13.31)

i=l

sau, dacă se notează prin Wi matricea ponderi lor, iar prin x E 9\" vectorul intrărilor:

si(t)= W1x+bi.

(13.32)

Sisteme inteligente de conducere Funcţia de activare

611

J(s) (unde s este suma

ponderată a intrărilor)

poate avea diverse forme (treaptă, rampă, tangentă hiperbolică, sigmoid etc.). În figura 13.20 sunt prezentate tipuri uzuale de funcţii de activare. Constanta de polarizare b j permite deplasarea curbei de-a lungul axei s, fixând pragul la care neuronul se activează. Funcţia de activare "sigmoid" este populară pentru aplicaţiile reţelelor neurale, deoarece este diferenţiabilă şi monotonă, cerinţe pentru algoritmul "backpropagation".

1:1

5~---

l

4:

1

j

1

,,, '1

f(s) 3

2

0.5 11

oL o

2

3

o o

4

a) treapta

,., 0:l__L__ 0.51

o

5 c) tangenta hiperbolica

11 0.8 f(s) 0.6 0.4

j 10

4

6

5 10 d) sigmoid

15

b) rampa

-1

1,-

------

2

15

r

0.2

o o

Fig.13.20 Ecuaţia

pentru funcţia sigmoid este: f(s)= 1 5 (13.33) 1+ e - j În mod similar, pot fi definite ecuaţiile pentru diferitele tipuri de funcţii de activare [33].

INGINERIA REGI..lRll AUTOMATE

612

13.5.2. Arhitecturi de

reţele

neurale artificiale

Aşa

cum s-a menţionat, o RN A este o reţea de neuroni cuplaţi prin conexiuni sinaptice. În figura 13.21 se prezintă o arhitectură de R.NA cu trei straturi. Stratul de intrare conţine trei neuroni, stratul ascuns conţine trei neuroni, iar stratul de ieşire conţine doi neuroni. În această arhitectură de RNA, cunoscută şi sub denumirea de arhitectură "feedforward", toţi neuronii dintr-un strat sunt complet conectaţi la toţi neuronii din stratul următor. Pentru această reţea multistrat, total conectată, nu există restricţii asupra numărului de neuroni în fiecare strat şi asupra numărului de staturi ascunse.

x, y,

Stratul de intrare

Stratul ascuns

Stratul de ieşire

Fig.13.21

O altă arhitectură uzuală în aplicaţiile specifice identificării ŞI conducerii proceselor este arhitectura de reţea recurentă cu reacţie. Reţelele de tip feedforward sau Multilayer Perceptron (MLP) pot fi generalizate în scopul funcţionării într-o manieră recurentă prin conectarea ieşirilor la una sau mai multe unităţi de procesare din straturile anterioare sau de la intrare. Incorporarea reacţiei determină schimbări în funcţionare şi învăţare, în anumite situaţii având avantajul creşterii puterii de calcul a reţelei respective. În figura 13.22 se prezintă arhitectura unei reţele recurente cu un singur strat cu trei neuroni şi două intrări.


613

x,(kT) y,(k+l)T y,(k+l)T

~~---~

x,(kT)

y,(k+l)T y,(kT)

y,(kT)

y,(kT)

Fig.13.22 Dacă

în figura 13.22 intrările apar la momentul (k1) şi ieşirile sunt predictate la momentul (k+ l)T, atunci reţeaua poate fi reprezentată într-o formă matriceală:

Yk+l

=y(k + I)r =W1yk + Wzxk, 2

(13.34) 3

unde xk = x(kT)E 9\ , Yk = y(kT)E 9\ , iar W1 ŞI W2 sunt matrice de ponderare de dimensiuni corespunzătoare. · Într-o reţea recurentă, ecuaţiile nodurilor sunt descrise prin ecuaţii cu diferenţe sau ecuaţii diferenţiale. O reţea recurentă, cu un caracter dinamic intrinsec, poate învăţa să aproximeze funcţii de timp sau poate executa o secvenţă de operaţii al căror scop final este de a permite ieşirii (stării) reţelei să conveargă la un punct fix (stare de echilibru). Astfel, reţelele recurente pot realiza taskuri mult mai complexe decât reţelele feedforward statice. Modelul matematic general care poate să descrie funcţionarea unei reţele neurale cu reacţii (recurente) are forma: Yk+l = F(yk,W,xk), (13.35) unde F este o xk E

9\m

funcţie vectorială neliniară

şi W reprezintă

de

intrări şi ieşiri,

matricea de ponderare a variabilelor Yk

iar Yk şi xk.

E

9\" ,

INGlNERIA REGLĂRII AUTOMATE

614

Forma matricei W de ponderare determină tipul reţelei recurente [33]. În [33, 80] sunt prezentate în detaliu tipurile uzuale de arhitecturi de reţele neurale artificiale. 13.5.3. Algoritmi de antrenare a RNA Învăţarea (antrenarea) în contextul unei reţele neurale este un proces

de ajustare a ponderilor şi polarizărilor într-o asemenea manieră, încât pentru intrări date, se obţin răspunsuri sau ieşiri dorite. Algoritmii de învăţare pentru reţele neurale se pot clasifica în două categorii principale: a) învăţare supervizată: reţeaua primeşte la intrare datele ce reprezintă domeniul intrărilor împreună cu ieşirile dorite. Ponderile sunt ajustate până când eroarea între ieşirile actuale şi cele dorite atinge o valoare minimă dată. În acest proces se impune specificarea vectorului ieşirilor dorite ale reţelei. Din categoria algoritmilor de învăţare supervizată menţionăm: regula Delta, Backpropagation, învăţarea Hebbiană, algoritmi stocastici etc.; b) învăţare nesupervizată: este cunoscută sub denumirea de adaptare în buclă deschisă, deoarece nu se folosesc informaţii prin reacţie pentru actualizarea parametrilor reţelei. Aplicaţiile pentru învăţarea nesupervizată includ recunoaşterea vorbirii şi compresia imaginilor. Reţelele cu învăţare nesupervizată includ reţelele Kohonen KSOM (Kohonen Self - Organizing Map), care sunt reţele competitive şi reţelele ART (Grossberg Adaptive Resonance Theory), care pot fi folosite pentru învăţarea on-line [33]. Algoritmul Back-Propagation (BPA) este o metodă de învăţare supervizată pentru antrenarea RNA şi reprezintă una dintre cele mai comune tehnici de antrenare. Această tehnică are la bază metoda de optimizare a gradientului descendent, ceea ce impune utilizarea unor funcţii de activare diferenţiabile.

Fiecare patern de antrenare (intrarea reţelei) este propagat înainte, strat cu strat, până când se obţine ieşirea reţelei. Ieşirea calculată va fi comparată cu valoarea dorită, determinându-se eroarea dintre aceste două valori. Erorile de la ieşirea reţelei vor fi propagate înapoi la intrare prin straturile ascunse, pentru ajustarea ponderilor reţelei. Legăturile înapoi sunt folosite, atât pentru faza de învăţare, cât şi pentru faza de operare. Gradientul erorii, calculat în funcţie de ponderile straturilor ascunse este obţinut propagând înapoi eroarea de la stratul de ieşire. Deoarece această operaţie se realizează în mod separat pentru fiecare strat, adaptarea şi actualizarea ponderilor nu sunt operaţii sincrone.

Sisteme inteligente de conducere Dacă

indicele de

performanţă

615

sau

funcţia

de cost J se scrie sub

forma:

J=~~(dj-yjf,

(13.36)

unde d 1 şi y 1 sunt ieşirea dorită şi, respectiv, ieşirea actuală a reţelei, atunci, prin aplicarea metodei celei mai abrupte coborâri (gradient descent), se obţine legea de variaţie a ponderilor: 81 D.w1; = -11-(13.37) 8w1;

unde 11 este o constantă. Din ecuaţiile (13.36) şi (13.37) rezultă:

.}!__=_1 f-a-(dj-Yjf M J=I ilwji

ilwji

sau folosind regula lanţului: i)] JMiJ{ \2dY·1 2M{ )i)Yj (13.38) -=-L-~d; -YJJ- =--L~dj -yjr-;-L ilw1; M J=Ii)wji ow1; M J=I ow1; Dacă funcţia de activare este o funcţie sigmoid dată în (13.33), atunci deri vata acesteia este:

sau (13.39) Deoarece poate fi

scrisă

f(s) este

ieşirea neuronului y 1 , atunci ecuaţia (13.39)

astfel: (13.40)

?j=yj(l-yj). usi

Din (13.38), folosind din nou regula lanţului, i)y 1 = ily 1 . ils 1 awji

asj

Dacă

în

rezultă:

(13.41)

ilwji

ecuaţia

(13.31) se consideră b1 ca fiind w10 , atunci:

n

sj=LwJixi i=O

(13.42)


616 şi

astfel (13.43)

(13.44)

(13.45) sau (13.46) unde

o1 =(d1 - y1 )y1 (1- yJ}. Dacă introducem modificare a ponderilor:

ecuaţia

(13.47)

(13.46) în (13.37) se

obţine

legea de

M

t:..wJi

= TJI:o1x1 ,

(13.48)

}=1

unde TJ = ..!::_ . M

Se poate observa că aceasta duce la un increment ponderat, denumită regula delta, pentru un neuron particular: t:..w11 (kT) = TJO 1x1, (13.49) unde TJ este viteza de învăţare şi are o valoare cuprinsă între O şi 1. În acest caz, ponderea la pasul (kT) se poate calcula cu relaţia: wJi (kT) = wJi (k -l)T + .1w11 (kT) sau Wp (kT) = w11 (k -l)T + TJO1x1. (13.50) Considerăm o reţea cu trei straturi, unde ( l = 1 ) reprezintă stratul de intrare, ( l = 2) reprezintă stratul ascuns, iar ( l = 3) reprezintă stratul de ieşire. Algoritmul Back - Propagation începe cu stratul al treilea, unde b 1

este cunoscut şi o1 se poate calcula folosind ecuaţia ( 13.47) şi ponderile se ajustează conform relaţiei (13.49). Pentru a ajusta ponderile pe stratul ascuns (l =2 ), ecuaţia (13.47) se înlocuieşte cu:

(a 1 )1 =[y1 (1-y1 llt[tw1;o 1] J= 1

1+1

.

(13.51)


617

Prin urmare, valorile 8 pentru stratul 1 sunt calculate folosind neuronilor din stratul 1 (stratul ascuns), împreună cu suma produselor w şi 8 din stratul de ieşire ( 1+ 1). Procesul de propagare inversă continuă până ce toate ponderile au fost ajustate. Pentru un nou set de intrări, informaţia se propagă înainte prin reţea (folosind noi ponderi) şi se calculează erorile ieşirii reţelei (stratul de ieşire). Acest proces continuă până ce indicele de performanţă atinge o valoare minimă acceptabilă, într-un număr limitat de iteraţii de antrenare. În cazul în care se obţine un minim local pentru un timp precizat de antrenare, se poate reporni algoritmul cu un set nou de date de antrenare. Pentru a exemplifica modul cum se antrenează o reţea neurală folosind BPA, considerăm o reţea feedforward cu trei straturi [14]. ieşirile

Exemplu/13.1: Pentru reţeaua din figura 13.23, x 2 = O. 5, iar ieşirea dorită, d J = 1. Se consideră stratul ascuns sunt:

că

intrările

matricea ponderi/ar care

l

curente sunt x 1 =0.3

există şi polarizările

şi

pentru

1.0 1.5] [ 1.0 w1 = 0.3 2.0; b1 = -1.5. [ 2.0 3.0 0.5

Pentru stratul de ieşire se consideră w1 = [2.0 1.5 1.0] şi b1 =[- 4.0]. Se cere a calcula ieşirea y J şi noile valori pentru ponderi şi polarizări. Considerăm

o viteză de

învăţare

11 = 0.75.

Soluţie:

Propagarea înainte: Pentru stratul ascuns (1=1 ), putem scrie în formă matriceală sumele s 1 , s 2

j [wll [ s/ s~

s,

=

wl2] [ ]+[w!Oj

W21

W22

W31

W32

· ;:

W2o

w3o

iar fimcţiile de activare pentruj=1, 2 şi 3 sunt: 1 1 1 ~=l

+e

~~·Yz=

1+e

~z·~=

l+e

~3


618

Stratul de

ieş1re

(1=2)

Stratul ascuns (1=1)

Stratul de întrare (1=0)

Fig.13.23 Ieşirea pentru stratul de ieşire

V· =yl

- 1

(1=2) este:

1

=--l + e -si

2

unde s1 = w10 + wny 1 + w 12 y 2 + w 13 YJ · Dacă se introduc valorile ponderilor iniţiale, se obţine:

r;·ţ]=[~:~ ~:~]{~:~]+r_\osl

l

s3

2.0 3.0

L

0.5

J


619

s/ = 2.05, s~ = -Q.41, sj = 2.6 yf = 2.39, Yi = 9.09, yj = 2.047. Pentru stratul de ieşire sf Propagarea inversă: Pentru stratul de ieşire:

=!6.46

şi

yf =1.35.

01 =yJ(l-yJXdrd· Deoarece)= 1, se obţine:

81 = yf(!-

yf XI- yf)= 1.35(1-1.35Xl-1.35)= 0.16.

Prin aplicarea regulii delta L1w1i(kT) = 178 1xi, se obţin variabilele L1w Ji:

L1wf0 = 0.5 * 0.16 * 1 = 0.08 L1wf1 =0.5*0.16*2.39=0.192 L1wf2 =0.5*0.16*9.09=0.72 L1wf3 =0.5*0.16*2.047=0.197 iar noile ponderi pentru stratul de 2 w11 2 w12

= 2.0+ 0.192 = 2.192

2 W1 3

= 1.0+ 0.197 = 1.197

ieşire

sunt:

= 1.5 +0.72 = 2.22

b 2 = --4+0.08 = -3.92. Pentru stratul ascuns, aplicând relaţia:

~ 1 ! = ~ 1(1- Y1)! l~>·1io 1 t~,

se pot obţine noile valori pentru ponderi. Mai întâi, admiţând că stratul de calculează 8 1 şi 8 2 . Pentru stratul ascuns, valorile

ieşire

(1+1) are doi neurom, se

l = 8} se obţin prin aplicarea formulei

[8 J

de calcul:

J=l: oi = Y! (1- yf lwf1o12 + wi1oi]

Yi (1- y~ lwf2o12 + wizoi J }=3: oj = yj (1- yj lwf,ol + wi3oi ]. }=2:

o~

=

2

Întrucât in exemplul considerat în stratul de ieşire avem un singur neuron,

rezultă

oi= O, astfel că valorile of sunt: o/ = 2.39(1- 2.39)* 2.192 * 0.16 = -1.16

oi = 9.09(1-9.09)* 2.22 • 0.16 = -26.12 oj = 2.047(1- 2.047)* !.197. 0.16 =-0.4.


620

Prin aplicarea regulii delta, se obţin incrementele ponderi/ar pentru stratul ascuns: l1w10 =0.5*(-1.16)*1=-0.58 ,1w11 = 0.5 * (-1.16)* 0.3 = -0.174 .1w12 =0.5*(-1.16)*0.5=-0.29 .1w20 =0.5*(-26.12)*1=-13.06 .1w21 =0.5*(-26.12)*0.3=-3.91 .1w22 =0.5*(-26.12)*0.5=-6.53 l1w30 =0.5*(-0.4)*1=-0.2 l1w31 =0.5*(-0.4)*0.3=-0.06 l1w32 = 0.5 * (-0.4)* 0.5 = -0.1. Noile ponderi şi polarizările pentru stratul ascuns sunt: w~1 = 1.0-0.174 =

w21 = 0.3-3.91 = -3.61

0.83

wÎz = 1.5-0.29 = 1.21

w22 = 2.0-6.53 = -4.53

w31 = 2.0-0.06 = 1.94

w23 =3.o-o.1=2.9

W10

= 1.0-0.58 = 0.42

wzo =-1.5-13.06=-14.56 w30 =0.5-0.2=0.3. Astfel, matricea ponderi/ar au forma:

l

şi

vectorul polarizărilor pentru stratul ascuns

l

1.21 1" 0.42 0.83 w1 = -3.61 -4.53 , h1 = -14.56J. [ 1.94 2.9 0.3

13.5.4.

Reţele

l

neurale aplicate pentru modelarea proceselor

Reţelele

şi

conducerea

neurale artificiale, ca modele specifice ale structurilor neurale biologice, prezintă avantajul procesării distribuite a informaţiei şi un inerent potenţial pentru calcule paralele. Arhitecturile de tip multistrat directe şi recurente joacă un rol deosebit în aplicaţii de identificare şi conducere. O particularitate esenţială a reţelelor neurale care folosesc algoritmul BP pentru antrenare este aceea că nu se cer cunoştinţe despre proces pentru a fi emulat. Faptul că ele învaţă din experienţă mai repede decât din programare pot fi considerate a face parte din categoria modelelor de tip "cutie neagră" ("black box").


621

În cazul în care dispunem de un set de date de intrare/ieşire dintr-un proces, se poate utiliza o reţea neurală pentru a modela dinamica unui proces necunoscut. Dacă aceste date disponibile utilizate pentru antrenare acoperă întreaga gamă operaţională a procesului, atunci se pot obţine, atât modele liniare, cât şi modele neliniare ale procesului necunoscut. Există patru strategii importante de utilizare a unei RNA pentru modelarea proceselor (fig. 13.24). a) Modelarea directă (forward plant modelling) (fig. 13.24a) presupune antrenarea unei reţele neurale, plasat în paralel cu procesul ce trebuie modelat, pentru a aproxima dinamica intrare-ieşire a procesului. În acest caz, semnalul de antrenare al reţelei este reprezentat de eroarea dintre ieşirea reală a procesului şi ieşirea reţelei. b) Modelarea inversă - varianta generală (inverse plant modelling) (fig. 13.24b) presupune utilizarea unei reţele neurale pentru a obţine modelul invers al procesului. Ca intrare a procesului, respectiv a reţelei neurale, se foloseşte un semnal de intrare sintetic. Ieşirea reţelei va fi comparată cu semnalul de antrenare, iar ca semnal de antrenare se foloseşte eroarea. Pentru ca modelul invers să fie bine definit, este necesar ca setul de exemple de antrenare să fie unic, cerinţă satisfăcută dacă procesul este inversabil sau datele de antrenare pentru un proces neinversabil sunt conţinute într-o zonă restrânsă a spaţiului intrărilor, unde procesul este local inversabil. c) Modelarea inversă - varianta specializată (inverse plant modelling) (fig. 13.24c) presupune ca prim pas construcţia unui model direct al procesului. Diferenţa dintre răspunsul procesului şi ieşirea dorită a acestuia va constitui un semnal de eroare ce va fi transmis înapoi prin modelul direct până la ieşirea regulatorului neural, în scopul ajustării parametrilor modelului invers [33, 80]. Regulatorul neural va constitui modelul invers al procesului. O asemenea metodă este mai eficientă decât metoda anterioară, fiind o metodă orientată pe aplicaţie. Reţeaua neurală ce modelează regulatorul poate fi antrenată în zona de interes. d) Modelarea operaţională (fig. 13.24d) presupune realizarea unui proces de învăţare, în paralel cu activitatea unui operator "expert" care acţionează asupra procesului, răspunsul lor formând ieşirea dorită a reţelei, mărime ce va fi utilizată pentru antrenarea reţelei. Ca şi în cazul strategiilor de modelare anterioare, trebuie să se asigure faptul că setul de antrenare conţine destule date de antrenare în domeniul relevant de funcţionare şi că vectorul intrărilor reţelei conţine toată informaţia care este disponibilă operatorului.


622

"' -r=--

-

EJ ~

'Model proces (RNA)

Algoritm de antrenare

't

EJ

u,

y,

~

Algoritm de

antrenare

1

~

l

(RNA)

~

r--

b)

Modelul invers al procesului

EJ

U;

(RNA)

U;

Modelul invers al procesului

..

_j

a)

L

ii,

y,

Model proces

L.t

(RNA)

y,

~

Algoritm de

antrenare

't c)

L ~

Model operaţional

't

EJ

"'

Regulator {Expert)

program

~

y,

Algoritm de

antr=re

J d)

Fig.13.24 Reţelele neurale şi-au probat eficienţa în conducerea proceselor tehnice, nu numai prin rezolvarea unei probleme primare de obţinere a modelelor matematice, ci şi ca regulatoare neurale bazate pe modelarea inversă a dinamicii procesului, inclusiv regulatoare neurale bazate pe modelul intern sau regulatoare bazate pe tehnologia predictivă de conducere [14, 33, 80].


623

simplă aplicaţie

O

a RNA pentru conducerea unui proces este de a emula funcţionarea unor regulatoare existente. În figura 13.25 se arată cum semnalul de comandă generat de un regulator cuplat la proces poate fi folosit pentru antrenarea unui regulator neural şi, în final, să fie înlocuit de acesta.

e,

r;

+'-,.!_

..

u, Regulator

u, + y,

~ --Ilo

PROCES

10'

-

1

1

u -·

Regulator neural

Fig.13.25

Principial, algoritmul BP poate fi utilizat pentru antrenarea regulatorului neural dacă eroarea ek se foloseşte pentru antrenarea acestuia. Astfel, utilizarea unui algoritm BP având ca semnal de antrenare eroarea sistemului de reglare automată se poate obţine o eroare a comenzii care permite antrenarea regulatorului neural. În figura 13.26 se prezintă o schemă de principiu pentru antrenarea unui regulator neural pe baza algoritmului BP al erorii ek trecută prin modelul procesului [ 14].

e,

r, \ +

Regulator neural

y,

u,

PROCES

1

-

1

Eroarea acţiunii de comandă

Fig.13.26

Algoritmul BP prin modelul procesului

[;'

fof-

k


624

În această schemă se folosesc două structuri de reţele neurale: una pentru a modela procesul şi a aplica un algoritm BP având ca semnal de antrenare ek şi o alta pentru a modela regulatorul neural care este antrenat în funcţie de erorile acţiunilor de comandă.

13.6. Algoritmi genetici Elementul de

bază

al unui algoritm genetic este cromozomul. Acesta conţine informaţie genetică pentru o soluţie dată şi este codificată sub forma unui şir de numere binare. Spre exemplu, un număr binar de opt biţi 11001001 reprezintă un cromozom care conţine opt gene. Iniţial, o populaţie de cromozomi creată aleator reprezintă un număr de soluţii la o problemă dată.

Algoritmul genetic reprezintă o metodă de căutare a unei soluţii la o problemă dată prin trecerea de la o populaţie de "cromozomi" (soluţii potenţiale ale problemei de rezolvat) la o nouă populaţie, apelând la operatori de inspiraţie genetică: încrucişarea, mutaţia şi inversiunea. Algoritmii genetici sunt proceduri de căutare şi optimizare bazate pe mecanismele geneticii şi ale selecţiei naturale. Ei combină supravieţuirea artificială a celui mai "bun" individ cu operatorii genetici, care sunt abstractizări ai celor din natură. Pentru a utiliza algoritmii genetici în rezolvarea unei probleme se impune întâi a codifica sub forma unor şiruri binare de lungime finită elementele ajustabile (variabile de decizie) ale problemei şi a ataşa problemei o funcţie obiectiv (un indice de performanţă) utilizată pentru a găsi cele mai bune soluţii dintr-o mulţime de soluţii posibile. Algoritmii genetici folosesc populaţii de soluţii potenţiale, ceea ce îi diferenţiază faţă de tehnicile adaptive prin explorarea spaţiului de căutare în mai multe puncte simultan. Algoritmii genetici sunt utilizaţi în rezolvarea multor probleme de căutare şi optimizare, ca urmare a proprietăţilor şi performanţelor acestora dintre care: implementare uşoară în arhitecturi paralele; pot rezolva probleme de optimizare cu restricţii, inclusiv multicriteriale; pot rezolva probleme de optimizare neliniară cu funcţii obiectiv discontinue. O reprezentare simplă a unui algoritm genetic este arătată în figura 13.27.


625

ALGORITM GENETIC Start t

:=o

Iniţializează

P(t); {creează o populaţie aleatoare P(t)) P(t); {evaluează funcţia obiectiv pentru fiecare membru al populaţiei P(t)} t :; t + l; {creşte timpul contorului} Selectează o subpopulaţie P'(t) din P(t); Recombină P'(t); {recombină "genele" părinţilor selectaţi} Evaluează P'(t); {evaluează noua populaţie şi selectează pe cea mai bună} Stop Stop Evaluează

Fig. 13.27

Un algoritm genetic realizează o căutare multidirecţională prin menţinerea populaţiei de soluţii potenţiale la fiecare pas t, numit generaţie, şi încurajarea formării şi schimbului de informaţie între aceste direcţii. Această populaţie suportă o evoluţie simulată: la fiecare generaţie soluţiile "relativ bune" se reproduc, în timp ce soluţiile "relativ rele" dispar. Algoritmul genetic foloseşte trei operatori: selecţia; încrucişarea; mutaţia.

Selecţia reprezintă

pasul de "supravieţuire" a celui mai bun, care din vechea populaţie în funcţie de calitatea (valoarea) funcţiei obiectiv (fitness), formând un spaţiu de împerechere sau o generaţie intermediară. Selecţia furnizează acei indivizi care au calitatea cea mai mare de a se reproduce. Asupra mulţimii intermediare de indivizi din care se formează populaţia de la generaţia (t+ 1) se aplică ceilalţi operatori. Încrucişarea şi mutaţia furnizează algoritmului genetic puterea de explorare a unor soluţii diferite din spaţiul de căutare. Încrucişarea simplă, într-un singur punct, presupune parcurgerea a trei paşi. La primul pas, doi indivizi, numiţi părinţi, sunt aleşi din cadrul populaţiei intermediare. Apoi, ambii părinţi cromozomi sunt separaţi în subcromozomi, stâng şi drept. Poziţia de tăiere se alege aleatoriu, ceea ce înseamnă că poate fi în interiorul codificării unui parametru sau între gene. selectează şiruri


626

La ultimul pas, fiecare descendent primeşte subcromozomul stâng al unuia dintre părinţi şi subcromozomul drept al celuilalt. în figura 13.28 se exemplifică modul de încrucişare într-un singur punct. Descendenţii din cromozomii părinţilor P 1 şi Pz sunt P 1 ' şi Pz'.

PJ Pz

.A Pz'

110-01101 OII-100ll 110-10011 011-01101 Fig. 13.28

Punctul de încrucişare, în acest caz este între biţii 3 şi 4 (numerotaţi de la stânga la dreapta). Operatorul "mutaţie", care este privit ca un operator de fundal, are rolul de a creşte varietatea populaţiei. El operează simplu, prin alterarea uneia sau a mai multor componente dintr-un cromozom. Fiecare poziţie din fiecare cromozom din noua populaţie suportă o schimbare aleatoare cu o probabilitate egală cu rata mutaţiei, care, în mod obişnuit, este ţinută constantă de-a lungul procesului de calcul. În cazul algoritmilor genetici cu codificare binară biţii corespunzători sunt schimbaţi de la "1" la "0" sau de la "0" la "1 ". De exemplu, dacă cromozomul P 1 este ales pentru mutaţie, bitul mutat fiind ales bitul trei, atunci cromozomul rezultat P 1' este ca în figura 13.29. 6

lR

P 1'

111101011 11001011 Fig.l3.29

De evidenţiat faptul că, în cadrul unui algoritm genetic, după evaluarea fiecărui individ, celor puternici li se dă o şansă mai mare de a participa la procesul de reproducere decât celor mai slabi, care ar putea chiar să nu mai contribuie la acest proces. Un algoritm genetic pentru rezolvarea unei probleme date trebuie să aibă cinci componente: o reprezentare genetică a soluţiei potenţiale a problemei; un mod de generare a w1ei populaţii de indivizi; o funcţie de evaluare (funcţie cost) care joacă rolul mediului; operatori care schimbă componenţa populaţiei; valori pentru diferiţi parametri ai algoritmului genetic (mărimea populaţiei, probabilităţi de aplicare a operatorilor, criterii de oprire).


627

În [29] sunt prezentate principalele elemente conceptuale şi aplicative ale algoritmilor genetici. Dintre cele mai reprezentative aplicaţii ale algoritmilor genetici menţionăm: acordarea optimală a algoritmilor de reglare, estimarea parametrilor unor modele liniare sau neliniare, proiectarea algoritmilor de filtrare, sisteme de recunoaşterea vocii, optimizarea sistemelor de comunicaţii şi transport, planificarea şi optimizarea sistemelor de producţie, optimizarea sistemelor fuzzy şi a reţelelor neurale în cadrul inteligenţei computaţionale etc. Pentru a exemplifica modul de utilizare a algoritmilor genetici în optimizarea algoritmilor de reglare, considerăm următorul exemplu. Exemplu/13.2 Se consideră structura dereglare cu un singur grad de libertate (fig. 13.30), unde procesul este caracterizat printr-un model de ordinul doi iar regulatorul este de tip PID cu parametrii Kp, K1 şi K0 necunoscuţi. Se cere a determina valorile optime Kp, K1 şi K0 , as!fel încât o funcţie obiectiv de tipul !SE să fie minimă. r

..

/

+

HR(s)

Hr(s)

y -•

Fig. 13.30

H () P

s

o".s_.

=(5s+IX0.2s+l)

1 HR(s)= KR(l+--+Tds)= Kp

7;s

Funcţia

obiectiv

ataşată

+ Kl +K 0 s s

acestei probleme de optimizare parametrică este

defomw: 00

F

=Je 2 {t}lt

sau

o min[F] =minlle(t

Dacă ţinem

~~~ =min 2~

seama

înlocuirea expresiei fUncţiei F sub forma: F(Kp,K 1 ,K 0 ),

fUncţia

că

J!E(jw

-

~ 2 dw.

1 ( /(s) fUncţie obiectiv, l+Hd s de sensibilitate şi efectuarea integra/ei, se

E(s) =

după obţine


628

iar valoarea minimă se va obţine pentru o combinaţie de valori a parametrilor Kp, KDAdmiţând că parametrii de acord variază în limitele: K pE [0.5 + 5.5 ], K 1 E [0. 3 + 3.5] şi K D E [0.4 + 2]. se poate alege o reprezentare binară a acestor parametrii cu o precizie dorită. Asţfel, dacă alegem pentru toţi parametrii o precizie de reprezentare cu patru zecimale, atunci fiecare parametru de acord este reprezentat printr-un domeniu de variaţie de lungime K1 şi

D1 = (b1 - a;}-10

4

,

unde a1 şi b; reprezintă valorile minimă şi maximă ale fiecărui parametru. În aceste condiţii: Kp =5·10 4 =50000 4

K1 =3.2·10 =32000 4

KD =1.6·10 =16000

deci variabilele Kp, K1 şi K0 potfi reprezentate ca şiruri binare de lungime de 16 biţi sau 14 biţi. Asţfel, Kp poate fi reprezentat în formă binară: 1100001101010000, K1: 111110100000000, iar K0 : 11111010000000. Cu cele trei variabile în formă binară se alcătuieşte cromozomul de lungime egală cu 45: 1100001101010000 111110100000000 11111010000000. Apelând rutina Matlab, care implementează AG pentru acordarea regulatoarelor PID, se obţin valorile optime ale parametrilor Kp, K1 şi Kv. iar răspunsul indicial al SRA este prezentat în figura 13.31. Step Response

1

i

0.8!'

06

0.4 i

021 o . o

5

10

15

20

25

Tlltl!{sec)

Fig.13.31

30

35

40

45

50


629

Se pot cu uşurinţă evidenţia performanţele răspunsului indicial al SRA pentru valorile optime obţinute printr-o procedură de optimizare de tip AG.

13.7. Tehnici inteligente hibride Tehnicile inteligente prezentate în acest capitol evidenţiază avantaje şi dezavantaje în cazul utilizării lor pentru rezolvarea unor probleme concrete din domeniul conducerii în timp real a proceselor. Se constată, de asemenea, că acestea prezintă un real sinergism ce poate fi exploatat în cazul în care aceste· tehnici sunt folosite împreună sub fonna unor metodologii hibride neuro-fuzzy, geno-fuzzy sau geno-neuro-fuzzy. Sistemele hibride îmbină avantajele şi performanţele diferitelor metodologii inteligente într-o singură metodologie, dar în acelaşi timp, reprezintă un set metodologie dezvoltat pentru caracterizarea cunoaşterii umane din punct de vedere al procesării informaţiei, al învăţării şi reprezentării cunoştinţelor. Pornind de la distincţia între nivelurile de procesare a informaţiilor la nivelul creierului uman şi anume nivelul microstmctural şi nivelul macrostructural, pot fi evidenţiate două niveluri de inteligenţă: inteligenţa artificială şi inteligenţa computaţională. Inteligenţa

computaţională

incorporează

metodologii inteligente neuronale, sistemele fuzzy şi algoritmii

software ce inte1,rrează reţelele genetici. Sistemele inteligente hibride pot fi grupate în patm clase, şi anume: sisteme bazate pe fuziunea diferitelor metodologii, sisteme bazate pe transformarea diferitelor tehnici, sisteme bazate pe combinarea metodologiilor şi sisteme de tip asociativ, care integrează celelalte categorii de sisteme hibride. Conceptele de fuziune, transfonnare şi combinare sunt aplicate în diferite situaţii apelând la strategii specifice ingineriei cunoştinţelor de tipul TOP- DOWN şi/sau BOITOM- UP. Sistemele inteligente hibride de tip asociativ integrează toate categoriile de sisteme hibride într-o configuraţie care încearcă o modelare a capacităţii creierului uman de procesare a informaţiilor şi cunoştinţelor. Atingerea unui asemenea obiectiv presupune o tratare coerentă sistematică multidisciplinară din perspectivă neurobio!ogică, psihologie cognitivă, al reprezentării şi procesării cunoştinţelor, al învăţării şi, desigur, din perspectiva inteligenţei computaţionale.

630


În [14, 29, 49, 61) sunt prezentate diferite aplicaţii ale arhitecturilor inteligente hibride. În [ 14) se prezintă o reţea neurală adaptivă având la bază

un sistem de inferenţă fuzzy (ANFIS), iar în [29) sunt prezentate arhitecturi hibride de regulatoare geno-fuzzy şi geno-neuro, în cadrul cărora regulatoarele fuzzy sau reţelele neurale sunt optimizate apelând la algoritmi genetici. Sistemele inteligente hibride reprezintă o direcţie importantă de cercetare, atât din perspectiva dezvoltării unor arhitecturi de sisteme de conducere automate, cât şi din perspectiva înţelegerii mecanismelor procesării informaţiilor la nivelul sistemului nervos uman.

14.

IMPLEMENTAREA

ANALOGICĂ

A ALGORITMILOR DE REGLARE

14.1. Introducere Pentru implementarea pe cale analogică a legilor de reglare convenţionale de tip PID pot fi utilizate diferite categorii de echipamente, diferenţiate prin sursa de energie utilizată şi tipul semnalelor. Aşa cum s-a menţionat în § 1.3 elementele de execuţie şi traductoarele, selectate pentru un anumit proces, pot determina tipul celorlalte echipamente de automatizare. Astfel, pot fi utilizate echipamente electronice, echipamente pneumatice, echipamente hidraulice sau structuri hibride. Echipamentele de automatizare pot fi integrate în sisteme unificate, caracterizate prin faptul că sunt utilizate senmale unificate la intrarea şi/sau ieşirea acestora, sau pot fi echipamente specializate concepute pentru aplicaţii date. De remarcat faptul că cele mai răspândite echipamente de automatizare sunt echipamentele unificate, având în vedere caracteristicile acestora: modularitate, flexibilitate, versatilitate. Adoptarea unei soluţii sau a alteia, pentru echipamentele de automatizare pentru un proces dat, se va face luând în consideraţie: peiformanţele sistemului de reglare (conducere), particularităţile procesului condus, mediul în care evoluează procesul, siguranţa în funcţionare, întreţinerea, exploatarea şi costul echipamentelor. În funcţie de natura senmalului, echipamentele de automatizare pot fi pneumatice, hidraulice şi electrice. Echipamentele pneumatice folosesc ca sursă de energie şi purtător de senmal aerul instrumental la o presiune standardizată cuprinsă în gama (0.2 + !) bari, iar echipamentele hidraulice folosesc ca sursă de energie uleiul sub presiune, la presiuni mult mai mari decât cele utilizate în cazul echipamentelor pneumatice. Echipamentele electrice de automatizare folosesc semnale unificate de curent sau tensiune electrică.

632

clasă

INGINERIA REGLĂRI[ AUTOMATE

Un sistem unificat de echipamente de automatizare cuprinde întreaga de echipamente necesare realizării automatizării unui proces, printre

care: traductoare (senzori + adaptoare de semnal); regulatoare; elemente de calcul; înregistratoare, contoare; elemente de execuţie; adaptoare de semnal unificat pentru interconectarea cu difetite semnale unificate; elemente de panou, elemente de transmitere la distanţă a mărimii prescrise, programatoare de semnal, structuri de alarmă şi protecţie, bariere de siguranţă; surse de alimentare. Modularitatea şi flexibilitatea ridicată a sistemelor unificate de reglare automată le recomandă pentru clase largi de procese. Principalele funcţii realizate de echipamentele de automatizare sunt: conducere ( reglare); alarmare şi protecţie; supraveghere şi monitorizare; pornire - oprire; modificarea regimurilor de funcţionare. Diferitele proprietăţi ale fluidelor utilizate în sistemele pneumatice şi hidraulice determină caracteristici specifice ale acestora. Aceste diferenţe între cele două categorii de sisteme sunt listate mai jos: 1. Aerul şi gazele sunt compresibile, în schimb uleiul este incompresibil. 2. Aerul nu are proprietăţi lubrifiante şi conţine totdeauna vapori de apă. Uleiul funcţionează ca un fluid hidraulic şi, în acelaşi timp, ca un lubrificator. 3. Presiunea de lucru în sistemele pneumatice este mult mai mică decât presiunea uleiului, care în unele aplicaţii poate atinge valori de ordinul sutelor de bari. 4. Puterea dezvoltată de sistemele pneumatice este mult mai mică decât puterea dezvoltată de sistemul hidraulic. 5. Precizia sistemelor de acţionare pneumatică este mare la viteze reduse, în timp ce precizia sistemelor de acţionare hidraulică poate fi asigurată în mod satisfăcător la toate vitezele. 6. La sistemele pneumatice nu sunt necesare conducte de retur, în schimb, la sistemele hidraulice aceste conducte sunt absolut necesare.

Implementarea analogică a algoritmilor de reglare

7.

633

Temperatura de lucru a sistemelor pneumatice este cupnnsa

între 5°C şi 60°C, cu posibilitatea de extindere de la 0°C la 200°C. Sistemele pneumatice sunt insensibile la variaţii de temperatură, în schimb, sistemele hidraulice sunt sensibile ca urmare a variaţiei vâscozităţii uleiului cu temperatura. Temperatura normală de lucru în sistemele hidraulice este cuprinsă în domeniul (20' + 70' ). 8. Sistemele pneumatice sunt sigure în funcţionare în medii explozive, în schimb sistemele hidraulice sunt incompatibile cu asemenea medii. Din această analiză comparativă rezultă particularităţile acestor categorii de echipamente de automatizare. Echipamentele pneumatice de automatizare_se caracterizează prin: simplitate constructivă şi funcţională; robusteţe în funcţionare în medii dificile (explozive); precizie redusă; complexitatea redusă a funcţiilor implementabile; întreţinere şi exploatare uşoară cu costuri reduse; necesitatea unei surse suplimentare de energie şi preparare a aerului instrumental; posibilităţi reduse de cuplare la nivelul ierarhic superior, reprezentat printr-un calculator; capacitate redusă de transmitere la distanţă a semnalelor, luând în consideraţie pierderile de presiune. Echipamentele hidraulice de automatizare se caracterizează prin: capacitatea de a dezvolta puteri mari în cadrul unor volume reduse; viteze mari de răspuns şi precizie ridicată; posibilitatea implementării unor funcţii complexe, în special în cadrul unor structuri hibride electrohidraulice; necesitatea unei surse suplimentare de energie şi de tratare a uleiului ca agent purtător de energie şi informaţie; siguranţă redusă în medii explozive; costuri ridicate şi întreţinere dificilă; capacitate redusă de transmitere la distanţă a semnalelor şi dificultăţi de cuplare la calculator. Echipamentele electrice de automatizare folosesc semnalul electric ca semnal unificat, cel mai răspândit fiind în forma (4+20) mA . Aceste echipamente se caracterizează prin: viteze ridicate de prelucrare a semnalelor;


634

posibilitatea implementării unor legi de reglare mai complexe decât în cazul sistemelor pneumatice; cuplarea relativ simplă la calculator; posibilitatea transmiterii la distanţe mai mari a semnalelor; siguranţa redusă în medii dificile (medii explozive); întreţinere şi exploatare uşoară; nu necesită o sursă suplimentară de energie. Astfel, prin automatizarea unui proces se înţelege ansamblul de funcţii şi proceduri realizate de echipamentele de automatizare în vederea funcţionării procesului la parametri doriţi. Echipamentele de automatizare preiau în esenţă toate sarcinile de conducere şi supraveghere a unui proces industrial, scoţând în afara buclei operatorul uman.

14.2. Structuri de regulatoare

în cele ce urmează vor fi tratate problemele specifice implementării legilor de reglare şi elaborării comenzilor pentru conducerea/reglarea a unor mărimi din proces. în figura 14.1 se prezintă structura generală a unui sistem de conducere, cu evidenţierea locului şi rolului unui regulator. Regulatorul prelucrează informaţia din proces furnizată de traductor (traductoare) şi referinţe r. Referinţa poate fi prescrisă de blocul pentru prescrierea referinţei (BPR) sau de către calculator, în cazul în care comutatorul C 1 se află pe poziţia 2. în acest din urmă caz, calculatorul funcţionează în regim de supervizor, fixând referinţa pentru regulatoarele ce se află la nivelul executiv. Prelucrarea infonnaţiei din proces şi a referinţei se realizează după legi diferite sau după o singură lege de reglare, la care intrarea este eroarea e= r(t)- y(t). Comanda generată de regulator se transmite spre elementul de execuţie prin intermediul comutatorului C2 , care fixează regimul de funcţionare al regulatomlui. Astfel, pot fi evidenţiate trei regimuri de funcţionare:

Automat (comanda elaborată de regulator se transmite direct la elementul de execuţie); Manual (M) (comanda este generată de blocul de comandă manuală (BCM) şi transmisă spre elementul de execuţie, dacă se comută pe poziţia M comutatorul C2 );


635

Calculator (C) (comanda este generată de calculator şi transmisă printr-o interfaţă de proces spre elementul de execuţie, dacă se fixează comutatorul C2 pe poziţia C ). CALCULATOR

~ M

-

~~

c A

~~

2

11 ,l....-'l'i

BPR

r(t)

y(t)

A REGULATOR

u(t)

BCM

TRADUCTOR

~ m

:f

VI

vl

INSTALATIE TEHNOLOGICA

p

Fig.14.1

Regulatorul se poate găsi în situaţia activă de elaborare şi transmitere a comenzii sau în situaţia de rezervă (staţie back-up), în cazul în care conducerea procesului este asigurată prin intermediul calculatorului în regim de comandă numerică directă. Indiferent de tehnologia de realizare (pneumatică, hidraulică, electronică analogică sau numerică), în structura unui regulator vor fi incluse module constructive şi funcţionale (module software) care să realizeze [19]: condiţionarea mărimilor măsurate (CMM); generarea referinţei ( prescrierea referinţei) (BPR); elaborarea erorii (calculul erorii prin comparaţie) (EC); afişarea, vizualizarea mărimilor de interes (AV); deplasare-limitare (desaturare) (DL); transfer automat-manual (TAM); automată


636

echilibrare comenzi la comutare automat-manual-calculator (EAM); adaptare semnal ieşire (AE); elaborare comandă conform legii de reglare (BEC). Structura modulară a unui regulator analogic este prezentată în figura 14.2. AV Omm1a llllllllala REFER!NfA EX1ERNA

r

f

y r

r,

BPR

r,

BEC

r--

A

lJlA'I

f-+

Ym

LJ

j--J

TAM r-Lt

AE

f--4

f

y

CMM

[L

E<\M

EC

Fig. 14.2

Aceste module incluse în stmctura unui regulator se întâlnesc, atât în analogice a informaţiei, cât şi în cazul prelucrării numerice, diferenţele fiind impuse de particularităţile modului de prelucrare a cazul

prelucrării

informaţiei.

Regulatoml, în conformitate cu structura dată în figura 14.2, este un sistem capabil să prelucreze informaţii, să elaboreze comenzi şi să transmită aceste comenzi spre elementele de execuţie. în funcţie de tehnologia utilizată pentm implementarea acestor obiective, semnalul informaţional intern capătă diverse forme: spre exemplu, în cazul utilizării amplificatoarelor operaţionale pentm implementarea algoritmilor de reglare, prelucrarea informaţiilor se efectuează prin tensiuni în domeniul [- U, + U] volţi, unde, frecvent, U = 10 volţi. Conversia mărimilor fizice r 1 şi y 1 , în semnale informaţionale interne se realizează luând în consideraţie domeniul de variaţie al mărimilor fizice sub forma:


637

. U E [O,U j volţi

y

yf _yf mm . U E [o.uj volţi, yl _y.f max mm

(14.1.)

iar eroarea E este reprezentată de o tensiune din intervalul [- U ,U]. Mări mile interne, prin care sunt prelucrate informaţiile în cadrul unui regulator dintr-un sistem unificat, sunt uni tare şi sunt independente de procesul la care se aplică. Corelarea cu procesul la care se aplică se efectuează numai prin sistemul de afişare-vizualizare, care permite operatorului o urmărire uşoară a evoluţiei mărimilor specifice. Funcţia de condiţionare a mărimii măsurate permite furnizarea mărimii interne y purtătoare de informaţie privind mărimea fizică măsurată în instalaţia tehnologică, mărime fizică reprezentată prin semnalul yf . Procesul de condiţionare presupune în general următoarele operaţii principale: adaptarea formei de reprezentare a semnalelor; filtrarea semnalelor purtătoare de informaţii; separarea galvanică; introducerea unor corecţii prin semnale offset. Unele funcţii menţionate mai sus pot lipsi sau pot fi activate în anumite condiţii. în funcţie de tipul şi performanţele sistemului de măsurare a variabilelor din instalaţia tehnologică, operaţiile de condiţionare pot fi substanţial reduse (în cazul utilizării traductoarclor inteligente). Referinţa r , luată în consideraţie în bucla de reglare, poate fi generată în 4 moduri: a. Referinţa externă ( r,) este transmisă printr-un semnal eventual unificat. Acest semnal extern este condiţionat şi adus la aceleaşi caracteristici ca şi mărimea y în vederea comparării (dacă este cazul). b. Referinţa locală ( r1 ) este ajustată de la pupitru prin intermediul unui sistem specializat de Ajustare Locală a Referinţei. Ajustarea manuală a referinţei locale asigură acesteia aceleaşi caracteristici cu ale semnalelor ( r, ) ŞI

y.

de calculator (re) are atributele referinţei locale, însă comanda se efectuează de la distanţă, eventual de la un calculator plasat la nivelul ierarhic superior.

c.

Referinţa comandată


638

cu evoluţie În timp programată ( rP (t)) se realizează printr-un bloc de programare referinţă, care generează semnalul rP (t) cu domeniul de valori ca şi re şi 'c, dar cu o evoluţie în timp fixată de blocul de programare. Pentru evitarea apariţiei unor funcţionări necorespunzătoare a SRA la modificarea referinţei, în structura regulatoarelor moderne este inclusă funcţia de AutoRamping, prin care semnalul de referinţă r luat în consideraţie de legea de reglare, se poate modifica de la o valoare la alta, numai cu panta prestabilită pentru a evita apariţia şocurilor în funcţionarea SRA. În cazul sistemelor de urmărire sau de reglare după program, această facilitate trebuie inhibată. Comparaţia referinţei r cu semnalul y permite realizarea erorii d.

Referinţa

e(t)=r-y E [-U, +U] sub forma unui semnal compatibil cu blocul pentru elaborarea comenzii (realizarea legii de reglare). Eroarea poate fi obţinută indirect în cadrul blocului de elaborare a comenzii sau poate fi generată de un modul specializat care realizează operaţia de scădere cu precizie mai mare decât operaţiile din legea de reglare. În cadrul acestui modul, se poate asigura schimbarea semnului pentru compatibilizarea comenzii cu elemente de execuţie normal închise sau normal deschise. Pot fi incluse funcţii suplimentare de filtrare şi limitare a erorii. Funcţia de afişare-vizualizare asigură interfaţa cu operatorul, permiţând vizualizarea în unităţi fizice (unităţi inginereşti) a unor mărimi esenţiale pentru urmărirea comportării SRA. În general, sunt afişate următoarele mărimi:

mărimea măsurată, referinţa şi mărimea

de

comandă

eroarea; (ieşirea din blocul de elaborare a

comenzii); mărimile de intrare la elementul de execuţie (ieşirile din regulator). Pentru obţinerea informaţiilor în unităţi fizice având în vedere că un regulator operează cu semnale interne specifice tehnologiei de realizare, se impune utilizarea unor convertoare corespunzătoare şi adaptarea interfeţei operatorului de proces pentru asigurarea acestui obiectiv. Astfel, afişarea valorii interne y se face prin mărimea

"inginerească"

yfr

prin aşa numită "relaţie de afişare în unităţi fizice":

- yf _._l.yt - yf ly } JlTfl"min · ~ lTmax lTmin.

(14 · 2)


639

care înglobează caracteristica statică a traductorului normalizare ale semnalelor unificate: Y

f_ J -Yrn;n

r.;{..-r.;(;n

+

J

(

J

J _yf

YIT

ITmin

)

ŞI

relaţiile

de

(14.3)

•

YIT max - YIT min

Relaţiile de normalizare a semnalelor unificate exprimă dependenţa dintre variabila internă şi semnalul corespunzător, aplicat la intrarea echipamentului, de exemplu:

y

yf - r:f J

nnf

=

U E [O, V] volţi.

(14.4)

Ymax- Ymin Dacă

operatorul uman doreşte să introducă anumite valori ale mărimilor controlate (pentru alarme şi protecţie) se activează blocul de normalizare din interfaţa cu operatorul prin care se "simulează" lanţul de obţinere a informaţiilor de la procesul fizic. De exemplu, dacă operatorul doreşte să introducă o valoare yfr E h·min, Yh'-max J, atunci în algoritmul dereglare se va seta valoarea y:

[r

-f

.. Yrry; f

yf

-J

Yrr-

ITmin

f y/T max - y/Tmix

unde DYIT

reprezintă

yf

(14.. 5)

ITmîn

D yIT

domeniul de

variaţie

al

mărimii

fizice din

instalaţia

tehnologică.

14.3. Elaborarea comenzii folosind amplificatoare operaţionale

Pentru a ilustra modul de realizare a legilor de reglare convenţionale apelând la amplificatoare, considerăm structura din figura 14.3. Se va considera că banda de frecvenţă a amplificatorului este foarte largă (constante de timp neglijabile) şi amplificarea este foarte mare. În aceste condiţii, ieşirea u(s) din figura 14.3 este dată de relaţia: A(s\ U ( s) =

.

J

1 l+Hc(s A\s

)

•

e(s)

sau

U(s) HR(s) dacă

:=

e(s)

.

A

= l+Hc(s)

jA(jw)l = Ao este foarte mare.

(14.6)

ING!NER/.4 REGLĂRI! AUTOMATE

640

u

E -/

Amplificator

-

H c(s)

1--

Fig.14.3

în această funcţie de transfer,

H c( s) reprezintă funcţia de transfer a

unui circuit de corecţie în jurul amplificatorului. Astfel, pentru cazul în care factorul de amplificare este suficient de mare şi banda de frecvenţă a amplificatoarelor este cât mai largă, se poate obţine legea de reglare dorită prin alegerea circuitului de corecţie cu funcţia 1

de transfer Hc( s i - = - H R( s)

Rezultă că precizia implementării unei legi de reglare folosind amplificatoare şi circuite de corecţie este determinată de performanţele amplificatorului şi de particularităţile circuitului de corecţie. Pentru realizarea legilor de reglare de tip PID analogice, cel mai frecvent se folosesc amplificatoare operaţionale electronice integrate şi reţele de corecţie RC, conectate în diferite structuri. Schema echivalentă a unui amplificator este prezentată în figura 14.4. Mărimile echivalente din acest cuadripol (schema echivalentă a amplificatorului operaţional) sunt următoarele: v-(s), v+(s), u.(s): potenţialele faţă de punctul de masă ales pentru bornele inversoare, neinversoare, respectiv ieşire; Z;(s), z,(s): impedanţele de intrare, respectiv ieşire, în circuit deschis (rară circuite de reacţie); A(s): funcţia de transfer în circuit deschis (amplificare); E0 (s ): tensiunea echivalentă rezi duală. Tensiunea diferenţială Ud = U1 -U 2 permite calculul tensiunii U0 = -AoU d, unde Ao reprezintă amplificarea în regim staţionar.

Implementarea analogică a algoritmilor dereglare

z,

I 1(s)

Uz= ţr

Z1

ud

o-

I,(s)

uz

u,

uo

641

lud

{)

l

"·l

Ul

~

+

ul

;v+

Fig.14.4 Funcţia de transfer în circuit deschis

A(s) se poate deduce A( w) =IA( jwJI a amplificatorului

interpretând caracteristica de frecvenţă utilizat, caracteristică dată în catalogul amplificatorului. Dacă amplificatorul operaţional are caractenstJca reprezentare logaritmică ca cea prezentată în figura 14.5.a, transfer poate fi pusă sub forma:

A(s)=~, 1 w0

funcţia

în de

(14.7)

Ts+I

unde

A(w)

1 2nj0

T=-- = --.

A(w)

dB

A(w) dB

20 10

o J,

lgw

lgw

b)

a) Fig.14.5

poate fi

În cel de-al doilea caz (fig. 14.5.b), funcţia de transfer ataşată (AO) aproximată ca: A 1s)-

Ao

\ - T 2 s 2 + 2~Ts + 1 '

(14.8)


642

unde

pulsaţia de frângere este egală cu

_.!._ =

T

ro0 = 2rrj0 . Forma caracteristicii

este dependentă de valoarea factorului de amortizare. De remarcat faptul că în cel de-al doilea caz, aproximarea caracteristicii A( ro) prin asimptotă este cu atât mai imprecisă cu cât 1; este mai departe de 1; = 1 . În schema echivalentă a (AO) s-a considerat că tensiunea reziduală este egală cu zero, fapt real pentru un amplificator de bună calitate şi echilibrat corect. Pentru realizarea diferitelor legi de reglare se pot include la (AO) diverse tipuri de reacţii: reacţie paralelă de tensiune, montaj inversor; reacţie paralelă de tensiune, montaj neinversor; reacţie în T, simplu sau dublu; reacţie serie de tensiune. Amplificatorul operaţional cu reacţie poate fi utilizat în trei moduri distincte: intrare aplicată pe borna inversoare; intrare aplicată pe borna neinversoare; intrare aplicată diferenţia! pe cele două borne. 14.3.1.

Structură

cu AO cu

reacţie paralelă

de tensiune

şi

montaj

inversor

Schema simplificată a acestei structuri este prezentată în figura 14.6. În punctul (a) are loc egalitatea: ll(s)+lz(s)= li(s) (14.9) sau (14.10) U 2 =-A·Ud

Rezolvând (14.10) prin eliminarea lui Ud, se transfer:

HR(s)= U2 (s) = _ Z2 (s) ·---=l=----=-U1(s) Z 1(s) l+ Z?_+_Zz i+

zi

A

zi

obţine funcţia

de

(14.11)


1 ud

1 A.

R;, Z,

643

>-----'----o

r--1+

112

1

~ Fig.14.6

Pentru cazul în care A="", z, = oo, Z, =O, se transfer H Ri (s), care reprezintă funcţia de transfer amplificator ideal: -

Z

(s)

2 HR; (s ) = --,-).

obţine funcţia realizată

de cu un

(14.12)

zl~s

În aceste relaţii s-a neglijat constanta de timp a amplificatorului, fiind considerată foarte mică (parazită). Pentru a exemplifica, considerăm Z1 (s)=R1 , Z2 (s)=R2 Şl

A(s)=~.

1 În cazul ideal, se obţine:

'!"S+

H Ri(s)= !!J..= KR, Rl şi reprezintă

o lege de reglare de tip P ideal. În cazul real, ţinând seama de (14.11 ), se obţine: HR(s)=Rz.. r

·

R1

1

+ Rz_ + !?_z_ 1

Rt R. 1+---' Ao_ rs+ l

sau

(14.13)


644

unde · KR

R2

1

RJ

..!2_ + ..!2_ + _1_ + 1

; - . --:::---7----:---

R;Ao

RJAo

Ao

R1(R 2 + R1 )+R2 R1 P -T R [R +R;(Ao +1)]+R R ' 1 2 2 1 cu R1 » R2 , Ao » 1 se obţine, evident, modelul ideal pentru regulatorul de T _

tip P. În acest exemplu s-a considerat că funcţia de transfer a regulatorului este definită ca raportul tensiunilor de la ieşire şi intrare cu semn schimbat. O schemă echivalentă a (AO) cu reacţie rezistivă şi montaj inversor este prezentată în figura 14.7.

-1

- V+

Rz

iz

~ -

1

Ut

~i;

Ud

R;

_.1L Ts+l

Rt

Uz

Fig.l4.7

14.3.2.

Structură

cu AO

şi reacţie paralelă

de tensiune-montaj

neinversor Această structură

U X--

zl Z 1 +Z2

U2

este prezentată în figura 14.8, în care: (14.13)


645

j---

i ~ "d

Ux

Ul

...

r

/

uz

2 1 (s)

_L

Fig. 14.8

Expresia seama de Ux:

funcţiei

Zz(s

de transfer în cazul real se obţine cu uşurinţă ţinănd

)l ·

HRr (s ) = [1+-(-)

(14.14)

Z1 s J

1+ iar în cazul în care A --7 oo, Rt . Z 2 (s) HRi (s ) =1+-() ZI s

--7

=, Ze =O ( Z; (s) = R; ):

(Ud =0, i; =O)

(14.15)

Un caz particular al acestei structuri este prezentat în figura 14.9.

l i

o u

jud l

l

~ l

o u2

ul Fig. 14.9

l

646


În acest caz, Ud =O, i; =O, U 2 = U 1 şi, astfel, se obţine un repetor cu amplificarea egală cu l:

HR(s)=!. 14.3.3. Structură cu AO în montaj

diferenţia!

În figura 14.10 se prezintă structura cu AO şi reacţie de tensiune în

montaj

diferenţia!.

z,

u,

Fig. 14.10 Funcţia

de transfer în acest caz se

obţine

într-o

manieră similară şi

are forma:

HR(s)=

U3(s) Zz(s) U1(s)-U 2 (s) Z1(s)

14.3.4. Structură cu AO

(1 4 .1 6 )

şi reacţie în

T, montaj inversor

În acest caz, avem [19, 34, 66]: H . (s) = ZaZb Rt

+ zbzc + ZcZa zlzc

L'. zlzc

(14.17)

unde

Iar (14.18)


u

1

647

"' l

+

±

0------------~----------------------------~o

14.3.5. Structură cu AO

Fig.14.11 şi reacţie potenţiometrică

de tensiune

Pentru a asigura modificarea independentă a parametrilor unui regulator, se pot utiliza diferite metode. Una dintre acestea este şi utilizarea reacţiei potenţiometrice de tensiune (fig. 14.12).

1

+

(!-a)RP

RP

l)

aRP

uz(sl

o----------------------+-.--------------4-----~o

Fig.14.12

1


648

Notând cu a poziţia relativă a cursorului, a E(0,1] structura se transformă într-o structură cu reacţie înT- montaj inversor cu: Za =Z 2 , Zb=(1-a)Rp, Zc=aRP. Funcţia de transfer în acest caz este: HR;(s)= Z2(1-a)Rp +(1-a)RpaRP +aRPZ2 Z1aRP

(14.!9)

sau HRi(s)=.!_ Z2 a Z1

-(1-a)~P

Z1

Dacă se alege RP

(14.20)

«/Zd, atunci:

~.!_ z2 , aE(O,Ij.

(14.21) a Z1 Cu aceste elemente pregătitoare se pot selecta structuri cu AO şi diverse tipuri de reţele de corecţie pentru realizarea legilor de reglare HR;(s)

convenţionale.

14.4. Realizarea legilor dereglare de tip P, Pl, PD, PID 14.4.1. Realizarea legii dereglare de tip P

Cea mai simplă structură pentru realizarea legii de reglare P este în figura 14.13, cu

prezentată

iy - i,

= -i2

uy u, u2 - - - = - - , u d =0

Rb

Ra

R2

sau Rz

Rz

(14.22)

u2 =- Rb uy+ Rau, Dacă

alegem Ra = Rb = R1, se obţine:

Uz=-~~ (uy -u,)= KR(uy -u,) iar funcţia de transfer are forma: H R () s -

U 2 (s) ( ) ( ) Uy s -U, s

_ R2 -K R - - · - . R1

(14.23)


1--

iy

Rb

12

1

Uy

ir

Ra

~ud

Ur

r'

649

~

V

u2 1

~

J._ Fig.14.13 O

structură simplă

pentru realizarea legii de reglare de tip P este

prezentată

in figura 14.14. În cazul ideal, algoritmul de reglare obţinut este de tip P, cu HR(s)= KR. În cazul real, când Z; (s) = R; finit şi A (s) = _::l_g_, se obţine: rs+l

f/Rr

() s =

R2 R! 1

+

l R· R _l_+_l_+l Rl R;

R2

Ao

-"-R1 flo+!ns+a

_Aq_ rs+l

Fig. 14.14


650

sau

Rz

Ao RI Ao +a

Se T

'

= '

obţine,

Ao+a

K' = Rz R

Rl

,

1

(14.24)

-. s+! Ao+a

astfel, un sistem de ordinul I cu o

unde

Rz Rz a= 1+-+R1

R;

ŞI

un

factor

constantă

de

de timp

amplificare

Ao
flo +a

R

În figura 14.15, se prezintă răspunsul ideal ŞI real al structurii prezentate în figura 14.14.

t

uz ! !

'i----

i i i

i i'

t Fig.14.15

De remarcat faptul că în montajul selectat rolul esenţial în aproximarea funcţiei de transfer H Ri (s) îl joacă A0 • Într-o manieră similară, se poate obţine comportarea de tip P, dacă se foloseşte AO în montaj neinversor (fig. 14.16):

analogică

Implementarea

a algoritmilor de reglare

651

R2

t--

ud

u"

~

V

u2

Rl

l

1_j_ Fig.14.16

în care Şl

(14.25)

14.4.2. Realizarea legii dereglare PD cu filtrare (PDF) În figura 14.17 se prezintă structura AO cu reacţie de tensiune în montaj inversor care realizează legea PDF cu:

z2 (s) =

Rz

R2C 2s+l

Funcţia

'

ZI

de transfer

(s) =

Rl

R1C 1s+l

realizată

.

de structura din figura 14.17, în cazul

ideal, este: HR;(s)=

Zz(s)= Z 1 (s)

R2 R1C1s+l R1 R2C 2 s+1

(1 4.26 )

sau (14.27) unde

INGINERIA REGlARI! AUTOMATE

652

11

1 : 1

i1

RI Ue

"'

,_...

~R,

y

iz ~

"' l ~

J_ Fig.l4.17

Alegerea elementelor de circuit R1 , C1 , R 2 şi C2 poate asigura o comportare de tip PDF, dacă a<< 1 . În mod similar, se poate obţine o funcţie de transfer de tipul PDF dacă se foloseşte boma neinversoare (fig. 14.18).

Fig.l4.18

Implementarea

analogică


653

cu

(14.28) sau HRi(s)= KR

l+sT~ .. l+saTd

(14.29)

O structură interesantă (fig. 4.19) se a unui repetor în jurul unui AO, în care lj = -l2 ud

obţine

prin includerea în

reacţie

=0

ŞI

ue;

ux

-=--

(14.30)

i2

Fig.14.19


654

Rezolvând (14.30) prin eliminarea tensiunii ux, se _ H Ri (s ) -

KR

obţine:

_1+_s_Td"_ l+sTp

(14.31)

unde: KR

R

2 , Td =(R3+R4 )c3, Tp =R4C3. =-

Rl

Dacă R4 =

o, se obţine o lege de reglare PD ideală.

14.4.3. Realizarea legii de reglare I, PI pentru realizarea operaţiei de integrare este prezentată în figura 14.20, în care i 1 = -i2 , i; =O şi ud =O. În acest caz, impedanţele din circuitul de reacţie sunt Z 1(s )= R1 , 1 Zz(s)=-. C2 s O

structură simplă

lz

il Rl

Cz

Ue ud

rl+ 1 1

"'l

Fig.14.20 funcţia

de transfer

ideală

este:

H R;(s)= Z 2 (s) =-1~=-1 · 2 1(s) R 1C 2 s T;s ·

(14.31)

unde T, = R1C 2 reprezintă constanta de timp integrală. Realizarea legii de reglare Pl se obţine folosind, spre exemplu, structura din figura 14.21.


655

a)

Us

Uz

b) Fig. 14.21

În cazul în care AO este utilizat în montaj inversor, funcţia de transfer are forma: (14.32)

sau (14.33)


656

unde

R KR =-z, T; =RzCz. Rl

Dacă

se ia în

consideraţie

R1 = finit , se poate obţine

funcţia

limitată A(s)=~ ŞI

amplificarea

ts+l

de transfer reală:

+_1_) 1 1 R 1+(1+-1-J(-1 +-1) 1+ ~

(s)- R2 (

H Rr

-

1(

(14.34)

R 2C 2s

R 2 C2 s

R1

R2

ts+! După efectuarea calculelor, se poate scrie funcţia de transfer H Rr (s) sub forma: (14.35) H Rr (S) -- K'R T;s+1 ' aT;s+l

unde K~ otKR, a>!. În consecinţă, în cazul utilizării unui amplificator cu factor de amplificare finit, '"'O şi R1 finit, se obţine o lege de reglare de tipul întârziere-anticipaţie.

În cazul în care se foloseşte structura din figura 14.2lb, funcţia de transfer H Ri (s) are forma: (14.36) sau 1 HR;(s)=KR[l+- ) 1js R 7 + R1

un de K R = -

Rl

(

(14.37) ,

, T; = R1 + R2 )Cz.

O altă variantă pentru realizarea legii de reglare PI este prezentată în figura 14.22, cu: i 1 = -12 ,

ud

=O şi

(14.38)


657

c

uz

Fig.14.22 Funcţia

uşurinţă

de transfer ataşată structurii din figura 14.22 se prin eliminarea tensiunii intermediare u x :

HRi(s)=!:L= R2 l+R3Cs u, R1 R3Cs

unde K R

=-R2 , RI

Ti

obţine

cu

(14.39)

=R3C.

remarcat faptul că utilizarea acestei structuri elimină interinfluenţa între parametrii de acord, parametrii K R şi 1j putând fi ajustaţi independent. De

14.4.4. Realizarea legii dereglare PID

Cea mai simplă structură pentru realizarea legii de reglare PID este prezentată în figura 14.23, cu i 1 = -i 2 şi ud =O. În această structură identificăm: 1

Z2 (s}=R 2 + C2s

(14.40)


658

iar funcţia de transfer H Ri (s) are forma: H Ri(s)= KR(I

unde

KR

= Rz, Ro

7;

+-1-) Tds + 1 T,s TFs+l

= R2C2,

(14.41)

Td =(Ro+ R1)c1

şi

TF

=R1C,.

Fig.14.23 Dacă

alegem R1 = O, se obţine o lege de reglare PID fără filtrare. De remarcat faptul că această structură conduce la interinfluenţe între parametrii de acord ai regulatorului. Pentru a evita interinfluenţa se poate adopta o structură cu separarea componentelor P, I şi D (fig. 14.24): unde:

u, 1 Rl+-C3s UDTI

=

(14.42) 1+ R4 C3 s Funcţia de transfer a întregului ansamblu se obţine cu uşurinţă ţinând seama că ultimul AO realizează operaţia de însumare şi realizează şi factorul de ampiificare independent de 7; şi 1d : ue

HRi(s)=

KR[l+-sif1-+~j 1+ sT1

unde parametrii de acord se KR

=: 6 5

,

7;

calculează

(14.43) cu relaţiile:

=R2C2 , 1d =R3C3 şi

7j = R4 C3 .


659

~ uon

1

1

Fig.14.24

În mod similar, în cazul structurii pentru realizarea legii de reglare de tip PI cu considerarea unui AO real, se poate obţine funcţia de transfer reală pentru algoritmul PID. Admiţând R1 =O în figura 14.23, se poate scrie funcţia de transfer reală H Rr (s) sub forma: HRr (s)= Rz R0

[l+-

1

-)(R1C1s +1)*

R2C2s

1

*-------,------,-----------,-----~

(14.44)

1+ Rz (l+-1-)(RoCis+1) + Rz (1+-1-) Ro R2 C2 s · R1 R2 C2 s 1+ ___&___ Ts+1 Din analiza relaţiei (14.44) rezultă o funcţie de transfer de forma: H R.. ( S) -_ K R 1+ T;s Tds + 1

·

unde a> 1

a7js+!P~s+1

şi

'

(14.45)

p< 1 , ceea ce evidenţiază o lege de reglare compusă din două

reţele "anticipaţie-întârziere" şi "întârziere-anticipaţie".

INGINERIA REGLAR/1 AUTOMATE

Prin alegerea corespunzătoare a structurii circuitelor de corecţie şi a structurii AO în montaj inversor, neinversor sau diferenţia!, pot fi realizate legile de reglare convenţionale cu parametrii de acord KR, T;, Td, TF cu largă aplicabilitate, atât pentru procese lente, cât şi pentru procese rapide. 14.4.5. Probleme ale preciziei de realizare a legii de reglare acordare a algoritmilor implementaţi cu AO

şi

de

Precizia de realizare a legilor de reglare este direct influenţată de AO şi de structura circuitului de corecţie. Aşa cum s-a menţionat deja, răspunsul indicial al unui regulator P este diferit pentru cazul real şi ideal. În mod similar, se poate arăta diferenţa între comportarea performanţele

ideală

(AO ideal)

şi

comportarea

reală (A(s)=~, ŢS+

l

R; =finit) a

algoritmilor PI şi PID implementaţi cu AO şi circuite de reacţie. În tabelul 14.1 se prezintă sintetic răspunsul indicial şi caracteristica de frecvenţă A(w) pentru algoritmii P, PD, PI şi PID, în cazul real şi ideal. De observat faptul că, în funcţie de abaterile rezistenţei de intrare a AO faţă de valoarea ideală, precum şi în funcţie de abaterea amplificării AO faţă de valoarea ideală, acestea determină modificări ale răspunsului indicial şi, în mod corespunzător, o comportare în frecvenţă cu abateri semnificative faţă de comportarea ideală. Structura circuitului de corecţie poate influenţa precizia de realizare a legii de reglare prin apariţia fenomenului de interinfluenţă între parametrii de acord. Astfel, modificarea unui parametru determină modificări necontrolate ale celorlalţi parametri. Precizia acordării algoritmilor implementaţi cu AO şi circuite de reacţie este influenţată de precizia de realizare a elementelor de circuit R şi C, precun1 şi de structura circuitelor de corecţie. De menţionat că, în cazul valorilor mari ale constantelor T; şi Td, pentru regulatoarele destinate proceselor lente apar probleme în realizarea preciziei dorite de acordare, ţinând seama de valorile mari ale rezistenţelor variabile din structura circuitului de corecţie, ca urmare a costurilor ridicate ale acestor rezistenţe variabile de valori mari. Anularea sau diminuarea efectelor interinfluentei între parametrii de acord se poate realiza prin alegerea corespunzătoare a structurii blocului de elaborare a comenzii cu AO şi, evident, prin selectarea structurii circuitelor de corecţie. Cea mai simplă metodă de eliminare a interinfluenţei este separarea componentelor P, I şi D, însă o asemenea soluţie este mai complexă şi mai costisitoare.

Implementarea

analogică a

algoritmilor dereglare

661 Tabelul 14.1

Tipul aleoritmului (P) HR,(s)= KR

HR,(s)=~

Răspuns

Caracteristici de

indicial

frecventă

•

UJ

[A1e [kR1e

kR

Uc

T,s+l

;

k~

".

'' ' '''

Ue

lrf,

' u

(Pl) HR,(s)= H

Rr

Knll+

(s)=K'

1~s J

l+'ljs

R 1+aTs l

(PID)

1 HR,(s)=K{1+- }Tds+1) T;s

HR,(s)= K~

[A1e

V

u u,

l+Tds 1+ aT;s 1+ PTds

Rr

(s)=K' Tds+l . RaTds+!

''

lff;

1/ c!Ij

lgw

~ALe

~ :: .... : -

V

--~

1 !

1

li

1 1

1 1 1

'

'

1 1 1

1

: : lff;

a>l, P
H

''' '''

'

'''

l

1+1js

(PD) H Ri(s)= KR(1+Tds)

~ ''

/_

Ue

kR

lgw

lldlj

l : 1/ trr,

{JI;

d

'

lgw

~ALe

u u,

1f\ V

,,

kR

\...- k~

-----( ' •'

'

'' ' •' • •

trt, 11ard !gw .

' (Caracteristicile ideale sunt reprezentate caracteristicile reale, cu linie punctată)

IT---~

cu

linie

continuă,

iar


14.5. Elemente de compatibilitate a comenzii cu diferite elemente de execuţie Blocul pentru elaborarea comenzii furnizează mărimea de comandă uc în urma prelucrării matematice a informaţiilor despre mărimea prescrisă (referinţa) şi mărimea măsurată, reprezentată prin variabilele interne r, y şi e. Aceste mărimi sunt adimensionale normalizate şi se consideră că în condiţii normale de funcţionare ele iau valori în intervalele [o,l], respectiv (-1.1] pentru eroare. Condiţiile normale de funcţionare menţionate mai sus se referă la faptul că mărimile fizice pe care le reprezintă iau valori în domeniile declarate ca fiind normale. Aceste variabile pot fi reprezentate, în unele aplicaţii, procentual: r% , y% E [0, 100] %

sau e% E [-100, 100]%

sau raportate la o valoare fizică limită U : r,yE

[O,U]=[O,Ip,

e

E[-U, Uj=:[-1, l]U.

cazul implementării legii de reglare cu AO, tensiunea U =10 V , iar în cazul implementării numerice în virgulă fixă, U poate fi valoarea numerică pozitivă maximă de reprezentare a numerelor care sunt prelucrate prin algoritmi de calcul în virgulă fixă. Ieşirea uc din legea de reglare se poate considera ca fiind un număr real oarecare, uc E R, chiar dacă, de exemplu, din punct de vedere fizic,

în

uc e

[-uJ.

Pentru a compatibiliza mărimea elaborată prin legea de reglare cu intrarea în elementul de execuţie (ieşirea hard a regulatorului), regulatoarele sunt prevăzute cu funcţii de deplasare-limitare şi de adaptare. Aceste funcţii sunt realizate explicit prin blocuri specifice sau sunt incorporate în blocul de elaborare a comenzii. Funcţia de deplasare este realizată prin adăugarea unei valori constante u~ E [-u] la mărimea u0 rezultând mărimea de comandă deplasată: d-

Uc - Uc

+ Ucb

•

în felul acesta se poate ajusta o valoare dorită a ieşirii din regulator (intrarea în elementul de execuţie) care căreia au loc evoluţiile dinamice.

să corespundă

valorii uc =O în jurul

Implementarea analogică a algoritmilor de reg/are

663

Compatibilitatea cu elementele finale de ieşire se asigură printr-un bloc care asigură o valoare a mărimii de comandă deplasată şi limitată u~1 : d

0 dl

Uc

=

u, <0

u~ E [o,u,M].

d

Uc

1

(14.46)

UCM

unde valoarea maximă a comenzii u,M este

ajustată

de utilizator.

Blocul care realizează funcţia de deplasare şi limitare (desaturare) este descris în regim staţionar prin următoarea relaţie intrare-ieşire: O pentru

u~1 = uc +u~ UCM

CU U~E[-1,1],

u,M

u, < -ui

pentru

pentru

UC

uc E[-u~, > UCM

'' '' ' '' -1

(14.47)

b -

statică

UC

a blocului de deplasare-limitare este

r----~---------------

l'

-u%]

E[O,l].

Caracteristica în figura 14.25.

''' ': ''' '

ucM

UcM

prezentată

-------------------,'

''' -------- -",..----...;''

ub c

o Fig.14.25

Mărimea

de comandă elaborată de regulator sau generată normal se transmite spre elementul de execuţie prin intermediul unui adaptor de ieşire. Mărimea (mărimile) de ieşire din adaptor uf sunt aşa numitele ieşiri hard şi exprimă mărimi fizice purtătoare de informaţii. Aceste mărimi pot fi de două tipuri: ieşiri liniare şi ieşiri bipoziţionale.

INGINERIA REGLA-R!I AUTOMATE

664

În general, se iau în consideraţie două ieşiri ale adaptorului,

u{1

şi

u{2 , pentru a asigura Ia intrarea elementelor de execuţie comenzi simultane cu acţiune directă şi inversă pentru elemente de execuţie normal deschise şi normal închise (u:d, u:' ). Sensul de acţiune a comenzilor şi limitele de Ia care ele sunt active sunt asigurate în blocuri specializate de adaptare hard a ieşirii '[19, 34 ]. Blocurile de adaptare hard asigură adaptarea între semnalul intern u~, respectiv u~, considerat ca luând valori în intervalul

[o.u]

[0,1] sau (0,!00] sau

volţi în cazul circuitelor analogice şi semnalele de ieşire

u{1 şi u{2 •

În cazul în care ieşirile sunt Iiniare, se asigură dependenţa de tipul:

ufw. . dacă

u: <0

U{ = Ufm +(UkM -Ufm)u:, dacă

uc

(14.48)

E[O, l]

U{M , dacă u; >! un de

uct

es t e

uczd

sau

. u,zi ,Jar

uJR es t e

f uR 1

sau uRf 2 .

km

este comanda minimă, iar U kM este comanda maximă în unităţi inginereşti (fizice) transmise spre elementul de execuţie. U

Caracteristica figura 14.26.

statică

a blocului de adaptare hard este

reprezentată

în

uJ -·················~----

o

1

u'c

Fig.l4.26 Mărimea intermediară

regimuri de execuţie.

funcţionare,

u;

direct

şi

se obţine luând în consideraţie cele două invers, în funcţie de tipul elementului de


665

Relaţia

între mărimea internă uc şi mărimea intermediară adaptată în blocul de adaptare hard este evidenţiată în figura 14.27. Cele două caracteristici evidenţiază zona de insensibilitate şi parte pozitivă (fig. !4.27a), respectiv parte negativă (fig. 14.27b).

1 -------------,----,

o

o

1

1

a)

b)

Fig.14.27 Dacă

acest bloc cu

[4. 20] mA, atunci U km

funcţionare liniară generează

= 4, U kM

un semnal de curent

= 20; dacă este un semnal de tensiune

[-5, 5] V, atunci U km = -5 şi U kM = 5 etc. Analizând aspectul caracteristicilor statice ale diferitelor blocuri auxiliare incluse în structura unui regulator, evidenţiem cu uşurinţă o serie de neliniarităţi, care în parte sunt naturale , în parte sunt intenţionate. Pentru a stabili relaţia între mărimea u {" şi mărimea măsurată din proces, reamintim că: real _ -

Yn

f _yf /Tm y m _ yreal 100 f ' IT-;o- rr · , 1

YfF

(14.49)

YITM - Yirm

unde y Ff"1 este ieşirea din instalaţia tehnologică,

exprimată

în

unităţi

relative, iar YJ.m şi YJ.M reprezintă valorile minimă şi maximă ale ieşirii, reprezentate în unităţi fizice. În cazul unui traductor liniar yrfa1 = yE [0,1], y 1r%= y%E [0,100]. Caracteristica statică a regulatorului (Iară componenta integrală) reprezintă dependenţa:

Ukt =FI ~;fat), Ukz

=Fz ~rrat)

(14.50)


666

compatibile cu elementul de execuţie. Aceste reprezentări oferă operatorului uman posibilitatea de percepţie, în unităţile inginereşti ale instalaţiei concrete, a efectelor diferiţilor parametri de ajustare în amplitudine. În figura !4.28 sunt prezentate componentele lanţului ieşire măsu rată - comandă transmisă elementului de executie. , ' Prin alegerea corespunzătoare a diferiţilor parametri ce definesc caracteristicile statice ale blocurilor auxiliare şi a blocului de elaborare a comenzii, se poate obţine o zonă liniară a caracteristicii statice a regulatorului, suficient de largă pentru a asigura un domeniu de reglare suficient de larg faţă de punctul static în raport cu referinţa. De remarcat pentru cele

două ieşiri

faptul că unii parametri sunt ajustabili ( K~eaL, u~,

Eb, zd, z;, ucM ),

pe când

alţi parametri sunt fixaţi prin particularităţile circuitelor utilizate în structura regulatorului.

r'-1(" Rft-1("

_!_ ufw,

rEhl] f

1

~

f lF O:ioct _____. Gnlrn

red

f yf YrrIFm

Yrr

Y/ru-Y/rm

yEb,J)

F:~red lF

f- i UR-

u'R

~1 u{ru-u~

JR

Fig.14.28

Astfel, acordarea regulatorului pentru o aplicaţie dată nu se rezumă numai la alegerea valorilor parametrilor K 8 , T; şi Td, ci şi la selectarea unor parametri structurali, care asigură forma dorită a caracteristicii statice a regulatorului. Adaptarea comenzii la diferite tipuri de elemente de execuţie (pneumatice, hidraulice, electrice) se realizează prin intermediul convertoarelor şi adaptoarelor de semnal specifice.

Implementarea

analogică

a algoritmilor dereglare

667

14.6. Blocuri de transfer în structura regulatoarelor Aşa

cum s-a menţionat, orice SRA trebuie prevăzut să funcţioneze în cel puţin două regimuri de funcţionare: funcţionare în regim AUTOMAT (A); funcţionare în regim MANUL (M). Structurile moderne de sisteme de conducere sunt prevăzute şi cu posibilitatea de funcţionare în regim CALCULATOR (C), în cazul în care comanda este elaborată la nivelul ierarhic superior (în calculator) şi se transmite direct elementului de execuţie. În aceste condiţii, regulatorul se află în stare de aşteptare sau în rezervă (back-up station). Blocul de transfer a comenzii spre elementul de execuţie, la comutare dintr-un regim de funcţionare în alt regim de funcţionare, poate fi integrat în blocul de elaborare a comenzii sau poate fi un bloc separat. În procesul de comutare A-M, pot apărea şocuri la elementul de execuţie, cu implicaţii nedorite pentru instalaţia tehnologică, deoarece în momentul comutării t0 , cele două mărimi concurente la intrarea elementului

u;:' pot fi diferite. Mărimea furnizată în regim automat este notată cu u; şi comanda generată manual este notată cu u;:' ( u; (t0 ) * u;:' (t 0 )). de

execuţie

u:

şi

În structurile moderne de regulatoare sunt incluse blocuri specializate pentru echilibrare automată, astfel încât trecerea de la un regim de funcţionare la alt regim de funcţionare să se realizeze rară şocuri (Bumpless transfer). Aceste blocuri asigură, în fapt, continuitatea în timp, la momentul de comutare t 0 a funcţiei uc (t). Sunt utilizate mai multe tehnici pentru realizarea funcţiei de comutare rară şocuri [6, 11, 19, 46]: comutarea A-M şi M-A, prin asigurarea unor stări iniţiale complementare; comutarea A-M şi M-A, prin tehnici de tip ramping; comutarea A-M şi M-A, prin utilizarea unui element integrator final comun; comutarea A-M şi M-A, prin echilibrare manuală. în cele ce urmează se prezintă o structură a blocului de transfer ce utilizează un integrator final comun. Această metodă este aplicabilă în cazul în care comenzile manuale sunt incrementale, iar legea de reglare conţine componenta integrală în serie.

INGINERIA REGLĂRfl AUTOMATE

668

În figura 14.29 se prezintă o variantă de implementare a funcţiei de

comutare fără şocuri, utilizând AO. În regim manual, pantele nenule ale rampelor sunt: U·m c

=+ Um =±Um RmC

•

Tm

În regim automat, comanda u~ este dată de: U~ (s)== H~ (s)u, (s),

(14.51)

unde H ~ (s) este asigurată de funcţionarea în gol a unui circuit electronic cu tensiunea de ieşire u~ şi o rezistenţă echivalentă de ieşire ra, care determină constanta de timp Ti: T; = (ra + R'ţ;. Pentru a realiza o lege dereglare de tip PI: 1 1 1 (14.52) HR(s)=KJI+- )=KR(T;s+l),

l

T;s

T;s

=H~(s)T;s

unde

. Ts+l HR(s)== KR ' a1js+l

~ KR(T;s+l),

a<
deci trebuie conectat în amonte un circuit electronic care realizează regim de funcţionare în gol funcţia de transfer H ~ (s).

M

i2

c

' ,,

R

iz

A

uc

o,V)

1 u,

~

Ta

Fig.14.29

1

Implementarea

analogică


669

Frecvent se utilizează structura de element Pl cu un AO, două condensatoare şi intrare potenţiometrică (fig. 14.30) [34, 60, 66]. Această structură este cunoscută sub denumirea "bloc PI cu comandă manuală". În regim automat (comutatorul în poziţie A) ieşirea Uc(s) se calculează cu relaţia: 1 Uc(s)= il+--) r = ra +rb << R1, Ro<< Rt

l

Tis

dacă

K =-C1 , T; =_!_R1C1 , aE(O, lj. (14.53) C2 a În regim manual (comutatorul în poziţia M), ieşirea U c(s) este:

1 Uc(s)=- Um(s). Tms Dacă

se

(14.54)

utilizează

un asemenea bloc de transfer, legea de reglare care trebuie implementată se exprimă sub forma: 1 (14.55)

HR(s)=H~(s)ii+- J

l

Tis)

în loc de 1 HR(s)=H~(s).

Tis

j_ +U m o--o

Rm

O---c=:J

Fig. 14.30


670

De remarcat faptul că în ambele cazuri, la comutarea dintr-un regim de funcţionare în alt regim, valoarea iniţială a comenzii este egală cu ultima valoare a comenzii memorată în regimul precedent şi deci nu apar şocuri la comutare.

14.7. Fenomenul wind-up acestuia

şi

tehnici de eliminare a

Fenomenul de saturare a comenzii (wind-np) în SRA evidenţiază necorelarea dintre operaţia de integrare inclusă în legea dereglare şi limitele de saturaţie prezente la intrarea instalaţiei tehnologice, limite datorate elementului de execuţie şi/sau echipamentelor pe care se implementează legea dereglare. Apariţia fenomenului în SRA determină o funcţionare necorespunzătoare a SRA ca urmare a neliniarităţilor introduse de saturaţie, cu efecte majore asupra gradului de stabilitate şi asupra preciziei SRA. M:ţjoritatea echipamentelor de automatizare au implementate facilităţi anti wind-up cu un anumit grad de complexitate, indiferent de tehnologia de realizare. Pentru a evidenţia fenomenul wind-up, se consideră structura de SRA din figura 14.31, cu regulator ce conţine componenta integrală şi neliniaritate de tip saturaţie introdusă de EE şi/sau elementele auxiliare ale regulatorului. V

m

m

<(t)

-!rH

r (ţ)

-

KR

-~ [!+~} Upf~ "c ~s

~

1 UD

a --

ards+ 1

,( Fig.14.31

Uq

'Il:

-1 --EE

l

uc ~

u,2 "'1

HP(s)

-o()!~

Implementarea

analogică


671

Neliniaritatea de tip saturaţie poate fi descrisă cu uşurinţă astfel: k·uc, d~că uc E[ucl, Ucz] m=f(uc)= mz, daca uc >uc 2 (14.56)

j

m1 ,

dacă

uc < uel

unde k = mz -ml . Uc2- Uct

în

cele ce urmează, se va neglija partea dinamică a EE, având în vedere constantele de timp relativ mici ale EE pentru majoritatea aplicaţiilor practice. Pentru situaţiile în care mărimea de comandă uc creşte peste limita ucz, rezultă o mărime de execuţie limitată la valoarea maximă m2 • În aceste condiţii, SRA se comportă ca un sistem în circuit deschis. Prezenţa perturbaţiei la ieşirea procesului poate contribui la creşterea comenzii, cu efect asupra comenzii, care poate creşte necontrolat, până ce se schimbă semnul erorii. Comanda începe să scadă şi, în consecinţă, se poate modifica mărimea de execuţie, procesul putând fi din nou controlat prin controlul fluxului de energie. Pentru a evita apariţia acestui fenomen datorat acţiunii integrale, care asigură creşterea comenzii în mod nejustificat, se impune includerea în structura regulatorului a unor proceduri şi dispozitive care să oprească procesul de integrare în momentul în care se atinge valoarea de saturaţie a mărimii de execuţie m1 sau m2 • Se asigură astfel funcţionarea EE într-o zonă de lucru care evită intrarea în saturaţie a acestuia. Zona de lucru asigură funcţionarea buclei de reglare (în circuit închis) şi păstrarea unei relaţii cunoscute pentru dependenţa uc ---7 m . În interiorul zonei de lucru pot exista paliere orizontale (zone de insensibilitate), care determină alte fenomene nedorite, dar nu fenomenul wind-up. Fenomenul wind-up depinde, atât de neliniarităţile EE, cât şi de neliniarităţile introduse de regulator prin blocurile sale auxiliare şi chiar de blocul de elaborare a comenzii. Cea mai simplă schemă antiwind-up are la bază schimbarea automată a structurii legii de reglare, cu deconectarea componentei integrale din legea de reglare la atingerea saturaţiei EE. în figura 14.32 se prezintă structura unui regulator cu protecţie antiwind-up prin generarea unui semnal antiwind-up. Semnalul antiwind-up se generează ca diferenţă între intrarea şi ieşirea din EE. Acest semnal se aplică la intrarea integratorului printr-un 1 bloc de amplificare, egal cu - . Tn


672

-y

KRTds aTds + 1 (EE)

+ +

E

KR

~

KR

T;

+

~

-

+ ,.---1 ---s

'--

~

u

!

_/ -

m

+ li

-1 Tn

~

Fig.14.32

De remarcat faptul că semnalul eroare o (fig. 14.32) este zero când EE funcţionează în zona liniară (zona de lucru). La apariţia saturaţiei, 8 oe O şi un semnal de reacţie încearcă a anula acest semnal prin resetarea componentei integrale, iar comanda este la limita de saturaţie. Integratorul este astfel resetat la o valoare corespunzătoare cu constanta de timp Tn, care poartă denumirea de constantă de timp de urmărire. Această schemă de protecţie antiwind-up poate fi aplicată la orice EE care are o caracteristică arbitrară, nu în mod necesar o caracteristică de tip "saturaţie". În cazul în care mărimea de execuţie este nemăsurabilă, se poate utiliza un semnal echivalent generat de un model al EE. Semnalul antiwind-up se generează ţinând seama de caracteristica statică a elementului de execuţie, într-un bloc specializat cu zonă de insensibilitate (fig. 14.33). Valorile uei şi uc 2 depind, atât de limitele fizice între care se poate modifica mărimea de execuţie, cât şi de parametrii ajustabili din blocurile de deplasare-limitare şi adaptare. Dacă uc E [ucl.uc 2 ], deci se situează în zona de lucru, atunci 3 =O şi legea de reglare nu este afectată de schema antiwind-up.

Implementarea

analogică

-y


673

~KRTds

(EE)

aTds+1 n

u0 (s) + +

f

KR

-

,..-KR

T,

-

l/ful ...!!!--. J!

u,

Ucz

UCJ

+

mi

r-

~

Uc

1

-

s

-ii ' - - _1_ 1+-T,

-

-+ -1

u,

'

Fig. 14.33

În cazul în care uc > uc 2 sau uc < u,. 1 , semnalul integratorului se aplică o reacţie negativă ponderată cu -

o7 1

O şi în jurul

. Astfel, pentru

Tn

cazul în care o7 O, componenta integrală dispare, fiind înlocuită cu o comportare aperiodică cu constanta de timp Tn , fiind determinată de valoarea uel sau ucz. Dacă se calculează comanda U c (s), în cazul în care se atinge saturaţia pentru uc 2 , se obţine: Uc (s) =UD (s) + KR

1)e(s)- -!-[uc _.!_U c2] [1 +~s sTn s

sau (14.57) Dacă explicităm Uc(s) din (14.57), rezultă:

U c ( s ) = Tns UD ( s ) + KR Tn Ijs + 1 E (s ) + 1 1 Uc2 Tns + 1 7j Tns + 1 s Tns + 1

(14.58)

674


cu cele trei componente, fără componenta integrală. Ultimul termen din {14.58) evidenţiază un răspuns aperiodic cu o constantă de timp egală cu T, şi o valoare de regim staţionar egală cu U c 2 . De observat faptul că, în acest caz, componenta derivativă este încă o dată derivată, evidenţiind un caracter dublu derivator în raport cu mărimea măsurată.

Acest ultim aspect tehnic trebuie tratat cu precauţie în prezenţa zgomotelor, impunându-se, în multe situaţii, dezactivarea protecţiei antiwind-up, dacă legea de reglare conţine componenta derivativă.

NUMERICĂ A

lSeiMPLEMENTAREA ALGORITMILOR DEREGLARE

15.1. ,Introducere Sistemele numerice de conducere a proceselor ocupă o pondere în automatizările industriale, ca urmare a avantajelor substanţiale pe care le prezintă în raport cu sistemele analogice. Astfel, capacitatea de prelucrare numerică a informaţiilor, flexibilitatea şi siguranţa în funcţionare, complexitatea algoritmilor de conducere implementabili, compatibilitatea cu sisteme avansate de achiziţie de date şi de comunicaţie sunt argumente importante în adoptarea soluţiilor numerice de conducere a proceselor industriale. Evoluţia spectaculoasă a tehnologiei circuitelor integrate pe scară foarte largă, a microprocesoarelor, procesoarelor specializate, a interfeţelor de proces a impus în aplicaţiile industriale structurile numerice de conducere. Performanţele ridicate ale sistemelor numerice de prelucrare în timp real, bazate pe microprocesoare au impus aceste sisteme în aplicaţii simple sau complexe, determinând mutaţii conceptuale în conducerea proceselor. Cele mai avansate strategii de conducere proiectate pe baza modelelor matematice sau lingvistice ale proceselor şi-au găsit aplicabilitatea prin existenţa suportului hardware şi software performant pentru implementare. Tehnologiile avansate de comunicaţie, compatibilitatea acestora cu sisteme performante de prelucrare şi achiziţie numerică a informaţiilor în timp real au impus noi concepte în conducerea proceselor. Astfel, conducerea distribuită şi ierarhizată a proceselor complexe este completată cu succes cu sistemele de conducere cu transmitere la distanţă a comenzilor prin mecanisme şi protocoale specifice reţelelor performante de calculatoare. Sistemele informatice şi de comunicaţie cu facilităţi de timp real sunt extinse cu succes în domeniul conducerii proceselor industriale, asigurându-se cerinţele specifice de protecţie, siguranţă în funcţionare şi compatibilitate cu mediul industrial. importantă


676

Structurile numerice de conducere, în funcţie de complexitatea proceselor, de complexitatea algoritmilor implementaţi, de distribuţia geografică şi nivelul interacţiunilor între parametri, de cerinţele de performanţă impuse pot fi organizate ca structuri simple cu regulator numeric orientat pe un proces sau ca structuri distribuite şi ierarhizate pentru procese de medie şi mare complexitate. În acest ultim caz, se evidenţiază posibilitatea dezvoltării unor sisteme distribuite şi paralele de prelucrare a informaţiilor in timp real în configuraţii multiprocesor, total sau parţial cuplate. Sistemele performante de comunicaţie, magistral ele de mare viteză, sistemele de operare multitasking cu facilităţi de timp real, integrate in arhitecturile de prelucrare numerică cu multiple procesoare performante, asigură implementarea şi operaţionalizarea celor mai avansate strategii de conducere cu fiabilitate maximă. Cerinţele hardware, software şi de comunicaţii pentru un sistem de conducere numerică sunt determinate esenţial de complexitatea procesului, de complexitatea funcţiilor implementate, de gradul de distribuţie geografică a acestuia, de nivelul performanţelor impuse şi de nivelul impus al siguranţei în funcţionare. Soluţiile adoptate de companii cum sunt Honeywell, Siemens, ABB şi altele, care implementează sisteme distribuite de conducere, asigură flexibilitate ridicată, toleranţă maximă la defecte, comunicaţii de mare viteză şi performanţe ridicate. Cea mai simplă structură de sistem numeric de conducere presupune un regulator numeric (microcontroler) conectat la un proces, care asigură funcţiile specifice de conducere în timp real (v. fig. 15.1).

Regulator numeric

Proces

Fig.15.1

în

această structură, regulatorul numeric asigură interfaţarea cu

procesul (achiziţie date din proces, transmitere comandă spre proces), elaborarea comenzii numerice după algoritmi prestabiliţi şi comunicarea cu operatorul şi/sau cu alte regulatoare sau cu un calculator supervizor.

Implementurea numeric() u algoritmilor dereglare

677

O asemenea arhitectură standard este aplicabilă unor procese simple, cu un număr redus de mărimi controlate. Cea mai răspândită arhitectură de sistem de conducere este arhitectura distribuită. În figura 15.2 se prezintă o structură de sistem distribuit cu multiple regulatoare numerice conectate la o magistrală de mare viteză.

Calculator Coordonator

Sistem Comunicatie

MC

....,

,..

Regulator Numeric

pll

RN 2

p\2

RNm

plm

Fig.15.2

O asemenea arhitectură evidenţiază posibilitatea descompunerii procesului în subprocese Py slab cuplate şi utilizarea unor regulatoare numerice multicanal pentru controlul mărimilor specifice fiecărui subproces. Se poate evidenţia, de asemenea, distribuţia sarcinilor de reglare (conducere) pe mai multe regulatoare într-o distribuţie geografică a subproceselor. De remarcat pentru o asemenea configuraţie este limitarea distribuţiei geografice (distanţa de ordinul kilometrilor) a subproceselor. Într-o asemenea configuraţie regulatoarele numerice pot comunica între ele şi cu nivelul ierarhic superior prin intermediul magistralei de comunicaţie MC, fiind o configuraţie de tipul "slab cuplată". În cadrul unei asemenea arhitecturi, regulatoarele numerice funcţionează cvasiindepenedent, însă nivelul ierarhic superior poate asigura funcţionarea în regim "master-slave". Avantajele unei asemenea arhitecturi concretizate prin flexibilitate, fiabilitate şi capacitate mare de prelucrare a informaţiilor pot fi valorificate eficient în condiţiile în care sunt integrate funcţii speciale de prelucrare la

INGINERIA REGL4Rf! AUTOMATE

678

nivel local (traductoare şi elemente de execuţie inteligente) şi module hardware şi software care asigură rezervarea automată a funcţiilor şi autentificarea utilizatorilor şi a comenzilor. Tendinţele în domeniul sistemelor numerice de conducere pot fi sintetizate, la nivelul actual al cunoaşterii în acest domeniu, prin: • realizarea unor sisteme deschise hardware şi software; • creşterea gradului de modularizare şi compatibilizarea modulelor cu magistrale de comunicaţie de mare viteză; • translatarea unor funcţii spre nivelul de bază, includerea în sistem a unor unităţi de câmp inteligente şi compatibilizarea cu protocoale de comunicaţii BITBUS, PROFIBUS etc. • extinderea utilizării sistemelor de operare multitasking compatibile UNIX; • adaptarea la standardele de uz general în sistemele UNIX (TCP/IP) pentru comunicaţii; • standardizarea software cu integrarea sistemelor de conducere industriale în sisteme informatice mari cu funcţii de conducere economică; • flexibilitatea setului de algoritmi de conducere şi a întregului sistem de conducere şi a aplicaţiilor aferente prin abstractizarea şi sistematizarea modulelor dependente de mediul de calcul şi extern. În cadrul acestui capitol, sunt tratate problemele specifice realizării regulatoarelor numerice cu microprocesoare şi ale implementării algoritmilor dereglare pe cale numerică.

15.2.

Arhitecturi conducere

hardware

15.2.1. Problematica alegerii modulelor funcţionale

pentru

şi dimensionării

sisteme

structurii

de şi

a

Arhitectura hardware evidenţiază modul în care este organizat şi realizat suportul fizic utilizat pentru implementarea funcţiilor deja menţionate pentru un regulator numeric. Sistemele numerice de conducere pot fi dezvoltate luând în consideraţie cerinţe hardware, cerinţe de dezvoltare software şi cerinţe de comunicaţie. Principalele caracteristici care trebuie urmările la o platformă hardware pentru regulatoare numerice sunt puterea de calcul (viteza de rulare a aplicaţiei, capacitatea de stocare a informaţiei) şi cantitatea de informaţie care poate fi preluată din proces prin intermediul interfeţelor specifice.

Implementarea

numerică


679

Proiectarea unui regulator numeric este determinată esenţial de sistemului de conducere în care se integrează, de complexitatea procesului condus şi de complexitatea sarcinilor ce se cer a fi realizate. Regulatorul numeric funcţionând ca sistem independent pe proces, poate coopera cu alte regulatoare într-o organizare orizontală sau poate coopera în cadrul unei structuri ierarhizate-distribuite cu alte regulatoare şi cu nivelul ierarhic superior. Indiferent de structura în care se integrează regulatorul, acesta trebuie să realizeze următoarele funcţii: funcţia de achiziţie şi conversia datelor din proces; funcţia de memorare a datelor referitoare la evoluţia variabilelor din proces şi a datelor introduse de operator; funcţia de prelucrare a datelor în conformitate cu algoritmii de reglare şi comandă prestabiliţi; funcţia de elaborare a comenzii şi transmiterea acesteia spre elementul de execuţie; funcţia de comunicaţie cu operatorul şi cu nivelul ierarhic superior sau cu alte regulatoare numerice; funcţia de rezervare automată prin memorarea datelor vitale privind evoluţia sistemului dereglare. Pornind de la aceste funcţii şi în strânsă corelaţie cu obiectivele reglării, cu clasa de procese căreia îi este destinat regulatorul şi cu configuraţia de sistem de conducere în care regulatorul funcţionează, pot fi concepute structuri de regulatoare numerice monocanal sau multicanal, monoprocesor sau multiprocesor. Etapele care trebuie parcurse la proiectarea unui regulator numeric cu microprocesoare sunt următoarele: • Alegerea microprocesorului în jurul cămia se organizează unitatea centrală de prelucrare; • alegerea structurii optime a regulatorului numeric; • alegerea, dimensionarea şi organizarea memoriilor de date şi de programe; • proiectarea interfeţelor cu procesul pentru achiziţia datelor şi transmiterea comenzilor; • proiectarea sistemului de comunicaţie între modulele hardware ale regulatorului; • proiectarea interfeţelor de comunicaţie cu operatorul (sistemul de introducere şi extragere de date) şi cu nivelul ierarhic superior. Arhitectura hardware standard pentru un regulator numeric, luând în consideraţie principalele funcţii pe care le realizează, este prezentată în figura 15.3. configuraţia

INGINER/A REGLĂRI! AUTOMATE!

680

,----------------~-----------------------------------------------

'

Ceas de Garda

' ''

: :

j ~

~ Î

''' '' Procesor ' ''' '' '' ' ;'··----------

Bloc

Memorie

Interfata de Comunicatie

-------------------- -------------------

:

--------~

Magistrala Sistemului

1\ ,. --------'

---------------- --------------- --------------- -------

Subs1stem Intrari Analogice

Subsistem Iesiri Analogice

Subsistem

Subsistem

Intrari Numerice

Iesiri

il i

~~---······-~

Î li

Numerice

~~---·····~

''

'' ' '' '' '' '' '' '' '

' _____________________ J!.lte_rf~t§_d_eJ~rqq_~s- _______________________________ J

·-

1

V

Interfata Comunicatie Operator

Fig.l5.3 Această arhitectură evidenţiază

principalele componente ale unui sistem numeric de conducere: unitatea centrală de prelucrare, inteifeţele de proces şi inteifaţa de comunicaţie cu operatorul. De remarcat necesitatea utilizării unor arhitecturi deschise care să permită extinderea cu noi funcţii ce pot apărea în timpul exploatării, cu păstrarea compatibilităţii la nivel electric şi funcţional între module. Aceasta impune caracterul modular şi standardizarea modului de interconectare. Flexibilitatea unei arhitecturi reprezintă modul în care aceasta poate fi adaptată cerinţelor unei anumite aplicaţii. Se um1ăreşte acoperirea unei clase cât mai largi de aplicaţii, utilizând un număr cât mai redus de tipuri de echipamente şi obţinerea unui grad cât mai ridicat de utilizare a acestora. Modularizarea poate fi aplicată pentru realizarea tuturor funcţiilor, atât interfeţelor de proces, cât şi a unităţilor de prelucrare a informaţiei şi de comunicaţie. Alegerea gradului de modularitate trebuie făcută luând în consideraţie flexibilitatea, eficienţa şi complexitatea soluţiei. O cerinţă importantă la proiectarea unei arhitecturi hardware este siguranţa în funcţionare. Aceasta este determinată, atât de fiabilitatea

lmplemellfarea numerică a algoritmilor dereglare

681

elementelor componente, cât şi de sensibilitatea la defecte a întregii arhitecturi. Astfel, echipamentele de conducere trebuie proiectate şi realizate, astfel încât să poată funcţiona în condiţii dificile de exploatare cu un risc minim de defectare. Reducerea sensibilităţii la defect se poate realiza, atât prin distribuirea funcţiilor pe un număr mare de echipamente cu o funcţionare cât mai independentă, astfel încât defectarea unuia să nu perturbe decât în mică măsură funcţionarea ansamblului, cât şi prin asigurarea unei redundanţe la nivelul componentelor critice ale arhitecturii. De menţionat că structurile numerice de conducere moderne sunt prevăzute cu funcţii specifice de rezervare automată a modulelor sau a echipamentelor, în totalitate. Utilizarea unor memorii nevolatile, cu prezervarea informaţiilor vitale dintr-un sistem numeric de conducere în cadrul subsistemului de rezervare asigură sistemelor numerice de conducere o siguranţă ridicată în funcţionare.

Modulele incluse în structura unui regulator numeric permit realizarea funcţiilor de achiziţie a datelor din proces, memorarea datelor şi a programelor, elaborarea şi transmiterea comenzilor la elementele de execuţie, comunicaţia cu operatorul şi cu nivelul ierarhic superior. Unitatea centrală este componenta echipamentului numeric (regulatorului numeric) la nivelul căreia se realizează prelucrarea informaţiilor şi se elaborează comenzile. Unitatea centrală se dezvoltă în jurul unor microprocesoare de uz general sau în jurul unor procesoare specializate de tipul microcontrolerelor sau/şi procesoarelor digitale de semnal (DSP). Structura de regulator numeric poate fi de tip monoprocesor sau multiprocesor sau pot fi realizate structuri de procesoare specializate pentru reglarea (comanda) în timp real a unor procese tehnologice. La adoptarea structurii regulatorului se are în vedere faptul că aceasta trebuie să aibă o siguranţă foarte ridicată în funcţionare, o ridicată disponibilitate. Regulatoarele pot fi destinate controlului unei mărimi din proces (regulator monocanal) sau pot fi multicanal, în cazul în care asigură controlul mai multor mărimi din proces. Cele mai uzuale structuri de regulatoare numerice sunt structurile multiprocesor, destinate conducerii proceselor cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri reprezentând regulatoare multicanal. Adoptarea structurilor multimicroprocesor presupune asigurarea suportului hardware şi software ce facilitează implementarea conceptului de execuţie concurentă reală. Aceasta necesită segmentarea procesului în sarcini şi utilizarea unui executiv de timp real pentru a gestiona, controla şi sincroniza diversele sarcini.

682

INGINERIA REGLARI! A UrDMATE

Avantajele oferite de structurile de regulatoare multimicroprocesor sunt: flexibilitate ridicată, sensibilitate redusă la perturbaţii, timpul mult mai redus de execuţie al unei sarcini, fiabilitate sporită (prin redundanţă sau imunitate la defecte), dezvoltarea modulară a sistemelor, partajarea resurselor (hardware, programe, date, timp), partajarea funcţională a sarcinilor pe procesoare specializate, un raport cost/performanţă excelent. Obţinerea unor configuraţii multiprocesor presupune realizarea mai multor sarcini, dintre care menţionăm: defalcarea sarcinilor şi repartiţia acestora pe diferitele procesoare; determinarea celor mai eficiente structuri de interconectare a procesoarelor; proiectarea unor mecanisme cât mai adecvate pentru translatarea adreselor logice în adrese fizice; gestionarea resurselor şi formarea şirurilor de aşteptare; eliminarea interblocărilor care apar când un procesor aşteaptă după o resursă alocată altuia şi viceversa, nici unul dintre procesoare neputându-şi continua execuţia sarcinii până la obţinerea resursei respective; proiectarea unor structuri hardware şi software care să faciliteze imunitatea la defecte a sistemelor multimicroprocesor. Structurile multimicroprocesor în cadrul regulatoarelor numerice se încadrează în categoria sistemelor cuplate puternic. Aceste structuri au următoarele caracteristici: dispun de un sistem de operare comun care controlează şi coordonează toate interacţiunile dintre procesoare şi procese; dispun de resurse partajate. Facilităţile I/E şi alte resurse ale sistemului sunt în general partajate între procesoare, deşi anumite resurse pot fi destinare unor procesoare specifice; redistribuirea dinamică a sarcinilor unui procesor supraîncărcat permite încărcarea egală a tuturor procesoarelor (alocarea dinamică a taskurilor); fiecare dintre procesoarele cooperante poate executa un număr semnificativ de calcule individual, sincronizarea procesoarelor ce cooperează fiind absolut necesară. Proiectarea funcţională a sistemelor multimicroprocesor presupune luarea în consideraţie a următoarelor cerinţe: alocarea statică şi dinamică a taskurilor, controlul resurselor sistemului, caracteristicile elementelor de prelucrare, topologiile de interconectare şi interacţiune între procesoare, efectul asupra performanţelor sistemului, fiabilitate şi flexibilitate.

Implementarea

uumerică


683

În cadrul structurilor multimicroprocesor, procesoarele îşi împart resursele hardware (procesoare, memorie, canale IIE, magistrale) şi software (programe, alocarea datelor, zone tampon, şiruri de aşteptare, variabile). Interconectarea procesoarelor, a memoriilor şi a dispozitivelor I/E în configuraţiile multimicroprocesor se poate realiza prin magistrală comună partajată în timp, prin comutator crossbar, prin memorii multiport/multimagistrală sau legătură procesor la procesor. Cea mai eficientă structură şi mai puţin complexă este magistrala unic partajată în timp. Interfeţele între elementele de prelucrare solicitând magistrala depind de lungimea şi frecvenţa ciclurilor de magistrală a acestora, ciclurile de memorie şi IIE şi de numărul de procesoare care împart magistrala. Capacitatea totală a sistemului este limitată de viteza de transfer a informaţiei pe magistrală. Magistrala de sistem este coloana vertebrală a fiecărui sistem cu mai multe procesoare. Prin aceasta nu numai că sunt definite hardware-ul, software-ul şi protocolul de comunicare pentru legarea procesoarelor sau a resurselor comune de magistrală, dar sunt cel mai adesea standardizate. O magistrală de sistem pentru o configuraţie multimicroprocesor trebuie să conţină, faţă de liniile de date şi adrese, elemente pentru comanda funcţiilor:

cerere de acces la magistrală sau la altă resursă comună; decodificarea priorităţilor tuturor partenerilor; arbitrajul cu viteză mare a tuturor cererilor; predarea controlului magistralei noului control de magistrală; adresarea fiecărei surse date din sistem; supravegherea şi testarea operaţiilor magistrale. Memoria regulatorului numeric este utilizată pentru stocarea programelor şi a datelor. Memoria de tip EPROM stochează programele iar memoria de tip R.fu\1 stochează datele cu care operează regulatorul, având în vedere caracterul dinamic al acestora. Separarea memoriilor într-un sistem numeric de conducere în timp real asigură creşterea vitezei de operare. Utilizarea unei singure memorii (de fapt, a unei singure magistrale) pentru stocarea, atât a programelor, cât şi a datelor, presupune accesul la un moment dat numai la instrucţiuni sau date, în nici un caz la amândouă simultan. Din acest motiv, există posibilitatea încetinirii funcţionării procesorului care necesită acces la ambele tipuri de inform<:ţii simultan. In cazul microcontrolerelor, prezenţa unei anumite capacităţi de memorare chiar în structura acestuia permite realizarea unei arhitecturi bazate pe două magistrale interne diferite, cu funcţionare simultană, ceea ce

684

INGINERIA REGLA-RI! AUTOMATE

conduce la creşterea vitezei ansamblului procesor-memorie. La nivelul extern, cele două magistrale sunt de cele mai multe ori combinate într-una singură pentru a simplifica interfaţarea cu memoria suplimentară, dar se păstrează şi în acest caz o diferenţiere între accesul la memoria de program şi la cea de date prin prezenţa unor semnale de comandă diferite. Alegerea şi dimensionarea memoriilor se realizează ţinând seama de următorii factori: · complexitatea sistemelor de programe de aplicaţie şi de sistem; dimensiunea bazei de date, complexitatea regulatorului; cerinţele impuse medicrii pentru memorarea tendinţelor. Ceasul de gardă este un dispozitiv specific echipamentelor dedicate unor aplicaţii critice din punctul de vedere al siguranţei în funcţionare. Astfel, unitatea centrală a regulatorului numeric este prevăzută cu ceasul de gardă care are rolul de a supraveghea şi a detecta apariţia unor stări anormale de funcţionare şi a acţiona pentru readucerea sistemului la starea normală de funcţionare. Uzual, ceasul de gardă este constituit dintr-un circuit monostabil care generează un semnal de iniţializare către procesor, după un anumit timp de la pornire. Ceasul de gardă poate fi rearmat de către procesor prin activarea sub controlul programului a unui semnal de repornire a temporizării, decalându-se astfel momentul iniţializării procesorului cu încă o perioadă de timp. Programul de aplicaţie trebuie astfel construit încât în cazul funcţionarii normale să activeze semnalul de repornire a temporizării la intervale de timp mai mici decât constanta de timp a ceasului de gardă. Majoritatea circuitelor de tip ceas de gardă conţin şi o funcţie suplimentară de monitorizare a tensiunii de alimentare a procesorului, generând semnalul de iniţializare al acestuia, de fiecare dată când tensiunea de alimentare scade sub un anumit prag, considerat a fi critic pentru o bună funcţionare. Inteifeţele de comunicaţie sunt componente importante ale unităţii centrale. Ele sunt utilizate, atât pentru interconectarea diferitelor echipamente din structura unui sistem de conducere, cât şi pentru dezvoltarea şi testarea programelor de aplicaţie. Cele mai utilizate interfeţe de comunicaţie sunt cele de tip serial, datorită numărului redus de conexiuni electrice necesare. Aceste interfeţe sunt adaptate transmiterii informaţiei în medii cu perturbaţii puternice, fiind compatibile cu standardul RS-485. Frecvent, se practică izolarea galvanică a interfeţelor de linia de comunicaţie, atât din considerente de protecţie, dar şi pentru eliminarea efectului tensiunilor de mod comun care apar în sistemele de mari dimensiuni.

Implementarea

numerică


685

Interfaţa de comunicaţie cu operatorul are două funcţii principale, şi anume aceea de a furniza operatorului informaţii despre funcţionarea regulatorului şi de a permite intervenţia operatorului în faza de comandă şi configurare a buclelor de reglare. Pentru realizarea primei funcţii se pot folosi diferite tehnologii de afişare: afişare cu LED-uri, cu cristale lichide, afişare de tip fluorescent, cu avantaje şi dezavantaje specifice. Funcţia de comandă şi configurare a regulatoarelor se realizează apelând la tastaturi specializate cu module hardware necesare conversiei şi comunicaţiei om-maşină.

Prin intermediul interfeţelor de proces, semnalele unificate furnizate de traductoare sunt preluate, convertite în semnale numerice şi transmise în vederea prelucrării de către unitatea centrală, iar comenzile rezultate sunt converti te şi transmise spre elementele de execuţie. Interfeţele de proces pot fi realizate separat pentru semnale de intrare analogice şi semnale numerice, sau pot fi realizate într-o structură compactă pentru semnale analogice şi numerice. La selecţia (proiectarea) interfeţelor pentru semnale analogice se are în vedere întreaga gamă de semnale analogice fumizate de traductoare ( (4-:- 20 mA), (o ++5 v), (- 5++5 v), (o ++IOV), (-1o ++10 v)). Principalele caracteristici şi criterii pentru alegerea şi dimensionarea interfeţelor pentru intrări analogice sunt precizia de măsurare, rezoluţia, frecvenţa maximă de achiziţie, impedanţa circuitului de intrare şi gama tensiunilor de mod comun acceptate, fiabilitatea, capacitatea de rejectare a semnalelor perturbatoare. Precizia de măsurare descrie acurateţea cu care este achiziţionată valoarea reală a semnalului primit de la traductor, în condiţiile în care orice proces de măsurare este afectat de o serie de erori. Deşi este de dorit o precizie cât mai bună, în practică se consideră acceptabilă o valoare maximă care nu depăşeşte O. 1% . Rezoluţia cu care se realizează achiziţia semnalului reprezintă sensibilitatea interfeţei la sesizarea variaţiilor mici ale semnalului de intrare. Elementul care determină rezoluţia unei interfeţe de achiziţie este convertorul analog-numeric. În practică se folosesc interfeţe cu rezoluţii de 10, 12, 14 sau 16 biţi, cea mai întâlnită valoare fiind cea de 12 biţi, care asigură detecţia unei variaţii a semnalului achiziţionat de O. 025% din gama acestuia. În aplicaţii speciale se poate extinde rezoluţia interfeţei la 24 de

biţi, valoarea cuantei în procesul de conversie fiind în acest caz q = ;4

.

2

Frecvenţa maximă eşantionare

de achiziţie determină frecvenţa maximă de a semnalelor de intrare. Cu cât frecvenţa de achiziţie este mai

686


mare şi rezoluţia mai mare, interfaţa este mai performantă, dar mai costisitoare. Valoarea frecvenţei de achiziţie este dată de timpul de conversie al convertorului analog-numeric şi banda de frecvenţă a circuitelor de condiţionarea semnalului. Achiziţia datelor din proces reprezintă una dintre cele mai importante funcţii ale regulatorului, alături de funcţia de elaborare şi transmitere a comenzilor spre elementele de execuţie. Informaţiile culese din proces şi transmise spre proces pot fi analogice, logice sau numerice. Aceste semnale evoluează în mediu industrial puternic perturba!, fiind astfel însoţite de importante zgomote. Interfeţele de proces sunt incluse în structura regulatorului, pe când elementele primare, traductoarele şi elementele de execuţie sunt echipamente de câmp. Pentru a atenua efectele nedorite ale zgomotelor ce însoţesc semnalele culese din proces şi transmise regulatorului, se impune utilizarea transmisiei diferenţiale ecranate de-a lungul întregului traseu, precum şi utilizarea unor filtre corespunzătoare. În cazul interfeţelor multicanal care utilizează multiplexoare, frecvenţa maximă de achiziţie depinde într-o mai mare măsură şi de timpul de comutaţie al multiplexorului şi de caracteristica de frecvenţă a amplificatorului conectat după multiplexor. Impedanţa circuitului de intrare este un factor care condiţionează conectarea interfeţelor cu traductoarele de măsură. În cazul utilizării semnalului unificat de curent se urmăreşte obţinerea unei impedanţe de intrare cât mai mici a circuitului de măsură, iar în cazul utilizării semnalului unificat de tensiune se urmăreşte obţinerea unei impedanţe cât mai mari a circuitului de intrare, pentru a nu perturba în mod sesizabil sursa de semnal. Interfeţele pentru ieşiri analogice sunt caracterizate prin precizia de generare a semnalelor, rezoluţie, viteză de stabilizare şi impedanţă de ieşire. Precizia se evaluează prin intermediul unei erori maxime calculată raportând diferenţa maximă dintre valoarea dorită şi cea generată a semnalului la domeniul de variaţie al acestuia. Rezoluţia descrie capacitatea interfeţei de a modifica cu valori mici valoarea semnalului generat Elementul care determină rezoluţia unei interfeţe de ieşire este convertorul numeric-analogic. Viteza de stabilizare este dată de timpul în care interfaţa poate modifica semnalul generat în urma unei comenzi de schimbare a acesteia. Viteza de variaţie a comenzii trebuie limitată înainte de aplicare a acesteia elementului de execuţie. Impedanţa de ieşire este un parametru care condiţionează posibilităţile de conectare ale elementelor de execuţie la o anumită interfaţă şi are semnificaţii diferite în funcţie de semnalul utilizat

Implementarea

numerică


687

Interfe,tele pentru intrări numerice preiau din proces semnale de tip (O/!, închis/deschis) prin intermediul senzorilor sau de la dispozitive de semnalizare. Pentru preluarea semnalelor de tip numeric sunt folosite frecvent circuite de intrare cu izolare galvanică ( optocuploare) care asigură o separare electrică. Interfeţele pentru intrări numerice pot fi directe cu citirea stării curente a fiecărui semnal de intrare la momente de timp definite sau pot prelua anumite caracteristici ale semnalelor de intrare. Interfeţele pentru ieşiri numerice servesc pentru comanda unor elemente de execuţie sau pentru semnalizare în regim de funcţionare "tot sau nimic" sau "activ/inactiv" se folosesc intelfeţe pentru ieşiri numerice. Sunt folosite aceleaşi tipuri de semnale numerice ca şi în interfeţele pentru intrări numerice, dar cu o mai mare diversitate, ţinând seama de varietatea circuitelor determinată de puterea semnalului generat. Şi în cazul ieşirilor numerice se utilizează frecvent izolarea galvanică a circuitelor de ieşire de interfaţă propriu-zisă, mai ales în cazul comenzilor de putere mare. Pot fi utilizate interfeţe directe, care permit modificarea explicită a stării semnalului de ieşire şi interfeţe specializate, care generează semnale ale căror caracteristici pot fi modificate. Din această ultimă categorie menţionăm interfeţele cu ieşiri de tip impulsuri modulate în durată (PWM) care generează trenuri de impulsuri de o anumită frecvenţă, durata impulsurilor putând fi modificată între zero şi durata perioadei semnalului.

15.2.2. Arhitecturi de sisteme numerice de conducere Pornind de la structura standard cu cele trei componente principale (unitatea centrală de prelucrare, interfeţele de proces şi sistemul de comunicaţie) pot fi dezvoltate diverse arhitecturi hardware în funcţie de particularităţile procesoarelor şi memoriilor utilizate, în funcţie de complexitatea interfeţelor de proces şi de funcţiile ataşate regulatorului numeric într-o configuraţie de sisteme de conducere mai restrânsă sau mai extinsă, cu o interconectare slabă sau totală a regulatoarelor. Dintre cele mai răspândite structuri de echipamente numerice de conducere, ţinând seama de evoluţia procesoarelor specializate (microcontrolerelor), a procesoarelor digitale de semnal, se remarcă arhitecturile concepute în jurul microcontrolerelor de 8, 16 şi 32 biţi, în jurul unor procesoare de tip DSP de mare viteză. Rezultate satisfăcătoare în aplicaţii de conducere în timp real se obţin apelând la arhitecturi hibride microcontroler-DSP.


688

Arhitecturile modularizate prezintă un interes special, având în vedere flexibilitatea ridicată a acestora şi siguranţa ridicată în funcţionare, asigurată, atât prin redundanţe multiple, cât şi prin fiabilitate ridicată la nivelul modulelor şi componentelor. Structura standard a oricărui microcontroler contine cele trei componente specifice oricărui regulator numeric. În figura JS .4 se prezintă structura standard internă a unui microcontroler, care evidenţiazlt cele trei componente. Componenta principala a microcontrolerului este unitatea de prelucrare (unitatea de calcul) şi constă din microprocesor, memoria EPROM nevolatilă şi memoria RAM volatilă şi ceas (timer). Această unitate asigură execuţia codurilor software ale algoritmilor de reglare şi gestionează toate celelalte module conectate la sistem. Programele de aplicaţie (codurile software) ale algoritmilor de reglare sunt memorate în EPROM, iar datele şi toate variabilele temporare sunt memorate în memoria RAM. ;------------------------------------------------------~

' '''

EPROM

l

<

i

'' :' ' '''

RAM

l

!

'----.-!-....J i 1

1

1

Ceas

Interfata Comurncatu

[_- ----l-------

1 1

i :

1

1

1

1

: : \-.------------------------------------\ : :

1

; '

l : '

_i

~--f:::::::l====~-----------l-------:

1

)

r-------~--------~ : "l :

:

1

1 1

Interfata Intrari

Interfata Iesiri

! :' :

1

·--------------------------------------'

Fig. 15.4

Pentru implementarea unui algoritm PID o memorie RAM de 20 Bytes este suficientă. Pentru algoritmi mai complecşi, dimensiunea memoriei creşte corespunzător. Subsistemul intrare/ieşire constă din circuite de interfaţă care permit microprocesorului să comunice cu senzorii şi elementele de execuţie ale procesului. Pentru procese industriale, unde se folosesc traductoare ce furnizează semnale unificate în gama ( 4 7 20 mA), circuitele incluse în interfaţa de intrare sunt convertoarele curent-tensiune şi convertoarele analog-numerice.

Implementarea

numerică


689

Pentru interfeţele de ieşire, în cazul elementelor de execuţie ce acceptă semnale unificate ( 4 7 20 mA), circuitele incluse cuprind convertoare numeric-analogice şi convertoare tensiune-curent. Interfaţa de comunicaţie, care poate fi serială sau paralelă, asigură interconectarea microcontrolerului la un mediu de dezvoltare a programelor. Componenta cea mai importantă în aceasta configuraţie este microprocesorul. Pentru alegerea acestuia trebuie avute în vedere trei consideraţii: cerinţele de calcul, complexitatea programelor şi tipul perifericelor necesare interfaţării la traductoare şi elemente de execuţie. Microprocesorul selectat trebuie să fie suficient de performant pentru a asigura calculele pentru toţi algoritmii cemţi în cadrul unui interval de eşantionare.

Microcontrolerele conţin, pe lângă microprocesor, multiple periferice integrate într-un singur chip. Microcontrolerele pot fi selectate pentru realizarea unui sistem numeric de conducere, în condiţiile în care cerinţele impuse acestui sistem pot fi satisfăcute de cele trei componente integrate. Pentru aplicaţii relativ simple, soluţia utilizării microcontrolerelor este cea recomandată, însă în cazul utilizării unor algoritmi avansaţi cu cerinţe mari de memorie şi multiple periferice se adoptă soluţia proiectării unui regulator numeric care, deşi este mai costisitoare, oferă multiple facilităţi hardware şi software. Pentru procese rapide şi algoritmi relativ complecşi, ca acelea întâlnite în industria aerospaţială, unde intervalul de eşantionare şi calculele cerute nu pot fi acoperite de procesoare, uzual se poate adopta o soluţie hibridă cu două procesoare. Astfel, pot fi exploatate facilităţile oferite de procesoarele de semnal (DSP), datorită vitezei mari de prelucrare şi facilităţilor oferite de microcontrolerele care integrează memorii şi periferice direct conectabile cu procesorul. Pentru a exemplifica modul de selectare a unei arhitecturi hibride, considerăm un regulator universal rapid (fig. 15.5) [70, 77, 78]. Viteza de prelucrare de zeci sau sute de MFLOPS este asigurată de procesorul DSP selectat, iar conectarea la proces şi comunicaţia sunt asigurate de microcontroler. Regulatorul numeric în arhitectura hibridă din figura 15.5 constă din două module de prelucrare distincte care realizează sarcini diferite. Modulul DSP conţine procesorul şi memoria RAM asociată. Acest modul nu are legături hardware cu dispozitive externe, el este conectat doar cu microcontrolerul printr-un canal DMA. Cel de-al doilea modul este constituit dintr-un microcontroler care asigură conexiunea cu toate dispozitivele externe prin interfeţe şi alte circuite.

!NG!NER!A REGLĂRll AUTOMATE

690

j

l curent

linii seriale la PC

1~1 L u 1

tensiune

intrari numerice tensiune

NEC

~-1

1'

J

PD 78312

(microcontroler)

tensiune iesiri numerice

semnal PWM

MEM

1

' ATST DSP32C

RAM

Fig. 15.5

În exemplul considerat a fost selectat un procesor de semnal DSP 32C, cu o memorie RAM de 128 Ko, cu reprezentarea pe 32 biţi şi circuite logice necesare pentru a interfaţa DSP la memoria RAM. Controlerul DMA integrat în DSP este accesat de microcontroler printr-o magistrală de date şi comenzi de 16 biţi. Prin intermediul acestei magistrale microcontrolerul controlează citirea/scrierea oricărei locaţii de memorie în cadrul spaţiului de adrese de memorie a DSP. Această magistrală permite microcontrolerului să reseteze soft DSP. Programul ce trebuie executat pe DSP este încărcat în memoria DSP de către microcontroler prin canalul DMA. În cazul execuţiei în timp real a programului de aplicaţie, DSP va monitoriza citirea senzorilor şi transmiterea comenzilor la elementele de execuţie. Această activitate a DSP se realizează prin simpla accesare a diferitelor locaţii de memorie în care se găsesc datele referitoare la dispozitivele externe. Microcontrolerul nu este implicat direct în execuţia algoritmilor de reglare, dar asigură taskuri suport pentru aceasta.

Implementarea

numerică


691

Primul task este de a asigura că programele de aplicaţie sunt în mod corespunzător. Al doilea task este de a menţine sincronizarea în timp a tuturor funcţiilor regulatorului, iar cel de-al treilea task este de a gestiona toate perifericele şi comunicaţia cu un calculator gazdă. · De notat că această arhitectură este modularizată şi asigură relativ simplu, dezvoltarea aplicaţiilor, iar costurile sunt reduse. O arhitectură de regulator numeric ce tinde să se impună pentru clase largi de aplicaţii este arhitectura modularizată. O asemenea arhitectură operează cu două magistrale, una locală şi cealaltă externă, prin intermediul căreia se asigură extinderea cu diverse module interfaţa de proces (fig. 15.6). încărcate

Ceas de Garda

Î Procesor

Bloc Memorie


:l

r

u

1

1

a tt

Magistm!a Locala

Adaptor Extensie Magistrala

Interfata Comanda Operator

~~·········tt

H tf

Modul [ Interfata 1 Proces

Modul interfata Proces

·········

Modul Interfata Proces

Î Afisare

Tastaturi 1

1

1

L.

1

1 Magistrala Externa

'

Fig. 15.6

Magistrala externă reprezintă o extensie a magistralei locale existente în structura unităţii centrale, fiind controlată direct de către procesor. Unitatea centrală de prelucrare, împreună cu sistemul de comunicaţie cu operatorul, formează un modul a cărui prezenţă este obligatorie, ca şi sursa de alimentare a întregului sistem.

1

692


Restul de module care pot fi adăugate este reprezentat de diferite module de interfaţă cu procesul sau alte module care asigură compatibilitatea cu alte echipamente sau sisteme de calcul în configuraţii distribuite sau/şi ierarhizate. Adoptarea soluţiei modulare asigură compatibilizarea cu clase largi de aplicaţii, deci o ridicată flexibilitate, dar, în acelaşi timp, şi o siguranţă în funcţionare foarte bună, prin rezervare practică a tuturor modulelor (inclusiv unitatea centrală de prelucrare). O analiză performanţă/cost a unor arhitecturi modularizate se impune, având în vedere limitările tehnologice a numărului de module, a capacităţii de control a magistralei, care în anumite situaţii poate fi supraîncărcată, a adaptoarelor de extensie de magistrală (circuite de separare/amplificare). O arhitectură optimală se poate dezvolta pentru fiecare aplicaţie, Iimitându-se numărul de module şi implicit problemele legate de siguranţa în funcţionare. Pentru procese de medie şi mare complexitate se extinde soluţia modularizată la arhitecturi distribuite, în cadrul căreia se pot include mai multe echipamente modularizate (fig. 15.2). În cazul în care regulatoarele numerice conectate pe magistrala de comunicaţie necesită o comunicare strânsă şi între ele, apare necesitatea arbitrării accesului la magistrala de comunicaţie. În acest scop pot fi utilizate mecanisme de arbitrare bazate pe detecţia coliziunilor şi mecanisme de arbitrare bazate pe transmiterea unui pachet de permisiune. O arhitectură eficientă de sistem de conducere uşor integrabilă în configuraţii de sisteme distribuite de conducere se poate obţine în condiţiile în care modulele interfeţei de proces sunt "inteligente"[81]. În acest caz, interfeţele de proces conţin în structura lor un procesor şi un adaptor de comunicaţie corespunzător tipului de magistrală externă de comunicaţie utilizată. În cadrul acestor interfeţe se implementează funcţii de prelucrare primară a semnalelor achiziţionate sau generate chiar la nivelul interfetelor, reducând efortul de calcul la nivelul unitătii centrale a ' ' regulatorului şi simplificând mecanismele de comunicaţie. Utilizarea unei magistrale de comunicaţie pentru conectarea perifericelor la unitatea centrală asigură o importantă simplificare a conexiunilor propriu-zise, prin înlocuirea numărului mare de conexiuni prezente la nivelul unei magistrale convenţionale (date, adrese, semnale de control) prin numai două fire de semnal (fig. 15.7). Astfel, se simplifică structura mecanică a echipamentului prin eliminarea unor conectări costisitoare şi puţin fiabile şi se creează posibilitatea extinderii numărului de module.

Impleme11tarea

11umerică


693

Ceas de Garda

Bloc

Procesor

Memorie


Interfata Operator

Adaptor Comunicatie

Magistrala Externa de Comunicatie cu Perifericele

~~==z;============z~$============~z~$====~ Interfata Inteligenta

Interfata Inteligenta de Proces

Interfata Inteligenta de

Proces

Fig. 15.7

Prin utilizarea unei magistrale de comunicaţie standard, se obţine un echipament cu o structură deschisă. Datorită absenţei unei conexiuni directe între diferitele componente ale sistemului, nu mai este necesară compatibilitatea acestora la nivelul structurii interne. Pot fi realizate diverse combinaţii între module dezvoltate în jurul unor procesoare diferite cu diverse tehnologii, singura cerinţă fiind aceea a prezenţei adaptorului de comunicaţie cu magistrala standard utilizată. Datorită avantajelor pe care le prezintă, arhitectura modulară cu interfeţe inteligente este recomandată pentru dezvoltarea de regulatoare numerice performante care pot funcţiona independent sau în configuraţii de sisteme distribuite de conducere. Pentru implementarea concretă a unui asemenea regulator numeric, este necesară specificarea configuraţiei elementelor componente şi anume unitatea centrală, module de interfaţă, precum şi alegerea unei anumite magistrale de comunicaţie pentru interconectarea acestora.

INGINERIA REGLlRI! AUTOMATE

694

15.3. Probleme ale 15.3.1.

Reprezentări

implementării

algoritmilor numerici

ale algoritmilor dereglare.

Realizări

Proiectarea sistemelor numerice de reglare (conducere) are ca rezultat o anumită strategie în funcţie de particularităţile obiectuh;~i condus, de cerinţele de performanţă impuse. Aceste strategii (legi) de reglare (conducere) sunt reprezentate sub forma unor sisteme dinamice discrete în timp. În cazul utilizării unor modele intrare-ieşire, rezultatul proiectării, în forma cea mai generală, este: 1 R(q- 1~k = -s(q- 1 (15.1)

r(q- h unde polinoamele R(q-

bk

r(q-- ) şi s(q- 1) au semnificaţia cunoscută şi dimensiuni determinate de complexitatea modelului discret ataşat procesului condus şi de cerinţele de performanţă. Parametrii r1 , t k şi s j sunt 1

),

1

determinaţi

în funcţie de valorile parametrilor modelului procesului. Metodele de proiectare bazate pe alocarea polilor, apelând la modele de stare, conduc la algoritmi de reglare reprezentaţi sub forma: ;klk = xklk-1 + L(yk - .Yklk-1) (15.2) sau uk

= F(xf

-

xklk

în cazul în care starea pnn:

)+ Nrk urmăreşte

starea unui model de

referinţă

caracterizat

x~1=f~k',rk). (15.3) Matri cele F, L, N sunt determinate în funcţie de matricele , r, C ataşate modelului de stare al procesului(§ 7.4). În această reprezentare, starea regulatorul ni este xk şi x;' , unde xklk- 1 este estimarea stării procesului pe baza datelor până la momentul k -I, iar

x;' este starea modelului ce generează răspunsul dorit la semnalele

de referinţă rk . În cazul în care modelul de referinţă este liniar, forma generală a unui algoritm dereglare (conducere) este: x%+1 = Acxk + BcYk + Ccrk Uk

= Fcxk + GcYk + Dcrk

(15.4)

Implementarea

unde

numerică


695

xJ; este starea regulatoruluî, iar matrice le

A,, B,, C,, F,, G, şi D,

au dimensiuni Uk

E9l"',

rk

corespunzătoare

în cazul în care

xf E 9l"',

Yk E 9JP,

E9JP

Ca orice sistem dinamic reprezentat prin ecuaţii de stare, regulatorul are un model echivalent intrare-ieşire, iar comanda poate fi calculată recurent ca în (15.1). Există transformări simple între cele două reprezentări (cap. 2). Diferite realizări pot fi obţinute prin alegeri corespunzătoare ale variabilelor de stare. Aceste reprezentări sunt echivalente din punct de vedere intrareieşire, dacă facem aproximarea că toate calculele sunt făcute cu precizie infinită.

În cazul real, când precizia calculelor este finită, alegerea reprezentării de stare este foarte importantă. Cuantizarea şi rotunjirea în reprezentarea numerelor introduc neliniarităţi care pot determina instabilitate şi imprecizie în realizarea obiectivelor reglării. O alegere necorespunzătoare a realizării unui algoritm de reglare poate genera sensibilitate la erorile de calcul. Este important ca regulatorul să fie transformat într-o formă robustă înainte de a fi implementat ca program de aplicaţie.

Cele mai folosite realizări hardware sunt: realizarea directă, realizarea cascadă, realizarea paralelă [6, 78]. Pentru a exemplifica modul de realizare hardware a unui algoritm numeric, se consideră legea dereglare sub forma polinomială: (15.5)

n

uk

n

= l:,qiEk-i -l:,pJuk-J · i=O

(15.6)

j=O

Termenul de realizare hardware pentru un algoritm reprezentat ca sistem dinamic în timp discret implică o realizare cu elemente discrete de reţea, elemente de întârziere, multiplicatoare şi sumatoare. O realizare hardware directă a funcţiei de transfer (15.5) poate fi implementată folosind un număr minim de elemente de întârziere egal cu n (fig. 15.8), cu n variabile de stare. Se poate uşor observa că o asemenea realizare presupune utilizarea a n elemente de întârziere, (2n + 1) elemente de multiplicare şi două sumatoare.

INGINERIA REGLĂR!f AUTOMATE

696

Fig. 15.8

Selectând o realizare în forma canonică controlabilă pentru H R 1), se obţine realizarea hardware prezentată în figura 15.9. în această realizare identificăm un număr minim de variabile de stare, deci n elemente de întârziere, (2n + 1) operaţii de îumulţire şi mai multe sumatoare. Cele două realizări sunt practic identice, însă operaţiile care se execută şi ordinea acestora pentru obţinerea comenzii u k sunt diferite. Ţinând seama de sursele de erori ce pot apărea şi anume: cuantizarea semnalelor de intrare, rotunjirea numerelor care intervin în calcule şi cuantizarea val ori lor parametrilor q1 , p1 care intervin în algoritm,

(z-

diversele realizări pot fi mai eficiente sau nu. Aceste erori, în esenţă, sunt detem1inate de precizia finită de reprezentare a variabilelor şi a parametrilor, reprezentare în virgulă fixă a acestora cu un număr limitat de biţi. Pentru reducerea sensibilităţii la erorile de reprezentare se pot folosi realizări în cascadă şi în paralel. În acest caz, funcţia de transfer H R -l) poate fi descompusă în elemente de ordinul întâi şi doi:

(z

)= fJ ·H1k )· H (z- 1). ····HP(z- 1) este o constantă şi H,(z -l) sunt funcţii

HR(z- 1

unde J3 şi/sau al II-lea, iar 15 p 5 n.

2

(15.7)

de transfer de ordinul I

lmplemelltarea

,~----

'

uumerică


697

-------------------------------- ------------------- -----------------------------------.,

:

l:

l:

'

l:

:,,

+

Pn-l

p,

+

'

'

L-------------------------------------··-------------------------·--------------------------~

Fig. 15.9

Funcţiile de transfer H; (z-I) pot fi puse sub forma: H(z-I

)= 1+quz·-1

f

(15.8)

1 -1 + PuZ

respectiv: 1+quz

-1

-2

+ qz;Z (15.9) -1 -2 1+ Puz + P2;z Realizări standard pentru elemente de ordinul I şi al II-lea sunt prezentate în figura 15.10 a, respectiv 15.10 b. Operaţiile de calcul în cadrul acestor realizări sunt mai simple, iar sensibilitatea la erorile de reprezentare a variabilelor şi a parametrilor este mai scăzută.

H,.(z-I)


698

Bie

+

q-1

a)

' - - - - - - - - - - ( P2i )----'

b) Fig. 15.10

În figura 15.11 se prezintă o realizare "cascadă" a unor module de ordinul I şi al II-lea.

•fl ) - - - l

Fig. 15.11

Implementarea

numerică


În realizarea paralelă se descompusă sub forma: HR

699

consideră funcţia de transfer

(z- )= y +H1(z- )+ H 2( z- 1)+· .. +li P(z- 1), 1

1

unde y este o constantă şi H,.(z- 1) sunt de ordinul al doilea de forma:

H,.(z-1)=

H R (z

-l)

(15.10)

funcţii de transfer de ordinul I şi/sau

bo-1'

(15.11)

1+ a1,.z

respectiv:

H(z -1)= 1

bo +bliz-1 --1 -2 1 + aliz + a 2iz

(15.12)

.

Pentru forma (15.11) şi (15.12) a realizările prezentate în figura 15.12 a,b.

funcţiilor

~----xr--,-'.

'-8-0 a)

a,

b)

Fig. 15.12

de transfer se

obţin


700

O reprezentare compactă a unei realizări în forma paralelă este dată în figura 15.13. Ca şi în cazul precedent, pot fi evidenţiate simplificări ale operaţiilor de calcul şi o reducere a sensibilităţii la erorile de reprezentare a variabilelor şi a parametrilor în comparaţie cu realizările directă şi companion. Performanţele unui sistem numeric de reglare sunt dependente de perioada de discretizare T, capacitatea de procesare numerică, lungimea cuvântului cu care operează microprocesorul şi de performanţele interfeţelor de proces (convertoarele AIN şi NIA). r

~---------------------.

"'

Fig. 15.13 15.3.2. Realizarea software a algoritmilor de reglare numerică

În figura 15.14 se prezintă schema unui SRA cu regulator numeric implementat ca program de aplicaţie cu intrările rk şi Yk. Ieşirea analogică y(t) este aproximată printr-o secvenţă de numere Yk =y(kT), k=0,1,2,···, care reprezintă valorile funcţiei y(t) la momente discrete de timp. În acest caz, T reprezintă perioada de eşantionare. Astfel, calculatorul (regulatorul numeric) citeşte ieşirea convertorului AIN la fiecare T secunde. Semnalul de referinţă rk = r(kT) este memorat ca o

Implementarea

numerică


701

de numere binare în memoria calculatorului. Eroarea ek =e (kT) este formată şi procesată în calculator, în conformitate cu algoritmul de reglare. Comanda furnizată de calculator este transmisă spre elementele de execuţie prin intermediul convertorului numeric-analogic (NI A). Convertorul NI A menţine constantă valoarea numerică dată de calculator până apare următoarea comandă. Această procedură este repetată pentru fiecare perioadă de eşantionare T , cu observaţia că timpul de execuţie pentru algoritmul dereglare este mult mai mic decât T. secvenţă

rk ~

Program ce implementeza

-

algoritmul de reglare

uk

Convertor NIA

u(t)

Obiect Condus

y(t)

Yk Yk

Convertor

y(t)

NN

Fig. 15.14

Perioade mari de eşantionare permit realizarea algoritmilor de reglare de mare complexitate, însă banda de frecvenţă pentru SRA poate cere valori mici pentru T. Calculele trebuie realizate în cadrul perioadei T, altfel întârzierile în efectuarea calculelor pot conduce la instabilitatea SRA. Coeticienţii care apar în algoritmii de reglare şi valorile intrării de referinţă trebuie să fie reprezentaţi printr-un număr finit de biţi. Toate aceste operaţii, împreună cu operaţiile de cuantizare (rotunjire, trunchiere), introduc imprecizii în bucla dereglare. În cele ce urmează, sunt analizate principalele aspecte legate de implementarea algoritmilor de reglare. Principalele întrebări la care trebuie răspuns atunci când se trece la implementarea unui sistem numeric de conducere în timp real sunt: Care este precizia convertoare lor? Care este precizia cerută la efectuarea calculelor? Ce fel de aritmetică se foloseşte (în virgulă fixă sau în virgulă mobilă)?

Pentru a răspunde la aceste întrebări este necesar a înţelege efectele limitărilor şi a estima consecinţele lor pentru performanţele sistemului în buclă închisă.

INGINERIA REGLA-RI! A V TOMA TE

702

Sursele majore de erori la implementarea sistemelor numerice de reglare sunt: cuantizarea în convertoarele AIN, cuantizarea parametrilor, rotunjirea în urma operaţiilor de adunare, scădere, multiplicare, evaluare a funcţiilor, cuantizarea în convertoarele N/ A. Convertoarele uzuale au precizii de 8, 1O, 12 şi 14 biţi, care corespund la o rezoluţie de 0.4%, 0.1%, 0.025% şi 0.006%. Convertoarele NI A au, de asemenea, o precizie limitată (o precizie de 1Obiţi este tipică). Un element cheie în evaluarea preciziei de implementare al unui algoritm îl constituie "lungimea cuvântului ". Uzual, algoritmii numerici sunt implementaţi apelând la microprocesoare cu lungimea cuvântului de 8, 16 sau 32 biţi. Procesoarele de semnal (DSP) sunt frecvent utilizate la implementarea algoritmilor numerici, în cazul în care sunt cerute viteze mari de eşantionare. Cele mai multe procesoare de semnal au lungimea cuvântului de 16, 24 sau 32 biţi, însă acumulatoarele au lungimea mai mare, de 32 sau 56 biţi. Arhitectura cu acumulator a cărui lungime este mai mare este ideală pentru calculul produselor scalare, deoarece produsele termenilor pot fi acumulate în dublă precizie. Procesoarele de semnal sunt foarte rapide. Operaţia de multiplicare şi acumulare (MAP) ajunge la 100 nanosecunde. Procesoarele în virgulă mobilă sunt mai costisitoare. Din cauza lungimii finite a cuvântului utilizată pentru reprezentarea numerelor, problemele de precizie apar atunci când un număr având m biţi trebuie reprezentat printr-un număr având n < m biţi. Acest proces de cuantizare apare uzual în conversiile AIN, după multiplicări sau divizări, când se inserează constante etc. Cuantizarea se realizează prin trunchiere sau prin rotunjire. Când se trunchează un număr de m biţi la un număr de n < m biţi, atunci (m - n) cei mai puţin semnificativi biţi se neglijează. Relaţia exactă între valorile unei variabile continue x şi valorile versiunii sale cuantizate xqr folosind operaţia de trunchiere sunt date în figura l5.15a pentru cazul reprezentării complementului lui 2 şi în figura 15.!5b. Dacă notăm prin er = xqT - x eroarea rezultată în procesul de trunchiere pentru cele două tipuri de reprezentare, se obţine: (15.13) ŞI

O::; e~· < q , pentru x < O, respectiv: -q < er :::: O, pentru x > O.

(15.14)

Implementarea

numerică


703

--------------------------------------------

q 2q

-------------------------

'

''' '''

q !-------

3q

-2q

-- q

'' ' ''' '' ' ''

!

' '''

q

''

'

-

'''

' 3q

2q

X

q

------ - 2q

------------- -

3q

a)

xqT

3q

r-----------------

2q

r-----------

q t----- 3q

-2q

!

l

'' '

'' ''' '

1

'' ''

-q q

------ -q

1-------------- -2q

- - 3q b) Fig. 15.15

1

''' '

;

2q

3q

X


704 Operaţia

de rotunjire este

evidenţiată

în figura 15.16, unde q este

intervalul de cuantizare ( q =2· N, N -- lungimea cuvântului). Eroarea de rotunjire se obţine simplu: cR =xqR -xE[-q/2, q/2]. Aceasta este validă pentru toate cazurile de reprezentare în virgulă fixă.

2q

'-----------...----11

q ------..,---i -3q/2

1• •

'

:

,_i_ _

1• • '

-q/2 q/2 3q/2

i-'_ __ _ . , _ _ _ _ _ _

t--

X

q

_.!__ ____________ 1-- 2q

1 Fig. 15.16

O descriere detaliată a fenomenului de cuantizare conduce la un model neliniar care prezintă reale dificultăţi de analiză. Investigarea unor cazuri simple arată că operaţiile de trunchiere şi rotunjire pot conduce la apariţia ciclurilor limită în funcţionarea SRA. Unele efecte ale cuantizării în SRA pot fi evidenţiate apelând la modele simplificate liniare. În acest caz, operaţiile de cuantizare sunt modelate ca operaţii ideale cu perturbaţii aditive sau multîplicative, deterministe sau stocastice. Erorile de trunchiere şi rotunjire introduc zgomote în sistem, iar reprezentarea cu precizie finită a parametrilor algoritmului conduce la scăderea stabilităţii relative şi a performanţelor SRA. Operaţiile cu precizie finită nu sunt, nici asociative, nici distributive, ca urmare a efectelor neliniare introduse. Rezultatul calculelor în cadrul unui algoritm de reglare depinde de ordinul şi de complexitatea calculelor. Apare, astfel, problema realizării algoritmilor pentru a reduce efectele reprezentării cu lungimea finită a cuvintelor (LFC). Dacă unele proprietăţi ale SRA, în particular, stabilitatea este foarte sensibilă la variaţii sau incertitudini ale parametrilor regulatorului, atunci regulatorul poate fi considerat ca un "regulator fragil". Asemenea

Implementarea

numerică


705

regulatoare trebuie să fie implementate cât mai precis. Este clar că un regulator care este stabil robust la efectele preciziei finite de reprezentare a parametrilor datorită efectelor (LFC) este, de asemenea, nefragil. Apare în mod firesc întrebarea care este cea mai bună realizare a algoritmului de reglare care asigură efectul minim al erorilor de reprezentare a parametrilor asupra performanţelor SRA. Dacă algoritmul de reglare are o reprezentare de stare de fom1a: x%+1 :::: uk =

Acxk + BcYk

c

n

(15.15)

' xk E gţ c

Fcxf + GcYk

unde xf E mn, reprezintă starea funcţie de transfer:

ataşată

rezultă

algoritmului de reglare,

HR(z- 1 )=Fc[zl -Ac]- 1Bc +Gc

o

(15.16)

În cazul unei precizii infinite de reprezentare, se poate găsi o matrice T nesingulară, astfel încât:

FCT~/- T- 1ACT

t

r-l

1

Bc + Gc = .Fc(z/- Acl' Bc + Gc.

Astfel, realizările lui H R (z) nu sunt unice, existând pentru H R (z) o infinitate de realizări echivalente ale algoritmului de reglare. În cazul unei precizii finite, aceste realizări nu sunt echivalente. Se poate astfel formula problema găsirii acelei matrice de transformare T care minimizează efectul lungimii finite a cuvântului (LFC). O asemenea abordare permite a măsura "fragilitatea" regulatorului prin evaluarea sensibilităţii funcţiei de transfer a SRA la mici variaţii ale parametrilor algoritmului de reglare definiţi prin .

-

-

-

-

-

-1

-

·1

-

realizarea Ac, Bc, Fc, Gc, unde Ac =T AcT, Bc =T Bc, Fc =FcT,

Gc = Gc . Rezultate semnificative în această direcţie sunt prezentate în [6, 59]. O analiză eficientă a efectului preciziei finite de reprezentare a parametrilor algoritmului de reglare asupra stabilităţii şi performanţelor unui SRA numeric se poate efectua pornind de la ecuaţia caracteristică a SRA dată sub forma polinomului: (15.17) unde coeficienţii a; sunt cercului de rază unitară.

determinaţi

de

poziţiile

polilor

Â.;

în interiorul

INGINERIA REGLlR!f AUTOMATE

706

Polinomul P, poate fi privit ca o funcţie de z şi a;. Când parametrul a; este schimbat la a;+ 8a;, polii sunt schimbaţi din Âk la A.k + 8A.k:

O=?" (A.k + liA.k>

a;+ 8a;) ~

~?"(!.ba;)+ _8P_, 8z

·liA.k + _8P_c 1

1

8a.i

z=Ak

.

oa; + ...

(15.18)

z=f..k

Primul termen din (15.18) este egal cu zero. de ordinul doi şi mai mare în (15.18), obţinem:

Dacă neglijăm

termenii

8?" liA.k ~-

8a. 8 ~<

p

(15.19)

·lia;

8z lz~A, După

efectuarea calculelor,

8?" 8a;

= Î,z-i z=).,

şi 8?" 8z

1

z=).,

ţinând

=

seama că:

IT (~..k - ~. l j

i"'k

se obţine: (15.20)

Relaţia

(15.20) evidenţiază efectul pe care îl poate avea imprecizia de reprezentare a parametrilor regulatorului asupra stabilităţii şi performanţelor SRA. Fragilitatea regulatorului creşte odată cu mărirea vitezei de discretizare, având în vedere că marginea de stabilitate scade cu creşterea vitezei de eşantionare, polii se apropie de cercul unitate, deci erori mici în reprezentarea parametrilor algoritm!llui de reglare pot conduce la instabilitate şi, prin urmare, regulatorul este fragil. O analiză a "fragilităţi" sau a "robusteţei" unui algoritm numeric se impune atunci când se trece la implementare. Problemele legate de precizia calculelor, erorile de reprezentare şi impactul acestora asupra robusteţei (fragilităţii) regulatoarelor implementate numeric sunt prezentate în [59].

lmplemelltarea numerică a algoritmilor dereglare

15.4. Aspecte operaţionale ale

707

implementării

Metodele de proiectare prezentate în capitolele anterioare au la bază modele liniare (liniarizate) ale obiectului condus. Obiectul condus, aşa cum a fost definit în capito lui 1, conţine elementul de execuţie, instalaţi a tehnologică şi traductorul. În aplicaţiile reale, elementul de execuţie poate avea un domeniu de lucru care iese din zona de variaţie a mărimilor funcţionale, care permite aproximarea comportării printr-un model liniar introducând, astfel, neliniarităţi în funcţionarea sistemului. Cele mai importante neliniarităţi introduse de elementul de execuţie sunt de tip "saturaţie" şi "zonă de insensibilitate". În aceste condiţii, la pornirea sau/şi la oprirea instalaţiei tehnologice, precum şi la variaţii mari ale variabilelor, fenomenele neliniare, inerent introduse de elementele de execuţie, pot avea efecte dezastruoase asupra comportării SRA, dacă nu sunt prevenite. În capitolul 9 sunt prezentate metode de proiectare a sistemelor de reglare cu luarea în consideraţie a neliniarităţilor esenţiale (saturaţie, histerezis, zonă de insensibilitate etc.), însă algoritmii de reglare neliniari obţinuţi necesită eforturi mari de implementare. Astfel, este practic a folosi metode euristice care să evite efectul nedorit al neliniarităţilor asupra performanţelor SRA. Cea mai importantă neliniaritate introdusă de elementele de execuţie este saturaţia, unde limitele superioară şi inferioară sunt determinate de închiderea sau deschiderea completă a valvei. Dificultăţile apar deoarece regulatorul este un sistem dinamic. Când variabila de comandă se saturează, este necesar a asigura o comportare corespunzătoare a stării regulatorului. Considerăm mai întâi algoritmul de reglare după stare, cu estimator de stare inclus (fig. 15.17). ;,;"

Jk

_____.

AS

Uk

Estimator

-xk {)----..

Fig.15.17

F

lf

Uk ~


708

model

Ecuaţiile ce definesc algoritmul de referinţă în prezenţa saturaţiei

de reglare după stare cu estimator elementului de execuţie sunt [6]:

xk =xZ +L(Yk -cxZ) x2 = xk-1 + ru;_ 1

xk =

şi

(15.21)

[I- LCjxk-l + Lyk + [I- LCjflîf_1

ut =sat[F(xm -xk)j+Nrk unde

funcţia

sat este definită ca:

sat u =

l:min Umax

pentru u .$ Umin pentru Umîn

< U < Umax

(15.22)

pentru u ~ Umax

pentru un scalar şi: satu 1 satu 2 sat u = saturn pentru un vector. Estimatorul furnizează starea corectă, dacă variabila de comandă uk este cea calculată, sau cea estimată ii k , chiar dacă aceasta atinge saturaţia. Valorile u min şi u max sunt alese pentru a corespunde limitărilor impuse de elementul de execuţie. Din (15.21) se observă că starea sistemului va fi totdeauna limitată dacă matricea (I- LC) este stabilă. Este clar că xk va fi o bună estimare a stării procesului chiar dacă valoarea se saturează în condiţiile alegerii corespunzătoare a limitelor um;n ŞI umax. Fenomenul "ANTI-WIND-UP" pentru modelele de stare generale poate fi evidenţiat pornind de la modelul general al algoritmului dereglare: Xk+l = Acxf + BcYk

(15.23)

Uk = Fcxk + GcYk care nu include explicit estimatorul. Dacă matricea Ac are valori propm m afara discului unitate, variabilele de comandă se saturează şi poate apărea fenomenul "wind-up". Se aproximează, de exemplu, că ieşirea a atins limita maximă şi apare o eroare de reglare. Starea şi comanda vor continua să crească, deşi influenţa asupra procesului este limitată din cauza saturaţiei. Pentru a evita acest fenomen, trebuie ca starea din (15.23) sa aibă o valoare corespunzătoare atunci când ieşirea regulatorului se saturează. În

Implementarea

numerică


709

cazul regulatoarelor convenţionale, acest lucru se realizează pnn introducerea funcţiei (modului) "urmărire", care asigură ca starea regulatoruluî să corespundă secvenţei intrare-ieşire (uk, y, ). Proiectarea unui mod "urmărire" poate fi formulată ca o problemă de estimare a stării. În cazul regulatorului cu estimator explicit de stare urmărirea se realizează automat prin includerea ieşirii elementului de execuţi~ sau a estimaţi ei acestuia în estimator [5, 45]. In cazul modelului general (15.23), vom considera acelaşi raţionament ca în cazul regulatorului cu estimator explicit. Astfel: xk+l

~ A,x/i + B,Yk + L[uk - Fcxk - G,yk]

sau (15.24) c ~ xk+J

(15 · 25)

Aoc xkc + Boc Yk + L uk

Dacă

sistemul (15.23) este observabil, matricea L poate fi aleasă totdeauna, astfel ca matricea A~ ~ A, - LF, să aibă valorile proprii în interiorul discului unitate. Prin aplicarea aceloraşi argumente ca pentru regulatorul cu estimator explicit, legea de reglare devine: c Ao c , o L Xk+! = cxk -r 8cYk + Uk (15.26) u, =sat[Fcxf +GcYk ]. Funcţia saturaţie se alege pentru a corespunde saturaţiei reale a elementului de execuţie. O schemă bloc a regulatorului cu compensarea "antireset windup" este prezentată în figura 15 .18.

rl

1

+

-4 Yk

B,- LG,

~+

A,- LF,

+

,-q

+

-1

~

x,' L

Fig. 15.18

F,

~

sat

u,,____.

INGINERIA REGL4RII AUTOMATE

710

În mod similar, se poate descrie mecanismul "antiwindup" pentru modele intrare-ieşire ale regulatorului. Considerăm regulatorul cu două grade de liberale cu reprezentarea în formă canonică R, S, T:

R(q- 1 ~k

=T(q- 1h -s(q- 1 ~k·

(15.27)

Problema este de a rescrie această ecuaţie într-o asemenea încât să reprezinte un sistem dinamic cu estimator cu cele trei intrări.

formă,

Notăm cu Ao (q -l) polinomul caracteristic al estimatorului antiwindup şi adăugăm A0 (q -l ~k în ambele părţi ale ecuaţiei (15.27): A0 (q- 1 ~k =T(q- 1 -s(q- 1)Yk +[Ao(q- 1 )-R(q- 1 )~k (15.28)

h

Regulatorul cu mecanism "antiwindup" este astfel descris pnn ecuaţiile:

Ao(q- 1)vk =T(q- 1h -s(q- 1)Yk +[Ao(q- 1)-R(q-')]uk uk=sat vk.

(15.29)

Schema bloc a regulatorului cu mecanism antiwindup este prezentată în figura 15.19 (v. § 11.6.2). r--------------------------------------------------------------------~

'' rk

Yk

'' ' ' '

' ' ' ' ' '

r(q-')

'' '

' ''

' '

' ' ''

'' ' ''

' '' '' '' '' ' '' '

r

...._+

-s(q-1) +

+

-

1

vk

Ao

_/

'' "k

'

: 'lk

'' ' ' ' ''

'

Ao(q-~)-R(q-1) '

' ' ' ~--------------------------------------------------------------------} Fig. 15.19

Modelul (15.29) este identic cu (15.27) atât timp cât comanda nu se saturează. Când comanda se saturează, regulatorul poate fi interpretat ca un estimator cu dinamica dată prin polinomul A0 1).

(q-

Implementarea

numerică


În cazul în care calculează cu relaţia: uk

~ sat[T(q~ 1

711

A 0 (q~ 1 )~ 1 (estimator deadbeat), comanda se

h- s(q~ )y, + (1- R(q~ )~k 1

1

].

(15.30)

Includerea în algoritmii de reglare a mecanismului antiwindup presupune eforturi suplimentare pentru structurarea acestora şi dezvoltarea programelor de aplicaţie. De asemenea, trebuie avute în vedere aspectele operaţionale ale algoritmilor de reglare la trecerea de la modul "AUTOMAT" la modul "MANUAL" de funcţionare, precum şi la modificările parametrilor. Regimul de tranziţie al regulatorului, ca sistem dinamic, de la un mod de lucru la alt mod de lucru, trebuie să se realizeze fără şocuri în nivelul comenzii şi, implicit, fără şocuri pentru instalaţia tehnologică. Un mod de lucru "URMARIRE" se implementează în algoritmul dereglare prin includerea unui estimator de stare. Un alt aspect operaţional ce trebuie avut în vedere la implementarea unui algoritm numeric este şi "iniţializarea" stării acestuia la punerea în funcţiune. Un asemenea mod de lucru se regăseşte şi la configurarea unor structuri de reglare în cascadă. Astfel, regulatoarele secundare sunt mai întâi iniţializate în regim manual şi apoi trecute în regim automat, când nivelul comenzilor este apropiat.

15.5. Programarea regulatoarelor numerice 15.5.1. Introducere Programarea este un aspect important al implementării unui sistem de conducere, atât din punctul de vedere al eficienţei sistemului, cât şi din punctul de vedere al timpului cerut pentru implementare. Efortul cerut şi metodele folosite pentru implementare depind de sistemul software disponibil şi de natura problemei de conducere. Caracterul şi dificultăţile programării depind esenţial de aplicaţie. Pentru sistemele de timp real, aşa cum sunt regulatoarele numerice mono sau multiprocesor, se utilizează programe concurente, astfel obţinându~se sisteme concurente [34, 78]. Un program concurent este format din mai multe procese (taskuri) care se execută simultan (cel puţin temporar), aflându-se în competiţie pentru a avansa din punctul de vedere al activităţilor efectuate. Procesul (taskul) este definit ca o parte (entitate logică) a unui program care este

INGINERIA

712 executată

secvenţial,

REGLĂRI!

AUTOMATE

dar care poate fi executată concurent (sau pseudoconcurent) cu alte procese, deci acelaşi program. Necesitatea dezvoltării sistemelor concurente provine din: • timpul scurt de răspuns şi utilizarea eficientă a resurselor, ceea ce conduce la tehnici de specificare a stării sistemului şi a cerinţelor de resurse, în mod dinamic; • apariţia unor activităţi concurente între procesorul central şi dispozitivele periferice, datorită utilizării eficiente a echipamentelor; • partajarea informaţiilor între programe şi comunicarea între programe, ceea ce a creat necesitatea specificării sincronizării la nivel software. Programele concurente pot fi implementate pe diverse sisteme de calcul apelând la: - Multiprogramare (procesele concurente se execută prin divizarea timpului pe un singur procesor); - Multiprelucrare (procesele concurente se execută pe procesoare diferite cu memorie proprie sau comună); - Prelucrare distribuită (procesele concurente se execută pe procesoare separate fără memorie comună; taskurile comunică între ele prin intermediul mesajelor). Fie că sistemul concurent este implementat pe un sistem mono sau multiprocesor, concurenţa se realizează prin programare multitasking. Programarea paralelă sau concurentă este activitatea de scriere a unui program care conţine o serie de părţi, necesar a se afla în execuţie în acelaşi moment. Orice program de conducere a unui proces conţine astfel de părţi numite în mod uzual taskuri (sau procese). Programul de conducere se descompune în taskuri, fiecare task constituind în cadrul programului o etapă de execuţie asincronă, cu un conţinut bine delimitat (achiziţie de date, conversii, calcul şi elaborare comandă, afişarea mărimi lor de interes etc.). Din punctul de vedere al regulatorului numeric, taskul reprezintă un program în formă executabilă compus, dintr-o succesiune de instrucţiuni executate secvenţial. Un sistem care permite execuţia mai multor taskuri paralele se numeşte sistem multitasking. Două taskuri se numesc paralele sau concurente dacă prima instrucţiune a unui task demarează înainte ca ultima instrucţiune a celuilalt task să se încheie. Pe un regulator numeric monoprocesor, execuţia paralelă a taskurilor se va face intercalat pe principiul distribuirii timpului unităţii centrale între taskuri ("time slicing").

Implementarea

numerică


713

Un singur task va fi în execuţie la un moment dat, dar datorită vitezei mari de lucru a procesorului, precum şi datorită modului de programare, se lasă impresia că taskurile se execută "simultan", ca şi când fiecare task ar beneficia de un procesor propriu virtual, evident ceva mai lent. Spunem, în acest caz, că are loc o execuţie pseudo-paralelă sau o execuţie paralelă logică.

Taskurile componente ale unui program dat sunt de două categorii: taskuri disjuncte sau independente şi taskuri care interacţionează sau cooperează. Două sau mai multe taskuri se numesc disjuncte dacă nu schimbă informaţii între ele sau dacă nu utilizează resurse în comun. În caz contrar, se spune că ele interacţionează. În cazul unei aplicaţii multitasking, avem de-a face în general cu taskuri care interacţionează. Evoluţia unui program alcătuit numai din taskuri disjuncte este unică, indiferent de ordinea şi de viteza de execuţie a taskurilor. Un program compus din taskuri care interacţionează nu are în general o evoluţie unică, ea depinzând de două aspecte: de modul şi posibilitatea de planificare a taskuri!or pentru execuţie;

de modul

şi

posibilitatea de

tranziţie

a unui task dintr-o stare în

alta. Modelul cel mai general al stărilor taskurilor şi al tranziţiilor acestora între stări este dat în figura 15.20. Taskurile care compun o aplicaţie se pot afla în una dintre următoarele trei stări: neinstalat, inactiv, activ. Un task activ poate fi la rândullui în una dintre următoarele substări: blocat, gata de execuţie sau în execuţie. Un singur task şi numai unul singur se poate afla la un moment dat în execuţie. Un task neinstalat este un task creat, rezident pe un suport extern sau în memoria calculatorului, care nu a fost adus încă la cunoştiuţa sistemului de operare al echipamentului (regulatorului). El este făcut cunoscut sistemului prin operaţia de instalare în urma căreia va trece în starea inactiv. Un task se află în starea inactiv dacă este instalat, dar nu s-a făcut nici un apel de intrare a lui în execuţie. Prin instalare se creează şi i se alocă taskului un vector de stare sau un bloc de control al taskului care reprezintă materializarea taskului în sistem. Vectorii de stare ai taskurilor sunt grupaţi într-o tabelă care este folosită de sistem pentru efectuarea schimbărilor survenite în stările taskurilor pe parcursul existenţei lor. Un task poate reveni în starea neinstalat numai din starea inactiv, dezafectându-i-se vectorul de stare.

ACTIV

Cerere de blocare in asteptarea producerii unui eveniment sau a trecerii unui

1

interval de timp

, BLOC11T

"'

Cerere de h/ocare (din alt task) in asteptarea producerii unui eveniment

Acaparare procesor prin mecanismul round-robin sau/si-., prioritati

l GATA DE EXECUTIE

'~ tului si deblocarea din alt .:::: :; task sau expirarea timpului ~ -;; de asteptare cu declarare ~ de eveniment semnificativ " ~

1 Producerea evenimen-..:1'

2::

" ·- "= " " "" "u" u ""'

-<1}

·.;::::;

Cerere de terminare

~

.::"' ~ S.:: t ~

- = """ E"'

-"

-;;;"'

;;;

.::

"t_Cerere de abandonare J voluntara a procesorului (declarare de evenimenmt semnificativ)

--" t:"'

u" <2

Cerere de terminare logica sau normala

INACTIV

fortata (din alt task)

IN EXECUTIE

--""

" "

:,;

"'

..

INEXISTENT

Fig. 15.20

Implemelllarea

numerică


715

Un task pentru care se face o cerere de intrare în execuţie trece în starea activ şi anume în substarea gata de execuţie, în care el poate concura la acapararea procesorului şi deci la trecerea în substarea în execuţie. Acest moment nu poate fi prevăzut cu exactitate de către programator, depinzând de complexitatea aplicaţiei şi de modul în care se face planificarea taskurilor pentru intrarea în execuţie. Nucleul gestionează timpul de utilizare a unităţii centrale de către procese, prin planificarea acestora pentru execuţie. Comutarea controlului procesorului de la un proces la altul este una dintre funcţiile cele mai importante ale sistemului de operare. Cu ajutorul acestuia se poate determina ordinea de execuţie a proceselor, astfel încât funcţiile fiecărui proces să fie realizate în concordanţă cu cerinţele impuse. Componenta sistemului de operare de timp real care realizează gestionarea proceselor este determinată de: mecanismul care realizează comutarea execuţiei între procese; modul în care planifică procesele pentru execuţie. Mecanismele de comutare se împart în două categorii: a) mecanisme de comutare bazate pe întreruperi hardware, la care comutarea execuţiei proceselor este determinată de apariţia unor întreruperi hardware în sistem; b) mecanisme de comutare bazate pe întreruperi software, la care comutarea execuţiei este determinată de apeluri de sistem. Planificarea executării proceselor se realizează prin intermediul planificatorului, parte componentă a nucleului, pe baza algoritmului de planificare. Cerinţele principale pentru un nucleu de timp real sunt: • să ofere facilităţi pentru crearea, terminarea, întârzierea ŞI activarea proceselor; • să realizeze planificarea proceselor pentru execuţie; • să gestioneze dinamic resursele software şi hardware; • să gestioneze tratarea întreruperilor şi să permită emiterea răspunsurilor corespunzătoare. Întreruperile sunt tratate în ordinea sosirii semnalelor corespunzătoare şi ale nivelurilor lor de prioritate; • să ofere facilităţi pentru cooperare între procese. Pentru realizarea sarcinilor, procesele trebuie să poată să se sincronizeze, să comunice şi să dispună de facilităţi pentru realizarea excluderii mutuale; • să permită conectarea unor dispozitive periferice şi să ofere facilităţi pentru transferul datelor la/de la acestea. Operaţiile de intrare/ieşire trebuie să se execute concurent cu celelalte activităţi ale programelor şi ale sistemului de operare;


716

• să permită tratarea erorilor de calcul apărute în timpul execuţiei programelor; • să fie adaptabile, modulare, să poată fi utilizate la dimensiuni diferite şi să fie capabile să impună constrângeri de timp real soft şi hard. Un nucleu de timp real trebuie să asigure proceselor un număr minim de facilităţi pentru realizarea cooperării (comunicare, sincronizare şi excludere mutuală) între procese şi sincronizarea lor cu timpul fizic'. 15.5.2. Planificarea taskurilor

Taskurile trebuie să fie planificate pentru execuţie în concordanţă cu cerinţele sistemului de timp real. Un task intră în starea gata de execuţie dacă apare evenimentul la care trebuie să reacţioneze sistemul. Execuţia taskurilor trebuie să respecte termenele ferme ale răspunsurilor şi să asigure optimizarea cerinţelor de timp. Planificarea urmăreşte garantarea respectării cerinţelor temporale impuse răspunsurilor. Evenimentele interne sau externe calculatorului pot fi prevăzute sau nu pot fi prevăzute. Planificarea constă în ordonarea în timp a execuţiei taskurilor care intră în componenţa sistemului de timp real. Prin planificarea taskurilor se determină modul de alocare a unităţii centrale sau a altor resurse, taskurilor aflate în starea gata de execuţie astfel încât să fie respectate cerinţele temporale şi performanţele impuse sistemului de timp real. Planificarea poate fi· efectuată de planificator, o componentă a sistemului de operare, sau de către proiectantul sistemului de operare prin prioritizarea taskurilor sau prin intermediul mecanismelor de sincronizare. Un algoritm de planificare performant ar trebui să ia în consideraţie următorii factori: - existenţa termenelor de timp real şi de tipul lor; - parametrii taskurilor sau ale secvenţelor de instrucţiuni care compun răspunsul; - momentele apariţiei evenimentelor sincrone şi prezicerea momentelor în care se vor întâmpla evenimentele asincrone; - resursele comune disponibile; - duratele de timp necesare şi rămase pentru execuţia taskurilor; - importanţa şi utilitatea răspunsurilor. Proiectarea unui planificator care să ţină seama de toţi factorii menţionaţi este o sarcină dificilă, iar limbajele de programare concurente sau de timp real precum şi sistemele de operare în variantele comerciale includ planificatoare care iau în considerare un număr redus de factori.

lmplemelllarea

IIU/Ilerică


717

Planificarea se poate realiza off-line sau on-line cu dezavantajul creşterii complexităţii sistemului de operare în acest caz. Principalii factori care influenţează performanţele unui algoritm de planificare implementat on-line sunt: interacţiunea dintre componente; - concurenţa dintre planificator şi taskuri; -- tipul taskurilor şi vitezele relative ale taskurilor; timpul consumat de planificator; - duratele pentru răspunsuri. Există mai multe tipuri de planificatoare sau planificări a căror utilizare depinde de caracteristicile taskurilor şi mai ales de tipul sistemului de operare. Astfel, se poate realiza planificarea taskurilor independente după importanţa taskurilor, prin ordonare după terrnen, după ordinea de emitere a cererii sau după durata de execuţia a taskurilor în sistemele monoprocesor. În cazul arhitecturilor multiprocesor, problema planificării taskurilor poate fi formulată ca o problemă de optimizare cu restricţii a cărei rezolvare este posibilă prin metode specifice inclusiv apelând la tehnici evoluţioniste. La implementarea unui sistem de conducere numerică în timp real care în esenţă este un sistem îngloba! (embedded control system) ce integrează un sistem de calcul pe o aplicaţie reală trebuie rezolvate o multitudine de probleme specifice operaţionalizării unei strategii de conducere pe un proces real. Astfel, se impune proiectarea sau alegerea sistemului de operare de timp real implementabil pe un suport hardware cu restricţii minime care asigură elaborarea şi transmiterea comenzilor spre proces cu abateri minime faţă de valorile teoretice obţinute prin proiectarea strategiei de conducere. Extinderea teoriei sistemelor de conducere la analiza şi proiectarea sistemelor înglobate apare ca o necesitate în condiţiile creşterii complexităţii sistemelor de timp real şi a cerinţelor de asigurare a robusteţii acestor sisteme în prezenţa incertitudinilor. Se poate vorbi de planificare prin reacţie apelând la modele dinamice ale sistemelor de calcul de timp real şi controlul comportării temporale a acestora. Dezvoltarea separată a teoriei conducerii şi a planificării prin sistemele de conducere numerice, deşi are unele avantaje a condus şi la efecte negative în cazul unor sisteme de conducere de mare complexitate. Multe bucle de reglare nu sunt periodice sau pot comuta între un număr de perioade de eşantionare fixate. Întreruperile în buclele de reglare nu totdeauna sunt realizate hard. O abordare separată a proiectării algoritmilor de conducere şi a algoritmilor de planificare în cadrul sistemelor înglobate

INGINERIA REGLlRII AUTOMATE

718

(embedded systems) nu permite obţinerea unor soluţii optimale în cadrul unor aplicaţii cu resurse de calcul şi de comunicare limitate şi cu cerinţe înalte de performanţă şi flexibilitate. Problema proiectării integrate a comenzii şi planificării poate fi astfel formulată: "Dându-se o mulţime de procese supuse conducerii şi un sistem de calcul cu resurse limitate să se proiecteze un set de regulatoare şi planificarea lor cu taskuri de timp real, astfel încât performanţele cenducerii să fie optimale". În cazul sistemelor distribuite de conducere planificarea este extinsă şi la reţeaua de comunicaţie. Principalii factori care trebuie luaţi în consideraţie la proiectarea integrată a sistemelor înglobate sunt: • sistemul de operare de timp real • algoritmul de planificare • metoda de sinteză a regulatorului • caracteristicile timpului de execuţie al algoritmului de conducere • optimizare off-line sau on-line reţeaua de comunicaţie • Sistemele de conducere reprezintă un domeniu important pentru sistemele înglobate cu cerinţe şi posibilităţi speciale. Teoria conducerii poate fi folosită cu mare succes pentru proiectarea sistemelor de calcul în timp real înglobate. Sistemele de planificare cu reacţie pot fi structurate în mai multe moduri luând în consideraţie structurile de regulatoare şi combinaţiile acestora. Planificatorul cu reacţie poate fi privit ca un broker de resurse care foloseşte calitatea serviciilor pentru a negocia cu utilizatorii de resurse - regulatoarele. Noile generaţii de sisteme de conducere în timp real, ca sisteme înglobate (real time embedded control systems) apelează la instrumente de proiectare integrată a strategiilor de conducere şi a algoritmului de planificare on-line.

15.6. Organizarea unui algoritm dereglare jurul unui EXECUTIV de timp real Aşa

numerică

în

cum se ştie, un regulator numeric reprezintă unitatea dintre structura sa hardware (configuraţia) si software-ul implementat (programele de aplicaţie). La o aceeaşi configuraţie, maniera de implementare a software-ului de conducere poate fi abordată din două puncte de vedere:

Implementareanamerică


719

realizarea unui regulator numeric "universal", posedând o clasă mare de algoritmi de conducere, considerată acoperitoare pentru o categorie mare de procese, aceşti algoritmi formând o bibliotecă de programe rezidentă în memoria regulatorului; utilizarea pe proces a unui anumit set de algoritmi este rezultatul unei operaţii destul de laborioase de configurare a echipamentului; realizarea unui regulator numeric cu setul de programe de conducere strict necesar procesului căruia îi este destinat. Este evident avantajul celui de-al doilea mod de abordare, mai ales din punctul de vedere al eficientei gestionării resurselor, dar prezintă dezavantajul necesităţii din partea beneficiarului a unui efort mai mare de proiectare. Având însă la dispoziţie un EXECUTIV de timp real, efortul de programare se reduce considerabil. Pentru a ilustra cele menţionate, în continuare se va considera modul de organizare a algoritmului PID prezentat în figura 5.14. Algoritmul de reglare va constitui un task (PID) parte componentă a unui program organizat pe taskuri, ca în figura 15.21. În spatele "comutatoarelor" C; care apar în schemă, sunt variabile de tip eveniment, pe care le vom numi jlaguri, prin intermediul cărora se poate modifica foarte uşor atât structura algoritmului, cât şi regimul de lucru. Se pot evidenţia cu uşurinţă în figura 15.21 taskurile ce compun programul de reglare numerică a unui proces cu trei variabile măsurate şi trei comenzi furnizate de regulator. În această structură, sunt evidenţiate flagurile pentru sincronizare CD şi 0, flagurile pentru excludere mutuală ® şi @) şi flagurile pentru stabilirea regimului de lucru al algoritmilor de reglare ~, ® şi \l!. Succesiunea logică a taskurilor într-o aplicaţie de timp real este următoarea: T ASK INITIALIZARE A SISTEMULUI -+ T ASK ACHIZITIE -+ T ASK CONVE4RSIE_ ÎN PROCENTE SAU ÎN UNITĂTI INGINEREŞTI-+ TASK COMANDA-CONFIGURARE (COP) ...... TASK REGLARE ...... TASK AFIŞARE. Baza de date a regulatorului se constituie din datele obţinute prin măsurări şi datele introduse de operator, referinţe, valori ale parametrilor de acord, variabile de stare ale algoritmului de reglare etc. Zonele de date ataşate fiecărui algoritm de reglare sunt prezente, atât în memoria de lucru (RAM) a regulatorului, cât şi în memoria nevolati!ă, astfel încât, la oprirea tensiunii de alimentare, informaţiile de bază privind configurarea blocurilor de reglare să fie menţinute.

INGINERIA REGLr{RII AUTOMATE

720

T~K

IN111ALIZARE

MASl MAS2

0

MAS3 TASK ACH!ZlTlE (ACHJZ) Date achîzitionate prin ANC

Date convenite in procente si ASC.1I

'''"' '' ''

'' ZONADEDA1E COMUNE

3

TASK ALG.3

TASK CONSOlA OPERATOR (COP)

Fig. 15.21

TASK AFJSARE

DISPLAY

BIBLIOGRAFIE

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13.

Ackermann J. - Robust Control, Systems with Uncertain Physical Parameters, Springer-Verlag, 1994. Alexander M. Mystel, Albus J.S. - Intelligent Systems Arhitecture, Design and Control, John Willey & Sons lnc., 2002. Astriim K.J., Hagglund T. - PID Controllers: Theory, Design and Tunning, Instrument Society of America, 1995. Astriim K.J., Hang C.C., Person P. - Towards Intelligent PID Control, AUTOMTICA IFAC, voi. 28, No. 111992, pg. 1-11. Astriim K.J., Wittenmark B. - Adaptive Control, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1989. Astriim K.J., Wittenmark B. - Computer Contra/led Systems, Prentice Hali, 1997. Barbu V.- Ecuaţii Diferenţiale, Editura Junimea, Iaşi, 1985. Belea C. -Automatică Neliniară, Editura Tehnică, Bucureşti, 1984. Biao Huang, Shah S.L. - Peifomwnce Assessment of control Loops. Theory and Applications, Springer, 1999. Bosgra O., Kwakernaak H. - Design Methods for Control Systems, Dutch Graduale Network on Systems and Control, Spring, 1994, Lecture Notes. Boyd S.P., Barrat C.H. - Linear Controller Design: Limits of Performance, Prentice Hali, Englewood Cliffs, NJ, 1991. Brogan W.L. - Modern Control Theory, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hali, 1985. Bruce F.A.- A Course in Hoo Control Theory, Springer Verlag, Berlin, 1987.

14. Burns S.R.- Advanced Control Engineering, Butterworth Heinemenn, 2001.

15.

Călin

S., Dumitrache I. - Regulatoare Automate, Editura Didactică

Pedagogică, Bucureşti,

şi

1985.

S., Dumitrache I., ş.a. - Reglarea Numerică a Proceselor Tehnologice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1984. 17. Christensen, G.S., Soliman, S.A., Nieva, R. - Optimal Control of Distributed Nuclear Reactors, Plenum Press, 1990. 16.

Călin

SU:)l • sydr'",,s byY>an.c\.iu.es ~

f,<"e ."e.;ts b;>:.'its

722

INGINERIA REGfARff AUTOMATE

cunoştinţe, Editura 2002. 19. Constantin Marin - Structuri şi Legi de Reglare Automată, Editura Universitară Craiova, 2000. 20. Dorf R.C. -Modern Control Systems, 6'h ed. Reading, MA: AddisonWesley Publishing Company, Inc., 1992. 21. Doyle J.C., Francis B.A., Tannenbaum A. - Feedback" Control Theory, New York: Macmillan, lnc., 1992. 22. Dragomir T.L. - Elemente de Teoria Sistemelor, Editura Politehnica, 2004. 23. Driankov D., Hellendoorn H., Reinfrank M. - An lntroduction to Fuzzy Control, Springer Verlag, Heidellerg, 1993. 24. Dumitrache 1. -lntelligent Autonomous Systems, Revue Roumaine des Sciences Techniques, no. 3, pp. 439-454, Bucureşti, 2000. 25. Dumitrache 1. - Intelligent Control of Industrial Robots, Editura Mediamira, 1998. 26. Dumitrache 1., ş.a. - Algoritmi de Calcul pentru Sisteme Automate Liniare, Litografia IPB, 1973. 27. Dumitrache 1., Dumitriu S., Munteanu FI. - Adaptive Structure Algorithmfor Microprocessor Control of D.C. Motors, in Proceedings of 1" European Conference on Power Electronics and Applications, Bruxelles, pp. 257-262, 1985. 28. Dumitrache 1., Brăileanu Gr. - Some Nonlinear Control Algorithm.s Implemented on Microcomputer Controllers, in Proceedins of !FAC Symposium, London, 1980. 29. Dumitrache I., Buiu C. -Algoritmi genetici. Principii fundamentale şi aplicaţii în automatică, Editura Mediamira, 2000. 30. Dumitrache 1., Buiu C., Ghica O. - Sisteme numerice pentru conducerea proceselor, Editura Electra, 2002. 31. Dumitrache 1., Călin S., ş.a. - Automatizări şi Echipamente Electronice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1986. 32. Dumitrache I., Catană I., Mihu I., Muscă Gh., Iliescu S. - Bazele Teoretice ale Reglări! Automate, Culegere de probleme, Litografia IPB, 1989. 33. Dumitrache 1., Constantin N., Drăgoicea M. - Reţele neurale, Editura Matrix, 1999. 34. Dumitrache 1., Dumitriu S., ş.a. -Automatizări Electronice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993. 35. Dumitrache 1., Mitică D. - Pachet de Programe de Proiectare Simulare PROSIM, Litografia IPB, 1980.

18. Cârstoiu D., Olteanu A. - Sisteme bazate pe Politehnica Press,

Bucureşti,

Bibliografie

723

36. Dumitrache 1. - Proiectarea Sistemelor numerice de Reglare, Litografia IPB, 1985. 37. Dumitrache 1. - Tehnica Reglării Automate, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980. 38. Dumitrache 1., ş.a. - DES - Suported Agents Based Comrol . Architecture for Flexible Manufacturing Systems, IFAC - DECOM _ TI 2004, pp. 59-65. 39. Dumitriu S. - Contribuţii la Optimizarea Conducerii Proceselor Rapide, Teză de doctorat, IPB, 1987. 40. Florea S., Dumitrache 1. - Elemente de Execuţie Hidraulice şi Pneumatice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1966. 41. F1orea S., Dumitrache 1., ş.a. - Electronică Industrială şi Automatizări, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. 42. Frank P.M.- Advances In Control, Springer, 1999. 43. Franklin F.G., Powell J.D. - Digital Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, Reading, Mass, 2000. 44. Friedland B.- Control System Design, New York: McGraw-Hill Book Company,1986. 45. Gang Tao - Adaptive Control Design and Analysis, WileyInterscience, John Wiley&Sons Inc., 2003. 46. Goodwin G.C., Graebe S.F., Salgado M.E. - Control System Design, Prentice Hall, 2001. 47. Gupta M.M., Sinha N.K. - lntelligent Control Systems. Theory and Applications, IEE Press, 1996. 48. Guran M., Filip F.- Sisteme Ierarhizare în Timp Real cu Prelucrarea Distribuită a Datelor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1986. 49. Hangos K., Lakner R., Gazon M. - lntelligent Control Systems, Kluwer Academic Publishers, 2001. 50. Hanis C., Billings A.S. - Selftuning and Adaptive Control Theory and Applications, Peter Peregrinus, Ltd., 1981. 51. Huang B., Sirish L.S. - Performance Assessment of Control Loops. Theory and Applications, Springer, 1999. 52. Ioannou A.P., Sun j. -Robust Adaptive Control, PTR Prentice Hall, 1996. 53. Ionescu V. - Teoria Sistemelor Liniare, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985. 54. Ionescu V., Oară C., Weiss M. - Generalized Ricatti Theory and Robust Control, A Popov Approach, John Wiley, 1999. 55. Ionescu V., Popeea C. - Conducerea Structurală a Sistemelor Liniare, Editura Tehnică, Bucureşti, 1986.

724


56. Ionescu V., Varga A. - Teoria Sistemelor, Editura All, Bucureşti, 1994 57. Iserman R.- Digital Control Systems, Springer-Verlag, Berlin, 1991. 58. Iserman R., Lachmann K.H., Drago M. - Adaptive Control Systems, Prentice Hali, 1992. 59. Istepanian R.S.H., Whidborne F.J. Digital Controller lmplementation and Fragility, Springer, 2001. 60. John C. Doyle, Francis A.B., Tannenbaum A.R.- Feedback Control Theory, Macmillan Publishing Company, 1992. 61. Karl Erik Arzen, Anton Cervin- Control and Embedded Computing: Survey of Research Directions- The Proceedings of 161h !FAC World Congress 2005, pag. 342-353. 62. Kisacanin B., Agarwal G.C. - Linear Control Systems, Kluwer Academic/ Plenum Publishers, 2001. 63. Kuo B.C. - Automatic; Control Systems, 61h ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1991. 64. Kwakernaak H.- Robust Control and lf"- Optimization, Automatica, 29,pp.255-273, 1993. 65. Lunze J. - Robust Multivariable Feedback Control, Prentice-Hall, New Jersey, 1989. 66. Lutz M., Wendt W. - Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag, 2000. 67. MathWorks, Inc. - The Student Edition of MATLAB, version 4.0., Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995. 68. McFarlane D.C., Glover K. - Robust Controller Design Using Normalized Coprime Factor Plant Descriptions, volume 146, SpringerVerlag, Berlin, 1990. 69. Neguaritsky M. - Artificial lntelligence. A Guide to lntelligent Systems, Addison-Wesley, 2002. 70. Nekoogar F., Moriarty G. - Digital Control Using Digital Signal Processing, Prentince Hali, Information and System Sciences Series, 1999. 71. Nguyen H.T., Sugeno M. - Fuzzy Systems. Mode/ing and Control, Kluwer Academic Publishers, 1998. 72. Nise N.S. - Control Systems Engineering, John Wiley & Sons Inc., 2000. 73. Ogata K. - Discrete-rime Control Systems, 2nct ed., Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1995. 74. Ogata K. - Solving Control Engineering Problems with MATLAB, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hali, 1994.

Bibliografie

725

75. Ogata K. - Designing Linear Comrol Systems witlz MATIAB, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hali, 1994. 76. Ogata K. - Modem control Engineering, Prentice Hali Inc., Upper Saddle River, NJ, 1997. 77. Olsson G., Piani G.- Computer Systems for Automation and Control Prentice Hali International, 1998. ' 78. Paraskevopoulos P.N.- Digital Control Systems, Prentice Hali, 1997. 79. Passino K., Yurkovich S.- Fuzzy Control, Addison-Wesley, 2000. 80. Patterson D.W. - Artificial Neural Networks. Theory and Applications, Prentice Hali, 1996. 81. Petrescu C. - Configurarea asistată de calculator a sistemelor numerice de conducere, Teză de doctorat, 2002. 82. Preitl Ş., Precup R.E.- Introducere în conducerea Juzzy a proceselor, Editura Tehnică, 1997. 83. Răzvan V. - Teoria Stabilităţii, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1987. 84. Sastry S. - Non/inear Systems - Analysis, Stability and Control, Springer, 1999. 85. Şerban S. -Proiectarea sistemelor de reglare automată, Editura Bren, 2000. 86. Shinners S.M. - Advanced Modern Control System Theory and Design, John Willey & Sons, Inc., 1998. 87. Slotine J.J.E.- Nonlinear Control Systems, Prentice Hali, 1993. 88. Thomas L.V., Grantham J.W. - Nonlinear and Optimal .Control Systems, John Willey&Sons Inc., 2000. 89. Tertişco M., Stoica P. - Identificarea Asistată de Calculator, Editura Tehnică, 1987. 90. Voronov A.A. - Basic Principles of Automatic Control Theory, Mir Publishing, Moskow, 1985. 91. Voicu M.- Introducere în Automatică, Editura Poli rom, 2002. 92. Wendt Lutz - Taschenbuch der Regulungstechnik, Verlag Harri Deutsch, 1998. 93. Zadeh L.A. - Fuzzy Sets, Information and Control, 8, pp. 338-353, 1965.

Ingineria Reglarii Automate by Dumitrache, 2005

Recommend Documents