Cinemática y Dinámica
Guía de Estudio de la Licenciatura en Ingeniería Civil
Cuatrimestre III
1
Presentación
El Sistema Educativo Universitario Azteca, es una empresa 100% chiapaneca con criterios educativos definidos por los cualesnos esforzamos día a día preocupados por la conciencia del buen saber, además del buen ser y hacer. Misión
Formar jóvenes profesionistas, con aptitud emprendedora, que les permita incorporarse y desarrollarse con éxito en el campo laboral. Visión
Promover educación de calidad para coadyuvar con el desarrollo de nuestro estado, dentro del marco del desarrollo cultural. Valores
Nuestra comunidad educativa destaca, compromiso con la sociedad, honestidad, responsabilidad, amor y disciplina.
Esta guía de estudio, fue elaborada con la participación de las academias, los catedráticos y coordinada por el Departamento de Investigación Educativa del Sistema Educativo Universitario Azteca, conel fin de proveer a sus alumnos un material orientado hacia el modelo de enseñanza aprendizaje basado por competencias para reforzar las destrezas, conocimientos, aptitudes y actitudes desarrollados dentro del aula. Este material está conformado por elementos clave como introducción, propósito de la asignatura y de cada uno de los bloques que la componen, así como actividades de aprendizaje y complementarias, además de casos prácticos y un glosario. También incluye desarrollar un proyecto final, el cual servirá para reafirmar los conocimientos adquiridos durante el cuatrimestre y será de gran utilidad para aplicarlo posteriormente en situaciones de la vida diaria, integrándose así de forma profesional al campo laboral. Y recuerda…
¡Somos 100% SEUAT! 2
LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL Asignatura:
CINEMÁTICA Y DINÁMICA
Modalidad:
MIXTA
Cuatrimestre:
III
Línea de formación:
TÉCNICA GENERAL
Créditos: Objetivo:
5 AL TERMINAR LA ASIGNATURA, EL ALUMNO EXPLICARÁ LAS PRINCIPALES LEYES DE LA FÍSICA QUE HACEN POSIBLE QUE LOS CUERPOS CAMBIEN SU ESTADO DE POSICIÓN; PRIMERAMENTE ESTUDIANDO LOS CUERPOS EN MOVIMIENTO SIN IMPORTAR LAS CAUSAS QUE HACEN ESTE MOVIMIENTO.
ESTRUCTURA DEL CURSO
CINEMÁTICA Y DINÁMICA
BLOQUE III. DINÁMICA
BLOQUE I. CINEMATICA DE PARTICULAS
BLOQUE II. CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS 3
ÍNDICE INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 6 BLOQUE I ............................................................................................................. 10 CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS ................................................................... 10 1.1.- Desplazamiento, velocidad y aceleración .................................................. 12 1.2.- Determinación del movimiento de una partícula ........................................ 18 1.3.- Movimiento rectilíneo uniforme .................................................................. 24 1.4.- Movimiento rectilíneo uniformente acelerado ............................................ 24 1.5.- Movimiento de varias partículas ................................................................ 26 1.6 Movimiento curvilíneo de particulas ............................................................. 30 1.7.- Movimiento circular uniforme ..................................................................... 34 1.7.1.- Aceleración centrípeta ........................................................................ 35 1.7.2.- Desplazamiento angular ..................................................................... 38 1.7.3.- Velocidad angular ............................................................................... 41 1.7.4.- Aceleración angular ............................................................................ 43 BLOQUE II ............................................................................................................ 51 CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS ....................................................................... 51 2.1.- Segunda Ley de Newton ........................................................................... 52 2.2.- Cantidad de movimiento lineal de una partícula. Razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal............................................................................ 52 2.3.- Sistema de unidades ................................................................................. 53 2.4.- Ecuaciones del movimiento ....................................................................... 55 2.5.- Equilibrio dinámico .................................................................................... 56 2.6.- Cantidad de movimiento angular de una partícula. Razón de cambio de la cantidad de movimiento angular ........................................................................ 57 2.7.- Movimiento bajo una fuerza central ........................................................... 59 4
BLOQUE III ........................................................................................................... 66 DINÁMICA............................................................................................................. 66 3.1.- Impulso y cantidad de movimiento ............................................................ 69 3.1.1.- Principio de conservación de la cantidad de movimiento de una partícula ......................................................................................................... 71 3.1.2.- Necesidad de introducir las dos características: cantidad de movimiento y energía cinética ........................................................................ 71 3.2.- Principio de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de dos partículas aisladas y elásticas ..................................................................... 74 3.3.- Principio de conservación de la cantidad de movimiento para un sistema de más de dos partículas aisladas .......................................................................... 79 3.4.-. COMENTARIOS SOBRE LA FORMULACION DEL PRINCIPIO DE MASA 3.5.- Choque ...................................................................................................... 84 3.5.1.- Choque central .................................................................................... 84 3.5.2.- Choque central directo ........................................................................ 85 3.5.3.- Casos extremos de choque ................................................................ 90 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................... 103 GLOSARIO.......................................................................................................... 104 ANEXO 1 ............................................................................................................. 107 ANEXO 2 ............................................................................................................. 110
5
INTRODUCCIÓN
Esta guía contiene temas de Cinemática y Dinámica, con un enfoque para la Licenciatura en Ingeniería civil. La teoría que se trata es lo más clara y básica posible poniendo mayor enfoque en los ejemplos prácticos, en donde el estudiante adquirirá la habilidad para resolver problemas que se le presenten en la vida cotidiana. La guía se estructura de tres bloques los cuales contienen actividades de aprendizaje y complementarias al inicio y final de cada uno, para reafirmar los conceptos aprendidos, así como el desarrollo de un proyecto final relacionado a su perfil. En el bloque I. Introduciremos los elementos matemáticos básicos para la descripción del movimiento de una partícula. La parte de una teoría física que introduce el lenguaje necesario para la descripción de los fenómenos que estudia se llama la Cinemática. Todo fenómeno que se encuentra dentro del rango de aplicación de la Teoría debe ser expresable en dicho lenguaje. Así, la Cinemática de las Partículas Materiales debe ser capaz de describir cualquier movimiento posible de una partícula en el espacio tridimensional El bloque II. Estudiaremos los conceptos básicos de la cinemática de cuerpos rígidos la cual estudia las relaciones existentes entre el tiempo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las diferentes partículas que forman un cuerpo rígido. En el bloque III. Estudiaremos los conceptos básicos de Dinámica. Ella establece las leyes que obedecen los fenómenos físicos. En particular, la Dinámica de las 6
partículas Materiales nos permitirá determinar, en una situación dada, cuál de todos los movimientos cinemáticamente posibles seguirá la partícula en cuestión.
Criteri os de evaluación
Proyecto 10%
Tareas 30%
Asistencia 10%
Examen 50%
Total 100%
A creditación De acuerdo con estas sugerencias de evaluación, el titular de la asignatura determinara la calificación conforme al siguiente parámetro siempre que el alumno hay cumplido con el 85% de as is tencia al curso. La escala de calificación será del 0 al 10. La califi cación mínima aprobatoria de la asignatura será de 6.0 7
A ctividades con el docente Clase magistral Resolución de ejercicios Lluvia de ideas Debate
A ctividades independientes Consultas bibliográficas Resolución de problemas Investigaciones
Material didáctico requerido Cuaderno de cuadros para actividades Lapiceros tinta roja y negra Lápiz 2b Hojas blancas Hojas milimétricas Calculadora Computadora Proyector Libros complementarios
R eg lamentos (ver an exos )
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Proyec to final Este cuatrimestre como parte de la evaluación del curso desarrollarás un proyecto para la materia de Cinemática y dinámica. La participación en este proyecto es obligatoria y se realizará por equipos.
El proyecto será crear material didáctico para el apoyo al entendimiento y el aprendizaje de los temas de Cinemática y Dinámica. Como recomendación podrán elegir cualquiera una o más de las siguientes sugerencias para entregar de manera física y digital un cuadernillo al finalizar el curso:
•
Realidad aumentada
•
Resúmenes (interactivos)
•
Presentaciones
•
Series de ejercicios explicados
•
Manual de fórmulas.
•
Investigación de aplicaciones de la cinemática y dinámica a la ingeniería civil.
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BLOQUE I CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
Propósito: Al finalizar el bloque el alumno conocerá y comprenderá los conceptos básicos de cinemática de partículas, así también será capaz de usar las formulas y resolver problemas relacionados con el desplazamiento, velocidad y aceleración lineal y angular y la relación que puede existir entre ellos.
A ctividades de aprendizaje I. Elige la respuesta correcta en cada pregunta del siguiente cuestionario de acuerdo a tus conocimientos generales
1) Una partícula que realiza un movimiento con aceleración tangencial nula: ( ) Describe necesariamente un movimiento circular ( ) Está en reposo ( ) Mantiene constante el módulo de la velocidad ( ) Describe necesariamente una trayectoria rectilínea 2) En un movimiento circular uniformemente acelerado: ( ) El vector aceleración lineal es constante ( ) El vector aceleración angular es nulo ( ) El vector aceleración normal tiene módulo constante ( ) El vector aceleración tangencial tiene módulo constante
10
3) En un tiro parabólico: ( ) No hay aceleración normal ( ) El vector aceleración es constante ( ) El vector aceleración tangencial es constante ( ) El vector velocidad es constante
4) En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: ( ) El vector aceleración tangencial es nulo ( ) El vector aceleración normal es nulo ( ) El vector velocidad es constante ( ) No hay aceleración 5) En un tiro parabólico, en el punto más alto de la trayectoria: ( ) La componente y de la velocidad se anula ( ) La componente x de la velocidad se anula ( ) La aceleración se anula ( ) La aceleración normal se anula 6) En cualquier tipo de movimiento, el vector velocidad: ( ) Se anula si la aceleración tangencial es nula ( ) Es paralelo al vector aceleración ( ) Es tangente a la trayectoria ( ) Es paralelo a la aceleración normal
11
1.1.- Desplazamiento, velocidad y aceleración
Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se dice que se encuentra en movimiento rectilíneo. En cualquier instante dado t, la partícula ocupará cierta posición sobre la línea recta. Para definir la posición P de la partícula se elige un srcen fijo O sobre la dirección positiva a lo largo de la línea. Se mide la distancia x desde O hasta P, y se marca con un signo más o menos, dependiendo de si P se alcanza desde O al moverse a lo largo de la línea en la dirección positiva o en la negativa, respectivamente. La distancia x, con el signo apropiado, define por completo la posición de la partícula, y se denomina como la coordenada de la posición de la partícula. Por ejemplo, la coordenada de la posición correspondiente a P en la figura 1.1 a) es
5
m; la coordenada correspondiente a
′
en la figura 1.1 b) es
−2
m.
Cuando se conoce la coordenada de la posición x de una partícula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movimiento de la partícula. El “itinerario” del movimiento puede expresarse en forma de una ecuación en x y t,
tal como
6 −
, o en una gráfica de x en función de t, como se indica en la
figura 1.6. Las unidades que se usan con mayor frecuencia para medir la coordenada de la posición x son el metro (m) en el sistema de unidades SI y el pie (ft) en el sistema de unidades inglés. El tiempo t suele medirse en segundos (s).
Figura 1.1
12
Considere la posición P ocupada por la partícula en el tiempo t y la coordenada correspondiente x (figura 1.2).
Figura 1.2
Considere también la posición P ocupada por la partícula en un tiempo posterior
∆ ∆
; la coordenada de la posición P puede obtenerse sumando a la coordenada x de P el pequeño desplazamiento , el cual será positivo o negativo según si P
∆
está a la derecha o a la izquierda de P. La velocidad promedio de la partícula
∆∆ ∆∆
sobre el intervalo de tiempo y el intervalo de tiempo
se define como el cociente entre el desplazamiento
:
El movimiento de este vehículo solar se describe mediante su posición, velocidad y aceleración.
Si se usan unidades del SI,
∆
se expresa en metros y en segundos, la velocidad
promedio se expresa consecuentemente en metros por segundo (m/s). Si se recurre a las unidades de uso común en Estados Unidos,
∆
∆
se expresa en pies y
en segundos; la velocidad promedio se expresará entonces en pies por
segundo (ft/s).
13
La velocidad instantánea v de la partícula en el instante t se obtiene de la
∆ ∆ á ∆→lim ∆∆ / /
velocidad promedio al elegir intervalos cortos:
y desplazamientos,
La velocidad instantánea se expresa también en
o
cada vez más
. Observando que el
límite del cociente es igual, por definición, a la derivada de x con respecto a t, se escribe
La velocidad
se representa mediante un número algebraico que puede ser
positivo o negativo. Un valor positivo de v indica que x aumenta, esto es, que la partícula se mueve en la dirección positiva (figura 1.3a); un valor negativo de v indica que x disminuye, es decir, que la partícula se mueve en dirección negativa (figura 1.3b). La magnitud de v se conoce como la rapidez de la partícula.
Figura 1.3
∆ ∆
Considere la velocidad v de la partícula en el tiempo t y también su velocidad
∆
en un tiempo posterior
∆ ∆
(figura 1.4). La aceleración promedio de la
partícula sobre el intervalo de tiempo
se refiere como el cociente de
y
:
Figura 1.4
ó ∆∆ 14
Si se utilizan las unidades del SI,
∆
se expresa en m/s y
∆
en segundos; la
aceleración promedio se expresará entonces en / . Si se recurre a las unidades de uso común en Estados Unidos, ∆ se expresa en / y ∆ en segundos; la aceleración promedio se expresa entonces en / . La aceleración instantánea a de la partícula en el instante t se obtiene de la aceleración promedio al escoger valores de
y
cada vez más pequeños:
∆ ∆ ∆→lim ∆∆ ó á / /
La aceleración instantánea se expresa también en
o
. El límite del
cociente, el cual es por definición la derivada de v con respecto a t, mide la razón de cambio de la velocidad. Se escribe
La aceleración a se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de a indica que la velocidad (es decir, el número algebraico v) aumenta. Esto puede significar que la partícula se está moviendo más rápido en la dirección positiva (figura 1.5a) o que se mueve más lentamente en la dirección negativa (figura 1.5b); en ambos casos, v es positiva. Un valor negativo de a indica que disminuye la velocidad; ya sea que la partícula se esté moviendo más lentamente en la dirección positiva (figura 1.5c) o que se esté moviendo más rápido en la dirección negativa (figura 1.5d).
15
Figura 1.5
El término desaceleración se utiliza en algunas ocasiones para referirse a
cuando la rapidez de la partícula (esto es, la magnitud de v) disminuye; la
partícula se mueve entonces con mayor lentitud. Por ejemplo, la partícula de la figura 1.5 se desacelera en las partes b y c; en verdad se acelera (es decir, se mueve más rápido) en las partes a y d. Ejemplo de aplicación
Considere la partícula que se mueve en una línea recta y suponga que su posición está definida por la ecuación
6 −
Donde t se expresa en segundos y x en metros. La velocidad de v en cualquier tiempo t se obtiene al diferenciar x con respecto a t
12− 3 La aceleración a se obtiene al diferenciar otra vez con respecto a t:
12−6 16
La coordenada de la posición, la velocidad y la aceleración se han graficado contra t en la figura 11.6. Las curvas obtenidas se conocen como curvas de movimiento. Recuérdese, sin embargo, que la partícula no se mueve a lo largo de ninguna de estas curvas; la partícula se mueve en una línea recta. Puesto que la derivada de una función mide la pendiente de la curva correspondiente, la pendiente de la curva
−
2
− 2 0 04 0 0 ∞
en cualquier tiempo dado es igual al valor de
tiempo y la pendiente de la curva
, la pendiente de la curva v-t debe ser cero en un máximo en este instante. Además, puesto que tangente a la curva
−
en ese
es igual al valor de a. Puesto que
en
; la velocidad alcanza en y s la
debe ser horizontal para ambos de estos valores de t.
Un estudio de las tres curvas de movimiento de la figura 1.6 muestra que el movimiento de la partícula desde etapas:
hasta
puede dividirse en cuatro
Figura 1.6
0 0 2 ,
1. La partícula inicia desde el srcen,
, sin velocidad pero con una
aceleración positiva. Bajo esta aceleración, gana una velocidad positiva y se mueve en la dirección positiva. De
22 4
2. En De
a
,
y
son todas positivas.
, la aceleración es cero; la velocidad ha alcanzado su valor máximo.
a
, v es positiva, pero a es negativa. La partícula aún se mueve
en dirección positiva, pero cada vez más lentamente; la partícula se está desacelerando.
17
3. En
4
, la velocidad es cero; la coordenada de la posición x ha alcanzado su
valor máximo. A partir de ahí, tanto v como a son negativas; la partícula se está acelerando y se mueve en la dirección negativa con rapidez creciente. 4. En
6
, la partícula pasa por el srcen; su coordenada x es en ese caso cero,
en tanto que la distancia total recorrida desde el principio del movimiento es de 64 m. Para valores mayores de que
y
serán todas negativas. La partícula
6 ,,
continúa moviéndose en la dirección negativa, alejándose de O, cada vez más rápido.
1.2.- Determinación del movimiento de una partícula
En la sección anterior se afirma que el movimiento de una partícula es conocido si se sabe la posición de la partícula para todo valor del tiempo t. En la práctica, sin embargo, un movimiento rara vez se define por medio de una relación entre x y t. Con mayor frecuencia, las condiciones del movimiento se especificarán por el tipo de aceleración que posee la partícula. Por ejemplo, un cuerpo en caída libre tendrá una aceleración constante, dirigida hacia abajo e igual a
32.2 /
9.81 /
, o
; una masa unida a un resorte que se ha estirado tendrá una aceleración
proporcional a la elongación instantánea del resorte, medida desde la posición de equilibrio, etc. En general, la aceleración de la partícula puede expresarse como una función de una o más de las variables
,
y . Para determinar la coordenada
de la posición x en términos de t, será necesario efectuar dos integraciones sucesivas. Se considerarán tres clases comunes de movimiento: 1.
.
La aceleración es una función dada de t.
18
Al integrar ambos miembros, se obtiene la ecuación
∫ ∫ que define v en términos de t. Sin embargo, debe notarse que una constante arbitraria se introducirá como resultado de la integración. Esto se debe al hecho de que hay muchos movimientos que corresponden a la aceleración dada
.
Para definir en forma única el movimiento de la partícula, es necesario especificar
0
las condiciones iniciales del movimiento, esto es, el valor de
valor
de la coordenada de la posición en
de la velocidad y el
. Al sustituir las integrales
indefinidas por integrales definidas con los límites inferiores correspondientes a las condiciones iniciales y
0 y
y los límites superiores correspondientes a
, se escribe
lo cual produce v en términos de t.
∫ ∫ − ∫
La ecuación (11.1) puede resolverse ahora para
,
y la expresión que se acaba de obtener sea sustituida por v.
0
Ambos miembros se integran después, el miembro izquierdo con respecto a desde
hasta
, y el miembro derecho respecto a t desde
hasta 19
. La coordenada de la posición x se obtiene de ese modo en términos de t; el
movimiento está completamente determinado. 2.
Y sustituir
. La aceleración se da en función de . Al reordenar la eciacion
para , se escribe
Puesto que cada miembro contiene sólo una variable, se puede integrar la ecuación. Denotando de nuevo mediante
y
, respectivamente, los valores
iniciales de velocidad y la coordenada de la posición, se obtiene
.
La cual produce siguiente para
∫ ∫ 12 −12 ∫
en términos de . A continuación se resuelve la ecuación
Entonces
Y se sustituye por
la expresión que acaba de obtenerse. Ambos miembros
pueden integrarse entonces para obtener la relación deseada entre y . Sin embargo, en muchos casos esta última integración no puede llevarse a cabo de manera analítica y debe recurrirse a un método de integración numérico.
20
3.
.
La aceleración es una función dada de v. Es posible sustituir
en la ecuación
por
Para obtener cualquiera de las siguientes relaciones:
La integración de la primera ecuación producirá una relación entre integración de la segunda ecuación srcinará una relación entre de
estas
relaciones
puede
utilizarse
junto
con
y ; la
y . Cualquiera la
ecuación
para obtener la relación entre y que caracteriza el movimiento de la partícula.
Ejemplo de aplicación
La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la relación segundos. Determine
−6 −1540
, donde
se expresa en pies y en
a) el tiempo al cual la velocidad será cero, b) la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo, c) la aceleración de la partícula en ese tiempo, d) la distancia recorrida por la partícula desde
4 6 hasta
.
21
Solución Las ecuaciones de movimientos son
−6 −1540 1 3 −12−15 2 6−12 3 . 0
a) Tiempo en el cual
Se fija
en (2):
3 −12−150 −1 5 5 <5, <0 >5, >0 . 5 5 −6540−155 − 0 40 ≠0 0 5 Resolviendo la ecuación tenemos que: Solo la raíz
corresponde a un tiempo
después de que el movimiento se ha iniciado: para
, la partícula se mueve en
dirección negativa, para , la partícula se mueve en dirección positiva. b) Posición y distancia recorrida cuando Al sustituir
en (1), se tiene
La posición inicial en Puesto que
fue
durante el intervalo
.
a
se tiene
22
− −60 −40 −100 100 . 5 65−1230−1218 / . 4 5 5 6
c) Aceleración cuando Se sustituye
.
en (3):
d) Distancia recorrida desde
hasta
La partícula se mueve en la dirección negativa desde en dirección positiva desde
hasta
hasta
y
; por lo tanto, la distancia
recorrida durante cada uno de estos intervalos de tiempo se calculara por separado. De
4 5 a
:
De
a
:
−60 4 −15440−52 − −60 −−52−8 −64 ó 5 6 8 −60 6 −66 −15640−50 10 −4 −50 ó −−60 6 108 10 18 La distancia total recorrida desde
hasta
es de
.
23
1.3.- Movimiento rectilíneo uniforme
El movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta que a menudo se encuentra en las aplicaciones prácticas. En este movimiento, la aceleración a de una partícula es cero para todo valor de t. En consecuencia, la velocidad v es constante, y la ecuación siguiente se transforma en
∫ ∫ −
La coordenada de posición x se obtiene cuando se integra esta ecuación. Al denotar mediante
el valor inicial de , se escribe
Esta ecuación puede utilizarse sólo si la velocidad de la partícula es constante.
1.4.- Movimiento rectilíneo uniformente acelerado
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es otro tipo común de movimiento. En éste, la aceleración de la aceleración se convierte en
de la partícula es constante, y la ecuación
24
La velocidad
Donde
de la partícula se obtiene al integrar esta ecuación:
∫ ∫ − ∫ ∫ − 1 21
es la velocidad inicial. Al sustituir por
Al denotar mediante
el valor inicial de
, se escribe
e integrar, se tiene
También se puede recurrir a la ecuación siguiente ecuación
Al integrar ambos lados, se obtiene
∫ ∫ 25
12 −− − Las tres ecuaciones que se han deducido ofrecen relaciones útiles entre la coordenada de posición, la velocidad y el tiempo en el caso del movimiento
uniformemente acelerado, al sustituir los valores apropiados de , y . El srcen O del eje debe definirse primero y escogerse una dirección positiva a lo largo del eje; esta dirección se usará para determinar los signos de ,
y
.
Es importante recordar que las tres ecuaciones anteriores pueden utilizarse sólo cuando se sabe que la aceleración de la partícula es constante. Si la aceleración de la partícula es variable, su movimiento se debe determinar a partir de las ecuaciones fundamentales.
1.5.- Movimiento de varias partículas
Cuando varias partículas se mueven de manera independiente a lo largo de la misma línea, es posible escribir ecuaciones de movimiento independientes para cada partícula. Siempre que sea factible, el tiempo debe registrarse a partir del mismo instante inicial para todas las partículas, y es necesario medir los desplazamientos desde el mismo srcen y en la misma dirección. En otras palabras, deben usarse un solo reloj y una sola cinta métrica. Movimiento relativo de dos partículas . Considere dos partículas A y B que se
mueven a lo largo de la misma línea recta (figura 11.7).
26
Si las coordenadas de posición diferencia
y
se miden desde el mismo srcen, la
− −
define la coordenada de posición relativa de B con respecto a A
y se denota por medio de
. Se escribe
De manera independiente de las posiciones de A y B con respecto al srcen, un signo positivo para
significa que B está a la derecha de A, y un signo negativo
indica que B se encuentra a la izquierda de A. La razón de cambio
se conoce como la velocidad relativa de B con respecto a
. = −
A y se denota por medio de
Un signo positivo de
Al diferenciar la ecuación anterior, se escribe
significa que a partir de A se observa que B se mueve en
dirección positiva; un signo negativo indica, según se observa, que ésta se mueve en dirección negativa. La razón de cambio de
se conoce como la aceleración relativa de B con
−
respecto a A y se denota mediante
obtiene
. Al diferenciar la ecuación anterior, se
Ejemplo de aplicación
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 12 metros en el pozo de un elevador con una velocidad inicial de 18 m/s. En el mismo instante un elevador de plataforma abierta pasa por el nivel de 5 m, moviéndose hacia 27
arriba con una velocidad constante de 2 m/s. Determine a) cuándo y dónde golpea al elevador, b) la velocidad relativa de la pelota con respecto al elevador cuando ésta lo golpea. Solución Movimiento de la pelota. Puesto que la pelota tiene una aceleración constante, su
movimiento es uniformemente acelerado. Al colocar el srcen de O del eje y a nivel del suelo, es decir su dirección positiva hacia arriba, encontramos que la posición
12 −9.81 / 18 / 1 1 18−9.81 2 1218−4.905 2 inicial es
, la velocidad inicial corresponde a
aceleración equivale a
, y la
. Sustituyendo estos valores en las
ecuaciones para movimiento uniformemente acelerado, se escribe
Movimiento del elevador. Puesto que el elevador tiene una velocidad constante, su
movimiento es uniforme. Al ubicar el srcen O en el nivel del suelo y elegir la
5 2⁄ 3 52 4
dirección positiva hacia arriba, se observa que
y se escribe
28
La pelota golpea el elevador. Se usaron el mismo tiempo t y el mismo srcen O al
escribir las ecuaciones de movimiento tanto de la pelota como del elevador. Se observa en la figura que cuando la pelota golpea el elevador,
Al sustituir para
y
5
en (2) y (4) en (5), se tiene
5 2 1218− 4.905 −0.39 3.65 Sólo la raíz
3.65
corresponde a un tiempo después de que se ha iniciado el
movimiento. Al sustituir este valor en (4), se obtiene
ó5 2 3.65 12. 312.0 30 La velocidad relativa de la pelota con respecto al elevador es
⁄ − 18− 9.81− 2 16− 9.81 3.65 ⁄ 16− 9.813.65 ⁄ . /
Cuando la pelota golpea al elevador en el tiempo
, se tiene
El signo negativo significa que desde el elevador se observa que la pelota se mueve en el sentido negativo (hacia abajo).
29
1.6 Movimiento curvilíneo de particulas
Cuando una partícula se mueve a lo largo de una curva diferente a una línea recta, se afirma que describe un movimiento curvilíneo. Para definir la posición P ocupada por la partícula en un tiempo determinado t, se elige un sistema de referencia fijo, tal como los ejes x, y, z que se muestran en la figura a), y se dibuja el vector r que une al srcen O y al punto P. Puesto que el vector r está caracterizado por su magnitud r y su dirección con respecto a los ejes de referencia, éste define por completo la posición de la partícula con respecto a esos ejes; el vector r se conoce como el vector de posición de la partícula en el tiempo t.
Considérese ahora el vector
′ ∆
′ ∆ ′ ∆ ′∆ ∆ ∆
que define la posición
partícula en un tiempo posterior
. El vector
ocupada por la misma
que une a P y a
el cambio en el vector de posición durante el intervalo del tiempo se puede verificar fácilmente en la figura a), el vector vectores r y
∆ ∆ ∆
de acuerdo con el método de triángulo.
representa
, pues, como
se obtiene al sumar los representa un cambio
de dirección, así como un cambio de magnitud del vector de posición r. La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo el cociente de de
y
. Puesto que
∆
es un vector y
se define como
es un escalar, el cociente
es un vector unido a P, de la misma dirección que
∆/∆
igual a la magnitud de
∆
dividida entre
∆
(figura b).
y de magnitud
∆ 30
La velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t se obtiene al elegir intervalos de tiempo
∆ ∆
cada vez más cortos y, de manera correspondiente,
incrementos vectoriales
cada vez menores. La velocidad instantánea se
representa en consecuencia mediante el vector
∆ ∆ ′
A medida que
y
lim∆→ ∆∆ disminuyen, las
posiciones P y se acercan cada vez más entre sí; el vector v obtenido en el límite debe, por lo tanto, ser tangente a la trayectoria de la partícula (figura c). Puesto que el vector de posición r depende del tiempo t, se conoce como una función vectorial de la variable escalar t y se denota mediante
. Extendiendo el concepto de derivada de una función escalar que se
presenta en cálculo elemental, el límite del cociente de la función vectorial
. Se escribe
∆∆ se conoce como la derivada
31
La magnitud
del vector
se conoce como la rapidez de la partícula y es posible
obtenerla al sustituir, en vez del vector
∆
lim∆→ ∆∆ ′ ∆ ′
en la fórmula
, la magnitud de
este vector representado por el segmento de línea recta longitud del segmento
′
, se acerca a la longitud
disminuye (figura a), por lo que se puede escribir
. Sin embargo, la
del arco
cuando
∆
lim∆→∆ li∆m→∆∆
La rapidez v puede obtenerse entonces diferenciando con respecto a t la longitud s del arco que describe la partícula.
′ ′∆ ′
Considere la velocidad v de la partícula en el tiempo t y su velocidad tiempo posterior
∆
(figura 1.15a). Se dibujarán ambos vectores
del mismo srcen O (figura 11.15b). El vector
∆
que une a Q y a
cambio en la velocidad de la partícula durante el intervalo de tiempo vector
′
puede obtenerse al sumar los vectores v y
∆
.
y
en un
a partir
representa el , ya que el
Hay que
advertir que
∆
representa un cambio en la dirección de la velocidad, así como un
cambio en la rapidez. La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de
∆ ∆
∆/ ∆
∆ ∆
∆ ∆
tiempo se define como el cociente entre y . Puesto que es un vector y un escalar, el cociente es un vector de la misma dirección que .
32
La aceleración instantánea de la partícula en el tiempo
∆ ∆ lim∆→ ∆∆
valores cada vez más y más pequeños de
y
se obtiene al tomar
. La aceleración instantánea se
representa en consecuencia por medio del vector
Al advertir que la velocidad es una función vectorial del tiempo , es posible referirse al límite del cociente como la derivada de con respecto a . Se escribe
Se observa que la aceleración vector
∆∆
es tangente a la curva descrita por la punta Q del
cuando este último se dibuja desde un srcen fijo
′
(figura 1.15c) y que,
en general, la aceleración no es tangente a la trayectoria de la partícula (figura 1.15d). La curva descrita por la punta de como la hodógrafa del movimiento.
e indicada en la figura 1.15c) se conoce
33
1.7.- Movimiento circular uniforme
Movimiento en una trayectoria circular La primera ley de Newton dice que todos los cuerpos que se mueven en línea recta con rapidez constante mantendrán inalterada su velocidad a menos que actúe sobre ellos una fuerza externa. La velocidad de un cuerpo es una cantidad vectorial definida por su rapidez y su dirección. Igual que se requiere una fuerza resultante para cambiar su rapidez, hay que aplicar una fuerza resultante para cambiar su dirección. Siempre que esa fuerza actúa en una dirección diferente de la dirección srcinal del movimiento, ocasiona un cambio en la trayectoria de la partícula en movimiento. El movimiento más sencillo en dos dimensiones se produce cuando una fuerza externa constante actúa siempre formando ángulos rectos respecto a la trayectoria de la partícula en movimiento. En este caso, la fuerza resultante producirá una aceleración que sólo cambia la dirección del movimiento y mantiene la rapidez constante. Este tipo de movimiento sencillo se conoce como movimiento circular uniforme.
El movimiento circular uniforme es un movimiento en el que la rapidez no cambia, sólo hay un cambio en la dirección.
Un ejemplo del movimiento circular uniforme consiste en dar vueltas en una trayectoria circular a una piedra atada a un cordel, como se ilustra en la figura. Mientras la piedra gira con rapidez constante, la fuerza hacia el centro srcinada por la tensión en el cordel cambia constantemente la dirección de la piedra, haciendo que ésta se mueva en una trayectoria circular.
34
Si el cordel se rompiera, la piedra saldría disparada en una dirección tangencial, es decir, perpendicular al radio de su trayectoria circular.
(a) La tensión hacia adentro que el cordel ejerce sobre la piedra hace que ésta se mueva en una trayectoria circular, (b) Si el cordel se rompe, la piedra sale volando en dirección tangencial al círculo.
1.7.1.- Aceleración centrípeta
La segunda ley del movimiento de Newton establece que una fuerza resultante debe producir una aceleración en la dirección de la fuerza. En el movimiento circular uniforme, la aceleración cambia la velocidad de una partícula que se mueve alterando su dirección.
35
(a) A y B son las posiciones en dos instantes separados por un intervalo de tiempo ∆t. (b) El cambio de velocidad v se representa gráficamente. El vector apuntará
directamente hacia el centro si
∆
es lo suficientemente pequeño para que la
cuerda s sea igual al arco que une los puntos A y B. La posición y la velocidad de una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio R se presenta en dos instantes en la figura 10.2. Cuando la
partícula se halla en el punto A, su velocidad se representa con el vector . Después del intervalo de tiempo , su velocidad se denota por el vector . La
∆
aceleración, por definición, es el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Por tanto,
∆∆ ∆−
El cambio en la velocidad
∆
se representa gráficamente en la figura anterior. La
diferencia entre los dos vectores
y
se construye de acuerdo con los métodos
expuestos en física 1. Como las velocidades
y
tienen la misma magnitud,
forman los lados del triángulo isósceles BPQ cuya base es Av. Si construimos un
∆
triángulo similar ABC, puede observarse que la relación entre la magnitud de y la magnitud de cualquiera de las velocidades es la misma que la relación entre la cuerda s y el radio R. Esta proporcionalidad se escribe simbólicamente así:
∆ .
donde v representa la magnitud absoluta de
o de
La distancia que recorre realmente la partícula desde el punto A hasta el punto B no es la distancia s, sino la longitud del arco de A a B. Cuanto más corto es el
∆
intervalo de tiempo , más cerca estarán estos puntos hasta que, en el límite, la longitud de la cuerda se iguala con la longitud del arco. En este caso, la longitud 5 está dada por
36
∆ La cual, cuando se sustituye en la ecuación anterior resulta en
∆ ∆ Reordenando algunos términos tenemos que la aceleración está dada:
∆∆ Por consiguiente, la razón de cambio de la velocidad, o aceleración centrípeta, está dada por
Donde
es la rapidez lineal de una partícula que se mueve en una trayectoria
circular de radio R. Ejemplo de aplicación
Un cuerpo de 2 kg se ata al extremo de una cuerda y se hace girar en un círculo horizontal de 1.5 m de radio. Si el cuerpo realiza tres revoluciones completas por segundo, determine su rapidez lineal y su aceleración centrípeta. Plan: La distancia recorrida por el cuerpo en una revolución es igual al perímetro del círculo (
2
); como da tres revoluciones por segundo, el tiempo para una
de ellas debe ser la tercera parte de un segundo, o 0.333 s. Con esta información podemos determinar la rapidez lineal del cuerpo, así como la aceleración a partir de la ecuación.
37
Solución: Primero se determina el perímetro de la trayectoria circular
22 1.5 9.43 Al dividir la distancia entre los 0.333 s necesario para dar una revolución de obtiene
0.9.34333 28−3 / Después se calcula la aceleración con base en la ecuación:
28. 3 1.5 534 / 1.7.2.- Desplazamiento angular
El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Si el punto A en el disco giratorio de la figura gira sobre su eje hasta el punto B. el
desplazamiento angular se denota por el ángulo . Hay varias formas de medir este ángulo. Ya nos hemos familiarizado con las unidades de grados y revoluciones, las cuales están relacionadas de acuerdo con la definición
1 360° El desplazamiento angular 6 se indica por la porción sombreada del disco. El desplazamiento angular es el mismo de C a D que de A a B para un cuerpo rígido .
Ninguna de estas unidades es útil para describir la
38
rotación de cuerpos rígidos. Una medida más fácil de aplicar el desplazamiento angular es el radián (rad) . Un ángulo de 1 rad es un ángulo central cuyo arco 5 es igual en longitud al radio R (véase la figura siguiente). Es más común que el radián se defina por la siguiente ecuación:
Donde s es la longitud de arco de un círculo descrito por el ángulo . Puesto que el cociente s entre R es la razón de dos distancias, el radián es una cantidad sin unidades.
El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra considerando un arco de longitud 5 igual al perímetro o circunferencia de un círculo
2
. Dicho ángulo en radianes se obtiene a partir de la ecuación anterior.
2 2
Así tenemos,
De donde se observa que
1 360°2 1 3602 57.3° 39
Ejemplo de aplicación
Un extremo de una cuerda se ata a una cubeta de agua y el otro extremo se enrolla muchas veces alrededor de un carrete circular de 12 cm de radio. ¿Cuántas revoluciones del carrete se requiere para levantar la cubeta a una distancia vertical de 5 m?
Plan: La distancia vertical de elevación debe ser igual a la longitud de la cuerda envuelta alrededor del carrete de modo que la longitud de arco
5
. Primero
se calcula la rotación en radianes necesarios para una longitud de arco de 5 m. Recuerde establecer el modo de radianes en su calculadora (normalmente está en modo de grados). Más adelante una conversión de este ángulo a revoluciones dará la respuesta buscada. Solución: A partir de la ecuación
Recordemos que revoluciones.
1 2 0.51241.7 41.7 (21 )6.63
, se hace la conversión para hallar el ángulo en
Por tanto, aproximadamente seis revoluciones dos tercios levantaran la cubeta 5 m.
40
1.7.3.- Velocidad angular
A la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo se le llama veloci dad ang ular . Por lo tanto, si un objeto gira a través de un ángulo 9 en un tiempo t, su velocidad angular media está dada por 9
El símbolo
̅ (letra griega omega) se usa para denotar la velocidad angular.
Cuando una barra aparece sobre el símbolo, indica que la velocidad angular es un valor medio. Aun cuando la velocidad angular puede expresarse en revoluciones por minuto (rpm) o revoluciones por segundo (rev/s), en la mayoría de los problemas físicos es necesario utilizar radianes por segundo para adaptarse a la opción básica del desplazamiento angular 9 en radianes. Tenga en mente que la velocidad angular puede estar en el sentido de las manecillas del reloj o contrasentido; es decir, tiene dirección. Debemos elegir una dirección positiva para la rotación y sustituir los signos que concuerden con esa elección. Puesto que la velocidad de rotación en gran número de problemas técnicos se expresa en términos revoluciones por minuto o revoluciones por segundo, es conveniente hallar una expresión para la conversión a radianes por segundo. Si la
/ / ̅2
frecuencia de revoluciones en velocidad angular en
se denota por medio del símbolo
está dada por
Si la frecuencia está en rpm en vez de
, la
, el factor de conversión es
/
.
2/60 41
Ejemplo de aplicación
La rueda de una bicicleta tiene de radio de 33 cm y gira 40 revoluciones en 1 min. ¿Qué distancia lineal recorrerá la bicicleta en 30 s?
Plan: Primero se convertirá la velocidad angular de la rueda a radianes por segundo. Luego podemos usar la definición de velocidad media para calcular la longitud de arco .y descrita por un punto en el borde de la rueda. Esta distancia será la misma que la recorrida por la bicicleta a lo largo de una trayectoria horizontal.
/ (401 )(160)0.667 /
Solución: Primero se convierte la frecuencia de rpm a
.
Sustituyendo esta frecuencia en la ecuación anterior se obtiene la velocidad angular.
2 2 0.667 ⁄4.19 ⁄ Ahora bien, se vuelve a escribir la ecuación
̅
Esto significa que la distancia es
4.19 ⁄ 30 0.33 41.5 42
Es importante observar que la velocidad angular descrita por la ecuación (11.2) representa un valor medio (o un valor constante). La misma distinción se debe hacer entre la velocidad angular instantánea y la media tal como se estudió en el capítulo 6 para las velocidades instantáneas y medias.
1.7.4.- Aceleración angular
Al igual que el movimiento rectilíneo, el movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La velocidad de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular cambia de un valor inicial
a un valor final w en un tiempo t, la aceleración angular es
−
La letra griega a {alfa) denota la aceleración angular. Una forma más útil de esta ecuación es
para la aceleración lineal se verá que sus formas son idénticas si establecemos analogías entre los parámetros angulares y lineales. Ahora que hemos introducido el concepto de velocidades angulares inicial y final, podemos expresar la velocidad angular media en términos de sus valores inicial y final:
̅ 2 43
Al sustituir esta igualdad para
̅
en la ecuación anterior se obtiene una expresión
más útil para el desplazamiento angular:
̅( 2 ) Esta ecuación es similar a una ecuación deducida para el movimiento rectilíneo. En realidad, las ecuaciones para la aceleración angular tienen la misma forma básica que las que se obtuvieron para la aceleración lineal si establecemos las siguientes analogías:
↔ ↔/ ↔
El tiempo, desde luego, es el mismo para ambos tipos de movimiento y se mide en segundos. La tabla ilustra las similitudes entre el movimiento rotacional y el rectilíneo.
44
Al aplicar estas fórmulas, debemos tener cuidado de elegir las unidades apropiadas para cada cantidad. También es importante seleccionar una dirección (en el sentido del avance de las manecillas del reloj o contrario a éste) como positiva y conservarla en forma consistente para asignar los signos apropiados a cada cantidad. Ejemplo de aplicación
Un volante aumenta su velocidad de rotación de 6 a 12
/
en 8 . Determine la
aceleración angular en radianes por segundo al cuadrado.
Plan: Cuando se aplican las ecuaciones para la aceleración angular uniforme, las únicas unidades angulares aceptables son los radianes. Primero debemos cambiar las unidades para las velocidades angulares final e inicial. Luego se organizan los datos dados, se elige una ecuación adecuada y se resuelve para la aceleración angular.
Solución: Las velocidades angulares son:
2( 21 )(6 )37.7 ⁄ 2( 21 )(12)75.4 / Ahora bien, podemos resolver para a usando la definición de aceleración angular. Dados:
37.7 ⁄ 75.4 ; 8 ;
Encuentre:
?
Seleccionemos la ecuación (2) de la tabla como la ecuación que contiene
y no . 45
Al resolver para a obtenemos
− 75.4−⁄837.7⁄ 4.71 ⁄ Relación entre los movimientos rotacional y rectilíneo
El eje de rotación de un cuerpo rígido que gira se puede definir como la línea de partículas que permanecen estacionarias durante la rotación. Se puede tratar de una línea a través del cuerpo, como en el caso de un trompo, o puede ser una línea a través del espacio, como un aro en rotación. En cualquier caso, nuestra experiencia nos dice que cuanto más lejos está la partícula del eje de rotación, mayor es su velocidad tangencial. Este hecho se expresó mediante la fórmula
2
Donde es la frecuencia de rotación. Ahora deduzcamos una relación similar en términos de velocidad angular. La partícula de la figura gira a través de un arco s que se describe como
46
Si la distancia es recorrida en un tiempo t, la velocidad tangencial de la partícula está dada por
Puesto que
⁄
, la velocidad tangencial se puede expresar como una función
de la velocidad angular:
47
A ctividades complementarias I. Resolver cada uno de los siguientes problemas.
1.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
5 10
1.5 – 30
, donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente.
Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando 2.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
2 5
.
12 – 18 4
, donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente.
Determine la posición y la velocidad cuando la aceleración de la partícula es igual a cero. 3.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
– 5/2 −30 8
, donde x y t se expresan en pies y segundos,
respectivamente.
Determine el tiempo, la posición y la aceleración cuando
.
0 6 – 8 6 0 2 – 15
4.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
40
, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente.
Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando
.
5.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
6 – 2 – 12 33
, donde x y t se expresan en metros y segundos,
respectivamente. Determine el tiempo, la posición y la velocidad cuando
.
6.- El movimiento de una partícula está definido por la relación , donde x se expresa en metros y t en segundos.
24 4
Determine a) cuándo la velocidad es cero, b) la posición y la distancia total viajada hasta ese momento cuando la aceleración es cero. 48
7.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
36 40
– 6
, donde x y t se expresan en pies y segundos, respectivamente.
Determine a) cuándo la velocidad es cero, b) la velocidad, la aceleración y la distancia total viajada cuando
0
.
8.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
– 9
, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente.
24− 8
Determine a) cuándo la velocidad es cero, b) la posición y la distancia total recorrida cuando la aceleración es cero.
−8 / 16 /
9.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación
20 11
se sabe qué
cuando
4 4 y
cuando
. Si
, determine a)
el tiempo cuando la velocidad es cero, b) la velocidad y la distancia total recorrida cuando
.
10.- Una automovilista entra a una carretera a 45 km/h y acelera uniformemente hasta 99 km/h. De acuerdo con el odómetro del automóvil, la conductora sabe que recorrió 0.2 km mientras aceleraba. Determine a) la aceleración del automóvil, b) el tiempo que se requiere para alcanzar 99 km/h.
11.- Un camión recorre 220 m en 10 s mientras se desacelera a una razón constante de 0.6 m/s2. Determine a) su velocidad inicial, b) su velocidad final, c) la distancia recorrida durante los primeros 1.5 s.
49
12.- Cuando un corredor de relevos A ingresa a la zona de intercambio, de 20 m de largo, con una rapidez de 12.9 m/s empieza a desacelerar. Entrega la estafeta al corredor B 1.82 s después, y su compañero deja la zona de intercambio con la misma velocidad. Determine a) la aceleración uniforme de cada uno de los corredores, b) el momento en el que el corredor B debe empezar a correr.
13.- En una rampa se colocan cajas a intervalos uniformes de tiempo
y se
deslizan hacia abajo de la rampa con aceleración uniforme. Si se sabe que cuando se suelta la caja B, la caja A ya se ha deslizado 6 m y que 1 s después están separadas por una distancia de 10 m, determine a) el valor de de las cajas.
, b) la aceleración
14.- En una carrera de lanchas, la lancha A se adelanta a la lancha B por 120 ft y ambos botes viajan a una rapidez constante de 105 mi/h. En
0
, las
lanchas aceleran a tasas constantes. Si se sabe que cuando B rebasa a A,
8 135 /ℎ y
, determine
a) la aceleración de A,
b) la aceleración de B.
50
BLOQUE II CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS
Propósito: Al finalizar el bloque el alumno conocerá y aplicara los conceptos básicos de la cinemática de los cuerpos, así también será capaz de desarrollar y resolver problemas utilizando las ecuaciones de movimiento.
A ctividades de aprendizaje I. Contesta las siguientes preguntas de acuerdo a tus conocimientos generales:
1.- Enuncia la segunda Ley de Newton.
2.- ¿Cuál son las unidades que se utilizan para la fórmula de la segunda Ley de Newton?
3.- Investiga cuales son las ecuaciones del movimiento.
4.- ¿Qué es el equilibrio dinámico?
5.- ¿Qué tipos de equilibrio dinámico hay?
6.- ¿Para qué se necesitó el equilibrio dinámico en la vida real?
51
2.1.- Segunda Ley de Newton La segunda ley de Newton se puede enunciar de la manera siguiente: Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante.
Al denotar mediante m la masa de una partícula, por
∑
la suma, o resultante, de
las fuerzas que actúan sobre la partícula, y por a la aceleración de la partícula relativa a un sistema de referencia newtoniano, se escribe
∑ 2.2.- Cantidad de movimiento lineal de una partícula. Razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal
Si se reemplaza la aceleración a por la derivada
escribe: ∑
/
en la ecuación anterior, se
o, ya que la masa m de la partícula es constante,
El vector
∑
se denomina como la cantidad de movimiento
lineal, o simplemente cantidad de movimiento de la partícula. Tiene la misma dirección que la velocidad de la partícula, y su magnitud es igual al producto de la masa m y la velocidad v de la partícula (figura).
52
La ecuación anterior expresa que la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal de la partícula. En esta forma fue que Newton enunció srcinalmente la segunda ley de movimiento. Al denotar por L la cantidad de movimiento lineal de la partícula,
̇
y por su derivada con respecto a t, es posible escribir la ecuación en la forma alternativa
∑
∑ ̇
la cual expresa que la resultante de la fuerza que actúa sobre una partícula es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal de la partícula.
2.3.- Sistema de unidades
Al utilizar la ecuación fundamental
, las unidades de fuerza,
masa,
longitud y tiempo no pueden elegirse de manera arbitraria. Si eso ocurriera, la magnitud de la fuerza F que se requiere para proporcionar una aceleración
a la
masa m no sería numéricamente igual al producto ma; sólo sería proporcional a este producto. En consecuencia, se pueden elegir tres o cuatro unidades de manera arbitraria, pero se debe escoger la cuarta unidad de manera que se satisfaga la ecuación
. Se dice entonces que las unidades forman un
sistema de unidades cinéticas consistentes. Suelen utilizarse dos sistemas de unidades cinéticas consistentes: el Sistema Internacional de Unidades (unidades del SI) y unidades utilizadas comúnmente en Estados Unidos. Sistema Internacional de Unidades (unidades del SI).
En este sistema, las unidades básicas son las de longitud, masa y tiempo y se denominan, respectivamente, el metro
, el kilogramo
y el segundo
. 53
La unidad de fuerza es una unidad derivada. Se denomina
y se define
como la fuerza que produce una aceleración de 1 / a una masa de 1 (figura). De la ecuación de fuerza se describe
1 1 1 1⋅/ Unidades de uso común en Estados Unidos.
La mayoría de los ingenieros estadounidenses siguen utilizando de forma común un sistema en el que las unidades básicas son las de longitud, fuerza y tiempo; estas unidades corresponden, respectivamente, al
.
, la
y el
En realidad, cuando actúa sobre ella una fuerza de 1 lb, esto es, cuando se somete a su propio peso, la libra estándar recibe la aceleración de la gravedad,
32.2 /
(figura) y no la aceleración unitaria que requiere la ecuación
.
La unidad de masa consistente con el pie, la libra y el segundo es la masa, que recibe una aceleración de
1 / 1 /
cuando se le aplica una fuerza de 1 lb (figura).
Esta unidad, llamada en ocasiones un slug, puede deducirse de la ecuación
después de sustituir 1 lb y
escribe
en vez de F y a, respectivamente. Se
1 11⁄ 54
Y se obtiene
1 1 1⁄ 1 ⋅ /
2.4.- Ecuaciones del movimiento
Considérese una partícula de masa m sobre la que actúan varias fuerzas. Se tiene que la segunda ley de Newton puede expresarse mediante la ecuación
que relaciona las fuerzas que actúan sobre la partícula y el vector
(figura ).
Sin embargo, para resolver los problemas que implican el movimiento de una partícula se encontrará más conveniente sustituir la ecuación ecuaciones equivalentes que incluyen cantidades escalares.
por
Al usar componentes rectang ulares de F y a, se escribe
∑ ∑
∑
Mediante las componentes tang enci al y normal , se tiene
∑ ∑ 55
2.5.- Equilibrio dinámico
Al volver a la ecuación la segunda ley de Newton y trasponer el miembro del lado derecho, se escribe la segunda ley de Newton en la forma alternativa
−0 −
en la que se expresa que si se suma el vector
a las fuerzas que actúan sobre
la partícula, se obtiene un sistema de vectores equivalente a cero (figura).
El vector
−
, de magnitud ma y de dirección opuesta a la de la aceleración, se
denomina vector de inercia. De tal modo, es factible considerar que la partícula está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas dadas y del vector de inercia. Se afirma que la partícula está en equilibrio dinámico, y el problema que se considera puede resolverse mediante los métodos que se desarrollaron antes en estática. Ejemplo de aplicación
Un bloque de 200 lb descansa sobre un plano horizontal. Determine la magnitud de la fuerza P que se requiere para dar al bloque una aceleración de 10 ft/s2 hacia la derecha. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano es .
0.25 56
Solución: La masa del bloque es
32.2002 ⁄ 6.21 ⋅ / 0.25 10/ + : →∑ ⁄ cos30°−0.cos30°−0. 25 6.225162. ⋅ ⁄110 +→∑ 0 − 30°. 200 0
Se tiene que y que . Al expresar que las fuerzas que actúan sobre el bloque son equivalentes al vector , se escribe
Al resolver esta ecuación para N y sustituir el resultado den la primera ecuación, se obtiene
cos30°−0. 2530°200 30°20062.1 151
Luego despejando P, tenemos que
.
2.6.- Cantidad de movimiento angular de una partícula. Razón de cambio de la cantidad de movimiento angular
Considérese una partícula P de masa m que se mueve con respecto a un sistema de referencia newtoniano
. Como se estudió anteriormente, la cantidad de
movimiento lineal de la partícula en un instante determinado se define como el vector
obtenido al multiplicar la velocidad v de la partícula por su masa
. El 57
se denomina momento de la cantidad de
ese instante y se denota por medio de
. Al recordar la definición del momento
momento alrededor de O del vector
movimiento, o la cantidad de movimiento angular de la partícula en torno a O en
×
de un vector y denotar mediante r el vector de posición de P, se escribe
se tiene que magnitud
donde
es un vector perpendicular al plano que contiene
es el ángulo entre
| | y
Al descomponer los vectores y cantidad de movimiento angular
y
y de
(figura).
en componentes rectangualres, se expresa la
en la forma determinada
En el caso de una partícula que se mueve en el plano
, se tiene
0
cantidad de movimiento angular es perpendicular al plano completamente definido por su magnitud. Se escribe
. La
y está
− 58
Al calcular la tasa de cambio
̇
de la cantidad de movimiento angular
aplicar la segunda ley de Newton, se escribe la ecuación
, y al
∑ ̇ la cual establece que la suma de los momentos alrededor de O de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la razón de cambio de la cantidad del movimiento angular de la partícula en torno a O .
2.7.- Movimiento bajo una fuerza central
Cuando la única fuerza que actúa sobre una partícula P es la fuerza F dirigida hacia o alejándose de un punto fijo O, se dice que la partícula se mueve bajo la
∑ 0 ̇ 0
acción de una fuerza central. Puesto que concluye de la ecuación (12.19) que ˙
consecuencia, que
en cualquier instante dado, se
para todos los valores de t y, en
Se concluye que la cantidad de movimiento angular de una partícula que se mueve bajo uno fuerza central es constante, tanto en magnitud como en dirección, y que la partícula se mueve en un plano perpendicular al vector
.
59
A ctividades complementarias
32.09 10.0053 /
1.- El valor de g en cualquier latitud
puede obtenerse mediante la fórmula
la cual toma en cuenta el efecto de la rotación de la Tierra junto con el hecho de que ésta no es realmente esférica. Determine con una exactitud de cuatro cifras significativas a) el peso en libras, b) la masa en libras, c) la masa en
⋅ /
, en las latitudes de 0º, 45º, 60º, de una barra de plata,
cuya masa se ha designado oficialmente igual a 5 lb.
2.- La aceleración debida a la gravedad en la Luna es de 1.62 Determine:
/
.
a) el peso en newtons y b) la masa en kilogramos en la Luna, para una barra de oro, cuya masa se ha designado de manera oficial igual a 2 kg.
60
3.- Un satélite de 200 kg está en una órbita circular a 1.500 km por encima de la superficie de Venus. La aceleración debida a la atracción gravitacional de Venus a esta altura es de 5.52
/
.
Determine la magnitud de la cantidad de movimiento lineal del satélite, si se sabe que su rapidez orbital es de 23.4 103
/ℎ
.
4.- Una báscula de resorte A y una báscula de brazo B que tienen brazos de palanca iguales se fijan al techo de un elevador, y se les cuelgan paquetes idénticos en la forma mostrada. Si se sabe que cuando el elevador se mueve hacia abajo con una aceleración de
4 /
la báscula de resorte indica una carga
de 14.1 lb, determine a) el peso de los paquetes, b) la carga indicada por la báscula de resorte y la masa necesaria para equilibrar la báscula de brazo cuando el elevador asciende con una aceleración de 4
/
.
61
5.- Los dos bloques que se muestran en la figura se encuentran
srcinalmente
en
reposo.
Si
se
desprecian las masas de las poleas y el efecto de fricción en éstas y entre el bloque A y la superficie horizontal, determine: a) la aceleración de cada bloque b) la tensión en el cable.
6.- Los dos bloques que se muestran en la figura se encuentran srcinalmente en reposo. Si se desprecian las masas de las poleas y el efecto de fricción en éstas y se supone que los componentes de fricción entre el bloque A y la superficie horizontal son
0.25 0.20 y
, determine:
a) la aceleración de cada bloque b) la tensión en el cable.
62
7.- Una piloto de 54 kg vuela un jet de entrenamiento en una media vuelta vertical de 1.200 m de radio de manera que la velocidad del jet disminuye a razón constante. Si se sabe que los pesos aparentes de la piloto en los puntos A y C son respectivamente de 1.680 N y 350 N, determine la fuerza que ejerce sobre ella el asiento del jet cuando éste se encuentra en el punto B.
8.- La varilla OA gira alrededor de O en un plano horizontal. El movimiento del
300100 cos0.5 −3 , donde r se expresa en milímetros, t en segundos y en radianes. collarín B de 300 g se define mediante las relaciones
y
Determine las componentes radial y transversal de la fuerza ejercida sobre el collarín cuando a)
0 0.5 y b)
.
63
9.- Una nave espacial se coloca en una órbita polar alrededor del planeta Marte a una altura de 380 km. Si se sabe que la densidad media de Marte es de 3.94
/
y que el radio de Marte es de 3.397 km, determine:
a) el tiempo
que se requiere para que la nave espacial complete una revolución
alrededor de Marte b) la velocidad con la que la nave espacial describe su órbita.
10.- Un collarín de 3 lb puede deslizarse sobre una varilla horizontal la cual gira libremente alrededor de un eje vertical. El collarín se sostiene inicialmente en A mediante una cuerda unida al eje y comprime un resorte con una constante de
2 /
, el cual está sin deformar cuando el collarín se localiza en A. Cuando el eje
gira a la tasa
, la cuerda se corta y el collarín se mueve hacia fuera a
̇ 16 /
lo largo de la varilla. Si se desprecia la fricción y la masa de la varilla, determine: a) las componentes radial y transversal de la aceleración del collarín en A: b) la aceleración del collarín relativa a la varilla en A, c) la componente transversal de la velocidad del collarín en B.
64
11.- Para el collarín del problema anterior, suponga que la varilla gira inicialmente a una razón
̇ 12 /
, determine para la posición B del collarín:
a) la componente transversal de la velocidad del collarín b) las componentes radial y transversal de su aceleración, c) la aceleración del collarín respecto a la varilla.
65
BLOQUE III DINÁMICA
Propósito: Al finalizar el bloque el alumno conocerá y comprenderá los conceptos básicos de la dinámica con la cual entenderá las causas que srcinan el movimiento de las partículas y los cuerpos, así también analizara las relaciones que existen entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido y su efecto sobre la forma y masa del mismo, así como su movimiento producido, ya sea mediante un análisis de fuerzas y aceleraciones o por el método de la energía.
A ctividades de aprendizaje I.
Elige la respuesta correcta en cada una de las siguientes preguntas.
1.- Al producto de la masa de un cuerpo y su velocidad se le llama: a) Potencia b) Impulso c) Energía potencial d) Cantidad de movimiento 2.- Es la expresión matemática del impulso. a) b) c) d)
/2 ℎ 66
3.- En el S.I. son las unidades para medir la cantidad de movimiento a) b) c) d)
/ /
4.- Es la expresión matemática de la cantidad de movimiento: a) b) c) d)
ℎ /2
5.- al producto de la fuerza que actúan sobre un cuerpo y del tiempo durante el cual se hace se llama: a) Energía potencial b) Energía cinética c) Potencia d) Impulso 6.- La cantidad de movimiento (ímpetu) es una cantidad: a) Vectorial b) Fundamental c) Adimensional d) Escalar
67
7.- Si dos cuerpos tienen la misma cantidad de movimiento significaría que: a) Los dos tienen la misma masa b) Los dos tienen la velocidad c) Los dos tienen el mismo peso d) El producto mv en ambos tienen el mismo valor
8.- La cantidad de movimiento de un cuerpo no cambia, si el cuerpo: a) Aumenta su velocidad b) Disminuye su velocidad c) Cae libremente d) Mantiene su velocidad constante
9.- Si la fuerza neta o resultante que actua sobre un cuerpo es cero, el objeto manifiesta: a) Un cambio de velocidad b) Un cambio en su cantidad de movimiento c) Impulso d) Ninguna de las anteriores 10.- Cuando la energía cinética antes y después de una colisión entre varios cuerpos es la misma, a la colisión se le llama: a) Elástica b) Plástica c) Inelástica d) Deformativa
68
3.1.- Impulso y cantidad de movimiento
Se llama cantidad de movimiento (también momentum: importancia que adquiere la masa a con la velocidad) a la magnitud vectorial
Q
, igual al producto de la
masa de una partícula por su velocidad.
El vector Q está dirigido en la dirección de la velocidad y con el mismo sentido, es decir tangente a la trayectoria , pues la masa es un escalar siempre positivo. Q
mv
Se llama impulso del movimiento a la magnitud vectorial
I
igual al producto de la
fuerza aplicada a la partícula (o bien a la componente tangencial Ft ) por el tiempo
en que actúa: I F .t
Sea: d v F m a m dt
Suponiendo que
F
F dt
entonces
md v
es constante y de la misma dirección que t F 2 dt t1
v
1
F t 2 t1 m v 2 m v1
I
integrando:
m v 2 dv
Según la ecuación (1) el impulso
v,
(3.1)
es igual a la variación de la cantidad de
movimiento:
I Q2 Q1
69
Unidades de Impulso
Unidad de
I
= Unidad de
F
x Unidad de tiempo
En el SI (MKS).
I
N
=
seg
=
m kg . seg seg 2
m kg seg
En el sistema CGS:
I
dyn
=
seg
.
=
cm cm g . seg g 2 seg seg
Unidades de Cantidad de Movimiento Q
Unidad de
Q
= Unidad de masa x Unidad de velocidad
En el SI (MKS):
m m Q kg . seg kg seg
En el sistema CGS:
cm Q g . seg
Podemos verificar con este concepto el Principio de Inercia o Primer Principio de Newton en la ecuación (3.1)
F t 2 t1 m v 2 m v1
F 0
es
m v 2 m v1
si
v2 v1 cte
“Si no hay fuerza exterior, el móvil no cambia de velocidad (es un MRU)
70
3.1.1.- Principio de conservación de la cantidad de movimiento de una partícula
De las leyes de la Dinámica, del Segundo Principio o Ley Fundamental de la Dinámica, se deduce que solamente las fuerzas pueden modificar la cantidad de movimiento
Q
de un cuerpo: F
Si
F
0 entonces
d v
dt
m. a m
0
d v dt
v cte
y
m v cte
Entonces: “Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de todas la s fuerzas (exteriores) que actúan es cero, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante”
3.1.2.- Necesidad de introducir las dos características: cantidad de movimiento y energía cinética
La necesidad de introducir estas dos características dinámicas obedece al hecho que una sola no es capaz de abarcar las múltiples particularidades del movimiento de una partícula.
Por ejemplo: Conociendo la cantidad de movimiento de un automóvil masa ni de velocidad) y la fuerza
F
Q
(no se d an datos de
que actúa sobre él durante el frenado, se 71
puede determinar el tiempo que tarda en detenerse. Pero estos datos ( Q y F ) son
insuficientes para hallar el espacio recorrido durante el frenado. Por el contrario: conociendo la Energía Cinética inicial puede determinarse el espacio recorrido durante el frenado hasta detenerse, pero no el tiempo que le lleva al móvil hacerlo
Problema: A un cuerpo de masa m situado sobre un plano horizontal, que en un punto
tiene una velocidad
Vo
Mo
, se le aplica una fuerza
fr
(que puede ser la de frenado)
constante y de sentido contrario al movimiento. Determinar: a) El tiempo que tarda en detenerse b) El espacio recorrido hasta que su velocidad es cero.
Solución: Mo
es el punto de la trayectoria donde se aplica
cuerpo tiene velocidad
Vo
y en
M1
Fr
la velocidad
cuando
V1 es
to =
0 . En ese punto el
igual a cero ya que se
detiene.
Sobre el cuerpo actúan las fuerzas N P
y la fuerza de frenado
Fr
P
(peso),
N
(reacción del plano) donde
. 72
Se orienta al eje X en el sentido del movimiento y entonces tenemos que el impulso es igual a la variación de la cantidad de movimiento.
Ix
(3.2)
mv1 mvo
Donde:
I x es la sumatoria de los impulsos I de las distintas fuerzas mv1 0 I x Fr t
Siendo
tenemos
Fr t m Vo
t
m Vo Fr
(3.3)
Tiempo de frenado
Hallamos el tiempo de frenado en función del concepto de cantidad de movimiento. a) Para determinar el espacio recorrido de frenado se utiliza el Teorema de las Fuerzas Vivas (o relación de Trabajo y Energía Cinética)
WFext
1 2
m V12
1 2
m Vo 2
pero aquí también V1 0 y solam ente Fr realiza trabajo
si e es el ca min o de frenado
Fr e
1 2
m Vo 2
e
1 m Vo 2 Fr
2
(3.4)
Espacio aplicando el concepto de Energía Cinética
De las fórmulas (3.3) y (3.4) se deduce que para una fuerza dada
Fr
el tiempo de
frenado aumenta proporcionalmente a la velocidad inicial Vo y el camino o espacio de frenado aumenta proporcionalmente al cuadrado de la velocidad inicial. Esta conclusión es muy importante en la construcción de caminos. 73
Si
Fr
fuera la fuerza de rozamiento, conociendo el coeficiente de rozamiento
cinético
c :
Fr c .P c m g
Entonces reemplazando en las ecuaciones (3) y (4) se tiene que:
t
m Vo m Vo V o c m g c g Fr
2
y
e
2
1 m Vo 1 Vo 2 c m g 2 c . g
3.2.- Principio de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de dos partículas aisladas y elásticas
Sea un sistema aislado (donde solamente actúan fuerzas interiores al sistema), formado por cuerpos de masas
mA
y
mB
de cuerpos perfectamente elásticos.
Los cuerpos antes del choque tienen las velocidades
VA
y
VB
respectivamente,
en la misma dirección y de sentidos contrarios. Al ponerse en contacto comienza el período de deformación hasta obtener la máxima deformación y por ser perfectamente elásticos, sigue un período de restitución total hasta separarse.
Durante el tiempo que se ponen en contacto y hasta que se separan se generan dos impulsos iguales y contrarios (principio de acción y reacción), las fuerzas que
74
los srcinan son las ejercidas por un cuerpo sobre el otro (al impulso que recibe A lo generan las fuerzas que produce B y viceversa). t I F .dt 0
Esos impulsos separan las masas velocidades
V A'
y
VB '
y
mA
mB
haciéndolas adquirir nuevas
respectivamente.
Veamos las fuerzas antes del choque : d VA FA m A dt FB
mB
d VB
dt
Y durante el contacto los impulsos son: ' I A t FA dt V A m A d V A m A (V A ' V A ) V 0
actúa
' t V I B FB dt B m B d VB m B (VB ' VB )
actúa
A
sobre
mB
VB
0
sobre
mA
Si los impulsos son iguales y de sentido contrario (principio de acción y reacción) su suma será igual a cero: IA IB 0
m A (V A ' V A )
=
m B (VB ' V B )
m A V A ' m A V A m B VB ' m B VB 0
75
m A V A ' m B VB ' (m A V A m B V B )
= 0
m A V A ' m B VB ' m A V A m B VB
Esta fórmula dice que la cantidad de movimiento del sistema aislado formado por dos masas antes del choque es igual a la cantidad de movimiento del sistema después del choque. También se puede decir que: “La cantidad de movimiento de un sistema aislado permanece constante”.
PENDULO BALÍSTICO: Como aplicación del principio O
anterior tenemos al péndulo balístico que sirve para medir la velocidad de un proyectil.
L-h L
L
Aplicaremos los principios de V=0
x A'
h
Conservación
de
la
Energía
Mecánica y de Conservación de
B'
M+m
A
m
la Cantidad de Movimiento.
B
M
Sea una masa grande M de madera que está suspendida como indica la figura. Un proyectil de masa m , conocida, trae una velocidad
v
que queremos
determinar. Al llegar la bala, se incrusta en la masa M y, por el impacto, ambas adquieren
una velocidad V
76
Ambas masas realizan un movimiento de traslación circular (donde cualquier segmento
mantiene paralelo a sí mismo)y, cuando alcanzan la altura h con
AB se
respecto a la posición inicial, se detienen. Entonces allí
V
= 0 y aplicando el principio de conservación de la cantidad de
movimiento al momento del choque tenemos: m v M Vo (m M) V
(5)
antes y después del
choque Aplicando el Principio de Conservación de la Energía Mecánica, la Energía Cinética máxima se convierte en Energía Potencial máxima, o sea:
1 2
( m M ) V 2 (m M ) g . h
Recordando que la velocidad en caída de un cuerpo es: reemplazando en (5) el valor de
V
V
2gh
y
tenemos:
m v (m M ) 2 g h
y despreciando m en la suma (m+M) por su poca incidencia mv M
2gh
M v m
2gh
(3.6) si podemos medir h tenemos la velocidad buscada. Pero como h es muy pequeña, tendremos un gran error en la medición y a un pequeño error en la medición de h corresponderá un gran error en el valor de
v
77
Entonces hallaremos el valor de x de la figura, en función de que en el triángulo rectángulo OCA , aplicando el teorema de Pitágoras tendremos: L2 ( L h) 2 x 2 x 2 L2 2 Lh h 2
pero h
2
es muy pequeño por lo que se
desprecia L2 L2 x 2 2 Lh
L2 L2 x 2 2 Lh
0
h
x 2 2 Lh
x 2 2 Lh
x2 2L
Reemplazando h en la fórmula (3.6) M v m
2g
x2 M m 2L
g
x2 M .x L m
g L
Mx v m
g L
es decir que, midiendo x tenemos la velocidad del proyectil. También es: x L.sen
M v Lsen m
g M L2 sen g L m L
M v sen L.g m
Midiendo el ángulo
también puedo obtener la velocidad del proyectil
v
.
78
3.3.- Principio de conservación de la cantidad de movimiento para un sistema de más de dos partículas aisladas
Si tenemos un sistema de partículas y la fuerza resultante sobre una de ellas que ejercen las otras: n F Fi i 1 d vc F m. a M . dt
Podemos escribir que:
d (M . v c ) dt
(3.7)
está escrito para
un sistema de partículas donde la masa total será M y la aceleración es la del centro de masas o sea que
Siendo
vc
dv c ac dt
: velocidad del centro de masas
M: masa total del sistema
M. v c : cantidad de movimiento del sistema de partículas Entonces por lo ya visto en centro de masas sabemos que: M . vc M
siendo
mi v i
mi vi m v i i mi
(3.8)
la cantidad de movimiento de la pésima partícula.
Por lo tanto la expresión (3.8) significa que: “La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es la SUMA de las cantidades de movimiento de todas las partículas que lo forman”
La expresión (3.7) muestra que: “Si la sumatoria de las fuerzas exteriores es cero, la cantidad de movimiento del sistema de partículas permanece constante,
79
independientemente de cómo sean las fuerzas interiores”. Este enunciado es el
Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento aplicado a un sistema aislado de partículas. La fórmula (3.7) puede escribirse así:
F dt d ( M vc )
t2 F dt t1
vc 2 vc
1
e integrando entre
dM vc
t1 y t 2
y entre
vc y v c 1
M (vc2 vc1 )
2
(3.9)
El primer miembro de esta igualdad es el impulso de las fuerzas exteriores, así que la fórmula (3.9) expresa: El impulso de las fuerzas exteriores es igual a la variación de la cantidad de movimiento del sistema”.
(Otra forma de expresar el principio de conservación de la cantidad de movimiento). La cantidad de movimiento
(3.9) queda expresada en sus componentes
ortogonales). t
M (vcx vcx ) t 2 Fx dt 2 1 1 M (v c y
t
2
vc y ) t 2 Fy dt 1
1
t t1
M (vcz vcz ) 2 Fz dt 2
La
1
conservación de la cantidad de movimient
conserve la energía, puesto que
disipativas
o no implica que también se
las fuerzas interior es del s is tema
pueden ser
80
3.4.-. COMENTARIOS SOBRE LA FORMULACION DEL PRINCIPIO DE MASA
Isaac Newton, para enunciar el segundo principio de la Mecánica, comienza definiendo el impulso de una fuerza (como el producto de la fuerza por el tiempo en que actúa) y la cantidad de movimiento de una partícula (como el producto de su masa por la velocidad que posee en cada instante). Ambas magnitudes son esencialmente del universo exterior. El segundo principio (principio de masa) los vincula diciendo: “Cuando una fuerza actúa sobre una partícula, su impulso le produce una variación de la cantidad de movimiento igual a él y en su dirección y sentido”
En la forma actual de enunciar el segundo principio (principio de masa):
F m. a
se vincula fuerza que es una magnitud del universo exterior con la aceleración que es una magnitud definida en forma arbitraria. Esto no podría haberlo hecho Newton porque hubiera molestado a su cabeza filosófica. Esta forma moderna de expresar el segundo principio en términos de fuerza y aceleración es mucho más cómoda para resolver problemas.
Ejercicio de ejemplo (utilizando la expresión de la cantidad de movimiento en función de sus componentes ortogonales). :
81
camion
Vy
V1
V'
x Vx
m1 V2 m2
auto
Por una calle se desplaza un automóvil de 2 tn de peso con una velocidad de 80 km/h y por otra, perpendicular a la primera, lo hace un camión de 10 tn de peso, con una velocidad de 60 km/h. Los dos chocan en una esquina cubierta de hielo (casi sin rozamiento) e incrustados, se desplazan hasta estrellarse contra una columna de hormigón. Calcular:
a) La velocidad después del choque b) La fuerza media que hace la columna, si la deformación contra ella dura 5 décimas de segundos. Tomamos el eje de las x coincidiendo con el movimiento del camión y al eje y coincidiendo con el movimiento del automóvil. a) En el choque debido al hielo, no has fuerzas exteriores al sistema, por lo que se conserva la cantidad de movimiento del sistema y las componentes ortogonales de la expresión:
M vc
mi vc
serán:
82
M m1 m2
m1 v1 M v x
m2 v 2 M v y
vx y v y
donde
son componentes de la
velocidad v después del choque m v vx 1 1 m1 m 2
10tn . 60 km / h 9,8m / seg 2 (10 2)tn
=
= 50 km/h
9,8m / seg 2 2tn m2 v 2 vy m1 m 2
9,8m / seg 2 12tn
9,8 m / seg
v (50) 2 (13,3) 2
v = 51,75 km/h
13,3 km / h
2
= 51,75 km/h
tg
vy vx
13,3 50
0,266
15º
= 15º
b) el impacto sobre la columna o fuerza media que hace la columna vale:
F
M v f M vi t
0
donde
F .t ( M v ) M v f M vi 12 tn 9,8m / seg 2
F:
fuerza media
. 51,75 km / h
0,5 seg
. 35,2 tn
v f 0 vi 51,75
km h
F = -35,2 tn
83
3.5.- Choque
Recibe el nombre de “choque” una colisión entre dos cuerpos que tiene lugar en un intervalo muy pequeño, y durante el cual ambos cuerpos ejercen entre sí fuerzas relativamente grandes. Por lo menos, uno de los cuerpos debe estar en movimiento. Superficie de Línea de
LINEA DE CHOQUE: La normal común a las dos superficies de contacto, durante el choque se denomina “línea de choque”
3.5.1.- Choque central
Si los dos centros de masa de los cuerpos que colisionan se encuentran sobre la línea de choque, se dice que el choque es CENTRAL. En cualquier otro caso el choque se llama EXCÉNTRICO. Si las velocidades de los cuerpos tienen la dirección de la línea de choque, se dice que CHOQUE CENTRAL DIRECTO y si ambos, o alguno de los cuerpos se mueve a lo largo de una dirección distinta de la línea de choque, se denomina CHOQUE OBLICUO (en ambos choques, obviamente, los centros de masa están sobre la línea de choque) 84
G VA
G
VB
G
G
VA
choque central directo
G
G
VB
VA
VB
choque central oblicuo
choque excentrico
3.5.2.- Choque central directo VA
VB
antes del choque VA > V B B
A
u A V'A
deformación máxima B
V'B A
B
Sean las partículas A y B, de masas mA y mB, moviéndose a lo largo de la misma
recta y hacia la derecha, con velocidades Como
v A vB
v A vB
.
la partícula A alcanzará a la B, chocarán y en el choque ambas se
deforman y al final de ese período de deformación ambas tendrán la misma
velocidad
u
.
A continuación tiene lugar el período de recuperación , finalizado el cual, según el módulo de las fuerzas de choque y los materiales de que se trate , las partículas
recuperaran su forma inicial o quedarán en estado de deformación permanente. Calculemos las velocidades
v' A y v' B después
del choque y del período de
recuperación:
85
Consideremos en primer lugar al sistema de dos partículas como un todo; las únicas fuerzas en juego son fuerzas internas al sistema y, por lo tanto, se conserva la cantidad de movimiento (es un sistema aislado):, con lo que: m A v A mB vB
ésta es una ecuación
m A v A ' mB v B '
vectorial. Como las velocidades que intervienen tienen la misma dirección y sentido, se puede escribir como una ecuación escalar: m A v A m B v B m A v' A m B v' B
Al calcular, si obtenemos un valor positivo de
v' A
o de
v' B
indicará que el sentido
correspondiente al vector es hacia la derecha, si el resultado obtenido es negativo,
el sentido correspondiente al vector es hacia la izquierda . Pero tenemos una ecuación escalar con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación para resolver
v' A y v' B para
ello consideremos el movimiento de la
partícula A durante el período de deformación y escribamos la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento.
Impulso sobre A ejercido por B A
A
+
m A v A P dt m A
A ?P dt
mA.vA
período de deformación de A
mA.
=
ecuación vectorial donde
P dt es el impulso sobre
A ejercido por B
86
Como la percusión sobre A en este período es debida exclusivamente a la fuerza P, ejercida por B, se puede establecer la siguiente relación escalar (1) donde la integral se extiende a todo el
m A v A P dt m A
período de deformación Si se tiene en cuenta el movimiento de la partícula A durante el período de recuperación , llamando R a la fuerza ejercida por B sobre A, se tendrá: A
A
A
mA
mA v'A
?R dt
+
=
(2)
m A R dt m A v' A
periodo de recuperación de A
donde la integral se extiende a todo el
período de recuperación
En general, la fuerza
R
(de recuperación de forma de B) que se ejerce sobre A, es
distinta de la fuerza P que se ejerce sobre A durante el período de deformación (sería una “casualidad” que P= R y por ende el impulso
P dt sea igual al impulso
R dt ) . En general, el módulo de R dt es MENOR que el módulo de P dt , R dt P dt y la relación entre ambos módulos se conoce con el nombre de coeficiente de restitución:
coeficiente de restitución e
R dt
P dt
donde
0
e 1
El valor de e depende fundamentalmente de los materiales de que se trate, aunque e también varía con la velocidad del choque y con la forma y tamaño de los cuerpos que chocan. 87
Si de las ecuaciones (1) y (2) despejamos las expresiones integrales tenemos:
P dt m A v A m A m A (v A ) R dt m A m A v' A
m A ( v' A )
e
R dt P dt
v' A
vA
Haciendo el mismo análisis para la partícula B tenemos:
Período
de
m B v B P dt m B
Período mB
e
Deformación:
P dt mB ( v B ) de
R dt mB v' B
R dt P dt
Recuperación
R dt mB (v' B )
v' B
vB
Encontramos otra expresión para el mismo e que hallamos usando A. Aplicando la propiedad de los cocientes tenemos:
e
( v' A ) v' B
v A vB
v' B v' A v A vB
v ' B v ' A e (v A v B )
Donde :
v' B v' A :
velocidad relativa
después del choque. v A vB
velocidad relativa
antes del choque
88
Ahora tenemos las dos ecuaciones para calcular
v' A y v' B
m A v A m B v B m A v' A m B v' B v ' B v ' A e (v A v B )
v ' B v ' A e (v A v B )
La deducción de estas fórmulas se ha hecho suponiendo que ambas partículas se mueven en el mismo sentido inicial hacia la derecha, si no ocurriera así, es decir si B se moviera hacia la izquierda al escalar
se lo debe considerar negativo y
vB
después del choque se aplica el mismo convenio: es decir
v' A
positivo, se mueve
hacia la derecha y negativo hacia la izquierda .
Resolviendo las ecuaciones: m A v A m B v B m A v ' A m B v ' A e (v A v B
= m A v ' A m B v ' A m B e v A m B e v B ( m A m B ) v ' A m B e (v A v B ) v' A
m A v A m B v B m B e (v A v B ) m A mB
Agrupando con respecto a v' A
Para hallar
y a
vA
mB v B
tenemos:
( m A m B . e) v A m B v B (1 e) m A mB
v ' B reemplazamos v' B
en
v ' B v ' A e (v A v B )
(m A m B . e) v A m B v B (1 e) m A mB
el valor hallado de
v' A :
e (v A v B multiplico y divido por
m A mB m A mB
Desarrollando y simplificando queda: v' B
(m B
e m A ) v B m A v A (1 e) m A mB
89
3.5.3.- Casos extremos de choque A. choque inelástico:
e=0
Entonces: v ' B v ' A 0 (v A v B )
v' B v' A
no existe período de
recuperación, ambas partículas siguen unidas después del choque
y
v' B v' A
Para este tipo de choque el valor de Si m A v A mB v B m A v' A mB v' B m A v A mB v B m A m B
Este valor de
es: y
=
reemplazando:
v' B v ' A
(m A m B )
m A v A mB vB m A mB
es para choques inelásticos pero también para choques elásticos
durante el período en que ambos cuerpos están unidos (donde siempre B. Choque elástico v' B v' A (v A v B )
v' B v' A ).
e=1 hay igualdad de velocidades relativas antes y después
del choque. Determinación experimental del coeficiente de restitución
e
v' B v' A v A vB
Si dejamos caer un cuerpo sobre una plataforma vinculada a la Tierra desde una cierta altura, el cuerpo en realidad choca con la Tierra. 90
Como la masa de la Tierra es prácticamente infinita con relación a la del cuerpo, la velocidad de la Tierra no variará por efectos del choque y se considera entonces y a los efectos del choque que
v B v' B =
0, entonces la
expresión de e queda: v(+)
e
v' A
donde
vA
v' A
es la velocidad del cuerpo instantes
h1
después del choque y h2
vA
es la velocidad del mismo antes
del choque.
La bolita que cae y la placa o plataforma puede ser de igual o distinto material; y así obtenemos el valor de e para cada caso, ya que: vA e
y
2 g h1
v' A vA
v' A
2 g h2
2 g h1
por lo tanto:
2 g h2
h2
e
h1
variando
h2 h1 0 e
1
Si a la expresión
e
e
2 g h2 2 g h1
2 g h2 2 g h1
la multiplicamos y dividimos por
1m 2
tenemos:
1m 2 1m
g h2 m g h1 m
.
g h2 g h1
E p2 E p1
e
E p2 E p1
2
E p2 e E p1
De esta última expresión se observa que la energía potencial disminuye después del choque (como valor límite, para un choque absolutamente elástico e = 1 y E p2 E p1 ) Si la E p2 E p1 es porque h2 h1 . 91
Si a la expresión e
por
e
2
1
m
2
v' A vA
la elevamos al cuadrado y multiplicamos y dividimos
tenemos:
1 m (v ' A ) 2 2 . (v A ) 2 1 m
E c2
E c1
2
Ec2 e 2 E c1
Como e 1 su cuadrado es mucho menor que 1.
Por lo tanto la Energía Cinética disminuye después del choque (a lo sumo es igual). Otro método para hallar el coeficiente de restitución
Dejamos caer desde A, con una altura
A
h1 ,
una bolita sobre un V
plano inclinado que
perpendic ular a la
h1
forma un ángulo con la horizontal.
superficie S
S Vo
A
Producido el rebote, vuelve a producirse
L
un ángulo
con la
normal al plano (ángulo de incidencia = ángulo de reflexión) y un ángulo
con respecto a la horizontal, siendo:
90º 2 y con una cierta v o al rebotar.
Después del rebote, la bolita llega a una distancia L (alcance) sobre el plano horizontal, dada por la expresión: L
v 2 o sen 2 g
v 2o
L.g sen 2
92
midiendo L tenemos
vo
y la altura máxima que alcanzará la bolita al rebotar será: h
v 2 o sen 2 2g
altura máxima en tiro oblicuo para un ángulo
Si el ángulo fuera de 90º, esta altura máxima sería la h2 del método anterior, donde la bolita caía y rebotaba verticalmente ( 90º ) por lo tanto para 90º h2 h2
v 2o 2 g
ya que
sen 2 sen 2 90º 12 1
L. g L sen 2 . 2 g 2 sen 2
h2
y es decir que midiendo L (como h 1 y
e
y reemplazando
h2 h1
L 2 sen 2
L 2 h1 sen 2
son conocidos) obtenemos e
Choque central oblicuo
Este tipo de choque se produce cuando las velocidades de las dos partículas que entran en colisión no están dirigidas según la línea de choque.
V'B
y
V'A
G
x
G
línea de choque
VB
VA choque central oblicuo
No conocemos en este caso los módulos y direcciones de las velocidades v' A y v' B
después del choque, para su determinación se hace necesario el empleo
de cuatro ecuaciones linealmente independientes. 93
Elegimos los ejes x e y como muestra la figura. Si las partículas están perfectamente pulidas y no existen rozamientos, las únicas fuerzas impulsivas que actúan durante el choque son interiores al sistema y dirigidas según el eje x , se puede decir entonces que:
1) Se conserva la componente en “y” de la cantidad de movimiento de la partícula A 2) Se conserva la componente en “y” de la cantidad de movimiento de la partícula B 3) Se conserva la componente en “x” de la cantidad de movimiento del sistema 4) La componente “x” de la velocidad relativa de las dos partículas después del choque es igual al producto de la componente en x de la
velocidad relativa antes del choque por el coeficiente de restitución. De este análisis se deducen las cuatro ecuaciones linealmente independientes para hallar
v' A y v' B .
Ejemplo de aplicación
El choque de dos esferas de igual masa “m” tiene lugar a las velocidades
indicadas. Suponiendo un coeficiente de restitución e = 0,90 calcular el módulo, dirección y sentido de la velocidad de cada esfera después del choque.
v v
A= B=
30 m/seg 40 m/seg m
m 30º
v
G
G
60º
x línea de choque
A
v
B
94
Solución: Las fuerzas que actúan sobre las esferas durante la colisión tienen por dirección y apoyo la recta que los G, llamada línea de choque: Podemos escribir:
v Ax v A cos 30º v Ay
30 .0,866 = 26 m/seg
v A sen 30º = 30 .0,50 = 15 m/seg
v Bx v B cos 60º = v B y v B sen 60º
-40 . 0,50 = -20 m/seg
= 40 . 0,866 = 34,6 m/seg
Hacemos un esquema de las dos partículas:
F t mA VAx
A
mA VAy
B
mBVBx
A
-F
t B
A
B
=
mBV'Bx
mA V'Ax
mB VBy
mB V'By
mA V'Ay
En el primer término de la igualdad se indican las cantidades de movimiento iniciales más las percusiones y en el segundo término las cantidades de movimiento finales. Veamos primero el movimiento perpendicular a la línea de choque: Considerando únicamente las componentes “y” se escribe la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento para cada esfera independientemente F y dt m v' Ay m v Ay )
(
como las percusiones tienen dirección x únicamente (Fy = 95
0) la componente vertical de la cantidad de movimiento ( m v ) y por lo tanto la componente vertical de la velocidad de cada esfera no varíe (ya que la masa es constante) y
v' Ay v Ay 15 m / seg
también
v' B y v B y 34,6 m / seg
Ahora veamos el movimiento paralelo a la línea de choque En la dirección del eje x consideramos a las dos esferas como un sistema aislado, según el principio de acción y reacción, las percusiones interiores ( F t y F t ) se anulan y aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento: m A v Ax m B v Bx m A v' Ax m B v' Bx
si las masas son iguales
m A mB m m ( v Ax v Bx ) m (v' Ax v' Bx ) ( v Ax
v Bx ) =
(v' Ax
v ' Bx )
(v' Ax
v' Bx ) = 6 m/seg
(A) y utilizando el coeficiente restitución: v' Bx v' Ax e (v Ax v Bx )
= 0,9 (26 – (-20)) = 41,4 m/seg 41,4 m/seg
(v' Bx
v' Ax ) =
(B)
Resolviendo (A) y (B) tenemos: v' Ax 6 m / seg v' Bx
y en (B)
v' Bx ( 6m / seg v' Bx ) 41,4 m / seg
96
v' Bx
41,4 6 2
y
23,7 m / seg
v' Ax 6 23,7 17,7 m / seg
y el movimiento resultante es: V'Ay V'By
v' A
v' 2 Ax v' 2 Ay
(17,7) 2
V'A (15) 2 23,2 m / seg V'B
v' B
v' 2 Bx v' 2 By (23,7) 2 (34,6) 2 V'Ax
42 m / seg
tg
tg
v' Ay v' Ax
v' B y v ' Bx
15 17,7
34,6 23,7
40º3'
55º 6'
V'Bx
:
97
Actividades complementarias 1.- Un automóvil de 1 200 kg se mueve a una rapidez de 90 km/h cuando los frenos se aplican por completo, lo que ocasiona que las cuatro llantas patinen. Determine el tiempo requerido para detener el automóvil a) sobre pavimento seco
0.75,
sobre un camino congelado
0.10.
2.- Un trasatlántico de 40 000 ton tiene una velocidad inicial de 2.5 mi/h. Si se desprecia la resistencia por fricción del agua, determine el tiempo requerido para llevar al trasatlántico al reposo usando un solo remolcador que ejerce una fuerza de 35 kips. 3.- La velocidad inicial del bloque en la posición A es de 30 ft/s. Si se sabe que el coeficiente de fricción estática entre el bloque y el plano es
0.300 20°
, determine el tiempo que tarda el bloque en alcanzar B con velocidad
cero, si a)
, b)
.
4.- Las marcas sobre una pista de carreras indican que las ruedas traseras (las de la tracción) de un automóvil patinaron en los primeros 60 ft de la pista de 1 320 ft. a) Si se sabe que el coeficiente de fricción cinética es de 0.60, determine el menor tiempo posible en el que el automóvil puede recorrer los 60 ft iniciales si empieza desde el reposo y las ruedas frontales del automóvil apenas se despegan del suelo. b) Determine el tiempo mínimo para que el automóvil corra toda la carrera si, después de patinar durante 60 ft, las ruedas giran sin patinar por el resto de la carrera. Suponga que para la parte de la carrera con rodamiento 60 por ciento del peso del automóvil se apoya sobre las ruedas traseras y que el coeficiente de 98
fricción estática es 0.85. No tome en cuenta la resistencia del aire y la resistencia al rodamiento.
5.- Un camión viaja sobre un camino plano a una rapidez de 90 km/h cuando se aplican los frenos para frenarlo hasta 30 km/h. Un sistema de frenado antiderrapante limita la fuerza de frenado a un valor en el cual los neumáticos del camión están a punto de patinar. Si se sabe que el coeficiente de fricción estática entre el camino y los neumáticos es igual a 0.65, determine el tiempo más corto necesario para que el camión se frene. 6.- Se sabe que el coeficiente de restitución entre dos collarines es de 0.80. Determine a) sus velocidades después del impacto, b) la energía perdida durante el impacto.
7.- Dos bloques de acero se deslizan sin fricción sobre una superficie horizontal con las velocidades que se muestran en la figura. Si se observa que después del impacto la velocidad del bloque B es de 10.5 ft/s hacia la derecha, determine el coeficiente de restitución entre los dos bloques.
99
8.- Dos bloques de acero se deslizan sin fricción sobre una superficie horizontal con las velocidades que se muestran en la figura. Si se sabe que el coeficiente de restitución entre los dos bloques es de 0.75, determine a) las velocidades de cada bloque después del impacto, b) la pérdida de energía cinética debida el impacto.
Figura para problemas 7 y 8. 9.- Tres esferas de acero de igual masa se suspenden del techo mediante cuerdas de la misma longitud que están espaciadas a una distancia ligeramente mayor que el diámetro de las esferas. Después de jalarla y soltarla, la esfera A golpea a la esfera B, la cual luego golpea a la esfera C. Si se denota por e el coeficiente de restitución entre las esferas y por v0 la velocidad de A justo antes de que golpee a B, determine, a) las velocidades de A y B inmediatamente después del primer choque, b) las velocidades de B y C inmediatamente después del segundo choque. c) Si ahora se supone que se suspenden n esferas del techo y que la primera se jala y suelta como se describió, determine la velocidad de la última esfera después de que recibe el primer golpe. d) Utilice el resultado del inciso c) para obtener la velocidad de la última esfera cuando
6 0.95 y
.
100
10.- Los paquetes de una fábrica de refacciones para automóviles se transportan hacia el muelle de descarga empujándolos a lo largo de una pista de rodillos con muy poca fricción. En el instante que se indica los paquetes B y C se encuentran en reposo y el paquete A tiene una velocidad de 2 m/s. Si se sabe que el coeficiente de restitución entre los paquetes es de 0.3, determine a) la velocidad del paquete C después de que A golpea a B y B golpea a C, b) la velocidad de A después de que éste golpea a B por segunda vez.
11.- Demuestre que para una pelota que golpea una superficie fija sin fricción,
>
. También demuestre que el porcentaje perdido en energía cinética debido al
impacto es
1001−cos
.
12.- Una pelota golpea el suelo en A con una velocidad de 60° con la horizontal. Si se sabe que
0.6
de 16 ft/s a un ángulo
entre la pelota y el suelo y que
después del rebote la pelota llega al punto B con una velocidad horizontal, determine a) las distancias h y d, b) la velocidad de la pelota cuando llega a B.
101
.Proyecto final
Este cuatrimestre como parte de la evaluación del curso desarrollarás un proyecto para la materia de Cinemática y dinámica. La participación en este proyecto es obligatoria y se realizará por equipos.
El proyecto será crear material didáctico para el apoyo al entendimiento y el aprendizaje de los temas de Cinemática y Dinámica. Como recomendación podrán elegir cualquiera una o más de las siguientes sugerencias para entregar de manera física y digital un cuadernillo al finalizar el curso:
•
Realidad aumentada
•
Resúmenes (interactivos)
•
Presentaciones
•
Series de ejercicios explicados
•
Manual de fórmulas.
•
Investigación de aplicaciones de la cinemática y dinámica a
la ingeniería
civil.
102
BIBLIOGRAFÍA
1. Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Phillip J. Cornwell, Mecánica vectorial para ingenieros, México, Mc Graw Hill, 2010. 2. Serway. Física. Editorial McGraw-Hill (1992) 3. Ignacio Martín Bragado, Física General, México, 2003. 4. Jerry B. Marion. Dinámica de las partículas y sistemas. Editorial Reverté S.A. Barcelona, 1992. 5. MERIAM, J.L. y KRAIGE, L. Glenn. Mecánica para Ingenieros, Dinámica. 3a edición, España. Editorial Reverté, S.A., 2000 6. HIBBELER, Russell C. Mecánica Vectorial para Ingenieros, Dinámica. 10a edición. México. Pearson Prentice Hall, 2004 7. E. Tippens. Paul. Física, conceptos y aplicaciones. México. 7ª edición, Mc Graw Hill, 2011.
103
GLOSARIO
Aceleración angular media: Es la razón del cambio de la velocidad angular al tiempo.
Aceleración angular: Es la razón del cambio de la velocidad angular al tiempo cuando éste es infinitamente pequeño.
Aceleración lineal media: es la razón del cambio de la velocidad al tiempo. Aceleración lineal: es la razón del cambio de la velocidad al
tiempo,
cuando
éste es infinitamente pequeño.
Cinemática: el movimiento de los cuerpos sin atender las causas que lo producen.
Cinética: relaciona el movimiento con las causas que lo producen. Cuerpo: porción limitada de materia. Conjunto denso de partículas. Cuerpo rígido: sus partículas mantienen distancia fija entre sí. Derivada: La derivada de una función respecto a una variable es la razón del incremento de la función respecto a la variable, cuando ésta tiende acero.
Dinámica: se ocupa del movimiento de los cuerpos.
Desplazamiento: es el cambio de posición de una partícula en movimiento (no toma en cuenta la trayectoria).
104
Dirección: el ángulo que la recta en estudio forma con otra recta conocida. Desviación angular: es el cambio de dirección que tiene una recta al moverse; diferencia entre dos direcciones, inicial y final,de una recta.
Estática: estudia el equilibrio de los sistemas de fuerzas.
Mecánica: parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos. Mecánica clásica: estudia los cuerpos macroscópicos que se mueven a velocidades miles de veces inferiores a la de la luz (300,000 km/s).
Materia: Es todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Movimiento: cambio de posición. Partícula: Cantidad infinitamente pequeña de materia, carente
de
dimensiones.
Posición: lugar que ocupa una partícula. Razón: Número de veces que cabe una unidad en otra. Velocidad
lineal media: es la razón del desplazamiento al tiempo.
Velocidad o velocidad
lineal:es la razón del
desplazamiento
al tiempo,
cuando éste es infinitamente pequeño.
Velocidad angular media: Es la razón de la desviación al tiempo.
105
Velocidad angular: es la razón de la desviación al tiempo, cuando este es infinitamente pequeño.
106
ANEXO 1
107
108
109
ANEXO 2 REGLAMENTO ESCOLAR AL QUE DEBERÁN SUJETARSE TODOS LOS ALUMNOS DEL SISTEMA EDUCATIVO UNIVERSITARIO AZTECA I- DERECHOS DE LOS ALUMNOS: 1. TODOS LOS ALUMNOS INSCRITOS TIENEN LA CALIDAD DE ESCOLARIZADOS, POR LO CUAL NO EXISTE LA CALIDAD DE OYENTES. 2. RECIBIR EN IGUALDAD DE CONDICIONES LA ENSEÑANZA QUE OFRECE LA INSTITUCIÓN. 3. RECIBIR TRATO RESPETUOSO POR PARTE DEL PERSONAL DEL INSTITUTO. 4. RECIBIR
ATENCIÓN
EN
TODOS
LOS
ASUNTOS
RELACIONADOS
CON
SU
ESCOLARIDAD. 5. RECIBIR OPORTUNAMENTE LA DOCUMENTACIÓN QUE LOS IDENTIFIQUE COMO ALUMNOS DE LA INSTITUCIÓN. 6. RECIBIR ORIENTACIÓN ACERCA DE SUS PROBLEMAS ACADÉMICOS. 7. CUANDO SUS CRÉDITOS ACADÉMICOS ASÍ LO AMERITEN, PERTENECER AL CUADRO DE HONOR QUE CUATRIMESTRALMENTE SE ESTABLEZCA EN EL INSTITUTO. 8. USAR
LAS
INSTALACIONES
DEL
PLANTEL
EN
FORMA
CORRECTA
SIN
DETERIORARLAS, NI ALTERAR EL ORDEN Y DISCIPLINA. 9. MANIFESTAR SU INCONFORMIDAD VERBALMENTE O POR ESCRITO DE MANERA CORRECTA ANTE CATEDRÁTICOS, ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DEL PLANTEL. 10. RECIBIR EL BENEFICIO DE APOYO EN LA COLEGIATURA, SIEMPRE Y CUANDO REUNA LOS REQUISITOS EXIGIDOS POR EL DEPARTAMENTO DE FINANZAS.
110
11. EL ALUMNO TENDRÁ DERECHO A LA CALIFICACIÓN FINAL DEL CUATRIMESTE SIEMPRE Y CUANDO HAYA ASISTIDO NORMALMENTE A CLASES UN 85% DEL TOTAL
DE CLASES DURANTE EL CUATRI MESTRE. 12. EL ALUMNO TENDRÁ DERECHO A ACUMULAR UN TOTAL DE UNA FALTA EN EL PARCIAL, SIN PERDER EL DERECHO A PRESENTAR EXÁMENES , LAS FALTAS SE JUSTIFICAN
ÚNICAMENTE
PARA
APLICACIÓN DE EXÁMENES, ETC.
EFECTOS
DE RECEPCIÓN
PRESENTANDO
DE
CONSTANCIA
TRABAJOS, MÉDICA,
LABORAL O DOCUMENTO EXPEDIDO POR SU TUTOR ANEXANDO COPIA DE CREDENCIAL DE ELECTOR, LAS FALTAS UNA VEZ REGISTRADAS NO SE CANCELAN.
13. EN LOS PERIODOS DE EXÁMENES ORDINARIOS, DE REGULARIZACIÓN Y/O EXTRAORDINARIOS NO SE AUTORIZARÁN JUSTIFICANTES DE INASISTENCIA.
14. ÚNICAMENTE TENDRÁ DERECHO AL EXAMEN DE REGULARIZACIÓN PARCIAL, EL ALUMNO(A) QUE HAYA REPROBADO EL EXAMEN PARCIAL ORDINARIO, O QUIEN POR RAZONES JUSTIFICADAS NO SE PRESENTÓ AL EXAMEN LA CALIFICACIÓN MÁXIMA PARA ESTE TIPO DE EXAMEN ES DE 8.0 (OCHO). PREVIO PAGO DE DERECHOS.
15. SE PIERDE EL DERECHO A EXAMEN Y EL PAGO REALIZADO POR CONCEPTO DE REGULARIZACIÓN PARCIAL, EXTRAORDINARIO Y A TÍTULO DE SUFICIENCIA, AL FALTAR A LA APLICACIÓN EN LA FECHA Y HORA PROGRAMADA SEGÚN CALENDARIZACIÓN CORRESPONDIENTE.
16. QUIENES NO SE PRESENTEN A EXÁMENES ORDINARIOS Y REGISTREN UN NP, TENDRÁN DERECHO A REGULARIZARSE CUMPLIENDO CON LOS JUSTIFICANTES MARCADOS EN LA CLAUSULA 12 DEL PRESENTE REGLAMENTO. 17. LOS
ALUMNOS
QUE
NO
SE
PRESENTEN AL EXAMEN FINAL DEL
CUATRIMESTRE EN LA FECHA SEÑALADA SEGÚN CALENDARIZACIÓN, REPROBARÁ LA MATERIA AUTOMÁTICAMENTE, POR LO QUE TENDRÁN QUE IRSE A EXAMEN EXTRAORDINARIO. PARA QUE EL ALUMNO TENGA DERECHO A REINSCRIBIRSE AL SIGUIENTE CUATRIMESTRE NO DEBE EXCEDER DEL 50% DE MATERIAS
REPROBADAS EN EL CUATRIMESTRE ANTERIOR.
111
II.- OBLIGACIONES DE LOS ALUMNOS.
1. ACATAR Y CUMPLIR LOS REGLAMENTOS Y LAS CLÁ USULAS DE CÉDULA 2. DE INSCRIPCIONES, ESTANCIAS, PRÁCTICA PROFESIONAL, SERVICIO SOCIAL, VISITAS DE OBSERVACIÓN, VIAJES DE ESTUDIOS, UNIFORME, ETC. QUE ESTABLEZCA LA DIRECCIÓN DEL PLANTEL, ASÍ COMO LAS DISPOSICIONES QUE DICTEN LAS DEMÁS AUTORIDADES ESCOLARES, ASÍ COMO LAS DICTAMINADAS POR ORGANISMOS PÚBLICOS O PRIVADOS
VINCULADAS
A
LA
PRÁCTICA
PROFESIONAL
DEL
ESTUDIANTE O PASANTE Y DE LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN. 3. CREAR EL HÁBITO DE LA PUNTUALIDAD LLEGANDO A TIEMPO A CLASES, DEBERÁN PRESENTARSE 10 MINUTOS ANTES DE LA CADA CLASES Y/O HORA DE CADA TURNO,DESPUÉS DE LA HORA MARCADA EN SU HORARIO HASTA 5 MINUTOS SE TOMARAN COMO RETARDO; TRES RETARDO ACUMULAN UNA INASISTENCIA, MÁS DE TRES INASISTENCIAS POR PARCIAL NO TENDRÁ DERECHO A PRESENTAR EL EXAMEN CORRESPONDIENTE.. 3. CONSERVAR EL MOBILIARIO Y LAS INSTALACIONES DE LA ESCUELA; CUALQUIER DETERIORO SE SANCIONARÁ CON LA REPARACIÓN O EL COBRO DEL DAÑO A CARGO DEL CAUSANTE 4. TODO ASUNTO RELACIONADO CON SU ESCOLARIDAD, EL ALUMNO DEBERÁ GESTIONARLO PERSONALMENTE O EN SU CASO POR EL TUTOR REGISTRADO EN SU EXPEDIENTE. 5. ABSTENERSE DE REALIZAR MOVIMIENTOS O ACCIONES QUE ATENTEN CONTRA EL PATRIMONIO Y EL
PRESTIGIO DEL PLANTEL, EN
CASO CONTRARIO SE
SANCIONARÁ AL RESPONSABLE PUDIÉNDOSE LLEGAR A SU EXPULSIÓN DEFINITIVA. 6. QUEDA ESTRICTAMENTE
PROHIBIDO LLEGAR A LA ESCUELA
EN ESTADO DE
EBRIEDAD O CON ALIENTO ALCOHÓLICO, ASÍ COMO CONSUMIR CIGARROS O ALGÚN ENERVANTE EN AL INTERIOR DE ESTA. 7. PARTICIPAR
EN
LOS
EVENTOS
DEPORTIVOS,
CULTURALES
Y
SOCIALES
CONVOCADOS POR LA DIRECCIÓN DEL INSTITUTO.
112
8. ES OBLIGATORIO PARA TODOS LOS ALUMNOS PRESENTARSE AL INSTITUTO CON ROPA ADECUADA O EN SU CASO PORTAR EL UNIFORME 9. CUMPLIR
OPORTUNAMENTE
CON
EL
INVESTIGACIONES, EXPOSICIÓN DE TEMAS, CATEDRÁTICO
PARA
LOGRAR
EL
BUEN
MATERIAL, EXÁMENES
TRABAJOS, REQUERIDOS
DESEMPEÑO
TAREAS, POR
SU
Y APROVECHAMIENTO
ACADÉMICO DEL INTERESADO. 10. SUJETARSE AL CALENDARIO DE EXÁMENES PARA LA PRESENTACIÓN DE PARCIALES, DE REGULARIZACIÓN O EXTRAORDINARIOS. 11. PARA TENER DERECHO A LAS EVALUACIONES DEBERÁ ESTAR AL CORRIENTE CON
LOS
PAGOS, CUMPLIENDO CON LO PREVISTO POR EL DEPARTAMENTO DE
FINANZAS. 12. ES OBLIGACIÓN DEL ALUMNO:
EN EL CASO DE LOS VARONES: PRESENTARSE CON EL CABELLO CORTO, SIN PORTAR GORRAS, VICERA, ARETES, PEARCING, Y OTROS OBJETOS NO PROPIOS PARA SU PERSONALIDAD DE ESTUDIANTE.
EL CASO DE LAS DAMAS: VESTIR ADECUADAMENTE. DE ACUERDO CON SU PERSONALIDAD DE ESTUDIANTE
PARA AMBOS PORTAR DECOROSAMENTE EL UNIFORME REGLAMENTARIO DE SU ÁREA DE ESTUDIOS.
13. QUEDA PROHIBIDO:
CONSUMIR ALIMENTOS EN EL SALÓN DE CLASES, UTILIZAR OBJETOS DE SONIDO U OTROS QUE DISTRAIGAN LAS ACTIVIDADES EN LA HORA DE CLASE.
UTILIZAR EL CELULAR EN HORAS DE CLASES.
113
LOS JUEGOS DE AZAR (BARAJAS, NAIPES, POCKER, DADOS, LOTERÍAS) EN EL INTERIOR DE LA INSTITUCIÓN.
REALIZAR OPERACIONES DE COMPRA-VENTA AJENAS A LAS ACTIVIDADES ACADÉMICAS.
PORTAR ARMAS DE FUEGO, BLANCAS Y PUNZOCORTANTES.
REALIZAR CON SU PAREJA EN CUALQUIER ÁREA DEL INSTITUTO CONDUCTA QUE PUEDA CONSIDERARSE COMO FALTAS A LA MORAL. EL USO DE LENGUAJE OBSCENO, INDECOROSO, VULGAR O GROSERO, ASÍ COMO EL USO DE APODOS QUE DENIGREN U OFENDAN A LOS ALUMNOS, MAESTROS Y PERSONAL ADMINISTRATIVO Y DIRECTIVO.
PERMANECER EN LA INSTITUCIÓN AL TÉRMINO DE SU HORARIO DE CLASE SIN CAUSA JUSTIFICADA.
RECIBIR, Y AUN SOLO PEDIR A PROFESORES O COLABORADORES DE LA INSTITUCIÓN,
AYUDA INDEBIDA PARA AUMENTAR SUS CALIFICACIONES,
REDUCIR SU NÚMERO DE INASISTENCIA A CLASES O GOZAR DE PRIVILEGIOS EN EL CURSO OFRECIÉNDOLES GRATIFICACIONES DE CUALQUIER ESPECIE.
PRESENTAR CERTIFICADOS O CUALQUIER OTRO DOCUMENTO QUE SEAN FALSIFICADOS, ASÍ COMO PROPORCIONAR AL INSTITUTO DATOS NO VERÍDICOS
INCITAR
A
SUS
COMPAÑEROS
O
PROFESORES
DEL
INSTITUTO
A
REALIZAR ACTOS DE DESOBEDIENCIA Y REBELDÍA, U OTROS QUE ALTERAN EL ORDEN DE LA INSTITUCIÓN. III.- SITUACIÓN DEL ALUMNO. 1. ACTIVOS: TODOS AQUELLOS QUE CURSAN Y FINALIZAN EL CUATRIMESTRE
2. INACTIVOS: QUIENES DEJAN DE ASISTIR A CLASES DURANTE EL CUATRIMESTRE O EN EL AÑO.
114
3.
SE CONSIDERAN ALUMNOS REGULARES; TODOS AQUELLOS QUE NO ADEUDAN
MATERIAS DE CUATRIMESTRES INMEDIATOS O ANTERIORES. 4.
SON ALUMNOS IRREGULARES AQUELLOS QUE ADEUDAN DE UNA A TRES
MATERIAS DE CUATRIMESTRES ANTERIORES, PARA REGULARIZARSE DISPONDRÁN DE UN TOTAL DE DOS OPORTUNIDADES EXTRAS AL CURSO ORDINARIO, PARA APROBAR CADA UNA DE ELLAS, LA CALIFICACIÓN MÁXIMA ES DE 8 (OCHO) PARA ESTAS EVALUACIONES. 5.
EN EL CASO DE
NO RESULTAR APROBADA LA(S) MATERIA(S) EN LAS DOS
OPORTUNIDADES MENCIONADAS, EN EL PUNTO CUATRO, EL ALUMNO REPETIRÁ LA MATERIA Y NO PODRÁ CURSAR EN EL GRADO INMEDIATO SUPERIOR LAS MATERIAS SERIADAS DE MANERA OFICIAL. 6.
EL ALUMNO QUE REPITE MATERIAS DEBERÁ CUBRIR EL COSTO ADICIONAL
MENSUAL CORRESPONDIENTE. 7.
SI AL TÉRMINO DEL CUATRI MESTRE EL ALUMNO REPRUEBA MÁS DE
TRES MATERIAS, REPETIRÁ EL CUATRIMESTRE 8.
SI AL FINAL DEL CUATRI MESTRE ACUMULA MÁS DEL 15% DE FALTAS CON
RELACIÓN AL TOTAL DE LAS CLASES PROGRAMADAS POR MATERIA DURANTE
EL CUATRIMESTRE, QUEDARÁ REPROBADO AUTOMÁTICAMENTE. IV.- SANCIONES 1. CUALQUIER FALTA AL PRESENTE REGLAMENTO SERÁ MOTIVO DE REPORTE POR PARTE DE LOS PROFESORES O PERSONAL ADMINISTRATIVO 1. LAS SANCIONES PODRÁN SER SEGÚN SU GRAVEDAD:
DESDE LLAMADAS DE ATENCIÓN VERBAL,
SUSPENSIÓN DE EXÁMENES,
APLICACIÓN DE DOBLE FALTA,
SUSPENSIÓN DE UNA MATERIA POR EL RESTO DEL SEMESTRE, RETIRO DEL ESPACIO UNIVERSITARIO,
AMONESTACIÓN ESCRITA CON COPIA A SU EXPEDIENTE,
115
REPARACIÓN TOTAL DEL DAÑO CAUSADO,
EXPULSIÓN TEMPORAL O DEFINITIVA DEL INSTITUTO
DENUNCIA A LAS AUTORIDADES EDUCATIVAS Y/O JUDICIALES.
TRANSITORIOS: LOS REPORTES RECIBIDOS SE ATENDERÁN INMEDIATAMENTE Y LA SANCIÓN APLICADA SERÁ LO QUE DICTAMINE EL CONSEJO TÉCNICO CONSULTIVO DEL PLANTEL. DE ACUERDO A LA SECCIÓN IV DE SANCIONES, CLAUSULA 2 DEL PRESENTE REGLAMENTO.
116
R EG LAMENTO DEL C ENTRO DE CÓMPU TO SE UAT
Se considera como usuario todo aquel alumno inscrito y sin adeudo de colegiaturas, al personal docente activo, y el personal administrativo de esta institución. El encargado del centro de cómputo, es aquella persona responsable de resguardar la integridad de los equipos y muebles, así como mantener la disciplina dentro del centro de cómputo. El docente al utilizar el centro de cómputo para impartir alguna de sus asignaturas, toma el estatus de encargado, durante el periodo de tiempo que dura la clase. El cuidado y resguardo de los bienes personales de los usuarios son actividades ajenas al encargado. Las horas libres, son aquellas en las que el horario oficial del centro de cómputo no está reservadas. Los objetivos del Centro de Cómputo son: Brindar soporte práctico a la planta docente, para la mejor ejecución en su cátedra frente a grupo, consolidando los conocimientos adquiridos en el aula para con los estudiantes. I.
Servir como herramienta básica de apoyo para la investigación en la Universidad.
II.
Extender y difundir la cultura informática.
III.
Proporcionar apoyo y asesoría informática a todos los usuarios que operen el Software Académico Institucional o proyectos institucionales.
IV.
Capacitar a la planta docente para el manejo y operación eficiente del software académico institucional
V.
Realización de programas de capacitación en informática para personal académico y administrativo, así como para grupos de estudiantes interesados.
117
Capítulo I Del acceso Artículo 1°.-Todo usuario tiene derecho a acceder al centro de cómputo, así como hacer uso de los servicios que en este se ofrecen, siempre y cuando no sea objeto de una sanción.
Artículo 2°.- El usuario sólo podrá acceder al centro de cómputo en las horas en las cuales está desocupado. Para lo anterior el usuario podrá consultar dichas horas, en el horario oficial del centro de cómputo. Artículo 3°.- En el caso de las horas en que no se encuentre ocupado el centro de cómputo, los usuarios podrán utilizarlo bajo la previa aprobación del encargado. Los docentes tienen prioridad para reservar el uso de las horas libres del centro de cómputo. Artículo 4°.- Para reservar el uso del centro de cómputo, es necesario avisar al encargado del centro de cómputo, para que lo autorice. Artículo 5°.- Cuando existan actividades de mantenimiento, el servicio al centro de cómputo quedará suspendido. Artículo 6°.- Sin distinción alguna, todo usuario, se le restringirá el acceso al centro de cómputo si pretende entrar con bebidas, alimentos, golosinas, gorras, bermudas, shorts o después de haber practicado algún deporte.
118
Capítulo II Del comportamiento Artículo 7°.- Al ingresar al centro de cómputo, todo usuario deberá revisar el estado en que recibe el equipo, en caso de existir anomalías o fallas es responsabilidad del usuario reportarlas al encargado.
Artículo 8°.- El usuario debe guardar una conducta respetuosa hacia los demás, dentro del centro de cómputo. Por lo anterior, los gritos, agresión física, expresiones verbales o corporales obscenas serán objeto de sanción. Artículo 9°.- El usuario será responsable de iniciar y terminar su sesión correctamente: encenderá el equipo de cómputo, utilizara el equipo de cómputo adecuadamente y apagara la computadora. Así mismo dejará debidamente acomodados el CPU, ratón, teclado, monitor y silla. Artículo 10°.- Los usuarios que cuenten con equipos de comunicación inalámbricos deberán mantenerlos apagarlos o en modo silencioso, así como deberá contestar llamadas fuera del centro de cómputo. Artículo 11°.- Los usuarios sólo podrán utilizar los equipos y servicios que se ofrecen en el centro de cómputo con fines académicos. Cualquier otro concepto por el cual se haga uso queda prohibido. Artículo 12°.- Cada sesión de trabajo queda restringida a un usuario por equipo de cómputo. Por lo anterior es inválido trabajo en grupos. Artículo 13°.- Todo usuario debe respetar la configuración lógica actual de los equipos, por lo que debe abstenerse de realizar cualquier modificación. Se tomará como modificaciones lógicas las siguientes:
119
a) Instalar o desinstalar programas y/o actualizaciones de estos. b) Instalar o desinstalar controladores de hardware c) Cambiar el fondo del escritorio d) Cambiar el protector de pantalla e) Eliminación de archivos del sistema operativo f) Cambiar la configuración y/o apariencia del sistema operativo
Artículo 14°.- Ningún usuario está autorizado para realizar modificaciones a la estructura física de los equipos. Se entiende como modificación de la estructura física las siguientes: a) Instalar o desinstalar hardware b) Intercambiar entre equipos Mouse, teclado, monitor o cualquier otro dispositivo externo. c) Desconectar los cables de alimentación, el del Mouse, el teclado, el del monitor y/o el de acceso a la red Artículo 15°.- Ningún usuario tiene permitido sustraer del centro de cómputo, equipos de cómputo, cables, accesorios y/o muebles. Artículo 16°.- Ningún usuario podrá realizar, dentro de las instalaciones del centro de cómputo, actos de piratería o actividades que violen los derechos de autor vigentes en nuestro país.
Capítulo III Sobre el uso de Internet Artículo 17°.- Está prohibido abrir páginas con contenido pornográfico, chats, juegos, música, videos, entretenimiento, o cualquier otra que no apoye al desarrollo académico.
120
Artículo 18°.- El usuario será responsable de los archivos que descargue de Internet, por lo que cualquier daño generado por dicha acción será responsabilidad del usuario.
Capítulo IV Sobre las sanciones Artículo 19°.- El violar alguna de las reglas sobre el acceso, comportamiento o uso hará merecedor de una sanción. Artículo 20°.- El encargado del centro de cómputo está autorizado para hacer valer y respetar el presente reglamento. Artículo 21.- Toda sanción aplicada a un usuario, será reportada al departamento de Titulares, para su conocimiento e intervención según sea la gravedad del asunto que srcinó dicha sanción. Artículo 22°.- Todo usuario que ocasione descompostura o des configuración por mal uso del equipo, se verá obligado a cubrir el costo de su reparación y a acatar la sanción que le corresponda. Para lo anterior el encargado del centro de cómputo reportará el suceso al departamento de titulares, para que se tomen las acciones pertinentes. Artículo 23°.- El encargado sólo podrá aplicar sanciones referentes a la suspensión del derecho de uso de servicio del centro de cómputo, de acuerdo con los titulares, las cuales podrán ser por periodos que varían desde un día, una semana, quince días, un mes, o la suspensión definitiva del resto del semestre. Los periodos deberán ser aplicados por acuerdo con los titulares. Artículo 24°.- En caso de reincidencia del usuario en incurrir con las mismas violaciones, las sanciones aumentarán de acuerdo con el criterio de titulares. Capítulo 5 Sobre el mismo reglamento 121
Artículo 25°.- Todo lo no previsto en este reglamento quedará sujeto a las disposiciones de la coordinación académica de informática y sistemas. Artículo 26°.- Los cambios que se le realicen al reglamento deberán ser publicados con una semana de anticipación al de su aplicación. Artículo 27°.- Todos los usuarios del centro de cómputo tiene derecho de conocer el reglamento.
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RE GLA MENTO DE B IBLIO TECA S EUAT
Presentar la credencial vigente del alumno
No fumar ni introducir alimentos ni bebidas
Cuidar el acervo, mobiliario y las instalaciones (no rayar mesas, sillas ni paredes)
Colocar los materiales utilizados en los carritos, no dejarlo en las mesas o estantes Verificar las condiciones físicas de los materiales antes de solicitarlos en préstamo, ya que el alumno es responsable de devolverlo en buenas condiciones
Cuidar el vocabulario y hablar en voz baja
Puede permanecer en las instalaciones el tiempo que se necesite
NO hay apartado de lugares
Recoger la basura del área donde se trabajó antes de retirarse
Cuidar sus pertenencias. No se responsabiliza al personal por pérdidas.
NO desplazar o mover de su lugar, sillas, mesas u otras piezas de mobiliario Dejar bolsas, mochilas o portafolios en el lugar indicado antes de hacer uso de los servicios de la biblioteca
No está permitido usar teléfonos móviles ( en caso de ingresarlo, tenerlo en
En caso de pérdida del material prestado, el usuario deberá reponerlo.
Solo está permitido utilizar de uno a tres libros en tu mesa de trabajo a la
vibrador y contestar, en caso de emergencia, fuera de la biblioteca
vez.
Al alumno que mutile o sustraiga algún material de la biblioteca, le será suspendido el servicio de la misma y se hará acreedor de una sanción.
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Nota:
Al finalizar el cuatrimestre, el alumno deberá hacer impresión del formato de
observaciones del alumno, llenarla debidamente y entregarla a la coordinación de guías de estudio SEUAT. Oficinas ubicadas en 3ª. Norte Oriente No. 722 A, en plantel Tuxtla. Los
alumnos
de
los
demás
planteles
deberán
enviarlo
al
correo
[email protected] Esto con el objetivo de reforzar los contenidos de las mismas
Formato de observaciones de la Guía de Estudio de alumnos Carrera: LIA
ISC LAE LCP
LD LAE LT LATE LTS LDCI LINGC LOPT LAA
Materia: __________________________________________________________ Grado: Plan:
I
II
III
_________Cuatrimestral
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
________Semestral
Periodo: __________________________________________________________ Nombre del docente: ________________________________________
Si No
Observaciones
¿La guía le fue entregada a tiempo? ¿Utilizó la guía de trabajo durante sus clases? ¿Considera que los temas que contiene son entendibles para usted? ¿Considera que los temas son acordes a la materia? ¿Reviso la bibliografía que sustenta la información de la guía? ¿Considera que las actividades de aprendizaje son acordes a la materia y de fácil comprensión, además de ayuda para entender los bloques? ¿Las actividades complementarias que se encuentran al final de cada bloque refuerzan considerablemente su conocimiento? ¿Considera que es factible realizar un proyecto final en cada materia y además que se encuentre al inicio de la guía para que tenga idea del objetivo de la materia? ¿El docente que impartió la materia, utilizo la guía para 124
desarrollar su clase? ¿El docente domina los temas de la materia’
¿El docente reforzó los temas de la guía al final de cada clase? ¿El docente expuso al inicio del cuatrimestre para indicarles cómo deben realizarse las exposiciones? ¿El docente le entrego la planeación académica al inicio del cuatrimestre? ¿El docente prepara su clase? ¿El docente es dinámico y no permite que su clase sea tediosa? ¿El docente maneja material didáctico adicional a la guía? ¿Qué tipo de material didáctico maneja? ¿Se logran cubrir todos los temas en el tiempo asignado?
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Guía de Estudio de la Licenciatura en Ingeniería Civil Cuatrimestre III
Vigencia: Periodo Enero - Diciembre 2017
Este material está integrado con la obra intelectual de diversos autores, debidamente registrados, recopilados por los docentes revisores de libros, revistas, ensayos, resúmenes, análisis, síntesis y trabajos de investigación con el único propósito de brindarle al alumno apoyo, sin fines de lucro en su desarrollo académico dentro del aula en el proceso de construcción del conocimiento. Todas las colaboraciones son responsabilidad de los docentes revisores que integran las guías de estudio.
2da. Avenida Norte Oriente, No. 741, Col. Centro, Tuxtla Gutiérrez, Chiapas Teléfonos: 61 2 23 29 & 61 3 79 26 www.seuat.mx Coordinación de guías de estudio Teléfono 2243501
[email protected]
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