(Universidad del Perú, Decana De América)
CURSO
: Investigación Operativa II
TEMA
: Redes
PROFESOR
: Rosmeri Mayta Huatuco
ALUMNOS
:
Espinoza Silva Mailí Cabrera Ordoñez Jomell Espinoza Molina Eoclides
Lunes, 02 de octubre 2017
REDES
1.
MODELO DE LA RUTA MÁS CORTA ................................................................................. 3 1.1
Algoritmo del del etiquetado etiquetado .................................................................................................. 3
PROBLEMA 1 ........................................................................................................................... 3 1.2
Algoritmo de Dijkstra ........................................................................................................ 7
PROBLEMA 1 ........................................................................................................................... 7 2.
ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA ........................................................................................ 8
3.
MODELO DE FLUJO MÁXIMO ........................................................................................... 10 3.1
Programación Lineal ...................................................................................................... 10
PROBLEMA 1 ......................................................................................................................... 10 3.2
Método de Ford Furkenson ........................................................................................... 12
PROBLEMA 1 ......................................................................................................................... 12 4.
FLUJO MÁXIMO A COSTO MÍNIMO ................................................................................. 15 PROBLEMA 1 ............................................................................................................................. 15 PROBLEMA 2 ............................................................................................................................. 17
REDES 1. MODELO DE LA RUTA MÁS CORTA 1.1 Algoritmo del etiquetado PROBLEMA 1 Libro: Investig ación de operaciones . 4 E dición. Wayne L. Wins ton Pág ina 419, problema 6
Cuesta $40 comprar un teléfono de la tienda de departamentos. Suponga que puedo mantener un teléfono durante a lo sumo 5 años y que el costo de mantenimiento estimado cada año de operación es como sigue: año 1, $20; año 2, $30; año 3, $40; año 4, $60; año 5, $70. Acabo de comprar un nuevo teléfono. Suponiendo que un teléfono no tiene valor de salvamento, determine cómo minimizar el costo total de comprar y operar un teléfono durante los siguientes seis años. SOLUCIÓN MANUAL
C12=20+40=60 C13=20+30+40=90 C14=20+30+40+40=130 C15=20+30+40+60+40=190 C16=20+30+40+60+70+40=260 C23=20+40=60 C24=20+30+40=90 C25=20+30+40+40=130 C26=20+30+40+60+40=190 C34=20+40=60 C35=20+30+40=90 C36=20+30+40+40=130 C45=20+40=60 C46=20+30+40=90 C56=20+40=60 Armando la red:
260 190 130
90
90
1
60
2
3
60
60
4
60
5
60
90 130
90
130 190
Resolviendo manualmente: m1=0 m2=min {m1+d12}=min {0+60}=60 m3=min {m1+d13,m2+d23}= min {0+90,60+60}=90 m4=min {m1+d14,m2+d24,m3+d34}= min {0+130,60+90,90+60}=130 m5=min {m1+d15,m2+d25,m3+d35,m4+d45} = min {0+190,60+130,90+90,130+60}=190 m6=min {m1+d16,m2+d26,m3+d36,m4+d46, m5+d56} = min {0+260,60+190,90+130,130+90,190+60}=220 l(u)=220 De lo anterior el camino más corto seria: [X1 X3 X6] o [X1 X4 X6]
6
SOLUCIÓN CON LINGO
SETS: NODO/1..6/:Y; ARCOS(NODO,NODO)/1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,3 2,4 2,5 2,6 3,4 3,5 3,6 4,5 4,6 5,6/:COSTO; ENDSETS DATA: COSTO=60 90 130 190 260 60 90 130 190 60 90 130 60 90 60; ENDDATA MAX=Y(6)-Y(1); @FOR(ARCOS(I,J):Y(J)<=Y(I)+COSTO(I,J));
Global optimal solution found. Objective value: Infeasibilities: Total solver iterations:
Variable Y( 1) Y( 2) Y( 3) Y( 4) Y( 5) Y( 6) COSTO( 1, 2) COSTO( 1, 3) COSTO( 1, 4) COSTO( 1, 5) COSTO( 1, 6) COSTO( 2, 3) COSTO( 2, 4) COSTO( 2, 5) COSTO( 2, 6) COSTO( 3, 4) COSTO( 3, 5) COSTO( 3, 6) COSTO( 4, 5) COSTO( 4, 6) COSTO( 5, 6) Row 1 2 3 4 5 6
220.0000 0.000000 7
Value 0.000000 40.00000 90.00000 130.0000 160.0000 220.0000 60.00000 90.00000 130.0000 190.0000 260.0000 60.00000 90.00000 130.0000 190.0000 60.00000 90.00000 130.0000 60.00000 90.00000 60.00000 Slack or Surplus 220.0000 20.00000 0.000000 0.000000 30.00000 40.00000
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Dual Price 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
PROGRAMACIÓN LINEAL MODEL: [_1] MAX= - Y_1 + Y_6 ; [_2] - Y_1 + Y_2 <= 60 ; [_3] - Y_1 + Y_3 <= 90 ; [_4] - Y_1 + Y_4 <= 130 ; [_5] - Y_1 + Y_5 <= 190 ; [_6] - Y_1 + Y_6 <= 260 ; [_7] - Y_2 + Y_3 <= 60 ; [_8] - Y_2 + Y_4 <= 90 ; [_9] - Y_2 + Y_5 <= 130 ; [_10] - Y_2 + Y_6 <= 190 ; [_11] - Y_3 + Y_4 <= 60 ; [_12] - Y_3 + Y_5 <= 90 ; [_13] - Y_3 + Y_6 <= 130 ; [_14] - Y_4 + Y_5 <= 60 ; [_15] - Y_4 + Y_6 <= 90 ; [_16] - Y_5 + Y_6 <= 60 ; END
10.00000 0.000000 10.00000 10.00000 20.00000 20.00000 0.000000 30.00000 0.000000 0.000000
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000
1.2 Algoritmo de Dijkstra
PROBLEMA 1 Libro: Investig ación de operaciones . 4 E dición. Wayne L. Wins ton Pág ina 418, problema 2
Determine la trayectoria más corta del nodo 1 al nodo 5 en la figura. 1
1
2
8
4
5 1
1
12
10 1
6
SOLUCIÓN MANUAL
1 1) 2)
2 2
() * +
3 8 8
4
5
() * + () * +
3)
7
6
14
7
14
() * +
7
14
4)
14
5)
2. ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA PROBLEMA 1 Libro: Investig ación de operaciones . 4 E dición. Wayne L. Wins ton Pág ina 219, problema 4
En la figura se ven las distancias en millas de las conexiones factibles que unen nueve pozos marinos de gas natural con un punto de entrega en tierra. Como la ubicación del pozo 1 es la más cercana a la costa, tiene capacidad de bombeo y de almacenamiento suficiente para bombear la producción de los ocho pozos restantes hasta el punto de entrega. Determine la red mínima de tubería que una las bocas de pozo con el punto de entrega.
1
5
2
15
6
14
9
9
4
20
6
3
5
5
10
13 15
20
4
12 3
7
8
5
6
C= {1} C'= {2,3,4,5,6,7,8,9} Min{5,9,20,4,14,15} C= {1,5} C'= {2,3,4,6,7,8,9} Min{5,9,20,14,15,10,20,3,5,13,6}
7
7
C= {1,5,6} C'= {2,3,4,7,8,9} Min{5,9,20,14,15,10,20,5,13,6,7} C= {1,5,6,2} C'= {3,4,7,8,9} Min{6,9,10,20,20,7,5,13,14,6,15,5} C= {1,5,6,2,7} C'= {3,4,8,9} Min{6,9,10,20,20,7,12,7,13,14,6,15} C= {1,5,6,2,7,3} C'= {4,8,9} Min{15,20,20,7,13,14,6,15} C= {1,5,6,2,7,3,9} C'= {4,8} Min{15,20,20,7,7,13,5} C= {1,5,6,2,7,3,9,8} C'= {4} Min{15,20,20,7} C= {1,5,6,2,7,3,9,8,4} l(u)=41 Finalmente la red seria: 1
5
2 6
9
4 6
3
5
5 8
5
4
7 3
7
6
3. MODELO DE FLUJO MÁXIMO 3.1 Programación Lineal PROBLEMA 1 Un padre tiene cinco hijos (adolescentes) y cinco tareas domésticas que encomendarles. La experiencia pasada ha demostrado que obligar a un hijo a que realice una tarea es contraproducente. Con esto en mente, el padre les pide a sus hijos que enumeren sus preferencias entre las cinco tareas, como lo muestra la siguiente tabla:
El objetivo del padre ahora es terminar la mayor parte posible de tareas, al tiempo que respeta las preferencias de sus hijos.
2 1 1
7
1
1 8
1
1
3 1
1
1
1 4
1
9 1
1
1
5
12 1
10
1
1 1 6
1
11
SETS: NODES/1..12/; ARCS(NODES,NODES)/1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,9 2,10 2,11 3,7 4,7 4,8 5,7 5,8 5,11 6,8 7,12 8,12 9,12 10,12 11,12 12,1/:CAP,FLOW; ENDSETS MAX=FLOW(12,1); @FOR(ARCS(I,J):FLOW(I,J)
METODO FORD FURKENSON
7
2 1
1
3
1 1
1
8
1
1
1
4
9
1 1
1
1
1
5
1
10 1
6
1
12
1
1
11
Ruta 1-2-9-12 → Min (1, 1,1)=1 Ruta 1-3-7-12→Min (1, 1,1)= 1 Ruta 1-4-8-12→Min (1, 1,1)= 1 Ruta 1-5-11-12→Min (1, 1,1)=1 4 (Flujo Máximo) Entonces terminar la mayor parte posible de tareas, al tiempo que respeta las
preferencias de sus hijos. Solo es 4 tareas.
3.2 Método de Ford Furkenson PROBLEMA 1 El consejo académico en la Universidad de Arkansas está buscando representantes entre seis estudiantes que estén afiliados a sociedades honoríficas. La representación ante el consejo académico incluye tres áreas: matemáticas, arte e ingeniería. Cuando mucho dos estudiantes de cada área pueden estar en el consejo. La siguiente tabla muestra la membresía de los seis estudiantes en las cuatro sociedades honoríficas:
Los estudiantes calificados en las áreas de matemáticas, arte e ingeniería se muestran en la siguiente tabla:
a) Un estudiante capacitado en más de un área debe ser asignado exclusivamente a sólo un área. ¿Pueden estar representadas las cuatro sociedades honoríficas en el consejo? RED
1
6 1
1 2
7 1 1
3
1 1
12
1 3
1
3
8
2
1
1 2
1
3 1
1
9
13
15
1 4
4
1 1
1
2
10 14 1
5
1
11
ALGORITMO
SETS: NODES/1..15/; ARCS(NODES,NODES)/1,2 1,3 1,4 1,5 2,6 2,7 2,8 3,6 3,8 3,10 4,8 4,9 4,10 5,6 5,7 5,9 5,11 6,12 7,12 8,13 9,12 9,13 9,14 10,14 11,14 12,15 13,15 14,15 15,1/:CAP,FLOW; ENDSETS MAX=FLOW(15,1); @FOR(ARCS(I,J):FLOW(I,J)
METODO FORD FURKENSON
1
6 1
1 2
7 1 1
3
1 1
12
1 3
1
3
8
2
1
1 2
1
3 1
1
9
13
15
1 4
4
1 1
1
2
10 14 1
5
1
11
Ruta 1-2-6-12-15 → Min
(3, 1, 1,2) =1 Ruta 1-2-7-12-15 → Min (2, 1, 1,1) =1 Ruta 1-3-8-13-15 → Min (3, 1, 1, 2) =1 Ruta 1-4-9-13-15 → Min (3, 1, 1, 1) =1 Ruta 1-4-10-14-15 → Min (2, 1, 1, 2) =1 Ruta 1-5-11-14-15 → Min (4, 1, 1, 1) =1 6
(Flujo Máximo)
¿Pueden estar representadas las cuatro sociedades honoríficas en el consejo? Según el resultado utilizando el METODO FORD FURKENSON: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Sociedad 1, estudiante 1, área de matemáticas Sociedad 1, estudiante 2, área de matemáticas Sociedad 1, estudiante 3, área de artes Sociedad 3, estudiante 4, área de artes Sociedad 2, estudiante 5, área de ingeniería Sociedad 4, estudiante 6, área de ingeniería
4. FLUJO MÁXIMO A COSTO MÍNIMO PROBLEMA 1 Libro: Investigación de operaciones 7.ma edición HADMY A. TAHA Problema propuesto 2, pág. 257
GrainCo abastece de maíz a tres granjas avícolas desde tres silos. Las cantidades de oferta en los tres silos son 100, 200 y 50 mil bushels GrainCo usa principalmente ferrocarril para transportar su maíz a las granjas, a excepción de tres rutas, en las que se usan camiones. Se muestra las rutas disponibles entre los silos y las granjas. Los silos se representan con los nodos 1, 2 y 3, cuyas cantidades de suministro son [100], [200] y [50], respectivamente. Las granjas se representan con los nodos 4, 5 y 6, cuyas demandas son [-150], [-80] y [-120], respectivamente. Las rutas permiten transbordos entre los silos. Los arcos (1, 4), (3, 4) y (4, 6) son de camiones, con capacidades mínimas y máximas. En todas las demás rutas se usan furgones, cuya capacidad máxima es prácticamente ilimitada. Los costos de transporte, por bushel, se indican en sus arcos respectivos.
SOLUCIÒN EN LINGO
Código:
Corrida :
PROBLEMA 2 Libro: Investigación de operaciones 7.ma edición HADMY A. TAHA Problema propuesto 4, pág. 258
Una compañía logística quiere transportar madera desde 3 centros forestales a 5 centros de demanda. Los costes de transporte (en euros) se muestran en la siguiente tabla junto con la producción y demanda en cada centro: D1
D2
D3
D4
D5
Producción
F1
100
200
400
350
150
30
F2
350
300
600
700
500
20
F3
300
200
450
300
200
28
Demanda
10
20
16
20
12
Hallar el costo flujo máximo a costo mínimo.
Diagrama de red:
SOLUCIÒN EN LINGO Código LINGO: SETS: NODES/1..10/:SUPP; ARCS(NODES,NODES)/1,2 1,3 1,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,10 6,10 7,10 8,10 9,10 /:CAP,FLOW,COST; ENDSETS MIN=@SUM(ARCS:COST*FLOW); @FOR(ARCS(I,J):FLOW(I,J)
Corrida LINGO:
