´ DETERMINACION EXPERIMENTAL DEL COEFICIENTE DE HALL Jorge E. Garc´ıa; L. J. Alexander Jaimes; William A. Bernal. Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de F´ısica
17 de Noviembre de 2009
Resumen
En esta practica se midi´ o el voltaje hall sobre un fragmento de germanio de tipo P, para un conjunto de valores conformado por la corriente que atraviesa el fragmento y el campo magn´etico que lo rodea. Con un prisma de germanio, el cual fue sometido a una corriente medida con el mult´ımetro y un campo magn´ etico medido con un teslametro se obtuvo, una regresi´ on lineal por el m´ etodo de m´ınimos cuadrados entre el Voltaje de Hall, la corriente y el Campo Magn´ etico. El rango de la corriente vario entre 20 mA y 140 mA y el campo entre 30 mT y 210 mT . Con estos datos 3 se determino el coeficiente Hall de y el n´umero de R¯h = 0, 011066 mm mC 23 −3 portadores de carga de n ≈ 5, 64 × 10 mm .
1.
Introducci´ on
El efecto Hall consiste en el surgimiento de una diferencia de potencial (voltaje) en los extremos de un metal o semiconductor (tipo P o tipo N), cuando este se ubica dentro de un campo magn´etico perpendicular a la direcci´on del flujo de carga que lo atraviesa(Carga negativa o positiva). La causa del efecto Hall es la desviaci´ on que experimentan las cargas que se mueven en el campo magn´ etico ba jo la acci´on de la fuerza de Lorentz. Las cargas siguen siendo desviadas por el campo magn´ etico hasta que la acci´ on de la fuerza en el campo el´ ectrico transversal equilibre la fuerza de Lorentz. La Figura 1 muestra las direcciones del campo magn´ etico B , la fuerza de Lorentz F , la velocidad de las cargas v (huecos, carga positiva), as´ı como los signos de las cargas concentradas en las caras opuestas superior e inferior. La diferencia de potencial Vhall , debida al efecto Hall, es: Vhall = R h
donde:
1
IB d
(1)
Figura 1: Germanio tipo P, dentro de un campo magn´ etico B , sobre el que pasa un flujo de carga positiva con velocidad v .
Rh =
1
Rh es el coeficiente Hall, inverso del producto entre la carga de portadores n.
2.
(2)
nq
q y el n´umero
Procedimiento
Para medir el voltaje Hall y determinar el coeficiente hall ( Rh ) y el n´umero de portadores de carga ( n) se utilizo el siguiente circuito:
Figura 2: Circuito que involucra un fragmento de Germanio tipo P. En la pr´actica se manipularon dos variables, la corriente que atravesaba el fragmento de germanio y el campo magn´etico que rodeaba al fragmento. La corriente se vario, cambiando la tensi´on del circuito de la Figura 2 y el campo magn´ etico tambien cambiando la tensi´ on de la fuente que produc´ıa la corriente
2
sobre las bobinas que srcinaron el campo magn´ etico. Para aumentar el campo magn´ etico se utilizaron n´ ucleos ferromagn´ eticos para las bobinas (Estos materiales evitan la dispersi´on de las l´ıneas del campo magn´ etico). La corriente se determino por medio de un amper´ımetro, el campo magn´ etico por medio de un teslametro y el voltaje Hall respectivo, para ciertos valores de corriente y campo magn´ etico, se midi´o por medio de un volt´ımetro como se muestra en la Figura 2. Los datos se tomaron manteniendo una variable constante y manipulando la otra como muestra la Figura 8 del anexo.
3.
An´ alisis de Resultados
Teniendo en cuenta los datos de la figura 8 del anexo , se realizaron las siguientes graficas para comprobar la linealidad del voltaje Hall con la corriente, el campo magn´ etico y el producto de la corriente con el campo magn´ etico.
Figura 3: Voltaje Hall V hall Vs. Corriente I a trav´ es del fragmento de Germanio, con B = 210 mT A partir de la Figura 3, en la cual se representa el Voltaje de Hall V hall Vs. la Intensidad de Corriente I , se observa que la pendiente de la recta es m = 2, 035 con un coeficiente de correlaci´on de R2 = 0, 999, de la ecuaci´on (1) se ve que el significado f´ısico de la pendiente es m = R h B , es decir, d md B Para saber el valor de B , graficando B Vs. I , de la siguiente manera: Rh =
(3)
De aqu´ı se concluye que la relaci´ on funcional entre el campo magn´ etico B y la intensidad de Corriente I est´a dada por la ecuaci´on: B = 1, 5I , de esta forma al reeemplazar esta expresi´on, en la ecuaci´on (3) se tiene, que: Rh =
2 md 3 I
(4)
Es decir la dependencia funcional del coeficiente Hall es Rh (I ), ya que el campo magn´etico depende de la Intensidad y el coeficiente Hall del campo
3
Figura 4: V hall Vs. Campo magn´ etico B , alrededor del fragmento de Germanio, con una corriente de I = 20 mA
Figura 5: Vhall Vs. B I magn´ etico, es decir est´ a es un funci´on compuesta. De esta manera se obtiene un valor para cada valor de I . Una dispersi´on de Vhall Vs. B , para cada uno de los valores de la corriente I se muestra a continuaci´on: La regresi´on para cada valor de I , da como resultado la siguiente tabla en la que se adjuntan las ecuaciones que las caracterizan. R2
(A) I 20 40 60 80 100 120
Ecuaci´ on Vhall = 227 , 1B − 4, 385 Vhall = 441 , 0B − 7, 814 Vhall = 664 , 6B − 11, 88 Vhall = 884 , 5B − 15, 82 Vhall = 1109B − 20, 71 Vhall = 1320B − 25, 22
0,999 0,999 0,999 0,998 0,999 0,998
140
Vhall = 1518B − 28, 57
0,994
Tabla 1 :Ecuaciones
que caracterizan las rectas con su correspondiente 4
B
Figura 6: Campo Magn´ etico
I
Vs. Intensidad de Corriente
coeficiente de correlaci´on R2 , para las diferentes corrientes I . As´ı, con esto, se puede calcular el valor de Rh , obteniendo para cada corriente I , un valor diferente. Se, resumen los valores en la tabla 2, los cuales se calcularon usando la ecuaci´on (4). I (A)
20 40 60 80 100 120 140 Tabla 2 :
3
) Rh ( mm mC 0, 011357 ± 0, 000568 0, 011027 ± 0, 000276 0, 011077 ± 0, 000185 0, 011056 ± 0, 000138 0 , 011096 ± 0, 000110 0 , 011006 ± 0, 009172 0 , 010843 ± 0, 007745
Valores de R h con su incertidumbre1 , para los distintos valores de I .
Para estos valores se encuentra que la media del coeficiente Hall es de: R¯h = (0, 011066 ± 0, 002599) mm . Por lo tanto el n´ umero de portadores es de n ≈ mC 5, 64 × 1023 mm−3 . 3
4.
Conclusiones Se caracteriz´o una pieza de Germanio tipo P, a partir de las medidas realizadas de campo magn´ etico, voltaje Hall y corriente. De los diferentes resultados obtenidos se determinaron el numero de portadores n ≈ 5, 64 × 1023 mm−3 y el coeficiente de Hall R¯h = (0, 011066 ± 0, 002599) mm . mC 3
1
|Y |
qSe (
uso para este calculo la expresi´on: Siendo ∆X1 X1
)2 + (
∆X2 X2
)2
5
Y
=
X1 X2
, entonces: ∆ Y
=
Figura 7: Dispersi´on de Vhall Vs. B , para los diferentes valores de I . A la vista de los resultados, podemos ver que el error cometido al calcular el coeficiente Hall de la muestra es aceptable dentro de los rangos esperados. El error de esta media lo deducimos a partir de la expresi´ on (4) a partir de la teor´ıa de Incertidumbres.
Referencias [1] SERWAY, Raymond, BEICHNER, Robert. F´ısica para ciencias e ingenier´ ıa. M´ exico D.F.: Editorial McGraw-Hill. 2002, V. 2. [2] PURCELL, Edward M. Electridad y Magn´ etismo . Barcelona: Editorial Revert´ e S.A.. 1988, Berkeley Physics Course: V. 2. ´ [3] ARDILA, Angel Miguel. F´ısica Experimental . Bogot´a D.F.: Unibiblos. 2007.
6
ANEXO
Figura 8: Mediciones del Voltaje de Hall ( Vhall ) a partir de la corriente I y del campo magn´ etico B .
7
