o Práctica 3: Efecto Hall J. Ernesto Alba A. y G. Amilcar Saldaña M. Bajo la tutela de René Ortega A. y Omar U. Pe ralta S. 11 de Noviembre de 2012 Laboratorio de Física Contemporánea II Facultad de Ciencias, UNAM
RESUMEN Esta práctica consiste en una sere de experimentos enfocados en caracterizar una punta Hall de arsenuro de indio InAs. Los primeros experimentos consisten consisten en calibrar la punta en respuesta a distintas condiciones de campo magné tico y corrientes de control. Después se usan estas calibraciones para medir la intensidad de campos magnéticos. Se encontró que el producto del Coeficiente Hall con el ancho de la punta es independiente de la corriente de prueba aplicada y tiene un valor de 18.66±1.13 mT A/mV. Se encontró que el signo de los portadores mayoritarios es positivo. Se comprobó el carácter vectorial de la fuerza de Lorentz por medio del cambio del voltaje hall con la posición rotativa de la punta. Se encontró que el Voltaje Hall disminuye rápidamente conforme aumenta la distancia a con un imán permanente. Finalmente se mapeó el campo magnético producido por un electroimán Cenco, Cenco, encontrando que en la región dentro de los polos (a dos centímetros de distancia del centro) de este el campo magnético es muy estable y con un valor de 93.55 mT a una corriente de alimentación de 1 A.
OBJETIVO Estudiar el efecto Hall mediante una serie de experimentos que sirven para caracterizar una punta Hall y posteriormente comprobar la eficiencia de la punt puntaa Hall Hall com como ins instrum trumen ento to de medi medici ción ón de inten ntensi sida dad d de camp campos os magnéticos. magnéticos. Determinar Determinar el signo de los portadores de carga del material con el que está hecha la punta Hall (InAs).
INTRODUCCIÓN TEÓRICA. En 1879 E.H. Hall ideó un experimento que que perm permit itee cono conoce cerr el sign signo o de los los portadores de carga en un conductor. El
experi experimen mento to consis consistía tía en una placa placa de cobr cobree que que llev llevaa una una corr corrie ient ntee I en la dirección mostrada en la figura 1 Después se establece un campo magnético B perpendicular a la placa (en la figura 1 el campo está apuntando hacia adentro de la página, esta sobre el eje “z”) “z”),, sabem abemos os que que por por indu inducc cciión magnética magnética el campo magnético producirá sobre la placa una fuerza
Si los portadores de carga son positivos, se moverán en dirección opuesta, por lo que el VH tendrá el signo contrario, por lo que así se puede verificar el signo de la carga de los portadores de carga.
Si los portadores de carga son negativos y se mueven a lo largo del conductor con una cierta velocidad constante de arrastre , la fuerza que sienten es = ………….(1) Debido a esto, los portadores de carga no se acumulan indefinidamente en el borde superior de la placa, por lo que el corrimiento de la carga da lugar a una diferencia de potencial (llamado voltaje Hall) entre la parte superior y la parte inferior de la placa, que a su vez genera un campo eléctrico (llamado campo Hall) oponiéndose al arrastre de los portadores de carga en la dirección “y”, ambos términos están relacionados por la ec. (2) = VH/w……….(2) Donde w es el ancho de la placa, por lo que la fuerza generada por EH es FH=………..(3) Y solo actúa en la dirección “y” Al llegar al equilibrio en el cual la fuerza magnética que desvía a los portadores de carga es anulado por la fuerza eléctrica de sentido contrario (actuando solo en el eje “y” =+ ) = ……… (4) De donde se obtiene que = - EH = VH/w = B sin (θ) .....(5) Donde θ es el ángulo entre la velocidad y el campo magnético B
Por construcción De la ec. (5) se observa, que θ=90° (solo se da el equilibrio de fuerzas en la dirección “y”) pues esta sobre la dirección “x” y sobre la dirección z (esto no necesariamente tiene que ser así) Por lo que se deduce: ……..(6) Por otro lado, la densidad de corriente en la dirección x se tiene que es: J=ρ= …… (7) Donde d es el grosor de la placa y ρ=ne donde n es el numero de portadores de carga por unidad de volumen. Sustituyendo la ec. (7) en la ec. (6) se obtiene: …….(8) De la ec. (8) se puede ver que VH que mientras mas delgada es la placa, mayor es el VH, además, como este es inversamente proporcional a dne, para un conductor VH es muy pequeño y casi imposible de medir, sin embargo, si se repite el mismo tratamiento para una muestra semiconductora, entonces la densidad de carga es mucho menor y VH es del orden de μV o mV. Definimos: R H = ………. (9) Como el coeficiente de Hall, para una muestra semiconductora, en general, R H es constante. Un imán es un material capaz de producir un campo magnético exterior y atraer el hierro (también puede atraer al cobalto y al níquel). Los imanes que manifiestan sus propiedades de forma permanente pueden ser naturales, como la magnetita (Fe3O4) o artificiales, obtenidos a partir de aleaciones de diferentes metales.
En un imán la capacidad de atracción es mayor en sus extremos o polos. Estos polos se denominan norte y sur, debido a que tienden a orientarse según los polos geográficos de la Tierra, que es un gigantesco imán natural. Otro tipo de imán es el electroimán (imán utilizado en esta práctica) Un electroimán es un tipo de imán en el que el campo magnético se produce mediante el flujo de una corriente eléctrica (el campo magnético se produce por inducción magnética), desapareciendo en cuanto cesa dicha corriente. Entre los electroimanes útiles para esta práctica se tienen: un par de boninas Helmholtz, un par de electroimanes alimentados con fuente filtrada (bobina), con polos intercambiables y entre hierro alimentados con fuente filtrada a través de un regulador de voltaje y corriente, para el desarrollo de esta práctica, se uso el segundo par de electroimán. Este par de electroimanes con fuente regulada es complicado de describir pero a grandes rasgos, son dos hierros de cabezas planas paralelas, con bobinas de varios miles de vueltas que producen campos muy estables y uniformes en su centro Una punta Hall es un dispositivo que consta de un semiconductor que sirve para medir el efecto Hall y mediante el voltaje Hall poder determinar la intensidad el campo magnético presente. La punta Hall que se usa esta hecha de una película de arseniuro de Indio (InAs) con cuatro cables conductores fijos a ella. La película tiene un grosor de 15 micras y esta cubierta por una capa de resina epoxy como protección. Las ventajas de usar el efecto Hall para medir campos magnéticos son que la indicación de la medida es directa y continua, además, la punta de prueba de efecto Hall es físicamente tan pequeña
que las irregularidades locales de un campo magnético son fáciles de registrar.
MATERIAL -
Punta Hall 2 soportes universales 2 nueces para soporte universal Nuez para soporte universal para punta hall graduada cada 15° 2 multímetros digitales Agilent Electroimán Multimetro Mul 600 Gaussmetro Imán de barra Fuente de poder SUPPLY, CENCO No. 079551 3 pares de cables banana-banana
DESARROLLO EXPERIMENTAL. El desarrollo de esta práctica consiste en 5 experimentos que se llevaron acabo en diferentes sesiones, a continuación se dará la explicación de los experimentos: Experimento 0 Objetivo: Medición de la fuerza del campo magnético de un electroimán usando un gaussmetro. Se conecto la fuente de poder a la toma de corriente para posteriormente conectar este a los electroimanes a esta y al amperímetro Mul 600 en serie usando los cables banana-banana (figura 2). Acto seguido se fijo la corriente que se le aplicaba al electroimán (asegurándose en el amperímetro de que así sea) siendo esta de (0.05±0.005) A y se colocó el gaussmetro en el centro del electroimán para medir la intensidad de campo magnético que este proporciona. Se repitió este experimento para diferentes corrientes del electroimán, desde 0.05 A hasta (1±0.005) A.
Experimento1 Objetivo: Medición de la fuerza del campo magnético de un electro magneto. Se tiene que conectar la punta Hall a su caja de control, además, se conecto la caja de prueba a los 2 multímetros Agilent con ayuda de los cables banana-banana, uno de estos, mide corriente de control y el otro mida el voltaje Hall. En estas condiciones, se repitió el procedimiento del experimento 0 excepto que se colocó la punta Hall (véase figura 3) en el centro del electroimán de manera que la cara de la película sea perpendicular a las líneas del campo para evitar lectura erróneas. Para montar la punta Hall se usó el soporte universal y las nueces, hay que mencionar que la punta Hall es montada sobre la nuez graduada. Se repitió este procedimiento para tres diferentes valores de corriente de control (49.822±0.0005, 82.081±0.005 y 30.047±0.005) mA. Si el voltaje es negativo se debe girar la punta 180° sobre su eje.
Experimento 2 Objetivo: Mostrar que el voltaje hall es proporcional al producto del campo magnético y la corriente de control. Se repitió el mismo desarrollo experimental del experimento 1, pero dejando fija la corriente del electroimán y variando la corriente de control (variando el campo magnético) Experimento 3: Objetivo: Medir el voltaje hall cuando la punta de prueba forma ángulos distintos a 90° con líneas de campo magnético. Se repitió el montaje experimental del experimento 1. Manteniendo la corriente del electroimán y la corriente de control constante la nuez graduada para montar la punta Hall en los soportes universales, nos permite dejar la punta Hall fija pero a diferentes ángulos entre la punta Hall y las líneas de campo del electroimán Experimento 4: Objetivo: Mostrar que el efecto hall puede ser utilizado para indicar posición lineal.
Utilizando la punta Hall se midió cómo cambia la intensidad del campo
magnético generado por un imán permanente con la distancia al mismo. Para esto se midió el voltaje Hall a diferentes distancias de uno de los polos dejando la punta paralela a la cara central del imán (la de encima). Se repitieron las mediciones para la otra cara del imán. Se mantuvo una corriente de control de 80.000±0.005mA.
las mediciones como la mitad de la mínima escala, la incertidumbre de la relación campo magnético-corriente en el electroimán se presenta como el error estándar proporcionado por Origin.
Tabla 1. Parámetros de ajuste del experimento 0 Ecuacion de Ajuste y = a + b*x R cuadrada
Experimento 5: Objetivo: Mapeo de un campo magnético Para realizar este experimento es necesario colocar fijamente la punta de prueba entre los polos del electroimán. Eso se puede hacer montando la punta de prueba en un soporte y con indicador fijo a la punta, registrar su posición respecto a dos reglas mutuamente perpendiculares, usando una corriente de electroiman de 1 A y una corriente de control de 80mA.
ANÁLISIS Se muestran en la gráfica 1 los datos de la caracterización del electroimán con el Gaussmetro (experimento 0). El ajuste lineal de estos datos se presenta en la tabla 1, fue calculado con el programa Origin. Se presenta la incertidumbre de
0.99998 valor
Error estandar
a
-0.4
0.06
b
94.4
0.09
Tabla 2. Parámetros de ajuste del experimento 1 Ecuación de Ajuste y = a + b*x R cuadrada
0.99855
Valor Error Estándar para a (49.822±0.0005 ) mA b para a (57.796±0.0005 ) mA b para a (30.047±0.0005 ) mA b
0.99906
0.99783
-0.10
0.02
0.05
0.01
0.10
0.03
0.08
0.01
0.02
0.02
0.03
0.01
Agilent y Mul 600. La incertidumbre de la relación Campo Magnético x Corriente de control-Voltaje Hall se presenta como el error estándar proporcionado por Origin.
Tabla 3. Parámetros de ajuste del experimento 2 Ecuación de ajuste y = a + b*x
Se muestran los datos del experimento 1 en la gráfica de la gráfica 2. Se muestra el voltaje Hall como el la resta del voltaje medido y el voltaje que se presenta cuando la corriente de los electroimanes es cero (offset). El ajuste lineal de estos datos se presenta en la tabla 2, fue calculado con el programa Origin. La incertidumbre de las mediciones se presenta como la mitad de la mínima escala de los multímetros Agilent y Mul 600. La incertidumbre de la relación campo magnético-Voltaje Hall en el electroimán se presenta como el error estándar proporcionado por Origin.
Se presentan los datos obtenidos en el experimento 2 en la gráfica 3. Al igual que antes, se presenta el Voltaje Hall renormalizado con el offset de cero campo. La incertidumbre de las mediciones se presentan como la mitad de la mínima escala de los multímetros
R cuadrada
0.95 valor
Error Estándar
a
-3.08
0.44
b
18.66
1.13
Tabla 4. Parámetros de ajuste del experimento 3 Ecuacion de Ajuste y = a + b*x R cuadrada
0.9952 Valor
Error estándar
a
0.32
0.02
b
1.76
0.03
Se muestran los datos obtenidos en el experimento 3 el la gráfica de la gráfica 4. El ajuste lineal de estos datos se presenta en la tabla 4, fue calculado con el programa Origin. Al igual que antes, se
presenta el Voltaje Hall renormalizado con el offset de cero campo. La incertidumbre de las mediciones se presenta como la mitad de la mínima escala de la nuez con gradación angular (1.5°). La incertidumbre de la relación Seno del ángulo de incidencia Voltaje Hall se presenta como el error estándar proporcionado por el ajuste hecho en Origin. Se muestran los datos obtenidos en el experimento 4 el la gráfica 5. El ajuste de estos datos se presenta en la tabla 5, fue calculado con el programa Origin. Al igual que antes, se presenta el Voltaje Hall renormalizado con el offset de cero campo. Las incertidumbres se presentan como la mínima escala del multímetro usado expandido con el resultado del experimento 3. La incertidumbre de la relación distancia- campo magnético se presenta como el error estándar proporcionado por el ajuste hecho en Origin.
antes, se presenta el Voltaje Hall renormalizado con el offset de cero campo. La incertidumbre de las mediciones de las posiciones se presenta como la mitad de la mínima escala de las reglas usadas (0.5mm). No se obtiene una correlación matemática para esta parte.
DISCUSIÓN Y RESULTADOS
Tabla 5. Parámetros de Ajuste del experimento 4 Ecuación de Ajuste
y = a + b*x^c
R cuadrada
0.84817 Valor
0.87305 Error Estándar
a
-19005.927
1.00E-03
b
18950.872
1.00E-03
c
0.000
0.211
a
40558.869
1.14E+02
b
-40490.428
1.14E+02
c
0.000
0.155
Se muestran los datos obtenidos en el experimento 5 el la gráfica 6. Al igual que
Experimento 0: Para el experimento 0 se encontró que el ajuste lineal de la tabla 1 es B=94.4I-0.4 donde la incertidumbre de la pendiente es 0.09mT/A y la incertidumbre de la ordenada al origen es 0.06mT. Para fijar el valor del campo magnetico en el electroiman se utilizo la ec. antes expueta. Se espera que esta relación sea válida en todo el centro del electroimán. Experimento 1: Se inciste en la existencia del offset de voltaje Hall. Se encontró que mientras el campo magnetico aumenta, el voltaje Hall aumenta, además, la pendiente depende del voltaje de control, hecho que concuerda con la ec. (8). De la tabla 2 se observa que par una corriente de control de (49.822±0.005)mA se tiene VH= 0.05B-0.10 donde la incertidumbre de la pendiente es 0.01mV/mT y la incertidumbre de la ordenada al origen 0.02mV, por otro lado para una corriente de control de (57.796±0.005)mA se tiene que VH=0.08B+0.10 donde la incertidumbre de la pendiente es
0.01mV/mT y la incertidumbre de la ordenada al origen 0.03mV y por último, para una corriente de control de (30.047±0.005)mA VH=0.030B+0.02 donde la incertidumbre de la pendiente es 0.003mV/mT y la incertidumbre de la ordenada al origen 0.002mV Experimento 2 Para este experimento se vario la corriente de control de 5.110 ±0.005 mA hasta 81.65 ±0.005 mA dejando fija la corriente del electroimán (en 0.98.±0.005 A que corresponden a 91.48±0.01 m T de campo magnético ), por lo que el carácter lineal que se observa en la gráfica 3 es de esperarse, la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales es BIcontrol=18.66Vhall-3.08 donde la incertidumbre de la pendiente es 1.13mTA/mV mientras que la incertidumbre de la ordenada al origen es 0.44mTA Debido a la ec. (9) de la intrudccion teorica, es posible decir que R H/d=(18.66±1.13)mTA/mV. Experimento 3 La gráfica 4 muestra un comportamiento senusoidal que es de esperarse si se considera la ec (5). Como era de esperarse, cuando el angulo ente la velocidad de arrastre y el campo magnetico es 90°, es decir, cuando la normal a la superficie de la punta Hall es orientada en la dirección de las línas de campo magnetico, se obtiene que el voltaje Hall es máximo y cuando la normal a la superficie orientada perpendicular a las lineas de campo magnetico se obtiene que el voltaje Hall es 0. Esto es una prueba del carácter vectorial de la fuerza Lorentz en el efecto Hall. La ecuacion de la recta de la grafica 4 es V=1.76sen(θ)+0.32 donde la incertidumbre de la pendiente es 0.03mV y la incertidumbre de la ordendad al
origen es 0.02mV. Como era de esperearse, esta recta no es la recta identidad por la dependencia de y B en la amplitud del seno de la ec. (5). Experimento 4 Una vez tomados los datos de voltaje Hall y distancia, se usó la caracterización de la punta Hall hecha en el experiemento 2 con un valor de corriente de control de (80.00±0.05) mA para obtener la grafica 5, de esta, se observa que el efecto Hall tambien puede utilizarse como indicador de posicion lineal o proximidad a un objeto imantado ya que se observa un incremento o decremento del voltaje Hall (dependiendo del polo al que se aserque) cuando la punta Hall se aproxima al imán. Cabe mencionar que para distancias mayores a 20 cm el cambio en el voltaje es tan pequeño que el instrumento no logra detectar una gran diferencia, por lo que en estas condiciones solo sirve como sensor de proximidad y no como un instrumento de medicion de intensidad de campo magnetico a distancias grandes, esto se observa claramente en la tabla 5 pues vemos que las curvas que se ajustaron son de grado menor que -1, por lo que al aumentar la distancia, disminuye rapidamente la intensidad de campo magnetico. Es por esto mismo que se necesita trabajar en campos magnéticos muy intensos para que la punta funcione como sensor. Experimento 5 De la grafica 6 se puede asegurar que el campo magnético en los electroimanes es constante en una región de [-2,2] tanto en el eje X como en el eje Y, pero al acercase a los bordes del electroimán, el campo empieza a deformarse cada vez mas pronunciado dependiendo de la altura en la que se están haciendo las mediciones, se usó una corriente del electroiman de 1.00±0.09 A y una corriente de control de
80.00±0.02 mA. Por el experimento cero se espera que el campo magnético en el centro del electroimán sea de 93.60 ±0.03 mT, lo que concuerda con el mapeo de la punta Hall.
CONCLUSIONES El gaussmetro usando en el experimento 0 fue tomado como un instrumento confiable de medición de intensidad de campo magnético y sirvió de referencia para la caracterisacion de la punta Hall realizada en los experimentos 1 y 2 los cuales comprobaron la validez de la ec (8). El experimento 1 sirvio para comprobar que el efecto Hall crece linealmente si la corriente de control crece. Por otro la lado, el experimento 2 sirvió para comprobar que el voltaje Hall crece linealmente con el aumento de campo magnético (que se varió controlando la corriente que pasaba por el electroimán), dada la relación lineal que se encontró en este experimento (gráfica 3) se determina el valor del coeficiente de Hall entre el ancho de la punta Hall, siendo este de R H/d=(18.66±1.13)mTA/mV que es positivo, por lo que se puede concluir que los portadores de carga en la punta Hall son positivos, los portadores de carga son mayormente debidos a los huecos que hay en la banda de condicion del semiconductor arseniuro de Indio (InAs). Con el experimento 3 se comprobó la veracidad de la ec. (5). Se observa en la gráfica 4 que el máximo del voltaje Hall se encuentra cuando la normal a la superficie de la punta Hall es orientada en la dirección de las líneas de campo magnético y viceversa. Los experimentos 4 y 5 mostraron la viabilidad de encontrar los valores de intensidad de campo
magnético utilizando el valor del voltaje Hall medidos a partir de la punta Hall previamente caracterisdad en los experimentos 1 y 2. En el experimento 4 se encontró una relación entre la distancia de la punta Hall con un imán de barra, concluyendo que se puede usar la punta Hall como un indicador de posición lineal o de proximidad a una objeto imantado. El experimento 5 fue un mapeo del electroimán en el cual, se comprobó que en una región en el centro de este el campo magnético es constante. Con los resultados de los primeros 2 experimentos se puede concluir que la punta Hall es un buen instrumento de medición de intensidad de campo magnético, con esto, es posible confiar en los resultados obtenidos por la punta Hall en los demás experimentos
BIBLIOGRAFÍA Manual del laboratorio de física contemporánea. Efecto Hall. UNAM. Facultad de ciencias. 1966 Beiser, A. Concepts of modern physics. Mc Graw Hill. 2003.
Kittel, C. Introduction to Solid State Physics. Wiley. 2004. BAIRD, D. Experimentation: An Introduction to Measurement Theory and Design. Prentice Hall. 1966.