FLUJO A TRAVES DE UN TUBO CIRCULAR 1) OBJETIVOS
Interpretar una de las siguientes ecuaciones de flujo a través de un tubo circular. Desarrollar la ecuación de un flujo a través de un tubo circular.
2) FUNDAMENTO TEORICO EI flujo de fluidos en tubos circulares es algo común en física, química, biología e ingeniería. La única característica nueva que se introduce aquí es el uso de coordenadas cilíndricas, que son las coordenadas naturales para describir posiciones en un tubo de sección transversal circular. Cuando un líquido fluye en un tubo y su velocidad es baja, fluye en líneas parale las a lo largo del eje del tubo, este recibe el nombre de “flujo laminar”. Cuando aumenta la velocidad del flujo este se dispersa se dispersa hasta que adquiere un movimiento de torbellino en el que se forman corrientes cruzadas y remolinos el cual recibe el nombre de “flujo turbulento” El paso de régimen laminar a turbulento no es inmediato, sino que existe un comportamiento intermedio indefinido que se conoce como “régimen de transición”. Los diferentes regímenes de flujo y la asignación de valores numéricos de cada uno fueron reportados por primera vez por Osborne Reynolds el cual observo que el tipo de flujo adquirido por un líquido que fluye dentro de una tubería depende de la velocidad del líquido, el diámetro de la tubería y de algunas propiedades físicas del fluído. fluído. Así, el número de Reynolds es un número adimensional que relaciona las propiedades físicas del fluído, su velocidad y la geometría del ducto por el que fluye y está dado por:
Donde:
Re = Numero de Reynolds D = Diámetro del ducto [L] v = Velocidad promedio del líquido (L/ T) ρ = Densidad
del líquido (M/L3)
µ = Viscosidad del líquido (M/L·t) Generalmente cuando el número de Reynolds se encuentra por debajo de 2100 se sabe que el flujo es laminar, el intervalo entre 2100 y 4000 se considera como flujo de transición y para valores mayores de 4000 se considera como flujo turbulento. Este grupo adimensional es uno de los p arámetros más utilizados en los diversos campos en los que se presentan fluidos en movimiento.
3) DESARROLLO
Como sistema elegimos una envoltura cilíndrica Δr y Longitud L, y comenzamos, por enumerarlas diversas contribuciones al balance de cantidad de movimiento en la dirección z :
Velocidad de entrada de cantidad de movimiento en la dirección z a través de la superficie en tubos concéntricos en z = 0
Velocidad de salida de cantidad de movimiento en la dirección z a través de la superficie en tubos concéntricos en z=L
Velocidad de entrada de cantidad de movimiento en la dirección z a través de la superficie cilíndrica en r
Velocidad de salida de cantidad de movimiento en la dirección z a través de la superficie cilíndrica r+Δr
Fuerza de la gravedad que actúa en la dirección z sobre la envoltura cilíndrica
Ahora sumamos las contribuciones al balance de cantidad de movimie nto:
Al dividir la ecuación anterior entre 2πLΔr y tomar el límite Δr 0, se obtiene:
La expresión del miembro izquierdo es la definición de la primera derivada de r ϕrz respecto a r. Por lo tanto la ecuación puede escribirse como:
Ahora evaluamos ϕrz y ϕzz:
A continuación tomamos en consideración los postulados que se hicieron al principio del problema; a saber, que υz υz(r), υr = 0, υΘ = 0 y p = p (z). Luego hacemos las siguientes simplificaciones: =
i. ii. iii.
Como υr = 0, podemos eliminar el término p υ υ r z en la ecuación: Debido a que υz = υz (r), el término ρυz υz es el mismo en ambos extremos del tubo Ya que υ z = υz (r), el término
− es el mismo en ambos extremos del tubo, por lo que la
ecuación se simplifica y queda de la siguiente manera:
Donde P = p – ρ gz es una abreviatura de términos de presión y gravedad, es posible integrar la anterior ecuación para obtener:
La constante C1 se evalúa utilizando la condición límite: C.L. 1: En
r =
0, τrz = finito
En consecuencia, CI debe ser cero, ya que en cas o contrario la densidad de flujo de cantidad de movimiento seria infinita en el eje del tubo. Por tanto, la distribución de densidad de flujo de cantidad de movimiento es
La ley de viscosidad de Newton para esta situación se obtiene a partir del apéndice B.2 como sigue:
Luego, al sustituir esta expresión en la ecuación, se obtiene la siguiente ecuación diferencial para la velocidad:
Esta ecuación diferencial de primer orden de variables separables puede integrarse para obtener:
La constante C 2 se evalúa a partir de la condición límite:
C.L. 2: En
r =
R, υ z = 0
A partir de lo anterior se encuentra que C2 es (P 0 – P L) R 2/4Μl, Por lo tanto la distribución de velocidad es:
Observamos que la distribución de velocidad para flujo laminar incompresible de un fluido newtoniano en un tubo largo es parabólica . Una vez que se ha establecido el perfil de velocidad, es posible obtener varias cantidades derivadas: i.
La velocidad máxima υ z,max ocurre para r = 0 y su valor es:
(0 – ) , = 4
ii.
La velocidad media < υz>, se obtiene al dividir el caudal volumétrico total entre el área de la sección transversal:
(0 ) 1 < > = = = , 8 2 ∫0 ∫0 ∫0 ∫0
iii.
La velocidad de flujo másico velocidad media <υz>:
w
es el producto del área de la sección transver sal πR 2, densidad p y la
Este resultado bastante conocido se denomina ecuación de Ha gen-Poiseille2. Se utiliza, junto con datos experimentales de la velocidad de flujo (gasto) y la diferencia de presión modificada, para determinar la viscosidad de fluidos en un "viscosímetro capilar". iv.
La componente z de la fuerza, F z del fluido sobre la superficie mojada del tubo es justamente el esfuerzo cortante τrz integrado sobre el área mojada
Este resultado establece que la fuerza viscosa Fz, es equilibrada por h fuerza de presión neta y por la fuerza de gravedad. Esto es exactamente lo que se obtendría al hacer un balance de las fuerzas que actúan sobre el fluido en el tubo.
4) APLICACIONES 5) CONCLUSIONES
Se especifica que la longitud del tubo es muy grande respecto al radio del tubo, de modo que los "efectos finales" carezcan de importancia a lo largo de la mayor parte del tubo; es decir, podemos ignorar el hecho de que en la entrada y en la salida del tubo el flujo no necesariamente es paralelo a la pared del tubo. Las cantidades Фzz y Фrz, explican el transporte de cantidad de movimiento por todos los mecanismos posibles, convectivo y molecular. El flujo laminar de fluidos en tubos circulares puede analizarse por medio del balance de cantidad de movimiento. El número de Reynolds es quizá el número adimensional más utilizado en cálculos de ingeniería y su comprensión adecuada resulta fundamental.
6) BIBLIOGRAFÍA
