FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL YAMBIENTAL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL. CURSO
: MATEMÁTICA BÁSICA
ESTUDIANTES :
DOCENTE
CRUZ CORONADO, DARWIN
MAJUAN MONTALVAN, DEIVIS FERNANDO
MONTEZA FERNANDEZ, KEIKO TATIANY
RODRIGUES SANCHEZ, MIGUEL ANGEL
RUBIO MESIAS, ELIZABETH
PEREZ CLAVO, JHORLIN
: FARRO QUESQUEN, JOSÉ LUIS
CHACHAPOYAS (2018)
Contenido
OBJETIVOS ................................................................................................................................... 3 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 4 LÓGICA ......................................................................................................................................... 5 1. Proposiciones lógicas: ........................................................ .......................................................................................................... .................................................. 5 2. Clase de proposiciones pr oposiciones ....................................................... ......................................................................................................... .................................................. 5 3. Proposiciones compuestas ................................................................................................... 5 3.1. Negación (~) .................................................................................................................... 5 3.2. Disyunción débil .............................................................................................................. 6 3.3. Conjunción ....................................................................................................................... 6 3.4. Condicional ...................................................................................................................... 7 3.5. Bicondicional ................................................................................................................... 7 3.6. Disyunción fuerte fu erte .................................................. ...................................................................................................... ........................................................... ....... 7 3.7. Replicador ........................................................................................................................ 8 3.8. Inalterador ........................................................................................................................ 8 3.9. Incompatibilizador ........................................................................................................... 9 EJERCICIOS PROPUESTOS ........................................................................................................ 9 CONCLUSIONES ........................................................................................................................ 19 Referencias ............................................... ..................................................................................................... ..................................................................................... ............................... 21
OBJETIVOS GENERALES:
Entender y comprender que son las proposiciones compuestas
Analizar cada uno de los tipos de proposiciones compuestas
ESPECIFICO
Lograr el desarrollo de los ejercicios, después de comprender toda la teoría.
INTRODUCCIÓN En el presente informe está basado en la recopilación de los libros de Venero y Figueroa de los cuales se han extraído información que se plasmara en él. El tema a tocar será las proposiciones compuestas, pero antes de ello se dará breves conceptos de lógica proposicional y luego se desarrollara los tipos de proposiciones compuestas (conjunción, disyunción, condicional, bicondicional, etc). Y finalmente se desarrollara los ejercicios propuestos.
LÓGICA 1. Proposiciones lógicas: "Son aquellas expresiones u oraciones que pueden ser calificadas bien como verdaderas o bien como falsa, sin ambigüedades. Las proposiciones lógicas serán denotadas con letras minúsculas generalmente:” (Venero, 2016) p, q, r,…., etc. Ejemplos de proposiciones lógicas p: 17-5=12
……. Verdadera (v)
q: Oslo es la capital de Noruega
……. Verdadera (v)
r: 215+125=440
……. Falsa (F)
2. Clase de proposiciones
Proposiciones simples o compuestas: Son aquellas por las que se puede representar por una solo variable (p, q, r, etc).
Proposiciones compuestas o moleculares: Son aquellas son aquellas que se le representa por dos o más variables unidas por conectores lógicos.
3. Proposiciones compuestas 3.1. Negación (~) “Dada una proposición p, se denomina la negación de p. a otra proposición
denotada por: ~p, y que le signa el valor veritativo opuesto al de p. su tabla de verdad es:” (Venero, 2016)
3.2. Disyunción débil Se le denota “p v q” y se lee “p o q”. Es una proposición compuesta por la
proposición p y la proposición q, ambas relacionadas por la palabra “o”. La proposición p v q es falsa únicamente en el caso en que p y q son ambas falsas: en cualquier otro caso es verdadera. (Venero, 2016) En su tabla de verdad se denota de la siguiente manera:
3.3. Conjunción Se simboliza “p
˄
q”, y se lee como “p y q”. Se le define como una nueva
proposición que resulta verdadera (v) en el único caso en que las proposiciones componentes p y q son amabas verdaderas (V). En todos los demás casos es (F). Su tabla de verdad es la siguiente:
3.4. Condicional Se le simboliza “p → q” y se lee “si p entonces q”. Cuando la proposición p
es verdadera y la proposición q es falsa, es el único caso es donde es falsa en los demás casos es verdadera. Su tabla de verdad se denota de la siguiente manera.
3.5. Bicondicional Se denota “p ↔ q”, y se lee “p si y solo si q”. Es aquella proposición
compuesta que es verdadera en los casos en que ambas p y q tengan valores veritativos iguales (ambas verdaderas o ambas falsas); y es falsa en los casos en p y q tengan valores veritativos opuestos. Su tabla de verdad es la siguiente:
3.6. Disyunción fuerte Se le denota “p ∆ q”, y se lee: “o bien p o bien q”. Es aquella proposición
que es verdadera en los casos en que ambas proposiciones p y q tengan valores veritativos opuestos, y es falsa si ambas tienen idénticos valores de verdad. Su tabla de verdad es la siguiente:
3.7. Replicador Se denota “p ← q”, y se lee: “…..si….”, “….porque….”. Es falsa cuando el
antecedente (p) es falsa (F) y el consecuente (q) es verdadero (V), y en los demás casos son verdaderos. Su tabla de verdad es la siguiente:
3.8. Inalterador Se denota “p ↓ q”, y se lee: “ni p ni q”. Es aquella proposición verdadera, cuando
el antecedente y en consecuente son ambos falsas (F), y en el resto de casos son falsas (F). S u tabla de verdad es la siguiente:
3.9. Incompatibilizador Se denota “p / q”, y se lee: “no p ó no q”. Es aquella proposición falsa, cuando
el antecedente y el consecuente son verdaderos; en los demás casos todos son verdaderos. Su tabla de verdad es la siguiente:
EJERCICIOS PROPUESTOS (Figueroa Garcia, 2012). 1. De los enunciados siguientes :
¡Hola que tal! (expresión no proposicional)
+ 1 < 10 (enunciado abierto)
2 + 5 > 6 (proposición)
Todos los hombres son inmortales. (proposición)
Sócrates nació en Atenas. (proposición)
+ 5 ≠ 8. (enunciado abierto)
Cuál de las alternativas siguientes es correcta: a) 3 son enunciados abiertos b) 2 son proposiciones c) 3 no son proposiciones d) 4 son proposiciones
2. Si p: “Carlos vendrá”, q: “Carlos ha recibido la carta” y r: “Carlos está interesado todavía en el asunto”. Simbolizar los siguientes enunciados:
a) “Carlos vendrá, si ha recibido la carta, siempre que esté interesado todavía en el asunto”. r
q p
b) “O Carlos vendrá porque ha recibido la carta o no está interesado todavía en el asunto”
q p
r
c) “Carlos vendrá si y solo si ha recibido la carta o vendrá porque está interesado todavía en el asunto”
p q r p
3. Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones + 5 ≠ 8.
a) (3 + 5 = 8)˅(5 − 3 = 4)
˅
b) (5 − 3 = 8) → (1 − 7 = 6)
→
c) (3 + 8 = 11) ∧ (7 − 4 > 1)
∧
d) (4 + 6 = 9) ↔ (5 − 2 = 4)
↔
4.
p q
r q
p q
q
p
, es verdadera. Hallar los valores de
verdad de p, q y r. V
V
p q r q p q q
p V
p q r q V
F
F
p q r
q F
p q F
˅ ∴≡
≡
r q F → ∴ ≡
≡
p q q
p V
[(˅) → ( ∧ )] ≡ →≡ ≡
La expresión es válida. 5. de la falsedad de ( → ~) ∨ (∼ →∼ ), se deduce que el valor de verdad de los esquemas: = ∼ (∼ ∨∼ ) →∼ ; =∼ (∼ ∧ ) ↔ (∼ →∼ ) y = → ∼ [ →∼ ( → )] , son respectivamente:
a) FFV
b) FFF
c) FVF
d) FVV
( → ~ ) ∨ (∼ →∼ ) = ( → ) ∨ ( → ) = ∨= ∴ =
=
=
=
=∼ (∼ ∨∼ ) →∼
=∼ (∼ ∧ ) ↔ (∼ →∼ )
=∼ ( ∨ ) →
=∼ ( ∧ ) ↔ ( → )
=∼ ( ) →
=∼ () ↔ ()
= →
= ↔ ()
=
= = →∼ [ →∼ ( → )] = →∼ [ →∼ ( → )] = →∼ [ →∼ ( )] = →∼ [ → ] =→ =
6. Se sabe que ∧ y → son falsas. De los esquemas moleculares siguientes, cuales son verdaderos: = (∼ ∨ ) ∨∼ ; =∼ [ ∧ (∼ ∨∼ )] ; = [( → ) ∧∼ ( ∧ )] ↔ [∼ ∨ ( ∧ ∼ )].
∧=
→=
∧=
→= ∴ =
=
=
= (∼ ∨ ) ∨∼
=∼ [ ∧ ( ∨ )]
= ( ∨ ) ∨
=∼ [ ∧ ]
= () ∨
=∼ ()
=
=
= [( → ) ∧∼ ( ∧ )] ↔ [ ∨ ( ∧ )] = [ ∧∼ ()] ↔ [ ∨ ] = [ ∧ ] ↔ [ ∨ ] =↔ =
7. La proposición ( ∧ ) → ( → ) es falsa , y se tienen los esquemas moleculares: =∼ ( ∨ ) ∨ ( ∨ ) ,
= ( ∨∼ ) → (∼ ∨ )
y = [( ∧ ) ∨ ( ∧∼
)] ↔ ( ∨∼ ). Cuales son falsas. ( ∧ ) → ( → ) = ( ∧ ) → ( → ) = →= ∴ =
=
=∼ ( ∨ ) ∨ ( ∨ )
=
= ( ∨∼ ) → (∼ ∨ )
=∼ ( ∨ ) ∨ ( ∨ )
=(∨)→(∨)
=∼ () ∨
=→
= ∨
=
= = [( ∧ ) ∨ ( ∧ ∼ )] ↔ ( ∨∼ ) = [( ∧ ) ∨ ( ∧ )] ↔ ( ∨ ) = [ ∨ ] ↔ =↔ =
8. Si la proposición A (p→~q) → (r→~s) es falsa, hallar el valor de verdad de las ˄ proposiciones q, p, r, s. (en este orden).
A (p→~q) → (r→~s) F V F v(p) V v(r) V v(q) F v(s) V
9. Dadas las proposiciones: A (p →q) →r; v(r) V. B (p ˅ q) ↔ (~p˄~q); v(q) V. C (p ˄ q) → (p ˄ r); v(p) V y v(r) F. D p˄ (q → r); v(r) V. En qué casos la información que se da es suficiente para determinar el valor de verdad de cada proposición.
A (p →q) →r
v(r) V
(p → q)→V
V
la información es suficiente
B (p ˅ q) ↔ (~p˄~q)
v(q)V
(p ˅ V) ↔ (~p ˄ F) V↔F
F
la información es suficiente
C (p ˄ q) → (p ˄ r)
v(p) V y v(r) F.
(V ˄ q) → (V ˄ F) q→F
V
la información es suficiente
D p˄ (q → r)
v(r) V.
p˄ (q→ V) p ˄ V
p
la información no es suficiente
10. (p ˅ q) ↔ (r ˄ s) es una proposición verdadera, teniendo r y s valores de verdad opuestos. De las afirmaciones siguientes cuales son verdaderas: A [(~p˄~p) ˅ (r ˄ s)] ˄ p; es verdadera. B [~ (p ˅ q) ˄ (r ˅ s)] ˅ (~p ˄ q); es falsa. C [(~r˄~s) → (p ˅ r)] ˄~(r ˄ s); es verdadera.
-Condición (p ˅ q) ↔ (r ˄ s) V F F v (p) F v(r) V v(q) F v(s) F
A [(~p˄~p) ˅ (r ˄ s)] ˄ p
(V˄V) ˅ (V˄F) ˄ F (V˅F) ˄ F V˄F
F B [~ (p ˅ q) ˄ (r ˅ s)] ˅ (~p ˄ q)
(~V˄ F) ˅ (V˄F) F ˅ F
F C [(~r˄~s) → (p ˅ r)] ˄~(r ˄ s)
(F → V) ˄ V V˄V
V Solo B y C son verdaderas
➡
11. Si la proposición (~ ∧ ) → (~ ∨ ) es falsa, de las proposiciones siguientes, ¿cuáles son verdaderas?:
p q r V s r F V F F
p q V
A.
p V q V
p q r F V F F V
F
p q r
V F
s r
s
r
F
F
B.
p q
rr
s
p q r r s (V V ) V V
V V F
C. p
q
p
q
p q p F F F
q
F F F
12. Si las proposiciones = ( ↔ ) ↔ ~ y = [( → )∆~]∆, son verdaderas, hallar los valores de verdad de , y ∆ , en ese orden.
A P
S
S
S
F V
P
F
F
( F ) (F) V
13. Dada la siguiente información: ( → ) = ; ( ∧ ) = ; ( ∨ ) = y ( ∨ ) = .determinar el valor de verdad del esquema molecular: = [( ∨ ~) → ( ∧ ~)] ↔ ( ∧ ).
v mn
V
v nr
F
mn
V
V
F
V
r
n
n
r
F
F
V
= [( ∨ ~) → ( ∧ ~)] ↔ ( ∧ ) = [( ∨ ~) → ( ∧ ~)] ↔ ( ∧ ) = [( ∨ ) → ( ∧ ] ↔
= ( → ) ↔ = ↔ =
14. Si = ( ↔ ) ∧ ∼ (∼ ∨ ∼ ), es verdadera, hallar el valor de verdad de la proposición = ( → ) ↔ ( ↔ ).
SOLUCION:
( ↔ ) ∧ ∼ (∼ ∨ ∼ )
L P M E E R
↔ ∧ ∼( ∨
S O M A Z A
(→)↔(↔) ( → ) ↔ ( ⟷ )
)
∴ = =
15. Si ( ↔ ) = , [∼ ( → )] = (∼ ∧ ∼ ) = , hallar el valor de verdad del esquema = [( ∨ ) → ( ∧ ∼ )] ∨ ( ↔ ). SOLUCION:
[∼ ( → )] =
( ↔ ) =
(∼ ∧ ∼ ) =
POR LA LEY
POR LA LEY DE
CONMUTATI
MORGAN
VA A=[(
∨ ) → ( ∧ ∼ )] ∨ ( ↔ )
(
→
) ∨
∨
16. Si p,q,r,s,t,w son proposiciones cualesquiera tales que: (~ → ~) = y [( ∧ ~) ↔ ( → )] = ; hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas:
A=[( ∧ ) ∨ ] ∨ ; B=( ↔ ~) → ( ∨ ~) y C=[ → ( ∨ ~)] ∨ ~( → )
SOLUCIÓN (~ → ~) =
[( ∧ ~ ) ↔ ( → )] =
( → ) =
( ∧ ~ ) ↔ ( → )
p=V F r=V F = [( ∧ ) ∨ ] ∧ = [( ∧ ) ∨ ] ∨ = ( ∨ ) ∨
= ( ↔ ~) → ( ∨ ~ ) = ( ↔ ) → ( ∨ ) =→
= [ → ( ∨ ~ )] ∨ ~( → ) = [ → ( ∨ )] ∨ ~( → ) = [ → () ∨ ( )] = [ → ]
17. Dadas las proposiciones:
p: Los números m y n son múltiplos enteros de 5. q: El producto de los números m y n es un múltiplo entero de 5. Analizar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: a) p es condición suficiente para q (V) b) p sólo si q (F) c) p es condición necesaria para q (F) 18. Si la proposición = (~ → ) ∨ ( → ~) es falsa; cuáles de los siguientes esquemas moleculares son falsos: = [( → ) ∧ ] ↔ [( ~ ∨ ) ∧ ]; ~(∨)∨~
= [( ∨ ) ∧ ~ ] → ~( → ).
= (~ → ) ∨ ( → ~) =
p= F q= F s= V r= V
= [( → ) ∧ ] ↔ [(~ ∨ ) ∧ ] = [( ~ ∨ ) ∧ ] ↔ [~ ∨ ) ∧ ] = [] ↔ [( ~ ∨ ) ∧ ] = [] ↔ ( ∨ ) ∧ = ↔∧ =
= ~[( ∨ ) ∧ ~ ] → ~( → ) = ~[~ ∧ ] → ~( → ) = ( ∨ ~) → ( ∧ ~) = ( ∨ ) → ( ∧ ) =→ =
= ~( ∨ ) ∨ ~ = (~ ∧ ~) ∨ ~ = ~ =
=
CONCLUSIONES Podemos concluir que hemos llegado a lograr nuestros objetivos que fueron planteados inicialmente, que constaban de entender y comprender toda la teoría de las proposiciones compuestas y todo esto nos ayudaría a las resolución de ejercicios, entonces decimos que hemos logrados los objetivos. Por otra parte este tema que hemos desarrollado a mejorar nuestro aprendizaje.
Referencias Figueroa Garcia, R. (2012). Matemática Básica. Lima: Editorial RFG. Venero, A. (2016). Matemática Basica. Lima: Editores Gemar. William,
S.
(2012).
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