UNIVERSIDAD NACIONAL
DE INGENIERÍA
Intersección de gráficas
lp(m) vs. d(m)
PÉNDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER
OBJETIVO TEMÁTICO:
Estudiar las características del movimiento oscilatorio de un sólido rígido haciendo uso de los conceptos de oscilador armónico, centro de masa, momento de inercia, radio de giro torque, momento angular.
OBJETIVO ESPECÍFICO:
Estudiar la dependencia del periodo de oscilación de un péndulo compuesto (barra) con respecto a la distancia desde el centro de gravedad al eje de giro
Determinar de manera experimental el momento de inercia de la barra.
RESUMEN
Para poder entender y realizar lo hecho en el laboratorio, previamente necesitamos conocer ciertos aspectos del tema de momento de inercia (en este caso se trata de un sistema discreto), y para los respectivos cálculos necesitamos conocer las dimensiones de la barra continua, el eje de giro, además las distancias desde el orificio del centro de masa a cada orificio de la barra y también la aplicación del teorema de Steiner.
En este laboratorio tenemos que medir el periodo de 5 oscilaciones respecto a los diez agujeros. Ya teniendo todos nuestros datos procedemos a realizar los respectivos gráficos.
MODELO MATEMÁTICO:
I=x2dm
Io=mK2+md2
τo=Io.α
α=θ
-mgsenθd=Io.α
0=Io.θ+mgsenθd
senθ θ
0=Io.θ+mgdθ
0=θ+mgdθIo
0=θ+ω2θ ω2=mgdIo T=2πIomgd Del péndulo simple tenemos:
T=2πlpg 2πlpg= 2πIomgd lp=K2 d+d
Calculamos el valor teórico del momento de inercia del centro de masa de la barra respecto a su eje de giro
z
x y
El momento de inercia de cada una de las placas es
Aplicando el teorema de Steiner
Finalmente integramos de –c/2 a c/2
Momento de inercia del cilindrito hueco considerando que posee masa
Cálculo del valor teórico del momento de inercia de la barra con agujero respecto al centro de gravedad
Ibarra con agujeros= Ibarra sin agujeros-Io de cada uno de los agujeros
i=1n . di2Ha sido calculado en la última tablai=1n . di2Ha sido calculado en la última tablaTeorema de Steiner
i=1n . di2
Ha sido calculado en la última tabla
i=1n . di2
Ha sido calculado en la última tabla
Io=Icm+md2 Io1=m agujero R22+m agujero X di2
i=1nIoi=i=1nm agujero R22+i=1nm agujero . di2
i=1nIoi=m agujeroi=1n R22+i=1n . di2=8.438118×10-3kg19 0.007522+1.79560625=0.015156047kg.m2
Necesitamos la masa de los agujeros y la masa de la barra sin agujeros, para ello necesitamos la densidad de la barra.
Reemplazando nuestros datos:
Datos:
Largo de la barra=1.1m
Ancho de la barra= 0.037m
Espesor de la barra= 0.005m
Radio del hueco = 0.0075m
Masa de la barra con huecos= 1.7836kg
m=ρV Vbarra con agujeros = Vbarra –19Vagujero
Vbarra con agujeros = 2,035×10-4-1.67879×10-5=1.8671×10-4 m3
ρ=9549,996298kg/m3
Vagujero=8,83573×10-7 masa de cada agujero=8.438118×10-3kg
m barra sin agujeros = m barra con agujeros +19m del agujero
= 1.7831kg +0,160324247kg=1,943424kg
Icm de la barra sin agujeros=m(L2+b212 )=1.943424(1.12+0.037212)=0.1961836kg.m2
Ibarra con agujeros= Ibarra sin agujeros-Io de cada uno de los agujeros
Iteórico=0.1961836kg.m2-0.015156407kg.m2
Iteórico=0.18102761kg.m2
d(m)
T(s)
lp(m)
0.5025
1.626
0.656977284
0.4475
1.575333333
0.616671952
0.3925
1.550666667
0.597511369
0.3375
1.533333333
0.584228077
0.2825
1.51
0.566582512
0.2275
1.569333333
0.611983439
0.1725
1.685333333
0.705798761
0.1175
1.888666667
0.886379905
0.0625
2.53
1.59056094
Gráfica T vs d
T(s)
d(m)
1.626
0.5025
1.575333333
0.4475
1.550666667
0.3925
1.533333333
0.3375
1.51
0.2825
1.569333333
0.2275
1.685333333
0.1725
1.888666667
0.1175
2.53
0.0625
Análisis del gráfico T vs d
Tenemos que dld(d)=0 y también tenemos T=2πIomgd gT2=4π2(K2 d+d )
lp=K2 d+d gT4π22=lp derivamos a ambos lados respecto a d
gT2π2d(T)d(d)=dld(d)=0 d(T)d(d)=0 , la ecuación de la gráfica es muy tediosa de hallar por lo cual aproximamos a una ecuación con línea de tendencia polinomial de orden 2.
d(T)d(d)=0, esto nos quiere decir que en la gráfica existe un punto crítico
Derivamos la función 11.371x2 - 7.8977x + 2.8131
d(T)d(d)=0 22.742X-7.8977=0 X=0.3472737=dmín=K
MK2=Isistema=0.21504117 kg.m2 Error =I-ITIT. 100 % = (0.21504-0.18100.21504 ). 100%= 15.82%
Grafica de lp vs d
d(m)
lp(m)
0.5025
0.656977284
0.4475
0.616671952
0.3925
0.597511369
0.3375
0.584228077
0.2825
0.566582512
0.2275
0.611983439
0.1725
0.705798761
0.1175
0.886379905
0.0625
1.59056094
Derivamos la función 11.219x2 - 7.7897x + 1.8364
d(lp)d(d)=0
22.438X-7.7897=0 X=0.347165523=dmín=K I=MK2 Momento de inercia del sistema
1.7831(0.347165523)2=0.214906166Kg.m2
Que sucede cuando lpi=2di según lp=K2 d+d lp=2d
2d=K2 d+d d=K
D(m)
2d=lpi
0.5025
1.005
0.4475
0.895
0.3925
0.785
0.3375
0.675
0.2825
0.565
0.2275
0.455
0.1725
0.345
0.1175
0.235
0.0625
0.125
d(m)
Lp
0.5025
0.656977284
0.4475
0.616671952
0.3925
0.597511369
0.3375
0.584228077
0.2825
0.566582512
0.2275
0.611983439
0.1725
0.705798761
0.1175
0.886379905
0.0625
1.59056094
0.29980647=dmín=K La intersección nos da el valor de K
I=MK2 Momento de inercia del sistema
I=1.7831*0.29980647²
I=0.16027202
Error =I-ITIT. 100 % = (0.16027-0.18100.16027 ). 100%= 12.95 %
Por mínimos cuadrados
1/Di se puede obviar ya que la ecuación será solo múltiple de esta y no influye con los resultados
i=1n((lpi-K2di-Di )/Di)2 ddK[i=1n(lpi-K2di-di )2 ]=0
=ddK[i=1nli2+ i=1ndi2-2i=1nli.di+i=1nK4di2-2i=1nK2lidi+i=1n2K2]=0
li²
Di²
Li x Di
2li x di
1/di²
li/Di
2li/Di
0.431619151
0.25250625
0.108986533
0.66026217
3.960298012
1.30741748
2.61483496
0.380284296
0.20025625
0.076154307
0.551921397
4.993601948
1.378037881
2.756075762
0.357019836
0.15405625
0.055001137
0.469046425
6.491135543
1.52232196
3.04464392
0.341322446
0.11390625
0.03887876
0.394353952
8.77914952
1.731046154
3.462092308
0.321015742
0.07980625
0.025619063
0.320119119
12.53034693
2.005601811
4.011203622
0.374523729
0.05175625
0.019383944
0.278452465
19.321338
2.690037093
5.380074186
0.498151891
0.02975625
0.014823132
0.243500573
33.60638521
4.091587022
8.183174043
0.785669336
0.01380625
0.010847147
0.208299278
72.43096424
7.543658765
15.08731753
2.529884103
0.00390625
0.00988236
0.198820117
256
25.44897503
50.89795007
6.019490531
0.89975625
0.359576383
3.324775495
418.1132194
47.7186832
95.4373664
Sumatoria de los valores de: li2,di2,2lpi×di,1di2,lidi,2lidi
=ddK[i=1nli2+ i=1ndi2-2i=1nli.di+i=1nK4di2-2i=1nK2lidi+i=1n2K2]=0
K=0.3043 K=0.3043 Reemplazando los valores para hallar "K"
K=0.3043
K=0.3043
=ddK[6.0195+0.8998 -3.3248+K4418.1132-K247.7187+K218]=0
ddK[3.5945+K4418.1132-K277.4374]=0
ddK[K4418.1132-K277.4374]=0
K31672.4528-K154.8748=0
K31672.4528-K154.8748=0
Entonces el momento de inercia del sistema es
I=MK2 = (1.7836kg) (0.3043)2=0.1652 kg. m2
Error =I-ITIT. 100 % = (0.1652-0.18100.1810 ). 100%= 8,73 %
OBSERVACIONES
Pudimos darnos cuenta que el periodo no depende de la masa de la barra con agujeros.
Al poner la barra hasta más o menos el quinto agujero el periodo disminuía y después del sexto agujero empezaba a incrementarse, lo cual se corrobora en la gráfica.
Los tiempos de las cinco oscilaciones respecto a cada uno de los agujeros calculadas tres veces tienen variaciones, por ello se recurre a hallar un promedio.
Si queremos indagar más y considerar otros aspectos complicados como la temperatura que hace dilatar a los cuerpos, en este caso habría una variación de las dimensiones de la barra y nos llevaría a otros cálculos para hacer más evidente lo hecho en el laboratorio.
CONCLUSIONES
Se puede calcular la longitud de oscilación equivalente a un péndulo simple conociendo K y d de acuerdo a la sgte ecuación lp=K2 d+d
En la gráfica T vs d podemos obtener el momento de inercia 22.62%.
En la gráfica lp vs d al calcular el momento de inercia se observa que el valor obtenido es muy cercano al Teórico y con un error muy pequeño lo cual indica que es un método muy acertado para hallar el momento de inercia.
En la intersección de la gráfica de lp vs d y la condición de lp=2d se valida que el valor aproximado de la intersección nos da exactamente el valor de K, que es un dmín que esta entre el punto 5 y 7 de la gráfica, lo cual nos permite calcular el momento de inercia experimental del sistema.
En la intersección de la gráfica de lp vs d y la condición de lp=2d también notamos que la longitud equivalente de un péndulo simple al tomar 2dmín no acerca al cálculo del periodo del péndulo físico y como pusimos en la conclusión anterior un K del sistema.
Se concluye que existen varias maneras de calcular el valor de K, por mínimos cuadrados se obtiene un valor de 0.2985 y hallando el momento de inercia se obtiene un error también pequeño pero mucho mayor que el obtenido en la gráfica lp vs. d.
Se concluye de acuerdo a nuestros cálculos que de los tres métodos el más confiable es mediante la gráfica lp vs. d debido al porcentaje de error de 2.2262 %, menor al resto de los métodos para hallar K.
RECOMENDACIONES
Se requiere que la oscilación sea para ángulos pequeños que cumplan con la serie de Maclaurin sinθ θ, para que cumpla con la ecuación 0=θ+ω2θ
Para tomar el periodo de las oscilaciones experimentales debemos considerar un punto de referencia de ida y vuelta, para que al soltar la barra desde distintos agujeros tengan las mismas condiciones.
Para tomar bien los periodos de oscilación debemos de soltar la barra sin aplicarle fuerza externa, ya que se si se le aplica una fuerza le damos aceleración lo cual provoca una variación en el periodo.
Se debe calcular el momento de inercia del sistema tal como presenta su geometría para obtener menos errores.
No olvidarse de realizar las mediciones de las dimensiones de la barra así como su masa, ya que son parte imprescindible en nuestros cálculos.
BIBLIOGRAFÍA
ALONSO, Marcelo; Finn, Edwar J.,FISICA/1967.(momento de inercia).
www.fisicarecreativa.com
Física para estudiantes de ciencias e ingeniería, Halliday, Resnick y Krane, 4ta. Ed., Vol. II, Cía. Editorial Continental, S.A. México, (1985).
G. O. Kolodiy, An experiment with a physical pendulum, The Physics Teacher 17, 52 (1979)
T vs. d
d (m)
T (seg)
