Inecuaciones-Informe Mat.basica (2)

UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRIGUEZ DE MENDOZA DE AMAZONAS LEY DE CREACION N° 27347

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FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y ADMINISTRATIVAS TEMA: Inecuaciones CURSO: Matemática CURSO: Matemática Básica DOCENTE: Lic. Kelly Padilla Huaman ESCUELA PROFESIONAL: Economía CICLO ACADEMICO: I

SEMESTRE ACADEMICO: 2017-II

INTEGRANTES: • • • • •

MUÑOZ CHAVEZ, JULY FLOR CERCADO LOPEZ, VICTOR RAUL GALOC GALOC, TEONICA OLANO PEREZ, DILVER GABRIEL LIZA DAMACEN, JHASSYBEL

CHACHAPOYAS-2017

CONTENIDO INDICE: I.

CONTENIDO…………………………………………………………………….…..2

II.

DEDICATORIA………………………………………………...................................3

III.

OBJETIVOS……………………………………………………………..……….…..4 3.1.

Objetivo General

3.2.

Objetivos Específicos

IV.

INTRODUCCION………………………………………………………………......…5

V.

INECUACIONES E INTERVALOS………………………………………….…….6 5.1.

Inecuaciones, por grado, número de incógnitas,

5.2.

Intervalos

VI.

INECUACIONES LINEALES………………………………………………..……..8

VII.

INECUACIONES CUADRATICAS……………………………………………….10

VIII. INECUACIONES FRACCIONARIAS……………………………………………12 IX.

INECUACIONES RADICALES…………………………………………………...14

X.

INECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO……..……………………………....15

XI.

INECUACIONES LOGARITMICAS……………………………………………..17

XII.

INECUACIONES EXPONENCIALES………………………………………....…20

XIII. INECUACIONES DE MAXIMO ENTERO ………………………………………22 XIV. PROPIEDADES Y METODOS PARA RESOLVER …………………………….25 XV.

APLICACIÓN DEL TEMA EN LA REALIDAD ………………………………...26 15.1. En La Vida Cotidiana 15.2. En Nuestra Profesión

XVI. AGRADECIMIENTO………………………………………………………………27 XVII. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS…………………………………………….28

Campus Universitario, Sede Administrativa, Teléfono 041-477694, Chachapoyas, Perú Email: [email protected] / www.untrm.edu.pe

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DEDICATORIA El presente trabajo está dedicado de manera muy especial a nuestros padres que nos dieron la existencia y en ella la capacidad de superarnos, a nuestras familias por el sacrificio y esfuerzo para darnos una educación, dicho esfuerzo será recompensado por cada uno de nosotros a nuestros en un futuro no muy lejano.


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III.OBJETIVOS

3.1. OBJETIVO GENERAL •

Fortalecer nuestros conocimientos en el área del álgebra, de manera específica en las inecuaciones que contribuirá en el desarrollo de la capacidad de análisis, razonamiento lógico y aptitudes que conlleven a nuestra formación académica, de tal manera que nos permita interpretar, relacionar, comprender, analizar an alizar y solucionar correctamente hechos y fenómenos en el ámbito de la economía.

3.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS •

Comparar números reales, usando los signos de desigualdad para expresar la relación existente entre ellos.

•

Aplicar las propiedades relacionadas a la resolución de inecuaciones.

•

Resolver inecuaciones con incógnita(s), de primer grado, segundo grado.

•

Expresar las soluciones de una inecuación mediante desigualdades, intervalos y gráficamente.

•

Valorar la recta real como elemento útil para representar los números reales.

•

Aplicar los productos notables y la factorización en la resolución de dichos ejercicios.

•

Resolver problemas mediante la aplicación del tema mencionado.


4

INTRODUCCION En estas expresiones se utilizan signos como ≤, <, >, ≥. Todas ellas son desigualdades a las que llamamos inecuaciones. Swokowski y Cole, (2009) “Una desigualdad es un enunciado de que dos cantidades o expresiones no son iguales. Puede ser el caso que una cantidad sea menor que, menor que o igual a, mayor que o mayor que o igual a otra cantidad ”. Por ejemplo: ax + b > 0, donde a y b son constantes y x es la variable. La solución de una inecuación es un intervalo en los números reales que pueden ser de varios tipos (Mejía, Álvarez y Fernández, 2005) Una inecuación es una desigualdad una desigualdad que relaciona letras y números mediante las operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que al sustituirlos en la inecuación hacen que la desigualdad sea cierta. desigualdad

sea

cierta.


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V.INECUACIONES E INTERVALOS 5.2. Inecuaciones, por grado, número de incógnitas.


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5.3. Intervalos


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VI. INECUACIONES LINEALES Definición: Según Definición: Según Espinoza, R (2014). “inecuaciones lineales o de primer grado son desigualdades en las que interviene una o más incógnitas, más incógnitas, números números y uno de los signos de desigualdad (">", "<", "≥", "≤"), las cuales se verifican para determinados valores de las incógnitas”


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VII. INECUACIONES NO LINEALES O CUADRATICAS Definición: Según Figueroa, R. (2016). “Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la variable tiene exponente 2 que es reducida a su más simple expresión”. Las inecuaciones Cuadráticas con una incógnita tienen las siguientes formas: ():   +  +  <  … … …  ():   +  +  >  … … …  ():   +  +  ≤  … … …  ():   +  +  ≥  … … … 

Condición: Donde a,b,c son números Reales y a ≠0.


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VIII. INECUACION I NECUACIONES ES FRACCIONARIAS


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IX. INECUACIONES RADICALES


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X. INECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO Nuestro objetivo en este capítulo es lograr resolver inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes reales con a = 0, y x es una variable real. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

Enunciaremos a continuación algunas ser utilizadas para fa- licitar el trabajo incluyen valor absoluto. PROPIEDAD 1: ∀ x, x

R:

∈

PROPIEDAD 2: Si x

∈

PROPIEDAD 3: Si x

∈

propiedades del valor absoluto, las cuales podrán en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que

|x| ≥ 0

R y |x| = 0 entonces x = 0 R , y

∈

R entonces

|x · y| = |x| | y |

x, x PROPIEDAD 4: ∀

∈

x| R : | − x| = | x


∈

R:

PROPIEDAD 6: Sea x

una variable real y k un númer o real positivo entonces:

|x| =

k

PROPIEDAD 7: Sea x |x|

⇐⇒

x

k o ´

>k

x

−k

=

o

x

< −k

una variable real y k un número real positivo entonces:

i.)

|x| ≤ k

⇐⇒

ii.)

|x| ≥ k

⇐⇒ x


PROPIEDAD

⇐⇒ x =

una variable real y k un número real positivo entonces:

>k

PROPIEDAD 8: Sea x

|x|2 = x2

∈

−k ≤ x x ≤ k ≥ k

o

x ≤ k

x ≤ | x x| R : −|x| ≤ x

10(desigualdad

triangular) : Si x

∈

R , y ∈ R entonces

|x + y| ≤ |x| + | y |

Ejemplos:


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XI. INECUACIONES LOGARITMICAS Para estudiar las inecuaciones logarítmicas es necesario recordar lo siguiente: En primer lugar, la definición de logaritmo, es decir:

✓

l og b N = x Å Æ N=b x

En segundo lugar, las propiedades del logaritmo.

✓

a) log b AB = lo g b A + logbB b) log b A/B = logb A - lo gbB c) log b A n = n log b A d) log b n A = 1 / n logbA e) log b 1 =0 f) log b b =1 g) log a N =log b N log b a En tercer lugar, se observa la gráfica gráfica y = log b x c u a n d o b > 1 y 0 1

0 1, en la la gráfica podemos observar: i) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo. ii) Los números entre 0 y 1 tienen logaritmo negativo, entonces para cualquier X1, X 2 ∈ R + se tiene: si b > 1 y 0 < x 1 < x 2 Así y solo si lo g b x 1 < log b x 2 De donde deducimos las relaciones siguientes: a) Si x > 0, b > 1; N ∈ R si y solo si lo g b x > N si y solo si x > b n b) Si x > 0, b > 1; N ∈ R si y solo si lo g b x < N si y solo si x < b n 2º Caso: Cuando la base es 0 b < 1 y 0 < x 1 < x 2 ÅÆ log b x 1 > lo g b x 2 De donde deducimos las relaciones siguientes: a) Si x < 0, 0 N ÅÆ 0 < x 0, 0 b N EJEMPLOS:


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XII. INECUACION I NECUACIONES ES EXPONENCIALES Las inecuaciones exponenciales en una incógnita son de la forma: af(x) > ag(x)

af(x) < ag(x)

Donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a ∈ R + a ≠ 1. Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos: 1º Caso: Caso: Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el mismo sentido prefijado, es decir: Si af(x) > ag(x) Si af(x) < ag(x)





f(x) > g(x) f(x) < g(x)

2º Caso: Caso: Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en sentido contrario prefijado, es decir: Si af(x) > ag(x)



f(x) < g(x)

Si af(x) < ag(x)



f(x) > g(x

Ejemplos: Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:


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XIII. INECUACIONES DE MAXIMO ENTERO Si x es un número real, el máximo entero de x representaremos por [|x|], y es el mayor de todos los enteros menores o iguales a x, es decir: [| x |] = máx. { n

Z/x>n}

P ar a calcu calcular lar el máximo en te r o de un número real x, se se observa observa to do s los los enteros enteros qu e sea encu encuen entr tran an a la izq ui er da de x ( o qu e co in ci de n c o n x , en caso ca so q ue x se a entero) y el mayor de todos ellos es el máximo entero [|x|]. [|x| ]. -1

0

1

2

x

3

4

5

D e d onde: [ | x | ] = 2 S i x se encuentra entre dos enteso s consecutivos de la f o r m r m a :

n

x

n+1

Entonces: [|x |] = n Å Æ n < x < n + 1, n ∈ Z PROPIEDADES DE MAXIMO ENTERO 1 . [|x |] ∈ Z 2 . [ | x |] = x  x ∈ Z 3 . [ | x |] < x < [ | x |] + 1 , ∀ x ∈ R 4. 0 < x - [|x |] < 1, ∀ x ∈ R 5 . [|[|x|]|] [|[|x |]|] = [ | x | ]

6. [| x + n|] = [ | x |] + n, n ∈ Z 7 . [ | x |] < n Å Æ x < n + 1, n ∈ Z 8 . [ | x |] < n Å Æ x < n, n ∈ Z 9 . [ | x |] > n Å Æ x > n, n ∈ Z 10 . Si y ∈ Z , [ | x |] > y Å Æ x > y 11 . Si y ∈ Z , [ | x |] < y Å Æ x < y + 1 12. ∀ x,y ∈ R , s i x < y Å Æ [ | x |] < [ | y | ]


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3


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XIV. PROPIEDADES Y METODOS PARA RESOLVER CRITERIOS DE EQUIVALENCIA Si a los dos miembros de una inecuación se le suma o resta

3x + 4 < 5

un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a

3x + 4 – 4 4 < 5 -4

la dada.

3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuación se le multiplica o

2x > 6

divide por un mismo número positivo, la inecuación

2x / 2 > 6 / 3

resultante es equivalente a la dada.

x>3

Si a los dos miembros de una inecuación se le multiplica por

-x > 5

un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia

-x (-1) > 5 (-1)

de sentido y es equivalente a la dada.

x < -5

PRODUCTOS NOTABLES

(a + b)2

a2 + 2ab + b2

Binomio al cuadrado

(a + b)3

a3 + 3a 2 b + 3ab3 + b3

Binomio al cubo

A2 – b b2

( a + b) (a – b) b)

Diferencia de cuadrados

A3 – b b3

( a – b b ) (a2 + b2)

Diferencia de cubos

( a + b + c )2

a2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc

Trinomio al cuadrado

(x + a) (x + b)

x2 + (a + b)x +ab

Producto de dos binomios

(a + b)2 + (a – b) b)2 = 2(a2 + b2) (a +

b)2 -

(a – b) b)2 =

4ab

Identidades de Legendre


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XV. APLICACIÓN DEL TEMA EN LA REALIDAD 15.1. En la vida cotidiana Existen muchas ocasiones en la que usamos las matemáticas en nuestra vida diaria, las inecuaciones también forman parte de nuestra vida diaria, talvez no en una manera muy notoria, pero siempre están presentes, a continuación, continuación, algunos casos: •

Para hacer compras: Gastos < Ingresos; para no entrar en un déficit monetario.

•

Para hacer una venta: Precio de venta (Pv) > Precio de costo (Pc); para obtener ganancias. ganancias.

14.2. En nuestra profesión En la Economía, la aplicación de las matemáticas es un elemento “sine

qua non” para la ejecución ejecución de dicha ciencia, estos son algunos casos de

aplicación: •

Punto de equilibrio: No hay perdidas, ni ganancias El ingreso mensual total de una guardería por el cuidado de x niños está dado por I=450x, y sus costos mensuales totales están dados por C=380x+3500¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para obtener ganancias? ganancias? U>0 I – C CT > 0 450x – (380x (380x + 3500) > 0 70x – 3500> 3500> 0 70x > 3500 x > 50 Rpta: Para obtener ganancias, deberán inscribir como mínimo 51 niños.


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AGRADECIMIENTO En este presente trabajo agradecemos a nuestros padres y familiares porque nos brindan su apoyo tanto moral y económicamente para seguir estudiando y lograr nuestras metas trazadas para un futuro mejor y ser orgullos de nuestras familias. A la Universidad Nacional Toribio Rodríguez de Mendoza de Amazonas, nuestra alma máter, porque nos está formando para ser profesionales competentes y útiles a la sociedad. De igual manera a nuestra docente, Lic. Kelly Padilla Huamán, por ilustrarnos con sus conocimientos en las Matemáticas y prepararnos para no desmayar en nuestro camino camino universitario. GRACIAS


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XVII. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y trigonometría con geometría analítica . Estados Unidos: Editorial Cengage Learning Mejía, F, Álvarez, R. y Fernández H. (2005). Matemáticas previas al cálculo . Colombia: Editorial Universidad de Medellín. Recursos TIC. Inecuaciones. Descartes. Recuperado de: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Inecuaciones_ eda05/index.htm Vitutor. Propiedades de las inecuaciones. Recuperado de : https://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/ine01_Contenidos.html Cálculo integral. Productos notables. Recuperado de: http://calculointegralufps1.blogspot.pe/p/productos-notables.html Figueroa, A (2016). Matemática Básica 1 . Lima. Editorial R.G.M.E.I.R.L. pp.699. Espinoza, R (2012). Matemática Básica. Lima, Perú.3° edición: Edukperú.pp.781 Saavedra,T.(2005) Recuperado de : http://cibermatex.net/Inecuaciones-de-segundogrado-con,33 Ciancio, A. Recuperado de: https://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/ine01_Contenidos.html.


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