Induccion Magnetica Problemas

Tema 6. Inducción Electromagnética.

Gymnázium Budějovická

Inducción Electromagnética. Ley de Lenz-Faraday Cuando en las proximidades de un circuito cerrado (un conductor cerrado) existen campos magnéticos, en determinadas circunstancias “aparecen” corrientes en estos circuitos (denominadas corrientes inducidas). A continuación se resumen las leyes que nos describen estas corrientes inducidas y nos dicen cuales son las circunstancias necesarias para que aparezcan.

Concepto de Flujo magnético (Φ): El flujo magnético a través de una superficie es una medida de la cantidad de líneas de campo magnético que atraviesan esa superficie.

G B

• El flujo magnético que atraviesa la superficie de un circuito cerrado depende de los siguientes factores: o De la intensidad del campo magnético (modulo del campo magnético, B) o

Del área del circuito cerrado (S)

o

De la orientación del circuito respecto del campo magnético. En concreto del ángulo formado por B y la dirección normal (perpendicular) al plano del circuito

S

G n

Y viene dado por la expresión1:

φ = BS cos α

circuito

α

G B

Leyes de Lenz y Faraday: La Ley de Lenz nos dice que: “las fuerzas electromotrices o las corrientes

inducidas serán de un sentido tal que se opongan a la variación del flujo magnético que las produjeron”. La Ley de inducción electromagnética de Faraday (o simplemente Ley de Faraday) se basa en los experimentos que Michael Faraday realizó en 1831 y establece que: “la fuerza electromotriz inducida (fem, ε) en un circuito cerrado

es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa la superficie del circuito”. 1

El flujo magnético de una espira se puede expresar de una forma más compacta haciendo uso del producto

escalar y si definimos un vector

G

decir: S= De esta forma:

G S ·n

G G

φ = B·S

G S normal a la superficie de la espira y de módulo igual a su superficie, es



La expresión matemática de esta ley es2:

ε (t ) = −

dφ dt

(versión “real” y exacta de la ley, nos da la fem instantánea)

ε (t ) = −

∆φ ∆t

(versión aproximada de la ley, nos da la fem media)

Observaciones: • En el sistema internacional el Flujo magnético se mide en Weber (1Wb=1T/m2) • La palabra clave en la ley de Faraday es “cambio”, el flujo magnético tiene que cambiar en el tiempo para que halla fuerza electromotriz inducida (y por tanto corriente inducida). El flujo puede cambiar por distintas razones: 1. Porque el causante (inductor) de un campo magnético permanente (el imán) se mueve respecto del circuito (inducido). Movimiento relativo entre inductor e inducido 2. Porque aunque no haya movimiento el campo magnético está variando en el tiempo. Por ejemplo una bobina en la que la corriente varia crea un campo magnético variable 3. Porque el área de la espira (del circuito cerrado) varia (si por ejemplo la deformamos). • Las 2 expresiones para la fem inducida (la fem media y la fem instantánea) dan el mismo resultado cuando el ritmo de variación del flujo magnético es constante. • Los siguientes esquemas pueden aclarar cual es el sentido de la corriente inducida, y 3 como determinar determinarlo .

G Bexterno

Movimiento del imán

G Binducido

Iinducida

Caso A: El imán se acerca. El flujo magnetico aumenta “hacia la izquierda”, por lo que el circuito “se opone” a este cambio creando un campo magnético inducido hacia la derecha intentando que el flujo no aumente

ε (t ) = − N

∆φ ∆t

2

Si en lugar de una espira tenemos N, la ley de Faraday se escribiría:

3

Se deja al alumno intentar justificar los sentidos de las corrientes dibujadas de acuerdo a la ley de Lenz


Iinducida


G Bexterno

G Binducido

Movimiento del imán

Iinducida Caso B: El imán se aleja. El flujo magnético disminuye “hacia la izquierda”, por lo que el circuito “se opone” a este cambio creando un campo magnético inducido hacia la izquierda intentando que el flujo no disminuya

Producción de corriente alterna (senoidal) Si hacemos girar una espira en el interior de un campo magnético (B), aproximadamente uniforme. El flujo magnético que la atraviesa será:

φ = BS cosα Siendo s el área de la espira y α el ángulo entre la inducción magnética y la dirección normal de la espira. Este ángulo como se ve en la figura, varía de 0º a 360º en cada vuelta del conductor. Si expresamos el ángulo girado en función de la velocidad angular de giro

α = ωt ⇒ φ = BS cos ωt Donde ω·t representa el ángulo girado en radianes, siendo ω la velocidad angular en rad/s. Por lo tanto en la espira se inducirá una fuerza electromotriz de valor:

ε (t ) = −

dφ = ωBSsenωt dt

Si la bobina tiene N espiras:

ε = ωNBSsenωt

G n α

G B

Si mantenemos constante la inducción del campo y la velocidad de giro, siéndolo también el número de espiras y el área de las mismas, tendremos:

ε max = ωNBS = cte ε = ε max senωt Como puede verse en la fórmula la f.e.m. resultante tendrá forma senoidal.



Transformadores: Un transformador es un dispositivo muy utilizado en el manejo de la corriente eléctrica alterna, y que, fundamentalmente, sirve para cambiar (“transformar”) el valor de tensión (voltaje) máximo de dicha corriente alterna. Esta formado, básicamente, por dos bobinas (llamadas circuito primario y secundario) enrolladas alrededor de los lados de una pieza, denominada núcleo, con forma de anillo (“donut”) y fabricada de acero o hierro dulce.

El principio de funcionamiento del transformador es el siguiente: • Si por la bobina primaria (también llamada circuito de entrada entrada) circula una corriente alterna debido a una fem ( ε P ) esta corriente genera un campo magnético que atraviesa dicha bobina. • El núcleo de acero actúa como “tubería” para las líneas de esta campo, de forma que prácticamente todas las líneas (el flujo magnético) que atraviesan cada espira de la primera bobina llegan y atraviesan también la segunda: φP ≈ φS (a través de cada bobina) •

Si aplicamos la ley de Lenz-Faraday a la primera y segunda bobina:

∆φP ⎫ ∆t ⎪ como φ ≈ φ ⇒ P S ∆φS ⎬ ⎪ ε S (t ) = − N S ∆t ⎭

ε P (t ) = − N P

εP NP

=

εS NS

(I)

Es decir, eligiendo adecuadamente el número de espiras en el circuito primario y en el secundario podemos conseguir aumentar o disminuir lo que queramos el valor de la tensión (=voltaje, diferencia de potencial) en el circuito de salida:

ε2 =

N2 ε1 N1

Además, como se tiene que cumplir el principio de conservación de la energía, y el transformador no puede “crear” ni “hacer desaparecer energía, si suponemos que en el transformador no se pierde energía en forma de



calor, la potencia en el circuito primario tiene que ser la misma que en el circuito secundario:

ε P ·I P = ε S ·I S O si tenemos en cuenta la ecuación (I):

N1·I1 = N 2 ·I 2 Es decir, si aumentamos la tensión a la salida -en el secundario- la intensidad disminuirá en la misma proporción y viceversa.

primario

I1 Transformadores

ε1

secundario

I2 V2

φ1 ≈ φ2 ⇒

ε1 N1

=

V2 N2

Si no hay perdidas:

ε1·I1 = V2 ·I 2 ⇒ N1·I1 = N 2 ·I 2



FORMULARIO: Inducción Electromagnética Ley de Lenz-Faraday (fem inducida)

ε (t ) = − ε =−

dφ dt

∆φ ∆t

(versión aproximada, fem media)

φ = BS cos α

Flujo magnético

φ = BS cosα

Generador de corriente alterna (alternador)

ε = ωNBSsenωt

ε (t ) = − L

Fem autoinducida primario

I1 Transformadores

(versión exacta, fem instantánea)

ε1

dI dt

secundario

I2 V2

φ1 ≈ φ2 ⇒

ε1 N1

=

V2 N2

Si no hay perdidas:

ε1·I1 = V2 ·I 2 ⇒ N1·I1 = N 2 ·I 2



ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO/ELEKTŘINA A MAGNETISMUS VOCABULARIO-SLOVNÍČEK La Electrostática

Elektrostatika

La fuente eléctrica

La carga eléctrica (Positiva y negativa) El portador de carga El electrón El protón El ión Los materiales conductores Los aislantes, dieléctricos (no conductores) Los semiconductores Electrizar Electrización: • por contacto • por frotamiento • por inducción La inducción electrostática Electricidad estática Atraer Repelerse Inducir

Elektrický náboj (Kladný a záporný) Nosič náboje Elektron Proton Iont Vodivé látky (Vodiče)

El generador La tensión (eléctrica) o la diferencia de potencial La fuerza electromotriz (de una batería) La potencia eléctrica

Izolanty, dielektrika (nevodiče) Polovodiče Elektrizovat, zelektrovat Zelektrizace: • dotykem • třením • indukcí. Elektrostatická indukce Statická elektřina Přitahovat se Odpuzovat se Indukovat

La resistencia eléctrica (magnitud, la propiedad) La resistividad La conductividad eléctrica

Electroscopio Electróforo Chispa Rayo (relámpago) Pararrayos Ionizar

Elektroskop Elektrofor Jiskra Blesk Bleskovod Ionizovat

El campo eléctrico Las líneas de fuerza (líneas de campo) La intensidad del campo eléctrico El potencial eléctrico La diferencia de potencial (ó tensión eléctrica)

Elektrické pole Siločáry

El dipolo eléctrico La polarización La constante dieléctrica o la permitividad La permitividad eléctrica (relativa) La capacidad de un conductor El condensador

Elektrické dipóly Polarizace Dielektrická konstanta nebo Permitivita Permitivita relativní

La corriente eléctrica

Elektrický proud

Corriente continua Corriente alterna La intensidad eléctrica

Intenzita Elektrického pole Elektrický potenciál Elektrické napětí

Kapacita Vodiče Kondenzátor

Stejnosměrný proud Střídavý proud Elektrický proud

Circuitos de corriente

Circular Encender Apagar Conectar La batería La pila Ánodo Cátodo Electrólito El circuito Dispositivo La resistencia (o resistor) El potenciómetro (o reostato) Los bornes, terminales El cable El interruptor La bombilla El diodo El amperímetro El voltímetro El multímetro Pinzas La asociación serie La asociación paralelo

El campo magnético El imán El polo magnético El dipolo El campo magnético La líneas de inducción magnética La espira La bobina La magnetización Magnetizar, imantar La desmagnetización

Elektrický zdroj nebo zdroj napětí Generátor Elektrické napětí Elektromotorické napětí Výkon elektrického proudu

Obvody proudu Elektrický odpor nebo rezistence Měrný odpor Elektrická vodivost nebo konduktivita Proudit, teci Zapnout Vypnout Spojit Baterie Články Anoda Katoda Elektrolit Obvod Zařízení Rezistor Potenciometr nebo reostat Svorky, vývody, Kabel Spínač Žárovka Dioda Ampérmetr Voltmetr Multimetr Svorka Sériové zapojení Paralelní zapojení

Magnetické pole Magnet Magnetický pól Dipól Magnetické Pole Magnetické indukční čáry Závit Cívka Magnetizace Zmagnetovat Demagnetizace


Desmagnetizar La propiedades magnéticas de los materiales: • Diamagnéticos • Paramagnéticos • Ferromagnéticos Los dominios magnéticos El hierro El acero

Demagnetovat Magnetické vlastnosti látek: • látky diamagnetické • látky paramagnetické • látky feromagnetické Magneticky domény Železo Ocel

La brújula El electroimán El galvanómetro

Kompas Elektromagnet Galvanometr

La inducción electromagnética El campo magnético noestacionario Inducir El campo eléctrico inducido La corriente inducida El flujo magnético La fuerza electromotriz inducida La bobina, el solenoide

Elektromagnetická indukce Nestacionární (nestálé, měnící se) magnetické pole Indukovat Indukované elektrické pole Indukovaný elekt. Proud magnetický tok Indukované elektromotorické napětí Cívka, solenoid


La autoinducción (efecto) Indukčnost Autoinducción (magnitud) Vlastní indukce, autoindukce La dinamo Dynamo El alternador Alternátor

Circuitos de corriente alterna La impedancia La reactancia La inductancia La capacitancia El fasor El transformador El rectificador La central eléctrica

Unidades Culombio Faradio Voltio Amperio Ohmio Tesla Weber Henrio

Obvody střídavého proudu Impedance Reaktance Induktance Kapaci tance Fázor Transformátor Usměrňovač Elektrárna

Veličiny Coulomb Farad Volt Ampér Ohm Tesla Weber Henry



PROBLEMAS INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

1. En las siguientes figuras: a) Señala que elemento es el inductor y cual el inducido b) Dibuja las líneas de campo magnético del inductor, e indica (dibuja) el sentido de la corriente inducida. c) Explica con tus palabras tu elección para el sentido de la corriente inducida

A)

B) N

S

S

C)

D)

+-

+-

E)

N

F)

-+

S

N



G) N

S

H)

S

N

2. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Un campo magnético crea siempre una corriente. b) una consecuencia de la ley de Lenz es que la corriente inducida en un circuito tiende siempre a disminuir el flujo magnético que lo atraviesa c) la fem inducida en un circuito es proporcional al flujo magnético que lo atraviesa

3. Si no existe flujo magnético a través de una superficie, ¿se puede deducir de ello que no existe tampoco campo magnético?

4. Calcular el valor de la fem inducida en una bobina de 200 vueltas que tarda 2·10-2s en pasar entre los polos de un imán en forma de Herradura desde un punto en que el flujo magnético es 5·10-3 Wb a otro en el cuál éste vale 8·10-3 Wb.

5.

En un marco cuadrado de 30 cm de lado tenemos mil vueltas de alambre enrollado. La intensidad de la componente horizontal del campo magnético terrestre es de 0.2 Wb/m2. Si se hace girar el marco alrededor de un eje vertical, a partir de un plano norte/sur hacia un plano este/oeste, en 0.150 s a) ¿Cual es la fem inducida? b) ¿Cual es la corriente inducida si la resistencia de la bobina es de 2 Ω?

6. Un campo magnético uniforme de 0.4 T atraviesa perpendicularmente una espira circular de 5cm de radio y 15 ohmios de resistencia. Calcula la fem y la intensidad de corriente inducidas si la espira gira un cuarto de vuelta alrededor de su diámetro en 0.1 s. (3.14 . 10-2 V, 2.1 mA)

7. Un carrete de hilo conductor de 500 espiras de 0,005 m de radio está en un campo magnético uniforme de 0,1 T de modo que el flujo que lo atraviesa es máximo. Halla la fem inducida si a) en 0,02 s el campo dobla su valor (-0,2v)



b) el carrete gira 180° en 0,02 s respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular al campo (0,39 v)

8.

El flujo magnético a través de una bobina, cuando circula por ella una intensidad de 2A, es de 22 Wb. Calcula la fem inducida cuando la corriente invierte su sentido en un tiempo de 2 ms. (2,2 . 104 v)

9.

Un solenoide de longitud 30 cm y radio 1 cm está constituido por 500 espiras. Si por él circula una corriente de 2 A, calcular a) el valor de B en un punto cerca del eje de su centro (4,2 . 10-3 T) b) el flujo que atraviesa el solenoide (1,3 . 10-6 Wb) c) la autoinducción del solenoide (3,3 . 10-4 H) d) la fem inducida si la corriente varía a razón de 120 A/s (-0,036 V)

10. Calcular la fem inducida en una espira si el flujo a su través varía a razón de 0,4 Wb/s.

11. Un solenoide de 400 espiras de 5 cm de radio está colocado en un campo magnético

uniforme de 0,02 T. Si en 0,3 s el flujo decrece en su interior hasta anularse ¿cuál es la fem inducida? 12. Un campo magnético actúa sobre una espira, ¿en qué condiciones se puede generar una corriente alterna en la espira?

13. Una bobina de 220 espiras y 30 cm2 se sitúa en un campo magnético uniforme de 0.4 T con su eje alineado con las líneas de inducción. Calcula la fem inducida al girar la bobina 180° en 15 ms. (35,2 V)

14. Explica las diferencias que existen entre una dinamo y un alternador. 15. En un generador de corriente alterna a) ¿Cómo afecta el tamaño de la espira al valor máximo de la fem sinusoidal y a su periodo? b) Si la velocidad angular de rotación se duplica ¿qué le ocurre al valor máximo y al periodo de la corriente sinusoidal? 16. Si en un alternador se duplica la velocidad de giro de la espira a) ¿como varia la f.e.m. inducida? b) ¿como varia la frecuencia de la corriente inducida?

17.

La bobina de un alternador consta de 25 espiras de 60 cm2 y gira con una frecuencia de 50 Hz en un campo magnético uniforme de 0.4 T. Calcula a) la fem inducida en función del tiempo b) la fem máxima c) la intensidad máxima de corriente inducida si la bobina y el circuito exterior al que esta conectada suman una resistencia de 75 Ω

18. Una espira rectangular de 10 x 4 cm gira alrededor de su lado mas pequeño a 20 revoluciones por segundo en un campo magnético de 1.2 Wb/m2. Calcular el máximo valor de la fem inducida en el circuito.



19. Una espira conductora circular gira en un campo magnético uniforme, alrededor de un eje perpendicular a la dirección del campo, con una velocidad angular de 300 r.p.m. Determina la frecuencia de la corriente alterna inducida.

20.

La bobina de un generador tiene 200 espiras circulares de 10 cm de diámetro y gira en un campo magnético uniforme de 0.3 T a una velocidad de 3000 r.p.m. Calcula a) la fem inducida en función del tiempo b) la fem inducida máxima

21. La bobina de un alternador de 40Ω de resistencia total consta de 150 espiras de 3cm de radio. Calcula la frecuencia con que debe girar en un campo magnético uniforme de 0.6T para producir una corriente de intensidad máxima 2A.

22. ¿Es la autoinducción un proceso físico distinto de la inducción electromagnética? 23. Explica que se entiende por fuerza contraelectromotriz. 24. Calcula la fem inducida en una bobina de 20cm de longitud formada por 200 espiras de 40 cm2 de superficie cuando la intensidad que circula por ella decrece de 4A a 0A en 2 ms.

25. Un cuadrado de 20 cm de lado está situado en un campo magnético uniforme,

perpendicular a su plano y apuntando hacia dentro de valor 0,3 T. El cuadrado se coloca en una nueva posición por dos métodos diferentes: a) desplazándolo paralelamente a sí mismo a velocidad constante b) haciéndolo girar 180° en torno a BC con ω= 100 rad/s. (1,2 V) c) Calcular la fem inducida en los dos casos.

26. Una bobina cuadrangular de dimensiones 1cm de ancho por 2 cm de largo, formada

por 1000 vueltas de hilo conductor tiene una resistencia de 25 ohms. Se introduce en un campo magnético uniforme de 2 Wb/m2 con su plano inicialmente perpendicular a la dirección del campo, a continuación se le hace girar a) ¿Con qué frecuencia debe girar para que se genere una fem de valor máximo 110v? (275 rad/s) b) encontrar la expresión de la fem (ε(t)=110 sen (275t) ) c) calcular el sentido y valor de la intensidad cuando la bobina ha girado un ángulo de 30° (2,2 A)

27. Describe como funciona un transformador. 28. Por el circuito primario de un transformador circula una corriente alterna de

tensión máxima igual a 3000 V e intensidad máxima igual a 2 mA. Calcula la tensión y la intensidad máximas de salida si el circuito primario tiene 900 espiras y el secundario 30 espiras.

29. Un transformador tiene 100 vueltas en su circuito primario y 500 en el secundario. Razona como modifica la tensión y la intensidad de la corriente de entrada.

30. Si la tensión de salida de un transformador es cien veces menor que la de la entrada, que relación existe entre las intensidades de entrada y salida.



31. Al abrir un circuito por el que circulaba una corriente de 24 A se induce en el una

fem de 60 V. Calcula el coeficiente de autoinducción del circuito si la intensidad tarda 1 ms en anularse.

32. El circuito primario de un transformador es de 2400 vueltas y por él circula una

corriente de tensión eficaz 220 V e intensidad eficaz 4 A. Calcula: a) las vueltas que debe tener el secundario para obtener una corriente de salida de tensión eficaz 10 V (solución: 109) b) la intensidad de salida en ese caso (solución: 88 A)

33. Razona por qué el coeficiente de autoinducción de una bobina de 50 espiras es mucho mayor que el de una sola espira.

34. ¿Podemos utilizar un transformador para variar la tensión o la intensidad de una corriente continua? Justifica la respuesta

35. Calcula el coeficiente de autoinducción de una bobina de 30 cm de longitud y 1000 espiras de 60 cm2 de sección. ¿Cuál sería su autoinducción si introdujéramos un núcleo de hierro (µr = 1500) en su interior. (0,025H, 37,5 H)

36. Que unidades tiene el coeficiente de inducción mutua. Razona la respuesta. 37. Responde: a) ¿Cómo varía la autoinducción de un solenoide si se enrollan el mismo número de espiras en una longitud doble? b) ¿Depende el coeficiente de inducción mutua de la intensidad que circula por cada uno de los circuitos? ¿y de la rapidez con que varía dicha intensidad? EXAMEN DESAFÍO:

38. Un alambre recto horizontal de longitud 20cm está suspendido por sus extremos a

dos muelles iguales. Oscila en un plano vertical con un periodo de 0,5 s y una amplitud de 2cm y se encuentra en un campo magnético de 0,5 T horizontal y perpendicular al alambre. Eligiendo como origen de tiempos el instante en que el alambre pasa por su posición de equilibrio moviéndose hacia arriba, encontrar a) la expresión de la velocidad de la barra en función del tiempo b) la expresión de la fem inducida entre sus extremos



PROBLEMAS INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA RESUELTOS

Problema 2. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: b) una consecuencia de la ley de Lenz es que la corriente inducida en un circuito tiende siempre a disminuir el flujo magnético que lo atraviesa. Es falsa, puesto que la corriente inducida en el circuito tiende a oponerse al cambio que la produce, cuando este cambio es una disminución en el flujo magnético que lo atraviesa, la corriente inducida tiende (o intenta) a aumentar el flujo (aunque no lo consigue, por supuesto, solo consigue que el flujo disminuya más lentamente).

c) la fem inducida en un circuito es proporcional al flujo magnético que lo atraviesa. También es falsa, puesto que la fem es proporcional al ritmo de cambio del flujo magnético y no al flujo magnético en sí. Un flujo magnético muy grande pero constante, que no cambie, no induce fem.

Problema 5. En un marco cuadrado de 30cm de lado tenemos mil vueltas de alambre enrollado. La intensidad de la componente horizontal del campo magnético terrestre es de 0.2 Wb/m2. Si se hace girar el marco alrededor de un eje vertical, a partir de un plano norte/sur hacia un plano este/oeste, en 0.150 s a) ¿Cual es la fem inducida? b) ¿Cual es la corriente inducida si la resistencia de la bobina es de 2 Ω? Resolución: Datos:

ω

• N=1000 • S=30x30cm2=

=900cm2=0,09m2 • B=0.2T • ∆t=0,150s a) En este caso no se nos detalla como gira la espira, sólo se nos dice cuales son la situación inicial y final, y cuanto tiempo se tarda en pasar de una a otra, así que utilizamos la expresión aproximada (la de la fem media):

Inicial:

B

∆φ φ final − φ inicial = Φinicial= 0 ∆t ∆t φ final = NBS cos(0º ) = NBS = 1000·0,2·0,09 = 1,8 Wb

ε =−

φ inicial = NBS cos(90º ) = 0 Wb ∆φ φ final − φ inicial 1,8 − 0 ε =− = = 12 V !!!! = ∆t

∆t

b) I???

I (t ) =

ε R

=

0,150

120 =6 A 2

Final:

B Φfinal =Φmax



Problema 6. Un campo magnético uniforme de 0.4 T atraviesa perpendicularmente una espira circular de 5 cm de radio y 15 ohmios de resistencia. Calcula la fem y la intensidad de corriente inducidas si la espira gira un cuarto de vuelta alrededor de su diámetro en 0.1 s. (3.14 . 10-2 V, 2.1 mA) Resolución: Datos:

• B=0,4T (angulo inicial (B,espira)=0º) • r=5cm=0,05m. S = πr 2 = 0,00785m 2 • R=15Ω

• •

∆t=0,1s Giro de un cuarto de vuelta (angulo inicial=0º, angulo final=90º)

En este caso no se nos detalla como gira la espira, sólo se nos dice cuales son la situación inicial y final, y cuanto tiempo se tarda en pasar de una a otra, así que utilizamos la expresión aproximada (la de la fem media):

∆φ φ final − φ inicial = ∆t ∆t = NBS cos(0º ) = NBS = 1·0,4·0,00785 = 0,00314Wb

ε =−

φ final φ inicial = NBS cos(90º ) = 0 Wb ∆φ φ final − φ inicial 0,00314 − 0 ε =− = = 0,0314V = 31,4mV =

∆t ∆t ε 31,4mV I (t ) = = = 2,09 mA R 15

0,1

Problema 12. Un campo magnético actúa sobre una espira, ¿en qué condiciones se puede generar una corriente alterna en la espira? Ver en el resumen la explicación de como se genera corriente alterna.

Problema 13. Una bobina de 220 espiras y 30 cm2 se sitúa en un campo magnético uniforme de 0.4 T con su eje alineado con las líneas de inducción. Calcula la fem inducida al girar la bobina 180° en 15 ms. (35,2 V) Resolución: Datos:

• N=220 • S=30cm2=0,003m2 • B=0,4T • Ángulo girado 180º • ∆t=15ms

Como no se nos detalla como gira la espira (sólo se nos dice cuales son la situación inicial y final, y cuanto tiempo se tarda en pasar de una a otra) utilizamos la expresión aproximada (la de la fem media):

∆φ φ final − φ inicial = ∆t ∆t = NBS cos(0º ) = NBS = 220·0,4·0,003 = 0,264Wb

ε =−

ε =−

φ final φ inicial = NBS cos(180º ) = −0,264 Wb ∆φ φ final − φ inicial 0,264 − (−0,264) ∆t

=

∆t

=

0,015

= 35,2V



Problema 16. Si en un alternador se duplica la velocidad de giro de la espira a) ¿como varia la f.e.m. inducida? b) ¿como varia la frecuencia de la corriente inducida?

φ = BS cosα ⇒ ε = ωNBSsenωt

⇒ Si ω → 2ω ⇒ ε max → 2ε max y f → 2 f

Problema 17. La bobina de un alternador consta de 25 espiras de 60 cm2 y gira con una frecuencia de 50 Hz en un campo magnético uniforme de 0.4 T. Calcula a) la fem inducida en función del tiempo b) la fem máxima c) la intensidad máxima de corriente inducida si la bobina y el circuito exterior al que esta conectada suman una resistencia de 75 Ω Resolución: Datos:

• • • •

N=25 S=60cm2=6·10-3m2 f=50Hz

⇒ ω = 2πf = 100πrad / s ≈ 314,2rad / s

B=0.4T

a) ε (t )

= ωNBSsenωt ⇒ ε (t ) = 100π ·25·0,4·6·10 −3 sen(100πt ) = 6πsen(100πt ) V −3 b) ε max = ωNBS = 100π ·25·0,4·6·10 = 6π V ≈ 18,85V c) I max =

ε max R

=

ωNBS R

= 0,25 A ⇒ I (t ) =

ε (t R

)=

6π sen(100πt ) = 0,25sen(100πt ) A 75 Ejemplo de la fuerza electromotriz y la intensidad en un circuito de corriente alterna (los valores no coinciden con los del ejercicio)

Problema 18. Una espira rectangular de 10 x 4 cm2 gira alrededor de su lado mas pequeño a 20 revoluciones por segundo en un campo magnético de 1.2 Wb/m2. Calcular el máximo valor de la fem inducida en el circuito. Resolución: Datos:

• N=1 • S=10x4cm2=40 cm2=0,004m2 • B=1,2 Wb/m2 vueltas 2π ·rad • ω=20rps ⇒ ω = 20 · ·= 40·π rad / s ≈ 125,66 rad / s s 1·vuelta

a) εmax??

ε max = ωNBS ⇒ ε (t ) = 40·π ·1·1,2·0,004 = 0,192π V = 0,6 V ε (t ) = ωNBSsenωt ⇒ ε (t ) = 0,6sen(125,66·t ) V



Problema 19. Una espira conductora circular gira en un campo magnético uniforme, en torno a un eje perpendicular a la dirección del campo, con una velocidad angular de 300 r.p.m. Determina la frecuencia de la corriente alterna inducida. Resolución: Se trata de un generador normal y corriente como los de las figuras del resumen luego

• ω=300rpm (revoluciones por minuto) vueltas 2π ·rad 1 min 300·2·π ⇒ ω = 300 · · = rad / s = 10πrad / s ≈ 31,42rad / s min 1·vuelta 60s 60 ω 10πrad / s ⇒ f = = = 5Hz 2π 2π

Problema 20. La bobina de un generador tiene 200 espiras circulares de 10 cm de diámetro y gira en un campo magnético uniforme de 0.3 T a una velocidad de 3000 r.p.m. Calcula d) la fem inducida en función del tiempo e) la fem inducida máxima Resolución: Datos:

•

N=200

•

d=10cm=0,1m ⇒ S = π · d

• •

ω=300rpm (revoluciones por minuto)

( 2)

2

= 0,0079 m 2

⇒ ω = 300r. p.m = 10πrad / s ≈ 31,42rad / s

B=0.3T

a) ε (t ) = ωNBSsenωt

⇒ ε (t ) = 10π ·200·0,3·0,0079·sen(10πt ) = 4,74π ·sen(10πt ) V ε (t ) ≈ 14,9·sen(10πt ) V b) ε max = 4,74π V ≈ 14,9 V Problema 21. La bobina de un alternador (generador) de 40 Ω de resistencia total consta de 150 espiras de 3 cm de radio. Calcula la frecuencia con que debe girar en un campo magnético uniforme de 0.6 T para producir una corriente de intensidad máxima 2A. Resolución: Datos:

• N=150 • r=3cm=0,03m ⇒ S = π ·r 2 = 0,0028 m 2 • R=40 Ω • B=0.6T • Imax=2A I R ε max ωNBS 2·40 a) I max = = ⇒ ω = max = = 317,46rad / s R R NBS 150·0,6·0,0028 ω 317,46 rad / s ⇒ f = = = 50,5 Hz 2π 2π

Las expresiones que nos darían la intensidad y la fem en función del tiempo son:

ε (t ) = ωNBSsenωt ⇒ ε (t )) ≈ 80·sen(317,46·t ) V


I (t ) =

ε (t ) R


= 2sen(317,46·t ) A

Problema 22. ¿Es la autoinducción un proceso físico distinto de la inducción electromagnética? Explica que se entiende por fuerza contraelectromotriz. No, es un caso particular en el que la corriente inducida en la bobina se debe a la variación del campo magnético propio de la bobina. Este cambio en el campo N= numero de magnético (y por tanto en el flujo espiras magnético que atraviesa la bobina) se s= area de puede producir porque variemos, cada espira “externamente”, la corriente que circula por el circuito (manipulando el l generador o batería del circuito o mediante un interruptor).

d ⎛⎜ µNI (t ) ⎞⎟ l ⎠ d ( NB(t )S ) dB(t ) dφ µN 2 S dI (t ) ⎝ ε (t ) = − =− = − NS = − NS =− dt dt dt dt l dt 2 dI (t ) µN S ε (t ) = − L L= dt l

El factor L se denomina coeficiente de autoinducción y se mide en Henrios (H) Fuerza electromotriz: es la causa del movimiento de las cargas (electrones) y por tanto de la corriente eléctrica en el circuito (NO ES UNA FUERZA, este nombre se usa por motivos históricos). Se mide en voltios (como las diferencias de potencial) y su efecto es el mismo que si se conectase al circuito un generador eléctrico o batería con una diferencia de potencial entre sus terminales del mismo valor.

Problema 23. Explica que se entiende por fuerza contraelectromotriz. Problema 24. Calcula la fem inducida (media) en una bobina de 20 cm de longitud formada por 200 espiras de 40 cm2 de superficie cuando la intensidad que circula por ella decrece de 4A a 0A en 2 ms. Resolución: Datos: • N=200 • Iinicial=4A , Ifinal=0A

• l=20cm=0,2m • S=40cm2==0,004m2

• ∆t=2m=0,002s • µ=4π·10-7 TmA-1

En este caso no se nos detalla como varía la intensidad en la espira, sólo se nos dice cuales son la situación inicial y final, y cuanto tiempo se tarda en pasar de una a otra. Así que utilizamos la expresión aproximada (la de la fem media):

∆I (t ) µN 2 S L= ∆t l µN 2 S 4π ·10−7 (200)2 0,004 4·4·π ·22 ·104 ·10−7 ·10−3 L= = = = 32π ·10−5 H = 0,32π ·mH ≈ 1mH −1 l 0,2 2·10

ε (t ) = − L


ε = −L


I final − I inical 4−0 ∆I = −L ≈ 1·10 −3 = 2V ∆t ∆t 2·10 −3

Problema 25. Un transformador tiene 100 vueltas en su circuito primario y 500 en el secundario. Razona como modifica la tensión y la intensidad de la corriente de entrada. Resolución: Datos:

• NP=100, NS=500

ε S NS = ε P NP

⇒ εS =

ε S IP = ε P IS

500 NS εP = ε P = 5ε P 100 NP

⇒ IS = IP

εP 1 = IP εS 5

Problema 28. Por el circuito primario de un transformador circula una corriente alterna de tensión máxima igual a 3000 V e intensidad máxima igual a 2 mA. Calcula la tensión y la intensidad máximas de salida si el circuito primario tiene 900 espiras y el secundario 30 espiras. Resolución: Datos:

• NP=900, NS=30 • εP(max)=300V • IP(max)=2mA

εS = IS = IP

NS 30 1 εP = ε P = ε P = 10V NP 900 30

ε P 300 = 2·10 −3 = 0,06 A = 60mA ε S 10

Problema 27. Describe como funciona un transformador. La fuerza electromotriz (fem, ε), circuito secundaria viene dada por:

ε S = −N S

Entrada, primario

inducida en el

∆φ S ∆t

Salida, secundario

Gracias al núcleo de hierro, prácticamente todas la líneas de campo magnético que atraviesan el circuito primario, son “conducidas” por dicho núcleo y atraviesan el circuito secundario. Por lo tanto el flujo que atraviesa el circuito secundario es aproximadamente el mismo que el que atraviesa el primario (ΦP= ΦS). En el circuito primario la fem y el flujo magnético se relacionan segun:

ε P = −NP Relacionando ambas expresiones:

∆φ P ∆φ S ≈ ∆t ∆t

⇒

εP NP

=

∆φP ∆t

εS NS

⇒

ε S NS = ε P NP



Por lo tanto, controlando la relación entre el número de espiras en el circuito primario y en el circuito secundario, podemos aumentar o disminuir la tensión (fem) de salida en el secundario. Si suponemos que el transformador no consume energía, entonces la potencia suministrada por el primario tiene que ser igual que la obtenida en el secundario, entonces:

PP = PS

⇒ I Pε P = I Sε S

⇒

εS IP = ε P IS

Problema 30.Si la tensión de salida de un transformador es cien veces menor que la de la entrada, que relación existe entre las intensidades de entrada y salida.

εS =

Será 100 veces mayor.

εP 100

1 ε S IP = = ⇒ I S = 100I P ε P I S 100

⇒

Problema 31. Al abrir un circuito por el que circulaba una corriente de 24 A se induce en el una fem de 60 V. Calcula el coeficiente de autoinducción del circuito si la intensidad tarda 1 ms en anularse. Resolución: Datos:

• ε=60V • Iinicial=24A , Ifinal=0A • ∆t=1m=0,001s

ε (t ) = −

∆I (t ) ∆φ = −L ∆t ∆t

⇒ 60 = − L

(0 − 24) 0,01

⇒ L=

60·0,01 = 0,025H 24

Problema 32. El circuito primario de un transformador es de 2400 vueltas y por él circula una corriente de tensión eficaz 220 V e intensidad eficaz 4 A. Calcula: c) las vueltas que debe tener el secundario para obtener una corriente de salida de tensión eficaz 10 V (109) d) la intensidad de salida en ese caso (88 A) Resolución: Datos:

• NP=2400, NS=30 • εP(ef)=220V • IP(max)=4A • εS(ef)=10V

a) N S =

N Pε S

εP

=

2400·10 ≈ 109 220

b)

εS 10 I P = = ε P 220 I S

⇒ I S = 22I P = 88 A

Problema 33. Razona por qué el coeficiente de autoinducción de una bobina de 50 espiras es mucho mayor que el de una sola espira. El coeficiente de autoinducción, mide lo mucho o poco que influyen las variaciones de la intensidad en la bobina en la corriente autoinducida. Cuanto mayor sea el numero de espiras mayor será el flujo magnético a través de la bobina y por tanto mayor será la variación de flujo cuando la intensidad a través de la bobina varie. Por lo tanto, el coeficiente de autoinducción tiene que aumentar con el número de espiras. Si observamos las ecuaciones:


ε (t ) = − L


dI (t ) dt

L=

µN 2 S l

Vemos que L aumenta con el cuadrado del número de espiras.

Problema 34. ¿Podemos utilizar un transformador para variar la tensión o la intensidad de una corriente continua? Justifica la respuesta. No, porque el principio de funcionamiento del transformador está basado en las variaciones del flujo magnético a través de dos bobinas, debidas a las variaciones en la corriente a través de ellas. Por lo tanto, es necesario que la corriente sea variable (alterna).

Problema 36. Que unidades tiene el coeficiente de inducción mutua. Razona la respuesta. Henrios.

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Induccion Magnetica Problemas

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