“ Hemos Hemos de consul consultar tar a la experie experienci ncia a en una diversi diversidad dad de casos casos y circun circunsta stanci ncias as hasta hasta que podamos extrae extraerr de ello elloss una una regl regla a gene genera rall que que en ellos ellos se cont conten enga. ga. Para ara qu´ e son utiles u ´ tiles estas estas reglas reglas? ? Nos conduc conducen en a ulteri ulteriore oress inve investi stigac gacion iones es sobre sobre la Nat Natura uralez leza a y a las creaci creacione oness art´ art´ısticas. Nos impiden enga˜ narnos narnos a nosotr nosotros os mismos mismos o a los dem´ as as prometi´ endonos endonos resultados que no se pueden conseguir.” Leonardo da Vinci “ El reposo reposo no es distin distinto to del movimien movimiento, to, sino sino un infinipuesto que somos indiferen indiferentes tes al to grado de lentitu lentitud d y, puesto movimiento po demos estar movi´ endonos endonos a una velo cidad enorme sin percibirlo.” Galileo Galilei
Cap´ıtulo
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El an´ alisis ali sis matric matricial ial estruct estructura urall
Los procedimientos matriciales en dominios discretos son en el presente muy ampliamente utilizados en an´ alisis alisis y dise˜ no no en ingenier ingenier´ ´ıa, y puede ser esperado esperado que este uso se incremen incremente te en los a˜nos venideros. Estos procedimientos son empleados extensivamente en el an´alisis de la mec´anica anica de s´ olidos olidos y estructura estructuras, s, de transferen transferencia cia de calor calor y fluidos; fluidos; y de hecho, hecho, los m´ etodos etodos de element elemento o discreto discreto son utilizados virtualmente en todos los campos de la ingenier´ ingenier´ıa. El desarrollo de los m´ etodos etodos de elemento discreto para la soluci´on de problemas pr´acticos acticos en ingenier´ nie r´ıa ıa comenz com enz´ ´ o con la aparici´on on de la computadora digital. Esto es, la esencia de la soluci´on mediante procesos de discretizaci´on on de un problema problema en ingenier ingenier´ ´ıa es que una serie serie de ecuaciones ecuaciones algebr´aicas aicas gobernantes es establecida y resuelta; y fu´ e solamente solamente a trav´ trav´ es es del uso de una computadora digital que este proceso podr´ıa ıa darse efectivamente efectivamente proporcionando aplicabilidad general. Estas dos importantes propiedades—efectividad y aplicabilidad —en an´alisis de ingenier´ ingenier´ıa son inherentes irrefutablemente a la teor´ teor´ıa matricial utilizada, que formula t´ecnicas ecnicas que han sido desarrolladas en un alto grado para los c´ omputos omputos num´ ericos, ericos, haciendo que los m´ etodos etodos de elemento elem ento discreto disc reto hayan encontrado una amplia a mplia aceptaci´ on en los procesos de dise˜no on n o en la pr´actica. actica. Una muestra evidente de la veracidad de estas aseveraciones se d´ a en el ´ ambito ambito de la mec´anica anica de s´ olidos deformables, particularmente. olidos Las estructuras en la ingenier´ ingenier´ıa deben deb en asegurar el cumplimiento de la funci´on espec´ıfica ıfica para la cual fueron fuer on cons c onstru´ tru´ıdas ıdas con m´argenes argenes de fiabilidad apropiados. En estructuras destinadas al uso por parte de personas, adem´ as de cumplir los anteriores requisitos, deben garantizar seguridad y el bienestar de los as ocupantes por un comportamien comp ortamiento to que est´e identificado identificado de una manera prescrita. Los requerimientos requerimientos de resistencia son acompa˜nados nados de restricciones en la rigidez para prevenir excesivas deformaciones, pisos simbrantes, inclinaci´on on exterior de muros y paredes, oscilaciones estructurales inconfortables, y efectos similares indeseados. Luego, el an´alisis estructural y el dise˜no no constructivo est´an an entrelazados a partir del hecho que el comportamiento es afectado por la disposici´on y arreglo de los miembros componentes y la distribuci´on on del material en una estructura. Los nuevos nuevos sistemas sistemas estructur estructurales ales complejos complejos requieren requieren un proceso de ingenier ingenier´ ´ıa de dise˜no n o m´ as as preciso; este requerimiento s´olo olo puede satisfacerse en la actualidad por la existencia y aplicaci´on del an´ alisis alisis y dise˜ no no estructural orientado–computacionalme orientado–computacionalmente nte a trav´ es es de formulaciones formulaciones matem´aticas aticas matriciales. matriciales . Este cap´ cap´ıtulo examina los or´ or´ıgenes, evoluci´on, desarrollo, y utilidad tanto pasada como presente del an´ alisis alisis matricial estructural y sus relaciones con los m´ etodos etodos cl´asicos que desde tiempos 1
´ CAP ´ ITUL ITULO O 1. EL AN AN ALISIS MATRICIAL ESTRUCTURAL
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remotos han sido utilizados por el grupo de personas que realizaron investigaci´on en t´opicos opicos de la mec´anica anica general de estado s´olido. olido.
1.1. 1.1.
Intr Introdu oducc cci´ i´ on on
Los avances en el campo del dise˜no no estructur estructural al en la ´epoca epoca actual actual permiten permiten la planificaci planificaci´´on y construcci´ on de mega–estructuras que las vemos por todas partes. Esto no hubiese sido posible, de no on haberse habers e primero prime ro descubierto desc ubierto metodolog metodo log´ ´ıas de c´alculo alculo te´orico orico previo que predijeran el comportamiento de los materiales utilizados en su elaboraci´on constructiva en cuanto a su apropiada resistencia para soportar adecuadamente la solicitaci´on on impuesta sobre ellas. Los par´ ametros ametros de dise˜no no asociados a las condiciones medio–ambientales usados en los c´alculos necesarios necesario s de la ingenier´ i ngenier´ıa ıa aeron´ a eron´autica autica y aeroespacial, por ejemplo, incluyen no solamente las presiones aerodin´amicas amicas y las distribuc distribucione ioness de temperatura temperatura del medio medio exterior, exterior, sino tambi´ tambi´ en en la historia historia de solicitaci´on on mec´anica anica y t´ermica ermica previa en previsi´ p revisi´on de ser consideradas en la presencia de fluencia lenta, flujo pl´astico, astico, hist´eresis eresis y deformaci´on remanente que los materiales utilizados en este campo de utilizaci´ on on tecnol´ogica ogica de estas estructuras poseen como condiciones iniciales en los procesos c´ıclicos de su funcionamiento funcionamiento en servicio. No es entonces sorprendente que los nuevos m´ etodos etodos de c´alculo y el desarrollo de t´ecnicas ecnicas constructivas hayan sido generadas y engendradas para el an´alisis de configuraciones estructurales complejas y dise˜nos nos usados en la ingenier´ ingenier´ıa de artefactos que poseen la capacidad de volar. En otros campos de ingenier´ıa ıa estructural, estructu ral, tambi´en, en, m´ etodos etodo s de an´alisis m´as as refinados han sido descubiertos. S´olamente olamente para mencionar algunos ejemplos: en las estructuras de los reactores nucleares muchos problemas de condiciones extremas de solicitaci´on de tipo t´ ermico ermico principalmente, principalmente, oblig´o a los ingenieros estructurales a la generaci´on on de m´ etodos etodos especiales de an´alisis; alisis; en la ingenier´ ingenier´ıa civil arquitect´ onica, nuevos conceptos de dise˜no onica, no estructural requieren fiables y ex´actos actos m´ etodos; etodo s; en la construcci´ on on naval de fabricaci´on on de embarcaciones embarcaciones marinas, m´etodos etodos precisos son necesarios para obtener mayores resistencias y eficiencia; en las mega–estructuras portantes como por ejemplo las plataformas marinas de exploraci´on on y explotaci´on on de petr´oleo, oleo, son necesarias n ecesarias t´ecnicas ecnicas especial es peciales es para lograr log rar dise˜ dise ˜nos nos con adecuada resistencia para soportar solicitaciones de carga extremadamente elevadas. Los requisitos de exactitud en el an´alisis han provocado una creciente necesidad por demostrar seguridad estructural. Consecuentemente, metodos precisos de an´alisis han tenido que ser descubiertos a partir de los m´etodos etodos convencionales, convencionales, aunque ellos se presenten perfectamente satisfactorios cuando son usados sobre simples estructuras, han sido hallados inadecuados cuando son aplicados a estructuras compleja complejas. s. Otra raz´on on por la cual una mayor ex´actitud actitud es requerida, proviene de la necesidad de establecer el nivel de tensi´on y deformaci´on on debido al fen´omeno omeno de fatiga en las estructuras. Por consiguiente, consiguiente, es necesario emplear m´ etodos etodos de an´alisis alisis capaces de predecir apropiadamente cualquier concentraci´on on de tensiones, de modo que se eviten fallas debidas a fatiga estructural acumulada. Los requerimientos de rapidez en el proceso de dise˜no y c´alculo, alculo, por otro lado, est´an an impuestos por la necesidad de tener acceso a informaci´on m´as as detallada y comprensible sobre la estructura suficientemente antes y de forma previa al ciclo de dise˜no; de modo que cualquier modificaci´on on estructural necesaria sea juzgada e incorporada anteladamente a la decisi´on de proceder al dise˜no no final, y la estructura ingrese en las etapas de construcci´on y producci´on on en servicio. Adem´as, as, en relaci´on on de lograr el dise˜ no no m´as as eficiente eficiente se debe probar un apropiado apropiado n´umero umero de diferentes configuraciones estructurales que pudiesen ser r´apidamente apidamente analizadas antes de que una particular configuraci´on sea seleccionada para un estudio m´as as detallado como prototipo de evaluaci´on de dise˜no no final. Los m´etodos eto dos de an´alisis alisis que satisfacen los requerimientos requerimientos mencionados previamente usan un enfoque de planteamiento planteamiento y desarrollo anal´ıtico ıtico proporcionado p or el ´algebra matricial, el cual es idealmente apropiado para efectuar procesos de c´alculo alcu lo num´erico eric o autom a utom´´atico atico en muy veloces computadoras digitales. Numerosos libros y art´ art´ıculos sobre el tema han sido publicados (lamentablemente (lamentablemente no precisamente precisamente en nuestro idioma), pero es comparativamente comparativamente demasiado reciente que el alcance y poder de los m´ etoeto-
´ 1.1. INTRODUCCI INTRODUCCI ON
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dos matriciales en nuestro medio se han considerado en su utilizaci´on para la formulaci´on on matricial de ecuaciones espec´ıficas ıficas para el an´ a n´alisis alisis de simples y complejas estructuras que plantea nuestro propio entorno tecnol´ogico ogico local. En los m´ etodos etodos matriciales de an´alisis alisis estructural, la computadora digital es usada no solamente para la soluci´on on de ecuaciones simult´aneas aneas que propor p roporcionan cionan estos est os m´etodos etodo s como ecuaciones ecuac iones gobernangob ernantes, ya que tambi´ t ambi´en en esta es ta herramienta her ramienta se adec´ ad ec´ua ua para todo el proceso de an´alisis estructural, partiendo desde la etapa de modelado matem´atico, atico, a trav´ trav´ es es de los datos iniciales iniciales de entrada entrada hasta los datos datos finales de resultado de salida, los cuales representan distribuciones de fuerzas y tensiones, deflexiones o deformaciones, coeficientes de influencia, frecuencias caracter´ caracter´ısticas y formas modales; estas dos u ultimas ´ ltimas cuando se realiza un an´alisis alisis din´amico amico del problema. Los m´ etodos etodos matriciales est´an an basados en el concepto de reemplazar la estructura cont´ cont´ınua real por un modelo matem´atico atico compuesto de elementos estructurales de tama˜no finito (tambi´en en referidos como elementos discretos) obtenidos por un proceso idealizado de partici´on mediante hipot´eticas eticas secciones de corte efectuadas sobre la estructura original. Estas piezas individuales se asume que poseen propiedades inerciales y el´asticas asticas conocidas, conocidas, que pueden pueden ser expresadas expresadas en forma forma matricia matricial. l. Las matrices matrices representantes de estas propiedades son consideradas como ladrillos, los cuales cuando son reunidos juntos apropiadamente apropiadamente acorde a una serie de reglas deducidas a partir de la teor´ teor´ıa de elasticidad, proveen una re–generaci´on on de las propiedades est´aticas aticas y din´amicas amicas del sistema estructural real bajo an´ alisis. alisis. En relaci´on on a poner los m´etodos etodos matriciales en la perspectiva p erspectiva apropiada, es importante enfatizar en la relaci´on on entre estos m´ etodos etodo s y los m´etodos etodos cl´asicos, asicos, y c´omo omo son utilizados ambos en la teor´ teor´ıa de deformaci´ on on en e n medios me dios cont´ınuos ınuos s´olidos. olid os. En la l a teor´ te or´ıa ıa cl´ c l´asica, asica, la preocupaci´on on principal es concerniente con el comportami comportamient ento o de deformaci deformaci´ ´on on en una escala macrosc´opica opica sin consid considera erarr el tama˜ tama˜no n o y la forma de las part´ part´ıculas confinadas dentro de fronteras prescritas de la estructura. En los m´ etodos etodos matriciales, las “part´ “part´ıculas” consideradas son de tama˜no no finito y tienen una forma establecida. Estas part´ıculas ıcul as de tama˜ tama ˜no no finito son referidas y denominadas en el vocabulario t´ ecnico ecnico consensuado como elementos estructurales estructurales, y ellos son especificados de manera algo arbitraria por el analista en el proceso de definici´on on del modelo matem´atico atico discreto asociado a la estructura f´ısica material cont´ cont´ınua. Las propiedades de cada elemento t´ t´ıpico de este conglomerado son calculadas, usando la teor´ teor´ıa del medio el´ astico astico cont´ cont´ınuo, mientras m ientras que el an´ a n´alisis alisis de la estructura completa es llevada a efecto por el ensamble de los elementos estructurales individuales, bajo la premisa de cumplimiento de las condiciones de equilibrio de acciones accione s o fuerzas fuerza s y compatibilidad compat ibilidad geom´ g eom´etrica etrica de la deformaci´ deformac i´on en las regiones de acople entre elementos adyascentes, cuando se procede a la regeneraci´on de la estructura original previa a su ficticia discretizaci´on. on. Cuando el tama˜no no de los elementos utilizados se decrementa considerablemente, en el l´ımite, el comportamiento compor tamiento mec´anico del modelo matem´atico atico converge converge hacia aqu´ el el que posee la estructu estr uctura ra f´ısica ısic a real r eal de caracter´ cara cter´ısticas ısti cas material mate riales es cont´ınuas. ınuas . Los m´ etodos etodo s matriciales m atriciales de an´alisis alisis en mec´anica anica de s´olidos olidos representan las herramientas m´as as poderosas de dise˜no no en ingenier´ ingenier´ıa estructural. Los programas de an´alisis alisis matricial estructural para computadoras tadoras digitale digitaless programab programables les est´an an ahora disponibles, disponibles, los cuales cuales pueden pueden aplicarse aplicarse sin demasiado demasiado esfuerzo de aprendizaje a tipos generales y espec´ espec´ıficos de estructuras pretendidamente pretendidamente constru´ constru´ıdas. Estos programas no solamente pueden ser usados para an´alisis rutinario de evaluaci´on on de tensiones y deformaciones deformacio nes de estructuras estr ucturas muy complejas, co mplejas, ya que tambi´ ta mbi´ en en pueden ser empleados emplead os muy efectivamente para realizar estudios en elasticidad aplicada. Aunque el presente documento describe y desarrolla una introducci´on a los m´etodos etodos m´as as simples y sencillos de an´alisis alisis matricial estructural en la mec´anica de cuerpos s´olidos olidos deformables, poniendo un ´enfasis enfasis relevante relevante en el M´ etodo etodo de Rigidez (o M´ etodo etodo de Desplazamientos) Desplazamientos) con aplicaci´on hacia estructuras muy simples (de tipo armaz´on o esqueleto de componentes compon entes rectil´ıneos), ıneos), deber´ıa ıa reconocerrecono cerse que la base de fundamento te´orico que se presenta en el presente texto es suficiente para abordar un proceso de futuro aprendizaje aprendiza je de t´ ecnicas ecnicas m´as sofisticadas de an´alisis alisis y dise˜no no mec´anico, anico, como el M´ etodo etodo de Elemento Finito. La teor´ıa ıa general de los m´ etodos etodo s matriciales es desarrollada desarrol lada aqu´ aqu´ı sobre la base del simbolismo algebr´aico aico de las variadas operaciones matriciales. Sin embargo, la programaci´on
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´ CAP ´ ITUL ITULO O 1. EL AN AN ALISIS MATRICIAL ESTRUCTURAL
computarizada de los m´etodos etodos presentados y los procedimien pro cedimientos tos de elaboraci´on de algoritmos computacionales para ellos, con el objetivo de ser implementados en un ambiente computacional utilizando micro–computadores de alta velocidad no son discutidos en este documento. Los fundamentos b´asicos asicos de ´algebra algebra lineal y teor´ teor´ıa matricial necesarios para comprender el an´alisis matricial estructural en mec´anica anica de s´olidos olidos que pretendemos desarrollar en el presente documento, son presentados en el Ap´ endice endice A; con una pretensi´on on y punto de vista de una referencia conveniente antes que un exhaustivo tratamiento de estos temas. Para pruebas rigurosas de los variados teoremas del ´algebra algebra matricial y otros detalles de la teor´ teor´ıa de matrices, deber´ıan ıan ser consultados libros de texto estandar sobre esta materia.
1.2. 1.2.
Una Una pizc pizca a de hist histor oria ia
La mec´anica anica estructural naci´o como muchas otras ´areas areas que posee la mec´anica anica general en ´epocas epo cas remotas, pr´acticamente acticamente junto a la aparici´on on del hombre. h ombre. Se dice di ce que la primera “estructur “ estructura” a” fu´e aquella que utiliz´o el homo–sapiens cuando mediante ramas, fibras vegetales similares al c´a˜ namo, namo, y grandes hojas de algunos ´arboles; arboles; construy´o rudimentariamente una especie de cubierta que lo protegiera de las inclemencias atmosf´ericas ericas (para darse sombra en d´ıas muy calurosos y protegerse de la lluvia en d´ıas muy h´umedos). umedos). Es razonable pensar que las estructuras m´as elementales fueron formalmente analizadas con muy buena exactitud gracias a la formulaci´on de las leyes generales de la mec´anica que estableci´o Isaac Newton, de las cuales muy naturalmente se derivan las ecuaciones de equilibrio est´atico. est´atico. Sin embargo muchos otros o tros estudiosos estudios os cient´ cient´ıficos y´a desde de sde ´epocas epo cas mucho m´ m ´as as anteriores a nteriores utilizaron utilizaro n m´etodos etodo s diferentes dife rentes con el objetivo obj etivo de lograr id´enticos enticos fines. fi nes. En el ´ambito ambito de la mec´anica anica estructural, en particular, los m´ etodos etodos basados en concepciones de tipo tip o energ´etico etico se cuentan cu entan como una sistematizac s istematizaci´ i´on on de conocimiento paralelo al de la mec´anica newtoniana. Arqu´ımedes ımedes (278–212 A.C), Leonardo da Vinci (1452–1519), y Galileo Galilei (1564–1642); cada uno us´o alguna forma de expresi´on on de trabajo en sustituci´on on de las ecuaciones de equilibrio en sistemas de palancas y poleas. p oleas. Johann Bernoulli (1717) fu´e el primero en sugerir desplazamientos virtuales, y Maupertuis (1740) introdujo el concepto de medida de equilibrio de cuerpos r´ıgidos ıgidos por minimizaci´on de la energ´ energ´ıa potencial p otencial total del sistema. Leonhard Euler (1744) reconoci´o que los m´etodos eto dos energ´ ener g´etieticos eran una eficiente alternativa para resolver problemas planteados por la mec´anica estructural y utiliz´ o principios de minimizaci´on para investigar el equilibrio estable de cuerpos deformables; ´el el utiliz´o expresiones para la energ´ energ´ıa de deformaci´on on sugeridas por Daniel Bernoulli (1746). August Lame (1852) deduci´o el principio de conservaci´on de energ´ energ´ıa involucrando involucrando fuerzas, tensiones, desplazamientos, y deformaciones generales reales; y fu´ e llamado as´ı por su amigo Emile Clapeyron. James Clerk Maxwell (1864) y Otto Mohr (1874) independientemente tomaron los resultados de Lame, y usando una carga virtual ficticia, investigaron reticulados est´aticamente indeterminados. indetermin ados. As´ As´ı, el principio de las fuerzas virtuales es tambi´ tambi´en en conocido como el m´ etodo etodo de Maxwell–Mohr. Maxwell–Mohr. Castigliano (1873) public´ o la versi´on on extrema del trabajo de Lame con aplicaci´on a los sistemas lineales el´asticos. Crotti (1878) y Engesser (1889) extendieron subsecuentemente subsecuentemente este resultado, tambi´ en en utilizando un principio de minimizaci´on on conforme al principio de trabajo virtual complementario para sistemas el´asticos no–lineales. Este recuento de algunos hechos relevantes asociados con la investigaci´on realizada en la mec´anica anica asociada con concepciones de car´acter acter energ´etico etico fu´e posterior p osteriormente mente un basamento principal sobre el cual cual se cimen cimentar taron on los fundam fundamen entos tos del analis analisis is matric matricial ial estruc estructur tural, al, que mas o menos menos en sus concepciones m´as as elementales y rudimentarias comenz´o hacia inicios del siglo XX. Los adelantos de la tecnolog´ıa ıa estructural estructur al en ´esa esa ´epoca epo ca requirieron requirier on de una teor´ıa ıa mucho m´as consistente adem´as as de vers´atil, atil, y una exactitud mayor en el manejo num´erico erico en los procesos de c´alculo, y aceleraron el desarrollo en el an´alisis de fundamentos te´oricos oricos con el prop´osito osito de establecer metodolog´ıas ıas certeras de dise˜no no de sistemas estructurales de todo tipo, asociados con el surgimiento de la
1.2. 1.2. UNA PIZCA PIZCA DE HISTORI HISTORIA A
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llamada era industrial. Esto es particularmente cierto en aplicaciones aerospaciales con la aparici´on aparici´on de las primeras m´aquinas aquinas voladoras (los aviones), donde los grandes adelantos tecnol´ogicos han sido hechos en el desarrollo de estructuras eficaces de peso muy ligero para un funcionamiento fiable y seguro en los ambientes m´as as severos en los que ´estas estas particulares estructuras poseen su funcionamiento funcionamiento en servicio. El dise˜no no estructural para estas aplicaciones requiere consideraci´on de la interacci´on on de fuerzas aerodin´amicas, amicas, inerciales, el´asticas ast icas,, y t´ermicas. ermi cas. En la d´ecada ecad a de la Prime P rimera ra Guerra Gue rra Mundia Mu ndial, l, la tecnol te cnolog´ og´ıa ıa aeron´ aer on´autica inicia su desarrollo acerc´andoandose primero a los monoplanos. Los biplanos, que fueron construidos posteriormente, desaparecieron alrededor de 1930. Esta evoluci´on on significaba reducci´on on de las fuerzas de arrastre debidas a fricci´on, y consiguientemente velocidades m´as as elevadas, pero disposici´on on tambi´ tambi´en en incrementada incrementada hacia la vibraci´ on. on. En la d´ ecada ecada de 1920, las investig investigacio aciones nes en el campo de la aeroelasti aeroelasticidad cidad empezaron empezaron en una escala internacional. Los desarrollos pertinente p ertinentess al Laboratorio Nacional de F´ısica (National Physical Laboratory – NPL) se documentaron cronol´ogicamente ogicamente bien en un art´ art´ıculo publicado en 1988 debida a la revisi´on on hist´orica orica efectuada por Collar [46] del cual el siguiente resumen se extrae. Qui´en en fu´ e el primero prim ero que escribi esc ribi´ ´ o una matriz de rigidez o flexibilidad? Esta pregunta se propuso en un art´ art´ıculo en 1995 [1]. La suposici´on on m´as as factible factible de respuesta respuesta verificabl verificablee se acepta acepta que es “ alguien alguien que trabajaba en la industria aeron´autica de Gran Breta˜na na o Alemania, hacia finales de 1920 o inicios de 1930 ”. Desde entonces los investigadores investigadores cient´ cient´ıficos en este campo han examinado los reportes ´ y publicaciones de ese tiempo. Estos rastrean los or´ or´ıgenes del An´alisis alisis Matricial Estructural (AME) al grupo de aeroelasti aeroelasticidad cidad del Laboratorio Laboratorio Nacional de F´ısica ısica en Teddington, eddington, un pueblo pueblo que se ha conver convertido tido en un suburbio suburbio del gran Londres actual. actual. Las referenci referencias as que aqu´ aqu´ı se presenta presentan n son una expansi´ on on de las vi˜netas netas hist´oricas oricas en la Secci´on on 4 de [1]. En este documento se perfilan los mayores avances en la evoluci´on on del desarrollo te´orico orico efectuado en el An´alisis alisis Matricial Estructural resaltando las contribuciones fundamentales de cuatro individuos: Collar, Duncan, Argyris y Turner. Estas contribuciones se pueden agrupar en tres hitos principales: ´ n. creacion o
Empezando en 1930, Collar y Duncan formularon la aeroelasticidad discreta en forma matricial. Los primeros p rimeros dos art ar t´ıculos peri´odicos sobre el t´opico opico aparecieron en 1934–35 [11, 12] y el primer libro, en co–autor´ co–autor´ıa con Frazer, en 1938 [13]. La representaci´on on y terminolog´ıa ıa para los sistemas est´aticos aticos y din´amicos amicos discretos son esencialmente los mismos que se utilizan actualmente. actualmente. ´ n. unificacion o
En una serie serie de art´ art´ıculos ıculos de revista revista que aparecen en 1954 y 1955 [17] Argyris Argyris present´o una unificaci´on on formal de los M´etodos etodos de Fuerza y Desplazamiento Desplazamiento usando los teoremas de energ ener g´ıa dual. dual . Aunque las aplicaciones apli caciones pr´acticas de la dualidad fueron probadas probada s ef´ımeramente, ımeramente, este trabajo sistematiz´o el concepto de ensamblaje de ecuaciones de sistemas estructurales a partir de los componentes elementales de los mismos. ´ n. Todo el desarrollo culminacion o desarrol lo precedente deber´ıa ıa culminar en una metodolog metodo log´´ıa sint´etica etica y aplicable a los diversos problemas planteados y estudiados hasta dicha ´epoca. epoca. En 1959 Turner propuso [37] el M´etodo etodo de Rigidez Directa (Direct Stiffness Method – DSM), como una implementaci´on on computarizada eficaz y general del entonces embrionario, y todav´ todav´ıa an´onimo on imo,, M´etodo eto do de Elemento Ele mento Finito. Finito . Esta t´ ecnica, ecnica, totalmente explicada en un art´ art´ıculo posterior p osterior [28], naturalmenna turalmente abarc´o modelos mo delos estructurales estructur ales y cont co nt´ ´ınuos, as a s´ı como simulaciones no–lineales, no–lineale s, de estabilidad estabilid ad y din´ amicas. amicas. Por los a˜nos nos 1970 el M´etodo etodo de Rigidez R igidez Directa hab´ıa ıa provocado pr ovocado el fallecimiento fa llecimiento del M´etod et odo o Cl´ Cl ´asico asico de Fuerza (Classical Force Method – CFM), y se vuelve la aplicaci´on dominante en los programas computacionales actuales de car´acter comercial de dise˜no no a trav´ tra v´es es del de l M´etodo eto do de Elemento Finito.
Las matrices — o “ determinantes determinantes ” como fueron llamadas inicialmente inicialmente — se inventaron inventaron en 1858 por Cayley en Cambridge, aunque Gibbs (el co-inventor, junto con Heaviside, aqu’l del c´alculo vectorial) exigi´ o la prioridad de la invenci´on para el matem´atico atico alem´an an Grassmann. Grassmann. Esta disputa de “ supuesta supuesta paternida paternidad d ” respecto respecto al nuevo nuevo ente ente matem´ matem´atico atico entre estos dos eminentes personajes, a´un un no ha sido totalmente zanjada. El ´algebra algebra y c´alculo alculo matricial se desarrollaron principalmente en Gran Breta˜na y
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´ CAP ´ ITUL ITULO O 1. EL AN AN ALISIS MATRICIAL ESTRUCTURAL
Alemania. Su uso original fu´e proporcionar una notaci´on on comp´acta acta para apoyar las investigaciones en los temas matem´aticos aticos como la teor´ teor´ıa de invariantes y la soluci´ so luci´on de sistemas de ecuaciones algebr´aicas aicas y diferenciales. Varios tratados anal´ anal´ıticos en ´algebra matricial aparecieron hacia finales de la d´ecada ecada de 1920 e inicios de la d´ecada ecada de 1930. Comparado al c´alculo alculo vectorial y tensorial, las matrices y su ´algebra ten´ ten´ıan relativamente pocas po cas aplicaciones en la ciencia y tecnolog´ tecnolog´ıa antes de 1930. La versi´on on de 1925 de la matriz de Heisenberg de la mec´anica anica cu´antica antica era una excepci´on on notable, aunque t´ ecnicamente ecnicamente involucr´o impl´ıcitament ıcit amentee matrices infinitas. La situaci´on on empez´o a cambiar con el advenimiento de calculadoras de escritorio electr´ onicas, porque la notaci´on onicas, on matricial proporcion´o una manera conveniente de organizar secuencias de c´alculo alculo muy complejas. La aeroelasticid aero elasticidad ad fu´e una aplicaci´ a plicaci´on natural porque el an´alisis alisis de estabilidad en ´esta esta materia se propone naturalmente naturalmente en t´ erminos erminos de determinantes determinantes de matrices que dependen de un par´ametro ametro de velocidad. La formulaci´on on no–matricial de la Mec´anica anica Estructural Discreta puede remontarse hacia los a˜nos nos de la d´ ecada ecada de 1880. Hacia los inicios inicios de 1900, los desarroll desarrollos os esenciales esenciales estaban completos. completos. Un recuento hist´orico orico muy legible es dado por p or Timoshenko [45], siendo bastante interesante interesante que el t´ermino ermino “ matriz matriz ” nunca aparece aparece en este libro. La g´ enesis enesis en los documentos fuente de origen del M´ etodo etodo de Rigidez Dir´ ecta ecta est´an contenidos en el trabajo de investigaci´on en aeroelasticidad llevados a efecto en la Divisi´on de Aerodin´amica amica de NPL que comenz´o en 1925, dirigido por R. A. Frazer. A ´el el se uni´o en el a˜ no siguiente W. J. Duncan. no Dos a˜ nos nos despu´ es, es, en agosto de 1928, ellos publicaron una monograf´ monograf´ıa en vibraci´on on aeron´autica autica [15] que posteriormente lleg´o a ser conocida conocida como como “ La Biblia Biblia de Vibraci Vibraci´´on on Aeron´autica”, autica”, debido debido a su tratamiento e integridad. Este documento puso los principios y fundamentos en los que las posteriores investigaciones de vibraci´on on en esta tem´atica atica han sido basadas desde entonces. En enero de 1930, A. R. Collar se uni´o a Frazer y Duncan para proporcionar mayor ayuda en las investigaciones te´oricas. Las ecuaciones de aeroelasticidad eran engorrosas, tediosas en su tratamiento algebr´aico, y propensas de error como para funcionar pr´acticamente acticamente en los procesos constructivos constructivos reales. Aqu´ Aqu´ı reproducimos las propias palabras de Collar [46], en la motivaci´on por introducir matrices en el desarrollo anal´ıtico ıtico de investigaci´ investigaci´ on que se llevaba a cabo en ese entonces: on “ Frazer hab´ıa ıa estudiado las matrices como una rama de la matem´ atica aplicada en Cambridge; y fu´e inicialm inic ialmente ente ´el el que recono reco noci´ ci´o que la formulaci´ on on de, por ejemplo, un problema problema de vibraci´ vibraci´ on en t´erminos erminos matriciales matricia les era concisa, clara, y sint´etica. etica. Sin embargo, embar go, como c omo estaba es taba m´ as involucrado con la manipulaci´ on on formal simb´ olica olica que con los resultados resultado s num´ericos, ericos, solo s olo proporcio pro porcion´ n´ o esta contribuci´ on on inicial a la tem´ atica que estabamos desarrollando. Por otro lado, Duncan y yo, est´ atica abamos abamos en busca de resultados resultado s num´ ericos ericos para las caracter´ısticas ısticas de vibraci´ v ibraci´ on de las placas componentes de on las alas del avi´ on; y reconocimos que s´ on; olo olo podr´ıamos ıamos avanzar avanzar imaginando que se pudiese romper la placa en, digamos, 10 segmentos y tratar esta subestructura como si solo tuviera 10 grados de libertad relevantes y n´ o infinito n´ umero umero como com o originalmente origi nalmente pose´ p ose´ıa. ıa. Esta aproximaci´ aproximacion ´ tambi´ ta mbi´en en se formul´ o m´ as as convenientemente en t´ erminos erminos matriciales, matricial es, y prontamente p rontamente expresada num´ ericamente. ericamente. Luego, encontramos que si p on´ on´ıamos un modo de prueba aproximado de vibraci´ on en la ecuaci´ on on gobernante de su comportamiento vibracional, podr´ıamos ıamos calcular una mejor aproximaci´ on por este inicial intento. Usando luego este resultado intermedio y repitiendo el procedimiento varias veces, vimos que se lograba convergencia hacia la soluci´ on on ex´ acta; y el procedimiento de iteraci´on acta; on matricial naci´ o as´ as´ı. Nosotros publicamos nuestros m´ etodos etodos en dos art´ art´ıculos en la Revista Phil [11, 12]; el primero, tratando con los sistemas conservativos en 1934; y el segundo, tratando los sistemas amortiguados en 1935. Cuando este ultimo u´ltimo hab´ıa ıa aparecido, aparecido , Duncan ya hab´ıa ıa partido hacia su posici´ on on de Decano Decano en Hull ”.
Los art´ art´ıculos mencionados previamente previamente parecen ser las publicaciones peri´odicas m´as as tempranas de ´ an´ alisis matricial estructural. Estos son documentos alisis do cumentos asombrosos: claros, concisos y dir´ ectos, ectos, que a´un un ahora no se perciben anticuados. Los nombres familiares usados en la actualidad aparecen: las matrices de masa, flexibilidad, rigidez, y din´amica. Los s´ımbolos matriciales utilizados en estos escritos para
1.2. 1.2. UNA PIZCA PIZCA DE HISTORI HISTORIA A
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estas variables, son: [ m], [f ], [c] y [D]; respectivamente. respectivamente. La notaci´on on simb´olica olica se cambi´o en el libro [13], que mencionaremos a continuaci´on. En particular las matrices se identifican en este texto, por letras may´usculas sin par´ pa r´ entesis entesis rectos circundantes, circundantes , en mayor concordancia con el estilo moderno. Por ejemplo las matrices de masa, amortiguaci´on amortiguaci´on y rigidez normalmente se denotan por A, B, y C, respectivamente. Varios art´ art´ıculos sobre aplicaciones matriciales en mec´anica anica estructural siguieron, pero al parecer los veh´ veh´ıculos de publicaci´on tradicionales no se vieron como convenientes para la descripci´on de los nuevos nuevos m´ etodos. etodos. A este respecto, mencionamos que Sir Richard Southwell, Southwell, “ el padre ” de los m´etodos etodos de relajaci´on, on, sugiri´o que los autores pioneros de los varios documentos publicados los incorporen en un libro, y esto e sto fu´e aceptado ac eptado y convenido. co nvenido. El E l resultado r esultado fu´e la aparici´on, en noviembre de 1938, del texto: “ Matric Matrices es Elemental Elementales, es, y algunas algunas Aplicacio Aplicaciones nes a Din´ amica amica y Ecuaciones Diferenciales ” publicado por la Imprenta Universitaria de Cambridge [13]; fu´e el primer libro en tratar las matrices como una rama de la matem´atica atica aplicada. El mismo se ha re–imprimido muchas veces, y traducido hacia varios idiomas, y a´un un ahora despu´ es es de casi 67 a˜nos nos es fuente de consulta inicial en este campo. La cosa interesa interesante nte es que los autores autores del mismo, no lo consideraron consideraron particularme particularmente nte bueno; “ era el libro libro que nos dijeron que escribi´ eramos, eramos, en lugar de uno que nos habr´ habr´ıa gustado escribir ”, mencionaron. Casi la mitad de las p´aginas aginas del libro est´an an dedicadas al ´algebra algebra lineal y m´ etodos etodos de soluci´on on de ecuaciones matriciales, que son ahora parte normal del dise˜nar y de los planes de estudios en las ciencias de ingenier´ıa. ıa. Los m´ etodos etodos num´ ericos, ericos, orientados a las calculadoras calculado ras electr´onicas de escritorio, est´ an obsoletos. Eso deja al modelado y los ejemplos de aplicaci´on a que no sean coherentemente an concatenados. No es sorprendente ni extraordinario, entonces, que los autores no estuvieran contentos con el libro que escribieron. Ellos hab´ hab´ıan seguido la sugerencia de Southwell Southwell demasiado literalmente, literalmente, “ uniendo uniendo ” sin apropiada apropiada edici´ edici´on, on, sus escritos individuales. A pesar de estas fallas, su influencia dir´ecta ecta e indir´ecta ecta durante las siguientes dos d´ecadas ecadas a su aparici´on fu´ f u´ e significativa, si gnificativa, quedando como simples excusas las imperfecciones primarias identificadas por sus autores. Lo m´as as relevante en este documento es que se presenta por primera vez, de manera completamente formal formal aunque algo primitiv primitiva, a, el concepto concepto de element elemento o estructura estructural: l: “ tomemos tomemos un eje o una viga y dividamos esta estructura individual en segmentos para analizarlos, y posteriormente volv´amoslos a reunir para regenerar la estructura primigenia ”. Singular y brillante concepci´on de an´alisis, alisis, en la cual se basan casi todos to dos los actuales m´etodos etodos de modelado matem´atico mediante discretizaci´on on de dominios material mate riales es cont´ınuos. ınuos . Entre los a˜ nos 1938 – 1947, asociados hist´oricamente nos oricamente a la conflagraci´on on de la II Guerra Mundial, se produjo produjo un interlud interludio io que es un “ per´ per´ıodo silencioso silencioso ”, que se extiende extiende desde la publicaci publicaci´´on del libro y´a mencionado hasta la primera publicaci´on peri´odica odica del M´etodo etodo Cl´asico asico de Fuerza (MCF) para la aeron´autica autica [47]. La investigaci´on en t´opicos opicos de aeroelasticidad continu´o; o; nuevas demandas propuestas por los materiales de elevada resistencia, velocidades m´as elevadas, maniobras de combate, y la supervivencia despu´es es del da˜no no estructural probable en combate, aumentaron el inter´ inter´es es en el an´ alisis alisis de tensiones. Para las configuraciones de esqueleto tipo viga en voladizo (las alas del avi´on de ese tiempo), los m´ etodos etodos tradicionales de flexibilidad – basados en el MCF fueron apropiados. Las flexibilidades eran a menudo experimentalmente medidas por cargas est´aticas e incorporadas luego en las pruebas de laboratorio, y en los c´alculos. alculos. Se usaron computadoras de tarjeta–perforada y calculadoras electr´onicas de v´ alvulas, siendo que estos dispositivos anal´ogicos sirvieron principalmente para resolver las trayectorias alvulas, en la gu´ıa ıa de bal ba l´ıstica ıst ica.. La cuenta precisa de trabajos de An´alisis Matricial Mat ricial Estructural Est ructural (AME) ( AME) en la ingenier´ in genier´ıa ıa aerospacial aerosp acial y maquinaria militar usada us ada en esa ´epoca epo ca es dif d if´ ´ıcil de rastrear, ra strear, debido a las restricciones rest ricciones de publicaci´ publ icaci´on de documentos en ese tiempo en el que todo avance de car´acter cient c ient´´ıfico era e ra considerado con siderado y tratado tra tado como c omo secreto militar. El curso de esta corriente sigui´o por un lapso de 2 a 3 a˜nos nos posteriores a la culminaci´on on de este fratricida evento mundial, hasta que esas restricciones fueron levantadas gradualmente. Posteriormente a la finalizaci´on o n de la ´ultima ultima conflagraci´on on mundial, el AME desvi´o su atenci´on on desde la mec´anica anica aeroespacial asociada con la din´amica, amica, hacia el dise˜no no estructural en condiciones
´ CAP ´ ITUL ITULO O 1. EL AN AN ALISIS MATRICIAL ESTRUCTURAL
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est´ aticas, aticas, especialme especialmente nte en la evaluac evaluaci´ i´on on de tensiones, fen´omenos omenos de pandeo de columnas, an´alisis alisis de fractura, fatiga en materiales, y efectos termomec´anicos. Era evidente el cambio en la orientaci´on tem´atica atica del desarrollo investigativo, investigativo, asociado al nuevo periodo perio do de paz que emerg´ emerg´ıa luego de la guerra. Este nuevo giro en la concepci´on on de investigaci´on on y desarrollo, se ve plasmado en los avances que se producen en dos de las ´areas areas de soporte del AME: nuevos recursos computacionales y nuevos modelos matem´aticos. aticos. La primera computadora comercial electr´onica onica que apareci´o en el mercado mercado para compra compra fu´ e la univac univac i, fabricada por una divisi´ on on de la remington–rand, y apareci´o durante el verano de 1951. A univac 1103, un computadora ella se uni´o en 1952 la univac computad ora cient´ cient´ıfica orientada y´a como m´aquina aquina capaz de ´ procesar algoritmos matem´aticos. aticos. Esta fue la primera computadora con una memoria de tambor que pod´ıa ıa almacenar y recuperar datos y valores. La eventual empresa competidora, a la cabeza de T. J. Watson Sr., fundador de IBM, 1 se hab´ıa ıa sentido en e n ese entonces enton ces incitada incit ada a participar par ticipar de d e la competici´ comp etici´on iniciada por la remington–rand, as´ı que promovi´ prom ovi´o el lanzamiento de la IBM 701, modelo aparecido en 1953. Las grandes compa˜ n´ıas de fabricac fabr icaci´ i´on on aeron´autica autica empezaron empezaron comprando comprando o arrendando arrendando estas maravillas caras hacia inicios de 1954, pero esto no signific´o el acceso inmediato para toda la comunidad cient´ cient´ıfica. Sin embargo, exist´ıa ıa en este inicio de cambio tecnol´ogico una fatal restricci´on on en su uso: las ordenes ordenes de proceso compuestas de l´ıneas ´ ıneas de comandos que describen cualquier algoritmo o secuencia estructurada para el funcionamiento de c´alculo alculo autom´atico atico efectuado por estos “ juguetes cient´ cient´ıficos ”, deb´ deb´ıan ser programadas en lenguaje de m´aquina aquina o c´odigo odigo ensamblador por especialistas que pronto formaron centros de computaci´on, on, asignando y priorizando ciclos de uso de estas m´aquinas. Solamente despu´es es de 1957 aparece el primer lengua je inform´atico atico de alto nivel (Fortran I, ofrecido en el modelo IBM 704) que permiti´o que ingenieros y cient´ cient´ıficos sean capaces de escribir sus propios programas, y ejecutarlos en su procesamiento en estas modernas m´aquinas de c´alculo alculo autom´atico. atico. Cu´ an an lejanos se ven esos d´ıas ıas que parecen estar ubicados en la pre–historia, cuando pensamos que en la ´epoca epoca actual disponemos disp onemos de mini–computadores mini–computadores de escritorio y/o malet´ malet´ın (y hasta de bolsillo), que poseen una capacidad de memoria y velocidad de c´alculo alculo much´ısimas ısimas veces vece s mayor que los “ dinosaurios dinosau rios tecnol´ ogicos ogicos ” nombrados nombrados en p´arrafos arrafos anteriores; as´ as´ı como tambi´en en disponemos dispon emos ahora de una u na infinidad in finidad de paquetes computacionales de an´alisis alisis completamente completamente estructurados, con los cuales se pueden efectuar aplicaciones ingenieriles de tipo y caracter´ caracter´ısticas casi inimaginables. inimaginables. En el an´alisis alisis est´atico, atico, la versi´on on no–matricial no–matrici al del M´etodo etodo Cl´asico asico de Fuerza (MCF) (MCF ) hab´ hab´ıa disfrutado de una reputaci´ reputaci´on on distinguida desde las contribuciones iniciales efectuadas por Maxwell, Mohr y Castigliano. Castiglia no. El m´ etodo etodo proporciona propo rciona dir´ectamente ectamente las fuerzas internas que son de inter´es es primario en el dise˜ no no mediante tensi´on on interna. Esta metodolog´ metodolog´ıa ofrece alcance considerable de versatilidad versatilidad a los ingenieros estructurales experimentados a trav´ es es de la selecci´on on apropiada de sistemas de fuerza redundantes. Este m´ etodo, etodo, a´un un en la actualidad, se ense˜na na rutinariamente rut inariamente a los estudiantes de ingenier´ ing enier´ıa ıa aerospacial, civil y mec´anica anica prioritariamente. prioritariamente. Un armaz´on o n de car´acter acter anal´ anal´ıtico matricial fu´ e elaborado convenientemen convenientemente te para organizar los c´ alculos. alculos. El primer p rimer art´ art´ıculo con notaci´on matricial del MCF que enfoc´o el an´alisis alisis de respuesta est´atica atica estructural fu´e publicado por Levy [47], seguido por publicaciones de Rand [38], Langefors [2], Wehle on anal´ anal´ıtica en este tema culmina en la serie & Lansing [20], y Denke [32]. El desarrollo de investigaci´ del art´ıculos ıculos de Argyris [17] que mencionaremos en alg´un un p´arrafo arrafo m´as as adelante. El M´ etodo etodo de Desplazamiento Desplazam iento (MD) ( MD) continu´o siendo usado para an´alisis alisis de vibraciones y aeroelasticidad. Un nuevo desaf des af´´ıo del proceso proce so de modelado modelad o entr´o en escena en los inicios de 1950: las estructuras de ala delta. Esto volvi´o a encender el inter´es es en los m´ etodos etodo s de rigidez en la comunidad de cient´ cient´ıficos que trabajaban investigando en el MD. La serie de art´ art´ıculos publicados por Argyris [17] contienen la deducci´on de la matriz de rigidez de elemento no–restringido (libre–libre) de orden 8 8 de un tablero rectangular plano que usa interpolaci´ on on bilineal de desplazamientos desplazamientos en coordenadas cartesianas. Pero esa geometr´ geometr´ıa era evidentemente evidentemente ×
1
IBM –
international international business machines machines corporation corporation ,
conocida coloquialmente como el Gigante Azul .
1.2. 1.2. UNA PIZCA PIZCA DE HISTORI HISTORIA A
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inadecuada para modelar las alas delta. La contribuci´on on que ahora es marcada como el principal hito del M´etodo etodo de Rigidez, efectuada por p or Turner, Clough, Martin Mar tin y Topp [26] finalmente finalme nte tuvo ´exito exito deduciendo dedu ciendo la matriz ma triz de rigidez rig idez de un tablero triangular dir´ectamente. ectamente. Clough [53] observa que qu e este es te art a rt´´ıculo representa una publicaci´on tard´ıa ıa de su propio trabajo efectuado y publicado en 1952-53, en la empresa aeron´autica Boeing. Se reconoce esta publicaci´ on on documental do cumental como una de las dos fuentes de aplicaciones iniciales del incipiente M´etodo etodo de Elemento Finito (MEF) presente en la actualidad, el segundo se considera que es el M´etodo etodo de Rigidez Dir´ ecto ecto (MRD) discutido posteriormente. Debido al n´umero umero m´as as grande de inc´ognitas ognitas a evaluarse comparado con el M´ etodo etodo Cl´asico asico de Fuerza, el uso competitivo del M´ etodo etodo de Desplazamientos Desplazamientos en el an´ alisis alisis de tensiones ten´ ten´ıa necesariamente que esperar hasta que las computadoras sean suficientemente poderosas como para manejar cientos de ecuaciones simult´aneas. Una serie de art´ art´ıculos ıculos escritos escritos por J. H. Argyris Argyris que ingresaron ingresaron a la bibliotec biblioteca a del conocimien conocimiento to en este campo cient´ cient´ıfico, aparecieron en cuatro publicaciones de Aircraft Engineering durante 1954 y 1955; los que qu e colectivamente repres representan entan el segundo segun do hito mayor en el AME. En E n 1960 los art ar t´ıculos fueron fuer on reunidos en un libro, titulado: “ Teoremas Teoremas de Energ´ıa ıa y An´ alisis Estructural ” [17]. La primera parte, sub–titulada Teor´ıa on de los l os cuatro cuatr o art´ıculos, ıculos, mientras que la segunda segu nda parte, par te, ıa Gene Ge neral ral , es una re–impresi´on que cubre material adicional en an´alisis alis is t´ermico–m ermi co–mec´ ec´anico anico y torsi´on, on, es de co–autor´ co–autor´ıa con Argyris y Kelsey. Ambos autores se listan como afiliados al Departamento Aerospacial de la Universidad Imperial en Londres. Los objetivos duales del trabajo, declarados en el Pr´ologo del texto y´a mencio mencionad nado, o, son “ para para generalizar, extender y unificar los principios fundamentales de energ´ energ´ıa en estructuras el´astica asticass ” y “ para describir desc ribir en detalle d etalle m´etodos etodos pr´acticos acticos de an´alisis alisis de estructuras complejas — en particular para aplicaciones aeron´auticas auticas ”. El primer primer objetivo objetivo tiene tiene marcado marcado ´exito, exito, y represent representa a una contribu contribuci´ ci´on importante hacia el desarrollo de modelos basados en an´alisis del medio cont´ cont´ınuo s´olido. olido. La primera parte logr´o fusionar cuidadosamente las contribuciones cl´asicas de los m´ etodos etodo s de energ´ıa ıa y trabajo traba jo mec´anico anico con los m´etodos etodos matriciales de sistemas estructurales discretos. El fondo del desarrollo te´orico presentado en este texto es met´odico, odico, y con numerosos ejemplos ilustrativos. La unificaci´on on descrita anteriormente anteriormente ejercit´o una influencia significativa significativa durante la pr´oxima ox ima d´ecada ec ada,, particularmente en la comunidad europea. Una excelente exposici´on de libro de texto que sigue esta nueva nueva t´ onica onica de presentaci´on on conceptual es el elaborado por Pestel y Leckie [21]. Este libro cubre ambas concepciones de modo simult´aneo aneo y concatenado, siguiendo el armaz´on te´orico orico sugerido por Argyris en los Cap´ Cap´ıtulos 9 y 10. Estos cap´ cap´ıtulos son muy recomendados de ser le´ le´ıdos para entender la organizaci´on on de c´omputo omputo manual num´erico erico y simb´olico, olico, de boga en ese momento. Otro libro fuente de consulta consulta permanent permanente, e, publicado publicado en esa ´epoca, epoca, es el texto de Przemieni Przemienieck eckii [50] que describe describe los m´ etodos etodos de desplazamiento desplazami ento y diversas variantes del m´etodo etodo cl´asico de fuerza en dos Cap´ Cap´ıtulos: 6 y 8. El primer interludio como y´a fu´e indicado, indicado , estuvo dominado dom inado por p or los eventos e ventos de la II I I Guerra Mundial. El segundo interludio que se produce entre 1956 y 1959 y´a no es silencioso y est´a asociado a un tiempo de preguntas. Una serie de m´ etodos, etodos, modelos, las herramientas herramientas computacionales, y las aplicaciones; est´ an ahora sobre la mesa, y creciendo en su magnitud de desarrollo. Surgen diversas opciones: rigidez an o flexibilidad? fuerzas o desplazamientos? desplazamientos? los m´ etodos etodos de matriz de transici´on tienen un futuro? la dualidad del m´ etodo etodo cl´asico asico de fuerza – m´ etodo etodo de desplazamientos, es una precursora a programas de uso general general que simular´ simular´an an todo? los ingenieros se permitir´an escribir esos programas?. Afortunadamente surge el hito conveniente a este entorno en 1959, a˜no de publicaci´on on del primer art´ art´ıculo acerca del M´ etodo etodo de Rigidez Dir´ecta ecta (MRD). Los argumentos y contra–argumentos contra–argu mentos generados por las preguntas anteriores demorar´an, an, sin embargo, durante dos d´ ecadas ecadas m´as as en disminuir estos c´ırculos de conocimiento conoc imiento en la comunidad cient´ cient´ıfica. La cortina de dudas puntualizadas previamente se levanta finalmente en Aachen, Alemania; el 6 de noviembre de 1959, M. J. Turner, cabeza de la Unidad de Din´amica Estructural en la Boeing y un experto en aeroelasticidad, present´o el primer art´ art´ıculo sobre el M´etodo etodo de Rigidez Dir´ecta ecta en la reuni´ on del Panel de Materiales y Estructuras AGARD [28]. (AGARD es el Grupo Asesor de la NATO on
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para la Investigaci´on on Aeron´autica autica y Desarrollo, 2 la cual hab´ hab´ıa patrocinado talleres y c´atedras atedras desde 1952). Ning´ un registro escrito de [28] parece existir. No obstante debe haber producido una impresi´on muy un fuerte puesto que contribuciones que se publicaron en el panel pr´oximo (efectuado en 1962) siguieron refiri´ endose endose a ´el. el. En julio de 1962: Turner, Martin y Weikel presentaron una versi´on extendida del art´ art´ıculo de 1959; que apareci´o en un volumen de AGARD publicada por Pergamon Press en 1964 [5]. El fuego fueg o que extiende este nuevo m´ etodo etodo es un parang´on de d e elegancia ele gancia y simplicidad. s implicidad. Fu´e demostrado de mostrado que es posible ense˜nar nar los fundamentos fundamentos esenciales del m´ etodo etodo en tres conferencias de caracter´ caracter´ısticas usuales a estudiantes graduados y no–graduados igualmente. A trav´es es de este camino el viejo AME y el nuevo MEF permitieron una confluencia lisa y sencilla. La formulaci´on matricial retorn´o a la c´ uspide de la fuente de desarrollo del conocimiento y a ser ampliamente referenciado, gracias a un uspide estudio de correlaci´on on efectuado por Gallagher [35]; el que ayud´o en la diseminaci´on on de las ideas. Las computadoras de los a˜nos nos 1960 pudieron finalmente resolver centenares de ecuaciones. En un mundo ideal, los ingenieros estructurales debieron haber arrasado el bosque de matrices creado hasta ese momento r´apidamente, apidamente, y debieron de haber abrazado sin ninguna duda el flamante M´etodo etodo de Rigidez Dir´ Di r´ecta ec ta.. No pas´o de ese modo. El mundo mundo de las estructura estructurass aerospaci aerospaciales ales analizadas analizadas mediant mediantee t´ ecnicas ecnicas matriciales se parti´o. o. El M´etodo etodo de Rigidez Dir´ecta ecta adelant´o primero por la r´apida apida difusi´on o n de los escritos producidos sobre el tema hasta ese momento. Entre las compa˜n´ıas aerospac aero spaciale iales, s, s´ s ´olo olo Boeing y Bell (influenciadas por Turner y Gallagher, respectivamente) respectivamente) hab´ hab´ıan hecho las inversiones inversiones may mayores ores en el MRD, all´a por p or 1965. 19 65. Entre E ntre el mundo acad´ ac ad´emico, emico, los integrantes del Departamento D epartamento de Ingenier´ I ngenier´ıa ıa Civil de Berkeley se vuelven los evangelistas evangelistas del MRD a trav´ trav´es es de Clough, quien hizo de sus estudiantes profetas errantes, a partir de influenciar a que usen este m´etodo etodo en sus trabajos traba jos de tesis. Estos c´odigos se diseminaron diseminaro n libremente en el mundo acad´ a cad´emico emico no-aerospacial no-aer ospacial desde de sde 1963. Martin Mar tin estableci´ estable ci´o tradiciones similares en la Universidad de Washington, y Zienkiewicz, influenciado por Clough, los disemin´o hacia la Universidad de Swansea. El primer libro de texto acerca del M´ etodo etodo de Elemento Finito [10] que apareci´ o en 1967, no hace ninguna menci´on on de los m´etodos etodos de fuerza. Por entonces la aplicaci´on on a los problemas del campo no–estructural (t´ermico, ermico, fluidos, electromagn´ electromagn´etico, etico, . . . ) hab´ hab´ıa empezado, y de nuevo el MRD escal´o bastante bien en el nuevo y bravo mundo de las n´oveles y modernas moderna s t´ecnicas ecnicas matriciales. El legado que dejaron los c´odigos odigos del MCF continuaron continuaron en vigencia. Sin embargo, el nuevo m´etodo etodo comenz´ o a ser usado en muchas compa˜n´ıas aerospaciales. aerospa ciales. La fisura y´a producida, le recuerda a uno la respuesta de A. Einstein cuando se le pregunt´o por la reacci´on on de la escuel escuela a de vieja– vieja–gua guardi rdiaa ante la aparici´on on de la nueva f´ f´ısica: “ nosotros no tuvimos la necesidad de convencerlos; convencerlos; nosotros los sobrevivi sobrevivimos mos ”. La verdadera dualidad para la mec´anica anica estructural estaba planteada ahora en conocer c´omo relacionar dir´ectamente ectamente el campo camp o interno de desplazamientos desplazamientos con el estado de tensiones interno, en lugar de establecer relaciones entre desplazamientos y fuerzas. Esto fu´e planteado primero p or Fraeijis de Veubeke en 1970 [4]. Aunque extensible m´as all´a de las estructuras y su an´alisis, alisis, el potencial de esta idea permanece principalmente inexplorado por un tiempo. Los avances vertiginosos posteriores a la aparici´ on on del de l M´etodo etodo de Elemento Ele mento Finito Fini to tomaron toma ron este es te desaf des af´´ıo y lo absolvieron ab solvieron de modo mo do muy eficiente y pr´actico. actico. Para los sistemas mec´anicos anicos como las estructuras met´alicas, alicas, el M´etodo etodo de Elemento Ele mento Finito Finit o (MEF) (MEF ) es el m´as as ampliamente ampliamente utilizado usando t´ ecnicas ecnicas de discretizaci´on on en el planteamiento del problema y su soluci´on. on. Hist´oricamente oricamente el antepasado del MEF es el An´alisis Matricial Estructural (AME), como se ilustra en la Figura 1.1, en la que se muestra sint´ eticamente eticamente la morfolog´ morfolog´ıa interna de ambas concepciones de an´alisis alisis y el sentido de evoluci´on del desarrollo te´orico. orico. Las dos concepciones de tratamiento tratamiento anal´ anal´ıtico de la problem´atica atica del an´alisis alisis en la mec´anica anica de cuerpos s´olidos, olidos, el AME y el MEF, se asientan en tres s´olidas columnas: los modelos matem´aticos, 2
nato
– North Atlantic Treaty Organisation (Organizaci´ on del Tratado del Atl´ on antico antico Norte).
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1.2. 1.2. UNA PIZCA PIZCA DE HISTORI HISTORIA A
Figura 1.1: Transici´on on desde el AME hacia el MEF la formulaci´on on discreta matricial de ecuaciones gobernantes, y las herramientas computacionales para efectuar el trabajo de c´alculo alculo num´erico. erico. De estas tres columnas, la ´ultima ultima es la que ha sufrido los cambios y avances m´as as dram´aticos. aticos. Las calculadoras calculador as num´ericas ericas electr´onicas iniciales operadas mediante completa intervenci´on on humana de los a˜nos nos de 1930 y 1940 se transformaron en aceleradas fases de s´ ubitos cambios en las actuales computadoras programables de tipo anal´ogico y digital. La formulaci´on ubitos on matricial se movi´o como un p´endulo, endulo, empez´o como un m´ etodo etodo de desplazamiento desp lazamiento simple simp le en sus su s inicios, inicios , aument´o su complejidad de modo desconcertante alcanzando su punto culminante en los intentos de unificaci´ on on de los m´etodos etodos de rigidez y flexibilidad; y regres´o a la simplicidad conceptual en el proceso de culminaci´on on de la evoluci´on on de desarrollo desarro llo de las t´ ecnicas ecnicas matriciales en el actual m´ etodo etodo de elemento el emento finito. La transici´on on del AME hacia una forma de conocimiento que posea practicidad de utilizaci´on en c´ alculo estructural desde la era de pre–computadora — descrita por ejemplo en el primer libro [13] — alculo en las que se tradujo hacia formas aplicativas aplicativas a trav´ es es de algoritmos computacionales, tuvo lugar en las primeras computadoras comp utadoras programable pr ogramables. s. Sin embargo, se debe deb e aceptar que esta es ta metodolog metodol og´´ıa de an´alisis en sus inicios present´o giros tambaleantes tambaleantes confusos de car´acter conceptual te´orico orico durante su desarrollo, los cuales tomaron lugar durante los peri´odos de creaci´on on y unificaci´on on se˜ nalados anteriormente. Siguiendo nalados a este interludio confuso, surgen vigorosamente los j´ovenes y modernos conceptos iniciales del MEF que se empiezan empiezan a establecer establecer durante durante los inicios inicios de la d´ ecada ecada de 1960, en la configuraci configuraci´´on mostrada en el lado derecho de la Figura 1.1. Sus componentes b´asicos no han sufrido cambios sustanciales al presente desde los a˜nos nos 1970, cuando esta nueva nueva metodolog´ metodolog´ıa se consolid´o plenamente. Los modelos estructurales uni–dimensionales han cambiado muy p oco: una viga de 1930 todav´ todav´ıa es la misma viga. El adelanto m´as notable es aquel que precede a los planteamientos de 1955 efectuados en el AME, siguiendo los principios de la mec´anica cl´asica asica Lagrangian L agrangiana, a, tendiente tend iente a usar u sar formas for mas de energ´ıa ıa espacialmente discreta desde el principio de la formulaci´on. El uso de formas anal´ anal´ıticas involucrando involucrando el concepto concepto de espacio–c espacio–cont ont´ ´ınuo ınuo como la base para la deducci´ deducci´on on del elemento multidimensional se abri´ o camino comandado por el investigador pionero en este campo: Argyris [17], esta inicial concepci´on fu´ e posteriormente substancialmente substancialmente aplicada a elementos elementos con geometr´ geometr´ıas triangulares por Turner, Clough, Martin y Topp [26]; siendo finalizada por Melosh [36] y Irons [42, 43] con la declaraci´on precisa de continuidad, compatibilidad, y requisitos de integridad para el MEF. Las formulaciones matriciales para el AME y el MEF han sido tradicionalmente clasificadas por la ´ opci´on on de inc´ognitas ognitas primarias. Estas inc´ognitas ognitas son las que deben ser resueltas por el intelecto humano o la computadora digital para determinar el estado del sistema. En el M´etodo etodo de Desplazamiento (MD) estas inc´ognitas ognitas son desplazamientos desplaza mientos f´ısicos o generalizad ge neralizados. os. En el M´etodo etodo Cl´asico de Fuerza (MCF) ´estas estas son amplitudes de fuerza redundante o tensi´on on interna en los elementos componentes. (El calificativ lificativo o “ cl´ asico” asico ” es important importantee porque hay otras version versiones es del M´ etodo etodo de Fuerza que seleccion selecciona, a, por ejemplo, valores de la funci´on de tensiones o multiplicadores de Lagrange como inc´ognitas.) Existen m´ etodos etodos adicionales que involucran involucran combinaciones combinaciones de desplazamientos, desplazamientos, fuerzas y/o deformaciones
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como inc´ognitas ognitas primarias, pero ´estos estos no tienen importancia imp ortancia pr´actica en el per p er´´ıodo previo a 1970 que est´ a siendo cubierto en su historiaci´on cronol´ogica ogica en esta resumida redacci´on. on. Los nombres matem´aticos aticos apropiados para el MD son: m´ etodo etodo de rango–espaci rango– espacial al o m´ etodo et odo primal pri mal . Esto significa que las inc´ognitas ognitas primarias son del mismo tipo que las variables primarias de la funcional asociada gobernante del problema. Los nombres apropiados para el MCF son m´ etodo etodo de espacio–nu espaci o–nulo lo , ognitas primarias son del mismo tipo de m´ etodo etod o adjunt adj unto o , o m´ etodo etod o dual dua l . Esto significa que las inc´ognitas las variables adjuntas de la funcional asociada gobernante, que en la mec´anica estructural son fuerzas. Estos nombres no se usan en la descripci´on on hist´orica, orica, pero son ´utiles utiles en la ubicaci´on on de los m´as as recientes desarrollos en la materia, as´ as´ı como las aplicaciones no–estructurales del MEF, dentro de un armaz´on de concepci´on on te´orica orica general. Los t´erminos ermi nos M´etodo eto do de d e Rigide Ri gidezz y M´etodo eto do de d e Flexib Fl exibilid ilidad ad son s on nombre n ombress m´as difusos para los M´ etoetodos de Desplazamiento Desp lazamiento y Fuerza, respectivamente. resp ectivamente. Generalmente Generalme nte hablando, ´estos estos se aplican ap lican usualmente usual mente cuando las matrices de rigidez y flexibilidad, respectivamente, son parte importante del modelado y del proceso de soluci´on. on. El lector paciente que ha alcanzado la lectura de estos ´ultimos p´arrafos arrafos puede haber notado que ´esta esta es una u na aprec a preciaci iaci´´on on global cr´ cr´ıtica de historia del AME, en lugar de una relaci´on on de eventos. Refleja interpretaciones y opiniones personales. No hay ning´un esfuerzo hacia la integridad de eventos que se sucedieron en el pasado. Lo que se considera como los hitos mayores en este desarrollo se cubren con un poco de detalle. Esta descripci´on on de entortorno hist´orico orico espero que pueda ser instructivo en dos aspectos. Primero, los m´ etodos etodos matricia matriciales les pueden pueden retornar retornar ahora en ayuda ayuda a las respuestas respuestas exigidas por las nueva nuevass circunstancias de car´acter acter tecnol´ogico. ogico. Un ejemplo es el resurgimiento de m´ etodos etodos de flexibilidad en el proceso masivamente paralelo de c´alculo de mega–estructuras. Un conocimiento hist´orico general de la antigua literatura lit eratura t´ ecnica, ecnica, indudablemente indudable mente ayuda en la b´usqueda de nuevas concepciones. Segundo, la victoria aplastante del M´etodo etodo de Rigidez por encima de la complejidad que turba los sentidos generada por el “ el bosque b osque de matrices ” generado durante el per p er´ ´ıodo del desarrollo de los m´etodos etodos matriciales ilustra la virtud de la prescripci´on de Occam en contra de la multiplicaci´on de las entidades entidades:: “ cuando cuando la duda duda surja, surja, la simpli simplicid cidad ad debe ser escogi escogida da ”. Este Este dictad dictado o imposi impositiv tivo o es pertine pertinent ntee al estado estado desconcertante desconcer tante que en la ´epoca epo ca pasada pasa da se di´o en el ´area area de conocimiento de la mec´anica computacional. Afortunadamente, se procedi´o como deber´ deber´ıa hacerse y es por p or ello que en la actualidad actualidad se acepta acepta que en la concepci´on on de investigaci´on, on, desarrollo, y evoluci´on on del de l conocimiento cono cimiento cient´ cient´ıfico en e n la mec´anica de estado s´olido; olido; el MEF es una transmutaci´on on de su predecesor cronol´ogico, ogico, el AME. Estas poderosas razones fueron b´asicamente asicamente las que orientaron la formulaci´on de estructuraci´on on tem´atica atica que se desarrolla en el presente libro, la misma que en su pretenci´on pretenci´on final busca que el lector considere este texto como un escrito de iniciaci´on pre–conceptual hacia el m´ etodo etodo de elemento finito, a trav´ tr av´ es es de la profunda comprensi´on del denominado m´etodo etodo de rigidez; que personalmente considero la concepci´ concepci´ on on rudimentaria y originaria de la moderna y actual t´ ecnica ecnica de aplicaciones variadas variadas que posee el m´ etodo etodo de elemento finito. Es muy posible p osible que ´esta esta mi apreciaci´on no sea compartida por otros muchos estudiosos del an´alisis alisis matricial estructural, lo cual en absoluto no me preocupa ni me quita el placentero sue˜no no diario al que tengo derecho como todo ser humano pensante.
1.3.
M´ etodos eto dos de d e an´ alisis ali sis
Los m´ etodos etodo s de an´alisis alisis estructural en la mec´anica de s´olidos olidos pueden ser divididos en dos grupos como se indica en la Figura 1.2: m´etodos etodos anal´ıticos ıticos y m´etodos etodos num´ ericos. ericos. Las limitaciones limitacione s impuestas por los m´ etodos etodos anal´ anal´ıticos son bien conocidas. S´olament olamentee en casos muy especiales especiales,, solucione solucioness de forma–cerrada son posibles de obtener para problemas con una reducida complejidad relativa de planteamiento. Soluciones aproximadas pueden ser halladas para algunas configuraciones estructurales simples, p ero, en general, para estructuras complejas los m´ etodos etodos anal´ anal´ıticos no pueden ser utilizados, y los m´ etodos etodos num´ ericos ericos deben invariablemente ser empleados. empleados .
´ ´ 1.3. .3. M ETODOS DE AN ALISIS
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Figura 1.2: M´ etodos etodos de an´alisis alisis estructural Los m´etodos eto dos num´ericos eri cos de an´ an ´alisis alisis estructural pueden ser subdivididos en dos tipos: (1) soluciones num´ num´ericas ericas de ecuaciones diferenciales para desplazamientos desplazamientos o tensiones; y (2) m´ etodos etodos matriciales basados en idealizaci´on on de elemento–discreto. En el primer tipo, las ecuaciones de elasticidad son resueltas para una configuraci´on estructural particular, ya sea por t´ ecnicas ecnicas de diferencias–finitas o por integraci´ integraci´on num´erica eric a dir´ecta. ecta . En esta est a aproximaci´on on el an´alisis alisis est´a basado en una aproximaci´on on matem´atica atica de las ecuaciones diferenciales gobernantes. Limitaciones de car´acter acter pr´actico, actico, sin embargo, restringen la aplicaci´on de estos esto s m´etodos eto dos a´ un un para estructuras simples. As´ As´ımismo, las varias varias operaciones de c´alculo alcu lo num´erico eric o en las t´ecnicas ecni cas de diferencias–finitas o integraci´on–num´ on–num´erica erica podr pod r´ıan ser formuladas en notaci´on matricial, y el ´algebra algebra matricial aplicada a la soluci´on de la ecuaci´on on gobernante para las inc´ognitas. ognitas. Estas t´ ecnicas ecnicas no son generalm generalment entee aceptadas aceptadas como m´ etodos etodos matricial matriciales, es, puesto puesto que las matrices matrices no son esenciale esencialess en la formulaci´on on del planteamiento y an´alisis alisis de comportamiento del fen´omeno f´ısico bajo ba jo estudio. En el segundo tipo, la teor´ıa ıa estructural completa es desarrollada desde su inicio en ´algebra algebra matricial, a trav´es es de todas las fases fas es de an´alisis. alisis. La estructura es primero idealizada como un ensamblaje de elementos estructurales discretos con formas asumidas de desplazamientos o distribuci´on de tensiones, y la soluci´on on completa es luego obtenida combinando estos desplazamientos individuales aproximados o distribuci´on on de tensiones aproximada en una manera particular de modo que se satisfagan el equilibrio de fuerzas y la compatibilidad compatibilidad geom´ etrica etrica de la deformaci´on en las regiones de junta o uni´on on de estas piezas (o elementos, producto del proceso de discretizaci´on previo p revio llevado a efecto). Los m´ etodos etodos basados en esta aproximaci´on on parecen ser m´as as convenientes para el an´alisis alisis de estructuras complejas. Estos m´ etodos etodos involucran involucran cantidades apreciables de ´algebra algebra lineal, las cuales deben ser organizadas en una secuencia sistem´atica atica de operaciones, y para este fin el uso del ´algebra matricial es un m´ etodo etodo muy conveniente de definir los varios procesos involucrados en el an´alisis sin la necesidad de escribir por completo todas las ecuaciones para las diversas variables inc´ognitas y conocidas, involucradas en el problema. Adem´as, as, la formulaci´on on del an´alisis alisis en ´algebra algebra matricial est´a idealmente preparada para la soluci´on on subsecuente utilizando como herramienta de c´alculo num´ erico erico una computadora computad ora digital, y tambi´en en permite una recopilaci´on on f´acil acil y sistem´atica atica de los datos requeridos. Dos m´etodos etodo s matriciales matri ciales complementarios complementario s de formulaci´on de cualquier problema estructural son posibles: (1) el m´etodo etodo de desplazamientos desp lazamientos (m´etodo etodo de rigidez), rigid ez), donde dond e los desplazamientos desplazam ientos son escogidos como inc´ognitas, ognitas, y (2) el m´etodo etodo de fuerzas fuer zas (m´etodo etodo de flexibilidad), flex ibilidad), donde las fuerzas fue rzas son s on las inc´ogni-
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tas. En ambos m´ etodos etodos el an´alisis alisis puede ser llevado llevado a efecto a trav´ es es de una combinaci´ combinaci´on sistem´atica atica de elementos estructurales individuales no–ensamblados en una estructura ensamblada con ellos, en la cual las condiciones de equilibrio y compatibilidad compatibilidad geom´ etrica etrica de la deformaci´on; se satisfacen.
1.4.
Otras ´ areas areas del an´ alisis alisis matricial estructural
El an´alisis alisis estructural general trata esencialmente con la determinaci´on de tensiones y distribuciones de desplazamientos debidos a un sistema prescrito de cargas aplicadas, campos de temperaturas existentes, y restricciones de movimiento; en ambos tipos de condiciones suceptibles de existencia: est´ atica atica y din´amica. amica. Bajo condiciones de estaticidad pura, asumimos que la estructura est´a completamente inmovilizada y en condici´on de reposo repos o absoluto abs oluto en su estado indeformado indeformad o y tambi´en en despu´ de spu´es es de de que la solicitaci´on on externa actuante produzca una deformaci´on on en la misma. En cambio, en condiciones din´amicas, amicas, se asume que la estructura est´a animada an imada de movimiento, movimie nto, generalmente gen eralmente con reg´ reg´ımenes de velocidad variables, y es en fases determinadas de intervalos de tiempo pre–especificados, que la solicitaci´ on externa aplicada sobre ella act´ua. on ua.3 Numerosas ´areas areas adicionales, adicionale s, sin embargo, deben ser tambi´ t ambi´en en exploradas ex ploradas a trav´ tr av´ es es de un detallado de tallado an´ alisis con el objetivo de asegurar integridad estructural y eficiencia. Las principales ´areas de investialisis gaci´ on on en dise˜ no no estructur estructural al en mec´anica anica del cuerpo s´olido olido deformable asociadas con una formulaci´on de car´acter acter matricial son resumidas a continuaci´on on mediante un breve listado: f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
Distribuci´ on on de tensiones Distribuci´ on on de desplazamientos Estabilidad estructural Termoelasticidad (tensiones (tension es y desplazamientos desplaza mientos t´ermicos) ermicos) Plasticidad Torsi´on on no–circular Aeroelasticidad Aerotermoelasticidad Tensiones por fatiga Propagaci´ on on de grietas Fen´ omenos omenos de hist´eresis eresis material Frecuencias de vibraci´on on Modos normales de vibraci´on on Concentraci´on on de tensiones tensiones Tensiones por fabricaci´on on Pandeo de columnas Fluencia lenta Rotura del material (fr´agil agil y ten´az) az) Optimizaci´on de configuraciones estructurales
Evidentemente, a este listado se pueden a˜nadir nadir muchos otros temas que sin duda alguna son fuente de preocupaci´on on constante entre los innumerables investigadores alrededor de todo nuestro orbe, que actualmente se encuentran encu entran desarrollando des arrollando tanto teor´ıa ıa como pr´actica en tem´aticas aticas diversas que integran el an´alisis alisis matricial estructural en la mec´anica de los cuerpos s´olidos olidos deformables.
1.5. 1.5.
El proc proces eso o iter iterat ativ ivo o de dise˜ dise˜ no no
El esquema global de Simulaci´on on Basada en Modelo (SBM) por computadora es diagramado en la Figura 1.3. 1 .3. En este flujograma, flu jograma, el sistema sist ema f´ısico ısico a ser analizado ana lizado es e s primariamente primar iamente convertido a trav´es es de 3
En este documento, s´olo olo se desarrolla un an´ alisis alisis en condiciones condiciones de equilibrio equilibrio est´ atico. atico.
˜ 1.5. EL PROCESO PROCESO ITERATIVO ITERATIVO DE DISE NO
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la consideraci´on on de ciertas hip´otesis otesis simplificativas en un modelo matem´atico, el cual por generalidad posee caracter´ caracter´ısticas de continuidad continuidad en sus aspectos materiales y de propiedades mec´anicas; el mismo que mediante media nte ciertas t´ecnicas ecnicas de particionamiento part icionamiento de car´acter virtual es convertido en un modelo discreto compuesto de peque˜nas nas “ piezas ”, las cuales re–ensambladas en totalidad reproducen ex´actamente el sistema discreto original. Este modelo matem´atico as´ as´ı discretizado tiene comportamiento comportamiento definido por una ecuaci´on on gobernante (que en el caso presente es formulado usando an´alisis matricial) la cual posee soluci´on on para un n´umero umero finito de variables de estado con las cuales se ha formulado el modelo discreto, i.e., esta soluci´on tampoco es cont´ cont´ınua en el dominio de definici´on on del problema. El procedimiento anteriormente descrito, utiliza secuencialmente los procesos de idealizaci´on, discretizaci´on, on, y soluci´ on; on; en la que se basan en generalidad las t´ecnicas ecnicas de simulaci´on on computarizada.
Figura 1.3: Flujograma de SBM mediante computador Los procesos de verificaci´on on y validaci´on on del modelo simulado en su comportamiento por el c´alculo computacional efectuado, es realizado mediante apropiados bucles de retroalimentaci´on mediante el contraste de resultados te´oricos oricos intermedios y finales que arroja el modelo matem´atico discreto, con aquellos que pueden obtenerse obteners e mediante me diante v´ıas experimentales exper imentales en el sistema f´ısico real a trav´es es de mediciones en un prototipo o un modelo a determinada escala geom´ etrica etrica que puede ser constru´ constru´ıdo para realizar dichas pruebas experimentales. El modelo discreto utilizado en el an´alisis de car´acter acter te´orico orico se considera considera verificado verificado y valida validado, do, cuando la discrepan discrepancia cia de los resultados resultados comparados comparados es menor menor que cierta magnitud pre–establecida de error porcentual, el cual sea aceptable en c´alculos de dise˜no n o en inge in geni nier´ er´ıa. ıa . Los m´etodos etodos matriciales de an´alisis alisis estructural est ructural son s on usados usado s para resolver res olver problemas problema s f´ f´ısicos en an´ a n´alisis alisis y dise˜ no de comportamiento est´atico no atico y din´amico amico de sistemas compuestos de cuerpos s´olidos olidos interconectados. La Figura 1.4 resume el proceso de dise˜no utilizan util izando do m´etodos eto dos num´ericos eric os de an´alisis basados en modelo matem´atico atico discreto formulado mediante utilizaci´on del ´algebra algebra matricial. El problema prob lema f´ısico ısico t´ıpicamente ıpicamente involucra involucr a una estructura estructur a real o componentes comp onentes estructura es tructurales les sujetos suj etos a ciertos sistemas de carga. La idealizaci´on del problema f´ısico en e n un modelo matem´atico requiere establecer ciertas asunciones o hip´otesis otesis que juntamente juntamente a la primac´ primac´ıa de ecuaciones diferenciales gobiernan el modelo matem´atico. atico. Este modelo puede escogerse escogerse a ser discreto discreto y formulado formulado mediant mediantee t´ ecnicas ecnicas matem´aticas aticas que proporciona el ´algebra algebra matricial. En este caso hablamos de modelos matem´aticos discretos discretos matriciales, matriciales, los cuales cuales en el caso de la ingenier ingenier´´ıa estructura estructurall son variado variadoss en su particular particular presentaci´on. on. En este documento, desarrollaremos con relativo detalle de an´alisis en orden de primac´ıa ıa de importancia de su formulaci´on on te´orica: orica: (1) el e l m´etodo etodo de rigidez r igidez (o desplazamie d esplazamientos), ntos), (2) el e l m´etodo etodo de flexibilidad, y (3) el m´ etodo etodo de elemento finito. El an´alisis alisis de elemento discreto resuelve este modelo matem´atico. Y puesto que la soluci´on on mediante an´ alisis alisis matricial matricial es un procedimie procedimiento nto num´ num´erico, erico, es necesario necesario asegurar asegurar su exactitud exactitud.. Si el criterio criterio de exactitud no se satisface, la soluci´on num´ erica erica (i.e., de elemento discreto) debe deb e ser repetida con par´ ametros ametros de soluci´on on refinados (como una discretizaci´on on de reticulado mucho m´as as fina, con elementos de menor dimensi´on on geom´ etrica); etrica); hasta que una suficiente exactitud de magnitud predeterminada sea
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alcanzada; la misma que est´ e especificada mediante alguna norma de dise˜no mec´anico. anico.
Figura 1.4: Flujograma del proceso de dise˜no no estructural matricial Es claro que la soluci´on on de elemento discreto resolver´ a solamente el modelo matem´atico atico seleccionado y que todas las asunciones en este modelo estar´an reflejadas en la respuesta predecida. No podemos esperar mayor informaci´on on en la predicci´on on del fen´omeno omeno f´ısico que la informaci´on on contenida en el modelo matem´atico. atico. De aqu´ aqu´ı, la opci´on de establecer un apropiado modelo matem´atico atico es crucial, y determina la visi´on on de la intenci´on on del analista dentro del problema real que puede ser obtenido por el an´alisis alisis efectuado. Debemos enfatizar que, por nuestro an´alisis, alisis, podemos por supuesto obtener solo una visi´ on dentro del problema f´ısico ısico considerado: no podemos predecir la respuesta verdadera de ´este este problema ex´ actamente ; puesto que es imposible reproducir a´un un en el modelo matem´atico atico m´as as refinado toda la informaci´on on que est´a presente presente en naturaleza naturaleza,, y por consiguie consiguiente nte contenid contenido o impl´ impl´ıcitamen ıcitamente te en el problema prob lema f´ısico ısic o real. r eal. Una vez que el modelo matem´atico ha sido resuelto con precisi´on y los resultados han sido interpre-
˜ 1.5. EL PROCESO PROCESO ITERATIVO ITERATIVO DE DISE NO
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tados, podemos decidir considerar a continuaci´on la elaboraci´on on de un modelo matem´atico atico refinado con el objetivo de incrementar nuestra visi´on en la respuesta del problema f´ısico. Este paso en el proceso pro ceso de dise˜ no, evidentemente plantea una optimizaci´on en la concepci´on no, on del problema que est´a siendo abordado. Adem´as, as, un cambio en el problema f´ısico podr´ıa ıa ser necesario, y esto llevar´ llevar´a a su vez tambi´en en a la formulaci´on on de modelos matem´aticos aticos adicionales y a soluciones de elemento discreto asociadas a ellos, como se indica muy claramente mediante los bucles de retro–alimentaci´on de la informaci´on on que se muestran en la Figura 1.4, donde mediante estos grafos lineales orientados enfatizamos que el proceso de dise˜ no no es e s de caracter´ıstica ıstica esencial iterativa. El paso clave en el an´alisis alisis en cualquier ´area area de la ingenier´ ingenier´ıa (y en particular en el an´alisis alisis estructural) es por consiguiente escoger apropiados modelos matem´aticos. Estos modelos cl´aramente aramente ser´an an seleccionados dependiendo del tipo de fen´omeno omeno f´ısico ısico que va a ser predecido, predecido, y es de vital vital importancia, entonces, seleccionar modelos matem´aticos que sean fiables y efectivos en la predicci´on on de las cantidades buscadas buscada s (´ınc´ognitas ognitas del problema planteado) para as´ as´ı establecer la respuesta de car´acter te´ orico que nos ofrecen estos modelos, la cual puede ser luego contrastada con mediciones de car´acter orico experimental para efectuar un procedimiento de validaci´on de resultados obtenidos. Para definir la fiabilidad y efectividad de un modelo escogido, pensamos en un modelo optimizado general muy–completo del problema f´ısico ısico y efectuamos la medici´on y comparaci´on on de respuesta de nuestro modelo escogido contra la respuesta del modelo general completo. Efectividad de un modelo matem´ atico
El modelo matem´atico atico m´as as efectivo para el an´alisis alisis es ciertamente aquel que proporciona la respuesta requerida, con un suficiente grado de ex´actitud actitud y a menor costo. Fiabilidad de un modelo matem´ atico
El modelo matem´atico atico escogido es fiable, si la respuesta requerida es conocida a ser predecida dentro de un nivel de ex´actitud actitud medido sobre la respuesta de un modelo matem´atico atico muy–completo. muy–completo. En general, un modelo matem´atico atico muy–completo es una descripci´on entera tridimensional tridimens ional que tambi´en en deber´ deber´ıa incluir efectos no lineales que pueden presentarse en la descripci´on de comportamiento comport amiento f´ısico como respuesta re spuesta a est´ımulos ımulos de tipo externo. Para evaluar los resultados obtenidos por la soluci´on de un modelo matem´atico atico escogido, escogido , podr pod r´ıa ser necesario tambi´en en resolver modelos matem´aticos de mayor–orden en formulaci´on on anal´ıtica, ıtica, y podemos po demos muy bien pensar (pero claro, no necesariamente resolver) en una secuencia de ellos que incluyan de manera incremental efectos m´as as complejos. Por ejemplo una estructura tipo viga (usando terminolog´ terminolog´ıa de an´alisis alisis estructural) podr p odr´ ´ıa ser primero analizada utilizando la teor´ teor´ıa de vigas formulada por Bernoulli, luego teor´ teor´ıa de vigas planteada por Timoshenko, luego teor´ teor´ıa de elasticidad bi–dimensional, y finalmente usando u sando un u n modelo mod elo completo comp leto tri–dimension tri –dimensional al cont´ınuo; ınuo; y en e n cada caso podr´ p odr´ıan ıan ser incluidos efectos no–lineales en el an´alisis. alisis. Dicha secuencia de modelos es referida como una secuencia jer´ arquica de modelos. Cl´aramente, aramente, con esta secuencia jer´arquica arquica de modelos se incluir´a cada vez efectos m´as as complejos de respuesta r espuesta,, pero p ero tambi´en en llevar´ l levar´a de manera incremental a soluciones m´as costosas. Como es bien conocido, un an´alisis alisis completo tri–dimensional es mucho m´as oneroso (en recursos computacionales y tiempo utilizado en el an´alisis) que una soluci´on on bi–dimensional. En los dias presentes, los dise˜nos nos estructurales que se efect´uan uan son realizados sobre la base de la experiencia adquirida con tipos similares de estructuras y´a construidas, usando talvez algunos c´alculos alculos anal´ anal´ıticos muy simples, luego la estructura es analizada en detalle mediante m´ etodos etodos num´ ericos, ericos, y subsecuentemente es modificada por el dise˜nador nador despu´es es de la examinaci´on de los resultados resultado s num´eriericos. La estructura modificada es luego re–analizada, el an´alisis examinado, y la estructura modificada nuevamente, nuevamente, y as´ as´ı siguiendo, hasta que un dise˜no no estructural satisfactorio es obtenido. Cada ciclo de dise˜ no puede introducir alguna retro–alimentaci´on sobre el estado de solicitaci´on no on aplicado, las dimensiones geom´etricas etricas de los elementos componentes y los materiales utilizados, hasta lograr conformidad de resultados. El an´alisis alisis estructural por lo general proporciona las distribuciones de tensiones en todo el dominio material espacial ocupado por la estructura, de modo que las tensiones m´aximas (normales y cortantes) en los elementos componentes puedan ser comparadas con las tensiones m´aximas permitidas usando
´ CAP ´ ITUL ITULO O 1. EL AN AN ALISIS MATRICIAL ESTRUCTURAL
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criterios criterios apropiado apropiadoss de resistenc resistencia ia mec´ anica. anica. En un an´alisis alisis de tipo est´atico atico pueden pueden utilizar utilizarse se los criterios de tensi´on on cortante m´axima axima o de energ´ıa ıa de d e distorsi´ di storsi´on m´axima axima (tambi´en en conocido conoc ido como criterio de VonMisses–Hencky), por ejemplo. Y, si los niveles de tensi´on son insatisfactorios (ya sean muy altos o muy bajos, dependiendo del problema), se debe proceder a la optimizaci´on de dise˜ no no estructural. Esto usualmente implica una estructura de peso–m´ peso–m´ınimo, aunque en el proceso pro ceso de optimizaci´on los aspectos de car´acter acter econ´omico omico podr po dr´´ıan tener tambi´en en una decisiva influencia en la selecci´on de materiales o m´etodos eto dos de cons c onstruc trucci´ ci´on. on. Deber´ Deber´ıa ser tambi´ tambi´en en mencionado que factores de seguridad son usados en establecer apropiadas condiciones de dise˜no, no, tanto en la selecci´on o n de los par´ametros ametros iniciale inicialess durante durante la formulaci formulaci´´on on del problema; como en la verificaci´on on de resistencia apropiada cuando se ha obtenido la soluci´on. Estos factores son necesarios debido a la posibilidad que: (1) las cargas en servicio excedan los valores estimados de dise˜ no, y (2) la estructura sea realmente menos resistente cuando sea construida, que aquella no, determinada por los c´alculos alculos anal´ıticos ıticos obtenidos te´oricamente. oricamente. En resumen, el an´alisis efectuado debe demostrar adecuados m´argenes argenes de seguridad en t´ erminos erminos de rigidez estructural, para una especificada esp ecificada performance en el medio ambiental en el cual la estructura realizar´a la funci´on on para la cual ha sido dise˜ nada. nada. Modernamente, el cl´asico asico factor de seguridad de dise˜no no mec´anico anico ha sido sustitu´ sustitu´ıdo por metodolog´ıas ıas de evaluaci´ evalua ci´on on de performance de funcionamiento y servicio de los diversos sistemas estructurales por criterios de tipo t ipo probabil´ıstico. ıstico. As´ As´ı, las la s condicione c ondicioness de solicitaci´ solicitaci ´on y aparici´on on de tensiones internas en los miembros componentes en estructuras complejas pueden ser calculadas para varias condiciones de carga, usando las extensivas capacidades de modelos computacionales, que han estado disponibles para la elaboraci´on on de modelos de dise˜no no desde la d´ ecada ecada de 1960. Si uno puede eficientemente calcular la variabilidad en las tensiones debidas a las cargas de tipo aleatorio o estoc´astico, estoc´astico, entonces los m´ argenes argenes de dise˜no no entre las variables de tensiones y las variables de resistencia del material pueden ser establecid e stablecidos os a trav´es es del de l denominado den ominado ´ındice ındi ce de fiabilida fiabi lidad d . Esta simple idea subyace en muchos de los modernos m´ etodos etodos desarrollados de dise˜no no mec´anico anico basados en confiabilidad para las estructuras conformadas por cuerpos s´olidos olidos deformables. Una aproximaci´on inicial de esta concepci´on fu´e desades arrollada por el autor [29] en un estudio previo de investigaci´on aca acad´ d´emica. emi ca. Si bien es cierto que el estudio de investigaci´on presentado a trav´ es es del presente documento do cumento solo considera el comportamiento en condici´on est´atica atica de equilibrio estructural de los diversos sistemas que podr´ıan ıan ser objeto de an´alisis alisis con las t´ ecnicas ecnicas presentadas en p´aginas aginas subsecuentes; subsecue ntes; es tambi´en en cierto cierto que con los resultado resultadoss de soluci´ soluci´on on obtenidos puede efectuarse una aproximaci´on on a la predicci´on on de comportamiento comp ortamiento en e n situaciones situa ciones de d e caracter caract er´ ´ısticas din´amicas de solicitaci´on on por uso del denominado caracter´ıstica factor din´ amico de carga (fdc) el mismo que convierte toda magnitud de respuesta de caracter´ est´ atica en un valor de amplitud de respuesta din´amica m´as atica as probable para la misma variable, a sola condici´ on que el comportamiento mec´anico on anico estructural del sistema en an´alisis alisis sea el´astico astico linealmente– linealmente– variable como hip´otesis otesis b´asica asica de formulaci´on on discreta del modelo matem´atico atico que sea establecido usando t´ ecnicas ecnicas matriciales como las l as que ser´an desarrolladas en este texto.
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Breve Breve galer´ galer´ıa de algunas estructuras estructuras
En las siguientes p´aginas aginas mostramos algunas fotograf´ fotograf´ıas de diversas estructuras met´alicas alicas que pueden ser en aproximaci´on on de primera instancia analizadas y/o dise˜nadas nadas utilizando las t´ecnicas ecnicas presentadas en los Cap´ Cap´ıtulos siguientes. La muestra de im´agenes agenes que se presentan verdaderamente es muy reducida en comparaci´on on al innumerable n´umero umero de posibles aplicaciones del denominado campo generalizado del an´alisis alisis matricial estructural. Para lograr secuencia y contraste de visualizaci´on en la disposici´on o n de im´agenes, agenes, utilizam utilizamos os una varian variante te personal personal de la t´ ecnica ecnica gr´afica afica digital art´ art´ıstica 4 denominada: “logic eingij–colhage” creada por Aliaga U. Carlos Ph.E. 4
Se concord´ o con el innovad innovador or artista denominar: denominar: “ quadrilateral quadrilateral techni–colhag techni–colhage”, e”, a la t´ ecnica ecnica que se presenta presenta en p´ aginas aginas siguientes.
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