“Hansen” Problema
de cuatro puntos
1 de oct.
HANSEN PROBLEMAS DE CUATRO PUNTOS 1.- OBJETIVOS.Los objetivos de esta práctica son: La medición de ángulos horizontales interiores del polígono que se realiza por Repetición o Reiteración de acuerdo al instrumento a ser utilizado.
Otros de los objetivos es de conocer las diferentes figuras de astros las cuales nos ayudan a resolver los diferentes problemas que se realizan en campo para las practicas.
Finalmente los conceptos de esta práctica deben estar muy bien conocidos por lo cual esta práctica será base para las subsiguientes y para el proyecto final lo cual es importante para el levantamiento de las curvas de nivel , para cubrir la zona donde se realizara dicho proyecto.
2.- FUNDAMENTO TEORICO.PROBLEMA DE HANSEN.La principal aplicación del método de Hansen consiste en trasladar una base AB de longitud y azimut conocidos, a otra P1 P2 que sirve de apoyo a nuestro trabajo, por intersección inversa o sea sin hacer más estaciones que las de P1 y P2 donde midieron los ángulos internos respectivamente. Con frecuencia se utiliza como base de un levantamiento un lado geodésico, que limitan por ejemplo las torres de las iglesias de dos pueblos, lado excesivamente grande para nuestro trabajo y alejada de él por lo que interesa reducirle y trasladarse a P1 P2. También tiene aplicación cuando pretendemos situar un punto P1 y desde el, (por lo que interesa reducirle y trasladarse) no se vean sino sólo dos vértices A y B pudiendo sustituir el tercero del método Pothenot por uno auxiliar P2 pero con la condición de estacionar en él.
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DEFINICION.El problema de Hansen o problema de cuatro puntos, se refiere a la resolución de un cuadrilátero unitario perteneciente a una red de triangulación, es decir que la resolución de varios cuadriláteros sucesivos pertenecientes a una red de triangulación La triangulación es el procedimiento que se emplea para el control de levantamientos extensos, que si se hicieran simplemente con polígonos, el gran número de lados de éstos acumularía errores fuertes. Consecuentement e los lados de las figuras que se emplean, son mayores que los lados de polígonos. El control que se establece consiste al final de cuentas, en tener las coordenadas de los vértices. Con este sistema, para pasar de las coordenadas de un punto a las de otro punto, muy distantes entre sí, solo se tiene una línea, en vez de todas las que se tendrían que atravesar mediante polígonos, y que conducirían a incertidumbre en la posición del punto de llegada. Posteriormente, los polígonos para levantamientos de detalle se apoyan a estas coordenadas para su comprobación, es decir un polígono que parte de un vértice de triangulación con ciertas coordenadas, debe llegar al otro vértice con las coordenadas obligadas de éste. Los triángulos que se forman, con cualquier sistema empleado, deben procurarse que sean lo más posible cercanos al equilátero. Esto implica lados y ángulos aproximadamente iguales en todo el sistema con lo que se logra una precisión uniforme, y un elemento de compensación de errores en la medida de los ángulos. Los mejores resultados se obtienen limitando los ángulos a que queden entre 30º y 120º. Sin embargo muchos de los ángulos que se miden no se emplean posteriormente para el cálculo de lados, y llegado el caso de que las condiciones de campo lo obliguen, pueden tenerse ángulos fuera de estos límites. Esto acontece con frecuencia en cuadriláteros, donde los ángulos para el cálculo de lados pueden ser la suma de dos ángulos medidos. 2
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La bondad o eficiencia de una figura para el cálculo es lo que se llama “rigidez” de la figura, y en trabajos de gran precisión se valoriza este
elemento para comparar figuras entre sí y seleccionar las más convenientes. Los vértices deben escogerse de modo que haya visibilidad en ambos sentidos de las líneas que formen. Generalmente son puntos notables, elevados, sobre lomas, cerros, torres o lugares especiales. Donde es necesario deben construirse mojoneras para garantizar mejor su permanencia, y refianzarse ampliamente. Una red de triangulación está compuesta de figuras geométricas a cuyo primer lado se denomina línea base, al lado común entre figuras Geométricas se denomina base analítica, al último lado de la triangulación se denomina línea de verificación. La anterior práctica estuvo destinada a la medición en campo y correcciones en gabinete de la Línea Base. En esta práctica continuaremos el trabajo de triangulación; para ello debemos resolver el problema de los cuatro puntos o de Hansen que se refiere a la solución de un cuadrilátero unitario perteneciente a una red de triangulación, es decir que la resolución de un cuadrilátero se puede generalizar a la resolución de varios cuadriláteros sucesivos pertenecientes a una red de triangulación.
Resolución gráfica.Para resolver el problema gráficamente comenzaremos por dibujar una figura semejante a la propuesta, partiendo de una recta arbitraria P1 P2 Homologa a la verdadera, en sus extremos se construyen los ángulos internos, la intersección de los lados dará el punto A. De igual modo trazaremos los ángulos siguientes obteniendo el punto B y uniendo A con B se tendrá la recta homóloga a la de la base; la relación de esta recta en la figura auxiliar a la del plano será la base; la relación de esta recta en la figura auxiliar a la del plano, será (base) la razón de semejanza entre la figura dibujada y la que pretendemos hallar.
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Bastará ahora, procediendo a la inversa apoyarnos en la base del plano y construir una figura semejante a la que acabamos de obtener, situando de este modo los puntos P1 y P2. No es necesario hacer notar que un método tan impreciso no podrá recomendarse sino en muy limitadas circunstancias y nunca cuando P1 y P2 hayan de servir de apoyo para otros levantamientos.
Figuras de triangulación Cuadriláteros: Cuando el área que se requiere levantar es de extensiones aproximadamente iguales en magnitudes tanto en lo ancho como largo e inclusive en lo alto se recomienda el uso de cuadriláteros en la formación de la red.
Las figuras que se usan en los sistemas de triangulación pueden ser triángulos simplemente o polígonos de vértice central formados a su vez por triángulos o cuadriláteros con diagonales. Los sistemas pueden ser : cadena de figuras, o redes según la forma de la zona por cubrir. En los trabajos que no requieren gran precisión se emplean solo triángulos, pues los ángulos sólo quedan sujetos a sumar 360 alrededor de cada vértice y 180 dentro de cada figura. En los polígonos de vértice central y en los cuadriláteros, como pueden verse, quedan sujetos a más condiciones los ángulos del mismo , ya que dentro de cada figura hay otras adyacentes o superpuestas .
Base Analítica .- Es aquella que corresponde a los lados de cada una de las figuras geométricas excepto la primera que se determina en gabinete, en función de los datos de campo, que sirven de base para resolución de cada figura geométrica.
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Angulos .- Son aquellos ángulos internos correspondiente a cada figura geométrica que conforma la red de triangulación, que deberán ser medidos en campo con una precisión, tal que esté e dentrode las tolerancias de la triangulación.
Línea de Verificación.- Es el ultimo lado de la red de triangulación que debe ser medido en campo y comparado con el valor obtenido analíticamente , cuya diferencia deberá entrar dentro de las tolerancias de triangulación.
Etapas de la triangulación .Un trabajo de triangulación sigue una cierta metodología, teniéndose en cuenta las siguientes etapas:
1.- Reconocimiento.- Es la primera etapa de un trabajo de triangulación , que tiene como objetivo principal , determinar el tipo de figuras geométricas que se utilizara para conformar la red de triangulación , la ubicación aproximada de los vértices , tratando en lo posible de tener figuras geométricas parecidas. Determinación del lugar adecuado para la medición de la base que deberá ser en lo posible un lugar plano o de pendiente constante.
2.- Medición de la Base .- En esta etapa , una vez determinado el lugar adecuado , se realizara la medición de la base tomando como parámetro referencial de longitud , el dato en las tablas de orden de triangulación. Se medirá la línea base teniendo un alineamiento de extremos previamente definido en cinco medidas de ida y vuelta, como mínimo con tramos de medidas constantes o variables. Los valores obtenidos en campo serán promediados y se determinará el error probable y la escala del valor que deberá entrar dentro de las tolerancias de la triangulación.
3.- Medición de Angulos.- Los ángulos serán medidos en cada vértice siguiendo el método de repetición o reiteración , de acuerdo al instrumento disponible, por lo menos en cinco ciclos, obteniéndose el ángulo promedio. En cada figura geométrica se deberá hacer un control angular para ver si entra dentro de las tolerancias de triangulación.
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4.- Trabajo de Gabinete.- Consiste en la resolución de cada una de las figuras geométricas, la determinación de los errores de cierre, comparado con las condiciones de control y las compensaciones correspondientes.
5.- Control y Verificación.- Una vez resulta la red de triangulación con el valor del último lado, se verificará una relación de campo que deberá estar dentro de las tolerancias de triangulación.
6.- Planos.- Con los datos de gabinete se realizará la verificación, elaboración de los planos topográficos de la red, que servirán de base para cualquier levantamiento topográfico. Los planos nos ayudan a ver con mayor precisión el terreno donde se realiza el levantamiento, la ubicación y los puntos que se deben tomar en cuenta en un levantamiento topográfico. Todo lo anterior, aplicamos a la práctica de HANSEN, que es la resolución de un cuadrilátero cualquiera que sea la compensación de sus ángulos leídos en campo y la determinación de los cuadriláteros. Esta resolución, de un cuadrilátero aislado, se puede generalizar hacia una red de cuadriláteros, tomando como información base a una base analítica y los ángulos del cuadrilátero, con toda esta información se realizara los planos respectivos tanto en coordenadas
como
en
planta
sobre
la
resolución
de
cuadriláteros.
Controles en la red de triangulación: A diferencia de la poligonación donde el control angular y de sus lados es realizado por una sola relación. En la triangulación existen, muchas más relaciones con las cuales se realiza el control angular y de lados de la misma. La sumatoria de los ángulos internos debe ser igual a 180(n-2) lo que es lo mismo que a 360º pues n = 4.
int 180(
n
2) 360º
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La sumatoria de los ángulos concurrentes a un mismo vértice debe ser igual a 360º.
concurrent es
360º
De acuerdo al control geométrico la sumatoria de ángulos opuestos de un mismo vértice deben ser iguales
ˆ ˆ ˆ 4 ˆ 3
1 2
ˆ ˆ 6 ˆ ˆ 8 7
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3.- MATERIALES DE LA PRÁCTICA.
Brújula 2 Prismas 4 Estacas Combo o Martillo 1 Trípode 1 Teodolito Cinta
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4.-Procedimiento de campo .El procedimiento que se sigue en el campo es el siguiente:
1.- Previo cualquier trabajo de campo en el cuadrilátero debe estar establecido y resuelto el problema de la línea base. Se considera como línea base al primer lado de una red de triangulación, la cual debe ser medida con la mayor precisión posible ya que ella depende todos los cálculos. 2.- Sobre la línea base conocida, se ubicaran los otros dos vértices de tal manera que sean visibles entre si, los vértices subsiguientes deberán abarcar la extensión del levantamiento. 3.-Para realizar la primera medicón colocamos el equipo (teodolito) en el punto A y medimos el angulo del mismo asiendo el metodo de repetición. En cuanto a los demas puntos B, C y D lo relizamos con el metodo de reiteración.
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4.- La medición de cada ángulo se debe de realizar por los métodos siguientes dependiendo del instrumento a utilizar : Método de Reiteración: En este método es necesario que el teodolito que se emplee tenga el mecanismo suficiente para acumular los ángulos medidos, o sea en aquellos mecánicos que poseen tornillo general y alidada y en los electrónicos que tienen control del nonio. Los pasos para medir por este método que se deben seguir son los siguientes: a) b) c) d) e) f)
Instalar el teodolito en el punto vértice del cuadrilátero. Colocar el nonio en cero apuntando al punto atrás. Barrer el ángulo hasta el punto adelante con el nonio desasegurado. Asegurar el nonio para que no continúe con la medida. Completar la vuelta de 360º hasta el punto atrás. Quitar el seguro del nonio y regresar al paso c).
Repetir el procedimiento cuantas veces sea necesario pero por lo menos deben realizarse 3 mediciones. Cada una de estas mediciones es llamada ciclo y una vez que se termina con este se obtiene un valor que será el acumulado y al ser dividido entre el número de ciclos determinará el ángulo verdadero.
Método por repetición: Este método es utilizado cuando el teodolito que se emplee tenga el mecanismo insuficiente para acumular los ángulos medidos, o sea en aquellos mecánicos que no posean tornillo general y alidada por lo cual no se puede controlar el nonio. Los pasos para medir por este método que se deben seguir son los siguientes: 1º Instalar el teodolito en el punto vértice del cuadrilátero. a) b) c) d) e)
2º Visar el punto atrás. 3º Colocar el nonio en cero. 4º Barrer el ángulo hasta el punto adelante. 5º realizar el vuelco de campana. 6º girar hasta el punto atrás sumándole el ángulo complementario.
Se repite el ciclo cuantas veces sea necesario pero al igual que en el anterior se recomienda la realización mínima de cinco ciclos.
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En cada ciclo se obtendrá un ángulo y el promedio de estos será el ángulo verdadero buscado. Todo el procedimiento mencionado anteriormente se realiza con la finalidad de obtener lecturas de ángulos y la medida exacta de la línea Base. A continuación se indicará el procedimiento que deberá emplearse para la medición de los ángulos en campo para el problema de HANSEN.
1º Si es que el cuadrilátero del problema es el primero de la red de triangulación la primera actividad es de ubicar la posición de la Línea Base que será uno de los lados del cuadrilátero realizando la medida de esta con el procedimiento mencionado anteriormente.
Si este no fuera el primer cuadrilátero se deberá definir cual de los lados del anterior cuadrilátero será la base analítica.
2º En base a la determinación de la base analítica se determinan los otros dos puntos con los cuales se formará el cuadrilátero tomando en cuenta que esta deberá abarcar la extensión tanto a lo ancho como a lo largo de esta.
3º definido el cuadrilátero suponiendo dos diagonales imaginarias que cruzan sus vértices se establecen ocho ángulos que deben ser medidos para lo cual se siguen cualquiera de los dos métodos de repetición o reiteración. Con un mínimo de cinco ciclos por cada medición. Este proceso se debe repetir en cada uno de los vértices.
5.-Proceso de Gabinete: En gabinete se deben seguir los siguientes pasos para encontrar los ángulos exactos corregidos:
1º Se define exactamente el valor de la línea base o de la base analítica que será la que se tomará en cuenta para la resolución del cuadrilátero. 2º Con los ángulos medidos en campo del cuadrilátero se definen exactamente sus valores dependiendo del número de ciclos realizados. 3º Unas vez sacados los ángulos en cada uno de los puntos se realizara la corrección de ángulos y las distancias entre ellas. 6.-MEMORIA DE LA PRÁCTICA .A continuación se describirá el proceso que se llevo a cabo para obtener las mediciones de los ángulos necesarios para realizar los cálculos de gabinete:
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Luego de encontrar la Línea Base anteriormente medida se procedió a medirla nuevamente pues una de las estacas no se encontraba en su lugar. Por tal motivo se procedió a medirla pero en otro lugar mas adecuado para ello y con la ayuda de la estación total pudimos obtener nuevamente una línea base medida con exactitud.
Luego de realizar todas las mediciones de la Línea Base se procedió a ubicar los otros dos puntos C y D que serian parte del cuadrilátero elegido para realizar esta práctica.
Una vez elegidos los puntos C y D se procedió a ubicar y montar el teodolito en el punto A de la Línea Base, teniendo en cuenta que se pudiesen visar los puntos que se encontraban al frente (B, C, y D) y así obtener unas distancias de mayor exactitud.
Cabe mencionar que las distancias que se midieron fueron solo las que formaban el cuadrilátero.
Para la edición de los ángulos entre el punto A se procedió con el método de reiteración con cuatro ciclos cada uno y siguiendo las instrucciones indicadas anteriormente en el fundamento teórico. Los ángulos que se procederán a medir serán los formados por los lados del cuadrilátero y las diagonales que unen a estos.
Una vez realizadas las cuatro mediciones en el punto A de los dos ángulos formados en este, se debe ubicar el teodolito en el siguiente punto del cuadrilátero.
Las siguientes mediciones de los ángulos en los puntos B, C y D se lo realizo con el método de reiteración. Esta será una de las bases para poder realizar posteriormente el proyecto final.
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7.-CROQUIS.-
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8.-CÁLCULOS Y RESULTADOS
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CONCLUSIONES.Después de realizada la presente práctica llegamos a las siguientes conclusiones:
La Línea Base es parte importante de esta práctica pues sin esta no es posible el conocer las distancias de los otros tres lados además de sus ángulos. Se deben realizar las lecturas suficientes en cada ángulo para obtener una mejor precisión y exactitud pues los lados dependerán de los ángulos que se obtengan. Si es preciso de ida y de vuelta, para obtener un promedio y adoptarlo este como la medida correcta. Se puede comprobar que la precisión y exactitud de medidas obtenidas por los métodos de reiteración y repetición son mucho mejores. Uno de los factores que interfirieron de alguna manera con el desenvolvimiento de la práctica fue el constante viento que azotó el campo de trabajo, el calor que colaboró con una fatiga casi inmediata, El viento que además de que no dejó sostener la mira de forma segura aumentaba el error por catenaria en la cinta. Se deben tomar tramos cortos para medir ya que será mejor la precisión en los resultados aunque esto implica que se realice la práctica por mucho más tiempo. Con los métodos empleados para la medición de ángulos se trató de obtener la mejor precisión posible aunque esto nos lleve a darle más tiempo.
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