Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
MATEMÁTICAS CONTENIDO. 1.0 Aritmética 1.1 Números reales 1.2 Divisibilidad 1.3 Operaciones con números racionales 1.4. Razones y proporciones 1.5 Regla de tres 1.6 Tanto por ciento 2.0 Algebra 2.1 Propiedades y definiciones 2.2 Leyes de los signos 2.3 Signos de agrupación 2.4 Evaluación de expresiones algebraicas 2.5 Lenguaje algebraico 2.6 Leyes de los exponentes 2.7 Operaciones Algebraicas 2.8 Radicales 2.9 Productos notables 2.10 Factorización 3.0 Ecuaciones 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita 3.2 Desigualdades de primer grado con una incógnita 3.3 Sistema de ecuaciones 2 ecuaciones con 2 incógnitas 3.4 Sistema de ecuaciones 3 ecuaciones con 3 incógnitas 3.5 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 4.0 Algebra de Funciones 4.1 Dominio y rango 4.2 Funciones y relaciones 4.3 Funciones logarítmicas y exponenciales 5.0 Geometría Euclidiana 5.1 Ángulos complementarios y suplementarios 5.2 Conversión de grados a radianes y viceversa 6.0 Trigonometría 6.1 Teorema de Pitágoras 6.2 Funciones trigonométricas 6.3 Identidades trigonométricas 7.0 Recta 7.1 Distancia entre dos puntos 7.2 Punto medio del segmento de recta 7.3 Pendiente de la recta 7.4 Ecuación de la recta 7.5 Paralelismo y perpendicularidad 8.0 Circunferencia 8.1 Forma canónica 8.2 Forma general
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9.0 Parábola 9.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen 9.2 Horizontal y vertical con vértice fuera del origen 10.0 Elipse 10.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen 10.2 Horizontal y vertical con vértice fuera del origen 11.0 Hipérbola 11.1 Horizontal y vertical con centro en el origen 11.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen 12.0 Ecuación general de segundo grado 12.1 Identificación de cónicas 13.0 Cálculo Diferencial 13.1 Funciones y límites 13.2 Derivadas algebraicas 13.3 Derivadas trigonométricas 13.4 Derivadas logarítmicas 13.5 Derivadas exponenciales 13.6 Derivadas implícitas 13.7 Interpretación física y geométrica de la derivada 13.8 Máximos y mínimos 14.0 Cálculo Integral 14.1 Integral inmediata 14.2 Integral definida 14.3 Aplicación de integral definida (área bajo la curva) 14.4 Método de integración por cambio de variable 14.5 Método de integración por partes
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UNIDAD 1. ARITMÉTICA 1.1 Números Reales Pr imos Naturales Compuestos Positiv os Positiv Enteros Cero Negativ Reales Negativ os Pr opios Racionales Im propios Mixtos Irracionales -
Naturales: Son los que se utilizan para contar. 1,2, 3, 4, 5,……, 19, 20, 21,……… Primos: Son los números que solo son divisibles entre si mismos y la unidad. Ejem: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,………… C o m p u e s t o s : Son los que no son primos, es decir que tienen más divisores Ejem: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22,………… Enteros: Son los números positivos, negativos y el cero. Ejem: 1,-2, 0, 4, - 5, etc,… Racionales ó Fraccionarios: Son los números compuestos por un numerador y un divisor. Propios: Números cuyo denominador es mayor que el numerador de una fracción. o 8 15 2 1 3 Ejem: , , , , 9 33 3 6 4 Impropios: Números cuyo denominador es menor que el 9 33 3 6 4 Ejem: , , , , 8 15 2 1 3
o
Mixtos: Números compuestos de números enteros y propios.
o
2
1
3
8
15
3
6
4
9
33
Ejem: 2 , 3 , 8 , 5 , 9 -
numerador de una fracción.
Irracionales: Son los números que en su s u forma decimal son una serie infinita de dígitos.
7
Ejem:
3
,
5,
4
,
3 2
,
2 , 2 2
Propiedades de los números reales Propiedad
Cerradura Conmutativa Asociativa Distributiva Neutro Inverso
Suma
Producto
a b
ab
ab ba
ab ba a b c a b c
a b c a b c
abc
a0a
a a 0
ab ac a 1 a
1 1 a
a
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Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Recta Numérica Todos los números reales se pueden representar en la recta numérica. 7
Ejem: Representar en recta numérica:
3
6
1
7
-3
1
, , 0.75, 1
3
2
-2
1 4
-1
3 2
, 1
1 2
0.75
4
2
,
0
,
6 7
4
7
4
1
,
3
2
3
4
1.2 Divisibilidad Los principales criterios de divisibilidad son: -
Divisibles entre 2: Todos los números pares. Ejem. 2, 4, 6, 8, 10,…..
Divisibles entre 3: Suma de sus dígitos son: 3, 6 ó 9. Ejem. 543 = 5+4+3 = 12 = 1+2 = 3 Divisibles entre 5: Todos los números terminados en 5 ó 0. Ejem. 235, 520, 1425, etc.
Mínimo común múltiplo (m.c.m.).- Es el número menor de los múltiplos en común de un grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los números hasta que todos sean uno y s e multiplican los primos obtenidos. o btenidos. Ejem: Calcular el m.c.m. de 15, 30 y 60 El m.c.m. de 14, 28, 30 y 120 15 15 15 5 1
30 15 15 5 1
60 30 15 5 1
2 2 3 5
14 7 7 7 7 7 1
m.c.m.= 2(2)(3)(5) = 60
28 14 7 7 7 7 1
30 15 15 15 5 1 1
120 60 30 15 5 1 1
2 2 2 3 5 7
m.c.m. = 2(2)(2)(3)(5)(7) = 840
Máximo común divisor (M.C.D.).- Es el número mayor de los múltiplos en c omún de un grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los números hasta que no tengan un divisor primo común y se multiplican los primos obtenidos. Ejem: Calcular Calcula r el M.C.D. de 15, 30 y 60 El M.C.D. de 14, 28, 30 y 120 18 6 2
27 9 3
36 12 4
3 3
15 3 1
M.C.D.= 3(3) = 9
90 18 6
30 6 2
60 12 4
5 3
M.C.D. = 5(3) = 15
1.3. Operaciones con números racionales: Suma y resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de los diferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicando por cada numerador. Al final los números obtenidos se suman o restan, dependiendo del caso. Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los numeradores. 1 3 1 6 9 4 11 Ejem: 2 4 3 12 12
Ejem:
2
1 3
5
3 6
3
1 2
7 3
33 6
7 2
14 33 21 6
26 6
13 3
4
1 3
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Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
Multiplicación de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador y denominador por denominador. Ejem:
5 2 10 7 3 21
Ejem:
2 2 12 11 132 2 3 5 3 5 3 15
44 5
8
4 5
División de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo denominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primer denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador. Ejem:
7
Ejem:
5
8
2 7
2
3
2
21 16
1 3
1
37 7
5 16
7 3
111 49
2
13 49
Potencia y Raíz Potencia: Es el número de veces en que debe multiplicarse la base por s i misma, según su exponente. 4
3
Ejem:
4
2 2 2 2 16 2 3 3 3 3 81 3
444 64
Raíz: Es el valor que al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el índice, se obtiene el valor que esta dentro del radical. 3 Ejem: 27 3 porque 333 27 5
Ejem:
1024
4
porque
44444 1024
1.4 Razones y Proporciones Pr oporciones Razón: Es el cociente de dos números, es decir una fracción, donde el numerador se llama antecedente y al denominador consecuente. La razón se representa como s igue: 3
Ejem:
ó
4
3:4
Proporción: Es la igualdad de dos razones. La razón se representa como sigue: 7
Ejem:
3
14
ó
7 : 3 :: 14 : 6
6
donde los números 7 y 6 son extremos y los números 3 y 14 son medios. 1.5 Regla de Tres Regla de tres directa ó Proporción P roporción directa.- Cuando comparamos dos razones del mismo tipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporción, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 días trabajados. ¿Cuanto ganará por 30 días? 4400 x
20 30
x
$440030 días $6600 20 días
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Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Regla de tres inversa ó Proporción Pr oporción inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de los parámetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos de producción con respecto al tiempo. Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 días. ¿Cuantos obreros se requieren para producir la misma cantidad de fusibles fusibles en 4 días? 20 obreros
4 días
x
5 días
x
20 obreros 5 días 4 días
25 obreros
1.6 Tanto por Ciento Definición: Es una fracción cuyo denominador es 100, es decir la centésima parte de algo. Se expresa con el símbolo %. Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar por una f racción o por un decimal equivalente. Ejem:
18%
18
0.18
33.5%
100
335
0.335
1000
9 50
67 200
Cálculo del porcentaje: Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal. Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655 1450(0.32) = 464
1655(0.03) = 49.65
También se puede obtener un número en específico con regla de tres directa. Ejem: Hallar el número del cual 400 es el 8% 400 x
Ejem:
8%
100%
x
400 100%
8%
5000
Hallar el número del cual 4590 es el 60% 4590 x
60%
100%
x
4590 100%
60%
7650
También se puede aplicar para resolver problemas c omo los siguientes:. Ejem: Un vendedor recibe de comisión el 12% por venta realizada. Si vende mercancía por un total de $44000. ¿Cuanto recibirá de comisión? $44000(0.12) = $5280 Ejem: Un producto que cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una ganancia del 8.5%. ¿En cuanto debe venderse? $120
100%
x
108.5%
x
$120 108.5% 100%
$130.20
Reactivos Unidad 1: 1. a)
¿Cuál de las siguientes expresiones, es un número racional? 3 9 b) 5 c)
2.
¿Cuál de las siguientes expresiones, es un número irracional?
a) 0.5 3. a)
b)
Simplificando la expresión 68
b)
c)
5
48
15 72 11
1 2
se obtiene: c) 78
d)
d)
d)
2
16
48
e)
e)
e)
2
25 5
78
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Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 4. Al simplificar la expresión 204 1 138 2 se obtiene: b) 178 c) 178 a) 22 5. a)
¿Cuál es el resultado desimplificar la expresión, 3 23 1 4 ? b) 5 c) 17 11
6.
¿Entre que letras está la ubicación del número:
a) A y B 7.
b)
ByC
15
d) 22
e)
d)
e)
11
12
17
?
13
c) B y D
d) C y D
e) D y E
Si a es un número donde a < 0 entonces: 1
a) 8.
a
0
b)
1 a
c)
0
1 a
0
1
d) a 0
e)
d) –10
e) 0
d) – 40
e) – 90
a
1
El inverso de – 10 es: a)
9.
1
10
b) 10
c)
1 10
¿Qué número es mayor que –50? a) – 60
b) – 80
c) – 70
10. ¿La expresión de desigualdad correcta es? a)
2
3
4
5
b)
2 9
1 6
c)
7
4
1
d)
2
11. ¿Qué números de la siguiente tabla son divisibles entre nueve? A 702 F 954 K 101 B 425 G 271 L 529 C 308 H 81 M 2 700 D 179 I 413 N 3 504 E 873 J 360 O 2 708
9 2
P Q R S T
1
e)
8
5 4
7 9
95 481 85 788 15 203 12 006 24 210
a) A, C, D, G, I, J, L, O, S, T
b) B, C, E, G, H, J, N, O, R, S
c) A, E, F, H, J, M, P, Q, S, T
d) A, B, D, F, H, J, K, L, O, T
e) A, C, F, I, N, P, Q, R, S, T 12. Encuentra el m.c.m. y M.C.D. M.C.D. de los siguientes números números a. 120, 60, 30 b. 48, 24, 12, 6 c. 35, 70, 5
d. 15, 30, 45
a) a: 60 y 30,
b: 12 y 6,
c: 35 y 70,
d: 30 y 45,
e: 70 y 25
b) a: 120 y 60,
b: 48 y 24,
c: 5 y 70,
d: 45 y 30,
e: 25 y 70.
c) a: 60 y 120,
b: 24 y 48,
c: 5 y 35,
d: 15 y 30,
e: 70 y 5
d) a: 120 y 30,
b: 48 y 6,
c: 70 y 5,
d: 90 y 15,
e: 1050 y 5
e) a: 30 y 120,
b: 6 y 24,
c: 70 y 35,
d: 15 y 45,
e: 1050 y 25
e. 25, 30, 70
Pag. 146
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 7
13. ¿El resultado de la operación 13
a)
12
28
7
2
a)
12
3
a)
4
3 4
d)
15 36
e)
3 4
es? 2 3
1
d)
e)
3
1 6
2
7
12
es?
9
c)
4 1
11
se obtiene?
10
d)
7
e)
5
1
1 2 1
se obtiene?
2
1
c)
3
1 3
2
d)
3
e) 3
es equivalente a:
b)
2
20. Si tenemos
2 1
5
36
e)
d) 12 212 2
c) 12
e) 122
2
x es igual a:
1
x
12
40
d)
1
b) 12 2 12 2
12 2 2
19. La expresión a)
2
13
c)
4
18. La expresión
1
17. ¿Al simplificar la expresión
b)
18
24 44
1
3
9
13
22 16
3
a)
36
b)
es?
c)
¿Al simplificar la expresión
a) 3
5
28
3
16.
9
b)
1
12
15. ¿El resultado de la operación a)
2
36
b)
36
18
c)
14. ¿El resultado de la operación a)
5
38
b)
18
4
2
2
x
2
1
c)
x
2
d)
x
2
e) x
en que inciso encontramos una expresión igual. b) 22
2
c) 48
d) 46
e)
8
2
2
21. La expresión 81 a)
243 162
4
es igual a: b)
9 81
c)
81 9
22. Al simplificar la raíz cuadrada de 160 160 encontramos que es igual a: a) 4 10 b) 2 10 c) 10 2
d)
243 9
d) 4 5
23. Si tenemos la raíz cuadrada de x y como resultado exacto da 18 18 ¿Cuál es el valor de x? a) El doble de 18 b) El cuadrado de 18 c) El tercio de 18 d) La mitad de 18
e)
27 243
e)
10 4
e) La potencia cuarta de 18
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Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 24. Un agricultor cosecho en su parcela la producción producción de naranja, obteniendo un total de 3200 3200 costales con un peso de 40 kg. cada uno ¿Cuál fue el peso total en kg de su producción? a) 1280 b) 800 c) 12800 d) 80 e) 128000 25. Si se vende un caballo en $84, ganando $18,¿Cuánto $18,¿Cuánto había costado? a) 66 b) 35 c) 69
d)
e)
99
20
26. Dos hombres realizan una obra por $60 $60 y trabajan durante 5 días. días. Uno recibe un jornal de $4 diari diarios. os. ¿Cuál es el jornal del otro? a) $10 b) $12 c) $14 d) $ 8 e) $15 27. De la central camionera parten diariamente diariamente 725 autobuses con 42 pasajeros cada uno. uno. Si durante 15 días se mantuvo mantuvo la misma demanda de pasajeros ¿Cuántas personas salieron de dicha central? a) 456,570 b) 654,750 c) 564,750 d) 456,750 e) 456,057 28. Rosa tiene una tienda de mascotas y vende perritos, hay 15 french que cuestan $380 c/u, 10 rot wailler que cuestan $275 c/u, 5 cocker spanish que c uestan $315 c/u. ¿Cuánto ganaría si vende 3 cocker y 8 french ?, y ¿Cuánto ganaría si vendieran todos los perritos? a) $3985, $10,025 b) $3654, $10,00 c) $3645, $10,055 d) $3456, $10,250 e) $3564, $10,052 29. Julio compró 25 pelotas de $14 c/u, c/u, 13 camioncitos de $12.50 $12.50 c/u y 12 muñecas de $10 c/u, pagó con dos billetes de $500 ¿Cuánto fue el total pagado por los juguetes y c uanto le dieron de cambio? a) total $367.50, cambio $632.50 b) total $632.50, cambio $367.50 c) total $512.50, cambio $487.50 d) total $487.50, cambio $512.50 e) total $650.00, cambio $ 350.00 30. Un depósito cilíndrico para almacenar almacenar agua, mide 45 45 m. de altura y de radio de su base es igual a 2 m. m. ¿Cuántos litros de agua aproximadamente se requieren para llenar a su máxima capacidad el depósito? a) 655,486 b) 565,487 c) 565,684 d) 56,846,767 e) 556,846,767 31. Un atleta camina en la 1ra. hora
8
3 4
km., en la 2da. hora
7
2 3
km ,en la 3ra. hora
6
5 8
km y en la 4ta. hora.
5
1 2
. ¿Cuál es
la longitud total recorrida? a)
26
13
b)
24
28
24
c)
13
24
13 28
d) 28
13 24
e)
24
28 13
32. Toño compro una caja de galletas que contiene 20 paquetes con 6 galletas c/u , invito a sus amigos Julian, Paco y Judith les dio igual cantidad de paquetes él se quedó con 30 galletas ¿Cuántos paquetes le dio a cada uno? a) 5 paquetes b) 4 paquetes c) 6 paquetes d) 7 paquetes e) 8 paquetes 33. La proporción equivalente a 72:18 es: a) 64:16 b) 65:13
c) 57:45
d) 34:68
e) 30:10
34. 666 minutos es ______________ que 1/14 de semana, 666 horas horas es____________ que 28 días días a) más tiempo – menos tiempo b) menos tiempo – más tiempo c) menos tiempo – menos tiempo d) más tiempo – igual tiempo e) más tiempo – más tiempo. 35. Don Paco compró un motor en $10,483.70, si éste tenía tenía el 18% de descuento, ¿Cuál era el precio original del motor? a) $8,884.50 b) $12,366.66 c) $12,370.00 d) $12,785.00 e) $13,660.00 36. Los resultados de un examen de matemáticas de un grupo de segundo de secundaria fueron los siguientes: de calificación, a)
24 7
1 4
obtuvo 9, b)
3 12
1 3
1 8
obtuvieron 10
sacaron 8 ¿Qué fracción del grupo obtuvo menos de 8 de calificación? c)
7 24
d)
4 27
e)
3 21
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Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 37. Rodolfo acompaña a su mamá al mercado mercado cargo una bolsa con el siguiente mandado: 1
3 4
a) 3 kg
1
1 2
kg de carne,
3 4
kg. de queso y
kg de fruta, pero su mamá se ofrece ayudarlo con 1 kg. de fruta ¿Cuánto cargo en total Rodolfo? b) 4 kg
c)
3
3 4
kg
d) 5 kg
e)
4
1 2
kg
38. En una escuela hay 960 alumnos, alumnos, de los cuales cuales 336 son hombres hombres ¿Cuál es el porcentaje de mujeres? a) 65%
b) 35%
c) 75%
d) 45%
e) 46%
39. Juanito junto dinero para comprar una bicicleta. Su tío le dio $50 con los cuales compró una pelota que le costo $ 10, su tía le dio $100 con los cuáles compro una bolsa de canicas que le costó $6, colores para dibujar, que le costaron $15, un chocolate de $ 7 y una paleta de $ 2. Su mamá le dio $ 200 y su papá $300 ¿Cuánto le falta para poder comprar una bicicleta si ésta cuesta $1,625? a) $1005 b) $1150 c) $1010.50 d) $1015 e) $1105 40. En la ciudad las temperaturas registradas durante durante una semana fueron las siguiente 1.2º, 2º, 3.1º, 3.1º, 0º , 3.5º y 1.3º . ¿Cuál es el promedio de temperaturas?. a) 5.81º b) 8.15º c) 1.85º d) 18.5º e) 15.8º
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Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
UNIDAD 2.
ALGEBRA
2.1 Propiedades y Definiciones Término Algebraico.- Es la expresión algebraica, que se compone de: s igno, coeficiente, base ó literal y exponente.
base o literal exponente
signo
-5x2 coeficiente Término Semejante.- Es la expresión algebraica, que se c ompone de misma base y mismo exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes. 3 Ejem: es semejante a 4x 5x 3 Ejem:
4
3 2
a b
7
5
es semejante a
3 2
a b
3
Clasificación de Términos Algebraicos.- Se clasifican según su número de términos, de la siguiente manera: Monomio = un solo término Ejem: 3x3 Binomio Trinomio Polinomio
= dos términos = tres términos = 2 ó más términos
Ejem: Ejem: Ejem:
7x
2x
2
3
2x
2
3x
3x
2
4x
9
5x
8
2.2 Leyes de los signos Suma y Resta: Resta: Signos iguales, conservan su signo y se suman Ejem: 4 8 12 Ejem: 3 18 21 Ejem: 3x 10x 13x Ejem: 8y2 12y2 20y2
Signos diferentes, signo del mayor y se resta el mayor menos el menor Ejem: 12 22 10 Ejem: 3 18 15 Ejem: 15x 20x 5x Ejem: 5y2 12y2 7y2
Multiplicación y División: División:
Ejem: Ejem:
Signosiguales, siempre es Signos diferentes, siempre es 125 60 8 4 32
Ejem: Ejem:
3 5 15
9 6 54
Pag. 150
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
2.3 Signos de Agrupación Definición.- Son los signos que nos sirven para agrupar términos u operaciones entre ellos, los principales s on: Paréntesis Llave Corchete Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el término ó signo que le antecede. Si en una expresión matemática existen varios signos de agrupación, se proc ede a eliminarlos de adentro hacia fuera. Ejem:
4
3
8 7 4 5 7 20 7 13
Ejem:
5
7 4 3
4 2
4
2
7
2
7
7
7
13
20
9 4x 2xx 6 x3x 1
Ejem:
9
94 x
9 4 x x2 13x
9
9 4x2
4x
4x
2
2x
2
12x
x2 13x
3x
2
x
14x
56x
2.4 Evaluación de expresiones algebraicas El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o literales por un valor específico. Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresión: 3x2 5xy y2 2
32
sustituyendo:
52 1
34 10 1
12
10
12
1
1
Ejem:
Si
a
1
2
&
b
2
3
2
de la expresión:
2a
3
ab
4
1
4
2
3 1 2 1 1 2 4 2 3 4 2
sustituyendo:
1 2 4 2
4
1 2
1 2 4 2 3 3
6
4
1
24
1 4
1
4
1 4
Pag. 151
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
2.5 Lenguaje algebraico Definición.- Es la forma de expresión común o c oloquial que se expresa de forma algebraica. Ejem: Un número cualquiera Un número cualquiera aumentado en dos La diferencia de dos números c ualquiera El triple de un número disminuido en cuatro
x x2 xy 3x
4
a
La cuarta parte de un número
4 3
Las tres cuartas partes de la suma de dos números
4
La suma de tres números naturales consecutivo Las dos quintas partes de un número disminuido en cuatro es igual a 24 La suma de tres números pares consecutivos, es igual al cuádruple del menor más la mitad del mayor
x
2 5
b
c
x 1 x 2
b 4 24
x x 2 x 4 4x
x4 2
2.6 Leyes de los Exponentes Multiplicación: Multiplicación: Ejem:
x x
Ejem:
2
2
2
6
3 2
3
Ejem:
b
2
a
1 2
2
3
x
ab
x
a
x
2
Sumar los exponentes Ejem:
b
13
0
a
Ejem:
b
2
1
ab
x
3 6
2
2
x
5
x
25
x
7
x
7 2
Ejem: 1
ó
x
a
x
7
2
x
5
Multiplicar los exponentes
3 2
a
x
Restar los exponentes
4
x
x0 1
Unitario: Unitario:
x
x
Ejem:
b
a
1
Inverso: Inverso:
x
6
2
: Ejem:
2 32 2 2 3 2 2 5
División: División:
Potencia
a
x
x
a
x
5 3
x
x 15
53
Cambiar signo de exponente Ejem:
1 x
2
x
2
Siempre es igual a uno Ejem: y 0 1
Pag. 152
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
2.7 Operaciones algebraicas Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar términos s emejantes. Ejem: Sumar 3a 5b & 2a 3b 3a 5b 2a 3b
3a
5b
a 2b
2a
3b
Restar 4a 8b de 6a 7b
Ejem:
6a 7b 4a 8b
6a
7b
2a b
4a
8b
Multiplicación.- La operación algebraica de multiplicar, básicamente puede efectuarse, como sigue: Monomio por monomio 2 Ejem: 2ab
3a bc 6a b c 4
1
2 3
a
a
1 4
4
b
2 1
2
1
b
c
2
2
6a5b3c 2
Monomio por polinomio 2 Ejem: 2x
2x 4x 6x
2x
2
2
6x
3x
2
3x
3
2
x
x2
2x
2
2 2
4
2
x
2
3
x
2 1
21
2x
2
x
2x
2
2
x
2
6
2
6
4a b
4a b
4
12a
2
1
2
1
3a b 6 1
7
b
4x
3a b
2 2
2 2 x
12a b 24a b
Ejem:
2
3
6a
2
24a
23
1
6
4a b
2
b
6a
3
2
b
6 2
4
b
12a4b7 24a1b4 12a
b
4
24
7
ab
4
Polinomio por polinomio Ejem: 2x 3 x2 2x 1
2x x2 2x 1 3x2 2x 1 21 xx2 2 2 x x 2 1 x 3 1 x2 3 2 x 3 1 2x1 2 4x11 2x 3x2 6x 3
2x3 2x
3
4x 2 2x 3x2 7x
2
6x 3
8x 3
Pag. 153
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. División.- La operación algebraica de dividir, básicamente puede efectuarse, como sigue: Monomio entre monomio Ejem:
3 2
12 5
ab
3
2
3
3
2
6 3 9
2 a b c
24
2
2 4
3 a b
2
2 5a 2b
3ab
a b
30
2
2a bc
Ejem:
2 4
12a b
3 2
30a b
2
a b c
8
6 2
9
3 4
9
8a4b1c 9 9 4 9
8a c
9b
Polinomio entre monomio 12x3
Ejem:
6x 2
18x
6x
12x3
6x
6x 2
6x
18x 6x
2x
2x
31
2
21
1x
x
11
3x
3
Polinomio entre polinomio Ejem:
x2
2x 15
x3 x x
3
x
x
x
x x3
x
2x 15
Θ x2
5
2
2
3x
5x 15 Θ 5x x
5x 3
5
5x 15 0
2.8 Radicales Propiedades de los radicales: a a
Índice = potencia: potencia:
x
a
xa
x 3
2
Ejem:
4
2
2 4
4
Ejem:
3
3
2
23
2
Pag. 154
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. a b
Índice ≠ potencia:
x
a
b
x
6
Ejem:
3
6
4
4
3
8 2
4
Ejem:
16
Multiplicación con mismo índice:
Ejem:
a
4 28 2 18
3
Ejem:
28 18
3
5
4
32
2
3
24
2
3
3
5
2
3
4
2
3 4
30
34
30
12
192
x
6
8
625 9
3
3 9
b 6
6
16
2
4
9
ab
a
y
x
2
6
27
125
4
ab
2 3 32 2
3
2
2 32
2
3
3
64
4
72
82 3
48 14
xb y a
5
223
25
10
223
223
y
3
250 2
2
3
125
5
ya 6
8
250 3
xb
ab
2
3
10
2
3
5
2
2
2 2
3
2 4
2
9
5
x
18
2
x
y
3
2
24
5625
9
5
3
125
2
2
39
x
8 7 2
Ejem: a
3
8
x
2
72
64 8
23 64
5
3
3
192
16
8
xy
Ejem:
División con índices diferentes: diferentes:
y
30
a
3
64
b
98
a
3
a
92
ab
Ejem:
Ejem:
y
8 74
6
División con índices iguales: iguales:
Ejem:
a
Raíz de una raíz: raíz: Ejem:
a
Ejem:
42
Multiplicación con diferente índice: Ejem:
x
2 8 2 8 16 4
Ejem:
4
5 3
3
27
5
9
27
0
5
27
1
1
5
Operaciones con radicales: Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar radicales semejantes, es decir, con el mismo índice y la misma base, según la siguiente regla: n
r a
n
s a
n
t a
r
s
t
n a
Ejem:
Resolver: 8 3 3 3 9 3 8 3 9 3 2 3
Ejem:
Resolver: 5 3 3 6 3 3 9 3 3 5 6 93 3 8 3 3
Pag. 155
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Ejem:
Resolver:
4 50
5 18
4 25 2
4 5
45 2
20 2
2
5 92 5 3
15
2
Ejem:
Resolver:
2
2 7
27
14
2 49 2
2
53 2
20 15 14
2 98
2
2
2
2
2
2
21 2 3
2x
3x
3
3
375x
3
4
2x
3
3x
3
2x
3
3x
3x
2x
3
3x
3x
2x 3 3x
3 5x 3 3x
2x
9x
3x
3
3
3
3
4
25 15x x 3 3
15x
5
2
3
5
3
24x
4
5 3x 3x
3x
3
4x 3
4x
4
3
4 6x x 3
3
2
2
2
2 3x
3x
4 2x 3 3x
8x
3
3x
3x
Racionalización.- Es el convertir una fracción con denominador en forma de radical, en otra fracción equivalente, donde su denominador sea un número entero. De un denominador monomio: Forma:
b
y b
x
, se multiplica por
a
3
Ejem: 3
3
3
6
3
2
x
b a
3
3
3
2
2
2
2
3
2
3
6 4
3
3
, el numerador y el denominador, obteniéndose:
23 1
3
22 , el numerador y el denominador, obteniéndose:
3
6 4
3
3
2
, y se simplifica.
2 1
3
3 3
, se multiplica por:
2
6 3
3 3
3
3
b a
, se multiplica por:
3
Ejem:
b
x
2
3
3 4
De un denominador binomio: Forma:
Ejem:
c
, se multiplica por el conjugado del denominador
a b 3
1 3 3
a
b
a
b
, y se simplifica.
, se multiplica por: 1 3 , el numerador y el denominador, obteniéndose:
1 3
1 3 1 3
33 3 12 32
33 3 1 3
33 3 2
Pag. 156
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 6
Ejem:
2
, se multiplica por:
6
2
2
2
2
2
2
2
2
12 6 2 2
2
2
, el numerador y el denominador, obteniéndose:
12 6 2
42
2
2
12 6 2
2
63 2
Números Imaginarios.- Es el expresado como “ i “, significa la raíz cuadrada cuadrada de “ -1”, es decir: 2
Entonces también:
i
1
2
i
1
.
1
i3 i2i 1i i
i4 i2i2 1 1 1 i5 i2i2i 1 1i i
Ejem:
Ejem:
Ejem:
64
36
64
1
36
49 36
64 1 49
1
36
49
36
49
1 8i
49
36
1
i
6
49
36
49
36
1
i
49
6
i
7 i
7
Operaciones con números imaginarios Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen aplicando:
ai bi ci di a b c d i
Ejem:
Resolver:
4
36
3
81 9
49
7
25
4 36 1 3 81 1 9 49 1 7 25 1
4 36
46
24i 27i 63i 35i
1
3 81
1 9
49
1
7 25
1
i 39 i 97 i 75 i
24 27 63 35 i 23 i
Ejem:
Resolver: 2 75 4 18
1 3
1 4 92 1 1
2 25 3
3
2 52 3 i 4 32 2 i 25 3 i 43 2 i
36 12
1 3
1 3
1
36
1
43
62 i 22 3 i
6 i 2
3i
10 3 i 12 2 i 2 i 2 3 i
10 2 3 i 12 2 i 2 i 12 3 i 12 2 i 2 i
Pag. 157
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Ejem:
Resolver: 2 i3 4 i2 8i 9 2
2
2i i4i
8i 9
2 1 i 4 1 8i 9 2
i4
8i 9
2 8 i 4 9
10 i 5
2.9 Productos Notables Definición.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son: Binomio al cuadrado Binomios conjugados Binomios con término común Binomio al cubo Binomio al cuadrado Regla: a b2
a2
2
a
2
x
Ejem:
a
b
x
3
2
2
2ab b 2
2ab b
2
2x 3
6x
9
Binomios conjugados Regla: a b a b a 2
b
x
2
2
16
Binomios con término común x ax b x 2 Regla:
a b x ab
x
Ejem:
5 x
2
x
2
2
x
7 x
5
Binomio al cubo Regla:
Ejem:
Ejem:
2x
Ejem:
Ejem:
2
2
x2 x
2
2
2x 2 2
4x
4
2
x
4x 4 x2
Ejem:
x
Ejem:
3
x
x
2
2
x
3x
5 2
7
52x
2 2x
2
2
4x
4
10
75 x
12x
5
35
a b3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 a b3 a2 3a2b 3ab2 b3 x
3
4
x 23
x
3
x
x
3 3
3x
2
2 43 3x16 64
48x 64
4
12x
12x
2 2
3x 4
x 3 3x 2 2 3x 22 23 x 3 6x 2 3x4 8
x3
6x 2
12x 8
Pag. 158
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 2.10 Factorización Definición.- Es la forma más simple de presentar una suma o resta de términos como un producto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son: Factor común Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x 2 bx c
Trinomio de la forma ax 2 bx c
Factor común Regla:
Paso 1: Obtener el máximo común divisor ( MCD ) Paso 2: Menor exponente de las literales comunes Paso 3: Dividir cada término entre el factor común obtenido
Ejem:
4x
3
2x 2x
Diferencia de cuadrados Regla: a2 b2 Ejem:
x
2
x
6x
2
2
3x 6
a
a
Ejem:
x
2
x
7x 7
2
12x
6xy2 x2 2x 4
9x2 4y2
Ejem:
49
2ab b
b(a b)
Trinomio cuadrado perfecto 2 2 Regla: a 2ab b 2
6x3y2 12x2y2 24xy2
Ejem:
12x
a a
2 2 b
3x 2y3x 2y
Comprobación:
b
2ab = 2ab 4p 2
Ejem:
36
2
6
Comprobación 2x(3) = 6x
2p
12pq 9q2 2
3q
Comprobación
3q 22p
12pq
Trinomio de la forma x2+bx+c x2 a bx ab x ax b Regla: x 2 8x 15
Ejem:
x
5 x
3
Ejem:
x
2
10x
24
x 4x 6
Trinomio de la forma ax2+bx+c Regla: Método de tanteo Ejem:
6x
2
5x
6
2x
3
3x
2
9x
4x 5x
2x 33x 2
Pag. 159
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
Ejem:
2x
2
10x 12
2x
4
x
3
4x 6x 10x
2x 4x 3
Simplificación de fracciones algebraicas.- Es la aplicación de los conocimientos de productos notables y factorización, tanto en el numerador como en el denominador, se simplifica a su mínima expresión. Suma y resta con denominadores diferentes 5a
Ejem:
2
a
5a 6 5a
a 2a 3 5a 7a 3 a 2a 3
a2
7
x2
Ejem:
7
x 3
a2
5a 7a 21
x 2 6x 8 3 x 9 x 2 3 x
x 3x 4 x
12a 21
a 2a 3
x4
x 2x 4 3 xx 3 x 3x 4
2
a 2a 3
3x
6x 8 3 x 9 x
x
3
x
4
2
3x
2x2 17
x 3x 4
División Ejem:
x
2
x
2
5x 6
2x 3
2x2 2xy
Ejem:
x 2x 3 x 1x 3 x 2 x 1
4x 2 y
a2 9
Ejem:
2
a 2a 3
a2 12a 27 2
a 10a 9
a 3a 3 a 9a 3 a 3a 1 a 9a 1 a3 a 1
a3 a 1
a 3 a 1 a 3 a 1
2xx y 4xxy
xy 2xy
4a2
Ejem:
2
6b
2a 7b3
2a6b
4a2 7b3 2
28a2b3 12ab2
7ab 3
1
Pag. 160
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Multiplicación a2 9a 18 5a 25 5a 15 a 5 a 6 a 3 5a 5 5a 3 a5
Ejem:
5 a6 a3 a5
5 a5 a3
5x 25 7x 7 14 10x 50
Ejem:
5x 5 7x 1 14 10x 5 35x 5 x 1 140x 5
a6
x 1 4
Reactivos Unidad 2: 1. Al simplificar a) 2y z
x x
y
x y z x y y se obtiene: d)
2x z
e)
2x y
2. Al simplificar 6a 2b 3 a b 5a 2se obtiene: a) 2a b 1 b) b 2a c) 2a b 1
d)
2b a 1
e)
1 2a
3. Al simplificar 2x 2y 4 3x 2y 6x y se obtiene: a) x 3y 4 b) x 3y 4 c) x 3y 4
d) x 3y 4
b) 2x z
c) 2y z
4. ¿Cuál es el valor numérico de la expresión: a 2(3b c ) cuando a 3 , b 1 y c 4 ? a) 17 b) 11 b) 11 c) 7 5. Al evaluar x a) 1
1, y
a)
15
d)
17
2 de la expresión: 2y2 5xy x2 , se obtiene:
b)
c)
8
15
b)
8
7.
x4
c)
8
d)
19
Al evaluar a 2 , b 3 , c 1 y d 2 de la expresión:
6.
e)
3ab 2cd 4ac
e)
18
14
, se obtiene:
7 4
d)
7
e)
4
13 8
Escoja la opción en que la frase: “La mitad de a aumentada con el producto 25 veces b” está escrita correctamente en
notación matemática. a)
a 2
8. a)
b)
25b
a 2
25b
c)
1 2
a 25b
d)
1
a 25b
2
e)
1 2
a 25b
El perímetro de una habitación habitación rectangular es igual a la suma del doble del largo y del doble del ancho.¿Cual expresión matemática corresponde a esta afirmación? P
9. a)
A 2
L 2
b)
P
2 A 2L
c) P 2 A 2L
d) P
A 2
L 2
e)
P
A L 2
El promedio de bateo (b) de un jugador de béisbol es igual al numero de hits (h) dividido dividido entre el número de veces veces oficiales que batea (ba) b
h
ba
b)
b
ba
h
c) b bah
10. Si sumamos o restamos expresiones algebraicas, algebraicas, sus exponentes se: a) Se suman b) Se restan c) Pasan igual
d) b
bah h
d) Se dividen
e)
b
ba b
e) Se multiplican
Pag. 161
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 2 2 2 4x 5x 6 , 5x 7x 7 , 8x 2x 8
11. ¿Cuál es es el resultado resultado de la siguiente suma algebraica algebraica a) d)
17x
2
17x
2
b) e)
x 7
7
12. El resultado de sumar a) 9x
4
3
2
6x
4
10x
3
2
12x
17x 17x
4
b)
9x
d) 9x4 12x3 18x2 4
e)
6x
12x
18x
2
x 7
x7
c)
6x 3 con 3x
4
2
12x
4
12x
3
4
18x
3
18x
2 2
3
2x
6x
2
17x
6x 7
2
?
7
es:
c) 6x4 12x3 18x2 4
4
4
13. Al sumar 3x2 3x 11 con 2x2 4x 1 se obtiene: a) d)
2 x 7x 10 x
2
c) x2 7x 10
b) 3x2 x 12 e) x2 7x 10
x 10
14. Al restar 2x 3y 6 de 4x 3y 10 se obtiene: a) 2x 16 b) 6x 6y 4 d) 6x 6y 4 e) 2x 16 15. Al restar
3
3x
7x
2
3
2x 12 de 10x
a) 13x3 13x2 16 d) 7x3 x2 4x 4
2
6x
b) e)
3
7x
se obtiene:
2x 8
x
3
13x
2
c) 2x 16
c) 7x3 x2 4x 4
4
13x
2
20
16. De 5y2 y 11 restar 6y2 y 14 se obtiene: a) y2 3
b) y2 2y 3
d) 11y2 2y 25
e)
17. De la suma de
x
2
5
con 2x 6
a) x 2x 3 d) x2 2x 3
b) e)
2
2
5
3
a)
4 15
d)
x
10
19. El resultado de 2ab3
2 5
4a b
a) 8a b d) 2ab2
2x 3
x
2
x6
se obtiene: c) x2 2x 3
2x 3
4
b)
e)
b) e)
x 4 con
8 6
x2y
10
c)
4 15
x3 y 2
y
es:
3 8
x
2
xy se obtiene:
x3 y 2
6
y2 3
restar la suma de
2
18. El producto de x2y por
c) 11y2 2y 25
2
c)
2ab
2 2
8a
b
3 8
8a
b
20. El producto de 3x2y 4xy2 2x3y 4 es: a) 24x6y7
b)
12x
y
d) 24x6y8
e)
24x
6 7
5 6
c) 12x5y6
y
Pag. 162
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
21. El resultado de multiplicar 3ab2 por 2ab b2 es: a) 5ab2 3ab4 d) 6a2b3 3ab4
c) 5ab2 3ab4
b) 6a2b3 3ab4 e) 6a2b5
22. El producto de x2 3x 9 x 3 es: a) d)
x x
3 3
6x
2
6x
2
b) e)
18x 27 18x 27
x x
3
2
2x
3
9x
c) x3 27
27
27
23. Al multiplicar 4x2 5xy 7y2 4x 6y se obtiene: 3
b) 16x3 44x2y 2xy2 42y3
d) 16x3 44x2y 2xy2 42y3
e) 16x3 44x2y 2xy2 42y3
3
2
2
a) 16x 44x y 2xy 42y
c) 16x3 44x2y 2xy2 42y3
24. ¿Cuál es el área de un local local rectangular que quieren rentar si el ancho mide mide x 2 y el largo x 6 ? a) x 6x 6x 2x 2 b) x 6x 6x 2 c) x 6x 2
x x
d)
2
6
x x
e)
6 2
25. ¿Cuál es es el área de un rectángulo, si su ancho es n m y su largo es 6m 5n ? 2
a) d)
6m
2
6m
2
b) e)
11mn 5n
2
mn 5n
2
6m
2
6m
2
c)
11mn 5n
2
2
6m
mn 5n
2
11mn 5n
26. ¿Cuál es es el área de un cuadrado cuyo lado mide x2 2x 1 ? a) d)
x
4
x
4
3
4x
4x
27. Al dividir
3
6x 6x
9 2
8m n
2 2
b) e)
4x 1
4x 1 7 4
10m
n
5 5
20m
n
x x
4
3
4x
4
n
3
4x
3 8
12m
6x
2
6x
2
2
7 2
4m n
7 2
4m n
5 4
5m
d)
29. Dividir a4 a2 2a 1 entre a2 a 1 a) a2 a 1 b) a2 a 1
d)
2
a 1
n
5 4
5m
28. El cociente de dividir 5n2 11mn 6m2 entre n m es: a) 6m 5n b) 5n 6m c) 5n 6m
a
3
2
se obtiene:
b) d)
c)
4
x 4x 6x 4x 1
4x 1
entre 2m
a) 4m7n2 5m5n4 10m3n5 6mn8 c) 4m7n2 5m5n4 10m3n5 6mn8 e) 4m7n2 5m5n4 10m3n5 6mn8
c)
4x 1
n
3 5
10m
3 5
10m
6m 5n
2
a
n
a 1
n
8
6mn
8
6mn
e)
e)
6m 5n
2
a
a 1
2
30. El resultado de a)
3a 4
31. Al simplificar a)
2x y
8a 22a 21 2a 7
b)
es:
4a 3
12x2 16xy 5y2 6x 5y
c)
4a 11
c)
2y x
d)
4a 3
e)
3a 4
se obtiene:
b) 2x 5y
d) 2x y
e) 2y x
Pag. 163
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. a5b4c 1
32. Al simplificar
a3b6c 3
se obtiene: 8 2
2 2
a)
a c b
b)
2
8 2
a c
10
8
a b
c)
b
c
a c
d)
4
b
4
e)
2
8 2 4
a b c
33. ¿Cuál es el resultado de simplificar 5 2 i 6 3 i se obtiene: a) 11i 1 b) 11i 1 d) c) 11 i
1 i
e) 11 i
34. ¿Cuál es el resultado de simplificar 6 3 i 4 2 i se obtiene: a) 5 i 2 b) 2 i 1 c) 2 5 i d)
10 i
e)
3
5
2
8
35. ¿Cuál es el resultado de simplificar a)
4 5
7
b)
i
8
7 8
1 4
i
5
i
c)
4
5 4
1 4
7
i
se obtiene:
i
8
d)
8 x6 y 4 z 2
39. Al simplificar
c) 3 5 i
d) 1 i
e)
1 i
c) 8 x4y3z2
d) 32x 4y6z2
e) 8x4y2z2
2
3
b) 16x4 y2z3 5
3
9 6 4
243 a b c
24
40. Al simplificar
2 5
mn2
4
41. Al resolver
se obtiene: 12 9 3
5 3
m
m3
7 18
2 50
a)
6 35
b
9c
2
c) 15a2b3 3 9 c
3
13
72
2 4
b)
5 mn
e)
mn
2 4
3
m
c)
1 2
m3n4
4
5m3n
3
m
se obtiene:
3
c) 13
d) 12 2
e) 14
c) 2 3 2
d) 3 3 2
e) 4 3 2
c) 6 2
d) 21 10
e)
2
2
432 3 250 3 16 se obtiene:
63 2
43. Al resolver a)
b) 3
5a
625 m7n8 se obtiene:
a) 6 2 42. Al resolver
i
4
1 4 i 2 5 i se obtiene:
e) 15a3b2 3 9 c
d)
8
5
5i
d) 15a3b2c 3 9 c
2 4
8
7
e)
b)
2 mn
e)
i
8 2i
a) 15 a6b3 3 9 c
a)
4
7
64 x8 y6z4 se obtiene:
38. Al simplificar a)
5
36. ¿Cuál es el resultado de simplificar 3 2 i 3 2 3 i 4 se obtiene: a) 8 2 i b) 8 i 2 c) 5 3 i d) 37. ¿Cuál es el resultado de simplificar a) 7 5 i b) 5 i 3
25i
b)
3
2
se obtiene: 2 7
3 5
b) 2 2
2
Pag. 164
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
44. Al resolver 3 3 2 5 3 6 8 3 4 120 3 6
a)
b)
240
3
se obtiene: c)
6
240
3
48
d) 120 3 2
e) 120 3 4
45. Al desarrollar x 4 2 se obtiene: a) x2 8x 16 d) x2 16
b) e)
x x
2
c) x2 4x 16
16
2
8x
46. El equivalente a 3x 2y 2 es: a) 9x2 6x 4y2
b) 9x2 12xy 4y2
d) 9x2 4y2
e) 9x2 12xy 4y2
47. Al resolver 7x2 2xy
2
se obtiene:
a) 49x4 28x3y 4x2y2
b) 49x4 4x2y2
d) 49x4 28x3y 4x2y2
e) 49x4 4x2y2
5
1
4
3
c) 6x2 6xy 4y2
c) 14x 4 14xy 4x2y2
48. Al desarrollar x 2 se obtiene: a) d)
25 16 25
x2 x
2
16
1 5
b)
9 6
x
1
e)
9
25 16
x
2
25
5
x
12
1
2
x
16
c)
9
25
x
16
2
5
6
x
1 9
1 9
49. El equivalente a x 8 x 8 es: a) x2 16 d) x2 16
b) e) 2
50. Al resolver
3
a) d)
4
x
4 6
x
2
64
c) x2 64
64
1 x se obtiene: 2 3 2
b)
4 1
2
x
16x
1 2
1
2
9
x
2
x
e)
4
4
x
6 4
x
1
2
4
x
9
2
1
4
1
2
9
4
c)
2
51. Al desarrollar 3x 4y 3x 4y se obtiene: a) 9x2 16y2
b) 6x2 8y2
d) 16x2 9y2
e) 9x2 16y2
c) 16x2 9y2
52. Al resolver 4x3y 5z 4x3y 5z se obtiene: 2
b) 16x9y2 25z2
d) 8x6y2 25z2
e) 16x6 y2 25z2
6 2
a) 8x y 10z
53. Al resolver x
10 x
c) 16x6y2 10z2
se obtiene:
2
a) x2 12x 20 d) x2 8x 20
b) x2 8x 20 e) x2 20x 12
c)
x
2
12x
20
54. Al resolver x 3 x 4 se obtiene: Pag. 165
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. a) d)
x
2
x
2
b) e)
x 12
7x 1
2
x
12x 1
2
c)
x 7x 1
c)
x 24x 10
2
x x 12
55. Al resolver x 6 x 4 se obtiene: b) x2 10x 24 e) x2 24x 10
a) x2 2x 24 d) x2 10x 24
2
56. Al desarrollar x 6 3 se obtiene: a) x3 18x2 108x 216 d) x3 216 57. El equivalente a
x y y 2
2 3
b) e)
x x
3 3
c)
216 18x
2
x
3
18x
2
108x 216
108x 216
es:
a) x6y3 3x 4y 4 3x2y5 y6
b) x6 y3 3x4y4 3x2y5 y6
d) x6y3 3x 4y 4 3x2y5 y6
e) x6 y3 3x4y4 3x2y5 y6
c) x6y3 3x 4y 4 3x2y5 y6
58. Al desarrollar 3x 2 3 se obtiene: a) 27x3 54x2 36x 8 d) 27x3 54x2 36x 8
b) e)
3
27x
3
27x
54x 12x
2
2
36x
c)
4
9x
3
54x
2
36x 8
36x 8
59. Al resolver ab 3 3 se obtiene: a) d)
3 3
2 2
a b 9a b 27ab 27 3 3 2 2 a b 9a b 27ab 9
b) a3b3 9a2b2 27ab 27 e) a3b3 27
c) a3b3 9a2b2 27ab 27
60. Al obtener el área de un cuadrado que mide por lado lado x 6 resulta: a) d)
x x
2
2
6x
b) x2 12x 36 e) x2 6x 36
36
12x 36
c) x2 6x 36
61. Al obtener el área de un rombo cuya diagonal diagonal mayor es x 6 y su diagonal menor es x 6 resulta: a) d)
x
2
2 x
18
b)
36
e)
2
2
x
2
2 x
2
c)
36
x2 2
18
18
2
62. Al obtener el área de un rectángulo cuyo base mide x 7 y su altura es de x 3 resulta: a) d)
x x
2 2
4x 21
4x 21
b) e)
x
2
2
x
c) x2 4x 21
4x 21
21x
4
63. Al relacionar las siguientes columnas el resultado es: a) 2x 3y2
I)
x
b) x 33 c) x 8x 8 d) 2x 42x 6
II)
4x
a) a-IV, b-II, c-III, d-I
b) a-IV,b-I, c-II,d-III
3
9x
2
2
27x 27
20x
24
III) x2 64 IV) 4x2 12xy 9y2 c) a-IV,b-I,c-III,d-II a-IV,b-I,c-III,d-II
d) a-I,b-IV,c-III,d-II a-I,b-IV,c-III,d-II
e) a-III,b-IV,c-I,d-II a-III,b-IV,c-I,d-II
64. Al factorizar 18n5m4p3 30n4m3p5 se obtiene: Pag. 166
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. a) 6n5m4p3 3 5p 3
2
3
d) 6n mp 3n m
6n m p 3nm
b) 6n2m4p3 3n3 5n2p2 2 3
5nm p
e)
4
3 3
2
5p
c) 6nm2p2 3n4m2 5p
65. Al factorizar x2 x 30 se obtiene: a) x 6 x 5 b) x 15 x 2 d) x 2 x 15 e) x 3 x 10
c) x 6 x 5
66. Al factorizar x2 6x 9 se obtiene: a) x 9 x 1 b) x 3 x 3 d) x 3 x 3 e) x 3 x 3
c) x 9 x 1
2
x x 12
67. Un equivalente de a) x 6 x 2 d) x 3 x 4
es: b) x 12 x 1 e) x 6 x 2
68. Al relacionar las siguientes columnas el resultado es: es: 2 a) x 5x 36
a)
x3
x3 y xy3
x2 y
b)
x
8x 8y
xy
b)
3 2y
x
2
3 xy
2
4x
6x 2xy
b)
e) a-II,b-I,c-IV,d-III a-II,b-I,c-IV,d-III
c)
1 x4
d)
1 x2
e)
1 x2
c)
x 1 x 3
d)
x2 x 1
e)
x3 x2
c) x y
d)
c)
x2 y
e)
xy
d) x y
e)
xy
3 x
e)
x y2
se obtiene:
16x 16y
2
d) a-I,b-II,c-IV,d-III a-I,b-II,c-IV,d-III
se obtiene:
x2y xy2
1
se obtiene: x 2
b)
xy
x 2
4x 3
1
73. Al simplificar a)
2
x 3
72. Al simplificar a)
x
2
IV) x 2 x2 2x 4 c) a-III, b-I,c-IV,d-II
b) a-I,b-III,c-II,d-IV a-I,b-III,c-II,d-IV
b) x 2 x 2 x
se obtiene:
6x 8
x2
71. Al simplificar a)
x
x2
70. Al simplificar
a)
x4 2
II) 2x2 3 2x2 3 III) x 23x 1
69. Al simplificar
c) x 3 x 4
I) x 9x 4
b) 3x2 5x 2 c) x3 8 d) 4x 4 9 a) a-I,b-III,c-IV,d-II a-I,b-III,c-IV,d-II
2
y
2y 3
2
se obtiene: c)
2y 3
d)
2y
3 2y
Pag. 167
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 2x y 5x 5y y x es: 2x y 2x y 2x y
74. El resultado de sumar a)
1
b)
xy
c)
3
1
d)
3
3 x 1
e)
1 xy
2 x 1 se obtiene: 6 3x 3
9
75. Al multiplicar a)
2 x
b)
1
c)
x 1
x
1
3
d)
2 x 1
e)
x
1 2
8x2 10x 3 6x2 x 1 se obtiene: 76. Al multiplicar 2 2 4x 4x 1 9x 9x 4
a)
4x 3
x3
b)
3x 4
c)
x4
4x 3 3x 4
d)
4x 3 3x 4
e)
3x 4 4x 3
x2 x 6 x2 2x 3 se obtiene: 77. Al multiplicar 2 2 x 5x 6 x 4x 5
a)
x 5
x3
b)
x3
c)
x 5
x5 x 3
d)
x 3 x 5
e)
x3 x5
6x x es: x2 9 x 3
78. El resultado de sumar a)
1 x3
79. El resultado de sumar a)
x3
b)
a 1
x
3a 2
b)
24a
c)
6a
4a 1 8a
x x3
d)
x x 3
e)
1 x 3
es:
24a 5
c)
24a
7a 1 48a
d)
24a 5 48a
e)
5 48 a
x2 9 x2 6x 27 se obtiene: x2 2x 3 x2 10x 9
80. Al dividir a)
x
b)
x9
81. El resultado de a)
x3 x2
82. Al resolver a)
2x 2x
5 1
x x
2
2
x 9 x9
7 x 18 6 x 27
b) 6x2 5x 1 12x 2 x 1
b)
c) x
2
x
2
11x
5x 24
x 2 x3
4x 2 8x 5 8x 2 6x 1
2x 5 2x 1
24
x9 x 9
d)
9 x 9
e)
x x 9
es: c)
x2 x3
d)
x2 x 3
e)
x3 x2
se obtiene: c)
2x 1 2x 5
d)
2x 1 2x 5
e)
2x 1 2x 5
Pag. 168
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
UNIDAD 3. ECUACIONES 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita Definición.- Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la incógnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor, por lo que se deben tener las siguientes consideraciones: 1er. miembro = 2do. miembro Operaciones Opuestas: Suma Multiplicación Potencia Ejem:
Cada vez que un término se mueva de un miembro a otro, debe pasar con su operación opuesta.
Resta División Raíz
6x
Regla:
8x
15x
2x 15x 2x 15x 26
13x
Comprobación
26
2 82 152 26
26
6
12 16
26
4
30 26
4
26
x
13
x 2
Ejem:
4x
5
7x 8
9
Comprobación
20
46
9 4x 7x 40 8 20 5 32x 35x
3x
x
5
76 8
24
18
5
21
4
96 105
18
20
9
20
3
20
9
9
18
9 20
20 9
20
x 6
3.2 Desigualdades de primer grado con una incógnita Definición.- Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la variable debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto solución, se aplican básicamente las mismas reglas que para una ecuación, además de las siguientes consideraciones: Regla: Cada vez que un término se multiplique ó divida entre un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad Signos de Desigualdad y Gráfica < menor que
no incluye a ( )
> mayor que
no incluye a ( )
menor igual que
incluye a
mayor igual que
incluye a
Pag. 169
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Ejem:
3x 5 3 x 4x
Comprobación
7 4x
x
2 5 7 42
7 5
3
6 5 7 8
2
1
x 2
1
-2 Ejem:
-1
0
Conjunto Solución: x / x 2 ó 2,
1
Comprobación
13x 15 6x 7x x
7x 15 6x
13 15
7x 6x 15
15
195 195
6 15
15
90
105 105
15
15
90 90
x 15
7 15
15
16
Conjunto Solución: x / x 15 ó 15,
18
17
3.3 Sistema de Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incógnitas) Definición.- Es el llamado “Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas”, en que el objetivo es encontrar los valores de éstas 2 variables. Existen varios métodos para su solución, entre los cuales están los llamados “Reducción” (Suma y Resta) y “Determinantes” (Regla de Kramer), que se explican a continuación:
Método de Reducción (Suma y Resta) Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una ó las 2 ecuaciones por un factor ó factores que hagan que la suma de una de las variables sea “cero” y despejar la variable restante para obtener su valor, posteriormente
sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales y obtener el valor de la s egunda variable. Ejem:
x y5
3x 2y 5
Sustituyendo 3
2 x y 5
3x 2y 5 2x
2y
x
y
2
10
Comprobación en
22 5
15
33
15
94 5
5
4x 3y 4
3 5x
2y
2 4x 3y 15x
55
5x 2y 2
2
8x 6y
2y
2
10 2y
2
6
8
14 x
52
4
7x
Sustituyendo x 2 , en
6y
en
5
x3
Ejem:
3,
y 53 y
3x 2y 5 5x
x
14
x2
7
2y
y
2 10
8
2 y 4
Comprobación en 42 34 4 8 12 4
4 4 Pag. 170
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Método por Determinantes (Regla de Kramer) a1x b1y c1 a2 x b2 y c1
Dado el sistema de ecuaciones:
y sus determinantes son:
donde:
x
Ejem:
x
y
x
c1
b1
c2
b2
a1
b1
a2
b2
2x 5 y 4 3x 8 y 25
y
a2
c2
a1
b1
a2
b2
= determinantes en “x” y “y”
x
4
5
25
8
y
2
25
16 15
93
3
31
4
4 1 4 1
2 25 4 3 28 3 5
50 12
16 15
62
31
2
7 3
7
1
32 125
8
16
5
31
y
28 3 5
8
3
x
48 5 25
4
3
2 5
2
4x 7y 31 x 3y 16
c1
= determinante del sistema
y
3
Ejem:
y
a1
167 4 3 17
31 3
93 112 12
7
19
19
1
3
31
16 7
4 16 31 1 4 3 17
64 31
12 7
95
19
5
3
Problemas de Aplicación Dentro del proceso de resolución de problemas, se pueden diferenciar seis etapas: 1. Leer el problema 2. Definir las incógnitas principales de forma precisa 3. Traducción matemática del problema 4. Resolución del problema matemático 5. Interpretar las soluciones 6. Contrastar la adecuación de esas soluciones Ejem: En un zoológico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoológico contiene 60 c abezas y 200 patas, ¿cuántas aves y cuántos tigres viven en él? cabezas a t 60 2a 4 t 200 patas
Traducción matemática :
a 20 aves t 40 tigres
Solución:
Pag. 171
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Ejem: Pedro compró 2 camisas y 3 pantalones por $850, y Francisc o compró 3 camisas y 4 pantalones por $1200, $ 1200, ¿cuál es el precio de una camisa y el de un pantalón? Pedro 2c 3p 850 3c 4p 1200 Francisco
c $200 camisa p $150 pantalón
Traducción matemática :
Solución:
3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incógnitas) Definición.- Es el llamado “Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incógnitas”, en que el objetivo es encontrar los valores de éstas 3 variables. Los métodos para su solución, son: “Reducción” (Suma y Resta) y “Determinantes” (Regla de
Kramer): Método por Determinantes (Regla de Kramer) a1x b1y c1z d1 Dado el sistema de ecuaciones: a2 x b2 y c 2z d2 a x b y c z d 3 3 3 3
Realizar los pasos siguientes: 1. Se escribe el determinante determinante de tres tres por tres. 2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las las dos primeras primeras filas horizontales. 3. Se trazan 3 diagonales diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha. 4. Se multiplican multiplican entre si los tres números por los que pasa cada diagonal. 5. Los productos de los los números que están están en las diagonales diagonales trazadas de izquierda izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los de derecha a izquierda con el signo cambiado.
Determinantes:
x
x
Donde:
x,
b1
c1
a1
d1 c1
a1
b1
d2
b2 c 2
a2
d2 c 2
a2
b2 d2
d3
b3
c3
a3
d3 c 3
a3
b3 d3
c1
a1 a2
d1 c1 d2 c 2 b1 c1 b2 c 2 b3 c 3
d1
b1
d2
b2 c 2
a1
b1
a2
b2 c 2
a3
b3 c 3
a1 a2 a3
a1
b1
c1
a1
a2
b2 c 2
a2
c1
y
y
z
z
d1
a1
b1
a2
b2 d2
d1
a1
b1
a2
b2 c 2
c1
a3
b3 c 3
b1 c1
a1
b1
b2 c 2
a2
b2 c 2
c1
= determinante del sistema z = determinantes en “x” , “y” y “z”
y
x y 4z 4 2x 2y z 11 x y 3z 13
Ejem:
4
x
2
1
13
1
3
11
1 4
11
4
x
y
d1
1 4
2
1
1 2 1
1 4
1
1 4
2
2 1
2
24 44 13 104 4 33
6 8 1 8 1 6
60 10
x 6
1 3
1
Pag. 172
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
y
y
1
2
11
1
1
13
3
1 2
4 1
1
1
4
2
2
1
4 2 1 1 3
2
11
1
1
13
6 8 1 8 1 6
20
y
10
2
1 4
2
11
1 2 1
1 4
1
1 4
2
33 104 4 44 13 24
1 4
2
2
4
1
1 z
4 11
1 2 1
1
z
4
2 1
2
26 8 11 8 11 26 6 8 1 8 1 6
30 10
z 3
1 3
1
3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incógnita Clasificación Completas : ax2 bx c 0 Ecuaciones de 2 2do grado Incompletas Mixtas : ax bx 0 Puras : ax 2 c 0
Métodos de solución Completas: forma ax 2 + bx + c = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un trinomio, donde existen los valores de “a, b y c” , y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utilizan los métodos siguientes: Factorización: Forma x2+bx+c = 0 ó ax2+bx+c = 0, obteniendo: x 1 o Ecuación de 2do. grado:
x
b
b2 4ac 2a
x2 x 12 0
Ejem:
x1 4
y
x2
ó 3
x2
, obteniendo: x1 y x2
x
x 4x 3 0
y
x x
1
1
12 41 12 21
1 48 2
1 7 2
x 4 1 x 2 3
Pag. 173
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Ejem:
4x
2
4x 1 0
2x
x
1
2x
1
4
x
2x
ó
2x
x
4 2 44 1 24
4
16 16 8 1 x 1 2 x 2 1 2
40
8
4x
2x 12x 1 0
x1
1
y
2
x2
1 2
Incompletas mixtas: forma ax 2 + bx = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y b, pero no de c”, y para
encontrar sus dos raíces ó s oluciones, se utiliza el método de factorización por término c omún y se despeja, como sigue: Ejem:
x
2
7x
Ejem:
0
2x
xx 7 0
x1
0
y
x2
2
2x x
7
x1
0
4x
0
0
2
y
x2
2
Incompletas puras: forma ax 2 + c = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y c, pero no de b”, y para
encontrar sus dos raíces ó s oluciones, se utiliza el método de despeje, como sigue: x2
Ejem:
x
2
Ejem:
30
4x
4x
3
x 3
x1 3
y
x
2
2
2
16
0
16
16
x 4
4
x2 3
x1
2
y
x2
2
Reactivos Unidad 3: 1. ¿Cuál es el valor de “x” qu e satisface la ecuación a)
1 4
b)
4
2. ¿Cuál es el valor de “x” que satisface la ecuación a) 6
b)
1 6
x 3x 3
c)
6 8x 12
4
8x 5 6x 7
c)
1 6
? d)
1
e)
d)
3
e)
1 4
? 6
3. Al resolver la ecuación 2x x 3 10 7x 4 , se obtiene: a) 2
b)
2 3
c)
3 2
d)
2 3
e)
3 2
Pag. 174
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 4. Al resolver la ecuación 32x 1 25 x 3 , se obtiene: a)
1
b)
2
1
c)
3
d)
2
1
e) 2
2
5. Al resolver la ecuación x 3x 1 6 42x 3 , se obtiene: a)
1
b)
4
c)
4 5
6. El valor de “x” que cumple con la igualdad a)
5
5
b)
12
3
8
3x
a)
x
4
x2
9. Al resolver la ecuación a)
x
9
x
1
a)
x3
a)
6
9 3x
2
1
1
b)
2
12. De De la ecuación 3
5
2 x
4
5
3
x
b)
1
5
b)
3
x 2
c) x 8
3
3
2
3
es:
3
d)
8
3
1
5
e)
8
5 12
es:
2 12
x 5
c) x
4
e) 4
4
d)
3
e)
8
12
x 2 4
d) x
2 5
e)
1 12
se obtiene:
3
4
1
x
1
2 se obtiene:
5
1 2
d)
x
d)
x
2
1
e)
e)
2
se obtiene:
1
c)
6
x
4
4
1 4
el valor de “x” que satisface es: 11
c)
3
3 11
d)
11 3
e)
3 11
el valor de “x” que satisface es: 5
c)
4
13. Al Al resolver la siguiente ecuación a)
2x 1
2
b) x
4
11. De De la ecuación
b) x
2
10. Al Al resolver la ecuación a)
8
b) x
5
6
c)
3x 5
8. Al resolver la ecuación
8
3
b)
1
c)
7. El valor de “x” que cumple con la igualdad a) 12
x
d)
2
7 11
3 2x
7
5
4
5x
5
2
c)
3 4
d)
5 4
e)
3 4
se obtiene: 7 11
d)
7
14. :La suma de dos números naturales enteros consecutivos es 183, hallar los números: a) 90 y 93 b) 91 y 92 c) 90 y 93 d) 91 y 92
e) 11
e) 91 y 92
Pag. 175
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 15. El menor de dos números impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en 15. Hallar los números a) 11 y 17 b) 9 y 11 c) 11 y 13 d) 11 y 15 e) 13 y 15 16. El triple de la suma de un número con su mitad igual a las 2 /3 partes del mismo número aumentado en 46. 2x 2
a)
3
d)
3 x
2 3
x
2
x 46 2 3
x
2
2
3
b) 3 x
x 46
e)
2x 2
3
2 3
x 46
2 x x 3x 46 3 2
c)
x 46
17. ¿Cuál es el número que sumado c on su duplo da 261? a) 78 b) 45 c) 87
d) 97
e) 89
18. La suma de dos números números es 450 y su cociente 8. Hallar los números. a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40
e) 420 y 30
19. Si a un número número añado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo obtengo 122. ¿Cuál es el número? a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58 20. La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si éste tiene 30 años ¿Cuál es la edad de Roberto? a) 14 años b) 18 años c) 13 años d) 10 años e) 12 años 21. La suma de dos dos números es 106 y el mayor mayor excede al menor en 8. ¿Cuáles ¿Cuáles son los números? números? a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54 22. Encontrar los los tres números consecutivos cuya suma sea 186. a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69
d) 32,33 y 34
e) 62,62 y 62
23. La suma de las edades de Sonia Sonia y Toño es 84 años años y Toño tiene 8 años menos que Sonia. Hallar Hallar ambas edades. a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41 24. Un cateto de un triángulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto .Hallar las longitudes de los lados desconocidos a) 15 y 25 b) 17 y 21 c) 16 y 22 d) 24 y 11 e) 25 y 16 2
25. ¿Cuáles ¿Cuáles son las raíces de a)
3
3 2
y
?
b) 3 y 4
y 4
26. Al Al resolver la ecuación a)
x x 12 0
4 3
6x
b)
2
c) 12
se obtiene:
3 y 4
c)
x
3y
3 2
y
1 4
4 3
d)
d)
e) 3 y 4
3y4
3
4
y
2 3
e)
3
e)
1
4
2
y
y
3
27. Al Al resolver la ecuación 2x2 3x 2 se obtiene: a)
1 2
b) 2 y 2
y 2
c)
1 2
y
1 2
d) 2 y
1 2
2
2
28. El El conjunto solución de 4x2 4x 1 0 es: 1
a)
2
,
3
2
1 1
b) , 2 2
1 1 , 2 2
d)
e) ,
1 1 , 5 5
d) 10 , 10
e) 2.5 , 2.5
c)
3 1 , 2 2
3 2
1 2
29. El El conjunto solución de x2 5 0 es: a) 5 , 5
b) 5 , 5
c)
Pag. 176
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 30. El El conjunto solución de 3x2 2 0 es:
3
a)
2
,
3
31. El El conjunto solución de 2
i,
a)
5
2 i 5
32. Al Al resolver la ecuación a)
1 2
y 2
33. Al Al resolver la ecuación a)
3 2
5x
2
2
2
x
0
2
2
c)
i
5
5
2
c)
3x
2
2
2
e)
3
2
,
3
i,
2 i 5
2
d)
5
,
2
2
e)
5
5
,
2
5
d) 2 y 0
1y 0
e) 1 y 0
se obtiene:
0
y0
3
2,
se obtiene:
b) 1 y 1 2x
d)
c)
es:
i,
5
b)
y0
4
b)
x
1 1 , 3 3
3 , 3
b)
2
c)
c)
3
y
2
3
3
d)
2
e)
d) 2 y 0
e)
2
e)
y0
2
3 2
y0
34. Al Al resolver la ecuación 4x2 x 0 se obtiene: a)
1
b) 4 y 0
y0
4
35. Al Al resolver la ecuación a)
3 2
y0
2
2
36. ¿Cuál ¿Cuál de los siguientes valores cumple con: a)
7
b)
2
4
3
c)
y0
3
y
1 4
1
y0
4
se obtiene:
10x 15x 0
b)
1
x
y
2
3
d)
2
y0
3
3 2
y0
7
c)
7
d)
7
1
e) 1 0
7
37. ¿Cuál ¿Cuál de los siguientes afirmaciones es verdadera, si 10x 90 a) x 9 b) x 9 c) x 9 d) x 9
e)
38. El El conjunto solución de 3x 1 2x 3 es: a) x 2 b) x 2
e) x 2
39. El El conjunto solución so lución de la desigualdad a) x 6 b) x 6
b)
x
x
10
9
b)
x
5x 4 2
42. El El intervalo que satisface a
4
a) , 3
3 2
x
2
8
4
7
11
14
5 6
b) , 3
3x 4
es:
d) x 6
e) x 6
d)
e) x 2
9 es:
x2
x
2
es:
c) x
9
x 6
3
x
10
7x
4x 1
c)
2
c)
41. El El conjunto solución de la desigualdad a)
d) x 2
3 2x 5 7 1 x 4 4 3x
40. El El conjunto solución de la desigualdad a) x 2
c) x 2
x9
9
d) x
10
9 10
e) x
10 9
1 es:
4 3
c) ,
4 3
d) ,
4
e) , 3 Pag. 177
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
43. La expresión que representa “a lo más tengo 250” 250” es: a) x 250 b) x 250 c) x 25 250 0
d)
x 250
e) x 250
44. La expresión que representa “por lo menos tengo 500” es: a) x 500 b) x 500 c) x 50 500 0
d)
x 500
e)
45. El El conjunto solución de x2 25 0 es: a) 5, 5 b) , 5 5,
c)
, 5
x 500
e) 5, 5
d) , 5 5,
2x y 7 son: 3x 4y 5
46. Los valores de las incógnitas del sistema 47. a) x 3, y 1 d) x 3, y 1
b) x 3, y 1 e) x 1, y 3
c) x 3, y 1
3x 2y 12 son: 5x 3y 1
48. Los valores de las incógnitas del sistema a) x 2, y 3 d) x 2, y 3
b) x 2, y 3 e) x 2, y 3
c) x 3, y 2
xy 6 es: 3x y 2
49. El valor de “x” del sistema de ecuaciones a)
4
b)
c) 2
2
d) 4
e) 3
d) 2
e)
4x 9y 12 es: 2x 6y 1
50. El valor de “y” “y” del sistema de ecuaciones
a)
2 3
b)
2
c)
3
3 2
3 2
51. Si x = 2 y y = 3 . La solución del sistema de ecuaciones simultáneas es: x y 5 x y 2
b)
x y 1 x y 2
e)
a)
d)
2x y 5 xy 2
2x y 7 xy 3
c)
xy 5 2x y 1
52. Un perro y su collar han costado $54, y el perro costó 8 veces lo que el collar. ¿Cuánto costó el perro y cuánto el collar? a) Perro $48 y collar $6 d) Perro Perro $46 y collar $8
b) Perro $32 y collar $22 e) Perro $47 y collar $7
c) Perro $50 y collar $4
53. La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 años. Hallar ambas edades. a) Juan 12, Pedro 24 d) Juan 21, Pedro 15
b) Juan 24, Pedro 12 e) Juan 15, pedro 21
c) Juan 12, Pedro 12
Pag. 178
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. xy 2 es: 2x y 1
54. El valor de “x” , por medio de determinantes
a)
d)
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
b)
e)
2
1
1
1
1
1
1
2
1
c)
1
1 1 1
1
2
1
3
1
2
2
3
1 6
3x y 1 es: 2y 6x 2
55. El valor de “y” , por medio de determinantes
a)
d)
1
3
2
2
b)
3
1
6
2
3
1
6
2
2
1
3
3
1
2
6
6
2
3
1 6
3
1
6
2
6
e)
3
1 6
c)
2
56. La edad de Jorge es el triple de la edad de Sandra y la de Sandra cinco veces la de Pedro. Sandra tiene 12 años más que Pedro ¿Qué edad tiene cada uno? a) Jorge 45,Sandra 15, Pedro 3 b) Jorge 25,Sandra 5, Pedro 3 c) Jorge 35,Sandra 25, Pedro 3 d) Jorge 55, Sandra 15, Pedro 3 e) Jorge 5, Sandra 10, Pedro 3 57. En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $5.12 y también 17 de niño y 15 de adulto $8.31. ¿Cuál es el precio de una entrada de un niño y de un adulto? a) Adulto $35 cts, niño $18cts. b) Adulto $45 cts, niño $18cts. c) Adulto $25 cts, niño $28cts. d) Adulto $15 cts, niño $18cts. e) Adulto $35 cts, niño $28cts. 58. Un hacendado compro 4 vacas y 7 caballos por $514 y más tarde, a los mismos precios, compro 8 vacas y 9 caballos por $818 ¿Cuál es el costo de una vaca y un caballo. a) Vaca $42 y caballo $ 55 b) Vaca $55 y caballo $ 24 c) Vaca $24 y caballo $ 55 d) Vaca $55 y caballo $ 34 e) Vaca $55 y caballo $ 42 59. La suma de dos números es 9 y la suma de s us cuadrados es 53 ¿Cuáles son los números? a) 7 y 2 b) 9 y 0 c) 5 y 4 d) 7 y 1 e)
60. La solución del sistema a) x 2, y 1, z 2 d) x 2, y 1, z 2
6y3
2x y 2z 8 x 2y 3z 9 es: 3 x y 4z 3
b) x 1, y 2, z 2 e) x 2, y 2, z 1
c) x 2, y 2 , z 1
Pag. 179
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. x y 2z 2y x 3z 1 es: z 2y 2x 3
61. La solución del sistema
a) x 2, y 1 , z 0 d) x 2, y 1 , z 2
c) x 2, y 0 , z 1
b) x 1, y 2, z 0 e) x 0, y 2, z 1
UNIDAD 4. ALGEBRA DE FUNCIONES Valor de una función Se obtiene, al sustituir el valor de “x” en la funció n f(x):
Ejem:
Si f(x) =
x
2
2
f (4) 4
Ejem:
Si f(x) =
x
9
, obtener el valor de f(-4) y f(3) 2
f (3) 3
9 16 9 25
2
9x 2 , obtener el valor de f(-2) y f(4) x4
f ( 2)
22 9 2 2
2
f ( 4)
4
24
94 2
44
4 18 2
6
16 36 2 0
16
50 0
6
9 9 9 18
8 3
4.1 Dominio y Rango Dominio, Dominio, es el conjunto de todos los valores de “x” admisibles para una función. Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de “y” al sustituir cada una de los elementos del dominio en la función. 1 Ejem: El dominio de la función racional f ( x) 2 x 11x 24 x
2
El dominio de la función racional f ( x) x
2
y
x2
8
Do min io x / x 3,8
Ejem:
11 x 24 x 3( x 8) 0 , entonces, sus raíces son: x1 3
1 2
x 81
81 x 9( x 9) 0 , entonces, sus raíces son: x1 9
y
x2
9
Do min io x / x 9,9
Ejem:
Para que valor de “x” la función f ( x ) x
7
0,
1 x7
se indetermina:
entonces, para: x 7 la función se indetermina
Función cuadrática Es de la forma ax2 bx c y representa una parábola, donde su concavidad es hacia arriba cuando “a” es positiva y es hacia abajo cuando “a” es negativa.
El vértice de la parábola, se obtiene en el punto:
b 4ac b2 V , 2a 4 a
Pag. 180
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Los puntos donde la gráfica interseca al eje “x”, son la solución de la ecuación. Dependiendo de su concavidad y la
coordenada de su vértice, se puede obtener el dominio y el rango de la función. Ejem: Sea la función f ( x) x2 4x 3 , obtener su dominio y rango.
El vértice es: V
4
21
,
2 413 4
41
entonces,
V 2,1
y la curva es cóncava hacia arriba
ahora, las raíces de: f ( x) x2 4x 3 x 3x 1 0 sus raíces son: x1 3 y entonces: Do min io , y Rango 1, Ejem:
Do min io ,
Ran(f) = Todos los reales.
Rango ,
f(x) = 1/x Dom(f) = Todos los racionales positivos, menos el número cero.
Do min io 0,
Ran(f) = Todos los racionales positivos.
1
Graficar las siguientes funciones indicando dominio y rango.
f(x) = x Dom (f) = Todos los reales.
x2
Rango 0,
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y=X
y 0.1111 0.125 0.1429 0.1667 0.2 0.25 0.3333 0.5 1 2
4 3 2 1
X
0 -5
-4 -4
-3 -3
-2
-1 - 1 -1 0
1
2
3
4
5
-2 -3 -4 -5
2.5
x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0.5
Y
5
y=x
Y
2
Y = 1/ X 1.5
1
0.5
X 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.2 Funciones y relaciones Definición Se le llama relación , a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 c onjuntos. Se le llama función , a la relación entre dos conjuntos, de tal manera que para cada “x”, correspond a un solo elemento de “y”.
Relación: x
y1 y2
Función: x
y
Pag. 181
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Regla: Para determinar si una gráfica es una función ó relación, basta con trazar una vertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de intersección. Es decir, si sólo toca un punto, se refiere a una función; si toca más de un punto se refiere a una relación. Ejem:
Relación
Función
Función Función
Relación
Relación
Clasificación de Funciones Cons tan tes : Las que no cambian. Ejem : f x 4 Lineales : Son de 1er grado. Ejem : f x 5x 2 Funciones Cuadráticas : Son de 2do grado. Ejem : f x x 2 2x 6 x Exponenciales : Donde la v ar iable está como exp onente. Ejem : f x 5 Logarítmicas : Donde exista log ó ln. Ejem : f x ln x
4.3 Función Logarítmica y exponencial: Es de la forma f ( x) y loga x ,
Form a lo garítm ica : y
a base
donde:
f ( x) y exponente
Forma exponencial : x ay
corresponde a:
loga x
x argumento
Ejem:
Al convertir 3 log4 x , en forma exponencial, obtenemos: x 43
Ejem:
Al convertir 2 logx 36 , en forma exponencial, obtenemos: 36 x2
Ejem:
Al convertir entonces:
Ejem:
3 2 x
3
64
x
6
x
6
3
logx 225 ,
27 x
3
en forma exponencial, obtenemos: 27
2
27
x
3
729 x
3
729
x
x2
9
Al convertir 2 logx 36 , en forma exponencial, obtenemos: 36 x2
Reactivos Unidad 4: 1. Sean la funciones f ( x ) x2 4x 12 y g( x ) x 6 la operación a)
x2
b) 2x 3
c) x 2
f ( x ) g( x )
resulta:
d) x 1
e) x 1
2. Sean la funciones f ( x ) x2 5x 6 y g(x ) x2 3x 10 la operación f ( x) g( x) resulta: a) 2x2 2x 4
b) 2x 4
c)
8x 16
d)
8x 4
e) 8x 16
Pag. 182
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 3. Si f ( x) x2 6 , el valor de f(-2) es: a) 10 b) 2
c)
4. Si f ( x) x3 4 , el valor de f(-1) es: a) 3 b) 2
c) 2
5. Para que valor de “x” la función f ( x) a) 2 6.
b)
x3
d) 4
e) 2
d) 5
e) 5
se indetermina: c) 3
2
Para que valores de “x” la función f ( x )
a) 4 y 4 7.
2
10
1
d)
2
e) 3
3
se indetermina:
2
x 64
b) 8 y 8
c) 2 y 2
1
d)
d)
5x
8
y
1 8
1
e)
e)
ln x
4
y
1 4
Una función lineal esta representada por: a)
2x
2
8
b)
3
c)
2x 5
x4
1 x
8. ¿Cuál de de las siguientes siguientes funciones es cuadrática? a)
b) 2x
5x 2
d) x 12
e)
x
2
5 4x
c)
2
3 x
2
4
2x 9
9. ¿Cuál de las siguientes funciones es exponencial? a) f ( x) x2 16
b) y= x2 9
d) g(x)= 52
e) h( x) 72x
10. El El dominio de la función f ( x )
x3 2
x 5x 6
a) Df x / x 2, 3 d) Df x / x 2, 2
b) Df x / x 1, 3 e) Df x / x 2, 3
11. El El dominio de la función f ( x )
a) d)
c)
Df x / x 2,3
x 1 2
x 6x 8
a) Df x / x 2, 4 d) Df x / x 2, 2 12. El El dominio de la función f ( x )
c) f(x)= ln 3x
b) Df x / x 2, 4 e) Df x / x 2, 4
c) Df x / x 2, 4
x 24
x
2
144
Df x / x 12, 6
b) e)
Df x / x 12, 12
13. El El dominio de la función f ( x )
Df x / x 12, 6
c)
Df x / x 6, 6
Df x / x 6, 4
4 2
x 25
a) Df x / x 25, x 25 d) Df x / x 5, x 4
b) Df x / x 5, x 5 e) Df x / x 4, x 5
c) Df x / x 50, x 50
Pag. 183
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 14. La forma exponencial de log x 25 2 es: a)
x
2
b)
25
25
2
c)
x
x
25
2
d)
2
25
x
e)
x
25
2
15. La forma logarítmica de 23 8 es: a) 3 log 2 8 b) 2 log 8 3
c) 8 log 2 3
d) 2 log 3 8
e) 3 log 8 2
16. El valor de “x” del log 4 64 x es: a) x 8 b) x 16
c)
x
d)
e)
x
17. El valor de “x” del log 3 81 x es: a) x 9 b) x 4
c)
x3
d) x 27
e)
x 81
18. Si log x 64 6 ¿Cuál es el valor de “x”? a) x 12 b) x 4
c)
x
2
d)
x
36
e)
x
8
19. Si log 3 x 2 ¿Cuál es el valor de “x”? a) x 8 b) x 4
c)
x
3
d)
x
2
e)
x
9
d)
x
4
e)
x 6
4
x
3
32
20. Si log 4 x a)
x
3 2
¿Cuál es el valor de “x”?
1
b)
8
c) x
x9
3 8
UNIDAD 5. GEOMETRÍA EUCLIDIANA 5.1 Ángulos Clasificación Básica Agudo : May or de 0o, pero menor de 90o. Ejem : 50o Ángulos Ángulos Re cto ct o : 90o. o o o Obtuso : May or de 90 , pero menor de 180 . Ejem : 120
0<α<90o Agudo
α=90o
Recto
90o<α<180o Obtuso
Se le llama án g u l o c o m p l em en t ar i o , son los ángulo cuya suma es igual a 90 o . Ejem: El complemento de 70 o es 20o , porque 70o 20o 90o Ejem: El complemento de 35 o es 55o , porque 35o 55o 90o Se le llama án g u l o s u p l em en t ar i o , los ángulo cuya suma es igual a 180 o . Ejem: El suplemento de 40 o es 140o , porque 40o 140o 180o Ejem: El suplemento de 135 o es 45o , porque 135o 45o 180o
Pag. 184
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 5.2 Conversión de grados a radianes y viceversa De grados a r adianes , se multiplican los grados por Ejem: Ejem:
180
y se simplifica.
7 70 18 180 180 12 120 120o a radianes: 120 18 180 180
70o a radianes:
70
De radianes a grados , se multiplican los radianes por
180
6 9
2 3
y se simplifica.
Ejem: Ejem:
1
a grados:
a grados:
2 3 4
180 180 90 o 2 2 3 4
180 540 135 o 4
Reactivos Unidad 5: 1. ¿Cuál es es el complemento complemento de 80º? a) 20º b) 10º
c)
120º
d)
100º
e)
60º
2. ¿Cuál es es el complemento complemento de de 25º? a) 155º b) 75º
c)
125º
d)
175º
e)
65º
3. ¿Cuál es es el suplemento suplemento de 30º? a) 70º b) 170º
c)
150º
d)
120º
e)
60º
4. ¿Cuál es es el suplemento suplemento de 115º? a) 25º b) 75º
c)
65º
d)
155º
e)
85º
5. ¿Cuál es la equivalencia de 150º a radianes? a)
6
b)
5
3
c)
5
3
4
d)
5
6
e)
5
3
6. ¿Cuál es la equivalencia de 72º a radianes? a)
3
b)
5
3
c)
2
5
2
d)
2
5
e)
5
3
7. ¿Cuál es la equivalencia de 330º a radianes? a)
11 9
8. Al convertir a)
4
2
3
150º
8
30
c)
11
6
d)
9
11
e)
6
11
315º
c)
115º
d)
330º
e)
275º
c)
120º
d)
130º
e)
75º
c)
125.2º
d)
157.5º
e)
175º
radianes a grados, se obtiene: b)
7
11
radianes a grados, se obtiene: b)
200º
10. Al convertir a)
7
300º
9. Al convertir a)
b)
60º
radianes a grados, se obtiene: b) 147.5º
Pag. 185
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A.
UNIDAD 6. TRIGONOMETRÍA 6.1 Teorema de Pitágoras Definición.- Aplicado Definición.- Aplicado para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa hipotenusa ( c ) es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos (a y b ).
A c
b C Ejem:
c 2 a2 b2
a
B
Encontrar la hipotenusa
A c
4
c
2
a2 b2
c
2
82 42
c
2
64 16
c
C Ejem:
8
B
80
c4 5
Encontrar el cateto faltante
A a2 c 2 b2
10
6 C
a
a2
102 62
a2
100 36
c
B
c
136
2
34
6.2 Funciones Trigonométricas Definición.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un triángulo rectángulo y son:
A Con respecto al ángulo A Con respecto al ángulo B
c
b C
a
c = hipotenusa a = cateto opuesto b = cateto adyacente
c = hipotenusa a = cateto adyacente b = cateto opuesto
B
entonces: Con respecto al ángulo A cat. opuesto sen A hipotenusa
a
c
b c
sec A
hipotenusa c cat. adyacente b
a b
cot A
cat. adyacente b cat. opuesto a
cat. adyacente
tan A
cat. opuesto cat. adyacente
hipotenusa c cat. opuesto a
cos A
hipotenusa
csc cs c A
Pag. 186
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. Con respecto al ángulo B cat. opuesto b sen B hipotenusa c cos B tan B
Ejem:
cat. adyacente hipotenusa cat. opuesto cat. adyacente
hipotenusa
csc B
a
sec B
c b
cot B
a
cat. opuesto
c b
hipotenusa
c
cat. adyacente cat. adyacente
a
cat. opuesto
a b
Encontrar las razones, seno, coseno y tangente con respecto al ángulo B, del siguiente triángulo:
A
sen B
cat. opuesto
hipotenusa
65
cos B
C Ejem:
7
65
cat. adyacente
tan B
B
4
7
hipotenusa
65
cat. opuesto cat. adyacente
4 7
Encontrar las razones, cosecante, secante y cotangente con respecto al ángulo A, del siguiente triángulo:
A csc cs c A 90
3
sec A
9
C
B
hipotenusa cat. opuesto
90
9
hipotenusa
cot A
90
cat. adyacente cat. adyacente cat. opuesto
3 3 9
1 3
6.3 Identidades Trigonométrica Tr igonométricass Definición.- Son las equivalencias existentes entre las razones trigonométricas y son: Recíprocas: sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1 sen
Cociente:
tan
Pitagóricas:
sen2 cos 1
cos
cot
cos
sen
tan2 1 sec2
cot2 1 csc2
Reactivos Unidad 6: 1. El valor de “x” del siguiente siguiente triángulo es: ¨ x
9
a) b) c) d) e)
20 15 21 16 14
12
Pag. 187
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 2. El valor de “x” del siguiente siguiente triángulo es:
a)
25
5
b) 9 c) 7 d) 3 e) 2
x
24
2 3
3. El valor de “x” del siguiente siguiente triángulo es:
a) 8
2 3
b) 8 c) 3 d) 4 e) 3
4 3
2
x 4. Una oficina de forma rectangular, rectangular, un lado mide mide 4m y su diagonal mide mide 5 m, ¿Cuánto mide el otro lado? a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2 5. Según la la figura, figura, la razón
7
, corresponde a la función :
10
a) sen b) cot c) sec d) cos e) tan
10
7
51
6. Según la figura, la razón :
17 8
, corresponde a la función:
17
15
8 7. Según la figura, la razón :
4 6 10
sec sen tan csc cos
, corresponde a la función:
14
a) b) c) d) e)
4 6
10 8. El valor de la expresión 1 (cos (cos 60°) es igual a: a) 2 b) 0.5 c) 1
a) b) c) d) e)
cot sec sen tan cos
d) 1.5
e) 0 Pag. 188
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 9. Según la figura, el valor de “x” corresponde a :
a) b) c) d) e)
10
30º
x
2 3 3 2 5 3 8 3 5
10. Según la figura, el valor de “x” corresponde a : 45º x
12
a) b) c) d) e)
10
a) b) c) d) e)
3 3
12 12
8 13
11. Según la figura, el valor de “x” corresponde a :
x 60º
3
3 2
2 3 3
4 5
12. ¿Cuál de las siguientes opciones recibe el nombre de tangente? a)
cat. adyacente
hipotenusa
b)
cat. opuesto
cat. opuesto
13. El El valor equivalente a sen a)
1
b)
2
14. El El valor equivalente a a)
2
1
15. La expresión
cos
a) sen
6
cat. opuesto hipotenusa
cat. adyacente
d)
hipotenusa
e)
cat. opuesto cat. adyacente
es:
2
c)
2
3
d)
1
e)
0
1
e)
2
d) sec
e)
cot
2
sec 60º es:
b)
2
c)
1
c)
2
2
d)
corresponde a la función: b) csc
c) tan
16. ¿Cuál ¿Cuál es el área de la siguiente s iguiente figura: 45º 6
2
a)
6 und
b)
20 und
2
c) 18 und2 d) 36 und2 6 2
e) 48 und2
Pag. 189
Guía para Examen Curso UNAM Lic. Jorge Galeazzi A. 17. ¿Cuál ¿Cuál es el perímetro del paralelogramo siguiente:
a) b) c) d) e)
30º
4
21 und 14 und 49 und 28 und 30 und
7
Respuestas a Reactivos de Matemáticas Unidad 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.
c b c d e a b a d c c d c e b d e b a e c a b e a d d a b b d a a a d c a a d c
Unidad 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41.
a a c e c c a b a c d a c c c c c c e a b e c c d b a b a d d c e e d d c c d a c
Unidad 3 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81.
d a b a e a c e a a e a e d a c d b d a a c e c b d a e a e a a b e c b d b b b e
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
a e c a d d e a e d d b b e c b c b d e a a a a d c e c a e
31. a 32. e 33. a 34. e 35. e 36. e 37. c 38. b 39. d 40. a 41. e 42. d 43. d 44. d 45. d 46. d 47. e 48. b 49. b 50. e 51. a 52. b 53. a 54. e 55. a 56. a 57. e 58. a 59. b 60. e
Unidad 4
Unidad 5
Unidad 6
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
c e a d c b b d e a c d b a a d b c e a
b e c c d d c b c d
b c d b a a a b c c a e a e d d e
Pag. 190
