UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA SECCIONAL CALI FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁLCULO DIFERENCIAL GUÍA DE TRABAJO No 2 TEMA: LÍMITES LATERALES Y CONTINUIDAD Profesor: Carlos Julio González N.
LÍMITE LATERALES Y CONTINUIDAD 2.1. LÍMITES LATERALES Objetivo: Calcular los límites laterales de funciones a trozos en un punto aplicando los teoremas básicos.
El que lim f ( x ) = L x →c
exista y el valor del límite, si existe, dependen del
comportamiento de f a ambos lados del número c. La situación es más simple en el caso de los límites laterales: el límite por la izquierda, que se puede imaginar como el número al que se aproxima f(x) cuando x tiende a c por la izquierda, y el límite por la derecha, como el número al que se aproxima f(x) cuando x tiende a c por la derecha. DEFINICIÓN. Definición del límite por la izquierda El límite de una función f(x) cuando x se aproxima a un número c por la izquierda es el número L, lo que se escribe como
lim f ( x ) = L
x→c−
si y solo si, para cualquier número ε > 0, no importa que tan pequeño sea, existe un número correspondiente δ > 0 tal que si c − δ < x < c , entonces f ( x) − L < ε
1
Límites laterales. Continuidad.
DEFINICIÓN. Definición del límite por la derecha El límite de una función f(x) cuando x se aproxima a un número c por la derecha es el número L, lo que se escribe como
lim f ( x ) = L
x→c +
si y solo si, para cualquier número ε > 0, no importa que tan pequeño sea, existe un número correspondiente δ > 0 tal que si c < x < c + δ , entonces f ( x) − L < ε
Ejemplo 1. Se define la función f como sigue
1 si f ( x) = − 1 si
x≥0 x<0
determine:
(a) lim+ f ( x ) , (b) lim− f ( x ) y (c) lim f ( x ) x→ 0
x→0
x→0
Solución: La gráfica de f es la siguiente: y 2
1
x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
Entonces se puede observar que: (a) lim+ f ( x ) = lim+ 1 = 1 , (b) lim− f ( x ) = lim− ( − 1) = − 1 x→0
x→0
x→0
x→ 0
y, por lo tanto, (c) lim f ( x ) no existe. x→ 0
Los límites laterales proporcionan un criterio simple para determinar la existencia del límite ordinario (también conocido como bilateral):
2
Límites laterales. Continuidad.
lim f ( x ) = L si y sólo si, lim− f ( x ) = L y lim+ f ( x ) = L x→c x→c
x→c
x 2 − 1 si x < 2 Ejemplo 2. Sea la función f ( x) = 1 2 x + 2 si x > 2 (a) Trace la gráfica de f y (b) determine los límites que existan: lim+ f ( x ) , x→2
lim− f ( x ) y lim f ( x ) . x→ 2
x→ 2
Solución: (a) La gráfica de la función es 7
y
6 5 4 3 2 1
x −3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1 −2
(b) Se determinan los límites: lim+ f ( x ) = 12 ( 2 ) + 2 = 3 ;
x>2
lim f ( x ) = ( 2 ) 2 − 1 = 3 ;
x<2
x→2
x→ 2−
y
En este caso se puede ver que tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha cuando x tiende a 2 es el valor 3. Entonces lim f ( x ) = 3 x→2
Se observa que el límite de esta función es 3 aunque la función no tenga imagen en x = 2, es decir no está definida en 2. Para calcular el límite de una función en un punto, no interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.
3
Límites laterales. Continuidad.
EJERCICIOS 2.1 x + 1 si x ≥ 0 1. Sea la función f ( x) = x − 1 si x < 0 (a) Trace la gráfica de f y (b) determine los límites que existan: lim+ f ( x ) , x→0
lim f ( x ) y lim f ( x ) .
x→ 0−
x→ 0
t + 4 si t ≤ −4 2. Sea la función f (t ) = 4 − t si t > −4 (a) Trace la gráfica de f y (b) determine los límites que existan: lim+ f (t ) , x→4
lim f (t ) y lim f (t ) .
x→ 4−
x→ 4
x2 si 3. Sea la función F ( x) = 8 − 2 x si
x≤2 x>2
(a) Trace la gráfica de F y (b) determine los límites que existan: lim+ F ( x ) , x→2
lim F ( x ) y lim F ( x ) .
x→ 2−
x→ 2
2 x + 3, si 4. Sea la función g ( x) = 2, si 7 − 2 x si
x <1 x =1 x >1
(a) Trace la gráfica de g y (b) determine los límites que existan: lim+ g ( x ) , x →1
lim g ( x ) y lim g ( x ) .
x →1−
x→1
x 2 − 4, si 5. Sea la función f ( x) = 4, si 2 4 − x si
x<2 x=2 x>2
(a) Trace la gráfica de f y (b) determine los límites que existan: lim+ f ( x ) , x→2
lim f ( x ) y lim f ( x ) .
x→ 2−
x→ 2
x 2 , si x ≤1 6. Sea la función g ( x) = x, si 1 < x < 4 4 − x si x≥4
4
Límites laterales. Continuidad.
(b) Determine los límites que existan: lim+ g ( x ) ,
(a) Trace la gráfica de g.
x →1
lim g ( x )
y
lim g ( x ) . x→1
(c) Determine los límites que existan: lim+ g ( x ) ,
lim g ( x )
y
lim g ( x ) .
(b) Determine los límites que existan: lim+ g ( x ) ,
x →1−
x→2−
x→ 2
x→2 x→4
lim g ( x ) y lim g ( x ) .
x→4−
x→ 4
7. Sea la función f ( x) = x − 5 (a) Trace la gráfica de f y (b) determine los límites que existan: lim+ f ( x ) , x →5
lim f ( x ) y lim f ( x ) .
x→5−
x→ 5
8. Sea la función f ( x) = 3 + 2 x − 4 (a) Trace la gráfica de f y (b) determine los límites que existan: lim+ f ( x ) , x→2
lim f ( x ) y lim f ( x ) .
x→ 2−
x→ 2
9. Sea la función g ( x) = 2 x − 3 − 4 (a) Trace la gráfica de f y (b) determine los límites que existan: lim + g ( x ) , x→ 3
2
lim − g ( x ) y lim g ( x ) . 3
x→ 3
x→
2
2
10. Calcule los límites que existan x2 x2 10.1. lim+ 10.2. lim− x→2 x + 2 x→2 x + 2 10.4.
lím+
x→ −5
10.7. lim+ x→0
x+5 x+5
10.5. lim
1+ x
10.8. lim
x → −2
x →1
x x−2
10.3. lim x→2
10.6. lim x →1
x−2 x−2 x3 −1 x3 −1
x −x
1− x
5
Límites laterales. Continuidad.
2.2. CONTINUIDAD Objetivo: Analizar y determinar la continuidad de una función en un punto y en un intervalo.
En varios ejemplos y ejercicios de la sección anterior se observa que lim f ( x ) x→ c
puede existir aunque f no esté definida en el número c. Ahora se prestará atención a los casos en los que el número c esté en el dominio de f. DEFINICIÓN. Continuidad en un punto Una función f es continua en un número c si y solo si se satisfacen las siguientes tres condiciones: (i) f(c) está definida, (ii) lim f ( x ) existe y x→ c
(iii) lim f ( x ) = f (c ) . x→c
Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en c, entonces se dice que la función f es discontinua en c.
x2 − 4 ? x−2
Ejemplo 1. ¿En qué puntos es continua la función f ( x) = Solución: La gráfica de la función es 5
y
4 3 2 1
x −3
−2
−1
1
2
3
4
−1 −2
Se observa que en el dominio de la función x ≠ 2, por lo tanto, f(2) no está definida en la función y la condición (i) no se satisface. No obstante, el límite (x − 2 )(x + 2 ) = lim (x + 2 ) = 4 x2 − 4 existe en x = 2: lim = lim x→2 x − 2 x→2 x→2 x−2 Por lo tanto, la función es continua en todos los reales excepto en x = 2. Es decir, en el conjunto R – {2} = (– ∞, 2) ∪ (2, ∞).
6
Límites laterales. Continuidad.
Ahora, es posible redefinir la función en el número x = 2, de tal manera que la nueva función sea continua: x2 − 4 G ( x) = x − 2 , x ≠ 2 a x=2 La elección de a = G(2) puede hacerse de tal manera que G sea continua en 2. En este ejemplo a = 4. En este caso, se dice que la discontinuidad es evitable (o removible).
Ejemplo 2. Encuentre todos los puntos en los que la función x−2 F ( x) = x − 2 , x ≠ 2 es continua. 3 x=2 Solución: Para obtener la gráfica de la función de una manera fácil se aplica la definición del valor absoluto y se tiene x−2 si x − 2 > 0 x−2 − ( x − 2 ) si x − 2 < 0 F ( x) = x − 2 x=2 3
que se puede escribir como
1 si x > 2 F ( x) = − 1 si x < 2 3 x=2
La gráfica de la función es y 4
3
2
1
x −1
1
2
3
4
−1
−2
7
Límites laterales. Continuidad.
(i) Se observa la función tiene un “salto” en x = 2. Pero f(2) = 3 la función está definida en x = 2. La función satisface la condición (i). x+2 − (x − 2 ) (ii) lim F ( x ) = lim = lim 1 = 1 y lim F ( x ) = lim = lim (− 1) = −1 x→2 x→2 x + 2 x→2 x→2 x→2 x→2 x−2 Entonces, lim F ( x ) no existe. La función no satisface la condición (ii). +
+
+
−
−
−
x→ 2
Por lo tanto, F es discontinua en x = 2. En otras palabras, la función es continua en el conjunto R – {2} = (– ∞, 2) ∪ (2, ∞). En este caso, se dice que la discontinuidad es inevitable (o esencial).
EJERCICIOS 2.2 1. Determine si cada una de las siguientes funciones es continua o no en el punto x = c indicado. En caso de no serlo, determine si la discontinuidad es esencial o evitable (removible). 2 1.1. f ( x) = x 3 − 5 x + 1 ; c = 2. 1.2. g ( x) = ( x − 1) + 5 ; c = 1. x−9 ; x −3 x 2 + 4 1.5. f ( x) = 3 x x 2 + 4, 1.7. f ( x) = 5, x3
1.3. f ( x) =
si si
x<2 ; c = 2. x≥2
si
x<2
si si
x = 2 ; c = 2. x>2
2− x+2 x 2 x + 5 si 1.6. g ( x) = 3 si x x 2 + 5, si 1.8. g ( x) = 10, si 1 + x 3 si
x ≠ −1 ; c = – 1. x = −1
1 si 1.10. g ( x) = x + 1 0 si
c = 9.
x2 −1 1.9. f ( x) = x + 1 si − 2 si
1.4. f ( x) =
; c = 0.
x<2 ; c = 2. x≥2 x<2 x = 2 ; c = 2. x>2 x ≠ −1
; c = – 1.
x = −1
2. Encuentre todos los puntos en los que la función f es continua. x−2 3x − 5 x2 − 9 2.1. f ( x) = 2 2.3. f ( x) = 2.2. f ( x) = x−2 2x − x − 3 x−3 2.4. f ( x) =
x 3
2.7. f ( x) =
2.5. f ( x) =
x−4 x+9
2.8. f ( x) =
x+9
3 x − 1 si 2.10. f ( x) = 2 4 − x si
x −1 x2 −1 x x +1 2
2.6. f ( x) =
2.9. f ( x) =
x 1− x2 9−x x−6
x<2 x≥2
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Límites laterales. Continuidad.
ax 2 − 3 si f ( x) = ax + 2 si continua en todo R.
x≤2 . Encuentre un valor de a para el cual f sea x>2
ax 2 si 4. Sea f ( x) = 3ax − 2 si es continua en R.
x <1 . Determine todos los valores de a para los que f x ≥1
3. Sea
5. Sea
si x ≤ −1 4 x, f ( x) = ax + d , si − 1 < x < 2 . Obtenga valores de a y d para los que f − 5 x si x≥2
sea continua en R. 6. Suponga que a los t minutos r(t) metros es el radio del flujo circular de petróleo que se derrama por una fisura de un tanque y 4t 2 + 20 si 0 ≤ t ≤ 2 r (t ) = . 16 t + 4 si t > 2 Demuestre que r es continua en 2.
BIBLIOGRAFÍA • LEITHOLD, Louis. El Cálculo. Séptima Edición. Editorial Oxford University Press. México, 1998. • SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo Con Geometría Analítica. Segunda Edición. Grupo Editorial Iberoamérica. México, 1994. • LARSON, Roland; HOSTETLER, Robert y EDWARDS, Bruce. Cálculo. Vol. 1. Sexta edición. Editorial Mc Graw-Hill. Madrid, España, 1999. • BRADLEY, L. Gerald y SMITH, Kart J. CÁLCULO de una variable. Volumen 1. Editorial Prentice may, Madrid, 1998. • PURCELL, Edwin J. Cálculo Con Geometría Analítica. Editorial Prentice Hall. México, 1995.
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