Guía Ejercicios Resueltos Hidrodinámica (Caudal y Bernoulli)

Colegio San Mateo Refuerzo: Física General Esteban A. Rodríguez M.

Guía de Ejercicios Resueltos Física General “Hidrodinámica” Los ejercicios explicados en este documento son base para la prueba, la mayoría de ellos son copiados desde el libro. Aquí se detalla el procedimiento en detalle para llegar al resultado requerido. 1. El agua al interior de una manguera se comporta aproximadamente como un fluido ideal. Consideremos una manguera de 2 cm de diámetro interno, por la que fluye agua a 0.5 m/s. a) ¿Cuál es el gasto de agua que sale de la manguera? Datos v1 = 0.5 m/s d1 = 2 cm Q = x m3/s El gasto (volumen de agua por segundo) se traduce matemáticamente como:

Q A1 ·v1 Como es el producto del área por la velocidad, y una manguera tiene una forma circular en su interior, utilizaremos el área de una circunferencia, y nuestra ecuación quedaría así:

Q

·r12 ·v1

Como poseemos el diámetro de la manguera que está en centímetros, debemos calcular su radio y pasarlo a metros de la siguiente manera:

d 2 2 cm r 2 r 1cm r

Efectuando la transformación:

1cm 0.01m r

0.01m

Colegio San Mateo Refuerzo: Física General Esteban A. Rodríguez M. Y finalmente para calcular el gasto volvemos a nuestra ecuación:

Q

·r12 ·v1

Ahora tan solo reemplazamos los datos

Q

·(0.01m)2 ·0.5

Q 1,57·10

4

m s

m3 s

2. Un recipiente para guardar agua, abierto a la atmósfera por su parte superior, tiene un pequeño orificio en la parte inferior, a 6 m por debajo de la superficie del líquido. (a) ¿Con qué rapidez sale agua por el orificio? (b) Si el área del orificio 1.3 cm 2, ¿cuál es el gasto de agua que sale por el recipiente? Datos(a) Altura del recipiente = X m Altura debajo del extremo del recipiente = 6 m Presión = Atmosférica = 10125 Pa Esta clase de ejercicios requieren de mayor trabajo algebraico más que nada, y como relaciona presiones, y alturas podremos utilizar la Ecuación de Bernoulli, que relaciona este tipo de variables, que es la siguiente:

P1 dgh1

dv12 2

P2 dgh2

dv22 2

Antes de realizar cualquier reemplazo es preciso (y así es por lo general), se trabajan con las letras para llegar a la expresión más simple posible de manera que sólo trabajaremos con letras inicialmente.

P1 dgh1

dv12 2

P2 dgh2

dv22 / P 2

Como el fluido está expuesto a exactamente la misma presión (P 1 = P2) podemos eliminar las presiones restando, reduciendo la expresión a lo siguiente:

dgh1

dv12 2

dgh2

dv22 2

Podemos factorizar por la densidad del fluido (que como se trata del mismo fluido es la misma también), quedando la expresión como:

d(gh1

v12 ) d(gh2 2

v22 ) 2

Y esa densidad dividirla en ambos lados para eliminarla definitivamente:


gh1

v12 2

gh2

v22 2

Amplificamos por 2 para eliminar las fracciones y nuestra expresión quedará así:

2gh1 v12 2gh2 v22 Ahora tenemos una expresión mucho más simplificada, pero hay que razonar ciertos datos, como por ejemplo la velocidad inicial de nuestro fluido. Si el fluido está dentro de un contenedor, éste estará en reposo, y por lo tanto su velocidad inicial será cero, quedando la expresión más reducida aún:

2gh1

v12

2gh2 v22

2gh1 2gh2 v22 Ahora viene el procedimiento clave, que es despejar definitivamente la velocidad al salir del recipiente, pero tenemos el inconveniente de que no sabemos la altura inicial, por lo tanto modificaremos un poco la ecuación bajo el siguiente razonamiento:

6 metros X metros

De esta forma podríamos decir que la altura efectiva que ese encuentra el orificio es a (x-6) metros. Por ende nuestra altura inicial sería X y nuestra altura del orificio es (x-6) metros, donde modificaríamos la expresión para que quede de la siguiente forma:

2gh1 2g(h1 6) v22 Multiplicamos las expresiones para llegar a lo siguiente:

2gh1 2gh1 12g v22 Ahora podemos restar nuestra expresión 2gh1 en ambos lados para anularla, hacemos el trabajo algebraico correspondiente y nos quedará que:


2gh1 2g(h1 6) v22 2gh1

12g v22 / 12g

2gh1

12g v22 / 12g v2 Ahora que tenemos esa expresión bastará reemplazar la gravedad por su valor y obtener el resultado final de la expresión:

12·9.8 v2 10.8

m v2 s

Para calcular lo referente a la pregunta b, ahora que tenemos la velocidad de salida es mucho más fácil para ello contamos con lo siguiente: Datos v = 10.8 m/s Á = 1.3 cm2 Q=x Lo primero será transformar el área a metros, porque se encuentra en centímetros, de esta forma llegamos a la siguiente equivalencia:

1cm2

0.0001m2

1.3cm2 1.3·0.0001m2 Y para nuestra definición de caudal, o gasto que es:

Q A·v Reemplazamos y tenemos que

Q 1.3·0.0001m2 ·10.8

m3 Q 1.4·10 s 3

m s

Colegio San Mateo Refuerzo: Física General Esteban A. Rodríguez M. 3. El agua fluye con un gasto de 6 m3/min, a través de una pequeña abertura en el fondo de un gran tanque cilíndrico, que está abierto a la atmósfera en la parte superior. El agua del tanque tiene 10 m de profundidad. (a) ¿Con qué rapidez sale el chorro de agua por la abertura? (b) ¿Cuál sería el gasto de agua de la fuga de agua, si se aplica una presión adicional equivalente a ¾ de la presión atmosférica? Datos (a) Q = 6 m3/min P1 = Atmosférica P2 = Atmosférica h1 = x m v1 = 0 m/s v2 = x m/s h2 =(x-10) m Analicemos los datos. Según el enunciado, se dice que el fluido está sometido a la presión atmosférica, es decir ni una fuerza externa actúa sobre este fluido ni cuando cae desde el agujero. Por ende la presión en ambos lados es la de la atmósfera (10135 Pa). Como el fluido está en un estanque, éste se encuentra quieto, por lo tanto su velocidad inicial es 0 m/s. Ahora por el tema de las alturas, tenemos un problema similar al del problema anterior. No sabemos la altura inicial, por ende quedaría algo como esto:

10 metros X metros

Es decir, nuestra altura que no conocemos (h1), y nuestra altura que sabemos que está bajo la superficie del fluido es decir (h1-h3), a esta altura (10 m), le denominaremos h3, para que cuando trabajemos algebraicamente no utilicemos números en un principio.


Para empezar, iremos a la ecuación general de la hidrodinámica, es decir, la ecuación de Bernoulli.

dv12 2

P1 dgh1

P2 dgh2

dv22 2

Como deducimos anteriormente, la presión es igual y podemos anularla con una resta:

dv12 2

P1 dgh1 dv12 2

dgh1

P2 dgh2

dgh2

dv22 / P 2

dv22 2

Podemos factorizar las densidades, y dividirlas para eliminarlas definitivamente:

v12 ) d(gh2 2

d(gh1

gh1

v12 2

v22 )/ : d 2

v22 2

gh2

Como dijimos que nuestra velocidad inicial era 0 m/s, eliminaremos el término v21.

gh1 gh2

v22 2

Amplificando por dos para eliminar las fracciones:

2gh1 2gh2 v22 Ahora dedujimos que nuestra h2 estaba definida como (h1-h3). Reemplazando en la ecuación quedaría así:

2gh1 2g(h1 h3 ) v22 2gh1 0

2gh1

2gh3 v22 / 2gh1

2gh3 v22 / 2gh3

2gh3 v22 / 2gh3

v2

Tan solo resta reemplazar:


2·9.8·10 v2 m 14 v2 s Para entender lo que dice la pregunta B hay que tener en cuenta lo siguiente: (b) ¿Cuál sería el gasto de agua de la fuga de agua, si se aplica una presión adicional equivalente a ¾ de la presión atmosférica? Evidentemente, a un fluido no le podremos aplicar una presión extra al momento de la salida del recipiente, por ende se le aplica al momento de estar en el recipiente. Es lógico que el fluido en esta ocasión salga más rápido, tal como vemos por ejemplo en una jeringa que cuando oprimimos el émbolo sale más agua a mayor velocidad. Para empezar consignaremos los datos: Datos Q = 6 m3/min => 0.1 m3/s P1 = P1 + ¾ P1 = 7/4 P1 d = 1000 kg/m3 h1 = x m h2 = (h1-h3) g = 9.8 m/s2 Para empezar, utilizaremos la ecuación general para los fluidos, es decir, una vez más recurriremos a la Ecuación de Bernoulli.

P1 dgh1

dv12 2

P2 dgh2

dv22 2

Esta vez, no podremos eliminar las presiones, la razón es que las presiones son distintas en cada lugar, por ende no se cancelan. La consideración en cuanto a la velocidad inicial, es que al estar en el recipiente no hay velocidad inicial, quedando la expresión así:

P1 dgh1

dv12 2

P1 dgh1

P2 dgh2

P2 dgh2 dv22 2

dv22 2


Con los datos que obtuvimos en la pregunta anterior (A), llegamos a la conclusión de que la altura 2, estaba definida por (h1-h3). Reemplazaremos en nuestra ecuación.

P1 dgh1 P1

dgh1

dv22 2 dv22 dgh3 / 2gh1 2

P2 dg(h1 h3 ) P2

dgh1

Cancelamos nuestras alturas tal como lo hicimos en el problema anterior, y la expresión queda de la siguiente forma:

P1 P2 dgh3

dv22 2

Haremos el trabajo pertinente para llegar a despejar la velocidad final:

P1

dv22 /·2 2 2dgh3 dv22 / 2P2 2dgh3

P2 dgh3

2P1 2P2

2P1 2P2 2dgh3 dv22 / : d 2P1 2P2 2dgh3 v22 / d 2P1 2P2 2dgh3 v2 d

Ahora reemplazamos nuestros datos en la ecuación resultante:

7 kg m 2· ·101325Pa 2·101325Pa 2·1000 3 ·9.8 2 ·10m 4 m s kg 1000 3 m

18.65

v2

m v2 s

Ahora poseemos la velocidad, pero necesitamos el gasto que esta realiza. Sabemos que el caudal, gasto o flujo también llamado, es el producto del área y la velocidad, pero desconocemos el área.


Para resolver este problema, habíamos obtenido en un principio, que la velocidad expuesta a presión atmosférica era de 14 m/s en la pregunta A, y que el caudal que tenía era 0.1 m3/s. Como el área es la misma pero la velocidad es distinta primero despejaremos el área que necesitamos.

Q A·v / : v Q A v Reemplazando:

m3 s A m 14 s 7.14·10 3 m A 0.1

Ahora que poseemos nuestra área, estamos en condiciones de calcular el caudal que hace nuestra velocidad con presión modificada, como dice el enunciado de nuestro problema.

Q A·v Q 7.14·10 3 m2 ·18.65 Q 0.1332

m s

m3 s

Y ahí tenemos nuestro caudal, en el solucionario del libro, este sale expresado como m3/min, para llegar a esta unidad de medida tan solo amplificamos por 60 segundos quedando la expresión así:

m3 60 /· s 60 0.1332·60m3 Q 60 s 7.99m3 8m3 Q 1min min Q 0.1332


Consejos Útiles Para realizar los ejercicios de física, normalmente se exige de una mayor comprensión de la lógica del problema para poder emplear la ecuación correspondiente, una sola fórmula puede derivar en muchas más, en ese sentido memorizar una y otra ecuación carece de sentido. Los ejercicios en un inicio deben ser trabajados literalmente, de esa forma cometemos menos errores a la hora de despejar números, y las expresiones se hacen más amigables. Este método es realmente útil para simplificar las expresiones y para cuando tenemos más de una incógnita en una misma ecuación, que por lo general se van cancelando mientras transcurre el trabajo, además podemos mejorar el trabajo algebraico que necesita entrenamiento. Al final todo este procedimiento, es habitual reemplazar todos los datos y operar de manera fácil y segura. Habitualmente los ejercicios requieren de diagramas y dibujos, esto ayuda mucho a la hora de razonar lógicamente. La recomendación es siempre trabajar con las unidades del Sistema Internacional de Medida, dado que la mayoría de las ecuaciones trabajan en esta especie de “lenguaje” para las unidades. Por sobretodo, saber que la física no es tan solo una cuestión que sea netamente de matemáticas. Las matemáticas en la física son el auxiliar, el lenguaje en que podemos traducir la lógica, pero todo nace desde las deducciones e inferencias para empezar el trabajo.

Guía Ejercicios Resueltos Hidrodinámica (Caudal y Bernoulli)

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