Guía de Técnicas Experimentales Para Laboratorios de Física - Adames, Miguel Angel - 1ed

Guía de Técnicas Experimentales para Laboratorios de Física 1992 Angel Chaparro

2004

Bernardo Gómez Raúl Panqueva

Miguel Angel Adames

Jorge Rangel

Ricardo Bonilla

Benjamín Oostra

Juan David Lizarazo

Edgar Benavides

Juanita Lopez

Jorge Galan Juan Pablo Negret

Departamento de Física Agosto 2004

www.elsolucionario.net


Índice general Introducción

v

1. Instrumentación para el Laboratorio de Mecánica

1

1.1.

Medidas de Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.

Medidas de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2. Técnicas de Medición

7

2.1.

Medición de Longitudes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.

Medición de Tiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3.

Medición de Velocidad y Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4.

Medición de Masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.5.

Medición de Volúmenes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.6.

Medición de Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3. Análisis de Datos

11

4. Notas sobre Cálculo de Errores

15

4.1.

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4.2.

Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4.3.

Determinando Incertidumbres Experimentales Debidas a Errores Aleatorios

. . . . . . . .

16

4.4.

Valor Medio ( µ) y Desviación Estándar ( σ )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.5.

Propagación de Errores

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

5. Gracando los Datos Grácas y Análisis Gráco

23

5.1.

Grácas Logarítmicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

5.2.

La Recta en Grácas log-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

5.3.

Grácas Semilogarítmicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

5.4.

La Línea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

5.5.

Regresión Lineal

32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii


ÍNDICE GENERAL

iv


Introducción Objetivos El curso de laboratorio de física está diseñado para que los estudiantes apliquen de forma practica los conceptos e ideas abordadas en el curso magistral y tengan una aproximación experimental de los principios ahí expuestos. De la misma forma se pretende que los estudiantes se familiaricen con el método experimental, a medida que comprueban teorías, miden variables, constantes físicas y corroboran relaciones. Se pretende despertar en el estudiante la curiosidad cientíca de forma rigurosa y organizada, al mismo tiempo que se vuelven críticos de las experiencias planteadas. Se quiere nalmente que aprendan y se acostumbren a describir, justicar, argumentar y concluir sobre los resultados obtenidos en cualquier empresa, en este caso una experiencia cientíca.

Metodología En grupos de dos estudiantes se abordará una experiencia que se realizará y analizará en el transcurso del laboratorio. Para esto se siguirán los planteamientos de las guías que los estudiantes tendrán con anterioridad. El estudiante debe preparar adecuadamente su laboratorio, estudiando la guía y estructurando un marco teórico especíco a la experiencia que se va a abordar. Durante la clase cada grupo montará su experiencia, realizará las mediciones necesarias y analizará sus resultados. El análisis de estos datos se lleva a cabo con la ayuda de los conceptos físicos expuestos en el marco teórico, mediante la realización de grácas y con la ayuda de cálculos estadísticos, de la misma forma se espera que el estudiante concluya y sea capaz de extraer las ideas principales planteadas en la experiencia. Cada grupo deberá contar con un cuaderno donde redacte el informe correspondiente a la práctica. En este cuaderno se consignará toda la información pertinente al experimento.

Objetivos. Marco teórico. Esquema del montaje. Análisis cualitativo Análisis cuantitativo. Conclusiones.

El informe será entregado al nal de cada laboratorio y el profesor está comprometido a traer a la siguiente clase el cuaderno con el informe corregido.

v


Introducción

Normas generales El estudiante es responsable de tener los conocimientos necesarios para realizar adecuadamente el laboratorio. Cada uno de los informes realizados deberá ser rmado por ambos integrantes del grupo al entregar el cuaderno, esto con el n de comprobar la autoría del mismo. En el caso que un grupo este incompleto y alguien deba realizar la experiencia junto con otro grupo los tres integrantes rmarán el informe. En cualquier caso todos los cuadernos deben ser entregados al profesor al nalizar la práctica. La nota nal del curso se calcula como el promedio de todos los laboratorios menos uno, esto dará el 80 % de la nota nal del curso. Habrá igualmente un examen nal que será el 20 % restante para calcular la nota nal. Todos los estudiantes al nalizar el semestre deben haber realizado 12 prácticas de laboratorio. En el caso de haber faltado a una práctica, habiendo presentado la escusa pertinente y haber sido aceptada por el profesor, esta se podrá recuperar al nal del semestre durante el periodo de exámenes nales. Tres ausencias injusticadas a los laboratorios será causal de perdida de la materia con la nota mínima de 1,5. Toda ausencia deberá ser entonces justicada por escrito. El estudiante no podrá ingresar al laboratorio después de 15 minutos de la hora jada para el inicio de la práctica y no se permite la entrada, sin autorización, de personas ajenas a esta. Es importante recodar que el estudiante se hace responsable por el material puesto a su disposición durante el laboratorio.

Las guías Las guías de los laboratorios están enfocadas de manera tal que el estudiante no sólo realice una práctica de laboratorio siguiendo un procedimiento experimental sino que comprenda el contexto en el que se realiza la experiencia entienda por qué se realiza el montaje qué se propone hacer y cómo con él se pueden cumplir los objetivos. Dentro de esta losofía de entender antes que simplemente interactuar con los equipos, las guías cuentan con un numeral de análisis cualitativo, en el cual el estudiante describe la dinámica que observa y la justica con argumentos físicos.

Para un adecuado desarrollo de los laboratorios los estudiantes deberán preparar con anterioridad la guía del laboratorio, esto es: leerla, visualizar la experiencia que va a realizar, entender la metodología y el procedimiento experimental y armar un marco teórico referente a la experiencia. Para la elaboración de este marco teórico la guía centra al estudiante en los conceptos necesarios para cada experiencia, de esta forma no se aleja del tema y se limita a lo importante. En el marco teórico se le plantea de vez en cuando inquietudes y preguntas puntuales que serán de gran importancia para el análisis y desarrollo del laboratorio. El estudiante debe dar entonces respuesta a estas preguntas como ejercicio adicional a la redacción del marco teórico. De igual forma en el marco teórico se le puede pedir al estudiante que demuestre una relación o deduzca una fórmula en particular.

El laboratorio como tal está dividido en dos partes: la primera parte consta de un análisis cualitativo y la segunda parte de un análisis cuantitativo. En la primera parte se quiere que el estudiante se familiarice con su montaje, realice el experimento sin necesariamente tomar datos, y describa, explique y justique con argumentos físicos la dinámica del sistema. En la segunda parte el estudiante tomará datos de su experimento y realizará el análisis respectivo. Tanto en la parte cualitativa como cuantitativa el estudiante es guiado en su razonamiento mediante procedimientos especícos del equipo, planteándole preguntas e

vi


Introducción

inquietudes, solicitándole un cálculo en particular, etc.

Finalmente la guía recuerda que es importante extraer conclusiones de toda la experiencia. En este punto se deja que el estudiante realice por su cuenta la abstracción de las ideas importantes desarrolladas en la práctica y redacte sus propias conclusiones.

Un punto importante a tener en cuenta en el manejo de las guías de laboratorio es que el numeral de procedimiento experimental no es un punto que el estudiante deba resolver, es un punto informativo de como se sugiere que se manipulen los equipos y se lleve a cabo la toma de datos cuando esta sea necesaria.

Los informes Los informes se redactan según las pautas que plantea la guía del laboratorio y las pautas que pueda establecer el profesor durante la práctica. Aquí se quiere presentar al estudiante unas de estas pautas como por ejemplo: la forma de consignar sus datos, realizar las grácas, calcular las variables pertinentes, hacer el cálculo de error, como comentar y analizar los datos resultados de sus cálculos, dibujar las grácas.

Hay que tener en cuenta que un informe debe estar redactado de forma que cualquier persona sea capaz de entender qué se midió, cuál fue el análisis de dicha medida y qué conclusiones se extraen de dicho análisis. Por esta razón la información debe estar presentada y explicada en forma clara.

De todas las tomas de datos se debe hacer una tabla que contenga dicha información, esta tabla debe traer un título o una explicación de qué tipo de información contiene. En las columnas o las de la tabla se debe especicar las unidades de la variable que se está midiendo junto con su incertidumbre. Puede resultar cómodo en la misma tabla, en columnas adicionales, consignar la información de un cálculo realizado con dicha variable. En este caso no es necesario escribir de forma explícita en el informe para cada dato el cálculo matemático que se realizó. Antes de la tabla o después de esta se puede dar un ejemplo de cómo se calcularon las columnas adicionales con alguno de los datos. Finalmente recordar siempre utilizar el número de cifras signicativas pertinente para cada variable, ya que la tendencia es a consignar todas las cifras que la calculadora nos proporciona (ver guía de técnicas experimentales).

Sobre cada una de las tablas se debe realizar un análisis que indique que información se extrae de los datos y cálculos que se hicieron. Para poder realizar este análisis normalmente se busca una tendencia en los datos o el cálculo de un promedio. Hay que tener claro, qué se busca: si los datos medidos o calculados debieran en teoría ser el mismo, se busca un promedio y una dispersión sobre este valor, si los datos describen una tendencia se realiza sobre estos una regresión que nos indique cuál es la relación entre estas variables. En el caso de una regresión los datos importantes son las constantes que acompañan a las variables

x

e

y.

Estas constantes se relacionan por lo general con constantes físicas dadas por el modelo

que describe el fenómeno. Hay que tener presente que no se realiza siempre una regresión lineal, los datos pueden tener un comportamiento en forma de potencia o logarítmica. Para poder identicar que tipo de regresión se realiza una gráca. La gráca da la tendencia y sugiere el tipo de regresión a hacer sobre los datos, para esto es necesario estar entonces familiarizado con la forma típica de las grácas lineales, de potencia, logarítmicas, exponenciales, de la forma

1 x.

Acerca de las grácas es importante: Nombrar los ejes, establecer claramente la escala que tiene cada uno de ellos y anotar sus unidades. Al igual que para las tablas, la gráca debe traer un título o una explicación del tipo de relación que se quiere representar. Cuando una gráca representa una tendencia

vii


Introducción

se puede dibujar la mejor curva que una la mayoría de puntos y deje tantos por debajo de ella como por encima, casi nunca se unen todos los puntos por medio de rectas. Hay que recordar que los puntos sobre la gráca son producto de mediciones que tienen una incertidumbre, la forma de representar esta incertidumbre es trazando barras de error. Una barra de error tanto en

x

como en

y

es del tamaño de la

incertidumbre de la medida. Si el punto, que representa un dato, es producto de una sola medida, la barra de error será del tamaño de la incertidumbre en la medida, si el dato se tomó varias veces, la barra de error será del tamaño de la desviación estándar del cálculo del promedio sobre la raiz cuadrada del número de veces que se hizo la medida. En el caso que la incertidumbre sea muy pequeña y no se pueda representar sobre la gráca no se dibuja la barra de error asociada a esa variable (ver guía de técnicas experimentales).

Luego de tabular los datos, calcular promedios y desviaciones estándar, o de hacer la gráca y calcular la regresión numérica sobre los datos, normalmente se procede a interpretar los resultados obtenidos. Esta parte siempre se recuerda en las guías como: Comente y analice sus resultados. Al solicitar esta información se quiere que se analicen los datos según lo que se está calculando o buscando. Si se calculó un promedio comentar si el valor está dentro de un rango válido para el experimento, calcular el error relativo y comentarlo: si es grande o pequeño, si hace del valor medido o calculado un valor preciso o impreciso, etc. (ver guía de técnicas experimentales). Si se hizo una regresión numérica extraer de las constantes de la función que describen la tendencia alguna relación física: Los datos producto de una regresión se relacionan usualmente con alguna variable física o sirven para corroborar la teoría, se espera entonces que se comenten y analicen desde este punto de vista estos datos. En caso que uno de estos valores calculados se pueda determinar teóricamente o se conozca su valor verdadero se calcula un error absoluto. Nuevamente se comenta este resultado diciendo si el valor obtenido es exacto o inexacto y cuales pueden ser las causas de esta inexactitud, si se pueden suprimir o disminuir, etc. Si el valor era el valor estimado o no parece tener relación y por qué.

Es importante tener en cuenta que cada vez que una idea se proponga para explicar el comportamiento de una variable o la dinámica del fenómeno es necesario sustentarla y justicarla con argumentos físicos. Esto quiere decir que si de los datos se deduce una relación entre las variables, esta misma relación debe poderse explicar mediante relaciones de tipo físico entre los diferentes sistemas que están interactuando. Para sustentar las ideas se utilizan entonces conceptos físicos como fuerza, acción - reacción, potencial, aceleración, energía, disipación, conservación, superposición, condiciones de frontera, etc. Finalmente se espera que de las tablas, las grácas y los cálculos salgan conclusiones parciales que indiquen que tan bien se está comprobando la teoría o que tanto se está uno acercando a los objetivos propuestos. Este tipo de conclusiones se pueden decir a medida que se desarrolla el laboratorio y no necesariamente dejarlas para el nal, de esta forma no se olvidan ideas ni detalles muy especícos a los datos medidos. En las conclusiones en cambio se espera que se resuman las principales ideas que se abordaron el el laboratorio junto con las conclusiones parciales, se concluya acerca de los objetivos propuestos y de la precisión y exactitud de los resultados. En las conclusiones debe enfocar sus resultados hacia la explicación física del fenómeno observado, hacer referencia a conceptos fundamentales de la física como por ejemplo leyes de conservación de momento o energía. Es importante recordar que no se pueden concluir ideas que no sean reejo de los datos que se midieron, aún si así debió ser. En este caso se puede antes que concluir redactar una discusión y analizar lo que se esperaba frente a lo que se obtuvo.

Sugerencias de procedimiento En cada una de las guías de laboratorio se plantea la metodología a seguir para lograr los objetivos planteados y se sugiere un procedimiento experimental para la manipulación de los instrumentos. Este procedimiento experimental es en sí una sugerencia, así que el estudiante puede realizar las variaciones que considere necesarias, pertinentes o que mejor se acomodan a su forma de trabajo. En cualquier caso se espera que el estudiante analice su experimento antes de realizar alguna modicación y utilice en todo

viii


Introducción

momento su sentido común. Es claro que siempre podrá solicitar ayuda, consejo o aprobación del cambio que desea realizar. Se recomienda ser en todo caso muy meticuloso en su procedimiento. El procedimiento experimental está redactado con las manipulaciones necesarias para montar el sistema y realizar la toma de datos que se consideró eran ecientes y prácticas, sin embargo es necesario que el estudiante establezca claramente, antes de interactuar con el montaje, que es lo que quiere e imagine la mejor forma de realizar las medidas necesarias.

Estas son algunas recomendaciones que pueden ayudar a volver eciente la toma de datos:

Leer toda la guía antes de empezar el laboratorio, así podrá organizar las tareas a realizar y su tiempo.

NO tome datos en el numeral de procedimiento experimental . Este es un numeral informativo, lleve a cabo la toma de datos cuando esta sea necesaria. Antes de realizar mediciones interactúe con el montaje para establecer las mejores condiciones. Esto es que sea fácil la toma de datos, que sea precisa, que sea eciente, que esté dentro del rango de los instrumentos de medición, etc. Imagine como va a tomar los datos y planteese siempre la inquietud si habría una mejor forma de hacerlo. Recuerde que son dos integrantes en el grupo y que la toma de datos se agiliza si los dos integrantes participan. Es claro que es más eciente si uno de ellos realiza las mediciones y el otro las apunta. Uno de ellos al estar concentrado tomando los datos reconoce fácilmente una dinámica sospechosa y el otro al anotarlos puede identicar fácilmente una tendencia o un posible error. Se sugiere dibujar la tabla de datos antes de realizar la toma de los mismos, de esta forma se sabe que se quiere medir y se puede ir llenando la tabla a medida que se toman los datos. Además al anotar los datos directamente en el informe se agiliza la redacción. Revise constantemente las condiciones de su montaje, por ejemplo: que continúe alineado, que siga rmemente sujetado, que el sistema no se haya atascado o que existan roces que inuencien la dinámica, que los instrumentos de medición estén siendo bien utilizados, que estén en las unidades correctas, en la escala correcta y correctamente conectados (caso particular de los multímetros). Esto da conanza a la hora de realizar el análisis, pues se descartan errores en la manipulación y en la toma de datos y se centra la atención en la justicación física. Si duda de un resultado o la dinámica del experimento no pareciera ser la esperada, repita la toma de datos e intente justicar el resultado. Recuerde nuevamente que son dos, comente con su compañero. Existen dos tendencias para resolver un problema: La de empezar todo de nuevo y la de realizar la última tarea e irse devolviendo hasta identicar la falla. En cualquiera de los casos tenga en cuenta que un error puede provenir del montaje, de la forma en que tomó los datos, del cálculo realizado en la calculadora, de un error en el álgebra al despejar la ecuación, del modelo teórico utilizado, del fenómeno mismo. No es recomendable que los integrantes se encuentren realizando tareas muy distintas del laboratorio ya que se pierden de datos importantes que pueden dar ideas para el análisis. Es claro que al trabajar en grupo se hace una repartición del trabajo, pero en ningún caso se debe ignorar el trabajo del compañero. Ambos integrantes son responsables de la totalidad del laboratorio.

ix


Introducción

x


Capítulo 1

Instrumentación para el Laboratorio de Mecánica 1.1. Medidas de Longitud Calibrador Pie de Rey o Vernier Instrumento de precisión que se utiliza para medir pequeñas longitudes como: diámetros externos, internos y profundidades. La gráca muestra un calibrador pie de rey que consiste en una regla ja, graduada en milímetros, y pulgadas, esta regla tiene dos apoyos o topes, esta pieza tiene dos apoyos

B, D

y una varilla

A, C . Y sobre ella se desliza E llamada pie de rey.

Por lo general, la escala del nonio tiene una longitud de manera que cada división valga

9/10

de mm y numerada de

una regla móvil, o NONIO,

9 mm dividido en diez partes iguales, de tal 0 a 10. O en otras palabras nueve divisiones

de la regla ja corresponden a diez del nonio (ver la siguiente gura):

En la construcción de un nonio que se aproxime a la enésima parte de la regla principal se toman,

n − 1,

partes de la regla ja y se dividen en

n

partes del nonio. Así si

1


A,

es la apreciación o aproximación,

CAPÍTULO 1.

M,

INSTRUMENTACIÓN PARA EL LABORATORIO DE MECÁNICA

el valor de una división de la regla ja,

N,

el valor de una división del nonio y

n,

el número de partes

en que se ha dividido el nonio veriquemos que:

M −N = Cuando se hacen corresponder,

n + 1,

M =A n

divisiones del nonio con,

n,

de la regla se verica:

(n + 1)N = nA La apreciación del nonio es el cociente entre el valor de una división de la regla principal y el número de divisiones del nonio. Si al deslizar el nonio sobre la regla ja encontramos el siguiente desplazamiento tomamos la lectura como lo muestra el dibujo:

Antes de realizar cualquier medición con un calibrador pie de rey, es preciso observar cuál es la relación entre las divisiones del nonio y la regla ja, es decir calcular su aproximación. Si se desea medir un objeto debemos empezar por ajustar convenientemente el aparato de tal manera que el cero de la regla principal coincida con el cero del nonio, evitando así ERROR DE CERO, esto ocurre debido al uso o a defectos técnicos de este aparato; en caso de que no exista dicha concordancia es necesario al efectuar una medición sumar o restar el error según el caso. Dependiendo de la medición a realizar, debemos proceder a colocar el calibrador así:

Para medir diámetros internos: el objeto debe ser colocado entre los topes

C

y

D.

Para medir diámetros externos: el objeto debe ser colocado entre los topes

A

y

B.

Para medir profundidades: el objeto se coloca dentro del tope medidor

E.

De acuerdo a la posición que le hemos dado al calibrador para hacer la lectura, la distancia entre las bases del mismo nos indicará la medida correspondiente, la cual se debe hacer de acuerdo al siguiente proceso:

Paso 1:

Observar en la regla la fracción indicada antes del cero de la regla móvil ya sea en milímetros o

en pulgadas.

2


CAPÍTULO 1.

Paso 2:


A la lectura anterior debemos adicionar la fracción que nos indica la reglilla móvil, teniendo en

cuenta la apreciación del instrumento. Dicha fracción se obtendrá observando cuál de las divisiones de la reglilla coincide con una división de la regla y ésta será su lectura.

Cuando no exista coincidencia perfecta entre la marca del nonio y la regla ja se busca la marca del nonio que más cerca esté de la coincidencia por falta y se evalúa visualmente esta fracción. La precisión de un calibrador pie de rey es por lo general

1/10

mm.

Tornillo Micrométrico Instrumento de precisión utilizado para medir pequeñas longitudes con apreciable aproximación, se basa en la propiedad que presenta un tornillo de avanzar o retroceder en la misma longitud cuando se le dá una vuelta, denominada paso de rosca que nos indica el número de divisiones que avanza el tornillo en una vuelta. El tornillo micrométrico, está constituído por una pieza en forma de herradura, con un tope jo un tope móvil

T 0,

unido al tornillo micrométrico en sí, situado dentro de un mango,

M,

T,

y

sobre el que hay

una escala graduada en milímetros enteros cuyas marcas están ubicadas normalmente alrededor de una línea central de tal manera que queden a un lado las marcas de los milímetros enteros y en otra la de los milímetros medios. El tornillo termina en su parte derecha en un tambor,

D,

provisto de una escala

circular, generalmente dividida en cien partes iguales, este tambor posee un trinquete,

R,

o tornillo de

ajuste.

La apreciación del tornillo micrométrico se dene como la relación entre el paso de rosca, o sea, la distancia que avanza al dar una vuelta completa y el número de divisiones del tambor. Sea, apreciación,

P,

el paso del tornillo y

N,

A,

la

el número de divisiones del tambor, tenemos entonces que la

apreciación viene dada por:

A=

P N

Cuando el tope jo y móvil están en contacto, los ceros de la escala graduada y el tambor deben coincidir, en caso contrario debe corregirse mediante el tornillo de ajuste o trinquete, si no se logra efectuar esta corrección se sumará o restará el valor de este error a la lectura denitiva según sea el caso. La línea central de que consta la escala graduada situada en el mango sirve de índice para la lectura de la escala circular situada en el tambor. Para efectuar cualquier medición se coloca el objeto a medir entre el tope jo y el tope móvil y se lee la parte entera en la escala graduada y se le adiciona el producto de la apreciación de la división y de la escala graduada del tambor que coincida o más se aproxime a la línea central de la escala. La precisión de un tornillo micrométrico es por lo general

1/100

mm.

Esferómetro Es un instrumento para medir pequeños espesores de láminas de caras paralelas, y también para medir el radio de curvatura de casquetes esféricos. El esferómetro consiste de un tornillo micrométrico,

3


CAPÍTULO 1.


que termina en punta y se enrosca en una tuerca que descansa sobre tres puntas que forman un triángulo equilátero, cuyo plano es perpendicular al eje de tornillo. El tornillo está unido a un disco graduado llamado limbo que se mueve frente a una escala vertical, ja al armazón, escala está graduada en milímetros.

Antes de comenzar a trabajar con el instrumento es necesario determinar la apreciación, esta se dene como la relación entre el paso de la rosca del tornillo milimétrico y el número de divisiones del limbo. Si

A es la apreciación del esferómetro, P , el paso de rosca y N , el número de divisiones del limbo tendremos: A=

P N

Lo primero que se debe tener en cuenta al tomar una medida es que el cero de la escala vertical coincida con el cero del limbo, esto se logra colocando la punta del tornillo y el trípode en un mismo plano. Si existe error de cero, este se sumará o se restará según sea el caso. Para efectuar la lectura, la parte entera se lee en la escala vertical, adicionando el número de divisiones del límbo que está frente a la escala vertical o más próximo a ella, dando así la lectura nal. Cuando el esferómetro se coloca sobre una supercie esférica como un casquete por ejemplo, adopta una posición como la que se observa en el siguiente diagrama:

Si

AB ,

es el plano en el cual descansan las tres patas del esferómetro, el tornillo caerá en

diagrama). Observando el diagrama y aplicando el teorema de Pitágoras el triángulo

R=

d 2 + h2 2h 4


ACC 0 ,

tendremos:

M

(ver

CAPÍTULO 1.

donde


h, es la distancia de lectura del esferómetro, R es el radio de la supercie esférica y d, la distancia

desde cada parte del esferómetro a la pata central, sobre un plano horizontal.

1.2. Medidas de Masa Tomar la medida de una masa es compararla con otra denida como unidad. La masa de un cuerpo tiene un valor constante y es independiente de cualquier condición en donde se encuentre el cuerpo (altura, presión, temperatura, etc.). Esta observación es válida cuando la velocidad del cuerpo es inferior a un décimo de la velocidad de la luz. Esta comparación se hace con la balanza, ayudada de masas previamente calibradas con las masas patrones. Hay diferentes tipos de balanzas las cuales son:

Balanza de precisión (o balanza de laboratorio). Balanza electrónica. Balanza común. Balanza romana.

5


CAPÍTULO 1.


6


Capítulo 2

Técnicas de Medición Mediciones son la esencia del método experimental de la física. De hecho, es imposible que el medidor no altere de alguna manera, aunque sea muy pequeña, lo que pretende medir. Por más preciso que sea un instrumento, el resultado no es conable en manos de una persona que no sabe utilizarlo. La diferencia entre una buena y una mala medida depende del cuidado a las técnicas de medición.

2.1. Medición de Longitudes Hay varios instrumentos para medir longitudes: reglas de 1 metro o de 10 centímetros, cintas de metros o de

100 metros, calibradores pie de rey

10

o Vernier, tornillos micrométricos, y otros más. Elegimos

el instrumento según el tamaño del objeto que queremos medir, y también, de acuerdo a la precisión deseada. Una cinta de

100 metros no tendrá marcados los milímetros, pero no los necesita, porque a nadie

le interesa esa precisión cuando está midiendo calles. Necesitaremos una precisión de milímetros solamente en objetos del orden de o menores que

1

metro, y para eso están las reglas graduadas en milímetros. Con

un calibrador Vernier podemos medir décimas o vigésimas de milímetro; pero es muy pequeño para medir objetos de medio metro (sólo de

10 o 15 centímetros). El tornillo micrométrico es aún más preciso, porque 2 o 3 centímetros.

permite medir centésimas de milímetro, pero en objetos de máximo

Recomendación para el uso de la regla: Para medir un objeto de del

37;

o el sector del

20

37 centímetros usamos dos sectores de la regla: alrededor del cero y alrededor 57. Debemos jarnos en que distingamos bien las marcas de

y el sector del

centímetros y milímetros en ambos sectores; porque es posible que por el desgaste de la regla las marcas estén deterioradas. Especialmente la línea cero centímetros sufre del desgaste; muchas veces es mejor medir desde la línea 10 cm.

Sobre el calibrador (o Vernier): Con calibrador podemos medir diámetros externos o espesores de objetos; pero el instrumento tiene también una espuela con el cual podemos medir diámetros internos de tubos o huecos. Para medir el espesor de un papel, podemos usar mejor el anillo micrométrico, pero como el papel es muy delgado, (su espesor es comparable con la incertidumbre de la medición), es mejor tomar

20

10

o

capas del mismo papel, ponerlas una sobre otra, y medir el espesor del conjunto; luego dividimos el

espesor total por el número de capas.

7


CAPÍTULO 2.

TÉCNICAS DE MEDICIÓN

2.2. Medición de Tiempos En el laboratorio sólo necesitaremos medir tiempos de algunos segundos o minutos; la mayoría de estas mediciones se pueden realizar con un cronómetro manual. Hay cronómetros que miden hasta centésimas de segundo, aunque una medición simple tal vez no tenga esa precisión, porque el reejo mental y el movimiento del dedo necesitan aproximadamente un décimo de segundo. Verique esto tomando un cronómetro y tratando el menor tiempo posible entre iniciarlo y detenerlo. Si el tiempo a medir es de algunos segundos, podremos medirlo bien haciendo una medición simple con el cronómetro. Pero lo más importante es sincronizar el arranque y la detención del reloj con el comienzo y el nal del proceso cronometrado. Para eso lo ideal es que la misma persona ponga a funcionar el experimento y el reloj; no es recomendable la colaboración de dos personas, uno que suelte el experimento y dice ½Ya! para que el otro accione el reloj; la demora de los reejos del cronometrista introducirá un error de varias décimas de segundo. Si es realmente imposible que la misma persona accione los dos sistemas, hay que recurrir a una cuenta regresiva; uno de los dos hará un conteo como: tres - dos - uno ½ya! con intervalos muy uniformes. Una gran ventaja aparece cuando vamos a medir el período de un movimiento cíclico que se repite muchas veces (por ejemplo un péndulo, o un movimiento circular uniforme). En ese caso medimos el tiempo gastado en

10

o

100

ciclos consecutivos, y luego dividimos ese tiempo por el número de ciclos

contados; así el error cometido (al prender y apagar el reloj) se reduce el mismo número de veces. Para reducir aun más el error, debemos poner a andar el experimento antes que el reloj, observarlo durante algunos ciclos, y entonces accionar el cronómetro (en una fase determinada del ciclo). Luego contamos el número deseado de oscilaciones (recordando que el instante en que se pone en marcha el reloj no es uno sino cero), y detenemos el cronómetro en la misma fase (de la oscilación) en que habíamos comenzado. De esta manera es posible medir con bastante precisión períodos hasta de un quinto de segundo. Para medir tiempos más cortos existen cronómetros conectados con sensores electrónicos sobre el experimento. Otro método es utilizar el Registrador de Tiempo, un vibrador de frecuencia conocida (por ejemplo los

60

Hz de la red eléctrica) que en cada oscilación deja una marca sobre una cinta de papel que

se mueve; el número de marcas es proporcional al tiempo transcurrido.

2.3. Medición de Velocidad y Aceleración Es difícil medir la velocidad instantánea de un objeto, excepto con un velocímetro o instrumento cuya lectura depende físicamente de la velocidad. Lo que hacemos generalmente en el laboratorio es medir la velocidad media en cierto tramo, midiendo la distancia recorrida y el tiempo empleado. Si tenemos buenas razones para creer que la velocidad es constante, la velocidad instantánea será igual a la media, es decir, a la distancia dividida por el tiempo transcurrido. Si la velocidad no es constante, en muchos casos podremos asumir que la aceleración sí es constante (¾por qué?); además, muchas veces la velocidad inicial será nula. En esos casos es suciente medir el tiempo y la distancia total, para poder determinar la aceleración usando la relación

2

d = a t2 .

Si dudamos que la

aceleración sea constante, podemos repetir el experimento jando diferentes valores para la longitud, y midiendo en cada caso el tiempo empleado; luego podremos comparar los diferentes valores obtenidos de la aceleración.

2.4. Medición de Masas Normalmente determinamos la masa de un objeto midiendo la fuerza gravitatoria que actúa sobre él, es decir su peso (para medir directamente la masa, deberíamos someter el objeto a alguna fuerza conocida y medir la aceleración).

8


CAPÍTULO 2.


Cuando disponemos de una balanza calibrada, simplemente ponemos el objeto sobre la balanza, y ajustamos la balanza hasta que esté en equilibrio; el ajuste necesario (por ejemplo correr una pesa sobre el brazo) indica la masa del objeto. Este tipo de balanza no depende del valor de la gravedad, puesto que lo que hace es comparar el peso del objeto con el peso de las partes de la balanza. Si sólo disponemos de algunas pesas patrón, podemos improvisar una balanza utilizando una varilla o regla, colgada de su centro de modo que quede suspendida horizontalmente. A un lado de la regla colgamos una pesa patrón, y al otro lado el objeto a pesar, y ajustamos las distancias hasta que la balanza esté en equilibrio; a continuación determinamos la masa incógnita sabiendo que la proporción de los dos pesos es inversa a la proporción de las dos distancias (esto solamente si se puede despreciar el peso de la cuerda de donde cuelgan o el peso del platillo donde reposan, pues de otra manera el cálculo es más complicado). Si no disponemos de pesas patrón del tamaño deseado, podemos sustituirlas por un recipiente en el cual ponemos volúmenes conocidos de agua, y usamos la densidad conocida del agua ( 1 kilogramo/litro). Para determinar masas con un dinamómetro de resorte, simplemente se cuelga el objeto del dinamómetro y se lee la masa o el peso, según las unidades en que esté graduada la escala. Hay que recordar que un dinamómetro mide fuerzas; y si su escala está en gramos, eso indica que el fabricante asumió determinado valor de la gravedad. Finalmente, si tenemos varios objetos iguales, lo mejor es pesarlos simultáneamente (todos juntos) y dividir la masa total por el número de objetos; de esta manera los errores cometidos serán minimizados.

2.5. Medición de Volúmenes Para objetos muy regulares (como esferas, cilindros o paralelepípedos bien formados) es suciente medir las dimensiones del objeto (por ejemplo con un calibrador) y calcular su volumen. Cuando trabajamos con objetos de forma irregular, debemos recurrir a otros métodos. Si conocemos con suciente exactitud la densidad del material, podemos pesar el objeto y calcular su volumen; pero generalmente las densidades no son lo bastante conocidas. También podemos sumergir el objeto en algún líquido y medir cuánto sube el nivel de éste (hay que cuidar que no queden burbujas de aire adheridas al objeto). Para tener mayor precisión debemos hacer esta medición en una probeta o tubo de ensayo del menor diámetro posible (donde apenas quepa el objeto), para que la diferencia de niveles sea máxima y se pueda medir con la mayor precisión posible. Una variante de este método es pesar el objeto dos veces: primero directamente, y luego pesarlo mientras está suspendido en el líquido; la diferencia de los dos pesos equivale a la densidad del líquido multiplicada por el volumen del objeto. Volúmenes de líquidos se miden en probetas u otros recipientes graduados, que tienen una escala vertical en litros o mililitros. Si el recipiente no tiene una escala adecuada, podemos llenarlo de agua y pesarlo. Por ejemplo, para medir la capacidad (volumen interno) de un tarro, bastaría pesarlo una vez vacío y otra vez lleno de agua. Si queremos medir la densidad de un objeto, lo más directo es medir su volumen y pesarlo para saber su masa.

2.6. Medición de Ángulos Con regular precisión podemos medir ángulos directamente usando un transportador, o papel polar, o algún otro instrumento que indique grados. En estos casos debemos tener especial cuidado de que el centro (o vértice) del ángulo a medir coincida con el centro del transportador. Otra manera más precisa de medir un ángulo, es formar con él un triángulo rectángulo, y medir dos lados de éste, calcular la función trigonométrica correspondiente, y de ahí obtener el valor del ángulo. Para usar este método debemos tener cuidado de que el ángulo recto del triángulo sea lo más recto posible. Además, debemos escoger adecuadamente cuál función trigonométrica vamos a medir: para ángulos

9


CAPÍTULO 2.


pequeños es mejor medir el seno o la tangente, mientras que para ángulos cercanos a el coseno (¾por qué?).

10


90◦

es mejor medir

Capítulo 3

Análisis de Datos Cuando trabajamos en el laboratorio poseemos de antemano cierta idea de lo que vamos a hacer y de los resultados que obtendremos de acuerdo a un estudio teórico previo o a nuestra intuición. Con estas ideas se realiza el montaje del experimento estimando previamente cuales y cuantas medidas son necesarias y preparando el campo donde escribiremos los datos con un sistema de unidades coherente, en forma numerada o con algún orden que nos permita hacer un seguimiento del experimento. Es deseable que las medidas sean repetibles, para tomarlas de nuevo en caso de que algún resultado sea dudoso. Al hacer un chequeo de los datos, el sentido común es un elemento poderoso para saber cómo estamos haciendo las cosas y podemos reconocer si las variables dependientes no posen el comportamiento esperado o si algún dato se aleja mucho de donde debía ser. Debemos manejar nuestros datos con honestidad, y el rigor experimental nos obliga a registrar los eventos tal como aparecen en las mediciones y no como desearíamos que fuesen. Por ejemplo, si deseamos calcular el valor de midiendo su diámetro y perímetro ( p

= πd)

π

podemos tomar una serie de discos de diferente tamaño

no parece razonable medir el peso de cada disco salvo que

el desarrollo posterior del experimento lo requiera. Nuestra tabla de datos la podemos hacer en forma ascendente o al menos indicando que medida corresponde a cada disco.

π esperamos que los resultados se encuentren al 3, 14 pero podemos encontrar sorpresas que nos harán revaluar nuestros resultados. Si nuestros π nos dan cercanos a 5,43 es señal de que algo anda mal y una investigación profunda nos

En una tabla de diámetros, perímetros y valores de rededor de valores de

dirá en que estamos fallando. Puede ser que estemos manejando mal los instrumentos de medición, que el planteamiento teórico no es el correcto, no estamos haciendo los cálculos correctamente o que sencillamente estamos haciendo otro experimento. Es más corriente que algunos de los datos no concuerden con los demás resultados. En este caso podemos repetir dicha medición con mayor cautela, darle un tratamiento especial a dicho dato o no tenerlo en cuenta en caso de que no sea posible repetir la medida. Por ejemplo cuando un disco es muy pequeño (p

=4

mm,

r=1

mm) las medidas presentan una incertidumbre alta, también pudo ocurrir que

un disco estaba ovalado o que uno de ellos era de espuma y se deformaba cuando tomábamos la medida. La mejor forma de mirar el desarrollo de nuestro experimento es colocando los datos en una gráca, donde se ve claramente como se comportan las variables del experimento. En una gráca perdemos información del valor numérico de cada variable, pero encontraremos valiosa información acerca del comportamiento de las variables del experimento. Si gracamos perímetro-diámetro la gráca será una recta donde la pendiente será

π

y los datos conictivos saltarán a la vista. Si suponemos que

π

depende del

peso y el radio de un disco podremos gracar peso-diámetro y encontraremos una gráca sin coherencia donde al parecer a mayor radio mayor peso. Después de haber tomado la medidas de cualquier experimento, nos percatamos de que los resultados son invariablemente diferentes y nuestra labor consiste en extraer la máxima información con unos datos que no nos brindan una respuesta exacta.

11


CAPÍTULO 3.

ANÁLISIS DE DATOS

En ocasiones conocemos cuál debe ser el resultado de un experimento, como cuando buscamos el valor de

π

midiendo el perímetro y el radio de una circunferencia. Si conocemos el valor experimental ( E ) y el

valor conocido o exacto ( K ), denimos el porcentaje de error como:

% error =

(E − K) 100 % K

Cuando no conocemos cual debe ser el resultado de un experimento, podemos tener una idea del posible resultado, y es así como al preguntar la hora, la edad o la estatura de alguien no conocemos la respuesta, pero un resultado muy alejado de lo que esperamos nos hará reaccionar e investigar qué ha ocurrido. En mejores circunstancias podemos buscar un mismo resultado por diferentes caminos. El valor de

π

también se puede calcular sumergiendo una esfera en un recipiente con agua, y conoceremos su volumen midiendo el nuevo nivel del agua. Cuando conocemos dos valores experimentales denimos el porcentaje de diferencia como

% diferencia =

(E1 − E2 ) 100 % E1 + E2

Si hacemos una lista de las mediciones obtenidas, los datos presentan una tendencia a agruparse o a dispersarse en torno a un determinado patrón, producida por diversos errores. Cuando los datos están muy en torno a un valor que se conoce previamente decimos que son exactos, y cuando los datos están cerca uno de otro decimos que son precisos.

Exacto, sin precisión

Preciso, sin exactitud

Exacto y preciso

En la primera gráca, dada la poca precisión de los datos, no podemos estar seguros de la conabilidad del experimento. El segundo caso nos indica la presencia de un

error sistemático

que no se ha tenido en cuenta.

Este tipo de errores se producen por deciencias en el procedimiento y se reconocen por que afectan los resultado de una misma forma. Por ejemplo para medir el perímetro de una circunferencia tomamos una cinta alrededor del disco y realmente medimos el perímetro del disco más la cinta, y si la cinta es muy gruesa los valores de de dar superiores a

3,14.

π

tratarán

Es común también que los aparatos estén mal calibrados o que asumamos algo

que puede no ser cierto del todo. Por ejemplo al sumergir una esfera en agua suponemos que la densidad del agua es

1 g/cm3 ,

o en otro caso asumimos la densidad del cobre de acuerdo al valor de alguna tabla,

valor que puede ser diferente del metal que estamos empleando. En un experimento intentamos minimizar el efecto de los errores sistemáticos para lograr el resultado de la tercera gráca. Esto se logra calibrando los instrumentos, manejando masas apropiadas para disminuir los efectos de la fricción, emplear cuerdas livianas, etc. La primera gráca es similar a la tercera, y se diferencian en el grado de dispersión de los datos. Estas uctuaciones se deben a

errores aleatorios

producidos por la dicultad del observador para tomar la

medida y estimar el último dígito, así como a factores externos que alteran el experimento en forma

12


CAPÍTULO 3.

ANÁLISIS DE DATOS

aleatoria, como las vibraciones mecánicas del montaje experimental, cambios de temperatura y voltaje, brisas de aire, variaciones propias de los equipos y dicultades en el proceso de medición. En general los errores aleatorios hacen que los datos se encuentren en torno a determinado patrón, mientras que los errores sistemáticos hacen que dichos valores presenten un comportamiento claro que se aleja de los valores reales. En principio un error sistemático se puede eliminar, y los errores aleatorios se pueden disminuir pero nunca eliminar. Cuando tomamos varias medidas de la misma cantidad, debemos emplear mecanismos para calcular el grado de precisión de una medida, y para esto empleamos las técnicas de cálculo de error. Debemos notar que el cálculo de error nos mide solamente el efecto de los errores aleatorios. Estimar el efecto de los errores sistemáticos es más complicado y debe hacerse de acuerdo a cada circunstancia.

13


CAPÍTULO 3.

ANÁLISIS DE DATOS

14


Capítulo 4

Notas sobre Cálculo de Errores 4.1. Introducción Parte de la actividad experimental es la medición de cantidades y debe ser claro que es imposible que realicemos medidas innitamente exactas. Por un lado, dependiendo de la calidad del trabajo y del equipo con que contemos, los resultados de las mediciones de un mismo experimento pueden ser más o menos exactas. Por otra parte, las mediciones que resultan en un solo experimento que hemos realizado varias veces son distintas.Teniendo todo esto en cuenta, en las mediciones no solo es importante reportar el valor de la cantidad medida, sino que también se debemos indicar que tan exacta es. De hecho, lo que podemos y debemos reportar en un experimento es el rango de valores de una cantidad medida y la forma usual

hxi + σx

y

hxi ± σx . Esto es, los resultados de la medición de la cantidad x oscilan entre los valores hxi − σx . hxi se denomina valor medio de la cantidad x, y representa el valor de la cantidad

medida.

σx

es el error absoluto en el valor promedio o incertidumbre experimental y nos da información

para denotarla es:

de la exactitud de la medición. Uno de los objetivos de este apéndice es indicar formas como podemos estimar la incertidumbre experimental

(σx )

en la medición de una cantidad

x

debida a diferentes factores

que resultan en las mediciones. Por otra parte, en ocasiones usamos cantidades medidas para construir nuevas cantidades de interés (realizamos operaciones matemáticas con cantidades medidas). Por ejemplo, puede ser de interés determinar el área A, de una lámina de circular. Para ello medimos el diámetro

D(D = hDi ± σD ),

y el área

la obtenemos usando:

A=

πD2 4

Como el diámetro tiene una incertidumbre experimental, el área también la tiene hecho, la incertidumbre en el área

(σA )

(A = hAi ± σA ). De (σD ).

depende de la incertidumbre en la medición de diámetro

Otro de los objetivos de éste apéndice es indicar formas para determinar la incertidumbre de una cantidad que se obtiene a partir de operaciones matemáticas de cantidades medidas. Esto último se conoce como propagación de errores.

4.2. Errores A los resultados de un experimento se les pueden asociar diferentes clases de errores.

Error Relativo:

Esta cantidad nos da una indicación de que tan lejos está nuestro resultado experimental

de la verdadera respuesta y se dene como la diferencia entre el valor calculado valor verdadero y usualmente se da en forma porcentual:

15


u

observado y el

CAPÍTULO 4.

NOTAS SOBRE CÁLCULO DE ERRORES

Error relativo( %)

=

|valor

verdadero

|valor

− valor

observado |

verdadero |

100 %

Generalmente nosotros no conocemos cual es el valor verdadero pero frecuentemente sabemos aproximadamente cual debería ser el valor, ya sea por experimentos anteriores al nuestro o por estimados teóricos. Se puede decir que cuando más exacto es el experimento, más pequeño es el error. Claro está, esta cantidad no es suciente para determinar la calidad del experimento ya que hace falta conocer incertidumbre experimental. (No es lo mismo tener un error absoluto del ror debido a la incertidumbre del a la incertidumbre de

1,0 %).

95 %

que tener un error absoluto del

1,0 %

1,0 %

con un er-

con un error debido

En otras palabras necesitamos contar con mecanismos que nos per-

mitan determinar, de los propios datos, cuanta credibilidad podemos tener en nuestros resultados experimentales. Esto nos lleva a otras clases de errores.

Errores Sistemáticos:

Estos errores son incertidumbres que se deben por ejemplo a defectos en la

calibración de los aparatos de medición. También se deben a la tendencia de un aparato a correr los valores de una cantidad siempre en la misma dirección. Por ejemplo si vamos a medir la longitud de un objeto y para ello utilizamos una regla graduada en centímetros, puede resultar que al comparar las marcas que corresponden a un cm con las de un metro patrón, éstas sean realmente de

0,99 cm,

en este caso, nuestras mediciones estarán siempre sobreestimadas con respecto al valor verdadero.

Errores Aleatorios:

La causa de estos errores están en los factores que se presentan al azar en la

realización de la medición y/o a la inherente naturaleza estadística del fenómeno a tratar (por ejemplo el decaimiento radioactivo de algunos núcleos atómicos). Por ejemplo, se desea medir un objeto con una regla graduada. Para ello realizamos un conjunto de medidas leyendo los valores indicados en la regla lo más preciso posible obteniendo en general distintos valores. Las diferencias que obtenemos son resultado de varios pequeños factores que no son controlados por el observador y que cambian de una medida a otra. Como por ejemplo, la inhabilidad de poner el cero de la regla exactamente en el mismo punto cada vez que se realiza una medición, expansión y contracción de la regla debido a cambios de temperatura, errores de paralaje, etc. Todo estos son la causa de errores instrumentales donde el término instrumental también incluye al observador. Cuanto más atención pongamos a estos factores, obviamente, la magnitud de las uctuaciones serán menores. En los errores aleatorios cada medida individual uctúa independientemente de las otras, lo cual permite tratar los errores aleatorios con las leyes de la estadística. Por otra parte, mientras el error sistemático no cambia con el número se mediciones que hagamos (va en la misma dirección), el error aleatorio tiende a disminuir al aumentar el número de mediciones. Esto último lleva a que un experimento lo debemos repetir el mayor número de veces posible. Hay situaciones en las que una cantidad es medida una sola vez en un experimento. En estos casos, debemos estimar de la mejor forma posible la incertidumbre en la medición. Por ejemplo, la medición cuidadosa a de una longitud con una regla calibrada en milímetros puede tener una incertidumbre de

0,5 mm.

4.3. Determinando Incertidumbres Experimentales Debidas a Errores Aleatorios En algunos experimentos realizaremos mediciones repetitivas y esto hace necesario que sepamos como determinar el valor medio y la incertidumbre experimental que resulta de los errores aleatorios. Como éstos errores son de carácter estadístico, una presentación completa de este tema va más allá de un apéndice y del nivel del curso. Pero proceder a dar una guía práctica para su cálculo también es peligroso, ya que muchas de las expresiones de utilidad son resultado de aproximaciones y es importante poder determinar si la aproximación es válida o no. Por todo esto, a continuación vamos a presentar una guía práctica para el cálculo del valor medio y la incertidumbre experimental y para dar claridad, algunas deniciones propias de la estadística.

16


CAPÍTULO 4.


4.4. Valor Medio (µ) y Desviación Estándar (σ) x.

Se desea medir la cantidad de

x.

No esperamos que de una la medición obtengamos el valor verdadero

Si hacemos dos medidas, nosotros esperamos encontrar una discrepancia entre ellas debido a errores

aleatorios. Cuando realizamos más y más medidas, un patrón estadístico sobresaldrá de los datos. Algunas de las observaciones serán muy grandes, otra serán muy pequeñas. Pero en promedio, nosotros esperamos que nuestras mediciones se distribuyan alrededor del valor correcto. Hacemos

N

medidas de la cantidad

x

y las denotamos por

x1 , x2 ,

etc. hasta un medida nal

xN

. La

suma sobre todas las medidas es de utilidad:

x1 + x2 + x3 + · · · + xN Que en forma compacta se puede escribir como:

N X

xi = x1 + x2 + x3 + · · · + xN

i=1 El valor medio de

x: µ,

se dene para un número innito de mediciones como:

PN Valor medio de

x:

i=1 xi N

µ = l´ım

N →∞

!

El valor medio es un parámetro que caracteriza la información que estamos buscando cuando realizamos un experimento. Tiene las mismas unidades que el valor verdadero y lo podemos considerar como el mejor estimado que se puede hacer del valor verdadero, bajo las condiciones experimentales prevalecientes. La varianza se denota por

S2

y se dene como:

Varianza de

Y la desviación estándar

σ

PN

2

i=1 (xi

S ≡ l´ım

x:

− µ)2

!

N

N →∞

se dene como:

√ Desviación estándar

σ:

σ=

S2

Ésta cantidad es una medida apropiada de la incertidumbre debido a las uctuaciones en las observaciones y está relacionada a la incertidumbre experimental. Como en la práctica nos es posible realizar solo un número nito y no un número innito de mediciones, quedamos limitados a estimar el promedio de

x que denotamos por hxi y que para N

mediciones se dene

como:

PN

i=1

µ ≈ hxi = Claro está, tanto mayor sea

N

xi

! (4.1)

N

tanto mejor es nuestro estimado para el promedio de

el mejor estimado de la varianza será:

2

S ≈

PN

2 i=1 (xi − µ) N

17


!

x.

Similarmente

CAPÍTULO 4.


Esta última expresión tiene el valor medio que requiere un número innito de mediciones. El mejor estimado de la varianza en términos de

hxi

es:

PN

2

2

(xi − hxi) N −1

!

i=1

S ≈ Y la desviación estándar queda como

s

PN

− hxi)2 N −1

i=1 (xi

σ≈

(4.2)

Finalmente, la incertidumbre experimental está dada por:

σ σx = √ N

Incertidumbre experimental:

(4.3)

Las ecuaciones numeradas, son las que tienen utilidad práctica y son buenas aproximaciones si el número de mediciones es grande. Por otra parte de ecuación ( 4.3) es fácil ver que la incertidumbre experimental disminuye al aumentar el número de medidas. Finalmente, una importante cantidad asociada a la incertidumbre experimental es el error relativo. Éste error compara la incertidumbre con el valor medio. Usualmente el error relativo (al promedio) se expresa el porcentaje y se dene como:

σx 100 % hxi

Error relativo ( %):

Su relevancia se hace evidente con el siguiente ejemplo: los resultados de las mediciones de dos longitudes son: del

1 %.

L1 = 20,00 m ± 2 cm

con un error relativo del

0,1 %

y

L1 = 2,00 m ± 2 cm

con un error relativo

Note ambas medidas tienen la misma incertidumbre experimental, pero el error en la segunda

medida es diez veces más grande que el error en de la primera indicando que la medición para la longitud

L1

es más exacta. En otras palabras, tener un error de

como tener un error de los mismos

2 cm

2 cm

en una medida de

en una medida de

2,0 m.

20,0 m

no es tan relevante

Para que la segunda medida tenga el

mismo error que la primera, es necesario que la incertidumbre sea de

2 mm. Esto es, se necesita un aparato

de medición más preciso.

Ejemplo Se desea determinar la longitud de un objeto, para ello se realizan

15

mediciones con los siguientes

resultados:

17,62 17,61 17,61

cm cm cm

17,62 cm 17,62 cm 17,615 cm

17,615 cm 17,625 cm 17,61 cm

17,62 cm 17,62 cm 17,605 cm

17,61 17,62 17,61

cm cm cm

Deseamos encontrar el mejor estimado para la longitud de este objeto. Para ello necesitamos el valor medio cuyo mejor estimado está dado por la ecuación ( 4.1) :

PN hxi =

i=1 xi N

!

P15

i=1 xi 15

=

! = 17,61533 cm

También necesitamos calcular la incertidumbre, y para ello comenzamos calculando la desviación estándar (4.2):

18


CAPÍTULO 4.


s σ≈

PN

− hxi)2 = 0,00581 cm N −1

i=1 (xi

Nota. Normalmente, estas dos cantidades se pueden evaluar en forma automática con la calculadora. Con esto, usamos (4.3) para calcular el error absoluto en el valor promedio o incertidumbre experimental:

σ σx = √ = 0,0015 cm N Entonces el mejor valor para la longitud de este objeto es (notar el número de cifras signicativas):

x = (17,615 ± 0,002) cm El error relativo en esta caso está dado por:

σx 100 % = 0,0085 % hxi Como resultado nal se da el valor medido y el error relativo:

x = (17,615 ± 0,002) cm.

σx 100 % = 0,0085 %. hxi

Ejemplo Supongamos que las tres grácas del Apéndice C corresponden a las mediciones del tamaño de un objeto de

10 cm de lado (representado por el origen en las grácas). Para ilustrar estos cálculos, tomamos

los valores en los ejes horizontales y determinamos los valores promedios, las desviaciones estándar, los errores absolutos en el valor promedio (incertidumbres experimentales) y los errores relativos:

9,7 9,2 11,1 9,7 8,4 9,4 10,2 11,1 10,3 10

8,8 8,7 8,7 9 8,6 9,1 8,9 10 10 10

9,5 10,3 9,8 10,1 10,4 9,5 10,1 9,9 10,2 9,7

N = 9 hxi = 9,900 σ = 0,880 σx = ±0,293 σx hxi 100 % = ±2,964 %

N = 7 hxi = 8,829 σ = 0,180 σx = ±0,068 σx hxi 100 % = ±0,770 %

N = 10 hxi = 9,950 σ = 0,321 σx = ±0,101 σx hxi 100 % = ±1,019 %

19


CAPÍTULO 4.


4.5. Propagación de Errores Ya hemos visto como se calcula la incertidumbre en cantidades que se miden directamente. Ahora nos interesa ver como la incertidumbre experimental afecta operaciones matemáticas que se realizan con cantidades medidas. Acá trabajaremos con funciones de dos variables, pero la generalización a más variables es inmediata.

x,

Para ello consideremos una cantidad de interés Matemáticamente se dice que

x

que conocemos los valores medios ( hui y asumimos que

“u”

y

“v”

hvi)

“u” y “v”. x = f (u, v). Asumimos variables “u” y “v”. Además

que depende de dos cantidades medidas

“u”

es una función de

“v”

y

y se denota como

e incertidumbres ( u y

v)

de las

son dos variables estadísticamente independientes (la medición de una de ellas

no afecta el resultado de la medición de la otra). Nos interesa determinar el valor medio de incertidumbre Para:

σx .

x = f (u, v)

u = hui ± σu

con:

y

v = hvi ± σv

s σx =

La incertidumbre:

conocidos:

∂f σu ∂u

2

∂f + σv ∂v

2

hui,hvi

∂f ( ∂u ) es la derivada de f (u, v) con respecto a “u” manteniendo “v” constante y ( ∂f ∂v ) es la f (u, v) con respecto a “v” manteniendo “u” constante. En la evaluación de las dos cantidades

En donde

en los valores medios es importante tener en cuenta las cifras signicativas.

Ejemplos Adición y Sustracción ∂f ∂u

=a

y

∂f ∂v

x = au ± bv ,

hxi = ahui ± bhvi

Incertidumbre:

σx =

Multiplicación = ±av

y

a

y

b

son constantes.

q 2 2 (σu a) + (σv b)

x = ±auv , ∂f ∂v

donde

= ±b

Valor medio:

∂f ∂u

donde

a

es una constante.

= ±au

Valor medio:

hxi = ±ahuihvi

Incertidumbre:

q q σu 2 σv 2 σu 2 σv 2 σx = |ahuihvi| ( hui ) + ( hvi ) = |hxi| ( hui ) + ( hvi )

División ∂f ∂u

y su

hxi = f (hui, hvi)

Valor medio:

derivada de

x, hxi

Estas dos cantidades están dadas por:

=

x = ±a uv ,

± av

y

donde

∂f ∂v

=

a

es una constante.

±a vu2

Valor medio:

hxi = ±a hui hvi

Incertidumbre:

q q σu 2 σv 2 σu 2 σv 2 ( ( hui σx = |a hui | ) + ( ) = |hxi| ) + ( hvi ) hvi hui hvi

20


CAPÍTULO 4.

Potencias ∂f ∂u

x = au±b ,

donde


a

y

b

son constantes.

= ±abu±b−1 ±b

Valor medio:

hxi = ahvi

Incertidumbre:

σx = |abhui

±b−1

σu σu | = |hxib hui |

Ejemplos numéricos 1. Se desea determinar el perímetro de una mesa rectangular. Para ello se mide su lado L y su ancho W obteniendo:

L = 2,00 m ± 2 cm W = 1,50 m ± 1 cm

(hLi = 2,00 m, σL = 2 cm) (hW i = 1,50 m, σW = 1 cm) P = 2(L + W ) hP i = 7,00 q m

El perímetro está dado por: Valor medio:

2

2

σP = 2 (σL ) + (σW ) = 4,5 cm σP P = (7,00 ± 0,04) m, hP i ( %) = 0,64 %

Incertidumbre: Como resultado nal se tiene:

2. Se desea determinar el área A, de un triángulo. Para ello se mide la base b y la altura h obteniendo:

b = 5,0 cm ± 1 mm h = 10,0 cm ± 3 mm

(hbi = 5,0 cm, σb = 1 mm) (hhi = 10,0 cm, σh = 3 mm) A = bh 2 2 hAi = 25,0 qcm

El área está dada por: Valor medio:

2

2

σh σb σA = hAi ( hbi ) + ( hhi ) = 0,90 cm2 2 σA A = (25,0 ± 0,9) cm , hAi ( %) = 3,6 %

Incertidumbre: Como resultado nal se tiene:

21


CAPÍTULO 4.


22


Capítulo 5

Gracando los Datos Grácas y Análisis Gráco El propósito de muchos experimentos es hallar la relación entre las diversas cantidades físicas medidas. Una de las mejores formas de alcanzar esto es gracando los datos y haciendo un análisis de la gráca.

Una gráca es una representación de datos numéricos (por ejemplo los datos medidos en el laboratorio) por medio de puntos y líneas que hacen visible la relación existente entre estos datos.

En la gráca se utiliza siempre un sistema de coordenadas. Por lo general se acostumbra a usar un sistema rectangular, con el eje horizontal para la variable independiente (abscisa) y con el eje vertical para la variable dependiente (ordenada). Según el tipo de datos se utilizan otros sistemas de coordenadas que resulten más adecuados al caso particular, como por ejemplo un sistema polar de coordenadas.

En la gráca se marcan las escalas utilizadas en cada eje (incluyendo las unidades respectivas). Los datos a gracar se marcan como puntos en forma de pequeños círculos, o triángulos, o cuadrados, con las barras de error propias de cada punto, tanto verticales como horizontales, correspondientes al error de cada variable medida.

23


CAPÍTULO 5.

GRAFICANDO LOS DATOS

GRÁFICAS Y ANÁLISIS GRÁFICO

Los datos gracados pueden estar correlacionados o no. Si los puntos medidos parecen estar distribuídos aleatoriamente (al azar) en la gráca, sin que se pueda reconocer un orden o patrón, las variables no estarán correlacionadas. En cambio cuando los datos gracados demuestran un patrón ordenado, se tendrá una correlación entre las variables representadas en la gráca. En este caso se incluye en la gráca una curva, que puede ser:

cualitativa, en la forma de curva suave, que guía la vista, mostrando cualitativamente la relación reconocida entre las variables, cuantitativa, como curva que resulta del análisis de los datos, como un ajuste de una función matemática a los datos del experimento (t) utilizando el método de los mínimos cuadrados por ejemplo.

Para la elaboración de las grácas con los datos experimentales hay una serie de reglas y recomendaciones establecidas internacionalmente como normas prácticas, que debemos seguir en lo posible muy estrictamente.

Haciendo la Gráca Primero pensamos bien qué vamos a gracar, qué variables o parámetros. Miramos los números, las tablas con los datos y nos preguntamos: ¾Qué aspecto puede tener la gráca? Si las variables son y

B,

¾gracamos

A

contra

B,

o

B

contra

A?

¾Cuál va en el eje horizontal, cuál en el vertical?

24


A

CAPÍTULO 5.



¾Dónde hacemos la gráca, sobre qué papel? Según la precisión requerida para la gráca, optamos por papel cuadriculado, o por papel milimetrado.

Es preferible utilizar papel milimetrado para la gráca, que luego pegamos sobre el cuaderno de informes. Recordemos:

Pero también pensamos si usamos papel lineal-logarítmico (semilogarítmico), o papel logarítmicologarítmico (log-log), o papel polar, etc., según el tipo de datos. Si por ejemplo medimos una cantidad física en función de un ángulo que variamos entre

0

y

2π

radianes, una representación polar puede

ser muy útil. El tamaño de la hoja para la gráca (papel milimetrado) debe ser sucientemente grande para hacer una gráca clara. Si se requiere toda una hoja tamaño carta está bien, o media hoja tamaño carta. Debemos evitar grácas muy pequeñas que dicultan luego su análisis. Luego pensamos en las escalas más convenientes para los ejes. Debemos evitar que la gráca resulte muy parada (escala muy comprimida en el eje horizontal), o muy acostada (escala muy comprimida en el eje vertical), pues esto dicultaría el análisis de la gráca. Así más bien, la gráca debe resultar bien proporcionada, cubriendo cómodamente el espacio disponible en la hoja milimetrada.

Gráca muy horizontal.

Gráca muy vertical.

Es cómodo y claro si los ejes se cruzan en

(0, 0).

Pero esto no es necesario, pueden cruzarse en otros

valores. Frecuentemente obtener para una gráca bien proporcionada, es necesario limitarse a cubrir solo a una pequeña porción de un cuadrante. Así los ejes se cruzarán no en

(0, 0),

sino donde sea lo

más adecuado para una buena gráca agradable a la vista y cómoda para analizar. Teniendo ya claridad sobre las variables a gracar, tipo de gráca, papel a utilizar, escalas seleccionadas, procedemos a dibujar ejes, marcar las escalas con divisiones claras y cómodas, poner los nombres a cada eje y escribir las unidades utilizadas.

25


CAPÍTULO 5.



Gráca bien proporcionada.

No debemos olvidar ponerle título conciso a la gráca y la fecha (día/mes/año). Más adelante (tal vez un par de años más adelante) todavía nos interesará ver qué hicimos en el laboratorio y cuándo lo hicimos. Entonces agradeceremos lo que facilite la comprensión de la gráca. También debemos pensar que nuestra gráca debe poder ser entendida con facilidad por otros lectores, no solo por nosotros mismos. Elaboramos la gráca con lápiz de punta na. Un lápiz muy grueso debe evitarse, pués introduce imprecisiones innecesarias. Representamos los datos, marcando los puntos en forma de pequeños círculos, o triángulos, o cuadrados, con las barras de error propias de cada medición. Las barras de error dibujadas corresponden a una desviación estándar. Cuando hay una correlación clara para los datos representados en la gráca, dibujamos una curva suave que pase por los puntos. Para esto nos distanciamos un poco de la gráca, de tal forma que nuestra vista cubra toda la gráca, todos los puntos. Entonces a mano alzada, con conanza y seguridad, con el lápiz trazamos la curva que mejor reproduzca los datos. Al trazar la curva suave no miramos la punta del lápiz, sino los puntos siguientes a los cuales nos dirigimos con el movimiento rápido de la mano.

La curva suave no une los puntos, sino señala la relación que hay entre las variables, dibuja el patrón que las correlaciona. Debemos procurar que la curva suave pase entre las barras de error de los puntos gracados, pero no debemos forzarlo, si por hacerlo se rompe la suavidad de la curva.

Importante:

Si los errores marcados con las barras de error son accidentales (tienen carácter aleatorio), entonces un tercio de los puntos quedarán fuera de la curva suave, no alcanzarán con sus barras de error la curva suave. (Recordemos que las barras de error cubren solo una desviación estándar.) Recordemos: Conemos en nuestra vista para trazar la curva suave. El ojo humano es muy poderoso para hallar la mejor curva que reproduce los datos.

5.1. Grácas Logarítmicas La utilización de escalas logarítmicas para las grácas resulta muy conveniente y recomendable cuando:

los datos a gracar abarcan un rango de valores tan amplio, que no pueden ser representados en papel lineal de tamaño convencional, la forma de la relación matemática entre las variables a gracar es tal, que la curva que representa esta relación resulta ser una línea recta en escala logarítmica pero no en escala lineal.

26


CAPÍTULO 5.



Para elaborar la gráca logarítmica empleamos papel logarítmico, que existe como papel log-log, donde los dos ejes para abscisa y ordenada vienen ya impresos en escala logarítmica, como papel semilogarítmico, donde uno de los ejes es lineal, el otro logarítmico.

Papel semilogarítmico.

Papel logarítmico (log-log) El empleo de papel logarítmico evita que tengamos que calcular el logaritmo de los datos a gracar, simplemente nos limitamos a trabajar con los valores medidos. El logaritmo de cada valor medido lo da la escala logarítmica ya impresa en el papel. Importante:

No puede haber cero en escala logarítmica.

5.2. La Recta en Grácas log-log Con frecuencia hacemos grácas log-log para obtener una recta al representar los datos del experimento, datos que en escala lineal dan una curva más difícil de analizar. Una recta en la representación log-log viene dada por:

log y = m log x + log y0 , donde

m

es la pendiente de la recta.

log y0

da la interceptación de la recta con el eje

Si esta es la recta en la representación log-log, entonces entre las variables

(x, y)

log y . la relación es:

y = y0 xm , lo que se comprueba tomando el logaritmo a los dos lados de esta última ecuación para llegar a la recta de la gráca log-log.

27


CAPÍTULO 5.



Ejemplo y = y0 xm y0 = 5 m = 2,5

x

y

0

0

1

5

2

28

3

78

4

160

5

280

6

441

7

648

8

905

9

1215

10

1581

11

2007

12

2494

13

3047

14

3667

15

4357

16

5120

17

5958

18

6873

19

7868

20

8944

Representación log-log 28


CAPÍTULO 5.



Así siempre que las variables

(x, y)

satisfagan la relación

y = cxn donde

c

potencia de eje

n son constantes, la representación log-log da una recta, que nos permite determinar n , x, a partir de la pendiente de la recta, y la constante c a partir del cruce de la recta con

y

la el

log y .

5.3. Grácas Semilogarítmicas Cuando gracamos en papel semilogarítmico un eje de la gráca será logarítmico y el otro lineal. Utilizamos este papel cuando los datos están relacionados por una ecuación de la forma

y = aebx donde e es

2,718 . . .,

la base del logaritmo natural. Datos que siguen esta relación exponencial apare-

cerán sobre una línea recta en la gráca semilogarítmica.

Ejemplo: y = aebx

x

a=5

b = 0,38

y

0

5

1

7

2

11

3

16

4

23

5

33

6

49

7

71

8

105

9

153

10

224

11

327

12

478

13

699

14

1022

15

1494

16

2185

17

3195

18

4672

19

6832

20

9991

29


CAPÍTULO 5.



5.4. La Línea Recta La gráca más conveniente para el análisis de los datos: Frecuentemente se desea dar la correlación entre las variables que fueron medidas en el experimento en términos de una expresión analítica. Si con una representación gráca de los datos logramos aproximarlos por una línea recta, la relación analítica se obtiene fácilmente. Los demás casos son más difíciles de analizar. La curva podría ser un polinomio, una exponencial, o una función logarítmica complicada y presentar en estos casos el mismo aspecto cualitativo al ojo. En cambio la línea recta es muy fácil de reconocer y de analizar. Recordemos:

recta.

Es muy conveniente representar los datos de tal modo, que la gráca resulte ser una línea

Como hemos visto, la utilización de papel logarítmico y semilogarítmico es una ayuda para lograr representar los datos en una línea recta. Pero solo el papel no es suciente. También debemos conocer qué se gráca contra qué para obtener una línea recta. En la siguiente tabla encontramos una serie de métodos para lograr representar los datos en una línea recta. Relación Funcional

Método de Gracar

y = a + bx

y

versus

Determinando grácamente los parámetros

x

en papel lineal

y = axb

log(y)

versus

log(x)

en papel log-log

30


CAPÍTULO 5.



Relación Funcional

Método de Gracar

y = aebx

log(y)

versus


x

en papel semilogarítmico

y=

x a+bx

1 1 y versus x en papel lineal

y = a + bx + cx2

y−y1 x−x1 versus

x

en papel lineal,

x1 , y1

son valores particu-

lares

y=

x a+bx

+c

x−x1 y−y1 versus

x

en papel lineal

x1 , y1


lares.

31


CAPÍTULO 5.



Relación Funcional

Método de Gracar

2

y = aebx+cx

log

y y1

1 (x−x ) 1


versus

x

en papel semilogarítmico

x1 , y1


lares.

5.5. Regresión Lineal Ajustando una Recta a los Datos Experimentales El Método de los Mínimos Cuadrados Cuando la relación entre los variables gracadas es lineal, la práctica estándar consiste en aplicar el

método de los mínimos cuadrados

esto se le llama también hacer una

para hallar la mejor recta, que reproduce los datos experimentales. A

regresión lineal.

La idea es hallar una recta tal, que el promedio del cuadrado de las desviaciones sea mínimo. Las desviaciones son las de los datos medidos con respecto a la recta. Este criterio de minimizar el promedio del cuadrado de las desviaciones lleva a los más consistentes resultados y siendo la práctica estándar facilita la comparación de resultados, cuando diversos experimentalistas aplican las mismas técnicas de análisis. Empecemos por la recta, que mejor reproduce nuestros datos. La forma matemática es:

y = a + bx donde

b

es la pendiente y

a

es el cruce de la recta con el eje de

y

para

32


x = 0.

CAPÍTULO 5.



La desviación

δyi

del i-ésimo punto medido

(xi , yi )

con respecto a la recta está dada por:

δyi = yi − (a + bxi ) La condición que el promedio del cuadrado de las desviaciones sea mínimo (para

P

f (a, b)

Reemplazando en estas derivadas parciales

mínimo,

deben ser cero:

∂f (a, b) =0 ∂b

∂f (a, b) =0 ∂a

δyi ,

puntos),

2

(δyi ) = f (a, b) sea N

implica que las derivadas parciales de

N

P

(δyi )2 para N

obtenemos dos ecuaciones para hallar las incógnitas

f (a, b)

a, b.

y reemplazando

yi − (a + bxi )

para

La solución simultánea de estas ecuaciones

es lo que utilizamos en la práctica cuando hacemos la regresión lineal:

P P P (x2i ) yi − xi (xi yi ) a= P P 2 N (x2i ) − ( xi ) P P P N (xi yi ) − xi yi b= P P 2 N (x2i ) − ( xi ) P

Con estas dos expresiones queda determinada la recta, que mejor reproduce los datos experimentales, según el método de los mínimos cuadrados. Debemos hallar también las desviaciones estándar

σa

y

σb

determinado, es la que mejor se ajusta a los datos del experimento, pero

mverdadera y la intercepción bverdadera y (b − σb , b + σb ) respectivamente.

no es la verdadera recta,

no

63 % la pendiente de la verdadera recta estarán dentro de los intervalos (a − σa , a + σa )

da la verdadera relación lineal entre las variables

x, y .

a y b obtenidos con y = a + bx que hemos

para los valores de

el método de los mínimos cuadrados. ¾Por qué? Simplemente porque la recta

Así con una probabilidad del

Las desviaciones estándar son:

s σa = σy

N

P

(x2i ) P 2 (x2i ) − ( xi )

N

P

N P 2 (x2i ) − ( xi )

P

s σb = σy

donde

s σy =

P

2

(δyi ) N −2

33


CAPÍTULO 5.



Ejemplo x

y

0

2.2

1

2.4

2

3.0

3

3.4

4

3.9

5

4.2

6

4.6

7

5.3

8

5.9

9

6.0

10

6.4

11

8.1

12

7.9

13

8.8

14

9.8

15

8.6

16

10.0

17

10.6

18

11.2

19

11.1

20

11.7

Regresión Lineal x2

xy

δy

δy 2

x

y

0

2.2

0

0

0.29

0.08

1

2.4

1

2.4

-0.01

0.00

2

3.0

4

6.

0.09

0.01

3

3.4

9

10.2

-0.01

0.00

4

3.9

16

15.6

-0.01

0.00

5

4.2

25

21.

-0.21

0.04

6

4.6

36

27.6

-0.31

0.10

7

5.3

49

37.1

-0.11

0.01

8

5.9

64

47.2

-0.01

0.00

9

6.0

81

54.

-0.41

0.17

10

6.4

100

64.

-0.51

0.26

11

8.1

121

89.1

0.69

0.48

12

7.9

144

94.8

-0.01

0.00

13

8.8

169

114.4

0.39

0.15

14

9.8

196

137.2

0.89

0.80

15

8.6

225

129.

-0.81

0.66

16

10.0

256

160.

0.09

0.01

17

10.6

289

180.2

0.19

0.04

18

11.2

324

201.6

0.29

0.08

19

11.1

361

210.9

-0.31

0.10

20

11.7

400

234.

-0.21

0.04

P

x 210

P

y 145,1

P ( x)2 44100

(x2 ) 2870

P

P

xy 1837

(δy)2 3,018

P

Fit: Mínimos Cuadrados

b = 0,50 a = 1,94 σy = 0,399 σb = 0,014 σa = 0,168

N 21

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CAPÍTULO 5.



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Guía de Técnicas Experimentales Para Laboratorios de Física - Adames, Miguel Angel - 1ed

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