Guía de Matemáticas IB Nivel Superior

Programa del Diploma

Guía de Matemáticas NS Primeros exámenes: 2014

Programa del Diploma

Guía de Matemáticas NS Primeros exámenes: 2014

Programa del Diploma Guía de Matemáticas NS

Versión en español del documento publicado en junio de 2012 con el título Mathematicss HL guide Mathematic

Publicada en junio de 2012 Actualizada en agosto de 2014 Bachillerato Internacional Peterson House, Malthouse Avenue, Cardiff Gate Cardiff, Wales GB CF23 8GL Reino Unido Tel.: +44 29 2054 7777 Fax: +44 29 2054 7778 Sitio web: http://www.ibo. htt p://www.ibo.org org © Organización del Bachillerato Internacional, 2012 El Bachillerato Internacional Interna cional (IB) ofrece tres programas educativos exigentes y de calidad a una comunidad de colegios de todo el mundo, con el propósito de crear un mundo mejor y más pacífico. El IB agradece la autorización para reproducir en esta publicac publicación ión material protegido por dere derechos chos de autor. a utor. Cua Cuando ndo proc procede, ede, se han h an cita citado do las l as f uent uentes es orig o rigina inales les y, de serle notificado, el IB enmendar á cualquier error u omisión con la mayor brevedad posible. El uso del género masculino en esta publicac publicación ión no tiene un propósito discriminatorio y se justifica únicamente como medio para hacer el texto más fluido. Se pretende que el español utilizado sea comprensible para todos los hablantes de esta lengua y no refleje una variante particular o regional de la misma. Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede reproducirse, almacenarse o distribuirse de forma total o parcial, en manera alguna ni por ningú n medio, sin la previa autor autorizació izaciónn por escr escrito ito del IB, sin perju p erjuicio icio de lo estipulad est ipuladoo expresame expr esamente nte por la ley o por p or la l a políti p olítica ca y nor normat mativa iva de d e uso u so de d e la propi propieda edadd intele i ntelectu ctual al del IB. Véase la página http://www.ibo.org/es/copyright del sitio web del IB para más información. Los artículos promocionales y las publicaciones del IB pueden adquirirse en la tienda virtual del IB, disponible en http://store.ibo.org. Las consultas sobre pedidos deben dirigirse al departamento de marketing y ventas en Cardiff. Tel.: +44 29 2054 7746 Fax: +44 29 2054 7779 Correo-e: [email protected]

International Baccalaureate, Baccalauréat International y Bachillerato Internacional son marcas registradas de la Organización del Bachillerato Internacional. Impreso en el Reino Unido por Anthony Rowe Ltd (Chippenham, Wiltshire)

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Declaración de principios del IB El Bachillerato Internacional (IB) tiene como meta formar jóvenes solidarios, informados y ávidos de conocimiento, capaces de contribuir a crear un mundo mejor y más pacífico, en el marco del entendimiento mutuo y el respeto intercultural. En pos de est e objetivo, la organización colabora con establecimientos escolares, gobiernos y organizaciones internacionales para crear y desarrollar programas de educación internacional exigentes y métodos de evaluación rigurosos. Estos programas alientan a estudiantes del mundo entero a adoptar una actitud activa de aprendizaje durante toda su vida, a ser compasivos y a entender que otras personas, con sus diferencias, también pueden estar en lo cierto.

Perfil de la comunidad de aprendizaje del IB El objetivo fundamental de los programas del IB es formar personas con mentalidad internacional que, conscientes de la condición que los une como seres humanos y de la responsabilidad que comparten de velar por el planeta, contribuyan a crear u n mundo mejor y más pacífico. Los miembros de la comunidad de aprendizaje del IB se esfuerzan por ser:

Indagadores

Desarrollan su curiosidad natural. Adquieren las habilidades necesarias para indagar y realizar investigaciones, y demuestran autonomía en su aprendizaje. Disfrutan aprendiendo y mantendrán estas ansias de aprender durante el resto de su vida.

Informados e instruidos

Exploran conceptos, ideas y cuestiones de importancia local y mundial y, al hacerlo, adquieren conocimientos y profundizan su comprensión de una amplia y equilibrada gama de disciplinas.

Pensadores

Aplican, por propia iniciativa, sus habilidades intelectuales de manera crítica y creativa para reconocer y abordar problemas complejos, y para tomar decisiones razonadas y éticas.

Buenos comunicadores

Comprenden y expresan ideas e información con confianza y creatividad en diversas lenguas, lenguajes y forma s de comunicación. Están bien dispuestos a colaborar con ot ros y lo hacen de forma eficaz.

Íntegros

Actúan con integridad y honradez, poseen un profundo sentido de la equidad, la justicia y el respeto por la dignidad de las personas, los grupos y las comunidades. Asumen la responsabilidad de sus propios actos y las consecuencias der ivadas de ellos.

De mentalidad abierta

Entienden y aprecian su propia cultura e historia personal, y están abiertos a las perspectivas, valor es y tradiciones de otras personas y comunid ades. Están habit uados a buscar y considerar distintos puntos de vista y dispuestos a aprender de la experiencia.

Solidarios

Muestran empatía, sensibilidad y respeto por las necesidades y sentimientos de los demás. Se comprometen personalmente a ayudar a los demás y actúan con el propósito de influir positivamente en la vida de las personas y el medio ambiente.

Audaces

Abordan situaciones desconocidas e inciert as con sensatez y determ inación y su espíritu independiente les permite explorar nuevos roles, ideas y estrategias. Defienden aquello en lo que creen con elocuencia y valor.

Equilibrados

Entienden la importancia del equilibrio físico, mental y emocional para lograr el bienestar personal propio y el de los demás.

Reflexivos

Evalúan detenidamente su propio aprendizaje y experiencias. Son capaces de reconocer y comprender sus cualidades y limitaciones para, de este modo, contribuir a su aprendizaje y desarrollo personal.

© Organización del Bachillerato Internacional, 2007

Índice

Introducción

1

Propósito de esta publicación

1

El Programa del Diploma

2

Naturaleza de la asignatura

4

Objetivos generales

9

Objetivos de evaluación

10

Programa de estudios

11

Resumen del programa de estudios

11

Enfoques de la enseñanza y el aprendizaje del curso

12

Temas relacionados con los conocimientos previos

16

Contenido del programa de estudios

18

Glosario de terminología: matemática discreta

55

Evaluación

57

La evaluación en el Programa del Diploma

57

Resumen de la evaluación

59

Evaluación externa

60

Evaluación interna

64

Apéndices

72

Glosario de términos de instrucción

72

Notación

74

Guía de Matemáticas NS

Introducción

Propósito de esta publicación

El propósito de esta publicación es servir de guía a los colegios en la planificación, la enseñanza y la evaluación de la asignatura. Si bien está d irigida principalmente a los profesores, se espera que estos la utilicen par a informar sobre la asignatura a padres y alumnos. Esta guía está disponible en la página de la asignatura en el Centro pedagógico en línea (http://occ.ibo.org), un sitio web del IB protegido por contraseña concebido para proporcionar apoyo a los profesores del IB. También puede adquirirse en la tienda virtual del IB (http://store.ibo.org).

Otros recursos En el Centro pedagógico en línea (CPEL) pueden encontrarse también publicaciones tales como materiales de ayuda al profesor, informes de la asignatur a, información adicional sobre la evaluación interna y descriptores de las calificaciones finales. En la tienda virtual del IB se pueden adquirir exámenes de muestra, exámenes de convocatorias pasadas y esquemas de calificación. Se anima a los profesores a que visiten el CPEL para ver materiales adicionales creados o utilizados por otros docentes. Se les invita también a aportar información sobre materiales que consideren útiles, por ejemplo: sitios web, libros, videos, publicaciones periódicas o ideas pedagógicas.

Primeros exámenes: 2014


1

Introducción


El Programa del Diploma es un curso preuniversitario exigente de dos años de duración, para jóvenes de 16 a 19 años. Su currículo abarca una amplia gama de áreas de estudio y aspira a formar alumnos informados y con espíritu indagador, a la vez que solidarios y sensibles a las necesidades de los demás. Se da especial importancia a que los jóvenes desarrollen el entendimiento intercultural y una mentalidad abierta, así como las actitudes necesarias para respetar y evaluar distintos puntos de vista.

El hexágono del Programa del Diploma El currículo del programa se representa mediante un hexágono dividido en seis áreas académicas dispuestas en torno a un núcleo (véase la figura 1), y fomenta el estudio de una variedad de áreas académicas durante los dos años. Los alumnos estudian dos lenguas modernas (o una lengua moderna y una clásica), una asignatura de humanidades o ciencias sociales, una ciencia experimental, una asignatura de matemáticas y una de las artes. Esta variedad hace del Programa del Diploma un curso exigente y muy eficaz como preparación para el ingreso a la universidad. Además, en cada una de las áreas académicas los alumnos tienen flexibilidad para elegir las asignaturas en las que estén particularmente interesados y que quizás deseen continuar estudiando en la universidad.

Estudios de Lengua y Literatura

Grupo 1

Adquisición de Lenguas

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Grupo 3

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Ciencias Experimentales

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Individuos y Sociedades

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Grupo 5

Matemáticas

Grupo 6

Artes

Figura 1 Modelo del Prog rama del Diploma

2



La combinación adecuada Los alumnos deben elegir una asignatura de cada una de las seis áreas académicas, aunque también tienen la opción de elegir una segunda asignatura de los grupos del 1 al 5 en lugar de una asignatura del Grupo 6. Generalmente tres asignaturas (y no más de cuatro) deben cursarse en el Nivel Superior (NS) y las demás en el Nivel Medio (NM). El IB recomienda dedicar 240 horas lectivas a las asignaturas del NS y 150 a las del NM. Las asignaturas del NS se est udian con mayor amplitud y profundidad que las del NM. En ambos niveles se desarrollan numerosas habilidades, en especial las de análisis y pensa miento crítico. Dichas habilidades se evalúan externamente al final del curso. En muchas asignaturas los alumnos realizan también trabajos que califica directamente el profesor en el colegio. Los exámenes pueden realizarse en español, francés e inglés, a excepción de los grupos 1 y 2: los exámenes de estos dos grupos se hacen en la lengua objeto de estudio.

El núcleo del hexágono Todos los alumnos del Programa del Diploma deben completar los tres requisitos que conforman el núcleo del hexágono. La reflexión inherente a las actividades que los alumnos desar rollan en estas áreas es u n principio fundamental de la f ilosofía del Programa del Diploma. El curso de Teoría del Conocimiento anima a los alumnos a reflexionar sobre la naturaleza del conocimiento y el proceso de aprendizaje que tiene lugar en las asignaturas que estudian como parte del Programa del Diploma, y a establecer conexiones entre las áreas académicas. La Monografía, un trabajo escrito de unas 4.000 palabras, ofrece a los alumnos la oportunidad de investigar un tema de su elección que les interese especialmente. Asimismo, los estimula a desarrollar las habilidades necesarias par a llevar a cabo una investigación independiente, habilidades que deberán poner en práctica en la universidad. Creatividad, Acción y Servicio posibilita el aprendizaje experiencial mediante la participación de los alumnos en una variedad de actividades artísticas, deportivas, físicas y de ser vicio a la comunidad.

La declaración de principios del IB y el perfil de la comunidad de aprendizaje del IB El Programa del Diploma se propone desarrollar en los alumnos los conocimientos, las habilidades y las actitudes que necesitarán para alcanzar las metas del IB, tal como aparecen expresadas en su declaración de principios y en el perfil de la comunidad de aprendizaje del IB. La enseñanza y el aprendizaje en el Programa del Diploma representan la puesta en práctica de la filosofía educativa del IB.


3

Introducción


Introducción La naturaleza de las matemáticas se puede resumir de varias maneras, por ejemplo, como un conjunto de conocimientos bien definido, un sistema abstracto de ideas o una herramienta útil. Es probable que para muchas personas sea una combinación de estas tres cosas, pero no hay duda de que el conocimiento matemático proporciona una clave importante para la comprensión del mundo en que vivimos. Las matemáticas pueden aparecer en nuestra vida de diversas formas: al comprar productos en el mercado, consultar un horario, leer un periódico, cronometrar un proceso o estimar una longitud. Para muchos de nosotros, las matemáticas también forman parte de nuestra profesión: los pintores han de aprender perspectiva, los músicos deben comprender las relaciones matemáticas dentro de un m ismo ritmo y entre rit mos distintos, los economistas tienen que reconocer tendencias en las transacciones financieras y los ingenieros deben tener en cuenta los tipos de tensión de los materiales. Los científicos consideran las matemáticas como un lenguaje fundamental para la comprensión de lo que ocurre en la naturaleza. Algunas personas disfrutan de los desafíos que plantean los métodos lógicos de las matemáticas y de la aventura del razonamiento que suponen las demostraciones. Para otras, las matemáticas constituyen una experiencia estética o incluso uno de los pilares de la filosofía. Este predominio de las matemáticas en nuestra vida, con todas sus conexiones interdisciplinarias, ofrece motivos claros y suficientes para que sea una asignatura obligatoria para aquellos alumnos que cursan el Programa del Diploma completo.

Presentación de los cursos Debido a las diversas necesidades, intereses y capacidades de los alumnos, existen cuatro cursos distintos de matemáticas pensados para diferentes grupos de alumnos: aquellos que quieren estudiar matemáticas en profundidad como una disciplina en sí misma o por su interés en materias af ines; los que desean adquirir un cierto grado de comprensión y conocimiento que les ayude en el estudio de otra s asignaturas; y aquellos que todavía no son conscientes de la relación que pueden tener las matemáticas con sus estudios y con la vida cotidiana. Cada curso está concebido para satisfacer las necesidades de un grupo concreto de alumnos. Así pues, los alumnos deben elegir cuidadosamente el curso más adecuado para ellos. Para tomar esta decisión, se debe aconsejar a cada alumno que tenga en cuenta los siguientes factores: •

Las destrezas matemáticas que posee y el área de las matemáticas en la que pueda obtener mejores resultados

•

Su interés personal en las matemáticas y las áreas de la asignatura que puedan resultarle más interesantes

•

Las otras asignaturas que elige en el Programa del Diploma

•

Sus planes académicos para el futuro, en concreto, las asignaturas que desea estudiar

•

La profesión que desea desempeñar en el futuro

Se espera que los profesores presten ayuda en este proceso y aconsejen a los alumnos.

4



Estudios Matemáticos NM Este curso se ofrece solo en el Nivel Medio (NM) y su nivel es equivalente al de Matemáticas NM, pero aborda distintas necesidades. Hace h incapié en las aplicaciones de las matemáticas y la part e más extensa es sobre técnicas estadísticas. Está diseñado para alumnos con distintas capacidades y niveles de conocimiento matemáticos, y les ofrece oportunidades para aprender conceptos y técnicas importantes, así como para comprender una amplia variedad de temas matemáticos. Asimismo, los prepara para ser capaces de resolver problemas en distintos contex tos, des ar rollar un razon amiento mat emático más com plejo y mejorar su pen sam iento crítico. El proyecto indiv idual con siste en un tr abajo ext enso bas ado en una i nves tigación personal que implica la recopilación, el análisis y la evaluación de información. Los alumnos que realizan este curso están bien preparados para las carreras de ciencias sociales, humanidades, lenguas o artes. Es posible que necesiten hacer uso, en sus f uturos estudios, de la estadística y el pensamiento lógico que aprendan como parte del curso de Estudios Matemáticos NM.

Matemáticas NM Este curso está desti nado a alumnos que ya tienen conocimientos sobre los conceptos matemáticos fundamentales y que poseen las destrezas necesarias para aplicar correctamente técnicas matemáticas sencillas. La mayoría de estos alumnos va a necesitar una formación matemática sólida como preparación para sus estudios posteriores en áreas tales como la química, la economía, la psicología, y la administración y gestión de empresas.

Matemáticas NS Este curso está destinado a alumnos con una buena formación matemática que poseen una serie de destrezas analíticas y técnicas. Para la mayoría de estos alumnos, las matemáticas constituirán uno de los componentes fundamentales de sus estudios universitarios, como materia en sí misma o en áreas tales como la física, la ingeniería y la tecnología. Para otros la elección puede deberse a que tengan un gra n interés por las matemáticas, les atraigan sus desafíos y disfruten con la resolución de los problemas que se plantean.

Ampliación de Matemáticas NS Este curso se ofrece solo en el Nivel Superior (NS). Está destinado a alumnos con una sólida formación matemática que han alcanzado un alto nivel de competencia en una serie de destrezas analíticas y técnicas, y que muestran un interés considerable por la materia. La mayor parte de estos alumnos pretende seguir estudios de matemáticas en la universidad, bien como materia en sí misma o bien como componente fundamental de algún área relacionada con ella. El curso se ha concebido específicamente para que los alumnos puedan comprender en profundidad diversas ramas de las matemáticas y conocer también sus aplicaciones prácticas. Se espera que los alumnos que elijan este curso también elijan Matemáticas NS. Nota: Matemáticas

NS es un curso ideal para aquellos alumnos que desean hacer de las matemáticas un componente importante en sus estudios universitarios, bien como materia en sí misma o como parte de cursos como física, ingeniería o tecnología. No se debe considerar necesario que tales alumnos realicen la Ampliación de Matemáticas NS. Por el contrario, Ampliación de Matemáticas NS es un curso opcional para alumnos con una aptitud e interés especiales en las matemáticas, que los capacitará para estudiar algunos aspectos más amplios y profundos de las mismas, pero no es, en ningú n caso, una titulación necesaria para seguir estudios superiores de matemáticas.


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Matemáticas NS: descripción del curso Este curso se centra en el desarrollo de importantes conceptos matemáticos de forma comprensible, coherente y rigurosa. Ello se consigue mediante un enfoque cuidadosamente equilibrado. Se pretende que los alumnos apliquen sus conocimientos matemáticos a la resolución de problemas extraídos de una diversidad de contextos. En el desarrollo de los temas se debe dar importancia a la justificación y la demostración de los resultados. Los alumnos que elijan este curso lograrán desarrollar su comprensión de las formas y las estr ucturas matemáticas y han de estar capacitados para apreciar las relaciones entre conceptos pertenecientes a distintos temas. También se les debe animar a desarrollar las destrezas necesarias par a continuar su formación matemática en otros ámbitos de aprendizaje. El componente de la evaluación interna, la exploración, ofrece a los alumnos una oport unidad para el desarrollo de su aprendizaje matemático de forma independiente. Se anima a que los alumnos adopten un enfoque reflexivo respecto a diversas actividades matemáticas y que exploren distintas ideas matemáticas. La exploración también permite que los alum nos trabajen sin las limitaciones de tiempo de los exámenes escritos y que desarrollen las destrezas necesarias para exponer ideas matemáticas. Este es un curso muy exigente, donde los alumnos deben estudiar una amplia variedad de temas matemáticos a través de distintos enfoques y con distintos niveles de profundidad. Los alumnos que deseen estudiar matemáticas de un modo menos riguroso deben optar por una de las asignaturas del Nivel Medio, Matemáticas NM o Estudios Matemáticos NM. Los alumnos que deseen estudiar un curso incluso más riguroso y exigente deberían considerar la posibilidad de cursar Ampliación de Matemáticas NS además de Matemáticas NS.

Conocimientos previos Las matemáticas constituyen una materia lineal y se espera que la mayoría de los alumnos que elijan un curso de matemáticas del Programa del Diploma hayan estudiado matemáticas durante, al menos, 10 años. Los alumnos habrán estudiado una gran variedad de temas, con distintos enfoques de la enseñanza y el aprendizaje. Por lo tanto, contarán con una amplia diversidad de destrezas y conocimientos al comenzar el curso de Matemáticas NS. La mayoría tendrá alguna formación en aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, probabilidad y estadística. A algunos les resultará familiar el enfoque de indagación y es probable que hayan tenido ocasión de realizar un tr abajo extenso de matemáticas. Al comienzo de la sección del programa de estudios, hay una lista de temas que, se presume, los alumnos deben ya conocer para el curso de Matemáticas NS. Se entiende que algunos de ellos pueden ser desconocidos para alg unos alum nos, pero se prevé que puede haber ot ros temas dentro del programa de estudios que los alumnos ya conozcan. Los profesores deben planificar la enseñan za de modo que se incorporen los temas mencionados que sean desconocidos para sus alumnos.

Vínculos con el Programa de los Años Intermedios Los temas relacionados con los conocimientos previos de los cursos del Programa del Diploma (PD) han sido elaborados conjuntamente con la Guía de Matemáticas del Programa de los A ños Intermedios (PAI). Los enfoques de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas del PD se basan en los enfoques utilizados en el PAI. Estos incluyen investigaciones, exploración y una variedad de herramientas de evaluación. El documento El c ontinuo de Matemát icas de l IB: del PAI al Prog rama de l Diploma (noviembre de 2010) está disponible en las páginas de matemáticas del PD en el Centro pedagógico en lí nea (CPEL). Esta extensa publicación se cent ra en la coherencia entre las matemáticas en el P rogr ama de los Años Intermedios y el

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Programa del Diploma. Se desar rolló en respuesta a los comentar ios proporcionados por los Colegios del Mundo del IB, que expresaban la necesidad de ar ticular la transición de Matemáticas del Programa de los Años Intermedios a los cursos de matemáticas del Programa del Diploma. La publicación también destaca las similitudes y diferencias entre las matemáticas del PAI y las del PD, y constituye un valioso recurso para los profesores.

Matemáticas y Teoría del Conocimiento La Guía de Teoría del Conocimiento (marzo de 2006) identifica cuatro formas de conocimiento, y se puede afirmar que todas ellas tienen una fu nción en la adquisición de conocimientos matemáticos. Si bien es probable que, en un principio, las matemáticas estén inspiradas por los datos de la percepción sensorial, estas están dominadas por la razón y algunos matemáticos sostienen que su materia es un lenguaje que, de algún modo, es universal. Sin embargo, tampoco hay duda alguna de que los matemáticos perciben la belleza en las matemáticas y que la emoción puede ser un motor poderoso en la búsqueda del conocimiento matemático. Como un área de conocimiento, las matemáticas parecen proporcionar una cert eza que, quizás, falta en otras disciplinas. Esto puede estar relacionado con la “pureza” de la materia, que la hace a veces parecer divorciada de la realidad. Sin embargo, las matemáticas también proporcionan un conocimiento importante sobre el mundo, y el uso de las matemáticas en la ciencia y la tecnología ha constituido una de las f uerzas impulsoras de los avances científicos. A pesar de todo su indudable poder para facilitar el entendimiento y el cambio, las matemáticas son finalmente un fenómeno desconcertante. Un interrogante fundamental para todos los entendidos es si el conocimiento matemático realmente existe con independencia de nuestro pensamiento respecto del mismo; ¿está “esperando ser descubierto” o es una creación del ser humano? Se debe atraer la atención de los alumnos hacia cuestiones que relacionan la Teoría del Conocimiento (TdC) con las matemáticas, y animarlos a plantear tales cuestiones por sí mismos, en las clases de Matemáticas y en las de Teoría del Conocimiento. Esto incluye el cuestionamiento de todas las afirmaciones anteriores. En la columna “Vínculos” del contenido del programa de estudios se proporcionan ejemplos relacionados con Teoría del Conocimiento. Los profesores también pueden discutir sobre cuestiones tales como las que se plantean en la sección “Áreas de conocimiento” de la Guía de Teoría del Conocimiento.

Matemáticas y la dimensión internacional Las matemáticas son, de algún modo, un lenguaje internacional y, aparte de algunas ligeras diferencias en la notación, los matemáticos de todo el mundo se pueden comunicar en su campo. Aunque las matemáticas trascienden la política, la religión y la nacionalidad, a través de la historia grandes civilizaciones deben su éxito, en parte, a la capacidad de sus matemáticos para crear y mantener estructuras sociales y arquitectónicas complejas. A pesar de los recientes avances en el desarrollo de las tecnologías de la información y las comunicaciones, el intercambio global de información e ideas matemáticas no es un fenómeno nuevo y ha sido esencial para el desarrollo de las matemáticas. En efecto, muchos de los fundamentos de la matemática moderna fueron establecidos hace muchos siglos por las civilizaciones árabe, griega, india y china, entre otras. Los profesores pueden utilizar sitios web que incluyan líneas de tiempo para mostr ar las cont ribuciones que las distintas civilizaciones han hecho a las matemáticas y no solo por sus contenidos matemáticos. Dar a conocer los personajes y personalidades de los matemáticos en cuestión, así como el contexto histórico en el que trabajaban, pone de relieve la dimensión humana y cultural de las matemáticas.


7


La importancia de las ciencias y la tecnología en el mundo cotidiano es evidente, pero el papel fundamental de las matemáticas no está tan claramente reconocido. Es el lenguaje de la ciencia y sustenta la mayoría de los desarrollos en las ciencias y la tecnología. Un buen ejemplo de ello es la revolución digital que está transformando el mundo, basada en el sistema de numeración binario de las matemáticas. Ya existen varios organismos internacionales para promover las matemáticas. Se anima a los alumnos a acceder a los sitios web de las organizaciones matemáticas internacionales para apreciar mejor la dimensión internacional y participar en las cuestiones globales en torno a la materia. En la columna “Vínculos” del programa de estudios se proporcionan ejemplos de temas globales relacionados con la mentalidad internacional (Dimensión internacional).

8


Introducción

Objetivos generales

Objetivos generales del Grupo 5 Todos los cursos de matemáticas del Grupo 5 tienen como meta permitir a los alumnos: 1.

Disfrutar de las matemáticas y llegar a apreciar la elegancia y las posibilidades que ofrecen

2.

Desarrollar una comprensión de los principios y la naturaleza de la asignatura

3.

Comunicarse con claridad y confianza en diversos contextos

4.

Desarrollar el pensamiento lógico, crítico y creativo, y desarrollar paciencia y constancia en la resolución de problemas

5.

Emplear y perfeccionar sus capacidades de abstracción y generalización

6.

Aplicar destrezas a distintas situaciones, a otras áreas de conocimiento y a futuros desarrollos

7.

Apreciar cómo los avances tecnológicos han inf luido en los avances en matemáticas, y viceversa

8.

Apreciar las implicaciones morales, sociales y éticas del trabajo de los matemáticos y las aplicaciones de las matemáticas

9.

Apreciar la dimensión internacional de las matemáticas, reconociendo su universalidad y sus perspectivas multiculturales e históricas

10.

Valorar la contribución de las matemáticas a otras disciplinas y como un área de conocimiento específica en el curso de Teoría del Conocimiento


9

Introducción

Objetivos de evaluación

La resolución de problemas es fundamental en el aprendizaje de matemáticas, e implica la adquisición de destrezas y conceptos matemáticos en una amplia variedad de situaciones, incluidos los problemas que no son de rutina, los problemas abiertos y los problemas de la vida real. Tras haber completado el curso de Matemáticas NS del Programa del Diploma, se espera que los alumnos demuestren lo siguiente: 1.

Conocimiento y comprensión: recordar,

2.

Resolución de problemas: recordar,

3.

Comunicación e interpretación: tra nsformar

4.

Tecnología: utilizar

5.

Razonamiento: elaborar argumentos matemáticos mediante el uso

6.

Enfoques basados en la indagación: investigar

10

seleccionar y utilizar su conocimiento de los hechos, los conceptos y las técnicas matemáticas en una diversidad de contextos conocidos y desconocidos seleccionar y utilizar su conocimiento de las dest rezas, los resultados y los modelos matemáticos, tanto en contextos reales como abstractos, para resolver problemas en matemáticas contextos realistas comunes; hacer comentarios sobre el contexto; dibujar aproximadamente o con precisión diagramas, gráficos o construcciones matemáticas tanto en papel como utilizando medios tecnológicos; registrar métodos, soluciones y conclusiones utilizando notación estandarizada los medios tecnológicos de forma precisa, adecuada y eficaz para explorar nuevas ideas y resolver problemas de enunciados precisos, deducciones lógicas e inferencia, y mediante la manipulación de expresiones matemáticas situaciones desconocidas, abstractas y concretas, que conllevan la organización y el análisis de información, la formulación de conjeturas, la extracción de conclusiones y la comprobación de su validez



Resumen del programa de estudios

Horas lectivas Componente del programa de estudios

NS

Todas las unidades son obligatorias. Los alumnos deberán estudiar todos los temas de cada una de las unidades del programa de estudios que se especifican en esta g uía. Los alumnos también deben estar familiari zados con los temas que se mencionan en la sección de conocimientos previos. Unidad 1

30

Álgebra Unidad 2

22

Funciones y ecuaciones Unidad 3

22

Funciones circulares y trigonometría Unidad 4

24

Vectores Unidad 5

36

Estadística y probabilidad Unidad 6

48

Análisis Unidades opcionales

48

Los alumnos deberán estudiar todos los temas de una de las siguientes unidades opcionales, según se especifican en la descripción detallada del programa de estudios. Unidad 7

Estadística y probabilidad Unidad 8

Conjuntos, relaciones y grupos Unidad 9

Análisis Unidad 10

Matemática discreta Exploración matemática

10

La evaluación interna en Matemáticas NS es una exploración individual. Consiste en un trabajo escrito basado en la investigación de un área de las matemáticas. Total de horas lectivas


240

11



A lo largo del curso de Matemáticas NS del Programa del Diploma, se debe animar a los alumnos a desarrollar su comprensión de la metodología y práctica de esta disciplina. Se deben introducir de forma adecuada los procesos de indagación matemática, utilización de modelos matemáticos y el uso de la tecnología. Estos procesos deben utilizarse a lo largo de todo el curso, y no tratarlos de modo aislado.

Indagación matemática El perfil de la comunidad de aprendizaje del IB fomenta el aprendizaje a través de la experi mentación, el cuestionamiento y el descubrimiento. En las clases del IB, los alumnos deben, por lo general, aprender matemáticas por medio de la par ticipación activa en actividades de aprendizaje, en lugar de ser receptores de la enseñanza. Los profesores deben pues proporcionar a los alumnos oportu nidades de aprender a través de la indagación matemática. Este enfoque está ilustrado en la figura 2.

Explorar el contexto

Formular una conjetura

Comprobar la conjetura

Denegar

Aceptar Demostrar

Ampliar

Figura 2

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Utilización de modelos matemáticos Los alumnos han de ser capaces de utili zar las matemáticas para resolver problemas de la vida real. Interesar a los alumnos en el proceso de utilización de modelos matemáticos proporciona tales oportu nidades. Los alumnos deben desarrollar modelos, aplicarlos y analizarlos de modo crítico. Este enfoque está ilustrado en la figura 3.

Plantear un problema de la vida real

Desarrollar un modelo

Comprobar su validez

Denegar

Aceptar Reflexionar sobre el modelo y aplicarlo

Ampliar

Figura 3

Tecnología La tecnología es una herramienta poderosa en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Se puede utilizar para potenciar la visualización y ayudar al alumno a comprender conceptos matemáticos. Puede ser útil en la recopilación, registro, organización y análisis de datos. También permite incrementar el ámbito de los tipos de problemas accesibles a los alumnos. El uso de la tecnología aumenta la viabilidad para que los alumnos trabajen en contextos de problemas interesantes donde ref lexionan, razonan, resuelven problemas y toman decisiones. Los profesores deben comenzar por proporcionar una orientación sustancial al ligar los temas vinculantes de la indagación matemática, la utilización de modelos matemáticos y el uso de la tecnología, y animar después gradualmente a los alumnos a hacerse más independientes como indagadores y como pensadores. Los alumnos del IB deben aprender a convertirse en sólidos comunicadores en el lenguaje de las matemáticas. Los profesores deben crear un entorno de aprendizaje seguro en el que los alumnos se sientan cómodos al asumir riesgos. Se anima a que los profesores relacionen las matemáticas objeto de estudio con otras asignaturas y con la vida real, en especial con temas de especial importancia e interés para los alumnos. Se deben incorporar a las clases las cuestiones y los problemas cotidianos para motivar a los alumnos y que los materiales mantengan su pertinencia; en la columna “Vínculos” del programa de estudios se proporcionan sugerencias. La exploración


13


matemática ofrece una oportunidad de i nvestigar la utilidad, la pertinencia y la presencia de las matemáticas en la vida cotidiana y añade una dimensión más al curso. La comunicación se debe basar en formas matemáticas (por ejemplo, fórmulas, diagramas, gráf icos, etc.), acompañadas de los comentarios pertinentes. La utilización de modelos, la investigación, la reflexión, la implicación personal y la comunicación matemática deben ser, por tanto, características destacadas en la clase de matemáticas del Programa del Diploma. Para obtener más información sobre los enfoques de la enseñanza de u n curso del P rograma del Diploma, véase la publicación El Prog rama d el Diploma: de los principios a la prácti ca (abril de 2009). El Centro pedagógico en línea (CPEL) ofrece una variedad de recursos de ay uda para los profesores y, en el sitio web público, se encuentra disponible la información sobre los talleres de desarrollo profesional.

Estructura del programa de estudios •

Contenido: esta columna especifica, dentro de cada unidad,

•

Información adicional:

•

Vínculos: esta

los temas que se deben tratar.

esta columna contiene información más detallada acerca de los temas específicos incluidos en la columna “Contenido”. Esto aclara los contenidos con vistas a los exámenes. columna proporciona vínculos útiles con los objetivos generales del curso de Matemáticas NS, sugerencias para debates, ejemplos de la vida real e ideas para seguir investigando. Estas sugerencias son solo una guía para presentar e ilustrar los temas, y no son exhaustivas. Los vínculos están rotulados como se muestra a continuación: Aplicación

Ejemplos de la vida real y vínculos con otros cursos del Programa del Diploma

Dimensión internacional

Mentalidad internacional con relación al tema

Objetivo general 8

Implicaciones morales, sociales y éticas del tema

TdC

Sugerencias para el debate (Teoría del Conocimiento)

Téngase en cuenta que cualquier referencia en la columna “Vínculos” del programa de estudios a las guías de otros cursos será siempre a las versiones vigentes de dichas guías (2012).

Observaciones sobre el programa de estudios •

Las fórmulas solo se incluyen en este documento donde pueda existir alguna ambigüeda d. Todas las fórmulas que se requieren para el curso se encuentran en el cuadernillo de fórmulas de Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS.

•

El término “tecnología” designa cualquier tipo de calculadora o computador disponible. Sin embargo, existen restricciones sobre los medios tecnológicos que se pueden usar en los exámenes; estas se especificarán en los documentos pertinentes.

•

Los términos “análisis” y “enfoque analítico” se usan generalmente para referirse a un enfoque que no hace uso de la tecnología.

Programación del curso Se ha de impartir el contenido de las seis unidades del programa de estudios y una de las unidades opcionales, aunque no necesariamente en el orden en que aparecen en esta guía. Se espera que los profesores programen el curso de modo que se responda a las necesidades de sus alumnos y se incluyan, cuando sea necesario, los temas señalados en la sección de conocimientos previos.

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Integración de la exploración matemática El trabajo relacionado con la exploración debe integrarse totalmente en la programación del curso. En la sección sobre la evaluación interna y en el material de ayuda al profesor se proporciona información sobre cómo hacerlo.

Temporalización La carga horaria recomendada para los cursos del Nivel Superior es de 240 horas. En el caso de Matemáticas NS, se espera que 10 de esas horas se dediquen a la exploración. La distribución de tiempo establecida en esta guía es aproximada y tiene por finalidad sugerir cómo podr ían distribuirse las restantes 230 horas de enseñanza del programa de est udios. Sin embargo, el tiempo exacto dedicado a cada unidad dependerá de diversos factores, como la formación previa y el nivel de preparación de cada alumno. Los profesores deben pues ajustar este esquema a las necesidades de sus alumnos.

Uso de calculadoras Se espera que los alumnos dispongan de una calculadora de pantalla gr áfica durante el curso, en todo momento. Se proporcionará a los colegios información actualizada con respe cto a los requisitos mínimos a medida que la tecnología evolucione. Los profesores y los colegios deben supervisar el uso de las calculadoras de acuerdo con la reglamentación sobre las mismas. En el Manual de pro ced imient os del Progra ma del Dip loma se proporciona un reglamento sobre los tipos de calculadoras per mitidos en los exámenes. Se puede obtener más información y asesoramiento en el documento Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica (septiembre de 2005) y en el CPEL.

Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS Es necesario que cada alumno disponga de u n ejemplar sin anotaciones de este cuadernillo durante el examen. Se recomienda a los profesores asegurarse de que los alumnos estén familiarizados con el contenido de este documento desde el principio del curso. El colegio será el encargado de descargarlo desde IBIS o el CPEL, comprobar que no contenga errores de impresión y asegurarse de contar con un número suficiente de copias disponibles para todos los alumnos.

Material de ayuda al profesor Esta guía se complementa con una serie de materiales de ayuda al profesor. Los materiales incluyen asesoramiento para los profesores en cuanto a la presentación, planificación y corrección de la exploración, así como exámenes de muestra y esquemas de calificación.

Términos de instrucción y notación Los profesores y los alumnos deberán conocer la notación del IB y los términos de instrucción (anteriormente llamados “términos de examen”), ya que se emplean sin explicación en las pruebas de examen. El glosario de términos de instrucción y la notación aparecen como apéndices en esta guía.


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Temas relacionados con los conocimientos previos

Como ya se mencionó anteriormente en el apartado sobre conocimientos previos, se espera que todos los alumnos tengan una amplia experiencia matemática previa, aunque esto suele variar. Se espera que los alumnos de Matemáticas NS estén familiarizados con los siguientes temas antes de los exámenes, ya que las preguntas presuponen el conocimiento de los mismos. Los profesores deberán, por tanto, asegurarse de que cualquier tema de esta lista que sus alumnos no dominen al principio del curso se imparta en las primeras etapas del mismo. Deberán también tener en cuenta el conocimiento matemático que sus alumnos ya posean a la hora de diseñar una programación del curso adecuada para Matemáticas NS. Esta lista incluye los conocimientos, junto con los contenidos del programa de estudios, que son imprescindibles para poder completar con éxito el curso de Matemáticas NS. Los alumnos también deben conocer las unidades de longitud, masa y tiempo del SI (Sistema Internacional) y sus unidades derivadas. Tema

Contenido

Número

Uso habitual de la suma, resta, multiplicación y división con enteros, decimales y fracciones, incluido el orden de las operaciones Exponentes racionales Simplificación de expresiones con radicales (irracionales o no), incluida la racionalización de denominadores Números y factores (divisores) primos, incluido el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo Aplicaciones sencillas de razones, porcentajes y proporciones, en relación con la semejanza Definición y uso elemental del valor absoluto (módulo),

a

Redondeo, aproximaciones decimales y cifras significativas, incluyendo la estimación de errores k

Expresión de números en forma estándar (notación científica), e s decir, a × 10 , 1 ≤ a Conjuntos y números

< 10 , k ∈ 

Concepto y notación de conjunto, elemento, conjunto universal (referencial), conjunto vacío (nulo), conjunto complementario, subconjunto, igualdad de conjuntos, conjuntos disjuntos. Operaciones con conjuntos: unión e intersección. Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. Diagramas de Venn. Conjuntos de números: números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Intervalos de la recta real utilizando la notación de conjuntos y las inecuaciones. Conjunto de soluciones de una inecuación lineal indicado en la recta numérica y expresado mediante la notación de conjuntos. Aplicaciones entre conjuntos; conjuntos de pares ordenados

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Temas Tem as relacionados con los los conocimientos previos previos

Tema

Álgebra

Contenido

Manejo de expresiones lineales y cuadráticas, incluyendo factorización, desarrollo, completar el cuadrado y uso de la fórmula Transformación, cálculo del valor numérico y combinación de expresiones sencillas. Se deben incluir ejemplos relacionados con otras asignaturas, en especial las de ciencias. Funciones lineales, sus gráficos, pendiente e intersección con el eje y Suma y resta de fracciones algebraicas sencillas Propiedades de las relaciones de orden: <, ≤ , >, ≥ Resolución de ecuaciones e inecuaciones lineales con una incógnita, incluidos los casos con coeficientes racionales Resolución de ecuaciones e inecuaciones cuadráticas, usando la factorización y completando el cuadrado Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Trigonometría

Medida de ángulos en grados. Rumbos. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Aplicaciones sencillas a la resolución de triángulos. Teorema de Pitágoras y su recíproco

Geometría

Transformaciones geométricas sencillas: traslación, simetría, rotación, homotecia. Congruencia y semejanza, incluido el concepto de razón de una homotecia. El círculo, centro y radio, área y circunferencia. Los términos “arco”, “sector circular”, “cuerda”, “tangente” y “segmento circular”. Perímetro y área de las figuras planas. Propiedades de los triángulos y los cuadriláteros, incluidos paralelogramos, rombos, rectángulos, rectángulos, cuadrados, cometas (trapezoides simétricos) simétricos) y trapecios; figuras combinadas. Volúmenes de ortoedros, pirámides, esferas, cilindros y conos. Clasificación de prismas y pirámides, incluidos los tetraedros.

Geometría cartesiana

Geometría elemental del plano, incluido el concepto de dimensión de punto, recta, plano y espacio. Ecuación de la recta en la forma y = mx + c . Rectas paralelas y perpendiculares, incluidos m1

=

m2 y m1m2

1.

= −

El plano cartesiano; pares ordenados ( x, y ) origen, ejes. Punto medio de un segmento de recta y distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

Estadística y probabilidad

Estadística descriptiva: recopilación de datos primarios, representación pictórica o gráfica, incluidos histogramas de frecuencia y gráficos de frecuencia acumulada Obtención de datos estadísticos sencillos a partir de datos discretos y continuos, incluidos la media, la mediana, la moda, los cuartiles, el rango, el rango intercuartil y los percentiles Cálculo de las probabilidades de sucesos simples


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s a r o h 0 3

s o i d u t s e e d a m a r g o r p l e d o d i n e t n o C

s o i d u t s e e d a m a r g o r P

18

. s e l a t n e m e l e s o c i a r b e g l a s e n o i c a c i l p a y s o t p e c n o c s a o r n u g b l a e i r g c l d u o Á t r : n i ) n n e e ú t s i s m n o o c c d a i o d c n u a n t s o e e r d t ( l a r e 1 n e d g o a i v t d e i b j n o l U E

s o l u c n í V

) e . e t , n o d n z t o o e l e c n a i r p e h u r e o d i n a m g d e i r e a j m o e ó i l c s s d s i a s j o i s a e c e t o p o l e a u n r á m o r s r e n s m u e e l r n m i g d e o g m d e a o o e g p o l t a v r c á ( t C e t i d a r p A ú a p l a . n d a n b . , z e m h ” c a a e e e o i o a d l b l n t u r s y d á d φ a o a b r n t e r o y l o n ? n o , u e r e e t m d s e t t e n u e s a g c i a A l l u t , a e m a ó ú a : : á : a i m i l i l π n e ? i n l l l l c e c i e ( l c a i c o a a e a m n c t u y s y o t i n n d n n e d t n n o o o n a r s n s ó e i i r i i e s á o c i a i c e o a o c c d c c i f c m ( c c n t a a a a a t n i i a d l e t l t á e é t n n p n á e n á m c a r ) r “ r o y r n . a o e e e r u m e e m d c m t i t l i t t h o a Q e e a e i e t a p ¿ o t d n a i n m n l n i a e t a e i a . t z i n i n m m n D n s n ) o n m ) m r e r s e i e r a s m r s e c i c i ó a ó n ó a i i i s é c r t t t e s b s s i a é a c w o m e a n t r t l u h l n a á i n i n d a n m c e e é : q o : t i e a e e h s s K b s o t m C n c C n e o s m n m i t a i m m i r d o b f i i i d s n i r o l l r E o ( D c a D a p a T ¿ e s T c F i s c D S

l a n o i c i d a n ó i c a m r o f n I

. 1 . s s 6 a o e v d i l o s s r n d a a u o t l r r c c a a e s p t r a a n s t e l e i s n n e i e d f r i n p o a c i i y n s c s u a n e e f c g n o i r r t o d é e i s n e m v e r y o n g l u e o c o r c g s y n e p i e r , i r t i a s e r a m e r s í l n e s e a e g n a l r d n m a s e s n t d a o o p e t i e u i n c c a n p t l s e o e i S d R c

l e y o t s e u p m o c s s . é r e e n t o n i i l c a e l n b e o y p u e l c d n t o i s n e o i l p i m m c e j e r E c

o d i n e t n o C

a m u e s a ; s t i a n c i i t s f é e a m n m t o u i r i s s ; a e r s s g e o a i c r r i r s e t s p é a ; c s m i y a r t s c o a i e é a t c m i i r t é g s o é t o m e e t i a m i r g r e t s m i r a s e s y i a e r u s s i e s e r e e a s d n s c e o i n i r d ó e t s d a i e é t r a i c a m i g t n t i o o o n e f r i n N P f g i

s e n o i c a c i l p A

1 . 1



s o l u c n í V

) o s r . t s o o n o i o u r t r n e i d i e n a e ? o t t c l e i a n c m i v n i a m t e o i á d c m n z o i a r e a i ó m o a n n l c e i n d l i o t f a s r c p o g a o t c l n a r á n o a o n l m ó t g p c m i e r e o u e t n c a l o e d c l e ó a s c n r n a n d i i t l e d s a e i ó ó c s r r i d o e u c i s o c u a d p t e t t m l o a c ( n c n e u e m o l o t e a i 2 c . i a d l o m a t p v l 3 ) a r r l e s ó a c x o 1 a p é r y a n a e C e , r l z u p u ¿ r 2 s i p a s ( a l c . l . a e p : s 7 u a t d c i a 8 n i é u , a a t l r o s o c c á e t s e r a i a t i s u r n s r i v m e a n í a s e i l e r e o í F t t ) f n l G . e e m a d : o a e 0 g d o n o n y m m d d c ? 0 s c ó a i s é n o 1 o a t l n i v a u f u d l i v s á e i ó c i l t a a c t m r s : q o t o a t c a r i e s e o o 1 j i l C e m é l t p a t b a t d D o M e , x p d l a T ¿ c ( d O a m o e A r

a l d a e y d r n i H n b u o p u s a t l l o r e e n o n d ó d ó p i o o y i l c a x e u s n f n l c a e l e c v u r á i t i n c e a á ( c l e a ) a r m n 2 . e u f r s . t 8 a a a s o p 1 c , m o a s i 1 m o t . s m e á 8 a t l i t n m 1 e m t e r a t a u e d g s l c a ) i n a l o ( E a m z m y í ó e s s u p l o ? a o s l a l e t m r n n r e Q a u o : t t o e s d i e n s a S ó m f a e n ¿ i i n z o . a c r e r l o l i a b p a i : c u r c C c c s a i l u u n s o t p l e e l a d i o A s T c d a n


s á m n a l l o r r a s e d e . s . s 4 o 2 m o t d i r t a a r g a o p l a s l o l e y n s e e a t i c n n e e m t a o i p l p s a m L a

o d i n e t n o C

s o l e d s e d a d e i p o r p ; s a i c n e s t o o p m s t i a r l a e g e s a o d l b y s e s e s d a o d a i d o m i c i e t i b n p r e a m t a o o r g o P P l C 2 . 1


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s o l u c n í V

, l a c e s s u a o q P l s e ? r a e e t n o L d d i s e o . l t r e c e s a t a u n y g n c e b a i t n i c u o á á i i s l r f m t e d r e l o a a t a e c d n r e s o m t r o e i v c s n l a a e y a l l e n s r e a o u l e d t t a e s n t a i s e z v o i s e c r x l e r e E a a p r r d ¿ t u i m s . n t s o a s o o c n e d i n o m e a n t l o é o e : i n d i C c a m e s l d l u o o T e r l p p o d n e i c a h


. a í g o l P o n c y t e    a r l n    e . r d 4 . a o l 5 l a m o h o d c a e a t d l r a z u p a a m p r l a ó c f e r a n e o s l e c e r r d a e o n i o u t n i q t a c e a r l o e s e S u R

o d i n e t n o C

y s e n o i c a t u m r e p s a d i u l c n i , o e s t n e o n c i o e c d a n s i a b l g m e o R c

r

n

3 . 1

20

s o l l l e s e e , l t s t o o u s e n l q o s a t a t e d e r p n s s f a m i e t e a e e i j e s i c d d í i e r d a r e d d e r d o s s t s e o o e e o l i p p t p s ( n n e e o l o l r a l d i a i é p d u c i s b s c s c a e a Q . c s t a ) o ¿ e i l o l t ? l n P i p u l : n a i a l o í m a c H á r b u e n n d r i g a c s t e a o a n ¿ o d i r d i l c e r a : l ? a l i o Y 8 a n e n s e e l n v n a r o d r c a e u d n s t i e e a a t n h r d n e e n r d e a n P i n c a i t p r c e n o e e i n d o c g b t m n ó i c é o a o i t a o c c s l s á i v s a h l e n u a o d r m t e e g u e e d r n n e j n t m e b e a l t á a b u i i u r u r c m O p o D t s q g

l e d l a i m o n i b n ó i c u b i r t s i d a l n o c 6 r . a 5 n o o d i a c t a r l a e p R a

 ∈

n

,

o i m o n i b l e d a m e r o e T

n

)

b

+ a

(

e d o l l o r r a s e D

o i m o n i b l n e ó d i c a i s m t e e r e p a r e o r l u t e c r l : n o i e n c c d e s s r e e n e n n ó i o o i u i c q c i c a r e t a a t t s r u u o e s m m m r r o e e e N P P D

. a s g a z c i u t j n á a e l n m é n e ó i e d i t n u a u y c Q c m ¿ s s u e ? . a d n o c n e n i o o t i r t n o i á a u t e c g i n a m l ? r e e e e m n i t s i t d s ó c i a e o m o t o i c m d c n a m n . o e e o t r s a a c a i n c d s i l f c o m s a e o e i n c a m e e l t d n u d i l e g s d c a i n d o e z s n n a s d a e o e n b a n l ó t o a d u i a i n y i r c o n e u i t r t s a c t s a n u d o a i m c i e m z r p i n D i t o f r m o e . a á l i a i c d a i : c m : p s c : l e a C n t C o o C v e a d N n d i o d a T c m T ¿ c T l , s s a a m m e u t e s , s d a d d a a d v e i i r r e a d v , a s i o l j p l e m a p a m . n o d u c a s d n o i r o e i l c b a m i s n ú i o n i v i : c o a l d l y e r p s m e e i e s j r e o e r s t s o e E p d

a c i t á m e t a m n ó i c c u d n i r o p n ó i c a r t s o m e D 4 . 1



s o l u c n í V

a y L a . a s a i c c n n a i u t e r t t s s o c i E . é s . b l e m a e r o i v c a i e e t + í r d t a e n n c a = i e e n ó r r z e i a y g c a a n n p a l i a m i a e a b i r r l o f e m c n s a d o e i l a s c t o c n a o p t n t e n p u n o a m e é c o i p t o n m b e o o m d s e c c a n n : a t o ; ó n i i a i ó c c i i c a n c a c n a n a d n i a i c e t b b i l p c m m a o o p m e A i r c c


s o n m u l a s o l e . u a q í e g l o l b i s o o n c p t e s a e l , e s a d m o e s l b u r o r e p c a r h e v n l e t o s i s e r e l c e A n

o d i n e t n o C

, o d s a o g l u ; j n 1 o − c , a = i r i a n i o r g e a m m ú i n e l t e r a : p o s l , t o j a n e e e l r m p e u m t g r o r c a p a s s y o o r o n l e i u m d ú m r ó N é t m

. e o s o u q r ? t e e t o l l n n n a e t m i e e n e n c s ú e m a i e e n i é i c h v l i m u m q o ” t E r r a n i o u d . o o r i s b c a s P n a u c u c l i s ¿ f e i e n t e . s u g á d o e d a q r y s m n d e o m e e u n l t i l t u c “ i a o c m s a a m n l t f l e í i n e ” d e ó s a o a i y j c y t l s e á n s l s e a n a p m e d e v c c e i n i a i t t m n c z á o a e a á e c e l m “ m n e r ? a e s s s a r u t p t s e u a ? a a a o r o t r t ” d m b p b a m a i i c a e m n s s “ i s l c a a a s o a l p n n l a l o í f h : r : : o e ¿ s C a C s , C m l a c o r d ” d L s t d ú e i o o T “ T n d T ¿ l

. a í o t t . d s n a t i u c i e x i i e e r t d n a m l a a r a i c r g a m c e é Y a l t r o p o ¿ m e o n d . o f a a c o a s a í e n c z a d r f a d u c , e . l e z i i e o r t i e l s l a á l n s l i d e o t e f a m o r b m u j g e o l o p e a n e c t l t r i p d a e c a e s a a t m a e l i n r m e m l d o e c e r c o s r f d n e a a d y l s s l a s e ? o e b n r s p e t r o f a 0 e a e d a h t e n c p i a a a a m i t í e d i a = z j o ú á c y c d a r 1 e s n e l e n n d m e l o e a t r r p s e o + c s t o p t a o u l a p e : f m ? p x e n e y e a o r a s n a i c m ó c t s i d a j a n é r a o n a c o i e l t i l u ó a l c l : n e s é : q s c e a u n p e i r l m e l g t C p r o C o r p p p n o m e d P x o d l A Á p c T e e r g T ¿ e π i

. r e l u E e d a m r o f a l o m o c e c o n o c e s n é i b m a t θ

i

e

r

b

i

+ a = z

: a n a i s e t r a c a m r o F

s o r e m ú n e d s e t n e i c o c y s o t c u d o r s o p j , e s l a p m m u o S c

5 . 1


e d n ó i s r e v n o c a l r a z i l a e r e d z a p a . c a r r t e s o a e r a e i u m r q f o e r a e n S u

o m o c e c o n o c e s n é i b m . a d t o n a j e g r l p A m e o d c a o m n a a r l p g a l i E d

θ i

e

r

) r = a θ l o i s p c ( l r a t n = e ) m θ u n g r e a s - i o l u + d ó θ m s a o c ( m r r o f = a L z

o j e l p m o c o n a l p l E

6 . 1

21


é l u e q p n a p E ¿ é . u e ? s q d s a a c c y o i i t t o p e á á i c i t d m t m e s t á e t o e t s l a a m e e n p m m t a e m s e n a a m s j l e e s o n e y t n o t o e n o i t i e c i s n n a e m t r x e i a s E u m o ¿ q a n o ? s m n z o e n a e t o r d o z n i l a e c r e s i a a l r e l m e t a t s s n : i n a o g o C s n m e z d o e u a r d T c j

n n e r ó a i s e n c p n o e o z c i c a r r u e e p y l d o a n s e l ó u e r i a c t d r p p e á s e n ¿ l c l o r , c e n r a p e i o s , n r á o e e m d d p n i t e u e t n u s s e i n p s e x ? s , e o s s d r e a s d i o i c o t i S e i n t . d c e á o s t s a m e p s s e n t e n e o a i i r o s t m s m a s o e : n n s e e u C o e m u n d z i e a T r d q d


a r a p a c i t á m e t a m n ó i c c u d n i r o p n ó i c a r t s o  m e ∈ D n

7 . 2 y 5 . 2 s o d a t r a p a s o l n o c r a n o i c a l e R

o t e s n , a t r s e n o o n e d p , o d n i s e a c o u z u c i p l i l i o g e t ó s s u l s r n o a l . e n t ó i i v c a l c n r . u e s i o t f e s a l n n o o e l i e r m i s f . e g n n s r o n e c o e l e i e n b p n i t ó b e s e c i t n i a d o t u c a l ó i e i e p m s a c e u s r c q m t o s b s l a u s o i a e d s g e a c r m l i r e a r m a n d t u , e n s s o i o e p o l t s d s i i d á s o p s m n r o o t m s n a d t e o e u o s é j E m e L d C p

o d i n e t n o C

e d e d a m e r o o j e e t l l p e : m s o o c j e o l r p e m m o ú c n s n o u r e e m d ú s a n e m i d s s é a i n c e r n v s e e i t c o o í P M a r

n o c s a c i m ó n i l o p s e n o i c a u c e e d s s a l e d a a g e u r s j e n t o c n e i s c e f c i í a e R o c

s a n t u , i n ( ) i f s s a n e t l i i a n e n g o n ó i l c c , s n a c e i n s i n o e i r ú t c n a n ó u i o c c e c u l e s d e n o s n o n ó s i a i c c u a o c m l u e s o t c s s e o i s s s n a i e e s r c d t s o o s n e l d s e ó i c o o n o u m d i l i i c u o x l l u s e á c n R m i o s

7 . 1

8 . 1

9 . 1

s o l u c n í V

22

+

7 . 4 o d a t r a p a l e d s e r o t c e v s o l n o c r a n o i c a l e R



a t s o s m e a o e r c d s o e n s h i o a m c t n 2 u e s 2 f o s l

a e l d r a o c l i l l o r p a r a y s e s d a c l e i t á n e m e o t a t n a m t s a a í l g e o d l r o o n c d e t a c a i l f i e n d u a o s u m e t o s o i l e m p m n o c a o n n i u i c ó c a g a n a u h u f e e c d s e t o e u q y p e c a r s n e o c p e l s n e e e r S o a . i i s c d a u c i s n t e t u n á m F e t e n a : e ) t s m n i s n e ú n o c s e n m d o a i c o d a n t c i u . u i s a s e n o t s o a i e t c s c n e a n d i t c s i i s l o l e d p r a a r t a s e d ( r r u n e o s n 2 g b s a e o o a d i v r m a a t p o e c d o d b d i j a o d n o s t i é o n m u U L

s o l u c n í V

s e e r n t t a a o n l i a c r p n n u e u d c a e f a s o e s o ó d i c g m n t e a s ó á l l u i m c e e s e a t u t o a o q n m m n a s ó ó l o C i c : t l a n ¿ t a i . t o I n i s I n o I i d a c r V l a o X e n p t r y n e a I e t d I m n l a l i a l V X n ? n o r ó o d s r i i a o s a l c i a d n s l g e e d i n a s r u e t m e s t i c u o n D f l i a

e d s o a t L a n ¿ l u . n j s n e a c e o i t c t á n n e u m o e m j t e a a l m p b m s s o a i s l l o n e e b d t m s í a i s z s e n e ? l s a e c d r o n l u s a t ó i a a m c c n i a r t l o a á f l u p s : m i a e n l C t a a g d r T m m e

l e n o c r a n o i c a l e R .


) ) x ( g (

f

.

2 . ) x 6 ( o ) d g a t  r f a ( p a =

, o i n i m o d :

) x (

f

 x s : ) r e r

o a l a p n ( v i m ó i e c n n e s g u a e r f a e i m d ; p o o s e t n d p i o e r i c r c n o n o c u C e r F

f

o d i n e t n o C


1 . 2

e d ) o c i t a e n í l d u a s n e r e d a o ( n i g o o o i c r c c e i a i f d a á r m l r r e b g i f v e g a l e i l d n a s a o o i o l i m d y d i s u u t s t a s m s c e e l i t e l á l e E ¿ e e m n . i e o e u t q a t t n n o m i e o c ? n c i s t a i i m n á ó l c m : c ó i e n c u t C o n a f d n o u a T c f m l

g 

f

s e n o i c n u f e d n ó i c i s o p m o C

d a d i t n e d i n ó i c n u F

4 . 3 o d a t r a p a l e n o c r a n o i c a l e R


s a v i t c e y n i o n y s a v i t c e y n i s e n o i c n u F

. a s r e l e v n d i n u s ó i n c c o i r c t n s e e r i d a c d n i i u o l c c n e i , u q 1 s f e n o a i s c r e n v u n F i . o n i ó n i c i n m u o F d −

; e ) s t a n l c e i e f d m á a r o d c e i a g o t í d e m l i g a l a x s n u o a r a s z i p e e a t r u v q e r a s o u e j f q u d n ( o b e f i S : d N l n e a l y / a n r o e a M i t t N c n e r í a e a p r n f f r r i a e e t r 1 k n g . t i n a 3 o i . b t : e 1 n G 1 n r u o r ó ó o b i ; i s c s a e B c l o a i n c m e o d c i i l f í m p n p á r u i u r a A g Q D g M

e d o c i f á r g l e r e n e t b o a r a p a í g s o e l n o i o n c c e t n u a f l s e a d s r e o v s i U d y o i ) e i n x d ( s m o s f l o o y d t e n s = d u e e d y l e p a n , t v s n l a o n ó i ó i c m o z c c s i i a a n r a r e u o d c í h i c t i e í m s s s u y a n r s t e s t o o , c o t n c n a í ó m r i s y i , c a x a s a n c á , í s u s r f a m j e t l a e o e e m n d m s i u s o o , e n c l s d ó , n o i e s c l o d o i o a c a c c e i i c r g r f a i t f t o á r r d á r r o e c n G I g c v e r

)

x (

f

=

y

y

)

x ( f =

y

s e n o i c n u f s a l e d s o c i f á r G

) x (

f

=

y

e d o c i f á r g l e o d a d )

x

1 (

f

=

y

e d o c i f á r G

2 . 2

23


s o l u c n í V

o t n e i m a z a l p s e d ( 1 . ) a 1 d S n a N / m e M d N y a a í t m r e o f n o o c e E d : s n a v ó i r c u a c c s i a l l p e A d

n ó e i c d e a a d r í s g s a e g r o z t e p e n n i r i t t s e ( s ( e e d 2 . d . 3 ( ( 3 . 6 S 2 1 S N 7 S N / S N / M N / M N / M N a M a N í í N f a a c m r a o c i g i o s í m n o e í u c G F E ; Q ; : ) ; ) n s ) a n ó c i i a v ó ) i c f i t o c a á i c r a c b a i g v l o i i m p e d t r c a a c A g a


a s c o i l a r e b u e q g l a r e a n p s s i a ó e l s e e e r . S d n . o p x 4 i e ó . t 3 c a c n e l u o f f n e d e l a a t e o l r e a n t d p a n a a d t o l c s e n e e i n f n r á p o r o g c m i c l o r a a c m e n s r n o o o e i n f o c a m s l m e u n a r o R l a t c

s a s r e v n i o m o c a c i m t í r a g o l y l a i c n e n o p x e a s r e t n o o e i c d n a u n F u

o d i n e t n o C

a í r t e m i ; s s s e j a e n e n o u i s o c o a l m l s a o a r t o c t a : s s c r e o p c s e v i e n f r i á r s n g í a ó r i e t d e c n s u m f e i x n s l a = o ; i s e y c o d a t n a m o e i r i c t o o f f c á s m a e n r r p g i a s r t l s T e E e r 3 . 2

24

s a l y s a t o t n í s a s a . l r s i e u j l c e n s o i l n e n o b e c d s s e n o o c i i c f á r c s g e r s t o e n L i

. r a l u c i t r a p o s a c n u s e a c o r p í c e r n ó i c n u f a L

o c i f á r g u s y ,

b d +

+

x x a c

 x

l a n o i c a r n ó i c n u f a L 4 . 2

o c i f á r g u s y 0

>

a

,

x

a

e y d 2 . a 2 i , c 1 . n a 2 t r s o o p d a m t i r a a l p y a s 2 o . l 6 n o e d a s t o t r a p e p a c n l e o n c e o c d r n a ó n i o c i a c c i a l l e p 3 . R A 2 e

o c i f á r g u s y 0

> x

,

x a

g o l

  x

x

n ó i c n u f a L

n ó i c n u f a L

a c i m ó n s e i l l p o i p x t e l n j ú ó e m i c l s n e e u n r f o o c t a s c n e a u t f e r s d o o c l o e e d d d a r o r g o c l e i f e m á r e r ú g t n e o n l e d b a i n c ó s i o f c i i p a l n l g e e i S R y

r o s t o c c a a i f f r l á r e b g d e g s a l u s m á l e y e r d o s e l a a c t t i y m o n e ó t m s n i e a l r d o l n p e u d f s e a a n m m o e e i c r r o n o u e e F T T 5 . 2



s o l u c n í V

e l d e o n t ) e n o i a e r í i g b i r m l i e i v n u o e q e ) m e ( e a c d ) d i s t á i o ) S y e e N m b l ( e m l o p l n 2 a o . i m c ( c i ( s 7 ( s 1 1 2 o 1 . . c . a 9 c 2 4 i i n a a a m i c i c ó i c í s í s m s u í í r Q F F a F : : : o : ) n n n t n s e ó i ó i ó i n i l e ó c c c i c i t a a a m a c c c i c i c e i l i l l v i l y p p p o p o r A A A m A p


s e n o i c a u c e e d s e c í . a r s e o n t o n a i c t n e u f s r a s a n l i e m d o s n e o d r e n c á r o d m o P o c

s a c i m ó n i l o 8 . p 1 s o e d n a o t i r c a a p u a c l e e e d d s a n d ó a i c g u j u l o n s o e r c a s l e c r a í n a r o s i a c a l l e n R o c

o d i n e t n o C

a l o d n a z i l i t u s a c i t á r d a u c s e n o i c a u c e e d n ó i c l u a l u o m s r e ó R f

a r a p

s e c 4 í a − r s a b l e = d ∆ a z e l e t a n a r u n i t a m n i r a l c s r i d a n l e i d m r e o s t e U d c a

2

r i b i r n c u s o e t d s e o a r t ? a e n o e p y c i u i t t e i t á m t i n c e s n m e e o t r m a c r C “ a m l ¿ . e u s o s p a n o i r o f p n e a a m m r l z ó é t : i 8 l i n e n l t a u f u e r e e d e s d n ” d o e l a c a d o g i v e í o c i v n r u i e t n a q e o v e j a b p s x n o O e u u

, 0

=

r

x r a

r ∑

n

0

=

a c i m ó n i l o p n ó i c a u c e a l a r a P

e d n ó o i t c n a a u t c , e s a a c n i u m e ó n a d i l c s e o i c p a í r a s e b e r n l s g a o a l i c e a o d u m c o t e o c c e u d a d c o a n i f c ó á r p i i c r g m y u a a ó l n o m m i s l e r u o S o R f p

6 . 2


. 0

a

) , 1 − − ( n n n

n

a

1

a −

s e a m u s a l

a

s e o t c u d o r p l e e e d t s i d a x e d i o s s o r e n v e m u i t q i d r a a n s a g u l o l r a r o e v a p d l n o s o a s a d l z e a i l r l e u i t a u c e u r a q a d b p s a a a o = í c d i g i t o u í a l l l c a e o i n n d n c , a e s e n t u ó a e i l n c e o q o u d i f l c o a n e s s u e o n c R U e u

x

)

x ( f ≥ ) x ( g

e d n ó i c u l o s e R

s s e o n i o m i c o n n i u l o 3 f s p a e t a u r r a q o p l y s a s u o a g t c i i s a e r o r a b e o r a g n l a e p a o m í o g s d o l o o c a r i n f g c á e r e t g d a s s l o l o e d l d i o t o é c n s e M s U

7 . 2

25


, o e l s r v p a l m r o s e r j o e e r h y o s e p 2 t , n o a i 2 t r r

a o t p r m n o i c s o a c l i r e t é u q m i d o n n i o e g s i r e t u s e q n o o v i a l c í l a a s r , t e r s e s e a n a u i m n d g a o l a r r n n i e o c u n g d o i s o r r t s n a t i i , d y s d e e r s l a m s e u c a r i r l a c e l u e q u s n r c i o i r m i c n u u s c f a s e s l b e e a r a d n i e s o d u i s t c s e e n e n n m u e á n F t e x e : s s i ) s o l n n o n c E ú d . a a m d i í r t o n u c a e m o t s o e n o c e i g r n d t s a e l o l a r o t r e d ( n e n a c i 3 g l s p . o a d i v s x a t o n e l j d u e i b o g s n  n s o á i r x U L t

°

26

s o l u c n í V


o d i n e t n o C

) ) o . e s e a t s d a s p o c e i a n c o m t i e n n d e r i m a i o t m e a r á u t i s i é a r l e a b n t g l a g e i s c i i r m a n a m s e z s e l o i d o s é r c l c e o d e l i r a s g a o i l n y b a ? l u d o a s l n p o o t t o p r a e s e á i s s i e q e n a a e s g u t i n a l g o m s i c d r m o n t P b z c a n s á o m t r e a e é l e o a l r i a r p n e s e ) n c d e e s o r a d a u n e p r e f . a s d a i s u d e g y a d a s l l n q l f a o d i e m í o n u e ( a r c y e l r a p r L r n r p z o ( o g 2 i t , m a i g i o i o d s e c s a ) o t f . l e o z n r d ? l p o i c a c a i e a S a 2 t á i e m d a s o ¿ s r l r m m s ú P : ú o o n l e g a : á : s s o ó r n l S u n n l l a t e d u a i u l n c r u a N n G a n r t a o g e i ( a m ó / n o ¿ n e e y i n p e y d e s s n n i l a s s i g s , i a o d u i c t s s a a i o o o o l a o M i s r r s c a r q b d s a s t o l c e y a c c ( e e i e N o a d c s d e o c a l n s u a m s i a l i u c e a t o e m d i t o g n n t n c g á l c r o f i g n r a o á m m ú i o r n o r á n a e e e i u s S c n e m m a t y d i r á í t i t t t n t . t r n n t e i z a o ó e o a n F t g t i n n t c ? á i e i u l l i a i c e m i s a t s i s e : : m e m t r a n e a o o n m n n n n d s m m m l m u s z e c e l s c ó ó ó i e l i o l i o ó a ó t o s s a l i i i i i e t e é i s i a n s s s l a a c c á m t b d u r l u e u l i u a g n ” a a i o n a m n m m a a : c g n n e o i : q t r n e a a c i c c e l z a r e a o i n i C o i i l m C n á o á m n l l s m u c t l l m r d o i z e i e d i n a i p p i e o t d P b i n r s o T c t r a r d f r d D “ A A p D v m D e u T ¿ a a l r e i t r r a a l p u o s c a o l m . a e d l o c s b e c l e , o d o e a l d s a s r m e p o i a i c l n m s c n u e e e o e j r d g r z e n p s a e á f r r x . i o e r 2 l e o p . e d d e e 6 , d y d s θ m s e ú o a e r a r u n d l m a θ o l p t a u u l l o r s a s a n m e m a v h r l a n p ó s a o a n e s f e e i i c l l s l s d d e b o e a s a i l r , n s s a o a π o e l o i c n d d u p t e e c r a r e é d n m a d a r s d ó d o n i i ó s o m θ c l i o d o 2 o l c f p c e i l s n u u t a u a c o n m l l l g l d g e ú e e n á i a e r s L m R D d á C t

r a l s e u c n r a i i c d r a o r t c n e e s s l o e l u d g a n e r á e á d ; o a c r d i a d e n u m e : d o d l u u t c r i í c g n l o E L 1 . 3

l e d r i t r a p a θ n a t

y

θ

n e s d

, a d s n o u c o i e d d a n r e ó d i c i l o n u i f e c r D í c

θ i

2 . 3

;

e d n a s t o y l p i s t l o c ú , m n s e s u s l e d y s π 2 o , t c a π 3 x e , s π 4 e , r o π 6 l a , V 0

s a c i r t é θ m n o t n a o o g c i r y t s e θ n c s o c z a r , s a θ l c e e d s n s a ó i c c o i n r p i í f e c D e r

1 = θ

θ 2

2

c s c

s o = c θ + 2

n a t n o e c s + : 1 l a

θ 2

t ; n e θ c m a e d s n = u f n θ ó n i a c t a l e + R 1 2

2

s o l u g n á s o d e d a i c n s e a r l e u e f i l m d b r o ó y d f a l s o a m u l u g e s n : d e a á l l r n e ó e e i d d u i c q a s s e a a t l l r r u u e s o m m r m r s ó ó o e F F N D 3 . 3



) r o i . r e a t c i n r a t c a é n l i g e á a p í r e a i l . e n l d e a g d n i e i n o e l i a s v e u n o i r d s s p ( t e o j a p t e c l n o v o e c d : n n ó i i ó c c a a c r i l e n p e A G

s a l e u l l . q e e s , d e a n a c a d c o t i c e i s i t u á t á á p m m s a m e e e b e t S t m a n . a a i m o m e c ( d s u ? 1 a s n l e n . ) u o a q ú e 4 l o m d i c m p s S l s l e o e n m a N c ú i / z m a ” y i s c l i s M o i d t l s a a a N i c c u e u d i n r a t a m e i c ó á i c u v q n s m s o “ í m o s a F r e ú t t a a m s s n : o a u t n a e m l c e ó n a s c i t e r i d i a c i á a l s f i a o m m : e n j i c i e l e l g v t C r i a f p o d p x S e T e ¿ m r A m

a c r e e o t d c n s s a n u e o e i o o t l s d m i n e s i S e m e . o c o l s c r n i a a d u o c g i c m s n l t u á á s o e n s d m o a é l e n t e a d u e z q e ¿ d l m e u , a a s r º p a o 0 m t u l 8 u a e l s 1 u d g e a n a a n d l l z á e i s e r á d e l r t a b r n m ” d u u o a o s ? t o a e º d c r n d 0 e y i t o 8 l a s á v l o 1 “ u m : l , º l e a g n t C u 0 a d g i 8 e á n r m T á 1 d t

? n ó i o r c a e e u m d ú c e s e n a n n n o u u i r a c r a i t s a i m r x p i s f a a e t e e s d a e r c l s y u p i d s o s a c m e i n t o á ó i C ¿ c m u . l e o t a t o s n m i e e s d a i m o l t c : i n C o i f d n o n T c i

; n n ) s ó e o i e c r d t a a l l i n w e a u f c g l N s n e e a e d i y n r s t o d e a ) a c d r a o i a c l e t r e c r v d i e e m a r v á o ( i n s T g 3 a a . d u : l l 1 y l e e S s a d r a a b i n N c a / z o r o r i s n a u c M e r u a t a F a t N f ( n u v a r p c 2 . r e u i s y i a s 2 t c r í d n a r F S i e l a t : N n / n r n l ó l a u a ó g i M i l c N s n a r e I a a n h v c c e l e i r l i m a o t s i r p í a s n e A F D p r e n e s a m e e l b d s o o r l p u o g n n á ó s i c o a d i g u e l v c a i n n , . a s l e n r n i ó e o s s i s e n r e n e p d e e i m d u d p y s s n o e r ó l i t p y c a m v e s e j o l E d e

: s a  s o s c r i f e x , v á n x r i g s s s a u c o c s i ; r c t s é r o a d m i r o n  r o x o c g e i r , t x r y s e n s o n e i o s i n i c c m n r u a o f d s a  s L x u s

, y s o a t i c i e i n r d f t n o é l m ó i o c a n u v r l e o g t o s n i r i e t r n s e e d u d n a o e d c i i s t a a r i c n e b r d e t i g é s l a a m l y o e n d o o n c g o ó i i f r s t á u i c r s l a g e e i s n o z r o o d t o d i i c c o u a l f t a é u c c n a M e i l

5 . 3

6 . 3

;

x

n a t c r a

a m r o f a l e d d + s e n c o + i c x n u f e b d n n e s ó i c a i s = o p x m o C f ) )

(

(

) (

4 . 3



s a c i r t é m o n o g i r t s e n o i c a u c e e d l a r : e e n r e e g i n u ó q i e c r l u e s o s o a N L

o u g i b a l m a u m o r s ó a f c a l e l e o t n d i i a u d l c e n m o i , o n e l s o n u o c e s g n C l e l e á i r n d d t e a a l e s m m d e r e r a b a o r 1 2 e o e e T T Á


7 . 3

27


e s d a n r ó i c o l u h o s r 4 e a 2 l r

a t i l i c a f y , s e n o i s n e m i d s e r t y s o d n e s e r o t c e v s o l e d o s u l a n ó i c c u d o r t n s i a e n r u r a o n t i o c c o . e r s o V p r o n : p a l ) n p e n t e y ú i s s a s t n m o c e c r , o d s c a t o d n o i n u p c u a n o n t s c e o e s o r d d t a ( l n a r o e i c 4 n a e l g e d o r a i v s a t d m e i j e l b n o b o r U l E p 28

s o l u c n í V

a a l e n d u a n n r o a ó i c p c o n a i n z u i c i a l z a f a i i l r c a d i t l v e u o l n a a e u s s l r e s a i r r e u r b a r o o p t t s s r c e s a e d a s v m u a . s e e r r o l d a e l p s b e : l 8 o r u o á l p p o r a s e i d o r o s d p e h o r a n c t e d e u s p a g E e i . t u o m n n g v r i e ó a t v i a e c g e b i j l o s m b s o v a o O e r p n b

) . n a c e s i o d c e i m t u á á e p n d y i m e d o e t s s t s e e y s r s n e a n e o a i o n m i t c z s o c m e r o i c e a i t c v a ( f u m p o r r e t n i 3 s c . ( f o n o 1 2 c . a o l m S 2 s c a e l d s e N / S o e r N s t / y b s M a n o i a N M i c n u t s s i N t l a o c a á g d t i s s c A o m í i . d e e o s t e F í c ? : F a t n i a n z d o n ; m e i c ) ó s s i l i i i s t t o a c e á m l u n m a r a : i c r é c l i e o l a C n e u t p c d o c a Q a s A e T c h ¿ m

s a c i r t é m o e g s e d a d e i p o r p e d s e r s e t o n c o e i v c a e r t t s n a o i d m e e D m


o d i n e t n o C

e d o l u d ó m l e s e B y A s o t n u p s o d e r t n e a i c n a t s . i d B a → L A

r o t c e v e d o t p e c n o C

e d s o t n e m g e s e t n a i d e m s e r o t c e v e d s n o ó d i a c t a t n e n i e r s o e r t a p e c R e r

k , j , i

. : r k e 3 o s v a t b c e + v a j l 2 n ; v u s o e + i r i a d 1 s t v i t n e = u n e      s n 1 2 3 e o v v v r p o      t m c = e o v V C

s e t n e i u g i s s s o l e r e o v t d c − o e r c v o i r s t t o c é e m d v e l o d e e g a , i y c 0 n o e o c l r i e u a f r i n b d r e o y t g l a c a e v s m l e u u : S E q s o a f n m e E t •

•

v

k

, r a l a c s e n u r o p n ó i c a c i l p i t l u M •

a

=

A O

v →

: r o t c e v n u e d o l u d ó M •

n ó i c i s o p e d s e r o t c e V •

a

− = B → A b

1 . 4



s o l u c n í V

) a c i m é u á n q r i d o P y ¿ s . a s z a r c ? e i t r u a f l ( á a m 2 e . t c 2 a s e S m t o s N / l a c u M e d r N d o p a a c z e i e d s l í a n F r u ó i : t c n a i ó n i n i a f c l a : e c d i l C a p d t s A T e o d a m r o f o l u g n á l e s e θ

e d n o d ,

l a n o i c θ i s d o a c n w ó i c v w a y = m r v w r o f ⋅ n v o p I

o d i n e t n o C

s e r o t c e v s o d e r d l a r a a c l s a e c s o e t o c t u c d u o d r p o r l p e e d d s e n d ó a i c d i e n i i p f e o r D P

n e l a e l n a i r b l o o o p l t , g n n o e i t ó i n m c i e a i v g o e m a v m a n l o n i e c d e i d s n s o ó i o p c v e a i t d z i i l s a e o d s p m e s t o e i s m n d i o : i : s s n n n l e ó i e ó i , c m c l o a i a p ) c c d S i l s i l m P e p e p j r ( A t A e G s o l e u q a e l a v i u q e


w v

0

=

=

. w s e ⋅ r a v l u , c s i o l d u n n e r o p n e p s e r n o o s t c e s r v e o t a r a c e P v

w ⋅

v

, s o l e l a r a p s e r o t c e v a r a P

w ⋅

u

+

v ⋅

u

)

w ⋅

v

(

=

k

w w

=

v ⋅

)

=

+

w ⋅

v

v ( ⋅

u

2 . 4


a l e d s a m r o f s e t n e i u g i s : a t s a l c e e r d a o n u t n e e i d n m ó i c i o c n a o u C c e

w ⋅

)

v

k (

2

v =

v ⋅

v

s o l e l a r a p s e r o t c e v ; s e r s e o r t a l c e u c v i s d o n d e p e r r e t p n e s o e r l o u t g c n e Á V

e s l a é i u r q t o r c o e P ¿ v n ? . ó s a i a n c c a i i t a t s á n e e t m r s e a e t r a p c a m e r l s a e a l u l q e e r d u o q j a r z a e e t l n m a r e s u m e s t a a u t g n r c a a e l a r : í s r l a C d d o e T p d

n

λ +

z

0

=

z

,

m

λ

: a c i r t é m a r a p a m r o F

+

0

y

: a y n a , i s l t e λ r a + c x a m r = o x F =

0

z

0

−

n

z

= 0

y

−

m

y

= 0

x

−

l

x

s e r t y s a o c d i t á n e m a e t n c i e c r a a b l n s u λ a a s t e + l a d a l c i e l r a = c s i r r n o e o s d t : c s e e s r e t v e n n n o e n i o i ó s c o i a l c c u a n e i l u m p g n c i E d A Á

s o e s s c e a u s q t o s s a e t c e e r r t n , s e a l n e ó l i a c r n a i t p s i s a d t , c s e a r d , a s e e t b n a e l a d i s c t n a i c o r c e , s n a a t t c e r R o c

3 . 4

4 . 4

n ó i c c e s r e t n i e d s o t n u P

29


. s o e u e o t t o d e q t j n r s s e b j a i a o e e c e i m e t i c á i c d n a o s m d m n a s t o c e o e i c l d n a l m s e ó e é u s l d b i a m c Q l r i ¿ e o s á t f s s ? c d s a e e t o n á l l o m a n e i u e y c s i a n i t o s m v s a i s c n e c s i s e t e n o ? s á e n r o o n e o p i n m i c e c e s o r n t t i a o s a s e n t r a m e s n m l s e e s é i e m u i d a r l u n d s p q : e e r e r s r b C r t a o r s d P n t o a T ¿ e l s o

s o l u c n í V

o p m a c y a z r e u f ( 3 . 6 S N / M N a c i s í F : n ) o ó i i c c t a é c n i l g p a A m


a l e d o l l a l a u g g m e n r á o r a n l e r l s o r o e t c p e a ) θ v d e l a s o d e d h n s c r o e e n o d n i e c , a v c y n n a , ó s θ i l e n w c c d e s y e r o i ( w v d a r a h c v o y e p u r c e = o o d d i w a r a o i n × m r t a o n v f u m

o d i n e t n o C

s o d e d l a i r o t c e v o t c u d o r p r o t c e v l e d n ó i c s e i r n t o i f e c e D v 5 . 4

30

s o m a r g o l e l a r a p y s o l u g n á i r t e d s a e r Á

9 . 1 o d a t r a p a l e n o c r a n o i c a l e R d

c

µ + b

λ +

l a i r o t c e v o t c u d o r p l e d s e d a d e i p o r P

w

×

v

w

×

u

+

v

v

×

w − =

w

w

×

×

= )

( k

u w

+

v

=

w

v

× )

u

k (

( × ×

v

)

v

0

= v

× v

e d a c i r t é m o e g n ó i c a t e r p r e t n I

a

=

r

o n a l p n u e d l a i r o t c e v n ó i c a u c E 6 . 4

=

a l r e n e t b o a r a p l a m r o n r n o ⋅ t c e a v = l e n ⋅ d r n ó n i ó c i a z s e i r l i t p U x e

z c

+

y b +

x a

o n a l p n u e d a n a i s e t r a c n ó i c a u c E

s e n o i c u l o s a l e d a c i r t é m o e g n ó i c a t e r p r e t n I

; s o n a s l o p n s a o l d p ; s o o n d a ; l o p n n a l u p y n a u t c y e r a t a c n e r u : a e n d u s : e e r n s t o n i o e c n c o a l e l s p u r e s g t n e n t r Á I 7 . 4



n s s e n á o r y c a l a e t n s r ) , á e r o 1 a o . h h 5 ( e n s a y 6 s o c s s o 3 i t s l a c

í u c i t d s a l á í t c d s a e s t s s l o o e t a e s a d d l a b e í a d r t n o s y ó i a a c a m L . t a s n l o e s d e i e r u n q e p t e b r e y n o o s o p o j e u s d a n e t l a S m . u s : ) e s 7 . r e 5 s t - l o d r a 5 . e a p 5 s ( d d e r i n t l a ó i e d i d i c l b d a i t a a t e s b a r b n b p r o o e r o C p t n r s . e i o p i d a c s l s e y y á b n n o ó i a s i c o u s c t i n b i e e t p r r c t s p s n í o i m d o d c s r u c i a a t c l u s s d y n o E t r s a e i s n i : i r s o ) t a n f a e n e l n e é a ú t s s á i e r a m s n l h b o a e o c i r S c d a a v . i y a c o d i . u ) f c n á s a 4 . r e n t 5 n - g e e 2 o s a l . l m e 5 r a á ( t t d x l n ( a d a e r a p s d o 5 e i n e l e l i d n b e d g a a o r b a i v o o s a t r d d i d e a p t i j l i a u n b c m o l r l e l e c p U E d a

s o l u c n í V

e u a a q o n é u s l u n g o o l t q a a u n r t b e o a y i a t r r u a P l t ¿ e H e a q . s ¿ d s s s o . o l a a l o ? l c i s o c t s i o u n e t n s á t e u e t a l í i e i s q d a m d m e a e s i t a e c f r c y s a t n u n b o ó m e d o ? n a s o i n é s l s c a o o a c a c v s l y t e n l l i m i e s e s t r ¿ b : d a d i s e o c i a f c d i a t d z n 8 l x e z á i a s e m e e l a l e m a e n t r r n a e i r t r t u e u a l u n n e a n t t p e a m i a a g a e n s c n i o c l m s i a l a c a i v i t l d l i c n s á : s o : e t e í f r d e j C c m C e a n ? d e o d f i b t s o n o T v c T d O e s s


o t s n e t u . n j n n ó i e o u c i c g l i a l e b s , s s a e o p l n a e l r a z m o i l á i m t x e o u s c n o o e l e d a b e d r d e e 2 d s s y i , s 1 n e o s c n a á e i b x m e r e i á f s u : n r s x s p o e l a k = i t s u ∑ s a l a d o m l = r n e n ó µ E d E f

o d i n e t n o C

a i r y o s t o a e t e l a r c s a r i t d s e s o u t a m d , a e r d t s a e i u c m n , e n u c ó e i r c f a e l b d o s p e e n o d i s c s o u o t b p i u r i e n c t s t n i o d n C y o c


1

, e s o d l a r o v i r r e e t f n n i i s e o r l e o d i r e s p e l u a s r t s n e t e c i m s í e r l , o l o l a a v v r : e s t o n d i a l s o p e l u a r d v d g r a t u t i e s l n o p i t a m s o D a l

) o c i t s a c s í d i a t t s a z s í e d r e t a s s t s e i s i e d l ( ( á S S n a N / N / ( 2 M M . . N N 1 1 a a í í a í g f a g o r l g l o o c o i i e o s G P ; B ; : ) ) n a s ó i v a c i c t i p f a i á c r r i c g l p s e o e A d g

a l n a e r i s c o t u a d d n e o e c d d s a n r o ó a i i ) p d l c e a a l r a c i t m i p s s e t s o o u í c l d e a e r m t d e a s s d t e e a e s n l o e e m d f r d r o o f t o é l a i s n m s u s n n o ó : e : l c n i n ( c ó l i ó n a i e c c a c i o a e a n r c c ñ u i i a a l l m p d i p g n o A v A e c

2

µ −

2

i

x i f

n

∑ 1

= i

k

=

2

)

µ − i x

n

(

i

f

∑

k

1

= i

=

2

σ

a n u e d a z a n c i a a i r p t r í t a s e v n u ó a i l m c y a a i a n v i u s d e e e d d m r y a i t : l a e z r e r a n e d p a i i r n a a u ó n v q e i ó , r c a i c a e m l i s i a d e o t s b o M N E p

1 . 5

31


s o l u c n í V

e o u g q s e a i n r e m e e s i e o s s d d o s m c e s m i a ? r o t e l s t c s a o n n í l o l a e i i c i a a , b f c t i a s , d d a a a t b o i d o m o r c c i r l i l f n i p r a e i a a b s u c a s d o l b n a n d a e l e o o v r i r s y p t e e p e é a e s d d e p m r n d a a x i a c i e d t a s e e d p a s m á L o l n o o ¿ m r i s i c e t . m n e u d f e o r a : é n a t é r n n e m e t t ó s s i n n i m a a m e e c s u i o t r l a i c e : c e c d i i n n i l u c C o e n f p t d s n o e s A e e T c d e

s s a a l o d l a í e n i r l u e v o e a q s l e t n e o a a e d l l b n a a a a e i g l c c d u e i l l n l ? o a c ) l a p a l r a a a í F o h c r e s s m r n e e o s e s d o n a a d e d é d a u i n o c d d e a q l : i i l l r b u a a i o a c l b , n p b s o a o b ¿ o a i l s r c : o p a o r 8 p i p c m l n i e n r l a e n j e a r s r e t e a e r n e n d p o i d e a n p g s o ( n a c I I i a s a ó o b i t V s n v á s i a n m X t s i a o e í n i d e t e o j r i t m l b o s g a o i a i e O t c c D m s

a l r a r t s o m a r a p

) ( P ) A ( P B


o d i n e t n o C

=

)

B

a ∩ i

A

e n d e p e o s d n U i

) ) s , A U l o ( o d o ( n n b a t r a ) á l s e l = u A e n s c ) u o d e e A r s n s s ( ( , y a o ′ o ) P d d U A m a a ( a o t t y r l l l m g u A a u s o s a r c s i e t d e r r s o i , e A , e r n o u d a n o t t s n m n e s e a s e o a e V l c i b u m m e a m c i s e r a e d t l l e p n p s y b p s u o x e m a o r e e , p m e o d t c a e s e e r n d d l s g o d a o a s b c d n a s i e ó i o b l e d i t i c e d c p o b u e r u a s d s p c i a l b l n u o s o o g o q o s e s r C e P L U r e r

2 . 5

32

c

( n e P d

s n e y u l c x e e t n e m a u t u m o s e l b i t a p m o c n i s o s e c u S

e ) t

B

∪

A

( P

a r a p a l u m r ó f a l , s o t s e u p m o c s o s e c u S 3 . 5

s e r t e d o m i x n á ó i m c n i n ó n i u i c f i e r n ′ a i d f B a ; e | p a d A s d e ; a y s n ) a e t P o i B ) n = B c e i ∩ B i e d d d n A ( A a o ( P n e c P p P m e e d d = r a = o n d e i i t l i B s B l s e b | o s | d o a e A o s b A e c o r P u P s c P S U u s )

(

) (

)

)

(

(

4 . 5



s o l u c n í V

. ? s o t o t n a e i d e m d i c s o a n t r o c s e l e u d m r s o l a t c s a l e l e b a y i f s n a c o i s t á t o m e n u t a p m é u s a q l a : t C s a d H T ¿

s a í ñ a p m o c s a l n e s a d a r e p s e s a i c n a n a g : n ó s o i c r a u c g i l e s p e A d


l . e a d n e o r o d m l a a a v i d n u n l a u i n b i , a a b m u o o n r i t p n e n e d o e c d s d a a i o r d m o i i s t a x n e e á l a d m e r e d l o b n l a a ó i v r a i c n v n u u a a f n a t u l n e l a s r a a u e r P c p

o d i n e t n o C

y a z n a i r a v , a n a i d e m , a d o m , ) a i d e m a ( c o i d p í a t r e n p ó s c e i a r i o v l a s e V d

d a d y i l s a i b t a e r b c s o r i d p e s a d i r s o e t n a o e i l a c u s i e b r l t b s i a i d r a s v u e s d y o s t a p u e n c i t n n o C o c

e d d a d i s n e d e d s e n o i c n u f s a l e d o s u y d a n d i ó l i i c b i a n b i f e o r D p

5 . 5


; ) a v y i s t a a s p l i l a ) e i e r c o d s c d c n e i e a d o r í t s r a í s e f u o c d e i l i t a a n ( t t s s m a 2 e l r . í d s e a 6 t a i v s é l e S s i e l u l N á q a / ( S n í a r r ? M o d ( N s p N a 3 a . ¿ o í 1 s a p : g c . 8 l o i l r o 1 a g l m i o m í c S a l r r u i o e s N / e Q P n p n : ; M e n s n ) N g ó e n ó s o o i i e c i a c n í i v u s a i g u c o i o t e b i s l r l c j l l i t o s n p o i b i o A c B O d c

l i t ú o l e d a o ? a L n ¿ m i a . n d l a u i t e r z o c o e a d v d a n i u n v m u a g l l l e a e y s e d l s l a a a c i e r i t n á m o ó i m n c e i t a a b u t n i m ó s i s c a a u l b n : i u r a C t s r d i a T d p

. r a z a e d s o g e u j s o l n o s s o l p m e j e s o n u g l A

l e d o i m o n i b l e d a m e r o e t l e n o c 3 . r a 1 n o o d i a c r a t l e a R p a


a z a n z i a n a r i a r a v v u s u s y a y i a d i e d e m m u s u , s n , o l a s i s i m o o P n e i b d n n ó ó i c i c u u b i b i r t r t s i s i D D 6 . 5

n e b e d e s e l b a i r a a . v í a l g o e l d o n s c e e r t o l a a l v e y d o s e s u d a o d d i l i n e b a i b c a o r h r p l a s l a a L h

s a i r o t a e l a s e l b a i r a v s a l s e s l a e u c n o i s a l c u o b i j r a t s b i s d e s n a o s i c e i d n n e n o i e C t s a z n a i r a v s a l y s a i d e m s a l e d l a m r o : f e r n e ó i u i c q a r e t r s o e s m o e N D

l a m r o n n ó i c u b i r t s i D

s e d a d i n u . e a d i d e o r e m m a ú l e n d l a e t s a i d d ) z e ( u a q d a a c i c i p f í i t p i n t ó i e l c a b a i i v r a s e v d a e L d

s e o r l v e i d o e o c a m ? M h s l e a o d l a e l m e l s . e n d l d e r o s e e b n d y e a n n i n ó i f e o o ó c i u m n i c c c u q e a o u d s b m e o s m o i r t r d i t u m f n s : y o a u i l d s p a a l h a é l l l n a ’ r u o m i y q o i r b s c m i o a o a n r a c t s i n n c a c t s r s á H e e ó e i t l d ¿ m c a . t i n u a e o t r s n b a t a i n o m i p r c i ó t t e i s t s s i e a á m l i d l : c m n e t a e e m l e C o t a i e u d n c m D d Q T o

3 . 2 o d a t r a p a l e n o c r a n o i c a l e R a n u n e s e l b a l r a i a m r v e o d n n n ó ó i c c i u a z b i i r r t a s d i l d n a a t a m l s e e r d o o n s n n e ó i ó d i a c c a d u c e b i i f i r p i t o p i s r i P T d

7 . 5

33


s a r o h 8 . 4 s e

n o i c a c i l p a s u s y l a r g e t n i e l a i c n e r e f i d o l u c l á c l e d s e l a t n e m e l e s a c i n c é t y s o t e s p i c s n i c l o r á i c n d u o A t r : i ) n n n e e ú t s i m s n o o c c d a i o d c n u a n t e o s e r d t ( l a r 6 e n e d g o a i v t d e i j b n o E U l 34

s o l u c n í V

e e d ) d e u ? n 0 a q a o l 0 z r e a e b n d h 0 i c d 1 a u i e s s o c a f j o h c t s n a o l 0 0 l s n e o b e d c a E i r 5 s e r s . i o b t m e s l e ñ o u s l a á d a s e a e c n g ( i r r u l e s . a t s a á l l q o u i a o g a a e i s q l m a i d o d m e n d ó t o s ó i á n i n r a a r t n i s e d e c n i a t : : m a e n l p l l o c g t s s a a m a a i c r e o l a u t l i n n á p r l n s a o o e i o e n n a t g i r m o d d t ó s c u c e i i e a a l t s c a w e x n l n a i z v r e a r m i r e e l ¿ e l s e e e t d N , a t r i a s r y o n o d i c i a o l u z p i p s n l t t á i n s e n e r a n m e m ó n i o d d a i c e ó b t t e i s g s s i a i l l e m e o n n i o p a : L e r í x u e t n g m C e m s s i e e m s q m t i r d u i e a D l o A D i n d T q m l

. z o i t n n e b i i o e t m L n i a s a e l c y i c ) o n m e i a n n o i d c c i o r t é a c t b t í á w l r ( m e e u o s d N c e 4 . e t e n 3 r e d ( . i o c r l 1 ( t 5 t . c 1 1 e 1 a n e y . l S S 2 o a e t N / N S c n y i a a M l N s í f a N / n m m c u N i o o a t c h c n á l i M n o a e ó m c m i c í e e i E t c s c o ? : u í a i o F n Q m d m i c ; ; s e t ó s i ) ) a o s c a á a l s l n a a e : é e m i c c i e l r r t f p C u b á d Q o a p m r T ¿ s m A e g

a s l a l a r r a a l p l l a e h x d a o r i a f p m o y e t n i n y x b e d d l m e , a s d n c i o a i ó i n c m ú m a e o t r n i n o o ó l t i n e o c i p l e n s e d a i r f s e o n e l a o d e c 3 m i m . a d r 1 r r t o p a s f e s a n a o s d o d e d i o a a d a c d i v v l r a t i o s r a s e e p a r e U d R a L d ) ( ′

1 l a = n o θ i c n i e θ d s 0 a m → i n l θ ó i e c y a u l m c r n i o f e n S I

o d i n e t n o C

y d a d i u n i t n o c , e t i m í l e d s e l a i a m r c o n e f n g r i e s v a e n d I o c


o t p e c n o c l e d r i t r a p a , a d a v i r e d e d n ó i c i n i f e D

) x (

f

−

) h h

+

x f

(

0

m → i l h

=

) x ( ′

f

n a ó s l z a l e a y r d a y o t e l s t e n e n t e i e d n i a e m d d i g n c n e i e a r p d t e c s o m e a l m o d o e s c m s d o n l e a o s a ó c l i d e v c a y b n r a v i o e n i a r i t u r c n f e v a i v a d r u u s a c a c s o n o u l l e a d e e l e s e a d a r l d d o e t n t n t e n ó ó e d n n i i e e o n c c i a g i ó s a t c n m i b e e i i a m c l r t f a i n p t c e a r a e r m t t c e c r n e t b e e o d c n e I r d O n I d

a l a r a p

a í g o l o n c e t a l e d o m o c a r b e g l á l e d o t n a t o s U

a d n u g e s a d a v i r e D

. )

x

n

(

x

( ′ ′

f

y y 2 x

2

d

, n ó i c a t o n e d s a m r o f s o d s a L

. 4 . f 1 o y d a t y n r n x a d d p a l s e e d n o n i ó c i a t c o c u n d s n a i l a n l o c n o d a c d r a i r n a o i i l i c a l m a e F R (

)

)

d

a d n u g e s a d a v i r e d

r o i r e p u s n e d r o e d s a d a v i r e D

1 . 6



s o l u c n í V

) . m . r e . a f l ( u c z r i i r c t o o t m n o e t r i c m e i l v e o a m z ( r e 4 u . f 2 ( S 1 . N 2 1 a c a i c s i í s F í : F n ) ; ó i e ) a c m a r d i c o c i l f u p i n d n A u i

e a o ? t e s d s r a a p u a s l e a c s z e e q i c l , é d e e s a c r s l n o o z í e u s a n l c a a d o g e l u f a p r o r v e r s c o e s t a e r t c t a c d u d a a n d e o b d e a l i r p e í r t s c m E a u i n v n y m e r e i a a z a y e t . e l g s l l n l a s e o a o l a p b i l o o n t a h a l e l r i e s i s c y s c h e r c i i o e S s s e e u a r t s l r d a p b . e e e o i e á a o l m d l y c n n d C l m r i o n á b i e m a c s e r u n i d z f i r u t c o o c s a a a a o c e l a s h c o l m p a p c i á h s o l r t e e a á m s c p n t l a a d e l c i e s a l o m é s e t e n o o o u y e y t s d i q u s e u r i d u m s c s c e Q e f l s q e t s a á e a a a u l a f ¿ d ? i e r o c r c t c o i i e n c m . d s a b i t l t s i s a l o y a a á b t m d s á u l t n l i c m a á o o E e s c s l m c e t s s h e ó m . e n o e e e u á s o s e t t t d o a j a m a n t l o e d n d e a t a a s a e m e a é o c b C i n m i e i s i t e r m t u m t a e a s m s r d c ó n n n s s Q s e t a a e s a t m t a e a m l t l l i o o a ¿ t s n . l : c r e s o r r s : e e n a a o o t b p l a C r d n e r C o r p i b e o s o m e d n u a i a m e d a u u t o p m h L n e T c i h b c l i d T a m l e o o d n g n i a s z i l l i t e u y s a o r e m i m i n r í p m a d y a s i o v r e m d i a x a d á l m n n u e e g d o e s n n a g ó i i s d c a a e i v b d r o e r i o d p b a m m l o e C a c d


y

e

x

,

x n a t

,

x

s o c

,

x n e s

,

n

x

o d i n e t n o C

e d s a d a v i x r e n D l

e d o t c u d o r p l e d y s e n o i c n u f e d a m u s a l e d s a e d a n o v i i c r e n u D f

0

< a ) r x a ( p ′ ′ ” a f b i a r r r a a p a " i o c a j a h b a a v a a c c i a n h ó c “ a s v a o c n n i ó c m r " é t y s 0 o > l e d ) x ( o ′ s ′ U f

, x a

e t n e i c o c l e d y o t c u d o r p l e d a l g e R

2 . 6


e d n ó i c i s o p m o c a l a r a p a n e d a c a l e s e d n o a l i c g e n u R f

g o l

,

x

a

,

x

s o d a n o i c a t a l e r i c l o í i b p m i m a n c ó e i d c a s i o v p r e i T D

n a t x o c n a t x c r c a s c

, ,

x

y

x

s c o e c s c r a

e d , s a x d a n v e i s r e c r D a

a l u n o n y a l u n e t n e i d s e n n l ó e a p c i c o a l z n o s i c o i n m ó m t i i p n o x í e e l f m d n y s i e s a d o m e s m l i o b t x n á o r u M P P

l e a i b m a c y 0

= )

x

. ) d a , d n i v ó i a c x e n l f o n c i a e l a d i o b t n m u a c p ( n o u n n g E i s

( ′ ′

f

, s e ′ n f o , i c f n u e f s a d s l o e i c d f s á r o c g i s f á o r l g e r s t o n l e e n d ó i o t c n a e l e i r m a a l t r a o d p i ′ u ′ m l f o c n y C i

: a d i n i f e d á t s e o n )

x

( ) ′ ′ 0 , f 0 (

: e r e i u q e r e s o N

e d n o d n ó i x e l f n i e d s o t n u P

n e

3 1

x =

y

, o l p m e j e r o p

3 . 6

35


l a i r t s u d n i o ñ e s i d

: n ó i c a c i l p A

s o l u c n í V


o d i n e t n o C

a n u o m o c a d i n i f e d n i l a r g e t n i a l e s d a v n r ó i u c c e a d t e r i a p r l i e m t n f a I ) a d a v i r e d i t n a ( a v i t i m i r p o m o c a d i n i f e d n n ó i i l c n a r f u g e t a n n i u a e L d 4 . 6

36

e d e s t a r a l l a e p e d d l a n a m n ) ó a i ú r u r o t c m s l i t l o u f e c á u c o c u m i n a q c i e c l o n l a n i n o c ¿ r e e ( : t r d l e i 1 . l e h c a 2 n d a e o t e n d S i r u n N c a a é a a p j i n c e u ? r o l i f e s í t m e Q ¿ s a F i n o r ? i c c s : t a á n n a a d c a m ó c i i ó i t t i n e c s i á a n á m m t a c e i e r m l m m e e t n a t p i i e s a A D c m d l

x d 4

e . s a o í l g o o s l s o a n c d e i t n i a f l e e d d s e o l s a u r l g e e t e n t i s n a a i n d u e g m l a r a e l d l a r h o e l a d v l e u E p

1 + x 3

∫ , x d

5 )

1 − x 2

(

c

+ x n l

= x d 1 x

∫

e

x

y x s o c

,

x n e s

,

n

x

e d a d i n i f e d n i l a r g e t n I

∫ : n o s s o l p m e j e s o n u g l A

s o d a t l u s e r s o l o d n a s u s a d i n i f e d n i s 2 . e 6 l a r o g d a e t t r n i a s p a a r l t e O d

. x d 5

+

x 1 2

+ 2

x

∫ y

a n u n o c s e r o i r e t n a s a l e d s e n o i c n u f e d l n a ó i e n c i i s l n o ó p i m c o n u C f

a l r a n i m r e t e d a r a p n ó i c c i r n t s ó e r i c a a n r u g e n t n o i c e n d ó e i t c n a a r t g s e t n n o I c 5 . 6

t d v s d d v = s 2 2 t d d

= v t d d = a

,

s t d d

= v

x

e j e s l e e n o y i g a e r v r e u d c s a a n e r u á r ; o o p d a a d d a r o r l e a s c v r a s n e v r a e t n u d n i ó i c n i r i f g n u o e e p d r n a e s s l a e e y d l e a a r r d j e r g a l e e e t r e c n n I Á o e

v

∫

2

t

t1

=

a d i r r o c e r l a t o t a i c n a t s i D

a

o x

e j e l e d r o d e d e r l a n ó i c u l o y v e e r j e e l d e s d e r n o e d m e ú l d e o l r V a

n ó i c a r e l e c a a l l a s y , o v v i t d a a l d e r i c o a a l c i e d t r á v i a r m l e s , o c n i o e r c t l a e n t e o d i s m t a a i a m z c e a n l l a b p t s o i r s e P d D 6 . 6



s o l u c n í V


s e n o i c u t i t s u s s a l n á r a n o i c r o p o r p e s s e n e . m r a á d x n e á s t o s l e n o E n

e d s e c e v s a x i r d a x v n a l 2 . d 6 ∫ a c o y i l d a x p t r d a a x s e p t a n r a l p e e s n x r o a v o c ∫ p i s n r e : a ó c s n o i c u s l o a i p r a c g a m e m l e t r e j n f o R E I

o d i n e t n o C

n ó i c u t i t s u s r o p n ó i c a r g e t n I

s e t r a p r o p n ó i c a r g e t n I

x d x n e s x

e ∫

y x

d e 2 x

x ∫

: s o l p m e j E

7 . 6


37


, a n s a e r s o o b c e ó i c m e a i i e c p t t l d c s n s r á b e u í o e s e f d o r p S a r p t a o l s h d o s . r e l n e s a o s o l o r e 8 m d i l l a n a e 4 n n o e h y t n i

a u t a c p l a r c a e b p i o r p l d o s t e o n e d p a e c d e m n x i a i c á t t a s s l l r í u i h t a t a d s p s u a e o s t r e l s e n e e s s d n o e s m E a l u l u e . r r l a t o r a q l o a t i á d r a s o r r i r e c v s g s L o p r i . b e x o t e a t n e l y r o , l e i e a d e s s a p o , r m l d o e a r a r o v c m n o d d i i i l n i n n p í , á u a n a n c t i r e m d a o d o d o l s n s i p i o n m u o , m a a h o P a . l c u c a , i c l , a f s e d a á a y n i o s l r n n s ó m g i a e i m n n c o a m u i n l r u i o o b l e a c i a t b l c i t e r : a p t d s n d u o i s s o t a e a l i p s d n s d a d a o r e a e i i é d o r l c d d d u i i a n u q a a n u n b r l o n a i b i ó i o r d u c c t t a c s l r e s a l r n i e a b o u d u a c p i f n e c e s o o a t r m d l e l a d r p i , n c a o a r i : e a c p n c i s d u l r u d e i a t l g n a d y n s i m u e s o e y l a c t m n a i s a e u s s a c n c l e u s i c t n e i n a s e a r o d í n t o i a c d n ó c o s p i a e í l u s c c l a t s s i u a l o e d n r i l o b s o t i o u a a i r l u t d c s t c l a s a l l e e s i s p o d d á c s u c e s é l E d n a c d u a ó a o i l i c p f : d i s n s á s e s ) r ó n l n o a i e d l d c r g a u i e a n u r a p l e d u l l n t s m f n c a o t a i e o t o e c l n e c n i b a , o i f , d e í ) p c s d d s c a t e d y e e l s p l d e i e a p a l t v i i s c s o r e a e i b o t n ( r a ( á j e n o b s a e n d m e g o e e u 7 u l r t g t s s b a p u a n a o r m l c e t e d i v n l d n l u a a t a e r c d o j a c m e d a r s i b z d a a i s r o n l o z o f i s l n s a l e n i c o u e e n t U L l a q d d e u 38

o m o c a d i c o n o c n é i b m a t

: l a n o l i c a a c n s a r P e t e n d i n n ó i ó i s c u n b e i r t m s i i D d

s o l u c n í V

e d s o c i t s í d a t s s e t o s a o d d e o t é d m s o : r e 8 h l c a i r f e e n d e n g ó o i v s e i t r e j p b m o O c

x

t x

)


o d i n e t n o C

) , X

=

b ( r

X ( P

+ ) a V X 2 ( a E a = ) = b ) +

x ∑

=

)

X

t (

=

)

Y X ( E

E V

G

1 . 7

( E

X a X ( r a ( a

=

a c i r t é m o e g n ó i c u b i r t s i D

X

+

) t (

a r a p d a d i l i b a a b v o i r s t a a p t g e e e d r n s c s l i e a i c d i r s m t a i o a r n r e t i o b n a e e n g l ó s a i c e s u n l e b o b i i r c i a t s n i u r a D F v

E )

b

E

s a u n i t n o a c r a s p e a n o d a i c l u u b m i r t u s c i a d n y ó i s c t u a e b i c r r t s s i i d d s e d e n o s e i n c u o b i c i r n t s u i F d

)

Y (

n s e ó d i a c t n d e u i i l i b d i b r n a t s e b i p e o d r a d p l i n e s d y a a s z i r e o c n t i a r i a t r e a a l r a e v a s n l e e , l g a b i i a s e d n e r a o m v i c l n n a e r u f l a d a s u a l c m l e a u d c s a a l o s r a e U p d

s a e i l r b o t a i a r e a l v a e n l e b a d i r s a e l v a a e n n i u l e s e d n l o a i e c n a i l n i n l b a ó i n m c o o a i s c m e s r n a e d i o f a r m i s i o t n d d a i a e e r n l T u M a

s e l b a i r a v n

e d s e l a e n i l s e n s e o t i c n a i e n d i b n m e p o e c d e i n d s a a z i r n o a t i r a a l e V a

s a i r o t a e l a s e l b a i r a v e d o t c u d o r p l e d o s e d t a n r e e i p d s e n r e o p e l a d n V i

2 . 7



s o l u c n í V

e r p m ? e o i s d a á r g s e o e s n s ¿ i , o S o n . r u o t e d e m u n á u r q r m a o l p j e n e y u m s e o a d g c r s i e t l s á o a n m v i e l s t a e r o m s d o s m a a e m l i : c t s o C n e d o n T c u i s θ o r t e m á r a p l e d o g s e s n i s r o d a m i t s . e θ n = u s ) e T

a a r l í m z e b s e a a r e y h o d i i s o c e l t a n n a s l c , i e v e i t e E c n u á t . s i o s s m i a a r o c m l e í c r t a i r e a e t t a l c l d i á s p l m e , p o m o d ) s l t e m o a a a i t l b a e m s r : t m s u s m d C n á e i l r s e d c l a d o a e l T a e p m u r e a y m n o d e d p f e 8 e ( s a a l r a z s e m a o e t d e e i r l t r t i i n a e l l e f r m n ) . n e á v u í e t l m a o n s o c g i a l c r m a . n e i c s o S i e d t s a . v a á t s i i l s n l o í t d i a m e r a : t e r d e d p j n a m C t e n b u t s u d e a u m e O m e h T c m p (

e d a a l s c e e i n d s e c s σ o l é t e o ñ a e d a n o d σ n m i s o a a n l o t e p d u c l e n t d i m m a n e d u ó i a i c i c b j l c n s e a u e a n r u m d t i . r b r n s o l o t e a e m s n i p u o n e o c i n d d ó l a n m s á i e r c e i d a n u d n t e a b m o o i r i r o c s a t d t s , i s u a c e i l s n d y d u ) i E a a c . s o l a o a d n r d e r e i t t a d c o s e s o c o s e r e u s n o e u a p m U c d m (

i s 2


T e u q e t n e i c i f e s á . m ) r 2 o d T a ( r m a i t s V e < n ) 1 u T s ( r e a ( 1 E T T V

o d i n e t n o C

a d a s a b o g s e o s g n s i s e s s n e r i s o d s a e n i m o t i c s a e m s o i l t s e e d s y n a z s ó n e i a r c i r o a a d r v a a p s m a i m l t s o n E C e 3 . 7


2

)

X 1

− − i

X

i

X n

∑

n

=

1 =

i ∑

n

=

2

X

S

2

µ a r a p o g s e s n i s r o d a m i t s e o m o c

n

(

1 = i

σ a r a p o g s e s n i s r o d a m i t s e o m o c 2

X S

a l e e B d u a a z q c r r n n a a a a i m r f m r a g n i n o f l u c A e e e d . u q o o t s s d i i o n d x e l u e i a m m s v r l o e t e r o c n p o i y p s a s n í o f a e y l a c ” u i r e t r g r o m t á j o n m e r . a e s e e m c t “ i o i a G a f t d : i s n n m e n e e ó g i m i s i a A s m l s c a : a e a o i c p d l r d C c a e l a s p d u a A T m p o s l

s a á i r t o s e t a s a : e l d a i r a u l s b   u  e l i c 2 i r n b t t σ , a i s r i a r d p µ a e v t n    e n E N e d . a l m d ~ a l i e a u X n b i l m r i r t n o ⇒ s n i ó ) i s d 2 c e a t t σ n n e , i e n b i e µ d ( m n l m o e a N c p ~ a e m n d r o n X U i n 4 . 7

e t i m í l l e d l a r t n e c a m e r o e T

a n u e d a i d e m a l a r a p a z n a i f l n a o m c r e o d n s n o ó l a i c v a r l e b t n o I p 5 . 7

39


r e t d e o a m n d s i o e a s c l c t a a i a p n n o n a c a u a n t r n r c e e o e i t o a d l p c a n L s v s a m ¿ o t i a r . r e s l s o á o t p d e e n e n m u m m i u á q t o r s s e ? m n n á e l a e p o I i I e s o m d m s n o y t o d i e á p s r o c u i t a i e m o o c c n d e i t c l o n y d á l c o e á I a e u o r m o t c p o c d e s r ¿ i r t r e s a a f e : t e a n e n m t s n n ó u o ? s a i d s i ó r a t i c a c r r l e o c a n a t : n c r a m a i e r o l C c b r m l e m i p d e o f u n o T d p a h A u c

s o l u c n í V

o v , i a t c a i c t i c f i á r n p i g a s l n s e E o . d o a d t n l u u s m e l r e n y u ? s e o t a u q r c e i r i t i á c c e s m d e e t a o e u m m s q r s i a m i c l e : o d C l e d s e u T ¿ q


e d a a l c e s i d e n c s s o l é t e e ñ a a n e o d i σ σ m s a n o o o t l e l d d p n e n a d i m m a u e d u c i i j c t a e b c l n s a n n e a ó d r u m t . r i n s o l o c e a u e m n b p u o n e m c i o n i r d ó s á s i i t n e r i c d d a n e u t a b a n m o o i l r s i r e c a t d t , i s d a c e i l s n d y d u ) i E a a c . s o l a o a d n r d e r e i t t a d c o s e s o c o s e r e u s n o e u a p m U c d m (

1

H y 0

H

o d i n e t n o C

, a v i t a n r e t l a y a l u n s i s e t ó p i H

n ó i c a c i f i n g i s e d l e v i N

s o l u s c l a l e l á d o c s c s e o r s o l o d s l a e o v d d i , u s y o a l c c n i n i t í , r u I c e I s d o e s i p r t t o e l s e s a a e r d d v t , a y n s o I d i a c l c o i i t y i p b í a r p t b c o e o s t d r e r p n e s o m e r s i u o s g á r e r r a e R p E d

a n u e d a i d e m a l a r a p s i s e t ó l p a i h m r e o d n n e ó t s i a r c a t n l o b o C p

6 . 7

40



s a c i f á r g o e g s a z e r t s e d

. y a s o c s u a a a c b l a a a l t l s a r e i a c e c i r f t a i r t n g s e ” u n ó j ó i i r e u c b a u q l c o e r r s e v u o d t c “ a i a e l s c : n n e 8 ó i l c a l r m a e u L . n p s e e a g d c o r i t v e á i t c n m e á e j c t b l a O e m

s o l u c n í V

: n ó i c a c i l p A


r i a c s l . e a a e d c r i e t e d r t a r p o o á d n d a p m o u i e l , t e p e d d e s d e d d e a u n m r s m a r u e g e o i l r a d n n l m d u o i a s u v o b r f e e i c s l e s o s d o e p o e n p o s r d p n e a l a d o m i o s i á d o d c i c a x l y o s a e i z e s e u e l d c e n o t l i a e c s d e d N b s r s a e e a a . i l a r l d n c d o a e l o i i v e a i t s y g e e s d c í l m o o l a d i r a u a r a o t t f a c e s l r n n n o t i u e a d n u e e s a e d n p , , d n n r s i ó o i o l s p y n m ó o l u s r i c c a m e m a a s e r u t l v i u l e e l j D e p a d r e

o d i n e t n o C

s e l a n o i s n e m i d i b s e n o i c u b i r t s i d s a l a n ó i c c u d o r t n I

a n u r a t s u j a s a r t o a a p d a e í g d o o l o t n n u c j e n t a o c l e n d u a o s s u a : v n r u ó i c c e a d c e i l i p r A e s

] )

y

µ

,

−

Y ( )

x

µ −

y

µ x

µ −

)

X Y ( X

[ ( E E =

)

) e t n e i u g i s a n i g á p a l n e a ú n i t n o c (

e e s u r o l a q e . l m e n o ó , m i s ó d a i e e c t e n s c u h ¿ n e a s n i n l , e o o l s e a s n s e i o o d c i a e p o e d b p r v p p a d a s c a m p r u r r v o O u e t e r l s a a S t r a c e x l k d . s c s n s e p l e n o j e u m b e e e d a a e d d a n l r o p j n i e o e s e e o o F d u e r i e d s i s c o e e n o o c m d a o c s e d e l o i l u a u r h r a s r o e p n c í g c p d i f s t a u e l y e u e l l n p e s s s r l e ó s p m e m , i a s o a ? : c o l o o r e o c o e l p l 8 l i e d p f c t t e l i n a e e d a t s á d l d a d u e s m e á o r e a m e n e e e r q e p j e d e u t c m n p e s l e d a o m d E n e r ” e l a a . n r e o m t o ó d b “ n ” i . r g p a ó s n e o o e : i n u m a , c a j a i c v ó s d á c l n i i o g i r i a t n t e i s e : o x d e b s a t á t d r j i s a r o C c o c p m e e p e i o d n r a x r i p u v b c s u p l e r T u a p “ O e s r E f p c

=

Y , X

( v o C

o t n e m o m n ó i c a l e r r o ρ c ) e n d ó e i c t a n l e i b c o i f p e l o a c a y r a p a ( z n t a o i r c u a d v o o r C p

e X 1 n – e r ó a t i n c s e l a o n e n a ó i r c r c a n a u e l c e r n o a a l c 1 ) + e i d Y d i n a . ( s a E e d 0 o i n t r = a d a e ) e s c y u r f Y o µ ) ( m n e n c r , a s ó ) Y a a c e i , V n c u r X e r l ) ( X o a o c l ( E v X m s a e r o e = r v a o ( r c s o a x C l o n l u µ V ρ a v y n e e a d s l c d o i i = o l n b d s : é o n ρ d U Y d i l a e n i l n ó i c a e l d e r o s a a n c u e n d e 0 o s = a c ρ n e e u 1 q ± e d y a n i ó c i c n e Y a r d e t s n X o e p e e t r m d e n n D i e

.

   2

Y n −

2

)

Y

)

2

Y

i

−

Y (

i

Y (

i ∑

X

=

2

)

X

−

X 1

=

X n −

1

=

2

(

1

=

=

i

X

X

i ∑ n i ∑

n

2

i ∑

i

(

  

i

Y i X n

−

i

−

1

n

)

i

Y Y X ∑ n   

−

i ∑    n

1

=

=

R a r o a t p n e n n m ó o e i c m d a c n n ó i l i ó i c p c n a a u u l f S e r . r n o e Y c R e e X d ) a r n e t e t n s e s e u a i d c m a i f a e . e n r ρ o u a e c p d l a s e r n a d p e n i ó o c n ( i ó o c a i t c c a m i i r t n u v i e f d s s e e o r b a D p o l

7 . 7


41


) r o i r e t n a a n i g á p a l e d e n e i v o r p (

s o l u c n í V


l i b é d a n n u ó i n c a a c l i e r d n a i n 1 u ± n a a c s i d o n n a i 0 c r a e c s s o e n r a l o c r a . e v e c y t r , r e e Y u d e f s n e ó r X i e o r c l a a t n l V e e r

o d i n e t n o C

e d o d a v r e s b o r o l a v l e , . r n e ó d i l s r a e p m s r i o f d n e i d n s ó i a c m a a t r e r g a p i r e D t . n R I

42

a r o d a l u c l a c a . l r j o a a z i l b a i t t r u e e b t e n e d i u e g s i , s e l l e b i s n o e p a c i a f e á s r e g u a l q l e a r t p n m a e p i e S d

e d o t s . e s u e p l u s a l m e r o n n e s e n l a s a a n o b i s e s n s e a i m m d i e b t s s e e t n n o e i i u c u g b i s i r s t s o i L d

n o c t n e d u t S e d

)

) − 2 n 1 −

)

x

t

o c i t s í d a t s 0 e l = e d ρ a o s l u U n

y

−

i

(

− i



n

=

i

=

i



n

=

i

− i

x (

− i

y 1

 =

i

x (

1

=

i

2

x n

−

−

i

y i x

1



n



n

y x n

x

x

−

1 n

)

( )

2 i

     

2

i

y n

y i x

1

−

y

2

i



n

1

=

i

2 i

x

1 n



n

=

i

1

 =

i

                       

−

n (

−

y x n

y

y

( )

x (

     

2

i

x (

y

(

−

−

)

y

y

x

     

−

)

. )

x (

y

     

. d a t r e b i l e d s o d a r 2 2 g R

−

, )

y

(

n ó i c u b i r t s i d a l e n e i t

s i s e t ó p i h a l r a t s a r t n o c a r a p

x

−

t

R

)

y

=

x

=

−

x

=

y

=

−

y

a s l a t e X c l d e e r e r r o d i s c l a n t ) e a ó v s i n d e ó l s X e e e e r i e r r p o d c g b a e r a d s t i r o s o s r a c d a o p o l Y a r n n e e o d m e i ó u d a d s c q l a s u s e c e e e r e r l d y l a s i e g b e a o u e i n o h ) i r m q r c y l i e a e e n r d n h = o í e s v s l s m s t a l a e Y e | c o d d n e e o X ) x s ( r d t n s n ( = e a a n ó n e E t i i u o s s X i e e m e c i Y | r a g e d c d r o e m e r Y ( i o a r o l n b t r o o E s e s a t C s E d U v o )

)

(

(



s s l o a i r r c u o d o h t r n 8 i 4 e s

o c i t á m e t a m s o t p e c n o c s e t n a t r o p m i r a i d u t s s e e o d p d a i u d n r t g u r o y p o a s l e r a n n o i o i c r c o o a p r l e p r n e . a , n e t s t s c a i r o s t s t n b o n c a a r u l a b j n e o g n i l o c p á o l e C d d a s : d i é ) v l n a u r a a t t n s a n o e i i e ó c c d a s t e p l r s o a o r m ( e e n e d 8 g l a s e o d d i v s a t e i o j d p i b i c n o n s i o r U L p

s o l u c n í V

, e s d o t i d n u i t f t s i e n l a r p t s m o o c r n e i m e ú d n s s a o m l e e d r o r t e o t l , n a l e C s s e u d R a e í r d o a e j t o l : d e d C a r ö d a T p G


o d i n e t n o C

. s o t n u j n o c b u S . s o t i n i f n i e s o t i n i f s o t n u j n o C 1 . 8


, ; s o n t ó n i u c j c n e o s r c e t e n d i a ; i n c ó i n n e r u f e : i s d o , t o n i u r j a n t o c n e a c e i m r r e t t l n é p e m m i s s e o n c i a o o c i t c n n a u e r r e j e f p n i o O c d

s e n a l c s o l

e d s o t i u c r i c , a n a e l o o b a r b e g l á , a c i g ó l s : e r n o ó d i a c t a u c p i l m p o A c

: l a n o i c a n r e t n i n ó i s n e m i d y n ó i s c e a s c e c i l o p c s A e

e u q n e r e u t e q s t e n o u a d i m d e n e e d i c m e e l s u b e q a d s t a o s d n e e s i m l e p u o a l r a u p g s s . o i a n l n n A t e s o e V a r s s ⊆ e e i o B d d d e t n s p n u y ó a á j i r n c m d o B a r a r o t p c ⊆ s g a u e s i o A l I d S d

o t n u j n . o o c t n n u u j n n e o c a l i c e n e n e l a n v ó i u i c i q e t r e a d p n a n ó u i c a e c l e e r l a b a n t U s e

o i n i m o d o c o n i m r é t l E

o n s t ó e c n a i n c n j o u u n t n s u e f n e o c , l o a B n n e u o d s s t e e n a n v u i o f j t i n c c e n i o y c i u s f e l e u e b n d q n ó n y e i ó , A c i n a c u o f i v t s i t n o a u a . p t j n A u u n m o s t o o c e n c m n l u a o e y j l c d e t e n a s n o u ó c v i q i x l i c t e e r c e a r 1 n e b y f e a e p i S o b B

, a v a i t l u y b i r n t s ó i i d n u s a e l d a a r d e a i p p ( o r a v p i : t a t n a u g r m o n M o c ) e y n d a ó e v i c c d i t a e s s e i c r y e o e t n L s a i

e d s e s a l c ; a i c n e l a v i u q e e d s e n o i c a l e r a : i s e c n n l e o i a c v a i l e u R q e

s a v i t c e y i b , s a v i t c e y e r b o s , s a v i t c e y n i s e n o i c n u F

s a s r e v n i s e n o i c n u f y s e n o i c n u f e d n ó i c i s o p m o C

s o d e d o n a i s e t r a c o t c u d o r p : s o d a n e s d o r t o n s u j e r a n P o c 2 . 8

−

3 . 8

43


s o l e d o m s o l , ? s s o e d t n i a c t r o o n p o c m s i o s l á p m m e n j e o s s s l e o l á o u s c l ¿ e : a r C e d n e T g

s o l u c n í V

. a o i s t n r a o o t e i n n n m b a e l e o t m e n n u n l i e u e o ó j c e i t n s c a n o o n r e c d ú e p m n a n o i a u n u a r i r e r b a n a s b m d u , e o a n c e s o c r ó n a ∗ e p i s c i e a u n q i o r a S i f a l ∈ e n . n d t o a i g b b e a n d r , t r u a n a a s j r e ó n e n i u a r n o c c e e a c i , n r s ó e e u i r n i p S q u c c o o s e e e d r r a l a í e a n c p a u s b U v c E o s o c


o d i n e t n o C

s a i r a n i b s e n o i c a r e p O 4 . 8

44



y



e r b o s s a c i t é m t i r a s e n o i c a r e p O

) y e l y a C e d s a l b a t ( s e n o i c a r e p o e d s a l b a T

s s e e o o n n t e c a d u m e d u u o s p r a p l a l v e o i t , r e . u p o b i , t r  a c t e s u r m i d d b u o s r d o a p a s l , d e a l a e u i o t o p q t o e c c r d e e p o p s p s a l h e e r r c e e o a d h v i v s l i t o e t l u u r b b p i i i u r r m l t t e c i s i s j n d d E i

a l r . o a p = r e a s ∗ e e d a a h d r o i e l u o r q t z u i e l n a o r o t n p e y m e a l e = a e e s ∗ e a

e a u h q c a r e a r e P d

a h c e r e . d e a l r = o a p ∗ r 1 e s a e a d d a r e h i o u l q z o i c i a r l t é r m o p i s y a e s e e = u − q a a r ∗ a a P

, a v i t a i c o s a s e d a d e i p a o v r i p t a : s t u a i r m a n n o i b c s y e a n i v o t i u c b a r i r e t s p i O d

o t n e m e l e n u e e o d r t u e a n o o t c n i r e t m é e i m l e s l l E E

5 . 8

6 . 8

a

1

−

−

1

, o t n a e e m u s e q o l t e e n e n r u p m r m e l e a i e n s i , s o m a l i l h e e c d e e r d e d e d a u a d i p l c r i e s o n u e p u o a l q a o e i c e d d d r r o t e n é c n i i ó r ó i i i u q t c m c i é z s a a r y r a i m t t l s s s o r a o o r o m p g m t e , n e u e D e D a t n



s o l u c n í V

d o a r o d i y l s i a a b l i m s a o o d r a p a p m r i a g l a e u l d m e r r s o b ó i f o s m a s o n i n u o i l l e d s a o o G p a i i e a r c m d a n o p e a n t í i r s s l i a o x o e l u e p t : s : m o n r 5 n l ó ó i e ó i f e c d c s u a s a l e q c c a l i i l e l t a c p í p e u a g A r A d i

. o r t u e n o t n e m e l e e e s o p G

. G n e o c i r t é m i s n u e n e i t G e d o t n e m e l e o d o T

•

•

: a c i f i r e v ∗


a d a d n ó i c a r e p o a n u a r a p G o t n u j n o c l E

} ∗

,

G {

o d i n e t n o C

o p u r g e d n ó i c i n i f e D

.

∗

a r a p o d a r r e c s e G

. a v i t a i c o s a s e ∗

, o 2 . p 2 , m s e a S i N t l a e u c c d é i s l s o í a a F l d , i m ; a d e s e í e d l v a e m s t a n l , í k r u p i t u b e p t c u m y ó R i s a e l e s , l ; d s b ) e a l o l a a c b t e i c u i s e d c p l r s c e e s a e í e n : r o d t n d i a e a ó c i r c d m c u u i i v s a t r i c t t r c i a e l u r s n l p p t s o e r u s A e c (

, a c i s ú m n e s a t n i u q e d o l u c r í c s l o e m : i n r p ó i s c o a r c e i l m p ú A n .

2

T

.

e d o d i u g e s

G

T

1

a c i d n i

∈

b a ,

o d o t a r a p ,

T

1



2

T

n ó i c i s o p m o c a L

a

∗

b

=

b

∗

•

•

o d a r d a u c n u s e o . p a u s r l g a n f u s e e d a c n o r ó i í c p a r c r e e p l o a e o d r e a p l , b o a n t t a i a L l

7 . 8


a

s o n a i l e b a s o p u r G

n ó i c i d a a l a o t c e p s : s e o r p  u r y g e  d , s  o , l p  m e j E •

8 . 8

n o l u d ó m n ó i c i d a a l a o t c e p s e r s o r e t n E •

, n ó i c a c i l p i t l u m a l a o m o i t c r e p s p s e e r p s e o d l u n o n d o , n p s l o o r u e t d n ó E m •

s o l u g n á i r t s o l s o d i u l c n i , s o s a l n u a g n l p á s t c a r e r u s g o i f l e y d s s o a r e í r t t á l e i m u i q S e

e d n ó i c i s o p m o c a l a o t c e p s e r s e l b i t r e v n i s s e e n n o o i c i n c u n u F f

o p u r g n u e d n e d r O

o p u r g n u e d o t n e m e l e n u e d n e d r O

s o c i l c í c s o p u r G

s e r o d a r e n e G

n o s s o c i l c í c s o p u r g s o l s o d o t e u q e d n ó i c a r s o t s n a o i m l e e b D a

9 . 8

45


, s o m i r p s e r o t c a f n e n ó i c i s o p í a r m t o e c s i e m d s a : l n e ó i d c a a r c u i l t p p r A u

a í g o l o n a p m a c , a í f a r g o t p i r c

: n s ó i o c l u a c c i l n p í V A


o d i n e t n o C

46

a l r n a e t n o e    s e 3 2 r p e r 2 1 a . r 2 a 1 3 p    á → = r a 3 , p s u 1 e a s → m r ) 2 2 o f 3 , a 1 ( 3 l s : s l o → e c 1 n i e c m e n á d ó i c x n t a e ó s i u c o l m a r n t o e E n p

. o r t u l e e i n o n t o n p e u r m e g l e o l m s e i e t m n e l e i m a n i c s n o i ú p e o r n e p i s t o n p o c u r e g u b q u s o n p u o s r g o b N u s

s a e n n o u i c o a n t ó u m o i c m c i r s s e r o o p a l p s s e c . r i m l a p s o c o e c a x e t n d a o e j u l t d s n a c i ó e e u d i o p t s p s c a c e e o i e r s l n p c b s s n i m o e ó l r c i c o e c d c s i a e c t n e u n a n ó o d i u i m c c n r i e a ó e s d t o u i c p a p n e a d m t r o o m d e o r P N T c O

s o i p o r p s o p u r g b u s , s o p u r g b u S

0 1 . 8

1 1 . 8

n u s n e u } o s ∗ d e , t o H H a y { r a p o s e p c u H r n o ∈ g t n n 1 u E − s . b e G ∗ a } e ∗ d i , o s G í { c } a ∗ e v , u o G q n { s o e o t d . m n u o H a j g n p n o u ∈ o c r g b p b b , u S u s u s a

e d s o i r e t i r c s o l e d n ó i c a c i l p a y n ó i c a r o t s p o u r g m b e u D s

n u n s u . e s ∗ H e a y } o o ∗ , t c t i e n H i { p s f e r o s p e o c u d r n a o r g t n n r u E e c s . s e G e } e H ∗ d i , o s G í { c } a ∗ e v , u o G q n { s o e o t d m n u o a j g n p n o u o c r g p b b u u u S s s e a o d m p l u e n e r e r e d g u r o e n q o t a u l l e r e e d l e d o d p o o r o s p d o r e u a p i l t a r l l e l a g r u e b b o s i r t e s o a u r i s l C l i v ( s n e d e . d s u s e a d s t o l n e c a ó i o n e h c t d c e a i e n m s e c i e g i o r f l e n l l e p d a p a o p s a r m l g u e r a y u s j n r e o L ó g e ) . y p e i n d e g c d y u a n n a ó a a t r e r e a i r i d d s c m o i r u g e e n n i r q a i e l L u o m d f e q e e r a u e z D i T D o c d



s o l u c n í V


o d i n e t n o C

n ó i c n u f a l s e c n o t n e , s o p u r g

.

G ∈ b , i s a

s o t i n o o d i f m o n s t i i f o r a o r a m o m p c o ) s b ( o } m o f t i h , n i f H n ) s { u a o y s ( e f p u r } = g * , H ) e G b d { → o n G * t a n a : ( a e f f T S 



s o p u r g e d o m s i f r o m o m o h e d n ó i c i n i f e D

s e l a , t s o G p u r ∈ g a e d s o o l e m s d i f o r t o n u m j o n m o o c h l e n s u e s ) e f .

( H H r e e = K → ) s a ( G c f : e n o e t i n u S e q

f

n u e d o n e m s g a i f r i m o a m l o y m o s o e o h l c p n ú u u n r e l g d e b u s o e u e l q n c e o s ú d n o e n m d ó s i i f n c r a ó r o i t c i s m n o o i f m m e e o D D h

s , e o t t n n e e m m e a l v e t i s c o e l p s H e r e , y }

G , e H 

n { . H a e e s y = : } o r * , ) G t e u G ( e { n e f o d s t n s e c e o r n m t o t e u l e n E n e

s o l y o s t o r l u e e d n o s t e d n a e d m e l e i p e o r l p e s s a a r a o c l p i r e s t d o é n m i m ó s s i i c f r s a o r o t t s m n o o e m m m e o l e D h e

o d o t a r a p 1

−

) a (

)

f

(

=

) 1 −

a (

f

: o c i r t é m i s o t n e G m e ∈ l E a

s o t i n i f n i o m o c s o t i n i f s o p u r g e d o t n a T

s o p u r g e d o m s i f r o m o s I

o m s i f r o m o s i n u s e

H → G : f o . m s a i v f r i t o c e m i y o b m s o e h f l i E s r o p e l b a i r a v n i e c e n a m r e p o t n e m e l . e o n m u s e i r d f n o e m d o r i o s l n E u

2 1 . 8


47


e d n ó i c a c i l p a a l o m o c í s a , s e i r e s e d a i c n e g r e v n o c y s e t i m í l e d s a m e r o e t e d n ó i c c u d o r t n i a l n . e s e n l s t e a i s i c s i i l s n n e r e á o c f i n l a d n s A i o e c n o i : p o c a d u ) a c l d e a i n r e n u l v a o t o s i s e r c e e p d a r s a o l e p s ( a r i s i e l n á e n a 9 g l s e o d d i v s t a j e o d d a i b o t u n s l o s r U L e

s a r o h 8 4

48

, ? a v  i t a n r e  t 1 l  a n 1 ó i  s 1 i  v a 1 n e u e u t q n e e d m r l e e l u p m E i e s d o a r e o r d i r e a l n : u C a d r e T ¿

1 2

a r t s s a l e u e n d e r o b t c o a s p s e m t i i l m o e í c , l i s n s í ó l o f n e y o Z s d n e a u i m d t n l a i j o f n e d i d a n r s ó a e i n p o s a i s n e l : e r r p C g m o d r o T p c e j a c n e , l e a d m a u s m a e r l e o e d t ; e e t i t n m e í l i l c e o d c l y a o t m r c u o f d n i o r s o p t , o n i a l a e i c v r e m n t e a r n t e i a r f i e T d d

. e t n e g r e v n o c s e o n e u q e d n e i t n e e s e t n e g r e v i d r o P

e d n ó i s e r g o r p a l e d e t i m í l l e s e e . i r s e e s l a i a c n r u a e p d s a a m m u u s s a s L u s

u s y s e l a e r s o r e m ú i n a e c d n e s g r a t i e v n i i f d n o i a s i e c n n o e i s g r e r e g v o r n o P c

s a t i n i f n i s e i r e s e d a i c n e g r e v n o C

1 . 9

2 . 9

, e t n e g r e 0 v . e = n o t c n n x e e t  n g r m  e e i l n m i v i a d i s r s e a e u s e q e i r r c e e n e b s s a a s e l , n o e n 0 b e  e i n d r s e s x o a  m n l i  n s l m e u i l c s a n o o s t o n r e L e p

; n ó i c a r e y a d h p o c u m i a o r e c i t C r e e d c ; d l o e a i t r i r e t í m g i e r l t n c l i : e a a d i l c n e n ó d e i c o g r a i r e r e v a p i n t o m r c o c ; e c t d e r e s d b o o m i r i e e r e l t t i A r i r ' C c D

. a c i n ó m r a a m a l l e s  i e r p e a s i a c r a n a l e , p g 1 r e t n  e e p v n g o r i e S c v e . d n o o i s c r e a r s t n e n i o o c p i c d n o n s o  a c C n e e t n e g r e v i d y 1

s e . o e t n i e r e i s m a a l c e n d u r o t e n d i r m r o é r r t e e l t e n e d i u o g t i u s l l o s e b e a u r q o r l a o v n l e E m

1

1

p

n

 , p s e i r e s s a L

s e t s n e e t r n g e e g r v e n v o n c e o t c n e e t m n l e a m n o a i t c u i l d o s n b o a c s s e i e i r r e e S S

s a d a n r e t l a s e i r e S

o i d a r . l t e r e e d b a i n m c i e n ó l e c a A g n ' r i e D v m e n r e d o t o c e i e D r e d . t i a r o i i c d c l n a r e e g r : s r o a p i e c v a n i n o c e t c n o e e p d g e o r e d l v a s v n o e r i e c r t e n e S i d



s ? s l o o o c i b r t n o á y m p e ? n m m ó n a o e u i t o s t l t o c a n o r i w b i e u m ∞ v t e o n n t m m N o i ≤ u i n a h c , a e x n t r i o e s ó t o n s m ≤ i e i n y o c c c e u a 1 r u e t n o f , r c l o n n r z e e 1 x o i o c r u c n b s l e b e = c i o n l e e s e b e r r x e , i L ” t b e ? e s s a : e m o n p o 8 t i c f f m s l n n i o e t é t a a i r d o r i g á a c s e r a e g u m e t o e i t n “ q e ¿ t d c n s e a i g s ; f e i s i d n o n s s m n i o l o s o v a r a E c ¿ o i a e e t e r c : . n r e a n C á t o é j t u p a d b n n i e n Q v e r i O f s a T U f ¿

s o l ? e s l e l a a r d a c g a n i r t e e ó d i c i n c n n o u I a l b a t u i r l é l t e c u á n d q c o y ¿ l c : e l : s l o a d a i n n s n h o e i o c s i c d c , i s a e a s l m n e i n í á b r u r a n e q t e r a t r n á n i A i s l e d n a n o c o ó b ó i i i t l s a á l r s o n t n r e n e m r e o a t m m s a i c i e n D e D m d

s o l u c n í V )

a f – ) h h

(

+

a ( f

)

x f

+ 0

(

+ a

m i x l → = a f = ) x ( f


: d a d i ) u n ( i t n o c e d o i r – e a t i m r i → C l x

: d a d i l i b a v i r e d e d o i r e t i r C

o d i n e t n o C

n u n e n ó i c n u f a n u e d d a d i l i b a v i r e d y d a d i u n i o t t n n o u C p

s e l b a v i r e d s e n o i c n u f y s a u n i t n o c s e n o i c n u F

m → i l h y )

a . s ( e y f l a a – u n ) h i g e h n a + o u s n a i y t ( n f n o e c − t 0 s s i m → e i l h x e f

3 . 9


, . r l o s e a s p l l e m i c d j n e e e u e s r p s n o p o ó , z i o o c t t n n r u u a f a p s a n n d u u i n e n i u e f e q l e d r b s e e b a n v a o s i r i e c n d e n u b f e o n d o y s r o e x n p m a = u u ) l n x a i ( s t o n o f L c

 

) x ( f =    y d ) y ( f

∫    x

a

x d d

s a m u s ; a m n u s n a a m n i u e e R d e e d t i s r m e í o l i o r e m f n o i c e l s a r e g r o e i t r n i e a p L u s

o l u c l á c l e d l a t n e m a d n u f a m e r o e T

x d ) x ( f ∞

∫

a

o p i t l e d s a i p o r p m i s e l a r g e t n I

4 . 9

49


s o l u c n í V

e d e a e d r d a b o z a i a c n a l n ñ n e e o u s l c f n r e n a i a r : l a y p C d n m o T ó i c s y n : l e l a r a n p n o o i m i c o c a a c a l n a n a r l r r s e e e e t r a t n n K c i b i i e t o n s á n d ó ó a i m i l i e s e s k a t n b n u e r a e c s m m u m e i i o s a a D B l D l

a d i v a l 4 1 n e o s n e o l b a r i , a c n c n o l e t r e e d w f i e o d N o d c s i o e t e d f é á n o o r m g l i t c o e n : a o i e m u l e r c o m d e p p a m : e i o r t n n j f ó n ó n i e e i e i c c r a e i a o t m p c a d i l , y c d l e p a r e a A e r L C L

n e n ) e o 1 t ; s + e e s r n n ( o o n i e c i d n r a u t r f n o e e e d d m a e n l d ó p a i c v i a m r o e c m i o d x n a o r i l p e o a m r d i d é a t r e l o l m a e l a r s e v a t e r l n n a e i o p d o i a n t c l n a u ó c i i c u l m r n p p ó u n A f f u

h

e d n o d , h + n

x

= 1

+

n

x


o d i n e t n o C

,

)

n

y ,

n

x e f t n h t a (

n

1

e s d a n s l i o c p o s m a i n e e c d d e r t n o n ó a i r i e d c a m e i c i r m f p s i t n e a e c d d i r i s t e é a l a m l i a c o e d n i e g l u r s e e f n c n i i d i o , s s e e c a n t n o o e i r i c c p a r e e c u t r c n i E I d 5 . 9

50

s n y o c = a n + u n y s e l e e t n a i d e m ) y , x ( f = y x

+

  

y x

  

d

d d e d a c i r é m u n n ó i c u l o s e R

f = y x

s e l b r r e a l u a e E p e s d s e o l d b a o i t é r a m V

s a e n é g o m o h s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E

d

r o t c a f l e e t n a i d e m , ) x (

x Q v = y = ) y ( x n P ó

i c + u y t i t e s d u s n e a ó t i l c o u n a r d l g o n s e a s e t n u R i ′

o i d e m r e o l l l o a v R l e e d d a a m m e r e r o e o e T T

e g n a r g a L ) e o d t s n e r ( ó i s o e r r i a p t x e n e a m l e ; r l o l p m y a o T c e o n d i s m r o é i m t l o e n i l a o r a P p

e d s o l a v r e t n i s o l a t n e u c n e r e n e t n e b e d . a s i o c n n m e u g r l a e s v o n L o c s e l , a i n , c ó x i n c e n r u e t e i f s t i s , d u s s e e e n t e n o n i d  i a ó c i n ∈ d c a i r p a e v u c u i e a , m r l s e e p c e d d a ) i r r y i M x e t + s n r e 1 a d ( s i a ó p c e v , i a e r r a ) r e g o s x u n t e l + e n y n e 1 d i a , T o ( n s l n ó e l l o i t o , c c d r s r x n a e u e s t d i s o e o b r r e D c O p S

x

6 . 9



s o l u c n í V

∞ ∞ l a n o i c i d a n ó i c a m r o f n I

o d i n e t n o C

y

0

s e n o i c a n i m r e t e d n i s a L

0

a m r o f ) ) a x x l ( ( e f g d ∞ s e i m → t x i l m y í l e ) ) x x d ( ( o f l g u a c l m x → á i l C

a m r o f e d s e c e v s a i r a v a d a c i l p a l a t i p ô H ’ l e d a v a i s l g e e c R u s

r o l y a T e d e i r e s a l o l a t i p ô H ’ l e d a l g e r a l e d o s U

7 . 9


51


o s t n a i r e a o m n h s e p 8 l , 4 e o

c i g ó l o t n e i m a n o z a r l e r o p e s r a s e r e t n i e d d a d i n u t r o p o a l s o n m u l a t a s e l o r a c r s a n i i d o c r a o c p o i p t r á n e e t m i s e n t s a o c l M a n o : i ) l c p o a d n d a . i s o i n e u n c t o i p a s e c a c o e i ( d l p l a a 0 r s e u 1 n e s y d g o o c a i v i t m d e t i j í b n o r o g l l U E a 52

s o l u c n í V

. h c y a e s n b r e i d l a r d ó o c e s a d G e t i n r e s n o s o d n i ó o ? i c a c e c a m e r r i c u o t d t m s c r d e i e i e j t a f r n á u t r a t o n m n m s c e e e a a a t d o l l a o c y i , m l r c o s n l o e o a e p d s p c r n i e t a e ó m i j i á f e i u q c D e c m a . r n r e o u e t t n d a t o e s s o p n m i e m , n t e a s u n e a i m r l u e a d d : c t o : e e t j C o C r u n n e d d o o P i T c c ¿ c T


n u e a u q m e e r d o o e h t c s l e e t a d h s l i s r e e n y a o a 1 i c c n i t a r é e t n s t m i e o i t r m a e s e d l a i c s t e r a l d é , l v o t a l p n n e n m o e c m j a l e d o r n b o u r P f á

b

< r

≤

0

,

r

+

q b

=

a

n ó i s i v i d a l e d o m t i r o g l a l E

s e d i n l c e u o E t i e r d c s o e , . m s t e C i . r d l a o i c g u 0 l a E 0 3 l e e o d : ñ l a a s o l n t e o n d i e r c o a m e d n l r E e e d t s e r n l o l i a n n a e ó í i r s o d n d n i e u j a l m e i c l n A D i o m i x á m l e r a n s i o r m r e t e t e n d e s a o r a r p e m s e ú n d i s l o c d u e E d e r d o s o i m v t i i r d o n g ú l a l m E o c

e d n o d

)

s e d ± i l x c b  ( u | E ∈ a e n d n s ú ⇒ o g l m c t a | i r a r a o a g l p y a s b a | o n l y = a : n b a ó i m s ⇒ e r  i v o ∈ i e y d b t | l , a a E x L y c

o d i n e t n o C

e t r e u f n ó i c c u d n I 1 . 0 1

r a m o l a p l e d o i p i c n i r P

2 . 0 1

o n e t n e s i o . m l a i m i a i r r b e r p u r a b c s c n s o a r e o s b e d s e d m l e t a ú d n n t e d i o s t o r o c p u l g e e a n p s d m ó i a i l o c s e a y u l i z : b r t 8 i s o e n l o t r e a p c a t r l f n e E e I n . d n e a e s g í a d o f a c a v r i i d n t g c i o é r e t j p t u b i r e g O c d e s

l n n e o c e ó i n i n c e ó e t i a á d r r a í a m b t l i s o r t e r n o e c e d s a n d m e a n e s . m ) d e j t e 5 a a b l n c a i i u 6 r t A , 6 n n m c r s a 1 u á e e n – o f F e c t d a i 1 o t r t é 0 e e e i d d i s i r m 6 1 s b t c : s i ( u e a l r t c n m a e A a s i , e n o r e o a m o t l c i o d r a e c n e r a t u a i a f í a b c o n o d F e a e m r i u d e D t h s t a i t e l e l n e s r e i ú u a d l r r l e q n a A i a ó c . P n p e : i r , e s i t I s a g o l n é I r I i é l e m o c a i r c t m i l m n e p i g n a r i l r D A s f e e s u s n a h s e n o a i c s u a l t e o j s u s s a l s e s n a o d i o c t u , l o o s l y p m s e j e l e a r . r e o s n P e s . a v g e i t i s n e o s n i o o c p i c r c i r e u t s l o s e e S r d

b

y o a m s i y n o r í e í t m n s e r y e t , s n a o e i c b d t , e s é o a d m m t , i r i d c b p r a , s l a m a o r , r e e o m m d s i c ú l a v n t i n ; d m , s e n o o m ú l a p i m d m i t r n l o u c ú p f o m s o a n r m ú e m i x m m e r á ú o o e M c N t

)

(

)

(

c =

y b

+

x a

s e l a e n i l s a c i t n á f o i d s e n o i c a u c E 3 . 0 1



l e r o p I o I I d o a r l g e i d s i l s e n o n c e : u l a z n T o n i c u a S n o r n e i t n h c i n o c ó i i s t á n m e e m t a i D m

s o l u c n í V

e u q s a t n u g e r p n á r a . e 6 t n 1 a e l p s a e s b a o l n e s d e á n l e l m a s á á x e m s n o a l n y a E v


o d i n e t n o C

y , 0 6 . e s 0 a 2 b e e s a s d b o i n e n ó d o i l c n i a b r ó a e i c b m a s u r o n e l m : e u l n a d n a e d o m i e a c t a i s m n s t r n e s e i t u s n i n n n o r u ó a s i l a s l y n o r e r a m m a s s i e o D d l

s e l a e n i l s a i c n e u r r a g n l u o d c o e m d n a ó c i t i c é l u m o t i r s e A R

s e l a e n i l s a i c n e u r g n o c e d ) o s t a s e r m l e t e s d i s o e n d i h n C ó i a c u m l e r o s o e t e R (

4 . 0 1


s e s t o n n a u s o g l l g A i s . s t a e c n i t a á r u m d e t e a s r m i s u a g e l . s ” e r s d e e l a p i t z n e ú e d l “ a r e u r u t p e s a s a n o r t a a i l s g : ó e l C p l o d r e T p d

o m i r p s e p

e d n o d , )

p

d o m ( a

= p

a

s o c s i o r l t c e e r s é d d a o a l r s p l e s a t o s e m s , u m e s t o n e u d o m o e r r i i c u c o m o i l ó c f e e p r a t ó s i l d o b a c m r e e i m l d s m , s f i o s o ? l a n a ó r z , s ó s t a m c ¿ e a e c l a i e , d c p m i r r i a l a l o y o r e a m s t m e í s t d a v : d u a o t n u u c 8 s q i u p s t m l a l a i e r á a p m a r a e m D S . o e m d t e . s c m r n s a t o e i e s e r n f o l m n g l o e l u a i o , a o e r r s e a i v l o t m c t u l i n d t p c : c o i a n e r t u t j C o d e m t r n a e b j e e s d o u r O e e T c c m p

s o t i s u o c f r a r i c g e s d o s l e a c d l a a i p c e n d a t n r ó o i p c m c u i r : t 8 s l n a o r c e l a n e n g e o s v o i r t i e a j n a b l O p

a n u r o n p u s o n d i e n n i e u t n i s á t s s e e t i s n e s c e a t y n d e a c a n y s d o a s a n t . o i s s n r ú s a e s m c o o i t c r é D . e v a c i t s t s r o i r é D a v

o . f e a r t g n e . n m ” a u a i c c e i n u f q í c e r e c i p a y m s d e a u s e e a u d e q a b i l e d n b d i a t e s e s “ o e o n n u i e q m r u s é q o t r n a e l e t l m e a s a s e , r r l e a s e u b p e e i m d d s e e s u S e P

s a t n i t s i d n e s o r e t n e s o r e m ú n e d n ó i c a t n e s e r s p e e s a R b

t a m r e F e d a m e r o e t o ñ e u q e p l E

s e c i t r é V . . s s a r t a e c n y e c s a y a t s d i r a a s a , t s s i e r c a i t r , é s e v t n , s e o f c a a y r d G a

5 . 0 1

6 . 0 1

7 . 0 1

s o d a r g e d a i c n e u c e s , e c i t r é v n u e d o d a r G

s o n a m e d n ó t e r p a l e d a m e L

s a l b ; a s s t o o e t e f a t l n a p r g i d m ; s o o e e c l f a s o m n r o b g f r ó i a n c r á ; a u g s t ; o n e s i e d o r a s x e i o e n a r r p n l a p e o t r c s a n e s f o o a l m a f r i l e a r g d u p g ; l s c m ; s t o n o e i i l , c r p t ; a s o m p d s i o i s b a f a s s r e r o o d g f f a n b r a r o u G g p S

. r s o l a e i d r e a e d c p i u s s e t e s d í d n r e a s t e d e c d e n a r i o o i r . e p o r c a a c d r a p a s z m i e s r l i a l e n l a f d o e u a i s s s s e n d i a n e n v l n o m ó y i e i i s s c d d n e a a c c a e u i l ) r t i p p á p f m e m A o s . e t o + c o a t e a n m n e − l e u s i v n a i m ( e q l s : c r o a s o e u m C n l d o u u r o T c E S f s e c n o t n e ,

e d s o l c . i c 4 3 e n − ≥ e v i v t 2 y o ≤ , n o , e i o s r i a r e n a c a n n l a o p l p t y , n e e e , l l p p 3 m m ≥ i i s s s . s v e e y 6 o o 3 f − f a r v a r d u g 3 g t l l i e e g i ≤ i n o e S S l y 5

κ

e d e u s q a e m , d e r 6 o o e − d t a ; v t l 2 3 u ≤ s e = e r l f o a + d n e n e e c − y u u d v l n c o : n c r i e l s e u o u E i r q , e a d n 4 a n l p − ó i s v c o 2 a f l e a r ≤ R g e

s o i r a n a l p n o s o n 3 , 3

κ

53


s o l u c n í V

: l a n ” o g i r c e a b n s g r i e n t n ö i K n e ó d i s s n t e e n m e i u D p

r o p o d a e 2 t 6 n a 9 1 l p n a e o m e K l b i o r e p M : n l a a n w o K i c o a n n i r h e c t n o i c i n t á ó i s m e n t e a m m i l D e

, o n d a e u r e d a d a n s í e r s o n a l p o v o , i c o e i c l t l a c e e s l m r l l o p i o m f a p s o o s m d c a e o o f l i t y t r r ? o a a s s t e b a n o g c n c á i i r t u u t r á C p n é ¿ m v e m . o e o s 0 t c a t r o 3 n n s o i m i a e a d s n n a a t m o e l i u t l : c p i p a C o n m m d o o a n o T c c h c


. y r a i s p o o d n a a r i r g e l e u d e n o t s i o u o c f r a i c r g n l u e e d n e s e i c t i n t r o c é o v s x o e l n s o o c d o o t f i a r s g o n l U o s

a o d f a a r c g r n o u p z e n e v a a t r n u o c s s o n á m e m a l t u r a o a d l n r a a n s a i p m o r e d t e a d r e a d t a s r a n o i P p r a

s o n e m e d o o d n a i a e n r o d t l i n o p m a o h t e o l l p c i c m o l e c o r a f a n i r g m n r e u t e n d e a o r a s e P p

r a p m i o d a r g e d ” s o e c n i i t r h é c v o o r r e t t a r u a c c “ e : d l e e s d r e á a i u m m n e e o l q b r c s o o r e s f p r l o a E N G

r e c n e l u b r a e t s c e e l a b r a a t s p e o a r m i a x p ó o r d p a ” s r e á r t o n m b a j o e a n i c i i v r t “ c r e o l é v i e l r v r d e e e i o a d p d u r s m e o o f e e l t m t m i n i t b i i r r o e m r o í t i l o p l g g l n l m E A u A í l

s o l “ e d a m e l b o r p l e

o d i n e t n o C

s o l c i c , s o t i u c r i c , s o n i m a c , s o r e d n e s , s o d i r r o c e R 8 . 0 1

54

s o n a i r e l u e s o t i u c r i c y s o r e d n e S

l a t n e m e l e o i d u t s e n u o l o S

; l a k s u r K e d s o o m n t a i r i o n g o l t l a i : s a m r a f o t h s a k s r j i g o l e D c d i e c s d y o o s m m o t n i i r t i o r o m g g a l l C A a 9 . 0 1

0 1 . 0 1

l e e n d o s c e i n c o c i a x e n o n b o i C F . o e d d e n i u r s m e l a e l y o s m a o c c i t . á s e í a l m a g e t o t l a s o m e n i b o s a i a s l l : e r y C g e d o r t r T p a o e t n o c e a d s l s , o l t o a o s m e m e u l o b p c o m r s e o p l s a c t o s l é s a r e y t a m n d e i l u b l e e d o r n p o e e c d d s n o ó n d i ó c i a c a n z i u o t l i r c o s a o e l R e r m a

r a i l i x u a n . ó i s c a a j e u l c e p a m l o e c u s q e c í n e a s r o o s s a e c l s a u o i g l n e s e y í c u a l c r n i e e n e S i t , s e l a i c i n i s . e n n ó o i i c s e i d r n g r o o C p . a n a i c u e n e d r r a u v i c s e r r e u d c e r s e n n i ó o c i i c n a i l e f e R d

l a e n n i l o a c i o c d n a e r r r g u o c d e r n e u d g e s s e y s n r e o e t i n c m t a a i l r s e p n r e o e d d c s n a e e t ó i n n c é e u g i l c o i o f s m e o e R h o c

o d a r g r e m i r p e d l a e n i l a i c n e r r u c e r e b d + n ó i c a u a l e r = a L u 1

−

n

n

s e n o i c a l e r n o c s o c i t á m e t a m s o l e d o m e a d i c n n e ó r i r c u a c z i e l r i t e U d

1 1 . 0 1




Introducción Profesores y alumnos han de tener en cuenta que existen diversas terminologías en teoría de grafos y que cada libro de texto puede emplear distintas combinaciones de las m ismas. Algunos ejemplos son: vértice/nodo/ confluencia/punto; arista/ruta/arco; grado/orden de un vértice; aristas múltiples/aristas paralelas; lazo/bucle. En las preguntas de examen del IB, se utili zará la terminología que aparece en el programa de estudios. Para mayor claridad se definen a continuación estos términos.

Terminología Árbol

Un grafo conexo que no contiene ciclos.

Árbol generador de un grafo

Un subgrafo que es un árbol y contiene todos los vértices del grafo.

Árbol generador minimal

Un árbol generador de un grafo ponderado que tiene un peso total mínimo.

Árbol ponderado

Un árbol en el que a cada arista se le asigna un número o peso.

Aristas múltiples

Ocurren cuando más de una arista conecta el mismo par de vértices.

Camino

Un recorrido sin vértices repetidos.

Camino hamiltoniano

Un camino que contiene todos los vértices del grafo.

Ciclo

Un recorrido que empieza y termina en el mismo vértice y que no tiene más vértices repetidos.

Ciclo hamiltoniano

Un ciclo que contiene todos los vértices del grafo.

Circuito

Un recorrido que empieza y termina en el mismo vértice y que no tiene aristas repetidas.

Circuito euleriano

Un circuito que contiene todas las aristas de un grafo.

Complementario de un grafo G

Un grafo que tiene los mismos vértices que G, pero tal que entre dos vértices cualesquiera existe una arista si y solo si no existe en G.

Grado de un vértice

Número de aristas conectadas al vértice; un lazo aporta dos aristas, una por cada extremo.

Grafo

Consiste en un conjunto de vértices y un conjunto de aristas.

Grafo bipartito

Un grafo que admite una partición de sus vértices en dos conjuntos de modo que en cada uno de ellos no existen vértices adyacentes.


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Grafo bipartito completo

Un grafo bipartito en el cual cada uno de los vértices de un conjunto está conectado a todos los vértices del otro conjunto.

Grafo completo

Un grafo simple donde cada par de vértices está conectado por una arista.

Grafo conexo

Un grafo en el que cada par de vértices está conectado por un camino.

Grafo inconexo

Un grafo tal que existe al menos un par de vértices que no están conectados por un camino.

Grafo planario

Un grafo que puede dibujarse en el plano de manera tal que ningu na arista corte otra arista.

Grafo ponderado

Un grafo en el que a cada arista se le asigna un número o peso.

Grafo simple

Un grafo sin lazos ni aristas múltiples.

Isomorfismo de grafos entre dos grafos simples G y H

Una correspondencia uno a uno entre los vértices de G y de H tal que dos vértices en G son adyacentes si y solo si los dos vértices correspondientes de H son adyacentes.

Lazo

Una arista que une un vértice con él mismo.

Recorrido

Una progresión de aristas enlazadas.

Sendero

Un recorrido en el que ninguna arista aparece más de una vez.

Sendero euleriano

Un sendero que contiene todas las aristas de un grafo.

Subgrafo

Un grafo dentro de otro grafo.

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Evaluación


Información general La evaluación es una parte fundamental de la enseñanza y el aprendizaje. Los objetivos más importantes de la evaluación en el Programa del Diploma son los de apoyar los objetivos del currículo y fomentar un aprendizaje adecuado por parte de los alumnos. En el Programa del Diploma, la evaluación es tanto interna como externa. Los trabajos preparados para la evaluación externa son cor regidos por examinadores del IB, mientras que los trabajos presentados para la evaluación interna son corregidos por los profesores y moderados externamente por el IB. El IB reconoce dos tipos de evaluación: •

La evaluación formativa orienta la enseñanza y el aprendizaje. Proporciona a los alumnos y profesores información útil y precisa sobre el tipo de aprendizaje que se está produciendo y sobre los puntos fuertes y débiles de los alumnos, lo que permite ayudarles a desarrollar sus conocimientos y aptitudes. La evaluación formativa también ayuda a mejorar la calidad de la enseñan za, pues proporciona información que permite hacer un seguimiento de la medida en que se alcanzan los objetivos generales y los objetivos de evaluación del curso.

•

La evaluación sumativa ofrece una impresión general del aprendizaje que se ha producido hasta un momento dado y se emplea para determinar los logros de los alumnos.

En el Programa del Diploma se utiliza principalmente una evaluación sumativa concebida para identificar los logros de los alumnos al final del curso o hacia el final del mismo. Sin embargo, muchos de los instrumentos de evaluación se pueden utilizar ta mbién con propósitos formativos durante el curso de la enseña nza y el aprendizaje, y se anima a los profesores a que los utilicen de este modo. Un plan de evaluación exhaustivo debe ser una parte fundamental de la enseñanza, el aprendizaje y la organización del curso. Para más información, consulte el documento Normas para la implementación de los program as y aplicaciones concreta s. La evaluación en el IB se basa en criterios establecidos; es decir, se evalúa el trabajo de los alumnos en relación con niveles de logro determinados y no en relación con el trabajo de otros alumnos. Para más información sobre la evaluación en el Programa del Diploma, consulte la publicación titulada Principios y práctica del sistema de ev aluación del Prog rama del Diploma. Para ayudar a los profesores en la planificación, implementación y evaluación de los cursos del Programa del Diploma, hay una variedad de recursos que se pueden consultar en el CPEL o adquirir en la tienda virt ual del IB (http://store.ibo.org). En el CPEL pueden encontrar materiales de ayuda al profesor, informes de la asignatura, información adicional sobre la evaluación interna y descriptores de las calificaciones finales, así como materiales aportados por otros docentes. En la tienda virtual del IB se pueden adquirir exámenes de muestra, exámenes de convocatorias pasadas y esquemas de calificación.

Métodos de evaluación El IB emplea diversos métodos para evaluar el trabajo de los alumnos.


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Criterios de evaluación Cuando la tarea de evaluación es abierta (es decir, se plantea de tal manera que fomenta una variedad de respuestas), se utilizan cr iterios de evaluación. Cada criterio se concentra en una habilidad específica que se espera que demuestren los alumnos. Los objetivos de evaluación describen lo que los alumnos deben ser capaces de hacer y los criterios de evaluación describen qué nivel deben demostrar al hacerlo. Los criterios de evaluación permiten evaluar del mismo modo respuestas muy diferentes. Cada criterio está compuesto por una serie de descriptores de nivel ordenados jerárquicamente. Cada descriptor de nivel equivale a uno o varios puntos. Se aplica cada criterio de evaluación por separado, y se localiza el descriptor que refleja más adecuadamente el nivel conseguido por el alumno. Distintos criterios de evaluación pueden tener puntuaciones máximas diferentes en función de su importa ncia. Los puntos obtenidos en cada criterio se suman, dando como resultado la puntuación total para el tr abajo en cuestión.

Bandas de calificación Las bandas de calificación describen de forma integradora el desempeño esperado y se utilizan para evaluar las respuestas de los alumnos. Constituyen un único criterio holístico, dividido en descriptores de nivel. A cada descriptor de nivel le corresponde un rango de puntos, lo que permite diferenciar el desempeño de los alumnos. Del rango de puntos de cada descriptor de nivel, se elige la puntuación que mejor corresponda al nivel logrado por el alumno.

Esquemas de calificación Este término general se utiliza para describir los baremos analíticos que se crean para pruebas de examen específicas. Se preparan para aquellas preguntas de examen que se espera que los alumnos contesten con un tipo concreto de respuesta o una respuesta final determinada. Indican a los examinadores cómo desglosar la puntuación total disponible para cada pregunta con respecto a las diferentes par tes de esta. Los esquemas de calificación pueden indicar el contenido que se espera que tengan las respuestas, o pueden consistir en una serie de aclaraciones sobre cómo deben aplicarse los criterios de evaluación en la corrección.

58


Evaluación

Resumen de la evaluación

Primeros exámenes: 2014

Componente de evaluación

Porcentaje de la evaluación

Evaluación externa (5 horas)

80%

Prueba 1 (2 horas) No se permite el uso de calculadoras. (120 puntos)

30%

Sección A

La sección consta de preguntas obligatorias de respuesta corta en relación con el tronco común del programa de estudios. Sección B

La sección consta de preguntas obligatorias de respuesta larga en relación con el tronco común del programa de estudios. Prueba 2 (2 horas) Se requiere el uso de calculadoras de pantalla gráfica. (120 puntos)

30%

Sección A

La sección consta de preguntas obligatorias de respuesta corta en relación con el tronco común del programa de estudios. Sección B

La sección consta de preguntas obligatorias de respuesta larga en relación con el tronco común del programa de estudios. Prueba 3 (1 hora) Se requiere el uso de calculadoras de pantalla gráfica. (60 puntos)

20%

La prueba consta de preguntas obligatorias de respuesta larga fundamentalmente relacionadas con las unidades opcionales del programa de estudios.

Evaluación interna

20%

Este componente lo evalúa internamente el profesor y lo modera externamente el IB al final del curso. Exploración matemática La evaluación interna en Matemáticas NS es una exploración individual. Consiste en un trabajo escrito basado en la investigación de un área de las matemáticas. (20 puntos)


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Evaluación

Evaluación externa

Información general Los esquemas de calificación se utilizan para evaluar a los alumnos en todas las pruebas y son específicos para cada prueba de examen.

Descripción detallada de la evaluación externa Pruebas 1, 2 y 3 Estas pruebas las establece y evalúa el IB. En total, representan el 80% de la nota final del curso. Están diseñadas para que los alumnos puedan demostrar lo que saben y son capaces de hacer.

Calculadoras Prueba 1 No se permite a los alumnos disponer de ninguna calculadora. En las preguntas se les pedirá principalmente que adopten un enfoque analítico para llegar a las soluciones, en lugar de que usen calculadoras de pantalla gráfica. La prueba no requerirá cálculos complicados que puedan llevar a cometer errores por descuido. No obstante, las preguntas implicarán realizar operaciones aritméticas cuando estas sean esenciales para su desarrollo.

Pruebas 2 y 3 Los alumnos deben disponer de una calculadora de pantalla gr áfica en todo momento. No obstante, no todas las preguntas requerirán necesariamente el uso de calculadoras de pantalla gráfica. En el Manual de proc edim ient os del Prog rama del Dipl oma se proporciona información sobre los tipos de calculadoras de pantalla gráfica permitidos.

Cuadernillo de fórmulas de Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS Es necesario que cada alumno disponga de un ejemplar sin anotaciones del cuadernillo de fórmulas durante el examen. El colegio será el encargado de descargarlo desde IBIS o el CPEL, y asegur arse de contar con un número suficiente de copias disponibles para todos los alumnos.

Asignación de notas Se asignan puntos por método, precisión, respuestas correctas y razonamiento, lo cual incluye interpretación. En las pruebas 1 y 2, las respuestas correctas que no presentan por escrito el procedimiento realizado no siempre reciben la puntuación máxima. Las respuestas se deben justificar mediante el procedimiento seguido o las explicaciones correspondientes (por ejemplo, en forma de diagramas, gráficos o cálculos). Aun cuando una respuesta sea incorrecta, se pueden otorgar algunos puntos siempre que aparezca el método empleado y este sea correcto. Por lo tanto, se debe recomendar a los alumnos que muestren todos los procedimientos utilizados. 60


Evaluación externa

Prueba 1 Duración: 2 horas Porcentaje del total de la evaluación: 30%

•

Esta prueba consta de una sección A con preguntas de respuesta corta y una sección B con preguntas de respuesta larga.

•

No se permite a los alumnos disponer de ninguna calculadora en esta prueba.

Parte del programa de estudios que cubre la prueba •

Para esta prueba se requiere el conocimiento de todas las unidades del tronco común del programa de estudios. Sin embargo, esto no significa que todas las unidades se vayan a evaluar en cada convocatoria de examen.

Puntuación •

Esta prueba se califica con un máximo de 120 puntos y representa el 30% de la nota final.

•

Las preguntas de esta prueba varían en cuanto a su extensión y nivel de dificultad. Así pues, cada una de ellas no necesariamente se califica con la misma puntuación. La puntuación máxima de cada pregunta se indica al principio de la misma.

Sección A •

Esta sección consta de pregunt as obligatorias de respuesta corta en relación con el tronco común del programa de estudios. La puntuación máxima es de 60 puntos.

•

La fina lidad de esta sección es comprobar la amplitud de los conocimientos y comprensión de los alumnos sobre las unidades del programa de estudios. No obstante, no se debe suponer que se vaya a dar la misma importancia a todas las unidades.

Tipo de preguntas • Para resolver cada pregunta será necesario un pequeño número de pasos.

•

Las preguntas pueden formularse mediante palabras, símbolos, tablas, diagramas o una combinación de estos.

Sección B •

Esta sección consta de un pequeño número de preguntas obligatorias de respuesta larga en relación con el tronco común del programa de estudios. La puntuación máxima es de 60 puntos.

•

Una misma pregunta puede implicar conocimientos de más de una unidad.

•

La finalidad de esta sección es comprobar la profundidad de los conocimientos y la comprensión de los alumnos sobre las unidades del tronco común del programa de est udios. Esta sección puede abarcar menos unidades del programa de estudios que la sección A.

Tipo de preguntas • Las preguntas requieren respuestas largas que implican razonamientos sólidos.

•

Cada pregunta desarrolla un único tema.

•


•

En general, cada pregunta presenta una escala de dificultad que va de cuestiones relativamente fáciles al principio, a otras relativamente difíciles al final. Se pone especial énfasis en la resolución de problemas.


61

Evaluación externa

Prueba 2 Duración: 2 horas Porcentaje del total de la evaluación: 30%

•

Esta prueba consta de una sección A con preguntas de respuesta corta y una sección B con preguntas de respuesta larga.

•

Para esta prueba se necesita una calculadora de pantalla gráfica, pero no todas las preguntas requerirán necesariamente su uso.


Para esta prueba se requiere el conocimiento de todas las unidades del tronco común del programa de estudios. Sin embargo, esto no significa que todas las unidades se vayan a evaluar en cada convocatoria de examen.

Puntuación •


•

Las preguntas de esta prueba varían en cuanto a su extensión y nivel de dificultad. Así pues, cada una de ellas no necesariamente se califica con la misma puntuación. La puntuación máxima de cada pregunta se indica al principio de la misma.

Sección A •

Esta sección consta de pregunt as obligatorias de respuesta corta en relación con el tronco común del programa de estudios. La puntuación máxima es de 60 puntos.

•

La fina lidad de esta sección es comprobar la amplitud de los conocimientos y comprensión de los alumnos sobre las unidades del programa de estudios. No obstante, no se debe suponer que se vaya a dar la misma importancia a todas las unidades.

Tipo de preguntas • Para resolver cada pregunta será necesario un pequeño número de pasos.

•


Sección B •

Esta sección consta de un pequeño número de preguntas obligatorias de respuesta larga en relación con el tronco común del programa de estudios. La puntuación máxima es de 60 puntos.

•

Una misma pregunta puede implicar conocimientos de más de una unidad.

•

La finalidad de esta sección es comprobar la profundidad de los conocimientos y la comprensión de los alumnos sobre las unidades del tronco común del programa de est udios. Esta sección puede abarcar menos unidades del programa de estudios que la sección A.

Tipo de preguntas • Las preguntas requieren respuestas largas que implican razonamientos sólidos.

•

Cada pregunta desarrolla un único tema.

•


•


62


Evaluación externa

Prueba 3 Duración: 1 hora Porcentaje del total de la evaluación: 20%

•

Esta prueba consta de un pequeño número de preguntas obligatorias de respuesta larga en relación con la unidad opcional elegida.

•

Siempre que sea posible, el primer apartado de cada pregunta se referirá a los contenidos del tronco común que se relacionan con la unidad opcional. Cuando no pueda ser así, como por ejemplo, en el caso de la unidad opcional sobre matemática discreta, el nivel de dificultad del primer apar tado de la pregunta será equivalente al de las preguntas del tronco común.


Los alumnos deben responder a todas las preguntas.

•

Para esta prueba se requiere el conocimiento de todos los contenidos de la unidad opcional estudiada y del tronco común.

Puntuación •


•

Las preguntas de esta prueba pueden variar en cuanto a su extensión y nivel de dificultad. Así pues, es posible que cada una de ellas no se califique con la misma puntuación. La puntuación máxima de cada pregunta se indica al principio de la misma.

Tipo de preguntas •

Las preguntas requieren respuestas largas que implican razonamientos sólidos.

•

Cada pregunta puede desarrollar un único tema o estar dividida en apartados no relacionados entre sí. Cuando esto ocurra, dichos apartados vendrán claramente rotulados en este sentido.

•


•



63

Evaluación

Evaluación interna

Propósito de la evaluación interna La evaluación interna es una par te fundamental del curso y es obligatoria para todos los alumnos. Les perm ite a los alumnos demostrar la aplicación de sus habilidades y conocimientos y dedicarse a aquellas áreas que despierten su interés sin las restr icciones de tiempo y de otros tipos asociadas a los exámenes escritos. La evaluación interna debe, en la medida de lo posible, integrarse en la enseñan za normal en clase, y no ser u na actividad aparte que tiene lugar una vez que se han impartido todos los contenidos del curso. La evaluación interna en Matemáticas NS es una exploración individual. Consiste en un trabajo escrito basado en la investigación de un área de las matemáticas, y se corrige de acuerdo con cinco criterios de evaluación.

Orientación y autoría original La exploración presentada para la evaluación interna debe ser trabajo original del alumno. Sin embargo, no se pretende que los alumnos decidan el títu lo o el tema de su exploración y que se les deje trabajar sin ningún tipo de apoyo por parte del profesor. El profesor debe desempeñar un papel importante en las etapas de planificación y desarrollo de la exploración. Es responsabilidad del profesor asegurarse de que los alumnos estén familiarizados con: •

Los requisitos del tipo de trabajo que se va a evaluar internamente

•

La política de probidad académica del IB, disponible en el CPEL

•

Los criterios de evaluación (los alumnos deben entender que el trabajo que presenten para evaluación debe abordar eficazmente estos criterios)

Los profesores y los alumnos deben discutir la exploración. Se debe animar a los alumnos a dirigirse al profesor en busca de consejos e información, y no se les debe penalizar por solicitar orientación. Sin embargo, si un alumno no fuera capaz de completar la exploración sin considerable ayuda del profesor, esto deberá anotarse en el formulario correspondiente del Manual de proce dimientos del Programa del Diploma. Los profesores tienen la responsabilidad de asegurarse de que todos los alum nos entiendan el significado y la importancia de los conceptos relacionados con la probidad académica, especialmente los de autoría original y propiedad intelectual. Los profesores deben verificar que todos los trabajos que los alumnos entreguen para evaluación hayan sido preparados conforme a los requisitos, y deben explicar claramente a los alumnos que la exploración debe ser original en su totalidad. Como parte del proceso de aprendizaje, los profesores pueden aconsejar a los alumnos sobre el primer borrador de la exploración. El profesor podrá sugerir maneras de mejorarlo, pero sin llegar a corregirlo o editarlo excesivamente. La próxima versión que se entregue al profesor después del pri mer borrador será considerada la versión final. Los profesores deben verificar la autoría original de todo trabajo que se envíe al IB para su moderación o evaluación, y no deben enviar ningún trabajo que constituya (o sospechen que constituya) un caso de conducta improcedente. Cada alumno debe firmar una portada de la evaluación interna para confirmar que el trabajo que presenta para la evaluación es original y que es la versión final del mismo. Una vez que el alumno haya

64


Evaluación interna

entregado oficialmente la versión final de su trabajo junto con la portada firmada al profesor (o al coordinador) para la evaluación interna, no podrá pedir que se la devuelvan para modif icarla. La autoría de los trabajos se puede comprobar debatiendo su contenido con el alumno y analizando con detalle uno o más de los aspectos siguientes: •

La propuesta inicial del alumno

•

El primer borrador del trabajo escrito

•

Las referencias bibliográficas citadas

•

El estilo de redacción, comparado con trabajos que se sabe que ha realizado el alumno

El requisito de firmar, tanto el alumno como el profesor, la portada de la evaluación interna se aplica al trabajo de todos los alumnos, no solo al de aquellos que formen parte de la muestra que se enviará al examinador para moderación. Si el profesor y el alumno firman la portada, pero esta incluye algún comentario que indique que el trabajo pudiera no ser original, el alumno no recibirá nota alguna en ese componente y, por tanto, no podrá obtener una calificación final para la asignatura. Para más información, consulte la publicación del IB titulada Probidad académica y los artículos pertinentes del Reglamento general d el Programa del Diploma. No se permite presentar un mismo trabajo para la evaluación interna y la Monografía.

Trabajo en grupo Se debe descartar el trabajo en grupo para la exploración. Cada exploración ha de ser un trabajo individual basado en distintas recopilaciones de datos o mediciones realizadas. Se debe aclarar a los alumnos que todo el trabajo relacionado con la exploración, incluida su redacción, ha de ser personal. Es, por tanto, conveniente que los profesores intenten fomentar entre los alumnos un sentido de la responsabilidad respecto de su aprendizaje, de ma nera que perciban su trabajo como algo propio de lo que se sientan orgullosos.

Temporalización La evaluación interna es una parte fundamental del curso de Matemáticas NS y representa un 20% de la evaluación final del curso. Este porcentaje debe verse reflejado en el tiempo que se dedica a enseñar los conocimientos y las habilidades necesarios para llevar a cabo el trabajo de evaluación interna, así como en el tiempo total dedicado a realizar el trabajo. Se espera que se asigne un total de aproximadamente 10 horas lectivas al trabajo. En estas horas se deberá incluir: •

El tiempo que necesita el profesor para explicar a los alumnos los requisitos de la exploración

•

Tiempo de clase para que los alumnos trabajen en la exploración

•

Tiempo para consultas entre el profesor y cada alumno

•

Tiempo para revisar el trabajo y evaluar cómo progresa, y para comprobar que es original


65

Evaluación interna

Uso de los criterios de evaluación en la evaluación interna Para la evaluación interna, se ha establecido una serie de criterios de evaluación. Cada criterio cuenta con cierto número de descriptores; cada uno describe un nivel de logro específico y equivale a un determinado rango de puntos. Los descriptores se cent ran en aspectos posit ivos aunque, en los niveles más bajos, la descripción puede mencionar la falta de logros. Los profesores deben valorar los trabajos de evaluación interna con relación a los criterios, utili zando los descriptores de nivel. •

El propósito es encontrar, para cada criterio, el descriptor que exprese de la forma más adecuada el nivel de logro alcanzado por el alumno.

•

Al evaluar el trabajo de un alumno, los profesores deben leer los descriptores de cada criterio, empezando por el nivel 0 y hasta llegar al descriptor que describa un nivel de logro que el alumno no haya alcanzado. El nivel que alcance el alumno será, por tanto, el inmediatamente anterior, y es el que se deberá asignar.

•

Solamente deben utilizarse números enteros y no notas parciales, como fracciones o decimales.

•

Los profesores no deben pensar en términos de aprobado o no aprobado, sino que deben concentrarse en identificar el descriptor apropiado para cada cr iterio de evaluación.

•

Los descriptores de nivel más altos no implican un trabajo perfecto y pueden ser alcanzados por los alumnos. Los profesores no deben dudar en conceder los niveles extremos si corresponden a descriptores apropiados del trabajo que se está evaluando.

•

Un alumno que alcance un nivel de logro alto en un criterio no necesariamente alcanzará niveles altos en los demás criterios. Igualmente, un alumno que alcance un nivel de logro bajo en un criterio no necesariamente alcanzará niveles bajos en los demás criterios. Los profesores no deben suponer que la evaluación general de los alumnos haya de dar como resultado una distr ibución determinada de puntuaciones.

•

Se espera que los alumnos tengan acceso a los criterios de evaluación.

Descripción detallada de la evaluación interna Exploración matemática Duración: 10 horas lectivas Porcentaje del total de la evaluación: 20%

Introducción El componente de la evaluación interna en este curso es una exploración matemática. Consiste en un breve informe escrito por el alumno, basado en un tema elegido por este, y que debe centrarse en las matemáticas de esa área determinada. Se hace hincapié en la comunicación matemática (incluidos diagramas, fórmulas, gráficos, etc.) acompañada de comentarios, una buena redacción matemática y reflexiones serias. El alumno debe desarrollar su propio enfoque, y el profesor debe proporcionar comentarios sobre el trabajo a través de, por ejemplo, debates y entrevistas. De este modo, los alumnos pueden desar rollar un área de su interés sin las limitaciones de tiempo de los exámenes, y experimentar una sensación de éxito. El informe final debe tener una extensión aproximada de entre 6 y 12 páginas. Puede estar escrito a mano o con procesador de textos. Los alumnos han de ser capaces de explicar todas las etapas de su trabajo de manera que demuestren una comprensión clara. Aunque no se pretende que los alumnos hagan una presentación de su trabajo en clase, este ha de estar escrito de modo que sus compañeros puedan seguirlo con relativa facilidad. El informe debe incluir una bibliografía detallada, y es necesario que se i ncluyan referencias a las fuentes según la política de probidad académica del IB. Las citas textuales deben mencionar la fuente. 66


Evaluación interna

Propósito de la exploración Los objetivos generales de Matemáticas NS se logran a través de los objetivos de evaluación que se evalúan formalmente como parte del curso, sea en los exámenes escritos, en la exploración, o en ambos. Se pretende que la exploración, además de evaluar los objetivos de evaluación del curso, proporcione a los alumnos oportunidades para aumentar su comprensión de los conceptos y procesos matemáticos, y para desar rollar una noción más amplia de las matemáticas. Esto se recoge en los objetivos generales del curso, en concreto los objetivos que van del 6 al 9 (aplicaciones, tecnología, implicaciones morales, sociales y éticas, y dimensión internacional). Se espera que, realizando la exploración, los alumnos saquen provecho de las actividades matemáticas implicadas, y que estas les resulten motivadoras y gr atificantes. Ello permitirá el desar rollo de los atributos del perfil de la comunidad de aprendizaje del IB por parte de los alumnos. Con la exploración se pretende: •

Que los alumnos desarrollen una perspectiva propia acerca de la naturaleza de las matemáticas, así como la capacidad para plantearse sus propias preguntas sobre la disciplina

•

Proporcionar a los alumnos oportu nidades para realizar un trabajo matemático durante un período prolongado de tiempo

•

Que los alumnos puedan experimentar la satisfacción de aplicar procesos matemáticos de forma independiente

•

Proporcionar a los alumnos oportunidades de experimentar la belleza, las posibilidades y la utilidad de las matemáticas

•

Motivar a los alumnos, cuando proceda, a descubrir, utilizar y apreciar el poder de la tecnología como herramienta matemática

•

Que los alumnos sean capaces de desarrollar cualidades tales como la paciencia y la perseverancia, así como de reflexionar sobre el significado de los resultados que obtienen

•

Proporcionar a los alumnos oportunidades para exponer con confia nza el alcance de su evolución en matemáticas

Organización y desarrollo de la exploración El trabajo relacionado con la exploración debe realizarse como par te del curso, de modo que los alum nos tengan la oportunidad de adquirir las destrezas necesarias. Las horas lectivas dedicadas a la exploración pueden, por tanto, utilizarse para realizar discusiones generales sobre temas de estudio, así como para que los alumnos se familiaricen con los criterios. En el material de ayuda al profesor se incluye más información sobre el desarrollo de la exploración.

Requisitos y recomendaciones Los alumnos pueden elegir entre una amplia variedad de actividades, por ejemplo, utilización de modelos, investigaciones y aplicaciones de las matemáticas. Para ayudar a profesores y alumnos en la elección del tema, en el material de ayuda al profesor hay disponible una lista de sugerencias. Sin embargo, los alumnos no están limitados a elegir una opción de esta lista. En general, la exploración no debe exceder las 12 páginas, incluidos los diagramas y los gráficos, pero sin contar la bibliografía. No obstante, lo importante es la calidad del trabajo matemático, y no la extensión. El profesor ha de ofrecer una orientación adecuada en cada u na de las etapas de la exploración como, por ejemplo, dirigir a los alumnos hacia líneas de investigación más fructíferas, hacer sugerencias sobre fuentes de información apropiadas, y dar consejos sobre el contenido y la claridad de la exploración en su fase de redacción. Los profesores deben advertir a los alumnos sobre la existencia de errores, pero sin corregirlos de manera explícita. Es necesario insistir en que los alumnos deben asesorarse con el profesor a lo largo de todo el proceso.


67

Evaluación interna

Todos los alumnos han de estar familiarizados con los requisitos y con los criterios de evaluación de la exploración. Los alumnos han de comenzar a planificar sus exploraciones lo más pronto posible una vez comenzado el curso. Los plazos de entrega se deben establecer de modo estricto. Debe fijarse una fecha para la entrega del tema de la exploración y una breve descripción de la misma, otra para la entrega del primer borrador y, por supuesto, la fecha para la f inalización de la exploración. Para desarrollar las exploraciones, los alumnos deben tratar de hacer uso de los conocimientos matemáticos adquiridos durante el curso. El nivel de complejidad debe ser acorde con el del curso, es decir, debe ser similar al establecido en el programa del curso. No se esper a que los alumnos elaboren un trabajo sobre temas no incluidos en el programa de estudios de Matemáticas NS (no obstante, ello no será objeto de sanción).

Criterios de evaluación interna La exploración es evaluada internamente por el profesor y moderada externamente por el IB utilizando criterios de evaluación que se refieren a los objetivos de evaluación de Matemáticas NS. Cada exploración se evalúa según los cinco criterios siguientes. La nota final de cada exploración es la suma de los puntos obtenidos en cada criterio. La nota f inal máxima es 20. Los alumnos que no presenten una exploración no recibirán una calificación final para Matemáticas NS. Criterio A

Comunicación

Criterio B

Presentación matemática

Criterio C

Compromiso personal

Criterio D

Reflexión

Criterio E

Uso de las matemáticas

Criterio A: Comunicación Este criterio evalúa la organización y la coherencia de la exploración. Una exploración bien organizada consta de una introducción, unas bases o fundamentos (incluida la explicación de por qué se eligió el tema), una descripción del objetivo general de la exploración y una conclusión. Una exploración coherente está desarrollada de modo lógico y es fácil de seguir. Se deben incluir los gráficos, las tablas y los diagramas donde corresponda en el trabajo y no adjuntarlos como anexos al f inal del documento.

Nivel

68

Descriptor de nivel

0

La exploración no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores que figuran a continuación.

1

La exploración tiene cierta coherencia.

2

La exploración tiene cierta coherencia y muestra cierta organización.

3

La exploración es coherente y está bien organizada.

4

La exploración es coherente, está bien organizada, y es concisa y completa.


Evaluación interna

Criterio B: Presentación matemática Este criterio evalúa en qué medida el alumno es capaz de: •

Utilizar el lenguaje matemático apropiado (por ejemplo, notación, símbolos y terminología)

•

Definir términos clave, cuando sea necesario

•

Utilizar múltiples formas de representación matemática, tales como fórmulas, diagramas, tablas, gráficos y modelos, donde resulte apropiado

Se espera de los alumnos que utilicen el lenguaje matemático a la hora de comunicar ideas, razonamientos y hallazgos matemáticos. Se anima a los alumnos a elegir y a utilizar las herramientas tecnológicas apropiadas, como calculadoras de pantalla gráfica, capturas de pantalla, programas de elaboración de gráficos, hojas de cálculo, bases de datos, procesadores de texto y programas de dibujo, según corresponda, con el fin de mejorar la comunicación matemática.

Nivel

Descriptor de nivel

0


1

La presentación matemática es, en cierto grado, adecuada.

2

La presentación matemática es, en su mayor par te, adecuada.

3

La presentación matemática es adecuada en su totalidad.

Criterio C: Compromiso personal Este criterio evalúa la medida en que el alumno se compromete con la exploración y la hace propia. El compromiso personal se puede reconocer en distintos atributos y destrezas. Entre ellos se encuentra el pensam iento independ iente o creativo, la elección de temas de interés personal y la presentación de ideas matemáticas a su manera. Nivel

Descriptor de nivel

0


1

Hay indicios de un compromiso personal limitado o superf icial.

2

Hay indicios de cierto compromiso personal.

3

Hay indicios de un importante compromiso personal.

4

Hay numerosos indicios de un excelente compromiso personal.


69

Evaluación interna

Criterio D: Reflexión Este criterio evalúa en qué medida el alumno revisa, analiza y evalúa la exploración. Aunque la reflexión se puede ver en las conclusiones de la exploración, también se puede encontrar a lo largo del trabajo. Nivel

Descriptor de nivel

0


1

Hay indicios de una ref lexión limitada o superficial.

2

Hay indicios de una reflexión significativa.

3

Hay indicios contundentes de una ref lexión crítica.

Criterio E: Uso de las matemáticas Este criterio evalúa en qué medida y con qué competencia los alumnos utilizan las matemáticas en la exploración. Se espera de los alumnos que elaboren un trabajo que sea acorde con el nivel del curso. Los a spectos matemáticos explorados deben ser, bien parte del programa de estudios, o bien de un nivel similar o superior. Estos aspectos no deben estar basados únicame nte en los temas de matemática s incluidos en los conocimientos previos. Si el nivel de matemát icas no es acorde con el nivel del curso, se puede otorgar, como má ximo, dos puntos en este criterio. Las matemáticas se pueden considerar corre ctas incluso si existen e rrores menores ocasionales, sie mpre y cuando no desvirtúen el razonamiento matemático o lleven a resultados poco razonables. La complejidad en m atemática s puede incluir la com prensión y el uso de conceptos matemáticos de mayor dificultad, afrontar un problema desde perspectivas distintas y percibir estructuras subyacentes que vinculen áreas distintas de las matemáticas. El rigor implica clari dad de lógica y le nguaje al hacer r azonamientos y cálculos ma temáticos. La pre cis ión mat emát ica imp lic a la ausenci a de er ror es y un niv el de aprox ima ció n adec uado en tod o momento.

Nivel

70

Descriptor de nivel

0


1

Se utilizan unas matemáticas algo pertinentes. Se demuestra una comprensión limitada.

2

Se utilizan unas matemáticas algo pertinentes. Los aspectos matemáticos explorados son parcialmente correctos. Se demuestran cierto conocimiento y cierta comprensión.

3

Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Los aspectos matemáticos explorados son correctos. Se demuestran un conocimiento y una comprensión buenos.


Evaluación interna

Nivel

Descriptor de nivel

4

Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Los aspectos matemáticos explorados son correctos y reflejan la complejidad esperada. Se demuestran un conocimiento y una comprensión buenos.

5

Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Los aspectos matemáticos explorados son correctos y reflejan la complejidad y el rigor esperados. Se demuestran un conocimiento y una comprensión sólidos.

6

Se utilizan unas matemáticas pertinentes y acordes con el nivel del curso. Los aspectos matemáticos explorados demuestran precisión, y reflejan la complejidad y el rigor esperados. Se demuestran un conocimiento y una comprensión sólidos.


71

Apéndices


Términos de instrucción con definiciones Los alumnos deberán familiarizarse con los siguientes términos y expresiones utilizados en las preguntas de examen. Los términos se deberán interpretar tal y como se describe a continuación. Aunque estos términos se usarán en las preguntas de examen, también podrán usarse otros términos con el fin de g uiar a los alumnos para que presenten un argumento de una manera específica. A partir de lo anterior

Utilizar los resultados obtenidos anteriormente para responder a la pregunta.

A partir de lo anterior o de cualquier otro modo

La expresión sugiere que se utilicen los resultados obtenidos anteriormente, pero también pueden considerarse válidos otros métodos.

Calcular

Obtener una respuesta numérica y mostrar las operaciones pertinentes.

Comentar

Emitir un juicio basado en un enunciado determinado o en el resultado de un cálculo.

Comparar

Exponer las semejanzas entre dos (o más) elementos o situaciones refiriéndose constantemente a ambos (o a todos).

Comparar y contrastar

Exponer las semejanzas y diferencias entre dos (o más) elementos o situaciones refiriéndose constantemente a ambos (o a todos).

Contrastar

Exponer las diferencias entre dos (o más) elementos o situaciones refiriéndose constantemente a ambos (o a todos).

Deducir

Establecer una conclusión a partir de la información suministrada.

Demostrar

Aclarar mediante razonamientos o datos, ilustrando con ejemplos o aplicaciones prácticas.

Demostrar

Utilizar una secuencia de pasos lógicos para obtener el resultado requerido de un modo formal.

Derivar

Obtener la derivada de una f unción.

Describir

Exponer detalladamente.

Determinar

Obtener la única respuesta posible.

Dibujar aproximadamente

Representar por medio de un diagrama o un gráfico (rotulados si fuese necesar io). El esquema deberá dar una idea general de la figura o relación que se pide y deberá incluir las características pertinentes.

Dibujar con precisión

Representar a lápiz por medio de un diagrama o un gráfico precisos y rotulados. Se debe utilizar la regla para las líneas rectas. Los diagramas se deben dibujar a escala. En los gráficos, cuando el caso lo requiera, los puntos deben aparecer correctamente marcados y unidos, bien por una línea recta, o por una cur va suave.

72



Distinguir

Indicar de forma clara las diferencias entre dos o más conceptos o elementos.

Elaborar

Mostrar información de forma lógica o con un diagrama.

Enumerar

Proporcionar una lista de respuestas cortas sin ningún tipo de explicación.

Escribir

Obtener la respuesta (o respuestas), por lo general, a partir de la información que se puede extraer. Se requieren pocos cálculos o ning uno, y no es necesario mostrar los pasos que se han seguido.

Estimar

Obtener un valor aproximado.

Explicar

Exponer detalladamente las razones o causas de algo.

Hallar

Obtener una respuesta mostrando los pasos pertinentes.

Identificar

Dar una respuesta entre un número de posibilidades.

Indicar

Especificar un nombre, un valor o cualquier otro tipo de respuesta corta sin aportar explicaciones ni cálculos.

Integrar

Obtener la integral de una función.

Interpretar

Utilizar los conocimientos y la comprensión para reconocer tendencias y extraer conclusiones a partir de información determinada.

Investigar

Observar, estudiar o realizar un examen detallado y sistemático para probar hechos y llegar a nuevas conclusiones.

Justificar

Proporcionar razones o pruebas válidas que respalden una respuesta o conclusión.

Mostrar

Indicar los pasos realizados en un cálculo o deducción.

Mostrar que

Obtener el resultado requerido (posiblemente, utilizando la información dada) sin necesidad de una prueba. En este tipo de preguntas, por lo general, no es necesario el uso de la calculadora.

Predecir

Dar un resultado esperado.

Resolver

Obtener la respuesta por medio de métodos algebraicos, numéricos o gráficos.

Rotular

Añadir rótulos o encabezamientos a un diagrama.

Situar

Marcar la posición de puntos en un diagrama.

Sugerir

Proponer una solución, una hipótesis u otra posible respuesta.

Verificar

Proporcionar pruebas que validen el resultado.


73

Apéndices

Notación

Entre los diversos tipos de notación usuales, el IB ha decidido adoptar un sistema que sigue las recomendaciones de la Organización Internacional de Normalización (ISO). Esta notación se utiliza en las pruebas de examen de este curso sin explicaciones. Si en una prueba de examen determinada se utilizasen otras formas de notación no contenidas en esta guía, estas vendrían definidas dentro de la pregunta donde aparezcan. Puesto que los alumnos deben reconocer, aunque no necesariamente utilizar, la notación del IB empleada en los exámenes, se recomienda que los profesores la introduzcan lo antes posible. Durante los exámenes no está permitido consultar esta notación. Los alumnos deben utilizar siempre la notación matemática correcta y no la de las calculadoras.



conjunto de los números enteros po sitivos y el cero, {0, 1, 2, 3,...}



conjunto de los números enteros, {0, ± 1, ± 2, ± 3, ...}



conjunto de los números enteros po sitivos, {1, 2, 3, ...}

+



conjunto de los números racionales conjunto de los números racionales positivos, { x | x ∈ , x > 0}

+

 



conjunto de los números reales conjunto de los números reales positivos, { x | x ∈ , x > 0}

+

conjunto de los números complejos, {a + ib | a , b ∈ }



i

−1

z

número complejo

∗

número complejo conjugado de z

z

z

módulo de z

arg z

argumento de z

Re z

parte real de z

Im z

parte imaginaria de z

cisθ

cosθ + i sen θ

{ x1,

conjunto de los elementos x1 , x2 , ...

x2 , ...}

n( A)

{ x |

número de elementos del conjunto finito A

}

conjunto de todos los x tales que

∈

es un elemento de/pertenece a

∉

no es un elemento de/no pertenece a

∅

conjunto vacío

U

conjunto universal

74


Notación

∪

Unión

∩

Intersección

⊂

es un subconjunto propio de

⊆

es un subconjunto de/está contenido en

A′

conjunto complementario del conjunto A producto cartesiano de los conjuntos A y B (es decir, A × B = {( a , b) a ∈ A , b ∈ B} )

A × B a|b

1/ n

a

a divide

n

,

a

a

ab

elevado a

1

n

, raíz n-ésima (enésima) de a (si a ≥ 0 entonces

n

a ≥

0)

 x para x ≥ 0, x ∈   − x para x < 0, x ∈ 

x

el módulo o valor absoluto de x, es decir

≡

identidad

≈

es aproximadamente igual a

>

es mayor que

≥

es mayor o igual que

<

es menor que

≤

es menor o igual que

>/

no es mayor que

no es menor que

⇒

implica (es necesario)

⇐

está implicado por (es suficiente)

⇔

es necesario y suficiente (si y solo si, es equivalente a)

[a , b]

el intervalo cerrado a ≤ x ≤ b

] a, b [

el intervalo abierto a < x < b

un

término n-ésimo (enésimo) de una progresión

d

diferencia de una progresión aritmética

r

razón de una progresión geométrica

S n

suma de los n primeros términos de una progresión, u1

S ∞

suma de los infinitos términos de una progresión, u1

+ u2 + ... + un

+ u2 + ...

n

∑u

u1 + u2 + ... + un

i

i =1 n

∏u

i

u1 × u2 × ... × un

i =1

 n    r 


n! r !( n − r )!

75

Notación

f : A → B

f es una función que asigna a cada elemento del conjunto A una imagen en el conjunto B

f : x  y

f es una función que aplica x en y

f ( x )

imagen de x por la función f

f − 1

función inversa de la función f

f



g

función compuesta de f y g

lim f ( x )

límite de

x → a

d y

f ( x ) cuando x tiende a a

derivada de y con respecto a x

d x f ′( x )

derivada de

d 2 y

f ( x ) con respecto a x

derivada segunda de y con respecto a x

d x 2 f ′′( x )

derivada segunda de

d n y

f ( x) con respecto a x

derivada n-ésima de y con respecto a x

d x n

f ( x) con respecto a x

f ( ) ( x)

derivada n-ésima de

∫ y dx

integral indefinida de y con respecto a x

n

b

∫ y dx

integral definida de y con respecto a x entre los límites x

e x

función exponencial (de base e) de x

log a x

logaritmo en base a de x

ln x

logaritmo natural de x, log e x

sen, cos, tan

funciones trigonométricas (circulares)

a

arcsen, arccos,  arctan

 

funciones circulares inversas

csc, sec, cotan

funciones circulares recíprocas (o cofunciones)

A( x, y )

punto A del plano, de coordenadas cartesianas x e y

[ AB]

segmento de recta con extremos en los puntos A y B

AB

longitud de [ AB]

( AB)

recta que pasa por los puntos A y B

Â

ángulo de vértice A

ˆ CAB

ángulo formado por [ CA ] y [ AB]

∆ABC

triángulo de vértices A, B y C

76

= a y x = b


Notación

vector v

v →

AB

vector definido en módulo, dirección y sentido por el segmento de recta orientado de A a B

a

vector de posición OA

i , j , k

vectores unitarios en las direcciones de los ejes de coordenadas cartesianos

→

módulo de a

a

→

→

|AB|

módulo de AB

v

⋅w

producto escalar de v y w

v

×w

producto vectorial de v y w matriz identidad

I

P( A)

probabilidad del suceso A

P( A′)

probabilidad del suceso “no A ”

P( A | B )

probabilidad del suceso A condicionado al suceso B

x1 , x2 , ...

valores observados

f1 , f 2 , ...

frecuencias con que ocurren los valores observados x1 , x2 , ...

P x

función de distribución de probabilidad P ( X = x ) de la variable aleatoria discreta X

f ( x)

función densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X

F ( x)

función de distribución acumulada de la variable aleatoria continua X

E ( X )

valor esperado de la variable aleatoria X

Var ( X )

varianza de la variable aleatoria X

µ

media de la población k

∑ fi ( xi − µ )

2

σ

2

varianza de la población σ =

i =1

n

σ

desviación típica de la población

x

media muestral

2 k

, donde n = ∑ f i i =1

k

∑ fi ( xi − x )

2 n

s

2

varianza muestral, sn =

sn

i =1

n

2 k

donde n = ∑ f i i =1

desviación típica de la muestra k

2

2 n −1

s

estimación sin sesgo de la varianza de la población, sn −1 =

n n −1

∑ fi ( xi − x ) sn2 =

i =1

n −1

2

,

k

donde n = ∑ f i i =1


77

Guía de Matemáticas IB Nivel Superior

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