Mecánica Elemental Guía 4: Oscilaciones
1) Un cuer cuerpo po,, colo coloca cado do sobr sobre e un resor esorte te vert vertic ical al lo comp compri rime me,, en condiciones de equilibrio, 10 cm. ¿Cuál es la frecuencia característica
de oscilación de este cuerpo sobre el resorte? 2) Un cuerpo de 0.5 kg realia un movimiento armónico al colocarlo en el
e!tremo de un resorte. "a pulsación característica del cuerpo es 10 s-1.
ωo
#
a) ¿Cuál es la constante del resorte? b) $i se desplaa el cuerpo %0 cm a partir de su posición de equilibrio & lue'o se suelta( ¿cuáles son los valores má!imos )amplitudes* del despl despla aami amient ento, o, veloc velocida idad d & acele acelerac ración ión del movim movimien iento to subsi'uiente? c) ¿Cuá ¿Cuále les s son son las las ener ener'í 'ías as(( tota total, l, pote potenc ncia iall má!i má!ima ma & cin+ cin+ti tica ca má!ima? 3) Un cuerpo de masa m se all alla a sobr sobre e un plan plano o ori orio ontal ntal sin sin
roamiento & está su-eto a la unión de dos resortes oriontales de constantes K 1 & K 2. "as lon'itudes de los dos resortes, cuando están libr libres es son son i'ua i'uale les s & vale valen n L. $e tira de los e!tremos libres de los resort sortes es & se su-e su-eta tan n a dos pare aredes -a -as separadas /L, como se indica en la 'ura. a) eterminar la posición de equilibrio del cuerpo. b) ¿Cuál es la frecuencia de oscilación del cuerpo respecto de la posición de equilibrio? 4) n el dia'rama de la 'ura el resorte tiene una masa despreciable & una lon'itu lon'itud d libre de /0 cm. Un cuerpo de % kg unido al resorte puede moverse sobre una
supercie plana oriontal sin roamiento. 2 dico cuerpo se le ata un ilo que pasa por una polea sin roamiento & de la cual pende un peso de 3 kg. l sistema se alla inicialmente en reposo en la posic sición representada & la lon'itud del resorte resulta de 30 3 0 cm. $e cort orta enton tonces el ilo & el cuerpo de % kg empiea a oscilar con movimiento armónico simple. a) ¿Cuál es la amplitud de oscilación? ¿4 la constante del resorte? b) ¿Cuál es el período de oscilación? c) ¿Cuál es la ener'ía mecánica total del oscilador? 5) $upon'amos que un cuerpo de masa m está su-eto a dos resortes, en
la forma indicada en la 'ura. ¿Cuál será la frecuencia de oscilación cuando las resortes están en )a* serie & )b* paralelo? 1
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6) 2 un e!tremo de un resorte de constante K se une un bloque de madera de masa M que está en reposo sobre una mesa oriontal )no
a& roamiento*. l otro e!tremo del resorte se mantiene -o en la forma representada en la 'ura. Contra el bloque & en la dirección del resorte se dispara una bala de masa m que lleva una velocidad v . l coque tiene lu'ar en un tiempo mu& corto, con lo cual se puede considerar que durante el coque el resorte mantiene su lon'itud natural de deformación nula. a) ¿Cuál es la ener'ía total de la oscilación subsi'uiente? b) ¿Cuál es la compresión má!ima del resorte? c) Utiliando los datos M # 1 kg, m # 5 g, v # /00 m/s & K # 300 N/m, determinar num+ricamente los resultados de los dos puntos anteriores indicando claramente las unidades. 7) Consideremos un cuerpo de masa m soportado por dos resortes 2 & de constantes K cada uno de ellos. Consideremos aora los dos
dispositivos de la 'ura. a) $i los alar'amientos estáticos, es decir, las variaciones de la posición de equilibrio del cuerpo ori'inadas por su peso, en uno & otro caso, son x 1 & x 2, determinar x 1 /x 2. b) ¿Cuál es el cociente de las frecuencias de resonancia de uno & otro oscilador? c) ¿Cuál es el cociente de las ener'ías mecánicas totales de los osciladores, si oscilan con la misma amplitud? 8) Un p+ndulo simple de lon'itud %.5 m oscila con una amplitud de /0 cm medida a lo lar'o de la tra&ectoria circular de la masa.
a) Calcular la velocidad del p+ndulo en su posición mas ba-a. b) Calcular su aceleración en los e!tremos de su oscilación. c) ¿Cuál es el período de oscilación? 9) Un p+ndulo & un oscilador masa6resorte tienen períodos i'uales en la
supercie terrestre. ¿Cuál será la raón de sus períodos en un planeta en que los cuerpos pesen oco veces más que en la 7ierra?
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10)
e un punto com8n se suspenden masas de 10 g & 30 g mediante ilos mu& li'eros de masa despreciable, de lon'itud de 1.5 m. $e sueltan simultáneamente a partir de posiciones de 5 & 10 , como se indica en la 'ura. ¿ónde & cuándo cocarán? !plicar & discutir la respuesta.
11)
Una esfera peque9a está suspendida de un ilo de masa despreciable & de 1.3 m de lon'itud. l sistema es separado de la
posición de equilibrio un án'ulo θ = 5 como indica la 'ura & desde el reposo se lo de-a evolucionar. Conociendo que d # :0 cm, determinar( a) l tiempo necesario para que la masa vuelva al punto 2. b) "a amplitud
θ C
.
c) Considerando aora que θ = 4 ¿cuánto debería valer para que el tiempo de retorno al punto 2 resulte de %
d s?
12)
Un p+ndulo de lon'itud L & masa M tiene un resorte de constante K conectado a +l a una distancia h deba-o de su punto de suspensión. ncuentre la frecuencia de vibración del sistema para valores peque9os de la amplitud θ )supon'a que la suspensión vertical de la lon'itud " es rí'ida, pero i'nore su masa*
13)
n el sistema de la 'ura la masa m se encuentra apo&ada sobre la masa M. todos los resortes poseen constante elástica k & lon'itud natural l0. ntre los parámetros del problema se verica la si'uiente k m+M
=
2 g 3l 0
relación( siendo g la aceleración de la 'ravedad. 2 partir de estos datos resuelva los si'uientes puntos( a) ;raque las fueras e-ercidas sobre cada masa indicando claramente los pares de interacción. m b)
c) $i, desde la posición de equilibrio, se desplaa el sistema 4 0 acia aba-o & se lo suelta )velocidad nula*> encuentre( la posición de = en función del tiempo & la fuera de vínculo entre las masas en función del tiempo. 3
2l0
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d) ¿ue relación debe cumplirse entre las masas para que m se despe'ue de M en al'8n instante? ¿s siempre válida esta relación? 2 $upon'a g ≈ 10m / s , M = 10kg , que m se despe'a de =.
k
=
10 N / m , l0
=
10m
& calcule el instante en
14)
os cuerpos de masa m1 # 1 kg & m% # % kg pueden desliar libremente a lo lar'o de una recta sobre una supercie oriontal. stán unidos mediante un resorte de constante K #/00 N/m & lon'itud natural L. $e comprime el resorte x 0# %0 cm a partir de la lon'itud natural )de deformación nula* & lue'o los cuerpos se sueltan de manera que su centro de masa permaneca en reposo.
a) b) c) d)
¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones subsi'uientes? @alle las soluciones de la ecuación de movimiento para cada masa. ¿Cuál es la ener'ía cin+tica má!ima de cada uno de los cuerpos? Aepita a6b pero considerando que ambas masas son i'uales.
15)
2 los e!tremos de un resorte )de constante K * de una masa despreciable se unen dos masas m i'uales, en reposo sobre una mesa oriontal e!enta de roamiento )ver 'ura*. l sistema se pone en movimiento comprimiendo el resorte una lon'itud d, con uno de los cuerpos apo&ado contra una pared & lue'o se suelta a partir del reposo.
a) ¿u+ distancia recorrerá el cuerpo 1 antes de que empiece a moverse el cuerpo %? b) espu+s de que el cuerpo % de-a de estar en contacto con la pared, ¿cuál es la velocidad del centro de masa del sistema & cuál es la amplitud de oscilación de los cuerpos? 16) e un resorte de constante 100 N/m se cuel'a un cuerpo de más 1 kg.
a) ¿Cuál es la frecuencia de oscilación? b) espu+s de /0 oscilaciones se observa que la amplitud de las oscilaciones se a reducido a e!p )B1* de la amplitud inicial ¿Cuál es el tiempo de vida del oscilador? 17)
Un p+ndulo simple de 10 ' de masa tiene inicialmente un período de % se' & una amplitud de %. "ue'o se lo sumer'e en un medio viscoso, con constante de amorti'uamiento γ , & despu+s de dos oscilaciones completas la amplitud se reduce a 1.5
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Mecánica Elemental Guía 4: Oscilaciones
a) !prese el án'ulo que forma el p+ndulo con la vertical como función del tiempo, antes & despu+s de sumer'irse en el medio viscoso. b) Usando los datos num+ricos del problema, encuentre el valor de la constante de amorti'uamiento γ . 18)
a) l coeciente de amorti'uamiento con el medio. b) ¿Con qu+ frecuencia oscilará? c) ncuentre la frecuencia natural del oscilador. d) scriba la ecuación de movimiento & plantee la solución más 'eneral.
$obre una plataforma oriontal reposa un bloque de madera. "a plataforma se mueve verticalmente con un desplaamiento y = y0 cos(ω t )
, donde &o#/cm & ω puede variarse.
a) @allar la fuera que e-erce la plataforma sobre el bloque en función de
la frecuencia f = ω / 2π b) ¿2 qu+ frecuencia el bloque abandonará la plataforma? 20)
Una plataforma de 50 kg está soportada por resortes que reposan sobre unos cimientos. "a frecuencia característica de oscilación es 10 Hz . "a plataforma está accionada por una fuera armónica vertical de amplitud %5 N. ¿Cuáles son las amplitudes del desplaamiento de la plataforma & de la fuera que e-ercen los resortes sobre los cimientos cuando la frecuencia es de 1 Hz , E Hz , 10.5 Hz & %0 Hz ?. esprecie el amorti'uamiento.
21)
Un p+ndulo balístico consta de un bloque de madera de 10 kg suspendido de un ilo de / m de lon'itud.
a) ¿Cuál es el período T del movimiento oscilatorio? b) stando el p+ndulo en reposo en su posición de equilibrio, es alcanado por una bala de masa 5 g que se mueve a %00 m/s ¿Cuál es la amplitud del movimiento oscilatorio resultante? c) $i se dispara una bala cada T , pon'a de maniesto como aumenta la amplitud del movimiento con el tiempo. squematice el movimiento. d) ¿Cuál será el movimiento si se dispara una bala cada 7F%? e) $i el p+ndulo está oscilando ¿cuando abría que dispararle una bala para cederle la má!ima ener'ía de oscilación posible adicional?
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Cuestiones:
Gundamentar corresponda(
siempre
&
dar
e-emplosFcontrae-emplos
cuando
1. ¿Cuál es la distancia total recorrida por un cuerpo que e-ecuta un
movimiento armónico simple en un tiempo i'ual a su periodo si su amplitud es 2? 2. etermine si las si'uientes cantidades pueden estar en la misma
dirección para un oscilador armónico simple( a) esplaamiento & velocidad b) Helocidad & aceleración c) esplaamiento & aceleración 3. escriba cualitativamente el movimiento de un sistema masa resorte
cuando la masa del resorte no es despreciable. 4. Un p+ndulo simple se suspende desde el teco de un elevador & se
determina el periodo. escriba los cambios, si es que ocurren, en el periodo cuando el elevador( a) 2celera acia arriba b) 2celera acia aba-o c) $e mueve con velocidad constante. 5. Un p+ndulo simple efect8a un movimiento armónico simple cuando
θ es
peque9o ¿el movimiento es periodico cuando θ es 'rande? ¿Cómo cambia el periodo de movimiento cuando θ aumenta? 6. ¿s posible tener oscilaciones amorti'uadas cuando un sistema está es
resonancia? !plique.
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