GUÍA CURSOS ANUALES
Matemática Introducción a la geometría GUICANMTGEA03024
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a c i t á m e t a M
Marco teórico: Conceptos básicos
1.
Punto Un punto geométrico geométr ico es imaginario, imagina rio, tan pequeño peque ño que carece de dimensión. Es el primer objeto geométrico, geométr ico, y origen de todos los demás. demás . Los puntos suelen su elen ser designados design ados por letras mayúsculas A, B, C, etc.
•
2.
A
Recta Una línea recta es un conjunto de puntos que se extiende sin límite en dos sentidos. No comienza ni termina. Algunos Postulados: a) Por dos puntos pasa una recta y solamente solamente una.
• A
B•
Sólo hay una recta que pasa por A y B. Notación: AB
Nota: La línea dibujada es una representación, porque las rectas no tienen grosor.
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Cpech
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Matemática b) Dos rectas rectas no pueden tener más de un solo punto común.
•
G U Í A C U R S O S A N U A L E S
• B
C
E
• A
D•
Las rectas AB y CD representadas en la gura tienen un punto en común. Este punto E es llamado “punto de intersección”. in tersección”. c) Por un punto del espacio o plano pasan innitas rectas.
•A
3.
Semirrectas y ray ayo os Un punto que pertenece a una recta forma subconjuntos en ella. El punto elegido es llamado “origen” y queda como frontera de los subconjuntos (es decir, decir, no pertenece a ninguno de ellos). Estos subconjuntos son llamados semirrectas. Si el punto origen pertenece a ambos subconjuntos, se habla de dos rayos.
Semir recta OA A
O
Semir recta OB B
O: Origen
Nota: La semirrecta tiene origen, pero no n. Las semirrectas, como los rayos, son innitos hacia un extremo.
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Trazo o Segmento Un trazo o segmento es la parte de la recta comprendida comprendida entre dos puntos. El segmento determinado por los puntos A y B de la recta de la gura se identica con el símbolo: AB
B
A
5.
Rectas Paralelas Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarlas NO se intersectan. El paralelismo se expresa con el signo: //
En la gura, las rectas
6.
AB y CD son paralelas, es decir: AB // CD
A
B
C
D
Rectas Perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando forman cuatro ángulos iguales, cada uno es ángulo recto (90°). El símbolo de perpendicularidad es: ⊥. En la gura, las rectas AB y CD son perpendiculares, es es decir: decir : AB ⊥ CD .
C B A
D
Nota: Si dos rectas se cortan y no son perpendiculares se dice que son “oblicuas”.
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Matemática 7.
Área o superfcie Se llama área o supercie a la medida de la región interior de un polígono. La región interior es la parte del plano que queda encerrada por los lados del polígono. El pentágono (polígono de cinco lados) de la gura tiene pintada de gris su región interior. interior.
D E C
G U Í A C U R S O S A N U A L E S
A B
8.
Perímetro El Perímetro de una gura es la longitud de su frontera. El perímetro de un polígono se calcula sumando las longitudes de sus lados. Por ejemplo, el perímetro del pentágono de la gura es igual a la suma de sus cinco lados: AB + BC + CD + DE + EA
D E C A B
9.
Congruencia ( ≅ ) - Dos ángulos son son congruentes congruentes si tienen tienen la misma medida. - Dos trazos son congruentes congruentes si tienen tienen la misma longitud. - Dos guras son congruentes cuando tienen la misma misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
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Lógica propos p roposicional icional
1.
Entonces (⇒) Ejemplos: a) Si está soleado, entonces es de día. b) Si dos ángulos son adyacentes ⇒ son suplementarios. c) Si L 1 // L 2 y L 2 // L 3 ⇒ L 1 // L 3.
L 1 L 2
L 3
d) Si L 1 // L 2 y L 1 ⊥ L 3 ⇒ L 2 ⊥ L 3.
L 1 L 2
L 3
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Matemática G U Í A C U R S O S A N U A L E S
e) Si L 1 ⊥ L 3 y L 2 ⊥ L 3 ⇒ L 1 // L 2 L 1 L 2
L 3
2.
Sí y sólo si (⇔) Ejemplos: a) Está nublado sí y sólo si hay nubes visibles. b) Un cuadrilátero es un cuadrado ⇔ tiene todos sus lados y ángulos congruentes. c) Dos ángulos son suplementarios ⇔ suman 180º. d) L 1 // L 2 ⇔ α ≅ β
L 1 L 2
3.
β α
Doble negación (~ ~) Ejemplos: a) ¿Cuál(es) de las siguientes armaciones NO es(son) FALSA(S)?
Es equivalente a preguntar: ¿Cuál(es) de las siguientes afrmaciones es(son) verdadera(s)? v erdadera(s)?
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Deducciones
1. L 1
30º
L 2
L 1
// L 2 ⇒
L 1 L 2
30º 30º
Además:
L 1 L 2
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30º 30º 30º 30º
Matemática 2. L 1
β α
L 2
α ≅ β ⇒ L 1 //
3.
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L 2
B
A
D
C
Δ ABC es isósceles de base AC ⇒ B
A
D
C
AB ≅ BC y ∠ CAB ≅ ∠ BCA
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B
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A
C
D
Δ ABD ≅ Δ CBD ⇒ B
A
D
AB ≅ CB , AD ≅ CD
Además:
C
y BD ≅ BD
B
A
D
C
∠ CAB ≅ ∠ BCA, ∠ ABD ≅ ∠ DBC y ∠ BDA ≅ ∠ CDB
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Matemática Ejercicios PSU: 1.
2.
3.
Si el perímetro del polígono de la gura es el 10% del perímetro de un cuadrado de lado 20 cm, entonces ¿cuántos centímetros mide x? A)
1 4
B)
1,75
C)
9 4
D)
6
E)
8
x
2
x
+1
0,5 x
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2x
Si el lado de un cuadrado aumenta al doble, entonces entonces ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III)
Su área aumenta al doble. Su perímetro aumenta al doble. El área aumenta y es 400% de la inicial.
A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo II y III
¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)
Dos puntos en el plano determinan una sola recta. Dos rectas distintas NO pueden tener más de un punto en común. Dos rectas de un plano son paralelas si al prolongarlas NO se intersectan.
A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo II y III I, II y III
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4.
Si el área del círculo de la gura mide 9 π cm2 y AD es su diámetro, diámet ro, entonces el perímetro p erímetro del cuadrado ABCD mide A) B) C) D) E)
5.
II) III)
A) B) C) D) E)
A
B
Si dos ángulos suplementarios están en la razón 5 : 4, entonces uno de ellos mide 80°. Si dos ángulos complementarios están en razón 2 : 7, entonces la diferencia entre ellos es 50°. Si la razón entre un ángulo y su suplemento es 3 : 2, entonces el suplemento del ángulo mide 72°. Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III
20° 40° 60° 70° 140°
L 1
β
L 2
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C
Si los ángulos α y β están en la razón 3 : 4 y L 1// L 2, entonces ¿cuánto mide el ángulo α ? A) B) C) D) E)
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D
¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es(son) verdadera(s)? I)
6.
9 cm 12 cm 18 cm 24 cm 36 cm
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40º
α
Matemática 7.
La base de un triángulo mide 10 cm y la altura que cae sobre ella mide 5 cm. Si la base se aumenta en un 20% y su altura se mantiene constante, entonces su área aumenta en
A) B) C) D) E)
8.
30 cm2 25 cm2 20 cm2 5 cm2 2 cm2
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En la gura gura,, el triáng triángulo ulo ABC es equilátero y AD es bisectriz del ángulo CAB . ¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)
El ángulo CDA mide 90°. AD es eje de simetría del triángulo ABC . Los triángulos ADC y ADB son congruentes.
A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III
C
D
B
A
Facsímil ocial DEMRE Proceso Admisión Admisión 2011
9.
La gura representa una circunferencia de centro en O. Si AC = 4 cm, CD = 6 cm y D DC ⊥ AB , entonces CO es igual a
A) B) C) D) E)
2 cm 2,5 cm 4 cm 6,5 cm 9 cm
A
C
B O
Facsímil ocial DEMRE Proceso Admisión Admisión 2009
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GUÍA CURSOS ANUALES 10.
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En el rectángu rectángulo lo ABCD de la gura, EF // AB , DG = ¿Cuál es el perímetro del trapecio ABGE?
5 cm, EG = 4 cm y BG = 10 cm. C
D
A) B) C) D) E)
28 cm 34 cm 32 cm 35 cm 42 cm
E
F
G
A
B
Facsímil ocial DEMRE Proceso Admisión Admisión 2009
11.
Si en la gura gura,, DA ⊥ BA , CB ⊥ AB y es (son) siempre verdadera(s)?
α = β, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones C
I) II) III)
CB ≅ DA
A) B) C) D) E)
Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III
B
β
DB ≅ AC OA ⊥ OB
O
α D
A
Facsímil ocial DEMRE Proceso Admisión Admisión 2011
12.
Las medidas de los lados de un triángulo son a, b y c, donde c es el lado mayor mayor.. Para que el triángulo sea rectángulo debe ocurrir que A) B) C) D) E)
a = b y c = 2a c = �a + �b a = �c2 – b2 (a + b)2 = c2 c = �a + b
Facsímil ocial DEMRE Proceso Admisión Admisión 2011
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Matemática 13.
En la circunferencia de la gura gura,, AB // DC , ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) II) III)
α=β γ = α + β α + β + γ = 180º
D
γ A
A) B) C) D) E)
C
α
β
B
Sólo III Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III
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Facsímil ocial DEMRE Proceso Admisión Admisión 2009 14.
Un ratón asomado en su madriguera mira a un ave de rapiña que se encuentra en la punta de un árbol, vertical al suelo, con un ángulo de elevación de 70º. El ratón se encuentra a 12 metros de la base del árbol. ¿A qué distancia se encuentra el ave de rapiña del ratón?
A) B) C) D) E)
12 cos 70º metros 12 · cos 70º metros 12 sen 70º metros 12 · sen 70º metros sen 70º 12 metros Facsímil ocial DEMRE Proceso Admisión Admisión 2009
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15.
¿Cuánto ¿Cuánt o mide el ∠ x en el Δ ABC de la gura? A) B) C) D) E)
C
32º 39º 45º 52º
α x
2α
No se puede determin determinar ar,, falta faltan n datos.
A
D
B
Facsímil ocial DEMRE Proceso Admisión Admisión 2006
Claves de corrección Nº Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
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96º α
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Clave
Habilidad Aplicación Análisis Análisis Aplicación Análisis Aplicación Análisis Análisis Análisis Análisis Análisis Comprensión Análisis Aplicación Aplicación
