JAVIER GONZÁLEZ CÁZARES
1 ÍNDICE GENERAL
AGRADECIMIENTOS AGRADECIMIENTOS ............................... ................................................ ................................... .................................. ................................. ................................. ........................ ........3 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN.................................. .................................................. ................................. ................................. .................................. .................................. ............................. .............4 GRAFICA DE UN INSECTO ................................. ................................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ................5 FUNCIONES ............................... ................................................ .................................. ................................. ................................. ................................. .................................. ...................... ....7 TANGENTE A LA CURVA............................. CURVA............................................... .................................. ................................. .................................. ................................. ................... ...10 NUMERO PI ............................... ................................................ .................................. ................................. ................................. ................................. .................................. .................... ..14 APLICACIONES APLICACIONES MATEMATICAS EN WORD ............................................ ............................................................ ................................. ............................ ...........16 REFERENCIAS RELATIVAS (RELATIVE REFERENCE) REFERENCE) ................................. .................................................. ................................. ......................16 ......16 ÁREA BAJO LA CURVA I..................................... I..................................................... ................................. ................................. ................................. ............................... ..............24 ÁREA BAJO LA CURVA II.................................... II.................................................... ................................. ................................. ................................. ............................... ..............34 ÁREA DE UNA REGIÓN EN UN PLANO ............................................ ............................................................ ................................. .................................. .................39 CICLO CARNOT EN EXCEL................................ EXCEL................................................. .................................. ................................. ................................. ............................39 ...........39 ECUACIONES RESUELTAS CON GRÁFICA DE FUNCIONES........................ FUNCIONES......................................... ................................. ......................... .........45 ESPIRALES............................... ................................................ .................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ....................... ......50 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICAS................................. ................................................. ................................. ................................. .................................. .................... ..52
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AL LECTOR El autor de esta obra le quedará muy reconocido si le da usted a conocer su op inión acerca de esta obra que le ofrezco, así como de su presentación e impresión. Le agradezco también cualquier otra sugerencia.
Mi nueva dirección e-mail es:
[email protected] es:
[email protected]
PRIMERA EDICIÓN 2012
® ®
Copyright. 2012. copyright Javier González Cázares Nombre de la casa de publicación: Gauss Expediente N° 3002, 2 de marzo 2012, SEP Derechos de Autor Art. 18
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AGRADECIMIENTOS
Este nuevo ensayo, no sería posible sin el apoyo incondicional de mi esposa Josefina, mis hijos Javier y Adriana, quienes con su alegría por vivir me renuevan cada día. A mis compañeros de trabajo, en especial al Profesor José Ángel Guerrero Loera, por su apoyo desinteresado, sobre todo por creer en mí. A mi gran amigo Profesor Felipe Cortez Vázquez, quien crecimos en la lucha y en la contradicción de clases, “por la felicidad futura” de nuestra sociedad s ociedad..
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INTRODUCCIÓN En este nuevo artículo, artículo, el énfasis en la solución de problemas matemáticos matemáticos es por medio de gráficas, la idea es la facilidad de comprender mejor el problema pl anteado. Estas gráficas ofrecen grandes posibilidades de abstraer la solución, mediante soluciones previas, evitando el desvío de caminos. Entender los cambios en la curva sin instalar programas. La relación entre la comprensión lectora y el análisis grafico, tienen una relación importantísima, ya que en los inicios de la lectura, el proceso mental de comprender “lo que se ve” o “lo que se lee”, pasa por la comprensión hasta el estudio de la estructura organizativa. Al igual que la lectura, el análisis gráfico pasa por: a) Conexiones lógicas entre los diferentes valores o variables, variables dependientes y variables independientes. independientes. (Estructura de pensamiento abstracto). a.1. Representación: conectar ideas con descripciones. a.2. Continuidad: datos presentados en orden lógico. a.3. Similitudes y/o diferencias: igualdades o desiguales de datos. a.4. Causa y efecto: los datos son resultado r esultado de una acción (puede ser una función). a.5. Solución: presentación del problema mediante un gráfico. gr áfico. b) Estructuras de los elementos. a.1. Elaboración de gráficos o “mapas” para estudiar los elementos. a.2. Relaciones entre los elementos gráficos. c) Organizador gráfico: esbozos visuales de las ideas, datos, números, etc. Es la concreción del análisis a la síntesis de las ideas.
El correcto método de comprender datos vía gráficos, conduce a una correcta propuesta. Los datos aparecen primeramente como datos confusos, incluso contradictorios entre sí, el matemático, tiene una tarea en la cual consiste en tomar esos datos de la realidad y levarlos al plano ideal, aplicando métodos matemáticos los somete a contradicciones entre sí, luego cambiando sus esencias para cambiarlas, eliminando esas contradicciones, llevando a la práctica sus resultados. Se interpreta y luego se transforma.
J. G. C. Febrero, 2012
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GRAFICA DE UN INSECTO Tanquam ex ungue leonem
1
Existen muchas figuras interesantes, aquí una de ellas: un mosquito. Su fórmula:
Aunque su fórmula es un poco compleja, su grafica es sencilla y solo requiere, transformar sus coordenadas polares a coordenadas rectangulares. En la celda A4 escriba GRADOS, desde A5 hasta A365 en orden creciente de uno en uno, escriba desde 0 hasta 360. En la celda B4 escriba RADIANES, EN B5 escriba =RADIANES(A5), copie y pegue hasta B365. En la celda C4 escriba RADIO, en C5 escriba =((5)*(SENO(B5/2)^3*(COS(4*B5))^2)/(TAN(3*B5/2))), copie y pegue hasta C365. Para convertirla a coordenada rectangular: Eje x: en la celda D4 escriba X, pero en D5 la fórmula es: =C5*COS(B5), copie y pegue hasta D365. Eje y: en la celda E4 escriba Y, pero en E5 la fórmula es: =C5*SENO(B5), copie y pegue hasta E365. Seleccione D6:E365, luego en Gráficos + Dispersión + Dispersión con líneas rectas. Queda así:
Las curvas siguientes tienen características maravillosas, investiga cuales son: 1
"Por sus garras se conoce al león", Johann Bernoulli
6 1. Las coordenadas rectangulares de una cicloide son:
() ()
2. La ecuación paramétrica de la hipocicloide son:
( ) ( )
3. La ecuación en coordenadas cartesianas de la tactrix es:
( ) 4. ¿Qué diferencia hay entre la curva
, y la siguiente: ?
5. ¿Qué propiedad tiene esta lemniscata?
( ) 6. La siguiente se le conoce como “Butterfly curve”; comprueba su gráfica usando Excel
() ( ())
7
FUNCIONES La base para el estudio del cálculo Diferencial e Integral es el estudio de funciones, este concepto fue desarrollado por René Descartes, partiendo de la validez objetiva de las variables en el mundo real, luego “partiéndolas” en pequeñas partes y estudiándolas como un todo (método de abstracción), explicándose una cosa describiéndola ordenándola naturalmente, concebir un todo único como interrelacionado, en movimiento, con contradicciones, de lo simple a lo complejo. De lo abstracto a lo concreto, análisis y síntesis, descripción y causas. La geometría analítica, aunque comenzó a estudiarse desde Apolonio con el estudio de Las Cónicas, el uso de las coordenadas, no fue sino hasta Descartes, que usa el concepto de ecuaciones con las relaciones entre las abscisas y ordenadas, es decir une el algebra y la geometría, su idea se concreta en la ecuación:
( ) ( )
Como un lugar geométrico en el espacio 2D, las coordenadas son ejes fijos que satisfacen la ecuación anterior, son segmentos lineales representados por números 2. Nace el concepto de variable como con movimiento, mientras que los griegos consideraban las figuras estáticas, Descartes y Fermat, inician el desarrollo del cálculo analítico, que posteriormente será el Cálculo Diferencial. Una función3 se representa por: Conjunto Dominio
Variable Inde endiente
()
Conjunto Imagen
Variable De endiente
Para hacer los siguientes ejemplos, use en la hoja de cálculo Excel, Formas, éstas son imágenes diseñadas previamente, por ejemplo:
2
“Si se quiere resolver algún problema, debe de antemano considerarse como ya hecho, y dar nombre a todas las líneas que parecen necesarias para construirlo, tanto a las que son desconocidas como a las otras”; Transcripción parcial de:
Descartes, LA GEOMETRÍA, Traducida por Pedro Rossell Soler. Profesor de la Universidad de Buenos Aires. Espasa Calpe. Argentina. S.A. Buenos Aires - México. 1947. P. 49 - 60 3 Larousse, diccionario esencial Matemáticas, Larousse Editorial, México, 2006.
8 Además, cambie el tamaño de las celdas: desde E2 hasta AE30, con una Alto de fila = 12.75, Ancho de columna = 1.71. Primer ejemplo: grafique la función
; en la Hoja Excel.
Solución: haga una tabulación desde -5 hasta +5, luego grafique: Ponga puntos en los puntos, dados en los pares ordenados, dados en la tabulación:
Una los puntos con las formas curvas:
Finalmente queda:
Ahora haga los siguientes ejemplos:
9
Como ejercicio mental, ahora hágalo más sencillo, aplique sus conocimientos para hacer estos ejemplos en el documento Word, como sigue:
10 Con la ayuda de la tabulación, también en Word, modifique hasta:
Esta forma de graficar funciones es muy sencilla, solo basta tener un plano cartesiano, formas para seleccionar una grafica, puntos e insertar tablas (Word). El inconveniente es que las gráficas no son exactas, pero ilustran de manera general el concepto Cartesiano.
TANGENTE A LA CURVA En dos trabajos míos anteriormente hechos 4, la tangente puede definirse como la recta secante que dados dos puntos P y P´ de una curva, en que ambos puntos pasan por un punto. “A medida que las coordenadas de la SECANTE se juntan, se configura otra línea llamada TANGENTE. Expliquémonos; si x x2 x1 ,
y x 2 = x 1, entonces
y y 2 y1 ,
además y 2 = y 1
;
entonces
asimismo
y 0
y por
definición la pendiente es: m
4
y 2 y1 x 2 x1
GONZÁLEZ Cázares, Javier; Matemáticas con Word y Excel”, Gobierno del Estado Zacatecas, México, 2006.
11 La pendiente se transforma en la tangente a la curva. Pero ¿qué hemos hecho? Hemos presentado una negación de vacío en el análisis, sumamos y dividimos magnitudes “ilimitadamente” pequeñas, la suponemos tan pequeñas que desaparecen (se hacen cero), x e y , varían en proporción según las circunstancias lo determinen, es decir las despojamos de su “base material”, es una relación cuantitativa sin cantidad “alguna”; la relación”5:
En este ejemplo, la distancia vectorial de la recta tangente será dada como una constante, además el punto de la tangente variará a lo largo de la curva.
Las coordenadas de la recta tangente se encontrarán a partir de la figura anterior: PENDIENTE TANGENTE
() ()( ) PUNTO RECTA TANGENTE 1
PUNTO RECTA TANGENTE 2
5
GONZÁLEZ Cázares, Javier; Excel con aplicaciones a la ciencias, Inédito, 2010
12 Ejemplo 1: Abra el ejemplo PRÁCTICA 43, para realizar este concepto 6, mostramos su comportamiento, haciendo los cambios para la tangente: En H6 escriba el valor de d:
√
En J7 escriba =J8/100-10.2, con una Barra de Desplazamiento ligada a la celda J8, máximo: 2000 En K7 escriba =$D$6*J7*J7+D7*J7+D8
Para encontrar la pendiente de la recta tangente, en la celda M6:
El ángulo se calcula así, en la celda N7 =SI(GRADOS(ATAN(M6))<0,GRADOS(ATAN(M6))+180,GRADOS(ATAN(M6))):
la
fórmula
Para el punto 1 y 2 de la recta tangente:
6
GONZÁLEZ Cázares, Javier; Matemáticas con Word y Excel”, Gobierno del Estado Zacatecas, México, 2006
13
Grafíquelos en la curva:
Finalmente el análisis de la curva tiene diversos comportamientos:
14 Ejercicio: en base a lo anterior, use la función DESREF para graficar la tangente:
NUMERO PI “Soy y seré a todos definible mi nombre tengo que daros cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros” La historia del cálculo del valor de pi y su relación con el desarrollo humano ha sido más frecuente de lo que percibimos normalmente: los egipcios lo calcularon hasta nueve cifras, Al´juarizmi hasta 14 cifras, en Europa su valor estuvo en función de sumas de series, en la etapa moderna el uso de las computadoras es muy frecuente (sobre todo para su venta). En nuestra cultura, los estudios del ingeniero Abraham Reynoso7 pudo demostrar que no solo los babilónicos, egipcios, hebreos e hindús usaron el número pi para la construcción de pirámides u canales, sino también los mayas usaron un método vigesimal por lo que el valor de pi se pudo
7
http://apoyoalnahuatl.blogspot.com/2011/06/el-numero-pi-en-maya_28.html, descargado 5 de febrero 2012
15 calcular hasta diez cifras, es obvio que la historia se ha centrado en la Europa y menospreciado a la américa, que algunos llaman Latinoamérica 8. De los diferentes métodos que a lo largo de la historia se han desarrollado, la fórmula de John Machin 9, (1680— 1751), usó series de Taylor de la función arco-tangente; ésta fórmula se mantuvo vigente, incluso hasta el inicio de la computación. En 1706 Machin propuso la siguiente fórmula:
) ) ( ( ∑ () ∑ () La cual converge rápidamente, determine el valor de pi a 15 cifras: En una Hoja de cálculo Excel, escriba los datos de la Fórmula de Taylor: En la columna B escriba los valores diferentes de k: desde B5 hasta B104 del 1 al 100. En C5 escribe =B5+1, copia y pega hasta C104. En D5 escribe =2*B5-1, copia y pega hasta D104. En E5 escribe =-1^C5, copia y pega hasta E104. En F5 escribe =5^D5, copia y pega hasta F104. En G5 escribe =239^D5, copia y pega hasta G104. La operación de la primera serie de Taylor en la celda H5, =16*E5/(D5*F5), copia y pega hasta H104. La operación de la segunda serie de Taylor en la celda I5, =4*E5/(D5*G5), copia y pega hasta I104. Sumaremos la primera y la segunda serie de Taylor según la fórmula de Machin: En H105 la primera suma es: =SUMA(H5:H104) En I105 la segunda suma: =SUMA(I5:I68) Por lo tanto, aplicando a Machin: en H107 es: =H105-I105
8
“La historia de América, de los incas acá, ha de enseñarse al dedillo, aunque no se enseñe la de los
arcontes de Grecia. Nuestra Grecia es preferible a la Grecia que no es nuestra. Nos es más necesaria.”; MARTÍ, José; Nuestra América, Fundación Biblioteca Ayacucho: 1977, Colección Clásica, No 15, Segunda edición: 1985; Venezuela. 9 http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmulas_de_Machin, descargado 5 febrero 2012
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Los métodos modernos de cálculo de pi hacen que la cifra aumente exponencialmente, ¿hasta dónde el ser humano podrá calcular cifras de pi? La venta de computadoras y software en la actualidad han hecho que matemáticos y desarrolladores investiguen sobre el tópico. Los estudiantes que inician pueden ver que el desarrollo de cifras como un reto matemático, la inconmensurable medida de pi hace reflexionar la filosofía de la vida: "En la circunferencia, el comienzo y el fin coinciden." Heráclito (c.544-480 a. C.); filósofo griego
APLICACIONES MATEMATICAS EN WORD En ocasiones hacer operaciones aritméticas cuando usamos Word, hace que abramos Excel, calculadora, o alguna otra aplicación, y haga parecer que se hace tedioso abrir otras aplicaciones. Word ofrece posibilidades de realizar operaciones sencillas cuando usted lo necesite. El secreto es usar las fórmulas con tablas, elaborando referencias a las celdas de las tablas correctamente hará que nuestro trabajo sea lo más sencillo posible. Los ejemplos aquí escritos son aplicados a las matemáticas usadas en la escuela Telesecundaria mexicana, por lo que si usted desea puede hacerlos para otros usos, por ejemplo en ofimática.
REFERENCIAS RELATIVAS (RELATIVE REFERENCE) Usted puede escribir una fórmula en Word en la cual se referirá a la celda por encima 10, por debajo, debajo de la celda a la izquierda, derecha de la celda en la misma fila, sumar los valores, etcétera. Las fórmulas se escriben en inglés, por ejemplo ABOVE (encima), BELOW (DEBAJO), LEFT
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McFedries, Paul; Tricks of the Microsoft Office 2007 Gurus; Que Publishing, May 2007, U. S. A.
17 (izquierda), RIGHT (derecha). Para escribir la fórmula, en la que usted quiera sumar los valores que están encima, en la celda: =SUM(ABOVE)
De clic dentro de la celda Presione Ctrl + F9 para crear un nuevo campo en Word. Escriba =SUM(ABOVE) Presione F9. Word sumará los valores referidos en la celda.
función ABS(x,y) AND(x,y)
Retorna El valor absoluto de x 1 si ambas x e y son verdaderos; 0 si es caso contrario El promedio de la lista de valores dados x,y,z,… El número de datos en los valores dados x,y,z,… 1 si la expresión x puede ser calculado, 0 si no es así. 0 La parte entera de x El valor mínimo de la lista de valores dados x,y,z,… El valor máximo de la lista de valores dados x,y,z,… El residuo después de la división x por y 1 si es falso; 0 si es verdadero 1 si uno o ambos x e y son verdaderos; 0 si x e y son falsos El resultado de multiplicar los elementos de la lista de valores dados x,y,z,… El valor redondeado al número de decimales especificados por y 1 si x es positivo; -1 si x es negativo La suma de elementos en la lista de valores dados x,y,z,… 1
AVERAGE(x,y,z…) COUNT(x,y,z,…)
DEFINED(x) FALSE INT(x) MIN(x,y,z,…) MAX(x,y,z,…)
MOD(x,y) NOT(x) OR(x,y) PRODUCT(x,y,z,…)
ROUND(x,y) SIGN(x) SUM(x,y,z,…)
TRUE Ejemplo:
Sean los siguientes datos, en la tabla de datos: m 2
b 4
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
18 Teclear Ctrl + F9:
Teclear F9:
Aplica el mismo método para las demás celdas:
Nota: cuando usted represente así las formulas, teclee Alt + F9.
Para insertar el gráfico del comportamiento anterior de clic afuera de la tabla, vaya a Insertar + Ilustraciones + Insertar gráfico clic. Se abre una hoja Excel donde usted copiará los valores de Word y pegarlos en Excel; de la forma acostumbrada selecciónelos e inserte un gráfico Dispersión.
Valores Y 15 10 5
Valores Y
0 -5
0 -5
5
19 Copie y pegue en Word. Como usted observa, el gráfico corresponde a una recta. Esta aplicación casi no se usa en Word, por pensar que sólo Excel usa fórmulas en el cálculo aritmético. En el campo de la industria el uso de la Factura es muy común, en un Recibo:
Como el recibo tiene que tener varios elementos, elabora algo parecido al que sigue: Los pasos que se siguen, son los siguientes:
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N°: 01
Fecha: 21/04/12 Vigencia: Moneda:
Total 10.5 62.25 96 15 72 43.5 94.5 45 27.5 466.25 83.93 550.18
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Otra aplicación que podría mencionar, es cuando se sacan los promedios de los alumnos:
Ctrl + F9 para calcular el promedio.
F9
Para calcular el valor mínimo: Ctr + F9:
Clic F9:
22
Para calcular la calificación máxima Ctrl + F9
Clic F9:
23 SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA ESCUELA TELESECUNDARIA “NIÑOS HÉROES” CLAVE ETVOO50I, CICLO 2011-2012
A QUIEN CORRESPONDA: El que suscribe, director de la escuela telesecundaria “niños héroes”, PROFR . CARLOS A. CARRILLO11, hace constar que el alumno: JESUS VASCONCELOS HEROLES, reporta las siguientes calificaciones, que corresponden al primer bimestre, del presente ciclo escolar:
Matemáticas Español Ciencias Historia Inglés Formación Cívica y Ética Educación Artística Educación Tecnológica Orientación Educativa
8 7 9 6 9 10 10 9 9
Promedio general
8.56
Calificación mínima
6
Calificación máxima
10
Se extiende la presente, para los usos y fines legales que al interesado convengan. En la comunidad de Buenavista de Trujillo, Fresnillo, Zac.; a los nueve días del mes de noviembre del dos mil once. A t e n t a m e n t e: PROFR. CARLOS A. CARRILLLO Director c.c.p. Prof. José Ángel Guerrero Loera. Supervisor, Zona 30 11
Maestro que en 1885 rechazó el uso de excesivo de libros de texto en las escuelas, que volvía al niño una máquina de repetir pensamientos ajenos. Carlos A. Carrrillo. “¡Malditos libros!, en Gregorio torres Quintero y Daniel delgadillo (comps.), Articulos pedagógicos, México: Herrero hermanos, 1907, p. 43. Proceso, BiCentenario, N° 7, octubre 2009, México.
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ÁREA BAJO LA CURVA I El área de una figura geométrica es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en citada figura. Esta área puede estimarse (o calcularse) usando polígonos en forma de rectángulos lo más cercanos a su área ideal, sumando cada una de ellas, a medida que sean lo más cercano posible12. Algunas propiedades pueden observarse para áreas de curvas limitadas por lados: toda área es positiva, áreas congruentes tienen áreas iguales, dos regiones superpuestas po r un segmento es la suma de ellas mismas, un área contenida en otra es menor o igual a la primera. Ejemplo: en una nueva hoja Excel, en base a una idea de Jon Peltier 13 , para la aplicación en Excel 2010, inicie con la tabulación:
Establezca límite inferior en la celda D7, límite superior en la celda D10, la diferencia entre estos dos valores en la celda D13 =ABS(D10-D7). El número de celdas en la celda D16, el porcentaje en la celda D19 =D13/10. Para el eje x, se inicia con el primer valor con las fórmulas:
12
La idea se sumar polígonos viene desde 430 a. C. por el griego Antifón (método de agotamiento), luego Euxodo pudo encontrar una fórmula creando el m étodo de “exhaución”. 13 http://peltiertech.com/WordPress/fill-below-an-xy-chart-series-xy-area-combo-chart/
25 Suponga que necesita escribir alguna fórmula (lineal, cuadrática, etc.). en la celda G6 escriba =$C$1*F6^$C$3+$C$2, copie y pegue hasta G16. Para eje x, desde H4 con cero, luego en la celda H6 la fórmula =1000*F6/15+0.5 (como escala), copie y pegue en la celda H5. Otra vez desde H6 copie y pegue hasta H16. En H17 escriba =H16. En H18 escriba 1000. Para eje y, en I6 escriba =$C$1*F6^$C$3+$C$2, copie y pegue hasta I16, en las celdas I4, I5, I17, I18 escriba cero. Seleccione los primeros datos desde F6:G16, inserte un gráfico área + Área 2D:
Cambie los valores del eje x: en el comando Seleccionar datos + Etiquetas del eje horizontal (categoría) + Editar + Aceptar:
Ahora en Series1 + Editar clic cambie valores de la serie por =Hoja1!$G$6:$G$16 de Aceptar.
Luego en Series2 clic en Quitar:
26
Ahora cree otra gráfica con los segundos valores: selecciones los valores
Como verá, este último gráfico hay que modificarlo, debido a que los ejes no coinciden con los valores de x e y: clic en el gráfico, clic en Seleccionar datos + Etiquetas del eje horizontal (categoría) + Editar + cambie los valores seleccionando los ejes en la tabulación:
27
Clic en la flecha debajo de la fórmula escrita y de Aceptar:
Elimine la gráfica azul:
Si elimina la otra, no se parecerá a una recta. Copia esta gráfica y pega en la primera:
28 Queda así, selecciona el gráfico rojo para cambiar o seleccionar el eje principal y secundario, pero primero, clic derecho seleccione Dar formato a serie de datos. Seleccione en Opciones de serie + Eje secundario:
Queda así:
Seleccione la gráfica azul, cambie el tipo de gráfico:
29 La gráfica resultante es:
Seleccione la gráfica, luego clic derecho en Dar formato a serie de datos, en la ficha Presentación elija Ejes + Ejes horizontales secundarios + Mostrar eje de izquierda a derecha
La grfica es:
30 Seleccione el eje superior, clic derecho + Dar formato a eje + eje de fecha:
Clic en el eje + Dar formato a eje + Número + Fecha
Cambie los datos para coincidir con la recta, clic en Fija, cambie el valor por Máxima 13/06/1901:
Elimine el eje superior:
31
También el eje que se encuentra a la derecha:
Finalmente queda:
Cambie el color del área bajo la curva por uno transparente:
32
Cambie el color de la línea:
Cambie la escala de eje a 1 + clic en Fija:
Modifique la gráfica para que quede así:
33
Por último fije el valor del eje x:
Vea triángulos para hacer el cálculo del área bajo la curva, haga sus sumas para obtener el área total:
o bien
34 Si usted calcula el área bajo la curva verá que se obtiene sumando las áreas de los cuadrados, vea que son 14 cuadrados completos que da igual a 140 μ2, más la suma se los cuadrados incompletos (35 μ2) da como resultado 175 μ2. Ejercicios: Modifique la gráfica para los siguientes casos:
Estos cálculos son la base para el ulterior cálculo integral, la suma de áreas y su complemento (la gráfica de sus resultados), son la base para la aplicación de la matemática en la vida real, al menos su cálculo teórico que puede acercarse. Los cambios en los parámetros ayudan a visualizar los diferentes comportamientos de las variables.
ÁREA BAJO LA CURVA II El área se define como la extensión de una superficie y se expresa en unidades dimensionales. Para medirla se usan varios métodos: triangulación, por polígonos (método griego) y mediante el cálculo.
35 Triangulación: Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Polígonos: consiste en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a ella, aumentar el número de los lados de los polígonos y hallar el área buscada. Mediante el cálculo existen en general tres métodos (gráficos, geométricos y por trapecios) usados en campos como la topografía. El método por franjas da valores con baja precisión (por estimación). Usando Cuadrícula, por figuras geométricas Regulares, Triángulos y Trapecios, además usando la Regla Trapezoidal con valores buenos a muy buenos14. Riemann da una interpretación geométrica a las definiciones anteriores, basándose en un concepto nuevo: la Integral, que la define como el área bajo la curva de la función. Si f es una función real de manera que el área de la región R está comprendida en el intervalo de valores [ a, b ], de manera que para toda x, la función f ( x ) ≥ 0, es positiva; existe un número A que representa el área de cualquier región poligonal contenida en R, que no debe ser mayor al área de la región R.
Existen casos como el anterior, que es difícil encontrar la medida del área 15, por lo que Riemann (Alemania, 1826-1866) ideó un método conocido como máximo y mínimo, que traza un número infinito de rectángulos dentro de un área irregular, aunque el margen de error es grande, se aproxima a un valor ideal, los valores grandes y pequeños convergen a medida que los 14 15
ftp://ftp.fao.org/fi/CDrom/FAO_Training/FAO_Training/General/x6707s/x6707s10.htm#top http://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemann
36 subintervalos se aproximan a cero. La sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total (suma de Riemann)16
Se divide el intervalo cerrado [ a , b ] en n subintervalos de igual longitud Δ x . Por lo que:
El área es la suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva, o el límite de una suma:
[ ( ) ( ) () ( )] ) ∑( La medida de la altura del rectángulo en el i-ésimo subintervalo, es el valor de la función en cualquier número de ese subintervalo y el límite de la suma de las medidas de las áreas de los rectángulos es el mismo, no importa el número seleccionado. Para ilustrar este ejemplo desarrollé un ejemplo inspirado en los trabajos de Jon Peltier 17 para ilustrar el área bajo la curva usando la hoja de cálculo Excel. Escriba los límites de la región del intervalo cerrado:
16 17
Lee mas en : Suma de Riemann, por WikiMatematica.org www.wikimatematica.org ; 2 noviembre 2011 http://peltiertech.com/Excel/Charts/
37 El número de rectángulos en la celda C8. La medida del intervalo:
Punto medio de la base: C18 = C9 / 2 Para graficar la curva: En la posición x. En E2 escriba: C3; en la celda E3 =SI(E2+$C$9>=$C$4,$C$4,E2+$C$9), copie y pegue hasta C319. La posición y . En la celda F2=S=$C$13*E2^3+$C$14*E2^2+$C$15*E2+$C$16, copie y pegue hasta F319. El área de cada subintervalo en la columna G: en G2 =$C$9*F2, copie y pegue hasta G319. Graficamos los puntos medios a partir de cero, y así sucesivamente hasta llegar al ultimo subintervalo: para x, en I2 = C3, I3 = I2, I4 = I3 + $C$9, I5 =SI(Y(I4+$C$9>=$C$4,I3=I4,I4),$C$4,SI(I3=I4,I4+$C$9,I4)), copia y pega hasta I319. Para y , en J2 = 0, J3 =$C$13*I3^3+$C$14*I3^2+$C$15*I3+$C$16, J4 =$C$13*I3^3+$C$14*I3^2+$C$15*I3+$C$16; J5 =SI(I3=I4,J4,SI(I5=$C$4,0,SI(J3=J4,$C$13*I5^3+$C$14*I5^2+$C$15*I5+$C$16,$C$13*I4^3+$C$14*I 4^2+$C$15*I4+$C$16))), copia y pega hasta J319. Dibujamos los limites superiores de los rectángulos: Eje x , L2 = I2 - $C$18, copia y pega hasta L319. Eje y , M2 = 0, M3=$C$13*I3^3+$C$14*I3^2+$C$15*I3+$C$16, M4=$C$13*I3^3+$C$14*I3^2+$C$15*I3+$C$16, M5=SI(I3=I4,J4,SI(I5=$C$4,0,SI(J3=J4,$C$13*I5^3+$C$14*I5^2+$C$15*I5+$C$16,$C$13*I4^3+$C$1 4*I4^2+$C$15*I4+$C$16))), copia y pega hasta M319.
38 Para graficar las partes de los rectángulos: Eje x , en O2 =L2, en O3 =I3+$C$9-$C$18, en O4 =O3, O5 =O4 + $C$9, O6 = O5, O7 = O6 + $C$9, O8 = O7, O9 =SI(Y(O8+$C$9>=$C$4,O7=O8,I4),$C$4,SI(O7=O8,O8+$C$9,O8)), copia y pega hasta O319. Eje y , en P2 = 0, P3 = 0, P4 =$C$13*(O4+$C$18)^3+$C$14*(O4+$C$18)^2+$C$15*(O4+$C$18)+$C$16, P5 = P4, P6 = 0, P7=SI(O7=$C$4,0,SI(Y(P5=P6,P6=0),$C$13*(O7+$C$18)^3+$C$14*(O7+$C$18)^2+$C$15*(O7+$C$ 18)+$C$16,SI(P5<>P6,P6,0))), copia y pega hasta P319.
Para sumar las áreas de los rectángulos: =SUMA(G2:G319), que es el área bajo la curva. Para el ejemplo a = -1, b =1, c =1, D =8; la curva se comporta de esta manera:
39 Ventajas de este método:
El área bajo la curva se muestra inmediatamente, fácil cálculo del área, no se requieren grandes conocimientos de cálculo.
Desventajas:
el número de subintervalos se limita sólo a cien el margen de error es a medida que es compleja y la curva es grande
ÁREA DE UNA REGIÓN EN UN PLANO Considere dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [ a , b ] y de forma que f( x ) ≥ g( x) para toda x en [ a , b ], es el área acotada por las curvas.
CICLO CARNOT EN EXCEL Haga las gráficas Presión-Volumen y Temperatura-Entropía, para un gas aire (ideal). Hágalo en Excel, para el siguiente proceso: # Temperatura ( °C ) Presión ( Kg / cm2 ) 1 282 21.93 2 282 10.965 3 18.33 1.1696 4 18.33 2.3392
40 Solución: Para Faires18, los valores del volumen específico y la entropía para cada punto, deben de consultarse en un diagrama, por lo que éstos serán seleccionados según sea el caso. Es así que primero se harán los cambios de unidades, para la temperatura absoluta (grados Kelvin) y la presión a presión barométrica. En el ciclo Carnot se tienen que cumplir los siguientes: CAMBIOS DE PRESIÓN
PROCESO
P1 a P2
ISOTÉRMICO
P2 a P3
ADIABÁTICO (ISOENTRÓPICO)
P3 a P4
ISOTÉRMICO
P4 a P1
ADIABÁTICO (ISOENTRÓPICO)
Los valores volumétricos respectivos para cada presión son: V (m3 / kg )
P ( bar )
0.077634
20.684
0.15466
10.342
0.75785
1.1031
0.37876
2.2063
Al graficar en la Hoja Excel, siguiendo el método de Jon Peltier 19 queda así: Los valores de las columnas V, p1, p2, son datos. Los de las siguientes columnas son G8 = =1000*D8/15+0.5, y se repiten p1, p2. Grafique V, p1, p2:
18 19
FAIRES & SIMMANG, Termodinámica, 6ª Edición, UTEHA, 1982, México. http://peltiertech.com/WordPress/fill-below-an-xy-chart-series-xy-area-combo-chart/
41
Graficamos las presiones p 1, p2 y p3 del ciclo Carnot
Seleccionamos:
42 Primera gráfica:
Segunda grafica se hace lo mismo: queda:
Selecciona la gráfica 2 y cambia la gráfica a Áreas:
Has lo mismo para la otra (la 1): Seleccione la gráfica, luego clic derecho en el menú Dar formato a serie de datos, en la ficha Presentación elija Ejes + Ejes horizontales secundarios + Mostrar eje de izquierda a derecha
43
Doble clic en el eje horizontal secundario, en Número elija Fecha; después en Opciones del eje, clic en Eje de fecha, en la ficha escala, mínimo en 1 máximo 1001 (cambie fechas) unidad de base =días. En ficha patrones, elija ninguno para grandes y pequeñas marcas de graduación y rótulos de marcas de graduación. La zona ahora encaja en serie XY perfectamente, por encima de las serie XY.
Haga doble clic en el eje secundario (lado derecho del gráfico) y desactive el eje de categorías (X) cruza en el cuadro de valor máximo.
Elimine el secundario lateral
44 En el grafico clic, en Opciones de gráfico y en ficha de ejes desactive la casilla de eje secundario de Y. Por último, haga doble clic en la serie de Area1 y, elija color blanco para el color de relleno para que vea transparente.
El calor de 1-2:
( ) ()() Calor de 3-4:
( ) ()() El trabajo desarrollado por un ciclo termodinámico en un cilindro : W = 111 – 58.266 = 52.734 kj La potencia:
) = 0.01465 kW hr
P = (52.734 kj)( La eficiencia:
45
La presión media efectiva 20:
()( ) ()() 21
La presión media efectiva es un parámetro valioso para efectos de comparación porque indica el buen uso que hace la máquina de su tamaño o desplazamiento. El objetivo de todo diseño es la construcción de máquinas que tengan altos valores de presión media efectiva. Si comparamos con la presión máxima, que es de 21.93 kg/cm², vemos que cumple con los requerimientos para ser diseñado. Ejercicio: para diferentes curvas calcula los valores de las áreas sumando los promedios de las áreas de los rectángulos. Explica sus comportamientos a partir de la suma de cuadrados y compáralos con la suma de rectángulos y cálculo por Integrales Definidas.
ECUACIONES RESUELTAS CON GRÁFICA DE FUNCIONES El uso del álgebra en la solución de ecuaciones, a veces resulta demasiado tedioso al resolverlas, en este breve ensayo, hago uso de las gráfica de funciones, como un método simple, con limitaciones; no obstante para aquellos que inician en el análisis matemático, ofrece una visión sencilla de resolverlos. Una función expresa que una cantidad depende de otra, es una regla de correspondencia, donde la entrada de datos es el dominio de la función, y la salida de datos es el contradominio. Es así como los datos de entrada y salida pueden graficarse como un conjunto de puntos en el plano cartesiano, por lo general en el par ordenado (x , y ), donde x es el dominio, y y el contradominio.
20
Es la media de todas las presiones instantáneas que se producen en la fase de combustión y expansión de los gases dentro del cilindro. La presión media está en función del llenado del ci lindro y del aprovechamiento del combustible que se introduce al motor. La fuerza obtenida en cada cilindro se obtiene multiplicando la presión media por la superficie de la cabeza del pistón, y junto con la palanca de las muñequillas del cigüeñal determinan el par motor. La presión media se mide en kilopondios por centímetro cuadrado o en Newton por metro cuadrado (sistema internacional). 21
101.92
46 El problema de graficar funciones sería sencillo si fueran lineales, no obstante las hay cuadráticas, polinomiales, racionales, potenciales o exponenciales, por secciones. En esta sección la relación de las funciones con las ecuaciones es evidente cuando deseamos encontrar las raíces por métodos más sencillos que por los algebraicos. Por ejemplo cuando queremos encontrar las raíces de una recta simplemente igualamos a cero, en ecuaciones cuadráticas por lo general se hace por medio de la fórmula general, cuando son ecuaciones de tercer grado, su solución es más compleja, por lo que existen métodos un tanto complejos, cuando se familiariza con ellos el análisis por computadora hace el trabajo menos tedioso. El modelo Excel es descrito como una alternativa a muchas que se ofrecen en el mercado, que van desde software shareware hasta los freeware. Para toda solución de las raíces de una función se expresa como f(x)=0 , examinando sus cambios cuando cambian sus valores a lo largo de su tabulación22. Excel analiza cualquier ecuación hecha función. Por ejemplo sea la función: , los valores de a, b, c y d varían de tal manera que es necesario calcular las raíces de manera rápida.
En la hoja Excel, escribe los valores de los coeficientes y éstos relacionados con la fórmula: =C6&" x ³ + ("&C7&") x ² + ("&C8&") + ("&C9&")"
Tabula desde -5 hasta +5 con incrementos de 0.1. Para los valores de x. Desde F6 hasta F106. Para los valores de y, tabula con la fórmula =$C$6*F6^3+$C$7*F6^2+$C$8*F6+$C$9 en la celda G6, copia y pega hasta G106. La curva varía desde que es una recta (cuando a, b = 0, incluso cuando c = 0), también cuando es una parábola (a = 0), terminando con una función cúbica. En H6 escribe la fórmula: =SI(Y(a=0,b=0,c_=0),"Recta paralela al eje x",SI(Y(a=0,b=0),"recta con pendiente",SI(a=0,2*b*F6+c_,3*$C$6*F6^2+2*$C$7*F6+$C$8))).
22
Sugden, Stephen (2010) "Colour by Numbers in Excel 2007: Solving Algebraic Equations Without Algebra," Spreadsheets in Education, (eJSiE): Vol. 4: Iss. 2, Article 3. Available at: http://epublications.bond.edu.au/ejsie/vol4/iss2/3; Descargado 6 de octubre del 2011.
47
La ecuación que muestra el comportamiento de la curva es: , nos indica si la 23 curva sufre una desviación , tanto si disminuye (decrece, y´< 0, en el punto x = x 0) o aumenta (crece y´> 0, en el punto x = x0) a medida que sus valores se incrementan de izquierda a derecha.
En la celda I6 escribe: =SI(Y(a=0,b=0,c_=0),"pendiente cero",SI(Y(a=0,b=0),"pendiente m ="&c_,SI(H6<0,"decrece","creciente"))); copia y pega hasta I106. Selecciona los datos de la tabulación e inserta una gráfica como esta:
Para hacer más atractivo el comportamiento del cambio, en Formato condicional modifique los valores para que mediante colores cambie según el comportamiento:
23
AYRES, Frank; “Cálculo diferencial e integral” , Serie Schaum, Mc Graw Hill, México, 1989.
48
No obstante, encontramos las raíces, para ello, analice el comportamiento cuando Y = 0, existen valores en X, por lo que éstas son las raíces buscadas: En la celda F6 escriba la siguiente regla:
En la celda F7 escriba la siguiente: =SI(Y(G7>0,G8<0),G8,""), =SI(Y(G7<0,G8>0),G8,""), =G7=0.
En la celda G6 escribe:
49
En la celda G7 escribe: =SI(Y(G7>0,G8<0),G8,""), =SI(G8=0,G8,SI(Y(G7<0,G8>0),G8,"")), =G8=0
Como podrá observar, aparecen las tres raíces de la ecuación:
Las raíces son:
La importancia de este ejemplo, radica en la sencillez con la que el estudiante inicia en la solución de ecuaciones por métodos algebraicos.
50 Las derivadas dadas por función:
() ( )() También es una alternativa cuando se carece de las fórmulas de derivación, y los incrementos h son muy pequeños 24. Existen más métodos para la resolución de ecuaciones polinómicas, de mayor grado, además de las algebraicas, por métodos computacionales más complejos. De hecho las aplicaciones libres como Geogebra o Winplot son softwares gratuitos que el alumno o investigador puede acceder a ellos con libre aplicación y arrojan excelentes resultados, además que son muy rápidos en su graficación.
ESPIRALES La gráfica de espirales en 3D se logra por diversos métodos, aquí se aplica el realizado en un ensayo anterior mio 25. Por lo que recomiendo leerlo. En una hoja nueva Excel, escriba los siguientes datos:
24
Sugden, Stephen J. (2005) "Colour by Numbers: Solving Algebraic Equations Without Algebra," Spreadsheets in Education (eJSiE): Vol. 2: Iss. 1, Article 6. Available at: http://epublications.bond.edu.au/ejsie/vol2/iss1/6 25 GONZÁLEZ C., Javier; Excel con aplicaciones en ingeniería, México, 2010.
51 Estos datos formarán parte de la animación 3D. Para calcular el ángulo: En la celda H3 escriba 0, en H4 escriba = H3 + 15, copie y pegue hasta H33. Los radianes en I3 = Radianes (H3), copie y pegue hasta I33. Para iniciar la traslación delos ejes en 2D a 3D: Eje X: en la celda J3 escribe = 2 * cos ( I3 ); copie y pegue hasta J33. Eje Y: en la celda K3 escribe = Seno ( I3 ); copie y pegue hasta K33. Eje Z: en la celda L3 escribe = I3; copie y pegue hasta L33. Ejes X´, Y´ e Z´: en las celdas M3,N3 y O3 escribe:
Copie y pegue hasta M33:O33. Los “ejes” X e Y son:
Copie y pegue hasta P33:Q33. Agregue un punto de trayectoria en las celdas:
La celda S1 variará cuando varíe una Barra de desplazamiento. La traslación de ejes:
Los “ejes trasladados” son:
52
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Desde el inicio de la radio con Hertz, Bell, Morse, incluso Volta, la historia de las comunicaciones ha estado relacionada con el entretenimiento, información, desarrollo tecnológico, incluso a participado en los cambios políticos, en cuanto a la educación no ha participado activamente. En México su historia se relaciona por sus relaciones con el Estado en sus orígenes; luego con la iniciativa privada con preponderancia con el grupo de XEW, creciendo con gran influencia en Latinoamérica. Actualmente la radio ha cambiado tecnológicamente ya que se transmite vía Internet. Sin embargo la relación con las ondas electromagnéticas (tecnología digital) para su transmisión es fundamental. Una señal electromagnética es emitida por un medio de tal manera que al ser recibida por un “receptor” o radio, la modulación en amplitud (AM) 26 o frecuencia (FM) es escuchada por sonidos variables27 ejercidos a los oídos. Estos cambios pueden también ser “escuchados” por aparatos especiales que proyectan las señales en una pantalla, éstas forman figuras curvas (senoidales); la modulación o amplitud de la señal cambia según la onda de sonido. Si usted escucha la radio, por ejemplo la XEEL 610 KHZ en AM, significa que a usted le llega una 26
Amplitud modulada (AM) o modulación de amplitud es un tipo de modulación lineal que consiste en hacer variar la amplitud de la onda portadora de forma que esta cambie de acuerdo con las variaciones de nivel de la señal moduladora, que es la información que se va a transmitir. Obtenido el 24 de febrero del 2012, de http://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud_modulada 27 En México se les llama “radio transistor”
53 onda senoidal a su radio receptor de 610 000 ciclo por segundo, o bien esa misma estación en XEEL 91.5 MHZ en FM, quiere decir que capta una onda de 91 500 000 ciclos por segundo. La diferencia está en que la primera llega más lejos que la segunda, pero la segunda puede escucharse con mayor calidad. Una onda es un movimiento vibratorio, es decir una partícula fluctúa cuando se mueve periódicamente con respecto a su posición de equilibrio. Este movimiento se le conoce como movimiento armónico simple28 cuando su desplazamiento x respecto al origen del sistema de coordenadas está dado por la relación: x = A sen (t +0) Donde: t +0 se denomina fase 0 es la fase inicial cuando t = 0
A amplitud del movimiento vibratorio La función sirve también para coseno, cambiando 0. La función seno se repite cada vez que el ángulo aumenta 2π, por tanto el desplazamiento de la partícula se repite después de un intervalo T= 2π/ω, luego el movimiento es periódico y su periodo es T. La frecuencia f de un movimiento armónico simple es el número de oscilaciones por segundo f=1/T. La cantidad ω se denomina frecuencia angular y está relacionada con la frecuencia por una relación similar a la frecuencia de un movimiento circular ω = 2ω/T Análogamente vemos que y = f(x+a) corresponde a un desplazamiento hacia la izquierda una cantidad a. En una primera clasificación de las ondas en mecánicas y electromagnéticas. Algunas clases de ondas precisan para propagarse de la existencia de un medio material que, haga el papel de soporte de la perturbación; se denominan genéricamente ondas mecánicas. El sonido, las ondas que se forman en la superficie del agua, las ondas en muelles o en cuerdas, son algunos ejemplos de ondas mecánicas y corresponden a compresiones, deformaciones y, en general, a perturbaciones del medio que se propagan a través suyo. Sin embargo, existen ondas que pueden propasarse aun en ausencia de medio material, es decir, en el vacío. Son las ondas electromagnéticas o campos electromagnéticos viajeros; a esta segunda categoría pertenecen las
ondas luminosas. 28
http://www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/ondas/MAS/energia.htm Obtenido el 21 febrero 2012
54 La anterior función la podemos representar matemáticamente así: y=A*sen(B*x+C)+D A amplitud de la onda (semidistancia entre el máximo y mínimo de la función) B periodo (no modifica su amplitud, en radianes) C modifica la función con respecto al eje x (en radianes) D desplaza la función con respecto al eje y
La función y = A seno (B x + C ) + D, hace que la onda se desplace de derecha a izquierda:
La función y = A seno (B x - C ) + D, hace que la onda se desplace de izquierda a derecha:
55 1. Haga la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas: a) y = A cos (B x + C ) + D b) y = A cos (B x - C ) + D c) y = A tan (B x + C ) + D d) y = A tan (B x - C ) + D 2. usando las gráficas anteriores, diga si la expresión y = A seno (B x + C ) + D, la cambia a coseno ¿modificaría su gráfica? ¿en que? 3. Encuentre la amplitud y el periodo de la función y = -tan 0.5 t, usando Excel a) Amplitud -1; periodo 5π/2 b) Amplitud: infinita; periodo 5π/2 c) Amplitud -1; periodo 2π d) Amplitud: infinita; periodo 2π 4. las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es:
siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo x , y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:
() ()
() ()
describa las trayectorias de las dos funciones usando Excel. 5. ¿Cuál es la función para la gráfica?
a)
()
b)
()
c)
()
()
c)
()
6. ¿Cuál es la función para la gráfica?
a)
()
b)
56 7. Determine si la función es el periodo
() () () a) 2π
b) 3 π
c) 3 π/2
d) 2 π/3
8. Use gráficas en Excel para determinar cual ecuación posibilita ser una identidad trigonométrica a) c)
() ()()
b)
() ()
() ()()
() ()()
d)
9. Determine usando Excel cual de las dos funciones son iguales: a)
[]
c)
[]
b)
[]
d)
[]
10. Determine la función trigonométrica que tiene una amplitud de 3 y un periodo 2π/3
a).
c).
b).
d).
57 11. Grafique ambos lados de la igualdad siguiente, para identificar si es una identidad trigonométrica:
a) Si, si es una identidad
b) No, no es una identidad
12. Describa la transformación requerida para obtener la gráfica dada en la función: a) b) c) d)
Reflexión a través del eje y horizontal con un factor de 7. Reflexión a través del eje x y vertical con un factor de 7. Reflexión a través del eje x y traslación vertical arriba de 7 unidades. Reflexión a través del eje x y horizontal con un factor de 7.
13. Identifique la función seno con los siguientes atributos. Amplitud: 1; periodo: 2; desplazamiento de fase: 4; desplazamiento vertical: 3.
a)
c)
( )
b)
( )
d)
( )
14. ¿Cuál es la regla de una función de la forma y=A*sen(B*x+C)+D la cual grafica la siguiente:
a) p(x) = -5 sin(x / 3 + π / 3) – 3
c) q(x) = -5 sin(x / 3 - π / 3) – 2
