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ÍNDICE GENERAL
AGRADECIMIENTOS ............................................................................................................................ 4
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 5
GRAFICA DE UN INSECTO .................................................................................................................... 6
FUNCIONES.......................................................................................................................................... 8
TANGENTE A LA CURVA .................................................................................................................... 1
NUMERO PI ....................................................................................................................................... 15
APLICACIONES MATEMATICAS EN WORD ........................................................................................ 1
REFERENCIAS RELATIVAS (RELATIVE REFERENCE) ........................................................................ 1
ÁREA BAJO LA CURVA I ..................................................................................................................... 2
ÁREA BAJO LA CURVA II .................................................................................................................... 3
ÁREA DE UNA REGIÓN EN UN PLANO ............................................................................................... 4
CICLO CARNOT EN EXCEL .............................................................................................................. 4
ECUACIONES RESUELTAS CON GRÁFICA DE FUNCIONES .................................................................. 4
ESPIRALES .......................................................................................................................................... 51
Sign up to vote on this title FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ...................................................................................................... 5
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AL LECTOR
El autor de esta obra le quedará muy reconocido si le da usted a conocer su opinió acerca de esta obra que le ofrezco, así como de su presentación e impresió
Le agradezco también cualquier otra sugerenc
Mi nueva dirección e-mail es: javisgc1@y es:
[email protected]. ahoo.com.
Blogger: http://matematicaswordyexceloffice.blogspot.com
PRIMERA EDICIÓN 2012
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AGRADECIMIENTOS Sheet Music
Este nuevo ensayo, no sería posible sin el apoyo incondicional de mi esposa Josefina, mis hij Javier y Adriana, quienes con su alegría por vivir me renuevan cada día. A mis compañeros de trabajo.
A mi gran amigo Profesor Felipe Cortez Vázquez, quien crecimos en la lucha y en la contradicci de clases, “por la felicidad futura” de nuestra sociedad. sociedad.
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INTRODUCCIÓN Sheet Music
En este nuevo artículo, el el énfasis en la solución de problemas problemas matemáticos es por medio gráficas, la idea es la facilidad de comprender mejor el problema planteado.
Estas gráficas ofrecen grandes posibilidades de abstraer la solución, mediante soluciones previ evitando el desvío de caminos. Entender los cambios en la curva sin instalar programas.
La relación entre la comprensión lectora y el análisis grafico, tienen una relación importantísim ya que en los inicios de la lectura, el proceso mental de comprender “lo que se ve” o “lo que lee”, pasa por la comprensión hasta el estudio de la estructura organizativa. Al igual que la lectura, el análisis gráfico pasa por:
a) Conexiones lógicas entre los diferentes valores o variables, variables dependientes variables independientes. (Estructura de pensamiento abstracto). a.1. Representación: conectar ideas con descripciones. a.2. Continuidad: datos presentados en orden lógico. a.3. Similitudes y/o diferencias: igualdades o desiguales de datos. a.4. Causa y efecto: los datos son resultado de una acción (puede ser una función). a.5. Solución: presentación del problema mediante un gráfico. b) Estructuras de los elementos. a.1. Elaboración de gráficos o “mapas” para estudiar los elementos. a.2. Relaciones entre los elementos gráficos.
c) Organizador gráfico: esbozos visuales de las ideas, datos, números, etc. Es la concreci del análisis a la síntesis de las ideas. Sign up to vote on this title
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El correcto método de comprender datos vía gráficos, conduce a una correcta propuesta. L datos aparecen primeramente como datos confusos, incluso contradictorios entre sí,
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GRAFICA DE UN INSECTO Sheet Music
Tanquam ex ungue leone
Existen muchas figuras interesantes, aquí una de ellas: un mosquito. Su fórmula:
Aunque su fórmula es un poco compleja, su grafica es sencilla y solo requiere, transformar s coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
En la celda A4 escriba GRADOS, desde A5 hasta A365 en orden creciente de uno en uno, escri desde 0 hasta 360. En la celda B4 escriba RADIANES, EN B5 escriba =RADIANES(A5), copie y pegue hasta B365. En la celda C4 escriba RADIO, en C5 escriba =((5)*(SENO(B5/2)^3*(COS(4*B =((5)*(SENO(B5/2)^3*(COS(4*B5))^2)/(TAN(3*B5/ 5))^2)/(TAN(3*B5/ copie y pegue hasta C365. Para convertirla a coordenada rectangular:
Eje x: en la celda D4 escriba X, pero en D5 la fórmula es: =C5*COS(B5), copie y pegue hasta D365
Eje y: en la celda E4 escriba Y, pero en E5 la fórmula es: =C5*SENO(B5), copie y pegue hasta E365 Seleccione D6:E365, luego en Gráficos + Dispersión + Dispersión con líneas rectas. Queda así:
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7 1. Las coordenadas rectangulares de una cicloide son:
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2. La ecuación paramétrica de la hipocicloide son:
3. La ecuación en coordenadas cartesianas de la tactrix es:
4. ¿Qué diferencia hay entre la curva
, y la siguiente: ?
5. ¿Qué propiedad tiene esta lemniscata?
6. La siguiente se le conoce como “Butterfly curve”; comprueba su gráfica usando Excel Sign up to vote on this title
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FUNCIONES Sheet Music
La base para el estudio del cálculo Diferencial e Integral es el estudio de funciones, este concep fue desarrollado por René Descartes, partiendo de la validez objetiva de las variables en el mun real, luego “partiéndolas” en pequeñas partes y estudiándolas como un todo (método abstracción), explicándose una cosa describiéndola ordenándola naturalmente, concebir un to único como interrelacionado, en movimiento, con contradicciones, de lo simple a lo complejo. D lo abstracto a lo concreto, análisis y síntesis, descripción y causas. La geometría analítica, aunque comenzó a estudiarse desde Apolonio con el estudio de Cónicas, el uso de las coordenadas, no fue sino hasta Descartes, que usa el concepto ecuaciones con las relaciones entre las abscisas y ordenadas, es decir une el algebra y geometría, geometría, su idea se concreta en la ecuación:
Como un lugar geométrico en el espacio 2D, las coordenadas son ejes fijos que satisfac la ecuación anterior, son segmentos lineales representados por números 2. Nace el concepto variable como con movimiento, mientras que los griegos consideraban las figuras estátic Descartes y Fermat, inician el desarrollo del cálculo analítico, que posteriormente será el Cálcu Diferencial. Una función3 se representa por: Conjunto Dominio
Variable Independiente
Conjunto Imagen
Variable Dependiente
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Para hacer los siguientes ejemplos, use en la hoja de cálculo Excel, Formas, éstas son imágen
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Además, cambie el tamaño de las celdas: celdas: desde E2 hasta AE30, con una Alto de fila = 12.75, Anc de columna columna = 1.71. Primer ejemplo: grafique la función
; en la Hoja Excel.
Solución: haga una tabulación desde -5 hasta +5, luego grafique: Ponga puntos en los puntos, dados en los pares ordenados, dados en la tabulación:
Una los puntos con las formas curvas:
Finalmente queda:
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11 Con la ayuda de la tabulación, también en Word, modifique hasta:
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Esta forma de graficar funciones es muy sencilla, solo basta tener un plano cartesiano, formas pa seleccionar una grafica, puntos e insertar tablas (Word). El inconveniente es que las gráficas son exactas, pero ilustran de manera general el concepto Cartesiano.
TANGENTE A LA CURVA
En dos trabajos míos anteriormente hechos4, la tangente Sign puede definirse como up to vote on this titlela recta secan que dados dos puntos P y P´ de una curva, en que ambos puntos pasan por unuseful punto. Not Useful “A medida que las coordenadas de la SECANTE se juntan, se
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La pendiente se transforma en la tangente a la curva. Pero ¿qué hemos hecho? Hemos presenta una negación de vacío vacío en en el análisis, sumamos sumamos y dividimos magnitudes “ilimitadamen
pequeñas, la suponemos tan pequeñas que desaparecen (se hacen cero), x e y , varían proporción según las circunstancias lo determinen, es decir las despojamos de su “base materia es una relación cuantitativa sin cantidad “alguna”; la relación”5:
En este ejemplo, la distancia vectorial de la recta tangente t angente será dada como una constante, adem el punto de la tangente variará a lo largo de la curva.
Las coordenadas de la recta tangente se encontrarán a partir de la figura anterior: PENDIENTE TANGENTE
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PUNTO RECTA TANGENTE 1
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13 Ejemplo 1:
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Abra el ejemplo PRÁCTICA 43, para realizar este concepto 6, mostramos su comportamien haciendo los cambios para la tangente: En H6 escriba el valor de d:
En J7 escriba =J8/100-10.2, con una Barra de Desplazamiento ligada a la celda J8, máximo: 2000 En K7 escriba =$D$6*J7*J7+D7*J7+D8
Para encontrar la pendiente de la recta tangente, en la celda M6:
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Grafíquelos en la curva:
Finalmente el análisis de la curva tiene diversos comportamientos:
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15 Ejercicio: en base a lo anterior, use la función DESREF para graficar la tangente: t angente:
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NUMERO PI
“Soy y seré a todos definib mi nombre tengo que dar cociente diametral siempre inmedib Sign up to vote on this title los redondos aro Not de useful Useful soy La historia del cálculo del valor de pi y su relación con el desarrollo humano ha sido más frecu
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calcular hasta diez cifras, es obvio que la historia se ha centrado en la Europa y menospreciado a américa, que algunos llaman Latinoamérica8.
De los diferentes métodos que a lo largo de la historia se han desarrollado, la fórmula de Jo Machin9, (1680— (1680— 1751), usó series de Taylor de la función arco-tangente; ésta fórmula mantuvo vigente, incluso hasta el inicio de la computación. En 1706 Machin propuso la siguiente fórmula:
La cual converge rápidamente, determine el valor de pi a 15 cifras: En una Hoja de cálculo Excel, escriba los datos de la Fórmula de Taylor: En la columna B escriba los valores diferentes de k: desde B5 hasta B104 del 1 al 100. 1 00. En C5 escribe =B5+1, copia y pega hasta C104. En D5 escribe =2*B5-1, copia y pega hasta D104. En E5 escribe =-1^C5, copia y pega hasta E104. En F5 escribe =5^D5, copia y pega hasta F104. En G5 escribe =239^D5, copia y pega hasta G104.
La operación de la primera serie de Taylor en la celda H5, =16*E5/(D5*F5), copia y pega ha H104.
La operación de la segunda serie de Taylor en la celda I5, =4*E5/(D5*G5), copia y pega hasta I10 Sign up to vote on this title
Useful de Not useful Machin: Sumaremos la primera y la segunda serie de Taylor según la fórmula
En H105 la primera suma es: =SUMA(H5:H104)
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Los métodos modernos de cálculo de pi hacen que la cifra aumente exponencialmente, ¿has dónde el ser humano podrá calcular cifras de pi? La venta de computadoras y software en actualidad han hecho que matemáticos y desarrolladores investiguen sobre el tópico. L estudiantes que inician pueden ver que el desarrollo de cifras como un reto matemático, inconmensurable medida de pi hace reflexionar la filosofía de la vida: "En la circunferencia, el comienzo y el fin coinciden."
Heráclito (c.544-480 a. C.); filósofo grie
APLICACIONES MATEMATICAS EN WORD
En ocasiones hacer operaciones aritméticas cuando usamos Word, hace que abramos Exc calculadora, o alguna otra aplicación, y haga parecer que se hace tedioso abrir otras aplicacione Word ofrece posibilidades de realizar operaciones sencillas cuando usted lo necesite. El secreto usar las fórmulas con tablas, elaborando referencias a las celdas de las tablas correctamente ha Sign up to vote on this title que nuestro trabajo sea lo más sencillo posible. Los ejemplos aquí escritos son aplicados a Not useful Useful matemáticas usadas en la escuela Telesecundaria mexicana, por lo que si usted desea pue hacerlos para otros usos, por ejemplo en ofimática.
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(izquierda), RIGHT (derecha). Para escribir la fórmula, en la que usted quiera sumar los valores q están encima, en la celda: =SUM(ABOVE)
De clic dentro de la celda Presione Ctrl + F9 para crear un nuevo campo en Word. Escriba =SUM(ABOVE) Presione F9. Word sumará los valores referidos en la celda.
función ABS(x,y) AND(x,y) AVERAGE(x,y,z…) COUNT(x,y,z,…)
DEFINED(x) FALSE INT(x) MIN(x,y,z,…) MAX(x,y,z,…)
MOD(x,y) NOT(x) OR(x,y) PRODUCT(x,y,z,…)
ROUND(x,y) SIGN(x) SUM(x,y,z,…)
TRUE
Retorna El valor absoluto de x 1 si ambas x e y son verdaderos; 0 si es caso contrario El promedio de la lista de valores dados x,y,z,… El número de datos en los valores dados x,y,z,… 1 si la expresión x puede ser calculado, 0 si no es así. 0 La parte entera de x El valor mínimo de la lista de valores dados x,y,z,… El valor máximo de la lista de valores dados x,y,z,… El residuo después de la división x por y 1 si es falso; 0 si es verdadero 1 si uno o ambos x e y son verdaderos; 0 si x e y son falsos El resultado de multiplicar los elementos de la lista de valore dados x,y,z,… El valor redondeado al número de decimales especificados especificados por y 1 si x es positivo; -1 si x es negativo La suma de elementos en la lista de valores dados x,y,z,… 1
Ejemplo:
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Sean los siguientes datos, en la tabla de datos:
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19 Teclear Ctrl + F9:
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Teclear F9:
Aplica el mismo método para las demás celdas:
Nota: cuando usted represente así las formulas, teclee Alt + F9.
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Para insertar el gráfico del comportamiento anterior de clic afuera de la tabla, vaya a Inserta
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20 Copie y pegue en Word.
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Como usted observa, el gráfico corresponde a una recta. Esta aplicación casi no se usa en Wor por pensar que sólo Excel usa fórmulas en el cálculo aritmético. En el campo de la industria el uso de la Factura es muy común, en un Recibo:
Como el recibo tiene que tener varios elementos, elabora algo parecido al que sigue: Los pasos que se siguen, son los siguientes:
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Otra aplicación que podría mencionar, es cuando se sacan los promedios de los alumnos:
Ctrl + F9 para calcular el promedio.
F9
Para calcular el valor mínimo: Ctr + F9: Sign up to vote on this title
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24 SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
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ESCUELA ESCUELA TELESECUNDARIA “NIÑOS HÉROES” CLAVE ETVOO50I, CICLO 2011-2012
A QUIEN CORRESPONDA:
El que suscribe, director de la escuela telese cundaria “Sor “Sor Juana Inés de la Cruz”, Cruz”, PROFR. PROFR. CARL 11 A. CARRILLO , hace constar que el alumno: JESUS VASCONCELOS HEROLES, reporta las siguient calificaciones, calificaciones, que corresponden cor responden al primer bimestre, del presente ciclo escolar:
Matemáticas Español Ciencias Historia Inglés Formación Cívica y Ética Educación Artística Educación Tecnológica Orientación Educativa
8 7 9 6 9 10 10 9 9
Promedio general
8.56
Calificación mínima
6
Calificación máxima
10
Se extiende la presente, para los usos y fines legales Sign queupaltointeresado convengan. En vote on this title comunidad de “El Águila” Águila”, Fresnillo, Zac.; a los nueve días del de noviembre del dos mil once Useful mes Not useful
A t e n t a m e n t e:
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ÁREA BAJO LA CURVA I Sheet Music
El área de una figura geométrica es la medida que proporciona el tamaño de la región encerra en citada figura. Esta área puede estimarse (o calcularse) usando polígonos en forma rectángulos lo más cercanos a su área ideal, sumando cada una de ellas, a medida que sean lo m cercano posible12.
Algunas propiedades pueden observarse para áreas de curvas limitadas por lados: toda área positiva, áreas congruentes tienen áreas iguales, dos regiones superpuestas por un segmento es suma de ellas mismas, un área contenida en otra es menor o igual a la primera.
Ejemplo: en una nueva hoja Excel, en base a una idea de Jon Peltier 13 , para la aplicación en Ex 2010, inicie con la tabulación:
Establezca límite inferior en la celda D7, límite superior en la celda D10, la diferencia entre est dos valores en la celda D13 =ABS(D10-D7). El número de celdas en la celda D16, el porcentaje en celda D19 =D13/10. Para el eje x, se inicia con el primer valor con las fórmulas:
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Suponga que necesita escribir alguna fórmula (lineal, cuadrática, etc.). en la celda G6 escri =$C$1*F6^$C$3+$C$2, copie y pegue hasta G16.
Para eje x, x, desde H4 con cero, luego en la celda H6 la fórmula =1000*F6/15+0.5 (como escal copie y pegue en la celda H5. Otra vez desde H6 copie y pegue hasta H16. En H17 escriba =H16. H18 escriba 1000. Para eje y, y, en I6 escriba =$C$1*F6^$C$3+$C$2, copie y pegue hasta I16, en celdas I4, I5, I17, I18 escriba cero. Seleccione los primeros datos desde F6:G16, inserte un gráfico área + Área 2D:
Cambie los valores del eje x: en el comando Seleccionar datos + Etiquetas del eje horizon (categoría) + Editar + Aceptar:
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Ahora en Series1 + Editar clic cambie valores de la serie por =Hoja1!$G$6:$G$16 de Aceptar.
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Clic en la flecha debajo de la fórmula escrita y de Aceptar:
Elimine la gráfica azul:
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Queda así, selecciona el gráfico rojo para cambiar o seleccionar el eje principal y secundario, pe primero, clic derecho seleccione Dar formato a serie de datos. Seleccione en Opciones de serie Eje secundario:
Queda así:
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30 La gráfica resultante es:
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Seleccione la gráfica, luego clic derecho en Dar formato a serie de datos, en la ficha Presentaci elija Ejes + Ejes horizontales secundarios + Mostrar eje de izquierda a derecha
La grfica es: Sign up to vote on this title
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31 Seleccione el eje superior, clic derecho + Dar formato a eje + eje de fecha:
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Clic en el eje + Dar formato a eje + Número + Fecha
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el valorpor Máxima 13/06/1901 Cambie los datos para coincidir con la recta, r ecta, clic en Fija, cambie Useful
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También el eje que se encuentra a la derecha:
Finalmente queda:
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Cambie la escala de eje a 1 + clic en Fija: Sign up to vote on this title
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Por último fije el valor del eje x:
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Usefulsus Not useful haga Vea triángulos para hacer el cálculo del área bajo la curva, sumas para obtener el ár total:
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Si usted calcula el área bajo la curva verá que se obtiene sumando las áreas de los cuadrados, v que son 14 cuadrados completos que da igual a 140 μ2, más la suma se los cuadrados incomplet (35 μ2) da como resultado 175 μ2. Ejercicios: Modifique la gráfica para los siguientes casos:
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Estos cálculos son la base para el ulterior cálculo integral, la suma de áreas y su complemento Useful Not useful gráfica de sus resultados), son la base para la aplicación de la matemática en la vida real, al men su cálculo teórico que puede acercarse. Los cambios en los parámetros ayudan a visualizar l
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Triangulación: Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular área como suma de las áreas de dichos triángulos.
Polígonos: consiste en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno ella, aumentar el número de los lados de los polígonos y hallar el área buscada.
Mediante el cálculo existen en general tres métodos (gráficos, geométricos y por trapecios) usad en campos como la topografía.
El método por franjas da valores con baja precisión (por estimación). Usando Cuadrícula, p figuras geométricas Regulares, Triángulos y Trapecios, además usando la Regla Trapezoidal c valores buenos a muy buenos14. Riemann da una interpretación geométrica a las definiciones anteriores, basándose en concepto nuevo: la Integral, que la define como el área bajo la curva de la función.
Si f es una función real de manera que el área de la región R está comprendida en el intervalo valores [ a, b ], de manera que para toda x, la función f ( x ) ≥ 0, es positiva; existe un número que representa el área de cualquier región poligonal contenida en R, que no debe ser mayor área de la región R.
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subintervalos se aproximan a cero. La sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total (suma d Riemann)16
Se divide el intervalo cerrado [ a , b ] en n subintervalos de igual longitud Δ x . Por lo que:
El área es la suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva, o el límite de una suma:
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La medida de la altura del rectángulo en el i-ésimo subintervalo, es el valor de la función Useful Not useful cualquier número de ese subintervalo y el límite de la suma de las medidas de las áreas de l rectángulos es el mismo, no importa el número seleccionado.
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38 El número de rectángulos en la celda C8.
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La medida del intervalo:
Punto medio de la base: C18 = C9 / 2 Para graficar la curva:
En la posición x. En E2 escriba: C3; en la celda E3 =SI(E2+$C$9>=$C$4,$C$4,E2+$C$9), copie pegue hasta C319.
La posición y . En la celda F2=S=$C$13*E2^3+$C$14*E2^2+$C$15*E2+$C$16, copie y pegue ha F319. El área de cada subintervalo en la columna G: en G2 =$C$9*F2, copie y pegue hasta G319.
Graficamos los puntos medios a partir de cero, y así sucesivamente hasta llegar al ultim subintervalo: para x, en I2 = C3, I3 = I2, I4 = I3 + $C$ I5 =SI(Y(I4+$C$9>=$C$4,I3=I4,I4),$C$4,SI(I3=I4,I4+$C$9,I4)), copia y pega hasta I319. Para J2 = 0, J3 =$C$13*I3^3+$C$14*I3^2+$C$15*I3+$C$16, =$C$13*I3^3+$C$14*I3^2+$C$15*I3+$C$16; =SI(I3=I4,J4,SI(I5=$C$4,0,SI(J3=J4,$C$13*I5^3+ =SI(I3=I4,J4,SI(I5=$C$4,0,SI(J3=J4,$C$13*I5^3+$C$14*I5^2+$C$15*I5+$C $C$14*I5^2+$C$15*I5+$C$16,$C$13*I4^3+$C$14 $16,$C$13*I4^3+$C$14 4^2+$C$15*I4+$C$16))), copia y pega hasta J319. Dibujamos los limites superiores de los rectángulos: Eje x , L2 = I2 - $C$18, copia y pega hasta L319.
Eje M2 = 0, M3=$C$13*I3^3+$C$14*I3^2+$C$15*I3+$C$ y , Sign up to vote on this title M4=$C$13*I3^3+$C$14*I3^2+$C$15*I3+$C$16, Useful Not useful M5=SI(I3=I4,J4,SI(I5=$C$4,0,SI(J3=J4,$C$13*I M5=SI(I3=I4,J4,SI(I5=$C$4,0,SI(J3=J4,$C$13*I5^3+$C$14*I5^2+$C$15*I 5^3+$C$14*I5^2+$C$15*I5+$C$16,$C$13*I4^3+$C 5+$C$16,$C$13*I4^3+$C 4*I4^2+$C$15*I4+$C$16))), 4*I4^2+$C$15*I4+$C$16) )), copia y pega hasta M319.
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39 Para graficar las partes de los rectángulos:
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Eje x , en O2 =L2, en O3 =I3+$C$9-$C$18, =I3+$C$9-$C$18, en O4 =O3, O5 =O4 + $C$9, O6 = O5, O7 O7 = O6 + $C$9, = O7, O9 =SI(Y(O8+$C$9>=$C$4,O7=O8,I4),$C$ =SI(Y(O8+$C$9>=$C$4,O7=O8,I4),$C$4,SI(O7=O8,O8+$C$9,O8)), 4,SI(O7=O8,O8+$C$9,O8)), copia copia y pega ha O319.
Eje en P2 = 0, P3 = 0, y , =$C$13*(O4+$C$18)^3+$C$14*(O4+$C$18)^2+$C$15*(O4+$C$18)+$C$16, P5 = P4, P6 = P7=SI(O7=$C$4,0,SI(Y(P5=P6,P6=0),$C$13*(O7+$C$18)^ P7=SI(O7=$C$4,0,SI(Y(P5=P6,P6=0),$C$13*(O7+$C$18)^3+$C$14*(O7+$C$18)^2+ 3+$C$14*(O7+$C$18)^2+$C$15*(O7+$C $C$15*(O7+$C 18)+$C$16,SI(P5<>P6,P6,0))), copia y pega hasta P319.
Para sumar las áreas de los rectángulos: =SUMA(G2:G319), que es el área bajo la curva. Para el ejemplo a = -1, b =1, c =1, D =8; la curva se comporta de esta manera:
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40 Ventajas de este método:
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El área bajo la curva se muestra inmediatamente, fácil cálculo del área, no se requieren grandes conocimientos de cálculo.
Desventajas:
el número de subintervalos se limita sólo a cien el margen de error es a medida que es compleja y la curva es grande
ÁREA DE UNA REGIÓN EN UN PLANO Considere dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [ a , b ] y de forma que f( x ) ≥ para toda x en [ a , b ], es el área acotada por las curvas.
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41 Solución:
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Para Faires18, los valores del volumen específico y la entropía para cada punto, deben consultarse en un diagrama, por lo que éstos serán seleccionados según sea el caso.
Es así que primero se harán los cambios cambios de unidades, para para la temperatura absoluta (grados Kelv y la presión a presión barométrica. En el ciclo Carnot se tienen que cumplir los siguientes: CAMBIOS DE PRESIÓN
PROCESO
P 1 a P2
ISOTÉRMICO
P 2 a P3
ADIABÁTICO (ISOENTRÓPICO) (ISOENTRÓPICO)
P 3 a P4
ISOTÉRMICO
P 4 a P1
ADIABÁTICO (ISOENTRÓPICO) (ISOENTRÓPICO)
Los valores volumétricos respectivos para cada presión son: V (m3 / kg )
P ( bar )
0.077634
20.684
0.15466
10.342
0.75785
1.1031
0.37876
2.2063
19 Al graficar en la Hoja Excel, siguiendo el método de Jon Peltier Peltier queda así:
Los valores de las columnas V, p1, p2, son datos. Los de las siguientes columnasson G8 Sign up to vote on this title =1000*D8/15+0.5, y se repiten p1, p2.
Grafique V, p1, p2:
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Graficamos las presiones p1, p2 y p3 del ciclo Carnot
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43 Primera gráfica:
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Segunda grafica se hace lo mismo: queda:
Selecciona la gráfica 2 y cambia la gráfica a Áreas:
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Doble clic en el eje horizontal secundario, en Número elija Fecha; después en Opciones del eje, c en Eje de fecha, en la ficha escala, mínimo en 1 máximo 1001 (cambie fechas) unidad de ba =días. En ficha patrones, elija ninguno para grandes y pequeñas marcas de graduación y rótulos marcas de graduación. La zona ahora encaja en serie XY perfectamente, por encima de las se XY.
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En el grafico clic, en Opciones de gráfico y en ficha de ejes desactive la casilla de eje secundario Y. Por último, haga doble clic en la serie de Area1 y, elija color blanco para el color de relleno pa que vea transparente.
El calor de 1-2:
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Calor de 3-4:
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La presión media efectiva20:
21
La presión media efectiva es un parámetro valioso para efectos de comparación porqu indica el buen uso que hace la máquina de su tamaño o desplazamiento. El objetivo d todo diseño es la construcción de máquinas que tengan altos valores de presión med efectiva. Si comparamos con la presión máxima, que es de 21.93 kg/cm², vemos qu cumple con los requerimientos para ser diseñado.
Ejercicio: para diferentes curvas calcula los valores de las áreas sumando los promedios de l áreas de los rectángulos. Explica sus comportamientos a partir de la suma de cuadrados compáralos con la suma de rectángulos y cálculo por Integrales Definidas.
ECUACIONES RESUELTAS CON GRÁFICA DE FUNCIONES
El uso del álgebra en la solución de ecuaciones, a veces resulta demasiado tedioso al resolverl en este breve ensayo, hago uso de las gráfica de funciones, como un método simple, c limitaciones; no obstante para aquellos que inician en el Sign análisis ofrece una visi up tomatemático, vote on this title sencilla de resolverlos. Useful Not useful
Una función expresa que una cantidad depende de otra, es una regla de correspondencia, don
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El problema de graficar funciones sería sencillo si fueran lineales, no obstante las hay cuadrática polinomiales, racionales, potenciales o exponenciales, por secciones.
En esta sección la relación de las funciones con las ecuaciones es evidente cuando deseam encontrar las raíces por métodos más sencillos que por los algebraicos.
Por ejemplo cuando queremos encontrar las raíces de una recta simplemente igualamos a cero, ecuaciones cuadráticas por lo general se hace por medio de la fórmula general, cuando s ecuaciones de tercer grado, su solución es más compleja, por lo que existen métodos un tan complejos, cuando se familiariza con ellos el análisis por computadora hace el trabajo men tedioso.
El modelo Excel es descrito como una alternativa a muchas que se ofrecen en el mercado, que v desde software shareware hasta los freeware. Para toda solución de las raíces de una función expresa como f(x)=0 , examinando sus cambios cuando cambian sus valores a lo largo de tabulación22. Excel analiza cualquier ecuación hecha función. Por ejemplo sea la funció , los valores de a, b, c y d varían de tal manera que es necesario calcu las raíces de manera rápida.
En la hoja Excel, escribe los valores de los coeficientes y éstos relacionados con la fórmula: =C6&" x ³ + ("&C7&") x ² + ("&C8&") + ("&C9&")"
Sign up to on thisF6 title Tabula desde -5 hasta +5 con incrementos de 0.1. Para los valores devote x. Desde hasta F106.
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Para los valores de y, tabula con la fórmula =$C$6*F6^3+$C$7*F6^2+$C$8*F6+$C$9 en la cel G6, copia y pega hasta G106.
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La ecuación que muestra el comportamiento de la curva es: , nos indica s 23 curva sufre una desviación , tanto si disminuye (decrece, y´< 0, en el punto x = x 0) o aumen (crece y´> 0, en el punto x = x 0) a medida que sus valores se incrementan de izquierda a derecha.
En la celda I6 escribe: =SI(Y(a=0,b=0,c_=0),"pendiente cero",SI(Y(a=0,b=0),"pendiente ="&c_,SI(H6<0,"decrece","c ="&c_,SI(H6<0,"decrece","creciente"))); reciente"))); copia y pega hasta I106. Selecciona los datos de la tabulación e inserta una gráfica como esta:
Para hacer más atractivo el comportamiento del cambio, en Formato condicional modifique l valores para que mediante colores cambie según el comportamiento: Sign up to vote on this title
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No obstante, encontramos las raíces, para ello, analice el comportamiento cuando Y = 0, exist valores en X, por lo que éstas son las raíces buscadas: En la celda F6 escriba la siguiente regla:
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En la celda F7 escriba la siguiente:
=SI(Y(G7>0,G8<0),G8,""), =SI(Y(G7>0,G8<0),G8,""), =SI(Y(G7<0,G8>0),G8,""), =SI(Y(G7<0,G8>0),G8,""), =G7=0.
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En la celda G7 escribe: =SI(Y(G7>0,G8<0),G8,""), =SI(Y(G7>0,G8<0),G8,""), =SI(G8=0,G8,SI(Y(G7<0,G8>0),G8,"")), =SI(G8=0,G8,SI(Y(G7<0,G8>0),G8,"")), =G8=0
Como podrá observar, aparecen las tres raíces de la ecuación:
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51 Las derivadas dadas por función:
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También es una alternativa cuando se carece de las fórmulas de derivación, y los incrementos son muy pequeños24. Existen más métodos para la resolución de ecuaciones polinómicas, de mayor grado, además las algebraicas, por métodos computacionales más complejos.
De hecho las aplicaciones libres como Geogebra o Winplot son softwares gratuitos que el alum o investigador puede acceder a ellos con libre aplicación y arrojan excelentes resultados, adem que son muy rápidos en su graficación.
ESPIRALES
La gráfica de espirales en 3D se logra por diversos métodos, aquí se aplica realizado en un ensayo anterior mio25. Por lo que recomiendo leerlo. En una hoja nueva Excel, escriba los siguientes datos:
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52 Estos datos formarán parte de la animación 3D.
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Para calcular el ángulo: En la celda H3 escriba 0, en H4 escriba = H3 + 15, copie y pegue hasta H3 Los radianes en I3 = Radianes (H3), copie y pegue hasta I33. Para iniciar la traslación delos ejes en 2D a 3D: Eje X: en la celda J3 escribe = 2 * cos ( I3 ); copie y pegue hasta J33. Eje Y: en la celda K3 escribe = Seno ( I3 ); copie y pegue hasta K33. Eje Z: en la celda L3 escribe = I3; copie y pegue hasta L33. Ejes X´, Y´ e Z´: en las celdas M3,N3 y O3 escribe:
Copie y pegue hasta M33:O33. Los “ejes” X e Y son:
Copie y pegue hasta P33:Q33. Agregue un punto de trayectoria tr ayectoria en las celdas: Sign up to vote on this title
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Desde el inicio de la radio con Hertz, Bell, Morse, incluso Volta, la historia de las comunicacion ha estado relacionada con el entretenimiento, información, desarrollo tecnológico, incluso participado en los cambios políticos, en cuanto a la educación no ha participado activamente. México su historia se relaciona por sus relaciones con el Estado en sus orígenes; luego con iniciativa privada con preponderancia con el grupo de XEW, creciendo con gran influencia Latinoamérica. Sign up to vote on this title
Not useful Actualmente la radio ha cambiado tecnológicamente ya Useful que se transmite vía Internet. S embargo la relación con las ondas electromagnéticas (tecnología digital) para su transmisión
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onda senoidal a su radio receptor de 610 000 ciclo por segundo, o bien esa misma estación XEEL 91.5 MHZ en FM, quiere decir que capta una onda de 91 500 000 ciclos por segundo. diferencia está en que la primera llega más lejos que la segunda, pero la segunda pue escucharse con mayor calidad.
Una onda es un movimiento vibratorio, es decir una partícula fluctúa cuando se mue periódicamente con respecto a su posición de equilibrio. Este movimiento se le conoce com movimiento armónico simple28 cuando su desplazamiento x respecto al origen del sistema coordenadas está dado por la relación: r elación: x = A sen (t +0) Donde: t +0 se denomina fase 0 es la fase inicial cuando t = 0
A amplitud del movimiento vibratorio La función sirve también para coseno, cambiando 0.
La función seno se repite cada vez que el ángulo aumenta 2π 2 π, por tanto el desplazamiento de
partícula se repite después de un intervalo T= 2π/ω 2π/ω,, luego el movimiento es periódico y su perio
es T. La frecuencia f de un movimiento m ovimiento armónico simple es el número de oscilaciones por segun
f=1/T. La cantidad cantidad ω se denomina frecuencia angular y está relacionada con la frecuencia por u relación similar a la frecuencia frecue ncia de un movimiento circular ω = 2ω 2ω/T
Análogamente vemos que y = f(x+a) corresponde a un desplazamiento hacia la izquierda u cantidad a.
up to vote on this title En una primera clasificación de las ondas en mecánicas ySign electromagnéticas. Algunas clases
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ondas precisan para propagarse de la existencia de un medio material que, haga el papel
soporte de la perturbación; se denominan genéricamente ondas mecánicas. El sonido, las ond
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55 La anterior función la podemos representar matemáticamente así:
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y=A*sen(B*x+C)+D A amplitud de la onda (semidistancia entre el máximo y mínimo de la función) B periodo (no modifica su amplitud, en radianes) C modifica la función con respecto al eje x (en radianes) D desplaza la función con respecto al eje y
La función y = A seno (B x + C ) + D, hace que la onda se desplace de derecha a izquierda:
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1. Haga la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas: a) y = A cos (B x + C ) + D b) y = A cos (B x - C ) + D c) y = A tan (B x + C ) + D d) y = A tan (B x - C ) + D 2. usando las gráficas anteriores, diga si la expresión y = A seno (B x + C ) + D, la cambia coseno ¿modificaría su gráfica? ¿en que? 3. Encuentre la amplitud y el periodo de la función y = -tan 0.5 t, usando Excel a) Amplitud -1; -1; periodo 5π/2 b) Amplitud: infinita; periodo periodo 5π/2 c) Amplitud -1; -1; periodo 2π d) Amplitud: infinita; periodo 2π
4. las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es:
siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo x segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:
describa las trayectorias de las dos funciones usando Excel. 5. ¿Cuál es la función para la gráfica’
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57 7. Determine si la función es el periodo
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a) 2π
b) 3 π
c) 3 π/2
d) 2 π/3
8. Use gráficas en Excel para determinar cual ecuación posibilita ser una identid trigonométrica a) c)
b)
d)
9. Determine usando Excel cual de las dos funciones son iguales: a)
c)
b)
d)
10. Determine la función trigonométrica que tiene una amplitud de 3 y un periodo 2π/3
a).
c). Sign up to vote on this title
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11. Grafique ambos lados de la igualdad siguiente, para identificar si es una identid trigonométrica:
a) Si, si es una identidad
b) No, no es una identidad
12. Describa la transformación requerida para obtener la gráfica dada en la función: a) Reflexión a través del eje y horizontal con un factor de 7. b) Reflexión a través del eje x y vertical con un factor de 7. c) Reflexión a través del eje x y traslación vertical arriba de 7 unidades. d) Reflexión a través del eje x y horizontal con un factor de 7.
13. Identifique la función seno con los siguientes atributos. Amplitud: 1; periodo: desplazamiento de fase: 4; desplazamiento vertical: 3.
a)
c)
b)
d)
14. ¿Cuál es la regla de una función de la forma y=A*sen(B*x+C)+D Sign up to vote on this title
la cual grafica la siguiente:
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59 b) r(x) = -5 sin(3x - π / 3) + 2
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d) s(x) = -5 -5 sin(x sin(x / 3 - π / 3) + 2
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15. Encuentre los valores mínimo y máximo de la función:
a) Min = - 3; Max = 3
c) Min = - 6; Max = 0
d) Min = 0; Max = 6
b) Min = ; Max =
16. Determine el dominio y el rango de la función:
a) Dominio: ( 0 , ) Rango: ( - , 0) b)
Dominio: ( - , + ) Rango: ( - , + )
d) Dominio: ( - , + ) Rango: ( 0 , + ) c) Dominio: ( 0 , + ) Rango: ( - , + )
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