Gestión financiera ISIDRO RAMOS

ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS

GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 1

TEMA 1: EL INTERÉS SIMPLE 1.

OPERACIONES FINANCIERAS

Son aquellas operaciones en las que inversores y ahorradores se ponen de acuerdo y pactan un tipo de interés y un plazo que cubran sus necesidades de inversión y financiación 1.1. CLASES Las operaciones financieras pueden ser de dos clases: - OPERACIONES DE INVERSIÓN: Son las que realizan las personas que tienen un dinero ahorrado y que desean obtener una ganancia prestándolo a otras personas. Entregaran una cantidad de dinero en el momento actual y recibirán una cantidad mayor al final del tiempo establecido para la operación. La diferencia entre la cantidad entregada y la recibida corresponde a los intereses. - OPERACIONES DE FINANCIACIÓN: Son las que realizan las personas que necesitan dinero y acuden a otras personas para que se lo presten ofreciéndole una rentabilidad. Recibirán una cantidad de dinero en el momento actual y deberán devolver una cantidad al final del tiempo establecido para la operación. La diferencia entre las dos cantidades son los intereses. Nos podemos encontrar operaciones en las que en un primer momento se entregan cantidades de dinero y posteriormente se reciben, como ocurre en los casos de los planes de pensiones que estudiaremos más adelante. 1.2. ELEMENTOS QUE INTERVIENEN Los elementos que intervienen son los siguientes: Capital inicial o actual (Co): Corresponde a la cantidad con la que se inicia la operación (momento 0). 0). En caso de inversión es la cantidad entregada y en caso de préstamo la cantidad recibida. Capital final o montante (Cn): Se refiere a la cantidad del final de la operación (momento n ). ). Puede ser la cantidad en la que se ha convertido una inversión o la cantidad que se debe devolver para cancelar un préstamo. Duración o tiempo (n): Plazo que se estipula para la operación. Tanto o tipo de interés anual (i): Cantidad que produce un euro en un año. Siempre debe expresarse en tanto por uno. En algunos ejercicios nos dan este dato expresado en %, y se denomina rédito , que sería la cantidad que ganamos con 100 € en un año. En este último caso debemos dividir el % entre 100 para obtener la i. - Interés de la operación (I): Diferencia entre el Capital final y el inicial. Sería la ganancia obtenida en la operación. -

Capital Inicial 0

Capital final i n

Ejemplos: 1. Una persona a la que le toca en la primitiva, 120.000 €, los invierte por un plazo de 3 años a un tanto de interés del 5 % anual, recibiendo al final de la operación 138.000 €. ¿De qué operación se trata? ¿Cuáles son los elementos que intervienen en la operación? - Operación financiera : Inversión. - Elementos: Capital inicial: 120.000 € Capital final: 138.000 € Duración: 3 años. Tanto de interés: 0,05 Rédito: 5 % Intereses: 18.000 € Capital Inicial = 120.000 0

Capital final i = = 138.000 0,05 n = 3 años Página 1



2. Una persona para comprar una vivienda necesita 180.000 €. Para ello solicita un préstamo con una duración de 10 años y un tanto de interés anual del 0,04. Al final devolverá la cantidad prestada más los intereses de toda la operación que ascienden en conjunto a 72.000 €. - Operación financiera : Financiación - Elementos: Capital inicial: 180.000 € Capital final: 252.000 € Duración: 10 años. Tanto de interés: 0,04 Rédito: 4 % Intereses: 72.000 € Capital Inicial = 180.000 0

Capital final i = = 252.000 0,04 n = 10 años

1.3 MÉTODOS PARA CALCULAR CALCULAR LOS INTERESES Interés simple: Los intereses anuales se calculan siempre sobre la misma cantidad. Por ellos los intereses anuales serán constantes.

-

Interés compuesto: Los intereses anuales se acumulan al capital en cada periodo. De esta forma los intereses irán aumentando conforme vaya pasando el tiempo.

-

Ejemplo : Una persona invierte 1.000 € durante 3 años a un tanto de interés anual del 10 %. INTERÉS SIMPLE CAPITAL INICIAL

N 0 1 2 3

(Los intereses no se acumulan para calcular los intereses)

1.000 1.000 1.000 1.000

INTERÉSES ANUALES

CAPITAL FINAL

------1.000 x 0,1 = 100 1.000 x 0,1 = 100 1.000 x 0,1 = 100

1.000 1.100 1.200 1.300

INTERÉS COMPUESTO CAPITAL INICIAL

N 0 1 2 3

(Los intereses se acumulan para calcular los intereses)

1.000 1.000 1.100 1.210

INTERÉSES ANUALES

CAPITAL FINAL

------1.000 x 0,1 = 100 1.100 x 0,1 = 110 1.210 x 0,1 = 121

1.000 1.100 1.210 1.331

1.4 FORMULAS DEL INTERÉS SIMPLE Cn = Co (1 + n * i) I = Cn - Co I = Co x n x i

Página 2



2. Una persona para comprar una vivienda necesita 180.000 €. Para ello solicita un préstamo con una duración de 10 años y un tanto de interés anual del 0,04. Al final devolverá la cantidad prestada más los intereses de toda la operación que ascienden en conjunto a 72.000 €. - Operación financiera : Financiación - Elementos: Capital inicial: 180.000 € Capital final: 252.000 € Duración: 10 años. Tanto de interés: 0,04 Rédito: 4 % Intereses: 72.000 € Capital Inicial = 180.000 0

Capital final i = = 252.000 0,04 n = 10 años

1.3 MÉTODOS PARA CALCULAR CALCULAR LOS INTERESES Interés simple: Los intereses anuales se calculan siempre sobre la misma cantidad. Por ellos los intereses anuales serán constantes.

-

Interés compuesto: Los intereses anuales se acumulan al capital en cada periodo. De esta forma los intereses irán aumentando conforme vaya pasando el tiempo.

-

Ejemplo : Una persona invierte 1.000 € durante 3 años a un tanto de interés anual del 10 %. INTERÉS SIMPLE CAPITAL INICIAL

N 0 1 2 3

(Los intereses no se acumulan para calcular los intereses)

1.000 1.000 1.000 1.000

INTERÉSES ANUALES

CAPITAL FINAL

------1.000 x 0,1 = 100 1.000 x 0,1 = 100 1.000 x 0,1 = 100

1.000 1.100 1.200 1.300

INTERÉS COMPUESTO CAPITAL INICIAL

N 0 1 2 3

(Los intereses se acumulan para calcular los intereses)

1.000 1.000 1.100 1.210

INTERÉSES ANUALES

CAPITAL FINAL

------1.000 x 0,1 = 100 1.100 x 0,1 = 110 1.210 x 0,1 = 121

1.000 1.100 1.210 1.331

1.4 FORMULAS DEL INTERÉS SIMPLE Cn = Co (1 + n * i) I = Cn - Co I = Co x n x i

Página 2



2. EJERCICIOS DEL INTERÉS SIMPLE CÁLCULO DEL INTERÉS 1. Calcula el interés que producen 6.000 € colocados al 12 % anual durante 6 años. I = Co x n x i I = 6.000 x 6 x 0,12 = 4.320 € 2. Sabemos que nuestra nuestra inversión de 5.000 € ha generado 700 € de intereses al 7 % anual ¿Cuánto tiempo duró la inversión? I = Co x n x i 700 = 5.000 x 0,07 x n 700 = 350 x n n = 700 / 350 n = 2 años 3. Calcular los intereses de una operación en la que se obtuvo obtuvo un capital final de 1.205 € con una una inversión inicial de 1.100 €. I = Cn – Co I = 1.205 – 1.100 I = 105 € CÁLCULO DEL CAPITAL FINAL O MONTANTE (Operación de capitalización) 1. Un capital de 3.000 € es invertido durante 4 años a un tipo tipo de interés del 5 % anual. Calcula el capital final. Cn = Co (1 + n x i) Cn = 3.000 ( 1 + 4 x 0,05) Cn = 3.000 x 1,2 Cn = 3.600 € 2. Un capital de 5.000 € ha sido invertido durante 5 años a un tanto de interés del 6 % anual. Calcular el capital final si los intereses han ascendido a 1.500 € Cn = Co + I Cn = 5.000 + 1.500 Cn = 6.500 € CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL (Operación de actualización) 1. ¿Qué cantidad debemos ingresar en un banco para que dentro de 6 años a un tipo de interés del 10 % se convierta en 3.200 €? Cn = Co (1 + n x i ) = Co ( 1 + 6 x 0,10 ) 3.200 = Co x 1,60 Co = 3.200 / 1,60 Co = 2.000 € CÁLCULO DEL TIEMPO 1. Queremos saber cuánto tiempo se mantuvo una inversión de 12.000 € que produjo un montante de 12.720 € al 2 % anual de capitalización simple. Cn = Co (1 + n x i ) 12.720 = 12.000 ( 1 + n x 0,02 ) 12.720 = 12.000 + 240 x n 12.720 – 12.000 = 240 x n 720 = 240 x n n = 720 / 240 n = 3 años 2. Para cancelar un préstamo al 6 % de interés anual tenemos que entregar 4.960 €. Calcular la duración de la operación si los intereses ascienden a 960 €. I = Cn – Co 960 = 4.960 – Co Co = 4.960 – 960 Co = 4.000 € Página 3


GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 1 Cn = Co ( 1 + n x i ) 4.960 = 4.000 ( 1 + n x 0,06) 4.960 = 4.000 + 240 x n 4.960 – 4.000 = 240 x n 960 = 240 x n 960 / 240 = n n = 4 años

CÁLCULO DEL TANTO DE INTERÉS 1. Una operación ha producido un montante de 544 € durante 3 años con una inversión inicial de 400 € ¿A qué tipo de interés se pactó la operación? Cn = Co (1 + n x i ) 544 = 400 ( 1 + 3 x i) 544 = 400 + 1.200 x i 544 – 400 = 1.200 x i 144 = 1.200 x i i = 144 / 1.200 i = 0,12 3.

PERIODOS FRACCIONADOS

Los periodos fraccionados se dan cuando nos encontramos con períodos inferiores a los anuales. Para ello debemos calcular k. año?

El valor de k lo obtenemos en la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cuántos periodos tiene un SEMESTRES CUATRIMESTRES TRIMESTRES BIMESTRES MESES SEMANAS DIAS

k=2 k=3 k=4 k=6 k = 12 k = 52 Año comercial. k = 360 Año civil. k = 365 i k= i / k

Cn = Co ( 1 + n x ik)

n y ik siempre referidas al mismo periodo de tiempo

Ejemplo: Calcular el montante de un capital de 6.700 € al 10 % de interés durante: a) 2 meses. b) 2 trimestres. c) 90 días (año civil) a)

b)

c)

ik = i / k ik = 0,10 / 12 Cn = 6.700 ( 1 + 2 x 0,10 / 12) Cn = 6.811,67 € ik = i / k ik = 0,10 / 4 Cn = 6.700 ( 1 + 2 x 0,10 / 4) Cn = 7.035 € ik = i / k ik = 0,10 / 365 Cn = 6.700 ( 1 + 90 x 0,10 / 365) Cn = 6.865,21 € Página 4



4. COMPARACIÓN ENTRE LOS INTERESES DEL AÑO COMERCIAL Y DEL CIVIL AÑO COMERCIAL

I360 = (Co x n x i) / 360

AÑO CIVIL

I365 = (Co x n x i) / 365 I 360 = (Co x n x i) / 360 I 365 = (Co x n x i) / 365 I360 = (73 / 72) x I365

Ejemplo: Sabiendo que el interés calculado comercialmente de un capital asciende a 232,50 € ¿A cuánto ascenderá el calculado civilmente? I360 = (73 / 72) x I365 232,50 = (73 / 72) x I365 232,50 x 72 / 73 = I 365 229,32 € = I 365 5. FORMAS ABREVIADAS PARA EL CÁLCULO DE LOS INTERESES Este procedimiento se utiliza cuando tenemos que calcular los intereses de varios capitales. Para ello, debemos seguir los siguientes pasos: 1º) Calculamos los números comerciales. NUMEROS COMERCIALES = Co x n 2º) Sumamos los números comerciales 3º) Calculamos el DIVISOR FIJO (D) = k / i o MULTIPLICADOR FIJO (M) = i/k 4º) Calculamos los intereses: I = SUMA Nos. COMERCIALES / DIVISOR FIJO I = SUMA Nos. COMERCIALES X MULTIPLICADOR FIJO Ejemplo: Calcular los intereses producidos por los siguientes capitales: CAPITALES 1.000 1.200 2.000

DURACI N 3 meses 6 meses 9 meses

Invertidos a un tanto de interés del 12 % anual. 1º)

Calculamos los números comerciales. CAPITALES DURACIÓN 1.000 3 1.200 6 2.000 9 SUMA N MEROS COMERCIALES

2º)

SUMA NÚMEROS COMERCIALES = 28.200

3º)

DIVISOR FIJO = K / i = 12 / 0,12 =100

4º)

INTERESES = SUMA NÚMEROS / DIVISOR FIJO INTERESES = 28.200 / ( 12 / 0,12 ) = 28.200 X 0,12 / 12 = 282 €

Página 5

N MEROS COMERCIALES 3.000 7.200 18.000 28.200



6. INTERÉS ANTICIPADO Hasta ahora, hemos calculado operaciones a tipo de interés vencido: estas operaciones se caracterizan porque los intereses se calculan sobre C0. En las operaciones de interés anticipado (Ia), el interés se calcula sobre Cn, y el capital con el que se inicia la operación es Cn - Iv C0 = Cn - Ia 0

Cn n

Ia = Cn x n x ia Ia = Cn x n x ia C0 = Cn - Ia C0 = Cn – Cn x n x ia C0 = Cn (1 – n x ia) C0 Cn = (1 – n x ia)

Ejemplo: Calcular la cantidad recibida en un préstamo, al que se aplica un tanto de interés anticipado del 8 % y al final de 5 años nos comprometemos a entregar 3.200 € para su cancelación. C0 = Cn ( 1 – n x i ) C0 = 3.200 ( 1 – 5 x 0,08 ) C0 = 3.200 (0,6) C0 = 1.920 € 6.1 Relación entre el interés anticipado y el vencido INTERÉS VENCIDO

INTERÉS ANTICIPADO C0 Cn = (1 – n x ia)

Cn = Co (1 + n x iv) Poniendo en relación las dos fórmulas despejando iv o ia C0 Co (1 + n x iv) = (1 – n x ia)

Ejemplo 1: A un activo financiero a seis meses se le aplica un tipo anticipado del 4,22% anual: a) ¿Qué tipo anual por vencido le corresponderá? b) ¿Calcula el tipo de interés por vencido correspondiente a un año? a) Co (1 + n x iv) =

C0 (1 – n x ia)

Co (1 + 6 x iv / 12) =

C0 (1 – 6 x 0,0422 / 12)

1 + 0,5 x iv = 1 + 0,5 x iv =

1 (1 – 0,0211) 1 0,9789

(1 + 0,5 x iv) x 0,9789 = 1 0,9789 + 0,5 x iv x 0,9789 = 1 0,9789 + iV x 0,48945 = 1 iV x 0,4895 = 1 – 0,9789 Página 6


GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 1 iv x 0,48945 = 0,0211 0,0211 0,48945

iv =

iV = 0,04311 iV = 4,311 % b) Co (1 + n x iv) =

C0 (1 – n x ia)

Co (1 + 1 x iv) =

C0 (1 – 1 x 0,0422) 1 0,9578

1 + iv =

(1 + iv) x 0,9578 = 1 0,9578 + iv x 0,9578 = 1 iV x 0,9578 = 1 – 0,9578 iV x 0,9578 = 0,0422 iv =

0,0422 0,9578 iV = 0,04406 iV = 4,406 %

Página 7

ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR

TEMA 2. INTERÉS COMPUESTO

TEMA 2: EL INTERÉS COMPUESTO 1. DIFERENCIA ENTRE INTERÉS SIMPLE Y EL INTERÉS COMPUESTO INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO

Los intereses no se acumulan al capital. Los intereses se acumulan al capital. Cn = Co * (1+i) n I = Cn - Co

FÓRMULAS DEL INTERÉS COMPUESTO

En los ejercicios intervienen las siguientes variables: - Capital inicial o actual (Co): Cantidad referida al momento actual. - Capital final o montante (Cn): Capital referido al final de la operación. - Tiempo (n): duración de la operación. - Tanto de interés anual (i): ganancia obtenida por un euro en un año. -

En los ejercicios de inversión, la cantidad invertida será el capital inicial y el importe que se recibe al final de la inversión, se denomina capital final o montante. En los ejercicios de préstamos, la cantidad prestada es el capital inicial y la cantidad que devolvemos al final del periodo para cancelar el préstamo se denomina capital final o montante. CAPITAL INICIAL INVERSIÓN

Cantidad invertida

PRÉSTAMO

Importe del préstamo

CAPITAL FINAL Cantidad que deseamos tener al final de la operación Cantidad necesaria para cancelar el préstamo

2. CÁLCULO DEL CAPITAL FINAL O MONTANTE. (OPERACIÓN DE CAPITALIZACIÓN) Ejercicio: La señora Blasco deposita en una entidad financiera 30.000 € a plazo fijo durante 4 años a un tipo de interés compuesto del 10 % anual. Calcular la cantidad que recibirá al final de la operación. Co = 30.000 € 0

Co = 30.000 € n = 4 años i = 0,10 anual

Cn = X n = 4 años Cn = Co * (1+i) n Cn = 30.000 * (1,1) 4 Cn = 43.923 €

Página 1

i = 0.10 anual



3. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL. (OPERACIÓN DE ACTUALIZACIÓN) Ejercicio: Determina el capital inicial, que colocado al 7,5 % anual durante 6 años se ha convertido en un capital final de 50.000 € Co = X 0

Cn = 50.000 € n = 6 años

Cn = 50.000 € n = 6 años i = 0,075 anual

Cn = Co * (1+i) n 50.000 = Co * (1,075) 6 50.000 = Co * 1,543302 Co = 50.000 / 1,543302 Co = 32.398,07 €

i = 0,075 anual

4. CÁLCULO DEL TIEMPO Ejercicio: Calcula el tiempo que ha pasado desde que invertimos 4.150 € al 9,5 % de interés compuesto si al final de la operación hemos recibido 10.284,64 € Co = 4.150 0 Co = 4.150 € Cn = 10.284,64 € n = X años i = 0,075 anual

Cn = 10.284,64 € n = X años

i = 0,095 anual

Cn = Co * (1+i) n 10.284,64 = 4.150 * (1,095) n 10.284,64 / 4.150 = (1,095) n 2,478227 = (1,095) n log 2,478227 = n * log 1,095 0,394141 = n * 0,039414 n = 0,39414 / 0,039414 n = 10 años

5. CÁLCULO DEL TANTO DE INTERÉS Ejercicio: Calcula el tipo de interés al que estuvieron colocados 9.000 € durante 4 años, si se convirtieron en 14.000 € Co = 9.000 € 0 Co = 9.000 € Cn = 14.000 € n = 4 años i=X

Cn = 14.000 € n = 4 años Cn = Co * (1+i) n 14.000 = 9.000 * (1 + i) 4 14.000 / 9.000 = (1+i) 4 1,555556 = (1 + i) 4 4 1,555556 = 4 (1 + i ) 4 4 1,555556 = 1 + i 1,11679 = 1 +i i = 0,11679

Página 2

i = X anual



6. TANTOS FRACCIONADOS El tipo de interés y la duración de la operación deben estar referidos a los mismos periodos de tiempo. Por este motivo, en los ejercicios en los que el periodo de tiempo sea inferior al año, debemos calcular el tanto de interés fraccionado. El tanto de interés fraccionado (ik) será un tanto que produzca los mismos resultados al año que los obtenidos si utilizamos el tanto de interés anual efectivo (i). Para calcular el tanto de interés o fraccionado utilizamos la siguiente fórmula: (1 + ik)K = (1+i) Siempre que en un ejercicio nos den un tanto de interés inferior a un año (mensual, trimestral, semestral, etc.) nos están facilitando el tanto fraccionado (i k) El tanto nominal (Jk) es el resultado de multiplicar ik * k y siempre está referido a un determinado periodo de tiempo. (Ejemplo: tanto nominal capitalizable por trimestres. Sería J 4) J k = ik * k TANTO DE INTERÉS EFECTIVO ANUAL (T.A.E) TANTO NOMINAL TANTO FRACCIONADO (mensual, trimestral, etc.)

i Jk ik

Ejercicios: 1. Calcula el tanto de interés mensual equivalente a un tanto anual efectivo del 10 %. i12 = x (1 + i 12)12 = (1 + i) i = 0,10 (1 + i 12)12 = 1,10 12 (1 + i )12 = 12 1,10 12 1 + i12 = 12 1,10 1 + i12 = 1,00797414 i12 = 0,00797414 2. Calcular el tanto nominal convertible por semestres correspondiente al tanto anual efectivo del 6 % i = 0,06 (1 + i 2)2 = (1 + i) j2 = x (1 + i 2)2 = 1,06 2 (1 + i ) 2 = 2 1,06 2 1 + i2 = 2 1,06 1 + i2 = 1,029563 i2 = 0,029563 J2 = 2 * 0,029563 J2 = 0,059126

Página 3



3. Calcula el tanto anual efectivo equivalente al 2 % mensual. (1 + i 12)12 = (1 + i) (1 + 0,02) 12 = 1 + i 1,0268242 = 1 + i 1,0268242 – 1 = i i = 0,268242

i12 = 0,02 i= x

7. PERIODOS PERIODO S DE TIEMPO FRACCIONADOS Cuando la duración de la operación no corresponde a un número exacto de periodos de capitalización podemos resolver el ejercicio utilizando cualquiera de los siguientes métodos: -

CONVENIO EXPONENCIAL: EXPONENCIAL: Resolvemos el ejercicio utilizando solamente la fórmula del interés compuesto. Cn = Co * (1 + i ) n + m

-

CONVENIO LINEAL: Resolvemos el ejercicio utilizando la fórmula del interés compuesto para los periodos completos y la del interés simple para la fracción. Cn = Co * (1 + i ) n * (1 + m * i)

m = número correspondiente al periodo no completo. Para ello planteamos una regla de tres. Ejercicio: Calcula el montante de un capital de 60.000 € que ha estado invertido durante 3 años y 6 meses al 10 % de interés anual compuesto. CÁLCULO DE LA FRACCIÓN (m) 1 año ----- 12 meses m año ---- 6 meses m = 0,5 CONVENIO EXPONENCIAL EXPONENCIAL Co = 60.000 € n= 3 años m = 0,5 i = 0,10 CONVENIO LINEAL Co = 60.000 € n= 3 años m = 0,5 i = 0,10

Cn = Co * (1 + i ) n + m Cn = 60.000 * (1 + 0,10 ) 3 + 0,5 Cn = 60.000 * 1,395965 Cn = 83.757,87 € Cn = Co * (1 + i ) n * (1 + n * i) Cn = 60.000 * (1 + 0,10) 3 * (1 + 0,5 * 0,10) Cn = 60.000 * 1,331 * 1,05 Cn = 83.853 €

Página 4


8.


COMPARACIÓN COMPARACIÓN ENTRE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA En capitalización simple:



C n

=

C 0

En capitalización compuesta:



C n

=

C 0

(1+ n i ) (1+ i ) n

Si lo representamos gráficamente, para i y C0 constantes y damos los siguientes valores a n: n=0 n=1

n = 0,5 n=2

C

Cc

Cs

C0

0

0,5

1

2

t

RESUMEN: RESUMEN: a) Para periodos = b) Para periodos < c) Para periodos >

0ó1 1 1

  

CS = CC CS > CC CS < CC

9. LA TASA ANUAL EQUIVALENTE EQUIV ALENTE (TAE) La TAE, en nuestro país está regulada por la circular 8/90, de 7 de septiembre, del Banco de España (BE). Según la cual el tipo de interés, coste o rendimiento efectivo de las operaciones deberá expresarse, obligatoriamente, en prácticamente la totalidad de los documentos contractuales que afectan al pequeño inversor o ahorrador (apartado 1 norma sexta) y se calculará según la fórmula siguiente: 1

1 n

∑ D

n

n n 1

(1   i k )

t n

p

-

∑

R p (1   i k )

t p

p p 1

Siendo: Dn = Disposiciones Rp = Reintegros n = número de disposiciones o entregas simbolizadas por D p = número de reintegros o pagos simbolizados por R tn = tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida hasta la de disposición n. tp = tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida hasta la del pago p. ik = tanto efectivo referido al periodo de tiempo elegido para expresar tp y tp.

Como esta tasa se expresa en tantos por ciento y referida siempre al periodo de un año: Página 5



TAE = [ ( 1 + ik)k - 1 ] x 100 La TAE intenta ser una unidad homogénea de medida, para que los pequeños inversores principalmente, puedan comparar operaciones financieras. nota 1: 1: si no existiesen gastos en una operación operación financiera, la TAE TAE coincidiría con el interés efectivo anual (i) nota 2: en las cuentas corrientes y de ahorro, la misma circular del BE permite que la TAE que se aplique sea el interés nominal anual, cuando éste sea inferior o igual al 2,5%.

Ejemplo: Ejemplo: D. Juan Sánchez ha depositado 5.000 euros de sus ahorros en un novedoso instrumento financiero que le ha ofrecido su banco, según el cual la entidad le asegura un interés del 3% anual en una inversión de 600 días. Calcula: a) ¿Cuánto obtendrá al final de la operación? b) ¿Cuál será la TAE de este producto producto si no se cobra cobra ninguna ninguna comisión? comisión? c) ¿Cuál será será la TAE de este producto producto si se cobra una comisión del 1% sobre el montante? a) ¿Cuánto obtendrá al final de la operación? (1 + i 365)365 = ( 1 + i ) (1 + i 365)365 = 1,03 365 365 = 365 1,03 (1 + i365 ) 1 + i365 = 365 1, 03 1 + i365 = 1,000080986 i365 = 0,000080986 0,000080986 Cn = 5.000 (1,000080986) 600 Cn = 5.248,95 b) ¿Cuál será la TAE de este producto producto si no se cobra cobra ninguna ninguna comisión? comisión? Coincide con el tanto de interés anual: 3 % c) ¿Cuál será la TAE de este producto si se cobra una comisión del 1% sobre el montante? Montante: Comisión 1 %: Recibe:

5.248,95 -52,49 5.196,46

Cn = C0 (1 + ik) nk 5.196,46 = 5.000 (1 + i 365) 600 5.196,46 5.000

(1 + i365) 600

=

1,039292 = (1 + i 365) 600 600

1, 039292

-1 = i365

0,000064235 = i 365 (1,000064235) 365 = (1+i) 1,0237 = i 2,37 % = T.A.E. Página 6


TEMA 3. DESCUENTO SIMPLE Y COMPUESTO

TEMA 3: OPERACIONES DE DESCUENTO 1. OPERACIONES DE DESCUENTO Las operaciones de descuento son aquellas que realizan las empresas, mediante las que una entidad financiera le anticipa el dinero que le deben sus clientes. El desarrollo de este proceso sería el siguiente: 1. Una empresa vende a un cliente, quedando una cantidad pendiente de de pago. Por este motivo, se rellena una letra en la que figura este importe (Nominal) y un plazo establecido para el pago (Vencimiento de la operación). 2. La empresa vendedora desea disponer del dinero de la venta anterior anticipadamente, para ello acude a su banco para que le adelante el dinero (operación de descuento). La entidad bancaria le cobrará un tanto de interés (tanto de descuento) que se calculará por los días que el banco le anticipa el dinero (Días). El importe de la letra menos el importe de los intereses (Descuento) será la cantidad que en este momento recibe la empresa (Efectivo). Como podemos apreciar, es una operación similar a un préstamo con la garantía de la letra. 3. Llegado el vencimiento de de la letra, si el banco cobra la letra del cliente, se producirá la finalización finalización de la operación quedando en poder de la entidad bancaria este importe. Si la letra no es pagada, la empresa vendedora deberá devolver al banco el importe de la letra. A este procedimiento se le llama descuento de letra o negociación de una letra . Para realizar esta operación previamente se ha tenido que acordar con el banco las condiciones que se van a aplicar y cuál es el importe máximo de letras descontadas que la empresa puede tener. A este acuerdo, entre la entidad bancaria y la empresa, se denomina línea de descuento.

Elementos que intervienen NOMINAL (N): Cantidad que queda pendiente en la operación. Es el importe de la letra. TIEMPO (n): Días que transcurren desde que se realiza la operación hasta el vencimiento de la -

operación. TANTO DE DESCUENTO (i) = Es el tanto de interés anual que se aplica a la operación. DESCUENTO (D) = Intereses totales de la operación. Para calcularlos existen dos formas: descuento comercial o bancario y el descuento racional o matemático. EFECTIVO (E): Es el importe que se recibe anticipadamente. Para calcularlo, al Nominal le restamos el descuento. EFECTIVO = NOMINAL – DESCUENTO

EJEMPLO: La empresa COCO, S.A. vendió el día 28 de marzo, mercaderías por un importe de 2.000 €. Se extiende una letra por este importe y vencimiento dentro de 30 días. El día 3 de abril la empresa COCO, S.A. necesita dinero y decide negociar con su banco para que le anticipe el dinero. El banco le ingresa en su cuenta el nominal de la letra menos 28 € por los intereses correspondientes a un tanto de descuento del 2 % anual.

- VENCIMIENTO DE LA OPERACIÓN: OPERACIÓN: Contamos 30 días a partir del día 28 de marzo. Vencimiento: 27 de abril. - NOMINAL: Importe de la letra. Nominal: 2.000 €. - TIEMPO (n): Días transcurridos entre el día 3 de abril (fecha de negociación) y el 27 de abril (vencimiento). Tiempo = 24 días. - TANTO DE DESCUENTO (i) = 2 % anual. Tanto de descuento = 0,02 - DESCUENTO (D) = Intereses totales. Descuento = 28 €. - EFECTIVO (E) = Nominal – Descuento = 2.000 – 28 = 1.972 €

28 de marzo (VENTA)

EFECTIVO = 1.972 € 3 de abril (DESCUENTO DE LA LETRA)

NOMINAL = 2.000 € 27 de abril (VENCIMIENTO) n = 24 días

Página 1

Tanto dto. = 0,02


2. 2.1.


CÁLCULO DEL DESCUENTO DESCUENTO COMERCIAL O BANCARIO (Se calcula sobre el NOMINAL) DESCUENTO: Dc = N x n x i EFECTIVO: E = N x (1 – n x i ) E = N - Dc

EJEMPLOS DE DESCUENTO COMERCIAL: 1. ¿Cuál fue el valor nominal de una letra por la que se descontaron comercialmente 150 € cuatro meses antes de su vencimiento, sabiendo que el tanto de descuento aplicado fue del 10 % anual? Dc = N x n x i 150 = N x 4x 0,10 / 12 150 x 12 = N x 4 x 0,10 1.800 = N x 0,40 N = 1.800 x 0,40

N = x Dc = 150 € n = 4 meses i = 10 % anual = 0,10

N =4.500 €

2. Calcula el efectivo que recibirá una empresa por el descuento comercial de una letra de 4.500 € con vencimiento el 4 de septiembre, sabiendo que la operación de descuento se realiza el día 20 de julio y que el tanto de descuento es del 6 % anual. Utilizar año comercial. E = x N = 4.500 € n = 20 de julio al 4 de septiembre = 46 días i = 6 % anual = 0,06

2.2.

E = N x (1 – n x i ) E = 4.500 ( 1 – 46 x 0,06 / 360)

E = 4.465,50 €

DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO (Se calcula sobre el EFECTIVO) DESCUENTO: Dr = E x n x i Dr Dr Dr + Dr x n x i Dr ( 1 + n x i)

= = = =

Dr

=

(N – Dr) x n x i (N x n x i) – (Dr x n x i ) Nxnxi Nxnxi

Nxnxi (1 + n x i)

EFECTIVO: N = E x (1 + n x i ) E = N - Dr EJEMPLOS DE DESCUENTO RACIONAL: 1. Calcula el efectivo de una letra descontada, sabiendo que el vencimiento es dentro de 4 meses, que se aplica un tanto de descuento del 10 % anual y que el descuento racional fue de 150 € . Dr = E x n x i 150 = E x 4 x 0,10/12 150 x 12 = E x 4 x 0,10 1.800 = E x 0,40

E= x Dr = 150 € n = 4 meses i = 10 % anual = 0,10

E = 4.500 €

Página 2



2. Calcula el descuento racional de un efecto de 4.650 €, sabiendo que su vencimiento es el día 9 de mayo y que la operación de descuento se realiza el día 10 de marzo a un tanto de descuento del 4 % anual. Utilizar año c omercial. N = E ( 1 + n x i) 4.650 = E ( 1 + 60 x 0,04 / 360 ) 4.650 = E x 1,006667 E = 4.650 / 1,006667

E = x N = 4.650 € n = 10 de marzo al 9 de mayo = 60 días i = 4 % anual = 0,04

E = 4.619,20 €

3. RELACIÓN ENTRE EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL RACIONAL 1. Calcular el valor de Dc y Dr, si sabemos que su diferencia es de 12 €, que el tanto de descuento es del 8 % anual y la operación ha durado 230 días (año comercial) Dc - Dr Nxnxi

-

N x 230 x 0,08/360

-

=

Nxnxi (1 + n x i)

12 =

12

N x 230 x 0,08 / 360 (1 + 230 x 0,08 / 360)

=

12

N x 0,051111 = 12 1,0511111 N x 0,053723 – N x 0,051111 = 12,613332 0,002612 N = 12,613332 N = 4.829 N x 0,051111 -

Dc = 4.829 x 230 x 0,08 / 360

Dc = 246,82 €

Dr = 246,82 - 12

Dr = 234,82 €

2. Si el descuento comercial de una operación asciende a 400 €, y el descuento racional de la misma operación a 350 € ¿Cuánto vale el nominal de la operación? Dc = N x n x i 400 = N x n x i 400 N

=

nxi

Dr = E x n x i 350 = E x n x i 350 = (N – 350) x n x i 350

=

(N – 350) x 400 N

350N = 400N – 140.000 350 N – 400 N = 140.000 50 N = 140.000 N = 2.800 € 3. Calcular el descuento comercial que corresponde a un descuento racional de 600 €, si la operación dura 74 días y el tanto de descuento es del 8 %. Dr = E x n x i 600 = E x 74 x 0,08 / 360 600 = E x 0,016444 E = 36.487,47 € N = E + Dr N = 36.487,47 + 600

N = 37.087,47 €

Dc = N x n x i Dc = 37.087,47 x 74 x 0,08 / 360

Dc = 609,88 € Página 3



4. DESCUENTO COMPUESTO 4.1. DESCUENTO COMPUESTO COMERCIAL Se utiliza en operaciones de descuento a largo plazo y es aquel en el que los intereses que se descuentan se calculan sobre el nominal. E = N (1 – i)

n

Ejercicio: Calcular el efectivo y la cantidad descontada que le corresponden a un capital de 29.000 €, si la operación dura 3 años y el tanto de descuento compuesto comercial es del 3 % anual. E = 29.000 (1 - 0,03)

3

E = 26.467,52 €

Dc = 29.000 – 26.467,52

Dc = 2.532,48 €

TANTO EQUIVALENTE EN INTERES COMPUESTO COMERCIAL k

(1 - i) = (1 - ik) K (1 − i ) - 1 = - ik 1 - K (1 − i ) = ik Ejercicio: Calcular el efectivo y la cantidad descontada que le corresponden a un capital de 2.500 €, si la operación dura 3 años y medio y el tanto de descuento compuesto comercial es del 4 % anual. Calcular en meses. k

(1 - i) = (1 - ik) 12 (0,96) = (1 - i12) 12 ( 0,96 ) - 1 = - i12 0,003396 = i12 E = 2.500 ( 1 – 0,003396)

42

E = 2.167,16 €

4.2. DESCUENTO COMPUESTO RACIONAL E

=

N (1 + i) n

Ejercicio: Calcular el efectivo de una letra de 2 años de duración, cuyo nominal es de 2.000 € si se descuenta con un tanto de interés del 2 % anual. E

2.000 2 (1 + 0,02)

=

E = 1.922,34 € TANTO EQUIVALENTE EN INTERES COMPUESTO RACIONAL El tanto equivalente se obtiene de igual forma que la capitalización compuesta k

(1 + i) = (1 + ik) K (1 + i ) - 1 = ik K (1 + i ) - 1= ik

4.3. RELACIÓN ENTRE EL DESCUENTO COMPUESTO COMERCIAL Y RACIONAL Ejemplo: Comprobar que da el mismo efectivo si descontamos 3.500 € al 10 % de descuento compuesto racional durante 2,5 años, que si la hacemos al 9,09 % de tanto de descuento compuesto comercial. 

DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO E

3.500 2,5 (1 + 0,1)

=

E = 2.757,95 € 

DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTO E = 3.500 (1 – 0,0909)

E = 2.758,02 € Página 4

2,5


TEMA 4. EQUIVALENCIA FINANCIERA

TEMA 4: EQUIVALENCIA FINANCIERA 1. INTRODUCCIÓN Estas operaciones se dan cuando una persona quiere sustituir uno o varios pagos que tiene que realizar (PRIMERA SITUACIÓN) por otros (SEGUNDA SITUACIÓN). Para que el cambio se pueda realizar se debe cumplir que las dos situaciones, la anterior y la posterior al cambio, sean EQUIVALENTES, es decir, que los EFECTIVOS de ambas situaciones sean iguales. PRIMERA SITUACIÓN: Pagos a realizar antes del cambio. Se calcula su efectivo (E 1) SEGUNDA SITUACIÓN: Pagos a realizar después del cambio. Se calcula su efectivo (E 2) EQUIVALENCIA FINANCIERA: E1 = E2 • Para calcular los efectivos utilizamos las fórmulas del descuento comercial. • •

1.1 SUSTITUCIÓN DE UN CAPITAL POR OTRO. Ejemplo: Una persona tiene que pagar 3.000 € dentro de 30 días. Como ve que no va a poder atender a este pago, solicita su aplazamiento para dentro de 90 días calcula el nominal de este pago si utilizamos un tanto de descuento del 10 % anual. Utilizamos año comercial. N = 3.000 €

PRIMERA SITUACIÓN SEGUNDA SITUACIÓN

i = 0,10

n = 30 días

0

N=X n= 90 días

1. PRIMERA SITUACIÓN 2. SEGUNDA SITUACIÓN E1 = 3.000 * ( 1 – 30 * 0,10 / 360) E2 = N* (1 – 90 * 0,10 / 360) E1 = 2.975 € E2 = N * 0,975 3. EQUIVALENCIA FINANCIERA: E1 = E2 E1 = E2 2.975 = 0,975 * N N = 3.051,28 € 1.2 SUSTITUCIÓN DE VARIOS CAPITALES POR UNO Ejemplo: Una persona debe pagar 10.000 € el 30-Octubre y 20.000 € el 30-Noviembre. El día 10 de Octubre acude a su banco para negociar la sustitución de estos pagos por uno sólo el día 30-Diciembre. Calcula el nominal de este nuevo pago si utilizamos un tanto de descuento del 8 % anual. Utilizar año comercial. PRIMERA SITUACIÓN

10.000 € 30 – Octubre

20.000 € 30 – Noviem.

n = 20 días

n = 51 días

10-Octubre

i = 0,08 N 30-Diciem.

SEGUNDA SITUACIÓN

n = 81 días

Del 10-Octubre al 30 – Octubre Octubre: 30 – 10 = 20 Días: 20 días

Del 10 – Octubre al 30 – Noviembre Octubre: 31 – 10 = 21 Noviembre: 30 Días: 21 + 30 = 51 días

Del 10 – Octubre al 30 – Diciembre Octubre: 31-10 = 21 Noviembre: 30 Diciembre: 30 Días: 21 + 30 + 30 = 81 días

- PRIMERA SITUACIÓN: NOMINALES 10.000 20.000 30.000

n

20 51 SUMAS

NÚMEROS COMER. 200.000 1.020.000 1.220.000

SUMA NÚMEROS COMERCIALES = 1.220.000 DIVISOR FIJO = 360 / 0,08 = 4.500 DESCUENTO = 1.220.000 / 4.500 = 271,11 € EFECTIVO = 30.000 – 271,11 = 29.728,89 € E1 = 29.728,89 € - SEGUNDA SITUACIÓN:

E2 = N * (1 – 81 * 0,08 / 360) E2 = N * 0,982

Página 1



- EQUIVALENCIA FINANCIERA: E1 = E 2 29.728,89 = N * 0,982 N = 30.273,82 € 1.3. SUSTITUCIÓN DE VARIOS CAPITALES POR VARIOS Ejemplo: Tenemos que efectuar dos pagos: uno de 3.000 € dentro de 3 meses y otro de 6.000 € dentro de 6 meses. Se quieren sustituir por otros dos: 5.000 € dentro de 9 meses y otro pago dentro de 1 año. Calcular el importe de este último pago si utilizamos un tanto de descuento del 8 % anual. PRIMERA SITUAC.

N = 3.000 €

N = 6.000 €

n = 3 meses

n = 6 meses

i = 0,08

SEGUNDA SITUAC.

N = 5.000 €

N

n = 9 meses

n = 12 meses

- PRIMERA SITUACIÓN NOMINALES 3.000 6.000 9.000

n

3 6

SUMAS

NÚMEROS COMER. 9.000 36.000 45.000

SUMA NÚMEROS COMERCIALES = 45.000 DIVISOR FIJO = 12 / 0,08 = 150 DESCUENTO = 45.000 / 150 = 300 € EFECTIVO = 9.000 – 300 = 8.700 € E1 = 8.700 €

- SEGUNDA SITUACIÓN

E2 = 5.000 * ( 1 – 9 * 0,08 / 12) + N * ( 1 – 12 * 0,08 / 12) E2 = 4.700 + N * 0,92 - EQUIVALENCIA FINANCIERA

E1 = E 2 8.700 = 4.700 + N * 0,92 8.700 – 4.700 = N * 0,92 4.000 = N * 0,92 N = 4.347,83 €

1.4 ELECCIÓN ENTRE VARIAS FORMAS DE PAGO Ejemplo: Para comprar un ordenador que vale 2.000 €, nos ofrecen 3 formas de pago: A) Pagar al contado con un descuento del 5 %. B) Pagar 2.100 € dentro de 6 meses. C) Pagar 400 € de entrada y 1.600 € dentro de 12 meses. Elegir la opción más ventajosa para el comprador utilizando un tanto de descuento del 12 % anual. A) B)

E = 2.000 – ( 5 * 2.000 / 100 ) = 1.900 € 0

C)

N = 2.100 n = 6 meses

i = 0,12 anual

E = 2.100 * ( 1 – 6 * 0,12 / 12 ) = 1.974 € 400 € 0

N = 1.600 n = 12 meses

i = 0,12 anual

E = 400 + 1.600 * ( 1 – 12 * 0,12 / 12 ) = 1.808 € 2.

VENCIMIENTO COMÚN

Si en nuestro ejercicio debemos calcular el vencimiento de uno de los capitales de la segunda situación nos encontramos con el VENCIMIENTO COMÚN. Ejemplo: Calcular el vencimiento común de dos capitales de 15.000 € y 35.000 € con vencimiento los días 15 de marzo y 15 de abril, respectivamente, sabiendo que se quiere sustituir por uno solo de 49.700 € y que el tipo de descuento es del 6 % anual. La operación de sustitución se realiza el 15 de enero.

Página 2


PRIMERA SITUACIÓN


15.000 € 15 - marzo

35.000 € 15 - abril

n = 59 días

n = 90 días

15 - enero

i = 0,06 49.700 € n

SEGUNDA SITUACIÓN Del 15-enero al 15-marzo Enero: 31 – 15 = 16 Febrero: 28 Marzo: 15

Del 15-enero al 15-abril Enero: 31 – 15 = 16 Febrero: 28 Marzo: 31 Abril: 15

Días: 16 + 28 +15 = 59 días

Días: 16 + 28 +31 +15 = 90 días

- PRIMERA SITUACIÓN: NOMINALES 15.000 35.000 50.000

n

59 90 SUMAS

NÚMEROS COMER. 885.000 3.150.000 4.035.000

SUMA NÚMEROS COMERCIALES = 4.035.000 DIVISOR FIJO = 360 / 0,06 = 6.000 DESCUENTO = 4.035.000 / 6.000 = 672,50 € EFECTIVO = 50.000 – 672,50 = 49.327,50 € E1 = 49.327,50 € - SEGUNDA SITUACIÓN:

E2 = 49.700 * (1 – n * 0,06 / 360) E2 = 49.700 – (49.700 * 0,06 / 360) * n E2 = 49.700 – 8,283333 * n

- EQUIVALENCIA FINANCIERA: E1 = E 2 49.327,50 = 49.700 – 8,283333 * n 49.327,50 – 49.700 = - 8,283333 * n - 372 ,50 = - 8,283333 * n n = 44,97 días Contamos 44 días a partir del 15 de enero. El vencimiento será el 28 de febrero.

3.

EL VENCIMIENTO MEDIO

En los ejercicios en los que tengamos que calcular el vencimiento y nos encontramos que la suma de los capitales a sustituir sea igual a la suma de los capitales que los sustituyan, debemos utilizar la formula del vencimiento medio. n=

N1 * n1 + N2 * n2 + N3 * n3 N1 + N2 + N3

N1 + N2 + N3 = N

Ejemplo: Una persona tiene que efectuar 3 pagos de 1.000 €, 2.000 € y 3.000 € dentro de 30 ,60 y 90 días, respectivamente. Si se quieren sustituir por uno sólo de 6.000 € calcula el vencimiento de este nuevo pago. 1.000 * 30 + 2.000 * 60 + 3.000 * 90 6.000 30.000 + 120.000 + 270.000 6.000 n = 70 días 3.1 CASO PARTICULAR DEL VENCIMIENTO MEDIO Un caso particular del vencimiento medio nos lo encontramos cuando los capitales que se quieren sustituir son iguales: n1 + n 2 + n 3 n= 3 Ejemplo: Tres capitales de 3.000 € con vencimientos a los 30,40 y 60 días, quieren sustituirse por uno sólo de 9.000 € ¿Cuál será el vencimiento del mismo n = (30 + 40 +60) / 3 = 43,33 días

Página 3

ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR 4.


EQUIVALENCIA DE CAPITALES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Ejercicio: Comprobar que los capitales de 10.000, 5.000 y 3.300 €, cuyos vencimientos se producen dentro de 1,5, 2 y 4 años respectivamente, son equivalentes a los capitales 3.500, 4.000 y 14.280,31, con vencimiento dentro de 1,3 y 5 años si se valoran al 10 % anual y se comparan en capitalización compuesta. E1 =

10.000 (1,1) 1,5

+

5.000 (1,1) 2

+

3.300 (1,1) 4

E1 = 8.667,84 + 4.132,23 + 2.253,94 E1 = 15.054,01 € E2 =

3.500 (1,1) 1

4.000 (1,1) 3

+

+

14.280,31 (1,1) 5

E2 = 3.181,82 + 3005,26 + 8.866,95 E2 = 15.054,03 € Ejercicio: Calcula el capital equivalente al conjunto de capitales 2.000, 5.000 y 3.300 €, con vencimiento dentro de 18 meses, 25 meses y 12 meses, si se desean sustituir por un capital con vencimiento dentro de 14 meses. Tanto de valoración 12 % anual. (1 + i ) = (1 + ik) k 1,12 = (1+i12)12 12

1,12 - 1 = i 12

0,009489 = i 12 E1=

2.000 (1,009489) 18

5.000 (1,009489) 25

+

+

3.300 (1,009489) 12

E1 = 1.687,34 + 3.948,48 + 2.946,42 E1 = 8.582,24 € E2=

N (1,009489) 14

E2=

N 1,141359 E1 = E2

8.582,24 =

N 1,141359

N = 9.795,42 € 5.

VENCIMIENTO COMÚN EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Ejercicio: Calcular cuándo será equivalente un c apital de 136.000 €, si se desea que sustituya a tres capitales de cuantía 24.000, 40.000 y 56.000 €, con venc imientos a los 4, 5 y 6 años respectivamente. Tanto de valoración: 5 % anual. E1=

24.000 (1,05) 4

+

40.000 (1,05) 5

+

E1 = 19.744,86 + 31.341,05 + 41.788,06 E1 = 92.873,97 € E2=

136.000 (1,05) n

E1 = E2 136.000 92.873,97 = (1,05)n 92.873,97 x (1,05) n = 136.000

Página 4

56.000 (1,05) 6


TEMA 4. EQUIVALENCIA FINANCIERA 136.000 92.873,97

(1,05) n =

(1,05) n = 1,46435 n log 1,05 = log 1,46435 n x 0,021189 = 0,165645 n = 7,82 años 1 año 0,82

---------

12 meses X

X = 9,84 meses 6. TANTOS MEDIOS Sean C1, C2 ….Ct un conjunto de capitales invertidos a unos tantos de interés i 1, i2,…..it durante n periodos, llamamos tanto medio i a aquel que aplicamos sobre ese conjunto de capitales durante esos n periodos produce el mismo montante o mismo interés que el grupo de capitales. 6.1 TANTO MEDIO EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE I1 + I2 + …. + In = I C1 x n x i 1 + C2 x n x i 2 + ….. + Cn x n x in = C x n x i C1 x i1 + C2 x i2 + ….. + Cn x in = C x i n

∑ Chxih h =1

i=

n

∑ Ch h =1

Ejemplo: Bautista Flores tiene abiertas tres cuentas bancarias que le proporcionan la siguiente rentabilidad: a) Banco BASA, 6 % anual simple. b) Banco ZASA, 4 % anual simple. c) Banco TASA, 7 % anual simple. En el primer banco tiene 2.000 €, en el segundo 3.500 € y en el tercero 8.000 €. a) ¿Cuál es el tanto medio de su inversión? b) Comprobar que se obtiene el mismo resultado sumando la capitalización de cada capital a su tipo de interés durante 1,5 años que capitalizando todos ellos al tipo de interés medio. a) 2.000 x 3.500 x 8.000 x 13.500 i=

0,06 0,04 0,07

820 13.500

= 120 = 140 = 560 820 = 0,060741

b) I = 2.000 x 1,5 x I = 3.500 x 1,5 x I = 8.000 x 1,5 x

0,06 0,04 0,07

= 180 = 210 = 840 1.230

I = 13.500 x 1,5 x 0,060741 I = 1.230 € 6.2. TANTO MEDIO EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA Sean un conjunto de capitales Ch invertidos a unos tantos de interés, i h durante n periodos, llamamos tanto medio im, a aquel que aplicado sobre ese conjunto de capitales durante esos n periodos producen el mismo montante, o mismo interés total, que el grupo de capitales . C 1 (1 + i 1 )

n

+

C 2

(1 + i 2 )n + K + C h (1 + i h ) n

=

C 1 (1 + i m )

Página 5

n

+

C 2

(1 + i m ) n + K + C h (1 + i m ) n

ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR C 1 (1 + i 1 )

n

+

C 2


(1 + i 2 ) n + K + C h (1 + i h ) n

=

(C 1

+

C 2

+

K

+

C h )

(1 + i m ) n

n

n

∑1 C

h

∑1 C

h

n

(1 + i h )n

∑1 C

=

(1 + i m ) n

h

h =

(1 + i h )n

h =



=

n

∑1 C

h =

(1 + i m ) n

h

h =

tomando raíz e-nesima en ambos miembros y despejando i m:

i m

      

=

1

 n

n

∑1

C h

(1+ i h ) n 

h =

n

∑1 C

h

h =

    

−

1

Ejemplo 1: El Sr. Rodríguez, posee tres inversiones diferentes a interés compuesto durante dos años y desea saber cual es la rentabilidad media de las mismas. Sabiendo que las inversiones son: 1. 2. 3.

8.700 euros al 4% anual 10.000 euros al 5% anual 12.300 euros al 6 % anual

i m

      

=

h 1 2 3 Totales

1

 n      

n

∑1 C

h

(1+ i h ) n

h =

n

∑1C

h

h =

−

1

(1+i)n (1,04)2 (1,05)2 (1,06)2

Ch 8.700 10.000 12.300 31.000

Ch (1+i)n 9.409,92 11.025,00 13.820,28 34.255,20

1

i m

 34.255,20  2  31.000   

=

−

1 = 0,0511929

im = 5,11%

También: n

∑1 C

h

h =

n

(1 + i h )

n

=

∑1 C

h

(1 + i m ) n

h =

8.700 (1,04 )2 + 10.000 (1,05 )2 + 12.300 (1,06)2 = 31.000 (1 + i m ) 2 im = 5,11%

Página 6


RENTAS CONSTANTES. TEMA 5

TEMA 5: RENTAS 1. INTRODUCCIÓN Llamamos renta a una sucesión de capitales que se hacen efectivos en vencimientos periódicos. Ejemplo: alquiler, salarios, préstamos, etc. A cada uno de estos capitales se le denominan términos o anualidades (A). Llamamos duración al número de términos que lo componen (n). Llamamos vencimiento al momento en el que se hace efectivo el capital durante el periodo. Puede ser al principio como el caso de los alquileres o al final como el de los sueldos. Ejemplo: Una persona ingresa 1.000 € anuales al final de los próximos 4 años en una entidad que le paga el 6 % de interés

anual. 1.000 1

0

1.000 2

1.000 3

1.000 4

i = 0,06

Términos (A): 1.000 € Duración (n) = 4 años Tanto de interés (i) = 0,06 anual

•

CLASES DE RENTA

1.

Rentas constantes y rentas variables.

- Rentas constantes: los términos son todos de la misma cuantía. - Rentas variables: los términos cambian sus importes. Puede ser variabilidad conocida, en progresión aritmética o geométrica o de variabilidad no conocida. 2.

Rentas fraccionadas o rentas no fraccionadas.

-

Rentas fraccionadas: transcurren menos de un año del vencimiento un término a otro. Rentas no fraccionadas: Entre término y término transcurre un año.

3.

Rentas pospagables o por vencido y rentas prepagables o por anticipado.

-

Rentas pospagables: los vencimientos de los pagos son al final de cada periodo. Rentas prepagables: los vencimientos de los pagos son al principio de cada periodo.

4.

Rentas inmediatas, rentas diferidas y rentas antificipadas.

-

Rentas inmediatas: el primer pago se realiza en el momento en el que se pacta la operación. Rentas diferidas: el primer pago se realiza al cabo de varios años desde que se pactó la operación Rentas anticipadas: El vencimiento se produce en un momento posterior al pago del último término.

5.

Rentas temporales y perpetuas.

-

Rentas temporales: tienen un número finito de términos. Rentas perpetuas: tienen un número infinito de términos.

2.

RENTAS TEMPORALES, CONSTANTES, INMEDIATAS, VENCIDAS, NO FRACCIONADAS

Sean а1, а2, а3,..., аn-1, аn, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., n-1, n años respectivamente y queremos calcular su valor actual, V0. Gráficamente: V0 =?

0

а1

а2

а3

аn-1

аn

1

2

3

n-1

n

Página 1



VALOR ACTUAL V0 =?

0

а

а

1

V a = V 0

=

а

2

a

1 (1 + i ) 1

а

3

+

a

а

n-1

1 (1 + i ) 2

+

a

1 (1 + i ) 3

+

K

+

L

n

1 (1 + i ) n 1

+

a

+

1 (1 + i ) n 1

−

+

a

1 (1 + i ) n

sacamos factor común de а: V a = V 0



=

a 

1

 (1 + i )

1

+

1 (1 + i ) 2

+

1 (1 + i ) 3

−

+

  (1 + i ) n 

1

Si observamos los términos del corchete, tenemos la suma de una serie en progresión geométrica 1 de razón 1 . Por tanto: (1 + i )

V a =

1 1  1  (1 + i ) − (1 + i )n × (1 + i ) a  1  1−  (1 + i ) 

     

Si multiplicamos numerador y denominador (1+i):

V a =

1  − 1  (1 + i ) n a   (1+ i ) − 1  

Va = a

(1+i)n -1 (1+i)n 1+i-1

Va = a

(1+i)n -1 (1+i)n i

Va = a

(1+i)n - 1 (1+i)n x i

     

Vo = a x a n , i a n,i=

(1 + i ) n - 1 (1 + i ) n x i

En las operaciones de financiación el VALOR ACTUAL es el IMPORTE DEL PRÉSTAMO, y las cantidades que tenemos que pagar periódicamente para su devolución serían sus TÉRMINOS.

1

Sabemos que S g =

a 1 − a n ⋅ r 1 − r

Página 2



En las operaciones de inversión el VALOR ACTUAL sería el importe que INGRESAMOS en el banco, para poder recibir unas cantidades periódicamente. Ejemplos:

1.

Calcular el valor actual de una renta de 2.000 € anuales, durante 6 años, utilizando un tanto de interés del 10 %. A = 2.000 n = 6 años i = 0,10

(1 + i ) n - 1 (1 + i )n x i

a n,i= a 6 , 0,10 =

(1,10) 6 - 1 (1,10) 6 x 0,10

= 4,355261

V 0 = a x a 6 , 0,10 V 0 = 2.000 x 4,355261 V0 = 8.710,52 € 2. Una persona solicita un préstamo de 20.000 € que debe devolver mediante el pago de 5 anualidades constantes y por vencido. Calcular la cuantía de cada anualidad utilizando un tipo de interés del 12 %. V0 = 20.000 n = 5 años i = 0,12

(1 + i ) n - 1 (1 + i )n x i

A n,i= A 5 , 0,12 =

(1,12) 5 - 1 (1,12) 5 x 0,12

= 3,604776

V0 = a x a 5 , 0,12 20.000 = V0 x 3,604776 V0 = 20.000 / 3,604776 V0 = 5.548,19 € 3. Para devolver un préstamo de 30.000 € debemos pagar anualmente por vencido la cantidad de 3.698,73 €. Calcular durante cuántos años debemos pagar esta cantidad si el tipo de interés es del 4 %.

V 0= a x a n,i

V0 = 30.000 A = 3.698,73 i = 0,04 n=x

30.000 = 3.698,73 x A n , 0,04 a n , 0,04 = 30.000 / 3.698,73 a n , 0,04 = 8,110892

a n , 0,04 =

(1,04) n - 1 (1,04) n x 0,04

= 8,110892

(1,04) n – 1 = 8,110892 x ( 1,04)n x 0,04 (1,04) n – 1 = 0,324436 x ( 1,04) n (1,04) n - 0,324436 x ( 1,04) n = 1 ( 1 – 0,324436 ) x (1,04) n = 1 0,675564 x (1,04) n = 1 (1,04) n = 1 / 0,675564 (1,04) n = 1,480245 n x log 1,04 = log 1,480245 n x 0,017033 = 0,170334 n = 0,170333 / 0,0170334 n = 10 años 4. Calcular el tanto de interés compuesto anual al que nos han prestado 100.000 euros, si hemos de amortizarlo mediante 5 anualidades, inmediatas postpagables de 24.389,07 euros. Va = A x A n,i 100.000 = 24.389,07 x A 5,i 5 (1 + i ) − 1 4,100197 = 5 (1 + i ) xi Por aproximaciones sucesivas:

10% i = 5% i = 7% i =

A 5 , 0,10 = 3,7907 A 5 , 0,05 = 4,3294 A 5 ,0,07 = 4,100197

Página 3



VALOR FINAL Se utiliza cuando una persona desea acumular un capital y quiere saber q ue cantidad recibiría al final de la operación. Si todos los capitales son iguales а1 = а2 = ... = аn = а, su valor final, Vf = Vn será: y su expresión financiera: Vn =?

0

а

а

а

а

а

1

2

3

n-1

n

V f = V n = a (1 + i ) n 1 + a (1 + i ) n 2 + a (1 + i ) n 3 + −

−

−

L

+

a (1 + i )1

+

a (1 + i ) 0

sacamos factor común de а: V f = V n = a (1 + i ) n 1 + −

(1 + i ) n 2 + (1 + i ) n 3 + −

−

L

+

(1 + i ) 1 + 1

Si observamos los términos del corchete, tenemos la suma de una serie en progresión geométrica 2 de razón 1 . Por tanto: (1 + i )

1  1 ( 1 + i) −1×  (1 + i )  1  1−  (1 + i ) n−

V n

=

a

Si multiplicamos numerador y denominador (1+i): a

 (1 + i ) − 1     (1 + i ) −1 

a

 (1 + i )  i 

n

V n

=

operando el denominador: n

V n

=

−

1 

 

Vn = a x S n , i

S n,i=

(1 + i ) n - 1 i

Ejemplos:

2

Sabemos que S g =

a 1 − a n ⋅ r 1 − r

Página 4

    



1. Un empleado al que faltan 15 años para jubilarse desea acumular un capital de 24.000 €, mediante entrega de cantidades al final de cada año. Calcular la cuantía de las anualidades si valoramos la operación con un tanto de interés del 8 %. Vn = 24.000 (1 + i ) n - 1 S = n,i n = 15 años i i = 0,08 (1,08) 15- 1 = 27,152114 S = 15 , 0,08 A=x 0,08

V n = A x S 15 , 0,08 24.000 = A x 27,152114 A = 24.000 / 27,152114 A = 883,91 €

2. Una persona quiere conseguir tener un capital de 53.740,75 € mediante la entrega de 2.000 € anuales por vencido en un banco que ofrece un tanto de interés del 3 %. Calcular durante cuántos años deberá realizar estos ingresos.

V n= A x S n,i

Vn = 53.740,75 A = 2.000 € i = 0,03 n=x

53.740,75 = 2.000 x S n , 0,03 S n , 0,03 = 53.740,75 / 2.000 S n , 0,03 = 26,870375

S n , 0,03 =

(1,03) n - 1 0,03

= 26,870375

(1,03) n – 1 = 26,870375 x 0,03 (1,03) n – 1 = 0,806111 ( 1,03)n = 0,806111 + 1 ( 1,03)n = 1,806111 n x log 1,03 = log 1,806111 n x 0,012837 = 0,256744 n = 0,256744 / 0,012837 n = 20 años 3. RENTAS CONSTANTES, INMEDIATAS, NO FRACCIONADAS, TEMPORALES Y PREPAGABLES Las anualidades se reciben al principio de cada periodo. 0

a

Vo

a

1

a

a

2

3

4

i

Vn

3.1 VALOR ACTUAL

Vo = a x a n , i x (1 + i) Ejemplos:

1. ¿Cuál será la cantidad que tendremos que depositar en un banco que ofrece el 3,5 % de interés anual, si queremos recibir al comienzo de cada uno d e los próximos 8 años una renta de 8.000 €? A = 8.000 n = 8 años i = 0,035

A 8 , 0,035 =

(1,035) 8 - 1 (1,035) 8 x 0,035

= 6,873956

V 0 = A x A 6 , 0,10 x (1 + i ) V 0 = 8.000 x 6,873956 x (1,035) V0 = 56.916,36 €

VALOR FINAL

Vo = A x S n , i x (1 + i) Ejemplos:

1. Calcula el valor final de una renta prepagable, constate e inmediata de 30.000 € anuales sabiendo que la operación financiera dura 5 años y el tipo de interés es del 4 %.

Página 5

ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR A = 30.000 n = 5 años i = 0,04

4.

RENTAS CONSTANTES. TEMA 5 (1,04) 5 - 1 0,04

S 5 , 0,04 =

=5,416323

V n= A x S 5 , 0,10 x (1 + i ) V n = 30.000 x 5,416323 x (1,04) Vn = 168.989,26 €

RENTAS CONSTANTES, NO FRACCIONADAS, TEMPORALES, VENCIDAS Y DIFERIDAS

A

PERIODO DE CARENCIA 0

Vo

1

2

A

3

A

4

5

i

Vn

4.1 VALOR ACTUAL

d/Vo = A x A n , i x (1 + i) -d Ejemplo:

1. Para comprar un coche cuyo valor al contado es de 20.000 €, nos ofrecen no pagar ninguna cantidad durante los 3 primeros años y después efectuar 6 pagos anuales por vencido. Determinar la cuantía de estos pagos si utilizamos un tanto de interés del 3 %. Vo = 20.000 d = 3 años n = 6 años i = 0,03

(1,03) 6 - 1 (1,03) 6 x 0,03

A 6 , 0,03 =

= 5,417191

V 0 = A x A 6 , 0,03 x (1,03) -3 20.000 = A x 5,417191 x 0,915142 20.000 = A x 4,957499 A = 20.000 / 4,957499 A = 4.034,29 €

4.2 VALOR FINAL Para calcular el valor final no se tiene en cuenta el periodo de carencia.

d / Vn = A x S n , i 5.

RENTAS CONSTANTES, VENCIDAS, INMEDIATAS, NO FRACCIONADAS Y PERPETUAS

0

Vo

A 1

A 2

A 3

A 4

A

∞

i

Vn

5.1. VALOR ACTUAL

Vo = A / i Ejemplo:

1. Calcula el valor valor actual de una renta, prepagable, perpetua, constante e inmediata de 10.000 €, anuales, sabiendo que el tipo de interés es del 3 %. V0 = A / i V0 = 10.000 / 0,03 V0 = 333.333,33 €

Página 6



5.2 VALOR FINAL No se puede calcular por tener una duración infinita. 6.

RENTAS CONSTANTES, VENCIDAS, INMEDIATAS, NO FRACCIONADAS Y ANTICIPADAS

En general, diremos que una renta es anticipada cuando el momento de su valoración es posterior al final de la renta, por tanto, la anticipación sólo afectará a los valores finales.

0

Vo

A 1

A

A

2

3

A

h

n =4

Vn

i

Vn+h

5.2. VALOR ACTUAL El valor final no cambia en las rentas anticipadas 5.2 VALOR FINAL

a/Vn = A x S n , i x (1 + i) h También se podría resolver calculando el valo r actual de la renta y después la capitalizamos hasta el momento n+h.

a/Vn = A x A n , i x (1 + i) n+h 1. Calcular el valor final de una renta postpagable, anticipada en 7 años, con 12 términos anuales de 50.000 euros cada uno, valorada al 8% de interés compuesto anual. A = 50.000 € n = 12 términos i = 0,08 H=7

S n,i= S 12 , 0,08 =

(1 + i ) n - 1 i (1,08) 12 - 1 0,08

= 18,977126

a/V n = A x S 12 , 0,08 x (1,08) 7 a/V n = 50.000 x 18,977126 x 1,713824 a/V n = 1.626.172,70 €

Página 7

1º ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR

TEMA 6: RENTAS VARIABLES

TEMA 6: RENTAS VARIABLES 1.

RENTAS VARIABLES EN GENERAL

Son aquellas rentas en las que los términos no son constantes , su valor actual y final se calculan a partir del principio de equivalencia financiera, actualizando (valor actual) o capitalizando (valor final), término a término y sumando sus resultados en el momento de la valoración. Son rentas similares, en sus características, a las anteriores, en las que los términos de la renta varían sin guardar relación alguna entre sí y, por tanto, no podremos obtener una expresión financiera reducida que pudiera simplificar los cálculos. Gráficamente lo podemos representar:

0

а1

а2

а3

аn-1

аn

1

2

3

n-1

n

Y su expresión financiera:

Vo =

A1

1 1 1 +…..+ 1 + A2 2 +A3 (1+i) (1+i) (1+i)3

1 (1+i)n-1

An-1

+An

1 (1+i)n

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta cuyos términos son 100, 350, 100 y 50 euros con vencimientos dentro de 1, 2, 3, y 4 años respectivamente, si se valora al 4% de interés compuesto anual.

Vo =

1 1 (1,04)

100

+ 350

1 2 (1,04)

+ 100

1 3 (1,04)

1 4 (1,04)

+ 50

Vo = 551,39 €

2.

RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEÓMETRICA Son rentas variables, con la particularidad de que sus términos varían en forma de progresión geométrica

de razón q > 0. 2.1

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA INMEDIATA POSTPAGABLE (VO (P.G.))

Sean а1, а2, а3,..., аn-1, аn, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., n-1, n años respectivamente y queremos calcular su valor actual, V0. Gráficamente:

V0 =? 0

а1

а1

1

2

xq

а1

x q2

а1

3

x qn-2

n-1

а1

x qn-1

n

De donde, su Va(g) = V0 será:

V0 =? 0

а1

1

q1

а1

2

q2

qn-2

а1

а1

3

n-1

Pág. 1

а1

qn-1 n



y su expresión financiera:

Vo (p.g.) = A1 q o V 1 + A1 q 1 V 2 + A1 q 2 V 3 +…..+ A1 q n-2 V n-1 + a1q n-1V n Si sacamos factor común de а1V nos quedará:

Vo (p.g.) = A1 V1 (1 + q 1 V 1 + q 2 V 2 +…..+q n-2 V n-2 + q n-1V n-1) Si observamos los términos del corchete, tenemos la suma de una serie en progresión geométrica de razón

qV.

A1–Anxr 1-r

Prog. Geom.

Por tanto: 1–q

1

Vo (p.g.)

A1 V

Vo (p.g.)

A1 V

n-1

n-1

V xqv 1 -q v n

1–q V 1 -q v

1

n

si multiplicamos y dividimos por (1+i), nos quedará:

Vo (p.g.) ⇒

1–qnxVn 1+ i - q

= a1 x

Caso particular 1: q = (1+i)

Vo (p.g.) = A1 x V1 x n ⇒

Caso particular 2: q = 1

Vo (p.g.) = A x A n,,i Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta inmediata postpagable de 10 términos, sabiendo que la cuantía del primero es de 50.000 euros y que varia a razón del 4% anual acumulativo, si: a) Se valora al 6% de interés anual compuesto. b) Se valora al 4% de interés anual compuesto. c) Se valora al 4% de interés anual compuesto y q = 1.

a) Al 6% anual compuesto

Vo (p.g.)

= 50.000 x

1 – (1,04)

1

10

(1,06)

10

1+ 0,06 – 1,04 1 Vo (p.g.)

= 50.000 x

1 – 1,480244

1,790848

0,02 Vo (p.g.)

= 50.000 x

0,1734396 0,02

V0 (p.g.) = 433.599 €

Pág. 2



b) Al 4% anual compuesto Vo (p.g.) =

1 (1,04)

50.000 x

X 10

Vo (p.g. = 480.769,23 € c) Se valora al 4% anual compuesto y q = 1. Vo (p.g.) = A x A n,i Vo (p.g.) = 50.000 x A 10:0,04 Vo (p.g.) = 50.000 x 8,110896

Vo (p.g.) = 405.544,79 €

2.2

VALOR FINAL DE UNA RENTA INMEDIATA POSTPAGABLE (Vn (p.g.)

Sean а1, а2, а3,..., аn-1, аn, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., n-1, n años respectivamente y queremos calcular su valor final, Vn. Gráficamente:

Vn =? а1

0

а2

1

а3

2

аn-1

3

n-1

Vn (p.g.) = A1 x

аn

n

(1+i) n – q n 1+i-q

Para los casos particulares:

Caso particular 1: q = (1+i)

⇒

Vn (p.g.) = A1 x V1 x n x (1+i) n

Vn (p.g.) = A1 x n x (1+i) n-1 Caso particular 2: q = 1

⇒

Vn (p.g.) = A x A

n,,i x

(1+i) n

Vn (p.g.) = A x S n , i 2.3. RENTA EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA PERPETUA ⇒

Valor actual de una renta perpetua inmediata postpagable (P o(p.g.))

Sean а1, а2, а3, ..., los nominales de infinitos capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., años respectivamente y queremos calcular su valor actual, P0. Gráficamente:

Po (p.g.)

= a1 x

1 1+i-q

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual perpetua inmediata postpagable, siendo su primer término 10.000 euros, la razón 1,04 y el tanto de valoración el 8% de interés c ompuesto anual Po (p.g.)

= 10.000 x

1 1,08 – 1,04

Po (p.g.) = 250.000 €

Pág. 3



3. RENTA ANUAL, VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, TEMPORAL, INMEDIATA POSTPAGABLE Son rentas variables, con la particularidad de que sus términos varían en forma de progresión aritmética de

razón r. 3.1.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA INMEDIATA POSTPAGABLE (Vo(p.a.))

Sean а1, а2, а3,..., аn-1, аn, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., n-1, n años respectivamente y queremos calcular su valor actual, V0. Gráficamente:

V0 =?

а

0

а

1

+r

+2r

а

2

а

3

+(n-1) r

а

n-1

+n r

n

Que también podemos representar y descomponer de esta otra forma:

0

а1

а1+

1

2

а1

r

а1+

2r

а1+

(n-2)r

3

а1

r

а1+

(n-1)r

n-1

Filas

n

а1

а1

а1

r r

r r

r r

:

:

r

r r

1 2 3

: n-1 n

y su expresión financiera: 1

2

Vo (p.a.) = A1 x A n,i + r x A n-1, i x V + r x A n-2 x V + ..... + r x A

2,i

n-2

xV

n-1

+ r x A 1,i x V

Si sacamos factor común de r y sustituimos los factores A n,i por su expresión: Vo (p.a.) =

(A1 x A n,i) + r (

1–V i

n-1

1–V i

xV+

n-2

2

x V + …. +

1–V i

2

XV

1- V i

n-2

1

xV

Si efectuamos los productos: Vo (p.a.) =

(A1 x A n,i) + r (

V–V i

n

2

V – V i

+

n

V

+ …. +

n-2

n

–V

V

+

i

n-1

-V

i

Sacando factor común de i: Vo (p.a.) =

r i

(A1 x A n,i) +

n

2

n

( V – V + V – V + …. + V

n-2

n

–V +V

n-1

-V )

n

n

n

n

Si, dentro del corchete, sumamos y restamos V , nos queda: Vo (p.a.) =

(A1 x A n,i) +

r i

n

2

n

( V – V + V – V + …. + V

n-2

n

–V +V

n-1

y ordenando sus términos: Vo (p.a.) =

(A1 x A n,i) +

r i

2

( V + V + …. + V

Pág. 4

n-1

n

n

–V +V –V )

n

+V –nV )

n

)

n-1

)



donde, la primera parte del corchete sabemos qu e es A n,i y por tanto, nos quedará:

vo (p.a.) = a1 x A n,i + q x (A n,i – n x V n) i 3.2.

VALOR FINAL DE UNA RENTA INMEDIATA POSTPAGABLE (Vo (p.a.))

Sean а1, а2, а3,..., аn-1, аn, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., n-1, n años respectivamente y queremos calcular su valor final, Vn. Gráficamente:

Vn =? а1

а2

а3

1

2

3

0

Vn (p.a.)

аn-1

аn

n-1

= a1 x S n,i +

n

q x (S – n) n,i i

Ejemplo: Calcular el valor actual y final de una renta postpagable, variable en progresión aritmética, cuyo primer término es de 100 euros, la razón de la progresión 20 euros, se valora al 8% de interés anual y tiene una duración de 10 años.

a) Valor actual: vo (p.a.) vo (p.a.)

= a1 x A

= 100 x A 10:0,08 +

n,i +

q i

20 0,08

n

x (A n,i – n x V )

x (A 10:0,08 – 10

1 10 (1,08)

)

V0 (p.g.) = 100 x 6,710081 + 250 x ( 6,710081 – 10 x 0,463193) Vo (p.g.) = 671,01 + 519,54

Vo (p.g.) = 1.190 ,55 € b) Valor Final:

vn (p.a.)

= a1 x S n,i +

vn (p.a.)

= 100 x S 10:0,08 +

vn (p.a.)

= 100 x 14,486562+

q x (S – n) n,i i 20 0,08 250 x

x (S 10:0,08 – 10)

(14,486562 -10)

Vn (p.g.) = 1.448,66 + 1.121,64 Vn (p.g.) = 2.570,30 €

3.3 RENTA EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA PERPETUA Sean а1, а2, а3, ..., los nominales de infinitos capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., años respectivamente y queremos calcular su valor actual, V0. Gráficamente:

Pág. 5


V0 =? 0

а1

а2

а3

1

2

3

Po (p.a.)

а

а

∞

1 i

=


x (a1 +

q i

)

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual perpetua postpagable variable en progresión aritmética, si el primer término asciende a 500 euros, su razón es 30 euros, y el tanto de valoración el 3% de interés compuesto anual. ¿Y si la renta es prepagable?

a) Postpagable: Po (p.a.) Po (p.a.)

1 i

= 1 0,03

=

x (a1 + x ( 500 +

q i

) 30 0,03

Po (p.a. ) = 33,33333 x 1.500 Po (p.a.) = 50.000 €

b) Prepagable: Po (p.a.)

=

1 i

x (a1 +

q i

P’o (p.a.) = 50.000 x 1,03 P’ o (p.a.) = 51.500 €

Pág. 6

) x (1+i)

)



TEMA 7 RENTAS FRACCIONADAS 1.

INTRODUCCIÓN

En la actividad normal de las entidades financieras es muy frecuente que la periodicidad con que se hacen efectivos los sucesivos términos no sean anuales, como hasta ahora hemos venido estudiando, produciéndose pagos y cobros mensuales, trimestrales, semestrales, etc., es decir, para periodos distintos al año. Una renta fraccionada, es una serie de capitales disponibles que se van produciendo en períodos inferiores al año. (mensualmente, trimestralmente, etc.)

0 2. 2.1

а1

а2

а3

1

2

3

аnk-1

аnk

nk-1

nk

RENTA FRACCIONADA, CONSTANTE, TEMPORAL, INMEDIATA POSTPAGABLE Valor actual de una renta inmediata postpagable, en función del tanto fraccionado

Vo (k)

Sean а1, а2, а3,..., аnk-1, аnk, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., nk-1, nk periodos respectivamente y queremos calcular su valor actual, V0. Gráficamente:

V0 =? 0

а1

а2

а3

1

2

3

аnk-1

аnk

nk-1

nk

Si todos los capitales son iguales а1 = а2 = ... = аnk = аk su valor actual, Vo (k) = V0 será: Vo =

Ak

1 1 (1 + i k)

+Ak

1 2 (1 + i k)

Vo(k) = A k x A nk : ik

1 3 (1 + i k)

+ Ak

+ …. +

Ak

1 nk-1 (1 + i k)

+Ak

1 nk (1 + i k)

i k = tanto fraccionado (mensual, trimestral etc.) A k =Cantidad que se paga en el periodo fraccionado (Mensualidad, trimestralidad, etc. nk = Número de periodos fraccionados (meses, trimestres, Etc.)

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta inmediata postpagable de 4.000 euros trimestrales que vamos a recibir durante 3 años si se valorada al 3% de interés compuesto trimestral. Vo(k) = A k x A nk :ik Vo(k) = 4.000 x A 12 :0,03 Vo (k) = 4.000 x 9,954004 Vo (k) = 39.816,02 €

2.2

Valor actual de una renta inmediata postpagable, en función del tanto anual i En la expresión obtenida en el epíg rafe anterior:

Vo (k) = A k

(1+i k) n k – 1 (1+i k) n k x ik

x

sabiendo que: (1 + i) = (1 + i k) ik=

nk

Jk k

y sustituyendo:

n

Vo (k) = A k

x

(1+i ) – 1 Jk n (1+i) x k

Pág. 1



n

Vo (k) = A k

(1+i ) – 1

x

(1+i)

k Jk

x

n

Si multiplicamos y dividimos por i y reordenamos: n

Vo (k) = A k

(1+i ) – 1

x

(1+i)

n

k Jk

x

x

n

Vo (k) = A k

(1+i ) – 1

x

n

(1+i) x i

i i

i Jk

xkx

nos queda:

i Jk

Vo (k) = A k x A n : i x k x Nota: en adelante k

i = factor de fraccionada j k

Ejemplo: Una institución educativa me ofrece en concepto de beca 500 euros al final de cada mes durante 2 años. ¿Qué capital equivalente a todas las mensualidades debería percibir hoy si la valoración se hace al 6% de interés compuesto anual? 12 (1,06) = (1 + i 12 ) i 12 = 0,004867551 J 12 = i 12 x 12 J 12 = 0,058410606

i jk

Vo (k) = A k x A n : i x k x Vo (k) = 500 x A 2:0,06 x 12 x

0,06 0,058410606

Vo (k) = 500 x 1,8333923 x 12 x 1,0272107 Vo (k) = 11.299,68 €

2.3

Valor final de una renta inmediata postpagable, en función del tanto fraccionado ki (Vn (k)

Sean а1, а2, а3,..., аnk-1, аnk, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., nk-1, nk periodos respectivamente y queremos calcular su valor final, Vnk. Gráficamente:

Vnk =?

0

а1

а2

а3

1

2

3

аnk-1

nk-1

аnk

nk

Si todos los capitales son iguales а1 = а2 = ... = аnk = аk, su valor final, Vf(k) = Vnk será:

Vnk =? аk

0

аk

1

аk

2

аk

3

nk-1

аk

nk

y su expresión financiera: Vn (k) = A k (1 + i k)

nk -1

+ A k (1+ i k)

nk-2

Vn (k) = A k

+ A k (1 + ik)

nk-3

( 1 + i k ) nk - 1 ik

Vn (k) = A k x S nk: ik Pág. 2

1

+ ….. + A k (1 + ik) + A k (1 + ik)

0

1º ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR 2.4


Valor final de una renta inmediata postpagable, en función del tanto anual i Si partimos del valor final para el caso de una renta anual a tanto de interés anual: Vn = A x S Y la multiplicamos por el factor de fraccionada k

n:i

i : j k

i Jk

Vn (k) = Ak x S n:i x k x 2.5

Calculo del Valor final (Vn (k)) a partir del Valor actual (Vo (k))

Sea Va(k) el valor actual de varios capitales а1, а2, а3,..., аnk-1, аnk, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., nk-1, nk periodos, respectivamente. Si todos los capitales son iguales а1 = а2 = ... = аnk = аk y calculamos su valor actual con: Va(k) = A x A nk: ik. Gráficamente:

Va(k) =? 0

аk

аk

аk

1

2

3

аk

аk

nk-1

nk

para obtener el Vf(k), bastará con capitalizar Va(k) hasta el momento nk:

Va(k) 0

Vf(k) =? 1

2

3

nk-1

nk

Es decir:

V n (k) = Vo (k) (1 + i k ) n k Nota: en adelante (1+ik) nk = factor de valor final para rentas fraccionadas n

También podríamos multiplicar el V o (k) por el factor de valor final (1+i) :

V n (k) = V o (k) (1 + i) n

Nota: Todo lo anterior, nos lleva a reflexionar y poder determinar que los factores de: valor final (1+i)n = (1+ik)nk prepagable (1+i)  (1+ik) diferida Vd = Vkdk anticipada (1+i) h = (1+ik)hk serán los mismos que obtuvimos para rentas anuales, pero adaptándolos a rentas fraccionadas, según los casos. Por ello en el resto de epígrafes nos limitaremos a aplicar dichos factores a la renta en cuestión.

Pág. 3



3.

RENTAS FRACCIONADA, VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMETRICA, TEMPORAL, INMEDIATA POSTPAGABLE

3.1

Valor actual de una renta inmediata postpagable en función del tanto fraccionado ki (Va (k, p.g.)) Tomando la expresión, obtenida en el tema anterior, para rentas anuales variables en progresión geométrica: n

n

1- q x V ) 1+i-q y aplicándole los criterios desarrollados en los epígrafes anteriores obtendríamos: V o (p.g.) = ( A 1 x

Vo ( k , p . g .)

=

A1 = Cantidad primer término q k = razón correspondiente al periodo fraccionado (mes,

 1 − q k nk V k nk  a1    1 + ik − q k 

trimestre, etc.) V k = (1 + i k) -1 i k = tanto fraccionado n k = número de periodos fraccionados

expresión que seria válida para el caso en el que la razón de la progresión varia de forma k-esimal, es decir, cada periodo.

Ejemplo 1: Calcular el valor de cada término de una renta inmediata postpagable trimestral durante 10 años, si se valora al 8% de interés efectivo anual, los pagos crecen trimestralmente a razón del 3% y su valor actual es de 10.000 euros. 4 (1,08) = (1 + i 4 ) i 4 = 0,019426547

10.000 = A 1 x

Solución:

1 (1,019426547) 40 1,019426547 – 1,03 A1 = 206,94 €

1 – (1,03) 40

Primer año: A 1 = 206,94 €; A 2 = 213,14 €; A 3 =219,54 €; A 4 = 226,12 € Segundo año: A 5 = 232,91 €;A 6 = 239,89 €; A 7 = 247,09 €; A 8 = 254,50 €

3.2 Valor actual de una renta inmediata postpagable en función del tanto fraccionado i (Va(k, g)) La razón varia anualmente q En el apartado anterior hemos considerado que la razón de la progresión varia de forma k-esimal, pero suele ocurrir, en la mayoría de los casos, que la renta varia de forma anual, siendo iguales todos los pagos fraccionados dentro del mismo año. Si partimos de: n n 1- q x V V o (p.g.) = ( A 1 x ) 1+i-q teniendo en cuenta que la progresión varia anualmente, para transformarla en fraccionada bastará con aplicarle a la expresión anterior el factor de conversión de renta anual en fraccionada k i :

n

1- q xV 1+i-q

V o (k , p.g.) = ( A 1 x

n

j k

xkx

i ) Jk

Obsérvese como la renta crece anualmente a razón de q , pero los pagos son k-esimales, es decir, en cada periodo anual los pagos k-esimales son iguales.

Ejemplo: Calcular el valor de cada término de una renta inmediata postpagable trimestral durante 10 años, si se valora al 8% de interés efectivo anual, los pagos crecen anualmente a razón del 3% y su valor actual es de 10.000 euros. 4 (1,08) = (1 + i 4 ) I 4 = 0,019426547 J4 = i 4 x 4 J 4 = 4 x 0,019426547 J 4 = 0,0777061876 3

10.000 = ( A1 x

1 - 1,03 x (1,08) 1,08 – 1,03

- 10

A1 = 321,63 €

Pág. 4

x4x

0,08 0,07706187

)



4. RENTAS FRACCIONADA, VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMETICA, TEMPORAL, INMEDIATA POSTPAGABLE 4.1. Valor actual de una renta inmediata postpagable en función del tanto fraccionado ik

Vo (k, p.a.)

Tomando la expresión, obtenida en el tema anterior, para rentas anuales variables en progresión aritmética: V o (p.a.) = A1 x A n , i +

q i

(A n , i – n x V n)

y aplicándole los criterios desarrollados en los epígrafes anteriores obtendríamos:

V o (k , p.a.) = A1 x A nk , ik +

qk ik

(A nk , ik – nk x V nk)

expresión que seria válida para el caso en el que la razón de la progresión varia de forma k-esimal, es decir, cada periodo. Ejemplo: Calcular el valor de cada término de una renta inmediata postpagable trimestral durante 4 años, si se valora al 8% de interés efectivo anual, los pagos crecen trimestralmente a razón de 30 euros y s u valor actual es de 10.000 euros. 4

(1,08) = (1+ i 4 ) i 4 = 0,019426547 10.000 = (A1 x A 16 : 0,019426547) +

30 0,019426547

1 16 (1,019426547)

(A 16 : 0,019426547 – 16 x

a 1 = 520 ,41 €

(Solución: Primer año a 1 = 520,41, a 2 =550,41, a3 = 580,41 a4 = 610,41 €), (Solución: Segundo año a 5 = 640,41, a6 =670,41, a7 = 700,41 a8 = 730,41 €), etc. 4.2 Valor actual de una renta inmediata postpagable en función del tanto i En el apartado anterior hemos consid erado que la razón de la progresión varia de forma k-esimal, pero puede ocurrir, que la renta varíe de forma anual, siendo iguales todos los pagos fraccionados dentro del mismo año. Si partimos de: q V o (p.a.) = A1 x A n , i + (A n,i – n x V n) i y teniendo en cuenta que la progresión varia anualmente, para transformarla en fraccionada bastará con aplicarle a la expresión anterior el factor de conversión de renta anual en fraccionada: i Kx Jk

V o (p.a.) = (A1 x A n , i +

q (A n , i – n x V n)) i

i Jk

xkx

Obsérvese como la renta crece anualmente a razón de q , pero los pagos son k-esimales, es decir, en cada periodo anual los pagos k-esimales son iguales.

Ejemplo: Calcular el valor de cada término de una renta inmediata postpagable trimestral durante 4 años, si se valora al 8% de interés efectivo anual, los pagos crecen anualmente a razón de 120 euros y su valor actual es de 10.000 euros. 4 (1,08) = (1+i 4)

i 4 = 0,019426547

Jk=ikxk J 4 = 0,019426547 x 4

J 4 = 0,0777061876 q i

V o (p.a.) = (A1 x A n , i +

10.000 = (A1 x A 4 : 0,08 +

120 0,08

(A n , i – n x V n))

(A 4 :_ 0,08 – 4 x V 4))

A1 = 564,68 €

Pág. 5

xkx

x4x

i Jk

0,08 0,0777061876



TEMA 8: PRÉSTAMOS 1.

INTRODUCCIÓN

Un préstamo es una operación en la que una persona (prestamista), entrega a otra (prestatario) una cantidad de dinero C, quien se compromete a devolver el capital recibido y a pagar los intereses correspondientes en los plazos y forma convenidas. Se denomina amortización de un préstamo a la devolución o reembolso, por parte del prestatario, del importe del préstamo junto con los intereses generados en los plazos acordados. Gráficamente, por ejemplo:

Préstamo

C t0

t1

t2

t3

th-1

th

а1

а2

а3

аh-1

аh

períodos términos

En sentido financiero debe interpretarse que lo que entrega el prestamista deber ser igual a lo que recibe del prestatario, todo ello valorado en un mismo momento de tiempo, al tipo de interés fijado para el préstamo.

1.1

ELEMENTOS DE UN PRÉSTAMO

Partiendo de la representación anterior vamos a enumerar los elementos principales que intervienen en una operación de préstamo:

C = Capital prestado, importe del préstamo. También denominado C0 o P. t1, t2, ..., th = Instantes de tiempo en los que se hacen efectivos los términos amortizativos. Si están referidos a la misma unidad de tiempo y son equidistantes  k1, k2, ..., nk. i1, i2, ..., ih = Tantos de interés que se aplican en los distintos periodos de tiempo. Frecuentemente i es constante e igual a lo largo de todos los períodos de amortización.

a1, a2, ..., ah = Pago realizado para extinguir la deuda, comprende una parte p ara el pago de intereses Ih, y otra para amortizar el capital prestado Ch. Cuando es periódico se le suele denominar: anualidad, mensualidad, etc. ah = Ch + Ih C1, C2, ..., Ch = Cuotas de amortización o cuotas de capital de cada uno de los respectivos periodos. Su finalidad es restituir el importe del préstamo. Ch = ah - Ih I1, I2, ..., Ih = Cuotas de interés de cada uno de los periodos. Representan los intereses que en cada periodo genera el capital pendiente de amortizar. Ih = ah - Ch T1, T2, ..., Th = Total amortizado hasta el momento th. Es igual a la suma de las cuotas de amortización Ch hasta el periodo th. Se puede calcular: C1 + C2, ..., C h o bien Th = C0 - Rh R1, R2, ..., Rh = Resto por amortizar hasta el momento th, también llamado capital vivo o capital pendiente. Rh = C0 - Th 1.2

CLASIFICACIÓN DE LOS PRÉSTAMOS La variedad de préstamos existentes pueden ag ruparse, atendiendo a diferentes criterios de clasificación:

1.

Según el prestamista: a. Préstamos Bancarios. b. Préstamos No bancarios .

2.

Por su destino: a. De Consumo. b. A la Producción: 1º) De Circulante. 2º) De Inversión.

3.

Según la garantía: a. Personales. b. Reales.

Página 1


4.

Por la forma de documentarse: a. En póliza. b. En escritura pública .

5.

Según el tipo de interés: a. Interés fijo. b. Interés variable. c. Interés revisable.

6.

Por la forma de amortización: a. Amortizables con reembolso único . 1º) Con pago único de intereses. 2º) Con pago periódico de intereses. b. 1º) 2º) 3º) 4º) 5º)


Amortizables mediante una renta : Amortización con fondo de amortización: Sistema Americano “sinking fund”. Método de amortización de anualidades constantes: Francés. Método de amortización de cuotas constantes. Métodos de amortización con anualidades variables en progresión: aritmética o geométrica. Método de amortización Alemán.

Nosotros nos centraremos en este último criterio de clasificación y estudiaremos los métodos más frecuen tes en la práctica financiera.

2

PRÉSTAMOS AMORTIZABLES MEDIANTE REEMBOLSO ÚNICO

Sea C el capital prestado, n la duración del préstamo e i el tanto de interés anual compuesto al que se realiza la operación. Si el préstamo se amortiza mediante reembolso único implica que el capital C, se devuelve de una sola vez en la fecha que se haya convenido. Además de devolver el capital, el prestatario está obligado a pagar los intereses y según el vencimiento de estos se pueden distinguir dos casos: a) pago único de intereses. b) pago periódico de intereses.

2.1 PAGO ÚNICO DE INTERESES JUNTO AL CAPITAL Si los intereses correspondientes no se pagan en cada periodo, sino que se van acumulando al capital, en el momento n habrá que devolver, el capital más los intereses generados, es decir, el montante. Gráficamente lo podemos representar:

i

C0

0

1

2

Y su expresión financiera:

3

n-1

n Cn

C n = C o (1 + i ) n

2.2 PAGO PERIÓDICO DE INTERESES En este sistema, también llamado “préstamo americano” , los intereses se pagan en cada periodo y el capital en el momento n. Gráficamente lo podemos representar: C

0

1 C·i

2 C·i

3 C·i

n-1 C·i

n C·i +C

Como el capital que se debe es siempre el mismo, los intereses de cada año serán iguales y se obtendrán como resultado de multiplicar el tanto unitario de interés por el capital prestado:

Ih=CXi

Página 2



Ejemplo Nos conceden un préstamo de 70.000 euros al 8% de interés compuesto anual. Si la duración del mismo es de 6 años, calcular cuánto tendremos que pa gar: a) Si se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital e intereses. b) Si se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital y pagándose los intereses cada año.

a) Pago único:

C n = 70.000 x (1,08) 6 C n = 11.081,20 €

b) Pago periódico: Intereses anuales: Principal

2.3

I 1 a I 6 = 70.000 x 0,08 = 5.600 € C 6 = 70.000 €

AMORTIZACIÓN POR EL SISTEMA AMERICANO CON FONDO DE CONSTITUCIÓN (SINKING FOUND)

Este sistema (también llamado Sinking Found o fondo de amortización), es una variante del préstamo americano. Es más un método de reconstrucción que de amortización ya que se trata de ir dotando unas cantidades a un fondo con el fin de reconstruir el capital prestado. Realmente se trata de dos operaciones : 1.

I h

Pago periódico de intereses:

=

C × i

C 0 2.

1 C·i

2 C·i

3 C·i

n-1 C·i

n C·i

Creación de un fondo (en la misma entidad que concede el préstamo o en otra distinta), llamado de constitución en el que se intenta constituir el principal con aportaciones periódicas, de forma que éste se obtenga en el momento n. Los periodos de tiempo y los tantos en ambas operaciones no tienen porque coincidir. Del mismo modo las cantidades depositadas no tienen por que ser constantes. Si queremos constituir un fondo C, para el caso de que las cuotas sean constantes CR y el tipo de interés que paga el fondo es ir, podemos representarlo:

0

CR

CR

CR

1

2

3

CR n-1

CR n C

Cuya expresión financiera podría ser:

C = CR x S n , ir

despejando C R : Como nuestro prestatario debe de pagar tanto los intereses, como ingresar la cantidad correspondiente en el fondo, necesitará anualmente:

A=Cxi+

C S n ,ir

Se podría elaborar un cuadro donde se reflejaran tanto los pagos de intereses como la devolución del capital.

Años

Anualidad

Interés del préstamo

Página 3

Capital devuelto



Y otro que recoja la reconstrucción del capital.

Cuota de reconstrucción

Años

Interés del fondo

Capital Pendiente de reconstruir

Capital Reconstruido

O bien, uno por agrupación de los dos anteriores.

Años

Anualidad



Interés del fondo

Capital Reconstruido

Capital Pendiente de reconstruir

Ejemplo 1 La empresa Americano S.A. ha conseguido un préstamo de 20.000 euros por el se pagarán anualmente intereses al 15%, devolviéndose el principal a los cuatro años de la concesión. El prestatario gestiona la creación de un fondo remunerado al 12% anual. Reconstruir el capital con aportaciones periódicas constates.

A = 20.000 X 0,15 + A = 3.000 +

20.000 S 4 , 0,12 20.000 4,779328

A = 3.000 + 4.184,69 A = 7.184,69 € Años


Anualidad


Interés del fondo

Capital reconstruido

Capital pendiente de reconstruir

0,00

20.000,00

0 1

7.184,69

3.000,00

4.184,69

0,00

4.184,69

15.815,31

2

7.184,69

3.000,00

4.184,69

502,16

8.871,54

11.128,46

3

7.184,69

3.000,00

4.184,69

1.064,58

14.120,81

5.879,19

4

7.184,69

3.000,00

4.184,69

1.694,50

20.000,00

0,00

28.738,76

12.000,00

16.738,76

3.261,24

3.

SISTEMA FRANCÉS O DE AMORTIZACIÓN PROGRESIVA

3.1

INTRODUCCIÓN

Los préstamos amortizables mediante rentas tienen su manifestación más frecuente en el préstamo francés, que se caracteriza por tener todos los términos amortizativos iguales y el tipo de interés igual a lo largo de toda la operación. Al final de cada periodo se entrega una cantidad constante llamada anualidad o término amortizativo. Gráficamente:

C 0

1

2

3

n-1

n

а

а

а

а

а

Página 4



Por tanto, si la renta es anual, debe cumplirse:

C = A x A n,i Donde cada anualidad es la suma de la cuota de interés y la cuota de amortización correspondiente al año de que se trate.

Ah=Ch+Ih Como cada año se pagan los intereses correspondientes a dicho periodo, y estos irán de creciendo a medida que se devuelve el préstamo:

I 1

>

I 2

>

I 3

>

···

>

I n 1 −

>

I n

Este sistema se llama también progresivo, porque a medida que transcurre el tiempo las cuotas destinadas a la amortización de capital van siento cada vez mayores.

3.2

I1

I2

I3

. . . .

In-1

In

C1

C2

C3

. . . .

Cn-1

Cn

CUADRO DE AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO POR EL SISTEMA FRANCÉS

Con el fin de resumir y clarificar las operaciones de amortización, se recurre normalmente a la confección de un cuadro, en el que se recogen los distintos valores que toman las variables y que podría tener el siguiente formato:

Periodos n

Anualidad a

Cutota de Interés Ih

Cuota de Amortización Ch

Total Amortizado Th

Resto por amortizar Rh

Antes de proceder a su confección, veamos como s e pueden obtener los distintos elementos que l o componen. •

Anualidad La anualidad, o pago periódico, que amortiza el préstamo se calcula:

A= •

A

Cuota de Interés

C n,i

El interés de cada año se obtiene como resultado de aplicar el tanto unitario d e interés i al capital pendiente por amortizar el periodo anterior, Rh-1. Esta cuota irá decreciendo cada periodo, debido a la disminución del capital pendiente de amortizar. •

Cuota de Amortización

I h = R h-1 x i

Es la parte de la anualidad que se destina a la amortización del c apital prestado. Esta cuota irá aumentando en la misma medida en que disminuya la parte destinada al pago d e intereses (ver 3.3).

•

•

Total Amortizado

Ch = A h – I h

Es la suma de las cuotas pagadas hasta el momento h.

Pendiente de amortizar

Th = C1 + C2 + C3 + ··· + Ch Th = Th-1 + Ch

También llamado capital vivo, es la parte del capital que queda pendiente por amortizar y se obtiene como diferencia entre el valor del préstamo C y el total amortizado hasta el periodo h.

Rh = C – Th Rh = Rh-1 – Ch Página 5



Ejemplo: Realiza el cuadro de amortización de un préstamo de 20.000 €, a un tanto de interés del 10 % anual y una duración de 4 años. El sistema de amortización es el francés.

Peri odos

Cutota de Interés

Cuota de Amortización

Total Amortizado

Resto por amortizar

Pendiente de amortizar año anterior por tanto de interés

Anualidad – Cuota de interés

Total amortizado año anterior + Cuota de amortización

Importe préstamo – Total amortizado

0 2.000 (20.000 x 0,10) 1.569,06 (15.690,58 x 0,10) 1.095,02 (10.950,22 x 0,10) 573,58 (5.735,82 x 0,10)

0 4.309,42 (6.309,42 – 2.000) 4.740,36 (6.309,42 – 1.569,06) 5.214,40 (6.309,42 – 1.095,02) 5.735,84 (6.309,42 – 573,58)

0 4.309,42 ( 0 + 4.309,42) 9.049,78 (4.309,42 + 4.740,36) 14.264,18 (9.049,78 + 5.295,40) 20.000,02 (5.735,84 + 14.264,18)

20.000 15.690,58 (20.000 – 4.309,42) 10.950,22 (20.000 – 9.049,78) 5.735,82 (20.000 – 14.264,18) - 0,02 (20.000 – 20.000,02)

Anualidad

(a)

(n)

Vo = A x A n,i 0

0

1

6.309,42

2

6.309,42

3

6.309,42

4

6.309,42

( I h)

( C h)

20.000,02

(Th)

(Rh)

CARACTERÍSTICAS: 1. 2. 3. 4. 5.

3.3

Las anualidades siempre son del mismo importe. La anualidad es igual a la suma de la cuota de interés más la cuota de amortización. Las cuotas de intereses son decrecientes, porque se calcula sobre el pendiente de amortizar y cada vez queda menos por devolver. Las cuotas de amortización son crecientes. La columna pendiente de amortizar nos indica la cantidad que tenemos que pagar para cancelar el préstamo en cada periodo.

CÁLCULO DE LA FILA h-esima DEL CUADRO DE AMORTIZACIÓN

Se trata de conocer la situación del préstamo en un momento cualquiera h, sin necesidad de calcular los valores correspondientes a las filas anteriores.

Anualidad del periodo h

•

Si queremos calcular la anualidad o pago correspondiente a un periodo cualquiera h y teniendo en cuenta que son todas iguales, tendremos:

Ah=

C A n,i

Cuota de Interés del periodo h

•

Para calcular la cuota de interés del periodo h, bastará con conocer el capital pendiente en el periodo anterior y multiplicarlo por en tanto de interés:

I h = R h-1 x i Cuota de Amortización del periodo h

•

Las cuotas de amortización varían, de un periodo a otro, en progresión geométrica de razón (1+i). Para su demostración partiremos de dos anualidades consecutivas:

C h ( 1+ i ) = C h + 1 C1 =

C S n,i

Si queremos una Ch cualquiera y sabiendo que C h = C1 ( 1 + i )

Ch= •

C S n,i

Total Amortizado

Es la suma de las cuotas pagadas hasta el momento h.

Página 6

h–1

, podemos expresarla:

X (1 + i ) h-1



Th = C1 + C2 + C3 + ··· + Ch Teniendo en cuenta lo visto en el apartado anterior, también lo podemos expresar:

T h = C1 x S h , i •

Resto por Amortizar Desde un modo retrospectivo podemos expresarlo:

R h = C – Th

Y desde un modo prospectivo, valorando todos los pagos que quedan pendientes en h:

Rh = A x A n-h,i También podríamos acudir al método recurrente:

R h = R h -1 ( 1 + i ) – A h Ejemplo 1 Calcular la fila sexta del cuadro de amortización de un préstamo de 100.000 euros que se amortiza mediante una renta constante, anual, inmediata postpagable de 10 términos, al 7% de interés compuesto anual. C = 100.000 n = 10 i = 7% Fila sexta = x 100.000 A 10 : 0,07

A6=

= 14.237,75 €

R 5 = 14.237,75 x A 5:0,07 = 58.377,59 € I6=R5xi I 6 = 58.377,59 x 0,07 = 4.086,43 € C1 =

100.000 S 10 : 0,07

= 7.237,75 €

C 6 = 7.237,75 x (1,07) 6 – 1 = 10.151,32 € T 6 = 7.237,75 x S 6 : 0,07 = 51.773,73 € R 6 = 14.237,75 x A 10 – 6 : 0,07 = 48.226,27 € 3.4 PRÉSTAMOS CON PERIODO DE CARENCIA En los apartados anteriores hemos considerado que el préstamo se amortiza mediante una renta anual, constante, temporal, inmediata y postpagable. Sin embargo, ocurre con cierta frecuencia que los préstamos tienen un periodo de carencia , es decir, un periodo de tiempo, normalmente, al principio de la operación, durante el cual no se amortiza el capital prestado. Surge de este modo un préstamo que se amortiza mediante una renta diferida, siendo d el periodo de carencia. Ante esta situación podemos plantear dos casos:

•

Durante el periodo de carencia (d) sólo se paguen intereses. Carencia parcial Gráficamente

C 0

Rd = C 1

2

C·i

C·i

d

C·i

d+1

d+2

d+3

а

а

а

Página 7

d+n-1 а

d+n а



De modo que, si durante el diferimiento (carencia) pagamos los intereses C·i, en el momento d, solo debemos C y, por tanto, el resto del gráfico es igual a un préstamo que se amortiza mediante una renta, ya estudiado en los epígrafes anteriores y cuya anualidad será: C

A=

A

n,i

El cuadro de amortización, salvo en los periodos de carencia en los que habrá que reflejar los pagos de intereses correspondientes, será idéntico al estudiado anteriormente.

•

Durante el periodo de carencia (d) no se paguen intereses. Carencia total Gráficamente

C

Rd = C(1+i)d

R1=C(1+i)1 R2=C(1+i)2

0

1

2

d

d+1

d+2

d+3

d+n-1

а

а

а

а

d+n а

De modo que, si durante el diferimiento (carencia) no pagamos los intereses, en el momento d, la deuda será d el préstamo más los intereses generados en dicho periodo, es decir, el pendiente en d será Rd =(1+i) y, por tanto, el pago correspondiente:

C x ( 1+i ) d A n,i

A=

El cuadro de amortización tendrá dos partes, la primera durante el periodo de diferimiento, donde se irán acumulando los intereses, y a partir del periodo d será igual que un préstamo sin carencia, siendo el capital pendiente C (1+i)d.

Ejemplo 1 Redactar el cuadro de amortización de un préstamo de 200.000 euros que se amortiza mediante una renta constante, anual, diferida 2 años y postpagable de 4 términos, al 8% de interés compuesto anual: a) Si durante el periodo de carencia se pagan los intereses correspondientes. b) Si durante el periodo de carencia no se pagan los intereses.

Apartado a)

I 1 aI d = 200.000 x 0,08 = 16.000 € 200.000 A 4 , 0,08

A=

A = 60.384,16 y a partir de estos datos rellenamos el cuadro:

CUADRO AMORTIZACIÓN PRÉSTAMO n

a

Ih

Ch

Th

Rh

0

---

---

---

---

200.000,00

1

16.000,00

16.000,00

---

---

200.000,00

2

16.000,00

16.000,00

---

---

200.000,00

3

60.384,16

16.000,00

44.384,16

44.384,16

155.615,84

4

60.384,16

12.449,27

47.934,89

92.319,05

107.680,95

5

60.384,16

8.614,48

51.769,69

144.088,74

55.911,26

6

60.384,16

4.472,90

55.911,26

200.000,00

0,00

273.536,64

73.536,64

200.000,00

Página 8


Apartado b)


R 1 = 200.000 x 1,08 = 216.000 R 2 = 200.000 x (1,08) 2 = 233.280 A=

200.000 x (1,08 ) 2 A 4 : 0,08

= 70.432,09 €

y su cuadro:


a

Ih

Ch

Th

Rh

0

---

---

---

---

200.000,00

1

---

16.000,00

---

---

216.000,00

2

---

17.280,00

---

---

233.280,00

3

70.432,09

18.662,40

51.769,69

51.769,69

181.510,31

4

70.432,09

14.520,83

55.911,26

107.680,95

125.599,05

5

70.432,09

10.047,92

60.384,16

168.065,11

65.214,89

6

70.432,09

5.217,19

65.214,89

233.280,00

0,00

281.728,34

48.488,34

233.280,00

5.

PRÉSTAMOS CON CUOTAS CONSTANTES

•

INTRODUCCIÓN

La característica principal de este método de amortización de préstamos consiste en que en cada periodo se amortiza la misma parte del capital, es decir, que todas las cuotas de amortización son iguales y, por tanto, cada periodo se devuelve la misma cantidad de préstamo. Si el importe del préstamo es C y la duración del mismo n años, el importe de cada cuota de amortización Ch, será: C n

CH=

Como cada año se pagan los intereses correspondientes a dicho periodo, y estos irán de creciendo a medida que se devuelve el préstamo, podemos establecer: I 1 > I 2 > i 3 > …. > I n -1 > I n Así, las anualidades o pagos serán diferentes y decrecientes, al permanecer las cuotas de amortización constantes y disminuir las cuotas de interés.

I1

C1

I2 C2

I3 C3

. . . .

In-1

In

. . . .

Cn-1

Cn

Por tanto, dichos pagos no forman una renta constante, sino una renta variable que, como veremos más adelante, lo hace en forma de progresión aritmética decreciente: A 1 > A 2 > A 3 > ….. > A

Gráficamente

Página 9

n-1

>An



C 0

•

1

2

a1

3

a2

n-1

a3

n

an-1

an

CUADRO DE AMORTIZACIÓN

Al igual que en los métodos anterio res vamos a proceder a confeccionar un cuadro de amortización teniendo en cuenta las características de este método, y cuyo formato podría ser:

Periodos n

Anualidad Ah

Cutota de Interés Ih


Total Amortizado Th


Para ver como se obtienen los distintos elementos que lo componen utilizaremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1 Redactar el cuadro de amortización de un préstamo de 30.000 euros para amortizar mediante 5 cuotas anuales constantes al 16% de interés compuesto anual. En primer lugar calculamos el valor d e las cuotas cantantes: Ch=

30.000 5

= 6.000 €

A partir de este dato procedemos a elab orar el cuadro de amortización correspondiente:

CUADRO AMORTIZACIÓN PRÉSTAMO

•

n

ah

Ih

Ch

Th

Rh

0

0,00

0,00

0,00

0,00

30.000,00

1

10.800,00

4.800,00

6.000,00

6.000,00

24.000,00

2

9.840,00

3.840,00

6.000,00

12.000,00

18.000,00

3

8.880,00

2.880,00

6.000,00

18.000,00

12.000,00

4

7.920,00

1.920,00

6.000,00

24.000,00

6.000,00

5

6.960,00

960,00

6.000,00

30.000,00

0,00

44.400,00

14.400,00

30.000,00

CÁLCULO DE LA FILA h-esima DEL CUADRO DE AMORTIZACIÓN

Se trata de conocer la situación del préstamo en un momento cualquiera h, sin necesidad de calcular los valores correspondientes a las filas anteriores. •

Cuota de Amortización del periodo h

Para calcular las cuotas de amortización de un periodo h y al ser todas iguales, bastará con dividir la cuantía d el préstamo entre el número de periodos:

Ch= •

C n

Total Amortizado

El total amortizado no es mas que la suma de las cuotas de amortización pagadas hasta el momento h:

Th=hx •

C n

Resto por Amortizar Es la parte del préstamo que está pendiente de amortizar:

R h= C -( hx Página 10

C n

)



Cuota de Interés del periodo h

•

La cuota de interés de cada periodo es el resultado de aplicar el tanto de interés por el resto por amortizar: I h = R h-1 x i

(h – 1 ) C n

Ih=ix(C•

)

Anualidad del periodo h

Si queremos calcular la anualidad o pago correspondiente a un periodo cualquiera h tendremos que sumar la cuota de amortización y la cuota de interés del periodo:

Ah=Ch+Ih donde si sustituimos por los valores obtenidos en los apartados anteriores nos queda:

Ah=

C n

(h–1) n

+Cxi(1-

)

Ejemplo 1 Calcular la fila sexta del cuadro de amortización de un préstamo de 90.000 euros que se amortiza mediante cuotas constantes anuales, inmediata postpagable de 10 términos, al 5% de interés compuesto anual. C = 90.000 n = 10 i = 5% ¿? Fila sexta. C6=

90.000 10

I 6 = 90.000 x 0,05 ( 1 -

= 9.000

(6–1) 10

)

= 2.250 €

A 6 = 9.000 + 2.250 = 11.250 € T 6= 6 x

R 6 = 90.000 x

90.000 10

(1-

6 10

Página 11

= 54.000 €

) = 36.000 €



6.

AMORTIZACIÓN CON PAGOS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

6.1

INTRODUCCIÓN

Este sistema de amortización se caracteriza porque las anualidades o pagos varían en progresión geométrica, es decir, cada anualidad se obtienen multiplicando la anterior por la razón q. Si el importe del préstamo es C y la duración del mismo n años, para obtener el importe de cada pago nos basaremos en las expresiones obtenidas al estudiar las rentas variables en progresión geométrica, donde su expresión será:

Vo (p.g.)

= a1 x

1–qnxVn 1+ i - q

Ejemplo 1 Redactar el cuadro de amortización de un préstamo de 80.000 euros para amortizar mediante 5 pagos anuales variables, que crecen un 3% cada año si se valora al 12% de interés compuesto anual. En primer lugar calculamos el valor d el primer pago o anualidad:

80.000 ( 1,12 – 1,03) 1 – (1,03) 5 x (1,12) - 5

A 1=

= 21.040,53 €

A partir de este dato, procedemos a elaborar el cuadro de amortización correspondiente:

1


ah

Ih

Ch

Th

Rh

0

0,00

0,00

0,00

0,00

80.000,00

1

21.040,53

9.600,00

11.440,53

11.440,53

68.559,47

2

21.671,74

8.227,14

13.444,61

24.885,13

55.114,87

3

22.321,89

6.613,78

15.708,11

40.593,24

39.406,76

4

22.991,55

4.728,81

18.262,74

58.855,98

21.144,02

5

23.681,30

2.537,28

21.144,02

80.000,00

0,00

111.707,01

31.707,01

80.000,00

7.

AMORTIZACIÓN CON PAGOS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

7.1.

CUADRO DE AMORTIZACIÓN

Este sistema de amortización se caracteriza porque las anualidades o pagos varían en progresión aritmética, es decir, cada anualidad se obtienen sumando a la anterior la razón q. Si el importe del préstamo es C y la duración del mismo n años, para obtener el importe de cada pago nos basaremos en las expresiones obtenidas al estudiar las rentas variables en progresión aritmética, donde su expresión será:

vo (p.a.) = a1 x A n,i + q x (A n,i – n x V n) i Ejemplo 1 Redactar el cuadro de amortización de un préstamo de 50.000 euros para amortizar mediante 5 pagos anuales variables, que crecen 1.000 euros cada a ño si se valora al 10% de in terés compuesto anual. En primer lugar calculamos el valor d el primer pago o anualidad:

50.000

= a1 x A 5 , 0,10 +

1.000 0,10

Página 12

x (A 5 , 0,10 – 5 x (1,1) -5)



A1 = 11.379,75 € A partir de este dato, procedemos a elaborar el cuadro de amortización correspondiente:

CUADRO AMORTIZACIÓN PRÉSTAMO

8.

n

ah

Ih

Ch

Th

Rh

0

0,00

0,00

0,00

0,00

50.000,00

1

11.379,75

5.000,00

6.379,75

6.379,75

43.620,25

2

12.379,75

4.362,03

8.017,72

14.397,47

35.602,53

3

13.379,75

3.560,25

9.819,50

24.216,97

25.783,03

4

14.379,75

2.578,30

11.801,44

36.018,41

13.981,59

5

15.379,75

1.398,16

13.981,59

50.000,00

0,00

66.898,74

16.898,74

50.000,00

CANCELACIÓN ANTICIPADA DE UN PRÉSTAMO

Cancelar anticipadamente un préstamo significa amortizarlo antes del tiempo convenido, modificando así las condiciones establecidas en el contrato. En las condiciones pactadas con el prestamista debe aparecer qué ocurre en el caso de que deseemos cancelar parcial o totalmente el préstamo. La mayoría de las entidades financi eras cobrarán una comisión de cancelación anticipada, que s e aplica sobre la cantidad amortizada prematuramente. Financieramente no supone un gran problema, los pasos a seguir podrían ser: a) Calcular la deuda pendiente en el momento de la cancelación anticipada Rh. b) Calcular la cuantía del nuevo pago después de la cancelación a’. c) Calcular la comisión sobre la cantidad anticipada Cc. Si aplicamos los pasos anteriores a un préstamo amortizado por el sistema francés, su formulación seria:

A=

C A n,i

R h = A x A n-h , i conocido el resto por amortiza, le restamos la cantidad anticipada Ca y obtenemos la deuda pendiente R’h:

R ‘h = R h – C a a partir de esta cantidad procedemos a calcular la nueva cuantía del pago:

R ‘ h = A ‘ x A n-h , i por último calculamos la comisión por cancelación Cc correspondiente, que normalmente será un porcentaje sobre la cantidad anticipada:

Cc=

Ca x % comisión 100

En ocasiones las entidades financieras establecen una cantidad mínima de comisión , donde si el resultado anterior es inferior nos cobraran dicho mínimo. También pudiera ocurrir que se exija una cantidad mínima de amortización anticipada (p. ej. 3.000 €). Si la periodicidad de los pagos es k-esimal o el sistema de amortización distinto, se tomaran las expresiones correspondientes equivalentes, del sistema o método de amortización, a las aquí utilizadas.

Ejemplo 1

Se contrata un préstamo de 20.000 euros para ser amortizado mediante una renta anual, constante inmediata postpagable de 15 términos, al 10% de interés anual. Entre las cláusulas figura la de penalización por cancelación anticipada del 1%. Averiguar: a) b)

La anualidad que amortiza el préstamo. El resto por amortizar a los 3 años de concertado el préstamo, una vez pagada la anualidad.

Página 13

ADMINISTRACIÓN ADMINISTR ACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR c)

GESTIÓN GESTIÓ N FINANCIERA. TEMA 8

Si se hace una aportación extraordinaria de 3.000 euros en el momento de pagar la tercera anualidad, hallar: El importe total que paga el prestatario en ese momento.  El resto por amortizar en ese momento.  La anualidad a pagar a partir pa rtir de ese momento. 

a) Calcular la anualidad que amortiza el préstamo. 20.000 A= = 2.629,48 € A 15 : 0,10 b) Resto por amortizar: R 3 = 2.629,48 x A 15

-12: 0,10

R3 = 17.916,44 € c) Pago total (cantidad anticipada anticipada más penalización), resto por amortizar y nueva anualidad: 3.000 x 1 Comisión : = 30 100 Pago total: 3.000 + 30 = 3.030 € R’ 3 = 17.916,44 – 3.000 = 14.916,44 € A’ :

14.916,44 A 12 , 0,01

= 30

9. COSTE EFECTIVO DE LA OPERACIÓN DE PRÉSTAMO. TAE Hasta ahora se han planteado los préstamos como una operación financiera matemáticamente pura. La prestación y la contraprestación se consideran partes de un contrato directo, de manera que lo entregado por el prestamista y lo devuelto por el prestatario son financieramente equivalentes, de acuerdo con las reglas y condiciones pactadas y, por ello, el tanto efectivo de coste o rendimiento de la operación es el tanto de interés anual compuesto que iguala todos los cobros y todos los pagos actualizados que se generan. Vamos a ampliar aquí este concepto y vamos a ver la incidencia que los gastos pueden tener, tanto para el prestatario, como para el prestamista. Unos gastos son soportados por el prestamista y otros, la mayoría, por el prestatario. El prestamista, por sufrir gastos adicionales (de apertura, de cancelación, tasas, impuestos, etc), ve alterada su rentabilidad unitaria pactada en el contrato de préstamo. A su vez, también el prestatario ve alterada su tasa de coste unitario pactada en el contrato, ya que tiene que pagar unos gastos fijos y otros de mantenimiento del préstamo (de apertura, de estudio, notario, registro, de cancelación anticipada total o parcial, tasas, etc.) Vemos que, en definitiva, el tanto de interés al que se contrata el préstamo no será ni el tanto de rendimiento para el prestamista, ni el de coste para el prestatario, por que para hallar el tanto anual efectivo de la operación habrá que tener en cuenta, en cada caso, todos los ingresos y gastos actualizados. De forma general, podríamos plantear, tanto para el prestamista como para el prestatario, para obtener el rendimiento o coste de la operación, la siguiente igualdad:

RECIBE = ENTREGA Es decir, el tanto efectivo de rendimiento , para el prestamista o, en su caso, el tanto efectivo de coste , para el prestatario, es aquel tanto que iguala lo que recibe a lo que entrega, todo ello valorado en un mismo momento de tiempo.

9.1. Tanto efectivo de coste para el prestatario Nosotros vamos a plantear aquí, únicamente el cálculo del tanto efectivo de coste de una operación de préstamo que se amortiza mediante pagos periódicos constantes, de forma general, pudiendo extenderse estas explicaciones al resto de las situaciones que pudieran plantearse en la practica financiera. Supongamos un préstamo de cuantía C, por el que ha de pagarse una comisión de apertura de x% y que se amortiza mediante una renta, constante inmediata postpagable, de cuantía a durante n años al tanto anual i, si aplicamos la ecuación fundamental, gráficamente:

Página 14

ADMINISTRACIÓN ADMINISTR ACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR


RECIBE

C - x% C 0

1

2

3

n-1

n

0

1 а

2 а

3 а

n-1 а

n а

ENTREGA

Por tanto, tendrá que cumplirse, financieramente hablando, que lo que recibe sea igual a lo que entrega:

C – x % C = a x a n ,iec De donde se trata de despejar el valor que toma la variable iec (interés efectivo de coste). Para obtener su valor hay varias posibilidades:   

Tablas financieras, e interpolación, en su caso. Utilización de hoja de cálculo y s u correspondiente función financiera (TIR). Aproximaciones sucesivas.

Ejemplo 1 Calcular el tanto efectivo de coste de un préstamo de 10.000 euros que se amortiza mediante una renta mensual, constante inmediata postpagable durante 2 años, siendo el tipo de interés inicial el 12% efectivo anual y nos cobran una comisión de apertura del 0,61%. En primer lugar calculamos el pago mensual:

i 12

=

1 (1,12) 12

−

1 = 0,00948879

10.000 = A x A

24 , i 12.

A = 467,88 €

a continuación planteamos la ecuación de equilibrio:

CANTIDAD ENTREGADA: Comisión de apertura: 10.000 X 0,0061 = 61

CANTIDAD RECIBIDA:

Cantidad entregada: 10.000 – 61 = 9.939 467,88 x A 24, i ec 12 9.939 = 467,88 x A 24, i ec 12

de donde, utilizando alguno de los métodos expuestos, el coste mensual iec (12) = 0,01. Pero nosotros queremos el coste efectivo anual:

i ec

=

(1,01) 12 i ec

1 = 0,126825 = 12,68% −

9.2. La tasa anual equivalente (TAE) La TAE es un concepto regulado por el Banco de España a través de la circular 8/90 de 7 de septiembre que tiene como objetivo buscar un instrumento de medida homogéneo para que el cliente de una entidad financiera pueda comparar entre distintas entidades (tanto productos de activo como de pasivo), eligiendo aquel producto que le sea más interesante. Hemos visto que existen intereses efectivos anuales, efectivos k-esimales, tantos nominales, etc., pues bien, si a éstos les sumamos los efectos de las comisiones y otros gastos que surgen en las operaciones financieras, cualquier persona tendría bastantes problemas para elegir correctamente los productos de activo y pasivo que más le interesen, financieramente hablando. A continuación reproducimos aquellas partes de la circular que más nos interesan (norma octava), para el cálculo de la TAE:

Página 15

ADMINISTRACIÓN ADMINISTR ACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR 1.

2.


El tipo de interés, coste o rendimiento efectivo deberán expresarse obligatoriamente en los documentos contractuales a que se refiere el apartado 1 de la norma sexta de esta Circular (podríamos Circular (podríamos resumir ese apartado diciendo que esos documentos van a ser aquellos que surgen en las operaciones en las que intervengan pequeños ahorradores y/o inversores, ya que el objetivo de la TAE es protegerlos). Para la confección y publicación del tipo de interés, coste o rendimiento efectivo a que se refiere el apartado anterior, las entidades deberán atenerse a las siguientes reglas, que se desarrollan matemáticamente mediante la fórmula contenida en el anexo V: Los tipos de interés, costes o rendimientos se expresarán en tasas porcentuales anuales pagaderas a término vencido equivalentes . La tasa porcentual equivalente es aquella que iguala en cualquier fecha el valor actual de los efectivos recibidos y entregados a lo largo de la operación, por todos los conceptos, incluido el saldo remanente a su término, con las excepciones e indicaciones que se recogen en los siguientes apartados.

a) b)

Ejemplo 1 De un préstamo conocemos las siguientes características: a) Principal 240.000 euros a devolver en cuatro pagos anuales anuales por el método método de cuotas de amortización constantes, con un interés efectivo anual del 12%. b) Comisión de apertura: 1,2% c) Gastos de Estudio: 0,5%. d) Notario: 1%. e) Seguro obligatorio (invalidez, muerte, etc.): 0,5%.

Se pide: 1. 2. 3.

Confeccionar el cuadro de amortización. Calcular la TAE, tal como indica el Bando de España. España. Calcular el Tanto Efectivo de Coste.

1. Confeccionar el cuadro de amortización. CUADRO AMORTIZACIÓN PRÉSTAMO n

ah

Ih

Ch

Th

Rh

0

0 ,0 0

0 ,0 0

0 ,0 0

0 ,0 0

240.000,00

1

88.800,00

28.800,00

60.000,00

60.000,00

180.000,00

2

81.600,00

21.600,00

60.000,00

120.000,00

120.000,00

3

74.400,00

14.400,00

60.000,00

180.000,00

60.000,00

4

67.200,00

7.200,00

60.000,00

240.000,00

0 ,0 0

3 1 2 .0 0 0 ,0 0

72.000,00

240.000,00

2. Calcular la TAE, tal como obliga obliga a publicar el Banco de España. Principal Comisión Apertura Gastos de Estudio Seguro

0,012 x 240.000 0,005 x 240.000 0,005 x 240.000

240.000 (2.880) (1.200) (1.200)

= = =

RECIBE

234.720

No hemos incluido el gasto de notario, por ser un gasto de terceros.

A cambio ha de ENTREGAR cuatro pagos, durante los cuatro años siguientes (ver cuadro): 234.720 =

1 1 (1+TAE)

88.800

+ 81.600

1 (1 + TAE)

+ 74.400

2

1 (1 + TAE)

3

+ 67.200

1 (1 + TAE)

Calculando con la función TIR de Excel: TAE = 13,1171%

3. Calcular su Tanto Efectivo de Coste. Para calcular el coste real hemos de considerar todos los gastos, incluido los del notario (240.000 x 0,001 = 2.400) y, por tanto, la ecuación será:

234.720

−

2.400

=

88.800

1 1

(1 + i ec )

+

81.600

1 2

(1 + i ec )

Página 16

+

74.400

1 3

(1 + i ec )

+

67.200

1 (1 + i ec )4

4

ADMINISTRACIÓN ADMINISTR ACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR


Calculando con la función TIR de Excel: i ec = 13,639894%

10. OPERACIONES DE ARRENDAMIENTO FINANCIERO (LEASING) Introducción

10.1.

El término leasing proviene del inglés “to lease”, que significa arrendar o dejar en arriendo. En España se traduce por arrendamiento financiero, aunque el término anglosajón es aceptado y utilizado internacionalmente. El arrendamiento financiero es un contrato mercantil de cesión de uso en virtud del cual una empresa compra en nombre propio, siguiendo las instrucciones del futuro arrendatario, determinados bienes muebles o inmuebles para, como propietaria-arrendadora, alquilarlos al usuario-arrendatario que los utilizará por un tiempo irrevocable convenido, a cambio de un precio, distribuido en cuotas periódicas, que incluyen el coste del equipo más los intereses correspondientes, y un valor residual prefijado, similar a las cuotas anteriores. Al término del plazo convenido para la duración del contrato, el usuario tendrá la triple opción de: 1. Cancelar el arrendamiento, devolviendo el equipo a l a entidad arrendadora. 2. Renovación del contrato y continuar utilizando el b ien por un nuevo período. 3. Ejercer la opción de compra y adquirir el bien. El leasing es una forma de financiación a la que acuden las empresas por diversas razones: a) Cuando obtienen una buena rentabilidad pero no les interesa inmovilizar su dinero. b) En aquellos casos en los que tienen escasez de recursos recursos propios, o ya están están muy endeudados. c) Cuando utilizan una tecnología tecnología que se queda obsoleta en un corto período de tiempo. d) Cuando su nivel de beneficios beneficios es alto y pueden aprovechar las ventajas fiscales que que supone el leasing. En general, a la empresa le interesa ejercitar la opción de compra ya que durante la vigencia del contrato la empresa conseguirá pagar el bien a través de cuotas periódicas, si bien su vida útil suele ser mucho mayor. Nos centraremos aquí únicamente en los aspectos financieros del contrato. Para ello tendremos en cuenta los siguientes datos del contrato: n: número de años de duración del contrato.  C0: precio del equipo que se arrienda o valor al contado del mismo, se rá la cantidad a financiar.  VR:. Será el importe que tendrá que pagar el arrendatario para ejercer la opción de compra. Puede ser  una cuota más o bien inferior al valor que tiene el bien es esos momentos. ak: cuota periódica de alquiler. Generalmente suele ser prepagable.  Ci: En ocasiones se suele entregar una ca ntidad o cuota inicial al formalizar el c ontrato.  k: frecuencia de pago de los alquileres, normalmente mensuales y al principio de cada mes.  i: tipo de interés o rendimiento que la entidad de leasing quiere obtener de su operación. Para el  arrendatario será el coste financiero de la operación. Gi: gastos iniciales de la operación, como impuestos, comisión de apertura y de estudio de la operación,  seguros, etc. En general, y aunque la casuística puede ser muy variada, podemos representar gráficamente la operación de leasing:

C0 0

1

2

3

nk-2

nk-1

ak Gi Ci

ak

ak

ak

ak

ak

nk

La empresa de leasing suministrará un cuadro de pagos a lo largo de la vida de la operación y que básicamente es similar a los cuadros de amortización de préstamos estudiados, añadiéndoles una columna que recoja la cuota de IVA y otra para el pago total de la cuota periódica más el citado impuesto. Su formato podría ser el siguiente:

Periodos nk

Pago Periódico ak

Cuota de Interés Ih


Total Amortizado Th

Aunque la denominación o estructura puede ser distinta, por ejemplo:

Página 17


IVA

Pago Total


10.2.

Periodos

Cuota Total

nk

CT

Impuesto

Cuota Neta

Carga Financiera

IVA

ak

Ih


Recuperación del coste del bien del periodo Ch

Recuperación del coste del bien acumulado Th

Deuda Pendiente Rh

Operación de leasing con cuotas prepagables y Valor Residual

De las múltiples posibilidades matemáticas en materia de arrendamiento financiero (pagos postpagables o prepagables, valor residual igual o distinto a una cuota neta, existencia o no de cuota inicial, a tanto de interés anticipado o vencido, etc.) nosotros vamos a desarrollar aquí únicamente, y a titulo de ejemplo, el supuesto de una operación de arrendamiento financiero, sin cuota inicial, cuotas prepagables, valor residual distinto a las cuotas y con pago de interés anticipado (lo que permite que el valor residual sea todo c apital). En primer lugar calcularemos el pago periódico a realizar:

VR ( 1 + ik) nk - 1

C 0 = A k x A nk-1 , ik x (1 + ik) +

Una vez obtenida la cuota a pagar, para poder construir el cuadro de amortización necesitamos obtener el valor de C1:

C1 =

C S n,i

Ejemplo 1 Una empresa financia la compra de un vehículo, mediante un contrato de arrendamiento financiero con las siguientes características: coste al contado 49.000 euros, duración del contrato 5 años, los pagos son anuales, constantes y prepagables, con una opción de compra que asciende a 3.000 euros, el tipo de interés de la operación es del 10% anual y el IVA el 16%. Redactar el cuadro de amortización de forma que el valor residual sea sólo capital (interés anticipado).

3.000 ( 1,10) 4

49.000 = A x A 4 , 0,10 x (1,10) + A = 13.465,14 €

C1 =

49.000 – 3.000 S 4 ; 0,10

= 9.911,66

CUADRO AMORTIZACIÓN PRÉSTAMO Per.

∑

Pago

Intereses

Amortización

total amort.

total pdte.

IVA

total pago

0

13.465,14

3.553,49

9.911,66

9.911,66

39.088,34

2.154,42

15.619,57

1

13.465,14

2.562,32

10.902,82

20.814,48

28.185,52

2.154,42

15.619,57

2

13.465,14

1.472,04

11.993,10

32.807,58

16.192,42

2.154,42

15.619,57

3

13.465,14

272,73

13.192,42

46.000,00

3.000,00

2.154,42

15.619,57

4

3.000,00

0,00

3.000,00

49.000,00

0,00

480,00

3.480,00

56.860,57

7.860,57

49.000,00

9.097,69

65.958,26

Página 18

1º ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS


TEMA Nº 9: SELECCIÓN DE INVERSIONES 1.

DIMENSIÓN FINANCIERA DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN

Desde el punto de vista financiero, es decir, monetario, cualquier proyecto de inversión queda definido por las siguientes variables: A: Se le denomina Capital Invertido, Coste Inicial o Coste de la inversión. Qh: Se denominada flujo neto de caja (FNC), representativo de la diferencia de las dos cobros y pagos por caja. VR: un posible valor de venta de los activos en que se materializó la inversión una vez que quedaron fuera de uso, es decir, una vez finalizado el proyecto. Se le suele denominar Valor Residual.  



Teniendo en cuenta lo anterior, podemos representar la dimensión financiera de un proyecto de inversión de la siguiente forma:

-A 2.

Q1

Q2

Q3

Qh

1

2

3

h

Qh+1

h+1

Qn + VR

n-1

n

MÉTODOS DE VALORACIÓN Y SELECCIÓN DE INVERSIONES

2.1 Métodos estáticos de análisis de inversiones Existen algunos métodos de selección de inversiones que no tienen en cuenta el hecho de que los capitales tienen distintos valores en los diferentes momentos del tiempo. Son lo denominados métodos estáticos o métodos aproximados. Los principales métodos estáticos son: 1. El criterio del flujo total por unidad monetaria comprometida. 2. El criterio del flujo de caja medio anual por unidad monetaria comprometida. 3. El criterio del plazo de recuperación. A continuación se comentan algunos de ellos: a) El criterio del flujo total por unidad monetaria comprometida Seguir este criterio es equivalente a calcular el flujo de caja total por unidad monetaria comprometida, que es igual al cociente de ambas magnitudes: r=

(Q 1 + Q 2 + Q 3 + …… + Q n ) A

El cociente r es la cantidad de unidades monetarias que la inversión genera, durante toda su vida, por cada unidad monetaria invertida. Según este criterio, una inversión es mejor cuanto mayor sea r. Se realiza la inversión cuando ese importe es superior a la unidad, es indiferente cuando es igual a uno y no efectuable si resulta inferior a la unidad. b) El criterio del flujo de caja medio anual por unidad monetaria comprometida El método consiste en calcular el flujo neto de caja medio anual, Q y determinar cuanto corresponde por cada unidad monetaria invertida, r’. Q =

(Q 1

+

Q 2

+

Q 3 n

Pág. 1

+

...

+

Q n )

1º ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS


donde r’: r ' =

Q A

Se realiza la inversión cuando ese valor es superior a la unidad, es indiferente cuando es igual a uno y no efectuable si resulta inferior a la unidad. c) El criterio del plazo de recuperación El plazo de recuperación, o pay-back es el período de tiempo que tarda en recuperase el desembolso inicial con los flujos de caja generados por la inversión. Este criterio de selección da preferencia a aquellas inversiones cuyo plazo de recuperación sea menor. Por consiguiente, se trata de un criterio de liquidez . Se prefieren las inversiones más líquidas.

Se calcula acumulando los flujos de caja anuales, hasta encontrar el momento en que se iguale (o supere) al desembolso inicial de la inversión: n

P ⇒

∑ Q h

=

A

h =1

P: periodo de recuperación de la inversión Un caso particular, se da cuando todos los Qh son iguales: P =

A Q

Entre dos proyectos de inversión, el más conveniente, a la luz del criterio tratado, será el de menor plazo de recuperación Ejemplo 1 La empresa INVERSIÓN S.A. tiene planificado los siguientes proyectos de inversión: Proyecto Desembolso de inicial (A) inversión Proyecto 1 3.000 Proyecto 2 3.000 Proyecto 3 1.000 Proyecto 4 2.000 Proyecto 5 1.500

Flujos netos de caja (Q h) Año 1 1.000 3.000 200 200 0

Año 2 1.000 3.000 200 1.500 1.500

Año 3 1.000

Año 4 1.000

200 300 0

200 8.000 1.500

Año 5

200 10.000

Año 6

200 15.000

Se nos pide que ordenemos las inversiones atendiendo a su mayor rentabilidad de acuerdo con los siguientes criterios: a) Criterio del flujo neto de caja por unidad monetaria invertida. b) Criterio del flujo neto de caja medio anual por unidad monetaria invertida. c) Criterio del plazo de recuperación o “payback”. a) Criterio del flujo neto de caja por unidad monetaria invertida. r =

(Q 1

+

Q 2

Proyecto Desembolso de inicial (A) inversión Proyecto 1 3.000 Proyecto 2 3.000 Proyecto 3 1.000 Proyecto 4 2.000 Proyecto 5 1.500

+

Q 3 A

+

...

+

∑ Q h 4.000 6.000 1.200 35.000 3.000 Pág. 2

Q n )

r =

∑ Q h A

1,33 2,00 1,20 17,50 2,00

Orden 4 2ó3 5 1 2ó3

Gestión financiera ISIDRO RAMOS

Recommend Documents